~II;

&1il!

1\A{A 2/1 }=A A2/1 ;fiA2/1 /

SPhre-pianTl 1

fO 0\denormale(A,y)1

}v,=,:

0z Ty 0

\YA0fdansleplan(A,X,y)

..2 A x A 0 0 9t 1 Rz

Degrdelibert: Nbred'inc.stal.02

Pivotglissante=2 "........... ns=1 ...........

d'axe(A,x)

V A::Il Invariantscalaire*nul:J =O.

dansleplan letorseurserduitunglisseurenA'.

(A,X,y)Tl 1

" 0\Ty 0

} =v,;p . Y,1Linairerectiligne A 0 09tdenormale(A,y) 1 Rzdansleplan

A

(A,X,y) 2 x 02Nombred'inconnuesslatiquesns=1.

9.5

29

liaison Schmatisation

CAS DE LIAISONS NE PERMETTANT AUCUN EFFORT

Translation A{Am}Reprsentationdutorseur

A {A 211}=) A;' ;l/A2/~}

Appuiplan

denormale(A,z)perpendiculaire

ailplan(A,X,y)

1 yt-rD, Z~

~x4Jt;;Linairerectiligne

selon (A,y)dllsleplan

(A,x,y)

Sphre-plan

depormale(A,z)perpendiculaire

ailplan (A,X,y) 1 ~A,:2 1 0z

9.6 ExempleConsidronslemontagedefraisageenphasedeserrage,rgl

pourunesriedepices,

HYPOTHSES:

Pasdefrottementde9aveclesautrespices,

Effortduressort5 nglig,

. Liaison6-9enA :pivotenA (9,3)

j XA 0 \ " , -A(A6/9)= ,YA 0 j

seredultaugllsseurA6/9A\ 0 0 fR-

. Liaison11-9enB: appui-plan( 9,2)

B(B 11/9)= (~B ~ j\ rductibleunglisseurB11/9B\ 0 LA fR-CeglisseurpasseparunpointB'dduireultrieurementparl'isolementde11,

j 0 0 \B,(81119) = ,YB 0 jB'\ 0 0 fR-

. Liaison9-PenN: linairerectiligne(9.4)

N(NP/9)= (~A ~ j\ serduitauglisseurNP/9N\ 0 0 fR-

Rotation

Tx

Rz

Ty

Yf 0z

~Degrdelibert:

e=3Nbred'ine.stal.

ns=0

Laliaisonnepeuttransmellreaucuneffortselonceplan:onpeutdoncconsidrerqu'ellen'existepas(solides1et2indpendants),

MONTAGE DE FRAISAGE ( 5.31)EN PHASE D'ABLOCAGE

Commande"" YI ~:x(6)1-

MODLISATION DES A.M. SUR (9)

YAAS/9 B11I9= YB.Y N P/9= YN.Y

A XA B'

N

30

Cinmatiquedesliaisonsparfaitesdansl'espace

10

Encinmatique,uneliaisonestparfaitesilessurfacesdeliaisonsontgomtriquementparfaites,indformablesetlesajustementssansjeu.

. Lescomposantesdelavitesseangulaire[11/2 rsultantedutorseurcinmatique,sontnullessurlesaxes(A,x) et(A,y)

autourdesquelslarotationde1parrapport2estimpossible(fig.2)

. LescomposantesdelavitesselinaireVAE1/2momentdutorseurcinmatique,sontnullessurl'axe(A,z) selonlequel

latranslationde1/2estimpossible(fig.2).

DMARCHE:

OnidentifielescomposantesnullesdutorseurcinmatiqueA{8m}danslereprelocal(A,x, y, z) enrespectantlesdeuxtapessuivantes:

. LescomposantesnullesdeDl/2 sedduisentdesimpossi-bilitsderotationde112selonlestroisaxes.

. LescomposantesnullesdeVAE1/2sedduisentdesimpossi-bilitsdetranslationde1/2selonlestroisaxes.

CDChoisirlereprelocal91(A,x, y, z)

. A: centregomtriquedelaliaison*.

. (A,X), (A,y) dansleplann.

. (A,z) normalauplann.

Celledmarcheestcommunetouteslesliaisonsci-dessous.

Liaison Schmatisation Rotation

Encastrement

oufixe

$R..fA,X,y,z)quelconque** *2 1x A y

~YrLIZ~i

~~z2A ~x y

Rx

Ry

Rz

Rx

RyPivot

Decentre:A

D'axe:(A,z)Rz

Glissire

Decentre:*A

D'axe:(A,x)

Rx

Ry

Rz

* Cas le plus gnral. " A estsouventsitudanslepland'encastrement.

@ Identifierlaliaison

Liaison 1 - 2 :z

1 2

@ Identifierlescomposantesnulles

. (A,x) impossible:

. (A,y) impossible:

. (A,z) possible:

. (A,x) possible:

. (A,y) possible:

. (A,z) impossible:

@ crireletOrseurcinmatique

Rotation

selon:

Translationselon:

Rx=O::::} Cx=ORy=O ::::}Cy=ORz=1 ::::}Cz*O

Tx= 1 ::::}Vx * 0

Ty=1 ::::}Vy* 0Tz= 0 ::::}Vz = 0

~ ~

1

0 vx

)A{~1/2}= A{D1/2 VAE1/2}= YA Vy

A Cz 0 (x,n)

A{t'ill

D t fO~ ~Al~

0

0

ne=O***

(

0 \A ~Z ~ 1ER

0

0

ne=1

0 (

0 Vx\0 0AO 0 1,.;

Translation ReprsentationdeA{t'i1t

0\l

,

0 9t 0

0

0Tx

Ty

Tz

0

0

Tx

Ty

Tz0

0

0Ty

Tz

ne=1

*** nG' nombred'inconnuescinmatiques.

31

Liaison Schmatisation Rotation A{1t1/2} Translation

Rx 1[(Ox vx'Hlicodale 1

Ry 0

Al ]CentreAAxe(A,x) Rz

0A

x Tx=k . Rx y (;)x=;Lvx**

RxPivotglissant

Ii 1 A YRy 1

0CentreA

Axe(A,x) Rz0

Sphriquedoigt Rx 0 l' 0'0

CentreARy 1 0

Al::

0Axedoigt(A,z)

o]Rainuredans Rz 1x y(A,x,z) ne..2

Rx 0 [0 Vx'APPui-pIanRy 0

0

Vy]CentreA

)WzNormale(A, z) Rz1 0

yx 2

ne=3

Rx 1

.C'0'Rotuleou

Ry 1 Wy:]sphrique Rz 1 . A WzCentreA x y

ne=3

Linairerectiligne Rx1

lm, ",)CentreA Ry O . 0 VyNormale(A,z) A Rz 1 . A Wz 0Arte(A,x) x y

ne=4

Sphre-cylindre Rx1

[Wx

':'1(Linaireannulaire) Ry 1

l Wy1 CentreA

x A y Rz1 A Wz 0

Axe(A,x)ne=4

Rx 1 fWx vx'Sphre-planRy 1

tWy Vy]1(Ponctuelle)

Rz 1 il Wz 0! Normale(A,z)z A x

ne=5

.ne = nombred'inconnuescinmatiques.** = 8. 2p1Tavec8 = + 1 (filet droite),E = - 1 (filet gauche);p = pasgomtrique.

32

Il Cinmatiquedesliaisonsparfaitesdansleplan

Lorsqu'uneliaisonaunegomtrieprsentantunplandesymtrie,

lestorseursci~matiques(chapitre10)sesimplifient.

REMARQUES:

. Laliaisonencastrementadestorseurscinmatiquesnulsdans

touslesplans.

. Laliaisonhlicodalen'admetpasdeplandesymtrie.

. Lespossibilitsdemouvementdoiventconserverlecaractredelaliaison;parexemple,pourlalLaisonappui-plan(11.7),onne

peutpasconsidrerdevitesseVz ouderotations())xet())y'

Il.1

DMARCHE:

Aprsavoirdterminleplandesymtrie:

. Examinerlapossibilitderotationautourdel'axeperpendi-

culaireauplan.Sicetterotationestpossible,placerlaprojection

())correspondantedutauxderotation:a; ;sinoncettepro-jectionvautO.

. Examinerlespossibilitsdetranslationlelongdes~esduplan.Dansl'affirmative,crirelesprojectionsdeVAE1/2;

sinon,placerlesvaleursnulles.

. Lesautresprojectionssontnullessur(91)=(A, X,-p,2) .

LIAISON ENCASTREMENT

Plandesymtrie(A,ij)l Plandesymtrie(A,y,Z) Plandesymtrie(A,x,Z)

~Z2

) )

y; IRzlO

f"\\0 0

J

~0 1 Ty

) 0 !R

0 ITx IRxl 0

ne=0*

Il.2

"10 0JA \ 0 !R

1"1

.1:1

01Tx

0 ITyIRyl0

0 1Tz0 1Tz 0

ne=0 ne=0

Plandesymtrie(A,x';)

LIAISON PIVOT

Plandesymtrie(A,y,Z) Plandesymtrie(A,x,Z)

yi

Q1/2

1 0'21

x

(U1/2)(Chap.10)f0 0\1 0 0

f1111 0 1 Ty

ALoz 0 !R

01 TxlRxl 0

(--,A Q1/2 VAE1/2J Rz11ne=1,

* nc=nombred'inconnuescinmatiques;nc+ns=3 dansleplan;ns(chapitre9).

~Z A

0; ~r0\1 0 0

A\O of!R~OITZ

r 0\0 0f)0 !R

0

1

Ty1 Ry100 Tz

0 1Tx

nc=O nc=O

Il.3

1 z

x 2

(111/2)(Chap.10)

A(.Q1/; VAE1/2)

Il.4

2

(111/2)(Chap.10)

) .Q1/2 VAE1/2)

Il.5

2

(111/2) (Chap.10)- '= IRzio

) .Q1/2 VAE1/2)

LIAISON GLISSIRE

PlandeSY~~i~(A,~1):~~J~"Plandesy';tr";;'(A.Y,}f

33

piandesymtri;(.ii,x;;r.-

~VAE1/2 ~ ~'~:A~'~~

{: : \

1

~0 1 TyJRy1 0Jo 0 ffi,~OITzRzlO

{ 0/ Vx\

J: :1ffi,01Ty

1 1TxIRxl 0

{O Vx\0 0

1Jo 0 ffi,

ne= ne=0LIAISON HLICODALE

Auun

Danstouslesplansdesymtrieventuelled'unmcanisme,laliaisonhlicodalesecomportecommeunencastrement.

(Voirencastrement 11.1etliaisonhlicodalechapitre10.)

1 1Tx

01 Tz

LIAISON PIVOT GLISSANT

Plan desymtrie(AJ,y) "~I""pct~d~~ymtril'A,y,trr"pi~nd~Yh1i;i(..fJJ)

- VAE1/2A 1xA~ :,VA,"" ~ 1

.Q1/2 0:~1 1 J

{: :x\

1

~0 1 TyJo 0 ffi,

0-; 0;

{ Wx 0 \

\

0 0

A 0 .0L

11TxlRxl1

{O Vx\

.\: : J"

0ITyIRyl0

01Tz

ne=1

11Tx

01Tz

34

11.6

2

z

LIAISON SPHRIQUE DOIGT

Plandesymtrie(A,x,YJ 1 Plandesymtrie(A;y,z)

:l 0~ ~ YJ ~1/2~x z~

0-;

11.7

z

fWx 0 \0 0

/Jo 0 ffi,

LIAISON APPUI-PLAN

Plandesymtrie(A,"ij)I Plande~~V~!f.ie(A,y'zj

0-;

y VAE1/2

; VAE1/2

11.8

y

z 2

(1J1I2) (Chap.10 )1[21/2 VAE1/2 LI'Ale

f 0 0

\

0 Vy

A 0 O'ffi,

z

~

nc=1

LIAISON ROTULE OU SPHRIQUE

Plandesymtrie(A.x,y) 1 Plandesymtri

~~,40z[./1/20

x

Rll1

f: : \

J Wz 0 /ffi,01Ty

01TxlRxl1

nc=1

Wx 0 \0 0

AIO O/fit

nc=1

[./1/20

0-;

Plandesymtrie(A,x,1)

0 1Tl

[./1/2

~0 xA ~ 0;zf0 0\

Wy 0

0 0 Jfit ~0 1 TlA

01Tx

OlTylRyl1

nc=1

Plandesymtrie(A,4'z)

0; z

VAE1/2 -;

A

11TylRyl00 vx\0 0

/AIO 0 fit

1 1Tx

01Tz 0 1Tz

nc=1

Plandesymtrie(A,:K,l)

[21/20

\~x

Tz 0;1

f 0 0 \

\Wy 0/A 0 0 ffi,0 1Tx

OlTylRyl1 0 1Ty

0 1Tl

nc= 1

f 0 0 \ 0 1TxlRxl1

fo,,hap10 1 1 1 l 0 'i DIT,1[2 Rz 0 A 0 0

AI 1/2VAE1/2) fit,Ji .nc=0

/0 vx\ 1lTxlRxl0

10",1 (;hap.10)bllf21'IT,, RAI [21/2 VAE1/2) ziA Wz 0 ffi,'Jinc='3

Il.9

z

LIAISON LINAIRE RECTILIGNE

Plandesymtrie(A,x,y) 1 Plandesymfrie.(A,y,z)

~' i .;0 A -- -yVAE1/2 1 Q 1/2 VAE1/2

1

02 x

35

Plandesymtrie(fA,X,z)

~z

0y :. Ax-

VAE1/2

Il.10

z

:-$z

*=x~ ~ 0il,"0 Q 1/2 0 Y . 1 1

f 0 ve\\Wy 0

f\0 0 ~~OITIA

LIAISON SPHRE-CYLINDRE OU LINAIRE ANNULAIRE

Plandesymtrie(A,X,y) Plandesymtrie(A,y,z)

y

0 Q1/2 0;

Il.11

y

f Wx 0 \

): :tne=1

LIAISON SPHRE-PLAN OU PONCTUELLE

Plandesymtrie(A,x,y) 1 Plandesymtrie(A,y,Z) .

0; '\. fv~:AE1/2

;

0 vXl0 0

A' 0 0 f~ 0 1 Tl

1 1 Tx

ne=1

(A,X,z)

01TylRyl1

1 1 Tx

A

0 Q1/2 0 Q1/2

01 Tl

PIClQdesymtrie(A,X,z)

0y

:---B~"",Z0!2;;-~;

11Tx

01Tl

(191/2) (Chap.10)

1 0 v,\ r T, R, 1r 1 w, 0t 0 Vyf 1 Ty l 0 Vy) 11TylRyl0,- RI 1 A WI 0 A 0 O} 0 1TlAI Q1/2 VAE1/2)nc=3 1 ne=2

1 0 v,\ r T, R, 1r r 0 \ j r ! 0 v,1la:'(:haPI0) IR,I, ):; J TT, \: V'I TT, R, 1 \ ID, 0 JAI Q1/2 VAE1/2J A 0 0 Tl A 0 0

ne=3 1 l1e=2 1 ne=2

36

12Actionsdesliaisonsrelles

Uneliaisonrelleentre1et2estcaractrisepar:

. dessurfacesdontla gomtrieentredansunecertaine

tolrance(G.D.17),

. dessurfacesdformablesenfonctiondel'efforttransmis

(voirchapitres4555etchapitre35),

. descontactsavecfrottements(chapitre32),

. desjeuxfonctionnelspermettantl'assemblageetlefonc-tionnementdel'ensemble.

HYPOTHSES:

. Lagomtrietolrancedela liaisonpermetlammefonctiondeservicequela1iaisonparfaite,aufrottementprt

(parfoisrecherch).

. Lapressiondecontactenunpointnedpassepasunelimiteadmissiblepourlematriau,appelpressiondeHertz.

. Chacunedesliaisonstudiesdanscechapitrersulte

d'uneanalyseglobaledemcanisme;ellepeuttreralise

partirdeliaisonslmentaires(parexemple:uneliaisonpivot

peuttreconstruite l'aidededeuxroulemntsdontl'un,

arrtaxialement,secomporteenrotuleetl'autrelibreaxiale-

ment,secomporteenliaisonsphre-cylindre).

. Laliaisonesteffective(parexemple:unappuiponctuelestbilatralsouspeinededisparitiondelaliaison).

OMARCHE:

12.1 Liaisonencastrement

Cetteliaisonnepossdeaucundegrde libertet parconsquenta:

. sixdegrsdeliaisondansl'espace(chapitre7),

. troisdegrsdeliaisondansleplan( 9.1).EnunpointA'particulierd'unplandesymtrie,letorseurserduitunersultanteA; (9.1).

* J invariantscalaire(chapitre74)

EXEMPLES DE LIAISONS ENCASTREMENT

Par goujon(G.D.chapitre33)

Bloqu fondde filet

x

Par obstacle

Par soudage(G.D.chapitre27)

Cordon desoudure

z0

Goupillecannele

(G.D.x chapitre35)

ENCASTREMENT (MODLISATION SPATIALE)

}8Reprsentablepar

une rsultanteet un moment

Action mcaniquetransmissible

(Chapitre7)

q

1

{XA ~A

}'Ii (A2f1)'" . \YA MA.,.,. A ZA NA (;'y,z)

ENCASTREMENT (MODLISATION PLANE)

A"\

1

A? A

xAction mcanique

transmissible

( 9.1)

n un pointA

~{XA 0 \

particulier, i: /A2/1) = YA 0peutse modliserpar.,., \ A\ 0 NA J (;'y,z)une rsultante

IdentifierAnalyserlesmouvementsAjouterles

la liaisonf- quiapparatraientavecla composantes

liaisonparfaite(7.9) s'yopposant

12.2 LiaisonpivotrelleUnfrottementnonngligeableaffecteleseulmouvementrelatif

possible:larotationautourde(A}).Letorseurdeseffortstransmissibless'crit:

1 XA LA\{A2!1}H~ =\YA MAI avecNA oF 0A (x,y,z) lA NAA

12.21 Frottementradial seul*

INAI =INA11~1l1. V X2A +y2A. r

NA(N.mm); /11=tan'P(facteurdefrottement); r (mm)XAetYAennewtons(N).

REMARQUE:

Danslecasd'unesymtrieparrapport (A,x, :n , letorseur

serduitunersultante.A; passantparlepointdecontactthoriqueA'ettangenteaucerclederayonr sin'P(voir 33.2).

12.22Frottementaxialseul*Avecunehypothsedepressiondecontactuniforme:

2 R3-r3 R+rINAI=INA21=-.1l2.llAI.- =J1.2.llAI.-

3 R2-r2 2

NA(N.mm); /12=tan'P2(facteurdefrottement); lA (N);Retrenmillimtres(mm).

. Pressiondecontactsurl'paulement:p= lIAI - IZAI

n( R2- r2) 2nr(R- r)

12.23Frottementaxialetradial

NA=NA1+NA2 (algbriquement)

REMARQUES:

. Casd'unesurfaceconique(embrayages,limiteurs).Avecunehypothsedepressiondecontactuniforme:1 3

: INAI=~.~.llAI.R -r3 "'Il. Il AI. RH3 sine R2-r2 sine 2

NA(N.mm); /1: facteurdefrottement;lA (N); R,r (mm)8:demi-angleausommetducne.

. Poure=90,onretrouvel'expressionducoupledefrotte-mentsurunpaulement(12.22).

. Lesvaleursapprochesconcernentlescouronnesdefaiblelargeuroulescnesdefaiblelongueur.

* Voir chapitre 33.

37

COUPLE DE FROTTEMENT RADIAL

A2/1

Ajustementavecjeu

FROTTEMENT RADIAL ET SYMTRIE SELON (A, X,y)

r y0 [21/2

r .sinq;

Il 1=tanq; NA =IIA2/111.r . sinq;

FROTTEMENT AXIAL

00 =2R

7!Yx

0 d=2rSurfacede

contactentre(2)et(1)

FROTTEMENT SUR CNE D'APPUI

2

NA,;

38

12.3 LiaisonglissirerelleSelonlesactionsmcaniquesextrieuresquiluisontappliques

uneglissirepeutoccuperquatrepositionsdansleplandecesforces:

- contactsenA1et81:

- contactsenA2et82:

- contactsselonuneligneA281:

- contactsselonuneligneA182:

MTHODE:

1 Ngligertousfrottementsetdterminerlesensdesactions

mcaniquesl'aided'quationsdemomentsjudicieuses.

2 Endduirelespointsdecontactsdelaliaisonetfaireinter-

veniralorslefrottement(chap.32).

EXEMPLE:

Lepoussoir2 ci-contrereoituneactionmotrice/1/2'Il agitenJ surungaletmobilesansfrottementautourdesonaxe,li

unpoussoir4.CedernierreoituneffortrcepteurK514denormeinconnue.Lefacteurdefrottemententrelespoussoirs

2,4 etlebti0valantJ.L,dterminerlesactionsmcaniques

exercespar0sur2et4.

SOLUTION:

. Isoler2et4etplacerlesactionsmcaniquessansfrottement

selonlesvaleurspositivesdesaxes:

xA, XB sur2 et y c' Y0 sur4 .

. !/f(Fextd= 0=>XA>0=>contactenA1.!/ffJ (Fext/2)=0=>XB>0=>contacten81'

!/fy (Fext/4)=0=>y0< 0=>contacten2.

!/f8 (Fext/4)=O=>Yc>O=>contactenC1.

. Comptetenudelatendanceaudplacementprovoquepar

r;;; (quilibrestrictchap.32),placerlesnormalesauxcontactsdterminsetajouterlescomposantestangentiellescorrespon-dantes.

. Ladterminationexactesepoursuit partirdesactions

mcaniquescorrectesA;, ew;,c0/4et0; .

POSITIONS POSSIBLES D'UNE GLISSIRE

~~~1~~1

~~~~~

MONTAGE (/112" motrice)

/1/2

SANS FROTTEMENTS

/1/2

XB

AVEC FROTTEMENTS

i'f

'1/2

2

YLx

4

KS/4 ?

XA

tYc . YD021

J2/3

.--~

J2/3

12.4 LiaisonhlicodalerelleEnprsencedefrottements,lecoefficientdeproportionnalitk,telqueLA=k.xA(chapitre7),prenduneformediffrenteselonlesensdelachargeaxialeetletypedesurfacedeliaison

1Casolavisestsoumiseuneffortaxialetunmomentdemmesens

Lavisprogressedanslesensdelachargeaxiale.

LA =- XA'r.tan(0:-

40

12.5 LiaisonpivotglissantrelleUnfrottementnonngligeableengendreunefforts'opposantau

glissementselonl'axeetunmoments'opposant larotation

autourdecemmeaxe.Ilsdpendenttousdeuxdel'effortradial

Fr transmisparcetteliaison.

Letorseurdeseffortstransmissibless'crit:

IxA LA\A{A2/1}= YAMAA\ZA NAI

. EffortradialFr= yA.Y+l A.1.

. Facteurdefrottementf.1entre1 et2.

. RayonR oudiamtreDdu pivotglissant.

Alors:IlFrll= VY~+Z~=Fr (nombrearithmtique).

XA=+J1.Fr

Siv.:;.x0~->

SiVAE1/2=O

LA=+J1.Fr.R

siD;.x< 0

LA=-J1.FrR

siD;.x> 0

LA'" J1.FrR~ ->

SiQ1/2= 0

EXEMPLE:

Dansuneliaisonpivotglissantd'axe(A,x"j,leseffortsexercs

par2sur1ontpourvaleurs:

(A2/d={250~ -12~\ (forcesenN,\-1000 - 3001 momentsenN.mm).Rayondupivot:R=40mm.Facteurdefrottement:f.1=0,15.

Dterminerletorseur{Am}enAdanslescas:

a)vx=0,(aucunetendance)Wx>0;

b)Vx>0, Wx=0,(aucunetendance);

c)vx>Oetwx>O; d)vx>Oetwx

12.6 Liaisonappui-planrelleLetorseurdeseffortstransmissibles,tablichapitre7setrouve

modifiselonle mouvementexistantouquiapparatraitenl'absencedefroltements.

12.61 RsultantetransmissibleToutetentativedeglissementdansleplandecontactengendre

unersistancepassivequis'opposeceltetentative.

Choisirlereprelocaldefaoncequel'undesesaxes

indiquela normaleauplandecontactetundeuxime

axe,ladirectiondelatendanceauglissement.

12.62 MomenttransmissibleToutetentativederotationautourdel'axeperpendiculaireauplan

decontact,ajouteunmomentdersistanceaupivotement

proportionnell'effortnormal:NA=17. lA'

1],exprimen mtres,estle coefficientde rsistanceau

pivotement.

12.63 Exempled'applicationSoitdterminerl'actiondusupportsurlasemelled'unmoteur

lectrique.

Enrgimetabli,il fournitet reoitdesactionsmcaniquessursonarbre.

. Donnesethypothses:

Lapressionambianteagittoutautourdesdiversorganes;seseffetss'annulentdonc.

Le poidss'exprimesimplementau centrede gravitG.

Onconnatl'actionmcaniqueenB.

Onestimequelesvisouboulonsdefixationnedoiventexercer

quedesforcesdirigesselonz.

. SOLUTION:Leprincipefondamentaldelastatique( 31.5)permetd'crire:

Ilconvientdevrifier:

. Effortdeserrageminimal:

IxAI~ .ua.lIAI soitN ~ L-P-R.ua. 28conditiondeserrage:

INAI~ Tf.lzAI soitN~ b.F -P-R->->-> 1]

* P, R,Nsont lesnormesde P, R, N.

41

RSULTANTE TRANSMISSIBLE

Z=Z1

Tendanceaumouvement

de1/2

A2/1 =YA.Y; +ZA'Z avec YA,,;;tan a,ZAa ,,;;Ip (angle de frottement)

MOMENT TRANSMISSIBLE SUPPLMENTAIRE

Z 1

~il 1/2

;f{A2/1=NA.z avec1NA 1

42

12.7 LiaisonsphriquerelleLefrottementaffectelemouvementderotation.

Placerle reprelocalavecl'undesesaxesorientselon

l'axede rotationconcern( A, xparexemple).Touterotationautourdecetaxeengendreunmomentpropor-

tionnell'effortXAdirigseloncetaxeetaucoefficientdersis-tanceaupivotement(chapitre33).

[ !LA!==7).IXAI12.8 LiaisonlinairerectilignerelleSi lasurfacedecontactserduisait uneligne,lapression

p = FIS deviendraitinfinie.Lesmatriauxse dformentet

lecontactapparatselonunezonerectangulairedefaiblelargeur.

Cettepressionnedoitpasdpasserunelimiteadmissibledite

pressiondeHertz(47.23).

12.81 ForcetransmissibleOrienterlereprelocalavecunaxeselonlavitessedeglissement

oul'axelongitudinaldelazonedecontact.Onobtientlesrsultatsci-contrerespectantlesloisdufrottement(chapitre32).

12.82 Momenttransmissible. Lapetitesurfacedecontactcontrarielarotationautourde

(A, z). Celasetraduitparunmomentdersistanceau

roulementNAquis'ajoutel'ventuellecomposanteLA-

D'aprslechapitre35,onpeutnoter:

1 NA==:t i5. YA

NA:momentdersistanceauroulement(N.mm).8 :coefficientdersistanceauroulement(mm):signeselonrepre.

YA: effortnormalauplan.

. La petitesurfacedecontactcontrarieparfrottementtoutetentativedepivotementautourde(A,.Ji).IlenrsulteunmomentdersistanceaupivotementMAquis'ajouteauxautrescomposantes.D'aprslechapitre33,onpeutnoter:

MA ==:t 7) . YA

MA:momentdersistanceaupivotement(N.mm).

1] :coefficientdersistanceaupivotement(mm):signeselonrepre.

YA: effortnormalauplan(N).

. Voirexercice 35.3.

SPHRIQUE (OU ROTULE) RELLE

Z

ZA'Z

XA.X LA,X

2

AxedeIJvotement

LINAIRE RECTILIGNE RELLE- iY

x

z

FORCE TRANSMISSIBLE

Tendanceauglissementde1/2

r A2/1

}(A2/1) =\'#A2/1 (X.Y,z)A (XA2/1

)avec A2/1 YA2/1

ZA2/1

XA =IITII. cos e=IIA2/111.sina. cose

YA=IINII =IIA2/111.cos a

ZA =IITII.sin e =IIA2/111.sin a. sine

e =constante;a ~qJ: angledefrottement

MOMENT TRANSMISSIBLE

{

A2/1

}(A2/1 ) = '#A2/1

avec

- LA (Chap.7)'#A2/11 MA = 7) . YA

NA =8 . YA

12.9 Liaisonsphre-cylindre*relleSi lasurfacedecontactserduisaituneligne,lapressionp =FISdeviendraitinfinie.Lesmatriauxsedformentetlecontactapparatselonunebandecirculairedefaiblelargeur.

12.91ForcestransmissiblesDanslecasd'unfrottementnonngligeable,toutetentativede

glissementselonl'axe(A,x) engendreunersistancepassive

(voirchapitre32):

. dirigeselonl'axe(A,x) delaliaison;

. orientedanslesenscontraireduglissement(oudesa

tentative).

EXEMPLES:

Segmentdepistondanssoncylindre;joint lvresurarbreentranslation.

12.92MomentstransmissiblesLapetitesurfaceannulairedecontactcontrarielestroismou-vementsderotationpossibles.Il enrsultetroismomentsrsistants.

REMARQUES:

. Larotationautourdel'axedelaliaison(A,x) surlerepre

localchoisiici)peutavoiruneamplitudequelconque.

LemomentLA' xdpenddel'effortnormalN:1LAI ~ N. r. tanop

tantquen; =1LAI = N. r. tan'P

quandn1/2if'

. Cetteliaisonnepeuttolrerquedefaiblesoscillationsautour

desaxes(A,y) et(A,7).

LesmomentsMAetNAdoiventresterngligeables;

sinon,il convientdemodliserla liaisonrelleselon

1uneliaisonpivotglissant.

. La lignedetreuilschmatiseci-contrefaitl'objetd'une

modlisation 55.14.

Leroulementsupportantleschargesaxialesetradialespeuttre

modlisparuneliaisonrotule;celuiquinesupportequ'une

chargeradiale(nonarrtaxialementseramodlisselonune

liaisonsphre-cylindre).Cen'estvalablequesilejeuderotulage

dechaqueroulementestcompatibleaveclesdformationssous

chargeetlesdfautsd'alignementdespaliers..Oulinaireannulaire.

43

LIAISON ANNULAIRE RELLE

2 ~x

1

Surfacede contact

z

y

FORCE TRANSMISSIBLE

2 -x Tendanceaumouvementde 1/2

A2I1ZA~

~ 1//-~ zN

1 \ J A2/1\ - - - -\A 2/1J = \

-J

avec A2/1 = XA .x + YA .Y + ZA .Z;fiA2/1

Relations: YA.y+ZA.Z=N

1 XA 1 =IlNII.tanaa ~ (jJ (angle de frottement)

MOMENT TRANSMISSIBLE

2

J A2/1

}(A 2/1)= \;fiA2/1ANA'Z

=~!)--+-

r Z

avec

- LA;fiA2/1 1 MA = 0

NA = 0

LIGNE DE TREUIL

4 1

Charges:

+~

mm

~Radiales seules

+Sphre-cylindre

44

12.10 Liaisonsphre-plan*relleSilecontacts'effectuaitrellementselonunpoint,lemoindreefforttransmisengendreraitunepressioninfinie(p=FIS)incompatibleaveclarsistancedesmatriaux.Enfait,ellenedoitpasdpasserunevaleurlimitedite"pressiondeHertzetlecontactadoncunepetitetendue.

12.101 Forcetransmissible

Danslecasd'unfrottementnonngligeable,toutetentativedeglissement,selonunedirection,engendreunersistancepassive(voirchapitre32):

. dirigedansleplantangent(A, x,:V) auxsurfacesencontact;

. s'opposantauglissementou latentativedeglissement

dansleplan(A,x,:v).Il estjudicieuxd'orienterlereprelocaldefaon ce

qu'undeuximeaxedsignelatendanceaumouvement

(exemple:A,y).

12.102 Momentstransmissibles

. Lapetitesurfacedecontactcontrarielesrotationsautourdesdeuxaxesdeson.plan.Toutetentativederotationautourde

l'undecesaxessetraduitparunmomentdersistanceauroulement(chapitre35).

Lemomentdersistanceauroulements'opposetoutetenta-tivederoulement.Ilestgalauproduitdel'effortnormalpar.lecoefficient8dersistanceauroulement(exprimenmtres).

. Lapetitesurfacedecontactcontrarie,parfrottement,toutetentativedepivotementautourdel'axenormal.Il enrsulteun

momentdersistanceaupivotementproportionnell'effortnormal(chapitre33).

Lemomentdersistanceaupivotements'opposetoutetenta-

tivedepivotement.Il estgalauproduitdel'effortnormalpar

lecoefficientTfdersistanceaupivotement(exprimenmtres).

EXEMPLE:

Laboule1roulesansglissersur2deAversB.

Onremarqueque:

YA=- ZA'tana aveca

45

13ActionsmcaniquesdistanceCesontdesactionsmcaniquesquiagissentdirectementsurlecorpsquel'onisole,sansaucuncontactmatriel.

POIDS D'UN CORPS (PESANTEUR)

$

z: verticale ascendante

g: acclrationde la pesanteur

SurchaquelmentdematiredemassemientourantlepointAi,

lapesanteurcreuneforcePi appelepoidslmentairetelleque: ~ -'> ~

Pi = mi . 9 = -mi. 9 .ZPourl'ensembleducorps,lepoidssereprsenteparletorseur-poids

quis'exprimesimplementaucentredegravitG(voirchapitre14).

{ } {;\ -'> -'> -'>

6 Tp =6 /avecP=M.g=-M.g.z

IlPIl= p :poidsducorps,ennewtons(N).M :masseducorps(kg).

ICgIl=9 :acclrationdelapesanteur(mis2).Saufindicationcontraire,choisir:

-ugll=Oz 10m/s2pourunsolide.(Calculsimprcis causedesfrottementsincertains.)

- 0z 9,81 mIs2 pourunlIuide.(Frottemenfsfrsfaibles.)

titreindicatif,g", 9,73mis2 auxples,9,78mis2 l'quateur,9,81mis2 Paris.

EXEMPLES DE CALCUL:

. Solidehomognede massevolumiquep v= 7,2kg/dm3,devolumeV=10dm3:p=pv' V.g",7,2x 10x 10=720N.

- ProfilIPN100demasseliniquePt =8,32kg/m(52.523),delongueurL=8m:P=Pt.L.g=8,32x 8x 10=666N.

titred'exemples,onpeutciter:

- l'attractionterrestre(pesanteur),

- lesactionsmagntiquesetlectromagntiques.

ACTIONS LECTROMAGNTIQUES

Moteurlectriqlle

0

Au cours du fonctionnement,lestatorexercesur lerotordes actionsmcaniques(A i,T,) ; elles serduisent un "torseurcouple" :

(C1/d=(0 C1/dox- - - - -REMARQUE: 1:fi =0 et C1/2=1:;ffOx(A i, fi)

lectro-aimant

$1

y~

0z

N1 N2

e=O

LaforceF exercerpour dcollerl'armatureA desnoyauxN1 et N21orsquee =0 peuttremodlise

par le glisseur(OZ F) ou letorseur { ~}0 0 (X,y.z)

avecIlFil =--L SB22J.lo

F(N)$=S1+ S2(m2)8 enteslas110=4n.10-7

46

14BarycentreCentredegravit

14.1 BarycentreLebarycentreden pointsA1'A2'... A;, ... An' affects

respectivementdescoefficientsa1' a2, ... a; ... an' est

unpointGtelque:---7 ---7 ---> ->

a1.0A1 +a2.0A2+. .+a;.OA;+...an.OAn

= (a1 + a2..+ a; +...+an) DGREMARQUES:

. Sousformesymbolique,oncrit:

1:n;=1(a;. OA] = (1:a;). DG

. 0 reprsenteun pointarbitraire,communauxpointeurs~et DG.

. Onpeutexploitercetterelationgraphiquementoualgbri-

quement,surunrepre.

. Pourunensemble(E)continudepoints,larelations'crit

svmboliquement:

f' OP. da = (

/"da) . DG

, (El '

14.2 Centre de gravitLebarycentreden pointsaffectsdecoefficientsproportionnels

auxmassesassociescespoints,sedsignepar"uncentrede

gravitdesn points.

REMARQUES:

. Pourunestructure(5) continue,constituedepointsPaux-quelsonassociedesmasseslmentairesdm,lecentredegravitGsedduitd'unpoint0connu,partirdelarelation:

r OP.dm=M.DG)(S)

o M=r dm)(S)

. Pourunestructure(5)discrte(constituedeblocsspa-rs),onconsidrelesmassesmiassociesauxdiverspoints

A i etl'ondterminelecentredegravitdel'ensemble.partirdelarelation:

[ };(mi' 01;) =M. DG o M =};miLespointsA; correspondentauxcentresdegravitdechaqueblocdelastructure.

BARYCENTRE DE TROIS POINTS

Donnes

A2 t"- --(-2) 1

11111

y

- - - - Ad1)11

.- 1 A- - - 1 - T 3 (-1)

ai 1 1 1 1 x

Relation

(1).0 A1+(-2) . 0A2+(-1). 0A3=(1- 2- 1). 0GSoit:

0A1- 20A2- 0A3=-20 G

Construction

---7 ---7. Porter(Da) =OA1; (ab) =- 2 OA2;(bc)=-%

. Connaissant (Oc) =- 2iiiJ,on dduit G

x

b

Calcul

Onrelveles coordonnesdes points:

1.W - 2.(-:) - m = - 2.(~:)D'o

4 + 6 - 5 - - 2 5 mmX G= -,- 2

4-10-1_ + 35mmY _,G=- 2

14.3

47

Barrerectilignesectionconstante

CENTRE DE GRAVIT G DES SOLIDES HOMOGNES USUELS

plaqueenparaHlogrammed'paisseUrcllnslantePlaquetriangulaired'paisseurconstante

B

AG =2/3. AIC~ 1 BG=2/3.BJ

G : pointdeconcoursdesmdianes

Plaquehomogned'paisseurconstante

G : point de concours des diaJonales

JAB= bDC = a

.c AI = IB

D ft'/ J/ -

48

14.4 Dterminationducentredegravit

14.41ConsidrationsgnralesSi lesolide(5) peutsepartagerenn solidesnots(Si),gomtriquementsimples,demassesmietdecentredegravitAiconnus,lecentredegravitGde(5)sedterminepartirdelarelation:

1 2:7=1(m;. ii.4;)=(2:7=1m;L DG

EXEMPLE:

m1.~ +m2.02-m3.OF(m1+m2-m3). Cf;

REMARQUES:

. Onpeututi1iserdescoefficientsproportionnelsauxpoids:

1:7=1(p;. ~)=(1:7=1p;) . DG 1

. Pourunsolidehomogne,lescoefficientssontproportion-nelsauxvolumes:

1:7=1(v;. ~)=(1:7=1v;) . DG

. Sideplus,l'paisseurestconstante,onpeututiliserlessurfaces:

1:7=1(5;. ~)=(1:7=15;) . DG

. Sideplus,lasectionestconstante,onpeututiliserdescoef-ficientsproportionnelsauxlongueurs:

1:7=1(ti .O;)=(1:7=1ti) . DG

Larechercheducentredegravitsetrouvefacilitedansdenombreuxcas:

Quandunsolide(S) homogneprsente:

. unplandesymtrie,ou

. unaxedesymtrie,ou

. uncentredesymtrie,

alors,soncentredegravitGsesitue,respectivement:

. dansleplandesymtrie,ou

. surl'axedesymtrie,ou

. surlecentredesymtrie.

MTHODE GNRALE (AUCUNE SYMTRIE)

Centrede gravitde (51)Centrede gravit

de (52)Centrede gravit

de (53)~

OF /1 v Trou

m1' OA1 +m2' OA2-m3' OA3 = (m1+m2-m3)' OG

P1 . OA1+P2 . OA; - P3 . OA3= (P1 + P2 - P3) .00V1 .OA1+ V2 .OA2 - V3 .OA3 = (V1 + V2 - V3) .00

52

ENSEMBLE D'PAISSEUR CONSTANTE

Centrede gravitde (51)

Centrede gravitde (52)

Centrede gravit

de (53)

~0' /1 v Trou

81 .OA 1 + 82 .OA 2 - 83 .OA 3 = (81 + 82 - 83) .OGG se situedans le plande symtrie

52

ENSEMBLE DE SECTION CONSTANTE

Section constante

t~.OA1+t2 . OA~ =(t1 + t2). QGG se situe dans le plan de symtrie

SYMTRIES DIVERSES EXAMINER

Plans de symtrie

14.42 CalculdirectL'ensembledel'exempleci-contreestconstitupar:

. unsocleparallpipdique120x 120x 50demassem1=20kgavantperage;

. uncubede50dect,demassem2=10kg;

. untrouaretir7,85kgausocle.

Partantdelarelationvectorielle,onexprimechaquebi-point

parsescoordonnesdanslerepre(0,x, J, z)quel'onchoi-sit.Onobtient(prsentationpratique):

20x(~~)+10x (~~)-7,85X(~~)=22'15(J~)*

Onobtient:

X =20X60+10X95-7,85X60=758mmG 22,15 '

Y =20x60+10X25-7,85X80=371mmG 22,15 '

Z =20x25+10x75-7,85x25 =476mmG 22,15 '

14.43 MthodegraphiqueVoirci-contre.

14.44 MthodeinformatiqueDeslogicielsspcifiquesdterminentdirectementlapositiondes

centresdegravit:2Dpourlessolideshomognesd'pais-

seurconstanteet3Dpourlesautres.

* Prsentationpratique(725) **Voirbi-points(71.1)

Exemple

0l{)

videment(-7,83 kg)

Relationvectorielle

49

0yy

0'

x

m1.~+m2.~- m3.0fG=(m1+m2- m3).DGSoit:20.~ +10.~-7,85. 0fG=22,15.DG

Trac(mthodegraphiqUe)

. Choixd'unechelle:2.~+1.~-0,78.0fG=2,21.DG. Onportesuccessivement:

~ ~

(01)**=2.031 ; (12)=1.032. (23)=-0,8.033C> C> C>

(01') =2.031' ; (1'2')=1.032' ; (2'3')=-0,8.033'

. Ontracelasommevectoriellesurchaqueprojection:

(01)+(12)+(23)= (03)=2,21.(0g)(01')+(1'2')+(2'3')=(0'3')=2,21.(Og')

. Endivisant(Qg) et (Og') par2,21,ondtermineg etg',

projectionsdeG.

2'

y

x

2

, 50 mmEchelle: ----

Rsultats

XG = Og .x = 76 mmyG = Og .y = 37 mmZG = Og .Z = 48 mm

14.45 PROGRAMMATION DU CALCULCommentaires CommandesenBASIC

NombreNdecentresdegravit. 10INPUTN

Dimensionsdestableaux. 20DlMX(N),YIN),Z(N),C(N)

Entredescoordonnesde 30FOR/=1TONchaquecentredegravit 40INPUTX(I)l'aided'uneboucleetcoeffi- 50INPUTY(1)cientCassoci. 60INPUTZ (1)

70INPUTC (1)

Calculdupremiermembrede 80NX=NX+C(I) *X(I)larelationdubarycentre 90NY=NY+C (1)* y (1)(NX,NY,NZ)etdelasomme 100NZ=NZ+C(I)*Z (1)Cdescoefficients. 110C=C+C(1)

Findelan;.m.boucle. 120NEXT/

CalculdescoordonnesdeG. 130X=NX/C;y=NY/C;Z=NZ/C

Sortiedesrsultats. 140PRINT..Coordonnes:"X="; X; "Y =";Y; "Z="; Z

15.1 Poutresectionconstante 1 \ 1~ ~o\ [ 0 II-

II\A2/1J= \A2/1 J=\(5/16)FLestorseurssedduisentdesexpressionsdonnesdanslesformu- A A A 0laires(chapitre53). 0

MTHODE: 8(83/1)=8(83/1#83/1)=[\(11/16)IIFII

1 Flche H Efforts 11 Torseurtransmissible 1 8 015.2 POUTRES SECTION PLANE OU VARIABLE, EN FLEXION PLANE

Oh1 ,01 ~O /A!fj 1- =L B-h-x ~ :- xJ ,or" .c: A B 2h/3 AZ/1 Arcdecerclel fict;""efM y , L.. y l 1z/~"'L ""'.,,,,".'.,"'" , , F - zJ ~- b . , flec~e fM - Z~, "

~-7- ~x AFE--~JXAf8SIIFII=F=E.b.h3.fM~fM= 6F.;3 IIFII=F=n.E.b.h3.fM=-fM=6F.I'3

61'3 E.b.h3 61'3 n.E.b.h3

50

15Solidesdformables

Ilssontdfinisau 1.2.

Onlesutilise,engnral,dansleurdomainelastique:lacontrain-

tenedpassepasalorsla limited'lasticitetleseffortsrestent

sensiblementproportionnelsauxdformations

EXEMPLE:

Chargeconcentreaumilieud'unepoutreenappuisimpleenA,encastreenB.

Lestorseursauxappuiss'crivent:

0\~f

- (3/~6)IIFIIt}

..' F hx

//nBI~

flchefM

x

~"

{

0. O.

}

- - [0. 0.\- - f 0. 0.}

IfAO/1') = -F 0. .. )AO/1J~(Ao/1 IfAO/1)=\--F 0. ","f )Ao/1) =)AO/1Ifj\O/1)=,, \-F o.. ..A0-El' A0-F.I' A0.-F.I'RESSORTS DE FLEXION ENROULS15.3

y

Aprs une rotationrelativede"8rad des fixationsautourde (A, z) , le momentIf devient:

~ 0= If.!' 1 If= E.b.h3 .f!..E.la{3 12

. momentquadratiqueselona j3;autresnotations 15.4t =longueurdveloppe;/a{3

15.4

51

Barresdetorsion

RESSORTS DE TORSION ET TORSION-COMPRESSION (G.D. 46)

Coniques,envolute

y Y

~/ A B_Lf / ;tfDe traction

z

0d

Positionquand!f =0

Position quand 71;:0

00

Un moment71appliqusur l'axede la barrede torsion engendreune rotationrelativeex(rad)desextrmits

Cylindriques

De compression sectioncirculaire

sectionrectangulaire

1z@y F=O-_.~F! 1; @z F= 0A......- --t-y

F=O

......-Fil Flchef;

~'I.AF AtF00 b

..c: AtF000d

F Gb3h2

K=Gd4/(4n02) IK= V2n02(b2+h2)

aVec

~ -::-. JO-!fl= (A1I1 !fA1/1) = \

0 oJ

"

A A 0 0ex

!f = G .-;;- .la

fF 0,\I A~ ), I A- ff7\ 0 0\ 1/1 = \ 1/1/'fA1/1J= \.JA A 0 0Aavec F =f. G .d4/(8. n. 03)

NOTATIONS:

G :moduled'lasticittransversal(deCoulomb),enMPa.

a :dformationangulaire,enrad.

t : longueurduressort,enmm.

la :momentquadratiquepolairedelasection,enmm4.

15. 5 CourroiesplatesL'entranementn'estpossiblequ'partird'unetensiondeposeTa.

Enfonctionnement,lebrintendusupporteuneffortdetractionTetlebrinmou,unautreeffortdetractiont telsque:

T+t=2To T=t.e/L.a IL:facteurd'adhrence(1':arcd'enroulement

exprimenrad

Il enrsulteuncouplemoteurCmetrsistantCr:

Cm=(T-t).r C,=(T-t).R

) A1/1j ~(A1/~

1 :flche,enmm.

d :diamtredufil,enmm.

D :diamtred'enroulement,enmm.

n :nombredespiresutiles

COURROIES PLATES

= 2 Ta = 2 Ta

lE --. Brint mou

= 2 Ta = 2 Ta

Arrt Marche

52

16Actiond'unfluidestatique

Lesparticulesd'unfluidesecomportentcommeunemultitude

depetitessphresentrantencontactaveclaparoi.

L'actiond'uneparticuledefluideimmobile,suruneparoiest

toujoursmodlisablepardespointeurs(M,A f) perpendicu-

lairescetteparoi.

Forcelrnenta,ireduelapression~ -> -+

t'1f=p.t'1S=p.t'1S. n

p .pressionaupointconsidr,(PaouN/m2).

7 . normaleunitaireverslamatire.

16.1 FluidelibresurparoiverticalehauteLapousseeffectived'unfluidedontlasurfaceest lamme

pressionquel'extrieurdelaparoi(pressionambiantePamb)est

modlisablepar.

. unerpartitiontriangulairedesefforts;

. untorseur:{effortseffectifssurparoi}= '\I\, ,;o-;. ~

-+ 2 ~ 1 0 (X,y,l)avec F=pv. g. t. h 12. Y

---> 2 ~01=~. h . x3

1s'appellecentredepousse.

EXEMPLE:

Dterminerlapousseexercepardel'eausurlaparoiverticaled'unecuvecielouvert

Largeurdelaparoit =6m;hauteurd'eauh=9m.

Larsultante(J, 'F) estdfiniepar.

I= XI. XavecX/=2. x 9 = 6m.3

Oncalculeensuite11111;pv=103kg1m3; g=9,81ml S2

t= 6meth=9m:]IFII= 2,38 x 106N=2,38MN.

L'actiondel'eauestdoncmodlisableparletorseur.

12,38~106 ~\,\ 0 olcty,zJ

Particule vitessenulle

Force de pressionperpendiculaire la paroi

_dS= t.dx(m2}

y

-C::

IPambl(Pressionambiante)

x

y IPambl

-C::-+ h2 -F= p.g.t. -.y

2

Ceritrede poussex

16.2 FluidesouspressionsurparoiverticalehauteLapousseeffectived'unfluide,soumissursasurfacelibreunepressionsuprieurecellequiagitsurl'extrieurdel'enceinte,exercesurlaparoiverticaledecetteenceinte,desactionsmcaniquesmodlisablespar:

. unerpartitiontrapzodale;

. untorseur{F}1avec:

F=t. h.(Pamb+p.g.h/2)y;t=3Pamb+2p.g.h .h.x6pamb+3p.g.h

APPLICATION:

Soitdterminerlapousseexerceparl'eausuruneparoide

cuveclose.

Surlasurfacedel'eau,ungazcomprimexerceunepression

Pamb=5bar.

Calculerlapoussedel'eausurlaparoietdfinirlapositiondu

centredepousse1.

SOLUTION:

Il suffitd'effectuerl'applicationnumriqueavec:

t=6m;h=9m;Pamb=5x 105Pa;p=103kg/m3;g=9,81m/s2

Ilvient:

F=F.y=29,4X106N=29,4MN; OI=I.x=4,62m;

Soitletorseuren1:

f 0 7 0\,{Feau/paroi}= 2,94x 10 Of,\ 0 0

16.3 Fluidesurparoiverticaledefaiblehauteur

Pouruneparoiverticaleinfrieure 5 m,onnecommetpas

d'erreurimportante 5%pourl'eauoul'huile)enadmettantquelefluideexercedeseffortsmodlisablespar:

. une,rpartitionuniforme;

{-> ->\ [F=Pamb .S.y. untorseurFOI o --> ->/ 01=h / 2 .xS reprsentelasurfacemouilleeth,sahauteur.

53

PAROI VERTICALE HAUTE

..c: ..c:

0>0>Q..Q..C'I C')+ +-" -"E E'" '"

QQC') cD

..c:

Patm

Pamb0

~ y

x

h dF=Pe .dS .ydX4

sJ/

largeur/'-x

Centrede pousse

PAROI VERTICALE DE FAIBLE HAUTEUR

y

02

Pamb0 Centrede pousse

h2

h1

Pamb0

\ ----"------+-y

- x1

h dF=Pamb' dS.t--dxU

Rpartitionuniforme

=pressionx uniforme

54

16.4 PoussesurunesurfacequelconqueLaforceF,engendredansunedirectiondonneparunepression

p agissantsurunesurface,estgaleauproduitdecettepression

parlavaleurdelasurfaceprojetesurunplanperpendiculairecettedirection.

F=p. S avecp(MPa)S(mm2)F(N)

EXEMPLE1:Poussesurunetigedevrin

. Donnes:0 d= 50mm;p = 5bars= 0,5N/mm2.

. Calculs:Forceaxialesurlepistonlilatige:F= p.5.Avecp=0,5N/mm2,5 =n X 252mm2,oncalcule:

F=982N.

Letorseurassocicettepousses'crit:

1

+982 0

),(Ffluide/lige)= 0 0

,0 0 (x,;,l)

EXEMPLE2:Poussesurunpistonoblique

. Donnes:Formesdupistonetvaleursdessurfacesprojetes

surlesplansperpendiculairesauxaxes(0,x) et(0,/).

. Problme:Calculerlarsultantedeseffortsexercsparle

gazsurlepistonsachantquelapressioneffectivevaut:

p=6,1MPa.

. Solution:Laforceexerceparlegazsurlepistonvaut:

Selon(0,x) :

XF=p,Sx avecp=6,1N/mm2

5x=4,86X 102mm2.DoncXF=2965N(soitXF=2,97kN).

selon(0,z) :

h=p.5z avecp=6,1N/mm2

5z=503mm2.DoncZF=3068N(soitZF=3,O7kN).

POUSSE SUR UNE TIGE DE VRIN

Fond Piston

y + x -+ ~ 0z

Axe de symtrie

Surface relle Surface projete

a:NlS)Il

l:JlS)

-d2-F=JT:-px-4 x

1 .. 1 .. .1- 2-

F=JT:R px

POUSSE SUR UN PISTON

Axe du cylindre

Cylindre(transparent)

Gaz (pressionp)

SurfaceS

Piston

Surface projeteSx =486 mm2

Surface projeteSz =503 mm2

17Actiondelapressionambiante

Lapressionambiante,Pamb,engendredeseffortssurtoutes

lessurfacesdecorpsqu'ellebaigne.

Onpeutlesreprsenterpardesforcesuniformmentrparties,

perpendiculairescessurfaces.Deuxcasseprsentent:

l'pl'essionmtiial1te

agittoutautourducorps

le torseurreprsentantl'effortrsultantestnul: il

n'estpasindispensablederecensercesforces.

EXEMPLE:

. Solidesencontactpardessurfacesrugueuses:l'airpasseentrelesdeuxsolides(6.4).. Solidesreposantsurunfluide(64.5).

la pressionambianten'agit

pastoutautourducorps

le torseurreprsentantl'ef-

fortrsultantn'estpasnul:

il fauttenircomptedecette

pressionambiante.EXEMPLE:

. Solidesencontactpardessurfacesmiroirentrelesquellesonachasstoute

traced'air(cales-talon).

. Clapets,pistonsetautres

dispositifshydrauliques.

EXEMPLE1 :cales-talon

Aprsavoirchassl'aird'entrelesdeuxsurfacesmiroirsencontact,lapressionatmosphriquen'agitplusquesurlafaceextrieure.Poursparerlesdeuxpicespararrachement,ilfautexerceruneffortF:

F>Fp

EXEMPLE2: tube dentifrice

Phase1 :enrduisantlevolumepardformationdel'embout,

laptedentifricenepeutquesortir.

Phase2 :enrelachantl'embout,celui-cireprendsaformeini-

tiale,augmentantlevolumeinterne,cequicreunedpression.

Lapressionatmosphriquequiengendresurlepistonuneforce

F'dplacealorscelui-civerslehautdutubetandisquelapte,

tropvisqueuse,secomportecommeunbouchon

REMARQUE:

Lorsd'unisolementdecorps(chapitre20),il estprudent

derflchirauxeffetsde lapressionambiantedsquel'on

recenselesactionsdecontact.Lesrsultatsduchapitre16

s'appliquentintgralement.

55

CORPS ENTOUR PAR LA PRESSION AMBIANTE

F1 =Pamb'81 . F'1X=Pamb'8'1 . cos a =F1

)

F3=Pamb.83' F'1y=Pamb'~'1.sina:=F3 =>(0)

F2=Pamb.82' F'2 =Pamb.8'2 =F2

CALES - TALONCale-talon40x 10 x 5

LY - Ma,b,.~.... ' ... -

fR (.

a

,

c

..~.tion",d

..

U

...

marbre)

.".. 'F"""'" .-,g--,. Surface8

"""1 ' dC'Z"'~

~ ~ ~ Fp (action de Pamb)F1 + F2 = 0

Il Fpll =Pamb' 8

SiPamb=Patm=0,1N/mm2 et 8=4cm2:IIFpll=4ON

NB : Poids ngligeable:P"" 10x 7,2x 0,4x 0,1x 0,05=0,144N

TUBE DE PTE DENTIFRICE

Emboutdformable

Pamb=Patm=1,013X105Pa"" 0,1 N/mm2

F' =0,1 x TrX 202"" 125N

Pte

Piston anti-recul

56

18Actiond'unfluideenmouvement

18.1 FluideparfaitCecasconcernelesliquidesnonvisqueuxetlesgaz.

Lefrottementdesmolculesentreellesetsurlesparoispeuttre

nglig:identiqueunfluidestatique.

Un lIuideparfait,en mouvementcontreuneparoi,

exercedesactionsmcaniqueslmentairesmodli-

sablespardespointeursperpendiculairescetteparoi.

18.2 FluidevisqueuxChaqueparticuleexercesurlaparoiuneactiontangentiellepro-portionnelle laviscosit,lavaleurdelasurfacedecontact,lavitesse(voir65.2)etcomparablecelledeauxfrottementsentresolides.

Cefrottements'accompagnedoncd'uneperted'nergie(voirchapitre67- pertesdecharges).

REMARQUE:

Lefacteurdefrottemententreparticulesdefluidesetaveclesparois,esttoujoursnettementinfrieurceluidessolidesentreeux.

UnlIuidevisqueux,enmouvementcontreuneparoi,

exerce contre celle-ci des actions mcaniques

lmentairesmodlisablespar des pointeursnon

perpendiculairescetteparoi.

18.3TraneC'estlarsultanteR del'effortexercparlefluidesurlecorps,enmouvementsrelatifs:

R=O,5.Cx.p.S.V2

R :trane(N); Cx:facteurdetrane;p :massevolumiquedufluide(kg/m3):S :matrecoupleducorps(m2); V :vitesserelative(mis).

EXEMPLE:

Unvhicule(Cx=0,3; S =2,4m2)sedplaantdansl'air

(p=1,22kg/m3)90kmlhsubit:

(90)

2

R=0,5x 0,3x 1,22x 2,4x 3,6 =274N

FLUIDE PARFAIT EN MOUVEMENT

~~ Vitesse des

~ particules~

=f / :;:';o:~:~:~ressionperpendiculaire la paroi

Vapeurd'eau:vitessedesparticules

dsordonne

Effortsperpendiculairesaux paroiset la surface libredu liquide(eau)

FLUIDE VISQUEUX EN MOUVEMENT

t:.N

Vitesse des

particules1 Liquide 1

t:.T - - -M=t:.T + t:.N

M n'est plus perpendi-culaire la paroi

v '\-t:.T

-;t:.N

TRANE RMatre-coupleS (m2)

~((@~V (m/s)

~~

~~

V (m/s)

FacteurdetraneCx- - -V~

lT

', FiV~

(l7.FiV~

O7.'...'"Fiv~

~

,."".".".....R ~

~..".R

~ ." --- 1 ~ '.,.,'. ~ --......--- ~ \ ~ ~ ". ~

1,5 0,35 0,81,4 1,05

19Notionsdethoriedesmcanismes

19.1 Dfinitions. McanismeC'estunassemblaged'lmentscapablesdetransformerl'ner-giemcanique(exemples:systmesbielle-manivelle,vis-crou,rducteur,etc.).Unmcanismepossdeaumoinsuneentreol'onappliquel'actionmotrice,et,aumoins,unesortierceptrice.

. loi entre-sortie

Ils'agitd'unerelationentrelesvariables(ouparamtres)d'entreetdesortie.

. GraphefonctionnelougraphedestructureIlreprsenteschmatiquementlemcanisme.

Chaquesous-ensembledesolidessansmouvementrelatif"apparatsousunseulrepre(voirchapitre20).Letraitcontinuquilesrelie,reprsenteuneliaison.

Legraphedestructurepermetdedistinguerlesboucles

delachanecinmatique(5.33).

. MobilitsutilesEllesjustifientlemcanisme.Parexemple,dansuneautomo-

bile,latranslationdupistonentranelarotationdelaroueaprs

embrayage;ledplacementdulevierdevitesseengendreceluid'unbaladeursitudanslabotedevitesse;larotationduvolant

permetd'orienterlesroues,etc.

Posonsmulenombredesmobilitsutiles.

. MobilitsinternesEllesn'interviennentpasdanslefonctionnementdumcanisme.Parexemple,l'axedupistonlereliantlabiellepeuttournersurlui-mme,toutcommeunebarrededirectionarticuleentredeuxrotulesoulepommeaudesleviersdevitessessursonlevier,...Posonsmilenombredemobilitsinternes.

. Isostatismeethyperstatisme

Lorsqu'onpeutdterminerlesactionsmcaniques l'aidedesseulesquationsdelastatique,onditquelesystmeestisostatique;sinononledithyperstatique.

57

MODLISATION D'UN RDUCTEUR

Carter0

Xo

Arbre d'entre Paramtred'entre: e1Paramtrede sortie: e2

L.

t . . e2 R101enree"sortle- =- -e1 R2

Arbre de sortie

CROQUIS D'UN SYSTME DE DIRECTION

Barred'accouplement Volant

Essieuavant

Barrede direction

Botierde direction

58

19.2 ModlesnormalissdesliaisonsPourchaqueliaisonmodlise(chapitres412):

. onconsidrelesmouvementspossibles(torseurcinmatique):

nc: nombred'inconnuescinmatiques

e : nombrede degrsde libert

Pouruneliaison

nc= e

. onconsidrelesactionsmcaniquestransmissibles(torseur

deseffortstransmissibles):

ns: nombred'inconnuesstatiques

de liaisons

Pouruneliaison

nc+ ns=6

REMARQUES:

. Lamodlisationsupposequelesjeux,frottements,masseset

dformationsrestentngligeables.

. Leseffortsdynamiquesdoiventpouvoirtrengligs

. Uneliaisonrellepeutrecevoirplusieursmodlisations.19.3 Degrd'hyperstatismePourunmcanismecomprenantaveclebtinsous-ensembles,

l'isolementdechacun,exceptle bti,conduit 6 (n -1)

quations.

L'ensembledesmobilitsprocuremurelationsindpendanteset

mi relationsnonsignificatives(dugenre0=0).

. Pourunmcanismeisostatique:6(n-1)- mu-mi=L ns

. Pourunmcanismehyperstatique:6(n-1)-mu-mi=Lns-hhreprsenteledegrd'hyperstatisme:

h =mu+mi+L'ns-6(n -1)

19.4 tudecinmatiquePourchaquebouclefermeindpendantedugraphedestructure,

onpeutcrireunerelationcinmatiquetelleVAEi/j~ .Celprocure6relationsalgbriques,dansl'espace.

Comptetenudesmobilitsm,onpeutcrire:

. pourunmcanismeisostatique:ne- 6~ m

. pourunmcanismehyperstatique:nc- 6~ m- hh = m - nc + 6 (boucleparboucle)

19.5 NombrecydomatiqueyIl indiquelenombredebouclesfermesindpendantesdans

l'liaisons: 1 y= t-n+1 1

MODLISATIONS SELON LES HYPOTHSES

RouleauxembarreursSNR

MODLISATION GLOBALE

~kXT

fXA 0 \(A1/2)=\YA MA fZA NAm;=O mu=1

1 h =1+0 +5- 6 x (2- 1)=0 1

~L12: liaisonpivotne=e =1(rotationI(A,x)ns=5

f(J)x 0 \(62/1 )= \ ~ ~ f

MODLISATION 1

L1

~~Les deux roulementscontrarientla libredformationde l'arbre(1).L1 : pivot (ns=5) L2: pivotglissant(ns=4)

1 h =1+(5+4)- 6 x (2- 1)=41Dans deux plans perpendiculairesse coupantselonA1 A2' il fautvrifier:. le paralllisme des axes de roulements,. leuralignement(coaxialit).

MODLISATION 2

L'1

~~Les deux roulementstolrentla libredformationde l'arbre(1).On obtienth =O.

19.6-19.61

EXEMPLE D'APPLICATION

PLAN D'ENSEMBLE D'UNE SCIE SAUTEUSE

B-B

~

19.62 SCHMA CINMATIQUE MINIMAL (SCHMA W 1)

(1)={1,2,9,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26}(3)={3,4,5,11,12} (7) (6)(6)={6}(7)={7,8,10,13,14}

D'olegraphedestructure:

y =t- n+ 1 =5- 4 +1=2

19.63 ANALYSE 1DESLIAISONS

(Schman 1)

A1-3:pivotglissant(ns=4)

81-7:pivotglissant(ns=4)

C3-6:pivotglissant(ns=4)

D3-7: appui-plan(ns=3)

E6-7: appui-plan(ns=3)

mu=1 (positionde7 seloncellede1)

mi =1 (translationde6/3)

h=1+1+(4+4 +4 +3+3+1)- 6 (4-1) =2

(3) (1)

eT

Bill ~19.64ANALYSE2DESLIAISONS

(Schman 2)

A1-3:pivotglissant(ns=4)

81-7:pivotglissant(ns=4)

C3-6: sphre-cylindre(ns=2)

D3-7:linairerectiligne(ns=2)

E6-7: appui-plan(ns=3)

mu=1 (positionde7 seloncellede1)

mi =2 (translationetpivotementde6/3)

h=1+2+(4+4+2+2+3) - 6 (4-1) =0

59

SCHMA W 2

A

~Il rsultede l'analyse2Vrifions l'isostatismesur

chaqueboucleferme:

A

Pour A1-3 : ne=281-7 : ne=2C3-6 : ne=4E6-7 : ne=3D3-7 : supprime

Mobilits:m=5.

(unerotationetunetranslationde1 etde6 ; unetranslation

de7)h=5- (2+2+4+3)+6=0

Pour A1-3 : ne=281-7 : ne=2D3-7 : ne=4

Mobilits:m=2.

(unerotationetunetranslation

de7)h=2-(2+2+4)+6=OMODLISATION ISOSTATIQUE

60

19.7Naturedu Anglederoulement rotulage

. unerangedebillescontactradial

",;tDli!1itiondurotulage

ex,max'"10'

~r=:

Lerotulaged'unroulementestla capacitd'oscillationd'une

bagueparrapport l'autreautourd'unaxeperpendiculaire l'axederotation(A, x) duroulement,sanstransmettrede

moment l'arlJ,re.Si lX>lX,max'unmoment;/(zapparat.Onditaussidversementd'unroulement.

Naturedllralliement

. doublerangedebilles

~. rouleauxcylindriques

~B-*Voir dfinition de ce ferme 19.1.

Anglederotlltage

ex,max'"00

lX, max'" 2'6'

MODLISATION DE MONTAGES TYPES DE ROULEMENTS

Montagederoulements

Exempledemontage

Deuxroulements une rangede billes contactradial

Hypothses

. Contactaxialsurleroulementdedroite.

. Anglederotulagedechaqueroulementinfrieurl'anglederotulagemaximaladmissible.

Exempledemontage

Un roulementdeux rangesde billesetun roulement rouleauxcylindriques

--

(2) (1)

Hypothses

. Leroulementdoublerangedebillesdegaucheraliselepositionnementaxialdel'arbre2parrapportaucarter1.(Rotulagenul.)

. Leroulementrouleauxcylindriquesdedroiteneraliseaucunpositionnementaxialde2/1.

. Sonanglederotulageestinfrieurl'anglemaxderotulage:ex,max~ 2' 6'.

**(1)ef(2)sontdeuxclassesd'quivalence.

Modlisationproposeenfonctiondeshypothses

Graphedesliaisons

A1-2

~81-2: liaisonrotule(effortsde la droitevers la gauche

" 1seulement).A1-2: liaisonsphre-cylindre.

Schmaclnmatiqlle

Les liaisons en parallleA1-2et 81-2ralisentuneliaisonpivot 1-2isostatique*.

Graphedesliaisons

A1-2

~81-2

A1-2: liaisonpivot.81-2: liaisonsphre-cylindre.

Schmacinmatique

A 1 y (2) x~

Les liaisons en parallleA1-2et 81-2ralisentuneliaisonpivot 1-2hyperstatique*.

Natureduroulement

Anglederotulage

. deuxrangesdebilles(ourouleaux)rotule 1 billes

/iF}. Buterotulesurrouleaux

lXrmax

~1,5 3

rouleaux

lXrmax~ 12,5

~ 1 ~ ~:;x3

. Butebilles(ouaiguilles)=~. Roulementrouleauxcylindriques

~B=:, D'aprssn.

lXrmax~ 0

lXrmax

~ 2' 6'

Montagede roulements

Exempledemontage*

Une bute rotuleet un roulement deux rangesde rouleaux rotule

(2)

(1)

Hypothses

. Labuterotuleassureuncentragedel'arbre2parrapportaupalier1etunpositionnementaxialde2/1.. Leroulementrotuleassureuncentragede2/1etn'assurepasdepositionnementaxial.. L'anglederotulageestinfrieur1,5.

Exempledemontage*

Deux roulements rouleauxet une bute simple effet

rouleauxcylindriques

~ + I-A 8 C

(1)

Hypothses

. Lesroulementsrouleauxcylindriquesassurentuncentragede1/2.Celuidedroite,enC,n'assurepasdepositionnementaxial.

. L'anglederotulagedesdeuxroulementsestinfrieur2'(valeurmaximaledurotulage): roulementsrapprochs,bienaligns.

. Labuterouleauxassurelepositionnementaxialdeladroiteverslagauche.L'anglederotulageestnul.

61

Modlisationproposeenfonctiondeshypothses's

Graphedesliaisons

A1-2

f'~81-2

A1-2: liaison rotule (effortsde 1/2 de hauten basseulement)81-2 : liaisonsphre-cylindre.

Schmacinmatique

x

GraphedesHaisons

A1-2

~C1-2

A1-2 : liaisonrotule(effortsde 2/1 vers la droite

seulement)

81-2: appui-plan(effortsde 2/1 vers la gauche)

C1-2: sphre-cylindre

Schmaci.nmatiqlle

(2) y

La liaison 1-2 est hyper-

statiqued'o ncessit derglages et de tolrancesserres de concentricit des

roulements et de perpendi-cularitarbre-bute rouleaux'.

62

20 Isolementd'unsystme

L'isolementd'unsystmeconsiste:

. considrerunepartied'unmcanismeoud'unobjet,

. recensertouteslesactionsmcaniquesquiluisontappliques.

REMARQUES:

. L'isolementd'unsystmeestuneoprationindispensableen

mcanique;il intervientenstatique,rsistancedesmatriaux,

mcaniquesdesfluides,thermodynamique...

. Legraphedesliaisonsapporteuneaideprcieuse.

EXEMPLE1;

Soit isolerl'ensemble(6) du montage 5.3.

HYPOTHSES:

. tudeplanedans(A, x,p).

. L'oprateurexerceuneffortF normalaulevier,d'intensit100Netlelevieraffleurelabute.

. Poidsngligeableetpressionambiantetoutautour.

. FrottementdefacteurJ1entre(6)et(1)seuls.

ANALYSE;

Legraphedestructuremontrequelapice(6)estenliaisonavec

(9)et(1),outrel'oprateur.Onobtientlesrsultatsci-contre.

EXEMPLE2:

Isolerl'ensemble(E)=((6),(9),(11)}dumontagemodlisau

5.3.

HYPOTHSES:

. tudespatialedans(A,X,p,z).

. Autreshypothsesci-dessus+actionduressortngligeable.

ANALYSE:

Lesrsultatsci-contremontrentquecettemodlisationconduit

7inconnues,doncunedetroppourpouvoirrsoudreisosta-

tiquement(voirchapitre19).

REMARQUES;

. Si lejeudanslepivotA6-9restetropfaible:onnepeutla

fois,observeruncontactlinaireentre(6)et(1)etundouble

appuiponctuelaveclapice.

Commecedernierestncessaireaufonctionnement,onpeut

supposer(etadmettre)uncontactponctuel/H

. Si lejeudanslepivotA6-9estsuffisant:onconserve7

inconnuesmaisl'isolementde(6)seuln'enprsenteplusque5

dansl'espace:ensemblersolvable.

ISOLEMENT DE (6)

0' Kop-6 ~

perateur -,- - "cf - A6-9

ty - '1-6 Ensemble (6)W (cylindre)

K02

Oprateur/(6){ :}K(

XA 0\A6-9 YA 0

A 0 olu;:;:z)

(

X, 0\'1-6 Y, 0

A 0 0 1U',y,z)

F T", i --L1-avec F=-100 Y (en N)(0 inconnue)

( 9.2)(2 inconnues)

avec X, =- J1.Y, l'quilibre strict(1 inconnue)

Total: 3 inconnues, dans leplan

ISOLEMENT DE (E) =((6),(9),(11))

0-- ----\SI~- --

Oprateur~---~-- ~810-11'1-6= '1-E / -< ,Np-E =Np-9

85-9 ngligeable

K

Oprateur/(6)(F 0 )- -

avec F=-100y(en N)(0 inconnue)

{

X, LI

}'1-E Y, 0

100

1 Xa 0 \810-E \Ya 0 1a Za 0

{

0 0 \Np-E YN1 0

1en N1 0 0

avec X, = - J1.Y,(2 inconnues)

(3 inconnues)

1 0 0 \Np-E \YN2 0 1en N2 0 0

(2 inconnues)

Total; 7 inconnues

21Mouvementd'unsolide

21.1 Positiond'unsolidedansunrepreElleestcompltementdterminepar:

. La positiond'unpointA, origined'unreprelocal

(A,X;,1;,!;)liausolide(5).Ilsuffitalorsd'exprimerlepointeurOAparsescoordonnescartsiennes,fonctionsdutempst :

~

(

x(tJ

)

~ ~ ~ ->

OA Y(t) soit OA = x(t).xo + Y(t).yo+ l(t).lO

l(t)

. Lapositiondureprelocalparrapportaureprederfrence

(O,~,~, l;) l'aidedestroisangles,galementfonctions

dutemps(voirchap.3.2).

. Danslecasd'unmouvementplansurplan(chap.28),il

suffitdetroisparamtres.

REMARQUE:

Toutetudedemouvementncessitelechoixd'unreprederfrence- ourfrentiel- carlanotiondemouvementestrelative.

Lepassagerassisdansl'avionpendantledcollageestimmobile

parrapportaureprelocallil'avionetenmouvementparrapportausol.

21.2 Trajectoired'unpointIl s'agitdel'ensembledespositionssuccessivesdupointlors

desonmouvementdanslereprederfrence.

~1.3 AbscissecurviligneEquationhoraireEnchoisissantunepositionparticulireAodupointAsursatrajectoireetendonnantuneorientationcettetrajectoire,ondfinitl'abscissecurvilignedupointAunautreinstantt:

l'abscissecurvilignes dupointA estla valeuralg-

briqueAoA del'arcdecour~arcouruparA.

Elledpenddutemps.s =AoA = 'U) .

REMARQUE:

S= t(t) s'appelle"quationhoraireou"quationdumouvementdeAsursatrajectoire.

63

POSITION D'UN SOLIDE DANS L'ESPACE

Pointeurposition

~ a~Xo

20

a3

0

Yo

6 paramtresdans l'espace:x(t), Y(t), 2(t), 1/J(t),8(t), 'P(t).

POSITION D'UN SOLIDE DANS LE PLAN

Pointeurposition

Yo

0

3 paramtresdans le plan:x(t),Y(t),8(t)tels que:

Xo

DA=x(t).x +;Y(t)'.V(xo, X5);:;I1(t)

TRAJECTOIRE-ABSCISSE CURVILIGNE

Trajectoireoriente.,.

Xo

20

,,-/

Yo

1 s",,)A =1(t) 1

64

21.4 EXEMPLES DE TRAJECTOIRES PARTICULIRESEillptiqueRectiligne

MobileMC;' y)

QJ

x

0

EXEMPLE:extrmitdel'artecoupanted'unoutilcharioter,parrapportaubancdutour,associ(O.x,y,)

Parabolique

y Trajectoirede M/~ /1 \

ci -- \1 M(x,y)

1 \\

0

x

EXEMPLE:projectilelancdanslechampdepesanteurRemarque:y2=2pxop(constante)

picyclode

0

cos t-cos (n+1)t]t-sin(n+1)t]

(Cerclede rayona roulantsansglisserdans un cercle de rayonna)

EXEMPLE:trajectoired'unedentd'engre-nagepicyclodal contactextrieur

~.~, ,~~,-

Circulaire

Trajectoirede M

\;"1

Bielle

Ttede bielle

M(;' y)el X

02\ ,Centre,

EXEMPLE:axedettedebielleparrap-portaucarter(repreO,x,y}).Remarque:x2+y2=R2

Hyperbolique

~ y

TrajectoiredeM

)(2 y2---=1a2 b2a, b (constantes)

EXEMPLE:lieudupointd'intersecliond'uncnedervolutionavecunplanparalllesonaxe.

Hypocyclode

y

x

x==a[(r-1) cost .+cos(n-1)tly::: a[(n-1)sint,...sln(n-'l)t](Cerclede rayona roulantsansglisser sur un cercle de rayonna)

EXEMPLE:trajectoired'unedentd'engre-nagepicyclodal contactintrieur

Plante

EXEMPLE:planteautourdusoleilRemarque:x21a2+y2/b2=1

Cyclodale

y

. deMC;'y)Trajecto~

\~ /1 -

1 X

0

IM=Olx:: a (t """sint)

y =a(1-cos t)a (constante)

EXEMPLE:pointsur uncylindrequi roulesans glisser sur un plandetrace 0,-;

Dveloppantedecercle

y

11

/'TrajectoiredeMA\ / x

x = a(cos t +tsint)y a(sin t - t cos t)(DroitelM roulant sansglissersur un cercle (C

EXEMPLE:profild'unedentd'engrenage

21.5 Vitessed'unpomt

21.51 VitessemoyenneVrnoySi, l'instant11(5),lemobileAestenA1 l'abscisse51,si,

l'instant12,il passeenA2l'abscisse52,alors,entre11et12,

savitessemoyennesecalculepar:

[

S2-S,VmDY=~t2-t,

Vmoy=vitessemoyenne(mIsoum. 5-').52- 51=variationdel'abscissecurviligne(m).

12- 11 =variationdutemps(5).

21.52 Vitessealgbrique(ouinstantane)vuninstant1quelconque:5= :4';;A=f (1).

uninstantvoisin1+M, lemobileAoccuperaunenouvelle

abscissecurviligne:s+5=f(t+/).

Vitessemoyennesurcetintervalledetemps:s+s-s s

Vmoy = =-I+M-I M

LorsqueM-70, S-70 et VmoY-7s(t)=dsdl

v =S'III v =dsdt

5'(1)=d5/d/: drivede5(t)parrapportt.>

21.53VecteurvitesseVA /9Wl'instantl,lemobileestenA,dfiniparDA.

l'instant1+M, ilvientenA'dfiniparM .Onpose:V;;o =limc.t-->o M

(t+M)-1

CommeM =lM - DA=Li (DA),ilvient:-1

vx=dx(t)/dtVAlf/O=limc.t-->o(f:..DA)=(...!!...OJi) vy=dY(t)/ dt

M dt fROVz=dY(I)/dt

. Lorsque 1~ 0,A'serapprochedeA etM serapprochedeladirectionduvecteurunitaire1 tangentenAlatrajec-toire.Ennotantds=M etdlM =M :

(dO) ......liS ~o='!'~

(d ..",..>,) (d-) ds->. VAN~O=dlDA~o=iSDAfilO . (jf='l'.v.Levecteurvitesseesttoujourstangentlatrajectoireetdanslesensdemouvement.

65

VITESSES MOYENNE ET ALGBRIQUE

(~J(o)=(O,~,~.~)

Yo

Zo Trajectoirede A

dans (~J(0)

Xo

O/~ "Ao

Originedel'a~ssecurviligne$=AoA

Exemple: $ = 5 t2 - 8 ($en mtre,t en seconde).On peut calculer s'(t) = 10 1.

Entret =2 et t =3 s : Vmoy=3~=? =25rn/s.

VECTEUR VITESSE (enun point,dans un repre(flo))

TrajectoiredeA dans

(0, xo'~'~) =(fKo)

Xo

Zo

Yo

TangenteenA latrajectoire

-(d -) AA'VA!9UI=iT DA =IimM -->M =v.;-(9to)

t(s) 0 1 2 3 4 5

s(m) -8 -3 12 37 72 117

$ (mis) 0 10 20 30 40 50

66

21.54 Dterminationalgbriquede la vitesse

Latrajectoired'unpointMtantconnue,ilsuffitd'indiquersonabs-

cissecurvilignepourpouvoircalculersapositiontoutinstant.

EXEMPLE1:

Ondonnes=7cos(1011:t)+120.

OnendduitS'II)=v = 7011:sin(1011:t).

EXEMPLE2:

Si s(I)=20t3-8 t2+10,avecsen(m)etten(s).

Alors:

v=s'(t)=60t2-16 t ets(O)=10m,v(o)=a mis;

S(1)=20- 8+10=22m; v(1)=60-16 =44mis,etc.

21.55 Dterminationvectoriellede la vitesse

Lapositiond'unpointMestconnuedsl'instantquel'onsait

exprimersonvecteurpositionDMdanslerepred'origineO.

EXEMPLE(lig.1):

DM=07J+0'H+HI+lM

DM(e.cos8) (R) ( 0 ) (1)*e.sin8 +0 +- e.sin8 + 0DM(e.cos80+R+1)Si 8=(. t o(estuneconstante,8dpenddet.

DMestbienunefonctionvectorielledutempst.Levecteurvitesses'endduitpardrivationparrapportt:

r (- e.( .sin (t)M/~jLO 0APPLICATION:

e=7 ; ( =300trlmin=1011:radis; R=20 ; t=100.

~OM(7cos(1011:t)+120) ~ (-70 11:sin(10Jrt))0 =}VMUJ(O 021.56 Dterminationgraphiquedelavitesse

Chaquefoisquel'ondisposed'unereprsentationgraphiquede

s: f (1),onpeutoprerunedrivationgraphiquedontlaprci-

siondpendradelaqualitdutrac(fig.2).

. TracerlatangenteenunpointAetreleverL1S,M

. Porterlavaleurdev =L1S1L1tl'instantconsidr.

* Prsentation"pratique"( 72.5)

CD SCHMA D'UNE TRANSFORMATIONDE MOUVEMENT PAR EXCENTRIQUE

Constantes

00'=eO'H=RlM = t

x~

M

OM .x=s =7 cos (10 TCt)+120 (angleen rad)

0 DTERMINATION GRAPHIQUEs (t)

(mm)127

M =+0,05s

120

t (s)

L1s= - 6,5 mm

113 --"'"

t (s)

v (t)(mm/s) "

1

Environ

-130

-220

t(s) JI 0,01 0,02 0,03 0,04 ...

s(mm) 127 126,7 125,7 124 122 ...

v (mm/s) 0 -68 -129 -178 -209 ...

21.6 Acclrationd'unpoint

21.61AcclrationmoyenneSi lepointAsesitueenA1l'instantt1(s)etqu'ilpossdeune

vitesseinstantanev 1(m/s);s'ilpassel'instantt2enA2la

vitessev2,sonacclrationtangentiellemoyenneentret1 ett2,

noteatmoy(m/s2oum.S-2),vaut:

[

V2 - V1al moy = t 2 - t 1

21.62 Acclrationtangentielleinstantanel'instanttquelconque,l'acclrationtangentielleinstantane,

noteatcorrespondla1imitedurapportL1v lorsqueM~O.MOnlenotealors:

2al =dv; commev =ds: al=li= 5"(1)

dt dt dl2

EXEMPLE:

. Ondonne5=-10t3+2t+1(len(s)etsen(m)).

. Oncalculev=5'=ds/dt=-30t2+2etat=s"=- 60t.

RSULTATSPARTIELS:

21.63 Vecteuracclration~SilepointmobileAaunevitesseo l'instanttetsicettevitessedevientVA'/'R'O l'instantt+M, onpeutdirequelavitessevectorielleavarideL1Q;=VA'i'R'0- o pendantletempsM Onpose:

~=limtd--;oil~ =(d~o) =(d20!)ill dl ,RO dl,Jlo

21.64 Composantesintrinsquesdel'acclration

Puisquea,z;o=(~t ~ L etque~ = v.T,alors: .J,O

aA/'Jl'O=(JLv ).T+v.(JL~) =dV'T+v.(d'T) .lidl dl HlO dl ds ,ROdlEngomtrieanalytique,onmontreque (d7) = Nds ,il 0 R

ACCLRATIONMOYENNE

67

TrajectoiredeA

~ dans(8to)Zo

0 A1

Ao

Originedes abscisses curvilignes

V1 "1Xo

Yo..

Si s =Ao A1 = 5t2 - 8 (t en (s) et sen (m))v=10t

Si A se situeenA1 t =1 : V1=10 misSi A se situeenA2 t =2 : V2=20 misSon acclrationmoyenneentret1et t2

20 - 10 1 2vaut 8tmoY=2-=-1 = 10 m s

VECTEUR ACCLRATION

Zo

0

Xo

CA =rayonde courbure

--->

N reprsentelevecteurunitaire"normaleaupoint,toujoursdirigversle centredecourbure,et R reprsentela valeurdu rayondecourbure.

Onpeutdoncnoterque,quellequesoitlanaturedesmouvements:

aAi'JlO=at+ a; o:at =a/.T =dv .T : acclration tangentielle;

dt

a; =an.N=(v2/ R). N: acclrationnormale.

I(S) 0 1 2 3 4

sIm) 1 -7 -75 -263 - 631

v (m/s) 2 -28 -118 - 268 -478

a/(m/s2) 0 -60 -120 -180 -240

68

21.65 Dterminationalgbriquedel'acclrationSeulel'acclrationtangentiellepeutsecalculerpartirdel'abs-

cissecurviligne.L'acclrationnormaledpenddurayondecour-

buredelatrajectoirequel'oncalculedanslescasparticuliersde

latranslation,delarotationetdumouvementhlicodal.

Soit,pourlesexemplesdu 21.54.

v'=- 70n-sin(10n-t)~ a1=v'=- 700n-2cos10(n-t);

v=60t2_161 ~al=v'=1201-16 m/s2.

21.66 Dterminationvectorielledel'acclrationLapositiond'unpointMestconnuedansunrepre(0,J, y,z)dsl'instantquel'onsaitexprimersonvecteurpositionDMenfonctiondutemps1.Il suffitensuitedesavoircalculerdesdrives:

EXEMPLE:DM(x,y)avecx=31-1 ety=l2+31-1.

(distancesen(m)ettempslen(s)).---'>

() (X'

),

(X"

)DM x ~ V. oH'. (1)~ a ~H (1)Y MI(O,x,y,z)y'(1) MI(O,x,y,z)y"(1)CALCULS:

x=3t-1 ~y=12+31-1

x(I)=3, ~

y(1)=21+3

X"(I)=O

Y"(I)=2

21.67 Dterminationgraphiquedel'acclrationEllereposesurlemmeprincipequecelledelavitesseexpose

au 21.56.Elleselimitel'acclrationtangentielle.

21.7 Hodographed'unmouvementPourunmouvementdonn,onporte partird'unpointfixe

choisiarbitrairement,levecteurvitesse.L'extrmitP dupoin-

teurainsidfini,dcritunecourbeappelehodographe.

REMARQUE:

Surl'hodographe,lavitessedupointPcorrespondexactement

l'acclrationdupointA associ.

DTERMINATION GRAPHIQUE DE L'ACCLRATIONTANGENTIELLE

s (t)(mm)127

(Angleen radians)

-220

-.......

0,1 t (s)

-5,5-6,9

HODOGRAPHEExemple$demouvements Naturedel'hodographe

Mouvementrectiligneuniforme Unpoinl

Mouvementrectilignevari Unedroite

Mouvementcirculaireuniforme Uncercle

MouvementcirculaireSpiraleuniformementvari

113 11 1 1 1 l' , l'---.-- -"'"1 :0-

0 0,05 0,1 t (s)

v (t)(mm/s)1 J1

22Translationd'unsolide

22.1 Dfinition

Unsolideestentranslationdansunreprelorsque~ ~

deuxbipointsdistinctsAB etBe decesolide,gardentdesdirectionsconstantesaucoursdumouvement.

22.2 DiffrentsmodesdetranslationSelonlatrajectoiredespointsdusolide,latranslationest:

. rectiligneuniforme(chapitre23)ouvarie(chapitre24);

. circulaireuniformeouvarie(chapitre25);

. quelconque.

22.3 VitesseangulairesetlinairesLorsqu'unsolide(5)estentranslationdansunrepre(Hl0):

. Lavitesseangulairedetouslespointsde(5)estnulle:

flS/UlO=0 (rad/soutr/min).. Lavitesselinairedetouslespointsde(5)estgale:

VA ES/;JlO= VBES/~o'

Onditquele" champdesvitesses"estuniforme.

REMARQUE:

Lechampdesvitessessetrouvecompltementdfiniparun

torseurcinmatique:

(~SMoj= IflsMo VAShR;\=10 VAEShR;\'A

Larelationentremomentsd'untorseur(76)s'applique:

VAEShJl;= VBESMo+ABx0= VBEShRo'

69

TRANSLATION RECTILIGNE

Yo Funiculaire

0Xo

TRANSLATION CIRCULAIRE

Trajectoiresde C A ~l~, ~'-, '

Yor

Nacelle

OIAo Xo.Co 1

(~, AB) =90 (constant)

Les trajectoiresAo BoGoet

TRANSLATION QUELCONQUE

0 B

Vc'

Xo

70

23 Translationrectiligneuniforme23.1 Dfinition

Unsolideestentranslationrectiligneuniformesi:. toussespointsdcriventdesdroitesparallles;. toussespointsontunevitesseconstante.

23.2 ExempleDplacementuniformed'unetigedevrin/corps,

Autreexemple 24,5,

23.3 quationsdumouvement

[. OM.x=S(I)=vo(t-to)+SosU):abscissecurviligne(m)dupointMl'instantI(s),Vo :vitesse(enmis),dupointMl'instantlo(s),

So :abscisse(enm),dupointMl'instant10(s),

[. v(l)=s'(W Vo - M =Vov(I)- d tDrivedesU)parrapportautemps:S'(5)=ds/dl,

. a(1)=v'(I)=0 (ladrived'uneconstante=0)AcclrationtangentielledupointM: v '(01=dv/dl,

23.4 Caractristiquesvectorielles. Lesolide(5)enmouvementformant,pardeuxdesespoints,

unangleconstantaveclerepreUR0):

Levecteurvitesseangulaire~ =0. X reprsentantlevecteurunitairedelatrajectoire:

~ -->-->

ON =s.x+a.y (voirexemple)~ -->

VNi'!iO=VO.x ovo=s'

~ ,-;. V2 --> (aNi'Jl 0 =V .T +- N 21.64),R

PourunetrajectoirerectiligneR--+ 00 ; doncv2/R --+0,Commeparailleursv'=O: a;;;:;0=D,. Letorseurcinmatiqueestdelaforme:{ } f~o \ f

}

. ,i}S/fi(Q=\ ~ f=\ --> ouv=s(t)(constante)VNi'!iO v.X ,!iDComme~ = VN/U/O:le champdesvitessesestuniforme.

EXEMPLE

y

N=-YVr=x

;8l;;\ X;;1 ..001

Trajectoiresdespointsdelatige/corps

,,/M,,~

~ a /" ",,/Y\ ;;\/// ",,\ S(t)./ '0

APPLICATION:

1 La tigeparcourant130mmen 1 s d'unmouvementrectiligne

uniforme,calculerladistanceparcourueen1,5sl'aidedesquationsdumouvement.

2 ExprimervectoriellementlavitessedupointNdelalvredujoint

d'tanchitpendantcedplacement.

SOLUTION:

1 Lemouvementapourquation:

sU)=va (t- la)+sa

Posons:pour1=0(=la),s(O)=0mm(a),

pour1=1, s(1)=130mm(b),

Pour(a),l'quations'crit:0=sa,

Pour(b),elledevient: 130=va x (1)+0,

Doncv 0 = 130mm/s(vrifi),

Lorsque1=1,5s,onremplacedemme:

s(1,W130x (1,5-0)+0=195mm

2Touslespointsontunemmevitessechaqueinstant:

~ = V;;o = 1307 (mm/s)Onpeutremarquerque,pouruntorseur:

VM/,R = VN/'!iO+ MN x QSi'I10 = VNi'RO (76,1)

71

24 Translationrectiligneunifonnmentvarie24.1 Dfinition

Unsolideestentranslationrectiligneuniformmentvariesi :

. toussespointsdcriventdesdroitesparallles;

. toussespointsontuneacclrationconstante.

24.2 ExempleDplacementd'unporte-outildetourvertical:phases1et3dcritesparlesdiagrammesci-contre(voir24.5).

24.3 quationsdumouvementEllesexprimentlesrelationsentre:

. l'abscissecurviligneS(1)(exprimeenmtres);

. lavitessealgbriquev(t)(exprimeenmis);

. l'acclrationtangentielleat (exprimeenm/s2).Elless'crivent:

SU)=0,5at (1- tO)2+v 0 (t- to)+50'

5'=V(t)=at (1- to)+vo, to: instantinitial(s).

5"=a(t)=at. Vo:vitessel'instantto.

at : constante.

24.4 Caractristiquesvectorielles. Unbipointquelconquedusolide(5)entranslationdanslerepre,formeunangleconstantdecerepre:

1 la vitesseangulaire~ =0. X reprsentantlevecteurunitairedelatrajectoire:(voirfig24.5) DM=srI)'x- h.Y,

VMjc;,=v(t).X, .

aw;=at.xREMARQUE:Pourtoutmouvementrectiligne,l'acclrationesttangente

latrajectoire.. Letorseurcinmatiqueestdelaforme:

{OSI'RO})[2SURO\)~ \->o ->\ VMESU/10f\ VMESI'ROfVMESI,RO=V(I).x

VNESf;R>O=VMESI'R>O+NMX~= ~o*le champdesvitessesestuniforme.

* Relationentremomentsd'untorseur741

DIAGRAMMES DU MOUVEMENT

Loidesacclrationstangentielles

at(m/s2)a1

a1>00 1 Acclratiort

ta t (s)

a2Phase 1 Phase3

v (m/s)V1 ------

t (s)Va

L'acclrationtangentielleestunedrivedelavitessealgbrique

Lavitessealgbriqueestuneprimitivede l'acclrationtangentielle

s(m)

Sa

t (s)

Phase1

ta

L,avitessealgbriqueestunedrivedel'abscissecurviligne

1 curviligneestuneprimitivedelavitessealgbrique

72

24.5 tudedetranslationsrectilignesLecroquismontrelemouvementducoulantd'untourvertical

verslemagasindesoutils..Phase1Partantdurepos,lecoulantatteintlavitessede0,06misen2sselonunmouvementuniformmentacclr.

. Phase2Lecoulantpoursuitsonmouvement,defaonuniforme.

. Phase3Lemouvementducoulantdevientuniformmentretardjusqu'

l'arrt,surunedistancede0,2m.Sur l'ensembledestrois

phases,lecoulantparcourt1,4m.

crirelesquationsdumouvementpourchaquephaseettracer

lesdiagrammescorrespondants.

SOLUTION:.Phase1 (mouvementrectiligneuniformmentacclr):a=a1etv=a1(t- la)+Va.Posons:10=0(originedestemps).Lorsque1=0, V =0 ; lorsque1=2,v =0,06mis.

Donc:0,06=a1. 2 =?a1=0,03mN.

8,=0,03m/s2; v=0,031; s=0,01512.

Casparticulier:quand1=2s,S(2)=0,06m.

. Phase2(mouvementrectiligneuniforme): a2 (constante).

s=va(t- la)+sa s'critici: s=0,06(t- 2)+0,06.

Casparticulier:lorsques =1,2m, le mouvementchange.Soit12cetinstant,onpeutcrire:

sI t2)=0,06(t2- 2)+0,06=1,2 =? 12=21S

82=0 ; V =0,06mis; s=0,06(/- 2)+0,06.

. Phase3 (mouvementrectiligneuniformmentdclr):

a=a3

25 Translationcirculaire

25.1 Translationcirculaireuniforme25.11Dfinition

C'estunetranslation(chapitre22)aucoursdelaquelle

unpointquelconqueliausolidedcritunetrajectoirecirculaireavecunevitessedenormeconstante.

25.12Proprits. Pourtoutetranslation;;;;:;0 =.. PourunpointparticulierM: 0)0=e' =~~(constante)LoisdumouvementdeM:

( ).

1

t0 =originedestempse =0)0' t- t0 +e 0 ou

e 0=originedesangles,

8'=d8/df=OJo(constante),

8"=d28jdt2=0) 0=0(acclrationangulairenulle).. Touslespointsontmmevitessechaqueinstant.25.2 Translationcirculaireuniformmentvarie25.21DfinitionC'estunetranslation(chapitre22)aucoursdelaquelleun

pointquelconqueli ausolide, dcritunetrajectoirecircu-

laireavecuneacclrationconstante.

25.22 Proprits. Pourtoutetranslation;;;;;0=(lavitesseangulairedusolideestnulle).

. PourunpointparticulierM:8 =1/2.OJo (t- fO)2+OJo(1- fo)+80; (OJo=8"0)'8' =d8/df=OJo(t- fo)+OJo (ou8'=OJ),

8"=d28/df2=OJ'o(constante).

. Touslespointsontmmevitessechaqueinstant.REMARQUES:

Il convientdebiendistinguer:

. Lavitesseangulairedusolide(nulle)etcelleOJod'unpoint

telqueMtournantautourdeMo.

. L'acclrationangulairedu solide(nulle)et celledu> -> 2 -->

pointM: aM/9O=0)'0,r.H OJ.r.N.

. Lavitesseangulaire;;;;:;o= etlavitesselinaireV;;o.

73

TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORME

Sa

M

\\

\Mo

r;jsta.nte);Mo(constante)

et v=8'.r=OJo.ret aN=8'2.r=OJo2. r

TRANSLATION CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE

M

\~ r-->\\ aM/mo,/'/ N \,/\~,/

8 //

I~~~IMo

74

25.3 tudesdetranslationscirculairesLecroquisci-contreschmatisepartiellementunbrasmanipu-

lateurdefonderie.Lemouvement,d'amplitude225sedroule

entroisphases:

. Phase1 rotationuniformmentacclresur15(~ rad),. Phase2rotationuniforme1rad/s,

. Phase3 rotationuniformmentdclrsur30,

crirelesquationsdumouvement,tracerlesdiagrammeset

prciserlavitessedeGainsiquesonacclrationdanslaconfi-

gurationci-contresachantqueDA=1,7m.

SOLUTION:

L'tudeseramnecelled'unpointdontonconnatlatrajec-

toire,Aparexemple.

. Phase 1 (mouvementuniformmentacclr)8'; (constante):Lorsque1=0:10=0,Wo=0,80=o(conditionsinitiales).

Lorsque1=11:8(11)=0,5811~=n:/12;8(t1)=8l' 11=1.Donc 81=1/11etn:/12=0,511,d'o 11'"0,524s et81=1,91rad/s2.

8=0,95412;8'=1,911;8"=1,91pourIE[O;0,524],-

. Phase2(mouvementuniforme)82(constante):8=wo(l-lo)+80s'critici: 8=1(1-0,524)+n:/12,

Lorsque8=2250- 30=195=180+W =13n:/12,1=12,Donc13n:/12=12- 0,524+n:/12=>12'"3,67s.

8=1-0,524u/12; 8'=1;8"=opour1E [0,524;3,67],

. Phase3(mouvementuniformmentdclr)83(constante):8=0,5Wo(1-10)2+wo(t- 10)+80et8'=Wo(1- 10)+Wo s'crivent:

8=0,583(1-3,67)2+1(1-3,67)+13n:/12,

et8'=83(1-3,67)+1.

Lorsque1=14:8'=0soit83=-1/(1-3,67),8=225=5n:/4rad.

Donc5n:/4=-0,5(1-0,367)+(1-0,367)+13n:/12=>/",4,71s,

8 =0,477(1-0,367)2+1-0,367+13n:/128'=0,955(1- 0,367)+18"=-0,955rad/s2pourlE [3,67;4,71].

Danslaconfigurationdelafigure'8 =30,situedanslaphase2,Onpeutcalculer1(n:/6)=1s, lavitesselinaire:

I!VG,S/HOIl=I!VA,SM0Il=1,7x 1=1,7mis

etl'acclration: 3N=8'(2=1,7m/s2.

MANIPULATEUR DE FONDERIE

Trajectoiredu - -- -,pointG y ~

//

~11

Pice

Sortie

de coule \Soc l rde refroidissement

g" =w' (rad/s2)

1,91

1 '-0,95 - 0,52 _1 ~67

4,71-,,---'>

t (s)

g' =w (rad/s)

3,67 4,71

t (s)

0,52

go(rad)

5n:1 (225)4

13n:1 (195)12

n:12

o

t (s)

0,52 3,67 4,71

26Rotationd'unsolideautourd'unaxefixe

26.1 Dfinition

Unsolide(S)estenrotationautourd'unaxede(So)lorsquedeuxpointsdistinctsde(S)concidentenper-

manenceavecdeuxpointsdel'axede(So).

26.2 Diffrentsmodes. Rotationuniforme(27.1).. Rotationuniformmentvarie(27.2).. Rotationquelconqueouselonuneloidistinctedesdeuxmodesprcdents.

26.3 Caractrisationdumouvement. Touslespointsdcriventdestrajectoirescirculairescoaxialesavecl'axederotation.

. Touslespointstournentdummeangleaummeinstant;

onditalorsque:

Dansunmouvementderotation,touslespointslis

unsolideontmmevitesseangulaire.

. Lavitesseangulaired'unsolide(5)enrotationparrap-

port unautresolide(Sa)auquelonassocieunrepre

(~( 0,~,~, ~) peuttrereprsenteparunvecteurQSlffiO=(.~ de:

- direction:celledel'axe(O,~);-sens:celuidfiniparlargle"dutire-bouchon(oudestroisdoigts);- valeuralgbrique:OJsurl'axederotation.

26.4 RelationentrevitesseslinairesetangulairesOnsaitque~S"'R0= v. T=ds .T (21.53)

!. . dtPourunmouvementcirculaire:s=R.B.

Doncds/dt=RdB/dt=ROJ;d'o:

II~oll=I(I.R

avec((rad/s),R(m),Il~oll (mis

75

Uilo)=(O,~, y;, 20)

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

Xo

Solide (S)en rotation

dans UR.o)

Xo

Trajectoirede BE(S)

dans (ffio)

TrajectoiredeAE(S)dans (~R.o)

(Sa)

Points de (S)fixes sur

l'axe (0, z;)

0 0102

Z;0

/'"

'"

Yo

VITESSES LINAIRE ET ANGULAIRE

Xo

Qsmw= OJ.20

( = ~ =8'dt

Vitesse

angulaire

76

26.5 Relationvectorielle~

entreVAES/fiO etDS/fROLadfinitiondeDShj~indique26.3setrouvevrifieparlarelationvectorielle:

VAESM~=Aix ~*

]~re : ~ ~ o1E axederotationVAES/,RO=;/fA (/,as/~(o)

NOTA:/if;(l,DS/UI0)selitmomentenAdupointeur(1,15).

26.6 TorseurcinmatiqueIldfinitcompltementlemouvementcirculairedusolideuninstantdonn.

. Touslespointsontmmevitesseangulaire:DS/fJ(0=w.z' estlasommedecetorseur;

. Lespoints1situssurl'axeontunevitesselinairenulle:Ils'criten1:

lIJJOZ } ~ ~(1?SMoJ= ~ ~ car VIES/HO=OlE (A,z) 0. Lavitesselinairedetouslespointsde(5)s'endduit:

~ESMo=~eS/ffio+MxDs/ffiO=MxDs/ffiO

(76.1).

26.7 ChampdesvitessesD'aprslarelation 26.4,puisquewa mmevaleurpourtous

lespointslisausolide,lavitesselinaireIlVAeS/~OIlvarielinairementavecladistanceR l'axederotation(fig.2).

26.8 Exemples. Unsolide(5)estenrotationautourdeABlavitessede300tr/min.CalculerlavitesselinairedeMsitu50mmdel'axeAB.

IlVM,S/fROIl=300x 26;x 50=1571mm/s=1,571mis.. Unsolide(5)estenrotationautourdel'axeCd).L'undesespointsNsitu100mmde(,1)aunevitessev = 3mis.

CalculercelledePsitu70mmde(,1),

vN= w,(N et vp= W.lp:

donc Vp= VN' IN/lp = 2,1m/s.

, x :signeduproduitvectoriel(/\ esttolravecrserves:voir 70.6).

CD TORSEURCINMATIQUE -tZoAxe de rotation >

(ou axe centralde {VShiW}) Ir.~ShJ\O

Plateautournant(S).QS/,J(a

Socle (Sa)

0 EXEMPLE

.QS/,J\O

Champ des vitessesselon lN

. L'axederotationABde(5)estdfinidans(9lo)parA (20,20,30),B(-10, 50,70).(5)tourne100tr/minautourdeAB.

Etablirletorseurcinmatiquede(5)/(~Ro)'

(- 30

)

- 3

)OnpeutcrireAB=OB- GA= 30 =10 3

40 4

DoncIIABII=\110(-3)2+(32)+42=10\134

~

(

- 3/\134

)D'o~= II~:Il = ~~~w=100tr/min=10,47rad/s.

P'

t . J ~ J [10,47Z;)arconsequen. \ if S/,R0 = ~0 le (AB)avecZ;dterminci-dessus.

27Mouvementsderotationparticuliers

27.1 MouvementderotationuniformeEnunpoint1del'axederotation(axecentral)Z, letorseur

cinmatiques'crit:

[~

JfD;;o\ ~ ~

1JS/~o =1\ faVeCQS/~O=OJO'z (constante)

27.2 MouvementderotationuniformmentvariEnunpoint/del'axederotation(axecentral)Z, letorseurcin-

matiques'crit:

[>

] f~o } >1JSlfRO =/\ avecQSlfRO=w.z(variable)

27.3 ExempledecalculUnebrochedetouratteintlavitessede800tr/minen0,4s,d'un

mouvementuniformmentacclr,L'usinages'effectueensui-

te vitesseconstantependant10s,Enfinl'arrtseproduit,

en0,3s,d'unmouvementuniformmentdclr,

Onsouhaite:

. tracerlesdiagrammesdecemouvement;

. crireleslois desmouvementsdechaquephase;

. connatrelesinstantsentrelesquels90%aumoinsdelavitesseestatteinte,

77

EXEMPLE DE CALCUL

y (l,X;y,z) =(ffi)y

A

x z

,lrephase~2e phase800tr/min=83,8 radis

o mmt'1

f

OA 1OA

~

t'2 10,71

t (s)8 (rad)

~~==============----

81t - .-4"

r 1 1 1t(s)

,.' jj:;~~~i:il

:- - - - - - - - - - - - - - _I~~iiliii~;,::;,jjjj.~

LoisdumouvementI(s), m(rad/s),fI"(rad/s2)(Anglebalayetacclrationangulairesedduisentdemo)

Vitesseangulaire(rad/s) mo(ou8'0)constante

Anglebalay(rad) 8=mo(1-10)+80

Acclrat,ionangulaire(rad/s2) 8"(oudwoud280uw ')=0dt dl2

LoisdumouvementI(s), m(rad/s),fI"(rad/s2)(Vitesseangulaireetanglebalaysedduisentdefi "0)

Acclrationangulaire8"0(00dw ou ouw '0)constante(rad/s2) dt dt2

Vitesseangulaire(rad/s) 8'=8'0(1-10)+8'0(oum)

Anglebalay(rad) 8=19'o{t- 10)2+ 8'0(I- t 0)+e 02

1rephase: 1E (0 ; 0,4)

fi" (=m'=dm/dl) =83,8/ 0,4 =209rad/s2m (=e' =de/dl) =209(1- 0)+0 =2091

w (90%)=83,8x 0,9 =75,4radisDonc75,4 =2091'1=>1'1=0,36s

e(t) =112.209(1-0)2+0(1-0)+0 =104,7f2e (0,4)=16,76 rad =2,67 tr

2ephase: lE (0,4; 10,4)

m1(=fi; constante)=83,8radis

m' (=e") =0

fI(l)=83,8(1- 0,4)+16,76

fI(10,4)=83,8x 10+16,76=855rad =136tr

3ephase: lE (10,4; 10,7)

fI"(=dm/dl=m') =- 83,8/0,3=- 279rad/s2fI'iI) (=m) =- 279(1-10,4) +83,8fi'(90%)=75,4radis(voirci-dessus)Donc 75,4 =- 279(1'2-10,4) +83,8D'o1'2=10,7S

fi (1) =-1/2 (279)(1-10,4)2+83,8(1-10,4) +855

fi (10,7)=-139,612 x 0,32+83,8x 0,3+855fi (10,7)=279rad =136tr

78

28Mouvementplansurplan

28.1 Dfinition

Deuxsolides(50)et(51)sontenmouvementplansur

planlorsqu'unplanreloufictifdel'unresteconstam-

mentencontactavecunplanreloufictifdel'autre.

CONSQUENCES:

. L'tudeseconduitdanstoutplanparallleceluidumou-vement.

. Onassocieunreprederfrencel'undessolides(repre

(9\'0)li(50)parexemple)etl'ontudielemouvementde(51)parrapport(9~0)'

28.2 Champdesvecteursvitesses. Touslespointsd'unmmesolideontmmevitesseangu-laireDS1/S~'

. uninstantdonn,lesvitesseslinairesVAES1/S0etVBES1/S0dedeuxpointsAetBde(51)sontgnralementdiffrentesendirection,sensetintensit,Toutefois,(51)semble

tournerautourd'unpointfixe1situl'intersectiondesperpen-

diculairesenchaquepointauxvecteursvitesseslinaires,

1estlecentreinstantanderotation(C.I.R.)

. l'instantconsidr- correspondantuneimagephoto-graphiquedel'objet(51)enmouvementplan- onpeututiliserlesrelationsdumouvementcirculaire(26,5) :

[DS1/S~ =w.lu' VMES1/S;=Mix DS1/S0 ]. Lechampdesvitessesestreprsentableparuntorseurcin-matiqueexprimenMquelconqueouauC,I,R,1:

[1J )=!~

]=

(

DS1/S0

],S1/S0 ' -

M VMES1/S0 1 0

. Lesrelationsentremomentsd'untorseur(74)permettentderetrouvertouscesrsultatsfondamentaux,

PISTON- BIELLE- MANIVELLE

Manivelle

Ay

0 DS1fSo 0z

50 (Repre)

~-1Bti) -

0 x

1(centreinstantande rotation)

0 DS1fSo

VBES1fSo

DS1fSO

28.3 Mouvementsplansurplanparticuliers

28.31 Solideenrotationparrapportunaxefixe(Voirgalementchapitre26,)

.Un plandusolide(S),perpendiculairel'axederotation(0,z)

resteconstammentdansunplanfixeparallle(0,X,y)=(fR,),

. Enprojectionsur(0,x,y,z),touslespointsdcriventdestrajectoirescirculairesdecentre0,

. Aupoint0,letorseurcinmatiques'crit:

f 7 -7}. 7 -7

0{z9.s/9t}= \.Q S/fR 0 ou .Qsm!.= (J).Z

EXEMPLE:

(S)tourneautourde(0,z) danslesensindiquci-contre,

300tr/min,Alors,m=- 300.2,,/60=- 31,4rad/s,. Lavitessedetouslespointss'endduit;parexemple:

~ =;il(O,~) =Mx ~ * ( 761)etparconsquent:Il ~11=lml.AO,

Pourlesautrespointsde(S), 1ml estlemme;seuleladis-tanceAOvarie.

Dansunmouvementderotation,lavitesselinairedes

pointsestproportionnelle leurdistance l'axede

rotation.Ilsontmmevitesseangulaire.

28.32 SolideentranslationquelconquedansunplanL'ensemble(S),ci-contre,gardeunedirectionconstantedansle

repre:il~nc entranslation(chapitre22)etsavitesseangulaireQs/9t estnulle,

EnA, letorseurcinmatiques'crit:

Jo;1}={~det V;:;1=~,

Dansunmouvementdetranslation,touslespointsontla mmevitesselinaireet unevitesseangulairenulle.

* x ,signeduproduitvectoriel(Aesttolravecrserves;voir 70.6)

79

RPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDEEN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE

z

RPARTITION DES VITESSES POUR UN SOLIDEEN TRANSLATION DANS UN PLAN

~ ~ "'\

\

_-1..-- LI--, 1-- ;')~ -~J=l~~

"r- r',

J ,>2J -:.~l "'\ / i 1 ~~f Y :_--J

V ~ntre derotationde(S)estrejet

l'infini

80

28.4 quiprojectivitdesvitessesdespointsd'unsolide. Lesvitessesd'unpointd'unsolidesedduisentdesontorseurcinmatique(28,2):

(1Js/fJd= S(nS/fR VSES/9~)et

VAES/~= VBESM+ABx nS/9l

. EnmultipliantscalairementchaquetermeparAB :

VAES/fJ~ .AB = VSES/f~. AB ,

Il~II .cosaA= IIVBES/fJ~11.COSaBSi AetBsontdeuxpointsdistinctsd'unsolide,lapro-

jection(algbrique)delavitessedeAsurAB estgale~

laprojection(algbrique)delavitessedeBsurAB.

EXEMPLE:

Enactionnantlagachette2duscateurlectroniqueci-contre,

onmetlavis1enrotationparrapportlapoigne0,

Celaentranelatranslationdel'crou3qui,parl'intermdiairede

labiellette4,actionnelarotationdelalamemobile5autourde

l'axeC,fixedans0,

Leschmacinmatiqueestreprsentl'instantolepointD

approchedupointE

ConnaissantlavitesseVAE3/0 cetinstant,ondterminegraphiquementV0E 5/0:

. VAE3/0(connu)= VAE4/0(liaisonpivotenA),

. LaprojectiondeVAE4/0surAB estgalelaprojectionde

VSE4/0surAB: AHA= BHs,(Attentionauxsensetl'angledroit.)

. VSE4/0= VSE5/0(liaisonpivotenB),

. VSE5/0estperpendiculair