guide pour le controle vibrato ire des planchers

8/2/2019 Guide Pour Le Controle Vibrato Ire Des Planchers

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Lg Crb ErpeSectis Merct Brs

Gie pr le ctrôle vibrtire esplcers



Ce gie prsete e mte ’vlti cmprtemet vibrtire es plcers i e grtirle crt es ccpts. Cette mte se bse sr lesrsltts ’e rcete recerce erpee(RFCS Prject "Vibrti lrs” [1]).

Le cmprtemet e l strctre est termi sivt estries selles bie ces.

©

C l a u d e V a s c o n i A r c h i t e c t e - C h a m b r e d e C o m m e r c e d e L u x e m b o

u r g



Tble es mtières:

1. Introduction 3

2. Défnitions 7

3. Détermination des caractéristiques des planchers 11

4. Classifcation des vibrations 15

5. Procédure d’évaluation et diagrammes 19

Annex A Formules pour calculs manuels 31

Annex B Exemples 43

Support technique & parachèvement 52

Réérences 52

Vos partenaires 53

1



1. InTRoduCTIon



Les structures de planchers sont généralement

dimensionnées aux Etats Limites Ultimes (ELU)

ainsi qu’aux Etats Limites de Service (ELS) :

l Les Etats Limites Ultimes traitent de

la stabilité et de la résistance,

l Les Etats Limites de Service ont

essentiellement réérence aux vibrations

et par conséquent dépendent des

raideurs, des masses, de l’amortissement

et des mécanismes d’excitation.

Pour les structures de planchers minces,

comme celles en acier ou mixtes acier-

béton, les critères de service sont souvent

prépondérants dans le dimensionnement.

Ce guide aborde les points suivants :

l Déinition des vibrations acceptables par le

biais d'une classiication (chapitre 4) et,

l Evaluation de la réponse vibratoire du plancher

aux actions d’origine humaine en onction del’utilisation prévue du bâtiment (chapitre 5).

La igure 1 montre une vue générale de la

procédure d’évaluation présentée au chapitre 5.

Plusieurs caractéristiques dynamiques

du plancher sont nécessaires pour

l'évaluation du comportement vibratoire.

Ces caractéristiques et les méthodes

simpliiées pour leur détermination, sont

brièvement abordées dans l’annexe A.

L’annexe B reprend des exemples de calcul.

1. Itrcti

Le guide se repose sur des méthodes et des

recommandations simples pour juger de

l’acceptabilité des vibrations provoquées par

des personnes lors d’une utilisation normale.

Les mesures réelles eectuées sur site

après construction pourraient diérer des

valeurs évaluées, sans pour autant que ces

dernières puissent être remises en cause.

Les méthodes de calcul des vibrations de

plancher ont réérence aux vibrations de

résonance d’origine humaine, provoquées par

la marche de personnes lors d’une utilisationnormale du plancher du bâtiment. Les

vibrations provoquées par des machines ou

celles provenant d’un traic de véhicule, ou

autre ne seront pas traitées dans ce guide.

De même, ce guide ne peut pas être utilisé

dans le cas de passerelles pour piétons

ou toute autre structure n’ayant pas de

caractéristiques structurelles ou d’utilisation

similaires aux planchers de bâtiment.



1. Itrcti

Figure 1: procédure d’évaluation(voir Chapitre 5)

Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher:

- Fréquence propre- Masse modale- Amortissement

(Chapitre 3 ; Annexe A)

Lecture de la valeur d’ OS-RMS90(Chapitre 5)

Détermination de la classe d’acceptabilité

(Chapitre 4)



©

A r c e l o r M i t t a l P h o t o L i b r a r y



2. déFInITIonS



2. dfitis

Les défnitions ici présentes sontapplicables uniquement dansle contexte de ce guide.

Amortissement D L’amortissement est la dissipation d’énergie d’un système vibrant. L’amortissement total

consiste en

l L’amortissement dû aux matériaux et à la structure,

l L’amortissement dû au mobilier et aux initions (ex. aux-plaond),

l La redistribution de l’énergie dans l’ensemble du bâtiment

Masse modale M mod Dans de nombreux cas chaque mode d’un système comportant plusieurs degrés de liberté

peut être assimilé à un système à un seul degré de liberté

avec f est la réquence propre du mode considéré,

K mod est la raideur modale,

M mod est la masse modale.

La masse modale peut donc être interprétée comme la masse activée dans un mode vibratoirespécique.

La détermination de la masse modale est décrite au chapitre 3.

mod

mod

2

1

M

K f

π=



2. diitis

9

Fréquence propre f Chaque structure a son propre comportement dynamique ace à la orme et la durée T[s] d’une

seule oscillation. La réquence f est l’inverse du temps d’oscillation ou période T ( f = 1/ T ).

La réquence propre est la réquence d’un système l ibre pouvant osciller sans excitation extérieure

continue.

Chaque structure a autant de réquences propres et de modes vibratoires (ormes d’oscillation)

associés que de degrés de liberté. Elles se distinguent généralement par les diérents niveaux

d’énergie créés par l’oscillation. La réquence propre (ondamentale) est celle qui correspond au

niveau d’énergie le plus bas. C’est donc celle qui sera activée de préérence en premier.

L’équation de la réquence propre d’un système libre à un degré de liberté est

où : K est la raideur,

M est la masse.

La détermination des réquences est décrite dans le chapitre 3.

OS-RMS90 RMS- Valeur ecace de la vitesse (verticale) sous l'eet de la marche d'une personne couvrant

90% de personnes marchant normalement.

OS: “One step” pas unique

RMS: Root Mean Square = valeur ecace de la vitesse

où : T est la période étudiée.

2

)(1

0

2

T

RMS dt t T

== ∫

M

K f

π2

1=

vvv

v

pointe



©

S I N G L E S p e e d I M A G E - P e t e r V a n d e r w a r k e r - P a u l P e d i n i



3. déTERMInaTIon dESCaRaCTéRISTIquES dES PLanChERS



3. dtermities crctristieses plcers

Les caractéristiques des planchers peuvent être

déterminées soit par calcul simpliié soit par

analyse aux éléments inis ou encore par essai.

Puisque ce guide est une aide à la vériication

essentiellement pour les nouvelles constructions,

les procédures de test ne sont par abordées

mais seulement réérencées en [1].

Les diérents programmes de calcul par

éléments inis permettent des calculs

dynamiques et orent la possibilité d’obtenir

les réquences propres. La masse modale estaussi donnée par la plupart des programmes

par une analyse de la réquence.

Dans la pratique, il existe des diérences

d'un programme à l'autre au niveau des

résultats d'analyses par éléments inis, en

onction de la déinition des éléments, de la

considération de l'amortissement, et enin du

type de résultat donné par le calcul. De ce ait,

seulement quelques inormations générales

seront données dans ce guide à ce sujet.

Si les analyses par éléments inis sont utilisées

pour le dimensionnement des planchers

par rapport aux vibrations, il est à noter

que les calculs dynamiques (ELS) pourront

être très diérents des calculs aux ELU

car ils se limitent aux petites déormations

engendrées par les vibrations. Un exemple

typique est la diérence des conditions

limites en analyse vibratoire: Un appui peut

être considéré comme simple aux ELU mais

comme encastré lors d’un calcul de vibration.

Le module d’élasticité dynamique du

béton devrait être admis égal au module

sécant statique Ecm augmenté de 10%.

Les réquences et les masses modales

des plaques isotropes et orthotropes

ainsi que celles des poutres peuvent

être calculées manuellement par les

ormules contenues dans l’annexe A.

L’amortissement a une inluence importante

sur le comportement vibratoire d’un plancher.

La valeur de l’amortissement d’un système envibration peut être calculée indépendamment

des réquences et des masses modales en

considérant les valeurs données dans la Table

1. Ces valeurs prennent en compte l’inluence

de l’amortissement de la structure en onction

des diérents matériaux, de l ’amortissement

dû au mobilier et de celui dû aux initions.

L’amortissement D est obtenu par l’addition

des valeurs appropriées de D1 à D3.

Pour le calcul des caractéristiques dynamiques

du plancher, il est ortement conseillé

d’ajouter une raction réaliste des charges

d’exploitation (variables) à la masse même

du plancher (m, M). Suivant l’expérience

dans les bâtiments résidentiels et les

bureaux, les valeurs vont de 10 % à 20 %

des charges d’exploitation (variables).



3. dtermiti es crctristies es plcers

Table 1: Calcul de l’amortissement

Type Amortissement(% de l’amortissement critique)

Amortissement de la structure D1

Bois 6%

Béton 2%

Acier 1%

Mixte acier-béton 1%Amortissement du mobilier D2

Bureau de 1 à 3 personnes avec cloisons 2%

Bureau sans armoires ni étagères 0%

Bureau ouvert “open space” 1%

Librairie 1%

Résidentiel 1%

Ecoles 0%

Hall de sport 0%

Amortissement des fnitions D3

Faux-plaond 1%

Faux-plancher 0%

Chape fottante 1%

Amortissement total D = D1 + D2 + D3



4. CLaSSIFICaTIon dESVIBRaTIonS



4. Clssiicties vibrtis

La perception des vibrations par les personnes

et le sentiment individuel de gêne dépendent

de plusieurs aspects. Les plus importants sont :

l La direction de la vibration, même

si dans ce guide uniquement la

vibration verticale est considérée,

l La posture des personnes comme

être debout, allongée ou assise ;

l L’activité dans laquelle la personne se

trouve est importante pour sa perceptiondes vibrations; Une personne travaillant

dans une usine de production perçoit dié-

remment les vibrations que celle qui est

assise, concentrée, dans un bureau ou bien

eectuant une opération chirurgicale,

l L’âge et l’état de santé des personnes

rencontrées sont aussi des acteurs

importants conditionnant le sentiment

de gêne causé par les vibrations.

La perception des vibrations est doncun problème individuel qui ne peut être

décrit que d’une açon qui réponde aux

attentes de conort de la majorité.

Il est à noter que ce guide se penche uniquement

sur les vibrations qui touchent au conort des

occupants et non à l’intégrité de la structure.

Ain d’obtenir une procédure de vériication

universelle pour les vibrations d’origine

humaine, il est recommandé d’adopter comme

mesure la valeur OS-RMS. Cette valeur cor-

respond à l’oscillation harmonique causée

par un pas de réérence sur le plancher.

Comme l’eet dynamique de la marche sur

un plancher dépend de certaines conditionscomme, par exemple, le poids de la personne, la

vitesse de la marche, le type de chaussure ou du

revêtement, etc, il est recommandé de prendre

comme valeur de réérence 90 % de OS-RMS

(OS RMS90). L’indice « 90 » indique que 90

pourcent de toutes les valeurs OS-RMS sont

couvertes par cette valeur.

La Table 2 donne des recommandations

en onction des diérentes classes

et de l ’utilisation du plancher.



Table 2:Classiication des planchers et recommandations en onction de l’utilisation

Recommandé

Critique

Non recommandé

C l a s s e

L i m i t e i n f é r i e u r e

L i m i t e

s u p é r i e u r e

E n d r o i t s e n s i b l e

S a n t é

E d

u c a t i o n

R é s i d e n t i e l

B

u r e a u

R

é u n i o n

C o

m m e r c e

H ô t e l

I n

d u s t r i e l

S p o r t

OS-RMS90 utilisation du plancher

A 0.0 0.1

B 0.1 0.2

C 0.2 0.8

D 0.8 3.2

E 3.2 12.8

F 12.8 51.2

4. Clssiicti es vibrtis



5. PRoCéduREd’éVaLuaTIon ETdIaGRaMMES



5. Prcre’vlti etigrmmes

Une vue générale de la procédure d’évaluation

est montrée à la Figure 2. La méthode présente

3 étapes dans lesquelles la détermination des

caractéristiques dynamiques du plancher est la

plus complexe. C’est pourquoi des explications

générales sont données dans le chapitre 3 ainsi

que des méthodes simpliiées dans l’Annexe A.

Lorsque la masse modale et la réquence ont

été obtenues, la valeur de l’OS-RMS90 et la

classe d’acceptabilité du plancher peuvent être

déterminées grâce aux diagrammes suivants

(igures 4 à 12). Le choix du diagrammedépend de la valeur de l’amortissement du

plancher en condition réelle d’utilisation

(initions et mobilier compris), voir chapitre 3.

Les diagrammes ont été élaborés par l’institut

TNO Bouw, aux Pays-Bas dans le cadre de [1].

Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher:

- Fréquence propre- Masse modale- Amortissement

(Chapitre 3 ; Annexe A)

Lecture de la valeur d’ OS-RMS90(Chapitre 5)

Détermination de la classe d’acceptabilité(Chapitre 4)

Figure 2: Procédure d’évaluation



5. Prcre ’vlti et igrmmes

21

Figure 3: Principe d’applicationdes diagrammes

Le diagramme s’utilise en repérant la

masse modale sur l’axe des abscisses et

la réquence correspondante sur l’axe des

ordonnées. La valeur OS-RMS et la classe

d’acceptabilité sont directement lues au

point de coordonnées correspondantes.

F r e q u e n c y

o f t h

e

f l o o r [ H z ]

Modal Mass of the floor [kg]

B

F

E

D

C

A

: signie une zone en dehors du domaine tolérable




Masse modale du plancher (kg)

F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )

Classiication pour un amortissement de 1 %

B

F

E

D

C

A

Figure 4: OS-RMS90 pour un amortissement de 1 %






B

F

E

D

C

A





B

F

ED

C

A








annExE a FoRMuLES PouR unCaLCuL ManuEL

a.1 Frece prpre et msse mle es lles istrpes 32a.2 Frece prpre et msse mle es ptres 34a.3 Frece prpre et msse mle es lles rttrpes 35a.4 apprce pr le pis prpre pr l rece prpre 36a.5 apprce dkerley pr l rece prpre 37a.6 apprimti e l msse mle 38

31



M ; M = βmod

Fréquence ; Masse modale

α

β λ Ratio = L/B λ

)(. 21571 λ α +⋅=

16.00

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α


14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

42 145521571 λ λ α ... ++=

42442922145571 λ λ α .... ++=

β λ

9.00

8.00

7.00

6.00

5.00

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

λ

λ

16.00

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

42 145521571 λ λ α ... ++=

42442922145571 λ λ α .... ++=

)(. 21571 λ α +=

)1(12 2

3

2 υ

α

−=

m

t E f

β

λ

β

β

rapport = l/b

rapport = l/b

pour tout

λpour tout

λrapport = l/bλpour tout

l

l

l

l

b

b

b

a.1 Frece prpreet msse mle eslles istrpes

Les tableaux suivants permettent le

calcul de la réquence propre (selon [2])

et de la masse modale de dalles pour

diérentes conditions d’appuis.

Les équations prennent pour hypothèses

qu’il n’y a pas de glissement latéral

possible sur le pourtour des dalles.

Conditions d’appui :

encastré rotulé



3

2

α=

t E f ; M = βmod

α


)(. 21571 λ α +⋅=

16.00

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α


14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

Ratio = L/B λ

42 145521571 λ λ α ... ++=

42442922145571 λ λ α .... ++=

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

18.00

16.00

14.00

12.00

10.00

8.00

6.00

4.00

2.00

0.00

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

α

3

2

α=

t E f M ; M = βmod

Fréquence ; Masse modaleConditions d’appui :

encastré rotulé

E Module d’élasticité en N/m²

t Epaisseur de la dalle en m

m Masse suracique du plancher incluant

les nitions et une partie

représentative des charges variables

(voir Chapitre 3) en kg/m²

υ Coecient de Poisson

M tot Masse totale du plancher incluant les

nitions et une partie représentative

des charges variables en kg

42 4423321571 λ λ α ... ++=

42442722442571 λ λ α .... ++=

42 145133145571 λ λ α .... ++=

β

β

ββ 0.17

)1(12 2υ−m



λrapport = l/b

λpour tout

l

l

l

l

b

b

b

aee a Frmles pr clcl mel

33



a.2 Frece prpre etmsse mle es ptres

Conditions aux appuis Fréquence propre Masse modale

l M µ410mod =4370

34

l

EI f

µπ .

=

l M µ450mod =420

32

l

EI f

µπ .=

l M µ50mod =4490

32

l

EI f

µπ .

=

l M µ640mod =4240

3

2

1

l

EI f

µπ .=

Table 3: Calcul de la réquence propre des poutres

.

.

.

.

l

l

l

l

La réquence propre d’une poutre peut être

calculée à l'aide des ormules de la Table 3 pour

diérentes conditions d’appuis:

E Module d’élasticité [N/m²]

I Moment d’inertie [m4]

µ Masse suracique m du plancher

(voir p. 33) multipliée par la largeur

d'infuence [kg/m]

Longueur de la poutrel



y

x y

EI

EI

l

b

l

b

l m

EI f

+

+=42

41 212

π


35

a.3 Frece prpreet msse mle eslles rttrpes

Les planchers orthotropes, comme par exemple

les planchers mixtes avec des poutres dans

la direction longitudinale et la dalle portant

transversalement, ont des raideurs diérentes

suivant la longueur ou suivant la largeur

( EI x > EI y). Voir Figure 13 ci-dessous.

La réquence propre d’une dalle orthotrope

simplement supportée sur les quatre cotés est :

Figure 13: Dimensions et axes de réérence d’une dalle orthotrope

Avec :

m est la masse suracique du plancher incluant les nitions et une

partie représentative des charges variables (voir Chapitre 3) en

kg/m²,

l est la longueur du plancher en m (dans la direction X),

b est la largeur du plancher en m (dans la direction Y),

E est le module d’élasticité en N/m²,

I x est le moment d’inertie pour la fexion autour de l’axe Y en m4,

I y est le moment d’inertie pour la fexion autour de l’axe X en m4

.

xxxxxxxx

z

y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

l

b



a.4 apprce pr lepis prpre pr vlerl rece prpre

L’approche par le poids propre est une

approximation très pratique dans les cas où

la déormée maximaleδmax due à la masse

m est déjà connue comme par exemple

suite à des calculs par éléments inis.

Cette méthode a pour origine l’équation

générale de la réquence :

La raideur K peut être déduite par l’hypothèse :

Avec

M est la masse totale du système

en vibration,

m/s2 l’accélération de la

pesanteur et

est la déormation moyenne

[mm].

La valeur approximative de la

réquence propre est

Oùδmax est la déormée maximale sous

charges relatives à la masse m.

M

K

f π2

1

=

43

g M K =

δ

81.9 g =

43 δ

][

18

3

4

2

1

2

1

max mm

g

M

K f

δmaxδππ===




37

a.5 apprce dkerleypr vler lrece prpre

L’approche Dunkerley est une approximation

pour calculs manuels. Elle est applicable lorsque

la nature des vibrations semble très complexe

mais elle permet de diviser le problème en

plusieurs modes simples. La réquence propre

pourra alors être déterminée en utilisant les

ormules décrites aux paragraphes A.1 à A.3.

La Figure 14 montre un exemple d’un plancher

mixte avec deux poutres simplement appuyées

et une dalle béton libre aux extrémités.Le mode vibratoire escompté est divisé

en deux modes simples indépendants ; un

pour la dalle en béton, l’autre pour la poutre

mixte. Les deux ormes ont leur propre

réquence propre ( f 1 pour la vibration de la

dalle en béton et f 2 pour la poutre mixte).

Selon l’approche Dunkerley, la réquence

propre résultante f du système totale est:

...11112

3

2

2

2

1

2 +++= f f f f

Figure 14: Exemple de la décomposition des modes

Système initial :

Mode de la dalle béton :

Mode de la poutre mixte :



a.6 apprimti e lmsse mle

Figure 15: Application de charges pour l’obtentiondu mode escompté (exemple)

mode escompté:

Application des charges:

La masse modale peut être interprétée comme

la raction de la masse totale d’un plancher qui

est activée lorsque ce dernier oscille dans un

mode spéciique. Chaque mode de vibration a sa

réquence propre et sa masse modale spéciique.

Pour le calcul de la masse modale, le mode

doit être connu et être décrit en onction

relative à la déormation maximale. Puisque

le mode ne peut être déterminé par un calcul

manuel, des approximations du premiermode seront généralement utilisées.

De même, les analyses par éléments inis

(AEF) sont souvent utilisées en alternative

au calcul manuel. Si les programmes ne

ournissent pas la masse modale comme

résultat de l’analyse modale, le mode de

vibration peut être obtenu par l’application de

charges poussant la dalle vers la déormation

du mode escompté, voir Figure 15.

Si le mode vibratoire du plancher

peut être approché par une onction

normalisée δ(x,y) (c.a.d. |δ(x,y)|max =1,0)

la masse modale correspondante se

traduit dans l’équation suivante par:

Avec

µ est la distribution des masses

δ(x,y) est la déformée verticale au point x,y

Cette équation devient lorsque le

mode est calculé par AEF:

Avec

δi est la déormée verticale au nœud

i (relative à la déormée maximale)

dM i est la raction de masse représentée

au nœud i

Si la onction δ(x,y) représente la solution exacte

pour le mode vibratoire, l’équation décrite ci-dessus conduit alors à la masse modale.

dF y xM F

∫ = ),(2

mod µ ∑=i

ii dM M 2

modδ δnœud




39

Les eemplessivts illstret esclcls mels el msse mle

Exemple 1:

Dalle simplement appuyée surquatre cotés, ~

l approximation du premier mode de vibration:

l distribution de la masse

l masse modale

=

y x l

y

l

x y x

ππsinsin),(

y x l l

M =µ

4

sinsin),( 222

mod

y x y x F

M

dydxl

y

l

x

l l

M dF y xM

=

== ∫

ππµ

xl yl xl yl

01,(max

= y x .

δ

δ )

δ ∫ ∫ 0 0

l y l x



Exemple 2:

Dalle simplement appuyée auxquatre cotés, l x<<l y

l approximation du mode ondamental de vibration:

1. et

2.


l masse modale

20 xl y ≤≤ : y

x y l y

l l ≤≤−

2

=

y x l

y

l

x y x

ππsinsin),(

22

x y

x l l y

l −≤≤ : 0.1sin),(

=

xl

x y x

π

y x l l

M =µ

01),(max

= y x .

01),(max

= y x .

= ∫ F

dF y xM ),(2

mod µ

−=

y

x

l

l M 2

4

+

= ∫ ∫ ∫ ∫

−= l

l

l

x

y

y x y x

dydxl xdydx

l y

l x

l l M x

x

x sinsinsin20

22

0

2

0 0

22 y πππ = y

xl yl

xl xl 2 2

l x

2l

δ

δ

δ

δ

δ




41

Exemple 3:

Dalle portant dans une seule directionentre poutres, dalle et poutressimplement appuyées

l approximation du mode fondamental de vibration:

avec

δx = déormée de la poutre

δ y = déormée de la dalle considérant la

déormée des appuis (c.à.d. ladéormée de la poutre) comme nulle

δ = δx +δ y


l masse modale

+

=

y

y

x

x

l

y

l

x y x

π

δ

δπ

δ

δsinsin),(

y x l l

M =µ

xl

yl

01),(max

= y x .

+

+=

22

228

2 δ

δδ

πδ

δδ y x y xM 2

+

== ∫ ∫ ∫

2

2

mod sinsin),( πδδπ

δδµ l l

y

y

x

x

y x F

dydxl y

l x

l l M dF y xM

x y

0 0

δ

δ

δ



annExE B ExEMPLES

B.1 dlle fligre (pr-lle) vec ptre celllire aCB mite (bâtimet e bre) 44B.1.1 descripti plcer 44B.1.2 dtermiti es crctristies ymies plcer 47B.1.3 Evlti 47B.2 Bâtimet e bre à 3 ive 48B.2.1 Itrcti 48B.2.2 descripti plcer 48B.2.3 dtermiti es crctristies ymies plcer 50B.2.4 Evlti 51



B.1 dlle iligre (pr-lle)vec ptre celllire aCBmite (bâtimet e bre)

Dans ce premier exemple de bureaux ouverts

dits « open space », le comportement d’un

plancher coulé sur pré-dalles avec aux-

plancher est contrôlé par rapport à la marche.

La dalle porte sur 4,2 m entre poutres.

L’épaisseur totale est de 160 mm. Les poutres

principales sont des poutres cellulaires

ArcelorMittal (ACB) agissant comme poutres

mixtes. Elles sont connectées aux poteaux

verticaux avec un assemblage d’encastrement.

La vue en plan est donnée à la Figure 18.

Pour une analyse vibratoire, il est suisant

d’étudier seulement une partie du plancher

(travée représentative du plancher). La partie

représentative du plancher à considérer dans cet

exemple est indiquée en hachuré à la Figure 18.

B.1.1 Descriptiondu plancher

Figure 16: Structure du bâtiment

Figure 18: vue en plan

Figure 17: Assemblagepoutre-poteau

y

x

1 . 0

1 . 0

4 . 2

1 6 . 8

2 3 . 0

3.2 4.2 1.0

4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 1.0 8.41.0 1 . 0

2 1 . 0

1 . 0

1 6 . 8

3 9 . 8

1 5 . 8

1 . 0

4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 1.01.0

31.4

[m]



.

45

aee B Eemples

Pour les poutres de 16,8 m de portée, les

proilés ACB/HEB/HEM400 de qualité S460

ont été choisis, celles plus petites de 4,2 m

sont des ACB/HEM360, aussi en S460.

Les poutres transversales qui portent dans

la direction globale X sont négligées pour

les calculs, puisqu’elles ne contribuent pas

au transert des charges de la structure.

Figure 19: Section transversale

Les propriétés nominales des matériaux sont

Comme annoncé dans le chapitre 3, le

module élastique nominal du béton sera

augmenté pour les calculs dynamiques par :

Le mode de vibration escompté qui correspond

à la réquence propre de la partie du plancher

est dessiné à la Figure 20. De par le mode

représenté ici, on peut conclure, pour les calculs

dynamiques suivants, que chacun des champs de

la dalle se comporte comme simplement appuyé.

De même pour les conditions aux appuis de la

poutre principale, suivant le type d’assemblage

poutre-poteau montré à la Figure 17, il semble

évident que pour des aibles amplitudes

comme celles rencontrées dans l’analyse

des vibrations, la rigidité rotationnelle de

l’assemblage est suisante pour permettre

de considérer la poutre comme encastrée.

l Acier S460: E s = 210000 N/mm², f y = 460 N/mm²

l

Béton C25/30: E cm = 31000 N/mm², f ck = 25 N/mm²

²/100341.1, mm N E E cmdync ==

Figure 20: Mode escomptécorrespondant à lapremière réquencepropre de la partiedu plancher

1 6 0

HE400B

HE400M

2 8 7 . 9

5

3 0 4 . 0

5

5 9 2

7 6 . 9

5

4 2 2

9 3 . 0

5

[mm]



Propriétés de la section Charges

Dalle:l Poids propre (avec 1.0 kN/

m² pour le aux-plancher):

l

Charge variable: généralement une chargevariable de 3 kN/m² est recommandée

pour les bâtiments de bureaux. La raction

de charge variable considérée pour le

calcul dynamique est d’environ 10 %

de la charge variable totale, d’où

Poutre principale:l Poids propre (avec 2,00 kN/m pour l’ACB) :

l Charge variable:

3 50.12510160 kN g =+××= −

3.00.31.0q =×=

00.230.222

2.40.5 g =+××=

22

2.43.0q =××=

2m

kN 2m

kN m

kN m

Dalle:Les propriétés de la dalle suivant:

la direction globale X sont :

Poutre principale:La largeur participante de la poutre mixte

est obtenue par l’équation suivante

en considérant le mode ondamental

de vibration décrit auparavant :

Les propriétés de la section nécessaires pour les

états limites de service (sans issuration) sont :

Aa,net = 21936 mm2

Aa,total = 29214 mm2

Ai = 98320 mm2

I i = 5.149 x 109 mm4

mmmm A xc

2

, 160=

mmmm I xc 45, 1041.3 ×=

l l bbb eff eff eff

88

002,1,

=

+=+=

m94.28

8.167.02 =××

dalle

dalle

dalle

poutre

1.26



66

47

aee B Eemples

Fréquence propre

La fréquence propre est calculée selon l’approche

du poids propre. La déformée maximale totale

sera obtenue par superposition de la déformée

de la dalle et de celle de la poutre principale :

Avec

La déormée maximale est

La première réquence propre sera alors

obtenue (suivant l’Annexe A.4) par

Masse modale

La masse totale de la dalle est

Suivant l’exemple 3 du chapitre A.6, la

masse modale de la dalle se calcule par

B.1.2 Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher

Amortissement

Le rapport d’amortissement de la dalle acier-

béton avec aux-plancher se déduit de la

Table 1:

D = D 1 + D 2 + D 2 = 1 + 1+ 1 = 3%

Avec

D 1 = 1,0 (dalle acier-béton)

D 2 = 1,0 (bureau ouvert)

D 3 = 1,0 (aux-plancher)

Selon les caractéristiques modales

calculées ci-dessus, le plancher est de

classe C (Figure 6). La valeur OS-RMS90

espérée est d’environ 0,5 mm/s.

Suivant la Table 2, la classe C ait partie du

domaine recommandé pour les bâtiments

de bureaux, l’exigence est donc remplie.

B.1.3 Evaluation

δδδ +=

mm9.11041.334100384

420010)3.00.5(55

43

=×××

××+×=

−

δ

δ

mm.6.49.1 =+=δ

Hz f .7.6

181 ==

kg M 373972.48.1610)3.05( 2 =×××+=

kg M .6

.49.18

.62

.49.137397

222

22

mod =

××+

×

+×=

π

max

max

dalle

dalle

poutre

poutre mm10149.5210000384

16800)0.23(19

4=

××××+×= 1.26

4.7

6

6

7

0

7

6

74172



B.2 Bâtimet ebre à 3 ive

La méthode procure, en général, des résultats

sécuritaires lorsqu’elle est appliquée à travées

simples utilisant le mode issu de la réquence

propre.

Cependant, dans les cas spéciaux où la masse

modale provenant d’un mode plus élevé a une

valeur suisamment basse, signiiant ainsi queles modes plus élevés doivent être considérés,

l’exemple suivant s’applique.

B.2.1 Introduction Figure 21: vue d’ensemblede la structure

Figure 22: Vue en plan du plancher avec désignation des sections en acier.

IPE600 IPE600 IPE600

IPE600 IPE600 IPE600

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

I P E 6 0 0

9 x 2.5

7 . 5

A B C D1

2

[m]

La portée du plancher de ce bâtiment, voir

Figure 21, est de 15 m de bord à bord. Les

poutres secondaires sont des IPE600 et ont

un entre-axe de 2,5 m. Les poutres primaires

de rives, de portée 7,5 m de poteau à poteau,

sont aussi des IPE600, voir Figure 22.

B.2.2 Descriptiondu plancher



aee B Eemples

Figure 23: Compositiondu plancher avecCoradal 70

Propriétés des sections

Dalle (transversale aux poutres; E=210000 N/mm²): A = 1170 cm²/m

I = 20355 cm4/m

Poutre mixte(be = 2,5m; E=210000 N/mm²):

A = 468 cm²

I = 270089 cm4

Charges

Dalle (transversale aux poutres ; E=210000 N/mm²):Charge permanente

g = 3.5 kN/m² (poids propre)

g = 0.5 kN/m² (poids propre) g + g = 4.0 kN/m² (charge permanente)

Charge variable

q = 3.0 x 0.1 = 0.3 kN/m²

(10% des charges variables totales)

Poutre mixte(be = 2,5m; E=210000 N/mm²):Charge permanente

g = (3.5+0.5) x 2.5 + 1.22 = 11.22 kN/m

Charge variable

q = 0.3 x 2.5 = 0.75 kN/m

l Acier S235: E s = 210000 N/mm², f y = 235 N/mm²

l Béton C25/30: E cm

= 31000 N/mm², f ck

= 25 N/mm²

E c, dyn = 1.1 E cm = 34100 N/mm²

La dalle est une dalle mixte d’épaisseur totale

de 15 cm avec un bac acier COFRASTRA 70,

Figure 23. Pour plus d’inormations concernant

COFRASTRA 70, voir www.arval-construction.fr .

Les propriétés nominales des matériaux sont

Pour les calculs dynamiques (analyse

vibratoire) le module sécant élastique

sera augmenté selon le Chapitre 3



Conditions d’appuis

Les poutres secondaires aboutissent sur des

poutres primaires qui sont des sections

ouvertes à aible raideur de torsion.

Ces poutres seront donc considérées

comme simplement appuyées.

Fréquence propre

Pour cet exemple, la réquence propre est

calculée suivant trois méthodes: la ormule

de la poutre négligeant la raideur transversale

du plancher, la ormule des dalles orthotropes

et la méthode du poids propre en prenant

en compte la raideur transversale.

l Application de l’équation de la

poutre (Chapitre A.2):

l Application de l’équation des dalles

orthotropes (Chapitre A.3):

B.2.3 Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher

400.1.4

27008921000

203553410

15

5.2

15

5.221

151220

1027008910210000

2

212

42

4

86

42

41

=×=

×

×

+

+

×

×××=

+

+=

−π

π

y

x y

EI

EI

l

b

l

b

l m

EI f

Hz .8 8

×

mkg mkN p /122081.9/100097.11/97.11 =×=⇒= µ

l

EI f

15122049.0

102700891021000032

49.0

324

86

4=

××

××××==

−

πµπ Hz 4.8



aee B Eemples

l Application de la méthode du poids

propre (Chapitre A.4):

Masse modale

La détermination de la réquence propre a montré ci-

dessus que le comportement dynamique du plancher

peut être assimilé au modèle d’une poutre simple. Ce

même modèle sera aussi utilisé pour la masse modale.

Amortissement

Le rapport d’amortissement de la dalle acier-béton

avec aux-plancher se déduit de la Table 1:

Avec

D1 = 1,0 (dalle acier-béton)

D2 = 1,0 (bureau ouvert)

D3 = 1,0 (aux-plaond)

Selon les caractéristiques modales

calculées ci-dessus, le plancher est de

classe D (Figure 6). La valeur OS-RMS90

espérée est d’environ 3,2 mm/s.

Suivant la Table 2, la classe C ait partie du

domaine recommandé pour les bâtiments

de bureaux, l’exigence est donc remplie.

B.2.4 Evaluation

%3111321 =++=++= D D D D

kg l M 91501512205050mod =××== µ ..

δδδ +=

mm3.0100355.234100384

2500103.455

43=

××××××= −δ

mm9.1310270089210000384

1500097.1154

4

=×××

××=δ

mm2.149.133.0 =+=δ

Hz f .4

2.14

181 ==⇒ 8

max

max

dalle

dalle

poutre

poutre



Réérences :

[1] European Commission – Technical Steel Research: “Generalisation o criteria or foor

vibrations or industrial, oce, residential and public building and gymnastic halls”, RFCS

Report EUR 21972 EN, ISBN 92-79-01705-5, 2006, http://europa.eu.int

[2] Hugo Bachmann, Walter Ammann: “Vibration o Structures induced by Man and Machines”

IABSE-AIPC-IVBH, Zürich 1987, ISBN 3-85748-052-X

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guide pour le controle vibrato ire des planchers

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