- 61 -

2.4 Μεταφορά ενέργειας από τα Η/Μ κύματα. Ένταση του φωτός

Βασικό χαρακτηριστικό των Η/Μ κυμάτων είναι ότι μεταφέρουν ενέργεια, ορμή και στροφορμή. Η εφαρμογή της αρχής της διατήρησης της ενέργειας, οδηγεί στην ανάδειξη αναλυτικών σχέσεων (συναρτήσει της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E και της μαγνητικής επαγωγής B ) για τα μεγέθη της πυκνότητας u (ηλεκτρικής και μαγνητικής ανά μονάδα όγκου) καθώς και της ροής S (ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας) της ενέργειας του πεδίου. Η S σχετίζεται με ένα θεμελιώδες για την Οπτική ενεργειακό μέγεθος που ονομάζεται ένταση του φωτός (irradiance), στο οποίο αποκρίνονται οι διάφοροι σε κοινή χρήση ανιχνευτές της ορατής περιοχής του Η/Μ φάσματος. Πράγματι ένας άλλος σπουδαίος παράγοντας (εκτός της συμφωνίας (Κεφ. 6)), που αφορά τη μελέτη του συσχετισμού των Η/Μ διαταραχών, είναι και ο τρόπος ανίχνευσής τους. Οι γνωστοί ανιχνευτές φωτός που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι: ο αμφιβληστροειδής του ματιού μας, τα φωτογραφικά films, οι φωτοδίοδοι, οι φωτοαντιστάσεις, οι φωτοπλασιαστές, οι C.C.D. κάμερες κ.λ.π.. Η ιδιαιτερότητα των παραπάνω ανιχνευτών, οφείλεται στο ότι η ‘μέτρηση’ της Η/Μ ακτινοβολίας (αναφερόμαστε εδώ για την ορατή περιοχή του φάσματος), διαρκεί για μεγάλο χρονικό διάστημα σε σχέση με την περίοδο Τ του κύματος. Πράγματι για το αρμονικά εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο στην προαναφερόμενη περιοχή συχνοτήτων (όπου 1410 Hzν ) θα είναι:

141 10 sT ν −= . Δηλ. πρόκειται για ένα ταχύτατα μεταβαλλόμενο μέγεθος. Ας υποθέσουμε τώρα ότι διαθέτουμε ένα ανιχνευτή με χρόνο απόκρισης (response time) 610 sT −′ . Σαν χρόνο απόκρισης αυτού του οργάνου θα μπορούσαμε (με όχι πολύ αυστηρό τρόπο) να χαρακτηρίσουμε το ελάχιστο χρονικό διάστημα κατά τη διάρκεια του οποίου ο ανιχνευτής έχει τη δυνατότητα να μετρήσει (‘ν’ αντιληφθεί’) ένα γεγονός ανεξάρτητο από ένα άλλο που ακολουθεί. Με βάση τα προαναφερόμενα, ο ανιχνευτής με 610 sT −′ δεν θα έχει τη δυνατότητα να ‘καταγράψει’ αλλαγές γεγονότων που συμβαίνουν με συχνότητα ( )61 10 Hz 1MHzTν ′ ′= > . Επειδή όμως για την ορατή

περιοχή του φάσματος η περίοδος είναι περίπου 1410 sT − , τότε τα ‘γεγονότα’ (περίοδοι) που θα δέχεται ο προαναφερόμενος ανιχνευτής στο διάστημα των

610 sT −′ θα είναι: N = 6 14 810 10 10N T T − −′= = = . Βλέπουμε δηλ. ότι στο ελάχιστο χρονικό διάστημα που μπορεί ν’ ανιχνεύσει ευκρινώς δέχεται 810 περιόδους της μεταβολής του E . Πόσο μάλλον θα μπορούσε ν’ ανιχνεύσει (και να μετρήσει) στιγμιαία τιμή του ηλεκτρικού πεδίου!!!

- 62 -

Αυτός είναι ο λόγος, για τον οποίο οι συνήθεις ανιχνευτές στην πραγματικότητα μετρούν το ενεργειακό αποτέλεσμα ενός προσπίπτοντος Η/Μ κύματος (στην προκειμένη περίπτωση του φωτός), για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα σε σχέση με την περίοδό του. Από φυσική άποψη η διαδικασία αφορά τον υπολογισμό της μέσης χρονικής τιμής (για τον χρόνο μέτρησης), του μέτρου του διανύσματος Poynting. Το συγκεκριμένο διάνυσμα εκφράζει τη στιγμιαία τιμή της ενέργειας ανά μονάδα χρόνου που διέρχεται από τη μονάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδοσης της Η/Μ ακτινοβολίας. Δηλ. τελικά οι ανιχνευτές μετρούν το μέγεθος το οποίο ονομάσαμε ένταση του φωτός και εκφράζεται σε μονάδες 2W m . Ανακεφαλαιώνοντας είναι απαραίτητο επίσης ν’ αναφέρουμε ότι οι ανιχνευτές που θα χρησιμοποιήσουμε για μετρήσεις έντασης του φωτός, έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό ότι ο χρόνος ολοκλήρωσής τους (διάρκεια της μέτρησης) είναι πολύ μεγαλύτερος του χρόνου συμφωνίας της ακτινοβολίας που εκπέμπουν οι συγκεκριμένες πηγές. Σαν χρόνο συμφωνίας μπορούμε να ορίσουμε με όχι πολύ αυστηρό τρόπο τη χρονική διάρκεια των εκπεμπόμενων κυματοσυρμών. Μια ενδεικτική τιμή αυτού του χρόνου μπορούμε να θεωρήσουμε (για την περίπτωση των χαοτικών πηγών, όπως είναι μια πηγή λευκού φωτός) το χρόνο διέγερσης – αποδιέγερσης των ατόμων ( )810 sτ − κατά τη διαδικασία παραγωγής του

φωτός. Πρέπει ν’ αναφέρουμε τέλος ότι έχουν αναπτυχθεί ανιχνευτές οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να καταμετρούν ένα προς ένα προσπίπτοντα σ’ αυτούς φωτόνια ή ομάδες μικρού αριθμού φωτονίων. Πρόκειται για τους λεγόμενους κβαντικούς καταμετρητές (quantum counters). Τέτοιου είδους ανιχνευτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την έρευνα φαινομένων που άπτονται της σωματιδιακής φύσης των οπτικών πεδίων (φωτονική θεωρία) με την οποία ασχολούνται τομείς της θεωρητικής φυσικής όπως είναι η κβαντική ηλεκτροδυναμική (Q.E.D.). 2.4.1 Η αρχή της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο.

Το διάνυσμα Poynting∗

Σκοπός μας είναι να βρούμε τρόπο για να εκφράσουμε την αρχή της διατήρησης της ενέργειας που οφείλεται αποκλειστικά στο Η/Μ πεδίο. Για το λόγο αυτό, θεωρούμε ένα πεπερασμένο όγκο V στο εσωτερικό του οποίου περιλαμβάνεται εκτός του πεδίου και ύλη. Τότε η συνολική ενέργεια του πεδίου ελαττώνεται: α) επειδή υπάρχει ροή ενέργειας προς το εξωτερικό του

∗ R.Feynman, R.Leighton & M.Sands: “The Feynman Lectures on Physics” vol.II 27-2 .

- 63 -

προαναφερομένου όγκου (ακτινοβολούμενη ενέργεια) και β) επειδή το πεδίο εκτελεί έργο στην ύλη. Αν υποθέσουμε ότι με u συμβολίζουμε την πυκνότητα ενέργειας του πεδίου (ενέργεια ανά μονάδα όγκου), τότε η συνολική ενέργεια στο εσωτερικό του όγκου V θα είναι:

V

udV∫∫∫ (2.4.1.1)

και ο λόγος της ελάττωσής της θα δίνεται από τη χρονική παράγωγο αυτού του ολοκληρώματος. Η ροή της ενέργειας του πεδίου προς τα εξωτερικά του όγκου V θα είναι το επιεπιφάνειο ολοκλήρωμα του S (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας) υπεράνω της Σ που περικλείει τον όγκο V . Δηλ. dα

Σ

⋅∫∫S n (2.4.1.2)

όπου n η μοναδιαία κάθετος στη στοιχειώδη επιφάνεια da . Επομένως θα έχουμε τελικά:

V

udV dαt Σ

∂− = ⋅ +∂ ∫∫∫ ∫∫S n (χρονικός ρυθμός του εκτελούμενου έργου στην ύλη,

που περιλαμβάνεται στο εσωτερικό του όγκου V ). (2.4.1.3) Η (σχ. 2.4.1.3) αποτελεί μια τοπική έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας για το Η/Μ πεδίο. Δεδομένου όμως ότι η ύλη αποτελείται από κινούμενα φορτία, τότε στο καθένα από αυτά (επειδή βρίσκονται υπό την επίδραση του πεδίου), θα ασκείται μία δύναμη Lorentz της μορφής

( )ΒυEF ×+= q και επειδή ο ρυθμός του εκτελουμένου έργου (ισχύς) δίνεται από τη γνωστή σχέση ⋅F υ θα έχουμε: q⋅ = ⋅F υ E υ . Αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν N ‘σωματίδια’ ανά μονάδα όγκου θα είναι: Nq⋅ = ⋅F υ E υ . Αλλά είναι γνωστό ότι jυ =Nq , όπου j η πυκνότητα του ρεύματος ( σ=j E με σ την αγωγιμότητα του υλικού), οπότε: Nq ⋅ = ⋅E υ E j . Τότε το ολοκλήρωμα όγκου της τελευταίας σχέσης μας δίνει το ρυθμό του εκτελούμενου έργου από το πεδίο στην ύλη που βρίσκεται στο εσωτερικό του όγκου V . Επομένως η (σχ. 2.4.1.3) γράφεται:

- 64 -

V

udV da dV t Σ

∂− = ⋅ + ⋅∂ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫S n E j (2.4.1.4)

και αποτελεί την ολοκληρωτική έκφραση της αρχής της διατήρησης της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. Με τη βοήθεια του θεωρήματος των Ostrogradsky – Gauss θα έχουμε:

V

da dVΣ

⋅ = ∇∫∫ ∫∫∫S n S . Η τελευταία αν αντικατασταθεί στη

(σχ. 2.4.1.4) βρίσκουμε:

V V V

u dV dV dV t∂

− = ∇ + ⋅∂∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫S E j (2.4.1.5)

Προκειμένου η (σχ. 2.4.1.5) να ικανοποιείται για οποιοδήποτε όγκο V , θα πρέπει για τις υπό ολοκλήρωση ποσότητες να ισχύει:

jES ⋅+∇=∂∂

− tu (2.4.1.6)

που αποτελεί τη διαφορική έκφραση της τοπικής αρχής της διατήρησης της ενέργειας για το Η/Μ πεδίο. Παρά το ότι τα μεγέθη u (ενέργεια πεδίου ανά μονάδα όγκου) και S (ροή της ενέργειας ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας) δεν μπορούν να εκφραστούν μονοσήμαντα συναρτήσει των E και B από τη (σχ. 2.4.1.6), εντούτοις με τη βοήθεια των εξισώσεων Maxwell (σχ. 2.1.13.12) και τη (σχ. 2.1.13.15) και την ιδιότητα: ( ) ( ) ( )∇ ⋅ × = ⋅ ∇× − ⋅ ∇×B E E B B E

o Poynting (1884) κατόρθωσε ν’ αποδείξει ότι για δυναμικά πεδία οι εκφράσεις των u και S στο κενό είναι οι εξής:

BBΕΕ ⋅+⋅= οο

22

2cεεu (2.4.1.7)

2

0cε= ×S E B (2.4.1.8) Η (σχ. 2.4.1.7) εκφράζει την ενέργεια ανά μονάδα όγκου στην περιοχή ενός δυναμικού (δηλ. χρονικά μεταβαλλόμενου) Η/Μ πεδίου. Βλέπουμε ότι

- 65 -

αποτελείται από δύο προσθετέους οι οποίοι με τη σειρά τους εκφράζουν τις πυκνότητες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Είναι φανερό ότι η σχέση 0 /2eu ε= ⋅E E , είναι πανομοιότυπη με αυτήν της πυκνότητας ενέργειας για το ηλεκτροστατικό πεδίο (π.χ. μεταξύ των παραλλήλων οπλισμών ενός φορτισμένου πυκνωτή). Επίσης η σχέση 2m 0u μ= ⋅B B/ είναι πανομοιότυπη με αυτήν της πυκνότητας ενός μαγνητοστατικού πεδίου (π.χ. στο εσωτερικό ενός μακρού σωληνοειδούς που διαρρέεται από ρεύμα έντασης I ). Το διάνυσμα S γνωστό σαν διάνυσμα Poynting, παριστάνει τη στιγμιαία τιμή της ροής της ενέργειας στο Η/Μ πεδίο. Δηλ. τη διακινούμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης ( )×E B του

Η/Μ κύματος. 2.4.2 Η ένταση του φωτός (Irradiance) Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να δούμε τον τρόπο με τον οποίο το διάνυσμα Poynting S (ή η πυκνότητα ενέργειας u ), χρησιμεύουν για τον προσδιορισμό του μεγέθους της έντασης του φωτός. Για το λόγο αυτό επιλέγουμε – χωρίς να παραβιάζεται η γενικότητα – μια περιοχή στο κενό, ό-

(Σχ. 2.4.2.1)

που διαδίδεται ένα επίπεδο Η/Μ κύμα (Σχ. 2.4.2.1α) προς ορισμένη διεύθυνση. Θεωρούμε ένα πεπερασμένο όγκο ΔV στο εσωτερικό του διαδιδόμενου πεδίου, με τη μορφή παραλληλεπιπέδου μήκους Δl (κατά τη διεύθυνση διάδοσης) και διατομής ΔA (Σχ. 2.4.2.1β). Κατόπιν εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας (σχ. 2.4.1.4) με την προϋπόθεση βέβαια ότι στο εσωτερικό του όγκου ΔV δεν υπάρχει ύλη και η πυκνότητα ενέργειας του πεδίου είναι u . Θα πρέπει τότε η χρονική μεταβολή της u στον ΔV να είναι ίση με τη ροή της ενέργειας από την επιφάνεια ΔΣ που περικλείει τον προαναφερόμενο όγκο. Δηλαδή:

- 66 -

V

u dV dat Σ

∂− = ⋅∂ ∫∫∫ ∫∫S n ή ΔA

ΔtVuΔ

⋅=− S (2.4.2.1)

Πράγματι επειδή στο συγκεκριμένο παράδειγμα θεωρούμε τη διάδοση επιπέδου κύματος, η ενέργεια εξέρχεται μόνο από την επιφάνεια ΔA (δηλ. ρέει προς τη διεύθυνση z ) του όγκου ΔV (Σχ. 2.4.2.1β) για χρόνο έστω Δt . Άρα θα είναι η ενέργεια που περιλαμβάνεται στο εσωτερικό του όγκου ΔV Δl ΔA cΔt ΔA= ⋅ = ⋅ . Επομένως από τη (σχ. 2.4.2.1) βρίσκουμε: uc=S (2.4.2.2)

Εξαιτίας της τελευταίας σχέσης, ο ορισμός της έντασης του φωτός μπορεί να γίνει ισοδύναμα: α) είτε μέσω του S , β) είτε μέσω της u .

α) δια επίπεδο Η/Μ κύμα θα έχουμε: ( ) ( )0 0cos , cost kz t kzω ω= − = −E E B B (2.4.2.3) Επομένως με βάση τη (σχ. 2.4.1.8): ( )2 2 2

0 0 0 0 cosc c t kzε ε ω= × = × −S E B E B (2.4.2.4)

Όμως μεταξύ των πλατών 0E και 0B υφίσταται η (σχ. 2.1.15.18): c=0 0B E

ή 0 0B E c= οπότε: 20 0 0E c× =E B . Τότε:

( )2 2 2

0 0 0 cosc cE t kzε ε ω= × = −S E B (2.4.2.5)

Η τελευταία μας δίνει τη στιγμιαία τιμή της διακινούμενης ενέργειας ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Επικαλεσθήκαμε στην εισαγωγή αυτού του κεφαλαίου τις πολύ υψηλές τιμές των συχνοτήτων ταλάντωσης των πεδίων για την ορατή περιοχή του Η/Μ φάσματος ( )1410 Hz γεγονός που καθιστά αποτρεπτική την προσπάθεια

‘μέτρησης’ τους από κοινούς ανιχνευτές με χρόνο απόκρισης ακόμα και της τάξης των ( )610 s− . Για το ίδιο ακριβώς λόγο δεν μπορεί να μετρηθεί ούτε η

στιγμιαία τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting επειδή μάλιστα η

- 67 -

συχνότητά του έχει διπλάσια τιμή αυτής των πεδίων ( )2cos 1 cos 2θ θ= − . Από

το γεγονός αυτό οδηγούμαστε στο να υιοθετήσουμε ένα μετρήσιμο μέγεθος ενεργειακής φύσης για το πεδίο. Πρόκειται για τη μέση χρονική τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting S , όπου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο

χρόνος ολοκλήρωσης είναι η διάρκεια μέτρησης του ανιχνευτή. Τότε από τη (σχ. 2.4.2.5) βρίσκουμε:

( ) ( )2 2 2 20 0 0 0

0 0

1 1 cos cosI dt cE t kz dt cE t kzτ τ

τε ω ε ω

τ τ⎡ ⎤

= = = − = − ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫S S

20 0

12

I cEε= =S (2.4.2.6)

όπου 0E το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, τ ο χρόνος

ολοκλήρωσης και ( )2cos 1 2t kzτ

ω − = (βλ. Άσκ. 5). Η ποσότητα I

μετρούμενη σε 2W m ονομάζεται ένταση του φωτός (irradiance) και αποτελεί το μετρούμενο από τους συνήθεις ανιχνευτές μέγεθος. β) Γνωρίζουμε ότι η πυκνότητα ενέργειας στον όγκο ΔV του πεδίου δίνεται από τη (σχ. 2.4.1.7):

22 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2ε ε c ε E ε c B ε E ε c Eu ε E

cο ο ο ο ο ο

ο⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ε Ε B B (2.4.2.7)

Όπου B E c= και ( )0 cosE E t kzω= − . Άρα η ενέργεια που διέρχεται από την

επιφάνεια ΔA σε χρόνο Δt , είναι αυτή που περιλαμβάνεται στον όγκο ΔV δηλ. η ( )uΔV u cΔt ΔA= . Επομένως η διερχόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου

και ανά μονάδα επιφάνειας θα είναι:

( ) ( )2 2 20 0 0 cos

u cΔt ΔAcu cE cE t kz

Δt ΔAε ε ω

⋅= = = = −

⋅S (2.4.2.8)

Οπότε η λήψη της μέσης χρονικής της τιμής (δηλ. η ένταση του φωτός), μας οδηγεί σε μια πανομοιότυπη έκφραση όπως αυτή της σχέσης (σχ. 2.4.2.6).

- 68 -

Παράδειγμα Η ισχύς εξόδου ενός εργαστηριακού Laser αερίου He-Ne είναι

3mWP = . Γνωστού όντως ότι το μέτωπο κύματος της εξερχόμενης δέσμης είναι επίπεδο και ότι η διάμετρός της είναι 2mmd = να υπολογιστούν: α) Το πλάτος 0E της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και β) το πλάτος 0B της μαγνητικής επαγωγής.

• α) Από τη (σχ. 2.4.2.6) έχουμε: ( ) 20 01 2I cEε= όπου I P A= με A το

εμβαδόν της διατομής της δέσμης. Επειδή ( )2 6 22 3.14 10 mA dπ −= = × , τότε 3 20.955 10 W mI = × θα είναι η τιμή της έντασης του φωτός. Έχουμε επίσης:

( )0 02E I cε= και επειδή 120 8.842 10 F mε −= × και 82.9979 10 m sc = ×

βρίσκουμε: 0 848V mE = . β) Με βάση επίσης τη σχέση 0 0B E c= θα είναι: 6

0 2.82 10 TeslaB −= × .

Η (σχ. 2.4.2.6) μας δίνει την ένταση του φωτός σαν μέση χρονική τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting για την περίπτωση της διάδοσης της ακτινοβολίας στο κενό, όπου η S περιγράφεται από τη (σχ. 2.4.2.5). Όταν

όμως η ακτινοβολία διαδίδεται στο εσωτερικό οπτικού μέσου ομογενούς, ισοτρόπου και γραμμικού, του οποίου ο δ.δ είναι n τότε η (σχ. 2.4.2.5) παίρνει τη μορφή:

( ) ( )2 2 2 2

0cos cost kz E t kzευ ω ευ ω= × − = −S E B (2.4.2.9)

όπου υ η ταχύτητα του φωτός στο μέσον και ε η αντίστοιχη διαπερατότητά του. Τότε θα έχουμε:

20

0

1 12

I dt Eτ

ευτ

= = =∫S S (2.4.2.10)

Επειδή όμως n c υ= ,

0ek ε ε= και 2en k= όπου ek η διηλεκτρική σταθερή

του μέσου, τότε από τη σχέση (σχ. 2.4.2.10) βρίσκουμε:

2

2 ο= ΕcεnI ο (2.4.2.11)

δηλ. η ένταση θα είναι όπως αυτή στο κενό, πολλαπλασιασμένη επί το δ.δ. του μέσου.

- 69 -

2.5 Μεταφορά ορμής από τα Η/Μ κύματα. Πίεση ακτινοβολίας

Είναι γνωστό και πειραματικά αποδεδειγμένο ότι αν Η/Μ ακτινοβολία προσπέσει σ’ ένα σώμα θα του μεταδώσει ορμή. Δηλ. πάνω του ασκείται μια πίεση. Θα θεωρήσουμε αρχικά ότι το σώμα είναι μέτριας αγωγιμότητας ( 1 , 1e mk k ) γεγονός που θα έχει σαν συνέπεια την απορρόφηση από αυτό της Η/Μ ακτινοβολίας . Έστω τώρα ότι ένα επίπεδο μέτωπο κύματος πέφτει κάθετα σ’ αυτό. Κατά την πρόσκρουση (Σχ. 2.5.1), το πεδίο E του κύματος αναγκάζει τους ηλεκτρικούς φορείς του υλικού να κινηθούν και δημιουργεί ένα ρεύμα πυκνότητας σ=j E . Τότε το μαγνητικό πεδίο του κύματος επαγωγής B δρα πάνω στον καθένα τους με μια δύναμη q= ×F υ B (δύναμη Lorentz)

όπου q το φορτίο ενός εκάστου και υ η ταχύτητα της διατεταγμένης κίνησης

των φορέων λόγω του πεδίου E . Αν τώρα θεωρήσουμε ένα στοιχειώδη όγκο dV

(Σχ. 2.5.1) του υλικού, τότε η συνολικά ασκούμενη δύναμη στον τελευταίο θα είναι: ndV ndVq= = ×F F υ B (2.5.1)

όπου n ο αριθμός των φορέων ανά μονάδα όγκου. Η τελευταία σχέση μετασχηματίζεται ως εξής:

- 70 -

( )ndVq nq dV dV= × = × = ×F υ B υ B j B (2.5.2)

όπου nq=j υ είναι η πυκνότητα του ρεύματος με διαστάσεις 2/ mΑ . Τελικά η

ασκούμενη δύναμη στον αγωγό ανά μονάδα όγκου θα είναι: ( ). . 0 1u v mkμ= × = × ≅F j B j H (2.5.3)

Η διεύθυνση της δύναμης αυτής όπως φαίνεται και από το (Σχ. 2.5.1) είναι αυτή της πρόσπτωσης του κύματος.

Αν τώρα υποθέσουμε ότι το μέτρο της επιφάνειας dS (του στοιχειώδους όγκου dV dSdl= ) είναι ίση με τη μονάδα και το πάχος του dl τότε η στοιχειώδης ορμή dp που θα μεταφέρεται κατά τα γνωστά ανά μονάδα χρόνου στο “πλακίδιο” αυτό θα είναι:

, , 0u v u vFdp Fdt dVdt F dSdldt F dl jHdl

dVμ= = = = = (2.5.4)

επειδή 1dS = , 1dt = και τα διανύσματα j και H είναι κάθετα μεταξύ τους. Γνωρίζουμε όμως (βλ. σημείωση παρακάτω) ότι η απορροφούμενη ενέργεια από το “πλακίδιο” στη μονάδα του χρόνου θα είναι: dW jEdl= (2.5.5)

Σημείωση Θεωρούμε ένα αγωγό (Σχ. 2.1.7.2) ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα

έντασης I όπου μεταξύ των άκρων του υφίσταται διαφορά δυναμικού U . Τότε q It= είναι το φορτίο το οποίο περνάει από μια διατομή του σε χρόνο t . Το παραγόμενο στον αγωγό έργο (που προέρχεται από την πηγή που συντηρεί την κίνηση των φορέων) θα είναι ίσο με W Uq= . Η τελευταία προκύπτει από το γεγονός ότι θεωρούμε το φορτίο q (συνολικά) να μετακινείται (σε χρόνο t ) από το ένα άκρο του αγωγού στο άλλο μεταξύ των οποίων επικρατεί διαφορά δυναμικού U . Ο συνδυασμός των προαναφερομένων σχέσεων και του νόμου το Ohm μας δίνει:

2W Uq UIt RI t= = = (2.5.6)

- 71 -

Στην περίπτωση που δεν συντελούνται χημικές διεργασίες στον αγωγό και δεν εκτελείται έργο σε εξωτερικά σώματα τότε το W θα προκαλεί αύξηση στην εσωτερική ενέργεια του αγωγού δηλ. θα μετατρέπεται σε θερμότητα.

Αν τώρα θελήσουμε να δούμε τι ακριβώς συμβαίνει σ’ ένα πολύ μικρό τμήμα του αγωγού όσον αφορά το παραγόμενο και ταυτόχρονα μετατρεπόμενο σε θερμότητα στοιχειώδες έργο dW ανά μονάδα όγκου και χρόνου θα έχουμε (Σχ. 2.1.7.2):

( )22 2dldW RI dt jdS dt j dVdtdSρ ρ= = = (2.5.7)

όπου dV dS dl= ⋅ . Επομένως το ποσό της θερμότητας που απορροφείται ανά μονάδα όγκου και ανά μονάδα χρόνου (unit thermal power of current) θα είναι: 2

uQ dW dVdt jρ= = (2.5.8) Άρα για την περίπτωση του “πλακιδίου” όγκου dV΄ όπου dV dSdl΄ = με

1dS = η απορροφούμενη κατά την πρόσπτωση της Η/Μ ακτινοβολίας ενέργεια στη μονάδα του χρόνου ( 1tΔ = ) θα είναι:

2

( .2.5.5)

2udW Q dV ρj S l j lj E l jEdl

ρρ σ

= Δ Δ = Δ =

= Δ = → σχ

΄ = (2.5.9)

Με τη βοήθεια τώρα των (σχ. 2.5.4,5) μπορούμε να βρούμε τον λόγο dp dW (και κατά προέκταση του p W ) της μεταδιδόμενης ορμής προς την ενέργεια από το Η/Μ κύμα στο “ πλακίδιο”. Οπότε:

0dp p HdW W E

μ= = (2.5.10)

και δεδομένου ότι 1E B c= θα έχουμε:

01p H B

W E E cμ= = = (2.5.11)

που σημαίνει ότι Η/Μ κύμα που μεταφέρει ενέργεια W θα έχει ορμή:

- 72 -

1p Wc

= (2.5.12)

Σημείωση Θα πρέπει ν’ αναφέρουμε εδώ ότι η ίδια ακριβώς σχέση μεταξύ ορμής

και ενέργειας, ισχύει και για σωματίδια που έχουν μηδενική μάζα ηρεμίας όπως π.χ. είναι τα φωτόνια. Πράγματι με βάση την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η συνολική ενέργεια E ενός σωματιδίου που η ορμή του είναι p και η μάζα ηρεμίας του m δίνεται από τη σχέση:

2 2 2E c p m c= + (2.5.13) Εάν τώρα (π.χ. για το φωτόνιο) 0m = τότε E cp= δηλ.

1p Ec

= (2.5.14)

Το γεγονός αυτό δεν αποτελεί κάτι το καινοφανές επειδή – όπως θα δούμε και στα αμέσως επόμενα – το επίπεδο Η/Μ κύμα ( η δέσμη φωτός) λόγω της μποζονικής φύσης των φωτονίων, μπορεί να παρασταθεί από ένα μεγάλο στατιστικό σύνολο φωτονίων της ίδιας κατάστασης.

Από τη (σχ. 2.5.12) μπορούμε να έχουμε:

,1

u Vp uc

= (2.5.15)

όπου ,u Vp το μέτρο της πυκνότητας της ορμής (δηλ. η μεταφερόμενη από το

Η/Μ κύμα ορμή ανά μονάδα όγκου του υλικού) και u η πυκνότητα ενέργειας (δηλ. η μεταφερόμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου). Επειδή όμως S uc= όπου S το μέτρο του διανύσματος Poynting τότε η (σχ. 2.5.15) γίνεται:

, ,2 2 2

1 1 1ήu V u Vp Sc c c

= = = ×p S E H (2.5.16)

- 73 -

2 2, 1 , 1mc c kο ο ο οε ε μ μ= × = =S Ε Β Η Β επειδή θεωρήσαμε ομογενές υλικό.

Πολλαπλασιάζουμε τώρα τα δύο μέλη της (σχ. 2.5.15) επί l tΔ Δ όπου lΔ το πάχος του “πλακιδίου” (Σχ. 2.5.1) και tΔ η χρονική διάρκεια της δράσης

του Η/Μ κύματος. Τότε το μέγεθος που προκύπτει θα είναι η μεταφερόμενη από το Η/Μ κύμα ορμή ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου με διαστάσεις δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας. Το μέγεθος αυτό εκφράζει την ασκούμενη πίεση της ακτινοβολίας (radiation pressure). Δηλ.

, 1 1u Vp l l c tu u ut c t c tΔ Δ Δ

= = =Δ Δ Δ

= (2.5.17)

Επειδή το μέγεθος αυτό σαν πεδιακό πάλλεται σε υψηλές συχνότητες (για την ορατή περιοχή 1410 Hzν ) μπορούμε να μετρήσουμε μόνο τη μέση χρονική του τιμή. Δηλ. τελικά: u= (2.5.18)

Από τη (σχ. 2.5.12) θα έχουμε:

,1

u Vp W W W t W tpV Vc c l S l S t c S t l

Δ Δ⎡ ⎤= = = = = ⎢ ⎥Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦

οπότε: , 2u VIpc

= (2.5.19)

επειδή: l c tΔ = Δ και I W S t= Δ Δ .

Επίσης από τη (σχ. 2.5.15) ,1

u Vp uc

= προκύπτει:

, 1 1 1u Vp l l l W Wut c t c t V c t SΔ Δ Δ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠

και επειδή: , 1u Vp l p l p l p Ft V t S l t t S SΔ Δ Δ Δ Δ Δ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠

- 74 -

(δηλ. η πίεση της ακτινοβολίας (σχ. 2.5.17)) και ( )W t S IΔ Δ = (δηλ. η ένταση

μιας δέσμης μονοχρωματικού φωτός – επιπέδου μετώπου κύματος – διατομής SΔ ), τελικά βρίσκουμε:

Ic

= (2.5.20)

Στο συμπέρασμα ότι η ,u Vp (πυκνότητα της μεταφερόμενης ορμής του

Η/Μ πεδίου) καθορίζεται από τη σχέση ,u Vdp p dV= με dV Sdl Scdt= = ,

κατέληξε και ο Maxwell to 1873. Η ανάδειξη της έννοιας της πίεσης της ακτινοβολίας, μέσω μιας καθαρά θερμοδυναμικής θεώρησης προτάθηκε και από τον Bartoli το 1879. Πράγματι σύμφωνα με τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο κατά την έκφραση του Clausius, δεν υπάρχει διαδικασία της οποίας το μοναδικό αποτέλεσμα να είναι η μεταφορά θερμικής ενέργειας (θερμότητας) από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα. Ήταν αποδεδειγμένο όμως ότι κάθε σώμα το οποίο βρίσκεται σε μια θερμοκρασία ( )KoT εκπέμπει ενέργεια με τη μορφή Η/Μ ακτινοβολίας

(ακτινοβολία μέλανος σώματος). Η ενέργεια αυτή θα μπορούσε να μεταφερθεί από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα χωρίς κατ’ αρχήν να παραβιάζεται ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος (αρχή της διατήρησης της ενέργειας σ’ ένα κλειστό σύστημα). Ο Bartoli πρότεινε ότι μπορούμε να διαθέσουμε ένα π.χ. κυλινδρικό δοχείο με αδιαβατικά τοιχώματα και με τις εσωτερικές του επιφάνειες κατοπτρικές. Μέσα σ’ αυτό βρίσκεται ένα σώμα θερμοκρασίας 1T το οποίο ακτινοβολεί. Στο εσωτερικό του κυλίνδρου μπορεί να κινείται (μπρός-πίσω) ένα έμβολο, με τις ίδιες ιδιότητες όπως αυτές του κυλίνδρου. Τότε ένα ποσό της ακτινοβολούμενης (και εγκλωβισμένης στον κύλινδρο) ενέργειας, θα μπορούσε ‘κατά κάποιο τρόπο’ ν’ αποσπαστεί με το τράβηγμα προς τα έξω του εμβόλου και συνακόλουθα ‘ν’ αποδοθεί’ (μέσω αντίστροφης κινήσεις του εμβόλου) σ’ ένα σώμα θερμοκρασίας 2T (όπου 2 1T T> ). Μια τέτοια θερμική μηχανή βέβαια είναι πολύ δύσκολο να κατασκευαστεί στην πράξη, εντούτοις το εγχείρημα δεν είναι απαγορευτικό. Με βάσει αυτές τις προϋποθέσεις ο Bartoli συμπέρανε ότι προκειμένου η μηχανή να μην παραβιάζει τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο κατά τον κύκλο λειτουργίας της, το εκτελούμενο έργο (για τη μεταφορά της ακτινοβολούμενης θερμικής ενέργειας) από το ψυχρό σώμα θερμοκρασίας 1T στο θερμό θερμοκρασίας 2T ) θα προέρχεται από μια δύναμη. Η δύναμη αυτή θα μπορούσε ν’ αναδειχθεί μόνο μέσω της ύπαρξης μιας πίεσης που θ’ ασκούσε η

- 75 -

εκπεμπόμενη από το σώμα Η/Μ ακτινοβολία. Ο Maxwell λοιπόν (μέσω Η/Μ υποθέσεων) καθώς και ο Bartoli (μέσω θερμοδυναμικών) κατέληξαν στο ίδιο συμπέρασμα: Ότι οι Η/Μ ακτινοβολίες (στις οποίες ανήκει και το φως) ασκούν πίεση (δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας) στα σώματα στα οποία προσπίπτουν. Στη γενικότερη περίπτωση που τα σώματα ανακλούν το φως μερικώς η (σχ. 2.5.20) παίρνει τη μορφή:

( )1 IRc

= + (2.5.21)

(όπου R ο συντελεστής ανακλαστικότητας), σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης της ορμής. Όταν λοιπόν η επιφάνεια ανακλά ολικά το φως ( )1R =

τότε 2I c= . Σε αντιδιαστολή, όταν η επιφάνεια είναι πλήρως απορροφητική

( )0R = τότε I c= .

Υπολογισμοί που έγιναν με τη βοήθεια της (σχ. 2.5.21) έδειξαν ότι η πίεση που ασκεί το φως είναι πάρα πολύ μικρή σε μέγεθος. Π.χ. η πίεση του ηλιακού φωτός έντασης 20.1W cmI = πάνω σ’ ένα κάτοπτρο ( )1R = είναι:

2410 dyn cm− . Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος της δυσκολίας της πειραματικής της επιβεβαίωσης, δομένου ότι η δράση της συγκαλύπτεται από διάφορα συνοδευτικά φαινόμενα. Η πρώτη ακριβής πειραματική μέτρηση της πίεσης της ακτινοβολίας του φωτός έγινε από τον Ρώσο φυσικό P.N. Lebedev to 1898∗. Η πειραματική του διάταξη φαίνεται στο (Σχ. 2.5.2). Αποτελείται από μία λυχνία τόξου η οποία μέσω ενός συστήματος απεικόνισης (από φακούς και κάτοπτρα) έχει τη δυνατότητα να φωτίσει φύλλο από Λευκόχρυσο, μικρών διαστάσεων και μικρού πάχους, το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό ενός θαλάμου. Στην πραγματικότητα υφίστανται δύο πανομοιότυπα φύλλα Λευκόχρυσου τοποθετημένα αντιδιαμετρικά και πιασμένα από ελαστικό λεπτό νήμα, το οποίο είναι αναρτημένο από την κορυφή του θαλάμου (Σχ. 2.5.2). Το όλο σύστημα επομένως έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί κατά μια γωνία, αν κατά κάποιο τρόπο αναπτυχθεί η ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων που είναι κάθετες στις επιφάνειες των φύλλων. Το τελευταίο μπορεί να επιτευχθεί με τη μετακίνηση του γωνιακής μορφής κατόπτρου M (Σχ. 2.5.2(1)) σε συμμετρική θέση ως προς το προσπίπτον σ’ αυτό παράλληλο μέτωπο κύματος. Τότε τα δύο φύλλα φωτίζονται ταυτόχρονα και προς αντίθετες κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα λόγω της ασκούμενης πίεσης της ακτινοβολίας ν’ αναπτυχθεί η

∗ Lebedev, P. N. (1901) Annalen der Physik, 6 433-458

- 76 -

(Σχ. 2.5.2)

προαναφερόμενη ροπή στρέψης. Η μέτρηση της γωνίας στροφής του νήματος γίνεται με τη βοήθεια ενός πολύ μικρών διαστάσεων και βάρους κατόπτρου M ′ προσκολλημένου στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής, με την πρόσπτωση σ’ αυτό δέσμης φωτός πολύ μικρής ισχύος. Η προσπίπτουσα στα δύο φύλλα ένταση φωτός (και κατά προέκταση το εκτελούμενο σ’ αυτά έργο), μετρήθηκε με ειδικό χρωματόμετρο (colorimetric measurements). Κατόπιν μέσω της γνωστής σχέσης: έργου – ροπής – γωνίας στροφής υπολογίστηκε η ροπή και κατά προέκταση η ασκούμενη δύναμη στο καθένα από τα φύλλα του Λευκόχρυσου. Επειδή τέλος το εμβαδόν τους S ήταν γνωστό, από τη σχέση F S= μπορούσε να υπολογιστεί η ασκούμενη πίεση της ακτινοβολίας.

- 77 -

Ήδη υπολογίστηκε θεωρητικά από τη (σχ. 2.5.21) και βρέθηκε ότι οι ασκούμενες γενικά πιέσεις από ακτινοβολίες είναι πολύ μικρές. Το γεγονός αυτό έλαβε σοβαρά υπόψη του ο Lebedev και διευθέτησε δύο σοβαρούς παράγοντες οι οποίοι θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε αποτυχία το πείραμά του. Ήταν οι λεγόμενες α) Ραδιομετρικές δυνάμεις (radiometric forces) και β) Τα φαινόμενα μεταφοράς θερμότητας μέσω αγωγής. Για το λόγο αυτό: α) Τα φύλλα του Λευκόχρυσου επιλεχθήκαν να είναι πολύ λεπτά ( )0.02mmd . Πράγματι σε αντίθετη περίπτωση, η πρόσπτωση της

ακτινοβολίας (λόγω του πεπερασμένου χρόνου μεταφοράς της θερμότητας) θα είχε σαν αποτέλεσμα ν’ αναπτυχθεί διαφορετική θερμοκρασία στις δύο πλευρές του κάθε φύλλου. Τότε τα μόρια του αέρα που βρίσκονται κοντά σ’ αυτές, θ’ ανακρούονταν με διαφορετικές ταχύτητες. Το γεγονός θα οδηγούσε κατά μέσο όρο σε μεταφορά στις δύο επιφάνειες του κάθε φύλλου σημαντικών διαφορετικών ορμών με συνέπεια την αλλοίωση των αναμενόμενων αποτελεσμάτων. Για το λόγο αυτό ο θάλαμος βρισκόταν υπό κενό. Επίσης λόγω της επιλογής μικρού πάχους φύλλων λευκόχρυσου, η μεταφορά της θερμότητας (με την πρόσπτωση σ’ αυτά της ακτινοβολίας) ήταν ακαριαία, με συνέπεια η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των δύο πλευρών να είναι σχεδόν μηδενική. β) Τα δύο φύλλα του Λευκόχρυσου ήταν πλήρως συμμετρικά και αντιδιαμετρικά τοποθετημένα στο σύστημα της ανάρτησης. Τότε η απώλεια θερμότητας του πρώτου λόγω αγωγής προς το δεύτερο, αντισταθμιζόταν από μια καθ’ όλα αντίθετη διαδικασία, με συνέπεια τον ακριβή έλεγχο της μεταφερόμενης ενέργειας από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Επίσης όλο το σύστημα βρισκόταν υπό ψύξη. Κάτω από αυτές τις συνθήκες αποδείχθηκε ότι: 1) Οι προσπίπτουσες δέσμες φωτός ασκούν πίεση στις επιφάνειες. 2) Οι δυνάμεις που ασκούνται στις επιφάνειες, είναι ανάλογες της απορροφούμενης ενέργειας και δεν εξαρτώνται από το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. 3) Οι υπολογισθείσες τιμές των πιέσεων των ακτινοβολιών μέσα στα όρια του πειραματικού σφάλματος, συνέπιπταν με τις θεωρητικά υπολογιζόμενες από τους Maxwell και Bartoli. Σήμερα κατά τα γνωστά μπορούμε με τη βοήθεια των Laser να δημιουργήσουμε ισχυρές δέσμες φωτός, τέτοιες ώστε να ελέγξουμε (όπως απέδειξε ο Ashkin∗) την κίνηση μικρών σωματιδίων. Η φωτονική προωθητική μηχανή

∗ Ashkin, A. (1972) : ‘ The pressure of Laser light’ Scientific American, 226 , 63-71

- 78 -

Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να δούμε κάτω από ποιες συνθήκες θα μπορούσε να λειτουργήσει μια μηχανή, της οποίας η προώθηση θα γινόταν με μια εκπεμπόμενη από αυτήν δέσμη φωτός. Γνωρίζουμε από τον πρώτο νόμο του Newton ότι η αναπτυσσόμενη δύναμη σ’ ένα σύστημα είναι ίση με τη χρονικά μεταβαλλόμενη ορμή του: Δηλ. F dp dt= . Γνωρίζουμε όμως επίσης ότι η μεταφερόμενη ορμή p (και κατ’ ακολουθία η δρώσα σ’ αυτό δύναμη) σ’ ένα σύστημα από μια προσπίπτουσα σ’ αυτό δέσμη φωτός, σχετίζεται με την απορροφούμενη ενέργεια W μέσω της σχέσης W pc= (σχ. 2.5.12). Η ίδια δύναμη θ’ αναπτυσσόταν όταν το σώμα εξέπεμπε αυτήν την ενέργεια με τη μορφή ακτινοβολίας. Τότε:

1W dp dW Ppc dt dt c c

= ⇒ = =

Οπότε F P c= , όπου P dW dt= η ισχύς (δηλ. η καταναλισκόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου) για την εκπομπή της ακτινοβολίας από το σύστημα (φωτονική προωθητική μηχανή). Από τη σχέση F P c= μπορούμε να υπολογίσουμε ότι: Προκειμένου η αναπτυσσόμενη δύναμη να είναι 1NtF = θα πρέπει η ισχύς της δέσμης του φωτός δηλ. η ενέργεια που καταναλώνει το σύστημα ανά μονάδα χρόνου για τη συνεχή εκπομπή της, να είναι

300MWP = . Γνωρίζουμε όμως από τη θεωρία της σχετικότητας ότι η ενέργεια W που διαθέτει μια μάζα ηρεμίας m δίνεται από τη σχέση: 2W mc= , όπου c η ταχύτητα του φωτός. Ας φανταστούμε τώρα μια ιδανική φωτονική προωθητική μηχανή, η οποία έχει τη δυνατότητα να μετατρέπει καθ’ ολοκληρία μια μάζα m των ‘καυσίμων’ της σε φως. Τότε κατόπιν παραγώγισης της σχέσης

2W mc= θα έχουμε:

2 2dW dm c P acdt dt

= ⇒ =

όπου a dm dt= ο λόγος κατανάλωσης των ‘καυσίμων’ της μηχανής, προς παραγωγή της δέσμης του φωτός. Γνωρίζουμε όμως από τα προηγούμενα ότι F P c= οπότε:

2P acF F ac

c c= = ⇒ =

- 79 -

Αν λοιπόν υποθέσουμε ότι η μηχανή μας καταναλώνει 1gr sa = ‘καυσίμου’ μετατρέποντάς το σε φως, τότε η προωθητική δύναμη που μπορεί ν’ αναπτύξει θα είναι με βάση την προηγούμενη σχέση: 103 10 dyne = 30tnF = × . Μια τέτοια μηχανή είναι κατ’ αρχή εφικτό να κατασκευαστεί. 2.6 Μεταφορά στροφορμής από τα Η/Μ κύματα.

Το φαινόμενο της πόλωσης του φωτός Είναι γνωστό και πειραματικά αποδεδειγμένο, ότι ένα Η/Μ κύμα εκτός της ενέργειας και της ορμής κατά την πρόσπτωσή του σ’ ένα σώμα, μεταφέρει και στροφορμή (angular momentum). Για να συμβεί όμως αυτό θα πρέπει η συνολική δράση των δυνάμεων του προσπίπτοντος πεδίου στα φορτία του σώματος (δηλ. ηλεκτρική και μαγνητική), να είναι τέτοια ώστε τα τελευταία να εκτελέσουν περιστροφική κίνηση στο εσωτερικό του υλικού. Μια τέτοια κίνηση δεν είναι δυνατόν να προκληθεί όταν το μέτωπο κύματος – το οποίο στην προκειμένη περίπτωση πρέπει οπωσδήποτε να είναι επίπεδο – είναι γραμμικά πολωμένο. Δηλ. το πεδίο E (και το συνοδεύον αυτό B ) να ταλαντεύονται κατά τη διάδοσή τους χωρικά και χρονικά σ’ ένα συγκεκριμένο επίπεδο, που είναι γνωστό σαν επίπεδο πόλωσης (βλ. Κεφ. 5: Πόλωση του φωτός). Το επίπεδο μέτωπο κύματος τελικά θα πρέπει να είναι κυκλικά πολωμένο (αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο). Στο (Σχ. 2.6.1) δίνεται μια εποπτική εικόνα της όλης διαδικασίας όπου ένα επίπεδο αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο (Α.Κ.Π.) μέτωπο κύματος προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια ενός υλικού. Το k μας δίνει τη διεύθυνση διάδοσης και τα E και B είναι αντίστοιχα το ηλεκτρικό πεδίο και η μαγνητική επαγωγή. k , E και B συνδέονται μεταξύ τους με τη γνωστή σχέση καθετότητας. Οι παραμετρικές εξισώσεις για το (Α.Κ.Π.) φως ως προς E δίνονται από τη (σχ. 2.6.1):

cos( )cos( 2)

x

y

E A t kzE A t kz

ωω π

= −= − −

(2.6.1)

Δηλ. βλέπουμε ότι το πλάτος A του E παραμένει σταθερό καθώς αυτό περιστρέφεται χρονικά αριστερόστροφα για παρατηρητή που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσης και βλέπει κατ’ ευθείαν την πηγή. Επίσης η συνιστώσα

yE καθυστερεί κατά 2π σε σχέση με την xE . Τη στιγμή της άφιξης του Η/Μ

- 80 -

κύματος με τα χαρακτηριστικά που περιγράψαμε προηγουμένως σ’ ένα φορτίο q , δρα το πεδίο E , και τείνει να το μετακινήσει προς μια διεύθυνση με ταχύτητα υ . Επειδή το q κινείται μ’ αυτήν την ταχύτητα και ταυτόχρονα βρίσ-

(Σχ. 2.6.1) κεται στο μαγνητικό πεδίο επαγωγής B , θ’ ασκηθεί πάνω του μια δύναμη Lorentz ίση με q ×υ B . Επειδή τα υ , E και B βρίσκονται στο επίπεδο ,x y η διεύθυνση της μαγνητικής δύναμης θα βρίσκεται σ’ αυτήν της z (δηλ. τη διεύθυνση του k ). Άρα η μαγνητική δύναμη κάμπτει ελαφρά τη διεύθυνση κίνησης του φορτίου q . Κατά προσέγγιση όμως θα δεχτούμε ότι η τροχιά του q διαγράφεται στο επίπεδο ,x y επειδή το μέτρο της B είναι πολύ μικρό ( B E c= ). Την επόμενη χρονική στιγμή (αυτής που περιγράψαμε προηγουμένως), η διεύθυνση του E αλλάζει και οι ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις συνεχίζουν να δρουν στο φορτίο κ.ο.κ. Σημείωση

Γνωρίζουμε ότι κατά την πρόσπτωση του μετώπου κύματος στο φορτίο q , μεταφέρεται και ορμή, η οποία έχει σαν συνέπεια τη σχετικά μικρή μετατόπισή του κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Στα επόμενα το γεγονός αυτό δεν θα το λάβουμε υπόψη μας.

- 81 -

Επειδή το E περιστρέφεται με συχνότητα ( ) 142 , 10ω ω πν ν= = Hz για

την ορατή περιοχή του Η/Μ φάσματος, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και το φορτίο q θα τείνει να διαγράψει στο επίπεδο ,x y μια κυκλική τροχιά με την ίδια συχνότητα. Μας ενδιαφέρει εδώ να υπολογίσουμε τη ροπή M που ασκείται στο φορτίο q (και κατά προέκταση τη στροφορμή L ) για μια μέση χρονική τιμή που είναι ίση με την περίοδο T του κύματος (δηλ. το χρόνο που χρειάζεται το E να εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή). Στο (Σχ. 2.6.2α) βλέπουμε τη θέση του q και τα πεδία E και B που δρουν επάνω του, σ’ ένα επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του (Α.Κ.Π.) φωτός. Επίσης βλέπουμε

(Σχ. 2.6.2)

την τροχιά που διαγράφει με κέντρο το O , ως προς το οποίο θα υπολογίσουμε τη ροπή M της ασκούμενης δύναμης στο q . Αν r είναι το διάνυσμα θέσης από το O στο φορτίο q , τότε κατά τα γνωστά:

Δt 0lim Δ Δt Δ Δt rυ= r r

tθ ω

→

Δ= και = =

Δr υ (2.6.2)

όπου θΔ η στοιχειώδης γωνία με την οποία φαίνεται από το O η στοιχειώδης μετατόπιση Δr του φορτίου. Άρα το μέτρο της ταχύτητας υ θα είναι ίσο με

rω . Τελικά η ροπή M της ασκούμενης δύναμης στο φορτίο q ως προς το

σημείο O που αποτελεί το κέντρο της περιστροφής του θα είναι:

- 82 -

= ×M r F (2.6.3) όπου q q= + ×F E υ B (2.6.4) Οπότε: ( )q q= × + × ×M r E r υ Β (2.6.5)

Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της (σχ. 2.6.5) επί ω και πάρουμε τη μέση χρονική τιμή για ένα κύκλο θα έχουμε: ( )q qω ω ω= × + + × ×M r E r υ Β (2.6.7)

Παρατηρούμε όμως από το (Σχ. 2.6.2α), ότι η διεύθυνση του διανύσματος

( )× ×r υ B είναι αυτή της −υ . Και επειδή ο μέσος όρος για κάθε συνιστώσα της

υ είναι μηδέν για ένα κύκλο, τότε βλέπουμε ότι το μαγνητικό πεδίο δεν συνεισφέρει στη ροπή για το q στο ίδιο χρονικό διάστημα. Επομένως: qω ω= ×M r E (2.6.8)

Είναι επίσης πολύ εύκολο με τη βοήθεια του (Σχ. 2.6.2α) ν’ αποδείξουμε ότι: 0ω × = ⋅r E υ Ez (2.6.9) όπου 0z το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση του άξονα διάδοσης z . Επομένως θα έχουμε: 0qω = ⋅M υ E z (2.6.10)

Από τη μηχανική όμως γνωρίζουμε ότι η ροπή της ασκούμενης δύναμης στο φορτίο q θα είναι ίση με τη χρονική μεταβολή της στροφορμής L δηλ.

d dt=M L . Επίσης το απορροφούμενο από το Η/Μ πεδίο έργο προκειμένου να μετακινηθεί το φορτίο q μεταξύ δύο σημείων 1,2 (στο εσωτερικό του πεδίου) θα είναι:

2 2

121 1

W d q d dW q d qd= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅∫ ∫F l E l E l l E

- 83 -

και η χρονική μεταβολή της απορροφούμενης ενέργειας :

dW d dWq qdt dt dt

= ⋅ ⇒ = ⋅l E υ E

Επομένως από τη( σχ. 2.6.10) βρίσκουμε:

od dWdt dtω

=zL (2.6.11)

Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι αν το φορτίο q απορροφά ενέργεια W κατά την πρόσπτωση ενός κυκλικά πολωμένου επιπέδου μετώπου κύματος σ’ ένα υλικό, τότε απορροφά και μια γωνιακή στροφορμή (δηλ. η τελευταία μεταφέρεται στο φορτίο) ίση με :

0Wω

=L z (2.6.12)

Στην περίπτωση που η απορροφούμενη ενέργεια ανά μονάδα όγκου του υλικού (δηλ. η πυκνότητα ενέργειας) είναι η u τότε και η μεταφερόμενη στροφορμή ανά μονάδα όγκου δηλ. η ,u VL θα είναι:

, 0u Vuω

=L z (2.6.13)

Τέλος το ψευδοδιάνυσμα της στροφορμής L θα είναι της ίδιας φοράς με το k αν έχουμε πρόσπτωση Α.Κ.Π. φωτός και αντίθετης φοράς αν το προσπίπτον φως είναι Δ.Κ.Π. Θα πρέπει να γνωρίζουμε (βλ. Κεφ. 5, Άσκ. ) ότι ένα γραμμικά πολωμένο φως πλάτους A είναι δυνατόν να προκύψει από την επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων φώτων πλάτους το καθένα 2A και αντίθετης στροφικότητας. Αν λοιπόν δύο τέτοια φώτα προσπέσουν σ’ ένα σώμα, η τελικά μεταφερόμενη στροφορμή θα είναι ίση με μηδέν. Αυτός ακριβώς είναι ο λόγος για τον οποίο ένα επίπεδο γραμμικά πολωμένο μέτωπο κύματος δεν μπορεί να μεταφέρει στροφορμή. Μια άλλη παράμετρος που αφορά όμως την μεταφερόμενη σ’ ένα σώμα στροφορμή L ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας, μιας

- 84 -

προσπίπτουσας δέσμης φωτός, είναι η Ω . Πράγματι από τη (σχ. 2.6.13) κατά μέτρο θα έχουμε:

,u Vu L u L u lL

t S l t t S tω ω ωΔ

= ⇒ = ⇒ = = Ω ⇒Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

( )2 2 /

uc t uc uc uct cω ω πν π λΔ

Ω = = = = ⇒Δ

2uλ πΩ = (2.6.14) Όπου λ το μ.κ. της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Σημείωση Η (σχ. 2.6.14) προκύπτει και μέσω καθαρά φωτονικών συλλογισμών. Πράγματι αν N n V= Δ ο αριθμός των n κινουμένων φωτονίων στον όγκο

VΔ τότε θα έχουμε:

n n n nN NcV S l Sc t S t

= = = ⇒ =Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

(2.6.15)

Όπου Nc πλέον, ο αριθμός των κινουμένων (και προσπιπτόντων) φωτονίων ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου. Γνωρίζουμε όμως ότι η στροφορμή έκαστου φωτονίου είναι κβαντισμένο μέγεθος και η τιμή της είναι

2h π= . Επομένως το μέγεθος nS tΔ Δ

θα είναι η μεταφερόμενη στροφορμή

των n φωτονίων στην επιφάνεια SΔ ανά μονάδα χρόνου. Δηλ. η Ω . Άρα με τη βοήθεια της (σχ. 3.35) θα έχουμε:

2

n L NchNcS t t S π

= = Ω = = ⇒Δ Δ Δ Δ

2Nhc πΩ = (2.6.16) Γνωρίζουμε επίσης όμως ότι και η ενέργεια έκαστου φωτονίου είναι κβαντισμένο μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: E hν= . Άρα επειδή N είναι ο αριθμός των φωτονίων ανά μονάδα όγκου και E hν= η ενέργεια του καθενός θα έχουμε:

- 85 -

u Nhν= (2.6.17) όπου κατά τα γνωστά η u μας δίνει την πυκνότητα ενέργειας. Τότε από τη (σχ. 2.6.16) βρίσκουμε:

( )2 2 2

Nh cNhc ucνπ πν πν

Ω = = = και επειδή c λν= έχουμε τελικά:

2uλ πΩ = → (σχ. 2.6.14) Το μέτρο της μεταφερόμενης στροφορμής L μια δέσμης κυκλικά πολωμένου φωτός όταν η απορροφούμενη ενέργεια από το σώμα (στο οποίο προσπίπτει η ακτινοβολία) είναι W , δίνεται κατά τα γνωστά από τη (σχ. 2.6.12). Οπότε αν 1JW = είναι η ενέργεια ενός π.χ. παλμού φωτός με μ.κ.

0.5 mλ = μ , τότε βρίσκουμε: 92 2.5 10 ergL W W cω λ π −= = = × .Επίσης η (σχ. 2.6.11) έχει τη δυνατότητα να γραφεί με τη μορφή: M P ω= . Όπου M dL dt= η ροπή των ασκούμενων δυνάμεων στο σώμα και P dW dt= η ισχύς της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Επομένως αν υποθέσουμε ότι

100WP = και 0.5 mλ = μ τότε από τη σχέση 2M P P cω λ π= = βρίσκουμε: 725 10 dyne cmM −= × ⋅ . Το αριθμητικό αυτό παράδειγμα μας δείχνει ότι η

μέτρηση της μεταφερόμενης σ’ ένα σώμα γωνιακής στροφορμής L θ’ αφορά ένα άκρως ευαίσθητο και περίπλοκο πείραμα. Ένα τέτοιο πείραμα εκτελέστηκε το 1936 από τον Beth∗. Το διάγραμμα της πειραματικής του διάταξης φαίνεται στο (Σχ. 2.6.3). Από ένα πολύ λεπτό νήμα Χαλαζία που είναι ακλόνητο στη μια του άκρη (και του οποίου οι μηχανικές ιδιότητες είναι γνωστές), αναρτάται (από το κέντρο του) ένα πλακίδιο καθυστέρησης 2λ με δυνατότητα περιστροφής. Το νήμα που συγκρατεί το πλακίδιο 2λ , περνά ελεύθερα από το άνοιγμα που βρίσκεται στο κέντρο ενός ακλόνητου πλακιδίου 4λ (δηλ. που δεν έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί) και που η πάνω του επιφάνεια είναι επαργυρωμένη (δηλ. κατοπτρική). Η κύρια διαδικασία του πειράματος, είναι να φωτίσουμε το πλακίδιο

2λ με φορά από κάτω προς τα πάνω με μια δέσμη κυκλικά πολωμένου φωτός

∗ R. A. Beth: ‘Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of light’ Physical Review 50 (115-125) 1936

- 86 -

η οποία μετά την ανάκλασή της από την πάνω επιφάνεια του πλακιδίου 4λ θ’ ακολουθήσει την αντίστροφη πορεία, εξερχόμενη από πλακίδιο 2λ . Όπως

(Σχ. 2.6.3) προκύπτει – κάτω από αυτές τις συνθήκες – λόγω της μεταφερόμενης στροφορμής από το προσπίπτον και διερχόμενο (κατ’ αντίθετη φορά) φως ,το πλακίδιο 2λ περιστρέφεται. Πιο συγκεκριμένα το 2λ φωτίζεται σ’ όλο του το εύρος από ένα παράλληλο μέτωπο κύματος αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένου φωτός και η φορά περιστροφής του φαίνεται στο (Σχ. 2.3.6). Κατά τα γνωστά η το φως κατά την έξοδό του από το 2λ μετατρέπεται σε δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο. Κατόπιν το φως αυτό προσπίπτει στο πλακίδιο 4λ και διανύοντας το πάχος του δύο φορές (λόγω ανάκλασης στην πάνω του επιφάνεια) αλλάζει διεύθυνση. Tο φως κατά την έξοδό του από το

4λ (μετά την ανάκλαση) είναι σαν να διαδόθηκε μέσα από πλακίδιο 2λ . Το φως όμως που βγαίνει από την κάτω επιφάνεια του 4λ είναι και πάλι δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο επειδή εκτός της πρόσθετης φάσης π που προσέλαβε λόγω της διέλευσής του από το υποθετικό 2λ , προσέλαβε και μια επιπλέον φάση περίπου ίση με π λόγω της ανάκλασής του πάνω στην κατοπτρική επιφάνεια του 4λ . Επομένως το φως που προσπίπτει (από τα

- 87 -

πάνω προς τα κάτω) στην πάνω επιφάνεια του 2λ , ασκεί μια ροπή της ίδιας φοράς με αυτήν της προηγούμενης, ενισχύοντας την περιστροφή του 2λ προς την ίδια διεύθυνση. Κατά την πειραματική διαδικασία, το φως που τελικά πέφτει από κάτω στην πειραματική διάταξη, δεν είναι συνεχές αλλά διακοπτόμενο περιοδικά. Η περίοδός του ήταν τέτοια, ώστε συνέπιπτε με αυτήν της φυσικής περιόδου στρέψης του αναρτημένου πλακιδίου 2λ . Η προκύπτουσα ταλάντωση του συστήματος, μπορούσε να παρατηρηθεί με την βοήθεια μιας ασθενικής δέσμης φωτός η οποία προσέπιπτε σ’ ένα μικροσκοπικό κάτοπτρο, τοποθετημένο κάτω από πλακίδιο 2λ . Τα πειραματικά αποτελέσματα έδειξαν ότι πράγματι ισχύει η (σχ. 3.34). Δηλ. ότι μια δέσμη κυκλικά πολωμένου φωτός κατά την πρόσπτωσή της (και κατ’ ακολουθία απορρόφησή της) από ένα σώμα, μεταφέρει μια γωνιακή στροφορμή ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου ίση με

2uλ πΩ = . Και στο πείραμα αυτό (όπως και σ’ εκείνο του Lebedev που αφορούσε τη μέτρηση της μεταφερόμενης από το φως ορμής), προέκυψαν πλείστες όσες δυσκολίες. Πράγματι η επιτυγχανόμενη ροπή στρέψης του συστήματος είναι της τάξης των 1110 dyne cm− ⋅ . Οπότε αν π.χ. το προσπίπτον φως δεν διαπερνούσε το σύστημα συμμετρικά, τότε λόγω των αναπτυσσόμενων ραδιομετρικών δυνάμεων (βλ. πείραμα του Lebedev) (δηλ. είχαμε διαφορετική θέρμανση διαφορετικών τμημάτων των πλακιδίων) θ’ αναπτύσσονταν ισχυρές ροπές, οι οποίες σαν ‘θόρυβος’ τελικά θα κάλυπτε το επιθυμητό μετρούμενο μέγεθος. Για την ίδια περίπτωση επίσης της ασύμμετρης πρόσπτωσης, θα είχαμε την ανάπτυξη διαφορετικών πιέσεων ακτινοβολίας και κατ’ ακολουθία και πάλι ανεπιθύμητων ροπών στρέψης. Η εξάλειψη τελικά τέτοιου είδους ‘θορύβων’, οδήγησε όπως προαναφέραμε τελικά στην επιβεβαίωση της (σχ. 2.6.14) με απόκλιση 10± %. 2.7 Η φωτονική εικόνα για το φως

Στην κβαντομηχανική για το φως, υιοθετούμε σαν φορέα ενέργειας, ορμής και στροφορμής το σωματίδιο με μηδενική μάζα ηρεμίας που ονομάζεται φωτόνιο (photon). Ένας αριθμός παραμέτρων – τέσσερεις τον αριθμό – καθορίζουν αυτό που ονομάζουμε κατάσταση (state) του κάθε φωτονίου ξεχωριστά. Μια συνήθης τετράδα παραμέτρων είναι οι τρεις συνιστώσες , ,x y zk k k (του κυματοδιανύσματος k ) που σχετίζονται με την ορμή

p του φωτονίου και η παράμετρος σ που την ονομάζουμε στροφορμή του

- 88 -

φωτονίου και μπορεί να πάρει μόνο δύο διακεκριμένες τιμές : ,+ − όπου 2h π= όπου h η σταθερή του Planck.

α) Ενέργεια του φωτονίου

= hhν= 2πν= ω2π

και επειδή 2k cπ λ λν= και = ⇒

2 2 2= x y zkc k k k kμε = + + (2.7.1)

όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Από τη (σχ. 3.38) βλέπουμε ότι η ενέργεια ενός φωτονίου, μπορεί να εκφραστεί με βάση τις παραμέτρους

, ,x y zk k k της κατάστασής του.

β) Ορμή του φωτονίου Έχει αποδειχθεί για τα φωτόνια ότι ισχύει: = cp όπου p το μέτρο της ορμής του. Επειδή: = cp p c kω ω ω⇒ = ⇒ = = Άρα: =p k (2.7.2) Από τη (σχ. 2.7.2) μπορούμε να δούμε ότι η διεύθυνση της ορμής του φωτονίου, καθορίζεται από τη διεύθυνση του κυματοδιανύσματος k και κατά προέκταση τις τρεις συνιστώσες του , ,x y zk k k .

γ) Στροφορμή του φωτονίου

Προκειμένου να συνδέσουμε την παράμετρο σ της κατάστασης ενός φωτονίου με το φαινόμενο της πόλωσης του φωτός, δεχόμαστε (Σχ. 2.7.1) τα εξής: Για φωτόνιο που η στροφορμή του είναι αριστερόστροφη καθώς αυτό κατευθύνεται προς τα εμάς (Σχ. 2.7.1α), η παράμετρος σ θα έχει τιμή + . Για

- 89 -

φωτόνιο που η στροφορμή του είναι δεξιόστροφη (Σχ. 2.7.1β), η παράμετρος σ θα έχει τιμή − .

Μπορούμε να λέμε ότι πολλά φωτόνια βρίσκονται στην ίδια κατάσταση όταν το καθένα από αυτά χαρακτηρίζεται από τις ίδιες τιμές των παραμέτρων

(Σχ.2.7.1) ( , , ,x y zk k k σ ). Η αλλαγή της τιμής μιας των τεσσάρων παραμέτρων, αντιστοιχεί

σε αλλαγή της κατάστασης του φωτονίου. Είναι ευνόητο, ότι θα μπορούσαμε να κάνουμε – καταρχήν τον παραλληλισμό μεταξύ ενός διαδιδόμενου επιπέδου μονοχρωματικού μετώπου κύματος μιας κατάστασης πόλωσης και ενός συνόλου φωτονίων τα οποία βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη κατάσταση. Πράγματι η διεύθυνση της ορμής των φωτονίων αντιστοιχεί στη διεύθυνση της κυματοκαθέτου k του κύματος και η στροφορμή τους στην κατάσταση πόλωσης του κύματος (στο καταρχήν τουλάχιστον δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο φως). Σύνολα φωτονίων που βρίσκονται σε διαφορετική κατάσταση, θ’αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα μέτωπα κύματος. Από τις σχέσεις: = =hν , cp c λνκαι = βρίσκουμε ότι: p h λ= . Από αυτές οι :

και= hν p h λ=

μας αναδεικνύουν το δυϊσμό(duality) μεταξύ των σωματιδιακών και κυματικών ιδιοτήτων των φωτονίων. Πράγματι οι σχέσεις αυτές συνδέουν τα σωματιδιακά ( ), p με τα κυματικά ( ),ν λ χαρακτηριστικά των φωτονίων.

Φερμιόνια, Μποζόνια και κύματα φωτός Παρά τον μεγάλο αριθμό των διαφόρων μικροσωματιδίων που

υπάρχουν στη φύση, αυτά κατατάσσονται από στατιστική άποψη σε δύο βασικές κατηγορίες: τα φερμιόνια (fermions) και τα μποζόνια (bosons).

- 90 -

Γνωστοί αντιπρόσωποι των φερμιονίων είναι τα ηλεκτρόνια και των μποζονίων τα φωτόνια. Ο χαρακτήρας των ηλεκτρονίων θα λέγαμε ότι είναι βασικά ατομικιστικός. Δηλ. κάθε ηλεκτρόνιο στο άτομο βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατάσταση και κανένα άλλο δεν μπορεί να καταλάβει την ίδια (απαγορευτική αρχή του Pauli ). Άμεση συνέπεια αυτού του γεγονότος είναι ότι οι ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων στις διάφορες στιβάδες των ατόμων χαρακτηρίζονται για το καθένα από μια εντελώς συγκεκριμένη (κβαντική) κατάσταση. Το τελευταίο έχει σαν αποτέλεσμα να μην έχουν τη δυνατότητα της μαζικής κατάληψης μιας ορισμένης στάθμης. Εδώ ακριβώς οφείλεται η σταθερότητα και η διαφορότητα της ατομικής δομής στη φύση.

Ο χαρακτήρας των φωτονίων είναι εντελώς διαφορετικός. Από ένα σύνολο φωτονίων, ο αριθμός που μπορεί να βρίσκεται στην ίδια κατάσταση είναι απεριόριστος. Π.χ. ο μηχανισμός της προτρεπόμενης εκπομπής (stimulated emission) διεγερμένων ατόμων από φωτόνια μιας ορισμένης κατάστασης, συνιστά ένα μηχανισμό αύξησης σε μεγάλο βαθμό του στστιστικού συνόλου φωτονίων της ίδιας κατάστασης. Το γεγονός αυτό μπορεί να συμβεί σε μια κοιλότητα συντονισμού ενός Laser. Μ’ αυτό τον τρόπο έχουμε τη δυνατότητα να συνθέσουμε την έννοια του μετώπου κύματος (ή της δέσμης φωτός) με τη βοήθεια των φωτονίων.

Προηγουμένως είχαμε παραλληλίσει τη έννοια μιας φωτονικής κατάστασης ( , , ,x y zk k k σ ) με αυτήν ενός επιπέδου μετώπου κύματος. Οι

κυματικές όμως ιδιότητες ενός και μόνου φωτονίου δεν μπορούν να μας οδηγήσουν άμεσα στην ανάδειξη ενός αντιστοίχου μετώπου κύματος φωτός από κλασσική άποψη. Θα χρειαστεί οπωσδήποτε να δούμε ποια είναι η συμπεριφορά ενός μεγάλου πλήθους (στατιστικού συνόλου) φωτονίων ή ποια είναι η στατιστική που διέπει το συγκεκριμένο σύνολο των φωτονίων. Η στατιστική αυτή στην οποία ήδη αναφερθήκαμε, είναι του Bose και με βάση την οποία απεριόριστος αριθμός φωτονίων μπορεί να καταλάβει μια συγκεκριμένη κατάσταση. Αν λοιπόν με phη χαρακτηρίσουμε τον αριθμό των

φωτονίων που βρίσκονται όλα στην ίδια κατάσταση και ισχύει: 1phη (2.7.3)

τότε οι σωματιδιακές ιδιότητες των φωτονίων μπορεί να παραμεριστούν και ν’ αναδειχθεί η έννοια του συνεχούς, δηλ. της δέσμης φωτός και κατά προέκταση του μετώπου κύματος της κλασσικής Η/Μ θεωρίας.

- 91 -

Φωτονική περιγραφή των διαφόρων καταστάσεων πόλωσης του φωτός

α) Κυκλικά πολωμένο φως Ένα στατιστικό σύνολο φωτονίων στην κατάσταση ( , , ,x y zk k k σ ) με

σ = + και 1phη , θα μπορούσε να ειπωθεί ότι αντιστοιχεί σ’ ένα επίπεδο

αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο μέτωπο κύματος. Η πλέον ακριβής όμως περιγραφή ενός πολωμένου κύματος είναι αυτή που αναφέρεται στη διαδικασία “μέτρησης” του είδους της στροφορμής των φωτονίων. Έστω λοιπόν κατά κάποιο τρόπο, στη διεύθυνση που διαδίδεται το επίπεδο μέτωπο κύματος, έχουμε τη δυνατότητα να “μετράμε” το είδος της στροφορμής του κάθε φωτονίου που δέχεται ο “ανιχνευτής” μας. Έστω επίσης ότι μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό “μετρήσεων” η πιθανότητα P του να εντοπίσουμε φωτόνια με στροφορμή σ = + είναι ίση με τη μονάδα. ( P η η= Δ : δηλ. ο αριθμός των μετρήσεων ηΔ (των εντοπισμένων φωτονίων με σ = + ) προς το συνολικό αριθμό των μετρήσεων η ). Τότε μπορούμε να πούμε ότι αυτό το μέτωπο κύματος είναι αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο. Αν η πιθανότητα του να εντοπίσουμε φωτόνια με στροφορμή σ = − είναι πάλι ίση με τη μονάδα τότε θα έχουμε δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο μέτωπο κύματος.

β) Γραμμικά πολωμένο φως

Με βάση την Η/Μ άποψη για το γραμμικά πολωμένο φως, το τελευταίο μπορεί να προκύψει από την σύμφωνη επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων επιπέδων μετώπων κύματος αντίθετης στροφικότητας και ίσων πλατών (βλ. Άσκ.2 παρ/γμα 3). Για τη φωτονική περιγραφή, αυτό θ’ αντιστοιχεί σ’ ένα μεγάλο στατιστικό πλήθος φωτονίων με ίδια , ,x y zk k k αλλά

που οι “μετρήσεις” της στροφορμής τους θα μας έδιναν πιθανότητα 1 2P = γι’ αυτά με σ = + και 1 2P = γι’ αυτά με σ = − . γ) Ελλειπτικά πολωμένο φως

Με βάση την Η/Μ άποψη για το ελλειπτικά πολωμένο φως, αυτό μπορεί να προκύψει από την σύμφωνη επαλληλία δύο κυκλικά πολωμένων επιπέδων μετώπων κύματος αντίθετης στροφικότητας, διαφορετικών όμως

- 92 -

πλατών. Για την αντίστοιχη φωτονική περιγραφή, αυτό θ’ αντιστοιχεί σ’ ένα μεγάλο στατιστικό πλήθος φωτονίων με ίδια , ,x y zk k k αλλά που οι “μετρήσεις”

της στροφορμής τους θα μας έδιναν πιθανότητα 1P γι’ αυτά με σ = + και 2P γι’ αυτά με σ = − , όπου όμως: 1 2P P≠ , ( 1 2 1P P+ = ).

2.8 Ανακλαστικότητα και διαπερατότητα σε ομογενή

διηλεκτρικά. Εξισώσεις Fresnel To αποτέλεσμα της ανάκλασης και της διάθλασης ενός προσπίπτοντος μετώπου κύματος σε μια ενδοεπιφάνεια η οποία διαχωρίζει δύο υλικά με διαφορετικό δ.δ. μπορεί να περιγραφεί από την Η/Μ θεωρία. Μέσω αυτής, είναι δυνατόν να προβλεφθούν κατ’ αρχή οι νόμοι που διέπουν την ανάκλαση ( )i rθ θ= και τη διάθλαση ( )sin sini i t tn nθ θ= της γεωμετρικής οπτικής. Επίσης

τα μέτρα των παράλληλων ( )π και των κάθετων ( )σ συνιστωσών των πλατών

,r tE E των ανακλώμενων και διαθλώμενων Η/Μ διαταραχών, σε συνάρτηση με το πλάτος iE της προσπίπτουσας, καθώς και οι μεταβολές των φάσεων τους (εξισώσεις Frensel).

Ορίζουμε σαν συντελεστή ανακλαστικότητας (reflection coefficient) το λόγο r iE Eρ = του ανακλώμενου πλάτους της διαταραχής προς το προσπίπτον και σαν συντελεστή διαπερατότητας (transmission coefficient) το λόγο t iE Eτ = του πλάτους της διαθλώμενης διαταραχής προς αυτό της προσπίπτουσας. Πρόκειται γενικά για μιγαδικούς αριθμούς εξ αιτίας των πιθανών μεταβολών των φάσεων των διαταραχών, κατά την ανάκλαση ή τη διάθλασή τους. Εκφράζονται συναρτήσει των δ.δ. (μιγαδικών εν γένει) των υλικών και των γωνιών πρόσπτωσης i rθ θ= και διάθλασης tθ . Πρέπει ν’ αναφέρουμε επίσης ότι οι συντελεστές έχουν διαφορετικές τιμές για τις περιπτώσεις που η προσπίπτουσα διαταραχή είναι πολωμένη παράλληλα ( )π ή

κάθετα ( )σ προς το επίπεδο πρόσπτωσης. Δηλ. γενικά π σρ ρ≠ και π στ τ≠ .

Η ανάδειξη των εξισώσεων Frensel – μέσω της Η/Μ θεωρίας – στηρίζεται στις συνθήκες συνέχειας που υφίστανται αφ’ ενός μεν μεταξύ των καθέτων συνιστωσών των πεδίων της ηλεκτρικής μετατόπισης ε=D E και της μαγνητικής επαγωγής B , αφετέρου μεταξύ των εφαπτομενικών συνιστωσών του μαγνητικού πεδίου μ=H B και του ηλεκτρικού πεδίου E κατά την πρόσπτωση ενός επιπέδου Η/Μ κύματος σε μια ενδοεπιφάνεια δύο υλικών. Αποδεικνύεται ότι για την περίπτωση ( )σ ισχύουν οι σχέσεις:

- 93 -

( )( )

sincos coscos cos sin

i ti i t tσ

i i t t i t

θ θn θ n θρn θ n θ θ θ

−−= = −

+ + (2.8.1)

και ( )

cos sin coscos cos sin

i i t iσ

i i t t i t

2n θ 2 θ θτn θ n θ θ θ

= =+ +

(2.8.2)

Για την περίπτωση ( )π θα έχουμε:

( )( )

tancos coscos cos tan

i tt i i tπ

t i i t i t

θ θn θ n θρn θ n θ θ θ

−−= =

+ + (2.8.3)

και ( ) ( )

2 cos 2sin coscos cos sin cos

i i t i

t i i t i t i t

n θ θ θτn θ n θ θ θ θ θπ = =

+ + − (2.8.4)

όπου ,i tθ θ οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης και ,i tn n οι δ.δ. των υλικών εκφρασμένοι σε μιγαδική μορφή, η οποία προβλέπει και την απορρόφηση κατά τη διάδοση της ακτινοβολίας στα οπτικά μέσα. Αν βέβαια ομιλούμε για διαφανή διηλεκτρικά (χωρίς απορρόφηση) τότε οι δ.δ. είναι πραγματικοί αριθμοί. Θα πρέπει επίσης ν’ αναφέρουμε την περίπτωση για την οποία η διεύθυνση της διάδοσης αντιστρέφεται. Δηλ. να βρούμε τις σχέσεις μεταξύ των συντελεστών ρ και τ όταν η διάδοση δεν γίνεται από το υλικό i στο j αλλά αντίστροφα. Κάτω από αυτές τις συνθήκες αποδεικνύεται (γεγονός που ισχύει πανομοιότυπα για τις περιπτώσεις ( )π και ( )σ – όπως θα δούμε σε επόμενο

παράδειγμα – ότι: ij jiρ ρ= − (2.8.5)

και 21ij ji ijτ τ ρ= − (2.8.6)

Ενεργειακό αποτέλεσμα της ανάκλασης και της διάθλασης του φωτός. Ανακλαστικότητα R και διαπερατότητα T της ενδοεπιφάνειας μεταξύ δύο υλικών

Μας είναι ήδη γνωστή (§ 2.4.2), η σχέση που εκφράζει τη μέση χρονική τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting δηλ. την ένταση του φωτός, κατά

- 94 -

τη διάδοσή του σ’ ένα ομογενές και ισότροπο μέσο. Τότε για την περίπτωση της πρόσπτωσης ενός επιπέδου μετώπου κύματος κάθετα σε μια επιφάνεια θα έχουμε τη μέγιστη τιμή της (σχ. 2.4.2.11):

2||2 oo EcεnSI >==< (2.8.7)

όπου S = S , n ο δ.δ. του μέσου διάδοσης (δηλ. το πραγματικό μέρος του n )

και 20E το τετράγωνο του μέτρου του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου E ,

όπου 0E είναι εκφρασμένο σε μιγαδική μορφή. Δηλ. 20 0 0E E E∗= ⋅ όπου 0E∗ το

συζυγές του 0E . Στην περίπτωση που το επίπεδο μετ. κύματος πέφτει στην επιφάνεια με γωνία πρόσπτωσης iθ και διαθλάται με γωνία tθ , τότε οι

συνιστώσες zi

S , zr

S και zt

S σε σχέση με την κάθετη z στην επιφάνεια,

θα μας δίνουν αντίστοιχα την ενέργεια ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας της προσπίπτουσας, της ανακλώμενης και της διαθλώμενης δέσμης φωτός. Δηλ. γενικά cos

zS S θ= οπότε:

20 cos2i i i izi

cI S n Eε θ= = (2.8.8)

20 cos2r i r izr

cI S n Eε θ= = (2.8.9)

20 cos2t t t tzt

cI S n Eε θ= = (2.8.10)

όπου , ,i r tE E E είναι αντίστοιχα τα πλάτη τους. ,i tθ θ οι γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης και ,i tn n οι δ.δ. των μέσων. Ορίζουμε τώρα τα εξής χαρακτηριστικά ενεργειακά μεγέθη: Την ανακλαστικότητα (reflectance) R της ενδο- επιφάνειας σαν:

2

2r zr r

i izi

SI ERI S E

ρ= = = = (2.8.11)

και την διαπερατότητα (transmittance) T σαν:

- 95 -

2

22

cos coscoscos

t t tt zt t t

i i izi i i i

S E nI nTI S nE n

θ θτθθ

= = = = (2.8.12)

Είναι εύκολο ν’ αποδειχθεί με τη βοήθεια των (σχ. 2.8.1-4) ότι και για τις δύο περιπτώσεις ( )π και ( )σ θα ισχύει η σχέση:

1R T+ = (2.8.13) σαν συνέπεια της αρχής της διατήρησης της ενέργειας. Από φυσική άποψη η (σχ. 2.8.13) δηλώνει ότι η προσπίπτουσα ισχύς είναι ίση με το άθροισμα των ισχύων της ανακλώμενης και της διαθλώμενης.

Εφαρμογή των εξισώσεων του Fresnel στα διηλεκτρικά α) Κάθετη πρόσπτωση της ακτινοβολίας Όταν η ενδοεπιφάνεια διαχωρίζει δύο οπτικά μέσα που είναι διηλεκτρικά, τότε οι δείκτες διάθλασης in και tn είναι πραγματικοί αριθμοί ( i in n= και t tn n= ). Οπότε με τη βοήθεια των (σχ. 2.8.1–4) και για

00i r tθ θ θ= = = αποδεικνύεται ότι:

i tσ π

i t

n nρ ρn n−

= = −+

(2.8.14)

και πti

iσ τ

nn2n

τ =+

= (2.8.15)

Αν θεωρήσουμε διάδοση από οπτικά αραιότερο μέσο δ.δ. in σε οπτικά πυκνότερο δ.δ. tn και συγκεκριμένα για 1.5t in n = . Τότε από τις δύο προηγούμενες σχέσεις και με τη βοήθεια των (σχ. 2.8.11,12) βρίσκουμε:

0.2σ πρ ρ= − = και 2 0.04R R Rσ π πρ= = = = . Δηλ. μόνο το 4% της ενέργειας

της εκάστοτε προσπίπτουσας ακτινοβολίας ( )π ή ( )σ ανακλάται. Επίσης

βρίσκουμε: 0.8σ πτ τ= = και ( ) 2 0.96 1t iT T n n Rσ τ= = = = − .

β) Πλάγια πρόσπτωση για την οποία i tn n< . (εξωτερική ανάκλαση)

- 96 -

Αφού ισχύει η σχέση i tn n< (π.χ. για την ενδοεπιφάνεια αέρα-γυαλιού),

τότε με τη βοήθεια του νόμου του Snell ( )sin sini i t tn nθ θ= βρίσκουμε ότι για

όλες τις τιμές της iθ μεταξύ 00 και 090 ισχύει η ανισότητα t iθ θ< . Επομένως από τη (σχ. 2.8.1) βρίσκουμε ότι:

( )( )

sinsin

i tσ

i t

θ -θρ

θ +θ= − (2.8.16)

δηλ. μεταξύ των καθέτων συνιστωσών προσπίπτουσας και ανακλώμενης υφίσταται πάντοτε διαφορά φάσης 0180 . Για την περίπτωση της κάθετης πρόσπτωσης στην ενδοεπιφάνεια (δηλ. 090iθ = ) θα είναι:

( ) ( )0 0sin 90 sin 90t tθ θ− = + οπότε από τη (σχ. 2.8.16) βρίσκουμε : 1σρ = − . Και

επειδή: 2 1R Rσ σρ= ⇒ = . Ο υπολογισμός του συντελεστή ανακλαστικότητας

πρ συναρτήσει της iθ γίνεται από τη (σχ. 2.8.3) δηλ: ( ) ( )tan tani i i tπρ θ θ θ θ= − + (2.8.17)

από την οποία για 090iθ = επειδή: ( ) ( )0 0tan 90 tan 90t tθ θ− = + , βρίσκουμε

1πρ = − . Για 00iθ = από τη (σχ.2.8.3) θα έχουμε: ( ) ( )t i t in n n nπρ = − − .

Οι γραφικές παραστάσεις των , , ,R Rπ σ π σρ ρ συναρτήσει της iθ και για 1.5t in n = δίνονται στα (Σχ. 2.8.1α, β). Καθώς η iθ μεταβάλλεται από

0 00 90→ , ο πρ ελαττώνεται μονότονα μεταξύ των τιμών 0.2 και 1.0− . Η τιμή του μηδενίζεται όταν:

090i tθ θ+ = (2.8.18) επειδή από τη (σχ. 2.8.17) ( )tan i t

θ θ+ →∞ . Η γωνία iθ για την οποία ισχύουν

τα προαναφερόμενα, ονομάζεται γωνία Brewster ( )i Bθ θ= . Τότε από το νόμο

του Snell και τη (σχ. 2.8.18) βρίσκουμε: tan B t in nθ = (2.8.19) από την οποία για 1.5t in n = θα έχουμε: 056.3Bθ = . Το γεγονός αυτό μας δίνει τη δυνατότητα (επειδή για iθ θ= , 0πρ = ) να λάβουμε ανακλώμενο φως το

- 97 -

οποίο να είναι ολικά γραμμικά πολωμένο (βλ. Κεφ. 5: Πόλωση του φωτός § ). Για να υπολογιστεί η ανακλαστικότητα Rσ του ανακλώμενου γραμμικά πολωμένου φωτός, θα πρέπει να γνωρίζουμε το συντελεστή ανακλαστικότητας

σρ . Πράγματι από τη (σχ. 2.8.16) και το νόμο του Snell θα έχουμε:

( )( ) ( ) ( )sin

sinsin

Β tΒ oσ Β tΒ Β tΒ

Β tΒ

θ θρ θ θ θ θ 90

θ θ−

= − = − − + =+

( ) ( )0 0sin sin 56.3 1.5 33.68tB i t B Β t i tΒθ n /n θ θ , n /n θ= = = ⇒ = .

(Σχ. 2.8.1) Άρα ( )0sin 22.6 0.384σρ = − = − και επειδή 2 0.147R Rσ σ σρ= ⇒ = . Δηλ. το

ποσοστό του ανακλώμενου γραμμικά πολωμένου φωτός είναι περίπου 15%. Το (Σχ. 2.8.1γ) μας δίνει τη γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης

σΔφ μεταξύ των καθέτων στο επίπεδο πρόσπτωσης συνιστωσών πλατών του πεδίου iE σ και rE σ συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης iθ . Με τη βοήθεια της (σχ. 2.8.1) ή του διαγράμματος του συντελεστή ανακλαστικότητας σρ (Σχ.

2.8.1α), βλέπουμε ότι η διαφορά φάσης τους σΔφ για 0 00 180iθ< < είναι ίση με

- 98 -

0180 ( )0 00 για 0 90iσρ θ< < < . To (Σχ. 2.8.1δ) είναι η αντίστοιχη γραφική

παράσταση της διαφοράς φάσης πΔφ για τις παράλληλες συνιστώσες iE π και

rE π του πεδίου. Με τη βοήθεια της (σχ. 2.8.3), ή του διαγράμματος του

συντελεστή ανακλαστικότητας πρ (Σχ. 2.8.1α), βλέπουμε ότι θα είναι 00πΔφ =

για 00 i Bθ θ< < και 0180πΔφ = για 090B iθ θ< < ( 0πρ > για 00 i Bθ θ< < και

0πρ < για 090B iθ θ< < ). γ) Πλάγια πρόσπτωση για την οποία i tn n> . (εσωτερική ανάκλαση) ( )00 i cθ θ≤ <

Με τη βοήθεια του νόμου του Snell και με δεδομένο το γεγονός ότι

i tn n> θα είναι t iθ θ> έως ότου 090tθ = . Η τελευταία σχέση θέτει ένα όριο όσον αφορά τη γωνία πρόσπτωσης από το οπτικά πυκνότερο προς το οπτικά αραιότερο υλικό ( )i tn n> . Με βάση το νόμο του Snell: 0sin sin 90i i tn nθ =

βρίσκουμε: sin sini c t in nθ θ= = (2.8.20) Η cθ ονομάζεται κριτική γωνία (critical angle) ή ορική γωνία. Θεωρούμε ότι η διάδοση γίνεται από γυαλί στον αέρα για τα οποία έστω: 1.5, 1.0i tn n= = .

Τότε 041.8cθ = . Αν υποθέσουμε ότι το φως πέφτει με γωνία πρόσπτωσης

i cθ θ> , τότε με βάση το νόμο του Snell: sin sin sin 1i c tθ θ θ= > το οποίο σημαίνει ότι η γωνία tθ γίνεται φανταστική. Πρόκειται για την οριακή περίπτωση της λεγόμενης ολικής ανάκλασης (total reflection), την οποία μελετούμε στην παράγραφο που ακολουθεί. Στα αμέσως επόμενα θ’ αναφερθούμε στην περίπτωση όπου η iθ είναι μικρότερη της cθ . Με την προϋπόθεση ότι i cθ θ< οι τύποι που καθορίζουν τους συντελεστές ανακλαστικότητας ,π σρ ρ δίνονται από τις (σχ. 2.8.3,1):

( )( )

tan cos costan cos cos

i t t i i tπ

i t t i i t

θ θ n θ n θρθ θ n θ n θ− −

= =+ +

(2.8.21)

και ( )( )

sin cos cossin cos cos

i t i i t t

i t i i t t

θ θ n θ n θρθ θ n θ n θσ

− −= − =

+ + (2.8.22)

- 99 -

για τις οποίες i tn n> ( 1.5t in n = ). Από αυτές βρίσκουμε για:

( ) ( )00 , 0.2i i t i tn n n nσ πθ ρ ρ= = − = − + = . Επίσης για i cθ θ= θα είναι:

( ) ( )1c cσ πρ θ ρ θ= = . Οπότε οι συντελεστές σρ και πρ αυξάνουν μονότονα από

0.2 και –0.2 αντίστοιχα μέχρι την τιμή +1 όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.8.2α). Για την περίπτωση για την οποία 090i tθ θ+ = η (σχ. 2.8.21) μας δίνει 0πρ = . Τότε με τη βοήθεια του νόμου του Snell βρίσκουμε : tan tani c t in nθ θ= = (2.8.23) Δηλ. για γωνία πρόσπτωσης Bθ (γωνία Brewster) για την οποία ισχύει η (σχ. 2.8.23), δεν υφίσταται συνιστώσα παράλληλη με το επίπεδο πρόσπτωσης αλλά μόνο κάθετη και γραμμικά πολωμένη. Για 1 1.5t in n = θα είναι: 033.69Bθ = .

Με δεδομένες τις (σχ. 2.8.21,22) και τις 2 2,R Rσ σ π πρ ρ= = , υπολογίζουμε τις

ανακλαστικότητες της ενδοεπιφάνειας για 00 i cθ θ≤ < (Σχ. 2.8.2β).

(Σχ. 2.8.2) Το (Σχ. 2.8.2γ) μας δίνει τη γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης

σΔφ μεταξύ των καθέτων στο επίπεδο πρόσπτωσης συνιστωσών πλατών του

- 100 -

πεδίου iE σ και rE σ συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης τους iθ . Με βάση το διάγραμμα του συντελεστή ανακλαστικότητας σρ (Σχ. 2.8.2α) βλέπουμε ότι η

διαφορά φάσης τους σΔφ για 00 i cθ θ< < είναι ίση με 00 . ( 0σρ > για 00 i cθ θ< < ). Το (Σχ. 2.8.2δ) είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση της

διαφοράς φάσης πΔφ για τις παράλληλες συνιστώσες iE π και rE π του πεδίου. Πάλι με τη βοήθεια του διαγράμματος, του συντελεστή ανακλαστικότητα πρ

(Σχ. 2.8.2α), βλέπουμε ότι θα είναι: 0180πΔφ = για 00 i Bθ θ< < (επειδή 0πρ <

γι’ αυτό το διάστημα ) και 00πΔφ = για B i cθ θ θ< < (επειδή 0πρ > ). Για γωνίες πρόσπτωσης i cθ θ≥ η διαδικασία υπολογισμού των σΔφ και πΔφ είναι περισσότερο πολύπλοκη λόγω της εκδήλωσης του φαινόμενου της ολικής ανάκλασης και θα μελετηθεί στα επόμενα. δ) Ολική εσωτερική ανάκλαση: ( 090c iθ θ≤ ≤ , i tn n> )

Με τη βοήθεια των (σχ. 2.8.1,3) οι συντελεστές σρ και πρ γράφονται ως εξής:

tantan

iσ

t

1 αρ , a1 α

θθ

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

(2.8.24)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−

= annb ,

b1b1ρ

t

iπ (2.8.25)

Επομένως : ii

iit

t

i

θnθnn

θθ a

cossin

tantan 222 −

== . Και αν υποθέσουμε ότι i tn n> και

i cθ θ≥ όπου cθ η κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης τότε 090tθ ≥ και ‘ sin 1iθ > ’ γεγονός που σημαίνει ότι η παράμετρος a γίνεται μιγαδικός αριθμός, επειδή

2 2 2sin 0t i in n θ− < . Άρα μπορούμε να γράψουμε:

ii

tii

θnnθn

i i αcos

sin 222 −−=γ−= (2.8.26)

Το μείον επιβάλλεται στην εκλογή μας, επειδή επιθυμούμε αρνητική εκθετική μεταβολή του πλάτους του πεδίου του διαδιδόμενου στην z διεύθυνση, λόγω του παρατηρούμενου φαινόμενου της ολικής ανάκλασης στην ενδοεπιφάνεια

- 101 -

των διηλεκτρικών για τα οποία ισχύει : i tn n> και 090c iθ θ≤ ≤ ( z είναι η διεύθυνση η κάθετη προς την ενδοεπιφάνεια). Κάτω από αυτές τις συνθήκες αποδεικνύεται ότι το συνολικά διαθλώμενο πεδίο παρίσταται από ένα εξαφανιζόμενο κύμα (evanescent wave) του οποίου το πλάτος στη διεύθυνση z ταχύτατα ελαττώνεται, ενώ διαδίδεται η συνιστώσα του προς τη διεύθυνση x δηλ. κατά μήκος της ενδοεπιφάνειας των δύο διηλεκτρικών. Τελικά οι (σχ. 2.8.24,25) παίρνουν τη μορφή:

iγ1iγ1ρσ −

+= (2.8.27)

και 2 2

1 1i iπ

t t

n nρ i γ i γn n

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.8.28)

Επομένως 111

11|| 2

222 =

++

=γ−γ+

==σ γγ

iiρR σ και 12 ==π πρR . Άρα το φως για

γωνίες πρόσπτωσης 090c iθ θ≤ ≤ ανακλάται ολικά στην ενδοεπιφάνεια. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση (total internal reflection).

Επειδή βέβαια για την περίπτωση που εξετάζουμε οι συντελεστές σρ

και πρ είναι μιγαδικοί αριθμοί, είναι εύλογο να συμπεράνουμε ότι μεταξύ των προσπιπτουσών και ανακλωμένων συνιστωσών των ηλεκτρικών πεδίων θα υφίσταται μια μεταβολή στη φάση τους (κλάσμα των 180ο) παρά το ότι τα πλάτη των ανακλωμένων πεδίων παραμένουν τα ίδια ( 1Rσ = , 1Rπ = ) για όλες τις γωνίες i cθ θ≥ . Επομένως μπορούμε να γράψουμε:

iΔ

σρ e σφ= (2.8.29) και πiΔφπρ e= (2.8.30)

όπου ,σ πΔφ Δφ οι προαναφερόμενες διαφορές φάσεων. Τότε με τη βοήθεια των

(σχ. 2.8.27, 28) και της ( ) ( )tan 2 sin 1 cosφ φ φ= + βρίσκουμε:

tanΔφ

2 γσ = (2.8.31)

γnn

2Δφ

t

i ⋅= 2

2πtan (2.8.32)

- 102 -

όπου με βάση τη (σχ. 2.8.27) ( )1/ 2sin2 2 2

i i t i iγ = n θ n n cosθ− μπορούμε να λάβουμε

τις γραφικές παραστάσεις των ( )σ iΔφ θ και ( )iΔφ θπ για 090c iθ θ≤ ≤ . Οι

τελευταίες φαίνονται στα (Σχ. 2.8.2γ,δ). Οι ( )σ iΔφ θ και ( )iΔφ θπ για 00 i cθ θ≤ < και i tn n> έχουν αναλυθεί στην (§ γ).

Μας είναι γνωστό (βλ. Κεφ. 5: Πόλωση φωτός § ) ότι η κατάσταση πόλωσης μιας δέσμης φωτός εξαρτάται από τα πλάτη καθώς και από τη διαφορά φάσης των δύο καθέτων προς τη διεύθυνση διάδοσης συνιστωσών. Υποθέτουμε ότι για την περίπτωση της εσωτερικής ανάκλασης που μελετούμε εδώ ( i tn n> ), το προσπίπτον με γωνία iθ φως είναι γραμμικά πολωμένο. Θα είναι αρκετά εύκολο με τη βοήθεια των διαγραμμάτων των διαφορών φάσεων

σΔφ , Δφπ (Σχ. 2.8.2γ,δ) να προσδιορίσουμε την κατάσταση πόλωσης της ανακλώμενης. Εξετάζουμε το πρόβλημα σε τρεις περιοχές, θεωρώντας ότι τα πλάτη των συνιστωσών της προσπίπτουσας μπορεί να είναι ίσα ή όχι μεταξύ τους. α) Για 00 i Bθ θ< < θα έχουμε: 0180Δφ Δφ Δφπ σ= − = . Επομένως το ανακλώμενο φως θα είναι γραμμικά πολωμένο με αζιμούθιο όμως στραμμένο κατά 0180 σε σχέση με το προσπίπτον. β) Για B i cθ θ θ< < θα έχουμε

00Δφ Δφ Δφπ σ= − = . Άρα το ανακλώμενο θα είναι επίσης γραμμικά πολωμένο

με αζιμούθιο ίδιο με αυτό του προσπίπτοντος. γ) Για 090c iθ θ≤ ≤ οι σΔφ , Δφπ δεν είναι σταθερές και μεταβάλλονται όπως φαίνεται στα (Σχ. 2.8.2γ,δ). Η γραφική παράσταση της διαφοράς φάσης Δφ Δφ Δφπ σ= − μεταξύ 090c iθ θ≤ ≤

δίνεται από την καμπύλη του (Σχ. 2.8.2ε). Επομένως για προσπίπτον φως γραμμικά πολωμένο, το ανακλώμενο για 90o

c iθ θ≤ ≤ θα είναι γενικά ελλειπτικά πολωμένο.

Παράδειγμα Θεωρούμε ότι μία ενδοεπιφάνεια διαχωρίζει δύο διηλεκτρικά i και j με δ.δ. in και jn . Υποθέτουμε επίσης ότι για τη διαδρομή μιας διαταραχής από το

i στο j , οι συντελεστές ανακλαστικότητας και διαπερατότητας είναι αντίστοιχα: ,ij ijρ τ ενώ από το j στο i : ,ji jiρ τ . Με βάση την αρχή του Fermat

(βλ. Κεφ. 3: Γεωμετρική ) και την συνεπαγομένη από αυτήν αρχή της αντιστρόφου πορείας του φωτός, καθώς και με την προϋπόθεση ότι δεν υφίσταται απορρόφηση της ακτινοβολίας κατά τη διαδρομή της, ν’ αποδειχθούν οι σχέσεις του Stokes: ij jiρ ρ= − και 21ij ji ijτ τ ρ= − .

- 103 -

Λύση Αν 0E είναι το πλάτος της προσπίπτουσας διαταραχής (Σχ. 2.8.3α), τότε το ανακλώμενο και διερχόμενο πλάτος θα δίνεται αντίστοιχα από τις: 0ij Eρ και

0ij Eτ . Με βάση την αρχή της αντιστρόφου πορείας του φωτός, είναι

ρεαλιστικό να θεωρήσουμε ότι οι διευθύνσεις όλων των διαταραχών (προσπίπτουσας, ανακλώμενης, διαθλώμενης), είναι δυνατόν ν’ αντιστραφούν όπως αυτό φαίνεται στο (Σχ. 2.8.3β) χωρίς να μεταβληθεί η φύση του φαινόμενου.

(Σχ. 2.8.3)

Η πρόσπτωση όμως της διαταραχής με πλάτος 0ij Eρ (Σχ. 2.8.3γ) από το

διηλεκτρικό i στο j (συνεχής γραμμή), θα μας δώσει: α) Mία ανακλώμενη με

πλάτος ( ) 20 0ij ij ijE Eρ ρ ρ= και β) Μία διαθλώμενη με πλάτος ( )0 0ij ij ij ijE Eτ ρ τ ρ= .

Με παρόμοιο τρόπο η πρόσπτωση της διαταραχής με πλάτος τijEo (διακεκομμένη γραμμή ) από το διηλεκτρικό j στο i θα μας δώσει α) μία

ανακλώμενη πλάτους ( )0 0ji ij ji ijE Eρ τ ρ τ= και β) Μία διαθλώμενη με πλάτος

( )0 0ji ij ij jiE Eτ τ τ τ= .

Προκειμένου όμως οι διευθετήσεις των διαδιδόμενων διαταραχών στα (Σχ. 2.8.3β και 2.8.3γ) (δηλ. το ισοζύγιο προσπιπτουσών, ανακλώμενων και διαθλώμενων διαταραχών) να είναι πανομοιότυπες θα πρέπει να ισχύει: 2

0 0 0ij ij jiE E Eρ τ τ= + και 0 00 ij ij ji ijE Eρ τ ρ τ= +

Από τις τελευταίες βρίσκουμε: 21ij ji ijτ τ ρ= − και ij jiρ ρ= − . Δηλ. τις

σχέσεις του Stokes.

- 104 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

Πειραματικές μέθοδες μέτρησης της ταχύτητας του φωτός Α) Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός από τον O.Roemer μέσω

αστρονομικών παρατηρήσεων (1675 – 1676)

Ο πρώτος που μέτρησε επιτυχώς την ταχύτητα του φωτός ήταν ο Δανός αστρονόμος Olaf Roemer (1644 – 1710). Για το σκοπό αυτό χρησιμοποίησε τις εκλείψεις ενός από τους δορυφόρους του πλανήτη Δία, της Ιούς, της οποίας η περίοδος περιστροφής περί το Δία είναι: 42h 28m 16s . Στο (Σχ. 1) μπορούμε να δούμε κατ’ αρχή τμήματα των τροχιών των πλανητών Γης και Δία περί τον Ήλιο καθώς και την τροχιά της Ιούς περί τον Δία. Οι χρόνοι 1t και 2t αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες έχουμε δύο διαδοχικές εξαφανίσεις της Ιούς στη σκιά του Δία, καθώς αυτός διανύει την τροχιά του. Οι

(Σχ. 1)

παρατηρήσεις αυτές γίνονται από τη Γη σε δύο αντίστοιχες θέσεις καθώς και η ίδια διανύει την τροχιά της. Επομένως η χρονική διαφορά 2 1t t− είναι η περίοδος της Ιούς περί τον Δία.

Ο Roemer όμως παρατήρησε το εξής: Η Γη κατά τα γνωστά απομακρυνόταν από το Δία κατά την περιστροφή της περί τον Ήλιο. Και ενώ η περίοδος της Ιούς θα έπρεπε να είναι σταθερή, τουναντίον για διάφορες θέσεις της γης – δηλ. σε επόμενα χρονικά διαστήματα του έτους – οι μετρήσεις

- 105 -

έδειξαν αύξηση της περιόδου. Κάτω από αυτές τις συνθήκες κατόρθωσε να εντοπίσει ότι η μέγιστη καθυστέρηση μεταξύ δύο ακραίων περιόδων είχε την τιμή: 2 1 22minΔt t t= − . Το τελευταίο συνέβαινε σε δύο χαρακτηριστικές συ-

(Σχ. 2)

ζυγίες μεταξύ των πλανητών Δία, Γης και του Ηλίου. Η μία ήταν: Γη – Ήλιος – Δίας, με απόσταση μεταξύ Γης – Δία ίση με 2R (Σχ. 2). Η άλλη ήταν: Ήλιος – Γη – Δίας με απόσταση μεταξύ Γης – Δία ίση με 1R . Είναι ευλογοφανές ότι η διαφορά των αποστάσεων 2 1R R− είναι περίπου ίση με το διπλάσιο της μέσης απόστασης μεταξύ Γης – Ηλίου, με την προϋπόθεση ότι ο Δίας δεν μετακινείται πολύ στην τροχιά που διανύει.

Ο Roemer θεώρησε ότι η φαινόμενη αυτή αύξηση της χρονικής περιόδου της περιστροφής της Ιούς περί τον Δία, οφείλεται στην πεπερασμένη ταχύτητα διάδοσης του φωτός. Πράγματι θα έχουμε μια αύξηση του χρονικού διαστήματος μεταξύ δυο διαδοχικών εξαφανίσεων της Ιούς περί τον Δία (δηλ. της περιόδου), επειδή η απόσταση της Γης από τον Δία γίνεται όλο και μεγαλύτερη κατά την περιστροφή της περί τον Ήλιο. Δηλ. το φως καθυστερεί περισσότερο να φθάσει στη Γη όταν είναι να διανύσει μεγαλύτερες αποστάσεις. Η χρονική λοιπόν διαφορά των περιόδων της Ιούς στις δύο προαναφερόμενες θέσεις συζυγίας ( )2 1 22 minΔt t t= − , είναι το χρονικό

διάστημα που χρειάζεται το φως για να διανύσει απόσταση ίση με το διπλάσιο της μέσης απόστασης μεταξύ του Ηλίου και της Γης. Επομένως: ( )2 1 2 1R R c t t cΔt− = − = Με τα τότε δεδομένα για τις τιμές των 2 1,R R και Δt ο Roemer βρήκε ότι:

215.000km / sc . Επειδή βέβαια σήμερα γνωρίζουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τη διαφορά 2 1R R− και του χρονικού διαστήματος Δt : 8

2 1 2 1.49 10 kmR R− × ×

- 106 -

και 16 minΔt , βρίσκουμε ότι: 300.000km / sc . Θα πρέπει τέλος ν’ αναφέρουμε ότι τα επίπεδα περιστροφής Γης – Ηλίου και Δία – Ιούς (εκλειπτικές) σχεδόν ταυτίζονται. Β) Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός από τον J. Bradley μέσω

αστρονομικών παρατηρήσεων (1725)

Ο Άγγλος αστρονόμος J.Bradley (1693 – 1762) ήταν αυτός που ανακάλυψε το λεγόμενο ‘αστρικό σφάλμα’ ή ‘σφάλμα φωτός’ (βλ. Εισαγωγή). Μετά από επίπονες παρατηρήσεις και μετρήσεις, κατά την προσπάθειά του να υπολογίσει την απόσταση των αστέρων με τη μέθοδο του τριγωνισμού, δηλ. στηριζόμενος στον εντοπισμό τους σε διάφορες χρονικές στιγμές (δεδομένης της κίνησης της γης στην τροχιά της γύρο από τον Ήλιο), έβγαλε το εξής συμπέρασμα: Οι υποτιθέμενοι ακίνητοι αστέρες στο ουράνιο θόλο (Σχ. 3),

(Σχ. 3)

δεν βρίσκονται στην πραγματική τους θέση αλλά προκειμένου να ιδωθούν θα πρέπει οι άξονες των τηλεσκοπίων να στραφούν κατά μια γωνία σε σχέση με τη διεύθυνση του διανύσματος υ της ταχύτητας περιστροφής της γης περί τον Ήλιο. Ο ίδιος υπολόγισε αυτή τη γωνία η οποία εκφράζεται από τη σχέση:

- 107 -

tan a cυ= , όπου ,cυ οι ταχύτητα περιστροφής περί τον Ήλιο και η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Μια περισσότερο λεπτομερής ανάλυση της διαδικασίας ανάδειξης αυτής της σχέσης που αφορούσε την προσπάθεια ερμηνείας του ‘αστρικού σφάλματος’ με βάση τις τότε κυριαρχούσες θεωρίες για το φως, δίνεται – όπως ήδη έχουμε αναφέρει – στην εισαγωγή αυτού του βιβλίου. Με δεδομένο ότι η γωνία 20.45a ′′ και ότι η μέση ταχύτητα περιστροφής της Γης περί τον Ήλιο είναι 30m / sυ , ο Bradley υπολόγισε ότι: 303.000km / sc .

Γ) Μέτρηση της ταχύτητας του φωτός από τον A.H. Fizeau, μέσω

επίγειων παρατηρήσεων (1849)

Το πείραμα του Fizeau στην πραγματικότητα είναι μια γενίκευση του πειράματος που πρότεινε ο Γαλιλαίος περί το 1600(;) και στηριζόταν στην εξής διαδικασία (Σχ. 4): Δύο παρατηρητές που διαθέτουν από μια πηγή φωτός, βρίσκονται σε απόσταση l μεταξύ τους. Μπροστά από τις πηγές κρατούν από ένα αδιαφανές πέτασμα ( )Π . Ο πρώτος προς στιγμή αποσύρει το πέτασμα

( )1Π . Τότε το φως από την πηγή ( )1Φ του πρώτου διαδίδεται προς το δεύτερο,

(Σχ. 4)

ο οποίος μόλις αντιληφθεί τη λάμψη από την πρώτη πηγή αποσύρει το πέτασμα ( )2Π από την πηγή ( )2Φ . Το φως του τελευταίου διαδίδεται προς τον

πρώτο, ο οποίος με χρονόμετρο μετράει το χρόνο που έκανε το φως να φθάσει στο δεύτερο παρατηρητή και από τον δεύτερο στον ίδιο. Δηλ. μετράει το χρόνο Δt που μεσολάβησε από τη στιγμή που απέσυρε το πέτασμα ( )1Π ,

μέχρις να δει τη λάμψη που προερχόταν από την πηγή ( )2Φ απέναντί του.

Εφόσον η απόσταση l είναι γνωστή, τότε η ταχύτητα του φωτός θα δίνεται από τη σχέση:

2c l Δt= . (1)

- 108 -

Το πείραμα αυτό πράγματι εκτελέστηκε στη Φλωρεντία περί το 1600

αλλά τα σφάλματα στη μέτρηση του χρόνου ήταν τόσο μεγάλες που τα πειραματικά αποτελέσματα δεν μπορούσαν να θεωρηθούν αξιόπιστα. Όμως προέκυψε το σημαντικό συμπέρασμα ότι η ταχύτητα του φωτός θα έπρεπε αν δεν ήταν άπειρη, να είναι ασυνήθιστα μεγάλη. Στο πείραμα του Fizeau, ο δεύτερος παρατηρητής αντικαθίσταται από το κάτοπτρο ( )2M , όπως φαίνεται

στη διάταξη του (Σχ. 5). Φως από μια πηγή ( )Π περνάει μέσω του φακού

( )1Φ και μερικώς ανακλάται στο ημιδιαφανές κάτοπτρο ( )1M εστιαζόμενο

(Σχ. 5)

στις οδοντώσεις (ή στη θέση των διακένων) ενός οδοντωτού τροχού, ο οποίος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται με ορισμένη κάθε φορά συχνότητα ν . Το φως κατόπιν συνεχίζει την πορεία του και παραλληλίζεται μέσω του φακού ( )2Φ , διαδιδόμενο σε μια μεγάλη απόσταση. Κατόπιν μέσω του φακού ( )3Φ

εστιάζεται στο κάτοπτρο ( )2M . Ανακλώμενο ακολούθως από το ίδιο

κάτοπτρο, μέσω και πάλι των φακών ( )3Φ και ( )2Φ διά του οδοντωτού

τροχού διαπερνάει το ημιδιαφανές κάτοπτρο ( )1M και μέσω του

προσοφθαλμίου φακού ( )4Φ φθάνει στο μάτι του παρατηρητή.

Καθώς ο οδοντωτός τροχός περιστρέφεται, ο παρατηρητής έχει τη δυνατότητα (μέσω του προσοφθαλμίου φακού ( )4Φ ) να δει σκοτάδι ή φως. Το

τελευταίο ανάλογα με το αν το φως που επιστρέφει από το κάτοπτρο ( )2M ,

εστιαστεί (μέσω του φακού ( )2Φ ) σε οδοντώσεις ή διάκενα του

περιστρεφόμενου τροχού. Προφανώς ο παρατηρητής θ’ αντιλαμβάνεται

- 109 -

περιοδικά σκοτάδι ή φως καθώς η ταχύτητα περιστροφής του τροχού αυξάνεται.

Την πρώτη αντίληψη σκότους θα την έχει όταν (Σχ. 5) το φως διαδιδόμενο από διάκενο στη θέση ( )Τ (του τροχού), φράσει στο ( )2M και

επανακάμπτοντας στο ( )Τ συναντήσει οδόντωση του τροχού. Δηλ. το φως

αναχωρώντας από τη θέση ( )A (διάκενο) και διαδιδόμενο συνολικά κατά 2l ,

φθάσει στη θέση ( )B (Σχ. 6). Στο χρονικό αυτό διάστημα ο τροχός

περιστράφηκε κατά γωνία 1α . Η δεύτερη αντίληψη σκότους θα συμβεί όταν η συχνότητα περιστροφής γίνει τέτοια ώστε κατά το χρονικό διάστημα που το

(Σχ. 6)

φως διέτρεξε την απόσταση 2l , ο τροχός περιστράφηκε κατά γωνία

13φ α α= = κ.ο.κ. Η γωνία βέβαια 1α θα δίνεται από τη σχέση: 1 2 Nα π= (2) όπου N ο αριθμός των δοντιών του τροχού.

Οι παράμετρες που αφορούσαν το συγκεκριμένο πείραμα του Fizeau ήταν οι έξης: Η πηγή του φωτός ( )Π το ημιδιαφανές κάτοπτρο ( )1M καθώς

και ο τροχός, βρισκόταν εγκατεστημένα στο σπίτι του πατέρα του κοντά στο Παρίσι. Το κάτοπτρο ( )2M τοποθετήθηκε στην Μονμάρτη όπου η απόσταση

2T M− μετρήθηκε ίση περίπου με ( )8.66km 8.66kmF - M = l . Ο αριθμός των

δοντιών του τροχού ήταν 720n = και ο τελευταίος περιστρεφόταν μέσω ενός ωρολογιακού μηχανισμού που τον κινούσε ένα βαρίδιο. Με τη βοήθεια ενός καταμετρητή και ενός χρονομέτρου ο Fizeau παρατήρησε ότι σκότος μέσω του προσοφθαλμίου ( )4Φ συνέβαινε για πρώτη φορά όταν η συχνότητα

- 110 -

περιστροφής του τροχού ήταν 126Hzν = (περιστροφές ανά δευτερόλεπτο). Αν ω η γωνιακή συχνότητα περιστροφής του τροχού τότε:

2 2t tω φ πν φ πν= = ⇒ = (3) Αλλά 1 2 2nφ α π= = (σχ. 2). Επομένως ο χρόνος για την περιστροφή του τροχού κατά γωνία 1α (Σχ. 6) θα δίνεται από τη σχέση:

2 2 2 2 1 2t n nφ πν π πν ν= = × = (4) Ο χρόνος όμως t είναι ίσος με 2l c όπου c η ταχύτητα του φωτός. Επομένως : 1 2 2 4 n lt n l c cν ν= = ⇒ = (5) Η αντικατάσταση των δεδομένων στη (σχ. 5) έδωσε για τη c την τιμή:

83.14 10 m sc × . Συγκρίνοντας αυτή την τιμή με τις αντίστοιχες που προσδιοριστήκαν

μέσω αστρονομικών παρατηρήσεων (μέθοδες των Roemer και Bradley), βλέπουμε ότι είναι κατά τι μεγαλύτερη. Όμως αν εξαιρέσουμε τα πειραματικά σφάλματα, η μέθοδος μέτρησης της ταχύτητας του φωτός από τον Fizeau ήταν σπουδαία για το ότι απέδειξε για πρώτη φορά τη δυνατότητα μέτρησής της με επίγειες παρατηρήσεις. Στον (Πίν. 7) παραθέτουμε ένα ορισμένο μόνο αριθμό

Χρονολογία Πειραματιστής Χώρα Μέθοδος Ταχύτητα Σφάλμα

1600 Γαλιλαίος Ιταλία Πηγές φωτός, πετάσ/τα Πολύ μεγάλη 1675 Roemer Γαλλία Αστρονομική 215,000 1725 Bradley Αγγλία Αστρονομική 303,000 1849 Fizeau Γαλλία Οδοντωτός τροχός 314,000 1862 Foucault Γαλλία Περιστρεφ. κάτοπτρο 298,000 500 1880 Michelson Αμερική Περιστρεφ. κάτοπτρο 299,910 50 1906 Rosa and Dorsey Αμερική Η/Μ θεωρία 299,781 10 1923 Mercier Γαλλία Στάσ. κύμ. σε καλώδια 299,782 15 1928 Karolus & Mittelstaedt Γερμανία Κύτταρο Kerr 299,778 10 1940 Huettel Γερμανία Κύτταρο Kerr 299,768 10 1950 Essen Αγγλία Κοιλότ. μικροκυμάτων 299,792.5 3 1950 Bol and Hansen Αμερική Κοιλότ. μικροκυμάτων 299,789.3 0.4 1950 Houston Σκωτία Ταλαντ. κρύσταλλος 299,775 9 1952 Froome Αγγλία Συμβολόμετρο Μικροκ. 299,792.6 0.7 1954 Florman Αμερική Συμβολόμετρο Ραδιοκ. 299.795.1 3.1 1956 Edge Σουηδία Γεωδαιτικά 299,792.9 0.2

(Πίν. 7)

- 111 -

μετρήσεων της ταχύτητας του φωτός. Δίνονται οι πειραματιστές, η χώρα όπου έγιναν τα πειράματα, το έτος διεξαγωγής τους, η μέθοδός που χρησιμοποίησαν, η μετρούμενη ταχύτητα του φωτός σε km s καθώς και τα αντίστοιχα πειραματικά σφάλματα σε km s .

- 112 -

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2

Οπτικά μέσα ακτίνες φωτός και μέτωπα κύματος

Οπτικά μέσα είναι εκείνα τα υλικά (στερεά, υγρά και αέρια) κατά κύριο λόγο ομογενή και διαφανή, στα οποία διαδίδεται το φως. Από τα μέσα αυτά και κυρίως τα στερεά – όπως είναι τα γυαλιά – κατασκευάζονται πλείστα όσα εξαρτήματα που χρησιμοποιούνται στην οπτική τεχνολογία όπως: πρίσματα, φακοί, οπτικές ίνες κ.λ.π.

Στη γεωμετρική προσέγγιση για το φως, η ‘διάδοσή’ του στα υλικά γίνεται με τη βοήθεια της έννοιας των ακτίνων του φωτός. Μια τέτοια ακτίνα λέμε ότι οδεύει από ένα σημείο A μέχρις ένα άλλο σημείο B του οπτικού μέσου ακολουθώντας ευθύγραμμη (Σχ. 2.1α) ή καμπύλη (Σχ. 2.1β) διαδρομή ανάλογα με το αν το μέσο είναι ομογενές ή ανομοιογενές.

(Σχ. 2.1)

Η ακτίνα του φωτός μπορούμε να πούμε ότι είναι μια γεωμετρική αφαίρεση μιας γνωστής σε όλους μας δέσμης φωτός που στο όριό θεωρούμε ότι η διάμετρός της τείνει στο μηδέν. Σαν παράδειγμα μια δέσμη που προέρχεται από ένα κοινό Laser (π.χ. He-Ne 5 mW ) και της οποίας η διάμετρος είναι 1-2 mmμπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει με καλή προσέγγιση μια ακτίνα φωτός.

Όπως βέβαια αποδεικνύεται στην Η/Μ θεωρία, αυτό που προηγουμένως περιγράψαμε με όχι τόσο αυστηρό τρόπο σαν μια ακτίνα φωτός, είναι το ίχνος της διαδιδόμενης ενέργειας (που σχετίζεται άμεσα με το διάνυσμα Poynting) ενός Η/Μ κύματος στο εσωτερικό ενός οπτικού μέσου.

- 113 -

2.1 Δείκτης διάθλασης οπτικού μέσου. Η έννοια του οπτικού δρόμου.

Τα ομογενή ισότροπα διαφανή οπτικά μέσα (στερεά, υγρά και αέρια)

χαρακτηρίζονται από μια ιδιότητα η οποία ονομάζεται δείκτης διάθλασης (refraction index). Ο ορισμός του κατ’ αρχήν δίνεται με όρους της κυματικής οπτικής και είναι: ‘ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του φωτός στο μέσον’. Δηλ.

n c υ= (2.1.1)

Ενδεικτικές τιμές που αφορούν τους δείκτες διάθλασης (δ.δ.) τριών πολύ κοινών οπτικών μέσων είναι: Του κοινού γυαλιού: 1.520n = , του νερού:

1.333n = και του αέρα: 1.000292n = (σε συνθήκες 0o C και πίεσης 760mm Hg). Για το μέγεθος της τιμής του δ.δ. ενός οπτικού μέσου χρησιμοποιείται ο όρος της οπτικής πυκνότητας (optical density). Διαφανή οπτικά μέσα με μεγάλο δ.δ. λέμε ότι διαθέτουν υψηλή οπτική πυκνότητα.

Αν θεωρήσουμε ότι μια ακτίνα φωτός διατρέχει την απόσταση l μέσα σ’ ένα ομογενές οπτικό μέσο με δ.δ. n , τότε ο οπτικός δρόμος(Ο.Δ. ) (optical path length)(O.P.L.). (Ο.Δ.) θα δίνεται από τη σχέση:

Ο.Δ.= L = nl (2.1.2)

(Σχ. 2.1.1)

Ένα τέτοιο παράδειγμα φαίνεται στο (Σχ. 2.1.1) όπου μια ακτίνα φωτός προσπίπτει πλάγια (στο σημείο A ) στην πρώτη από τις τρεις σε επαφή διαδοχι-

- 114 -

κές επίπεδες διαφανείς πλάκες, κάθε μια από τις οποίες έχει δ.δ. 1 2 3, ,n n n . Τότε ο διανυόμενος από την ακτίνα οπτικός δρόμος – από την είσοδό της στο A μέχρις την έξοδό της στο B – μετά τις διαδοχικές διαθλάσεις θα είναι:

1 1 2 2 3 3Ο.Δ.= n l n l n l+ + όπου 1 2 3, ,l l l οι διανυόμενες διαδρομές στο κάθε τμήμα. Στη γενικότερη περίπτωση που το οπτικό μέσο είναι ανομοιογενές, ο οπτικός δρόμος μιας ακτίνας που εκκινεί από το σημείο (1) του μέσου και φθάνει σ’ ένα άλλο σημείο (2) θα δίνεται από τη σχέση:

( )(2)

(1)

Ο.Δ.= n s ds∫ (2.1.3)

όπου s το μήκος του τόξου (της καμπύλους εν γένει τροχιάς της διανυόμενης στο ανομοιογενές μέσο) μετρούμενο από μια αρχή, ( )n s ο δ.δ. στη θέση αυτή

και ds το στοιχειώδες μήκος του τόξου.

Σημείωση Η έννοια του Ο.Δ. γίνεται περισσότερο κατανοητή με όρους της

κυματικής οπτικής. Εκεί ο Ο.Δ.= L = nl παριστάνει το μήκος της διαδρομής του διανύει το φως στο κενό, στον ίδιο χρόνο που αυτό θα διένυε την απόσταση l μέσα σε υλικό με δ.δ. n . Δηλ.:

l l nl L Ο.Δ.tc n c c cυ

= = = = = (2.1.4)

2.2 Ακτίνες φωτός και μέτωπα κύματος Σύμφωνα με την κυματική θεωρία του φωτός, ένα διαδιδόμενο μέτωπο

κύματος σε οπτικό μέσο συνιστά μια νοητή επιφάνεια της οποίας τα σημεία έχουν την ίδια φάση (ισοφασική επιφάνεια). Τα οπτικά μέσα χωρίζονται σε διάφορες κατηγορίες: Τα ομογενή ισότροπα αφορούν υλικά που η ταχύτητα του φωτός στο εσωτεS ρικό τους είναι η ίδια και ανεξάρτητη της διεύθυνσης διάδοσης. Δηλ. ο δ.δ. είναι σταθερός παντού. Στα ανομοιογενή ισότροπα όμως υλικά, ο δ.δ. μεταβάλλει την τιμή του από σημείο σε σημείο στο εσωτερικό τους. Τέλος στα ομογενή ανισότροπα υλικά, ο δ.δ. είναι σταθερός μεν αλλά η τιμή του εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης στο εσωτερικό

- 115 -

τους. Πρόκειται για τα λεγόμενα κρυσταλλικά υλικά. Είναι αυτονόητο λοιπόν ότι ο τρόπος διάδοσης των μετώπων κύματος στο εσωτερικό των προαναφερόμενων υλικών εξαρτάται από το εκάστοτε είδος.

Με το ζήτημα αυτό είναι άμεσα συνδεδεμένος και ο τρόπος διάδοσης της ενέργειας στο εσωτερικό των οπτικών μέσων και το ερώτημα το οποίο τίθεται είναι: Ποια είναι για κάθε περίπτωση η διεύθυνση διάδοσής της από σημείο σε σημείο. Γνωρίζουμε βέβαια από την Η/Μ θεωρία ότι η διεύθυνση διάδοσης της ενέργειας είναι αυτή του διανύσματος Poynting S (βλ. §2.1). Όμως πώς σχετίζεται για κάθε μέσον το S με την κυματοκάθετη k που κατά τα γνωστά είναι κάθετη σε κάθε σημείο του μετώπου κύματος; Αποδεικνύεται ότι στα ισότροπα υλικά (ομογενή και ανομοιογενή), τα S και k είναι παράλληλα μεταξύ τους. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο εν γένει και για τα ανισότροπα (κρυσταλλικά) υλικά (βλ. Κεφ. 5: Πόλωση του φωτός ) όπου τα τελευταία σχηματίζουν μεταξύ τους μια γωνία. Αποδεικνύεται όμως τελικά ότι η διαδρομή που ακολουθεί μια ακτίνα φωτός στο εσωτερικό ενός οποιουδήποτε υλικού, είναι το ίχνος της διαδιδόμενης ενέργειας από σημείο σε σημείο στο εσωτερικό του. Η διατύπωση αυτή αποτελεί τρόπον τινά και τον ορισμό μιας οδεύουσας ακτίνας φωτός.

Σαν παράδειγμα στο (Σχ.2.2.1) φαίνεται η διάδοση ενός μετώπου κύματος (δηλ. επιφάνειας ίσης φάσης) σε ανομοιογενές ισότροπο υλικό (δηλ. μεταβλητού δ.δ.). Λόγω αυτής της μεταβλητότητας, οι ακτίνες του φωτός

(Σχ.2.2.1)

στο εσωτερικό του οπτικού μέσου είναι καμπύλες. Επειδή όμως και στην περίπτωση αυτή (όπως και για τα ομοιογενή ισότροπα υλικά) S k τότε οι ακτίνες θα τέμνουν κάθετα τις αντίστοιχες διαδοχικές ισοφασικές επιφάνειες.

- 116 -

Στο (Σχ.2.2.2) φαίνεται η σχέση μεταξύ των ακτίνων και των μετώπων κύματος για την περίπτωση της διάδοσης επιπέδου και σφαιρικού μετώπου κύ-

(Σχ.2.2.2)

ματος σε ομογενές και ισότροπο οπτικό μέσο. Εδώ οι ακτίνες είναι ευθείες και η γεωμετρία των μετ. κύματος παραμένει η ίδια. 2.3 Εφαρμογή της αρχής του Huygens, για τη διάδοση των

μετώπων κύματος σε ισότροπα υλικά Η συγκεκριμένη αρχή εφαρμόζεται για τον προσδιορισμό της μορφής

ενός μετώπου κύματος σε μια ορισμένη χρονική στιγμή, όταν μας είναι γνωστή η μορφή του σε μια προηγούμενη. Στα προηγούμενα είχαμε αναφέρει ότι το μέτωπο κύματος στο χώρο (για μια ορισμένη χρονική στιγμή) είναι μια νοητή επιφάνεια της διαδιδόμενης Η/Μ διαταραχής της οποίας τα σημεία έχουν την ίδια φάση. Επίσης οι νοητές γραμμές που ενώνουν αντίστοιχα σημεία στις διαδοχικές επιφάνειες των μετώπων κύματος και είναι κάθετες σ’ αυτές ονομάζονται ακτίνες(rays).

Σύμφωνα με την αρχή του Huygens, κάθε σημείο ενός μετώπου κύματος αποτελεί πηγή εκπομπής ενός σφαιρικού κυματίου(wavelet) της ίδιας συχνότητας. Η περιβάλλουσα αυτών των κυματίων μετά από ένα χρονικό διάστημα θ’ αποτελεί το νέο μέτωπο κύματος. Στα (Σχ.2.3.1) επιδεικνύεται η εφαρμογή της αρχής για ένα επίπεδο και ένα σφαιρικό μέτωπο κύματος, που διαδίδονται σ’ ένα ομογενές και ισότροπο μέσο με ταχύτητα υ . Σε χρόνο t τα αρχικά μέτωπα κύματος είναι οι επιφάνειες S . Σε χρόνο t tΔ+ τα νέα μέτωπα κύματος (επιφάνειες 'S ) προσδιορίζονται από την περιβάλλουσα των

- 117 -

σφαιρικών κυματίων που γράφονται με κέντρα τα σημεία του μετώπου κύματος σε χρόνο t και ακτίνες tυΔ .

(Σχ.2.3.1) Εδώ δεν μας ενδιαφέρει η διάδοση των κυματίων προς την αντίθετη

διεύθυνση της κίνησης των μετώπων κύματος, γεγονός που αποτελεί αντικείμενο εξέτασης στην θεωρία της περίθλασης του φωτός. Τέλος η αρχή του Huygens θα πρέπει να ξέρουμε ότι εφαρμόζεται για την ερμηνεία πλείστων φαινομένων όπως είναι: Η ευθύγραμμη διάδοση του φωτός σε ομογενή και ισότροπα μέσα, η ανάκλαση, η διάθλαση όπως και η ολική εσωτερική ανάκλαση, καθώς και για τη μη ευθύγραμμη διάδοση σε ανομοιογενή οπτικά μέσα. Στα επόμενα δίνονται ορισμένα παραδείγματα εφαρμογής του.

Ανάδειξη του νόμου της ανάκλασης του φωτός Επίπεδο μέτωπο κύματος προσπίπτει (Σχ. 2.3.2) σε ανακλαστική

επιφάνεια με γωνία πρόσπτωσης θ (γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της προσπίπτουσας με την κάθετη στην επιφάνεια). Ανακλώμενο, συνεχίζει να διαδίδεται στον ίδιο χώρο με γωνία ανάκλασης θ ′ (γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της ανακλώμενης με την κάθετη στην επιφάνεια). Με την βοήθεια της αρχής του Huygens θ’ αποδείξουμε ότι:θ θ ′= δηλ. η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.

Με δεδομένο ότι προσπίπτον και ανακλώμενο μέτωπα κύματος βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, θεωρούμε ότι το πρώτο προσεγγίζει την ανακλαστική επιφάνεια και βρίσκεται στη θέση ΑΓ όπου ο Α είναι σημείο της επιφάνειας. Τη χρονική διάρκεια t κατά την οποία ένα κυματίδιο κατά Huygens διανύει την απόσταση ΓΓ ′ , το ανακλώμενο στη θέση Α κυματίδιο διανύει την απόσταση ΑΔ′ . Και επειδή διαδίδονται στο ίδιο οπτικό μέσο με ταχύτητα έστω 1υ θα έχουμε:

- 118 -

1

1

ΓΓ = tΓΓ = ΑΔ

ΑΔ = tυυ

′ ⎫′ ′⇒⎬′ ⎭

Από την ΓΓ = ΑΔ′ ′ και δεδομένου ότι η ΑΓ ′ είναι κοινή υποτείνουσα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΓΓ ′ και ΑΓ Δ′ ′ τα τελευταία είναι ίσα οπότε θα έχουμε: 1 2θ θ= .

(Σχ.2.3.2) Και επειδή: 1θ θ= και 2θ θ ′′= βρίσκουμε τελικά ότι: θ θ ′′= (Νόμος της ανάκλασης του φωτός) (2.3.1) Η τελευταία συνιστά τη μαθηματική έκφραση του νόμου της ανάκλασης του φωτός από κατοπτρική επιφάνεια.

Ανάδειξη του νόμου της διάθλασης του φωτός (Νόμος του Snell) Θεωρούμε ένα ομογενές και ισότροπο διαφανές μέσο, που διαχωρίζεται

από άλλο μέσω μιας επίπεδης επιφάνειας. Π.χ. το σύστημα αέρας-γυαλί του (Σχ. 2.3.3α). Η προσπίπτουσα ακτίνα φωτός (από τον αέρα στο γυαλί) με γωνία

1θ ως προς την κάθετη στην επιφάνεια ( 1θ : γωνία πρόσπτωσης), θα διαδοθεί στο δεύτερο μέσο με γωνία 2θ ( 2θ : γωνία διάθλασης). Προσπίπτουσα, διαθλώμενη και κάθετη στην επιφάνεια βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο

- 119 -

πρόσπτωσης). Ο νόμος που συσχετίζει τις γωνίες 1θ , 2θ και τις ταχύτητες διάδοσης του φωτός 1 2,υ υ στα δύο μέσα, είναι δυνατόν ν’ αναδειχθεί με τη βοήθεια της αρχής του Huygens.

(Σχ. 2.3.3)

Για το λόγο αυτό θεωρούμε (Σχ.2.3.3β) την πρόσπτωση ενός επιπέδου μετώπου κύματος ΑΒΓ στη διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων με γωνία

1θ . (Το σημείο Β είναι το μέσον της απόστασης ΑΓ ). Η ταχύτητα του φωτός στο μέσο αυτό είναι 1υ ενώ στο δεύτερο 2υ . Σε χρόνο π.χ. 1t t= , το αρχικό μέτωπο κύματος διαδόθηκε κατά 1 1ΒΒ' = ΓΓ' = υ t στο πρώτο μέσο ενώ στο δεύτερο κατά 2 1'AA tυ= . Αν θεωρήσουμε τη διάδοση και για ένα επόμενο χρονικό διάστημα 1t τότε: 1 1ΓΓ'' = 2υ t 2 1Β'Β'' = υ t και 2 1ΑΑ'' = 2υ t . Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΓΓ'' και ΑΓ''Α'' θα έχουμε: 1 2sin sinΓΓ'' ΑΑ'' θ θ= και επειδή 1 1ΓΓ'' = 2υ t , 2 1ΑΑ'' = 2υ t τότε:

1 1 2 2

2 2 1 1

sinsin

c nc nυθ υ

θ υ υ= = = ⇒

1 1 2 2sin sinn nθ θ= (Νόμος της διάθλασης του φωτός) (2.3.2)

Η τελευταία σχέση ονομάζεται και νόμος του Snell. 1 2,n n είναι οι δ.δ. των δύο οπτικών μέσων.

- 120 -

Ανάδειξη του νόμου της ολικής ανάκλασης του φωτός Στο (Σχ.2.3.4) βλέπουμε τη διάδοση προσπίπτοντος επιπέδου μετώπου

κύματος 1 1A B από οπτικό μέσο δ.δ. 1n σε μέσο με δ.δ. 2n όπου 1 2n n> . Δηλ. από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο . Επομένως με βάση τον ορισμό

(Σχ.2.3.4)

του δ.δ. n c υ= θα έχουμε: 1 2υ υ< . Τότε η διανυόμενη απόσταση 1 2B B του κυματιδίου κατά Huygens από το 1B στο 2B σε χρόνο t στο μέσο με ταχύτητα

1υ , θα είναι μικρότερη από την απόσταση 1 2A A που διανύεται από το κυματίδιο από τη θέση 1A στη θέση 2A με ταχύτητα 2υ στον ίδιο χρόνο t . Και η περιβάλλουσα των κυματιδίων 2 2B A θα είναι το διαθλώμενο μέτωπο κύματος στο αραιότερο μέσο. Θα έχουμε: 1 2 1B B tυ= και 1 2 2A A tυ= Αν τώρα η γωνία πρόσπτωσης 1θ γίνεται όλο και μεγαλύτερη, θα έλθει κάποια στιγμή κατά την οποία η 1 2 2A A tυ= θα γίνει μεγαλύτερη της 1 2A B . Τότε δεν θα υφίσταται διαθλώμενο μετ. κύματος αλλά εσωτερικά (στο πρώτο μέσον) ανακλώμενο, φαινόμενο το οποίο ονομάζεται κατά τα γνωστά ολική ανάκλαση(total reflection). Η λεγόμενη κρίσιμη γωνία(critical angle) πρόσπτωσης 1 cθ θ= , προκειμένου να έχουμε ολική ανάκλαση, θα είναι εκείνη για την οποία: 1 2 2A B tυ= . Τότε το μετ. κύματος θα είναι κάθετο στη διεύθυνση

1 2A B οπότε 02 90θ = (Σχ. 2.3.5). Επομένως θα ισχύει:

- 121 -

1 2 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2

sin cB B t c n nA B t c n n

υ υθυ υ

= = = = =

Και για την περίπτωση που έχουμε συνθήκες ολικής ανάκλασης από μέσο με

(Σχ.2.3.5) δ.δ. n στον αέρα, από την τελευταία σχέση προκύπτει:

1sin c nθ = (Νόμος της ολικής ανάκλασης του φωτός) (2.3.3)

Τελικά για όλες τις γωνίες θ για τις οποίες cθ θ≥ θα έχουμε ολική ανάκλαση του προσπίπτοντος μετώπου κύματος. 2.4 H ευθύγραμμη διάδοση του φωτός κατά Huygens

Μια πηγή πολύ μικρών διαστάσεων η οποία εκπέμπει φως ομογενώς σ’ όλο το χώρο, μπορούμε να θωρήσουμε ότι είναι πηγή ενός σφαιρικού μετώπου κύματος. Στην πράξη ένα τέτοιο μέτωπο μπορούμε να το δημιουργήσουμε με τον εξής τρόπο: Όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.4.1α) ένα επίπεδο μετ. κύματος προσπίπτει σε ένα πέτασμα που διαθέτει στο κέντρο του ένα μικρό κυκλικό άνοιγμα. Αν το άνοιγμα αυτό είναι περίπου 0.1mm πρρακτικά στην ορατή περιοχή του φάσματος, μπορεί να θεωρηθεί σημειακή πηγή. Άρα και πηγή εκπομπής ενός σφαιρικού μετώπου κύματος που διαδίδεται τουλάχιστον στην περιοχή πίσω από το πέτασμα.

Ένα τέτοιο μετ. κύματος εκκινεί από το σημείο O όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.4.1β) και προσπίπτει σ’ ένα παρεμβαλλόμενο αδιαφανές εμπόδιο AB .

- 122 -

Με βάση τις υποθέσεις του Huygens το φως διαδίδεται κατά τις διευθύνσεις OAA′′ και OBB′′ όπου A B′′ ′′ είναι τα όρια της γεωμετρική σκιάς του αντικειμένου AB και OAA′′ , OBB′′ είναι ευθείες, δηλ. το φως διαδίδεται ευθύγραμμα. Ο Huygens για να ερμηνεύσει με βάση την αρχή του το φαινόμενο, υπέθεσε ότι τα κυματίδια τα διαδιδόμενα από τα σημεία ενός μετώ-

(Σχ. 2.4.1)

που κύματος έχουν τιμή (πλάτους) μόνο στα σημεία που εφάπτονται με την περιβάλλουσά τους. Π.χ. όπως φαίνεται στο (Σχ. 2.4.2) από το σημείο A του μετ. κύματος (1) διαδίδεται κυματίδιο, όπως και από τα υπόλοιπα σημεία του.

(Σχ. 2.4.2)

Μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα το νέο μετ. κύματος (2) είναι η περιβάλλουσα των κυματίων στη θέση αυτή και η οποία εφάπτεται εκάστου

- 123 -

κυματίου σ’ ένα σημείο (π.χ. για το A στη θέση A′ όπου έχει τιμή και των υπόλοιπων η τιμή είναι μηδέν.

Αναφερόμαστε λοιπόν ξανά στο (Σχ. 2.4.1β) και στα κυματίδια που διαδίδονται από τα οριακά σημεία A και B του αντικειμένου AB . Τότε κατά τη διάδοση του μετ. κύματος μετά το AB και σε μια ενδιάμεση θέση πριν το πέτασμα, τα κυματίδια από τα A και B θα έχουν τιμές διάφορες του μηδενός μόνο στα σημεία της περιβάλλουσας A′ , B′ και πουθενά αλλού. Επομένως επειδή για γεωμετρικούς λόγους η OAA′ και η OBB′ είναι ευθείες γραμμές, ευθύγραμμη θα είναι και η διάδοση του φωτός, επειδή στα ίχνη αυτής το πλάτος της ακτινοβολίας είναι διάφορο του μηδενός.

Σημείωση Είναι πειραματικά όμως επιβεβαιωμένο και μάλιστα πέρα από κάθε

αμφισβήτηση ότι: α) Από ένα σημειακό άνοιγμα και μετά – όπως φαίνεται στη διάταξη του (Σχ. 2.4.1α) – διαδίδεται μια διαταραχή που το πλάτος της είναι διάφορο του μηδενός σ’ όλο σχεδόν το χώρο μετά το άνοιγμα και όχι σ’ ένα σημείο απέναντι από αυτό. β) Στη διάταξη του (Σχ. 2.4.1β) και μέσα στα όρια τις γεωμετρικής σκιάς A B′′ ′′ υφίσταται μια ορισμένη κατανομή έντασης του φωτός που σημαίνει ότι η ερμηνεία του Huygens για την ευθύγραμμη διάδοση του φωτός είναι ανεπαρκής και εσφαλμένη. Η εξήγηση αυτού του φαινομένου που είναι γνωστό σαν περίθλαση του φωτός δόθηκε σε ύστερη εποχή από τον Fresnel. Ο τελευταίος δέχτηκε την αρχή του Huygens αλλά με την προϋπόθεση ότι τα στοιχειώδη σφαιρικά κυματίδια έχουν πλάτη διάφορα του μηδενός σ’ όλο τους το εύρος και συγχρόνως ερχόμενα σ’ ένα σημείο σε επαλληλία συμβάλλουν μεταξύ τους. Π.χ. στο (Σχ. 2.4.3) ένα επίπεδο μετ. κύματος προσ-

(Σχ. 2.4.3) πίπτει στο άνοιγμα AB . Τότε από κάθε σημείο του ανοίγματος κατά Huygens εκπέμπονται σφαιρικά κυμάτια. Κατά Fresnel, σ’ ένα σημείο P ενός

- 124 -

πετάσματος που βρίσκεται σε μια ορισμένη απόσταση από το άνοιγμα η τιμή του πεδίου (πλάτος της Η/Μ διαταραχής) θα είναι το αποτέλεσμα της συμβολής των κυματίων που προέρχονται από όλα τα σημεία του ανοίγματος AB . Με τον τρόπο αυτό ο Fresnel κατέστησε δυνατό τον υπολογισμό των πεδίων (πρότυπα περίθλασης πλάτους και κατά προέκταση έντασης) κατά την πρόσπτωση επιπέδων μετ. κύματος σε ανοίγματα ή εμπόδια διαφόρων μορφών. Η αρχή αυτή ονομάζεται αρχή των Huygens – Fresnel (βλ. Κεφ. 7: Περίθλαση του φωτός).

- 125 -

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Θεωρούμε κατ’ αρχή τη διάδοση στο κενό και κατά τη διεύθυνση z ενός αρμονικού, επιπέδου και γραμμικά πολωμένου Η/Μ κύματος το οποίο περιγράφεται (στο M.K.S. σύστημα μονάδων) από την εξίσωση: ( ) ( )15 6, 106cos 2.8902 10 9.64 10xE z t t z= × − ×

α) Να προσδιοριστούν οι αριθμητικές τιμές των πλατών 0 0,E B η συχνότητα ν και το μήκος κύματος λ . β) Ποια από τα προαναφερόμενα μεγέθη μεταβάλλονται αν θεωρήσουμε ότι το Η/Μ κύμα διαδίδεται σε διαφανές οπτικό μέσο (π.χ. ένα γυαλί) με δείκτη διάθλασης 1.51n = ; Λύση α) Από την ανάγνωση της εξίσωσης καθώς και την εκφώνηση της άσκησης, διαπιστώνουμε ότι το πεδίο E καθώς διαδίδεται κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα z , πάλλετε κατά τη διεύθυνση του άξονα x στο επίπεδο

,x z . Δηλ. είναι αυτό που λέμε γραμμικά πολωμένο πάνω σ’ αυτό το επίπεδο. Επομένως κατόπιν σύγκρισης με την εξίσωση: ( ) ( )0, cosx xE z t E t kzω= −

βρίσκουμε: 0 0 106V mxE E= = , 152.8902 10 rad sω = × και 69.64 10 rad mk = × . Επειδή το κύμα διαδίδεται στο κενό, θα πρέπει η ταχύτητα διάδοσής του να είναι ίση με τη c . Πράγματι επειδή: c kυ ω= = βρίσκουμε μετά από την αντικατάσταση των ,kω : 82.9979 10 m sc = × . Επίσης από τη σχέση: 2ω πν= βρίσκουμε: 144.6 10 Hzν = × και από τη σχέση: 2k π λ= , 651.71nmλ = ή εκφρασμένο σε μονάδες Angstrom: 6517.1λ = Å. Δηλ. η ακτινοβολία αυτή ανήκει στην ‘κόκκινη’ περιοχή του ‘ορατού’ Η/Μ φάσματος. Όσον αφορά τον προσδιορισμό του πλάτους 0B της μαγνητικής επαγωγής κατά τα γνωστά

ισχύει: ( )8 90 0 0 106 2.9979 10 353.58 10 Tesla 1Tesla = 1kg s Cy xB B E c −= = = × = × ⋅ .

β) Εφόσον το οπτικό μέσο που διαδίδεται το Η/Μ κύμα είναι τελείως διαφανές, τότε δεν θα έχουμε απορρόφηση και επομένως τα πλάτη 0 0,x yE B

παραμένουν σταθερά. Θα έχουμε όμως μεταβολή του μήκους κύματος λ δεδομένου ότι η μεν συχνότητα ν δεν μεταβάλλεται, μεταβάλλεται όμως η ταχύτητα διάδοσης στο μέσο. Τότε από τη γνωστή σχέση: n c υ= επειδή

1.51n = και 82.9979 10 m sc = × βρίσκουμε: 81.9853 10 m sυ = × . Τελικά με τη βοήθεια της θεμελιώδους σχέσης της κυματικής: υ λν= , όπου

81.9853 10 m sυ = × και 144.6 10 Hzν = × βρίσκουμε: 431.58nmλ = .

- 126 -

2. Θεωρούμε τη διάδοση στο κενό και κατά τη διεύθυνση z ενός αρμονικού, επιπέδου και γραμμικά πολωμένου Η/Μ κύματος το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: ( ),xE z t=E i . Ν’ αποδειχθεί ότι τα πεδία E και

B είναι κάθετα μεταξύ τους. ( ) ( )0, cosx xE z t E t kzω ε= − + όπου 0xE το πλάτος της

αρμονικής διαταραχής και ε μια σταθερή αρχική φάση. Λύση

Το Η/Μ κύμα το οποίο περιγράφεται από τη σχέση: ( ),xE z t=E i (2.1)

είναι αυτονόητο ότι πάλλετε κατά τη διεύθυνση του άξονα x πάνω στο επίπεδο ,x z όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα.

Από τη δ.ε. του Maxwell: t

∂∇× = −

∂BE θα έχουμε:

y xzE BE

y z t∂ ∂∂

− = −∂ ∂ ∂

(2.2)

yx zBE E

z x t∂∂ ∂

− = −∂ ∂ ∂

(2.3)

y x zE E Bx y t

∂ ∂ ∂− = −

∂ ∂ ∂ (2.4)

- 127 -

όπου , ,x y zE E E οι συνιστώσες του E και , ,x y zB B B οι συνιστώσες του

διανύσματος της μαγνητικής επαγωγής B . Επειδή όμως: 0yE = , 0zE = και ( , )x xE E z t= θα έχουμε:

(σχ. 2.2) → 0 .xx

B Bt

∂= ⇒ = σταθ

∂

(σχ. 2.4) → 0 .zz

B Bt

∂= ⇒ = σταθ

∂

Δηλ. οι συνιστώσες ,x zB B είναι σταθερές και δεν έχουν σχέση με διαδιδόμενα κύματα. Επίσης:

(σχ. 2.3) → yx BEz t

∂∂= −

∂ ∂ (2.5)

Από τη (σχ. 2.5) βλέπουμε ότι υπάρχει μόνο μία συνιστώσα του πεδίου B καθώς αυτό μεταβάλλεται χρονικά και μάλιστα η τελευταία διαδίδεται κατά τη z διεύθυνση. Άρα λοιπόν τα E και B είναι ορθογώνια κατά τη διάδοσή τους στο κενό.

Επειδή το επίπεδο κύμα της (σχ. 2.1) είναι αρμονικό θα έχουμε: ( ) ( )0, cosx xE z t E t kzω ε= − + (2.6)

όπου ε η αρχική φάση (στο σχήμα είναι μηδέν). Τότε από τη (σχ. 2.5) θα έχουμε:

( )0 cosxy x

dE kB dt E t kzdz

ω εω

= − = − +∫ (2.7)

Επειδή ( )2 / 2 1k ω π λ πν λν= = , με βάση τη θεμελιώδη εξίσωση της

κυματικής c λν= η (σχ. 2.7) γίνεται: x yE c B= (2.8)

Από τη (σχ. 2.8) βλέπουμε ότι οι ,x yE B διαφέρουν μόνο κατά μία βαθμωτή

ποσότητα, οπότε έχουν την ίδια χρονική εξάρτιση δηλ. τα E και B βρίσκονται σε φάση σε όλα τα σημεία του χώρου. Επιπλέον τα πεδία

( ),xE z t=E i και ( ),yB z t=B j είναι αμοιβαία κάθετα.

- 128 -

3. Ένας αρμονικός κυματοσυρμός της ορατής περιοχής του Η/Μ φάσματος συχνότητας 500THzν = διαδίδεται σε μια περιοχή του κενού χώρου. α) Κατά πόσο θα μεταβληθεί η φάση του σ’ ένα δισεκατομμυριοστό του δευτερολέπτου. β) Σε πόση απόσταση θα μετακινηθεί ο κυματοσυρμός το ίδιο χρονικό διάστημα. γ) Πόσα μήκη κύματος του ίδιου συρμού χωράνε σ’ ένα διάστημα ίσο με το πάχος ενός φύλλου χαρτιού πάχους 0.05mmd = . Δίνεται

82.9979 10 m sc = × . Λύση α) Η φάση του κυματοσυρμού θα δίνεται κατά τα γνωστά από τη σχέση: t kzφ ω= − . Σε ένα ορισμένο σημείο του χώρου δηλ. για σταθ.z = θα έχουμε: Δ Δtφ ω= . Και για 910 sΔt −= , 14 152 2 5 10 10 rad sω πν π π= = × × ⋅ = ×

προκύπτει ότι: ( )( )15 9 610 rad s 10 s 10 radΔ Δtφ ω π π−= = × = × . β) Επειδή η

περίοδος (ένας κύκλος της διαταραχής) αντιστοιχεί σε 2 radπ , τότε από το σημείο σταθ.z = σε χρόνο ίσο με ένα δισεκατομμυριοστό του δευτερολέπτου

( )910 s− θα διέλθουν N αριθμός περιόδων όπου: 2N Δφ π= . Δηλ. τελικά 6 6 510 2 0.5 10 5 10N π π= × = × = × . γ) Το μήκος κύματος του κυματοσυρμού

υπολογίζεται με τη βοήθεια του θεμελιώδους τύπου της κυματικής: c λν= . Όπου: 82.9979 10 m sc = × και 145 10 Hzν = ⋅ . Βρίσκουμε: 30.59958 10 mmλ −= × . Τότε ο αριθμός M των μ.κ. που θα περιλαμβάνονται στο πάχος 0.05mmd = του φύλλου του χαρτιού θα είναι: 30.05 0.59958 10 83M d λ −= = × . 4. Είναι γνωστό ότι οι πηγές ακτινοβολίας (εκπομποί), στην ορατή περιοχή του Η/Μ φάσματος είναι τα άτομα της ύλης. Είναι γνωστό επίσης – και πειραματικά αποδεδειγμένο – ότι η χρονική διάρκεια εκπομπής των ατομικών διπόλων (τουλάχιστον για τις θερμικές πηγές φωτός όπως μια φασματική λυχνία), είναι της τάξης του 810 sτ − . Όπου οι διαταραχές είναι αρμονικής μορφής και η περιβάλλουσά τους γκαουσιανή (Σχ. α). Με δεδομένο ότι κατά

τα γνωστά, μια μέση συχνότητα εκπομπής στην ορατή περιοχή του φάσματος είναι 14

0 10 Hzν : α) Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση ο αριθμός των περιόδων

- 129 -

των αρμονικών διαταραχών που περιλαμβάνεται στον κυματοσυρμό. β) Μπορείτε να βγάλετε κάποιο συμπέρασμα όσον αφορά τη μονοχρωματικότητα του συγκεκριμένου φωτός; Λύση α) Εφόσον 0ν είναι η συχνότητα των αρμονικών διαταραχών, τότε κατά τα γνωστά η περίοδός τους 0T θα δίνεται από τη σχέση: 0 01T ν= . Επομένως ο αριθμός των περιόδων N που θα περιλαμβάνονται στο εσωτερικό του κυματοσυρμού θα είναι: 8 14 6

0 10 10 10N Tτ − −= = = . β) Από τα προηγούμενα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο αριθμός των περιόδων είναι σημαντικός, με συνέπεια – εκ πρώτης όψεως – να μπορούμε να πούμε ότι το φως που στοιχειοθετείτε από ένα μεγάλο στατιστικό σύνολο τέτοιων κυματοσυρμών, είναι μονοχρωματικό. Δηλ. χαρακτηρίζεται μόνο από μια συγκεκριμένη συχνότητα την 0ν . Είναι όμως αυτονόητο ότι η ανάλυση

κατά Fourier της χρονικής συνάρτησης ( )g t (Σχ. α), που περιγράφει τον

κυματοσυρμό θα μας δώσει σαν αποτέλεσμα όχι μια συχνότητα 0ν αλλά μια φασματική κατανομή συχνοτήτων περί την 0ν . Το τετράγωνο αυτής της

κατανομής, μας δίνει το λεγόμενο ενεργειακό φάσμα ( )E ν της ακτινοβολίας

(Σχ. β), που συνιστά ένα άριστο κριτήριο της μονοχρωματικότητας ή μη της ακτινοβολίας που εκπέμπετε από μια πηγή (βλ. Κεφ. 6: Συμφωνία και συμβολή του φωτός). Μπορούμε τελικά να πούμε ότι βασιζόμενοι στο (Σχ. β) ότι το φως που συντίθεται από τους προαναφερόμενους κυματοσυρμούς δεν είναι τελείως μονοχρωματικό. Μπορούμε να το ονομάζουμε ΄ψευδομονοχρωματικό’. 5. Η χρονική μέση τιμή μιας συνάρτησης ( )f t για το χρονικό διάστημα τ

δίνεται από τη σχέση: ( ) ( )0

1f t f t dtτ

τ= ∫ . Αν 2T π ω= είναι η περίοδος μιας

αρμονικής διαταραχής, δείξτε ότι: ( )2cos 1 2tω − ⋅ =k r

( )2sin 1 2tω − ⋅ =k r

και ( ) ( )sin cos 0t tω ω− ⋅ − ⋅ =k r k r

όταν Tτ = και όταν Tτ . Λύση

Α) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

0 0

1 1cos cos cost t dt t d tτ τ

ω ω ω ωτ ωτ

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅∫ ∫k r k r k r k r

και αν x tω= − ⋅k r τότε: Αν 0t x= → = − ⋅k r και αν t xτ ωτ= → = − ⋅k r . Άρα:

- 130 -

( )2 21 1 1 cos 2cos cos2

xt xdx dxωτ ωτ

ωωτ ωτ

− ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

+− ⋅ = = =∫ ∫

k r k r

k r k r

k r

( )sin 21 sin 2 1 sin 22 4 2 4 4x xωτ ωτ ωτωτ

ωτ ωτ

− ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

⎧ ⎫ − ⋅⎧ ⎫⋅⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + + ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

k r k r

k r k r

k r k r

( ) ( )2 1 1cos sin 2 sin 22 4

tω ωτωτ

⇒ − ⋅ = + − ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦k r k r k r

α) Όταν Tτ = και με το δεδομένο ότι: 2 Tω π= ⇒

( )2sin 2 sin 2 sin 4 2 sin 2 sin 2 sin 2 0TTπ π⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠k r k r k r k r k r k r

( )2cos 1 2tω⇒ − ⋅ =k r .

β) Όταν ( )

1 1 11 1 14 4 2 8

T TTT Tττ

τ ωτ π τ τ⇒ ⇒ ⇒ = = ⇒

( )1 sin 2 sin 2 04

ωτωτ

⇒ − ⋅ + ⋅ ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦k r k r

( )2cos 1 2tω⇒ − ⋅ =k r .

Β) Με την ίδια ακριβώς διαδικασία βρίσκουμε ότι: ( )2sin 1 2tω − ⋅ =k r

Γ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1sin cos sin cost t t t dtτ

ω ω ω ωτ

− ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ =∫k r k r k r k r

( ) ( ) ( )0

1 sin cost t d tτ

ω ω ωωτ

= − ⋅ − ⋅ − ⋅∫ k r k r k r

και αν x tω= − ⋅k r τότε: Αν 0t x= → = − ⋅k r και αν t xτ ωτ= → = − ⋅k r . Άρα:

( ) ( ) 1 1sin cos sin cos cos 22

t t x xdx xdxωτ ωτ

ω ωωτ ωτ

− ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅ = = =∫ ∫k r k r

k r k r

k r k r

[ ]{ } ( ){ }1 1sin 2 sin 2 sin 22 2

x ωτ ωτωτ ωτ

− ⋅

− ⋅= = − ⋅ + ⋅k r

k rk r k r η οποία είτε για Tτ = ,

είτε όταν Tτ (με βάση προηγούμενους υπολογισμούς) μας δίνει: ( ){ }sin 2 sin 2 0ωτ − ⋅ + ⋅ =k r k r . Επομένως: ( ) ( )sin cos 0t tω ω− ⋅ − ⋅ =k r k r .

6. Laser He-Ne ισχύος εξόδου 3mWP = παράγει μια δέσμη φωτός (επίπεδο μέτωπο κύματος), κυκλικής διατομής διαμέτρου 2mmd = και μ.κ.

0.6328μmλ = . Να υπολογιστούν: α) Η ένταση του φωτός I . β) Η πυκνότητα ροής των φωτονίων. Δηλ. ο αριθμός των φωτονίων που διέρχονται από τη

- 131 -

μονάδα της επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου. γ) Πόσα φωτόνια διέρχονται στη μονάδα του όγκου; Λύση α) Αν ( )2 6 22 3.14 10 mA dπ −= = × είναι το εμβαδόν της διατομής της

δέσμης του Laser, τότε η ένταση του φωτός θα εκφράζεται από τη σχέση:

3

3 26 2

3 10 W 0.955 10 W m3.14 10 m

PI IA

−

−

×= = ⇒ = ×

×

β) 0.6328μmλ = , 44.7 10 Hzc cλν ν λ= ⇒ = = × Ο λόγος N I hν= όπου hν η ενέργεια του φωτονίου με 346.63 10 J sh −= × τη σταθερή του Planck, μας δίνει τον αριθμό των φωτονίων που διέρχονται από τη μονάδα της επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου. Άρα:

3

23 234 14

0.955 10 3 10 φωτόνια m s6.63 10 4.7 10

IN Nhν −

×= = ⇒ ×

× × ×

γ) Τα 233 10N × φωτόνια σε ένα δευτερόλεπτο ( )1s διανύουν μια

απόσταση 83 10 ml = × και άρα βρίσκονται μέσα σε ένα όγκο 8 2 8 33 10 m 1m 3 10 mV l S= ⋅ = × × = × . Επομένως ο αριθμός n των φωτονίων που

διέρχονται στη μονάδα του όγκου θα είναι: 23 8 15 33 10 3 10 10 φωτόνια mn N V= × × = . 7. Η ηλιακή ακτινοβολία η οποία προσπίπτει στην επιφάνεια της γης, ασκεί κατά τα γνωστά δυνάμεις στα εκεί υπάρχοντα ελεύθερα ηλεκτρόνια, θέτοντάς τα σε ταλάντωση. α) Να υπολογιστεί η μέγιστη ταχύτητά τους (το πλάτος της ταχύτητας). β) Επίσης να υπολογιστεί ο λόγος της μέγιστης ηλεκτρικής δύναμης (πλάτος) eF , προς τη μέγιστη μαγνητική δύναμη (πλάτος) mF , που ενεργεί πάνω στο ηλεκτρόνιο, εξ αιτίας του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου της ακτινοβολίας. Σε πρώτη προσέγγιση είναι δυνατόν να παραληφθεί η επίδραση της ασκούμενης μαγνητικής επαγωγής B στην κίνηση του ηλεκτρονίου. Επίσης δεχόμαστε ότι το ηλεκτρικό πεδίο E της ακτινοβολίας του ηλίου, αντιστοιχεί σε αρμονική μονοχρωματική διαταραχή μέσου μ.κ. 0.55μmλ = . Η ηλιακή σταθερή δηλ. η προσπίπτουσα στη γη μέση ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου είναι: 22cal cm minI = ⋅ . Το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι: 191.6 10 Ceq −= × και η μάζα του: 319,1 10 kgem −= × . Επίσης: 1cal = 4.19J ,

83 10 m sc = × και 120 8.85 10 F mε −= × .

- 132 -

Λύση α) Γνωρίζουμε ότι η σχέση που συνδέει την ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας I στην επιφάνεια της γης (ηλιακή σταθερή), με το πλάτος 0E της έντασης του αντίστοιχου ηλεκτρικού πεδίου (θεωρώντας ότι το φως είναι μονοχρωματικό και η χρονική εξάρτηση του πεδίου δίνεται από τη σχέση

0 cosE E tω= ), είναι η:

( ) 20 02I c Eε= . Αλλά 2 4 2

cal 2 4.19 J2 1393cm min 10 60 s m

I −

×= = =

⋅ × ⋅. Τότε:

12 82 2 200 0 0 02

8.85 10 3 10 W V1393.33 1024.52 2 m mcI E E E Eε −× × ×

= = = ⇒ = .

Οι δυνάμεις που ενεργούν στο ελεύθερο ηλεκτρόνιο από το προσπίπτον αρμονικό Η/Μ πεδίο είναι η ηλεκτρική eF και η μαγνητική mF . Αλλά επειδή – όπως θ’ αποδείξουμε στο δεύτερο σκέλος της άσκησης – m eF F , τότε η μόνη δρώσα δύναμη θα είναι αυτή του ηλεκτρικού πεδίου.

Αλλά: 0 cose e e edF q E q E t mdtυω= = = .

Οπότε: ( )0 0 0cos cos sin 0, 0e e e

e e e

q E q E q Ed t d t d t t tdt m m mυ ω υ ω ω υ ω υ

ω ω= ⇒ = ⇒ = = = .

Και επειδή: 0max 02 2

2e

e

q Ecm cλω πν π λ υ υ

π= = ⇒ = = ⇒

19 62

max 0 max8 31

1.6 10 1024.5 0.55 10 m m5.255 102 3.14 3 10 9.1 10 s s

υ υ υ− −

−−

× × × × ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × × × × ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

β) Το μέτρο της δύναμης που δρα στο ηλεκτρόνιο λόγω του ηλεκτρικού πεδίου – όπως είδαμε και προηγουμένως – είναι: 0 max 0cose e e eF q E q E t F q Eω= = ⇒ = .

Επίσης λόγω της δύναμης Lorentz ( )0, cosm eF q B B B tυ ω= = το μέτρο της

δύναμης που δρα στο ελεύθερο ηλεκτρόνιο λόγω του μαγνητικού πεδίου της προσπίπτουσας αρμονικής διαταραχής θα είναι:

( )( ) ( )0 0 0 0 0 0sin cos sin cosm e e e e eF q B q t B t q B t t q E mυ υ ω ω υ ω ω υ ω= = = = ⇒

0 0 0 0

0 0

sin cos sincos

m e m

e e e

F q B t t F B tF q E t F E

υ ω ω υ ωω

⇒ = ⇒ = ⇒

0 0 0

0max 0

m m

e e

F F BF F E c

υ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (επειδή: 0 0E cB= ). Και τελικά με βάση της

γνωστές τιμές των 0υ και c βρίσκουμε: ( ) 10

max1,75 10m eF F −= × . Δηλ. m eF F .

- 133 -

8. Μια βλάβη στο βοηθητικό προωθητικό σύστημα ενός δορυφόρου, τον εξανάγκασε να αιωρείται σε μια ορισμένη απόσταση από τη γη. Όμως ο ίδιος διαθέτει μια πηγή φωτεινής ισχύος 1000WP = , η οποία μπορεί να τροφοδοτείται ανεξάντλητα από τις κυψέλες συλλογής ηλιακής ενέργειας. Κατά πόσο θα ήταν λογικό να δοθεί εντολή, έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί η αναδυόμενη ακτινοβολία φωτός από την προαναφερόμενη πηγή σαν προωθητικό σύστημα, προκειμένου ο δορυφόρος ν’ αποκτήσει ταχύτητα

100 m sΔυ = . Η συνολική μάζα του δορυφόρου είναι 1000kgm = . Λύση Από τη στιγμή της εκκίνησης λειτουργίας της πηγής φωτός, λόγω της ασκούμενης εξ’ αντιδράσεως πίεσης της ακτινοβολίας στο δορυφόρο, τον αναγκάζει ν’ αρχίσει να κινείται. Τότε η ώθηση της ασκούμενης σ’ αυτόν δύναμης F (για το χρονικό διάστημα Δt ) , θα είναι ίση με τη μεταβολή της ορμής του. Δηλ. F Δt = m Δυ⋅ ⋅ (1) Μας είναι όμως γνωστό ότι η ασκούμενη πίεση της ακτινοβολίας δίνεται από τη σχέση: P I c= . Οπότε:

P F I P PFS c S c c

= = = ⇒ =⋅

(2)

όπου S η επιφάνεια της πηγής. Επομένως από τις (σχ. 1,2) βρίσκουμε:

3 2 8

103

10 10 3 10 3 10 s10

m Δ cΔt =Pυ⋅ ⋅ × × ×

= = ×

Προκειμένου λοιπόν ο δορυφόρος ν’ αποκτήσει τελική ταχύτητα 100 m s , χρησιμοποιώντας την αναδυόμενη ακτινοβολία φωτός από την πηγή σαν προωθητικό σύστημα, θα χρειαστούν περίπου 950 χρόνια !!!!! 9. Με τη βοήθεια της αρχής του Huygens, να προσδιοριστεί επακριβώς η μορφή του μετώπου κύματος που αναδύεται από τη γυάλινη πλάκα του (Σχ. α) της οποίας ο δ.δ. είναι n , όταν προσπίπτει επάνω της κάθετα ένα επίπεδο μέτωπο κύματος. Λύση Στο (Σχ. β) βλέπουμε το προσπίπτον στην πλάκα στη θέση A′ επίπεδο μέτωπο κύματος, να διαδίδεται μέχρι τη θέση B′ του ορίου της προεξοχής της.

- 134 -

Ο χρόνος t τώρα που απαιτείται για τη διάδοση του μετώπου στο εσωτερικό της προεξοχής (χωρίς βέβαια ν’ αλλάζει η μορφολογία του) δηλ. σε απόσταση: B Γ = A Γ A B β α′ ′ ′ ′ ′ ′− = − θα είναι:

( ) ( ) ( )t B Γ υ υ n cβ α β α′ ′= = − = − επειδή υ= c n . Στο ίδιο όμως χρονικό

διάστημα t , το μέτωπο κύματος ένθεν και ένθεν της προεξοχής (δηλ. στον αέρα) (Σχ. γ), διαδόθηκε σε απόσταση BΓ με ταχύτητα c όπου:

( ) ( )cnBΓ = ct = BΓ = n

cβ α

β α−

⇒ − . Τελικά το προφίλ του αναδυόμενου με-

τώπου κύματος θα είναι το εξής: Αν από την κορυφή της προεξοχής μόλις θα έχει αναδυθεί (θέση Γ Γ′ ′′ ), τότε στον αέρα ένθεν και ένθεν της προεξοχής, τα δύο τμήματά του ΓΔ′ και Δ Ε′′ θα βρίσκονται σε απόσταση από αυτήν:

( ) ( ) ( )( )1Γ Δ = Β Δ Β Γ = ΒΓ Β Γ Γ Δ =n Γ Δ = nβ α β α β α′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− − ⇒ − − − ⇒ − − .

10. Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε ένα σφαιρικό κοίλο κάτοπτρο με κέντρο καμπυλότητας το C και κορυφή το σημείο A . Η ακτίνα καμπυλότητάς του είναι CA r= . Σε απόσταση AM AC> τοποθετούμε μια σημειακή πηγή από την οποία κατά τα γνωστά αναδύεται ένα σφαιρικό αποκλίνον μέτωπο κύματος. Με τη βοήθεια της αρχής του Huygens να προσδιοριστεί το ανακλώμενο στο κοίλο κάτοπτρο σφαιρικό μέτωπο κύματος. Στους υπολογισμούς μας θα θεωρήσουμε ότι το άνοιγμα του κατόπτρου (δηλ. η γωνία με την οποία φαίνεται από το C η περιοχή περί την κορυφή του A ) είναι πολύ μικρή. Λύση Όπως βλέπουμε στο επόμενο σχήμα σε τομή στο επίπεδο της σελίδας , TAT ′ είναι το κοίλο σφαιρικό κάτοπτρο, του οποίου A η κορυφή και C το κέντρο καμπυλότητας. M είναι η θέση της σημειακής πηγής, η οποία απέχει από την κορυφή A απόσταση MA s= . Ένα σφαιρικό μέτωπο κύματος SLS ′

- 135 -

εκκινεί από το M και τέμνει το κάτοπτρο στα σημεία ,T T ′ και τον οπτικό άξονα MA στη θέση L . Το χρονικό διάστημα που αυτό το μέτωπο κύματος

διανύει την απόσταση LA , τα κυματίδια κατά Huygens κατά την ανάκλαση από τα σημεία ,T T ′ προσεγγίζουν τα σημεία ,K K ′ . Ανάλογη είναι και η διάδοση των κυματιδίων (σε μικρότερες βέβαια αποστάσεις), κατά την ανάκλαση του μετώπου κύματος στα τμήματα ,TA T A′ του κατόπτρου. Κατά τα γνωστά, η περιβάλλουσα όλων αυτών των κυματίων, θα μας δώσει το ανακλώμενο προς το εσωτερικό του κοίλου κατόπτρου μέτωπο κύματος δηλ. το KAK ′ . Το προαναφερόμενο μέτωπο κύματος είναι κατά προσέγγιση σφαιρικό συγκλίνον προς ένα σημείο M ′ πάνω στον οπτικό άξονα. Πρόκειται για το είδωλο το οποίο απέχει από την κορυφή A απόσταση M A s′ ′= και του οποίου το αντικείμενο είναι το σημείο M . Η απόσταση CA r= , είναι η ακτίνα καμπυλότητας του κατόπτρου. Προκειμένου τώρα να βρούμε μια σχέση μεταξύ των: ,s s′ και r , θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας την προσέγγιση, ότι η όλη διαδικασία της ανάκλασης, λαμβάνει χώρα σε μικρή σχετικά περιοχή γύρω από την κορυφή A του κατόπτρου (μικρό άνοιγμα κατόπτρου). Από την κυκλική τομή της σφαιρικής επιφάνειας TAT ′ και από το τρίγωνο TAA′ ( A′ το αντιδιαμετρικό

- 136 -

του A το οποίο δεν φαίνεται στο σχήμα) θα έχουμε από τη γεωμετρία τη σχέση:

( )( ) ( )2 22r AQ AQ QT x− = = . Και επειδή λόγω προσεγγίσεων ( )2r AQ , θα

έχουμε: ( ) ( )2 2AQ QT r= ή :

( ) 2 2AQ x r= (1)

Με παρόμοιο τρόπο από την κυκλική τομή της σφαιρικής επιφάνειας SLS ′ και από το τρίγωνο TLL′ ( L′ το αντιδιαμετρικό του L το οποίο δεν φαίνεται στο σχήμα) θα έχουμε από τη γεωμετρία τη σχέση: ( )( ) ( )2 22ML QL QL QT x− = = .

Και επειδή προσεγγιστικά: ( ) ( )2, 0 2ML s QL s QL QT⇒ = ή:

( ) 2 2QL x s= (2)

Με παρόμοιο τρόπο από την κυκλική τομή της σφαιρικής επιφάνειας KAK ′ και από το τρίγωνο KAA′′ ( A′′ το αντιδιαμετρικό του A το οποίο δεν φαίνεται στο σχήμα), θα έχουμε από τη γεωμετρία τη σχέση:

( )( ) ( ) ( )2 2 22AM NA NA KN QT x′ − = = . Και επειδή ( ) ( )NA AM ′ τελικά:

( ) ( )2 22s NA QT x′ = = ή τελικά:

( ) 2 2NA x s′= (3)

Με βάση το σχήμα, θα ισχύει κατά προσέγγιση: ( ) ( ) ( )AL KT NQ= . Επίσης:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AN AQ QN AQ AL AQ AQ QL= + = + = + − ⇒

( ) ( ) ( )2NA QL AQ+ = (4)

Και η αντικατάσταση των (σχ. 1,2,3) στη (σχ. 4) θα μας δώσει τελικά:

1 1 2s s r+ =

′

Πρόκειται για το νόμο απεικόνισης μέσω των σφαιρικών κατόπτρων, για την περίπτωση της παραξονικής προσέγγισης (μικρό άνοιγμα κατόπτρου).

- 137 -

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Θεωρούμε τη διάδοση στο κενό, κατά μήκος του άξονα z μιας αρμονικής Η/Μ διαταραχής με ταχύτητα 83 10 m sc = × και συχνότητας

145 10 Hzν = × . α) Για ένα στιγμιότυπο του κύματος, ποια θα είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων του, των οποίων η διαφορά φάσης είναι 3 radπ . β) Για μια συγκεκριμένη θέση, ποια θα είναι η μεταβολή φάσης σε χρονικό διάστημα

310 sΔt −= . Πόσα μήκη κύματος διήλθαν αυτό χρονικό διάστημα από το σημείο αυτό; 2. Ν’ αποδειχθεί ότι στο εσωτερικό ενός ισότροπου διηλεκτρικού στο οποίο διαδίδεται ένα επίπεδο αρμονικό μέτωπο κύματος ισχύει η σχέση: uυ=S

Όπου: S η μέση τιμή του μέτρου του διανύσματος Poynting. υ η ταχύτητα

διάδοσης στο μέσο και u η μέση τιμή της πυκνότητας ενέργειας.

3. Φανταστείτε ένα επίπεδο αρμονικό Η/Μ κύμα μ.κ. 0 500nmλ = , που διαδίδεται στο χώρο κατά μήκος του z άξονα. Αν το πεδίο E πάλλετε διαδιδόμενο πάνω στο επίπεδο ,x z ( δηλ. ( ),xE z t=E i όπου το

( ) ( )0, cosx xE z t E t kzω= − ), να γραφεί μια έκφραση για το αντίστοιχο B πεδίο,

όταν η ένταση του φωτός είναι 253.2 W mI = . 4. Θεωρούμε ότι στο εσωτερικό ενός διαφανούς οπτικού υλικού δ.δ.

1.53n = , διαδίδεται ένα επίπεδο αρμονικό Η/Μ κύμα του οποίου το πλάτος είναι 0 400V mE = . Να υπολογιστούν: α) Το πλάτος 0S του μέτρου S του

διανύσματος Poynting S και β) Η μέση χρονική τιμή του S . Δίνονται: 83 10 m sc = × και 12

0 8.85 10 F mε −= × . 5. Χρησιμοποιώντας ενεργειακούς όρους, δείξτε ότι το πλάτος ενός κυλινδρικού μετώπου κύματος (ισοφασικές επιφάνειες κυλινδρικής μορφής) , πρέπει να μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα της τετραγωνικής ρίζας της

- 138 -

απόστασης r από την πηγή. Θεωρούμε ότι κυλινδρικό μέτωπο κύματος μπορεί να εκπεμφθεί πέριξ μιας γραμμικής πηγής ορισμένου μήκους. 6. Η φωτεινή ισχύς που εκπέμπεται από μια πηγή είναι 200W σε μήκος κύματος 0.6μmλ = . Να υπολογιστεί: α) Πόσα φωτόνια ανά δευτερόλεπτο εκπέμπονται από την πηγή. β) Ποια είναι η ορμή ενός φωτονίου στον ελεύθερο χώρο. Δίνονται: 346.63 10 J sh −= × ⋅ και 83 10 m sc = × . 7. Θεωρούμε ότι μια πηγή αναλαμπής (φλας) εκπέμπει μια κατευθυνόμενη δέσμη φωτός διατομής 210cmS = . Τα χαρακτηριστικά λειτουργίας του είναι: ( )3.0V,0.25A και από την ισχύ που καταναλώνεται μόνο ένα ποσοστό 1%

μετατρέπεται σε φως μ.κ. 0.55μmλ = . Να υπολογιστούν: α) Πόσα φωτόνια ανά δευτερόλεπτο εκπέμπονται από την πηγή. β) Πόσα φωτόνια περιλαμβάνονται στο ένα κυβικό μέτρο της δέσμης. γ) Ποια είναι η ένταση του φωτός της δέσμης. Δίνονται: 346.63 10 J sh −= × ⋅ και 83 10 m sc = × . 8. Με φωτονικούς όρους (ενέργεια και ορμή φωτονίου), να υπολογιστεί η πυκνότητα της ορμής που μεταφέρεται στην επιφάνεια της γης από μια δέσμη ηλιακού φωτός. Δίνονται: Ηλιακή σταθερή: 21400 W m . Μέσο μ.κ. της

δέσμης: 85 10 mλ = × . Ταχύτητα φωτός: 83 10 m sc = × . Σταθερή του Planck: 346.63 10 J sh −= × ⋅ .

9. Επίπεδο μέτωπο κύματος προσπίπτει κάθετα πάνω στη γυάλινη πλάκα του σχήματος δ.δ. n . Σε μια απόσταση από τη γυάλινη πλάκα, βρίσκεται επίπεδο κάτοπτρο σε θέση παράλληλη προς αυτήν. Με τη βοήθεια της αρχής

του Huygens, να προσδιοριστεί επακριβώς η μορφή του μετώπου κύματος στις εξής θέσεις: α) Ακριβώς μετά τη υάλινη πλάκα, β) Ακριβώς μετά την

- 139 -

ανάκλαση από το επίπεδο κάτοπτρο και γ) Μετά την επαναδιέλευση του μετώπου κύματος από την πλάκα. 10. Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε ένα επίπεδο κάτοπτρο MM ′ και σε μια ορισμένη απόσταση από αυτό – στο σημείο P – βρίσκεται μια σημειακή πη-

γή. Γνωστού όντος ότι η σημειακή πηγή εκπέμπει ένα σφαιρικό αποκλίνον μέτωπο κύματος, με τη βοήθεια της αρχής του Huygens, να προσδιοριστεί το ανακλώμενο από το κάτοπτρο μέτωπο κύματος.