H31年度制御工学特論

第2回講義

1

今日の講義予定

1. 講義の注意と講義予定

2. 行列の復習

3. 状態方程式

2

倒立振子

現代制御理論新しい制御理論(適応制御)

回転型倒立振子

行列の復習(1)2次形式

教科書４５-４６頁

例題1次の2次形式を(2.78)の形式に書き下せ

5

行列の復習(1)例題1次の2次形式を(2.78)の形式に書き下せ

6

答：

[ ]

32212

32

22

1

233232

222121

21

321

321

321

321

12818102

)186()6104()42(

18606104

042)(

xxxxxxx

xxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxV

+−++=

++++−+−=

++++−

+−=x

2次形式 ：正定値⇔すべてのx≠0について、V(x)>0A：正定値行列⇔V(x)=xTAxが正定値

正定値の条件： Aの全ての固有値>0

行列の復習(2)

例題2:次の行列A の固有値を求めよ。この行列は正定値か？

A=

2次形式 ：半正定値⇔すべてのx≠0について、V(x)≧0A：正定値行列⇔V(x)=xTAxが半正定値

正定値の条件： Aの全ての固有値≧ 0

7

2次形式は何に使うか(1)

どんな過渡応答が良いか1.整定時間：短い2.オーバーシュート：小さい3.誤差2乗面積：小さい→最適レギュレータ

整定時間

オーバーシュート

誤差2乗面積

誤差2乗面積を表すのに使う教科書p. 156～159

8

2次形式は何に使うか(2)

教科書74頁

9

λi ：Aの固有値、x ：λiの固有ベクトル ⇔ Ax=λxを満たす

固有値の計算法 | A-λI|=0固有ベクトルの計算法(A-λI)x=0を解けばよい

行列の復習(3)

次の行列A の固有値と固有ベクトルを求めよ。

教科書ｐ121例題5

−−−

=450

001023

A

10

行列の復習(3)次の行列A の固有値と

固有ベクトルを求めよ。

答：

より固有値λ=-1, -2, -4(A-(-1)I)x=0より、-1の固有ベクトルx１=[3 3 5]T

(A-(-2)I)x=0より、-2の固有ベクトルx2 =[4 2 5]T

(A-(-4)I)x=0より、-4の固有ベクトルx3 =[0 0 1]T

対角化は固有ベクトルを並べたモード行列を求めて行う。

モード行列Tとその逆行列T-1は教科書p121にある。

T-1ATを計算すれば、対角行列となっている。

−−−

=450

001023

A

0)4)(2)(1(45001023

=+++−=−−

−−−−

=− λλλλ

λλ

IλA

11

行列の復習(3)答：

固有値λ=-4の

固有ベクトルの計算

固有ベクトルは

x3 =[0 0 1]Tでも

x3 =[0 0 6]でも

どちらでも良い。

教科書でx3 =[0 0 6]

となっているのは、

モード行列の逆行列が

計算し易いため。

x3 =[0 0 0]の0ベクトルは不可。12

何でもよい

②①③

③

②

①

固有ベクトル

:OK,0,0

0504

02,0

050041021

04450

04010243

])4([

4

450001023

3

12

2

21

21

3

2

1

3

2

1

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

xIA

A

⇒

→=→=→

==+−=+

=

−

=

+−+−

+−=−−

→−=

−−−

=

λ

行列の復習(3)行列の対角化：行列Aの固有ベクトルv１, v2,… ,vn

モード行列T=[v１, v2,… ,vn]

対角行列になる

対角化：何に使うか

(1) 状態方程式の解を求めるとき 教科書ｐ97

(2) 制御系をモードに分解する 教科書ｐ98

=−

nλ

λATT

0

011

13

行列の復習(3)行列の対角化: 求めた、行列Aの固有値と固有ベクトルを使って、モード行列Tを求め、行列Aを対角化する。

より

となるはずであるが、計算して確かめよ。

−−

−=−

400020001

1ATT

14

=

155023043

T

−−

−−=−

655033042

611T

制御理論

古典制御 現代制御 新しい制御

理論構成 1940年頃 1960年頃* 1980年頃から

制御系表現 伝達関数 状態方程式 既約分解*

モデリング 周波数応答 システム同定 展開：ロバスト制御適応制御非線形制御モデル予測制御

制御系の性質 － 可観測、可制御

安定性判別 特性方程式、ラウスフルビッツ、根軌跡法、ナイキスト

固有値、リャプノフ関数

フィードバック制御 補償器、PID制御 状態フィードバック、最適レギュレータ、状態観測器

講義 前期、制御工学Ⅰ 後期、制御工学Ⅱ

証明

ラプラス変換の微分の公式 [f (1)(t)]=sF(s)-f(0)

伝達関数→微分方程式（→状態方程式)

16

)(1)( 11 sUs

sC = )()( 11 sUssC =

1)0()()( ×+

= f

dttdfssF L

F(s)=C1

[ ] 1=δ(t)L逆変換

[ ]δ(t)csUdt

tdc LL ×−=

)0()()(

111

δ(t)ctudt

tdc )0()()(11

1 −=

≠=

=0,0

0),0()0( 1

1 ttc

δ(t)c

伝達関数→微分方程式（→状態方程式)

伝達関数：初期値=0→微分方程式→状態方程式しかし，状態方程式では，初期値≠0の場合も考えることができる

微分法方程式→ラプラス変換(微分方程式の講義-ラプラス変換による解き方)初期値の項が出てくる

初期値の項

伝達関数→微分方程式（→状態方程式)

演習問題(1)：該当する微分方程式を求めよ。

演習問題(1)：上式を導出せよ 18

+

-

伝達関数→微分方程式（→状態方程式)演習問題(1)解答

右式を導出する

19

22)( UCas =+dtds →

222 uac

dtdc

=+

44 )(11 CCrKsas

=−+

)()( 44 CrKCass −=+KrCKass =++ 4

2 )(dtds →

+

-

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式

20

1

1

2

2,,,,

−

−

n

n

dtcd

dtcd

dtdcc

0

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式

x x xx

21

xn-1

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式

22

ucadtdca

dtcda

dtcda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− 011

1

1

dtdcx =2

cx =1

tdcdx n

n

n 1

1

−

−

=

ua

caa

dtdc

aa

dtcd

aa

dtcd

nnnn

n

n

nn

n 1011

11 +−−+−= −

−−

0

ua

xaax

aax

aa

nnnn

n

n 11

02

11 +−−+−= −

=−

n

n

xx

x

1

1

x

+−−+−

=

− ua

xaax

aax

aa

x

x

dtd

nnnn

n

n

n1

10

211

2

x

dtdx1=

dtdxn 1−=

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式

23

+−−+−

=

− ua

xaax

aax

aa

x

x

dtd

nnnn

n

n

n1

10

211

2

x

u

axx

x

aa

aa

aa

nn

n

n

n

nn

+

−−−

=−

− 10

0

100

010

1

1

110

BuA += x

[ ]x0011 == xc

状態方程式

出力方程式

A B

C

制御系

状態方程式の利点多入力、多出力系を表すことができる

入力l個

出力m個

状態方程式

出力方程式24

状態変数とは過去の入力をまとめて表す。未来の出力が、現在の状態変数と、未来の入力で決まる。

過去の入力現在の

状態変数

未来の入力

未来の出力

25

例題 教科書ｐ115例題２

微分方程式で表される制御系

状態変数

状態方程式

26

=

3

2

1

xxx

x

状態変数

例題 教科書ｐ116例題3

閉ループ制御系：微分方程式

状態変数

状態方程式

出力方程式

27

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式

演習問題(2)：上式の状態方程式を導出せよ

28

+

-

閉ループ制御系：微分方程式

29

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式演習問題(2)の答

状態変数dt

dcxcx 4241 , ==

kraxkxkrdt

dcakcdt

dx

xdtdx

+−−=+−−=

=

214

42

21

[ ]

=

+

−−

=

2

14

2

1

2

1

01

010

xx

c

rkx

xakx

xdtd状態方程式

人工衛星の例

2方向の姿勢制御ロケットで2方向

（水平方向、垂直方向）の位置を

制御する。

人工衛星を地球中心からの半径σの円軌道上を一定の角速度ωで飛行させたい→目標軌道

状態方程式の例：人工衛星

水平方向の位置

垂直方向の位置=高度

水平方向の姿勢制御ロケット 垂直方向

の姿勢制御ロケット

気象衛星ひまわり地球

θｒ

時刻tにおける人工衛星の地球中心からの距離r、緯度θとする。

人工衛星の質量m=1とする

入力 垂直方向のロケット推力：u1

水平方向のロケット推力：u2

出力 円周軌道からの垂直方向のずれ y1=r-σ円周軌道からの水平方向のずれ y2=σ(θ-ωt) k：引力定数

運動方程式垂直方向の加速度arとおくと

水平方向の加速度aθとおくと

質量m=1とし、目標の円周軌道上ではr(t)=σ(一定), θ(t)=ωt(ω一定)

を使うと、 k=σ3ω2

目標の円周軌道からのずれを状態変数に選ぶ。

状態変数：

状態方程式の例：人工衛星

( ) 212

rmkuθrrmmar −=−=

( ) 22 uθrθrmmaθ =+=

( ) ( )ωθσxxtωθσxrxxσrx −==−===−= 343121 ,,,

目標の円周軌道からのずれを状態変数に選ぶ。

状態変数：

運動方程式にテイラー展開で1次近似を使うと

行列形式→

状態方程式

状態方程式の例：人工衛星

( ) ( )ωθσxxtωθσxrxxσrx −==−===−= 343121 ,,,

21 xx = 1412

2 23 uxωxωx ++=

43 xx =224

12 uσ

xσωx +=

+

=

2

1

4

3

2

12

4

3

2

1

/10000100

00/201000

20030010

uu

σxxxx

σω

ωω

xxxx

dtd

=

4

3

2

1

2

101000001

xxxx

yy

ラクランジュの運動方程式

線形近似( )して、状態変数を

状態方程式

状態方程式の例：並列2重倒立振子

( ) ( ) ( ) uθθθθlmθθθθlmxmmM =−+−+++ 22

2222212

1111121 sincossincos

( )

( )

u

Ml

Ml

M

xxxxxx

MlgmMMlgm

MlgmMlgmM

MgmMgm

xxxxxx

dtd

−

−+

+

+

−−

=

2

1

6

5

4

3

2

1

2221

1211

21

6

5

4

3

2

1

/10/10

/10

0/0/001000000/0/000010000/0/00000010

0sincos 1112

111 =−+ θglθlθlx

0sincos 2222

222 =−+ θglθlθlx g：重力加速度

[ ] [ ]2211654311 θθθθxxxxxxxx =

1cos,sin ≈≈ θθθ

状態方程式の例：飛行機のピッチ角、飛行角

状態方程式

Yu & SobelJ. Guidance, Control and Dynamics, 1991

F-16

34

伝達関数行列

ラプラス変換 状態方程式出力方程式

状態方程式→伝達関数状態方程式

出力方程式

X(s)でまとめる

出力方程式へ代入

入力、出力が複数ある 35

例題 教科書ｐ117例題4

状態方程式

出力方程式

行列

に代入

36

伝達関数→微分方程式（→状態方程式)演習問題(1)解答

右式を導出する

37

22)( UCas =+dtds →

222 uac

dtdc

=+

44 )(11 CCRKsas

=−+

)()( 44 CRKCass −=+

KRCKass =++ 42 )(

dtds →

+

-

閉ループ制御系：微分方程式

38

(伝達関数→)微分方程式→状態方程式演習問題(2)の答

状態変数dt

dcxcx 4241 , ==

kraxkxkrdt

dcakcdt

dx

xdtdx

+−−=+−−=

=

214

42

21

[ ]

=

+

−−

=

2

14

2

1

2

1

01

010

xx

c

rkx

xakx

xdtd状態方程式