ha almen, 1. semester - unibazaar.dk · 5) - tilfældigt udvalgte stikprøver differencen mellem to...

Statistik – Formelsamling

HA Almen, 1. semester

StatistikformelsamlingHA-Almen,1.semester

UdførtisamarbejdemedUniBazaarIVS

2/28

Statistik-Formelsamling

IndholdsfortegnelseHvordankanformelsamlingenbruges?.....................................................................................................5

Værdatvide..................................................................................................................................................5

Oversigt–Mestbrugtesymboler..................................................................................................................5

Disclaimer......................................................................................................................................................5

Konfidensintervaller..................................................................................................................................6

Generelfremgangmåde................................................................................................................................6

Populationsmiddelværdi ,medkendt .................................................................................................6

Differencemellem2populationsmiddelværdiermedkendt ..................................................................6

Populationsmiddelværdien, ,medukendt ..........................................................................................6

Differencenmellem2populationsmiddelværdiermedsamme,menukendt ........................................7

S-pooledberegnerenfællesvarians.........................................................................................................7

Populationsvarians, .................................................................................................................................7

Differencenmellem2populationsvarianser.................................................................................................8

Populationsandel,P......................................................................................................................................8

Differencenmellemtopopulationsandele, ...................................................................................8

Hypotesetest.............................................................................................................................................9

Fremgangsmåde............................................................................................................................................9

Fortolkninger.................................................................................................................................................9

P-værdi..........................................................................................................................................................9

TypeIogtypeIIfejl.......................................................................................................................................9

Populationsmiddelværdi ,medkendt ...............................................................................................10

Differencemellem2populationsmiddelværdiermedkendt ................................................................10

Populationsmiddelværdien, ,medukendt ........................................................................................10

Differencenmellem2populationsmiddelværdiermedukendt ............................................................11

Populationsvarians, ...............................................................................................................................11



3/28

Forholdetmellem2populationsvarianser, ...........................................................................................11

Populationsandel,P....................................................................................................................................12

Differencenmellemtopopulationsandele, .................................................................................12

Sandsynlighedsregning............................................................................................................................14

Stokastiskuafhængighed............................................................................................................................14

Additionsreglen(ProbabilitythateventAoreventBoccurs)....................................................................14

Betingetsandsynlighed(når,givet,hvis)....................................................................................................14

Multiplikationsreglen(og)...........................................................................................................................14

Bayessætning.............................................................................................................................................14

Marginalsandsynlighed..............................................................................................................................15

Koblingtilbinomialfordeling.......................................................................................................................15

Regressionsanalyse.................................................................................................................................16

Grundlæggendeformler/forklaringer.........................................................................................................16

Parameterestimater,Simpelregression(side419).....................................................................................16

Fortolkning..................................................................................................................................................16

Variationsstørrelser.....................................................................................................................................16

Antagelserogkontrolafdisse.................................................................................................................18

Multikolinaritet(multipelregression).....................................................................................................19

JaqueBera-test...........................................................................................................................................19

Testforhomoskedasticitet(Whitestest)....................................................................................................19

Testforsimpelregression...........................................................................................................................20

Test1.......................................................................................................................................................20

Test2.......................................................................................................................................................20

Testformultipelregression........................................................................................................................20

Test1.......................................................................................................................................................20

Test2.......................................................................................................................................................20

Test3.......................................................................................................................................................21

Prediktionsinterval(PI)................................................................................................................................21

Konfidensinterval(KI)..................................................................................................................................21

Konfidensintervalfor .........................................................................................................................22

Ikke-parametriskstatistik........................................................................................................................22

Goodnessoffit1faktor..............................................................................................................................22



4/28

1faktor....................................................................................................................................................22

2faktorer(kontingenstabeller)...............................................................................................................22

Variansanalyse........................................................................................................................................23

Et-sidetvariansanalyse................................................................................................................................23

ANOVA-tabel...........................................................................................................................................24

To-sidetvariansanalyse...............................................................................................................................24

Hypotesetest...........................................................................................................................................24

ANOVA-tabel...........................................................................................................................................26

Fordelinger..............................................................................................................................................27

Binomialfordeling .....................................................................................................................27

Standardiseretnormalfordeling ...............................................................................................27



5/28

Hvordankanformelsamlingenbruges?Udfradenenkelteopgavetileksamenkanmanslåopidenneformelsamlingforatfindefremgangsmådentilatløseopgaven.

Dettegøressåledes:1)Findoveremnetsomopgavenomhandler-fx“Hypotesetest”2)Finddenspecifikkeopgavebeskrivelse-fx“Differencemellem2populationsmiddelværdiermedkendtσ2”.3)Følgdengenerellefremgangsmådeforoveremnet.4)Benytformlernefordenspecifikkeopgavebeskrivelse.

Værdatvide “NCT”henvisertilgrundbogenistatistik:”StatisticsforBusinessandEconomics”(afPaulNewbold,WilliamCarlson&BettyThorne)

Oversigt–Mestbrugtesymboler

Størrelse Population Stikprøve

Antalobservationer N n

Gennemsnit μ x

Varians σ2 s2

Standardafvigelse σ s

Variationskoefficienten CV CV

Kovarians Cov(X,Y)=σxy Cov(X,Y)=sxy

Korrelationskoefficient p r

DisclaimerForatfåudbytteafdenneformelsamlingkræverdetetgrundlæggendekendskabtilfagetstatistikogforståelsefor,hvordanmanløsergenerelleproblemstillinger.Erdétpåplads,fungererdenneformelsamlingsometgodtværktøjtilatsparetidtileksamen.

UniBazaarIVStagerforbeholdfortastefejlogændringeripensum.Desudenskaldetbemærkes,atdenpræcisebrugafsymbolerkanvariereiforholdtildenenkelteunderviser.



6/28

Konfidensintervaller

Generelfremgangmåde1) Findformel,evt.vedhjælpaftræet(bilagifællesnoter)2) Gørrelevanteantagelser

3) Konkluderatdensandepopulationsvariabelmed sikkerhedergivetiintervallet.4) Kommentérevt.påom0liggeriintervallet

ME(marginalerror)eraltderefter iformlerneogbredden

Populationsmiddelværdi ,medkendt

Formel:

findesiNCTpåside738(elleridenlilletabelpåside294)

Antagelser:

- Kendtpopulationsvarians- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve

Differencemellem2populationsmiddelværdiermedkendt

Formel:


Antagelser

- Kendtepopulationsvarianser- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve

Populationsmiddelværdien, ,medukendt

Formel:



7/28

findesiNCTpåside770

Antagelser:

- Ukendtpopulationsvarians- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve

Differencenmellem2populationsmiddelværdiermedsamme,menukendt

S-pooledberegnerenfællesvarians

Formel:

findesiNCTpåside770

Antagelser

- Ukendtemenensvarianser- Normalfordeltepopulationer- Tilfældigtudvalgtestikprøver

Populationsvarians,

Formel:

-fordelingernefindesiNCTpåside768og769

Antagelser

- Normalfordeltpopulation

- Populationsvariansderfølger -fordeling- Tilfældigtudvalgtestikprøver



8/28

Differencenmellem2populationsvarianserIkkeendelafpensum

Populationsandel,P

Formel:


Antagelser

- Populationerbinomialfordelt :tomuligeudfald,konstantPogstokastiskuafhængighed

- Denkanapproksimerestilennormalfordeling,når (variansenskalværestørreend5)

- Tilfældigtudvalgtestikprøver

Differencenmellemtopopulationsandele,

Formel:


Antagelser

- Populationerbinomialfordelt og :tomuligeudfaldforXogY,konstantPogstokastiskuafhængighed

- Denkanapproksimerestilennormalfordeling,når og - Tilfældigtudvalgtestikprøver



9/28

HypotesetestAltidstærkereatlaveennulhypotese,derkanforkastes

Fremgangsmåde- Opstilpassende og

Fordenhøjresidedetestvil og

Fordenvenstresidedetestvil og

Fordendobbeltsidedetestvil og

benyttesveddendobbeltsidedetest.

- Vælgsikkerhedsniveau .Hvisintetergivet,brug5%.- Finddenpassendeformel,evt.udfrabrugaftræet- Gørderelevanteantagelser- Sætteststørrelsen,T,overfordenkritiskeværdi,K.HvisTermindreekstremendKmedførerdet,

atviikkeforkaster Detbetyderdesuden,athvisTermereekstremendK,skalviforkaste

FortolkningerHvisvibeviser betyderdetblot,atviikkekanforkasteden.DetbetyderIKKE,atdenersand.

Hvisvimodbeviser ,kanviforkastemed sikkerhed

P-værdiKrævesikkemedmindre,derdirektebliverspurgtomdet.

P-værdienersandsynlighedenforatobservereenmereekstremværdiendteststørrelsen,når ersand.ErP-værdienmindreendα,såforkastervi.

P-værdienkanisærbrugesvedgrænsesignifikans,dasikkerhedsniveauetkanværeafgørendeidetilfældeforomviforkasterellerej.

TypeIogtypeIIfejl- Type1(α):risikoenforatforkasteensand - Type2(β):risikoenforikkeatforkasteenfalsk



10/28

Dererrisikoforfejlisærvedgrænsesignifikans.

Populationsmiddelværdi ,medkendt

Teststørrelse:

Kritiskværdi: findesiNCTpåside738(elleridenlilletabelpåside294)

Antagelser:

- Kendtpopulationsvarians- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve

Differencemellem2populationsmiddelværdiermedkendt

Teststørrelse:

erdetvitesteromdifferencener


Antagelser:

- Kendtepopulationsvarianser- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve

Populationsmiddelværdien, ,medukendt

Teststørrelse:

Kritiskværdi: findesiNCTpåside770

Antagelser:

- Ukendtpopulationsvarians- Normalfordeltpopulation- Tilfældigudvalgtstikprøve



11/28

Differencenmellem2populationsmiddelværdiermedukendt

Teststørrelse:

erdetvitesteromdifferencener

Kritiskværdi: findesiNCTpåside770

Antagelser:

- Ukendtemenensvarianser- Normalfordeltepopulationer- Tilfældigtudvalgtestikprøver

Populationsvarians,

Teststørrelse:

Kritiskværdi(øvre):

Kritiskværdi(nedre):

DekritiskeværdierfindesiNCTpåside768og769

Antagelser:

- Normalfordeltpopulation- Populationsvariansderfølger -fordeling- Tilfældigtudvalgtestikprøver

Forholdetmellem2populationsvarianser,

Teststørrelse: ,hvor



12/28

Delermanto fordelingermedhinanden,såfårmanetF-testistedet.

Kritiskværdi: somfindesiNCTpåside771-774

Antagelser:

- Ukendtepopulationsvarianser- Normalfordeltepopulationer- Tilfældigtudvalgtestikprøver

Populationsandel,P

Formel: hvor


Antagelser

- Populationerbinomialfordelt :tomuligeudfald,konstantPogstokastiskuafhængighed

- Denkanapproksimerestilennormalfordeling,når (variansenskalværestørreend5)


Differencenmellemtopopulationsandele,

Teststørrelse:


Antagelser:

- Populationerbinomialfordelt og :tomuligeudfaldforXogY,konstanteP’erogstokastiskuafhængighed

- Denkanapproksimerestilennormalfordeling,når og .CLTeropfyldtnårdetoforegåendeformlererkorrekte.



13/28




14/28

SandsynlighedsregningTJEKOMDERERANTAGETUAFHÆNGIGHED–detændrerdethele.

Uafhængighederikkedetsammesomdisjointevents.Uafhængigeeventskangodthavefællesmængde.

StokastiskuafhængighedUafhængighednår: og

Additionsreglen(ProbabilitythateventAoreventBoccurs)

Erdetoeventsdisjoint(ingenfællesmængde)såkanmannøjesmedaddereP(A)ogP(B)foratfindedenforenedemængde.

=forenet(unionofevents).Seside112forillustration.

=fælles(intersection)

Betingetsandsynlighed(når,givet,hvis)(sigessomAgivetB.”sandsynlighedenforatværestatistiklærer(A)givetmanerkvinde(B)”).

Multiplikationsreglen(og)

Veduafhængighed,daerdebetingedesandsynlighederligdenoprindeligesandsynlighed:

hvorformultiplikationsreglenistedetbliver .

BayessætningOgsåengivetsandsynlighed(når,givet,hvis).Multiplikationsregelitællerenforbetingetsandsynlighed



15/28

Marginalsandsynlighed

KoblingtilbinomialfordelingA,B,osv.Kunnevære



16/28

Regressionsanalyse

Grundlæggendeformler/forklaringer

Y=responsvariabel

X=kovariater/forklarendevariabler

=intercept(skæringmedy-aksen)

=hældning

=fejlled/residualer

Parameterestimater,Simpelregression(side419)

FortolkningSimpelellerlineærregression?

:Yharenforventetværdipå enheder(y).Detskernårallekovariater(vedsimpelbaredenenekovariat)erlig0.Værdienfor giverikkealtidmeningisigselv–såerdetvigtigtatnævne!Fxhvisviharnegativeværdierfornoget,derikkebørkunneværenegativt.

:Yharenforventetstigning/faldpå enheder(Y),nårvi sigermedenenhed( ).

:Findeskunvedmultipellineærregression.Yharenforventetstigning/faldpå enheder(Y),når

enheder ,hvismanholderdeandrekovariaterkonstant.

VariationsstørrelserSSR:Dendelafvariationen,sommodellenforklarer.

SSE:Dendelafvariationen,sommodellenikkeforklarer

SST:Dentotalevariation



17/28

SSR:

SST:

MSR:

MSE:

F-teststørrelse(ratio):

Parameterestimater:

Detvilsige,atregressionslinjengårgennempunktet

Determinationskoefficienten:

Vigtigtatbemærkeatformlenogsåkanskrivessom .Formlenviser,atforklaringskraftenvoksermedvariabilitetenafkovariaterneomderesgennemsnit.Dvs.at erstørrenår

erstørre.Manskalderforforsøgeatrbugekovariatermedsåstorvarianssommuligtforpådenmådeatopnådenstørstmuligeforklaringskraftiregressionsmodellen.

Justeretdeterminationskoefficient:



18/28

Fejlleddenesvarians:

Std.Errorpådenenkelte :

kanøgeskunstigt,hvismantilførerflerekovariater–selvhvisdeingenforklaringskrafthar.R^2adj.Erjusteretfordette.

Antagelserogkontrolafdisse

AntagelseomlineæritetDerskalværelineærsammenhængmellemresponsvariablenogallekovariater.

Kontrol:

• Lavengraf,derviserYmodX’erne:• Ledefterlineæresammenhænge.Findermaneneksponentiel,kvadratiskelleranden

sammenhæng,såkanderanbefalesentransformationtilenlineærsammenhæng.Vikommerikkeselvtilatskullelavetransformationen,menvikanforeslåatgøredet.

AntagelseomnormalfordelteoguafhængigefejlledResidualerne eruafhængigeafkovariaterneforalle ogdeernormalfordeltemedmiddelværdien0.Viantageratmiddelværdiener0.

Kontrol:

• LavegrafmedderåellerstudentiseredefejlledmodX’erne.Dermåikkeværenogenmønstreogdeskalliggeomkring0.

• Normalfordelingsplotafderåellerstudentiserederesidualer.Punkternemåikkeliggeudenfor

båndendeved95%.Liggerderenkeltepunkterudenforbåndeneerdetok,hvis erstor.• Testfornormalfordelteresidualerpådestudentiseredeellerderå(JaqueBeratestet).Forkastes

nulhypotesen,betyderdet,atfejlleddeneikkeernormalfordelte.

HomoskedasticitetResidualerneerhomoskedastiske,hvilketvilsige,atdeharkonstantvarians: foralle .

Kontrol:

• Lavengrafmeddestudentiserederesidualermodhhv.rowellerpredictedY.• Derskalværeensvarians(spredning)overhelex-aksen• Testforhomoskedasticitet.Forkastesnulhypotesen,betyderdetatviharheteroskedastiskefejlled.



19/28

ParvisuafhængighedResidualerneerparvisuafhængige,dvs.atvedathaveobservereten kanviikkesigenogetomden

næste .Dermåikkeværesystematikifejlene.

Kontrol:

- LavengrafmedstudentiserederesidualermodrowellerpredictedY.Seeftermønstreiplottet.

Multikolinaritet(multipelregression)Enkovariatmåikkeværeenlinearkombinationafenandenkovariat,dvs.deikkemåforklaredetsammeomY.

Kontrol:

- Lavetkorrelationsmatrixmedalledenumeriskekovariater- Ingenmåoverstige0,7numeriskset(dvs.størreend0,7ogmindreend-0,7)

Derfindeseksemplerplots(uafhængighedoghomoskedasticitet)tegnetpåpapir.

JaqueBera-test:Normalfordelteresidualer

Ikkenormalfordelteresidualer(komplementtil )

Teststørrelse: OBS:JMPharalleredetrukketde3fra.

Kritiskværdi: somfindesiNCTpåside612.Forkast hvisteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.

Nårtestetharstortnoknkandenapproksimerestilen -fordeling.

Testforhomoskedasticitet(Whitestest):Homoskedasticitet

Heteroskedasticitet(hvisderdennelineæresammenhæng: )

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Forkast hvisteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.



20/28

TestforsimpelregressionTestafingenlineærsammenhæng,hvor

og

Test1

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Test2

Teststørrelse:

Kristikværdi:

Testformultipelregression

Test1Testafingenmarginaleffektafdenj’tekovariat

og

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Test2TestafingensimultaneffektafKantalkovariater

og

Teststørrelse:

Kristikværdi:



21/28

Test3og

TestafingensimultaneffektafdelmængdenRudafKkovariater.Findesderkunénnykovariat(R=1)erdetikkesimultan-menmarginaleffekt.Vigtigtatnotere.

Teststørrelse:

Hvor SSE(R)erfradengamlemodel

SSEerfradennyemodel

Kerantalkovariateridenmodelmedfærrestkovariater

Rerantaltilføjedekovariater

Kritiskværdi:

Prediktionsinterval(PI)

Nævnerenkanogsåskrivessom

Noglegangemå antagesammeværdisom ,hvorvedheledetsidsteledbortfalder.

Detteintervalindeholdermed sikkerhedværdienafennyobservation ,nårXantagerværdien .

Konfidensinterval(KI)

Detteintervalindeholdermed sikkerhedværdienaf ,nårXantagerværdien .

Konfidensintervalleteraltidmindrebredtendprediktionsintervalletogdervedmere”sikkert”.



22/28

Konfidensintervalfor

Ikke-parametriskstatistik

Goodnessoffit1faktor

1faktorParametre:

:antalobservationerikategori

Sandsynlighedenforatendeikategori

forventetantalikategori

dererGoodnessoffit.Detkanogsåskrivessom erkorrektspecificeret.

erspecificeretforkert.

Teststørrelse:

Kritiskværdi: somfindesiNCTpåside768.Kangiverantalletafkategoier.

Fokast hvisteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.

Antagelse

- ertilstrækkeligstor,sp forhver

2faktorer(kontingenstabeller)FaktorA/FaktorB 1 2 … c Total1 … 2 … … … … … … …r … Total … n



23/28

FaktorAharrkategorier(rækker)hvilketvilsigeat til

FaktorBharckategorier(kolonner)hvilketvilsigeat til

uafhængigmellemfaktorAogB

Afhængighed

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Viforkaster,hvisteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.

Antagelse:

- og ertilstrækkeligtstøre,så forhver og

Variansanalyse

Et-sidetvariansanalyseAntalpopulationer,hvorviviltesteens/forskelligmiddelværdi,menmedensvarians.Kategoriskevariable.

Teststørrelse:

Hvor Kerantalletafgrupper

Nerantalletafobservationer

SSGervariationenmellemgrupper



24/28

SSWervariationenindenforgrupperne

Kritiskværdi: somfindesiNCTpåside771-774

Forkast nårteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.

Antagelser:

- Normalfordeltepopulationer- Uafhængigestikprøver- Varianshomogenitet

ANOVA-tabel

To-sidetvariansanalyseBLOK/GRUPPE 1 2 … K 1 … 2 … … … … … … H …

Kerantalletafgrupperigruppefaktoren

Herantalletafgrupperiblokfaktoren

Merantalobservationerindenforhvertniveau.

HypotesetestForkastermanenafnedenståendehypoteser,såerderaltsåeneffektafenaffaktorerne.Foralletestgælderdet,atviforkaster ,hvisteststørrelsenerstørreenddenkritiskeværdi.



25/28

Test1–ingengruppeeffekt

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Test2–ingenblokeffekt

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Test3–ingenvekselvirkningseffekt

Teststørrelse:

Kritiskværdi:

Antagelser:

- Normalfordeltepopulationer- Uafhængigestikprøver- Varianshomogenitet



26/28

ANOVA-tabel



27/28

Fordelinger

Binomialfordeling Tomuligeudfald:Succesellerfiaskohvorsucceserdet,vilederefter.

Succes-sandsynligheden

fiasko-sandsynligheden

:antaluafhængigeforsøg

SSH.Foratfåbestemtx: ogvariansenafbestemtx:

fordisandsynlighedenaltidsummersom1

Standardiseretnormalfordeling Middelværdiener0ogvariansenogstandardafvigelsener1

Derkantransformerestilstandardnormalfordelingen:

giverenværdiiZ-fordelingensomsvarertilenSSH.DETTEERSVARET.

Hvis:Zernegativ

Approksimationafbinomialfordelingtilnormalfordeling

Frakategorisktilnumerisk.Harmanmangeobservationer,sålignerbinomialfordelingennæstenenkontinuertlinje.Viapproksimerer,fordibinomialfordelingenfordidenermegetregnetung.



28/28

Måanvendesnår (altså:variansenskalværestørreend5).Detgælderfraca. (tommelfingerregel).

Udføresvha.transformation:

Sandsynlighedernefindesved:

ha almen, 1. semester - unibazaar.dk · 5) - tilfældigt udvalgte stikprøver differencen mellem to...

Documents