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HabilidadesMatemáticas1

José Roberto Benhumea SantiagoClaudio Francisco Nebbia Rubio

Título: Habilidades Matemáticas 1Autor: José Roberto Benhumea Santiago

Claudio Francisco Nebbia Rubio

Primera edición

Coordinación General: Héctor González BarboneEdición: Grupo ARSCITEDiseño de la serie y portadas: Israel L. GalíndezGuía y revisión pedagógica : Ana SamperioRevisión académica:

Ilustraciones: Israel L. Galíndez

Revisión general: Grupo ARSCITE

ISBN en trámite.

Primera edición, 2010© ARSCITE

Se prohibe la reproducción total o parcial por cualquier medio sin el consentimiento escrito de los titulares de los derechos.

Índice

Contenido 5

Para ti que tienes este libro en tus manos

7

Introducción TERROR MATEMÁTICO

11

Unidad 1 OPERACIONES BÁSICAS

15

Unidad 2 DIVISIBILIDAD

29

Unidad 3 RAZONES Y PROPORCIONES

47

Unidad 4 EXPONENTES

61

Bibliografía 77

Glosario 79

Contenido

Operaciones básicas

Se presentarán los números naturales, los enteros y los racio-nales junto con las operaciones básicas que se pueden reali-zar en cada uno de estos conjuntos.

Divisibilidad

Se analizará esta propiedad de los números enteros, se verán algunos criterios de divisibilidad importantes, se presentarán los números primos, así como los métodos para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Razones y proporciones

Se estudiarán los conceptos de razón y proporción, así como las relaciones entre datos directamente proporcionales e indi-rectamente proporcionales, junto con el método de la regla de tres directa e indirecta.

Exponentes

Se revisarán las aplicaciones de los exponentes, así como las leyes que rigen su comportamiento, además de introducir la notación científica.

Temario del primer curso propedéutico

7

Para ti que tienes este libroEN TUS MANOS

Ana Samperio

Este libro de introducción a las habilidades matemáticas fue hecho para que tú, que te dispones a cursar el primer semestre de la preparatoria, obtengas las habilidades necesarias para alcanzar con éxito tu objetivo. Revisando con interés el contenido del libro desarrollarás tu capacidad de abstraer propieda-des del mundo generando descripciones matemáticas que te permitan resol-ver problemas y entender mejor tu entorno.

A continuación te presentamos algunas recomendaciones para que tengas un óptimo aprendizaje. Para esto debes utilizar tus habilidades para selec-cionar de entre los contenidos expuestos los que te sean de mayor utilidad. Aprender a evaluar tus fortalezas y debilidades es el primer paso para poder realizar con gusto y eficacia lo que te propones.Te recomendamos:• Realizar otras actividades a la par del estudio de este libro, prac tica una

actividad que te guste mucho, que te emocione, a lo mejor que nunca has podido hacer, algún deporte, danza, música, un idioma… esto te ayudará a mantener activa tu mente por más tiempo, tanto en esta como en tus otras actividades y trabajo.

• Busca una motivación firme para todo lo que haces, retomar o continuar tus estudios no te costará tanto si tienes una buena razón para comenzar.

• Organizar tu tiempo de estudio, fija tus metas a corto, mediano y largo plazo, tanto las de estudio como las personales. Esto ayudará a que tu mente se programe para pensar, escribir y ver; claramente mientras reali-zas estas activi dades planeadas y deseadas.

MET

AS

CORTO Retomar mis estudios

MEDIANO Concluir mi propedéutico

LARGO Mi certificado de prepa

Si decides hacer este diagrama mantenlo a la vista, en una pared, en un espe-jo, en tu agenda, en un lugar en donde diario lo puedas leer para recordarlo. Piensa en que esto es lo que realmente quieres hacer y pregúntate constante-mente qué necesitas para llegar a tu meta.

Habilidades Matemáticas I8

Marca en un calendario los días en que crees que puedes estudiar por lo me-nos 2 hrs. Ve señalando los días en que realmente estudiaste. Observando los días señalados analiza si tienes algún patrón y trata de continuar con él en días y horarios.

MAYOL M M J V S D

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Pon en tu agenda, pared o libro favorito un horario en el que marques los perio-dos en que estudiarás. Primero pon las actividades inamovibles como la hora de comer, el horario de trabajo, o alguna actividad con horario fijo. Observa tus horas libres y planea una rutina de estudio, respeta en la medida de lo posible tus horarios.

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

10 A 16TRABAJO TRABAJO TRABAJO TRABAJO TRABAJO

4 A 5 COMIDA COMIDA COMIDA COMIDA COMIDA

6 A 8YOGA

7 A 10ESTUDIO LIBRE 7 A 10

ESTUDIO6 A 8YOGA

5 A 9 ESTUDIO

Encuentra tu lugar favorito para estudiar, te recomendamos que elijas un lugar donde puedas sentarte cómodamente, utilizando una silla con respaldo recto que te permita mantener la espalda derecha, una mesa que quede a nivel de tus codos y tu libro justo frente a ti. Ten a la mano todo lo necesario para no distraerte. Te sugerimos también no tener el televisor encendido, ni el radio, en caso de que sientas que te distrae de tu estudio.

El lugar que es cojas debe ser adecuado para estar, por lo menos, dos ho-ras cómodamente, encuentra tus lugares favoritos; pero ¡cuidado! No siempre es buena opción que estudies en tu cama.

Si lo que realmente quieres es estudiar, lo podrás hacer en cualquier lugar y momentos libres, sea el transporte público, un parque, tu cuarto, tu oficina, el comedor de tu casa, en fin, el interés y la concentración serán tu espacio de estudio.

9

Otra recomendación importante es que antes de decidirte a estudiar comas bien; tu cuerpo gasta calorías cuando estudias, razonar y pensar por tiempo prolongado bien merece una buena cantidad de alimentos. Ten fruta o dulces a la mano, tu ce rebro necesita glucosa para hacer nuevas conexiones entre las neuronas, y esto es justamente lo que sucede cuando estudias, te haces más inteligente. Te recomenda mos tener a la mano un cuaderno, hojas, lápiz, mar-cador y diccionario. Estas son herramientas necesarias para destacar algún concepto importante, escribir alguna nota, guardar tus dudas y conclusiones, hacer diagramas, cuadros sinópticos, mapas mentales, etc.

Espero que estas sugerencias te ayuden a construir una rutina que te permi ta facilitar tus estudios de preparatoria. Recuerda que esta introducción es la oportunidad que tienes para construir bases sólidas y para generar un arsenal de herramientas que te permitan desarrollarte plenamente en tu vida.

| Habilidades Matemáticas I 11

Introducción TERROR MATEMÁTICO

Claudio Nebbia

o lo vamos a negar, las matemáticas causan muchas sensaciones, a muchos les causa miedo, incomodidad y sensación de impotencia, es común escuchar recuerdos

desagradables o sensación de complicación innecesaria.

Pero entonces ¿para qué estudiar matemáticas? todos nos hemos preguntado esto, nos guste o no la materia. La respuesta más escuchada es “porque nos obligan” o “porque es necesario para graduarme o para pasar la materia”, simplemente un trámite y nada más. Por este rechazo general es que casi nadie se atreve a discutir datos numéricos, estadísticas, ecuaciones o deducciones lógicas. Simplemente las creemos o las dejamos pasar cuando las vemos, si no se entiende no se discute.

Se cuenta que Denis Diderot, un enciclopedista francés conocido por su ateísmo, fue invitado a la corte Rusa por la emperatriz Catalina con la promesa de que ahí se daría a conocer la demostración de la existencia de Dios. Ya estando en la corte, el expositor, un matemático

N

12 Habilidades Matemáticas I |

famoso de la época llamado Euler, se acercó a Diderot y con tono firme le dijo:

“Señor, 𝑎+𝑏𝑛

𝑛= 𝑥, por lo tanto, Dios existe, ¿de acuerdo?”

Diderot , mudo e intimidado por las carcajadas de los presentes, quedó completamente desconcertado al no saber que responder, el álgebra le molestaba, le generaba incomodidad y no era una de sus áreas de interés. De inmediato pidió a Catalina permiso para volver a Francia y, sin más trámite, se le concedió. Aprender matemáticas es una tarea que no es más difícil que aprender un idioma, aprender biología o historia. Enseñar matemáticas es un reto y he aquí donde radica la dificultad. Aprender matemáticas es aprender estructuras, es aprender cómo funciona el pensamiento, es aprender un orden universal; no por nada algunos psicólogos, entre ellos Piaget, han señalado que la actividad mental del estudiante de matemáticas es similar a la que muestran los científicos: se parte de un problema, se plantea una conjetura, se rectifica, se transfiere, se generaliza y se generan conflictos. Todo esto para, poco a poco, ir abstrayendo y construyendo propiedades, órdenes y conceptos; en otras palabras, para ir construyendo estructuras mentales que den respuesta a nuestras preguntas. Antes que nada hay que recalcar que la matemática tiene su propio método para construir conocimiento, para decir que es verdad y que no. Es mucho más fácil aprenderla cuando se comienza por tratar de entender esto, el punto más importante de este método, en el que hay que poner especial atención, es en la abstracción. Cuando aprendemos a contar nos enseñan conjuntos de cosas: 3 manzanas, 20 bloques de madera, 5 dedos, etc., gradualmente y de forma casi subconsciente vemos a los números como objetos en sí mismos que pueden usarse sin necesidad de hacer referencia a un conjunto. Cobran identidad propia, el uno y el dos son números, son objetos, son cosas, ya no son simples propiedades compartidas de muchas colecciones o conjuntos diferentes de elementos, son algo más, son ideas. De igual manera las formas y figuras geométricas son abstracciones de los objetos que vemos en la realidad. Platón no pudo ser más explícito en la siguiente frase:


“¿Y sabías que, no obstante que utilizan las formas visibles y razonan sobre ellas, no están pensando en éstas, sino en las formas ideales a las cuales se asemejan; no en las figuras que dibujan, si no en el cuadrado y en el diámetro absolutos?”

Después de semejante pregunta completa diciendo:

“... ellos en realidad están tratando de contemplar las cosas en sí mismas, [cosas] que solo pueden verse con los ojos de la mente.”

Bueno, ya está; pero ¿y luego qué? Si, muy bonito eso de la abstracción y de aprender matemáticas cuando se cuenta así, pero entonces ¿qué hay que hacer para estudiar matemáticas y no perecer en el intento? La sugerencia que aquí te damos es que, al igual que cualquier estudiante de una lengua extranjera, debes dar pasos firmes al adquirir tus habilidades y conocimientos. Las matemáticas se van aprendiendo sobre lo previamente aprendido y como no se pueden construir edificios sin cimientos o sin andamios, hay que aprender bien lo básico. Hay que ir prestando mucha atención sobre los conceptos que nos cuestan trabajo; si algo no está claro, si algo no se entiende, a lo mejor falta algún tema por estudiar antes.

Para avanzar firme hay andamios y hay apoyos, este libro es uno de ellos,

úsalo.


UNIDAD OPERACIONES BÁSICAS 1

Los números son los objetos matemáticos más comunes y cotidianos, todo el mundo los usa de una u otra forma. Aquí nos enfocaremos a conocerlos más a fondo para tener los fundamentos de todo lo que aprenderemos más adelante.

Al estudiar profundamente esta unidad podrás:

• Resolver problemas aditivos y multiplicativos con números naturales, enteros y racionales, teniendo presente el papel que juegan los signos en estos dos últimos.

1. Números naturales El problema - Corriendo

Cada mañana voy al parque a correr. El lunes corrí 4 kilómetros y después me impuse la meta de correr diario 3 kilómetros más que el día anterior. Hoy es sábado y he cumplido mi meta.

a) ¿Cuántos kilómetros corrí hoy?

b) ¿Cuántos kilómetros he corrido en total esta semana?

c) Si la siguiente semana corro diariamente lo que corrí hoy ¿Cuántos kilómetros recorreré?

Este problema nos sirve como excusa para introducir los números naturales, que son números muy útiles para trabajar problemas de conteo. Repasaremos algunas operaciones básicas que podemos realizar con ellos.


El tema a tratar ¿Recuerdas el primer contacto que tuviste con los números? En nuestra infan-cia normalmente este primer contacto se da al contar los dedos de una mano, uno comienza este camino con solo cinco números. Al tener claro estos nom-bres, uno, dos, tres, cuatro y cinco, lo que sigue es poder contar hasta diez, ahora usando las dos manos. Poco a poco relacionamos estas nuevas pala-bras con las cosas que vemos, es decir, aprendemos a contar.

La cuenta va aumentando a lo largo de nuestra infancia al hablar de decenas, centenas, miles, millones y demás números grandes. Cuando se trata de con-tar objetos completos, los números que usamos son conocidos como Natura-les, que son todos los números del cero1 en adelante.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 …

Con ellos reconocemos las primeras operaciones que aprendemos: la suma o adición, la resta también llamada sustracción o diferencia, la multiplicación o producto y por último la división o cociente. Recuerda que al aplicar la suma y la multiplicación a estos números, el resultado vuelve a ser un número natural. Con la resta esto no siempre ocurre, por ejemplo 5 - 8 no es un número natural ya que cae en los números negativos. Tampoco sucede con la división, 1 entre 7 ó 5 entre 2 no dan como resultado números naturales. Los números enteros - que incluyen a los naturales y a los negativos - así como las fracciones, serán abordados más adelante.

Analizando el problema Regresemos al problema del principio. Para resolver las preguntas podemos anotar los kilómetros recorridos de cada día. Sí el lunes el corredor hizo 4 ki-lómetros, entonces el martes hizo los mismos 4 más otros 3, en total 7 kilóme-tros; el miércoles corrió 10 kilómetros (7 + 3), el jueves 13, el viernes 16 y por último, el sábado recorrió 19 kilómetros. Visto esto, puedes dar respuesta a la primera pregunta.

Para conocer cuántos kilómetros recorrió el corredor en total durante la sema-na simplemente sumamos las cantidades mencionadas:

4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 69

En total se recorrieron 69 kilómetros de entrenamiento entre el lunes y el sá-bado.

1 Algunos autores definen a los números Naturales sin tomar en cuenta al cero.


Por último, si el sábado la meta fue de 19 kilómetro, entonces la semana si-guiente se recorrerá en total 7 veces esta cantidad (una por día):

7 × 19 =133

Por lo tanto se recorrerán 133 kilómetros durante la siguiente semana.

2. Números Enteros El problema - Temperatura

La vida en el desierto puede ser dura. Un domingo de invierno me levanté a las 6 de la mañana, el termómetro marcaba 4 grados bajo cero. A las 10 a.m., con el sol todavía en ascenso, la temperatura subió a 15 grados, a las 12 con el sol ya en lo alto, la temperatura ascendió a 34 grados, a las 3 de la tarde bajó solo 5 grados y a las 5 p.m. había descendido otros 4 grados. Ya entrada la noche y oculto el sol, a las 8 en punto para ser exactos, había bajado la temperatura 20 grados. Antes de dormir, a las 11 había caído 10 grados más.

a) Entre las 6 de la mañana y las 11 de la noche ¿cuál fue la temperatu-ra máxima? ¿cuál la mínima?

b) ¿Qué temperatura había a las 11pm?

c) ¿Cuántos grados ascendió y cuántos grados descendió la temperatu-ra en total?

Acabamos de estudiar brevemente a los números naturales, este problema nos sirve para comenzar a tratar los números enteros. Antes de continuar le-yendo intenta resolver este problema como hicimos con el del corredor. ¿Hay algo en el resultado que te sorprenda? Sigue leyendo y todo quedará claro.

El tema Si tengo solo 3 manzanas ¿cómo puedo quitar 5? Los números naturales sir-ven para contar conjuntos de objetos, pero no siempre son adecuados, por ejemplo, cuando hay que contar grados de temperatura, altitud a nivel del mar u otros conceptos físicos donde puedo encontrarme con “valores bajo cero” y si es posible quitarle 5 a 3. Al restar dos números donde el segundo es mayor que el primero, por ejemplo 5 – 8, el resultado queda dentro de los números negativos. Puede ser que al decir “5 manzanas menos 8 manzanas igual a


menos 3 manzanas" quiera decir que uno queda debiendo 3. Observa que menos 3 se escribe así, - 3. Existen muchos otros casos donde se usan los números negativos.

A la unión de los negativos y los naturales le llamamos números enteros. Dentro de los números enteros, a los naturales se les llama positivos. La resta entre cantidades iguales nos da como resultado al cero que es justo la frontera entre los números positivos y los negativos.

Al sumar dos números con signos iguales el resultado lleva el mismo signo: + signo más, - signo menos

+4 + 7 = +11

−7 − 8 = −15

En caso de sumar números con distinto signo, se hace una resta de las canti-dades y tomamos el signo de la cantidad mayor para el resultado, tal como puedes ver a continuación.

−6 + 8 = +2

+3 − 7 = −4

−9 + 9 = 0

Una vez que la suma queda entendida, para la resta se puede seguir la si-guiente regla: el signo del número a restar cambia y en lugar de restarlo se suma, este punto quedará más claro cuando abordemos la multiplicación más adelante:

(−3) − (+5) = −3 + (−5) = −8

7 − (+7) = 7 + (−7) = 0

−4 − (−7) = −4 + 7 = 3


En los dos primeros casos hemos usado el hecho de que toda cantidad natural, como el 5, es un entero positivo, por lo que podemos escribir +5 en su lugar.

Ahora veamos las reglas de los signos que habitualmente se usan para multiplicar y dividir:

• La multiplicación o división de dos números con el mismo signo da un resultado positivo:

(+5)(+9) = +45

(−6)(−8) = 48

• La multiplicación o división de dos números con signos distintos da un resultado negativo:

(−7)(4) = −28

(3)(−11) = −33

Revisadas las reglas, pasemos al problema.

Analizando el problema A las 6 am la temperatura era de 4 °C bajo cero, esto podemos escribirlo como -4 °C. Si nos concentramos en los cambios de temperatura registrados pode-mos tomar los que suben o ascienden como positivos, mientras los que bajan o descienden como negativos. Por tanto, revisando el problema podemos ver que a las 10 de la mañana hubo un cambio de 19° ya que la temperatura subió de - 4° a 15°. Lo anterior lo podemos expresar con la operación 15°- (- 4°) = 19°.

Calcula el valor del cambio que ocurrió a las 12 del medio día imitan-do el argumento anterior.

Entre las 12 del mediodía y las 3 de la tarde hubo un descenso de 5°, por lo que la temperatura pasó de 34° a 29°.

Calcula la temperatura que había a las 5 p.m., 8 p.m. y 11 p.m.

Anota tus resultados en la siguiente tabla:


Hora Cambio con respecto a la temperatura anterior Temperatura

6:00 am No aplica -4°

10:00 am 19° 15°

12:00 am 34°

3:00 pm -5° 29°

5:00 pm -4°

8:00 pm -20°

11:00 pm -10° Los cambios de temperatura quedan así, (incluye el valor que calculaste):

19°, ___ °, -5°, -4°, -20° y -10°.

Si sumamos estas cantidades nos dará como resultado el cambio de tempera-tura que hubo durante todo el día.

¿Cuál fue? ______

Observa la tabla que completaste ¿cuál es la temperatura máxima?

______

¿Cuál es la mínima? ______

¿Cuál fue la temperatura final? ______

¿Entre qué horas se registró el cambio más grande de temperatura?

______

¿Y el más chico? ______

Para responder cuántos grados ascendió y cuántos bajó la temperatura, se suman por un lado todas las cantidades positivas referente a los cambios y por otro lado se suman todas las cantidades negativas.


¿Cuántos grados ascendió la temperatura en total durante el día?

______

¿Cuántos grados bajó en total durante todo el día? ______

3. Números racionales El problema - Mercado

Julia fue al mercado a comprar ingredientes para una receta: 2 2/5 kg de ji-tomate, 1 1/2 kg de cebolla, 2 kg de limones y 2/3 kg de chiles.

a) ¿Cuántos kilogramos en total cargó?

Ahora nos toca revisar los números que se utilizan para representar partes de un todo o cantidades más pequeñas que la unidad. Así mismo, repasaremos las operaciones de suma y resta que corresponden a estos números particula-res.

El tema Las divisiones que no dan como resultado números enteros, dieron origen al uso de las fracciones y a los números racionales. El término racional aquí mencionado hace referencia a las raciones y no a la razón del pensamiento. Se llaman números racionales por que se usan para representar raciones de un todo, o también para representar la razón entre dos números (ver Unidad 3 sobre razones y proporciones). Entendiendo así el término podemos ver que las fracciones simbolizan partes o porciones de números enteros, de conjuntos, de objetos materiales o abstractos. La forma más común de escribir estos nú-meros se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

27

Es importante comprender que 2/7 es un número y no la combinación de dos números y una división. El número 2/7, como todas las fracciones, tiene un lugar en la recta numérica y es una cantidad, por lo tanto es importante ver este número como una entidad concreta y no como un 2 y un 7 relacionados.

Hay varias formas de interpretar este número, por ejemplo que partimos un objeto o conjunto en 7 pedazos iguales y tomamos 2. También puede indicar-


nos que teníamos un conjunto de 2 objetos, dicho conjunto fue partido de al-guna forma en 7 pedazos del mismo tamaño y nos quedamos con uno de es-tos pedazos.

Para recordar las reglas para sumar y restar fracciones, veremos ejemplos de los distintos casos que nos podemos encontrar:

Caso 1 – Mismo denominador

27

+47

Éste es el caso más simple de suma de fracciones. Como ambas fracciones se refieren a la misma división de la unidad (el séptimo), sólo hay que sumar los numeradores como se muestra aquí:

27

+47

=67

Puede pensarse en dos rebanadas de un pastel dividido en siete pedazos junto con otras 4 rebanadas del mismo pastel, en total se tienen 6 rebanadas de un total de 7.

Caso 2 – Denominadores similares ¿Qué sucede si queremos obtener 3/14 + 5/7? En este caso cada fracción hace referencia a una división distinta de la unidad, una a catorceavos y otra a séptimos. Una forma de resolver este problema es encontrando un denomina-dor común, de tal forma que nos permita generar fracciones equivalentes para sumar como en el primer ejemplo. Veamos a que nos referimos:

La manera más rápida de hacer esto es multiplicar cada elemento de la frac-ción por el denominador de la otra:

314

+57

=3 × 7

14 × 7+

5 × 147 × 14

=2198

+7098

Esto nos produce como resultado dos fracciones equivalentes que podemos sumar como en el caso simple:

2198

+7098

=9198


Caso 3 – En general Podemos ver que si las fracciones tienen denominadores grandes, entonces el denominador común calculado de esta forma va a ser todavía más grande. Este hecho puede hacernos complicadas las cuentas. Por lo anterior, se sugie-re encontrar el denominador más pequeño posible mediante el método para obtener el máximo común divisor, a pesar de utilizar más pasos en este ca-mino, los números que quedan al final facilitan las operaciones siguientes (si no recuerdas el método para calcular el máximo común divisor no te preocu-pes, se revisará a fondo en la Unidad 2, te recomendamos seguir leyendo y, cuando termines la Unidad 2, regresa a esta sección para entenderla mejor):

14 77 71 1

�27

El máximo común divisor en este ejemplo es 7. Dividimos cada denominador entre este resultado, 14 entre 7 es 2 y 14 entre 14 es 1. Estos valores son los factores mediante los cuales vamos a obtener las fracciones equivalentes. La operación nos queda de la siguiente forma:

314

+57

=3 × 1

14 × 1+

5 × 27 × 2

=3

14+

1014

Ahora que tenemos el mismo denominador sumamos:

314

+1014

=1314

Como puedes ver, el resultado queda mucho más pequeño y fácil de manipu-lar.

En ocasiones podemos ver números racionales que están expresados con un número entero y con una fracción, por ejemplo hay refrescos que tienen 1 ½ litros o tuercas que miden 3 ¼ de pulgada. A esta forma de representar núme-ros racionales le llamamos fracción mixta. Una forma cómoda de manipular estos números, es escribiendo el entero en forma fraccionaria con el mismo denominador que el de la fracción para sumarlos, tal como se ve en este ejemplo:

234

= 2 +34

=84

+34

=114


A esta nueva fracción se le llama fracción impropia por tener el numerador más grande que el denominador.

Para sumar fracciones mixtas tenemos dos caminos, uno es convertir la frac-ción mixta a fracción impropia como en el ejemplo anterior y hacer la suma como sabemos. Otra es sumar la parte fraccionaria separada de la parte ente-ra y ajustar de ser necesario, como en el ejemplo siguiente:

234

+ 334

= 2 + 4 +34

+34

= 6 +64

Simplificando nos queda 6 + 3/2, pero 3/2 es igual a 1 1/2, por lo tanto:

6 + 64

= 6 +32

= 6 + 1 +12

= 712

La resta de fracciones se realiza de la misma manera que la suma, para verlo usaremos el ejemplo anterior pero con una resta convirtiendo las fracciones mixtas a impropias:

234− 3

34

=114−

154

= −44

= −1

Analizando el problema Regresando al problema, lo que tenemos que hacer es sumar el peso de cada uno de los productos:

225

+ 112

+ 2 +23

Para ello usaremos el camino de convertir las fracciones mixtas a fracciones impropias y los números enteros a fracción unitaria:

225

+ 112

+ 2 +23

= �105

+25� + �

22

+12� + 2 +

23

=125

+32

+21

+23

Como los denominadores son 2, 3 y 5, el mínimo común múltiplo es 30, por lo que:

125

+32

+21

+23

=12 × 65 × 6

+3 × 152 × 15

+2 × 301 × 30

+2 × 103 × 10


=7230

+4530

+6030

+2030

=19730

Así, Doña Julia lleva un peso de 197/30 kilogramos, que es 6 17/30 kilogramos.

El problema - Viajando

Un autobús de pasajeros salió de la ciudad de Mérida con 25 pasajeros en di-rección a la ciudad de Cancún. En la primera parada subieron 5 personas y descienden 2/5 de los que subieron en la terminal. En la segunda parada, bajó la cuarta parte y subieron el equivalente a las 3/5 partes de los que había an-tes de bajar. En la tercera y última parada, descendieron 2/3 de los pasajeros y entraron 8/9 de los que quedaban arriba.

a) ¿Con cuántos pasajeros llegó el camión a la terminal de la ciudad de Cancún?

No todo es sumar y restar, en este problema veremos la multiplicación de frac-ciones con enteros.

Analizando el problema Tenemos que en la primera parada subieron 5, entonces 25 + 5 = 30; como descendieron 2/5, entonces 2/5 de 25 son 10, por lo tanto se bajaron 10 y el camión siguió su marcha con 20 pasajeros.

En la segunda parada se bajaron 1/4 de los pasajeros, si eran 20 se bajaron 5; a su vez, subieron 3/5 de los 20 que había antes de que se bajaran, es decir que suben 12. Así, el camión parte de la segunda parada con 27 pasajeros.

En la tercera parada se bajan 2/3 de los 27 pasajeros, es decir 18; en esa pa-rada se suben 8/9 de los que se quedaron en el camión, es decir, 8/9 de 9, que no es otra cosa que 8.

Entonces, los pasajeros que llegaron a Cancún son los 9 que quedaron y 8 que subieron al último, en total 17 pasajeros.

El problema - Pastel

En una receta de pastel para 10 personas se necesitan, entre otros ingredien-tes, litro y medio de leche, dos kilogramos y cuarto de harina, y 2 tazas y un tercio de azúcar.


a) Si solo se quiere hacer un pastel para 3 personas ¿qué cantidad se necesita de cada ingrediente?

El tema Si tuviéramos que hacer un pastel para 20 personas (el doble de lo indicado en la receta), multiplicaríamos todas las cantidades por 2, y si quisiéramos hacer uno para 5 personas (la mitad) dividiríamos las cantidades entre 2. Como pue-des corroborar con lo aprendido en el problema anterior, es lo mismo dividir entre 2 que multiplicar por ½, es decir que volvemos a multiplicar. En este caso hay que hacer un pastel para 3 décimas partes del total de la receta (3 déci-mos de 10 personas son 3 personas), por lo tanto tenemos que multiplicar por 3/10 cada cantidad.

Para realizar esta multiplicación de fracciones tenemos que observar el nume-rador y el denominador de cada fracción y multiplicarlos como en el siguiente ejemplo:

12

×3

11=

1 × 32 × 11

=3

22

Si alguna de las fracciones es mixta, primero debemos hacerla fracción común para realizar las operaciones correctamente.

Analizando el problema Regresando al problema tenemos las siguientes operaciones:

𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒: 112

×3

10=

32

×3

10=

920

ℎ𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎: 214

×3

10=

94

×3

10=

2740

𝑎𝑧𝑢𝑐𝑎𝑟: 213

×3

10=

73

×3

10=

2130

=7

10

Por lo tanto se necesitan 9/20 litros de leche, 27/40 kilogramos de harina y 7/10 tazas de azúcar.


4. Síntesis en mapa

*Los textos en gris corresponden a temas sugeridos para ampliar lo aprendido en esta lección, consulta la bibliografía al final del libro para profundizar tus conocimientos.


UNIDAD DIVISIBILIDAD 2

En la lección pasada estudiaste, entre otras cosas, a los números enteros y como hay divisiones entre ellos que dan como resultado fracciones no enteras. En esta unidad analizarás cuándo la división de dos números enteros sí nos da un entero. Esto servirá de pretexto para aprender como los números enteros se puede partir en factores primos. Esta herramienta mejorará tu capacidad de análisis y tu comprensión de las estructuras numéricas.

Por último revisaremos problemas de optimización mediante el cálculo de mí-nimos comunes múltiplos y máximos comunes divisores.

En fin, al estudiar profundamente esta unidad podrás:

• Resolver problemas de divisibilidad y factorización en números primos. • Resolver problemas que impliquen calcular el mínimo común múltiplo y

el máximo común divisor.

1. Criterios de divisibilidad El problema - Reparto

María tiene un rebaño de 2760 ovejas. Para organizar mejor su granja desea repartirlas en varios corrales de tal forma que haya el mismo número de ove-jas en cada uno.

a) ¿Podrá hacerlo con dos corrales?

b) ¿Y con 3 corrales?

c) ¿Y con 5, 7, 9 o 10 corrales?

Los problemas de reparto exacto son comunes en la vida cotidiana.


Para ellos es bueno saber cuáles números se pueden dividir entre cuáles otros sin dejar residuos. En esta sección revisaremos brevemente este extenso te-ma revisando los criterios de divisibilidad de algunos números.

El tema Para resolver este problema puedes realizar la división del número de ovejas entre cada una de las cantidades mencionadas y ver si la división es exacta. A continuación verás que este camino es bastante impráctico y te mostraremos uno con el que podrás ahorrarte tiempo. Dividir el número entre 2 y ver si el resultado es entero es más laborioso que ver si el número de ovejas es par o no; si resulta ser par entonces el rebaño se puede dividir en 2 corrales sin ma-yor problema.

Así como la observación anterior existen varios criterios o métodos que nos permiten identificar, de forma ágil y simple, cuáles números se pueden dividir entre cuáles otros de forma entera. A estos criterios les llamamos criterios de divisibilidad. A continuación veremos los criterios para los números del 2 al 11:

Divisibilidad entre 2 Como ya vimos, consiste en verificar si el número es par. Si lo es, entonces el número es divisible entre 2. Para ver si un número es par solo hay que confir-mar que la cifra de las unidades sea par, es decir, sea 0, 2, 4, 6 u 8.

Ejemplos:

536: Al ser la última cifra un 6, es decir un número par, se cumple el criterio, por lo tanto 536 es divisible entre 2.

791: Como termina en 1, que no es par, 791 no se puede dividir entre 2.

Comprueba estos datos haciendo las divisiones y viendo si los resul-tados son enteros o no.

Divisibilidad entre 3 Para saber si un número es divisible entre 3 sumamos las cifras que compo-nen la cantidad. Si el resultado de la suma es un número muy grande volve-mos a hacer lo mismo con el resultado. Si el valor de la suma es un número múltiplo de 3, entonces el número es divisible entre 3.

Ejemplos:

474: La suma de sus dígitos es 4 + 7 + 4 = 15 que es múltiplo de 3 ya que es 3x5, por lo tanto 474 es divisible entre 3.

999888777: La suma de sus dígitos es 9 + 9 + 9 + 8 + 8 + 8 + 7 + 7 + 7 = 72, 72 es todavía un número un poco grande así que repetimos el procedimiento,


7 + 2 = 9. El número 9 es múltiplo de 3, por lo tanto, según el criterio, 999888777 es divisible entre 3.

4328: La suma de sus dígitos es 4+3+2+8 = 17, que no es múltiplo de 3, por lo tanto 4328 no es divisible entre 3.


Divisibilidad entre 4 Para verificar si un número es divisible entre 4 solo tienes que ver si las últi-mas 2 cifras son múltiplo de 4 o son ceros.

Ejemplos:

324: Las últimas 2 cifras son 24, que es 4 x 6, por lo tanto 324 es divisible entre 4.

600: Sus últimas 2 cifras con ceros, por lo tanto 600 es divisible entre 4:

514: El número 14 no es múltiplo de 4, por lo tanto 514 no es divisible entre 4.


Divisibilidad entre 5 Un número se puede dividir entre 5 si su última cifra es cero o cinco.

Ejemplos:

645: Este número termina en cinco, por lo tanto es divisible entre 5.

470: Este otro número termina en cero, por lo tanto es divisible entre 5.

346: Por último, este número no termina ni en cero ni en cinco, por lo tanto no es divisible entre 5.


Divisibilidad entre 6 Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3, es decir si el número termina en cifra par y la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.

Ejemplos:

582: Termina en cifra par y 5+8+2 = 15, que es múltiplo de 3. Así 582 es divi-sible entre 6.


853: El número 3 no es cifra par, por lo tanto 853 no es divisible entre 6.

862: Termina en cifra par, pero 8 + 6 + 2 = 16 que no es múltiplo de 3, por lo tanto 862 no es divisible entre 6.


Divisibilidad entre 7 A este criterio tienes que prestarle particular atención. Multiplica por 2 la última cifra del número y réstaselo a lo que quedó del número. Puedes repetir el pro-ceso si la resta es muy grande. Si el resultado es un múltiplo del 7 o cero en-tonces el número es divisible entre 7.

Ejemplos:

539: El número 9 por 2 nos da 18, y 53 – 18 es 35. Como 35 es 7 x 5 entonces 539 es divisible entre 7.

12579: Ahora el número 9 por 2 da 18, 1257 – 18 = 1339, que todavía es un número grande. Repetimos el procedimiento con 1339, otra vez 9 por 2 es 18, y 133 – 18 = es 115. Repetimos una última vez con 115, 5 por 2 es 10, y 11 – 10 = 1. Por lo tanto, el número original 12579, no es divisible entre 7.

126: El doble de 6 es 12, y 12 - 12 = 0, que es múltiplo de 7, por lo tanto 136 es divisible entre 7.

Comprueba estos datos haciendo las divisiones y viendo si los resul-tados son entero o no.

Divisibilidad entre 8 Para este criterio, verificamos que las últimas tres cifras del número sean ce-ros o múltiplos de 8.

Ejemplos:

4032: El número termina en 032, y como 32 es 8x4 tenemos que 4032 es divisible entre 8.

21000: Aquí puedes ver que el número termina con tres ceros, por lo tanto es divisible entre 8.


Divisibilidad entre 9 Este criterio es muy similar al del número 3, un número se puede dividir entre 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.


Ejemplos:

594: Observa que 5 + 9 + 4 = 18, por lo tanto 594 es divisible entre 9.

2987: Ahora mira que 2 + 9 + 8 + 7 = 26, pero 26 no es múltiplo de 9, por lo tanto 2987 no es divisible entre 9.

Comprueba estos datos haciendo las divisiones y viendo si los resul-tados son entero o no.

Divisibilidad entre 10 Un número se puede dividir entre 10 si su última cifra es cero.

Ejemplos:

980: Es divisible entre 10 pues termina en cero.

981: No es divisible entre 10 pues no termina en cero.


Divisibilidad entre 11 A este criterio, al igual que al del número 7, hay que prestarle atención. Para verificar si un número es divisible entre 11 sumamos las cifras de los lugares impares, hacemos lo mismo con las cifras de los lugares pares, luego resta-mos ambas sumas y, si el resultado es un múltiplo de 11 o cero, el número es divisible entre 11.

Ejemplos:

2409: Las cifras en lugar impar nos dan 4 +9 = 13; las cifras en lugar par nos dan 2 + 0 = 2; por último la resta de estas cantidades es 13 – 2 = 11. Por lo tanto 2409 es divisible entre 11.

5148: Por un lado, 5 + 4= 9, por el otro, 1 + 8 = 9, de aquí restamos 9 – 9 = 0. Por lo tanto 5148 es divisible entre 11.

1234: Realizamos las operaciones 1 + 3 = 4 y 2 + 4 = 6. Restamos 6 – 4 = 2, como 2 no es un múltiplo buscado, 1234 no es divisible entre 11.


Divisibilidad entre números más grandes Existen métodos para analizar la divisibilidad para otras cantidades mayores a 11, lamentablemente los mecanismos se van complicando tanto que a veces hacer la división directamente es más fácil.


A veces puedes hacer pruebas simples, por ejemplo si quieres ver si un núme-ro A es divisible entre 18, como 18 es múltiplo de 3, entonces el número A debe ser divisible entre 3; del mismo modo como 18 es múltiplo de 2, entonces también el número A debe satisfacer el criterio del 2. Si falla uno de estos mé-todos podemos concluir que el A no es divisible entre 18; pero, si cumple am-bos no podemos garantizar que sí lo sea, en este caso tendríamos que hacer la división.

Analizando el problema Aplicamos los criterios de divisibilidad que acabas de aprender para resolverlo:

• 2760 termina en cero, por lo que se pueden construir 2 corrales para resolver el problema,

• 2 + 7 + 6 + 0 = 15 = 5 x 3, por lo tanto también se pueden construir 3 corrales,

• 60 se puede dividir entre 4, por esto 4 corrales es igualmente buena solución,

• 2760 termina en 0, y entonces 5 es también un buen número,

• 2760 cumple los criterios del 2 y del 3, por lo que también se resuelve el problema con 6 corrales,

• 276 – (2x0) = 276, luego, 27 – (2x6) = 15, por lo que en 7 corrales no acomodaremos los borregos como se pide,

• 760 / 8 = 95 por lo que se pueden construir 8 corrales,

• 2 + 7 + 6 + 0 = 15 por lo que no se satisfacen las necesidades con 9 corrales,

• 2760 termina en cero, por lo que 10 corrales es buena solución; y por último,

• 2 + 6 = 8, luego 7 + 0 = 7, por último 8 – 7 = 1, por lo que 11 corrales no resuelve lo pedido.

Con todo lo anterior vemos que 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 10 son soluciones al problema, mientras que 7, 9 y 11 no lo son.


2. Números primos y números compuestos El problema

En un almacén hay 60 cajas con naranjas.

a) ¿En cuántos montones del mismo tamaño podemos agrupar las ca-jas?

b) ¿Cómo podemos estar seguros de que tenemos todas las soluciones posibles?

Ahora analizaremos dos conceptos fundamentales, el de número primo y el de número compuesto. Estos conceptos nos sirven para tener una mejor com-prensión sobre los números, dándonos la posibilidad de realizar operaciones más ágilmente y de tener más procesos y métodos a nuestro alcance. Igual que con el tema anterior, abordaremos simplemente una breve introducción a este vasto campo de estudio.

El tema Como vimos en la sección anterior los criterios de divisibilidad nos ayudan a saber cuántos montones del mismo tamaño se pueden formar. Si necesitamos hacer grupos usando las 60 cajas hay que analizar que números dividen a 60. Observemos primero que 60 es un número par, por lo tanto es divisible entre 2, puedes comprobar esto haciendo la división 60/2 =30. Manipulando esta ope-ración podemos llegar a que 60/30 = 2, por lo tanto 30 también es divisor de 60. La diferencia entre estos dos divisores es que 2 no es divisible más que entre 1 y entre él mismo, por el contrario 30 tiene muchos divisores.

Aplicando el criterio de divisibilidad del 3 (sumando los dígitos) podemos ver que 60 lo cumple. Esto lo podemos corroborar realizando la operación 60/3 = 20. Igual que antes, manipulando esta operación, obtenemos que 60/20 = 3; por lo tanto 20 también es divisor.

Claramente 6 y 10 son a su vez divisores de 60.

¿El 4 y el 5 lo son también? Realiza las operaciones necesarias para saberlo y, manipulando las operaciones para corroborarlo, obtén 2 divisores más.

Comprueba que no se cumplen los criterios del 7, del 8 y del 9.


Si realizaste bien las cuentas podemos concluir que las cajas se pueden agru-par en montones de 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 o 30.

Ahora observemos que algunas agrupaciones permiten formar grupos más chicos dentro de cada montón, por ejemplo si hago 3 montones de 20, cada uno de ellos lo puedo partir en 4 grupos de 5 cajas.

De todos los divisores obtenidos ¿cuáles permiten hacer agrupamien-tos más chicos en cada montón? (no se vale tener agrupamientos de una sola caja)

Cada número natural se puede clasificar en 2 categorías distintas: los números que tienen sólo dos divisores –ellos mismos y el uno– y los que tienen por lo menos un divisor más aparte de esos dos. Al primer grupo se le conoce como números primos y al segundo se le llama números compuestos. Para simplificar la notación y los enunciados, al 1 y al 0 no se les considera primos ni compuestos.

Tener la lista de todos los números primos, o conocer un método simple para generarlos, ha sido una obsesión de la comunidad matemática durante siglos. Varios matemáticos importantes dedicaron gran parte o toda su vida al estudio de estos números que siguen protagonizando un papel central en la teoría moderna.

A continuación veremos un método para obtener los primeros números primos llamado Criba de Eratóstenes. Para realizarlo primero debemos tener una tabla con números naturales, aquí te presentamos una que va del 1al 50:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 18 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Como dijimos antes, el número 1 no se considera primo, por lo que lo marca-mos desde el principio. El número 2 lo dejamos, ya que cumple con ser primo (sus únicos divisores son el 1 y él mismo). Luego marcamos todos sus múlti-plos, como todos son múltiplos del 2 son números compuestos.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 El siguiente número en la lista es el 3, que también es primo, lo dejamos y marcamos a todos sus múltiplos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 De esta forma vamos marcando todos los números compuestos, el 4 ya fue marcado, así que seguimos con el 5 y hacemos lo mismo, el 6 también fue marcado por lo que seguimos con el 7 que también es primo, continuamos así hasta el final:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Así podemos ver que los números primos menores que 50 son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

Realiza una criba de Eratóstenes con los números del 1 al 100 para fortalecer el conocimiento aprendido antes de continuar.

Los números primos nos permiten descomponer cualquier número en la mayor cantidad de factores posible (se le llama factor a cualquier número que está


multiplicado por otro, también se les llama “multiplicandos” pero factor es una manera más elegante de nombrarlos). Por ejemplo, el número 4 se descom-pone en 2x2, el 15 en 3x5, el 20 en 2x2x5 y el 100 en 2x2x5x5. Expresar un número en factores nos da información sobre todos los divisores que puede tener. Cada uno de los divisores se puede construir multiplicando algunos fac-tores primos del número en cuestión. Por ejemplo, el número 100 es 2x2x5x5, uno de sus divisores es el 25, ya que 100/25 = 4. Puede escribirse al 25 como 5x5, los cuales son factores de 100.

Veamos ahora un método para descomponer un número, por ejemplo el 60, en factores primos:

1. Primero vemos si el número es divisible entre 2. Si no lo es probamos con el siguiente primo hasta que encontramos uno que si lo divida. En este caso particular 60 si es divisible entre 2, hacemos la división y la escribimos de la siguiente forma:

6030�

2

2. Luego tomamos el resultado de la división, en este caso el 30, y repe-timos el procedimiento:

603015�

22

3. Ahora el resultado obtenido fue el número 15 que no es par. Probamos con el 3 que es el siguiente primo y como 15 si es divisible entre 3 rea-lizamos la división y la anotamos igual que antes:

6030155

�223

4. El número 5 es primo, por lo que solo nos queda dividirlo entre el mis-mo:

60301551

��

2235


De este modo obtenemos los factores del número 60 en la columna del lado derecho:

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Realiza la descomposición en primos de los siguientes números para reforzar tu conocimiento:

100, 210, 420, 135, 220 y 1540

Analizando el problema Regresando al problema, para saber en cuántos montones iguales podemos agrupar las 60 cajas, solo tenemos que descomponer al número 60 en sus factores primos:

60301551

��

2235

Como cada divisor se puede construir como producto de estos divisores solo tenemos que hacer todas las combinaciones posibles:

2 , 3 , 5 ; 2 × 2 , 2 × 3 , 2 × 5 , 3 × 5 , 2 × 2 × 3 ; 2 × 2 × 5 , 2 × 3 × 5 𝑦 2 × 2 × 3 × 5

Realizando las operaciones tenemos los siguientes divisores:

2, 3, 4, 6, 10, 12, 15, 20, 30 𝑦 60

Como tomamos todas las combinaciones posibles entonces tenemos todos los divisores.

3. Máximo Común Divisor (M.C.D.) El problema – Cargamentos máximos.

Una empresa chocolatera cuenta con 3 bodegas. En la bodega 1 hay 3400 ca-jas de chocolate, en la bodega 2 hay 2600 cajas y en la bodega 3 hay 3200. Se quieren transportar las cajas en un cierto número de cargamentos idénticos. Estos serán hechos dentro de cada bodega de tal forma que cada uno tenga el mayor número posible de cajas.


a) ¿Cuántos cargamentos se harán?

b) ¿Cuántas cajas llevará cada cargamento?

El concepto central que abordaremos mediante este problema es el de Máxi-mo Común Divisor. Optimizar procesos buscando la solución máxima o el trabajar con números que nos faciliten las cuentas es la principal razón de estudiar esta herramienta matemática.

El tema Para resolver este problema necesitamos, como primer paso, conocer en cuantos cargamentos se puede dividir el número de cajas de cada bodega. Como cada cargamento debe ser idéntico en tamaño a los otros, hay que con-siderar únicamente los divisores que se repiten entre las 3 bodegas. Por último, como necesitamos cargamentos del tamaño más grande posible, tenemos que escoger entre los divisores que se repiten, al más grande de todos.

Haciendo un repaso de lo anterior necesitamos obtener todos los divisores comunes de las cantidades en cuestión y luego tomar el máximo de ellos. A este número se le llama Máximo Común Divisor.

Para entender mejor este concepto veamos el siguiente ejemplo con los núme-ros 60, 90 y 100:

1. Los divisores de cada número son los siguientes: de 60 son 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, de 90 son 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 y 90, y de 100 son 2, 4, 5,10, 20, 25, 50 y 100.

2. Los divisores comunes a los 3 son:2, 5 y 10. 3. De todos, el divisor más grande es el 10. 4. Concluimos que el máximo común divisor es 10 lo cual escribimos de

la siguiente forma:

MCD (60, 90, 100) = 10

Este método es bastante laborioso, como puedes ver hay que calcular los divi-sores de cada número y eso puede llevarnos mucho tiempo. A continuación te enseñamos el método correcto, más simple y fácil de usar, el cual resulta simi-lar a descomponer en primos los tres números al mismo tiempo:

1. Lo primero es poner en una misma fila los elementos de la lista junto con una línea vertical del lado derecho:


60 90 100|

2. Tomamos el primo más chico que divida a alguno de los números en cuestión. Lo anotamos y realizamos la división con los números que lo permitan, en este caso el primo más chico es el 2 y, como permiten la división con los 3 números, lo marcamos con una flecha:

6030

9045

10050 �2 ←

3. Con los nuevos números (en este caso el 30, 45 y 50) volvemos a to-mar el primo más chico que divida a alguno de ellos. Lo anotamos y realizamos la división con los números que lo permitan. En este caso el primo más chico es de nuevo el número 2, pero solo el 30 y el 60 admiten la división, al 45 (que no es par) lo dejamos igual:

60 90 10030 45 5015 45 25

�2 ←2

4. Repetimos el paso anterior, como el 2 ya no divide a ninguno, proba-mos con el siguiente primo, el 3. Realizamos la división con el 15 y el 45 del siguiente modo:

60 90 10030 45 5015 45 25 5 15 25

�2 ←2 3

5. Continuamos así hasta agotar las divisiones. No hay que olvidar el marcar con flechas los divisores comunes a los 3 números:

60 90 10030 45 5015 45 25 5511

15511

252551

�

�

2 ←2 3 5 5 ←5

6. Como los números marcados son todos los divisores comunes, al mul-tiplicarlos entre sí nos dan el máximo común divisor. En este caso 2 x 5 = 10 es el resultado que buscamos.


Analizando el problema En el problema a tratar se presentan los números 3400, 2600 y 3200 con los cuales hay que calcularles el MCD. El método se desarrolla del siguiente modo que hemos visto hasta ahora:

3400 2600 3200 1700 1300 1600

850 650 800 4254254254254258517171

325 325 325 325 325

651311

40020010050255111

�

�

�

2 ←2 ←2 ←2 2 2 2 5 ←5 ←13 17

Por lo tanto 2x2x2x5x5 = 200 es el número máximo entre el cuál se pueden dividir el número de cajas de cada bodega. Esto quiere decir que cada carga-mento tendrá 200 cajas.

Ahora, en total se tienen 3400 + 2600 + 3200 = 9200 cajas, por lo que hay 9200 / 200 = 46 cargamentos en total.

Realiza el mismo problema pero con bodegas de 3300, 4400 y 2200 cajas de chocolate.

4. Mínimo Común Múltiplo (m. c. m.) El problema - ¿Cuánto falta?

En la carretera que va de Huatulco a Cancún, cada 3 kilómetros se encuentra una caseta de teléfonos, cada 8 una gasolinera, cada 15 un restaurante y ca-da 30 un hotel. Vamos en el kilómetro 12 y se encuentran los cuatro servicios, pero el restaurante está cerrado y el hotel en mantenimiento.

a) ¿Cuál es el kilómetro más cercano donde se encontrarán todos los servicios juntos de nuevo?

Al igual que el Máximo Común Divisor, el mínimo común múltiplo nos sirve para obtener soluciones óptimas para un problema dado y para trabajar con


números que nos faciliten las cuentas. En este problema en particular se trata-rá de optimizar la solución a la mejor posible.

El tema y el análisis Cada 3 kilómetros hay un teléfono, por lo tanto los kilómetros que nos intere-san parcialmente son los múltiplos de 3. También los múltiplos de 8 por las gasolineras, y los múltiplos de 15 y 30 por los restaurantes y los hoteles. Una forma de encontrar un kilómetro múltiplo de los 4 números es multiplicándolos entre sí:

3 × 8 × 15 × 30 = 10,800

Lamentablemente este kilómetro puede estar demasiado lejos o puede sim-plemente no existir (la carretera tiene un final), también nos importa encontrar el múltiplo más chico.

Como el número buscado es el más pequeño de todos los múltiplos comunes le llamamos Mínimo Común Múltiplo. Si hacemos una pequeña lista con los múltiplos de cada número obtenemos lo siguiente:

Para llegar a un teléfono faltan (kilómetros):

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54…

Para encontrar una gasolinera faltan (kilómetros):

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128…

Para encontrar un restaurante faltan (kilómetros):

15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135…

Para encontrar un hotel faltan (kilómetros):

30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240…

Como puedes ver estas listas son infinitas, aquí solo calculamos algunos múl-tiplos. Lo que nos interesa encontrar es el primer número que se repita en las 4 listas; como puedes ver, entre los múltiplos anotados no aparece ningún múltiplo común.

Por esto mismo usaremos a continuación un procedimiento para calcular el primer múltiplo común de forma simple:


1. Sigue el mismo procedimiento que usaste para calcular el Máximo Común Divisor, no es necesario que te detengas a marcar los diviso-res comunes:

3 8 153 4 153311

2111

151551

3015151551

��

22235

2. Los divisores que acabamos de encontrar incluyen las descomposicio-nes en primos de cada número, pero sin repetir los divisores que son comunes. Es por esto que al multiplicar todos los factores primos ob-tenemos el número más chico que es común múltiplo de todos:

2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Por lo anterior podemos concluir que en 120 kilómetros encontraremos los 4 servicios juntos. Como estamos en el kilómetro 12 encontraremos todos los servicios nuevamente en el kilómetro 132.

Repite el ejercicio con los valores 4, 12, 20 y 30.


UNIDAD RAZONES Y PROPORCIONES 3

La presente lección contiene uno de los temas de mayor relevancia en el co-nocimiento humano. El concepto de razón y proporción nos ha permitido reali-zar comparaciones desde los inicios de las primeras civilizaciones. Saber iden-tificar correctamente qué relaciones de proporcionalidad existen entre diferen-tes conjuntos de datos nos permite determinar el tipo de herramienta matemá-tica que sea más apropiada para atacar el problema planteado.


• Resolver problemas de comparación de razones, con base en la noción de equivalencia.

• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos, entre ellos la regla de tres y la regla de tres inversa.

1. Proporción directa El problema – Redacción

Una secretaria, en su trabajo, se dio cuenta que en un oficio de 175 líneas tardó 5 minutos. Más tarde se le encargó redactar otros oficios que en total contenían 735 líneas. Cuando se le preguntó en cuanto tiempo los tendría lis-tos dijo que en media hora.

a) Si mantuvo el mismo ritmo ¿cuánto tiempo le llevó terminar estos nuevos escritos? ¿fue realista su pronóstico de tiempo?

Este problema nos muestra cómo dos datos, el tiempo y el número de líneas a escribir, se relacionan entre sí. Por ejemplo, si aumentamos el número de lí-neas de un documento, la secretaria tardará más tiempo en realizarlo; y vice-versa, si disminuimos el número de líneas la secretaria terminará en menos tiempo, puedes ver fácilmente esta relación.


Para resolver este y otros problemas similares de forma simple es importante conocer que significan los conceptos de razón, de proporción, de propor-ción directa, y el método de regla de tres.

El tema Si la secretaria mantiene su velocidad de escritura constante, es decir, si es-cribe siempre las líneas al mismo ritmo, entonces los datos relacionados se modificarán de la misma forma. Por ejemplo, si un dato aumenta al doble, el otro también lo hace, si acortamos uno a la mitad, el otro también se acorta a la mitad. En la literatura matemática se dice que dos datos están en una rela-ción directamente proporcional cuando sucede esto. Con dos datos re-lacionados así, no solo podemos decir que uno aumenta cuando el otro lo ha-ce, podemos decir exactamente cuánto aumenta cada uno si conocemos el cambio del otro. Por ejemplo, una secretaria sabe que al aumentar el número de líneas de un documento al doble, es necesario el doble de tiempo para escribir. Es importante notar que esta relación no sucede siempre, si un corre-dor tarda 20 segundos en correr 100 metros a su máxima velocidad, difícilmen-te recorrerá 1000 metros en 200 segundos, en esa distancia el cansancio ge-nerado haría difícil mantener la velocidad constante a tope.

Una razón es una cantidad que indica cómo es la relación entre dos datos, por ejemplo en las frases “por cada 5 pasos que da Marcos, Simón da 7” y “por cada 2 litros de agua que consume Carmen, Cristina toma 3” se pueden distin-guir las razones “5 a 7” y “2 a 3“. En el ejemplo del problema inicial por cada 5 minutos, la secretaria puede escribir 175 líneas. Usar números grandes en una razón puede resultar un tanto incómodo, por eso las simplificamos cuando nos es posible.

¿Cuántas líneas escribe la secretaria por minuto? Haz los cálculos necesarios.

Estamos rodeados de proporciones y razones en nuestra cultura. Por ejemplo los televisores antiguos tienen sus lados en razón 4 a 3 y los modernos en razón 16 a 9 (frecuentemente se escribe 4:3 y 16:9). La escala en los mapas también es una razón entre la realidad y el dibujo. También comparamos co-múnmente cantidades como en las siguientes expresiones:

• hoy voy dos veces más rápido que ayer, • los simpatizantes del candidato han aumentado su número al triple, • el número de garzas es un décimo en comparación con las que había

hace 4 años.


Podemos expresar estas relaciones mediante una división de la siguiente for-ma:

• al dividir la velocidad del día de hoy entre la de ayer, nos da el número 2,

• si dividimos la cantidad actual de simpatizantes entre la anterior nos da como resultado 3,

• dividiendo la población actual de garzas entre la población que había hacer 4 años obtenemos como resultado 0.1 ó 1/10.

La división nos permite entender cómo es el cambio de una cantidad a otra.

Una de las razones más importantes que se ha inventado en la historia de la humanidad es la velocidad, éste concepto representa la medida de una activi-dad respecto al tiempo necesario para hacerla (por ejemplo escribir líneas de texto, tocar notas en una guitarra o recorrer distancias en un tiempo determi-nado).

Decimos que 2 razones son proporcionales, o que están en proporción, cuando representan la misma división. Por ejemplo: leer 100 palabras cada 30 segundos es proporcional a leer 200 palabras cada minuto, o a leer 50 pala-bras cada 15 segundos. Esto se debe a que:

10030

=20060

=5015

¿Leer 150 palabras cada 5 minutos es proporcional a leer 100 pala-bras cada 3 minutos?

¿Y leer 300 palabras por minuto es lo mismo que leer 100 palabras cada 20 segundos?

Como mencionamos anteriormente, los datos que se relacionan siempre man-teniendo la misma razón están en proporción directa o son directamente pro-porcionales. Algunos ejemplos son:

• La cantidad de litros de gasolina adquirida con respecto a la cantidad a pagar.

• La cantidad de trabajo a realizar con respecto al tiempo necesario para hacerlo (siempre que se mantenga una velocidad constante).


• La altura de un objeto con respecto a la longitud de su sombra bajo los rayos del sol a una determinada hora del día.

• Las longitudes de los lados de un objeto o figura geométrica con res-pecto a su escala.

Un ejemplo a destacar es la conversión de medidas, como la cantidad de litros de un líquido en comparación con la cantidad de galones. En general las con-versiones que indican unidades de longitud, área y volumen mantiene la rela-ción directamente proporcional, muchas otras unidades también mantienen la proporción, pero hay que tener cuidado ya que no todas lo hacen; por ejemplo, las conversiones de temperatura no son proporcionales:

0 grados centígrados equivale a 32 grados Fahrenheit

¿Por qué puedes concluir de este hecho que la relación no es direc-tamente proporcional?

Ahora veamos cómo nos ayuda esto a calcular datos faltantes, si un árbol tie-ne una sombra de 5 metros y Paola, que mide metro y medio, tiene una som-bra de 3 metros ¿cuánto mide el árbol? Para resolver esto, iniciamos acomo-dando los datos por columnas de la siguiente forma:

Altura Longitud de la sombra

Paola 1.5 3

Árbol x 5 En este caso la “x” simboliza la cantidad buscada en el problema, por lo que recibe el nombre de incógnita. En temas posteriores nos adentraremos en el uso de las incógnitas por lo que es importante que te vayas familiarizando con ellas.

Para este problema usaremos un método llamado la regla de tres que es muy útil cuando tenemos 3 cantidades que conocemos y una que no, de tal forma que mantienen la misma razón. Esta regla consiste en multiplicar los números que están en la única diagonal que conocemos, en este caso 1.5 por 5 nos da 7.5, luego dividimos el resultado obtenido entre el número restante en el arreglo (3). Así tenemos 7.5/3 = 2.5.

Si escribimos el problema como razones puede que haya mayor claridad:


1.53

=𝑥5

La razón entre la altura de Paola y su sombra es de 1.5/3 que es igual a 0.5. Si la altura del árbol mantiene la misma razón, entonces x/5 también debe dar como resultado 0.5. Para saber qué número dividido entre 5 nos da como re-sultado 0.5 lo único que tenemos que hacer es aplicar la operación inversa, la multiplicación por 5, sobre el resultado (0.5). Así tenemos 2.5 igual que por el otro método.

Como puedes ver, los pasos a seguir son:

1. Verifica primero si el problema es de proporción directa. 2. Acomoda los datos por columnas o en razones. 3. Si usaste columnas multiplica los datos de la diagonal y divide entre la

cantidad sobrante, si usaste razones resuelve el problema como cual-quier ecuación o con un razonamiento similar al expuesto en el ejem-plo.

Analizando el problema Con lo estudiado en la sección anterior puedes concluir que el problema inicial se trata de una proporción directa. Para obtener el número de minutos necesa-rios para terminar los oficios realizamos la siguiente tabla:

Líneas Minutos

Primer trabajo 175 5

Segundo trabajo 735 x

Aplicando la regla de 3 que acabas de aprender sobre la tabla tenemos las siguientes operaciones:

𝑥 =5 ∙ 735

175

𝑥 =3675175

𝑥 = 21


(Usamos el signo punto en lugar del signo de multiplicación habitual “x” para no confundirlo con la incógnita)

Por lo tanto, la secretaria tardó 21 minutos en hacer los oficios.

Otro problema – Un viaje en autobús

En un mapa de la República Mexicana a escala 1:6,000,000 observamos que la distancia en línea recta entre Monclova en Coahuila y el Distrito Federal es de 14.1 cm.

a) ¿Cuál es la distancia real entre ambas ciudades?

Este problema nos servirá para reafirmar lo aprendido pero en un contexto diferente, el de las escalas en los mapas.

Analizando el problema Los datos que tenemos son la razón en la que se encuentra el mapa (1/6000000) y la distancia en centímetros entre las 2 ciudades del mapa. Pue-des entonces resolver el problema usando una regla de 3 de la siguiente for-ma:

1 centímetro Distancia medida

Mapa a escala 1 14.1

Mundo real 6,000,000 X

Multiplicando la diagonal y dividiendo entre el dato restante obtenemos la si-guiente operación:

𝑥 =14.1 ∙ 6,000,000

1= 84,600,000

(Usamos el signo punto en lugar del signo de multiplicación habitual “x” para no confundirlo con la incógnita)

Por lo tanto las ciudades están a 84,600,000 centímetros. Un metro son 100 centímetros y un kilómetro son 1,000 metros, por lo tanto las ciudades están a 846,000 metros o a 846 kilómetros.


Has dos tablas para explicar porque este último párrafo también re-presenta reglas de tres.

Otro problema – De compras

Lupita compra 3/4 de kilogramo de carne a $26.40.

a) ¿Cuánto paga Sonia por 2 3/5 kilogramos?

Analizando el problema Este problema es también de proporción directa, pues si la cantidad de carne es mayor, mayor también será el precio a pagar. De la misma manera, busca-remos el precio por kilogramo, para entonces calcular cuánto se pagará por el pedido de Sonia.

Como 3/4 kg. se venden en $26.40, entonces un kilogramo se vende en:

26.40 ÷34

= 35.20

Multiplicamos el precio por kilogramo por la cantidad de carne comprada:

35.2 ∙ 235

= 35.20 ∙135

=457.60

5= 91.52

¿Cuánto costaría el pedido de Sonia si Lupita hubiera comprado un y medio kilogramos en $35?

Otro problema – La importadora

En una importadora de frutas se empacan jitomates exóticos en cajas espe-ciales para su correcta conservación. Para empacar 13.2 kilogramos se em-plean tres cajas. En una ocasión se tuvo que empacar 26.4 kg para un pedido, 48.4 para otro y 61.6 para un tercero.

a) ¿Cuántas cajas se ocupaon en cada pedido?

b) Si tres cajas se llenan en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo se invierte en cada uno de los pedidos anteriores?

Este problema involucra el uso de la regla de 3 dos veces. Es importante rela-cionar los datos del problema de forma adecuada. Así podremos obtener la


mayor cantidad de información posible, y luego con la nueva información, re-petimos el proceso en busca de más información.

Analizando el problema A mayor cantidad de jitomates, mayor es la cantidad de cajas necesarias y de tiempo invertido en el empaque. Por esto la relación entre los datos es direc-tamente proporcional.

Comenzaremos con la primera relación que vincula el número de kilogramos con el número de cajas. Si en 13.2 kilogramos se usan 3 cajas, entonces la razón correspondiente es:

13.23

= 4.4

Por lo tanto se empacan 4.4 kilogramos por caja. A continuación, dividimos cada pedido entre el número de kilogramos por caja. Así, cada pedido queda de la siguiente forma:

26.44.4

= 6

48.44.4

= 11

61.64.4

= 14

Ahora, al llenarse tres cajas en 4 minutos, la razón correspondiente que nos indica el tiempo que se tarda en llenar cada caja es 4/3. Esta razón se multipli-ca por el número de cajas de cada pedido que acabamos de calcular:

43∙ 6 = 8

43∙ 11 =

443

= 1423

43∙ 14 =

563

= 1823

Por lo tanto, preparar el primer pedido tardó 8 minutos, el segundo 14 minutos con 40 segundos y para el tercero 18 minutos con 40 segundos.


Explica usando una regla de 3 porqué 2/3 de minuto son 40 segun-dos. En la conversión de unidades es común usar la regla de 3.

2. Proporción inversa El problema – Construcción

15 albañiles levantan una pared en 2 horas.

a) ¿En cuánto tiempo lo harán 9 albañiles?

No todos los problemas en que falta una cantidad pueden ser resueltos me-diante la regla de 3. Es importante darse cuenta que existen problemas donde los datos no se relacionan de forma directamente proporcional. En esta sec-ción veremos uno de estos casos, el de la proporción inversa.

El tema Este problema muestra una forma distinta a la proporción directa de relacionar cantidades. Aquí los datos varían inversamente, mientras uno aumenta el otro disminuye y viceversa, si aumentamos el número de albañiles el tiempo de trabajo se reduce, y si disminuimos la mano de obra el tiempo necesario au-menta. A este tipo de relaciones les llamamos de proporción inversa o inver-samente proporcionales. Ejemplos de este tipo de proporción son:

• Repartición de premios de lotería con respecto al número de ganado-res. Mientras más ganadores, menos le toca a cada uno. En general, repartición de cualquier cosa (objetos, trabajo, etc.) de forma equitativa con respecto al número de personas entre las que se va a realizar la repartición.

• Tiempo necesario para recorrer una distancia con respecto a la veloci-dad a la que se recorre, a mayor velocidad, menor tiempo.

• Velocidad a la que se cocina un alimento en relación con la temperatu-ra, a mayor temperatura menor tiempo.

De nueva cuenta, el identificar el tipo de relación entre los datos es la parte más importante al resolver un problema. Si se identifica una proporción inver-samente proporcional entre ciertos datos no se debe usar el método de la re-gla de tres para conocer el valor de una incógnita.


Observa el siguiente ejemplo para notar este hecho. Si una lavadora con ciclos de 30 minutos limpia 50 kilogramos de ropa en 6 horas ¿cuánto tardarán en hacerlo 2 lavadoras juntas?

Usemos la regla de 3 sobre el número de lavadoras y el tiempo:

1 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

=2 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑥

De aquí podemos deducir que 2 lavadoras hacen el trabajo en el doble de tiempo, lo cual no tiene sentido ya que, el tener el doble de capacidad para hacer un trabajo, debería reducir el tiempo para realizarlo a la mitad en lugar de duplicarlo.

Realiza la tabla del ejemplo anterior y completa todos los pasos que se omitieron para resolver el problema.

En lugar de la regla de tres tradicional usamos la regla de tres inversa. Ésta consiste en dividir los números que se encuentran en la diagonal conocida colocando al valor que acompaña a la incógnita como divisor (en lugar de mul-tiplicarlos) y multiplicar el resultado por el número sobrante (en lugar de dividir-lo). De esta forma, usando la tabla que realizaste obtenemos la siguiente ope-ración:

1 ∙ 62

=62

= 3

3 horas es la mitad del tiempo, lo cual si coincide con lo esperado.

Analizando el problema Regresemos al problema de inicio de sección. Los datos que tenemos son el número de albañiles que construyen una pared contra el número de horas. Es claro que al aumentar el número de trabajadores disminuye el número de ho-ras y viceversa, por lo tanto la relación es inversamente proporcional.

Realizamos la siguiente tabla:

Hombres Horas

Caso 1 15 2

Caso 2 9 X


De esta forma aplicamos la regla de 3 inversa, dividimos 2 entre 9 y multipli-camos por 15, obteniendo 3 1/3. Por lo tanto 9 hombres terminan el trabajo en 3 horas con 20 minutos.

Otro problema – Por carretera

Se ha preparado comida para seis excursionistas que alcance para 15 1/3 días.

a) Si se han agregado otros cuatro excursionistas, ¿para cuántos días alcan-zará la misma cantidad de comida?

En esta ocasión los datos del problema son fracciones, realizamos en el análi-sis los pasos con más cuidado para facilitar la comprensión del proceso.

Analizando el problema Si la cantidad de excursionistas aumenta, la comida tiene que repartirse entre más gente. Esto da como consecuencia que las provisiones duren menos días. De lo anterior podemos concluir que los datos tienen una relación inversamen-te proporcional.

Realiza la tabla correspondiente.

Usando la tabla anotamos la primera parte de la operación:

6 ∙ 1513

= 6 ∙463

=276

3= 92.

Ahora, dividiendo entre 10 obtenemos:

9210

= 915

Por lo tanto, para 10 excursionistas alcanzarán las provisiones para poco más de 9 días.

3. Proporciones múltiples El problema - Vasijas artesanales

Cuatro artesanos hacen 56 vasijas en 4 días, trabajando 7 horas diarias.


a) ¿Cuántos días necesitarán 6 artesanos para hacer 80 vasijas, si trabajan 8 horas diarias?

Este problema involucra más tipos de datos que los anteriores. Todos y cada uno relacionados con los demás a partir de proporciones directas o indirectas. Hay que tomar en cuenta que este es un caso más común, generalmente sim-plificamos los problemas que encontramos en nuestras vidas o en nuestros trabajos fijándonos únicamente en los datos más importantes.

Analizando el problema Como podemos ver, en algunos casos, las situaciones de proporciones involu-cran más cantidades en la relación. Un ejemplo muy común de ello es el traba-jo realizado en un periodo variable de tiempo por un grupo variable de perso-nas. La dificultad radica en que, al ser más de dos datos relacionados, hay varias proporciones involucradas que pueden ser tanto directas como inversas.

Sin embargo, podemos usar los mismos métodos y principios ya estudiados que atañen a dichas proporciones.

El problema estudiado resulta ser de proporciones múltiples, ya que las canti-dades relacionadas en ella son: el número de artesanos, el número de vasijas, el número de días de trabajo y las horas trabajadas por día.

Este tipo de problemas se pueden resolver por medio de una regla de tres múltiple, en la cual tendremos varias columnas, dependiendo de las cantida-des involucradas en la proporción, que en este caso serán cuatro. De prefe-rencia, acomodamos la columna donde está la incógnita al principio o al final, aunque no es necesario. En este caso el acomodo de los datos queda así de la siguiente forma:

Días Horas por día Artesanos Vasijas

Caso 1 4 7 4 56

Caso 2 x 8 6 80

Ahora, verificaremos qué tipo de proporción existe entre la columna de la in-cógnita y las otras, una por una.


De las columnas de días y horas vemos que, al aumentar las horas de trabajo diario, los días de trabajo para terminar las vasijas disminuirían. Por lo tanto las horas por día están en relación inversamente proporcional con los días.

Siguiendo el mismo argumento vemos que el número de artesanos también está en relación inversamente proporcional al número de días para terminar el trabajo, mientras el número de vasijas a terminar está en una relación directa-mente proporcional.

De lo anterior escribimos la siguiente operación:

𝑥 ∙ 8 ∙ 680

=4 ∙ 7 ∙ 4

56

Como puedes ver, los valores en relación inversa los multiplicamos y los valo-res en relación directa los colocamos dividiendo. Simplificamos:

𝑥 ∙ 35

= 2

Por lo tanto, el número buscado multiplicado por 3/5 es igual a 2. Aplicamos la operación inversa en ambos lados de la ecuación, dividiendo entre 3/5, y obte-nemos:

𝑥 = 2 ÷35

=103

= 313

Esto nos dice que se tardará un poco más de 3 días en terminar el trabajo bajo las nuevas condiciones.


UNIDAD EXPONENTES 4

Los exponentes se inventaron para poder trabajar con cantidades muy gran-des de forma simple. Durante muchos siglos permitieron realizar operaciones fácilmente usando una notación similar a la que hoy conocemos cono científica.

Algunos exponentes tienen usos especiales, por ejemplo, en Geometría se usa el exponente 2 en las fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas, y el exponente 3 en las fórmulas para calcular volúmenes de cuerpos en el espacio.

En los problemas de conteo y combinatoria, que son frecuentes al estudiar probabilidad, abunda el uso de exponentes de todo tipo. Se podría incluso afirmar que, sin las técnicas que aprendemos para manipular exponentes, el desarrollo de la probabilidad habría sido imposible.

Son numerosas las aplicaciones que tienen estas operaciones. Aprender su correcto uso es de gran utilidad al abordar situaciones probabilísticas, geomé-tricas y en las que es necesario trabajar con números muy grandes o muy pequeños.

Veremos ejemplos de todas estas aplicaciones en esta unidad.


• Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.

• Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

• Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervie-nen cantidades muy grandes o muy pequeñas.


1. Los exponentes La pregunta – Caída libre

Desde lo alto de un edificio de 6 pisos (Aproximadamente 25 metros de altu-ra) se deja caer un huevo envuelto en una estructura de papel que no excede más de cuatro metros cuadrados de material. Ésta no es una broma, ni un mal chiste, es un concurso que se celebra cada año en el edificio principal de ingeniería del Instituto Tecnológico de Massachusetts. El concurso consiste en construir una estructura usando solo papel y popotes que proteja un huevo del impacto contra el piso al ser lanzado desde la azotea del edificio.

a) Si uno de los huevos se deja caer con una estructura que no ofrece una resistencia al aire apreciable ¿seguirá cayendo después de 3 se-gundos de haber sido soltado?

Este sencillo problema nos ayudará a introducir el concepto de exponente y de base, tanto en su uso y significado como en su historia y origen.

El tema y el análisis Los caminos rectos, como el que recorre cada huevo, se miden generalmente en unidades como el metro. El área de un cuadrado, como el del papel usado para construir la estructura protectora del huevo, se mide en unidades cuadra-das, y se calcula realizando la operación “lado x lado”. Usando ésta fórmula, el área de un cuadrado cuyo lado mide 34 centímetros resulta:

34 × 34 = 1,156

Se acostumbra simplificar la escritura de esta operación colocando un super-índice 2 al lado del número que se multiplica por sí mismo del siguiente modo:

34 × 34 = 342

Como lo acabamos de mencionar esta operación tiene un origen geométrico, sirve para calcular áreas, por lo mismo leemos la expresión “treinta y cuatro al cuadrado”. También se acostumbra decir “treinta y cuatro elevado a la segun-da potencia”. Al superíndice, el número 2, se le llama exponente o potencia y al número que se va a operar, en este caso 34, se le llama base.


Cuando se trata de calcular volúmenes de cubos, multiplicamos tres veces la longitud de uno de los lados, esto lo podemos denotar del siguiente modo:

34 × 34 × 34 = 343

De igual forma leemos esta expresión como “treinta y cuatro al cubo” o “treinta y cuatro elevado a la tercera potencia”. Fuera de estos casos extraordinarios de operaciones que tienen un vínculo geométrico, todas las demás potencias se leen “treinta y cuatro elevado a la potencia n” donde n es cualquier expo-nente:

34𝑛

Existen dos exponentes particularmente raros, pero de gran importancia, el exponente 1 y el exponente 0. Si un número (o base) elevado a la potencia 3 se traduce como un número que está 3 veces multiplicando, uno elevado a la potencia 2, como un número que está multiplicando 2 veces, entonces un nú-mero elevado a la potencia 1 aparece solo una vez:

𝑎3 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎

𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎

𝒂𝟏 = 𝒂

El problema surge con el exponente cero, porque entonces una base elevada a la potencia cero no aparece ni una sola vez. Observemos entonces la si-guiente sucesión de operaciones para analizar cuánto debe valer una base elevada a la cero, en cada uno de los pasos multiplicamos el desarrollo por 1, al fin y al cabo multiplicar por 1 no afecta en nada, pero nos dará claridad al final:

𝑎5 = 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎

𝑎4 = 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎

𝑎3 = 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎

𝑎2 = 1 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎

𝑎1 = 1 ∙ 𝑎

𝒂𝟎 = 𝟏


¿Qué sucedería si dijéramos que 𝑎0 = 0 y vamos subiendo el expo-nente?

Por lo anterior cualquier base elevada al exponente 1 nos da la misma base, y cualquier base (distinta de 0 por problemas de indeterminación) elevada al exponente 0 nos da 1.

Una situación importante en la que usamos la operación de elevar al cuadrado es al describir el movimiento de objetos que aceleran de forma constante, co-mo el del problema, que se encuentra en caída libre (es decir, cayendo libre-mente por acción de la gravedad). La fórmula que utilizamos para calcular la distancia recorrida por un objeto, que no sufre otras fuerzas sobre él salvo la gravedad de la tierra, es la siguiente:

𝑑 = 𝑔𝑡2 = 9.81𝑡2

Donde d representa la distancia, g es una constante de gravedad equivalente a 9.81, y t representa el tiempo transcurrido desde que se soltó el objeto.

Observa la siguiente tabla en la cual se plantean algunos valores para el tiem-po sustituyéndolos en la fórmula:

Tiempo Operación Distancia

0 s. 9.81 ∙ 02 = 9.81 ∙ 0 0 m.

1 s. 9.81 ∙ 12 = 9.81 ∙ 1 9.81 m.

2 s. 9.81 ∙ 22 = 9.81 ∙ 4 39.24 m.

3 s. 9.81 ∙ 32 = 9.81 ∙ 9 88.29 m.

4 s. 9.81 ∙ 42 = 9.81 ∙ 16 156.96 m.

N s. 9.81 ∙ 𝑁2 9.81 ∙ 𝑁2

Como puedes ver, cada segundo que pasa, el objeto en caída libre va más rápido. Puedes notar esto observando que la distancia recorrida es cada vez mayor. Decimos que el recorrido en caída libre tiene un comportamiento cua-drático porque que se modela mediante una fórmula de este tipo.

Analizando el problema


Como podemos ver en la tabla, el huevo toca el piso entre el segundo 1 y 2, ya que el edificio solo tiene 25 metros. Por lo tanto en el segundo 3 ya no se en-cuentra cayendo.

Otro problema – Cara o cruz

Laura juega a los volados con una moneda nueva de 10 pesos.

a) ¿Cuántos posibles resultados hay al realizar 4 volados?

b) ¿Y al hacer 5, 8 o 10?

Este problema nos permitirá tocar brevemente los métodos de conteo y, con ello, analizar su relación con el uso de exponentes.

El tema Al lanzar una moneda de 10 pesos al aire solo tenemos 2 posibilidades, que salga la cara que tiene al águila del emblema nacional, cara que denotaremos con la letra “A”, o que salga la otra cara en la que se ve al dios Tonatiuh con una máscara de fuego. Como Tonatiuh es el dios Mexica del astro que nos ilumina todos los días, le llamaremos a esta cara “Sol” y la denotaremos con la letra “S”. Así solo tenemos estas dos posibilidades:

A ó S.

Al lanzar la moneda otra vez, si mi primer volado fue águila, el segundo tiene de nuevo dos posibilidades, puede ser águila o sol. Los eventos entonces se-rían águila – águila (AA) ó águila – sol (AS). Sucede lo mismo si mi primer volado cayó sol, las posibilidades así serían: sol – águila (SA) y sol – sol (SS). En total las 4 posibilidades serían:

AA, AS, SA y SS.

Podría tomarse como iguales los casos AS y SA; sin embargo, si considera-mos el orden en el que aparecen los resultados, cada una de estas posibilida-des es distinta. Pensar las cosas de este modo trae ventajas sobre considerar cada posibilidad sin tomar en cuenta el orden.

La siguiente lista muestra todas las posibilidades al lanzar tres veces:

AAA, AAS, ASA, ASS, SAA, SAS, SSA y SSS.

En total son 8, verifica que sean todas.


Analizando el problema Como puedes ver, cada vez que aumentamos un lanzamiento de moneda, los posibles resultados se duplican. De esta forma al lanzar la moneda 3 veces tenemos 8 resultados posibles, y al lanzarla 4 veces tenemos 16 posibilidades.

Analicemos esta idea y los resultados anteriores:

1 volado = 2 opciones.

2 volados = 4 opciones = 2 x 2 = 22 opciones.

3 volados = 8 opciones = 2 x 2 x 2 = 23 opciones.

4 volados = 16 opciones = 2 x 2 x 2 x 2 = 24 opciones.

Con esto podemos concluir que al lanzar N veces una moneda al aire tenemos en total 2 elevado a la N posibles resultados:

N volados = multiplicar x 2 en total N veces = 2N opciones.

Por lo tanto, para 5, 8 y 10 lanzamientos los resultados serían los siguientes:

5 volados = 25 posibilidades = 32 opciones.



Regresando al tema Hasta ahora hemos trabajado el uso de exponentes con bases positivas. ¿Cómo actúan los exponentes sobre los números enteros negativos y sobre las fracciones y que sucede cuando tenemos exponentes negativos?

Bases negativas con exponentes naturales Para los números negativos, el único problema es el control del signo, pues en relación a la cantidad, se hace el mismo procedimiento. Por ejemplo:

(-3)2 = (-3) (-3) = +9 (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = - 27

(-3)4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = +81 (-3)5 = (-3) (-3) (-3) (-3) (-3) = - 243

Verifica el signo realizando las multiplicaciones como recordaste en la Unidad 1.


Podemos deducir así la primera ley de los exponentes en relación a su uso con números negativos:

• Si una base negativa tiene un exponente impar, el resultado tendrá signo negativo, y si el exponente es un número par, el resultado tendrá signo positivo.

Para entender mejor esta primera ley de los exponentes solo hay que notar que, como una de las leyes de los signos (Unidad 1) dice que al multiplicar signos iguales el resultado es positivo, entonces podemos formar parejas de factores que al multiplicarse den un resultado positivo. Como con un exponen-te impar la cantidad de factores es impar, al formar parejas de factores siem-pre habrá uno sobrando. Al multiplicar todas las parejas del mismo signo el resultado será positivo, y multiplicado por el factor sobrante finalmente el resul-tado será negativo. En cambio, si el exponente es par, se están multiplicando un número par de factores del mismo signo, lo que dará como resultado un número positivo.

Exponentes sobre fracciones Ahora veamos que sucede con los exponentes aplicados sobre fracciones. Observa la siguiente operación:

�12�2

Si aplicamos la definición de elevar al cuadrado tenemos que:

�12�2

=12∙

12

=14

Observa que este resultado se puede ver también del siguiente modo:

�12�2

=12∙

12

=12

22

Si usamos un exponente diferente sobre otra fracción sucede lo mismo:

�57�5

=57∙

57∙

57∙

57∙

57

=55

75

De estos ejemplos podemos obtener la regla para elevar una fracción a una potencia dada:


• La potencia de una fracción es el numerador a la potencia sobre el denominador a la misma potencia, es decir:

�𝑎𝑏�𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

Resuelve el siguiente problema usando lo que aprendiste

• Juana arma cajas de regalo en forma de cubo que miden 2/9 metros de lado. ¿Cuánto material se necesita para el armado de la caja? ¿Cuál es la capacidad de dichas cajas?

Revisando alguno de tus libros de grados anteriores, investiga cómo se hace una raíz cuadrada y úsala para resolver el siguiente proble-ma.

• Martín desea cortar una tabla cuadrada que ocupe 121 centí-metros cuadrados de superficie. ¿Cuánto deberá medir cada uno de sus lados?

Exponentes negativos Usamos exponentes negativos para indicar divisiones en lugar de multiplica-ciones. La regla siguiente quedará más clara cuando veamos las leyes de los exponentes, por el momento solo la enunciaremos:

• Un número elevado a un exponente negativo es lo mismo que el inver-so multiplicativo de dicho número elevado al exponente positivo.

El siguiente ejemplo muestra de forma simple a que nos referimos:

15−4 = �1

15�4

Este hecho se usará más adelante.

2. Notación científica y notación desarrollada La pregunta - Estrellas

La distancia entre dos estrellas es de 120 000 000 000 000 kilómetros.


a) Expresa el resultado en una manera más sencilla, que requiera me-nos números.

La notación científica nos permite concentrar nuestra atención en la cantidad de ceros significativos que tiene un determinado número. Aquí veremos algu-nos usos apropiados para esta notación.

El tema Como lo veníamos comentando, los exponentes nos permiten expresar canti-dades muy grandes o muy pequeñas de forma simple. Por ejemplo sirven para expresar distancias muy grandes como las que hay entre planetas, estrellas y galaxias. También para conjuntos o poblaciones numerosas, como la pobla-ción mundial, la de insectos, los granos de arena en un recipiente, etc.

Cada posición en nuestro sistema de numeración es una multiplicación por algún múltiplo de 10. Por ejemplo, las decenas son múltiplos de 101, las cente-nas son múltiplos de 102 = 100, los miles de 103 = 1000 y así sucesivamente. De esta forma podemos descomponer cualquier cantidad en multiplicaciones de potencias de 10. Esto es muy conveniente cuando la cifra con la que vamos a trabajar tiene muchos ceros. Por ejemplo:

• 4,000 puede escribirse como 4 x 1000 que es igual a 4 x 103. • 6,000,000,000 puede escribirse 6 x 109.

A este tipo de notación se le conoce como notación científica, ya que es una de las áreas donde tiene mayor aplicación. Cuando la cantidad tiene por delan-te dos o más cifras distintas de cero, se coloca un punto decimal después de la primera cifra y se cuentan los lugares que quedan después del punto decimal, por lo que un número como 4 500 se puede expresar del siguiente modo:

4 500 = 4.5 x 103.

Analizando el problema Volvamos a nuestro problema. Lo que hacemos a fin de cuentas es esto último, por lo que la cantidad, escrita en notación científica, queda de la siguiente manera:

120 000 000 000 000 = 1.2 x 1014.

Otro problema - Bacterias

La medida de una bacteria es de 0.000 000 000 467 metros.


a) Expresa el resultado en una manera más sencilla, que requiera me-nos números.

El tema Lo que acabamos de aprender sirve para cantidades grandes. ¿Qué pasa si deseamos usar notación científica con cantidades pequeñas? Este tipo de expresiones también tienen su lugar al describir situaciones científicas, como al medir la masa o el peso de una molécula, un átomo o incluso un electrón, el tamaño de una bacteria o un virus, la medida de un poro del cuerpo o de una célula.

Recuerda cómo son los nombres de las posiciones después del punto decimal; así como las decenas, centenas y millares, en el caso de cantidades con punto decimal tenemos los décimos, los centésimos, los milésimos y así sucesiva-mente.

Un décimo ( 0.1 ) se puede escribir como:

110

Un centésimo ( 0.01 ) se escribe también como:

1100

=1

102

De la regla de potencias negativas, obtenemos finalmente que:

0.01 =1

100=

1102

= 10−2

Con los décimos y milésimos es igual:

0.1 =1

10=

1101

= 10−1

0.001 =1

1000=

1103

= 10−3

Para ver qué exponente negativo nos conviene usar colocamos el punto deci-mal por delante de la primera cifra distinta de cero y contamos los lugares que el punto decimal ha recorrido, como en el siguiente ejemplo:

0.000 000 000 467 = 4.67 × 10−10


3. Leyes de los exponentes La pregunta – Crecimiento generacional

La familia Suárez se inició con Mónica y Manuel, quienes tuvieron dos hijos. Éstos, a su vez, consiguieron pareja, se casaron y engendraron dos hijos cada quien. Los hijos de estos hijos, también consiguieron pareja para casarse, y tuvieron dos hijos cada uno. Así sucedió generación tras generación.

a) ¿De cuántas personas se compondrá la sexta generación?

b) ¿Cuántas personas, hasta ese momento, habrán nacido en la fami-lia?

El tema Antes que nada, vamos a establecer quiénes son los integrantes de cada ge-neración en esta familia. Los progenitores, vistos también como los fundadores de la familia, Mónica y Manuel, se consideran la primera generación. Así, para efectos del problema, los hijos y sus parejas son considerados como la segun-da generación. Los nietos y sus parejas son la tercera generación y así suce-sivamente.

La primera generación es de 2 personas. La segunda consta de los dos hijos y sus respectivas parejas, es decir consta de 4 personas. Como puedes ver, cada generación procrea la misma cantidad de hijos, y se une una cantidad igual de parejas, es decir, se duplica la cantidad de integrantes de generación en generación.

Para saber cuántas personas son parte de la familia hasta la sexta generación necesitamos saber primero cuántos son en cada una de las anteriores. Esta información la colocamos en la siguiente relación:

1ª Generación 21 = 2 personas

2ª Generación 22 = 2x2 =4 personas

3ª Generación 23 = 2x2x2 =8 personas

4ª Generación 24 = 2x2x2x2 = 16 personas

5ª Generación 25 = 2x2x2x2x2 = 32 personas

6ª Generación 26 = 2x2x2x2x2x2 = 64 personas.


Ahora lo que queda es hacer una suma de los individuos por cada generación:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 personas

Otro problema – Las brujas

Una biblioteca con siete pisos, cada piso con siete cuartos, cada cuarto con siete libreros, cada librero con siete estantes, cada estante con siete divisio-nes, cada división con siete libros, cada libro con siete capítulos, cada capítulo con siete lecciones de siete páginas, cada página con siete párrafos, y en cada párrafo siete enseñanzas.

a) ¿Cuántas enseñanzas hay en la biblioteca?

El tema Este problema es similar a todos los anteriores. Sin embargo, por medio de él se ilustrarán otras reglas referentes al uso de los exponentes.

Contesta las siguientes preguntas, después compara tu respuesta con las que te proporcionamos más abajo.

• ¿Cuántas enseñanzas hay por libro?

• ¿Cuántos libros hay en la biblioteca?

• Calcula la cantidad de enseñanzas que pueden encontrarse en la biblioteca usando los dos resultados anteriores. Desarrolla ambos números y multiplícalos.

• Calcula la cantidad de enseñanzas que pueden encontrarse en la biblioteca directamente. Desarrolla el resultado como en la pregunta anterior, no lo dejes indicado como una potencia.

Como podrás haberte dado cuenta, cada libro tiene un cierto número de ense-ñanzas que se puede escribir como 7 elevado a alguna potencia. Igualmente sucede con la cantidad de libros que hay en la biblioteca, el resultado tiene una forma similar. Para obtener la cantidad de enseñanzas que hay en total dentro de la biblioteca solo tenemos que multiplicar los dos resultados anterio-res, esta operación puede llevar un largo rato, pero al final debe coincidir con el resultado de la cuarta pregunta.

Ahora veamos un poco más a detalle que sucede:


Las soluciones de las dos primeras preguntas son 75 y 76 respectivamente, mientras la respuesta de las dos últimas preguntas es 711. Lo interesante aquí es que 76 x 75 = 711 y 6 + 5 = 11. Estos dos hechos no son coincidencia como puedes ver a continuación:

7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 711

(7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7 × 7) = 76 × 75

Como puedes apreciar, es válido agrupar los 11 factores de la multiplicación como gustes, y el resultado siempre va a ser el mismo.

Esta ley para exponentes queda de la siguiente forma:

• La multiplicación de dos potencias que tengan la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Otra pregunta – Plátanos en el mundo

Los plátanos son la fruta que se consume en más lugares alrededor del mun-do. Un plátano promedio pesa 150 gramos y la producción total mundial de plátanos en el año 2000 fue de 55,000,000 toneladas.

a) Si en ese momento había aproximadamente seis mil millones de ha-bitantes en el mundo ¿Cuántos plátanos le tocaban a cada uno si se hubieran repartido equitativamente entre todos?

El tema y el análisis Este problema es un buen ejemplo para ver que los exponentes nos ahorran trabajo, papel y lápiz. Primero hay que ver cuantos plátanos se produjeron en total, para esto podemos calcular cuántos plátanos hay en un kilogramo y, una vez hecho esto, multiplicamos esta cantidad por el total de kilogramos de la producción mundial. De esta forma sabremos cuántos plátanos se produjeron en el año 2000. Luego dividimos esta cantidad entre la población mundial, así sabremos cuantos plátanos le tocan a cada habitante del planeta. El problema radica en que los números son bastante grandes, por lo mismo hacer las cuen-tas es algo incómodo. Primero calculemos el número de plátanos que hay por kilogramo:

1 𝑘𝑔150 𝑔

=1000 𝑔150 𝑔

= 6. 6� 𝑝𝑙á𝑡𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑔.


Por lo tanto hay 6. 6� plátanos por cada kilogramo. Ahora observemos que la cantidad mundial de kilogramos producida en el 2000 es la siguiente:

55,000,000 𝑡𝑜𝑛𝑠 = 55,000,000,000 𝑘𝑔 = 55 × 109 𝑘𝑔

Multiplicamos ambas cantidades para calcular la cantidad de plátanos produci-dos durante el año 2000:

6. 6� × 55 × 109 = 366. 6� × 109 𝑘𝑔 = 3. 6� × 1011 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜𝑠

La población mundial es:

6,000,000,000 = 6 × 109 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

Por lo tanto nos habría tocado la siguiente cantidad de plátanos a cada habi-tante:

3. 6� × 1011

6 × 109

¿Pero cómo realizamos esta operación? Recordando que la división y la multi-plicación tienen la misma jerarquía de las operaciones, así que podemos hace estas operaciones en el orden que queramos. Podemos dividir primero 3. 6� entre 6, que nos da como resultado 0.61�, y multiplicarlo por 1011/109. Observa que 1011/109 es una división que tiene once dieces multiplicándose en el nu-merador y nueve dieces multiplicándose en el denominador. Podemos cance-lar nueve dieces arriba y abajo con lo que nos quedaría solo 102:

0.61� × 1011

109= 0.61� × 102 = 61. 1� 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎.

Por lo tanto nos habrían tocado un poco más de 61 plátanos por persona para todo el año, algo así como 5 plátanos mensuales.

De este procedimiento podemos deducir la siguiente regla:

• El resultado de la división de potencias que tengan la misma base es igual a la base elevada a la resta de las potencias.

Resuelve los siguientes problemas para reforzar tu conocimiento:

• 52 / 52 , 73 / 75


Bibliografía

Libros Enzensberger, El Diablo de los números, Siruela, México 1998.

Tahan M., El hombre que calculaba, Noriega Editores, México 1988.

Denis Guedj, El imperio de las cifras y de los números, Ediciones grupo ZETA, España 1998

Lewis Carroll, Matemática Demente, Tusquets Editores, España 2002

John Allen Paulos, Erase una vez un número, Tusquets Editores, España 2002

Ian Stewart, El laberinto Mágico, Editorial Crítica, España 2001

Ian Stewart, Locos por las matemáticas, Editorial Crítica, España 2004

Perelman Y., Aritmética Recreativa, Editorial MIR

J. A. de la Peña, Algebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica, México 1999


Contenido electrónico http://www.enciclomedia.edu.mx Página del proyecto Enciclomedia, contiene programas interactivos y contenidos muy interesantes, desarrollados para cubrir los temas del programa.

http://descartes.cnice.mecd.es Página desarrollada por el CNICE para el Ministerio de Educación en España. Contiene mucho material interactivo para la enseñanza y para el desarrollo de nuevo material.

http://www.wikipedia.com Enciclopedia colectiva con una enorme cantidad de temas y artículos. Además de brindar información, es fuente invaluable de vínculos a páginas de gran utilidad.

http://www.catedu.es/matemáticas_mundo Página que muestra la gran cantidad de matemáticas que hay en el mundo. Contiene secciones relacionadas con el arte, la historia, la sociedad, la poesía, la fotografía, entre otras cosas.

http://www.geometriadinamica.es/ http://www.geometriadinamica.cl/ http://www.geometriadinamica.org/ Páginas con contenido de geometría dinámica y programas interactivos varios.

http://www.enciclomedia.edu.mx/

http://descartes.cnice.mecd.es/

http://www.wikipedia.com/

http://www.catedu.es/matemáticas_mundo

http://www.geometriadinamica.es/

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José Roberto Benhumea SantiagoClaudio Francisco Nebbia Rubio

¿Me necesitas?

Este pequeño test te ayudará a saber si necesitas leer este libro antes de ini-ciar tus estudios de preparatoria abierta. Como sabes, es necesario tener co-nocimientos mínimos para entender las materias de tus primeros semestres. Si tienes problemas contestando alguna de estas preguntas, te invitamos a revisar el material correspondiente. Cada bloque de pregunta va asociada a un capítulo del libro. Este material fue hecho especialmente para ti que inicias tu preparatoria como parte de tu proyecto de vida.

¡Aprovéchalo!

Unidad 1 – Operaciones básicas¿Qué son los números naturales, enteros y racionales?¿Cómo se hace la suma de fracciones?

Unidad 2 – Divisibilidad¿Qué es un criterio de divisibilidad?¿Qué es y para qué sirve el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo?

Unidad 3 – Razones y proporciones¿Cuál es la diferencia entre una razón y una proporción?¿Cuál es la diferencia entre una relación en proporción directa y una relación en proporción indirecta?

Unidad 4 – Exponentes¿Cuánto vale 5 elevado a la 1? ¿y a la 0?¿Cuáles son las leyes de los exponentes para la multiplicación, la división?

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