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HabilidadesMatemáticas2

José Roberto Benhumea SantiagoClaudio Francisco Nebbia Rubio

Título: Habilidades Matemáticas 2Autor: José Roberto Benhumea Santiago

Claudio Francisco Nebbia Rubio

Primera edición

Coordinación General: Héctor González BarboneEdición: Grupo ARSCITEDiseño de la serie y portadas: Israel L. GalíndezGuía y revisión pedagógica : Ana SamperioRevisión académica:

Ilustraciones: Israel L. Galíndez

Revisión general: Grupo ARSCITE

ISBN en trámite.

Primera edición, 2010© ARSCITE

Se prohibe la reproducción total o parcial por cualquier medio sin el consentimiento escrito de los titulares de los derechos.

Índice

Contenido 5

Para ti que tienes este libro en tus manos

7

Introducción TERROR MATEMÁTICO

11

Unidad 1 LENGUAJE ALGEBRAICO

15

Unidad 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS

31

Unidad 3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

53

Unidad 4 ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO

71

Apéndice Solución a problemas seleccionados

93

Bibliografía 95

Glosario 97

Contenido

Lenguaje algebraico

Se introduce formalmente el lenguaje algebraico concretando las ideas algebraicas pre existentes, presentando conceptos como el de variable, el de incógnita, el de término, el de ecua-ción entre otros.

Operaciones algebraicas

Se estudian las diferentes operaciones algebraicas que se pueden aplicar a los términos, a las expresiones y a las ecua-ciones algebraicas introduciendo brevemente el tema de la factorización.

Ecuaciones de primer grado

Se presentan diferentes técnicas para resolver ecuaciones de primer grado a través de ejemplos diversos.

Ecuaciones simultáneas de primer grado

Se estudian diferentes procedimientos para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Temario del primer curso propedéutico

7

Para ti que tienes este libroEN TUS MANOS

Ana Samperio

Este libro de introducción a las habilidades matemáticas fue hecho para que tú, que te dispones a cursar el primer semestre de la preparatoria, obtengas las habilidades necesarias para alcanzar con éxito tu objetivo. Revisando con interés el contenido del libro desarrollarás tu capacidad de abstraer propieda-des del mundo generando descripciones matemáticas que te permitan resol-ver problemas y entender mejor tu entorno.

A continuación te presentamos algunas recomendaciones para que tengas un óptimo aprendizaje. Para esto debes utilizar tus habilidades para selec-cionar de entre los contenidos expuestos los que te sean de mayor utilidad. Aprender a evaluar tus fortalezas y debilidades es el primer paso para poder realizar con gusto y eficacia lo que te propones.Te recomendamos:• Realizar otras actividades a la par del estudio de este libro, prac tica una

actividad que te guste mucho, que te emocione, a lo mejor que nunca has podido hacer, algún deporte, danza, música, un idioma… esto te ayudará a mantener activa tu mente por más tiempo, tanto en esta como en tus otras actividades y trabajo.

• Busca una motivación firme para todo lo que haces, retomar o continuar tus estudios no te costará tanto si tienes una buena razón para comenzar.

• Organizar tu tiempo de estudio, fija tus metas a corto, mediano y largo plazo, tanto las de estudio como las personales. Esto ayudará a que tu mente se programe para pensar, escribir y ver; claramente mientras reali-zas estas activi dades planeadas y deseadas.

MET

AS

CORTO Retomar mis estudios

MEDIANO Concluir mi propedéutico

LARGO Mi certificado de prepa

Si decides hacer este diagrama mantenlo a la vista, en una pared, en un espe-jo, en tu agenda, en un lugar en donde diario lo puedas leer para recordarlo. Piensa en que esto es lo que realmente quieres hacer y pregúntate constante-mente qué necesitas para llegar a tu meta.

Habilidades Matemáticas II8

Marca en un calendario los días en que crees que puedes estudiar por lo me-nos 2 hrs. Ve señalando los días en que realmente estudiaste. Observando los días señalados analiza si tienes algún patrón y trata de continuar con él en días y horarios.

MAYOL M M J V S D

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27

28 29 30 31

Pon en tu agenda, pared o libro favorito un horario en el que marques los perio-dos en que estudiarás. Primero pon las actividades inamovibles como la hora de comer, el horario de trabajo, o alguna actividad con horario fijo. Observa tus horas libres y planea una rutina de estudio, respeta en la medida de lo posible tus horarios.

LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

10 A 16TRABAJO TRABAJO TRABAJO TRABAJO TRABAJO

4 A 5 COMIDA COMIDA COMIDA COMIDA COMIDA

6 A 8YOGA

7 A 10ESTUDIO LIBRE 7 A 10

ESTUDIO6 A 8YOGA

5 A 9 ESTUDIO

Encuentra tu lugar favorito para estudiar, te recomendamos que elijas un lugar donde puedas sentarte cómodamente, utilizando una silla con respaldo recto que te permita mantener la espalda derecha, una mesa que quede a nivel de tus codos y tu libro justo frente a ti. Ten a la mano todo lo necesario para no distraerte. Te sugerimos también no tener el televisor encendido, ni el radio, en caso de que sientas que te distrae de tu estudio.

El lugar que es cojas debe ser adecuado para estar, por lo menos, dos ho-ras cómodamente, encuentra tus lugares favoritos; pero ¡cuidado! No siempre es buena opción que estudies en tu cama.

Si lo que realmente quieres es estudiar, lo podrás hacer en cualquier lugar y momentos libres, sea el transporte público, un parque, tu cuarto, tu oficina, el comedor de tu casa, en fin, el interés y la concentración serán tu espacio de estudio.

9

Otra recomendación importante es que antes de decidirte a estudiar comas bien; tu cuerpo gasta calorías cuando estudias, razonar y pensar por tiempo prolongado bien merece una buena cantidad de alimentos. Ten fruta o dulces a la mano, tu ce rebro necesita glucosa para hacer nuevas conexiones entre las neuronas, y esto es justamente lo que sucede cuando estudias, te haces más inteligente. Te recomenda mos tener a la mano un cuaderno, hojas, lápiz, mar-cador y diccionario. Estas son herramientas necesarias para destacar algún concepto importante, escribir alguna nota, guardar tus dudas y conclusiones, hacer diagramas, cuadros sinópticos, mapas mentales, etc.

Espero que estas sugerencias te ayuden a construir una rutina que te permi ta facilitar tus estudios de preparatoria. Recuerda que esta introducción es la oportunidad que tienes para construir bases sólidas y para generar un arsenal de herramientas que te permitan desarrollarte plenamente en tu vida.

| Habilidades Matemáticas II 11

Introducción Reflexiones en torno a las bicicletas

Joel Rojas

ablando de bicicletas se tienen dos tipos de personas en esta vida. Simple y sencillo: se sabe andar en una o no. La enorme mayoría de las personas que sí saben, lo

aprendieron de niños; y la forma en que aprendieron la dejaron guardada en el saco del olvido, pues la actividad de subirse en una bicicleta y avanzar en ella se ha convertido en un acto instintivo.

Para aquella persona que no sabe andar en bicicleta, aprender de adulto resulta seriamente complicado. Montar un aparato de fierros que fácilmente podría salir de control, hacernos caer y lastimarnos no parece ser cualquier cosa. Pareciera incluso que las personas que sí saben andar en bicicleta no sólo pertenecen a otro tipo de personas, ¡sino incluso a otra especie! ¿Y a esto, qué hacer?

H

12 Habilidades Matemáticas II |

Nunca faltan personas de muy buena voluntad (sobre todo si el aprendiz se trata de una señorita) que se ofrecen a enseñar. Y así, sin más, indican al candidato a fracturado que suba, se siente y pedalee. ¿Que no puede? Bueno, no importa, el maestro tratará de sostenerlo un poco de los lados, empujarlo y… ya se calló.

Aparece entonces ante ellos una duda enorme. Un misterio del universo: ¿cómo es que una persona logra levantar ambos pies del suelo, ponerlos en un par de pedales y avanzar sobre dos ruedas de hule?

Lo que no resulta evidente es que debajo del hecho de andar en bici o caminar se encuentra un factor trascendental: el equilibrio. No se puede pedalear y avanzar con confianza si no se ha aprendido a mantener el equilibrio sobre la bicicleta, un equilibrio que se debe mantener mientras se avanza poco a poco. Para levantar vuelo como los profesionales, se requiere saber cómo planear primero. Quizá ya estés pensando: pero esto es un libro de matemáticas ¿qué me están tratando de decir con todo esto?

Para muchas cosas en esta vida ocurre lo mismo que con las bicicletas: requieres aprender a mantener el equilibrio elemental primero. Las matemáticas pertenecen a este grupo de actividades, y como tal, pueden resultar altamente frustrantes si se te intentan enseñar de golpe.

Las matemáticas son una expresión de la mente humana. Tienen la capacidad de ayudarnos a representar el mundo que nos rodea, de abstraerlo. He aquí el meollo del asunto, el tan buscado secreto de cómo no tropezar con las matemáticas. Se requiere aprender primero a pensar matemáticas, esto quiere decir que debemos aprender a abstraer ideas. Debemos aprender a partir de un caso sencillo y poder sacar conclusiones que nos ayuden a resolver problemas parecidos.

| Habilidades Matemáticas II 13

No es una tarea que se pueda conseguir de un día para otro, sin embargo, con un poco de esfuerzo y perseverancia se puede lograr. Con este libro, esperamos que logres establecer los cimientos adecuados para las matemáticas que aprenderás durante tu etapa de bachillerato. Es necesario que domines ciertos elementos y conceptos matemáticos básicos. Conforme logres esto, podrás ir, poco a poco, generando capacidad de abstracción.

Incluso después, cuando hayas comenzado ya a cursar tus materias, podrás regresar a este pequeño manual y recordar las ideas esenciales. Los problemas y conocimientos que aquí ponemos a tu disposición son los elementales, ten presente que dominar estos temas es muy importante.

Las matemáticas ha sido una de las herramientas más poderosas que ha concebido la humanidad. Son producto de un proceso de contemplación, reflexión y un deseo de realización estética. Caminando poco a poco podrás acceder a muchas de las ideas más bellas que reflejan el mundo en que vivimos.

Adelante.

| Habilidades Matemáticas 2 15

UNIDAD LENGUAJE ALGEBRÁICO 1

Hablar otro idioma es una labor que requiere dedicación y esfuerzo. Este tam-bién es el caso del álgebra, que nos permite comunicar ideas, relaciones entre datos, proporciones, comportamientos, etc. Han pasado muchos siglos para que tengamos la notación que se usa hoy en día. Una de las virtudes de dicha notación es el poder poner al alcance de la educación básica esta herramienta. Este hecho ha permitido revolucionar la cantidad de conocimiento disponible desde una corta edad. Sin embargo, hoy en día sigue siendo un problema lograr transmitir las competencias necesarias para que, alumnos como tú, usen este conocimiento en su provecho dentro de sus vidas diarias. La presen-te unidad aborda esta situación paso a paso, lo que sin duda te será de gran utilidad.

Al estudiar profundamente lo que te presentamos podrás:

• Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver una ecuación con coeficientes ente-ros. Es decir que podrás traducir algunos problemas en lenguaje coti-diano a lenguaje matemático.

• Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la vida diaria, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

1. Expresión algebraica El problema - Retrato de mi familia

Saúl vive con sus papás y sus dos hermanos, la mayor, Teresa y el menor, Ja-vier. Su papá tiene el triple de años que Saúl, su mamá tiene seis años menos que el papá, Teresa es cuatro años mayor que Saúl y Javier tiene la mitad de la edad de este.

16 Habilidades Matemáticas 2 |

a) ¿Cómo se pueden representar las edades de toda la familia matemá-ticamente?

El tema Una de las principales características del álgebra es la de representar valores numéricos con letras. Esto es muy útil al encontramos ante dos posibles situa-ciones: representar información que varía o tratar de hallar números descono-cidos. La temperatura del ambiente a lo largo de un día es un ejemplo del pri-mer caso. Digamos que por la mañana vale quince grados centígrados, a me-dio día su valor puede subir a veinticinco grados, y por la tarde se encuentra en veinte grados. Quince, veinte y veinticinco son números claramente distin-tos, pero son valores que representan lo mismo: temperatura.

Así, podemos utilizar la letra 𝑡 para representar la temperatura y sus valores pueden ser quince, veinte, veinticinco o cualquier otro valor que midamos con un termómetro.

El segundo caso surge cuando trabajamos con igualdades. Como ya vimos, las letras son símbolos que pueden representar una gran cantidad de valores diferentes. Si queremos representar una situación particular, podemos fijar el valor de algunas de estas letras dentro de una fórmula. Para que la igualdad se preserve, la letra que dejemos libre (es decir, sin darle un valor numérico) queda forzada a tomar un único valor. Por ejemplo, tenemos:

𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

Esta expresión corresponde a la formulación física de la fuerza. La letra 𝑚 representa la masa de un cuerpo, la letra 𝑎 representa el valor de la acelera-ción que sufre la masa y la letra 𝐹 representa la fuerza generada. Podemos dar valores particulares a las letras 𝐹 y 𝑚; pero, una vez que sucede esto, la aceleración debe tomar un único valor para que se mantenga la igualdad.

En los siguientes capítulos trabajaremos con igualdades entre expresiones algebraicas y valores numéricos. Nos enfocaremos en situaciones que tengan que ver con la búsqueda de un valor desconocido. Un paso muy importante es aprender a hacer uso de letras que representen ciertas cantidades que nos permitan resolver problemas. No debes sentirte inseguro, ya has trabajado antes con fórmulas matemáticas de esta forma. Por ejemplo: durante la prima-ria nos enseñaron a usar la letra “b” para representar la base de un rectángulo y la “h” para su altura, al multiplicarlas obtenemos su área, que se suele escri-bir como “A”. Ahora seremos nosotros mismos quienes propongan las letras que representen los valores en un problema. Para eso, cualquier letra puede


ser utilizada, pero las que nos encontraremos más comúnmente son “x”, “y”; “a”, “b” y “c”.

El análisis Regresemos al problema de la familia de Saúl. Si nos damos cuenta, algunas edades dependen de otras. Por ejemplo: la edad del papá de Saúl y la de sus hermanos dependen de la edad de Saúl, la de la mamá de la del papá, etc. Pero Saúl no depende de nadie, es decir, la edad de Saúl no depende de la edad de alguna otra persona, por lo que se puede tomar su edad como el inicio de todo. Así que, como no conocemos esta edad, podemos usar una letra para representarla. En este caso usaremos la letra más habitual: x.

El primero en la lista para conocer su edad es el papá que tiene el triple de la edad de Saúl. Lo que se debe hacer es multiplicar esta última cantidad, que es x, así:

𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑝á = 3𝑥.

Ahora, para conocer la edad de la mamá, se nos dice que tiene 6 años menos que el papá. Como ya sabemos que el papá tiene 3x años, la edad de la ma-má queda así:

𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑚á = 3𝑥 − 6.

A continuación viene la edad de Teresa, que es cuatro años más grande que Saúl, lo que podemos escribir como:

𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑟𝑒𝑠𝑎 = 𝑥 + 4.

Luego podemos escribir la edad de Javier, quien tiene la mitad de la edad de Saúl, lo que queda como:

𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 = 𝑥2

Esta información la hemos puesto en la siguiente tabla:


Edad del papá 𝟑𝒙.

Edad de la mamá 3𝑥 − 6

Edad de Teresa 𝑥 + 4

Edad de Saúl 𝑥

Edad de Javier 𝑥2

De regreso al tema Cabe mencionar que para expresar la multiplicación de un número por una letra, podemos poner dicho número (al que llamaremos constante) junto a la letra sin ningún signo en medio. Entonces podemos leer la expresión “3x” co-mo “equis por tres” o también como “tres equis”. De la misma forma, si se va a dividir la letra entre un número, se pone la letra por delante, por lo que deci-mos “equis entre dos” o “un medio de equis” para referirnos a 1

2𝑥.

El problema - Cajas para regalar

Lucía hace cajas de regalo en forma de cubo y totalmente cerradas. Las ela-bora de diferentes tamaños, por lo que desea saber qué cantidad de material se lleva en cada caja conociéndose solamente cuánto tiene de lado una caja.

a) ¿Cómo le podrá hacer?

El análisis En primer lugar debemos saber qué nos requiere el problema. Como se trata del material que necesita una caja cúbica recordemos que las caras de un cubo son cuadrados. Conocer la cantidad de material que se requiere para armar las cajas nos lleva a calcular el área de las caras del cubo. El área de un cuadrado se obtiene multiplicar lado por lado, o lado al cuadrado. ¿Pero cuál lado, si no sabemos cuánto mide? En este caso se desea saber para cualquier medida de lado de la caja, ya que el tamaño varía y deseamos hacerlo única-mente con el valor del lado. Este “lado” se refiere a la arista del cubo, por lo que usaremos la letra a. Así, la expresión que nos proporciona el área de cada cara de la caja es:

𝑎2


Ahora, se nos pide el total del material por caja, por lo que tenemos que multi-plicar el área de cada cara por seis, que es el número de caras totales de un cubo. De esta forma, la expresión final para el material por caja es de:

6𝑎2

Esta expresión nos permite saber cuánto material se usará en cada caja.

De regreso al tema La expresión obtenida es apropiada para hablar de los elementos de una ex-presión algebraica. En primer lugar, tenemos el signo de la expresión que puede ser positivo o negativo. En el caso anterior, al no haber un signo escrito explícitamente, tomamos el signo positivo como tácito.

El siguiente elemento es el que corresponde al número 6. A este le conocemos como coeficiente o constante de la expresión y nos indica el número por el que se debe multiplicar la letra o su valor; en este caso, se le conocerá más como coeficiente. En otras expresiones, las constantes expresarán suma

(𝑎2 + 3), resta (𝑎3 − 6) o división (𝑎2

4), que se puede tomar como 1

4𝑎2. Preci-

samente se les llama constantes porque representan una cantidad fija y, a su vez, una operación fija, mientras que la letra puede valer 0, 1, 5, 17, 89, 567, 3 456 548, -5, 4.62, 3

5, lo que nosotros queramos, o bien representar una canti-

dad desconocida que hay que encontrar. El seis de 6𝑎2 significa que sea cual sea el valor de 𝑎2, se tiene que multiplicar al final por seis.

El siguiente elemento es la letra. Dependiendo de su uso le conoceremos co-mo variable cuando le podamos poner cualquier valor, o incógnita si su valor es fijo pero desconocido. El último objeto es el exponente o potencia, que en 6𝑎2 corresponde al dos. De la misma manera, indica que el valor que toma la letra, sea un valor variable o desconocido, se debe elevar a la potencia indicada. Todos los elementos: signo, coeficiente, literal y exponente; al estar juntos y formar una sola expresión, les llamamos término algebraico o sim-plemente término. Es necesario aclarar que para tener un término no son necesarios todos los elementos, podremos tener términos como 𝑎2,−3𝑎,𝑎, 53, 12, etc.

En una expresión algebraica podemos tener uno o varios términos, lo que los separará son los signos que haya entre ellos. Esto significa que una expresión como −16

25𝑎2𝑏3 es un solo término, ya que aunque hay un signo, no está sepa-

rando a nadie; en cambio, otra expresión como 𝑎 + 7 tiene dos términos debi-


do a que el signo separa a las dos cantidades. Una expresión puede clasificar-se de acuerdo al número de términos que tengan. Si es una expresión del tipo 6𝑎2 que tiene un solo término, se le llama monomio (del griego mono, uno), mientras que una expresión que tiene 2 o más términos se le llama polinomio (del griego polis, muchos). A su vez, un polinomio de dos términos le decimos binomio, a uno de tres, trinomio; a uno de cuatro le podemos decir tetranomio o cuatrinomio, pero el término ya se vuelve incómodo de usar, por lo que tam-bién se usa “polinomio de cuatro términos”, nombre largo pero más entendible.

El problema - El que sigue

Expresar la suma de tres números consecutivos cualesquiera.

El tema Hay expresiones que en matemáticas resultan complicadas de entender y crean confusiones, una de ellas es “aumentado en siete”. Esta expresión quie-re decir que al número con que iniciamos se le suman siete unidades. Así, si 𝑎 representa el número del cual partimos, “𝑎 aumentado en siete” se escribe como:

𝑎 + 7

Otra expresión similar a la de arriba es “disminuido en cinco”, que siguiendo el mismo tipo de razonamiento la podemos escribir como:

𝑎 − 5

Un tercer ejemplo es “el doble del producto de dos números”. Si recordamos que producto quiere decir multiplicación y que obtener el doble quiere decir multiplicar por dos, llegamos a que la expresión algebraica equivalente es:

2𝑏𝑐

Si se trata del cociente de dos números se escribiría así:

𝑥𝑦

Otro caso especial será hablar de la semisuma, la semidiferencia o el semi-producto de dos números. Hay que aclarar primero que “semi” es un término heredado del latín que significa “a la mitad”. Con esta idea podemos escribir respectivamente a las expresiones anteriores como:


𝑎 + 𝑏2

,𝑚 − 𝑛

2,

𝑥𝑦2

El enunciado del problema es una expresión de esta naturaleza: requerimos traducirlo al lenguaje algebraico. Analicémoslo entonces.

El análisis Un número consecutivo es el que le sigue a uno dado. El consecutivo de seis es siete, el de cincuenta y seis es cincuenta y siete, el de novecientos noventa y nueve es mil, etc. Nos podemos dar cuenta que la operación que necesita-mos para encontrar un número consecutivo es sumarle uno. Como no sabe-mos con exactitud de qué numero deseamos obtener su consecutivo, ya sea porque puede ser cualquiera o porque es desconocido, lo llamamos 𝑥. Enton-ces, el consecutivo de 𝑥 es:

𝑥 + 1

¿Cuál es el consecutivo de este número? Le sumamos uno para encontrarlo:

(𝑥 + 1) + 1 = 𝑥 + 2

Si nuestro primer número del cual partimos es 𝑥, tenemos tres números en orden consecutivo que podemos sumar. Por lo que la expresión queda:

𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2)

Con lo que aprendiste realiza los siguientes ejercicios:

a) Hugo, Marcos y Luis juntan dinero para comprar una revista. ¿Cómo expresas lo que han juntado si Hugo tiene tres pesos más que Luis y Marcos tiene el doble que el primero?

b) Expresa cómo se escribiría de manera algebraica un número par y uno impar.

2. Valor numérico de una expresión El problema - Sin recargos

Lucas renta una película para ver en su casa. El costo de la renta es de $15 y le sirve para tener el video dos días en su casa y regresarlo. Si se pasa de ese


tiempo, le empiezan a cobrar $3 por cada día extra que se tarda en regresar-la.

a) ¿Cuánto le cobrarán por tres días que tarda en entregarla?

b) Si se tarda cinco días, una semana, dos semanas o un mes, ¿cuánto pagará con todo y multa?

El tema Este tipo de problemas consisten en que dados ciertos datos, los sustituyamos en una expresión algebraica, ya sea que la armemos nosotros o que nos la pongan. Sustituir significa que en lugar de colocar la letra, colocamos el núme-ro del valor correspondiente; este valor puede ser uno que nosotros deseemos o uno que se nos pregunte en el mismo problema, situación más común. A continuación hacemos las operaciones indicadas para obtener al final el valor de la expresión.

El análisis La misión principal es que armemos la expresión algebraica para el problema. Lo primero que debemos tomar en cuenta es que el costo de la renta le permi-te a Lucas tener la película dos días en su casa, por lo que si la entrega dentro de esos dos días no hay costo extra. Pero, a partir del día siguiente empieza a correr la multa. Entonces, si tenemos un cierto número de días en el que se tarda en entregarla, hay que quitarle los dos primeros en los que la renta es válida. Esto significa que lo que está variando son los días, por lo que la ex-presión algebraica se tiene que armar respecto a los días, estos serán la in-cógnita.

Tomando en cuenta que cada día de atraso se cobra a tres pesos, la expre-sión para saber el cobro total, es decir: la renta y la multa por atrasarse en entregar la película, queda de la siguiente manera:

𝐶 = 15 + 3(𝑑 − 2)

En este caso, la C representa el cobro y la d los días que han pasado. Para saber cuánto se paga en total, se toman los días que han pasado, se le restan dos (los días en que la renta es válida) se multiplican por 3, que son el monto de la multa por día y se le suman al final los quince pesos del costo de la renta. Empecemos las cuentas, para tres días, la expresión sustituida queda así:

𝐶 = 15 + 3�(3) − 2�


Al quitar el paréntesis de más adentro, nos queda de esta manera:

𝐶 = 15 + 3(3 − 2)

El paréntesis nos indica que la resta va primero, lo que nos da 1. Luego:

𝐶 = 15 + 3(1) = 15 + 3 = 18

Por lo tanto, Lucas tendrá que pagar 18 pesos por un día de atraso. Para 5 días, tenemos lo siguiente:

𝐶 = 15 + 3(5 − 2) = 15 + 3(3) = 15 + 9 = 24

Una semana son 7 días, por lo que tenemos:

𝐶 = 15 + 3(7 − 2) = 15 + 3(5) = 15 + 15 = 30

Para dos semanas se podría pensar que lo único que tenemos que hacer es multiplicar esta cantidad por dos, y así, Lucas tendría que pagar sesenta pesos. Pero esto no sucede, verifiquémoslo con la expresión:

𝐶 = 15 + 3(14 − 2) = 15 + 3(12) = 15 + 36 = 51

Finalmente, un mes promedio se toma como si tuviera 30 días. Por lo que queda:

𝐶 = 15 + 3(30 − 2) = 15 + 3(28) = 15 + 84 = 99

La pregunta - Un viaje

Supongamos que lanzamos una piedra hacia arriba, y la ecuación que indica la altura que esta toma con respecto al tiempo está dada por ℎ = −5𝑡2 +20𝑡 + 2, donde t es el tiempo en segundos y h la altura que alcanza en me-tros. De acuerdo con esta información, completa la siguiente tabla de alturas.

Tiempo (s) Distancia (m)

0

1

2


3

4

El análisis De acuerdo a lo mencionado arriba, lo único que tenemos que hacer es susti-tuir el valor del tiempo dado en cada renglón en la fórmula puesta y obtener el valor de la distancia. Entonces, las operaciones y los resultados son:

−5(0)2 + 20(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2 𝑚

−5(1)2 + 20(1) + 2 = −5 + 20 + 2 = 17 𝑚

−5(2)2 + 20(2) + 2 = −20 + 40 + 2 = 22 𝑚

−5(3)2 + 20(3) + 2 = −45 + 60 + 2 = 17 𝑚

−5(4)2 + 20(4) + 2 = −80 + 80 + 2 = 2 𝑚

Por lo tanto, la tabla queda así:

Tiempo (hrs) Distancia (Km)

1 2

3/2 17

3 22

4.6 17

6 2

Ahora resuelve el siguiente problema usando lo aprendido:

Miguel trabaja como jornalero cinco días a la semana. Recibe $50 pesos por día y el patrón le da otros $15 pesos por semana como bono de puntualidad. ¿Cuánto recibe por una semana? ¿Por dos? ¿Por un mes? ¿Por tres meses? ¿Por medio año? Supongamos que en


todo ese tiempo llegó temprano. Expresa los resultados en la si-guiente tabla.

Semanas Pago ($)

3. Variable independiente y variable dependiente La pregunta - Taxi libre

La tarifa del servicio de taxis en la ciudad de Monterrey es de esta manera: el banderazo se cobra a $4.60 y por cada kilómetro del viaje se le añaden $1.30.

a) Dar la expresión algebraica que nos resuelva el problema

b) Hacer una tabla que represente el cobro del taxi, kilómetro por kiló-metro, hasta llegar a los primeros 10 kilómetros.

c) ¿Cuánto debe cobrar el taxi para un viaje de 17 kilómetros? ¿Por uno de 24, de 31, de 50 kilómetros?

El tema Aunque el problema es como los anteriores, en los que encontraremos la ex-presión algebraica que lo resuelva y sustituiremos los valores propuestos para obtener el resultado de la expresión algebraica, el problema nos servirá para dar dos definiciones importantes sobre las variables dentro de las relaciones algebraicas. En algunas situaciones, como la planteada en el problema, tene-mos la aparición de dos variables relacionadas entre sí. Estas variables juegan dos papeles importantes respecto a los datos que pueden ser sustituidos en el planteamiento de la situación. Una de estas variables es libre, esto significa que puede tomar los valores que se consideren adecuados sin restricción. A esta variable le llamamos variable independiente, porque no depende de otros números o letras para obtener sus valores; si pudiéramos decir que de-


pende de algo, sería de nosotros mismos para asignarle los valores o de quien nos ponga el problema (esto sería más común), de acuerdo a los valores que nos proponga o indique que usemos para el resultado.

La otra variable espera el valor de las otras letras que aparecen en la expre-sión algebraica, ya que de acuerdo a ello, tomará su propio valor. Es por eso que a esta variable se le conoce como variable dependiente, porque de-pende del valor de las otras variables de la expresión algebraica. Un ejemplo de este tipo de relación de variables es el cálculo del área de un terreno de forma rectangular. Debido a que la fórmula para el área es

𝐴 = 𝑏ℎ

Entonces la base y la altura de dicho terreno pueden valer lo que nosotros decidamos o lo que el problema nos sugiera, ambas letras –o solo una de ellas si nos encontramos con que una está en términos de la otra– son las variables independientes. En cambio, para saber cuánto vale el área del terreno, debe-mos saber primero el valor de las dimensiones del terreno, por lo que se con-vierte en una variable dependiente.

¿Por qué es importante hablar de estos conceptos? Porque en situaciones como la anterior, así como en la del problema planteado, tendremos que una o varias cantidades se encuentran relacionadas, de tal manera que al hacerlas variar, nos darán valores distintos de acuerdo a las circunstancias que se va-yan presentando. Este tipo de relaciones se les llama relaciones funcionales, las cuales son de la siguiente forma

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Esto es: a “x”, a sus repeticiones o a otras letras se les combina con varias operaciones, mientras que “y” es igual a dicha combinación. Por ejemplo:

𝑦 = 3𝑥2 + 7𝑥 − 12

Recordamos que pueden ser otras letras las que tomen el lugar tanto de “x” como de “y”. Recordemos lo que pasó en el problema de la renta de películas, en el que llegamos a una expresión algebraica como la siguiente:

𝐶 = 15 + 3(𝑑 − 2)

En este caso, los días aparecen dentro de la fórmula, combinados con otras operaciones y también sugerimos los valores que podíamos colocar en lugar de ellos. Mientras tanto, el valor de la multa dependía de los días que pasaran


para entregar la película. El número de días era la variable independiente; el dinero a pagar, la variable dependiente.

Vayamos entonces al problema.

El análisis De acuerdo con el problema, el banderazo es una cantidad fija que se paga al inicio del recorrido, sea corto o largo. En cambio, tenemos una cantidad de dinero a pagar que va a aumentar de acuerdo con los kilómetros que dure el viaje. Por lo tanto, si deseamos saber el costo del viaje, la expresión algebrai-ca que ocuparemos para ello es la siguiente:

𝐶 = 4.60 + 1.30𝑘

Donde “k” son los kilómetros recorridos, por los cuales se paga $1.30 por cada uno, mientras que C representa el costo a pagar. Cabe mencionar que los kilómetros son la variable independiente, mientras que el costo es la variable dependiente.

La tabla queda de la siguiente manera

Kilómetros Costo ($)

1 4.60 + 1.30(1) = 4.60 + 1.30 = $5.90

2 4.60 + 1.30(2) = 4.60 + 2.60 = $7.20

3 4.60 + 1.30(3) = 4.60 + 3.90 = $8.50

4 4.60 + 1.30(4) = 4.60 + 5.20 = $9.80

5 4.60 + 1.30(5) = 4.60 + 6.50 = $11.10

6 4.60 + 1.30(6) = 4.60 + 7.80 = $12.40

7 4.60 + 1.30(7) = 4.60 + 9.10 = $13.70

8 4.60 + 1.30(8) = 4.60 + 10.40 = $15.00

9 4.60 + 1.30(9) = 4.60 + 11.70 = $16.30

10 4.60 + 1.30(10) = 4.60 + 13.00 = $17.60

Con la fórmula obtenida, podemos hacer los mismos cálculos para los distintos kilometrajes.


Para 17 kilómetros:

4.60 + 1.30(17) = 4.60 + 22.10 = $26.70


4.60 + 1.30(24) = 4.60 + 31.20 = $35.80


4.60 + 1.30(31) = 4.60 + 40.30 = $44.90

Por último, para un viaje de 50 kilómetros, la cantidad que se deberá pagar es la siguiente:

4.60 + 1.30(50) = 4.60 + 65.00 = $69.60

Con los conocimientos que adquiriste resuelve el siguiente problema:

Polo está juntando monedas de dos y cinco pesos para comprarse un carrito de juguete.

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que expresa el dinero total juntado?

b) ¿Cuáles son las variables independientes y las dependientes?

c) Completa la siguiente tabla

Monedas de $2 Monedas de $5 Dinero total

3 5

8 6

4 9

7 7

12 15


4. Síntesis en mapa


UNIDAD OPERACIONES CON EXPRESIONES

2

En la unidad anterior te analizaste y te familiarizaste con el uso de expresiones algebraicas. En esta unidad aprenderás a manipularlas para obtener otras que te sean de mayor utilidad o que te permitan calcular el valor de una incógnita.

Al estudiar profundamente esta unidad podrás:

• Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas como monomios y polinomios.

• Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, es decir, multiplicación y división de monomios y polinomios.

• Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).

• Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; x2 + bx + c; x2 – a2.

1. Reducción de términos semejantes La pregunta - A comer tacos

Roberto, Mauricio, Julián y Alfonso van a comer a una taquería en la que pi-den tacos de pastor y de bistec. Roberto se come tres de pastor y dos de bis-tec; Mauricio dos de pastor y cinco de bistec; Julián cinco de pastor y tres de bistec; y Alfonso se despacha con cuatro de pastor y uno de bistec. A la hora de pagar la cuenta, deciden escribir una manera de verificar si el total es co-rrecto.

a) ¿Cómo lo escribirían si quisieran utilizar métodos algebraicos?

El tema Retomaremos la idea vista en el capítulo anterior: primero trataremos de anali-zar el enunciado del problema para llevarlo a la expresión algebraica adecua-da. Empezaremos por escribir la expresión que corresponde a cada comensal. Iniciamos con Roberto, quien comió tres tacos de pastor y dos de bistec.


Vamos a considerar las mismas letras que nos indican los ingredientes de los tacos: p para pastor y b para bistec. El consumo de Roberto (en tacos) queda entonces de la siguiente manera:

3𝑝 + 2𝑏

Podemos escribir los tacos que se comió Mauricio como:

2𝑝 + 5𝑏

Los tacos de Julián:

5𝑝 + 3𝑏

Por último, los que consumió Alfonso quedan escritos así:

4𝑝 + 𝑏

Recordemos que si el coeficiente de una expresión algebraica es 1, este no se pone. Así, para un taco de bistec escribimos solamente 𝑏. Ahora bien, para conocer cuánto se comieron en total, solamente hay que sumar el número de tacos de cada tipo que se comieron entre los cuatro, lo cual podría hacerse de esta manera:

Tacos de pastor: 3 + 2 + 5 + 4 = 14

Tacos de bistec: 2 + 5 + 3 + 1 = 11

Pero también podríamos hacerlo de manera algebraica, ya que si volvemos a escribir los pedidos con símbolos, la cuenta nos quedaría de la siguiente ma-nera:

3𝑝 + 2𝑏 2𝑝 + 5𝑏 5𝑝 + 3𝑏 4𝑝 + 𝑏

14𝑝 + 11𝑏

Analizando el problema La última expresión ayudará a saber cuánto habrá que pagar en total si cono-cemos el precio de cada taco de pastor y de bistec. Para ello tendríamos que encontrar el valor numérico de esta expresión algebraica. Asignemos precios a


los tacos, digamos que los de pastor cuestan $7 y los de bistec $5. Entonces, la cuenta a pagar será de:

14(7) + 11(5) = 98 + 55 = $153

Retomando el tema En la primaria y la secundaria aprendimos a realizar operaciones básicas con números, es decir: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a alguna potencia o sacar una raíz. Las expresiones algebraicas son representaciones de números y operaciones entre ellos. Entonces, a las expresiones algebraicas también les podemos aplicar las mismas operaciones. Claro, las reglas cambian un poco, pero las iremos revisando paso a paso.

La primera operación con expresiones algebraicas la hemos hecho arriba y tiene que ver con algo que se conoce como reducción de términos seme-jantes. Dos términos son semejantes si tienen la mismas bases, -es decir, las mismas letras- elevadas a los mismos exponentes cada una. Dos términos como 2𝑥 y 5𝑥 son semejantes. También lo son otros de esa misma forma, como 𝑥, 7𝑥, 21𝑥, 3432𝑥,−6𝑥,−𝑥,−12𝑥, 2

3𝑥,−1

4𝑥, etc. En cambio, si los términos

a comparar fueran 2𝑥 y 4𝑥2, u otros como 2𝑥 y 8𝑦 o 2𝑥2 y 2𝑥3, no los conside-ramos como semejantes. En otras palabras, mientras tengan las mismas letras y aparezca el mismo exponente en cada una de ellas, son términos semejan-tes, no importa el coeficiente y el signo de los términos.

Ahora bien, reducir los términos semejantes es sumar y restar aquello en lo que no es obligatorio que se parezcan: los coeficientes. Si retomamos el pro-blema de arriba, la reducción de los términos semejantes que se usaron para los tacos al pastor es la siguiente:

3𝑝 + 2𝑝 + 5𝑝 + 4𝑝 = 14𝑝

Es claro que también puede darse si tenemos casos como:

−2𝑎 − 4𝑎 − 7𝑎 = −13𝑎

5𝑦 − 4𝑦 + 23𝑦 + 11𝑦 − 43𝑦 = −8𝑦

En estas últimas expresiones ya involucramos operaciones de números con signos. A esta operación también se le puede llamar suma o resta de mono-mios (según sea el caso), ya que es la reducción de expresiones con un solo término.


Veamos la siguiente pregunta.

Otra pregunta - Los paquetes

Laura tiene trece paquetes con una cierta cantidad de huevos, Silvia tiene ocho paquetes con esa misma cantidad y Paula lleva otros once paquetes.

a) ¿Cuántos paquetes tienen entre las tres?

b) Si dejan nueve paquetes en la tienda de Don Lalo, cinco paquetes en el mercado y siete paquetes en la pollería de Doña Tere, ¿con cuán-tos paquetes se quedan?

Analizando el problema De nueva cuenta recurrimos al lenguaje algebraico. En este caso, los paquetes tienen una cantidad desconocida de huevos, por lo que ese será precisamente el dato al que se le asignará la incógnita que llamaremos h. Entonces la canti-dad de paquetes que tiene cada persona es:

Laura: 13ℎ Silvia: 8ℎ Paula: 11ℎ

Como la pregunta es cuántos paquetes tienen entre las tres, la operación que se efectúa es:

13ℎ + 8ℎ + 11ℎ = 32ℎ

Ahora se lleva a cabo la entrega de paquetes de huevos en distintos locales que queda como:

Tienda: 9ℎ Mercado: 5ℎ Pollería: 7ℎ

Nos encontraremos entonces con dos maneras distintas de enfrentar la opera-ción. Una de ellas es ir restando a los paquetes que tienen las tres mujeres que se entregan en cada local. Esta operación se representaría así:

32ℎ − 9ℎ − 5ℎ − 7ℎ = 11ℎ

La otra sería si juntamos por un lado los paquetes que se han entregado:


9ℎ + 5ℎ + 7ℎ = 21ℎ

Para luego restar esta cantidad a lo que se tenía en total:

32ℎ − 21ℎ = 11ℎ

Realiza los siguientes ejercicios con lo que acabas de aprender:

• Pepe tiene quince monedas, Ana treinta y dos, Lucía veintiuno y Diego quince. Para saber cuántas monedas tiene cada uno, ¿cómo quedaría planteado el problema de manera algebraica? (No tomes en cuenta las denominaciones).

• Si Mariana tiene el doble de la edad de Luisa y esta es mayor que Sonia por ocho años, ¿cuántos años tienen entre las tres?

2. Suma y resta de polinomios La pregunta - Juntemos nuestro dinero

1. Martín tiene tres monedas de un valor, cinco de otro y uno de un terce-ro; Romina tiene ocho monedas de ese primer valor, tres del segundo y dos del tercero; por su parte, Jonathan tiene cuatro, siete y tres mo-nedas de los mismos valores respectivos.

a. ¿Cómo se expresa de manera algebraica el dinero que tienen

entre los tres?

El tema Dado que ya hemos visto reducción de términos semejantes, queda poco que agregar para suma y resta de polinomios. Se trata simplemente de una reduc-ción de términos semejantes para expresiones algebraicas más largas. De hecho, en nuestro primer problema, sumamos cuatro binomios. El método que usamos en ese problema es el mismo que se utiliza en la suma de polinomios. Ahora bien, es importante tener presentes las reglas de los signos para suma y resta al momento de manipular polinomios. Con signos iguales sumamos las cantidades y colocamos el signo común. Si tenemos signos distintos, restamos cantidades y aparecerá el signo del número mayor. Utilicemos estas herra-mientas para resolver el problema planteado.


Analizando el problema En este caso tenemos que cada chico tiene tres monedas con denominación distinta y además desconocida. Por lo tanto, representaremos los tres tipos de monedas con tres letras distintas, que en este caso pueden ser 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Así, sabemos que las monedas de Martín son tres del primer tipo, cinco del segundo y uno del tercero. La expresión algebraica para las monedas que tiene es:

3𝑎 + 5𝑏 + 1𝑐 = 3𝑎 + 5𝑏 + 𝑐

Recordando que para expresiones algebraicas 1𝑥 = 𝑥.

Ahora, para las monedas de Romina tenemos lo siguiente:

8𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐

Y para las monedas de Jonathan quedaría esta expresión:

4𝑎 + 7𝑏 + 3𝑐

Como hemos mencionado antes, la suma de polinomios es la reducción de los términos semejantes que aparecen en todos aquellos, por lo que la operación a realizar queda de la siguiente manera:

(3𝑎 + 5𝑏 + 1𝑐) + (8𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐) + (4𝑎 + 7𝑏 + 3𝑐) = 15𝑎 + 15𝑏 + 6𝑐

En resumen, los niños tienen quince monedas de la primera denominación, quince de la segunda y seis de la tercera.

Otra pregunta - Y ahora lo gastamos

Si deciden usar ocho monedas de la primera denominación, seis de la segun-da y dos de la tercera para comprar chicles.

a) ¿De qué manera queda la expresión algebraica para el dinero que les sobra después de haberlos comprado?

El tema Una resta de polinomios puede ser como la siguiente:

(9𝑥 + 3𝑦) − (6𝑥 − 2𝑦)


Para este caso el signo negativo que está en medio de los polinomios se pue-de “multiplicar” por el signo de los términos del polinomio al que afecta, es decir, el segundo. Esto mismo es equivalente a decir que los términos de un polinomio, delante de un signo negativo, cambian de signo a su vez. De tal suerte que la operación queda -quitando los paréntesis y colocando los térmi-nos de los polinomios como si fuéramos a reducir términos semejantes- de la siguiente manera:

(9𝑥 + 3𝑦) − (6𝑥 − 2𝑦) = 9𝑥 + 3𝑦 − 6𝑥 − (−2𝑦) = 9𝑥 + 3𝑦 − 6𝑥 + 2𝑦

La reducción de dichos términos nos da el resultado final, que es 3𝑥 + 5𝑦.

Analizando el problema Para escribir las ocho monedas de la primera clase, seis de la segunda y dos de la tercera, nos valemos de la manera de escribir que usamos en el proble-ma anterior, esto es:

8𝑎 + 6𝑏 + 2𝑐

Como dichas monedas se gastaron en chicles, la operación que haremos es la resta, que queda escrita como sigue:

(15𝑎 + 15𝑏 + 6𝑐) − (8𝑎 + 6𝑏 + 2𝑐)

Con el cambio de signo la operación queda de esta manera:

(15𝑎 + 15𝑏 + 6𝑐) − (8𝑎 + 6𝑏 + 2𝑐) =

15𝑎 + 15𝑏 + 6𝑐 − 8𝑎 − 6𝑏 − 2𝑐 =

7𝑎 + 9𝑏 + 4𝑐

Las monedas sobrantes son siete de la primera denominación, nueve de la segunda y cuatro de la tercera.

Para reforzar tus conocimientos resuelve los siguientes problemas:

• Pedro tiene un terreno que tiene 9𝑥 + 3𝑦 metros de orilla, Al-berto otro terreno con 4𝑥 − 3𝑦 y Zacarías −5𝑥 + 8𝑦. ¿Cuántos metros de malla de alambre van a necesitar si deciden com-prarla juntos para cercar sus terrenos?


• Don Néstor, el dueño de la ferretería, les dice que sólo tiene malla para 6𝑥 + 5𝑦 metros, ¿cuánto les seguirá faltando si de-ciden comprarla?

3. Multiplicación de monomios y polinomios La pregunta - ¿De qué tamaño?

Javier tiene un terreno de forma rectangular que tiene como medida de la ba-se el doble de la altura aumentada en siete.

a) ¿Qué expresión algebraica describe el área del terreno?

El tema Si recordamos el procedimiento que lleva a cabo para la multiplicación de po-tencias de la misma base, tenemos que por ejemplo:

(24)(23) = [(2)(2)(2)(2)][(2)(2)(2)] = 24+3 = 27

Observemos que la base no sólo puede ser un número, sino también una letra que simboliza un valor cualquiera y entonces tendríamos una situación como la siguiente:

(𝑎3)(𝑎4) = 𝑎7

Éste es el principio fundamental de la multiplicación de expresiones algebrai-cas. Los coeficientes y los signos se operan normalmente, esto es, multiplica-mos los coeficientes como simples números y seguimos las reglas de los sig-nos para la multiplicación. Veamos el siguiente ejemplo:

(−3𝑥2𝑦)(9𝑥3𝑧)(−2𝑥𝑦6) = +54𝑥6𝑦7𝑧

Observemos que las literales que no se operan simplemente se agregan al resultado final con su exponente original. En fin, hemos revisado la multiplica-ción de monomios, llamadas así porque son expresiones de un solo término. Para multiplicar monomios por polinomios o polinomios entre sí, el mismo pro-ceso se repite varias veces. Ejemplificaremos estos casos resolviendo el pro-blema inicial y uno adicional.

Analizando el problema Como queremos obtener el área de un terreno rectangular, es necesario re-cordar que debemos multiplicar la medida de la base por la altura. Para este


problema, la base está en términos de operaciones que se le hacen a la altura, por lo que este dato será nuestra incógnita a la cual llamaremos h (recordemos que se puede escoger cualquier letra). Así, el problema dice que la base es el doble de la altura y que luego a eso se le añaden siete unidades. Por tanto, la base queda escrita como:

Base = 2ℎ + 7

Entonces el área del rectángulo queda así:

Área = 𝑏ℎ = (2ℎ + 7)(ℎ)

Notemos que se trata de una multiplicación de un polinomio por un monomio, por lo que esa multiplicación se hace término por término, tantas veces como elementos tenga el polinomio. Dicho de forma más precisa, ese polinomio es en realidad un binomio (“bi” significa “dos”), por lo que lo haremos dos veces:

(2ℎ + 7)(ℎ) = (2ℎ)(ℎ) + (7)(ℎ) = 2ℎ1+1 + 7ℎ

2ℎ2 + 7ℎ

Esta expresión nos dará el área del terreno, cualquiera que sea el valor de h.

Otra pregunta - Caja suficiente

Marcela acaba de comprar una caja, cuyos lados miden 3𝑥 + 1, 2𝑥 − 5 y 𝑥 + 3.

a) ¿Cuál es la expresión que representa el volumen de la caja?

Analizando el problema En este caso, los tres lados –o mejor dicho, las tres aristas– de la caja son polinomios, por lo que la multiplicación se hace más veces, el primer término se tiene que multiplicar por cada uno de los términos del segundo polinomio y así sucesivamente dependiendo de los términos de cada polinomio. En este problema se trabajará con tres polinomios, por lo que multiplicaremos dos en-tre sí y el resultado lo multiplicaremos por el tercero. Así, las dos primeras aristas se multiplican:

(3𝑥 + 1)(2𝑥 − 5)

La operación -como dijimos- será término a término, entonces:


(3𝑥 + 1)(2𝑥 − 5) = 3𝑥(2𝑥 − 5) + 1(2𝑥 − 5) =

(3𝑥)(2𝑥) − (3𝑥)(5) + 1(2𝑥) − 1(5)

Por lo tanto, llegamos al siguiente resultado:

(3𝑥 + 1)(2𝑥 − 5) = 6𝑥2 − 15𝑥 + 2𝑥 − 5

Como se puede observar, en esta operación aparecen términos semejantes. No en todas las multiplicaciones ocurre ese fenómeno, pero si se da el caso es conveniente que reduzcamos los términos semejantes para facilitar los cálcu-los. Por tanto:

(3𝑥 + 1)(2𝑥 − 5) = 6𝑥2 − 13𝑥 − 5

Con estas mismas reglas, la otra multiplicación -que nos dará el resultado fi-nal- nos queda:

(6𝑥2 − 13𝑥 − 5)(𝑥 + 3) = 6𝑥3 + 18𝑥2 − 13𝑥2 − 39𝑥 − 5𝑥 − 15 =

6𝑥3 + 5𝑥2 − 44𝑥 − 15

4. División de monomios y polinomios La pregunta - Para su venta individual

La cantidad total de dulces que produce cierta empresa se puede expresar como 80𝑑4 − 25𝑑3 + 70𝑑2. Los paquetes que se han preparado para el em-paque de los dulces están diseñados de tal manera que caben 5𝑑2 dulces en cada paquete.

a) ¿Cuántos paquetes se pueden elaborar con la producción total?

El tema Ya hemos dicho antes que la división se considera la operación contraria de la multiplicación. A partir de esa idea, es de suponerse que las reglas para efec-tuar las divisiones de expresiones algebraicas serán las exactamente las in-versas de las reglas que usamos para multiplicar, excepto las leyes de los signos, ya que en ambas operaciones son las mismas: dividir (o multiplicar) signos iguales da un resultado positivo; dividir (o multiplicar) signos distintos arroja un resultado negativo. Volviendo al meollo del asunto, se dividen los


coeficientes y se restan los exponentes en el caso de tener la misma base. Así, si tenemos la siguiente división:

−45𝑥5𝑦2𝑧2

9𝑥3𝑦4𝑧2

El resultado será el siguiente:

−45𝑥5𝑦2𝑧2

9𝑥3𝑦4𝑧2= �

−459� 𝑥5−3𝑦2−4𝑧2−2

Que de acuerdo con las leyes de los exponentes, queda:

−5𝑥2𝑦−2 = −5𝑥2

𝑦2

Hemos realizado la división algebraica más básica, a saber, la de monomios. De manera similar a lo que pasa con la multiplicación de expresiones algebrai-cas, se podrá dividir un polinomio entre un monomio –dividir un monomio entre un polinomio no es posible, pues este último tiene más términos– y un polino-mio entre otro de igual o menor número de términos. Para ilustrar estos casos resolveremos algunos problemas.

Analizando el problema Regresemos a nuestro problema original. En este caso no necesitaremos ha-cer un planteamiento, las expresiones algebraicas ya están dadas; lo único que hacemos es determinar qué operación resuelve el problema y efectuarla. Como se trata de un problema de reparto, tenemos una división entre la canti-dad de dulces que se producen y los que caben en cada paquete. Observe-mos que la expresión algebraica para los dulces elaborados es un polinomio (tiene tres términos) y la de los paquetes es un monomio. La división -de ma-nera similar a la multiplicación- se hace varias veces, dependiendo el número de términos del polinomio.

Entonces, la operación sería la siguiente:

80𝑑4 − 25𝑑3 + 70𝑑2

5𝑑2

Y la manera de obtener el resultado es:

80𝑑4 − 25𝑑3 + 70𝑑2

5𝑑2=

805𝑑4−2 −

255𝑑3−2 +

705𝑑2−2 =


16𝑑2 − 5𝑑 + 14

Este resultado es el número de paquetes necesarios para cubrir la producción.

Otra pregunta - Otra de terrenos

El terreno de Gumersindo tiene una extensión de 2𝑥2 − 𝑥 − 45 metros cua-drados. Si el largo del terreno mide 𝑥 − 5 metros.

a) ¿Cuánto tiene de altura, si el terreno tiene forma rectangular?

Analizando el problema No hace mucho hemos recordado que el área de un terreno rectangular es igual a multiplicar la base por la altura; por lo tanto, si dividimos el área entre la medida de la base obtendremos la altura. Así, considerando los datos del pro-blema, tenemos:

2𝑥2 − 𝑥 − 45𝑥 − 5

¡Cuidado! En este caso, a diferencia del problema anterior, tenemos que el divisor tiene dos términos (es decir, es un binomio y no un monomio), por lo que debemos llevar a cabo la división siguiendo más pasos.

Primero, realicemos la siguiente división:

2𝑥2

𝑥= 2𝑥

Este es el primer elemento del resultado. Si lo multiplicamos por el divisor nos queda:

2𝑥(𝑥 − 5) = 2𝑥2 − 10𝑥

Restamos este resultado al numerador:

(2𝑥2 − 𝑥 − 45) − (2𝑥2 − 10𝑥) = 9𝑥 − 45

Repetimos el proceso, pero ahora para este nuevo binomio:

9𝑥𝑥

= 9

9(𝑥 − 5) = 9𝑥 − 45


Al restar este último binomio y el resultado anterior, obtenemos cero. Como este nueve es la segunda parte del resultado, concluimos que:

2𝑥2 − 𝑥 − 45𝑥 − 5

= 2𝑥 + 9

Por lo tanto, la altura de este terreno es de 2𝑥 + 9 metros.

De regreso al tema. Si tuviéramos polinomios más grandes –es decir, con más términos- sobre todo en el dividendo, el proceso se repetiría más veces.

Resuelve el siguiente ejercicio con lo que aprendiste.

• Lola va a armar una caja con una hoja de cartón que tiene de tamaño 6ℎ2 − 18ℎ + 12 centímetros cuadrados. Si quiere que la altura de la caja sea de seis centímetros y uno de los lados mide ℎ − 2, ¿cuánto mide el lado que falta?

5. Productos notables y factorizaciones La pregunta - El vidrio roto

Felipe rompió el vidrio de su casa. Para reponerlo, se da cuenta de que tiene forma cuadrada y que mide 2𝑣 − 5 metros de lado.

a) ¿Cuál es la superficie del vidrio?

El tema Dentro de las multiplicaciones algebraicas con polinomios –y de manera espe-cial con los binomios- tenemos algunos casos especiales, de tal manera que podemos aplicar una regla establecida para resolverlos sin necesidad de reali-zar la multiplicación. A estos casos se les conoce como productos notables. El primero de éstos es el binomio al cuadrado, operación que tiene la forma:

(𝑎 + 𝑏)2

Para saber cuál es la regla que podemos aplicar en este caso, veamos cómo se realizaría normalmente esa operación:

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2


Para este caso, hemos hecho un acomodo (𝑏)(𝑎) = 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏, el cual es perfec-tamente válido ya que el orden de los factores no altera el producto (lo que se conoce como la propiedad conmutativa de la multiplicación). De hecho, en la multiplicación algebraica, si hay varias letras juntas en un término se pueden acomodar en orden alfabético para que sea más fácil su manejo y la identificación de términos semejantes.

Dicho lo anterior, la operación queda:

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

La regla entonces dice:

• Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Por cierto, al resultado de un binomio elevado al cuadrado se le llama trino-mio cuadrado perfecto.

Analizando el problema En el problema se trata de obtener el área de un cuadrado cuyo lado es un binomio, por lo que ese binomio tiene que elevarse al cuadrado. La operación queda así:

(2𝑣 − 5)2 = (2𝑣)2 + 2(2𝑣)(−5) + (−5)2 = 4𝑣2 − 20𝑣 + 25

Otra pregunta - Para acomodarnos

Había pensado en comprar un terreno cuadrado para mi casa. Sin embargo, para que la construcción quedara mejor, tuve que quitarle tres metros de frente y añadírselos a la longitud de fondo.

a) ¿Cómo queda expresada el área ahora?

El tema El segundo producto notable es la multiplicación de dos binomios que tengan los mismos términos, pero uno de ellos con signo contrario. Esto es:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)


A estos binomios se les conoce como binomios conjugados. Si los multi-plicamos, resulta que:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2

La regla es la siguiente:

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer tér-mino menos el cuadrado del segundo término.

Al resultado de la multiplicación de binomios conjugados se le llama diferen-cia de cuadrados.

Analizando el problema El problema dice que al terreno –que inicialmente tenía forma de cuadrado- se le tuvo que quitar tres metros a la medida que tenía de frente. Entonces, si suponemos que ese lado medía x, cuando se le quitan tres metros su longitud queda determinada por la expresión (𝑥 − 3). Por otro lado, el lado al que se le agregan esos tres metros está dado por (𝑥 + 3). Hemos modelado el problema y nos encontramos con que tenemos binomios conjugados. Si aplicamos la regla para su solución, obtenemos lo siguiente:

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = (𝑥)2 − (3)2

𝑥2 − 9

¿Esta área es igual a la original? ¡Averígualo!

Otra pregunta - ¡Ah, qué copiona!

Mi vecina Cristina también pensó en la misma idea de acomodar su terreno, pero ella le quitó ocho metros al frente y al fondo le aumentó cinco metros.

a) ¿Cuál será el área nueva de su casa?

El tema El tercer producto notable es la multiplicación de binomios con un término en común, misma que podemos escribir como:

(𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛)

De nueva cuenta, multipliquemos para obtener la fórmula:


(𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛) = 𝑥2 + 𝑛𝑥 + 𝑚𝑥 + 𝑚𝑛 =

𝑥2 + (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑚𝑛

Entonces, la regla queda:

• El producto de dos binomios con término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los segundos términos multiplica-dos por el común más la multiplicación de los segundos términos.

El resultado obtenido es un trinomio cuadrado común, para diferenciarlo del trinomio cuadrado perfecto. Está distinción quedará un poco más clara al resolver el problema.

Analizando el problema Para abordar el problema, es necesario notar que al terreno se le quita una parte de un lado y se le añade una parte al otro, pero esta vez no es lo mismo lo que se le quita y lo que se le pone. Por lo tanto, si el lado fuera x, el lado al que le quitan ocho metros se expresa con (𝑥 − 8), mientras que el lado al que se le agregan cinco metros queda determinado por (𝑥 + 5). De este modo, la operación para hallar el área del terreno con las nuevas medidas es una multi-plicación de binomios con término común, la cual se efectúa de la siguiente manera:

(𝑥 − 8)(𝑥 + 5) = (𝑥)2 + (−8 + 5)(𝑥) + (−8)(+5) = 𝑥2 − 3𝑥 − 40

Otra pregunta - A lo largo y a lo ancho

Un proyecto ecológico plantea que cada unidad habitacional tenga un jardín rectangular cuya área esté dada por la expresión 𝑥2 − 3𝑥 − 10, donde x es la medida del frente de la unidad habitacional. Si en los planos no se distinguen las expresiones para el largo y el ancho del jardín,

a) ¿Cómo se pueden expresar estas medidas a partir del área?

El tema ¿Es posible escribir un polinomio como un producto de otros polinomios? En muchos casos sí, y a esta operación le llamamos factorización de una expresión algebraica. La primera factorización que vamos a revisar es la de un trinomio cuadrado perfecto.

Tomemos por ejemplo una expresión como:


9𝑥2 + 30𝑥 + 25

Para que algo sea candidato a trinomio cuadrado perfecto primero se debe obtener la raíz cuadrada de los términos de los extremos (es decir, el primero y el tercero):

√9𝑥2 = 3𝑥 y √25 = 5

Hecho lo anterior, multipliquemos esas raíces entre sí y el resultado multipli-quémoslo por dos:

2(3𝑥)(5) = 30𝑥

Si el resultado de esa operación es exactamente igual al término que está en medio (o sea el segundo), entonces la expresión sí es un trinomio cuadrado perfecto. Cuando esta condición se cumple, entonces la factorización resulta ser un binomio al cuadrado cuyo primer componente es la raíz cuadrada del primer término y el segundo es la raíz cuadrada del tercer término; el signo siempre será el signo del segundo término.

Utilizando lo anterior:

9𝑥2 + 30𝑥 + 25 = (3𝑥 + 5)2

El siguiente tipo de factorización que vamos a revisar es la de una diferencia de cuadrados. Para ilustrarlo, consideremos el siguiente ejemplo:

64𝑥2 − 225

Para factorizar esa expresión sacamos la raíz cuadrada de los dos términos. Luego, abrimos dos paréntesis, escribimos esas raíces dentro de cada uno de ellos y colocamos signos contrarios en medio de cada uno de los términos. Así, tenemos que:

√64𝑥2 = 8𝑥 y que √225 = 15, por lo tanto

64𝑥2 − 225 = (8𝑥 + 15)(8𝑥 − 15).

Nuestra tercera factorización corresponde a la de un trinomio cuadrado común. Ilustrémoslo con este ejemplo:

𝑥2 + 2𝑥 − 63


En este caso, necesitamos encontrar dos números que al sumarlos nos den +2 y que al multiplicarlos el resultado sea -63. Esos números son +9 y -7, ya que:

(+9)(−7) = −63

(+9) + (−7) = +2

El resultado se escribe abriendo dos paréntesis, poniendo en cada uno de ellos la raíz cuadrada del término común y, en segundo lugar, los números encontrados. En nuestro ejemplo queda así:

𝑥2 + 2𝑥 − 63 = (𝑥 + 9)(𝑥 − 7)

¿Puedes usar esta misma factorización para un trinomio cuadrado perfecto? Chécalo con el primer ejemplo.

Hay una cuarta factorización que es muy útil, la cual utilizamos para ilustrar el resultado de multiplicar dos binomios con término común:

𝑚𝑥 + 𝑛𝑥 = (𝑚 + 𝑛)𝑥

A esta operación se le llama obtener el factor común, lo que significa que agrupamos lo que sea común en todos los términos y lo escribimos multipli-cándolo por lo que quedó. Esto implica que en el caso de coeficientes toma-mos el máximo común divisor (MCD); mientras que en el caso de variables expresadas con letras, utilizamos la que aparezca con el exponente más pe-queño en todos los términos.

Por ejemplo:

24𝑥2𝑦4 + 30𝑥5𝑦 − 54𝑥8𝑦6𝑧 = 6𝑥2𝑦(4𝑦3 + 5𝑥3 − 6𝑥6𝑦5𝑧)

¿Cuál de estas factorizaciones se aplica a nuestro problema? Veamos.

Analizando el problema El parque debe tener área igual a 𝑥2 − 3𝑥 − 10. La opción más viable es utili-zar la factorización de un trinomio cuadrado común. De esta forma, necesita-mos encontrar dos números que sumados resulten -3 y multiplicados sean igual a -10. Esos números son -5 y +2, ya que cumplen:

(−5)(+2) = −10

(−5) + (+2) = −3


Por lo que el resultado será:

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

Otra pregunta - La escuadra

Olga tiene una escuadra con las siguientes medidas

a) ¿Cuál es la medida del tercer lado?

Analizando el problema En este problema requerimos auxiliarnos de un hecho matemático adicional, a saber, el Teorema de Pitágoras. Ése resultado nos dice que en un triángulo rectángulo –el que tiene un ángulo igual a 90 grados–, el cuadrado de la hipo-tenusa –que es el lado que está frente al ángulo recto–, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, los lados que forman el ángulo recto.

Si lo pusiéramos en una fórmula, el Teorema de Pitágoras está expresado de la siguiente forma:

ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2

Aquí, ℎ corresponde al valor de la hipotenusa, 𝑎 y 𝑏 representan a los catetos.

Ahora bien, en este problema lo que tenemos son los lados que forman el án-gulo de 90 grados, es decir, los catetos. Necesitamos el valor del tercer lado. Si sumamos el valor de los catetos al cuadrado, obtenemos el valor de la hipo-tenusa al cuadrado, con esto, para obtener el valor buscado, basta con que saquemos raíz cuadrada al valor de la suma. El cuadrado del primer lado, apli-cando la fórmula del binomio al cuadrado es:

(3𝑥 − 2)2 = 9𝑥2 − 12𝑥 + 4

De igual forma, el cuadrado del segundo lado es:

3x-2

5x+3


(5𝑥 + 3)2 = 25𝑥2 + 30𝑥 + 9

La suma de ambas expresiones es:

(9𝑥2 − 12𝑥 + 4) + (25𝑥2 + 30𝑥 + 9) = 34𝑥2 + 18𝑥 + 13

Esta expresión representa la medida del valor del tercer lado al cuadrado. Con lo que la expresión final buscada corresponde a:

�34𝑥2 + 18𝑥 + 13

Ahora resuelve los siguientes ejercicios con lo que has aprendido:

Urbano dibujó un círculo en el suelo para hacer un hoyo para un po-zo. Si ese círculo tiene 6𝑎 − 2 metros de diámetro, ¿cuál es la expre-sión que representa el área del círculo?

Samanta duerme en un cuarto rectangular cuyo volumen está dado por 8𝑙2 − 18. Si la habitación tiene dos metros de altura, ¿cuáles son las medidas del largo y del ancho?


UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER GRADO 3

Las ecuaciones de primer grado son las ecuaciones más simples que hay para manipular y resolver. Muchos problemas complejos se resuelven adaptando este tipo de ecuaciones a ellos. En esta unidad nos dedicaremos a estudiar su estructura algebraica y la forma correcta de obtener su solución.

Tras estudiar a profundidad esta lección podrás:

• Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números constantes.

La pregunta - Adivina, adivinador

Pienso un número, lo multiplico por dos, luego le sumo siete, lo divido entre cinco y al resultado le quito uno. Después de hacer todo, me sale cuatro.

a) ¿Qué número pensé?

El tema En unidades anteriores se mencionó que el objetivo de usar letras para repre-sentar cantidades tiene dos finalidades. Una de ellas es que podamos sustituir esas letras por cualquier valor que nosotros queramos, en cuyo caso dichas letras se convierten en variables. El otro caso en que se utiliza una letra es el de representar una cantidad fija pero desconocida, lo cual convierte a la letra en una incógnita.

Para encontrar el valor de dichas incógnitas lo que tenemos que hacer es re-solver ecuaciones. Una ecuación es una expresión algebraica que está iguala-da con otra, la cual puede ser un valor numérico, una variable o una combina-ción de ambos. Ejemplos de ecuaciones los tenemos en las siguientes igual-dades:


2𝑥 − 7 = 4𝑥 − 1

6𝑎2 − 4𝑏 + 7 = 3

9𝑛4 − 14𝑚 = 5𝑛3 − 𝑝

En casos como estos, la igualdad marca una especie de balanza en la cual la expresión de la izquierda está siendo comparada con la de la derecha. Enton-ces, la idea de resolver ecuaciones es obtener el valor de la letra que haga que las expresiones estén en equilibrio.

Un aspecto importante de las ecuaciones es el grado, el cual se refiere al exponente más grande que aparece en la ecuación. Si no aparecen exponen-tes, el exponente mayor es 1, por lo que la ecuación se llama de grado uno o de primer grado, aunque también se le conoce como ecuación lineal.

Si el máximo exponente es dos (en otras palabras, si la ecuación tiene un tér-mino elevado al cuadrado), a la ecuación se le llama de grado dos, de segun-do grado o cuadrática. Si es de grado tres, entonces se le llama de tercer gra-do o cúbica. A las ecuaciones de grado cuatro en adelante se les llama de cuarto grado, quinto grado, etc. Lo anterior es importante mencionarlo puesto que empezaremos por trabajar con las ecuaciones de primer grado, es decir, con las ecuaciones que tienen exponente uno y una sola literal, ya que po-demos tener ecuaciones lineales con muchas letras.

Pero puntualicemos ¿cuál es el objetivo principal al momento de resolver ecuaciones? Como se mencionó arriba, la idea es conocer el valor de la letra o las letras que equilibren la igualdad, es decir, que al sustituir ese valor en la expresión algebraica la igualdad se cumpla. Como en este tema trataremos las ecuaciones de primer grado con una incógnita, lo que buscamos es llegar a algo como esto:

𝑥 = 5

Cabe mencionar que la letra puede ser cualquiera, y que el número puede ser natural, entero, racional, etc. Entonces resolver una ecuación significa ir qui-tando a la incógnita todas las operaciones que la afectan, para que así, poco a poco, tengamos el valor de la letra. A esto se le conoce como despejar una variable en una ecuación. Pongamos de ejemplo una ecuación como la si-guiente:

4𝑥 + 5 = 25


Observa que tenemos dos clases de sumando: aquellos que tienen variables y constantes o números solos. No podemos realizar la suma de una variable con un número, pero si podemos sumar variables del mismo tipo o números. Por esto mismo modificaremos esta ecuación para tener todos los números de un lado de la igualdad, y todas las variables del otro.

Del lado izquierdo de la igualdad tenemos un sumando con variable (el 4x) y la constante 5. Si movemos al 5 nos quedarán todas las constantes de un solo lado. Ahora bien, como ese número está sumado a la expresión literal, la ma-nera de “moverlo” es aplicando su operación contraria, es decir, la resta. Con esta idea, lo que haríamos sería:

4𝑥 + 5 − 5 = 25

Pero ¡ten cuidado! Esta expresión es incorrecta. La razón es la siguiente: he-mos dicho que una ecuación es una especie de balanza en la cual todo debe estar equilibrado. Hemos quitado cinco unidades de lado izquierdo lo que haría que la balanza -es decir, la ecuación- pierda el equilibrio. Para mantener el equilibrio, o la igualdad, si se hace algo de un lado, se hace también del otro; esto quiere decir que toda operación que efectuemos de un lado de la igualdad, también debemos realizarla del otro lado como se muestra a continuación:

4𝑥 + 5 − 5 = 25 − 5

Si operamos ambos lados de la igualdad nos queda lo siguiente:

4𝑥 = 20

El siguiente número que debemos “mover” para dejar a la x sola es el cuatro. La operación entre estos es una multiplicación, por lo aplicaremos la operación contraria: la división. Recuerda, nuevamente debemos realizar la operación contraria en ambos de la igualdad para no alterar la igualdad (en este caso dividir entre cuatro):

4𝑥4

=204

Del lado izquierdo operamos de la siguiente forma:

4𝑥4

=44𝑥 = 1𝑥 = 𝑥


Y así dejamos la incognita sola. Del lado derecho de la igualdad hay una ope-ración pendiente por hacer que es la división de veinte entre cuatro, cuyo re-sultado es cinco. Concluimos que la solución de la ecuación es:

𝑥 = 5

¿Qué significa que la solución sea 𝑥 = 5? Significa que si ese valor lo pone-mos en lugar de la x, al realizar las operaciones correspondientes obtendre-mos números iguales en ambos lados de la ecuación. Verifiquemos que sea así, sustituyendo el resultado que encontramos en la ecuación original:

4(5) + 5 = 25

20 + 5 = 25

25 = 25

A este proceso le llamamos comprobación de una ecuación. Aunque reali-zar dicha comprobación es opcional, nos es de gran ayuda, ya que si lo hace-mos podemos estar seguros de que el problema se resolvió de forma correcta. Es momento entonces de que comencemos a resolver problemas.

Algo que tomaremos en cuenta, y que nos marcará el camino a seguir en los próximos capítulos, es que trabajaremos desde el planteamiento de los pro-blemas, esto es, construiremos la ecuación que cumple con traducir en ecua-ciones la oración de cada problema, después se resolverá la ecuación y por último se comprobará que la solución sea correcta.

El análisis Uno de los trucos favoritos en matemáticas consiste en adivinar un número, sobre todo el número que hemos pensado. Este tipo de problemas se puede resolver por medio de las ecuaciones. Lo primero que haremos -tal como se mencionó arriba- es el planteamiento de la ecuación que resolverá el problema. Así, seguiremos cada enunciado y eso nos permitirá determinar la ecuación paso por paso. Antes que nada pongamos atención a lo que se nos pregunta, ya que ésa será la incógnita; en este caso no será difícil identificarla, pues se trata del número que se pensó. Comenzamos.

El problema dice:

Pienso un número…


𝑥

Lo multiplico por dos…

2𝑥.

Luego le sumo siete…

2𝑥 + 7

Lo divido entre cinco…

2𝑥 + 75

Y al resultado le quito uno…

2𝑥 + 75

− 1

Si después de todo, me sale cuatro

2𝑥 + 75

− 1 = 4

¿Qué número pensé?

La ecuación ha quedado lista, por lo que ahora procederemos a resolverla. Primero quitamos el uno -que aparece restando- sumándolo en ambos lados de la ecuación:

2𝑥 + 75

− 1 + 1 = 4 + 1

2𝑥 + 75

= 5

A continuación hay que quitar el cinco que está dividiendo a lo que aparece con x, para lo cual multiplicamos todo por cinco.

�2𝑥 + 7

5� (5) = (5)(5)

(2𝑥 + 7) �55� = 25


2𝑥 + 7 = 25

El siete es el siguiente número a eliminar. Como está sumando, restamos siete a ambos lados:

2𝑥 + 7 − 7 = 25 − 7

2𝑥 = 18

Para terminar dividimos todo entre dos, ya que así quitamos al dos que multi-plica a la incógnita:

22𝑥 =

182

𝑥 = 9

El número pensado fue nueve. Comprobémoslo, pero no en la ecuación, sino siguiendo lo que nos dice el problema: nueve por dos es dieciocho; si le sumo siete, da veinticinco; a esto lo divido entre cinco, lo que da como resultado cinco; al final le resto uno, eso da el cuatro que obtuvimos por respuesta. Hay una manera de reducir el espacio para las operaciones, el cual trataremos en nuestro siguiente problema.

Otra pregunta - Todo por un número

Un número, más su doble, más uno, es igual a cuatrocientos.

a) ¿Qué número es?

El tema Regresemos al ejemplo que usamos al principio:

4𝑥 + 5 = 25

El primer paso para resolver la ecuación fue:

4𝑥 + 5 − 5 = 25 − 5

Que luego reducimos a:

4𝑥 = 20


Si ligamos el primer y el tercer paso, encontramos que nuestro procedimiento también se puede escribir de la siguiente manera:

4𝑥 + 5 = 25

4𝑥 = 25 − 5

4𝑥 = 20

Por tanto tenemos otra manera de simplificar el trabajo, y es a través de lo que podríamos llamar operaciones contrarias. Esto significa que si un elemento de la ecuación –literal o constante– va a cambiar de lado de la igualdad, lo hará mediante la operación contraria que realiza antes del cambio. De este modo si está sumando, al cambiar de lado pasa restando; si resta, cambia a suma; si multiplica, pasará dividiendo y si lo que hace es dividir, cambia al otro lado con una multiplicación. Lo mismo ocurre para potencias y raíces (que como sabe-mos son operaciones inversas).

Volviendo al caso inicial, lo que se hizo al inicio fue pasar el cinco restando ya que estaba sumando. Luego seguimos con el cuatro que se encontraba multi-plicando pero que pasó dividiendo y así terminamos determinando el valor de la incógnita:

4𝑥 = 20

𝑥 =204

.

𝑥 = 5

Apliquemos este procedimiento a nuestro siguiente problema.

El análisis De nueva cuenta empezamos por hacer el planteamiento de la ecuación. En primer lugar tenemos un número, que en esta ocasión le llamaremos n. Enton-ces el doble de ese número es 2n. Como la suma del número más su doble más uno es igual a cuatrocientos, la ecuación para resolver el problema es:

𝑛 + 2𝑛 + 1 = 400

En este caso la ecuación que se ha planteado tiene un pequeño cambio con respecto a las anteriores: en aquéllas la incógnita aparecía solo una vez, mien-tras que en esta lo hace en dos ocasiones. Pero aquí conviene recordar lo


visto en el capítulo anterior sobre operaciones algebraicas y más particular-mente respecto a los términos semejantes. Para empezar a resolver el pro-blema lo primero que haremos será mover el número uno que está a la iz-quierda de la igualdad al lado derecho. Como dijimos antes, usaremos la idea de las operaciones contrarias, de tal forma que de la ecuación original pasa-mos a la siguiente:

𝑛 + 2𝑛 = 400 − 1

Entonces ahora tenemos dos operaciones en cada lado de la igualdad: por la izquierda, términos semejantes que podemos reducir; por la derecha, constan-tes que ya estábamos reduciendo. Así, tenemos lo siguiente:

3𝑛 = 399

Si usamos nuevamente la idea de las operaciones contrarias, el tres que mul-tiplica a la letra cambia de lado, dividiendo a trescientos noventa y nueve:

𝑛 =399

3

Al efectuar dicha operación se obtiene el resultado:

𝑛 = 133

Ahora realizamos la comprobación. Si el número que encontramos es ciento treinta y tres, su doble es (133)(2) = 266, doscientos sesenta y seis. Luego:

133 + 266 = 399

Si sumamos uno a este resultado, salen los cuatrocientos que nos dice el pro-blema. En efecto, el número buscado sí es ciento treinta y tres.

Otra pregunta - ¿Cuántos años?

Lucía tiene cinco años menos que Susana. Irma tiene el doble de la edad de esta última.

a) ¿Cuántos años tiene cada quién, si la suma de sus edades es igual a noventa y cinco?

El análisis Comenzaremos por asignarle la letra L a la edad de Lucía, S a la de Susana e I para la de Irma. Si lo hacemos de esta manera, nos encontramos una nueva


dificultad: no es una, sino tres incógnitas, pues la pregunta es sobre las eda-des de las tres mujeres. Para poder usar las técnicas que hemos aprendido hasta ahora, la pregunta que debemos responder primero sería: ¿cómo escri-bir tres datos desconocidos en los términos de uno de ellos? La solución es fijar precisamente uno de ellos para poder escribir las otras dos incógnitas como combinaciones de la otra.

Lucía tiene cinco años menos que Susana; Irma tiene el doble de edad de Susana (pues el enunciado se refiere a “esta última”, es decir, a Susana). En-tonces tomaremos la edad de Susana como un dato básico para escribir las edades de Lucía y de Irma mediante ciertas operaciones. Seguimos denotan-do la edad de Susana con S. Dado que Lucía tiene cinco años menos que Susana, hay que quitar cinco años a esta última, y por tanto la expresión para la edad de Lucía sería:

𝐿 = 𝑆 − 5

A continuación escribiremos la edad de Irma. Irma tiene el doble de edad que Susana, lo que significa que multiplicamos la edad de Susana por dos. La ex-presión para la edad de Irma es:

𝐼 = (𝑆)(2) = 2𝑆

Nuestro siguiente dato a considerar es que la suma de las edades es igual a noventa y cinco. Esta última información es la que nos dará la ecuación, que inicialmente es una expresión como la siguiente:

𝐿 + 𝑆 + 𝐼 = 95

Pero con las igualdades que hemos hecho, la ecuación nos queda así:

𝑆 − 5 + 𝑆 + 2𝑆 = 95

Ahora solo falta resolverla, utilizando las técnicas que hemos aprendido hasta ahora:

𝑆 + 𝑆 + 2𝑆 = 95 + 5

4𝑆 = 100

𝑆 =100

4


𝑆 = 25

De esta forma hemos obtenido la primera de las edades, que es la de Susana. Usaremos este resultado para obtener las otras edades que ya fueron escritas con base en la de Susana.

La edad de Lucía era:

𝐿 = 𝑆 − 5

Lo que usando el resultado que hemos hallado nos da:

𝐿 = (25) − 5

𝐿 = 20

Para la edad de Irma, teníamos que:

𝐼 = 2𝑆

Que resulta ser igual a:

𝐼 = 2(25)

𝐼 = 50

Entonces las edades de las tres mujeres son:

Lucía: 20 años Susana: 25 años Irma: 50 años

La comprobación la haremos sobre los mismos resultados. Según vemos, Lucía tiene 5 años menos que Susana e Irma tiene el doble de edad que esta última. Finalmente:

20 + 25 + 50 = 95

De tal suerte que se cumplen todas las condiciones, por lo que los resultados son correctos.


Otra pregunta - Una valla para mi terreno

Acabo de comprar un terreno en forma de triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 2𝑥 − 1 metros y el lado desigual es de 3𝑥 + 5 metros. Si para cercarlo necesito doscientos trece metros de valla.

a) ¿Cuánto miden los lados de ese terreno?

El análisis Para cualquier figura geométrica el perímetro se obtiene con la suma de sus lados. Hay algunas figuras con todos los lados iguales, con lados iguales por parejas, etc. En todo caso la idea es la misma: para obtener su perímetro, hay que sumar los lados de la figura. Ahora bien, recordemos que un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno distinto. Por lo tanto, el perímetro se obtiene al sumar dos veces el lado que es igual –lo que equivale a multiplicarlo por dos– con el lado distinto. De esta forma, el perímetro será:

(2𝑥 − 1) + (2𝑥 − 1) + (3𝑥 + 5) =

2(2𝑥 − 1) + (3𝑥 + 5)

Como el enunciado señala que el perímetro es igual a doscientos trece, agre-gamos esa información y obtenemos la siguiente ecuación:

2(2𝑥 − 1) + (3𝑥 + 5) = 213

En esta ecuación tenemos un par operaciones que realizar antes de continuar: quitar los paréntesis y efectuar la multiplicación que está fuera de uno de ellos. Recordemos que al multiplicar una expresión algebraica por un número, el número se multiplica por cada término de la expresión, lo que nos permite quitar el paréntesis que encierra a la expresión; el otro paréntesis, al tener afuera un signo de suma, se puede quitar sin problemas como hemos hecho en los ejemplos anteriores:

2(2𝑥 − 1) + (3𝑥 + 5) = 213

4𝑥 − 2 + 3𝑥 + 5 = 213

La ecuación ha quedado en una forma conocida, por lo que procedemos a resolverla:

4𝑥 − 2 + 3𝑥 + 5 = 213


4𝑥 + 3𝑥 = 213 + 2 − 5

7𝑥 = 210

𝑥 =210

7

𝑥 = 30

Tenemos entonces que el valor de x es treinta, pero aún no hemos terminado de resolver el problema. Los lados del triángulo no son x, sino que los lados iguales miden (2𝑥 − 1), mientras que el lado que es distinto mide (3𝑥 + 5), por lo que aún tenemos que sustituir el valor que obtuvimos al resolver la ecuación en los lados respectivos.

Entonces para los lados iguales encontramos que cada uno de ellos mide:

2𝑥 − 1 =

2(30) − 1 =

60 − 1 = 59 metros.

Por otro lado, el lado desigual tiene como medida:

3𝑥 + 5 =

3(30) + 5 =

90 + 5 = 95 metros.

Para verificar que los lados son correctos, obtengamos el perímetro:

2(59) + 95 = 118 + 95 = 213 metros.

Tenemos que los lados del terreno miden cincuenta y nueve el primero, cin-cuenta y nueve el segundo y noventa y cinco el tercero.

Otra pregunta - Cómo han pasado los años.

Hace diez años, la edad de Benito era el triple que la de Diego. Actualmente, sólo se llevan el doble.

a) ¿Cuántos años tienen Benito y Diego ahora?


El análisis Este es otro problema de ecuaciones de primer grado con una incógnita que tiene un mayor grado de dificultad, ya que nos referimos a dos incógnitas dis-tintas en dos momentos distintos (antes y ahora). Para resolverlo construya-mos dos ecuaciones para cada tiempo. Haremos también un manejo de las incógnitas similar al ejercicio de arriba. Primero nos ubicamos en el pasado. Supongamos que B representa la edad actual de Benito y D la de Diego. La edad de cada uno de ellos hace diez años era respectivamente:

𝐵 − 10

𝐷 − 10

Pero precisamente 10 años atrás la edad de Benito era el triple que la de Die-go, esto es, que habrá que multiplicar la edad de Diego por tres para que sea igual a la edad de Benito. Lo anterior se puede representar de la siguiente manera:

𝐵 − 10 = 3(𝐷 − 10)

Ahora bien, en la actualidad Benito le lleva el doble de edad a Diego, por lo que multiplicaremos la edad de Diego por dos para que sea igual a la edad de Benito. Tenemos como resultado la siguiente expresión:

𝐵 = 2𝐷

En este momento haremos una sustitución que nos ayudará a resolver rápi-damente el problema: cambiamos la B por 2D en la primera ecuación, con lo que queda de la siguiente forma:

(2𝐷) − 10 = 3(𝐷 − 10)

Y esa es la ecuación que resolveremos:

2𝐷 − 10 = 3𝐷 − 30

2𝐷 − 3𝐷 = 10 − 30

−𝐷 = −20

En esta situación tenemos la ecuación casi resuelta, y decimos “casi” porque la incógnita aparece con el signo negativo. Esto sería equivalente a lo siguien-te:


(−1)𝐷 = −20

El siguiente paso entonces es:

𝐷 =−20−1

𝐷 = 20

Podemos hacerlo de una forma más rápida: simplemente hay que cambiar el signo en ambos lados de la igualdad. Por tanto, obtuvimos la edad de Diego, pero ¿la actual o la pasada? Convenimos que la D representaba la edad actual y lo hicimos para determinar que la edad de Diego hace diez años era 𝐷 − 10. Así, Diego tiene veinte años. Como en el presente la edad de Benito es el do-ble de la de Diego, entonces Benito tiene 2𝐷 = 2(20) = 40 años.

Verifiquemos si los resultados son correctos revisando las edades que tenían en el pasado. Si los datos son correctos, hace diez años Benito tenía treinta años, mientras que Diego tenía diez. Como 3(10) = 30, la edad de Benito sí era el triple de la de Diego hace diez años. Por lo tanto, Benito tiene cuarenta años y Diego veinte.

Otra pregunta - ¿Dónde quedó la bolita?

En una lucha amorosa se quebró un collar; un tercio de las perlas cayó al sue-lo, un quinto quedó en la cama, la joven encontró un sexto y su amigo recupe-ró un décimo de las perlas, en el hilo sólo quedaron seis perlas.

a) ¿Cuántas perlas había en el collar?

El análisis Este es un problema planeado por un matemático hindú llamado Bhaskara, quien vivió en el siglo VII de nuestra era. Aparece aquí porque además de la historia que puede representar, es un buen ejemplo de ecuaciones de primer grado con fracciones. Vayamos directamente al planteamiento. El problema menciona partes del total de perlas que había en el collar, por lo que será c la letra que represente ese total de perlas. La primera parte nos habla de de que un tercio de las perlas que estaban en el collar cayeron al suelo, por lo que la expresión algebraica nos dice que esas perlas son:

c31


Luego, un quinto del total quedó en el lecho, lo cual expresamos de esta for-ma:

c51

Las perlas que se encontró la joven son un sexto de las totales, es decir:

c61

Las que se encontró el amigo son una décima parte, la expresión algebraica de estas corresponde a:

c101

Agregamos finalmente las seis que quedaron en el hilo, lo que forma la si-guiente expresión algebraica si juntamos todas las perlas:

6101

61

51

31

++++ cccc

Como la suma de cada porción del número de perlas es igual al total de las que había, tenemos que:

ccccc =++++ 6101

61

51

31

Entonces, si acomodamos cada expresión en su lugar nos queda lo siguiente:

6101

61

51

31

−=−+++ ccccc

Ahora es cuando tendremos dos alternativas para resolver el problema. Una de ellas es la suma de las fracciones que aparecen en el problema. Realiza-mos esa operación de acuerdo a lo visto en las operaciones de fracciones.

51

306

3030356101

101

61

51

31

−=−=−+++

=−+++


Por lo que la expresión queda:

651

−=− c

Ahora bien, el denominador representa un número que divide, por lo que al pasar al otro lado, lo haría multiplicando; el numerador representa una multipli-cación, por lo que pasaría dividiendo. De este modo, tenemos la expresión:

)5)(6(1

)5)(6(−−=

−−=c

Y el resultado es:

30=c

Otra manera de ver el problema es ya identificado el denominador común, multiplicar toda la expresión por ese denominador, por lo que la expresión quedaría así:

( )

ccccc

ccccc

3018035610

306101

61

51

31

=++++

=++++

Hemos convertido a una ecuación que originalmente tenía fracciones en una con números enteros que podemos resolver como los ejemplos anteriores:

306

1801806

1803035610

=−−

=

−=−−=−+++

c

c

cccccc

Ahora comprobemos el resultado, sigamos para eso lo que nos dice el mismo problema.

La tercera parte de las perlas cayó al suelo, entonces el número de ellas es:


10)30(31

31

==c

Una quinta parte quedó en el lecho, las que son:

6)30(51

51

==c

Una sexta parte encontró la joven, ese número es:

5)30(61

61

==c

Una décima parte encontró el amigo, ésas son:

3)30(101

101

==c

Si sumamos todo junto con las seis que se quedaron en el hilo, resulta que tenemos:

30635610 =++++

Entonces había treinta perlas en el collar.

Reafirma tus conocimientos resolviendo los siguientes problemas

• La suma de tres números consecutivos es cuatrocientos cincuenta y seis. ¿Cuáles son esos números?

• Mario es 8 años mayor que Nicolás. Si las edades de ellos jun-tos es veinticinco, ¿cuántos años tiene cada quién?


UNIDAD ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE

4

Los sistemas de ecuaciones simultáneas nos permiten extender el potencial de las ecuaciones simples que vimos en la unidad anterior. Con ellos podemos describir más tipos de problemas y, al aprender a resolverlos, ampliamos la cantidad herramientas matemáticas que podemos utilizar para resolver situa-ciones de la vida cotidiana. Tras estudiar a profundidad esta última unidad podrás:

• Representar con literales los valores desconocidos de un problema para posteriormente plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

• Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

1. Sistemas de ecuaciones La pregunta - Juego de números

Si sumo dos números, me sale veintisiete. Si los resto, me da cinco.

a) ¿Qué números son?

El tema En la unidad anterior vimos ecuaciones lineales o de primer grado con una sola incógnita. Son ecuaciones en las que aparece una sola variable, lo que significa que tendrán una única solución que podemos buscar directamente. Las podemos utilizar para encontrar respuestas a problemas concretos como las edades de dos o más personas relacionadas entre sí, o los lados de una figura geométrica.

En este capítulo trabajaremos con parejas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es el siguiente:


𝑥 + 𝑦 = 5

Al juntar dos de estas ecuaciones se construye lo que llamamos un sistema de ecuaciones simultáneas. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas equivale a buscar dos cantidades (una para 𝑥 y otra para 𝑦) que al ser evalua-das preserven la igualdad en ambas ecuaciones. Para entender esto, estudie-mos un poco la forma en la que este tipo de ecuaciones funciona una a una.

Regresemos al ejemplo de

𝑥 + 𝑦 = 5

Para resolver esta ecuación necesitamos encontrar dos números que cumplan que su suma sea igual a cinco. Pero apenas comienza uno a pensar en una posible solución surge un problema: hay varias cantidades que cumplen con esta ecuación. ¿Cuáles de ellas debemos elegir? Si elegimos un valor cual-quiera para 𝑥, existirá un valor correspondiente de 𝑦 que mantenga la igualdad. Podemos ver varios ejemplos de esto en la siguiente tabla.

X Y 1 4 3 2 5 0 0 5 -1 6

285 -280 17/4 ¾

Esta lista sería interminable; es posible encontrar una gran combinación de números que al sumarlos den como resultado cinco. Teniendo esta informa-ción, podemos analizarla de manera gráfica. Puesto que tenemos parejas de números, podemos representarlas en el plano cartesiano (o sistema de coordenadas). Los valores de 𝑥 los tomamos como el valor en la línea horizon-tal, y los valores de 𝑦 lo asociamos a la línea vertical del plano, así, cada pare-ja de valores queda representada por un punto en el plano:


Identifica los puntos del plano en la tabla y dibuja los faltantes.

Al ir colocando las parejas de valores de 𝑥 y 𝑦 podemos notar un patrón. De hecho, si pudiéramos dibujar todas las parejas de números que cumplen con la igualdad, llegaríamos a la gráfica de una línea recta:

Esta es la razón por la que a este tipo de ecuaciones se les llama ecuacio-nes lineales: al dibujar sus soluciones en el plano cartesiano forman una línea recta.

Supón ahora que imponemos una segunda condición a los números que bus-camos, por ejemplo que su diferencia sea uno. Esta condición la escribimos como:

𝑥 − 𝑦 = 1

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6


Resulta que de todas las parejas que habíamos propuesto como solución para la primer ecuación, solamente una cumple con la segunda condición. A saber:

𝑥 = 3

𝑦 = 2

Para verificar que es cierto hacemos:

(3) + (2) = 5

(3) − (2) = 1

También podemos ver que un número infinito de parejas de números cumplen que la resta entre ellos sea igual a 1.

X Y

1 0

3 2

5 4

0 -1

-5 -6

8 285 8 284

7/5 2/58 Buscar la solución que satisfaga ambas ecuaciones equivale a buscar una solución que aparezca en la tabla de ambas relaciones. Esto lo podemos in-terpretar gráficamente: las soluciones a la segunda ecuación también descri-ben una línea recta sobre el plano cartesiano. Cada punto sobre la recta que representa la primer ecuación cumple con ser solución de esta ecuación. Análogamente, cada punto sobre la recta de la segunda ecuación cumple con ser solución a esta relación. Para buscar una pareja de números que cumpla con ambas condiciones, tenemos que buscar un punto que se encuentre sobre ambas rectas, es decir, buscamos el punto donde las rectas se intersectan:

𝑥 = 3

𝑦 = 2


Estos análisis que hemos hecho corresponden a dos métodos de encontrar la solución de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, el primer mé-todo corresponde a buscar por inspección los dos números que cumplen am-bas ecuaciones, el segundo corresponde a graficarlas en un plano cartesiano (conocido como el método gráfico). En el resto de la unidad veremos otros tres métodos para la resolución de conjuntos de ecuaciones lineales.

El análisis En este problema, así como en todos los anteriores (incluyendo el caso de ecuaciones de primer grado con una incógnita), empezaremos por traducir el enunciado del problema en una ecuación que describa el problema y cumpla sus condiciones, es decir, plantear la ecuación que lo resuelva. De esta mane-ra, buscamos dos números cuya suma nos dé veintisiete y cuya resta nos dé cinco. Si pensamos en el primer número como la variable 𝑥, y en el segundo como la variable 𝑦, las ecuaciones que describen el problema serían:

𝑥 + 𝑦 = 27

𝑥 − 𝑦 = 5

Por la forma de las ecuaciones nos sentimos tentados a eliminar a la y, que aparece con signos contrarios. Nuestro primer método nos indica cómo po-dríamos hacerlo.

Método de Suma y Resta o Método de eliminación. En algunos casos, como el presente, saltará a la vista cuál es la letra a elimi-nar. En otros habrá que hacer algo más. Ahora, como la 𝑦 de cada ecuación tiene signo distinto, la operación a realizar será una suma de variables con coeficientes enteros. De esta manera, si sumamos las ecuaciones resulta:

𝑥 + 𝑦 = 27

𝑥 − 𝑦 = 5

2𝑥 = 32

Obtenemos una ecuación de una sola incógnita que podemos resolver fácil-mente:


𝑥 =322

𝑥 = 16

Si pensamos que por haber eliminado la 𝑥 ya terminamos, estamos mal. ¿A quién le sumamos o restamos este resultado para que se cumplan las ecua-ciones? Claramente dieciséis no es igual ni a veintisiete ni a cinco. Así que la eliminación es momentánea, necesitamos obtener también el valor de 𝑦. Por la segunda ecuación, el número que quitamos a diecisiete para que salga cinco es once; para verlo con las ecuaciones, lo que se hace es sustituir el valor de 𝑥 y resolver la ecuación que queda para 𝑦, lo que nos da:

(16) − 𝑦 = 5

−𝑦 = 5 − 16

−𝑦 = −11

𝑦 = 11

Los números son dieciséis y once. Los verificamos al comprobarlos en las ecuaciones:

(16) + (11) = 27

(16) − (11) = 5

Retomando el tema Los pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de suma y resta son:

a) Verificar que la letra que queramos eliminar tenga los mismos coefi-cientes, y de preferencia, signos contrarios.

En caso de que no sea así, multiplicamos una o ambas ecuaciones por los números que hagan que una de las letras tenga los mismos coeficientes en ambas ecuaciones. Tomemos de ejemplo una ecuación como la siguiente:

2𝑥 + 3𝑦 = 7

𝑥 − 𝑦 = 1


Se puede multiplicar a la segunda ecuación por 3 para eliminar a 𝑦, así tene-mos:

2𝑥 + 3𝑦 = 7

3𝑥 − 3𝑦 = 3

En cambio, si las ecuaciones fueran:

4𝑥 + 2𝑦 = 22

3𝑥 − 7𝑦 = −9

Como (4)(3) = 12, entonces multiplicamos a la primera ecuación por 3 y a la segunda por 4, lo que nos da:

12𝑥 + 6𝑦 = 66

12𝑥 − 28𝑦 = −36

Si los signos son iguales, restamos en vez de sumar.

b) Sumar o restar según necesitemos, para eliminar por el momento una letra y resolver la ecuación con la incógnita que quedó.

c) Sustituir el resultado en cualquier ecuación para obtener la otra incóg-nita.

Otra pregunta - Yo invito

Carlos paga treinta y tres pesos por dos tortas y un refresco. Julio, por tres tortas y tres refrescos, paga sesenta pesos.

a) ¿Cuál es el costo de una torta y cuál el de un refresco?

El análisis El planteamiento del problema es así: Como las preguntas son sobre cuánto cuesta una torta y un refresco, esas son nuestras incógnitas. Usaremos 𝑡 para tortas, 𝑟 para refrescos y obtendremos el precio de cada alimento. Si Carlos paga $33 por dos tortas y un refresco, la ecuación para su compra es:

2𝑡 + 𝑟 = 33

Ya que Julio se llevó tres tortas y tres refrescos a $60, su pago es:


3𝑡 + 3𝑟 = 60

El sistema de ecuaciones es por lo tanto:

2𝑡 + 𝑟 = 33

3𝑡 + 3𝑟 = 60

Si recordamos el estudio de las ecuaciones de primer grado con una sola in-cógnita, el despeje de una letra lo hicimos mandando los números que “estor-ban” al lado contrario de la igualdad con las operaciones contrarias. Nuestro siguiente método, el Método de sustitución, iniciará despejando una de las letras de cualquiera de las ecuaciones. En este caso la más fácil de despejar es la 𝑟 de la primera ecuación, pues está sola y tiene signo positivo. Como el 2𝑡 está sumando, lo pasamos restando, nos queda entonces:

𝑟 = 33 − 2𝑡

Hay que notar que a diferencia de las ecuaciones de una sola letra, el despeje queda con una letra al otro lado y no con puros números. Ahora, cambiamos o sustituimos –de ahí el nombre del método– en la segunda ecuación la letra despejada por esta nueva expresión. Repetimos, en la segunda ecuación.

3𝑡 + 3(33 − 2𝑡) = 60

Como nos pasó en el método anterior, tenemos una ecuación con una sola incógnita la cual resolvemos:

3𝑡 + 99 − 6𝑡 = 60

3𝑡 − 6𝑡 = 60 − 99

−3𝑡 = −39

𝑡 =−39−3

𝑡 = 13

Para obtener el precio del refresco sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones, o mejor aún, en el despeje que hicimos al principio:

𝑟 = 33 − 2(13)


𝑟 = 33 − 26

𝑟 = 7

¿Son los precios correctos? Averigüémoslo:

2𝑡 + 𝑟 = 33

2(13) + 7 = 33

26 + 7 = 33

3𝑡 + 3𝑟 = 60

3(13) + 3(7) = 60

39 + 21 = 60

Entonces una torta vale $13 y un refresco vale $7.

El tema Repasemos los pasos del método de sustitución.

a) Despejamos una letra de cualquiera de las dos ecuaciones, de preferencia la que esté sola y positiva.

Un ejemplo de qué podría pasar en caso negativo es el siguiente:

4𝑥 + 2𝑦 = 22

3𝑥 − 7𝑦 = −9

No hay una letra libre (es decir, con coeficiente igual a uno), así que podemos tomar cualquiera. Por ejemplo si queremos despejar 𝑥 de la primera ecuación:

4𝑥 = 22 − 2𝑦

𝑥 =22 − 2𝑦

4

Como 22 entre 4 no es exacto, el despeje de x se queda así y lo sustituimos en la segunda ecuación.


b) Sustituimos el despeje en la ecuación que no se trabajó y resol-vemos la ecuación de una variable que se formó.

c) El valor obtenido lo sustituimos, a su vez, en el despeje o en cual-quiera de las ecuaciones originales.

Otra pregunta - Un terreno

Don Saúl tiene un terreno rectangular en el cual la base y la altura tienen di-ferencia de 8 metros. Si el perímetro del terreno es de 60 metros,

a) ¿Cuáles son las medidas de la base y la altura?

El análisis La primera condición es como las anteriores, ya que los datos están restándo-se y la diferencia es de 8. Esto es:

𝑏 − ℎ = 8

La otra condición es una propiedad geométrica. El perímetro de un rectángulo puede obtenerse como el de cualquier otra figura sumando los lados. Como en un rectángulo encontramos dos veces la base y dos veces la altura, obtene-mos la siguiente expresión:

𝑏 + ℎ + 𝑏 + ℎ

Pero al sumar los términos semejantes cambia a:

𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ

Sabemos que el perímetro es 60, por lo que la ecuación es:

2𝑏 + 2ℎ = 60

El sistema a resolver es el siguiente:

𝑏 − ℎ = 8

2𝑏 + 2ℎ = 60

El tercer método es el Método de Igualación que veremos en seguida.

Empecemos por despejar, y para este caso, despejemos en las dos ecuacio-nes la misma letra, tomemos por ejemplo la 𝑏. El despeje de la primera ecua-ción es:


𝑏 = 8 + ℎ

Mientras que para la segunda queda:

2𝑏 = 60 − 2ℎ

𝑏 =60 − 2ℎ

2

𝑏 = 30 − ℎ

Como la variable despejada en ambos casos es la misma –dos ecuaciones para el mismo caso–, igualamos estos despejes:

8 + ℎ = 30 − ℎ

De nueva cuenta tenemos una ecuación con una sola incógnita, este tipo de ecuaciones ya lo sabemos resolver, y obtenemos:

8 + ℎ = 30 − ℎ

ℎ + ℎ = 30 − 8

2ℎ = 22

2ℎ =222

ℎ = 11

Con el valor de la altura obtenido, calculemos el valor de la base en el despeje de la primera ecuación:

𝑏 = 8 + ℎ

𝑏 = 8 + (11)

𝑏 = 19

Cabe aclarar que podemos obtener la base en el otro despeje o en cualquiera de las ecuaciones originales. Verificamos la respuesta a continuación:

𝑏 − ℎ = 8

(19) − (11) = 8


2(19) + 2(11) = 60

38 + 22 = 60

Nos encontramos entonces con un terreno que tiene 19 metros de base y 11 metros de altura.

El tema Verificamos los pasos del método de igualación.

a) Despejamos la misma letra de las dos ecuaciones.

La mayor dificultad de este caso es un problema como este:

4𝑥 + 2𝑦 = 22

3𝑥 − 7𝑦 = −9

El despeje de 𝑥 de la primera ecuación es:

4𝑥 = 22 − 2𝑦

𝑥 =22 − 2𝑦

4

El despeje de la misma 𝑥 en la segunda ecuación es:

3𝑥 = −9 + 7𝑦

𝑥 =−9 + 7𝑦

3

b) Igualamos los despejes y resolvemos la ecuación de una sola letra que se ha formado.

La igualación de ambos despejes corresponde a:

22 − 2𝑦4

=−9 + 7𝑦

3

Salvar un problema de esta naturaleza no es difícil. Por la idea de las opera-ciones contrarias, lo que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando. De esta forma:


22 − 2𝑦4

=−9 + 7𝑦

3

3(22 − 2𝑦) = 4(−9 + 7𝑦)

66 − 6𝑦 = −36 + 28𝑦

−6𝑦 − 28𝑦 = −36 − 66

−34𝑦 = −102

𝑦 =−102−34

= 3

c) Sustituimos en cualquiera de los despejes o las ecuaciones origi-nales:

𝑥 =22 − 2(3)

4= 4

Hemos establecido los métodos de solución de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas. Lo que queda por delante será elegir cuál se utilizará para resolver cada problema. A veces llegamos a elegir un método favorito para usarlo en todos los casos, lo más recomendable es ver cómo son las ecuaciones que se nos presentan y de acuerdo a ello elegir el método más conveniente. Por ejemplo, una ecuación que tenga signos contrarios y una letra con los mismos coeficientes se puede resolver por suma y resta. Si no hay coeficientes que sean uno y de signos iguales, podríamos intentarlo por igualación.

Vayamos a nuestros siguientes problemas.

Otra pregunta - La coleccionista

Blanca colecciona monedas de $2 y de $5. Si ha juntado veintiún monedas y tiene $66,

a) ¿Cuántas monedas de $2 y cuántas de $5 tiene?

El análisis Como hemos visto con problemas anteriores, debemos encontrar toda la in-formación que sea necesaria para plantear la ecuación, ésta, en algunos as-pectos, está escondida, y tenemos que valernos de herramientas como el ra-zonamiento o el sentido común para hallar dicha información.


Este caso no es la excepción. En primer lugar tenemos el número total de mo-nedas, de estas, tenemos que ver cuáles son de $2 y cuáles de $5. Además, se nos da la cantidad total de dinero. ¿Cómo organizamos esta información en dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que nos representen este problema? No perdamos de vista el objetivo: conocer cuántas monedas de $2 y cuántas de $5 tiene Blanca. Podemos decir que 𝑥 sea el número de mone-das de $2, mientras que usamos 𝑦 para la cantidad de monedas de $5. La primera ecuación que nos da el total de monedas es:

𝑥 + 𝑦 = 21

Para la otra ecuación tengamos en cuenta que las monedas son de $2 y de $5, el valor que suman juntas es de $66. Podemos plantear entonces la ecua-ción que represente la cantidad de dinero. Como dijimos, las letras son las monedas respectivas, y al multiplicar estas cantidades por sus respectivos valores, llegamos a una ecuación de la forma:

2𝑥 + 5𝑦 = 66

El sistema de ecuaciones es por tanto:

𝑥 + 𝑦 = 21

2𝑥 + 5𝑦 = 66

Resolveremos el problema por el método de suma y resta. Multiplicaremos a la primera ecuación por una constante conveniente que nos ayude a remover una de las variables de ambas ecuaciones. Multipliquemos la primera ecuación por el coeficiente más chico de la segunda ecuación: el dos; y, más aún, multi-plicar por esta constante pero con el signo negativo nos lleva a la situación deseada. El nuevo sistema correspondería a:

−2𝑥 − 2𝑦 = −42

2𝑥 + 5𝑦 = 66

Podemos eliminar por el momento a la 𝑥, con esto nos queda:

−2𝑥 − 2𝑦 = −42

2𝑥 + 5𝑦 = 66 ________________

3𝑦 = 24


La solución de esta nueva ecuación es:

𝑦 =243

𝑦 = 8

Utilicemos la primera ecuación de las originales para obtener el valor de la otra variable:

𝑥 + 𝑦 = 21

𝑥 + (8) = 21

𝑥 = 21 − 8

𝑥 = 13

Verifiquemos ambas ecuaciones. La primera es sencilla, porque 13 más 8 es igual a 21. Para el caso de la segunda escribamos:

2(13) + 5(8) = 66

26 + 40 = 66

Blanca tiene 13 monedas de $2 y 8 monedas de $5.

Otra pregunta - Por las patas

Don Arnulfo tiene una granjita con patos y conejos. Entre todos los animales, se cuentan cuarenta y seis cabezas y ciento veinticuatro patas.

a) ¿Cuántos patos y cuántos conejos son?

El análisis En este problema nuevamente usaremos información no escrita que está es-condida para plantear una de las ecuaciones. Si denotamos por p al número de patos y c al número de conejos, la ecuación que representará el número de cabezas de animales en la granja es:

𝑝 + 𝑐 = 46

Ahora, como es bien sabido, los conejos son cuadrúpedos, es decir, animales de cuatro patas. A su vez, los patos son bípedos, es decir, tienen dos patas. Si


las letras simbolizan a los números que hay de cada animal, la ecuación para las patas es:

2𝑝 + 4𝑐 = 124

Por tanto, el sistema a resolver es el siguiente:

𝑝 + 𝑐 = 46

2𝑝 + 4𝑐 = 124

Podemos hacer lo mismo que en el ejercicio anterior, sin embargo, queremos mostrar el uso de los demás métodos, así que nos valdremos del método de sustitución. En primer lugar despejamos a los patos de la primera ecuación:

𝑝 = 46 − 𝑐

Sustituimos este despeje en la segunda ecuación:

2𝑝 + 4𝑐 = 124

2(46 − 𝑐) + 4𝑐 = 124

Y resolveremos a continuación esta ecuación. Como la letra que quedó es la c, que son los conejos, el resultado será el número de éstos:

2(46 − 𝑐) + 4𝑐 = 124

92 − 2𝑐 + 4𝑐 = 124

−2𝑐 + 4𝑐 = 124 − 92

2𝑐 = 32

𝑐 =322

𝑐 = 16

Vamos al despeje que hicimos al inicio para conocer el número de patos:

𝑝 = 46 − 𝑐

𝑝 = 46 − (16)


𝑝 = 30

Verifiquemos que los resultados sean correctos. Primero, 30 patos y 16 cone-jos son 30 + 16 = 46 animales. Luego, 30 patos tienen 2(30) = 60 patas. De 16 conejos, resultan 4(16) = 64 patas. Asimismo, el número de patas totales son:

60 + 64 = 124

Por lo tanto, Don Arnulfo tiene 30 patos y 16 conejos.

Otra pregunta - Lleve para su fiesta

Pilar tiene un negocio de renta de sillas y mesas. Un sábado llega Zoila a ren-tar veinticinco sillas y seis mesas para un bautizo, paga $320 por este concep-to. Al otro sábado, llega Felipe a rentar dieciocho sillas y cuatro mesas para un cumpleaños, y por este concepto el pago de la renta asciende a $224.

a) ¿En cuánto dinero da Pilar la renta de cada silla y cada mesa?

El análisis Denotemos con m el costo de la renta de cada mesa y con s el de cada silla. Podemos escribir una ecuación que represente lo que pagó cada cliente. Zoila pagó $320 por veinticinco sillas y seis mesas, que se puede representar como:

25𝑠 + 6𝑚 = 320

Lo que pagó Felipe, que fueron $224 por dieciocho sillas y cuatro mesas, co-rresponde a:

18𝑠 + 4𝑚 = 224

El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:

25𝑠 + 6𝑚 = 320

18𝑠 + 4𝑚 = 224

Resolvamos este problema por el método de igualación. Despejemos en este caso el costo de las mesas, ya que es la variable que tiene los coeficientes menores. Si despejamos 𝑚 de lo que compró Zoila, obtenemos:


6𝑚 = 320 − 25𝑠

𝑚 =320 − 25𝑠

6

Mientras que para representar la compra de Felipe escribimos:

4𝑚 = 224 − 18𝑠

𝑚 =224 − 18𝑠

4

En esta ocasión no reduciremos las ecuaciones, sencillamente porque no se pueden obtener números enteros de ese proceso como en el ejemplo anterior. Como hemos despejado la misma letra en ambas ecuaciones y esperamos que el valor sea igual en las dos compras, igualamos los resultados:

320 − 25𝑠6

=224 − 18𝑠

4

Como explicamos antes, los divisores pueden pasar multiplicando al otro lado de la igualdad, con esto, nuestra ecuación queda así:

320 − 25𝑠6

=224 − 18𝑠

4

4(320 − 25𝑠) = 6(224 − 18𝑠)

Nos queda una ecuación que nos dará el precio en que se renta cada silla. Si la resolvemos, obtendremos ese valor:

4(320 − 25𝑠) = 6(224 − 18𝑠)

1280 − 100𝑠 = 1344 − 108𝑠

−100𝑠 + 108𝑠 = 1344 − 1280

8𝑠 = 64

𝑠 =648

𝑠 = 8


Sustituyamos este valor en cualquiera de los despejes que hicimos del precio de la renta de cada mesa. En este caso, el primer despeje:

𝑚 =320 − 25𝑠

6

𝑚 =320 − 25(8)

6

𝑚 =320 − 200

6

𝑚 =120

6

𝑚 = 20

Verifiquemos los valores obtenidos en cada ecuación:

25𝑠 + 6𝑚 = 320

25(8) + 6(20) = 320

200 + 120 = 320

18𝑠 + 4𝑚 = 224

18(8) + 4(20) = 224

144 + 80 = 224

Sabemos finalmente que Pilar renta a $8 cada silla y a $20 cada mesa.

Con los conocimientos adquiridos hasta ahora, resuelve el siguiente ejercicio

• El número de invitados a una fiesta, juntando hombres y mu-jeres, es de 85. Si duplicamos el número de caballeros y se lo quitamos al de las damas, nos quedan 7. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres hay en la fiesta?


• En una fábrica se envasaron ciento sesenta litros de deter-gente en cuarenta botellas de tres y siete litros. ¿Cuántas bo-tellas de cada tipo fueron utilizadas?

• La distancia en kilómetros a la que se encuentra un automóvil que via-ja de México a Cuernavaca está dada por la ecuación: d=4200t, con t el tiempo en minutos. Para un segundo auto que va viajando por la ca-rretera, la distancia a la que se encuentra de la ciudad de México está dada por d=4000t+4000. Si arrancan al mismo tiempo ¿a los cuántos minutos se encuentran sobre la carretera? varios.



Apéndice Soluciones a problemas seleccionados

Unidad 1 1. b) Número par = 2k, número impar = 2k+1; con k un número entero.

2. Por dos semanas recibe $530; por tres meses, que equivalen a 12 semanas, $3180.

3. b) Las variables independientes son las que expresan la cantidad de monedas de dos y cinco pesos, respectivamente. La variable dependiente será la que exprese la cantidad de dinero total.

Unidad 2 1. Segundo ejercicio. Si s representa la edad de Sonia, entre las tres tienen 4s+24 años.

2. Segundo ejercicio. Les seguirá faltando 2x+3y.

5. Segundo ejercicio. Largo = 4x+3; ancho = 4x-3.

Unidad 3 Segundo ejercicio. Sus edades son de ocho años y medio, y dieciséis años y medio.

Unidad 4 Segundo ejercicio. A los veinte minutos.


Bibliografía

Libros Enzensberger, El Diablo de los números, Siruela, México 1998.

Tahan M., El hombre que calculaba, Noriega Editores, México 1988.

Denis Guedj, El imperio de las cifras y de los números, Ediciones grupo ZETA, España 1998

Lewis Carroll, Matemática Demente, Tusquets Editores, España 2002

John Allen Paulos, Erase una vez un número, Tusquets Editores, España 2002

Ian Stewart, El laberinto Mágico, Editorial Crítica, España 2001

Ian Stewart, Locos por las matemáticas, Editorial Crítica, España 2004

Perelman Y., Aritmética Recreativa, Editorial MIR

J. A. de la Peña, Algebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica, México 1999


Contenido electrónico http://www.enciclomedia.edu.mx Página del proyecto Enciclomedia, contiene programas interactivos y contenidos muy interesantes, desarrollados para cubrir los temas del programa.

http://descartes.cnice.mecd.es Página desarrollada por el CNICE para el Ministerio de Educación en España. Contiene mucho material interactivo para la enseñanza y para el desarrollo de nuevo material.

http://www.wikipedia.com Enciclopedia colectiva con una enorme cantidad de temas y artículos. Además de brindar información, es fuente invaluable de vínculos a páginas de gran utilidad.

http://www.catedu.es/matemáticas_mundo Página que muestra la gran cantidad de matemáticas que hay en el mundo. Contiene secciones relacionadas con el arte, la historia, la sociedad, la poesía, la fotografía, entre otras cosas.

http://www.geometriadinamica.es/ http://www.geometriadinamica.cl/ http://www.geometriadinamica.org/ Páginas con contenido de geometría dinámica y programas interactivos varios.

http://www.enciclomedia.edu.mx/

http://descartes.cnice.mecd.es/

http://www.wikipedia.com/

http://www.catedu.es/matemáticas_mundo

http://www.geometriadinamica.es/

http://www.geometriadinamica.cl/

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HabilidadesMatemáticas2

José Roberto Benhumea SantiagoClaudio Francisco Nebbia Rubio

¿Me necesitas?

Este pequeño test te ayudará a saber si necesitas leer este libro antes de ini-ciar tus estudios de preparatoria abierta. Como sabes, es necesario tener co-nocimientos mínimos para entender las materias de tus primeros semestres. Si tienes problemas contestando alguna de estas preguntas, te invitamos a revisar el material correspondiente. Cada bloque de pregunta va asociada a un capítulo del libro. Este material fue hecho especialmente para ti que inicias tu preparatoria como parte de tu proyecto de vida.

¡Aprovéchalo!

Unidad 1 – Lenguaje algebráico¿Qué es una variable, una incógnita, una ecuación y un término?¿Cómo se escribe en términos matemáticos la frase “El próximo año Juan tendrá tres veces más años que Gabriel?

Unidad 2 – Operaciones algebráicasUn número, más su doble, más uno es igual a 400 ¿qué número es?Divide 80d4 - 25d3 + 70d2 entre 5d2.

Unidad 3 – Ecuaciones de primer gradoLa suma de tres números consecutivos es 456 ¿cuáles son esos números?

Unidad 4 – Ecuaciones simultaneas de primer gradoTengo 85 esferas entre rojas y azules, el número de esferas azules menos el

doble del número de rojas es siete. ¿Cuántas esferas hay de cada color?

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