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Solitons, demi-solitons et réseaux de vortex dans unfluide de polaritons

Romain Hivet

To cite this version:Romain Hivet. Solitons, demi-solitons et réseaux de vortex dans un fluide de polaritons. Gaz Quan-tiques [cond-mat.quant-gas]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. Français. tel-00911207

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Thèse de doctoratDe l’Université Pierre et Marie Curie en Sciences Physiques

présentée par

Romain t

Solitons, demi-solitons et réseaux de vortex dansun fluide quantique de polaritons

dirigée par Alberto Bramati

Soutenue le 23 Septembre 2013 devant le jury composé de :

M. Jérôme Tignon Président du jury

Mme Jacqueline Bloch examinateur

M. Nicolas Pavloff examinateur

M. Maxime Richard examinateur

M. Nicolas Grandjean rapporteur

M. Thierry Guillet rapporteur

M. Alberto Bramati directeur

Laboratoire Kastler BrosselUniversité Pierre et Marie Curie, case 74

4, place Jussieu75 005 Paris

Il y a une théorie qui dit que si un jour,

on découvre à quoi sert l’univers, et

pourquoi il est là, il disparaîtra

immédiatement, pour être remplacé par

quelque chose d’encore plus bizarre et

inexplicable. Une autre théorie dit que cela

s’est déjà passé.

–Douglas Adams–

Remerciements

Un travail de thèse en sciences physiques n’est pas une production individuelle mais lerésultat d’un travail d’équipe et je tiens à remercier tous ceux qui m’ont aidé durant cestrois années.

Je commence par remercier Paul Indelicato et Antoine Heidmann qui ont assuré ladirection du Laboratoire Kastler Brossel pendant mon doctorat. Je salue également Mo-nique Granon, qui à force d’écoute, de disponibilité et d’intégrité, constitue à mes yeuxune figure importante du laboratoire.

Ces trois années de thèse ont été réalisées dans l’équipe d’Alberto Bramati, que jeremercie pour sa bonne humeur, sa confiance et sa disponibilité. Ces qualités ont permisl’instauration dans l’équipe d’un climat détendu, rendant le travail agréable. Je dois éga-lement beaucoup à Alberto Amo qui m’a guidé durant mon stage de Master 2 et au débutde ma thèse. Alberto Amo est un excellent chercheur, patient et pédagogue, auprès de quij’ai pu apprendre les secrets de la manip et de notre capricieux laser. Expérimentateurhors-pair, Alberto Amo est un exemple de rigueur scientifique et de perfectionnisme etc’est avec un réel plaisir que j’ai pu travailler avec lui pendant ces quelques mois, m’im-prégnant de la passion qui l’anime. Je tiens à exprimer ma gratitude envers ElisabethGiacobino, qui m’a fait profiter de son expertise et de son expérience lors d’interprétationde résultats, mais aussi pour la rédaction d’article et les présentations de mes travaux.Je ne peux pas non plus oublier tous ceux qui ont partagé ma table optique : Claire quim’a aidé à appréhender la manip, Vera à qui je souhaite bonne chance pour la rédaction,Daria et Thomas à qui j’ai à mon tour essayé de transmettre mes connaissances et à qui jesouhaite une bonne continuation. Impossible non plus d’oublier Emiliano et sa légendairebonne humeur. Je lui souhaite tous mes voeux de bonheur et une bonne continuation àSheffield avec ces quelques mots : Rock’n’roll !

Merci aussi à Daniele Sanvitto et à Dario Ballarini pour leur accueil à Lecce lors demes séjours industrieux sous le soleil (ou la pluie...) d’Italie.

Mais une thèse ce n’est pas que le travail, et je remercie en vrac tous ceux qui ont contri-bué à la bonne ambiance du labo : Michael, Lucile, Pu, Olivier, Mathieu, Stefano, Ferruc-cio, Godefroy, Panayotis, Roman, Baptiste, Valerian, Sacha, Dominik, Alexandros, René,Jean-François, Lambert, Giulia, Valentina, Amaury, Kevin, Sandrine, Gabriel, Alexandre,Adrien, Jonathan. Après avoir dit autant de noms, j’espère vraiment n’en avoir oubliéaucun !

Pour en finir avec le laboratoire, je remercie les services techniques du labo : le secré-tariat, les services informatique, électronique, mécanique et basse température.

Merci aux collègues du parcours de physique quantique pour les buffalos, les matchsde sumo, les coups à la montagne, et même les vacances ! Merci à mes anciens colocs dela Kappahaus pour cette ambiance familiale que j’ai tant aimé. Que le vent vous emporteau Japon, en Allemagne, en Nouvelle Zélande ou en Bretagne, je sais que vous resterezL’Haÿssiens dans l’âme ! Merci à JS et Simon, mes amis de (et pour) toujours. Loin des

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yeux ne signifie pas toujours loin du coeur : j’en profite pour saluer Lucile, Samia, Alexis,Nicolas et Yannis, en attendant les retrouvailles. Enfin, j’embrasse Solène, mes parents,mes frères et ma soeur qui m’ont soutenu lors de tous mes choix dans mon cursus scolaire.Merci à tous !

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude des fluides quantiques de polaritons de microcavi-tés semi-conductrices et en particulier à la génération de solitons, de demi-solitons et deréseaux de vortex. Nous avons développé un dispositif expérimental permettant la généra-tion et l’observation de solitons sombres dans un fluide de polaritons. Nous observons lesprofils de densité et de phase caractéristiques des solitons, et étudions leurs propriétés destabilité. Nous montrons expérimentalement que l’utilisation d’une pompe polarisée linéai-rement mène à la formation de demi-solitons, grâce au champ magnétique effectif existanten présence des deux populations de spin. Après avoir caractérisé les demi-solitons endensité et en phase, une tomographie complète du système est effectuée pour extrairel’information stockée dans le pseudospin. Ces études nous permettent de formuler uneanalogie formelle entre les demi-solitons et les monopoles magnétiques. Enfin, nous nousintéressons à des techniques de piégeage de vortex. Nous mettons à profit l’utilisation demasques métalliques pour créer des puits de potentiels piégeant les vortex générés hydro-dynamiquement lors de l’écoulement du fluide sur un défaut à basse densité de polaritons.Nous utilisons ces masques pour réaliser des réseaux géométriques de vortex et d’antivor-tex à basse densité de polaritons dont la forme et la taille sont contrôlables. L’étude deseffets d’interaction polariton-polariton à haute densité menée grâce à un dispositif expé-rimental à plusieurs faisceaux d’excitations nous permet d’observer la déformation et ladestruction du réseau dues à l’annihilation des paires vortex-antivortex.

Mots-clés : polariton, exciton, microcavité semi-conductrice, condensat hors équilibre,soliton, demi-soliton, vortex, réseau de vortex.

Solitons, half-solitons and vortex lattices in polariton quantum fluids

Abstract

This work is devoted to the study of polariton quantum fluids in semiconductor mi-crocavities and in particular to the generation of solitons, half-solitons and vortex latticesin these systems. We develop an experimental setup allowing for the generation and theobservation of dark solitons in a polariton fluid. We observe characteristic density andphase profiles, and study the stability of solitons. We show experimentally that using alinearly polarised pump, half-solitons are formed due to the effective magnetic field arisingin presence of the two spin populations. After the characterization of the half-solitonsin density and phase, we perform a complete tomography of the emission to extract theinformation stored in the pseudospin. These studies allow us to highlight a formal anal-ogy between half-solitons and magnetic monopoles. Then we investigate vortex trappingtechniques. We make use of metallic masks to create potential wells trapping hydrody-namically generated vortex in the wake of a defect. At low polariton density we used themasks to realise vortex and antivortex lattices with adjustable shape and size. The studyof the polariton-polariton interaction at high density leads us to use an experimental setupwith several pumps allowing for the observation of strong modifications and washing-outof the lattices.

Keywords : polariton, exciton, semiconductor microcavity, out of equilibrium con-densate, soliton, half-soliton, vortex, vortex lattice.

Table des matières

Introduction 11

1 Polaritons de microcavité semi-conductrice 131.1 Excitons dans un semi-conducteur massif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 La théorie des bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Métal, isolant et semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3 Excitation optique des semi-conducteurs à gap direct . . . . . . . . . 15

1.2 Confinement bidimensionnel des excitons dans un puits quantique . . . . . 171.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Propriétés des excitons bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Les excitons sont-ils des bosons ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Cavité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Miroirs de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Modes de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Puits quantique en cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Polaritons de microcavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Dissipation et définition du régime de couplage fort . . . . . . . . . . 241.4.3 Interactions entre polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.4 Spin des polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.5 Interactions entre polaritons dépendantes du spin . . . . . . . . . . . 301.4.6 Relaxation du spin des polaritons et champ magnétique effectif . . . 32

2 Condensats de Bose-Einstein et superfluidité 352.1 Condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Équation de Gross-Pitaevskii et cohérence à longue portée . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Dérivation de l’équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . 372.2.2 Intérêt des fluides polaritoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Superfluidité d’un condensat en interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Critère de Landau pour la superfluidité . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Spectre des excitations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Injection résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.1 Équation de Gross-Pitaevskii hors-équilibre . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Bistabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.3 Superfluidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

10 Table des matières

3 Dispositif expérimental 493.1 Microcavité semiconductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Source laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Cryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Caméra CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Spectromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Traitement des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Défauts topologiques dans un condensat scalaire 534.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Génération hydrodynamique de solitons sombres . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Solitons sombres obliques dans un condensat supersonique . . . . . . 594.2.2 Solitons sombres obliques dans un condensat de polaritons sous ex-

citation résonnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Piégeage de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : utilisation de masques

métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.1 Régime de basse densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.2 Régime de haute densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : dispositif à quatrepompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5.1 Régime de basse densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5.2 Régime de haute densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5.3 Montage à trois pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Défauts topologiques dans un condensat spineur 835.1 Théorie des condensats spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1 Hamiltonien du système et équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . 835.1.2 Demi-vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1.3 Demi-solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.1.4 Stabilité des défauts topologiques demi-entiers . . . . . . . . . . . . 89

5.2 Génération hydrodynamique de demi-solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.1 Proposition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.2 Observation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.3 monopôles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.4 Remarques sur le pompage en polarisation circulaire . . . . . . . . . 97

Conclusion générale 99

A Spin des excitons 103

B Reconstruction de la phase des polaritons 105

C Anneaux de spin 107

Publications et présentations orales 113

Bibliographie 115

Introduction

La physique des semi-conducteurs a connu un essor considérable dans la deuxième moi-tié du 20ème siècle et ont depuis envahi notre quotidien à travers toutes les nouvelles tech-nologies. Cette omniprésence des semi-conducteurs a stimulé la recherche dans ce domainequi s’est entre autre dirigée vers les interactions avec la lumière. Profitant des progrès dansles techniques de croissance cristalline, il a été possible de mettre au point des microcavitéssemi-conductrices, dans lesquelles Claude Weisbuch a pu observer en 1992 [Weisbuch 92] lecouplage fort entre les photons et les excitons. Le système peut alors être décrit en termesde pseudo-particules mixte matière et lumière appelées polaritons. En plus de former unsystème optique fortement non-linéaire dans lequel on peut réaliser des mélanges à quatreondes [Romanelli 07], obtenir une réduction du bruit quantique [Karr 04] et créer des dis-positifs opto-électroniques prometteurs [Ostatnicky 09,Amo 10,Adrados 10,Ballarini 12],les polaritons se comportent comme des bosons et peuvent servir de système modèle pourétudier les gaz de Bose en interaction ainsi que les condensats de Bose-Einstein [Kas-przak 06] hors équilibre. Grâce à leur faible masse effective permettant d’atteindre lacondensation à des températures allant de quelques Kelvin jusqu’à la température am-biante [Christopoulos 07], les systèmes polaritoniques se posent en tant que systèmes trèsprometteurs pour étudier les propriétés hydrodynamiques des fluides quantiques cohé-rents à une [Wertz 10] ou deux dimensions. Le contrôle accru de nombreux paramètrescomme l’impulsion, la densité, la phase ou le spin des polaritons ont permis l’étude dela superfluidité [Amo 09a, Amo 09c], mais aussi des défauts topologiques de condensatsscalaires [Lagoudakis 08,Amo 11,Sich 11,Nardin 11,Grosso 11] et spineurs [Rubo 07,La-goudakis 09,Flayac 11,Hivet 12].

Nous commencerons dans le chapitre 1 de ce manuscrit de thèse par décrire une mi-crocavité semi-conductrice et introduire le formalisme quantique des polaritons. A la suited’une introduction sur le mécanisme de condensation de Bose-Einstein, le chapitre 2 dé-taillera l’arsenal théorique permettant de traiter les condensats de Bose-Einstein à l’équi-libre et hors-équilibre. Le chapitre 3 décrira le matériel expérimental que j’ai utilisé durantma thèse ; le chapitre 4 sera consacré à l’étude des défauts topologiques dans les condensatsscalaires de polaritons, avec la génération expérimentale de solitons sombres obliques, lepiégeage de vortex et la génération de réseaux de paires vortex-antivortex. Enfin le cha-pitre 5 sera dédié à la génération de défauts topologiques dans les condensats spineurs depolaritons avec la génération hydrodynamique de demi-solitons sombres, dont nous feronsune analogie avec les monopoles magnétiques.

Chapitre 1

Polaritons de microcavitésemi-conductrice

Contents1.1 Excitons dans un semi-conducteur massif . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 La théorie des bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Métal, isolant et semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3 Excitation optique des semi-conducteurs à gap direct . . . . . . . 15

1.2 Confinement bidimensionnel des excitons dans un puits quan-tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Propriétés des excitons bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Les excitons sont-ils des bosons ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Cavité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Miroirs de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Modes de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Puits quantique en cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Polaritons de microcavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Dissipation et définition du régime de couplage fort . . . . . . . . 241.4.3 Interactions entre polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3.1 Renormalisation des énergies . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.4 Spin des polaritons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.4.1 Le pseudospin polaritonique . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.5 Interactions entre polaritons dépendantes du spin . . . . . . . . . 301.4.6 Relaxation du spin des polaritons et champ magnétique effectif . 32

1.4.6.1 Champ magnétique intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . 331.4.6.2 Splitting intrinsèque de Zeeman et précession de Larmor

auto-induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.1 Excitons dans un semi-conducteur massif

1.1.1 La théorie des bandes

En mécanique quantique, un électron dans un atome ne peut avoir que certaines valeurdiscrètes d’énergie, correspondant à différentes orbites autour du noyau, donnant naissance

14 Chapitre 1. Polaritons de microcavité semi-conductrice

à la notion de couches électroniques en chimie. Dans une chaîne de N atomes régulièrementespacés d’une distance comparable au rayon de Bohr des atomes considérés, le systèmene peut plus être décrit comme une juxtaposition de N atomes seuls. Le couplage entreatomes voisins entraîne la levée de dégénérescence de chaque niveau électronique en Nniveaux d’énergies. Dans ce cas les électrons ne sont plus liés à un atome précis mais sontdélocalisés sur l’ensemble de la chaîne. Dans un solide, la grande densité atomique (del’ordre de 1022 atomes par cm3) fait que les N niveaux d’énergies sont tellement nombreuxqu’on parle alors de continuum d’énergie comme le montre la figure 1.1. On dit qu’ilsforment une bande permise d’énergie.

Energie Energie Energie

n=1

n=2

n=3

N=1 N=10 solide (N=1022)

Figure 1.1 – Représentation schématique des niveaux électroniques dans un atome, dansune chaîne de 10 atomes et dans un solide. Dans un solide les niveaux d’énergie formentdes bandes.

1.1.2 Métal, isolant et semi-conducteur

A température nulle, les électrons dans un solide remplissent les bandes en partant del’énergie nulle jusqu’à l’énergie dite de Fermi, ou potentiel chimique. La dernière bandeentièrement pleine est appelée bande de valence et la suivante bande de conduction. Cesdeux bandes sont séparées par une bande d’énergie interdite appelée gap. Lorsque l’énergiede Fermi se trouve dans la bande de conduction, les électrons peuvent se déplacer librementdans le solide qui est alors un métal. En revanche lorsque l’énergie de Fermi est dans legap, on différencie isolants et semi-conducteurs en fonction de la largeur du gap. Pour unisolant le gap Eg est de l’ordre de quelques eV de façon à ce que la densité électroniquedans la bande de conduction reste très faible, même à température ambiante alors quedans un semi-conducteur Eg est de l’ordre de l’eV.

Les fonctions d’onde de ces états électroniques délocalisés dans une structure cristallineont été étudiées par Bloch [Ashcroft 76]. Les états propres sont repérés par un indice kayant la signification d’un vecteur d’onde. La figure 1.2 représente de manière schéma-tique le diagramme énergie-impulsion d’un semi-conducteur à gap direct (nommé ainsilorsque le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valencecorrespondent à la même impulsion). Au voisinage de k = 0 chacune des bandes peut êtreapproximativement représentée par une parabole. Les électrons de valence et de conduc-tion se comportent alors comme des particules libres (i.e. leur Hamiltonien est celui d’uneparticule libre) auxquelles on affecte une masse effective inversement proportionnelle à la

1.1. Excitons dans un semi-conducteur massif 15

courbure de la bande d’origine et définie par :

Ec(k) = Ec +~

2k2

2m∗c

(1.1)

Ev(k) = Ev +~

2k2

2m∗v

(1.2)

Ec et Ev désignent respectivement le minimum de la bande de conduction et le maxi-mum de la bande de valence. m∗

c et m∗v désignent respectivement la masse effective de

l’électron de conduction et la masse effective négative de l’électron de valence.

Figure 1.2 – Diagramme énergie-impulsion d’un semi-conducteur à gap direct, du typeGaAs.

1.1.3 Excitation optique des semi-conducteurs à gap direct

Dans un semi-conducteur à gap direct, il est possible d’exciter optiquement un électronde la bande de valence d’énergie E par absorption d’un photon d’énergie ~ω > Eg entraî-nant la création d’un électron dans la bande de conduction d’énergie E + ~ω. La placevacante laissée par cet électron dans la bande de valence est appelée trou. Cette quasi-particule (il s’agit en fait des N-1 électrons restants de la bande de valence si celle-ci encomptait N) possède une charge effective +e, une masse effective m∗

h = −m∗v, une énergie

et une impulsion opposées à celles de l’électron de valence qui est passé dans la bande deconduction. Le trou de la bande de valence et l’électron de la bande de conduction formentalors une paire électron-trou.

Lorsqu’on excite optiquement un électron de la bande de valence avec un photon d’éner-gie ~ω < Eg, on observe des résonances discrètes situées dans la bande interdite. Ellescorrespondent à la création de paires électron-trou liées par interaction Coulombienne ap-pelées excitons. Le Hamiltonien Hexc décrivant un exciton se compose de la somme desHamiltoniens effectifs de l’électron et du trou et du terme d’interaction Coulombienne :

Hexc = − ~

2m∗c

∇2c − ~

2m∗h

∇2v + Eg − ǫ0

ǫ

e2

|rc − rh| (1.3)

où rc et rh sont respectivement les coordonnées de l’espace de l’électron de conductionet du trou, ∇2

i le Laplacien par rapport à ri (i = v ou h), ǫ la permittivité du milieu et

e2 = q2e

4πǫ0(qe la charge élémentaire).


En introduisant la coordonnée relative r = |rc−rh| et la coordonnée du centre de masse(c.m) R = m∗

crc+m∗h

rh

m∗c+m∗

h; on peut séparer le mouvement relatif du mouvement du centre de

masse du système. Le Hamiltonien Hexc se réécrit alors comme la somme de deux termescommutatifs :

Hexc = Hc.m + Hrel (1.4)

avec :

Hc.m = Eg +~k2

2M(1.5)

où k = kc + kh et M = m∗c + m∗

h et :

Hrel = − ~2

2µ∇2

r − ǫ0

ǫ

e2

r(1.6)

où µ = m∗cm∗

h

m∗c+m∗

hest la masse réduite du système.

Les états propres de Hexc sont alors les produits des états propres de Hc.m et des étatspropres de Hrel. Les états propres de Hc.m sont les ondes planes eik·R d’énergie propre :

Ec.m = Eg +~

2k2

2M(1.7)

Le Hamiltonien relatif Hrel est celui de l’atome d’hydrogène avec un moment cinétiqueorbital nul, correspondant aux nombres quantiques (n,0,0) et d’énergie propre [Cohen-Tannoudji 77] :

Eliaison,n = −R∗

y

n2(1.8)

où par comparaison avec l’atome d’hydrogène R∗y est une constante de Rydberg effective

d’expression ( [Elliott 57,Haug 04]) :

R∗y =

µ

m0

ǫ20

ǫ2Ry (1.9)

où m0 est la masse d’un électron libre dans le vide.Un semi-conducteur a une constante diélectrique élevée ( ǫ

ǫ0≈ 10) et la masse ré-

duite d’un exciton est d’environ un ordre de grandeur plus faible que m0 (pour GaAs :µ

m0= 0.035) [Thanh 70]. Ainsi l’énergie de liaison est de plusieurs ordres de grandeur plus

faible que celle de l’Hydrogène : les excitons sont des états faiblement liés. Dans les semi-conducteurs du type GaAs (type III-V) cette énergie de liaison est typiquement de l’ordrede quelques meV. L’énergie thermique à température ambiante étant de kBT ≃ 25 meVles résonances excitoniques ne sont observables dans ce type de semi-conducteurs qu’à destempératures cryogéniques. De la même manière, le rayon de Bohr de l’exciton, d’expres-sion :

a∗exc =

ǫ

ǫ0

m0

µaH (1.10)

est de plusieurs ordres de grandeur plus grand que aH = 53pm, le rayon de Bohr del’atome d’Hydrogène. Alors que dans le GaAs la maille cristalline est d’environ 5Å, le rayonde Bohr est lui d’environ 150Å. L’exciton s’étend donc sur plusieurs mailles cristallines.On parle alors d’exciton de Mott-Wannier [Wannier 37] par opposition aux excitons deFrenkel [Frenkel 31] étendus sur une seule maille dans des matériaux avec une constantediélectrique faible ( [Liang 70]). Afin de pouvoir considérer le gaz d’excitons comme ungaz 2D, il faut confiner les excitons selon l’axe z dans une épaisseur inférieur à ce rayonde Bohr.

1.2. Confinement bidimensionnel des excitons dans un puits quantique 17

Figure 1.3 – Structure tridi-mensionnelle d’un puits quan-tique dont l’axe de croissanceest la direction z.

Figure 1.4 – Représentation schématique de la struc-ture d’énergie dans un puits quantique.

1.2 Confinement bidimensionnel des excitons dans un puitsquantique

1.2.1 Présentation

La mise au point dans les années 70 de méthodes de croissance cristalline, commel’épitaxie par jet moléculaire ou la croissance en phase vapeur par la méthode des organo-métalliques, a permis la réalisation d’hétérostructures semi-conductrices capables de confi-ner le mouvement des électrons à deux, une, voire zéro dimensions. Dans un puits quan-tique, comme illustré par la figure 1.3, une couche de semi-conducteur est insérée entredeux couches d’un semi-conducteur à gap plus grand, résultant en une structure de bandestelle que représentée par la figure 1.4. Dans notre échantillon, il s’agit d’une couche de 80Åd’InGaAs entre deux couches de GaAs. La brisure de l’invariance par translation suivantl’axe de croissance du puits (axe z sur la figure 1.3) entraîne le confinement des électronssuivant cette direction, leur mouvement restant libre dans les plan des couches.

Dans un semi-conducteur massif plongé dans un champ électromagnétique, l’invariancepar translation dans les trois dimensions de l’espace entraîne la conservation de l’impulsiontotale du système exciton-photon. Un exciton optiquement actif (nous reviendrons sur cetaspect dans la partie 1.4.4) ayant un vecteur d’onde K n’est donc couplé qu’à un seul modedu champ électromagnétique. L’énergie totale devant également être conservée, seuls lesexcitons ayant une énergie égale à celle du mode du champ électromagnétique peuventrelaxer de manière radiative. Cependant, le couplage exciton-photon entraîne une levéede dégénérescence entre les énergies de l’exciton et du photon. Les états stationnaires dusystème sont alors des excitons habillés par le champ électromagnétique : des polaritons.La durée de vie de ces états n’est limitée que par leur couplage avec l’environnement(réservoirs phononiques et excitoniques, défauts de la structure cristalline, etc.). Dans unpuits quantique, l’invariance par translation est brisée selon l’axe z. Seule la composantetransverse (dans le plan des couches) k|| de l’impulsion est conservée dans l’interactionexciton-photon. Un exciton d’impulsion (kexc

|| , kexcz ) est donc couplé à un continuum de

modes du champ électromagnétique composés des photons d’impulsion transverse kph|| =

kexc|| , la composante kph

z restant libre. Par ce fait l’exciton acquiert un temps de vie radiatifcalculable par la règle d’or de Fermi [Andreani 91].


1.2.2 Propriétés des excitons bidimensionnels

Le passage de trois à deux dimensions change les propriétés de l’exciton décrites dans lasection 1.1. Par analogie avec les équations 1.4, 1.5 et 1.6 décrivant le cas tridimensionnel,le Hamiltonien de l’exciton bidimensionnel s’écrit :

H2Dexc = Hk||

+ H2Drel (1.11)

avec :

Hk||= Eg +

~k2||

2M(1.12)

où k|| est l’impulsion de l’exciton dans le plan des couches

H2Drel = − ~

2

2µ∇2

r − e2

ǫr(1.13)

où ∇2r est le Laplacien en 2 dimensions. Les états propres de H2D

rel sont donnés par unmodèle 2D de l’atome hydrogénoïde qui aboutit à la valeur [Haug 04] :

E2Dn = −R∗

y

1(n + 1

2)2(1.14)

Le puits quantique de notre microcavité a été réalisé de manière à bien séparer le niveaufondamental de l’exciton, appelé niveau exciton bidimensionnel 1s par analogie à l’atomed’Hydrogène et les autres niveaux énergétiques. Dans le cas à 2 dimensions, l’énergie deliaison du niveau 1s E2D

1s est 4R∗y et le rayon de Bohr effectif de l’exciton 1s est donné par :

a∗2Dexc =

12

ǫ

ǫ0

m0

µaH (1.15)

Dans un puits quantique à base de GaAs, l’énergie de liaison est de l’ordre de 20 meV et lerayon de Bohr effectif est de l’ordre de 70Å, ce qui est grand devant la taille des cellules duréseau cristallin. Comme dans le cas à 3 dimensions il s’agit d’excitons de Mott-Wannier.

On peut alors donner l’énergie de l’exciton en ne considérant que le niveau fondamentalde H2D

rel :

E2Dexc(k||) = Eg + E2D

1s +~k2

||2µ

(1.16)

Par ailleurs, lors de l’interaction exciton-photon il y a également conservation de l’énergietotale ce qui impose :

E2Dexc +

~2k2

||2µ

= ~c|kph|

nc(1.17)

où ~c|kph|

ncest l’énergie d’un photon d’impulsion kph se propageant dans le milieu d’indice

nc qui compose le puits.En combinant les équations de conservation de l’énergie et de l’impulsion transverse,

on obtient une condition sur la composante transverse k|| du vecteur d’onde de l’exciton :

|k||| ≤ ncE2Dexc

~c(1.18)

Les modes excitoniques 2D ne vérifiant pas cette relation sont donc non radiatifs.

1.3. Cavité optique 19

1.2.3 Les excitons sont-ils des bosons ?

Une analogie a été établie dans la section précédente entre l’exciton et l’atome hydro-génoïde. Cette analogie révèle le caractère bosonique de l’exciton. Cependant, un excitonest un système composé de fermions ce qui en fait un boson composite, et non un bo-son au sens strict du terme. En suivant la démarche suivie dans l’annexe de la thèse deJean-Philippe Karr [Karr 01], on peut établir la relation de commutation des opérateursde création b1s,k=0 et d’annihilation b†

1s,k=0 de l’état fondamental de l’exciton :

< [b1s,k=0, b†1s,k=0] >= 1 − O(na∗2D

exc2) (1.19)

où n est la densité d’excitons par unité de surface. L’exciton se comporte alors comme unboson dans la limite des basses densités. La densité limite au dessus de laquelle les excitonsne peuvent plus être considérés comme des bosons est appelée densité de saturation. Enutilisant la transformation d’Usui [Usui 60] appliquée aux puits quantiques [Rochat 00] onpeut obtenir le Hamiltonien bosonique qui décrit les interactions entre excitons jusqu’audeuxième ordre. Cette approche permet d’obtenir une densité de saturation pour l’excitondonnée par [Schmitt-Rink 85,Rochat 00] :

nsat =7

16πa∗2Dexc

2 (1.20)

Dans notre microcavité, cette densité de saturation est de l’ordre de 3000 µm−2, quireste grand par rapport aux densités usuelles dans le travail de thèse présenté ici (n ≈100 µm−2). Notons cependant que même pour des densités d’excitation inférieures à ladensité de saturation, il a été montré que ce modèle de bosonisation est incomplet et quedes termes supplémentaires découlant du principe d’exclusion de Pauli entre les porteursde charges devraient être pris en compte (voir à ce sujet les travaux de M. Combescot[Combescot 02]). Cependant le très bon accord entre les observations expérimentales et lemodèle de bosonisation prouve la validité (certainement relative) de ce modèle. Ainsi dansla suite de ce manuscrit nous considérerons les excitons comme des bosons.

1.3 Cavité optique

En confinant les excitons selon une dimension dans un puits quantique, nous avonsvu que les excitons sont alors couplés à un continuum du champ électromagnétique. Pourobtenir un couplage fort entre photons et excitons, on peut confiner les photons selon unedirection dans une cavité optique. Ainsi, un exciton sera couplé à un unique mode duchamp électromagnétique ce qui nous permet d’atteindre le régime de couplage fort, surlequel nous reviendrons dans la section suivante.

1.3.1 Miroirs de Bragg

La cavité optique est formée de deux miroirs de Bragg réalisés en empilant alternati-vement des couches de semi-conducteurs a et b ayant des indices de réfraction na > nb

différents. Chaque couche a une épaisseur ei = λBragg/4ni (i = a, b) où λBragg est lalongueur d’onde du rayonnement dans le vide pour laquelle la réflectivité doit être maxi-male. Cette structure se comporte alors comme un miroir de haute-réflectivité pour unegamme de fréquence appelée stop-band centrée en λBragg et d’une largeur donnée par laformule [Macleod 01] :

∆λ =4λBragg

πarcsin

(

na − nb

na + nb

)

(1.21)


La figure 1.5 représente la réflectivité d’un miroir de Bragg. La réflectivité dans la stop-band est donnée approximativement par la formule [Sheppard 95] :

R =

[

no(na)2N − ns(nb)2N

no(na)2N + ns(nb)2N

]2

(1.22)

où no et ns sont respectivement les indices de réfraction du milieu avant le miroir et dumilieu après le miroir (dans le sens de propagation de la lumière).

700 750 800 850 900 950 10000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Réf

lect

ivité

λ (nm)

Figure 1.5 – Réflectivité en incidence normale d’une onde transverse électro-magnétiqueen fonction de la longueur d’onde d’un miroir de Bragg composé de 20 paires deGa0.9Al0.1As/AlAs, avec λBragg = 850nm.

Deux miroirs de Bragg parallèles séparés d’une distance mλ0/2nc où nc est l’indicede réfraction du milieu de la cavité et m un nombre entier forment une cavité Fabry-Pérot résonnante à incidence normale à la longueur d’onde λ0. La figure 1.6 représentela réflectivité à incidence normale d’une cavité formée de deux miroirs de Bragg ayantles caractéristiques de celui de la figure 1.5, séparés d’une distance de 2λBragg/nc. Onobserve un creux très étroit de la réflectivité au centre de la stop-band qui correspond àla résonance de la cavité Fabry-Pérot.

1.3.2 Relation de dispersion

On peut introduire une relation de dispersion des photons pour ce type de cavité, deforme analogue à celle des excitons donnée par la relation 1.16. La cavité impose unequantification de la composante kph

z du vecteur d’onde. La cavité étant construite afin den’avoir qu’une seule résonance dans la stop-band des miroirs de Bragg, on a :

kphz =

2πnc

λ0(1.23)

où λ0 est la longueur de résonance de la cavité à incidence normale et nc l’indice deréfraction à l’intérieur de la cavité. La composante dans le plan des couches du vecteurd’onde k|| restant libre on peut alors écrire l’énergie :

Eph(k||) =~c

nc

√

k2z + k2

|| (1.24)

Eph(k||) =

√

(

hc

λ0

)2

+(

~ck||nc

)2

(1.25)

1.3. Cavité optique 21

700 750 800 850 900 950 10000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Réf

lect

ivité

λ (nm)

Figure 1.6 – Réflectivité en incidence normale d’une onde transverse électromagnétiqueen fonction de la longueur d’onde d’une cavité formée de deux miroirs de Bragg composéschacun de 20 paires de Ga0.9Al0.1As/AlAs, avec λBragg = 850nm, espacés de 2λBragg/nc.

De la même manière qu’avec les électrons de conduction et de valence dans les équations1.1 et 1.2, on peut attribuer au voisinage de k|| = 0 une masse effective mphoton au photon :

~2

mphoton=

d2E(k||)

dk2||

(1.26)

soit

mphoton =n2

ch

λ0c(1.27)

qui est de l’ordre de 10−5 fois la masse de l’électron et 10−4 fois la masse de l’exciton. Lacourbure de la courbe de dispersion étant alors 104 fois plus grande que celle de l’exciton,on pourra négliger cette dernière par rapport à celle du photon.

1.3.3 Modes de fuite

La longueur d’onde de résonance de la cavité dépend de l’angle d’incidence selon larelation :

λ0,θ =2π

|k| =2πnc

√

k2z + k2

||=

2πnc

kz

√1 + tan2 θ

= λ0 cos θ (1.28)

Par conséquent, on peut s’intéresser au coefficient de réflexion de la cavité à longueurd’onde d’excitation fixée λ0 en fonction de l’angle d’incidence θ. On obtient alors unecourbe de même allure que la figure 1.6 (voir figure 1.7). Les minima de réflectivité pour θ >0 peuvent s’interpréter comme des modes secondaires, appelés modes de fuite provenantdes pics de réflectivité des miroirs de Bragg en dehors de la stop-band. Ces modes étantplus larges que le mode principal, le champ électromagnétique "fuit" efficacement par cesmodes qui constituent la principale limitation de la finesse des microcavités. Or, l’angledu premier mode de fuite est tel qu’il subit une réflexion totale à l’interface avec l’air. Parconséquent ces modes ne peuvent fuir que par la tranche de la microcavité.


0 10 20 30 400,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ref

lect

ivite

Angle (deg)

Figure 1.7 – Réflectivité à la longueur d’excitation λ0 = λBragg d’une onde transverseélectrique en fonction de l’angle d’incidence d’une cavité formée de deux miroir de Braggcomposés chacun de 20 paires de Ga0.9Al0.1As/AlAs, avec λBragg = 850nm, avec unerésonance à λBragg

1.4 Puits quantique en cavité

Une microcavité semi-conductrice est composée d’un ou plusieurs puits quantique in-sérés dans une cavité optique. Les deux éléments d’une telle cavité ont été présentés dansles parties 1.2 et 1.3. Nous avons vu dans la partie 1.2.1 que, à cause de la brisure del’invariance par translation selon l’axe de croissance (axe z), l’exciton dans un puits quan-tique d’impulsion transverse k|| est couplé à un continuum de modes photoniques. Enprésence des miroirs de Bragg, la composante kph

z de l’impulsion du photon selon l’axe zest quantifiée selon l’équation 1.23. Ainsi un exciton dans le puits n’est plus couplé à uncontinuum mais à un mode unique du champ électromagnétique. Aux largeurs de raiesprès, ce couplage permet d’exciter de manière sélective un exciton avec un vecteur d’ondetransverse donné par kexc

|| = (kexcx , kexc

y ). Il suffit de choisir l’angle d’incidence (θphx , θph

y )du photon sur la cavité tel que :

kexcx = kph,c

x =Enc

~csin θph,c

x =E

~csin θph

x (1.29)

kexcy = kph,c

y =Enc

~csin θph,c

y =E

~csin θph

y (1.30)

où E est l’énergie d’excitation et (θph,cx , θph,c

y ) l’angle de réfraction du photon dans la cavité,relié à (θph

x , θphy ) par la loi de Snell-Descartes. Réciproquement, la détection d’un photon

(θphx , θph

y ) émis par la microcavité témoigne de la recombinaison d’un exciton de vecteurd’onde transverse kexc

|| = (kexcx , kexc

y ) vérifiant 1.29 et 1.30.

1.4.1 Polaritons de microcavité

Le couplage entre photons et excitons permet de lever la dégénérescence entre lesétats photoniques et excitoniques de même énergie et de nouveaux états propres voientle jour appelés polaritons de microcavité. Pour calculer ces nouveaux états, nous nousplaçons dans la limite de faible densité (voir la section 1.2.3) ce qui nous permet de décrire

1.4. Puits quantique en cavité 23

l’exciton en termes bosoniques. Le système couplé exciton-photon peut dans une premièreapproximation être décrit par le Hamiltonien linéaire :

Hlin =∑

k

Hk =∑

k

Eph(k)a†kak + Eexc(k)b†

kbk +~ΩR

2(a†

kbk + b†kak) (1.31)

où a†k (b†

k) et ak (bk) sont les opérateurs de création et d’annihilation d’un photon (exciton)de vecteur d’onde k. La somme est effectuée sur les vecteurs transverses k||, la composantekz étant fixée par la cavité. Dans toute la suite du manuscrit on notera également k enlieu et place de k||. Eph(k) et Eexc(k) sont respectivement les énergies d’un photon etd’un exciton de vecteur d’onde k exprimés dans les équations 1.25 et 1.16. ~ΩR représentel’énergie de couplage exciton-photon. ΩR est la fréquence à laquelle l’exciton et le photonéchangent leur énergie. Ce Hamiltonien ne prend pas en compte les interactions entreexcitons qui sont responsables d’effets non-linéaires à plus haute densité.

Le Hamiltonien 1.31 peut être diagonalisé comme suit :

Hlin =∑

k

E−(k)p†kpk + E+(k)q†

kqk (1.32)

en introduisant les opérateurs pk et qk :

pk = −Ckak + Xkbk (1.33)

qk = Xkak + Ckbk (1.34)

où Ck et Xk sont appelés coefficients de Hopfield [Hopfield 58] et sont des nombres réelspositifs définis par :

C2k =

Ω2R

2√

δ2k + Ω2

R(δk +√

δ2k + Ω2

R)(1.35)

X2k =

δk +√

δ2k + Ω2

R

2√

δ2k + Ω2

R

(1.36)

avec ~δk = Eph(k)−Eexc(k) le désaccord cavité-exciton pour un vecteur d’onde transversedonné. C2

k et X2k représentent respectivement la fraction photonique et excitonique d’un

mode polaritonique, la somme de ces deux coefficients étant toujours égale à 1. A désaccordcavité-exciton δk nul, C2

k = X2k = 1/2, le polariton est dans une superposition à poids

égaux de l’exciton et du photon. Les énergies propres du Hamiltonien 1.32 sont :

E−(k) =12

(Eph(k) + Eexc(k) − ~

√

δ2k + Ω2

R) (1.37)

E+(k) =12

(Eph(k) + Eexc(k) + ~

√

δ2k + Ω2

R) (1.38)

Rappelons que ces énergies ont été calculées dans le cas idéal où les photons et les exci-tons ne subissent aucune dissipation et jouissent d’un temps de vie infini. Nous verronsdans la partie 1.4.2 comment la prise en compte des facteurs de dissipation peut affecterle couplage. La figure 1.8 représente la variation des énergies des polaritons E− et E+

à vecteur d’onde nul, en fonction du désaccord cavité-exciton δk. Notons qu’à désaccordcavité-exciton nul, on retrouve l’énergie de Rabi E+(0)−E−(0) = ~ΩR. Cette courbe d’an-ticroisement est caractéristique du couplage fort. Similairement, la figure 1.9 représentel’énergie à désaccord nul en k = 0 δk=0 = 0 en fonction du vecteur d’onde transverse. On


Figure 1.8 – Anticroisement des énergies des polaritons à k = 0 en fonction du désaccordcavité-exciton δk = Eph−Eexc

~. Le dégradé rend compte de la proportion photonique C2

k

(rouge) et excitonique X2k (bleue) des polaritons bas et haut. Le vert correspond à des

polaritons moitié photon, moitié exciton. En couleurs claires sont représentés les énergiesdes photons de cavité (rouge) et des exciton 2D (bleue) non couplés.

distingue les deux branches de dispersion des polaritons appelées branche haute et branchebasse des polaritons. En k = 0 les deux branches sont séparés de l’énergie de Rabi ~ΩR.

Dans toute la suite de ce travail de thèse, on s’intéressera en particulier aux polaritonsde la branche basse. Cette branche polaritonique est particulièrement intéressante pourdifférentes raisons :

- La dispersion des polaritons bas présente un point d’inflexion, ce qui permet deréaliser des expériences de mélange à quatre ondes efficaces, puisque l’accord de phase etla conservation de l’énergie y sont facilement satisfaits [Savvidis 00].

- Au voisinage de k = 0, la courbe de dispersion des polaritons s’écarte significati-vement de l’énergie de l’exciton, ce qui montre que les excitons sont bien couplés auxphotons. La masse effective des polaritons bas (définie par la formule ~

2

m−(k) = d2E−(k)dk2 )

dans ce voisinage est alors très faible comparée à celle des excitons, ce qui présente beau-coup d’avantages pour l’observation des effets quantiques comme nous le verrons par lasuite.

- Pour des k plus importants, au delà du point d’inflexion, la masse des polaritonsest même négative ce qui permet d’observer certains effets exotiques comme des solitonsbrillants [Sich 11].

-La branche est parabolique pour de petits vecteurs d’ondes, ce qui signifie que les po-laritons se comportent comme des particules libres de masse effective faible. Or, la densitéd’états d’une particule libre de masse m dans un système bidimensionnel est constante etégale à m

~2 [Diu 89]. Ainsi la densité d’états des polaritons à k proche de 0 est égalementfaible, ce qui est à l’origine de la relaxation stimulée vers ces états lors de la condensationde Bose-Einstein des polaritons [Kasprzak 06], et de l’effet laser [Imamoglu 96,Tassone 99].

1.4.2 Dissipation et définition du régime de couplage fort

Le Hamiltonien 1.31 utilisé dans la partie précédente négligeait tous les phénomènesde relaxation et ainsi toutes interactions des polaritons avec l’environnement. En réa-lité, les photons de la cavité peuvent se coupler avec les modes extra-cavité du champ


Figure 1.9 – Courbe de dispersion des polaritons à désaccord cavité-exciton nul à k = 0(δk=0 = 0) et avec ~ΩR = 5.1 meV. Les couleurs sont les mêmes que pour la figure 1.8.

électromagnétique tandis que les excitons peuvent être couplés avec des modes phono-niques [Karr 01], excitoniques [Ciuti 98b], ou encore au désordre induit par les défauts dela structure cristalline [Savona 97]. Pour quantifier le taux de relaxation des polaritons,nous introduisons des composantes complexes aux énergies du photon et de l’exciton,correspondant à leurs propres coefficients de relaxation γph et γexc. Cette méthode esten réalité une approximation qui néglige l’influence du couplage exciton-photon sur larelaxation. Cette approximation ne prend pas en compte les effets liés à la forme de lacourbe de dispersion des polaritons, comme une dissymétrie entre la branche haute et labranche basse, ou la dépendance du taux de relaxation en fonction de k [Tassone 97].Une telle approximation est raisonnable si on se limite à des polaritons au voisinage dek = 0. On pourra se référer au chapitre 2 de la référence [Karr 01] pour plus de détailssur l’introduction d’énergies complexes.

Les énergies complexes E′ph(k) et E′

exc(k) s’écrivent alors :

E∗ph(k) = Eph(k) − i~γph (1.39)

E∗exc(k) = Eexc(k) − i~γexc (1.40)

Les énergies complexes E∗−(k) et E∗

+(k) des polaritons s’écrivent alors en insérant leséquations 1.39 et 1.40 dans les équations 1.38 et 1.37 :

E∗−(k) =

Eph(k) + Eexc(k)2

− i~γph + γexc

2− ~

2

√

[δk − i(γph − γexc)]2 + Ω2R (1.41)

E∗+(k) =

Eph(k) + Eexc(k)2

− i~γph + γexc

2+

~

2

√

[δk − i(γph − γexc)]2 + Ω2R (1.42)

Ainsi à désaccord nul, on obtient :

E∗−(k) =

Eph(k) + Eexc(k)2

− i~γph + γexc

2− ~

2

√

Ω2R − (γph − γexc)2 (1.43)


E∗−(k) =

Eph(k) + Eexc(k)2

− i~γph + γexc

2+

~

2

√

Ω2R − (γph − γexc)2 (1.44)

Et donc la levée de dégénérescence s’effectue uniquement si :

ΩR > |γph − γexc| (1.45)

C’est cette condition qui définit rigoureusement le couplage fort. Les largeurs de raie despolaritons γ−(k) et γ+(k) sont alors les moyennes pondérées par les coefficients de Hopfieldde γph(k) et γexc(k) :

γ−(k) = X2kγexc + C2

kγph (1.46)

γ+(k) = C2kγexc) + X2

kγph (1.47)

La première observation du couplage fort lumière-matière dans une cavité semi-conductricedate de 1992 par Claude Weisbuch [Weisbuch 92]. Afin de parvenir à ce couplage fort, ilconvient de créer des structures maximisant le couplage exciton-photon. Pour cela, onplace les puits quantiques aux maxima de l’amplitude du champ électromagnétique dansla cavité. Par ailleurs, augmenter le nombre de puits quantiques permet également d’amé-liorer le couplage. Comme on l’a vu avec les précédentes équations, limiter le couplage àl’environnement est indispensable. Pour ce faire, il est indispensable d’avoir des cavitéspropres avec de grandes finesses optiques.

1.4.3 Interactions entre polaritons

Dans toute la suite de ce travail de thèse, nous nous intéresserons uniquement auxpolaritons de la branche basse. Il est alors possible de négliger les polaritons de la branchehaute dans le Hamiltonien linéaire 1.32, ce qui nous donne le Hamiltonien linéaire despolaritons bas :

HLPlin =

∑

k

E−(k)p†kpk (1.48)

Comme il a déjà été dit dans la partie 1.4.1, ce Hamiltonien est un développement àl’ordre 1 en densité excitonique du Hamiltonien d’Usui. Lorsqu’on augmente l’excitationlumineuse, on augmente les densités excitoniques et il faut prendre en compte des termesd’ordre supplémentaires, correspondant aux termes d’interactions entre les excitons. Il estalors nécessaire de le compléter avec deux nouveaux termes décrits dans les références[Ciuti 03, Rochat 00]. Le premier terme est Hexc−exc qui rend compte des interactionsCoulombiennes entre les porteurs de charges [Ciuti 98a] :

Hexc−exc =12

∑

k,k’,q

VCoulomb(q)b†k+qb†

k’−qbkbk’ (1.49)

VCoulomb n’a pas d’expression simple dans le cas général, regroupant tous les effets com-plexes d’interactions et d’échange de porteurs de charges (le terme dominant étant celuid’échange inter-excitons d’électrons et de trous). Néanmoins, dans la limite des faibles vec-teurs d’ondes qa∗2D

exc << 1, avec a∗2Dexc le rayon de Bohr de l’exciton bidimensionnel défini

en 1.15 et ǫ la constante diélectrique du puits quantique on peut écrire :

VCoulomb(q) ≈ VCoulomb(0) =6e2a∗2D

exc

ǫA(1.50)

avec A l’aire de quantification. Le second terme est Hsatexc−ph qui traduit la saturation de

la transition optique avec l’intensité d’excitation :

Hsatexc−ph = −

∑

k,k’,q

~ΩR

nsatAa†

k+qb†k’−qbkbk’ + h.c (1.51)


où nsat est la densité excitonique de saturation de l’équation 1.20. Expérimentalement,ce phénomène de saturation se traduit par un profil d’émission de la cavité qui devienttop hat lorsque l’excitation est faite par un faisceau de profil gaussien. La partie centraledu faisceau laser étant plus intense que sa périphérie, la densité de polaritons est plusimportante au centre. Le processus de couplage exciton-photon sature et devient alorsmoins efficace au centre que sur la périphérie, d’où l’aplatissement de l’émission.

Il est alors possible de repasser dans la base polaritonique tout en se limitant aux pola-ritons de la branche basse, dans laquelle on peut alors écrire le Hamiltonien d’interactionspolariton-polariton Hpol−pol :

Hpol−pol =12

∑

k,k’,q

V pol−polk,k’,q p†

k+qp†k’−qpkpk’ (1.52)

où le potentiel effectif de l’interaction polariton-polariton regroupe l’interaction Coulom-bienne excitonique et l’interaction de saturation :

V pol−polk,k’,q =

a∗2Dexc

2

A

[

6e2

ǫa∗2Dexc

Xk+qXk’ + 2~ΩR

nsatA×(

|Ck+q|Xk’ + |Ck’|Xk+q

)

]

Xk’−qXk

(1.53)On peut noter que les deux termes sont positifs, l’interaction entre polaritons de la branchebasse est par conséquent répulsive. De plus, on notera que la dépendance en vecteur d’ondeest faible. Dans la littérature, il est ainsi courant de faire référence au potentiel V pol−pol

k,k’,q

par la constante d’interaction g ou α1 (α2 étant réservée à la constante d’interactions depolaritons de spin opposés, dont nous parlerons dans la section 1.4.4).

1.4.3.1 Renormalisation des énergies

Il est intéressant d’étudier la contribution en énergie des interactions entre polaritons.En termes d’opérateurs champs Ψ(r) = 1√

S

∑

k φkpk, où φk est la fonction d’onde d’unpolariton de vecteur d’onde k et S la taille du système, le Hamiltonien d’interactions entrepolaritons peut s’écrire :

Hpol−pol(r) =g

2Ψ†(r)Ψ†(r)Ψ(r)Ψ(r) (1.54)

ce qui donne, appliqué à un état |Ψ > :

Hpol−pol(r)|Ψ >=g

2|Ψ(r)|2|Ψ > (1.55)

En présence de polaritons en r, les interactions entre polaritons augmentent l’énergie despolaritons à cet endroit d’une quantité proportionnelle à la densité de polaritons |Ψ(r)|2|en r. Autrement dit, comme les polaritons se repoussent entre eux, plus il y a de polaritonsà un endroit donné, plus l’énergie à dépenser pour en introduire un autre est élevée.

1.4.4 Spin des polaritons

Dans un semiconducteur à gap direct III-V comme le GaAs (dont la structure de bandeest représentée sur la figure 1.10), la bande de valence (Γ7 et Γ8) est constituée d’électronsde la couche p et la bande de conduction (Γ6) d’électrons de la couche s. Par conséquent,les électrons de conduction ont un moment cinétique orbital nul, et un moment cinétiquetotal Jc = 1

2 . Les électrons de valence ont, eux, un moment cinétique orbital de 1 et leurmoment cinétique total peut prendre les valeurs Jv = 3

2 et Jv = 12 . L’interaction spin-orbite


Figure 1.10 – Structure de bandes du semiconducteur III-V à gap direct GaAs.

provoque une levée de dégénérescence entre les électrons de valence de moment cinétiquetotal 1

2 et 32 , la bande Jv = 1

2 (Γ7) ayant une énergie plus basse. Étant trop éloignée dela bande de conduction pour qu’un processus d’excitation puisse être considéré, on neconsidérera dans la suite que les électrons de valence Jv = 3

2 (Γ8). En considérant lesprojections possibles du moment cinétique total sur l’axe de quantification Oz, la bandede valence Jv = 3

2 se divise en deux sous bandes Jzv = ±1

2 et Jzv = ±3

2 de courburesdifférentes. On distingue ainsi les électrons légers de moment cinétique selon z ±1

2 et lesélectrons lourds de moment cinétique selon z ±3

2 . Bien que les électrons lourds et lesélectrons légers aient la même énergie à k = 0 dans un semi-conducteur massif, comme lemontre la figure 1.11, le confinement selon z dans un puits quantique entraîne une levéede dégénérescence illustrée par la figure 1.12, d’autant plus importante que le confinementest grand [Deveaud 07].

Un trou possède le même moment cinétique total Jh que l’électron auquel il est associé

J=1/2J=1/2

EE

kk

J=3/2J=3/2

JJzz==±±1/21/2

JJzz==±±3/23/2

JJzz==±±1/21/2

Bande de Bande de ConductionConduction

Bande de Bande de valencevalence

EEgapgap

J=1/2J=1/2JJzz==±±1/21/2

Trous lourds

Trous légers

Figure 1.11 – Structure de bandes d’unsemi-conducteur massif à gap direct.

J=1/2J=1/2

EE

kk

J=3/2J=3/2

JJzz==±±1/21/2

JJzz==±±3/23/2

JJzz==±±1/21/2

Bande de Bande de ConductionConduction

Bande de Bande de valencevalence

EEgapgap

J=1/2J=1/2JJzz==±±1/21/2

15 meVTrous lourds

Trous légers

Figure 1.12 – Structure de bandes d’unpuits quantique semi-conducteur à gapdirect.


Figure 1.13 – Spectre d’absorption caractéristique d’un puits quantique en InGaAs à 4K.Image tirée de la référence [Nelson Jr 96].

mais une projection opposée sur l’axe de quantification Jzh = −Jz

v . On parle alors égalementde trous lourds et légers, séparés comme le montre la figure 1.13 par une différence d’énergieimportante. Un exciton formé d’une paire électron-trou possède un moment angulairetotal Jexc et un moment angulaire selon l’axe Oz Jz

exc. On peut alors exprimer les états(Jexc, Jz

exc) dans la base des moments angulaires découplés (Jzh , Jz

c ) (voir l’annexe A). Lemoment cinétique total de l’exciton peut être Jexc = ±2, ±1.

Cependant, le spin d’un photon ne peut être que Jph = 1 et le processus de photoab-sorption conserve le spin. Ainsi les excitons Jexc = ±2 ne peuvent pas être excités opti-quement, on dit que ce sont des états optiquement inactifs ou états noirs (spin-forbiddenstates ou dark states). En ne tenant pas compte des états noirs (bien qu’ils jouent un rôledans la dynamique de spin des excitons, cf. section 1.4.5), on peut se limiter à la descrip-tion des états excitoniques ↑=(Jz

h = 32 , Jz

c = −12) et ↓=(Jz

h = −32 , Jz

c = 12). Ce système

à deux états de spin peut être formellement assimilé à celui d’un spin 12 . La conservation

du moment cinétique total selon z lors de l’interaction exciton-photon entraîne la règlede sélection Jz

exc = Jzph. Une onde en incidence normale (k = 0) polarisée circulairement

droite (Jzph = +1 noté σ+) créé alors un état pur excitonique ↑. De même, une onde en

incidence normale polarisée circulairement gauche (Jzph = −1 noté σ−) créé un état pur

excitonique ↓. Par ailleurs, toute superposition cohérente d’une onde polarisée circulaire-ment gauche et d’une onde circulairement droite (polarisation elliptique ou linéaire) enincidence normale créé une superposition cohérentes des états excitoniques ↑ et ↓. En re-vanche, si le système est excité par une onde polarisée circulairement à incidence non nulle,l’état excitonique créé sera une superposition de ces deux états. En effet, comme calculédans l’annexe de la référence [Cassabois 01], une onde polarisée circulairement à incidenceθi (selon l’axe ex) génère un états excitonique polarisé elliptiquement (dont ex est l’undes axes) d’ellipticité φ telle que tan φ = cos(θi − θr)/cosθr où sin θi = nc sin θr avec nc

l’indice du milieu de la microcavité. On constate que pour des angles usuels (jusqu’à 15 )la variation de l’ellipticité ∆Φ/Φ est de l’ordre de 1%. La modification de la polarisationdue à un angle d’incidence non nulle est très faible et sera donc négligée dans la suite.

De manière analogue, la réciproque est vraie. Un exciton dans l’état ↑ lors de sarecombinaison radiative émettra une onde polarisée σ+, et un exciton dans l’état ↓ émettraune onde polarisée σ−. Les polaritons étant une superposition cohérente de photons etd’excitons, ils partagent exactement les mêmes propriétés de spin que les excitons (et lesphotons). Cette conservation du spin lors de l’interaction exciton-photon nous permet alors


d’obtenir toutes les informations relatives au spin des polaritons en étudiant la polarisationde la lumière émise par la microcavité.

1.4.4.1 Le pseudospin polaritonique

Nous avons montré dans la partie précédente que la dynamique de spin des excitons(donc des polaritons) dans un puits quantique peut se réduire à celle d’un système à deuxétats (↑, ↓). De manière analogue aux électrons de spin 1

2 , les polaritons excitoniques devecteur d’onde k peuvent être décrits par une matrice densité 2 × 2, ρk [Kavokin 04]. Ilest alors intéressant d’introduire le vecteur pseudospin Sk caractérisant le spin de l’étatpolaritonique de vecteur d’onde k par la relation :

ρk =Nk

2I + Sk.σ (1.56)

où Nk est le nombre de polaritons d’impulsion k, I la matrice identité et σ le vecteur desmatrices de Pauli. Les trois composantes de Sk sont les valeurs moyennes des opérateursJx

exc, Jyexc et Jz

exc. On représente usuellement le pseudospin dans la sphère de Poincaré (voirfigure 1.14). Dans le cas d’un photon, le pseudospin est équivalent au vecteur de Stokessur l’état de polarisation du photon. A incidence normale, au regard de l’équivalence entrel’état de spin des polaritons et l’état de polarisation de la lumière, le vecteur de Stokes dela lumière émise est rigoureusement égal au pseudospin des polaritons. Expérimentalementil suffit alors de mesurer les paramètres de Stokes de la lumière émise afin de mesurer lepseudospin des polaritons. Les paramètres de Stokes se mesurent expérimentalement viales intensités d’émission dans différentes bases :

S0 = Itotal (1.57)

Sx = IV − IH (1.58)

Sy = I+45 − I−45 (1.59)

Sz = Iσ+− Iσ− (1.60)

où IV , IH , I+45 , I−45 , Iσ+et Iσ− sont respectivement les intensités émises dans les pola-

risations linéaire verticale, linéaire horizontale, linéaire diagonale, linéaire anti-diagonale,circulaire droite et circulaire gauche. De plus, pour une onde totalement polarisée, cesparamètres sont reliés par la relation :

S20 = S2

x + S2y + S2

z (1.61)

1.4.5 Interactions entre polaritons dépendantes du spin

Dans la partie 1.4.3 nous n’avions pas pris en compte le spin des polaritons pour lecalcul du potentiel d’interactions entre polaritons. En réalité, comme il a été détaillé dans lasection 1.4.4, les polaritons héritent des excitons une structure de spin à deux niveaux ↑ et↓, et le Hamiltonien d’interactions entre polaritons dépend du spin. La référence [Ciuti 98a]calcule les différents termes à prendre en compte lors de l’interaction de deux excitons etconclut que seuls les termes d’échange de trous et d’échange d’électrons sont à prendre encompte. Les seules interactions permises et pertinentes dans la base (Jz

exc,1, Jzexc,2) sont :

(1, 1) ⇒ (1, 1) (1.62)

(−1, −1) ⇒ (−1, −1) (1.63)

(1, −1) ⇒ (2, −2) (1.64)

(−1, 1) ⇒ (2, −2) (1.65)


Figure 1.14 – Sphère de Poincaré du pseudospin. Les pôles de la sphère correspondent auxdeux polarisations circulaires tandis que l’équateur correspond à différentes polarisationslinéaires : H pour horizontale, V pour verticale, D (diagonale) pour +45 et A (anti-diagonale) pour −45.

Alors que les excitons de moment cinétique Jexc = 1 et Jexc = 2 ont environ la mêmeénergie (ils sont séparés par l’énergie de l’interaction d’échange d’électrons et de trous, del’ordre de 0.01 meV), les polaritons (c’est-à-dire les excitons de spin Jexc = 1 couplés auchamp électromagnétique) ont une énergie plus basse de l’ordre de la moitié de l’énergie deRabi ~ΩR. Ainsi, les processus 1.62 et 1.63 sont beaucoup plus efficaces que les processus1.64 et 1.65 qui font intervenir des excitons de moment cinétique total Jexc = 2, noncouplés au champ électromagnétique et donc qui respectent difficilement la conservationde l’énergie. Cependant, on peut imaginer un processus faisant intervenir les états noirscomme états intermédiaires virtuels [Glazov 09,Renucci 05] :

(1, −1) ⇒ (2, −2) ⇒ (1, −1) (1.66)

(1, −1) ⇒ (−2, 2) ⇒ (−1, 1) (1.67)

Ces derniers processus nécessitent deux photons et sont des termes du second ordre del’interaction, nécessairement plus faibles. Alors que la constante d’interaction α1 est po-sitive et l’interaction entre polaritons de même spin répulsive (voir la section 1.4.3), lescalculs et les mesures de la constante d’interaction entre polaritons de spin opposés α2

donnent une valeur négative et donc une interaction attractive [Vladimirova 10]. Dans lecas général nous avons alors :

α1 >> |α2| (1.68)

α1 > 0 (1.69)

α2 < 0 (1.70)

En réalité, il existe aussi des interactions entre excitons sombres. Ainsi, la présence d’unbain d’exciton sombres induit un décalage en énergie indépendant du spin des polaritons,qui peut éventuellement modifier la valeur de la constante d’interaction α2 [Sarkar 10a].


Ainsi, on attribue à la présence d’un bain d’excitons l’observation d’une constante effectiveαeff

2 positive comme rapporté dans la référence [Adrados 10] reproduite dans l’annexe C.Pour ce qui est de la renormalisation des énergies étudiée dans la partie 1.4.3.1, une po-

pulation de spin donnée contribue très peu à la renormalisation en énergie de la populationde spin opposée. Un déséquilibre des populations ↑ et ↓ induit alors des renormalisationsdifférentes pour chaque population, introduisant alors un clivage énergétique entre les po-laritons ↑ et ↓. Nous verrons dans la partie suivante qu’une telle différence énergétiqueinduit un champ magnétique effectif selon l’axe de croissance z.

1.4.6 Relaxation du spin des polaritons et champ magnétique effectif

La polarisation de la lumière ne peut pas être conservée indéfiniment par les excitons.Avec le temps, ils perdent leur polarisation à cause des effets inévitables de relaxationde spin. Plusieurs mécanismes de relaxations de spin sont à prendre en compte pour desporteurs de charges libres : le mécanisme d’Elliott-Yaffet [Elliott 54], le mécanisme deD’yakonov Perel’ [D’yakonov 71] et le mécanisme de Bir-Aronov-Pikus [Pikus 71]. La ré-férence [Maialle 93] montre que c’est ce troisième mécanisme dit d’inversion de spin (spinflip) qui est dominant pour les excitons dans des puits quantique et conduit à des tran-sitions entre les excitons Jz

exc = +1 et Jzexc = −1. Le mécanisme de Maialle est de plus

amplifié pour les polaritons par une séparation en énergie des modes photoniques Trans-verse Électrique (TE) et Transverse Magnétique (TM) due principalement aux dispersionsangulaires des miroirs de Bragg différentes pour les modes TE et TM [Panzarini 99]. Cecouplage se traduit par la présence d’un terme non-diagonal Wk dans le Hamiltonien despolaritons de la branche basse dans la base (↑,↓) qui prend la forme :

Hk = H0 + HWk =

[

E↑k Wk

W †k E↓

k

]

(1.71)

où E↑k et E↓

k sont les énergies des états ↑ et ↓. Considérons dans un premier temps laquantité ~Ω0 = E↑

k − E↓k comme nulle. Nous verrons dans la section 1.4.6.2 que cette

considération est valide pour un fluide de polaritons polarisé linéairement. La matriceHW

k couplant les états ↑ et ↓ est analogue à un champ magnétique effectif dans le plandes couches. Cette matrice peut se réécrire [Maialle 93] :

HWk =

~Ωk

2

[

0 e−2iθ

e2iθ 0

]

(1.72)

Ωk est une fonction de k nulle en k = 0, croissante en |k| et qui varie comme une racinecarrée pour des grands k. On associe à Ωk l’énergie ~Ωk dite splitting TE-TM qui sépareles modes polaritoniques TE et TM et qui varie entre 0 et quelques dizaines de µeV. θreprésente l’angle polaire de k dans le plan kx, ky. Pour des polaritons sans interactionset de temps de vie infini, l’évolution de la matrice densité est gouvernée par l’équation deLiouville-Von Neumann :

dρk

dt=

i

~[ρk, H0 + HW

k ] (1.73)

Cette équation pour la matrice densité est formellement équivalente à l’équation pour lepseudospin :

dSk

dt= Ωk ∧ Sk (1.74)

où Ωk = (Ωk cos(2θ), Ωk sin(2θ), 0) apparaît comme un champ magnétique effectif autourduquel le pseudospin subit une précession. Ce champ magnétique effectif est à l’origine del’effet Hall optique de spin décrit dans les références [Kavokin 05,Leyder 07].


1.4.6.1 Champ magnétique intrinsèque

En plus du champ magnétique effectif dû au mécanisme de Maialle, les contrainteslors de la croissance des multiples couches de la microcavité semi-conductrice induisentgénéralement une anisotropie dans le plan des couches (voir section 3.1) qui peut résulter enun désaccord énergétique constant entre les polaritons polarisés selon des axes privilégiés,indépendant de l’impulsion des polaritons. L’anisotropie de la structure se traduit parl’ajout d’un champ magnétique effectif constant et uniforme Ωan. Bien que ce champmagnétique supplémentaire a pu être observé dans plusieurs expériences [Klopotowski 06,Krizhanovskii 06,Amo 09b] il n’existe pas aujourd’hui d’explication claire de son origine.

Cependant il est généralement possible de se placer dans des conditions où ce termedevient négligeable (soit en propageant le fluide selon la direction de ce champ, ou bienen générant un fluide d’impulsion suffisamment élevée, rendant ce champ magnétiqueintrinsèque négligeable devant celui créé par le mécanisme de Maialle), c’est pourquoinous n’en tiendrons pas compte dans la suite du manuscrit.

1.4.6.2 Splitting intrinsèque de Zeeman et précession de Larmor auto-induite

Dans le cas général, Ω0 n’est pas nul. Lorsque le fluide n’est pas polarisé linéairement,il existe une différence entre les populations n↑ et n↓. Nous avons vu dans la section1.4.3.1 où nous n’avions pas encore pris en compte le paramètre de spin que l’énergie despolaritons est renormalisée d’une quantité proportionnelle à la densité ∆E = g|Ψ|2. Enprenant en compte le degré de liberté de spin, l’énergie des polaritons de spin σ = ↑, ↓(où − ↑=↓ et réciproquement) est renormalisée d’une quantité :

∆Eσ = α1nσ + α2n−σ (1.75)

∆Eσ =α1 + α2

2(nσ + n−σ) +

α1 − α2

2(nσ − n−σ) (1.76)

Dans ces conditions on obtient une valeur non nulle de ~Ω0 = E↑ −E↓ = (α1 −α2)(n↑ −n↓)appelée aussi Splitting intrinsèque de Zeeman. Ce terme dans le Hamiltonien du systèmeest rigoureusement équivalent à l’ajout d’une composante Ω0 selon l’axe z au champ ma-gnétique effectif qui devient alors :

Ω′

k =

Ωk cos(2θ)Ωk sin(2θ)

Ω0

(1.77)

Dans le cas d’un fluide de polaritons polarisé circulairement, la composante selon z duchamp magnétique effectif est prédominante (Ωk est de l’ordre de 20 − 50µeV alors queΩ0 peut aller jusqu’à 500µeV ), ce qui induit la précession du pseudospin principalementautour de l’axe z, protégeant ainsi le système de la décohérence de spin générée par lechamp magnétique effectif. C’est cette précession induite par la différence de populationde spin opposés qu’on appelle précession de Larmor auto-induite.

Il est intéressant de noter que dans les systèmes atomiques les interactions n’ont pasce caractère antiferromagnétique mais on a plutôt α1 ≃ α2. Il n’y a donc pas de précessionde Larmor auto-induite protégeant le système de la décohérence de spin dans les conden-sats atomiques. Nous verrons notamment dans la section 5.1.4 que cette précession deLarmor est indispensable pour assurer la stabilité des défauts topologiques demi-entiersdans les fluides de polaritons, et que son absence rend très difficile leur observation dansles condensats atomiques.

Chapitre 2

Condensats de Bose-Einstein etsuperfluidité

Contents2.1 Condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Équation de Gross-Pitaevskii et cohérence à longue portée . . 37

2.2.1 Dérivation de l’équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Intérêt des fluides polaritoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Superfluidité d’un condensat en interactions . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Critère de Landau pour la superfluidité . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2 Spectre des excitations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Injection résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1 Équation de Gross-Pitaevskii hors-équilibre . . . . . . . . . . . . 42

2.4.2 Bistabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4.3 Superfluidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1 Condensation de Bose-Einstein

En physique quantique les particules peuvent être représentées par deux classes ca-ractérisant la symétrie de leur fonction d’onde : les fermions et les bosons. Alors queles fermions ont une fonction d’onde antisymétrique par échange de particules, les bo-sons ont quant à eux une fonction d’onde symétrique par échange. Ces deux classes sontrégies par deux statistiques différentes appelées statistique de Fermi-Dirac pour les fer-mions, et de Bose-Einstein pour les bosons. En particulier, la statistique de Bose-Einsteinautorise les bosons à s’accumuler dans un même état quantique. En 1925, reprenant le tra-vail de Satyendranath Bose [Bose 24], Albert Einstein montre théoriquement l’existenced’une transition de phase dans un gaz de bosons sans interactions [Einstein 25]. Pour destempératures suffisamment basses, l’état fondamental du système bosonique est peuplémacroscopiquement. En effet pour N bosons sans interactions à la température T confinésdans un volume V à d dimensions, la statistique de Bose-Einstein s’écrit :

fB(k, T, µ) =1

exp(

E(k)−µkBT

)

− 1(2.1)

36 Chapitre 2. Condensats de Bose-Einstein et superfluidité

où k est le vecteur d’onde à d dimensions, E(k) l’énergie d’un boson, kB la constante deBoltzmann et µ le potentiel chimique. La valeur de µ est déterminée par la condition denormalisation sur le nombre total de particules N :

N(T, µ) =∑

k

fB(k, T, µ) (2.2)

On peut séparer la contribution de l’état fondamental au nombre de particules :

N(T, µ) =1

exp(

E0−µkBT

)

− 1+∑

k6=0

fB(k, T, µ) (2.3)

avec E0 l’énergie de l’état fondamentale. Dans la limite thermodynamique, on considèreun volume infini, et la somme sur les vecteurs d’ondes est remplacée par une intégrale :

n(T, µ) = limV →+∞

N(T, µ)V

= n0 +1

(2π)d

∫ +∞

0fB(k, T, µ)ddk (2.4)

où n0 est la contribution de l’état fondamentale :

n0(T, µ) = limV →+∞

1V

1

exp(

E0−µkBT

)

− 1(2.5)

La densité maximale de particules dans les états excités nc est atteinte pour µ = E0 :

nc(T ) = limµ→E0

1(2π)d

∫ +∞

0fB(k, T, µ)ddk (2.6)

Pour des particules avec une relation de dispersion parabolique E(k) = ~2k2/2m, cette

fonction calculable analytiquement diverge pour d ≤ 2 mais converge pour d > 2. Dans cedernier cas, nc est une densité critique au dessus de laquelle aucune particule ne peut êtreajoutée dans les états excités. Ainsi, toute particule ajoutée au dessus de ce seuil condensedans l’état fondamental :

n0(T ) = n(T ) − nc(T ) (2.7)

La première observation expérimentale de la condensation de Bose-Einstein date de 1995[Anderson 95] dans un gaz 3D dilué d’atomes de Rubidium-87. Cette expérience pionnièrea inauguré un domaine entier de la physique, permettant l’étude de nombreux phénomènesquantiques : la physique des condensats.

Nous avons déjà établi dans la section 1.2.3 que dans les conditions usuelles de densité,les excitons sont des bosons. Les polaritons étant ainsi une superposition d’états bosoniques(photons et excitons), ils respectent également la statistique de Bose-Einstein. Cependantles microcavités semi-conductrices sont des systèmes à deux dimensions et nous avons ditprécédemment que l’intégrale de l’équation 2.6 ne converge que pour des dimensions d > 2,donc la condensation n’est a priori pas possible dans les systèmes confinés. En réalité,cette non-convergence indique juste que pour des systèmes 1D et 2D, la condensationde Bose-Einstein est impossible dans la limite thermodynamique. Dans un système detaille finie la quasi-condensation est réalisable. En effet le système est quantifié, et lasommation 2.2 exclue la région proche de l’état fondamental, responsable de la divergence.La dimensionnalité n’est donc pas un obstacle à la condensation dans les microcavités semi-conductrices. En revanche, dans le but d’observer la condensation de polaritons, le tempsde vie très court des polaritons, de l’ordre de 15 ps, pose un défi technologique qui imposede réaliser des structures stimulant la relaxation des polaritons afin de permettre leurthermalisation. Ce défi a été relevé et le phénomène de condensation dans les microcavitéssemi-conductrices a été observé pour la première fois en 2006 par Jacek Kasprzak etal. [Kasprzak 06] par excitation hors résonance comme l’illustre la figure 2.1.

2.2. Équation de Gross-Pitaevskii et cohérence à longue portée 37

Figure 2.1 – Condensation des polaritons de microcavité à 5K. (a) Représentations 3D del’émission dans l’espace réciproque à trois différentes puissances d’excitation (Pthr étantl’intensité de seuil pour la condensation). (b) Spectres énergétiques pour les mêmes puis-sances d’excitations. Figure tirée de la référence [Kasprzak 06].

2.2 Équation de Gross-Pitaevskii et cohérence à longue por-tée

2.2.1 Dérivation de l’équation de Gross-Pitaevskii

L’équation de Gross-Pitaevskii découle de l’extension de la théorie de Bogoliubov pourdes gaz de Bose uniformes [Bogoliubov 47]. Nous suivrons le raisonnement développé dansla référence [Pitaevskii 03]. Commençons par définir l’opérateur champ Ψ(r) décrivant legaz de Bose :

Ψ(r) =∑

i

φiai (2.8)

où ai (a†i ) est l’opérateur d’annihilation (création) d’une particule dans l’état φi et qui

obéissent aux relations de commutations

[ai, a†j ] = δi,j , [ai, aj ] = 0 (2.9)

La population de l’état fondamental N0 étant macroscopique, elle joue un rôle particulierdans la physique des condensats et il parait judicieux de séparer sa contribution (i = 0)des autres composantes :

Ψ(r) = φ0a0 +∑

i6=0

φiai (2.10)

On peut maintenant réaliser l’approximation de Bogoliubov qui consiste à remplacer lesopérateurs a0 et a†

0 par√

N0. Cette approximation est équivalente à ignorer la non-commutativité des opérateurs a0 et a†

0. L’approximation de Bogoliubov revient à traiter lacomposante φ0a0 de l’opérateur champ 2.10 comme un champ classique. L’équation 2.10peut alors être réécrite :

Ψ(r) = Ψ0(r) + δΨ(r) (2.11)


où nous avons défini Ψ0 =√

N0φ0 et δΨ(r) =∑

i6=0 φiai. Si la partie non-condensée δΨ(r)est négligeable, comme cela l’est pour de très basses températures, l’opérateur champ estégal au champ classique Ψ0. L’approximation de Bogoliubov est valide lorsque un état àune particule est occupé macroscopiquement N0 >> 1. La fonction Ψ0(r)est appelée lafonction d’onde du condensat et joue le rôle d’un paramètre d’ordre. C’est une quantitécomplexe caractérisée par son module |Ψ0(r)| =

√

n0(r) (n0 = N0/V ) et sa phase θ(r) :

Ψ0(r) = |Ψ0(r)|eiθ(r) (2.12)

L’ansatz de Bogoliubov pour l’opérateur champ peut être interprété en disant que la valeurmoyenne 〈Ψ〉 est non nulle. D’un point de vue physique, cela veut dire que comme N0 >> 1,ajouter ou soustraire une particule au condensat ne change pas les propriétés du système.On peut alors écrire Ψ0 = 〈Ψ〉. En prenant cette moyenne sur des états stationnairesavec une dépendance temporelle en e−iEt/~, on constate que la dépendance temporelle duparamètre d’ordre est donné par la loi :

Ψ0(r, t) = Ψ0(r)e−iµt/~ (2.13)

où µ = E(N) − E(N − 1) ∼= ∂E/∂N est le potentiel chimique.Nous nous proposons maintenant de définir l’équation gouvernant l’évolution du champ

Ψ0. Rappelons que le Hamiltonien d’un gaz de bosons en interactions s’écrit :

H =∫

drΨ†(r)

[

~2

2m∇2 + Vext(r) +

12

∫

dr’Ψ†(r’)V (r − r’)Ψ(r’)

]

Ψ(r) (2.14)

L’opérateur champ dans la représentation d’Heisenberg satisfait alors l’équation :

i~∂

∂tΨ(r, t) =

[

Ψ(r, t), H]

=

[

−~2∇2

2m+ Vext(r, t) +

∫

dr’Ψ†(r’)V (r − r’)Ψ(r’)

]

Ψ(r, t)

(2.15)En considérant un potentiel d’interaction ponctuel de valeur g et en remplaçant Ψ(r, t)par Ψ0(r, t), on obtient l’équation de Gross-Pitaevskii :

i~∂

∂tΨ0(r, t) =

(

−~2∇2

2m+ Vext(r, t) + g|Ψ0(r, t)|2

)

Ψ0(r, t) (2.16)

Cette équation de Gross-Pitaevskii prend une forme plus simple dans le cas stationnaireoù la fonction d’onde du condensat évolue selon la loi 2.13 :

(

−~2∇2

2m+ Vext(r, t) − µ + g|Ψ0(r, t)|2

)

Ψ0(r) = 0 (2.17)

Notons que pour un gaz uniforme, comme c’est le cas dans l’état fondamental en l’absencede potentiel extérieur (Vext = 0), l’équation ci-dessus nous donne µ = gn0.

Il existe dans les condensats une relation particulière entre la phase et la vitesse dufluide. On peut trouver cette relation en multipliant l’équation 2.16 par Ψ∗

0 et en sous-trayant le complexe conjugué de l’expression obtenue :

i~

(

Ψ∗0

∂Ψ0

∂t+ Ψ0

∂Ψ∗0

∂t

)

= − ~

2m

(

Ψ∗0∇2Ψ0 − Ψ0∇2Ψ∗

0

)

(2.18)

où l’on reconnaît l’équation de conservation du nombre de particules

∂n

∂t+ div j = 0 (2.19)

2.3. Superfluidité d’un condensat en interactions 39

avec j le vecteur densité de courant dont l’expression est alors :

j = − ~

2m(Ψ∗

0∇Ψ0 − Ψ0∇Ψ∗0) (2.20)

ce qui donne en insérant l’expression Ψ0 =√

neiθ(r,t) et en définissant le vecteur vitessedu condensat vs = nj :

vs =~

m∇θ(r, t) (2.21)

Il est facile a partir de l’équation 2.21 de voir que le vecteur vitesse est irrotationnel(rot vs = 0). On verra dans le chapitre 4.1.1 que cette propriété caractéristique des conden-sats induit une quantification des vortex.

L’équation 2.16 appelée aussi Équation de Schrödinger non-linéaire développée en 1961indépendamment par Pitaevskii [Pitaevskii 61] et Gross [Gross 61] est l’outil théoriqueprincipal pour étudier les gaz de Bose dilués non uniformes à très basses températures.Nous verrons dans la section 2.4 qu’elle peut être également étendue à un ensemble ma-croscopique de polaritons dans un état hors équilibre sous injection résonnante à conditiond’y intégrer des termes liées aux pertes et au pompage du système.

2.2.2 Intérêt des fluides polaritoniques

Nous avons vu dans la section précédente que la fonction d’onde d’un condensat estdéfinie par son module |Φ0(r)| =

√

n0(r) et sa phase θ(r). L’un des intérêts majeurs dessystèmes polaritoniques pour l’étude des condensats réside dans le fait que ces paramètressont conservées lors de l’interaction des excitons avec le champ électromagnétique. Ainsi,mesurer l’intensité et la phase de l’émission de la microcavité donne directement accèsau module et à la phase du condensat. Cette phase du condensat révèle une cohérence àlongue portée entre polaritons.

2.3 Superfluidité d’un condensat en interactions

Le phénomène de superfluidité a été découvert par P. Kapitza, J.F. Allen et D. Misse-ner en 1937 dans l’Hélium 4 (4He) [Allen 38,Kapitza 38]. Ils observent qu’en dessous d’unecertaine température appelée point λ, Tλ = 2.17K, la viscosité de ce fluide devient extra-ordinairement faible. En 1938, Fritz London remarque que la température de la transitionsuperfluide de l’Hélium 4 (2.7K) est sensiblement proche de la température de conden-sation de Bose-Einstein d’un gaz parfait de même densité que l’hélium liquide (3.2K) etsuggère que ces deux phénomènes sont intrinsèquement liés [London 38]. Ce phénomènede superfluidité a été expliqué en 1941 par Landau qui a montré que si le spectre des ex-citations élémentaires satisfait certains critères que nous nous proposons d’expliquer dansla section suivante, le fluide en mouvement ne permet aucune dissipation [Landau 41].

2.3.1 Critère de Landau pour la superfluidité

Les lois de transformations de l’énergie et de l’impulsion sous transformation Galiléennejouent un rôle important dans la théorie de la superfluidité de Landau. Soient E et Pl’énergie et l’impulsion d’un fluide dans le référentiel Galiléen R. L’énergie et l’impulsiondu fluide dans le référentiel R′ en translation à une vitesse V par rapport à R sont donnés


par :

E′ = E − P.V +12

MV 2 (2.22)

P’ = P’ − MV (2.23)

où M est la masse totale du fluide. Nous allons chercher une condition sur la créationd’excitation élémentaires, responsables de la dissipation, et donc de la viscosité d’un fluide.Considérons un fluide a température nulle circulant dans un tube à une vitesse constantev. Plaçons-nous pour décrire le système dans le référentiel en mouvement avec le fluide,dans lequel le fluide est au repos. Si une excitation avec une impulsion p apparaît, l’énergietotale devient E0+ǫ(p) où E0 et ǫ(p) sont respectivement l’énergie de l’état fondamental etl’énergie de l’excitation d’impulsion p, et p donne l’impulsion de l’excitation, transportéepar le fluide. Dans le référentiel fixe par rapport au tube, qui se déplace à une vitesse -vpar rapport au fluide, l’énergie E′ et l’impulsion P’ satisfont les équations 2.22 et 2.23 :

E′ = E0 + ǫ(p) + p.v +12

Mv2 (2.24)

P’ = p + Mv (2.25)

On peut déduire de ces équations que les quantités ǫ(p) + p.v et p sont respectivementles variations de l’énergie et de l’impulsion due à l’apparition d’une excitation. ǫ(p) + p.vest alors l’énergie d’une excitation élémentaire dans le référentiel fixe du tube. Les exci-tations élémentaires peuvent êtres générées spontanément uniquement si la contributionénergétique de l’excitation est négative :

ǫ(p) + p.v < 0 (2.26)

Ce qui est possible pour des vitesses v > ǫ(p)/p. Dans ce cas le flux du fluide est instable etde nombreuses excitations sont générées spontanément, induisant une viscosité non nulle.Si au contraire la vitesse est inférieure à la valeur critique vc :

vc = minp

ǫ(p)p

(2.27)

la condition 2.26 n’est jamais vérifié et aucune excitation ne peut être généré spontanémentdans le fluide. Le critère de Landau peut alors être écrit de manière simplifiée sous la forme :

v < vc (2.28)

qui assure que si la vitesse relative du fluide par rapport au tube est plus faible que lavitesse critique vc le fluide s’écoulera sans friction.

2.3.2 Spectre des excitations élémentaires

Nous allons maintenant calculer le spectre des excitations élémentaires du condensat eninteraction en absence de potentiel extérieur vérifiant l’équation de Gross-Pitaevskii 2.16(donc autour de son état fondamental). Considérons une faible perturbation se propageantsur le condensat avec une impulsion p = ~k. Le condensat est initialement décrit par lafonction d’onde stationnaire Ψ0 et la densité n0. Le paramètre d’ordre perturbé subit latransformation de Bogoliubov et s’écrit :

Ψ(r, t) =[

Φ0(r) + Aei(k.r−ωt) + B∗e−i(k.r−ωt)]

e−iµt/~ (2.29)

2.4. Injection résonante 41

où l’on a fixé l’origine des énergies à l’énergie du condensat à k = 0. On peut injec-ter cette fonction dans l’équation de Gross-Pitaevskii 2.16 et isoler les termes évoluanttemporellement comme e−iωt/~ et eiωt/~ pour obtenir les équations couplées :

~ωA =

(

~2k2

2m− µ + 2gn0

)

A + gn0B (2.30)

−~ωB =

(

~2k2

2m− µ + 2gn0

)

B + gn0A (2.31)

Le gaz étant uniforme, on peut écrire µ = gn0. Le système de ces deux équations coupléesest soluble uniquement si le déterminant de la matrice caractéristique est nul, ce qui nousdonne le spectre des énergies :

~ω± = ±√

(

~2k2

2m

)2

+~2k2

mgn0 (2.32)

On constate que dans la limite des petits vecteurs d’ondes la dispersion devient linéaire[Utsunomiya 08] et on peut définir une vitesse du son dans le condensat :

cs =√

gn0

m(2.33)

Dans cette limite la vitesse critique du critère de Landau 2.27 est égale à la vitesse du soncs.

Nous avons décrit un condensat de Bose-Einstein statique et ses excitations élémen-taires. D’après Le critère de Landau, un tel condensat aura des propriétés superfluidesjusqu’à une vitesse de propagation de vc = cs. Pour obtenir le spectre des excitationsélémentaires d’un condensat de Bose-Einstein en mouvement avec une vitesse v, il suffitde passer du référentiel Galiléen R du fluide, à un référentiel Galiléen R′ en translationà la vitesse −v par rapport à R. Dans ce nouveau référentiel l’énergie et l’impulsion sontmodifiées selon les transformations 2.22 et 2.23. En plein accord avec la théorie de Landau,deux régimes se distinguent en fonction du rapport de la vitesse du fluide v = ~k0/m etde la vitesse du son cs =

√

gn0/m. On observe ainsi sur la figure 2.2 en bleu le régime su-perfluide (v < cs). Le condensat d’énergie E0 et d’impulsion k0 n’a pas d’états disponiblesà la diffusion élastique. Dans le cas supersonique v > cs des états sont disponibles pour ladiffusion élastique. Ce dernier régime est également appelé régime Čerenkov.

2.4 Injection résonante

Il existe plusieurs manières de stimuler la création de polaritons dans une microca-vité semi-conductrice. La première méthode dite hors résonance crée des polaritons parinjection de photons de haute énergie à l’aide d’un laser. En fonction de l’efficacité desphénomènes de relaxation, les polaritons ainsi créés peuvent se thermaliser et former unquasi-condensat de Bose-Einstein [Kasprzak 06]. Une deuxième technique permettant decréer un fluide de polaritons est l’injection résonante (ou quasi-résonante). Elle consiste àutiliser un laser pour injecter directement des polaritons à l’énergie du condensat désiré. Enutilisant un laser continu, il est ainsi possible de créer une large population de polaritonsà une énergie donnée (fixée par l’énergie du laser), et un vecteur d’onde donné (fixé par levecteur d’onde des photons de la pompe, ajustable via l’angle d’incidence du laser sur lacavité). Le contrôle sur l’impulsion des polaritons ainsi créés permet d’étudier la propaga-tion de ces fluides, ce qui est difficilement réalisable dans la configuration hors-résonance.


Figure 2.2 – Dispersion des excitations élémentaires d’un condensat d’impulsion finiek0 = 3 µm−1 et d’énergie E0. La ligne pointillée représente la dispersion paraboliquesans interactions. La ligne bleue (rouge) montre le spectre d’un superfluide v < cs (fluidesupersonique v > cs). Dans le cas superfluide aucune diffusion élastique n’est disponible.Le régime supersonique est également appelé régime Čerenkov. La ligne verte horizontaleest un guide pour les yeux à E0 L’intersection de cette courbe avec la courbe de dispersionmontre les états accessibles.

Cette deuxième méthode permet également de contrôler le spin des polaritons via la po-larisation du laser de pompe, le spin étant conservé lors de l’interaction exciton-photon.Enfin, si la cohérence du fluide de polaritons dans l’injection hors-résonante découle despropriétés élémentaires des condensats, dans l’injection résonante les polaritons sont co-hérents de facto car générés par un laser lui même cohérent. Nous disposons alors à l’aidede cette deuxième méthode d’injection d’un nombre macroscopique de polaritons dans lemême état de pompe, et cohérents entre eux. Même si ce fluide n’est pas à l’équilibrethermodynamique, nous allons voir qu’il est possible d’étendre le modèle étudié dans lasection précédente au cas de l’injection résonante.

2.4.1 Équation de Gross-Pitaevskii hors-équilibre

Dans le cas de l’injection résonnante, nous ne pouvons plus considérer le système àl’équilibre thermodynamique et il est nécessaire d’y rajouter des termes dépendants dutemps. D’une part nous devons ajouter le terme de pompe FP (r,t), générateur d’ondeplanes de vecteur d’onde donné kp et d’énergie donnée ~ωp : FP (r, t) = Apei(kp·r−ωpt).D’autre part, il faut introduire le taux de relaxation des polaritons γ−, dont nous avonsdéjà parlé dans la section 1.4.2. La nouvelle équation de Gross-Pitaevskii en l’absence depotentiel extérieur dépendante du temps s’écrit alors [Ciuti 05,Carusotto 04] :

i~∂

∂tΨ(r, t) = − ~

2

2m∆Ψ + g|Ψ(r, t)|2Ψ − i~

γ−2

+ FP (2.34)

2.4. Injection résonante 43

2.4.2 Bistabilité

Nous avons vu dans la section 1.4.3.1 que les interactions entre polaritons engendrentune renormalisation en énergie des polaritons avec leur densité. Sous injection quasi-résonante continue, cette renormalisation en énergie est responsable d’un phénomènenon-linéaire de bistabilité en fonction de la puissance de pompe. Lorsque le désaccordpompe-polariton ~δp = ~ωp − ELP (kp) est négatif, l’absorption diminue avec l’intensitéde pompe à cause de la renormalisation en énergie qui conduit le mode en dehors de larésonance (régime de limitateur optique) . Lorsque en revanche ce désaccord δp est positif,l’augmentation de l’intensité de pompe accroît la densité de polaritons, ce qui a pour effetde renormaliser l’énergie des polaritons et de réduire le désaccord énergétique entre lapompe et la branche basse des polaritons, augmentant ainsi le recouvrement des fonctionsd’ondes et la densité de polaritons. Il existe alors une intensité seuil au dessus de laquelleune augmentation infinitésimale de la densité de polaritons renormalise l’énergie des pola-ritons d’une quantité suffisante pour susciter une augmentation de la densité de polaritonssupérieure à l’augmentation de densité initiale. Passé ce seuil l’énergie des polaritons estdirectement renormalisée à l’énergie du laser de pompe où le recouvrement des fonctionsd’onde est maximal. La branche basse des polaritons et le laser sont alors exactement àrésonance.

On peut montrer théoriquement ce résultat en étudiant la stabilité des solutions sta-tionnaires ‖Ψ2

SS | de l’équation 2.34. L’équation stationnaire est en effet :(

~2k2

2m− ωp − I

γ−2

+ g|ΨSS |2)

ΨSS + Fp = 0 (2.35)

Le résultat de cette équation est une courbe de bistabilité représentée sur la figure 2.3.On constate que pour certains paramètres, il existe des puissances de pompes qui peuventengendrer trois valeurs de densité de polaritons. En réalité, une large zone de la courbe debistabilité (en rouge sur la figure) n’est pas accessible physiquement car les états corres-pondants sont instables. La démonstration de cette instabilité est abordée un peu plus endétail dans la section suivante. La bistabilité en puissance de pompe a été observée expéri-mentalement à de nombreuses reprises [Baas 04a,Baas 04b,Magnusson 11]. En ajoutant leparamètre de spin, on peut observer une multistabilité [Gippius 07,Paraïso 10,Sarkar 10b],c’est à dire une bistabilité pour chacune des populations de spin. Grâce à ce phénomènenous avons pu générer des anneaux de spin dans les microcavités semi-conductrices [Adra-dos 10] ; l’article détaillant cette expérience est reproduit en annexe C.

2.4.3 Superfluidité

De manière analogue à ce qui a été fait en 2.3.2, nous écrivons le paramètre d’ordreperturbé :

Ψ(r, t) = ei(kp·r−ωpt)[

Φ0(r) + Aei(k·r−ωt) + B∗e−i(k·r−ωt)]

(2.36)

où l’origine des énergies a été prise au minimum de l’énergie des polaritons. On peut denouveau insérer cette fonction dans l’équation de Gross-Pitaevskii 2.34 pour obtenir lesystème couplé :

(

~2(k + kp)2

2m− i~

γ−2

− ~ωp − ~ω + 2gn0

)

A + gn0B = 0 (2.37)

gn0A +

(

~2(k − kp)2

2m+ i~

γ−2

− ~ωp + ~ω + 2gn0

)

B = 0 (2.38)


A

B

C150

100

50

0 1 2 3 4 5 6

Figure 2.3 – Densité moyenne de polaritons |ΨSS |2 en fonction de l’intensité de pompe(unités arbitraires). Les paramètres utilisés sont les mêmes que pour la figure 2.4 : ~γ− =0.1 meV, kp = 0, ~ωp = 1 meV. La zone bleue représente la zone stable alors que la zonerouge représente la zone d’instabilité. Les points A, B et C se rapportent respectivementaux courbes bleue, rouge et verte de la figure 2.4.

De manière identique à ce qui a été fait pour le condensat en interactions dans la sec-tion 2.3.2 on trouve le spectre des excitations en annulant le déterminant de la matricecaractéristique du système d’équations 2.37 et 2.38 :

~ω =~

2k · kp

m− i~

γ−2

±

√

√

√

√

(

~2k2

2m+

~2k2p

2m− ~ωp + 2gn0

)2

− (gn0)2 (2.39)

La figure 2.4 représente le spectre des excitations du condensat au repos dans le casoù kp = 0. Nous avons dans le cas de l’injection résonante différents types de spectres enfonction de l’énergie de la pompe ~δp = ~ωp−ELP (kp) par rapport à l’énergie d’interactiondes polaritons gn0, c’est à dire en fonction du désaccord énergétique. En effet on observeun gap quand ~δp < gn (courbe verte), une zone plate lorsque ~δp & gn (courbe bleue), eton recouvre le spectre linéaire de Bogoliubov observé dans les condensats en interactionslorsque ~δp = gn0 (courbe rouge) [Amo 09a,Amo 09c]. Alors que la figure 2.4 représente lapartie réelle du spectre des excitations, on peut analyser la partie imaginaire de ce spectrepour étudier la stabilité de ces états excités [Ciuti 05]. On constate que dans le régime oùon observe la zone plate (~δp & gn), la partie imaginaire est négative et l’état instable.En revanche, lorsque ~δp >> gn ou ~δp < gn l’état est stable. Le cas ~δp = gn0 constitueun cas critique ou la partie imaginaire est nulle. Les différents spectres de la figure 2.4 ontété reportés sur la figure 2.3 pars les points A, B et C.

Dans le cas ~δp = gn0, on peut simplifier l’expression 2.39 de ~ω :

ω = k

√

gn

m(2.40)

On peut alors définir une vitesse du son cs =√

gnm , identique à celle des condensats à

l’équilibre. En suivant les mêmes arguments développés dans la section 2.3.2 on constateque lorsque la condition ~δp = gn0 est respectée, le fluide mis en mouvement à la vitessev = ~kp reste superfluide jusqu’à la vitesse critique vc = cs. Au delà de cette vitessecritique, le fluide devient supersonique et entre dans le régime Čerenkov. La figure 2.5

2.5. Conclusion 45

Figure 2.4 – Dispersion des excitations élémentaires d’un condensat d’impulsion nullesous injection résonante à kp = 0 et ~ωp = 1 meV pour trois valeurs n0 de la densité depolaritons. ~δp = 1.5gn0 en bleu (A), ~δp = gn0 en rouge (B) et ~δp = 0.5gn0 en vert(C). Les lettres A, B et C se rapportent aux points de la courbe de bistabilité 2.3. Lacourbe noire représente la dispersion parabolique des polaritons sans interactions. Son mi-nimum constitue l’origine des énergies. La courbe bleue présente un plateau très inhabituel.L’étude de la stabilité montre que ce régime est instable.

illustre le changement de régime lorsque la vitesse du fluide augmente en montrant lesspectres d’excitations.

Le phénomène de superfluidité des polaritons sous pompage quasi-résonnant ainsi quele régime Čerenkov ont été observé au laboratoire en 2009 [Amo 09a]. Les figures 2.6 et2.7 tirées de cette même référence illustrent respectivement le passage du régime linéaireau régime superfluide et Čerenkov en augmentant la densité de polaritons.

Le modèle utilisé dans cette section considère la dispersion des polaritons comme unedispersion parabolique, négligeant tous les effets supplémentaires provenant de la formeparticulière de la courbe de dispersion des polaritons. Vraie pour de petits vecteurs d’onde,cette approximation n’est plus valable pour des angles d’excitation trop importants. Il estalors nécessaire de raffiner le modèle et de considérer l’intégralité de la loi de dispersiondes polaritons 1.37 comme il a été fait dans la référence [Ciuti 05]. En procédant de cettemanière on découvre alors de nouvelles zones d’instabilités liées à des effets d’amplificationsparamétriques [Dang 98,Savvidis 00,Messin 00].

2.5 Conclusion

Nous avons démontré dans cette partie la superfluidité d’un condensat de Bose-Einsteinen interaction. Par ailleurs, nous avons montré qu’il est possible d’utiliser le formalismedes condensats pour modéliser la physique des fluides polaritoniques sous injection quasi-résonnante. Nous avons également montré qu’un tel fluide de polaritons peut manifesterdes caractéristiques superfluides. Dans ces conditions d’excitation le fluide polaritoniquejouit d’une cohérence initialement héritée du laser de pompe ; néanmoins il est susceptibled’évoluer librement lors de la propagation. En effet nous verrons dans le chapitre 4 quecette liberté sur l’évolution de la phase du fluide se traduit par la génération spontanée dedéfauts topologiques hydrodynamiques lorsque le fluide interagit avec un défaut lors de son


Figure 2.5 – Spectres des excitations élémentaires d’un condensat sous injection résonantepour deux jeux de paramètres de pompes P1 et P2, lorsque n0 vérifie gn0=∆p. La courbebleue qui correspond à des paramètres de pompe P1 (kp = 1 µm−1, ~ωp = 2 meV) vérifie lecritère de Landau et le fluide est dans le régime superfluide. Dans le cas de la courbe rougecorrespondant à des paramètres de pompe P2 (kp = 3 µm−1, ~ωp = 3 meV), des états demême énergie sont accessibles à la diffusion, et le fluide est dans le régime supersoniqueČerenkov. Les lignes pointillées horizontales bleue et rouge représentent respectivementles énergies des condensats dans les conditions P1 et P2.

écoulement. Enfin, notons que dans notre système les photons émis lors de la relaxationdes polaritons transportent l’information de phase du fluide polaritonique, qui peut alorsêtre directement mesurée en analysant la phase du faisceau de sortie de la cavité.

2.5. Conclusion 47

ExperimentTheory

0

10

20

30

40

Excitation density (a.u.)Th

eory

II III

I

II

III

I

30 µm 30 µm 30 µm

I II III

Expe

rimen

t

Flow

0

1

30 µm 30 µm 30 µm

ExperimentTheory

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2a

c

d

b

VI

Mea

n po

larit

on d

ensi

ty (µ

m¬2

)(f

rom

exp

erim

ent)

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Excitation density (a.u.)

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Scat

tere

d lig

ht /

tran

smitt

ed

light

(no

rmal

ized

)

IV V VI

¬1.0 ¬0.5 0 0.5kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5 1.0kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5 1.0kx (µm¬1)

ky (µm¬1)

VIV

0

0.5

¬0.5

ky (µm¬1)

0

0.5

¬0.5

Figure 2.6 – Observation d’un fluide de polaritons créé avec un faible moment ciné-tique dans le plan des couches kp = −0.337 µm−1 et un désaccord de l’énergie du laserde pompe de 0.10 meV par rapport à la courbe de dispersion des polaritons sans interac-tions. a, Valeurs expérimentales (disques) et théoriques (cercles) de l’intensité transmise enfonction de l’intensité d’excitation. b, Intensité relative des polaritons diffusés en fonctionde l’intensité d’excitation calculée théoriquement (cercles) et mesurée expérimentalement(disques), dans la zone de l’espace réciproque indiquée par un rectangle jaune.c-I-III (c-IV-VI), images expérimentales dans l’espace réel (espace réciproque) du spot d’excitationautour d’un défaut pour des densités d’excitations repérées par des rectangles de couleursur a. A basse intensité (c-I) le fluide de polaritons diffuse sur le défaut, donnant naissanceà des fronts d’onde paraboliques et un anneau de diffusion élastique correspondant (c-IV).Dans l’espace réciproque la transition vers le régime superfluide se manifeste par une ré-duction (c-V) et un effondrement (c-VI) de l’anneau de diffusion. d, Images théoriquescorrespondantes. les points noirs sur les images c-IV et d-IV représentent les coordonnéesde la pompe. Image tirée de la référence [Amo 10].


ExperimentTheory

40 µm 40 µm 40 µm

40 µm 40 µm 40 µm

IIIIII

VIV

IIIIII

Theo

ryEx

perim

ent

III

Flow

0

1

III

Excitation density (a.u.)0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0

5

10

15

20

Mea

n po

larit

on d

ensi

ty (µ

m¬2

)(f

rom

exp

erim

ent)

VI

VI

VIV

kx (µm¬1) kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5 1.0kx (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5 ¬1.0 ¬0.5 0 0.5

kx (µm¬1) kx (µm¬1)¬1.0 ¬0.5 0 0.5 1.0

kx (µm¬1)

ky (µm¬1)

¬1.0 ¬0.5 0 0.5 ¬1.0 ¬0.5 0 0.5

¬0.5

0

0.5

1.0

ky (µm¬1)

¬0.5

0

0.5

1.0

a

b

c

Figure 2.7 – Observation d’un fluide de polaritons créé avec kp = −0.521 µm−1 et undésaccord laser-polariton de 0.11 meV. a, Valeurs expérimentales (disques) et théoriques(cercles) de l’intensité transmise en fonction de l’intensité d’excitation.b-I-III (b-IV-VI),images expérimentales dans l’espace réel (espace réciproque) du spot d’excitation autourd’un défaut pour des densités d’excitations repérées par des rectangles de couleur sur a.A basse intensité (b-I) l’émission est caractérisée dans l’espace réel par des fronts d’ondeparaboliques (b-I) et dans l’espace réciproque par un anneau de diffusion élastique (b-IV). Dans l’espace réciproque la transition vers le régime superfluide se manifeste par unelinéarisation des fronts d’ondes (b-II, b-III) et une modification importante de l’anneaude diffusion (b-V, b-VI). c, Images théoriques correspondantes. les points noirs sur lesimages b-IV et c-IV représentent les coordonnées de la pompe. Image tirée de la référence[Amo 10].

Chapitre 3

Dispositif expérimental

Contents3.1 Microcavité semiconductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Source laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Cryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Caméra CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Spectromètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Traitement des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1 Microcavité semiconductrice

La microcavité planaire utilisée dans ce travail de thèse a été fabriquée à l’EPFLde Lausanne par Romuald Houdré [Houdré 00a, Houdré 00b]. Ce type d’échantillon estréalisé par épitaxie par jet moléculaire, permettant une précision de l’épaisseur des couchesde l’ordre de l’Ångstrom. Notre échantillon est constitué de trois puits quantiques deIn0.04Ga0.96As placés aux ventres du champ électromagnétique d’une cavité optique enGaAs de longueur typique 2λ/nc, avec λ = 835nm la longueur de résonance excitoniqueet nc = l’indice du GaAs, substrat de la cavité (nGaAs = 3.54). La cavité optique estconstituée de miroirs de Bragg, la face avant contenant 21 paires de couches alternées deGaAs et de AlAs et la face arrière en contenant 24. La face arrière repose sur un substratde GaAs poli pour permettre de travailler en transmission. Une section latérale de lamicrocavité est représentée sur la figure 3.1. Durant la croissance epitaxiale, un angle trèsfaible de l’ordre de 10−4 degrés a été introduit entre les miroirs de Bragg afin de faire varierl’épaisseur de la cavité en fonction de la position. Cet angle introduit intentionnellementpermet de faire varier finement le désaccord δ entre la résonance excitonique et la résonanceoptique de +8 à −4mboxmeV . Les largeurs de raie de polaritons sont très faibles et del’ordre de 100µeV [Stanley 98]. Enfin, comme on peut l’observer sur la figure 3.2, l’énergiede Rabi de notre échantillon est de ~Ω = 5.07mboxmeV .

La figure 3.3 est une image de notre échantillon sur une zone de 3.2 × 0.9mm2 réaliséeà partir d’une série d’acquisitions obtenues en excitant la cavité à incidence normale àdeux longueurs d’onde différente. À cause de l’angle entre les miroirs de Bragg, la zonede la cavité résonnante avec une longueur d’onde précise forme une ligne orthogonale augradient d’épaisseur de la cavité. On observe sur cette image de nombreux défauts quiinduisent localement des variations de potentiel :

50 Chapitre 3. Dispositif expérimental

Amplitude2du2

champ2électrique

GaAs

AlAs

puits2quantique

en2In0.04Ga0.96As

Substrat2GaAs

Miroir2de2Bragg2

212paires2de2

couches2

alternées2de2

GaAs2et2de2AlAs2

d'épaisseur2

λ0/4ni

Miroir2de2Bragg2

242paires2de2

couches2

alternées2de2

GaAs2et2de2AlAs2

d'épaisseur2

λ0/4ni

Espaceur22λ0/nc

Substrat

Figure 3.1 – Section latérale de la cavité semi-conductrice. Trois puits quantiques enIn0.04Ga0.96As sont insérés dans une cavité de haute finesse constituée par deux miroirsde Bragg en AlAs/GaAs.

1492

1490

1488

1486

1484

1482

1480-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figure 3.2 – Courbe d’anticroisement obtenue expérimentalement pour notre échantillon.On observe que l’énergie de Rabi est de ~ΩR = 5.07mboxmeV .

3.2. Source laser 51

200 µµµµm

gradientdʹépaisseur

Taille de la photo : 3.2x0.9 mm

gradient dʹépaisseur

résonance à837.21 nm

résonance à837.05 nm

Figure 3.3 – Image reconstituée de l’échantillon excitée à incidence normale aux longueursd’onde de 837.05nm et 837.21nm. On peut observer la présence de nombreux défauts.

– Des lignes fines horizontales et verticales correspondant aux axes cristallographiquesqui sont dues aux contraintes mécaniques accumulées aux interfaces entre les coucheslors de la croissance. Ce type de défaut forme des potentiels de faible amplitudemais de densité élevée. Ils sont la contribution principale à la diffusion élastique despolaritons permettant l’observation de l’anneau de diffusion Rayleigh dans l’espaceréciproque.

– Des défauts ponctuels dues à des défauts d’épaisseur lors de la croissance des couches.Ces défauts forment des potentiels qui peuvent être de grande amplitude pouvantsouvent être assimilés à des barrières impénétrables. En fonction de la nature dudéfaut, les potentiels peuvent être des barrières ou des puits. C’est ce type de défautqui est utilisé pour étudier les perturbations du fluide de polaritons en présence d’unobstacle comme nous le verrons dans les chapitres suivants.

– Des lignes épaisses observables sur la gauche de l’échantillon, dont l’origine est at-tribuée à des rayures sur la surface réalisée par les expérimentateurs lors de la ma-nipulation de l’échantillon.

3.2 Source laser

La source laser utilisée lors des expériences est un laser titane saphir monomode continupompé par un laser Nd:Yag commercial (Verdi V10 de Coherent). Le laser Ti:Sa a été conçuau Laboratoire Kastler Brossel par François Biraben. Cette source accordable continûmententre 820 et 850 nm possède une puissance de sortie d’environ 800 mW à 835 nm dans lemode TEM00 ainsi qu’une largeur spectrale inférieure à 1MHz. Par ailleurs, la source laserémet un faisceau polarisé linéairement. Enfin, le laser est stabilisé en fréquence par uneboucle de rétroaction. Le fonctionnement de ce laser et de son asservissement est décrit endétail dans la thèse de Gaëtan Messin [Messin 00]. Le faisceau de sortie est couplé à unefibre monomode afin de découpler la source laser du reste du montage, et également pourextraire le mode principal TEM00. A la sortie de la fibre on obtient un faisceau laser avecun profil Gaussien.

52 Chapitre 3. Dispositif expérimental

3.3 Cryostat

Nous utilisons un cryostat à circulation d’hélium liquide de la gamme Microstat pro-duit par Oxford Instruments. L’échantillon est collé avec de la laque d’argent sur uneplaque en cuivre elle même fixée sur un doigt froid. Le cryostat possède deux fenêtres quipermettent des expériences en réflexion et en transmission avec une ouverture angulaireélevée (±72 ). L’échantillon est placé sous vide à l’aide d’un groupe de pompage produitpar Alcatel composé d’une pompe primaire Pascal SD, d’une pompe turbo ATP 80 etd’un contrôleur électronique ACT 200. Ce système permet de maintenir l’échantillon àdes pressions inférieures à 10−5 Torr (1 Torr≈ 133.3 Pa). Dans ces conditions, il est alorspossible de maintenir l’échantillon à une température de 4K. Le cryostat est monté surdes platines de translation Newport qui permettent de le déplacer dans les directions ho-rizontale et verticale avec une précision de 5 µm. Ceci nous permet de changer la positiondu spot d’excitation sur l’échantillon. L’introduction de l’angle entre les miroirs de Braggde la cavité (voir 3.1) donne accès au contrôle du désaccord cavité-exciton via la positiondu spot d’excitation sur l’échantillon. On a alors grâce aux platines de translation uneprécision sur le désaccord inférieure à 0.1 meV.

3.4 Caméra CCD

Dans nos expériences, l’imagerie en espace réel est réalisé par une caméra CCD de lamarque Roper Scientific de la gamme VersArray. Il s’agit d’un détecteur carré de 1024 ×1024 pixels. Le taille des pixels est de 13 µm×13 µm et l’efficacité quantique est d’environ50% à 830nm. Sa fréquence d’acquisition maximale est de 100kHz. L’imagerie dans l’espaceréciproque est réalisée à l’aide d’une caméra de la marque Princeton Instruments de lagamme PIXIS1024 ayant également un détecteur carré de 1024×1024 pixels. La taille despixels est également de 13 µm × 13 µm et l’efficacité quantique à 830nm d’environ 40%.Cette seconde caméra est couplée avec un spectromètre décrit dans la section 3.5.

3.5 Spectromètre

L’analyse spectrale de la lumière s’effectue à l’aide d’un spectromètre Acton SeriesSP2750 de la marque Princeton Instruments. Un fente réglable et escamotable en en-trée permet une ouverture minimale inférieure à la résolution de la caméra CCD placéeen sortie. Deux réseaux blazés de 1800 l/mm et de 1200 l/mm ainsi qu’un miroir plansont disponibles afin de coupler la fente d’entrée avec la camera CCD en sortie. Ce sys-tème permet une résolution spectrale maximale de 0.008nm. L’utilisation du miroir plantout en escamotant la fente d’entrée permet d’imager directement l’émission dans l’espaceréciproque.

3.6 Traitement des images

L’acquisition des images est réalisée avec le logiciel Winspec fourni par Roper Scientificet Princeton Instruments. Les traitements simples comme la soustraction du bruit optiqueambiant est réalisé directement par ce logiciel. Tous les traitements ultérieurs sont réalisésavec Matlab après avoir converti les images en tableau de données ASCII.

Chapitre 4

Défauts topologiques dans uncondensat scalaire

Contents4.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.1 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.2.1 Solitons 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.2.2 Solitons 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Génération hydrodynamique de solitons sombres . . . . . . . . 594.2.1 Solitons sombres obliques dans un condensat supersonique . . . . 59

4.2.1.1 Écoulement subsonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2 Solitons sombres obliques dans un condensat de polaritons sous

excitation résonnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.2.1 Prise en compte de la dissipation . . . . . . . . . . . . . 634.2.2.2 Régime de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2.3 Quadruplet de solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Piégeage de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : utilisa-

tion de masques métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.1 Régime de basse densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1.1 Piège triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.1.2 Piège carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.2 Régime de haute densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : disposi-

tif à quatre pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5.1 Régime de basse densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5.2 Régime de haute densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.5.3 Montage à trois pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Nous considérerons dans cette partie un condensat en interaction à deux dimensionssans degré de liberté de spin. Alors que les polaritons peuvent avoir un spin +1 où −1,ce modèle est applicable aux résultats expérimentaux lorsque le faisceau de pompe estpolarisé circulairement. Comme expliqué dans la section 1.4.4, une telle pompe ne créeque des polaritons de même spin. Par ailleurs la grande différence de population entre lespolaritons de spin opposés induit un champ de Larmor (voir la section 1.4.6) qui protègeensuite le fluide des phénomènes de relaxation de spin sur l’échelle de temps considérée. Il

54 Chapitre 4. Défauts topologiques dans un condensat scalaire

est donc raisonnable dans ces conditions de ne considérer que la population de polaritonspeuplée directement par la pompe et de négliger les interactions entre polaritons de spinopposés ainsi que les phénomènes de relaxation du spin. On considère alors que le condensatest un condensat scalaire.

4.1 Théorie

Cette section théorique s’appuie sur l’ouvrage de Lev Pitaevskii et Sandro Stringari[Pitaevskii 03] pour la définition d’un vortex et d’un soliton 1D.

4.1.1 Vortex

Commençons par rappeler la relation obtenue dans la section 2.2.1 entre la vitesse dufluide v et la phase du condensat en interaction θ :

v =~

m∇θ (4.1)

d’où nous en avions déduit l’irrotationnalité du champ des vitesses. Considérons main-tenant un fluide classique mis en rotation à une vitesse angulaire Ω. Il y a apparitiond’un champ de vitesse v = Ω × r. Ce champ de vitesse est défini par un rotationnelrot(v) = 2Ω 6= 0. Cette solution contredisant la condition d’irrotationnalité précédente,le condensat en interaction se comporte nécessairement d’une autre façon (donc non-classique) une fois mis en rotation.

Prenons un condensat 2D confiné dans un disque de rayon R. Comme nous l’avonsvu dans le chapitre 2.1, et en prenant en compte les invariances du systèmes, la fonctiond’onde Ψ du fluide est de la forme :

Ψ =√

n(r)eiθ(φ) (4.2)

où nous avons introduit les coordonnées cylindriques r et φ. L’expression du gradient dansles coordonnées cylindriques ∇ = ∂

∂r ur + 1r

∂∂θ uθ + ∂

∂z uz et les équations 4.1 et 4.2 nousdonnent la relation :

v =~

2mr

dθ

dφuφ (4.3)

L’invariance par rotation du système implique que le terme dθdφ est une constante l que

nous verrons être un nombre entier. La structure du champ de vitesse résultant de la miseen rotation d’un condensat est radicalement différente de celle pour un fluide classique :la vitesse de rotation est proportionnelle à 1/r alors qu’elle est proportionnelle à r pourun fluide classique. L’amplitude du champ de vitesse est représenté sur la figure 4.1 dansle cas l = 1. L’étude de la circulation autour du centre de rotation apporte égalementdes informations intéressantes. En effet la phase θ est définie à 2π ce qui signifie qu’unevariation de θ sur une boucle fermée ne peut prendre que des valeurs 2πn où n est entier :

∮

∇θ · dl = 2πn (4.4)

On peut alors d’une part en déduire que n = l et d’autre part combiner les équations 4.1et 4.4 et obtenir la circulation de v autour du centre de rotation :

∮

v · dl =hm

l (4.5)

4.1. Théorie 55

0 1 2 3 4 5 6

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

Figure 4.1 – Amplitude de la vitesse tangentielle (à gauche) et solution approchée dela densité (à droite) dans un vortex d’ordre l = 1 en fonction de la distance radialenormalisée r/ξ (ξ = ~/

√2mgn∞), pour des paramètres usuels des systèmes polaritoniques

(g = 0.01 meV. µm2, m = 2.10−4me n∞ = 100 µm−2). Un vortex d’ordre l = 1 est associéà une rotation de la phase de 2π autour du vortex.

où l est un nombre entier. La circulation du champ de vitesse est donc quantifiée, et savaleur ne dépend pas du rayon du contour choisi. On prévoit alors lorsque l 6= 0 l’existenced’une singularité de densité nulle au centre de ce qu’on appellera un vortex. l désigne alorsla vorticité du vortex. L’injection de l’équation 4.2 dans l’équation de Gross-Pitaevskii2.16 nous donne l’équation pour |Ψ| :

− ~2

2m

1r

ddr

(

rd|Ψ|dr

)

+~

2l2

2mr2|Ψ| + g|Ψ|3 − µ|Ψ| = 0 (4.6)

Bien que la solution de cette équation ne puisse être calculée que numériquement, il existeune solution approchée dans le cas l = 1 [Fetter 65,Kawatra 66] :

|Φ| =√

n∞r/ξ

√

(r/ξ)2 + 1(4.7)

où n∞ est la densité loin du vortex, et ξ = ~/√

2mgn∞ la longueur de cicatrisation (healinglength) du condensat. La longueur de cicatrisation est la distance caractéristique autourd’un défaut après laquelle le condensat recouvre sa densité d’équilibre n∞. Le profil dedensité correspondant n = |Ψ|2 est représenté sur la figure 4.1 avec la vitesse tangentielle.

L’énergie d’un vortex d’ordre l provient principalement de l’ajout d’énergie cinétiquedans le système, et est donc égal à :

Elv =

∫

12

nl(r)mv2dr (4.8)

Elv =

π~2l2

m

∫ R

0

nl(r)r

dr (4.9)

où nl est la densité de particules pour un vortex d’ordre l. La taille d’un vortex étantde l’ordre de la longueur de cicatrisation ξ, la contribution énergétique principale dansun disque de rayon R >> ξ est celle du fluide loin du vortex (r > ξ), où la densité estn(r) ≃ n∞ :

Elv ≃ π~2l2

m

∫ R

ξ

n∞r

dr (4.10)

Elv ≃ π~2l2n∞

mln

R

ξ(4.11)


On peut comparer cette valeur approchée avec la valeur calculée analytiquement [Pitaevs-kii 61] dans le cas l = 1 :

E1v =

π~2n∞m

ln(

1.46R

ξ

)

(4.12)

On constate d’une part que cette contribution énergétique est quadratique en l, et donc quele cas l = 1 est énergétiquement favorable. Ainsi, un vortex d’ordre l va avoir naturellementtendance à se désintégrer en l vortex d’ordre 1. Par ailleurs, la dépendance de cette énergieen fonction de la densité loin du vortex n∞ nous indique que les vortex vont se déplacervers les zones de densités les plus faible afin de minimiser leur énergie. Cette propriétésera capitale dans la section 4.3 quand nous discuterons le piégeage de vortex.

Dans le cas d’une paire de vortex d’ordres l1 et l2 séparés d’une distance d telle queR >> d >> ξ, l’énergie de la paire de vortex est de l’ordre de :

Epaire =12

mn∞

∫

(v1 + v2)2dr (4.13)

où v1 et v2 sont les vitesses respectivement dues aux vortex d’ordres l1 et l2. On peutréécrire cette énergie sous la forme :

Epaire = El1v + El2

v + Eint (4.14)

où l’énergie d’interaction des vortex El1,l2int est égale à :

El1,l2int =

2πl1l2~2n∞

mln

R

d(4.15)

L’énergie d’interaction est négative (positive) pour des vortex de vorticités de signes op-posés (de même signes) ce qui signifie que ces vortex s’attirent (se repoussent). Dans lecas d’un système contenant un grand nombre de vortex de même signe, c’est la présencede cette interaction répulsive qui entraîne l’organisation de ces vortex en réseau d’Abriko-sov [Madison 00].

La première mise en évidence de vortex dans les systèmes polaritoniques date de 2008par l’équipe de Le Si Dang et Benoît Deveaud-Plédran [Lagoudakis 08]. La figure 4.2 tiréede cette référence illustre l’observation d’un vortex dans une microcavité semi-conductrice.

4.1.2 Solitons

Il existe un autre type de solutions analytiques de l’équation de Gross-Pitaevskii, lessolitons. Ce sont des ondes solitaires qui ont la particularité de se propager sans changer deforme. C’est dans l’eau que les premiers solitons ont été observés par John Scott Russel enÉcosse, sous la forme d’une vague dans un canal qu’il a pu suivre pendant 2 km sans quecette vague perde de son amplitude. D’autres occurrences aquatiques de solitons sont pluscélèbres comme les mascarets dans les fleuves ou encore les tsunamis. En effet les solitonssont solutions d’un bon nombre d’équations non-linéaires parmi lesquels les équations deKorteweg-de Vries régissant la propagation de vagues en faible profondeur et l’équation deGross-Pitaevskii. Un soliton peut voir le jour dans un milieu si les phénomènes d’élargisse-ment (diffraction, diffusion, dispersion) sont exactement compensées par les interactions.Si l’interaction dans le milieu est répulsive (attractive), les solitons envisageables sont desdéfauts (excès) de densité, qu’on appelle alors par analogie avec les solitons optiques dessolitons sombres ou dark solitons (brillants ou bright solitons).

4.1. Théorie 57

Real-

spac

e y(

μm)

Real-space x (μm)

Azimuthal angle (π)

0.70 μm0.85 μm1.00 μm1.15 μm1.30 μm1.50 μm

Phase (π) Phas

e (π

)

y(μm

)

10

12

8

6

4

2

0

Real-

spac

e y(

μm)

10

12

8

6

4

2

0

Real-

spac

e y(

μm)

10

12

8

6

4

2

0

30

20

10

40

121086420Real-space x (μm)

Real-space x (μm)

30

20

10

40

121086420

2.0

1.5

1.0

0.5

0

2.0

1.5

1.0

0.5

0

2.01.51.00.50

6.0

5.0

4.0

x (μm)

6.05.0

121086420

a b

c d

Intensity (×103 arb. units)

Intensity (×103 arb. units)

Figure 4.2 – Interférogramme et phase avec un laser de pompe continu et hors résonance.a, Interférogramme avec un vortex : le cercle rouge repère la dislocation ’en fourche’. b,Interférogramme contenant les mêmes informations, mais cette fois le signal contenantle vortex interfère avec une région différente du condensat et l’orientation des frangesest différente. Le vortex apparaît aux mêmes coordonnées de l’espace réel. c, Profils dephase de l’espace réel calculé à partir de l’interférogramme a. Le cercle rouge repère lemême vortex. d, la phase en fonction de l’angle azimutal pour différents rayons, commereprésentés sur l’encart (agrandissement de c). Image tirée de la référence [Lagoudakis 08].

4.1.2.1 Solitons 1D

Pour des interactions répulsives comme dans notre système polaritonique, la résolutionde l’équation de Gross-Pitaevskii pour un soliton sombre à une dimension se propageantà une vitesse v selon l’axe x [Tsuzuki 71] donne la fonction d’onde :

Ψ(x − vt) =√

n∞

iv

c+

√

1 − v2

c2tanh

x − vt√2ξ

√

1 − v2

c2

(4.16)

où ξ = ~/√

2mgn est la longueur de cicatrisation définie précédemment. Le profil dedensité n = |Ψ|2 reproduit en traits pleins sur la figure 4.3 a un minimum au centre dusoliton correspondant à n(0) = n∞v2/c2. Cette valeur est égale à zéro pour un soliton devitesse nulle (soliton noir). Au contraire, un soliton de vitesse de propagation plus élevéesera moins profond et plus large d’un facteur 1/

√

1 − v2/c2. Cette caractéristique seraprimordiale pour expliquer le comportement des demi-solitons dans la section 5.2. Parailleurs notons que la phase θ (voir les courbes en traits discontinus sur la figure 4.3) subitune variation ∆θ à travers le soliton :

∆θ = θ(x → +∞) − θ(x → −∞) = −2 arccos(

v

c

)

(4.17)

On peut également obtenir l’énergie d’un soliton Es en appliquant le Hamiltonien de


0 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6 -4 -2

Figure 4.3 – Profils de densité de polariton n(x/ξ)/n∞ (en traits continus) à t = 0 pourdes solitons de vitesses nulle (en bleu), v =

√0.25c (en rouge) et v =

√0.5c (en vert) et la

phase θ(x/ξ) correspondante (en traits discontinus).

Gross-Pitaevskii 2.14 à la fonction d’onde du soliton 4.16 :

Es =43~cn∞

(

1 − v2

c2

)3

2

(4.18)

Le point intéressant à noter est que pour de petites vitesses de propagation (v << c),on peut définir une masse effective du soliton ms = −4~n/c qui est alors négative. Cerésultat n’est en réalité pas surprenant si on se souvient que les solitons sombres sont desdéfauts de densité, et qu’ils s’apparentent plus à des trous qu’à des particules. Une autreremarque est que toutes les caractéristiques d’un soliton (densité, déphasage et énergie)dépendent de v

c et peuvent alors varier continûment entre l’état v = 0 correspondant ausoliton noir de densité nulle au centre du soliton, de déphasage π et d’énergie 4

3~cn∞ etl’état v = ∞ correspondant à l’absence de soliton (n(x) = n∞, déphasage et énergie nuls).Contrairement aux vortex, les solitons ne sont pas des excitations quantifiées.

4.1.2.2 Solitons 2D

La solution solitonique de l’équation de Gross-Pitaevskii peut être étendue à deux di-mensions, on parle alors de solitons obliques (voir figure 4.4). Dans un fluide se propageantà la vitesse v dans la direction x, la solution de l’équation de Gross-Pitaevskii pour unsoliton oblique formant un angle α avec l’axe x est alors de la forme [El 06] :

n(z) = n∞

1 − 1 − (v sin(α)/cs)2

cosh2[

√

1 − (v sin(α)/cs)2z sin(α)]

(4.19)

où z = x − y/ tan(α). v sin(α) apparaît comme l’équivalent de la vitesse du soliton à unedimension. En particulier, la densité de polariton au fond du soliton s’écrit :

n(0) = n∞(v sin(α)/cs)2 (4.20)

On peut retrouver les propriétés des solitons 1D dans certaines limites : dans le casoù α << 1, le soliton se propage exactement comme un soliton 1D dans la direction y

4.2. Génération hydrodynamique de solitons sombres 59

0

-10

1010 20 300

x/ξ

y/ξ

Flux

0 -1010y/ξ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x/ξ=15

n/n ∞

a b

Figure 4.4 – Solitons à deux dimensions. a : Densité relative de polaritons en présence dedeux solitons d’angles α et −α dans un fluide se propageant à la vitesse v dans la directionx. b : Coupe selon l’axe y à x/ξ = 15. La densité relative au centre des solitons d’angle αest selon l’équation 4.20 de (v sin(α)/cs)2.

avec une vitesse v tan(α), l’axe x jouant le même rôle qu’un axe temporel en dimension 1.Inversement, dans le cas α → π/ le soliton 2D est équivalent à une collection de solitons1D dans la direction x qui se propagent à la même vitesse v que le fluide.

Comme pour le soliton 1D, le fluide subit un déphasage maximum de π de part etd’autre d’un soliton noir (n(0) = 0). Pour un soliton gris (0 < n(0) < n∞) le fluide subitun déphasage entre 0 et π.

De la même manière que nous avons étudié le comportement du condensat dans sonétat fondamental sous l’influence de petites perturbations dans la partie 2.3.2 il est pos-sible d’étudier les excitations élémentaires de l’état solitonique. On peut alors montrer enparticulier que les solitons sombres sont instables sous des perturbations transverse [Kuz-netsov 88] : une perturbation selon la direction y d’un soliton dans la direction x détruitle soliton qui se casse en paires de vortex.

4.2 Génération hydrodynamique de solitons sombres

Il existe plusieurs méthodes de génération de solitons dans les condensats. On a ainsipu observer des solitons dans les condensats atomiques en imposant à l’instant initialla fonction d’onde d’un soliton [Burger 99, Denschlag 00] ou en observant les ondes dechoc produites par la collision entre deux condensats [Chang 08]. Nous nous intéresseronsdans cette section à la génération hydrodynamique de solitons sombres obliques. Lorsde l’écoulement d’un condensat en présence d’un défaut, des paires de solitons sombrespeuvent être générés spontanément en aval du défaut. Nous étudierons dans cette sectionles conditions de génération de ces solitons, leurs caractéristiques ainsi que leur réalisationexpérimentale dans un fluide de polaritons.

4.2.1 Solitons sombres obliques dans un condensat supersonique

La théorie des écoulements supersoniques autour d’objets est un problème classiqued’hydrodynamique [Landau 87]. Dans le cas particulier d’objets fuselés (slender bodies),les équations hydrodynamiques se réduisent aux équations de Korteweg-de Vries qui sontanalytiquement solubles. Dans ce cas, des solitons sombres obliques sont générés en aval dudéfaut [Gurevich 95]. Dans le cas des condensats dans des expériences réalistes, on ne peutpas toujours considérer des objets fuselés, et les équations de Gross-Pitaevskii ne peuvent


Figure 4.5 – Apparition de solitons sombres obliques pour un fluide supersonique (v = 5cs,avec cs la vitesse du son) en présence d’un défaut circulaire impénétrable de rayon r = 1situé en (x = 0,y = 0). Le fluide se propage de gauche à droite . Les densités sont donnéespour trois différents temps : t = 5, t = 10 et t = 20. Les lignes noires sont des solitonssombres qui se terminent en allées de vortex. Toutes les unités sont normalisées et sansdimensions. Image tirée de [El 06].

être résolue que numériquement. Cependant, les résultats sont analogues : on observe lagénération de paires de solitons sombres [El 06] derrière le défaut (voir figure 4.5). On peutexpliquer l’apparition de solitons dans les condensats par une analyse microscopique : lesparticules passant très proche du défaut subissent une accélération [Frisch 92] et commela phase du fluide et sa vitesse sont liés par la relation v = ~/m∇θ, un désaccord dephase apparaît entre le fluide très proche du défaut et le reste du fluide. Ce désaccord dephase entraîne l’apparition de franges d’interférences produisant des trous de densité : dessolitons sombres. Leur angle de propagation α (et donc aussi leur profondeur) est définiepar le désaccord de phase donc par la différence entre la vitesse du fluide près du défautet celle du reste du fluide, ainsi que par la taille du défaut (et sa forme). Sous pompagecontinu, l’intégralité de la trajectoire des solitons est visible simultanément, sous la formede paires de lignes noires obliques. Pour un défaut de taille suffisamment grande parrapport à la longueur de cicatrisation ξ, plusieurs paires de solitons peuvent être généréespour compenser ce désaccord de phase (voir figure 4.6).

4.2.1.1 Écoulement subsonique

Nous avons parlé exclusivement de l’écoulement supersonique, mais il est légitime des’intéresser au cas subsonique. En première approximation, le fluide est superfluide dansle régime subsonique et la génération de défauts topologiques est inhibée. Cependant,la présence d’un défaut induit des forces de friction qui réduisent la valeur de la vitessecritique à une fraction de la vitesse du son [Frisch 92] vc ≃ 0.4cs. En dessous de cette vitessecritique, le fluide recouvre sa superfluidité. Pour des vitesses entre vc et cs on observedans le sillage du défaut la génération de vortex qui peuvent éventuellement prendre laforme d’allées de vortex, ou allées de Bernàrd-Von Karman [Saito 12]. Pour ce qui est


Figure 4.6 – Densité à t = 30 pour un fluide supersonique (v = 5cs) avec un défautcirculaire impénétrable de rayon r = 5 situé en (x = 0,y = 0). Image tirée de [El 06].

des solitons, l’étude de leur stabilité révèle que les solitons obliques sont des solutionsinstables du système. Cependant, leur instabilité n’est que convective [Kamchatnov 08](donc effectivement stables) dans le régime supersonique alors qu’elle est absolue dans lerégime subsonique.

4.2.2 Solitons sombres obliques dans un condensat de polaritons sousexcitation résonnante

Sous excitation quasi-résonnante par une pompe de taille infinie et homogène, il estimpossible de générer des défauts topologiques. En effet la phase de la pompe est direc-tement transmise au fluide de polaritons, ce qui exclut toute variation de la phase. Lagénération de défauts topologiques nécessite alors de libérer le fluide de sa frustration dephase. Une solution à ce problème est d’utiliser une impulsion d’excitation de courte du-rée, imposant sa phase à l’instant initial, mais laissant à la phase la liberté d’évoluer parla suite. La deuxième solution que nous avons retenu a été proposé par Simon Pigeon etal. [Pigeon 11a] : elle consiste à modifier le profil spatial de la pompe afin qu’il ne crée despolaritons qu’en amont du défaut. Le fluide de polariton ainsi créé avec une phase détermi-née par la pompe, peut se propager vers le défaut tout en laissant à sa phase la possibilitéd’évoluer librement. Cette deuxième solution offre l’avantage d’autoriser l’utilisation d’unlaser continu comme nous en disposons au Laboratoire Kastler Brossel.

Les simulations théoriques du groupe de Cristiano Ciuti au Laboratoire Matériaux etPhénomènes Quantiques de Paris 7 représentées sur la figure 4.7 confirment la possibilitéde générer des solitons, ainsi que la présence des différents régimes. Pour une vitesse dufluide v < vc = 0.4cs (4.7-a) la propagation ne montre aucun signe de turbulences, on estdans le régime superfluide. Pour une vitesse du fluide vc < v < cs (4.7-b) la superfluiditéest brisée par l’apparition de turbulences : de nombreux vortex et anti-vortex sont émisdans le sillage du défaut. Enfin pour des vitesses supérieures à la vitesse du son v > cs

(4.7-c,d,e) on observe la génération de solitons qui sont de plus en plus stables à mesureque le rapport v/cs augmente.

Nous avons pu observer expérimentalement les solitons sombres obliques dans notremicrocavité semi-conductrice. Dans cette expérience le fluide de polaritons est créé avecune impulsion k = 1.14 µm−1 à l’aide d’un faisceau d’excitation Gaussien de 30 µm dediamètre juste en amont du défaut. La masse des polaritons étant évaluée expérimentale-


10µm

flux

(D-a) (D-b) (D-c) (D-d) (D-e)

10µm

flux

(P-a) (P-b) (P-c) (P-d) (P-e)

Figure 4.7 – densité normalisées de polariton (images D) et phases (images P) pourdifférents rapports v/cs. La vitesse du fluide est la même pour chaque image (kp = 1 µm−1).De l’image a à e le rapport v/cs va croissant (donc la densité est décroissante) avecrespectivement v/cs au niveau du défaut de 0.037, 0.76 ± 0.03, 0.93 ± 0.02, 1.02 ± 0.02et 1.72 ± 0.13. L’échelle des images D est légèrement saturée. Image tirée de la référence[Pigeon 11b]

ment à 10−4me, le fluide de polaritons a une vitesse initiale v = ~k/m = 1.3 µm/ps. Lavitesse du fluide étant importante, le fluide se propage rapidement en dehors de la zoned’excitation où la phase peut évoluer librement. La figure 4.8-a représente la densité depolaritons en présence de deux solitons sombres obliques. La figure 4.8-c montre la figured’interférence obtenue en faisant interférer dans un interféromètre de Mach-Zehnder le si-gnal émis par la cavité (représenté en 4.8-a) et un faisceau de référence, de phase constante.Le faisceau de référence est réalisé en agrandissant une petite zone spatiale du signal. Lafigure 4.8-c ainsi obtenue révèle un saut de phase à travers chaque soliton pouvant allerjusqu’à π. Les pointillés bleus illustrent le saut de phase d’environ 0.8π dans le soliton dedroite à y = 23 µm de l’obstacle. La figure 4.8-d montre des sections horizontales de ladensité à différentes distances y. On observe dans ce cas-ci que les solitons restent profondsjusqu’à une distance d’environ 40 µm.

Afin de vérifier la validité de la relation 4.20, nous avons tracé la densité relative aufond du soliton (4.8-e) et le nombre de Mach (4.8-f) en fonction de la propagation y, etce de deux manières différentes.

Sur la figure 4.8-e la courbe rouge (bleue) donne la densité relative au fond du solitonn(0)/n∞ selon les données expérimentales dans le soliton de gauche (droite). La courbenoire donne cette densité relative calculée à l’aide de la formule 4.20 et de la vitesse duson cs =

√

gn∞/m (équation 2.33). Grâce à cette équation, la vitesse du son peut êtredéterminée à l’aide des valeurs expérimentales de la densité de polaritons au cours de lapropagation (on a pris comme densité à l’équilibre n∞(y) la densité moyenne autour dessolitons).

De la même manière, la figure 4.8-f représente le nombre de Mach M = v/cs. Lescourbes rouge, bleue et noire de la figure 4.8-f sont reliées respectivement aux courbesrouge, bleue et noire de la figure 4.8-f par l’équation 4.20.

En réalité nous n’avons pas directement accès à la densité de polaritons intra-cavitémais à l’intensité d’émission de la cavité. Le coefficient de proportionnalité entre ces deux


quantités étant délicat à calculer avec précision, il a été estimé numériquement dans lebut d’obtenir un accord optimal entre les courbes rouge (bleue) et noire au début de lapropagation (y < 20 µm).

On constate que ces deux méthodes de mesure sont en bon accord près du point denucléation des solitons, donnant un nombre de Mach de l’ordre de 0.6. Cependant, onremarque que pour la suite de la propagation les comportements diffèrent : la théorie(courbe noire) prévoit une augmentation du nombre de Mach et une disparition du solitonplus rapide que ce qui est observé dans l’expérience.

Le deuxième commentaire que l’on peut faire sur ces courbes est que le nombre deMach semble être inférieur à l’unité la plus grande partie de la propagation, ce qui va àl’encontre des calculs théoriques sur leur stabilité. En effet nous avons dit précédemmentqu’un soliton sombre n’est stable que dans le domaine supersonique M > 1. Contrairementau cas théorique abordé dans la section 4.2.1, le système réel est dissipatif. Nous allonsvoir que la prise en compte du temps de vie fini des polaritons améliore la stabilité dessolitons noirs obliques.

4.2.2.1 Prise en compte de la dissipation

La théorie développée dans la section 4.1.2 est valide pour un condensat en interactionet de temps de vie infini. Nous avons vu dans le chapitre 2.4 que l’introduction de ladissipation et du terme de pompe pouvait changer le comportement des polaritons ; il estdonc légitime de s’interroger sur les effets de la dissipation pour la génération de solitonssombres obliques.

Au point de vue de la stabilité des solitons, on peut montrer [Kamchatnov 11] quel’introduction de la dissipation stabilise les solitons en deçà du seuil supersonique. Ladiminution de la densité de polaritons au cours de la propagation engendre la baisseprogressive de la vitesse du son et l’augmentation du nombre de Mach. Dans un régimed’excitation subsonique M > 0.4, des amorces de solitons (comme des paires de vortex)peuvent êtres créés près du défaut où le fluide est localement accéléré. Ces amorces desolitons ont une courte distance à parcourir dans le domaine subsonique avant d’atteindrele domaine supersonique, et s’y stabiliser.

Une explication plausible de ces observations est que des amorces de solitons sont créésau niveau du défaut (y = 0) qui se propagent d’abord dans le régime subsonique pendantenviron 30 µm. Cette distance étant plutôt longue, les solitons commencent alors à sedésagréger en allées de vortex, qui apparaissent toujours sous la forme de lignes noiresavec une caméra qui intègre dans le temps. Cependant ce régime d’allées de vortex nesatisfait plus l’équation 4.20. En particulier, la densité au fond de ces lignes peut êtreextrêmement faible en fonction de la densité de vortex, puisque la densité au fond d’unvortex est rigoureusement nulle. La présence d’un train de vortex reste cohérent avecl’observation d’un saut de phase très brutal et de l’ordre de π à travers le soliton dans desimages moyennées dans le temps. Une fois le régime supersonique atteint (vers y = 30 µm),le soliton se reforme, et satisfait de nouveau l’équation 4.20. On note cependant un légerdécalage spatial sur la figure 4.8-f entre les courbes de densités relatives des solitons (enrouge et bleue) et la courbe théorique extrapolée de la densité de polariton (en noire). Cedécalage spatial peut provenir d’un retard temporel (un décalage temporel implique undécalage spatial lors de la propagation) dans la dynamique des solitons par rapport à ceque leur impose leur environnement (la densité de polaritons) dû a la non-instantanéitédu processus de reformation du soliton. Notons toutefois que l’explication apportée iciquant à ce décalage spatial des courbes n’est soutenue par aucune analyse théorique ninumérique.


b c

Flow

10 µm

a

0-10 10-20 20

0

40

20

60

y=12 µm

y=22 µm

y=36 µm

y (µ

m)

0-20 20x (µm)

d e

f

Nom

bre

de M

ach

(v/c

s)

0

1

2

dens

ité re

lativ

e du

sol

iton

(n(0

)/n∞

)

y (µm)

0

0.25

0.5

0 4020

Figure 4.8 – a Émission dans l’espace réel en échelle linéaire montrant la nucléation d’unepaire de solitons dans le sillage d’un défaut photonique situé à l’origine des axes. b mêmeimage que a mais en échelle logarithmique. c Interférences entre l’émission et un faisceaude référence de phase constante, où l’on peut voir un saut de phase à travers les solitons.La courbure des franges et la diminution de l’interfrange avec la distance résulte de lagéométrie du faisceau de référence. d Sections horizontales de la densité de polaritonsà différentes distances y. Les flèches indiquent les positions des solitons. e Densités depolaritons au fond du soliton n(0)/n∞ en fonction de y mesurées dans le soliton droite (enbleu) et gauche (en rouge). n∞ est mesuré au cours de la propagation comme la densitéentre les solitons, comme représenté sur d. La courbe noire correspond à ce ratio n(0)/n∞calculé à l’aide de la formule 4.20 M sin α =

√

n(0)/n∞ et de la mesure de M grâce à ladensité (courbe en noir de f). f Rapports M = v/cs en fonction de y obtenus à partir de laprofondeur des solitons droite (en bleu) et gauche (en rouge) en utilisant la formule 4.20.La courbe noire est le rapport M calculé à l’aide de la densité de polaritons.


Microcavity

Intermediatemask

Focalisationlens

Lens

Excitationlaser

Spot onsample

Flow

y

Laserintensity

Flow

Microcavity

Intermediatemask

Focalisationlens

Lens

Excitationlaser

Spot onsample

Flow

y

Laserintensity

Flow

Figure 4.9 – Montage pour l’excitation utilisé dans l’expérience rapportée dans la section4.2.2.2 (voir figure 4.10). Le masque intermédiaire crée un spot d’environ 100 µm dediamètre sur l’échantillon avec la forme d’une demi Gaussienne. L’encart montre unesection verticale du spot.

4.2.2.2 Régime de turbulence

La stabilisation accrue des solitons dans un condensat en présence de dissipation apour effet de réduire considérablement la fenêtre d’observation de turbulences (encart bde la figure 4.7). Nous avons pu repérer expérimentalement ce régime en faisant varier ladensité de polaritons (et donc la vitesse du son) pour une vitesse du fluide donnée. Danscette expérience les polaritons sont injectés avec une impulsion k = 0.5 µm−1, et donc unevitesse de 0.58 µm/ps. En raison de leur faible vitesse et de leur temps de vie court, lespolaritons ne peuvent pas se propager loin du spot d’excitation, la où la phase est libred’évoluer. Nous avons alors créé un faisceau d’excitation en forme de demi-Gaussiennecomme l’illustre la figure 4.9. De cette manière les polaritons créés sont rapidement endehors de l’influence de la pompe et des défauts topologiques peuvent être générés, touten explorant de hautes densités.

Sur chaque encart de la figure 4.10 la ligne rouge correspond au bord du spot d’excita-tion. Les polaritons présents dans la zone sous cette ligne n’ont pas leur phase imposée parla pompe. Les encarts a,b,c sont des images dans l’espace réel du fluide de polariton sepropageant en présence d’un défaut. Les encarts b,c,d sont des interférogrammes obtenusen faisant interférer le signal avec un faisceau de référence, de phase homogène. Les inter-férogrammes sont normalisés afin d’obtenir des variations entre −1 et 1. Les encarts g,h,idonnent le degré de cohérence du premier ordre à délai nul g(1)(τ = 0) noté simplementg(1). Le degré de cohérence à l’ordre 1 d’un champ E est défini comme :

g(1)(r1, t1, r2, t1 + τ) =〈E∗(r1, t1)E(r2, t1 + τ)〉

√

〈|E(r1, t1)|2〉〈|E(r2, t1 + τ)|2〉(4.21)

où la moyenne est effectuée sur un grand nombre de réalisations. Dans notre systèmeen régime stationnaire, le degré de cohérence ne dépend pas du temps t. Dans notresystème nous faisons interférer le signal E(r, t) avec un faisceau de référence, qui n’estautre qu’une petite partie du faisceau de sortie agrandie. Les bras de l’interféromètren’étant pas nécessairement de même longueur, cela introduit un décalage en temps τ . Lavisibilité des franges d’interférences pour un délai τ est alors exactement égal à g(1)(r, r0, τ)où r0 est la position de la zone du faisceau utilisé comme référence.

La figure 4.10-a montre la propagation des polaritons à une vitesse subsonique M =0.25 en deçà du seuil de génération de turbulences par le défaut (Mseuil = 0.4). Dans


1

-1

0

10 µµµµm

0

1

10 µµµµm

1

100

10 µµµµm

Superfluidity Vortex ejection Solitons

Flow

10

a b c

d e f

g h i

Figure 4.10 – a-c Images de l’espace réel du fluide de polariton se propageant vers le baspour différentes densités d’excitations en présence d’un double défaut (largeur totale de15 µm). Le fluide est injecté au dessus de la ligne rouge, le faisceau de pompe forme undemi-disque d’environ 100 µm de diamètre. A haute densité (a) (117 mW) le fluide estsubsonique (M=0.25) and se propage de manière superfluide autour du défaut. A densitéplus faible (b) (36 mW, M = 0.4) des turbulences apparaissent dans le sillage du défaut,pouvant éventuellement donner lieu à la formation de solitons sombres obliques (c) (27mW, M=0.6). d-f Interférogrammes (normalisés) correspondant respectivement à a,b etc. g-i montrent le degré de cohérence de premier ordre g(1) correspondant. La saturationdes valeurs de g(1) sont dues aux incertitudes des mesures.

ce régime aucune turbulence n’est générée au niveau du défaut et le condensat est dansle régime superfluide. Ceci est vérifié par l’absence de modulations de phase aux abordsdu défaut, par l’homogénéité de la phase (figure 4.10-d) et par la valeur élevée de lacohérence au premier ordre g(1) (4.10-g). Quand la densité de polaritons est réduite, lavitesse du son diminue. Quand M = 0.4 (figure 4.10-b) des turbulences sont généréespar le défaut. Le fluide n’entrant pas dans le régime supersonique, ces perturbations nese stabilisent pas sous forme de solitons, il y a émission continue de paires de vortex etd’antivortex [Frisch 92] de manière analogue à ce qui est observé dans les simulationsnumériques [Pigeon 11a] (voir figure 4.7 tiré de la thèse de Simon Pigeon [Pigeon 11b]).La phase derrière le défaut est alors mal définie et contient des dislocations (figure 4.10-e).Les vortex n’étant pas clairement observables dans des expériences intégrées en temps,ils induisent dans ce régime turbulent une baisse significative du degré de cohérence g(1)

4.3. Piégeage de vortex 67

(figure 4.10-h) . Pour M = 0.6 (figure 4.10-c), le fluide entre dans le régime supersoniquerapidement après le défaut [Kamchatnov 11], et les turbulences générées se stabilisent sousforme de solitons obliques. Cela se traduit dans l’interférogramme par un saut de phase àtravers chaque soliton (figure 4.10-f), et le recouvrement d’une cohérence g(1) élevée (figure4.10-i). On peut remarquer sur cette dernière image que la cohérence est plus faible justeaprès le défaut. Cette zone correspond à l’endroit ou les turbulences sont générées et lefluide est toujours subsonique. Les turbulences à ce stade n’ont probablement pas encorepris la forme de solitons.

4.2.2.3 Quadruplet de solitons

Nous avons déjà discuté dans la section 4.2.1 que pour un défaut de grande tailledevant la longueur de cicatrisation et une vitesse du fluide élevée, le déphasage induit parla différence de vitesse entre le fluide proche du défaut et le reste du fluide peut se traduirepar l’apparition de plusieurs paires de solitons. Cela a été illustré par la figure 4.6. La figure4.11 illustre ce phénomène observé expérimentalement. Sur ces images, le défaut est plusgros que précédemment (17 µm de diamètre). On observe qu’en augmentant la vitesse depropagation des polaritons à vitesse du son constante, on génère alors des quadruplets desolitons.

a

20 µm Flow

0

1

b

Figure 4.11 – Images dans l’espace réel du flux de polariton en présence d’un gros défaut(17 µm de diamètre) pour un fluide à basse (a) (v = 0.35 µm/ps) et haute (b) (v =2 µm/ps) vitesse, illustrant respectivement la formation d’un doublet et d’un quadrupletde solitons.

4.3 Piégeage de vortex

Nous avons vu dans la section précédente que lors de l’écoulement d’un fluide depolaritons en présence d’un défaut, il existe un régime de turbulence dans lequel desvortex sont générés dans le sillage du défaut [Amo 11, Nardin 11]. Les vortex générés decette manière ont une vélocité non nulle. Avec un montage expérimental comme le nôtre,on ne peut qu’étudier l’état stationnaire du système, ou la moyenne temporelle. Ainsi,on ne peut observer de vortex que s’ils deviennent immobiles, par exemple fixés dans unpotentiel lié à un défaut structurel de la microcavité [Lagoudakis 08]. Nous verrons dans lasection 4.3 qu’il est également possible de piéger les vortex dans des pièges optiques. Dans


(a) (c)(b)

(a)

flow10 µm

Figure 4.12 – a : Profil de la pompe dans l’espace réel. La zone extérieur au piège estpompée à une valeur F out

p dans le régime de nucléation de vortex de la figure 4.7, v/cs =0.45. La région intérieur au piège est pompée à F in

p . b,c : Émission de la microcavité pourdeux valeurs de l’amplitude de pompe dans le piège F in

p /F outp = 0.1 (b) et F in

p /F outp = 0.32

(c). Image tirée de la référence [Pigeon 11a].

ces conditions les vortex s’immobilisent et peuvent éventuellement s’organiser en réseau.Une autre méthode de génération de réseaux de vortex faisant l’objet de la section 4.4 estde réaliser des interférences entre plusieurs condensats de polaritons.

L’équation 4.12 de la section 4.1.1 montre que l’énergie d’un vortex est proportionnelleà la densité de polaritons loin du coeur du vortex. Nous avions alors fait la remarque queles vortex se déplacent vers les zones de densité faible afin de minimiser leur énergie. Leprincipe pour piéger les vortex générés hydrodynamiquement dans le sillage d’un défautest donc de créer une zone de faible densité en aval du défaut. Les vortex entrant systé-matiquement dans cette zone à cause de leur vitesse initiale sont alors contraints de resterdans le piège et s’y organisent géométriquement [Pigeon 11a]. La figure 4.12 illustre cetteproposition. L’encart a montre la forme du faisceau de pompe : la zone à l’intérieur dupiège triangulaire est pompé avec une intensité F in

p inférieure à l’intensité de pompe àl’extérieur du piège F out

p . Dans le régime de turbulence avec le défaut sur le sommet dutriangle (cercle rouge sur la figure 4.12-a) les vortex générés sont piégés à l’intérieur dutriangle et s’organisent géométriquement (4.12-b et c). Le piège est plus ou moins efficaceen fonction de sa profondeur, un piège plus profond (encart b) permet de piéger un plusgrand nombre de vortex qu’un piège moins profond (encart c). La forme du piège a prioriimporte peu dans l’objectif de piéger les vortex. En pratique, Simon Pigeon et al. ontobservé lors des simulations numériques que la forme triangulaire est optimale dans cetteconfiguration. Bien que cette observation ne soit pas supportée par une analyse théorique,on peut supposer que l’émission de vortex se faisant principalement dans des allées obliquesà partir du défaut [Nardin 11], un piège respectant cette géométrie apporte un avantagesupplémentaire.

Cette expérience a été reproduite expérimentalement avec notre microcavité semi-conductrice [Sanvitto 11]. Le piège triangulaire est réalisé en modifiant le profil spatial

4.3. Piégeage de vortex 69

Flow

No mask frame

20 μm

100

1

10

a b c d e

0.4

−0.4

0

g h i j k

f

l

Low power

20 μm20 μm 20 μm 20 μm 20 μm

Figure 4.13 – Images de l’espace réel (a-f et les interférogrammes correspondants g-lpour un fluide de polaritons injecté avec une impulsion k = 0.35 µm−1 en présence d’undéfaut naturel de la cavité (marqué par des rectangles sur a). En a,g le faisceau de pompeest plus grand que la prise de vue et il n’y a pas de masque : la densité est homogène etla phase est imposée par le laser. En b une zone triangulaire de faible intensité dans lespot d’excitation est créée derrière le défaut et une paire de vortex (vert et magenta) estpiégée : voir les fourches en h. Dans c-e et i-k, le masque est déplacé verticalement. Ene,k le masque est déplacé loin du défaut et il n’y a plus de formation de vortex car laphase est de nouveau imposée par le faisceau de pompe. En f,l la puissance de pompe dulaser est réduite ce qui permet le piégeage d’un grand nombre de vortex. Image tirée de laréférence [Sanvitto 11].

du faisceau de pompe à l’aide d’un masque métallique, de la même manière que pour lagénération de solitons (voir la figure 4.9). Le faisceau de pompe Gaussien est focalisé surun masque métallique triangulaire qui est lui même optiquement conjugué avec la surfacede la microcavité. De cette manière on dispose d’un faisceau de pompe Gaussien avec unezone triangulaire sombre. La taille du piège sur la microcavité peut alors être contrôléepar des moyens optiques. La figure 4.13 montre l’intensité et la phase de l’émission dansl’espace réel pour un fluide de polaritons d’impulsion transverse k = 0.35 µm−1 et unetaille totale du faisceau d’excitation plus grande que la prise de vue. La figure 4.13-amontre l’intensité de l’émission en l’absence du piège et en présence d’un défaut. Danscette situation la densité est uniforme en aval du défaut et la phase (4.13-g) est fixéepar le faisceau de pompe. Les figures 4.13b-d montrent l’intensité en présence du piègetriangulaire où une paire de vortex-antivortex est piégée (cercles vert et magenta) commele prouve la présence de fourches dans les interférogrammes des figures 4.13-h-j. Le masqueest progressivement déplacé verticalement entre b et d et on constate que les vortex sedéplacent avec le triangle, prouvant qu’ils sont bien piégés dans celui-ci. Sur la figure 4.13-e le triangle est déplacé loin du défaut, la génération de vortex est de nouveau inhibée parla fixation de la phase du faisceau de pompe. On recouvre alors sur la figure 4.13-k unephase homogène. Enfin, sur la figure 4.13-f l’intensité du faisceau de pompe est réduite,ce qui permet la génération d’un plus grand nombre de paires de vortex dans le triangle,comme on peut le voir avec la présence de nombreuses fourches dans l’interférogramme4.13-l.

On constate néanmoins qu’on ne retrouve pas expérimentalement l’organisation géo-métrique prédite par la théorie. Il a été dit dans la section 3.1 que de nombreux défautsde potentiel parsèment la microcavité. Les vortex piégés dans le masque triangulaire ontalors tendance à se fixer sur des défauts de potentiel structurels, inhibant l’apparition de


Lentilles

Microcavité semiconductrice

Emission de la microcavité vers la caméra CCD

Masque métallique

Faisceau de pompe Gaussien

Figure 4.14 – Schéma de principe du montage expérimental. L’image d’un masque mé-tallique est réalisée sur la microcavité afin de former un piège.

l’organisation géométrique.

4.4 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex :utilisation de masques métalliques

Dans la continuité de l’expérience relatée dans la section 4.3, nous avons voulu mini-miser les turbulences du système afin d’observer une organisation géométrique des vortex.Nous avons alors pensé à utiliser peu ou proue le même dispositif expérimental, mais enexcitant avec un faisceau de pompe à incidence normale, et en absence de défaut. Decette manière, il y a moins de turbulences liées à la propagation et au défaut, et le piègeest bien mieux défini. En effet dans la section 4.3 l’image du masque était imprimée surla microcavité à incidence non nulle. Au niveau optique, cet angle d’incidence a poureffet l’impossibilité de focaliser parfaitement la totalité du masque (la distance entre lemasque et la surface de la microcavité dépend de la position). Plus important encore, lapropagation des polaritons dans le piège déforme considérablement la partie en amontdu piège. À incidence normale la propagation peut également modifier la forme du piège,mais cette déformation a le mérite de conserver sa symétrie. Dans cette nouvelle configu-ration, l’absence du défaut est compensée par les courants de polaritons entrant dans lepiège, pouvant générer des vortex pour une forme adéquate du piège, par exemple avecl’utilisation d’un masque triangulaire dans la section 4.4.1.1. Le schéma de principe del’expérience est illustré par la figure 4.14.

4.4.1 Régime de basse densité

4.4.1.1 Piège triangulaire

La figure 4.15 montre l’intensité et la phase de l’émission dans l’espace réel avec unmasque triangulaire de 20 µm de coté. Le désaccord exciton-photon est de δexc−photon =1.7 meV et le désaccord laser-LPB est de δlaser−LP B = 0.12 meV. On observe sur cettefigure un hexagone formé de 3 vortex (en rouge sur l’encart c) et de 3 antivortex (en bleu)au centre du piège triangulaire. Les vortex sont repérable sur les images de la phase parune rotation autour de leur coeur de 2π pour un vortex, et −2π pour un antivortex. On

4.4. Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : utilisation demasques métalliques 71

-ππ

5 µm

1

10

100

-π

π

a b c

d e f

Figure 4.15 – a-b : Intensité (a) et phase (b) de l’émission dans l’espace réel en pré-sence d’un piège triangulaire (en jaune) de 20 µm de coté, pompé à l’aide d’un faisceauGaussien de 100 µm de diamètre à incidence normale. Le désaccord exciton-photon estde δexc−photon = 1.7 meV et le désaccord laser-LPB est de δlaser−LP B = 0.12 meV. Onobserve un vortex dans la zone agrandie de b où la phase tourne de 2π autour du noyau.c montre les vortex (rouge) et les antivortex (bleu) présents dans le piège. On observe unhexagone formé de 3 vortex et de trois antivortex. d-f : Simulations numériques dans lesmêmes conditions que l’expérience.

constate également sur cette figure un accord remarquable avec les simulations numériques.En augmentant la taille du piège (en utilisant un masque de dimensions plus élevées), on

observe un plus grand nombre de cellules hexagonales dans le triangle comme on le constatesur la figure 4.16, avec un piège triangulaire de 35 µm de coté. Les autres paramètres sontsimilaires à ceux de la figure 4.15 (le désaccord δlaser−LP B est légèrement plus élevé dansce dernier cas ; nous verrons que cela a pour effet de réduire la taille des cellules du réseau).

Dans l’objectif de découvrir si l’organisation hexagonale des vortex est liée à leursinteraction ou à la géométrie du piège, nous avons également utilisé un masque de formecarré.

4.4.1.2 Piège carré

La figure 4.17 montre la phase et l’intensité de l’émission avec un masque carré de45 µm de coté. Le désaccord exciton-photon est ici de δexc−photon = 0.32 meV et la pompeest désaccordée de la branche basse des polaritons de δlaser−LP B = 0.6 meV. Le motifobservé en intensité (figure 4.17-a,d) est formé de mailles carrées. On observe sur l’imagede la phase que les noeuds du réseau sont souvent mais pas nécessairement accompagnésde paires de vortex-antivortex. La première conclusion à tirer des images 4.15, 4.16 et 4.17est que la forme du réseau dépend fortement de la géométrie du piège. Par ailleurs la formedes réseaux est typique de la figure d’interférence entre 3 (pour le masque triangulaire) ou4 faisceaux (pour le masque carré) ce qui suggère que la forme et la taille du réseau sontdéterminées par des effets d’interférence linéaire, et non par des interactions entre vortex.

Lorsqu’on pompe une microcavité à quasi-résonance à basse intensité, l’émission dela microcavité dans l’espace réciproque prend la forme d’un anneau de diffusion appeléanneau Rayleigh, déjà observé sur les figures 2.6 et 2.7. Dans ces conditions, une pompe àincidence normale d’énergie ~ωp génère des polaritons à l’énergie ~ωp d’impulsion k telle


10 μm

1

10

100

-π

π

a b c

d e f

Figure 4.16 – a-c : Intensité (a), phase (b) et distribution des vortex (c) de l’émissiondans l’espace réel en présence d’un piège triangulaire (en jaune) de 35 µm de coté. Ledésaccord exciton-photon est de δexc−photon = 1.7 meV et le désaccord laser-LPB est deδlaser−LP B = 0.16 meV. On observe un réseau hexagonal de vortex. d-f : Simulationsnumériques dans les mêmes conditions que l’expérience.

10 µm

10 µm

1

10

100

-π

π

a b c

d e f

Figure 4.17 – a-b : Intensité (a) et phase (b) et distribution des vortex (c) de l’émissiondans l’espace réel en présence d’un piège carré (en jaune) de 45 µm de coté, pompé àl’aide d’un faisceau Gaussien de 100 µm de diamètre à incidence normale. Le désaccordexciton-photon est de δexc−photon = 0.32 meV et le désaccord laser-LPB est de δlaser−LP B =0.6 meV. d-f : Simulations numériques dans les mêmes conditions que l’expérience.


Δr Δr

a b

Figure 4.18 – Figure d’interférence théorique résultante de la superposition de trois (a)et quatre (b) ondes planes de vecteur d’onde k. La taille caractéristique ∆r est reliée auvecteur d’onde par la relation k = 2π/∆r.

que ~2k2/2m = ~ωp. La norme est fixée par cette relation mais pas la direction. La présenced’un potentiel désordonné naturel de faible amplitude dans la cavité (voir la section 3.1)permet la diffusion dans toutes les directions de l’espace. En vertu du principe de Huygens-Fresnel, cette diffusion isotrope dans la zone de pompage se traduit dans le piège par unflux de polaritons provenant de chaque coté du piège, de direction orthogonal au coté. Ladynamique des polaritons en présence d’un piège triangulaire est alors similaire à celle detrois faisceaux contrapropropageant provenant de chaque coté. Ces trois flux de polaritonsétant générés d’une seule et même pompe sont cohérents entre eux et font apparaître unefigure d’interférence dans le piège. De manière similaire dans le piège carré, où le réseaucarré est le résultat des interférences entre quatre flux de polaritons.

Pour confirmer cette hypothèse, il suffit d’étudier la taille caractéristique ∆r des cellulesdu réseau en fonction de la norme de l’impulsion k des polaritons définie par la relation :

k =

√

2mωp

~(4.22)

La figure 4.18 représentant les figures d’interférence entre 3 et 4 ondes planes de mêmevecteur d’onde k illustre la notion de taille caractéristique pour des réseaux carrés ethexagonaux. La taille caractéristique définie par la figure 4.18 et l’impulsion k sont reliéspar la relation :

k =2π

∆r(4.23)

La figure 4.19 montre l’intensité de l’émission dans l’espace réel avec un piège carré de45 µm de coté, avec δexc−photon = 1.15 meV pour deux désaccords laser-LPB, ainsi qu’unecourbe comparant la valeur de l’impulsion mesurée expérimentalement à partir des imagesde l’anneau de diffusion kR et l’impulsion extraite des images dans l’espace réel à partirde la taille des cellules du réseau kc. On observe sur les images 4.19-a et b que la tailledes cellules varie inversement avec le désaccord δlaser−LP B donc inversement avec kR, etla courbe linéaire de pente égale à 1 de la figure 4.19 confirme notre hypothèse.

À basse densité on observe un réseau lié aux interférences entre les flux de polaritonsentrant dans le piège. Les différences entre les figures obtenues dans le système polarito-nique (figures 4.15, 4.16, 4.17) et les figures d’interférence optique (figure 4.18) sont duesaux asymétries du système expérimental à cause de la présence de défauts de structure etsurtout à cause du temps de vie fini des polaritons. Le temps de vie radiatif des polaritonsréduit la densité de polariton provenant d’un coté donné avec la distance à ce coté. Loin du


10 μm

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

k c (µ

m-1)

kR (µm-1)

cas acas b

a b c

Figure 4.19 – a,b : Intensité de l’émission pour un piège carré de 45 µm de coté, avecδexc−photon = 1.15 meV pour deux différentes valeurs de δlaser−LP B : 0.18 meV (a) et0.25 meV (b). La figure c est la courbe représentant kc = 2 ∗ π/∆r mesuré sur les imagesdans l’espace réel en fonction de kR, le rayon de l’anneau de diffusion Rayleigh mesurésur les images dans l’espace réciproque. L’égalité de ces deux valeurs confirme l’origineinterférométrique du réseau observé dans le piège. Les barres d’erreur et la dispersion desvaleurs s’explique par l’incertitude sur les mesures de ∆r, qui dans le système réel n’estpas homogène dans le piège ni isotrope.

centre du piège les interférences sont donc réalisées entre des flux de polaritons de densitésdifférentes. On constate alors que les simulations numériques prenant en compte ces effetsde temps de vie radiatif rendent fidèlement compte du comportement du système (figures4.15-d,e,f, 4.16-d,e,f et 4.17-d,e,f).

4.4.2 Régime de haute densité

À haute densité de polaritons, les interactions polariton-polariton deviennent impor-tantes et induisent une forte modification du réseau. La figure 4.20 montre les résultatsexpérimentaux et numériques dans les mêmes conditions que celles de la figure 4.17 maisen augmentant l’intensité de la pompe de 1 mW à 35 mW.

En comparant les figures 4.17 et 4.20 on constate une disparition des défauts topo-logiques sur la zone externe du piège, et que la forme du réseau dans la zone interneest fortement modifiée. Dans ce régime, les interactions entre polaritons renormalisentl’énergie des polaritons (voir la section 1.4.3.1), et l’énergie de la courbe de dispersion àimpulsion nulle devient résonnante avec le laser. Le mécanisme d’injection des polaritonsdans le piège, efficace à basse densité, ne l’est donc plus dans le régime de haute den-sité. Dans ce dernier cas, les polaritons entrent dans le piège par diffusion. La densité depolaritons étant beaucoup plus faible dans le piège, leur énergie n’y est pas renormaliséeet les polaritons acquièrent une énergie cinétique [Wertz 10] afin de respecter la loi deconservation de l’énergie. La figure 4.21 illustre le mécanisme d’injection de polaritons àhaute densité.

Il est intéressant de définir localement la vitesse du son généralisée :

c∗s =

√

gn/m (4.24)

où g est la constante d’interaction entre polaritons, m la masse et n la densité de polaritons.Cette vitesse c∗

s est égale à la vitesse du son dans le régime caractérisé par une linéarisationdu spectre de Bogoliubov (voir section 2.4.3). Par abus de langage, nous parlerons par lasuite de régime subsonique lorsque la vitesse locale du fluide respecte l’inégalité v < c∗

s etde régime supersonique lorsque v > c∗

s. La figure 4.20-g représente l’intensité de l’émission


10 µm

10 µm

1

10

100

-π

π

a b c

d e f g

Figure 4.20 – a-f : Résultats expérimentaux (a-c) et numériques (d-f) à haute intensitéde pompe (35 W) dans les mêmes conditions que celles de la figure 4.17 : δexc−photon =0.32 meV, δlaser−LP B = 0.6 meV. g montre en bleu la zone subsonique de la simulationnumérique où v(r) < c∗

s(r). L’intensité de l’émission est reportée dans la zone supersonique.

Energie

X (µm)

kx

ky

kx

ky

kx

ky

Elaser

Figure 4.21 – Illustration du mécanisme d’injection de polaritons à haute densité : larenormalisation des énergies due aux interactions entre polaritons amène la courbe de dis-persion à k = 0 à résonance avec le laser de pompe à l’extérieur du piège. Les polaritonsentrant par diffusion dans le piège, où la renormalisation des énergies est plus faible, ac-quièrent une impulsion (anneau vert) afin de respecter les lois de conservation de l’énergie.Ce mécanisme d’injection devrait également résulter en l’apparition d’un réseau d’inter-férence, mais sa formation est inhibée par le caractère subsonique du fluide empêchant laformation de défauts topologiques.


Lentille

Microcavité

Faisceaux laser

Figure 4.22 – Représentation artistique du montage expérimental à quatre pompes.

uniquement dans la région supersonique, la zone subsonique étant en bleue. On observesur cette figure une forte corrélation entre la disparition des paires de vortex-antivortexet le caractère subsonique du fluide. Sur la partie extérieure du piège la densité est élevéeet le fluide est dans le régime subsonique. Le temps de vie des polaritons étant fini, ladensité diminue progressivement en allant vers le centre du piège, ainsi que la vitesse c∗

s.Le fluide dans la zone centrale devient alors principalement supersonique. La limite devitesse du fluide v(r) = c∗

s(r) apparaît comme une limite au dessous de laquelle les pairesvortex-antivortex ne peuvent être maintenues mais s’annihilent deux à deux comme nousle verrons sur la figure 4.27.

À densité encore plus élevée, il est possible de faire basculer l’intégralité de la zonedu piège dans le régime subsonique ce qui s’accompagnerait pas l’annihilation de toutesles paires de vortex. Cependant il n’est pas possible d’atteindre des densités de polaritonstrès élevées avec ce dispositif expérimental. En effet pour former le piège à l’aide d’unmasque métallique, un faisceau Gaussien est focalisé sur le masque qui occulte alors lapartie centrale du faisceau, où l’intensité est la plus élevée. Considérant que le système estanalogue à un nombre fini de flux de polaritons provenant de chaque coté du piège, nousavons mis au point un second dispositif expérimental permettant d’étudier le système avecde plus grandes densités de polaritons.

4.5 Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex :dispositif à quatre pompes

La figure 4.22 illustre le dispositif expérimental avec quatre faisceaux de pompe. Lesquatre pompes génèrent quatre fluides de polaritons de même énergie et de même im-pulsion k mais dans quatre directions orthogonales et contrapropageantes. L’extensionspatiale de chaque faisceau de pompe est limitée par un diaphragme. Les pompes absentesde la zone centrale n’y fixent alors pas la phase qui y est libre d’évoluer. Dans ce dispositifexpérimental, l’impulsion des fluides injectés est contrôlable directement par l’angle d’in-cidence plutôt que fixée par le désaccord laser-LPB comme c’était le cas précédemment.

4.5. Génération de réseaux de paires vortex/anti-vortex : dispositif àquatre pompes 77

10 µm

Flux

-π

π

a b

c d1

10

100

1000

Figure 4.23 – a,b : intensité (a) et phase (b) de l’émission dans l’espace réel à bassedensité. Les quatre condensats sont générés avec une impulsion k = 0.7 µm−1 dans lesdirections représentées par les flèches jaunes. L’intensité des faisceaux de pompe (cerclesjaunes) est de P = 4 × 6.5mW et le désaccord est de δlaser−LP B = 0.05 meV. Les légèresdifférences entre les impulsions de chaque pompes induisent une asymétrie du réseau, forméalors de cellules allongées horizontalement. c,d Simulations numériques dans les conditionsde l’expérience.

4.5.1 Régime de basse densité

Dans ce régime (voir figure 4.23) on observe un réseau similaire à celui observé surla figure 4.17 où la taille de la maille est définie par le vecteur d’onde k des pompesdans le plan des couches. Les impulsions des pompes en haut et en bas étant légèrementplus importantes que celles des pompes de gauche et de droite, les cellules du réseau s’enretrouvent légèrement allongées horizontalement.

4.5.2 Régime de haute densité

Lorsque l’intensité de pompe augmente, les interactions non-linéaires entre polaritonssont dominantes. Les vortex et antivortex sont poussées l’un vers l’autre et s’annihilent. Surla figure 4.24 où l’intensité des pompes est très importante, la densité de polaritons devientélevée et le fluide passe presque intégralement dans le régime subsonique. Le champ devitesse v calculé à partir de la phase θ du fluide en utilisant la relation 2.21 v = ~

m∇θ(r, t)montre sur la figure 4.25 que le fluide ralentit progressivement en approchant du centre,où sa vitesse devient nulle (en réalité l’impulsion au centre est l’impulsion moyenne, nulledans notre cas). Cette observation est confirmée par l’intensité de l’émission dans l’espaceréciproque représentée sur la figure 4.26, où l’on observe que l’impulsion des polaritons aucentre du dispositif diminue avec l’intensité d’excitation. On observe également sur cettefigure l’apparition d’une structure régulière dans l’espace réciproque qui n’a pas encoreété expliquée théoriquement.

Le phénomène de bistabilité rend difficile l’observation expérimentale du système aucours de la transition, donc l’observation des étapes intermédiaires menant à la disparitiondu réseau. Cependant, à l’aide des simulations numériques montrées sur la figure 4.27on constate que la disparition du réseau résulte de deux comportements : d’une part leralentissement des polaritons induit une augmentation de la taille des cellules élémentaires


10 µm

Flux

-π

π

a b

c d

10

102

103

104

e

Figure 4.24 – a,b : Intensité et phase de l’émission dans l’espace réel les mêmes conditionsque pour la figure 4.23 mais à haute intensité de pompe P = 4×45mW . Dans ce régime leréseau disparaît dans la région centrale. c,d : Simulations numériques dans les conditionsde l’expérience. e montre en bleu la zone subsonique de la simulation numérique où (vr) <c∗

s(r). L’intensité de l’émission est reportée dans la zone supersonique.

du réseau, et d’autre part les interactions entre polaritons poussent les paires de vortex etantivortex à s’annihiler.

Les interactions entre polaritons permettent donc, à partir de quatre fluides de pola-ritons d’impulsion différentes, d’obtenir un unique fluide cohérent d’impulsion nulle. Deplus, les polaritons conservent leur énergie fixée par la pompe tout au long de leur propa-gation. L’énergie du fluide au centre du piège est la même que l’énergie du laser de pompecomme on peut l’observer sur la figure 4.28 et il est difficile de comprendre comment lespolaritons peuvent perdre leur impulsion tout en conservant la même énergie, ce résultatn’étant pas compatible avec la forme de la courbe de dispersion des polaritons présen-tée dans le chapitre 1. Nous avons vu dans la section 2.4 que le spectre d’excitation estmodifié par la présence d’une pompe résonante, il est possible qu’il en soit de même enprésence de plusieurs pompes, et qu’il y ait dans ces conditions des excitations d’énergienulle dissipant l’impulsion. Cependant les moyens théoriques développés dans la section2.4 ne sont pas applicables en l’état en présence de plusieurs pompes et nous ne sommespas en mesure de définir le spectre des excitations élémentaires dans ces conditions. Il estcependant rassurant de constater que les simulations numériques basées sur l’équation deGross-Pitaevskii offrent un très bon accord avec les observations expérimentales.

4.5.3 Montage à trois pompes

Nous avons également réalisé cette expérience en utilisant trois pompes. La figure 4.29montre que l’on obtient des résultats analogues : alors qu’on peut observer un réseauhexagonal à basse densité, l’augmentation de la densité de polaritons et la transition dansle régime subsonique annihilent les défauts topologiques au centre du piège.


a b

Figure 4.25 – Représentation du champ de vitesse dans le régime de haute densité re-présenté sur la figure 4.24. On observe que la vitesse diminue de l’extérieur vers le centrejusqu’à tomber à zéro au centre du piège.

a b c

d e8Intensité8d'excitation8(mW)

0 50 100 150 200

8 |k|<0.378µm-1

8 |k|<0.618µm-1

8 |k|<0.868µm-1

a8

b

8em

issio

n8(

%)8

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.25 µm-1

Figure 4.26 – a,b : Intensité de l’émission dans l’espace réciproque à basse (a) et hautedensité (b) correspondant respectivement aux figures 4.23 et 4.24. On observe quatre pointsintenses correspondant aux faisceaux de pompe. L’émission localisée sur ces quatre pointsà basse densité s’étend vers la zone d’impulsion nulle à haute densité. c est la fractionde l’émission d’impulsion inférieure à une valeur limite en fonction de l’intensité d’émis-sion, pour trois valeurs limites différentes. Les courbes rouge, vert et bleue correspondentrespectivement à la fraction de l’émission d’impulsion inférieure à 0.37 µm−1, 0.61 µm−1

et 0.86 µm−1. Ces trois valeurs limite de l’impulsion sont représentées par des cercles decouleur correspondante sur les encarts a et b. Les lignes verticales a et b repèrent lesintensités utilisées pour les encarts a et b. d,e : simulations numériques correspondantes.


10µm

-π

π

1

103

10µm

a b c d

e f g h

Figure 4.27 – Simulations numériques près du seuil d’annihilation des vortex. a-d repré-sente l’intensité et e-h la phase de l’émission dans l’espace réel pour différentes valeursd’intensité des pompes. Les quatre pompe injectent des polaritons à k = 0.7 µm−1. Lesdésaccords sont δexc−photon = 0 meV et δlaser−LP B = 0.2 meV. En augmentant l’intensitédes pompes les paires de vortex s’annihilent et le réseau disparaît sur place. Les différentesintensités F utilisées sont respectivement

√gLP F = 0.10, 0.12, 0.15, et 0.5 meV3/2.

a b0.4 µm-1 20 µm

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

kx = 0 x = 0

Enér

gie

(meV

)

Figure 4.28 – Caractérisation en énergie du régime de haute densité à partir des simula-tions numériques a : Relation de dispersion selon l’axe kx. b : Énergie des polaritons selonl’axe horizontal x.


-π

π

a b10 μmFlow

c d

e f g h

i j k l

Figure 4.29 – Résultats expérimentaux et théoriques avec trois faisceaux de pompesinjectant des polaritons à k = 0.65 µm−1. Les paramètres de l’expérience sont δexc−photon =−1.49 meV et δlaser−LP B = 0.18 meV. a,e et b,f : Intensité et phase de l’émission dansl’espace réel respectivement à basse (3×27mW ) et haute intensité d’excitation (3×72mW ).c,d,g,h : Simulations numériques correspondantes. i-l représente la distribution de vortex(en rouge) et d’antivortex (en bleu) dans chacun des cas.

Chapitre 5

Défauts topologiques dans uncondensat spineur

Contents5.1 Théorie des condensats spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1 Hamiltonien du système et équation de Gross-Pitaevskii . . . . . 835.1.2 Demi-vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1.3 Demi-solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.1.4 Stabilité des défauts topologiques demi-entiers . . . . . . . . . . 89

5.2 Génération hydrodynamique de demi-solitons . . . . . . . . . . 895.2.1 Proposition théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.2 Observation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.3 monopôles magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.3.1 Plus loin dans l’analogie avec les monopôles . . . . . . . 965.2.4 Remarques sur le pompage en polarisation circulaire . . . . . . . 97

5.1 Théorie des condensats spineurs

Alors que dans le chapitre 2 nous avons considéré un condensat scalaire, nous avonsvu dans la section 1.4.4 que les polaritons possèdent en réalité un paramètre de spin. Bienqu’il soit juste de considérer un condensat scalaire lorsque nous sommes en présence d’uneseule population de spin (↑ ou ↓), cette approximation n’est plus valable lorsqu’on disposed’un mélange de populations.

5.1.1 Hamiltonien du système et équation de Gross-Pitaevskii

Rappelons d’abord la forme du Hamiltonien pour un gaz de bosons en interaction sansparamètre de spin :

H =∫

drΨ†(r)

[

~2

2m∇2 + Vext(r) +

12

∫

dr’Ψ†(r’)V (r − r’)Ψ(r’)

]

Ψ(r) (5.1)

En l’absence de potentiel extérieur Vext = 0, et en considérant l’interaction comme uneinteraction de contact (ce qui est justifié pour les polaritons, voir section 1.4.3) V (r) =

84 Chapitre 5. Défauts topologiques dans un condensat spineur

α1δ(r), on peut réécrire ce Hamiltonien :

H =∫

drΨ†(r)

[

~2

2m∇2 +

α1

2Ψ†(r)Ψ(r)

]

Ψ(r) (5.2)

Nous avons vu dans la section 1.4.4 qu’il existe une interaction entre les deux populationsde spin régie par la constante d’interaction α2. Dans la base de spin (↑,↓) le Hamiltoniend’un gaz de polaritons avec paramètre de spin s’écrit alors :

H =∑

σ=↑,↓

∫

drΨ†σ(r)

[

~2

2m∇2 +

α1

2Ψ†

σ(r)Ψσ(r) +α2

2Ψ†

−σ(r)Ψ−σ(r)

]

Ψσ(r) (5.3)

où la fonction d’onde se décompose en Ψ =(

Ψ↑

Ψ↓

)

et l’opérateur − inverse le spin :− ↑=↓ et − ↓=↑. Enfin, nous avons vu dans la section 1.4.6 qu’il existe des phéno-mènes de relaxation du spin, qui peuvent se schématiser par un champ magnétique effectifΩT E−T M = (ΩT E−T M,x, ΩT E−T M,y, 0), qui se traduit par l’ajout d’un terme d’énergiemagnétique −S · ΩT E−T M :

H =∫

dr

∑

σ=↑,↓Ψ†

σ(r)

[

~2

2m∇2 +

α1

2Ψ†

σ(r)Ψσ(r) +α2

2Ψ†

−σ(r)Ψ−σ(r)

]

Ψσ(r)

− S · ΩT E−T M

(5.4)

où S est le vecteur pseudospin défini dans la section 1.4.4.1 caractérisant l’état de spin dusystème. Remarquons, comme nous l’avions déjà détaillé dans la section 1.4.6.2, que l’onpeut réécrire le Hamiltonien :

H =∫

dr

∑

σ=↑,↓Ψ†

σ(r)

[

~2

2m∇2 +

α1 + α2

2

(

Ψ†σ(r)Ψσ(r) + Ψ†

−σ(r)Ψ−σ(r))

]

Ψσ(r)

− S · Ω′T E−T M

(5.5)

mais cette fois-ci en ajoutant une composante selon z au champ magnétique effectifΩ′

T E−T M = (ΩT E−T M,x, ΩT E−T M,y, Ω0) avec ~Ω0 = (α1 − α2)(|Ψ↑|2 − |Ψ↓|2).Il est utile de développer le terme d’énergie magnétique afin d’écrire les équations de

Gross-Pitaevskii. Le pseudospin S peut être décomposé de la manière suivante :

Sx =12

(Ψ†↑Ψ↓ + Ψ↑Ψ†

↓) (5.6)

Sy =i

2(Ψ†

↑Ψ↓ − Ψ↑Ψ†↓) (5.7)

Sz =|Ψ↑|2 − |Ψ↓|2

2(5.8)

5.1. Théorie des condensats spineurs 85

On peut alors dériver les équations d’évolution des opérateurs Ψ↑ et Ψ↓ :

i~∂Ψ↑(r, t)

∂t=

(

−~2∆

2m+

α1

2|Ψ↑(r)|2 +

α2

2|Ψ↓(r)|2 − i~

γ↑2

)

Ψ↑

− (ΩT E−T M,x + ΩT E−T M,y)Ψ↓ + P↑ (5.9)

i~∂Ψ↓(r, t)

∂t=

(

−~2∆

2m+

α1

2|Ψ↓(r)|2 +

α2

2|Ψ↑(r)|2 − i~

γ↓2

)

Ψ↓

− (ΩT E−T M,x − ΩT E−T M,y)Ψ↑ + P↓ (5.10)

où nous avons ajouté les termes de dissipation γ↑, γ↓ et de pompe P↑, P↓ et remplacé lesopérateurs par les fonctions d’onde par analogie avec ce qui a été fait pour les condensatsscalaires dans la section 2.4.

De manière complètement analogue à ce qui a été fait dans les sections 2.3.2 et 2.4.3,on peut dériver le spectre des excitations élémentaires d’un condensat spineur. Nous nedétaillerons pas ce point dans le manuscrit et on pourra se reporter à la référence [Sol-nyshkov 08]. La constante d’interaction α2 étant faible, le système peut être considéré enpremière approximation comme constitué de deux fluides de spin opposés indépendants.On retrouve alors les formes caractéristiques du spectre de Bogoliubov et la possibilitéd’observer des excitations topologiques (vortex et solitons) dans un seul des deux fluides.Ces objets appelés demi-vortex et demi-solitons, sont étudiés dans la section suivante.Enfin le terme de champ magnétique effectif induit une précession du pseudospin autourdu vecteur Ω′

T E−T M . Cette précession est responsable de phénomènes comme l’effet Halloptique de spin [Kavokin 05, Leyder 07] et joue un rôle fondamental dans la propagationdes demi-solitons comme nous le verrons dans la section 5.2.

5.1.2 Demi-vortex

L’existence de défauts topologiques demi-entiers a été prédite par Volovik et Mineev[Volovik 76] en 1976 dans l’Hélium 3 superfluide. La première observation expérimentalesous la forme de demi-vortex date de 1996 par Kirtley et al. dans les supraconducteurs àhaute température critique [Kirtley 96]. En 2006 Yuri Rubo [Rubo 06] prédit l’existencede demi-vortex dans les condensats de polaritons. Alors que Rubo a utilisé un formalismedans la base des polarisations linéaires, Flayac et al. [Flayac 10] ont utilisé un formalismedans la base des polarisations circulaires où la description des demi-vortex est beaucoupplus intuitive. En effet, dans cette base un demi-vortex apparaît simplement sous la formed’un vortex présent dans une seule population de spin.

Cependant la nature demi-entière des demi-vortex (et également des demi-solitons)n’apparaît pas explicitement dans les équations en base de polarisation circulaire et il estnécessaire d’aborder en premier lieu les demi-vortex dans la base de polarisations linéairepour faire apparaître les nombres quantiques demi-entiers propres à ces demi-objets. Onpeut passer de la base de polarisation circulaire (Φ↑,Φ↓) à la base de polarisation linéaire(Φx,Φy) par la relation :

Ψx =1√2

(Ψ↑ + Ψ↓) (5.11)

Ψy =1√2

(iΨ↑ − iΨ↓) (5.12)


On obtient alors :

Ψx =√

n cos(φ)eiθ (5.13)

Ψy =√

n sin(φ)eiθ (5.14)

où n est la densité totale de polaritons, θ définit la phase globale du condensat, et φ l’anglede polarisation linéaire. Un vortex est caractérisé par son indice de rotation (windingnumber), c’est à dire par la rotation de sa phase autour de son noyau. Pour un vortexdans un condensat scalaire, les règles de continuité imposent à la rotation de la phase deprendre des valeurs multiples de 2π, on parle alors d’indice de rotation entier n tel quela rotation de la phase soit de 2πn. Dans le cas des condensats spineurs il existe deuxphases φ et θ auxquelles on peut associer deux indices de rotation, respectivement k et m.Les règles de continuité dans ce cas n’imposent pas des valeurs entières de k et m maisdemi-entières, à condition que k et m soient simultanément entiers ou demi-entiers commele montrent les relations suivantes :

Ψx =√

n cos(φ + 2πk)ei(θ+2πm) = (−1)2k(−1)2m√n cos(φ)eiθ = (−1)2k(−1)2mΨx

(5.15)

Ψy =√

n sin(φ + 2πk)ei(θ+2πm) = (−1)2k(−1)2m√n sin(φ)eiθ = (−1)2k(−1)2mΨy

(5.16)

Les vortex d’énergie minimales sont alors les quatre vortex d’indices (k, m) = (12 , 1

2),(−1

2 , 12), (1

2 , −12) et (−1

2 , −12). On obtient des indices de rotation demi-entiers, ce qui ex-

plique l’appellation de demi-vortex. Notons que dans un condensat spineur polarisé linéai-rement les demi-vortex ont une énergie plus faible que les vortex entiers (un vortex entierpeut en fait être considéré comme une superposition de deux demi-vortex), ce qui fait desdemi-vortex les excitations élémentaires des condensats spineurs.

Les demi-vortex ont été observés expérimentalement dans les condensats de polaritonsen 2008 par Lagoudakis et al. [Lagoudakis 08] (voir figure 5.1).

5.1.3 Demi-solitons

Après s’être intéressé aux demi-vortex, on peut se questionner sur l’existence des demi-solitons. En effet, de manière analogue, un soliton présent dans une seule des deux polarisa-tions circulaires est un demi-soliton. Cependant, le caractère demi-entier des demi-vortexs’est pleinement révélé en polarisation linéaire. Il semble donc pertinent d’étudier le demi-soliton dans cette base. Considérons un condensat de polaritons 1D polarisé linéairement :|Ψ↑|2 = |Ψ↓|2 =

√n∞ loin du demi-soliton, où les fonctions d’onde dans la base de polari-

sation circulaire s’écrivent :

Ψ↑ =√

n∞eiθ↑ (5.17)

Ψ↓ =√

n∞eiθ↓ (5.18)

En présence d’un demi-soliton dans la composante ↑, la phase θ↑ varie à travers le solitond’une quantité finie 0 < ∆θ↑ < π : θ↑(+∞) = θ↑(−∞)+∆θ↑ (voir la section 4.1.2.1). Si onnéglige les interactions entre polaritons de spin opposés, on peut considérer que la phaseθ↓ est en revanche constante : θ↓(+∞) = θ↓(−∞). On peut définir une base de polarisationlinéaire (Ψx, Ψy) par les relations :

Ψx =1√2

(Ψ↑ + Ψ↓) (5.19)

Ψy =1√2

(iΨ↑ − iΨ↓) (5.20)

5.1. Théorie des condensats spineurs 87

64

20

-2-4

-6y

real

spa

ce (µ

m)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x real space (µm)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Flui

d ph

ase

(π)

64

20

-2-4

-6y

real

spa

ce (µ

m)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x real space (µm)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Flui

d ph

ase

(π)

64

20

-2-4

-6y

real

spa

ce (µ

m)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x real space (µm)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Nor

m. i

nten

sityσ

−

64

20

-2-4

-6y

real

spa

ce (µ

m)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6x real space (µm)

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Nor

m. i

nten

sityσ

+

A B

C D

Figure 5.1 – Observation de demi-vortex dans un condensat de polaritons. A,B : Interfé-rogrammes des émissions polarisées σ+ et σ−. On observe dans le cercle rouge une fourchede dislocation typique d’un vortex, apparaissant dans une seule composante, mettant enévidence un demi-vortex. C,D : Diagrammes de phases dans l’espace réel extrait à partirdes interférogramme A et B. Image tirée de la référence [Lagoudakis 08].

soit loin des solitons :

Ψx =√

n∞ei

(

θ↑+θ↓2

)

cos(

θ↑ − θ↓2

)

=√

n∞eiΘ cos(Φ) (5.21)

Ψy =√

n∞ei

(

θ↑+θ↓2

)

sin(

θ↑ − θ↓2

)

=√

n∞eiΘ sin(Φ) (5.22)

Θ = θ↑+θ↓

2 est la phase globale en polarisation linéaire : elle correspond à la phase quiserait mesurée si on faisait des mesures non résolues en polarisation. En présence d’undemi-soliton dans la composante ↑, la phase θ↑ subit un saut de ∆θ↑ à travers le solitonet la phase θ↓ est constante, Θ subit alors un saut de ∆Θ = ∆θ↑/2. Φ = θ↑−θ↓

2 représentel’angle de polarisation linéaire qui subit de manière analogue un saut de ∆Φ = ∆θ↑/2 àtravers le soliton. En termes de pseudospin (voir section 1.4.4.1), une rotation de l’angle depolarisation linéaire de ∆Φ correspond à une rotation du pseudospin de 2∆Φ (voir la figure5.2-c). Les profils d’intensité dans les différentes bases de polarisations sont représentés surla figure 5.2-a dans le cas où Φ(−∞) = 0 et ∆Θ = ∆Φ = π

2 . En intensité, un demi-solitonapparaît en polarisation linéaire sous forme d’une frontière entre des régions polarisésorthogonalement.

La figure 5.2-c représente la direction du pseudospin pour différentes valeurs de Φ(−∞).On observe sur cette figure que dans les cas Φ(−∞) = 0 et π/2 (1ère et 3ème ligne) lepseudospin aux abords du demi-soliton est convergeant et divergeant, de la même manièrequ’est le champ électrique (magnétique) créé par une charge électrique (magnétique) ponc-tuelle. On peut d’ailleurs faire une analogie formelle entre les demi-solitons en présenced’un champ magnétique effectif et des monopôles magnétiques dans un champ magné-


Figure 5.2 – a : Profils de densité d’un demi-soliton dans la population de spin ↑, sans in-teractions. Les courbes rouges et bleues en traits plein représentent respectivement les den-sités n↑ et n↓ et les courbes cyan et pourpre en traits pointillés représentent respectivementles densités nx et ny. Les flèches rouges au dessus du graphique représente le pseudospin.On observe une rotation de π du pseudospin, correspondant à une rotation de π/2 de lapolarisation. b : Profils de densité d’un demi-soliton dans la population de spin ↑, en pré-sence d’interactions. c : Représentation du pseudospin à travers le soliton pour différentesvaleurs de Φ(−∞) = 0, π/4, π/2, 3π/4. Images tirées des références [Flayac 11,Flayac 13].

tique [Solnyshkov 12] où la structure du pseudospin (divergent ou convergent) indiquele signe de la charge. Les demi-solitons représentés sur la 1ère (Φ(−∞) = 0) et la 3ème

ligne (Φ(−∞) = π/2) sont alors des monopôles de charges opposées. Les demi-solitonsreprésentés sur la 2nde (Φ(−∞) = π/4) et 4ème ligne (Φ(−∞) = 3π/4) sont égalementdes monopôles de charge opposées : en effet ils obtiennent également une structure depseudospin convergente et divergente par une rotation de π/4 de la base de polarisationlinéaire.

Ainsi, alors qu’un demi-soliton noir est caractérisé par la présence d’un soliton dansuniquement une polarisation circulaire (e.g. en ↑, avec un saut de phase ∆θ↑), le demi-soliton en polarisation linéaire se remarque par un saut de phase moitié dans toutes lespolarisations linéaires ∆Θ = ∆θ↑/2, ainsi qu’une rotation de la polarisation d’un angleégalement de ∆Φ = ∆θ↑/2. De même que pour les demi-vortex, c’est en polarisationlinéaire que l’on retrouve les coefficients demi-entiers.

On peut cependant faire suite à la remarque de la section 4.1.2.1 sur le caractèrenon quantifié des excitations solitoniques. On avait fait la remarque qu’il n’existe pas unnombre fini de solutions solitoniques mais une continuité en fonction de leur densité au fonddu soliton pouvant varier de 0 à n∞. De manière similaire, on peut passer continûmentd’un soliton à un demi-soliton. Le terme ’demi’ n’est rigoureux que lorsqu’on disposed’un soliton parfaitement noir dans une polarisation circulaire et l’état fondamental dansl’autre. En pratique la présence d’interactions entre polaritons de spin opposés affectela densité dans une polarisation circulaire lorsqu’il y a un soliton dans la polarisationcirculaire opposée (voir la figure 5.2-b). Nous parlerons néanmoins de demi-solitons dèsqu’il y a une texture de polarisation circulaire à l’intérieur du soliton, donc quand unsoliton dans une polarisation sera plus sombre que dans l’autre.

Nous n’avons parlé dans cette section que des solitons à une dimension pour des raisonsde commodités, mais les raisonnements peuvent être facilement étendus aux solitons à 2

5.2. Génération hydrodynamique de demi-solitons 89

dimensions.

5.1.4 Stabilité des défauts topologiques demi-entiers

La stabilité des défauts topologiques demi-entiers dans les fluides de polaritons est liéeà l’anisotropie en spin des interactions α1 >> α2. La présence d’un champ magnétiqueeffectif important peut induire la précession du spin des polaritons au milieu d’un défauttopologique demi-entier, où le fluide est polarisé circulairement. La précession due auchamp magnétique peut éventuellement inverser la polarisation du défaut topologique, etengendrer sa destruction. Nous avons vu dans la section 1.4.6.2 qu’à cause de l’anisotropieen spin des interactions dans un fluide de polaritons, une différence de population n↑ − n↓joue le même rôle qu’une composante du champ magnétique effectif selon l’axe z. Dans lazone centrale du défaut topologique la différence de population est maximale et l’ajout decette composante du champ magnétique selon l’axe z (précession de Larmor auto-induite,voir la section 1.4.6.2) protège les demi-vortex de la précession de leur spin jusqu’à unevaleur critique Ωc du champ magnétique effectif [Solnyshkov 12] :

Ωc =(α1 − α2)n∞

2(5.23)

Dans des conditions normales Ωc est de l’ordre de 100µeV alors que le champ magné-tique effectif est typiquement de l’ordre de ΩT E−T M = 20µeV . La stabilité des défautstopologiques demi-entiers est donc assurée dans les fluides de polaritons.

Les défauts topologiques demi-entiers ne peuvent apparaître dans un superfluide d’4He,qui ne dispose pas du degré de liberté de spin mais des demi-vortex ont été observés dansun superfluide d’3He [Yamashita 08] et dans les supraconducteurs triplets [Kirtley 96]. Laphysique des condensats atomiques est très riche et il existe des cas de figure où l’on peutavoir un condensat de type spin 1/2 avec interactions antiferromagnétiques [Widera 06].Bien qu’ils n’aient pas encore été observés expérimentalement, il existe une propositionthéorique permettant la formation de demi-vortex dans les condensats atomiques de 23Na[Ji 08].

5.2 Génération hydrodynamique de demi-solitons

5.2.1 Proposition théorique

Une étude théorique de Flayac et al. [Flayac 11] a montré qu’à condition d’utiliserune pompe polarisée linéairement, l’expérience de génération hydrodynamique de solitonsfaisant l’objet de la section 4.2.2 devrait donner naissance à une paire de demi-solitonsdans le sillage du défaut. Cette génération de demi-solitons est liée à leur comportementen présence du champ magnétique effectif ΩT E−T M dont il a été question dans les sections1.4.6 et 5.1.1. Nous montrerons en détails dans la section 5.2.3 que les demi-solitons secomportent de la même manière que des monopôles magnétiques.

5.2.2 Observation expérimentale

Le fluide de polaritons est créé à l’aide d’une pompe polarisé linéairement dans ladirection de propagation des polaritons (y, ou TM). Le moment cinétique injecté par lapompe est de kp = 1.3 µm−1, ce qui implique une vitesse du fluide de vf = ~kp

m = 1.5 µm/ps(la masse des polaritons a été évaluée à m = 10−4me). Le nombre de Mach a été évalué


vers la camera CCD

θmicrocavité

Pompe laser demi-Gaussienne

défaut

Figure 5.3 – Schéma du montage expérimental.

comme étant de l’ordre de M = 5 à y = 40 µm en aval du défaut à l’aide de la relation4.20 rappelée ici :

n(0) = n∞(v sin(α)/cs)2 (5.24)

Le désaccord exciton-photon dans la région étudiée est de δexc−photon = −0.2 meV. Commepour l’expérience sur les solitons entiers (section 4.2.2.2) nous utilisons un masque métal-lique pour couper le faisceau de pompe et obtenir un faisceau demi-Gaussien. Le faisceaude pompe présent exclusivement en amont du défaut laisse la phase libre d’évoluer dansle sillage du défaut. Le montage expérimental est illustré par la figure 5.3.

Afin d’extraire la totalité de l’information contenue dans le système, nous avons suc-cessivement mesuré les émissions de la microcavité dans les polarisations circulaire gauche(σ+) et droite (σ−), linéaire horizontale (H), verticale (V), diagonale (D) et antidiagonale(A). Cette tomographie complète de l’émission permet de déterminer le pseudo-spin danstous les points de l’espace. Nous avons dans chacun de ces cas également acquis une figured’interférence à l’aide d’un interféromètre de Mach-Zehnder afin de reconstituer la phasedu fluide (le processus de reconstruction de la phase est décrit dans l’annexe B). La figure5.4 montre ces acquisitions dans les polarisations σ+, σ−, D et A.

Les panneaux a-I et a-II représentent les émissions en polarisation circulaire. On ob-serve la présence d’un soliton à gauche du défaut en σ− qui n’est pas présent (ou peu)en σ+. Inversement, on observe deux solitons à droite du défaut en σ+ invisibles en σ−.Notons que la présence de deux solitons de ce coté du défaut est due à la forme du défautainsi qu’a sa taille qui permet cette double génération, comme nous l’avions déjà rapportédans la section 4.2.2.3. Nous nous concentrerons sur les solitons intérieurs, sans évoquerce deuxième soliton extérieur à droite. Ces solitons présents dans une seule polarisationcirculaire s’accompagnent comme on peut l’observer sur les panneaux b-I et b-II d’un sautde phase. Les panneaux c et e représentent les coupes à y = 40 µm de l’émission et de laphase. Le soliton de gauche étant plus profond que le soliton de droite, le saut de phase àtravers le premier est plus important qu’à travers le second. Ainsi, on observe bien dansla base de polarisation circulaire les caractéristiques des demi-solitons.

Nous allons voir que l’observation en polarisation linéaire confirme la présence de demi-solitons. Nous avions dit dans la section 5.1.3 qu’en polarisation linéaire un soliton formeune frontière entre des domaines polarisés orthogonalement. On peut observer sur la fi-gure 5.2 la densité chuter brutalement à travers le soliton pour les polarisation linéaires(courbes cyan et pourpre). Or sur les panneaux a-III et a-IV on observe des lignes noiresqui ressemblent encore à des solitons. La différence majeure avec le cas 1D évoqué pré-cédemment est qu’ici nous avons une pompe qui génère un fluide polaritonique polarisélinéairement dans la direction y, dite TM. Ainsi, loin des solitons la densité de polaritons


Figure 5.4 – a,b : Images et interférogrammes l’émission dans l’espace réel polarisé σ+

(I), σ− (II), diagonale (III) et antidiagonale (IV). Des solitons (reperés par des flèches)sont générés dans le sillage du défaut (reperé par un ellipse en pointillé). La ligne jauneest un guide pour le lecteur. La ligne blanche est l’endroit où les coupes présentées en c-fsont réalisées. c : Coupes à 40 µm (ligne blanche) de l’intensité d’émission polarisée σ+

(en rouge) et σ− (en bleu). Les flèches désignent l’emplacement des solitons. d : Coupesà 40 µm de l’intensité d’émission polarisée diagonale (vert) et antidiagonale (rose). Lesoliton de gauche reperé par la ligne pointillée verte correspond au point ou les densitéspolarisés A et D se croisent, comme dans la figure 5.2. Les zones en transparence verte etrose marquent les zones où les polaritons polarisés D et A recouvrent leur densité. e,f :Coupes à 40 µm de la phase dans la polarisations circulaire et diagonales. Les sauts dephases observés en polarisation diagonale sont moitié moindre que les sauts observés enpolarisation circulaire. Les barres d’erreur dans l’estimation des sauts de phase est de±0.08π.


est fixée par la pompe. Au niveau de la pompe nous avons la relation :(

ΨT M

ΨT E

)

=

(

Fp

0

)

(5.25)

où Fp est le terme de pompe (complexe). On a alors dans la polarisation diagonale :(

ΨD

ΨA

)

=

(

cos(π/4) sin(π/4)− sin(π/4) cos(π/4)

)(

Fp

0

)

(5.26)

(

ΨD

ΨA

)

=

√2

2

(

Fp

−Fp

)

(5.27)

La polarisation diagonale parait particulièrement adaptée à l’étude des demi-solitonspuisque la densité de polaritons loin des solitons est la même dans ces deux polarisa-tions. Pour des raisons de continuité, la diminution de densité en polarisation linéaire àtravers le soliton est recouvrée sur une distance de l’ordre de la longueur de cicatrisation.On peut d’ailleurs observer sur le panneau d de la figure 5.4 que les creux de densitésne sont pas situés au même endroit dans les deux polarisations. En effet, par exemplepour le demi-soliton de gauche, la densité est recouvrée à droite du soliton en polarisationA (dans la zone en rose), et à gauche du soliton en polarisation D (zone en verte). Onretrouve également un saut de phase en polarisation linéaire moitié plus faible que celuien polarisation circulaire (dans la polarisation où il y a un soliton) (voir panneaux bIII,b-IV et f de la figure 5.4.

La tomographie complète nous permet de représenter le pseudospin dans l’espace sur lafigure 5.5. L’échelle de couleur représente le degré de polarisation circulaire et les flèchesreprésentent la direction de la polarisation linéaire. On observe sur cette figure que lepseudospin subit une rotation à travers le soliton en accord avec la théorie. À y = 40 µm, lepseudospin subit une rotation de 0.64π à travers le demi-soliton de gauche, correspondantcomme on peut le voir sur la figure 5.5-c à une variation de l’angle de la polarisation de0.32π.

Les simulations théoriques du système sont en remarquable accord avec l’expériencecomme on peut l’observer sur la figure 5.6.

5.2.3 monopôles magnétiques

Nous avons montré dans la section précédente que la méthode proposée par Flayacet al. pour générer des demi-solitons est efficace. Intéressons-nous maintenant aux raisonsde cette génération. Le montage expérimental étant rigoureusement le même que dans lasection 4.2.2, pourquoi génère-t-on des demi-solitons et non des solitons entiers ? En réalité,juste derrière le défaut, ce sont bien des solitons entiers qui sont générés. Il est maintenantimportant de remarquer qu’un soliton entier en pompage linéaire peut être vu commela superposition de deux demi-solitons dans des polarisations circulaires croisées, avecdes profils de pseudospin opposés (convergeant et divergeant). Nous allons montrer qu’enprésence du champ magnétique effectif ΩT E−T M de direction y (représenté sur la figure5.7), les demi-solitons se comportent de la même manière que des monopôles magnétiques.Les demi-solitons créés dans le sillage du défaut n’ont pas la même trajectoire en fonctionde leur charge magnétique : deux des quatre demi-solitons tendent à s’aligner avec le champmagnétique effectif et se stabilisent (le soliton polarisé σ− à gauche et celui polarisé σ+

à droite) alors que les deux autres tendent vers une trajectoire orthogonale à ΩT E−T M ,deviennent instables et disparaissent.


Figure 5.5 – a : Représentation complète du pseudospin du fluide de polaritons dansla région entre 30 et 50 µm derrière le défaut. L’échelle de couleur indique le degré depolarisation circulaire (latitude de la sphère de Bloch) tandis que les flèches représententla direction de la polarisation linéaire, comme définie dans le plan équatorial de la sphère deBloch. b : reproduction du pseudospin (flèche rouge) dans la sphère de Bloch définie dans

la section 1.4.4.1. La latitude correspond au degré de polarisation circulaire ρc =Iσ+

−Iσ−

Iσ++Iσ−

.

La projection du pseudospin dans le plan équatorial (flèche verte) donne la direction de lapolarisation linéaire. c : Angle de polarisation linéaire mesurée selon l’axe x à la positiony = 40 µm, au centre du carré blanc de la figure a.


Figure 5.6 – Simulations numériques montrant la génération de demi-solitons obliquesdans un fluide de polaritons sous injection polarisée linéairement. a Images de l’émissioncalculée en polarisation circulaire (I-II) et diagonale (III,IV). b : figures d’interférencecorrespondantes montrant les sauts de phases du fluide. c : Champ du pseudospin. d,e :Profils d’intensités pour les différentes polarisations le long des lignes pointillés en a. f,g :Profils de phase pour les differentes polarisations le long des lignes pointillées en b. h :Variation de l’angle de polarisation linéaire à y = 50 µm.


Figure 5.7 – Représentationdans l’espace des impulsions dela direction du champ magné-tique effectif pour un fluide depolaritons polarisé dans la di-rection y. Dans notre cas la pro-pagation se fait principalementselon y donc le champ magné-tique effectif est également se-lon y (flèche rouge).

Figure 5.8 – Agrandissement de la zone encadrée enblanc sur la figure 5.5. La direction du demi-soliton estmarquée par une ligne en pointillée blanche. Le champde pseudospin du soliton est analogue à celui d’unecharge ponctuelle selon la direction x0 orthogonale à satrajectoire. Le champ magnétique effectif ΩT E−T M aune composante orthogonale au demi-soliton Ω⊥ exer-çant une force Fmag et causant une accélération dusoliton amag.

Nous avons établi dans la section 5.1.1 que la présence du champ magnétique effectifse traduit par l’ajout dans le hamiltonien du terme d’énergie magnétique :

Hmag = −S · ΩT E−T M (5.28)

Le champ magnétique effectif ΩT E−T M a été défini dans la section 1.4.6 comme le vecteurΩT E−T M = (ΩT E−T M cos(2θ), ΩT E−T M cos(2θ), Ω0) où θ est l’angle polaire de k, et Ω0 lesplitting intrinsèque de Zeeman proportionnel à la différence de populations n↑ −n↓. Dansnotre situation, la pompe étant polarisée linéairement on peut considérer globalementΩ0 = 0, et le flux de polaritons étant globalement dans la direction y on peut considérerle champ magnétique effectif comme étant exclusivement dans la direction de propagationy : ΩT E−T M = ΩT E−T M uy (voir figure 5.7).

Intéressons-nous exclusivement au demi-soliton σ− à gauche du défaut. A ce titre, lafigure 5.8 représente un agrandissement de la zone encadrée en blanc de la figure 5.5-areprésentant le pseudospin. Sur cette figure, la ligne blanche quasi-verticale représentela trajectoire du soliton tandis que celle horizontale est la direction orthogonale (axex0). Nous avons reporté la direction du champ magnétique effectif sur cette figure. Latrajectoire du soliton étant oblique, il existe une composante du champ magnétique effectifΩ⊥ orthogonale à la trajectoire du demi-soliton. On observe sur cette figure que dans lapartie à droite de ce soliton, cette composante Ω⊥ est dans le même que le spin (dontla projection sur l’axe orthogonale S⊥ est représentée en vert), contribuant de manièrenégative à l’énergie du système. Au contraire, dans l’espace à gauche du soliton Ω⊥ et S⊥sont en sens opposés et la contribution de cette zone à l’énergie est positive. A partir decette observation on peut définir une force magnétique agissant sur le soliton dans unedirection orthogonale à sa trajectoire :

Fmag = −dEmag

dx0(5.29)


Cette force représentée par une flèche blanche sur la figure pousse le soliton vers la gauche.Cependant, il faut se rappeler qu’un demi-soliton sombre est un creux de densité, et possèdedonc une masse effective négative. Ainsi l’accélération résultante de la force magnétiqueest en sens opposée, le soliton est donc accéléré vers l’intérieur. Avec une telle trajectoire,la composante Ω⊥ se réduit avec la propagation, et le soliton s’aligne avec le champmagnétique effectif ΩT E−T M . Il parait évident que le demi-soliton de charge magnétiqueopposée généré simultanément à gauche dans le sillage du défaut subit lui une accélérationvers la gauche. La trajectoire de ce dernier à tendance à tourner jusqu’à être dans la mêmedirection que le champ magnétique effectif mais de sens opposé. Cependant au cours deson évolution ce demi-soliton disparaît lorsque sa trajectoire se rapproche de la directionorthogonale a la propagation des polaritons. Il suffit de rappeler l’équation pour les solitons4.20 :

n(0) = n∞(v sin(α)/cs)2

pour comprendre qu’alors que les solitons s’alignant avec la direction de propagation de-viennent plus profonds (α tend vers 0 et n(0) vers 0), les solitons tendant vers une trajec-toire orthogonale disparaissent (α tend vers π/2, n(0) tend vers n∞). La séparation desdemi-solitons et leur différence de comportement fait qu’ils sont clairement observables àl’aide de cette expérience.

Bien que les solitons extérieurs disparaissent rapidement, il est néanmoins possible derepérer leur trajectoire sur la figure 5.9. On a représenté sur cette figure les degrés depolarisation circulaire ρc =

Iσ+−Iσ−

Iσ++Iσ−

et de polarisation diagonale ρD = ID−IA

ID+IA. Alors que

les demi-solitons sont caractérisés par un creux de densité dans une seule polarisation, etdonc une variation localisée et importante du degré de polarisation circulaire, nous avonsdit dans la section 5.1.3 qu’ils étaient observés sous forme de frontière de domaines enpolarisation linéaire. Ces frontières sont clairement visibles sur les images théoriques etexpérimentales et permettent de suivre les trajectoires de demi-solitons au cours de leurpropagation.

Les demi-solitons en présence du champ magnétique effectif se comportent exactementde la même manière que des monopôles magnétiques. Les demi-solitons ont tendance à sepropager dans la même direction que le champ magnétique, mais dans des sens différentsen fonction de leur charge magnétique. La charge d’un demi-soliton étant défini par lastructure du pseudo-spin autour de celui-ci, c’est-à-dire si le pseudo-spin converge oudiverge au niveau du demi-soliton. En aucun cas la charge du monopôle peut être définipar la polarisation circulaire au fond du demi-soliton : nous avons dans notre cas lesdeux solitons intérieurs s’alignant avec le champ, de polarisation circulaire opposée maispourtant de même charge magnétique, tandis que les solitons extérieurs ont égalementla même charge, opposée à celle des solitons intérieurs. Notons que ce phénomène deséparation des monopôles est similaire à la séparation des monopôles dans des glaces despin sous champ magnétique [Bramwell 09].

5.2.3.1 Plus loin dans l’analogie avec les monopôles

L’analogie entre monopôles et demi-solitons n’a pas été mise en défaut lors de l’ana-lyse du comportement des demi-solitons dans l’expérience mais ce n’est pas suffisant pourconfirmer cette analogie. Les monopôles sont en effet également caractérisés par la na-ture de leurs interactions. L’interaction entre deux monopôles est répulsive ou attractiveen fonction de leurs charges. L’interaction entre demi-solitons n’a pas encore fait l’objetd’études expérimentales mais a été étudiée théoriquement par le groupe de GuillaumeMalpuech dans les références [Flayac 13, Flayac 12]. Il est montré que des demi-solitons


Figure 5.9 – a,b : Sur les panneaux de gauche, les degrés de polarisation circulaire etdiagonale mesurés expérimentalement. A droite, les résultats obtenus par des simulationsthéoriques. Les lignes pointillées montrent les trajectoires des demi-solitons intérieurs (engris) et extérieurs (en noir). Les trajectoires des demi-solitons apparaissent comme desextremum du degré de polarisation circulaire, et comme des frontières de domaines depolarisation diagonale. Les flèches grises en b indiquent les directions de l’accélération desdemi-solitons induite par le champ magnétique effectif.

de même charge s’attirent tandis que des demi-solitons de charges opposées se repoussent.Ce comportement opposé à celui des charges électriques se justifie dans notre cas par lesmasses négatives des demi-solitons.

5.2.4 Remarques sur le pompage en polarisation circulaire

Nous avons affirmé précédemment que la génération de demi-solitons obliques nécessiteun pompage en polarisation linéaire. Jusqu’à présent, nous avons démontré qu’utiliser unepompe polarisée linéairement permet la génération de demi-solitons obliques mais qu’enest-il d’une pompe polarisée circulairement ? La figure 5.10 montre la densité, la phase et lepseudospin créée avec une pompe polarisée σ+. Dans cette situation, le pseudospin pointeinitialement dans la direction z de la sphère de Poincaré (voir la figure 5.5-b). Lorsque lapompe est polarisée linéairement, la composante du champ magnétique selon l’axe z estnulle, mais avec une pompe polarisée circulairement, la différence de population n↑ −n↓ esttrès importante, et elle implique une composante du champ magnétique selon l’axe z bienplus grande que selon les autres directions (voir la section 1.4.6). Le champ magnétiqueest donc également selon l’axe z, et il n’y a pas de précession du spin. Les solitons entiersgénérés ne sont pas affectés par le champ magnétique effectif, et il n’y a pas d’accélérationni de séparation des demi-solitons.

On observe alors sur les coupes en densité sur la figure 5.10-d la présence de solitonsdans les deux composantes, la population ↑ étant majoritaire grâce à la pompe et lacomposante ↓ suivant exactement la population ↑ à cause de la présence d’interactionsnégatives entre polaritons de spin opposés. Il en va de même sur les coupes en phase de lafigure 5.10-e où l’on observe les mêmes sauts de phase (0.65π) dans les deux polarisations.Enfin, la rotation de l’angle de polarisation linéaire caractéristique des demi-solitons est


Figure 5.10 – a,b densités (a) et interférogrammes correspondants (b) de l’émission dansl’espace réel polarisé σ+ (à gauche) et σ− (à droite). c : champ de pseudospin de l’émission.L’échelle de couleur montre le degré de polarisation circulaire et les flèches noires montrentla projection du pseudospin dans le plan équatorial de la sphère de Poincaré. d : Profilsde densité à y = 40 µm (ligne blanche) extraits de a. e : Profils de phase correspondants.f : Coupe de l’angle de polarisation linéaire selon la ligne blanche.

supprimée dans cette configuration comme on peut le voir sur la figure 5.10-c représentantle champ de pseudospin, et sur la figure 5.10-f qui montre la coupe de l’angle de polarisationselon la ligne blanche.

Conclusion générale

Dans ce travail de thèse nous nous sommes concentrés sur l’étude d’un fluide de po-laritons, et principalement sur les défauts topologiques qui peuvent être créés dans untel condensat. Grâce au support théorique fourni par le groupe de Cristiano Ciuti dulaboratoire de Paris 7 Matériaux et Phénomènes Quantiques, nous avons réalisé un dispo-sitif expérimental permettant la génération hydrodynamique et l’observation de solitonssombres entiers dans un fluide de polaritons excitoniques. Les solitons sombres sont carac-térisés par une dépression dans le profil d’intensité, et par un saut de la phase du fluideà travers le soliton allant jusqu’à π. Nous avons pu mettre en évidence la présence d’unrégime de turbulence à la limite entre le régime superfluide et solitonique dans lequel lessolitons ne sont pas encore stables et on assiste à la génération de nombreux vortex. Notrecollaboration avec le groupe de Guillaume Malpuech du LASMEA de Clermont-Ferrandet avec le groupe de Jacqueline Bloch du LPN de Marcoussis nous a permis de poursuivrel’investigation des solitons dans des fluides spinoriels et d’y observer l’apparition de demi-solitons. Un demi-soliton se caractérise par l’existence d’un soliton dans une seule desdeux populations de spin. Lors de leur observation dans la base de polarisation linéaire,les demi-solitons se distinguent des solitons entiers par un saut de phase n’allant que jus-qu’à π/2, mais également par une rotation maximum de π/2 de l’angle de polarisationlinéaire à travers le soliton. Nous avons pu prouver dans ce contexte que les demi-solitonsen présence d’un champ magnétique effectif intrinsèque à la microcavité ont un compor-tement analogue à des monopôles magnétiques. Nous nous sommes également intéressésà la génération de réseaux de vortex dans les fluides polaritoniques. Plusieurs dispositifsoriginaux ont été utilisés à ces fins. Les vortex générés par un fluide en propagation surun défaut naturel de la cavité peuvent être piégés dans un puits de potentiel obtenu grâceà l’utilisation d’un masque métallique. Nous avons étudié la nature des réseaux de vor-tex/antivortex obtenus en excitant la microcavité à incidence normale avec une pompedont le profil est contrôlé à l’aide de masques métalliques. Alors qu’à basse densité cesréseaux sont le fruit d’interactions linéaires entre condensats, leur forte modification àhaute densité est due aux interactions non-linéaires entre polaritons. Un système basé surl’utilisation de plusieurs faisceaux d’excitation nous a permis de confirmer les observationsà basse densité et d’observer la disparition complète du réseau aux très hautes densités. Latransition du régime de basse à haute densité s’accompagne d’une émission de la microca-vité à vecteur d’onde nul ; ce phénomène très intéressant pourrait être lié à la formationd’états piégés et sa compréhension nécessite des études supplémentaires qui sont en coursdans l’équipe.

Ce travail de thèse s’inscrit dans la thématique de l’étude des propriétés fondamen-tales de fluides quantiques hors-équilibres en exploitant les caractéristiques spécifiques despolaritons de microcavités ; de nombreux défis attendent encore d’être relevés dans cedomaine.

Dans la continuité directe de ce travail de thèse, il serait intéressant d’étudier les in-

100 Conclusion générale

Figure 1 – Interaction à courte portée entre des solitons 1D séparés initialement de0.5µm. (a) Répulsion entre solitons entiers. L’échelle de couleur représente la densité. (b)Attraction entre demi-solitons lorsque α2 = +α1. (c) Répulsion entre demi-solitons lorsqueα2 = −0.2α1. L’échelle de couleur en (b) et (c) donne le degré de polarisation circulaire.Image tirée de la thèse d’Hugo Flayac [Flayac 13].

teractions entre solitons et demi-solitons. Les études théoriques réalisées par le groupede Guillaume Malpuech [Flayac 13] montrent que les interactions à courte distance entresolitons dépendent des interactions entre polaritons (voir la figure 1). Ainsi les solitonsentiers (ou les demi-solitons copolarisés) sont supposés se repousser entre eux au regardde la constante d’interaction α1 positive. En revanche, les demi-solitons portés par despolarisations circulaires opposées ont un comportement dépendant de la constante d’in-teraction α2 : ils subissent une répulsion dans le cas α2 > 0 et une attraction dans le casopposé α2 < 0. Plusieurs études durant ces dernières années poussent à croire que le signede la constante d’interaction α2 peut être modifié par la présence d’un bain d’excitons. Ilest envisageable de réaliser une expérience où l’on contrôle cette constante d’interaction,en passant du régime d’interaction au régime de répulsion entre demi-solitons polarisésorthogonalement.

Les interactions à longue portée entre demi-solitons ont également été étudiées théori-quement [Flayac 13] et ne dépendent plus de leur polarisation circulaire mais du signe deleur charge magnétique. Contrairement aux charges classiques, les demi-solitons de mêmecharge subissent une force attractive et au contraire, les demi-solitons de charges opposéesse repoussent. C’est le fait que les demi-solitons aient une masse négative qui est respon-sable de cette différence qui reste en accord avec les lois de Maxwell. On peut égalementmentionner la possibilité de réaliser des dispositifs de "magnétronique" polaritonique encontrôlant les trajectoires des demi-solitons à l’aide de champs magnétiques.

Les expériences de piégeage de vortex rapportées dans les sections 4.3, 4.4 et 4.5 nousont permis d’étudier les réseaux de vortex/antivortex de moment angulaire total nul.L’injection d’un moment angulaire non nul dans le système peut permettre de conserverà haute densité un ensemble de vortex quantifiés dont l’arrangement en réseau peut êtreétudié en fonction des différents paramètres contrôlables comme la forme du piège, ladensité de polaritons ou le désaccord exciton-photon. Cette expérience peut également êtreenrichie par une étude en fonction de la polarisation du laser d’excitation. On pourraitalors assister à la formation de réseaux de demi-vortex. Les demi-vortex se comportantégalement comme des monopoles magnétique, il serait intéressant d’étudier l’impact desinteractions Coulombienne résultantes sur la forme du réseau.

Un autre développement intéressant réalisable à l’aide de microcavités semi-conductrices

Conclusion générale 101

est l’étude de la localisation d’Anderson. La localisation d’ondes électromagnétiques etd’ondes sonores ont été observées à partir de 1997 mais ce n’est qu’en 2008 que la lo-calisation de particules a été observée, par le groupe d’Alain Aspect [Billy 08] à l’aidede condensats atomiques dans des systèmes 1D. Les microcavités constituent un systèmeintéressant dans le but d’observer la localisation d’Anderson à deux dimensions. Le poten-tiel désordonné peut être généré en utilisant le même principe utilisé pour créer les puitsde potentiels des sections 4.3 et 4.4, en façonnant le faisceau de pompe, par exemple àl’aide d’interférences Speckle. L’avantage de cette technique pour générer le désordre estle contrôle obtenu sur l’amplitude du désordre, directement lié à l’intensité du faisceau.Cependant, la faible masse et les grandes vitesses de propagation des polaritons néces-sitent une grande distance de propagation afin d’observer le phénomène de localisation.Ces restrictions imposent l’utilisation d’une microcavité de très bonne qualité où les pola-ritons peuvent atteindre des temps de vie de l’ordre de plusieurs centaines de picosecondes.C’est en collaboration avec le Laboratoire de Photonique et Nanostructures, qui maîtrisela fabrication de telles cavités que nous envisageons de réaliser cette expérience.

N’oublions pas que la thématique abordée dans cette thèse n’est qu’une partie despossibilités offertes par les systèmes polaritoniques : les microcavités, fils et micropillierssont des systèmes très prometteurs pour créer des dispositifs opto-électroniques facilementintégrables [De Giorgi 12,Ballarini 13,Sturm 13,Nguyen 13]. La maîtrise du procédé de fa-brication permet également de construire des structures plus compliquées qui peuvent êtreutilisées, à l’instar des systèmes atomiques, comme simulateurs quantiques, par exemplepour simuler des molécules [Abbarchi 13] ou encore du graphène. De nombreuses étudesse tournent également vers la fabrication de microcavités à l’aide de matériaux innovantsdans l’objectif d’obtenir des fluides polaritoniques à température ambiante [Christopou-los 07,Li 13].

Enfin des propositions originales continuent de voir le jour, mettant à profit des carac-téristiques originales des polaritons dans le but d’observer des effets exotiques comme laradiation de Hawking dans des trous noirs de polaritons [Recati 09,Solnyshkov 11,Larré 12],ou encore la phase de Berry [Shelykh 09]. À ce titre, il est a prévoir que les polaritons ontencore un bel avenir devant eux et qu’ils n’ont pas fini de livrer tous leurs mystères.

Annexe A

Spin des excitons

Dans un semi-conducteur à gap direct III-V, les électrons de conduction font partied’une couche s et ont par conséquent un moment orbital nul et un moment angulaire totalJc = 1

2 . Les deux états accessibles aux électrons de conduction sont alors (Jc, Jzc ) = (1

2 , 12)

et (Jc, Jzc ) = (1

2 , −12). Les électrons de la bande de valence font en revanche partie d’une

couche p et leur moment angulaire total peut alors être Jv = 2 ou Jv = 1. Comme il l’a étérappelé dans le chapitre 1.4.4 le couplage spin-orbite induit un clivage entre les énergiesdes électrons de valence Jv = 2 et Jv = 1, qui nous permet de ne pas tenir compte de labande Jv = 1 appelée split-off band. Les différents états accessibles aux électrons de valencesont (Jv, Jz

v ) = (32 , ±3

2) (électrons de valence lourds) et (Jv, Jzv ) = (3

2 , ±12) (électrons de

valence légers). Un trou de la bande de valence a le même moment angulaire total queson électron associé mais une projection selon z opposée (Jh = Jv, Jz

h = −Jzv ). On parlera

alors de trous lourds (hh) et de trous légers (lh). Selon les règles d’addition des momentsangulaires, un exciton constitué d’un électron de la bande de conduction et d’un trou dela bande de valence de moment angulaire total Jh = 3

2 peut avoir un moment angulairetotal Jexc = 2, 1 et une projection de son moment angulaire selon z Jz

exc = ±2, ±1, 0. Onpeut écrire chacun des états excitoniques (Jexc, Jz

exc) dans la base des moments angulairesdécouplés (Jz

h , Jzc ) :

(2, 2) =(

32

,12

)

(A.1)

(2, 1) =

√3

2

(

12

,12

)

+12

(

32

, −12

)

(A.2)

(2, 0) =

√2

2

(

12

, −12

)

+

√2

2

(

−12

,12

)

(A.3)

(2, −1) =

√3

2

(

−12

, −12

)

+12

(

−32

,12

)

(A.4)

(2, −2) =(

−32

, −12

)

(A.5)

(1, 1) =

√3

2

(

32

, −12

)

− 12

(

12

,12

)

(A.6)

(1, 0) =

√2

2

(

12

, −12

)

−√

22

(

−12

,12

)

(A.7)

(1, −1) =

√3

2

(

−32

,12

)

− 12

(

−12

, −12

)

(A.8)

104 Annexe A. Spin des excitons

On ne s’intéresse ici qu’à des excitations à un photon, or le processus de photoabsorptionconserve le moment angulaire : seuls les états excitoniques de moment angulaire totalJexc = Jph = 1 sont optiquement actifs. Les états Jexc = 2 optiquement inactifs sontappelés états noirs ou dark states. On peut également exprimer ces règles de sélectionpar une représentation des transitions bande à bande. Rappelons que la création d’untrou de moment angulaire Jz

h correspond à l’excitation d’un électron de moment angulaireJz

v = −Jzh . Les configurations de polarisation sont représentées sur la figure A.1 dans la

représentation des transitions bande a bande.

e

hh

lh

Figure A.1 – Configurations de polarisation dans la représentation bande a bande. epour électron, hh pour trous lourds, lh pour trous légers. La flèche de la transition en vert(lh, 1

2) → (e, 12) pour une polarisation linéaire.

La bande des trous légers ayant une énergie plus basse que la bande des trous lourdsdans un puits quantique, les seuls excitons optiquement actifs du système seront la paire(Jz

h = 32 , Jz

c = −12) excitée par un photon de moment angulaire Jz

ph = +1 et la paire(Jz

h = −32 , Jz

c = 12) excitée par un photon de moment angulaire Jz

ph = −1.

Annexe B

Reconstruction de la phase despolaritons

Nous avons dit dans la section 2.2.2 que la phase du condensat de polaritons estconservée lors de l’interaction avec le champ électromagnétique. Ainsi il suffit de déterminerla phase de l’émission de la microcavité pour avoir directement accès à la phase du fluide depolaritons. Afin d’extraire cette phase nous utilisons un interféromètre de Mach-Zehnder etune technique appelée holographie digitale hors-axe (off-axis digital holography) [Kreis 96].Définissons Es le signal de la microcavité d’amplitude Es0 et de phase θs :

E0(r) = Es0(r)eiθs(r) (B.1)

Alors que ce signal est envoyé sur un bras de l’interféromètre, un faisceau de référence à lamême énergie, de phase homogène Er = Er0eiθr est envoyé sur le second bras de l’interfé-romètre. Le signal de référence peut être généré de plusieurs façon : on peut directementsélectionner une partie du faisceau laser d’origine, ou on peut également sélectionner spa-tialement une petite zone du signal de la microcavité puis l’agrandir. On peut en effetconsidérer que les variations spatiales de la phase sont suffisamment faibles et que le si-gnal ainsi obtenu possède une phase homogène. La figure d’interférence formée par lesdeux signaux formant un angle α est collectée sur une caméra CCD. L’intensité détectéeET sur la caméra est proportionnelle à :

ET = 〈(Es + Er)2〉 = 〈E2s0 + E2

r0 + 2Es0Er0 cos(θs − θr + δ(α, r))〉 (B.2)

où δ est la différence de phase induite par les différences géométriques (longueur des bras,angle des miroirs, focales des lentilles) entre les deux composantes. Ce terme est respon-sable de l’apparition de franges d’interférences et éventuellement d’une structure en an-neaux. A l’aide d’un logiciel de traitement de données comme Matlab on peut alors réaliserla transformée de Fourier de la figure d’interférence. La présence de franges d’interférencesinduit l’apparition de deux termes hors axe. On peut alors isoler une de ces contributions,et réaliser la transformée de Fourier inverse. On obtient alors une image complexe égale àI1 = e±i(θs−θr+δ), le signe dépendant de quel terme hors axe a été conservé lors du pro-cessus de filtrage dans l’espace réciproque. Il suffit de mesurer la valeur de δ pour pouvoiravoir accès aux variations spatiales de phase θs.

Pour mesurer δ il suffit d’effectuer de nouveau cette opération en remplaçant le faisceaude sortie de la microcavité par un faisceau de phase homogène. En pratique, la microcavitésemi-conductrice n’occupe pas toute la surface de la fenêtre de transmission du porteéchantillon, et il est possible de déplacer l’échantillon en dehors du faisceau de pompe, qui

106 Annexe B. Reconstruction de la phase des polaritons

entre donc dans l’interféromètre sans avoir traversé la microcavité, et en ayant conservéson profil de phase homogène. En procédant de la même manière dans ces conditions, onpeut extraire le terme I2 = e±i(a+δ) où a est une constante. On peut maintenant obtenirles variations de phase en effectuant l’opération :

I1

I2= ei(θs−θr−a) = ei(θs−θ0) (B.3)

où θ0 est un terme de phase constant dans l’espace n’ayant aucune incidence physique(terme de phase global). La fonction Matlab ’angle’ permet alors de récupérer la fonctionθs − θ0.

Dans les chapitres 4 et 5 nous n’avons pas mesuré directement la valeur de δ. Pourobtenir les images de la phase nous avons supposé δ de la forme :

δ(r) = ei(k0·r+( r

R0)2) (B.4)

où k0 et R0 sont des constantes que nous avons déterminé en accord avec les simulationsthéoriques.

Annexe C

Anneaux de spin

J’ai participé durant mon travail de thèse à la réalisation expérimentale de la proposi-tion théorique de la référence [Shelykh 08], consistant à réaliser des anneaux de polaritonspolarisés circulairement (spin rings) en utilisant un laser continue polarisé elliptiquement.Cette expérience démontre à la fois la multistabilité en polarisation des polaritons, et al-liée à un laser pulsé, peut constituer un interrupteur de polarisation dont le principe peutêtre utilisé pour créer des dispositifs de mémoire optique. Cette expérience ayant déjà étérapportée dans la thèse de Claire Adrados [Adrados 11], je me contente ici de rapporterl’article publié dans Physical Review Letters.

Spin Rings in Bistable Planar Semiconductor Microcavities

C. Adrados,1 A. Amo,1 T.C. H. Liew,2 R. Hivet,1 R. Houdre,3 E. Giacobino,1 A.V. Kavokin,4 and A. Bramati1

1Laboratoire Kastler Brossel, Universite Pierre et Marie Curie-Paris 6, Ecole Normale Superieure et CNRS,

UPMC Case 74, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France2Institute of Theoretical Physics, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, CH-1015, Lausanne, Switzerland

3Institut de Physique de la Matiere Condensee, Faculte des Sciences de Base, batiment de Physique,

Station 3, EPFL, CH 1015 Lausanne, Switzerland4Physics and Astronomy School, University of Southampton, Highfield, Southampton, SO171BJ, United Kingdom

(Received 20 July 2010; revised manuscript received 22 September 2010; published 15 November 2010)

A remarkable feature of exciton-polaritons is the strongly spin-dependent polariton-polariton

interaction, which has been predicted to result in the formation of spin rings in real space [Shelykh et al.,

Phys. Rev. Lett. 100, 116401 (2008)]. Here we experimentally demonstrate the spin bistability of

exciton polaritons in an InGaAs-based semiconductor microcavity under resonant optical pumping. We

observe the formationof spin ringswhose sizecanbefinelycontrolled ina spatial scale down to themicrometer

range, much smaller than the spot size. Demonstration of optically controlled spin patterns in semiconductors

opens way to the realization of spin logic devices and spin memories.

DOI: 10.1103/PhysRevLett.105.216403 PACS numbers: 71.36.+c, 42.65.Pc, 72.25.Fe

Spin-dependent particle-particle interactions give rise to

a rich variety of effects in nonlinear optics [1,2]. They are

of particular interest in semiconductors, due to the high

integrability capabilities, microstructuring, and easy elec-

tric and optical control in these materials [3]. However,

spin-dependent interactions in semiconductors are very

weak due to the dominant role of the direct Coulomb

interaction. The use of semiconductor microcavities in

the strong exciton-light coupling regime allows for obser-

vation of spin-dependent nonlinear effects, such as spin-

dependent energy shifts and multistability, at very low

pumping power [4,5].

Polaritons are the eigenstates in semiconductor micro-

cavities, arising from the strong coupling between quantum

well excitons and confined photon modes. They have two

possible spin projections on the structure’s axis (sz ¼ þ1

and 1), and can be excited, and detected, via circularly

polarized photons (þ and , respectively).

The main signature of the strong coupling is the appear-

ance of a normal-mode (Rabi) splitting between polariton

modes [6]. This splitting gives rise to a strong asymmetry

in the interaction strength between polaritons of the same

and opposite spin [7–9]. Polaritons with parallel spins

lying at the bottom of the dispersion curve strongly repel

each other due to the Coulomb exchange interaction be-

tween electrons and between holes (interaction strength

1). On the other hand, in the antiparallel spin configura-

tion the exchange interaction would result in intermediate

states in which the total spin of each exciton is 2, thus

being uncoupled to the photon modes, and lying at the

exciton level located at a quite different energy to that of

the considered polaritons. For this reason, this interaction

process is strongly inhibited, resulting in a reduced anti-

parallel spin polariton-polariton interaction strength 2

(1 j2j) [5,10] which, additionally, should be attrac-

tive according to second order perturbation theory [7,8].

This mechanism can be enhanced by biexcitonic effects

[7]. In this work, we take advantage of the strongly spin-

dependent polariton-polariton interactions, in the regime of

spin-bistability [4,11], to control the polariton spin state on

a spatial scale much smaller than the size of the optical

excitation spot. Following the recent proposal by Shelykh

et al. [12] we demonstrate the creation of ‘‘spin rings’’

within the excitation spot, whose size can be finely tuned

by the intensity and degree of circular polarization of the

excitation beam. Additionally, we demonstrate nonlinear

interactions between polariton populations of opposite

spin, a consequence of the nonvanishing value of 2,

whose magnitude and sign we precisely determine for

our experimental conditions. Our results are well repro-

duced by the solution of the spin-dependent Gross-

Pitaevskii equation (GPE) for the polariton system [13,14].

Our experiments are performed at 6 K in an InGaAs/

GaAs/AlGaAs planar microcavity with a Rabi splitting of

5.1 meV, and a polariton linewidth of 0.1 meV at zero

exciton-cavity detuning [15]. The excitation is performed

at normal incidence with a polarized beam of controlled

ellipticity coming from a cw single-mode Ti:sapphire laser,

in a Gaussian spot of 38 m in diameter. We measure the

polarization resolved transmitted light [16].

When the sample is excited with þ polarized light with

photon energy 0.124 meV blue-detuned from the lower

polariton branch (LPB), we observe a steplike behavior

in the transmitted intensity versus the excitation density,

with a hysteresis cycle [Fig. 1(a)] giving rise to a bistable

region [11], between excitation densities D1 and D2. This

nonlinear transmission arises from the renormalization

of the dispersion curve when the polariton density is

PRL 105, 216403 (2010) P HY S I CA L R EV I EW LE T T E R Sweek ending

19 NOVEMBER 2010

0031-9007=10=105(21)=216403(4) 216403-1 2010 The American Physical Society

increased via the excitation power. When the system is in

the off state (lower bistable branch), the transmitted inten-

sity is low as the excitation is out of resonance. However,

above a given threshold, polariton-polariton interactions

give rise to the energy renormalization of the system, and

the þ-LPB enters in resonance with the excitation laser,

resulting in a high transmission (on state). An analogous

curve would be obtained for polarized excitation.

The data displayed in Fig. 1(a) correspond to the trans-

mission in the center of the spot under purely þ polarized

excitation. Let us now consider a spot with a Gaussian

spatial profile and elliptically polarized excitation. We can

divide the excitation spot into two circularly polarized

components: , in a larger proportion, and þ, as de-

picted in Fig. 1(b). We observe that the D1 threshold

density between the off and on states is not reached in

the whole spot at the same time: D1 is reached at a radius

r for the profile, which is bigger than the radius rþ for

the þ profile at the same density. Within these radii the

transmission in each polarization is in the on state, with a

large density, while outside it is very low (off state). This is

what is observed in Fig. 1(c) for an ellipticity of excitation

(phase shift between the x and y linearly polarized

components of the incident light) equal to 0:2 rad

(70% , 30% þ), and two different excitation powers.

This effect, which arises from the Gaussian distribution of

our excitation spot and from the sharp transition from the

off to the on state for each polarization, leads to the

appearance of a ring in the spatial profile of the transmitted

beam with a degree of circular polarization c close to1

[c ¼ ðIþ IÞ=ðIþ þ IÞ, IþðÞ being the þ ()

transmitted intensity], as shown in the insets of Fig. 1(c).

The spin ring, whose size is delimited by rþ and r, is adomain in which the majority of polaritons have the same

spin, corresponding to polarization of emission.

The radius and thickness of the spin ring can be modified

by changing, respectively, the total power or the ellipticity

of the excitation beam. In the first case, once the center of

the spot overcomes the threshold density D1 with the

minority polarization, a spin ring is formed. As the power

is increased, both rþ and r increase in size, but the

thickness of the ring (rþ and r) does not change notice-ably, as evidenced in the insets of Fig. 1(c).

Fine control on the thickness of the spin rings can be

obtained by changing the ellipticity of the excitation beam,

as the ratio between the þ and excitation components

changes. When the polarization of excitation is close to

linear ( close to 0), the ratio between the þ and

components is almost 1, resulting in similar radii and,

consequently, very narrow rings. On the contrary, when

the ellipticity of excitation approaches =2, the excita-

tion beam is almost purely circularly polarized, leading to a

big difference between the radii of both circularly polar-

ized components: the spin rings are wide. This is what is

observed in Fig. 2(a), which shows the thickness of the spin

rings obtained as a function of the ellipticity of the excita-

tion beam for a power of 77.4 mW. Real-space images of

c corresponding to selected ellipticities are also shown in

Fig. 2(a), panels I–VI. In the middle of the spot, c is

almost zero, and it reaches very high values in the ring

region. In the external part of the spot, where the trans-

mitted intensity is very low, additional rings are observed.

When the ellipticity approaches zero we observe a shrink-

age of ring thickness, with a minimum value of 3 m,

more than 1 order of magnitude smaller than the spot size.

The fact that the minimum ring size is not obtained for

strictly linearly polarized excitation, and the asymmetry

observed in Fig. 2 around ¼ 0, arise from the presence of

an intrinsic weak polarization splitting in our sample,

which slightly rotates the pseudospin of injected polaritons

[17]. Simulations based on the spin-dependent GPE

accounting for this intrinsic splitting [14] quantitatively

reproduce our observations, as Fig. 2(b) shows.

In order to understand the results presented in Figs. 1

and 2, we have assumed that 2 is negligibly small, con-

sistent with previous observations [10,18]. However, the

FIG. 1 (color online). (a) Measured (dots) and computed (solid lines) transmission dependence at the center of the spot as a function

of excitation density for a purely þ beam. Inset: real-space image in the on state. (b) Computed cross sections passing through the

center of a Gaussian spot for the þ and components of an elliptically polarized beam ( ¼ 0:2 rad) at two different powers.

(c) Experimental profiles of the transmitted intensity resulting in spin rings, as evidenced in the spatially resolved degree of

polarization shown in the inset (rings are signaled in white traces). Dashed lines: coordinate from where the profiles in (c) were

obtained.


19 NOVEMBER 2010

216403-2

actual value of 2 plays an important role when a high

density of both sz ¼ þ1 and sz ¼ 1 polaritons is simul-

taneously present in a given region of the sample. This is

evidenced in Fig. 3(a), where the transmitted intensity in a

small region of 13 13 m in the center of the spot,

resolved into its þ and components, has been traced

with respect to the ellipticity of the excitation beam in

the conditions of Fig. 2. Let us now analyze in detail the

curve [blue in Fig. 3(a)]. Here the argument will

be equivalent for the þ curve. When is close to

=2, the excitation is purely . As the excitation

density is significantly bigger than D1, spin-down polar-

itons lie on the on state, the sz ¼ 1 polariton energy is

renormalized to be in resonance with the excitation laser,

and the transmitted intensity for the polarization is

high. On the contrary, spin-up polaritons are in the

off state. When the ellipticity of excitation is increased to

¼ 0:21 rad, the amount of spin-up polaritons is big

enough to induce a renormalization of the sz ¼ þ1 branch

such that the þ component also jumps to the on state.

However, they do it to a value of transmitted intensity

which is lower than that of the polaritons at ¼=2, and simultaneously, the transmission decreases

significantly. This is a direct consequence of the effective

interaction between polaritons of the opposite spins, as also

reported in [5]. At k ¼ 0, the energy of the sz ¼ 1 polar-

itons is given by

E ¼ ELPðk ¼ 0Þ þ 1jj2 þ 2jj

2 i@

2; (1)

where ELP is the energy of the LPB in the absence of

optical excitation, jj2 is the sz ¼ 1 polariton density,

and the polariton lifetime. Indeed, due to the nonzero

value of 2, the presence of a large population of spin-up

polaritons for ¼ 0:21 rad leads to the change in

energy of the spin-down polaritons given by Eq. (1), forc-

ing them out of resonance with the excitation beam, and

inducing the decrease of the transmitted intensity. For

the same reason, spin-up polaritons do not reach the high

transmitted intensity value expected if 2 ¼ 0, which is

sketched in dashed lines in Fig. 3(a). At a value of

¼ 0:22 rad, spin-down polaritons fall to the off state,

resulting in an increase of the transmitted intensity of the

þ polarization, as now the spin-up polariton energy

reaches the resonance. When changing the ellipticity in

the backward direction, we observe the same phenomena,

with slightly different thresholds for the jumps to the on or

off state ( ¼ 0:25 and 0:2 rad), due to the hysteretic

behavior of our system.

Figure 3(b) shows the degree of circular polarization

corresponding to Fig. 3(a) [see Figs. 3(c) and 3(d) for the

corresponding simulations], where we observe that even

with a nonzero value of 2, our system works as a very

efficient polarization rectifier, with three possible output

states: , linearly, and þ polarized.

In Figs. 3(a) and 3(b) we have evidenced the effects of a

nonzero value of 2. In Fig. 4 we show an experiment that

allows us to calculate its absolute value and sign. In this case

FIG. 2 (color online). Thickness of the spin ring vs ellipticity of the excitation beam () as obtained (a) experimentally and (b) from

the simulations. The colored regions indicate the ellipticities for which the whole spot is purely þ or (see inset). Surrounding

images show the transmitted degree of circular polarization, spatially resolved, for selected values of .

FIG. 3 (color online). Polarization resolved (a) experimental

and (c) theoretical dependence of the transmitted intensity with

the ellipticity of the incident beam, at high excitation power.

The arrows mean forward and backward when changing . Thedotted lines represent the expected behavior if 2 ¼ 0. The

degree of circular polarization corresponding to (a) and (c) is

depicted in (b) and (d), respectively.


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216403-3

we have a probe beam, blue detuned by 0.2 meV from

ELPBðk ¼ 0Þ, whose power dependence is shown in the insetof Fig. 4(a). We set the power of this probe to the value

indicated by the circle, below the lowest point of the hys-

teresis region. Therefore, the probe beam alone would keep

the system in the off state. Now we add a þ pump beam,

spatially overlapping the probe, whose density is varied.

This is what is shown in Fig. 4(a). The high density of þ

pump polaritons at point Q1 (on state) induces the renor-

malization of the polariton energy [as given by Eq. (1)],

rendering polaritons to the on state. This is a clear

indication that the sign of the effective 2 in our conditions

is positive (repulsive interaction). A fitting of Eq. (1) to the

data shown in Fig. 4(a) is depicted in Fig. 4(b). By perform-

ing similar fittings to analogous experiments for different

probe powers, we obtain an effective2 ¼ þ0:151,which

is the value employed in the simulations based on the spin-

dependent GPE presented in Figs. 2(b), 3(c), and 3(d). This

result seems to be at odds with recent theoretical [4,7–9,19]

and experimentalworks performed in the optical parametric

scattering regime [10,19–21], but in reality it is not, as the

effective 2 may be influenced by a large fraction of dark

incoherent excitons which contribute equally to the energy

shift in þ and polarizations [22]. Under coherent

excitation, the presence of incoherent excitons can intro-

duce an additional damping mechanism [22]. This effect,

which we have neglected in our model, can cause a reduc-

tion of the transmitted intensity at high pump powers as

observed experimentally [Fig. 4(a)], but does not prevent

spin switching and the observation of spin rings. See [14] for

further considerations. Our results are in agreement with

recent reports under normal incidence pumping in similar

microcavities [5,22]. Further experiments are needed to

measure the concentration of incoherent quasiparticles in

our system.

In this work we have demonstrated the optical creation

of spin ring domains in bistable semiconductor microcav-

ities, whose size can be controlled down to the micrometer

scale, well below the spot size. This arises from the

strongly spin-dependent polariton-polariton interactions,

an exceptional property of microcavity polaritons coming

from their spin structure and strong light-matter coupling.

Our results bring the polariton system closer to the imple-

mentation of integrated spin transistors [23] and logic

circuits [24,25] with very low thresholds and high potential

operation speeds [26].

We thank M.M. Glazov, D. Krizhanovskii, T.

Ostatnicky, and M. Vladimirova, for fruitful discussions.

This work was supported by the ANR (GEMINI 07NANO

07043) and IFRAF. T. L. was supported by NCCR

Quantum Photonics. A. B. is a member of the IUF.

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[13] I. A. Shelykh et al., Phys. Rev. Lett. 97, 066402 (2006).

[14] See supplementary material at http://link.aps.org/

supplemental/10.1103/PhysRevLett.105.216403 for the

parameters employed in the spin-dependent Gross-

Pitaevskii model, and a discussion on the evaluation of 2.

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[23] R. Johne et al., Phys. Rev. B 81, 125327 (2010).

[24] T. C. H. Liew, A. V. Kavokin, and I. A. Shelykh, Phys. Rev.

Lett. 101, 016402 (2008).

[25] T. C. H. Liew et al., Phys. Rev. B 82, 033302 (2010).

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0 30 60 90 120

σ+

pump power (mW)

Detection:

0 30 60σ

−

probe power (mW)

σ−

σ+

probe only(a)

(b)

Tra

nsm

itte

din

tensity

(arb

. units)

Q2

Q1

FIG. 4 (color online). (a) Experimental and (b) simulated

polarization resolved transmission for a þ pump whose power

is varied in the presence of a probe of fixed power (indicated

by a circle in the inset, which shows a power dependence of the

probe alone).


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216403-4

Publications et présentationsorales

Publications

2013 Shaping and Washing-out of Vortex Lattices in Polariton Quantum Fluids(R. Hivet, E. Cancellieri, D. Ballarini, T. Boulier, D. Sanvitto, F. M. Marchetti, M.H. Szymanska, C. Ciuti, E. Giacobino, A. Bramati), soumis , 2013.

2012 Half-solitons in a polariton quantum fluid behave like magnetic mono-poles (R. Hivet, H. Flayac, D. D. Solnyshkov, D. Tanese, T. Boulier, D. Andreoli,E. Giacobino, J. Bloch, A. Bramati, G. Malpuech, A. Amo), Nature Physics, volume8, pp. 724-728, 2012.

2011 All-optical control of the quantum flow of a polariton condensate (D.Sanvitto, S. Pigeon, A. Amo, D. Ballarini, M. De Giorgi, I. Carusotto, R. Hivet, F.Pisanello, V. G. Sala, P. S. S. Guimaraes, R. Houdré, E. Giacobino, C. Ciuti, A.Bramati, G. Gigli), Nature Photonics, volume 5, pp. 610-614, 2011.

2011 Polariton superfluids reveal quantum hydrodynamic solitons (A. Amo, S.Pigeon, D. Sanvitto, V. G. Sala, R. Hivet, I. Carusotto, F. Pisanello, G. Lemenager,R. Houdre, E. Giacobino, C. Ciuti, A. Bramati), Science, volume 332, pp. 1167-1170,2011.

2010 Spin Rings in Bistable Planar Semiconductor Microcavities (C. Adrados,A. Amo, T. C. H. Liew, R. Hivet, R. Houdré, E. Giacobino, A. V. Kavokin, A.Bramati), Physical Review Letters, volume 105, pp. 216403, 2010.

Présentations orales

08/2012 Journées de la Matière Condensée, Montpellier, France. Demi-Solitonsdans un Fluide Polaritonique : Des Monopôles Magnétiques.

05/2012 Conference on Lasers and Electro-Optics, San Jose, USA. Half-Solitonsin Polariton Quantum Fluyids : Analogues of Magnetic Monopoles.

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