halliday 2

LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 3 deAgostode2003, as10:14a.m.

ExercıciosResolvidosdeDinamica Classica

JasonAlfr edoCarlson Gallas,professortitular de fısicateorica,

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fısica

MateriaparaaQUARTA prova. Numerac¸aoconformeaquarta edicaodo livro“FundamentosdeFısica”,Halliday, ResnickeWalker.

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Conteudo

14 Capıtulo 14- OSCILAC OES 2

14.1 QUESTIONARIO . . . . . . . . . . . . 214.2 EXERCICIOSE PROBLEMAS . . . . 214.3 PROBLEMAS ADICIONAIS . . . . . 8

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14 Capıtulo 14 - OSCILAC OES

14.1 QUESTIONARIO

2. Quandoa massa�� e suspensade umadetermina-da mola A e a massamenor �� e suspensada molaB, as molassao distendidasda mesmadistancia. Seossistemasforemcolocadosemmovimentoharmonicosimplesverticalcomamesmaamplitude,qualdelesteramaisenergia?� Daequaçaodeequilıbrio paraumcorposuspensodeumamola, �� , concluimosque � �� . A

energiadoosciladore � �� , portanto� � � � � .4. Suponhamosqueum sistemaconsisteemum blocode massadesconhecidae umamola de constantetam-bem desconhecida.Mostre como podemosprever operıododeoscilacaodestesistemabloco-molasimples-mentemedindoa extensaoda molaproduzida,quandopenduramoso bloconela.� No equilıbrio temos �� . O perıodo doosciladore � �"!$# % � , ondea razaodesconhecida% �podesersubstituıdapelarazao &(') .

5. Qualquermola real tem massa.Seestamassaforlevadaem conta,explique qualitativamentecomo istoafetarao perıododeoscilacaodosistemamola-massa.�7. Que alteracoes voce pode fazer num osciladorharmonico paradobrara velocidademaxima da mas-saoscilante?� A velocidademaximado osciladore * % ,+.- % .As possibilidadesdeduplicaressavelocidadeseriam(i)duplicandoa amplitude- % , (ii) trocara moladecons-tante � poroutradeconstante/ � , (iii) trocara massa�poroutramassa��0 / . Claro,hainumeraspossibilidadesdealterar� e � tal que +213 �"+ .

10. Tente prever com argumentosqualitativos se operıododeumpenduloira aumentarou diminuir, quan-dosuaamplitudefor aumentada.

� Para pequenasamplitudes,o pendulo e isocrono,isto e, o perıodo nao dependeda amplitude. Contudo,quandoas oscilacoesse dao a angulosmaiores,paraos quaisa aproximaçao 4�576�8,9:8 ja nao e valida,operıodotorna-seumafuncaocrescentede 8"; , o angulodemaximoafastamentodaposicaodeequilıbrio. Umadiscussaointeressantea esserespeitoesta feitanovolu-me � , capıtulo < doMoysesNussenzveig.

11. Um pendulosuspensodo teto de uma cabinedeelevador tem um perıodo T quandoo elevador estaparado. Como o perıodo e afetadoquandoo eleva-dor move-se(a) paracima com velocidadeconstante,(b) parabaixo com velocidadeconstante,(c) parabai-xo com aceleraçao constanteparacima, (d) paracimacomaceleraçaoconstanteparacima,(e) paracimacomaceleraçao constanteparabaixo = � � , e (f) parabai-xo com aceleraçao constanteparabaixo = � � ? (g)Em qualcaso,seocorreemalgum,o penduloosciladecabeçaparabaixo?�16. Um cantor, sustentandouma nota de frequenciaapropriada,podequebrarumatacadecristal,seesteforde boaqualidade. Isto nao podeser feito, seo cristalfor debaixaqualidade.Expliqueporque,emtermosdaconstantedeamortecimentodovidro.� O cristal da taca e um sistemaoscilantefortementeamortecido.Quandoumaforca externaoscilantee re-movida,asoscilacoesdepequenaamplitudeno sistemadiminuemrapidamente.Para uma forca externaosci-lantecujafrequenciacoincidacomumadasfrequenciasde ressonanciada taca, a amplitudedas oscilacoes elimitadapeloamortecimento.Mas,quandoa amplitudemaximae atingida,o trabalhoefetuadopela forca ex-ternasuperao amortecimentoe a taca podeentaovir aromper-se.

14.2 EXERCICIOS E PROBLEMAS

Secao14-3MovimentoHarmonicoSimples:A Lei deForca

3E. Um bloco de /?>A@B@ kg esta suspensode umacertamola,estendendo-sea C7DE>A@ cm alemdesuaposicaoderepouso.(a) Qual e a constanteda mola? (b) O bloco



e removido e um corpocom @E>GFH@B@ kg e suspensodamesmamola. Seestafor entao puxadae solta,qual operıododeoscilacao?� (a) No equilıbrio, a forca exercidapelamolae igualaopesodamassa.Entao�$ �� JI /?>A@K@ML ION >APQC7L@QRSC7D T� /MF N/m

(b) O perıodosera

� T�H!$U � � V�"! U @ERWFH@K@� /XF @E> � P s

10E.Umamassade FH@Q>A@ g e presaa extremidadeinfe-rior deumamolaverticale colocadaemvibracao. Seavelocidademaximada massae C7FE>A@ cm/se o perıodo@E>GFH@B@ s, ache(a) a constantede elasticidadeda mola,(b) a amplitudedo movimento e (c) a frequenciadeoscilacao.� Aı temosum exercıcio que e aplicacao direta de”f ormulas”:(a) +� �H!� �"!@E>GFH@K@ C � >GFBY rad/s�$Z+ � �[ I C � >GFBYKL � I @E>A@MFH@ML YX> N @ N/m

(b) � % * %+ @E>\C]FC � >GFBY @Q>A@EC � m

(c) ^ �`_ � � >A@ Hz

16E.Um corpooscilacommovimentoharmonicosim-plesdeacordocoma equac¸ao-� I DE>a@ mLcb�dH4fe I < ! rad/sLhg(i !j0 < radklREm g �� >A@ s, quaissao (a) o deslocamento,(b) a ve-locidade,(c) a aceleracao e (d) a fasedo movimento?Tambem, quaissao (e) a frequenciae (f) o perıodo domovimento?� (a)- I g � >A@ML I DE>A@MLmb�dH4 I D ! i ! < L <Q>A@ m(b)* I g T� >a@BL �n I < ! L I DE>a@BL347576 I D ! i ! < on / N m/s

(c)= I g � >A@ML pn I < ! L � I DQ>A@MLqb�dH4 I D ! i ! < L �nr� DKDE>GF m/s�

(d)

fase D ! i ! < C N !<(e) ^ +�"! < !�H! CK>GF Hz

(f) � ^ _ � @Q>ADXY sR20P. Um bloco de � >A@B@ kg esta suspensode umacertamola.Sesuspendermosumcorpode <B@K@ g embaixodobloco,a molaesticara mais � >A@K@ cm. (a) Quala cons-tantedamola? (b) Seremovermoso corpode <K@B@ g eo bloco for colocadoem oscilacao, acheo perıodo domovimento.� (a) Para calcular a constanteda mola usamosa condicao de equilıbrio com a segundamassa,res-ponsavel peladeformac¸aoadicionaldamola:� 1 �sT�c- 1I @Q>A<K@B@BL ItN >aPEC]L V� I @Q>A@ ��$ C7FH@ N/m

(b) Calculadaa constantedamola,vamosaoperıodo:� T�"!$U � �� V�"! U � >A@B@C]FH@ @E>uY"< s

26P. Um bloco esta numasuperfıcie horizontal (umamesaoscilante),queseagitahorizontalmentenummo-vimento harmonico simplescom a frequenciade � >a@Hz. O coeficientede atrito estatico entreo bloco e asuperfıcie e @E>aF . Qual podesera maior amplitudedoMHS, paraqueo bloconaodeslizesobrea superfıcie?� A forca responsavel pelaoscilacaonaodeveexcedera forca maximadoatritoestatico:�c- % Tvxwa�y�+ � - % zvxwa�/ ! � ^ � - % Zvxwa�- % vxwG�/ ! � ^ �



- % <Q>\C7@ cm

30P. Certamola semmassaesta suspensado teto comum pequenoobjeto presoa sua extremidadeinferior.O objeto e mantido inicialmenteem repouso,numaposicao �K{ tal quea molanaofiqueesticada.O objetoeentaoliberadoeoscilaparacimaeparabaixo,sendosuaposicaomaisbaixa C7@ cm de �K{ . (a) Quala frequenciada oscilacao? (b) Qual a velocidadedo objetoquandoesta PE>a@ cmabaixodaposicaoinicial? (c) Um objetodemassade <K@B@ g e ligadoaoprimeiroobjeto;logo apos,o sistemaoscila com metadeda freq’uenciaoriginal.Quala massadoprimeiroobjeto?(d) Comrelacaoa � { ,ondeeo novo pontodeequilıbrio (repouso)comambososobjetospresosa mola?� (a)Osdadosdoproblemasugeremo usodoprincıpiodaconservacaodaenergia. Colocamoso referencialpa-raaenergiapotencialgravitacionalnaposicaomaisbai-xa: ��M�s �X� ��]�.z+ � �+�|U �"��+� C\/ rad/s

(b) Ainda trabalhandocom a conservacao da energia,mudamoso referencialagoraparaa posicao a PE>a@ cmabaixode �B{ : �y�X� 1 � * �� i �X�c1 ��]�X� 1 n}+ � � 1 � * �* @E>GFHD m/s

Tambempodemoschegara esteresultadopelaequac¸aode movimento. A amplitudedo MHS subsequentee� % @E>A@MF m e tomandog @ quandoa massaestaem � { , temosaconstantedefase~ @ :� I g�L Z� % b�dH4 + gn @Q>A@B< @E>A@MF�b�dH4 + gb�dH4 + g T� > � C�/B< rad

Paraa velocidadedamassa,* I g�L �n�+s� % 47576 + g* I C\/XL I @Q>A@MFKL�47576 I � > � C�/B<ML �n @Q>aFHD m/s

O sinal negativo indica que a massaesta abaixo daposicao de equilıbrio, dirigindo-separa a posicao demaximoafastamento,do ”lado negativo”.(c) Paradeterminara massadoprimeiroobjetoligadoamola,usamosa relacao �$T�y+ � , tomando+21xZ+�0H� :�$ I � i � 1 L + 1 ��y+ � I � i � 1 L + �/�� @E>�C�@ kg

(d) Quandoasoscilacoesacontecemcomambososob-jetospresosa mola,a posicaodeequilıbrio do sistemapassaa ser I � i � 1 L �$ I � i � 1 L + 1 � � 1 1� 1 1 / �+ � @E> � @ m

33P. Duasmolasidenticasestao ligadasa um blocodemassa� eaosdoissuportesmostradosnaFig. C�/ n�� Y .Mostrequea frequenciadaoscilacaonasuperfıciesematrito e ^ C�"! U �2�� R� Qualquerdeslocamentoda massaproduzum igual �- dedistencaoecompressaodasmolas,tal queaforcaresultanteatuandonamassae�K�E �-�Z��+ � �-+ � �K��^ C�"! U �K��35P. Duasmolassaoligadaseconectadasadeterminadamassa� , comomostradonaFig. C\/ n� P . A superfıciee sematrito. Seambasasmolastiveremumaconstantedeforca � , mostrequea freq’uenciadasocilacaode �e ^ C�H! U ��"� R� Suponhamosqueasmolastem constantesdiferen-tes, � � e � � . Qualquerdeslocamentodamassaproduzadeformac¸ao -Q��z- � i - � , quetambempodemosescre-vercomo -Q��z� I C� � i C� � L ��Bwq��]{S��G��wh�"�tw



C� wq�q�]{��G�Swh�"�tw � � i � ��X��K�Paraa frequenciateremosentao^ C�H!T� �M��B�I � � i � � L �Considerandoasmolasiguais,com � � � � T� , vem^ C�"! U ��H�.

Secao 14-4 Movimento Harmonico Simples:ConsideracoesSobreEnergia

42E. Um objetode FE>A@K@ kg numasuperficie horizon-tal sematrito e ligadoa umamolacomconstanteC�@K@B@N/m. O objeto e deslocadoFH@Q>A@ cm horizontalmentee empurradoa umavelocidadeinicial de C7@E>a@ m/s, nadirecaodopontodeequilıbrio. (a)Quala frequenciadomovimento?Quaissao(b) aenergiapotencialinicial dosistemabloco-mola,(c) a energiacineticainicial e (d) aamplitudedaoscilacao?� (a)A frequenciadomovimentoe^ +�"! T� > � F Hz

(b) A energiapotencialinicial e�� Q �- �� I @E>GFH@ML I C7@K@B@BL I @E>GFKL � C � F J

(c) A energiacineticainicial e�$� � * ��$� I @E>GFKL I Fc>a@BL I C�@Q>A@ML � T� FH@ J

(d) Coma conservacaodaenergiatemos� �� i �$� �c- �%�-m @E>aPMY m

46P. Uma partıcula de <Q>A@ kg esta em movimentoharmonico simplesem uma dimensao e move-sedeacordocomaequac¸ao-V I Fc>a@ mLcb�dH4fe I !j0 < rad/sLqg n�!j0 / radk�R

(a) Em qualvalor de - a energia potencialdapartıculae igual a metadeda energia total? (b) Quantotempolevaparaquea partıculamova-separaestaposicao - , apartirdopontodeequilıbrio?�50P*. Um cilindro solido esta ligado a umamola ho-rizontal semmassade forma queele possarolar, semdeslizamento,sobreumasuperfıciehorizontal(Fig. 14-32). A constanteda mola � e <E>a@ N/m. Seo sistemafor liberadodeumaposicaoderepousoemquea molaestejaestendidade @Q> � F m, ache(a) a energia cineticatranslacionale (b) a energia cinetica rotacionaldo ci-lindro quandoele passapelaposicao deequilıbrio. (c)Mostrequenessascondicoeso centrode massado ci-lindro executaum movimentoharmonico simplescomperıodo � J�"! U <M��K� >onde � e a massado cilindro. (Sugestao: Achea deri-vadadaenergiamecanicatotalemrelacaoaotempo.)� A energiamecanicatotal doosciladore � �� X- �m.Com os dadosfornecidos,obtemos� @E>\C7@ J. Naposicaodeequilıbrio, aenergia total e so cinetica

� C� ��* � i C�s� + � RComoo cilindro rola semescorregar, * +2� e a ener-gia cineticarotacionalpodeserexpressaem termosdavelocidadelinear * :

� C� ��* � i C��I C� � � � L I *� L �� C� ��* � i C� I C� ��* � L

A energia cineticade rotacaovalea metadedaenergiacineticadetranslac¸ao.Portanto,(a)�

translacao @E>a@KDMY J

(b) �rotacao

@E>A@B<K< JR(c) Seguindo a sugestao do enunciado, a energiamecanicatotaldoosciladore� C� ��* � i C� � + � i C� �X- �



� C� ��* � i C� I C� � � � L I *� L � i C� �X- �� </ ��* � i C� �X- �Como a energia mecanicatotal e constante,�G�� @ .Usandonasduasparcelasdoladodireitodaequaçaoaci-maasrelacoesparaa posicao,velocidadee aceleraçaodoMHS, obtemos@ < � ��*�� *� g i �X- � -� g@ < � � I n�+�- m 47576 + g�L I n�+ � - m b�dH4 + g�LAi �X- m b�dH4 + g I n�+�- m 47576 + g�LAposasdevidassimplificacoes,resulta+ � �B�<B�Outra forma de se chegar ao perıodo pedidoe ”cons-truindo” a equaçaodiferencialquedescreve o MHS. Aforca resultanteatuandoe

�� -� g � �n��X-$n ^ atrito

A segundana lei na forma angularfornecea forca deatritoestatico� ^

atrito �B I C� � � � L I C� L � � -� g �âtrito

C� �¡� � -� g �Levandoesteresultadoparaaequaçaodaforcaresultan-te,vem I �¢i C� ��LH� � -� g � i �X-� @� � -� g � i �B�<B� -� @Na segundaparcelada equaçao acima, a quantidademultiplicando - e igual a + � , levandoao perıodo doMHS docilindro.

Secao14-5Um Oscilador HarmonicoSimplesAngu-lar

52P. Umaesferasolida de N F kg comum raio de C7F cme suspensadeum fio verticalpresoaotetodeumasala.Um torquede @E> � @ N.m enecessarioparagiraraesferadeumangulode @E>aPBF rad.Qualo perıododaoscilacao,

quandoaesferae liberadadestaposicao?� O momentodeinerciadaesferasolida e� �F � � � @E>aPBFKF kg.m�

A constantedetorcaodofio e£y�¤8 Fc>a@K< N.m/rad

O perıododasoscilacoesentaoe

� V�"! U �£ V� >GF N s

54P. A rodade balanco deum relogio oscilacomumaamplitudeangularde ! rad e um perıodo de @Q>aFH@ s.Ache (a) a velocidadeangularmaxima da roda, (b) avelocidadeangulardarodaquandoseudeslocamentoede !j0K� rad e (c) a aceleraçao angularda roda,quandoseudeslocamentoe de !j0 / rad.� (a) Assumimos,claro,queo movimentooscilatorioinicia naposicaodemaximodeslocamentoangular, demodoquea constantedefase¥ @ :+

max.z+ 8 m / ! � rad/s

(b) 8 I g�L 8 m b\dH4 + g! � z! b�dH4�/ ! g/ ! g ! < rad

LevamosesteresultadoparaaequaçaodavelocidadedoMHSA: + I g�L pn}+ � 8 m 47576 + g+��n / ! � 475�63@Q>aF pn <E>A/MF ! � rad/s

(c) Na equaçao para a aceleraçao angular, quando8 I g�L �¦§ rad, temos fI g�L on¨+ � 8 m b�dH4 + g fI g�L on / !3© rad/s� R

Secao14-6Pendulos

64E. Um pendulofısico consisteem um disco solidouniforme(de massa� e raio � ), suportadonum pla-noverticalpor umeixo localizadoa umadistancia� docentrododisco(Fig. 14-35).O discoedeslocadodeumpequenoanguloe liberado.Acheumaexpressaoparao



perıododomovimentoharmonicosimplesresultante.� Usamosaquidiretamentea equaçaoparao perıododo pendulofısico,masantesprecisamosaplicaro teo-remadoseixosparalelosparater o momentodeinerciadoeixoderotacaopassandopelopontosesuspensaododisco: � � cm i � � � C� � � � i � � �A expresaoparao perıodoentaoe

� �H! � � � i � � ��]� �69P. Uma hastecom comprimentoª oscilacomo umpendulofısico,comeixo no ponto « naFig. 14-37.(a)Deduzaumaexpressao parao perıodo do penduloemtermosde ª e - , a distanciado pontodesuspensaoaocentrodemassadopendulo.(b) Paraqualvalorde -m0 ªo perıodoe mınimo? (c) Mostreque,se ª CK>a@K@ m e�s N >aPK@ m/s

�, estemınimo e CB>aFH< s.� (a) Repetimosaqui o problemaanterior; com a

aplicacao do teoremadoseixosparalelosparaobteromomentodeinercia,temosparao perıodo:

� �H! � ª � iTC �H- �C �"�M-(b) Precisamosagoraderivaraexpressaodoperıodoemrelacao a variavel - e fazendoa derivadaigual a zero,obtemos � / - � ª � izC �"- �-ª U CC � @E> � P N(c) Aplicandoestevalor obtido, -� @E> � P N ª , e os de-maisdadosnaexpressaodo perıodoencontramoso va-lor � mın.

CB>aFK< s.

72P. Um pendulosimplesde comprimentoª e massa� esta suspensoemum carroqueesta viajandoa umavelocidadeconstante* , em um cırculo de raio � . Seo penduloexecutapequenasoscilacoes numadirecaoradialemtornodasuaposicaodeequilıbrio, qualseraasuafrequenciadeoscilacao?� Alem da forca gravitacional, o pendulo esta soba acao da forca centrıpetado movimentocircular uni-forme. Sua aceleraçao efetiva vale entao = efetiva

¬ � � i �G® � . A forca restauradorado MHS e � n�� = efetiva 475�6¯8 . Parapequenasoscilacoes, 475�6�8�9°8e fazendo8 ²±³ , podemosescreveraequaçaodoMHSparaa variaavel 4

� � 4� g � i # �� i�* § 0"� �ª 4 @Q>

onde + � I # � � i�* § 0"� �ª Lnosleva a frequencia � ¦´ .

75P. Umahastelongae uniformedecomprimentoª emassa� gira livrementeno plano horizontalem tor-no de um eixo vertical, atraves do seu centro. Umadeterminadamola com constantede forca � e ligadahorizontalmenteentreumaextremidadedahastee umaparedefixa, comomostraa Fig. 14-38. Quandoa has-te esta em equilıbrio, fica paralelaa parede. Qual operıododaspequenasoscilacaoesqueresultam,quandoahastee ligeiramentegiradae liberada?� A molaexerceum torquerestauradorsobrea barradadopor

¤ �n�X- ª � onµ� I ª � 8BL ª �Da segundalei angular, ¤ �r , com � % ³ �� , escre-vemosa equaçaoparao MHS dabarra

� � � 8� g � i � ª�/ 8 @Q>

naqualidentificamos+ � © �% , doqueresultao perıodo

� �"!�U �< � RSecao 14-8Movimento HarmonicoSimplesAmorte-cido

83P. Um osciladorharmonico amortecidoconsisteemum bloco( �,o� >A@B@ kg), umamola( �y C7@E>a@ N/m) eumaforca de amortecimento�,¶n�· * . Inicialmente,ele oscilacom umaamplitudede � Fc>a@ cm; devido aoamortecimento,a amplitudee reduzidaparatresquar-tosdo seuvalor inicial, quandosaocompletadasquatrooscilacoes.(a)Qualo valorde · ? (b) Quantaenergiafoi



”perdida”duranteessasoscilacoes?� Considerando·¹¸`¸ ¬ �% , daequaçaoparaaposicaoobtemos </ - m

T-m 5 _ �º¼»� �

Como · e supostopequeno,� �H!s# % � V� >aPEC sque,levadoaequaçaoanterior, forneceo valorde ·� @Q>\C�@ �kg/s.(b) A energia inicial do osciladore � o

�� X- �m@E>a<EC7< J.Para g /B� , teremos� I /K�¹L � o 5 _ hº¼»� @E>\C"Y"D J

Descontandoessevalor da energia inicial, teremosaenergiaperdidapeloamortecimento,quee @E>�C�<XY J.

85P. Considereque voce esta examinandoas carac-terısticasdo sistemadesuspensaodeum automovel de� @B@K@ kg. A suspensao ”cede” C7@ cm, quandoo pesodo automovel inteiro e colocadosobreela. Al em dis-so,a amplitudedaoscilacaodiminui FH@�½ duranteumaoscilacao completa.Estimeos valoresde � e · paraosistemade molae amortecedorem umaroda,conside-randoquecadaumasuportaFH@K@ kg.� Escrevendoa condicaodeequilıbrio paracadaumadasrodas,temosI FH@K@ML ION >APQC7L T� I @E>�C�@BL�$ /Q> N @BFT¾�C�@ § N/m

Pressupondoum pequenovalor para · , tomamos+¿¬ �% N > N @BF rad/se o perıodo � � ¦´ @Q>ADB< s elevamosestesresultadosparaa equaçao da posicao domovimentoamortecido:@E>aFK@ - m

z-m 5 _ º¼»� �

Tomandoo logaritmonaturaldosdoisladosdaequaçaochegamosaovalordaconstantedeamortecimento·� CKC7@K@ kg/s

Secao14-9OscilacoesForcadaseRessonancia

87P. Um carro de �B� @B@ libras, transportandoquatropessoasde C�PB@ libras,viajaemumaestradadeterraco-bertadepequenasondulacoes(costelas),comsalienciasseparadasde C�< pes. O carro balanca com amplitudemaxima quandosuavelocidadee de C�@ milhas/h. O

carroentaoparae osquatropassageirosdesembarcam.Quantosobea carroceriado carro em sua suspensaodevido aodecrescimodepeso?� Vamosresolvero problemaemunidadesSI.A massatotal e �

totalT�

carro i � passageiros�total NBN PÀi I /ML I PECB>ADMFKL C7< � /Q>aFK@ kg

A amplitudemaximaocorrequando* /Q>A/XY m/s.Paraa distanciaentreascostelastemos-Á <E> N D m. Agorapodemoscalcularo perıodo� -* max.

<Q> N D/?>�/cY @E>aPKPKD sA frequenciaangulare + � ¦Â YX>a@ N rsd/se a cons-tanteelasticadosistemadesuspensaoe �$z� total

+ � DBDBFKPK@ N/m. Comospassageirosabordo,a deformaçaodasuspensaoe�X�� total

�� C�< � /Q>GF(¾ N >aPECDKDMFHPK@ @Q>\C N F m

Semospassageiros,adeformaçaoe�K�r � carro�� NBN P.¾ N >APQCDBDBFKPK@ @E>�C\/cY m

O quantoacarroceriasobeaposo desembarquedospas-sageiros,calculamospeladiferenca� � n}� � @Q>A@H/MP m

Convertendoas unidadespara confirmar o resultado,@Q>A@K/BP m correspondemas CB> N @ polegadasnasrespos-tasdo livro.

14.3 PROBLEMAS ADICION AIS

88. Um osciladorharmonico simplesconsisteem umbloco ligado a umamola de constante�TÃ� @K@ N/m.O blocodeslizaparafrentee paratrasaolongodeumalinha reta, numasuperfıcie sematrito, com ponto deequilıbrio em -Z @ e amplitude @Q> � @ m. Um graficodavelocidade* do blococomoumafuncaodo tempo ge mostradona Fig. 14-42. Quaissao (a) o perıodo domovimentoharmonico simples,(b) a massado bloco,(c) o deslocamentodo blocoem g @ , (d) a aceleraçaodoblocoem g @E>�C�@ s e(e) aenergiacineticamaximaalcancadapelobloco.



� (a) Bastaobservar o grafico paraobter o perıodo:� @Q> � @ s.(b)A massadoblococalculamospelarelacao �$T�y+ � ,�[ ��H!j0 � � @K@C�@ ! � @Q> � @ kg

(c) O deslocamentodoblocoem g @ e- I @BL z- m @Q> � @ m

(d) Paraa acelerac¸aoem g @Q>\C�@ s,= I g @E>�C�@ML on I C�@B@ ! � L I @Q> � @MLmb�dH4 !¨ C N Yc>�/M@ m/s�

(e)A energiacineticamaximaalcancadapeloblocoe�m C� � * �m <E> N F J

91. Um pendulofısicoconsisteemduashastescomummetrode comprimentoquesao ligadascomomostraaFig. 14-44. Qualo perıododeoscilacaocomum eixoinseridonoponto Ä ?

� Precisamosprimeirodeterminara posicaodo centrodemassadasduashastes.Do capıtulo N sabemosque�

cm � I @MLxi � I n ª 0H� L�"� �n ª / >

onde ª e � sao, respectivamente,o comprimentoe amassadecadaumadashastes.A origemdo sistemadereferenciaesta colocadono ponto Ä . Entao, o centrode massado sistemaformadopelasduashastesesta adistancia ª 0 / abaixodo ponto Ä . Portanto,aı temosadistancia”d” do centrodemassado penduloaopontodesuspensao.O momentodeinerciadosistemae� � � i � �

� C< � ª � i CC � � ª � FC � � ª �Levandoosvaloresde � e � paraaexpressaodoperıodo,teremos

� T�H! � FHª< � � >aF N sR


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 8 deDezembrode2003, as12:32p.m.







Conteudo

15 Gravitacao 215.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

15.2.1 A Lei daGravitacaodeNewton 215.2.2 Gravitacao e o Princıpio de

Superposic¸ao . . . . . . . . . . 2

15.2.3 Gravitacao Proximo a Su-perfıciedaTerra . . . . . . . . 3

15.2.4 Gravitacaono InteriordaTerra. 415.2.5 EnergiaPotencialGravitacional 415.2.6 PlanetaseSatelites:LeisdeKe-

pler . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.7 OrbitasdeSatelitese Energia . 815.2.8 ProblemasAdicionais . . . . . 10


(listam3.tex)

http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina1 de10


15 Gravitacao

15.1 Questoes

Q 15-11

A forca gravitacionalexercidapelo Sol sobrea Lua equaseduasvezesmaiorqueaquelaexercidapelaTerra.Porquea LuanaoescapadaTerra?�15.2 ProblemaseExercıcios

15.2.1 A Lei da GravitacaodeNewton

E 15-1 (14-1/6� edicao)

Qualdeveseraseparac¸aoentreumapartıculade �� kge outrade �� kg, paraquesuaforca deatracaogravita-cionalseja �� N?� O modulodaforca gravitacionale �� ,dondetiramosque� � � �� "! � !$# �� %�&�(' �)� � ' �)� � '�� * �� %�+�� -, m �E 15-4 (14-3/6� )

Um dossatelitesEchoconsistiaemumbalaoesfericodealumınio inflado,com .� m dediametroemassaiguala�/� kg. Suponhaqueummeteorode

#kg passea m da

superfıciedosatelite. Quala forcagravitacionalsobreometeoro,devidaaosatelite,nesseinstante?� Use �0�1��324�35 �� , onde�62 e �35 saoasmassasdo satelite e do meteoro,respectivamente.A distanciaentreoscentrose

� �1798;:��<8;=�>�-? m, onde 7e o raio do satelite e : a distanciaentresuasuperfıcieeo centrodometeoro.Portanto

�0� "! � !$# @�-�)��A� ' �/� ' B# '�-? � �1�)� ,�@�-� �%�&� N �

15.2.2 Gravitacaoe o Princıpio deSuperposicao

E 15-6 (14-7/6� )A quedistanciadaTerra,medidaaolongodalinha queuneos centrosda Terrae do Sol, deve estarumason-daespacialparaquea atracaogravitacionalanulea daTerra?� No pontoondeasforcasseequilibramtemos�DCFEG�� DC;H)�� Ionde CFE e CJH sao asmassasda Terrae do Sol, � ea massadasonda,

� � a distanciado centrodaTerraatea sonda,e

� � a distanciado centrodo Sol ate a sonda.Chamandode : adistanciadocentrodaTerraateo cen-tro doSol, temosque

� � �K:ML � � e,portanto,queC E� �� C H :=L � � ' � Idonde,extraindoa raizquadradae re-arranjando,segue� � � :ON CFEN C E 8PN C H � :�Q8KR CJH � CFE

� ��/�� .S�Q8KT �4U SASWVX�+YAZB[\ U SA]WVX�+YA^"_� ��/,`�=@�-� ] m �Percebaquaoutil foi realizara simplificacaoalgebrica-menteantesdesubstituirosvaloresnumericos.

P 15-15 (14-13/6� )Oproblemaqueseguefoi retiradodoexame“Ol ımpico”de 1946, da UniversidadeEstatal de Moscou (vejaFig. 15-31).Fazemosumacavidadeesfericanumabolade chumbode raio 7 , de tal modoquesuasuperfıcietocao exterior daesferadechumbo,passandotambempelo seucentro. A massada esfera,antesde ser feitaa cavidade,era C . Qual a intensidadeda forca gravi-tacionalcomquea esferaconcava atraira umapequenaesferade massa� , queesta a umadistancia : do seucentro,medidaao longo da linha quepassapeloscen-trosdasesferasedacavidade?� Sea esferade chumbonao fosseoca,a magnitudedaforca queelaexerceriaem � seria � � ��DCa� � :`� .Partedestaforca e devida aomaterialquee removido.



Calculeaforcaexercidasobre� porumaesferaqueen-chaa cavidade,naposicaodacavidade,e subtraia-adaforca feitapelaesferasolida.A cavidadetemraio

� �b7 � � . O materialquepreenche-atemamesmadensidade(= massa/volume)queaesferasolida. Ou seja,ja cancelando-seo fatorcomum �.c � ,temosque C;d �W��e �fC � 7 e , onde CJd e a massaquepreencheacavidade.Portanto,com

� �b7 � � , temos

C d � �We7 egCh� 7 e�� ?7 eiCj� C ? �O centroda cavidadeesta a uma distancia : L � �:kL97 � � da massa� , de modoquea forca quea ca-vidadeexercesobre� e� � � � C � ? ' � :DLl7 � � '�� A magnitudedaforca exercidapelaesferafuradae

�m�K� � LF� � � �DCa�mn �: � L �? :MLl7 � � '��Oo� �DCa�: � n �pL �?rqs�tLl7 � �.: 'vuw�)o �

15.2.3 GravitacaoProximo a Superfıcieda Terra

E 15-16 (14-??/6� )Seoperıododeumpenduloeexatamente� snoequador,qualseraseuperıodonopolo sul?Utilize aFig. 15-7.� O perıodo de um pendulosimplese dadopor xf��WcyR z ��{ , onde z e o comprimentodo pendulo. Co-mo{

e diferenteemlugaresdiferentesdasuperfıcie daTerra,o perıododeum pendulovariaquandoele e car-regadodeumlugarparaoutro.Portanto,osperıodosnopolo sule noequadorsao,respectivamente,

xr|M�1�Wcy} z{ | I e x%~t�1�Wc } z{ ~ Icujarazaoe x | � x ~ � R { ~ ��{ | . Destaultima expressaoobtemos

x | � � { ~{ | x ~ � � ,X� # ?.�,X� ?``� � s' �1�)� ,., # sIondeosvaloresnumericosforamtiradosdaFig. 15-7.

E 15-18 (14-15/6� )A quealtura,medidaa partir da superfıcie da Terra,aaceleraçaodagravidadesera �X� , m/s� ?� Paracomecar, percebaque �X� ,M�1,)� ? � � .A aceleraçaodevidagravidadee dadapor

{ �b�DC �� ,onde C e a massadaTerrae

�e a distanciado centro

daTerraate o pontoondesemedea aceleraçao. Subs-tituindo

� ��7m81� , onde 7 e o raio da Terrae � e aaltitude,obtemos

{ ��DC � 7a81� ' � . Resolvendo-seestaequaçaopara � e usandoosvaloresnumericosfor-necidosnoApendiceC, temos� � � L@7

� } �DC{ Ll7� � �! � !$# @�-� ��A� ' �� ,.?�@�-� �&� '�X� , L ! � # @�-�`�� ! @�-� � m �

P 15-29 (14-??/6� )Um corpoestasuspensonumabalancademolanumna-vio queviajaaolongodoequadorcomvelocidade� . (a)Mostrequea leituradabalanca sera muito proximade� Y ��y� ��{ ' , onde� e a velocidadeangulardaTer-ra e

� Y e a leitura dabalanca quandoo navio esta emrepouso.(b) expliqueo sinaldemaisoumenos.� (a) As forcasqueatuamnumobjetosendopesadosaoaforcadagravidade,parabaixo,eaforcadamola,paracima, cujasmagnitudeschamaremosde �� e

�, res-

pectivamente.A leitura da balanca forneceo valor de�. Comoo objetoesta viajandonum cırculo de raio7 , possuiumaaceleraçaocentrıpeta. A segundalei de

Newtonfornece-nos

� � L � �K�9� �7 Ionde� eavelocidadedoobjetomedidanumreferencialinerciale � e a massadoobjeto.A relacao entreasvelocidadese � �f��70�� , onde� e a velocidadeangulardaTerraquandogira, e � e avelocidadedonavio emrelacaoaTerra.O sinal 8 eusa-doseo navio estivernavegandonomesmosentidoqueaporcaodeaguasobele(deoesteparaleste)enegativase



navegarno sentidocontrario (delesteparaoeste).Comisto tudo,a segundalei deNewtonfica

��L � �9� ��79�F� ' �7 �Ao expandiro parentesispodemosdesprezaro termo �$�poisamagnitudede � e muitomenorque ��7 . Portanto

� � L � �K� ��7��;�W��7��7 Idemodoque �0�1�G��L �k� � 79�;�/��y��Com o navio parado,�b�� , a leitura e

� Y �f��*L�k��7 e, portanto,� � � Y �m�W�k�y� . Substituindo

agora� por� Y ��{ obtemos,finalmente,que� � � Y�� Q� ��y�{��

(b) O sinal L e usadoseo navio navegaremdirecaoaoleste,enquantoqueo sinal 8 e usadoquandonavegaremdirecaoaooeste.

15.2.4 Gravitacaono Interior da Terra

P 15-34 (14-25/6� )A Fig. 15-35 mostra,em corte, o interior da Terra (afigura nao esta em escala). Longede seruniforme, aTerra esta dividida em tres regioes: uma crosta exte-rior, o mantoe um nucleo interior. A figura mostraasdimensoesradiaisdestasregioes,bemcomoasmas-sascontidasem cadauma. A massatotal da Terra e�� ,.?�9�-� �� kg e seuraio e 6370km. SupondoqueaTerrae esfericae ignorandosuarotacao, (a) calcule

{na superfıcie. (b) Suponhaque um poco (o Moho) eescavado desdea superfıcie ate a regiao que separaacrostado manto,a �.� km deprofundidade;qualo valorde{

nofundodestepoco? (c) ConsiderandoqueaTerrae umaesferauniformecommassae raiosiguaisaosdaverdadeiraTerra,qualseriao valorde

{aumaprofundi-

dadede �.� km?(Vejao Exercıcio 15-33.)(Medidaspre-cisasde

{funcionamcomosondasbastantessensıveis

paraestudara estruturado interior daTerra,emboraosresultadospossamsermascaradosporvariacoesdeden-sidadelocais.)� (a) A magnitudedaforca numapartıculacommassa� na superfıcie da Terrae dadapor �f��DCa� � 7�� ,

onde C e a massatotal daTerrae 7 e o raio daTerra.A acelerac¸aodevida a gravidadee{ � �� DC7 �� "! � !$# l�-��%�&� ' �)� ,`?� ��.�&� ' �! � # @�-� � ' �� ,X� ?` m/s�/�(b) Agora

{ ��DC � 7�� , onde C e a massaconjuntado nucleomaiso mantoe 7 e o raio externodo manto,! � .�$�<��-� � m, deacordocomaFig.15-35.A massaemquestaoe Cj�m�`� ,`�=�-� �&� 8*�X� �)��D�-� �� 1�)� ,.�Q=�-� �&�kg, ondea primeiraparcelae a massado nucleoe a se-gundaa domanto.Portanto{ � �! � !O# ��A� ' �� ,/��@�-�`�� ' "! � /�$��@�-� � '+� �b,X� ?.� m/s�/�(c) Um pontoa �.� km abaixodasuperfıcieestanainter-facemanto-nucleo,nasuperfıcie deumaesferade raio7a� ! � .�$��3�-� � m. Comoamassaesupostauniforme-mentedistribuida,podeserencontradamultiplicando-sea massapor unidadedevolumepelovolumedaesfera:C � 7 e�� 7 e� ' CJE , onde CFE e a massatotal da Ter-ra e 7 E e o raio da Terra. Portanto,simplificandodeantemaoumfator �� comuma ambososraio,temos

C � n 7 e7 e� o CFE� n ! � /�$�! � # o �� ,.?� �� &� ' �� ,)��@�-� �&� kg �A acelerac¸aodagravidadee{ � �! � !O# ��A� ' �� ,)�M@�-�`�� ' "! � /�$��@�-� � '+� �b,X� # , m/s�/�15.2.5 Energia PotencialGravitacional

P 15-46 (14-31/6� )As tresesferasdaFig. 15-38,commassas� � ��?.�.� g,� � ��-�`� g e � e ��/�`� g, estaocomseuscentrosali-nhados,sendozJ�0�� cme :��b� cm. Vocemovimentaa esferado meioate quea suadistanciacentroa centrode � e seja : �¡� cm. Qualo trabalhorealizadosobre� � (a) porvocee (b) pelaforcagravitacionalresultantesobre� � , devido asoutrasesferas?



� (a) O trabalhofeito por voce ao mover a esferademassa� � e igual avariacaodaenergiapotencialdosis-temadastresesferas.A energiapotencialinicial e¢¤£ �0L �� : L �� ez L �� ezlL@: Ienquantoquea energiapotencialfinal e¢�¥ �mL �� zlL@: L �� ez L �� e: �O trabalhoe,portanto,� � ¢y¥ L ¢ £ � �� r¦ � � L@� e�§ � �: L �zlLl: �

� �! � !O# @�-� ��A� ' �)�¨�-� ' ¦ �)� ?.��L@�X� �.� § � ��X� �.� L ��X� �`? �

� 8�� A� J�Percebaquaoutil foi realizara simplificacaoalgebrica-menteantesdesubstituirosvaloresnumericos.Empar-ticular, existe um termoem ambasexpressoesde

¢ £e¢ ¥

quesecancelamaoconsiderarmoso trabalho.(b) O trabalhofeito pelaforcagravitacionaleL � ��L ¢y¥ L ¢ £ ' ��L©�� @�-� ��A� J�P 15-47 (14-33/6� )

Um foguete e aceleradoate uma velocidade �ª�� N { 7 E proximo a superfıcie da Terra (aqui 7 E e oraio da Terra)e, entao, orientadoparacima. (a) Mos-tre queeleescapara daTerra. (b) Mostrequea suave-locidade,quandoestiver muito distanteda Terra, sera�*� N � { 7 E .� (a) Bastausar-seo princıpio daconservacaodaener-gia. Inicialmenteo fogueteesta na superfıcie da Terrae a energiapotenciale

¢¤£ �«L<�DCa� � 7�E �«Lp� { 7�E ,onde C e a massada Terra, � a massado foguete,e7�E e o raiodaTerra.Usamoso fatoque

{ �K�DC � 7 �E .A energia cinetica inicial e ¬ £ �f��$� � �;��/� { 7�Eonde, de acordocom os dadosdo problema,usamos�*�1� N { 7 E .Parao fogueteconseguirescapar, aconservacaodaener-gia deve forneceruma energia cinetica final positiva,nao importandoquao longe da Terra o fogueteande.

Considerea energia potencialfinal comosendozeroeseja¬ ¥ aenergiacineticafinal. Entao

¬ ¥ �K¬ ¥ 8�®�¯�° Y±�²(³�´¢ ¥ � ¢¤£ 8;¬ £� Lp� { 7 E 8;�/� { 7 E� � { 7 E �Como o resultadoe positivo, o foguete tem energiacineticasuficienteparaescapardo campogravitacionalterrestre.(b) Chamemosde ��$�¥ � � aenergiacineticafinal. Entao��O�¥ � �M�b� { 7 E e,portanto,� ¥ � R � { 7 E �P 15-48 (14-35/6� )

(a) Qual e a velocidadede escapenum asteroide cujoraio tem �.�.� km e cujaacelerac¸aogravitacionalnasu-perfıcie e de m/s� ? (b) A quedistanciadasuperfıcieira umapartıculaquedeixe o asteroidecomumavelo-cidaderadialde ��.�.� m/s?(c) Comquevelocidadeumobjetoatingira o asteroide,secair deumadistanciade��.�`� km sobreasuperfıcie?� (a) Usamosaquio princıpio daconservacaodaener-gia. Inicialmentea partıcula esta na superfıcie do as-teroidee temumaenergia potencial

¢ £ ��L<�DCa� � 7 ,onde C e a massado asteroide, 7 e o seuraio,e � e amassadapartıculaejetada.Considereaenergiacineticainicial como sendo ¬ £ �i��$� � � . A partıcula con-segue apenasescaparse suaenergia cinetica for zeroquandoela estiver infinitamenteafastadado asteroide.As energiascineticae potencialsao nulas. Portanto,aconservacaodaenergianosdiz que¢y£ 8J¬ £ �mL �DCa�7 8 �� b�)�Substituindo�DC � 7 por

{ 7 , onde{

e a acelerac¸aodagravidadena superfıcie, e resolvendopara � encontra-mosque�� R � { 7 � R � ' �.�.�� e '� �.� # @�-� e m/s�(b) Inicialmentea partıculaesta nasuperfıcie. A ener-gia potenciale

¢ £ ��DCa� � 7 e a energia cineticae¬ £ �µ��$� � � . Suponhaa partıcula a uma distancia� acimada superfıcie quandoela atingemomentanea-menteo repouso. A energia potencialfinal e

¢�¥ �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina5 de10


L<�DCa� � 7K8b� ' e a energia cineticafinal e ¬ ¥ �«� .Comisto,a conservacaodaenergianosforneceque

L �DCa�7 8 �� mL �DCa�7P8P� �Substituindo-se�DC por

{ 7�� e cancelando� obtemos

L { 7�8 �� 0L { 7 �798;� Idondetiramosque

� � � { 7�� { 7bL@� � L@7� � ' �.�.��@�-� e ' �� ' �.�.�� e ' L �-�.�`� '�� LF�/�`�� e� �)� ��@�-� \ m �(c) Inicialmentea partıculaesta a umadistancia � aci-ma da superfıcie, em repouso.Suaenergia potenciale¢ £ �¶L<�DCa� � 7m8a� ' e suaenergia cinetica iniciale ¬ £ �·� . Imediatamenteantesde atingir o asteroidea energia potenciale

¢y¥ �¸L<�DCa� � 7 . Escrevendo��$� � � paraenergia cinetica,a conservacaodaenergianosdiz que

L �DCa�7P8�� mL �DCa�7 8 �� Cancelando-se� e substitutindo-se�DC por

{ 7�� obte-mos

L { 7��798;� ��L { 7�8 �� Resolvendoentaopara� encontramos

� � � � { 7bL � { 7 �7P8�� } � ' �/�`��@�-� e ' L � ' �/�`�� e ' � �.�.�<8b��.�`� ' �� e� R `�.�.��LP�-�`�.� ' @�-� e � N �� e� �`� �r�� e m/s�

Observe quesepodesimplificar“de cabeça” o queestadentrodo radical.Estapraticaesalutar!!! :-))

P 15-51 (14-37/6� )

Duas estrelasde neutronsestao separadaspor umadistanciade ��$�+Y m. Ambaspossuemmassade �-� e Y kge raio de �� \ m. Seestivereminicialmenteemrepousoumaemrelacaoa outra: (a) comquerapidezestaraosemovendo,quandosuaseparaçao tiver diminuıdo paraametadedovalor inicial? (b) Qualavelocidadedasduasestrelas,imediatamenteantesdecolidirem?� (a) O momentodasduasestrelase conservado,e co-moelastemamesmamassa,suasvelocidadeseenergiascineticassaoiguais.Usamoso princıpiodaconservacaodaenergia.

A energia potencialinicial e¢ £ �¡L<�DCm� �W� £ , onde C

emassadequalquerumadasestrelase� £

suaseparaçaoinicial centroa centro. A energia cineticainicial e ze-ro,¢ £ �¹� , poisasestrelasestaoemrepouso.A ener-

gia potencialfinal e¢ ¥ ��L©�/�DCm� �W� £ , umavezquea

separaçaofinal e� £ � � . A energiacineticafinal do siste-

mae ¬ ¥ �mCa� � � �©8�Ca� � � ��aCa� � . Comisto tudo,aconservacaodaenergianosdiz que

L �DCm�� £ ��L �.�DCm�� £ 8;Ca� � �Portanto

� � � �DC� £� � �! � !O# �� A�(' �-� e Y�'�� +Y �K?X� ��@�-� � m/s�

(b) Imediatamenteantesde colidirem a separaçao doscentrose

� ¥ �·�/7��·�� \ m, onde 7 e o raio dequalquerumadasestrelas.A energia potencialfinal edadapor

¢y¥ �¡L<�DCm� �� ¥ e a equaçaodaconservacaodaenergiaficaagorasendo

L �DC �� £ ��L �.�DC �� ¥ 8;Ca� � Ideondeobtemosque

� � } �DC � �� ¥ L �� £ �� ! � !$# @�-� ��A�+º e Y � ��@�-� \ L �� +Y �� `� ?�@�-�`» m/s�



15.2.6 Planetase Satelites: Leis deKepler

P 15-56 (14-41/6� )Um dossatelitesdeMarte,Fobos,esta numaorbitacir-cularderaio ,X� �kJ�-� � m comum perıodode7 h e 39m. A partir destesdados,calculea massadeMarte.� Operıodo x eo raio

�daorbitaestaorelacionadospe-

la lei dosperıodos(deKepler): x©�M��q �.c%� � �DC '¼u �We ,onde C e a massadeMarte. O perıodoe 7h 39m,queperfaz

B# ! �<8J`, ' ! �D�� # �/�`� s. PortantoCj� �`c%� �We��x � � �.c%� ,)� �* �� ' e �! � !O# @�-� ��A�(' � # �W�`� '+�� ! �� e kg �

O ApendiceC informa que a massaCJ½ de Marte eiguala �)�¨�-� # vezesamassadaTerra.PortantoCJ½¾�K�)�¨�-� # C E � ! � `,.? ! @�-� � e kg Iumaboaconcordancia. Nao seriade seesperarqueoautordo livro deixassede verificar isto ao escolherosdadosdoproblema,claro... ;-)

E 15-58 (14-43/6� )O Sol, cujamassavale �*F�-� e Y kg, orbitaemtornodaVia Lactea,queesta a umadistanciade ��g��-� ��Y m,comperıodode ��J��.] anos.SupondoquetodasasestrelasdaGalaxiatemmassaigual adoSolequeestaodistribuıdasdemaneirauniformenum volumeesfericoemtornodo centrodaGalaxiae, alemdisto,queo Solesta praticamentena superfıcie destaesfera,faca umaestimativagrosseiradonumerodeestrelasnaGalaxia.� Chamemosde ¿ o numerodeestrelasnaGalaxia,deC amassadoSol,e 7 o raiodeGalaxia.A massatotaldaGalaxiae ¿ C e a magnitudedaforca gravitacionalatuantenoSol e ��K�M¿ Cm� � 7�� . A forca apontaparao centrodaGalaxia. A magnitudedaacelerac¸aodo Sole À �>�$� � 7 , onde � e a suavelocidade.Chamandodex o perıododomovimentodoSolemtornodocentrodaGalaxia,entao �*�1�/c%7 � x e À*�b�`c � 7 � x � . A segundalei deNewtonfornece-nos�M¿ÁCm� � 7��<�b�`c%�-Cm7 � x�� .O numero¿ desejadoe,portanto,¿·� �`c%��7 e��x � C �Como �� .] anossao

# � ?`?� ��$� \ segundos,temos¿�� .c%� �)� ��@�-�.�&Y ' e "! � !$# ' B# � ?`? '+� � ' @�-� ��A�+º e Y4º e Y �K��¨�M@�-� �+Y I

o queeumnumeroe tantodeestrelas,nao?...

E 15-60 (14-45/6� )(a) QualavelocidadelinearqueumsatelitedaTerrade-veterparaficaremorbitacircularaumaaltitudede � ! �km? (b) Qualo perıododerevolucaodessesatelite?� (a) Chamandode

�o raio da orbita,entaoa magni-

tudeda forca gravitacionalqueatuano satelite e dadapor �DCa� �� , ondeC eamassadaTerrae � eamas-sado satelite. A magnitudedaacelerac¸aodo satelite edadapor �O� �� . onde � e a suavelocidade.A segundalei de Newton fornece-nos�DCa� �� Á�Â�k�O� �� . Co-mo o raio da Terrae

! � # P�-� � m, o raio da orbita e� � ! � # 3�-� � 8J� ! ��3�-� e � ! � �.�� m. Portanto,avelocidadee dadapor

� � � �DC�� "! � !$# @�-� �%�&�Ã' �)� ,`?� �� &��'! ��/�@�-� �� # � ?`�� e m/s�

(b) Comoacircunferenciadaorbitae �/c � , o perıodoe

xK� �Wc �� /c �! ��/�@�-� � '# � ?`��@�-� e ��.�� e sIou,equivalentemente,? # � � minutos.

E 15-62 (14-47/6� )Um satelitedaTerraesta numaorbitaelıpticacomapo-geude ! � km eperigeude �-?`� km. Calcule(a) o semi-eixo maiore (b) a excentricidadedaorbita. (Sugestao:Vejao exemplo15-10.)� (a) A maior distanciaentreo satelite e o centrodaTerra (i.e., o apogeu),e 7 � � ! � # a�-� � 8� ! � �� e � ! � # k��-� � m. A menordistancia(o perigeu)e7<|@� ! � # 9�-� � 8>��?.�� e � ! ��.�k9�-� � m. Emambasexpressoes,

! � # ;�� m e o raio da Terra. DaFig. 15-16vemosqueo semi-eixomaiore

À � 7 � 8J7 |�� "! � # ©8 ! ��.� ' @�-� �� ! � ! ��@�-� � m �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de10


(b) As distanciasdo perigeue apogeuestao relaciona-dascom o semi-eixomaior e a excentricidadeatravesdasformulas7 � �bÀ �Q8;Ä ' I e 7 | �KÀ �<LlÄ ' �Somandoobtemos7 � 8;7p|M��/À I isto e À*� 7 � 8J7<|� �Subtraindoobtemos7 � L@7<|D�1�/ÀOÄ I isto e Ä�� 7 � Ll7 |�/À �PortantoÄ�� 7 � Ll7 |�.À � 7 � L@7 |7 � 8J7<|� ! � # �L ! � �`�! � # <8 ! � �`� �K�)� �)�� ! �Observe que ja simplificamoso fator �� queaparecenonumeradoredenominadoracima.

PÅ 15-74 (14-55/6� )Tresestrelasidenticas,demassaC , estaonosverticesde um trianguloequilaterode lado z . Qual deve sersuavelocidade,seelassemovemnumaorbitacircularquecircunscreve o triangulo,soba influenciasomentede suainteracao gravitacionalmutuae mantendosuasposicoesrelativasnosverticesdo triangulo?� Cadaestrelaeatraidaemdirecaoacadaumaasoutrasduasporumaforca demagnitude�DCm� � zQ� , aolongoalinhaqueunecadapardeestrelas.A forcaresultanteemcadaestrelatem magnitude�DC �%Æ�Ç`È `�`É � z � e apontaparao centrodotriangulo(i.e.parao centrodemassadositema). Tal forca e umaforca centrıpetae mantemasestrelasnamesmaorbitacircularsesuasvelocidadesfo-remapropriadasparamanteraconfigurac¸ao.Chamandode 7 o raio daorbitacircular, a segundalei deNewtonfornece-nos �DCm� ÆÃÇ`È .� Éz � ��C �$�7 �As estrelasorbitamem torno do seucentrode massa,que coincidecom o centrodo trianguloe o centrodocırculo. Suponhaqueo triangulotenhaum deseusla-dos alinhadoscom a horizontale escolhaum sistemade coordenadascom o eixo horizontal Ê passandoporestelado, com a origemsituadana estrelaa esquerda,e com o eixo vertical Ë passandopor estamesmaes-trela. A altitudede um trianguloequilateroe z N � e,

portanto,asestrelaestao localizadasnospontos � I � ' , z I � ' e

z � � I z N � � ' . A coordenadaÊ d do centrode massae Ê d � �$CÌ8¡zQC � �k8>z�C ' � `C ' � z � ��8¹z ' � ��ªz � � enquantoque Ë d � �$CÍ8Cmz N � ��8M�$C ' � `C ' � z N � � ' � ��1z � � N ' . Adistanciadeumaestrelaqualquerate o centrodemassae

7a� R Ê � d 8JË �d � � z �� 8 z �� zN �Substituindo-seestevalorde 7 dalei deNewtonacima,obtemos �DCm� ÆÃÇ`È .� Éz � �1C N DCa�O�z �Como Æ�Ç`È `� É � N � � , dividindo a equac¸aoacimaporC obtemos�DC � zQ�©�9�O� � z , ouseja,

�*� � �DCz �15.2.7 Orbitas deSateliteseEnergia

E 15-76 (14-57/6� )Um asteroide, com massa�39�-�� vezesa massadaTerra,esta numaorbitacircularemtornodo Sol,a umadistanciaigual a duasvezesa distanciadaTerraaoSol.(a) Calculeo perıodoorbital do asteroideemanos.(b)Quala razaoentrea energiacineticadoasteroidee a daTerra?� (a) Usamosa lei dosperıodos x©�Á� �`c � �DC ' �We ,onde CÎ��.� ,.,�Á�� e Y kg ea massadoSole

�e o raio

daorbita. O raio daorbitae duasvezeso raio daorbitadaTerra,ouseja,

� �1� � E �� /��@�-�.S ' m. Portanto

x � � �.c � � e�DC� } �.c � .�`�� S-' e �! � !O# �� A� ' �.� ,.,*@�-� e Y '� ?X� , ! �� » s�Estevalorequivalea?)� , ! @�-� » ! � ' �W� ' "! � ' �! � ' �1�)� ? anos�



(b) A energia cinetica de qualquerasteroide ou pla-netanumaorbita circular de raio

�e dadapor ¬ ��DCa� � � � ' , onde� eamassadoasteroideouplaneta.

Tal energia e proporcionala massae inversamentea�.

A razaoentreaenergiacineticadoasteroideea energiacineticadaTerrae¬¬ E � �� E � E� � ��@�-�)�r�Ã�3E� E � E� � E �m�M@�-� �r� �P 15-79 (14-59/6� )

Usandoa conservacaodaenergiae a Eq.15-47,mostreque,paraum objetoemorbitaelıpticaemtornodeumplanetademassaC , suadistanciaaocentrodoplaneta,�, esuavelocidade� estaorelacionadaspor� � �K�DC � �� L �À � �� A energia total e dadapor Ï¹�¡L<�DCa� � �.À ' , ondeC e a massado corpocentral(o Sol, por exemplo), �

e a massado objeto(um planeta,por examplo),e À e osemi-eixomaiordaorbita.

P 15-84 (14-63/6� )Calcule(a) a velocidadee (b) o perıododeum satelitede �`�/� kg numaorbita, aproximadamentecircular, emtorno da Terra, a uma altitude de

! �$� km. Suponha,agora,queo satelite esta perdendoenergia a umataxamediade �.� �� \ J,emcadavoltacompletaemtornoda Terra. Tomandocomoaproximac¸ao razoavel queaorbita passea serum “cırculo cujo raio diminui lenta-mente”,determinesao,paraestesatelite, (c) a altitude,(d) a velociddee (e) o perıodo,quandoo satelite com-pletar ��/�`� voltas.(f) Qualo modulodaforcaresistentemediasobreo sateliet? (g) O momentoangulardestesistemaemtornodocentrodocentrodaTerrae conser-vado?� (a) A forca queatuano satelite temmagnitudeiguala �DCa� �� , onde C e a massado corpoatraentecen-tral (o Sol, por exemplo), � e a massado satelite, e�

e o raio da orbita. A forca apontaparao centrodaorbita. Comoa acelerac¸aodo satelite e �$� �� , onde � ea velocidade,a segundalei deNewton fornece-nosque�DCa� �� 9��O� �W� , dondetiramosque �*��R �DC �W� .O raiodaorbitaeasomadoraioTerracomaaltitudedaorbita,ouseja,

� � ! � # =�-� � 8 ! �`�QD�� e � # � �)��D�-� �m. Portanto

� � � �! � !O# �� A� ' �)� ,`?�@�-� �� '# � �)��

� # ��W�* �� e m/s�(b) O perıodoe

xK� �/c �� Wc ¼# � �)�� '# ��W�* �� e� �� ?/�*@�-� e sIqueequivalema �.?/�$� � ! ��1, # � minutos.(c) Chamando-sede Ï Y a energia inicial, entaoa ener-gia apos Ð orbitas e Ï � Ï Y L¹ÐGÑ , onde Ñ ��`� � K�-� \ J/orbita. Numa orbita circular, a energia eo raio da orbita estao relacionadospela formula Ï¸�L<�DCa� � � � ' , demodoqueo raio apos Ð orbitase da-dopor

� �mL<�DCa� � �/Ï ' . A energia inicial e

Ï Y � L "! � !$# ��A� ' �)� ,`?�@�-�`�� ' �.�/� '� ¼# � �)��@�-� � '� L ! � � ! @�-� S J�A energiaapos Ð6�0��.�.� orbitaseÏ � ÏaL ÐGÑ� L ! �� ! @�-� S L ��/�`� ' �.� �* �� \ '� L ! � � # @�-� S J�O raioapos ��.�.� orbitase,portanto,� � L "! � !$# ��%�&� ' �)� ,`?* ��.�&� ' �.�/� 'L ! � � # @�-� S� ! � # ?�@�-� � m �A altitudedesejadae�� L � E � "! � # ?�L ! � # ' @�-� � �K�X�¨�� \ m Ionde

� E e o raiodaTerra.(d) A velocidadee

� � � �DC�� "! � !$# @�-� �%�&�Ã' �)� ,`?� �� &��'! � # ?�@�-� �� # � !$# �� e m/s�

(e)O perıodoe

xK� �/c �� Wc "! � # ?� �� '# � !O# �� e �K�� ! @�-� e sIhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina9 de10


o queequivalea � ! �.� � ! ��1,.X� minutos.(f) Chamandode � a magnitudedaforca mediae de Òa distanciaviajadapelo satelite, entao o trabalhofeitopelaforca e

� ��L<�DÒ . Estetrabalhoe a varaicaodaenergia: Ó�ÏÔ�¶L<�DÒ , dondeobtemos�¶�ÔL©Ó�Ï � Ò .Calculemosestaexpressaoparaa primeiraorbita. ParaumaorbitacompletatemosÒ��1�/c � �1�Wc B# � �X��@�� ' �K�X� �`��@�-� » m Ie Ó�Ï��LM�.� �* �� \ J.Portanto�m�0L Ó�ÏÒ �0L LM�.� �* �� \�r� �*@�-� » �1)� �@�-� � e N �

(g)A forcaresistivaexerceumtorquenosatelite,demo-do queo momentoangularnao e conservado. Observequecomoo sistemaTerra-satelite e quaseisolado,seumomentoangularconserva-secomboaaproximac¸ao.

15.2.8 ProblemasAdicionais

E 15-?? (15-??/6� )


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 2 deJaneirode2004, as10:50a.m.







Conteudo

16 Fluidos 216.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Problemase Exercıcios . . . . . . . . . 2

16.2.1 DensidadeePressao . . . . . . 216.2.2 FluidosemRepouso . . . . . . 3

16.2.3 O Princıpio deArquimedes. . . 4

16.2.4 LinhasdeCorrenteeaEquacaodaContinuidade . . . . . . . . 5

16.2.5 AplicacoesdaEquacaodeBer-noulli . . . . . . . . . . . . . . 6

16.2.6 ProblemasAdicionais . . . . . 7


(listam3.tex)



16 Fluidos

16.1 Questoes

Q 16-??�

16.2 ProblemaseExercıcios

16.2.1 DensidadeePressao

E 16-3 (15-1/6� edicao)

Encontreo aumentode pressao de um fluido em umaseringaquandoumaenfermeiraaplicaumaforca de ��N aoembolodaseringa,deraio �� cm.� O aumentodepressaoeaforcaaplicadadivididapelaarea,isto e, �� , onde � e o raio dopistaodaseringa.Portanto

�� "!#� !#�$�%� � ��'&(�%!�) Pa�E 16-5 (15-3/6� edicao)

A janeladeum escritorio temdimensoesde *+� � m por�� m. Comoresultadodeumatempestade,apressaodoar do ladode fora cai para !+� ,$- atm,masa pressaodedentropermanecede � atm. Qualo valor da forca quepuxaa janelaparafora?� O ar de dentroempurraa janelaparafora com umaforca dadapor �/.%� , onde�/. e a pressaodentrodo es-critorio e � e a areada janela. Analogamente,o ar dolado de fora empurraparadentrocom umaforca dadapor �10�� , onde �/0 e a pressao fora. A magnitudedaforca lıquidae,portanto,� �2� .�3 �/0��4� �5� 3 !+� ,$-$�6�4�� !#�%*7&8�9! ) ��:*#� �;�6�:��%� �#� ,<&8�9!�= N >ondeusamoso fatoque � atm ?�$� !+�9*@&8�9! ) Pa.

P 16-7 (15-??/6� edicao)

Uma caixavedadacom umatampade �A� pol� de areae parcialmenteevacuada.Se uma forca de �9!$B librase necessaria paratirar a tampada caixae a pressaoat-mosfericado exterior e de �%C lib/pol � , qual e a pressaodoar nacaixa?� A magnitudedaforcanecessariaparatirar a tampae�D ��2�10 3 �FEG�4�H>onde�10 e a pressaofora, �1E e a pressaointerna,e � e aareadatampa.Isto fornece-nos

� E I� 0 3 � � ��%C 3 �9!�B�%� J- lb/pol� �Observe quecomo �/0 foi dadaem lb/pol� e � e dadaem pol� , nao foi necessario converter-seunidades.Arespostafinal, e obvio, naoesta noSI.

P 16-8 (15-7/6� edicao)

Em 1654, Otto von Guericke, burgomestre(prefeito)deMagdeburg e inventordabombadevacuo,deuumademonstrac¸ao publicaparaprovar suatesedequedoisgruposde oito cavalosnao seriamcapazesde separardoishemisferiosdelataounidos,dentrodosquaissefezvacuo. Realmente,os cavalosnao conseguiramsepa-rar oshemisferios. (a) Pressupondoqueoshemisferiostenhamparedesfinas, de forma que K na Fig. 16-34possaser consideradoo raio interno e externo, mos-tre que a forca necessaria parasepararos hemisferiose �? L�MK'�9�� , onde �� e adiferencaentreaspressoesinternaeexternanaesfera.(b) FazendoK iguala *$! cmeapressaointernacomo !+�N�%! atm,encontrea forcaqueoscavalosteriamdeexercerparasepararoshemisferios.(c) Porqueforamusadosdoisgruposdecavalos?Ape-nasumgruponaoprovariaa tesedamesmaforma?� Em cadaponto sobrea superfıcie dos hemisferiosexiste uma forca lıquida para dentro, normal a su-perfıcie,devida a diferenca depressaoentreo ar dentroe foradaesfera.Parapodersepararosdoishemisferioscadaconjuntodecavalosprecisaexercerumaforca quetenhauma componentehorizontalpelo menosigual asomadascomponenteshorizontaisde todasas forcasqueatuamsobreo hemisferioquepuxam.Considereumaforcaqueatuanohemisferiopuxadopa-ra a direita e que faca um angulo O com a horizontal.Suacomponentehorizontale ��P6Q$R�O�S;� , onde S;� eumelementoinfinitesimaldeareanopontoondeaforca



esta aplicada.Tomamostal areacomosendoa areadoanel com O constantena superfıcie. O raio do anel eK sen O , ondeK e o raiodaesfera.Sea larguraangulardoanele S$O , emradianos,entaosualargurae K'S$O esuaareae S;�T U�V�MK'� sen OWS�O . Comisto, a componentehorizontallıquidaa forca doar e dadapor

�YX ��MK � �� Z\[�] �^ senO P6Q$R�O_S$O �MK � �� sen� OM``` [�] �^ L�MK � ��a�

Esta e a forca mınima que deve ser exercidapor ca-da conjuntode cavalos paraconseguir separaros he-misferios.(b) Lembrandoque � atm �� !#�%*H&b�%! ) Pa,temos�YXc d� �:!#� *$� � �:!#� ,�!$�6�4�$� !+�9*c&(�%!�)6� e��C#�gf$f7&8�9!$h N �(c) Um conjuntode cavalosteria sido suficienteseumdos hemisferios tivessesido amarradoa uma arvoregrandeouaumpredio.Doisconjuntosdecavalosforamprovavelmenteusadosparaaumentaro efeitodramaticodademonstrac¸ao.

16.2.2 Fluidos emRepouso

E 16-11 (15-9/6� )As saidasdoscanosdeesgotosdeumacasaconstruıdaemumaladeiraestao B#�g� m abaixodo nıvel darua. Seo canodeesgotoseencontraa �� m abaixodonıvel darua, encontrea diferenca de pressao mınima quedevesercriadapelabombaderecalqueparapuxaresgotodedensidademedia ,$!�! kg/mh .� Considereo bombeamentono cano num instantequalquer. A forca mınima da bombae aquelaqueser-ve paraequilibrara forca dagravidadenoesgotocomaforca dabombanocano.Sobtal forca mınimao esgotosera empurradosemmudarsuaenergiacinetica.A forca dagravidadeno esgotoe i$j;k6� , onde i e a suadensidade,k ( lB#�g� 3 ��m n-#�� m) e o comprimentodo cano,e � e a areadaseccaoretado cano.Se � ^ fora pressao no cano,entao � ^ � e a forca queempurraoesgotoparabaixono cano.Se � for a pressaoexercidapelabomba,entaoa forcadabombanoesgotoe �1� .A forca lıquidanoesgotoe dadapor�o� 3 � ^ �4� 3 i�j;k6�

e � sera mınima quandoela anular-se. Portanto,ve-seque a diferenca de pressao que deve ser mantidapelabombae� 3 � ^ Ji$j$kp D�",$!�!;��",+� B;��:-#��%�q JC#� �r&8�9!�= Pa�E 16-16 (15-13/6� )

Membrosdatripulacaotentamescapardeum submari-no danificado, �%!�! m abaixoda superfıcie. Queforcaelestemdeaplicarnoalcapao,de �$� � m por !+� -$! m, pa-raempurra-loparafora?Considereadensidadedaaguadooceano�%!$��C kg/mh .� A pressao� naprofundidadeS doalcapaoe � ^1s i$j�S ,ondei eadensidadedaaguadooceanoe � ^ eapressaoatmosferica. A forca parabaixo da aguano alcapao e�2� ^ s i�j�S��4� , onde � e a areado alcapao. Seo ar nosubmarinoestiver na pressao atmosferica, entao exer-ceraumaforca � ^ � paracima.A forca mınimaquede-ve seraplicadapelatripulacaoparaabrir o alcapaotemmagnitudedadapor� �2� ^ s i�j�S��4� 3 � ^ � i$j�S;� �5�9!$�$C��6�",#� B$�6�4�%!�!$�6�4�$� �$��"!+� -$!$�t �f��g�c&(�%! ) N �P 16-18 (15-15/6� )

Doisvasoscilındricosidenticos,comsuasbasesaomes-monıvel, contemumlıquidodedensidadei . A areadabasee � paraambos,masemum dosvasosa alturadolıquidoe u/v enooutroe u � . Encontreo trabalhorealiza-do pelaforca gravitacionalaoigualarosnıveis,quandoosdoisvasossaoconectados.� Quandoosnıveissaoosmesmosaalturadolıquidoeu� ��wu v s u � �x�� , onde u v e u � saoasalturasoriginais.Suponhaque u v emaiordoque u � . A situacaofinal po-de seratingidatomando-seum porcao de lıquido comvolume �H�wu1v 3 uF� e massai��H�wu1v 3 uF� , no primeirovaso,ebaixando-aporumadistanciau 3 u � . O trabalhofeito pelaforca dagravidadeey Li��H�wu vz3 u1�Gj��:u 3 u � �{�Substituindo-seu| ��wu v s u � �}�V� nestaexpressaoacha-moso resultadopedido:y �� i$j��c�:u/v 3 u � � � �



P 16-22 (15-17/6� )NaFig. 16-38,o oceanoesta apontodeinvadiro conti-nente.Encontrea profundidadeu do oceano,usandoometododonıveldecompensac¸aomostradonoProblema21.� Suponhaquea pressao e a mesmaem todospontosa umadistancia S~ ��V! km abaixodasuperfıcie. Parapontosno ladoesquerdodafiguratal presaoe dadapor�� b� ^ s i ^ j#u s i��}S;S;� s i��j�S;�H>onde � ^ e a pressao atmosferica, i ^ e a densidadedaaguado oceanoe u e a profundidadedo oceano,i�� ea densidadeda crostae S�� a espessurada crosta,e i;�e a densidadedo mantoe S;� e a espessurado manto(ate umaprofundidadede �V! km). Parapontosno ladodireitodafigura,� e dadapor�� ^ s i��5j�S+�Igualandoestasduasexpressoespara� e cancelandojobtemosque i��}Sc Ji ^ u s i��}S�� s i��S;�c�SubstituindoS;�e �S 3 u 3 S�� , tem-sequei��}Sc di ^ u s i��}S;� s i��S 3 i��'u 3 i��S;�9>deondetiramos

u i��xS�� 3 i��}S s i��S 3 i��S��i�� 3 i ^ ��i � 3 i � ��:S 3 S � �i�� 3 i ^ �"*+� * 3 �� B$��w�V! 3 �%�$�*+� * 3 �� ! ��of km �Observequenaequac¸aoacimasubstituimoskm, naom.

P 16-23 (15-19/6� )A aguaseencontraaumaprofundidade� abaixodafa-ceverticaldeum dique,comoilustraa Fig. 16-39.Sejay

a largurado dique. (a) Encontrea forca horizontalresultanteexercidano diquepelapressaomanometricada aguae (b) o torqueresultantedevido a estapressaoemrelacaoaoponto � . (c) Encontreo braco dealavan-ca,emrelacaoaoponto � , daforcahorizontalresultantesobreo dique.

16.2.3 O Princıpio deAr quimedes

E 16-31 (15-??/6� )Uma lata tem volumede �%�V!$! cmh e massade �9*$! g.Quantasgramasdebalasdechumboelapoderiacarre-gar, semqueafundassenaagua?A densidadedochum-bo e �� g/cmh .� Seja �� a massada lata e �� a massado chumbo.A forca dagravidadesobreo sistema‘lata + chumbo’e�"� � s � � �Gj e a forca deempuxodaaguae i$j#� , ondeir�G J,$,�B kg/mh ) e a densidadedaaguae � e o volumedeaguadeslocada.No equilıbrio, estasforcasbalanceiam-sedemodoque�� s � � �Gjr di$j��A lata ira contera maiormassadechumboquandoes-tiver quasepor afundardemodoqueo volumedaaguadeslocadacoincideentaocomoo volumeda lata. Por-tanto� � Li�� 3 � � �:,�,�B;��5�%�V!$!H&8�9!#�1�6� 3 !+�N�%*�! �$� !�f kg �Percebaque �A�V!�! cmh D�A�V!$!H&8�9! �1� mh .E 16-34 (15-25/6� )

Umaancoradeferro,quandototalmenteimersanaagua,parece��!�! N maisleve queno ar. (a) Qual e o volumeda ancora?(b) Qual e o pesono ar? A densidadedoferro e fVB;f�! kg/mh .� (a) O problemadiz quea ancoraesta totalmentede-baixodaagua.Elaaparentasermaisleveporqueaaguaempurra-aparacima com um empuxode i � j#� , ondei � eadensidadedaaguae � eo volumedaancora.Seupesoefetivo dentrodaaguae�Y�� J� 3 i � j#� >onde� eo seupesoverdadeiro(forcadagravidadeforadaagua).Portanto

�� 3 ��i � j ��!�!�",�,$B$�6�",#� B$� �� !V�;Cc&8�9! � � mh �(b) A massadaancorae �� Ji�� , ondei e adensidadedoferro. Seupesonoar e�? J��j@ Li$j�� wfVB;f�!;��:,#� B$��w�� !V��C_&8�9! � � �



��gCVB@&(�%! h N �P 16-43 (15-33/6� )

Uma matriz fundidora de ferro, contendoum certonumerode cavidades,pesa-�!$!�! N no ar e �$!$!�! N naagua.Qual e o volumedascavidadesdafundidora?Adensidadedo ferro e f�� B�f g/cmh .� O volume �F� dascavidadese a diferenca entreo vo-lume �F� damatrizfundidoracomoumtodoeo volume�F� do ferrocontidonamatrizfundidora:� � �� 3 � � �O volumedoferroedadopor �+�� j�i��Y� , onde� eo pesodamatrizfundidorae i;� e adensidadedoFerro.

O pesoefetivo �Y� naaguapodeserusadoparaencontraro volumeda matriz fundidora. Ele e menordo que �poisa aguaempurraa matriz fundidoracomumaforcaj�i � � � , ondei � representaadensidadedaagua.Assimtemoso pesoefetivo dadopor� � J� 3 j�i � �+�@�Portanto � � � 3 ��j�i � >deondetiramosque

�1�� 3 � �j�i � 3 �j�i � -$!�!�! 3 �$!$!�!�",+� B;��:!#� ,�,�Bc&8�9! h � 3 -$!�!$!�:,#� B$�6�wf�� B;fH&8�9! h � !#��%�;f mhE imprescindıvelsaberfazercorretamenteasconversoesdeunidades:

f�� B;f g/cmh f�� B;fH&(�%! � h kg�9! �/� mh ef�� B;fH&(�%! h kg/mh �16.2.4 Linhas de Corr ente e a Equacao da Conti-

nuidade

E 16-55 (15-39/6� )Umamangueiradejardim,dediametrointerno!+�gf�C pol,e conectadaa um esguichoque consisteem um canocom �� furos,cadaum com !+� !;CV! pol dediametro.Se

a aguanamangueirativervelocidadede * pes,comquevelocidadeelasaira dosburacosdoesguicho?� Usea equac¸aodacontinuidade.Seja � v a velocidadeda aguana mangueirae � � suavelocidadequandoeladeixaum dosfuros. Seja �'v a areada seccao retadamangueira.Comoexistem � furos, podemosimaginara aguanamangueiracomoformando� tubosdefluxo,cadaum indo sair atravesde um dosfuros. A areadecadatubodefluxo e � v �� . Se � � for a areadeumfuro,aequac¸aodacontinuidadeficasendodadapor

� v ��v� J� � � � �Destaexpressaotiramosque

� � � v�M� � � v K�� v >onde K e o raio da mangueirae � e o raio deum furo.Portanto� � K'��W� � �$vp �"!+� *�fVC$�4��F�:!#� !$�$C�� "*+� !;� ��B pes/s�P 16-56 (15-42/6� )

A aguae bombeadacontinuamentepara fora de umporaoinundado,a umavelocidadede C m/s,atravesdeumamangueirauniformede raio � cm. A mangueirapassapor umajanela* m acimado nıvel daagua.Qualea potenciadabomba?� Suponhaqueuma massac� de aguae bombeadanum tempo c� . A bombaaumentaa energia poten-cial da aguapor H��j#u , onde u e a distanciaverticalquea aguae elevada,e aumentasuaenergiacineticadec�W�;�A�V� , onde� e suavelocidadefinal. O trabalhoqueabombafaze y Jc�mj#u s �� c�W� � >esuapotenciae,consequentemente,

�? yc� c�c�W� j#u s �� %� �A taxadefluxo demassae c��H�� ei��p� , ondei e adensidadedaaguae � e a areadaseccaotransversaldamangueira,isto e,�� J�� L� �:!#� !#�%!$� � �*#��6�<&8�9! � = m��Comisto, temosi��p�< ��",$,�B;��"*+�N�9�c&8�9! � =9�6�:C$�� ?�$� C;f kg/s�



Portanto

� H�c� � j#u s �� 4��gC$f��#�G�",+� B;��:*#� !$� s C ��c� J-$- W �16.2.5 Aplicacoesda EquacaodeBernoulli

E 16-58 (15-43/6� )A aguasemovecomumavelocidadede C m/satravesdeum canocomumaareadesecao transversalde � cm� .A aguadesce�9! m gradualmente,enquantoa areadocanoaumentapara B cm� . (a) Qual e a velocidadedoescoamentono nıvel maisbaixo? (b) Sea pressao nonıvel maisalto for ��gC<&b�9! ) Pa,qualsera a pressaononıvel maisbaixo?� (a) Usea equaçao da continuidade:� v � v �� ,onde � v e a areado canono topoe � v a velocidadedaaguano local, � � e a areado canono fundo e � � e avelocidadedaaguano fundo.Portanto,

� � � v� � �$v� �B �wC�� e��gC m/s�(b) Usea equaçaodeBernoulli:

� v s �� i;� �v s i$j#u v I� � s �� i;� �� s i$j�u � >onde i e a densidadedaagua,u1v suaalturainicial e u �suaalturafinal. Portanto,

� � � v s �� i1�"� �v 3 � �� s i$j/�wu v�3 u � � ��gCH&8�9!$) s �� "!#� ,�,$B@&(�%!�h6��NC � 3 �:�#� C$� �¡ s �"!+� ,$,�B@&8�9! h ��",+� B;��5�9!$� �� -c&8�9! ) Pa�E 16-67 (15-49/6� )

Sea velocidadede escoamento,passandopor debaixode umaasa,e �$�9! m/s, quevelocidadede escoamentonapartedecimacriaraumadiferencadepressaode ,�!$!Pa entreassuperfıciesdecimae debaixo?Considereadensidadedo ar iW �� *r&I�%! � h g/cmh . (Ver exercıcio15-66.)

� Usea equaçao de Bernoulli desprezandoos termosde energia potencial,pois os dois tubosde fluxo estaoessencialmentenamesmaaltitude:�+� s �� i$� �� b�1¢ s �� i;� �¢ >onde� � e a pressaonasuperfıciedebaixo,� ¢ a pressaoem superfıcie de cima, �A� a velocidadedo ar na su-perfıcie de baixo, �V¢ a velocidadedo ar na superfıciedecima,e i a densidadedoar.Desejamosencontrar�V¢ de modoque �#� 3 �F¢\ �,�!$!Pa,ouseja,

� ¢ £ �#�2�#� 3 �F¢��i s � �� ¤ �#�:,�!�!;��$� * s �5��9!;� � ?�$�9- m/s�

Observe quee imprescindıvel usarasunidadescorretasde i :i@ ?�$� *<&8�9! � h g

cmh �� *@&(�%! � h �9! � h kg�5�9! � � � h mh �� * kgmh >

quefoi o numerousadoparaobter � ¢ .P 16-73 (15-??/6� )

As janelasde um predio de escritorios tem dimensoesde � m por C m. Emumdia tempestuoso,o arpassapelajanelado 53¥ andar, paraleloa janela,comumaveloci-dadede *�! m/s. Calculea forca resultanteaplicadanajanela.A densidadedoar e �$� ��* kg/mh .� Chamando-sede � E a pressao internadasalae de � ¥a pressao de fora da janela,temosquea forca lıquidana janelae �o�1E 3 � ¥ �4� , onde � e a areada janela. Adiferenca de pressao podeser encontradausando-seaequaçaodeBernoulli: � ^ s i;�;�A�V�_ ��FE , onde� eavelo-cidadedoarforae i eadensidadedoar. Supomosqueoardentrodasalaestaparado.Portanto,�FE 3 � ¥ Li$��A��sendoa forca e dadapor

�D �� i$� � �� 5��g�V*;��"*$!$� � ��"*;� D�$�N�$�'&(�%!V= N �P 16-76 (15-??/6� )

Uma placade B�! cm� e CV!�! g de massae presapordobradicasemumdeseuslados.Sehouverarsoprando



apenassobrea suasuperfıcie superior, quevelocidadedevera ter o ar parasustentara placana posicao hori-zontal?� Esteexercıcio consideraumasituacaoanalogaaquelamostradana Fig. 16-26,da moca soprandosobreumafolhadepapel.Como a pressao e uniforme sobresuperfıcie o torquequeelaexercepodesercalculadocomoseo ar atuasseno centrode massa,o mesmovalendoparaa forca dagravidade.O torquelıquidoanula-sequandoa forca do ar igualaaforca da gravidade. Seja�+� a pressao na superfıcie debaixo, �F¢ a pressaonasuperfıciedecima, � a velocida-dedo ar sobrea superfıciesuperior, e i a densidadedoar. DeacordocomaequaçaodeBernoulli,

�#�¦ ��F¢ s �� i;� � > ouseja �+� 3 �1¢c �� i$� � �A magnitudedaforca doar e �� §�o� � 3 � ¢ �5� , onde�e a areadaplaca.No equilıbrio, �l §��j , onde � e amassadaplaca.Portanto�� i$� � �� L��j1>deondeobtemos

� v ¤ �V�mji�� £ �+�"!+� C$��",+� B;��5��g�V*;��"B$!H&8�9! � = � J*;� m/s�

P 16-81 (15-25/6� )Aplicandoa equaçaodeBernoulli e a equaçaodacon-tinuidadeaospontos � e � daFig. 16-22,mostrequeavelocidadedoescoamentonaentrada(ponto � ) e

�@ £ ��¨ � ��i1�:� � 3 ¨ � � �� Ambospontosestaonamesmaaltitude,demodoqueaequaçaodeBernoulli e

� v s �� i;� �v �� s �� i;� �� A euqaçaodacontinuidadee �� v D¨;� � , demodoque� � ��p� v ��¨1� SubstituindoestaexpressaonaequaçaodeBernoulliobtemos

� v s �� i;� �v �� s �� i � � ¨ � � � �v �Resolvendo-a,temosque

�$v� £ �#�2� v�3 � � �4¨ �i1�:� � 3 ¨ � � £ �V¨ � ��i/�"� � 3 ¨ � � >ondeusamos��©b�/v 3 � � .16.2.6 ProblemasAdicionais


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 19deSetembrode2003, as10:21a.m.







Conteudo

17 MOVIMENT O ONDULATORIO 2

17.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 317.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 9


(listam3.tex)



17 MOVIMENT O ONDULATORIO

17.1 Questionario

17-2. Energia podeser transferidapor partıculasbemcomopor ondas.Comopodemosdistinguirexperimen-talmenteessesmetodosdetransferenciadeenergia?� A energia e transferidaentrepartıculasnoseventosdecolisao,comoacontece,porexemplo,numjogocombolasdebilhar. Quandoaenergia e tranferidaporonda,tambemseda pelascolisoesdaspartıculasdo meio,nocasodasondasmecanicas,masaspartıculasmovem-selocalizadamente,enquantoa ondasepropagapor umaextensaomuito maior. Um exemplonotorio e o dason-dassonoras.

17-6. Compareo comportamentode (a) um sistemamassa-molaoscilandonummovimentoharmonicosim-plese (b) umelementodeumacordaesticadaondeumaondasenoidalsepropaga.Discutado pontodevistadodeslocamento,velocidadevetorial, aceleraçao e trans-ferenciasdeenergia.� (a) No sistemamassa-mola,a energia e localizada,isto e,amassadetemaenergiacineticaeamola,supos-ta semmassa,detem a energia potencial. Sea energiatotal econstante,emalguminstanteelae todadamassa,quandoestapassapelaposicaodeequilıbrio e emoutroinstantesera todapotencial,quandoa mola estiver nasuamaxima deformaçao. Sendoo deslocamentome-dido em relacao a posicao de equilıbrio, a velocidadenessaposicao e maxima,enquantoa aceleraçao e nula.Nos pontosde maximo deslocamento,a velocidadeenulae aaceleraçaoe maxima.(b) Parao elementodacordaesticada,aenergiaestadis-tribuidaemvezdelocalizada,porquetodasaspartıculasdo elementose movem e sofrema acao da tensao dedeformaçao.O elementoestasobamaximadeformaçaoquandoestanaposicaodeequilıbriodoMHS executadopelaspartıculase e tambem nessaposicao quea velo-cidadetransversalatingeo seumaximo. Nospontosdemaiordeslocamentodaspartıculasemrelaca a posicaodeequilıbrio, elastemvelocidadee aceleraçaonulas.

17-8. Quandoduasondasinterferem,umaatrapalhaapropagaçaodaoutra?Explique.� Nao. As ondasse combinampelo prinıpio desuperposiçaoformandoumaondaprogressivacomuma

redistribuicao apropriadada sua energia, ou forman-do umaondaestacionaria, com outraredistribuicao deenergia.

17-9. Quandoduasondasinterferem,existe perdadeenergia?Justifiquesuaresposta.� Nao. Existe uma redistribuicao da energia. Nospontosde inter ferencia destrutiva, a energia e nula,mas,consequentementesera maiornospontosdeinter-ferenciaconstrutiva.

17-11. Seduasondasdiferemsomenteemamplitudeesepropagamem sentidosopostosatravesde um meio,produzirao elasondasestacionarias? Existira energiatransportada?Existiraonos?� Nao.

17-13.Umaondatransmiteenergia. Ela tambemtrans-feremomentolinear. Sera possıvel transferirmomentoangular?�17-15. Uma cordae esticadaentredois suportesfixosseparadosdeumadistancia� . (a)Paraquaisharmonicosexistira um no no ponto que dista �� de um dos su-portes? Existira um no, um antino ou uma condicaointermediarianum pontoquedista �� de um dossu-portes,se (b) o quinto harmonico foi gerado? (c) odecimoharmonicofoi gerado?� (a)Seo no dista �� deumdossuportes,acordaestavibrandona forma de � meioscomprimentosde onda.Entaotrata-sedo terceiroharmonico.(b) No pontoquedista �� de um dossuportes,exis-tira um no tanto parao quinto quantoparao decimoharmonicos.

17-17. Violonistassabemque, antesde um concerto,deve-setocarum poucoo violao e ajustarsuascordasporque,aposalgunsminutosdeexecucao,ascordasseaqueceme cedemligeiramente. Como essepequenoafrouxamentoafetaas frequenciasde ressonanciadascordas?� O afrouxamentodascordastemcomoconsequenciaa diminuicao da velocidadede propagaçao das on-dasna corda( � �� ), alterandoo conjuntodas



frequenciasderessonancia,isto e,o violaofica “desafi-nado”.

17.2 ExercıcioseProblemas

Secao 17-5 A VelocidadeEscalar de Propagacao deuma Onda

17-3E.Balancandoumbarco,ummeninoproduzondasna superfıcie de um lago ate entao quieto. Ele obser-va que o barco realiza �� oscilacoes em �� s, cadaoscilacao produzindoumacristade onda �� cm acimada superficie do lago. Observa aindaque uma deter-minadacristade ondachega a terra,a dozemetrosdedistancia,em �� s. Quaissao (a) o perıodo, (b) a ve-locidadeescalar, (c) o comprimentode onda e (d) aamplitudedestaonda?� Inicialmente, calculamos a frequencia, que e� �� Hz. As grandezaspedidassaoaplicacoesdiretasde“f ormulas”:

(a) ! � �#"%$ �&��(' s

(b) �)��* +,� �� -�.� � m/s/(c) 0 � �� .� �� 1�� m /(d) 2

m �3��4�5 m /17-6E.Escrevaaequac¸aoparaumaondasepropagandono sentidonegativo do eixo * e quetenhaumaampli-tude de �� 4� m, uma frequenciade �� Hz e umavelocidadede �� m/s.� A formadaondaprogressiva e2%6 * � +87 � 2

m 94:5; 6�< *>=@? +87 /Precisamoscalcularo numerode ondaangular < e afrequenciaangular? :< � �A0 � ��A �� 6 �A 7 6 �� 7�� B�4��8C(' rad/m

? � < �D� 6 �4��C(' 7 6 �� 7 �3��CE� rad/s

Entao,aondaemquestaoe2F6 * � +87 �1��4� 94:5; 6 �4��C(' *G= ��C(� +8717-14P. (a) Escreva uma expressao que descreva umaondatransversalsepropagandonumacorda,no senti-do =H* com um comprimentode ondade �5� cm, umafrequenciade CE�� Hz e umaamplitudede �� cm. (b)Qual e a velocidadeescalarmaxima de um ponto dacorda?(c) Qualea velocidadeescalardaonda?� (a)Comecamoscalculandoasquantidades< e ? paramontaraequac¸aodaonda:

< � �A0 � ��A�4� �1�� A rad/cm�? �-�A � �3��A 6 C�� 7 �3I��A rad/s e2%6 * � +87 � 6 �� cm

7 95:5; 6 ��J��A *>K I��A +87 /(b) L

max. � 2m ? � 6 �.� � 7 6 I��A 7 �1�� cm/s

(c) �)� 0 � � 6 �5� 7 6 C�� 7 �MCE�� cm/s/17-16P. Umaondadefrequencia�� Hz temumavelo-cidadede �� m/s.(a)Quaoafastadosestaodoispontosquetemumadiferenca defasede A#�� rad?(b) Quale adiferenca de faseentredoisdeslocamentos,numdeter-minadoponto,emtemposseparadosde �� ms?� (a)Consideremosafuncao 2%6 * � � 7 daFig. 17-4a.Asfasesda ondanessesdois pontosdefasadosdevem seriguais: < * $ � < *ONP=RQ<%6 * $ KS*�N 7 � Q

* $ KT* N � 0 Q�A � � Q�A � � 6 �� 7 6 A#�� 76 �A 7 6 �� 7 �3��4��' m /http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3


(b) Agoraconsideramosa funcao 2F6 �� +87 daFig. 17-4b:KU? + $ � KU? + N =VQ? 6 + N K + $ 7 � QQ �-�A �>W + � 6 �A 7 6 �� 7 6 �� 7 �MA rad/Secao17-6VelocidadeEscalarda Onda numa CordaEsticada

17-18E.As cordasdeumviolino, respectivamentemaisleve e maispesada,temdensidadeslinearesde �� g/me �.� X g/m. Qual e a relacao dosdiametrosdessascor-das,damaispesadaparaa maisleve, supondoquesaofeitasdomesmomaterial?� A densidadevolumetricadascordase Y>�1Z[��A%\ N^] .Em termosda densidadelinear dada,escrevemos YR��#��A%\ N . Comoascordassaofeitasdomesmomaterial,� $\ N$ � � N\ NN /Substituindoos dadosfornecidos,chegamosa relacaoentreosdiametros_ $ e _ N :_ $ �B��'_ N /17-25P. Uma cordaesticadatem uma massapor uni-dadedecomprimentode .�� g/cme umatensaode �5�N. Umaondasenoidalnessacordatemumaamplitudede ��4�5� mm e umafrequenciade �4�� Hz e sepropagano sentidode * decrescente.Escrevaumaequac¸aoparaessaonda.� Com os dadosfornecidos,calculamosinicialmenteasgrandezas� , ? e < necessariasparaexplicitar aonda:�>� ` �� ` �5�� 1C��C(' m/s

? �-�A � � 6 �A 7 6 �4�� 7 �3��I��E� rad/s< �a? � � ��I��E�C��C(' �B�^C�� m"%$

Comoa ondasepropagano sentidonegativo doeixo * ,temos2%6 * � +87 � 6 ��J�cbS�4� "�d 7 94:5; 6 �^C�� *>= 6 �E��I�� +87 /

17-31P. O tipo deelasticousadono interiordealgumasbolas de beisebole de golfe obedecea lei de Hoo-ke para uma larga faixa de alongamentodo elastico.Um segmentodestematerialtemumcomprimento(naoesticado)� e uma massaZ . Quandouma forca e eaplicada,o elasticoesticadeumcomprimentoadicionalW � . (a) Qual e a velocidadeescalar(em termosde Z ,W � eaconstanteelastica< ) dasondastransversaisnesteelastico? (b) Usandosuarespostaem (a), mostrequeo temponecessario paraum pulsotransversalpercorrero comprimentodo elasticoe proporcionala ��f W � seW �hgigR� e e constantese

W �kjijR� .� (a) Com a forca aplicadael� < W � e a densidadedo elasticodadapor �a�mZn� 6 � = W � 7 , calculamosavelocidadeescalar:�D�Bo e � � ` < W � 6 � = W � 7Z(b) O temponecessario parao pulsotransversalpercor-rero comprimentodoelasticoe+ � �� f Z� < � W � = <%6 W � 7 NSe

W �igig�� , 6 W � 7 N e desprezıvel e a expressaopara+

reduz-sea +qp ` �rZ< W � �ouseja,o tempoeproporcionala ��f W � .Se

W �Pjij1� , entao+ � W �� , casoemquea expressao

para+

reduz-sea +qp ` Z < /17-32P*. Uma corda uniforme de massaZ e com-primento � esta penduradano teto. (a) Mostre que avelocidadede umaondatransversalna cordae funcaode 2 , a distanciaate a extremidademaisbaixa,e e dadapor �@� f s 2 . (b) Mostrequeo tempoqueumaondatransversalleva parapercorrero comprimentodacordaedadopor

+ �3�t� �u� s .� (a) Consideremoso eixo 2 ao longo da corda,comorigemnaextremidadeinferior damesma.Paraumele-mentoinfinitesimal _�Z da massada cordalocalizadoem 2 a partirdaorigem,temos_��v� 6 _�Z 7 s �1� s _ 2



que,integrandoaolongodacorda,fornece� 6r2 7 �-wVxy � s _ 2.z �H� s 2 /Levandoesteresultadoparaarelacaodavelocidade,ob-temos � 6{2 7 � o � 6r2 7� � f s 2 /(b) Usandoo resultadode(a),_ 2_ + � f s 2

w}|y _ + z � w}~y 6 s 2 7 "i$�� N _ 2+ � �f sS� � 2 $�� N�� ~y

+ �3� o �s /Secao 17-8Energia e Potencianuma Onda Progres-siva

17-33E. A potencia � $ e transmitidapor uma ondade frequencia

� $ numacordasobtensao � $ . Qual e apotenciatransmitida� N emtermosde � $ (a)seatensaonacordafor aumentadapara� N �1C�� $ e(b) se,aoinves,a frequenciafor diminuıdapara

� N � � $ �� ?� (a) Se a tenao na corda for quadruplicada,avelocidadede porpagaçao fica duplicada. Sendo apotencia media transmitidapor uma onda dada por�� $N �%� ? N 2 Nm, a duplicacao da velocidadeimplicanaduplicacaodapotenciatransmitida.(b) Como a frequencia apareceao quadradona ex-pressao da potencia,suadiminuicao pelametade,im-plicaranareducaodapotenciaaumquartodoseuvalorinicial.

17-35P. Uma ondasenoidaltransversale geradanumaextremidadede uma longa cordahorizontal,por umabarraquesemove paracima e parabaixo entreextre-mosquedistam �� cm. O movimentoe contınuo erepetidoregularmente�5�� vezespor segundo. A cor-da tem uma densidadelinear de �5�� g/m e e mantida

sobumatensao de X�� N. Ache (a) o valor maximo davelocidadetransversal L e (b) o valor maximodacom-ponentetransversalda tensao. (c) Mostrequeos doisvaloresmaximos, calculadosacima, ocorrempara osmesmosvaloresde faseda onda. Qual e o desloca-mentotransversal 2 da cordanessasfases?(d) Qual ea maximapotenciatransferidaao longo da corda? (e)Quale o deslocamentotransversal2 quandoestatrans-ferenciamaxima de potenciaacontece?(f) Qual e atransferenciamınima de potenciaao longo da corda?(g) Qual e o deslocamentotransversal 2 quandoestatransferenciamınimadepotenciaocorre?� Comecemospor construira equaçaodapropagaçaodaondanacorda:�D� ` �� ` X��^�� 3�E'(��X m/s

0 � �� '.��X�5�� 3��J�� m

2%6 * � +87 � 6 .� �DbT�5� "F� 7 95:5; ��A 6 C��I *)K �� +87 �sendo* emmetrose

+emsegundos.

(a) A velocidadetransversalescalarmaxima Lmax. obte-

mosde Lmax. � 64� 2� + 7 max. � ? 2

m� 6 �A 7 6 �5�� 7 6 .� ��bS�4� "O� 7� ��J'�' m/s

(b) A componentetransversaldatensaoe� transv. �H� 6 � 2� * 7 �eo valormaximodacomponentetransversale6 � transv.

7max. � � <.2 m� 6 X�� 7 6 C��I 7 6 �A 7 6 .� �>bT�5� "O� 7� ��.� ��I N /

(c)TantoavelocidadetransversalL comoatensaotrans-versal � transv. tem as suasfasessob a funcao cosseno.Entao, o mesmopar 6 * � +87 maximizaambasas gran-dezas,mas se essepar maximiza a funcao cosseno,ele anula a funcao seno,ou seja, se < *RK&? + �� ,



2%6 * � 2 7 �� . (d) A potenciatransmitidaao longo dacordaedadapor�&� 6 K � � 2� * 7 64� 2� + 7 �H� < ? 2 Nm �� 9 N 6�< *�KT? +87Paraa potenciamaximatransmitidatemosentao,� max. � � < ? 2 Nm� 6 X�� 7 6 ��A 7 6 C��I 7 6 �CE��A 7 6 .� �cbS�4� "O� 7 N� C.' W /(e) O deslocamento 2 correspondentea maximapotenciatransmitidae 2 �� , ja que o par 6 * � +87 quemaximizaa funcaocossenoe o queanulaa funcaose-no.(f) A potenciamınimatransmitidaenula.(g) A mınima potencia transmitida acontecepara2 � 2

m, ja queo par 6 * � +87 queanulao cossenoe aquelequemaximizao seno.

Seccao17-11Interfer enciadeOndas

17-38P. Uma fonte � e um detectorde ondasde radio�estao localizadosaonıvel do soloa umadistancia _

(Fig. 17-26).Ondasderadiodecomprimento0

chegama

�, pelo caminhodireto ou por reflexao, numacerta

camadadaatmosfera.Quandoacamadaestanumaaltu-ra � , asduasondaschegamem

�exatamenteemfase.

A medidaquea camadasobe,a diferenca defaseentreasduasondasmuda,gradualmente,ate estaremexata-mentefora de faseparaumaalturada camada� =1� .Expresse

0emtermosde _ , � e � .� Aposa reflexaonaaltura � , asondaschegamem

�emfase: ��\ $ K _��3��sendo\ $ � � � N = 6 _.�� 7 N .Aposa reflexaonaaltura � =1� , asondaschegamem�

emoposicaodefase:��\ N�K _�� 0 ��.�sendo \ N �� 6 � =R� 7 N = 6 _.�� 7 N . Combinandoasduasequaçoesparaasinterferenciasconstrutiva e des-trutiva,vem �\ N�K �\ $ � 0 ��.�0 �MC � � 6 � =R� 7 N = 6 _(�� 7 N K � � N = 6 _.�� 7 N � /

17-41P*. Determinea amplitudedaondaresultantedacombinaçao de duasondassenoidaisquesepropagamno mesmosentido, possuemmesmafrequencia, temamplitudesde �� cm e C�� cm e diferenca de fasedeA#�� rad.� Consideremosas duasondassenoidaisna posicao* �3� : 2 $ �1�� 95:5; ? +

e2 N �HC�� 94:5; 6 ? + = A#�� 7 /Agora,usandoa relacaotrigonometrica 95:5; 6r� =R� 7 �95:5; � �� 9 ��= �� 9 � 95:4; � naondaonda2 N , efetuamossuasomacom 2 $ : 2 � 2 $ = 2 N2 �3�� 94:5; ? + = C�� 9 ? +

2 �1�� 95:5; ? + = �� ^� 9 ? + � /A superpsiçaodessasondasproduzumaondadamesmaformadecadaumadelas,queescrevemosgenericamen-tecomo 2 � 2

m 95:5; 6 ? + =VQ 7 �e,usandoa mesmaidentidadetrigonometrica,obtemos2 � 2

m6 95:5; ? + �� 9 Q>= �� 9 ? + 95:5; Q 7 �

ondeQ eadiferencadefasede 2 emrelacaoa 2 $ . Com-parandoasduasformasquetemospara2 , escrevemos� 94:5; Q � �� :� �� 9 Q �&��onde � e um fator de proporcionalidadeentreasduasformasda funcao 2 . Dividindo asduasrelacoesacimaobtemosaconstantedefaseQ :+ s Q �B��

Q �H�� X�� rad/http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6


Elevandoasrelacoesacimaaoquadradoesomando,ob-temoso fator � :� N 6 94:5; N QD= �^� 9 N Q 7 �-�.��'��I�X�� C�/Agorapodemosexplicitar a funcao 2 � 2 $ = 2 N :2%6 +87 �3��E 94:5; 6 ? + = ��X�� 7 �onde 2

m �� Cnb}��R�� m. Esteproblematambempodeserfacilmenteresolvidopelometododosfasores.Coma escolhadeumaescalaadequada,a am-plitude e a constantede fasesao diretamentemedidascomreguae transferidor. Refaca o problemausandoosfasoresparaconfirmaro resultadoobtido pelo metodoanalıtico.

Secao17 -13OndasEstacionarias e Ressonancia

17-42E. Uma corda sob tensao � i oscila no terceiroharmonicocomumafrequencia

� � , e asondasnacordatemcomprimentodeonda

0 � . Sea tensaofor aumenta-dapara � f ��Ct� i e a cordanovamentelevadaa oscilarno terceiro harmonico, qual sera (a) a frequenciadeoscilacaoemtermosde

� � e(b) o comprimentodeondaemtermosde

0 � ?� (a)Darelacao � i � � � i �� , obtemoscomatensaofi-nal � f �-C�� i que � f �&�� i. Entao,parao “novo” terceiroharmonicoteremos�

3f � �� 6 �� i

7 �-� � 3i /(b) Parao comprimentodeonda,teremos0

3f � �� i� � 3i

� 03i �

ou seja,a variacaonatensaodacordaduplicaa veloci-dadeea frequencia,mantendoinalteradoo comprimen-to deonda.

17-46E.Umacordadeviolao,denailon, temumaden-sidadelinear de '(�J� g/m e esta sob uma tensao iguala �5�� N. Os suportesfixos estao distanciadosX�� cm.A cordaesta oscilandodeacordocomo padraodeon-da estacionaria mostradona Fig. 17-27. Calcule(a)a velocidadeescalar, (b) o comprimentode ondae (c)a frequenciadasondascuja superposic¸ao origina esta

ondaestacionaria.� A ondaestacionariaindicadaestavibrandonotercei-ro harmonico,ouseja,; �3� .(a)Paraavelocidadetemos�>� ` �� ` �5��'(�J��bT�5� "O� � �^C�C m/s/(b) Parao comprimentodeonda,0

n � ��; �0 � � 6 � 7 6 ��X�� 7� �H�� m /

(c) E paraa frequencia,� � �0 � �^C�C�� -�CE� Hz /17-48E.Umacordade �5�� cmdecomprimentoeestica-daentresuportesfixos. Quaissaoostrescomprimentosdeondamaislongospossıveisparaondasestacionariasnessacorda?Esboceasondasestacionariascorrespon-dentes.� O comprimentodeondae dadopor

0n �&��u� ; , com; ��J�.��^/�/�/ sea cordaesta fixa nasduasextremida-

des.Ostresmaiorescomprimentosdeondaseraoentao,0 $ �-��3�.�8CE� m �0 N �1��&��J�� m e0 � � �� 3��I�� m /17-52E.Umapontadeumacordade �5�� cm e mantidafixa. A outra pontae presaa um anel sempesoquepodedeslizarao longo de uma hastesematrito, con-formemostradona Fig. 17-28. Quaissao os tresmaislongoscomprimentosdeondapossıveisparaondases-tacionariasnessacorda?Esboceasondasestacionariascorrespondentes.� Quandoacordaestapresaemso emumaextremida-de, os comprimentosde ondapossıveis sao fornecidospelarelacao

0n ��CE�� ; , com ; � �� J'(�4/�/�/ . Os tres

maiorescomprimentosdeondaserao0 $ �1C��HC��I�� m �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7


0 � � C � �� m e

0�¡ � C ��H��X�� m /17-54P. Duasondasestaosepropagandonamesmacor-da,muito comprida.Um vibradorno extremoesquerdodacordageraumaondadadapor2 � 6 �� cm

7 � �� 9 A � � 6 �� m"%$ 7 *>= 6 I�� s

"�$)+ � �

enquantoumoutronoextremodireitogeraaonda2 � 6 �� cm7 � �� 9 A � � 6 �� m

"�$ 7 *vK 6 I�� s"�$ 7F+ � /

(a) Calculea frequencia,o comprimentode ondae avelocidadeescalardecadaonda.(b) Determineospon-tos ondenaoexiste movimento(os nos). (c) Em quaispontoso movimentodacordaemaximo?� (a) Paraobteras grandezaspedidasso precisamosobservar asquantidadesfornecidasnasduasondasda-das: � ��?��A � C�A�A �3�� Hz �

0 � �A< � �AA �-�.� � m e

�)� 0 � � 6 �.� � 7 6 �.� � 7 �1C�� m/s/(b) A superposic¸aodasondasdadasproduzaondaesta-cionaria ¢ 6 * � +87 �3� 2 m �� 9 A * �^� 9 C�A + �cujosnosobtemosfazendo�� 9 A * �� , condicaosatis-feitapara * �1��/ �� m £^��/ m £J�./¤ m £^/�/�/(c) Os antinos devem satisfazera condicao �� 9 A * �¥ � , cujasposicoessao* �B��/ � m £ �./ � m £ ��/ � m £^/�/�/17-56P. Uma cordaesta esticadaentresuportesfixosseparadospor '� cm. Observou-sequetemfrequenciasressonantesem C(�� e �� Hz e nenhumaoutra nesteintervalo. (a) Qual e a frequenciade ressonanciamais

baixadessacorda?(b) Qualeavelocidadedeondaparaessacorda?� Paraumacordafixa nasduasextremidades,temos�� n � ; � , com ; ��J�.� ��^/�/�/ Paraasduasfrequenciasdadas,escrevemos CE��; a

� ��; b

�onde ; a e ; b sao valoresconsecutivos dosharmonicos; , tal que ; a � ; b = � . Substituindoessacondicaonaigualdadeacima,encontramosos harmonicosquecor-respondemasfrequenciasdadas,; a �1C e ; b �3� .(a)Paraa frequenciafundamentaltemos� $ � CE��C � �4�E Hz /(b) A velocidadedaondae�>�-�� $ � �5E'(/¤ m/s/17-60P. Umacordade �� m decomprimentoestaosci-landonaformadeumaondaestacionariadetresmeioscomprimentosde onda,cuja amplitudee �� cm. Avelocidadeescalarda ondae de �5�� m/s. (a) Qual e afrequencia?(b) Escreva equac¸oesparaduasondasque,combinadas,resultemnessaondaestacionaria.� A cordaesta vibrandono terceiroharmonico, comcomprimentodeonda

0 �3��/ � m. Entao,(a)� � �0 �-�� Hz

(b) Sea amplitudedaondaestacionariae ��/ � cm,a am-plitudedecadaumadasondascombinadase ��/¤ cm. Onumerode ondaangulare < ��A#� 0 �¦A rad/me afrequenciaangulare ? �1�A � � �4��A rad/s.Portanto,2 $ � 6 ��/ 7 95:5; A 6 *�K �4�� +87 e2 N � 6 ��/¤ 7 95:5; A 6 *D= �4�� +87 /17-63P. Considereuma ondaestacionaria que e a so-madeduasondasidenticassepropagandoemsentidosopostos.Mostrequeaenergiacineticamaximaemcadameio comprimentode ondadessaondaestacionaria e��A N � 2 Nm � � .� A velocidadetransversaldeumelementodomeioeL � � 2� +§� K � 2 m 95:4; < * 94:5; ? + �



tal quesuaenergiacineticaedadapor_�¨ � �� _�Z L N� ��_ * 2 Nm ? N 95:5; N < * 94:5; N ? + /A energiacineticamaximadoelementoe_E¨ m �-��_ * 2 Nm ? N 95:5; N < * /Lembrandoque? �1�A �

, integramos_�¨ m desde* �1�ate * � 0 ��G�HA#� < :¨ m � �� 2 Nm ? N w}© � ªy 95:5; N * _ *� �� 2 Nm ? N w © � ªy « * � K 94:5; � < *C < ¬� �Jªy� ��%A N 2 N® � �O/17-64P. Um fio dealumınio decomprimento�P�� cm comareadesecao transversaligual a ��b}�5� " NcmN e densidade�� g/cm

�e conectadoa um fio de

aco, de densidade'.��I�� g/cm�

e mesmaareade secaotransversal. O fio compostoe conectadoa um blocode massaZ¯��4�� kg, conformea Fig. 17-30, deforma quea distancia � N entrea juncao e a roldanadesuporteseja I�� cm. Ondastransversaissaoestabele-cidasno fio usando-seumafonteexternadefrequenciavariavel. (a) Achea maisbaixafrequenciadevibracaoque dara origem a uma ondaestacionaria com no nopontodejuncao. (b) Quantosnossaoobservadosnessafrequencia?� O fio compostoesta submetidoa tensao

! �°Z s �X�I N e, lembrandoque Y}� Zn��±�� , a densidadelineardecadaparte,dealumınio e aco, e, respectivamente,� $ �1Y $ ±3�3��/ �>bS�4� "F� kg/me� N �1Y N ±3�°'(/ I�bS�4� "O� kg/m/A tensaono fio e

! ��%� N �� 0 N � N e lembrandoque�� ; 0 �� , temos� $ 0 N $ � N � � N 0 N � N� $ C�� N$; N $ � � N CE� NN; NN �quenosfornece ; N; $ � � N f � N� $ f � $ �-�./¤

Osvaloresde ; quesatisfazema razaoacimasao ; $ �� e ; N �3 , doqueobtemos0 $ � �� $; $ �1��/ �� m e

0 N � �� N; N �3��/ �� m /Voltandoa relacaoda tensao,

! �²� $ 0 N $ � N , obtemosamaisbaixafrequenciadevibracaodosistema,(a)

� �3��C Hz /(b) As extremidadesfixas sao nos, evidentemente.Ocomprimento� $ acomodaum comprimento

0 $ , com �nos, inclusive o do pontode juncao dosfios. O com-primento � N acomoda�./¤ comprimentos

0 N , com � nos,incluindoo do pontode juncao. Entao,o fio compostotemumtotalde I nosnessemodovibrante.

17.3 ProblemasAdicionais

17-65. Uma corda,submetidaa umatensao de �� Ne presaem ambasasextremidades,oscilano segundoharmonicode umaondaestacionaria. O deslocamentodacordae dadopor2 � 6 ��4�4� m

7 6 94:5; A * �� 7 95:5; ��A + �onde * �� numadaspontasda corda, * e dadoemmetrose

+emsegundos.Quaissao (a) o comprimento

dacorda,(b) a velocidadeescalardasondasnacordae(c) amassadacorda?(d) Seacordaoscilarnumpadraode ondaestacionaria referenteao terceiroharmonico,qualsera o perıododeoscilacao?� (a) Da formadaondadada,temos< �°A#�� rad/me0 ��A#� < �³C�/ � m. Comoa cordavibra no segundoharmonico, ; �-� , resultaque�� 0 �1C�/ ��ZS/(b) A velocidadedasondasnacordaobtemosde�D� ? < �3�C m/s

(c) Com a tensao aplicadae a velocidadedo ıtem (b),temos �[� �� N �H��/ ��C(' kg/m



A massadacordaentaoeZ´�M�� / ��X kg /(d) Seacordavibrano terceiroharmonico,a frequenciae

� � ; �.��[��X�/ � Hz e o perıodo de oscilacao e! � � "�$ �1��/�� s.

17-67. Umaondaestacionariaresultadasomadeduasondastransversaisprogressivasdadaspor2 $ �H�� 9 6 A *�K C�A +87 �2 N �H�� 9 6 A *>= C�A +87 �onde * , 2 $ e 2 N estao em metrose

+em segundos.

(a) Qual e o menor valor positivo de * que corres-pondea um no? (b) Em quais instantesno intervalo�@µ + µ�� s a partıcula em * �¶� tera velocidadezero?� (a)Usandoa identidadetrigonometrica,�� 9 � = �� 9 � �1� �� 9 �� 6·� =}� 7 �� 9 �� 6r� KT� 7 �chegamosa formadaondaestacionariaresultante:¢ 6 * � +87 �3��/��4� �� 9 A * �� 9 C�A + /

A cadano, devemoster

¢ �3� . Portanto,�� 9 A * � �A * � A �* � ��/ m

(b) A velocidadeparaqualquerpartıculadacordaosci-lanteeLk6 * � +87 � � ¢� + � K 6 C�A 7 6 ��/��5� 7 �� 9 A * 95:5; C�A + /Em * �1� , apartıculatemvelocidadenulaquando95:5; C�A + � �C�A + � ; A+ � ; C �onde ; �B��^��J�.�4/�/�/ . Dentrodo intervalo emquestao,avelocidadeenulapara

+ �H� s,+ �1��/¤�� se

+ �3��/¤ s.


LISTA 3 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 30deNovembrode2003, as10:57a.m.







Conteudo

18 ONDAS - II 2

18.1 Questionario . . . . . . . . . . . . . . . 2

18.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 3


(listam3.tex)



18 ONDAS - II

18.1 Questionario

18-3. Queevidenciaexperimentalexiste paraafirmar-mosquea velocidadedo som,no ar, e a mesmaparaqualquercomprimentodeonda?� O fenomenodo ecoevidenciabemestefato. Seoar fosseummeiodispersivo, o somrefletidonoeconaoreproduziriao somemitido.

18-6. Qual e a funcaocomumdasvalvulasdeum pis-tome davarado trombone?� As valvulasdo pistome a varado trombonetem afuncaodealteraro comprimentodacolunadear no in-terior destesinstrumentos,paraproduzirasfrequenciascorrespondentesasnotasmusicais.

18-9. Quandovoce bateemum dosdentesdeum dia-pasao, o outro dentetambem oscila,mesmoquea ex-tremidadeinferior do diapasao estejafixa. Como istoacontece?E como podeo segundodenteoscilar, domesmomodoqueo primeiro(a mesmafrequencia)?� O segundodentedodiapasaooscila- ecomamesmafrequencia- porqueuma ondase propagatambem nointerior daestruturacristalinado metaldequee feito odiapasao.

18-11. Comopodemoslocalizar, numaexperiencia,asposicoesdosnose ventresemumacorda,emumaco-lunadeare emumasuperfıcievibrante?� As posicoesdos nos e ventresem uma cordasaofacilmentevisualizados,sea frequencianao for muitogrande. Na colunade ar, os nos e ventrespodemserdeterminadospelodispositivo ilustradonaFig. 18-29edescritonoexercıcio18-49E.Numasuperfıcievibrante,podemosespalharalgumpo bemvisıvel eobservarondeeleseacumulaparadiferentesfrequenciasdeoscilacao.A Fig. 17-19mostraalgunsmodosdevibracaodamem-branadeumtambor.

18-14. Expliqueo somaudıvel produzidoao passarodedoumidopelabocadeumcalicedevinho.

� O interior do calicee comoumacolunadear e umaressoanciaaconteceparaumadadafrequenciado mo-vimentodo dedo.Mudandoo nıvel do vinho no calice,mudaa alturadacolunadear e a ressonanciavai acon-tecendoparaoutrasfrequencias.

18-15. Um relampagodissipaumaquantidadeenormedeenergiaeeessencilamenteinstantaneopelospadroesdenossavida diaria. Comoessaenergia setransformanosomdotrovao?� A correnteeletricano relampagoproduzum aque-cimento do ar, que sofre uma bruscaexpansao, pro-duzindoa propagaçao de uma ondasonorade grandeamplitude.

18-16. Ondassonoraspodemser usadaspara medira velocidadecom que o sanguepassapelasveias earterias.Expliquecomo.� Ondasultra-sonicasatingeme sao refletidaspelasestruturasdediferentesdensidadespresentesno sanguee movendo-secomeleao longodasveiase arterias.Afrequenciarefletidasera maiorou menorquea emitida,emfuncaodomovimento.

18-18.Suponhamosque,noefeitoDopplerparao som,a fonte e o receptorestao em repousoem relacao aalgum ponto de referencia, mas o ar esta se moven-do levandoemcontaesseponto. Havera mudançasnocomprimentodeonda(ou frequencia)recebido?� Nao.Deve haverummovimentorelativo entrefonteereceptorparaobservarmosmudançasnocomprimentodeonda.

18-20. De quemodoo efeito Dopplerpodeserusadoemuminstrumentoparadetectarabatidadocoracaodeumfeto?(Esteprocedimentoe rotineiroemmedicina.)� O movimento do musculo cardıaco altera afrequenciadasondasultra-sonicasna reflexao, permi-tindoassima detecçaodassuasbatidas.




Secao18-2A Velocidadedo Som

18-2E.Umacolunadesoldados,marchandoa �� pas-sospor minuto, segue a musicada bandaa frente dopelotao. Observa-seque os soldadosatras da colunaavancam com o pe esquerdo,enquantoos musicosdabandaavancamcomo direito. Qualo tamanhodacolu-na,aproximadamente?� A frequenciadamarchae de � passosporsegundoeaspassadasdosmusicose dossoldadosatrasdacolunaestaodefasadasdemeiocomprimentodeonda:�� m �Portanto,o tamanhodacolunae,aproximadamente,� � �� m �18-5E. A densidademedia da crostaterrestre, �� kmabaixodasuperfıcie, e de �� g/cm� . A velocidadedasondaslongitudinaissısmicasa essaprofundidade,en-contradaa partir damedidado tempoemquechegam,vindasdeterremotosdistantes,e de �� km/s. Useestainformacao para acharo modulo de elasticidadevo-lumetricada crostaterrestrea essaprofundidade.Paracomparaçao, o modulo de elasticidadevolumetricadoaco e,aproximadamente,�� Pa.� Aplicamosdiretamentea relacao entrea velocida-de depropagaçao,a densidadedo meioe o modulodeelasticidade:! �#" %$ � �� &�'�(� �)� Pa�O modulodeelasticidadedacrostaaprofundidadedadae a metadedodoaco.

18-8P. A velocidadedo somem um certo metal e * .Em umaextremidadedeum longotubodestemetal,decomprimento+ , se produzum som. Um ouvinte dooutro ladodo tubo ouve dois sons,um da ondaquesepropagapelotuboeoutrodaquesepropagapeloar. (a)Se eavelocidadedosomnoar, queintervalodetempo,

ocorreentreosdoissons?(b) Supondoque, � �� s

e queo metale o ferro,encontreo comprimento+ .

� (a) O tempoquea ondaquesepropagapeloar levaparapercorrer+ e

, � � +.- e o tempoparaa quesepropaganometale

, $ � +.-�* . Portanto,, � , �0/ , $ � + 1 * / %2 *(b) Tomando* � ��34�� m/s, aproximadamente,obte-mos + �65 �� m.

18-11P. Umapedrae jogadanumpoco. O somdapedrasechocandocoma aguae ouvido

5 � �� sdepois.Qualaprofundidadedopoco?� A profundidadedo poco e 7 �98 , $: -�� , onde

, : e otempoqueapedralevaparaatingiraagua.Mastambem7 � ,<;

, sendo,<;

o tempoqueo somlevaparaalcancara bordado poco. A somadessestempose o intervalomedido: , :>= , ; ��5 � �4� s�Igualandoasequaçoesparaa profundidade7 , 1 5 � �� / , : 2 � �� 8 , $ :@?teremosumaequaçaodosegundograupara

, : , cujaraizvalida,

, : � �� s, fornecea profundidadedo poco7 � �A�� m.

Secao18-3PropagacaodeOndasSonoras

18-14E.Ultra-soma frequenciade �A� �� MHz e usadoparaexaminartumoresnostecidosinternos.(a) Qualocomprimentodeondano ar dessasondassonoras?(b)Sea velocidadedosomno tecidoe de �� m/s,qualocomprimentodeondadasondasno tecido?� (a)O comprimentodeondae dadopor�B�C�ED ��GF m �(b) Se @H � ��4� m/s,entaoo comprimentodeondanotecidoe � H �I H� � �J� 5�5 mm�18-18P. A pressao em umaondasonoraprogressiva edadapelaequaçaoKML � 1 �4� � Pa2ON�P�QSRIT 1 �4� �4� m U � 2)V / 1 545 � sU � 2 ,XW �Encontre(a) a amplitudede pressao, (b) a frequencia,(c) o comprimentodeondae(d) avelocidadedaonda.



� (a)Daequaçaodaondatemosdiretamentequeaaml-pitudeede �� Pa.(b) A frequenciaangulare Y �Z545 � R rad/s. Entao afrequenciadasoscilacoese� � Y� R � �(�4� Hz �(c) O numerodeondaangulare [ � R rad/m. Entaoocomprimentodeondae�� R[ � �� m �(d) A velocidadedepropagaçaodaondae dadapor �� Y [ ��5�5 � m/s�18-21P. NaFig. 18-25,doisalto-falantes,separadosporumadistanciade �J� �4� m, estao em fase. Supondoquea amplitudedossonsdosdoisseja,demodoaproxima-do, a mesmanaposicao do ouvinte,queesta a

5 �� mdiretamentea frentede um dosalto-falantes. (a) Paraquaisfrequenciasaudıveis( �� - ��4�� Hz) existeum si-nal mınimo? (b) Paraquaisfrequenciaso somfica aomaximo?� (a) A condicaoparaa ocorrenciadosmınimose quea diferenca depercursoentreasfontese o ouvintesejaumnumero\ inteirodemeioscomprimentosdeonda:K N � N �./ N $ � 1 \ = �� 2 � �onde N � �^] 1 5 �� 2 $ = 1 �� 2 $ � �A� �4� m e N $ �5 �� m. Reescrevemosa equaçaodosmınimosparaasfrequencias: � � 1 \ = �� 2 K N ?da qualobtemos,para \ � � ,

� � �I5 � 5 Hz, a menorfrequenciano intervalo audıvel. A maior frequencianointervaloocorrepara\ � � � , sendo

� $`_ � �(3��J� Hz.(b) A condicaoparaa ocorrenciadosmaximose queadiferenca de percursosejaum numerointeiro de com-primentosdeonda K N � \ �a�C� �Explicitandoa frequencia,temos� � \ K N ?

que fornece� � � � � � Hz e

� $`b � ��3 � 3�� Hz paraamenorea maiorfrequenciasno intervaloaudıvel.

18-24P. Umaondasonorade comprimentodeondade��J� � cm entrano tubo mostradona Fig. 18-26. Qualdeve sero menorraio c , demodoqueum mınimo sejaregistradopelodetector?� Paraummınimo,a diferenca depercursoseraR c / �@c � � � ?demodoqueobtemosparao raioc � �� 1 R / � 2 � �� 4� cm�18-25P. Na Fig. 18-27,umafontepontual d deondassonorasesta proximaa um muro refletor e !

. Um de-tector f interceptao raiosonorog � , vindodiretamentede d . Tambeminterceptao raio sonorog $ , quefoi re-fletidopelomurocomum angulodeincidencia h@i igualao angulodereflexao h@j . Encontreasduasfrequenciasparaasquaisexisteinterferenciaconstrutiva entre g � eg $ em f . (A reflexaodosomnomuronaoalteraa fasedaondasonora.)� ObservandoageometriadaFig. 18-27,temosparaoraio g � : g � � ] � � $ = �� $ � 3��k� 5 � ft �O raio g $ e refletidopelomuro e !

numpontoqueestaadistancial verticalmenteabaixode d . Dasemelhançadostriangulosestabelecemosl�� / l3�� ?quenosforneceo valor l � � ft. Agorapodemosdeter-minar g $ : g $ � ] �� $ = 34� $ � �(��k� �� ft.

A distancia m , de d ate o pontodo murodeonde g $ erefletido,e m � ] � $ = �� $ � ��n� � ft �Agorapodemoscalcularadiferencadepercurso

KSonos

caminhosde g � e g $ ate f :Kpo � m = g $ / g � � �@ %� �4� ft.



ParaosmaximosdeinterferenciadevemosterKpo � \ � ? com \ � � ? � ? � ? �q�n�Explicitandoessarelacaoparaa frequencia,temos� � �rKSo � �4��4��@ %� �4� � ��A� � Hz e

� $ � � KSo � �4��@ %� �4� � ��3 Hz.

Secao18-4Intensidadee Nıvel do Som

18-29E.Umanotadefrequencia5 �4� Hz temumainten-

sidadede �� .F W/m$ . Qualaamplitudedasoscilacoesdoar, causadasporestesom?� Tirando N�s darelacaodaintensidade,vemN�s �ut ��v" Y $kw �`x $ �65 �k� � nm�18-30E.Dois sonsdiferemem nıvel por �4� �4� dB. Porque numeroficam multiplicadas(a) suaintensidadee(b) suaamplitude?� Sea diferencaemnıvel e de �4� �4� dB, entao1 �(� dB2 ozy 8 v $v � � �� dB ?

o{y 8 v $v � � �k�q�4�(a)Entaoo fatorentreasintensidadesev $ � ��0v � �(b) E o fatorentreasamplitudeseN(s}| $N(s}| � ��~ �4� �� 4�q��18-34E.Umafontedeondassonorastemumapotenciade �� F W. Sefor umafontepontual(a)quala intensi-dadea

5 � �� m dedistanciae (b) qualo nıvel dosomemdecibeisa essadistancia?� (a)Dadaa potencia,calculamosa intensidadeporv � �� R c $ �� U b W/m$ �

(b) O nıvel sonoroparaa distanciapedida,com v � �� U � $ W/m$ , sera� � 1 �� dB 2 o{y 8 vv �� 1 �� dB 2 o{y 8 � � � �� U b�4� ��'�(� U � $� 1 �� dB 2 1 5 � 3�� 2 �65 3k� � dB

18.36P(a) Mostrequea intensidadev deumaondae oprodutodaenergia daondapor unidadedevolume � esuavelocidade . (b) Ondasde radio viajam a veloci-dadede

5 � ��a��(� _ m/s. Encontre� paraumaondaderadiodistando� � � km deumafontedepotencia ��4��W, considerandoasondasesfericas.� (a) Podemosrecorrera analise dimensional. Narelacao da intensidade, v � " Y $ N $s -�� , o fator" Y $ N $s -�� temdimensaodeenergia por unidadedevo-lume(verifique!),portanto,podemosexpressara inten-sidadeemtermosde � como v � � .(b) Comosdadosfornecidos,calculamosa intensidade:v � �� R c $ � �� 5 ��U _ W/m$ �E comarelacaodo ıtem(a),obtemos� � v � �� '�(��U � � J/m��18-39P. Encontreasrazoesdas(a) intensidades,(b) am-plitudesde pressao e (c) amplitudesde deslocamentosdepartıculasparadoissonscujosnıveisdiferempor

5 dB.� (a)Paraarazaoentreasintensidades,temosozy 8 v $v � �65 ��

v $v � � ��J��(b) Explicitandoa razaoentreasintensidades,temosv $v � � Y $ N $s}| $Y $ N $s}| � ?queforneceparaarazaoentreasamplitudesdepressaoK}L $K}L � � Y N s}| $Y N(s}| � �� v $v � � @�k� �



(c) A razao entreas amplitudesde deslocamentoe amesmarazaoentreasamplitudesdepressao.

18-40P. A uma distancia de �(� km, um berrantede�(�4� Hz, consideradocomoumafontepontual,e ouvidomuitobaixo.A quedistanciacomecaraacausardornosouvidos?� O limiar daaudicaodolorosae de �� dB, deacor-do coma Tabela18-3. Essenıvel sonorocorrespondeaintensidade o{y 8 vv � � �� ?

v � �� $ v � � �� W/m$ �Paraasdistanciasemquestao,com c � � �� m, temosv � c $� � v�c $ ?quefornecec � �� U $ m.

18-41P. VoceestaparadoaumadistanciaD deumafon-tequeemiteondassonoras,deformaigual,emtodasasdirecoes. Caminha��J� � m emdirecao a fontee obser-va quea intensidadedasondasfoi dobrada.Calculeadistanciaf .� Com a equac¸ao � � v 1 � R c�$ 2 , relacionamosasin-tensidadesnasduasdistancias,v�f $ � ��v 1 f / �� 2 $ ?obtendoumaequac¸ao do segundograuparaa variavelf , cujaraizvalidafornecef � �@ %� m.

18-45P. A Fig. 18-28 mostra um interferometroacustico, cheio de ar, usadoparademonstrara inter-ferenciadeondassonoras.d e um diafragma;f e umdetectordesom,comoo nossoouvidoou um microfo-ne.O comprimentod ! f podeservariado,enquantoocomprimentod�eMf e fixo. Em f , a ondasonoravindade d ! f interferecomavindade d�e}f . A intensidadedosomem f temumvalormınimode �� unidadesemumacertaposicaode

!e cresce,demaneiracontınua,

ate um valor maximode 34�� unidadesquando!

e des-locadode �4� �� cm. Encontre(a) a frequenciado somemitidopelafontee(b) arazaoqueaamplitudedaondade d�eMf temcomaamplitudedaondade d ! f em f .

(c) Comopodemessasondasteremdiferentesamplitu-des,seforamoriginadaspelamesmafonte d ?� (a) Do mınimo parao maximo,o deslocamentoded�f !

e tal quefaz crescera diferenca de percursodemeio comprimentode ondaparaum comprimentodeondainteiro, isto e,� � � �S�'�� 4� cm�Portanto,

�� k� � cm e a frequenciado somemitidopelafontee entao� �� 5 � 5�k� �4�� J�(3% Hz �(b) Chamemosde e a amplitudedaondaquechegaemf vindo por d�e}f e

!a amplitudeda ondaquevem

pelo caminho d ! f . A intensidadee proporcionalaamplitudeaoquadrado.Entao,v max.

� [ 1 e = ! 2 $ � 3�� ?v mın.

� [ 1 e / ! 2 $ � �(�4�J�Tomandoa razaodasintensidades,temos1 e = ! 2 $1 e / ! 2 $ � 3 ?quenoslevaaoresultadoe! � �J�(c) O atritoentreo areasparedesdo tuboreduza ener-giadasondasnopercurso.Comoo percursoe diferenteparaasduasondasqueseencontramem f , suasampli-tudessaodiferentes.

18-46P*. Dois alto-falantes,d � e d $ , estaoa %� � m umdo outro e oscilamem fase,cadaum emitindosomnafrequenciade �� Hz, demodouniforme,emtodasasdirecoes. d � emitea umapotenciade ��(� U � W ed $ a �� #�(� U � W. Sejaum pontoP, queesta �A� � mde d � e

5 � � m de d $ . (a) Comoasfasesdasduasondaspassandopor � serealcionam?(b) Quala intensidadedosomemP com d � e d $ ligadas?(c) Qualaintensida-dedo somemP, se d � esta desligado( d $ ligado)? (d)Qual a intensidadedo somem P, se d $ esta desligado( d � ligado)?� (a) A distanciade d � a � e c � � �k� � m e a distanciade d $ a � e c $ ��5 � � m, tal quea diferenca depercurso



eK m � �� m. Entaoa diferenca defaseentreasondas

em � e � � � R K m� � ��n�� R rad� ��4�

Lembrandoqueasondasquesecombinamem � viajamemsentidosopostos,adiferenca defaseedefato� � � / � � �� 5 ��(b) A intensidadedo som com ambasas fontes li-gadasdependeda amplitudeda onda que resultadasuperposiçaodasondasno ponto � . Comoessasondasfazempercursosdiferentes,asamplitudesem � tambemsaodiferentes.Suponhamosqueem � temosV � � . Asondasquevamossomarsaoentao7 � � e N�P(Q Y ,

e7 $ � ! N�P�Q 1 Y , = � 2 ?onde e e

!sao as amplitudesdasondas. Usandoa

identidadetrigonometricaN�P�Q 1 Y , = 5 �4� 2 � N�P�Q Y , � y N 5 �� = � y N Y , N�P�Q 5 �4�chegamosa expressao7 � e N�P�Q Y , = ! 1 �J� � N�P�Q Y , = �J�� y N Y , 2� 1 e = �J� � ! 2`N(P�Q Y , = �J�� ! � y N Y ,� 1 e = �J� � ! 2��N�P(Q Y , = �J�� !e = �k� � ! � y N Y ,X�A onda7 tema formageraldaondaprogressiva7 � �

m N�P�Q 1 Y , = � 2� �m

1 N�P(Q Y , � y N � = � y N Y , N�P�Q � 2Secao18-5FontesSonorasMusicais

18-49E.Na Fig. 18-29,um bastao g esta fixado peloseucentro;um disco f , presoa um extremodo bastao,esta dentrode um tubo de vidro que tem pedaços decortica enfileiradosnoseuinterior. Um embolo � e co-locadono outroextremo.Fazemosentaoo bastaoosci-lar, longitudinalmente,a frequencia

�paraproduziron-

dassonorasdentrodo tubo,eo embolo� eajustadoatequeumaondaestacionaria sejaconseguidano interiordo tubo. Quandoisto acontece,os pedaços de corticaseacumulamnasregioescorrespondentesaosnos dasondasproduzidasnaqueleinterior. Mostreque,se m e a

distanciamediaentreospontosdeacumulaçao,a velo-cidadedosom nogas,dentrodo tubo,edadapor � � � mA�Estee o metododeKundtparadeterminara velocidadedosomnosgases.� Se m e a separaçaoentreosnosdaondaestacionaria,entao

�B� ��m eavelocidadedaondasendo �� , nos

levadiretamenteaoresultadopedido, � ��m � �18-54E.Um tubo de um orgao e , com asduasextre-midadesabertas,tem uma frequenciafundamentalde5 �� Hz. O terceiroharmonico de um orgao

!, com

umaextremidadeaberta,temamesmafrequenciaqueosegundoharmonicodo e . Qual o comprimento(a) dotubodo orgao e e (b) do

!?� Paraum tubocomasduasextremidadesabertas,te-

mosasfrequenciasderessonanciadadaspor�� Q � ��+ � ? com Q � � � ? � ? 5 ? �n�q�Para um tubo com uma extremidade aberta, asfrequenciassao�@� � Q � �4+ � ? com Q � � � ? 5 ? � ? �n�n�(a)A frequenciafundamentalfornecidalevadiretamen-teaocomprimento+ �

:+ � � � �@� � � 5 � 5�4�� k� �� m �(b) Sabemosque

�@� � � �� $ , ouseja,5 ��+ � � + � ?quenosforneceo comprimento+ � � �J� � 5 m.

18-56P. Umacertacordadeviolino tem5 � cm decom-

primento,esta fixa nassuasduasextremidadese temmassade �J� � g. A cordaemiteumanota e ( �� hz),quandotocadasemsecolocaro dedo.(a)Ondesedevecolocaro dedoparaqueacordapasseaemitir umanota�

( �� 5 Hz)? (b) Qual a razao entreos comprimentosde ondada ondada cordanecessario paraumanota ee parauma

�? (c) Qual a razao entreo comprimento

deondadaondasonora,quandoe tocadaumanota e e



uma�

?� (a) Quandotocadasemcolocaro dedo,a cordavi-branasuafrequenciafundamental,

� � � �4�4� Hz, com� � � ��+ � �J� �� m e a velocidadee �� m/s. Como dedoposicionado,o comprimentodeondanacordapassaa ser

�A�E� - � �#� �J�� m. Sendo+��o novo comprimentodacorda,temos�A�� +G�Q ?e,se Q � � , vamoster+ � � � �� J�� m �Portanto,o dedodeveserposicionadoaK + � + / + � � �� cm

daextremidadedacorda.(b) A razaoentreoscomprimentosdeondanacordae� �� J�� 4�q��3J�(c) A razao entreos comprimentosde ondadasondassonorasea mesmado ıtem(b).

18-57P. Umacordadeumvioloncelotemcomprimento+ , parao qual a frequenciafundamentale�

. (a) Dequal comprimento

oprecisaa cordaserdiminuıdacom

o dedo,paramudara frequenciafundamentalpara c � ?(b) Qualo valor de

opara + � �J� � � m e c � ��-�� ? (c)

Para c � ��-�� , quala razaoentreo comprimentodeon-dadanova ondasonoraemitidapelacordae a emitidaantesdacolocacaododedo?� As frequenciasderessoanciadacordafixa nasduasextremidadessao� ��+ Q ? com Q � � ? � ? 5 ? �n�n�Se

�e a frequenciafundamental,

� � -��+ . A novafrequenciafundamentale c � � -�� 1 + / o 2 .(a)Tomandoarazaoentreasfrequenciasc � e

�, temosc � ++ / o ?

quenosfornece o � + 1 � / �c 2 �

(b) Comosdadosfornecidose o resultadodo ıtem(a),vem o � �J� � 1 � / �k� �45 2 � �k�q�(� m �(c) Para a frequencia

�,�� + e paraa frequenciac � ,

� � � ��+G� . Mas, +�� + / o � c�-�+ . Entao,parac � �%-�� , � �� c � �� E 18-60 ( na 6¡ edicao)

Umapalmano palcodeum anfiteatro(Fig. 18-31)pro-duzondassonorasquesedispersamemumaarquiban-cadacom degrausde largura + � �k�� m. O somre-tornaaopalcocomoumaseriedepulsosperiodicos,umdecadadegrau;ospulsossoamjuntoscomoumanota.(a) A quefrequenciaos pulsosretornarao (isto e, quala frequenciadanotapercebida)?(b) Sea largura + dosdegrausfossemenor, a frequenciapercebidaseriamaioroumenor?� (a) Parainterferir construtivamente,asondasrefle-tidaspelosdegrausdevemconterum numerointeiro decomprimentosdeondanadiferenca depercurso,ou se-ja, K m � \ � ? com \ � � ? � ? � ? �q�n�Para dois degraus consecutivos,

K m � ��+ e, para\ � � , �#� ��+ . Entao,a menorfrequencia( Q � � )dospulsosrefletidossera� � ��+ � 5 � 51 � 2 1 �k�� 2 � �4��3 Hz �(b) Como

��¢ ��-�+ , a frequenciapercebidaseriamaiorse + fossemenor.

18-63P. Uma cordade violino de5 �J� � cm de compri-

mentocom densidadelinear de �k� �� g/m e colocadaproxima de um alto-falante,que esta conectadoa umosciladorde audiode frequenciavariavel. Descobre-seque a cordaoscila somentenasfrequencias

�� Hz e� 5 �� Hz, quandoa frequenciado osciladorvaria entre�� e �� Hz. Quala tensaonacorda?� As frequencias dadas correspondema doisharmonicosda corda,com numerosQ � e Q $ , respecti-vamente.Com

� � Q£ -��+ , tomamosa razaoentreosharmonicos: Q $Q � � � 5 ��



Os valoresque satisfazemestarazao sao Q � � � eQ $ �65. A velocidadedaondanacorda,paraQ � � � , e � ��+ �Q � 1 �k� 5 � 2 1 �� 2 � �� m/s�

E, finalmente,¤ � F $ � 1 �J� �4�p�¥�(� U � 2 1 �� 2 $ � ��J� 5 N �Secao18-6Batimentos

18-65E.A corda e de um violino esta frouxa. Quatrobatimentospor segundosaoouvidos,quandoa cordaetocadajunto a um diapasao,cujafrequenciacorrespon-de a nota e ( �4�4� hz). Qual o perıodo da oscilacao dacordadoviolino?� Com

�bat.

� � �}/ � $ , e� $ � �4�4� Hz, a frequencia

devibracaodacordae� � � �4�� Hz. Potanto,o perıodo

dasvibracoesdacordae¦ � � U � � �� ms�E 18-66 ( na 6¡ edicao)

Sao-lhe dadosquatro diapasoes. O diapasao com afrequenciamaisbaixaoscilaa �� Hz. Fazendo-seosci-lar doisdiapaoessimultaneamenteouvem-seasseguintefrequenciasdebatimento: � ? � ? 5 ? � ? e

�Hz. Quaisas

possıveisfrequenciasdosoutrosdoisdiapasoes?� Chamemos� � � �� Hz e as demaisfrequencias

procuradasde� $ , � � e

� � . Comasfrequenciasdebati-mentosouvidas,chegamosasprocuradas:� � / � � �6�

Hz ? � � � �� Hz� �0/ � � � Hz ? � � � �� Hz� $ / � � � � Hz ? � $ � �� Hz �As combinac¸oespossıveisdessasfrequenciasproduzemosdemaisbatimentos(emHz):� ��/ � � � � ? � ��/ � $ � � ? � ��/ � $ �65 �18-67P. Duas cordas de piano identicas tem umafrequenciafundamentalde �� Hz, quandocolocadassobamesmatensao.Queaumentofracionarionatensaode uma cordaira levar a ocorrenciade � batimentos,quandoascordasoscilaremjuntas?

� A cordamaistensionadavibrara a� � � �

bat. = � $ ��4�� Hz. Paraafrequenciafundamental, �§� � � ��+ �.

Com

¤ � F $ , as tensoes serao

¤ � � ��FO+ $ � $� e¤ $ � �4FO+ $ � $$ . A razaoentreastensoese¤ �¤ $ � t � �� $ w $� t �4��4�� w $� �4� ��Portanto,paraproduzirosbatimentos,a tensaodeumadascordasdeveserincrementadaem ��¨ .

Secao18-7O Efeito Doppler

18-71E. Um apito usadopara chamarcaestem umafrequenciade

5 � kHz. O cao, entretanto,o ignora. Odonodo cao, que nao podeescutarfrequenciasacimade �� kHz, decideusaro efeitoDopplerparadescobrirseo apito funcionade maneiraadequada.Pedea umamigoquesopreo apitonointeriordeumcarroemmo-vimento,enquantoele permaneceparadoouvindo. (a)Qualprecisasera velocidadedo carroe quala direcaoparaqueo donoescuteo apitoa �� kHz (seeleestiverfuncionando)?O experimentoemquestaoepratico?(b)Refacaparaumafrequenciadoapitoiguala �� kHz,emvezde

5 � kHz.� (a) Para termosessaredcao na frequencia,o carrodeveafastar-sedodono:� � �� = �©

��[5 ��[ � 5 � 55 � 5 / �© ?quefornece © � �J�@ %� � km/h! Essavelocidadecorres-pondeas

5�� mi/h apresentadana respostado livro. Oexperimentonaoe realizavel, porquecarrosnaosaotaovelozes.(b) Refazendoos calculosparaa frequencia

� � �4�kHz, vamosencontrar�© � �� 5 �� km/h,quecorrespon-deas � mi/h. Comessavelocidadeo experimentopodeserrealizado.

18-73E.Umaambulanciatocandosuasirenea �� Hzultrapassaum ciclista,queestava pedalandoa

� � �� ft/s.Depoisdaambulanciaultrapassa- lo, o ciclistaescutaa



sirenea ��34� Hz. Quala velocidadedaambulancia?� Fontee detetorestaoemmovimentoe,aposa ultra-passagem,o detetormove-seemdirecaoa fonte:� � � � = �ª = �« �Trabalhandocom � �� ft/s, obtemos��34��4� � �� = � � �4�� = « ?quefornece « � ��n� ft/s.

18-79P. Dois diapasoesidenticospodemoscilara ��Hz. Umapessoaesta localizadaemalgumlugarna li-nha entreos dois diapasoes. Calculea frequenciadebatimentoscaptadaporesseindivıduose(a)permaneceparadoeosdiapasoessemovemparaadireitaa

5 � m/s,e (b) os diapasoesestiveremparadose o indivıduo semovendoparaa direitaa

5 � m/s.� (a) Um diapasao aproxima-sedo detetore o outroafasta-se. Os batimentosresultamda diferenca entreasfrequenciasouvidasdevido ao movimentosdosdia-pasoes: �

aprox.

� � / «� �� 5 � 55 � 5 / 5 �� Hz.�afast.

� � = «� �� 5 � 55 � 5 = 5 �� 4��k� � Hz.

Portanto,�

bat.

� �aprox. / �

afast.

� � �� Hz.(b) Agoraeo detetorqueseaproximadeumafonteeseafastadaoutra:�

aprox.

� � = �ª� �� 5 � 5 = 5 �5 � 5� �% � �� Hz.�afast.

� �¬ / ª

� �4�4� 5 � 5 / 5 �5 � 5� ��J�4� � Hz.

Assim,�

bat.

� �aprox. / �

afast.

� 4 Hz.

P 18-80 (18-60/6¡ edicao)

Um aviaovoa a �4-�� davelocidadedo som. Aexplosaosonicaalcanca um homemno soloexatamen-te l min depoisdo aviao ter passadosobresuacabec¸a.Qual a altitude do aviao? Considerea velocidadedosomcomo

545 � m/s.� A velocidadedo aviaoe � � 1 �4� �4� 2 1 5�5 � 2 � �A��m/s.Apos1 minuto,o aviaopercorreua distanciaV � � , � 1 �A��J� � 2 1 �4� 2 � ��% �� m.

O angulodoconedeMache dadoporN�P(Q h � � � 5�5 ��A��J� � � �k� � � ?dondeobtemosh � � 5 � . A altitude doaviaoe tal queV � , ® Q h ?fornecendo � V tan h � 1 �@�� 2 tan � 5 � �65 � � ��¯ 545

km �P 18-82 ( na 6¡ edicao)

A Fig. 18-33mostraum transmissore um receptordeondascontidosem um unico instrumento.Ele e usadoparamedira velocidade� deum objeto(idealizadoporuma laminalisa) que se move diretamentena direcaodo instrumento,analisandoasondasrefletidasno alvo.(a) Mostrequea frequencia

� j , dasondasrefletidasaoreceptor, serelacionacoma frequenciaemitida

� ;por� j � � ; t° = � / � w ?

onde e a velocidadedas ondas. (b) Em muitassituacoespraticas,��±�± . Nestecaso,mostrequeaequac¸aoacimasetorna� j / � ;� ; D �@� �



� (a) A alteracaona frequenciadevida a aproximaçaodoobjetoe � � � � ; = � �Na reflexao,o objetopassaa serumafontemovel, en-quantoo detetor, estacionario,recebea frequencia� j � � � / � �Combinandoestasequaçoes,obtemos� j � � ; = � / �� ; = � / �(b) Se �²±�± , usamosa expansaobinomialparaobter� j� ; ��³ � = � >´ ³ � / � �´ U � D ³ � = � �´ ³ � = � >´ ?e chegaraoresultadopedido,� j / � ;� ; D �� Veremosmaisafrentequeosproblemas18.84P, 18.89Pe 18.101Psaoaplicacoesdesteresultado.

P 18-84 (18-53/6¡ edicao)

Um alarmeacusticocontraroubosconsisteemumafon-te queemiteondasa frequenciade � � kHz. Qualsera afrequenciadosbatimentosrefletidospor um intrusoan-dandoaumavelocidademediade �J� 34�� m/s,nadirecaoopostaaoalarme?� Aqui o intrusoafasta-sedafontecomumavelocida-de � � / �k� 3�� m/squesatisfaz µ �¶µ4·¸µ µ , onde �65 � 5m/seavelocidadedosomnoara �� (vejaTabela18.1).Portanto,usandoo resultadono item (b) do problema18-82acima,encontramosque�

bat� µ � j / � ; µº¹ �kµ �¶µ � ;

¹ � 1 �J� 34� 25 � 5 1 � � �'�(� � 2 � �� Hz �18-89P. Em umadiscussao sobredeslocamentosDop-pler de ondasultra-sonicas, usadosem diagnosticosmedicos,o autorcomenta:“Paracadamilımetroporse-gundoqueumaestruturadocorposemove,afrequencia

dasondasultra-sonicasincidentessofre uma variacaode,aproximadamente,�4� 5 � Hz/MHz.” Quevelocidadede ondasultra-sonicasem tecidosvoce deduz,a partirdessaafirmativa?� A variacaofracionaldafrequenciadasondaseK �� 5 ��(�4» �No problema18.82PobtivemosK �� D �@� �Com � � �(� U � m/s,chegamosa velocidadedasondasultra-sonicasnostecidos, � ��@�� m/s.

P 18-92 (18-56/6¡ edicao)

Umasirenede ��4� Hz eumoficialdadefesacivil estaoemrepousoemrelacaoaTerra.Quefrequenciao oficialira ouvir, se o ventoestiver soprandoa �� m/s (a) dafonteparao oficial e (b) dooficial paraa fonte?� (a)A formuladodeslocamentoDopplerevalidaape-nasquandoasvelocidadesdasireneedooficial, � ;

e � � ,foremmedidasemrelacaoa um meioestacionario (i.e.,semvento).Paramodificara formulademodoa levaroventoemconsideraçaobastamudarparaum novo refe-rencialnoqualnaoexistavento.Quandoo ventosoprada fonte parao observadorcomumavelocidade¼ , temos �½�; � �½�� ¼ no novo re-ferencialquesemove junto como vento. Comonestereferencialo observadoraproxima-seda fonte enquan-to quea fontedeleseafasta,temos,no novo sistemadereferencia� � � � = �½�� = �; � � = ¼ = ¼ � � � ��4� Hz.

(b) Nestecaso,bastatrocaro sinalde �½�� e �¾�; . O resul-tadoe que,novamente,naohadeslocamentoDoppler:� � � �¿ / �½�� / �; � �¬ / ¼ / ¼ � � � ��4� Hz.

Em geral,nuncaexistira deslocamentoDopplerquandonaohouver movimentorelativo entreobservadore fon-te, independentementedeexistir ounaoventopresente.

P 18-94 (18-55/6¡ edicao)

Umameninaesta sentadaproximaa umajanelaabertadeum trem,queesta semovendoa umavelocidadede



�(�k� �4� m/sparao leste.A tia dameninaestaproximaaostrilhos,observandoo trempartir. O apitodalocomotivaemiteum soma frequenciade ��4�J� � Hz. Nao ha ven-tos. (a) Quefrequenciaa tia da meninaira ouvir? (b)Quefrequenciaa meninaira ouvir? (c) Comum ventosoprandoparaoestea �(�J� �� m/s,quefrequenciaa tia dameninairaouvir? (d) E amenina?� (a) Comoo trem esta seafastandoda observadora,temos� � � � = �« � �� 5 � 55 � 5 = �� Hz.

(b) Comonao ha movimentorelativo entrea fonte e oobservador, a meninaouve a frequenciaemitida,

� ��4� Hz.(c) Como ventosoprandoparaoeste,teremosasvelo-cidadesrelativas ª�| ar

� �(� m/se�« | ar

� �� m/s.

Comoa fonteseafastadaobservadora,temos� � � � = �ª0| ar = �« | ar

� ��4� 5 � 5 = �(�5 � 5 = �� k� � Hz.

(d) Pelamesmarazaodo ıtem (b), a frequenciaouvidapelameninae

� � �� Hz.

Secao18-8O Efeito Doppler para a Luz

18-96E.Certoscomprimentosde onda,caracterısticosnaluz vindadeumagalaxianaconstelaçaodeVirgem,sao �J� �%¨ maioresdoquealuz correspondentedefontesterrestres.Qual a velocidaderadial dessagalaxia comrespeitoaTerra?Elaestaseaproximandoouseafastan-do?� Aplicandoa equaçao(18-55),temosK �� J� ��Portanto,� � �k� �4�� 4� �S�'�(� » m/s,afastando-se.

18-99P. O perıodode rotacao do Sol no seuequadorede �@� ? d e o seuraio e de %� ��À km. Quedeslo-camentoDopplerno comprimentode ondae esperadoparaa luz de �� nm,emitidadasuperfıciedoSol?� O perıododadocorrespondea �J�q� 5 �� » s . A ve-locidadede qualquerpontoequatorialda superfıcie doSol e � � R c¦ � �� 4��'�(� � m/s,

quevem a sera velocidadeda fonte. Com a equaçao(18-55)vem � � K �� J� � ��'�(�JU » �O deslocamentoDopplere entaoK �B��Á�5 �� pm�18-101P. Microondas,queviajam a velocidadeda luz,saorefletidaspor um aviaodistante,queesta seaproxi-mandodafonte.Sabe-seque,quandoasondasrefletidassecruzamcomasemitidas,a frequenciadosbatimentosede 3�3�� Hz. Seasmicroondastem �J�n�(�� m decompri-mentodeonda,qualavelocidadeaproximadadoaviao?� Este problemae uma aplicacao do resultadodoproblema18.82P, onde substituimos por

�, a velo-

cidadede propagaçao das ondaseletromagneticasnovacuo,

5 � ��Â�� _ m/s. A frequenciadasmicroondase� � � - �a��5 � �� b Hz. Escrevemos� � � D � = �� ?sendo

� � � / � � 3�34� Hz. Portanto,� D 3�34� �� D �43k� � m/s.


LISTA 4 - Prof.JasonGallas,IF–UFRGS 25deFevereirode2004, as4:48a.m.

ExercıciosResolvidosdeTermodinamica






Conteudo

19 Temperatura 219.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

19.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 219.2.1 Medindotemperatura. . . . . . 219.2.2 As escalasCelsiuse Fahrenheit 319.2.3 Expansaotermica. . . . . . . . 3


(lista4.tex)



19 Temperatura

19.1 Questoes

Q 19-3.

Um pedac¸o de gelo e um termometromaisquentesaocolocadosnum recipientehermeticamentefechado,novacuo. O gelo e o termometroestao suspensosde talmaneira,quenaoficamemcontato.Porquea leituradotermometrodiminui, aposalgumtempo?� O termometrotransferecalorpor irradiacao. As for-masdetranferenciadecalorseraoestudadasnocapıtulo20.

Q 19-7.

Embora pareca impossıvel atingir o zero absolu-to de temperatura,temperaturastao baixas quanto��

K foramalcancadasemlaboratorios. Istonaoseriasuficienteparatodososfins praticos?Porqueosfısicosdeveriam(comorealmentefazem)tentarobtertemperaturasaindamaisbaixas?� Porquea muitobaixastemperaturasosmateriaisexi-bempropriedadesnaoobservadasatemperaturasusuais.A supercondutividadee um exemplodessasproprieda-des.A motivacaoparaessetipo depesquisaestanapos-sibilidadedeencontrarnovosfenomenosepropriedadesfısicasdosmateriais.A tentativa de reduziros limitesfısicosinduzo desenvolvimentodeinstrumentosdeme-dida mais e mais sofisticados,que sao posteriormenteusadosemoutroscampos.

Q 19-14.

Explique por que, quandocolocamosum termometrode mercurio numachama,a colunade mercurio desceumpouco,antesdecomecara subir.� Porqueo vidro que contem o mercurio inicia seuprocessodedilatacaoprimeiro. Depois,a dilatacao domercurio emaisnotavel,porqueestetemumcoeficientededilatacaomaiordoqueo dovidro.

Q 19-18.

Duaslaminas,umadeferroeoutradezinco,saorebita-dasumana outra,formandoumabarraqueseencurvaquandoeaquecida.Porquea partedeferroficasempre

no interiordacurva?� Porqueo zinco tem coeficientelinear de expansaotermicamaiorqueo ferro. Procuretaisvaloresemalgu-maTabela.

Q 19-22.

Explique por que a dilatacao aparentede um lıquidonum tubo de vidro, quandoaquecido,naocorrespondeaverdadeiraexpansaodo lıquido.� Porqueo vidro quecontemo lıquido tambemseex-pande.


19.2.1 Medindo temperatura

P 19-6.

Dois termometrosde gasa volumeconstantesao usa-dosem conjunto. Um delesusanitrogenio e o outro,hidrogenio. A pressaodo gasemambososbulbose �= � � mm deHg. Quale a diferenca depressaonosdoistermometros,secolocarmosambosemaguafervendo?Emqualdostermometrosa pressaosera maisalta?� Tomamos�� como sendo � � mm de mercurio pa-ra ambostermometros. De acordocom a Fig. 19-6, otermometrode N fornece �� K parao ponto deebulicaodaagua.Usamosa Eq.19-5paradeterminarapressao:

�� "!$# � ��%� ��&'� ��(�� mmdemercurio�

Analogamente,o termometro de hidrogenio fornece�� parao pontodeebulicaodaaguae

�) � � �� *! # � ��%� � ��&��+� �� mmdemercurio�

A pressao no termometrode nitrogenio e maior queapressaono termometrodehidrogeniopor

�'� � � � mm demercurio.



19.2.2 As escalasCelsiuseFahrenheit

E 19-14.

A quetemperaturaos seguintesparesde escalasdao amesmaleitura: (a) Fahrenheite Celsius(veja Tabela19-2),(b) Fahrenheite Kelvin e (c) CelsiuseKelvin?� (a) As temperaturasFahrenheite Celsiusestao rela-cionadaspelaformula

�*, � & �"-/. �102� � . Dizer quealeitura deambasescalase a mesmasignificadizerque� , � � -

. Substituindoestacondicaonaexpressaoaci-matemos

� - � & � - . �304� � deondetiramos� - � 5 �( # � ��% �653( ��7 C�

(b) Analogamente,a condicao paraas escalasFahre-nheite Kelvin e

�", � �, fornecendo� � & � # � 5 � �� % 04� �98

ouseja,� � �(;: # &�% # � �� %� 5<� �>= �?�� K�

(c) ComoasescalaCelsiuse Kelvin estaorelacionadaspor

� - � � 5 � �� , vemosquenaoexistenenhumatemperaturaparaa qualessasduasescalaspossamfor-neceramesmaleitura.

P 19-17.

Observamos,nodia-a-dia,queobjetos,quentesoufrios,esfriamou aquecemate adquirira temperaturaambien-te. Sea diferenca de temperatura@ �

entreo objetoeo ambientenaofor muitogrande,a taxadeesfriamentoouaquecimentoseraproporcionaladiferencadetempe-ratura,isto e, A @ �A�B �C5ED # @ � %F8ondeA e umaconstante.O sinalmenosapareceporque@ �

diminui como tempo,sefor positivo,eaumenta,senegativo. Estaea lei deNewtondoresfriamento. (a) DequefatoresdependeA? Qual a suadimensao? (b) Seno instante

B � �a diferenca de temperaturafor @ �*G

,mostreque @ � �?@ � GIH�JLKNMnuminstanteposteriort.

� (a) Mudancas na temperaturamocorrematraves deradiacao,conducaoe conveccao.O valorde D podeserreduzidoisolandoosobjetosatravesdeumacamadadevacuo,por exemplo. Isto reduzconducaoe conveccao.Absorcaoderadiacaopodeserreduzidapolindo-seasu-perfıcieateteraaparenciadeumespelho.ClaramenteDdependedacondicaodasuperfıciedo objetoe dacapa-cidadedoambientedeconduzirouconvectarenergiadoe parao objeto.Comopodemosreconhecerdaequac¸aodiferencialacima,D temdimensaode(tempo)

J"O.

(b) Rearranjandoaequac¸aodiferencialdadaobtemos�@ � A @ �A�B �P5ND �Integrando-aemrelacaoa

Be observandoqueQ �@ �

A @ �A�B A�B � Q �@ � A # @ � %R8temos QTSVUSVU W �@ � A # @ � % � 5 Q MG D A�B

X�Y @ �[ZZZ SVUSVU>W � 5ND BX�Y @ �@ � G � 5ND B 8

quereescritade modoequivalenteforneceo resultadodesejado: @ � ��@ � GNH J3K3M\�19.2.3 Expansao termica

E 19-24.

Umabarrafeitacomumaliga dealumınio mede��

cma�� 7

C e� �� cm no pontodeebulicaodaagua.(a)

Qualo seucomprimentono pontodecongelamentodaagua?(b) Qualasuatemperatura,seo seucomprimentoe��'� ��&

cm?� (a) A relacaoparaavariacaodocomprimento,@^]4�]`_$@ �, permitecalcularo coeficientede expansao li-

neardabarra: _ =�� ba � � Jc37�dbJ"O

.Portanto,partindo-sedos

� �cm a

�� 7C, vemosqueao

baixarmosa temperaturaate o pontode congelamentodaaguaa barrasofreumavariacaodecomprimentoda-dapor @^] � ]e_ # Bgf 5 Bih %� # ��% # �� ba � � J*c % # � 5 ��%� 5 �'� �� cm

�http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina3 de7


Portantoo comprimentoprocuradoe]kj��l]m0n@^]4� � � 5 �'� �� o� &'� &�&�� cm�

(b) Partindo-senovamentedos��

cm a�� 7

C, perce-bemoslogo queparachegara

� �� &cm a temperatura

tera queaumentar. A matematicanosfornecesempreosinalcorreto.Como ] hqp ] , darelacao@^]T�r] f 5<]T�l]<_s@ B �l]e_ # Bgf 5 Bih %obtemosfacilmentea temperaturaprocurada:Bgf � Bih 0 ] f 5<]]e_ � �� 0 ��'� ��& 5 � �# � ��% # �� ta �� Jc %

� �� 04(��t� � � 7 C�

E 19-30.

Um cubodelataotemarestade � � cm. Qualo aumentodesuaarea,sea temperaturasubirde

��para �� 7 C?� Aqui consideramosa equaçao da expansao superfi-

cial, comcoeficientededilatacao� au_ latao �r��na �� Jvw7 d J"O 8ondetiramoso _ lataodaTabela19-3,pag.176.Portanto, @^D � D # � _ % @ � 8� # &��% # ��ba � �9J*v�% # �� %� �� cm �P 19-36.

Uma barradeaco a� � 7Fd tem � cm dediametro.Um

aneldelataotemdiametrointeriorde�� &�&��

cma� � 7xd .

A quetemperaturacomumo anelseajustaraexatamentea barra?� Aposa mudança detemperaturao diametrodabarradeaco e y{z|�?y{z G 0;_$z y{z G @ �

ao diametrodoaneldelataoe yb}L��yb} G 04_q}~yb} G @ �

, ondey{z G a yb} G saoosdiametrosoriginais, _ z a _ } saooscoeficienteslinearesdeexpansao,e @ �

e a mudança datemperatura.A barraseajustara exatamentea barraquandotivermosy z �?y } , ossejaquandoy z G 0T_ z y z G @ � �?y } G 0T_ } y } G @ � 8

deondeobtemos@ �:@ � � y z G 5�y } G_ } y } G 5<_ z y z G� ��5 �9� &�&��# � & a � � Jv % # �� &�&��% 5 # �� a � � J*v % # � %� �� 7 C�

Portantoa temperaturaprocuradae� � � �L0T��l� �� 7 C�

P 19-39.

Densidadee massadividida por volume. Comoo vo-lumedependedatemperatura,a densidadetambemde-pende. Mostreque,sea temperaturavariar de @ �

, avariacaodadensidadesera@b��P5u��L@ � 8onde � e o coeficientededilatacaovolumetrica.Expli-queo sinalnegativo.� Sabemosque @^�6��$@ �

, ouseja,que@��@ � �?�� Dadefinicaodedensidade�^�l� . � obtemos@b�@ � �65 �� @^�@ � � 5 ��

� 5 � � �m�P53�� Comparandoasduasextremidadesobtemosque@b��P5u��L@ � �Quando@ �

epositivo,o volumeaumentaeadensidadediminui, ou seja, @4� e negativo. Se @ �

e negativo, ovolume diminui e a densidadeaumenta,isto e, @T� epositivo.

P 19-42.

A temperaturade uma moedade cobre aumentade� �� 7Rde seudiametrocresce

�'�� k� . De o aumentopercentual,com dois algarismossignificativos, (a) naarea,(b) na espessura,(c) no volume e (d) na massadamoeda.(e) Qualo coeficientededilatacao lineardamoeda?� (a) Comosabemosqueo coeficientedeexpansaosu-perficial e o dobro do coeficientede expansao linear,



podemosafirmarimediatamentequeo aumentopercen-tual naareasera o dobrodo aumentopercentuallinear,ouseja

�� .Mais formalmente,podemosver isto comparandoasformulas@^]] � _m@ � � �� '� �@^DD � � _m@ � � # ��% # �� '� � % � �� (b) A espessura� da moedavaria linearmentee, por-tanto,suavariacao percentualcoincidecom a do itemanterior: @�� r_^@ � � �� '� �� '�� k� �(c) A variacaonovolumee:@�� ?��_s@ � � # � % # �� '� � % � �� (�� (d) Naohavariacaonamassadamoeda.(e)Qualquerdasrelacoesacimapodeserusadaparade-terminar_ . Porexemplo,usandoa do item(a) temos:@ AA �?_$@ � �r_ # � ��% � �� '� � 8dondetiramosque_�� ^a �� J*v`7 d JwO �Percebaquepararesponderaositens(a)-(d) nao e ne-cessario conhecer-se _ . Estae a razao do livro pedirparadeterminar_ apenasaofinal doexercıcio.

P-46.

(a) Mostreque,seos comprimentosde duasbarrasdemateriaisdiferentessaoinversamenteproporcionaisaosseusrespectivoscoeficientesdedilatacao linear, a mes-matemperaturainicial, adiferencaemcomprimentoen-treelasseraamesma,atodasastemperaturas.(b) Quaisdevemseroscomprimentosdeumabarradeaco e ou-tra de latao a

� 7C, tais que,a qualquertemperatura,a

diferenca decomprimentoseja�'� � � m?� (a) A temperaturainicial, considere-seos compri-

mentosdasduasbarrasdadospor:] O�7 ��_ O e ]/ 7 ��_ 8onde � e aconstantedeproporcionalidade.Quandoa temperaturavariadeum @ �

, tem-se:] O ��_ O 0 � @ �e ]/ 1��_ 0 � @ �

A diferencaentreoscomprimentosiniciaisdasbarrase:

@^] 7 �r] Og7 5<] 7 � �_ O 5��_ � 8� � _ O 5<_� _ O _ �A diferenca entreoscomprimentosdasbarrasquandoatemperaturavarioude @ �

e:

@^] � ] O 5<] � � �_ O 0 � @ � 5��_$ 5 � @ �@^] � � _ O 5<_ _ O _$ @^] � @b] 7

(b) Sendo@^]P� ��8 � � m e osvaloresdoscoeficientesdeexpansaodoaco e do lataodadospor_ aco � �� a �� Jvw7 d J"Oe _�� z M��z 7 � � & a �� Jvw7 d J"O 8

�'8 � � � � # ��& 5 ��>% a � � J*v��8��& a �� J"O G� � � 8 ��(�a � � Jv

] Og7 � � 8 ��(�a � � Jv��& a � � J*v � ��8 ( � � � m

] 7 � � 8 ��(�a � � Jv�� a � � J*v � ��8 � � � � m@^] 7 � ��8 � � m�

P 19-50.

Uma barracomposta,de comprimento]��] O 0?]/ ,e feita de umabarrade material

�e comprimento] O ,

ligadaaoutradematerial�

ecomprimento]k (Fig. 19-18). (a) Mostrequeo coeficientede dilatacao efetivoparaestabarrae

_<� # _ O ] O 04_ ] %] �(b) Usandoaco e latao,dimensioneumabarracompos-ta de � �9� ( cm e o coeficientededilatacaolinearefetivo� �^a � � Jvw7�dbJ"O

.



� (a) A variacaono comprimentodabarracompostaedadapor @^] � @^] O 0n@^]/ � ] O _ O @ � 0T]/ w_$ q@ �� # ] O _ O 0T]/ "_$ % @ �Poroutrolado,tambemtemosque@^]T�?][_;@ � � # ] O 0T] % _b@ � �Igualando-seasduasexpressoespara @b] obtemosque] O _ O 0T] _ � # ] O 04] % _ , ouseja,que_<� ] O _ O 04]k "_� ] �(b) Reescrevendoaexpressaoacimaeusandoo fatoque]/ 1�?]<5<] O , obtemos]k_��r] O _ O 0 # ]<5<] O % _ 8quenosda,com _ O � �� a � � Jv

e _ � ��& a � � J*v,] O � _m5�_$ _ O 5�_ ] � � ��5 � &�� 5 � & # �� ( %

� # � % # �� ( %( �l� &�� cm8

ondeja simplificamoso fatorcomum� � Jv

queaparecenonumeradoredenominadordafracao.Finalmente,] �r]<5<] O �� 9� (�5�� &�� t� � � �� cm

�E claro queestevalor tambem poderiater sido obtidoindependentemente,subsituindo-se] O �?]u5�] naex-pressaoacimapara _ :]/ 1� _ O 5e__ O 5�_ ] � �� 5 � �� 5 � & # �� ( %

� �'� � � (( � � � �� cm�

P 19-54�Um cubo de alumınio de aresta

��cm flutua em

mercurio. Quantoafundara o cubo, se a temperaturasubirde

� � � para � �� K? O coeficientededilatacaodomercurio e

�� a � � J�� . 7 d.� A forcadagravidadenocuboe � K�� , onde� eo vo-

lumedocuboe � K eadensidadedemassadoalumınio.O empuxodomercurio nocuboe �9� � D1� , onde�� e adensidadedemassadomercurio, D e a areadeumadas

facesdo cubo,e � e a profundidadede submersao, demodoque D1� forneceo volumedomercurio deslocado.O cubo esta em equilıbrio, de modo que a magnitu-de das duas forcas e o mesmo: � K�� DN� .Substituindo-se��C] e D6�C] nestaexpressaoob-temos �� K�� ] �Quandoa temperaturamuda,todasastresquantidadesqueaparecemem � tambemmudam,sendotal mudançadadapor@b� � � �� K @;� K 0 � �� @b�� 0¡� �� ] @^]

� ]� � @b� K 5 � K ]� � @;�9��0 � K� � @^] �Primeiro, consideremosa mudança da densidadedoalumınio. Suponhamosqueumamassa¢ dealumınioocupeum volume � K . A densidadesera, portanto,� K �?¢ . � K , sendoa variacaodadensidadedadapor@b� K �

A � KA � K @�� K �65 ¢� K @�� K �65 � K� K @^� K �Comosabemosque @^� K �?��_s� K @ �

, encontramos@b� K �P5N��_q� K @ � 8onde _ representao coeficientede expansao linear doalumınio.Segundo,demodoanalogo,parao mercurio temos@b��¡�P5 �9�� @�� Agora porem, como tratamoscom um lıquido e naode um solido como acima, @��£�¤��E@ �

, onde� representao coeficientede expansaovolumetricadomercurio. Portanto@b�9�¥�653�w�9��@ � �Terceiro,temosque @b]T�?_$]k@ �

.Substituindoestestresresultadosnaexpressaopara @b�acimaobtemos:@b� � ]� � # 5N��_q� K @ � % 5 � K ]� � # 53�w�9�¦@ � %

0 � K�� # _$]k@ � %� � K� � ];§¨�E5 � _$© @ �� /# ��% : �� a � � J� 5 # ��% # � �â �� J*v % = # � ��%� �9� �� a �� J cm � ��+��

mm8



ondeusamoso fatoque @ � �l� �� 5 � � � �l� � K.� Solucao alternativa: Para o bloco flutuando nomercurio a

� � � K, peloPrincıpio deArquimedes,tem-se: � K � � � ª«�¬��)/V] � �� K ��] � � ��)ks] � � 8ouseja, �{� � K ��)/ ] �

(1)

Para � K �� ®a � � °¯�± .>² e ��)k?� �� ma �� ¯�± .�² , a equaçao (1) fornece�4� �� ( m, ou seja,ocuboesta com

��% dasuaarestasubmersa.Mas todas

asquantidadesenvolvidasnaequaçao(1) variamcomatemperatura:@b��)/s��0n@b�/��)/ � @b� K ��]m0T@^]{� K � � (2)

E claroquea massado cubonaovariacoma tempera-tura: � K �³� � K ��] 8@b� K �³� @b� K ��] 04�I] @^]I� K �u� ��I] @^]{� K �´� 5®@;� K ��] ]`@b� K �´� 5E�o� K �w@^] (3)

Substituindoa Eq.(3) naEq.(2) temos:

@b� )/ ��0n@b�k� )/ � 5E�/@^]{� K � 0n@^]{� K �@b��)/$��0n@b�k��)/ � 5 � @^]{� K �@b��)/ � 5¦��)/V@ �5u��)ks@ � ��0n@b�k��)/ � 5 � @^]{� K �Trazendoo resultadodaEq.(1) paray:� 5��w��)k�@ � ! � � K �� )/ ] ! 0n@;�k��)k � 5 � @^]{� K �

@b� � ��]I� K � @ � 5 � ]k_ K � @ � � K ��)k@b� � � K ��)k ] � �E5 � _ K � ! @ �Introduzindoosvaloresdasquantidadesnaequaçaoaci-ma,obtem-se,finalmente,

@b�� a � � J�m � ��+��

mm�









Conteudo

20 Calor e� a Lei da Termodinamica 2

20.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

20.2 ExercıcioseProblemas. . . . . . . . . 2

20.2.1 A absorc¸aodecalorpor solidose lıquidos . . . . . . . . . . . . 2

20.2.2 Alguns casosespeciaisda pri-meiralei datermodinamica. . . 4

20.2.3 A transferenciadecalor . . . . 520.2.4 ProblemasAdicionais . . . . . 6


(lista4.tex)



20 Calor e� a Lei da Termodinamica

20.1 Questoes

Q-4.

O calorpodeserabsorvidoporumasubstanciasemqueestamudesuatemperatura.Estaafirmacao contradizo conceitodo calor comoumaenergia no processodetransferencia,devido a umadiferencadetemperatura?� Nao. Um sistemapodeabsorver calor e utilizar es-saenergia na realizacaodeum trabalho;a temperaturado sistemanao mudae nao e violado o princıpio daconservacaodaenergia.

Q-7.

Um ventiladornaoesfriao arquecircula,maso esquen-ta levemente.Comopode,entao,lhe refrescar?� O movimento do ar estabeleceuma correntedeconveccao, com o ar maisquentesubindo,e o ar maisfrio ocupando-lheo lugar, refrescandoo ambiente.

Q-14.

Voce poe a mao dentrode um forno quenteparatirarumaforma e queimaseusdedosnela. Entretanto,o aremtornodelaesta a mesmatemperatura,masnaoquie-maseusdedos.Porque?� Porquea forma,feita demetalcomoo alumınio, porexemplo,conduzmuitomelhoro calordoqueo ar.

Q-20.

Osmecanismosfisiologicos,quemantematemperaturainternadeum serhumano,operamdentrodeumafaixalimitada de temperaturaexterna. Expliquecomo essafaixapodeseraumentada,paraosdoisextremos,comousoderoupas.� No verao, usam-seroupasclaras, que refletem aradiacao, e soltas,que favorecema conveccao do ar,ventilandoo corpo. Com as roupasmais grossasdeinverno, a camadade ar junto da pele, aquecidaporirradiacaodocorpo,funcionacomoisolantetermico.

Q-27.

Discutao processopeloo quala aguacongela,dopontode vista da primeira lei da termodinamica. Lembre-seque o gelo ocupaum volume maior do que a mesmamassadeagua.� Pela primeira lei, tem-separa o processo��

. O calor Q e removido da agua,e, portanto,iguala

� ��, o calordefusaodogelo.O trabalhoeda-

dopor� �� , sendop apressaoatmosferica.�� e maiorque �� , sendoo trabalhopositivo. Entao,a

variacaodaenergia internae �� , sendo,portanto,negativa.

Q-31.

Porqueaspanelasdeaco frequentementepossuemumaplacadecobreoualumınio no fundo?� Porqueo cobree o alumınio conduzemmaiseficien-tementeo calordoqueo aco.


20.2.1 A absorcaodecalor por solidose lıquidos

E-6.

Quantaaguapermanecelıquidaapos !#"�$&% kJ de calorseremextraıdosde %('(" g deagua,inicialmentenopontodecongelamento?� E necessarioextrair� �*) � �+�,"�$&%#'-"-�.�,/(/-/-01�2�*3�$4'-'65879"(: J

parasolidificartodaamassadeagua.Comos !1$4";%<5=7>" :Jextraıdos,so epossıvel solidificarpartedaagua:

)@?�� ? � � !A$&"-%65 7>" :/1$&/(/B5 7>"(C ��"1$.7D!#" kg

Portanto,

�6)E�F) )@?��*%('(" 7>!#"G�H7(7>" g

permanecemnoestadolıquido.

E-13.

Um objetode massade '�$4"-" kg cai de umaalturade!("1$&" m e,por meiodeumaengrenagemmecanica,gira



umarodaquedesloca"�$4'-"(" kg de agua. A aguaestainicialmentea 7D!JI2K . Qualo aumentomaximodatem-peraturadaagua?� A energiapotencialgravitacionalperdidapeloobjetonaquedae:� �F)JLAMN�+�,'�$4"-"-�O�QP1$&3("-�.�Q!("-��R%#P(S-"1T1$quecorrespondema

� �VUW";%A$&/#S cal. O aumentodetemperaturaproduzidonaaguaserade:� � )@?9X<�6YU#"-%A$&/#S�X.Z;[\� �Q'("("]LA�.� 7($&"^XOZ_[La`<b �c�dY<� 7D! ` �7($97DUe� Y<� 7>! `Y<� � 7>'1$.7WU ` bgfP-18.

Calculeo calorespecıfico de um metala partir dosse-guintesdados.Um recipientefeito do metaltemmassade /�$4' kg e contem 79S kg de agua. Uma peca de 7($&3kg destemetal,inicialmentea 7>3("hIiK , e colocadaden-tro da agua.O recipientee a aguatinhaminicialmenteatemperaturade 7>'�IiK eafinaldosistemafoi de 7>3�IWK .� A aguaabsorvepartedocalorcedidopelapeca:�

agua � ) agua X agua �6Y� �j7.S;"("("]LA�.�k7($&" XOZ_[Ll`<b �O��%A$4" ` bm�� %(3("-"("^XOZ_[O recipientefeito do metalabsorveoutrapartedo calorcedidopelapeca:�mnporq,sut � ) nporq,sut X nporq,svt �6Y� �,/-'("("]LA�.�Q%A$&" ` bm�kX nporq,svt� U#%("("^X nporq,sutO calorcedidopelapeca e iguala:�

peca �w) peca X metal �xY � �k793-"("iL1�O�j79';% ` bm�1X metal� %#P17>'("-"^X metal

Reunindoasquantidadescalculadas,vem:�agua y � metal � �

peca%(3("("-" y U#%("("^X metal � %#P17>'("-"^X metal%#3-"("-"z� %#3#S-S-"-"^X metalX nporq,svt � "1$4"-P(3^X.Z;[r{>L ` bgf

P-24.

Um blocodegelo,emseupontodefusaoe commassainicial de !("1$4" kg,deslizasobreumasuperfıciehorizon-tal, comecandoa velocidadede !A$4/-3 m/s e finalmenteparando,depoisdepercorrer%#31$&/ m. Calculea massadegeloderretidocomoresultadodoatritoentreo blocoe a superfıcie. (Suponhaque todo o calor produzidopeloatritosejaabsorvidopeloblocodegelo.)� A desacelerac¸aodoblocoe dadapor:|;} � |_}` %^Z�~ZB� ��!A$4/-3-� }��%(�O��%#3�$4/(";� �F"1$v!A7-7�)�{#� } fO calorproduzidopeloatrito e dadopor:� � � � )�Z�~� ��!#"�$4"�0;L1�O�Q"1$v!A7(7�)�{(� } �O��%#3�$4/("^)�� U(%#/�$4'17hTA massadegeloderretidoe:� � ) �) � U(%#/1$&'17]T/1$&/(/B5 7>" C T�{#0_L) � "1$&"("-%�0;L�fP-30.

(a) Doiscubosdegelode !#" g saocolocadosnumvidrocontendo%#"-" g deagua.Sea aguaestava inicialmentea temperaturade %(!�I2K e se o gelo veio diretamentedo freezera

7>!mIiK , qual sera a temperaturafinal dosistemaquandoaaguaeo geloatingiremamesmatem-peratura?(b) Supondoquesomenteum cubode gelofoi usadoem (a), qual a temperaturafinal do sistema?Ignorea capacidadetermicadovidro.� (a)Sea aguaresfriarate "]I>K , o calor fornecidoporelasera de�

agua �F) agua X agua �6Y � �Q%("("iL1�O�j7($&" XOZ_[L�`.b �.�Q%(! ` bm�� !#"-"("gXOZ_[Parao gelochegara " ` b , necessita-se:�m�uo�t ` � ) �Oort ` X �Oort ` �6Y� �j79"-"iLA�.�,"�$&!#/ XOZ_[Ll`9b �O�j7>! ` bm�� U#P-!gXOZ_[



Parafundir o geloseriamnecessarias:� ?��F) �Oort ` �� +�k7>"("iL1�O�rUWP�$&!]XOZ_[r{>L1��U#P-!#"gXOZ_[Entao o calor fornecidoderretera so partedo gelo. Ocalordisponıvel sera:

!#"-"(" UWP-!m�FS;%#";!�X.Z;[Comessaquantidadedecalor, pode-sefundir

) �Oort ` � � � � S_%#";!UWP�$&! �R!#/hLPortanto,ter-se-a uma misturade aguae gelo a " ` b ,restando79"-" !#/ ��SAU g de gelo. (b) Seapenasumcubodegelofor adicionadoa agua:� �Oort ` �F) �Oort ` X �uo�t ` �6Y � �Q!("-�.�,"1$v!#/;�O�," � 7D!(�j�� /(P_U_$v!hX.Z;[

�Fusao �F) �Oort ` � ��!#"iL1�O�rUWP1$v!]XOZ_[�{DLA�� /-P;U#!hXOZ_[� �Oort ` y � Fusao �FS;/;U#%1$&!("�XOZ_[kf

Agora o calor fornecidopela aguasera suficienteparaderretertodoo gelo. A temperaturafinal do sistemaes-tara algoacimadatemperaturadefusao:� ? �uo�t ` � ) �Oort ` X agua �6Y� ��!#"iL1�O�j7($&" XOZ_[L ` b �.�dY � " ` �� !("]Y ��G�c�2�;��v�^� � �m�uo�t ` y � Fusao y � ? �uo�t `� S;/;U(%A$&!(" y !#"^Y f�m�� ^�v�^� � ) agua X agua �6Y� ��%#"-"iLA�.�k7-$4" XOZ_[L ` b �.�dY � %(! ` �

� �c�2�;��<�v�^� y �m�� ^�v�^� � "S;/;U#%1$&!(" y !#"]Y<� y %#"("^Yc� !#"-"("�� "%(!("#Y � �*'_U#%A$v!#"Y � �R%A$&!17 ` bgf

P-/#S�f��Dois blocosde metalsao isoladosdeseuambiente.Oprimeiro bloco, quetem massa)��/1$979' kg e tem-peraturainicial Y � ��7DUA$4" ` C, tem um calor especıfico

quatrovezesmaior do queo segundobloco. Esteestaa temperaturaY } �RS_U ` C e seucoeficientededilatacaolinear e 7D!A$&"J5�79"1��9{ ` b . Quandoos dois blocossaocolocadosjuntos e alcancam seuequilıbrio termico, aareadeumafacedo segundoblocodiminui em "1$&"(/-"("%. Encontreamassadestebloco.� O calorabsorvidopeloprimeiroblocoe:�G�c�2�;��v�^� �w)��X9�]�dY � Y � ��F/�$.79'�X9�2�dY � 7DU ` �O calorcedidopelosegundoblocoe:� �� ^�v�^� �*) } X9�S �,Y � Y � ��w) } X9�S �,Y � SAU ` �A variacaonaareadeumadasfacesdosegundoblocoeexpressapor:

�B� } �� } %^��dY � S_U ` ��B� }� } �R%]�N�,Y � SAU ` �� "1$4"-"("-/�Q%-�O�j7>!A$&"B5 7>" �� O�dY � SAU ` �� "1$4"-"("-//("B5879" �� Y � 7($jS�7�5 7>" �� "1$4"-"("-/

Y<�x� 7($97(7�5 7>"A�� /("B5879" �� F/;U ` bEquacionandooscalores,cedidoeabsorvido,vem:�m�� ^�v�^� y � �c�i�-��<�v�^� � " ) } X �S �k7>"-� y /1$979'^X9��%#"-�� "

%A$&!]) } �F'-/1$v%) } �*%-!A$v%#3�0;L�f20.2.2 Algunscasosespeciaisdaprimeira lei da ter-

modinamica

P-42.

Quandoumsistemapassadeumestadoi paraf peloca-minhoiaf naFig. %#" %#/ , � �R!#" cal. Pelocaminhoibf,� ��/(' cal. (a) Qualo trabalhoW parao caminhoibf?(b) Se

� � 7>/ cal parao caminhocurvo deretornofi, qual e Q paraessecaminho?(c) Seja �¢¡�£�¤D¥�¦ £��7>"cal. Quale �B§ �©¨ q ¦ � ? (d) Se �B§ �ª¨ q ¦ « �R%(% cal,quaisosvaloresdeQ paraosprocessosib e bf?� (a) Daprimeiralei tem-se�B§ �ª¨ q � �R�� :

�6§ �©¨ q �R!#" %("x�F/-"gX.Z;[http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de7


/-"G�*/-' ¬� �ª« � �®« ��'1$4"�XOZ_[(b) Dado

� �>� � 79/�XOZ_[ e sabendo-sedo ıtem(a) que�B§ �ª¨ q ¦ �>� � /-"gX.Z;[ , vem /("m� � �>� � 79/;�� >� � S-/gXOZ_[(c) Dado o valor �B§ �ª¨ q ¦ � � 79"�XOZ_[ , com o valor�B§ �ª¨ q �F/("�XOZ_[ do ıtem(a), vem�B§=�ª¨ q ¦ � �B§=�ª¨ q ¦ �2��/("�XOZ_[�B§=�ª¨ q ¦ �x�*S-"�XOZ_[(d) Dadoo valor �B§ �ª¨ q ¦ « �+%(%BXOZ_[ , parao processoibtem-se: �B§ �ª¨ q ¦ �®« �R%(% 7>"G�¯7D%hX.Z;[

�B§ �ª¨ q � � �ª« �� ª«7>%�� ª« '�$4"� �®«°� 7>3�XOZ_[E parao processobf tem-se:�B§ �ª¨ q ¦ «r� �R�B§ �©¨ q2 �B§ �ª¨ q ¦ �ª« �*/-" 7D%m��793�XOZ_[� «�� *"�$ � «r� �*�B§ �ª¨ q ¦ «r� �H793�XOZ_[kfP-S-/1f��

Um cilindro possuium pistao de metal bem ajustadode %1$4" kg, cuja areada secao reta e de %A$&"�±O² } (Fig.20-24). O cilindro contemaguae vapora temperaturaconstante.Observa-sequeo pistaodescelentamente,ataxade "1$&/(" cm/s,poiso calorescapadocilindro pelassuasparedes.Enquantoo processoocorre,algumvaporsecondensana camara. A densidadedo vapordentrodelaede '�$4"�5@79"1� :]³ {W±O²� eapressaoatmosferica,de7($&" atm. (a) Calculea taxade condensac¸ao do vapor.(b) A querazaoo calordeixaa camara?(c) Quala taxadevariacaodaenergiainternadovaporedaaguadentrodacamara?� (a) Expressandoa massadevaporemtermosdaden-sidadee dovolumeocupado,) ��c´<�� Fµ ��c´<�� B�H�Fµ ��c´<�� x¶�$a taxadecondensac¸aodevaporsera:· ) �<�c´<��·^¸ � µ �<�c´<�� · ¶·�¸· ) �<�c´<��·^¸ � �,"�$4'm0;L�{D) �O��%A$&"¢5 7>" � :c) } �p5�Q/1$&"¢5 7>" �� )�{#�D�· ) �<�c´<��·^¸ � /1$&'B5 7>" ��¹ 0;L�{#�h�*"�$4/('h)JL1{(�

(b) O calordeixaacamaraa razaode:· � ��c´<��·�¸ � a��c´<�� · ) ��c´<��·�¸· �x��c´<��·�¸ � �Q%-%#'("�0�T�{#0_LA�.�,/1$&'B5 7>" ��¹ 0;L�{#�D�� "1$&317hT�{(�(c) A taxaderealizacaodetrabalhoe:· �·^¸ � )�º �®» q�¼s ` L · ¶·�¸· �·^¸ � �Q%1$4"m0;L1�O�QP1$43g)�{#� } �.�,/�$4"¢5879" �� )�{(�>�· �·^¸ � "1$&"('6T�{#�No ıtem (b), a taxa calculadae a do calor que dei-xa a camara,sendoentao negativa, de acordocom aconvencaodesinaisadotada.Tambemnoitem(c), o tra-balhoporunidadedetempoe realizadosobreo sistema,sendo,portanto,negativo. Reunindoessesresultadosnaprimeiralei, chega-sea taxadevariacaodaenergia in-ternanacamara:· § �ª¨ q·�¸ � · �·^¸ · �·�¸· § �ª¨ q·�¸ � "�$4317 � "�$4"-'-�]� "1$uU#!GT�{#�-f20.2.3 A transferenciadecalor

E-48.

Um bastaocilındricodecobre,decomprimento7($v% me areade secao retade S�$&3�±O² } e isolado,paraevitarperdade calor pela sua superfıcie. Os extremossaomantidosa diferenca de temperaturade 79"-" I K , umcolocadoemumamisturaagua-geloe o outroemaguafervendoe vapor. (a) Ache a taxa em que o calor econduzidoatravesdo bastao. (b) Achea taxaemqueogeloderretenoextremofrio.� (a) Comosdadosfornecidos,maiso valordacondu-tividadetermicadocobre,0��*S-"�7^½�{D²�f ¾ , tem-se:

¿ � �dS;"17 � {W)RÀ �.�dS�$4365 7>" � : ) } �.�k7>"("^À8�7-$&%i)� 79'�$4" J/s



(b) Daequac¸aoparaa conducaodocalorvem:· �·(¸ � ¿ � � · ) �Oort `·-¸· ) �Oort `·-¸ � ¿ � � 7>'1$&"lT�{#�/(/(/�0�T�{#0;L �Á"1$4"(S-3�L1{(�-fP-55

Um grandetanquecilındricodeaguacomfundode 7($uUm dediametroe feito de ferro galvanizadode !A$v% mmde espessura.Quandoa aguaesquenta,o aquecedoragasembaixomantem a diferenca de temperaturaentreassuperfıciessuperiore inferior, dachapadofundo,em%A$&/ ` C. Quantocalor e conduzidoatraves dessaplacaem !A$&" minutos? O ferro tem condutividadetermicaiguala ';Up½�{D²w¾ .� A areadachapae �R�FÂ · } {DS6�R%A$&%;U m} . A taxadeconducaodocalore¿ � 0l�Ã�6Y � �Q';U#�.�Q%1$&%-U(�O��%A$4/;�"1$4"-"-!-% ��';U(%-UA7 �O calorconduzidono intervalode !1$4" minutossera:� � ¿ � ¸ � �Q';U#%;U_7 � �.�,/-"("��D�� %1$4"-%65879" ¹ J �\%("1$&% MJ

P-58.

Formou-segeloemumchafarizefoi alcancadoo estadoestacionario,comaracimadogeloa

!1$4" ` C eo fundodo chafariz a S�$4" ` C. Sea profundidadetotal do gelo+aguafor 7-$jS m, qual a espessurado gelo? Suponhaqueascondutividadestermicasdogeloe daaguasejam"1$4S-" e "1$97>%p±9Ä#Åd{D²�IDKJÆ , respectivamente.� No regimeestacionario,astaxasdeconducaodo ca-lor atravesdogeloe daaguaigualam-se:

0 agua � �dYcÇ YcÈ-� agua

�R0 �Oort ` � �dYcÈ Y � � ^�Oort `Mas YcÈ , a temperaturanainterface,e " ` C:�,"�$.7>%-�O�,S�$4";�7($jS � �Oort ` � �,"�$jS;"-�O��!A$&"-� �Oort ` �Oort ` � 7($979/h) f

20.2.4 ProblemasAdicionais

P-62.

Quantoscubosdegelode %#"�$4" g, cujatemperaturaini-cial e

7>" ` C, precisamsercolocadosem 7($&" L dechaquente,com temperaturainicial de P(" ` C, paraque amistura final tenhaa temperaturade 79" ` C? Suponhaquetodoo geloestara derretidonamisturafinal e queocalorespecifico dochasejao mesmodaagua.� Considerandoos valoresparaos caloresespecıficosda aguae do gelo, X agua �ÉS�7>P("�T�{#0_L�À e X �uo�t ` �%-%(%("8T�{(0;L�À , o calor extraıdo do gelo paratraze-lo atemperaturadefusaoe:� � �F) � X � �6YÁ�Á) � �Q%(%-%#";�O�k7>"-�8�\%(%(%("("]) � ��T��Parafundir o gelo:� } �F) �� \/(/-/("-"("]) � �kT��uÊParaaquecero geloderretidode " ` C a 79" ` C:� � ) � X agua �6Y� ) � �dS�7>P("xT�{#0;L�À8�O�j79"^À8�� S�79P("-"]) �uo�t ` ��T��ufO calorremovido docha e:� : � ) agua X agua �xY� �j7($&"�0_LA�.�dS�7>P("xT�{#0;L�À8�O� 3("^À8�� /-/-!-%#"(" JfReunindotodososvalorescalculadosacima,vem:� � y � } y � ¬� : �*"�Q%-%(%#"-" y /-/(/("-"(" y S�79P("-"-�_) � �Ë/(/-!-%#"-"/-P;UW"-"("]) � �\/-/-!-%#"(") � �\"�$43#S-S�0_L�fComocadacubotem ) � �Ì"1$&"-%#" kg, deve-seacres-centaraocha ÍE�ÌÎ ¦ Ï :4:Î ¦ Î } ÎÑÐ S_% cubosdegelo.

P-63.

Umaamostradegasseexpandeapartirdeumapressaoeumvolumeiniciaisde 79" Pae 7($&"a²¢ paraumvolumefinal de %A$&"g²¢ . Durantea expansao,a pressaoe o vo-lumesaoobtidospelaequac¸ao �Ã�HZl� } , onde ZJ�7>"Ò {D² Ï . Determineo trabalhorealizadopelogasdurante



a expansao.

� O trabalhorealizadopelagasnaexpansaoedadopor

· � �Ó� · �Ô�ËZa� } · �

Integrandodovolumeinicial � � ateo volumefinal � � :� � Z Õ �DÖ�9× � } · �� ZlØ �G /ÚÙ

�>Ö� × �\Z@Ø �x �/ �m �/ÚÙ� � �j79"^ÛN{D) Ï ��Ø 3/ 7/ Ù �,)@Ü>�� %(/1$4/-/GT1f









Conteudo

21 A Teoria CineticadosGases 2

21.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 321.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 9


(lista4.tex)



21 A Teoria CineticadosGases

21.1 Questoes

Q-5.

Duassalasdemesmotamanhosecomunicampor umaporta aberta. Entretanto,a media de temperaturanasduassalase mantidaa valoresdiferentes.Em qualsalahamaisar?� Pelaequac¸ao do gas ideal

�� constante,seapressaoeamesmanasduassalas.Entao �� .Se � �� , tem-se�� , ou seja,ha maisar nasalacujatemperaturaemaisbaixa.

Q-12.

Por que a temperaturade ebulicao de um lıquido au-mentacomapressao?� Comapressaoexternamaioraplicadasobreo lıquido,as moleculasprecisamter uma energia cineticamaiorparavencerasforcas(fracas)queasuneme ”escapar”ou evaporar. Umaenergiacineticamaiordasmoleculassignifica uma temperaturamaior. A grandesaltitudesacima do nıvel do mar, no topo das montanhas,on-dea pressaoatmosfericae menor, a agua,por exemplo,podeferverauns �� C; aonıveldomar, fervea �� C.

Q-19.

Que evidencia direta temos para a existencia dosatomos?E indireta?� Naopercebemosdiretamenteaexistenciadosatomos,masindiretamentesim, e de muitas formas. Quandosentimoso vento no rosto ou o interceptamoscom apalmada mao, sabemosque se trata de um gas, cu-jas partıculas em movimento, exercemforca sobreasuperfıcie emqueincidem. Fenomenosobservadosco-mo o movimento Browniano ou o efeito fotoeletricotambem indicam claramenteque todasas substanciassaoformadasporestasminusculaspartıculas.

Q-25.

De umaexplicacaoqualitativa daconexaoentreo livrecaminhomediodasmoleculasdeamonianoareo tem-po queseleva parasentiro cheiroda amonia,quando

umvidro e abertodooutroladodeumasala.� O tempotıpico parasesentiro cheiroe decercadeum minuto. As moleculasde amonia difundem-senoar, tendoumlivrecaminhomediodaordemde �� m,sofrendodaordemde ��! colisoespor segundo.Comoasmoleculasmovem-seemtodasasdirecoesdevido ascolisoes,precisamdestetempoparaatravessarumasa-la. O movimentodasmoleculastambemeafetadopelascorrentesde convecao do ar, em geralpresentesnumasala.

Q-28.

As duasparedesopostasde um recipientede gas saomantidasadiferentestemperaturas.O arentreosvidrosde uma janelacontratempestadee um bom exemplo.Descreva,emtermosdeteoriacinetica,o mecanismodeconducaodocaloratravesdogas.� O calore transferidonogasporummecanismocom-binadode conducao e conveccao. As moleculasde arpro ximasdaparedemaisquentetemenergiamaiorquea energia mediae perdemenergia nascolisoescom asmoleculasquetem energia maisbaixa,queestao maisproximasdaparedemaisfria. Mashatambemumtrans-portedemassanoprocesso,porqueo ar juntodaparedequenteexpande-se,tendosuadensidadediminuıda. Oar maisfrio vai ocupandoo lugardeixadopeloar maisquente,estabelecendo-seumacorrentedeconvecaoen-treasparedes.

Q-32.

Quetipo deobservacaoforneceriaboaevidenciadequenemtodasasmoleculasdeum corpoestaosemovendocoma mesmavelocidadea umadadatemperatura?� Um fenomenoqueforneceboaevidenciade queasmoleculasnao se movem a mesmavelocidadea umadadatemperatura,e o processode evaporac¸ao de umlıquido, em queasmoleculasmais rapidassao asquemaisfacilmenteescapamdasuasuperfıcie.

Q-37.

Expliquecomopodemosmanterum gasa umatempe-raturaconstante,duranteumprocessotermodinamico.� O processono qual a temperaturamantem-secons-tante,chama-seisotermico. Paraquea temperaturasemantenhaconstanteduranteo processo,asvariacoesnas



outrasgrandezas(pressao,volume)devemserefetuadasmuito lentamentee deve haver transferenciade calor.De um modogeral,asgrandezasQ, W e "$# int naosaonulasnosprocessostermodinamicos. Parao gas ideala energia internaso dependeda temperatura;seestaeconstante,"$# int e nulae % �'& .

Q-40.

Expliquepor quea temperaturadeum gasdiminui emumaexpansaoadiabatica.� Nao havendoqualquertrocade calor, pelaprimeiralei da termodinamica,a variacao da energia internaeigual aotrabalhorealizadonaexpansao,quee positivo.Portanto,aenergiainternadogasdiminui, o quecorres-pondea umadiminuicaodatemperaturadogas.


P-3.

Se as moleculasde aguaem ��()�� g de aguafossemdistribuıdas uniformementepela superfıcie da Terra,quantasmoleculashaveriaem ��()�� cm dasuperfıcie?� A massamolarM daaguaede �*�+()� g/mol. O numeroN demoleculasnamassade ��(,�� g e dadopor:- �/.0 -

A � 1 ��()��32 154 ()�36879�� ,: 2�� ; ( ;=<�< 7>�*� ) moleculas

A areaA daTerrae ? �@<�A�B �DC (E�87F�*� � � cm . Onumerodemoleculasporunidadedeareae entao:- ? � ; ( ;�<�< 7>�*� , C (*�G79�� 4 C�C � moleculas/cm IHP-13.

(a) Qual o numerode moleculaspor metrocubico noar a 6�� C e a pressao de ��()� atm (= ��()�+�$7J�*��K Pa)?(b) Qual a massade ��(,� m: dessear? SuponhaqueL C % dasmoleculassejamdenitrogenio(

- ) e 6 C % deoxigenio( M ).� (a) Daequac¸aodogasideal:NPO � � B Q(R� � --

A

- O � N -AB � 1 ��()�+�G79��K*2 1S4 ()��687>�*� ): 21 �T( ; �I2 1 6�U ; 2� 6T( C 7>�*� K moleculas/m:

(b) As massasmolaressao0WV�X � � 4 ()� g/mole

0FYZX �� < (,� g/mol. O numerototaldemolesnaamostradegase: � T � NPOB �[< ��( < � moles

Paraospercentuaisindicados,� V�X � �+( L C 7 < ��( < � �; ��(*�� molese � YZX � �+(,6 C 7 < ��( < � � �*�T( ; L moles.Asmassasdosgasesserao:. V X � � V X 0FV X � 1 �*�T( ; L 2 1 � 4 (,��2 � � 4�4 g. YZX � � YZXE0FYZX � 1 ; ��(E��2 1 � < ()��2 �\<3; 4 g

A massatotaldegase . T � 4 ��6 g.

P-15.

Uma amostrade ar, queocupa �T(*� < m: a pressao ma-nometricade ��(,� ; 7]��K Pa,seexpandeisotermicamenteate atingir a pressao atmosfericae e entao resfriada,apressaoconstante,atequeretorneaoseuvolumeinicial.Calculeo trabalhorealizadopeloar.� Comecandopeloexpansaoisotermica:N_^5O_^ � NP`3O_` (O ` � O ^ N ^NP` � 1 �T(E� < 2 1 ��(,�T�ba[��()� ; 2c79��K��(,�T�G7>�*� K � �T(,6�� m NP^5O_^ � � B � 6T()� C 4 7>�*��d J& isotermico � � B feg� O `O ^& isotermico � 1 6T()� C 4 79�� d 2�eS�ih �T(,6��T(E� <�j � ��(,U��$79�� d JHParao processoisobarico,& isobarico � N 1 O `lk O ^ 2& isobarico � 1 ��(,�T� 7m�� K 2 1 �T(*� < k �+(,6=�32 � k ��( < �P7i�*��d JHO trabalhototal realizadopeloar eentao:& T � 1 ��()U�� k ��( < �I2�7>�*��d �nC ( L 79�� : JHP-20.



Um tubodecomprimentoo � 6 C ()� m, abertoemumadasextremidadescontemar a pressaoatmosferica. Elee colocadoverticalmenteemum lagodeaguadoce,atequeaaguapreenchametadedotubo,comomostradonaFig.6T� k � 4 . Quala profundidadeh dapartesubmersadotubo?Considerea temperaturacomosendoamesmaemtodoo lugare constante.� Sea temperaturae constante,entao NPO � � B �constante. A pressaodoar, ocupandoagoraametadedovolumedotubo,e dadaporN ^ O ^ � N ` O `N � oc? � N o 6 ? p N � 6 N �A pressao N fundo do lagoedadapor:N

fundo � N aFq�r o 6Nfundo � 6 N � asq�r o 6

A mesmapressao N fundo, calculadaa partir dasuperfıciedo lagoedadapor N

fundo � N � aFq�r�tIgualandoasduasequac¸oesparaN fundo, vem:6 N � asq�r o 6 � N � aFq�r�tN � � q�r 1 t k o 6 2t � o 6 a N �q�rt � ��6T( C a ��()�+�G79��K1 �*��2 1 U+()��2 � 6�6�( 4 � m

P-23.

O recipienteA, naFig. 6�� k � L , contemum gasidealapressaode C (,�u7v�*��K Pa e a temperaturade ; �� K. Eleesta conectadopor um fino tubo ao recipienteB, quetemquatrovezeso volumedeA. O B contemo mesmogasideal,a pressaode ��()�w7v�*��K Pa e a temperaturade< �� K. A valvula de conexao e abertae o equilıbrio eatingidoaumapressaocomum,enquantoa temperaturade cadarecipientee mantidaconstante,em seuvalorinicial. Qualapressaofinal dosistema?� As temperaturasnosdois recipientesnaosealteramcoma aberturadavalvula.A pressaofinal deequilıbrio

sera indicadapor p. Comosdadosfornecidos,calcula-seo numerodemoles� A e � B degasemcadarecipienteantesdaaberturadavalvula.Depois, essesnumerossao��x A e ��x B eo numerototal demolesnosdoisrecipientesen: O

AB A

� � ANA

� ��x ANParaumvolumeunitario:� A � N

AB A

� C (,�w79��K�ylz1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 ; �� 2� 6��+( C 4 moles

� B � < N BB B

� 1 < 2 1 ��(,�w79��K�ylz�21 �+( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < �� 2� ��6��T( ;=< moles� A aF� B ��; 6=�+()U�� moles��x A as��x B � �� A ANA

� ��x A AN � � B B< N B

� ��x B B< N��x A AN � ��x B B< N��x A � ��x B B< A

� �T( ;�;�; ��x B�+( ;�;�; ��x B aF��x B � ��x B � ; 6=�+()U��( ;�;�; � 6 < �+( 4 � moles��x A � ��T(�6�6 moles

E, finalmente,obtem-sea pressao:N x A � ��x A� A

H NA � h ��T(�6�66��+( C 4 j 1 C ()��7i�*� K 2 � ��(,U�U�7m�� K Pa

E-28.

(a) Encontrea velocidadequadratica media de umamoleculadenitrogenioa 6�� C. (b) A quetemperaturasa velocidadequadraticamediasera a metadee o dobrodessevalor?� (a) A massamolardamoleculade

- e0 � 6=�T(,�

g/mol:

�rms �� 1 ; 2 1 �+( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 ; �+� � 2�+()�36=��r+} .�~ e ��C � L ( 4 � m/s



(b) A metadeda � rms do ıtem(a) e iguala 6 C �T(,� < m/s.Atemperaturacorrespondentesera:Qx � 0 �

rms;�B � L C (,6 C K1�� k �*U�� C2

O dobroda � rms do ıtem (a) e igual a �� ;�C ( ; 4 m/s. Anovatemperaturasera:Qx�x � 0 �

rms;�B � �I6=� < K1�� U ; � � C2 H

P-30.

A densidadedeumgasa 6 L ; K e ��()��G7��*�� atmede��(�6 < 7�� K g/cm: . (a) Encontrea velocidade� rms paraasmoleculasdo gas. (b) Achea massamolardo gaseidentifique-o.� (a) Escrevendoa equaçaodo gasidealemtermosdamassadaamostraedamassamolarM dogas,tem-se:NB � .0 O ( onde . O � q HA massamolar e

0 �� e a velocidadequadratica

mediapodeentaoserexpressapor � rms �D� : �� e obtida

comosdadosfornecidosacima:�rms � � 1 ; 2 1 ��(,�T�G79�� : ylz�2�T(,�T�I6 <c� r+} . : ��< U < ( ; 6 m/sH

(b) A massamolarM vale:0 � q B N� 1 �+()�T�I6 <c� rT} . : 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2��()�+�G79�� :� �T(,��6 L U kg/mol

Na tabeladePropriedadesdosElementos,ApendiceD,encontramosa massamolardo nitrogenio,que,na for-mamolecular, temmassa

0 � 6��T(,� g/mol.

P-36.

Mostrequea equaçaodo gasideal (Eq. 21-4)podeserescritanasformasalternativas: (a) N � � �� , onde q ea densidadede massado gase M, a massamolar; (b)NPO � - � , ondeN e o numerode partıculasdo gas(atomosoumoleculas).

� (a) Na equaçao do gas ideal, o numeron de molespodeser expressopor � �� , ondem e a massadaamostradegaseM, a suamassamolar:N ��. B 0 O ( onde . O � q_(N � q B 0 H(b) O numerodemolesdaamostradegastambempo-de ser expressaem termosde N, o numero total departıculase o numerode Avogadro: � � �� A

. Lem-

brandoque �$� �� A, vemN O � - � H

P-43.

Em um certoaceleradorde partıculas,os protonsper-corremumcaminhocirculardediametrode 6 ; ()� m emumacamaraondeapressaoe ��()��b7l�*�T�P� mmdeHg eatemperaturae 6=U C K. (a) Calculeo numerodemoleculasdegaspor centımetrocubico,a estapressao. (b) Qualo livre caminhomedio dasmoleculasde gassobestascondicoes,seo diametromolecularfor de 6�(,��w7>�*�� cm?� (a) Em unidadesdo SistemaInternacional,a pressaodadae igual a N � ��( ;�; 7�� d Pa. Expressandoonumerode molesem termosdo numerode partıculas,� � �� A

, daequaçaodogasidealvem:- O � N -AB � 1 ��( ;�; 7>�*�T� d ylz�2 154 ()�36879�� ,: 21 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6=U C � 2- O �n; (�6 4 79�� moleculas/cm:IH

(b) Com o diametromoleculardado,o livre caminhomedioe obtidodiretamentepor:� � �� 6 A�� 1 - } O 2 � � L 6 4 � cmH

ou� � � L ; m H

P-54.

Certamoleculadehidrogenio(diametrode ��(,�w7v�*�� cm) escapade um forno ( ��< �� K) com veloci-dadequadraticamediae entraem umacamaraconten-do atomosde argonio frio (diametrode ; ()�F7��*�� cm), sendoa densidadedesteultimo de < (,�F7�� !atomos/cm: . (a) Quala velocidadedamoleculadehi-drogenio?(b) Sea moleculadehidrogenioe umatomo



deargoniocolidirem,quala menordistanciaentreseuscentros,considerandoamboscomoesferasrıgidas?(c)Qualo numeroinicial decolisoespor segundosofridaspelamoleculadehidrogenio?� (a) A massamolardamoleculade � e

0 � 6T()�36g/molesuaa velocidadequadraticamediae:�

rms �@� ;�B 0 � � 1 ; 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < �� 2�T(,��6��6 � rT} .�~ e� L ��6 4 m/sH(b) A distanciasentreoscentrosdamoleculade �w e oatomodeAr e igualasomadosseusraios,isto e,�8�� Ar a H

X � 6T()�$7>�*� � � cmH(c) O livre caminho medio dos atomos de Ar nascondicoesdadase� � �� 6 A�� Ar

1 - } O 2 � 4 (,6 C 79�� P� m HO numerodecolisoesporsegundo,f, e dadopor¡ � �� L �36 4 . }=¢4 (�6 C 7>�*� � � . � ��(E�I6879�� ,� colisoes/sHP-56.

Para a distribuicao hipotetica de velocidadesdas Npartıculasdeum gas,mostradanaFig. 21-19[ y 1 � 2 �£ � para�$� �¥¤J� � ; y 1 � 2 � � para� � � � ], encontre(a) umaexpressao paraC em termosde N e � � , (b) avelocidademediadaspartıculase (c) a velocidadermsdaspartıculas.� (a) Parao calculodeC, tem-se:¦W§,¨� £ � � � � - (£ � ; -� :� H(b) A velocidademediae obtidapor:©� � �- ¦ y 1 � 2 � �©� � h ; -� :� j �- ¦ §�¨� � : � �©� � ; � �< � �T( L C � � H

(c) A velocidadequadraticamediacalcula-sepor:©� � �- ¦ y 1 � 2 � � �©� � h ; -� :� j �- ¦ §�¨� � d � �©� � ; � �Cª ©� � �rms � � ; C � � � �+( L�L C � � H

P-61.6��T(,U J de calor sao adicionadosa um certogas ideal.Como resultado,seu volume aumentade C �+()� para�� cm: , enquantoa pressaopermanececonstante( ��(,�atm).(a) Quala variacaonaenergia internadogas?(b)Seaquantidadedegaspresentefor de 6�(,��«7¬�� : mol,calculeo calorespecıfico molara pressaoconstante.(c)Calculeo calorespecıfico molara volumeconstante.� (a) O trabalhorealizadonaexpansaodogase&� N " O � 1 ��(,�T�G7>�*� K ylz�2 1 C �w7>�*� �P� . : 2� C ()� C JHE a variacaodaenergia internae"8# int � 6��T( 4 k C (,� Cl� � C (,� C JH(b) A variacaodatemperaturanoprocessopodesercal-culadaa partirdo trabalho:&®� N " O � � B "8Q("¬ � &� B � C ()� C {1 6�(,�w79�� : .�~ e52 1 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2� ; � < K H

E parao calorespecıficomolarapressaoconstantevem:£P � %��"8 � 6=�+()U¯{1 6T()�$7>�*� � : .�~ e�2 1 ; � < � 2� ;=< ( ; 4 J/mol.KH

(c) O calorespecıfico molaravolumeconstanteeobtidodiretamentedo resultadodo ıtemanterior:£

V � £Pk B°�n;=< ( ; 4 k �T( ; � � 6 4 ()� L J/mol.KH



P-68.

Suponhaque < ()� moles de um gas ideal diatomico,cujas moleculasestejamem rotacao sem oscilar, so-frem um aumentode temperaturade

4 �T(,� K a pressaoconstante.(a) Quantocalor foi transferidoparao gas?(b) Em quantoaumentoua energia internado gas? (c)Quantotrabalhofoi realizadopelogas? (d) Qual foi oaumentonaenergia internatranslacionaldasmoleculasdogas?� (a) O calortransferidoparao gasapressaoconstantefoi:% � � £ P "8� 1 < (,� .�~ e52 1 L6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �+()� � 2� 4 U�� JH(b) A variacaodaenergiainterna,paraqualquerproces-so,edadapor "$# int � � £ V "8 :"$# int � 1 < ()� .�~ e52 1 C6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �T(,� � 2� < U 4 � JH(c) O trabalhorealizadopelogaseN � " O � � B "8� 1 < ()� .�~ e52 1 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2 154 �T(,� � 2� �*U�U < JH(d) Levandoemcontaso osgrausde liberdadetransla-cionaisdasmoleculas,a energia internacorrespondentesera:"$# int � 1 < ()� .�~ e52 1 ; 6 2 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1S4 �T(,� � 2� 6=U�U�6 JHP-69.

A massamolardo iodoede ��6 L g/mol. Umaondaesta-cionariaemum tubocheiodegasdeiodo a < �� K temos seusnos

4 ( L�L cm distantesum do outro, quandoafrequenciae �� Hz. O gasdeiodoemonoatomicooudiatomico?� Sea distanciaentrenos e

4 ( L�L cm, o comprimentode ondae

� � 6�7 4 ( L�L � � ; ( C=< cm e a velocidade

de propagaçao e � � � ¡ � � ;3C ( < m/s. O modulo deelasticidadevolumetricapodeser expressoem termosdaconstanteadiabatica ± edapressao:² � k O � N� O � ± N HA velocidadedepropagaçaoe entao � � � ³ �� e,como

foi mostradono P-; 4 , � � � �� . Assim, a velocidade

e, finalmente,� � � ³ �� . Comosdadosdisponıveis,pode-seagoraobter ± :± � � 0B � 1 � ;�C ( < . }=¢I2 1 6$79�I6 L r+} .�~ e521 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 < �� 2 � ��( < HDobrou-seamassamolarnocalculoparaobter± � ��( < ,o valordaconstanteadiabaticadeumgasdiatomico.

E-71.

(a) Um litro degascom ± � ��( ; esta a 6 L ; K e ��()��atm. O gas e subitamente(adiabaticamente)compri-mido ate a metadedo seuvolumeinicial. Calculesuastemperaturaepressaofinais.(b) O gaseentaoresfriadoate 6 L ; K, apressaoconstante.Qualo seuvolumefinal?� (a) Para o processoadiabatico, sao validas asrelacoes: N ^ O ³^ � N ` O ³`NP` � N_^ h O+Ô ` j ³ � 6T( < 4 atmH ^ O ³ � �^ � ` O ³ � �` ` � ^ h O Ô ` j ³ � � ��;�; 4 K H(b) O numerodemolesdegasnaamostrae� � NP^�O_^B ^ � 1 ��(,�T�G7>�*��K�ylz�2 1 �T(,��+� . : 21 �+( ; �b{+} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2� �T()� <�<ZC mol HE a variacaoproduzidanovolumee entaoN " O � � B "¬m(" O � � B "8N� 1 �T(,� <�<ZC .�~ e52 1 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 k 4 ; � 21 6�( < 4 2 1 ��(,�T�´79�� K ylz�2� k �+(E�*� m:=H



O ` � " O a O ^ � k �+(E��aW�T( Cl� �T( < litro HP-80.

Um gas ideal sofre uma compressao adiabatica deN � ��()� atm, O � ��()�v7µ�*�� litros, � �+()�� CparaN � ��()�w7v�*��K atm, O � ��(,�u79�� : litros. (a) Es-te gase monoatomico,diatomico ou poliatomico? (b)Quala suatemperaturafinal? (c) Quantosmolesdogasestaopresentes?(d) Quala energia cineticatranslacio-nal total por mole, antese depoisda compressao? (e)Quala razaoentreosquadradosdasvelocidadesrmsdesuasmoleculas,antesedepoisdacompressao?� (a) Paraosprocessosadiabaticosvalea relacao:N ^ O ³^ � N ` O ³` (NP^�O ³^ � �� K NP^ 1 �*� � : O_^ 2 ³C k ; ± � �+( p ± � C;Portanto,trata-sedeumgasmonoatomico.(b) Paraachara temperaturafinal, tem-seoutrarelacaoparaosprocessosadiabaticos: ^5O ³ � �^ � `�O ³ � �` ( ` � ^ h O ^O ` j ³ � � � 1 6 L ; � 2 1 �� : 2 X¶ � 6 L ; �� K H

(c) O numerodemolespresentesecalculadodaequac¸aodeestadodogasideal:� � NP^�O_^B ^ � 1 ��(,�T�G7>�*��K�ylz�2 1 �*� : . : 21 �T( ; �|{_} .�~ e H � 2 1 6 L ; � 2� <�<3C 6=�+(,6 4 molesH(d) A energia cinetica translacionalpor mol, antesdacompressaoe: � ^� � ; 6 B ^ �n;=< � ; J(e depoisdacompressaoe:� `� � ; 6 B ` ��;�< � ; �� JH(e) A razao entreos quadradosdas � rms, antese depoisdacompressao,e:�

rms,f� rms,i

� ` ^ � 6 L ; ��6 L ; � �� H

P-83.

Certamaquinatermicaprocessa��()�� mol de um gasideal monoatomico atraves do ciclo mostradona Fig.21-21.O processo�G·�6 acontecea volumeconstante,o 6J· ; e adiabatico e o ; · � acontecea pressaoconstante. (a) Calculeo calor Q, a variacao da ener-gia interna "$# int e o trabalhorealizadoW, paracadaum dos tres processose parao ciclo como um todo.(b) Se a pressao inicial no ponto � for ��()�� atm, en-contrea pressao e o volume nos pontos 6 e ; . Use��()�� atm � ��()�T� ; 79��K Pae Bµ� �+( ; � < J/mol.K.� (a) Comecandocomo processoa volumeconstante,%¬�)¸l � � £ V "8� 1 ��(,��2 1 ��( C 2 1 �T( ; ��2 1S4 �� k ; ��2� ; L < � JHO trabalhoe nulo nesteprocessoe,portanto,a variacaodaenergia internae igualaocalorabsorvido,ouseja,"$# int, ¹�º X ��; L < � JHNo processoadiabatico, % � � edaprimeiralei tem-se:"$# int,

X º ¶ � k & ("$# int,

X º ¶ � � £ V "8� 1 ��(,��2 1 ��( C 2 1 �T( ; � < 2 1 <3C�C k 4 ��32� k �� JHPortanto,& �¸l: � �*�� J.Parao processoa pressaoconstantetem-se:%l:�¸¬� � � £ P "¬� 1 ��()�32 1 6�( C 2 1 �T( ; � < 2 1 ; �� k <ZC�C 2� k ; 6�6�6 J(

& :,¸¬� � N " O � � B "¬� 1 ��()�32 1 �T( ; ��2 1 ; �� k <3C�C 2� k ��6�U�� J("$# int,

¶ º�¹ � k ; 6�6�6 k 1 k ��6�U��2 � k ��U ; 6 JHhttp://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina8 de10


O calorefetivo transferidonociclo e:% Total � %8�»¸l «aW%l �¸l:�a¼%l:�¸¬�� ; L < �]aW� k ; 6�6�6� C �*� JHO trabalhototal realizadonociclo e:& Total � & �)¸l ¯a & ,¸½:ca & :�¸¬�� ma[�� k ��6�U�� C �� JHE parao ciclo, "$# int � % Total

k & Total � � .(b) Dada N � � ��(,� atm e �� '; �� K, obtem-seapressao N : N �� N � dondetiramosfacilementeN � N � � �� 1 ��(,�bz3¾ . 2 h 4 ��; �� j � 6T()� atmHParaobterN : , usa-sea relacaoentrea pressaoe o volu-mevalidaparaosprocessosadiabaticos:N O ³ � N : O ³: (O volume O e calculadocom a equac¸ao de estadodogasideal:O � � B N � 1 ��(,��2 1 �T( ; �I2 1 ; ��32��(,�T� ; 7>�*� K� �T()�36 < 4 6 m:� 6 < ( 4 6 litros HO volume O : obtem-sedarelacao: O ³ � � � : O ³ � �: (O ³ � �: � O ³ � � : � 1 6 < ( 4 2 �*¿ �)À 4 ��<3C�C (O �*¿ �)À: � ��(,6 L e O : �[; L ( ;�< litros HN : � N h O O : j ³N : � 1 6T()�bz3¾ . 2�h 6 < ( 4 6; L ( ;=<�j �Á¿ �)À � ��(,� atmH


P-85.

Uma amostrade gas ideal passapelo processocıclicoilustradonograficop - V daFig. 6�� k 6�6 . A temperaturado gasno pontoa e 6�� K. (a) Quantosmolesdo gasexistemnaamostra?Quaissao(b) atemperaturadogasno pontob, (c) a temperaturado gasno pontoc e (d) ocalortotal adicionadoaogasduranteo ciclo?� (a) O numerodemolesnaamostrae:� � NPOB a

� 1 6T( C 79�� : ylz�2 1 ��(,� . : 21 �T( ; � < {+} .�~ e H � 2 1 6=�� 2 � ��( C mol

(b) Paraa temperaturanopontob tem-se:NaO

a a

� NbO

b b

( b � a

NbO

bNaO

a

� 1 6=�� 2 1 L ( C 7>�*� : ylz�2 1 ; ()� . : 21 6�( C 79�� : 2 1 ��()� . : 2� �� K H(c) E paraa temperaturanopontoc tem-se: c � b

NcO

cNbO

b

� 1 �*�� 2 1 6T( C 79�� : ylz�2 1 ; ()� . : 21 L ( C 79�� : ylz�2 1 ; ()� . : 2� 4 �� K H(d) O trabalhorealizadopelogasnociclo e igual a areado trianguloabce vale C �� J. Comoe nulaa variacaodaenergia internano ciclo, o calor total adicionadoaogase igualaotrabalho,ouseja,C �� J.

P-88.

Uma amostrade gas ideal se expandede pressao evolume iniciais correspondentesa ; 6 atm e ��()� litro,respectivamente,paraum volumefinal de < ()� litros. Atemperaturainicial do gas era de ; �� K. Quaisseraoa pressao e temperaturafinais dessegase quantotra-balhoele realizara durantea expansao, se estafor (a)isotermica,(b) adiabaticae o gasmonoatomico, e (c)adiabaticae o gasdiatomico?� (a) Sea expansaoe isotermica,"$# int � � e % �°& .A pressaonoestadofinal sera:N ^ O ^ � N ` O ` (



N ` � N ^ h O ÔP` j � 1 ; 6bz�¾ . 2 ��()�be< ()�be � �+()� atmHE o trabalhonoprocessoisotermicoe dadopor:&� ¦ �IÂ�*Ã N � O � � B ¦ �IÂ�*Ã � OO � � B �eg� OPÒ ^&®� 1 ; 6|z3¾ . H e�2 1 eg� < 2 �\<�< ( ; 4 atm.l ��<�< U < JH(b) Paraa expansaoadiabaticadeumgasmonoatomicotem-se% � � , £ V � : B ,

£P � K B e ± � K : � ��( 4 L . A

pressaofinal e: N ^ O ³^ � N ` O ³` (N ` � N ^ h O ÔP` j ³ � 1 ; 6|z3¾ . 2 h ��()�be< ()�be j �Á¿ �,À �[; (*� 4 atmHE atemperaturafinal e obtidapor: ^ O ³ � �^ � ` O ³ � �` (

` � ^ h O Ô ` j ³ � � � 1 ; �� 2�h ��()��e< ()��e j �E¿ �,À� ��T( C K H

Da primeiralei, "$# int � k & . A variacao da energiainternae calculadapor:"$# int � � £ V "8 � ; 6 � B 1 ��T( C k ; ��32Á(Parao estadoinicial, obtem-se:� B°� NP^5O_^ ^ � 1 ; 6|z3¾ . 2 1 ��()�+�i7>�*� K ylz�2 1 �� : . : 2; �� T(,� J/K H

"$# int � ; 6 1 ��T(,�¯{_} � 2 1 ��*�T( C � k ; �� 2� k 6=U < �T( ; � JHE, portanto,&®� 6=U < �T( ; � J.(c) Seaexpansaoeadiabaticaeo gasediatomico, tem-se % � � , £ V � K B ,

£P � À B e ± � ÀK � ��( < .

Repetindoosmesmoscalculosdo ıtemanterior, obtem-se y ` ��< ( 4 atm, ` � � L 6 K e &®��;�<3C 4 J.









Conteudo

22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMO-DINAMICA 2

22.1 Questoes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

22.2 Exercıciose Problemas. . . . . . . . . 4

22.3 ProblemasAdicionais . . . . . . . . . . 12


(lista4.tex)



22 ENTROPIA E A II LEI DA TERMODIN AMICA

22.1 Questoes

Q-6.

Explique qualitativamentecomo as forcas de atrito entreduassuperfıcies aumentama temperaturadestassu-perfıcies.Porqueo processoinversonaoocorre?� Quandoduassuperfıciesestao em contato,ocorreminteracoesde naturezaeletricaentreassuasmoleculas.Como movimentorelativo, essasinteracoessaorompidas,a energiacineticadasmoleculasaumenta,acarretandoum aumentodatemperaturadassuperfıcies. No processoinverso,a energia termicadificultariaa interacaoentreasmoleculase asforcasenvolvidasseriamlocalizadase insuficientesparaproduzirmovimentorelativo dassu-perfıcies.

Q-7.

Um blocovolta a suaposicaoinicial, depoisdesemoverdissipandoenergiapor atrito. Porqueesteprocessonaoe termicamentereversivel?� Porquea energia termicaproduzidano atrito, naopodeserreconvertidaemenergia mecanica,conformea se-gundalei datermodinamica.

Q-10.

Podemoscalcularo trabalhorealizadoduranteumprocessoirreversı vel emtermosdeumaareanumdiagramap -V? Algum trabalhoe realizado?� Nosprocessosirreversıveisha realizacaodetrabalho- sobreo sistemaou pelosistemasobreo seuambiente-masestetrabalhonao podeserobtidopelocalculodeumaareano diagramap - V, porquea pressaodo sistemanaoe definidanumprocessoirreversıvel.

Q-14.

Sobquecondicoesumamaquinatermicaidealseria �� eficiente?� A eficienciadeumamaquinatermicapodeserexpressapor�� H �� C �� H � �Parao rendimentoserde �� , � C � , o calorliberado,teriaquesernulo,masessaseriaentaoumamaquinaperfeitaque,de acordocom a segundalei, nao existe. Considerandoa eficienciaexpressaem termosdastemperaturasextremas, �� C�

H �paraumrendimentode �� , a temperaturadafontefria teriadeser

�� K, o queestariaemdesacordocomaterceiralei datermodinamica(verdiscussaosobreo zeroabsoluto,porexemplo,nasecao �� dosegundovolumedoCursodeFısicaBasica, doautorH. MoysesNussenzveig).



Q-18.

Porqueumcarrofazmenosquilometrospor litro degasolinano invernodoquenoverao?� As maquinastermicasreaisnaooperamciclosexatamentereversıveisequantomaiorfor adiferncadetempera-turaentrea fontequenteea fontefria, maioreaquantidadedeenergiaquenaoseaproveita.Assim,nosdiasmaisfrios, ummotordeautomovel tema suaeficienciadiminuıda.

Q-21.

De exemplosdeprocessosemquea entropiadeum sistemadiminui, e expliquepor quea segundalei da termo-dinamicanaoe violada.� No processodecongelamentodeumaamostradeagua,aentropiadestesistemadiminui, porquea aguaprecisaperdercalorparacongelar. A segundalei datermodinamicanaoe violadaporquea entropiado meio,querecebeo calor cedidopelaagua,aumenta.Esteaumentoe maior do quea diminuicao, tal quea entropiado sistema+ambienteaumenta.

Q-23.

Duasamostrasdeum gas,inicialmentea mesmatemperaturae pressao,saocomprimidasdevolumeV parao vo-lume �� , umaisotermicamenteeaoutraadiabaticamente.Emqualdoscasosapressaofinal emaior?A entropiadogasvariadurantequalquerumdosprocessos?� No processoisotermicoa pressaofinal e: � � � � � �� No processoadiabatico,apressaofinal e: � �"! �$# � �% ! �� &! � �A pressaofinal e maiornoprocessoadiabatico.A variacaodaentropianoprocessoisotermicoe dadapor:')( �*,+ �.- * �� ')( � *,+ �/- * � �No processoadiabatico,aentropianaovaria,umavezque

' e nulonestecaso.

Q-25.

Ocorrevariacaodaentropiaemmovimentospuramentemecanicos?� Sim,porcausadaenergiatermicaproduzidapeloatrito.

Q-28.

Calore transferidodoSolparaaTerra.Mostrequea entropiadosistemaTerra-Solaumentaduranteo processo.



� O Sol liberacalor a alta temperaturae tema suaentropiadiminuıda. Ja a Terraabsorve o calor a temperaturabemmaisbaixa.A entropiadaTerraaumentanoprocessoe esteaumentoe maiordo quea diminuicaodadoSol,tal queavariacaodaentropiadosistemaTerra-Solepositiva.


P-4.

Um mol deum ga idealmonoatomicopassapelociclo mostradonaFig. 22-18. O processobc e umaexpansaoadiabatica;

�10 �2� � � atm, � 0 � � ��)34�2�6517 m7 , e �18 :9 � ��0. Calcule:(a) o caloradicionadoaogas,(b) o

calorcedidopelogas;(c) o trabalhorealizadopelogase (d) a eficienciadociclo.� Parachegaraosresultadospedidos,antesenecessarioobtero valordatemperaturaedapressaonofinal decadaumdosprocessosdociclo. Comecandocomo processoadiabaticoqueliga osestadosb ec, tem-se:�10 � !0 � 8;�"!8 �� 8 �<0 # � 0� 8�= ! ?> �2�A@�BDC.E # ��F5179 � �)3G�� 517 =,HJI KML � �;N � atm NF� �PO)3G��Q Pa�As temperaturasnosestadosb e c sao:� 0 �<0 � 0*,+ > �2��E > � � �F�3R�2��S�T"@6E > � � �)3R�2�6517<C.7�E> � � ��E >U9 �;N �POWVX�&C/Y - � Z E �2�� K �� 8 � 8;�18*,+ > NX� ��O[3G�� Q T"@6E >\9 � �)3G��F517<C.7�E> � � ��E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E N � K �Nacompressaoisobarica,tem-se � 8�^8 �,_� _ �� _ � 8 � _�18 `> N � Z E

# � 09 � �a�0 = NX� 9 K �

As transferenciasdecalore o trabalhorealizadoemcadaprocessosaocalculadoscoma primeiralei:bab � � ab

c*ed]f ' � `> � � ��E > N � E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > �2�� NF� 9 E Z ��O�g&O J�bbc � 'ih int

� *ed]f ' � ?> � � ��E > N � E >U9 �;N �POWVX�&C/Y - � Z E > �2�� N ��E Z ��O�g J�bca � _ > � _ � � 8 E `> NX� �PO)3G�� Q T"@�E > � � � � 9 � ��E�3R�2� 5<7 C 7 � �� J� caj*ed�k ' � l> � � ��E > �� E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > NF� 9 � N ��E Z � � O � J�

Entao,finalmente,(a) absorvido

ab ��O�g&O J.

(b) cedido ca

� � O � J.(c)b

efetivo b

bc m b ca ��PO6g � �� jn ��g J.

(d) �o p q.pp r absorvidop tsMu LH Q L Q � �;v�N .http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina4 de14


E.7

Parafazergelo,um freezerextrai O�� kcal de calordeum reservaorio a � �� C em cadaciclo. O coeficientedeperformancedo freezere

� � g . A temperaturado ambientee � v C. (a) Quantocalor, por ciclo, e rejeitadoparaoambiente?(b) Qualaquantidadedetrabalhoporciclo necessariaparamantero freezeremfuncionamento?� (a) A performancedo freezere dadapor:

Z � C �� b � �E o trabalhoexternonecessario e: b � C �Z O��aw6xy@ -� � g g �;N g kcal�� H � � b � m � C � �� H � `> g �;N g m O��EMw6xy@ - O n �MN g kcal�(b)b g �MN g kcal N � kJ.

E-10.

Numciclo deCarnot,aexpansaoisotermicadeumgasidealacontecea O�� K eacompressaoisotermicaa N �� K.Durantea expansao,

� �� cal decalorsao transferidaspelogas. Calcule(a) o trabalhorealizadopelogasdurantea expansaotermica;(b) o calorrejeitadopelogasdurantea compressaoisotermicae (c) o trabalhorealizadopelogasduranteacompressaoisotermica.� (a) Naexpansaoisotermica,

'[hint � e

b . Portanto,b � �� cal �� n N J.

(b) Nacompressaoisotermicatambem b , maso calore liberado:

� C � �C�H� H � N ��O�� N g � cal � � g�� J�

(c) � b � N g � cal � � g&� J.

E-15.

Parao ciclo deCarnotilustradonaFig. 22-9,mostrequeo trabalhorealizadopelogasduranteo processobc(passo� ) temo mesmovalorabsolutoqueo realizadoduranteo processoda (passoO ).� O processobc e a expansaoadiabatica,a temperaturainicial e�

H e a final e�

C e � . Entao,pelaprimeiralei,

'[hint � b . '[h

int�*ed

V

' � j*edV> �

C � � H E �b m *ed V> �

H � � C E �O processoda e a compressao adiabatica,a temperaturainicial e

�C e a final e

�H.'[h

int � b e

'[hint*ed

V> �

H � � C E . O trabalhoeb � *ed V

> �H � � C E . Portanto,� b bc � � b da � .

P-20.

Umabombatermicaeusadaparaaquecerumedifıcio. Do ladodeforaatemperaturae � �A C edentrodoedifıciodeve sermantidaa �� C. O coeficientedeperformancee NF� 9 e a bombainjeta � � 9 Mcal decalorno edifıcio porhora.A quetaxadevemosrealizartrabalhoparamanterabombaoperando?



� O calorinjetado,expressoemJ/s,e:

H > � � 9 3G�� K E > O � � 9 v VzEN�v ��|{ �� n N J/s�

O coeficientedeperformancedabombaedadapor:

Z �� C �� b � �� H �� b �� b � }� H �� b � � � �A taxaderealizacaodetrabalhonecessariaparaoperarabombavai serentao� b �B �� H � ��BZ m � �� n NNX� 9 m � O N�v W �P-24.

(a) Mostreque,quandoumciclo deCarnote tracadonumdiagramatemperatura(Kelvin) versusentropia(T - S), oresultadoeumretangulo.Parao ciclo deCarnotmostradonaFig. 22-19,calcule(b) o calorganhoe (c) o trabalhorealizadopelosistema.� (a) Osdoisprocessosisotermicosdo ciclo deCarnotvaoproduzirdoissegmentosdereta,perpendicularesaoeixoT nodiagrama(T - S), eosdoisprocessosadiabaticosocorremsemtrocasdecalor, produzindodoissegmentosperpendicularesaoeixoS.(b) No diagramaT - S, a areasobo segmentoderetaab fornece H esobo segmentocd, fornece C: H

l> O�� Z E > � �;v � � � � ��E~V^� Z �� J�(c) Calculando C: C

l> � � � Z E > � � � � � �;v EJVX� Z � �2� � J�E, finalmente,o trabalhorealizadopelosistemae:� b � � H �&�� C � �� 2� � g � J�P-25.

NumamaquinadeCarnotdedoisestagios,umaquantidade H decalore absorvidaa temperatura� H , o trabalhob H e feito e umaquantidade u e rejeitadaa temperatura

� u peloprimeiroestagio. O segundoestagioabsorveo calor rejeitadopeloprimeiro, realizaum trabalho

b u , e rejeitaumaquantidadedecalor 7 a temperatura� 7 .

Provequea eficienciadestacombinac¸aoe �� 5 �� .� Parao primeiroestagiodamaquinapode-seescrever, deacordocoma equac¸ao(22-11),� H �� u � � u� H �Parao segundoestagio,igualmente, � 7� u � � 7� u �Essasrelacoespermitemvincular � H � e � 7 � atravesde � u � :

� 7 � � 7� u � u� H � H � �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina6 de14


� 7 � � 7� H � H � �O rendimentodamaquinaeentaoexpressopor � � � � 7 �� H � �quee equivalentea �o � � � 7� H �ouseja,o rendimentodamaquinae funcaodastemperaturasextremasentreasquaisoperao ciclo.

P-30.

Um mol deumgasidealmonoatomicoeusadopararealizartrabalhoemumamaquinaqueoperaseguindoo ciclomostradonaFig. 22-21.Suponhaque

� � � , � �� , � � � �X��3G�2��S Pa,e � � � �� m7 . Calcule(a) otrabalhorealizadoporciclo; (b) o caloradicionadoporciclo duranteo trechodeexpansaoabc, e (c) aeficienciadamaquina.(d) Quala eficienciadeCarnotdeumamaquinaoperandoentreastemperaturasmaisaltae maisbaixaqueocorremnesteciclo?Compareestaeficienciacomaquelacalculadaem(c).� (a) O trabalholıquidoproduzidoporciclo e iguala areadodiagramap - V dafig. 22-21.Calculandoostrabalhoscorrespondentesaexpansaoe a compressao,vemb

bc � � > �� E � � � O � O � J�b

da � > � � �� E � � � � ��g�� J�b

ciclo O � O � � ��g�� g�� J�

(b) No processoab,b � e '[h int

?*edV

' �. As temperaturasnosestadosinicial e final desteprocesso

sao: �a � � *,+ ��g NX�MN�N K ��

b � � � *,+ � O vF�;v g K � ab

`> � � ��C.Y - E > N � E >\9 �;N ��O]V^��C.Y - � Z E > � O vF�Mv g � ��g NX�MN�N E Z N O�� 9 � g�� J� bcj*"d

P> �

c � � b E ��c �

b

� c� b

�2� n NX�MN � K � bc`> � � ��C.Y - E > �� E >U9 �MN �PO]V^�&C/Y - � Z E > �2� n NF�MN � � � O vX�Mv g�E Z �� N�v � �;N � J� H

ab m bc N O�� 9 � g&� m �� N�v � �;N � �PO6g�g6� J�

(c) A eficienciadamaquinapodesercalculadapor�� b �� H � ��g�� O�g�g6� � � � � O �(d) A eficienciadamaquinaidealdeCarnotoperandoentreasmesmastemperaturasextremasseria:�

Carnot � � � H�

C

� � ��g NX�MN�N�2� n NF�MN � � � g � �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina7 de14


Comparadoo rendimentodamaquinacomo damaquinaideal,tem-se��Carnot

� � � � O� � g � � � �� O rendimentodamaquinaede �� dodamaquinaideal.

P-36.

Um inventorafirmater criadoquatromaquinas,todasoperandoentre O�� K e N �� K. As caracterısticasdecadamaquina,por ciclo, saoasseguintes:maquina(a), H

�� J, C � ��g � J,

b O�� J;maquina(b), H � ��

J, C � �� J,

b O�� J; maquina(c), H v �� J, C

� �� J,b O�� J; maquina(d), H

�� J, C � n � J,

b �2� J. Usandoa primeirae a segundaleis da termodinamica,verifiqueparacadamaquinasealgumadestasleisesta violada.� (a) Primeiralei datermodinamica: '[h

int �� b � � H �� C � �� g � � � J�'ih

int � � � O�� J�

Como'ih

int � � , estavioladaaprimeiralei. Paraverificarasegundalei, calcula-seo rendimentodamaquinaparasercomparadoaorendimentodamaquinaidealdeCarnotoperandoentreasmesmastemperaturas:�

maq.�� b �� H � O��

Carnot � H � � C�

H

O�� N ��O�� Como � maq. � � Carnot, asegundalei naoesta violada.(b) � H �&�� C � N �� J'[h

int N �� O�� 2�� J�

Como'[h

int � � , estamaquinatambemviola aprimeiralei.�maq.�� b �� H � O�� 9

Sendo� maq. � � Carnot, tambemestavioladaasegundalei.(c) � H �&�� C � v �� O�� J�'ih

int O�� O��

maq.�� b �� H � O��v �� Mv g

Estamaquinaesta deacordocoma primeiralei, masviola asegunda,umavezque � maq. � � Carnot.(d) � H ��c� C � �� n � �� J'[h

int ��

maq.�� b �� H � �� 2�



Estamaquinaesta deacordocoma primeiraea segundaleis.

E-41.

Suponhaquea mesmaquantidadedecalor, por exemplo, � v � J, e transferidapor conducaodeum reservatorio aO�� K paraoutroa (a) �2�� K, (b) �� K, (c) N �� K e (d) N�v � K. Calculeavariacaodeentropiaemcadacaso.� (a) Se�

C �� K, ')(

H� H�

H

�� v �O�� ;v � J/K �')(C C�

C

� v ��2�� Mv J/K �')( '[(H m ')( c

� � �Mv � m � �;v � � n � J/K �(b)�

C �� K ')(

C� C�

C

� v �� MN � J/K'[( � � �Mv � m � �MN � � �Mv � J/K

(c)�

C N �� K ')(

C� C�

c

� v �N �� 9 g J/K')( � � �Mv � m � � 9 g � � �� J/K �(d)�

C N�v � K ')(

c� c�

C

� v �N�v � � � g�� J/K')( � � �Mv � m � � g�� g J/K �P-44.

Um cubode gelo de �2� g a � �� C e colocadonum lago queesta a � �A C. Calculea variacao de entropiadosistemaquandoo cubodegeloatingiro equilıbrio termicocomo lago.O calorespecıfico dogeloe � � � � cal/g.

C.

( Sugestao: O cubodegeloafetaraa temperaturado lago?)� E claroqueo cubodegelonao afetaa temperaturado lago. O gelovai absorver calorparaderretere ter suatemperaturafinal elevadaate � �A C. Nessatransferenciadecalor, a variacaodeentropiado lagosera negativae adogelo,positiva. Comecandoa calcularasvariacoesdeentropiadogelo,tem-se:')(

gelo C�xe� ��

�� `> ��6E > � � � �AxP@ - �2� � Z E - * ��g N� v�N � � � n cal/K �')(gelo C�� F� > ��FE >U9 �Axy@ - �2�FE��g N Z � � n N cal/K�')(

agua C�x agua � � ��

�� `> �2��6E > � � �Axy@ - �2� � Z E - * � 9�9��g N � � � O cal/K �O calorcedidopelolagoparalevaro geloaoseuestadofinal deequilıbrio e: lago

l> �2��6EP� > � � � �Axy@ - �2� � Z E > �2� Z E m 9 �axy@ - �2� m > � � �Axy@ - �2� � Z E > � � Z ED� �� cal�A variacaodeentropiado lagovai ser:')(

lago�� 2��Axy@ -� 9�9 Z � NF� O6g cal/K �



A variacaodeentropiadosistemae,entao,'[(sistema

� � � n m � � n N m � � � O NF�;v�v cal/K �Ja a variacaodeentropiado {P��{�B � C/@ m @�C��~� �2* B � e:')( � NF� O�g m NX�Mv�v � � � n cal/K �P-48.

Um mol deum gasidealmonoatomicoevolui deum estadoinicial a pressaop e volumeV ate um estadofinal apressao � � e volume �� , atravesdedoisdiferentesprocessos.(I) Ele expandeisotermicamenteate dobraro vo-lumee,entao,suapressaoaumentaa volumeconstanteate o estadofinal. (II) Ele e comprimidoisotermicamenteate duplicara pressaoe,entao,seuvolumeaumentaisobaricamenteate o estadofinal. Mostrea trajetoriadecadaprocessonum diagramap-V. Paracadaprocessocalcule,emfuncao dep e deV: (a) o calorabsorvidopelogasemcadapartedo processo;(b) o trabalhorealizadopelogasemcadapartedo processo;(c) a variacaodaenergiainternadogas,

hint,f � h int,i e (d) a variacaodeentropiadogas,

(f � ( i.� (I) Expansaoisotermica:

'[hint � e b ;

(a) e (b) ia b

iaj+ ��- * �1��X � � - * �

Processoisocorico:b � e

'[hint ;

af¡d

V

' � N � +)> � f � � a E�a � �+�¢ �

f O � �+ O � a � af

N � +)> O � �2E� �+ n � � �

(c) '[hint,iaf

af n � � �

(d) ')(ia� ia� � � - * �� ¡+ - * � �')(

af�d

V � � f� a �� N � + - * O N + - * � �')(

(I) ')(

ia m ')( afl> � m N E + - * � O + - * � �

(II) Compressaoisotermica:'[h

int � e b ,

(a) e (b) ib b

ib¡+ �/- * � b� � � b

� � � ib b

ib � � � - * � �

Expansaoisobarica: bfjd

P

' � �� +)> � f � � b E �� > f u E�b

� � ��f � �

f O � b �



bf �� +)> O � ��E

� �+ � �� bbf � ' � � � > �� £E N

� � �(c) '[h

int,bf bf � b bf

# � �� v �z= � � n � � � �(d) ')(

ib � + - * � �'[(

bfjd

P � � f� b �� + - * O � + - * � �'[(

(II) '[(

ib m ')( bf?> � � m � E + - * � O + - * � �

Sendoaentropiaumavariavel deestado,confirma-seque')(

(I) ')(

(II) .

P-53.

Um mol deumgasmonoatomicopassapelociclo mostradonaFig. 22-24.(a) Quantotrabalhoe realizadoquandoo gasseexpandedea ate c pelocaminhoabc? (b) Quaisasvariacoesdeenergia internae entropiadeb ate c? (c)Quaisasvariacoesdeenergia internae entropianumciclo completo?Expressetodasasrespostasemtermosde� , � , R e

� .� (a) No caminhoabcso ha realizacaodetrabalhono processoisobaricoab.b

ab e igual a areado graficosobosegmentoderetaab: b

ab � ' � N

� � �(b) No processoisocoricobc, astemperaturas,inicial efinal, sao:�

a � � + ��

b �

a

O�� O � a ��c > O � a E > � � E� j9 �

a �Paraa variacaodaenergia internavem,'ih

int,bc�*ed

V

' � `> � � ��E > N � + E >U9 � O�E � a v + � a �

E paraa variacaodeentropia,tem-se ')(bcj*"d

V � � c� b �� j*"d

V

- * � c�b �')(

bc N � + - * � �

(c) A variacaodaenergia internano ciclo deve sernula. Pode-seconfirmarissocalculando-seasvariacoesasso-ciadasaosprocessosabe cae somando-asaoja conhecidovalordavariacaonoprocessobc:'[h

int,ab�*ed

V

' � `> � � ��E > N � + E > O � ��E� � + n � � � �'[h

int,ca�*ed

V

' � `> � � ��E > N � + E > � � 9 E� � + � �6��



'[hint,ciclo

'[hint,ab m '[h int,bc m '[h int,ca

l> n� m v � �6�� E�T � � �Paracalculara variacaodeentropiano ciclo, tambemseprecisacalculara variacaocorrespondenteaosprocessosabe caesomarosresultadosaovalor ja obtidoparao processobc. Comecandopeloprocessoisobaricoab:')(

abj*"d

P � � b� a �� `> � � ��E > �� + E - * O � + - * � �

Comoo processoca nao e nema pressao,nema volumeconstante,usam-sedois outrosprocessosquelevemosistemado estadoc aoestadoa. Considere-seprimeiroum processoa pressaoconstante,� � , no qualo volumesejareduzidode O�� a � : �

c� c

�d� d ��

d 9 � � + � O�� + �')(

cd�*ed

P � � d� c �� ?> � � ��E > �� + E - * �O � � + - * � �

Agora,considere-seumprocessoa volumeconstante,queleveo sistemadoestadointermediariod aoestadoa:')(da�*ed

V � � a� d �� ?> � � ��E > N � + E - * �� N � + - * � �

E, finalmente,avariacaodeentropianociclo e:')(ciclo ')(

ab m ')( bc m ')( cd m ')( dal> � m N � � � � N � E + - * � � �


P-56.

Um mol deumgasidealeusadoemumamaquinaqueoperaseguindoo ciclo daFig. 22-26.BCeDA saoproces-sosadiabaticosreversıveis.(a)Ogasemonoatomico,diatomicooupoliatomico?(b) Qualaeficienciadamaquina?� (a) Considerandoo processoadiabaticoBC e tomandoosvaloresinicial e final paraa pressaoe o volumedografico,vem � > �� E ! � N � > � v � E ! �N �£3��&!¤3.�e! � v !��e! �� SM¥ ! � �&Q;! �� m§¦ O ¦ e ¦ �

N �O gase,portanto,monoatomico.(b) Paraobteraeficienciadociclo, eprecisocalcularo calorabsorvidoeo calorliberado.No processoAB tem-se: AB

�*edP

' �Paraobteravariacaodatemperaturanesteprocesso,faz-se�

A � � + �



�B � > � � E+ � � A � AB

`> � � ��C.Y - E > �� + E >� � + E � � � � �

No processoCD tem-se: CDc*ed

P

' � �Calculandoasvariacoesdetemperaturanecessarias,�

B � ! 5 HB �

C � ! 5 HC �� + > �� ED! 5 H � c> � v � E�! 5 H ��

C ��

� � + �No processoisobaricoCD, vem � C�

C

� D�D ��

D �

C

� D� C

� � � + 9 � � v � � � O + � CD

?> � � �AC/Y - E > �� + E > �� + E � �

� � O �A eficienciadociclo edadapor: �o � AB �&�� CD �� AB � �� &O� �� P-57.

Um mol deum gasidealmonoatomico,inicialmentea pressaode� � �� kN/mu e temperaturade v �� K expandea

partir deum volumeinicial � � � �� m7 ate � � � � �� m7 . Durantea expansao,a pressaop e o volumedogasestaorelacionadospor � ?> � � ��[3R�2� 7 E � � f � 5 f �\¨ _ �ondep estaemkN/mu , � e � � estaoemm7 e @ � � �� m7 . Quaissao: (a) apressaofinal e (b) atemperaturafinaldogas?(c) Qualo trabalhorealizadopelogasduranteaexpansao?(d) Quala variacaodeentropiadogasdurantea expansao?(Sugestao: usedoisprocessosreversıveissimplesparaachara variacaodeentropia.)� (a) Simplesmentesubstituindoosdadosfornecidosnarelacaodadaparaa pressaoemtermosdovolume,vem� > � � � �AC 7 E `> � � �)3G�� 7 E � � HJI ©M© 5 u I ©;© � �6� � �� 9 O[3R�2� 7 N/mu �(b) Paraa temperaturafinal tem-se:

� � � � � � �� > � � 9 O)3R�2��7�T"@6E > � � ��C.7PE> � � ��[3R�2� 7 T"@6E > � � ��C 7 E v �� Z O�O�� K �http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pagina13 de14


Paracalcularo trabalhorealizadopelogas,vem: b � �� b � a� ff � � � f � 5 f �\¨

_� �b � � f �\¨ _�ª � @�� 5 f ¨ _2« ff �b � @ � f �\¨ _ ª � � 5 f ¨ _ m � 5 f �U¨ _ «b ?> � � ��[3R�2� 7 E > � � ��E � H ª � � 5 u m � 5 H «b ?> � � ��i3G�� 7 E ª � � 5 H m � « NF� � v kJ�

(d) Paracalculara variacaodeentropia,consideram-sedoisprocessossucessivospelosquaiso sistemapassadoestadoinicial aofinal. Comecandoporumprocessoisotermicoa

� v �� K, noqual'[h

int � e b , tem-se

�*,+ �.- * �^�� `> � � ��C.Y - E >\9 �MN ��O]V^��C.Y - � Z E > v �� Z E - * � � �� N O � 9 J�')(�¬ � � � � g v J/K �Considere-seagoraumprocessoisocorico,noquala pressaoea temperaturachegamaosvaloresfinais:b � e c*zd V

' � �')(�¬~¬ � ��2�� j*zdV � ��

�� ')(�¬~¬ �*zdV

- * � �� ?> � � ��C/Y - E > N � + E - * O�O��v �� NF� 9 � J/K �A variacaodeentropiaeentao ')( '[( ¬ m ')( ¬~¬ � � g v � NF� 9 � � � n � J/K �


halliday 2

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