halliday 4 - física quantica i (cap 43 - 4ºed) [hq]

5/10/2018 Halliday 4 - Física Quantica I (Cap 43 - 4ºed) [HQ] - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/halliday-4-fisica-quantica-i-cap-43-4oed-hq 1/22

· : + ~ · . . ~ - - - _ ~- .. . , - < ' , . ... .. ,.

, .-~.. . --,-.~~ - -

xiv SUMARIO OESTE VOLUME

Capitulo 42

RELATIVIDADE 123

44-4 Ondas de Luz e F6tons 177

44- 5 Ondas de Materia e Eletrons 178

44-6 0 Atomo de Hidrogenio 181

44-7 Tunelamento de uma Barreira 182

44-8 0 Principio da lncerteza de Heisenberg 184

44-9 0 Principio da Incerteza: Estudo de Dois

Casos 18644-10 Ondas e Particulas 187

Resumo 189

Questiotuirio 190

Exercicios e Problemas 191

Problemas Adicionais 193

LEITURA COMPLEMENTAR 16 G.ANHANDO 0 PREMIO NOBEL

194Ivar Giaevcr

Por que a relatividade especial Ii importante

na navegaciio moderna?

De Que Trata a Relatividade? 12Nosso Plano de Estudos 124

Os Postulados 124

A Medida de urn Evento 126

Eventos Sirnultaneos 127

A Relatividade do Tempo 128

A Relatividade do Comprimento 130

A Transformacao de Lorentz 132

Algumas Consequencias das Equacoes de

Lorentz; 133

A Transformacao das Velocidades 134

o Efeito Doppler 135Uma Nova Visilo do Mornento Linear J 37

Uma Nova Visao da Energia 138

o Sensa Comurn da Relatividade 140

Resume 140Questiondrio /4J



LEfTURA COMPLEMENTAR 15 QUEM OFWENOLI 0 CAOS? 147Joseph Ford

42-142-2

42-3

42-4

42-5

42-6

42-7

42-8

42-9

42-10

42-11

42-12

42-13

42-14

Capitulo 45

MODELOS ATOMICOS 199o que itiio diferente na luz emitida por 11m laser?

Os Atornos e a Mundo que nos Cerca 199

Algumas Propriedades dos Atomos 199

A Equacao de Schrodinger e 0 Atorno de

Hidrogenio 201

As Energias dos Estados do Atorno de

Hidrogenio 202

Momento Angular Orbital e Momenta

Magnetico 202

Memento Angular de Spin e Momento

Magnetico de Spin 205

As Funcoes de Onda do Atomo de

Hidrogenio 205

A Experiencia de Stern-Gerlach 206Ciencia, Tecnologia e Spin: Um Aparte 208

Atomos com Muitos Eletrons e a Tabela

Periodica 209

Os Raios X e a Ordern des Elementos 211

o Espectro Continuo de Raios X 211

o Espectro de Raios X Caracteristicos 212

Lasers e a Luz de urn Laser 214

Einstein e 0 Laser 215

Como Funciona urn Laser 216

Resumo 218

Questiondrio 21 Y


45-1

45-2

45-3

45-4

45-5Capitulo 43

FfslCA QUANTICA - I 757Par que os espectros das luzes das estradas dife-

rem dos espetros das luzes dos farois dos carros?Uma Nova Direcao 151

Uma Proposta de Einstein 15 f

o Efeito Foteletrico 153

o Efeito Compton 155

Planck e sua Constante: Digressao Historica

158A Quantizacao da Energia 159

o Princfpio da Correspondencia 159

Estrutura At6mica 160

Niels Bohr eo Atomo de Hidrogenio 160

Deducao de Bohr (Opciona!) 164

Resumo 165

Questiondrio 166

Exerccios e Problemas 167


45-6

45-7

43-1

43-2

43-3

43-4

43-5

45-845-9

45-10

45-11

45-12

45-13

45-14

45-15

45-16

43-6

43-7

43-8

43-9

43-10

Capitulo 46

Capitulo 44CONDU~AO DE ELETRICIDADE NOS 56-

LIDOS 227o que e um transistor e como elefunciona?As Propi iedades dos Solidos 227

Condutividade Eletrica 227

Niveis de Energia em um Solido 228

lsolantes 229Metals: Estudo Quali tati vo 230

FfslCA QWANTICA - II 773De que modo uma particula tal como um eletronpode se comportar como uma onda?Urna Sugestao de Verificacao Louis Victor

de Broglie 173

Verificacao da Hip6tese de Broglie 174

A Funcao de Onda 177

46-1

46-2

46-346-446-5

44-1

44-2

44-3



Capitulo 43

Fisica Ouantlca

Espectros de di fraciio de pritneiru ordem vistos numa cena noturna, fotografada atraves de l ima rede de di fracdo.

Dos jarois de I.Imcarro que se aproxinia a csquerda, obtemos todas as cores, mas apenas 1I/J1a cor (que seria

a vermelha} de W/I sinal de transite e apenas certas cores individuals das liunpadas de mercuric de uma

cam, no centro t' ! direita. e de 1 1 1 1 1 paste, it esquerda. Par que:!

43-1 Uma Nova Direr;ao

Ate agora estudamos a luz - e por eSle tcrmo enten-

demos nao apenas a luz visivel, mas tambem a radia-

~ao em todo () espcctro eletromagnetico - na rct1e-

xao, na refracao, polarizacao, interfcrencia e dilracao.

Em todos esses fenornenos tratamos a luz como se Iosse

uma onda eletromagneuca, governada pelas equacoes

de Maxwell. A cornprovacao experimental para esse

tratamento e bastante forte.Vamos agora nos voltar em uma direcao inteira-

mente nova e analisar expcriencias que s6 podem ser

entendidas com uma hipotese bastante diferente sobre

a luz - a hip6tese de ela se comportar como urn feixe

de particulas, cada qual C0111 uma certa energia e urn

certo momento.

E possfvel que voce pergunte: "E entao, 0que e aluz? E uma onda Oll uma parncula?" Esses conceitos

sao tao diferentes que e diffcil perceber como a luz

pode se comportar de ambas as formas, sirnultanea-

mente. Vamos nos defroniar com essa questao na Se-

~ao 44-10. Ate la, nao vamos nos preocupar com eia,

nos lirnitaremos a investigar a forte evidencia experi-

mental que aponta para a natureza corpuscular da luz.

Esse caminho nos abrira a porta do mundo da ffsica

quantica enos perrnitira iniciar a discussao sobre como

as atornos sao constituidos.

43-2 Uma Proposta de Einstein

Em 1905, Einstein formulou a hipotese audaciosa -

convincentemente confirrnada pela experiencia - de

que a luz se comportava, a s vezes, como se toda a sua

energia estivesse concentrada em pequenos pacotes

discretos, que ele denominou os quanta de lur, cha-

mados hoje de fotons. Einstein propos que a energia

de urn foton fosse

E=hi (energia de urn foton), (43-1)



152 OTICA E FfslCA MODERNA

ondej e a frequencia da luz e h e a constante de Plan-

ck. Essa constante, introduzida na ffsica alguns ancs

antes par Max Planck, em outro contexte, tem a valor

Em 1905, a maior parte dos ffsicos sentia-se

vontade com a teoria ondulat6na da luz e nao olh

com simpatia para a ideia de Einstein sobre as f6to

Entre os que relutaram em aceita-la estava Max Pl

ck, justamente quem introduziu a constante h na f

ca. Par exemplo, ao recomendar a aceitacao de Ei

tein para a Academia Real de Ciencias da prussia,1913, Planck escreveu ~ "0fato de algumas vezes

perdido 0 ru mo n as suas especulacoes, como, porexem

plo, na sua teoria sobre os quanta de luz, nao pode

na verdade, argumento contra ele." Ecomum que id

as radicais s6 sejam aceitas lentamente, mesmo

genies como Planck.

h =6,63 x 10- 34 J . S

=4.14 X 10-15

evs (43-2)

Os f6tons tern nao apenas energia, mas tambem

momenta linear, Podemos achar a expressao do mo-

menta do f6ton a partir da Eq. 42-41,

(43-3)

Essa expressao da a relacao relativfstica entre 0 mo-

menta pea energia total E de urna parttcula, como um

eletron ou um proton, de massa m.

Podernos aplicar a Eq. 43-3 a um f6ton fazendo

E = hJ e m = 0, pois um foton, propagando-se com a

velocidade da luz, tern que ter massa nula. A Eq. 43-3

torna-se entao hi = pc ; isolando p e usando a relacao c

=Af(pela Eq. 17-14, do Vol. 2), chegamos a

EXEMPLO 43-1 A luz amarela de uma lampada de sodio tern

cornprimento de onda efetivo de 589 nm Qual e a energia,

eletronvolts, dos fotons correspondentes?

Solw;ao Pela E q 43-1 tem os, com a relacao c == )if,

heE==hj==A

(4.14 X 10-15 eV's)(3.DO X 108 m/s)

589 X 10-9 ill

hp=-

A(momento do [oton}, (43-4)

( Respos=2,11ev'.. . ... . onde A e 0 comprimento de onda da luz .

Observe como 0modele ondulat6rio e 0modelo

do fotou estao intimamente ligados. A energia E do

f6ton esta relacionada a frequenciaj" cia onda pela Eq.

43-1. Analogamente, 0memento p do [oton esta rela-cionado ao comprimento de onda A da onda pela Eq.

43-4. Em cada case, 0 faror de proporcionalidade e acon stante de Planck h.

As Eqs. 43-1 e 43-4 perrnitem-nos examinar 0

espectro eletromagnetico de lima nova forma. Na Fig.

38-1 expusemos esse espectro como uma sequencia

de comprimentos de onda au, de maneira equivalente,

de frequencias, Podemos tambern apresenta-Io como

uma sequencia de energias de fotons au (se quisermos)

de mementos de fotons, A Tabela 43-1 mostra algu-

mas correspondencias entre os comprimentos de onda,

as freqtiencias e as energias dos fotons em certas regi-

oes do espectro eletrornagnetico.

Esta e a energia adquirida por urn eletron, ou urn proton, se fo

acelerado par uma diferenca de potencial de 2,11 V.

EXEMPLO 43-2 Durante uma desintegracao radioativa, urn

to nucleo emile urn raio gama, CUJO foton tern energia de 1,35 M

a. Qual e 0 cornprimento de onda correspondente a este foton?

Solucao PelaEq. 43-1 e pela relacao c = 1 1 . ] : ternos

c he heA=-=-=-

f ht E

(4.14 X 10-15 tV, 5)(3,00 X lOSm/s)

1.35 X 106 eV

=9.20 X 10- 13m == 920 fm. (Re po

b. Qual e o memento deste foton?

Solucao Pela Eq 43-4 podemos escrever (usando outra vez a

43-1 e a relacao C ==A/J

Tabela 43-1

Algumas Correspoudencias entre Cornprimentos de Onda, Frequencias e Energias dos Fotons

R eg ia o d o E sp ec tr o Frequencia

Eletromagnetico Comprimento de Onda (Hz) E nerg ia do F OI OI1

Raios garna 50fm 6 X 1021 25 MeV

Raios X SOprn 6 X 10" 25 keY

Ultravioleta 100 nm 3 X 1015 12eV

Visivel 550 nm 5 X 10'" 2eV

Infraverrnelho 10 ur n 3 X LOll 120 meV

Microonda lem 3 X 1010 120 J1.eV

Onda de radio lkm 3 X lOi 1, 2 neV



: aau

is.

n-

)l-

,S-

m

er

n-

!r ,

l-'

rr

II

n

(43-5)

FislCA aUANTICA 153

June la de

quartzo

A w zincidente

onde E e a energia do foton. Com a substituicao direta dos dados,

encontramos

E (1,35 MeV) (1.60 X 10- 13 J/MeV)p=-=

c 3,00 X 108mls

=7,20 X 10- 22 kg' m/s. (Resposta)

Contato movel +

r:=mbora essa rcsposta esieja con-eta, os ftsicos, no campo da fisica

das part icul as de alta energia, em geral, nao exprirnem os rnorncn-

tos dos f6tOHS (ou de particulas COIllO 0 eletron ou 0 proton) em

unidades 51. Exprimem 0 memento como uma energia dividida

pcla velocidade cia Iuz, conforme discutirnos no Exemplo 42-6.

Entao, pela Eq. 43-5,

E ],35 MeV _ 13- M V/P =- = - , ~. e c.

c c(Resposta)

Uma vantagem dessa pratica 6 que, dada a energia de um f610n.

obtem-se imediatamente 0 seu momento, c vice-versa. (A mesmaobservacao vale para a, partlculas rnateriais quando as energi as

totals forern rnuito rnaiores que as energias de repouso, de modo

que se possa desprezar a ultima parcel a da Eq. 43-3)

43-3 0 Efeito Foteletrlco

Vamos agora analisar a primeira de uma serie de expe-

riencias, cujos resultados nao podem ser interpretados

em termos de modele ondulatorio da luz, mas que rem

explicacoes faceis, se adrnitirmos que a Iuz seja feita

de fotons.Se fizermos incidir um feixe de luz sabre uma

superffcie metalica limpa, em condicoes experimen-

tais convenientes, a luz pode arrancar eletrons dessa

superffcie. A maioria de nos tern farniliaridade com

aplicacces desse efeito, 0efeito foteletrico, nas portas

que se abrern automaticamente e tambern nos alarmes

dos sistemas de seguranca. Quando se investiga cuida-

dosamente 0 efeito f o re le tr ico nurn I abo ra io ri o, verifi-

ca-se que os resultados experi mentais nao podem ser

cxplicados, de maneira alguma, em termos do moclelo

ondulatorio da luz. No entanto, conforme Einstein pro-

pos, a explicacao do fen6meno e irnediata quando se

encara 0efcito como 0resultado de Ulna"coli sao" entre

urn foton incidente e um eletron do metal.A Fig. 43-1 mostra urna montagem tipica para

estudar 0efeito foteletrico. Uma luz, com a frequencia

f ilumina a placa metalica P, de onde arranca eletrons.

Uma diferenca elepotencial apropriada Ventre a placa

P e 0 co1etor C provoca a captura desses [oteletrons,

que se manifestam na corrente foteletrica que passa

pelo arnperfmetro A.A diferenca de potencial Ve dada

par

(43-6)

Fig. 43-1 Aparelho para esiudar 0 efeito foteletrico. A luz incide

sobre a placa P, arrancando eletrons que sao caprurados pelo coletor

C. Os foteletrons se 1110Vem 110 circuito na direcao oposta a da corren-reconventional, sirnbolizada pelas sctas. As baterias e 0 resistor varia-

vel sao us ados pa ra produzir e aj ustar 0potencial eletr ico entre P e C.

onde a primeira parcela do segundo membro e a leitu-

ra do voltfmetro cia Fig. 43-1 e a segunda e lima dife-

renfa de potencial de contato (urn efeito eletroquirni-

co) provocada por serern, a placa e 0 coletor, usual-

mente, de metais diferentes.

Os d ad os essenciais dessa experienc ia aparecem nas

Figs, 43-2 e 43-3. Af'ig. 43-2 mostra a corrente foteletrica

iem funcao de V,para luz incidente com duas intensida-

des diferentes, mas com mesmo comprimento de onda.

"~ou

+

Diferenca de potencial V

Fig. 43-2 Grafico (fora de escala) dos dados obtidos com 0 apa-relho da Fig. 43-1, A intensidade da Iuz incidente na curva b e 0

dobro da intensidade na curva a 0 cornprirnento de onda da luz eo mesrno nos dois casas,

o potencial de corte VI) (tambern charnado de potenci-

al frenador) e a diferenca de potencial necessaria para

irnpedir que os foteletrons mais cnergeticos (mais ra-

pidos) atinjarn 0 coletor, reduzindo a zero a corrente



154 OTICA E FislCA MODERNA

Uitravioleta

s. o';:..8

;J0

Z .O0

"0

" " : 5'~

; ; : ;1.0

~'1 nI,

[)2 4 6 H to 12

Frequencia (j(]1< Hz)

Fig. 43-3 Potencial de corte em funcao da freqiiencia da Iuz inci-dente, quando a placa P ciaFig. 43- J e uma placa dE sodio (Dados

de R . A . Mill ikan. 1916.)

foteletrica, Observe que eV a rnede a energia cinetica

dos foteletrons de maior energia Isto € ,

(43-7)

. ."

o aspecto fundamental da Fig. 43-2 esta em Vo se r 0

mesmo para as d uas curv as. Tal observacac pode ser

g en era liz ad a d a s eg uin te f orma : a energia cinetica dos

foteletrons mais energeticos Ii independente da inten-

sldade da lui; incidente.

A F ig. 4 3-3 m ostra 0 p ote nc ia l d e c or te em f U 1 1 9 a o

da frequencia da luz incidente, conforme os resultados

de varias experiencias analogas a da Fig. 43-2. Vemos

q ue , p ar extrapolacao, s e te rn uma certa frequencia de

corte au urn limiar [oteletrico 1 0 ' correspondente a run

potencial de corte nulo. 0 efeito foteletrico deixa de ocor-

rer para freqiiencia de luz abaixo det.V am os ver agora com o a m odele do foton proce-

de - e 0 mode1o ondulat6rio falha - na explicacao

desses resultados experimentais:

1. 0 Problema da Intensidade. Na teoria ondulatoria,

quando s e au me nta a in te ns id ad e d e u m fe ix e de l uz , a u-

menta-se 0m od ulo d o vetor c ampo e le tr ic o o sc il an t. e E .

A f orc a que 0 f eix e in cid en te e xe rc e s ob re urn e le tro n 6

eE. Poder-se-ia esperar, entao, que, quanto mais intensaf os se a lu z, mais ene rg et ic os s er ia rn o s f ot ele tro ns e je ta do s

da superf fc ie , Po rem, como a F ig . 4 3- 2 mo str a, V o ( e po r-

tanto K ,m determinado pela Eq. 43-7) ndo depende daintensidade da luz, Esse resultado foi testadoe verificado

experimental mente num domfnio de intensidades que

variant p or u rn f ato r ci a ordern de 1Q 7 .

.0/ Pam 0modelo do futon, 0 "problema da in -

7]" tensidade" ndo e um problema. Se duplicar-

mos a iniensidade da lu; simplesmente du-

plicaremos 0 numero de[otons mas ndo al-

te ra rem os a en erg ia d e ca da fo ton ind ivid ua l-

mente, dadapela.Eq.Al-], Enido, K , , , , a en er g ia

cinetica m axim a q ue um eletron pode receber

d e u mf6 to n n um a c olis iio , p er ma ne ce tm uta ve l.

2. 0 Problema da Frequencia. De acordo com a teo-ria ondulatona, 0efeito forelerrico devcria ocorrer co m

lu z de qualquer fre que nc ia , b as ta nd o q ue fo sse s ufic i-

entem ente intensa. N o entanto , co mo a Fig. 4 3-3 m os-

tra, ha uma frequencia de corte caractenstica, abaixo

da qual nao Mefeito foteletrico, qualquer que seja a.

intensidade da lur:

N esse ca so , ta mb em ; o "p ro blem a d afreq uen -

cia" niio e urn problema, se pensarmos em

termos de futons. as eletrons de conductio

do metal se mantem no metal em virtude de

um campo eletrico. Ent ii o, p a ra ser ejetado,

um damn tern que receber um a certa ener-gia minima 0 / denominada funcao trabalhodo material. Se a energia do [oton jor m aior

que a funciio trabalho (isto e, se hf> ¢), 0

efeito [o teletrica p ode oc orre r. S e n ao for iisto

c , se hi <0/),0 e fe ito n do o co rre ra . E exata-

mente 0 que mostra a F ig . 4 3-3 .

3.0 Problema do Retardo no Tempo. Pela teoria ondu-

Iatoria, a energia de urn foteletron ejetado deve se r ab -

so rv id a cia o nd a incidente. A area efetiva, de onde 0 ele-

tron recebe essa energia, nao pode ser muito maior do

que a area (secao reta) de urn atomo. Entao, se a luz for

poueo intensa, havera um retardo de t empo mensuravel en-

tre 0 instante em que a luz atinge a superffcie e 0 instante em

que 0den-on j a a bs or ve u e ne rg ia suficiente para emergir ci a

superftcie. Tal retardo nunca foi observado. 0 problema

do retardo no tempo e que nao existe retardo no tempo!

o "problema do retardo no tempo" niio exis-

te para 0 modelo do foton, pais el e postula

que a energia do J6ton e transferida; numa

un ic a c o li si io , para ()eletron ejetado.

Uma Analise Quantitativa

Eins te in escreveu 0p rin ctp io d a c on se rv ac ao c ia e ne r-

gia para 0 efeito foteletrico como

hi =~+ K", (43-8)equacao Foteletrica ) ,

onde 1 1 / e a energ ia do foton. A Eq. 4 3- 8 n os d iz que u rn f6-

to n transporta uma energia~fparaa superf icie ,onde ele in tera -ge co m lUTI eletron, P a r a q u e o elenon escape uma cert aquan -

tidade de energi a ( / > (a funl,?aotrabalho do material) deve

ser fo rnecid a para sup erar 0 campo eletrico que existe na

superffcie. A energ ia rernanescente (=hf ~ ( j J ) e ig ual a 1(",

a e ne rg ia c in et ic a maxima que 0 eletron ejetado pode ter,I



Vamos reescrever a Eq. 43-8 substituindo 0 K l / I

pelo valor dado pela Eq. 43-7. Depois de urna pequena

reorganizacao, ternos

Vo = (hie)! - (¢/e). (43-9)~o-

)m

ci-

DS -

lXO

20.

Entao, a teoria do f6ton proposta por Einstein preve

lima relacao linear entre 0 potencial de corte V o e a

frequencia j; em completa concordancia com a Fig.

43-3. 0 eoeficiente angular da reta experimental, nes-

sa figura, deve ser hie, Oll

2.35 V - 0.72 V- = -- = ------------------~----

(10 X 1014 - 6 X 1014) Hz

h ab

e be

= 4,1 X lO-,sV·s.

Multiplicando-se esse resultado pela carga do eletron

el encontrarnos

h = = (4,1 X 1O-!'; V' s) (1,6 X 1O-1!l C)

= 6.6 x 1O-34J's,

o que esta de plena acorclo com o v al or dado na Eq. 43-2.

du-

ab-

:Ie-

do

for

en -ern

da

ma

I O !

r \

EXKMPLO 43-3 Uma peltcuia de potassic esta a distancia r =

3,5 m de urna fonre de Iuz cuj a potenci aPe de 1,5 W_Admitindo

que a luz incidentc sabre a pelfcula seja uma onda, quanto tempo

seria necessario para a pcllcula absorver energia suficiente (= I,~

eV) para ejetar um foteleiron ' /Adrnita que 0 eletron recebe a energia

incidentc numa area circular da pcllcula de raio 53 X lO-Ll m.

(Este valor, dcnominado 0 raio de Bohr, Caproxirnadarnente igual

ao raio de urn atomo medic. E uma unidade de cornprimento (que

nao pertencc ao SI) uti l na escala das dimensoes atomicas.)

Solucao A area do alva A e Ti(5.3 X 1O-11 rn)' Oll 8,8 X 10-" m'.

Sc a fonte de Iuz irradia un iformernente em tcdas as di r ecoes, a

intensidade f ao chcgar a pelfcula e (veja 0 Exernplo 38-1)

P L5W

I = 4=2 = (41T) (3.5 m)2 = 9.7x 10- 3W/m2.

A taxa em que a energia e interceptada pela area do alvo e eru ao

er-R =L4 = (9,7 x 10- 3 W/m2)(8.8 X 10- 21 m")

= 8,5 x 10-23 W.

!)

Se roda essa energia for absorvida, 0 tempo necessaria para :tCU-

mular-se cnergia suficicnte para 0 eletron escapar e

f6 -

ra -

m-

eve

na

r c . . , .

t = ( 1.8 cV ) (1.60 X 10- jg J ) (I min)8.5 X 10-23 Jis 1 eV 60 s

=56 min' (Resposta)

N30 se observ~arern, qualquer retardo mensuravel .

"XEMPLO 43-4 A que taxa os fotons atingcrn a pelfcula do Exem-

plo 43-37 Admitaque 0cornprirncnto de onda seja de 589 nm (luz

arnarela do s6Clio) e que a area seja tte..1 ,0 ern-

FislCA aUANTICA 155

Solucao Com as resultados do Exemplo 43-3, podernos exprirnir

a intensidade na pelicula como

1= (9.7 X 10-3 W/m2) (1 eV/1,6 x 1O-]9J)

=6,1 X 1016

eV/mLs.

No Exemplo 43-1 vimos que a energia de cada f610n da luz amare-

la de 589 nm era de 2, I I eV A taxa com que os forons atingem a

placa e eruao

. \6 2 ( 1 f6ton) 4 2'R = (6.1 X 10 eV1m .5) 2.11 eV (10- Ill)

=2,9 X 1012 f61oI1S'S. (Resposta)

MeSIl10 com e sa intensidade muito baixa (cerca de I J -L Wzcrn"), a

taxa de incidencia de fotons e multo grande. Cerea de 10' fotous

incidcm em cada segundo, scbre uma area do tarnanho de lim pou-

10 f inal impressa nesta pagina Nao e de estranhar que nao perce-

barnes, normalmente, a granularidade da luz.

-<>;EXEMPLO 43·5 Obtenha a funcao trabalho do scdio a partir dos

dados da Fig. 43-3.

Sotucao Areta da Fig. 43-3 intercepts 0 eixo das freqi iencias na

frequencia de cortej~ Substituindo 11 0 = 0 eJ =L na Eq. 43-9,

obtern-se

h < P0=-/0--,

e e

ou

¢=h fo = (6,63 X 1O-34J's)(4,3 X 1014Hz)

=2,9 X 10-19 J =],8 ev, (Resposta)

onde 0 valor de!c, veio do grafico da Fig. 43-3.

Observamos, pela Eq. 43-9, que para achar a constanre de

Planck, basta conhecer a coeficiente angular da reta da Fig. 43·6_Para achar a funcao t rabalho basta conhecer a frequencia de corte.

43-40 Efeito Compton

Eis agora uma outra experiencia que pode ser entendi-

da corn facilidade ern termos do rnodelo dos f6tons

para a luz, mas que nao pode ser entendida, de nenhu-

rna forma, em termos do modelo ondulatorio. Do pon-

to de vista historico, tal experiencia foi muito "convin-

cente" sobre a realidade dos fotons, pois considerou, numa

situacao experimental, nao 56 a energia do foron, mas

tambem 0 seu momenta. Mostrou, alem disso, que 0

modele do foton se aplica nao apenas ii . luz visfvel e ul-

travioleta - dominio do efeito foteletrico --, mas tam-

b ern a os r aio s X.

Em 1923, Arthur Holly Compton, na Universidade

Washington, em St. Louis, fez com que ur n feixe de raios

X, de comprimento de onda A ., incidisse sobre urn alvo

de grafire T, como ilusrra a Fig. 43-4. Ele mediu, em fun-

cao do cornprimento de onda, as intensidades dos raios

X espalhados pelo alvo em certas direcoes selecionadas.

Os resultados estao mostrados na Fig. 43-5. Percebeu




Detector ,..

;l.'

Raios X

espalhados

Raios X 1 I.A.,-A¢

incidenres ~T

Fendas

colimadoras

Fig. 43-4 Esquema de aparelho para cstudar 0 cfcito Compton.

Um feixc de raios X incide sobre um alva de grafite 1' . Os raios X

cspalhados pelo alvo sao observados sob varios angulos ¢, em re-

la\;ao a radia~iio incidente. 0 detector mede a intensidade e 0 corn-

prunento de onda dos raios X espalhados,

. .•

entao que, embora 0 feixe incidente tivesse exclusiva-

mente um umco comprirnento de onda, os raios X espa-lhados tinham picos de intensidade em dois comprimen-

tos de onda. Urn pico correspondia ao comprimento de

onda Ado raio incidente, e 0 outro a um comprimento de

onda A', rnaior que 1 \ par uma certa quantidade &A. Esse

deslocamento Compton (como haje e chamado) depen-dia do angulo de espalhamento dos raios X.

o pico espalhado de comprimento de onda A' ecompletamente incornpreensfvel se 0 raio X incidente

for imaginado como um a onda Ness e r nod el o, a onda

incidente, com f re quenc ia j, p ro voca uma oscilacao nos

eletrons do alvo com a mesma frequencia f Esses ele-trons oscilantes, tal qual os eletrons que oscilam mana

pequena antena transmissora, irradiam na rnesma frequen-

cia de oscilacao. Assim, 0 feixe espalhado deveria ter

som ente a rnesm a frequencia - e 0rnesmo comprimen-

to de onda - que 0 f eix e in cid en tc . Ma s n ao tinha.

Compton imaginou 0 feixe incidente como urna

corrente de fotons, de energia E (=hf) e momenta p (=

hlA), e admitiu que alguns desses fotons colidissem, como

bolas de bilhar, com os eletrons livres do alvo, Uma vez

que 0 eletron recebe alguma energia c in et ic a n a colisao,

o foton espalhado deve ter uma energia E' rnais baixa

que a do town incidente, Tera entao urna frequencia mais

baixaj' e, portanto, um comprimento de onda rnaior /I.',

exatamente como se observa. Esta e a explicacao quali-

tativa do deslocarnento Compton.

Uma Analise Quantitativa

A Fig. 43-6 sugere a colisao entre um foton e urn ele-

tron do alvo. Vamos usar 0 princfpio da conservacao

da energia. Em virtude de 0eletron sair da coli sao com

uma velocidade que pode ser cornparavel a velocida-de cia luz, e necessario usar a expressao relati vlstica

para a sua energia cinetica (Eq 42-38). Temos entao,

h[= hI' + rnt} ( 1. ,11 _ (v/c)2

onde a ultima parcela do segundo membra e a encrgia

cinetica do eletron que recua. Fazendo a substituicao

de d). por f e de ciA' por r ' chegarnos a

! ! ' = ' ! ! _ + m c ( 1 - 1 )A A' ~1 - (v/c)2

(conservacao de energia) (43-10)

Vamos agora aplicar a lei da conservacao do

memento (vetorial) a colisao da Fig. 43-6. 0 mornen-

to do f6ton esta dado pela Eq. 43-4 (p = hIA). Para 0

eletron, a expressao relativtstica do momenta e dadapela Eq. 20 do Cap, 9 (Vol. 1),

mv

p =-;"=-=(=v/=c)::::;;2(memento do elctron ). (43-11

Podemos exprirnir a conservacao do memento na co-

lisao foton-eletron por

75 80

Cornprirnento de onda (pm)

Fig. 43·5 Resultados de Compton para quatro valorcs do llngulo

de cspalharnento ¢. Observe que 0 deslocarnento Compton toA

aurnenta com 0 aumento do angulll de espalhamento,



y

FawnElerron

v - ox

A

Antes

).

y

e':letroll

Fig. 43-6Um futon de cornprirnento de onda A aringe urn eletron

em repouso. 0 Ioton e espalhado sob 0 angulo ¢, corn cornpri-menlo de onda maior A'. 0 eletron se afasta com a velocidade 1).

sob 0 Rngul0 e .

h h mv- ""- cos ¢+ cos (J

It It' " 1 - (vlc)2

(componcnte x) (43-12)

e

It mvo =- sen ~ - sen e

A' "1 - (vic)'.!.

(componente v). (43-13)

Nosso objetivo e achar 6./\ (= /\' - /\),0 deslo-

camento do comprirnento de onda d o s f 6to ns espalha-

dos, Das cinco variaveis da colisao (A, A', 1), c P e 8) queaparecem nas Eqs. 43-10, 43-12 e43-13, podernos eli-

minar duas. Escolhemos elirninar vee, que estao re-

lacionadas ao recuo do eletron,

Efetuando a algebra necessaria, chegamos a este

resultado simples:

h~,1. = - (1 - cos ~)

me(deslocamento

Compton),

(43-14)

na qual a grandeza hlmc (denorninada 0 comprimento

de onda Compton's tern 0 valor 2,43 X lO-12m ou2,43

pm. A Eq. 43-14 tern concordancia exata com os re-

sultados experimentais obtidos por Compton.

A Eq. 43-14 nos diz que a deslocamento Comp-

ton depende, exc1usivamente, do angulo de espJ.l.ha-

'Illel1to ( P e n~o cle:pende da energJa lI1!cJafCio f6t. 0

CIeSlocamcnto previsto varia des e zero (para c P = 0,

urna colisao tangencial, quase sern clesvio do f6ton)

ate 2hlmc (para q ) =180°, urna colisao frontal, ern que

ha inversao no sentido de propagacao do foton).

FfslCA QUANTICA 157

Resta explicar 0 pico na Fig. 43-5, no qual a COI11-

primento de onda niio se altera. Esse pieo provern do

espalhamento dos fotons por eletrons que nao sao li-

vres - como admitimos ate agora -, mas que estao

finnemente ligaclos aos atomos do alva. No caso do

atorno de carbono, a m assa eferiv a d esses eletrons na

colisao e a massa do atorno de carbone, ou seja, cerca

de 22.000m, onde In e a massa do eletron. Se substi-

tuirmos a massa In por 22.000m na Eq. 43-14, vere-

mos que 0deslocarnento Compton, na coli sa o c om um

elctron Iigado, e irnensuravelmente pequena, confor-

me se observa.

o efeito Compton e 0 responsavel pelo chamado

pulso eletromagnetico (PEM) provocado pelas explo-

sees termonucleares na alta atmosfera. Os raios X e os

raios garna que sao emitidos nessas explosoes efetu-

am colisoes Compton com os eletrons na atmosfera

superior e os deslocarn energicamente para a frente.

Esse subito aparecimento de uma grande carga eletri-ea acelerada provoca 0 surgirnento de campos eletro-

magneticos intensos que podem causar grandes per-

turbacoes nos circuitos eletricos sem blindagem, na

superffcie da Terra. 0 efeito foi observado pela pri-

meira vez quando os circuitos de potencia e de cornu-

nicacoes no Havaf sofreram urn colapso durante urn

teste de explosao nuclear na atmosfera realizado sabre

o oceano Pacifico, a muitos quilometros de disrancia.

EXEMPLO 43-6 Urn feixe de raios X de cornprimento de onda

22 pm (energia do foton =56 keV ) e espalhado por urn alvo de

carbono, e a radiacfio desviada e observada sob 0 angulo de gyem relacao a dirccao do feixe incidentc.

a. Qual e 0 dcslocamento Compton'

Solucao Pela Eq. 43-14 ternos

hAA =- (l- cos ¢)

me

(6,53 X lO-:HJ's)(l - cos85·)

(9,11 X 10-31 kg) (3 00 X 108 m/s)

= 2,21 X 10- 12 m =2,21 pm. (Resposta)

b. Que porcentagem da sua €nergia inicial e perdida pelo foton do

raio X incidente?

Solucao A perdu relariva de energia (fmc) e

E- E' hf- hi' (ciA) - (c/A')frac =-E- =----;;- = (ciA)

a A

A ' - A

A '

A + A A(43-15

CUI11 os valores numericos sc tern

2.21 pmfrac = = 0,091 ou 9,1%. (Rcsposta)

22 pm + 2.21 pm

A Eq. 43-14 nos lembra que 0deslocarnento Compton ~A eindependenre do cornprimento de onda Ado foton incidents. AEq.



158 OTICA E FISICA MODERNA

43-15 nos diz, porern, que quanto mellor for 0 compri rnento de

onda do Ioton incidente (isto c . quanta mais energia ti ver 0 futon

incident"), maim sera a perdu relativa de energia. 0 cteito Comp-

ton SC mani testa, intcnsamenre. com os ratolls mais energeticos.

43-5 Planck e sua Constante: DigressaoHist6rica

Em qualqucr epoca, existe sempre urn "problema ex-

citante", Oll mais de urn, que a tra i a a te nc ao dos fisicos

mais compctentes. Xtualmente, por exemplo, sao osproblemas sobre a natureza fundamental da materia e

os problemas cia evolucao do universe, Na virada do

seculo XIX, porcrn, 0 problema que atrafa a atencao

dos melhores e mais brilhantes ffsicos era cxcitantc

em mais de urn sentido. Tratava-se da questao da dis-

tribuicao da energia, em funcao do comprirnento cle

onda, na radiacao ernitida por um corpo aquccido.A radiacao emitida por um ferro em brasa, ou por

uma fogueira, depende de rnuitas variaveis diftceis de

co rrela cio na r, P ar isso , os ffsicos de 1900 passaram a in-

vestigar a radiacao de um radiador ideal, isto e, de um

ra diad or cu ja radiacao emitida dcpendesse exclusivainente

ci a temperatura do radiador e nao do material do radia-

dol', nem cia natureza d a sua superficie, au de outra coisa

qualquer alern da temperatura. No laborat6rio podcmos

fazer um desses radiadores, abrindo uma cavidade no

interior de um corpo c mantendo as paredes da cavidadc

numa temperatura uniforrne. E necessario fazer um pe-

Fig. 43-7 Ci lindro de tungstenio, de paredcs fmas. aquecido 11in-

candcscencia. Radiacao de cavidade emerge urraves de um peque·

no (IIi ffcio na parede.

qucnino oriffcio nas parcdes ci a cavidade, para que seja

possfvel 0 escapamento de urna amostra da radiacao a

ser analisada no laboratorio. A experiencia mostra que

essa r ad ia ciio d e c avid ad e [em urn espectro muito sim

ples, determinado apcnas pela temperatura das paredes.

A radiacao cia cavidade (os fotons dentro ciacavidade)

nos ajuda a compreender a radiacao em geral, da mesmaforma que um gas ideal (os atomos num recipicnte) nos

ajudou a compreender a materia em gcral.

A Fig. 43-7 r no st ra u rn a cavidade radiante simples,

constitufda par urn tubo de tungstenio, de parede fina e

diametro da ordern de urn r ni limet ro , a que ci do ale a in

candesccncia pela passagem de uma corrente eletrica.

Percebe-se a radiacao da cavidaoc, bri\hante, ernergindo

atraves de um pequeno oriffcio na parede. A radiacao da

cavidade e m ulto m ais brilhante que a radiacao da pare-

de cxterna, cmbora sejam mais ou menos iguais as tern

peraturas das parecles externa e interna.

A pro prie dad e c ia radiacao de cavidade q ue q ue re -

m os m ed ir e a sua radidncia espectral S (1\ ), d e fi ni da de

modo que 5(1\) d) : d e a po ten cia irrad iad a po r unid ad c dearea da abertura da cavidade, no intervale d e c om pri-

mentos de onda que vai de A a te A + ds: A c urv a cheia

na Fig. 43-8 mostra a radiancia espectral medida para

uma cavidade cujas paredes estao a 2.000 K. Ernbora

esse radiador brilhe intensamente num quarto escuro,

vemos, na Iigura, que apenas uma pequena parcela d

energia irradiada esta na regiao visfvel clo espectro. A

maior parte dela - e parte muito grande - esta no in

fraverrnelho, Nao e preciso ficar muito tempo perto da

boca de um forno para perccber que ele emite muita ener-

gia (calor) na forma de raios infravermelhos.

A teoria classica (aquela epoca) previa para a

variacao da radiancia espectral com0

comprimentode onda (numa ccrta temperatura) a expressao

SeA )"hrckT

=---,\4

(lei classics da radiacao}, (43-16)

Nesta exprcssao, c e a velocidade cia luz e k a constan-

te de Bolttrnann, que encontramos na Sccao 21-5 (Vol

2); 0 sc u valor e

k =1,38 x lO-23J/K

=8,62 x }O-5 eV/K. (43-17)

A Eq. 43-16 (com T = = 2.000 K) esta representa-da na Fig. 43-8. Embora a teoria classica e as resulta-

dos experimentais estejarn concord antes nos cornpri-

mentes de onda muito grandes (bem alern cia escala

que aparece na Fig. 43-8), a discordancia entre a teo-

ria e a cxperiencia e completa nos comprirnentos de

onda mais curtos, A previsao teo rica nern mesrno pas-

sa por Limmaximo. S e as m ed ic oe s experirnentais es -

tiverem corrctas - c elas estao - algo esta grave-

mente errado com a teoria classica.



50

E:i

]

40

~~ 30:;

"o

" 2 ( )'ge~

'5ro~

,I

I

\,t

E xp erim en tal '.

I

~•I Teoria\cIassk"a····,

FISICAQUANTICA 159

A primeira das hipoteses basicas, da Eq 43-18,

era a de a energia da radiacao na cavidade radiante ser

quantizada. Isto e, de a radiaciio existir na forma de

fotons, com a energia E = hf A segunda hipotese e ade a energia dos atomcs, que formam as paredes da

cavidade, ser tarnbern quantizada. Ou seja:

Os alamos que constituem as paredes da

cavidade so podem estar em estados cur-

respondenies a valores pa rticula res de ener-

gia; estados corn valores intermediaries de

energia sao proibidos.

Se admitirmos as principios da quantizacao para a ener-

gia da radiacao da cavidade e para a energia dos a r o -mos das paredes, poderernos deduzir a lei de Planck;

caso contrario, a deducao sera impossfvel.

Discutimos de maneira inrrodutoria a quantiza-

~8.0 da encrgia dos atornos na Secao 8-10 (Vol. 1), que

talvez valha a pena reler neste momento. Desenvolvi-

mentes posteriorcs mostrararn que a quantizacao da

cnergia e universal; vale na o somente para o s ato m os

mas tambern para todas as especies de sistemas - se-

jam eles atomos, ruicleos, moleculas au eletrons em

s6lidos.

43-7 0 Principia da Oorrespondencla

Vimos que as equacoes da mecanica relativfstica se

reduzern a s equacocs da mecanica ciassica newtonia-

na nas condicoes (de baixas velocidades das particu-

las) em que se sabe que as leis classic as concordarn

com a experiencia,

Na ffsica quantica, vale um principio da corres-

pondencia semelhante. Isto e:

T = 2.000K

\

\

\

" ',,," ',v :. ."

~ . - ' " ' ! P : •

As equacoes dafisica quantica se redurem

In leis cldssicas [amiliares, nas condicoes

em que lui concorddncia entre essas leis

classicas e a experiencia.

Exploremos esse principio no caso da Eq. 43-18, a lei

da radiacao de Planck. Sabe-se que a lei classica da

radiacao (Eq. 43-16) concorda com a experiencia em

cornprimentos de onda muito grandes. Vejamos se a

Eq. 43-18 se reduz a Eq. 43-16 nesse caso limite. Ob-servamos, porern, que se fizerrnos, simplesrnente, A . ='XJ na Eq, 43-18, obteremos urn valor indeterminado

para S(A). Vamos usar urn artiffcio mais sutil.

Para simplificar a algebra, escrevemos a Eq. 43-18

na forma

27rc2h 1S=----,

A · ? e X - 1(43-19)

n 2 :1 4 5

Comprimento de onda (um)

6

onde X =hc!AkT. 0 caso limite A ---7-00 corresponde a x

---7- O . Para valores suficienternente pequenos de x po-

Fig. 43-8 A c~rva cheia rnostra a radiiincia espectral de urna cavi-

dade radiante a 2.000 K. levaniada experirnentalmente. Observe 0

Iracasso da teoria classica, cujos resul tados sao traduzidos pelacurva tracejada. A Iaix a do espectro visivel esta assinalada

Em 1900, Planck propos urna f6rmula para a ra-

diancia espectral que se ajustava perfeitamente aos

dados experimentais em todos os comprimentos de

onda e em todas as temperaturas. A sua proposta foi

2m:2h 1

S(A) = ~ e"c/ilkT-

(lei da radiacao de Planck) (43-18)

Ao deduzir a sua formula, Planck introduziu uma impor-

tante constante h (clenominada, hoje, constante de Plan-

ck) na ffsica. Ajustando a Eq. 43-18 aos dados experi-

mentais da radiancia espectral em varias ternperaturas,

Planck chegou a urn valor para essa constante, que COIl-

corda com () valor atualmente aceito, com diferenca de

alguns pontos percentuais. A flsica LJuflnticamoderna

principiou com a lei da radiacao de Planck.

43-6 A QuantiZat;80 da Energia

A~ hipoteses que deviam ser aceitas para a deducao da

lei da radiacao de Planck consti tuiarn um rornpimentode tal vuito com as ideias classicus. que nao eram, de

maneira algurna, claras para os np:cos da epoca, ll1C11l-

sive para 0 pr6prio Planck, conforme adrnitiu, Em

1917, porem (17 anos depois de a formula ter sido pro-

posta), Einstein propos uma deducao direta da Eq. 43-

18, que tornou bastante evidentes as hipoteses basi-

cas.*

A d ed uc ao d e E in ste in, p ara a E q. 4 3-1 R , esta e m Roher! Resnick e D av id

Halliday, Basic Concepts ill Relativitv and Earlv Quantum Theon'

I:!cMill"", 1992),2' ed..Apendice h.



espectrais permite que urn investigador identifique

tipo de atomo presente,

Essas raias espectrais sao caracteristicas naapenas dos atomos isolados mas tambem de rnolecu

las isoladas ou de nucleos atornicos. A Fig. 43-9 mos

tra alguns espectros de raias, associados a emissao aa absorcao de radiacao por algumas dessas entidades.

Essas curvas, que envolvem comprimentos de ond

sobre todo 0 espectro eletromagnetico, apenas suge

rem a espantosa variedade desses espectros, que po

dem ser observados e medidos nos Iaboratorios.

o nosso plano e 0 de nos concentrarmos no es

pectro do atorno de hidrogenio. 0 hidrogenio e 0 ato

rna mais simples e tern 0 espectro tambern mais sim

ples, a que nao e surpreendente. No restante deste ca

pitulo, vamos tracar a s tentativas preliminares de Ni

els Bohr para compreender a estrutura do atomo d

hidrogenio. No capitulo seguinte, vamos entrar num

descricao quantica completa do atomo de hidrogenio.


demos desprezar os termos de potencia quadrada, au

maier, no desenvolvimento em serie

x2 x3e X =1 + ;0; + - + - + ...

'1 . 6

e escrever

e" - 1 =x,

A Eq. 43-19 fica entao

s = = 2 ' l T ~ 2 h ( . ! . ) = = 2 ' T T c2h ( A k T )

A " x ,\5 he

' 1 . ' T T c k T

), ,4

Essa e exatamente a Eq. 43-16, a lei classica da radia-

c;aol Entao, 0 princfpio da correspondencia esta obe-

decido. Observe como a constante de Planck h - in-dicador seguro da natureza quantica de uma equacao

- desapareceu, por cancelamento, no processo de

obtencao da equacao classica (isto e, nao-quantica),

43-8 Estrutura Atomica

:. Uma pergunta muito antiga e "qual a estrutura interna

de urn aloma?" E apropriado que principiernos a res-

ponder a essa questao pelo exame de uma das mais

importantes chaves sabre a estrutura dos atornos - a

natureza da luz que ernitem.

Na Fig. 43-8 temos um exemplo da luz emitida

pelos atornos quando se organizam para constituir asparedes s6lidas de uma cavidade radiante. Vimos, na

Secao 43-6, que 0que podernos deduzir da forma des-

sa radiacao e 0 importante fato de a energia dos ato-

mos que formam as paredes da cavidade ser quantiza-

da. Nao se pode ter, porem, informacao detalhada sa-

bre atornos especificos, pois a radiacao da cavidade

nao depende da natureza dos atornos que constituem

as paredes.

Para sabermos sobre a estrutura detalhada dos

atornos, individualmente (hidrogenio, carbono, cobre,

etc.), devemos investigar a luz que emitem, ou que

absorvem, quando estao sozinhos, isolados de outros

atomos. Para que aproximadamente esse isolamentoseja obtido, os atom os sao ~...ostosnum estado gasoso.

Nessas circunstancias, se forem iluminados absorvern

exclusivamente radiacoes de comprimentos de onda,

OIl raias espectr'ais, bern definidos, presentes na luz

iluminante, Analogamente, se as atornos recebern ener-

gia de uma forma ou outra (por exemplo, atraves de

uma corrente eletrica numa lampada de descarga a gas),

emitem Iuz em apenas deterrninados comprimentos de

onda, ou raias espectrais. Nos dais cases, 0 conjunto

de raias espectrais e uma marca caracteristica do tipo

de atomo envolvido. Na realidade, a rnedicao de raias

43-9 Niels Bohr e0Atomo de Hidroqenlo

Os comprimentos de onda das raias do espectro do h

drogenio atornico (veja a Fig. 43-10) eram conheci

dos, com precisao, ha muitos anos. Constituf'am ur

material base para a teste de qualquer teoria sobre

estrutura do atorno de hidrogenio.

A Teoria Classica

Analisemos, inicialmente, os problemas que aparecem

quando tentamos determinar a estrutura do atorno d

hidrogenio pelos metodos da ffsica classica. Podemos

imaginar que 0 eletron, no atorno de hidrogenio, orbi

ta em tomo de urn micleo central (urn proton) num

circulo de raio r, como mostra a Fig. 43-11. Podemos

entao imaginar que a frequencia da radiacao emitida

pelo atorno seja igual it frequencia com que 0 eletron

circula na sua orbita. A teoria classica preve que 0ele

tron orbitante, real mente, ira irradiar, e 0 fara na su

freqtiencia orbitaL A teoria tem, porern, urn erro fata

o eletron orbitante irradiara toda a sua energia, e s

aproxirnara do micleo a cada revolucao, emitindo um

espectro continuo de radiacao ao espiralar para 0 cen

tro do atomo, Em outras palavras, as grandes teoria

classicas de Newton e de Maxwell ficarn desampara-das diante do mais simples dos atonies. Nao podem

nem mesmo prever a existencia das raias espectrais,

muito menos prever as comprimentos de onda dessa

raias. Na realidade, prevern a irnpossibilidade d

existencia dos atornos!

A Teoria de Bohr

Em 1913, dois anos depois de 0 Fisico ingles Ernes

Rutherford ter proposto a ideia de 0 atomo ter um m

cleo, 0 grande ffsico dinamarques, Niels Bohr (veja



i

;___j----o 20 40 60

C orn pr ir ne nto d e o nd a ( pm )

(b)[) -+-

I ' i

I J iL - .-- •L__ ,_ . L~_ ..___ __ . .._C

J, III 3.05 3.00

C orn prim e n to d e o nd a (p m)

(a)

0.75 0.80

1/"(em-I)

(e )

0,85

FISICA QUANTICA 161

Comprimcnto de onda (nm)

(c)

Cornprimemo de onda (urn)

(d )

~I

~I" , f

.g i1 ' 1 ' , '~~~-H·-+t---+----lJr-l· :

- iii

.s I I ! _ l ~ _ J . _ _ j0,160 0.165 0.170

Campo magnctico (tesla)

(I)

Fig. 43-9 Algumas raias espectrais, de ernissao ou de absorcao, representadas de divers as formas. (a) Intensidade da raia de raios gama

emitidos por nuclcos de 1 9 S H g e (b) intensidade de duas raias de raios X ernitidos por atomos de Mo, ambas tracadas em funcao dos

cornprimentos de onda. (e ) Comprirnentos de onda e larguras das rr.ias de ernissao no ultravioleta dos atornos de Fe. (If) Absorcao de

infraverrnelho pOl' moleculas de Hel, tracada em funcao do comprimento de onda. (e) Absorcao de rnicroondas por rnoleculas de NH"

tracada em funcao do inverso do cornprimento de onda (que e proporcional a frequencia), if > Absorcao de ondas de radio pelas moleculas

de H2, em funcao da intensidade do campo magneiico onde estao imersas,

Seried e L ym an Serre de Balmer Serle de Paschen

\

"1.800

Fig. 43-10 As series espectrais do es-

pectro do hidrogenio atomico - a

serie de Lyman (ult ravioleta), de Bal-

mer (parcialmente visivel) e de Pas-

chen (infravermelho), Em cada serie,

as raias se aglorneram nos compri-

rnentos de onda men ores, aproximan-

do-se do limite da serie,

1.400 1.600 2000.20020 0 400 600 l.000C or np rim er uo tie o nd a (n m)

Fig. 43-12), propos um modelo para 0 atomo de hidro-

g e m o , que nao somente explica a preSen\;3 das raias

espectrais mas tarnbern preve seus compri mentes de

onda, com aproximacao de 0,02%. Ernbora a teoria de

Bohr tenha tido exito para 0 hidrogenio, mostrou-se

meI10S bern sucedida para os atomos mais complica-

dos. Atualmente, encaramos a teoria de Bohr como uma

inspirada pri rneira etapa no sentido da teoria quantica,

mais abrangente, que a seguiu.

Bohr, compreendendo que a fisica classics che-

gara a um beco sem salda com a estrutura do atomo de

hidrogenio, criou dois postulados audaciosos. Ambos



162 OTICA E FISICA MOOERNA

que esse postulado nada diz sobre como achar as ener

gias dos estados estacionarios.

2. 0 Postulado da Freqiiencia. Bohr admitiu que

atomo de hidrogenio podia absorver au emitir energi

exclusivamente quando 0atorno passava de urn estadesracionario para outro. A energia do f6ton absorvido

ou ernitido, seria 19uaJ a diferenca das energias do

dais estados. Entao, se urn atomo passasse de um esta

do inicial de energia E, para um estado final com

energia E,(mais baixa), a energia do futon emitido se

ria dada por

Fig. 43-11 Modelo classico do atomo de hidrogenio, com urn ele-

tron de massa m orbi tando em torno de urn nucleo central de,mas-

saM.Adrnite-se M PilL

transformararn-se em traces perrnanentes, que apare-

cern, com plena forca, na ffsica quantica moderna.

Alem disso, os dois mostraram-se muito gerais, apli-

caveis nao apenas ao atom a de hidrogenio, mas tam-

bern a sistemas atomicos, moleculares e nucleares de

todas as especies, Esses postulados sao os seguintes:

(condicao de frequencia de Bohr), (43-20)

Esta relacao e conhecida como a condicao de frequen-

cia de Bohr. Este postulado junta admiravelmente dua

ideias novas (a hipotese do foton e a da quantizacao d

energia) com uma ideia bastante familiar (a da conser

vacao da energia),

A tarefa seguinte de Bohr era a de escolher o

estados estacionarios, especificando as respecti va

energias. Dessa forma, com a Eq. 43-20, poderia ca

cular as frequencies - e, portanto, as comprimentos

da onda - das raias espectrais. POI 'em, como achar a

energias? Bohr as encontrou cle maneira engenhosa,

usando 0 princfpio da correspondencia. Vamos da

aqui, 0 resultado a que chegou, sem demonstracao. N

Secao 43-10 apresentamos uma prova serniclassica->-

devida tambern a Bohr - desse resultado.

Bohr obteve a seguinte expressao para as energias dos estados estacionarios do atomo de hidrogenio:

1. 0 Postulado dos Estados Estaciondrios. Bohr ad-

mitiu que 0 atomo de hidrogenio podia existir, sem ir-

radiar, em qualquer estado de urn conjunto discreto

cle estados estacionarios, com energias bern determi-

nadas. Essa hipotese da quantizacao cia energia des a-

fia abertarnente a teoria classica, mas a atitude de Bohr

era "vamos aceita-la ever 0 que acontece". Observe

m e ' 1n = 1,2,3, ... , (43-21)=

na qual n e urn numero quantico. 0 sinal negative

nos diz que os estados do atorno de hidrcgenio, cuja

energias sao dadas par esta equacao, sao estados liga

dos, Isto e , urn agente externo tern que fazer trabalho

fim de dividir 0 atorno ..Embora Bohr tenha deduzido

a Eq. 43-21 de maneira semiclassica, exatamente

rnesrno resultado aparece numa deducao rigorosa, ba

seada na teoria quantica moderna.

A Fig. 43-13 e urn diagrama de nfveis de energia

do atorno de hidrogenio. As retas horizontals repre

sentam sete diferentes niveis de energia e a escala ver

tical mostra as energias dos estados, calculadas pel

Eq. 43-21; cada nfvel esta identificado pelo seu 11I1m

1'0quantico. 0 estado de energia rnais baixa, 0 estado

fundamental, se encontra com n =1 na Eq. 43-21; o

estados com maior energia sao os estados excitados.

facil mostrar que a energia do estado fundamental

-13,6 eV, e entao a Eq. 43-21 pode ser escrita como

Fig. 43·12 Niels Bohr com Aage Bohr, um do, sells cinco filhos.

Os dois ganhararn prernios Nobel de ffsica, Niels em 1922 e Aage

em 1975



Limite Limite Limite

da serie ~ da serie -..::ga serie~~

o -------+-- G- .·-~-tT-i r-----,-tt-+-'

. . ~-s

: I I ! I Serie

I 1 I * t +de

pnSChe_l~: I : Serio

~I de Balmer,

I

-2.0

-4,0

~ -6,0.

es

.~ !

J i -8.0 ~

-10.0'

-]2,0

I

_ .LLLLt 1

- 14.0 .. Serie de Lyman

FiSICA QUANTICA 163

Fig. 43-13 Alguns niveis de encrgia e algumas iransicoes do es-

pccrro do hidrcgenio atornico.

13,6 eV£ 0 = - • '

n-n = 1, 2,3, .. " (43-22)

o fator R, chamado constante de Rydberg, tern 0valor

R= ~ 0 = 1,097 Xlt~m-l8E5h3c

= 0,01097 nm-I (43-25)

As setas que apontam para baixo, na Fig. 43-13,

representam transicoes de urn nfvel de energia para

outro mais baixo. Essas transicces podem ser agrupa-

das em varias "series", cada qual com cerro nfvel como

a "estado final". A serie de Lyman, par exernplo, econstituida por transicoes para 0 estado fundamental.

Cada serie tern seu limite de serie que corresponde atransicao entre n = co e 0 nivel base caractenstico da

serie.

A energia emitida durante uma transicao de urn

nivel para urn nivel mais baixo e, conforme dissernos,

a diferenca das eneraias dos dois niveis. Podernos ob-

ter 0 comprimento de onda da radiacao emitida pela

combinacao da Eq. 43-21 com a condicao de frequen-

cia de Bohr (Eq. 43-20), resultando

hc~me4(l 1 )h I = A = 8E~jh" l2 - u2 .

(43-23)

An deduzir a Eq. 43-24, considerarnos a emissao

de 1uz pelo atorno de hidrogenio, Nesse caso, 0 atorno

perde energia e sofre uma transicao para baixo no dia-

grarna de niveis de energiada Fig. 43-13. Aequacao tarn-

bern vale para a absorcao de lu z por urn atomo de hidro-

genic, e, nesse caso, 0 atorno ganha energia e sofre uma

transicao para cirna no diagrama de mveis de energia,

A Eq. 43-24 constitui a ponte entre 0espcctro da

Fig. 43-10 e 0 cliagrama de encrgias da Fig. 43-13.

C(;mo exemplo, a serie de Balmer (de emissao ou de

absorcao) pode ser definida fazendo-se f = 2 na Eq.

43-24 e perrnitindo a u assumir os valores 3,4,5, ." .

Podemos, agora, entender as diferencas nos es-

pectros de fontes Iminosas, vistas atraves de urna rcde

de difracao, como na figura que abre este capitulo. Os

farois de urn autornovel, pOI' exemplo, tern filamentos

incandescentes, por onde tlui uma corrente eletrica; os

eletrons dessa corrente provocam 0 aquecimento do

filarnento ate que ele atinja uma temperatura suficicn-

temente elevada para ernitir luz em todo 0 espectro

v is iv el. Em virtude de os atornos do filamento nao es-

tarern isolados, nao se percebern raias espectrais na

luz emitida pelo filamento incandescente; na realida-

de, a emissao e parecida com a que esta representada

na Fig. 43-8 para a luz de urna cavidade radiante. A

luz de L im s in al lum in os o, v erme lh o, e sernelhante ~l

luz dos far6is de u rn c ar ro , mas passa por l1m vidro, ouplastico vermelho, que absorve todas as radiacoes, ex-

ceto as da extrernidade vermelha do espectro visivel.

As lampadas de mercuric, que se usarn nos postes

de iluminacao publica, e tarnbern na iluminacao domes-

tica, tern operacao diversa, pois os atornos de mercuric,

e~ssores de luz, estao num estado gasoso e, por isso,

aproximadamente isolados uns dos outros, Quando lima

corrente eletrica passa pelo gas, os eletrons da corrente

colidcm com os atornos de mercuric, deixando-os em

estados excitados pela transferencia de energia, O s ato -

rnos se desexcitam rapidamente, pela ernissao de luz, e

so fr ern t ransi coes para estados de energia mais b ai xo s, ate 0

estado fundamental. Nesse processo, os atornos emitem

a s r ai as e sp ec tr ai s c ar ac te rf st ic as do mercuric, que podem

ser facilmente observadas atraves de um a rede de difracao,

Bohr, muito apropriadarnente, explorou sua teo-

ria com todas as possibilidades que ofere cia, propon-

do-se a desenvolver uma base teorica para a tabela pe-

ri6dica dos elementos, No entanto, alern do hidroge-

nio e dos atornos ou JOIlS hidrogenoides, como por

exempJo 0 He+, 0 sucesso de Bohr foi limitado. Sua

teoria podia prever, no caso de uma larnpada de mer-

curio, que as emissoes seriarn de cores discretas, mas

nao podia prever quais seriam essas cores.

Nesta formula, u e l sao, respectivarnente, os mimeros

quanticos do estado de maior energia e do estado de

menor energia envolvidos na transicao cujo cornpri-

mento de onda eA. Podemos reescrever a Eq. 43-23 de

manei ra m ais compacta como

(43-24)




o "memento admiravel e brilhante" de Bohr foi,

sem diivida, a predicao das propriedades do elemento

72, entao um espaco vazio na tabela peri6dica. Bohr

previu que seria um elemento com propriedades pare-

cidas com as do zirconio. Essa previsao levou a desco-

berta do elemento 72, nos minerios de zirconia. 0 novoelemento recebeu 0 nome de hdfnio, antigo nome de

Copenhague, cidade natal de Bohr. A noticia dessa

descoberta chegou a Bohr, em Estocolmo, poucas ho-

ras antes de ser relacionado para receber 0 premio

Nobel

EXEMPLO 43-7 a. Qual 0 cornprirnento de onda do foton com

mel lor energia na serie de Balmer')

/

Solm;ao Identificarnos a serie de Balmer (veja a Fig. 43-13) fa-

zendo I'" 2 na Eq. 43-24. 0 foton com rnenor cnergia, nessa sene

(e em qualquer outra) e 0 foton que corresponde a transicao de

menor ampli tude no diagrarna de energias da Fig. 43-13. Essa t ran-

sicao, na sene de Balmer, OCOlTe quando u =3 (0 niimero quflnti-

co imediatamente superior a 2). A Eq. 43-24 nos dol.entao

=(O.Ol097nm-1 ) ( ; 2 - ; 2 )=1.524 X 10- 3 nrn - I,

de onde obternos

1A - - 6563 Dm (Rcsposta)- 1,524 X 10- S nm I - , .

b. Qual 0 comprimento de onda limite da serie de Balmer'!

Solucfio Facarnos, de IlOVO, I =2 na Eq, 43-24. A rim de encon-

trar 0 limite da serie (veja a Fig. 43-13), vamos fazer 1.1 --'> coAEq

43·24 fica entao

* = (O.01097nrn- l ) ~ 2 ) = 2.743 X 1O-M nm-1 ,

o que d a

A =364,6 nm. (Resposta)

43-10 Dedugao de Bohr (Opcional)

Vamos exannnar, aqui, a deducao de Bohr para a Eq.

43-21, a formula da energia dos estados estacionarios

do atomo de hidrogenio. Como se comentou antes,

Bohr deduziu a sua formula de maneira engenhosa,

usando 0 princfpio da correspondencia e nao fazendo

hipoteses detalhadas sobre a natureza quantica dos es-

tados do atorno de hidrogenio, em mimeros quanticos

baixos. Porern, 0 proprio Bohr sugeriu uma deducao

alternativa, que e a examinada nesta secao.

Vamos aplicar a segunda lei de Newton (F=ma)

ao eletron, na orbita circular de raio r, como mostra a

Fig. 43-11. Para encontrar a forca sobre 0 eletron, usa-

mos a lei de Coulomb (Eq. 4 do Cap. 23, Vol. 3 ) e obt ern os

I (el (e) v2----=m47TEO r z r .

(43-26)

Podemos agora usar a Eq. 43-26 para encontrar a ener-

gia cinetica do eletron. Temos

(43-27)

Pela Eq. 22 do Cap, 26 (VoL 3), a energia potencial

eletrica do sistema eletron-proton e

u =_1_ _;_(_r)_(_-_e_) e2

47TEO r = - 47T€()T'

(43-28)

e a energia total do atorno e

e2E= K+ U= ---.

87T9JT

(43-29)

Esse e 0ponto maximo que podemos atingir com

ideias purarnente classicas. A energia total E, de cada

estado estacionario, depende do raio da orbita do esta-

do, e, a menos que possamos achar os raios das orbi-

tas, que correspondem aos estados estacionarios, esta-

mos sern safda. Em linguagem modema, precisamos

de um criterio de quantizacao.

Chegando ate aqui, talvez voce pense que esta-

mos sem safda, pais ate agora a constante de Planck

nao apareceu. Se voce tiver pensado assirn, pensou

_Icorretamente, Bohr viu que a maneira rnais simples de

introduzir a constante hera quantizar 0memento an-

gular L das orbitas atomicas, admitindo, com bastante

arbitrariedade, que L so poderia assumir os val ores

dados por

hL=n-

2 1T'n =1,2,3, ... , (43-30)

onde n e um mimero quantico." Observe que, embora

sejam grandezas muito diferentes, 0momento angular

e a constante de Planck h tern as mesrnas dimensoes;

essa observacao torna menos surpreendente que 0

momenta angular nos proporcione a regra de quanti-

zao;:aomais simples.

':'0 memento angular do eletron no atomo de hidrogenio e . na realidade.quantizudo. mas a regra de quantizacao nao c tao simples quanto a da Eq.

43-30; vcja a Se ca o 45-5. E precise nao esquecer quea abordagem de Bohr

e serniclassica c que se t ra ta de l im passo intermediz irio no dcsenvolv imen-

to de urna ieoria quant ic a cornp .e ta .



Peln Eg. 20 do Cap. 12 (VoL 1), sabemos gue L

= m Dr nos da 0momento angular de lima partfcula de

rnassa Indescrevendo urn circulo de raio r com veloci-

dade v. Com a Eq. 43-26 podemos achar urna outra

expressao para 0 momento angular L do eletron, no

atomo de hidrogenio, escrevendo

e2mv 2ro = : --

4'lTEO

e

mr 4'lTEo

Com L no lugar de mvr, temos entao

-~L= mvr= -,,~. (43-31)

A combinacao das Eqs. 43- 30 e 43- 31 nos da os raios

das 6rbitas perrnitidas:

n = 1,2,3, .... (43-32)

Podernos reescrever esta expressao de maneira mais

compacta como

n = 1,2,3, ... , (43-33)

FislCA QUANTICA 165

onde "epede ser calculado a partir das constantes fun-

darnentais explicit as na Eq. 43-32, tendo 0 valor

rB =5,292 X 10-11 m

=52,92 pm =0,05292 om. (43-34)

o parametro rB, denominado 0 raio de Bohr, eigual ao raio da orbita de Bohr, do atomo de hidrcge-

nio no seu estado fundamental, definido fazendo-se n

= 1, na Eq 43-32. Embora nfio se acredite mais em

tais orbitas, ainda usamos 0 raio de Bohr como medi-

da conveniente de distancias em escala at6mica. Nao

deve deixar de causar espanto que, embora Bohr nao

tenha feito qualquer hipotese na sua teoria sobre 0 ta-

manho dos atomos, tenha obtido, a partir dela, urn va-

lor aproximadarnente correto.

Podernos, finalmente, substituir 0 raio r das orbi-

tas quantizadas, que vern da Eq. 43-32, na Eg. 43-29, e

obter as energias totais dos estados do atorno de hidro-genic

E= n = 1,2,3, ... ,

que e exatamente a Eq. 43-21, que nos propusemos a

deduzir.

RESUMO

Fotons i

Ern 1905, Einstein formulou a hipotese de a luz ser feita por pace-

res conccntrados de energia, que atualrnente denorninamos fotons.

Cada foron tern a cnergia E e 0momento P dados por

J=hi e p = hi)... (43-1,43-4)

. l essa s exprcssoes, a constante de Planck h. tem 0valor 6,63 X 1O-' "' J. 5

=4,14 X 1O-,seV.s. Essa constante, embora pequena, nao < 5 nula;

esse e um fator determinante da ffsica quantica moderna. As experi-

encias que suportarn a hipotese de Einstein sao as seguintes:

1.0efeito foteletrico, no qual a luz que incide sobre uma superff-

cie meral ica arranca elet rous dessa superfIcie. A equacao de Eins-

rein para esse efeito, baseada na hipotese do foton, e

hi =¢+ K ". ( eq u< l < ; : aof o te le t r i ca ) (43-8)

Nesta equacao, hf c a energia do f6ton absorvida por urn eletron da

superffcic metalica. A funcao t rabalho < p e a energia necessaria

para remover esse elet ron do metal ; K m e a energia cinetica maxi-

ma do elet ron fora da superffcie rnetal ica.

2.0efeito Compton, no qual as fotons de raios X, espalhados por

eletrons livres, sofrem um aurnerno ex no comprimento de onda.

Esse deslocamento Compton (veja a Fig. 43-5) o f dado par

h~A =- (1 - cos 4 » .

7!~C

(43-14)

Esta cquacao provern da aplicacao das leis da conservacao da ener-

gia e do memento a uma coli sao, sernelhante it de bolas de bi lhar,

entre urn foton e um eletron livre, como mostra a Fig. 43-6.

3. Medicoes de distribuicao da energia, peJQS comprimentos de

onda, da radiacao que provem de cavidades aquecidas. Estes estu-

dos levararn if introducao do conceiro de quantizacao da energia

e fizeram aparecer, pel a prirneira vez, a con stante de Planck h nas

equacoes da ftsica.

Espectros de Raias

A absorcao e a ernissao de radiacao em comprirnentos de onda nit i-

darnente definidos s a o caracteristicas dos atornos, das molecules e

dos micleos. Rcpresentacoes dos conjuntos desses cornprimenros de

onda, como as da Fig. 43-10. sao chamadas de espectros de raias. A

Iisica classica nao tern cxplicacao para esses fenomenos.

Postulados Qutinticos de BohrAs tentativas de entendimento dos espectros de raias, em termos

quanti cos, principiaram com os postulados quanticos de Bohr,introduzidos a fim de explicarern 0 espectro do hidrogenio atomi-

co: (1) UI1l ammo pode existir, sem irradiar, em qualquer estado de

lim conjunto de estados estacionarios, discretos e de energias bern

definidas; (2) urn atomo 56 emite au absorve radiacao numa tran-

sicao ent re dois desses estados; a frequencia da radiacao, e portan-

to a raia espcctral correspondente, e dada por

hf f =E; - Ef (condicao de frequencia, de Bohr) (43-20)




Nessa expressao, E, e cjsiio as energias dos estados inicial e final

envolvidos na transicao.

Para obter as energias des estados estacionarios do ato-

mo de hidrogcnio, Bohr ndmitiu que 0 momento angular L dos

clctrons orbi lames s o pode ter os valo res discretos dados por

n = = 1,2,3, - (43-3!})

As energias des esiados perrniuuos sao, entao,

(me

4) 1

E = = - 8E6h2 n2 = =

13,6 eVn = = 1, 2, 3,

(43-21,43-22)

Nessa expressao, n e um mimero quantico.A cornbi nacao das Eqs.

43-20 e 43-21 leva a

1 . ( 1 1 )R --,-- ; . - 1 2 u2

(43-24)

que e a formula dos cornprirnentos de onda das raias do espectro

do biuIog,eni.o atomko, cOITespondentes. ~ tram~~io de urn e ' ; ' · " u \ )com 0 mimero quant ico /I para urn estado de energia rnais baixa,

com 0 niimero quantico I; a constante R = 0,01097 nm " e a

constante de Rydberg.

QUESTIONARIO

1. Como pode a energia de ur n f610n se r dada por E =hf, quando

a simples presenca da frequenciaj' indica que a luz Ii i urna onda?

2. Sabendo-sc que E = hfpara urn foton, ()deslocamento Doppler

na frcquencia da radiacao de uma fonte luminosa que se afasta

pareceria indicar uma reducao na energia do foton emirido. Essa

reducfio Ii i real') Se for real, 0 que aconteceu com o principia cia

conservacao da energia?

3. 0 f6tonA tern 0 dobro da encrgia do foton S. Qual a razao entreos mementos de A e de B? ~

4. Em que urn foton e diferente de uma particula material"

5_ Mestre que a constarue de Planck tern as dirnensoes de me-

mento angular Isso significa, necessariarncntc, que 0 momentoangular seja quantizado?

6. Para que os efeitos quantico> fossem fen6menos do "quotidia-

no", qual deveria ser a ordem de grandeza de II? (vej a G, Gamow,

M r. T om pk in s i n W o nd e.,r ia nd , Cambridge University Press, Cam-

bridge, 1957, encanradora narrativa sobre urn mundo onde as cons-

rantes fisicas c, G e h se fazern evidentes.)

7. Uma placa de metal isolada ernite foteletrons ao ser iluminada

por luz ultravioleta, mas, depois de um certo tempo, deixa de erni-

ti-los Explique 0 porque.

8. Na Fig. 43-2, por que a corrente foteletrica nao atinge 0 sell

valor maximo (saturacao) quando a diferenca de potencial aplica-

da e um pouco mais positiva que V,,?

9. No efeito fcteletrico, por que a existencia de urna freqiiencia de

c011e conta if favor d a t eo ri ados r{llOnSe c on tra a teo ri a ondu latriria?

10. Por que as medicoes foteletricas sao rnuito sensfveis a nature-za da superftcie fotelerrica?

1 L E sc la rc ca a a fir ma ca o s cg uin te : " se ria impassive! p er ce be r a f ra ca

luz de urna estrela se a luz nilo tivcsse natureza corpuscular".

12. Considere os seguintes procedimentos: (a) bornbardeio de urn

metal com elet rons; (b) irnposicao de urn campo eletrico intenso asuperflcie de urn metal; (c) ilurninacao de urn metal corn luz bran-

ca; (d) aquecimento de urn metal a alta temperatura, Quais, entre

esses procedirnenros, podem provocar a emlssao de eletrons?

13. Uma certa chapa rnetalica e iluminada por luz com uma fre-

quencia definida. A emissao, ou nfio, de foteletrons dcpende de

quais, ent re as seguintes circunstancias: (a) intensidade da ilurni-

nacao, (b) duracao da exposicao ii luz, (c) conduuvidade termica

da placa, (d) area da placa cu (e) material da placa?

14. A teoria de Einstein, dos f6tons, que admite scr a Luz uma

corrente de fotons, invalida a expericncia da interferencia n U 1 1 1 ;;

fenda dupla, de Young, em que a luz se cornporta como uma onda?

15. Qual a direcao do eletron espalhado que corresponde it maxi-

ma energia cinetica, no efeite'Comptcn. medida em relacao 11dire-

cao do foton incidente?

16, No espalhameruo Compton, por que se espera que 0 desloca-

mento ! : ; . _ ) , seja independente do material do alvo?

17, Por que nao se observa 0 efeito Compton com a luz visivel?

18. A luz provenienre de estrelas muito distantes sofre muitas

vezes 0 espalharnento Compton antes dc nos atingir, Esse espa-

lharnento provoca dexlccamento para 0 verrnelho. Como se

pode distinguir esse deslocamento do deslocarncnto Doppler

para 0 verrnelho. provocado pelo movimento de recessao das

estrelas?

19. Numa fogueira, as "ca vidades" formadas entre os carvoes em-

pilhados parecem brilhar mais intensamente que os proprios car-

voes. A temperatura de urna dessas cavidades e significativarnenre

mais elevada que a temperatura superficial dos carvoes? Expliqueo fenomeno.

20. Se olharrnos para 0 interior de uma cavidade, cujas paredes

silo mantidas em temperatura con stante, nao se percebem detalhes

no seu interior. Explique.

21. Dizemos que todos os objetos irradiam energia em virtude da

temperatura e. no entanto. nao podemos ver todos os objetos no

escuro. Por que?

22. Numa lampada de descarga, de laborat6rio, s6 e possivel per-

eeber urn pequeno mimero de raias da seric de Balmer, enquanto

urn grande niimero deb, e observado no especl fO das estrelas.

Explique essa diferenca ern termos da pequena dcnsidadc, da

elevada temperatura e do grande volume dos gases nas atmosferas

estelares,



23. Na teoria de Bohr, para 0 atomo de hidrogenio, qual a consc-

quencia do fato de a encrgia potencial ser negativa e tcr modulo

maior que a energia cinetica? Essa is uma consequencia da tlsica

q uf in ti ca o u e r am b ern u rn r esu lt ad o d a f ts ic a c la ssic a?

24. Algu mas raias do espectro do hidrogenio atomico sf to mars

brilhantes que outras. Par que')

25. Imagine urn atomo hidrogenoide no qual urn positron (com

carga elerrica positiva) orbita em torno de urn antiproton (com car-

ga negativa). Voce esperaria, ou nao, que 0 espcctro de ernissao

desse "aiomo de antirnateria" fosse difcrente do espectro do ato-

rn a de hidrogenin normal?

26. Os radioasrronornos observam raias do especrro do hidroge-

nio que provem de atornos de hidrogenio que estao em estados

com n =350 ou rnais, Per que uao e possfvel obter e estudar ato-

rnos de hidrogenio, em cstados COIll numeros quanticos tao eleva-

dos, nos laboratories?

FfslCA QUANTICA 167

27. U rn ato mo de h id ro gcn io p od e ab so rv er u m te to n c uja e nerg ia

seja n.aior que a sua energia dc ligacao (13,6 eV)?

28. Lisle e discuta as hipoteses feitas par Planck, em relacao as

cavidades radiantes, por Einstein, em relacao ao efeiio fotoeietri-

co, por Compton, em relacao ao efeito Compton e por Bohr, em

relacao a estrutura do atorno de hidrogenio.

29. Descreva alguns rnetodos que podern ser usados para deter-

minar experimentalmente a constante de Planck h.

30. De acordo com a mecanica classica, urn elerron em orbita po-

deria tcr qualquer memento angular. De acordo com a teoria de

Bohr para 0 atorno de hidrogenio, ()memento angular e quantize-do conforme L =nhf2 'IT. Reconcilie essas duas afirmacocs atra-

vex do principio da correspondencia

gP . No modele dos fotons para a radiacao, mostrar que, se dois

feixes de luz de diferentes comprirnentos de onda tern a m csm a

intensi dade, enrao as taxas po r unidade de area com que os fotons

passam airaves de qualquer secao reta dos feixes estao entre si na

rnesma razao que os respecrivos cornprimenros de onda.

EXERCICIOS E PROBLEMAS

Se~ao 43-2 Uma Proposta de Einstein

IE. Most rar que a cnergia E de um foton (em eV) esta relacionada

com 0 cornprirnenro de onda (ern nrn) por

1.240E=-A-'

Esse resul tado tern utilidadc na res'lu9ao de rnuitos prob)fmas.

2E. A luz amarela de uma Ifimpada de sodio, usada na ilurninacaode estradas, tern 0 comprimento de onda de 589 nrn, Qual a ener-

gia de urn foton ernit ido por uma dessas lampadas?

1 3E C on sid er e u rn a l u z m o no cr om a tic a que incide sobre urna peli-

'ci :ifa fotografica. Os f6tons incidentes serao rcgistrados se nverern

energia suficientc para dissociar lima molecula de AgBr presente

na pelfcula A energia minima para provocar essa dissociacao ecerca de 0,6 eV Achar 0 maior comprimento de onda da luz que

pode ser regixrrado. Em que regiao do espectro estara este compri-

mente de onda?

4E. (a) Uma raia espcctral de emissao, que e importante em radio-

astronomia, C a de comprimento de onda 21 CIlL Q ual a energia do

f6ton correspondcnte? (b) Numa certa epoca, 0metro era definido

como 1.650.763,73 cornprimeutos de onda de u ma raia alaranjada

emitida pelo cript6nio 86. Qual a energia do Ioton correspondente

a essa radiacao?

5E. Urn certo foron de raio X tem 0 comprimento de onda 35,0

pm. Calcular (a) a energia do foton, (b) a sua frequencia e (c) 0 seu

momeruo.

6P. Em coridicoes ideais, 0 olho humane normal regisira uma sen-

sac<aovisual a550 nm, quando os f610ns incidenies sa o absorvidos

numa taxa tao baixa quanio 100 forons pm segundo. A que poten-

cia correspondc essa taxa?

"7P)Quais sao (a) a frcquencia, (b) 0 comprimento de and a e (e) 0

~Illento de um fotcln cuja cnergia e [gual aenergiade repouso doeletroll'! '

9P. Uma lampada de ultraviolera, emirindo luz a 400 nm, "uma

outra lampada de infravermelho. emitindo luz a 700 om, te rn a 11 1-

bas a potencia de 400 W. (a) Qual debs irradia fotons a maier

taxa? (b) Quantos fotons a lampada rnais irradiante gera, por se-gundo, a mais do que a outra lihnpada?

lOP. Ur n ateli te artificial da TCITa tern urn painel de celulas sola-

res de 2,60 m' de area, disposto perpcndicularmenrc 11direcao dos

raios do Sol. Acnergia solar chcga 11axa de 1,39 kW/m'. (a) A qu e

taxa a energia solar atinge 0 puinel? (b) A que taxa os fotons sola-

res atingern 0 painel? Admita que a radiacao solar seja monocro-

manca com 0 cornprimento de onda de 55 0 nm, (c) Quante tempo

sera precise para que "urn mol de fotons" aiinja 0 painel?

~"'·lIP., Uma certa lamp ada e pecial cmite radiacao monocromatica

de cornprimento de orida 630 um, A sua potencia nominal e flOWe ela tern a eficiencia d e _ 9 3 : t ' o na conversao de energia eletrica em

luz, Ouantos f6tons a Ia mp ad a e rnitira na s 730 h da sua vida ut il?

12P.O feixc emergente de um laser de argonio de 1,5 W (A=515

nrn) rem 0 diarnetro d de 3,0 mm. (a) A que taxa, por metro qua-drado, passam os fotons pela sccao reta do feixe? (b) 0 fcixe efocalizado por urn sistema de lentes que tern uma distancia focal

efetivaj; de 2. 5 mill. 0 feixe focal izado forma uma figura de difra-

yao circular, cujo disco central tern 0 raio R dado por 1,22/;. Ald.

Podc-se mostrar que 84% da potencia da luz inciderue esta nesse

el i sc o central e 0 restante no s ane: 5 de difracao, concentricos e mais

traces. em torno clo disco. A que taxa, po r metro quadrado, os 1 ' 6 -

tons P1a6am auaves do disco central da figura de difracao?

13~dmita que uma Iarnpada de vapor de sodio, de 100 W . irradie

energia uniformementc em todas as direyoes, na forma de. fotons,

com 0 comprimemo de onda de 589 nm. (a) A que taxa os fotons sao

emitidos pela li impada? (b) A que disti ineia da lilinpada () flllXO m e -



. .r

OTICA E Fi\ICA MODERNA

dio de fotons senti ,00 foton/( crrr' .»)? (c) A que distancia da lampada

a densidade media de fotons sera 1,00 foron/cm"? (d) Quais sao 0

f lu xo d e fotons e a d c ns id ad e dos fotons a 2,00 rn d a lampada?

25P. Ern 1916, R, A. Millikan (veja a Secao 24-8, Vol. 3) encon

trou os seguintes valores do potencial de corte em experiencias

feitas com 0 lftio

Comprimento de onda (nm)

P o te nc ia l d e c or te q l )

433,9404,7 365,0 312,5 253,5

0.55 0,73 1,09 1,67 2,57

Se.;ao 43·3 0 Efeito Foteletrico

14E. Voce deseja escolher urna substancia para urna fotocelula,

que in! operar, pelo efeito foteletrico, co m luz visivcl. Qual, entre

as seguintes, seria a escolhida? (A funcao trabalho de cada urua

esta entre parentcses): tantalo (4,2 eV), tungstenio (4,5 eV), alu-

minio (4,2 eV), baric (2,5 eV), lftio (2,3 eV),

~').: 15K Um satelite artificial, ou urua astronave, em orbita rerrestre,

pode ficar eletricamente carregado, em virtude da perdu de cle-

trons par efei LO fotelctnco, provocado pelos raios solarcs na sua

superffcie externa. Suponha que urn satelite esteja revextido por

platina, metal que tern U!11a das rnaiores Iuncocs trabalho: < p =

5,32 eV Achar 0 foton de maier cornprimento de onda capaz de

ejerar eletrons da platina, (Os satelites tern que scr projetados de

modo a minimizarern estc efeito .)

Com esses dados, fazer um grafico como 0 da Fig. 43-3 (que val

para 0 sodio) e obter (a) a constante de Planck e (b) a funcao traba

Iho do lil io,

26P. As superffcies fotossensfveis nao sao, necessariamente, mui

to cficientes. Suponha que a eficiencia relativa de uma superffcie

de cesio (que tern funcao trabalho 1,80 eV) seja 1,0 X 10-'6, isto

lim foteletron e ernitido para cada 1OJ6fotons que atingem a super

flcie. Qual scri 11 a totocorrente de UI1lCl deterrninada superticie d

cesio, iluminada por luz de 600 nm de UIl1 laser de 2,0(J rnW, com

a hipotese de que todos os eletrons ejetados tomassem pane n

fluxo de carga?

27P. Raios X. com 0 compri rnento de onda de 7 I pm, provocam

efeito fotelctrico mana pelicula de ouro, sendo os eleti ':1Qs rct ira

dos das camadas mais internas des atom os de ouro. Os eletrons

ejetados descrevcm trajetorias circulares de raw r, numa regiao

cnde ex isre IIIII campo rnngnetico uniforrne B. A experiencia mos

ITaque Br = = 1,88 X 10-· T.m. Obtenha (a) a energia cinetica m axima dos foteletrons e (b) 0 trabalho realizado para que os eletrons

dos atornos de Duro sejam arrancados da pelicula.

16E. (a) A energia necessaria pant remover urn elctron do sodio

metalico e 2,28 eY. Urna IUl vermelna, com" = = 680 11m, provoca-

ra efeito foteletnco no sodio? (b) Qual 0 comprirnento de onda do

lirniar foteletrico do sodio e a que cor corresponde esse limiar?

17E. Achar a energia cinetica maxima aDS fotclctrons de urn cerlO

metal cuja funcao trabalho e 2.3 eV, iluminado po r uma radiacao

com lre qh en cia 3 ,D X 101>Hz . .28P*. Mostrar, pela analise da colisao entre urn foion e um eletron

li vre (usando a rnecanica rel ali vistica), que e impossi vel que ur

ffilon transfira ioda a sua energia a urn eletrun livre. Em outras

palavras; o efeito foteletrico ndo pode oeorrer corn eletrons com

pletamente livres; os elerrous devem estar Jracamente ligados

um solido o u a L li lla tomo .

HIE. F()LDnS incidem sobre urna superficie de sodio, cu p runcao

trabalho e de 2,2 eV, provo cando ernissao Ioteletrica. 0 potencial

de corte e de 5,0 V Qual e 0 comprimentctfc onda dos fotons

"incidentes')

'Y -

19E . A funcao trabalho do tungxtenio e 4,50 eV . Calcular a ve lo c i-

clade dos foteletrons mais energeticos erniudos por urna pelicuJa

de tungstenio, iluminada por uma luz, cujos folons rem a cnergia

de 5,80 « v .

Secao 43·4 0 Efeito Compton

, . " l I .. 291£. Futons C0111 () cornprimento de onda de 2,4 pm incidern sobre

urn alvo que contern elet rons Iivres. (a) Achar 0 ccmpruuento d

onda de urn foton que for cspalhado num angulo de 30' em rela

c;ao a dlrccao de incidcncia, (b ) Fazer 0 rnesmo calculo quando

angulo de espalhamento for 120 '.

20E. Urua luz, com 0 cornprimento de onda de 200 nm, incide

sobre uma superffcie de aluminio. No alurnfnio, sao necessaries

4,20 eV para remover um eletron, Qual a energia cinctica (a) dos

fotelet rons mais energeticos e (b) dos foteletrons menos energcti -

cos emitido ? (e) Qual 0 potencial de corte? (d) Qual e 0 compri-

mente de onda do l imiar loteletrico do alumfnio?30E. Um futon de raio garna, com 0,511 MeV, e espalhado, vi

efeito Compton, por urn eletron livre de urn bloco de alumlnio. (a

Qual 0 comprimenro de onda do foion inciderue? (b) Qual o com

prunento de onda do foton cspalhado? (e) Qual a cnergia do foton

espalhado? Admita que 0 angu] 0 de espalhamento seja 90,0",

21 E. (a) Se a funcao trabalho de um metal for 1,8 eV, qual 0 poten-

cial de corte para a luz de comprimento de onda 400 nm? (b) Qual

a velocidade maxima dos foteletrons ernitidos da superffcic do me-

tal?31E. Urn foton de raio X, com 0,01 nm, faz uma colisao frontal

com ur n eletron ( 1 l = 180'). Determine (a) a variacao do compri-

meruo de onda do foton, (b) a variacao da energia do foton e (e)

energia cinetica adquirida pelo eletron.

22E. 0 cornprirnento de onda do limiar foteletrico da prata e 325nrn. Achar a energia cinetica maxima dos e.etrons ejerados de urna

superffcie de prata pela luz ultravioleta de comprirnenro de oncla

de 254nm.32E.Agrandezah/m.c. naEq, 43-14,eocomprimento de onda Comp

Ion A .c da part1cula que provoca (]espaJh~lllento, e a equa"iio e3P. 0 potencial de cone dm foteletrons ClTli tldos par uma sllper-

ffcie iluminada por luz com 0 comprimenlo de onda de 491 11m e0,710 V Quando 0 comprimento de onda da radia<:;:aoinciciel1le

assume urn outro valor, 0 potencial de COrle passa a ser 1,43 V Cal

Qual essc novo comprimelllo cle onda') (b) Qual a fLlll~i[O trabalho

da superffcie?

t..A =Adl - cos ¢).

Calcular 'Ae(a) de um den-on e (b) de um proton, Qual a energiade

ur n fdton cujo complimento de onlia e iguaJ ao cornprirnento d

onda Compton (e) de um delrOn e (d) de um proton'?

\,~33E. Ca1cular a variavao percentual da energia de um foton numa

colisao Com pIon com 0 fmgulo < jJ (Fig. 43-4) igual il90', par

L lma radiayiio (a) na faixa de microondas, com 'A"" 3,0 cm, (b) n

faixa visfvel, com A=500 nm, (c) na faixa do~ raios X, com A=

25 pm e (d) nil faixa dos raies geuTIa, COm f6lo I1S CU , i energia e d

24P. N UlJl a ex p er ie n ci a I 'D l eJeu· ic a .corn uma superficie de s od io,

encontra-se 0 pot.encial cle cOlte de 1,85 V para comprimemo de

onda de 300 nm, e 0 potencial de corte de 0.820 V para cOlllpli-

mento de onda de 400 11m, COIll esses dados achar (a) um valor

para a const'lllte de Planck, (b) a f U l 1 < r a o lrabalho do s6dio e (c) 0

comprilllenlO de onda do limiar fOleh~trico do s6dio.



ale

mn

DO

FISICA QUANTICA 169

46K Os ftsicos que trabalham com baixas temperaturas nao COII-

sideram a temperatura de 2,00 mK como particularrnente baixa,

(a) Ern que comprimento de onda est aria 0 maximo de radiacao de

uma cavidade, cujas paredes est ivessem nessa temperatura? (Veja

o Exercicio 42.) (b) Em que regiao do espectro eletrornagnetico

cstar ia si tuada essa radiacao? (c) Que dificuldades praticas exist i-

riam para operar essa cavidade radiante nessa temperatura tao bai-

xa ?

47E. Calcule 0 cornprimento de onda de maxima radii lncia espec-

tton+fveJa 0 Exercicio 42) e identi fique a regiao do espect ro elet ro-

magnetico a que esse comprimento de onda pertence, ern cada um

dos seguintes cases: (a) a radiacao de fundo, de 3,0 K, remanes-

cente da explosao inicial no universo; (b) 0 corpo humano, admi-

ti ndo a temperatura de 20'C para a supcrficic da pel e; (c) 0 fila-

mento de uma Iampada de tungsrenio, a 1.800 K; (d) a bola de

fogo de urna explosao termonuclear, com a temperatura de 10' K;

(el 0 universe imetJ.iatamenle depois do Big Bang, numa tempera-

tura hipotetica de 1O · 1 ~K.

48P, Mest re que 0 comprimento de onda Am', em que a lei da radi-

acao de Planck (Eq. 43-18) tern 0 seu maximo c dado pOI

A n , : i x =(2.898 !LIn· K) / T.

tS uge s ui o : faca d S Id ' A = = O.A equacao que sera encontrada tem a

solucao numerica 4,965.)

49P. (a) Pela integracao, sobre todos os cornprimeruos de onda, da

lei da radiacao de Planck (Eq, 43-18), m ostre q ue a taxa de ernis-

sao de energia per metro quadrado, das paredes de urna cavidade

radiarue, e dada por

tSugestao: [ alia u ma m ud an ca de variavel , com x = he! A kT. Sera

encontrada uma integral definida que rem 0 valor

(" .x3 dx = ffI.

) 0 e X - 1 15

(b) Verif iq ue que 0 val or numerico da constante a e 5,67 X IO-sW I

(mIK')

SOP. Calcule a taxa de irradiacao de energia termica emitida por

uma lareira, adrnitindo urna abertura na boca de 0,50 m' e Lima

temperatura efetiva de 50(tC. (Veja 0 Problema 49.)

SIP. (a) Mostre que um corpo humane, com a area superficial

de 1,8 rrr' c temperatura de 31 'C, irradia a taxa de 872 W . (b) Por

que, enrao, as pessoas nao brilharn no escuro? (Veja 0 Problema

49.)

S2P_ Uma cavidaderadiante, a temperatura absoluta 7" irradia ener-gia com potencia de 12,0 mW. A que potencia a mesma cavidade

i rradiani na temperatura 271" (Veja 0 Problema 49.)

53P_ Urn termograjo e um instrumcnto medico usado para medir a

radiacao da pele humana, A sua utilidade esui em que a pele nor-

mal irradia na temperatura de 34 " C, enquanto a pele sobre lim

tumor irradia a urna temperatura ligeiramente mais elevada. De-

duza urua expressao que de a diferenca relativa da radiancia entre

areas da pele que estao a ternperaturas ligeiramente diferentes.

Calcule o valor dessa diferenca relati va para 0 caso de urna dife-

renca de I"C na temperatura. Veja 0 Problema 49.)

54P, Urn forno com temperatura interna 7~ =227" C esta numa

sala que tern a temperatura 7, = 27'C. Hi uma pequena abertura

/}'O MeV. Quais 1 1 , conclusoes que voce pede tirae sobre a irnpor-

rancia do efeito Compton nestas varias faixas do espectro eletro-

magnetico, com base IlO criterio da perda de energia numa unica

colisao Compton'! tSugesuio: veja a Eq. 43-15.)

34E. Qual 0 aurnento relative do cornprimento de onda que leva a

uma perda de 75% da cncrgia do f6ton numa colisao Compton

com lim clet ron l ivre'! tSugestdo: veja a Eq. 43-15.)

35E. Obtenha 0 deslocarnento maximo de cornprimento de onda

r rnma co li sao Compton entre u m fo to n e urn pr6tonlivre.

36P_ Um foton de raio X, de 6,2 keY, incidindo sobre urn bloco de

carbono, e espalhado por efeito Compton e a sua frequencia sofre

um dcslocamcnto de 0,010%. (a) Qual 0 angulo de espalhamento

do f6IOn" (b) Qual a energia cinetica adquirida pelo eletron que

participa da colisiio?

37P. Mostrar que 8£1£, a perda relativa de energia de urn f6ton

l1Liil;·acol isao Compton, e dada po r

(hI' / mc 2) (l- cos 4 »

381>.Qual d ev e se r o angujP 4e espalhamento de um foton de 200 ke V

-I . na colisao com urn eletron livre, na qual perde 10% da sua energia'

391>.Most rar que quando u rn f ot on de Energia £ c olid e c or n \1111

- eletron livre, a energia ciretica maxima do eletron e dada por

/

40P. Qual a energia cineuca maxima dos eletrons arrancados de

uma delgada tolha de cobre, via efeito Compton, por urn feixc

incidente de raios X com 17,5 kev? \

411>.Efetue as opcracoes algebricas nccessarias para eli rninar ve(J na s Eqs. 43-10. 43-12 e 43-13 e assim deduzir a Eq 43.14, que

e a equacao do efeito Compton.

Se~ao 43-5 P lanck e sua Constante: Dlgressao Htstorica

:12K 0 comprimento de onda Am;, em que a radiancia espectral de

uma cavicade radiante e maxima, nurna cer ta temperatura T (veja

a Fig. 43-8), e dada pela lei do deslocarnento de Wien,

A",;t,.T =~.898Mm· K =~urna constante

A temperatura super ficial eferiva do SDl e 5.ROO K. Em gue COI11-

primento de onda voce esperaria ser mais intensa a radiacao solar?

Em que regiao do espectro esta esse maximo? Por que cntao 0 Sol

parece amarelo?

4 3K D ete cto re s s en siv eis d e in fr av er me ln o p er mite m que um m f ss il

contra avioes re.sponda 11radiac j i o de ba.x a j ntcnsidade ernit i dapela estrutura da a er on av e, e nao apenas a descarga q uente do motor.

Dessa forma, e posslvcl oricr.tar 0 ataque sob qualquer angulo. A

que cornprimento de onda 0 detector do missil deve scr mais sell-

sfvel, sabendo-se que a temperatura do alvo e 290 K') Ignore a

absorcao da atmosfera. (Veja () Exercicio 42.)

44E. Em que temperatura a radiacao de urna cavidade radiante sera

mais visfvel ao olho humane, sabendo-se que 0 olho e mais sensivcl

11radiacao verde-amarclada de 550 nm? (Veja 0Exercicio 42.)

~5E- Em 1983, 0 Satel ite Ast ronomico de Infraverrnelho (IRAS)

detectou uma nuvern de partlculas 561 idas envolvendo a estrela

Vega, com maxima irradiacao em 32 urn. Qual a temperatura des-

sa nuvcm de parnculas? (Veja 0 Excrcicio 42.)



170 6TICA E FislCA MODERNA

de area igual a 5,0 C1l12 numa parede lateral do rorno, Qual a taxa

lfquida de transferencia de energia do forno para a sala? (Suges-

t/io: considere 0 fomo e a sala como se fossem cavidades radian-

tes. Veja 0 Problema 49.)

Se\;3o 43-9 Niels Bohr e 0Atomo de Htdrogenio

SSE. Urn atomo absorve urn fruon com a freqnencia 6,2 X 10'4

Hz. Qual 0 aurnento de energia do atomo?

56E. Um :i tomo absorve 11 m f6ton de comprimento de onda 375

nm e imediataruente e rn it e 1 1m o ut ro f ot on com cornprimento de

onda 580',nm, Qual a energia liquida absorvida pelo atomo nesse

processo? 0 calculo fica mais h"icilcom 0 resultado do Exercicio I,

S7E. Uma raia no espectro de raios X do ouro tern 0 comprimento

de onda 18,5 pm. Os fotons de raios X emiiidos corrcspondem a

uma transicao do atorno de ouro entre dois estados esracionarios,

tendo a mais alto 11 energia de -13,7 keV, Qual e a energia do

estado estacionario menos clevado?

5SE. (a) Verifique, pela substi tuicao direta dos valores numericos

das constantes fundamentals, que a energia do estado fundamental

do atorno de hidrogenio e -13,6 eV (Veja as Eqs. 43-21 e 43-22.)

(b) Analogamente, mostre que ovalor da con stante de Rydberg R

e , c on form e d iz 11 Eq . 43-25, O,OJ097 nm>.

59E. Responda a s perguntas do Exemplo 43-7, porem com a serie

de Lyman.

60E. Quais sao (a) a energia, (b) 0 memento e (e) 0 comprimento

de onda do f6ton emi tido quando urn atorno de hidrogcnio sofre

urna rransicao de um est ado com n =3 parajo estado com n = I?

61E. Com a formula de Bohr CEq, 43-24), calcule os tres maiores

cornprimentos de onda da sene de Bal~

"

62E. Achar a razno entre 0 rnenor cornprimento de onda da serie

de Balmer e 0 menor cornprimento de onda da sene de Lyman.

63E. Urn atorno de hidrogenio e excirado de urn est ado com n = I

at e Ulll estado com /I= 4. (a) Calcule a energia que deve ser absor-

vida pelo atorno. (b) Calcule, e mostre num diagrama de nfveis, as

diferentes energies dos f6tons que podem ser ernitidos se 0 atorno

retornar ao estado n =I,

64P. Qual 0 trabalho que deveria ser feito por Ul1agente externo

para separar 0 eletron de urn atorno de hidrogenio, se 0 eletron

est iver inicialmente (a) no estado fundamental e (b) no estado com

n =2?

65P:Quais sao os intervalos de comprimento de onda sobre os

quais se estendem as series de Lyman, de Balmer e de Paschen?

(0 intervale procurado vai do maior comprimento de onda ate 0

limite da serie.) (b) Quais sao os interval os de frequencia que cor-

respondent a esses intervalos de cornprimento de onda?

66P. Um atorno de hidrogenio emite Iuz com 0 cornprirnento de

onda de 486, I nm. (a) Qual a transicao do atorno responsavel por

cssa radiacao? (b) A que serie pertence essa radiacao?

67P. Mostre, num diagrama de nrveis de energia do hidrogenio, os

mimeros quanticos que correspondern a uma trar sicao em que 0

f6ton ernitido tern 0 comprimento de onda 121,6 nm.

6SP. Urn atomo de hidrogenio, nurn estado com a energia de liga-

~>iio(isto e, a energia necessaria para remover ()e let ron do aromo)

de 0,85 eV, faz uma transicao para urn outro estado em que a ener-

gia de excitaciio (a diferen; ;:a entre a energia de UITI estado e a do

cstado fundamental) e 10,2 eV. (a) Ache a energia do fUton emiti-

do, (b) Mestre essa transicao num diagrama de rnveis de energia

do atorno de hidrogenio. identificando os niveis com (J~ mimeros

quanticos apropriados.

~,69P. Calcule a velocidade de rccuo de urn atomo de hidrogenio

que, inicialmente em repouso, emite um fotcn numatransicao doestado com It ,=4 diretarnente para 0 e3lRd.Q_fundamen\illjSuges·

uio aplique 0 principio da conservacao do memento linear.)

70P. Urn neutron. com a eneraia cinetica de 6,0 cV, colide com um

atorno de hidrogenio em repouso, no estado fundamental. Mostre

que essa colisao tern que ser elastica (iS10 e , a energia cinetica rem

que ser conservada). (Sugest/io: rnostre que 0 atomo nao pode ser

excitado em virtude da colisao.)

71P. Mediante 0 diagrama de niveis de energia do atorno de hidro-

genic, explique a observacao de que a frequencia da scgunda raia

da serie de Lyman e igual a soma cia frequencia da primcira raia da

sene Lyman com a frequencia da primeira raia da serie de Balmer.

Esse e urn exemplo do principia da combinactio de Ritz; dcscober-

to empiricarnentc. Use 0 diagrarna para encontrar outras cornbina-

coes de lrequencias.

72P. (a) Mostre que 0 menor numero quantico de dois rnveis de

cnergia adjacentes no hidrogenio, tais que urna traasicao entre eles

provoca a ernissao de ondas com radiofrequencia, e 11 = (2Rh)liJ,

onde h 6 o comprirnento de onda da onda de radio Observe que

para haver a ernissao de uma onda de radio 0 numero n deve scr

elevado. (b) Se a emissao de radio em 21,0 em do hidrogenio inte-

restelar fosse devida a urna dessas transicoes (ela nao 6), qual seria

o valor de It?

Se~iio 43·10 Deducao de Bohr

73E. Verifique 0 valor nurnerico de rB dado na Eq 43-34, pelo

calculo dircto da expressao equivalente dada na Eq. 43-32.

74K Qual 0 mimero quantico que correspcnde a urn raio orbital

do atomo de hidrogenio igual a 0,847 nrn?

7sE\a) Se 0 rnomento angular da Terra, devido ao sell rnovimen-

to-em torno do Sol, fosse quanrizado conforme a relacao de Bohr,

L =nhJ2 17, qual seria 0 numero quantico? (b) Selia possivel per-

ceber essa quantizacao?

76P. No estado fundamental do atorno de hidrogenio, quais sao,

segundo 0 rnodelo de Bohr, as seguintes grandezas: (a) niimero

quantico, (b) raio da orbita do eletron, (c) momento angular do

eletron, (d) momento linear do eletron, (e) velocidade angular do

eletron, (f) velocidade linear do eletron, (g) forca sobre 0 clctron,

(h) aceleracao do eletron, (il energia cinetica do eletron, (il ener-

gia potencial e (k) energia total?

77P. Como variam as grandezas (b) ate (k). do Problema 76, com

o nurnero quantico?

Fig. 43-14 Problema 78.



781'. Uma molecula de urn g a s diar6mico e const itulda por dois

atornos de massa In. separados par uma distancia f ixa d, que giram

em torno de urn eixo, como esUi na Fig. 43-14. Admitindo que 1I

FfslCA QUA.NTICA 171

memento angular ;;cJUquantizado, como no aromo de Bohr, deter-

mine (a) as velocidades angulares poss ivcis e (b) as possiveis ener-

gias de rotacao quant.zadas,

PROBLEMAS ADICIONAIS

79. Um elctron, inicialrnente livre e com uma energia cinetica de

3,0 eV, entra em orbita erntorno de lllIl proton, forrnando urn aio-

mo de hidrcgenic no est ado fundamental. Qua] a frequcncia da luz

emitida nesse proccsso?

80. Considere u rn : It ()mO com dois estados excitados A e B, muito

proximos. Se 0 atorno passa de A para 0 est ado fundamental, ernite

urn foton de 500 11mesc passa de B para 0 est ado fundamental, o

foton ernitido e de 510 nm. Qual a diferenca de cncrgia entre os

dois estados?

81. Quando ha ernissao de urn clctron por uma placa metalica inici-

alrnente neutra , via efeito foteletrico, resta na chapa uma carga posi-

tiva lfquida que, ern qualquer instante, esta efetivamente lao distanrc

da superffcie da placa, para dentro, quanto 0elerron esra para fora. 0

campo elet rico dessa carga positiva realiza t rabalho sobre 0 eletron

ernitido. Admita que 0 cletron se afaste a t e urn" distancia infinita e

que 0 metal seja 0 sodio, COl11 funcao trabalho 1,8 eV. Qual a menor

separacao inicial entre 0 eletron e a carga posit i va, para que 0 traba-

lho realizado sobre 0 cletron seja igual a essa funcao trabalho?

82. As observacoes experirnentais mostram que 0 universo esta

replete de radiacao elet rornagnetica. que Io i l ibertada logo no inf-

clo do universe, e que [em caracteristicas concordantes com 0

modele do Big Bang. A radiancia espectral do universe tern, nos

dias de hoje, urn maximo que corresponde ii temperatura de 3 K.

Ache a cnergia do foton, no maximo da radiancia espec.ral, usan-

do a lei do deslocamento de Wien qu e esta no Exerclcio 42_

83. Urn muon, com a carga -e e a massa m =270m, (onde 111, e a

massu do eletron) orbita em torno do nucleo de urn Mama de helio

rnonoionizado (He") . Admitindo que 0modele de Bohr para 0 ato-

rno de hidrogenio possa ser aplicado a esse sistema muon-helio,verifiquc que os nlveis de energia do sistema sao dados por

11,3keVE= --'--

n2

84. Urn eletron de massa me velocidade v sofre urna coli sao fron-

L U I com Limraio gama, com a energia h i " , sendo 0 raio garna espa-

lhado em sentido inv erso ao inicial, Verifique que a energia do rain

gama espalhado, rnedida no sistema do laborator:o, e

= /( + 2 1 1 [ 0 ~ I . + V / C ) 'E lifo 1 .• 1 ,/.m e " - V IC

halliday 4 - física quantica i (cap 43 - 4ºed) [hq]

Documents