3-1 Vetores e Escalares

Uma particula confinada a uma linha reta pode se mover apenas em uma dire~ao . Podemos considerar 0 movimento positivo em urn sentido e negativo no outro. Para uma particula que esteja em movimento no espa~o, porem, urn sinal positivo ou negativo nao e suficiente para indicar a direyao e 0 sentido do movimento. Em vez disso, precisamos de uma seta para mostrar a direyao e 0 sentido, cha:. mada de vetor.

Urn vetor tern urn m6dulo, uma direyao e urn sentido e obedece a certas regras de combinayao, que discutiremos mais adiante. Uma grandeza vetorial e uma grandeza que pode ser representada por urn vetor, isto e, uma grandeza que pode ser caracterizada por urn m6dulo, uma direyao e urn sentido. Entre as grandezas fisicas que podem ser representadas por vetores estao 0 deslocamento, a velocidade, a acelerayao, a forya e 0 campo magnetico.

VETORES 3 Duante duas decadas, g rupos de

espele610gos vinham explorando os 200 km do sistema de cavemas de Mammoth Cave e Flint Ridge em busca de uma liga~iio. A!otografia mostra Richard Zop!

atravessando 0 Tubo Estreito, nas profundezas do sistema de Flint Ridge. Depois de 12 horas de explora~iio,

seguindo um caminho tortuoso, Zop! e seis companheiros atravessaram um regato de aguas gelidas e chegaram a Mammoth Cave, provando assim que 0 sistema Mamnwth-Flint e a cavema mais

comprida do mundo. Como e posslve/ re/acionar 0 seu ponto de chegada ao ponto de partida de uma forma que niio seja considerado 0 caminho percorrido ?

Nem todas as grandezas fisicas envolvem uma direyao. Nao podemos, por exemplo, associar uma direyao no espayo as grandezas como a temperatura, a pres sao, a energia, a massa e 0 tempo. Essas grandezas sao chamadas de escalares e n6s as combinamos atraves das leis da algebra comum.

Os mais simples de todos os vetores e0 vetor deslocamento, usado para indicar uma mudanya de posiyao. Se uma particula muda de posiyao deslocando-se de A para B na Fig. 3-la, dizemos que sofreu urn deslocamento de A para B, 0 qual representamos por uma seta, que e0 sfmbo10 de urn vetor, apontando de A para B. Para distinguir os vetores de outros tipos de setas, usamos urn triangulo vazado como ponta do vetor. .

As setas de A para B, de A' para B' e de A" para B" na Fig. 3-1 a representam a mesma mudan(:a de posi(:i1o da particula e nao fazemos distinyao entre elas. Todas as tres setas tern 0 mesmo m6dulo, a mesma direyao e 0 mes

40 MECANICA

_3,9km_tan 8- 2,6 km -1,5, IB'

\

/' A'

I' I ,"

,

A" A

(a ) (b)

Fig. 31 (a) Todas as tres setas representam 0 mesmo deslocamento, (b) Todas as tres trajerorias que ligam os doi s pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento,

mo sentido e, portanto, sao vetores deslocamento identicos.

Os vetores deslocamento nao fornecem qualquer indica9ao a respeito da trajet6ria real seguida pela particul a. Na Fig. 3-1 b, por exemplo, todas as tres trajet6rias que ligam os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento, 0 que aparece na Fig, 3-1 a, Os vetores deslocamento representam apenas 0 efeito global do movimento e nao 0 movimento em si.

EXEMPLO 3-1 0 grupo que descobriu em 1972, a liga,ao Mammoth-Flint, viajou da Entrada de Austin, no sistema de Flint Ridge, ate 0 Rio do Eco, no sistema de Mammoth Cave (veja a Fig, 3-2a), deslocando-se de 2,6 km para oes te, 3,9 km para 0 su i e 25 m para cima. Qual 0 vetor deslocamento correspondente? '

Solu..ao Primeiro observamos a situa,ao de cima (Fig, 3-2b) para deterrninar 0 deslocamento horizontal d". 0 modulo de d" pode ser caJculado com 0 auxilio do teorema de PiUigoras:

d" =~(2, 6 km)' + (3,9 km )' = 4,69 km, o angulo 8 em rela,ao ao oeste edado por

ou

8 = tan-I 1,5 = 56",

Em seguida, observamos a situa,ao de Jade (Fig, 3,2e) para dererminar o deslocamento total d,

d =~(4 , 69 km) ' + (0,025 km)' = 4,69 km 4,7 km, eo angulo ,

= tan -I 0,025 km 0,3 ' , 4,69 km

Assim, 0 grupo se deslocou 4,7 km em uma dire,ao 560 ao sui da dire,ao oeste e 0,30 para c ima em rela,ao a horizontal, Naturalmente, 0 deslocamento venical foi insignificante em compara,ao com 0 movi mento horizontal, mas 0 fato nao facilitou 0 trabalho do grupo, que teve que reali zar inumeras e dificeis subidas'e descidas, 0 caminho realmente tornado foi bern diferente do indicado pelo vetor deslocamento, que apenas aponta do ponto inicial para 0 ponto final,

32 Soma de Vetores: Metodo Grafico

Suponhamos que, como na Fig. 3-3a, a partlcula se desloque deA para'B e depoi s de B para e. Podemos representar o deslocamento global (qualquer qu~ seja a trajet6ria seguida pela partfcula) como a soma de dois vetores deslocamento sucessivos, AB e BC. 0 efeito resultante dos dois deslocamentos corresponde a urn deslocamento de A para C. Dizemos queAC e a soma vetorial dos vetoresAB e Be. Esta soma nao e uma soma algebrica comum; precisamos de mais do que simples ntimeros para especifica-la.

Na Fig. 3-3b, desenhamos de novo os vetores da Fig. 3,3a e os rotulamos da forma que usaremos daqui em diante, isto e, com letras em negrito como a , b e s, Se voce

-110,025 km

(a) (b) (e)

Fig. 3-2 Exemplo 3- 1. (a) Pane do sistema de Cavernas Mammoth-Flint, mostrando 0 caminho seguido pelos espele610gos desde a Entrada de Austin ate 0 Rio do Eco , (b) Deslocamento do grupo, visto de cima. (e) Deslocamento do grupo, visto de lado, (Adaptado de urn mapa da Cave Research Foundation ,)

VETORES 4,\

B

ea soma vetorial

(a)

L~

s

(b )

Fig. 3-3 (a) AC ea soma vetoria! dos vetores AB e Be. (b) Outra forma de rotular os mesmos vetores.

estiver escrevendo amao, desenhe uma seta acima do sfmbolo, como em a. Quando quisermos nos referir apenas ao m6dulo do vetor (urn numero que e sempre positivo), usaremos urn sfmbolo em italico, como a, b ou s. (Se voce estiver escrevendo amao, use apenas 0 sfmbolo.) Urn sfmbolo em negrito indica que a grandeza correspondente tern as tres propriedades de urn vetor: m6dulo, direyao e sentido. -

Podemos representar a relayao entre os tres vetores da Fig. 3-3b por meio da equayao

s;= a + b, (3-1)

em que dizemos que 0 vetor sea soma vetorial dos vetores a e b. 0 processo para somar vetores desta forma (isto e, graficamente) e 0 seguinte: (1) Em uma folha de papel, desenhe 0 vetor a numa escala conveniente e com a inclinayao correta. (2) Desenho 0 vetor b na mesma escala, comeyando na extremidade do vetor a e novamente com a inclinayao correta. (3) Construa 0 vetor soma s desenhando urn terceiro vetor que comeya no infcio de a e termina na extremidade de b. E faci! generalizar este processo para somar mais de dois vetores.

13 que os vetores sao novas entidades, devemos esperar que possuam novas propriedades matematicas. 0 sfmbolo "+" na Eq. 3-! e as palavras "adicionar" e "somar" nao tern o mesmo significado que na aritmetica ou na algebra comum. Eles nos dizem para executar uma operayao mufto diferente, que considera tanto os m6dulos dos vetores quanto as suas dire(:oes e sentidos.

A soma vetorial , definida dessa forma, apresenta duas propriedades importantes. Em primeiro lugar, a ordem em que a adiyao e efetuada e irrelevante, isto e,

a + b = b + a- (propriedade comutativa). (3-2)

A Fig. 3-4 ilustra tal fato .

Partida 'c ~ Chegada

Fig. 3-4 Os dois vetores a e b podem ser somados em qualquer ordem: veja a Eg. 3-2.

Em segundo lugar, quando a soma envolve mais de dois vetores, nao importa como agrupamos os vetores para soma-los. Assim, se queremos somar os vetores a, b e c, podemos somar primeiro a e b e depois somar 0 vetor resultante a c. Por outro lado, podemos primeiro somar b e c e depois somar 0 vetor resultante ao a. 0 resultado obtido sera exatamente 0 mesmo, isto e,

~.'",. M~~"~~'" ... ' ~.f

42 MECANICA

Fig. 3-6 Os vetores be - b.

(a) o segundo vetor come~a

onde a primeiro

(b )

Fig. 3-7 (a) Vetores a, be-b. (b) Para subtrair a vetor b do vetor a, soma mas a vetor - b ao vetor a.

Assim, calculamos 0 vetor diferen~a d somando 0 vetor - b ao vetor a. Este processo esta ilustrado na Fig. 3-7. Eimportante observar que, em bora tenhamos usado os

vetores deslocamento como exemplo, as regras de adi~ao e subtra~ao sao validas para qualquer tipo de vetor, quer ele represente for~a, velocidade ou qualquer outra grandeza ffsica vetorial. Entretanto, como na aritmetica comum, s6 podemos somar quantidades (vetores, no nosso caso) do mesmo tipo. Podemos somar dois deslocamentos, por exemplo, ou duas velocidades, mas nao faz sentido somar urn deslocamento a uma velocidade. No mundo dos escalares, seria como tentar somar 21 s a 12 m.

33 Vetores e suas Componentes

Somar vetores graficamente pode ser tedioso. Uma tecnica mais simples e elegante utiliza a algebra mas exige que os vetores sejam colocados num sistema de coordenadas retangulares. Os eixos dos x e dos y sao geralmente desenhados no plano da pagina, como na Fig. 3-8a. 0 eixo dos .z, que vamos ignorar, por enquanto, e perpendicular ao plano da pagina; apontando para fora . o vetor a da Fig. 3-8 esta no plano xy. Quando tra~amos

perpendiculares aos eixos coordenados a partir das extremidades de a, as grandezas ax e ay assim defirtidas sao chamadas de componentes do vetor a em rela~ao aos eixos dos x e dos y. 0 proc~sso de obter as componentes echamado de decomposi-;ao do vetor. Em geral, urn vetor possui tres componentes embora no caso da Fig. 3-8a, a componente em re

la~ao ao eixo z seja nula. Como se pode ver na Fig. 3-8b, se deslocarmos urn vetor de modo que ele permane~a sempre paralelo asua dire~ao original, os valores das suas compo

y

-1 -- - -..,

I x

, 0

(a) y

~l1I axI

I x

0

(b) (e)

Fig. 3-8 (a) As componentes do vetor a. (b) As componentes nao mudam quando 0 vetor edeslocado, contanto que 0 m6dulo. a dire~ao e 0 sentido sejam mantidos. (c) As componentes formam os catetas de um triangulo retangulo cuja hipotenusa ea m6dulo do vetor.

,

nentes permanecerao os mesmos. Os sentidos das componentes sao coerentes com 0 sentido do vetor.

Podemos calcular facilmente as componentes de a na Fig. 3-9a a partir do triangulo retangulo que aparece na figura:

em que () eo angulo que 0 vetor a faz com 0 sentido crescente dos x. A Fig. 3-8c mostra que 0 vetor e suas componentes x e y formam urn triangulo retangulo. Dependendo do valor de (), as componentes de urn vetor pod em ser positivos, negativos, ou nulas. Na figura, usamos triangulos cheios, men ores que os dos vetores, para indicar os sinais das componentes, de acordo com a conven~ao usual: positivos no senti do em que os valores das coordenadas aumentam e negativos no sentido oposto. A Fig. 3-9 mostra urn vetor b para 0 qual by e negativo e bx e positiva.

Fig. 3-9 A componente b em re la~ao ao eixo dos x epositivo e a componente em rel a~lio ao eixo dos y enegativa.

VETORES 43

Depois que urn vetor e decomposto em suas componentes, essas componentes podem ser usadas em lugar do vetor. Ao inves de especificar 0 vetor por seu m6dulo a e angulo e, podemos faze-lo atraves das componentes a, e ay. Os dois pares de numeros contem exatamente a mesma informayao e podem ser convertidos com facilidade urn no outro. Para calcular a e ea partir de a, e a)" basta observarmos (veja a Fig. 3-8a) que

avtan/} =-ar

Na soluyao de urn problema especifico, podemos usar a notayao ax> ay ou a notayao a, e.

EXEMPLO 3-2 Urn pequeno aviao deixa urn aeropono num dia nublado e mais tarde e avistado a 215 km de distancia, voando numa dire9ao que faz urn angulo de 22" com 0 none para 0 lado leste. A que distiincia a leste e ao norte do aeroporto se encontra 0 aviao no momento em que eavistado?

Solu~ao Em urn sistema de coordenadas.>y, a situa9ao e a representada na Fig. 3- 10, onde, por conveniencia, a origem do sistema foi colocada no aeropono. 0 vetor deslocamento do aviao, d, vai da origem ate 0 ponto em que 0 aviao foi avistado.

Para resolver 0 problema, e preciso calcular as com ponentes de d. Usando a Eq. 3-5 com a = 215 km e e= 68" (90 - 22"), temos:

dx = d cos e= (2 15 km) (cos 68") = 81 km (Res posta)

e

dy = d sen e = (215 km) (sen 68")

= 199 km. (Res posta)

o aviao foi avistado, portanto, 199 km ao norte e 81 km a leste do aeropono.

y

E "" '" '0 'lS" '" is

I , ' I "

Distancia ( km )

Fig. 3-10 Exemplo 3-2. Urn aviao dec 01a de urn aeropono localizado na origem e mais tarde eavistado no ponto P.

RESOLU

44 MECANICA

Quadrantes

(a)

.............1..............

(b)

(e) Fig. 312 As tres principais fun,oes trigonometricas. Os val ores fomecidos por uma calculadora ao determinar as fun,oes trigonometricas inversas correspondem as linhas mais escuras.

Como descobrir qual dos valores e 0 correto? Vejamos, por ex em pia, a calculo de () no Exemplo 31 , em que tan () = 1,5. Deterrninando o valor de tan- ' 1,5 com 0 auxflio da cakuladora, obtemos () = 56, mas a tangente de () = 236 ( 180" + 56) tambem e igual a 1,5. Qual das duas solu,6es devemos escolher? Examinando a situa,ao real (Fig. 32b), vemos que 56 e um valor razoavel, mas 0 mesmo nao se pode dizer de 236. Escolhemos, portanto, a pri meira solu,ao.

TAnCA 4: MEDIDA DOS ANGULOS DE UM V ETOR A Eg. 35 e a segunda parte da Eg. 3.6 sao validas apenas se 0 iingu

10 for medido em rela,ao ao sentido positi vo dos x. Se 0 iingulo for medido em rela,ao a alguma ou tra dire,ao, tal vez seja necessaria mudar as fun,oes trigonometricas da Eg. 35 e in verter a rela,ao da Eg. 36. E mais seguro converter 0 iingulo dado num iingulo medido em rela,ao ao sentido positivo dos x, como fizemos no Exemplo 3-2.

3-4 Veto res Unitarios

. Chamamos de vetor unitario urn vetor que possui m6du10 exatamente igual ale aponta numa determinada dire

y

--.!'---!>----x

Fig. 313 Os vetores uniUirios i, j e k defmem um sistema de coordenadas retangulares destr6giro. 0 sistema permanecera destr6giro direi ta se 0 fi zerrnos girar como um todo para uma nova orienta,ao.

VETORES 45

ayi

0' I t> I L xI G,It'i

1

1 1 1

- .. --~

(a)

'k ~x

(b)

Fig. 3-14 (a) Componentes vetoriais do vetor a. (a) Componentes vetoriais do vet or b .

tres dimensoes. Nesta se~ao, vamos estudar uma tecnica mai s direta, na qual os vetores sao somados, combinandose suas componentes, eixo por eixo.

Para come~ar, considere a equa~ao

r = a + b, (3-9)

que diz que 0 vetor r e igual ao vetor (a + b ). Se isso e verdade. entao cada componente de r deve ser iguaJ a componente correspondente de (a + b):

r, = ax + bx , (3-10) r, = ay + by, (3-11 ) r, = a, + b;. (3-12)

Em outras palavras. dois vetores sao iguais somente se todas as suas componentes correspondentes forem iguais. De acordo com as Eqs. 3- 10 a 3-12, para somar os vetores a e b, precisamos: (I) decompor os vetores em suas componentes; (2) somar as componentes correspondentes. eixo por eixo. para calcular as componentes do vetor soma r; e (3) se necessario, combinar as componentes de r para determinar 0 pr6prio vetor r . (0 vetor r pode ser representado de duas formas. Podemos expressa-Io em fun~ao dos vetores unitarios ou fomecer 0 m6dulo e a orienta~ao de r. usando a Eq. 3-6 em duas dimens6es ou 0 metoda do Exemplo 3-1 para tres dimens6es.)

y

E -'"

'u " c:: '.:9 '" i5

60 ..

40"

Fig. 3-15 Exemplo 3-3. Mapa de urn rali , mostrando a origem. os Pllntos de controle Alfa, Bala e Cruz e as estradas da regiao.

Ie aparecem na Fig. 3-1 S.) Ao chegar ao ponto de controle "Cruz". quais sao 0 m6dulo e a orienta,ao do seu deslocamento d em rela,ao ao ponto de partida?

Solu,iio A Fig. 3-15 mostra uma orienta,ao conveniente para urn sislerna de coordenadas xy e os vetores que represen tam os tres deslocamentos envolvidos. As componentes escalares de d sao

d, = a, + b, + c, = 36 km + 0 + (25 km) (cos 135") = (36 + 0 - 17.7) km = IS,3 km

e

d,. = a, + b,. + cy = 0 + 45 km + (25 km) (sen 135') = (0 + 45 + 17.7) km = 62.7 km.

Agora podemos usar a Eq. 3-6 para calcular 0 m6dulo e a orienta,ao de d:

d = J d; + d,' = ~(IS.3 km)' + (62.7 km)' = 65 km (Resposta)

e

IJ = tan - I !!.c. = tan - I 62. 7 km = 74'. (Resposta) d,. IS.3km

onde IJ eo iingulo que aparece na Fig. 3-15.

EXEMPLO 3-4 Os tres vetores abaixo estao expressos em term os dos vetores unitarios:

a=4.2i-I,6j. b=-1 .6i+2.9j. c= -3,7j.

EXEMPLO 3-3 Voce esta participando de urn rali e recebe as seguin Todos os tres vetores estao no plano xy, ~a que nenhum deles possui tes instru,oes: do ponto de partida. use as estradas disponfveis para vi componentes em rela,ao ao eixo dos z. Determine 0 vet or r que e a soma ajar 36 km para leste ate 0 ponto de controle "Alfa", depois 45 km para destes tres vetores. Por conveniencia. as unidades foram omitidas nas o norte ate 0 ponto de controle "Bala" e, finalmente. 25 km para noro expressoes acima; se quiser. voce pode imaginar que as coordenadas este ate 0 ponto de controle "Cruz". (As estradas e os pontos de contro- estao expressas em metros.

46 MECANICA

y

___,---~_I_C_~~ ___ (0)

(b)

Fig. 3-16 Exemplo 3-4. 0 vetor rea soma vetorial dos outros tres vetores.

Solu~o De acordo com as Eqs. 3-10 e 3-11 , temos:

r,= a, + b, + C, = 4,2 - 1.6 + 0 = 2,6

e

r,. = a,. + b, + cy = - 1,6 + 2,9 - 3,7 = -2,4.

Assim,

r = 2,6i - 2,4j. (Resposta)

A Fig. 3-16a mostra os tres vetores e a sua soma. A Fig. 3-16b mostra r e suas componentes vetoriais.

3-6 Os Veto res e as Leis da Ffsica

Em todos os sistemas de coordenadas que mostramos ate agora, os eixos dos x e dos y foram tra,

VETORES 47

Multiplica~ao de urn Vetor por urn Escalar

Quando mUltiplicamos urn vetor a por urn escalar s, 0 resultado e urn novo vetor cujo m6dulo e 0 produto do m6dulo de a pelo valor absoluto de s e cuja diw;:ao e a mesma de a. 0 sentido eo mesmo de a se s for positivo e 0 sentido e 0 oposto se s for negativo. Para dividir a por s, multiplicamos a por lis.

Tanto na multiplica,

r

48 MECANICA

EXEMPLO 35 Qual e0 angulo 4> entre a = 3,0 i - 4,0 j e b = - 2.0 i + 3.0 k ?

Solu~iio De acordo com a Eq. 315 ,0 produto escalar edado por

ab = ab cos 4> = .,)3,0' + 4,0 2 ~2,O ' + 3,0 2 cos 4> = 18,0 cos 4>. (318)

Por outro lado, de acordo com a Eg. 3- 17,

ab = (3,0 i - 4,Oj)' (-2,0 i + 3,0 k).

Usando a lei distributiva da multiplica,ao, temos:

a'b = (3 .0 i) (-2,0 [) + (3,0 i) . (3.0 k ) + (-4,0 j) . (-2,0 i) + (-4,0 j ) . (3,0 k ).

Vamos agora aplicar a Eq . 3-15 a todas as parcelas. Para a primeira parcela, 0 angulo entre os dois vetores eO'; para as outras tres parceJas, o angulo e90' . Assim, te mos:

ab = -(6,0)( 1) + (9,0)(0) + (8,0) (0) - (12) (0) = -6.0. (3- 19)

Jgualando os resultados das Eqs. 3 18 e 3 19, temos:

18,0 cos = - 6,0,

ou

-6 04> = cos -I - '- = 109 = 11 0. (Resposta) 18,0

o Produto Vetoria]

o produto veto ria] de dois veto res a e b erepresentado pel a expressao a X b e produz urn terceiro vetor, c, cujo m6dulo edado por

c = ab en , (3-20)

onde 4> e0 menor dos dois angulos entre a e b* Quando nos referimos ao produto vetoria] do vet or a pelo vetor b , em geral fa lamos em "a vetorial b" ou "a vetor b" . Quando a e b sao paralelos ou antiparalelos, a x b = O. 0 m6dulo a x b emaximo quando a e b sao perpendiculares.

A dire9ao de c eperpendicular ao plano que contem a e b. A Fig. 3-19a mostra como 0 sentido de c pode ser determinado com 0 auxflio da chamada regra da mao direita . Disponha os vetores a e b de modo que suas origens coin- . cidam. Imagine uma reta que seja perpendicular ao plano que contem os vetores a e b e passe pela sua origem comum. Finja que estii segurando essa Iinha com a mao direila de tal forma que os seus dedos empurrem 0 vetor a na

*Neste case, epreciso usar 0 menor dos dais angulos entre as vetores porque sen q, e sen (360' - q,) lem sinais Op OS IOS.

c = a x b

, .

(a)

c'= b x a c'= b x a

(b)

Fig. 319 I1ustra,ao da regra da mao dire ita para produtos vetoriais. (a) Empurre 0 vetor a na dire,ao do velOr b com os dedos da mao direita' seu polegar mostrara a dire,ao e 0 senti do do vetor c = a X b. (b) De: monstra,ao de que (a x b) = -(b x a).

dire9ao de b atraves do men or angulo entre eles. 0 seu polegar estendido apontara no senti do de c.

No caso do produto vetorial, a ordem dos vetores e importante. Na Fig. 3-19b, estamos determinando 0 sentido de c' = b X a, de modo que os dedos sao colocados de modo a empurrarem 0 vetor b na dire9ao de a. Em conseqiiencia, 0 pole gar fica apontado no sentido oposto ao do caso anterior. Vemos portanto que c' = -c, ou seja,

. b X a = -a X b . (3 -21 )

Em outras palavras, a lei comutativa nao se aplica ao produto vetoria!.

Quando os vetores sao expressos em termos dos vetores unitarios, 0 produto vetorial assume a forma

a X b = (a) + G, j + a,k) X (b) + b,. j + b,k), (3-22) aque pode ser aplicada a lei distributiva, como sera visto no Exemplo 3-7.

Urn O]har aFrente

Vamos encontrar 0 produto vetorial pela primeira vez no Cap. 12, quando discuti rmos uma for9a F cujo ponto de aplica9ao esta a uma distancia r de uma certa origem. o torque, T(um efeito de rota9ao) que esta for9a exerce em rela9ao aorigem edefinido atraves da equa9ao .

T = r X F.

VETORES 49

EXEMPLO 3-6 0 vetor a esta contido no plano xy da Fig. 3-20. Ele tern urn m6dulo de 18 unidades e faz urn angulo de 250' com 0 sentido positivo dos x. 0 vetor b tern urn modulo de 12 unidades e esta alinhado com 0 eixo dos z no senti do positivo.

a. Qual e 0 produto escalar dos dois vetores?

Solu~iio 0 angulo cf> entre os dois vetores e igua! a 90', de modo que, de

acordo com a Eq. 3-15,

ab = ab cos cf> = (18) (12) (cos 90') = O. (Res posta)

o produto escalar de dois vetores perpendiculares e sempre zero. Coerente, portanto, com 0 fato de que, nesse caso, nenhum dos do is vetores tern componente na dire,ao do outro vetor.

b. Qua! e 0 produto vetorial c dos vetores a e b?

Solu~iio De acordo com aEq. 3-20,0 modulo do produto vetorial e dado

por

ab sen cf> = (18) (12) (sen 90') = (216). (Resposta)

o vetor c e perpendicular ao plano formado por a e b. Ele deve ser portanto perpendicular a b, 0 que significa que deve estar no plano xy. Usando aregra da mao direita ilustrada na Fig. 3-19, vemos quec tern 0 sentido indicado na Fig. 3-20. Como c tambem e perpendicular a a, a dire,ao de c faz urn angulo de 250' - 90' = 160 com 0 sentido positivo dos x.

EXEMPLO 3-7 Se a = 3 i - 4j e b = - 2 i + 3 k, obtenha 0 vetor c = a x b.

Solu~iio De acordo com a Eq. 3-22, temos:

c = (3i - 4j) x (-2i + 3 k),

Usando a lei distributiva, temos:

c = -(3i x 2i) + (3i x 3k) + (4j x 2i) - (4j x 3k).

Em seguida, calculamos os valores de todas as parcelas, usando a Eq. 3-20 e determinando os sinais com 0 auxflio da regra da mao direita. 0 result ado e 0 seguinte:

2

v

Fig. 320 Exemplo 3-6. Muitiplica,ao de vetores.

c = 0 - 9 j - 8 k - 12 i = - 12 i - 9 j - 8 k. (Resposta)

o vetor c e perpendicular a a e b, urn fato que voce pode comprovar mostrando que c'a = 0 e cb = 0, isto e, que 0 vetor c nao tern componentes nas dire,5es de a e de b.

RESOLUC;:AO DE PROBLEMAS

TATICA 5: ERROS COMUNS NO CALCULO DE PRODUTOS VETORIAIS

Vanos erros podem ser cometidos durante 0 calculo de urn produto \ vetoria!. (I) Deixar de representar os dois vetores com uma brigem co. mum quando na ilustra,ao original a extrernidade do primeiro vetor coincide com a origem do segundo. Epreciso deslocar mentalmente (ou, meIhor ainda, tornar a desenhar) urn deles na posi,ao correta, sem modificar sua orienta,ao. (2) Deixar de usar a mao direita ao aplicar a regra da mao direita porque ela esta ocupada com urn lapis ou ca!culadora. (3) Erro ao empurrar 0 primeiro vetor do produto na dir~ao do segundo quando as orienta,5es dos vetores exigem urn movimento inc5modo da mao para aplicar a regra da mao direita. Isso tambem pode acontecer quando voce tenta imaginar 0 movimento em vez de executa-Io. (4) Deixar de trabalhar com urn sistema de coordenadas destrogiro (veja a Fig. 3-13).

RESUMO

E.Jcalares Ii Vetores O> ncalares, como a temperatura, sao especificados apenas por numero e

rna unidade (20C) e obedecem as regras da lligebra comum. Os vetores, .:omo 0 deslocamento, sao especificados por urn modulo e uma orienta

50 MECANICA

Soma de Vetores Usando as Componentes Para somarmos vetores atraves das componentes, usamos as equayoes

(3-10 a 3-12)1')' = a, + b,;

Veja 0 Exemplo 3-3.

Vetores e Leis Fisicas Qualquer situayao ffsica que envoi va vetores pode ser descrita em urn numero infinito de diferentes sistemas de coordenadas, Em geral, escoIhemos urn sistema que tome 0 nosso trabalho mais simples; entretanto, a relayao entre as grandezas vetoriais nao depende do sistema escolhido, As leis da fisica sao independentes do sistema de coordenadas.

Produto de um Esca/ar por um Vetor o produto de urn escalar s por urn vetor v eurn novo vetor cujo m6dulo esv e cuja direyao ea mesma de v, 0 sentido e0 mesmo de v se s for positivo e 0 sentido e contnirio ao de v se 5 for negativo. Para dividir v por s, basta multiplicar v por (115).

Produto Escatar o produto esealar de dois vetores , representado pela expressao a'b, ea grandeza escalar dada por

ab = ob cos

VETORES 51

4E. Uma pessoa caminha 3,1 km para 0 norte, 2,4 km para oeste e 5,2 km para 0 suI. (a) Represente os movimentos da pessoa em urn diagrama vetorial. (b) Em que dire~lIo urn passarinho teria que voar em linha reta para chegar ao mesmo ponto de destino? Que distilncia teria que percorrer?

5E. Urn carro viaja 50 km para leste, 30 km para 0 norte e 25 km em uma dire~ao 30' a leste do norte. Represente os movimentos do carro em urn diagrama vetorial e determine 0 deslocamento total do veiculo em rela,ao ao ponto de partida.

6P. 0 vetor a tern urn m6dulo de 5,0 unidades e esta dirigido para leste. o vetor b esta dirigido para 35' a oeste do norte e tern urn m6dulo de 4,0 tmidades. Construa diagramas vetoriais para calcular a + b e b - a. Estime 0 m6dulo e a orienta,ao dos vetores a + b e b - a a partir desses diagramas.

7P. Tres vetores a, bee, todos com urn m6dulo de 50 unidades, estao em plano xy e fazem angulos de 30', 195' e 315' com 0 sentido positivo dos x, respectivamente. Estime graficamente 0 m6dulo e orienta,ao dos vetores (a) a + b + c, (b) a - b + c e (c) urn vetor d tal que (a + b) (c + d) = O.

gP. Urn banco no centro de Boston foi assaltado (veja 0 mapa da Fig. 3-21). Os ladroes, para despistarem a polfcia, fugiram de helic6ptero, viajando primeiro 20 mil has numa dire,ao 45' ao sui do leste, depois 33 milhas em uma dire,ao 26 ao norte do oeste e final mente 16 milhas numa dire,ao 18' a leste do suI. Conclufda a terceira etapa do voo, foram capturados. Em que cidade os ladroes foram presos? (Use 0 metodo geometrico para somar os deslocamentos no mapa.)

Fig. 3-21 Problema 8.

Se

52 MECANICA

17P. Uma roda com 45.0 cm de roio roda sem escorregar num piso horizontal (Fig. 3.25). P e urn ponto pintado na borda da roda. No tempo /,. Pesta no ponto de contato entre aroda e 0 piso. Num tempo posterior /, . aroda descreveu meia rota~ao. Qual foi 0 deslocamento de P entre os tempos I] e /, ?

0@ P

No tempo 1/ No tempo 1,

Fig. 3-25 Problema 17.

18P. A loealiza~ao de duas cidades da America do SuI difere de I de latitude e I de longitude. Mostre que 0 m6dulo do vetor desloeamento deB em rela~ao aA e dado aproximadamente por d(l + cos' ;wn, onde A ea latitude de A e d = III km.

19P. Urn sala tern 5 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura. Uma mosca parte do chiio, de urn canto da sala, voa para 0 teto e pousa no canto diagonalmente oposto. (a) Qual e 0 m6dulo de deslocamento da mosca? (b) A distancia percorrida pela mosca pode ser menor do que esse valor? Maior do que ele? Igual a ele? (c) Escolha urn sistema de coordenadas apropriado e calcule as componentes do vetor deslocamento neste sistema. (d) Se a mosca decide andar e nao voar, qual a menor distiincia que ela tera que percorrer?

Se.,ao 3-5 Somando Vetores atraves de suas Componentes

20E. (a) Expresse os seguintes angulos em radianos: 20,0, 50,0, 100. (b) Converta os seguintes angulos para graus: 0,330 rod, 2, 10 rod, 7,70 rod.

2IE. Calcule as componentes escalares da soma r dos vetores deslocamento e e d cujas componentes em metros, ao longo de tres dire~Oes mutuamente perpendiculares, sao: c. = 7,4, cy= -3,8, c, = -6,1; d. = 4,4, dy = -2,0, d, = 3,3.

22E. (a) Qual ea soma, em terrnos de vetores unitanos, dos dois vetores a = 4,0 i + 3,0 j e b = -13 i + 7,0 j? (c) Qual e0 m6dulo e a ori

enta~ao do vetor a + b?

23E. Calcule as componentes x e y, 0 m6dulo e a orienta~ao de (a) a + be (b) b - a se a = 3,0 i + 4,0 j e b = 5,0 i - 2,0 j.

24E. Dois vetores sao dados por a = 4 i - 3 j + k e b = - i + j + 4 k. Calcule (a) a + b, (b) a - be (c) urn vetor e tal que a - b + e = O.

25E. Dados dois vetores a = 4,0 i - 3,0 j e b = 6,0 I + 8,0 j. calcule o m6dulo de orienta~ao de (a) a, (b) b, (c) a + b, (d) b - a e (e) a-b. Qual e a rela~ao entre as orienta~Oes dos Illtimos dois vetores?

26P. Se a - b = 2e, a + b = 4c e e = 3 i + 4 j, quanto valem a e b? 27P. Dois vetores a e b tern m6dulos iguais a 10,0 unidades. A orienta

~ao ea indicada na Fig. 3-26. Se r = a + b, calcule (a) as componentes x e y de r , (b) 0 m6dulo de r e (c) 0 anguloque r faz com 0 sentidopositivo dosx.

y

Fig. 3-26 Problema 27.

29P. Uma esta~ao de radar detecta urn aviao que vern do leste. No momento em que eobservado pela primeira vez, 0 aviao esta a 400 m de distancia, 40 acima do horizonte. 0 aviao e acompanhado por mais 123 no plano verticalleste-oeste e esta a 860 m de distancia quando e observado pela ultima vez. Calcule 0 deslocamento da aeronave durante 0 perfodo de observa~ao.

o L

Antena de radar

Fig. 3-27 Problema 29.

30P. (a) Urn homem sai de casa, caminha 1.000 m para leste, 2.000 m para 0 norte, tira uma moeda do bolso e a deixa cair de urn penhasco com 500 m de altura. Escolha urn sistema de coordenadas e escreva uma expressao, usando vetores unitarios. para 0 desloeamento da moeda desde a casa, ate a base do penhasco. (b) 0 homem volta para cas a seguindo urn caminho diferente. Qual 0 seu desloeamento desde que saiu de casa?

31P. Uma particula sofre tres desloeamentos sucessivos num plano: 4.00 m para sudoeste, 5,00 m para leste e 6.00 m numa dire~ao 60,0 ao norte do leste. Tome 0 eixo dos y na dire~ao norte e 0 eixo dos x na dire~ao leste e calcule (a) as componentes dos tres desloeamentos. (b) as componentes do desloeamento resultante, (c) 0 m6dulo e a orienta~ao do deslocamento resultante e (d) 0 deslocamento que seria necessano para levar a particula de volta ao ponto de partida.

32P. Prove que dois vetores devem ter 0 mesmo m6dulo para que sua soma seja perpendicular 11 sua diferen~a.

33P. Dois vetores de comprimentos a e b fazem entre si urn ilngulo (J Prove. calculando as componentes dos vetores em rela~ao a dois eixos perpendiculares, que 0 comprimento da soma dos dois vetores e dado por

r=~a ' +b' +2abcosO. 28P. Depois da tacada inicial, urn golfista necessitou de mais tres taca 34P. (a) Usando vetores unitarios, expresse as diagonais (retas que lidas para colocar a bola no buraco. Na primeiro. a bola se deslocou 12 m gam dois vertices passando pelo centro) de urn cubo em fun~ao das arespara 0 norte; na segunda, 6 m para sudeste; na terce ira. 3 m para sudo tas, cujo comprimento ea. (b) Calcule os angulos que os diagonais faeste. Que deslocamento seria necessano para coloear a bola no buraco zem com as arestas adjacentes. (c) Calcule 0 comprimento das diagocom uma unica tacada ap6s a tacada inicial? nais.

3SP*. Uma pessoa viaja de Washington ate Manila. (a) Descreva 0 vetor deslocamento. (b) Calcule 0 modulo do vetor deslocamento, sabendo que a latitude e longitude das duas cidades sao 39' N, 77' 0 e 15' N e 121 ' L, respecti vamente.

S~o 3-6 Os Vetores e as Leis da Fisica

36E. Urn vetor a , cujo m6dulo e de 17,0 m, faz urn lingulo de 56,0' com o sentido positivo dos x (Fig. 3-28). (a) Quais silo as componentes a, e a,. do vetor? (b) Urn segundo sistema de coordenadas faz urn lingulo de 18 com 0 primeiro. Quais sao as componentes a', e a' , do vetor a no segundo sistema?

y

x'

18,0'

~[~~~~----;-

Uk":: I) , X, " 18,0'

Fig. 3-28 Exercicio 36.

S~o 3-7 Multiplicat;lio de Vetores

37E. Urn vetor d tern urn m6dulo de 2,5 m e aponta para 0 norte. Calcule 0 m6dulo e a orienta9ao dos seguintes vetores: (a) 4,Od; (b) 3,Od.

38E. Considere urn vetor a no sentido positivo do eixo dos x, urn vetor b no sentido positivo do eixo dos y e urn escalar d. Qual ea orienta9aO do vetor bId se d for (a) positivo e (b) negativo? Qual e0 m6dulo de (c) ab e (d) abld? Qual ea orienta9ao de (e) a x be (0 b x a? (g) Quais sao os m6dulos dos produtos vetoriais em (e) e (f)? (h) Qual e0 m6dulo e a orienta9aO de a x bId?

39E. Mostre que, num sistema de coordenadas de destr6giro

ii=jj = kk=l

e

i . j = j . k = k . i = O.

Os resultados serao diferentes se 0 sistema de coordenadas for retangular mas nao destr6giro?

40E. Mostre que, em urn sistema de coordenadas destr6giro

ixi=jxj=kxk=O

e

i x j = k ; k x i = j; j x k = i.

Os resultados serao diferentes se 0 sistema de coordenadas for retangular mas nao destr6giro?

VETORES 53

4IE. Mostre que para qualquer vetor a, a'a = a' e a x a = O.

42E, Calcule os produtos (a) "norte vetorial oeste", (b) "para baixo escalar sui", (c) "leste vetorial para cima", (d) "oeste escalar oeste" e (e) "suI vetorial suI". Suponha que todos os vetores tern m6dulo unitario.

43E. Urn vetor a de m6dulo 10 unidades e outro vetor b de m6dulo 6 unidades fazem entre si urn lingulo de 60'. CalcuJe (a) 0 produto escalar dos dois vetores e (b) 0 m6dulo do produto vetorial a x b.

44E, Dois vetores, res, estao contidos no plano xy. Seus m6dulos sao 4,50 e 7,30 unidades; respectivamente, e eles fazem lingulos de + 320' e +85,0', respectivamente, com 0 sentido positivo dos x. Quais sao os valores de (a) r' S e (b) r x s?

4SE. Para os vetores da Fig. 3-29, calcule (a) a . b, (b) a . c e (c) b . c.

46E. Para os vetores da Fig. 3-29, calcule (a) a x b, (b) a x c e (c) b x c.

Fig. 3-29 Exercicios 45 e 46.

47P. Produto Escalarem Funfiio das Coordenadas. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como

a = a) + a, j + a,k

e

b = b) + b, j + b,k

Mostre que

ab = a,b, + a,b,. + a,b,.

48P. Use a defini9ao de produto escalar, a b = ab cos II. e 0 fato de que a'b = a,b, + a,b,. + ap, (veja 0 Problema 47) para calcuJar 0 angul0 entre os dois vetores dados por a = 3,0 i + 3,0 j + 3,0 k e b = 2.0 i + 1,0j + 3,0k.

49P. (a) Determine as componentes e 0 m6dulo de r = a - b + c se a = 5,0 i + 4,0 j - 6,0 k, b = -2,0 i + 2,0 j + 3,0 k e c = 4.0 i 'T' 3:0 j + 2,0 k. (b) Calcule 0 angulo entre reo sentido positivo dos z.

SOP. Produto Vetorial em Funfiio das Coordenadas. ~ostre que para os vetores a e b do Problema 47, a x b = i (a,b, - ap ) - j (ap, a,b) + k (a,b,. - a,b,). .

SIP. Dois vetores sao dados por a = 3,0 i + 5,0 j e b = 2,0 i + 4,0 j . Calcu1e (a) a x b, (b) a . be (c) (a + b) . b.

S2P. Dois vetores a e b tern componentes, em unidades arbitranas, a, = 3,2, a, = 1,6, b, = 0,50, b,. = 4,5. (a) Calcule 0 angulo entre a e b. (b) Calcule as componentes de urn vetor c que eperpendicular a a , esta no plano xy e cujo m6dulo vale 5,0 unidades.

S3P. 0 vetor a esta rio plano yz, faz urn angulo de 63' com 0 eixo + y, tern uma componente zpositiva e seu m6dulo vale 3,20 unidades . 0 vetor

54 MECANICA

yb esta no plano xz, faz urn iingulo de 48' com 0 eixo +x, tern uma componente z positiva e seu m6dulo vale 1,40 unidades. Calcule (a) a . b (b) a x be (c) 0 iingulo entre a e b.

54P. Tres vetores sao dados p~r a = 3,0 i + 3,0 j - 2,0 k, b = - J,O i - 4,Oj + 2,0 k e c = 2,0 i + 2,Oj + 1,0 k. Calcule (a) a (b x c),(b) a . (b + c) e (c) a x (b + c).

SSP. Calcule os futgulosentre as diagonais de urn cubo dearesta a. Veja o Problema 34.

56P. Mostre que a area do triangulo conti do entre os vetores a e b da Fig. 3-30 edada por la x b1/2, onde as barras verticais significam b modulo.

------------~~~~~ x a

Fig. 3-31 Problema 58.

59P. Mostre que 0 produ/o mis/o a . (b x c) tern m6dulo igual ao volume do paralelepi pedo formado pelos veLores a, bee, como mostra a Fig. 3-32.

Fig. 3-30 Problema 56.

57P. (a) Mostre que a . (b x a) eigual a zero quaisquer que sejam os vetores a e b. (b) Qual e 0 valor de a x (b x a) se 0 angulo entre os vetores a e b e ,p?

58P. Os m6dulos dos tres vetores que aparecem na Fig. 3.3 I sao a = 3,00, b = 4,00 e c = 10,0. (a) Calcule as componentes x e y desses vetores. (b) Determine os dois numeros p e q Lais que c = pa + qb. Fig. 3-32 Problema 59.

PROBLEMAS ADICIONAIS

60. 0 oasis B fica 25 Ian a leste do oasis A. Partindo do oasis A, urn camelo viaja 24 Ian numa dire~ao IS' ao sui do leste e depois viaja 8,0 km para 0 norte. A que dis Lancia 0 camelo se encontra do oasis B nesse momento?

61. Urn vetor B, cujo m6dulo vale 8,0, esomado a urn veLor A localizado sobre 0 eixo dos x. A soma desses vetores eurn Lerceiro vetor situado sobre 0 eixo dos y e cujo m6dulo e0 dobro do modulo de A. Qual e0 mooulo de A?

62. Se 0 vetor B e somado ao vetor A, 0 resultado e 6,Oi + ),OJ. Se Be subtraido de A, 0 resultado e -4,Oi + 7,Oj. Qual eo m6dulo deA?

63. Quando urn veLor B e somado ao vetor C = 3,01 + 4,Oj, 0 vetor resultanLe esta no sentido positivo dos y e tern 0 mesmo m6duJo que C. Qual e0 m6dulo de B?