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Halliday & Resnick

Mecânica

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Fundamentos de Física

Volume 1

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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1

Centro de Massa e Momento Linear

Capítulo 9




© 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

9-1 Centro de Massa




9-1 Centro de Massa

9.01 Dada a posição de várias partículas em um eixo ou plano, determinar a posição do centro de massa.

9.02 Determinar a posição do centro de massa de um objeto usando princípios de simetria.

9.03 No caso de um objeto bidimensional ou tridimensional com uma distribuição homogênea de massa, determinar a posição do centro de massa (a) dividindo mentalmente o objeto em figuras geométricas simples, (b) substituindo essas figuras por partículas e (c) calculando o centro de massa dessas partículas.

Objetivos do Aprendizado




9-1 Centro de Massa

O movimento de objetos que giram pode ser complicado (pense em um taco de beisebol)

Entretanto, existe um ponto especial em qualquer objeto para o qual o movimento é simples

O centro de massa do taco descreve uma parábola igual à de uma partícula

Todos os outros pontos do taco giram em torno desse ponto

Figura 9-1




Definição de centro de massa (CM):

No caso de duas partículas separadas por uma distância d, tomando a origem na posição da partícula 1:

Tomando a origem em um ponto arbitrário:

9-1 Centro de Massa

Eq. (9-1)

Eq. (9-2)




9-1 Centro de Massa

A posição do centro de massa não depende do sistema de coordenadas escolhido

O centro de massa é uma propriedade das partículas e não das coordenadas

Figura 9-2




9-1 Centro de Massa

No caso de muitas partículas, podemos generalizar a equação e escrever

em que M = m

1 + m

2 + . . . + m

n.

Em três dimensões, calculamos o centro de massa separadamente para cada eixo:

Eq. (9-5)

Eq. (9-4)




9-1 Centro de Massa

Mais concisamente, podemos escrever:

No caso de corpos maciços, podemos tomar o limite de uma soma infinita de partículas infinitamente pequenas, ou seja, calcular uma integral!

Calculando separadamente o centro de massa para cada coordenada, escrevemos

Eq. (9-9)

Eq. (9-8)




9-1 Centro de Massa

Vamos considerar apenas objetos de massa específica, ρ, uniforme, para os quais

Nesse caso, temos:

Podemos dispensar uma ou mais das integrais se o objeto apresentar algum tipo de simetria

Eq. (9-11)

Eq. (9-10)




O centro de massa está no ponto de simetria (se existir)

Está na reta ou no plano de simetria (se existir)

Não precisa estar no objeto (pense em uma rosquinha)

9-1 Centro de Massa

Respostas: (a) na origem (b) em Q4, na reta y = x (c) no eixo y

(d) na origem (e) em Q3, na reta y = x (f) na origem




9-1 Centro de Massa

Exemplo Subtração

o Pede-se: determinar o CM de um disco no qual está faltando um disco menor:

o Determine o CM de cada disco

o Determine o CM dos dois CMs, considerando negativa a massa do disco menor

o Na figura, CMC é o centro de massa

da placa composta

o CMP é o centro de massa da placa

composta com o Disco S removido

Figura 9-4




9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas





9.04 Aplicar a segunda lei de Newton a um sistema de partículas, relacionando a força resultante (das forças que agem sobre as partículas) à aceleração do centro de massa do sistema.

9.05 Aplicar as equações de aceleração constante ao movimento das partículas de um sistema e ao movimento do centro de massa do sistema.

9.06 Dadas a massa e a velocidade das partículas, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema.

9.07 Dadas a massa e a aceleração das partículas, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema.

9.08 Dada a posição do centro de massa em função do tempo, calcular a velocidade do centro de massa de um sistema.





9.09 Dada a velocidade do centro de massa em função do tempo, calcular a aceleração do centro de massa de um sistema.

9.10 Calcular a variação de velocidade de um centro de massa integrando a função aceleração do centro de massa em relação ao tempo.

9.11 Calcular o deslocamento de um centro de massa integrando a função velocidade do centro de massa em relação ao tempo.

9.12 No caso em que as partículas de um sistema de duas partículas se movem e o centro de massa permanece em repouso, determinar a relação entre os deslocamentos e a relação entre as velocidades das duas partículas.





O movimento do centro de massa não é afetado por forças internas ao sistema (colisões de bolas de bilhar)

Movimento do centro de massa de um sistema:

Observações:

1. Fres

é a soma das forças externas

2. M é a massa total do sistema

3. aCM

é a aceleração do centro de massa

Eq. (9-14)

Eq. (9-15)





Exemplos Usando a equação do movimento do CM:

o Colisão de bolas: as forças são internas e, portanto, F = 0 e a = 0

o Bola de tênis: a = g e, portanto, a trajetória é balística

o Explosão de fogos de artifício: como as forças da explosão são internas, o centro de massa dos fragmentos descreve uma trajetória balística, caso a resistência do ar possa ser desprezada.

Figura 9-5





Resposta: O sistema é constituído por Frederico, Eduardo e a vara. Como todas as forças são internas, o centro de massa não se move. Como o centro de massa está na origem, os patinadores se encontrarão na origem nos três casos! (Naturalmente, a origem está mais próxima de Frederico do que de Eduardo.)





9-3 Momento Linear




9.13 Saber que o momento é uma grandeza vetorial e que, portanto, possui um módulo e uma orientação e pode ser representado por meio de componentes.

9.14 Saber que o momento linear de uma partícula é igual ao produto da massa pela velocidade da partícula.

9.15 Calcular a variação do momento de uma partícula a partir da variação de velocidade da partícula.

9.16 Aplicar a relação entre o momento de uma partícula e a força (resultante) que age sobre a partícula.

9.17 Calcular o momento de um sistema de partículas como o produto da massa total pela velocidade do centro de massa.

9.18 Usar a relação entre o momento do centro de massa de um sistema e a força resultante que age sobre o sistema.





O momento linear é definido por meio da equação

O momento

o tem a mesma direção que a velocidade

o só pode ser mudado por uma força externa

Segunda lei de Newton, em termos do momento:

9-3 Momento Linear

Eq. (9-22)

Eq. (9-23)




9-3 Momento Linear

Podemos somar os momentos das partículas de um sistema para obter:

Respostas: (a) 1, 3, 2 e 4 (b) na região 3

Eq. (9-25)




9-3 Momento Linear

A segunda lei de Newton para um sistema de partículas pode ser escrita na forma

A aplicação de uma força externa a um sistema produz uma variação do momento linear

Na ausência de uma força externa, o momento linear total de um sistema de partículas não pode variar

Eq. (9-27)




9-4 Colisão e Impulso





9.19 Saber que o impulso é uma grandeza vetorial e, portanto, tem um módulo e uma orientação.

9.20 Usar a relação entre o impulso e a variação de momento.

9.21 Usar a relação entre o impulso, a força média e a duração do impulso.

9.22 Usar as equações de aceleração constante para relacionar o impulso à força média.

9.23 Dada a equação de uma força em função do tempo, calcular o impulso integrando a função.

9.24 Dada a curva de uma força em função do tempo, calcular o impulso por integração gráfica.

9.25 Em uma série contínua de colisões de projéteis com um alvo, calcular a força média que age sobre o alvo a partir da taxa mássica das colisões e da variação de velocidade dos projéteis.






O momento de uma partícula pode variar em uma colisão

Definimos o impulso J a que um corpo é submetido durante uma colisão por meio da equação:

Isso significa que o impulso aplicado é igual à variação do momento do objeto durante a colisão:

Essa equação, como outras equações vetoriais, pode ser escrita na forma de componentes

Eq. (9-30)

Eq. (9-31)





Dados Fméd

e t, temos:

Como estamos integrando, precisamos conhecer apenas a área sob a curva da força

Eq. (9-35)

Figura 9-9

Resposta: (a) mantém (b) mantém (c) diminui





Se cada projétil de uma salva de n projéteis sofre uma variação de momento Δp,

A força média é:

Eq. (9-36)

Figura 9-10

Eq. (9-37)

Se as partículas param,

Se as partículas ricocheteiam com a mesma velocidade escalar,

Eq. (9-38)

Eq. (9-39)





Como o produto nm é a massa total para n colisões, podemos escrever:

Eq. (9-40)

Respostas: (a) nula (b) positiva (c) o sentido positivo do eixo y (a força é normal)




9-5 Conservação do Momento Linear





9.26 No caso de um sistema isolado de partículas, usar a lei de conservação do momento linear para relacionar o momento inicial das partículas ao momento em um instante posterior.

9.27 Saber que, mesmo que um sistema não seja isolado, a lei de conservação do momento linear pode ser aplicada à componente do momento na direção de um eixo, contanto que não haja uma componente de uma força externa na direção desse eixo.






Eq. (9-42)


Quando o impulso é zero, temos:

o que significa que

É a chamada lei de conservação do momento linear

Dependendo das componentes da força resultante externa, é possível aplicar o seguinte princípio:





Forças internas podem mudar os momentos de partes do sistema, mas não podem mudar o momento linear do sistema como um todo

Não confunda momento e energia

Respostas: (a) zero (b) não (c) o sentido negativo do eixo x




9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões





9.28 Saber a diferença entre colisões elásticas, colisões inelásticas e colisões totalmente inelásticas.

9.29 Saber que, em uma colisão unidimensional, os objetos se movem na mesma linha reta antes e depois da colisão.

9.30 Aplicar a lei de conservação do momento linear a uma colisão unidimensional em um sistema isolado para relacionar os momentos dos objetos antes e depois da colisão.

9.31 Saber que, em um sistema isolado, o momento e a velocidade do centro de massa não são afetados por colisões entre objetos do sistema.






Tipos de colisões:

Colisões elásticas:

o A energia cinética total é constante

o É uma aproximação razoável em muitas situações

o Na prática, uma parte da energia cinética, mesmo que pequena, é sempre convertida em outras formas de energia

Colisões inelásticas: uma parte considerável da energia cinética é convertida em outras formas de energia

Colisões totalmente inelásticas:

o Os objetos permanecem unidos após a colisão

o A conversão de energia cinética para outras formas de energia é a maior possível





Em uma dimensão:

Colisão inelástica

Colisão totalmente inelástica, com o alvo em repouso:

Eq. (9-51)

Eq. (9-52)

Figura 9-15 Figura 9-14





A velocidade do centro de massa não muda:

A Fig. 9-16 mostra vários estágios de uma colisão totalmente inelástica

Eq. (9-56)

Figura 9-16





Respostas: (a) 10 kg ∙ m/s (b) 14 kg ∙ m/s (c) 6 kg ∙ m/s




9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão





9.32 No caso de colisões elásticas de dois corpos em uma dimensão, aplicar as leis de conservação da energia e do momento para relacionar os valores iniciais e finais da velocidade dos corpos.

9.33 No caso de um projétil que colide com um alvo estacionário, analisar o movimento resultante para três casos possíveis: massas iguais, massa do alvo muito maior que a massa do projétil e massa do projétil muito maior que a massa do alvo.





A energia cinética total é conservada em colisões elásticas

No caso de um alvo estacionário, temos:


Eq. (9-63)

Eq. (9-64)

Figura 9-18





Depois de algumas transformações algébricas, obtemos:

Resultados

o Alvo pesado, v1f = v1i, v2f

= 0: o primeiro objeto ricocheteia com a mesma velocidade escalar

o Massas iguais, v1f = 0, v

2f = v

1i: o primeiro objeto para

o Projétil pesado, v1f = v

1i, v

2f = 2v

1i: o primeiro objeto

continua com a mesma velocidade e o segundo objeto é arremessado com uma velocidade duas vezes maior

Eq. (9-67)

Eq. (9-68)




9-7 Colisões Elásticas em Uma DImensão

Se o alvo também está se movendo, temos:

Eq. (9-75)

Eq. (9-76)

Figura 9-19

Respostas: (a) 4 kg ∙ m/s (b) 8 kg ∙ m/s (c) 3 J




9-8 Colisões em Duas Dimensões





9.34 No caso de uma colisão bidimensional em um sistema isolado, aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos de um sistema de coordenadas para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão.

9.35 No caso de uma colisão elástica em um sistema isolado, (a) aplicar a lei de conservação do momento a dois eixos para relacionar as componentes do momento antes da colisão às componentes em relação ao mesmo eixo depois da colisão e (b) usar o princípio de conservação da energia cinética para relacionar as energias cinéticas antes e depois da colisão.





Exemplo Para um alvo estacionário (Fig. 9-21):

o Eixo x:

o Eixo y:

o Energia:


Aplicar a lei de conservação do momento aos dois eixos

Aplicar a lei de conservação da energia para colisões elásticas

Eq. (9-79)

Eq. (9-80)

Eq. (9-81)

Figura 9-21





Essas três equações têm sete incógnitas, já que v2i = 0. Se conhecermos quatro dessas incógnitas, poderemos calcular as outras três.

Respostas: (a) 2 kg ∙ m/s (b) 3 kg ∙ m/s





9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete




9.36 Usar a primeira equação do foguete para relacionar a taxa de perda de massa de um foguete, a velocidade dos produtos da combustão em relação ao foguete, a massa do foguete e a aceleração do foguete.

9.37 Usar a segunda equação do foguete para relacionar a variação da velocidade do foguete à velocidade relativa dos produtos da combustão e à massa final do foguete.

9.38 No caso de um sistema em movimento que sofre uma variação de massa a uma taxa constante, relacionar essa taxa à variação do momento.






Foguete e produtos da combustão formam um sistema isolado

Conservação do momento:

Pi = P

f

o que nos dá

Podemos simplificar usando a velocidade relativa:

Eq. (9-83)

Figura 9-22

Eq. (9-84)





Primeira equação do foguete:

R é a taxa mássica de consumo de combustível

O lado esquerdo da equação é o empuxo, T

Segunda equação do foguete:

Eq. (9-87)

Eq. (9-88)




9 Resumo




Conservação do Momento Linear

Momento Linear e 2a Lei de Newton

Definição de momento linear:

2a Lei de Newton:

Colisão e Impulso

Definição de impulso:

O impulso faz variar o momento linear

9 Resumo

Eq. (9-25)

Eq. (9-42) Eq. (9-51)

Colisão Inelástica em 1D

O momento é conservado nessa direção

Eq. (9-27)

Eq. (9-30)




Movimento do Centro de Massa

Não é afetado por colisões e outras forças internas

Colisões Elásticas em Uma Dimensão

A energia cinética é conservada

Eq. (9-67)

Eq. (9-87)

9 Resumo

Sistemas de Massa Variável

Eq. (9-68) Colisões em Duas Dimensões

Podemos aplicar a lei de conservação do momento a cada componente

A energia cinética é conservada em colisões elásticas Eq. (9-88)




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