handout mer iv d-iv.pdf
TRANSCRIPT
Struktur Statis Tak Tentu 1
RENCANA PEMBELAJARAAN
Kode Mata Kuliah : RMK 114
Mata Kuliah : Mekanika Rekayasa IV
Semester / SKS : IV / 2
Kompetensi : Mampu Menganalisis Konstruksi Statis Tak Tentu
Mata Kuliah Pendukung : Mekanika Rekayasa I, II & III
WAKTU D O S E N MATERI KULIAH KET
12-03-2010
Wahiddin, ST.,MT
- Penjelasan Tujuan, SAP, Renc. Pembelajaran dan Sistem
Penilaian
- Pengantar Mekanika Rekayasa Konstruksi IV
Analisis Struktur Metode Clapeyron
- Analisis Struktur Balok Menerus Statis Tak Tentu
19-03- 2010 - Analisis Struktur Balok Statis Tak Tentu (Lanjutan) Tugas 1
26-03-2010 Kuis I : Analisis Struktur Balok dengan Metode Clapeyron
Analisis Struktur Metode Distribusi Momen (Met. Cross)
9-04-2010 - Analisis Struktur Balok Statis Tak Tentu
16-04- 2010 - Analisis Struktur Portal Tidak Bergoyang Tugas 2
23-04-2010 - Analisis Struktur Portal Tidak Bergoyang (Lanjutan) Tugas 3
14-05-2010 Kuis II : Analisis Struktur Portal Tidak Bergoyang
21-05- 2010
DR.Ir. Agnes H.P, MS
- Analisis Struktur Portal Bergoyang
4-06-2010 - Analisis Struktur Portal Bergoyang (Lanjutan) Tugas 4
25-06- 2010 Kuis III : Analisis Struktur Portal Bergoyang
2-07- 2010 - Analisis Struktur Gable Frame
9-07-2010 - Review dan Kesimpulan Perkuliahan
Terjadwal UJIAN AKHIR SEMESTER
Referensi :
Alkaff, M. Firdaus. 2004. STAAD 2004 untuk Tingkat Menengah. Maxikom.Palembang.
Dewi, Sri Murni., 2004. 71 Contoh Statis Tak Tentu. CV. Citramedia : Sidoarjo.
Hadi Y.CE., 2000. Seri Penyelesaian Mekanika Teknik : Statis Tak Tentu. Cipta Science
Wahiddin. 2007. Buku Ajar Mekanika Rekayasa IV.
Wang, C.K., 1993. Analisis Struktur Lanjutan Jilid 1. Dialihbahasakan oleh Drs. Ir.
Kusuma Wirawan dan Ir. Mulyadi Nataprawira. Penerbit Erlangga. Jakarta.
Nilai Mid Semester = 40% Latihan + 30% Tugas + 30% Kuis
Nilai Akhir = 30% Latihan + 20% Tugas + 25% Kuis + 25% UAS
Struktur Statis Tak Tentu 2
STRUKTUR STATIS TAK TENTU
Definisi : Suatu struktur bersifat Statis Tak Tentu luar apabila jumlah
komponen reaksi perletakan melebihi persamaan keseimbangan
statika
Persamaan keseimbangan statis :
1. Struktur 2-dimensi = 3 Persamaan keseimbangan
Keseimbangan Gaya : Fx = 0 ; Fy = 0
Keseimbangan Momen : M = 0
2. Struktur 3-dimensi = 6 Persamaan keseimbangan
Keseimbangan Gaya : Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0
Keseimbangan Momen : Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0
Tabel 1. Jenis kondisi tumpuan (model-model idealisasi)
JENIS
TUMPUAN
SIMBOL /
GAMBAR
JENIS GAYA DAN ROTASI
YANG TIMBUL
Tumpuan
Sendi
Mampu menahan gaya vetikal dan
horisontal tetapi mengalami rotasi
Tumpuan
Roll
Mampu menahan gaya vetikal dan
mengalami rotasi
Tumpuan
Jepit
Mampu menahan gaya vetikal,
horisontal dan momen serta tidak
mengalami rotasi tumpuan
Tumpuan
Link (sendi)
Link (sendi) mampu menahan gaya
searah Link
Sehingga : ra > 3 ; struktur statis tak tentu eksternal
ra = 3 ; struktur statis tertentu eksternal
ra < 3 ; struktur tidak stabil eksternal
Struktur Statis Tak Tentu 3
Tabel 2. Contoh Klasifikasi struktur
GAMBAR STRUKTUR KOMPONEN REAKSI TUMPUAN KLASIFIKASI
STRUKTUR
ra = 3 Statis Tertentu ;
Stabil
ra = 3 Statis Tertentu ;
Stabil
ra = 4 Statis Tak Tentu ;
Stabil
ra = 5 Statis Tak Tentu ;
Stabil
ra = 3 Tidak Stabil
Geometri
ra = 4
Statis Tak Tentu ;
Stabil
Dalam bentuk formula, struktur bersifat statis tak tentu apabila :
3j < 3m + r
Dengan derajat ketidak-tentuan statisnya :
i = (3m + r) – 3j
dimana :
m = jumlah batang struktur tidak termasuk batang overstek
j = jumlah titik kumpul pada struktur
r = jumlah komponen reaksi perletakan
i = derajat ketidak-tentuan statis
R1
R2
M1
R2R1
R3
R1
R2
M1
R3
S
R1 R2 R3
R5R4
R1 R2 R3
R1 R2
R4R3
Struktur Statis Tak Tentu 4
( 1 ) ( 2 )
( 3 ) ( 4 )
( 5 ) ( 6 )
Tentukan klasifikasi dan derajat ketidak-tentuan statis struktur di bawah ini !
Struktur Statis Tak Tentu 5
MB
MA
ANALISIS STRUKTUR dengan METODE CLAPEYRON
Deformasi (rotasi) balok disebabkan oleh beberapa faktor yaitu :
1. Akibat beban luar yang bekerja
EI
LqBA
24
. 3
2. Akibat momen pada salah satu ujung balok
EI
LM AA
3
. ;
EI
LM AB
6
.
EI
LM BA
6
. ;
EI
LM BB
3
.
3. Akibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok
yang lain
LBA
Rotasi total ujung balok merupakan superposisi dari semua pengaruh
diatas, sehingga persamaan rotasi total ujung balok menjadi :
LEI
LM
EI
LM
EI
Lq BAA
6
.
3
.
24
. 3
LEI
LM
EI
LM
EI
Lq BAB
3
.
6
.
24
. 3
A Garis lentur balok
B
B
B
A
A
A B
Struktur Statis Tak Tentu 6
Tabel 3. Rumus-rumus deformasi balok akibat beban luar
Gambar Pembebanan
Struktur
Deformasi di
Ujung A
Deformasi di Ujung
B
EI
LPA
16
. 2
EI
LPB
16
. 2
LEI
bLbPA
.6
).(. 22
LEI
aLaPB
.6
).(. 22
EI
LqA
24
. 3
EI
LqB
24
. 3
EI
LqA
3.
384
9
EI
LqB
3.
384
7
0A EI
LMB
4
.
EI
LMA
3
.
EI
LMB
6
.
Catatan : Rotasi searah jarum jam adalah positif dan seballiknya
EI
P
L/2 L/2
A B
EI
P
L
a b
A B
EI
L
q
A B
EI
L
B
q
EI
L
MB
BA
EI
L
MBA
Struktur Statis Tak Tentu 7
Prosedur Analisis struktur statis tak tentu dengan metode Clapeyron :
I. Analisis stuktur
dilakukan untuk menghitung momen pada titik kumpul balok.
1. Asumsikan momen bekerja pada setiap titik kumpul balok sebagai
gaya luar yang akan dicari
2. Hitung rotasi yang terjadi pada ujung balok (A dan B) dengan
menggunakan persamaan 2.1 dan persaman 2.2
3. Terapkan persamaan deformasi pada setiap titik kumpul balok
4. Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan momen ujung.
Momen ujung yang terjadi sama dengan arah asumsi awal jika hasil
yang diperoleh pada langkah 4 bernilai positif dan berubah arah jika hasil
yang diperoleh bernilai negatif.
II. Analisis Free body
dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan.
1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang-batang yang bebas (free body)
dengan beban dan momen yang bekerja pada batang tersebut
2. Hitung besarya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar
dan momen ujung yang telah diperoleh.
III. Gambar Bidang M, D, dan N
1. Dengan menggunakan data-data yang telah diperoleh, hitung momen
maksimum dan gaya lintang yang terjadi pada setiap balok.
2. Gambar bidang momen (M), bidang lintang (D) dan gaya Normal (N).
Struktur Statis Tak Tentu 8
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
MB
BA C
.
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Clapeyron !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Clapeyron
Asumsi awal arah momen MB dan garis elastis balok seperti pada gambar
berikut :
BA = EI3
L.M
EI24
L.q BAB3
= EI3
5.M
EI24
5.2 B3
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
BA = -10,417 + 1,667 MB
BC = EI3
L.M
EI16
L.P BCB2
= EI3
6.M
EI16
6.8 B2
BC = 18 - 2 MB
Syarat kontinyu di titik B adalah :
BA = BC
BA
BC
Struktur Statis Tak Tentu 9
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
EI
8 T/m
EI
2 T/m
(2 x 5)/2 = 5 T 5 T 4 T
7,749/5 = 1,550 T 1,550 T
3,45 T 6,55 T 5,292 T 2,708 T
8/2 = 4 T
7,749/6 = 1,292 T 1,292 T
7,749 Tm
A
B
C
Maka :
-10,417 + 1,667 MB = 18 – 2 MB
1,667 MB + 2 MB = 18 + 10,417
3,667 MB = 28,417
MB = 667,3
417,28 = 7,749 Tm
Karena MB bernilai positif maka asumsi awal arah momen sesuai. (lihat
gambar asumsi arah momen MB dan garis elastis balok).
II. Analisis Free body
Struktur Statis Tak Tentu 10
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
7,749
2,976
8,127
3,45
5,292
6,55
2,708
III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
1. Bidang Momen
Balok AB
Mx = RAB.X – ½.q.X2
= 3,45X – ½.2.X2
= 3,45X – X2
Momen Max pada saat dx
dMx = 0
dx
dMx = 3,45 – 2X = 0
2X = 3,45
X = 1,725 m
Maka momen Max. balok AB
Mmax = 3,45(1,725)– (1,725)2
= 2,976 Tm
Balok BC
Mx = RBC.X - MBC
= 5,292.X – 7,749
Mmax = 5,292 x 3 – 7,749
= 8,127 Tm
2. Bidang Lintang
DAB = RA = 3,45 T
DBC = -6,55 +11,842
= 5,292 T
DBA = 3,45 – 2 x 5
= -6,55 T
DCB = 5,292 – 8
= -2,708 T
Struktur Statis Tak Tentu 11
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
P2 = 6 Tq = 3 T/m
A CB
D
P1 = 6 T P3 = 6 T
A CB
D
MB MCMA
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Clapeyron !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Clapeyron
Asumsi awal arah momen MB dan garis elastis balok seperti pada gambar
berikut :
Batang AB :
AB = )EI2(6
L.M
)EI2(3
L.M
L).EI2(6
)bL.(b.P
L).EI2(6
)bL.(b.P ABBABA
AB
222
AB
221
= )EI2(6
5.M
)EI2(3
5.M
5).EI2(6
)15.(1.6
5).EI2(6
)45.(4.6 BA2222
= EI12
5.M
EI6
5.M
EI60
144
EI60
216 BA
BA
BC
Struktur Statis Tak Tentu 12
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
AB = 3,6 + 2,4 – 0,833 MA – 0,417 MB
= 6,0 – 0,833 MA – 0,417 MB
BA = )EI2(3
L.M
)EI2(6
L.M
L).EI2(6
)aL.(a.P
L).EI2(6
)aL.(a.P ABBABA
AB
222
AB
221
= )EI2(3
5.M
)EI2(6
5.M
5).EI2(6
)45.(4.6
5).EI2(6
)15.(1.6 BA2222
= EI6
5.M
EI12
5.M
EI60
216
EI60
144 BA
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
BA = -2,4 - 3,6 + 0,417 MA + 0,833 MB
= -6 + 0,417 MA + 0,833 MB
Batang BC :
Mc = -½. q . L2
= -½ . 3 . 12 = -1,5 Tm
BC = )EI5,1(6
L.M
)EI5,1(3
L.M
)EI5,1(16
L.P
)EI5,1(24
L.qBCCBCB
2BC3
3BC
= )EI5,1(6
4.5,1
)EI5,1(3
4.M
)EI5,1(16
4.6
)EI5,1(24
4.3 B23
= EI.9
6
EI.5,4
4.M
EI.24
96
EI.36
192 B
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
BC = 5,333 + 4,0 – 0,888 MB – 0,667
= 8,666 – 0,888 MB
Syarat kontinyu adalah :
I. AB = 0
II. BA = BC
Struktur Statis Tak Tentu 13
Maka :
AB = 0
AB = 6,0 – 0,833 MA – 0,417 MB = 0
0,833 MA + 0,417 MB = 6,0 ......................(Pers. I)
BA = BC
-6 + 0,417 MA + 0,833 MB = 8,666 – 0,888 MB
0,417 MA + 0,833 MB + 0,888 MB = 6 + 8,666
0,417 MA + 1,724 MB = 14,666 ..................(Pers. II)
Dengan metode substitusi Pers I dan II kita selesaikan sebagai berikut :
0,833 MA + 0,417 MB = 6,0 x 1,724
0,417 MA + 1,724 MB = 14,666 x 0,417
Persamaan tersebut menjadi :
1,436 MA + 0,719 MB = 10,344
0,174 MA + 0,719 MB = 6,116
1,262 MA = 4,228
MA = 262,1
228,4 = 3,35 Tm
Substitusi Nilai MA ke Pers I maka :
0,833 x 3,35 + 0,417 MB = 6,0
MB = 417,0
35,3833,00,6 = 7,697 Tm
MA dan MB bernilai positif maka asumsi awal arah momen sesuai.
Struktur Statis Tak Tentu 14
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
P2 = 6 Tq = 3 T/m
A CB
6 ton 6 ton6 ton
3 ton/m
6x4/5+6x1/5 = 6 T
3,35 7,697 1,5
6 T
3,35/5 =
0,67 T0,67 T
7,697/5 =
1,539 T 1,539 T
5,131 T
6/2+3x4/2 =
9 T 9 T
7,697/4 =
1,924 T 1,924 T
1,5/4 =
0,375 T 0,375 T
10,549 T6,869 T 7,451 T
3,0x1
= 3 T
3 T
D
P1 = 6 T P3 = 6 T
3 ton/m
II. Analisis Free body
RA = 5,131 T ; MA = 3,35 Tm
RB = 6,869 T + 10,549 T ; MB = 7,697 Tm
= 17,418 T
RC = 7, 451 T + 3 T = 10,451 T
Struktur Statis Tak Tentu 15
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
6 ton 6 ton6 ton
3 ton/m
A CB
3,35
1,781
0,826
7,697
7,401
1,5
5,131
-0,869
-6,869
10,549
-7,451
3
4,549
-1,451
III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
1. Bidang Momen
Balok AB
MP1 = RAB.XP1 - MA
= 5,131 x 1 – 3,35
= 1,781 Tm
MP2 = RAB.X P2 - P1.X - MA
= 5,131 x 4 – 6 x 3 - 3,35
= -0,826 Tm
MP1 dan MP2 masing-masing adalah
momen di bawah beban P1 dan P2.
Balok BC
MP3 = RBC.X – ½ q.X2 - MBC
= 10,549 x 2 – ½ .3.22 – 7,697
= 7,401 Tm
2. Bidang Lintang
DAB = RA = 5,131T
DP3 = 10,549 – 3x2 – 6 = -1,451 T
DP1 = 5,131 – 6 = -0,869 T
DCB = -1,451 – 3x2 = -7,451 T
DP2 = -0,869 – 6 = -6,869 T
DCD = -7,451 + 10,451 = 3 T
DBC = -6,869 +17,418 = 10,549 T
DD = 3 – 3.1 = 0 (OK)
Struktur Statis Tak Tentu 16
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
10EI 2EI3EI
12 m 24 m 4 m 8 m 3 m
A B C DE
A B C DE
MB MC MD
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Clapeyron !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Clapeyron
Asumsi awal arah momen MB dan garis elastis balok :
Balok AB :
BA = )EI3(3
L.M
)EI3(24
L.q ABB3
1 = )EI3(3
12.M
)EI3(24
12.3 B3
= EI9
12.M
EI72
5184 B
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
BA = -72 + 1,333 MB
BA
BC CB
CD
Struktur Statis Tak Tentu 17
Balok BC :
BC = )EI10(6
L.M
)EI10(3
L.M
)EI10(16
L.P
)EI10(24
L.q BCCBCB2
13
2
= )EI10(6
24.M
)EI10(3
24.M
)EI10(16
24.20
)EI10(24
24.2 CB23
= EI60
24.M
EI30
24.M
EI160
11520
EI240
27648 CB
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
BC = 115,2 + 72 - 0,8 MB - 0,4 MC
= 187,2 - 0,8 MB - 0,4 MC
CB = )EI10(3
L.M
)EI10(6
L.M
)EI10(16
L.P
)EI10(24
L.q BCCBCB2
13
2
= )EI10(3
24.M
)EI10(6
24.M
)EI10(16
24.20
)EI10(24
24.2 CB23
= EI30
24.M
EI60
24.M
EI160
11520
EI240
27648 CB
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
CB = -115,2 - 72 + 0,4 MB - 0,8 MC
= -187,2 + 0,4 MB + 0,8 MC
Balok CD :
MD = -P3.LDE = -6 x 3 = -18 kgm
CD = )EI2(6
L.M
)EI2(3
L.M
L).EI2(6
)bL.(b.P CDDCDC22
2
= )EI2(6
12.18
)EI2(3
12.M
12).EI2(6
)812.(8.18 C22
= EI12
216
EI6
12.M
EI144
11520 C
Dengan asumsi Nilai EI = 1, maka :
CD = 80 – 2 MC - 18
= 62 - 2 MC
Struktur Statis Tak Tentu 18
Syarat kontinyu adalah :
I. BA = BC
II. CB = CD
Maka :
BA = BC
-72 + 1,333 MB = 187,2 - 0,8 MB - 0,4 MC
1,333 MB +0,8 MB +0,4 MC = 187,2 + 72
2,133 MB + 0,4 MC = 259,2 ......................(Pers. I)
CB = CD
-187,2 + 0,4 MB + 0,8 MC = 62 - 2 MC
0,4 MB + 0,8 MC + 2 MC = 62 + 187,2
0,4 MB + 2,8 MC = 249,2 ...................(Pers. II)
Dengan metode substitusi Pers I dan II kita selesaikan sebagai berikut :
2,133 MB + 0,4 MC = 259,2 x 2,8
0,4 MB + 2,8 MC = 249,2 x 0,4
Persamaan tersebut menjadi :
5,972 MB + 1,12 MC = 725,76
0,16 MB + 1,12 MC = 99,68
5,812 MB = 626,08
MB = 812,5
08,626 = 107,722 kgm
Substitusi Nilai MB ke Pers I maka :
2,133 x 107,722 + 0,4 MC = 259,2
MC = 4,0
722,107133,22,259 = 73,573 kgm
MB dan MC bernilai positif maka asumsi awal arah momen sesuai.
Struktur Statis Tak Tentu 19
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
10EI 2EI3EI
12 m 24 m 4 m 8 m 3 m
A B C DE
q1 = 3 Kgq2 = 2 Kg
P1 = 20 KgP2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
6 Kg
6 Kg
107,722 73,57318
3x12/2 =
18 kg18 kg
107,722/12 =
8,977 kg
2x24/2 +20/2=
34 kg
107,722/24 =
4,488 kg
73,573/24 =
3,066 kg
18x8/12 =
12 kg
73,573/12 =
6,131 kg
18/12 =
1,5 kg
6,131 Kg
1,5 Kg
34 Kg
4,488 Kg
3,066 Kg
8,977 Kg
18x4/12 =
6 kg
9,023 Kg 26,977 Kg 35,422 Kg 16,631 Kg32,578 Kg 1,369 Kg
II. Analisis Free body
III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
1. Bidang Momen
Balok AB
Mx = RAB.X – ½.q1.X2
= 9,023X – ½.3.X2
= 9,023X – 1,5 X2
Momen Max pada saat dx
dMx = 0
dx
dMx = 9,023 – 3X = 0
X = 3,008 m
Mmax = 9,023 x (3,008) – 1,5 x (3,008)2
= 13,569 kgm
Struktur Statis Tak Tentu 20
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg
10EI 2EI3EI
12 m 24 m 4 m 8 m 3 m
A B C DE
9,023
26,977
35,422
11,422
8,578
32,578
16,631
1,369
6
107,722
73,573
173,342
7,049 18
13,569
Balok BC
MP1 = RBC.X – ½.q2.X2 - MBC
= 35,422 x 12 – ½.2.122
– 107,722
= 173,342 kgm
Balok CD
MP2 = RCD.X – MCD
= 16,631 x 4 – 73,573
= -7,049 kgm
2. Bidang Lintang
DAB = RA = 9,023
DBA = 9,023 – 3x12 = -26,977
DBC = -26,977 + 62,399 = 35,422
DB-P1 = 35,422 – 2x12 = 11,422
DP1-C = 11,422 – 20 = -8,578
DCB = -8,578 – 2x12 = -32,578
DCD = -32,578+ 49,209 = 16,631
DP3 = 16,631 – 18 = -1,369
DD = -1,369 +7,369 = 6 kg
DE = 6 – 6 = 0 (OK)
Struktur Statis Tak Tentu 21
ANALISIS STRUKTUR BALOK MENERUS
dengan METODE DISTRIBUSI MOMEN (Metode Cross)
Prosedur Analisis metode Cross :
I. Analisis Struktur dengan metode Cross
1. Hitung momen primer setiap balok dengan rumus sbb :
Momen Primer
dititik A ( MF
AB )
Gambar Struktur dengan
Sistem Pembebanan
Momen Primer
dititik B ( MF
BA )
2
2
L
b.a.P
2
2
L
b.a.P
12
L.q 2
12
L.q 2
2L.q192
11
2L.q.192
5
-
2
22
L2
)aL.(a.P
-
8
L.q 2
-
2L.q.128
7
2..128
9Lq
2L
.EI6
2L
.EI6
P
a b
A B
L
A B
q
A B
q
L/2 L/2
P
a b
A B
L
A B
A B
L/2 L/2
A B
L/2 L/2
L
B
Struktur Statis Tak Tentu 22
1. Hitung nilai kekakuan lentur setiap balok
a. Struktur dengan tumpuan Jepit – Jepit => L
EI4k
b. Struktur dengan tumpuan Jepit – Sendi => L
EI3k
2. Hitung koefisien distribusi balok pada setiap titik kumpul balok :
i
i
k
k
3. Buat Tabel Cross dan lakukan distribusi momen sebagai berikut :
a. Hitung resultan momen (momen tak imbang) setiap titik kumpul
b. Distribusikan momen tak imbang tersebut sebanding dengan
koefisien distribusi balok pada masing-masing cabang titik kumpul
c. Induksikan momen hasil distribusi di atas pada ujung berseberangan
d. Hitung resultan momen akibat distribusi dan induksi di atas
kemudian distribusikan kembali sesuai koefisien distribusi pada
masing-masing cabang titik kumpul
e. Ulangi langkah di atas (c – d) sampai resultan momen (momen tak
imbang) relatif sangat kecil ( ≈ 0 )
4. Jumlahkan momen pada setiap ujung balok. Hasil penjumlahan tersebut
merupakan momen ujung setiap balok
II. Analisis Free body
Analisis free body dilakukan untuk menghitung reaksi perletakan
akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok.
1. Nyatakan struktur dalam bentuk batang-batang yang bebas (free body)
dengan beban dan momen yang bekerja pada batang tersebut
2. Hitung besarya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat :
a. beban luar dan
b. momen ujung yang telah diperoleh.
3. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah 2 untuk memperoleh
besarnya reaksi perletakan total.
III. Gambar Bidang Momen, Lintang dan Normal
a. Dengan menggunakan data-data yang telah diperoleh, hitung
momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.
b. Gambar bidang momen (M), bidang lintang (D) dan gaya Normal
(N).
Struktur Statis Tak Tentu 23
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
A
B
C
.
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
3. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross !
4. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
IV. Analisis Struktur Metode Cross
1. Momen Primer
MBA = 8
L.q 2
; MBC = 2
22
L2
)aL.(a.P
= 8
5.2 2
= 6,25 Tm = 2
22
6.2
)36.(3.8 = -9 Tm
2. Kekakuan Balok
kBA = L
EI3 (jepit – sendi) ; kBC =
L
EI3 (jepit – sendi)
= 5
EI3 = 0,6 EI ; =
6
EI3 = 0,5 EI
3. Faktor distribusi balok
EI5,0EI6,0
EI6,0BA
;
EI5,0EI6,0
EI5,0BC
= 0,545 ; = 0,455
Struktur Statis Tak Tentu 24
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
EI
8 T/m
EI
2 T/m
(2 x 5)/2 = 5 T 5 T 4 T
7,749/5 = 1,550 T 1,550 T
3,45 T 6,55 T 5,292 T 2,708 T
8/2 = 4 T
7,749/6 = 1,292 T 1,292 T
7,749 Tm
A
B
C
4. Tabel distribusi
Titik Kumpul A B C
Balok AB BA BC CB
Faktor distribusi - 0,545 0,455 -
Momen Primer 6,25 -9
1,499 1,251
Momen Ujung 0 7,749 -7,749 0
Arah momen ujung sesuai dengan perjanjian tanda, bernilai positif searah
jarum jam dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam bernilai negatif.
V. Analisis Free body
Struktur Statis Tak Tentu 25
5 m 3 m
EIEI
2 T/m8 T/m
3 m
7,749
2,976
8,127
3,45
5,292
6,55
2,708
VI. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
1. Bidang Momen
Balok AB
Mx = RAB.X – ½.q.X2
= 3,45X – ½.2.X2
= 3,45X – X2
Momen Max pada saat dx
dMx = 0
dx
dMx = 3,45 – 2X = 0
2X = 3,45
X = 1,725 m
Maka momen Max. balok AB
Mmax = 3,45(1,725)– (1,725)2
= 2,976 Tm
Balok BC
Mx = RBC.X - MBC
= 5,292.X – 7,749
Mmax = 5,292 x 3 – 7,749
= 8,127 Tm
2. Bidang Lintang
DAB = RA = 3,45 T
DBC = -6,55 +11,842
= 5,292 T
DBA = 3,45 – 2 x 5
= -6,55 T
DCB = 5,292 – 8
= -2,708 T
Struktur Statis Tak Tentu 26
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
P2 = 6 Tq = 3 T/m
A CB
D
P1 = 6 T P3 = 6 T
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
IV. Analisis Struktur Metode Cross
1. Momen Primer
MAB = 2
2
2
2
L
b.a.P
L
b.a.P ; MBA =
2
2
2
2
L
b.a.P
L
b.a.P
= 2
2
2
2
5
1.4.6
5
4.1.6 = -4,8 Tm ; =
2
2
2
2
5
1.4.6
5
4.1.6 =4,8 Tm
MBC = 2
222
L2
)aL(a.P
8
L.q ; MCD = - ½.q.L
2 = -1,5 Tm
= 2
222
4.2
)24.(2.6
8
4.3 =-10,5 Tm ; MCB = -MCD = 1,5 Tm
2. Faktor Kekakuan balok
kBA = L
)EI2(4 (jepit – jepit) ; kBC =
L
)EI5,1(3 (jepit – sendi)
= 5
)EI2(4 = 1,6 EI ; =
4
)EI5,1(3 = 1,125 EI
3. Faktor distribusi balok
EI125,1EI6,1
EI6,1BA
= 0,587 ;
EI125,1EI6,1
EI125,1BC
= 0,413
Struktur Statis Tak Tentu 27
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
P2 = 6 Tq = 3 T/m
A CB
6 ton 6 ton6 ton
3 ton/m
6x4/5+6x1/5 = 6 T
7,706 1,5
6 T
3,347/5 =
0,669 T0,669 T
7,706/5 =
1,541 T 1,541 T
5,128 T
6/2+3x4/2 =
9 T 9 T
7,706/4 =
1,927 T 1,927 T
1,5/4 =
0,375 T 0,375 T
10,552 T6,872 T 7,448 T
3,0x1
= 3 T
3 T
D
P1 = 6 T P3 = 6 T
3 ton/m
4. Tabel distribusi
Titik Kumpul A B C
Balok AB BA BC CB CD
Faktor distribusi - 0,587 0,413 - -
Momen Primer -4,8 4,8 -10,5 1,5 -1,5
Dist 3,346 2,354
Induksi 1,673 0 0,75 0
Dist -0,44 -0,31
Induksi -0,22 0
Momen Ujung -3,35 7,706 -7,706 1,5 -1,5
Arah momen ujung sesuai dengan perjanjian tanda, bernilai positif searah
jarum jam dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam bernilai negatif.
V. Analisis Free body
Struktur Statis Tak Tentu 28
2EI 1,5EI
31 1 2 2 1
6 ton 6 ton6 ton
3 ton/m
A CB
3,35
1,781
0,826
7,697
7,401
1,5
5,131
-0,869
-6,869
10,549
-7,451
3
4,549
-1,451
VI. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
1. Bidang Momen
Balok AB
MP1 = RAB.XP1 - MA
= 5,131 x 1 – 3,35
= 1,781 Tm
MP2 = RAB.X P2 - P1.X - MA
= 5,131 x 4 – 6 x 3 - 3,35
= -0,826 Tm
MP1 dan MP2 masing-masing adalah
momen di bawah beban P1 dan P2.
Balok BC
MP3 = RBC.X – ½ q.X2 - MBC
= 10,549 x 2 – ½ .3.22 – 7,697
= 7,401 Tm
2. Bidang Lintang
DAB = RA = 5,131T
DP3 = 10,549 – 3x2 – 6 = -1,451 T
DP1 = 5,131 – 6 = -0,869 T
DCB = -1,451 – 3x2 = -7,451 T
DP2 = -0,869 – 6 = -6,869 T
DCD = -7,451 + 10,451 = 3 T
DBC = -6,869 +17,418 = 10,549 T
DD = 3 – 3.1 = 0 (OK)
Struktur Statis Tak Tentu 29
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
10EI 2EI3EI
12 m 24 m 4 m 8 m 3 m
A B C DE
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Cross
1. Momen Primer
MBA = 8
L.q 21 =
8
12.3 2
= 54 kgm ; MBC = 2
222
L
b.a.P
12
L.q
MCB = 2
222
L
b.a.P
12
L.q =
2
22
24
12.12.20
12
24.2 =-156
= 2
22
24
12.12.20
12
24.2 = 156 kgm MCD =
2
22
L2
)aL.(a.P
= 2
22
12.2
)812.(8.18 = -40 kgm
MDC = -MDE = P3.L = 6.3 = 18 kgm
2. Faktor Kekakuan balok
kBA = 12
)EI3(3= 0,75 EI ; kBC =
24
)EI10(4 = 1,667 EI
kCD = 12
)EI2(3 = 0,5 EI
Struktur Statis Tak Tentu 30
3. Faktor distribusi balok
EI667,1EI75,0
EI75,0BA
= 0,310 ;
EI667,1EI75,0
EI667,1BC
= 0,690
EI5,0EI667,1
EI667,1CB
= 0,769 ;
EI5,0EI667,1
EI5,0CD
= 0,231
4. Tabel distribusi
Titik Kumpul B C D
Balok BA BC CB CD DC DE
Faktor distribusi 0,310 0,690 0,769 0,231 1 -
Momen Primer 54 -156 156 -40 18 -18
Distribusi 31,62 70,38 -89,204 -26,796
Induksi -44,602 35,19 9
Distribusi 13,827 30,775 -33,982 -10,208
Induksi -16,991 15,387
Distribusi 5,267 11,724 -11,833 -3,554
Induksi -5,917 5,862
Distribusi 1,834 4,083 -4,508 -1,354
Induksi -2,254 2,042
Distribusi 0,699 1,555 -1,570 -0,472
Induksi -0,785 0,778
Distribusi 0,243 0,542 -0,598 -0,180
Induksi -0,299 0,271
Distribusi 0,093 0,206 -0,208 -0,063
Induksi -0,104 0,103
Distribusi 0,032 0,072 -0,079 -0,024
Induksi -0,040 0,036
Distribusi 0,012 0,028 -0,028 -0,008
Induksi -0,014 0,014
Distribusi 0,004 0,010 -0,011 -0,003
Induksi -0,005 0,005
Distribusi 0,002 0,003 -0,004 -0,001
Induksi -0,002 0,001
Distribusi 0,001 0,001 -0,001 0
Momen Ujung 107,634 -107,634 73,663 -73,663 18 -18
Struktur Statis Tak Tentu 31
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
10EI 2EI3EI
12 m 24 m 4 m 8 m 3 m
A B C DE
q1 = 3 Kgq2 = 2 Kg
P1 = 20 KgP2 = 18 Kg P3 = 6 Kg
6 Kg
6 Kg
107,698 73,61518
3x12/2 =
18 kg18 kg
107,698/12 =
8,975 kg
2x24/2 +20/2=
34 kg
107,698/24 =
4,487 kg
73,615/24 =
3,067 kg
18x8/12 =
12 kg
73,615/12 =
6,135 kg
18/12 =
1,5 kg
6,135 Kg
1,5 Kg
34 Kg
4,487 Kg
3,067 Kg
8,975 Kg
18x4/12 =
6 kg
9,025 Kg 26,975 Kg 35,420 Kg 16,635 Kg32,58 Kg 1,365 Kg
P1 = 20 Kg
q2 = 2 Kgq1 = 3 Kg
P2 = 18 Kg
10EI 2EI3EIA B C D
E
9,025
26,975
35,420
11,420
8,580
32,580
16,635
1,365
6
107,698
73,615
173,342
7,075 18
13,575
II. Analisis Free body
III. Gambar bidang Momen
dan bidang lintang
struktur
BID. M
BID. D
Struktur Statis Tak Tentu 32
q1 = 1,2 kg/m
4 m 12 m 16 m 6 m 6 m
2EI 4EI 3EI
3 kg 8 kg
( 1 )
q1 = 1,2 kg/m
4 m 12 m 16 m 6 m 6 m
2EI 4EI 3EI
3 kg 8 kg
( 2 )
q1 = 3 kg/mq2 = 6 kg/m 36 kg
EI EI EI
16 m 24 m 12 m
( 3 )
q1 = 3 kg/mq2 = 6 kg/m 36 kg
EI 3EI EI
16 m 24 m 12 m
( 4 )
q1 = 1,2 kg/m
4 m 12 m 16 m 6 m 6 m
3 kg 8 kg
( 5 )
I = Konstan
Balok AB = 40/75
Balok BC = 60/100
Balok CD = 40/75
A B C D
Analisis dan Gambar diagram M dan D struktur balok menerus di bawah ini
dengan metode Cross !
Struktur Statis Tak Tentu 33
P = 10 Kgq = 4 kg/m
EI EI
EI2EI
AB C
D E
5 m 6 m
6 m
ANALISIS STRUKTUR PORTAL TAK BERGOYANG
dengan METODE DISTRIBUSI MOMEN (Metode Cross)
Diketahui struktur portal tak bergoyang seperti pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M, D dan N struktur tsb dengan metode Cross !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Cross
1. Momen Primer
MAB =12
L.q 2
= 12
5.4 2
= -8,33 kgm; MBC = 8
L.P =
8
6.10 = -7,5 kgm
MBA = 8,33 kgm ; MCB = 7,5 kgm
2. Faktor Kekakuan balok
kAB = 5
)EI(4 = 0,8 EI ; kBC =
6
)EI(4 = 0,67 EI
kBD = 6
)EI2(4 = 1,33 EI ; kCE =
6
)EI(4 = 0,67 EI
Struktur Statis Tak Tentu 34
3. Faktor distribusi balok
EI33,1EI67,0EI8,0
EI8,0BA
= 0,28 ;
EI33,1EI67,0EI8,0
EI67,0BC
= 0,24
EI33,1EI67,0EI8,0
EI33,1BD
= 0,48 ;
EI67,0EI67,0
EI67,0CB
= 0,5
EI67,0EI67,0
EI67,0CE
= 0,5
4. Tabel distribusi
Ttk
Kumpul A B C D E
Balok AB BA BC BD CB CE DB EC
Koef. distr 1 0,28 0,24 0,48 0,5 0,5 1 M. Primer -8,33 8,33 -7,5 7,5
Dist -0,23 -0,20 -0,40 -3,75 -3,75
Induksi -0,115 -1,875 -0,1 -0,2 -1,875
Dist 0,525 0,45 0,90 0,05 0,05
Induksi 0,263 0,025 0,225 0,45 0,025
Dist -0,007 -0,006 -0,012 -0,113 -0,112
Induksi -0,0035 -0,057 -0,003 -0,006 -0,056
Dist 0,016 0,014 0,027 0,002 0,001
Momen
Ujung -8,186 8,634 -9,149 0,515 3,811 -3,811 0,25 -1,85
Struktur Statis Tak Tentu 35
P = 10 Kgq = 4 kg/m
EI EI
EI2EI
AB C
D E
5 m 6 m
6 m
q = 4 kg/mP = 10 Kg8,186 8,634 9,149
0,515
0,25
3,811
1,85
3,811
10 10
1,64 1,64
1,73 1,73
9,91 10,09
10,09
5 5
1,52 1,52
0,64 0,64
5,88 4,12
5,88
4,12
15,97 4,12
0,09
0,090,04
0,040,13
0,13
0,64
0,95
0,95 0,31
0,640,31
0,950,95
0,13
0,820,820,95
II. Analisis Free body
Struktur Statis Tak Tentu 36
AB C
D E
AB
C
D E
AB C
D E
Bid. M
Bid. D
Bid. N
8,1868,634
4,09
9,149
3,811
3,811
1,850,25
9,91
10,09
5,88
4,12
0,9
5
0,1
3
+0,82+0,95
-15,9
7
-4,1
2
III. Gambar M, D dan N
Struktur Statis Tak Tentu 37
P2 = 120 kNP1 = 96 kN
2EI 2EI
1,5EI
5 m 5 m 4 m 6 m
6 m
A BC
D
Diketahui struktur portal tak bergoyang seperti pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M, D dan N struktur tsb dengan metode Cross
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Cross
1. Momen Primer
MBA = 2
221
L2
)aL.(a.P =
2
22
10.2
)510.(5.96 = 180 kN ;
MBC = 2
22
L
b.a.P =
2
2
10
6.4.120 = -172,8 kN
MCB = 2
22
L
b.a.P =
2
2
10
6.4.120 = 115,2 kN
2. Faktor Kekakuan balok
kAB = 10
)EI2(3 = 0,6 EI ; kBC =
10
)EI2(4 = 0,8 EI
kCD = 6
)EI5,1(4 = 1 EI
Struktur Statis Tak Tentu 38
3. Faktor distribusi balok
EI8,0EI6,0
EI6,0BA
= 0,429 ;
EI8,0EI6,0
EI8,0BC
= 0,571
EI1EI8,0
EI8,0CB
= 0,444 ;
EI1EI8,0
EI1CD
= 0,556
4. Tabel distribusi
Ttk Kumpul B C D
Balok BA BC CB CD DC
Koef. distribusi 0,429 0,571 0,444 0,556
M. Primer 180 -172,8 115,2
Dist -3,089 -4,111 -51,149 -64,051
Induksi -25,575 -2,056 -32,025
Dist 10,972 14,603 0,913 1,143
Induksi 0,456 7,301 0,572
Dist -0,196 -0,260 -3,242 -4,059
Induksi -1,621 -0,130 -2,029
Dist 0,695 0,926 0,058 0,072
Induksi 0,029 0,463 0,036
Dist -0,012 -0,017 -0,206 -0,257
Induksi -0,103 -0,008 -0,128
Dist 0,044 0,059 0,004 0,004
Induksi 0,002 0,029 0,002
Dist -0,001 -0,001 -0,013 -0,016
Momen Ujung 188,413 -188,413 67,164 -67,164 -33,572
Arah momen ujung sesuai dengan perjanjian tanda, bernilai positif
searah jarum jam dan sebaliknya berlawanan arah jarum jam bernilai
negatif.
Struktur Statis Tak Tentu 39
P2 = 120 kNP1 = 96 kN
2EI 2EI
1,5EI
5 m 5 m 4 m 6 m
6 m
A BC
D
48 48
P1 = 96 kN P2 = 120 kN
18,841 18,841
29,159 66,841
72 48
18,841 18,841
6,7166,716
35,875
35,875
84,125
35,875
11,194 5,595
11,194 5,595 16,789
16,789
16,789
33,572
67,164
67,164188,413188,413
16,789
16,789
II. Analisis Free body
Reaksi Perletakan struktur :
RAV = 29,159 kN ; RAH = 16,789 kN
RBV = 66,841 + 84,125 ; RBH = 16,789 kN ; MB = 188,413 kNm
= 150,966 kN
RCV = 35,875 kN ; RCH = 16,789 kN ; MC = 67,164 kNm
RDV = 35,875 kN ; RDH = 16,789 kN ; MC = 33,572 kNm
Struktur Statis Tak Tentu 40
A BC
D
145,795148,087
188,413
67,164
33,572
Bid. M
Bid. D
Bid. N
-16,789
+3
5,8
75
29,159
66,841
84,125
35,875
16,7
89
III. Gambar M, D dan N
Struktur Statis Tak Tentu 41
40 kN
3EI5
m2EI
5 m 5 m
A
B C
40 kN
3EI
5 m2EI
5 m 5 m
A
B C
40 kN
3EI
6 m2EI
5 m 5 m
A
B C
q = 24 kN/m
5EI B
2EI
A
C
D
10 m 2 m
5 m
20 kN/m
3EI B
2EI
AC
D
3 m 6 m5 m
6 m
40 kN
2EI
15 kN/m
3EIB
A
C
D
3 m 8 m
6 m
6 m
5 kN
2EI
1,5EI 1,5EI
E
F
1,5 m
2
1
3
4
5
6
Analisis dan Gambar diagram M, D dan N struktur portal tak bergoyang di
bawah ini dengan metode Cross !
Struktur Statis Tak Tentu 42
ANALISIS STRUKTUR BERGOYANG
dengan METODE DISTRIBUSI MOMEN
Prosedur Analisis :
I. Analisis Struktur metode Cross
1. Hitung momen primer setiap balok akibat beban
2. Hitung nilai kekakuan lentur setiap balok
3. Hitung koefisien distribusi balok pada setiap titik kumpul
4. Buat Tabel Cross I dan lakukan distribusi momen akibat beban luar
5. Berikan perpindahan pada struktur lalu hitung momen primernya.
6. Buat Tabel Cross II dan lakukan distribusi momen akibat pergoyangan
7. Susun dan selesaikan persamaan keseimbangan (H = 0) akibat momen
ujung beban luar dan perpindahan untuk memperoleh nilai k.
H = 0
F + RH1 + k (RH2) = 0
dimana :
F = Jumlah beban luar arah horisontal
RH1 = Jumlah reaksi tumpuan horisontal akibat beban luar
RH2' = Jumlah reaksi tumpuan horisontal akibat pergoyangan
8. Jumlahkan momen ujung akibat beban luar (Tabel I) )dan momen ujung
akibat perpindahan (Tabel II) untuk mendapatkan momen ujung akhir
MiAkhir = Mi1 + k Mi2
Dimana :
MiAkhir = Momen ujung dititik i
Mi1 = Momen ujung dititik i akibat beban luar
Mi2 = Momen ujung dititik i akibar pergoyangan
9. Bila lebih dari satu perpindahan, buat lagi Tabel Cross III dan
seterusnya kemudian ikuti langkah 7 - 9 di atas.
II. Analisis Free body
III. Gambar Bidang Momen, Lintang dan Normal
Struktur Statis Tak Tentu 43
P2 = 96 kN
P1 = 48 kN
2EI
EI EI
3 m
3 m 3 m
4,5
m
5 m
A
B C
D
.
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Cross
a. Momen Primer
MAB = 2
2
L
b.a.P =
2
2
5,7
3.5,4.48 = -34,56 kNm
MBA = 2
2
L
b.a.P =
2
2
5,7
3.5,4.48 = 51,84 kNm
- MBC = MCB = 2
2..
L
baP =
2
2
6
3.3.96 = 72 kNm
b. Kekakuan Balok
kAB = 5,7
EI4 = 0,533 EI ; kBC =
6
)EI2(4 = 1,333 EI
kCD = 5
EI4 = 0,8 EI
c. Faktor distribusi balok
EI333,1EI533,0
EI533,0BA
= 0,286 ;
EI333,1EI533,0
EI333,1BC
= 0,714
EI8,0EI333,1
EI333,1CB
= 0,625 ;
EI8,0EI333,1
EI8,0CD
= 0,375
Struktur Statis Tak Tentu 44
EI
EI
A
B C
D
2EI
d. Tabel Cross I
Titik Kumpul A B C D
Balok AB BA BC CB CD DC
Faktor distribusi - 0,286 0,714 0,625 0,375 -
Momen Primer -34,56 51,84 -72 72 0 0
2,883 5,766 14,394 7,197
-24,749 -49,498 -29,699 -14,849
3,539 7,078 17,671 8,835
-2,761 -5,522 -3,313 -1,657
0,395 0,790 1,971 0,986
-0,308 -0,616 -0,370 -0,185
0,044 0,088 0,220 0,110
-0,034 -0,069 -0,041 -0,021
0,005 0,010 0,024 0,012
-0,004 -0,007 -0,005 -0,002
0 0,001 0,003 0,001
-0.001 0
Momen Ujung -27,694 65,573 -65,573 33,428 -33,428 -16,714
e. Translasi struktur
Perpindahan sebesar 100 kNm3/EI dikerjakan pada balok seperti pada
gambar berikut :
Sehingga momen primer akibat perpindahan tersebut adalah :
MAB = MBA = 2L
.EI.6 =
25,7
100.EI.6 = -10,667 kNm
MCD = MDC = 25
100.EI.6 = -24 kNm
Struktur Statis Tak Tentu 45
A
D
27,694
65,573 33,428
16,714
HA1
HD1
14,149
48 kN
10,028
AD
10,157
9,647 15,478
19,740
HA2
HD2
2,641
7,044
f. Tabel Cross II
Titik Kumpul A B C D
Balok AB BA BC CB CD DC
Faktor distribusi - 0,286 0,714 0,625 0,375 -
Momen Primer -10,667 -10,667 -24,000 -24,000
1,525 3,051 7,616 3,808
6,310 12,620 7,572 3,786
-0,902 -1,805 -4,505 -2,253
0,704 1,408 0,845 0,422
-0,101 -0,201 -0,503 -0,251
0,079 0,157 0,094 0,047
-0,011 -0,022 -0,057 -0,028
0,009 0,018 0,010 0,005
-0,001 -0,003 -0,006 -0,003
0,001 0,002 0,001 0
0 -0,001
Momen Ujung -10,157 -9,647 9,647 15,478 -15,478 -19,740
Persamaan keseimbangan akibat beban luar dan akibat perpindahan
a. Reaksi akibat beban luar b. Reaksi akibat goyangan
H = 0
48 – (HA1 + HD1) - k (HA2 + HD2) = 0
48 – (14,149 + 10,028) – k (2,641 + 7,044) = 0
9,685 k = 48 – 24,177
k = 2,46
Maka momen ujung akhir pada struktur portal di atas adalah :
MAB = MAB1 + k MAB2
= -27,694 + 2,46 x -10,157
= -52,680 kNm
Struktur Statis Tak Tentu 46
A
D
52,680
41,841 71,504
65,174
20,645
48 kN
27,355
96 kN
71,50441,841
27,355
27,355
27,355
27,355
43,056 52,944
52,94443,055
43,056
52,944
52,680
40,223
41,841
65,274
71,504
87,327
43,056
52,944
20,645
27,355
27,355
-43
,05
6
-52
,94
4
-27,355
Untuk nilai momen ujung yang lain dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Titik Kumpul A B C D
Balok AB BA BC CB CD DC
Momen Tabel I -27,694 65,573 -65,573 33,428 -33,428 -16,714
Momen Tabel II -10,157 -9,647 9,647 15,478 -15,478 -19,740
Momen Ujung -52,680 41,841 -41,841 71,504 -71,504 -65,274
II. Analisis Free body
III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
BID. M BID. D
BID. N
Struktur Statis Tak Tentu 47
3 ton/m
1,5 m 5 m 3 m
4 m
A
B C
D
E
EI
2EI
EI
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta :
1. Hitung dan gambar bidang M dan D dengan metode Cross !
2. Hitung pula reaksi perletakan struktur tersebut !
Penyelesaian :
I. Analisis Struktur Metode Clapeyron
1. Momen Primer
MBE = ½ .q. L2
= ½ . 3 . 1,52 = 3,375 Tm
-MBC = MCB = 12
5.3 2
= 6,250 Tm
2. Faktor Kekakuan balok
kBA =4
)EI(3 = 0,75 EI ; kBC =
5
)EI2(4= 1,6 EI
kCD = 5
)EI(4 = 0,8 EI
3. Faktor distribusi balok
EI6,1EI75,0
EI75,0BA
= 0,319 ;
EI6,1EI75,0
EI6,1BC
= 0,681
EI8,0EI6,1
EI6,1CB
= 0,667 ;
EI8,0EI6,1
EI8,0CD
= 0,333
Struktur Statis Tak Tentu 48
C
C’
B’
4 m
3 m
4. Tabel Cross I
Titik Kumpul B C D
Balok BA BE BC CB CD DC
Faktor distribusi 0,319 0 0,681 0,667 0,333 -
Momen Primer 3,375 -6,250 6,250
0,917 - 1,958 0,979
-2,411 -4,822 -2,407 -1,204
0,769 1,642 0,821
-0,274 -0,548 -0,273 -0,137
0,088 0,186 0,093
-0,031 -0,062 -0,031 -0,016
0,010 0,021 0,011
-0,004 -0,007 -0,004 -0,002
0,001 0,003 0,001
-0,001
Momen Ujung 1,785 3,375 -5,160 2,715 -2,715 -1,359
a. Translasi struktur
Perpindahan sebesar 100 Tm3/EI dikerjakan pada balok seperti pada
gambar berikut :
Panjang CC’ bisa diperoleh dengan menggunakan perbandingan segitiga
sbb :
'CCCD
4
'CC5
4 CC’ = 5/4
Sehingga momen primer akibat perpindahan tersebut adalah :
MBA = 2L
.EI.3 =
24
100.EI.3 = -18,75 Tm
MCD = MDC = 2L
'CC.EI.6 =
25
)100.4/5.(EI.6 = -30 Tm
Struktur Statis Tak Tentu 49
HA1 HD1 HA2 HD2
15,60521,129
25,5633,901
15,605 21,129
7,0117,989
7,347
3 ton/m
1,782
5,1572,714
2,7141,351
7,011
0,446 6,275
7,3477,347
17,183
b. Tabel Cross II
Titik Kumpul B C D
Balok BA BE BC CB CD DC
Faktor distribusi 0,319 0 0,681 0,667 0,333 -
Momen Primer -18,750 ? -30,000 -30,000
5,981 12,769 6,384
7,876 15,752 7,864 3,932
-2,512 -5,363 -2,682
0,894 1,789 0,893 0,447
-0,285 -0,609 -0,305
0,102 0,203 0,101 0,051
-0,032 -0,069 -0,035
0,012 0,023 0,012 0,006
-0,004 -0,008 -0,004
0,001 0,003 0,001 0,001
-0,001
Momen Ujung -15,605 - 15,605 21,129 -21,129 -25,563
7. Persamaan keseimbangan akibat beban luar dan akibat perpindahan
a. Reaksi akibat beban luar b. Reaksi akibat goyangan
a. Reaksi akibat beban luar
Free body AB
HA1 = 1,782/4
= 0,446 T
Free Body BC
RCV = 5
)714,2157,5(
2
5x3 = 7,011 T
Struktur Statis Tak Tentu 50
Free Body CD
Mc = 0
RDV x 3 + MDC + MCD – HD1 x 4 = 0
7,011x3 + 1,351 + 2,714 – HD1 x 4 = 0
HD1 = 4
098,25 = 6,275 T
b. Reaksi akibat goyangan
Free body AB
HA2 = 15,605/4
= 3,901 T
Free Body BC
RCV = 5
)129,21605,15( = 7,347 T
Free Body CD
Mc = 0
RDV x 3 + MDC + MCD – HD2 x 4 = 0
7,347x3 + 25,563 + 21,129 – HD2 x 4 = 0
HD2 = 4
733,68 = 17,183 T
Keseimbangan horisontal struktur secara keseluruhan :
H = 0
(HA1 + HD1) + k (HA2 + HD2) = 0
(0,446 - 6,275) + k (-3,901 - 17,183) = 0
-21,084 k = 5,829
k = -0,2765
Maka momen ujung akhir pada struktur portal di atas adalah :
MBA = MBA1 + k MBA2
= 1,782 + (-0,2765) x -15,605
= 6,097 kNm
Untuk nilai momen ujung yang lain dapat dilihat pada tabel di bawah
ini.
Titik Kumpul B C D
Balok BA BE BC CB CD DC
Momen Tabel I 1,782 3,375 -5,157 2,714 -2,714 -1,351
Momen Tabel II 4,315 0 -4,315 -5,842 5,842 7,068
Momen Ujung 6,097 3,375 -9,472 -3,128 3,128 5,717
Struktur Statis Tak Tentu 51
4,9810,02
3 ton/m
6,097
9,4723,128
3,1285,717
1,524
3,375
1,524
1,524 1,524
1,524
1,524
3 ton/m
4,54,5
10,02
14,52
4,98
4,98
7,261
5,717
3,128
6,097
3,375
9,472
1,524
4,5
10,02
4,98
-14,5
2
-1,524
-5,203
2,074
II. Analisis Free body
Berdasarkan Gambar analisis Free body, komponen reaksi perletakan
portal bergoyang tersebut adalah :
RAV = 14,52 T ; RAH = 1,524 T
RDV = 4,98 T ; RDH = -1,524 T ; MD = 7,706 Tm
III. Gambar bidang Momen dan bidang lintang struktur
Struktur Statis Tak Tentu 52
2EI 2EI
3EI
1,5 6 m 1,5
4 m6 T
4 T8 T/m
24 T/m
2EI 2EI
1,5EI 1,5EIEI
6 m 6 m
3,5
m1
m
24 T/m
2EI 2EI
1,5EI 1,5EIEI
6 m 6 m
3,5
m1
m
8 T
8 T
12 T
EI
2EI
EI
8 m3 m
4 m
6 m
8 T
12 T
EI
2EI
EI
5 m3 m
4 m
3 m
1 2
3 4
5
Hitung reaksi perletakan dan gambarkan bid Momen, Lintang dan Normal
struktur di bawah ini.
Struktur Statis Tak Tentu 53
A
B
C
D
E
HB1 HD1 HB2 HD2 HB3 HD3
+ +
=
4.2 Analisis Struktur Gable Frame
Pendekatan dasar yang dipakai dalam analisis Gable Frame degan
derajat kebebasan goyangan kesamping sebesar melibatkan dua tumpuan
tambahan yang mencegah dua goyangan bebas tersebut.
Prosedur analisisnya sebagai berikut :
a. Dengan menahan goyangan titik B dan D kesamping, distribusikan momen-
momen akibat beban yang bekerja.
b. Distribusikan momen yang terjadi akibat goyangan (1) dititik B dilepas
sedangkan D tetap ditahan.
c. Distribusikan pula momen yang terjadi akibat goyangan (2) dititik D
dilepas sedangkan B ditahan.
d. Momen-momen ujung Persamaan kedua kondisi geser yang dapat dipakai
untuk mendapatkan nilai k1 dan k2 adalah :
HB1 = k1.HB2 + k2.HB3
HD1 = k1.HD2 + k2.HD3
e. Momen akhir struktur gable frame adalah jumlah momen-momen ujung dari
ketiga kondisi di atas dengan memasukkan nilai k1 dan k2 yang telah
diperoleh pada langklah sebelumnya.
Mi-Akhir = Mi-1 + k1.Mi-2 + k2.Mi-3
Struktur Statis Tak Tentu 54
A
B
C
D
E
3 ton/m
A
B
C
D
E
3 ton/m
12 m
6 m
2 m
6 m
2 m
6 m 3 m 3 m
6 T
A
B
C
D
E
6 m
2 m
12 m
8 T
1 2
3
.
Hitung reaksi perletakan dan gambarkan bid Momen, Lintang dan
Normal struktur di bawah ini.