1

HASSAS (ANALİTİK) OLMAYAN ORTALAMALAR

1. Mod: Bir seride en çok tekrarlanan değere mod denir. Serinin tümdeğerlerini almayan bir başka ölçü de moddur. Mod seride en çoktekrarlanan değişkenin değeri olarak tarif edilebilir (frekans yoğunluğununen yüksek olduğu değer). Bir seride birden çok mod veya maksimumolabilir.

İstatistik 3.hafta Yrd.Doç.Dr.Nil TOPLAN

2

Modun özellikleri:

1. Aritmetik ortalama ve medyandan daha az bilinir.

2. Bazı veriler için olmayabilir veya çift tepeli dağılımlarda yeniden gruplama yapılmadan hesaplanamaz.

3. Açık uçlu dağılımlar için de hesaplanabilir.

4. Aykırı ve uç değerlerden etkilenmez.

Örnek:Xi : 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6

Xi: 2 3 3 3 4 4 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9

Verilen basit serinin modunu bulunuz ?

En çok tekrarlanan değer 7 olduğundan serinin modu Mod = 7

mod = 6

3

Frekans Seride Mod Hesabı:

Örnek:

Xi fi

2 15

3 3

4 36

6 27

Verilen frekans Serisinin modunu bulunuz?

Mo = 4

Xi fi

10 5

14 8

17 8

22 2

Sınıflar fi

5 – 11 den az 5

11 - 17 den az 8

17 – 23 den az 10

Bu durumda (8,8) seri Gruplanmışseriye çevrilir.

4

Gruplanmış Seride Mod Hesabı:

l : mod sınıfının alt sınırı, s: Seride sabit sınıf aralığı

1:Mod sınıfının frekansı ile bir önceki sınıfın frekansı arasındaki fark

2:Mod sınıfının frekansı ile bir sonraki sınıfın frekansı arasındaki fark

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔΔ

+=+ 21

1.slMo

5

Örnek :

Sınıflar fi

0 – 2’den az 3

2 – 4’den az 2

4 – 6’ dan az 4

6 – 8’den az 1

8,432

224.21

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔΔ

+=+

slMo

Su Tüketimi(t) Konut Sayısı

10 – 20 den az 20

20 – 30 dan az 40

30 – 40 dan az 35

40 – 50 den az 15

28520

201020.21

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔΔ

+=+

slMo

6

Örnek :

Su Tüketimi(t) Konut Sayısı

10 – 15’den az 5

15 – 20’den az 10

20 – 25’den az 15

25 – 30’dan az 12

30 – 40’dan az 20

40 – 50’den az 18

Serinin düzenlenmişhali

Su Tüketimi Konut Sayısı

10 – 20’den az 15

20 – 30’dan az 27

30 – 40’dan az 20

40 – 50’den az 18

316,26712

121020.21

1=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔΔ

+=+

slMo

7

2. Medyan

Küçükten büyüğe doğru sıralanan verileri iki eşit parçaya bölen ortanca değere medyan denir. Seriyi 2 eşit parçaya böldüğü için medyan aynızamanda kantil (bölen) dir. Serideki terim sayısı çift sayı olursa ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması alınır.

•Anlaşılmaları kolaydır.

•Gözlemlerin değerlerinden değil, sayısından etkilenir.

•Asimetrisi yüksek dağılımlar içinde uygundur.

•Açık uçlu dağılımlar için de hesaplanabilir.

•İstatistiksel çıkarmalar için aritmetik ortalamadan daha az güvenilirdir.

8

Basit Seride Medyan:

Serideki terim sayısı tek ise medyan (n+1)/2 ’ inci sıradaki değerdir.Serideki terim sayısı çift ise n/2 ve (n+2)/ 2’inci değerlerin ortalamasıdır.

Örnek: Aşağıdaki serinin medyanını bulunuz?Xi 3 5 8 10 12 16 20 21 24 26 29 30 35

Md: (13+1)/2=7. sıradaki değer serinin medyanıdır. Md= 20

Örnek: Xi: 5 8 10 12 16 20 21 25 serisinin medyanınıbulunuz ?

n=8 olduğundan n/2 ile (n+2/2)’inci değerlerin ortalaması alınır.

n/2=8/2=4. değer (n+2)/2=10/2=5.değer

Medyan serinin 4. ve 5. değerlerinin ortalamasıdır. Md=(12+16)/2=14

9

Örnek: Aşağıda verilen serilerin medyanlarını bulunuz?Xi 2 4 7 11 13 13 17

Yi 3 9 13 17 19 19 23 24

Xi serisi 7 birimli olduğundan (n+1) / 2 = 4. sıradaki değer Md = 11

Yi serisi 8 birimli olduğundan; n / 2 = 8 / 2 = 4. değer

(n+2) / 2=5.değer Medyan serinin 4. ve 5. değerlerinin ortalamasıdır.

Md: (17+19) / 2 = 36 / 2 = 18

10

Frekans Serilerinde Medyan: Mevcut seride (n+1) / 2 . terimi tespitetmek zor olduğu için frekanslar kümülatif frekanslar şeklinedönüştürülerek medyana karşı gelen terim bulunur. Artan birikimli frekanslar hesaplandıktan sonra seri birim sayısının yarısı (n/2) bulunarak, bu değerlerin artan birikimli frekanslar sütununda hangi aralıkta yer aldığı belirlenir. Bu şekilde belirlenen aralığın büyük değeri karşısındaki X değeri serinin medyanını verecektir.

Örnek:

Xi fi Artan birikimli f.10 8 811 13 2112 19 4013 15 5514 12 6716 3 70Σ 70

N / 2= 70 / 2 = 35

35 artan birikimli frekanslar sütununda 21- 40 değerleri arasında yer aldığından 40’ın karşısındaki 12 değeri serinin medyanıdır.

Md=12

11

Örnek:

Xi fi Artan birikimli f.5 2 26 4 67 6 128 3 159 1 16Σ 16

n / 2 = 16 / 2 = 8.inci sıradaki değer medyandır.

Md = 7

12

Örnek : Verilen serilerin medyanlarını hesaplayınız ?

Xi fi Artan birikimli f. Xi fi Artan birikimli f.

11 2 2 13 3 3

22 3 5 24 6 9

34 4 9 37 4 13

45 2 11 48 5 18

Σ 11 Σ 18

A serisi B serisi

n / 2 = 11/ 2 = 5.5 .inci sıradaki değer

Md = 34

n/2= 18/2=9.uncu sıradaki değer

Md = (24+37) / 2 = 30.5

13

Gruplanmış Serilerde Medyan Hesabı :

Md = l+ s.[(N/2 – Na) / Nm]

l : medyan sınıfının alt sınırı

S : medyan sınıfının genişliği (aralığı)

N : toplam frekans sayısı (Σfi)

Na: medyan sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansını

Nm: medyan sınıfının frekansını göstermektedir.

Not: Medyan değeri medyan sınıfının alt sınırından küçük ve üst sınırından büyük olamaz.

14

Örnek:

Sınıflar fi ∑ fi

0 – 2’den az 4 4

2 –4’ den az 3 7

4 – 6’dan az 1 8

6 – 8’den az 2 10

N 10

( ) 67,23

45.222.

.52

102

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

==

m

a

eN

NN

slM

terimN

Medyan sınıfını belirlemek için, önce n/2 değerinin artan birikimli frekanslar sütununda yer aldığı aralık belirlenir. Örnekte 5. terim medyandır ve 2-4’den az sınıfında yer almaktadır. Formül yardımı ile tam değeri bulunur.

15

Örnek:

Sınıflar fi∑ fi

4- 7’den az 8 8

7 – 10’dan az 513

10 – 13’den az 215

N 15

( ) 81,68

05,7.34N

N2N

.slM

5,72

152N

m

a

e =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

==

16

Örnek:

Gelir Fert sayısı ∑ fi

80 – 120 den az 20 20

120 – 160 dan az 50 70

160 – 200 den az 40 110

200 – 240 dan az 15 125

240 – 280 den az 10 135

N 135

( ) 15850

205,67.40120N

N2N

.slM

5,672

1352N

m

a

e =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

==

17

3. Kantiller

Bir seriyi dört eşit parçaya bölen değere kartil denir.

Bir seriyi on eşit parçaya bölen değere desil denir.

Bir seriyi yüz eşit parçaya bölen değere persantil denir.

Basit Seride Kartil:

Xi: 11 22 34 46 57 N: terim sayısı = 5

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

45

4N

Q1 = 1,25’inci terim Q1= 1. terim = 11

Q3 = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

415

4.3 N

3,75’inci terim Q3 = 4. terim = 46

18

Q2 = (n+1) / 2= 6 / 2 = 3.terim Q2=34= medyan

Frekans Seride Kartil:

Xi fi ∑fi

11 2 222 3 534 4 945 2 11N 11

Q1 = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

411

4N

2.75 yaklaşık 3 --- Q1 = 22

Q3 = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

433

4.3 N 8,25 yaklaşık 8 --- Q3 = 34

Q2=34= medyan

19

Gruplanmış Serilerde Kartil Hesabı:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=q

a

1N

N4N

.slQ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=q

a

3N

N4N3

.slQ

2. kartil medyana eşittir.

Na: kartil sınıfından bir önceki sınıfın kümülatif frekansıNq : kartil sınıfının frekansı

20

Örnek : Verilen serinin kartillerini hesaplayınız ?

Sınıflar fi ∑fi0-2’den az 4 4

2-4’den az 3 7

4-6’dan az 1 8

6-8’den az 2 10

∑fi=10

Q1 için: N / 4 = 10 / 4=2.5.terim Artan birikimli frekans sütununda 2.5 uncu terim 0-2’den az sınıfında olup; bu sınıf kartil sınıfıdır. Formül yardımı ile kartilin değeri hesaplanır.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=q

a

1N

N4N

.slQ Q1=0+2 [ (2.5 - 0) / 4] = 1.25

21

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=q

a

N

NN

slQ 2.2 Q2 için N / 2 = 10 / 2 = 5.ci terim (2-4) sınıfında yer almakta olup;

2. kartil: Q2= 2 + 2 [ (5-4) / 3 ] = 2.67

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=q

a

N

NN

slQ 43

.3

Q3 için 3N / 4 = 30 / 4 = 7.5’inci terim (4-6) sınıfındadır

Q3 = 4 + 2 [(7.5 - 7) / 1] = 5

22

Uygulama 1 : Bir bölgedeki 108 ailenin yıllık gelirlerine göre dağılımıtabloda görülmektedir. Aritmetik ortalama , Medyan ve Mod değerlerinihesaplayınız?

Gelir(*10 YTL) Frekans mi mi.fi ∑fi

20 - 60 dan az 17 40 680 17

60 - 100 den az 28 80 2240 45

100-140 dan az 26 120 3120 71

140-180 den az 18 160 2880 89

180-220 den az 7 200 1400 96

220-260 dan az 10 240 2400 106

260-300 den az 2 280 560 108

Toplam 108 13280

23

aritmetik ort = 13280 / 108 = 1229.62 YTL

medyan :108 / 2 = 54, (100 – 140) grubunda ;medyan = 100 + 40 ( 54 - 45 ) / 26 = 1138.46 YTL

mod : mod sınıfı (60 -100)mod = 60 + 40 ( 11 / 11 + 2 ) = 938.46 YTL

24

Uygulama 2 : Verilen serilerin mod, medyan, kartillerini, aritmetik ve kareli ortalamalarını bularak bu iki seriyi kıyaslayınız?

Xi fi yi fi1 1 1 62 3 2 73 4 3 84 5 4 95 6 5 106 8 6 97 10 7 88 7 8 79 2 9 6

25

Uygulama 3 : Mevcut verileri frekans serisi halinde düzenleyerek aritmetik ortalama, mod, medyan, kartilleri ve kareli ortalama değerlerini hesaplayınız?

3 3 1 1 4 7 8 10 1 2

2 2 4 4 4 5 6 7 7 6

2 4 1 5 5 7 9 10 10 10