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Hauptseminar Computer Vision
Geometrie von Objektoberflächen
Vortragender: Hermann MayerBetreuer: Thorsten Schmitt
Folie: 1
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
15. Dezember 2000
Themenübersicht:
• Funktionale Darstellung von Objekten
• Projektion und Rekonstruktion
• Tiefenkarten aus Gradienten
• Gradientenraum
Repräsentation von 3D-Objekten:
• nur begrenzter Speicherplatz
• schnelle Rekonstruktion des Objekts aus gespeicherten Daten
• möglichst gute Annäherung
• Bereitstellung von Werkzeugen zur Objektbearbeitung
Folie: 2
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
15. Dezember 2000
Folie: 3
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
15. Dezember 2000
Lösungsansatz:
Zerlegung des Objekts in Facetten (Polygone)
Facetten sind Ebenen des R3
Folie: 4 15. Dezember 2000
Allgemeines Facettenmodell:
Objektoberfläche wird für einen betrachtetenPunkt P(X0, Y0, Z0) in der lokalen Umgebung
20
20:, YYXXYXM
als Ebene dargestellt
P(X0, Y0, Z0)
ε
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Folie: 5 15. Dezember 2000
Spezielles Facettenmodell - Polygone:Lokale Umgebung als Polygon
Objektoberfläche aus zusammengefügtenplanaren Segmenten
Vorteil: Keine überlappenden Bereiche
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Folie: 6 15. Dezember 2000
Ebenen im R3
Funktionsgleichung:
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rqXpXYXZZ ,
yx
z
rO
Aufpunkt
Folie: 7 15. Dezember 2000
Normalen
Normalenvektor repräsentiert komplanare Ebenen
Steht senkrecht auf der Ebene
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T
Y
Z
X
Zn
1,,
1
1,,
22
YZ
XZ
YZ
XZ
n
nn
T
Einheitsnormale
Folie: 8 15. Dezember 2000
Gradienten
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
Gradient
Normalex
y
z
Steigung der Ebene im R2 (XY-Raum)
Ausrichtung der Ebene
Äquivalenz Normale Gradient
T
Y
Z
X
ZZgrad
,
Folie: 9 15. Dezember 2000
3D-Anstieg
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
s
t
Y
Z
X
Z
Richtungsableitung in der XY-Ebene
sincos
cos1
tan
Y
Z
X
ZXZ
YZ
t
sm
Folie: 10 15. Dezember 2000
Taylorreihe
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f(x)
xx0
xfx
xfxxf
xx
xfxf
00
0
0
;
! 00
0, 0
kn
k
k
xn xxk
xfxT
0lim0
, 0
0
n
xn
xx xx
xTxf
Folie: 11 15. Dezember 2000
Kugel im R3
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Deklination (slant)
Azimut (tilt)
2221 , yxryxz 222
1 , yxryxz bzw.
Tyxryxr
yxn 222,,1
,
Folie: 12 15. Dezember 2000
Grosskreis und Raumwinkel
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A
r
22 2 rF
0
2r
A
Einheit Steradiant
Folie: 13 15. Dezember 2000
Projektion
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t = 0
t = 1
t > 1
ZO = (0,0,0)
Q = (x,y,f)
(0,0,f)
P = (X,Y,Z)
Zxy - EbeneXY - Ebene
xy - Ebene
P
Q
O
tftytxQtOQtOt ,,
Folie: 14 15. Dezember 2000
Verschiedene Kameratypen
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Zentralprojektion Parallelprojektion
Grosser Aufnahmebereich
Skalierung
Einfache Technik
Leichte Berechnungder Bildpunkte
Folie: 15 15. Dezember 2000
Höhen- und Tiefenkarten
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O Bildebene(xy)Objektoberfläche
x
y
d
d Eintrag relativer bzw. absoluter Werte
z.B. bei Parallelprojektion
Folie: 16 15. Dezember 2000
Rückprojektion aus Tiefenkarten
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z.B. bei Zentralprojektion
O Bildebene(xy)
f
dQ(x,y,f)
P(X,Y,Z)
f
xdxX
f
ydyY
fdZ
Problem: Auflösung vom Gradienten abhängig
Objekt
Folie: 17 15. Dezember 2000
Anwendungsbeispiel: Bumpmapping
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+ =
Graubild wird als Tiefenkarte interpretiert
Beleuchtung der Bildebene wird entsprechendangepasst
Folie: 18 15. Dezember 2000
Anwendungsbeispiel: Voxelspacing
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Die unterschiedlichen Farben (einer Palette)werden als Höheninformation interpretiert
Unterschiedliche Höhen Pixelsäulen
Folie: 19 15. Dezember 2000
Gradientenfelder
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Projektion der Facettengradienten in die
Bildebene: w(X,Y)=(p(X,Y),q(X,Y))T
Folie: 20 15. Dezember 2000
Nadelkarten
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r
y
x
x = cos() * sin() * s
y = sin() * sin() * s
Folie: 21 15. Dezember 2000
Rückprojektion von Ebenen
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
Gegeben: Abstand r, Gradient (p,q)
O
fQ(x,y,f)
P(X,Y,Z)
(0,0,f) (0,0,r)
Folie: 22 15. Dezember 2000
Shape from Shading
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Folie: 23 15. Dezember 2000
Propagationsverfahren
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
Folie: 24 15. Dezember 2000
Frankot-Chellappa Algorithmus
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
Folie: 25 15. Dezember 2000
Gradientenraum
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
• Darstellung der Normalenverteilung auf Objektoberflächen
• Abbildung im euklidschen Raum R2
• fehlende Linearität
(p,q)
repräsentiertEbenenschar
TZYX nnnn ,,
Z
X
n
nnp
Z
Y
n
nnq
Folie: 26 15. Dezember 2000
Gaussche Kugel
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Bessere Repräsentation bzgl. Winkelverteilung
nnnnn
nnnP
cos,sinsin,cossin
,, 321
X
YYX
n
n
nn
n
nn
nn arctan
sinarcsin
sinarccos
Z
YXZ
n
nn
n
nn
22
arctanarccos
Folie: 27 15. Dezember 2000
Stereographische Zentralprojektion
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
stereographischgnomonisch
Kompromiss zwischen Gausscher Kugelund (p,q)-Ebene
Folie: 28 15. Dezember 2000
Projektion eines Gradienten
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Folie: 29 15. Dezember 2000
Eigenschaften: Orthogonale Ebenen
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n1 =(p1,q1,-1)
Normalen stehen senkrechtzueinander
0112121 qqpp
n2 =(p2,q2,-1)
(p1,q1)
(p2,q2)
Folie: 30 15. Dezember 2000
Schnitt zweier Ebenen
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n1
n2
G
Tqpqpppqqnn 1221211221 ,,
Folie: 31 15. Dezember 2000
konkave / konvexe Kanten
Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen
A = C
konvexkonkav