havo b samenvatting hoofdstuk 6. overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling...
TRANSCRIPT
havo B Samenvatting Hoofdstuk 6
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal
laagste punt
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen.
stijg
end dalend
stijgend
stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen
hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen
hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top v.d. grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
pos.
pos.
Hellinggrafieken schetsen
6.1
a x < -3 hellinggrafiek onder de x-asde grafiek is dalend op ⟨ , -3 ⟩
b f heeft een top bij x = -3 omdat de hellinggrafiek daar de x-as snijdtdat is het laagste punt
c f is stijgend op ⟨ -3 , 0 ⟩d hoogste punte schets y
xO
top
top
top
top
opgave 4
6.1
m.b.v. GRTI MATH – MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN – CALC – menuoptie d/dxvb. voer in y1 = 0,1x4 – x2 + x + 8
en y2 = nDeriv(y1,x,x) (op de TI)
of y2 = d/dx(y1,x) (op de Casio)
Hellinggrafiek plotten
6.1
Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
De afgeleide functie
6.2
f(x) = (2x – 7)(8 + x)f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7xf(x) = 2x² + 9x – 56f’(x) = 2 · 2x + 9f’(x) = 4x + 9
eerst haakjes wegwerken
dezelfde termen optellen
somregel van differentiëren
opgave 14a
6.2
Je weet dat de afgeleide f’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoff’(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.
algemeen:f’(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = f’(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
6.3
a f(x) = 0,5x3 – 2x2 + 2f’(x) = 3 · 0,5x2 – 2 · 2x f’(x) = 1,5x2 – 4xstel k : y = ax + bxA = 4
a = f’(4) = 1,5 · 42 – 4 · 4 = 8dit geeft k : y = 8x + by = f(4) = 0,5 · 43 – 2 · 42 + 2 = 2
dus k : y = 8x - 30
2 = 8 · 4 + b2 = 32 + bb = -30
opgave 20
6.3
Teken f(x) = x² - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2Eén van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de coördinaten van Brc = 2 dus f’(xB) = 2
xB berekenen
f’(x) = 2 oplossenf’(x) = 2x – 3f’(x) = 2
xB = 2,5
yB = f(2,5) = -0,25
B(2,5; -0,25)
2x – 3 = 22x = 5x = 2,5
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
y
B●
x
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficient
6.3
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
y
x
f(x) = -x² + 2x + 3a rcraaklijn = 4
dus f’(x) = 4f’(x) = -2x + 2
xA = -1
yA = f(-1) = 0
A(-1, 0)b k : y = -6x + 8
rcraaklijn = -6
dus f’(xB) = -6
f’(x) = -2x + 2
xB = 4
yB = f(4) = -5
B(4, -5)
-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1
A●
f
k
-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4
opgave 25
6.3
werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1 Bereken f’(x)2 Los algebraïsch op f’(x) = 03 Voer de formule van f in op de GR. Plot en schets de grafiek. Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 Bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …
raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
Extreme waarden berekenen met behulp van de afgeleide
6.3
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:• Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?• Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?• Bij welke route horen de laagste kosten ?
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum
6.4
a stel AD = xCD + 2x = 40CD = 40 – 2xO = AD · CDO = x(40 – 2x)O = 40x – 2x²
b = 40 – 4x
= 040 – 4x = 0-4x = -40x = 10AD = 10 m.CD = 40 – 20 = 20 m.
dO dx
dO dx
Ox
O
10
200
opgave 35
6.4