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ARRANJO SIMPLES
PROFº: VALDÉCIO FÉLIX
HC HENRIQUE CASTRICIANO
ED ESCOLA DOMÉSTICA
Choquitomóvel
Temos o destino que merecemos. O nosso destino está de acordo com os nossos méritos.
Albert Einstein
AGRUPAMENTOS
O princípio fundamental da contagem (PFC) é a
principal técnica para a resolução de problemas de
contagem. Muitas vezes, porém, se só utilizarmos o
PFC, a resolução desses problemas pode se tornar
trabalhosa.
Vamos, então, desenvolver métodos de
contagem de determinados agrupamentos, baseados
no PFC, os quais significarão a resolução de muitos
problemas.
AGRUPAMENTOS
Inicialmente, faremos o estudo dos
agrupamentos simples – grupos de p elementos
distintos, escolhidos entre n disponíveis (p ≤ n). São
eles: Arranjos, permutações e combinações.
Arranjos Dado um conjunto com n elementos distintos,
chama-se arranjo dos n elementos, tomados p a p, a
qualquer sequência ordenada de p elementos distintos
escolhidos entre os n existentes.
Se ligue Bichão !!!
Como podemos contar a quantidade de
arranjos formados por p elementos,
escolhidos entre n disponíveis?
Vamos utilizar o PFC:
O 1º elemento da seguência pode ser escolhido de n
formas possíveis.
O 2º elemento da seguência pode ser escolhido de (n – 1)
maneiras distintas, pois já fizemos a escolha anterior e não
há repetição de elementos.
Vamos utilizar o PFC:
Feitas as duas primeiras escolhas, há (n – 2) maneiras
distintas de escolher o 3º elemento da sequência, pois não
pode haver repetição.
•
•
•
Para escolher o p-ésimo elemento, a partir das (p – 1)
escolhas anteriores, sobram n – (p – 1) = n - p + 1opções.
Assim, pelo PFC, a quantidade de arranjos possíveis
(indicada por An,p) é:
Daí, temos:
)1(...)2).(1.(, pnnnnA pn
.123...)1()()!( pnpnpn
1
Podemos obter uma expressão
equivalente a se multiplicarmos e
dividirmos tal expressão por:
1
123...)1).((
123...)1).(()1(...)2).(1.(,
pnpn
pnpnpnnnnA pn
!n
Ops, Bichão!!!
Notando que o numerador da expressão
acima é n!, obtemos uma expressão para An,p: (n
≥ p). Então, temos:
)!(
!,
pn
npAn
Ex1: A UFVC, possui 18 professores de
Matemática. Entre eles, serão escolhidos: Um
diretor, um vice-diretor e um coodernador
pedagógico do curso. Quantas são as
possibilidades de escolha?
RESOLUÇÃO:
4896!15
!15.16.17.18
)!318(
18
)!(
!3,18,
A
pn
nA pn
18 Posib. 17 Posib. 16 Posib.
= 4896
Ou
Ex2: Felipe Aguiar, foi convidado para
participar de um concurso, um dos desafios
consta em resolver a seguinte equação:
A resposta correta encontrada por ele foi:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 8
.62, nA
RESOLUÇÃO:
6)!(
!2,,
npn A
pn
nA
6)!2(
)!2)(1(
6)!2(
!
n
nnn
n
n
RESOLUÇÃO:
6)!(
!2,,
npn A
pn
nA
6)!2(
!
n
n
6)!2(
)!2)(1(
n
nnn
6)!2(
)!2)(1(
n
nnn
convém)-(não 2''
3'
06
6)1(
2
n
n
nn
nn
Ex3: Considerando as letras da palavra LÓGICA ,
sem repetição, calcular:
a) Quantos anagramas (palavras com ou sem
sentido) podemos formar, usando todas as
letras?
b) Quantos anagramas começam com LA?
c) Quantos anagramas começam com
consoantes?
d) Quantos anagramas podem ser formados com
d) Quantos anagramas podem ser formados com
as letras GILO, juntas, e nessa ordem?
e) Quantos anagramas começam e terminam por
vogal?
RESOLUÇÃO:
a) A palavra LÓGICA possui 6 letras. Portanto, o número
total de anagramas será calculado por:
anagramas
A
7201.2.3.4.5.6!6
!66,6
RESOLUÇÃO:
b) Devemos procurar os anagramas que começam com
LA, seguido das letras G, O, C, I, por exemplo. Daí,
fixamos LA e calculamos
anagramas
A
241.2.3.4!4
!44,4
5,5A
c) As consoantes são L, G, C. começando por L (por
exemplo), temos: . Dá mesma forma vai ocorrer com
os anagramas que começam por G e por C. então,
temos:
!44,4 A
360120.3!5.3.3 5,5 A
RESOLUÇÃO:
d) Como as letras GILO devem ficar juntas, e nessa
ordem, podem ser consideradas como um só elemento.
Logo, podem ser formados
4,4A
e) Para as duas vogais (início e final do anagrama) temos
anagramas e para as outras letras temos:
anagramasA 6!33,3
2,3A
2,3A
OLGICA
4,4A
Daí temos:
anagramas 14424.6. 4,42,3 AA
Permutação Simples Permutação simples de n elementos distintos
é qualquer grupo ordenado desses n elementos.
Permutando os 3 elementos distintos de A =
{x, y, z}, por exemplo, temos: (x, y, z); (x, z, y),
(y, z, x), (z, x, y) e (z, y, x). Obtemos o número
de permutação simples igual a 6.
Note que para a 1ª posição há três
possibilidades (qualquer das letras), para a 2ª
posição sobram duas letras (2 possibilidades) e
para a 3ª temos só uma letra ainda não usada.
Permutação Simples Para o calculo do número de permutações
simples, temos:
!nPn
1 ... 2)– (n 10)– (n n P seja,Ou n
Portanto, o número de permutações simples
de n elementos distintos é igual a n fatorial.
Permutação Simples Ops, Bichão!!!
A permutação simples é um caso particular
do arranjo. Provando, temos:
!!0
!
)!(
!
,
,
,
nn
A
nn
nA
AP
nn
nn
nnn
Permutação Simples
Ex1: Vamos formar os anagramas obtidos da
palavra M,O,A,B.
Lembre-se: Uma anagrama corresponde a
qualquer permutação dessas letras, de modo a
formar ou não uma palavra. Exemplo:
24 P!4 P
!n P
44
n
Portanto, para não perdermos tempo, faça:
MOAB MABO BOMA AMOB ... BAMO
Permutação Simples
Ex2: Considere os anagramas formados com G, R,
A, N, I, Z, O. Quantos começam e terminam por
vogal?
Para iniciar o anagrama, temos três
possibilidades (A, I, O).
Definida a vogal do início, sobram duas
opções para a vogal que irá ocupar a última
letra do anagrama.
RESOLUÇÃO:
Permutação Simples
Definidas as extremidades, as outras
cinco letras (uma vogal e quatro consoantes)
podem ocupar qualquer posição no anagrama,
num total de P5 = 5! = 120 possibilidades.
Daí, temos:
3 . 2 . P5 = 6 . 120 = 720 possibilidades.
RESOLUÇÃO:
Permutação Simples Ex3: Astolfo e Clepilda têm três filhos: Godofredo,
Ralison e Sebastiana. A família quer tirar uma foto
de recordação de uma viagem feita a “Brejinho” na
qual todos aparecem lado a lado.
a) De quantas formas distintas os membros
da família podem se distribuir?
b) Em quantas possibilidades o casal aparece
lado a lado?
Permutação Simples RESOLUÇÃO:
a) P5 = 5! = 120
b) Para que (Astolfo e Clepilda) apareçam
juntos (lado a lado), devemos considerá-los
como uma “única pessoa” que irá permutar
com as três, num total de P4 = 4! = 24
possibilidades. Porém, para cada uma dessas
24 possibilidades, Astolfo e Clepilda podem
trocar de lugar entre si, de P2 = 2! Maneiras
diferentes. Assim, temos: P4 . P2 = 24 . 2 = 48.