1

Het abc van meetkunde D

13 juni 2007 - Dé Start

Aad Goddijn (FIsme; JCU)

2

Programma

• Vooraf: Van Twee Kwadraten: El Lissitzky

• Vlakke Meetkunde VWO. Waarom nog steeds?

• Meetkunde, hoe? Met Synthese en Analyse

• Analytische Meetkunde met coördinaten

Réné Descartes (passim)

• Analytische Meetkunde, waar-wanneer-wat

• Algebra 2007; met hand, hoofd en hart

• De diepte van de Ellips: maken, raken, snijden, Pringle-stelling

3

Vlakke Meetkunde VWO Waarom nog?

4

Twee vierkanten, SE vwo 5; 15 mei jl.

5

Kristel (2007): elk stap heeft een precies argument

6

Jeroen’s reactie op interview-vraag in Se3: tegenstelling tot meten met de computer..

7

Meetkunde, Waarom?Dijksterhuis, 1924 .

(Euclides I, 1; aanval op T. Ehrenfest)

….. een feit is echter, dat de opgroeiende jeugd bij kennismaking met de wiskunde, welker grondslagen voor haar volkomen evident zijn, zich plotseling verplaatst vindt in een spheer, waar vage beweringen, slordige uitdrukkingen en onbegrepen woorden niet langer worden geduld, waar iedere zonde tegen de eerlijkheid van het denken zich zelf onmiddellijk verraadt …..

8

Dijksterhuis wil opvoeden, en hoe.

De kennismaking met deze wereld nu is voor de ontwikkeling van het intellect een gebeurtenis van het hoogste belang (het wordt, meen ik, al sinds Plato zoo beschouwd) en men mag niets toelaten, dat de zuiverheid van de atmospheer, waarin daar wordt geademd, de hechtheid van den opbouw, die daar wordt voltrokken, zou kunnen schaden. En die schade zou worden toegebracht, wanneer de bekorende lokstem van Mevrouw Ehrenfest met haar verleidelijk beroep op de intuïtie gehoor mocht vinden.

9

10

Noor V. (VWO5) reageert op de interviewvraag in Se3: Dijksterhuis, en méér

11

Anne-Lotte, Jesse (Begin van PO mtk 2006)Gaat het echt om toepassingen?

Je staat bij een kerktoren en je wilt weten hoe laat het is. Als je naar boven kijkt is dit echter moeilijk te zien: de kijkhoek is veel te klein. Maar als je heel ver van de kerktoren zou staan zou je de tijd ook niet af kunnen lezen: ook dan is de kijkhoek te klein (en de afstand natuurlijk te groot). Maar waar kun je nou het beste gaan staan om de tijd goed af te kunnen lezen?

Tegen dit soort problemen lopen wij in het dagelijks leven vaak aan.

12

Janneke (1999): de zalige flits van het inzicht

Vlijt, Visie, Verificatie.(Frans Oort, 1968)

13

Waarom (vlakke) meetkunde in VWO?• Leren denken? (Dijksterhuis, Tatjana Ehrenfest, Noor : Ja)

– Een humanistisch vomingsideaal.– Transfer of training echter nooit aangetoond!– Maar geloof en handel graag zo.

• Praktisch nut? (Anne-Lotte: Nee, Noor +veel ll. : Ja)– Nauwelijks, bij bewijzen met hoeken en bogen– Intuitieve opbouw daarvoor zeker nodig – Dat eist andere methoden (GPS)

• Diepe kennismaken met deductieve opbouw van wiskunde? (Jeroen, Kristel, A. G.)– Meetkunde als voorbeeld daarvan; eigen activiteit daarin. – Nuttig frictie tussen intuitie en logisch inzicht – Kick van ‘Het klopt!’ (Janneke)

14

Toets?Scherven inpassen!

1. Leerling vult slechts details in al aanwezig bewijs

2. CE Wis B12: ‘n Goed examen. Ik doe t niet beter in dat Se3.

15

Bezwaren met interruptie van de voorstanders

1. Het begrijpen van een meetkundige redenering lukt wel, maar het vinden is vaak lastig.

(Vandaar die kick)

2. Het mist een algemene methode van aanpak.(Niet helemaal waar, maar zo is het wel vaak voor de ll.)

3. Vlakke meetkunde is een eiland.(Het is een bron)

4. De inhoud van het vak is niet relevant voor doorstroming naar WO.

(Erg pragmatisch. Maar Vwo is AVO. En heeft ook algemene doelen.)

WAT NU ??

16

Meetkunde HOE? Met Synthese en Analyse

17

Probleem en Methode

• (E-mail van collega):

Mijn dochter Karin vroeg mij: "Neem een gelijkzijdige driehoek met daarin drie even grote cirkels (die elkaar en de driehoek raken, dus maximale grootte). Hoe groot is dan de straal van het kleine cirkeltje dat in het midden past?"

18

Oplossen in Vier stappen

Stap 0: Doe alsof het opgelost is! Maak er een schets van.

Stap 1: Geef lijnstukken namen. zijde van de driehoek: a straal van de blauwe cirkels: x straal van de rode cirkel: y

Stap 2: Gebruik meetkundige verbanden om vergelijkingen op te stellen: Groene driehoek:

x : (a /2 - x) = 1 : (3) Oranje driehoek:

(x + y) : y = 2 : (3)

Stap 3: Los op met algebra .............. y : a = 1 : (18 + 10 (3)) ( 35.32)

19

Pappos: hoe een (meetkundig) probleem op te lossen

• Synthese: bouw de oplossing (constructie, bewijs) op vanuit gegevens

• Analyse: neem aan dat de oplossing er is. Onderzoek welke eigenschappen die moet hebben; ga zo terug naar de gegevens

• Omkering van de analyse geeft de synthese

20

Descartes1596-1650

Cogito, ergo sum.

Alleen van het denken zijn we zeker.

21

La Géom

étrieDescartes: de algebraïsche vierslag

0. Neem aan dat t opgelost

is1. namen bekenden

en onbekenden

2. Ver-gelijkingenopstellen

4. algebra

22

Stap 2: vergelijkingen opstellen

• Descartes zegt:

Voor het opstellen van de vergelijkingen zijn alleen nodig:

–Gebruik van Verhoudingen–De stelling van Pythagoras

• Dat valt mee!

23

Loopt het uit in algebra??

• Descartes: Alle onbekenden worden in één laatste uitgedrukt.

• Slotfase:

• Descartes’ echte doel: hogere graads figuren onderzoeken om constructie-problemen op te lossen (waaronder de 6e graads-vergelijking). – (H. Bos: Redefining Geometrical Exactness)

24

Descartes’ filosofie achter La Géométrie uit 1637

• elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem;

• elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem;

• elk algebraïsch probleem kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden.

La Géométrie is slechts appendix III bij ‘Discours de le Méthode’

25

Analytische meetkunde met coördinaten

26

verder met vierkanten!

27

28

Schateiland

• Startprobleem of toepassing coordinaten• Loodrechte lijnen, middens,• Gebruik van coordinaten.

• Hoe deed Descartes het?

29

Twee uitverkoren lijnen

30

Descartes’ coordinaten

• Curve beschreven door mechaniek

•x en y zijn afstanden tot twee vaste lijnen

• Het abc van Descartes:• x, y, z: onbekenden• a, b, c: bekenden

31

La Géométrie

• Dover, tweetalig, $2.89 (2nd hand, amazon))

• Terzijde: uitkomst vermenig-vuldiging is lijnstuk

• Voorplaat: 6e-graads vergelijking.

1

32

De hoofdzaken

• Algebraïseren van meetkundige figuur• Positionering punten door afstanden (gericht) tot

twee vaste lijnen• Verbanden in de figuur in vergelijkingen

uitdrukken• Equivalentie van vergelijking en figuur• Meetkundige plaatsen, ‘algebraïsch’.

– Als verzameling? (….. vergelijking(en))– Als baan? (….. Parametervoorstelling)

• ALGEBRA gebruiken.

33

Wanneer Anal. Mtk.? In klas 2!

34

Wanneer? CE, B12: 2007

35

Analytische meetkunde in PW; kusgetallen in 4D

36

Wanneer? 80 sbu! (1)

• Wat is de essentie van de analytische methode ?

• Coördinaten, equivalentie vergelijking en figuur

• Lijnen in het vlak (diverse methoden)• Vergelijkingen bouwen: cirkels en

kegelsneden vanuit afstandskenmerken.– Een vergelijking zegt ja-of-nee

• Parametrisering– Produceert de punten van een figuur

37

Wanneer? 80 sbu (2)

• Ruimte– Enkele elementaire objecten– Omwentelingsoppervlakken– Gebruik van verkennende software

• Raaklijnen – Algebraïsch en via diff. rekening

• Experimenteren en onderzoeken met ICT

• Toepassingen:– Klassiek en modern

38

Analytische Meetkunde

Register bij de O o.a.:

– Ontwondenen en ontwindenden

– Osculerende kegelsnedenbundel

– Orthogonale cirkelbundel– Orthoptische cirkel -congruente groep

(1918)

39

Inside this book

• Enorme diepgang bij 2e-graads vergelijkingen

• Voortdurend interactie synthetisch/analytisch

• Veel andere dwarsverbanden: hyperbolische meetkunde, complexe getallen

• Algebra: doe dat zelf, maar..

40

Alleen het plan van uitvoer wordt verteld.

Barrau: Twee delen

Nu voor 22 Euro!Via Boekenvondst.nl

41

42

Algebra Anno 2007

43

Het vierstappenplan in de klas van nu ..

Stap 2: Gebruik meetkundige verbanden om vergelijkingen op te stellen: Groene driehoek: x : (a /2 - x) = 1 : (3) Oranje driehoek: (x + y) : y = 2 : (3)

Stap 3: Los op met algebra .............. y : a = 1 : (18 + 10 (3)) ( 35.32)

Stap 1: Geef lijnstukken namen. zijde van de driehoek: a straal van de blauwe cirkels: x straal van de rode cirkel: y

Stap 0: Doe alsof het opgelost is! Maak er een schets van.

44

En dit dan ….

a =9b= 2c =1

45

Basisvaardigheden algebra??

• Zijn vaak wel aanwezig, maar ‘traag en kwetsbaar’.

• Goede basisvaardigheden, dat is onvoldoende basis voor AM. Méér is nodig.

• Vaak ontbreekt:– een globaal plan voor de algebraïsche uitvoering– betekenisgeving en reflectie

tijdens het uitvoerend werk

46

Voorbeeld 1: Loodrechte stand en Thales gebruiken om vergelijking te bouwen

• Remco heeft al:

“Wat moet ik nu??”

47

Voorbeeld 2: meetkundige rij

• Observaties: (5 VWO)– Correct rekenwerk: steeds 1 keer () en dan –x keer ()– Patroon in uitkomst wordt wel herkend– Voorgaande resultaten worden niet gebruikt.

48

Voorbeeld 3: cirkelvergelijking opstellen

A: Waarom doe je dat? [dwz. stap 3 en verder]• S: “Ik dacht dat ‘t moest”

A: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is?

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat.

Commentaar: Sturing van de algebra vanuit betekenis is hier beperkt. Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.

49

Vergelijking

• Cirkelvergelijking ???? “Waar denk jij aan?”• Oplossen! En jij? “Een vergelijking zegt Ja of Nee.”

• Een mailvraag (tijdelijk afwezige leerling) n.a.v. de cirkelvergelijkingOverigens: ik heb nog nooit vierkantsvergelijkingen gehad, misschien is dat ook een deel van het probleem.

50

Voorbeeld 3: toetsvraag cirkel van Apollonius

• Er zijn punten in het vlak die drie keer zo ver van A(-4,0) liggen dan van B(4,0).

• Bijvoorbeeld: P(2,0) en Q(8,0) en R(5,3)• ..

• ..• Bepaal een vergelijking voor de verzameling punten.

» [13/6/07: het is een cirkel]

51

• Tekstinleiding heeft lager taalniveau dan algebra • Haakjes verdrijven etc. is goed aangeleerd • Inzetten van haakjes ontbreekt even jammerlijk.

Diagnose: basisacties alleen op de vierkante millimeter correctOntbreekt: beslissen op grond van formule-betekenis

52

Verborgen Agenda: Algebra leren met AM

• Algebra (be)oefenen binnen een relevant en motiverend kader.

• Algebra met een STRATEGISCH PLAN in je achter- en je OGEN in je voorhoofd

53

De diepte in: de ellips

54

Viermaal de algebra van de ellips in de schijnwerper

• Maken (vanuit afstandsbenadering)

• Raken (op twee manieren)

• Een mooie opgave (analytisch en synthetisch)

• De Pringle-stelling (met bundels)

55

Ellips maken vanuit F1P+ F2P = constant

56

De weerbarstige Tuinman …

57

… wordt uiteindelijk verslagen

Wortel B naar een

kant,Etc.

Algebra doen in onderhandeling met de klas. Samen maken van een plan….

58

Ellips: raaklijn P(x1,y1), vergelijking

• Ellipsvergelijking :

• P(x1,y1) op de ellips :

• Raaklijn (te bew) :

• Bewijs: E – 2R + P :

(Statisch bewijs: dubbeltellend snijpunt)

59

Ellips: raaklijn P(x1,y1), bewegingsaanpak

• Baanbeschrijving :

• P(x1,y1) op de ellips : • Snelheid in P(x1,y1):

• Tangent :

Etc.(Dynamisch bewijs: parametervoorstelling, snelheid,

diff. rekening)

60

Opgave: ellips, brandpunten, raaklijn

Toon aan:u·v is constant

61

Uit verslag Stabrecht College:

• Deze opgave leverde enorme rekenpartijen op en de confrontatie met je eigen persoonseigenschappen. Ik was verbaasd over het doorzettingsvermogen van de leerlingen.

• Gevonden op eerdere bladzijde: Evenals bij een cirkel is ook bij de ellips een parametervoorstelling goed bruikbaar om een willekeurig punt op de ellips te beschrijven.

is de parametervoorstelling van een ellips.

De raaklijn in raakpunt P: kun je dan vervangen door

en met de afstandsformules kom je er dan wel uit.

PS: er is ook een eenvoudig synthetisch bewijs

62

63

De Pringle-stelling

Kun je deze aardappel in cirkelvormige plakjes snijden?

64

Ja… ?? !!

65

Procter and Gamble kunnen het niet!

66

De ellipsoïde

www.biomedcentral.com/1741-7007/2/12/figure/F2

67

xz-zijaanzicht

• Bewijs ??!

Deze doorsnede is b bij b.

68

Alle parallelle plakjes cirkelvormig?

• Ja …… !

69

De Pringle-stelling

• P vast, SQ vaste richting. => R ook vast!

70

Bewijs á la Plucker, 1868

• E(x, y) = 0 : ellips in as-ligging• P, Q, R,S : snijpunten cirkel en ellips• Lqs : y – mx + w = 0 Lpr: y – kx + v =0• Te bewijzen: m = - k

71

Bewijs met bundel-techniek

• E(x, y) = 0 : ellips in as-ligging, geen cirkel.• P, Q, R,S : snijpunten cirkel en ellips• Lqs : y – mx + w = 0 Lpr: y – kx + v =0• Te bewijzen: m = - k

• BEWIJS.

1. Voor elke vaste A is dit een kegelsnede door P, Q, R, S: E(x, y) + A * (y – mx + w) * (y – kx + v ) = 0.

2. Er is een A, zodat dit de cirkel PQRS is!

3. Dan is er dus geen kruisterm xy : -A(m + k) = 0.

4. A <> 0, want E is geen cirkel => m = -k.

5. QED.

72

Terugblik

• Vlakke Meetkunde VWO. Want kern van de wiskundige methode.

• Synthese en Analyse

• Wat is Analytische Meetkunde: Algebraisering+ coordinaten

• Algebra 2007; met hand, hoofd en hart

• Voorbeelden Analytische meetkunde. De Ellips.

• ………………….

73

Volgend JAAR

• X-Y-2008: landelijke dag:

Dé Bloeit!

• Meer over toepassingen en ICT bijAnalytische meetkunde.