Heller Farkas Gazdasgi s Turisztikai Szolgltatsok Fiskolja Levelez tagozat GAZDASGI MATEMATIKA II. VALSZNSGSZMTS Gyakorl feladatok sszelltotta: Kis Mrta s Zombori Natasa Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 2Kedves Hallgatk! Apldatrbanmegjelltfeladatokonkvlazalbbigyakorlfeladatoksegtikagazdasgi matematikaII.vizsgraafelkszlst.Afeladatoktmakrnknticsoportostsalehetv teszi, hogy folyamatosan, a tanult anyagot kveten oldjk meg a pldkat. Az sszelltsnl a sajt pldinkon kvl felhasznltuk a kvetkez pldatrak feladatait is: Feladatgyjtemny a gazdasgi matematikhoz I. BGF KVIF, Budapest, 2003. (Szer-zk: Cztnyi-Felber-Rejt-Zimnyi) Feladatgyjtemny a gazdasgi matematikhoz II. BGF KVIF, Budapest, 2002. (Szerzk: Cztnyi-Ligeti-Lrincz) Valsznsgszmts Pldatr, Tatabnya, 2002. (Szerz: Nagyn Csti Beta) Opercikutats Pldatr, Budapest, 2002. (Szerzk: Brunner, Kis, Dr. Kovcs, Dr. Mt) 2009. febr.1. Kis Mrta s Zombori Natasa Valsznsg-szmts Gyakorl feladatok Mtrixok 1.Egy bevsrl kzpontban ngy napon t felmrst vgeztek, hrom jonnan bevezetett termk: konzerv, csokold, kv forgalmrl. A fenti termkek eladott darabszmt az albbi tblzat tartalmazza. AKonzervCsokoldKv Htf250180160 Kedd180120110 Szerda5015030 Cstrtk70210140 Mrtixmveletekkel szmtsa ki s rtelmezze a kapott eredmnyt! a.( ) A e e *2*1 b.1 Arja le mtrixmveletekkel s szmtsa ki, hogy c.hny darabot adtak el a klnbz fajta termkekbl! d.hny doboz csokoldt adtak el szerdn! 2.Egy iskolai bf napi gymlcs-forgalma a dikok krben a kvetkezkppen alakult: A almakrtemandarin alssok103055 felssk402015 gimnazistk333333 A gymlcsk rat a fenti sorrendben az( ) 20 , 15 , 10*= arvektor tartalmazza. Mrtixmveletekkel szmtsa ki s rtelmezze a kapott eredmnyt! Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 3a. 1*1 e A b.a A e *1 c.a A *1rja le mtrixmveletekkel s szmtsa ki, d.hogy fajtnknt mennyi gymlcs fogyott! e. hogy mennyit kltttek a gimnazistk krtre! Kombinatorika 1.Egy cgnl hrom osztlyvezet, hat csoportvezet s harminc beosztott dolgozik. Hnyf-lekppenvlaszthatunkkikzlkegykldttsget,melybenegyosztlyvezet,ktcso-portvezetstzbeosztottszerepel?Hnyflekppentehetjkezt,haakereskedelmiosz-tlyvezetjesazruforgalmicsoportvezetjemindenkppenakldttekkzttkell, hogy legyenek? 2.HnysztkpezhetnkazA,E,I,O,magn-sB,C,D,Fmssalhangzkblgy, hogy minden szban 4 magn- s 4 mssalhangz legyen, kt magn- illetve kt mssal-hangz egyms mell ne kerljn, s minden mssalhangz csak egyszer szerepeljen? 3.a. Hnyflekppen oszthat ki 10 szemly kztt 2 db 5000 Ft-os, 3 db 2000 Ft-os s 4 db 500 Ft-os jutalom? b. Egy nkiszolgl tterem pultjn 6 tnyr leves s 9 tnyr fzelk ll. (Mind klnb-z.) Hnyfle lehet egy 4 fs trsasg egyttes fogyasztsa, ha mindenki eszik levest is, f-zelket is? 4.Egy zletlnc 10 fs reklmrszlege olyan feladatot kap, hogy a cg 3 arculatvltozsval ismertessemegakznsget.Hnyflekppenoszthatjkkimagukkzttahrommun-kt, ha a. egy f legfeljebb egy arculatvltozssal kapcsolatos reklmon dolgozhat, b. egy f tbb arculatvltozst bemutat reklmon is kidolgozhat,c.mindenarculatvltozstbemutatreklmonktfsmunkacsoportdolgozik,segyem-ber legfeljebb egy munkacsoportban lehet? 5.thzasprfoglalhelyetegypadon.Hnyflekppenhelyezkedhetnekel,haahzastr-sak egyms mellett akarnak lni, de sem kt n, sem kt frfi nem lhet egyms mell? Esemnyalgebra 1.Kt helysg kztt hrom tvbeszlvonalon folyhat beszlgets. Jelentse A azt, hogy az els vonal hibs, B azt, hogy a msodik, a C pedig azt, hogy a harmadik. Fejezze ki A, B, C segtsgvel a kvetkez esemnyeket: a. csak az els vonal hibs b. az els kett hibs, a harmadik nem c. legalbb az egyik hibs d. mindhrom vonal hibs e. legalbb kt vonal hibs f. pontosan egy vonal hibs g. pontosan kt vonal hibs h. egyik vonal sem hibs i. legfeljebb egy vonal hibs j. legfeljebb kt vonal hibs Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 4k. a msodik nem hibs, de az els s a harmadik kzl legalbb az egyik hibs. 2.Egy nehz anyagi krlmnyek kztt l csald egy v alatt egymstl fggetlenl 0,3 valsznsggel kap az nkormnyzattl, 0,4 valsznsggel valamely egyhzi szervezettl seglyt, s 0,1 valsznsggel nyer egy szerencsejtkon. Vezesse be a fent megfogalmazott hrom esemnyre rendre az A, B, illetve C jellst! Adja meg esemnyalgebrai mveletek-kel a kvetkez sszetett esemnyeket, majd szmolja ki az esemnyek valsznsgt! a.Csakszerencsejtkonnyersselteszszertkiegsztsszegreacsaldafentihrom pnzforrs kzl.b. Afentiekkzlpontosanktpnzforrsltaljutpluszpnzforrshozacsaldegyv alatt. 3.Egy brkercgnl egy alkalmazott hromfle rszvnnyel kereskedik egy adott napon. Je-lentse az A azt, hogy az adott napon kttt zletet az els fajta, B azt, hogy kttt z-letet a msodik fajta, C azt, hogy kttt zletet a harmadik fajta rszvnyre. Fogalmaz-za meg, hogy mit jelentenek az albbi esemnyek: a.B Ab. C B A c.C B A d.C B A e.C B A f. ) ( C B A \ ) ( C B A g.) ( ) ( ) ( C B C A B A h.C B A i.C B A j.A k.C B A l.) ( ) ( ) ( ) ( C B A C B A C B A C B A Formalizlja a kvetkez esemnyeket: a. az adott napon nem mindegyik fajta rszvnyre kttt zletet,b. pontosan ktfle rszvnnyel kereskedett az adott napon, c. volt zletkts az adott napon ennl az alkalmazottnl. Klasszikus kplettel megoldhat feladatok 1.Mennyi a valsznsge annak, hogy egy vletlenszeren kitlttt totszelvny 10,11,12,13 tallatos lesz? 2.Egy rtekezleten tzen krnek feketekvt. A titkrn a 10 csszbe sszesen 6 darab koc-kacukrot tett gy, hogy minden csszbe legfeljebb egy cukrot dobott. Mi a valsznsge annak,hogyngyszemly,akikeserenszeretiakvt,vletlenlangycukornlkli kvt vlasztja? 3.Elhelyeznk3dobozba8trgyatgy,hogyazegyestrgyakatmegklnbztethetnek tekintjk. Mennyi a valsznsge, hogy: a. az egyes dobozokba rendre 2,4,2 trgy kerl; b. az egyes dobozokba rendre 0,3,5 trgy kerl; Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 5c. mind a 8 trgy egy dobozba kerl? 4.Egy mozi utols sorban, ahol 20 szk van, 5 nz l. Tegyk fel, hogy az 5 nz minden lehetsgeselhelyezkedseazonosvalsznsg.Szmtsukki,miannakavalsznsge, hogy: a. az t nz egyms mellett l; b. az t nz nem l egyms mellett? 5.Egy zletben hrom pnztrhoz vletlenszeren 10 vsrl rkezik. Mennyi annak a val-sznsge, hogy: a. az els pnztrhoz4 , a msodik s harmadikhoz 3-3 vsrl kerl; b. az egyik pnztrhoz4 , a msik ketthz pedig 3-3 vsrl kerl? Mintavtel 1.Amostaniinfluenzajrvnymutatiszerintalakossg15%-abetegedettmeg.Mennyi annak a valsznsge, hogy a 18 fs csoportban legfeljebb 3 influenzs beteg van? 2.Egy20elemalkatrszhalmazban8selejtesvan.Visszatevsnlklhatelemminttve-sznk belle. Mennyi annak a valsznsge, hogy a. legalbb egy selejtes lesz, b. legalbb annyi selejt van, mint j, c. legfeljebb kett selejtes lesz? 3.tfistlenyegyttmennek moziba. Kivlasztunk kzlk hat ft. Mekkora a val-sznsge, hogy kzttk a. hromnl kevesebb a leny?b. ugyanannyi a fi, mint a leny? c. egy leny sincs? 4.Egy kpvisel egy napon 10 interpellcit hallgatott meg, ebbl hatot elfogadott. Tetszle-gesen kivlasztottunk hrom interpellcit. a. Hnyflekppen tehetjk ezt meg? b.Hnyklnbzolyankivlasztsvan,amelyekkzlpontosanketttfogadottela kpvisel? c.Mennyiannakavalsznsge,hogykzlklegalbbktinterpellcitfogadottelaz adott kpvisel? 5.A lakossg 30%-a szenved valamilyen allergis betegsgben. Munkatrsaink kzl tetsz-legesen kivlasztva 12 ft, mennyi annak a valsznsge, hogy hromnl tbb szenved al-lergis betegsgben? 6.Egygygyszergyrbanminsg-ellenrzssorn10kapszultvizsglnakmeg.Annaka valsznsge,hogyegyadottkapszulanemamegfelelmennyisgettartalmazzaahat-anyagbl: 0,05. Adja meg a kvetkez valsznsgeket: a. a megvizsglt 10 kapszula mindegyike megfelel mennyisget tartalmaz a hatanyagbl, b. hromnl kevesebb kapszula van a tzben, amelyben nem megfelel a hatanyag meny-nyisge, c. a tz kapszulnak pontosan a felben lesz megfelel a hatanyag mennyisge. 7.Egy urnban 4 piros, 1 zld s 1 fekete goly van. Ebbl hzunk hrom golyt visszatevs nlkl. Rendezzk a kvetkez esemnyeket cskken valsznsgek szerint: Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 6a. mindegyik goly piros, b. kett piros, egy ms,c. van zld vagy fekete goly a kihzottak kztt,d. van piros a kihzottak kztt. 8.Egy zemben a napi nyersanyagellts egymstl fggetlenl 0,75 valsznsggel za-vartalan. Mennyi a valsznsge, hogya.egy ht alatt (5 nap) pontosan hromszor zavartalan az ellts, b.legalbb hromszor akadozik az ellts? 9.Hrom darab pnzrmt egyszerre feldobunk. Mennyi annak a valsznsge, hogy a. legalbb 1 fejet dobunk, b. pontosan 2 rst dobunk, c. tbb rst dobunk, mint fejet,d. nem dobunk ms, csak rst vagy csak fejet? 10. Egykiskereskedminden20000Ftfelettisszegbenvsrlvevjneknyeremnyszel-vnyt ad. Ezekbl havonta vletlenszeren kivlasztanak ngyet. Az elmlt hnapban 35-envsroltak20000Ft-otmeghaladsszegben.Ezekkztttismersmvan.Mennyi annak a valsznsge, hogy a. lesz a kivlasztott ngy f kztt ismersm,b. legalbb kt ismers lesz kzte, c. tbb lesz olyan, akit nem ismerek, mint akit ismerek? 11. Egy autszalonban 100 rdekld kzl tlagosan ten vsrolnak j autt a tapasztalatok alapjn.Egynapon20rdekldkerestefelazautszalont,tovbbiinformcitnemtu-dunk. Mennyi annak a valsznsge, hogy a. adtak el j autt az adott napon a szalonban, b. legfeljebb hrom autt adtak el az autszalonban az adott napon, c. vlaszoljon az a) s b) rszben megfogalmazott krdsekre, ha felttelezzk, hogy a ve-vk szma Poisson eloszlst kvet valsznsgi vltoz! Fggetlen esemnyek valsznsge 1.Egygyrhromszerelcsarnokbanvgzettstatisztikaivizsglatszerintazelsszerel-csarnokbanamunkaid85%-ban,amsodikszerelcsarnokbanamunkaid90%-ban, a harmadik csarnokban pedig a munkaid 80 %-ban zavartalan a termels. A ter-melszavartalansgaazegyescsarnokokbanegymstlfggetlen.Mennyiannakaval-sznsge, hogy a munkaid egy adott idpontjban: a. mind a hrom csarnokban zavartalan a termels,b. legalbb az egyik csarnokban zavartalan a termels, c. csak az egyik csarnokban zavartalan a termels? 2.Aharmadvesfiskolaihallgatk40%-arendelkeziknmetnyelvblkzpfoknyelv-vizsgval, 10 %-nak nincsen utvizsgja s 20 %-nak 4,00-t meghalad az elmlt flvi tanulmnyitlaga.Afiskolaegynmetorszgicghezkldhetegyhallgattflvesgya-korlatra. Azok jelentkezhetnek a plyzatra, akik legalbb kettnek eleget tesznek a fenti hromkvetelmnykzl,tovbbanmetnyelvvizsgvalrendelkezselengedhetetlen. Jellje az A azt az esemnyt, hogy egy harmadves hallgat rendelkezik nyelvvizsgval, B azt, hogy nincsen utvizsgja s C azt, hogy 4-nl jobb a tanulmnyi tlaga! Mennyi annak a valsznsge, hogy vletlenszeren kivlasztva egy harmadves hallgat a. jelentkezhet a nmet cghez erre a gyakorlatra, Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 7b. pontosan egy kvetelmnynek tesz eleget a hrom kzl. Feltteles valsznsg 1.Egy knyvkiad kt nyomdval dolgozik. Az els nyomda a kiadvnyok rszt, a mara-dk rszt a msodik nyomda kszti. Az els nyomdban elkszltek 5 %-a, a msodikban kszltek1%-aszpsghibs.Araktrbanaktnyomdatermkeisszekeveredtek.Je-lentse A esemny a kvetkezt: egy tallomra kivlasztott kiadvny szpsghibs. a. Adja meg a() A P valsznsget! b. Adja meg, mekkora a valsznsg, hogy egy kiadvnyt az els nyomdban nyomtattak, ha az nem szpsghibs! 2.Egyforgcsolzemben3esztergagpmkdik.Azelkszltmunkadarabokatamin-sgellenrzsen I, II, illetve III. osztlyba soroljk. B1 : I.o. B2 : II.o. B3 : III.o.A1 : 1.gp500510415 A2 : 2.gp440390275 A3 : 3.gp320300190 A napi ssztermkbl vletlenszeren kivlasztunk egyet. a. rjuk fel szimblumokkal s szmoljuk ki:- mennyi a valsznsge, hogy a 2. gp ksztette a munkadarabot, feltve, hogy els osz-tly,- mennyi a valsznsge, hogy msodosztly a munkadarab, feltve, hogy nem a 3. gp ksztette?b. Szmtsuk ki s fogalmazzuk meg szavakkal az albbiak jelentst: ( )12 | A B P( )2 3B A P 3.Egy tzsdei elemz a recesszis idszakok elemzsnek a specialistja. Elrejelzsei az r-folyamok alakulsra 80 %-ban helytllak ilyen peridusokban. Ha a gazdasg ers fel-lendlst mutat, akkor elrejelzsei csak 60 %-ban helytllak, mg ha a gazdasg norml llapotban van, akkor ez az arny 70 %. Tegyk fel, hogy a gazdasgot 25 %-ban recesz-szi, 35 %-ban ers fellendls jellemzi, a maradk idszak norml llapot. a. Mennyi annak a valsznsge, hogy kivlasztva ezen elemz egy tetszleges elrejelz-st, az helytll? b. Mennyi annak a valsznsge, hogy ha az elemz helytll elrejelzsei kzl kivlasz-tunk egyet, akkor azt recesszis peridusban jsolta? 4.Egyhasznltaut-kereskedtbbfajtamegfigyelstvgezazeladsaitilleten.Pldulfi-gyeli, hogy befolysolja-e a kocsi fnyezse az eladsi rat. Megfigyelsei a kvetkezk: az eladott autk35%-tmegvettk katalgusr felett, 25 %-t katalgusr alatt, a tbbirt katalgusratadtak.Akatalgusr felett megvsrolt gpkocsik 70 %-a volt metlfnye-zs, a katalgusr alatt eladott 30 %-a volt metlfnyezs, mg a katalgusron eladott autknl ez az arny 45 %. Kivlasztunk tetszlegesen egy eladott autt. Mennyi annak a valsznsge, hogy a. metlfnyezs? b. ha metlfnyezs, akkor katalgusr felett kelt el? Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 85.Egykztiellenrzssfelmrsalapjnakvetkezadatainkllnakrendelkezsre:a kzlekedjrmvek40%-a szemlyaut, 35 %-a teheraut, a fennmarad rsz azegyb kategriba sorolt. A szemlyautk 15 %-ban, a teherautk 20 %-ban, az egyb kateg-ria35%-banvalamimszakihinyossgfedezhetfel.Azppenkzlekedjrmvet meglltva, mennyi annak a valsznsge, hogy a.mszaki llapota kifogsolhat,b. ha mszaki llapota kifogsolhat, akkor teheraut, c.ha mszaki llapota tkletes, akkor nem szemlyaut. 6.Egyingatlankzvettltal2000-benkzvettettingatlanokatakvetkezszempontok alapjn osztlyoztk: - fvrosi, vidki; - 5 milli Ft alatt, 5 s 10 milli Ft kztti, 10 mil-li Ft feletti. A fvrosi ingatlanok a kereslet 60 %-t adtk, melyeknek negyedrsze 5 mil-li Ft alatt, harmadrsze 5 s 10 milli Ft kztti. Mennyi annak a valsznsge, hogy ha a fvrosi ingatlanok kzl vlasztunk, akkor 10 milli Ft feletti az rtk? Eloszlsok 1.Egy kozmetikai cg hrom j termket vezet be a piacra. A felkeresett zletek 80 %-a ren-deltazelstermkbl,40%-aamsodik termkbl,20%-aaharmadiktermkbl.(Az egyeszletekbenazegyestermkekrevonatkozmegrendelsekegymstlfggetlenek.) Egy felkeresett zletet vizsglva, a valsznsgi vltoz jelentse azt a szmot, ahnyfle termket rendelt az zlet a kozmetikai cg hrom j ksztmnybl! Adja meg a valsznsgi vltoz eloszlst s vrhat rtkt s a szrst! 2.Egykpviselegynapon10interpellcithallgatottmeg,ebblhatraadottvlasztfoga-dott el. Tetszlegesen kivlasztunk egyszerre hrom interpellcit. Legyen a valsznsgi vltoz a kivlasztott interpellcik kztt azok szma, amelyet a kpvisel nem fogadott el! a. Adja meg a valsznsgi vltoz eloszlst s eloszlsfggvnyt! b.Mennyiannakavalsznsge,hogykzlklegalbbktinterpellcitfogadottelaz adott kpvisel? 3.Egy zlethlzat egy nagy vsrlsi akcija sorn hrom szemlygpkocsi a hrom fnye-remny.Tegykfel,hogyalakossg20%-nakvangpkocsijuk.Avsrlsiakcina-gyon sikeres volt, mivel rengeteg nyeremnyszelvny rkezett be. A valsznsgi vltoz legyen azon aut nyertesek szma, akiknek mr van gpkocsijuk! a. Adja meg a valsznsgi vltoz eloszlst, vrhat rtkt s szrst! b. Adja meg az eloszlsfggvnyt! c. Mely esemny valsznsgt adja meg a( ) 3 Ffggvnyrtk? Fogalmazza meg szavak-kal is s a valsznsgi vltozt felhasznlva formalizmussal is! 4.A Danone Tr Rudi tmege -vel jellt, normlis eloszlst kvet valsznsgi vltoz 25 gramm vrhat rtkkel, s 1,5 gramm szrssal. Mennyi annak a valsznsge, hogy a. egy Tr Rudi tmege tbb mint 22 gramm? b. egy Tr Rudi tmege 23,5 gramm s 28 gramm kz esik?c. Adjon als becslst a kvetkez valsznsgre: P(23 > 8.a.2637 , 0 25 , 0 75 , 0352 33= ||.|

\|= p b.1035 , 0 75 , 0 25 , 05535= ||.|

\|==kk kkp 9.a.875 , 0 5 , 0 5 , 03310 3= ||.|

\| = pForrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 16b.375 , 0 5 . 0 5 , 0231 2= ||.|

\|= pc.5 , 0 5 . 0 5 , 0335 . 0 5 , 0230 3 1 2= ||.|

\|+ ||.|

\|= pd.25 , 0 5 , 0 5 , 03320 3= ||.|

\| = p 10. a.4766 , 0435054301 =||.|

\|||.|

\|||.|

\| = pb.0889 , 043515330054301 =||.|

\|||.|

\|||.|

\|+||.|

\|||.|

\| = pc.9110 , 04351533005430=||.|

\|||.|

\|||.|

\|+||.|

\|||.|

\|= p 11. a.( ) 05 , 0 = vsrol p 6415 , 0 95 , 0 05 , 0020120 0= ||.|

\| =apb.9842 , 0 95 , 0 05 , 0203020= ||.|

\|==kk kbkpc.1 ) ( = = M6321 , 0! 01110= =e pa981 , 0!1301= ==kkbekp Fggetlen esemnyek valsznsge 1.a.612 , 0 8 , 0 9 , 0 85 , 0 = = pb.997 , 0 2 , 0 1 , 0 15 , 0 1 = = pc.056 , 0 8 , 0 1 , 0 15 , 0 2 , 0 9 , 0 15 , 0 2 , 0 1 , 0 85 , 0 = + + = p 2. a.() 4 , 0 = A P () 1 , 0 = B P() 2 , 0 = C P( ) 112 , 0 8 , 0 1 , 0 4 , 0 2 , 0 9 , 0 4 , 0 2 , 0 1 , 0 4 , 0 ) ( ) ( ) ( = + + = C B A C B A C B A Pb.( ) 444 , 0 2 , 0 9 , 0 6 , 0 8 , 0 1 , 0 6 , 0 8 , 0 9 , 0 4 , 0 ) ( ) ( ) ( = + + = C B A C B A C B A P Feltteles valsznsg 1.a. B1: els nyomda ksztiB2: msodik nyomda kszti Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 17 ( ) ( )( ) ( ) 01 , 0 75 , 005 , 0 25 , 01 21 1= == =B A P B PB A P B P () 02 , 0 01 , 0 75 , 0 05 , 0 25 , 0 = + = A Pb.( ) 2423 , 002 , 0 195 , 0 25 , 01= = A B P 2.a.( ) 3492 , 0320 440 5004401 2=+ += B A P ( )( ) ( )3557 , 0275 390 440 415 510 500390 5103 2=+ + + + ++= A B P b.( )( ) ( )( ) ( )6397 , 019151225190 300 320 275 390 440190 320 275 440|1 2= =+ + + + ++ + += A B PA msodik s harmadik gp ltal ksztett termkek kztt az els- s harmadosztly-ak valsznsge. ( ) 25 , 0300 390 5103002 3=+ += B A PA msodosztly termkek kztt azok valsznsge, melyet a harmadik gp ksztett. 3.a. () ( )() ( )( ) ( ) 7 , 0 4 , 06 , 0 35 , 08 , 0 25 , 0= == == =N i P N PE i P E PR i P R P ( ) 69 , 0 7 , 0 4 , 0 6 , 0 36 , 0 8 , 0 25 , 0 = + + = i P b. ( ) 2899 , 069 , 08 , 0 25 , 0== i R P 4.a.A: metlfnyezsB1: katalgusr felettB2:katalgusralattB3:katal-gusron ( ) 35 , 01 = B P ( ) 7 , 01 = B A P( ) 25 , 02 = B P ( ) 3 , 02 = B A P( ) 4 , 03 = B P ( ) 45 , 03 = B A P() 5 , 0 45 , 0 4 , 0 3 , 0 25 , 0 7 , 0 35 , 0 = + + = A P b.( ) 49 , 05 , 07 , 0 35 , 01== A B P 5.a.A: mszaki hinyossgB1: szemlyaut B2: teherautB3: egyb ( ) 4 , 01 = B P ( ) 15 , 01 = B A P( ) 35 , 02 = B P ( ) 2 , 02 = B A P( ) 25 , 03 = B P ( ) 35 , 03 = B A P() 2175 , 0 35 , 0 25 , 0 2 , 0 35 , 0 15 , 0 4 , 0 = + + = A PForrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 18 b. ( ) 3218 , 02175 , 02 , 0 35 , 02== A B Pc.( ) 5655 , 02175 , 0 165 , 0 25 , 0 8 , 0 35 , 01= + = A B P 6.A: fvrosi B1: 10 () 6 , 0 = A P ( )411= A B P( )312= A B P( ) 4167 , 0125314113= = |.|

\|+ = A B P Eloszlsok 1. kxkpk kp x k kp x 2 0096 , 0 8 , 0 6 , 0 2 , 00= = p 00 1472 , 0 2 , 0 6 , 0 2 , 0 8 , 0 4 , 0 2 , 0 8 , 0 6 , 0 8 , 01= + + = p 0,4720,472 2368 , 0 8 , 0 4 , 0 8 , 0 2 , 0 6 , 0 8 , 0 2 , 0 4 , 0 2 , 02= + + = p 0,7361,472 3064 , 0 2 , 0 4 , 0 8 , 03= = p 0,1920,576 =301kp = 304 , 1k kp x = 30252 , 2k kp x ( ) = =304 , 1k kp x M ( ) ( ) ( ) 7483 , 0 4 , 1 52 , 22 2 2= = = M M D 2.a.Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 19

F(x)=< < < < x 3 ha 1,3 x 2 ha 0,9667,2 x 1 ha 0,6667,1 x 0 ha 0,1667,0 x ha 0, b.6667 , 031004361426=||.|

\|||.|

\|||.|

\|+||.|

\|||.|

\| 3.a. kxkpk kp x k kp x 2 0 512 , 0 8 , 0 2 , 0033 00= ||.|

\|= p00 1 3840 , 0 8 , 0 2 , 0132 11= ||.|

\|= p0,38400,384 2 0960 , 0 8 , 0 2 , 0231 22= ||.|

\|= p0,1920,384 3 0080 , 0 8 , 0 2 , 0330 33= ||.|

\|= p0,02400,072 =301kp= 306 , 0k kp x= 30284 , 0k kp x ( ) = =306 , 0k kp x M ( ) ( ) ( ) 6928 , 0 6 , 0 84 , 02 2 2= = = M M D kxkp0 1667 , 03103604=||.|

\|||.|

\|||.|

\| 1 5 , 03102614=||.|

\|||.|

\|||.|

\| 2 3 , 03101624=||.|

\|||.|

\|||.|

\| 3 0333 , 03100634=||.|

\|||.|

\|||.|

\| Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 20b. F(x)=< < < F p p b.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8185 , 0 1 8413 , 0 9772 , 0 1 1 21 1 2 1 25 , 125 5 , 235 , 125 285 , 23 28 28 5 , 23= + = + = = = |.|

\| |.|

\| = = < < F F p c.( ) ( ) ( )211tD t M P < ( )211 5 , 1 25tt P < 4375 , 01671691345 , 1 2 = = = = P t t4375 , 0 P A valsznsg legalbb 0,4375. 5.a.( ) ( ) ( ) 0318 , 0 0363 , 0 ... 0337 , 0 0067 , 0 1 , 9 ,... 1 , 0 1 10 1 105 = = = = = = < = = P P Pb.( ) ( ) ( ) 5028 , 0 1462 , 0 1755 , 0 1755 , 0 1 6 , 5 , 4 1 ,... 8 , 7 , 3 , 2 , 1 , 0 6, 4 = = = = = = > < P P Pc.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9615 , 0 9 ... 2 , 1 9 1 47 , 4 5 5 2 5 2 = = = = < = < = < P P P P D M P 6.a.( ) 2 5 , 0 = = M ( ) 8647 , 0 1 ) 1 ( 12= = = e e F p 7.a.15 150 = = m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 7486 , 0 6667 , 06667 , 0 1 1 6667 , 0 115150 1401 140 1 140 1 140= = = =|.|

\| = = = > F p p b.( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 9544 , 0 1 2 2 2 1 22 215150 12015150 180120 180 180 120= = = =|.|

\| |.|

\| = = < < F F p Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 21c.( )211 15 150tt P < 75 , 043411 215 30 = = = = P t t A valsznsg legalbb 0,75. 8.a.( )15115 = = M( ) ( ) 6321 , 0 1 15 151= = = e e F p p 9.a. 500-nak az 1,2%-a: 6 ( ) 6 = Mb. ( ) 4551 , 0 1606 , 0 1606 , 0 1339 , 0!67 46466 5 4= + + = = = + + = < =kkbekp p p p p 10. a.( ) = = = 4toldalankn hiba 4 , 0500200M 0183 , 0! 04400= =e pb.( ) = = = 10 4 , 0 25 M( ) 4765 , 0 1137 , 0 1251 , 0 1251 , 0 1126 , 0!1012 811810= + + + = = < =kkekp Csebisev-egyenltlensg 1.a.( ) ( ) 3 , 035 = = D M ( ) ( ) ( )21tD t M P ( )213 , 0 35tt P 09 , 0 3101 3 , 0 = = P t tA valsznsg legfeljebb 0,09. b.( ) ( ) ( )211tD t M P < ( ) 34 , 1 20 3 , 020 11 95 . 02= = = = D t tt ( ) ( ) 34 , 36 33,66 34 , 1 35< < < < D t M2.( )21400 600tP 0625 , 0 4400 100 = = P t tA valsznsg legfeljebb 0,0625. 3.( )2120 150tP 5625 , 03420 15 = = P t tA valsznsg legfeljebb 0,5625. Forrs: http://www.doksi.huHeller Farkas FiskolaLevelez tagozatValsznsg-szmts 22Nagy szmok trvnye 1.a. 02 , 00,7 3 , 09 . 0 = = = = q p P5250 02 , 07 , 0 3 , 01 9 , 02 nn Legalbb 5250. b. 02 , 0 5 , 05 , 0 9 , 0 = = = = q p P6250 02 , 05 , 0 5 , 01 9 , 02 nn Legalbb 6250. 2.02 , 0 9 , 01 , 0 95 , 0 = = = = q p P450002 , 09 , 0 1 , 01 95 , 02 nn Legalbb 4500. 3. 60004 , 0 97 , 003 , 0 = = = = n q p 9697 , 0600 04 , 097 , 0 03 , 012 P PA valsznsg legalbb 0,9697. Forrs: http://www.doksi.hu