Proyecto Fin de CarreraIngeniería de Telecomunicación

Formato de Publicación de la Escuela TécnicaSuperior de Ingeniería

Autor: F. Javier Payán Somet

Tutor: Juan José Murillo Fuentes

Dep. Teoría de la Señal y ComunicacionesEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2013

Proyecto Fin de CarreraIngeniería Industrial (Plan del 98)

Aplicación de análisis de redes complejas ycaracterización de la red demetro deMadrid

Autor: Adolfo Cros GomaTutor: Sebastián Lozano Segura

Dep. de Organización Industrial y Gestión de Empresas IEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

Proyecto Fin de CarreraIngeniería Industrial (Plan del 98)

Aplicación de análisis de redes complejas ycaracterización de la red de metro de Madrid

Autor:

Adolfo Cros Goma

Tutor:

Sebastián Lozano Segura

Dep. de Organización Industrial y Gestión de Empresas IEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de SevillaSevilla, 2018

Proyecto Fin de Carrera: Aplicación de análisis de redes complejas y caracterización de la red demetro de Madrid

Autor: Adolfo Cros GomaTutor: Sebastián Lozano Segura

El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:

Presidente:

Vocal/es:

Secretario:

acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Fecha:

Ya sabes cómo funciona esto.Coges un PFC, vas directo a la dedicatoria y descubres que,

una vez más,el autor ha dedicado su proyecto a alguien que no eres tú.

No será así esta vez....

A ti y a ti y a ti...Ustedes sabéis quiénes sois.1

1 Inspirado en la novela "Los hijos de Anansi" de Neil Richard Gaiman.

Agradecimientos

Mis años en estas aulas me prepararon para el desafío de enfrentar el futuro. Sé que lo hago con lasmejores armas, con un espíritu combativo, y que ningún reto me parecerá imposible después de

culminar mi estudios.

Cuando llegamos al final de un gran esfuerzo el sabor que nos queda en el paladar es quizás agridulce,porque así como saboreamos el placer de concluir un gran proyecto también nos queda la pena de abandonarun grupo de personas a las que ya no veremos de la misma forma. Graduarse es bello, sin duda. Sobre todo sihemos compartido momentos inolvidables con personas que siempre quedarán en nuestro recuerdo.

¡¡¡Gracias a todos por enseñarme a vivir!!!

Tras la Escuela se acaban los sueños.... y ahora hay que despertar.

LA VIDA ES UN LARGO SUEÑOSOÑAR NO CUESTA NADA

NO TIENE LÍMITES NI DUEÑOLA GLORIA, EL PODER, LA FAMAEL SOL, LA LUNA, LAS ESTRELLAS

LAS HADAS Y LAS SIRENASDAMAS DE RUBIAS MELENAS

¡QUÉ FÁCIL ES SOÑAR CON ELLAS!TODO SE PUEDE ALCANZAR

PERO LUEGO HAY QUE DESPERTARY VOLVER A LA REALIDAD.

Ofloda2

Y mención especial para mi director y tutor del PFC por su esfuerzo y dedicación. Sus conocimientos, susorientaciones, su manera de trabajar, su persistencia, su paciencia y su motivación han sido fundamentalespara la elaboración de este proyecto. Él ha inculcado en mí un sentido de seriedad, responsabilidad y rigoracadémico sin los cuales no podría haber alcanzado mi meta. A su manera, ha sido capaz de ganarse milealtad y admiración, así como sentirme en deuda con él por todo lo recibido durante el periodo de tiempoque ha durado esta colaboración.

Adolfo Cros GomaAlumno de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros

Sevilla, 2018

2 Extraído de "Quiero ser Poeta" (oflodacros.com.) - "Los sueños, sueños son"

III

Resumen

La mejor estructura no garantizará los resultados ni elrendimiento. Pero la estructura equivocada es una garantía defracaso.

Peter F. Drucker (1909 - 2005), considerado el mayorfilósofo de la administración del siglo XX. Fuente:

Wikipedia.

Una red de metro generalmente representa el núcleo del sistema de transporte público de una gran ciudad.El continuo aumento de las inversiones en la ampliación de estas redes de transporte ha dado como re-

sultado la generación de complejos sistemas de metro que poseen altas densidades de estaciones e intrincadasrelaciones entre ellas. Por lo tanto, las estructuras topológicas generales y las características funcionales deuna red de transporte de esta importancia deben entenderse plenamente para poder mejorar la seguridad y pla-nificar las futuras ampliaciones. La ocurrencia de fallas aleatorias ha aumentado nuestra conciencia de que lasampliaciones irracionales perjudican la fiabilidad general de un sistema de metro. Además, tanto los ataquesmaliciosos, como las destrucciones dirigidas y las represalias a los componentes del sistema, pueden dañar lafuncionalidad de toda la red, causando considerables costos socioeconómicos. Por ello, una mejor compren-sión de las propiedades subyacentes de estas redes de transporte es crucial para mejorar su robustez contra lasinterrupciones internas y los ataques externos. La utilización de modelos de redes complejas para la caracte-rización y análisis de la vulnerabilidad de estos sistemas puede ser de gran utilidad para conseguir ese objetivo.

Como caso de estudio se ha tomado la red de metro de Madrid. Una de las redes de metro más impor-tante de Europa. Su caracterización se ha realizado según dos modelos diferentes. Por un lado la hemosobservado desde el punto de vista tradicional (modelo L-space) y por otro lado la hemos observado desdeuna perspectiva diferente (modelo P-space). Comprobaremos que con la segunda visión se logran extraerpropiedades emergentes que no son visibles con la mirada tradicional. La caracterización de la red nospermitirá poner a prueba la robustez ante fallas aleatorias y ataques dirigidos. Veremos como la conectivi-dad de la red de metro es resistente a errores casuales pero se muestra frágil ante irrupciones provocadas.Este análisis de la vulnerabilidad posibilitará definir las estaciones más críticas de la red de metro deMadrid.

V

Abstract

The best structure will not guarantee the results or performance.But the wrong structure is a guarantee of failure.

Peter Ferdinand Drucker (1909 - 2005)

A subway network usually represents the core of the public transport system of a large city. The continuousincrease of the investments in the expansion of these transport networks has resulted in complex metro

systems that have high station densities and intricate relationships between them. Therefore, the generaltopological structures and the functional characteristics of a transport network of this importance should befully understood in order to improve safety and planning future enlargements. The occurrence of randomfailures has increased our awareness that irrational extensions impair the overall reliability of a subwaysystem. In addition, malicious attacks, such as targeted destructions and retaliatory disturbances to systemcomponents, can impair the functionality of the entire system, causing considerable socio-economic costs.Therefore, a better understanding of the underlying properties of these transport networks is crucial to improvetheir robustness against internal interruptions and external attacks. The use of complex network models forthe characterization and analysis of the vulnerability of these systems can be very useful to achieve theseobjectives.

The Madrid metro network, one of the most important metro networks in Europe, is taken as a case study.Its characterization has been made according to two different models. On the one hand we have observed itfrom the traditional point of view (L-space model) and on the other hand we have observed it from a differentperspective (P-space model). It has been verified that with the second vision it is possible to extract emergentproperties that are not visible with the traditional look. The characterization of the network has allowed totest the robustness against random failures and directed attacks. We have seen how the connectivity of themetro network is resistant to casual errors but it is fragile in the face of induced irruptions. This analysisof the vulnerability has made it possible the identification of the most critical stations of the Madrid metronetwork.

VII

Índice Abreviado

Resumen VAbstract VIIÍndice Abreviado IXNotación XV

1 Motivación. Objetivos. Estado del arte. 11.1 Motivación 21.2 Objetivo 31.3 Estado del arte 3

2 Redes Complejas. Descripción y Caracterización. 72.1 Complejidad y Sistemas complejos 72.2 Redes complejas 92.3 Grafos 102.4 Caracterización Local 11

2.5 Caracterización Global 15

2.6 Modelos de redes complejas 19

3 Vulnerabilidad. Robustez y Resiliencia. 253.1 Vulnerabilidad en redes de transporte 263.2 Estrategias de ataques dirigidos 273.3 Medidas de la vulnerabilidad 28

4 Red de metro de Madrid. Caracterización. 294.1 Datos de partida y obtención del grafo 304.2 Modelo L-space 33

4.3 Modelo P-space 67

4.4 Tabla comparativa de caracterización de la Red de metro de Madrid 90

5 Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad. 935.1 Fallas aleatorias 945.2 Ataques dirigidos 98

6 Conclusiones. 1096.1 Modelo 1106.2 Caracterización 1116.3 Vulnerabilidad 1116.4 "Measuring the vulnerability of public transport networks" 114

IX

X Índice Abreviado

6.5 Herramientas 1156.6 Corolario 115

Índice de Figuras 117Índice de Tablas 119Bibliografía 121Índice alfabético 123Glosario 125

Índice

Resumen VAbstract VIIÍndice Abreviado IXNotación XV

1 Motivación. Objetivos. Estado del arte. 11.1 Motivación 21.2 Objetivo 31.3 Estado del arte 3

2 Redes Complejas. Descripción y Caracterización. 72.1 Complejidad y Sistemas complejos 72.2 Redes complejas 92.3 Grafos 102.4 Caracterización Local 11

2.4.1 Grado de un nodo 112.4.2 Fuerza de un nodo 122.4.3 Caminos de un grafo 122.4.4 Distancia entre nodos 132.4.5 Coeficiente de agrupamiento (Clustering coefficient) 142.4.6 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality) 142.4.7 Excentricidad (Eccentricity) 152.4.8 Centralidad de cercanía (Closeness centrality) 152.4.9 Centralidad armónica (Harmonic centrality) 15

2.5 Caracterización Global 152.5.1 Densidad de red 152.5.2 Grado medio 162.5.3 Fuerza media 162.5.4 Distribución del grado 162.5.5 Densidad de probabilidad de los grados 172.5.6 Diámetro 172.5.7 Distancia media 172.5.8 Eficiencia de red 172.5.9 Índice de Centralización 172.5.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient) 172.5.11 Heterogeneidad 18

2.6 Modelos de redes complejas 192.6.1 Redes regulares 192.6.2 Redes aleatorias 192.6.3 Redes de mundo pequeño 21

XI

XII Índice

2.6.4 Redes libres de escala 222.6.5 Redes exponenciales 23

3 Vulnerabilidad. Robustez y Resiliencia. 253.1 Vulnerabilidad en redes de transporte 263.2 Estrategias de ataques dirigidos 27

3.2.1 Grado del nodo 273.2.2 Centralidad de intermediación 28

3.3 Medidas de la vulnerabilidad 283.3.1 Conectividad 283.3.2 Longitud geodésica inversa promedio 28

4 Red de metro de Madrid. Caracterización. 294.1 Datos de partida y obtención del grafo 304.2 Modelo L-space 33

4.2.1 Densidad de red 334.2.2 Grado medio 354.2.3 Fuerza media 374.2.4 Diámetro 394.2.5 Excentricidad (Eccentricity) 414.2.6 Distancia media 474.2.7 Eficiencia de red 504.2.8 Distribución del grado 534.2.9 Índice de centralización 624.2.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient) 624.2.11 Índice de heterogeneidad 644.2.12 Centralidad de cercanía (Closeness centrality) 644.2.13 Centralidad armónica (Harmonic centrality) 644.2.14 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality) 64

4.3 Modelo P-space 674.3.1 Densidad de red 674.3.2 Grado medio 684.3.3 Fuerza media 704.3.4 Diámetro 734.3.5 Excentricidad (Eccentricity) 734.3.6 Distancia media 754.3.7 Eficiencia de red 764.3.8 Distribución del grado 784.3.9 Índice de centralización 864.3.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient) 864.3.11 Índice de heterogeneidad 884.3.12 Centralidad de cercanía (Closeness centrality) 884.3.13 Centralidad armónica (Harmonic centrality) 884.3.14 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality) 89

4.4 Tabla comparativa de caracterización de la Red de metro de Madrid 90

5 Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad. 935.1 Fallas aleatorias 945.2 Ataques dirigidos 98

5.2.1 Estrategia grado de los nodos 985.2.2 Estrategia intermediación 1035.2.3 Estrategia miope 108

6 Conclusiones. 1096.1 Modelo 110

Índice XIII

6.2 Caracterización 1116.3 Vulnerabilidad 1116.4 "Measuring the vulnerability of public transport networks" 1146.5 Herramientas 1156.6 Corolario 115

Índice de Figuras 117Índice de Tablas 119Bibliografía 121Índice alfabético 123Glosario 125

Notación

G= (N,E) Grafo que representa una red complejaN= (n1,n2,...,np) Conjunto de los nodos de un grafo GE= (e1,e2,...,eq) Conjunto de los enlaces de un grafo G(p,q)-grafo Grafo G con p nodos y q enlacesKp Grafo completo (p−1)-regularA Matriz de adyacencia de un grafo GW Matriz de pesos de un grafo Ggr(ni) Grado del nodo niP(x) Distribución del grado de un grafo G〈gr〉 Grado medio de un grafo Gf r(ni) Fuerza del nodo ni〈 f r〉 Fuerza media de un grafo Gc = {n1,n2,...,nm+1} Camino desde el nodo n1 al nodo nm+1l(c) = m Longitud del camino cd(ni,n j) Distancia geodésica entre los nodos ni y n j〈d〉 Distancia media de un grafo Gdmax Diámetro de un grafo GCi Coeficiente de agrupamiento (Clustering coefficient) del nodo ni〈C〉 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient) de un grafo GCbet(i) Centralidad de Intermediación (Betweenness centrality) del nodo ni〈Cbet〉 Centralidad de Intermediación media (Average betweenness centrality) de un grafo GEcce(i) Excentricidad (Eccentricity) del nodo ni〈Ecce〉 Excentricidad media (Average eccentricity) de un grafo GClC(i) Centralidad de cercanía (Closeness centrality) del nodo ni〈ClC〉 Centralidad de cercanía media (Average closeness centrality) de un grafo GHC(i) Centralidad armónica (Harmonic centrality) del nodo niHC Centralidad armónica media (Average harmonic centrality) de un grafo Gρ Densidad de un grafo Gη Eficiencia de un grafo GCI Índice de centralización de un grafo Gh Índice de heterogeneidad de un grafo Ghn Índice de heterogeneidad normalizado de un grafo GEcm( f (xk)) Error cuadrático medio

XV

1 Motivación. Objetivos. Estado del arte.

Lo que no se define no se puede medir. Lo que no se mide, no sepuede mejorar. Lo que no se mejora, se degrada siempre.

William Thomson (Lord Kelvin) (1824 - 1907), físico ymatemático británico que destacó por sus importantes

trabajos en el campo de la termodinámica.Fuente: Wikipedia.

Es prácticamente imposible pasear por Madrid y no toparse con él en algún momento. No es ningún granmonumento de la ciudad, ni tampoco un edificio emblemático. Discreto e introvertido, cada día miles

de personas se fijan en él para poder comprender mejor esta gran capital. Es el plano del metro de Madrid. Él,como todos, también tiene su historia.

El del Metro es un submundo fascinante, en ocasiones con sus propias leyes y costumbres. Una ciudaddebajo de la ciudad en la que cada jornada se viven miles de historias, miradas cruzadas y anécdotas. Unlaberinto de galerías y túneles que desde que el metro de Madrid comenzase su actividad en octubre de 1919ha quedado recogido en sus diferentes planos. El grado de complejidad de éstos ha ido evolucionando yaumentando a la par que la red del metro ganaba kilómetros y estaciones, hasta llegar a las 327 que posee enla actualidad. Nada que ver con aquella primitiva Línea 1 que inauguró Alfonso XIII con 8 estaciones y 3,8kilómetros de longitud. ¿Su recorrido? Cuatro Caminos – Sol.

Metro deMadrid comenzó en 1919 a prestar su servicio de transporte público de viajeros con la inauguraciónde la Línea 1, entre Sol y Cuatro Caminos. Desde entonces muchas cosas han cambiado. Barato y funcional,rápido y eficaz, original y con encanto... Metro de Madrid es hoy una de las redes más extensas del mundoque permite que el 80% de los madrileños, residentes en los municipios a los que llega el metro, dispongan deuna estación a menos de 600 metros de sus domicilios o destinos habituales. Metro de Madrid transporta endía laborable más de dos millones de viajeros. Teniendo en cuenta el número de viajeros diarios, la superficieque abarca y la cantidad de estaciones y líneas que posee, Metro de Madrid es el segundo más grande deEuropa y el cuarto del mundo (siendo además el más densamente poblado).

1

2 Capítulo 1. Motivación. Objetivos. Estado del arte.

InfanteDon Luis

SigloXXI

NuevoMundo

BoadillaCentro Ferial de

Boadilla

Cantabria

Prado delEspino

Ventorro del Cano

Montepríncipe

Retamares

Cocheras

Ciudaddel Cine

Ciudad dela Imagen

Prado de la Vega

Colonia de los Ángeles

Prado del Rey

Somosaguas Sur

Somosaguas Centro

Pozuelo Oeste

Bélgica

Dos Castillas

Campus Somosaguas

Avenida de Europa

Berna

JoséIsbert

Estación de Aravaca

Puerta deBoadilla

Palas de Rey

María Tudor

Blasco IbáñezÁlvarez de Villaamil

Antonio SauraVirgen del Cortijo

Fuente de la Mora

ParqueLisboa

Alcorcón Central

Parque Oeste

UniversidadRey Juan Carlos

Hospital Severo Ochoa

Leganés Central

Móstoles Central

Pradillo

Hospital de Móstoles

Alonso de Mendoza

Juan de la Cierva

San Nicasio

El CasarLos Espartales

Casa delReloj

El Bercial

El Carrascal

JuliánBesteiro

Getafe Central

Manuela Malasaña

Loranca

Hospital deFuenlabrada

ParqueEuropa

FuenlabradaCentral

Parque de losEstados

Arroyo Culebro

Conservatorio

Pan Bendito

Abrantes

San Francisco

Carabanchel Alto

La Peseta

La Fortuna

Cuzco

Begoña

Fuencarral

Tres Olivos

Montecarmelo

La Granja

Baunatal

La Moraleja

Marqués de la Valdavia

Manuel de Falla

Reyes Católicos

Ronda de la Comunicación

SantiagoBernabéu

Lago

Batán

Aviación Española

JoaquínVilumbrales

Cuatro Vientos

HospitalInfanta Sofía

Puerta del Sur

Colonia Jardín

Sáinz de Baranda

CiudadUniversitaria

Condede Casal

Herrera Oria

Barrio del Pilar

Ventilla

Pío XII

Concha Espina

Cruz delRayo

Ibiza

Estrella

Vinateros

Artilleros

Pavones

Valdebernardo

Vicálvaro

San Cipriano

Puerta de Arganda

Rivas-UrbanizacionesRivas Futura

Rivas Vaciamadrid

La Poveda

Duque dePastrana

Arganda del Rey

Mirasierra

Pinar del ReyColombia

Campo delas Naciones

Aeropuerto T1-T2-T3

Barajas

Aeropuerto T4

NuevosMinisterios

Lacoma

Avda. de laIlustración

Peñagrande

Antonio Machado

Valdezarza

Francos Rodríguez

IslasFilipinas

GregorioMarañón Cartagena

Ascao

Simancas

San Blas

Las Musas

La Rambla

Jarama

Henares

San Fernando

Barrio del Puerto

Estadio Olímpico

Coslada Central

GarcíaNoblejas

Parque delas Avenidas Barrio de la

ConcepciónAlonsoCano

Pitis

Hospital delHenares

RepúblicaArgentina

Metropolitano

O’Donnell

Arganzuela-Planetario

MéndezÁlvaro

Opañel

Carpetana

Laguna

Lucero

Alto deExtremadura

Puertadel Ángel

Guzmán elBueno

Plaza Elíptica

Príncipe Pío

Urgel

Carabanchel

Empalme

Campamento

Chueca

El Carmen

Quintana

Ciudad Lineal

Suanzes

Torre Arias

Canillejas

El Capricho

RubénDario

VistaAlegre

Eugenia deMontijo

Aluche

Pirámides

Acacias

Núñezde Balboa

Pueblo Nuevo

Casa deCampo

Alameda de Osuna

Prosperidad

ListaSerranoColón

Alfonso XIII

Avda. de la Paz

Arturo Soria

Esperanza

Canillas

San Lorenzo

Parque de Santa María

HortalezaManoteras

Avda. deAmérica

Mar deCristal

Diego deLeón

AlonsoMartínez

Lavapiés

Palos dela Frontera

Delicias

Hospital 12de Octubre

San Fermín-Orcasur

San Cristóbal

Ciudad de los Ángeles

Villaverde Bajo-Cruce

VenturaRodríguez

Embajadores

Legazpi

Argüelles

Moncloa

Villaverde Alto

Quevedo

SantoDomingo

La Elipa

La Almudena

Alsacia Avda. deGuadalajara

Sevilla

Canal

San Bernardo

Goya

Ventas

ManuelBecerra

Ópera

CuatroCaminos

Las Rosas

Bambú

Valdeacederas

Tetuán

Estrecho

Alvarado

RíosRosas

Iglesia

Tirso de Molina

Antón Martín

Atocha

MenéndezPelayo

Buenos Aires

Alto del Arenal

Miguel Hernández

Villa de Vallecas

Congosto

La Gavia

Las Suertes

Plazade Castilla

Tribunal

Bilbao

Pacífico

Sierra de Guadalupe

Gran Vía

Atocha Renfe

Puente de Vallecas

Nueva Numancia

Portazgo

Chamartín

Valdecarros

Pinar deChamartín

Las Tablas

Noviciado

Figura 1.1 Plano de bolsillo del metro de Madrid.Fuente: Metro Madrid.

1.1 Motivación

Muchas redes complejas son redes de infraestructuras críticas para los seres humanos, entre ellas las redeseléctricas, las redes de telecomunicaciones, las redes de transporte, las redes de distribución de agua, etc.,que pueden presentar fallas, interrupciones, errores aleatorios, congestión o sufrir ataques dirigidos. Eventoscomo ataques terroristas, incendios, explosiones, siniestros y desastres naturales, han llamado la atención devarios investigadores sobre la vulnerabilidad o robustez de las redes complejas. Para las redes de transporteurbano, el análisis de vulnerabilidad podría estar enfocado a analizar qué pasa con la red ante accidentes detráfico, catástrofes naturales que afecten la infraestructura vial, cierres programados de vías por reparaciones,manifestaciones o eventos de la ciudad, que implican, en términos de redes, la eliminación de uno o variosarcos de la red, y que pueden afectar a la conectividad y a los flujos de viajeros.

No existe consenso en la definición de vulnerabilidad. Se puede definir la vulnerabilidad como un conceptoformado por dos partes: la primera tiene que ver con la probabilidad de que ocurra un evento peligroso yla segunda, llamada exposición, tiene que ver con las consecuencias del evento en cierto lugar de la red.En esta definición, la vulnerabilidad está asociada a la sensibilidad de la red a las amenazas, riesgos operturbaciones que puedan presentarse y puede ser descrita como la disminución de la eficiencia de la reddespués de un ataque o falla aleatoria. El análisis de vulnerabilidad de redes complejas tratará de cuantificar yevaluar el impacto de la eliminación de un componente de la red y la caída relativa del desempeño de la misma.

1.2 Objetivo 3

Relacionados con la vulnerabilidad están los términos de robustez y resiliencia, pudiéndose definir robustezcomo la capacidad del sistema de mantener su estructura o sus funciones intactas o ligeramente afectadascuando está sujeto a una perturbación, y resiliencia como la capacidad del sistema de reponerse o recuperarsedespués de una perturbación.

Los análisis de la vulnerabilidad de redes complejas son cruciales para estas infraestructuras de trans-porte público. Se debe tener en cuenta la gestión de los riesgos a los que se exponen en su planificación,construcción y mantenimiento, identificar sus elementos críticos, las alternativas de uso que ofrecen, lasposibles consecuencias y su manejo, los costes económicos y sociales preventivos y paliativos generadospor los eventos que las pudieran alterar. En definitiva, hacerlas más fiables y robustas y menos vulnerablesa las interrupciones. Esta es la motivación de este PFC. La propuesta es establecer un marco general quedefina los daños críticos, la vulnerabilidad estructural y las mejoras esenciales de la red. Para obtener estoselementos se mediría el perjuicio ocasionado al sistema en general con unas referencias observables como laperdida de conectividad o el aumento de las distancias en la red.

1.2 Objetivo

Los estudios sobre la vulnerabilidad de las redes de transporte público atraen una atención creciente debidoa las repercusiones que los incidentes pueden tener en el funcionamiento cotidiano de una gran ciudad. Elobjetivo de este documento es desarrollar una metodología para medir la vulnerabilidad de la red de transportepúblico, tomando como ejemplo la red de metro de Madrid, modelando el sistema como una red compleja.La caracterización de la red nos ayudará a analizar y entender el sistema y la simulación de fallas aleatorias yataques dirigidos nos indicará el grado de vulnerabilidad de la misma.

Se persigue hallar la relación entre Accesibilidad y Vulnerabilidad. La medida de la Accesibilidad se puederealizar considerando los tiempos de desplazamiento, contemplando la Vulnerabilidad como un empeora-miento del nivel de servicio de la red, o “Accesibilidad Reducida”. También se puede medir la Accesibilidadconsiderando las conexiones entre estaciones, contemplando la Vulnerabilidad como una imposibilidad deconectar dos estaciones, o "Accesibilidad nula". Esta relación entre Accesibilidad y Vulnerabilidad permitetener en cuenta los tramos alternativos que den redundancia a la red y minimice las consecuencias de laalteración de la misma.

1.3 Estado del arte

La literatura reciente refleja un interés creciente en los estudios de vulnerabilidad de redes complejas. Lascontribuciones al estudio de la vulnerabilidad se producen en muchas disciplinas diferentes y se han aplicadoen numerosos campos. La literatura sobre redes de transporte también ha incorporado aspectos de vulnerabi-lidad en sus estudios. Algunos de estos estudios describen intentos de establecer bases teóricas, conceptualesy metodológicas para estudiar la vulnerabilidad de las redes de transporte. Por ejemplo, en su revisión de laliteratura sobre la vulnerabilidad de las redes viales, Katja Berdica (2002), pone especial énfasis en definir losconceptos a usar, discutir estudios previos y explorar el camino a seguir para futuras líneas de estudio. EricaJen (2005) publicó un libro sobre el diseño de redes robustas, entendiendo por robustez la capacidad de lared para absorber el impacto de las perturbaciones en sus enlaces y nodos mientras mantiene la operatividaden condiciones similares a las que se encontraba en su situación normal. Otras revisiones recientes se centranen conceptos como la resiliencia, definida como la capacidad de las redes para recuperarse de un posible inci-dente, por ejemplo Aura Reggiani (2013). Ivana Bachmann (2015) presenta un índice de robustez, Miuz, quemide el impacto de desconectar un nodo de la red, utilizando el tamaño de las componentes conexas existentes.

La mayoría de los autores aplicaron indicadores de teoría de grafos dentro del marco de la teoría de redescomplejas más reciente. Estos indicadores ya se usaron en los primeros estudios sobre vulnerabilidad deredes para medir el aumento en las distancias geodésicas resultantes tras la interrupción provocada en ciertosenlaces, caso de William L. Garrison (1960), e identificar los enlaces más críticos de una red, caso de DonaldRatliff (1975). El desarrollo de aplicaciones informáticas cada vez más eficientes ha llevado a un aumentosustancial en este tipo de estudios incluyendo intentos de abordar este tipo de análisis desde una perspectivamás geográfica utilizando herramientas GIS para visualizar y analizar resultados.

4 Capítulo 1. Motivación. Objetivos. Estado del arte.

Eduardo Rodríguez Núñez (2013) valora la vulnerabilidad de dos redes de transporte, la de carreteras de laisla de Mallorca y la de Metro de Madrid, mediante la variación de la accesibilidad de los puntos origen ydestino y su impacto en el territorio mediante un Sistema de Información Geográfica.

La idea de planificar un ataque dirigido a la red utilizando medidas de centralidad ha captado la atenciónde investigadores y profesionales en los últimos años. Por ejemplo, James Sterbenz (2011) utilizó between-ness centrality para planificar un ataque a la red, calculando el valor de betweenness para todos los nodos,ordenando los nodos de mayor a menor valor de betweenness y luego eliminando esos nodos en ese orden.Demostrando que desconectando solo dos de los principales nodos, la conectividad se reduce al 60%, lo quecorresponde a un 20% más de daño que otros ataques como eliminación aleatoria de nodos o eliminaciónsegún grado de los nodos.

Petter Holme y Beom Jum Kim (2002) estudiaron la respuesta de redes complejas sujetas a diferentesataques midiendo la longitud geodésica inversa promedio y el tamaño del subgrafo conectado más grande.Utilizaron cuatro estrategias de ataque diferentes: eliminaciones por orden descendente del grado y de lacentralidad de intermediación, calculadas para la red inicial y para la red resultante tras la eliminación de unvértice. Encontraron que los ataque eran más dañinos cuando se recalculaban el grado y la intermediación trasla eliminación de un vértice. Este resultado es indicativo de que la estructura de la red va variando conformese eliminan nodos.

Sebastian Wandelt y Xiaoqian Sun (2016) proponen una nueva técnica (QRE = Estimación de RobustezRápida) para estimar la robustez de una red, expresada por el tamaño de la componente gigante, en tiemposubcuadrático. Asignan la importancia de los nodos utilizando la centralidad aproximada de la intermedia-ción, que estima la centralidad de los nodos mediante el muestreo de una subcolección de pares de nodos.Además, adaptan iterativamente los intervalos de muestreo ajustando la forma de las curvas de robustez,produciendo una solución cada vez mejor después de cada iteración. Los experimentos en redes del mundoreal y redes aleatorias muestran que QRE obtiene resultados cercanos o incluso mejores que la centralidad deintermediación interactiva, al tiempo que tiene atractivas propiedades computacionales.

Alan Kuhnle (2017) evalúa la solidez de las redes complejas identificando los vértices cuyas fallas dañaráncríticamente la red al degradar su agrupación, evaluada a través del coeficiente de agrupamiento promedio.Formula este análisis de vulnerabilidad como un problema de optimización, comprobando su integridad NPy no monotonicidad, y ofrece dos algoritmos para identificar los vértices más importantes para la agrupación.

Yuhao Yang (2015) presenta como caso de estudio la red de metro de Beijing para evaluar la solidez de unared de metro frente a fallas aleatorias y ataques maliciosos. Desarrolla un nuevo índice compuesto ponderadoy demuestra que es válido para la evaluación de la importancia del nodo, que podría utilizarse para posicionarestaciones centrales en una red de metro. Además añaden técnicas de análisis espacial de un Sistema deInformación Geográfica. Los resultados de las simulaciones revelan que la red de metro exhibe característicastípicas de una red libre de escala, con una capacidad de supervivencia y robustez relativamente alta cuandose enfrenta a fallas aleatorias, mientras que la tolerancia a errores es relativamente baja cuando los "hubs"experimentan ataques maliciosos.

Jianhua Zhanga (2011) analiza e investiga la red de metro de Shanghái para evaluar la fiabilidad y larobustez de la misma. Se discute sobre la fracción de nodos eliminados de la red de metro y se compara conla de una red aleatoria, y se obtiene el umbral crítico de esta fracción. Se proponen dos parámetros novedososllamados la pérdida de funcionalidad y la conectividad de las líneas de metro para medir la funcionalidad dela red de transporte y la conectividad de las líneas de metro.

El sistema metropolitano de metro de Seúl, que consta de 380 estaciones, proporciona el modo de transporteprincipal en el área metropolitana de Seúl. Centrándose en la estructura de la red, Keumsook Lee (2011)analiza las propiedades estadísticas y las consecuencias topológicas del sistema de metro. Ha investigado mása fondo los flujos de pasajeros en el sistema y ha construido el árbol de expansión máximo de los flujos. Seencuentra que la distribución del peso muestra un comportamiento de ley de potencias, mientras que la distribu-ción de la fuerza sigue una distribución log-normal. También se revela el comportamiento de ley de potenciasde la distribución de grados del árbol de expansión. El análisis detallado y las implicaciones quedan en estudio.

1.3 Estado del arte 5

El estudio matemático del concepto del mundo pequeño ha suscitado bastante interés, mostrando quelas características del mundo pequeño se pueden identificar para algunas clases abstractas de redes. Sinembargo, pasar a sistemas complejos reales, como por ejemplo redes de transporte, muestra una serie denuevos problemas que hacen imposible el análisis actual. Vito Latora (2002) muestra cómo un tipo de análisismás refinado, dependiendo de la eficiencia del transporte, puede de hecho utilizarse para superar dichosproblemas, y para proporcionar apreciaciones valiosas sobre las características generales de las redes detransporte reales, proporcionando finalmente una imagen donde el pequeño mundo vuelve como principio deconstrucción subyacente.

Un enfoque basado en simulaciones de flujo de pasajeros entre las rutas más cortas para cuantificar losretrasos debidos a eventos simultáneos se ha llevado a cabo por Lani M’cleod (2017) tomando como ejemploel metro de Nueva York. Define su propia medida para identificar nodos críticos en función de una combi-nación del valor económico, indicado por el tiempo de viaje entre las estaciones de origen y destino, y lademanda, denotada por el flujo de pasajeros entre las estaciones de origen y destino. Presenta el concepto de"sinergia" para evaluar el efecto de las interrupciones simultáneas de las estaciones.

2 Redes Complejas. Descripción yCaracterización.

La materia no solo interactúa, también se organiza. Conocemosbásicamente todas las leyes de interacción de la materia, perono sabemos casi nada sobre sus leyes de organización.

Albert Lester Lehninger (1917 - 1986), bioquímicoestadounidense pionero de la bioenergética.

Fuente: Repository Guide to the Personal PapersCollections of Alan Mason Chesney Medical Archives.

En los últimos años hemos sido testigos de una explosión en el estudio de las propiedades estructuralesy dinámicas de las redes complejas. Durante este tiempo se han publicado cientos de artículos sobre

este tema en revistas de investigación científica internacionales de diferentes disciplinas, que abarcan física,biología, sociología, neurología, economía, medicina, etc. Este interés en las redes complejas radica en quenos hemos dado cuenta de que dichas redes abundan en la naturaleza, son parte de nuestra vida diaria y sepresentan a diferentes niveles de organización. Las redes complejas son ubicuas, están por todos lados. Esun hecho sobresaliente el que todas estas redes, tan diferentes en naturaleza y en tamaño, tengan muchaspropiedades estructurales similares. Este hecho, tan simple como sorprendente, hace posible que podamosformular modelos matemáticos para entender y explicar las propiedades estructurales (y en algunos casostambién las propiedades dinámicas) de las redes complejas.

2.1 Complejidad y Sistemas complejos

Hasta principios del siglo XX, la mecánica clásica, formulada por primera vez por Newton y desarrolladaposteriormente por Laplace y otros, se consideraba la base de la ciencia en su conjunto. Se esperaba que lasobservaciones hechas por otras ciencias tarde o temprano se redujeran a las leyes de la mecánica. Aunqueeso nunca sucedió, otras disciplinas adoptaron una visión del mundo según la metodología mecanicista onewtoniana. El paradigma mecanicista es convincente por su simplicidad, coherencia y aparente integridad.Además, no solo tuvo mucho éxito en sus aplicaciones científicas, sino que estuvo en gran medida de acuerdocon la intuición y el sentido común.

7

8 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

La lógica detrás de la ciencia newtoniana es fácil de formular, aunque sus implicaciones son sutiles. Suprincipio más conocido, que fue formulado por el filósofo-científico Descartes mucho antes que Newton, es eldel análisis o reduccionismo: para comprender cualquier fenómeno, es necesario reducirlo a sus componentesindividuales.

En esencia, la filosofía de la ciencia newtoniana es la simplicidad: la complejidad del mundo es soloaparente; para enfrentarlo, es necesario analizar los fenómenos en sus componentes más simples. Una vezque hayas hecho eso, su evolución resultará ser perfectamente regular, reversible y predecible, mientras queel conocimiento que obtuviste será simplemente un reflejo de ese orden preexistente.

Los primeros desafíos al reduccionismo aparecieron a principios del siglo XX en los trabajos de losfilósofos de la época y, en particular, de Smuts (1926), quien acuñó la palabra holismo que definió como latendencia de un todo a ser mayor que la suma de sus partes. Esto plantea la pregunta de qué es exactamentelo que el todo tiene más. En la terminología actual, diríamos que un todo tiene propiedades emergentes,es decir, propiedades que no se pueden reducir a las propiedades de las partes. Esto implica una ontologíacompletamente diferente de la newtoniana: los bloques de construcción de la realidad no son partículasmateriales, sino relaciones abstractas, y las organizaciones complejas que juntas forman.

Aunque no hay consenso cómo definir sistemas complejos, todos ellos comparten varias propiedadesclaramente identificables:

• Están compuestos demuchas partes (relativamente idénticas) que interactúan entre sí (auto-organizados).• Son sistemas conectados y descentralizados.• Cada parte lleva a cabo una función específica.• Suelen ser robustos. las actuaciones se completan aunque un individuo falle.• Lo que ocurra a una parte del sistema afecta de manera altamente no lineal a todo el sistema.• Presentan comportamientos emergentes, de tal manera que el todo no es la simple suma de sus partes.A partir de las interacciones locales, surge una organización global.

Figura 2.1 Ejemplo de Sistema Complejo - Red de transporte aéreo mundial.Fuente: Radar de aviones en tiempo real.

Un sistema complejo, por tanto, es un conjunto de elementos o partes que interaccionan entre sí a fin dealcanzar un objetivo concreto. En consecuencia, para que el comportamiento de un sistema esté adecuadamentedescrito, es necesario conocer, además de sus elementos, las interacciones o relaciones entre ellos. Lossistemas complejos se caracterizan fundamentalmente porque su comportamiento es imprevisible (que nodebe confundirse con aleatorio). Sin embargo, complejidad no es sinónimo de complicación. El términocomplejidad hace referencia a algo enmarañado, enredado, de difícil comprensión. Las reglas que determinanla dinámica de un sistema complejo suelen ser simples, sin embargo predecir el comportamiento del sistemaa largo plazo resulta casi imposible en la mayoría de las ocasiones. Es muy complicado obtener resultadosteóricos sobre el modelo.

2.2 Redes complejas 9

2.2 Redes complejas

Detrás de cada sistema complejo siempre hay un diagrama de conexiones, una red, que define las interaccionesentre sus componentes. Las redes complejas se pueden representar mediante un grafo con nodos, parteso elementos del sistema, y enlaces que simbolizan la interacción entre ellos. Por tanto, una red complejaqueda definida por un grafo G = (N,E), donde N = (n1,n2,...,np) es el conjunto de los nodos del grafo yE= (e1,e2,...,eq) es el conjunto de los enlaces entre los nodos. Cada enlace conecta dos nodos de modo quecada uno ellos se define por una pareja ordenada de estos, ek = (ni,n j).

A finales de la década de 1950, dos matemáticos, Erdös y Rényi (ER) (Figura 2.2), hicieron un granavance en la teoría matemática clásica de grafos que revolucionaría la forma en que se pueden modelar estosproblemas describiendo una red con topología compleja por medio de un grafo aleatorio, estableciendolos fundamentos de la teoría de redes aleatorias. Aunque la intuición indica claramente que muchas redescomplejas de la vida real no son ni totalmente regulares ni completamente aleatorias, el modelo ER fue elúnico enfoque sensato y riguroso que dominó el pensamiento de los científicos acerca de las redes complejasdurante la segunda mitad del siglo XX.

Figura 2.2 Paul Erdős y Alfréd Rényi.Fuente: Tudomány / Science.

En los últimos años, gracias a la automatización del proceso de adquisición de datos y a las herramientascomputacionales generadas para el tratamiento posterior de estos datos, se tiene capacidad para trabajar sobregrandes bases de datos relativas a muchas y variadas redes complejas. Además, el acceso público a estaenorme cantidad de datos ha estimulado un gran interés por tratar de descubrir las propiedades genéricasde los diferentes tipos de redes complejas a las que podemos acceder. En este sentido, los descubrimientosdel efecto de mundo pequeño y la característica de libre de escala de la mayoría de las redes complejas hansido especialmente significativos y supusieron un avance más en el estudio de estas redes.

En 1998, con el fin de describir la transición de una red regular en una red aleatoria,Watts y Strogatz (WS)introdujeron el concepto de red de mundo pequeño. Debe notarse que el fenómeno de mundo pequeño es dehecho muy común, y nada alejado de nuestras experiencias diarias. A menudo, poco después de conocer a unextraño, uno se sorprende al descubrir que tenemos un amigo en común con él, de modo que es habitual laexpresión: "¡Qué pequeño es el mundo!". Un experimento que se realizó hace más de 40 años dio lugar alllamado "principio de los seis grados de separación", sugerido por el psicólogo social Milgram a finalesde 1960, y que establece que entre cualesquiera dos personas del mundo hay una media de 6 conexiones deamistad, independientemente de lo lejanas que estén dichas personas.

10 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

Aunque este punto sigue siendo controvertido, el patrón del mundo pequeño ha demostrado estar presenteen muchas redes reales. Una característica importante y común al modelo de redes aleatorias ER y al demundo pequeño WS es que la función de distribución de grados tiene un máximo en el valor medio delgrado y decae exponencialmente, lo que quiere decir que casi todos los nodos de la red tienen el mismonúmero de conexiones. Por ello, es común denominar a estos tipos de redes de manera conjunta como redesexponenciales o redes homogéneas.

Otro descubrimiento fundamental en el ámbito de las redes complejas, y que supuso un hito en nuestracapacidad de conocer de qué forma podíamos enfrentarnos a ellas, fue la observación de que muchas sonlibres de escala, es decir, la función de distribución de grados sigue una ley de potencias, que es independientede la escala de la red. A diferencia de una red exponencial, una red libre de escala es no homogénea: lamayoría de los nodos tienen muy pocas conexiones y, hay unos pocos nodos que tienen muchas, de formaque los nodos no se agrupan alrededor de un valor medio característico.

Se han propuesto e investigado en las últimas décadas muchas medidas cuantitativas de redes complejas anivel de nodo. Debido a la imposibilidad de manejar la información de las redes de una forma individual paralos nodos, era necesario definir también algunas medidas globales que permitieran caracterizar las redes conel fin de poder comparar la similitud entre ellas, así como la adecuación de los diversos modelos matemáticoscon las redes reales que pretenden modelar. Por tanto, disponemos de una serie de medidas para caracterizaruna red complejas tanto a nivel de nodo (caracterización local) como a nivel general (caracterizaciónglobal).

2.3 Grafos

Distinguimos dos tipos básicos de grafos: orientados y no orientados.

Definición 2.3.1 (Grafo orientado o digrafo) Un grafo orientado o digrafo G es una terna (N,E;γ) formadapor dos conjuntos no necesariamente finitos y una aplicación:

• N 6= /0 es el conjunto de sus vértices o nodos.• E es el conjunto de sus flechas, arcos, aristas o enlaces orientados.• la aplicación γ : E→ NxN, que se define para cada enlace ek ∈ E por γ(ek) = (ni,n j) ∈ NxN, donde

ni ∈ N es el vértice inicial u origen del enlace ek y n j ∈ N es el vértice final o destino del enlace ek.

A los enlaces con el mismo vértice inicial y final (ni = n j), le llamaremos lazos o bucles.

Definición 2.3.2 (Grafo no orientado) Un grafo no orientado G es una terna (N,E;c) formada por dos conjun-tos no necesariamente finitos y una aplicación:

• N 6= /0 es el conjunto de sus vértices o nodos.• E es el conjunto de sus lados, aristas o enlaces.• la aplicación c : E→ {{ni,n j} | ni,n j ∈ N (aplicación del conjunto E en el conjunto de todos lossubconjuntos de N con 1 o 2 elementos), que se define para cada lado ek ∈ E por c(ek) = (ni,n j)⊆ N,donde ni y n j son los vértices que conectan dicho lado, en tal caso diremos que ni y n j son vérticesadyacentes, y además que el lado ek es incidente con los vértices ni y n j.

Si | c(ek) |= 1 entonces ek es un lazo (ni = n j).

Dentro de los dos tipos de grafos podemos distinguir varios modelos:

1. Un grafo se dice que es ponderado o con peso si a cada lado o flecha se le asocia un número real.2. Un grafo se dice que es multigrafo si existe más de una flecha o lado incidentes con los mismos vértices.3. Un grafo G = (N,E) se dice que es finito si los conjuntos N y E son finitos. Si | N |= p y | E |= q,

entonces diremos que G es un (p,q)-grafo.4. Un grafo se dice que es simple si no posee lazos y no es un multigrafo.

Como se puede observar se pueden considerar distintos tipos de grafos, la elección del modelo vendráimpuesta por el problema que queramos resolver. En nuestro caso, si queremos analizar la red de metro deMadrid, veremos que nuestro modelo será un grafo no orientado simple y finito.

2.4 Caracterización Local 11

Definición 2.3.3 (Matriz de Adyacencia) Dado un (p,q)-grafo, llamaremos matriz de adyacencia a la matrizA= (ai j)i, j∈{1,...,p} con coordenadas:

ai j =

{1 si los vértices i y j son adyacentes0 en cualquier otro caso

Si el grafo es no orientado la matriz de adyacencia es simétrica y si además es simple la diagonal principal secompondrá únicamente por ceros. La matriz de adyacencia de un grafo no es única y depende de la ordenaciónque asignemos a los vértices. Dos matrices de adyacencia diferentes que representan el mismo grafo se diceque son isomorfas (la diferencia entre ambas matrices es una mera permutación de sus vértices).

Definición 2.3.4 (Matrices Isomorfas) Dosmatrices de adyacencia son isomorfas si existe unamatriz ortogonaly booleana P, tal que: PA1P′ = A2. La matriz P, será una permutación de las filas de la matriz identidad Ipque se corresponderá con la permutación de los índices de los vértices.

Definición 2.3.5 (Matriz de Pesos) Dado un (p,q)-grafo, llamaremosmatriz de pesos a lamatrizW=(wi j)i, j∈{1,...,p}con coordenadas:

wi j =

{peso de la conexión ai j si hay enlace entre i y j0 en cualquier otro caso

Cada arista del grafo tendrá un peso proporcional a la intensidad del enlace, a la capacidad de la conexióno a la distancia (en longitud o en tiempo) que separa los dos vértices unidos por la arista.

2.4 Caracterización Local

La caracterización local está basada en el concepto general de centralidad (caso de redes no dirigidas), unamedida general de la posición de un nodo en la estructura global de la red. Se usa esta caracterización paraidentificar los nodos claves de la red. Muestra como las relaciones se concentran en unos pocos individuos,dando una idea del poder del nodo.

2.4.1 Grado de un nodo

El grado de un nodo es un concepto útil como índice de su potencial de "comunicación", no teniendo encuenta su capacidad para "controlar" esas comunicaciones. Mide la importancia individual de un nodo en lared. ¿Qué nodo tiene más enlaces? Sólo mide la importancia con respecto a los vecinos más cercanos. Seasume que las conexiones de los vecinos no son importantes, sólo importa lo que ellos conectan directamente.No se tiene en cuenta la estructura global de la red.

Definición 2.4.1 (Grado de un nodo) Sea G = (N,E) un grafo no dirigido, llamaremos grado de un nodoni ∈ N al número de enlaces incidentes con dicho nodo, lo denotaremos por gr(ni):

gr(ni) =p

∑j=1

ai j

Propiedad 2.4.1 (Grado de un nodo) Si A es la matriz de adyacencia, el grado de ni viene dado por lacoordenada (i,i)-ésima de A2:

gr(ni) = a2ii

Propiedad 2.4.2 (Grado de un nodo) SeaG un (p,q)-grafo entonces la suma de los grados de todos los nodosdel grafo ha de ser forzosamente el doble del número de enlaces:

p

∑i=1

gr(ni) = 2q

Definición 2.4.2 (Nodo aislado) Un nodo se dirá que está aislado si gr(n) = 0. Un nodo aislado no tieneenlaces incidentes. Si un grafo tiene nodos aislados entonces el grafo no es conexo.

12 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

Definición 2.4.3 (Grafo regular) Un grafo no dirigido se dice que es regular si todos sus nodos tienen el mismogrado. Un grafo regular con nodos de grado k es llamado grafo k-regular. La longitud de camino característicade una red regular es proporcional al número de nodos de la red. El coeficiente de agrupación se espera quetenga un valor alto.

• Un grafo 0-regular consiste en un grafo con nodos desconectados.• Un grafo 1-regular consiste en un grafo con aristas desconectadas.• Un grafo 2-regular consiste en un ciclo o unión disjunta de ciclos.• Un grafo 3-regular se conoce como grafo cúbico.

Definición 2.4.4 (Grafo completo) Un (p,q)-grafo no orientado se dirá que es completo si cada nodo es adya-cente con todos los demás, esto es, el grado de cada nodo es p−1 o lo que es lo mismo es (p−1)-regular; lodenotaremos por Kp.

Un grafo completo (totalmente conectado) tiene la menor longitud promedio de caminos (〈d〉= 1) y elmayor coeficiente de agrupamiento (C= 1).

2.4.2 Fuerza de un nodo

Definición 2.4.5 (Fuerza de un nodo) Sea G= (N,E) un grafo no dirigido ponderado, llamaremos fuerza deun nodo n ∈ N a la suma de los pesos de los enlaces incidentes con dicho nodo, lo denotaremos por f r(n):

f r(ni) =p

∑j=1

wi j

La fuerza de un nodo es una propiedad derivada de la estructura local de la red, independiente del resto dela red y de cualquier proceso de propagación específico. Es la extensión natural del concepto de grado.

2.4.3 Caminos de un grafo

Definición 2.4.6 (Camino) SeaG= (N,E) un grafo no orientado, un camino c es una sucesión finita de nodosc = {n1,n2,...,nm+1}, con ni ∈N para cada i = 1,2,...m+1 tales que dos nodos consecutivos son adyacentes.

Diremos que m es la longitud del camino c y la denotaremos por l(c).

Un camino cualquiera se dirá simple si no se repite ningún enlace, se dirá que es elemental si ademásde ser simple tampoco pasa más de una vez por el mismo nodo (aunque si puede empezar y terminar en elmismo nodo).

Un camino c se dirá que es cerrado si empieza y acaba en el mismo nodo. Los caminos cerrados se llamaránciclos. Un camino simple y cerrado se denominará circuito.

Teorema 2.4.1 (Teorema del número de caminos) Sea G= (N,E) un grafo no orientado con matriz de adya-cencia A para N= {n1,n2,...,np}. Entonces el número de caminos de longitud l que conectan los nodos ni yn j coincide con la coordenada (i, j)-ésima de Al .

Son muchas las aplicaciones prácticas de este teorema. Desde el punto de vista computacional este teoremaconstituye una herramienta eficaz, capaz de resolver multitud de problemas.

Corolario 2.4.1.1 (Cálculo del grado de cada nodo) La diagonal principal del cuadrado de la matriz de ad-yacencia representa el número de los ciclos de longitud 2 que existen para cada nodo, pero en un nodoexistirán tantos ciclos de longitud 2 que empiecen y terminen en él como lados incidentes con él, esto es, lacoordenada (i, i)-ésima del cuadrado de la matriz de adyacencia es el grado del nodo ni.

Corolario 2.4.1.2 (Ciclos de longitud 3) Análogamente podemos razonar que la coordenada (i, i)-ésima de ladiagonal principal de la tercera potencia de la matriz de adyacencia es el doble del número de triángulos(ciclos de longitud 3) que contienen al nodo ni.

Corolario 2.4.1.3 (Grafos regulares y completos) Podemos reconocer los grafos regulares y completos com-probando la diagonal principal del cuadrado de la matriz de adyacencia.

2.4 Caracterización Local 13

Corolario 2.4.1.4 (Cálculo de distancias entre nodos) Podremos calcular la distancia entre dos nodos y elnúmero de geodésicas.

Corolario 2.4.1.5 (Grafos conexos) Nos permitirá determinar si un grafo no orientado es conexo.

1. Se halla la matriz de adyacencia A y se eleva hasta la (n−1)-ésima potencia.

2. Se calcula la suma de las potencias de A hasta An−1.

3. Si todos sus elementos son distintos de cero, el grafo es conexo.

Definición 2.4.7 (Grafos conexos) Sea G= (N,E) un grafo no orientado, se dirá que es conexo si para cadapar de nodos existe un camino que los conecta.

2.4.4 Distancia entre nodos

Definición 2.4.8 (Distancia) Sea G = (N,E) un grafo no orientado, llamaremos distancia entre dos nodosd(ni,n j) a la longitud de cualquiera de los caminos más cortos (de longitud mínima) que conectan ni con n j,a estos caminos, los de menor longitud, los llamaremos geodésicas.

Corolario 2.4.1.6 (Cálculo geodésicas) Utilizando el Teorema 2.4.1, la distancia entre dos nodos conectadosd(n1,n j) se corresponde con el menor l tal que la coordenada (i, j)-ésima de Al es distinta de cero, dichacoordenada indicará también el número de geodésicas que existen.

Algoritmo de Dijkstra

Definición 2.4.9 (Algoritmo de Dijkstra) También llamado algoritmo de caminos mínimos, es un algoritmopara la determinación del camino más corto dado un vértice origen al resto de vértices en un grafo con pesosen las aristas. Su nombre se refiere a Edsger Wybe Dijkstra, quien lo describió por primera vez en 1959. Lascaracterísticas del algoritmo son:

1. Es un algoritmo "glotón" (ávido, codicioso, voraz). Es una estrategia de búsqueda por la cual se sigueuna heurística consistente en elegir la opción óptima en cada paso local con la esperanza de llegar auna solución general óptima.

2. Trabaja por etapas.

3. El óptimo de cada etapa puede mejorarse en etapas posteriores.

4. No funciona en grafos con enlaces de peso negativo (al elegir siempre el nodo con distancia menor,pueden quedar excluidos de la búsqueda nodos que en próximas iteraciones bajarían el costo generaldel camino al pasar por una arista con coste negativo).

Sea G= (N,E) un grafo no orientado, sea A su matriz de adyacencia, sea S el conjunto de todos los nodosvisitados y sea D el vector unidimensional tal que D(i) es el coste del camino mínimo desde el origen al nodoi, entonces.

1. Inicializar D(i):

D(i) =

{0 si el vértice i es el vértice origen∞ en cualquier otro caso

2. Aumentar S agregando el elemento i en N-S tal que D(i) sea el mínimo de ese conjunto.

3. Actualizar los valores de D( j) para j ∈ N-S:

D( j) = mınj(D( j),D(i)+d(i, j))

4. Terminar si |S|= |N|, en caso contrario ir al paso 2.

14 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

2.4.5 Coeficiente de agrupamiento (Clustering coefficient)

Mide la densidad local de la red: ¿qué proporción de los vecinos de cada nodo están conectados? Para elnodo i con grado gri:

Ci =2Li

gri(gri−1)

donde Li es el número de enlaces entre los vecinos del nodo i.

Ci ∈ [0,1].

Ci = 0 indica que ninguno de los vecinos de i están conectados entre sí y Ci = 1 indica que todos estánconectados.

Utilizando el Teorema 2.4.1:

Ci =A3(ii)

gri(gri−1)

2.4.6 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality)

Si los caminos más cortos son importantes, entonces los nodos que están en el camino más corto entre otrospares de nodos (betweenness centrality) están en una mejor posición para controlar, filtrar o bloquear elflujo de información entre los demás nodos, y también son críticos porque pueden convertirse en cuellos debotella que enlentezcan el funcionamiento de la red. Cuantos más nodos necesiten pasar por mí para hacersus conexiones indirectas por los caminos más cortos, más central seré yo.

Definición 2.4.10 (Betweenness centrality) Sea G= (N,E) un grafo no orientado, llamaremos betweennesscentrality del nodo i a:

Cbet(i) = ∑j,k

c jik

c jk(2.1)

donde c jk es el número de caminos más cortos desde el nodo j hasta el nodo k (normalmente 1), y c jik elnúmero de caminos más cortos desde el nodo j hasta el nodo k que pasan a través del nodo i.

Los nodos con una alta intermediación suelen jugar un rol crítico en la estructura de la red, cuando haygrandes flujos de información que son transportados por nodos pertenecientes a grupos compactos. Losnodos que poseen una posición de intermediarios de alguna manera son también controladores o reguladoresdel flujo de información.

La intermediación difiere de las otras medidas de centralidad. Un nodo puede tener un grado bastante bajo,estar conectado a otros nodos que tienen un grado bajo, incluso pueden estar muy lejos de los demás nodosen promedio, y aun así tener una alta intermediación.

El valor máximo posible para la intermediación se obtiene para el nodo central de un grafo en formade estrella, una red compuesta por un nodo unido a (p−1) otros nodos (denominados nodos periféricos),cuya única conexión es con el nodo central. Todas las rutas que conectan cada par de nodos periféricos songeodésicas y pasan por el nodo central, dado que hay p−1 nodos periféricos y cada uno de ellos se conectacon los otros p−2 nodos periféricos, existen (p−1)∗ (p−2) rutas que son todas geodésicas. Para un grafono dirigido solo se tienen en cuenta la mitad de las rutas, por lo que el número de rutas geodésicas total es(p−1)∗(p−2)

2 = p2−3p+22 .

En el otro extremo de la escala, el valor más pequeño posible para la intermediación se produce para losnodos periféricos ya que ninguno de ellos se encuentra en ninguna geodésica entre cualquier par de nodos.En este caso, la intermediación es cero.

Los valores de intermediación se distribuyen típicamente en un amplio rango.

2.5 Caracterización Global 15

2.4.7 Excentricidad (Eccentricity)

Definición 2.4.11 (Eccentricity) Sea G= (N,E) un grafo no orientado, definiremos la excentricidad del nodoi como:

Ecce(i) = maxj 6=i

d(i j)

La excentricidad mide la distancia geodésica máxima de un nodo al resto de los nodos. Es por tanto unamedida de centralidad. Cuanta menos excentricidad tenga un nodo, más central es ese nodo en la red. Cuantamás excentricidad tenga el nodo, más periférico es ese nodo en la red. Obsérvese que el diámetro de la red secorresponde con la máxima excentricidad.

2.4.8 Centralidad de cercanía (Closeness centrality)

En un grafo conectado, la cercanía de un nodo es la longitud promedio de la ruta más corta entre el nodo ytodos los otros nodos de la red. Cuanto más central es un nodo, más cerca está de todos los otros nodos. Lacercanía mide de alguna forma la accesibilidad de un nodo en la red.

Definición 2.4.12 (Closeness centrality) Sea G= (N,E) un grafo no orientado, definiremos la cercanía delnodo i como:

ClC(i) =p−1p

∑j=1

di j

(2.2)

2.4.9 Centralidad armónica (Harmonic centrality)

Definición 2.4.13 (Harmonic centrality) Sea G = (N,E) un grafo no orientado, definiremos la centralidadarmónica del nodo i como:

HC(i) =

p

∑j=1

1di j

p−1(2.3)

2.5 Caracterización Global

La caracterización global proporciona información compacta que permite evaluar la estructura global de lared, proporcionando información sobre propiedades importantes de los fenómenos subyacentes a la red comoconjunto.

2.5.1 Densidad de red

Definición 2.5.1 (Densidad de red) En su forma más general, la densidad de una red (ρ) es la proporción deenlaces existentes (q) comparado con los enlaces posibles.

ρ =q

enlaces posibles

La densidad de red mide el grado de conectividad a nivel global.

El número total de enlaces posibles serán las(p

2

)posibles combinaciones de sus nodos:

enlaces posibles=(

p2

)=

p!(p−2)! 2!

=p(p−1)

2

Con lo que nuestra densidad de red quedaría:

ρ =2q

p(p−1)(2.4)

El mayor número de enlaces se produce en los grafos completos (ver Definición 2.4.4) donde cada nodo tiene(p−1) enlaces, dando lugar a la densidad máxima ρmax = 1.

16 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

Para una red conexa, la densidad mínima se obtiene cuando los nodos son secuenciales, donde cada nodoestá enlazado solo con el anterior y el siguiente (excepto los extremos). La densidad mínima también seobtiene para las redes conexas en forma de estrella, donde (p−1) nodos están conectados a otro nodo central.Para estos tipos de redes el número de enlaces q es función del número de nodos:

q = (p−1)

Por lo que la densidad mínima es:ρmin =

2p

2.5.2 Grado medio

Definición 2.5.2 (Grado medio) Dada la secuencia de grados de un grafo no dirigido se define el grado medio〈gr〉 en la forma:

〈gr〉= 1p

p

∑i=1

gr(ni) =1p

p

∑i=1

p

∑j=1

ai j (2.5)

Usando la Propiedad 2.4.2 obtenemos:〈gr〉= 2q

p(2.6)

Y usando la Definición 2.5.1 de densidad de red obtenemos:

〈gr〉= (p−1)ρ (2.7)

2.5.3 Fuerza media

Definición 2.5.3 (Fuerza media) Dada la secuencia de fuerzas de un grafo no dirigido ponderado se define lafuerza media 〈 f r〉 en la forma:

〈 f r〉= 1p

p

∑i=1

f r(ni) =1p

p

∑i=1

p

∑j=1

wi j (2.8)

2.5.4 Distribución del grado

Definición 2.5.4 (Distribución del grado) La distribución de los grados de los nodos en una red compleja estácaracterizada por la función P(x), que representa la probabilidad de que un nodo escogido aleatoriamentetenga un grado x.

Esto es, P(x) es equivalente al ratio entre el número de nodos con grado x y el número total de nodos.

La condición de normalidad implica:∞

∑0P(x) = 1

La distribución de grados juega un papel central en Teoría de Redes. Permite caracterizar distintos modelosde redes, especialmente las redes libres de escala, y determina muchos fenómenos de la misma como porejemplo su robustez.

Además, el cálculo de muchas propiedades de la red requiere conocer P(x). Por ejemplo, el grado mediode una red se puede calcular como:

〈gr〉=∞

∑k=0

k ∗P(x)

La distribución del grado suele representarse en forma de gráficos log-log usando ejes logarítmicos.

2.5 Caracterización Global 17

2.5.5 Densidad de probabilidad de los grados

Definición 2.5.5 (Densidad de probabilidad de grado) Representa la probabilidad de que el grado de un nodoesté entre x1 y x2:

D(x) =∫ x2

x1

P(x)dx

La condición de normalidad implica: ∫∞

grminP(x)dx = 1

2.5.6 Diámetro

Definición 2.5.6 (Diámetro) Llamaremos diámetro dmax a la distancia d(i j) del camino mínimo más largo dela red.

El diámetro de la red se define como la máxima distancia geodésica entre cualesquiera par de nodos de lared, dando una idea de la proximidad entre pares de nodos del grafo. Para grafos simples no dirigidos sinpesos, el diámetro mínimo se obtiene en los grafos completos. En este caso, el diámetro vale, evidentemente,1. El diámetro máximo se obtendría en los grafos secuenciales donde el diámetro sería igual a p−1.

Las redes menos densas suelen tener un mayor diámetro que las más densas al existir menos caminos entrecada par de nodos.

2.5.7 Distancia media

Definición 2.5.7 (Distancia media) Se define la distancia media 〈d〉 como:

〈d〉= 2p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

d(i j)

Es el valor promedio de todas las longitudes de ruta más cortas en la red. Muestra la accesibilidad de la red.A menor distancia media, mejor accesibilidad.

2.5.8 Eficiencia de red

Definición 2.5.8 (Eficiencia de red) Se define la eficiencia de red η como la inversa de la media armónica delas distancias geodésicas:

η =2

p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

1d(i j)

2.5.9 Índice de Centralización

Definición 2.5.9 (Índice de centralización) Sea G= (N,E) un grafo no orientado, de define el índice de cen-tralización CI como:

CI=1

(p−1)(p−2)

p

∑i=1

(grmax−gr(ni))

Mide el grado de centralización de la red y adquiere su máximo valor (CI= 1) en los grafos con forma deestrella donde:

grmax = p−1 y gr(ni) =

{p−1 si i es el centro de la estrella1 en cualquier otro caso

2.5.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient)

Es una medida de la densidad global de la red. Mide la probabilidad de que dos vecinos de un nodo de la redescogido aleatoriamente estén conectados entre sí. Se define como:

〈C〉= 1p

p

∑i=1

Ci (2.9)

18 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

2.5.11 Heterogeneidad

La heterogeneidad es un índice que trata de cuantificar la diversidad de conexiones entre los nodos de una red.También es indicativa, en muchos casos, de cuán estable y robusta es una red con respecto a las perturbacionesde diversos parámetros externos.

Está comúnmente aceptado que una red de p nodos, donde todos los nodos tienen el mismo grado k, escompletamente homogénea con P(k) una función δ centrada en k. El valor de k puede ser cualquiera enel rango 2≤ k ≤ (p−1) y todas estas redes tienen heterogeneidad cero, para cualquier p. En principio, laheterogeneidad de una red debería medir la diversidad en los grados de los nodos con respecto a una redcompletamente homogénea del mismo número de nodos. Para obtener la medida de heterogeneidad h parauna red de p nodos se usa la varianza de P(k) con respecto al valor del caso completamente homogéneo:

h2 =1p

kmax

∑kmin

(1−P(k))2,P(k) 6= 0 (2.10)

La condición implica que la suma es solamente sobre los valores de k para los cuales P(k) 6= 0.

Consideremos el límite lógico de una red no dirigida completamente heterogénea compuesta por p no-dos. Todos los nodos están conectados a la red por lo que tienen un grado mayor o igual a 1. La máximaheterogeneidad se obtiene cuando todos los nodos tienen un grado diferente. Como el grado de los nodos sedistribuye entre todos los valores posibles entre 1≤ gr(i)≤ (p−1), es evidente que el p-ésimo nodo tieneque tomar un grado igual al de cualquiera de los otros (p−1)-ésimos nodos anteriores. Este grado (k∗) seráp2 si p es par o (p−1)

2 si p es impar.

La distribución de grado resultante en una red completamente heterogénea es la siguiente:

P(k) =

{1p si k 6= k∗

2p si k = k∗

Aplicando la ecuación (2.10) sobre una red completamente heterogénea obtendremos el valor máximo delíndice:

h2het =

1p

(p−2

∑i=1

(1− 1p)2 +(1− 2

p)2

)12 = 1− 3

p+

p+2p3 (2.11)

Normalizando el índice de heterogeneidad con su valor máximo obtenemos el índice de heterogeneidadnormalizado hn:

hn2 =

h2

h2het

(2.12)

Esta definición de heterogeneidad cumple las siguientes características:

• Se define para redes complejas no ponderadas y no dirigidas y representa una medida única aplicable aredes de diferentes topologías y distribuciones de grados.

• Si p es lo suficientemente grande hhet ∼ 1 y hn ≈ h.• hhet para una red con topología en forma de estrella está muy cerca de cero y, por lo tanto, la red escasi homogénea en esta definición. Esto se debe a que el grado de un sólo nodo es diferente del restode los nodos.

• Para dos redes del mismo tamaño p independientes de la topología, la medida que se propone está encorrelación directa con la diversidad de grados en la red.

• El índice de heterogeneidad hn se define como una medida normalizada con respecto al tamaño de lared p, por lo que se puede usar para comparar las heterogeneidades de dos redes incluso si su tamañoes diferente. Esto es especialmente importante para las redes del mundo real donde p varía de una reda otra.

1 (1− 2p )

2 = 1+ 4p2 − 4

p2

∑p−2i=1 (1−

1p )

2 = ∑p−2i=1 (1+

1p2 − 2

p ) = (p−2)∗ (1+ 1p2 − 2

p ) = p+ 1p −2−2− 2

p2 +4p = p+ 5

p −4− 2p2

2.6 Modelos de redes complejas 19

2.6 Modelos de redes complejas

Medir algunas propiedades básicas de una red compleja es el primer paso para comprender su estructura.El siguiente paso es, entonces, desarrollar un modelo matemático de la red que proporcione una topologíacon propiedades estadísticas similares a las reales, obteniendo una plataforma en la que sea posible aplicardiversos métodos matemáticos para analizar comportamientos generales de redes similares y de este modopoder predecir propiedades y resultados.

Estos modelos matemáticos nos servirán como una referencia, básica y extremadamente simplificada,contra la que comparar nuestras redes reales:

• ¿Cuáles son las características diferenciales de mi red compleja real con respecto al modelo hipotético?• ¿Qué conocimiento puede extraerse de estas diferencias?

2.6.1 Redes regulares

Definición 2.6.1 (Red regular) Se define una red regular como aquella en la que todos los nodos tienen elmismo grado, es decir tienen el mismo número de enlaces, y se denota por red k-regular donde k es el gradode los nodos.

Figura 2.3 Ejemplos de Redes regulares.Fuente: blog "Teoría de Grafos".

Corolario 2.6.0.1 Trivialmente se tiene que un grafo completo Kp es un grafo (p−1) regular.

Las redes regulares aparecen en muchos sistemas en la naturaleza que presentan principios de regularidadcomo, por ejemplo, las estructuras cristalinas. Las redes regulares están caracterizadas por un coeficientede agrupamiento C muy alto (cercano a 1) y una longitud de camino promedio también grande sobre todopara k <<< p. De hecho el camino promedio es del orden de p

k . Una red regular tiene una distribución degrados muy simple, porque todos los nodos tienen el mismo número de enlaces, por lo que su gráfica vendríarepresentada por una distribución de tipo delta (es decir, la función se anula para todos los posibles grados,menos para el grado que tienen todos sus nodos, donde se alcanza el valor 1).

P(x) =

{1 si x = k0 en cualquier otro caso

2.6.2 Redes aleatorias

Definición 2.6.2 (Red aleatoria) Se define una red aleatoria como aquella en que con cierta probabilidad s seconecta cada par de nodos con un enlace. El grafo tendrá, por tanto, aproximadamente s∗p∗(p−1)

2 enlaces.

Las redes aleatorias son el extremo opuesto a las redes regulares y a primera vista, muchas redes realesparecen aleatorias. Este modelo fue desarrollado por Erdös y Rényi (ER) a finales de la década de 1950. Elnúmero de nodos, p, y la probabilidad de conexión, s, no definen unívocamente una red aleatoria. Puedehaber muchas instanciaciones, diferentes en el número de enlaces, q, y en los enlaces concretos. ¿Cuántas?

20 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

Figura 2.4 Ejemplo de Red aleatoria.Fuente: blog de Fernando Sáncho Caparrini.

La probabilidad de generar un grafo aleatorio concreto con q enlaces es:

P(G(p,q)) = sq(1− s)p(p−1)

2 −q

La probabilidad de obtener exactamente q enlaces en una red de p nodos con probabilidad s es:

P(q) =((p

2

)q

)sq(1− s)

p(p−1)2 −q

que se corresponde con una distribución binomial P(x):

P(x) =(

NE

x

)sx(1− s)NE−x (2.13)

〈x〉= NEs

σx = [s(1− s)NE ]12

El número esperado de enlaces de un grafo aleatorio se calcula como el producto de la probabilidad deconexión por el número de enlaces (media de la distribución):

〈q〉= sp(p−1)

2

y el grado medio se calcula como:〈gr〉= s(p−1)

Si se mantiene fijo el valor de la probabilidad de conexión entre nodos, s, y se va aumentando el tamaño dela red, p, la distribución se va volviendo más estrecha, es decir, tenemos una seguridad creciente de que elgrado de un nodo está en la vecindad de 〈gr〉.

La mayoría de las redes reales son poco densas (〈gr〉 << p). En ese caso y cuando p es grande, ladistribución binomial se puede aproximar por una de Poisson, más cómoda de manejar:

P(k) = e−〈gr〉 〈gr〉k

k!(2.14)

La distribución de Poisson no depende explícitamente del número de nodos y predice que la distribución delgrado es la misma en redes de distintos tamaños en tanto en cuanto tengan el mismo grado medio.

• La probabilidad de hallar un nodo con un grado muy alto o muy bajo es exponencialmente pequeña.• Muchos nodos tienen valores de grado similares.• Cuanto mayor es el tamaño de la red aleatoria, más parecidos son los grados de los nodos.

2.6 Modelos de redes complejas 21

En conclusión, las redes aleatorias tienden a tener una topología en forma de árbol con nodos de grado casiconstante:

nº de vecinos a distancia 1: N1∼= 〈gr〉

nº de vecinos a distancia 2: N2∼= 〈gr〉2

...nº de vecinos a distancia dmax: Nd

∼= 〈gr〉dmax

p = 1+dmax

∑i=1

Ni =〈gr〉dmax −1〈gr〉−1

' 〈gr〉dmax

dmax 'log p

log〈gr〉

• En la mayoría de los casos, la fórmula aproxima mejor 〈d〉 que dmax. Esto se debe a que en la prácticadmax está dominada por unos pocos caminos de longitud extrema mientras que 〈d〉 está promediadaentre todos los pares de nodos.

• En general, log p << p. Por tanto, el hecho de que 〈d〉 dependa de log p implica que las distancias enuna red aleatoria son varios órdenes de magnitud menores que el tamaño de la red.

• El término 1log〈gr〉 implica que, cuanto más densa es la red, menor es la distancia entre sus nodos.

2.6.3 Redes de mundo pequeño

Fenómeno de mundos pequeños: la distancia entre dos nodos elegidos aleatoriamente de una red es sorpren-dentemente pequeña (Frigyes Karinthy, 1929 y Stanley Milgram, 1967). La mayoría de los nodos no sonvecinos entre sí, y sin embargo la mayoría de los nodos pueden ser alcanzados desde cualquier nodo origen através de un número relativamente corto de saltos entre ellos.

Figura 2.5 Ejemplo de Red de mundo pequeño.Fuente: blog "LA INTERNET COMO IMPORTANCIA EN LA SOCIEDAD Y CULTURA".

Las redes regulares tienen el efecto de clusterización, pero no el de mundo pequeño en general. Por otrolado, los grafos aleatorios muestran el efecto de mundo pequeño, pero no el de clusterización. Por tanto, nodebe sorprendernos ver que estos modelos no reproducen algunas características importantes de muchasredes reales. Después de todo, la mayoría de las redes del mundo real no son ni enteramente regulares nitotalmente aleatorias. Con el fin de describir la transición de una red regular a una aleatoria y disponer de unmodelo que mezcle las propiedades deseadas que tienen ambos modelos,Watts y Strogatz (WS) introdujeronun interesante modelo de red de mundo pequeño.

22 Capítulo 2. Redes Complejas. Descripción y Caracterización.

Las redes del modelo WS pueden ser generadas siguiendo el siguiente algoritmo:

• Se comienza por una red k-regular de p0 nodos.• Se selecciona cada enlace al azar con probabilidad s y se reconecta uno de sus extremos con cualquierade los otros nodos de la red.

Este proceso introduce s∗p∗k2 enlaces de largo alcance que conectan nodos que de otra forma estarían en

diferentes vecindarios. Tanto el comportamiento del coeficiente de clustering 〈C(s)〉 como de la longitud delcamino promedio, 〈d(s)〉, pueden considerarse como una función de la probabilidad de reconexión, s.

2.6.4 Redes libres de escala

Figura 2.6 Ejemplo de Red libre de escala - Simulación de la red de Internet.Fuente: blog Agustín Fernández Mallo.

Una red libre de escala se caracteriza por tener algunos pocos nodos (a los que se denomina "hubs") muchomás conectados que el resto, siendo el grado de conexión del resto de nodos bastante bajo. El comportamientomedio de la red no es significativo, la noción de media no es típica. No existe una escala característica de lared completa. En general, se encuentra que la probabilidad P(x) de que un nodo de la red esté conectado conk nodos es proporcional a k−γ (Ley de potencias):

P(x) = cte∗ k−γ (2.15)

El exponente γ no es universal, depende del tipo específico de red. Para la mayor parte de los sistemasse encontró que dicho parámetro se encontraba en el rango 2 < γ ≤ 3. Cuando γ ≤ 2, la varianza de ladistribución del número de enlaces por nodo es infinita. Este tipo de red fue descubierto por Lászlo Barabásiy sus colaboradores, Reka Albert y Hawoong Jeong, de la Universidad de Notre Dame en Indiana, E.U.A., en1999, al hacer un mapa de la Web. Hallazgos similares fueron hechos por los hermanos Faloutsos también en1999 y por Broder en el 2000. Las redes libres de escala suelen ser bastante robustas ante fallas y erroresaleatorios. Al eliminar, de forma aleatoria hasta el 80% de los nodos, la red continúa funcionando. Pero sonbastante débiles ante ataques dirigidos. Si se eliminan unos pocos “hubs”, la red se destruye.

Para explicar el posible origen de esta distribución de grados, Barabási y Albert argumentaron que muchosmodelos actuales no tienen en cuenta dos atributos importantes de la mayoría de las redes reales:

2.6 Modelos de redes complejas 23

• Las redes reales son abiertas y tienen una dinámica que añade continuamente nuevos nodos a la red,pero los modelos teóricos son estáticos en el sentido de que, si bien los enlaces se pueden añadir oreordenar, el número de nodos es constante durante todo el proceso de formación.

• Tanto las redes aleatorias como los modelos de mundo pequeño suponen probabilidades uniformesen el momento de la creación de nuevos enlaces, algo que no es realista. Intuitivamente, las páginasweb que ya tienen muchos enlaces (como por ejemplo la página de inicio de Google) tienen másprobabilidad de adquirir aún más enlaces; un nuevo artículo es más propenso a citar un artículo yareconocido, y por tanto éste será mucho más citado que otros menos reconocidos.

El modelo Barabási y Albert sugiere que los ingredientes principales de la auto-organización de una red enuna estructura libre de escala son el crecimiento y el enlace preferencial:

• Crecimiento: comenzamos con un número pequeño p0 de nodos; en cada unidad de tiempo, se introduceun nuevo nodo y se conecta a p1 ≤ p0 de los nodos ya existentes.

• Enlace preferencial: La probabilidad, πi, de que un nuevo nodo se conecte al nodo i (uno de los nodosya existentes) depende del grado, ki, de éste:

πi =ki

∑ j k j

.

Tras t pasos, el algoritmo da como resultado una red con p = t + p0 nodos y p∗ t enlaces, y se obtiene unared libre de escala: la forma de la distribución de grados no cambia con el tiempo, es decir, no cambia debidoa un aumento de la escala de la red. La distribución de grados sigue una ley de potencias con exponente -3,es decir, la probabilidad de encontrar un nodo con k enlaces es proporcional a k−3. Los resultados numéricosmuestran que, en comparación con una red aleatoria con el mismo número de nodos y el mismo grado medio,la longitud del camino promedio del modelo libre de escala es algo menor, y sin embargo el coeficiente declustering es mucho mayor. Esto implica que la existencia de unos pocos nodos con grado alto desempeña unpapel clave en acercar los nodos entre sí.

El modelo Barabási y Albert es un modelo minimalista que captura los mecanismos responsables de ladistribución de grados que sigue una ley de potencias, aunque tiene algunas limitaciones evidentes cuando secompara con algunas redes del mundo real, lo que ha provocado que se haya intensificado la búsqueda deotros modelos evolutivos que superen estas limitaciones.

2.6.5 Redes exponenciales

A pesar de su importancia histórica, las redes con topología de Poisson están lejos de ser una representaciónrealista de las redes reales observadas en la naturaleza. No fue sino hasta 1998 que se comenzó el estudiosistemático de las propiedades topológicas de las redes complejas reales. En este estudio participaron princi-palmente y de forma independiente Albert Lásló-Barabási, Ricard Solé y Mark J. Newman. Ellos encontraronque la topología exponencial aparece algunas veces en las redes reales.

Esta distribución aparece en el contexto del crecimiento de redes como el resultado de lo que se llamaenlace igualitario, es decir, en una situación en la cual cada nodo nuevo que se añade a la red se puede enlazara cualquiera de los nodos ya existentes con la misma probabilidad. En este sentido el nuevo enlace que seforma es igualitario, porque no discrimina entre los nodos ya existentes.

La caracterización de una red exponencial se obtiene mediante:

P(x) = cte∗ e−αx (2.16)

3 Vulnerabilidad. Robustez y Resiliencia.

No sobrevive la especie más fuerte, ni la más inteligente, sino laque mejor responde al cambio.

Charles Robert Darwin (1809 - 1882), naturalista inglésque planteó la idea de la evolución biológica a través de

la selección natural.Fuente: Wikipedia, foto de Julia M. Camero

Las redes creadas por el hombre presentan características estadísticas muy similares, al tiempo quemuestran características topológicas no triviales. Durante las últimas décadas, los estudios empíricos

han arrojado luz sobre la topología de las redes de transporte aéreo, las redes eléctricas, la red troncal deInternet, las redes interbancarias, etc. La mayoría de estas redes tienen una resistencia bien reconocidafrente a las fallas aleatorias, pero son particularmente susceptibles a ataques intencionados, que se dirigen anodos relativamente importantes en la red, por ejemplo nodos específicos que están altamente conectados,denominados hubs. Si se producen tales ataques, las redes se desintegran rápidamente. Famosos ejemplosrecientes de fallas en la red incluyen la interrupción del tráfico aéreo europeo causada por la erupción delvolcán islandés Eyjafallajokull (Figura 3.1), cortes de energía a gran escala en los Estados Unidos causadospor huracanes, propagación de ataques informáticos basados en Internet, y la escasez intercontinental de lacadena de suministro producida por el tsunami japonés de 2011. Tales interrupciones causan altos costoseconómicos y, por lo tanto, el análisis de la vulnerabilidad y la mejora de la resiliencia de las redes detransporte sigue siendo uno de los desafíos críticos en la actualidad.

El área metropolitana de Madrid es un buen ejemplo de la importancia de las redes de transporte públicopara la movilidad. De los diferentes modos de transporte público en Madrid, el metro tiene el mayor númerode pasajeros. En 2010 transportó 630 millones de pasajeros de un total de 1.488 millones que usaron eltransporte público. La red de metro de Madrid será nuestro caso de estudio para evaluar la vulnerabilidady de este modo comprender, predecir e incluso controlar el comportamiento de los sistemas bajo ataquesmalintencionados o cualquier otro tipo de disfunción.

25

26 Capítulo 3. Vulnerabilidad. Robustez y Resiliencia.

Figura 3.1 Erupción del Eyjafjallajokull, el volcán islandés, cuyo vómito de lava y ceniza ha provocado elmayor caos aéreo que Europa ha conocido desde los atentados del 11 de septiembre de 2001.

Fuente: National Geographic Channel.

3.1 Vulnerabilidad en redes de transporte

El análisis de la vulnerabilidad debe realizarse desde el punto de vista de la oferta. La cuestión estriba endeterminar si existe una ruta real que conecte dos nodos dados. Ante una interrupción, la red puede verseafectada de tres formas distintas. Por un lado los tiempos de desplazamiento entre dos nodos pueden verseaumentados, por otro lado puede perderse la conexión entre dos nodos y por último la red puede verseincapacitada para absorber cierta cantidad de tráfico o flujo de pasajeros.

Con este enfoque de la vulnerabilidad podemos establecer las siguientes definiciones:

Definición 3.1.1 (Capacidad de servicio) La capacidad de servicio de una ruta describe la posibilidad de usaresa ruta en un momento dado.

Definición 3.1.2 (Incidente) Un incidente es un evento, que directa o indirectamente puede resultar en unareducción o interrupción considerable en la capacidad de servicio de una ruta o varias rutas dadas.

Definición 3.1.3 (Vulnerabilidad) La vulnerabilidad de un sistema de transporte es la susceptibilidad a losincidentes que puede resultar en una reducción considerable en la capacidad de servicio de la red.

Definición 3.1.4 (Robustez) La robustez de un sistema de transporte es la capacidad del sistema de mantenersu estructura o sus funciones intactas o ligeramente afectadas cuando está sujeto a una perturbación.

Definición 3.1.5 (Resiliencia) La resiliencia de un sistema de transporte es la capacidad del sistema de repo-nerse o recuperarse después de una perturbación.

La vulnerabilidad no es unamedida de encendido-apagado, si o no. Es unamedida de grado. Está relacionadacon el rendimiento de la red. Es la capacidad de la red de mantener su trabajo funcional sin colapsar al sufrirfallas aleatorias o ataques dirigidos. El estudio de la vulnerabilidad mediante la simulación de incidentesayuda a construir mejores redes y a planificar sus posibles ampliaciones detectando los nodos más críticospara el rendimiento global de la red y posibilitar su protección o la búsqueda de alternativas.

3.2 Estrategias de ataques dirigidos 27

3.2 Estrategias de ataques dirigidos

El análisis de vulnerabilidad debe considerar la red como un todo e implica identificar un espectro de inci-dentes, recolectar datos sobre probabilidades y consecuencias para estimar el riesgo, realizar varios estudiospara establecer valores para la capacidad de servicio (rendimiento) deseable o aceptable, así como tambiéninvestigar los efectos de posibles estrategias de mitigación y mejora. Se sugiere el análisis de vulnerabilidadde las redes como un marco integral que debería integrarse en todas las diferentes etapas del desarrollo de lasinfraestructuras de transporte: planificación, mantenimiento y gestión diaria.

Para el estudio de la vulnerabilidad ante incidentes debidos a ataques dirigidos, el procedimiento deselección del orden en que se eliminan los nodos es una opción abierta. Por supuesto, uno puede maximizar elefecto destructivo con cualquier número fijo de nodos eliminados. Sin embargo, esto requiere el conocimientode toda la estructura de la red (tanto a nivel local como global). La caracterización de la red permite identificarlos nodos susceptibles de ser atacados ahorrando tiempos de cómputo.

Figura 3.2 Tres minutos de pánico en el metro de Madrid por un error informático - 30 marzo 2016.Fuente: periódico "El Español" (www.elespanol.com).

3.2.1 Grado del nodo

La estrategia más sencilla y más intuitiva para realizar un ataque dirigido es utilizar la distribución de gradosde la red inicial. Los nodos a eliminar se seleccionan en orden descendente de grados en la red inicial. Estaestrategia se concentra en reducir el número total de enlaces en la red lo más rápido posible.

Con la eliminación de los nodos, la red se irá fragmentando pudiendo dar lugar a un grafo no conexo, esdecir, habrá nodos entre los que no existirá ninguna ruta posible. La red se dividirá en "bloques" de nodos,cada uno de los cuales será un grafo conexo. Esta estrategia es una métrica local (miope) simple y fácil decalcular. Debido a su simplicidad, es la métrica preferida en la mayoría de la literatura. La distribución delgrado de los nodos puede ser actualizada después de cada ataque de forma que el criterio de selección denodos a eliminar se haga de forma dinámica.

Con la fragmentación de la red aumenta la posibilidad de que el nodo seleccionado no pertenezca a lacomponente conexa de mayor de tamaño. Por ello, y con el objetivo de aumentar el daño de cada incidentey la eficiencia de cada ataque, se seleccionan solo los nodos de mayor grado que estén contenidos en lacomponente gigante del grafo. La eliminación de nodos utilizando la distribución de grados puede afectara la red de manera significativa. Eliminando unos pocos nodos se puede alterar de manera apreciable elcomportamiento de la red, eliminando rutas que afectan a la conectividad y aumentan la longitud geodésicapromedio de forma dramática.

28 Capítulo 3. Vulnerabilidad. Robustez y Resiliencia.

3.2.2 Centralidad de intermediación

En el análisis y caracterización de redes, la centralidad es un concepto fundamental que intenta capturar laprominencia de un nodo en la estructura global de la red. Es natural esperar que la eliminación de nodos conuna gran intermediación empeore la funcionalidad de las redes más que la eliminación de nodos utilizando elcriterio de mayor grado. Cabe señalar que un nodo con un grado bajo puede tener una gran intermediacióny, por lo tanto, atacar la red mediante la eliminación de nodos con altas intermediaciones puede diferir delataque por criterio de mayor grado.

3.3 Medidas de la vulnerabilidad

3.3.1 Conectividad

La conectividad es la capacidad que tiene una red para comunicar los distintos nodos a través de diferentesrutas. El grado de conexión entre los nodos se considera la principal propiedad estructural de una red. Dadoque los sucesivos ataques desintegrarán y fragmentarán la red, el tamaño del subgrafo conectado más grandese irá reduciendo paulatinamente. Se sabe que el subgrafo conectado más grande tiene un tamaño del ordende toda la red y, en consecuencia, se llama "componente gigante". Por tanto, puede ser una medida interesantepara estudiar la solidez y la robustez de la red frente a una estrategia de ataque particular.

Es de destacar que el concepto de conectividad no considera la distancia entre los nodos sino sólo la mayoro menor facilidad de conexión, aumentando o disminuyendo en función del número de rutas.

3.3.2 Longitud geodésica inversa promedio

Ante una interrupción en la red, ésta puede verse afectada de varias formas. Además de perderse la conecti-vidad entre los distintos nodos, las distancias entre los mismos también pueden verse incrementadas. Unamedida de este daño causado a la red es la longitud geodésica promedio, también a veces denominada longitudde trayectoria característica.

A medida que aumenta el número de nodos eliminados, la red eventualmente se dividirá en subgrafosdesconectados. La longitud geodésica promedio, por definición, se vuelve infinita para un grafo desconectado,y en su lugar se puede estudiar la longitud geodésica inversa promedio:

1〈d〉

=2

p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

1d(i j)

que tiene un valor finito incluso para un grafo desconectado ya que la longitud geodésica promedio inversa es0 si ninguna ruta conecta un par de nodos. La funcionalidad de la red es entonces medida por la distanciamedia inversa: cuanto mayor sea mejor será la red.

4 Red de metro de Madrid. Caracterización.

...Otra mañana en el metroQue me he cruzado contigoQue son demonios tus ojos de fuegoCuando se clavan en los míos

Este vagón de sombrasSigue y sigue su caminoHasta el Puente de Vallecas túY yo.... hasta Cuatro Caminos...

Amaral - La barrera del sonido

Hace casi un siglo, Madrid vivía su particular revolución en el transporte urbano: la revolución industrialhabía puesto en marcha la maquinaria del cambio social. La construcción del metro en 1919 (Figura 4.1)

situó a nuestra capital a la altura de las grandes metrópolis, que ya contaban con este sistema de transporte,rápido y eficaz (Londres - 1863, Budapest - 1896, París - 1900 y Berlín - 1902).

Figura 4.1 Alfonso XIII en la inauguración del metro de Madrid.Fuente: Archivo Metro de Madrid.

29

30 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Hoy Metro de Madrid tienen un red de 294 kilómetros, sus actuales trenes pueden llegar a transportar másde 800 personas y pueden alcanzar los 110 km/h. Además, cuentan con un alto grado de automatización ycon modernos sistemas de señalización y seguridad.

Para poder llevar a cabo este gran salto han tenido que pasar muchos años y sobre todo Metro de Madrid hatenido que invertir mucho esfuerzo siempre de la mano de la más modernas tecnologías, de la investigación yla innovación propia. Algo que le ha convertido en uno de los metros más innovadores de todos los existentes.

4.1 Datos de partida y obtención del grafo

Toda la información necesaria y todos los datos de partida para la caracterización y análisis de la redde metro de Madrid se han obtenido de su página Web oficial: https://www.metromadrid.es. En la secciónLíneas y horarios se detallan las 16 líneas que componen la red de metro: 12 líneas de metro, un ramal y tres lí-neas de metro ligero. En la sección Planos la opción Consultar Plano de la Red de Metro (versión sólo texto)nos permite visualizar las estaciones que componen cada línea y la secuencia que siguen en la misma. Enla Tabla 4.1 están recogidas todas las estaciones que componen la red de metro de Madrid, y el número deestaciones que componen cada línea1, y en la Figura 4.2 se muestra su representación en un plano del metro.

Tabla 4.1 Líneas de la red de metro de Madrid y número de estaciones.Fuente: Metro de Madrid.

ID Línea Nombre Nº estaciones

1 Línea 1 Pinar de Chamartín – Valdecarros 332 Línea 2 Las Rosas - Cuatro Caminos 203 Línea 3 Villaverde Alto - Moncloa 184 Línea 4 Argüelles - Pinar de Chamartín 235 Línea 5 Alameda de Osuna - Casa de Campo 326 Línea 6 Circular 287 Línea 7 Hospital del Henares - Pitis 308 Línea 8 Nuevos Ministerios - Aeropuerto 89 Línea 9 Paco de Lucía - Arganda del Rey 29

10 Línea 10 Hospital Infanta Sofía - Puerta del Sur 3111 Línea 11 Plaza Elíptica - La Fortuna 712 Línea 12 MetroSur 2813 Ramal Opera - Príncipe Pío 214 ML1 Pinar de Chamartín - Las Tablas 915 ML2 Colonia Jardín - Estación de Aravaca 1316 ML3 Colonia Jardín - Puerta de Boadilla 16

Total estaciones 327

La estructura del metro de Madrid consta de cuatro conceptos claves:

• Las estaciones.• Los trayectos que unen las estaciones.• La línea a la que pertenece cada estación.• El tiempo estimado de trayecto entre dos estaciones.

1 Como curiosidad comentar que en la sección Conócenos se indica que la red de metro cuenta con 301 estaciones. Se entiende que esuna errata o un dato antiguo. La impresión que da es que no han contabilizado las estaciones nuevas de los metros ligeros 2 y 3.

4.1 Datos de partida y obtención del grafo 31

Figura 4.2 Líneas y estaciones del metro de Madrid.Fuente: Wikipedia.

Estaciones

Por regla general, cada estación de la red de metro de Madrid estará representada por un nodo en nuestrografo. Aunque hay que contemplar varias excepciones:

• Hay que tener en cuenta, que existen estaciones que pertenecen a varias líneas, en esos casos, podemosrealizar transbordos y cambiar de línea. Es el caso, por ejemplo, de la estación de "Chamartín".Pertenece a la línea 1 y a la línea 10 y por tanto se puede realizar un transbordo para cambiar de unalínea a la otra. En nuestro grafo, la estación de "Chamartín" contará como un solo nodo aunque estéincluida en más de una línea.

• También nos encontramos con otros casos especiales. Por ejemplo, estaciones de dos líneas diferentesen las cuales se puede realizar transbordo a pie de una a la otra. Véanse las estaciones de "Plaza deEspaña", que pertenece a las líneas 3 y 10, y "Noviciado", que pertenece a la línea 2. Entre ellas hayun pasaje peatonal que permite cambiar entre las líneas 3 y 10 a la 2 y viceversa. En nuestro grafo,ambas estaciones serán modelas por dos nodos distintos.

• Por último, nos encontramos con el caso de dos estaciones conectadas por más de un tramo. Véanselas estaciones de "Chamartín" y "Plaza de Castilla". Están conectadas por un tramo de la línea 1 y porun tramo de la línea 10. Dos nodos conectados por más de un enlace darían lugar a un multigrafo.

32 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Podemos simplificar el modelo a un grafo simple no orientado (Ver Definición 2.3.2) añadiendo un nodovirtual en alguno de los tramos:

• En la línea 1, en el tramo comprendido entre las estaciones de "Chamartín" y "Plaza de Castilla".

• En la línea 4, en el tramo comprendido entre las estaciones de "Avenida de América" y "Diego deLeón".

• En la línea 6, en el tramo comprendido entre las estaciones de "Argüelles" y "Moncloa".

Teniendo en cuenta toda la casuística anterior, nuestro grafo constaría de p = 278 nodos (frente a las 327estaciones existentes.

Trayectos

En la sección Estado de las instalaciones y tiempos de espera (versión web) podemos visualizar la ubicacióngeográfica de las estaciones y los trayectos existentes entre las mismas.

Por regla general, si hay un tren que viaja de la estación i a la estación j, también hay otro que viaja de laestación j a la estación i a lo largo de la misma ruta. En estas circunstancias, la red de metro puede tratarsecomo un grafo simple no dirigido.

Los trayectos de una red de metro se pueden describir mediante dos modelos diferentes [11, Youjun Liuaand Yue Tan, 2013]:

• L-space: Es la forma intuitiva y sencilla de describir la red. Los nodos representan las estaciones y losenlaces entre dos nodos solo existen cuando las estaciones son consecutivas. Denotaremos a las matricesde adyacencia y de pesos generadas mediante este procedimiento por AL y WL respectivamente.

En este modelo, el grado del nodo representa el número de rutas que pasan por la estación. La longitudde la ruta más corta entre dos nodos será el número de estaciones entre ellos más una.

• P-space: En este caso, los nodos, al igual que es el caso anterior, representan las estaciones. Sinembargo, a diferencia de lo que ocurre en el modelo L-space, existen enlaces entre dos estacionescualesquiera a lo largo de la misma línea, de modo que todos los nodos de una ruta específica estánvinculados directamente. Denotaremos a las matrices de adyacencia y de pesos generadas medianteeste procedimiento por AP y WP respectivamente.

En este modelo, el grado del nodo representa el número de nodos al que se puede llegar sin reali-zar transbordos. La distancia entre dos estaciones se puede explicar como la cantidad necesaria detransferencias (más una) de una estación a otra.

Líneas

Las líneas de una red de metro representan un conjunto de estaciones entre las que se puede viajar sin necesidadde hacer transbordos. Cada línea tiene una frecuencia media de paso de sus trenes y, por consiguiente, eltiempo medio de espera en cada estación de la misma línea será el mismo (dependiente de la franja horaria yel día de la semana).

Tiempo estimado

Como factor de intensidad de las conexiones de nuestra red utilizaremos la duración del recorrido entre dosestaciones enlazadas. En la sección Trayecto Recomendado podemos obtener el tiempo estimado entre unaestación origen y otra destino. La obtención de estos tiempos hay que hacerla de manera manual para todoslos enlaces de la red.

• Definición 4.1.1 (Tiempo estimado) El tiempo estimado de un trayecto es la suma del tiempo de re-corrido y tiempo máximo de espera en la estación de origen. Si hay transbordos, se suma el tiempoestimado en realizar el transbordo a pie más el tiempo máximo de espera en la estación del transbordo.Si el trayecto incluye recorrido a pie desde/hasta la estación de origen/destino, también será incluidoen el tiempo total estimado.

4.2 Modelo L-space 33

A partir de los tiempos estimados podemos deducir los tiempos de espera en las estaciones de una mismalínea. Sean tres estaciones consecutivas de la misma línea, estaciones 1, 2 y 3. Al pertenecer a la misma líneano hay transbordos entre ellas. Sea T i j

s el tiempo estimado entre las estaciones i y j (dato proporcionado porla red de metro de Madrid), sea Tw el tiempo de espera en las estaciones de esa línea (desconocido) y sea T i j

rel tiempo de recorrido entre las estaciones i y j (desconocido). Entonces:

T i js = Tw +T i j

r

Aplicándolo a nuestras 3 estaciones:

T 12s = Tw +T 12

r

T 13s = Tw +T 13

r = Tw +T 12r +T 23

r

T 23s = Tw +T 23

r

Tres ecuaciones con tres incógnitas, de donde:

T 23r = T 23

s −Tw

T 12r = T 13

s −Tw−T 23r

= T 13s −Tw−T 23

s +Tw

= T 13s −T 23

s

Tw = T 12s −T 12

r

= T 12s −T 13

s +T 23s

De esta manera podemos obtener los tiempos de espera de todas las líneas de la red de metro de Madrid.Análogamente podemos proceder para calcular los tiempos de transbordo en cada estación que pertenezca amás de una línea. Sean tres estaciones consecutivas que pertenecen a dos líneas diferentes, la estación 1 quepertenece a la línea A, la estación 2 que pertenece a las líneas A y B y la estación 3 que pertenece a la líneaB. Sea T i j

s el tiempo estimado entre las estaciones i y j (dato proporcionado por la red de metro de Madrid),sea T AB

t el tiempo de transbordo entre las líneas A y B (desconocido).Entonces:

T 13s = T 12

s +T ABt +T 23

s

De donde:T AB

t = T 13s −T 12

s −T 23s

De esta manera podemos obtener los tiempos de transbordo en las estaciones que pertenecen a más deuna línea. Construiremos las matrices de pesosWL yWP con los tiempos estimados de cada enlace (datoproporcionado por la red de metro de Madrid) donde a(i j) = 1 y tendremos en cuenta los tiempos de esperay de transbordo para el cálculo de las distancias entre estaciones utilizando el algoritmo de Dijkstra según laDefinición 2.4.9. El tiempo estimado de trayecto entre dos estaciones de la misma línea a través de un caminoque recorra solo estaciones de dicha línea, ya se considerando que hay un enlace directo o se realiza a travésde otras estaciones de esa línea, no se ve alterado por la visión que tengamos de la red.

4.2 Modelo L-space

Sea G= (N,E) un (p,q)-grafo simple no orientado que representa la red de metro de Madrid. Sean AL sumatriz de adyacencia y WL su matriz de pesos, utilizando el modelo L-space.

4.2.1 Densidad de red

Para calcular la densidad de red según la Definición 2.5.1 necesitamos conocer el número de enlaces existentesen el grafo:

q =p−1

∑i=1

p

∑j=i+1

aL(i j) = 318 (MATLAB R2014b)

34 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

También podemos usar la Propiedad 2.4.1 y la Propiedad 2.4.2 para calcular el número de enlaces existes:

q =∑

pi=1 a2

L(ii)2

= 318 (MATLAB R2014b)

La densidad de red según la ecuación (2.4) sería:

ρ =2q

p(p−1)=

2∗318278∗ (278−1)

= 0,0083 (Verificado con Gephi 0.9.2) (4.1)

La densidad de la red de metro de Madrid, utilizando el modelo L-space, es bastante baja. Este valor indicaque hay muy pocos enlaces comparados con los que podría haber teniendo en cuenta el número de nodosexistentes. El valor mínimo de la densidad con este número de nodos sería ρmin = 0,0072, muy cerca delvalor de nuestra red. Esta cercanía con la densidad mínima indica que existen muchos nodos conectadosde forma secuencial (con 1 o 2 enlaces) y solo unos pocos se encargan de conectar las diferentes líneas.Ciertamente, el 85% de los nodos tienen 1 o 2 enlaces.

En nuestra red no existen nodos aislados, por lo tanto con pocos enlaces se logra una conexión eficiente dela red puesto que es un sistema de transporte muy generalizado entre la población. En el modelo P-spaceveremos como en realidad la densidad es algo mayor ya que se tiene en cuenta las conexiones entre lasestaciones de la misma línea.

En la Figura 4.3 vemos la evolución de la densidad de red con el sucesivo incremento del número líneas.

Figura 4.3 Evolución de la densidad de la red de metro de Madridcon la ampliación de nuevas líneas en el modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

4.2 Modelo L-space 35

4.2.2 Grado medio

Para calcular el grado medio de la red usamos la ecuación (2.5):

〈gr〉= 1p

p

∑i=1

gr(ni) =1p

p

∑i=1

p

∑j=1

aL(i j) =1

278∗636 = 2,2878 (MATLAB R2014b)

Se puede verificar el resultado utilizando la ecuación (2.6):

〈gr〉= 2qp

=2∗318

278= 2,2878 (Verificado con Gephi 0.9.2)

Una estación típica de nuestra red de metro interactúa con apenas otras 2 de media. Tan solo 42 de las 278(15%) estaciones tienen un grado mayor de 2, existiendo 13 estaciones (las estaciones de inicio-fin de laslíneas no circulares) que tienen grado 1. Estos nodos con grado mayor que dos representan las estacionesde transferencia de la red. El grado medio obtenido está en concordancia con la baja densidad de la red. Lapredominancia de las estaciones con únicamente dos enlaces marca la caracterización de la red de metro deMadrid en su modelado L-space.

El grado máximo de una estación sería (p−1), por lo tanto el grado medio máximo de la red de metrosería (p−1):

〈grmax〉= (p−1) = (278−1) = 277

La red está muy lejos de una red completa.

A partir del grado medio podemos volver a calcular la densidad de red con la ecuación (2.7):

ρ =〈gr〉p−1

=2,2878278−1

= 0,0083

En la Tabla 4.2, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor grado:

Tabla 4.2 Las 11 estaciones con mayor gradodel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Grado

77 Avenida de América 84 Plaza de Castilla 616 Sol 671 Alonso Martínez 676 Diego de León 610 Cuatro Caminos 547 Ópera 566 Plaza de España 568 Argüelles 5

127 Nuevos Ministerios 5131 Príncipe Pío 5

En la Figura 4.4 podemos localizar visualmente las 11 estaciones con mayor grado según el modeloL-space. Todas ellas ubicadas en el "núcleo" de la red. Más de la mitad pertenecen a la línea 6 (circular) ytodas ellas pertenecen a las líneas de la 1 a la 6 (las más antiguas).

36 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.4 Localización de las estaciones con mayor grado en el modelo L-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

Figura 4.5 Grado medio de los vecinos de cada estaciónagrupadas por grado en el modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

4.2 Modelo L-space 37

En la Figura 4.5 se ha representado la preferencia de los nodos de la red por unirse a otros nodos quetengan similar grado. Vemos como los nodos de la red tienen preferencia por conectarse con otros nodosque tengan entre 2 y 3,5 enlaces, incluso los nodos de mayor grado. El coeficiente de correlación entrelos grados de un nodo y el grado medio de sus vecinos es r = 0,715619 (obtenido con Wolfram Alpha),lo que muestra un nivel alto de preferencia por conectarse a nodos de bajo grado (lo más abundantes). Lacorrelaciones más altas entre el grado de un nodo y el grado medio de sus vecinos se obtienen con lasregresiones cuadrática y cúbica con un valor de r = 0,916172 y r = 0,923168 respectivamente (obtenidoscon Wolfram Alpha). Las correlaciones vienen dadas por las curvas −0,0576883x2 +0.672243x+1.32263y −0,00650091x3 +0,030477∗ x2 +0,337849∗ x+1,6408.

4.2.3 Fuerza media

Para calcular la fuerza media de la red usamos la ecuación (2.8):

〈 f r〉= 1p

p

∑i=1

f r(ni) =1p

p

∑i=1

p

∑j=1

wL(i j) =1

278∗176.406 = 634,5540 (10 min 34,5540 s) (Gephi 0.9.2)

En nuestro modelo de la red de metro, los pesos de los enlaces hacen referencia a la distancia (medida ensegundos) que separa dos nodos unidos directamente. La suma de los tiempos de todos los enlaces asociadosa un nodo definen su fuerza. La razón entre la fuerza de un nodo y su grado marca la distancia media delnodo a sus vecinos.

Con la fuerza media podemos calcular la fuerza media por enlace que representa la distancia media quesepara dos nodos:

〈 f re〉=〈 f r〉 ∗ p

2∗q=〈 f r〉〈 f r〉

=634,5540

2,2878= 277,3642 (4 min 37,3642 s)

En apenas 4 minutos de media podemos desplazarnos entre dos estaciones vecinas del metro de Madrid.Un tiempo bastante aceptable para un medio de transporte público.

En la Tabla 4.3, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor fuerza y larazón entre su fuerza y su grado.

Tabla 4.3 Las 11 estaciones con mayor fuerzadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado

77 Avenida de América 2.015 8 251,87576 Diego de León 1.530 6 255,00071 Alonso Martínez 1.460 6 245,000

131 Príncipe Pío 1.446 5 289,200108 Oporto 1.434 4 358,500

4 Plaza de Castilla 1.383 6 230,50016 Sol 1.312 6 218,660

207 Colonia Jardín 1.280 4 320,000127 Nuevos Ministerios 1.252 5 250,40068 Argüelles 1.211 5 242,20047 Ópera 1.208 5 241,600

38 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

En la Tabla 4.4, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor fuerza y larazón entre su fuerza y su grado. Es visible que la fuerza de un nodo está directamente relacionada con elgrado del mismo. A mayor grado, mayor fuerza. La razón entre la fuerza y el grado describe mejor la relaciónde un nodo con su vecindad, indicando la cercanía o la lejanía del mismo a sus vecinos. El tramo sur de lalínea 9 acapara las estaciones más distantes entre sí. De las 11 estaciones más distantes de sus vecinos, 5pertenecen a ese tramo.

Tabla 4.4 Las 11 estaciones con menor fuerzadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado

34 Valdecarros 237 1 237135 Hospital del Henares 253 1 253278 Puerta de Boadilla 272 1 27290 Alameda de Osuna 276 1 27635 Las Rosas 281 1 281263 Estación de Aravaca 283 1 283190 Hospital Infanta Sofía 292 1 292166 Aeropuerto T4 308 1 308160 Pitis 323 1 323167 Paco de Lucía 361 1 361130 Ciudad Universitaria 362 2 181

En la Tabla 4.5, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor relaciónfuerza/grado.

Tabla 4.5 Las 11 estaciones más distantes de sus vecinosdel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado Línea

185 Rivas Urbanizaciones 998 2 499,0 9188 La Poveda 926 2 463,0 9189 Arganda del Rey 443 1 443,0 9272 Cantabria 865 2 432,5 ML3226 Loranca 844 2 422,0 MetroSur217 La Fortuna 410 1 410,0 11184 Puerta de Arganda 817 2 408,5 9268 Retamares 811 2 405,5 ML3187 Rivas Vaciamadrid 801 2 400,5 9117 Carpetana 795 2 397,5 6163 Feria de Madrid 780 2 390,0 8

En la Tabla 4.6, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor relaciónfuerza/grado. La mayoría de las estaciones con más cercanía a sus vecinos pertenecen a las líneas másantiguas. Conforme se han ido añadiendo líneas a la estructura del metro de Madrid se ha tendido a distanciarlas estaciones unas de otras.

4.2 Modelo L-space 39

Tabla 4.6 Las 11 estaciones más cercanas a sus vecinosdel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado Línea

130 Ciudad Universitaria 362 2 181,0 646 Sevilla 387 2 193,5 248 Santo Domingo 387 2 193,5 267 Ventura Rodríguez 394 2 197,0 351 Quevedo 416 2 208,0 269 Moncloa 637 3 212,3 365 Callao 864 4 216,0 316 Sol 1312 6 218,6 133 Las Suertes 442 2 221,0 1200 Tres Olivos 442 2 221,0 1061 Delicias 445 2 222,5 3

4.2.4 Diámetro

Utilizando la Definición 2.5.6 con la matriz de adyacencia AL:

dmax = maxi j

d(i j) = 44 (Gephi 0.9.2)

El diámetro se obtiene en los trayectos "Hospital del Henares" - "Arroyo Culebro" y "Hospital Infanta Sofía" -"Arroyo Culebro". En la matrizAL, el diámetro representa el número de tramos que separan las dos estacionesmás alejadas o el número de estaciones (más una) que hay en la ruta.

En redes de baja densidad como la nuestra, el diámetro suele ser elevado. Sin embargo en nuestro caso, elvalor del diámetro está muy alejado del valor máximo posible (277). La red de metro de Madrid tiene muchosnodos con 1 o 2 enlaces (85%), lo que indica que la red tiene gran parte de su estructura en forma secuencial.Los nodos con alto grado logran conectar la red de forma muy eficiente disminuyendo apreciablemente lasdistancias máximas.

Utilizando la Definición 2.5.6 con la matriz de pesos WL:

dmax = maxi j

d(i j) = 7.276 (2 h 1 min 16 s) (MATLAB R2014b)

El diámetro se obtiene en el trayecto "Arganda del rey" - "Parque de los Estados". Este trayecto contiene 42tramos, muy cerca del diámetro de la red calculado con la matriz AL. Usando la matriz de pesos, la distanciageodésica representa el tiempo de viaje mínimo entre dos estaciones. En el metro de Madrid el tiempo de viajemínimo entre las dos estaciones más alejadas son aproximadamente dos horas. Observamos como aunque laslíneas 10 y 7 puedan estar compuestas por un mayor número de estaciones, y por tanto un mayor númerotramos, es la línea 9 la que tiene mayor distancia en tiempo entre las estaciones. La extensión a la línea 10,MetroSur, es la línea que mayor distancia proporciona a la red. Sus estaciones aparecen en casi todas las rutasmás largas de la red de metro de Madrid. Las conexiones por el "centro" de la red son relativamente rápidas,en tiempo y en tramos, proporcionando multitud de rutas para conectar cualesquiera otras dos estaciones dela red. La distancia entre estaciones se ve mayoritariamente afectada por la estructura en forma de estrella delas líneas periféricas.

Observando los dos diámetros obtenidos, el tramo comprendido entre las estaciones "Plaza de España" -"Colonia Jardín" se vislumbra como una vía de acceso para multitud de trayectos pudiéndose convertir en elobjetivo de un ataque dirigido. En el estudio de la vulnerabilidad midiendo la conectividad de la red, dosestaciones de este tramo aparecerán entre las 10 más críticas: "Príncipe Pío" y "Colonia Jardín". Y una entrelas 4 más críticas: "Casa de Campo".

40 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

En la Figura 4.6 se han representado los dos trayectos con los que se obtiene el diámetro de la red de metrode Madrid según el modelo L-space. La línea 12 (MetroSur) es circular, siendo el recorrido "Puerta Sur" -"Arroyo Culebro" equivalente en distancia en ambas direcciones. En la figura se ha representado tan sólo unode ellos.

Figura 4.6 Diámetro de la red de metro de Madrid en el modelo L-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

En la Figura 4.7 se ha representado el trayecto con el que se obtiene el diámetro de la red de metro deMadrid con pesos según el modelo L-space.

4.2 Modelo L-space 41

Figura 4.7 Diámetro de la red de metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

4.2.5 Excentricidad (Eccentricity)

Utilizando la Definición 2.4.11 con la matriz de adyacencia AL obtenemos la excentricidad de cada nodo dela red como la distancia geodésica máxima (medida en número de tramos) al resto de los nodos de la red. Laexcentricidad máxima es 44, que hemos definido como el diámetro, y la excentricidad mínima es 22, que sesuele denominar radio de la red. Las estaciones con mayor excentricidad se encuentran ubicadas, como erade esperar, en los extremos de las líneas más extensas. Es el caso de las líneas 1, 7, 9 y 10. Sin embargo, es lalínea 12 la que tiene más estaciones con mayor excentricidad. Es una línea circular muy alejada del centro dela red, ubicada en el extremo de la línea 10. Puede considerarse incluso una extensión de la misma, añadien-do una excentricidad de valor 14 al extremo sur de la línea 10 (Puerta del Sur) que tiene una excentricidad de 30.

En la Tabla 4.7, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor excentricidady en la Figura 4.8 se han representado las estaciones con una excentricidad comprendida entre 44 y 42.

42 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.7 Las 11 estaciones con mayor excentricidaddel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Excentricidad Línea

135 Hospital del Henares 44 7190 Hospital Infanta Sofía 44 10231 Arroyo Culebro 44 12136 Henares 43 7189 Arganda del Rey 43 9191 Reyes Católicos 43 10230 Parque de los Estados 43 12232 Conservatorio 43 1234 Valdecarros 42 1137 Jarama 42 7188 La Poveda 42 9

Figura 4.8 Excentricidad máxima de la red de metro de Madrid en el modelo L-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

4.2 Modelo L-space 43

En la Tabla 4.8, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor excentricidady en la Figura 4.9 se han representado las estaciones con una excentricidad comprendida entre 22 y 24.

Tabla 4.8 Las 11 estaciones con menor excentricidaddel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Excentricidad Línea131 Príncipe Pío 22 668 Argüelles 23 3205 Lago 23 1047 Ópera 23 266 Plaza de España 23 3132 Puerta del Ángel 23 6133 Alto de Extremadura 24 6206 Batán 24 1065 Callao 24 3102 La Latina 24 569 Moncloa 24 3

Figura 4.9 Excentricidad mínima de la red de metro de Madrid en el modelo L-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

44 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Los accesos más cortos, en número de tramos, a cualquier otra estación de la red se producen en la vecindadde "Príncipe Pío". Desde ese entorno, podemos acceder en 24 tramos o menos a cualquier otra ubicacióndel metro de Madrid. Aunque a primera vista pudiera parecer que el centro de la red de metro podría estarsituado en la estación "Alonso Martínez", los valores de la excentricidad nos centran la red en la estación de"Príncipe Pío". En la Figura 4.10 se ha representado la distribución de la excentricidad en la red de metro deMadrid.

Figura 4.10 Distribución de la excentricidaden la red de metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

Utilizando la Definición 2.4.11 con la matriz de distancias WL obtenemos la excentricidad de cada nodode la red como la distancia geodésica máxima (medida en tiempo) al resto de los nodos de la red. La excentri-cidad máxima es 7.276 (2h 1 min 16 s), que hemos definido como el diámetro de la red, y la excentricidadmínima es 3.643 (1h 0 min 43 s), que se suele denominar radio de la red. En la Tabla 4.9, obtenida con laaplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayor excentricidad y en la Figura 4.11 se hanrepresentado las estaciones con una excentricidad comprendida entre 7.276 y 6.821.

Tabla 4.9 Las 11 estaciones con mayor excentricidaddel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Excentricidad Línea189 Arganda del Rey 7.276 9230 Parque de los Estados 7.276 12229 Fuenlabrada Central 7.162 12228 Parque Europa 7.091 12231 Arroyo Culebro 7.044 12227 Hospital de Fuenlabrada 7.021 12188 La Poveda 6.998 9232 Conservatorio 6.954 12233 Alonso de Mendoza 6.849 12278 Puerta de Boadilla 6.830 ML3226 Loranca 6.821 12

4.2 Modelo L-space 45

Figura 4.11 Excentricidad máxima de la red de metro de Madriden el modelo L-space con pesos.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

Teniendo en cuenta los tiempos de recorrido en vez del número de tramos que separan dos estaciones,observamos como las líneas 9 y 12 siguen siendo las que contienen las estaciones con más excentricidad.También observamos como los extremos de las líneas 1, 7 y 10 no son tan excéntricos cuando medimostiempos de desplazamiento y si lo es la línea ML3.

En la Tabla 4.10, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con menorexcentricidad y en la Figura 4.12 se han representado las estaciones con una excentricidad comprendida entre3.643 y 3.958.

El centro de la red, teniendo en cuenta los tiempos de recorrido entre estaciones, está situado en torno ala estación de "Plaza de España". Desde esa vecindad podemos acceder a cualquier otra estación de la reden una hora como máximo. El centro "geométrico" y la excentricidad mínima están más próximos que enla medición teniendo en cuenta los tramos. Una estación emblemática, centro neurálgico de la ciudad deMadrid, como es Sol, queda desplazada en términos de distancias, del centro de la red.

46 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.10 Las 11 estaciones con menor excentricidaddel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Excentricidad Línea66 Plaza de España 3.643 314 Tribunal 3.698 1131 Príncipe Pío 3.728 671 Alonso Martínez 3.763 449 Noviciado 3.768 247 Ópera 3.834 268 Argüelles 3.890 3151 Gregorio Marañón 3.897 767 Ventura Rodríguez 3.928 365 Callao 3.948 348 Santo Domingo 3.958 2

Figura 4.12 Excentricidad mínima de la red de metro de Madriden el modelo L-space con pesos.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

4.2 Modelo L-space 47

4.2.6 Distancia media

Utilizando la Definición 2.5.7 con la matriz de adyacencia AL:

〈d〉= 2p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

d(i j) = 15,4587 (Gephi 0.9.2)

Esta distancia media relativamente alta puede relacionarse con el hecho de que la red es muy poco densa(por el elevado coste de establecimiento de conexiones entre nodos). Así, la existencia de pocos enlaces haceque haya relativamente pocos cruces entre líneas, implicando que las distancias entre nodos no sean siemprepequeñas.

En la Figura 4.13 se ha representado la distribución de distancias en la red de metro de Madrid. Ladistribución de distancias se adapta bien a una función asimétrica y unimodal, cae fuertemente para distanciasgrandes, indicando que por lo general no existen distancias excesivamente grandes entre las estaciones. Lamayoría de las estaciones están a una distancia entorno a la media.

El máximo de las longitudes de ruta más cortas es 44 (diámetro de la red). La mayoría de las longitudes deruta más cortas es 13. Significa que para la mayoría de los pares de estaciones, hay 13 tramos entre ellas en laruta más corta.

En este modelo, con una distancia media de 15,4487, no se observa el fenómeno de mundo pequeñodescrito por Karinthy y Milgram. Fenómeno que si se observará cuando caractericemos la red con el modeloP-space.

Figura 4.13 Distribución de distancias modelo L-space.Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 4.14 se ha representado la distribución acumulada de distancias en la red de metro de Madrid.El 50% de las distancias entre estaciones están por debajo de 15 y el 90% lo está por debajo de 26. En laTabla 4.11, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor distancia media.En la Tabla 4.12, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones conmenor distancia media.

48 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.14 Distribución acumulada de distanciasmodelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

Tabla 4.11 Las 11 estaciones con mayor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

231 Arroyo Culebro 27,7653230 Parque de los Estados 26,8628232 Conservatorio 26,8628278 Puerta de Boadilla 26,1552229 Fuenlabrada Central 25,9603233 Alonso de Mendoza 25,9603190 Hospital Infanta Sofía 25,2960135 Hospital del Henares 25,1986277 Infante Don Luis 25,1589228 Parque Europa 25,1589234 Getafe Central 25,0578

4.2 Modelo L-space 49

Tabla 4.12 Las 11 estaciones con menor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

71 Alonso Martínez 9,5199151 Gregorio Marañón 9,584814 Tribunal 9,631866 Plaza de España 9,8051131 Príncipe Pío 9,898977 Avenida de América 9,924213 Bilbao 9,9675100 Rubén Darío 10,043399 Núñez de Balboa 10,0794127 Nuevos Ministerios 10,093916 Sol 10,1155

Utilizando la Definición 2.5.7 con la matriz de pesos WL:

〈d〉= 2p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

d(i j) = 2.456,2 s (40 min 56,2 s) (MATLAB R2014b)

Por término medio, un usuario de la red de metro puede tardar unos 40 minutos en desplazarse de una estacióna otra.

En la Figura 4.15 se ha representado la probabilidad acumulada de las distancias de la red. El 90% de losviajes en la red de metro de Madrid son de una hora o menos. En la Tabla 4.13, obtenida con la aplicaciónGephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor distancia media. En la Tabla 4.14, obtenida con la aplica-ción Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor distancia media.

Figura 4.15 Distribución acumulada de distancias modelo L-space con pesos.Fuente: MATLAB R2014b.

50 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.13 Las 11 estaciones con mayor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

203 Parque de los Estados 4319,12189 Arganda del Rey 4281,63229 Fuenlabrada Central 4216,76228 Parque Europa 4153,08231 Arroyo Culebro 4106,51227 Hospital de Fuenlabrada 4090,40278 Puerta de Boadilla 4087,62232 Conservatorio 4023,98188 La Poveda 4004,63277 Infante Don Luis 3995,95276 Siglo XXI 3934,63

Tabla 4.14 Las 11 estaciones con menor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

66 Callao 1519,4071 Alonso Martínez 1522,5614 Tribunal 1527,56151 Gregorio Marañón 1547,90127 Nuevos Ministerios 1562,49131 Príncipe Pío 1590,2577 Avenida de América 1597,8949 Noviciado 1602,3447 Ópera 1638,9716 Sol 1655,8399 Núñez de Balboa 1660,66

4.2.7 Eficiencia de red

Utilizando la Definición 2.5.8 con la matriz de adyacencia AL:

η =2

p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

1d(i j)

= 0,0990 (MATLAB R2014b)

Utilizando la Definición 2.5.8 con la matriz de pesos WL:

η =2

p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

1d(i j)

= 0,0005720 (MATLAB R2014b)

En la Tabla 4.15, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayoreficiencia y en la Tabla 4.16, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones conmenor eficiencia, según la matriz de adyacencia.

En la Tabla 4.17, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayoreficiencia según la matriz de pesos.

4.2 Modelo L-space 51

Tabla 4.15 Las 11 estaciones con mayor eficienciadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea77 Avenida de América 0,1702 4

151 Gregorio Marañón 0,1697 771 Alonso Martínez 0,1676 4

127 Nuevos Ministerios 0,1631 614 Tribunal 0,1588 176 Diego de León 0,1575 499 Núñez de Balboa 0,1574 566 Plaza de España 0,1560 3

131 Príncipe Pío 0,1553 613 Bilbao 0,1544 116 Sol 0,1535 1

Tabla 4.16 Las 11 estaciones con menor eficienciadel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea278 Puerta de Boadilla 0,0482 ML3135 Hospital del Henares 0,0502 7190 Hospital Infanta Sofía 0,0510 10189 Arganda del Rey 0,0526 9263 Estación de Aravaca 0,0527 ML2277 Infante Don Luis 0,0530 ML334 Valdecarros 0,0530 1

231 Arroyo Culebro 0,0545 12136 Henares 0,0553 7232 Conservatorio 0,0557 12230 Parque de los Estados 0,0557 12

Tabla 4.17 Las 11 estaciones con mayor eficienciadel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea

77 Avenida de América 0,0009613 471 Alonso Martínez 0,0009604 416 Sol 0,0009600 166 Plaza de España 0,0009464 314 Tribunal 0,0009260 1127 Nuevos Ministerios 0,0009096 676 Diego de León 0,0009007 447 Ópera 0,0009006 2151 Gregorio Marañón 0,0008916 765 Callao 0,0008842 349 Noviciado 0,0008833 2

52 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

En la Figura 4.16 se han representado las estaciones con mayor (en rojo) y menor (en amarillo) eficienciasegún la matriz de adyacencia.

Figura 4.16 Estaciones con mayor y menor eficienciade la red de metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

Tabla 4.18 Las 11 estaciones con menor eficienciadel metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea189 Arganda del Rey 0,0002636 9188 La Poveda 0,0002887 9278 Puerta de Boadilla 0,0002998 ML3230 Parque de los Estados 0,0003135 12277 Infante Don Luis 0,0003160 ML3187 Rivas Vaciamadrid 0,0003207 9229 Fuenlabrada Central 0,0003226 12276 Siglo XXI 0,0003237 ML3228 Parque Europa 0,0003265 12190 Hospital Infanta Sofía 0,0003265 10227 Hospital de Fuenlabrada 0,0003268 12

4.2 Modelo L-space 53

En la Tabla 4.18, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con menoreficiencia y en la Figura 4.17 se han representado las estaciones con mayor (en rojo) y menor (en amarillo)eficiencia según la matriz de pesos.

Figura 4.17 Estaciones con mayor y menor eficienciade la red de metro de Madrid en el modelo L-space con pesos.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

4.2.8 Distribución del grado

Utilizando la Definición 2.5.4 obtenemos la distribución de los grados de las estaciones de la red de metro deMadrid usando la idea de L-space (matriz de adyacencia AL). El rango de variación de los valores del gradoestá entre 1 y 8, con un grado medio de 2,2878. Los nodos con grado 1 son los inicios y finales de ruta. El15,1% de las estaciones tiene grado mayor de 2, son los puntos de transbordo de la red. La mayoría de lasestaciones tiene grado 2, lo cual significa que estas estaciones son sólo enlaces a través de la misma ruta. Ladistribución del grado indica que no hay un nivel de interacción alto. Un 84,9% de las estaciones tienen ungrado menor que el grado medio (gri < 〈gr〉). Existen unos pocos nodos fuertemente conectados (hubs), elmayor con grado 8 (estación Avenida de América).

54 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.18 Distribución de probabilidad del grado modelo L-space.Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.19 Función de distribución de probabilidaddel modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

4.2 Modelo L-space 55

En la literatura especializada nos encontramos con los siguientes modelos de redes complejas idealesatendiendo a su distribución del grado:

• Redes regulares de grado k:

P(x) ={

1 si x = k0 en cualquier otro caso

• Redes aleatorias o de Erdös-Renyi:

P(x) = e−〈gr〉 〈gr〉x

x!• Redes libres de escala:

P(x) = cte∗ x−γ

• Redes exponenciales:P(x) = cte∗ e−αx

Podemos verificar cuan parecida es nuestra red a los modelos propuestos en la literatura usando, por ejemplo,el método de los mínimos cuadrados, basado en la minimización del error cuadrático medio (Ecm( f (xk)))definido como:

Ecm( f (xk)) =

√∑

grmax

k=1 (ek)2

grmax

donde el error ek se define como:ek = yk− f (xk)

Red regularSuponiendo que nuestra red fuera una red regular de grado 2, la función de probabilidad del grado sería:

P(x) ={

1 si x = 20 en cualquier otro caso

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,0839 (MATLAB R2014b)

Figura 4.20 Distribución del grado modelo L-space y red 2-regular.Fuente: MATLAB R2014b.

56 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.21 Error cuadrático mediocon respecto a una red regular de grado k.

Fuente: MATLAB R2014b.

El grado medio de nuestra red es 2,2878 y el de la red regular es 2 con un error cuadrático medio bajo.Nuestra red es, por tanto, muy similar a una red regular de grado 2. En la Figura 4.21 vemos como el errorcuadrático medio mínimo se obtiene para una red regular de grado 2.

Red aleatoria

Suponiendo que nuestra red fuera una red aleatoria, la función de probabilidad del grado vendría dada poruna distribución binomial según la ecuación (4.3):

P(x) =(

NE

x

)sx(1− s)NE−x

Dado que en nuestra red 〈gr〉<< p podemos utilizar la ecuación (2.14):

P(k) = e−〈gr〉 〈gr〉k

k!

Utilizando en la ecuación el valor del grado medio de nuestra red obtenemos:

P(k) = e−(2,2878) (2,2878)k

k!

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,2248 (MATLAB R2014b)

Podemos ajustar la red aleatoria que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadrático medio:

P(k) = e−〈gr〉 〈gr〉k

k!= e−(2,16672) (2,16672)k

k!(Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,2244 (MATLAB R2014b)

4.2 Modelo L-space 57

Figura 4.22 Distribución del grado modelo L-space y red aleatoria.Fuente: MATLAB R2014b.

Nuestra red parece que está muy lejos de asemejarse a una red aleatoria. Para un grado medio parecido, elerror cuadrático es bastante alto y la distribución del grado no queda bien representada por una distribuciónde Poisson.

En la Figura 4.23 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el grado medio de la red aleatoria.

Figura 4.23 Error cuadrático medio del modelo L-spacerespecto a una red aleatoria.Fuente: MATLAB R2014b.

58 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Red libre de escala

Suponiendo que nuestra red fuera una red libre de escala, la función de probabilidad del grado vendría dadapor la ecuación (2.15):

P(x) = cte∗ x−γ

Podemos ajustar la red libre de escala que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadráticomedio:

P(x) = 0,274932∗ x−0,536035 (Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,2589 (MATLAB R2014b)

Nuestra red parece que está muy lejos de asemejarse a una red libre de escala. El error cuadrático medio esbastante alto y la distribución del grado no queda bien representada por la Ley de Potencias.

Figura 4.24 Distribución del grado modelo L-spacey red libre de escala.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 4.25 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el exponente ”γ” de la red librede escala y en la Figura 4.26 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con la constante "cte" de lared libre de escala.

4.2 Modelo L-space 59

Figura 4.25 Error cuadrático medio modelo L-spacerespecto a una red libre de escala (constante cte).

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.26 Error cuadrático medio del modelo L-spacerespecto a una red libre de escala (exponente γ).

Fuente: MATLAB R2014b.

60 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Red exponencial

Suponiendo que nuestra red fuera una red exponencial, la función de probabilidad del grado vendría dada porla ecuación (2.16):

P(x) = cte∗ e−αx

Podemos ajustar la red exponencial que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadrático medio:

P(x) = 0,432886∗ e−0,296606x (Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,2470 (MATLAB R2014b)

Nuestra red parece que está muy lejos de asemejarse a una red exponencial. El error cuadrático medio esbastante alto y la distribución del grado no queda bien representada por una Ley Exponencial.

Figura 4.27 Distribución del grado modelo L-spacey red exponencial.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 4.28 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el exponente alpha de la redexponencial.

En la Figura 4.29 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con la constante cte de la red expo-nencial.

4.2 Modelo L-space 61

Figura 4.28 Error cuadrático medio del modelo L-spacerespecto a una red exponencial (constante cte).

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.29 Error cuadrático medio del modelo L-spacerespecto a una red exponencial (parámetro α).

Fuente: MATLAB R2014b.

62 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

4.2.9 Índice de centralización

Utilizando la Definición 2.5.9 con la matriz de adyacencia AL obtenemos:

CI=1

(p−1)(p−2)

p

∑i=1

(grmax−gr(ni)) = 0,0208

El índice de centralización máximo es 1, para una red en forma de estrella, donde un nodo juega un papelcentral que controla toda la red. En nuestro caso la red está muy lejos de eso comportamiento, lo que nosindica que es una red bien conectada y poco centralizada.

4.2.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient)

Usando la ecuación (2.8) con la matriz de adyacencia AL:

〈C〉= 1p

p

∑i=1

Ci = 0,0200

En la idea de L-space, el grado de la mayoría de los nodos es 2, estos nodos solo están vinculados con otros2 nodos adyacentes en la misma ruta, que obviamente no tienen enlaces entre sí. Por lo tanto, los coeficientesde clustering de la mayoría de los nodos es 0. El coeficiente de clustering medio de la red de metro en la ideade L-space es demasiado bajo como para tener importancia.

Figura 4.30 Distribución del coeficiente de clustering en el modelo L-space.Fuente: MATLAB R2014b.

El coeficiente de clustering es mucho mayor en los nodos poco conectados que en los hubs. Los nodos degrado bajo se sitúan en vecindarios localmente densos y viceversa, consecuencia de la jerarquía de redes. Enla Tabla 4.19, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor coeficiente declustering.

En la Figura 4.31 podemos localizar visualmente las 13 estaciones con mayor coeficiente de clustering enel modelo L-space.

4.2 Modelo L-space 63

Tabla 4.19 Las 13 estaciones con mayor coeficiente de clusteringdel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Clustering

5 Plaza de Castilla (nodo virtual) 1,000070 Moncloa (nodo virtual) 1,000078 Avenida de América (nodo virtual) 1,000065 Callao 0,333369 Moncloa 0,333376 Diego de León 0,20003 Chamartín 0,166713 Bilbao 0,166714 Tribunal 0,166715 Gran Vía 0,166740 Ventas 0,166741 Manuel Becerra 0,166799 Núñez de Balboa 0,1667

Figura 4.31 Estaciones con mayor coeficiente de clusteringde la red de metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

64 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

4.2.11 Índice de heterogeneidad

Usando la ecuación (2.12) con lamatriz de adyacenciaAL obtenemos el índice de heterogeneidad normalizado:

h2n =

h2

h2het

= 0,0206 (MATLAB R2014b)

Donde la heterogeneidad h2 de nuestra red es 0,0203 (ecuación (2.10)) y la heterogeneidad máxima deuna red con 278 nodos es 0,9892 (ecuación (2.11)).

La red de metro de Madrid es una red muy homogénea, el 85% de los nodos tienen grado 2.

4.2.12 Centralidad de cercanía (Closeness centrality)

Usando la ecuación (2.2) con la matriz de distancias de AL obtenemos la cercanía media:

〈ClC〉= 1p

p

∑i=1

p−1∑

pj di j

= 0,069653112 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de distancia media (en orden inverso).

Usando la ecuación (2.2) con la matriz de distancias de WL obtenemos la cercanía media:

〈ClC〉= 1p

p

∑i=1

p−1∑

pj di j

= 0,00043104 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de distancia media (en orden inverso).

4.2.13 Centralidad armónica (Harmonic centrality)

Usando la ecuación (2.3) con la matriz de distancias de AL obtenemos la centralidad armónica media:

〈HC〉= 1p

p

∑i=1

∑pj

1di j

p−1= 0,099021957 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de distancia media.

Usando la ecuación (2.3) con la matriz de distancias de WL obtenemos la centralidad armónica media:

〈HC〉= 1p

p

∑i=1

∑pj

1di j

p−1= 0,00056754 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de distancia media.

4.2.14 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality)

Usando la ecuación (2.1) con la matriz de distancias de AL obtenemos la intermediación media:

〈Cbet〉=1p

p

∑i=1

∑j,k

c jik

c jk= 2002,532374 (Gephi 0.9.2)

En la Tabla 4.20, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor intermedia-ción.

En la Figura 4.32 se han representado las estaciones con mayor intermediación de la red de metro deMadrid.

4.2 Modelo L-space 65

Tabla 4.20 Las 13 estaciones con mayor centralidad de intermediacióndel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Betweenness131 Príncipe Pío 14.679,6663207 Colonia Jardín 13.719,0000115 Casa de Campo 13.583,9833151 Gregorio Marañón 12.828,5763205 Lago 12.790,8167206 Batán 12.651,150071 Alonso Martínez 12.352,1954

127 Nuevos Ministerios 11.724,183314 Tribunal 10.249,370077 Avenida de América 9.869,993066 Plaza de España 9.869,99304 Plaza de Castilla 7.446,8500

208 Aviación Española 7.410,0000

Figura 4.32 Estaciones con mayor centralidad de intermediaciónde la red de metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

En la Tabla 4.21, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor intermedia-ción.

66 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.21 Las 13 estaciones con menor centralidad de intermediacióndel metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Betweenness278 Puerta de Boadilla 0135 Hospital del Henares 0190 Hospital Infanta Sofía 0189 Arganda del Rey 0263 Estación de Aravaca 034 Valdecarros 0

217 La Fortuna 053 Villaverde Alto 090 Alameda de Osuna 0

160 Pitis 0167 Paco de Lucía 0166 Aeropuerto T4 035 Las Rosas 0

Figura 4.33 Estaciones con menor centralidad de intermediaciónde la red de metro de Madrid en el modelo L-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

En la Figura 4.33 se han representado las estaciones con menor intermediación de la red de metro deMadrid. Todas las estaciones con menor intermediación están en los extremos de las líneas.

4.3 Modelo P-space 67

4.3 Modelo P-space

Sea G= (N,E) un (p,q)-grafo simple no orientado que representa la red de metro de Madrid. Sean AP sumatriz de adyacencia y WP su matriz de pesos, utilizando el modelo P-space. En este modelo, los grados delas estaciones son mucho mayores que en el modelo L-space, dado que todas las estaciones de la misma rutaestán enlazadas en esta visión.

4.3.1 Densidad de red

Para calcular la densidad de red según la Definición 2.5.1 necesitamos conocer el número de enlaces existentesen el grafo:

q =p−1

∑i=1

p

∑j=i+1

aP(i j) = 4.031 (MATLAB R2014b)

También podemos usar la Propiedad 2.4.1 y la Propiedad 2.4.2 para calcular el número de enlaces existentes:

q =∑

pi=1 a2

P(ii)2

= 4.031 (MATLAB R2014b)

La densidad de red según la ecuación (2.4) sería:

ρ =2q

p(p−1)=

2∗4031278∗ (278−1)

= 0,1046 (Verificado con Gephi 0.9.2) (4.2)

En este modelo de red se observa un aumento considerable de la densidad de red, más cerca de la co-nectividad real de la misma. Este aumento de densidad es proporcional al aumento del número de enlacesconsiderado. En este modelo el número de enlaces es aproximadamente un 12,5 mayor que en el modeloL-space. La red pierde su forma secuencial, aumentando la diversidad de caminos.

En la evolución temporal de la densidad observamos como el incremento de líneas ha ido aumentando ladensidad de la red, mejorando las conexiones de la misma.

Figura 4.34 Evolución de la densidad de la red de metro de Madridcon la ampliación de nuevas líneas en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

68 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

4.3.2 Grado medio

Para calcular el grado medio de la red usamos la ecuación (2.5):

〈gr〉= 1p

p

∑i=1

gr(ni) =1p

p

∑i=1

p

∑j=1

aP(i j) =1

278∗8.062 = 29,0000 (MATLAB R2014b)

Se puede verificar el resultado utilizando la ecuación (2.6):

〈gr〉= 2qp

=2∗4031

278= 29,0000 (Verificado con Gephi 0.9.2)

Podemos utilizar también la Propiedad 2.4.1 del teorema del número de caminos:

〈gr〉= 1p

p

∑i=1

a2ii = 29,0000 (MATLAB R2014b)

A partir del grado medio podemos volver a calcular la densidad de red con la ecuación (2.7):

ρ =〈gr〉p−1

=29,0000278−1

= 0,1046

Una estación típica de nuestra red de metro interactúa con casi otras 30 estaciones (la mayoría de la mismalínea).

En el modelo P-space los grados de los nodos son mucho mayores que en el modelo L-space, dado quetodos los nodos en la misma línea están vinculados en esta idea. En este caso, los valores del grado sedistribuyen en un rango más amplio (entre 6 y 104). Las estaciones con el grado más bajo (entre 6 y 8)pertenecen a las líneas 8, 11 y ML1, líneas con pocas estaciones que parten del "núcleo" de la red de formaradial.

En la siguiente tabla, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor grado:

Tabla 4.22 Las 12 estaciones con mayor gradodel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Grado

77 Avenida de América 1044 Plaza de Castilla 8971 Alonso Martínez 8276 Diego de León 7810 Cuatro Caminos 7716 Sol 6815 Gran Vía 6468 Argüelles 64

127 Nuevos Ministerios 641 Pinar de Chamartín 633 Chamartín 6114 Tribunal 61

En la Figura 4.35 podemos localizar visualmente las 12 estaciones con mayor grado en el modelo P-space.Las 12 estaciones siguen ubicadas en el "núcleo" de la red aunque en este caso es la línea 1 (la más antigua)la que aglutina la mayoría de las estaciones con mayor grado.

4.3 Modelo P-space 69

Figura 4.35 Localización de las estaciones con mayor grado en el modelo P-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

En la Figura 4.36 se ha representado la preferencia de los nodos de la red por unirse a otros nodos con ungrado determinado. Vemos como los nodos de la red tienen preferencia por conectarse con otros nodos quetengan entre 28 y 42 enlaces, excepto los nodos de grado muy bajo. El coeficiente de correlación entre losgrados de un nodo y el grado medio de sus vecinos es r = 0,54439 (obtenido con Wolfram Alpha), lo quemuestra un nivel de preferencia medio.

En el modelo P-space la preferencia por unirse a otros nodos viene determinada por el número de estacionesde la línea a la que pertenece el nodo y por el número de estaciones de las líneas a las que se puede accedercon un sólo transbordo. Así vemos como las estaciones que pertenecen a líneas con pocas estaciones, y quepor tanto no tienen más de uno o dos transbordos, sólo pueden tener preferencia por unirse a estacionesde su mismo grado. Conforme aumenta el número de estaciones de la línea a la que pertenece el nodo, lapreferencia por unirse a otros nodos fluctúa entorno al valor medio del número de estaciones de las líneascon mayor número de estaciones. Hay por tanto una tendencia creciente entre el grado del nodo y el gradomedio de sus vecinos para grados bajos hasta llegar a una tendencia de equilibrio sobre la que se fluctúa paragrados medios-altos.

70 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.36 Grado medio de los vecinos de cada estaciónagrupadas por grado en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

4.3.3 Fuerza media

Para calcular la fuerza media de la red usamos la ecuación (2.8):

〈 f r〉= 1p

p

∑i=1

f r(ni)=1p

p

∑i=1

p

∑j=1

wP(i j)=1

278∗9.572.646= 34.433,9784 (9 h 33 min 53,9784 s) (MATLAB R2014b)

Con la fuerza media podemos calcular la fuerza media por enlace que representa la distancia media quesepara dos nodos:

〈 f re〉=〈 f r〉 ∗ p

2∗q=〈 f r〉〈 f r〉

=34.433,9784

29,0000= 1187,378566 (19 min 47,378566 s) (MATLAB R2014b)

En este modelo, las estaciones están enlazadas con todas las estaciones de su línea por lo que la fuerza mediapor enlace nos indica el tiempo medio en llegar desde una estación a cualquier otra estación pertenecientea su misma línea. En unos 20 minutos de media podemos desplazarnos a cualquier estación dentro de unamisma línea. Teniendo en cuenta que hay una media de 18,5 estaciones por línea, esta distancia media entreestaciones de la misma línea indica que la red de metro en un medio de transporte bastante eficaz.

En este modelo, al igual que en el modelo L-space, las estaciones con mayor grado tienden a tener mayorfuerza. Las 5 estaciones con mayor grado aparecen entre las estaciones con mayor fuerza aunque no en elmismo orden. De las 16 estaciones con mayor grado, tan sólo 8 aparecen entre las estaciones con mayor fuerza.De igual manera, las estaciones con menor grado tienden a tener menor fuerza. De las 12 estaciones conmenor grado, 8 aparecen entre las estaciones con menor fuerza. Por este motivo, el parámetro fuerza/gradonos puede describir mejor la relación de una estación con su vecindad. La razón entre la fuerza y el gradoindicará el grado de cercanía de un nodo con sus vecinos. A mayor valor del parámetro fuerza/grado, mayordistancia existirá entre una estación y sus vecinas y viceversa.

4.3 Modelo P-space 71

En la Tabla 4.23, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayorfuerza y la razón entre su fuerza y su grado:

Tabla 4.23 Las 11 estaciones con mayor fuerzadel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado

4 Plaza de Castilla 117.154 89 1.316,337177 Avenida de América 104.409 104 1.003,9327

115 Casa de Campo 102.244 60 1.704,06671 Pinar de Chamartín 99.690 63 1.582,3810

211 Puerta del Sur 98.325 57 1.725,000071 Alonso Martínez 87.806 82 1.070,80493 Chamartín 82.431 61 1.351,3279

207 Colonia Jardín 80.906 57 1.419,403510 Cuatro Caminos 79.069 77 1.026,870176 Diego de León 75.414 78 966,8462

189 Arganda del Rey 73.205 28 2.614,4643

En la Tabla 4.24, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con menorfuerza y la razón entre su fuerza y su grado:

Tabla 4.24 Las 11 estaciones con menor fuerzadel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado

214 San Francisco 2.187 6 364,5000213 Pan Bendito 2.240 6 373,3333215 Carabanchel Alto 2.290 6 381,6667212 Abrantes 2.474 6 412,3333216 La Peseta 2.533 6 422,1667248 Álvarez de Villaamil 3.660 8 457,5000217 La Fortuna 3.683 6 613,8333247 Antonio Saura 3.757 8 469,6250249 Blasco Ibáñez 3.764 8 470,5000163 Feria de Madrid 3.817 7 545,2857162 Pinar del Rey 3.949 7 564,1429

Cuando modelamos la red con el modelo L-space la mitad de las estaciones más alejadas de sus vecinospertenecían a la línea 9, concretamente al tramo comprendido entre Puerta de Arganda y Arganda del Rey. Conel modelo P-space vemos cómo se mantiene esa característica en el tramo de la línea 9 y además identificamosotra línea, la línea 10, con estaciones bastante alejadas de su vecindad. Las dos líneas cruzan Madrid deNorte a Sur teniendo una gran longitud y manteniendo un número de estaciones equiparable al de otras líneasmenos extensas. Es por tanto lógico que la distancia entre vecinos aumente.

El modelo L-space tiene una visión local de las vecindades, mientras que el modelo P-space tiene unavisión a nivel de línea completa. Al estudiar la proximidad de los vecinos vemos cómo la línea 9 tiene lasestaciones más alejadas en las dos visiones. Por una parte tiene un tramo con las estaciones más separadas y,por otra parte, a nivel de línea también es la que tiene las estaciones más alejadas en conjunto.

72 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

En la Tabla 4.25, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayorrelación fuerza/grado.

Tabla 4.25 Las 11 estaciones más distantes de sus vecinosdel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado Línea

189 Arganda del Rey 73.205 28 2.614,4643 9188 La Poveda 65.699 28 2.346,3929 9210 Joaquín Vilumbrales 68.580 30 2.286,0000 10190 Hospital Infanta Sofía 65.763 30 2.192,1000 10187 Rivas Vaciamadrid 57.749 28 2.062,4643 9191 Reyes Católicos 61.210 30 2.040,3333 10167 Paco de Lucía 55.515 28 1.982,6786 990 Alameda de Osuna 60.434 31 1.949,4839 5

209 Cuatro Vientos 58.185 30 1.939,5000 10186 Rivas Futura 54.230 28 1.936,7857 9192 Baunatal 57.592 30 1.919,7333 10

En la Tabla 4.26, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con menorrelación fuerza/grado.

En esta visión de la red de metro de Madrid la cercanía a la vecindad viene fuertemente influida por elnúmero de estaciones de la línea a la que pertenece la estación. Las líneas 11, ML1 y 8 son las que menosestaciones tienen (7, 9 y 8 respectivamente). Es por ello que las estaciones pertenecientes a estas líneas sonlas que menor relación fuerza/grado tienen. La línea 8, aun teniendo pocas estaciones, tiene mayor extensiónen longitud y es por ello que solo una estación está entre las de menor distancia a la vecindad.

Tabla 4.26 Las 11 estaciones más cercanas a sus vecinosdel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Fuerza del nodo Grado Fuerza / Grado Línea

214 San Francisco 2.187 6 364,5000 11213 Pan Bendito 2.240 6 373,3333 11215 Carabanchel Alto 2.290 6 381,6667 11212 Abrantes 2.474 6 412,3333 11216 La Peseta 2.533 6 422,1667 11248 Álvarez de Villaamil 3.660 8 457,5000 ML1247 Antonio Saura 3.757 8 469,6250 ML1249 Blasco Ibáñez 3.764 8 470,5000 ML1250 María Tudor 3.986 8 498,2500 ML1246 Virgen del Cortijo 4.144 8 518,0000 ML1163 Feria de Madrid 3.817 7 545,2857 8

4.3 Modelo P-space 73

4.3.4 Diámetro

Utilizando la Definición 2.5.6 con la matriz de adyacencia AP:

dmax = maxi j

d(i j) = 4

En el modelo P-space utilizando la matriz de adyacencia AP, el diámetro representa el número de transbor-dos más 1 que separan las dos estaciones más alejadas. En la red de metro de Madrid el número máximo detransbordos que hay que realizar entre cualesquiera dos estaciones es tres.

Utilizando la Definición 2.5.6 con la matriz de pesos WP:

dmax = maxi j

d(i j) = 7.276 (2 h 1 min 16 s)

En el modelo P-space utilizando la matriz de pesos WP, la situación es equivalente al modelo L-space.Aunque consideremos que las estaciones están enlazadas con todas las estaciones de su misma línea, lasdistancias medidas en tiempos permanecen inalteradas. El tiempo que se tarda en llegar de una estación aotra es idéntico considerando ambos modelos.

4.3.5 Excentricidad (Eccentricity)

Utilizando la Definición 2.4.11 con la matriz de adyacencia AP obtenemos la excentricidad de cada nodo dela red como la distancia geodésica máxima (medida en número de transbordos más uno) al resto de los nodosde la red. La excentricidad máxima es 4, que hemos definido como el diámetro de la red, y la excentricidadmínima es 2, que se suele denominar radio de la red. En el modelo P-space la conectividad de la red varíarespecto a la visión L-space. Considerando los cambios de línea que tiene que realizar un usuario para poderacceder a cualquier otra estación, vemos que hay que realizar al menos un transbordo para llegar a la estaciónmás alejada y como máximo 3.

En la Figura 4.37 se ha representado la distribución de la excentricidad en la red de metro de Madrid.

Figura 4.37 Excentricidad máxima de la red de metro de Madriden el modelo P-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

74 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

El 99% de las estaciones tiene una excentricidad entre 3 y 4. Tan sólo 2 estaciones, "Príncipe Pío" y "NuevosMinisterios", están a un máximo de un transbordo de cualquier estación de la red. Podemos considerar, portanto, que estas dos estaciones constituyen el centro de la red de metro en este modelo. En comparacióncon el modelo L-space vemos como descubrimos un nuevo centro estructural dentro la red. Mientras en lavisión L-space, el centro de la red estaba compuesto por 10 estaciones centradas en la vecindad de "Plaza deEspaña"; en el modelo P-space este centro queda reducido a dos estaciones que no son vecinas, pertenecientesa las líneas 10 y 6 (circular).

En la Figura 4.38 se han representado la dos estaciones con menor excentricidad de la red de metro deMadrid.

Figura 4.38 Excentricidad mínima de la red de metro de Madriden el modelo P-space.

Fuente: Composición sobre planode la red de metro de Madrid.

4.3 Modelo P-space 75

4.3.6 Distancia media

Utilizando la Definición 2.5.7 con la matriz de adyacencia AP:

〈d〉= 2p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

d(i j) = 2,3116 (MATLAB R2014b)

El modelo P-space se utiliza para describir las transferencias de los transbordos en la red. La distanciamás corta entre dos estaciones significa el número de transbordos (más uno) de una estación a otra. En ladistribución del número de transbordos se observa que casi el 10% del número de transbordos es 0. Lalongitud promedio del camino más corto es prácticamente 2, un solo transbordo es suficiente para viajar entrela mayoría de las estaciones. El 60% de los viajes entre estaciones conllevan un transbordo o ninguno. Esconveniente viajar en la Red de metro de Madrid, es una red bastante efectiva.

En la Figura 4.39 se han representado el porcentaje de desplazamientos en la red de metro de Madridrespecto al número de transbordos que conllevan.

Figura 4.39 Transbordos en la red de metro de Madriden el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Tabla 4.27, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor distanciamedia. En la Tabla 4.28, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menordistancia media.

76 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.27 Las 11 estaciones con mayor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

212 Abrantes 3,0758213 Pan Bendito 3,0758214 San Francisco 3,0758215 Carabanchel Alto 3,0758216 La Peseta 3,0758217 la Fortuna 3,0758252 Prado de la Vega 2,8087253 Colonia de los Ángeles 2,8087254 Prado del Rey 2,8087255 Somosaguas Sur 2,8087256 Somosaguas Centro 2,8087

Tabla 4.28 Las 11 estaciones con menor distancia mediadel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Distancia media

4 Plaza de Castilla 1,700471 Alonso Martínez 1,7256127 Nuevos Ministerios 1,7690131 Príncipe Pío 1,790614 Tribunal 1,80143 Chamartín 1,8014

115 Casa de Campo 1,8051151 Gregorio Marañón 1,808777 Avenida de América 1,819566 Plaza de España 1,8484211 Puerta del Sur 1,8520

4.3.7 Eficiencia de red

Utilizando la Definición 2.5.8 con la matriz de adyacencia AP:

η =2

p(p−1)

p

∑i=1

p

∑j=i+1

1d(i j)

= 0,4849 (Gephi 0.9.2)

En la visión P-space, la eficiencia de la red es casi 5 veces mayor que en la visión L-space. Esto es debidoa que las distancias entre estaciones son menores según la idea P-space.

En la Tabla 4.29, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones con mayoreficiencia. En la Tabla 4.30, obtenida con la aplicación MATLAB R2014b, se muestran las estaciones conmenor eficiencia. En la Figura 4.40 se han representado las estaciones con mayor (en rojo) y menor (enamarillo) eficiencia.

4.3 Modelo P-space 77

Tabla 4.29 Las 10 estaciones con mayor eficiencia del metro de Madriden el modelo P-space. Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea

4 Plaza de Castilla 0,6570 177 Avenida de América 0,6552 471 Alonso Martínez 0,6444 4

127 Nuevos Ministerios 0,6155 676 Diego de León 0,6083 410 Cuatro Caminos 0,6065 13 Chamartín 0,6065 114 Tribunal 0,6065 3

115 Casa de Campo 0,6047 5131 Príncipe Pío 0,6047 6

Figura 4.40 Estaciones con mayor y menor eficiencia de la red de metro de Madrid en el modelo P-space.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

78 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.30 Las 10 estaciones con menor eficiencia del metro de Madriden el modelo P-space. Fuente: MATLAB R2014b.

ID Nombre Eficiencia Línea

217 La Fortuna 0,3463 11216 La Peseta 0,3463 11215 Carabanchel Alto 0,3463 11214 San Francisco 0,3463 11213 Pan Bendito 0,3463 11212 Abrantes 0,3463 11263 Estación de Aravaca 0,3845 ML2262 Berna 0,3845 ML2261 Avenida de Europa 0,3845 ML2260 Campus de Somosaguas 0,3845 ML2

4.3.8 Distribución del grado

Utilizando la Definición 2.5.4 obtenemos la distribución de los grados de las estaciones de la red de metro deMadrid usando la idea de P-space (matriz de adyacencia AP). Las estaciones de la red tienen mayor grado queen la idea L-space, con un rango de grados entre 6 y 104 y un grado medio de 29. Usando la escala log-log,la distribución acumulativa se puede presentar como una función de ley de potencia. Muestra que la red tienelas propiedades de una red sin escala. Esto se debe a que no todos los nodos de la red del metro reciben elmismo trato. Los nodos con mayor grado tienen más probabilidades de estar vinculados a otros nodos. Estaconexión preferencial puede conducir a la distribución del grado del nodo a seguir la función de ley de potencia.

En la Figura 4.41 se ha representado la distribución de probabilidad del grado en P-space. En la Figura 4.42se ha representado la función de distribución de probabilidad del grado P-space.

Figura 4.41 Distribución de probabilidad del grado en P-space.Fuente: MATLAB R2014b.

4.3 Modelo P-space 79

Figura 4.42 Función de distribución de probabilidad del grado en P-space.Fuente: MATLAB R2014b.

En la literatura especializada nos encontramos con los siguientes modelos de redes complejas idealesatendiendo a su distribución del grado:

• Redes regulares de grado k:

P(x) ={

1 si x = k0 en cualquier otro caso

• Redes aleatorias o de Erdös-Renyi:

P(x) = e−〈gr〉 〈gr〉x

x!• Redes libres de escala:

P(x) = cte∗ x−γ

• Redes exponenciales:P(x) = cte∗ e−αx

Podemos verificar cuan parecida es nuestra red a los modelos propuestos en la literatura usando, por ejemplo,el Método de Mínimos Cuadrados, basado en la minimización del error cuadrático medio (Ecm( f (xk)))definido como:

Ecm( f (xk)) =

√∑

grmax

k=1 (ek)2

grmax

donde el error ek se define como:ek = yk− f (xk)

Red regular

Suponiendo que nuestra red fuera una red regular de grado 28 (el grado con mayor número de estaciones), lafunción de probabilidad del grado sería:

P(x) ={

1 si x = 280 en cualquier otro caso

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,1376 (MATLAB R2014b)

80 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

El grado medio de nuestra red es 29 y el de la red regular es 28 con un error cuadrático medio muchomayor que en el caso del modelo L-space. Nuestra red no es, por tanto en este caso, tan similar a una redregular. El rango de valores del grado de los nodos es más amplio en este caso (entre 6 y 104) donde el gradoque con mayor número de nodos tan solo tiene el 14% de los nodos de la red.

En la Figura 4.43 se muestra la distribución del grado de nuestra red frente a la de una red regular de grado28 y en la Figura 4.44 vemos como el error cuadrático medio mínimo se obtiene para una red regular degrado 28.

Figura 4.43 Distribución del grado modelo P-spacey red 28-regular.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.44 Error cuadrático medio del modelo P-spacecon respecto a una red regular de grado k.

Fuente: MATLAB R2014b.

4.3 Modelo P-space 81

Red aleatoria

Suponiendo que nuestra red fuera una red aleatoria, la función de probabilidad del grado vendría dada poruna distribución binomial según la ecuación (4.3):

P(x) =(

NE

x

)sx(1− s)NE−x

〈x〉= NEs

σx = [s(1− s)NE ]12

Dado que en nuestra red 〈gr〉<< p podemos utilizar la ecuación (2.14):

P(k) = e−〈gr〉 〈gr〉k

k!

Utilizando en la ecuación el valor del grado medio de nuestra red obtenemos:

P(k) = e−(29) (29)k

k!Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,0226 (MATLAB R2014b)

Podemos ajustar la red aleatoria que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadrático medio:

P(k) = e−〈gr〉 〈gr〉k

k!= e−(27,37) (27,37)k

k!(Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,0215 (MATLAB R2014b)

Figura 4.45 Distribución del grado modelo P-space y red aleatoria.Fuente: MATLAB R2014b.

82 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Nuestra red se ajusta bastante bien a la topología de Poisson. Para un grado medio igual o parecido, el errorcuadrático medio es bastante bajo y la distribución del grado queda bien representada por una distribución dePoisson.

En la Figura 4.46 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el grado medio de la red aleatoria.

Figura 4.46 Error cuadrático medio del modelo P-spacecon respecto a una red aleatoria.Fuente: MATLAB R2014b.

Red libre de escala

Suponiendo que nuestra red fuera una red libre de escala, la función de probabilidad del grado vendría dadapor la ecuación (2.15):

P(x) = cte∗ x−γ

Podemos ajustar la red libre de escala que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadráticomedio:

P(x) = 0,0962945∗ x−0,393876 (Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,0311 (MATLAB R2014b)

Nuestra red no está muy lejos de asemejarse a una red libre de escala. El error cuadrático medio es aceptabley la distribución del grado es representada de forma aproximada por una Ley de Potencias.

En la Figura 4.48 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el exponente gamma de la redlibre de escala.

En la Figura 4.49 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con la constante cte de la red libre deescala.

4.3 Modelo P-space 83

Figura 4.47 Distribución del grado modelo P-spacey red libre de escala.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.48 Error cuadrático medio del modelo P-space con respectoa una red libre de escala (constante cte).

Fuente: MATLAB R2014b.

84 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.49 Error cuadrático medio con respectoa una red libre de escala (parámetro γ).

Fuente: MATLAB R2014b.

Red exponencial

Suponiendo que nuestra red fuera una red exponencial, la función de probabilidad del grado vendría dada porla ecuación (2.16):

P(x) = cte∗ e−αx

Podemos ajustar la red exponencial que mejor se adapte a la nuestra minimizando el error cuadrático medio:

P(x) = 0,0563434∗ e−0,0217063x (Wolfram Alpha)

Con un error cuadrático medio:

Ecm = 0,0296 (MATLAB R2014b)

Nuestra red tiene mucha semejanza con una red exponencial. El error cuadrático medio es bajo y ladistribución del grado queda bien descrita por una Ley Exponencial.

En la Figura 4.51 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con el exponente α de la red exponen-cial.

En la Figura 4.52 vemos como evoluciona el error cuadrático medio con la constante cte de la red expo-nencial.

4.3 Modelo P-space 85

Figura 4.50 Distribución del grado modelo P-spacey red exponencial.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 4.51 Error cuadrático medio del modelo P-spacerespecto a una red exponencial (parámetro α).

Fuente: MATLAB R2014b.

86 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.52 Error cuadrático medio del modelo P-spacerespecto a una red exponencial (constante cte).

Fuente: MATLAB R2014b.

4.3.9 Índice de centralización

Utilizando la Definición 2.5.9 con la matriz de adyacencia AP obtenemos:

CI=1

(p−1)(p−2)

p

∑i=1

(grmax−gr(ni)) = 0,2727

El índice de centralización máximo es 1, para una red en forma de estrella, donde un nodo juega un papelcentral que controla toda la red. En nuestro caso la red está lejos de eso comportamiento, aunque no tantocomo en el caso de la idea L-space. En el modelo P-space no hay un nodo que juegue un papel central pero sihay varios nodos que controlan la red (los nodos con grado máximo).

4.3.10 Coeficiente de agrupamiento medio (Average clustering coefficient)

Usando la ecuación (2.8) con la matriz de adyacencia AP:

〈C〉= 1p

p

∑i=1

Ci = 0,9292

En la idea de P-space, el promedio de los coeficientes de agrupamiento es 0,93, que es muy cercanoa uno. El 85% de las estaciones tiene el coeficiente de agrupamiento igual a uno. En la idea de P-space,hay un enlace entre dos nodos en la misma ruta. Cuando una estación pertenece a una sola ruta, está di-rectamente vinculada a todas sus vecinas. Por lo tanto, la mayoría de los nodos tienen los coeficientes deagrupamiento igual a 1, lo que también significa que para la mayoría de las estaciones, solo hay una ruta quepasa a través de ellas. La idea P-space cumple las dos características principales de los modelos de red demundo pequeño: La distancia media es pequeña (2,3116) y el coeficiente de clustering es cercano a 1 (0,9292).

En la Tabla 4.31, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con menor coeficientede clustering y en la Figura 4.53 podemos localizar visualmente las 13 estaciones con menor coeficiente declustering en la idea P-space.

4.3 Modelo P-space 87

Tabla 4.31 Las 13 estaciones con menor coeficiente de clusteringdel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Clustering77 Avenida de América 0.27174 Plaza de Castilla 0.349371 Alonso Martínez 0.358376 Diego de León 0.375616 Sol 0.3788207 Colonia Jardín 0.379710 Cuatro Caminos 0,382168 Argüelles 0,39191 Pinar de Chamartín 0.4250

127 Nuevos Ministerios 0.4266211 Puerta del Sur 0.4925151 Gregorio Marañón 0.496296 Pueblo Nuevo 0,4978

Figura 4.53 Estaciones con menor coeficiente de clusteringde la red de metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

88 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Figura 4.54 Distribución del coeficiente de clustering en el modelo P-space.Fuente: MATLAB R2014b.

4.3.11 Índice de heterogeneidad

Usando la ecuación (2.12) con lamatriz de adyacenciaAP obtenemos el índice de heterogeneidad normalizado:

h2n =

h2

h2het

= 0,1457

Donde la heterogeneidad h2 de nuestra red es 0,1441 y la heterogeneidad máxima de una red con 278nodos es 0,9892.

4.3.12 Centralidad de cercanía (Closeness centrality)

Usando la ecuación (2.2) con la matriz de distancias de AP obtenemos la cercanía media:

〈ClC〉= 1p

p

∑i=1

p−1∑

pj di j

= 0,4401 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de la distancia media.Para la matriz de distancias de WP el caso es análogo al modelo L-space.

4.3.13 Centralidad armónica (Harmonic centrality)

Usando la ecuación (2.3) con la matriz de distancias de AP obtenemos la centralidad armónica media:

〈HC〉= 1p

p

∑i=1

∑pj

1di j

p−1= 0,4849 (Gephi 0.9.2)

La prelación de estaciones es idéntica a la de distancia media.

Para la matriz de distancias de WP el caso es análogo al modelo L-space.

4.3 Modelo P-space 89

4.3.14 Centralidad de intermediación (Betweenness centrality)

Usando la ecuación (2.1) con la matriz de distancias de AP obtenemos la intermediación media:

〈Cbet〉=1p

p

∑i=1

∑j,k

c jik

c jk= 181,6618705 (Gephi 0.9.2)

En la Tabla 4.32, obtenida con la aplicación Gephi 0.9.2, se muestran las estaciones con mayor intermedia-ción. Existen 236 estaciones de las 278 que tienen coeficiente de intermediación 0. En la Figura 4.55 se hanrepresentado las estaciones con mayor intermediación de la red de metro de Madrid.

Figura 4.55 Estaciones con mayor centralidad de intermediaciónde la red de metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

90 Capítulo 4. Red de metro de Madrid. Caracterización.

Tabla 4.32 Las 10 estaciones con mayor centralidad de intermediacióndel metro de Madrid en el modelo P-space.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Betweenness207 Colonia Jardín 6.930,0000211 Puerta del Sur 6.750,00004 Plaza de Castilla 3.923,137577 Avenida de América 3.257,504571 Alonso Martínez 3.019,8595

151 Gregorio Marañón 2.501,2959127 Nuevos Ministerios 2.213,2657119 Plaza Elíptica 1.626,000066 Plaza de España 1.340,90961 Pinar de Chamartín 1.329,0967

4.4 Tabla comparativa de caracterización de la Red de metro de Madrid

El resultado de la investigación empírica de la red de metro de la ciudad de Madrid se presenta en la ideade L-space y P-space. Con los datos empíricos, se puede comprobar que la red de metro tiene algunas delas características de red compleja. En la idea P-space, la distribución del grado de las estaciones sigue latopología de Poisson. Esto indica propiedades de red aleatoria. Como las trayectorias más cortas promedioson realmente cortas y el coeficiente de agrupamiento es relativamente grande, también presenta propiedadesde red de mundo pequeño. En contraposición a la idea P-space, L-space sigue una topología homogénea.Esto indica propiedades de red regular.

Tabla 4.33 Caracterización del metro de Madrid.Fuente: Recopilación del capítulo 4.

Medida AL AP WL WP

Número de nodos p 278 278 278 278Número de enlaces q 318 4.031 318 4.031Número máximo de enlaces qmax 38.503 38.503 38.503 38.503Densidad de red ρ 0,0083 0,1046 0,0083 0,1046Grado medio 〈gr〉 2,2878 29,0000Fuerza media 〈 f r〉 634,5540 34.433,9784Distribución del grado P(k) red 2-regular red aleatoriaDiámetro dmax 44 4 7.276 7.276Excentricidad Ecce 31,8309 3,2698 5.065,8166 5.065,8166Distancia media 〈d〉 15,4587 2,3116 2.444,4833 2.444,4833Eficiencia de red η 0,0990 0,4849 0,0005744 0,0005744Índice de centralización CI 0,0208 0,2727Coeficiente de clustering medio 〈C〉 0,0200 0,9292Índice de heterogeneidad normalizado h2

n 0,0206 0,1457Centralidad de cercanía 〈ClC〉 0,0697 0,4401 0,0004310 0,0004310Centralidad armónica 〈HC〉 0,0990 0,4849 0,0005675 0,0005675Centralidad de intermediación 〈Cbet〉 2002,5323 181,6619

4.4 Tabla comparativa de caracterización de la Red de metro de Madrid 91

El método L-space es la forma intuitiva y sencilla de modelar la red de metro de Madrid. Los nodos repre-sentan las estaciones y los enlaces entre dos nodos solo existen cuando conectan dos estaciones consecutivas.Este modelo tiene características de una red regular de grado 2 compuesta por 278 nodos y 278 enlaces(nuestro red real tiene 318 enlaces, un 14% más). Las densidades de red son por tanto muy parecidas, 0,0083para la red real y 0,0072 para la red 2-regular. El coeficiente de clustering de la red 2-regular sería ceromuy próximo al valor de nuestra red real, 0,02. La distribución de grados de nuestra red se aproxima con unerror cuadrático bajo (0,0839) a la distribución teórica de una red regular de grado 2, con un grado medio de2,2878. El índice de centralización, 0,0208, está próximo a cero que sería el valor correspondiente a una red2-regular. Del mismo modo, la heterogeneidad de nuestra red tiene un valor muy cercano a cero, 0,0206, quees valor que se corresponde con una red perfectamente regular.

La red 2-regular tendría un diámetro de 278/2 = 139. Con un 14% más de enlaces nuestra red lograreducir el diámetro un 68%. Un pequeño aumento en el número de enlaces logra una apreciable reducción dela distancia geodésica máxima de la red de metro. El mismo efecto se aprecia con la excentricidad media y ladistancia media. Nuestra red de metro tiene una excentricidad media de 31,8309 y una distancia media de15,4587 cuando una red 2-regular tendría una excentricidad de 139 y una distancia media de 69,75090253. Unpequeño aumento del número de enlaces con respecto a una red perfectamente 2-regular genera importantesreducciones en las distancias entre estaciones.

Nuestra red de metro tiene una eficiencia de 0,0990, mientras que la eficiencia de la red 2-regular sería0,039795562. Con un 14% más de enlaces respecto a una red 2-regular se logra aumentar la eficiencia de lared casi 2,5 veces.

La centralidad de cercanía y la centralidad armónica de nuestra red de metro son mayores que las esperadaspara una red 2-regular. Mientras que la red 2-regular tendría una cercanía de 0,014337 y una centralidad armó-nica de 0,039796, nuestra red tiene una cercanía de 0,069653112 y una centralidad armónica de 0,099021957.La intermediación media de nuestra red disminuye respecto a la red 2-regular. De la posible intermediaciónde 9522 se baja a 2002,532374.

Cuando se trata de representar la red en el modelo P-space, los nodos representan también las estaciones.Sin embargo, a diferencia del L-space, los enlaces existen entre dos estaciones cualesquiera a lo largo de lamisma línea, de modo que todos los nodos de una línea específica están vinculados directamente. El modeloP-space cumple las condiciones de "Red aleatoria de Mundo pequeño": topología de Poisson, distanciamedia pequeña y coeficiente de clustering relativamente alto. Nuestra red tiene una distancia media de 2,3116y un coeficiente de clustering de 0,9292. El clustering implica localidad (localmente estructurado) y laaleatoriedad permite atajos. La distribución de probabilidad de grado se asemeja con un error cuadráticobajo (0,0226) a una distribución aleatoria. La red aleatoria "pura" tendría una distancia media aproximada de1,6712 frente a la distancia media "real" de nuestra red que es 2,3116. Las distancias en la red son variosordenes de magnitud menores que el tamaño de la red. La topología de Poisson nos da una probabilidad deenlace del 10%.

5 Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Aceptar nuestra vulnerabilidad en lugar de tratar de ocultarlaes la mejor manera de adaptarse a la realidad.

David Steven Viscott (1938-1996), fue un psiquiatra,autor, empresario y personalidad de los medios de

comunicación estadounidense.Fuente: Wikipedia

En los últimos años, los estudios sobre la vulnerabilidad de las redes de transporte público atraen unaatención creciente debido a las repercusiones que los incidentes pueden tener en el funcionamiento

cotidiano de una ciudad. Las redes de transporte público son esenciales para la movilidad en áreas urbanas.Según la Unión Internacional de Transportes Públicos (UITP), en 2015, se realizaron 243 mil millones deviajes de transporte público en 39 países de todo el mundo. Esta cifra representa un aumento del 18% encomparación con el año 2000. Para el año 2025, casi el 60% de la población mundial vivirá en áreas urbanas,lo que significa que las personas querrán y necesitarán hacer más viajes.

Para garantizar el funcionamiento eficiente de estas redes, los planificadores del transporte público debenconocer su nivel de vulnerabilidad ante posibles incidentes e identificar aquellas partes de las redes dondelos incidentes tendrán el mayor impacto en los pasajeros. Cualquier tipo de incidente que ocurra en una redde transporte público afectará el funcionamiento diario de la ciudad. Los efectos se sienten particularmentecuando se trata de viajes en metro debido a la cantidad de pasajeros que utilizan este medio de transporte y sumayor vulnerabilidad. Las averías en los trenes, los cortes eléctricos y los trabajos de mantenimiento puedenprovocar el cierre temporal de alguna línea, ya sea en una o ambas direcciones, y los incidentes como suicidios,manifestaciones o huelgas también pueden afectar a la frecuencia del servicio. Eventos más dramáticoscomo los ataques terroristas, como los ocurridos en Londres y Madrid, tienen efectos de largo alcance yduraderos en la red. El ataque terrorista en el sistema de metro y autobús de Londres produjo una tremendaconmoción en las vidas de los residentes en Londres. Varios meses después del ataque en el metro, el nú-mero de pasajeros en el fin de semana aún disminuyó en un 30% y entre un 5% y un 15% en los días laborables.

El objetivo de este capítulo es medir la vulnerabilidad de las redes de transporte público, tomando comoejemplo el sistema de metro de Madrid, cuando están sometidas a errores aleatorios y a ataques dirigidos.Se valorará el daño ocasionado sobre la red desde la perspectiva de la conectividad.

93

94 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

5.1 Fallas aleatorias

Las fallas aleatorias simulan los daños ocasionados en la red relacionados con contingencias casuales comopueden ser fenómenos naturales, defectos en los equipamientos o errores humanos. Estas fallas se presentanal azar afectando por igual a todos los nodos de la red. Para simular las fallas aleatorias, al azar, y con lamisma probabilidad, se eliminará un nodo de la red. La eliminación de un nodo implica la eliminación detodas sus conexiones, lo que alterará algunos de los caminos entre los nodos restantes. Si había múltiplescaminos entre dos nodos i y j, la eliminación de uno de los nodos que forma parte de uno de esos caminospuede suponer que la distancia entre ellos, di j, se incremente, lo que, a su vez, puede causar el aumento de lalongitud del camino promedio de toda la red. En el peor de los casos, si inicialmente había un solo caminoentre esos dos nodos, la interrupción de este camino en particular significará que los dos nodos quedendesconectados, pudiendo pasarse de una red conexa a una red formada por islas desconectadas entre sí. Seconsidera que la conectividad de una red es robusta (o tolerante a fallos) si tras la eliminación de muchos desus nodos sigue conteniendo una componente conexa gigante.

En la Figura 5.1 se han representado 5 fallas aleatorias distintas. En cada falla se han eliminado sucesiva-mente 50 nodos escogidos al azar. La figura representa la fracción de la componente gigante resultante aleliminar un nodo respecto al tamaño inicial de la red frente a la fracción de nodos eliminados.

Figura 5.1 Conectividad de la red de metro de Madridfrente a fallas aleatorias.

Fuente: MATLAB R2014b.

Cuando la eliminación de los nodos se produce de manera aleatoria, la conectividad se ve afectada lenta-mente y de manera progresiva. De media, cada vez que se elimina un nodo, la componente gigante disminuyeen 3 estaciones. La conectividad se mantiene generalmente por encima del 50% mientras no se eliminenmás de 38 estaciones (un 14% del tamaño de la red), excepto en un caso que al azar se eliminó una estaciónimportante en la conectividad de la red (estación de "Vista Alegre" en la quinta simulación). En la primerasimulación también se observa una fluctuación estadística cuando al seleccionar el cuarto nodo se produceuna considerable disminución de la conectividad. En la Tabla 5.1 se muestran las estaciones que mayorimpacto han ocasionado en la conectividad de la red, seleccionadas del conjunto de las 5 simulaciones. Seríainteresante estudiar si esas estaciones nos están marcando un patrón para posibles ataques dirigidos o sonfruto de la casualidad.

5.1 Fallas aleatorias 95

Tabla 5.1 Las 15 estaciones con mayor impacto en la conectividaddel metro de Madrid cuando existen fallas aleatorias.

Fuente: Gephi 0.9.2.

ID Nombre Daño ocasionado

109 Vista Alegre 62207 Colonia Jardín 59152 Alonso Cano 407 Tetuán 37131 Príncipe Pío 36150 Cartagena 24148 Barrio de la Concepción 23210 Joaquín Vilumbrales 22219 Alcorcón Central 17125 O‘Donell 16265 José Isbert 14208 Aviación Española 1322 Pacífico 13146 García Noblejas 12252 Prado de la Vega 12

En las siguientes figuras (Figura 5.2, Figura 5.3, Figura 5.4, Figura 5.5 y Figura 5.6) se han representadolas 5 fallas aleatorias y el daño ocasionado a la red.

Figura 5.2 Falla aleatoria 1 en la red de metro de Madrid.Fuente: MATLAB R2014b.

96 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Figura 5.3 Falla aleatoria 2 en la red de metro de Madrid.Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 5.4 Falla aleatoria 3 en la red de metro de Madrid.Fuente: MATLAB R2014b.

5.1 Fallas aleatorias 97

Figura 5.5 Falla aleatoria 4 en la red de metro de Madrid.Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 5.6 Falla aleatoria 5 en la red de metro de Madrid.Fuente: MATLAB R2014b.

98 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

5.2 Ataques dirigidos

En los últimos años, ha crecido el interés en estudiar la vulnerabilidad y la robustez de las redes complejasante ataques efectivos que causen el máximo daño posible. En este caso, los ataques se realizan como unproceso de eliminación de k nodos del grafo que representa la red. Los nodos se seleccionan según diferentesestrategias, generalmente atendiendo a los parámetros que caracterizan la red. Entre las diferentes estrategiasposibles se estudiarán varias de ellas para resaltar aquella que maximice el daño a la conectividad de la red(tamaño de la componente gigante resultante).

5.2.1 Estrategia grado de los nodos

Las estaciones con mayor grado representan los nodos de transferencia de la red. Son los puntos de inter-conexión de las distintas líneas que componen el metro de Madrid. Eliminando las estaciones en ordendescendente de grado se podría lograr dañar la red en cuanto a conectividad se refiere. Se han escogido las50 estaciones con mayor grado de los modelos L-space y P-space. En la Figura 5.7 se han representado losataques dirigidos con cada conjunto de nodos.

Figura 5.7 Ataques dirigidos según grado de los nodosen los modelos L-space y P-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la figura se observa que la red se fragmenta rápidamente cuando se produce un ataque dirigido según elgrado de los nodos. Si se elimina el 6% de los nodos con el grado más alto, la componente gigante baja del50% del tamaño original. Cuando se elimina aproximadamente el 12% de los nodos más conectados, la redse colapsa por completo. La selección de nodos mediante el modelo P-space origina una fragmentación másrápida de la red, llevándola antes al colapso (sobre el 9% de los nodos eliminados). La red del metro muestrauna gran fragilidad cuando se atacan los nodos con el grado más alto. De media, cada vez que se elimina unnodo, la componente gigante disminuye en 5 estaciones. Hay que resaltar que de los 50 ataques, entre 30 y35 no producen fragmentación de la componente gigante. Este dato puede ser un indicio de que la estrategiasegún el grado de los nodos se puede mejorar.

En la Figura 5.8 se muestra la comparativa entre posibles fallas aleatorias y ataques dirigidos según laestrategia del grado de los nodos.

5.2 Ataques dirigidos 99

Figura 5.8 Ataques dirigidos según el grado de los nodos yfallas aleatorias en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

La diferencia anterior indica que la red metro de Madrid muestra mayor robustez y es más estable antefallas aleatorias que ante ataques dirigidos según el grado de los nodos. La diferencia entre las dos situacionesradica en la heterogeneidad de la red: los grados de la mayoría de los nodos son muy bajos y están distribuidosuniformemente, mientras que solo unos pocos nodos tienen un grado alto. Sin embargo, son esos nodos dealto grado los que son más importantes para la conectividad de la red. Cuando están bajo un ataque dirigido,los nodos con alto grado se eliminan inmediatamente y muchos fragmentos grandes se separan de la red, ycomo consecuencia, el tamaño de la componente gigante disminuye rápidamente. Pero cuando los nodos seeliminan aleatoriamente, los nodos con bajo grado se seleccionarán con mayor probabilidad debido a su grancantidad. La eliminación de esos nodos no daña demasiado la conectividad de la red, por lo que la red sedescompone mucho más lentamente.

En la gráfica también se puede apreciar claramente la diferencia entre las visiones L-space y P-space.Cuando el conjunto de nodos a seleccionar en el ataque es pequeño (<=8) ambos modelos tienen la mismarepercusión en la conectividad de la red. A partir de ahí, los modelos difieren. L-space es preferible paraconjuntos pequeños de nodos (entre 9 y 12) y P-space es preferible para ataques en los que se vean implicadosmayor cantidad de nodos o se quiera causar un daño mayor a la red. Ambos modelos tienden a convergercuando el conjunto de nodos se aproxima a los 40. La prelación de nodos según el grado es una visión máslocal teniendo en cuenta el modelo L-space. Con el modelo P-space se tiene en cuenta una vecindad mayor y,por tanto, es más efectivo al seleccionar un número mayor de nodos.

En la Figura 5.9 y en la Figura 5.10 se han representado los dos ataques dirigidos según el grado de losnodos y el daño ocasionado al tamaño de la red.

100 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Figura 5.9 Daño ocasionado por ataque según el grado de los nodosen el modelo L-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 5.10 Daño ocasionado por ataque según el grado de los nodosen el modelo P-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

5.2 Ataques dirigidos 101

La eliminación de un nodo puede cambiar las propiedades locales que caracterizan la red. Los enlacesasociados al nodo que se elimina también quedan inoperativos y por tanto el grado de los nodos vecinos seve afectado. Esta circunstancia induce a pensar que una estrategia dinámica en la que se recalcule el grado delos nodos de la red después de cada ataque puede producir un mayor daño en la conectividad de la misma.Los modelos L-space y P-space deben de recoger los cambios en la topología de la red con la eliminaciónde cada y nodo. Comprobaremos si el daño causado a la red sigue la misma tendencia que el caso de unaselección de nodos según su prelación inicial de grado. Para evitar ataques nulos (eliminación de nodos queno pertenecen a la componente conexa de mayor tamaño) el cálculo del grado de forma dinámica se podríarealizar solamente en la componente conexa gigante.

En la Figura 5.11 se han representado las estrategias de ataque con cálculo dinámico del grado comparadascon los resultados anteriores con cálculo estático del grado tomando el modelo L-space.

Figura 5.11 Ataque dirigido según el grado de los nodos, evitando ataques nulos,en el modelo L-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la gráfica se aprecia que cuando la estrategia de ataque se realiza calculando dinámicamente el grado delos nodos en cata etapa, el daño ocasionado a la red es monótono decreciente, agudizando la fragmentaciónde la red y ocasionando un colapso más pronunciado. Como las estaciones con mayor grado no pertenecena la misma vecindad, la diferencia entre ambas estrategias no se hace evidente hasta que se han eliminadolas 10 estaciones con mayor grado inicial. A partir de ese momento, la diferencia se hace notable. El evitarla eliminación de nodos que no pertenecen a la componente conexa gigante logra pronunciar más el dañoocasionado. Incluso se consigue colapsar la red de forma más drástica.

En la Figura 5.12 se han representado las estrategias de ataque con cálculo dinámico del grado comparadascon los resultados anteriores con cálculo estático del grado tomando el modelo P-space.

102 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Figura 5.12 Ataque dirigido según el grado de los nodos, evitando ataques nulos,en el modelo P-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

Cuando se utiliza la estrategia de eliminar los nodos según el grado inicial de los mismos, se observa quela selección según el modelo P-space produce un mayor daño a la conectividad que la selección según elmodelo L-space. En la Figura 5.13 se han representado las estrategias de ataque seleccionando los nodossegún el grado actualizado después de eliminar el nodo anterior.

Figura 5.13 Ataque dirigido según el grado dinámico de los nodos, evitando ataques nulos,en los modelos L-space y P-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

5.2 Ataques dirigidos 103

Mientras que el número de nodos eliminados permanece por debajo del 3,5% las estrategias que utilizan elmodelo P-space son más dañinas para la red que las que utilizan el modelo L-space. A partir de ese porcentajede nodos eliminados los ataques que seleccionan los nodos según el grado actualizado en la componentegigante dominan la fragmentación de la red hasta su colapso.

En la Tabla 5.2 se muestran las 15 primeras estaciones propensas a ser atacadas según la estrategia de grado.

Tabla 5.2 Las 15 primeras estaciones según la estrategia de ataque dirigido por grado dinámicoteniendo en cuenta solamente la componente conexa gigante.

Fuente: Gephi 0.9.2.

L-space Daño P-space Daño

77 Avenida de América 1 77 Avenida de América 14 Plaza de Castilla 6 10 Cuatro Caminos 116 Sol 1 71 Alonso Martínez 171 Alonso Martínez 1 16 Sol 110 Cuatro Caminos 5 22 Pacífico 8066 Plaza de España 1 207 Colonia Jardín 5968 Argüelles 2 4 Plaza de Castilla 1076 Diego de León 2 108 Oporto 122 Pacífico 78 1 Pinar de Chamartín 2447 Ópera 77 128 Guzmán el Bueno 860 Legazpi 10 131 Príncipe Pío 15

108 Oporto 18 85 Mar de Cristal 1585 Mar de Cristal 2 96 Pueblo Nuevo 0

207 Colonia Jardín 14 60 Legazpi 1942 Goya 5 47 Ópera 4

5.2.2 Estrategia intermediación

La eliminación de nodos de forma dirigida por lo general empieza eliminando los nodos más importantes,que eventualmente pueden ser los más conectados o "hubs". La importancia de un nodo está dada por variosfactores asociados a su conectividad y a la de la red como un todo. Utilizando el grado del nodo comoestrategia de ataque se resalta la importancia del nodo a nivel local.

Una medida de la importancia del nodo a nivel global podría ser la intermediación. Un nodo con altaintermediación está en una mejor posición para controlar la conectividad de la red, pudiéndose convertir enun auténtico cuello de botella.

En la Figura 5.14 se ha representado un ataque dirigido a la red de metro de Madrid utilizando comoestrategia la prelación de estaciones según su grado de intermediación en el modelo L-space.

El fraccionamiento de la red se ha comparado con el provocado por un ataque dirigido según el grado delos nodos también en el modelo L-space. En la gráfica se observa como el daño producido por ambos ataquesse va alternando por etapas, siendo más fructífera la estrategia de intermediación cuando el número de nodoseliminados es bajo (<10) o muy alto (>20).

104 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Figura 5.14 Ataque dirigido según la intermediación de los nodosen el modelo L-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 5.15 se ha representado un ataque dirigido a la red de metro de Madrid utilizando como estra-tegia la prelación de estaciones según su grado de intermediación en el modelo P-space. El fraccionamientode la red se ha comparado con el provocado por un ataque dirigido según el grado de los nodos tambiénen el modelo P-space. En la gráfica se observa como el daño producido a la red siguiendo la estrategia deintermediación es más acusado cuando el número de nodos eliminados es bajo (<14). Para un número ma-yor de nodos eliminados, la estrategia de grado consigue un mayor fraccionamiento antes del colapso de la red.

Figura 5.15 Ataque dirigido según la intermediación de los nodosen el modelo P-space a la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

5.2 Ataques dirigidos 105

En la Figura 5.16 se han representado los ataques dirigidos a la red de metro de Madrid utilizando comoestrategia la prelación de estaciones según su grado de intermediación en los modelos L-space y P-space,comparados con los realizados según las estrategias de grado. En la gráfica se observa que la estrategia deintermediación en el modelo P-space es la más efectiva cuando el número de nodos a eliminar es =<13.Cuando se trata de eliminar una cantidad mayor de nodos, es preferible seguir una estrategia de grado basadaen el modelo P-space.

Figura 5.16 Ataques dirigidos según el grado y la intermediación de los nodosen la red de metro de Madrid en los modelos L-space y P-space.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 5.17 Ataques dirigidos según la intermediación dinámica de los nodosen el modelo L-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

106 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

Al igual que en el caso de ataques dirigidos según el grado de las estaciones, el valor de la intermediaciónse puede ir actualizando después de la eliminación de un nodo.

En la Figura 5.17 se han representado tres estrategias de ataque según la intermediación de los nodospara el modelo L-space. En la gráfica se observa que cuando la información de los nodos se va actualizandodinámicamente, el daño ocasionado a la red aumenta considerablemente. El tener en cuenta sólo los nodosque pertenecen a la componente conexa demayor tamaño nomejora de forma apreciable la estrategia de ataque.

Análogamente podemos proceder para el modelo P-space.

En la Figura 5.18 se han representado tres estrategias de ataque en este modelo. En la gráfica se observaque cuando la información de los nodos se va actualizando dinámicamente, el daño ocasionado a la redaumenta considerablemente. El tener en cuenta sólo los nodos que pertenecen a la componente conexa demayor tamaño no mejora de forma apreciable la estrategia de ataque.

Figura 5.18 Ataques dirigidos según la intermediación dinámica de los nodosen el modelo P-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 5.19 se han comparado las estrategias de ataque más efectivas en los modelos L-space yP-space. Para pocos nodos eliminados, los nodos seleccionados en el modelo P-space producen un impactomayor en la conectividad de la red. Cuando se trata de atacar la red eliminado un mayor número de nodos, elconjunto de nodos seleccionados en el modelo L-space fraccionan la red de una manera más pronunciada.

5.2 Ataques dirigidos 107

Figura 5.19 Ataques dirigidos más efectivos según la intermediación de los nodosen los modelos L-space y P-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

En la Figura 5.20 se ha representado el daño producido a la red cuando el número de nodos eliminados es 5.Se observa que a partir de 4 nodos eliminados es el modelo L-space el que domina el fraccionamiento de la red.

Figura 5.20 Ataque dirigido a 5 nodos según la intermediación dinámica de los nodosen los modelos L-space y P-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

108 Capítulo 5. Red de metro de Madrid. Vulnerabilidad.

5.2.3 Estrategia miope

En la Figura 5.21 se ha representado, junto a las estrategias de ataque más efectivas conseguidas con laintermediación, una estrategia que escoge los nodos a eliminar maximizando la disminución de la componentegigante en cada iteración. En la Figura 5.22 se observa que la estrategia es efectiva cuando los nodos aeliminar son <=5. Para un conjunto mayor de nodos, los ataques dinámicos por intermediación predominanen el daño ocasionado a la red.

Figura 5.21 Estrategia miope comparada con estrategia de intermediaciónen los modelos L-space y P-space en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

Figura 5.22 Ataque dirigido a 5 nodos según la estrategia de intermediacióny la estrategia miope en la red de metro de Madrid.

Fuente: MATLAB R2014b.

6 Conclusiones.

January 23, 2000. Hawking was asked what he thought of thecommon opinion that the twentieth century was that of biologyand the twenty-first century would be that of physics. Hawkingreplied that in his opinion the twenty-first century would be the"century of complexity".

Stephen William Hawking (1942 - 2018), físico teórico,astrofísico, cosmólogo y divulgador científico británico.

Fuente: Wikipedia

La llamada ciencia de la complejidad se basa en una nueva forma de ver las cosas que contrasta con lafilosofía subyacente a la ciencia newtoniana, que fundamentalmente se basa en el reduccionismo, el

determinismo y el conocimiento objetivo. Si bien el espíritu reduccionista arrojó grandes dividendos, ahoraestamos viendo un movimiento de alejamiento del estricto reduccionismo hacia los fenómenos emergentes.Todas las cosas están ligadas, todas las cosas se conectan. Muchos de los campos más importantes de lainvestigación del siglo veintiuno están compuestos inherentemente por fenómenos multinivel que proliferanen diferentes niveles de complejidad. El hecho es que los fenómenos complejos y emergentes necesitan untipo diferente de tratamiento al que habitualmente estamos acostumbrados.

El sello distintivo de la complejidad es un exceso de datos. Para prosperar en la nueva era de la complejidades imprescindible la definición de parámetros de caracterización que extraigan las propiedades emergentesde los sistemas complejos. Estas propiedades rigen el comportamiento a nivel local y global del sistemaconectado en estudio. Junto con el exceso de datos, la otra particularidad importante de los sistemas complejoses la visualización de los datos. Los sistemas complejos a menudo producen datos que se distribuyen endiferentes niveles de jerarquía. Es todo un reto visualizar bien estos datos. Es con la mayoría de edad de losordenadores digitales cuando las condiciones han sido propicias para la investigación en profundidad delos sistemas cuya complejidad había desafiado las herramientas disponibles hasta ese momento. Así comoel telescopio de Galileo cambió la imagen completa de la astronomía y la concepción misma de su mundocontemporáneo, los ordenadores digitales abrieron un universo completamente nuevo al estudio científico delos sistemas complejos al comienzo del siglo XXI.

The century of complexity is beginning!!!

109

110 Capítulo 6. Conclusiones.

Figura 6.1 Teoría de la complejidad.Fuente: UNAD. Curso "Paradigmas de la Investigación Social".

6.1 Modelo

En este trabajo se ha tratado de aplicar parte de los conocimientos actuales sobre sistemas complejos a la redde metro de Madrid, que representa el núcleo del sistema de transporte público de nuestra capital. Hemoscomprobado que la red de metro puede tratarse como un grafo simple no orientado, atendiendo a cuatroconceptos claves: estaciones, trayectos, líneas y tiempos estimados.

Por regla general, cada estación de la red de metro de Madrid estará representada por un nodo en el grafoasociado. Las estaciones que pertenecen a más de una línea, puntos de transbordo de la red, constituirán unsolo nodo en el grafo. Para que el grafo asociado sea simple, se han tenido que añadir "estaciones virtuales"en aquellos casos en que existía más de un tramo que enlazaba dos estaciones. Otra posibilidad es tratar la redde metro como un multigrafo. Posibilidad que tiene su interés y que se deja para su análisis en futuros trabajos.

La descripción de los trayectos existentes en la red de metro de Madrid se ha realizado según dos modelosdiferentes descritos en la literatura sobre redes complejas. Por un parte se ha utilizado la forma intuitiva ysencilla de describir la red, donde solo existe trayecto entre dos estaciones si éstas son consecutivas dentro dela misma línea (modelo L-space). Por otro lado, se ha considerado que existe trayecto entre dos estaciones siéstas pertenecen a la misma línea, sean consecutivas o no (modelo P-space).

La agrupación de estaciones en líneas, además de influir en la generación del grafo que representa la red,tiene implicaciones en los tiempos estimados de los trayectos. Se ha considerado que las estaciones quepertenecen a la misma línea tienen tiempos de espera idénticos.

Para cada modelo se han generado dos matrices asociadas al grafo: la matriz de adyacencia y la ma-triz de pesos. Los únicos datos de los que se disponía para este trabajo eran los tiempos entre estacionesque tuvieron que ser extraídos manualmente de la página web de "Metro Madrid". Información sobre elárea de influencia de cada estación, el flujo de pasajeros y costes económicos hubiera sido muy útil parael análisis de la vulnerabilidad de la red. Trabajos posteriores podrían incidir en el análisis de esta información.

6.2 Caracterización 111

Se utilizando el algoritmo de Dijkstra por ser el más famoso en la búsqueda de caminos mínimos enla teoría de grafos. Es sencillo, fácil de implementar y bastante eficiente (complejidad O(p2)). No era laintención de este trabajo evaluar que algoritmos proporcionaban mayor eficiencia en el cálculo del camino máscorto. Cuando existen transbordos (pesos en los nodos) la aplicación del algoritmo de Dijkstra no es directa.Para esos casos, los puntos de transbordos se tienen que dividir en varios nodos (uno por línea implicada)donde los tiempos de los trayectos entre estas estaciones son los tiempos que se tarda en realizar un transbordo.

La visualización de nuestro grafo se ha basado en el plano de la red de metro de Madrid. Existe softwareen el mercado especializado en la visualización de grafos. En este trabajo no se ha utilizado ninguna de estosprogramas de visualización y por tanto no podemos evaluar como de enriquecedores son para el análisis deun sistema de complejo.

6.2 Caracterización

La caracterización de una red compleja está todavía en evolución. Existen multitud de coeficientes y pa-rámetros que tratan de extraer las propiedades intrínsecas que subyacen dentro de un conjunto de nodosy conexiones. La literatura está plagada de propuestas para conocer mejor la dinámica de un sistema decomplejo. En este trabajo se ha escogido un pequeño conjunto de los parámetros más conocidos sin quererhacer una revisión exhaustiva de todos los existentes. Es muy probable que la caracterización realizada puedaser mejorada aplicando nuevas ideas y coeficientes.

Mirando nuestra red según el modelo clásico L-space, ésta presenta características de una red regularde grado 2. Dado que el número de estaciones que tienen grado 2 es el más numeroso, esta visión parecela más real. Nuestra red no es una red regular perfecta. Un pequeño aumento en el número de enlaces leaporta sustanciales mejoras en las distancias medias entre estaciones. La perspectiva P-space logra extraerpropiedades que están ocultas a la visión clásica. Según este modelo, la red de metro de Madrid tiene rasgosde red aleatoria de mundo pequeño: topología de Poisson, distancias medias pequeñas y coeficiente declustering relativamente grande.

6.3 Vulnerabilidad

La vulnerabilidad de una red se puede medir de muchas formas diferentes. En este trabajo se ha utilizado laconectividad. Medidas de la vulnerabilidad como la longitud geodésica inversa promedio han sido muy utili-zadas en la literatura sobre ataques a redes complejas. Una posible ampliación de este trabajo podría incluirotras medidas e incluso añadir factores de gran importancia en un transporte público como son el área deinfluencia de las estaciones, el flujo de pasajeros y los costes económicos asociados a un ataque o falla de la red.

La red de metro de Madrid es robusta ante fallas aleatorias y muestra debilidad ante ataques intencionados.Para simular esos ataques intencionados se ha utilizado dos criterios: uno que estima la importancia localde los nodos y otro que estima la importancia a nivel global. La simulación refleja que cuando se escogenlos nodos por su importancia a nivel global, el ataque resulta más dañino. Este daño se agudiza cuando laestrategia de selección de nodos recalcula la importancia de los mismos después de la eliminación de unnodo.

La aplicación de una estrategia miope para la selección de los nodos a eliminar nos enseña que el valorde la componente gigante depende significativamente de la estrategia de ataque subyacente, es decir, elorden en que se producen las eliminaciones de los nodos. Los estudios sobre la solidez de la red suelenseleccionar una única métrica de red, grado, betweenness o importancia del nodo, para generar un rankingpara inducir el orden. Este enfoque tiene varias limitaciones. En una estrategia de ataque puede ser inclusomás efectivo eliminar una combinación de nodos que ir eliminando los nodos de forma progresiva. Unaprelación fija supone que un ataque de longitud n es un buen preámbulo para un ataque de longitud n+1.Esto no siempre tiene que ser cierto. Algoritmos de optimización para la selección de una combinación de nnodos que produzcan un ataque efectivo han quedado fuera de este trabajo.

112 Capítulo 6. Conclusiones.

El estudio de este trabajo sobre la vulnerabilidad se ha basado en los nodos de la red. Cabe destacar que losenlaces también son propensos a ser atacados o a tener fallas aleatorias. En este estudio se han considerado lostrayectos de ida y vuelta como un solo enlace de forma que el grafo es no orientado. En el caso de considerarque los trayectos de ida y vuelta puedan tener fallas aleatorias independientes o puedan tener ataques dirigidospor separado habría que modelar la red como un digrafo.

El trabajo se ha realizado sobre una red de metro concreta: la red de metro de Madrid. Existen en laliteratura otros estudios similares sobre otras redes de metro. No se ha realizado la comparación con esos tra-bajos y por tanto queda la duda de si los resultados aquí obtenidos son extrapolables a otras redes de transporte.

Si tuviéramos que identificar las cuatro estaciones más críticas de la red de metro en cuanto a perjuicioque ocasionaría su cierre serían las de la Tabla 6.1:

Tabla 6.1 Las 4 estaciones con mayor impacto en la conectividaddel metro de Madrid cuando existen ataques dirigidos.

Fuente: MATLAB 2014R.

ID Nombre Daño Línea115 Casa de Campo 60 5 y 1096 Pueblo Nuevo 20 5 y 7124 Sáinz de Baranda 14 6 y 922 Pacífico 14 1 y 6

Figura 6.2 Las 4 estaciones más críticas de la red de metro de Madrid.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

6.3 Vulnerabilidad 113

Si tuviéramos que identificar las diez estaciones más críticas de la red de metro en cuanto a perjuicio queocasionaría su cierre serían las de la Tabla 6.2:

Tabla 6.2 Las 10 estaciones con mayor impacto en la conectividaddel metro de Madrid cuando existen ataques dirigidos.

Fuente: MATLAB 2014R.

ID Nombre Daño Línea131 Príncipe Pío 1 6, 10 y 13108 Oporto 74 5 y 6127 Nuevos Ministerios 1 6, 8 y 1077 Avenida de América 2 4, 6, 7 y 910 Cuatro Caminos 58 1, 2 y 6124 Sáinz de Baranda 14 6 y 916 Sol 1 1, 2 y 371 Alonso Martínez 48 4, 5 y 1060 Legazpi 11 3 y 6207 Colonia Jardín 11 10, ML2 y ML3

Figura 6.3 Las 10 estaciones más críticas de la red de metro de Madrid.Fuente: Composición sobre plano de la red de metro de Madrid.

114 Capítulo 6. Conclusiones.

6.4 "Measuring the vulnerability of public transport networks"

Eduardo Rodríguez Núñez y Juan Carlos García Palomares publican en 2014 un artículo en "Journal ofTransport Geography" titulado "Measuring the vulnerability of public transport networks". Este artículo tienecomo objetivo medir la vulnerabilidad de las redes de transporte público tomando como caso de estudioel sistema del Metro de Madrid. Con el fin de incorporar la perspectiva de la demanda en el análisis de lavulnerabilidad, tienen en cuenta el número de viajes para cada enlace de la red. La interrupción de los enlacesutilizados por un mayor número de viajes evidentemente tendrán un impacto mucho mayor en el funciona-miento de la red. El número total de viajes de cada enlace se combina con las rutas óptimas (se entiende quetodos los pasajeros elegirían la ruta de tiempo de viaje más corta entre su estación de origen y su destino) paraobtener los parámetros de criticidad y exposición de las estaciones con los quemedir la vulnerabilidad de la red.

Considerando esos dos parámetros para medir la vulnerabilidad, tratan de buscar una secuencia de posiblesinterrupciones en los enlaces que produzcan el escenario más crítico. Primero se identifica el enlace queproduzca mayor impacto en la red y consecutivamente se buscan los enlaces más críticos considerando lared con el enlace anterior eliminado. En su artículo, ellos identifican combinaciones de dos, tres, cuatro ycinco enlaces interrumpidos. El impacto del escenario más crítico se ha comparado con 10 combinacionesaleatorias de cinco enlaces interrumpidos.

Para su artículo usan datos de la red de metro de Madrid del año 2007, añadiendo sesenta pasajes parapermitir la simulación de transferencias en estaciones con más de una línea, con una penalización de tiempopara cada transferencia. En su modelo, por tanto, no tienen en cuenta las ampliaciones realizadas desde eseaño hasta la actualidad; destacando la ausencia de las 3 líneas de Metro Ligero a parte de otras estacionesañadidas a las líneas ya existentes después de 2007.

Su análisis identifica cuatro zonas críticas después de la interrupción de enlaces en la red. La zona máscritica son los enlaces que conectan los grandes municipios suburbanos atendidos por la Línea 12 y las áreasmás densamente pobladas al suroeste de Madrid con el centro de la ciudad. Tramo comprendido entre "Casade Campo" y "Príncipe Pío". En nuestro trabajo, la estación "Casa de Campo" es la primera candidata encaso de un ataque dirigido a pocas estaciones (4 estaciones) y la estación "Príncipe Pío" lo es para el caso deun conjunto mayor de estaciones (por ejemplo 10). En nuestro caso tenemos el agravante de la existencia delas líneas ligeras de metro 2 y 3 que parten de la estación de "Colonia Jardín" y que no se tienen en cuenta enel artículo.

El siguiente escenario más crítico lo ubican en el tramo de la línea 6 comprendido entre "Pacífico" y "Sainzde Baranda". La interrupción de este tramo afecta a los viajes realizados entre el sur y el este de la ciudadpasando por el centro neurálgico de la capital (estación de "Sol"). En nuestro trabajo, los dos extremos de estetramo son candidatos para un ataque dirigido a pocas estaciones (4 estaciones). Cuando tomamos un conjun-to mayor de nodos para realizar nuestro ataque, "Sainz de Baranda" y "Sol" se convierten en estaciones críticas.

Las otras dos zonas críticas se encuentran en el centro de la ciudad en la Línea 1, tramo comprendidoentre "Sol" y "Atocha Renfe", y en las afueras de la ciudad, el tramo que conecta la línea suburbana circular"MetroSur" con la Línea 10, que da acceso al resto de la red. En nuestro trabajo, considerando la conectividadde la red sin los efectos del número de viajes, la estación de "Sol" es propensa a ser objetivo de un ataquedirigido para una secuencia de 10 nodos. La interrupción de las estaciones "Casa de Campo" o "ColoniaJardín" ya producen la perdida de conectividad de la línea circular suburbana "MetroSur".

El artículo considerado enriquece el estudio de la vulnerabilidad en la red de metro Madrid añadiendo unfactor de suma importancia en los sistemas de transporte: el número de viajes por tramo. La repercusión deun enlace sobre la red no debe ser solo medida por el numero de estaciones que deja sin servicio. La demandainsatisfecha es crucial en este tipo de redes. Contrastando los resultados de este artículo con el análisisefectuado en nuestro trabajo, la red de metro de Madrid evidencia debilidades en puntos muy concretos.Estas debilidades son fruto de las sucesivas ampliaciones para cubrir zonas geográficas suburbanas con altademanda de viajeros hacia el centro de la gran ciudad. ¿Fueron valoradas correctamente antes de ejecutarse?This is the question.

6.5 Herramientas 115

6.5 Herramientas

Para la caracterización de la red de metro y el estudio de la vulnerabilidad se han utilizado los paquetes desoftware Gephi 0.9.2 y UCINET 6 for Windows. En este trabajo se echa en falta software más especializadoque incluya una mayor cantidad de coeficientes de caracterización de la red. Además son paquetes bastantecerrados que impiden el diseño propio de parámetros concretos. Para la simulación de ataques y fallasaleatorias no se ha tenido opción de utilizar un software de mercado, viéndonos obligados a utilizarMATLABR2014b.

Para ciertos cálculos se ha utilizado el buscador de conocimientos Wolfram Alpha. Buscador que puedesacabar odiando o amando con gran facilidad, pero seguro que no te dejará indiferente. Es una herramientacomplicada y poco intuitiva que tiene claras curvas de aprendizaje pero ciertamente es un motor compu-tacional extraordinario para el análisis de gran cantidad de datos. Wolfram Alpha define un paradigmafundamentalmente nuevo para obtener conocimiento y respuestas, no buscando en la web, sino haciendocálculos dinámicos basados en una vasta colección de datos, algoritmos y métodos incorporados, brindandoun conocimiento amplio, profundo y de nivel experto a todos... en cualquier momento y en cualquier lugar.

Para la composición de este PFC se ha usado LaTeX. Este sistema de composición de textos requiere unperiodo de aprendizaje antes de conseguir los primeros frutos y siempre es conveniente tener cerca un manual.Como suelen aparecer errores de compilación, esto suele ser frustrante (aparte de conllevar una pérdida detiempo). La única solución es armarse de paciencia. En lo superficial, una de las ventajas de LaTeX es lacalidad profesional de los documentos que puede generar. Esto es particularmente cierto para documentosque contengan fórmulas o ecuaciones. Una ventaja menos obvia, pero quizá más importante, es que LaTeXte permite claramente separar el contenido y el formato de un documento. Esto te da la oportunidad deconcentrarte en el "qué".

6.6 Corolario

Para concluir diré que estamos atrapados en las redes y que nuestra sola libertad es el conocimiento de ellas.Como dice el verso de Emily Dickinson:

“The web of life is woven”.

Figura 6.4 Todo está enlazado, todo está conectado.Fuente: Google Plus - Leticia María Isabel Magaña Gómez.

Índice de Figuras

1.1 Plano de bolsillo del metro de Madrid. 2

2.1 Ejemplo de Sistema Complejo - Red de transporte aéreo mundial. 82.2 Paul Erdos y Alfréd Rényi. 92.3 Ejemplos de Redes regulares. 192.4 Ejemplo de Red aleatoria. 202.5 Ejemplo de Red de mundo pequeño. 212.6 Ejemplo de Red libre de escala - Simulación de la red de Internet. 22

3.1 Erupción del volcán islandés Eyjafjallajokull. 263.2 Pánico en el metro de Madrid - 30 marzo 2016. 27

4.1 Inauguración del metro de Madrid. 294.2 Líneas y estaciones del metro de Madrid. 314.3 Evolución de la densidad con el número de líneas en el modelo L-space. 344.4 Localización de las estaciones con mayor grado en el modelo L-space. 364.5 Grado medio de los vecinos de cada estación agrupadas por grado modelo L-space 364.6 Diámetro en el modelo L-space. 404.7 Diámetro en el modelo L-space con pesos. 414.8 Excentricidad máxima en el modelo L-space. 424.9 Excentricidad mínima en el modelo L-space. 434.10 Distribución de la excentricidad en el modelo L-space. 444.11 Excentricidad máxima en el modelo L-space con pesos. 454.12 Excentricidad mínima en el modelo L-space con pesos. 464.13 Distribución de distancias modelo L-space. 474.14 Distribución acumulada de distancias modelo L-space. 484.15 Distribución acumulada de distancias modelo L-space con pesos. 494.16 Estaciones con mayor y menor eficiencia en el modelo L-space. 524.17 Estaciones con mayor y menor eficiencia en el modelo L-space con pesos. 534.18 Distribución de probabilidad del grado modelo L-space. 544.19 Función de distribución de probabilidad del modelo L-space. 544.20 Distribución del grado modelo L-space y red 2-regular. 554.21 Error cuadrático medio del modelo L-space respecto a una red regular de grado k. 564.22 Distribución del grado modelo L-space y red aleatoria. 574.23 Error cuadrático medio del modelo L-space respecto a una red aleatoria. 574.24 Distribución del grado modelo L-space y red libre de escala. 584.25 Error cuadrático medio modelo L-space respecto a una red libre de escala (constante cte). 594.26 Error cuadrático medio del modelo L-space respecto a una red libre de escala (exponente γ ). 594.27 Distribución del grado modelo L-space y red exponencial. 604.28 Error cuadrático medio del modelo L-space respecto a una red exponencial (constante cte). 614.29 Error cuadrático medio del modelo L-space respecto a una red exponencial (parámetro α ). 614.30 Distribución del coeficiente de clustering en el modelo L-space. 62

117

118 Índice de Figuras

4.31 Estaciones con mayor coeficiente de clustering en el modelo L-space. 634.32 Estaciones con mayor centralidad de intermediación en el modelo L-space. 654.33 Estaciones con menor centralidad de intermediación en el modelo L-space. 664.34 Evolución de la densidad con el número de líneas en el modelo P-space. 674.35 Localización de las estaciones con mayor grado en el modelo P-space. 694.36 Grado medio de los vecinos de cada estación agrupadas por grado en el modelo P-space. 704.37 Excentricidad máxima en el modelo P-space. 734.38 Excentricidad mínima en el modelo P-space. 744.39 Transbordos en el modelo P-space. 754.40 Estaciones con mayor y menor eficiencia en el modelo P-space. 774.41 Distribución de probabilidad del grado en P-space. 784.42 Función de distribución de probabilidad del grado en P-space. 794.43 Distribución del grado modelo P-space y red 28-regular. 804.44 Error cuadrático medio del modelo P-space con respecto a una red regular de grado k. 804.45 Distribución del grado modelo P-space y red aleatoria. 814.46 Error cuadrático medio del modelo P-space con respecto a una red aleatoria. 824.47 Distribución del grado modelo P-space y red libre de escala. 834.48 Error cuadrático medio del modelo P-space con respecto a una red libre de escala (constante cte). 834.49 Error cuadrático medio con respecto a una red libre de escala (parámetro γ ). 844.50 Distribución del grado modelo P-space y red exponencial. 854.51 Error cuadrático medio del modelo P-space respecto a una red exponencial parámetro (α ). 854.52 Error cuadrático medio del modelo P-space respecto a una red exponencial (constante cte). 864.53 Estaciones con menor coeficiente de clustering en el modelo P-space. 874.54 Distribución del coeficiente de clustering en el modelo P-space. 884.55 Estaciones con mayor centralidad de intermediación en el modelo P-space. 89

5.1 Conectividad frente a fallas aleatorias. 945.2 Falla aleatoria 1. 955.3 Falla aleatoria 2. 965.4 Falla aleatoria 3. 965.5 Falla aleatoria 4. 975.6 Falla aleatoria 5. 975.7 Ataques dirigidos según el grado de los nodos en los modelos L-space y P-space. 985.8 Ataques dirigidos según el grado de los nodos y fallas aleatorias. 995.9 Daño ocasionado por ataque según el grado de los nodos en el modelo L-space. 1005.10 Daño ocasionado por ataque según el grado de los nodos en el modelo P-space. 1005.11 Ataque dirigido según el grado de los nodos, evitando ataques nulos, en el modelo L-space. 1015.12 Ataque dirigido según el grado de los nodos, evitando ataques nulos, en el modelo P-space. 1025.13 Ataque dirigido evitando ataques nulos en los modelos L-space y P-space. 1025.14 Ataque dirigido según la intermediación en el modelo L-space. 1045.15 Ataque dirigido según la intermediación en el modelo P-space. 1045.16 Ataques dirigidos según el grado y la intermediación en los modelos L-space y P-space. 1055.17 Ataques dirigidos según la intermediación dinámica en el modelo L-space. 1055.18 Ataques dirigidos según la intermediación dinámica en el modelo P-space. 1065.19 Ataques dirigidos más efectivos según la intermediación en los modelos L-space y P-space. 1075.20 Ataques dirigidos a 5 nodos según la intermediación en los modelos L-space y P-space. 1075.21 Estrategia miope comparada con estrategia de intermediación en los modelos L-space y P-space. 1085.22 Ataque dirigido a 5 nodos según la estrategia de intermediación y la estrategia miope. 108

6.1 Teoría de la complejidad 1106.2 Las 4 estaciones más críticas. 1126.3 Las 10 estaciones más críticas. 1136.4 Todo está enlazado, todo está conectado. 115

Índice de Tablas

4.1 Líneas de la red de metro de Madrid y número de estaciones. 304.2 Las 11 estaciones con mayor grado en el modelo L-space. 354.3 Las 11 estaciones con mayor fuerza en el modelo L-space. 374.4 Las 11 estaciones con menor fuerza en el modelo L-space. 384.5 Las 11 estaciones más distantes de sus vecinos en el modelo L-space. 384.6 Las 11 estaciones más cercanas a sus vecinos en el modelo L-space. 394.7 Las 11 estaciones con mayor excentricidad en el modelo L-space. 424.8 Las 11 estaciones con menor excentricidad en el modelo L-space. 434.9 Las 11 estaciones con mayor excentricidad en el modelo L-space con pesos. 444.10 Las 11 estaciones con menor excentricidad en el modelo L-space con pesos. 464.11 Las 11 estaciones con mayor distancia media en el modelo L-space. 484.12 Las 11 estaciones con menor distancia media en el modelo L-space. 494.13 Las 11 estaciones con mayor distancia media en el modelo L-space con pesos. 504.14 Las 11 estaciones con menor distancia media en el modelo L-space con pesos. 504.15 Las 11 estaciones con mayor eficiencia en el modelo L-space. 514.16 Las 11 estaciones con menor eficiencia en el modelo L-space. 514.17 Las 11 estaciones con mayor eficiencia en el modelo L-space con pesos. 514.18 Las 11 estaciones con menor eficiencia en el modelo L-space con pesos. 524.19 Las 13 estaciones con mayor coeficiente de clustering en el modelo L-space. 634.20 Las 13 estaciones con mayor centralidad de intermediación en el modelo L-space. 654.21 Las 13 estaciones con menor centralidad de intermediación en el modelo L-space. 664.22 Las 12 estaciones con mayor grado en el modelo P-space. 684.23 Las 11 estaciones con mayor fuerza en el modelo P-space. 714.24 Las 11 estaciones con menor fuerza en el modelo P-space. 714.25 Las 11 estaciones más distantes de sus vecinos en el modelo P-space. 724.26 Las 11 estaciones más cercanas a sus vecinos en el modelo P-space. 724.27 Las 11 estaciones con mayor distancia media en el modelo P-space. 764.28 Las 11 estaciones con menor distancia media en el modelo P-space. 764.29 Las 10 estaciones con mayor eficiencia en el modelo P-space. 774.30 Las 10 estaciones con menor eficiencia en el modelo P-space. 784.31 Las 13 estaciones con menor coeficiente de clustering en el modelo P-space. 874.32 Las 10 estaciones con mayor centralidad de intermediación en el modelo P-space. 904.33 Caracterización del metro de Madrid. 90

5.1 Las 15 estaciones con mayor impacto en la conectividad cuando existen fallas aleatorias. 955.2 Las 15 estaciones con mayor impacto en la conectividad con la estrategia de grado dinámico. 103

6.1 Las 4 estaciones con mayor impacto en la conectividad de la red de metro de Madrid 1126.2 Las 10 estaciones con mayor impacto en la conectividad de la red de metro de Madrid 113

119

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Índice alfabético

accesibilidad, 3algoritmo de Dijkstra, 13ataques dirigidos, 98

estrategia grado de los nodos, 27estrategia intermediación, 28

bucle, 10

camino, 12cerrado (ciclo), 12circuito, 12elemental, 12simple, 12

capacidad de servicio, 26caracterización

global, 15local, 11

centralidad (centrality)armónica (harmonic), 15de cercanía (closeness), 15de intermediación (betweenness), 14

coeficiente (coefficient)agrupamiento (clustering) medio, 17agrupamiento (clustering) nodo, 14

complejidad, 109conectividad, 28

densidad de red, 15densidad probabilidad grado, 17distancia

cálculo geodésicas, 13diámetro, 17geodésica, 13

media, 17nodos, 13

distribución del grado, 16

eficiencia, 17excentricidad (eccentricity), 15

fallas aleatorias, 94fuerza

media, 16nodo, 12

gradomatriz adyacencia, 11medio, 16nodo, 11nodo aislado, 11número enlaces, 11

grafo, 9, 10completo, 12conexo, 13cúbico, 12finito, 10multigrafo, 10no orientado, 10orientado (digrafo), 10ponderado, 10regular, 12simple, 10

heterogeneidad, 18normalizada, 18

holismo, 8

incidente, 26índice de centralización, 17

lazo, 10

matrizde adyacencia, 11de pesos, 11isomorfa, 11

método mínimos cuadrados, 55, 79modelo L-space, 32modelo P-space, 32

propiedades emergentes, 8

redaleatoria, 19exponencial, 23libre de escala, 22mundo pequeño, 21regular, 19

redes complejas, 9resiliencia, 26robustez, 26

sistemas complejos, 7

teorema del número de caminos, 12

vulnerabilidad, 2, 26

123

Glosario

A

Albert Lester Lehninger

Albert Lester Lehninger fue un bioquímico estadounidense ampliamente considerado como un pioneroen el campo de la bioenergética. Hizo contribuciones fundamentales a la comprensión actual delmetabolismo a nivel molecular. En 1948, descubrió junto con Eugene P. Kennedy, que las mitocondriasson el sitio de fosforilación oxidativa en las células eucariotas. Esto marcó el comienzo del estudiomoderno de la transducción de energía. Es autor de varios textos clásicos, entre ellos: Mitocondria,Bioenergética, Bioquímica y en particular, Principios de Bioquímica. El último es un texto de referenciaampliamente utilizado para los cursos de introducción a la bioquímica en las universidades. Los dosúltimos han sido traducidos en numerosos idiomas. Fuente: Wikipedia. 7

B

Barabási y Albert

Albert-László Barabási es profesor de Física en la Universidad de Notre-Dame (Indiana, EE. UU.).Se ha dado a conocer por sus investigaciones acerca de redes libres de escala y las redes biológicas.Barabási ha sido uno de los mayores contribuyentes al desarrollo de redes complejas que se aproximanal mundo real, junto a otros físicos, matemáticos e informáticos, como Steven Strogatz, Mark Newmano Duncan J. Watts. El principal aporte de Barabási ha sido la introducción del concepto de redeslibres de escala, así como ser divulgador de la teoría de redes. Entre los temas de teoría de redes queBarabási ha estudiado están el crecimiento de las redes y el enlazamiento preferencial, probablementelos mecanismos en parte responsables de la estructura de la World Wide Web o la célula. Réka Albertes una científica húngara profesora de física y profesora adjunta de biología en la Universidad Estatalde Pensilvania. Destaca por el modelo Barabási-Albert e investigación en redes sin escala y modeladobooleano de sistemas biológicos. Fuente: Wikipedia. 22, 23

C

Charles Robert Darwin

Charles Robert Darwin fue un naturalista inglés, reconocido por ser el científico más influyente (yel primero, compartiendo este logro de forma independiente con Alfred Russel Wallace) de los queplantearon la idea de la evolución biológica a través de la selección natural, justificándola en su obra de1859 "El origen de las especies" con numerosos ejemplos extraídos de la observación de la naturaleza.Postuló que todas las especies de seres vivos han evolucionado con el tiempo a partir de un antepasadocomún mediante un proceso denominado selección natural. La evolución fue aceptada como un hechopor la comunidad científica y por buena parte del público en vida de Darwin, mientras que su teoría dela evolución mediante selección natural no fue considerada como la explicación primaria del procesoevolutivo hasta los años 1930. Actualmente constituye la base de la síntesis evolutiva moderna. Con susmodificaciones, los descubrimientos científicos de Darwin aún siguen siendo el acta fundacional de labiología como ciencia, puesto que constituyen una explicación lógica que unifica las observacionessobre la diversidad de la vida. Fuente: Wikipedia. 25

125

126 Glosario

D

David Steven Viscott

David Steven Viscott fue un psiquiatra, autor, hombre de negocios y personalidad de los medios decomunicación estadounidense. Muchos de sus libros eran de naturaleza de autoayuda, escritos paraayudar al individuo con su propio examen de la vida. En el programa de televisión Los Simpson, lavoz del personaje del Dr. Marvin Monroe se basó en Viscott. Fuente: Wikipedia. 93

E

Edsger Wybe Dijkstra

Edsger Wybe Dijkstra fue un científico de la computación de los Países Bajos. Dijkstra es conocidocomo un "personaje" en el mundo de las ciencias de la computación. En el prólogo de su libro "ADiscipline of Programming", escrito en 1976, declaró la siguiente frase: "Debido a la ausencia de unabibliografía, no ofrezco ni explicación ni apología". De hecho, gran parte de sus artículos y libros notienen ninguna referencia. Esta ausencia de referencias fue criticada por muchos investigadores. Sinembargo, Dijkstra eligió esta forma de trabajar para remarcar su autosuficiencia. Aunque parezca irónico,Dijkstra, uno de los mayores desarrolladores del software de su época, evitó el uso de computadoresen su trabajo durante décadas. Cuando, finalmente, sucumbió a la tecnología, únicamente utilizó losordenadores para enviar correos electrónicos y hacer búsquedas en la red. Dijkstra nunca utilizó uncomputador para realizar ninguno de sus trabajos, todos ellos fueron realizados a mano. Desde unaedad muy temprana destacó por su ingenio y elocuencia. Cuando era pequeño le aseguró a su madreque no resolvería ningún problema o cuestión que le ocupará más de cinco líneas de un folio. Dijkstratambién destacó como escritor de ensayos. En uno de ellos, en tono humorístico describió una empresaficticia en la que había trabajado como presidente llamada Mathematics. Inc. Esta empresa se habíadedicado a comercializar teoremas matemáticos (un paralelismo a lo que estaba ocurriendo con lasempresas tecnológicas, las cuales estaban haciendo una abusiva comercialización de los programasque desarrollaban). Al concluir este discurso Dijkstra aseguró que era la empresa más emocionante, ya la vez miserable jamás concebida. Fuente: Wikipedia. 13

Erdös y Rényi (ER)

Paul Erdős fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad que,con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria, teoría de grafos, teoría denúmeros, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría de conjuntos y probabilidad. Debido a susnumerosos aportes, colaboradores y amigos inventaron el número de Erdős como un homenaje contintes de humor matemático: Erdős tiene asignado el número 0, todos aquellos que colaboraron enalgún artículo con él tienen el 1, alguien que haya colaborado con alguno de sus colaboradores tiene el2, y así sucesivamente.... Sencillas estimaciones comprueban que el 90% de los matemáticos activostienen un número de Erdős menor que 8 (parece sorprendente si uno no conoce la teoría de Seis gradosde separación). Alfréd Rényi fue un matemático húngaro que hizo importantes contribuciones a lateoría de combinatoria y a la teoría de grafos sobre grafos aleatorios. Escribió 32 documentos encolaboración con Paul Erdős, el más conocido de los cuales presenta el modelo de Erdős-Rényi sobregeneración de grafos aleatorios. Fuente: Wikipedia. 9, 19

G

Gephi 0.9.2

Gephi es un software open-source de análisis y visualización de redes escrito en Java en la plataformaNetBeans. Es una herramienta para explorar y entender los grafos, ya que permite representarlos ymanipularlos con el objetivo de ayudar a los Data Analysts a realizar hipótesis y descubrir patronesde forma intuitiva, extraer singularidades estructurales o detectar errores en la obtención de datos. Esuna herramienta complementaria a las estadísticas tradicionales. Gephi ha sido utilizado en proyectosacadémicos de investigación y periodismo, como por ejemplo para visualizar la conectividad globaldel contenido del New York Times y para examinar el tráfico de red de Twitter durante tiempos demalestar social. Gephi es ampliamente utilizado dentro del campo de las humanidades digitales, unacomunidad donde muchos de sus desarrolladores están involucrados. Gephi puede también exportardatos de redes sociales, Facebook o Twitter, y generar grafos y clusters. Fuente: Wikipedia. 114

Glosario 127

K

Karinthy y Milgram

Stanley Milgram fue un psicólogo graduado de la Universidad de Yale que condujo los experimentosdel mundo pequeño (la fuente del concepto de los seis grados de separación). Se le llama seis gradosde separación a la hipótesis que intenta probar que cualquiera en la Tierra puede estar conectado acualquier otra persona del planeta a través de una cadena de conocidos que no tiene más de cincointermediarios (conectando a ambas personas con sólo seis enlaces), algo que se ve representadoen la popular frase «el mundo es un pañuelo». La teoría fue inicialmente propuesta en 1930 por elescritor húngaro Frigyes Karinthy en un cuento llamado Chains. El concepto está basado en la idea deque el número de conocidos crece exponencialmente con el número de enlaces en la cadena, y sóloun pequeño número de enlaces son necesarios para que el conjunto de conocidos se convierta en lapoblación humana entera. Recogida también en el libro Six Degrees: The Science of a Connected Agedel sociólogo Duncan Watts, y que asegura que es posible acceder a cualquier persona del planeta entan sólo seis saltos. Fuente: Wikipedia. 47

L

LaTeX

LATEX es un sistema de composición de textos, orientado a la creación de documentos escritos quepresenten una alta calidad tipográfica. Por sus características y posibilidades, es usado de formaespecialmente intensa en la generación de artículos y libros científicos que incluyen, entre otroselementos, expresiones matemáticas. LaTeX presupone una filosofía de trabajo diferente a la delos procesadores de texto habituales (conocidos como WYSIWYG, es decir, «lo que ves es lo queobtienes») y se basa en instrucciones. Tradicionalmente, este aspecto se ha considerado una desventaja(probablemente la única). Sin embargo, LaTeX, a diferencia de los procesadores de texto de tipoWYSIWYG, permite a quien escribe un documento centrarse exclusivamente en el contenido, sin tenerque preocuparse de los detalles del formato. Además de sus capacidades gráficas para representarecuaciones, fórmulas complicadas, notación científica e incluso musical, permite estructurar fácilmenteel documento (con capítulos, secciones, notas, bibliografía, índices analíticos, etc.), lo cual brindacomodidad y lo hace útil para artículos académicos y libros técnicos. Fuente: Wikipedia. 114

M

MATLAB R2014b

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta desoftware matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de progra-mación propio (lenguaje M). Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, larepresentación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, etc. Es un software muy usadoen universidades y centros de investigación y desarrollo. Fuente: Wikipedia. 114

Método de Mínimos Cuadrados

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcado dentro de la optimización matemá-tica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, yuna familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejorse aproxime a los datos. Fuente: Wikipedia. 79

N

Neil Richard Gaiman

Neil Richard Gaiman es un escritor y guionista inglés, destacado autor de ciencia ficción y novelasde terror, especialmente reconocido por la historieta "The Sandman", considerada como una de lasmás originales, sofisticadas y artísticamente ambiciosas series de novelas gráficas. "The Sandman"se convirtió en un verdadero cómic de culto y un hito de la historieta contemporánea, cosechandouna gran cantidad de premios internacionales. En 2002, recibió el Premio Nébula, considerado comouno de los premios más importantes de la ciencia ficción, por su novela "American Gods". En 2005Gaiman publicó su novela "Los hijos de Anansi", alcanzando el primer lugar en la lista de best-sellersdel New York Times. Fuente: Wikipedia. I

128 Glosario

P

Peter F. Drucker

Peter Ferdinand Drucker fue un abogado y tratadista austriaco, considerado el mayor filósofo de laadministración (también conocida como management) del siglo XX. Fue autor de más de 35 libros,y sus ideas fueron decisivas en la creación de la Corporación Moderna. Drucker escribió múltiplesobras reconocidas a nivel mundial sobre temas referentes a la gestión de las organizaciones, sistemasde información y sociedad del conocimiento, área en la cual es reconocido como padre y mentor enconjunto con Fritz Machlup. Drucker dejó en sus obras la huella de su gran inteligencia y su incansableactividad. Hoy es considerado el padre del management como disciplina y sigue siendo objeto deestudio en las más prestigiosas escuelas de negocios. Fuente: Wikipedia. V

S

Smuts

El mariscal Jan Christiaan Smuts fue un prominente estadista de Sudáfrica y de la MancomunidadBritánica de Naciones, líder militar, naturalista y filósofo. Promovió el concepto de holismo, definidoen su libro de 1926, "Holismo y Evolución", como "la tendencia en la naturaleza para formar todosque son mayores a la suma de las partes por la evolución creativa". Después de que Einstein estudiara"Holismo y Evolución" a poco de su publicación, escribió que dos construcciones mentales dirigiránel pensamiento humano en el siguiente milenio, sus propia construcción de la relatividad y el holismode Smuts. Einstein también dijo de Smuts que él era "uno de sólo once hombres en el mundo" queconceptualmente entendieron su Teoría de la relatividad. Fuente: Wikipedia. 8

Stephen William Hawking

StephenWilliam Hawking fue un físico teórico, astrofísico, cosmólogo y divulgador científico británico.Sus trabajos más importantes consistieron en aportar, junto con Roger Penrose, teoremas respecto a lassingularidades espaciotemporales en el marco de la relatividad general y la predicción teórica de quelos agujeros negros emitirían radiación, lo que se conoce hoy en día como radiación de Hawking (o aveces radiación Bekenstein-Hawking). Una de las principales características de su personalidad fue sucontribución al debate científico, a veces apostando públicamente con otros científicos, el caso másconocido es su participación en la discusión sobre la conservación de la información en los agujerosnegros. Una apuesta curiosa de Hawking a Thorne fue una suscripción anual a la revista Penthouse(contra cuatro años de la revista Private Eye) a que Gygnus X-1 no sería un agujero negro. Fuente:Wikipedia. 109

U

UCINET 6 for Windows

UCINET 6 para Windows es un paquete de software para mapear, editar y analizar redes sociales. Esprobablemente el más conocido y más utilizado software para el análisis de redes sociales de datosy contiene un gran número de rutinas de análisis de red. Fue desarrollado por Lin Freeman, MartinEverett y Steve Borgatti. Viene con la herramienta de visualización de red NetDraw. Fuente: Wikipedia.114

Unión Internacional de Transportes Públicos (UITP)

Fundada en 1885, es la asociación mundial de operadores de transportes públicos urbanos y regionales.Su sede está ubicada en Bruselas y cuenta con 3.000 miembros asociados, cuya principal función espotenciar el transporte público. Facilita información y realiza estudios y análisis en todos los aspectosdel transporte público incluyendo infraestructuras, material móvil, organización y dirección. Asimismodefiende el interés de sus miembros en negociaciones con autoridades internacionales y solicita apoyosde autoridades políticas para lograr un clima de opinión favorable. Metro de Madrid contribuye a losfines de la UITP mediante una participación activa en sus Comités, Subcomités y Grupos de Trabajo.De esta forma coopera permanentemente en el estudio de todos los aspectos de movilidad, con elobjetivo de conseguir y promover una mayor eficacia y atractivo en los servicios de transportes yobtener los mayores beneficios con las nuevas tecnologías y los nuevos métodos de gestión. Metrode Madrid, que pertenece a la UITP desde 1950, tiene consideración de miembro Premium por suespecial contribución al transporte público internacional. Wikipedia. 93

Glosario 129

W

Watts y Strogatz (WS)

Duncan J. Watts es profesor de sociología en la Universidad de Columbia y autor del libro "Seis grados:la ciencia de una edad conectada" (2003). En 1998 publicó con Steven Strogatz un célebre artículoen la revista Nature, en el que aportaban un modelo teórico del mundo pequeño, esto es, una redcompleja en la que, a pesar de tener un enorme número de nodos, la distancia media entre éstos esmuy pequeña. Steven H. Strogatz es profesor de mecánica aplicada y teórica en la Universidad deCornell, reconocido por sus contribuciones en el estudio de la sincronización en sistemas dinámicos yen redes complejas. Ha publicado artículos en numerosas áreas de las matemáticas aplicadas: entreellas, la biología matemática y el fenómeno del "mundo pequeño", en redes. En este campo, publicó en1998 un artículo fundamental junto a Duncan J. Watts, en la revista Nature, que ha tenido una enormeinfluencia desde entonces. Ha contribuido también al estudio de la sincronía (teoría del orden). Fuente:Wikipedia. 9, 21

Wikipedia

Wikipedia es una enciclopedia libre, políglota y editada de manera colaborativa. Es administradapor la Fundación Wikimedia, una organización sin ánimo de lucro cuya financiación está basada endonaciones. V

William Thomson (Lord Kelvin)

William Thomson, Lord Kelvin fue un físico y matemático británico. Destacó por sus importantestrabajos en el campo de la termodinámica y la electricidad, gracias a sus profundos conocimientosde análisis matemático. Es uno de los científicos que más contribuyó a modernizar la física. Esespecialmente conocido por haber desarrollado la escala de temperatura Kelvin. Recibió el título debarón Kelvin en honor a los logros alcanzados a lo largo de su carrera. Fue nombrado caballero en 1866y ennoblecido en 1892 en reconocimiento de sus logros en termodinámica. Fue el primer científicobritánico en ser admitido en la Cámara de los Lores. El título se refiere al río Kelvin, que fluye cercade su laboratorio en la Universidad de Glasgow. Thomson fue enterrado en la Abadía de Westminster,al lado de la tumba de Isaac Newton. Fuente: Wikipedia. 1

Wolfram Alpha

Wolfram Alpha es un "buscador de conocimiento". Es un servicio en línea que responde a las preguntasdirectamente, mediante el procesamiento de la respuesta extraída de una base de datos estructurados.37, 69, 114