KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

INFORMATIKOS FAKULTETAS

VERSLO INFORMATIKOS KATEDRA

Raimonda Vyšniauskait÷

Hibridin÷s sistemos imitacinio modelio sudarymas agregatin÷je

modeliavimo sistemoje

Magistro darbas

Darbo vadovas

doc. V. Pilkauskas

Kaunas, 2007

2

KAUNO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS

INFORMATIKOS FAKULTETAS

VERSLO INFORMATIKOS KATEDRA

Raimonda Vyšniauskait÷

Hibridin÷s sistemos imitacinio modelio sudarymas agregatin÷je

modeliavimo sistemoje

Magistro darbas

Recenzentas Vadovas

Doc. E. Valakevičius doc. V. Pilkauskas

2007-05-25 2007-05-28

Atliko

IFM – 1/1 gr. stud.

R.Vyšniauskait÷

2007-05-28

Kaunas, 2007

3

SUMMARY

Simulation of Hybrid Systems using aggregate method

Hybrid systems are one of the oldest modeling systems. They describe the area of

models, where discrete and continuous variables are simulated. The main goal of hybrid

systems is to describe system, where management and system performance depends on

discrete and continuous variables. There are a lot of different hybrid system models designed.

For the design and analysis of dynamic systems simulation is a declared technique.

The development of simulation model requires starting with formal specification that is

independent from the simulation implementation details. A general specification of dynamic

system can specify a simulation model in one of the four following paradigms: a set of

differential equations, a discrete time formalism, discrete event formalism and difference

equation formalism. In this work I will overlook such discrete events formalisms: discrete

event behavior model specification, structural model specification, dynamic system modeling

in DEVS GDEVS and PLA. PLA specification of hybrid system has been explored. It has

been adjusted for barrel filling system.

4

TURINYS

ĮVADAS................................................................................................................6

1. HIBRIDINIŲ SISTEMŲ IMITACINIS MODELIAVIMAS......................8

1.1. HIBRINIŲ SISTEMŲ IMITACINIO MODELIAVIMO METODIKA .................................................................... 9 1.1.1. Imitacinis modeliavimas modelio kūrimui..................................................................................... 10 1.1.2. Imitacinis modeliavimas sistemos analiz÷je .................................................................................. 10

1.2. TOLYDŽIŲ IR DISKREČIŲ SISTEMŲ IMITACINIS MODELIAVIMAS ........................................................... 10 1.2.1. Tolydžių sistemų imitacinis modeliavimas .................................................................................... 10 1.2.2. Diskrečių sistemų imitacinis modeliavimas................................................................................... 11

1.3. HIBRIDINIŲ SISTEMŲ IMITACINIS MODELIAVIMAS ............................................................................... 11 1.3.1. Glotnus metodas (The Smoothing method).................................................................................... 11 1.3.2. Įvykio sekimo metodas (The event tracking method)..................................................................... 11 1.3.3. Laiko žingsnio metodas (The time-stepping method) .................................................................... 12 1.3.4. Įvykio sekimo algoritmas............................................................................................................... 12

2. DEVS FORMALIZMO PANAUDOJIMAS HIBRIDINIŲ SISTEMŲ MODELIAVIMUI.............................................................................................13

2.1. APIBENDRINTOS DISKREČIŲJŲ ĮVYKIŲ ABSTRAKCIJOS TOLYDŽIOSIOSE SISTEMOSE............................. 13 2.2. KELETO FORMALIZMŲ APŽVALGA....................................................................................................... 13

2.2.1. Diskretaus įvykio elgsenos modelio specifikacija.......................................................................... 13 2.2.2. Struktūrinio modelio specifikacija................................................................................................. 14 2.2.3. Dinaminių sistemų modeliavimas DEVS ....................................................................................... 15

2.3. GDEVS IMITACIJA.............................................................................................................................. 15 2.3.1. GDEVS modelių imitacijos semantika........................................................................................... 15 2.3.2. Pagrindin÷s charakteristikos GDEVS modeliavimo įrenginio ...................................................... 16 2.3.3. GDEVS specifikacija ir hibridinių sistemų imitacija..................................................................... 16

2.4. INTEGRATORIUS .................................................................................................................................. 17 2.4.1. Pirmos eil÷s GDEVS integratoriaus abstrakcija........................................................................... 18 2.4.2. Aukštesn÷s eil÷s integratoriaus GDEVS abstrakcija ..................................................................... 19 2.4.3. GDEVS ir hibridin÷s sistemos ....................................................................................................... 20

3. PLA FORMALIZMAS .................................................................................22

3.1. ATKARPOMIS-TIESINIAI AGREGATAI ................................................................................................... 22 3.2. VALDANČIŲJŲ SEKŲ METODO PANAUDOJIMAS AGREGATŲ FUNKCIONAVIMO FORMALIZAVIMUI......... 24 3.3. AGREGATINIŲ SISTEMŲ FORMALIZAVIMAS ......................................................................................... 27

4. HIBRIDINöS SISTEMOS PLA SPECIFIKACIJOS SUDARYMAS.....30

4.1. NAFTOS PRODUKTŲ REZERVUARŲ UŽPILDYMO KONCEPTUALUSIS MODELIS ....................................... 30 4.1.1. Agregato LAIVAS matematinis aprašymas.................................................................................... 30 4.1.2. Agregato REZERVUARAS matematinis aprašymas...................................................................... 32

4.2. STANDARTINIS AGREGATINIŲ SISTEMŲ IMITACINIO MODELIAVIMO ALGORITMAS............................... 38 4.3. STANDARTINIO IMITACINIO MODELIAVIMO ALGORITMO IŠPLöTIMAS HIBRIDINöMS SISTEMOMS ......... 39

IŠVADOS ...........................................................................................................42

LITERATŪRA ..................................................................................................43

5

Paveikslų sąrašas:

1pav. Agregato schematinis atvaizdavimas..............................................................................25

2pav. Agregatin÷ sistemos schema...........................................................................................28

3pav. Standartinis agregatinių sistemų imitacinio modeliavimo algoritmas............................38

4pav. Standartinio imitacinio modeliavimo algoritmo išpl÷timas hibridin÷ms sistemoms......39

5pav. Rezervuarų užpildymo modelis......................................................................................41

6

ĮVADAS

Šio darbo tyrimo sritis – hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas, panaudojant

agregatinį metodą, tyrimo objektas – agregatin÷s sistemos imitacinio modeliavimo algoritmo

pritaikymas hibridinių sistemų modelių realizavimui.

Hibridin÷ sistema – tai dinamin÷ sistema, kuri atskleidžia tolydžiųjų ir diskrečiųjų

dinamiškųjų įvykių elgseną. Ši viena seniausių modeliavimų sistemų aprašo sistemas, kuriose

valdymas ir sistemos veikimas priklauso nuo diskrečiųjų ir tolydžiųjų kintamųjų. Hibridinių

sistemų pavyzdžių nagrin÷jimo tikslas - iliustruoti hibridinių reiškinių įvairovę ir jų įvykius

skirtingose programose.

Dinaminių sistemų projektavimui ir analizei bus naudojama imitacinio modeliavimo

metodika. Imitacinis modeliavimas dažniausiai naudojamas projektavimo modelių kūrimui

arba jau egzistuojančioms sistemoms, kurios aprašo tikrovę tam tikrame abstrakcijos lygyje.

Išskiriami du skirtingi imitacinio modeliavimo aspektai: imitacinis modeliavimas modelio

kūrimui ir imitacinis modeliavimas sistemos analizei. Imitacinių modelių kūrimas pradedamas

nuo formalių specifikacijų, kurios yra nepriklausomos nuo imitacijos įgyvendinimo detalių.

Bendras dinaminių sistemų specifikavimas gali būti apibr÷žiamas keturiomis paradigmomis:

diferencialinių lygčių rinkiniu, diskretaus laiko formalizavimu, diskretaus įvykio

formalizavimu bei skirtuminių lygčių formalizavimu.

Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas turi du pirmtakus: imitacinis

modeliavimas tolydžiųjų sistemų ir diskrečiųjų sistemų. Tolydžiųjų sistemų imitacinis

modeliavimas yra nusistov÷jusi sritis praktikoje ir tyrimų srityje. Diskrečiųjų sistemų

imitacinis modeliavimas labai svarbus kompiuterių moksle. Hibridinių sistemų imitaciniuose

modeliuose turi būti naudojamos naujos procedūros ir metodikos, leidžiančios nagrin÷ti

hibridinius reiškinius.

Darbe bus apžvelgiami tokie diskrečiųjų įvykių formalizmai: diskretaus įvykio

elgsenos modelio specifikacija, struktūrinio modelio specifikacija, dinaminių sistemų

modeliavimas DEVS, GDEVS ir PLA. Bus nagrin÷jamas hibridin÷s sistemos PLA

specifikacijos sudarymas. Jis bus taikomas rezervuarų užpildymo sistemai. Šis formalizmas

yra kalba, skirta aprašyti atkarpomis tiesinius agregatus.

Darbo struktūra:

• Skyriuje „Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas“ bus trumpai aprašoma

keletas hibridinių sistemų, aptariama hibridinių sistemų imitacinio

modeliavimo metodika, apžvelgiamas diskrečiųjų ir tolydžiųjų sistemų

7

imitacinis modeliavimas, pateikiami hibridinių sistemų imitacinio

modeliavimo metodai.

• Skyriuje „DEVS formalizmo panaudojimas hibridinių sistemų modeliavimui“

bus pateikiami keleto formalizmų aprašymai, apžvelgiama GDEVS imitacija,

detaliau aptariami GDEVS integratoriai.

• Skyriuje „PLA formalizmas“ bus aprašomi atkarpomis-tiesiniai agregatai,

aptariamas valdančiųjų sekų metodas ir jo panaudojimas agregatų

funkcionavimo formalizmui, pateikiamas agregatinių sistemų formalizavimas.

• Skyriuje „Hibridin÷s sistemos PLA specifikacijos sudarymas“ bus pateikiamas

rezervuarų užpildymo konceptualusis modelis bei modeliavimo rezultatai.

8

1. HIBRIDINIŲ SISTEMŲ IMITACINIS MODELIAVIMAS

Hibridin÷s sistemos - tai vienos iš seniausių modeliavimo sistemų. Hibridin÷s

sistemos apima modelių sritį, kur modeliuojami diskretieji kintamieji kartu su tolydžiaisiais.

Hibridinių sistemų tikslas - aprašyti realias sistemas, kuriose reikia ir diskrečiųjų kintamųjų ir

tolydžiųjų, kur valdymas ir sistemos veikimas priklauso būtent nuo jų. Sukurta nemažai

skirtingų hibridinių sistemų. Pateikiame keletą iš jų:

• Hibridinis automatas (HA, hybrid automata)

• Hibridinio veikimo automatas (hybrid behavioural automaton)

• Hibridinis I/O automatas (hybrid input/output automaton)

• Procesų algebra hibridiniams automatams (process algebras for hybrid

systems)

• Hibridinio proceso elgsenos skaičiavimas (behavioural hybrid process

calculus)

• Viena kitą papildančios sistemos (complementary systems)

• Atkarpomis panašios sistemos (piecewise affine systems)

• Modelica (modelica)

• Masaccio (masaccio)

• Charon (charon)

• Ryšių grafas (bond graphs)

Hibridinis automatas – tai viena iš s÷kmingiausių hibridinių sistemų, kuriai yra

išvystyta teorija ir sukurta programin÷ įranga (PĮ). Tai vienas iš labiausiai naudojamų modelių

pasaulyje.

Hibridinio veikimo automatas ir Hibridinis I/O automatas – tai sistemos tiesiogiai

gimusios iš hibridinio automato. Jos papildo Hibridinį automatą, tačiau n÷ra išbaigtos teorijos

ir n÷ra sukurtos PĮ modeliams tirti automatiškai.

Procesų algebra hibridiniams automatams – tai plati šaka, kur apimama bendrin÷

matematika procesams aprašyti, tačiau n÷ra išvystyta PĮ šiems modeliams tirti.

Hibridinio proceso elgsenos skaičiavimas – tai sintez÷ geriausių statinių ir dinaminių

modelių. Šis modelis atsirado visai neseniai ir taip pat neturi išvystytos PĮ modeliams tirti.

Viena kitą papildančios sistemos ir Atkarpomis panašios sistemos – labiau skirtos

diskretin÷ms tiesin÷ms sistemoms aprašyti.

Hibridin÷s sistemos – Ryšių grafas, Charon ir Masaccio n÷ra labai populiarios ir

naudojamos tik specializuotoms užduotims spręsti.

9

Modelica [17, 30, 31]– pasižymi lengvu naudojimu, modelių, sudarytų iš blokų

panašių į lego, kūrimu, turi galimybę apibr÷žti modelio bibliotekas su pakartotinio naudojimo

komponentais ir palaiko sud÷tingų programų, įtraukiančių kitų sričių programų dalis,

modeliavimą ir imitavimą. Pagrindin÷s savyb÷s:

• Modelica – pagrįsta lygtimis, o ne priskiriamaisiais sakiniais. Tai leidžia

modeliavimą, priklausantį nuo būsimų į÷jimų. Vadinasi galimas pakartotinis

klasių panaudojimas, kol lygtys nespecifikuoja tikslių duomenų srov÷s

krypčių. Taigi Modelica klas÷s gali būti pritaikytos daugiau nei vienam

duomenų srov÷s kontekstui.

• Modelica turi keleto sričių modeliavimo galimybę, turima omenyje, kad

modelio komponentai atitinkantys fizinius objektus iš kelių skirtingų sričių

(tokių kaip pvz., elektros, mechanikos, termodinamikos, hidraulikos, biologijos

ir valdymo programos) gali būti aprašomi ir sujungiami.

• Modelica yra objektiškai orientuota kalba su bendra klasių koncepcija, kuri

suvienodina klases, bendrumus – žinomus kaip šablonai C++ kalboje, ir bendrų

potipių išskaidymą į pavienes kalbos konstrukcijas. Tai palengvina pakartotinį

komponentų panaudojimą ir modelio vystymąsi.

• Modelica turi stiprų programin÷s įrangos komponentų modelį, su konstrukcija,

leidžiančia kurti ir sujungti komponentus. Taigi ši kalba idealiai tinka kaip

architektūrin÷ aprašymų kalba sud÷tingoms fizin÷ms sistemoms ir tam tikro

laipsnio programin÷s įrangos sistemoms.

1.1. Hibrinių sistemų imitacinio modeliavimo metodika

Imitacinis modeliavimas yra pripažinta metodika dinaminių sistemų projektavimui ir

analizei [27]. Ji plačiai naudojama pramon÷je ir universitete. Sud÷tingų integruotų sistemų,

turinčių daugybę skirtingų komponentų, projektavimas sunkiai įmanomas be imitacinio

modeliavimo įrankių. Dažnai imitacinis modeliavimas naudojamas projektavimo modelių

kūrimui arba egzistuojančioms sistemoms, kurios atitinkamai modeliuoja tikrovę.

Dažnai tokios sistemos arba atitinkamos jų abstrakcijos demonstruoja hibridinius

reiškinius. Čia ir pasireiškia hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas. Kadangi jis n÷ra taip

plačiai paplitęs, kaip tolydaus laiko sistemų imitacinis modeliavimas, tai greitai tampa bendru,

ypač integruotų sistemų srityse. Atskirkime dvi svarbias imitacinio modeliavimo programos

vietas:

• Imitacinis modeliavimas modelio kūrimui;

• Imitacinis modeliavimas sistemos analizei.

10

Šie du pratimai pabr÷žia šiek tiek skirtingus imitacinio modeliavimo aspektus, bet

bendri bruožai yra vienodi.

1.1.1. Imitacinis modeliavimas modelio kūrimui

Imitacinis modeliavimas dažnai naudojamas įrankis modelio kūrimui. Dažnai

įdarbinamas tęsti kelias procedūras.

• Kol kuriamas modelis, imitacinis modeliavimas naudojamas įsitikinimui, kad

modelio komponentai ir pats modelis elgiasi kaip tikimasi.

• Jei išduodamas klaidos ženklas, imitacinio modeliavimo įrankiai gali pad÷ti

surasti kelią iki klaidos ir išanalizuoti jos atsiradimo priežastis.

• Be to, kartais imitacinis modeliavimas panaudojamas kaip testavimo metodas.

1.1.2. Imitacinis modeliavimas sistemos analiz÷je

Imitacinis modeliavimas naudojamas kaip sistemos analiz÷s įrankis. Atsižvelgiant į

modelį, sistemos tyrimui sudaroma aib÷ eksperimentų.

• Savyb÷s gali būti testuojamos pasirinktinai. Tokie testai neužtikrina, kad

savyb÷s išliks visada, tačiau jie suteikia naudingą supratimą apie sistemos

elgseną.

• Eksperimentai veikimo analizei gali būti projektuojami ir vykdomi. Rezultatai

suteikia gerą intuiciją modelio efektyvumui, dalyvauja aptinkant silpnas vietas

ir neefektyvius komponentus.

1.2. Tolydžių ir diskrečių sistemų imitacinis modeliavimas

Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas turi du principinius pirmtakus: imitacinis

modeliavimas tolydžių sistemų ir diskrečių sistemų. Tolydžių sistemų imitacinis

modeliavimas yra gerai žinomas pramonin÷je praktikoje ir tyrimų srityje. Imitacinis

modeliavimas diskrečių sistemų yra dažnai keičiamas testavimu programin÷s įrangos

pramon÷je ir verifikavimu (pvz., modelių tikrinimu) kompiuterių moksle.

1.2.1. Tolydžių sistemų imitacinis modeliavimas

Imitacinis modeliavimas tolydžių sistemų yra nusistov÷jusi sritis moksle ir reguliariai

naudojama pramon÷je. Yra gausyb÷ pramoninių ir akademinių įrankių tolydžių sistemų

imitaciniam modeliavimui. Kai kurie jų palaiko tiktai eilinių diferencialinių lygčių (ODE –

ordinary differential equations) imitacinį modeliavimą, o įrankiai palaikantys diferencialines

algebrines lygtis (DAE – differential algebraic equations) tampa šablonu. Hibridinių sistemų

imitaciniame modeliavime, tolydžių sistemų imitacinis modeliavimas gali būti matomas kaip

11

imitacinis modeliavimas. Hibridin÷s sistemos su tam tikrais papildomais reikalavimais (pvz.,

tikslus įvykių aptikimas) tolydi dalis duoda rezultatą, kad šioje tyrimų srityje ji gali būti

panaudota hibridinių sistemų imitaciniame modeliavime. Plačiau apie tolydžių sistemų

imitacinį modeliavimą galima rasti [9, 43].

1.2.2. Diskrečių sistemų imitacinis modeliavimas

Diskrečių sistemų imitacinis modeliavimas labai svarbus kompiuterių moksle taip pat

kaip ir valdymo teorija. Dažniausiai tai yra naudojama įvairių tipų automatų [4, 5, 26]

imitaciniam modeliavimui, algebros apdorojimui [6, 13, 37], kompiuterių moksle arba

diskrečių įvykių sistemų imitaciniame modeliavime [43] valdymo teorijoje.

1.3. Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas

Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas jungia tolydaus laiko ir diskretaus

funkcionavimo imitacinį modeliavimą. Deja, neužtenka sud÷ti tik šių tipų imituoklius,

kadangi papildomos reikšm÷s reikalingos, nagrin÷jant dviejų pasaulių sąveikas. D÷l to naujos

procedūros ir metodika kuriama nagrin÷jimui hibridinių reiškinių, kaip tolydaus laiko ir

diskretaus funkcionavimo.

Egzistuoja keletas metodikų hibridinių sistemų imitaciniam modeliavimui.

Pagrindin÷s [36]:

1.3.1. Glotnus metodas (The Smoothing method)

Hibridinis modelis transformuojamas į glotnų metodą, kuris suvienodina hibridinio

modelio pasirinktus aspektus. Šis būdas sukuria įspūdį, kad jis yra besaikis (pvz., sistema

modeliuojama kaip hibridin÷ ir tada v÷l transformuojama į glotnią sistemą). Potenciali nauda

yra ta, kad gali būti lengviau sumodeliuoti sistemą, kaip hibridinę. Detaliau galima rasti [36].

1.3.2. Įvykio sekimo metodas (The event tracking method)

Įvykio sekimo metodas yra paplitęs būdas hibridinių sistemų imitaciniam

modeliavimui. Imitacinio modeliavimo seka [36] tokia:

1. Įvykio apdorojimas:

• Inicialų (naujos) tolydžios būsenos pažym÷jimas;

• Apibr÷žimas (naujo) metodo.

2. Tolydaus laiko dinamikos imitacinis modeliavimas su duotu metodu.

3. Įvykio sekimas.

Pirmiausia nustatomos pradin÷s sąlygos (pradiniai metodai/procesai ir pradin÷s

signalų reikšm÷s). Tada tolydaus laiko funkcionavimas modeliuojamas, kol susekamas įvykis.

12

Jei įvykis atsiranda, tiksli (arba artima) įvykio laiko reikšm÷ ir atitinkama tolydžios būsenos

(signalo) reikšm÷ apskaičiuojama. Tada naujos reikšm÷s ir metodas apibr÷žiami, o imitacinio

modeliavimo ciklas kartojamas.

1.3.3. Laiko žingsnio metodas (The time-stepping method)

Laiko žingsnio metode įvykiai n÷ra sekami. Pasirenkama tam tikra diskreti schema ir

tuomet hibridin÷ sistema priart÷ja prie diskretizuotos sistemos. Šis būdas tinkamas hibridinių

sistemų su atidžiai pasirinktomis diskretizavimo schemomis specifin÷ms klas÷ms. Detaliau

galima rasti [36].

1.3.4. Įvykio sekimo algoritmas

Įvykio sekimo metodas yra hibridinių sistemų imitacinio modeliavimo standartas.

Anderson [1] aptaria šios metodikos programas, skirtas objektiškai orientuotoms imitacinio

modeliavimo hibridin÷ms sistemoms. Panaudojimas įvykio sekimo 20-sim įrankyje (Skyrius

7,9) aptariamas [7]. [32] aptaria programas su įvykio sekimo metodu, skirtas fizinių

dinaminių sistemų imitaciniam modeliavimui. Hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas

Ptolemy II (skyrius 7,9) aptariamas [28]. [3] naudoja klasikinį būdą su mažais pakitimais

hibridinių dinaminių sistemų modeliavimui ir imitacinio modeliavimo struktūrai.

Tuo tarpu Fabian et al. [15] per÷m÷ imitacinio modeliavimo algoritmą Hybrid X

(skyrius 5) prid÷damas procesų apdorojimą. Algoritmas veikia tokia seka:

1. Pažymimi sistemos (būsenos ir procesų) inicialai.

2. Kol yra aktyvių procesų ir imitacinio modeliavimo laikas nepasibaigęs:

(a) Kol aktyvūs procesai:

i. Vykdomi neblokuojami sakiniai aktyvių procesų;

ii. Pradin÷s būsenos apskaičiuojamos;

iii. Tikrinamos sąlygos ir procesai rūšiuojami į aktyvius ir pasyvius.

(b) Jei yra laiko pereikvojimai, kurie bus aktyvūs greičiau nei minimalus sprendimo

žingsnis, procesai, kurie buvo blokuojami laiko, aktyvuojami ir ciklas žingsnyje (2)

kartojamas.

(c) Jei minimalus sprendimo žingsnis yra trumpesnis nei laiko iki artimiausio laiko

pereikvojimo DAE yra sprendžiama ir ciklas (2) kartojamas.

13

2. DEVS FORMALIZMO PANAUDOJIMAS HIBRIDINIŲ SISTEMŲ

MODELIAVIMUI

2.1. Apibendrintos diskrečiųjų įvykių abstrakcijos tolydžiosiose

sistemose

Imitacinių modelių kūrimas pradedamas nuo formalių specifikacijų, kurios yra

nepriklausomos nuo imitacijos įgyvendinimo detalių [23]. Bendras dinaminių sistemų

specifikavimas gali būti apibr÷žiamas trimis paradigmomis: diferencialinių lygčių rinkiniu,

diskretaus laiko formalizavimu ir diskretaus įvykio formalizavimu. Kruopščios analiz÷s metu

galima išskirti ir ketvirtą specifikavimo paradigmą – skirtingų lygčių formalizavimą.

Šių dienų skaitmeniniai kompiuteriai reikalauja diskretaus įvykio arba diskretaus laiko

metodikos naudojimo. Pagrįstos diskretaus laiko metodika, tolydžiosios imitacijos gali

reprezentuoti „švelnius pokyčius“ (soft changes) sistemos elgsenoje, o pagrįstos diskretaus

įvykio metodika imitacijos – „šiurkščius pokyčius“ (abrupt changes) sistemos elgsenoje.

Klasikin÷s diskretaus įvykio abstrakcijos pagrindin÷ charakteristika [40, 41] yra ta,

kad ji naudoja per visą atkarpą nekintančias į÷jimo-iš÷jimo trajektorijas tam, kad suformuotų

tolydžiųjų dinaminių sistemų diskrečiuosius įvykių modelius.

GDEVS (Generalized Discrete Event Specification) [21, 22] – tai naujas abstrakcijų

apibendrinimo būdas. Jame įvesties, išvesties ir būsenos trajektorijos gaunamos iš atkarpų

polinominių segmentų. Modeliuojant tolydžiuosius procesus, kaip klasikines diskrečiųjų

įvykių abstrakcijas, kurios leidžia spartesnį vykdymą, sutartinių polinominių funkcijų

panaudojimas segmentams užtikrina didesnį tikslumą. GDEVS abstrakcijos buvo panaudotos

loginiams į÷jimams su neapibr÷žtais v÷linimais [25] modeliuoti ir imituoti. Be to, GDEVS

paradigma siūlo galimybę formuoti tolygų būdą hibridinių (sudarytų iš tolydžiųjų ir

diskrečiųjų komponentų) sistemų modeliavimui.

Aptarsime apibendrintus diskrečiųjų įvykių modelius integratoriams, naudojant

atkarpomis tiesines į÷jimų ir iš÷jimų trajektorijas. Demonstruosime būsenos per÷jimus,

atsižvelgdami į sistemos vidinius ir išorinius įvykius, kurie taip pat lengvai formalizuojami

GDEVS‘e. Taip pat vaizduosime, kaip iš÷jimų klaidos lieka mažesn÷s GDEVS modelyje.

2.2. Keleto formalizmų apžvalga

2.2.1. Diskretaus įvykio elgsenos modelio specifikacija

Pagal DEVS [35, 40, 42] literatūrą, diskretaus įvykio modelio specifikacija yra

struktūra, tarkim M:

14

>=< DlYSXM ext ,,,,,, int δδ ; čia

X – aib÷ į÷jimų įvykių;

S – aib÷ nuoseklių būsenų;

Y – aib÷ iš÷jimų įvykių;

δint – vidinių per÷jimų funkcijos, kurios apibr÷žia būsenos pokyčius sukeltus vidinių

įvykių;

δext – išorinių per÷jimų funkcijos, kurios apibr÷žia būsenos pokyčius sukeltus išorinių

įvykių;

l – iš÷jimo funkcijos;

D – nusako maksimalų būsenos ilgį ar gyvavimo trukmę.

[42] pristato koncepciją, nusakančią visas būsenas (TS – total states) kaip sistemą:

( ) ( ){ }sDeSsesTS <<∈= 0,, , kur e nusako pra÷jusį laiką būsenoje s. Ši koncepcija

yra fundamentali. Ji leidžia apibr÷žti pagrįstą pra÷jusiu laiku būsimą būseną dabartin÷je

būsenoje. Potenciali nauda glūdi galimyb÷je filtruoti įvykius [10, 20], kuriuose planuojamas

būsenos pakeitimas bus realizuojamas modeliu tik tada, kai laiko intervalas, skiriantis du

pagrindinius įvykius, viršys iš anksto nustatytas reikšmes ir apims mechaninį įvykių

filtravimą konceptualiame lygyje. Pagrindinis ind÷lis DEVS‘o glūdi tradicin÷s per÷jimo

funkcijos susiskaidyme į vidinių ir išorinių per÷jimų funkcijas. Vidinių per÷jimų funkcija

apibr÷žta SS →:intδ , leidžia užimti savarankišką modelio raidą. Kai modelis yra būsenoje s

laiku it , tada galimas per÷jimas į būseną ( )ss int' δ= laiku ( )sDt i + numatant, kad jokio

išorinio įvykio negali atsirasti tuo metu.

2.2.2. Struktūrinio modelio specifikacija

Struktūrinis modelis apibr÷žiamas tokia struktūra:

>=< SelectIEEDMYXCM COCIC ,,,,,,, , kur

X - išoriniai įvesties įvykiai;

Y - aib÷ iš÷jimų įvykių;

D - aib÷ komponentų vardų;

DdMdM ∈= | - aib÷ komponentų;

ICE - išorinių į÷jimų poravimas;

OCE - išorinių iš÷jimų poravimas;

CI - vidiniai poravimai;

Select papildoma funkcija, pvz. { } DSelect D →−2: .

15

2.2.3. Dinaminių sistemų modeliavimas DEVS

Dinaminių sistemų modeliavimas DEVS‘e [29, 38, 39] susideda iš laiko intervale

nekintančių dinamin÷s sistemos segmentų, kurie gaunami per diskrečius įvykius sukuriant

į÷jimus, iš÷jimus ir būsenos trajektorijas.

Tolydžiosios dinamin÷s sistemos apibūdinamos laiko intervale nekintančiais į÷jimų ir

iš÷jimų segmentais. Kol iš÷jimai DEVS‘e yra tiesiogin÷ vidinių būsenų funkcija, būsenos

segmentas su unikalia reikšme gali būti siejamas su kiekvienu laiko intervale nekintančiu

iš÷jimo segmentu, apibr÷žtu per tą patį intervalą, kaip ir iš÷jimo segmentas. Be to, kaip

iš÷jimo segmento reikšm÷ yra konstanta su intervalu apibr÷žiančiu segmentą. Būsenos

segmentas gali būti laikomas laiko intervale nekintančiu be jokių nuostolių. Laiko intervale

nekintančios būsenos segmentai kartu sudaro būsenos trajektoriją. Tai svarbus žingsnis

formuojant DEVS specifikaciją dinamin÷ms sistemoms.

2.3. GDEVS imitacija

2.3.1. GDEVS modelių imitacijos semantika

Detaliau apie elgsenos semantiką galima rasti [24, 41]. Elgsenos (atominių) GDEVS

modelių imitacijos semantika yra duota GDEVS konceptualaus modeliavimo įrenginio. Jis

yra identiškas DEVS modeliavimo įrenginiui, bet įvykis apibr÷žiamas n-nariu vietoje

unikalios reikšm÷s.

Modeliavimo įrenginys naudoja du laiko kintamuosius lt ir nt . Pirmasis nusako

imitacijos laiką, kai paskutinis įvykis atsiranda, o antrasis – suplanuotą laiką, sekančio

intervalo įvykiui (jis gali būti begalinis pastoviai būsenai).

Pagal gyvavimo laiko funkcijos apibr÷žimą, seka, kad ( )sttt aln += . Jei duotas

globalus imitacijos laikas t, modeliavimo įrenginys gali skaičiuoti nuo šio kintamojo pra÷jusį

laiką diskrečioje būsenoje nuo paskutinio įvykio ltte −= .

GDEVS modeliavimo įrenginys.

kintamieji:

1t // paskutinio įvykio laikas;

nt // sekančio įvykio laikas;

y // veikiamojo iš÷jimo įvykio reikšm÷, susietų modelių, kai vidinis įvykis, laiku t.

( )sy λ= siunčia iš÷jimo įvykį:

( )ss intδ=

16

tt =1

( )stattn += 1

kai gaunamas į÷jimo įvykis (x,t) laiku t, su į÷jimo reikšme x

1tte −=

( )xess ext ,,δ=

tt =1

( )stattn += 1

end.

2.3.2. Pagrindin÷s charakteristikos GDEVS modeliavimo

įrenginio

GDEVS modeliavimo įrenginys konceptualiai skiriasi nuo DEVS modeliavimo

įrenginio tiktai „įvykio“ apibr÷žimais ir „žinut÷s“ klas÷mis. GDEVS‘e reikšmių sąrašas

korektiškai gerai parengtas grandin÷s sąrašo formoje, atsakančioje į koeficiento-įvykį.

Tikslus numeris reikšmių sąraše apibr÷žiamas polinomine tvarka. Panašios

modifikacijos taikomos „žinučių“ klasei.

DiamSim - išvystytas programin÷s įrangos paketas, skirtas apibendrintų diskrečiųjų

įvykių imitacijai. Šis paketas naudoja į įvykį orientuotą imitacijos branduolį [14] ir į vartotoją

orientuotą imitacijos kalbą [12, 25].

2.3.3. GDEVS specifikacija ir hibridinių sistemų imitacija

Hibridin÷ sistema [35] yra tokia, kurioje modelio specifikacija įtraukia abu

tolydžiuosius aprašymus diferencialinių lygčių formoje ir diskrečiuosius įvykius. H. Praehofer

[35] suformavo formalizmą, skirtą hibridin÷s imitacijos modelių specifikavimui. Šis

formalizmas naudoja tolydžiųjų ir diskrečiųjų įvykių poaibius. Taip pat H. Praehofer

iliustravo id÷ją rezervuarų užpildymo sistemai. Pagal GDEVS pastoviai naudojant

diskrečiuosius įvykius hibridin÷ sistema gali būti specifikuota ir duos panašius kokyb÷s

rezultatus.

Rezervuarų užpildymo pavyzdys yra geras įrankis intuityviai suprasti apibendrinimo

įtaką, būdingą GDEVS būdui. Jis parodo, kad hibridin÷ms sistemoms galima įgyvendinti

įvykio varomą imitaciją, vietoje diskretaus įvykio imituoklio (panaudojant tolydaus laiko

pagrindą) jungimo su tolydžiu imituokiu (panaudojant diskretaus laiko pagrindą).

Rezervuarų užpildymo sistema charakterizuojama per tolydžiuosius į÷jimus, inflow,

tolydžiuosius iš÷jimus, content, ir diskrečiuosius įvykių iš÷jimus, barrel. Content taip pat

17

veikia kaip būsenos kintamasis. Inflow sukelia content reikšm÷s pakitimus ir pirma content

išvestin÷ reikšm÷ yra lygi inflow. Rezervuaras laikomas pilnu kai content kintamasis pasiekia

10 reikšmę ir tada išvedama per diskrečiąją iš÷jimo jungtį barrel.

Kintamojo content reikšm÷ prilyginama nuliui. Duota, kad content pristato inflow

įkomponavimą laike, jo elgsena yra atkarpomis tiesin÷ ir jo individualūs segmentai gali būti

išreikšti GDEVS‘e diskrečiųjų kartu veikiančių įvykių formoje. Taigi rezervuarų

generatoriaus sistema gali būti modeliuojama suvienodinant diskrečiuosius įvykius

GDEVS‘e. Barrel ir content perduoda tradicinę hibridinę specifikaciją.

GDEVS imitacijos vykdymo procesas tiriamas per būsenos per÷jimo vykdymą ir

iš÷jimų funkcijas, naudojant GDEVS konceptualų modeliavimo įrenginį.

Tarkime, kad dvinaris (ac, bc) pristato tiesin÷s funkcijos koeficientą, content, ir kad

sigma tiksliai nusako būsenos gyvavimo laiką, tada kitos funkcijos sukomplektuoja GDEVS

modelio apibr÷žimą.

,),,),,((( einsigmabcacextδ inflow)

bceacbc += .:

=:ac inflow

truein =:

0:=sigma

),),,((int insigmabcacδ

if in = false then 0:=bc

acsigma /10:=

else if ac = 0 then =:sigma infinity

else acbcsigma /)10(: −=

endif

in:=false

endif

),),,(( insigmabcacλ

if in = false send out the barrel to output barrel

and send out (ac,0) to port-content

else send out (ac,bc) to port-content

2.4. Integratorius

Naudojant sujungtų modelių koncepciją, sud÷tinių modelių charakterizavimui

siūlomas pirmos eil÷s GDEVS integratoriaus modelis. Tai pagrindinis elementas

18

tolydžiuosiuose modeliuose [8]. Pamatysime, kaip GDEVS integratoriaus iš÷jimas pasilieka

mažesnis, nei duotoji tolerancija ir kokia yra galimyb÷ pakeisti šią toleranciją, atsižvelgiant į

skirtingas strategines alternatyvas.

2.4.1. Pirmos eil÷s GDEVS integratoriaus abstrakcija

Tarkime, kad realaus laiko imitacin÷s sistemos į÷jimo signalas, pavadintas

integratoriumi, yra seka tiesinių segmentų. Jie nusakyti trinariu ( )iii Xst ,, , kur it - laikas, per

kurį įvyksta įvykis, is - nuožulnumas naujos į÷jimo atkarpos trajektorijos, ir iX į÷jimo

reikšm÷ laiku it . Į÷jimo trajektorijos segmentai apibr÷žti kaip:

iii Xttstx +−= )()( , [ ]., 1+∈∀ ii ttt

Jų integralas ir integratoriaus iš÷jimas yra parabol÷:

).()()(2

1)(

2 ivii

i

v tyttXtts

ty +−+−

=

Praktikoje, realaus laiko situacijoje, sekančio įvykio atsitikimas, pvz. 1+it , n÷ra

žinomas. Tikslas yra apibūdinti iš÷jimo trajektorijos seką atkarpomis tiesinių segmentų

{ }jj ty )( , apibr÷žtų laiko intervalų seka [ ]{ }

jjiji tt 1,, , + tokia, kad:

] [ ]1,,11 ,, +=+ = jiji

n

jii ttEtt , kur ii tt ≡1, , 11, ++ ≡ ini tti

, iii nttn τ=−Ν∈∃ +1: , su jijii tt ,1, −= +τ ir kur

iš÷jimo signalas )(ty tenkina:

{ }inj ,...2,1∈∀ Rji ∈∃ ,β [ ];, 1,, +∈∀ jiji ttt

);()()()( ,,, jivjijij tytttyty +−=≡ β

ε<− )()( tyty v užtikrina mažesnį klaidų skaičių modelyje nei duotoji tolerancija ε.

Kai kurios parabol÷s savyb÷s veda prie fakto, kad iš÷jimo klaida )()( tyty v− pasiekia

savo limitą ε per laiką iτ , duota iš: i

is

ετ

2= ir laiko intervalai yra vienodo ilgio, pvz.,

iii tt −= +1τ . Tuomet procedūra yra iš÷jimo reikšm÷s forsavimas prie tikrosios reikšm÷s

)( ivy τ , pridedant arba atimant esamą iš÷jimo reikšmę )( ijy τ prie tolerancijos ε, atsižvelgiant

į į÷jimo poslinkio požymį εττ ⋅+= )()()( iijiv ssignyy .

Taigi segmentacija iš÷jimo trajektorijos gali būti vykdoma atsižvelgiant į

)()()()( ,,, jivjijij tytttyty +−=≡ β išraišką laiko intervale [ ]1, +ii tt , kur iii tt τ+=+1 [8].

19

Komentarai: Pagrindinis tikslas yra pasiektas tuo požiūriu, kad pagal tinkamą tikslumą galima

modeliuoti integratoriaus iš÷jimą. Naudojant tą patį formalizmą, su kuriuo į÷jimo signalas yra

duotas, t.y. su atkarpomis-tiesinių trajektorijų apibūdinimo parametrais. Tiksliau, galima

palyginti iš÷jimo trinarį ( )jijiji Yt ,,, ,,β , nusakantį iš÷jimo įvykius, ir atitinkamai į÷jimo trinarį

( )iii Xst ,, , nusakantį į÷jimo įvykius.

GDEVS modelius galima pasiūlyti realaus laiko imitacin÷ms sistemoms, aprašant

taisykles, numatančias būsenos per÷jimų aprašymus:

1. Išoriniai per÷jimai, naudojant extδ funkciją, d÷l pakeitimų į į÷jimų įvykius

( )iii Xst ,, .

2. Vidiniai per÷jimai, naudojant intδ funkciją, d÷l tikslumo apribojimo, t.y. ε, ir jo

rezultato iτ , vedant prie iš÷jimo įvykių ( )jijiji Yt ,,, ,,β išraiškų.

2.4.2. Aukštesn÷s eil÷s integratoriaus GDEVS abstrakcija

Nagrin÷jamas atvejis, kai į÷jimo ir iš÷jimo trajektorijos daugiau neb÷ra atkarpomis

tiesiniai segmentai, o polinomin÷s laiko tvarkos n funkcijos tokios, kad: nat .

n-tos eil÷s polinomą ( ) 00

11

11 ... tatatatatP n

n

n

nn ++++= −− galima užrašyti trumpiau:

( ) n

n attP ≡ .

Tarkim, P yra aib÷ polinomų, apibr÷žtų nR , o PP:Ø → paskirstymas apibr÷žtas P. P

yra matrica, nuo kurios priklauso pagrindiniai pasikeitimai. Ji yra tokia, kad bet kuri polinomo

funkcija n-tos eil÷s ( )txn susijusi su n-tos eil÷s polinomine funkcija ( )'' txn :

( )( ) ( )''nn xxØ tt ≡

( ) 011

1 ... atatatx n

nn +++= −−

( ) n

n attx ''' ≡

Taigi, problema dabar sumaž÷ja šitaip:

duota į÷jimo trajektorija x(t) nusakyta seka atkarpų n-tos eil÷s polinomų segmentų

( ){ }i

n

ii tatx = - suprastinimui numetame kablelius tarp kintamųjų x,y,...t – ar galima

charakterizuoti integruotą signalą ( )tyv seka atkarpų n-tos eil÷s polinominių segmentų

( ){ }k

n

kk tbty = .

Tuomet pagrindin÷ problema:

20

duota į÷jimo trajektorija ( ) nattx = laiko intervale [ ]it,0 , ar yra kokių nors baigtinių

sekų ( ){ }jj ty , apibr÷žtų laiko intervalų seka [ ]{ }

jjj tt 1, + , priart÷jančių prie tikros integralin÷s

funkcijos ( )tyv nuo ( )tx tokios, kad:

• [ ] [ ]U

n

j jji ttt1 1,,0

= +=, 01 =t , in tt =+1 ;

• ( ) ( )

j

n

jjj Yttbty +−=,

[ ]1, +∈∀ jj ttt, kur

( )jvj tyY ≡

;

• Duotam realiam teigiamam ε, ( ) ( ) ε≤− tyty jv ,

[ ]1, +∈∀ jj ttt.

Kaip ir i

is

ετ

2= , maksimali leidžiama klaida ε pasiekiama tuo pačiu laiku τ ,

paprastai susietu su į÷jimo poslinkiu a, iš÷jimo poslinkiu b ir trajektorijos eile n: a

bn=τ .

Leidžiamas iš÷jimo poslinkis nusakomas: n

n

n an

nb ε

11 +=+ . Kai 1=n , rezultatai

gaunami kaip ir pirmos eil÷s integratoriaus. Parametrizuotam aprašymui į÷jimo–iš÷jimo

trajektorijos gali pristatyti sekančių parametrų, galutinai apibr÷žiančių į÷jimo ir iš÷jimo

įvykius, vektorius:

( );,,...,,, ,0,1,1, iiinini aaaat −

( );,,...,,, ,,0,,1,,1,,, jijijinjinji bbbbt −

atsakant į įvykių laiko pasireiškimą ir jų polinominius koeficientus, atitinkamai į÷jimo ir

iš÷jimo įvykiams.

Pasiūlytas integratorius pirmiausia pasikeis naudodamas paskirstymą Ø, į÷jimo įvykį

( )iiinini aaaat ,0,1,1, ,,...,,, − pagrindiniame į÷jimo įvykyje ( )'' , ii at prieinamame laiko intervale

[ ]'1

' , +ii tt . Tuomet iš÷jimo segmentacija vykdoma atsižvelgiant į i

is

ετ

2= ir n

n

n an

nb ε

11 +=+ ,

pateikiant pagrindinius iš÷jimo įvykius ( )',

', , jiji bt . Galiausiai, naudojant atvirkštinį

paskirstymą -1Ø gaunami ( )jijijinjinji bbbbt ,,0,,1,,1,,, ,,...,,, − iš÷jimo įvykiai. Ši procedūra yra visiškai

suprantama vartotojui.

2.4.3. GDEVS ir hibridin÷s sistemos

Hibridinio metodo imitacija yra diskretaus įvykio modelių ir diferencialinių lygčių

modelių imitacija[2, 11, 16, 33, 34]. Hibridinio metodo imitacija įtraukia diskretaus įvykio

imitatoriaus (su tolydaus laiko pagrindu) ir tolydaus imitatoriaus (su diskretaus laiko

pagrindu) sujungimą. Tolydieji imitatoriai naudoja laiko varomą mechanizmą (laiko progresas

21

žingsniais), tuo tarpu diskretieji įvykio imitatoriai naudoja įvykio varomą paradigmą (laiko

progresas šuoliais). Efektyvus metodas sinchronizacijai tarp dviejų laiko pristatymų lieka

sunkiai suprantamas. Ši sinchronizavimo problema neegzistuoja GDEVS paradigmoje,

kadangi laiko atvaizdavimas yra unikalus ir visi imitatoriai yra įvykiu varomi.

Esmin÷ problema lygiagrečios ir paskirstytos imitacijos yra sinchronizacija. Time

Warp algoritmas [18, 19] yra dažniausiai naudojamas sinchronizacijos protokolas, diskretaus

įvykio modelių paskirstytosioms imitacijoms. Bet paskirstytos hibridinių modelių imitacijos

numato specifinių protokolų panaudojimą, kurie gali vadovauti tolydaus ir diskretaus laiko

atvaizdavimams.

Naudojant GDEVS paradigmą hibridiniam modeliavimui, tereikia panaudoti Time

Warp algoritmą, kuris pad÷tų išvengti specifinių sinchronizacijos protokolų panaudojimo.

22

3. PLA FORMALIZMAS

3.1. Atkarpomis-tiesiniai agregatai

Aprašant sistemą, sistemos būsenų aib÷je S yra išskiriama baigtin÷ pagrindinių būsenų

aib÷ { }sI , 2, 1, 0, K= . Šios aib÷s elementai I∈ν yra pagrindin÷s agregato būsenos.

Kiekvienai pagrindinei būsenai yra priskiriamas sveikas neneigiamas skaičius ν , kuris

vadinamas būsenos rangu, bei išgaubtas daugiakampis ( )νZ , nusakytas ν išmatavimų

Euklido erdv÷je. Sakoma, kad būsenų aibę ( )U

I

ZZ∈

=ν

ν sudaro poros ( )( )νν z, , čia I∈ν , o

( ) ( )νν Zz ∈ . ( )νz – vadinamos papildomomis agregato koordinat÷mis.

Pradiniu laiko momentu t0 agregatas yra būsenoje ( ) ( ) ( )( )0,0νν ztz = , čia ( ) ( ) ( )νν Zz ∈0 .

Jei n÷ra į÷jimo signalo, kai t > t0, taškas ( ) ( )tz ν juda srityje ( )νZ tol, kol pasieks šios srities

kontūrą. Laiko momentas t1, kai pasiekiamas kontūras, vadinamas atraminiu.

Daugiakampio Z kontūras yra aprašomas lygtimis:

( ) ( ) ( ) 0 01

=+∑=

νν

νν γγ j

i

iji z , ( )νmj ,,1 K= ;

čia m(ν) – kontūrų skaičius;

( )νiz – vektoriaus ( )νz komponent÷s, ν,,1K=i ;

( )νγ ji – sistemos parametrais apibūdinami dydžiai.

Atraminiu laiko momentu agregato pagrindin÷ būsena kinta iš ν į ν ′ , o agregato

papildomos koordinat÷s įgyja reikšmę ( ) ( )1tz ν ′ ∈ ( )ν ′Z .

Papildomos koordinat÷s kinta srityje ( )ν ′Z tol, kol nepatenka ant šios srities kontūro.

Tam įvykus, agregatas v÷l keičia būseną.

Atkarpomis-tiesinio agregato būsenai patekus į srities kontūrą, yra generuojamas

iš÷jimo signalas Yy∈ , čia Y – iš÷jimo signalų aib÷, kuri yra analogiška aibei Z. Iš÷jimo

signalo struktūra

( )( )λλ yy ,= ;

čia λ – iš÷jimo signalo diskreti dalis;

( )λy – iš÷jimo signalo papildomų koordinačių vektorius, priklausantis nuo λ:

( ) ( )( )

( )( )λλ

λλry,,yy K1= .

23

Jei laiko momentu *t į agregatą yra paduodamas į÷jimo signalas, tai agregato

papildomos koordinat÷s nustoja kitusios ir agregato būsena akimirksniu pereina į kitą tos

pačios ar kitos srities ( )ν ′′Z tašką.

Į÷jimo signalas turi struktūrą, analogišką iš÷jimo signalo struktūrai, t.y.: ( )( )µµ xx ,= .

Į÷jimo signalo at÷jimo momentu agregatas išduoda iš÷jimo signalą ir šis momentas

taip pat yra atraminis. Toliau taškas ( ) ( )tz ν ′′ srityje ( )ν ′′Z juda taip pat, kaip buvo aprašyta

anksčiau.

Kai n÷ra į÷jimo signalų, atkarpomis-tiesinio agregato būsenos kitimas aprašomas

tokiomis lygtimis:

( ) constt ==νν ; ( )

( )νν

α−=dt

dz;

čia ( )να – pastovus vektorius, turintis pavidalą ( ) ( )( )

( )( )νν

νν ααα m,,1 K= .

Vektorin÷je formoje diferencialin÷s lygties sprendinys ( ) ( )tz ν gali būti užrašytas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 ttztz −+= ννν α .

Spręsdami papildomų koordinačių kitimo ir sričių kontūrų lygtis, kartu galime

apskaičiuoti ir laiko momentus, kai papildomų koordinačių reikšm÷s patenka į kontūrus. Pvz.,

pirmas atraminis laiko momentas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

>∈−+=

=0

101 ,0:min ttZttztt

m

i

jj

Uν

ννν α

arba

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

=+−+>= ∑=

00 , :min 001

01ννν

νν γαγ jiji

i

jij

ttztttt .

Minimumas yra ieškomas indeksų ( )νmj ,,1K= aib÷je.

Jeigu pažym÷sime: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )νν

νννν

ν αγγγτ i

i

jiji

i

jij z ∑∑==

+−=

10

1

0 ir { }0:min >= jj τττ ,

tai laiko momentas, kai pirmą kartą pasiekiamas kontūras, yra: τ+= 01 tt .

Patekus į kontūrą, nauja pagrindin÷ būsena ν ′ apibr÷žiama tikimybių skirstiniu 1P ,

priklausančiu tik nuo būsenos ( )1tz . Siekiant apibr÷žti papildomų koordinačių vektorių ( )ν ′z ,

sudaromas pagalbinis vektorius η, kurio skirstinys nepriklauso nuo proceso istorijos, o

priklauso tik nuo ν ir ( )νz .

Papildomų koordinačių vektorius apskaičiuojamas: ( ) ( )( ) ( )νννν η ′′ ×= zLzz ,* ;

Čia ( )νν ′zL – matrica, kurios elementai priklauso nuo ν, ν ′ ir ( )ν

*z ; ( ) ( )τνν zz =* .

24

Kai ateina į÷jimo signalas ( )( )µµ x, , naują pagrindinę būseną ν ′′ nusako tikimybinis

skirstinys P2, kuris priklauso nuo ν, ( )ν*z ir µ.

Papildomų koordinačių vektoriaus ( )ν ′′z apibr÷žimui sudaromas papildomas vektorius

ξ, kurio pasiskirstymas nepriklauso nuo proceso istorijos, o priklauso nuo ν, ( )ν*z ir µ.

( ) ( ) ( )( ) ( )ννµνν ξ ′′′′ ×= ,* ,, xLxzz ,

čia ( )νν ′′,xL – matrica, kurios elementai priklauso nuo ν, ( )ν

*z , ν ′′ ir µ.

Iš÷jimo signalas formuojamas, kai ( )νz pasiekia kontūrą arba ateina į÷jimo signalas

(laiko momentu t ′ ).

Pirmu atveju:

( )( )νννλλ *,, z′= ;

( ) ( )( ) ( )νννλ η ′×= yLzy ,* .

Matricos ( )νν ′yL elementai priklauso nuo ν, ν ′ ir

( )ν*z .

Antru atveju:

( ) ( )( )µννλλ ν ,,, tz ′′′= ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ννµνλ ξ ′′×′= yLxtzy ,, .

Matricos ( )νν ′′yL elementai priklauso nuo ν, ν ′′ , ( ) ( )tz ′ν ir µ.

3.2. Valdančiųjų sekų metodo panaudojimas agregatų

funkcionavimo formalizavimui

Atkarpomis-tiesiniai agregatai priklauso automatų modelių klasei. Kaip ir automatas,

atkarpomis-tiesinis agregatas aprašomas nurodant būsenų aibę Z, į÷jimo signalų aibę Y bei

per÷jimo operatorių (atvaizdavimą) H ir iš÷jimo operatorių G. Tačiau agregatas turi nemažai

ypatybių, skiriančių šį modelį nuo automatinių modelių.

Agregato funkcionavimas stebimas aib÷je laiko momentų Tt∈ , t.y. agregato būsena

Zz∈ yra laiko funkcija ( )tz . Atkarpomis-tiesinio agregato būsenos struktūra yra tokia pat,

kaip ir atkarpomis-tiesinio Markovo proceso, t.y.: ( ) ( ) ( )( );, tzttz νν=

čia ( )tν – diskreti būsenos komponent÷;

( )tzν – tolydi būsenos komponent÷.

Bendru atveju,

( ) ( ) ( ) ( ){ },,,, 21 tttt mνννν K= ( ) ( ) ( ) ( ){ }tztztztz kνννν ,,, 21 K= ,

čia ( )tiν – i-ji diskrečios komponent÷s koordinat÷;

( )tzvi – i-ji tolydžios komponent÷s koordinat÷.

25

Kai n÷ra į÷jimo signalų, agregato būsenos kinta taip:

( ) const=tν , ( )

νν α−=dt

tdz;

čia ( )kνννν αααα ,,, 21 K= – pastovus vektorius.

Agregato būsena gali pakisti tik dviem atvejais: kai į agregatą yra paduodamas į÷jimo

signalas arba kai viena iš tolydžios komponent÷s koordinačių įgyja tam tikrą reikšmę.

Tarkime, turime agregatą, su N į÷jimo ir M iš÷jimo sąveikavimo taškų (ST)

Agregatas...

xN N

x1 1

x2 2

y 11

y 22

yMM

.

.

.

1 pav. Agregato schematinis atvaizdavimas

Į÷jimo signalai Xxxx w ∈,...,, 21 yra paduodami į į÷jimo ST. Signalai

NiXx ii ,1 , =∈ , yra vadinami elementariais signalais, o aib÷ iX yra vadinama elementarių

signalų aibe. Bendru atveju elementarus signalas yra vektorius, t.y. ( )ir

iiii xxxx ,,, 21K= , be to,

šio vektoriaus koordinačių reikšm÷s priklauso atitinkamai aibei, t.y. i

j

i

j

i rjXx ,1 , =∈ .

Elementarūs signalai, kurie gali ateiti į i-jį ST, sudaro aibę:

NiXXXX ir

iiii ,1 ,21 =×××= K .

Agregatų į÷jimo signalų aib÷ yra lygi aibių iX sąjungai, t.y.:

UN

i

iXX1=

= .

Analogiškai yra apibr÷žiama iš÷jimo signalų aib÷:

{ } { } ;,,, ,,,, 21121 l

s

lllM YyyyyyyyY i ∈== KK

l

k

l

k

l skMlYy ,1 ,,1 , ==∈ .

Elementarių signalų aib÷ išeinanti iš l-jo ST yra lygi:

MlYYYY ls

llll ,1 ,21 =×××= K .

Agregato iš÷jimo signalų aib÷:

UM

l

lYY1=

=.

Agregato funkcionavimas yra nagrin÷jamas diskrečiais laiko momentais, kurie

priklauso aibei { }...,...,,, 10 mtttT = . Tais laiko momentais gali įvykti vienas ar keli įvykiai,

26

kurie sukelia agregato būsenos pasikeitimą. Agregato įvykių aibę EEE ′′∪′= sudaro du

nepersikertantys poaibiai =′′∩′ EE ∅. Aibę { }NeeeE ′′′=′ ...,,, 21 sudaro įvykiai, kurie įvyksta

d÷l į÷jimo signalų at÷jimo. Tarp aibių X ir E’ elementų yra funkcinis ryšys. Poaibis

{ }feeeE ′′′′′′=′′ ...,,, 21 yra vadinamas vidinių įvykių poaibiu, čia { }K,3,2,1 , =′′=′′ jee iji ,

,,1 fi = yra agregato vidiniai įvykiai, f – operacijų, kurios gali vykti agregate, skaičius. Aib÷s

E ′′ įvykiai fiksuoja operacijų pabaigą.

Laiko momentų aib÷ T susideda iš dviejų poaibių:

TTT ′′∪′= ;

čia T ′ – laiko momentų poaibis, kurį sudaro laiko momentai, kada ateina į÷jimo

signalai;

T ′′ – vidinių įvykių įvykimo laiko momentai.

Kiekvienam vidiniam įvykiui Eei ′′∈ yra priskiriama valdanti seka, t.y.:

( ){ }i

jie ξa′′, ∞= ,1 j ;

čia ( )ijξ – operacijos trukm÷, kuriai pasibaigus įvyksta vidinis įvykis.

Taip pat nurodoma skaitliukų aib÷:

( ){ },, mi ter ′′ ;,1 fi =

čia ( )mi ter ,′′ – "ie įvykių skaičius, kuris įvyko laiko intervale [ ]mtt ,0 .

Tam, kad būtų galima apibr÷žti operacijų pradžios ir pabaigos momentus, yra

naudojamos aib÷s valdančiųjų sumų:

( ){ }mi tes ,′′ , ( ){ }mi tew ,′′ , fi ,1 = ;

čia ( )mi tes ,′′ – operacijos pradžios momentas, kuriai pasibaigus įvyksta "ie įvykis;

( )mi tew ,′′ – operacijos pabaigos momentas.

Neprioritetinių operacijų atveju, valdanti suma ( )mi tew ,′′ yra apibr÷žiama taip:

( )( ) ( )

∞

+′′=′′

+′′

atveju.priešingu , įvykis įvyks ,pasibaigus kuriai

operacija, vykstamomentu laiko jei

,

,,, "

1,

i

mtermi

mi e

ttes

tewmi

ξ

Begalyb÷s simbolis (∞) yra naudojamas pažym÷ti, kad laiko momentas, kai pasibaigs

operacija, yra nežinomas.

27

Pateiktas valdančios sumos apibr÷žimas yra naudojamas sudarant imitacinius

modelius. Kai agregatinis modelis yra naudojamas sistemų formalizavimui ir sistemos

funkcionavimo korektiškumo analizei, valdanti suma apibr÷žiama taip:

( )

∞

∞<=′′

atveju.priešingu , įvykis įvyks ,pasibaigus

kuriai operacija, vykstamomentu laiko jei

,

,, "

i

m

mi e

t

tew

Įvedus valdančias sumas, agregato būsenos tolydi komponent÷ įgauna pavidalą:

( ) ( ) ( ) ( ){ }mfmmm tewtewtewtz ,,,,,, 21 ′′′′′′= Kν .

Tolydžios komponent÷s koordinat÷s apibr÷žia laiko momentus, kada agregate gali

įvykti įvykiai. Be to, visada ( ) mmi ttew ≥′′, .

Agregato būsena ( )mtz kinta diskrečiais laiko momentais tm , m = 1, 2, …, ir išlieka

pastovi laiko intervalais [ )1, +mm tt , m = 0, 1, 2, …, čia 0 t – pradinis sistemos funkcionavimo

momentas.

Kai yra žinoma agregato būsena ( )mtz , m = 0, 1, 2, …, laiko momentas 1+mt , kai

įvyksta sekantis įvykis, paskaičiuojamas taip:

( ){ }mii

m tewt ,min=1 ′′+ , fi ≤≤1 .

Operatorius H apibr÷žia naują agregato būseną:

( ) ( )[ ] EEeetzHtz iimm′′∪′∈=+ , ,1 .

Operatorius G apibr÷žia iš÷jimo signalus:

( )[ ] YyEEeetzGy iim ∈′′∪′∈= , , , .

3.3. Agregatinių sistemų formalizavimas

Nagrin÷sime sistemą, susidedančią iš K agregatų (įskaitant ir išorin÷s aplinkos

agregatus). Tarkime, k-sis agregatas turi Nk į÷jimų ir Mk iš÷jimų. L – bendras skaičius ryšio

kanalų, kuriais perduodami signalai tarp agregatų.

Apibr÷šime agregatų į÷jimų matricą

( )ijrR =

, ,,1 Li = 2,1=j ,

čia r1i – numeris agregato, priimančio į÷jimo signalą iš i - jo ryšio kanalo, r1i

=1,2,…,K;

r2i – numeris r1i - jo agregato į÷jimo, į kurį ateina signalas i - ju kanalu, 1 ≤ r2i ≤ Nr.

Agregatų iš÷jimų matrica aprašoma taip:

( )ijhH = , ,,1 Ki = { },max,1

1k

KkMj

≤≤=

28

čia hij – numeris kanalo, į kurį persiduoda i - jo agregato j - jo iš÷jimo signalas,

1 ≤ h2i ≤ L;

R ir H matricos vienareikšmiškai apibr÷žia, kur yra perduodami agregatų iš÷jimo

signalai. Toliau pateikiamos matricos R ir H skirtos agregatinei sistemai, pateiktai [1pav.

Agregato schematinis atvaizdavimas]:

=

=

0011

0109

087

465

321

,31222111321

04043302221HR .

Kiekvienu kanalu gali būti perduodamas tik vienas signalas, kuris yra iš÷jimo signalas

vienam sistemos agregatui ir į÷jimo – kitam. Atsižvelgiant į tai, jog agregatin÷ sistema yra

uždara, t.y. į ją nepatenka jokie išoriniai signalai ir iš jos neperduodami jokie signalai, tai

į÷jimo signalų atsiradimas agregatuose įmanomas tik vidinių įvykių rezultate, viename iš

agregatin÷s sistemos agregatų.

1 9 2

1 11 3

7 2

2

1

3

1 1 1

1

2 8 2

1

3 3 3

1

2 2 2

A1

A2

A3

A4

4

1

10

2 6

5

1

2 pav. Agregatin÷ sistemos schema

Aib÷ įvykių, kurie gali įvykti agregatin÷je sistemoje:

;1UK

k

kEE=

′′=

čia kE ′′ – aib÷ įvykių, vykstančių k-me agregate.

Aib÷ laiko momentų, kurių metu įvyksta įvykiai iš aib÷s E

;1UK

k

kTT=

′′=

čia kT ′′ – aib÷ laiko momentų, kurių metu vyksta vidiniai įvykiai k-me agregate.

Kitas laiko momentas tm+1, kurio metu įvyksta įvykis iš aib÷s E, aprašomas taip:

29

( ) .minmin ,)(),(1

1

′′=

′′∈′′∈′′≤≤+ mrk

Ee

tztewKkm tewt

kr

mkmrk υ

Iš÷jimo signalai gali būti formuojami tik įvykių iš aib÷s E įvykimo momentais ir tod÷l

į÷jimo signalų atsiradimo momentai apibr÷žiami aukščiau pateikta išraiška.

Iš÷jimo signalų aib÷

;1UK

k

kYY=

=

čia Yk –k-jo agregato iš÷jimo signalų aib÷. Naudojant matricą H kiekvienam iš÷jimo

signalui iš aib÷s Y paskiriamas kanalas, kuriuo jis turi būti perduodamas. Matrica R apibr÷žia

agregatą ir į÷jimo numerį, į kurį paskirtu kanalu perduodamas iš÷jimo signalas.

Žemiau yra pateikiamas agregatin÷s sistemos modeliavimo algoritmas:

1. Formuojamos agregatų pradin÷s būsenos:

( ) ( ) ( ) ( ){ } .,1 , ; ; 0000 Kktztrttz k

kkk == νν

2. Nustatomas laiko momentas tm+1, kada įvyks sekantis vidinis įvykis, ir numeris

k-jo agregato, kuriame tas įvykis įvyks.

3. Apibr÷žiama nauja k-jo agregato būsena zk(tm+1) pagal išraišką:

( ) ( )[ ] EeetzHtz iimkmk′′∈=+ , ,1 ir formuojami iš÷jimo signalai, priklausantys aibei Y

~;

[ ] .~

, YyEe, ), e(tzGy iimk ∈′′∈=

Visiems likusiems agregatams fiksuojama nauja būsena: ( ) ( ) . ,,1 ,1 KiKitztz mimi ≠==+

Agregatų, kurių numeris nelygus k, tiek diskrečių, tiek ir tolydžių būsenų dedamosios

išlieka nepakitę.

4. Tikrinama aib÷ Y~

. Jei aib÷je Y~

yra bent vienas elementas yi∈Yk, 1≤ i ≤Mk, 1 ≤

k ≤ K, tuomet, naudojantis matrica H, nustatomas kanalo numeris hki, kuriuo turi būti

perduodamas iš÷jimo signalas. Naudojantis matrica R nustatomas agregato numeris ik

hr1 ir

į÷jimo poliaus ik

hr2 , kur perduodamas į÷jimo signalas yi Pereinama prie 5 žingsnio. Jei Y~

=

∅, tai pereinama prie 2 žingsnio.

5. Apibr÷žiama nauja agregato ik

hrk 1= būsena, kai ateina į÷jimo signalas xi,

čia ik

hri 2= ir formuojamas iš÷jimo signalas, kuris fiksuojamas aib÷je Y~

.

Elementas yi pašalinamas iš aib÷s Y~

. Pereinama prie 4 žingsnio.

30

4. HIBRIDINöS SISTEMOS PLA SPECIFIKACIJOS SUDARYMAS

4.1. Naftos produktų rezervuarų užpildymo konceptualusis modelis

Naftos produktai pilami iš laivo į rezervuarų sistemą. Išpylus naftos produktus iš laivo,

laukiama, kol atplauks kitas laivas. Išpylimas atliekamas 3 etapais:

1. Atplauk÷ laivas, pradedami pilti naftos produktai. Pylimo greitis šiame etape

didinamas tiesiškai nuo 0 iki nustatyto maksimalaus greičio.

2. Pasiekus maksimalų naftos produktų pylimo greitį, toliau pylimas atliekamas šiuo

maksimaliu greičiu.

3. Prieš baigiant produktų išpylimą, pylimo greitis mažinamas nuo maksimalaus iki 0

taip pat tiesiškai.

Užsipildžius vieną rezervuarą, iš karto pradedamas pildyti kitas.

Sistemos matematinio modelio sudarymui buvo naudojama rezervuaro, užpildyto

naftos produktais, aukščio (h) priklausomyb÷ nuo rezervuaro pagrindo ploto (S), pylimo

greičio (ρ) ir pylimo laiko (t):

( ) ( )∫=t

dttS

th0

1ρ , čia ( ) 00 =h

4.1.1. Agregato LAIVAS matematinis aprašymas

1. Į÷jimo signalų aib÷: Ø.

2. Iš÷jimo signalų aib÷: { }4321 ,,, yyyyY = ;

čia 1y - pradedamas pylimas;

2y - pasiektas maksimalus pylimo greitis;

3y - pradedamas pylimo stabdymas;

4y - pylimas baigtas.

3. Išorinių įvykių aib÷: ='E Ø.

4. Vidinių įvykių aib÷: { }''4''3

''2

''1

'' ,,, eeeeE = ;

čia ''1e - pradedamas pylimas;

''2e - pasiektas maksimalus pylimo greitis;

''3e - pylimas pradedamas stabdyti;

''4e - pylimas baigtas.

5. Valdymo sekos: { }∞=

→0

''1 jje η ;

31

čia jη - laiko intervalas tarp dviejų laivų atplaukimo;

321 τττη ++>j .

6. Diskrečioji būsenos dedamoji Ø.

7. Tolydžioji būsenos dedamoji:

),( ''1 mteω - laiko momentas, kada pradedamas pylimas;

),( ''2 mteω - laiko momentas, kada pasiektas maksimalus pylimo greitis;

),( ''3 mteω - laiko momentas, kada pylimas pradedamas stabdyti;

),( ''4 mteω - laiko momentas, kada pylimas baigiamas.

8. Parametrai:

0ρ - maksimalus pylimo greitis;

1τ - laiko intervalas nuo pylimo pradžios iki maksimalaus pylimo greičio;

2τ - laiko intervalas nuo maksimalaus pylimo greičio iki pylimo stabdymo;

3τ - laiko intervalas nuo pylimo stabdymo iki pylimo pabaigos.

9. Pradin÷ būsena:

10''

1 ),( ηω =te .

10. Per÷jimo ir iš÷jimo parametrai:

][ ''1eH : / pradedamas pylimas /

jmm tte ηω +=+ ),( 1''

1 .

][ ''1eG : { }1yY = ; čia

1

01 τ

ρ=y .

][ ''2eH : / maksimalus pylimo greitis /

11''2 ),( τω +=+ mm tte .

][ ''2eG : { }2yY = ; čia 02 ρ=y .

][ ''3eH : / stabdomas pylimas /

21''

3 ),( τω +=+ mm tte .

][ ''3eG : { }3yY = ; čia

3

03 τ

ρ−=y .

][ ''4eH : / pylimas baigtas /

31''4 ),( τω +=+ mm tte .

][ ''4eG : { }4yY = .

32

4.1.2. Agregato REZERVUARAS matematinis aprašymas

1. Į÷jimo signalų aib÷: 1x - atiteka naftos produktai iš laivo.

2. Iš÷jimo signalų aib÷: Ø.

3. Išorinių įvykių aib÷: { }'4

'3

'2

'1

' ,,, eeeeE = ;

čia '1e - naftos produktai prad÷jo tek÷ti iš laivo;

'2e - pasiekiamas maksimalus naftos produktų pylimo greitis;

'3e - l÷t÷ja naftos produktų pylimo greitis;

'4e - naftos produktai nebeteka.

4. Vidinių įvykių aib÷: { }''3''2

''1

'' ,, eeeE = ;

čia ''1e - rezervuaras užsipild÷, kol nebuvo pasiektas maksimalus pylimo greitis;

''2e - rezervuaras užsipild÷, kai jau buvo pasiektas maksimalus pylimo greitis;

''3e - rezervuaras užsipild÷, kai naftos produktų pylimas pradedamas stabdyti.

5. Valdymo sekos Ø.

6. Diskrečioji būsenos dedamoji:

( )mtl1 - laiko momentas, kada prad÷ta pilti;

( )mtl2 - laiko momentas, kada prad÷ta stabdyti;

( )mtr1 - laiko momentas, kada prad÷ta pilti į naują rezervuarą, kol nebuvo pasiektas

maksimalus pylimo greitis;

( )mtr2 - laiko momentas, kada prad÷ta pilti į naują rezervuarą, kai jau buvo pasiektas

maksimalus pylimo greitis;

( )mtr3 - laiko momentas, kada prad÷ta pilti į naują rezervuarą, kai naftos produktų

pylimas pradedamas stabdyti;

( )mth - rezervuarų užpildymo aukštis laiko momentu mt ;

( )mtN - užpildytų rezervuarų skaičius.

7. Tolydžioji būsenos dedamoji:

),( ''1 mteω - rezervuaras užpildytas, kol nebuvo pasiektas maksimalus pylimo greitis;

),( ''2 mteω - rezervuaras užpildytas, kai jau buvo pasiektas maksimalus pylimo greitis;

),( ''3 mteω - rezervuaras užpildytas, kai naftos produktų pylimas pradedamas stabdyti.

8. Parametrai:

S – rezervuaro plotis;

33

0h - rezervuaro aukštis;

0ρ - maksimalus pylimo greitis;

9. Pradin÷ būsena:

( ) 00 =th ;

( ) 00 =tN .

10. Per÷jimo ir iš÷jimo parametrai:

][ '1eH :

( ) ;11 mm ttl =+

( ) ;1 mm ttr =

( ) ( )( );

2,

1

01

''1

k

thhStte mmm

−+=+ω

čia ( )1''

1 , +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )

( );0

,

11

''1

m

te

t

m thhdtttS

k m

m

−=−∫+ω

( )( ) ( )

;)(

1

0, 1

''1

k

thhSdttt m

te

t

m

m

m

−=−∫

+ω

( ) ( )( );

2 1

0,2

1''

1

k

thhStt

t mte

tmm

m

−=

⋅− +ω

( ) ( ) ( )( );

2,

2

,

1

022

1''

11

''1

2

k

thhSt

ttte

te mm

mmm

m −=+−⋅− +

+ ωω

( ) ( ) ( )( );

2,

2

,

1

02

1''

11

''1

2

k

thhSttte

te mmmm

m −=+⋅− +

+ ωω

( ) ( ) ( )( );

2,2,

1

021

''11

''1

2

k

thhStttete m

mmmm

−=+⋅⋅− ++ ωω

( )( ) ( )( );

2,

1

02

1''

1k

thhStte m

mm

−=−+ω

( ) ( )( );

2,

1

01

''1

k

thhStte m

mm

−=−+ω

][ ''1eH :

( ) ;01 =+mth

34

( ) ;1 mm ttr =

( ) ( ) ( ) ( ) ;22,1

021

2111

''1

k

Shtttltltlte mmmmmm −+−+=+ω

čia ( )1''

1 , +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )

;)( 0

,

11

1''

1

hdttltS

km

m

te

t

m =−∫+ω

( )( )

;)(1

0

,

1

1''

1

k

hSdttlt

m

m

te

t

m

⋅=−∫

+ω

( ) ( ) ;2 1

0,1

21

''1

k

hSttl

tm

m

te

tm

⋅=

⋅− +ω

( ) ( ) ( ) ( ) ;2

,2

,

1

01

2

1''

111

''1

2

k

hSttl

ttetl

temm

mmm

m ⋅=⋅+−⋅− +

+ ωω

( ) ( ) ( ) ( ) ;2

,2

,1

2

1

01

''11

1''

12

mmm

mmm ttl

t

k

hStetl

te⋅−+

⋅=⋅− +

+ ωω

][ '2eH :

( ) ;2 mm ttr =

( ) ;, 1''

1 ∞=+mteω

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;22

, 11

21

1

210

1''

2

⋅+−⋅−−+

−=+ mm

m

mm

m

m

m

m trtltr

ttlt

a

kt

a

thhSteω

čia ( )1''2 , +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )

( )( );1

)( 0

,

11

1''

2

1

m

te

t

t

tr

m thhadtS

dttltS

k m

m

m

m

−=+− ∫∫+ω

( )( )

( )( )( );)( 0

,

11

1''

2

1

m

te

t

t

tr

m thhSadtdttltkm

m

m

m

−=+− ∫∫+ω

( ) ( )( ) ( )( );

2 0,

1

2

11

''2

1 m

te

t

t

trm thhSatttlt

k m

m

m

m−=+

⋅− +ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( );,22 01

''211

21

1

2

1 mmmmm

m

mm

m thhSatteatrtltr

ttlt

k −=−+

⋅+−⋅− +ω

35

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;22

, 11

21

1

210

1''

2

⋅+−⋅−−+

−=+ mm

m

mm

m

m

m

m trtltr

ttlt

a

kt

a

thhSteω

][ ''2eH :

( ) ;01 =+mth

( ) ;1 mm ttr =

( ) ;2 mm ttr =

( ) ;, 01

''2 mm t

a

Shte +=+ω

čia ( )1''2 , +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( );0

, 1''

2

hdtS

a m

m

te

t

=∫+ω

( ) ;0, 1''2

a

hSt m

m

te

t

⋅=+ω

( ) ;, 01

''2

a

hStte mm

⋅=−+ω

][ '3eH :

( ) ;3 mm ttr =

( ) ;12 mm ttl =+

( ) ;, 1''

2 ∞=+mteω

( ) ( );

2)(,

2

22

22''3

k

Ckatkatkte mm

m −

⋅⋅++⋅++⋅−=ω

čia ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( );;)()(2 021211

21

22

1mmmmmmm thhStartrtrtlktrtr

kC −−−−⋅⋅−−⋅=

( )1''

3, +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )

( )( )( )

( );11)( 0

,

2

)(

)(

11

1''

3

2

2

1

m

te

t

m

t

tr

tr

tr

m thhdtttkaS

adtS

dttltS

k m

m

m

m

m

m

−=−−++− ∫∫∫+ω

( ) ( )( )( )

( )( )( );)( 0

,

2

)(

)(

11

)(

1

1''

3

2

2

1

2

1

m

te

t

m

t

tr

tr

tr

m

tr

tr

thhSdtttkaadtdttlktdtkm

m

m

m

m

m

m

m

−=−−++− ∫∫∫∫+ω

36

( ) ( )( ) ( ) +⋅−++⋅⋅−⋅ ++ 1

''31

''3

2

2

1

2

1

,2

2,

)()(

11)(21

2)(

2m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

te

t

te

t

t

tr

tr

trm

tr

tr

tkatatttlkt

k ωω

( ) ( )( );0,

21

''3

m

te

tm thhSttk m

m−=⋅⋅+ +ω

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) −−+−+−⋅⋅−−⋅ + mmmmmmmmm atteatarattrtrtlktrtrk

1''

3212112

12

21 ,)()()(

2ω

( )( ) ( )( ) ( )( );,,2 01

''32

21

''3

22mmmmmm thhSttetktte

k−=−⋅⋅+−⋅− ++ ωω

( ) ( ) ( ) ( )−−+⋅−⋅⋅+⋅+⋅− +++ mmmmmmm tarteatktetktk

tek

21''

32

21''

3222

1''

322 ,,

2,

2ωωω

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( );)()(2 1211

21

22

10 mmmmmm trtrtlktrtr

kthhS −⋅⋅−−⋅+−−

( ) ( )( ) ( ) ( )( )+−−−⋅−+⋅+⋅− ++ mmmmmm thhStartk

atktetek

0222

21''

31''

322

2,,

2ωω

( ) ( )( ) ( )( );)()(2 12111

22

1mmmmm trtrtlktrtr

k−⋅⋅−−⋅+

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ;;)()(2 021211

21

22

1 CthhStartrtrtlktrtrk

mmmmmmm =−−−−⋅⋅−−⋅

( ) ( ) ( ) ;0,,2 1

''321

''3

22 =+⋅+⋅+⋅− ++ Cteatktek

mmm ωω

( ) ;2

4 222 C

katkD m ⋅⋅++⋅=

( ) ( );

2)(,

2

22

22''3

k

Ckatkatkte mm

m −

⋅⋅++⋅±+⋅−=ω

][ ''3eH :

( ) ;01 =+mth

( ) ;1 mm ttr =

( ) ;2 mm ttr =

( ) ;3 mm ttr =

( ) ( )( )( )( )

;,22

2201

''3

mm

mmmmm

tltka

ttltktaShte

−−⋅−−⋅+

=+ω

37

čia ( )1''

3 , +mteω išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )( )

;)(1

0

,

22

1''

3

hdttltkaS

m

m

te

t

mm =−−∫+ω

( )( )( )

;)( 0

,

22

1''

3

Shdttltkam

m

te

t

mm =−−∫+ω

( )( )( ) ( ) ;0,

221

''3 Shttltkta m

m

te

tmm =⋅−−⋅ +ω

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ;,, 0221''

3221''

3 Shttltktatetltktea mmmmmmmm =⋅−+⋅−⋅−−⋅ ++ ωω

( ) ( )( )( ) ( )( ) ;, 220221''

3 mmmmmmm ttltktaShtltkate ⋅−−⋅+=−−+ω

][ '4eH :

( ) ;1S

Gth m =+

čia ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )−+−⋅+−⋅⋅−−⋅= +1''3231211

21

22

1 ,)()()(2 mmmmmmmm teatartratrtrtlktrtrk

G ω

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( );,,2 31

''32

231

''3

223 mmmmmm trtetktrte

ktra −⋅⋅+−⋅−⋅− ++ ωω

čia ( )1+mth išraiška gaunama iš tokios priklausomyb÷s:

( )( )

( )

( )( )( )

( );11)( 12

)(

)(

11

3

3

2

2

1

+=−−++− ∫∫∫ m

t

tr

m

tr

tr

tr

tr

m thdtttkaS

adtS

dttltS

km

m

m

m

m

m

( ) ( )

( )

( )( )( )

( )( );)( 1

,

2

)(

)(

11

)(

1

1''

3

3

3

2

2

1

2

1

+⋅=−−++− ∫∫∫∫+

m

te

tr

m

tr

tr

tr

tr

m

tr

tr

thSdtttkaadtdttlktdtkm

m

m

m

m

m

m

m

ω

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) =⋅⋅+⋅−++⋅⋅−⋅ +++ 1

''3

3

1''

3

3

1''

3

3

3

2

2

1

2

1

,2

,2

2,

)()(

11)(21

2)(

2m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

te

trm

te

tr

te

tr

tr

tr

tr

trm

tr

tr ttkt

katatttlktk ωωω

( );1+⋅= mthS

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )−⋅−+−⋅+−⋅⋅−−⋅ + mmmmmmmmm trateatartratrtrtlktrtrk

31''

32312112

12

21 ,)()()(

2ω

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( );,,2 131

''32

231

''3

22+++ ⋅=−⋅⋅+−⋅− mmmmmm thStrtetktrte

kωω

38

4.2. Standartinis agregatinių sistemų imitacinio modeliavimo algoritmas

Sudarytas hibridin÷s sistemos agregatinis aprašymas gali būti programiškai

realizuotas, panaudojant standartinį agregatinių sistemų imitacinio modeliavimo algoritmą,

kuris pateiktas 3pav.:

3 pav. Standartinis agregatinių sistemų imitacinio modeliavimo algoritmas

39

4.3. Standartinio imitacinio modeliavimo algoritmo išpl÷timas

hibridin÷ms sistemoms

Darbe pasiūlytas imitacinio modeliavimo algoritmo išpl÷timas hibridin÷ms

sistemoms, tam, kad būtų galima paprasčiau sudaryti hibridin÷s sistemos agregatinę

specifikaciją. Šis algoritmas pateiktas 4 pav.

4 pav. Standartinio imitacinio modeliavimo algoritmo išpl÷timas hibridin÷ms sistemoms

Šiame algoritme įvesti nauji specializuoti vidiniai įvykiai '''e , kurie pavadinti

„Continous“. Šių vidinių įvykių įvykimo laiko momentas ( )1''' , +mi teω paskaičiuojamas iš

tokios lygties :

40

( ) );,()),(,( '''

),(

''''''1

'''

mi

tew

t

mimitecdttebteta

mi

m

∫+

=+

Mūsų atveju c( '''

ie ,tm) nustatomas pradin÷je būsenoje ir toliau išlieka toks pat.

čia a( '''

ie ,tm) , b( '''

ie ,tm) ir c( '''

ie ,tm) šio specializuoto vidinio įvykio parametrai

apibr÷žiami modelio specifikacijoje.

Turint šio algoritmo programinę realizaciją, rezervuarų užpildymo pavyzdžio

agregatin÷ specifikacija bus tokia:

1. Į÷jimo signalų aib÷: 1x - atiteka naftos produktai iš laivo.

2. Iš÷jimo signalų aib÷: Ø.

3. Išorinių įvykių aib÷: { }'4

'3

'2

'1

' ,,, eeeeE = ;

čia '1e - naftos produktai prad÷jo tek÷ti iš laivo;

'2e - pasiekiamas maksimalus naftos produktų pylimo greitis;

'3e - l÷t÷ja naftos produktų pylimo greitis;

'4e - naftos produktai nebeteka.

4. Vidinių įvykių aib÷: { };'''1

'''eE =

čia '''1e - rezervuaras užsipild÷;

5. Valdymo sekos Ø.

6. Diskrečioji būsenos dedamoji:

( )mtN - užpildytų rezervuarų skaičius.

7. Tolydžioji būsenos dedamoji:

),( ''1 mteω - rezervuaras užpildytas

8. Parametrai:

S - rezervuaro plotis;

0h - rezervuaro aukštis;

9. Pradin÷ būsena:

( ) 00 =tN .

( ) ;, 00'''

1 Shtec =

10. Per÷jimo ir iš÷jimo parametrai:

][ '1eH :

( ) ;, 11'''

1 ytea m =+

][ '2eH :

41

( ) ;0, 1'''

1 =+mtea

( ) ;, 21'''

1 yteb m =+

][ '3eH :

( ) ;, 31'''

1 ytea m =+

][ '4eH :

( ) ;0, 1'''

1 =+mtea

( ) ;0, 1'''

1 =+mteb

][ '''1eH :

( ) ( ) ;11 +=+ mm tNtN

Modeliavimo rezultatai pateikti 5 pav.

5 pav. Rezervuarų užpildymo modelis

42

IŠVADOS 1. Buvo apžvelgti diskrečiųjų įvykių formalizmai: diskretaus įvykio elgsenos

modelio specifikacija, struktūrinio modelio specifikacija, dinaminių sistemų modeliavimas

DEVS, GDEVS ir PLA.

2. Iš atliktos literatūros analiz÷s apie hibridinių sistemų formalizmą galime daryti

išvadą, kad hibridinių sistemų imitacinis modeliavimas sud÷tingas procesas, nes naudojamos

integralin÷s, diferencialin÷s arba skirtumin÷s lygtys.

3. Taip pat buvo išnagrin÷tas PLA metodo panaudojimas hibridinių sistemų imitacinio

modelio sudarymui. Parodyta, kad sudarant tokios sistemos imitacinio modelio agregatinę

specifikaciją reikia išspręsti atitinkamas lygtis, tame tarpe ir apskaičiuojant apibr÷žtinius

integralus. Atliekant šiuos veiksmus galimos klaidos.

4. Darbe yra pasiūlytas agregatin÷s sistemos imitacinio modeliavimo algoritmo

išpl÷timas su specializuotais vidiniais įvykiais, kas leido žymiai supaprastinti imitacinio

modelio specifikacijos sudarymą, t.y. nereikia spręsti sud÷tingų lygčių

5. Imitacinio modeliavimo algoritmo išpl÷timas buvo pritaikytas rezervuarų

užpildymo imitacinio modelio agregatinei specifikacijai sudaryti.

43

LITERATŪRA 1. Anderson, M. Object-Oriented Modeling and Simulation of Hybrid Systems. PhD thesis,

Department of Automatic Control, Lund Inst. of Technology, Sweden, December 1994.

2. Astron, K.; Elmquist, H.; ir Mattson, S. Evolution of continuous time modeling and

simulation. In: 12th ESM, Manchester, June 1998.

3. Barton, P.I.; ir Lee, C.K. Modeling, simulation, sensitivity analysis, and optimization of

hybrid systems. ACM Trans. Madel. Comput. Simul., 12(4):256-289, 2002. ISSN 1049-3301.

4. Behrmann, G.; David, A.; ir Larsen, K.G. A tutorial on UPPAAL. In Bernardo, M. and

Corradini, F., editors, Formal Methods for the Design of Real-Time Systems: 4th International

School on Formal Methods for the Design of Computer, Communication, and Software

Systems, SFM-RT 2004, number 3185 in LNCS. Springer, September 2004. 200-236 p.

5. Bengtsson, J., et al. New generation of UPPAAL. In Int. Workshop on Software Tools for

Technology Transfer, June 1998.

6. Bolognesi, T.; ir Brinksma, H. Introduction to the ISO specification language LOTOS.

Computer Networks, 14:25-59, 1987.

7. Broenink, J.F.; ir Weustink, P.B.T. A combined system simulator for mechatronics

systems. In Proc. of Modeling and Simulation (ESM‘96). Budapest, Hungary, 1996. 225-229

p. Publishing SCS Europe, Ghent. ISBN 1-56555-097-8.

8. Carmona, J.C.; Giambiasi, N.; ir Naamane, A. Generalized discrete event abstraction of

continuous systems: application to an integrator. J. Int. Rob. Syst. 41, September 2004. 37–

64 p.

9. Cellier, F.E. Continuous System Modeling. Springer, 1991. ISBN 0-387-97502-0.

10. Chicoix, C.; Giambiasi, N.; ir Clapier, J. An accurate time delay model for large digital

network simulation, in: Design Automation Conference. San Francisco, June 1976. [12].

11. Clark, D.; ir Handhelds, D. Drive mixed signal chip development. IEEE Comput. 33 (11),

2000. 2–4 p.

12. Damiba, A. Mode´lisation et Simulation a` e´ve´nements discrets de Bond Graph. Ph.D

Thesis, Universite´ d_Aix-Marseille 3, October 2000.

13. Eertink, H. Simulation Techniques for Validation of LOTOS Specifications. PhD thesis,

University of Twente, 1994.

14. Escude, B. Mode´lisation et Simulation a` e´ve´nements discrets de syste`mes hybrids.

Ph.D. Thesis, Univesite´ d_Aix-Marseille, 3, January 2000.

15. Fabian,G.; van Beck, D.; ir Rooda, J. Integration of the discrete and the continuous

behavior in the hybrid chi simulator. In Proc. 1998 Eur. Simulation Mu1ticonf, 1998. 252-257

p.

44

16. Frey, P.; Carter, H.W.; ir Wilsey, P.A. Parallel synchronization of continuous time and

discrete event simulators. In: Proceedings of 1997 International Conference on Parallel

Processing, August 1997. 227–231 p.

17. Fritzon, P.; ir Bunus, P. Modelica – a general object oriented language for continuous and

discrete-event system modeling and simulation. Linkoping, Sweden.

18. Ghosh, S.; Fujimoto, R.M.; ir Schwan, K. Time warp simulation in time constrained

systems. In:Proceedings of 7th Workshop on Parallel and Distributed Simulation, San Diego,

California, USA, 1993. 163–166 p.

19. Ghosh, S.; ir Giambiasi, N. Breakthrough in modeling and simulation of mixed-signal

electronic designs in VHDL. Modeling and Simulation, May 2001.

20. Ghosh, S.; ir Giambiasi, N. On the need for consistency between the VHDL language

constructs and the underlying hardware design. ESS 1996, Genoa, Italy, 1996.

21. Giambiasi, N.; Escude, B.; ir Ghosh, S. GDEVS: A Generalized Discrete Event

specification for accurate modelling of dynamic systems. Trans. S.C.S.I. 17–23, 2000. 120–

134 p.

22. Giambiasi, N.; Escude´, B.; ir Ghosh, S. GDEVS: A Generalized Discrete Event

Specification for Accurate Modeling of Dynamic Systems, in: AIS_2000. Tucson, USA, March

2000.

23. Giambiasi, N.; ir Carmona; J.C. Generalized discrete event abstraction of continuous

systems: GDEVS formalism. France, 2005.

24. Giambiasi, N.; Naamane, A.; ir Damiba, A. Discrete simulation of bond graph,

simulation, SCSI. vol. 77-1,2, July–August 2001. 4–22 p.

25. Giambiasi, N.; Smaili, M.; ir Frydman, C. Discrete event simulation with fuzzy times, in:

European Simulation Symposium. Turkey, October 1994. [9]

26. Kaynar, D.K., et al. The IOA Simulator. Technical Report MIT-LCS-TR-843, MIT

Laboratory for Computer Science, Cambridge, MA, July 2002.

27. Krilavičius, T. Hybrid Techniques for Hybrid Systems. The Enschede, Netherlands, 2006.

ISBN: 90-365-2397-4.

28. Liu, J.; ir Lee, E.A. A component-based approach to modeling and simulating mixedsignal

and hybrid systems. ACM Trans. Model. Comput. Simul., 12(4):343-368, 2002. ISSN 1049-

3301.

29. Luh, C.J.; ir Zeigler, B. Abstracting event-based control models for high autonomy

systems. IEEE Trans. Syst. Man Cybernet. 23, 1993. 42–54p.

30. Modelica Association. Modelica – A Unified Object-Oriented Language for Physical

Systems Modeling – Tutorial and Design Rationale Version 1.4. December 15, 2000.

45

31. Modelica Association. Modelica – A Unified Object-Oriented Language for Physical

Systems Modeling – Language Specification Version 1.4. December 15, 2000.

32. Mosterman, P.J.; ir Biswas, G. A Hybrid Modeling and SimuIation Methodology for

Dynamic Physical Systems. SIMULATION, 78(1):5-17, 2002. URL http://sim.

sagepub.com/cgi/content/abstract/78/l/5.

33. Naamane, A.; Giambiasi, N.; ir Djadja, M. Discrete event models for mechatronic systems,

in: 30th ISATA. Florence, Italy, June 1997.

34. Otter, M.; Elmquist, H.; ir Mattson, S. Hybrid modeling in Modelica based on the

synchronous data flow Principle. In: CASCD_99, August 22–26, 1999, Hawaı, USA.

35. Praehofer, H. System theoretic formalisms for combined discret-continuous system

simulation. Int. J. Gen. Syst. 19 (1991) 219–240.

36. van der Schaft, A.J.; ir Schumacher, J.M. An Introduction to Hybrid Dynamical Systems,

volume 251 of LNCIS. Springer, London 2000.

37. van Eijk, P. Software tools for the specification language LOTOS. PhD thesis, University

of Twente, 1988.

38. Wang, Q.; ir Cellier, F. Time windows: automated abstraction of continuous time models

into discrete event models in high autonomy systems. Int. J. Gen. Syst. 19 (1991) 241–262.

39. Zeigler, B. DEVS representation of dynamical systems, in: Proceedings of the IEEE. vol.

77, 1989, pp. 72–80.

40. Zeigler, B. Multifaceted Modelling and Discrete Event Simulation. Academic Press,

London, 1984.

41. Zeigler, B. Object-oriented Simulation with Hierarchical, Modular Models. Academic

Press, London, 1990.

42. Zeigler, B.; Theory of Modeling and Simulation. John Wiley & Sons, New York, 1976.

43. Zeigler, B.P.; Praenhofer, H.; ir Kim, T.G., Theory of Modelling and Simulation.

Academic Press, second edition, 2000. ISBN 0-12-778455-1.