hidak: matematikai kapcsolatok a művészetben, a tudományban és az élményközpontú oktatásban

Fenyvesi Kristóf – Stettner Eleonóra

HIDAK: MATEMATIKAI KAPCSOLATOK A MŰVÉSZETBEN, A TUDOMÁNYBAN

ÉS AZ ÉLMÉNYKÖZPONTÚ OKTATÁSBAN

Kaposvári Egyetem 2011

HIDAK: MATEMATIKAI KAPCSOLATOK A MŰVÉSZETBEN, A TUDOMÁNYBAN ÉS AZ ÉLMÉNYKÖZPONTÚ OKTATÁSBAN

Kiadja a Kaposvári Egyetem

Szerkesztették: © Fenyvesi Kristóf, Stettner Eleonóra

Szerzők: © Aurora, Krystyna Burczyk, Xavier De Clippeleir, Francesco De Comité, Dárdai Zsuzsa,

Darvas György, F. Farkas Tamás, Robert Fathauer, Fenyvesi Kristóf, Paul Hildebrandt, Slavik Jablan, Bjarne Jespersen, Kabai Sándor, Kelle Antal, Kis Gábor, Kovács Gábor, Lénárt István, Malina János,

Jonathan McCabe, Muzsai István, Orosz István, Ljiljana Radović, Ruttkay Zsófia, Reza Sarhangi, SAXON Szász János, Caspar Schwabe, Stettner Eleonóra, Szabó Ildikó, Szilassi Lajos, Briony Thomas,

Vörös László

Fordítások: © Fenyvesi Kristóf, Kabai Sándor

Borító, design: © SAXON Szász János

Tördelés: Barna Róbert

Lektorálták: Gévay Gábor, Stettner Eleonóra, Szabó Ildikó

Korrektor: Fenyvesi Kata, Szabó Ildikó

A kötet megjelenését támogatták:

Bridges Organization: www.bridgesmathart.org ÉlményMűhely Mozgalom – az Élményközpontú Matematika-oktatásért: www.elmenymuhely.hu

Kapcsolat: [email protected]

ISBN 978-963-9821-29-3

Készült 2011-ben a Kozo Print Kft. nyomdájában Nyomdavezető: Kovács Zoltán

Tartalomjegyzék REZA SARHANGI: Előszó___________________________________________________ 5

SZILASSI LAJOS: Lokálisan és globálisan szabályos toroidok, melyeknek 16-nál kevesebb hatszöglapjuk van _____________________________________________ 7

KABAI SÁNDOR: 30 kocka egy rombikus triakontaéderen _______________________ 13

VÖRÖS LÁSZLÓ: A hatdimenziós kocka modelljeinek sajátságai__________________ 21

DARVAS GYÖRGY: Ponthalmazok vetítése alacsonyabb dimenzióba, művészeti alkalmazásokkal_______________________________________________________ 31

KOVÁCS GÁBOR: Bevezetés az iszlám díszítőművészetbe _______________________ 41

STETTNER ELEONÓRA: Miért és hogyan? M. C. Escher „szimmetria látomásainak” története ____________________________________________________________ 53

MALINA JÁNOS: Amatőr és úttörő. Simon Stevin (1548 k.–1620) zeneelmélete______ 64

CASPAR SCHWABE: Heuréka és szerencsés felfedezés: Lábán Rudolf ikozaédere és a Buckminster Fuller-féle „jitterbug” ____________________________________ 70

LJILJANA RADOVIĆ – SLAVIK JABLAN: Játsszunk együtt Victor Vasarely-vel! Vizuális matematika és kombinatorika_____________________________________ 78

OROSZ ISTVÁN: A „kétértelmű” anamorfózis, avagy a kalkulált Holló ______________ 86

KELLE ANTAL: ArtFormer Geometria _______________________________________ 93

DARVAS GYÖRGY – F. FARKAS TAMÁS: Organikus dimenziók ____________________ 101

KAPITÁNY ANDRÁS: M. C. Escher lehetetlen épületeitől a Parazita Építészetig______ 107

SAXON SZÁSZ JÁNOS – DÁRDAI ZSUZSA – KIS GÁBOR: A POLIUNIVERZUM Tudástermék Játékcsalád ______________________________________________ 111

LÉNÁRT ISTVÁN: Gauss, Bolyai és Lobacsevszkij a közoktatásban? Hiperbolikus geometria az iskolai matematikában __________________________ 119

FENYVESI KRISTÓF – SZABÓ ILDIKÓ: Szenzációs matematika: az interdiszciplinaritás esztétikája és oktatása az ÉlményMűhely Mozgalom kreatív iskolanapjain_______ 129

REZA SARHANGI: Mozaik mintázatok geometrikus szerkesztése. Műhelyleírás. _____ 144

PAUL HILDEBRANDT: Zometool műhely ____________________________________ 153

RUTTKAY ZSÓFIA: Processing: programozás művészeknek. Műhelyleírás. _________ 162

A kötet szerkesztői és szerzői ___________________________________________ 167

Ízelítő a Bridges Pécs 2010 Világkonferencia matematikai-művészeti kiállításából (Robert Fathauer válogatása) ___________________________________________ 169

5

Előszó

A pécsi Bridges 2010 Világkonferencia méltón illeszkedett az 1998 óta évente megrendezett Bridges Világkonferenciák sorába. Amerikai, spanyol, angliai és hollandiai helyszínek után első ízben látogathattunk el Kelet-Európába. Magyarország kiváló matema-tikusok és művészek hazája. Nagy örömünkre szolgált, hogy közülük sokak munkássága előtt a Bridges Világkonferencia keretében is tiszteleghettünk. Bolyai János, Breuer Marcell és Victor Vasarely életművével több előadás is foglalkozott. Vendégünk volt Rubik Ernő, aki nem csupán a Rubik kockát, de sok más találmányát is bemu-tatta. A konferencia ünnepélyes nyitóelőadását a számos nem-zetközi díjjal kitüntetett Lovász Lászlótól hallgathattuk meg, aki a matematika szépségéről beszélt a tekintélyes számú nemzetközi közönségnek. A világkonferencia előadásait tartalmazó konferenciakiadvá-nyunk – mind a publikált cikkek mennyisége, mind pedig minő-sége tekintetétben – az előző évek vaskos és magas színvo-nalú köteteihez képest is örven-detes növekedést mutatott. A Bridges Világkonferenciák tör-ténetében először, az angol nyelvű konferenciakötetünkben publikált tudományos közlemé-nyek száma még a százat is meghaladta! Ez a terjedelmi és minőségi ugrás az elbírálásra érkezett cikkek számának rohamos emelkedésének volt köszönhető. Programbizottságunk külső szakemberek egész seregét is bevonva, jelentős időt szánt minden egyes cikk értékelésére és megvitatására. A matematika művészeti és további széleskörű kapcsolódási lehetőségei iránt érdeklődő közösség gyarapodása a Bridges Nagykiállításán bemutatott, előzsűrizett alkotások számában is megmutatkozott. Kiállításunk a földkerekség hetvennégy művészének alkotásait tárta a nagyközönség elé, s mind a kiállítás, mind pedig a tárlatot bemutató csodálatos katalógus találkozónk rendkívül fontos elemeként érvényesülhetett.

Reza Sarhangi, a Bridges Pécs 2010 Világkonferenciamegnyitóján.

Fotó: Mihály László.

6

A könyv, amit az olvasó most a kezében tart, Fenyvesi Kristóf (az Ars Geometrica és az ÉlményMűhely matematikai-művészeti közösség vezetőjének, valamint a Bridges programbizottsága tagjának) és Dr. Stettner Eleonóra (a Kaposvári Egyetem Matematika Tanszéke vezetőjének) reprezentatív, magyar nyelvű válogatását tartalmazza a konferenciakiadványunkban megjelent cikkekből, valamint szerény ízelítőt ad a Bridges Világkonferenciák fontos összetevőjét képező tudományos-művészeti kiállítás anyagából. Minden tekintetben kiváló kötet, ami a világ legnagyobb matematikai-művészeti közösségeinek találkozóiba enged bepillantást, és ezzel remélem, hogy a magyar olvasóknak is örömet szerez. 2011. május, Towson, Maryland, USA

A Bridges Organization Elnökségi Tanácsának képviseletében:

Dr. Reza Sarhangi Towson Egyetem, Maryland, USA

<www.BridgesMathArt.org/>

129

Fenyvesi Kristóf – Szabó Ildikó:

Szenzációs matematika: az interdiszciplinaritás esztétikája és oktatása

az ÉlményMűhely Mozgalom kreatív iskolanapjain

A jövő iskoláját a jövő felnőtteinek!

Az interdiszciplinaritás esztétikája és oktatása

1. kép: Interaktív kiállítási tárgyak Slavik Jablan: Hogy tetszik a paleolitikus op-art? című kiállításán (kurátor: Fenyvesi Kristóf) Pécsett, a Bridges 2010 Világkonferencia keretében.

Miben áll a kutató tevékenység a matematikusok, és miben áll a kutatás a matematika iránt érdeklődő művészek számára? Mi történik a matematikai ismerettel, jelenséggel, modellel, ha esztétikai befogadás / alkalmazás / játék tárgyává válik? Milyen tudományos jelentősége lehet egy-egy műalkotásnak, játéknak? Milyen új eredmények származhatnak a művészet, a matematika és a játék sajátos perspektíváit ötvöző szemléletből? Miként aknázhatjuk ki ezeket az eredményeket az oktatás világában? Lehetséges-e a matematika, a művészet és a játék önálló megközelítésmódjait ötvözni, és elmozdulni egy olyan matematikai-művészeti koncepció irányába, amelyben az interaktivitás is kiemelt szerepet játszik? Milyen kontextusokban és milyen okokból kerülnek napjainkban ismét az érdeklődés homlokterébe ezek a kérdések? Mi minden különbözteti meg kérdésfelvetésünk módját, valamint az általunk szorgalmazott tudomány-, művészet-, és kultúraközi együttműködések jellegét, korábbi korok és kultúrák hasonló, egyesítő tendenciáitól? Milyen esélyeket látunk az interdiszciplinaritás esztétikájának és oktatásának matematikai súlypontú, alapvetően játékos szemléletű kidolgozására?

Fenyvesi Kristóf – Szabó Ildikó: Szenzációs matematika: az interdiszciplinaritás esztétikája …

130

2. kép: Az ÉlményMűhely Mozgalom logója. Rádóczy Bálint munkája. Az ÉlményMűhely Mozgalom kreatív iskolanapjainak keretében matematika iránt elkötelezett művészeknek, művészet iránt elkötelezett matematikusoknak, valamint más tudományterületek jeles képviselőinek a felfedezéses tanulásra alapozott oktatási programjai, műhelyfoglalkozásai révén, szülők, családok és érdeklődők bevonásával kísérelünk meg a gyerekek, fiatalok és felnőttek számára is egyaránt „kézzelfogható”, közvetlenül is megtapasztalható, élményszerű válaszlehetőségeket ajánlani mindezekre a kérdésekre. Munkánk során olyan emberekkel keressük az együttműködést, akik a matematikai, geometriai eredményeket és a műalkotásokat a tudás absztrakt alakzatai és a kreativitás érzékszerveinkkel felfogható formái közötti összekötő hidakként is értelmezik, valamint az oktatás számára is kiaknázható kapcsolódások, átjárók, játékos lehetőségek után kutatnak, művészet- és tudományközi szemléletre alapozott tevékenységük során. A matematikai és a művészeti oktatás, valamint a tehetségpedagógia jó gyakorlatainak a népszerűsítése terén kialakított koncepcióinkat arra az elgondolásra alapozzuk, hogy a jövő felnőtteinek új típusú készségekre és képességekre kell szert tenniük, s ehhez új típusú oktatásra van szükségük. Ez élményközpontú, az érzékszervek mindegyikét játékba hozó, és a szociális képességeket is fejlesztő, a tudomány és a művészet területeinek összefüggéseit felfedező pedagógiai gyakorlatok kidolgozását igényli.

3. kép: Szabó Ildikó papírszobrászati műhelye pedagógusoknak. A levegőben George Hart egyszerű papír-modulokból felépített, látványos poliédere. (Fotó: Csizmadia Sándor)

Hidak

131

Az eszközhasználat jelentősége az élményközpontú matematika-oktatásban A legsikeresebb reformpedagógiai irányzatok képviselői (pld. Montessori, Steiner, Freinet, Petersen, Neill, Parkhurst), valamint a tőlük sokat merítő tevékenység-, élmény-, illetve játék-központú alternatív pedagógiák, egyaránt nagy hangsúlyt fektetnek a tanítás-tanulás folyamatába ágyazott eszközhasználatra. [1] A hagyományos mesterségek munkafolyamatainak élményszerű felelevenítése, a különféle tárgyakkal végrehajtott játékos és alkotó jellegű tevékenységek, a modellező és kísérletező eszközök használata, a multimediális anyagok oktatási alkalmazása, a tanulói környezet innovatív megváltoztatásával együtt olyan lehetőségek, amelyeknek napjaink oktatási praxisainak megújításában is kiemelt szerepet kell szánjunk. Egy kreatívan alkalmazott oktatási eszköz – legyen az akár egy gyümölcs (például egy alma a gömbi geometria szemléltetésére), egy modell, egy műalkotás, egy játék vagy egy hálózatba kapcsolt számítógépekkel létrehozott „virtuális osztályterem” – rendkívüli mértékben képes az ember környezetéhez és társaihoz fűződő viszonyainak alkotó megváltoztatására.

4. kép: ÉlményMűhely Óriáscsempézés (GianTile) Paul Gailiunas (Anglia) matematikus tervei alapján, pécsi iskolásokkal. (Fotó: Csizmadia Sándor)

A pedagógiai folyamatba bevont eszköz akkor bizonyul jól megválasztottnak, a gyakorlat alkalmazása pedig sikeresnek, ha az eszközzel folytatott tevékenység a pedagógiai szituáció minden szereplőjét újrapozicionálja. Ha mind a tárgy, mind pedig a tárgy bevezetésekor érvényesített pedagógiai módszer felébresztik a kíváncsiságot és a játékos kedvet, ha tanulót és tanárt egyaránt felfedező tevékenységre, participatív elemzésre, kísérletezésre vagy játékra sarkallnak, ha módot adnak a tanár és a diák közötti alkalmankénti szerepcserére, akkor a tanítási-tanulási folyamat egész szerkezete rugalmasan átalakul, s ezáltal a komplex pedagógiai célok elérése könnyebbé válik.

A tanítás-tanulás rendszerének egyszerre több változójára kiterjedő multimodális flexibilitás olyan rendszerjellemző, amely napjainkban elengedhetetlen feltétele az oktatással szemben támasztott összetett, és minden eddiginél szélesebb körű igények kielégítésének. Új komplexitásokat fedezünk fel és hozunk létre, amelyek megértéséhez tudomány- és művészetközi együttműködésekre, valamint a politika fogalmának filozófiai és társadalmi újraértelmezésére van szükség. A rögzített szerepek pedagógiájára vagy a tudás dogmatikus szegmentációjára épülő iskola immár kevéssé bizonyul hatékonynak.


132

5. kép: Bérczi Szaniszló fizikus-csillagász eurázsiai díszítőművészet műhelye. (Fotó: Csizmadia Sándor)

A művészeti-, tudományos- és személyes interakciók és a határátlépések során szerzett ismeretek, a heterogenitás tapasztalata, társadalmi-kulturális gyakorlataink átalakulásában is kifejeződő közös élményeinkké váltak. A művészet, a tudomány, a technológia és a környezet mindezekre a változásokra figyelmes, integrált szemléletét pedig a hálózati gondolkodás [2] és közösségi együttműködés modelljeinek elsajátításával párhuzamosan, mindenekelőtt az oktatás rendszerében lehet és kell produktívan megalapozni.

Az új kérdések új lehetőségeket rejtenek magukban, az új szituációk megélése új kulturális gyakorlatok kibontakozásához vezet. Az élményközpontú matematika-oktatás területén mindez tárgyi és pedagógiai eszköztárunk forradalmi kiszélesítésére, a tudomány- és művészetközi együttműködések sikeres modelljeinek, korábbi és legfrissebb tapasztalatainak alkalmazására, kamatoztatására késztet.

6. kép: Kelle Antal Artformer képzőművész, mérnök és dizájner Helix című interaktív tárgya

az egri Eszterházy Károly Főiskolán. (Fotó: Berecz Tibor)

Hidak

133

A tevékenység-központú oktatási formák matematika-pedagógiai alkalmazása révén az egyirányú kommunikációs modelleket gyermekközpontú, kooperatív, az új típusú társadalmi és egyéni kihívások iránt egyaránt érzékeny oktatási formák és tartalmak válthatják fel. A tanulási folyamatban résztvevő gyermek, amennyiben a saját maga által és a társaival közösen végzett tevékenységeken keresztül bővíti matematikai ismereteit, fejleszti készségeit és képességeit, az önirányítás igényének kibontakozásával párhuzamosan tesz szert az eredményes együttműködés, a közösségi problémamegoldás komplex személyiségi és szociális feltételeire. Az egyéni és a közös cselekvés összjátékának kiegyensúlyozó facilitálása révén, a matematikatanár számára lehetővé válik a differenciálás, a meglévő tudások felszínre hozatala, és az egymástól való tanulás szeretetteli légkörének megteremtése. [3]

7. kép: Az eszközválasztás összefüggései és pedagógiai jelentősége Az élményközpontú matematika-pedagógiai szemlélet érvényesítése a magyar közoktatásban A reformpedagógiák eredményeinek, számos vonzó aspektusának az átlagos magyar közoktatási intézmények keretein belül történő érvényesítése gyakran különféle nehézségekbe ütközik. Egy-egy komplex matematika-pedagógiai módszer kifejlesztése vagy implementációja adott esetben a teljes intézményi struktúra átalakítását is megkövetelhetné. Mivel az oktatási normákat vagy az általános tantárgyi szerkezetet érintő legkisebb változtatás is konfliktusokat idézhet elő az oktatás szintjei, egységei és szereplői között, ezért a matematika-pedagógiai innovációk jelentős része csak a tanórán kívüli nevelés rendszerében vagy az iskolai tehetséggondozásban jelenik meg a magyar közoktatásban. [4] Azonban az iskolán kívüli nevelési formák, illetve a tehetségek azonosítását, kiválasztását és fejlesztését célzó programok kidolgozása mellett, legalább annyira fontos feladat az iskolán belüli nevelés korszerű lehetőségeinek tanulmányozása, fejlesztése, jó gyakorlatainak terjesztése, és annak a ténynek a felismerése és matematika-pedagógiai célú kiaknázása, miszerint: mindenki tehetséges valamiben.


134

8. kép: Mindenki tehetséges! Kabai Sándor műhelyén Pécsett (Fotó: Csizmadia Sándor) A tantárgyi struktúra kötöttségei és a matematikai ismeretek interdiszciplináris, interartisztikus beágyazottsága között fennálló konfliktus feloldása nem csak a tantárgyrendszer átalakításával képzelhető el. A közoktatás jelenlegi struktúráját tiszteletben tartva, megújulási lehetőségeket kínálhat a matematika tantárgy egyes témaköreire vonatkozóan a tudomány- és művészetközi kapcsolatok feltérképezése és mindezen kapcsolatok élményközpontú feltárása is. Mindez a matematika-tanártól kutatómunkát, komoly energia befektetéssel megszerzett egyéni tájékozottságot, és a tudomány, a művészet, a technológia, a kultúra és a nevelés kérdései iránti, a szaktárgy határain jóval túlmutató, intenzív érdeklődést, környezettudatos gondolkodást és az alkalmazandó tevékenységekben történő bizonyos fokú jártasság elsajátítását is megköveteli.

A tudományközi, illetve a művészetet és a tudományt, a technológiával és a környezetet érintő kérdésekkel összekapcsoló kutatási programok már évtizedek óta az innovatív pedagógiák érdeklődésének homlokterében állnak. A szakmai érdeklődés határterületein tájékozódó, egyesítő koncepciók sokaságában azonban azok a matematika-pedagógiai koncepciók bizonyulnak a leginkább produktívnak és fenntarthatónak, amelyek képesek magát a kapcsolódási pontot egyértelműen definiálni, határozott irányt és célt is adva ezzel a területek közötti „hídépítésnek”.

A matematikai gondolkodás sokoldalú szépségének, kreatív, innovatív használatának, és nem utolsósorban művészet- és tudományközi oktatásának rendkívül gazdag modern tradíciója [5] és immár kiterjedt nemzetközi intézményrendszere van. Azonban sajnálatos módon mindez csak kevéssé jelenik meg a magyar közoktatásban, a pedagógus-képzésben pedig szinte egyáltalán nincs jelen. Ezen a helyzeten kíván változtatni az az

Hidak

135

elkötelezett pedagógusok, tudósok és művészek bevonásával, jelen cikk szerzői által 2008-ban létrehozott nemzetközi munkacsoport, amely az ÉlményMűhely – Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért nevet viseli. [6] Munkatársaink és támogatóink száma napról-napra növekszik: megalakulásunk óta már csaknem száz elkötelezett és széles körben elismert hazai és nemzetközi szakember kapcsolódott be tevékenységünkbe, folyamatos jelenlétük, fáradhatatlan, újító szellemiségük teszi olyannyira kivételessé kezdeményezésünket. ÉlményMűhely – Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért: céljaink és eszközeink Az ÉlményMűhely számára kiemelten fontos az a tudomány- és művészetközi szemlélet, amely a matematika és a művészet szavak angol megfelelői (a „Math” és az „Art”) összevonásával képzett „MathArt” néven vonult be a nemzetközi köztudatba. A „MathArt”-szemléletű pedagógia fő újdonsága és matematika-pedagógiai alkalmazásainak kivételes hatékonysága abban áll, hogy a művészet, a tudomány, a technológia által fémjelzett különféle tudásformákat, eltérő gyökerű kulturális mintázatokat határozott matematikai fókuszú szempontrendszer mentén, egy környezettudatos és összefüggésteremtő megközelítésben kapcsolja össze.

A „MathArt”-szemlélet a művészet és a tudomány terrénumai között közvetítő kísérletek eredményeit egy olyan kreatív és pragmatikus kontextusban értelmezi újra, amely mindenekelőtt matematikai hangsúlyokkal, és egyénileg is felfedezhető, közvetlenül megtapasztalható jelenségek után kutatva nyit a huszadik század holisztikus igényű életművei, a képzőművészet (pld. Mondrian, Buckminster Fuller, Escher, Dalí, Max Bill, Vasarely [7], Breuer, Kepes, Mandelbrot...), a technológiai innovációk (pld. ipari eljárások, újmédia alkalmazások...), a környezettudomány (pld. biológia, földrajz, kertkultúra, környezetpszichológia, környezettudatosság, ökológiai kritika...), a népi tradíciók (pld. kézművesség, díszítések, népi motívumok, népszokások, hagyományok...), a matematika interdiszciplináris területei (pld. etnomatematika, vizuális matematika, zenei matematika, szimmetria-kutatások...), a játéktudomány, a személyiségpszichológia és a művészetterápia, a tánc- és előadóművészetek, a kultúrtörténeti érdekességek, a geometriai alapú konstruálás (pld. építészet, dizájn, origami, összerakók, modellező eszközök, építőkészletek, síklefedő és térkitöltő rendszerek...) és a különböző kulturális formációk vizsgálata, különféle reprezentációik oktatási célú felhasználása irányába. A hangsúlyozottan matematikai aspektus széles spektrumú és következetes elvek mentén történő érvényesítése alapozza meg azt az ideológiamentes filozófiát és módszertant, amely nem csupán elméleti interdiszciplináris és interartisztikus hátteret jelent, hanem számos új, kézzelfogható oktatási eszközt is a tanulók és tanáraik kezébe ad az ÉlményMűhely foglalkozások során. [8] Az ÉlményMűhely – Mozgalom az Élményközpontú Matematika-oktatásért céljai:

1. a művészet, a tudomány és a játékos tanulás matematika-pedagógiai eredményeinek egy tevékenység-központú oktatási programban történő összekapcsolása;

2. a matematika általános-, közép- és felsőfokú oktatásában alkalmazható művészeti-tudományos eszközkészlet bővítése;

3. az élményközpontú matematika-oktatás legfrissebb eredményeinek a magyarországi közoktatásban résztvevő tanulókkal, gyakorló és leendő pedagógusokkal történő megismertetése, a terület nemzetközi és hazai eredményeinek gyűjtése, kutatása, és a kutatási eredmények publikációja;

4. a külföldön és Magyarországon sikerrel alkalmazott, jó matematika-pedagógiai gyakorlatok átadása és meghonosítása.


136

Az ÉlményMűhely több nemzetközi projektben is részt vesz. Tagjaink révén számos a matematika, művészet, tudomány, játék és oktatás összefüggései iránt érdeklődő világszervezettel is kapcsolatban állunk. Az eddig eltelt rövid idő alatt csaknem 10.000 tanuló és több száz pedagógus és szülő vett részt rendezvényeinken.

9. kép: Pálffy László matematikus műhelye A játékok játéka címmel az egri Eszterházy Károly Főiskolán. (Fotó: Berecz Tibor)

Sikereink azt bizonyítják, hogy minden emberben, életkortól függetlenül, természetes igényként jelentkezik a közösségben való játékos tanulás vágya. Ennek felkeltésére mindössze a „tanulás szeretetteli serkentésére”, [9] esetenként a tanulás már meglévő színtereinek a kreativitás jegyében történő újragondolására van szükség. A humaniórák/reáliák, a művészet/tudomány, a kreatív/innovatív készségek között építhető hidak gyakorlati bemutatása, programunk keretében a szokásos iskolai órarenddel is kompatibilis, párhuzamos tanórák keretében megy végbe (gyerekek, pedagógusok és tudósok részvételével). A tanórákat műhelyfoglalkozások követik (gyerekeknek és pedagógusoknak), a foglalkozásokat pszichológus szakember, a tanulóközpontú pedagógia nemzetközileg elismert szaktekintélye által facilitált beszélgetés, végül közös játék zárja (gyerekek, családjaik, pedagógusok, tudósok, művészek és az érdeklődő lakosság részvételével).

Az ÉlményMűhely szemléletében együtt érvényesülnek a „holnap iskolájáról” szóló elméletek, a kooperációt, a hatékony kommunikációt, az önszervezés képességét a kulcskompetenciákkal párhuzamosan fejlesztő törekvésekkel. Tanáraink a facilitáció, az interaktivitás, az „akció-tanulás”, a felfedezés és a közös játék öröme által motivált ismeretszerzés módszereit alkalmazzák a foglalkozásokon. Az ÉlményMűhely az iskola, mint „centrum” fogalmát a közvetítés és az átjárhatóság fogalmi környezetében értelmezi újra: mindenek előtt a társadalmi mobilitás gyakorló terepeként és egyszersmind kulcsaként is igénybe véve a benne rejlő lehetőségeket.

Az ÉlményMűhely Munkacsoport tevékenység-központú megközelítésének alapelvei, az általunk választott pedagógiai eszközök komplex megközelítésében és többcélú, kreatív alkalmazásában is megnyilvánulnak. Az alábbiakban ezek közül mutatunk be néhányat.

Hidak

137

10. kép: Reza Sarhangi műhelye a pécsi Sétatér gesztenyefái alatt. (Fotó: Tóth László) Geometrikus Ugróiskola©: egy meglepő játékos innováció az élményközpontú matematika-oktatás szolgálatában Az általános iskolai matematika feladatok megoldása során gyakran nehézséget okoz a tanulóknak bizonyos fogalmak megértése, alkalmazása. Kevés olyan tapasztalat áll rendelkezésükre, amelyek segítségével az absztrakt matematikai tartalmakat a gyerekek az őket körülvevő tárgyi valóságra vonatkoztatva értelmezhetnék. Ilyen nehezen megközelíthető terület például a térbeli test és a kiterített háló fogalmának összekapcsolása vagy a síkidom, a lap, az oldal, az él, a pont, a csúcs, az átló, a hajlásszög, az egybevágóság és a szimmetria fogalmainak pontos értelmezése. A Geometrikus Ugróiskola© segítségével mindezek a fogalmak játékosan begyakorolhatók, könnyen megszámlálhatóvá válnak az egyes testekre vonatkozó jellemző adatok. Mindezekből, az általános iskolai tananyagon jócskán túl is lépve ezzel, könnyedén észre lehet vetetni akár még olyan bonyolultabbnak tűnő összefüggéseket is, mint Euler poliéder-tétele, vagy a dualitás fogalma. A lapok színezésével, vagy megszámozásával kombinatorikai feladatokat is játékosan meg lehet oldani.

A Geometrikus Ugróiskola© Bali Franciska alkotása, amelyet a fiatal képzőművész a „Pécs – Ars GEometrica” című nemzetközi konferenciához kapcsolódó, Hegyi Csaba és Fenyvesi Kristóf által vezetett egyetemi kurzus hallgatójaként tervezett meg és készített el 2009-ben. A létrejött tárgysorozat nem más, mint az öt platóni, avagy szabályos test nagyméretű modellje, amelynek oldallapjait, egy szellemes megoldás segítségével síkban kiteríthetjük, és az alkotóművész invenciója szerint az így nyert Geometrikus Ugróiskolát©, akár egyfajta sajátos ugróiskola játékként is kipróbálhatjuk.


138

11-12. kép: Szabó Ildikó Geometrikus Ugróiskola foglalkozása alsó és felső

tagozatos iskolásokkal. A Geometrikus Ugróiskola tervezője és kivitelezője Bali

Franciska festőművész hallgató. Az eszköz a PTE MK Ars Geometrica című kurzusa

keretében készült, oktatók: Hegyi Csaba DLA és Fenyvesi Kristóf.

(Fotók: Csizmadia Sándor és Szabó Ildikó)

A testeket határoló lapokra krétával írhatunk és rajzolhatunk, vagy szám-, betű-, képkártyákat is ragaszthatunk, kihasználva mindazokat a logikai összefüggéseket, algoritmusokat, amelyek a térbeli, vagy a kiterített test tulajdonságaiból következnek (párhuzamos megfeleltetések, kapcsolódási pontok, stb.). Ily módon a hagyományos népi ugróiskolák változatos játékmódjait, [10] olyan egyénileg vagy csoportosan is megoldható kognitív feladatokkal is kibővíthetjük, amelyek az adott oktatási folyamat célját szolgálják.

A Geometrikus Ugróiskola© jó idő esetén a szabadban is használható, vagy az osztályterem, pusztán az eszköz révén egy olyan konstruktív tanulói környezetté alakítható, amelyben a multifunkcionális eszköz tevékeny jelenlétre ösztönzi, motiválttá teszi az ismeretszerzés folyamatában a diákokat.

A Geometrikus Ugróiskola© hatékonyan alkalmazható:

1. a figyelem fejlesztésére, különböző tanulási stílusú gyerekeknél akár egyszerre is, mert a játék során az auditív, vizuális, taktilis és motoros tevékenység összekapcsolható a kognitív tartalommal (először krétával megírják a lapokat, majd különböző szabályok alapján valóságosan is kijárják az ugróiskolát);

2. a koordinációs képességek fejlesztésére, mert az ugróiskola, mint népi játék szabályai a gyorsasági koordinációt, mozgásérzékelést, ritmusképességet, reakcióképességet, egyensúlyi képességet, téri tájékozódó képességet egyaránt fejlesztik;

3. a Geometrikus Ugróiskola© kibővíti a kompetencia alapú oktatás eszköztárát a kreatív tanári-tanulói tevékenység során, miközben a közös élményeken, játékos tapasztalatokon keresztül vezeti el a tanulókat a tudás megszerzéséhez.

Viva la MatheMusica! – kéziharang és kombinatorika Ennek a gyakorlatnak a kidolgozásakor a XVII. századból eredő „change ringing” („váltott harangozás”) ma is élő angliai hagyományából indultunk ki. A több (6-8-12) haranggal is rendelkező katedrálisok harangozói sajátos tulajdonságokkal bíró, matematikailag

Hidak

139

permutációkként leírható szekvenciákat alkalmaztak a harangok megszólaltatása során, elsősorban a harangok megszólaltatásának a rendjére koncentrálva, s csak azután a harangok megszólaltatásából keletkező melodikus dallamvezetésre. A második világháború idején alakult ki a váltott harangozás kéziharangos változata, amelyet gyakorlataink során mi is alkalmazunk. Egy kéziharang-játékos nem csak egyetlen, hanem két vagy akár több harangot is kezelhet.

A harangozók rendszerint félkörben állnak fel, kezdetben mindegyikük csak egy harangot szólaltat meg. A harangokat egy-egy sorszámmal jelöljük. Megszólaltatásuk a harangozókkal közösen „megkomponált” – a harangok és a játékosok számától függő összetettségű – permutációs „számkotta” szerint történik. A harangok számkotta szerinti megszólaltatása koncentrációt és pontosságot követel, a ritmusérzéket pedig fejleszti.

13. kép: Adrian Childs (USA) zeneszerző kombinatorikai törvényszerűségeken alapuló matematikai-zenei kompozíciójának ősbemutatója a Bridges Pécs2010 Világkonferencián,

előadja a pécsi ANK I. sz. Általános Iskolájának Csengettyű Kórusa. A matematikai-zenei együttműködés az ANK ÉlményMűhely Tehetségkör programja keretében valósult meg,

felkészítő tanárok: Angeliné Somosi Ilona, Szabó Ildikó és Besenczi Alexandra. (Fotó: Horváth Norbert)

A kéziharang ily módon hagyományos funkciójának megtartása mellett alkalmas lehet a permutáció, a kombinatorika, a gráfelmélet matematikai összefüggéseinek érzékeltetésére, de az olyan matematikai fogalmak és összefüggések élményszerű megelevenítésére is, mint az arány, a számtani közép, a számsor vagy a zenei szimmetriák. Ugyanakkor a zenei ismétlődések, variációk matematikai, algoritmikus leírhatóságának felfedezéses megtanítá-sában is felhasználható. „Ezt rakd össze!” – Geometrikus testépítés az iskolában, a szabadban és a kiállítótérben ZomeTool© készlettel Fizikai terünk a természeti struktúrákat és az emberi konstrukciókat egyaránt meghatározó geometriai összefüggések révén szerveződik. A ZomeTool© modellező készlet, a tanulás, az alkotás és a közös játék egyedülálló eszközeként képes e komplexitást egyszerű formában megjeleníteni. A Zometool© „egyszerű és elegáns rendszer”, de nem túlzottan egyszerűsíti


140

le a világot. A hasonló modellező készleteknél a valóság nagyobb gazdagságát rejti magában. Hogyan? A modell gazdagságát és szépségét a több szinten beépített aranymetszés harmóniája és a tér 61 különböző irányába lehetséges építkezés adja.

14. kép: Paul Hildebrandt a ZomeTool© modellező készlet vezető fejlesztője és a Szabó Ildikó által irányított ÉlményMűhely Tehetségkör diákjai a pécsi Apáczai Általános Nevelési

Központ és Művelődési Házban a Bridges Pécs2010 Világkonferencia Családi Napján megrendezett óriásépítésen (Fotó: Szabó Csaba József)

A különböző színű és formájú elemekkel történő játék a két-, a három-, vagy akár a több-dimenziós terek jellegzetességeit illető térgeometriai felfedezésekre ad lehetőséget. A ZomeTool© alkalmazásával ebben az értelemben a tér „nyelvét” taníthatjuk meg az embereknek, az óvodásoktól a gyerekeken és a fiatalokon át az idősekig. [11]

15. kép: A ZomeTool-készlet játékos használata óvodásokkal az egri Eszterházy Károly Főiskolán. (Fotó: Berecz Tibor)

Hidak

141

A matematikai problémák megoldását egy konkrét tevékenységgel, e tevékenység értelmezésével, s e tevékenység során történő megoldáskereséssel: modellalkotással segítjük. A ZomeTool© különösen alkalmas az induktív és deduktív gondolkodás, a manuális készségek és a metakogníció iskolai fejlesztésére. Világszerte használják az iskolákban, óriásmodellek láthatók jelentős tudományos intézményekben, múzeumokban. A szabadban folyó, közös óriásmodell-építés pedig tudományos problémák közösségi, kreatív és gyakorlati megoldására késztet, kivételes közösségszervező erővel bír.

16. kép: Közép-Európa legnagyobb ZomeTool óriásmodellje, amely az Első Magyarországi

Zometool Munkacsoport vezetésével épült fel óvodások, iskolások, diákok, tanárok és professzorok közös munkája révén az egri Eszterházy Károly Főiskolán. (Fotó: Berecz Tibor) Az ÉlményMűhely Utazó Kiállítása Az ÉlményMűhely Nemzetközi Utazó Kiállítását 2010-ben hoztuk létre, a Bridges Pécs2010 Nagykiállítása és a Bridges Pécs 2010 keretében megrendezett Nemzetközi ScienTile Verseny résztvevőinek donációiból. Egyre növekvő matematikai-művészeti gyűjteményünkben a világ művészeti-tudományos élvonalának csaknem 80 alkotása található. Az ÉlményMűhely Utazó Múzeumának darabjai az ÉlményMűhely rendezvények kulcsfontosságú szereplői. Sokoldalúan szemléltethető általuk a matematikai gondolkodás kulturális, művészeti, építészeti és interdiszciplináris beágyazottsága.


142

17. kép: Laura M. Shea „Bent vagy kint?” című kristálykompozíciója az ÉlményMűhely Utazó Kiállításának gyűjteményéből.

Gyűjteményünkben az alábbi alkotók munkái szerepelnek: ABY SZABÓ Csaba, Javier BARALLO, Jacques BECK, Anne BURNS, Christopher CARLSON, Doug DUNHAM, F. FARKAS Tamás, Robert FATHAUER, Mike FIELD, Paul GAILIUNAS, Mehrdad GAROUSI, Gary GREENFIELD, John HIIGLI, Slavik JABLAN, KABAI Sándor, Craig S. KAPLAN, LÁNG Eszter, Margaret KEPNER, Teja KRASEK, Merill LESSLEY & Paul BEALE, Kaz MASLANKA, Jonathan McCABE, MUZSAI István, Richard NEWMAN, Rochelle NEWMAN, OROSZ István, Frank & Natalie PRIEBE, Peter RAEDSCHELDERS, Ian SAMMIS, Reza SARHANGI, SAXON SZÁSZ János, Carlo H. SEQUIN, Laura M. SHEA, SZUHAY Márton, Anna URSYN, Joel VARLAND, VIRÁGVÖLGYI Anna, Mohammad YAVARI RAD. Az ÉlményMűhely további jó gyakorlatai iránt érdeklődőknek ajánljuk figyelmébe magyarországi és nemzetközi rendezvényeinket és az ÉlményMűhely Mozgalom honlapját: <www.elmenymuhely.hu> Hivatkozások: [1] Baksay Lászlóné, Horváth H. Attila, Schmehl Júlia: Tevékenység-központú pedagógiák.

SuliNova Kht., Budapest, 2006. [2] Vester, Frederic: The Art of Interconnected Thinking. MCB, 2007. [3] Rogers, Carl R. - Freiberg, H. Jerome: A tanulás szabadsága. Ford.: Klein Sándor et al.

Edge 2000: Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, 2007. [4] Jellemzőnek tekinthető, hogy a komplex matematika-pedagógiai szemlélet, sőt, annak

nemzetközi összehasonlításban is kiemelkedő tanulmányozása (vö. Klein Sándor: A komplex matematikatanítási módszer pszichológiai hatásvizsgálata. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980.) már évtizedek óta jelen van a hazai tudományosságban is (arról nem is beszélve, hogy a szemlélet úttörő nemzetközi kidolgozói és elemzői között is számos

Hidak

143

magyar származású szakembert találunk), annak mégsem sikerült sem a pedagógus-képzésben sem pedig a közoktatásban számottevő módon gyökeret eresztenie.

[5] Vö. Kepes György: Látásra nevelés. MTA Művészettörténeti Kutató Intézet, Kepes Vizuális Központ, Argumentum, Budapest, 2008.

[6] A munkacsoport tevékenységéről bővebben: <www.elmenymuhely.hu> [7] Slavik Jablan & Ljiljana Radović: Vasarely és a matematika. Szerkesztette és fordította:

Fenyvesi Kristóf. Janus Pannonius Múzeum, Pécs, 2011. [8] A „MathArt”-szemlélet egyik világszerte leghatékonyabb és legjelentősebb közvetítője

az egyesült államokbeli gyökerű Bridges Organization szervezet, amely évente a világ más-más városában rendezi meg „Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science” tematikájú, több száz résztvevős konferenciáját. A konferencia előadásokból és műhelyekből álló szakmai programja művészeti kiállítással, zenei, színházi, irodalmi és egyéb kulturális programokkal, a szélesebb nyilvánosságnak szóló nyilvános beszélgetésekkel, családi nappal és művészeti-tudományos-oktatási kiállítással egészül ki. A szervezet munkájában 2009-től kezdődően jelen cikk szerzői is részt vesznek. Fenyvesi Kristóf, a 2010. július 23-28. között Pécsett megrendezett Bridges Világkonferencia magyarországi főszervezőjének, a Bridges Organization közösségi eseményei koordinátorának közreműködésével jelent meg az a tekintélyes kötet, amely egyben a „MathArt”-szemlélet gazdag spektrumát a legfrissebb tendenciáknak megfelelően mutatja be: Bridges Pécs. Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Conference Proceedings. George W. Hart & Reza Sarhangi ed. Tesselations Publishing, Pécs, 2010.

[9] Im., Rogers-Freiberg: A tanulás szabadsága. [10] Karlóczai Mariann: Játszóházaknak ugróiskolákról. Népművelési Intézet, Budapest, 1981. [11] Vö. George W. Hart – Henri Picciotto: Zome Geometry. Key Curriculum Press, 2000.

167

A KÖTET SZERKESZTŐI ÉS SZERZŐI

Stettner Eleonóra Fenyvesi Kristóf AURORA: festőművész, Woodstock, NY, USA.

KRYSTYNA BURCZYK: origami-művész, Lengyelország.

XAVIER DE CLIPPELEIR: képzőművész, designer, az eindhoveni Iparművészeti Egyetem tanára.

FRANCESCO DE COMITÉ: programozó, képzőművész, a Lille-i University of Sciences and Technology tanára.

DARVAS GYÖRGY: fizikus-filozófus, a Symmetrion igazgatója és az MTA Kutatásszervezési Intézet tudományos főmunkatársa. Fő kutatási területe a szimmetriák a tudományban és a művészetben.

DÁRDAI ZSUZSA: újságíró, művészetkritikus, médiaművész. Kutatási területei a konstruktivizmus, a geometrikus művészet és a MADI művészcsoport. A Nemzetközi Mobil MADI Múzeum Alapítvány alapító-kurátora, a POLIUNIVERZUM projekt tudományos munkatársa. Fő alkotói területe: a média művészet – „Élet az élettelenben”.

F. FARKAS TAMÁS: képzőművész, a Szent István Egyetem Ybl Miklós Építéstudományi Karának egyetemi adjunktusa. Fő alkotói és kutatási területei a háromnál több dimenziós térbeli paradox alakzatok, folyamatos dimenziópályák, sík és térszerveződések és egyéb képzőművészeti kérdések, területek.

ROBERT FATHAUER: matematikus, az amerikai Tesselations Company vezetője, a Bridges Világkonferenciák matematikai-művészeti kiállításainak vezető kurátora.

FENYVESI KRISTÓF: a Jyväskyläi Egyetem Kultúra- és Művészettudományi Intézetének kutatója, az Ars Geometrica Nemzetközi Találkozó és Műhely, valamint az ÉlményMűhely Mozgalom – az Élményközpontú Matematika-oktatásért (<www.elmenymuhely.hu>) nemzetközi vezetője, a Bridges Organization (USA) közösségi eseményeinek koordinátora.

PAUL HILDEBRANDT: matematikus, a Zometool nevű modellező készlet fejlesztője, világszerte tart műhelyeket és óriásépítéseket.

SLAVIK JABLAN: a belgrádi Matematikai Intézet tanára, a VisMath folyóirat főszerkesztője, a vizuális matematika, a szimmetria és számos matematikai interdiszciplináris határterület nemzetközileg elismert kutatója.

BJARNE JESPERSEN: képzőművész, Naestved, Dánia.

KABAI SÁNDOR: nyugdíjas mérnök. Fő kutatási és alkotói területe a matematikai grafika és a geometriai modellezés.

Szerzők

168

KAPITÁNY ANDRÁS: képzőművész, fő kutatási területe a képzőművészet és építészet intermediális határterülete (épület mint szobor / szobor mint épület).

KELLE ANTAL: ArtFormer, ARTFORMER STÚDIÓ. Fő alkotói területe az interaktív művészeti tárgyalkotás.

KIS GÁBOR: fizikus, az R&R Software vezető tanácsadója, a POLIUNIVERZUM projekt tudományos munkatársa.

KOVÁCS GÁBOR: tanár, író, költő. Munkahelye az Apáczai Nevelési Központ, I. sz. Általános Iskola, Pécs. Művészeti-matematikai szakterülete az iszlám díszítőművészet. Főbb művei: Egy sas délutánja, versek, 1999; Az özvegyégetés, esszéregény, 2008; Dervistáncot járó felhő, versek, 2009; Napsütötte eretnekségem, prózai írások, 2011.

LÉNÁRT ISTVÁN: az ELTE tanára és kutatója. Fő kutatási területei az összehasonlító geometria szerepe az oktatásban és a projektív gömbök elmélete a matematikában.

MALINA JÁNOS: zenetörténész, kritikus, a Magyar Haydn Társaság és a Nemzetközi Eszterházi Opera Alapítvány elnöke.

JONATHAN MCCABE: designer, a Canberrai Egyetem Művészet és Design Karának tanára.

MUZSAI ISTVÁN: festőművész, építész, a Moholy-Nagy Művészeti Egyetem DLA hallgatója.

OROSZ ISTVÁN: képzőművész, a Nyugat-magyarországi Egyetem tanára. Fő kutatási, illetve alkotói területe az optikai illúziók és az anamorfózisok.

LJILJANA RADOVIĆ: a Nisi Egyetem Mérnöki Karának matematikusa, szakterülete a számítógépes grafikai és a vizuális matematika.

RUTTKAY ZSÓFIA: matematikus, a Moholy-Nagy Művészeti Egyetem Média Intézetének docense, a Kreatív Technológia Labor vezetője.

REZA SARHANGI: az amerikai Towson Egyetem matematikusa, a Bridges Organization alapító elnöke, a Bridges Világkonferenciák megálmodója és főszervezője. Szakterülete a perzsa művészet matematikai összefüggéseinek kutatása.

SAXON SZÁSZ JÁNOS: független képzőművész, feltaláló, szerkesztő. Fő alkotói területe a konstruktív-geometrikus művészet, a Polidimenzionális síkfestészet megalkotója, a Poliuniverzum-Tudástermék Játékprojekt feltalálója, a Mobil MADI Múzeum alapító kurátora.

CASPAR SCHWABE: matematikus, a japán Kurashiki Tudományos és Művészeti Egyetem tanára, világszerte tart műhelyeket és előadásokat.

STETTNER ELEONÓRA: a Kaposvári Egyetem Matematika és Fizika Tanszékének oktatója, kutató. Fő kutatási területei a geometria, a felülettopológia, a felületek szimmetria-csoportjai, a matematika és a művészet kapcsolatai.

SZABÓ ILDIKÓ: az ANK - Pécs, 1. számú Általános Iskola matematika-fizika szakos tanára, az ÉlményMűhely Mozgalom és az Első Magyarországi ZomeTool Munkacsoport szakmai vezetője, az ÉlményMűhely Hidak Utazó Galériája és az ÉlményMűhely Tehetségkör vezetője.

SZILASSI LAJOS: matematikus, nyugalmazott főiskolai docens, Szegedi Tudományegyetem. Fő kutatási területei a konstruktív geometria, a geometria és a képzőművészet kapcsolata, a számítógép alkalmazási lehetőségei a geometriaoktatásban.

BRIONY THOMAS: designer, a Leedsi Egyetem Design Intézetének tanára.

VÖRÖS LÁSZLÓ: matematikus, egyetemi docens, PTE Pollack Mihály Műszaki Kar Építész Intézet. Fő szakterületei az ábrázoló geometria és a CAD.

hidak: matematikai kapcsolatok a művészetben, a tudományban és az élményközpontú oktatásban

Documents