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MEMORIAS DEL XVIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE, 2012 SALAMANCA, GUANAJUATO, MÉXICO

Derechos Reservados © 2012, SOMIM

HIDRODI�ÁMICA DEL FLUJO MIXTO ELECTRO-OSMÓTICO/PRESIÓ�

PARA U� FLUIDO DE LEY DE POTE�CIA E� U� MICROCA�AL Escandón Colín J. Pablo, Beltrán Parra Ernesto, Donís Sánchez Fredy.

Departamento de Termofluidos, SEPI_ESIME Unidad Azcapotzalco IPN,

Av. De las granjas No. 682. Col. Santa Catarina D.F. México Teléfono:++(52)55 57296000 ext. 64487, [email protected]

RESUME�. En este trabajo se presenta un estudio

analítico y numérico sobre aspectos

hidrodinámicos de un flujo de un fluido no

newtoniano en un microcanal de placas planas

paralelas, bajo la influencia de fuerzas mixtas

electro-osmóticas/presión. El fluido obedece el

modelo reológico de ley de potencia y el flujo se

considera completamente desarrollado con

propiedades constantes. De la solución del

modelo matemático adimensional planteado, se

obtienen los perfiles de velocidad, distribuciones

de viscosidades y esfuerzos cortantes, así como

los correspondientes caudales de fluidos

seudoplasticos y dilatantes fluyendo en el

microcanal. Se muestra la influencia de los

parámetros adimensionales involucrados en el

análisis, como son el índice de comportamiento

de flujo (n), el parámetro electrocinético ( )κ y el

parámetro que involucra la competencia de las

fuerzas de presión con las fuerzas electro-

osmóticas ( )Γ .

ABSTRACT. On this research an analytical and numerical

study about hydrodynamic aspects of a non-

'ewtonian fluid flow in a microchannel of

parallel plates under the influence of mixed

electro-osmotic/pressure forces is presented. The

fluid obeys the rheological power law model and

a fully-developed flow with constant properties is

considered. From the solution of the

dimensionless mathematical model proposed, the

velocity profiles, distributions of viscosities and

shear stress, as well as the corresponding flow

rates of pseudoplastic and dilatant fluids are

obtained. The influence of dimensionless

parameters involved in the analysis, as the flow

behavior index (n), the electrokinetic parameter ( )κ and the ratio of pressure to the electro-

osmotic forces ( )Γ , is shown.

I�TRODUCCIÓ�. Como consecuencia del rápido desarrollo de

tecnologías de laboratorios en un chip la electro-

osmosis está siendo utilizada ampliamente como

fuerza conductora para manipular flujos de

líquidos, para transporte y control de muestras en

análisis biológicos, químicos, y diagnósticos

médicos. Por tanto, es fundamental entender las

características del flujo de fluidos en dispositivos

microfluídicos para su optimo diseño y control,

[1]. Los microcanales son una parte fundamental

de los laboratorios en un chip para conducir

sustancias coloidales [2] formadas por solutos

(bacterias, virus, células rojas, plasma,

aminoácidos, proteínas, etc.) y solventes

(electrolitos); las superficies de los microcanales

en contacto con electrolitos obtienen iones con

ciertas cargas eléctricas las cuales se balancean

con los iones de carga eléctricas opuestas

proporcionadas por el electrolito, formando una

doble capa eléctrica en la superficie; si un campo

eléctrico es aplicado tangencialmente, se tendrá

una fuerza de cuerpo sobre el exceso de iones en

la doble capa eléctrica, permitiendo que estos

tiendan a moverse arrastrando la sustancia con

ellos, dando como resultado el flujo electro-

osmótico [3].

Aunque en la literatura existen varios

modelos propuestos para analizar el

comportamiento de fluidos no newtonianos en

microcanales, en la actualidad, todavía aparecen

implicaciones pertinentes sobre el transporte de

flujos electrocinéticos que no han sido resueltos

completamente por la comunidad científica [4];

se han propuesto soluciones analíticas utilizando

el modelo Phan-Thien Tanner para fluidos

viscoelásticos [5, 6], con el objeto de resolver

modelos matemáticos que predigan el

comportamiento de los perfiles de velocidad,

viscosidad y caudal; mientras que estudios

realizados por Zhao [1, 7] consideran el modelo

reológico ley de potencia para el comportamiento

de flujo puramente electro-osmótico en

microcanales considerando la distribución de

velocidad para diferentes índices de

comportamiento de flujo, en el análisis los

perfiles de velocidad son resueltos mediante un

método aproximado para cualquier valor del

índice de comportamiento de flujo y también

propone una solución exacta para ciertos valores

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1464



de este índice de comportamiento, de estos

estudios se obtiene la velocidad de referencia

Smoluchowski para fluidos no newtonianos de

ley de potencia. Se han realizado investigaciones

sobre flujos de ley de potencia en microcanales

contemplando el efecto combinado de fuerzas

electro-osmóticas y de gradientes de presión [3,

8-10], sin hacer un análisis detallado de la

distribución de viscosidad y esfuerzos en el

microcanal y su efecto en los perfiles de

velocidad y caudal.

Con el objeto de tener un conocimiento más

amplio sobre el flujo de fluidos bajo el modelo

reológico de ley de potencia en microcanales, el

presente trabajo hace un estudio alternativo, de

manera numérica y analítica, para la descripción

y análisis de la hidrodinámica de un flujo mixto

electro-osmótico/presión en un microcanal de

placas planas paralelas a través de sus perfiles de

velocidad y caudal, mostrando la influencia y de

los diversos parámetros adimensionales de

transporte que surgen del modelado matemático.

2 METODOLOGIA. 2.1 Modelo físico La Figura 1 muestra una vista esquemática del

modelo físico de estudio, el fluido fluye a través

de un microcanal de dos placas planas paralelas

de altura 2H . El sistema de coordenadas se

compone de una coordenada axial x y una

coordenada transversal y . El flujo es accionado

por la aplicación de un campo eléctrico externo

xE y un gradiente de presión favorable al flujo

/x

p dp dx= , ambos en la dirección axial entre

la entrada y salida del microcanal. En la figura,

se indica la elevada concentración de cargas

eléctricas en la zona de la longitud de Debye 1κ−

dentro de la doble capa eléctrica; además del

perfil de velocidad ( )u y en la dirección del flujo.

2.2 Ecuaciones gobernantes En el análisis del presente trabajo se

considero:

• Flujo incomprensible.

• Flujo hidrodinámicamente desarrollado.

• Propiedades físicas constantes

• El campo eléctrico es irrotacional, y actúa

en la dirección de la coordenada .x • El solvente de la dispersión coloidal es a

base de un electrolito simétrico.

• El potencial zeta, es uniforme a través de

las paredes del microcanal.

• El voltaje externo es mucho más alto que el

potencial de corriente inducido por el flujo.

Figura 1. Esquema del flujo electro-osmótico en un

microcanal de placas planas paralelas

• Por simetría, el análisis se restringe al

dominio de la mitad del microcanal.

Por lo tanto la ecuación de conservación de

cantidad de movimiento está dada por la

siguiente ecuación

0,xy e x

dp dE

dx dyτ ρ− + + = (1)

donde p , e

ρ , xE y

xyτ son la presión, densidad

de carga eléctrica, campo eléctrico externo y

esfuerzo cortante, respectivamente. La densidad

de carga eléctrica está dada por 2

cosh( ) / cosh( )e

y Hρ εκ ζ κ κ= − [2], en donde

ε ,2κ , ζ , H y κ son la constante dieléctrica

del fluido, parámetro de Debye-Hückel,

potencial zeta, mitad del microcanal e inverso de

la longitud de Debye, respectivamente. El

esfuerzo cortante para un fluido de ley de

potencia está dado por la siguiente expresión 1

,

n

xy

du dum

dy dyτ

−

=

(2)

donde m , n y u son el índice de consistencia

de flujo, índice de comportamiento de flujo y

velocidad axial del fluido, respectivamente.

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación

(1) y considerando que el gradiente de velocidad

decrece en la dirección positiva de la coordenada

transversal ( )1 1,/ /

n n

du dy du dy− −= − se obtiene

la siguiente representación para la ecuación de

conservación de la cantidad de movimiento

2 cosh( ).

cosh( )

n

x

du dP yd E dy

dy dx Hm

κεκ ζ

κ= − −

−

(3)

Las condiciones de frontera asociadas a la

ecuación (3) son:

( )

0

0,

0.

y

u y H

du

dy =

= =

=

(4)

Ex

y

x

2H

+ - u(y)

κκκκ−1−1−1−1

κκκκ−1−1−1−1

- -

+

+

+

+

+

+

- -

-

-

-

+ + + + + + + + + + + + + + + - -

+ + + + + + + + - - + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

px

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1465



Definiendo las siguientes variables

adimensionales

; ,

c

y uu

H uη = =

(5)

donde η , u y cu son la coordenada transversal

adimensional, velocidad axial del fluido

adimensional, velocidad Smoluchowski para

fluidos con modelo de ley de potencia [1],

respectivamente. Introduciendo la ecuación (5)

en (3) y (4) se obtiene

11 cosh( )

,cosh( )

n n n

du nd d

d n n

κ κηη

η κ

++− = Γ −

(6)

donde ,Γ es la competencia entre las fuerzas de

presión y las fuerzas electro-osmóticas;

,Hκ κ= es el parámetro electrocinético. Γ esta

dado por la siguiente relación [3]

,

n

p

n

c

u

u

Γ = (7)

donde

11,

1

n

n n

p

n dPu H

n m dx

+= −+

(8)

11

,

n

n

nn

n

c

Exu n

m

εζκ

−

= −

(9)

donde pu es la velocidad de un fluido de ley de

potencia por efecto de fuerzas de presión. Las

condiciones de frontera adimensionales para la

ecuación (6) son:

0

( 1) 0,

0.

u

du

d η

η

η =

= =

= (10)

Integrando una vez la ecuación (6) y

aplicando la condición de frontera de simetría

hidrodinámica de la ecuación (10) se obtiene el

gradiente de velocidad de flujo en el microcanal

como a continuación se presenta 1

1 sinh( ).

cosh( )

n n n

du n

d n n

κ κηη

η κ+

= − Γ +

(11)

De la ecuación (2) se tiene que la viscosidad

aparente µ y el esfuerzo cortante xy

τ para un

fluido de ley de potencia son respectivamente 1

,

n

dum

dyµ

−

= −

(12)

,

n

xym

du

dyτ = −

−

(13)

sustituyendo la ecuación (5) y (11) en las

ecuaciones (12) y (13) se obtiene la variación de

la viscosidad y esfuerzo cortante del fluido

respecto a la coordenada transversal del

microcanal de la siguiente forma

( )( )

1

1sinh1

,cosh

n

nn n

cu n

m

H n n

κηκµ η

κ

−−

+= Γ +

(14)

( )( )

sinh1

cosh.

n n

c

xy

u nm

H n n

κηκτ η

κ+

= − Γ +

(15)

Los valores de viscosidad y esfuerzo cortante

de referencia para fluidos de ley de potencia en

el presente trabajo se obtuvieron de la ecuación

(14) y (15) respectivamente cuando 1,η = es

decir, condiciones de viscosidad w

µ y esfuerzo

cortante w

xyτ en la pared del microcanal. De esta

manera la viscosidad y esfuerzo cortante

adimensional son:

( )( )

( )

1

sinh1

cosh,

1tanh

n

n n n

n n

w

n

n n

n

n n

κηκηκµ

µµ κ κ

−

+Γ +

= =+

Γ +

(16)

( )( )

( )

sinh1

cosh.

1tanh

w

n n

xy

xy n n

xy

n

n n

n

n n

κηκητ κ

ττ κ κ

+Γ +

= =+

Γ +

(17)

El flujo volumétrico del sistema del

microcanal se determina por la siguiente

expresión

ˆ2 ,Q Hu= (18)

donde la velocidad promedio u se define por

0

1ˆ .

y Hyu udy

H

=== ∫ (19)

Sustituyendo la ecuación (19) y (5) en (18),

se obtiene la ecuación general de gasto

adimensional en el microcanal [6].

( )1

02 ; , ,

2.

c

QQ u n d

u H

ηη η κ η=

== = Γ∫ (20)

2.3 Solución numérica Para obtener el perfil de velocidades del

flujo, la ecuación (11) fue resuelta por un

esquema numérico en diferencias finitas hacia

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1466



adelante y adaptado a un algoritmo de una matriz

tridigonal, resuelto por el método de Thomas

[11]. Discretizando la coordenada transversal

adimensional en función del incremento nodal

para la región del fluido, se tiene lo siguiente

; 0,1,... ,kjj j Mη η= ∆ = (21)

donde k , es el número de iteraciones del método

y M es el número máximo de nodos. La

ecuación (11), puede ser escrita en forma

discretizada en diferencias finitas como se

muestra a continuación

( )

{ }

1

1

1

sinh ( ).

cosh( )

n

k k k kj j j j

k nnj

nu u j

n

j

n

η η

κ ηκκ

++

− = −∆ Γ ∆ +

∆

(22)

El incremento nodal en la sección transversal

de la región del fluido en el microcanal, está

dado por

1,

1

kj�

η∆ =−

(23)

donde � , se refiere al total de nodos de la malla

discretizada y que corresponde a la siguiente

secuencia ( 0,1,..., ).max

� j j= =∑ El valor de ,� se inicializara a partir de un valor de 10,001, el

cual se incrementa en cada iteración del método

aquí propuesto con un valor de 1000, hasta que

se cumpla la siguiente condición 1

,

k kj j Tu u tol

−− ≤ (24)

donde T

tol , es la tolerancia de la aplicación del

método de Thomas, con un valor de 1110

− .

Los datos obtenidos de la solución numérica

anterior para el perfil de velocidades, son

utilizados al implementar el método del trapecio

para la integración numérica de la ecuación (20),

transformándose de la siguiente manera

( )1

10

12 1

2

.

�

j jj

Q j j u uη η−

+=

≈ + ∆ − ∆ +∑

(25)

2.4 Solución analítica Para efecto de validación de los resultados

numéricos se propone la siguiente solución

analítica para el perfil de velocidad y caudal.

Integrando la ecuación del gradiente de

velocidad dado por la ecuación (11) para el

índice de comportamiento de flujo 1,n= y con la

condición de frontera de no deslizamiento de la

ecuación (10), se obtiene el siguiente perfil de

velocidades

( )( )

2cosh

(1 ) 1cosh

,u

κηη

κ= Γ − + −

(26)

la ecuación (26) se sustituye en la ecuación (20),

la cual se integra para obtener el caudal

correspondiente a 1,n = como a continuación se

presenta

4 2 tanh( )2

3,Q

κκ

Γ= + − (27)

de la misma forma para 12

n =

[ ]

1

22 3

2

24 cosh( )(1 ) 1

cosh( )

1 sinh( )tanh( )

cosh( )

1sinh(2 ) sinh(2 ) (1 )

2

cosh ( ),

u

κηη η

κ κ

κηκ

κ κ

κ κη κ η

κ

= Γ − + − −

− +

− − −

(28)

( )

( ) ( ) ( )

12

2

2

2

2tanh3 96 21

2

cosh 21 12

2 2cosh

sinh ,

Qκ

κ κ κ

κκ κ

κ κκ

Γ= + Γ − + +

− − +

(29)

para 13

n =

( ){

( )} ({

) ( )

( )( ) ( ){

( )} ( ){

( )} { } { }

( ) ( ){ ( )

4 1

23 33 4

2

2

12

33

2

2

2 2

2

3

6 ( ) 1(1 ) cosh

cosh( )

2cosh sinh( )

1sinh( ) cosh( ) cosh( )

972 1sinh 2

4cosh

1sinh 2 cosh 2

8

1 1cosh 2 1 1

4 2

3 1sinh cosh

3cosh

u

κη κκ κ

η κη η κηκ

κ κ κηκ

κκ

κκ

η κη κηκ

κ η η

κ κ κκκ

Γ = Γ − + −

+ −

+ − +

Γ −

+ −

+ − + − +

( ) ( )}( ) ( ){ }

2sinh cosh

2cosh cosh ,

3

κη κη

κη κκ

−

+

− (30)

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( )( ) ( ){

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

11

23 33

2

103688 1cosh

5 cosh

1 2 1sinh cosh sinh

sinh2 1cosh sinh

sinh1cosh

Qκ

κκ κ

κ κ κκ κ κ

κκ κ

κ κκ

κκ

κ κ

=ΓΓ + −

− − +

− − +

− +

( ) ( ) ( ){

( )( )

( )

( ) ( )

( ) { ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ){

( )

( ) ( )

1 2

3 3

2

2

2

3

2

2

17776 2

4

cosh 2 12

2 2

21 1cosh 2

2 28

6 1cosh

3cosh

cosh 12 cosh

2 3

cosh( ) sinh(2 )cosh

4

12 co

48 12

sinh

sinh

sinh

sinh

sinh

sinh

κ κκ

κκ

κ κ

κκ

κκ

κκ κ

κκ

κκ κ

κ

κ κκ

κκ κ

Γ −

− +

− − +

+

+ − −

− +

−−

( )( ){

} ( )3

sh 2

cosh( ) sinh(2 )3

sinh.

κ

κκ κ

κ

−

+

(31) 3 A�ALISIS DE RESULTADOS.

En la Figura 2 se muestran las soluciones

numérica y analítica de la ecuación (11) para los

perfiles de velocidad adimensional u como

función de la coordenada transversal η , para

diferentes valores del índice de comportamiento

de flujo ,n y valores fijos de 50κ = y 0Γ =(no hay gradiente de presión impuesto). Para

cualquier valor del índice de comportamiento de

flujo, la velocidad máxima se encuentra en el

centro del microcanal en 0,η = siendo ésta la

velocidad Smoluchowski; se observa la

disminución de los perfiles de velocidad hacia la

pared del microcanal en función de cumplir la

condición de no deslizamiento impuesta. Para

valores de 1n < (fluidos seudoplásticos), el

perfil de velocidad tiende a incrementarse en la

Figura 2. Distribución de velocidad adimensional para

diferentes valores del índice de comportamiento de flujo, n .

dirección del flujo sobre el caso newtoniano

( )1n= , esto es debido a que a partir del análisis

la ecuación (14) se deduce que para valores

típicos de flujos electro-osmóticos la razón de

viscosidades en la pared para un fluido

seudoplástico y un fluido newtoniano es

( ) ( )1/

seudoplastico newtonianow wµ µ < , por tanto los fluidos

con valores de 1n < , tienen las viscosidades en

la pared más pequeñas [1], haciendo que las

fuerzas del cuerpo del efecto electro-osmótico

sea más relevante dentro de la doble capa

eléctrica cuando disminuye n con la viscosidad

,

wµ

y por tanto se generan los perfiles de

velocidad más altos en magnitud, presentándose

una tendencia más clara a un perfil de flujo tipo

tapón. En el caso de 1n > (fluidos dilatantes),

el perfil de velocidad tiende a decrecer en la

dirección del flujo por debajo del caso

newtoniano, debido al análisis de la ecuación

(14) se tiene que la razón de viscosidades

( ) ( )1/

dilatante newtonianow wµ µ > , lo cual indica que

los fluidos dilatantes presentan una viscosidad

más alta en la pared del microcanal que los

fluidos newtonianos y en general de los fluidos

de ley de potencia, haciendo que las fuerzas de

cuerpo del efecto electro-osmótico dentro de la

doble capa eléctrica sea menor en este tipo de

fluidos por tener una resistencia al flujo mayor

en esta zona, generando los perfiles de velocidad

en magnitud más pequeños. Se puede observar

también en esta figura, la adecuada

correspondencia entre las soluciones numéricas y

analíticas planteadas en el presente trabajo para

los perfiles de velocidad.

En la Figura 3 se observa la solución

numérica de las distribuciones de velocidad

adimensional ,u como función de la coordenada

0.0 0.1 0.2 0.90 0.95 1.000.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

η

n=0.33

n=0.5

n=0.75

n=0.8

n=0.9

n=1.0

n=1.1

n=1.2

n=1.5

u

Γ=0κ=50

�uméricoAnalítico

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1468



Figura 3. Distribución de velocidad adimensional para

diferentes valores del parámetro electrocinético, κ .

transversal η , para diferentes valores del

parámetro electrocinético ,κ manteniendo a

0Γ = y 0.75n = . El parámetro electrocinético

es una medida relativa del espesor de la longitud

de Debye 1κ − con la altura del microcanal H; es

de esperarse que al decrecer el valor de ,κ se

están considerando microcanales cada vez más

delgados, por tanto el espesor de la longitud de

Debye tendera a ser de la misma magnitud que la

altura del microcanal haciendo que la doble capa

eléctrica en la pared sea mayor y los efectos

electro-osmóticos se distribuyan en una

proporción más grande de la sección transversal

del microcanal, dejando un perfil de velocidad

con tendencia parabólica [1]. En esta figura, se

observa el comportamiento de un flujo tapón

(uniforme) para valores grandes de ,κ caso

particular de flujos puramente electro-osmóticos

con longitudes de Debye pequeñas dentro de la

doble capa eléctrica [2], es claro que una mayor

velocidad promedio se espera para flujo de fluido

con valores de 10.κ ≫ El flujo tapón es

utilizado por flujos en microcanales para el

control y detección de solutos, debido a que

genera una muy pequeña dispersión de las

muestras en los dispositivos microfluídicos [12].

La Figura 4 considera aspectos

hidrodinámicos de un flujo de un fluido

seudoplástico en un microcanal con (n=0.75) y

50.κ = En la Figura 4a, se observan los perfiles

de velocidad adimensional del fluido, como

función de la coordenada transversal del

microcanal. Γ representa la competencia entre

las fuerzas de presión y las fuerzas electro-

osmóticas; cuando 0Γ = no existen fuerzas de

presión favorables al flujo (caso mostrado en las

Figuras 2 y 3), predominando el patrón de flujo

tapón; cuando 0Γ > la solución numérica de la

ecuación (11), indica que la aplicación de

fuerzas de superficie generadas por gradientes de

presión favorables a la dirección de flujo,

incrementan las magnitudes de los perfiles de

velocidad en el orden del incremento de Γ . Esta

figura describe de manera clara la combinación

de los efectos electro-osmóticos (patrón de flujo

de tipo tapón) y de presión (patrón de flujo

parabólico), en los perfiles de velocidad.

En la Figura 4b se observa la evolución de la

viscosidad adimensional µ como función de la

coordenada transversal η , para diferentes

valores de Γ . De la ecuación (16), se obtiene

que el aumento de la magnitud del gradiente de

presión a través del parámetro Γ , provoca la

disminución de la viscosidad adimensional y la

resistencia al flujo del fluido a lo largo de la

coordenada transversal, y como consecuencia el

aumento de los perfiles de velocidad dados por la

Figura 4a. En los fluidos seudoplásticos (n<1),

como es el caso de esta figura, se puede observar

que la mayor viscosidad se encuentra en las

cercanías del centro del microcanal,

disminuyendo en forma asintótica en esa zona,

posteriormente el decrecimiento es de manera

uniforme hacia la pared para alcanzar el valor de

la viscosidad de referencia en esa posición ,

wµ

que es el punto donde se encuentran las

velocidades de deformación máximas del flujo

( )/max

du dη y por consiguiente la mayor

resistencia que ofrece el fluido a fluir para

cumplir la condición de no deslizamiento

impuesta. El modelo planteado por la ecuación

(16) falla en los fluidos seudoplásticos para

predecir la viscosidad en el centro del microcanal

en 0.η = La Figura 4c muestra la variación del

esfuerzo cortante adimensional xyτ como función

de la coordenada transversal η , para diferentes

valores de Γ . Para cualquier valor de Γ y de

acuerdo a la ecuación (17), se tiene que 0xy

τ =

en el centro del microcanal en 0,η = debido al

cumplimiento de la condición de frontera de

simetría hidrodinámica, en donde el gradiente de

velocidad en la coordenada transversal es cero.

Se puede observar que el esfuerzo cortante xyτ

crece lineal y uniformemente desde el centro del

microcanal hacia la pared, pero al llegar a la zona

de la doble capa eléctrica el esfuerzo crece

asintóticamente con las velocidades de

deformación para alcanzar la condición de no

deslizamiento en la pared y el esfuerzo cortante

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Γ=0n=0.75

η

κκκκ =10

κκκκ =50

κκκκ =100

u

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1469



Figura 4. Comportamiento hidrodinámico de un fluido

seudoplásticos con 0.75n = y 50.κ = a) perfil de

velocidad ,u b) viscosidad ,µ y c) esfuerzo cortante .

xyτ

máximo. El esfuerzo .

xyτ crece asintóticamente

con Γ en el mismo orden que las velocidades de

deformación dentro de la doble capa eléctrica

para incrementar los perfiles de velocidad dados

en la Figura 4a.

La Figura 5 describe aspectos sobre la

hidrodinámica de flujo de un fluido dilatante

( 1.2)n = con 50.κ = En la Figura 5a se

observa la solución numérica del desarrollo de

los perfiles de velocidad ,u como función de la

Figura 5. Comportamiento hidrodinámico de un fluido

seudoplásticos con 1.2n = y 50.κ = a) perfil de velocidad

,u b) viscosidad ,µ y c) esfuerzo cortante .

xyτ

coordenada transversal η , para diferentes

valores de .Γ De la misma manera que la Figura

4a, los perfiles de velocidad de fluidos dilatantes

se ven modificados bajo la acción de gradientes

de presión favorables al flujo en el orden de

incrementar su magnitud con el parámetro ,Γ

siendo este tipo de fluidos menos sensibles al

efecto de ,Γ y por tanto menores en magnitud en

comparación con los fluidos seudoplásticos para

las mismas condiciones de flujo. Para cualquier

valor de ,Γ la velocidad es máxima en el centro

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

a)

η

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

n=0.75κ=50

u

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

b)

µ

η

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

n=0.75κ=50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1τxy

c)

η

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

n=0.75κ=50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

a)

η

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

n=1.2κ=50

u

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

b)

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

η

n=1.2κ=50

µ

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0c)

η

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

ΓΓΓΓ=2

n=1.2κ=50

τxy

ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1470



del canal, disminuyendo hasta hacerse nula en la

pared del microcanal por efecto de la condición

de no deslizamiento impuesta.

En la Figura 5b, se muestra la distribución de

la viscosidad adimensional u como función de

la coordenada transversal η y diferentes valores

de .Γ Independientemente del valor de ,Γ en

esta figura se observa el comportamiento

inviscido de los fluidos dilatantes (n>1) en el

centro del microcanal en 0.η = La viscosidad

adimensional crece asintóticamente en las

cercanías del centro del microcanal y después de

manera uniforme a lo largo de la coordenada

transversal, para finalmente crecer de manera

asintótica en las cercanías de la pared dentro de

la doble capa eléctrica. De esta manera, la

viscosidad adimensional de los fluidos dilatantes

aumenta desde el centro del microcanal hacia la

pared para alcanzar la viscosidad máxima en esa

posición. Para valores típicos de flujos electro-

osmóticos se observa a partir de la ecuación (16),

que la razón de viscosidades en la pared del

microcanal es ( ) ( )

1,/seudoplastico dilatantesw w

µ µ < lo

cual reafirma que en los fluidos dilatantes se

presentan una mayor resistencia del fluido a fluir

y por tanto es menor el efecto electro-osmótico

dentro de la doble capa eléctrica, en comparación

con los seudoplásticos; de ahí, que los perfiles de

velocidad presentados en la Figura 4a

(seudoplásticos), son mayores en magnitud que

los de la Figura 5a (dilatantes), bajo las mismas

condiciones de flujo. En lo que respecta al

comportamiento de la viscosidad fuera de la

doble capa eléctrica se tiene que la razón de

viscosidades ( ) ( )

1,/seudoplastico dilatantes

µ µ < siendo

los fluidos dilatantes con menor viscosidad en

esta zona.

En la Figura 5c se presenta la distribución del

esfuerzo cortante adimensional xyτ como función

de la coordenada transversal η y diferentes

valores de .Γ Se puede observar en la Figura 5c

el crecimiento de manera lineal y uniforme del

esfuerzo cortante xyτ hacia la pared del

microcanal, pero en la zona de la doble capa

eléctrica este esfuerzo tiende a aumentar

drásticamente de manera asintótica para alcanzar

su valor máximo junto con la velocidad de

deformación máxima ( )max

/du dη en 1.η = El

esfuerzo cortante xyτ aumenta con Γ a lo largo

de la coordenada transversal, pero dentro de la

doble capa eléctrica, el xy

τ tiende a ser igual

para cualquier valor de .Γ De la ecuación (15) y

para valores típicos de flujos electro-osmóticos y

en lo concerniente al presente trabajo con fluidos

de ley de potencia, se tiene que la razón de

esfuerzos en la pared y dentro de la doble capa

eléctrica es ( ) ( )

1,/seudoplastico dilatantesxyw xyw

τ τ ∼ pero

fuera de la doble capa eléctrica hacia el centro

del canal, la relación de esfuerzos se comporta

( ) ( )1,/

seudoplastico dilatantesxy xyτ τ > situación que se

observa al comparar las figuras 4c y 5c; así, en el

orden de vencer la resistencia al flujo debido a

las altas viscosidades de los fluidos

seudoplásticos fuera de la doble capa eléctrica, es

de esperarse que los esfuerzos cortantes sean

mayores, situación contraria en los fluidos

dilatantes.

La Figura 6 muestra el caudal adimensional

Q del microcanal como función del índice de

comportamiento de flujo ,n para diferentes

valores de Γ y 50κ = . La imposición de un

gradiente de presión favorable al flujo a través

del parámetro adimensional Γ incrementa el

perfil de velocidad en la dirección de flujo (ver

Figuras 4a y 5a), como consecuencia de esto, el

caudal adimensional Q crece con Γ para

cualquier valor del índice del comportamiento de

flujo. El efecto combinado de fuerzas electro-

osmóticas y de presión sobre los perfiles de

velocidad reside en la magnitud de la viscosidad

dentro de la doble capa eléctrica representada en

la longitud de Debye 1;κ − en el caso de fluidos

dilatantes (n>1), la viscosidad dentro de la doble

capa eléctrica aumenta con ,n por tanto es de

esperarse que los perfiles de velocidad y caudal

para estos fluidos disminuya cuando ,n → ∞

este tipo de fluidos son poco sensibles al efecto

Figura 6. Caudal adimensional en el microcanal como función del

índice de comportamiento de flujo n, para diferentes valores de Γ.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.51

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15�uméricoAnalítico

n

ΓΓΓΓ=0.5

ΓΓΓΓ=0.75

ΓΓΓΓ=1

ΓΓΓΓ=1.5

Q κ=50

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de la aplicación de gradientes de presión sobre el

caudal Q . Para fluidos seudoplásticos (n<1), la

viscosidad dentro de la doble capa eléctrica

disminuye con ,n por tanto los perfiles de

velocidad y caudal para estos fluidos aumentan

cuando 0,n → estos tipos de fluidos son muy

sensibles al efecto de la aplicación de gradientes

de presión sobre el caudal .Q La solución

numérica y analítica de la ecuación (20) para el

caudal adimensional presenta una excelente

convergencia.

La Figura 7 muestra el comportamiento del

caudal Q como función del índice de

comportamiento de flujo, n , para diferentes

valores del parámetro electrocinético κ y con

0.Γ = Siendo el parámetro electrocinético κ un

indicador geométrico del microcanal, es de

esperarse que para valores decrecientes de este

parámetro se tengan microcanales cada vez más

delgados y con velocidades promedio más

pequeñas (ver Figura 3), disminuyendo el caudal

adimensional. En esta figura se observa que para

fluidos seudoplásticos con 0,n → el caudal Q

crece debido a la reducción de la viscosidad

dentro de la doble capa eléctrica y a la mayor

sensibilidad del efecto electro-osmótico en esta

zona, como se había explicado en figuras

anteriores; el caso contrario ocurre con fluidos

dilatantes.

La Figura 8 presenta el caudal adimensional

Q como función del parámetro Γ, y diferentes valores del índice de comportamiento de flujo ,n

con 50.κ = El caudal Q de los fluidos bajo el

modelo de ley de potencia aumenta con la

imposición de fuerzas de presión (Γ>0); pero es de notarse, que los fluidos seudoplásticos (n<1)

Figura 7. Caudal adimensional en el microcanal como

función del índice de comportamiento de flujo n, para

diferentes valores de κ .

Figura 8. Caudal adimensional en el microcanal como

función de la competencia entre fuerzas de presión y fuerzas

electro-osmóticas ,Γ para diferentes valores de n

tienen una sensibilidad mayor al incrementarse Γ provocando un aumento importante en el caudal

;Q mientras que en el caso de los fluidos

dilatantes (n>1) el efecto del incremento de Γ sobre la magnitud del caudal es menor que en los

fluidos seudoplasticos. Se puede observar la

adecuada aproximación de la solución numérica

con la analítica de la ecuación (20).

CO�CLUSIO�ES

Como resultado del presente trabajo se

llegaron a las siguientes conclusiones:

• Los fluidos seudoplasticos presentan la

menor viscosidad del fluido en la pared del

microcanal y dentro de la zona de la doble

capa eléctrica, siendo más sensibles en esta

zona al efecto combinado de fuerzas

electro-osmóticas y de presión sobre la

magnitud de los perfiles de velocidad y

caudal; caso contrario en los fluidos

dilatantes.

• La influencia del parámetro electrocinético

κ , sobre los perfiles de velocidad y caudal

es débil para valores grandes de este

parámetro, es decir para 10κ ≫ .

De esta manera, el presente modelo y su

solución, pueden actuar como una herramienta

que ayude al entendimiento de los diferentes

mecanismos de transporte para el diseño de los

sistemas microfluídicos.

AGRADECIMIE�TOS

Este trabajo fue patrocinado por los proyectos

169718 SEP-CONACYT y 20120852 SIP-IPN

�OME�CLATURA

xE campo eléctrico [V/m]

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1.7

1.8

1.9

2.0

Q

n

�umérico

Γ=0

κκκκ =10

κκκκ =50

κκκκ =100

Analítico

Analítico

0.0 0.5 1.0 1.5 2.02

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Γ

umérico

n=0.5

n=0.75

n=1

n=1.2

n=1.5

κ=50

Q

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H mitad del microcanal [m]

M número máximo de nodos

m índice de consistencia de flujo [Pa sn]

� número de nodos

n índice de comportamiento de flujo

xp gradiente de presión

Q caudal [m2/s]

Q caudal adimensional

Ttol tolerancia de la aplicación del método de

Thomas

u velocidad axial del fluido [m/s]

u velocidad axial del fluido adimensional

u velocidad promedio [m/s]

c

u velocidad Smoluchowsky [m/s]

pu velocidad por fuerzas de presión [m/s]

,x y coordenada cartesianas

Símbolos griegos ε constante dieléctrica del fluido [C/Vm]

η∆ incremento nodal

Γ competencia entre fuerzas de presión y

fuerzas electro-osmóticas.

η coordenada transversal adimensional

κ inverso de la longitud de Debye [m-1]

κ parámetro electrocinético 1κ − longitud de Debye [m]

µ viscosidad aparente [Pa s]

wµ viscosidad en la pared del microcanal [Pa s]

µ viscosidad adimensional

ρ densidad [kg/m3]

xyτ esfuerzo de corte [Pa]

wxy

τ esfuerzo de corte en la pared [Pa]

xyτ esfuerzo de corte adimensional

ζ potencial zeta [V]

Subíndices

j iteración

w pared

Superíndices

k número de iteraciones

REFERE�CIAS

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hidrodiÁmica del flujo mixto …somim.org.mx/memorias/memorias2012/articulos/pdfs/a5/a5_66.pdfse...

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