1 Iwa Kartiwa 2 Himpunan(set)adalahkumpulanobjek-objek yang berbeda. Objekdidalamhimpunandisebutelemen, unsur, atau anggota. UTKoreaadalahcontohsebuahhimpunan, didalamnyaberisianggotaberupa mahasiswa.Tiapmahasiswaberbedasatu sama lain. 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Contoh 1.-Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. -Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.-C = {kucing, a, Amir, 10, paku}-R= { a, b, {a, b, c}, {a, c} } -C= {a, {a}, {{a}} } -K= { {} } -Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } -Himpunanbilanganbulatditulissebagai{,-2,-1,0, 1, 2, }. 3 x e A : x merupakan anggota himpunan A;x e A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},R= { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K= {{}} maka 3 e A {a, b, c} e R c e R {} e K {} e R4 Contoh 3. BilaP1 = {a, b},P2 = { {a, b} },P3 = {{{a, b}}},maka a e P1 a e P2 P1 e P2 P1 e P3 P2 e P3

5 P =himpunan bilangan bulat positif={ 1, 2, 3, ... } N =himpunan bilangan alami (natural)={ 1, 2, ... } Z =himpunan bilangan bulat={ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q =himpunan bilangan rasional R =himpunan bilangan riil C =himpunan bilangan kompleks

Himpunanyanguniversal:semesta,disimbolkan dengan U.Contoh:MisalkanU={1,2,3,4,5}danAadalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}. 6 7 Notasi: { x ( syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4.(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecildari 5 A = { x | xbilangan bulat positif lebih kecil dari5} atau A={ x | xe P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii)M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151} Contoh 5.Misalkan U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: 8 U1253 6847A BJumlahelemendidalamAdisebutkardinaldari himpunan A. Notasi: n(A) atau A

Contoh 6. (i)B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka |B| = 8 (ii)T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka |T| = 5 (iii)A = {a, {a}, {{a}} }, maka |A| = 39 10 -Himpunandengankardinal=0disebuthimpunankosong(null set). -Notasi : C atau {} Contoh 7.(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (ii)P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 -himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {C} -himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {C, {C}} -{C} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.11 -Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan BjikadanhanyajikasetiapelemenAmerupakan elemen dari B.-Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. -Notasi: A_ B -Diagram Venn: UAB 12 Contoh 8. (i){ 1, 2, 3} _ {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} _ {1, 2, 3} (iii) N _ Z _ R _ C (iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x>, y> 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4,x> 0 dan y> 0 },maka B _ A. TEOREMA1.UntuksembaranghimpunanAberlakuhal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A _ A). (b)Himpunan kosongmerupakanhimpunanbagian dariA ( C _ A). (c) Jika A _ B dan B _ C, maka A _ C 13 -C_AdanA_A,makaCdanAdisebuthimpunan bagiantaksebenarnya(impropersubset)darihimpunan A. Contoh:A={1,2,3},maka{1,2,3}danCadalah improper subset dari A.14 -A _ B berbeda dengan A c B (i) A c B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A = B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.Contoh: {1} dan {2, 3} adalahproper subset dari {1, 2, 3} (ii)A_B:digunakanuntukmenyatakanbahwaAadalahhimpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Latihan [LIP00] Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3,4,5}.Tentukansemuakemungkinan himpunanCsedemikiansehinggaAcC dan C c B, yaitu A adalah proper subset dari C dan Cadalah proper subset dari B. 15 Jawaban: CharusmengandungsemuaelemenA={1,2,3} dan sekurang-kurangnya satu elemen dari B. Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atauC = {1, 2, 3, 5}. Ctidakbolehmemuat4dan5sekaliguskarenaC adalah proper subset dari B. 16 17 -A=BjikadanhanyajikasetiapelemenAmerupakan elemenBdansebaliknyasetiapelemenBmerupakan elemen A.-A=BjikaAadalahhimpunanbagiandariBdanB adalahhimpunanbagiandariA.Jikatidakdemikian, maka A = B. -Notasi : A = BA _ B dan B _ A 18 Contoh 9.(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii)Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A = B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C(b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C 19 -HimpunanAdikatakanekivalendenganhimpunanB jikadanhanyajikakardinaldarikeduahimpunan tersebut sama. -Notasi : A ~ B |A| = |B| Contoh 10.Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, makaA ~ B sebab |A| = |B| = 4 20 -Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. -Notasi : A // B -Diagram Venn:UAB Contoh 11.Jika A = { x | x e P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. 21 -Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yangelemennyamerupakansemuahimpunanbagiandariA, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. -Notasi : P(A) atau 2A -Jika |A| = m, maka |P(A)| = 2m. Contoh 12.Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { C, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(C) = {C}, dan himpunan kuasa dari himpunan {C} adalah P({C}) = {C, {C}}. 22 1. Irisan (intersection) -Notasi : A B = { x , x e A dan x e B } Contoh 14. (i)Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = C. Artinya:A // B 23 2.Gabungan (union) -Notasi : AB = { x , x e A atau x e B } Contoh 15. (i)Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka AB = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) AC = A24 3.Komplemen (complement) -Notasi :A = { x , x e U, x e A } Contoh 16.Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i)jika A = {1, 3, 7, 9}, makaA = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 e P, x < 9 }, makaA= { 1, 3, 5, 7, 9 } 25 Contoh 17.Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri (E A)(E B) atau E (AB) (ii)semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta A C D (iii) semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta B D C 26 4. Selisih (difference) -Notasi : A B = { x , x e A dan x e B } =A B Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = C (ii){1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital. Yang paling umum adalah sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal Sistem bilangan desimal merupakan sistem bilangan yang paling familier dengan kita karena berbagai kemudahannya yang kita pergunakan sehari hari. SistemRadiksHimpunan/elemen DigitContoh Desimalr=10 r=2 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 25510 Biner{0,1}111111112 Contoh: 11012 = 123+122+120 = 8 + 4 + 1 =1310 Konversi bilangan desimal bulat ke bilangan Biner:Gunakanpembagiandgn2secara suksesifsampaisisanya=0.Sisa-sisa pembagianmembentukjawaban,yaitusisa yang pertama akan menjadi least significant bit(LSB)dansisayangterakhirmenjadi most significant bit (MSB). Contoh: Konersi 17910ke biner: 179 / 2 = 89 sisa 1 (LSB) / 2 = 44 sisa 1 / 2 = 22 sisa 0 / 2 = 11 sisa 0 / 2 = 5 sisa 1 / 2 = 2 sisa 1 / 2 = 1 sisa 0 / 2 = 0 sisa 1 (MSB) 17910=101100112 MSBLSB Biladan adalah dua pernyataan matematika, maka masing masing pernyataan( ) P x ( ) Q x( ) ( ) ( ) ( ) < s , Px Qx Px Qx( ) ( ) ( ) ( ) > > , Px Qx Px Qxdisebut pertidaksamaan dalam satu variabel (x) Sebuah bilangan real disebut penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan bila substitusi nilai itu pada variabel dalam pertidaksamaan memberikan pernyataan yang benar. Himpunan dari semua penyelesaian sebuah pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian. Dua pertidaksamaan disebut ekuivalen bila himpunan penyelesaiannya sama. Misalkan a, b dan c bilangan bilangan real ( ) < < < 1 Jika dan , maka a b b c a c( ) < + < + 2 Jika , maka a b a c b c( ) < < > 3 Jika dan 0, maka a b c ac b c( ) < > < 4 Jika dan 0, maka a b c ac b cSifat sifat di atas juga berlaku untuk tandas > > , danMisalkan a dan b bilangan bilangan real ( ) > > > < < 1 Jika 0 maka 0 dan 0, atau 0 dan 0 a b a b a b( ) < > < < > 2 Jika 0 maka 0 dan 0, atau 0 dan 0 a b a b a b( )1 2 3 7 x + >( )2 3 2 5 x s ( )3 3 5 13 x x + s +Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut Hotel Ever Green Bogor,Agustusi 2006 Ary Surfyanto SSi SMA Muhammadiyah 4, Jakarta 3 2 3 3 7 x + > tambahkan 3 pada kedua ruas Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan 2 3 7 x + >2 4 x >2 x >2 42 2x>kalikankedua ruas dengan 122 3 2 5 x s 2 8 x s 4 x >3 3 2 5 3 x s tambahkan 3 pada kedua ruas 2 82 2x s kalikankedua ruas dengan 124 Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan 3 5 13 x x + s +4 8 x s2 x s( ) ( )5 5 3 5 13 x x x x + + s + + tambahkan x 3 pada kedua ruas 4 82 2xskalikankedua ruas dengan 12Himpunan Penyelesaian pada garis bilangan 2 Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut( ) + >24 5 6 0 x x( )+ 25 6 0 x x( )( ) > 2 3 0 x x faktorkan faktortandatandatanda negatifpositifpositif negatifnegatifpositif positifnegatifpositif ( )2 x( ) 3 x( )( ) 2 3 x xHimpunan penyelesaians > 2 atau 3 x x23 + 1 0ab( )< 2 0abjika dan hanya jikaa dan b keduanya positif atau keduanya negatif (tandanya sama) jika dan hanya jika a dan b tandanya berbeda Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut( )17 02xx+( )225 69 04 5x xx x+ +s 102xxUntuk x e { himpunan cacah }, himpunan penyelesaian dari 3x 5 > x + 3 adalah. . . a.{ 0, 1, 2, 3 } b.{ 0, 1, 2, 3, 4 } c.{ 4, 5, 6, 7, . . .} d.{ 5, 6, 7, 8, . . .} x e { himpunan cacah }, Hp dari 3x 5 > x + 3 3x 5> x + 3 pakai cara cepat 3x x> 3 + 5 2x > 8 x > 4 jadi, himpunan penyelesaiannya : = {5, 6, 7, 8, . . .} Penyelesaian dari pertidaksamaan ( 6 + 3x ) >8, adalah. . . . a.x> 2b.x> 4 c.x< 2d.x< 4 Penyelesaian ( 6 + 3x ) >8 ( 6 + 3x ) >8 pakai cara cepat 4+ 2x>8 2x>8 - 4 2x>4 x >2Diketahui pertidaksamaan13 2( y + 1) > ( y + 1 ) 8.Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah . . . a.y> - 6b.y< - 6 c.y> 6d.y< 6 13 2( y + 1)> ( y + 1 ) 8. 13 2y 2> y - 711 2y >y- 7 - 2y -y>- 7- 11 - 3y >- 18 y < 6 Sebuah persegi panjang memiliki panjang 5 cm lebih dari lebarnya dan kelilingnya tidak lebih dari 38 cm. Jika lebarnya x cm, maka batas-batas nilai x adalah . . .a.0 < x s7b.x s 7 c.x> 7 d.7 s x s 9 lebar ( l ) = x cm dan panjang(p) = x + 5 cm p+l =keliling. x+5+x s (38 ) 2x+ 5s 19 2xs19 5 2xs14 xs 7