República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Nacional Experimental de la Fuerzas Armada Nacional Bolivariana

Carúpano: Edo. Sucre

Cátedra: Geometría Analítica

La Hipérbola

Profesor: Bachilleres:

Carlos Peña Lozada Michelle

Ruiz Mariorkis

Rivas Gregor

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Pérez Luis

Ortega Jesús

Salazar Victor

ContenidoIntroducción...........................................................................................4

La Hipérbola..........................................................................................5

La Hipérbola como lugar geométrico:....................................................6

Elementos de la Hipérbola.....................................................................7

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados..........................................................................................9

Lado recto de una hipérbola................................................................13

Excentricidad de la hipérbola...............................................................15

Asíntotas de la hipérbola.....................................................................16

Ecuación general de la hipérbola........................................................19

Propiedades de la hipérbola................................................................21

Conclusión...........................................................................................22

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Introducción

En el presente trabajo de investigación que realizamos podemos dar a conocer sobre la ecuación de la hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio de la ecuación hiperbólica.

Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido

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La Hipérbola

La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.

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La Hipérbola como lugar geométrico:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

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Elementos de la Hipérbola

En toda Hipérbola conviene considerar:

Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.

X: Es el eje focal de la hipérbola.

F y F´: Son los focos de la hipérbola.

A y A´: Son los vértices de la hipérbola.

O: Es el centro de la hipérbola.

P: Es un punto de la hipérbola.

PF y PF´: Son los radios vectores de la hipérbola.

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2c: Se le llama distancia focal.

2a: Es la resta de los radios vectores PF y PF´ de un punto.

AA´: A este segmento se le denomina eje real.

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Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados.

Consideramos la hipérbola con centro en el origen O y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos estarán, por lo tanto, sobre el eje x.

Como o es el punto medio entre los focos, las coordenadas de ellos serán: F1(-c, 0), con c una constante positiva.

Las coordenadas de los vértices serán: V 1 (−a ,0 ) y V 2(a ,0).

2a: longitud del eje transverso.

2b: longitud del eje conjugado.

2c: distancia entre los focos.

Sea P (x, y) un punto cualquiera sobre la hipérbola.

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Basándonos en la definición de hipérbola y haciendo la diferencia de las distancias de P a los focos igual 2a podemos escribir que:

d (PF2 )−d (P F1 )=±2a Dónde:

a>0 Y 2a<2c

La diferencia 2a será positiva si P está en la rama de la izquierda de la hipérbola y negativa si P está ubicado en la rama de la derecha.

Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos podemos escribir:

√¿¿

Si transponemos el radical sustraendo nos queda:

√¿¿

Debemos resolver la ecuación irracional elevando al cuadrado los dos miembros, quedándonos:

¿

Desarrollando y simplificando:

x2+2cx+c2+ y2=4 a2+4 a√¿¿

4 cx−4a2=4 a√¿¿

Tomando factor común 4 en el primer miembro se tiene que:

4 (cx−a2 )=4a√¿¿

Si dividimos ambos miembros por 4:

(cx−a2 )=a√¿¿

Elevando, nuevamente, ambos miembros al cuadrado:

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¿

Si desarrollamos la expresión anterior se tiene que:

c2 x2−2a2cx+a4=a2(x2−2cx+c2+ y2)

c2 x2−2a2cx+a4=a2 x2−2a2 cx+a2 c2+a2 y2

Al simplificar nos queda:

c2 x2+a4=a2 x2+a2 c2+a2 y2

Agrupando:

c2 x2−a2 x2−a2 y2=−a4+a2 c2

Factorizando:

x2 (c2−a2 )−a2 y2=a2 (c2−a2 )……(1)

Como c>a c2>a2 c2−a2>0

Si la expresión c2−a2 la representamos por b2, el cuál siempre es positivo, nos queda que b2=c2−a2

Reemplazando en la expresión (I) el valor de b2 obtenemos:

x2b2−a2 y2=a2b2

Dividiendo cada miembro entre a2b2 nos queda:

x2

a2− y2

b2=1

Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje x.

De igual forma es posible obtener la ecuación siguiente:

y2

a2− x

2

b2=1

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Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje y.

Si el eje focal es paralelo al eje x, entonces x2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Si el eje focal es paralelo al eje y, entonces y2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Ejercicio #1

Los vértices de una hipérbola son los puntos V 1(−4 ,0) y V 2(4 ,0) y sus focos vienen dados por los puntos F1(−5 ,0) Y F2 (5 ,0 ) . Escribir la ecuación de la hipérbola

Solución.

De acuerdo a las coordenadas de los vértices y de los focos nos damos cuenta que la hipérbola tiene su eje focal sobre el eje x. de

acuerdo a esto la ecuación deber ser de la forma: x2

a2− y2

b2=1

Como el vértice V 2(4 ,0) y F2 (5 ,0 ) se deduce que a=4 y c=5

Como c2=a2+b2

b2=25−16 b2=9 b=3

Y a=4 c=5

Podemos escribir la ecuación pedida de la hipérbola así:

x2

16− y2

9=1

Lado recto de una hipérbola

Hemos definido al lado recto de la hipérbola como la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal. Cuando lo medimos obtenemos el ancho focal de dicha curva.

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Determinemos la ecuación que nos permita determinar el ancho focal.

Partimos de la ecuación de la hipérbola en su forma canónica

x2

a2− y2

b2=1

En ella hagamos x=c, obteniéndose c2

a2− y2

b2=1

Si despejamos y nos queda que: − y2

b2=1− c

2

b2

Multiplicando por -1 se tiene que: y2

b2= c

2

a2−1

y2=b2( c2−a2

a2)

y=±√ b2 (c2−a2 )a2

y=±ba

√c2−a2

Si usamos la relación b2=c2−a2 nos quedará la expresión así:

y=± ba

√b2 y=± b2

a

Como el ancho focal es el doble se tendrá que él lado recto es

y=± 2b2

a Como es una magnitud escribiremos que:

y=|2b2a | Para calcular la longitud del lado recto de la hipérbola

Ejercicio #2

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Continuando con el ejercicio anterior, datos de los cuales son: V 1(−4 ,0) y V 2(4 ,0); F1(−5 ,0) Y F2 (5 ,0 ). Calcularemos la longitud del lado recto de la hipérbola.

La fórmula del lado recto es:

y=|2b2a |Sustituyendo los valores nos quedaría que:

2.95

=185

Entonces la longitud del lado recto de la hipérbola es:

y=185

Excentricidad de la hipérbola

La expresión que relaciona a los valores de c y a, es llamada excentricidad de la hipérbola.

e= ca Ésta es la relación para calcular la excentricidad.

Ejercicio #3

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Ahora calcularemos la excentricidad con los mismos datos del ejercicio #1.

Sabemos que la fórmula para calcular la excentricidad es:

e= ca

Conociendo los valores del ejercicio #1 c=5 y a=4

Sustituyendo los valores nos quedaría que la excentricidad es:

ca=54

Asíntotas de la hipérbola

Se llama asíntota de una curva a toda recta, tal que su distancia a dicha curva tiende a cero a medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.

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Ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

La hipérbola definida a través de las ecuaciones estudiadas no posee asíntotas verticales ni horizontales, pero estudiaremos que tiene dos asíntotas oblicuas. Éstas no serán más que rectas con pendiente positiva y negativa.

Veamos:

Con eje focal paralelo al eje x:

Si la ecuación de la hipérbola x2

a2–y2

b2=¿ 1, donde el eje focal

coincide con el eje x, intentamos despejar y nos queda:

b2 x2−a2 y2=a2b2

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Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:

by+ax=0 y=−abx

(bx+ay )(bx−ay)=0

by−ax=0 y=abx

Con eje focal paralelo al eje y

Si en la ecuación de la hipérbola y2

a3− x

2

b2=1 , donde el eje focal

coincide con el eje y, eliminamos denominadores nos queda que:

b2 y2−a2 x2=a2b2

Factorizando el primer miembro como una diferencia de cuadrados e igualando a cero tenemos que:

by+ax=0 y=−abx

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(by+ax ) (by−ax )=0

by−ax=0 y=abx

Es importante hacer notar que los vértices y las asíntotas son las únicas guías necesarias para trazar una hipérbola.

Ejercicio #4

Tomaremos nuevamente el ejercicio #3 recordando los valores ya

encontrados a=4 yb=3, para calcular las ecuaciones de las asíntotas podemos decir que:

y=bax=34x

Las ecuaciones de las asíntotas son:

y=−bax=−3

4x

Ecuación general de la hipérbola

Desarrollaremos la ecuación siguiente:

¿¿

1. Eliminando denominadores

b2¿

2. Desarrollando productos notables

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b2 (x2−2 xh+h2 )−a2( y2−2 yk+k2)=a2b2

3. Propiedad distributiva

b2 x2−2b2 xh+b2h2−a2 y2+2a2 yk−a2 k2=a2b2

4. Igualando a cero

b2 x2−2b2b2h2−a2 y2+2a2 yk−a2 k2−a2b2=0

Si hacemos:

A=b2

C=−a2

D=−2b2h

E=2a2 k

F=b2h2−a2 k2−a2b2

Puede escribirse la expresión anterior en la forma siguiente:

A x2+C y2+Dx+Ey+F=0

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Ésta es la forma general de la ecuación de la hipérbola, en la cual su eje es paralelo a los ejes coordenados.

Los signos de A y C deben ser diferentes, es decir A .C<0, característica ésta que distingue a la hipérbola de la circunferencia. La parábola y la elipse.

Ejercicio #1

Determinar la ecuación general de la Hipérbola partiendo de una forma ordinaria.

¿¿

36¿¿

4 ¿

4 (x2−4 x+4 )−9( y2+6 y+9)=36

4 x2−16 x+16−9 y2−54 y−81=36

4 x2−9 y2−16 x−54 y+16−81−36=0

4 x2−9 y2−16 x−54 y−101=0

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Propiedades de la hipérbola

La tangente a la hipérbola b2 x2+a2 y2=a2b2 en cualquier punto P1(X1 , Y 1) de la curva, tiene por ecuación:

b2 x1 x+a2 y1 y=a

2b2

Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola b2 x2+a2 y2=a2b2 de pendiente m son:

y=mx±√a2m2+b2|m|> ba

La tangente a la hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

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Conclusión

 “La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.” René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés.

Este ensayo nos ayudó mucho a aclarar ciertas dudas que teníamos sobre dicho tema y hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de la Hipérbola, lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante

La ecuación de la hipérbola, nos permitirá saber más sobre las coordenadas en las que se encuentra, y algunas de sus características principales, así como los datos necesarios para poder ubicar una en el plano, pero solo por un momento podríamos dejar de lado tanta teoría y podríamos decir que este trabajo nos sirve para apreciar la matemática en su estado puro, es decir, en todo lo que nos rodea, dejando de lado formulas, y definiciones, para poder abrir los ojos y mirar un mundo diferente, dejando de lado tanta indiferencia a nuestro alrededor. Es nuestra esperanza que las personas que no se interesan en las matemáticas, empiecen a interesarse en ellas, por el simple hecho de que le serán útiles en la vida y que las personas que ya son amantes de las matemáticas, sientan la curiosidad por explorar aplicaciones poco conocidas o poco convencionales de esta maravillosa ciencia.