história da matemática - babilonica

Matemtica na Babilnia e Antigo Egito

Prof

a

Mnica

Instituto de Cincias Exatas, Naturais e Educao

UFTM

Maro de 2015

Histria da Matemtica

O sistema sexagesimal posicional na antiga

Babilnia

Introduo

Vamos enfocar o sistema de numerao utilizado pelos

escribas babilnios que habitaram a Mesopotmia por volta de

2000 a 1600 a.E.C., durante o perodo babilnio antigo, sem

nos preocuparmos com seus antecedentes, que remontam a

pocas bem mais antigas.



Babilnia

Introduo



Babilnia

Introduo

Como podemos observar, o nmero sessenta era representado

pelo mesmo smbolo usado para representar o nmero um. Por

isso dizemos que o sistema dos antigos babilnios usa uma

notao posicional de base sessenta.

Ou seja, um sistema sexagesimal. Na verdade, eles usavam

uma combinao de base sessenta e de base dez, pois os

smbolos at cinquenta e nove mudam de dez em dez.

Ainda hoje, o sistema que usamos para representar as horas,

minutos e segundos um sistema posicional sexagesimal.

Assim, 1h 4min 23s igual a

1 60 60+ 4 60+ 23 = 3863sHistria da Matemtica


Babilnia

Introduo

Nosso sistema de numerao em base dez tambm

posicional. Temos smbolos diferentes para os nmeros de 1 a

9, e o dez representado pelo prprio 1, mas em posio

diferente.

Por isso dizemos que nosso sistema um sistema posicional de

numerao de base dez.

Os egpcios, os gregos e os romanos, por exemplo, no

adotavam sistemas posicionais. Seus sistemas eram aditivos,

isto , somavam-se todos os smbolos usados na representao

de um nmero para se obter este nmero.

Outra grande vantagem de um sistema posicional, como o

nosso, que nele possvel desenvolver algoritmos ecientes

para realizar operaes.



Babilnia

Introduo

Em nosso sistema de numerao, no nmero decimal 125, o

algarismo 1 representa 100, o 2 representa o 20 e o 5

representa o 5. Assim, podemos escrever

125 = 1 102 + 2 101 + 5 100.O mesmo vlido para um nmero que, alm de uma parte

inteira, contenha tambm uma parte fracionria. Por exemplo,

no nmero 125, 38 os algarismos 3 e 8 representam3 101 + 8 102.



Babilnia

Introduo

Generalizando, dado um nmero real qualquer, r , temos que:

r = an

10

n + an110n1 + . . .+ a0100 + a1101 + . . .+at10t + . . . , n, t N



Babilnia

Introduo

Escrevemos, ento, que:

r = an

a

n1an2 . . . a0, a1a2 . . .

que a representao decimal de r , e dizemos que:

r = an

10

n + an110n1 + . . .+ a0100

a parte inteira e

a1101 + . . .+ at10t + . . .

a parte fracionria de r .



Babilnia

Introduo

possvel representar o nmero real r em um sistema de

numerao posicional cuja base um nmero natural b

diferente de 1. Para isso, escrevemos:

r = an

b

n+ an1bn1+ . . .+ a0b0+ a1b1+ . . .+ atbt + . . .Isto signica que

a

n

b

n + an1bn1 + . . .+ a0b0

a parte inteira e



Babilnia

Introduo

a1b1 + . . .+ atbt

a parte fracionria deste nmero.

Logo, o nmero ser escrito, na base b, como

a

n

a

n1an2 . . . a0, a1a2 . . .



Babilnia

Introduo

Qual a vantagem de se utilizar a base sessenta, ou seja, um

sistema sexagesimal?

Introduo

Uma das vantagens que o nmero 60 divisvel por todos os

inteiros entre 1 e 6, o que facilita o clculo dos inversos

multiplicativos dos nmeros expressos nesta base.

Os babilnios no conheciam representaes sexagesimais

innitas. Eles trabalhavam simplesmente com representaes

nitas, que podiam ser exatas, ou aproximadas.

Em geral, dado um nmero real r e um sistema posicional b, a

representao de r neste sistema nita ou uma dizma

peridica se e somente se r um nmero racional.



Babilnia

Introduo

Uma importante caracterstica do sistema posicional que

usamos o papel do zero, que um nmero usado para

indicar tambm a posio vazia. Sabemos que 1 diferente de

10 porque usamos o 0 para designar que o 1 est na posio

das dezenas, e no das unidades.

Veremos que, no caso dos Babilnios, em um primeiro

momento, esta distino no era feita.

Observamos que a leitura mais fcil deve ser feita da direita

para a esquerda e que este sistema d margem a algumas

ambiguidades.



Babilnia

Introduo

Usaremos o smbolo ; como separador dos algarismos tanto

da parte inteira quanto da parte fracionria; e o smbolo ,

para a separao entre a parte inteira e a parte fracionria.



Babilnia

Exemplo



Babilnia

Ambiguidades

Por exemplo, com duas cunhas, que representavam cada uma

delas o nmero um, temos o nmero 2 ou o nmero 61. Na

representao do nmero 2, este problema resolvido

unindo-se bem os dois smbolos. Mas como diferenciar 1 de

60?

Neste ltimo caso, houve uma poca em que se usava o

smbolo de 1 com tamanho diferente para representar 60.

Quando os smbolos se tornaram padronizados, para facilitar os

registros, a diferenciao entre o nmero 1 e as potncias de

60 dependia do contexto, que permitia determinar a ordem de

grandeza dos nmeros com que se lidava em cada problema.



Babilnia

Exerccios

1

Como escrever os nmeros 3601 e 7200 no sistema dos

babilnios?

2

Escreva, no sistema de base 60, o nmero representado

em nossa base decimal por 234, 572.

3

Escreva, em nosso sistema decimal, os seguintes nmeros,

representados, na base 60, por:

(a) 23; 15, 4; 17; 9; 45(b) 1; 1; 1, 1; 1; 1(c) 1; 1; 1; 1; 1; 1

4

Como os babilnios representariam o nmero, dado em

nosso sistema, por 0, 4321? (lembre-se de que eles noconheciam o 0).



Babilnia

Operaes

Os babilnios sabiam, somar, subtrair, multiplicar, dividir e

extrair razes quadradas.

Eram feitos tabletes para auxiliar. Um exemplo como segue:

1 (vezes 25 igual a) 25

2 (vezes 25 igual a) 50

3 (vezes 25 igual a) 1; 154 (vezes 25 igual a) 1; 405 (vezes 25 igual a) 2; 056 (vezes 25 igual a) 2; 30.

.

.



Babilnia

Operaes

Para calcular, por exemplo, 37 p suciente somar 30 pcom 7 p.A adio feita de maneira anloga nossa adio usual em

base 10.

Exemplos:

(a) 1; 30, 27; 50+ 0; 29, 38; 13 = 2; 0, 6; 3(b) 2; 30, 4; 38 40, 5; 15 = 1; 49, 59; 23.As divises eram feitas com o auxlio de tabletes de inversos,

que listavam os nmeros e seus inversos multiplicativos.



Babilnia

O clculo da raiz quadrada

Alm das operaes de adio, subtrao, multiplicao e

diviso, h indcios de que os babilnios tambm calculavam

potncias e razes quadradas, que eram registradas em

tabletes.

O exemplo mais conhecido de clculo de razes quadradas

pelos babilnios encontra-se no tablete YBC7289, produzido

entre 2000 e 1600 a.E.C.



Babilnia




Babilnia


O tablete, de forma grosseiramente circular, tem um dimetro

de aproximadamente 7cm. Prximo a um dos lados do

quadrado vemos o nmero, escrito no sistema sexagesimal

babilnio, 30. Perto de uma das diagonais, encontram-se os

nmeros 1, 24; 51; 10 e 42, 25; 35. Como sempre, os nmerosso escritos sem indicao de seus valores absolutos. Isso tinha

de ser deduzido do contexto do problema, essencial no que

expomos a seguir.



Babilnia


De acordo com Fowler e Robson, os valores absolutos desses

trs nmeros so, respectivamente, 30, 1, 24; 51; 10 e42; 25; 35. Com efeito, se multiplicarmos 1, 24; 51; 10 por 30obtemos 42, 25; 35. (Verique!!!)



Babilnia


Assim, usando l = 30, o lado do quadrado, obtemos suadiagonal d = 42, 25; 35. Segundo Fowler e Robson, aconstante 1; 24; 51; 10 encontra-se na tabela de coecientes e chamda de diagonal do quadrado.

Assim, a concluso inevitvel que a diagonal d do quadrado

igual a l 1, 24; 51; 10 em que l o lado do quadrado, nonosso caso 30(12

).



Babilnia


Vemos portanto que os escribas babilnios sabiam que

l d 1, 24; 51; 10.De fato, (1, 24; 51; 10)2 = 1.999998305 que uma boaaproximao de

2.


Problemas de segundo grau na Babilnia

Verso em livros mais antigos

Problema #1, traduzido usualmente da seguinte maneira:

Procedimento: Adicionei a rea e o lado de um quadrado:

obtive 0,45. Qual o lado?



Verso em livros mais antigos

Soluo:

1

Tome 1

2

Fracione 1 tomando a metade (: 0, 30)

3

multiplique 0, 30 por 0, 30(: 0, 15)

4

some 0, 15 a 0, 45(: 1)

5

1 a raiz quadrada de 1

6

Subtraia os 0, 30 de 1

7

0, 30 o lado do quadrado.



Verso em livros mais recentes

Procedimento: A superfcie e a minha confrontao acumulei:

obtive 0, 45 (Estaria suposto que o objetivo era encontrar aconfrontao - o lado)



Verso em livros mais recentes

Soluo:

1

1 a projeo

2

quebre 1 na metade (obtendo 0,30) e retenha 0,30,

obtendo 0,15

3

agregue 0,15 a 0,45

4

1 o lado igual

5

retire do interior de 1 os 0,30 que voc reteve

6

0,30 a confrontao



Uma interpretao geomtrica

Primeiro se faz uma projeo do lado, obtendo 1, o que

permite interpretar a medida do lado procurado, que

chamaremos de l , concretamente como um retngulo de lados

1 e l .

Figura: Passo (1): Projeo do lado




Figura: Enunciado: A superfcie e a minha confrontao acumulei




Figura: Passo (2): quebre 1 no meio


Exerccios

Exerccios

1

Verique, trabalhando no sistema sexagesimal dos

babilnios, que o produto de 37; 28 por 19 igual a11; 51; 52.

2

Verique os resultados das operaes indicadas, usando o

sistema sexagesimal dos babilnios, sem converter os

nmeros para a base 10.

1

59; 27+ 59; 40 = 1; 59; 72

48; 32 3 = 2; 25; 363

48; 32 3, 2 = 2; 27; 12, 644

2; 1; 1 1; 2; 2 = 58; 59


Operaes e problemas no Antigo Egito

Exemplo 1.6

Como repartir a quantidade de gros contida em 5 sacos de

feijo por 8 pessoas?



Exerccios

1

Dividir 58 por 87.

2

Expressar

3

7

como uma soma de fraes com numerador 1.



A regra da falsa posio

Exemplo 1.11) Uma quantidade, com

1

7

dela adicionado,

torna-se: 19.



A regra da falsa posio

Exemplo 1.11) Uma quantidade, com

1

7

dela adicionado,

torna-se: 19.

Soluo apresentada no Papiro de Ahmes

/1 7

/7 1


1 8

/2 16

2 4

/4 2

/8 1


Exerccios


/1 248

/2 424

/4 92


Conhecimentos Geomtricos na Babilnia e no

Egito

Babilnia

A Geometria era essencialmente mtrica, isto preocupada em

calcular comprimentos, reas e volumes.

Para isso, eram utilizadas algumas propriedades geomtricas

de guras planas e de slidos geomtricos, sem que saibamos

como chegaram a estes resultados.

Clculo de reas na Babilnia

Encontram-se em muitos tabletes problemas de geometria.

Um dos mais famosos o YBC 7289, o qual j conversamos

quando discutimos a raiz quadrada.

Outro tablete YBC 7302, encontramos os nmeros, em

representao sexagesimal, 3 (a circunferncia do crculo), 9 e

45 (a rea do crculo).



Egito

Babilnia



Egito

Babilnia

Para os babilnios, o crculo era concebido como a gura

limitada por uma circunferncia, assim, mesmo quando

conheciam o dimetro do crculo, eles calculavam sua rea

usando o comprimento da circunferncia.

Se A a rea do crculo de circunferncia S e raio r , ento,

A = pir 2, S = 2pir . Assim,

r =S

2pi

A = pi S2

4pi2=1

4piS

2



Egito

Babilnia

Se zermos pi = 3, teremos

A =1

12

S

2

Como, no sistema sexagesimal,

1

12

= 5, veremos que, de fato,a rea do crculo do tablete foi encontrada dessa maneira.



Egito

Babilnia

Os babilnios calculavam volumes de vrios slidos, como, por

exemplo, o de um cilindro circular reto e de prismas retos, com

bases retangulares ou triangulares.

Os problemas que envolvem estes clculos de volume so

contextualizados em situaes agrcolas, construes civil ou

militar, ou outras atividades.

So calculados os volumes dos muros, muralhas e barragens e

o nmero de operrios necessrios para constru-los.



Egito

Babilnia. Exemplo 1.12

Procedimento para um tronco (cilndrico) com 0, 05 dedimetro.

Em primeiro lugar, calculava-se a rea de uma seo

transversal, de forma circular:

Triplique a linha divisria 0,05 tal que 0,15 aparecer. A

circunferncia do tronco 0,15. Combine (faa o quadrado)

de 0,15 tal que 0,03;45 aparecer. Multiplique 0,03;45 por

0,05 e ters 0,00;18;45, a rea, aparecer.

Em seguida, basta multiplicar esta rea da base circular pela

altura. A altura era considerada implicitamente como igual ao

dimetro.



Egito

Babilnia

Na gura abaixo, tablete YBC 7290, vemos um trapzio.



Egito

Babilnia

Sua base maior e um dos lados so iguais a 2,20 (no sistema

sexagesimal), e a base menor igual a 2. O escriba supe que

o trapzio reto e, ento, sua rea calculada fazendo:

A = 2, 20[1

2

(2, 20+ 2)]


A Geometria no Antigo Egito

Falar de geometria no Antigo Egito falar de procedimentos

de clculos de reas e volumes. Por exemplo, a rea de um

retngulo era calculada multiplicando sua base por sua altura.

O problema n

o

6 do Papiro de Moscou ilustra bem o

procedimento empregado:



Exemplo 1.13

Se lhe dito, um retngulo de rea [igual a] 1224 do

comprimento.

Para o comprimento. Calcule 24 at obter 1. Resultado 13.

Calcule com estes 12, 13 vezes. Resultado 16.

Calcule [sua raiz quadrada]. Resultado [:] 4 para o

comprimento.

24[da largura] [igual a] 3 para a largura.



Exemplo 1.14

Suponha que lhe dito, qual a rea de um tringulo de lado

10 khet e base 4 khet?

1 400

2 200

1 1000

2 2000

Sua rea 20 setat.

Retire

1

2

de 4, a m de obter seu retngulo. Multiplique 10

vezes 2, isso a rea.



Exemplo 1.15

Fazer um celeiro (ou um cilindro) redondo de 9 por 10.

Subtraia

1

9

de 9 de 9, o que vai ser igual a 8.

Multiplique 8 por 8 = 64A rea do crculo de base seria, portanto, 64.


história da matemática - babilonica

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