HJEMMEOPGAVESÆT 4 1

Hjemmeopgavesæt 4

Egenværdier og Differentialligninger

I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt pa at du

• forstar definitionen pa en egenværdi og en egenvektor

• kan finde egenværdier og udregne deres geometriske og algebraiske multipliciteter

• kan finde egenvektorer og tilhørende egenrum

• kan fortolke egenværdiers og egenvektorers geometriske betydning

• forstar ideen i at man benytter gættemetoder ved løsning af visse differentialligninger

• kan udnytte struktursætningen ved løsning af ikke-homogene lineæredifferentialligninger

• skriver sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer

Deadline for upload: Lille Dag i semesteruge 12, kl. 6:00. Husk det skal være i pdf og med navnog studienummer øverst pa side 1.

Opgave 1 Diagonalisering af kvadratisk matrix

Givet matricen

A =

8 3 124 −3 4−4 −1 −8

(1)

a) Find alle egenværdier for A, og angiv deres algebraiske og geometriske multipli-citeter.

b) Opskriv en regulær matrix V og en diagonalmatrix Λ der opfylder

V−1 A V = Λ .

Opgavesættet fortsætter 7−→

HJEMMEOPGAVESÆT 4 2

c) Angiv en egentlig vektor i R3 som ikke er en egenvektor for A .

Opgave 2 Lineær afbildning i planen

Vi betragter mængden af plane vektorer, som tænkes afsat ud fra Origo. Ved en lineærafbildning f bliver det bla objekt afbildet pa det røde objekt, se figuren nedenfor.

a) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til basis (x1, x2)

b) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasis (i, j) .

c) Hvordan ville afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasis se ud hvisman alternativt ønskede det viste røde objekt spejlet i x2-aksen?

Opgavesættet fortsætter 7−→

HJEMMEOPGAVESÆT 4 3

Opgave 3 En førsteordens differentialligning som model

Pa figuren nedenfor ses et elektrisk kredsløb bestaende af følgende komponenter:En modstand R , en kapacitor med kapaciteten C og en spændingsgenerator E medspændingen E(t) = sin(2t) .

Spændingen V(t) over kapacitoren (kondensatoren) bestemmes af differentiallignin-gen

R Cd V(t)

d t+ V(t) = E(t) .

a) Find ved kompleks gættemetode en partikulær løsning til differentialligningen, ogbenyt den ved opstillingen af den fuldstændige løsning til differentialligningen.

b) Sæt R = 1 og C = 1. Plot den løsning der opfylder begyndelsesbetingelsenV(0) = 2 sammen med den partikulære løsning du fandt vha. den kompleksegættemetode, og kommenter resultatet.

Opgave 4 Koblede differentialligninger

Et system bestaende af to førsteordens lineære differentialligninger med de ukendtefunktioner x1( t) og x2( t) har systemmatricen

A =

[9 −102 1

].

a) Opskriv differentialligningssystemet.

2. Bestem ved hjælp af egenværdier og egenvektorer for A den fuldstændige reelleløsning til differentialligningssystemet.

3. Bestem den løsning til differentialligningssystemet for hvilken graferne for x1( t)og x2( t) begge gar gennem punktet (0, 1) , og plot dem i intervallet t ∈ [−1, 0.2] .

Opgavesættet er slut