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José Ferreirós

En este capítulo consideraremos un caso que tiene tanto de vidas paralelas como de vidas

convergentes. O para expresarlo de una manera más interesante, y más acorde con el tema que

vamos a analizar, se trataría de paralelas que convergen hasta cortarse, posiblemente en más

de un punto (quizá vamos a situarnos en un espacio de curvatura variable, como los del

universo relativista).

Es un lugar común, nunca bien explicado, que matemáticas y filosofía van a menudo de la

mano: que por alguna razón el intelecto orientado a las matemáticas manifiesta –al menos en

algunos casos muy notables– fuertes inclinaciones filosóficas, y viceversa.

Si se pidiera a profesores de filosofía que eligieran un único filósofo de los tres últimos

siglos, una mayoría optaría por el nombre de Immanuel Kant (1724–1804). Desde 1800 a –

digamos– 1950, la filosofía se ha mantenido bajo su nombre: reaccionando contra Kant,

tratando de superar a Kant, o volviendo a Kant. Incluso matemáticos de la talla de Poincaré y

Hilbert, los dos grandes de principios del siglo XX, tenían como ídolo filosófico al pequeño

gran hombre de Königsberg.1

El año en que Kant murió, 1804, otro hombre del norte de Alemania cumplía 27 años, y

podía estar bien satisfecho de los logros que había ya establecido en plena juventud. Se

trataba de Carl F. Gauss (1777–1855), que no tardó mucho en ser reconocido como el mayor

matemático vivo, y celebrado como SULQFHSV�PDWKHPDWLFRUXP, el “primero [o príncipe] de los

matemáticos”.

La tarea que me propongo aquí es hilvanar algunas reflexiones que suscita una

comparación entre estos dos grandes. Es interesante advertir que Gauss recibió la influencia

del célebre filósofo a muchos niveles; especialmente, sus reflexiones sobre el espacio y las

geometrías estuvieron siempre ligadas a lo que se dice en la &UtWLFD�GH� OD�UD]yQ�SXUD y los

3UROHJyPHQRV. Pero también es mi intención recordar que tan clásico y tan central para

nuestra cultura es un Gauss como un Kant (entendiendo que se ha de hablar tanto de cultura

científica como de cultura humanística).

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3$5$/(/,6026�9,7$/(6��� ��� (QWUH�HO�$QWLJXR�5pJLPHQ�\�OD�,OXVWUDFLyQ� Empezaremos con algunos detalles sobre la vida y las orientaciones intelectuales y culturales

de ambos sabios. Y digo bien: sabios. Hace dos siglos aún no existía una conciencia clara de

que los “científicos” (palabra todavía inexistente) o ni siquiera los “matemáticos” (entonces

llamados “geómetras”) formaran un grupo reconocible, especial, con sus propias normas e

instituciones. Así que aquellos hombres escribían para la República de las Letras, para todos

los interesados en leer y escribir.

Esto nos recuerda que vivieron en un tiempo de cambios profundos: las cosas habían

cambiado ya mucho en 1855, año en que murió Gauss. Tanto Kant como Gauss nacieron

durante el Antiguo Régimen, y su trayectoria lo demuestra. Kant fue durante varios años tutor

1

Esta ciudad pertenecía a Prusia Oriental, aunque hoy se llama Kaliningrado y está ¡en Rusia!

�

privado de los hijos de familias nobles en distintos lugares de Prusia oriental (no había

entonces becas para alumnos brillantes, desde luego). Comenzó a dar clases en la Universidad

a los 31 años, pero sólo 15 años después dispuso de un sueldo digno y seguro, ¡a los 46 de

edad! Al final de su vida comentaría que no se había casado porque, mientras tuvo ganas de

ello, le faltó el dinero, y cuando tuvo dinero le faltaron las ganas. Su actitud hacia el poderoso

Rey de Prusia, hacia las rígidas normas y jerarquías, y hacia la nobleza fue siempre de

sumisión.

Aunque, eso sí, sumisión con cierta dignidad propia de un ilustrado. Y es que estamos

hablando del tiempo en que se fraguaron las ideas de la Ilustración que –a través de la

Revolución francesa, de guerras y de reformas– acabaron afectando a todo el modo de vida en

Europa. Kant fue uno de los que supieron analizar y expresar el sentido del movimiento

ilustrado. Decía que “ la Ilustración representa la mayoría de edad de la razón” , el momento de

madurez en que uno se atreve a pensar por sí mismo, sin sentirse atado a las creencias e

ideologías de sus padres. Pero, a la vez, Kant no dudó en “ poner límites a la razón para hacer

sitio a la fe” , y en lo relativo a reformas políticas y sociales era partidario de cambios

graduales y suaves, dirigidos desde el poder, no de revoluciones como los terribles sucesos en

Francia que todavía le tocó experimentar (desde la lejanía).

También Gauss, como tantos otros hombres “ de bien” de su época, sintió rechazo por los

movimientos revolucionarios, aunque también él era partidario de reformas ilustradas que

trajesen progreso y mejorasen la situación del pueblo. Como Kant, Gauss era un hombre del

pueblo, venía de una familia muy modesta: si el primero era hijo de un guarnicionero, el

segundo lo fue de un jardinero que también hacía de contable. Sólo gracias al apoyo de

hombres influyentes e ilustrados pudo Gauss desarrollar todo su talento, estudiar en la

Universidad y convertirse en un gran científico. En este sentido fue especialmente importante

la concesión de toda una serie de ayudas económicas al “ joven genio” por parte del Duque de

Brunswick (ciudad y pequeño ducado del norte de Alemania donde nació). Con esto, el

Duque se aseguraba una reputación de dirigente ilustrado, mientras en Gauss se estimulaba un

sentido de dependencia, tanto emocional como basada en la responsabilidad. Aquí puede

buscarse una de las raíces de su relativo conservadurismo.

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� ��� &XDQGR�OD�8QLYHUVLGDG�HUD�XQ�LQVWLWXWR� Una de las analogías entre los dos grandes pensadores tiene que ver con su ejercicio

profesional, con peculiaridades de su actividad universitaria. Se ha señalado frecuentemente

que Kant dio clases de casi todo: no sólo lógica, metafísica y antropología, sino geografía,

matemáticas, física, etc. A veces se señala este hecho como indicativo de la increíble

capacidad de aquella mente. Está muy lejos de mi ánimo arrojar dudas sobre la valía de Kant,

pero es necesario tener en cuenta que la Universidad no era entonces lo que hoy es. Resulta

ingenuo, propio de alguien que desconoce la historia universitaria, pensar que Kant sería

capaz hoy de dar clases en diez Facultades distintas sobre los temas específicos de cada una.

¿Cómo era, entonces, la Universidad en aquel tiempo? Tenía todavía, en lo esencial, la

estructura medieval: tres grandes Facultades orientadas a la formación de profesionales

(Derecho, Medicina, Teología) y una Facultad de carácter preparatorio (Filosofía). La

Facultad de Filosofía no estaba al mismo nivel de las otras, sino que era un poco su sirviente.

Daba a los alumnos una formación que podría compararse con la del Bachillerato actual, y

esto con precaución. Por otro lado, en Filosofía no se hablaba sólo de lo que hoy llamamos

“ filosofía” , sino de todas las ciencias y las humanidades.

He dicho antes que hay que tener precaución al equiparar la Universidad de 1800 con el

Bachillerato actual. Es fácil aclararlo con un ejemplo: entonces resultaba casi imposible, en

Königsberg o cualquier otra Universidad, encontrar un curso dedicado al cálculo

infinitesimal, materia que hoy se introduce ya en último curso de Bachillerato. Los alumnos

llegaban a la Universidad con muchos conocimientos de latín y religión, algunos de griego,

aritmética y geometría. Casi todo lo demás tenía que empezar de cero. Como profesor de esa

Facultad, y dado el nivel elemental de las enseñanzas, Kant estaba perfectamente capacitado

para impartir todo tipo de materias.

El cambio enorme que ha tenido lugar en la enseñanza superior lo debe todo al espíritu de

reforma introducido por la Ilustración. Y el propio Kant contribuyó a este movimiento, en

particular con su obra de 1798 (O�FRQIOLFWR�GH�ODV�IDFXOWDGHV. Aquí, tras la muerte de Federico

Guillermo II de Prusia (que en 1788 había establecido un sistema de censura), reivindicaba el

viejo profesor la libertad de pensamiento y de palabra. También defendía una equiparación de

la Facultad de Filosofía con las otras tres. En su opinión, la Universidad debía cultivar el

conocimiento por sí mismo, y no sólo en función de sus rendimientos, es decir, de los

�

servicios que presta al Estado mediante la formación de profesionales como los abogados

(Derecho), los médicos (Medicina) y los párrocos (Teología).

Con obras como ésta, el muy admirado filósofo que era Kant hizo lo suyo por difundir el

nuevo espíritu ilustrado y crear un ambiente propicio a la reforma de la Universidad. Reforma

que tuvo lugar en la primera mitad del siglo XIX y que condujo al admirable sistema

universitario del que gozó Alemania desde entonces.

),*�� ��� 'HU� 6WUHLW� GHU� )DFXOWlWHQ� >(O�FRQIOLFWR�GH�ODV�IDFXOWDGHV@��

Visto lo que hemos dicho antes, es posible también aclarar algunos rasgos de la carrera de

Gauss. No es extraño que los cursos que pudo recibir en la Universidad de Gotinga2 le

resultaran flojos y elementales, y eso a pesar de que era una Universidad mucho mejor y más

al día que la de Königsberg. Su formación fue autodidacta, y la obtuvo leyendo a los mejores

maestros de su tiempo, figuras del nivel de Newton, Euler, D’Alembert y Lagrange. Como

decía otro grande, Laplace: “ leed a Euler, leed a Euler; es el maestro de todos nosotros” . Y

por cierto, esta es una buena ocasión para decir que deberíais aprovechar vuestras

oportunidades para leer de primera mano a autores que están traducidos al castellano, como

Cauchy, Euler, Riemann o Hilbert.

Pero volviendo a la vida de Gauss, no es extraño que apenas diera clases de matemáticas a

lo largo de su vida. Nunca creó escuela, hasta el punto de que ni siquiera intervino

2

Gotinga o Göttingen es una pequeña ciudad en Hannover, hacia el norte de Alemania. Como los alemanes han sido partidarios de que la ciencia se cultive en jardines pequeños, en esta ciudad provinciana han trabajado matemáticos, científicos y filósofos de primera línea.

�

significativamente en la dirección de las tesis de sus más grandes alumnos (Riemann y

Dedekind). No dio nunca clases sobre álgebra, análisis, teoría de funciones o teoría de

números, a pesar de que en todos estos campos realizó aportaciones fundamentales. Lo que

pasa, en realidad, es que el “ príncipe de los matemáticos” no era profesor de matemáticas.

Estrictamente hablando era astrónomo, Director del Observatorio de Gotinga. Esto le daba

derecho a impartir cursos de matemáticas, pero la perspectiva no le atraía nada, porque a

principios del siglo XIX eso significaba –teniendo en cuenta los escasísimos conocimientos

del alumnado– limitarse a explicar los rudimentos del álgebra o del cálculo. Algo demasiado

mecánico y aburrido para un matemático de tan altos vuelos como Gauss.

Eso sí, Gauss dio clases de algunos temas, pero –como dijo un testigo cualificado– “ su

actividad lectiva, ciertamente muy estimulante, se limitaba a un campo muy pequeño que

pertenecía más bien a la matemática aplicada” :3 el método estadístico de mínimos cuadrados,

o bien temas de geodesia. Gauss tuvo una influencia y una repercusión inmensa sobre los

matemáticos alemanes del siglo XIX, pero toda ella se debió a sus escritos. Ni siquiera tuvo

mucha correspondencia con matemáticos, porque pronto se acostumbró a discutir sus ideas

sobre todo con amigos astrónomos, o con Wilhelm Weber, el gran físico que colaboró

intensamente con él.

��� 1HRKXPDQLVPR� Hay un aspecto de las tendencias ilustradas de ambos sabios que tiene un interés especial, e

incluso relevancia para algunos de los debates actuales sobre la educación. En Alemania, las

tendencias ilustradas dieron lugar a un movimiento característico que se llama

1HRKXPDQLVPR. Obviamente, la idea era producir algún tipo de vuelta al Humanismo

renacentista, con el fin de servir a la mejora de la educación (un problema central para los

ilustrados). Los neohumanistas alemanes estaban muy preocupados por la IRUPDFLyQ�LQWHJUDO [Bildung] del hombre, y pensaban que una clave para conseguir ese tipo de formación era que

los estudiantes conocieran en detalle la Antigüedad clásica: el latín y el griego, los autores

clásicos más importantes, la historia y el arte de aquel tiempo, la filosofía clásica. Materias

como las ciencias naturales no les parecían necesarias para una buena formación, aunque sí se

lo parecían las matemáticas: siempre se ha pensado que son la mejor escuela para el intelecto,

3

Dedekind en su biografía de Riemann, contenida en las :HUNH de éste (1876), p. 512.

�

y esta opinión era avalada por clásicos de la talla de Platón.

También era característica del Neohumanismo una cierta actitud frente al conocimiento.

Pensaban que lo realmente valioso es el conocimiento en tanto contemplación, en tanto forma

de sabiduría, pero nunca por sus implicaciones prácticas, por motivos pragmáticos

relacionados con mejoras materiales, tecnológicas o económicas. También en esto eran muy

platónicos, a la vez que muy cristianos: lo valioso son las cosas del alma, nunca las del

cuerpo. Así que los alemanes desarrollaron la idea de FLHQFLD�SXUD, de ciencia por la ciencia,

y transformaron la Universidad de acuerdo con ella.

Eso vino asociado, finalmente, a otro rasgo importante: el postulado de la XQLGDG� GH�HQVHxDQ]D�H�LQYHVWLJDFLyQ. La idea resulta revolucionaria si la comparamos con lo que existía

en las universidades europeas en 1800, o en las españolas hace tan sólo 25 años. Se trata,

simplemente, del principio según el cual un profesor no puede hacerlo bien a menos que sea

investigador, y un alumno no puede aprender una materia en serio si no se introduce algo en

lo que significa la investigación en ese campo. La famosa LOU del gobierno actual quiere

tener como uno de sus ejes ese postulado que la Universidad de Berlín empezó a incorporar

hace casi 200 años.

Kant y Gauss propagaron estas ideas, a veces defendiéndolas explícitamente, y otra veces

con el ejemplo de sus obras. Los dos fueron grandes neohumanistas. Los dos cultivaron la

ciencia pura, el conocimiento por sí mismo. Aunque, eso sí, los dos llegaron tarde para

incorporar en su actividad la unidad de enseñanza e investigación. Kant murió antes incluso

de que las condiciones para ello se hicieran visibles, y a Gauss la mejora de situación le pilló

demasiado mayor para adaptarse (digamos que la mejora empezó hacia 1827, cuando él tenía

50 años de edad).

��� *DXVV�HO�QHRKXPDQLVWD� He dicho que no sólo Kant, sino también Gauss fue un neohumanista. Como este hecho no es

demasiado bien conocido, voy a insistir un poco en él. A primera vista puede parecer extraño,

porque Gauss se dedicó a la astronomía, a la geodesia, a la física y aún a la tecnología (el

telégrafo, el heliotropo y otros instrumentos). Esta dedicación a asuntos prácticos parece

contradecir el espíritu contemplativo del neohumanismo. Pero el neohumanismo está

profundamente inscrito en su orientación cultural, en sus escritos y cartas, e incluso en el

�

papel que representó dentro de la comunidad científica de su tiempo.

),*�����(O�QXHYR�2EVHUYDWRULR�DVWURQyPLFR�GH�*RWLQJD�� LQDXJXUDGR�HQ������� VHJ~Q�XQ�JUDEDGR�GH��������

Cuando Gauss era joven consiguió resolver un problema matemático que tenía más de

2000 años de antigüedad: construir un polígono de diecisiete lados con regla y compás. Su

profesor de matemáticas y promotor en Brunswick anunció el descubrimiento en una revista

de entonces, y escribió: “ Merece la pena anotar que el Sr. Gauss tiene ahora 18 años, y que

aquí en Brunswick se ha dedicado con tanto éxito a la filosofía y a la literatura clásica, como

a la matemática superior” .4 No era un farol. Sabemos, entre otras cosas, que Gauss había leído

con cuidado a célebres filósofos como Wolf, muy probablemente a Leibniz, y sin duda al

propio Kant.

Como es bien sabido, Gauss dijo que la matemática es la reina de las ciencias, y la teoría

de números –tan pura y abstracta– la reina de las matemáticas. En el prefacio de su libro más

importante, 'LVTXLVLWLRQHV� DULWKPHWLFDH (escrito entre los 19 y los 24 años, publicado en

1801), habla de cómo algunos autores modernos “ abrieron la entrada al santuario de esta

4

Wussing (1974), 19.

�

ciencia divina y revelaron abundantes riquezas dentro de él” .5 La retórica que aquí emplea, al

hablar de una “ ciencia divina” y de su “ santuario” , es típica del neohumanismo.

Unos años después, en 1807, dio su discurso en Gotinga como joven y flamante Director

del Observatorio. Todo el discurso está imbuido del espíritu neohumanista, y en él Gauss

menciona un hermoso poema de Schiller –el poeta romántico, neohumanista y admirador de

Kant–:6

Vino a Arquímedes un joven deseoso de saber;

Iníciame, le dijo, en ese arte divina,

Que tan magníficos frutos dio a nuestra patria,

Y protegió los muros ciudadanos frente a los sambuca.7

¡Divina dices que es el arte! Y lo es, replicó el sabio,

Mas ya lo era, hijo mío, antes de servir al estado.

Si quieres frutos, puede dártelos también una mortal;

Quien aspira a la GLRVD, no busque en ella a la GRQFHOOD.

Creo que Gauss se veía a sí mismo como un Arquímedes moderno, servidor ante todo de la

ciencia pura y divina, por mucho que sus obras condujeran a resultados prácticos. Y ojo,

porque sin duda Gauss valoraba mucho lo práctico, pero más aún lo contemplativo.

Gauss era un hombre muy culto, conocedor de los grandes clásicos latinos, griegos, pero

también de los modernos. Recordemos que de joven dudó si estudiar matemáticas o filología;

entonces tenía ya grandes conocimientos de latín y griego, pero al final de su vida leía

literatura en inglés, francés, español, italiano y ruso. En su época estaba de moda seleccionar

lemas elegantes; a él, aparte del de Platón que enseguida veremos, le gustaba mucho una frase

de Shakespeare en la obra .LQJ�/HDU: “ Thou, nature, art my goddess; To thy law my services

are bound” [Tú, naturaleza, eres mi diosa; a tus leyes he entregado mis servicios].

5

DA (Santa Fé de Bogotá, Academia Colombiana de Ciencias exactas, físicas y naturales, 1995), 4. 6

El poema se llama ‘Arquímedes y el estudiante’. Schiller es autor también, claro, de la ‘Oda a la Alegría’ (o a la Libertad) que Beethoven utilizó en el famoso coral de la novena sinfonía. Por cierto que a Gauss se le ha comparado en alguna ocasión con el gran Beethoven (1770–1827): los dos representan la culminación de una tradición clásica, a la vez que el inicio de tendencias renovadoras. Los dos cuidaban sus obras con sumo detalle, revisándolas y corrigiéndolas una y otra vez, aunque poco tiene que ver la tranquila y conservadora vida de Gauss con la trayectoria tempestuosa de Beethoven. Eso sí: los dos sufrieron en la vida, algo que los hermana entre sí y con muchos otros hombres.

7

Máquinas de guerra que los romanos emplearon en el asedio de Siracusa, la ciudad de Arquímedes.

�

�),*�� ��� *DXVV� \� :HEHU�� FX\D� FRODERUDFLyQ� FLHQWtILFD� IXH� HO� RUJXOOR� GH� *RWLQJD��1yWHVH�HO�OHPD��³HO�'LRV�DULWPHWL]D´���

Observemos el retrato de Gauss y Wilhelm Weber (1804–1891). En él figuran dos frases

en griego, las dos relacionadas con Platón, lo que ya es significativo. La más corta dice: “ el

dios aritmetiza” , y viene a querer decir que el pensamiento de Dios es aritmética superior,

teoría de números, álgebra y análisis. La frase es adaptación de una que se atribuía a Platón,

quien naturalmente había dicho que el dios “ geometriza” ; más adelante veremos por qué

Gauss la cambió de la manera que lo hizo. La frase servía también como “ explicación”

teológica de por qué la matemática ilumina los fenómenos naturales y nos permite

�

profundizar en la comprensión de la realidad: es que el mundo, creación divina, está hecho

según modelos matemáticos.

Bien, ya hemos visto suficiente del universo cultural en que vivieron aquellos hombres.

Hoy es inevitable que nos resulte extraño, porque nuestra orientación es mucho más

pragmática y utilitaria. Esto se debe en buena medida a la influencia norteamericana, se ha

extendido principalmente en el siglo XX, y sin duda aumentará en el XXI. Sería ingenuo

verlo como algo malo en sí mismo, porque también la cultura alemana, con su aire

excesivamente purista y contemplativo, llevaba en sí tendencias muy negativas (que quedaron

funestamente expresadas en la época nazi). Cualquier tendencia cultural puede ser mala

cuando se vuelve exagerada y unilateral. El mundo de Gauss, tan lejano del nuestro, puede

tener una influencia muy beneficiosa si nos sirve para poner freno a los excesos de nuestra

propia cultura.8

(/�352%/(0$�'(/�(63$&,2�

Pero entremos en el plato fuerte de este escrito. Se trata de discutir el célebre (e interminable)

problema del espacio, y en especial las aportaciones que a él hicieron Kant y Gauss, así como

la interrelación entre ambas. Como se verá, la cuestión es muy rica, y plantear estas relaciones

no tiene nada de arbitrario, sino que surge de la lectura de los textos del propio Gauss. Sería

magnífico poder entrar en los avatares posteriores del problema, en Riemann, en Einstein, en

la problemática actual de la especulación física, pero es obvio que los límites de una

conferencia son muy estrechos.9

Tenemos buenos indicios de que Gauss leyó con detenimiento a Kant y experimentó la

influencia de sus ideas. Aparte de razones internas, derivadas del uso de terminología o

conceptos kantianos en sus cartas y escritos, existen otros indicios. Ya hemos visto que en

Brunswick, durante los años de 1790, dedicó parte de su tiempo a la filosofía, y aquella fue

precisamente la época de un primer furor kantiano en Alemania. Un gran científico con

fuertes inclinaciones filosóficas, Matthias J. Schleiden, que estudió en Gotinga de 1830 a

8

En esa tarea, no puede tratarse nunca de contraponer mecánicamente –por decirlo así– las orientaciones culturales de Kant y Gauss con las nuestras. La cuestión exigiría un planteamiento mucho más original y creativo, pero no podemos discutirla aquí.

�

1834, dio testimonio de que Gauss se había ocupado detenidamente de estudiar los escritos de

Kant.10 El mismo Schleiden cuenta una anécdota que indica la admiración del matemático por

la obra de un filósofo seguidor de Kant, J. F. Fries.11�Sabemos también que Gauss estudió en

su juventud obras de Christian Wolf, un influyente pensador racionalista alemán, quien

elaboró un sistema axiomatizante inspirado en Leibniz, aunque mucho más escolástico y

menos sugerente que las obras de éste.

La mayor parte de los (no muchos) textos de Gauss que hacen referencia directa a filósofos

tienen que ver con la doctrina kantiana del espacio y la geometría. Eso sí, también hay cartas

en las que expresa su profundo rechazo de filósofos idealistas como Hegel. Una curiosa carta

a su amigo el astrónomo Schumacher dice que en ninguna parte se encuentran las

“ confusiones en los conceptos y definiciones” tan en su casa “ como entre filósofos que no son

matemáticos” , por ejemplo Schelling, Hegel y sus asociados (“ ¿no se le ponen a Usted los

pelos de punta con sus definiciones?” ). Y sigue:

Pero incluso con Kant a menudo la situación no es mucho mejor; su distinción entre proposiciones analíticas y sintéticas es, en mi opinión, una de aquellas que o bien se reduce a una trivialidad, o es falsa.

12

Por desgracia, Gauss no elabora esta interesante idea ni en su carta ni en otro lugar. Su

afirmación es muy notable, no sólo porque expresa una indudable independencia de juicio,

sino también porque grandes filósofos del siglo XX la han compartido basándola en

argumentos detallados. En todo caso, la manera en que Gauss se refiere al viejo Kant expresa

siempre reconocimiento y una buena dosis de admiración.

��� (O�SUREOHPD�GHO�HVSDFLR�DQWHV�GH�.DQW� El problema clásico del espacio se planteó en los siglos XVII y XVIII, cuando por primera

vez se analizó el espacio euclideo como un todo. En la conferencia de Javier Echeverría se

mencionó la polémica entre Leibniz y Clarke (un clérigo que actuaba como portavoz de

Newton) en 1715–16. Es la más interesante discusión del problema en aquella época. Newton

y su portavoz defienden, como en los 3ULQFLSLD, que el espacio tiene que concebirse como

9

Algunos de estos asuntos los he tratado en 5LHPDQQLDQD�6HOHFWD (Madrid, CSIC, 2000). Entre la inmensa bibliografía disponible para el tema en su conjunto, una buena referencia es el libro de Jeremy Gray, ,GHDV�GH�HVSDFLR [1992], y en inglés el de Trudeau [1987].

10

Gauss, :HUNH, vol. 12, 63. Véase A. Galle, 'DV�:HOWDOO �� (1925), 230. Schleiden fue botánico y es célebre por haber descubierto mediante investigación microscópica –al tiempo que Schwann– la estructura celular de todos los seres vivos.

11

En particular por su libro 'LH�PDWKHPDWLVFKH�1DWXUSKLORVRSKLH,, véase Gauss, :HUNH, vol. 12, 206. 12

1 Nov. 1844, en :HUNH, vol. 12, 62–63.

�

algo absoluto, una entidad autónoma, distinta de los objetos materiales y que los condiciona.13

Se trataría de un receptáculo tridimensional homogéneo, un inmenso contenedor de todos los

fenómenos ‘externos’ o materiales.

Entretanto, Leibniz defiende que resulta arbitrario concebir el espacio como un absoluto, y

que no puede encontrarse en los fenómenos prueba alguna de que se trate de una entidad

autónoma y real. Se trataría, en cambio, de una entidad derivada e LGHDO –aunque nada

arbitraria– que cifraría el entramado de relaciones entre los objetos materiales. Las cosas que

coexisten en un mismo instante temporal guardan entre sí multitud de relaciones, y el espacio

no sería más que el RUGHQ�GH�FRH[LVWHQFLD entre las cosas, el conjunto de las relaciones que se

dan en un instante.

En la polémica terció también el gran Euler con argumentos que influyeron mucho en

Kant, y que le condujeron a abandonar las filas de los leibnizianos, en las que había estado

inicialmente, pasando al bando de los newtonianos. Sin embargo, y aunque conserva muchos

de los rasgos principales del enfoque de Newton, Kant le va a dar un giro nuevo e inesperado

a todo el problema.

Las dos posiciones anteriores, el absolutismo de Newton y el relacionismo de Leibniz,

presuponen la REMHWLYLGDG del espacio, o de aquello en lo que se funda la idea de espacio. El

“ giro copernicano” de Kant (la expresión es suya) consiste en pensar que una parte importante

de las características del mundo que conocemos tienen su origen en nuestra propia

constitución en tanto que sujetos del conocimiento. Es decir, parte de lo que ingenuamente

atribuimos al mundo y las cosas, sería en realidad algo aportado por el yo que conoce.

��� 7HVLV�\�DUJXPHQWRV�GH�.DQW���Concretamente, defiende la curiosa tesis de que todo lo que conocemos con respecto al

espacio, a la geometría, y a la espacialidad de los fenómenos observados, todo eso es

compatible con la mera LQWHUVXEMHWLYLGDG del espacio. El espacio no tiene por qué ser un rasgo

objetivo de las cosas, sino que puede ser algo VXEMHWLYR: es perfectamente posible (y Kant lo

cree así) que las cosas QR�VHDQ espaciales, sino que sólo VH�YXHOYDQ espaciales para el sujeto

que conoce. Pero no se trata de algo puramente subjetivo, en el sentido de algo que unos

13

En el Escolio a la def. 8 de los 3ULQFLSLD daba la célebre “ prueba” del cubo de agua que gira, posteriormente analizada por Einstein. Por otro lado, en la ÏSWLFD (Cuestiones 28 y 31) sugería Newton que el espacio podría ser el “ sensorio” de Dios, a través del cual está en todas partes e interviene en el mundo.

�

pudiéramos concebir de una manera y otros de otra. Nuestro conocimiento de la geometría

euclidea demuestra, según cree Kant, que la representación del espacio es QHFHVDULDPHQWH la

misma para todos nosotros. Por eso decimos que se trata de algo LQWHU�VXEMHWLYR.

Antes de seguir adelante, me gustaría hacer dos aclaraciones. Primera: algunos autores,

con su mejor intención de divulgar, explican a Kant de una manera que traiciona lo más

profundo de sus ideas. El otro día me encontré en un libro magnífico esta frase: “ Kant

consideraba que la geometría euclidea se encuentra fuertemente arraigada en el cerebro

humano, siendo la misma esencia del modo en que observamos y hacemos observable el

mundo exterior” .14 La parte final de la cita es bastante buena, pero la referencia al cerebro es

nefasta: nuestra cabeza y nuestro cerebro son cosas ‘externas’ y materiales; el sujeto del que

habla Kant no es un sujeto físico, sino una abstracción típicamente filosófica: el \R que

conoce.15 Segunda aclaración: el giro copernicano de Kant, atribuyendo el origen del espacio,

el tiempo y las leyes naturales al sujeto trascendental, tiene la máxima importancia para su

concepción del mundo, para su filosofía moral y religiosa. Como dijo él mismo, se sintió

obligado a “ poner límites a la razón, para dejar sitio a la fe” ; aquí no puedo entrar en la

exposición ni en la crítica de todo esto, pero los kantianos no me perdonarían que dejara de

mencionarlo.

En resumidas cuentas, y utilizando su terminología tan oscura y académica, Kant enseña

que el espacio no es ni una entidad real, ni algo derivado de las relaciones que se dan entre las

cosas mismas, sino sólo la IRUPD�GH� OD� LQWXLFLyQ� D� SULRUL del sujeto. El sujeto es capaz de

observar y percibir, pero sólo puede hacerlo según ciertas formas que vienen

predeterminadas: el espacio y el tiempo. Por eso, cualquier cosa que observe o perciba será

espacial y temporal. Como el espacio es una forma GH� OD� LQWXLFLyQ, hay –de acuerdo con la

teoría kantiana sobre el conocimiento matemático– una teoría matemática del espacio: la

geometría. Y como el espacio es una forma D�SULRUL, nuestro conocimiento de la geometría no

depende de la experiencia, sino que es puro y a la vez necesario.

Más resumidamente todavía: sólo hay un espacio y sólo hay una geometría posible; pero

no es el espacio “ real” ni la geometría del mundo en sí mismo, sino el espacio de los

14

R. Osserman, /D�SRHVtD�GHO�XQLYHUVR (Barcelona, Crítica, 1997), p. 71. 15

Por eso habla de él como “ sujeto trascendental” . La tendencia a psicologizar a Kant, convirtiendo su sujeto trascendental en un yo psicológico, comenzó ya con J. F. Fries en el siglo XIX; si además reducimos el yo psicológico a algo físico, estamos justamente en las antípodas de Kant. Pero conste que sólo estoy explicando a Kant, no me estoy adhiriendo a su punto de vista, ¡faltaría mas!

�

fenómenos que observa el sujeto y la geometría del mundo fenoménico. Kant explica que el

conocimiento geométrico es estrictamente necesario y universal, pero lo hace de modo

paradójico, al precio de enseñar que la geometría no nos dice nada acerca del mundo real. Su

espacio es una especie de versión degradada del magnífico receptáculo absoluto de Newton.

Por eso, quienes leyeron a Kant cuidadosamente, entendiendo sus afirmaciones, se resistieron

mucho a aceptar esa conclusión escéptica. Es el caso de grandes matemáticos como Gauss y

Riemann.

Hemos hablado bastante de cómo hay que entender a Kant, pero hemos dicho muy poco de

cuáles eran sus argumentos. Y en filosofía, como en la ciencia, todo depende de los

argumentos y las pruebas que se den. Claro está que aquí no tengo tiempo para exponer la

cuestión con un mínimo de detalles, pero sí que debo mencionar al menos algunas de sus

sutiles consideraciones.

Una línea muy importante de argumentación parte de constatar que, de hecho, disponemos

de un elaboradísimo conocimiento de verdades geométricas: todo lo relativo a los (OHPHQWRV y la geometría euclidea. Es el famoso IDFWXP, el “ hecho de la ciencia” tal como la

encontramos en nuestra experiencia cotidiana. Y aquí interviene el “ método trascendental” de

Kant, que surge de la simple pregunta: ¿cómo es posible ese hecho, cómo es posible la

ciencia? Según cree nuestro filósofo, sólo puede llamarse ciencia –y es una premisa muy

fuerte añadida al IDFWXP– a un conocimiento cierto y DEVROXWDPHQWH cierto. Pero, piensa Kant,

un conocimiento basado en lo empírico nunca puede darnos garantías de certeza. Así que la

ciencia de la geometría no puede estar basada en lo empírico, debe tener una base D�SULRUL. Por toda una serie de motivos adicionales, concluimos que el espacio es una forma D�SULRUL de

la intuición.

Ese argumento principal puede ser atacado desde diversos frentes. Sobre todo, y enseguida

iremos a ello, hoy nos resulta muy oscura la afirmación de que la geometría euclidea es

ciencia en el sentido de ser un cuerpo de verdades ciertas, necesarias y absolutas. (¿Hay

alguna porción de la ciencia del espacio que pueda ser caracterizada de ese modo? Algunos

han creído que sí y han tratado de rescatar algo de Kant por esta vía, pero aquí no podemos

seguir esta línea de argumentación.) Más aún, si definimos la palabra “ ciencia” –al modo de

Kant– como conocimiento absolutamente cierto, resulta que los científicos y los filósofos del

siglo XX nos han enseñado a pensar que la ciencia –en ese sentido tan estricto– no existe.

�

Kant presentó, además, algunos otros argumentos. Uno de ellos tiene un gran interés

matemático y Gauss no dejó de referirse a él. Se le llama el argumento de los DQiORJRV�LQFRQJUXHQWHV, o el de las manos izquierda y derecha. Pretende mostrar que la ciencia del

espacio incluye conocimientos que resulta imposible analizar con medios puramente

conceptuales. La demostración es por reducción al absurdo. Imaginemos un ser perfectamente

simétrico, cuyas manos estén formadas exactamente igual, salvo por la simetría especular. Un

análisis conceptual perfecto de cada mano nos daría la totalidad de sus elementos, con todas

sus propiedades y todas las relaciones entre los elementos. El resultado (al no hacer referencia

a objetos situados fuera de cada mano) sería exactamente el mismo en los dos casos. Así que

las dos manos deberían poder coincidir punto por punto, cosa que no sucede en el espacio

tridimensional.16

Todo esto tiene como resultado que, si un hombre quiere darle a conocer a otro la

diferencia entre izquierda y derecha, no puede hacerlo mediante una definición conceptual,

por mucho que alargue la explicación. La única manera es PRVWUDU la diferencia por referencia

a su propio cuerpo o a algún objeto, y esto demuestra que nuestro conocimiento de lo espacial

tiene un componente intuitivo.17 En sus 3UROHJyPHQRV (§ 13), Kant ofreció esta consideración,

a fin de “ librarlos de prejuicios” , a aquellos que encontraran difícil “ desprenderse de la

concepción de que el espacio y el tiempo son modos reales de ser” .

��� &RQWUDDUJXPHQWRV�\�GHVFXEULPLHQWRV�GH�*DXVV�

���� En una importante obrita de 1831, Gauss expuso su concepción de los números

complejos, a cuento de un trabajo que iba a publicar en donde extendía la teoría de números a

los “ enteros gaussianos” D+E√–1. Aquí, además de presentar la idea del plano complejo,

proponía una serie de ideas filosóficas sobre los fundamentos de la matemática que le

permitían argumentar que los números “ imaginarios” son tan reales como los números

“ reales” . Y, en medio de todo esto, Gauss enlazaba con el argumento de los análogos

incongruentes:

16

Necesitamos un movimiento en la cuarta dimensión para llevar una mano sobre la otra, por analogía a lo que pasa con –por ejemplo– dos triángulos escalenos simétricos sobre el plano, o con dos espirales simétricas, caso en el que ha de intervenir la tercera dimensión.

17

Pero ojo con las palabras: lo que llamamos aquí “ intuitivo” no tiene por qué ser analizado en los términos de la teoría kantiana de las intuiciones D�SULRUL, sino que admite muchos otros análisis. El término “ intuición” es muy ambiguo.

�

Esta diferencia entre derecha e izquierda queda completamente determinada HQ�Vt tan pronto como hemos fijado (a voluntad) los sentidos de adelante y atrás HQ el plano, y los de arriba y abajo en relación con ambos lados del plano. Mas, precisamente, comunicar a otros nuestra intuición de esta diferencia VyOR es posible remitiendo a cosas materiales que existan en la realidad. [Y en nota:] Ya Kant había realizado ambas observaciones, pero no se comprende cómo este agudo filósofo creyó encontrar en la primera una prueba a favor de su opinión de que el espacio es VyOR la forma de nuestra intuición externa, cuando la segunda establece con tanta claridad lo contrario, que el espacio debe tener una referencia real al margen de nuestra forma de intuición.

18

El mismo tema reaparece, muchos años después, en una carta a Schumacher de 1846, donde

afirma que lo anterior establece “ la refutación decisiva de aquella figuración [Einbildung] de

Kant, según la cual el espacio sería MERAMENTE la forma de nuestra intuición externa” .

),*�� ��� *DXVV� HQ� XQ� GLEXMR�UHDOL]DGR� HQ� ����� SRU� VX� DOXPQR�/LVWLQJ� �HO� LQYHQWRU� GHO� WpUPLQR�³WRSRORJtD´���

Y en efecto, ese estado de cosas parece incompatible con la tesis de que WRGR lo referente

al espacio y la geometría se deriva de conceptos \ de la intuición pura, como quería Kant.

Veámoslo con más calma. Por hipótesis, se supone que (1) las formas D�SULRUL de la intuición

son compartidas por todos los sujetos de conocimiento; y (2) se supone además que no

pueden ser alteradas por ningún contenido real o empírico de la percepción, ya que

precisamente derivan sólo de la constitución del sujeto. De manera que (1´) los dos sujetos

comparten todo lo que sería necesario para elaborar una descripción completa de las

propiedades del espacio: intuición y conceptos; y (2´) el hacer referencia a alguna cosa

18

:HUNH, vol. 2, 177. La carta a Schumacher de 8 de febrero 1846 está en el vol. 8, 247.

�

material no podría alterar lo más mínimo nuestras intuiciones puras del espacio. Así pues, el

caso de las manos izquierda y derecha refuta la hipótesis o –como dice Gauss– la “ figuración”

kantiana, porque la situación en que se encuentran los dos sujetos contradice tanto a (1 )́

como a (2 )́.19

���� Muy a menudo, el argumento más simple y contundente para establecer una

determinada conclusión se obtiene sólo después de largo tiempo de trabajo sobre el tema, y la

conclusión se alcanza originalmente de un modo mucho más complicado y confuso. También

en este caso, todo parece indicar que no fue de un modo tan directo, ni mucho menos, cómo

Gauss llegó a desprenderse de la doctrina kantiana. Más bien, el camino que le llevó a esto

fue indirecto y comienza por el otro argumento de Kant que hemos visto antes, el que tiene

que ver con la geometría euclidea y su supuesto carácter necesario y absoluto. Este problema

comenzó a interesarle en 1792, cuando todavía estudiaba en Brunswick, tenía sólo 15 años, y

dedicaba parte de su tiempo a leer al gran filósofo.

Pronto Gauss elaboró una nueva definición de paralelas, aplicable por igual a la geometría

euclidea y a la LB,20 exploró las propiedades de la relación de equivalencia –paralelismo– a la

que daba lugar, y elaboró algunas ideas sobre lugares geométricos en la geometría LB.21 Todo

esto le llevó, en algún momento que no podemos precisar (quizá, siendo prudentes, la década

de 1800) al convencimiento de que la geometría LB era consistente. Así, Gauss se convenció

de la posibilidad de elaborar una geometría “ no euclidea” (nombre que él introdujo), con lo

que la solución al antiquísimo problema de las paralelas era negativa: no es posible demostrar

el Axioma de las Paralelas sobre la base de supuestos más simples. Pero Gauss no elaboró un

estudio detallado sobre esta cuestión, ni mucho menos lo publicó.

Lo que sabemos acerca de los descubrimientos de Gauss en geometría no euclidea es

impreciso, porque normalmente se trata de comentarios en cartas, donde UHDFFLRQD frente a

las contribuciones de otros. Pero sabemos con certeza que en 1817, muchos años antes de que

publicasen Lobachevskii o Bolyai, había llegado a una conclusión clara:

Cada vez más llego a la convicción de que la necesidad de nuestra geometría [euclidea] no puede ser demostrada, al menos

19

Cabría también pensar que (1 )́ sea falso, en tanto los sujetos, si bien comparten intuiciones y conceptos, quizá no puedan GHVFULELU completamente lo relativo al espacio. Pero, en este caso, desde luego no podrían coordinar el sentido de las respectivas orientaciones del espacio, con lo que sigue aplicándose la crítica de Gauss.

20

Usaré estas siglas en lo que sigue para referirme a la geometría de Lobachevskii y Bolyai, en la que, dado un plano, existen muchas paralelas (i.e., rectas no secantes) a una recta dada por un punto exterior a ella.

21

Aunque sus manuscritos no llegan a hacer un estudio detallado del horociclo. Véase Gray [1992], cap. 7.

�

no SRU el entendimiento KXPDQR ni tampoco SDUD el entendimiento humano. Quizás en otra vida alcancemos una visión distinta de la esencia del espacio, que nos resulta inalcanzable por ahora. Hasta entonces, no debemos poner a la geometría en igualdad de rango con la aritmética, que se sostiene puramente D�SULRUL, sino digamos con la mecánica.

22

Esto constituye un rechazo de principio al punto de vista kantiano: el conocimiento

geométrico no es apriorístico; los teoremas de Euclides no son verdades necesarias; la

geometría es una ciencia con contenido empírico, igual que la mecánica. Pero algo muy

curioso de este texto es que Gauss emplea un lenguaje muy kantiano para expresar sus ideas,

y que además salva el punto de vista kantiano en lo relativo a la aritmética.23

En una recensión escrita el año anterior, 1816, Gauss criticaba un escrito que pretendía

fundamentar la geometría de un modo puramente lógico, en base a definiciones y a los

principios de identidad y de tercio excluso. Al hacerlo, apoyó expresamente la tesis kantiana

de que la geometría se basa, no en puros conceptos, sino en la intuición:

Que para la presentación y el encadenamiento de las verdades de la geometría se hace uso continuamente de esos medios lógicos, ciertamente no lo ha querido negar Kant. Pero que aquéllos no logran de por sí ningún rendimiento, y sólo echan flores estériles, si no reina en todas partes la fructificante intuición viva del objeto, esto no lo negará nadie que esté familiarizado con la esencia de la geometría.

24

La cita es llamativa. Podría parecer, a primera vista, que contradice lo expuesto en el párrafo

anterior, pero esta conclusión sería precipitada. Ambas son coherentes si suponemos que

Gauss se refiere ahora a la intuición HPStULFD –para entendernos, la percepción GH�REMHWRV o

fenómenos materiales– y no a la intuición pura como quería Kant.

En sus cartas, Gauss no se cansa de decir que ya conocía todos los resultados que va

encontrando en otros autores. Por ejemplo, en una carta de 1846 a Schumacher, hablando del

libro de Lobachevskii ,QYHVWLJDFLRQHV� JHRPpWULFDV� VREUH� OD� WHRUtD� GH� ODV� OtQHDV� SDUDOHODV (publicado en alemán en 1840), dice:

Sabe Usted que yo albergo desde hace ya 54 años (desde 1792) la misma convicción (con cierto añadido posterior que no mencionaré aquí); por ello no he encontrado en la obra de Lobachevskii nada que fuera materialmente nuevo para mí, si bien el desarrollo tiene lugar por un camino distinto al que yo mismo había seguido, y en verdad que con Lobachevskii [se hace] de un modo magistral y en espíritu verdaderamente geométrico.

25

El caso más famoso es el de la carta a Bolyai padre, escrita el 6 de marzo de 1832:

Si comenzara diciendo que soy incapaz de alabar esta obra [de Janos Bolyai, el hijo], sin duda quedarías sorprendido durante un momento. Pero no puedo decir otra cosa. Alabar la obra sería alabarme a mí mismo, pues todo su contenido, el camino seguido por tu hijo, y los resultados obtenidos, coinciden casi completamente con mis meditaciones, que me han ocupado

22

Carta a Olbers, en :HUNH, vol. 8, 177. 23

Como anotación para el lector experto: cabe pensar que Gauss pueda estar defendiendo más bien el punto de vista leibniziano sobre la aritmética (para Leibniz la aritmética es D�SULRUL por ser analítica, para Kant es sintética D�SULRUL).

24

2S��FLW� 170ss. 25

:HUNH, vol. 8, 238–39. La afirmación sobre 1792 es cuando menos dudosa: la memoria tiende a “ adornar” los recuerdos, sobre todo a tanta distancia, y no hay confirmación independiente de ello. Véase la nota siguiente.

�

parcialmente durante estos últimos treinta o treinta y cinco años. Yo mismo me he quedado estupefacto.26

Viniendo del serio Gauss, tan parco en palabras y alabanzas, y teniendo en cuenta su

reputación de “ primero entre los matemáticos” , la carta contenía una enorme alabanza. Así la

interpretó Farkas Bolyai, pero su joven y temperamental hijo lo vio de otra manera. Se lo

tomó a la tremenda, pensó que Gauss quería plagiar sus ideas, y nunca más volvió a publicar

sobre matemáticas.27

La carta de 1832 continúa diciendo que Gauss tenía la intención de no publicar estos

resultados en vida, porque la mayoría de la gente no tiene ni siquiera ideas claras de cuál es

realmente la cuestión que se está tratando. Es famosa su frase de que no publicaba por temor

“ al clamor de los beocios” .28 Todo parece indicar que estaba pensando en los profesores de

Universidad –filósofos o no– que eran seguidores irreflexivos de Kant y se apresurarían a

“ refutar” los teoremas de Gauss con alguna cita de la &UtWLFD� GH� OD� UD]yQ� SXUD. Y acertó,

porque las “ refutaciones” pseudo-kantianas se dieron una y otra vez en el siglo XIX, lo que a

la larga acarreó un descrédito inmerecido al viejo profesor de Königsberg. Una cosa es clara:

Kant hubiera reaccionado de otra manera.

���� No daremos aquí más detalles sobre la geometría no euclidea de Lobachevskii–Bolyai

(y Gauss), o geometría “ hiperbólica” –nombre que deriva del modo de definirla en el contexto

de la geometría proyectiva–.29 Pero sí voy a detenerme un poco en algo que es, probablemente,

lo que Gauss tenía en mente cuando le hablaba a Schumacher en 1846 de “ cierto añadido

posterior” (véase la carta anterior). Creo que lo más probable es que Gauss estuviera

pensando aquí en su trabajo de 1828 sobre geometría intrínseca de superficies. Curiosamente,

se ha prestado poca atención a la conexión entre la geometría diferencial de Gauss y el

problema del espacio, y esto a pesar de que la posterior y decisiva contribución de Riemann

apunta en esa dirección.

En buena medida, el problema de la geometría no euclidea, que surgió como el problema

de las paralelas, puede pensarse que se reduce a una falta de claridad con respecto a la

26

2S�� FLW�, 221. Esta carta, escrita 14 años antes que la precedente, nos da como estimación del año en que Gauss se convence de la consistencia de la geometría LB el período 1798–1802.

27

Sobre esto cabe hacer dos comentarios: (1) así de dura es la investigación puntera en matemáticas, y de todos modos Bolyai se había garantizado la prioridad en la publicación, que es lo que cuenta; (2) ¡juventud, divino tesoro!

28

Los beocios eran los nativos de Beocia, en la antigua Grecia, célebres por su estupidez –un tema intemporal, como demuestran las bromas sobre Lepe–.

29

Sobre este tema puede verse el libro de Gray [1992] o el de Trudeau [1987], entre otros muchos.

�

naturaleza de las rectas. En la geometría LB nos encontramos con muchas “ paralelas” (rectas

que no cortan) a una recta dada, todas las cuales pasan por un mismo punto; nos encontramos

también con rectas que se aproximan asintóticamente, pero sin llegar a cortarse nunca. Era

natural pensar que aquí había un error conceptual: una “ verdadera” recta, pensaban los

matemáticos tradicionales, no puede comportarse así. Y, en consecuencia, si tuviéramos una

EXHQD�GHILQLFLyQ de recta podríamos mostrar que la geometría LB no es correcta. Esta fue la

idea de un profesor de Gotinga (Kästner, que le dio clases a Gauss) hacia 1789, y pocos años

después nada menos que un Fourier expresó la misma convicción.

Por esa vía, es fácil relacionar el trabajo de 1828 sobre geometría diferencial con nuestro

tema. El mismo Gauss lo sugirió en una carta a C. A. Hansen:

[esta memoria] nos lleva a un plano impredictible. … Aquellas investigaciones están profundamente interrelacionadas con mucho más, yo diría que con la metafísica del espacio, y encuentro difícil sacudirme las consecuencias de ello.

30

Gauss hablaba de “ la metafísica de” cualquier concepto matemático para referirse a lo que

nosotros llamaríamos los fundamentos lógicos y epistemológicos de dicho concepto. La

metafísica de la matemática, por tanto, es algo así como un estudio de sus fundamentos y de

filosofía de la matemática. Veamos cuál es la conexión entre la teoría intrínseca de superficies

y el problema de las paralelas.

Considerando superficies inmersas en el espacio euclideo tridimensional, Gauss estudió

aquellas propiedades suyas que permanecen invariantes bajo transformaciones isométricas.

Hablando informalmente, podemos curvar o doblar la superficie a voluntad, siempre que no

la deformemos, estiremos o pleguemos; las longitudes de las curvas trazadas en la superficie

permanecerán inalterables. Gauss demostró que la PHGLGD� GH� FXUYDWXUD de la superficie en

cada punto es, en efecto, un invariante isométrico, y este resultado le pareció tan importante

que lo denominó –quizá con algo de sorna– “ teorema egregio” . Así que un fragmento de

cilindro, un trozo de cono, y una porción del plano son equivalentes desde el punto de vista

intrínseco: la medida de curvatura en cada uno de sus puntos es idéntica (.�= 0).

La transformación isométrica convierte las rectas sobre una superficie plana 6 en

JHRGpVLFDV sobre su transformada 6�: las lleva sobre líneas mínimas, en el sentido de que las

geodésicas son las curvas de menor distancia, trazadas VREUH la superficie –no fuera, HQ el

espacio ambiente–, entre dos puntos de ella. Y todo lo que podamos decir sobre las figuras

30

Carta del 11 de diciembre de 1825. :HUNH, vol. 12, 8.

�

construidas en la superficie 6 –acerca del área de la figura, de los ángulos que se forman, etc.–

vale también para las contrapartidas que obtenemos por transformación isométrica en 6�. Visto esto, hemos de concluir que FXDOTXLHU�FRQGLFLyQ�TXH�SRGDPRV�H[SUHVDU�HQ�WpUPLQRV�GH�JHRPHWUtD�SODQD��FRQ�HO�ILQ�GH�FDUDFWHUL]DU�ODV�UHFWDV��VH�DSOLFDUi�WDPELpQ�D�ODV�JHRGpVLFDV�TXH�VRQ�WUDQVIRUPDGDV�VX\DV. Gauss especulaba con la posibilidad de seres planos, planilandeses, que habitan un mundo

bidimensional. Si fuéramos planilandeses, por mucho que estudiáramos las propiedades de lo

que llamamos “ rectas” , no podríamos estar seguros de que no se trata más bien de geodésicas

sobre alguna superficie no plana. Nosotros, seres tridimensionales, podríamos observar a los

planilandeses y decir, con aire de superioridad: “ pobrecitos, creen que su mundo es plano,

pero en realidad es –por ejemplo– una superficie enrollada en espiral” . Ahora bien, si esto es

así, algo análogo debe valer para el caso tridimensional: ¿cómo podemos saber que nuestros

“ planos” no son más bien superficies curvas? Y decía Gauss:

quizá los que están por encima de nosotros nos contemplen de forma semejante, [así que] he dejado de lado ciertos problemas –continuaba diciendo en tono de broma– los cuales he pensado que podría tratar geométricamente más adelante, en circunstancias superiores.

31

Esto es lo que quería decir en 1817 (véase más arriba) al afirmar que “ la necesidad de nuestra

geometría no puede ser demostrada, al menos no SRU el entendimiento KXPDQR ni tampoco

SDUD el entendimiento humano” , y que “ quizás en otra vida alcancemos una visión distinta de

la esencia del espacio” .

Hacia el final del trabajo de 1828 sobre superficies curvas llamaba la atención sobre

resultados, respecto a la suma angular en triángulos formados por geodésicas, que están

íntimamente ligados a la geometría LB. Supongamos, por simplificar, una superficie 6 de

curvatura . constante; dado un triángulo cuyos lados son geodésicas sobre 6, y a cuya área

llamaremos σ, la diferencia entre la suma angular (α + β + γ) y 180º (π) es:

.·σ = α + β + γ – π.

Gauss encuentra así el resultado un tanto paradójico que se había obtenido en la geometría LB

para la suma angular de un triángulo cualquiera. Y la constante . con la que trabajaban

Lobachevskii y Bolyai, arbitraria y carente de interpretación para ellos, adquiere ahora un

significado bien preciso como medida de curvatura (constante) en cada punto.

Reflexionando sobre los resultados de Gauss, y sobre su posible extensión al caso

�

tridimensional o Q-dimensional, se encuentra una asimetría fundamental. Los elementos

geométricos de dos dimensiones pueden adoptar múltiples configuraciones, y observamos una

equivalencia –intrínseca o isométrica– entre múltiples superficies, curvadas y configuradas en

el espacio de maneras diversas. Pero en tres dimensiones nos topamos con una única

posibilidad: el espacio postulado por Euclides, muy particular y característico. Podía así

surgir la cuestión de si es posible eliminar esa asimetría, flexibilizar el concepto de espacio

hasta el punto de que las posibilidades en tres dimensiones sean tan ricas como las

bidimensionales. Esto fue precisamente lo que hizo Riemann en su conferencia inaugural, en

la que establecía el proyecto de la geometría diferencial moderna, bajo la inspiración de la

obra de Gauss.32

Ello sucedía en 1854, un año antes de la muerte del gran maestro, cuando éste ya estaba

muy delicado de salud. Pero Gauss tuvo la fortuna de poder seguir aquella conferencia, siendo

probablemente el único entre el público que logró entenderla. Cuenta Dedekind:

La lección, que superó todas sus expectativas, le dejó completamente asombrado, y a la vuelta de la sesión de Facultad le habló a Wilhelm Weber de la profundidad de los pensamientos expuestos por Riemann con el mayor reconocimiento y con una excitación rara en él.

33

No es de extrañar, porque Riemann planteó también la cuestión de reelaborar la teoría física

en el marco de estas nuevas geometrías, yendo más allá de Newton, hacia una comprensión

más profunda y unificada de la naturaleza. Y el mismo Einstein, que puso ese trabajo al

servicio de la teoría relativista de la gravitación –la Relatividad General–, habló de la “ visión

profética” que Riemann había logrado expresar.

&2'$��&RQVHFXHQFLDV�SDUD�PDWHPiWLFD��ItVLFD�\�ILORVRItD

Todo lo anterior tuvo amplias consecuencias para al menos tres disciplinas: la matemática, la

filosofía y la física; las tres de capital importancia para Gauss y para Kant. Comencemos por

la filosofía, antes de pasar a la física.

Hemos resaltado que el complejo edificio de la filosofía crítica kantiana, a la vez sólido y

sumamente delicado, tenía como pilares la geometría euclidea y la mecánica newtoniana.

Sobre todo, la convicción de que ambas ciencias representaban un conocimiento definitivo,

31

S. von Waltershausen, ‘Gauss zum Gedächtnis’ . Citado en :HUNH, vol. 8, . 32

Véase 5LHPDQQLDQD�6HOHFWD (Madrid, CSIC, 2000). 33

R. Dedekind, B. Riemann’ s Lebenslauf, en Riemann, *HVDPPHOWH�PDWKHPDWLVFKH�:HUNH (Springer).

�

necesariamente verdadero, absoluto y D�SULRUL. El reconocimiento general de las geometrías

no euclideas, hacia 1870, planteó la necesidad de una seria revisión de la arquitectura

elaborada por Kant. Cincuenta años más tarde, con el triunfo de Einstein, trabajando sobre la

obra conceptual de Riemann y Gauss, llegó la superación de la mecánica y la teoría

gravitatoria newtoniana. Al verse cuestionadas o reemplazadas todas esas teorías, se volvió

obsoleta la convicción kantiana de que existen FLHQFLDV en el sentido de doctrinas

absolutamente necesarias y D� SULRUL. Todavía estamos asumiendo y “ digiriendo” las

consecuencias de semejante transformación.

Seguía siendo posible, como enfatizaron los neokantianos hacia 1900, aplicar algo similar

al “ método trascendental” de Kant: partir del IDFWXP del conocimiento científico, tal como se

encuentra en nuestra experiencia, y emprender la tarea dificilísima y casi heroica de analizar

las bases imprescindibles para fundamentar la posibilidad de ese conocimiento. Pero la

evolución de la matemática y la física fue minando cada vez más –y al parecer para siempre–,

no sólo la idea de que esas ciencias sean válidas D� SULRUL, sino la confianza en que el

conocimiento físico e incluso el geométrico pueda alcanzar la verdad absoluta.

Sin esos postulados esenciales, el edificio kantiano se viene abajo, y la revisión que se

impone es realmente profunda. En ello están muchos filósofos hoy mismo, aunque la

polvareda que se levantó con el derrumbe de aquel imponente mamotreto ha causado mucha

confusión y mucha ceguera. Alguno ha llegado, incluso, a sugerir que no existe

absolutamente ningún fundamento del conocimiento.34 Pero no hay que esperar que los

filósofos se pongan de acuerdo, y hoy menos que nunca. Lo interesante es que algunos, al

menos, hayan recogido la antorcha, conservando el espíritu de investigación de las bases del

conocimiento que caracterizó a Kant.

Mientras existió el convencimiento de la necesidad y aprioricidad de la geometría, esto

parecía un hecho sumamente notable. Había una única teoría del espacio disponible para la

mente humana, una teoría que se imponía a nuestro intelecto, y que coincidía precisamente

con la geometría del espacio físico, real. Hubo quien recurrió a Dios para explicar tan

milagrosa coincidencia (Kepler, Newton); no es de extrañar que la geometría y la matemática

fueran el refugio predilecto de los racionalistas, los creyentes en que la mente humana guarda

34

En mi opinión, la conclusión correcta es que no hay métodos privilegiados (filosóficos o de otro tipo) para “ excavar” en los fundamentos hasta ponerlos al descubierto: podemos analizar las bases del conocimiento humano y teorizar sobre ellas, pero no determinarlas con certeza absoluta.

�

ideas y conocimientos innatos. Pero el descubrimiento de geometrías como la LB cambió ese

panorama para siempre, especialmente en lo relativo a los problemas que tuvieron que

plantearse los físicos.

A partir de Gauss, Lobachevskii y Bolyai (entre 1800 y 1830), resultaba imprescindible

diferenciar entre las geometrías que podemos FRQFHELU y la geometría del espacio UHDO. La

pregunta era: ¿cuál de esas geometrías posibles representa el espacio físico? Y la respuesta

sólo podía encontrarse recurriendo a la observación y la experimentación. Ya no cabía pensar

que las leyes del espacio vienen dadas D�SULRUL; el espacio –argumenta Gauss contra Kant– es

algo real, o remite a algo real. Tanto Lobachevskii como Gauss recogieron datos lo más

precisos posible, midiendo triángulos astronómicos a través de cuidadosas observaciones con

el telescopio. Como se ve en la fórmula que dimos en el apartado anterior, en la geometría LB

la suma de los ángulos de un triángulo se aleja tanto más de 180º, cuanto mayor sea su área;

por eso la información que buscamos sólo puede encontrarse trabajando con triángulos muy

grandes. Los datos de la paralaje de Sirio y otras estrellas parecían confirmar (dentro de los

límites del error observacional) que la geometría real es euclidea.

Todavía Riemann, en 1854, mencionaba este tipo de resultados físicos, pero señaló que

son resultados a gran escala y que no prejuzgan lo que pueda suceder con la métrica espacial a

nivel local. Dijo Riemann que es perfectamente concebible que las relaciones métricas del

espacio a nivel local no sean conformes a los presupuestos euclideos, y afirmó que

“ deberíamos suponer que así es de hecho, tan pronto como esto permitiera explicar los

fenómenos de una manera más simple” .35 Con el advenimiento del espacio-tiempo de

Minkowski, y sobre todo de la Relatividad General de Einstein, este tipo de ideas

experimentó un giro nuevo.

Queda, por fin, decir algo de cómo los desarrollos que hemos revisado afectaron a la idea

de lo que es la propia matemática. La cuestión es muy amplia y ha dado muchos giros; aquí

me limitaré a comentar cuáles fueron las reacciones del gran Gauss. En realidad, el tema ha

quedado planteado ya bajo la forma de un lema paradigmático: {? 2γ∈Η ∆42:0ϑ∴.γ4, “ Dios

aritmetiza” . Si antes –desde Platón hasta Kant– se pensaba que la actividad matemática por

excelencia es geometrizar, para Gauss lo característico del matemático (puro) es aritmetizar.

(Y Dios es matemático en lo más íntimo de su pensamiento, lo que, de paso, explica para

35

Ferreirós, ed. [2000], 16.

�

Gauss y sus contemporáneos la increíble potencia de los métodos matemáticos en la tarea de

descifrar el mundo, obra de Dios.)

Hemos visto en detalle cómo el SULQFHSV�PDWKHPDWLFRUXP establece, de diversos modos, el

carácter empírico –al menos parcialmente– del conocimiento geométrico. Pero con la

aritmética sucede otra cosa:

Según mi más íntima convicción, la posición de la teoría del espacio con respecto a nuestro conocimiento D�SULRUL es muy distinta a la de la pura teoría de magnitudes [aritmética]: nuestro conocimiento de aquélla se aleja completamente de HVD convicción total de su necesidad (o sea, también de su verdad absoluta) que es propia de la ~OWLPD; debemos conceder con humildad que, si el número es SXUDPHQWH un producto de nuestro espíritu, el espacio tiene también una UHDOLGDG�IXHUD de nuestro espíritu, y que no podemos prescribir sus leyes completamente D�SULRUL. 36

Resulta muy notable en esta cita que, aún corrigiendo al viejo Kant, Gauss parece moverse

dentro de los márgenes del esquema intelectual kantiano.37 Como Kant, el gran matemático

diferencia la matemática pura de la aplicada; como él, enfatiza el carácter necesario y

absolutamente verdadero de la matemática pura; y afirma con él que se trata de un puro

producto del entendimiento humano, sin “ contaminación” de ningún elemento empírico.

Lo que ha cambiado es la delimitación de esa matemática pura, que ahora abarcará la

teoría de números, el análisis y el álgebra, pero ya no la geometría.38 Y han cambiado también

las líneas de fuerza que estructuran el campo de la matemática pura, porque ahora el

paradigma teórico y conceptual no es la geometría, sino la aritmética. Para referirse a ésta,

Gauss dice “ teoría de magnitudes” : piensa en la aritmética como teoría del sistema numérico

en toda su extensión, incluyendo muy especialmente los números reales y complejos.

El cambio de orientación en la comprensión del conocimiento matemático que formula así

Gauss, y que expresa en su lema “ Dios aritmetiza” , acabó siendo característico de toda la

matemática en el siglo XIX. Fue la época de la DULWPHWL]DFLyQ del análisis y la matemática

pura, llevada hasta sus últimas consecuencias por autores como Weierstrass y Dedekind, y

celebrada a fin de siglo (entre 1895 y 1900) en escritos de Klein, Hilbert y Poincaré.

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Si tuviéramos más tiempo para entrar en pormenores, la tesis a defender sería que Gauss se mueve dentro del dominio de ideas filosóficas acotado por Leibniz y Kant. Véase Ferreirós, en prensa.

38

A no ser que hablemos de una geometría general y pura, al estilo del siglo XX; pero Gauss hablaba todavía de la geometría del espacio real, y por tanto de matemática aplicada.

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