PHẦN BỔ SUNG

BÀI 1:   KHÔNG GIAN VECTO Rn

1. Không gian vecto Rn 2. Tổ hợp tuyến tính

3. Hệ vecto phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

BÀI 2:   TẬP HỢP LỒI TRONG KHÔNG GIAN Rn

1. Tổ hợp lồi 2. Đ oạn thẳng

3. Tập hợp lồi

4. Một số tính chất của tập hợp lồi

5. Đ iểm cực biên của tập hợp lồi

BÀI 3:   PHÉP QUAY

1. Đ ịnh nghĩa phép quay 2. Phép quay biến dạng

3. Ứ ng dụng:   Giải hệ phương trình tuyến tính

BÀI TẬP PHẦN BỔ SUNG

BÀI 1: KHÔNG GIAN VECTƠ RN TOP

Kiến thức không gian vectơ ( trong đó có không gian Rn ) được trình bày chi tiết trong chương trình Ðại số tuyến tính. Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong việc phát biểu và giải bài toán Qui hoạch tuyến tính.

1 - Không gian vectơ Rn TOP

2 - Tổ hợp tuyến tính TOP

3- Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vàì độc lập tuyến tính TOP

            Suy ra hệ đã cho độc lập tuyến tính

Trong không gian Rn , một hệ vectơ độc lập tuyến tính có không quá n vectơ và một hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ thì phụ thuộc tuyến tính.

BÀI 2:  TẬP HỢP LỒI TRONG KHÔNG GIAN Rn TOP

Khái niệm hình lồi đã dược định nghĩa trong hình học sơ cấp theo phương pháp mô tả trực quan . Phần này sẽ xây dựng định nghĩa chặt chẽ về đoạn thẳng , tập hợp lồi trong không gian Rn .

1 - Tổ hợp lồi TOP

2- Ðoạn thẳng TOP

3 - Tập hợp lồi TOP

4 - Một số tính chất của tập hợp lồi TOP

5 - Ðiểm cực biên của tập hợp lồi TOP

BÀI 3: PHÉP QUAY

I - ÐỊNH NGHĨA PHÉP QUAY TOP

II - PHÉP QUAY BIẾN DẠNG TOP

Khi ứng dụng phép quay vào việc giải bài toán Qui hoạch tuyến tính, ta cần đổi dấu cột quay và giữ nguyên dấu dòng quay. Muốn vậy, ta gán kèm dấu - vào các biến độc lập và được phép quay biến dạng, tương tự như phép quay.

III - ỨNG DỤNG : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TOP

Cóï thể giải hệ phương trình tuyến tính bằng nhiều phương pháp khác nhau ( thế , khử , định thức ... ) . Phương pháp thế được thể hiện bằng cách thực hiện phép quay . Ðể ứng dụng trong việc giải bài toán Qui hoạch tuyến tính sau này, ta giải hệ phương trình bằng phép quay biến dạng.

 

 

BÀI TẬP PHẦN BỔ SUNG TOP

CHƯƠNG 1 :   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 1:   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I. VÍ DỤ MỞ ĐẦU II. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

III. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC

IV. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN TẮC

V. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG MA TRẬN

BÀI 1:   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I -Ví dụ mở đầu ( Bài toán lập kế họach sản xuất ) TOP

Xí nghiệp sản xuất càc mặt hàng A, B, C, D từ các loại nguyên liệu I, II, III với lượng dự trữ tương ứng là u1, u2, u3 (đơn vị nguyên liệu). Bảng sau cho biết lợi nhuận thu được và chi phí nguyên liệu cho mỗi đơn vị sản phẩm:

Lập kế hoạch sản xuất các mặt hàng sao cho:

a) Tổng lợi nhuận thu được lớn nhất .

b) Sử dụng hết nguyên liệu, riêng loại nguyên liệu III có thể dư.

c) Tổng số lượng sản phẩm A và D không nhỏ hơn u4 .

Phân tích mô hình:

Bài toán trên được gọi là bài toán Qui hoạch tuyến tính.

II - Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát TOP

Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau:

 

III - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC TOP

IV - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN TẮC TOP

Bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc có tất cả điều kiện ràng buộc là bất phương trình và tất cả các ẩn số đều không âm :

Ðịnh lí 1 Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc hoặc dạng chuẩn tắc .

Chứng minh

Trước hết , ta chứng tỏ rằng bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc .

Ðịnh lí 1 cho thấy rằng chỉ cần xây dựng thuật toán giải cho bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( hoặc chuẩn tắc ) và từ đó có thể giải được bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát.

V - BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG MA TRẬN TOP

Trong nhiều trường hợp , để thuận tiện trong việc trình bày , ta có thể viết các bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( 1-3 ) và dạng chuẩn tắc ( 1-4 ) dưới dạng ma trận .

Khi đó bài toán (1- 6 ) được viêt thành dạng ma trận ( 1-8 ) hoặc (1- 9 ) , trong đó hàm mục tiêu là g , n= 9 , m = 5 .

CHƯƠNG 1 :   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 2:   TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I. TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN II. PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

III. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

BÀI 2:   TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

I.  TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN TOP

II.  PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN TOP

Ðịnh nghĩa

Nếu X là điểm cực biên của tập các phương án D thì X được gọi là phương án cực biên.

Vai trò của phương án cực biên sẽ được trình bày ở Ðịnh lí 5 mục này. Việc kiểm tra một phương án (điểm) có phải là cực biên của tập các phương án D (thường là vô hạn ) hay không theo định nghĩa là rất khó khăn. Ðịnh lí 4 sau đây cho dấu hiệu cần và đủ đơn giản để một phương án là cực biên.

Ðịnh lí 4 :

Xét bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Ðịnh lí 5

Nếu bài toán Qui hoạch tuyến tính có nghiệm thì có nghiệm cực biên ( nghiệm tương ứng là điểm cực biên của tập các phương án D ) .

 

Hệ quả

Nếu bài toán Qui hoạch tuyến tính không có nghiệm cực biên thì vô nghiệm.

Tập hợp các phương án D của bài toán Qui hoạch tuyến tính thường là vô hạn, tuy nhiên số phương án cực biên là hữu hạn ( hệ quả của Ðịnh lí 4 ). Ðịnh líï 5 cho thấy rằng chỉ cần tìm nghiệm trong các điểm cực biên (hữu hạn) của D , suy ra tính hữu hạn của thuật toán đơn hình sau này.

Các kết quả về nghiệm , nghiệm cực biên được minh họa trong các hình (2-11 ) , ( 2-12 ) , (2-13 ) và được phân tích ở phần ý nghĩa hình học của bài toán Qui hoạch tuyến tính sau đây .

III.  Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TOP

( Giải bài toán Qui hoạch tuyến tính bằng hình học )

 

 

 

 

 

 

 

 

CHƯƠNG 1 :   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 3   PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

I. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN   II. ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

III. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI

BÀI 3   PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Có một số phương pháp khác nhau để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính : phương pháp hình học , phương pháp phân tích sự biến động của hàm mục tiêu và phương pháp đơn hình .

Phương pháp hình học đã được đề cập tới ở mục III , §2 ( xem hình (2-11) , ( 2-12 ) và ( 2-14 ) ) . Như đã phân tích , phương pháp hình học chỉ giải được các bài toán có ít ẩn số và dựa trên nhận định trực quan . Phương pháp này không áp dụng được cho các bài toán giải quyết các vấn đề thực tế thường có số ẩn số rất lớn .

Trong một số trường hợp , dựa vào sự phân tích các hệ số của hàm mục tiêu f , có thể chỉ ra được sự tăng lên hoặc giảm xuống của một số ẩn số theo hướng có lợi cho hàm mục tiêu từ đó suy ra phương tối ưu . Tất nhiên , phương pháp này không phải khi nào cũng sử dụng hiệu quả .

Ở thời điểm hiện nay , máy tính cá nhân được sử dụng phổ biến cũng như có nhiều chương trình hoặc phần mềm lập cho máy tính để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính nên việc xây dựng một phương pháp vạn năng cho tất cả các bài toán Qui hoạch tuyến tính cần thiết . Ðó chính là phương pháp đơn hình và phương pháp đơn hình mở rộng được trình bày ở mục sau . Sử dụng phương pháp đơn hình , độc giả có thể tự thiết kế , viết chương trình theo ý mình để giải bài toán Qui hoạch tuyến tính trên máy tính . Các chương trình giải bài toán Qui hoạch tuyến tính trên máy tính hiện có đều sử dụng phương pháp này (xem [ 3 ] và [ 5 ] ).

Có nhiều hình thức trình bày cơ sở lý thuyết cho phương pháp đơn hình : ma trận ( xem [ 2 ] và [ 3 ] ) , cơ sở của không gian vectơ và tọa độ vectơ (xem [1]) hoặc phép khử (xem [ 4 ] ) . Mặc dù vậy , phần tính toán thực hành đều giống nhau . Phần trình bày sau đây kết hợp gữa phương pháp tọa độ vectơ để chặt chẽ về mặt lý thuyết và phép quay ( phép khử ) để thuận tiện về tính toán thực hành.

Ðịnh lí 1 cho thấy rằng chỉ cần xây dựng thuật toán giải cho bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc ( hoặc chuẩn tắc ) thì mọi bài toán tổng quát xem như giải được. Mặt khác , từ Ðịnh líï 5 và hệ quả của nó suy ra rằng chỉ cần tìm phương án tối ưu trong các phương án cực biên ( hữu hạn ) .

Phương pháp ( thuật toán ) đơn hình được xây dựng để tìm nghiệm cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc .

Nội dung chính của phương pháp đơn hình như sau :

1)- Ðưa bài toán về dạng chính tắc (chính tắc hóa bài toán) nếu cần . Cách làm cụ thể được trình bày khi chứng minh Ðịnh líï 1.

2)- Xây dựng một phương án cực biên xuất phát .

3)- Ðánh giá phương án cực biên đang có .

Nếu phương án tối ưu thì việc giải bài toán kết thúc .

Nếu phương án chưa tối ưu thì chuyển sang bước 4) .

4) -Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn phương án đang có , sau đó trở lại bước 3).

Thuật toán đơn hình được thể hiện bởi lưu đồ ( 3 -1) sau đây:

Chú ý rằng phương pháp đơn hình chỉ xét trên các phương án cực biên , mà tập hợp các phương án cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính là hữu hạn ( hệ quả Ðịnh lí 4 ) do đó thuật toán đơn hình kết thúc sau hữu hạn bước .

Sau đây chúng ta lần lượt phân tích chi tiết các bước trong thuật toán đơn hình với giả thiết bài toán đã được chính tắc hóa.

I.  XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN TOP

Xây dựng phương án cực biên của bài toán Qui hoạch tuyến tính là giải hệ phương

trình tuyến tính trong điều kiện ràng buộc bắt buộc bằng phép quay biến dạng , sao cho trong công thức nghiệm , các số hạng tự do không âm .

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Ðể giải hệ phương trình ràng buộc bắt buộc bằng phép quay biến dạng, ta biến đổi bài toán ( 3-2 ) thành bài toán tương đương ( 3-3 ) :

 

( 3-8 ) 

 

II.  ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN TOP

III.  XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI TOP

 

CHƯƠNG 1 :   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

BÀI 4:   PHƯƠNG PHÁP HÌNH ĐƠN MỞ RỘNG

I. BÀI TOÁN M   II. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI PHA

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

BÀI 4:   PHƯƠNG PHÁP ĐƠN MỞ RỘNG

Bài toán ( 3-12 ) cho thấy rằng , nếu hệ phương trình tuyến tính trong điều kiện ràng buộc của bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có đủ m vectơ đơn vị

Có hai bài toán mở rộng từ bài toán gốc : bài toán M và bài toán phụ pha thứ nhất của phương pháp đơn hình hai pha .

I.  BÀI TOÁN M (Phương pháp đánh thuế) TOP

Bài toán M được xây dựng từ bài toán gốc như sau :

Qui tắc tính toán các biểu thức chứa M được cho trong bảng ( 4-3 ) với a,b,c,d là các số thực tùy ý :

Từ các kết quả trên , ta có phương pháp đơn hình mở rộng để giải bài toán gốc thông qua bài toán M như sau :

Bước 1 - Xây dựng phương án cực biên của bài toán M .

Nếu bảng đơn hình có dấu hiệu vô nghiệm hoặc phương án cực biên đang có tối ưu thì việc giải bài toán M kết thúc . Ngược lại ,chuyển sang bước 3 .

Bước 3 - Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn .

Cách xác định tâm quay được thực hiên như phương pháp đơn hình đã biết Quay lại bước 2 và tiếp tục cho đến khi kết thúc .

Khi cải tiến phương án , nếu một ẩn giả được chuyển lên vị trí biến độc lập thì loại bỏ cột tương ứng ra khỏi bảng đơn hình .

Sau khi giaií xong bài toán M , ta có một trong các tình huống sau đây và từ đó suy ra kết quả cho bài toán gốc :

II.  BÀI TOÁN  QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI PHA TOP

Bước 2 - Ðánh giá phương án cực biên đang có của bài toán phụ

Sử dụng dấu hiệu tối ưu đối với hàm g để đánh giá phương án cực biên đang có . Nếu bảng đơn hình có dấu hiệu vô nghiệm hoặc phương án cực biên đang có tối ưu thì kết thúc pha thứ nhất . Ngược lại , chuyển sang bước 3 .

Bước 3 - Xây dựng phương án cực biên mới tốt hơn phương án đang có

Cách xác định tâm quay để thực hiện phép quay biến dạng đã dược trình bày trong phương pháp đơn hình .Thực hiện phép quay biến dạng , thu được PA cực biên mới . Quay lại bước 2 và tiếp tục quá trình cho đến khi kết thúc .

Sau khi giaií xong bài toán phụ , cũng là kết thúc pha thứ nhất , ta được một trong các tình huống sau đây :

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 TOP

CHƯƠNG 2 :   BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

BÀI 1: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

I. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU KHÔNG ĐỐI XỨNG II. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU ĐỐI XỨNG

III. BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT

BÀI 2:   CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

BÀI 3:   ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

I. KIỂM TRA TÍNH TỐI ƯU CỦA MỘT PHƯƠNG ÁN II. Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

BÀI TÂP CHƯƠNG 2

Lý thuyết đối ngẫu là một trong những công cụ hữu hiệu của Toán học nói chung . Nhiều mệnh đề Toán học được suy ra từ mệnh đề đã biết nhờ qui tắc đối ngẫu mà không cần chứng minh .

Bài toán Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu là bài toán được thành lập từ một bài toán Qui hoạch tuyến tính gốc cho trước , có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán gốc . Nhiều khi , việc giải bài toán gốc được thực hiện dễ dàng thông qua việc giải bài toán đối ngẫu của nó , đặc biệt là đối với các bài toán Qui hoạch tuyến tính có nhiều ẩn số nhưng lại có ít điều kiện ràng buộc 

BÀI 1:  BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU TOP

Chúng ta sẽ lần lượt xây dựng bài toán đối ngẫu của các bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng đặc biệt ( dạng chính tắc , dạng chuẩn tắc ) và cuối cùng là của Qui hoạch tuyến tính tổng quát .

I.  BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU KHÔNG ĐỐI XỨNG TOP

II.  BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU ĐỐI XỨNG TOP

III.  BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẨU TỔNG QUÁT TOP

Dựa vào qui tắc ( 1-15 ) ta thấy rằng bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chuẩn tắc cũng là bài toán dạng chuẩn tắc . Vì vậy cặp bài toán dạng chuẩn tắc và bài toán đối ngẫu của nó được gọi là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng .

BÀI 2:  CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU TOP

Mối liên hệ giữa bài toán Qui hoạch tuyến tính gốc và bài toán đối ngẫu của nó được thể hiện trong các Ðịnh lí đối ngẫu sau đây .

Ðịnh lí 1 Cho bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát ( D , f ) và giả sử bài toáïn Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu của nó là (E , g ) . Khi đó, bài toán đối ngẫu của bài toán ( E , g ) là bài toán ( D , f ) .

Như vậy , nếu thành lập bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu . Ðịnh lí 1 được chứng minh đễ dàng dựa vào qui tắc thành lập bài toán đối ngẫu và các mũi tên hai chiều trong ( 1-15 ) .

Bài toán Qui hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng chính tắc (Ðịnh lí 1 Chương I ) , mặt khác , Ðịnh lí 1 Chương II cho thấy nếu thành lập bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì được bài toán gốc ban đầu , vì vậy , chỉ cần chứng minh cho trường hợp bài toán gốc dạng chính tắc .

Phần chứng minh chi tiết xem [ 1 ] hoặc [ 3 ] .

Có thể viết phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu dựa vào bảng đơn hình giải bài toán gốc dạng chính tắc theo qui tắc thực hành sau đây .

BÀI 3:  ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

I.  KIỂM TRA TÍNH TỐI ƯU CỦA MỘT PHƯƠNG ÁN TOP

II.  Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TOP

Nguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu có tính " đối kháng " , nghĩa là điều kiện ở bài toán này " chặt chẽ " thì điều kiện tương ứng ở bài toán kia " lỏng lẻo " hơn .

Chẳng hạn , tương ứng với ràng buộc dấu = trong bài toán gốc là sự tự do về dấu trong bài toán đối ngẫu và ngược lại .

Trong Ðịnh lí 4 ( Ðịnh lí về độ lệch bù ) , nếu thành phần của phương án tối ưu của bài toán này dương ( > 0 ) thì điều kiện ràng buộc tương ứng của bài toán kia phải là dấu bằng ( = ) .

Tính chất đối ngẫu nói trên được ứng dụng trong việc phân tích các bài toán kinh tế và được minh họa bởi ví dụ sau đây .

Bây giờ , ta xét bài toán khác đặt ra đối với xí nghiệp , đó là bài toán mua nguyên liệu dự trữ cho việc sản xuất các sản phẩm nói trên .

BÀI TẬP CHƯƠNG II TOP

CHƯƠNG 3 :   BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

BÀI 1:  BÀI TOÁN VẬN TẢI

I. MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI II. BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẢNG

III. Đ IỀU KIỆN CÓ NGHIỆM

BÀI 1:  BÀI TOÁN VẬN TẢI

I.  MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI TOP

II.  BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẢNG TOP

III.  ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM TOP

CHƯƠNG 3 :   BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

BÀI 2:  CHU TRÌNH VÀ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

I. CHU TRÌNH

II. PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI

I.  CHU TRÌNH TOP

Cho bài toán vận tải dạng bảng kích thước m x n. Một tập hợp các ô có thứ tự được gọi là một dây chuyền nếu:

- Hai ô liên tiếp cùng dòng hoặc cùng cột.

- Ba ô liên tiếp không cùng dòng hoặc cùng cột.

Một dây chuyền khép kín, nghĩa là ô cuối cùng dòng hoặc cùng cột với ô đầu tiên được gọi là một chu trình.

Chú ý rằng mệnh đề ngược lại của Ðịnh lí 3 không đúng. Số m+n-1 chỉ là dấu hiệu cần nhưng không phải là điều kiện đủ để xét tập hợp các ô có chứa chu trình hay không.

II.  PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI TOP

Hệ quả Một phương án cực biên có không quá m+n-1 ô chọn hay một phương án có từ m+n ô chọn trở lên thì không phải là phương án cực biên .

Mệnh đề ngược lại không đúng . Số ô chọn không quá m+n-1 chỉ là dấu hiệu cần nhưng không đủ để xét một phương án có phải là cực biên hay không .

CHƯƠNG 3 :   BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

BÀI 3:  PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

I. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN II. QUI O Ô CHỌN

III. Đ ÁNH GIÁ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN

IV. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI

Bài toán vận tải là bài toán Qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc nên có thể giải bằng phương pháp đơn hình ( Chương I ) .Tuy nhiên , bài toán vận tải thường có số ẩn rất lớn ( mxn ) và có cấu trúc đặc biệt : ma trận các hệ số hầu hết bằng 0 ,do đó , chúng ta sẽ không giải bài toán theo phương pháp đơn hình đã biết mà xây dựng một phương pháp giải đơn giản hơn , đó là phương pháp (thuật toán ) phân phối .

Nội dung chính của phương pháp phân phối gồm các bước như sau :

I.  XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN TOP

Có 3 phương pháp xây dựng phương án cực biên thường sử dụng là phương pháp góc Tây - Bắc , phương pháp ưu tiên cước phí nhỏ nhất và phương pháp xấp xỉ Fogen .

 

1 - Phương pháp góc Tây - Bắc

a)   - Phân phối tối đa vào ô góc Tây - Bắc của bảng ( góc trên bên trái ) .

b)        - Tính lại lượng hàng ở dòng và cột vừa tham gia phân phối . Tạm thời loại dòng hoặc cột có lượng hàng còn lại bằng 0 ra khỏi quá trình phân phối . Quay lại bước a)- ở trên và tiếp tục phân phối cho đến hết .

 

Sau đây là ví dụ minh họa phương pháp xây dựng phương án cực biên.

 

Ví dụ Cho bài toán vận tải dạng bảng kích thước 4 x 5

Các số ai được viết ở cột đầu tiên , các số bj được viết ở dòng đầu tiên . Các dòng và cột này không tính vào kích thước bài toán . Ma trận cước phí [ ci j ] đưọc viết nhỏ hơn ở phía dưới mỗi ô .

2 - Phương pháp ưu tiên cước phí nhỏ nhất

a) - Phân phối tối đa vào ô có cước phí nhỏ nhất của toàn bảng .

b) - Tính lại lượng hàng ở dòng và cột vừa tham gia phân phối . Tạm thời loại dòng hoặc cột có lượng hàng còn lại bằng 0 ra khỏi quá trình phân phối . Quay lại bước a)- ở trên và tiếp tục phân phối cho đến hết .

3 - Phương pháp xấp xỉ Fogen

a)- Tính độ lệch của các dòng [ cột ] bằng hiệu số giữa cước phí nhỏ thứ nhì và cước phí nhỏ nhất trong dòng [ cột ] đó .

b)- Xác định ô trũng : ô có cước phí nhỏ nhất ở trên dòng và cột cùng có độ lệch lớn nhất . Phân phối tối đa vào ô trũng nếu có và chuyển sang bước d).

c)- Phân phối tối đa vào ô có cước phí nhỏ nhất ở trên dòng [ cột ] có độ lệch lớn nhất .

d)- Tính lại lượng hàng trên dòng và cột vừa phân phối . Loại bỏ dòng hoặc cột có lượng hàng bằng 0 khỏi quá trình phân phối . Quay lại bước a) và tiếp tục quá trình cho đến hết .

Trở lại bài toán ( 3-2 ) , ta xây dựng phương án theo phương pháp xấp xỉ Fogen .

Về mặt lí thuyết , có thể đưa ra các ví dụ cho thấy rằng một phương án được xây dựng theo một phương pháp nào đó ( góc Tây - Bắc , ưu tiên cước phí nhỏ nhất , xấp xỉ Fogen ) tốt hơn là phương án û được xây dựng theo các phương pháp còn lại .

Như đã nói ở trên , phương pháp góc Tây - Bắc thường được sử dụng khi lập trình giải trên máy tính , vì sự đơn giản trong việc xác định ô phân phối và quá trình điều chỉnh phương án để có phương án tối ưu được máy tính thực hiện tự động với thời gian không đáng kể .

Các bài toán kích thước không lớn được giải bằng tay thường sử dụng hai phương pháp còn lại khi xây dựng phương án ban đầu .

Ðịnh lí 5 Phương án thu được theo nguyên tắc phân phối tối đa là phương án cực biên .

Ðộc giả có thể tự chứng minh chi tiết bằng phản chứng rằng nếu phương án thu được không phải là cực biên thì tập các ô chọn sẽ chứa một chu trình (Ðịnh lí 4 ) , suy ra tồn tại ít nhất một ô ( thực ra là tất cả các ô ) thuộc chu trình không được phân phối tối

đa , mâu thuẫn .

II.  QUI O Ô CHỌN TOP

III.  ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN (Dấu hiệu tối ưu) TOP

IV.  XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN MỚI TOP

 

 

 

 

 

 

CHƯƠNG 3 :   BÀI TOÁN VẬN TẢI VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI

BÀI 4:  MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI ĐẶC BIỆT

I. BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU - PHÁT II. BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

I.  BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU - PHÁT TOP

II.  BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM TOP

Ðịnh lí 8

Bài toán vận tải có ô cấm có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại phương án cực biên trong đó ô cấm là ô loại .

Có thể xây dựng được phương án xuất phát thỏa mãn Ðịnh lí 8 cho bài toán ( 4-8 ) bằng cách phân phối tối đa vào các ô ( 1 , 2 ) và ( 1 , 3 ) trước rồi mới phân phối vào các ô còn lại , do đó bài toán ( 4-8 ) có nghiệm ( 4-13 ) . Ngược lại , không thể xây dựng được một phương án như vậy cho bài toán ( 4-14 ) bởi vì dòng thư ï hai phải phân phối hàng vào một trong hai ô cấm , do đó bài toán ( 4-14 ) vô nghiệm .

BÀI TẬP CHƯƠNG III TOP

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1 ]- Doãn Châu Long , Qui hoạch tuyến tính và Lý thuyết đồ thị hữu hạn , NXB Giáo dục , Hà Nội , 1982 .

[ 2 ]- Ðặng Văn Uyên , Qui hoạch tuyến tính , NXB Giáo dục , Hà Nội , 1989 .

[ 3 ]- Nguyễn Ðức Nghĩa , Tối ưu hóa ( Qui hoạch tuyến tính và rời rạc ) , NXB Giáo dục , Hà Nội ,1997 .

[ 4 ]- Trương Văn Khảng , Qui hoạch tuyến tính , ÐH Kinh tế TP Hồ Chí Minh , TP Hồ Chí Minh , 1987 .

[ 5 ]- Bùi Thế Tâm , Những chương trình mẫu C trong kinh tế chạy trên DOS và UNIX ,Trung tâm khoa học tự nhiên và Công nghệ quốc gia ,Hà Nội ,1993.

[ 6 ]- A.S. Solodovnicov , Nhập môn Ðại số tuyến tính và Qui hoạch tuyến tính ( Bản dịch tiếng Việt ) , NXB Giáo dục , Hà Nội ,1979 .