1.- Calcular el gasto en la tubería, mostrada en la figura, sin considerar las pérdidas de energía.

Solución:

P1γ

+Z1+V 12

2g=

P2γ

+Z2+V 22

2g+h12

Por lo que respecta a calcular la velocidad, el problema consiste en seleccionar adecuadamente la fórmula para el coeficiente de fricción, y como se nos da viscosidad se

usara Darcy.

Ahora bien el coeficiente de fricción se calculara con f = 64/NR debido a que se supone que es un flujo laminar es decir con numero de Reynolds menor de 2000. Por otra parte el NR se calculara con la formula NR = (VD) / . Entonces sustituyendo en nuestra ecuación de pérdidas lo pasado tenemos que:

h12=P1−P2

γ=200

kgm2

1000kg

m3

=0 .2 mts de columna de agua

fLD

V 2

2g=0.2 mts

64Nr

LD

V 2

2 g=0 .2

64VDν

LD

V 2

2g=0 .2=64 ·V·L · v

2 g · D2

Sustituyendo valores obtenemos

Despejando la velocidad no queda que es V=4.2x10-4 m/s o bien 0.042 cm/s.

Por último el gasto y el número de Reynolds se calculan con V=0.042 cm/s.

64 (1.33 x10−6 )(70 )V(0.8 x10−3 )2(19 .62 )

=0 .2

Q=A ·V=(0 .082 · π4 ) ·0 .042=0 .0002cm3 /s

.

Nr=VDυ

=(0 .042)(0 .08)0.0133

=0 .2526

7.- En la obra de toma mostrada, determinar el gasto en la tubería así como la presión en el punto B. la tubería es nueva de acero soldado; las longitudes de los diferentes tramos son: L1=50m ,L3=1000m , L4=2400m , L5=600m.El diámetro de la tubería es D=0.40m y el radio de las curvas igual a 4D.

Solución:

ρ = γg

= 900 Kg ./m3

9 .81 m / seg2= 91 .743 Kg . · seg 2 .

m4

Calculamos las viscosidades cinemáticas de entrada y salida ν = μ

ρ

νEntrada = 0 .00285491 .743

= 3 .1108 x 10−5m2

seg .

νSalida = 0 .01019391 .743

= 1.111 x 10−4 m2

seg .

Obtenemos el coeficiente de

fricción de entrada y de salida

f = 64Nr

= 64V·Dν

= 64 νV·D

Debido a que la viscosidad va cambiando junto con la trayectoria, nos vemos obligados a

usar diferenciales para obtener las pérdidas en el tubo, sin olvidar que h = f

LD

V 2

2g :

h = ∫0

3 .65

dhf = ∫0

3.65

g(L ) dLD

V 2

2g

h = ∫0

3.65 (0 .08703+0 .06132 · L ) (1.83 )2

(0.0125 ) (19 .62 )dL

h = 9.9153 mts

Q = A V = ( 1.2272 x 10-4 ) (1.83) = 2.2457x10-4 m3/seg.

f Entrada = 64 ·3 .1108 x 10−5

1 .83 ·0 .0125= 0 .08703

f Salida = 64 ·1 .111 x 10−4

1.83 ·0 .0125= .31084

f = g (L) = f Entrada + [( f Salida - f Entrada) / 3.65 ] L

13.- Un deposito B de nivel variable es alimentado, mediante un conducto de 400m de longitud y 200mm de diámetro, por otro recipiente A de nivel constante. Por otra parte, el deposito B alimenta otro conducto de 200m de longitud, y diámetro desconocido, que descarga al ambiente a la elevación de 0.0m. Los conductos son de fierro fundido. Determinar el diámetro desconocido para que el nivel en B permanezca constante a la elevación de 4.0m.

Solución:

Planteando una Bernoulli obtenemos que las pérdidas son:

h = 64V · Dν

LD

V 2

2 g

Tomando en cuenta que h = L y simplificando todo lo anterior resulta:

hL

=1= 64 · ν ·V

2 · g ·D2

En donde no conocemos la velocidad, pero si sabemos que Nr = 1800 y por lo tanto la velocidad la dejamos en términos del Nr.

Nr = V ·Dν

; V = Nr ·νD

= 1800 νD

Sustituyendo la velocidad en la ecuación anterior tenemos:

1 = (115200 v ²) / (2 · g · D3)

Despejando el diámetro tenemos

D = 2.36 x 10-3 m

D = 0.236 cm

19.- Determinar el diámetro constante de un conducto rectilíneo A B, el cual se derivan gastos de 25 y 30 Lt/seg en C y D, respectivamente; asimismo se tienen, del punto D al B, derivaciones uniformes de Lt/seg, a cada metro de longitud. En el punto B la presión debe ser por lo menos de 15m de columna de agua y esta obturado por una tapa ciega. El factor de fricción de la tubería es f=0.02.

Solución:

P1γ

+Z1+V 12

2g=

P2γ

+Z2+V 22

2g+h12

Dónde: Z1 = Z2, V1 = V2

h12 =p1−p2

γ

En este problema el fluido es el aire y, por lo tanto, la única ecuación de pérdidas que podemos utilizar es la de Darcy

h12 =p1−p2

γ= f

LD

V 2

2g=f

L4 RH

V 2

2 g

Donde debemos reemplazar el diámetro por el radio hidráulico (RH), D = 4 RH.

ADucto= (1.22) (0.61) = 0.744 m2 Perímetro = 2 ( 1.22 + 0.61 ) = 3.66 m

4RH = 0.852

V = QA

=(274m3/min . )

(0 .744m2)(60 seg )= 6 .13m /seg .

La viscosidad cinemática del aire a 15ºC es v = 16 x 10-6

Nr = VD / v = V( 4RH ) / v = [(6.13) (0.852)] / 16 x 10 –6 = 326,422.5

Obtenemos el coeficiente de fricción usando el valor de f para tubo liso

f = 0 .3164

Nr0 . 25= 0 .3164

326422 .50 .25= 0 .0132

A continuación calculamos las pérdidas:

h12 = 0 .01321000 .852

(6 .14 )2

2g= 2 .98 mts

( P1 - P2 ) / AIRE = 2.98 mts

P1 - P2 = (1.225 Kg/m3)(2.98mts)= 3.65 Kg/m2

P1 - P2 = 3.65 Kg/m2

Para poder dar solución al inciso b, se tiene lo siguiente, el tubo esta horizontal, por lo tanto la diferencia de presiones serían las pérdidas, y si las pérdidas se calculan por Dary nos queda la siguiente ecuación,

Como se debe de tener el mismo gasto y las mismas perdidas tenemos que

Donde se conoce, el gasto, las pérdidas, la longitud y el coeficiente de fricción seria,

Por ultimo sustituyendo y resolviendo para D obtenemos que,

h12=( 0.0826 ) f LQ2

D5

h12=P1−P2

γ=f

LD

V 2

2g

f=0 .3164

NR0 .25⇒NR=

VDυ

=4Qπ ·υ ·D

f=0 .3164

(4Qπ ·υ · D )0 .25

h12=

( 0.0826 )( 0 .3164

( 4Qπ ·υ ·D )

0.25 ) L ·Q2

D5

2 .98=

(0 .0826 )( 0.3164

( 4 (4 .56 )

π (16 x 106 )D )0.25 ) (100 )(4 .56 )2

D5

26.- Determinar el gasto que transporta cada una de la tubería, del sistema mostrado en la figura, así como la pérdida total de A a B. Las longitudes y diámetros son: L1=L5=750m; L2=L4=500m; L3=300m;D1=D5=0.50m;D 2=D4=0.40m;D3=0.60m.

Solución:

h=k Q2

h1=fLD

v2

2 g

ϵD

=0.015 cm15cm

=0.001

Calculando la velocidad:

v= 4Qπ D2=

4(0.06)π (0.15)2

=3.40m / s

v2

2g=0.59m

Calculando el número de Reynolds:

NR= vDν

=3.40 (0.15)1∗10−6m2/s

=5.1∗105

Con los valores del número de Reynolds y rugosidad relativa, anteriormente calculados, determinamos el coeficiente de fricción por el diagrama de Moody o por la fórmula de Altshul:

λ=0.11( ϵD + 68NR )

0.25

(3)

Cuando 104≤ NR≤5∗105

λ=0.11( 0.01515+ 685∗105 )

0.25

=0.0205

La perdida por fricción entre dos secciones i y j, dependerá de la longitud del tramo entre ellas esto es:

hp i− j=λLi− j

Dv2

2g=0.0205

Li− j

0.15(0.59 )=0.0806 Li− j

Las longitudes de los tramos de las tuberías son:

L2−3=50m ,L4−5=10cos45

=14.14m, L6−7=50m.

Y las correspondientes perdidas por fricción son:

hp2−3=0.0806 (50 )=4.03m

hp4−5=0.0806 (14.14 )=1.14m

hp6−7=0.0806 (50 )=4.03m

En todos los sistemas hp=9.20m

Las perdidas locales se calculan utilizando la ecuación

hp local=kv2

2g (4)

Los valores de K a utilizar son:

ACCESORIO K

ENTRADA NORMAL 0.50

CODO DE 45 0.40

SALIDA NORMAL 1.00

Para la entrada, hpentrada=0.50 (0.59m )=0.30m .

Para cada codo de 45, hpentrada=0.40 (0.59m )=0.24m.

Para la salida, hpentrada=1.00 (0.59m )=0.30m .

En total para las pérdidas locales;

hp local=0.30+2 (0.24 )+0.59=1.37m

Para calcular el valor de H, altura necesaria, se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 8, tomando como DATUM la superficie del nivel del líquido del depósito de llegada (o sea el punto 8), se obtiene:

H=∑ h p friccion+∑ hplocales

numéricamente seria:

H=9.20m+1.37m=10.57m

Las cargas totales en cada punto indicado, se utiliza la ecuación de la energía de cargas totales entre dos secciones consecutivas, comenzando con los puntos 1 y 2 hasta llegar al punto 8.

Entre 1 y 2, solo hay pérdidas por entrada:

H 2=H 1−hpentrada=10.57−0.30=10.27m

Entre 2 y 3, solo hay pérdidas por fricción:

H 3=H 2−hp2−3=10.27−4.03=6.24m

Entre 3 y 4, solo hay pérdidas entre un codo:

H 4=H 3−hpcodo=6.24−0.24=6m

Entre 4 y 5, solo hay pérdida por fricción:

H 5=H 4−hp4−5=6−1.14=4.86m

Entre 5 y 6, solo hay pérdida por otro codo:

H 6=H 5−hpcodo=4.86−0.24=4.62m

Entre 6 y 7, solo hay pérdida por fricción:

H 7=H 6−hp6−7=4.62−4.03=0.59m

Entre 7 y 8, solo hay pérdida por salida:

H 8=H 7−hpsalida=0.59−0.59=0.00m

Para calcular las cargas piezométricas, despejamos el valor de h de la ecuación (2), hay que restarle la carga de velocidad de la carga total de cada punto. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

PUNTO H(m) v2/2 g h(m)

1 10.57 0.00 10.57

2 10.27 0.59 9.68

3 6.24 0.59 5.65

4 6.00 0.59 5.41

5 4.87 0.59 4.27

6 4.62 0.59 4.03

7 0.59 0.59 0.00

8 0.00 0.00 0.00

h=H− v2

2g

La grafica de las líneas de la rasante de energía y la piezométrica se deja al estudiante.

31.- Un tubo principal, que transporta un gasto Q=25Lt/s, tiene una bifurcación de una tubería paralela de 50m de longitud y diámetro d 100mm, con una válvula intermedia cuyo coeficiente de perdida es K v=3.El tubo principal tiene un diámetro de 50mm y una longitud de 30m en el tramo de la bifurcación. Si el factor de fricción del tubo es f 1=0.04 y el de la bifurcación f 2=0.03, calcular el gasto que circula por cada uno, así como la diferencia de cargas piezometricas entre los dos nudos.

Solución:

h f=10.647 (QC )1.852

L (D )−4.87

z1+p1γ

+ v2

2 g=z2+

p22 g

+ v2

2 g+H T+hl

H= v2

2g+HT +hl−

p1γ

Q=35 LS

1m3

1000L=0.035m3/ s

Q=v . A v1QA

=0.035m3 /s

0.0078m2 =4.48m /s

A1=π D2

4=3.1416 (0.1m)2

4=0.0078m2

A2=3.1416 (0.15m)2

4=0.0176m2

v2=0.0035m3

0.0176m2=1.98m /s

hp¿=k . v2

2 g=1(4.48m /s )2(9.8m /s2)

=1.024

hp ls=k . v2

2 g=0.34 (4.48m /s )2(9.8m / s2)

=0.348

hf 2−3=10.647 ( 0.0035m3/s120 )

1.852

(200)(0.1m)−4.87=44.79

hf 4−5=10.647( 0.0035m3/ s120 )

1.852

(275)(0.15m)−4.87=8.54

hf 6−7=10.647( 0.0035m3/s120 )

1.852

(25)(0.15m)−4.87=0.777

ht=1.024+0.348+44.79+8.54+0.777=55.48

H=(v2)

2

2 g+H t+hl−

p1γ

H=(1.98)2

2(9.8m2/ s)+30+55.48−800,000

9810=4.14

P=8kg/cm2=800,000N /m2

800,000N /m2

9810=81.54+4.14=85.68

H=H−hp

H 2=85.68−1.024=84.656

H 3=84.656−44.79=39.866

H 4=39.866−0.348=39.51

H 5=39.518−8.549=30.969

H 6=30.969−30=0.969

H 7=0.969−0.777=0.19

h1=H i−v2

2g

v12

2g=¿¿

h2=84.656−1.024=83.624

h3=39.866−1.024=38.83

h4=39.518−1.024=38.48

h5=30.969−0.20=30.769

h6=0.969−0.20=0.7

h7=0.19−0.20=0

37.- En la conducción mostrada se pide calcular los gastos Q2 siQ3, si h1=1m; L2=300m, L3=1000m;D2=0.30m ,D3=0.25m; f 2=f 3=0.0175 ; el tubo 1 es

horizontal y el gasto Q1=130Litrosseg

.

Solución:

5=λ1500.10

v12

2 g

v1=0.043

√ λ1

El número de Reynolds correspondiente es

R1=0.101∗10−6 V 1

0.443¿105

√ λ1

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

1

√ λ1=−0.86∈( 0.00123.7

+2.51

0.443¿105 )=6.7701

√ λ=−0.86∈( 1

3.7 ( Dε )+2.51R√ λ )

λ1=0.0218

la velocidad y el caudal de la tubería 1 seria:

v1=3m /s

Q1=π4

(0.10 )2 (3 )=23.56 ls

Para la tubería 2. (hp=5m¿

5=λ21000.15

v22

2 g

v2=0.383

√ λ2

El número de Reynolds correspondiente es

R2=0.151∗10−6 V 2=

5.745∗104

√ λ2

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

1

√ λ2=−0.86∈( 0.0083.7

+2.51

5.745¿104 )=7.0991

√ λ=−0.86∈( 1

3.7 ( Dε )+2.51R√ λ )

λ2=0.0198

La velocidad y el caudal de la tubería 2 seria:

v2=2.72m /s

Q2=π4

(0.15 )2 (2.72 )=48.05 ls

Para la tubería 3. (hp=5m)

5=λ2750.05

v32

2 g

v3=0.256

√ λ3

El número de Reynolds correspondiente es

R3=0.051∗10−6

V 3=1.278∗104

√ λ3

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

1

√ λ3=−0.86∈( 0.00243.7

+2.51

1.278¿104 )=6.09851

√ λ=−0.86∈( 1

3.7 ( Dε )+2.51R√ λ )

λ3=0.0270

La velocidad y el caudal de la tubería 3 seria:

v3=1.56m /s

Q3=π4

(0.05 )2 (1.56 )=3.06 l /s

El gasto original seria:

Q0=Q 1+Q2+Q3=23.56+48.05+3.06=74.67 l / s

Según la fórmula de Hazen William

Utilizando la ecuación de Hazen- William los ejercicios de aplicación se le deja al lector

hp=10.67(QC )1.852 L

D4.87

43.- Calcular la presión que debe leerse en el manómetro M, de modo que el nivel de la superficie libre del recipiente A sea el mismo que el del recipiente B;

asimismo, Q2=5Lseg

.Utilizar los siguientes datos:

L1=75m;D 1=75mm;L2=L3=100m;D2=D 3=50mm;H=10m , f 1=f 2=f 3=0.03 y K v=0.15 .

Solución:

k= 8 λLg π2D5 ;Q√ hp

k

hp=cota−Z j

hp=200−150=50hp=120−150=−30

NR √λ=(2g D3

γ2hpL )

0.5

NR √λ=(2( 9.8ms2 )0.453

(1∗106 )2∗50

10000 )0.5

=9.45∗104

1

√ λ=−0.87 ln( ε /D3.7 + 2.51

NR √ λ )1√ λ

=−0.87 ln(1.33∗10−4

3.7+ 2.519.45∗104 )=8.325

λ=( 18.325 )

2

=0.01443

k= 8 λL

g π2D5

k=8 (0.01443 )(10000)9.8 (π 2)(0.45)5

=646.25

Q√ hpk

63.En la figura la válvula F está cerrada, lo que produce na perdida de carga de 1m cuando el caudal que circula a través de ella es de 28 l /s. ¿Cuál es la longitud de la tubería de 25m que parte del depósito A?

0,6m

4,55m

φ=25cmC1=100

300m ,φ30 cmC1=80

1500m ,φ300 cmC1=120

6m

E

D A

Solución:

1) Para DB el caudal Q=28l / sPara C1=80∧C1=100⇒Q=(100 /28 )28=35 l /s y S30=1,5m /1000m

2) La pérdida de carga de Da B=1,50 (300/1000 )+1m=1,45m

Lo que da una elevación de la línea de alturas plezométricas en B de 4,55m (tamaño elevación en E=0)

Para BE, S36=(4,55−0)/1500=3,03m /1000m yQ=52 l /s

Para c1=100∧ c1=120⇒Q=62,4 l / s

3) Para AB, el caudal Q=62,4−28=34,4 l / s y S25=3,50m /1000m (monograma de caudales).

Por tanto de S=hL, L=h

s=( 0,853,50 )1000=248m

64.En el circuito de tubería de la figura, la válvula A esta parcialmente abierta, lo que produce una pérdida de carga de 1,00 m cuando el caudal a través de ella es de 28 litros/segundo. Hallar la longitud de la tubería 1 y dibujar la línea piezométrica de las tuberías indicando la presión en 1.

f 1=0,037 L1=? D1=250m.

f 2=0,026 L2=300mD2=300mm.

f 3=0,018 L3=1.500mD 3=300mm.

6,4 m.

7 m.

1 m.

D1

D2

2 m.

I

Válvula A2 m.

3 m.

1

3

2

Solución:

Por la tubería 2 circulan 28 litros/seg. Luego las pérdidas de carga que originan serán:

∆ h2=8 f 2Q3

2

π2 g D25 L2=

8x 0,026π2g

0,0282

0,3005=0,21m

Las pérdidas de carga total entre los puntos 1 y el depósito 2 serán:

∆ h2=1+0,21=1,21mLuego la cota plezométrica del punto I será:

z1+P1y

=7−1,21=5,79m

Y la energía para llevar agua de I hasta D-3 será:∆ h2=5,79−1=4,79m

Con esta energía el caudal que circula por l tubería 3 será:

∆ h2=4,79=8 f 3Q3

2

π2 g D35 L2=

8x 0,018π2g

Q32

0,30051500⇒ 4,79=918,1Q3

2

Q3=72,23 litros /seg .

Consecuentemente, el caudal que circula por la tubería I será:

Q1=Q2=Q3=72,23−28⇒Q1=44,23 litros /seg .

Y la energía disponible para que circule este caudal será:

6,40−5,79=0,61m .Luego:

∆ h1=0,61=8 f 1Q1

2

π2g D15 L1=

8 x 0,037π 2g

44,232 .10−5

0,255L1

0,61=6620,87.10−6L1L1=99,13m

La energía en el punto I será:P t

y=5,79−2

P t

y=3,79m.c .a .

D3

6,4 m.

7 m.

1 m.

71.En el sistema de labores en paralelo de la figura, la altura de la presión en A es 36mde agua y la altura de la presión en E de22m de agua. Suponiendo que las tuberías están en un plano horizontal, ¿Qué caudal circula por cada una de las ramas en paralelo?

Solución:

1) Calculo de la altura plezométrica entre A y E:h=36m−22m=14m

Se desprecia los pequeños valores de diferencia de las alturas de velocidad.

2) Calculo de los caudales, a partir de diagrama de caudales (fuente: Sotelo A)

S30=143600

=3,90m100m

Q30=58 l /s Eqivalente↔

42%

1 m.

D1

D2

2 m.

I

5,79 m.

Válvula A

360m, 30 cm ø, C1=100

1200m, ø 20 cm, C1=100

240 m, ø 15 cm, C1

E

Q

B

D

A

Q

S20=141200

=11,70m100m

Q20=35 l /s Eqivalente↔

25,4%

S25=142400

=5,85m100m

Q25=45 l /s Eqivalente↔

32,6%

∑ ¿100%

↔QT=Q30+Q20+Q25=58+35+45=138l / s

74. Para el sistema mostrado en la figura:

a. ¿Cuál es el caudal si la caída de la línea de alturas plezométrica entre A y B es de 60cm?

b. ¿Qué longitud de una tubería de 50cm(C1=120) es equivalente al sistema AB?

Solución:

a) Calculando las pérdidas de cargo entre W y Z, según el monograma de caudales.

S30=91500

= 6m1000m

↔Q30=(120100 )72=86,4 l / s(26,4%)

1500m ,φ80cm

C1=120

Z2400m ,φ=50cmC1=120C1=120

3000m ,φ80cmWA B

900m ,φ=40cm

C1=120

S40=9900

= 10m1000m

↔Q40=( 120100 )200=240 l /s (73,6%)

↔QT=Q30+Q 40=326,4 l /s (100%)

⇒ La perdida entre A y B=QT, según el monograma de caudales.

Q100=( 100120 )326,4=272 l /s

↔ De A a W, S60=2,6m, H 1=2,63000100

=7,8m(24%)

↔ De W a Z, ……… (el supesto )…………=9m(28%)

↔ De Z a B, S50=6,5m100m

, H 1=6,524001000

=15,6m(48%)

La pérdida de carga para (Q=326,4 l /s )=32,4m(100% )

Aplicando estos porcentajes a la perdida de carga de 60m, se tiene:

(H L)A−W (real)=60 (24% )=14,4m ,S60=14,43000

=4,8m /1000m

(H L)W−Z (real)=60 (28% )=16,8m

(H L)Z−B (real)=60 (48% )=28,8m ,S50=28,82400

=12m /1000m

b) Haciendo uso del anterior cálculo para el sistema AB, un caudal de 326,4 l / s se produce una caída en la línea de las alturas piezométricas de 32,4m.Para este caudal de 32,4 l / s en na tuberia de 50cm ,c1=120:

S50=6m1000m

=32,4¿ ⇒LE=5400m