home | digital technology center | college of science and...

35

Upload: others

Post on 30-Jan-2021

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • � � � � � � � ��� � � � � � �

    � � � ��� � � � � � � � � � � � �

    � � � � � ��� � �

    � ����� � ��� ����������! #" � �%$'& ����� � � �% ���

    ��( ���*) �� � ��+ � �%)�� ,"

    & � *- .0/�/ � � � 12� $3124 5 16�%� 4 /�7 � � �!� ���3�

  • 8 � � ( � ��+ 9 � ": ��) & �% �%) .

    8 9 10 11 121 7 ...2 3 4 5 6

  • 36

    26

    4645

    35

    2524

    6

    38

    4847

    37

    87

    17

    27

    34

    4241

    31

    21

    11

    1 5

    32

    4443

    33

    2322

    12

    3

    13

    28

    40

    5049

    39

    29

    1918

    30

    2 4

    14 15 20

    109

    16

  • ": & �%5 "; ( � � � �%� � (?"@� �� � )*$A� ( ��� )B��5 � ���*� ��� � & � )B�%C 4 �% $A� ��+- � � 5 � 4 5 D ���B) D 4 � � & "E( � � ( ���F� ��� " )B�� � D �%� � � ( � & ": & ����� " ��� )���5 � 5 � ) ��� � �%)� & � $'& & � & 4 5 " 5 � � � � �G� � ( ���- �% � � ": ��1 � $A�� ( � $A� ��4 �B)B�%� ( �%)>H � �& ">( � �� ��� � $ " ) " � � " $A� ": #" D ���%) ��+- � � 5 �%) IJ� & � $K& )B��5 � & "E( � $A�� ) �B4 $ �%� �(@" �G4 �%) D ��� �� � L>M3M HNM�M�M O " � � � )B& ��4 �G�- ���B$A� ��( � & ": & ����� ��� ��� ) � �� & ��� �3�*� ���

    �3� �*4 ����1

    9 4 �����%H LQP?R L

    ) ��+ S@M3M S H � � & ">( � �T� " �* �%� & ": & ���B� � ))B��5 � ���B� ��� " � �*4 ��� " 5 �� � & � - � � 5 �%)>HD 4 & ����� " ��� ) U� �G� 5 " � 5 � ) ��� � �%) & ": � � & ">( � D " ���%��� - �% � � ": �%� V

  • W IYX O Z 4 5 D ��� ��+ - � � 5 �%) X

    [ � � 5 � 4 5 D ��� & �������%5 I [ O .

    W IYX O 7 X��� � X " ) X \

    ��^]_�%$ 4 �B�%� D � " 4 )*) " � ` � � �% � ���

    [ ��� ( �%� D � " � " 5 " �*� " � � � � " " �������[ ��4 )B) � IFL>a3b�c O

  • d " � ��5 e D �%& "E( � �3� ��+ - � � 5 �%) .

    8 4 - - ��)��f@g@h;IYi � ) - � � 5 �QO j L��� � i k

    & �% �ml - �%$

    W IYX O Z - � � 5 �%) X 7 nop q

    ��� � q� �� & " �����B�3� ���B5 X rsut v�wyx_z " ) X \ H" � " $A�% � " � � � 5 �� & �������%5 1

    � �%5 " � - � & �%) � ) � 5 - � � �%) & ��ml - �%$ �%� ��������� ���*5 �%)

  • 9 4 ����� I 7 LQP:|�M � 7 LQP:a�M H 5 � U��(@": �%� D � "C 4 �%) c R@M O

    } I~O Z x

    Li

    LQO ��5 - 4 ,": U� �� " � 5 � & � � )I9 4 �����_ " $�� " 4 � � +y���*5 4 � " O

    S O 9 l " $ +y���B5 4 � " )

    } IS O Z x

    Li o Z

    W oc

    | O 4 $ U� �� " � �%C 4 ": U� ��} IF | O d Z e L% S |? ��

    } IY O Z L LSL| ��

  • % N >

    ; ¢¡ £ ¤¥;¦ §

    ¨© ª £ «

    ¨ ¬ ¨?® ¬¨

    @®_ª ¬ ¯F¯°¯

    £«

      ¨ ± ² ª ² §

    ³ µ´6¶;· ¸¹´º °m»¼½¾%F»° À¿ N >ÂÁ

    «¨ £ à Ä

    Å Æ*Ç Ç3ÈÊÉNÀË ; ¢¡ £

    «± NÀË   ¨ ± ² ª ¡ Ì ¨

    £«

    Í ² ª ¬ Î   ² ® ÊÏ

    £«

    ¨ ª ¬ Î   ¨ 3Ä

  • � �%5 " . I 7 L>a R@M O

    } I¹~O Z x

    Li Ð ~ Ñ Ð � I~O Ò L k

    8 & �Ó� �%� } I~O $ " D � $A�� U� 4 �%�" " ��� U� $ " �G��� � Ô Õ L:Ö " � & " ) " { �B) ���B� ��� - ���T� ": ~ Z L � �� & ���%) � � 4 � L31 ×Ø+

    Ù I~O Z W Ú ÂÛ oAÜ I~Ý@S O } I~O Ð & �% IY+J4 $ U� �� " � �%C 4 ": U� �� O

    Ù I~O Z Ù IFL ~O k

  • criticalline

    0 1/2 1

    critical strip

    complexs−plane

    ÞQ ß¡ £ à ² ªâá_®,ã  ¢¡*äKå ; ¢¡ £ à ² ªâá_® ã  ¢¡*äKå

    «  ¨ ± ² ª ² §çæ:è  ¢¡ Ì ¨ æ

    ÞQ ß¡ £ ÞQ  ¨ ± ¡ ÞQ ß¡ £ ÞQ é¡

  • W IYX O Z 4 5 D ��� ��+ - � � 5 �%) X 17 X�T� � X " ) X \ D � [

    W IYX O Z ` � IYX O ê

    ` � IYX ê O IYX x Û o ��� � X O

    � & ���B� ë �B4 ) � ( ��� & � �� � ��( �=" � ��������) ��+} I~O'H " �

    ` � IYì O Z íop î

    ��� � î k` � IYX O 7 X�T� � Xï ~ X \

    ð W IYX O ` � IYX O ð Z IYX x Û o ��� � X O k

  • "?� " ��4 $A�%� ( ��� �T{ $ "; º» ¨óÓ¨ ú óû uⶴº»¼µm» ¨ó å ö ¨õÀü

    ý ´6⶷ ò罼ʶ ¸ òÀGþ ¨óÀõmö�ÿ�� ¨�� ô ¨

    ý µ´º»Ë ¨ómö å ¨�� ô ö � ¶· F ¨ómö�� å ö�� ôÀôÀô� ������ � ó��çü õ���� õÀõ ú� ���� ò�� � ó���� å �'ô�� ôÀôÀôè ����� �� ��� ò ��� � ó��Àü õ����'ôÀô�� ôÀôÀô÷ � � � � � ó ú ó ü � � ôÀôÀô�� ôÀôÀô�!� è " ��#� ��� ò ��� � óÀü�� � ���'ôÀô�� ôÀôÀô�� ôÀôÀô$ ò�� % � � & � � ' ôÀô � � ô�� ôÀôÀô�� ôÀôÀô�� ôÀôÀô� % � � ")( � ø " ' ôÀô ' ú ��� ôÀôÀô�� ôÀôÀô�� ôÀôÀô

  • * +-,. / 0212+435, 376 .98 1 021:.= ? @A.CBD35? .E3 ;GF 35= ./GH7H I 1J@2BDK ;ML N LO;M@P1J,JQ�SRT�U�VWRJXW' � �SR��EX�VWR ��Y VZX Y�[ R � X\' � � YÀü V ��� '�RJX [ 'ZX [ X ü RZ'� X]��� ����Y�Y '�R:V��EX ���Àü������ XCR ��[ �^R Y�Y�� VWRP' Ymü�[�Y ' ��� X � R Y RY�[ � [ V Y V��EX]� ��� � [ �':X�X Y ' [ ' Y X�� � R ü X Y XCRZV � X ��� �^RZ' ��Y �R ��YÀüÀü '�' � R �çü ' �\[A� V � VA'�V Y R�RJX��VZX�X ü�[ R��V�V ü �'�V2XW' [:��YX [A� R Y�� '�� Y����çü����çü���[ ' [�[A����������� X\' �çü V ��[ � [ X�XJ���'���� [ '�' [ V Y�� V ü X�X]� ��� R Y�Y ' � ' ü RJX Y���Y V ü�Y���Y�[ ':X�X�X�V�VWR:VR [A� '�R Y�[ ':X ü �EX � R � ' Y�� ' [ R [ V �mü X ��YÀü��Àü���[��Àümü�Y�[ X Y�Y X]�V ���çü�� �SR�� ü�[ � � �SR�� Y�� V�VZXW' � RJX\V � RP'�RJX �çü�Y �V ü V üA���\[A�Àü��[ VZX�V��V�'��' � '���� üÀü '�� � '�RZVZX � XCR�� ����Y ' ����� R�RJX]�A� ü R�R [X]��� Y R [ V��V [�� XW' ��� R � '�':X�X Y ' � �SR ümü X�V�VZX9R:V ����� ���

  • � [Z_a`-b �c� d^�^� �Te

    �' f gih j

    h k � � j ' [ ' j R�R [ j ��� � j Y ' [ j XCRJX j ' �Àü�lm� ' Y�[ ' Y�Y�[

    � [Z_n_b �T% d^�� �Te

    � j VZX [ j Y � Y j Y�[�Y j Y V�� j Y�Y�� j V [mü j '�' ��lo� ':X � � l^lSl

    p %T% " � "�� � p �Md^�� ��� q ��� � � � � % r � � r � " � � � q �s� r � " � � �te�:��� r e ÿÀÿ ( ( ( � % �cu��v&�� � �w� % & ÿ�x � % �)y�dz �

  • { � ( u � � r &�� p � "�� � � ��| p un�c& p � $ p �}&T� � ��| d^�� ���~ � � % &� � � � ��� �ae� [Z_a` V [ j X ��Y j X]� [

    � [Z_a` f � jc VWR j V [� j �EXCR

    � [Z_- � j R�R:V j Y '�V � [Z_- f Y�[�[ j '�V�V j VWR Y

    � [Z_�_ � j ��� [ � [Z_n_ f � [ j R � j � [ � j� R

    � [Z_ � j [A� R j RZ' Y j �� X � [Z_a f � Y j R:VWR j V�' �j V

  • 12+-B* @];.CBD37? 36 637+

    * +-,. 0212+435,JQ

    = LD12+t ;G@2LO;M= +-B�? Q � ZS

    B1JK ;M? ^ B1271JL�Q ZS

    ^ @W8 371J? 8 ;G17Q t ZS

  • ;MB�? @\8 ;ML�LD1J? 71J, B�? @2= +4+41J? . @P35K N = .

  • BD1 ± 1271J? I 17² BD1JK ;M? ? 8 ;GF 1 I BD11J,-= L¡.= ? I 1J? ² 358 ? 1 I B1 637+-K ;ML1J? B�LD6>,EK B¡..C1JLI 12+ ? ;ML¡  ,EB�, 0J= F 1J? 3G.CBD71J? ² BD,. ¶ 358 L ·S1:.E0:.? BD@\8 . K 1J8 + ,43 ¸ 12+-F +-1JB¡.E1:. ¶ B1 0J= L1JB�? ,± 12F 021JB¹.C1J? BD1 ,.

  • B�LDF 12+^. ;M? I ¾ ¿35L¡  ; @P35?À·[email protected]= +-17Q

    8 12+-1 1�Á BD,.C, ; ,41JLD6ÂÃ;MIÀ·S35B�? . 8 12+EK B¡.CBO;M?37N 12+C;.E37+ ¶ 8 35,-1 1JBD71J? ¸G;ML�= 1J, @P3+-+41J,-N 35? I .E3.C8 1 0212+-35, 376 .C8 1 021:.= ? @A.CBD37?

    0212+43 1JB71J? ¸M;MLD= 1Ä Å Æ�Ç È Å É Ç

    Ç Ê

  • normalized spacing

    dens

    ity

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Nearest neighbor spacingsamong first 1,000,000 zeros

  • normalized spacing

    dens

    ity

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    Nearest neighbor spacings among1,041,600 zeros near the 2*10^20-th zero

  • normalized spacing

    dens

    ity d

    iffer

    ence

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

    -0.0

    10-0

    .005

    0.0

    0.00

    50.

    010

    Nearest neighbor spacings:Empirical minus expected

  • 35?À·[email protected]= +-1 £ËK 1J? .CBD35? 1JI F   BD1JK ;M? ? ¦�Q

    Ì £¤Í ¦ Î Ï Æ £¤Í ¦ Å ÐÑÒ Ó

    L37 Ó Í § Ô

    Õ Ö × ØÙ 35= ? I , 637+ * +E,^. @P35= ? .C12+41�Á ;MK N LD17Q

    ± B¹.4.CLD1:¶ 3 3 I º71:¶ 1J, Ú�Û4Ü Ü�Ý Ý± 1J8 K ;M? § H CÃÞ Ñ.E1 BD1JLD1 § H ¨CÞ Ñ

    ß à á â áJã ä § H ¨Ztå

    Á N 1J@A. ? 3 @P37= ? .E12+-1�Á ;MK N LD1 637+ Í § H ¨ Ñ

  • ¶ 3 @P37?æ·[email protected]= +41J, £¤N +-3�¸ 1JI B�? @P35K N ;.CBDF LD1 F  1J? ,-LD1:  ;M? I B�@W8 ;G+-I ,\¦\Q

    § ¦ Ì £¤Í ç ¦ Ì £¤Í ¦ Ì £¤ç ¦/ ¦ ;G+EI   a± B¡..CLD1:¶ 3 3 I N +EB�K 1 è !.9= N LD1

    @P35?æ·[email protected]= +417Q

    µÃ6 é Ô2Ô2Ô é ê Ê ² .98 12+-1 ;G+41 B�? * ? B¹.C1JL¹ K ;M?   Ê ,E= @W8 .C8 ;. é Ô2Ô2Ô é ê ;G+41 ;ML�L N +-B�K 17²= ? LD1J,E, .C8 12+41 BD, ; .C+-B¡¸ BO;ML 37F ,.E+-= @A.CBD35?ë ìZí î Á Qðïñ�ò-óoñ óoñ �ô-õ ï Ñ ó ó É ô

  • ;¥¶ º BD? , +C;M? I 35K ,EB1:¸ 1

    7 8 9 10 111 6 ...2 3 4 5

    637+ 1¥;M@W8 ³tN +-B�K 1J´ ö ² @P+435,E, 35= . 1:¸ 12+^ B�? .E12712+ ÷ ö ¶ B¹.98 N +-37F ;GF BDL�B¡.  ø

  • ;¥¶ º BD? , +C;M? I 35K N +-B�K 1J,]Q

    ¾ ² ² .¶ BD? N +EBDK 1 @P35?æ·[email protected]= +417² 1:.9@ Q;ML�L .E+-= 1 ¶ B¡.C8 N +-3F ;GF B�L�B¡.  §

  • ;MB12+ +-1J,-= L¡.¥Q

    L�BDK ,E= NÐTù ú

    Ì £¤Í £ L37 Í ¦û ¦ © Ì £ËÍ ¦£ L37 Í ¦ ûü ÷ §

    L�B�K B�? 6ÐTù ú

    Ì £¤Í £ L37 Í ¦û ¦ © Ì £ËÍ ¦£ L37 Í ¦ ûü Î § Ô

  • ;G? I 37K K 3 I 1JL ;M? I ;]¶ º B�? ,Jý ,-BD1:¸ 1 F 3G.C8N +41JI BD@A.�Q§ ¦ +C;MK 12+Jýþ, @P35?À·[email protected]= +-17Q

    ö ÿ © ö ÿ £ËLD37 ö ÿ ¦ / ¦ � 37+ È « ²

    L�B�KÐTù ú

    Ì £¤Í LD3 Í ¦û ¦ © Ì £¤Í ¦£ËLD37 Í ¦ û7ü Å § Ô

    35? .E+C;MI B�@A.C, ;MBD12+Jýþ, +-1J,-= L¡.��

  • £ Ó ¦ Å 0212+435, Ä ¶ B¡.C8H Î µnK £ Ä ¦ Ó

    Å § §Ì � £ Ó ¦ £ Ó ¦

    � £ Ó ¦ Å Ó/ LD3Ó

    / Ì Ú ©Ìª

    §Ó

    ;M, Ó �

  • � £ Ó ¦ � Å £ËLD37 Ó ¦

    £ Ó ¦ Å � Ñ£�� ¦ Ò � Å £ËLD37 Ó ¦

    §Ó � Ñ

    £� ¦ Ò � � LD37 L37 Ó

    � £ Ó ¦ � Î § 637+ Ó Î / ª H

    � £ Ó ¦ � Î / 6>3+ Ó Î ¬ Ô ª � § H�

    LO;G+471J,^. 37F ,412+¸ 1JI ¸M;MLD= 1 36 � £ Ó ¦ � ® Ô /

  • 35? @2L�= ,-BD35? £ËB�? ,-N BD+-1JI F   ; ,-BD5? B�? ;@P35K N = .CB�? ,E= N N 37+^. 3 @P1T¦\Q

    1 ;G+-1 ,-37+4+^  .C8 ;. ¶ 1 8 ;]¸ 1 ? 3G. F 121J? ;GF LD1.E3 ,435L¡¸ 1 ;ML�L 376   35= + N +437F LD1JK ,]² ;M? I ¶ 1+41¥;ML�BD021 .98 ;.   37= ;G+-1 ;GF 35= . ;M, @P35? 6 = ,-1JI? 3�¶ ;M, ¶ 8 1J?   35= @];MK 1 .E3 = , 637+ 8 1JLDN 3�¶ 1:¸ 12+J² ¶ 1 8 37N 1 .98 ;.   37= ;æ+-1 ? 3�¶@P35? 6 = ,-1JI 35? ; 8 B58 12+ L1:¸ 1JL 376= ? I 12+-,.