home slinky m projects functions wolfram com 020316 testspdf … site/arccos.pdf · 2013-07-30 ·...
TRANSCRIPT
ArcCos
Notationsÿ
Traditional nameÿ
Inverse cosine
Traditional notationÿ
cos-1 HzLMathematica StandardForm notationÿ
ArcCos@zDPrimary definitionÿ
01.13.02.0001.01
cos-1 HzL �������2
+ ä logIä z +�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2 MThe function cos-1 HzL can also be defined by the formula cos-1 HzL � ����2 - sin-1 HzL .
The function cos-1 HzL can be defined also as the inverse function for cosHwL : w = cos-1 HzL if and only ifcosHwL = z .
Specific valuesÿ
Values at fixed pointsÿ
01.13.03.0001.01
cos-1 H0L �������2
01.13.03.0002.01
cos-1ikjjjjj �!!!!3 - 1
�������������������������2 �!!!!2
y{zzzzz �5 �����������12
01.13.03.0003.01
cos-1ikjjjjj-
�!!!!3 - 1�������������������������
2 �!!!!2
y{zzzzz �7 �����������12
01.13.03.0004.01
cos-1ikjjjjj �!!!!5 - 1
�������������������������4
y{zzzzz �2 �����������5
01.13.03.0005.01
cos-1ikjjjjj-
�!!!!5 - 1�������������������������
4
y{zzzzz �3 �����������5
01.13.03.0006.01
cos-1ikjjjjjjjj "#################
2 -�!!!!2
����������������������������������2
y{zzzzzzzz �3 �����������8
01.13.03.0007.01
cos-1ikjjjjjjjj-
"#################2 -
�!!!!2����������������������������������
2
y{zzzzzzzz �5 �����������8
01.13.03.0008.01
cos-1 ikjj 1������2
y{zz �������3
01.13.03.0009.01
cos-1 ikjj-1������2
y{zz �2 �����������3
01.13.03.0010.01
cos-1ikjjjjjjjj 1
������2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 -�!!!!5
�������������������������2
y{zzzzzzzz �3 �����������10
01.13.03.0011.01
cos-1ikjjjjjjjj-
1������2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 -�!!!!5
�������������������������2
y{zzzzzzzz �7 �����������10
01.13.03.0012.01
cos-1ikjjjjj �!!!!2
��������������2
y{zzzzz �������4
01.13.03.0013.01
cos-1ikjjjjj-
�!!!!2��������������
2
y{zzzzz �3 �����������4
01.13.03.0014.01
cos-1ikjjjjj �!!!!5 + 1
�������������������������4
y{zzzzz �������5
01.13.03.0015.01
cos-1ikjjjjj-
�!!!!5 + 1�������������������������
4
y{zzzzz �4 �����������5
01.13.03.0016.01
cos-1ikjjjjj �!!!!3
��������������2
y{zzzzz �������6
http://functions.wolfram.com 2
01.13.03.0017.01
cos-1ikjjjjj-
�!!!!3��������������
2
y{zzzzz �5 �����������6
01.13.03.0018.01
cos-1ikjjjjjjjj "#################
2 +�!!!!2
����������������������������������2
y{zzzzzzzz �������8
01.13.03.0019.01
cos-1ikjjjjjjjj-
"#################2 +
�!!!!2����������������������������������
2
y{zzzzzzzz �7 �����������8
01.13.03.0020.01
cos-1ikjjjjjjjj 1
������2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 +�!!!!5
�������������������������2
y{zzzzzzzz �Π
���������10
01.13.03.0021.01
cos-1ikjjjjjjjj-
1������2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 +�!!!!5
�������������������������2
y{zzzzzzzz �9 �����������10
01.13.03.0022.01
cos-1ikjjjjj 1 +
�!!!!3�������������������������
2 �!!!!2
y{zzzzz �Π
���������12
01.13.03.0023.01
cos-1ikjjjjj-
1 +�!!!!3
�������������������������2 �!!!!2
y{zzzzz �11 ���������������12
01.13.03.0024.01
cos-1 H1L � 0
01.13.03.0025.01
cos-1 H-1L � Π
01.13.03.0026.01
cos-1 HäL �Π������2
+ ä logI�!!!!2 - 1M01.13.03.0027.01
cos-1 H-äL �Π������2
+ ä logI1 +�!!!!2 M
Values at infinitiesÿ
01.13.03.0028.01
cos-1 H¥L � ä ¥
01.13.03.0029.01
cos-1 H-¥L � -ä ¥
01.13.03.0030.01
cos-1 Hä ¥L � -ä ¥
01.13.03.0031.01
cos-1 H-ä ¥L � ä ¥
http://functions.wolfram.com 3
01.13.03.0032.01
cos-1 H¥� L � ¥�
General characteristicsÿ
Domain and analyticityÿ
cos-1 HzL is an analytical function of z , which is defined over the whole complex z-plane.
01.13.04.0001.01
z�cos-1 HzL � Â�Â
Symmetries and periodicitiesÿ
Mirror symmetryÿ
01.13.04.0002.01
cos-1 Hz�L � cos-1 HzL������������ �; z Ï H-¥, -1L ß z Ï H1, ¥LPeriodicityÿ
No periodicity
Poles and essential singularitiesÿ
The function cos-1 HzL does not have poles and essential singularities.
01.13.04.0003.01
Singz Hcos-1 HzLL � 8<Branch pointsÿ
The function cos-1 HzL has three branch points: z = ± 1, z = ¥� .
01.13.04.0004.01
BPz Hcos-1 HzLL � 81, -1, ¥� <01.13.04.0005.01
Rz Hcos-1 HzL, 1L � 2
01.13.04.0006.01
Rz Hcos-1 HzL, -1L � 2
01.13.04.0007.01
Rz Hcos-1 HzL, ¥� L � log
Branch cutsÿ
The function cos-1 HzL is a single-valued function on the z-plane cut along the intervals H-¥, -1D and @1, ¥L . The function cos-1 HzL is continuous from above on the interval H-¥, -1D and from below on the interval @1, ¥L .
01.13.04.0008.01
BCz Hcos-1 HzLL � 88H-¥, -1D, -ä<, 8@1, ¥L, ä<<
http://functions.wolfram.com 4
01.13.04.0009.01
limΕ®+0
cos-1 Hx + ä ΕL � cos-1 HxL �; x < -1
01.13.04.0010.01
limΕ®+0
cos-1 Hx - ä ΕL � cos-1 H-xL + Π �; x < -1
01.13.04.0011.01
limΕ®+0
cos-1 Hx - ä ΕL � cos-1 HxL �; x > 1
01.13.04.0012.01
limΕ®+0
cos-1 Hx + ä ΕL � -cos-1 HxL �; x > 1
Analytic continuationsÿ
The analytic continuation of cos-1 has infinitely many sheets; the values of cos� -1 arecos� -1 HzL = cos-1 HzL + 2 k Π �; k Î Ù .
Series representationsÿ
Generalized power seriesÿ
Expansions at z � 0ÿ
01.13.06.0001.01
cos-1 HzL �������2
- z -z3
��������6
-3 z5
�������������40
- ¼ �; z¤ < 1
01.13.06.0002.01
cos-1 HzL �������2
- ãk=0
¥ H 1����2 Lk
z2 k+1
�����������������������������������H2 k + 1L k !�; z¤ < 1
01.13.06.0003.01
cos-1 HzL �������2
- z 2 F1ikjj 1
������2
,1������2
;3������2
; z2 y{zz �; z Ï H-1, 1L01.13.06.0004.01
cos-1 HzL µΠ������2
- z + OHz3 L �; Hz ® 0L Expansions at z � 1ÿ
01.13.06.0005.01
cos-1 HzL ��!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 - z ikjj1 +
1 - z����������������
12+
3�������������160
H1 - zL2 + ¼y{zz �; z - 1¤ < 1
01.13.06.0006.01
cos-1 HzL ��!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 - z ã
k=0
¥ H 1����2 Lk
H1 - zLk
�������������������������������������������2k H2 k + 1L k !
�; z - 1¤ < 1
01.13.06.0007.01
cos-1 HzL ��!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 - z 2 F1
ikjj 1������2
,1������2
;3������2
;1 - z����������������
2y{zz
http://functions.wolfram.com 5
01.13.06.0008.01
cos-1 HzL µ�!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 - z H1 + OHz - 1LL �; Hz ® 1L
Expansions at z � -1ÿ
01.13.06.0009.01
cos-1 HzL � Π -�!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 + z ikjj1 +
1 + z����������������
12+
3�������������160
H1 + zL2 + ¼y{zz �; z + 1¤ < 1
01.13.06.0010.01
cos-1 HzL � Π -�!!!!2 �!!!!!!!!!!!z + 1 ã
k=0
¥ H 1����2 Lk
Hz + 1Lk
�������������������������������������������2k H2 k + 1L k !
�; z + 1¤ < 1
01.13.06.0011.01
cos-1 HzL � Π -�!!!!2 �!!!!!!!!!!!z + 1 2 F1
ikjj 1������2
,1������2
;3������2
;z + 1����������������
2y{zz
01.13.06.0012.01
cos-1 HzL µ Π -�!!!!2 �!!!!!!!!!!!z + 1 H1 + OHz + 1LL �; Hz ® -1L
Expansions at z � ¥ÿ
01.13.06.0013.01
cos-1 HzL �������2
-z
���������������������������2
�!!!!!!!!!-z2
ikjjlogH-4 z2 L -1
�������������2 z2
-3
�����������������16 z4
- ¼y{zz �; z¤ > 1
01.13.06.0014.01
cos-1 HzL �������2
-z
���������������������������2
�!!!!!!!!!-z2
ikjjjjjjjjlogH-4 z2 L - ã
k=1
¥ H 1����2 Lk
z-2 k
�������������������������������k k !
y{zzzzzzzz �; z¤ > 1
01.13.06.0015.01
cos-1 HzL �������2
-z
���������������������������2
�!!!!!!!!!-z2
ikjjlogH-4 z2 L -1
�������������2 z2
3 F2ikjj 3
������2
, 1, 1; 2, 2;1
��������z2
y{zzy{zz �; z Ï H-1, 1L01.13.06.0016.01
cos-1 HzL µΠ������2
-z logH-4 z2 L��������������������������������������
2�!!!!!!!!!
-z2+
1�������������������������������4 z
�!!!!!!!!!-z2
ikjj1 + Oikjj 1��������z2
y{zzy{zz �; H z¤ ® ¥LResidue representationsÿ
01.13.06.0017.01
cos-1 HzL �1
�����������������������2 z �!!!!
Πã
j=1
¥
ress
ikjjjjjjj GHs + 1L GH-s - 1����2 L2 H-z2 L-s
���������������������������������������������������������������������������������������GH 1����2 - sL y{zzzzzzz H- jL +
������2
�; z¤ < 1
01.13.06.0018.01
cos-1 HzL �z
�������������������2 �!!!!
Π ã
j=0
¥
ress
ikjjjjjjj GHsL GH 1����2 - sL2 H-z2 L-s
����������������������������������������������������������������������GH 3����2 - sL y{zzzzzzz ikjj 1
������2
+ jy{zz +������2
�; z¤ > 1
http://functions.wolfram.com 6
Integral representationsÿ
On the real axisÿ
Of the direct functionÿ
01.13.07.0001.01
cos-1 HzL � àz
1 1����������������������������!!!!!!!!!!!!
1 - t2 â t
Contour integral representationsÿ
01.13.07.0002.01
cos-1 HzL �������2
-z
��������������������������������������I2 �!!!!Π M 2 Π ä
áL
GHsL GH 1����2 - sL2
�����������������������������������������������GH 3����2 - sL H-z2 L-s
â s �; ArgH-z2 L¤ < Π
01.13.07.0003.01
cos-1 HzL �������2
-z
��������������������������������������I2 �!!!!Π M 2 Π ä
àL
GHsL Gikjjs +1������2
y{zz Gikjj 1������2
- sy{zz2 H1 - z2 L-s â s �; ArgH1 - z2 L¤ < Π
01.13.07.0004.01
cos-1 HzL �������2
-z
��������������������������������������I2 �!!!!Π M 2 Π ä
áΓ-ä ¥
Γ+ä ¥GHsL GH 1����2 - sL2
�����������������������������������������������GH 3����2 - sL H-z2 L-s
â s �; 0 < Γ <1������2
í ArgH-z2 L¤ < Π
01.13.07.0005.01
cos-1 HzL �������2
-z
��������������������������������������I2 �!!!!Π M 2 Π ä
àΓ-ä ¥
Γ+ä ¥
GHsL Gikjjs +1������2
y{zz Gikjj 1������2
- sy{zz2 H1 - z2 L-s â s �; 0 < Γ <
1������2
í ArgH1 - z2 L¤ < Π
Continued fraction representationsÿ
01.13.10.0001.01
cos-1 HzL �������2
-z
�!!!!!!!!!!!!!1 - z2
�������������������������������������������������������������������������������������������������������
1 -1 ´ 2 z2
����������������������������������������������������������������������������������������
3 -1 ´ 2 z2
������������������������������������������������������������������������
5 -3 ´ 4 z2
���������������������������������������������������������
7 -3 ´ 4 z2
�����������������������������������������
9 -5 ´ 6 z2
��������������������������11 - ¼
�; z Ï H-¥, -1L ß z Ï H1, ¥L
01.13.10.0002.01
cos-1 HzL �������2
-z
�!!!!!!!!!!!!!1 - z2
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1 + Kk H-2 H2 d k+1����������2 t - 1L d k+1����������2 t z2 , 2 k + 1L
1
¥ �; z Ï H-¥, -1L ß z Ï H1, ¥L
http://functions.wolfram.com 7
Differential equationsÿ
Ordinary linear differential equations and wronskiansÿ
For the direct function itselfÿ
01.13.13.0001.01H1 - z2 L w¢¢ HzL - z w¢ HzL � 0 �; wHzL � cos-1 HzL í wH0L �Π������2
í w¢ H0L � -1
01.13.13.0002.01H1 - z2 L w¢¢ HzL - z w¢ HzL � 0 �; wHzL � c1 + c2 cos-1 HzL01.13.13.0003.01
Wz H1, cos-1 HzLL � -1
�����������������������������!!!!!!!!!!!!!1 - z2
01.13.13.0004.01�!!!!!!!!!!!!!1 - z2 w¢ HzL � -1 �; wHzL � cos-1 HzL í wH0L �
������2
Transformationsÿ
Transformations and argument simplificationsÿ
Argument involving basic arithmetic operationsÿ
01.13.16.0001.01
cos-1 H-zL � Π - cos-1 HzL01.13.16.0002.01
cos-1 Ha Hb zc Lm L �������2
-Hb zc Lm
������������������������bm zm c
J ������2
- cos-1 Ha bm zm c LN �; 2 m Î Ù
01.13.16.0003.01
cos-1 H1 - 2 z2 L �2
�!!!!!z2
�����������������������z
J ������2
- cos-1 HzLN01.13.16.0004.01
cos-1 H2 z2 - 1L �2
�!!!!!z2
����������������������z
cos-1 HzL + Πikjjjjjjj-$%%%%%%%%1
��������z2
z - $%%%%%%����z
�!!!!!!!!!-ä z + $%%%%%%%%%-
����z
�!!!!!!ä z + 1
y{zzzzzzz01.13.16.0005.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z + 1
����������������2
y{zzzzzzz �1������2
cos-1 HzL01.13.16.0006.01
cos-1 I�!!!!!z2 M �
������2
-�!!!!!
z2������������������
z J Π
������2
- cos-1 HzLN01.13.16.0007.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!!!1 - z2 M �
�!!!!!z2
������������������z
J ������2
- cos-1 HzLN
http://functions.wolfram.com 8
01.13.16.0008.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1
������2
I1 -�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2 M y{zzzzzzz �������2
-�!!!!!
z2������������������
2 z J Π
������2
- cos-1 HzLN01.13.16.0009.01
cos-1 I2 z�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2 M � 2 cos-1 HzL -������2
�; z Ïikjjjj-¥, -
1���������������!!!!2
y{zzzz í z Ïikjjjj 1
���������������!!!!2, ¥
y{zzzzProducts, sums, and powers of the direct functionÿ
Sums of the direct functionÿ
01.13.16.0010.01
cos-1 HxL + cos-1 HyL � Π H1 - sgnHx + yLL + cos-1 Ix y -�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M sgnHx + yL �; -1 < x < 1 Þ -1 < y < 1 Þ x y > 0
01.13.16.0011.01
cos-1 HxL + cos-1 HyL � Π HsgnHx + yL + 1L - sgnHx + yL cos-1 Ix y -�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; x < -1 ß y > 1 Þ x > 1 ß y < -1
01.13.16.0012.01
cos-1 HxL - cos-1 HyL � -sgnHx - yL cos-1 Ix y +�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; -1 < x < 1 Þ -1 < y < 1 Þ x y < 0
01.13.16.0013.01
cos-1 HxL - cos-1 HyL � sgnHx - yL cos-1 Ix y +�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; x > 1 ß y > 1 Þ x < -1 ß y < -1
Related transformationsÿ
Sums involving the direct functionÿ
01.13.16.0014.01
cos-1 HxL + sin-1 HyL �������2
- sgnHx - yL cos-1 Ix y +�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; -1 < x < 1 Þ -1 < y < 1 Þ x y < 0
01.13.16.0015.01
cos-1 HxL + sin-1 HyL �������2
- sgnHx - yL cos-1 Ix y +�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; -1 < x < 1 Þ -1 < y < 1 Þ x y < 0
01.13.16.0016.01
cos-1 HxL - sin-1 HyL � Рikjj 1������2
- sgnHx + yLy{zz + cos-1 Ix y -�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M sgnHx + yL �; -1 < x < 1 Þ -1 < y < 1 Þ x y > 0
01.13.16.0017.01
cos-1 HxL - sin-1 HyL � РikjjsgnHx + yL +1������2
y{zz - sgnHx + yL cos-1 Ix y -�!!!!!!!!!!!!!
1 - x2 �!!!!!!!!!!!!!1 - y2 M �; x < -1 ß y > 1 Þ x > 1 ß y < -1
Identitiesÿ
Functional identitiesÿ
01.13.17.0001.01
cos2 HwHz1 L + wHz2 LL - 2 z1 z2 cosHwHz1 L + wHz2 LL + z12 + z2
2 � 1 �; wHzL � cos-1 HzL
http://functions.wolfram.com 9
Complex characteristicsÿ
Real partÿ
01.13.19.0001.01
ReHcos-1 Hx + ä yLL � cos-1 ikjj 1������2
"##########################Hx + 1L2 + y2 -1������2
"##########################Hx - 1L2 + y2 y{zz �; x + ä y Ï H-¥, -1L ß x + ä y Ï H1, ¥L01.13.19.0002.01
ReHcos-1 Hx + ä yLL �1������2
ikjjΠ - 2 tan-1 ikjj"###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz - y,
sinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24+ xy{zzy{zz
Imaginary partÿ
01.13.19.0003.01
ImHcos-1 Hx + ä yLL � -sgnHyL logIX +�!!!!!!!!!!!!!!
X2 - 1 M �;X �
1������2
"##########################Hx - 1L2 + y2 +1������2
"##########################Hx + 1L2 + y2 í x + ä y Ï H-¥, -1L í x + ä y Ï H1, ¥L01.13.19.0004.01
ImHcos-1 Hx + ä yLL � logikjjjj-ikjjjjikjjy -
"##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zzy{zz2
+ikjjsinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24+ xy{zz2 y{zzzzy{zzzz
Absolute valueÿ
01.13.19.0005.01 cos-1 Hx + ä yL¤ �-ikjjjj 1������4
ikjjΠ - 2 tan-1 ikjj"###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz - y, sinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz"###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24+ xy{zzy{zz^2 +
log2 ikjjjj-ikjjjjikjjy -"##########################################################
x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zzy{zz2
+ikjjsinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24+ xy{zz2 y{zzzzy{zzzzy{zzzz
http://functions.wolfram.com 10
Argumentÿ
01.13.19.0006.01
ArgHcos-1 Hx + ä yLL � tan-1 ikjjjjΠ - 2 tan-1 ikjj"###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz - y,
sinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "###################################################4 x2 y2 + H-x2 + y2 + 1L24+ xy{zz,
2 logikjjjj-ikjjjjikjjy -
"##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zzy{zz2
+ikjjsinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24+ xy{zz2 y{zzzzy{zzzzy{zzzz
Conjugate valueÿ
01.13.19.0007.01
cos-1 Hx + ä yL���������������������
1������2
ikjjjj-2 tan-1 ikjj"##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz - y,
sinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24+ xy{zz -
2 ä logikjjjj-ikjjjjikjjy -
"##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24cosikjj 1
������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zzy{zz2
+ikjjsinikjj 1������2
tan-1 H-x2 + y2 + 1, -2 x yLy{zz "##########################################################x4 + 2 Hy2 - 1L x2 + Hy2 + 1L24+ xy{zz^2
y{zzzzy{zzzz + Πy{zzzz
Differentiationÿ
Low-order differentiationÿ
01.13.20.0001.01
¶cos-1 HzL�������������������������������
¶z� -
1�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
1 - z2
01.13.20.0002.01
¶2 cos-1 HzL�����������������������������������
¶z2� -
z���������������������������������H1 - z2 L3�2
Symbolic differentiation ÿ
01.13.20.0003.01
¶n cos-1 HzL�����������������������������������
¶zn� -
�!!!!Π z1-n
����������������������������21-n 3 F
�2
ikjj 1������2
,1������2
, 1; 1 -n������2
,3 - n�����������������
2; z2 y{zz �; n Î Í+
Fractional integro-differentiationÿ
01.13.20.0004.01
¶Α cos-1 HzL�����������������������������������
¶zΑ�
Π z-Α
��������������������������������2 GH1 - ΑL - 2Α-1 �!!!!
Π z1-Α3 F
�2
ikjj 1������2
,1������2
, 1; 1 -Α������2
,3������2
-Α������2
; z2 y{zz
http://functions.wolfram.com 11
Integrationÿ
Indefinite integrationÿ
For the direct function itselfÿ
01.13.21.0001.01à cos-1 HzL â z � z cos-1 HzL -�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2
01.13.21.0002.01à cos-1 HzL���������������������������
z â z � -
�����2
cos-1 HzL2+ logI1 + ã2 ä cos-1 HzL M cos-1 HzL -
�����2
Li2 I-ã2 ä cos-1 HzL M01.13.21.0003.01à cos-1 HzL
����������������������������!!!z â z � 2 �!!!z ikjjjjjjjjcos-1 HzL +�!!!!!!!!!!!z + 1
������������������������������������������������������"###########z��������������2 z-2�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2
ikjj2 Eikjjsin-1 I�!!!!!!!!!!!z + 1 M ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1������2
y{zz - Fikjjsin-1 I�!!!!!!!!!!!z + 1 M ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1������2
y{zzy{zzy{zzzzzzzz01.13.21.0004.01à zΑ-1 cos-1 HzL â z �
cos-1 HzL zΑ
�����������������������������������Α
+zΑ+1
�����������������������������Α HΑ + 1L 2 F1
ikjj Α + 1������������������
2,
1������2
;Α + 3������������������
2; z2 y{zz
01.13.21.0005.01à cos-1 Hb + a zL â z � z cos-1 Hb + a zL -b sin-1 Hb + a zL�����������������������������������������������
a-
"###########################1 - Hb + a zL2
���������������������������������������������������a
01.13.21.0006.01à z cos-1 Hb + a zL â z �2 a2 cos-1 Hb + a zL z2 + H2 b2 + 1L sin-1 Hb + a zL + H3 b - a zL "###########################1 - Hb + a zL2
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4 a2
01.13.21.0007.01à cos-1 Ha z + bL�������������������������������������������
z â z � -
�����2
cos-1 Hb + a zL2- 4 ä sin-1 ikjjjjj �!!!!!!!!!!!1 - b
��������������������������!!!!2
y{zzzzz tan-1 ikjjjj b + 1������������������������������!!!!!!!!!!!!!
b2 - 1tanikjj 1
������2
cos-1 Hb + a zLy{zzy{zzzz +ikjjjjjcos-1 Hb + a zL - 2 sin-1 ikjjjjj �!!!!!!!!!!!1 - b��������������������������!!!!2
y{zzzzzy{zzzzz logIãä cos-1 Hb+a zL I�!!!!!!!!!!!!!b2 - 1 - bM + 1M +ikjjjjjcos-1 Hb + a zL + 2 sin-1 ikjjjjj �!!!!!!!!!!!1 - b
��������������������������!!!!2
y{zzzzzy{zzzzz logI1 - Ib +�!!!!!!!!!!!!!
b2 - 1 M ãä cos-1 Hb+a zL M -
ä ILi2 IIb +�!!!!!!!!!!!!!
b2 - 1 M ãä cos-1 Hb+a zL M + Li2 I-I�!!!!!!!!!!!!!b2 - 1 - bM ãä cos-1 Hb+a zL MM
01.13.21.0008.01à 1���������������������������cos-1 HzL â z � -SiHcos-1 HzLL
01.13.21.0009.01à cos-1 HzLn â z �
1������2
ä IHä cos-1 HzLL-n-1cos-1 HzLn+1
GHn + 1, ä cos-1 HzLL - H-ä cos-1 HzLL-n-1cos-1 HzLn+1
GHn + 1, -ä cos-1 HzLLM01.13.21.0010.01à z cos-1 HzLn
â z �
1������4
ä I2-n-1 Hä cos-1 HzLL-n-1cos-1 HzLn+1
GHn + 1, 2 ä cos-1 HzLL - 2-n-1 H-ä cos-1 HzLL-n-1cos-1 HzLn+1
GHn + 1, -2 ä cos-1 HzLLM
http://functions.wolfram.com 12
Definite integrationÿ
For the direct function itselfÿ
01.13.21.0011.01à0
1
t cos-1 HtL â t �Π������8
01.13.21.0012.01à0
1 cos-1 HtL���������������������������!!!t â t �
�!!!!РGH 3����4 L
�������������������������������GH 5����4 L
01.13.21.0013.01à0
1
ta cos-1 HtL â t �
�!!!!РGH a+2�����������2 L
�������������������������������������������������Ha + 1L2 GH a+1�����������2 L �; ReHaL > -1
Involving the direct functionÿ
01.13.21.0014.01à0
1
logHtL cos-1 HtL â t � logH2L - 2
Representations through more general functionsÿ
Through hypergeometric functionsÿ
Involving 2 F1 ÿ
01.13.26.0001.01
cos-1 HzL �������2
- z 2 F1ikjj 1
������2
,1������2
;3������2
; z2 y{zz01.13.26.0002.01
cos-1 HzL ��!!!!2 �!!!!!!!!!!!1 - z 2 F1
ikjj 1������2
,1������2
;3������2
;1 - z����������������
2y{zz
01.13.26.0003.01
cos-1 HzL � Π -�!!!!2 �!!!!!!!!!!!z + 1 2 F1
ikjj 1������2
,1������2
;3������2
;z + 1����������������
2y{zz
Involving p Fq ÿ
01.13.26.0004.01
cos-1 HzL �������2
-z
���������������������������2
�!!!!!!!!!-z2
ikjjlogH-4 z2 L -1
�������������2 z2
3 F2ikjj 3
������2
, 1, 1; 2, 2;1
��������z2
y{zzy{zz �; z Ï H-1, 1LThrough Meijer Gÿ
Classical cases for the direct function itselfÿ
01.13.26.0005.01
cos-1 HzL �������2
-z
�������������������2 �!!!!
Π G2,2
1,2ikjjjjjj-z2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1����2
0, - 1����2
y{zzzzzz
http://functions.wolfram.com 13
01.13.26.0006.01
cos-1 HzL �������2
+1
�����������������������2 �!!!!
Π zG2,2
1,2ikjjjjjj-z2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3����2 , 3����2
1, 1����2
y{zzzzzz01.13.26.0007.01
cos-1 HzL �������2
+�!!!!!!!!!
-z2�����������������������2 z �!!!!
Π G2,2
1,2 ikjjjjj-z2ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 1
1����2 , 0y{zzzzz
01.13.26.0008.01
cos-1 HzL �������2
-ä
�������������������2 �!!!!
Π G2,2
1,2 ikjjjjj-z2ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 1
1����2 , 0y{zzzzz �; Im HzL > 0
01.13.26.0009.01
cos-1 HzL �������2
-ä
�������������������2 �!!!!
Π G2,2
1,2 ikjjjjj-z2ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 1
1����2 , 0y{zzzzz �; Im HzL > 0
01.13.26.0010.01
cos-1 I�!!!z M �������2
-�!!!z
�������������������2 �!!!!
Π G2,2
1,2ikjjjjjj-z
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1����2
0, - 1����2
y{zzzzzzClassical cases involving algebraic functions in the argumentsÿ
01.13.26.0011.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!z + 1 -�!!!z M �
1������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1, 11����4 , 3����4 , 0
y{zzzzzz01.13.26.0012.01
cos-1 ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z + 1 - 1
�������������������������������������!!!z y{zzzzz �1
������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����4 , 3����4 , 1
0, 1����2 , 0
y{zzzzzz �; z Ï H-¥, 0L01.13.26.0013.01
cos-1 ikjjjj 1
��������������������������������������������!!!!!!!!!!!z + 1 +�!!!z y{zzzz �
1������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1, 11����4 , 3����4 , 0
y{zzzzzz �; z Ï H-¥, 0L01.13.26.0014.01
cos-1 ikjjjjj �!!!z
�������������������������������������!!!!!!!!!!!z + 1 + 1
y{zzzzz �1
������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����4 , 3����4 , 1
0, 1����2 , 0
y{zzzzzz �; z Ï H-¥, 0LClassical cases involving unit step Θ ÿ
01.13.26.0015.01
ΘH1 - z¤L cos-1 I�!!!z M ��!!!!
��������������
2G2,2
2,0 ikjjjjjzÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 1
0, 1����2
y{zzzzz �; z Ï H-1, 0L01.13.26.0016.01
ΘH z¤ - 1L cos-1 ikjjjj 1
��������������!!!z y{zzzz ��!!!!
��������������
2G2,2
0,2 ikjjjjjzÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1
0, 0
y{zzzzz
http://functions.wolfram.com 14
Generalized cases for the direct function itselfÿ
01.13.26.0017.01
cos-1 HzL �1
�����������������������2 z �!!!!
Π G2,2
1,2ikjjjjjj�!!!!!!!!!
-z2 ,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 3����2 , 3����2
1, 1����2
y{zzzzzz +������2
01.13.26.0018.01
cos-1 HzL �������2
+ä
�������������������2 �!!!!
ΠG2,2
1,2 ikjjjjjä z,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 11����2 , 0
y{zzzzzGeneralized cases involving algebraic functions in the argumentsÿ
01.13.26.0019.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!!!z2 + 1 - zM �
1������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1, 11����4 , 3����4 , 0
y{zzzzzz �; z Ï H-¥, 0L01.13.26.0020.01
cos-1 ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1 - 1����������������������������������������
z
y{zzzzz �1
������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����4 , 3����4 , 1
0, 1����2 , 0
y{zzzzzz01.13.26.0021.01
cos-1 ikjjjj 1
����������������������������������������!!!!!!!!!!!!!z2 + 1 + z
y{zzzz �1
������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1, 11����4 , 3����4 , 0
y{zzzzzz �; z Ï H-¥, 0L01.13.26.0022.01
cos-1 ikjjjj z
�����������������������������������������!!!!!!!!!!!!!z2 + 1 + 1
y{zzzz �1
������������������������2 �!!!!!!!2 Π
G3,32,2
ikjjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����4 , 3����4 , 1
0, 1����2 , 0
y{zzzzzzGeneralized cases involving unit step Θ ÿ
01.13.26.0023.01
ΘH1 - z¤L cos-1 HzL �1������2
�!!!!Π G2,2
2,0 ikjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1, 1
0, 1����2
y{zzzzz01.13.26.0024.01
ΘH z¤ - 1L cos-1 ikjj 1������z
y{zz �1������2
�!!!!Π G2,2
0,2 ikjjjjjz,1������2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1����2 , 1
0, 0
y{zzzzzThrough other functionsÿ
Involving inverse Jacobi functionsÿ
01.13.26.0025.01
cos-1 HzL � cd-1 Hz È 0L01.13.26.0026.01
cos-1 HzL � cn-1 Hz È 0L01.13.26.0027.01
cos-1 HzL � dc-1 ikjj 1������z
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 0y{zz01.13.26.0028.01
cos-1 HzL �������2
- ds-1 ikjj 1������z
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 0y{zz
http://functions.wolfram.com 15
01.13.26.0029.01
cos-1 HzL � nc-1 ikjj 1������z
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 0y{zz01.13.26.0030.01
cos-1 HzL �������2
- ns-1 ikjj 1������z
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 0y{zz01.13.26.0031.01
cos-1 HzL �������2
- sd-1 Hz È 0L01.13.26.0032.01
cos-1 HzL �������2
- sn-1 Hz È 0LInvolving some hypergeometric-type functionsÿ
01.13.26.0033.01
cos-1 HzL �������2
-�!!!!!
z2����������������
2 z Bz2
ikjj 1������2
,1������2
y{zz01.13.26.0034.01
cos-1 HzL �1
����������2 z
ikjjΠ Iz -�!!!!!
z2 M +�!!!!!
z2 B1-z2ikjj 1
������2
,1������2
y{zzy{zzRepresentations through equivalent functionsÿ
With inverse functionÿ
01.13.27.0001.01
cos-1 HcosHzLL � z �; 0 < ReHzL < Π Þ HReHzL � 0 ß ImHzL ³ 0L Þ HReHzL � Π ß ImHzL £ 0L01.13.27.0002.01
cos-1 HcosHzLL � -z �; -Π < ReHzL < 0 Þ HReHzL � 0 ß ImHzL £ 0L Þ HReHzL � -Π ß ImHzL ³ 0L01.13.27.0003.01
cos-1 HcosHzLL �������2
H1 + H-1Lk L + H-1Lk Hz - Π Hk + 1LL �;Hk Π < ReHzL < Hk + 1L Π Þ HReHzL � k Π ß ImHzL ³ 0L Þ HReHzL � Hk + 1L Π ß ImHzL £ 0LL ß k Î Ù
01.13.27.0004.01
cos-1 HcosHzLL �������2
I1 - H-1Le- ReHzL����������������Π u M + H-1Le- ReHzL����������������Π u II1 + H-1Le ReHzL����������������Π u+e- ReHzL����������������Π u M ΘHImHzLL - 1M ikjjz + Π f-ReHzL������������������
Πvy{zz
01.13.27.0005.01
cosHcos-1 HzLL � z
With related functionsÿ
Involving logÿ
01.13.27.0006.01
cos-1 HzL �������2
+ ä logIä z +�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2 M01.13.27.0007.01
cos-1 HzL � -ä logIz +�!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1 M �; ReHzL ImHzL > 0 Þ ReHzL � 0 Þ -1 < z < 1
http://functions.wolfram.com 16
01.13.27.0008.01
cos-1 HzL ��!!!!!!!!!!!1 - z�������������������������!!!!!!!!!!!z - 1
logIz +�!!!!!!!!!!!z - 1 �!!!!!!!!!!!z + 1 M
01.13.27.0009.01
cos-1 HzL � ä IlogH2L - 2 logI�!!!!!!!!!!!z + 1 + ä�!!!!!!!!!!!1 - z MM
01.13.27.0010.01
cos-1 HzL � -2 ä logikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z + 1
����������������2
+ ä $%%%%%%%%%%%%%1 - z����������������
2
y{zzzzzzzInvolving sin-1 ÿ
01.13.27.0011.01
cos-1 HzL �������2
- sin-1 HzL01.13.27.0012.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!1 - z M � sin-1 I�!!!z M01.13.27.0013.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%1 - z
����������������2
y{zzzzzzz �1������2
sin-1 HzL +������4
01.13.27.0014.01
cos-1 H-zL � sin-1 HzL +������2
01.13.27.0015.01
cos-1 H1 - 2 z2 L �2
�!!!!!z2
����������������������z
sin-1 HzL01.13.27.0016.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!!!1 - z2 M �
�!!!!!z2
������������������z
sin-1 HzL01.13.27.0017.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1
������2
I1 -�!!!!!!!!!!!!!
1 - z2 M y{zzzzzzz �������2
-�!!!!!
z2����������������
2 z sin-1 HzL
Involving tan-1 ÿ
01.13.27.0018.01
cos-1 HzL � 2 tan-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%1 - z
����������������z + 1
y{zzzzzzz �; z Ï H-¥, -1L01.13.27.0019.01
cos-1 ikjj 2 z��������������������z2 + 1
y{zz �������2
- 2 tan-1 HzL �; z¤ < 1
01.13.27.0020.01
cos-1 ikjjj 1 - z2
��������������������1 + z2
y{zzz �2
�!!!!!z2
�����������������������z
tan-1 HzL �; ä z Ï H-¥, -1L ß ä z Ï H1, ¥L01.13.27.0021.01
cos-1 ikjjjj 1�������������������������!!!!!!!!!!!z + 1
y{zzzz � tan-1 I�!!!z M
http://functions.wolfram.com 17
01.13.27.0022.01
cos-1 ikjjjj 1�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1
y{zzzz ��!!!!!
z2����������������
z tan-1 HzL
01.13.27.0023.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1
y{zzzz �������2
- tan-1 HzL �; ä z Ï H-¥, -1L ß ä z Ï H1, ¥L01.13.27.0024.01
cos-1 ikjjjj r zc
����������������������������������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 z2 c + 1
y{zzzz �������2
ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1����������������������������ä r zc + 1
�!!!!!!!!!!!!!!!!!!ä r zc + 1 - $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1
����������������������������1 - ä r zc
�!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 - ä r zc + 1y{zzzzzzz - tan-1 Hr zc L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1
�������������������������������r2 z2 c + 1
�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 z2 c + 1
01.13.27.0025.01
cos-1ikjjjjj �!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!a + z
y{zzzzz �������2
-�!!!!!!!!!!!a + z������������������������
2 �!!!z $%%%%%%%%%%%%%z����������������a + z
ikjjjjjjР- $%%%%%%%%%%%%%a����������������a + z
$%%%%%%%%%%%%%%z������a
+ 1ikjjjjjjΠ - 2 tan-1
ikjjjjjj$%%%%%%z������a
y{zzzzzzy{zzzzzzy{zzzzzz01.13.27.0026.01
cos-1ikjjjjj �!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z + 1
y{zzzzz �1������2
$%%%%%%%%%%%%%1����������������z + 1
�!!!!!!!!!!!z + 1 IΠ - 2 tan-1 I�!!!z MM01.13.27.0027.01
cos-1ikjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z
����������������z + 1
y{zzzzzz �1������2
$%%%%%%%%%%%%%1����������������z + 1
�!!!!!!!!!!!z + 1 IΠ - 2 tan-1 I�!!!z MM01.13.27.0028.01
cos-1ikjjjjj �!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z + 1
y{zzzzz �������2
+�!!!z
�����������������������������������������������"#########z����������z+1�!!!!!!!!!!!z + 1
ikjjjjjjjj Π
������2
ikjjjjjjj1 -�!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z + 1 $%%%%%%%%%%%%%z + 1
����������������z
y{zzzzzzz +cot-1 I�!!!z M
������������������������������������������"#####1����z�!!!!!!!!!!!z + 1
$%%%%%%%%%%%%%z + 1����������������
z-
������2
y{zzzzzzzzInvolving cot-1 ÿ
01.13.27.0029.01
cos-1 ikjj 2 z��������������������z2 + 1
y{zz �������2
- 2 cot-1 HzL �; z¤ > 1
01.13.27.0030.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1
y{zzzz �������2
-z
�����������������������������!!!!!!!!!!!!!z2 + 1
$%%%%%%%%%%%%%%%1 +1
��������z2
ikjjjjjjj ������2
- $%%%%%%%%1��������z2
z cot-1 HzLy{zzzzzzz01.13.27.0031.01
cos-1 ikjjjj 1����������������������������������!!!!!!!!!!!!!!!!a zc + 1
y{zzzz � -�!!!!a zc�2����������������������������!!!!!!!!!a zc
cot-1 I�!!!!a zc�2 M +Π ä����������2
ikjjjjjjjj "#################################-ä
�!!!!a �!!!!!zc - 1�����������������������������������������������������������"#############################
ä�!!!!a �!!!!!zc + 1
+"#############################
ä�!!!!a �!!!!!zc - 1
������������������������������������������������������"#############################1 - ä
�!!!!a �!!!!!zc
y{zzzzzzzz +������2
Involving csc-1 ÿ
01.13.27.0032.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z - 1
����������������z
y{zzzzzzz ��!!!z $%%%%%%1
������z
csc-1 I�!!!z M01.13.27.0033.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z - 1
�������������������������!!!z y{zzzzz ��!!!z $%%%%%%1
������z
csc-1 I�!!!z M
http://functions.wolfram.com 18
01.13.27.0034.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z - 1
����������������2 z
y{zzzzzzz �1������2
csc-1 HzL +������4
01.13.27.0035.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z - 1
�������������������������!!!!!!2 z
y{zzzzz �1������2
csc-1 HzL +������4
01.13.27.0036.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1����������������������������
z
y{zzzzz �������2
ikjjjjj1 -�!!!!!
z2����������������
z
y{zzzzz + csc-1 HzL �; ReHzL ¹ 0
01.13.27.0037.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1����������������������������
z
y{zzzzz �������2
ikjjjjj1 -�!!!!!
z2����������������
z
y{zzzzz +�!!!!!
z2 $%%%%%%%%1��������z2
csc-1 HzL01.13.27.0038.01
cos-1ikjjjjjjjr z-c $%%%%%%%%%%%%%%%%%%z2 c
������������r2
- 1y{zzzzzzz �
������2
-�!!!!!!!!!!!!!!!
r2 z-2 c $%%%%%%%%%%z2 c������������r2
ikjjjjj Π zc �!!!!!!!!!!!!!!!r2 z-2 c
��������������������������������������������2 r
- csc-1 J zc
��������r
Ny{zzzzz01.13.27.0039.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z - a
�������������������������!!!z y{zzzzz �������2
-�!!!!!!!!!!!z - a
�����������������������������������������������2 "#############1 - a����z
�!!!z ikjjjjjjР- 2 $%%%%%%a������z
$%%%%%%z������a
csc-1ikjjjjjj$%%%%%%z
������a
y{zzzzzzy{zzzzzz01.13.27.0040.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z - 1
����������������z
y{zzzzzzz �������2
-�!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z - 1 $%%%%%%%%%%%%%z - 1
����������������z
ikjjjjjjj ������2
- $%%%%%%1������z
�!!!z csc-1 I�!!!z My{zzzzzzzInvolving sec-1 ÿ
01.13.27.0041.01
cos-1 HzL � sec-1 ikjj 1������z
y{zz01.13.27.0042.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z + 1
����������������2 z
y{zzzzzzz �1������2
sec-1 HzL01.13.27.0043.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z + 1
�������������������������!!!!!!2 z
y{zzzzz �1������2
sec-1 HzL �; z Ï H-1, 0LInvolving sinh-1 ÿ
01.13.27.0044.01
cos-1 HzL � ä sinh-1 Hä zL +Π������2
01.13.27.0045.01
cos-1 I�!!!!!!-z M �
������2
-�!!!!!!!!!
-z2����������������������
zsinh-1 I�!!!z M
01.13.27.0046.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!z + 1 M ��!!!!!!!!!
-z2�����������������������
z sinh-1 I�!!!z M
http://functions.wolfram.com 19
01.13.27.0047.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!!!1 + z2 M �
�!!!!!!!!!-z2
�����������������������z
sinh-1 HzL01.13.27.0048.01
cos-1 I�!!!!!!!!!!!!!!!!a zc + 1 M � -�!!!!a zc�2����������������������������!!!!!!!!!!!!
-a zc sinh-1 I�!!!!a zc�2 M
Involving cosh-1 ÿ
01.13.27.0049.01
cos-1 HzL ��!!!!!!!!!!!1 - z���������������������������!!!!!!!!!!!z - 1
cosh-1 HzL01.13.27.0050.01
cos-1 I�!!!z M ��!!!!!!!!!!!1 - z�������������������������!!!!!!!!!!!z - 1
cosh-1 I�!!!z M01.13.27.0051.01
cos-1 HzL � -ä cosh-1 HzL �; ImHzL > 0
01.13.27.0052.01
cos-1 HzL � ä cosh-1 HzL �; ImHzL < 0
Involving tanh-1 ÿ
01.13.27.0053.01
cos-1 ikjjj z2 + 1��������������������1 - z2
y{zzz �2
�!!!!!!!!!-z2
���������������������������z
tanh-1 HzL �; z Ï H-¥, -1L ß z Ï H1, ¥L01.13.27.0054.01
cos-1 ikjjjj 1�������������������������!!!!!!!!!!!1 - z
y{zzzz ��!!!!!!!!!
-z2�����������������������
z tanh-1 I�!!!z M
01.13.27.0055.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1
y{zzzz ��!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1 $%%%%%%%%%%%%%%%1��������������������1 - z2
tanh-1 HzL +������2
�; z Ï H-¥, -1L ß z Ï H1, ¥L01.13.27.0056.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1
y{zzzz �������2
ikjjjjjjj-$%%%%%%%%%%%%%1
����������������z + 1
�!!!!!!!!!!!z + 1 + $%%%%%%%%%%%%%1����������������1 - z
�!!!!!!!!!!!1 - z + 1y{zzzzzzz +
�!!!!!!!!!!!!!z2 - 1 $%%%%%%%%%%%%%%%1
��������������������1 - z2
tanh-1 HzL01.13.27.0057.01
cos-1 ikjjjj r zc
����������������������������������������!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 z2 c - 1
y{zzzz �������2
ikjjjjjjj-$%%%%%%%%%%%%%%%%%%1������������������������r zc + 1
�!!!!!!!!!!!!!!!!r zc + 1 + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%1������������������������1 - r zc
�!!!!!!!!!!!!!!!!1 - r zc + 1y{zzzzzzz +
�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 z2 c - 1 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1
�������������������������������1 - r2 z2 c
tanh-1 Hr zc L01.13.27.0058.01
cos-1ikjjjjj �!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z - a
y{zzzzz �������2
-�!!!!!!!!!!!z - a
��������������������������2 �!!!z $%%%%%%%%%%%%%z
����������������z - a
ikjjjjjjj 1
������z
$%%%%%%%%%%%%%%1 -z������a
$%%%%%%%%%%%%%a����������������a - z
ikjjjjjjj2 a $%%%%%%%%%%%%-
z2���������a2
tanh-1ikjjjjjj$%%%%%%z
������a
y{zzzzzz - Π zy{zzzzzzz + Π
y{zzzzzzz01.13.27.0059.01
cos-1ikjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z
����������������z - 1
y{zzzzzz � $%%%%%%%%%%%%%1����������������1 - z
�!!!!!!!!!!!1 - zikjjjjj Π
������2
-�!!!!!!
-z���������������������!!!z tanh-1 I�!!!z My{zzzzz
http://functions.wolfram.com 20
Involving coth-1 ÿ
01.13.27.0060.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1
y{zzzz �������2
ikjjjjj1 -�!!!!!
z2����������������
z
y{zzzzz +�!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1 $%%%%%%%%%%%%%%%1��������������������1 - z2
coth-1 HzL01.13.27.0061.01
cos-1 ikjjjj z�����������������������������!!!!!!!!!!!!!
z2 - 1
y{zzzz �������2
-z
�����������������������������!!!!!!!!!!!!!z2 - 1
$%%%%%%%%%%%%%%%1 -1
��������z2
ikjjjjjjj ������2
- $%%%%%%%%%%%-1
��������z2
z coth-1 HzLy{zzzzzzz01.13.27.0062.01
cos-1ikjjjjj �!!!z
�������������������������!!!!!!!!!!!z - 1
y{zzzzz ��!!!z
������������������������������������������������!!!!!!!!!!!z - 1 "#########z����������z-1
ikjjjjjjj Π
������2
ikjjjjjjj1 - $%%%%%%%%%%%%%z - 1����������������
z$%%%%%%%%%%%%%z
����������������z - 1
y{zzzzzzz +�!!!!!!!!!
-z2�������������������������!!!!!!!!!!!1 - z
$%%%%%%%%%%%%%z - 1����������������
z$%%%%%%%%%%-
1������z
coth-1 I�!!!z M -������2
y{zzzzzzz +������2
Involving csch-1 ÿ
01.13.27.0063.01
cos-1ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%%%%z + 1
����������������z
y{zzzzzzz ��!!!z $%%%%%%%%%%-
1������z
csch-1 I�!!!z M01.13.27.0064.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z + 1
�������������������������!!!z y{zzzzz �������2
ikjjjjjjj1 - $%%%%%%%%%%%%%%1 +1������z
$%%%%%%%%%%%%%z����������������z + 1
y{zzzzzzz + $%%%%%%%%%%%%%z����������������z + 1
$%%%%%%%%%%%%%%1 +1������z
$%%%%%%%%%%-1������z
�!!!z csch-1 I�!!!z M01.13.27.0065.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1����������������������������
z
y{zzzzz � $%%%%%%%%%%%-1
��������z2
z csch-1 HzL �; ReHzL > 0
01.13.27.0066.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1����������������������������
z
y{zzzzz �������2
ikjjjjj1 -�!!!!!
z2����������������
z
y{zzzzz -�!!!!!!!!!
-z4 csch-1 HzL���������������������������������������������������
z2�; ReHzL ImHzL ¹ 0
01.13.27.0067.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1����������������������������
z
y{zzzzz �������2
ikjjjjjjj1 -z
�����������������������������!!!!!!!!!!!!!z2 + 1
$%%%%%%%%%%%%%%%z2 + 1��������������������
z2
y{zzzzzzz -�!!!!!!!!!!!!!
z2 + 1 csch-1 HzL����������������������������������������������������������
z2 "#############-z2 -1����������������z4
01.13.27.0068.01
cos-1ikjjjjjjjr z-c $%%%%%%%%%%%%%%%%%%z2 c
������������r2
+ 1y{zzzzzzz �
������2
-r
�����������������������������������������������������������������������������������2 z2 c �!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
-r2 z-4 c Hz2 c + r2 L $%%%%%%%%%%%%%%%%%%z2 c������������r2
+ 1ikjjjjjjjΠ $%%%%%%%%%%%%%-
r2������������z2 c
zc + 2 r csch-1 J zc
��������r
Ny{zzzzzzz01.13.27.0069.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!a + z
�������������������������!!!z y{zzzzz �������2
-�!!!!!!!!!!!a + z
������������������������������������������"#############a����z + 1 �!!!z ikjjjjjj Π
������2
- $%%%%%%%%%%-a������z
$%%%%%%z������a
csch-1ikjjjjjj$%%%%%%z
������a
y{zzzzzzy{zzzzzz01.13.27.0070.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z + 1
�������������������������!!!z y{zzzzz ��!!!!!!!!!!!z + 1
�������������������������������������!!!z "#########z+1����������z
ikjjjjjjj$%%%%%%%%%%-
1������z
�!!!z csch-1 I�!!!z M -������2
y{zzzzzzz +������2
01.13.27.0071.01
cos-1ikjjjjj �!!!!!!!!!!!z + 1
�������������������������!!!z y{zzzzz �������2
-�!!!!!!
-z �!!!!!!!!!!!z + 1���������������������������������������������!!!!!!!!!!!!!!
-z - 1 �!!!z ikjjjjjjj Π
������2
- $%%%%%%%%%%-1������z
�!!!z csch-1 I�!!!z My{zzzzzzz
http://functions.wolfram.com 21
Involving sech-1 ÿ
01.13.27.0072.01
cos-1 ikjjjj 1��������������!!!z y{zzzz �
�!!!!!!!!!!!z - 1�������������������������!!!!!!!!!!!1 - z
sech-1 I�!!!z MInequalitiesÿ
01.13.29.0001.01
cos-1 HxL ³ 0 �; x¤ £ 1 ß x Î Ñ
01.13.29.0002.01
cos-1 HxL £ Π �; x¤ £ 1 ß x Î Ñ
Zerosÿ
01.13.30.0001.01
cos-1 HzL � 0 �; z � 1
Historyÿ
| J. Herschel (1813) introduced the notation cos-1
The function cos-1 is often encountered in mathematics and the natural sciences.
http://functions.wolfram.com 22
Copyrightÿ
This document was downloaded from functions.wolfram.com, a comprehensive online compendium of formulas involving the special functions of mathematics. For a key to the notations used here, see http://functions.wolfram.com/Notations/.
Please cite this document by referring to the functions.wolfram.com page from which it was downloaded, for example:
http://functions.wolfram.com/Constants/E/
To refer to a particular formula, cite functions.wolfram.com followed by the citation number.e.g.: http://functions.wolfram.com/01.03.03.0001.01
This document is currently in a preliminary form. If you have comments or suggestions, please email [email protected].
© 2001, Wolfram Research, Inc.
http://functions.wolfram.com 23