how to implementation of braid group
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How to Implementation of Braid Group. Presenter: 陳國璋. Outline. Practical Comparison of Fast Public-Key Cryptosystem An Efficient Implementation of Braid Group A Mathmatica-package for algebraic braid groups. Practical Comparison of Fast Public-Key Cryptosystem. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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How to Implementation of Braid Group
Presenter: 陳國璋
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Outline
Practical Comparison of Fast Public-Key Cryptosystem
An Efficient Implementation of Braid Group A Mathmatica-package for algebraic braid grou
ps
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Practical Comparison of Fast Public-Key Cryptosystem
Priit Karu and Jonne Loikkanen
Seminar of Network Security, 2000
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Introduction
目的 在有限的環境下，如 smart card, PDA’s或手機，實作公開金鑰加密系統。
回顧 RSA, ECC, NTRU與 Braid Group 安全等級 (Security Level) 實作 (Implementation)
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About RSA
1997, Shamir, Rivest and Adelman所提出。 要有相當長的運算子 (Operands)的模數計算
(Modular arithmetic) 。 在有限環境下， RSA的效能非常慢。 由於因數分解問題， RSA的金鑰長度非常長，一般來說是 1024-bits。
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About ECC 1976, Whitfield Diffie and Martin Hellman所提出。
Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECPLD)
縮小金鑰長度，減少頻寬。 安全等級 (Security Level)
ECC112 = RSA512 ECC168 = RSA1024 ECC196 = RSA2048
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About ECC
實作 ECC，必須選擇明確的 field Binary field GF(2n)
適合在硬體上實作 Prime field GF(p)
運算速度慢 Even composite fields GF((2n)m)
容易被破解 Optimal Extension Fields GF(pm)
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About ECC
GF(pm), p = 2n – c, this paper: GF((214 - 3)12) Irreducible binomial P(x) = xm – w, this paper:
P(x)=x12 - 2 選擇 n，讓 2n滿足處理器的暫存器長度。 c, w是個小值，通常為 1, 2或 3。
使用加法來取代乘法。
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About ECC
使用 OEFs優勢 加速 modular reductions
2n = c mod p 加速 operations modulo polynomial P(x)
xm = w mod P(x)
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About ECC Class Oef
實作 field運算 Inversion
Polynomial version of Extended Euclidean algorithm Binary extended gcd algorithm
Multiplication Accumulation-and-then-reduction technique
Class Ec 實作橢圓曲線運算
測試機制為 ElGamal scheme
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About NTRU
Presented by Jeffrey Hoffstein at CRYPTO’96 and was published in 1998.
代數結構為特殊的多項式環 (Polynomial rings)
難題為給定一個網格 (Lattice)，找最短的向量是困難的。
Γ為多項式環， irreducible poly為 XN – 1 Γ = Z[X] / (XN - 1)
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About NTRU
安全等級 (Security Level) NTRU167 = RSA512 NTRU263 = RSA1024 NTRU503 = RSA2048
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About Braid Group
1925, Emil Artin所提出。 代數群為辮群。
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About Braid Group
K. H Ko, S. J. Leem J. H. Cheon, J. W. Han, J. Kang and C. Park.New Public-key Cryptosystem Using Braid GroupAccepted at CRYPTO’2000
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About Braid Group
Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
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Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
About Braid Group
提供 permutation表示法。 提供 permutation運算。 n-permutation能表示成 n個整數的陣列。 有文章提出將 n-permutation(有 n!個 )轉換成一個整數與不同的 transitions表示法，並建立運算表方便計算。這在有限環境下是個非常大的負擔。
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About Braid Group
將辮子轉換成一個基辮與一連串的 permutation 。
Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
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Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
About Braid Group
將辮子轉換成唯一表示法 Left Canonical Form (LCF) 提供 inverse LCF與 product LCF計算。
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Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
About Braid Group
Inverse LCF 必須看過所有的 permutation才有辦法計算
The complexity of inverse permutation is O(n), n is braid index.
The complexity of inverse LCF is O(np), p is the canonical length.
Product LCF 將一個 LCF轉成 permutations，接在另一個 LCF的左邊
Permutation個數將逼近 n! 找 maximal tail，在 worst case的時間複雜度為 O(n2)
整體來說會是 O(q(p+q)n2)， p,q為 canonical length，有時會慢於理論上的 O(pqnlogn)
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Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
About Braid Group
提供加密機制，產生金鑰、加密、解密等等運算。
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About Braid Group
空間需求 一個 permutation需要一個陣列，大小為 n p個 permutation需要 p個陣列，所以一個辮子所需空間為 O(np)
辮子相乘，只要複製特定辮子即可達成。 沒有額外的運算表，沒有額外資料結構。 總空間需求為 O(np)
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About Braid Group
安全等級 (Security Level) p = 2, q = 2, n = 48, 在 300MHz計算環境下，在
4*108年才有辦法破解，同等於 RSA1024。
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Conclusion
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An Efficient Implementation of Braid Group
J. C. Cha, K. H. Ko, S. J. Lee, J. W. Han and J. H. Cheon
LNCS 2002
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Canonical Factors - Data Structure
Artin表示法的標準因子 (Canonical factor)是一個 n-permutation，也就是有 n個整數的陣列。
第 i條線接到 A[i]位置。 A稱為 permutation table
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Canonical Factors - Operations
Comparison : O(n) Product and Inverse : O(n) The Automorphism : O(n)
The automorphism τ defined by τ(a) = D-1aD Sends canonical factors to canonical factors. Time complexity of τu(a) = O(n)
Meet : O(nlogn)
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Braids – Data Structure
B = DqA1A2…Ap = (q, (Ai)) D為基辮 Ai為標準因子 (Canonical factor) B的標準長度為 p
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Braids - Operations
Group operations Product : O(pn)
(DqA1…Ap)(DsB1…Bt) = Dq+sτq(A1)…τq(Ap)B1…Bt
Inverse : O(pn) (DqA1…Ap)-1 = D-(q+p)τ-(q+p)(Ap
-1D)…τ-(q+p)(A1-1D)
Left Canonical Form : O(p2nlogn) Comparison : O(p2nlogn)
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Braids - Operations
Left-weighted P : positive braid, P = AB, A,B≧e S(P) : starting set, S(P) {1, …, ⊂ n-1} S(P) = {i | P = σiPi, Pi ≧ e} F(P) : finishing set, F(P) {1, …, ⊂ n-1} F(P) = {i | P = Piσi, Pi ≧ e} Left-weighted factorization if S(B)⊂F(A) Right-weighted factorization if F(A)⊂S(B) P = (σ2σ3σ5)(σ2σ3) = AB
S(B) = {2, 3} ⊂ F(A) = {2, 3, 5}
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Braids - Operations Left Canonical Form
P = DqP’, P’ = A1…Ap
∀i, S(Ai+1)⊂F(Ai) If S(Ai+1)⊂F(Ai)
Select j ∈ Ai+1 with j ∈ Ai 從後面辮子找一個沒有出現在前面辮子的單位辮
Bi = Aiσi and Bi+1 = σi-1Ai+1
將此單位辮從後面辮子移除，並放到前面辮子 Replace Ai, Ai+1
取代 Check and continue
檢查條件並繼續
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Braids - Operations
Left Canonical Form 先從 [Ap-1Ap], [Ap-2Ap-1Ap], …, [A1…Ap = P]中找 ma
ximal head當初始辮 A, B : Canonical factor
Max-head(AB) = A[(DA-1)∧LB]
LCF轉換演算法跟 Bubble Sort非常類似 先找最長的辮子 將它補成 Left-weighted factorization 對剩下的元素重複以上動作
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拿掉單位辮
拿掉基辮
補成 Left-weighted factorization
Braids - Operations
找 maximal head
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Conclusion
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A Mathmatica-package for algebraic braid groups
Ville Lukkarila
Turku Centre for Computer Science
Technical Report, 2005
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Technical Report
提供所有辮群的表示法。 Word Permutation LCF / MCF / RCF Buran Lawrence-Krammer
提供幾乎所有辮群上的運算。 辮群視覺化。
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Summary
Permutation - class
ListElement - class
WordAlgorithm - class
BraidCryptoSystem - class
Technical Report