hłph×Ìngtrœnh˚¨ixÙng v•ph…n˚¨ixÙng trong˚—is¨ · b¸gi†odÖcv•˚•ot—o...
TRANSCRIPT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ THÙY
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
VÀ PHẢN ĐỐI XỨNG
TRONG ĐẠI SỐ
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 0113
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2014
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Phản biện 1: TS. Trương Công Quỳnh.
Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng.
Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày
14 tháng 06 năm 2014.
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.
• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.
1
MỞ ĐẦU1 . Lý do chọn đề tài
Hệ phương trình là một mảng kiến thức chuyên đề rất quan
trọng trong chương trình Toán phổ thông. Lớp các hệ phương trình
rất phong phú và đa dạng, là dạng toán có nhiều phương pháp
giải rất linh hoạt. Trong những năm gần đây hệ phương trình đối
xứng và phản đối xứng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
học sinh giỏi, đề thi Olympic và các đề thi tuyển sinh Đại học và
Cao đẳng,. . . Vì vậy việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan
đến hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng là rất cần thiết.
Luận văn “ Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong đại
số” sẽ trình bày cơ sở lí thuyết, phương pháp giải hệ và phương
pháp giải các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng và phản
đối xứng trong đại số.
2. Mục đích nghiên cứu:
Luận văn “Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong
đại số” nhằm thể hiện rõ vai trò quan trọng của hệ phương trình
trong đại số. Luận văn nhằm tổng quan về hệ phương trình đối
xứng và phản đối xứng thông qua các định nghĩa, định lý và các
bài tập áp dụng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các tài liệu về đa thức đối xứng, phương
trình và hệ phương trình trong trong đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên
hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm
được, đồng thời sử dụng các trang web như: www.diendantoanhoc.net,
www.mathvn.com, www.vntoanhoc.com.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức
từ đó sắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các
ứng dụng theo đề tài đã chọn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về hệ phương
trình đối xứng và phản đối xứng trong đại số. Tạo được một đề tài
phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường
trung học phổ thông.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Hệ phương trình đối xứng
Chương 3: Các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng và
phản đối xứng
3
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức về đa thức đối xứng,
phương trình đối xứng và phản đối xứng cùng các tính chất liên
quan. Chương này tham khảo ở tài liệu [1].
1.1. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI BIẾN
1.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.
Ví dụ 1.1.
Định nghĩa 1.2.
Định nghĩa 1.3.
Ví dụ 1.2.
Định nghĩa 1.4.
Định nghĩa 1.5. Đa thức P (x, y) được gọi là đối xứng, nếu nó
không thay đổi khi đổi chổ của x và y, nghĩa là
P (x, y) = P (y, x).
Ví dụ 1.3.
4
Định nghĩa 1.6. Ký hiệu
σ0 = 1, σ1 = x+ y, σ2 = xy.
Các đa thức σj (j = 0, 1, 2) được gọi là các đa thức đối xứng cơ
sở của các biến x, y.
Định nghĩa 1.7.
1.1.2. Tổng lũy thừa và công thức Waring
Định nghĩa 1.8. Các đa thức sk = xk +yk (k=1,2, . . . ) được gọi
là các tổng lũy thừa bậc k của các biến x, y.
Định lý 1.1. Mỗi tổng lũy thừa sm = xm + ym có thể biễu diễn
được dưới dạng một đa thức bậc m của σ1 và σ2.
Định lý 1.2 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa sk được biểu
diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở σ1, σ2 theo công thức:
skk
=
[k/2]∑m=0
(−1)m(k −m− 1)!
m!(k − 2m)!σk−2m1 σm2 , (1.2)
trong đó [k/2] là kí hiệu phần nguyên của số k/2.
1.1.3. Các định lý cơ bản về đa thức đối xứng hai biến
Định lý 1.3 (Định lý cơ bản). Mọi đa thức đối xứng P (x, y)
theo các biến x, y đều có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức
p(σ1, σ2) theo các biến σ1 = x+ y và σ2 = xy, nghĩa là
P (x, y) = p(σ1, σ2).
Định lý 1.4 (Tính duy nhất).
5
1.2. ĐA THỨC ĐỐI XỨNG BA BIẾN
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.9.
Định nghĩa 1.10.
Định nghĩa 1.11. Đa thức P (x, y, z) được gọi là đối xứng, nếu
nó không thay đổi với mọi hoán vị của (x, y, z), nghĩa là
P (x, y, z) = P (x, z, y) = P (y, x, z) = P (z, x, y).
Ví dụ 1.4.
Định nghĩa 1.12.
Định nghĩa 1.13.
1.2.2. Tổng lũy thừa
Định nghĩa 1.14.
Định lý 1.5. (Công thức Newton). Với mọi k ∈ Z, ta có hệ thức
sk = σ1sk−1 − σ2sk−2 + σ3sk−3 (1.1)
Định lý 1.6.
Định lý 1.7 (Công thức Waring). Tổng lũy thừa skđược biễu
diễn qua các đa thức đối xứng cơ sở theo công thức:
skk
=∑
`+2m+3n=k
(−1)k−`−m−n(`+m+ n− 1)
`!m!n!σ`1σ
m2 σ
n3
6
1.2.3. Các định lý cơ bản của đa thức đối xứng ba biến
Định lý 1.8.
Định lý 1.9 (Định lý duy nhất).
Mệnh đề
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Định nghĩa 1.15. Đa thức
f(z) = a0zn + a1z
n−1 + · · ·+ an−1z + an (a0 6= 0)
được gọi là đa thức có hệ số đối xứng, nếu hệ số cách đều hai đầu
bằng nhau, nghĩa là
a0 = an, a1 = an−1, a2 = an−2, . . . . . .
Phương trình của đa thức đối xứng được gọi là phương trình đối
xứng.
Định lý 1.10.
1.4. ĐA THỨC PHẢN ĐỐI XỨNG
Định nghĩa 1.16. Đa thức phản đối xứng là đa thức thay đổi
dấu khi thay đổi vị trí của hai biến bất kỳ.
Định lý 1.11 (Định lý Bezout).
Định lý 1.12.
Định lý 1.13.
Định nghĩa 1.17.
7
CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Trong chương này ta trình bày phương pháp giải các bài toán
về hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng. Chương này tham
khảo ở các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5].
2.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1
2.1.1. Định nghĩa
Giả sử P (x, y) và Q(x, y) là các đa thức đối xứng. Xét hệ
phương trình:
{P (x, y) = 0
Q(x, y) = 0(I)
Bằng cách đặt x+ y = σ1,xy = σ2, trên cơ sở Định lý cơ bản,
ta đưa hệ (I) về dạng :
{p(σ1, σ2) = 0
q(σ1, σ2) = 0(II)
Nhìn chung thì hệ phương trình (II) đơn giản hơn hệ (I) và ta
có thể tìm được nghiệm (σ1, σ2). Sau khi tìm được các giá trị của
σ1, σ2, cần phải tìm các giá trị của các ẩn số x và y là nghiêm của
hệ (I). Điều này có thể thực hiện được nhờ định lý sau đây.
8
Định lý 2.1. Giả sử σ1 và σ2 là các số thực nào đó. Khi đó
phương trình bậc hai
z2 − σ1z + σ2 = 0 (2.1)
Và hệ phương trình {x+ y = σ1
xy = σ2(III)
liên hệ với nhau như sau: nếu z1, z2 là nghiệm của phương trình
(2.1), thì hệ (III) có nghiệm (x, y) = (z1, z2), (x, y) = (z2, z1) và
ngoài ra không còn có nghiệm nào khác.
Ngược lại, nếu x = a, y = b là nghiệm của hệ (III) thì các số
a, b là nghiệm của phương trình (2.1)
Chứng minh. Nếu z1, z2 là nghiệm phương trình (2.1) thì theo
công thức Viète:
z1 + z2 = σ1, z1z2 = σ2
Suy ra
{x1 = z1
y1 = z2và
{x2 = z2
y2 = z1là các nghiệm của hệ (III). Vấn
đề chứng minh hệ không còn nghiệm nào khác sẽ được suy ra từ
mệnh đề sau cùng của định lý và sẽ được chứng minh dưới đây.
Giả sử x = a, y = b là nghiệm của hệ (III), nghĩa là a+b = σ1,
ab = σ1σ2.
Khi đó ta có
z2 − σ1z + σ2 = z2 − (a+ b)z + ab = (z − a)z − b).
Điều đó chứng tỏ rằng các số a, b là nghiệm của phương trình
bậc hai (2.1). Định lý được chứng minh.
9
Cuối cùng chú ý rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình
(2.1) có nghiệm là
∆ = σ21 − 4σ2 ≥ 0.
2.1.2. Bài tập áp dụng
Bài toán 2.1.
Bài toán 2.2.
Bài toán 2.3.
Bài toán 2.4.
Bài toán 2.5. Giải hệ phương trình1
x+
1
y= 9
(13√x
+13√y
)(1 +13√x
)(1 +13√y
) = 18
Lời giải.
Đặt a =13√x, b =
13√y.
Hệ phương trình trở thành:{a3 + b3 = 9
(a+ b)(1 + a)(1 + b) = 18⇔
{(a+ b)3 − 3ab(a+ b) = 9
(a+ b)(1 + a+ b+ ab) = 18
Đặt a+ b = σ1, ab = σ2.
Hệ phương trình trở thành:{σ31 − 3σ1σ2 = 9
σ1(σ1 + σ2 + 1) = 18⇔
{σ31 − 3σ1σ2 = 9
σ21 + σ1σ2 + σ1 = 18
⇔
{σ31 − 3σ1σ2 = 9
σ1σ2 = 18− σ1 − σ21thực hiện phép thế ta được:
10
σ31 + 3σ21 + 3σ1 − 63 = 0⇔ (σ1 + 1)3 = 64⇔ σ1 = 3
Ta suy ra : σ2 = 2.
Do đó a, b là nghiệm của hệ :
{a+ b = 3
ab = 2
Nghiệm của (a, b) là: (1; 2), (2; 1)
Vậy nghiệm (x, y)là:
(1;
1
8
),
(1
8; 1
)Bài toán 2.6.
Bài toán 2.7.
Bài toán 2.8.
Bài toán 2.9.
Bài toán 2.10.
Bài toán 2.11.
Bài toán 2.12. Giải hệ phương trìnhx+ y + z = 2
x2 + y2 + z2 = 6
x3 + y3 + z3 = 8
Lời giải. Đặt σ1 = x+y+ z = 2, σ2 = xy+xz+yz, σ3 = xyz.
Sử dụng công thức Waring ta có
x2 + y2 + z2 = σ21 − 2σ2, x3 + y3 + z3 = σ31 − 3σ1σ2 + 3σ3.
Do đó hệ phương trình trở thành
σ1 = 2
σ21 − 2σ2 = 6
σ31 − 3σ1σ2 + 3σ3 = 8
.
Giải hệ này ta tìm được σ1 = 2, σ2 = −1, σ3 = −2.
11
Theo đó ta có x, y, z là nghiệm của phương trình
u3 − 2u2 − u+ 2 = 0⇔ (u2 − 1)(u− 2) = 0.
Nghiệm của phương trình này là u1 = −1, u2 = 1, u3 = 2.
Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho là những bộ (x, y, z):
(−1, 1, 2); (−1, 2, 1); (1,−1, 2); (1, 2,−1); (2,−1, 1); (2, 1,−1)
Bài toán 2.13.
Bài toán 2.14.
2.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
2.2.1. Định nghĩa
Hệ phương trình đối xứng loại 2 đối với ẩn x, y là hệ nếu đổi
vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình
kia của hệ.
2.2.2. Phương pháp giải
{f(x, y) = 0
f(y, x) = 0
Để giải hệ trên ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Trừ hai phương trình cho nhau đưa về hệ phương trình{f(x, y) = 0
(x− y)g(x, y) = 0
Bước 2: Hệ trên tương đương với
{x = y
f(x, y) = 0∨
{f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
12
Bước 3: Giải các hệ ở bước 2 rồi kết luận nghiệm.
- Ngoài phương pháp trên thì còn có các phương pháp khác
để giải hệ đối xứng như: phương pháp đánh giá, phương pháp sử
dụng tính đơn điệu của hàm số.
2.2.3. Bài tập áp dụng
Bài toán 2.15.
Bài toán 2.16.
Bài toán 2.17.
Bài toán 2.18.
Bài toán 2.19.
Bài toán 2.20. Giải hệ phương trình{x2 +
√x = 2y
y2 +√y = 2x
Lời giải. Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Dễ thấy nếu x = 0 thì y = 0
và ngược lại nên hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0)
Ta xét x > 0 và y > 0. Xét hàm số f(t) =t2 +
√t
2, t > 0
Ta thấy f ′(t) = t+1
4√t> 0, ∀t > 0⇒ f(t) là hàm đồng biến
trên (0; +∞).
Hệ đã cho được viết lại
{x = f(y)
y = f(x).
Nếu x > y thì f(x) > f(y)⇒ y > x (vô lí). Tương tự, nếu x < y
thì cũng vô lí.
Vậy x = y thay vào hệ ta được:
13
x2 +√x = 2x⇔ x
√x+ 1 = 2
√x⇔ (
√x− 1)(x+
√x− 1) = 0
⇒
x = 1
x =3−√
5
2
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (0; 0), (1; 1),
(3−√
5
2,3−√
5
2
).
Bài toán 2.21.
Bài toán 2.22.
Bài toán 2.23.
Bài toán 2.24. Giải hệ phương trình sau:x+ xy + y = 1 (1)
y + yz + z = 4 (2)
z + zx+ x = 9 (3)
Lời giải. x+ xy + y = 1⇔ x(y + 1) = 1− y ⇔
x =1− y1 + y
y 6= −1
z + zx+ x = 9⇔ x(1 + z) = 9− z ⇔
x =9− z1 + z
z 6= −1
Từ đó ta suy ra
1− y1 + y
=9− z1 + z
⇔ 1− yz + z − y = 9− yz + 9y − z
⇔ 5y − z + 4 = 0⇔ z = 4 + 5y (y, z 6= −1) (*)
Thay (*) vào (2) ta có : y + y(4 + 5) + 4 + 5y = 4
⇔ 10y + 5y2 = 0⇔
[y = 0⇒ x = 1, z = 4
y = −2⇒ x = −3, z = −6
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x, y, z) là (1, 0, 4) và (−3,−2,−6)
14
2.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ĐỐI XỨNG
2.3.1. Định nghĩa
Hệ phương trình phản đối xứng là hệ có dạng:{P (x, y) = 0
Q(x, y) = 0
trong đó
{P (x, y) = P (y, x)
Q(x, y) = −Q(y, x)hoặc
{P (x, y) = −P (y, x)
Q(x, y) = −Q(y, x)
2.3.2. Bài tập áp dụng
Bài toán 2.25.
Bài toán 2.26.
Bài toán 2.27. Giải hệ phương trình:{(x2 + y2)(x− y) = 13
(x2 − y2)(x+ y) = 25
Lời giải.
Hệ phương trình tương đương với{25(x2 + y2)(x− y) = 13.25
(x2 − y2)(x+ y) = 25
Thay phương trình 2 vào phương trình 1 ta được:
25(x2 + y2)(x− y) = 13(x2 − y2)(x+ y)
⇔ (x−y)[25(x2+y2)−13(x+ y)2] = 0⇔
[x− y = 0
25(x2 + y2) = 13(x+ y)2
15
⇒ x = y hoặc x =3y
2;x =
2y
3ới x = y thì hệ vô nghiệm
Với x =3y
2⇒ y3 = 8⇒ y = 2⇒ x = 3
Với x =2y
3⇒ y3 = −27⇒ y = −3⇒ x = −2
Vậy nghiệm của hệ là : (3; 2); (− 2;−3)
Bài toán 2.28.
Bài toán 2.29.
16
CHƯƠNG 3
CÁC DẠNG TOÁN ĐƯA VỀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ
PHẢN ĐỐI XỨNG
Chương này trình bày các bài toán đưa về hệ phương trình
đối xứng và phản đối xứng. chương này tham khảo ở các tài liệu
[2], [3], [4].
3.1. CÁC DẠNG TOÁN ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỐI XỨNG
3.1.1. Các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng
loại 1
Bài toán 3.1. Giải phương trình
x+√
17− x2 + x√
17− x2 = 9.
Lời giải.
Đặt y =√
17− x2. Điều kiện của x, y là |x| ≤√
17, y ≥ 0.
Với các điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với
hệ sau: {x+ y + xy = 9
x2 + y2 = 17
Đặt a = x+ y, b = xy. Khi đó ta có hệ phương trình
17
{a+ b = 9
a2 − 2b = 17
Giải phương trình này ta được{a = 5
b = 4;
{a = −7
b = 16
Với a = 5, b = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình
t2 − 5t+ 4 = 0
Giải hệ phương trình này ta được{x = 1
y = 4;
{x = 4
y = 1
Với a = −7, b = 16 thì x, y là các nghiệm của phương trình
t2 + 7t+ 16 = 0
Phương trình trên vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 và x = 4
Bài toán 3.2.
Bài toán 3.3.
Bài toán 3.4.
Bài toán 3.5.
Bài toán 3.6.
18
3.1.2. Các dạng toán đưa về hệ phương trình đối xứng
loại 2
i)Dạng xn + b = a n√ax− b
Phương pháp giải:
+Bước 1: Đặt điều kiện nếu có
+Bước 2: Đặt t = n√ax− b⇒ tn = ax− b⇒ tn + b = ax.
Phương trình trở thành
{xn + b = at
tn + b = axlà hệ phương trình
đối xứng loại 2 theo t, x.
+Bước 3: Giải hệ ta tìm được x
Bài toán 3.7. Giải phương trình
x3 + 1 = 2 3√
2x− 1.
Lời giải. Đặt t = 3√
2x− 1 ta có hệ phương trình:{x3 + 1 = 2t
t3 + 1 = 2x⇔
{x3 + 1 = 2t
x3 − t3 = 2(t− x)
⇔
{x3 + 1 = 2t
(x− t)(x2 + t2 + tx+ 2) = 0⇔
{
x = t
x3 − 2x+ 1 = 0{x3 + 1 = 2t
x2 + t2 + tx+ 2 = 0
⇔
{
x = t
(x− 1)(x2 + x− 1) = 0{x3 + 1 = 2t
(x+ t)2 + x2 + t2 + 4 = 0(vn)
⇔
x = t x = 1
x =−1±
√5
2
19
Vậy nghiệm của phương trình là x =−1±
√5
2;x = 1.
ii)Dạng x = a +√
a +√x
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Điều kiện x ≥ 0
+ Bước 2: Đặt t = a+√x. Ta được hê phương trình{x = a+
√t
t = a+√x
là hệ đối xứng loại 2
+ Bước 3: Giải hệ ta tìm được x
Bài toán 3.8. Giải phương trình
7 +
√7 +√x = x.
Lời giải. Điều kiện: x ≥ 0 Đặt t = 7 +√x, phương trình trở
thành: {x = 7 +
√t
t = 7 +√x⇔
{x = 7 +
√t
x− t =√t−√x
⇔
{x = 7 +
√t
(√t−√x)(√t+√x+ 1) = 0
⇔
{x = 7 +
√t
√t =√x
⇔
{x−√x− 7 = 0
t = x⇔
x =1 +√
29
2
x =1−√
29
2t = x
Vì x ≥ 0 nên nghiệm của phương trình là x =1 +√
29
2..
20
iii) Dạng a− b(a− bx2)2
= x
Phương pháp:
+ Bước 1: Đặt t = a− bx2, ta có được hệ phương trình{a− bt2 = x
a− bx2 = t
là hệ phương trình đối xứng loại 2
+ Bước 2: Giải hệ phương trình ta tìm được x
Bài toán 3.9. Giải hệ phương trình
1− 2(1− 2x2)2
= x
. Lời giải.
Đặt t = 1− 2x2. Khi đó ta có hệ phương trình:{1− 2t2 = x
1− 2x2 = t⇔
{1− 2t2 = x
2(x2 − t2) = x− t
⇔
{1− 2t2 = x (1)
(x− t)(2x+ 2t− 1) = 0 (2)
Từ (2) ta suy ra t = x hoặc t =1
2− x
Với t = x thay vào (1) ta được phương trình −2x2−x+ 1 = 0
Giải phương trình này ta được x = −1; x =1
2
Với t =1
2−x thay vào (1) ta được phương trình 4x2− 2x− 1 = 0
Giải phương trình này ta được: x =1 +√
5
4; x =
1−√
5
4Vậy nghiệm của phương trình là:
x = −1; x =1
2; x =
1 +√
5
4; x =
1−√
5
4
21
Bài toán 3.10.
Bài toán 3.11.
iv) Dạng n√ax + b = c(dx + e)n+α với d = ac và e = bc + α
Phương pháp giải:
+ Bước 1: Đặt điều kiện nếu có
+ Bước 2:
Đặt dt+ e = n√ax+ b⇒ (dt+ e)n = ax+ b
⇒ c(dt+ e)n = dx+ e− αPhương trình trở thành{
dt+ e = c(dx+ e)n + α
dx+ e = c(dt+ e)n + α
là hệ đối xứng loại 2 theo t và x
+ Bước 3: Giải hệ ta tìm được x
Bài toán 3.12. Giải phương trình√4x+ 9
28= 7x2 + 7x.
Lời giải.
Điều kiện: x ≥ −9
4
Ta có
√4x+ 9
28= 7x2 + 7x⇔
√4x+ 9
28= 7
(x+
1
2
)2
− 7
4
Đặt t+1
2=
√4x+ 9
28(t ≥ −1
2) ⇒
(t+
1
2
)=
4x+ 9
28
⇒ 7
(t+
1
2
)2
= x+9
4. Khi đó ta có hệ
7
(x+
1
2
)2
= t+9
4
7
(t+
1
2
)2
= x+9
4
⇔
7
(x+
1
2
)2
= t+9
4
7(x− t)(x+ t+ 1) + (x− t) = 0
22
⇔
7
(x+
1
2
)2
= t+9
4(I)
(x− t)(7x+ 7t+ 8) = 0 (II)
Từ (II) ta suy ra t = x hoặc t = −x− 8
7Với t = x thay vào phương trình (I) ta được 14x2 − 12x− 1 = 0
Giải phương trình này ta được nghiệm
x =−6 + 5
√2
14; x =
−6− 5√
2
14(loại)
Với t = −x− 8
7thay vào phương trình (I) ta được
98x2 + 112x+ 9 = 0
Giải phương trình này ta được nghiệm
x =−8−
√46
14⇒ t =
−8 +√
46
14
x =−8 +
√46
14⇒ t =
−8−√
46
14(loại)
Vậy nghiệm của phương trình là x =−6 + 5
√2
14;x =
−8−√
46
14.
Bài toán 3.13.
Bài toán 3.14.
Bài toán 3.15.
Bài toán 3.16.
3.2. CÁC DẠNG TOÁN ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
PHẢN ĐỐI XỨNG
Bài toán 3.17. Giải phương trình sau
4√x− 2− 4
√3− x = 1.
23
Lời giải.
Điều kiện 2 ≤ x ≤ 3. Đặt u = 4√x− 2, v = 4
√3− x (u, v ≥ 0).
Phương trình trở thành {u− v = 1
u4 + v4 = 1
Đặt t = −v. Hệ phương trình trở thành{u+ t = 1
u4 + t4 = 1⇔
{u+ t = 1
[(u+ t)2 − 2ut]2 − 2(ut)2 = 1
⇔
{u+ t = 1
2(ut)2 − 4(ut) = 0
Giải hệ này ta được:{u+ t = 1
ut = 0hoặc
{u+ t = 1
ut = 2(loại vì 12 − 4.2 < 0)
Với
{u+ t = 1
ut = 0⇔
{u = 1
t = 0∨
{u = 0
t = 1
Hay
{u = 1
v = 0∨
{u = 0
v = −1
Vì v ≥ 0 nên ta chỉ có nghiệm{u = 1
v = 0⇔
{4√x− 2 = 1
4√
3− x = 0⇔ x = 3. Vậy nghiệm của phương
trình x = 3.
Bài toán 3.18.
Bài toán 3.19.
24
KẾT LUẬNLuận văn “ Hệ phương trình đối xứng và phản đối xứng trong
đại số” đã tập trung nghiên cứu trình bày một số vấn đề:
- Tìm hiểu và hệ thống hóa cơ sở lí thuyết của hệ đối xứng
và phản đối xứng.Trình bày các phương pháp chứng minh và các
tính chất của đa thức đối xứng hai và ba biến.
- Đưa ra các phương pháp để giải các bài toán về hệ phương
trình đối xứng và phản đối xứng.
- Trình bày các dạng toán đưa về hệ đối xứng và phản đối
xứng thông qua việc đưa ra các phương pháp giải ở dạng tổng
quát và các ví dụ minh họa.