hukum gaus dan potensial skalar.ppt
TRANSCRIPT
KELOMPOK 2
KELAS B /
PENDIDIDKAN
FISIKA
HUKUM GAUSS danPOTENSIAL SKALAR
Claudia Waloni
I Ketut Putra Yasa
PotensialSkalar
DefenisiPotensial
Skalar
PotensialMuatan Titik
tunggal
Potensialscalar dan
tenagapotensial
Potensialdistribusi
muatan bola seragam
DIRIVASI HUKUM GAUSS
Akan menunjukkan bahwa (Hukum Gauss) :
dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalamruang (volume) yang dilingkupi oleh suatu permukaan tertutup S sembarang.
Mengingat persamaan (3-2) bahwa
Maka
Ada dua kasus yang akan ditinjau.
Kasus 1 : ๐๐ berada didalam S (gambar 4.1).
letak elemen luas ๐๐ (dengan vekctor d ๐)relative terhadap muatan๐๐ ditunjukkan oleh ๐ ๐ ; berlaku bahwa
Dengan ๐ฮฉ =elemen sudut ruang yang berpangkal di ๐๐menyebar keluasda. Untuk mengevaluasi intergral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah bola ๐0 yang berjejari ๐ 0 dengan ๐๐sebagai pusatnya.
Sudut ruang ๐ฮฉ yang sama akan memotong luasan d ๐ pada bola ini; sepertitampak pada gambar 4-1, d ๐0 sejajar dengan ๐ ๐ Sedemikian sehingga jika kitamenggunakan persamaan (4-3) pada kasus ini, maka ๐ฮฉ sama dengan d๐0/๐ 2
0. Dengan demikian, integral persamaan (4-2) setara ditulis sebagai
Karena ๐ 0 tetap untuk semua titik dipermukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada didalamnya adalah 4๐ dapat ditulis
Kasus II : ๐๐di luar S (Gambar 4.2)
Ditinjau dua elemen luasan d ๐1 dan d ๐2 dari permukaan S yang terpotong olehsudut ruang ๐ฮฉ yang sama tetapi disisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari ๐๐ berturut-turut ditulis sebagai ๐ ๐1 ๐๐๐ ๐ ๐2. Seperti sebelumnya, kita akan punya.
dan karena ๐2 > ๐/2,sehingga ๐๐๐ ๐2 ๐๐๐๐๐ก๐๐ maka
Jadi
Sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol. Karena semua elemen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan dengancara seperti ini, maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dandengan demikian
Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2),(4-5), dan (4-7) diperoleh
Dan kita telah membuktikan hokum gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan
Sekarang muatan-muatan didalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat
muatan ๐, maka mautan totalnya adalah
Dengan V adalah Volume total ruang yang dilingkupi oleh S.
Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitua
maka persamaan (4-8) dapat ditulis sebagai
Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untu volume
infinitesimal, dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik
๐ธ:
Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell
BEBERAPA PENERAPAN HUKUM GAUSS
Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untukmenentuka medan listrik dari distribusi muatan memiliki simetri. Perlumemilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses integrasi(disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan dimana :
o๐ธ memiliki nilai yang tetap
o๐ธ memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaantersebut.
Muatan garis seragam panjang tak hingga
Asumsi :
โ= ๐ก๐๐ก๐๐๐๐
Muatan garis berimpit dengan sumbu z
Mengguanakan system koordinat silinder
Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaan di mana kita berada
sepanjang garis tersebut
Tidak ada yang membedakan nilai ๐ yang satu dengan nilainya yang lain karena
distribusi muatan tampak sama di mana pun kita melihat dari arah tegak lurus terhadap
sumbu z
๐ธ hanya bergantung pada jarak ๐ dari garis
Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang
Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya ๐ dan berkurangnya ๐
Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa ๐ธ hanya dapat memiliki arah radial : ๐ธ =๐ธ๐(๐) ๐
Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai ๐ธ yang tetap
Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4.3
Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss)
Vektor-veektor satuan normal
Meskipun ๐ธ๐ memiliki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada ๐ padaluasan-luasan lingkaran ini, tetapi ๐ธ tegak lurus terhadap vector-vector luasnya, sehingga sumbangannya kepada fluks akan lenyap
Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagai jumlahan dariintegral permukaan selimut dan tutup-tutup atas dan bawah (yang ditandai
oleh indeks s,a, dan b). Kita juga ingat bahwa juga ingat bahwa ๐ธ๐(๐) tetap
pada permukaan selubung karena ๐ tetap. Denagn demikian, dalam kasusini persamaan (4-1) menjadi :
Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk ๐ธ๐, panjang L sembarang
menjadi lenyap dan kita memperoleh ๐ธ๐ ๐ =๐
2๐๐๐0
Sehingga ๐ธ =๐
2๐๐0
๐
๐
yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasilangsung
Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga
Asumsi :
๐ = tetapan
Plat terletak pada bidang xy ; gambar memperlihatkan pandangandari sisi tepi plat.
Pemilihan titik asal system koordinat dan arah-arah sumbu x dansumbu y sembarang. Maka haruslah ๐ธ tidak bergantung pada x dan y
Tidak ada perbedaan antara kana dan kiri, atau menuju ataumenjauhi kertas,sehingga ๐ธ tidak memiliki komponen-komponenyang sejajar plat
Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehinggaarah ๐ธ harus selalu menjauhi plat ataau selalu menuju plat bergantung pada ๐
Jadi, permukaan tertutup pengitegrasian berupa sebuah silinder setinggi D keatas dan ke bawah plat serta tutup-tutup silinder seluas ฮa sejajar plat.
Vektor medan listrik ๐ธ memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutuptersebut
Tampak juga bahwa๐๐๐๐๐๐ adalah muatan pada plat yang terpotong olehpenampang silinder, dan dengan demikian sama dengan ฯฮa
Jadi dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi :
Tampak bahwa ๐ธ ๐ท = ๐/2๐0 yang tidak jelas tidak bergantung pada D; jadi medan lsitrik plat tipis ini diberikan oleh
Yang tepat sama seperti dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh denganintegrasi langsung
Bola Pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola
Asumsi
Muatan terkandung dalam bola berjari-jari a
Rapat muatan fungsi radial ๐ = ๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐
Jadi ๐ธ memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dandapat ditulis dalam bentuk ๐ธ = ๐ธ๐(๐) ๐
Besar ๐ธ konstan di permukaan bola berjari-jari r.
Jadi, persamaan (4-1) menjadi
Bola Pejal bermuatan terdistribusi seragam
Kasus ini seperti pada contoh sebelumnya tetapi dengan rapatmuatan ๐ = ๐ก๐๐ก๐๐๐๐, yaitu kita punya bola bermuatan seragamdengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi
Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai
sehingga
Yang menujukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.
Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak daripusat bola menurut persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikannilai yang sama, yaitu ๐/4๐๐0๐
2, di permukaan bola, yaitu r=a; jadi, medanlistrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola bermuatan
Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh gambar 4.5 di atas
Defenisi Potensial Skalar
Pada ungkapan medan listrik ๐ธ =1
4๐๐0 ๐=1
๐ ๐๐ ๐ ๐
๐ ๐2 (3.2), kita dapat
mengganti ๐ ๐
๐ ๐2 dengan โ๐ป
1
๐ ๐sehingga diperoleh
๐ธ ๐ = โ ๐๐๐
4๐๐0๐ป
1
๐ ๐= โ ๐ป ๐
๐๐
4๐๐0๐ ๐ โฒ(5-1)
Dengan ๐ ๐ = | ๐ โ ๐๐|
Didifenisikan medan scalar yang disebut sebagai potensial scalar ataupotensial eletrostatis :
Dengan kita dapat menulis ๐ธ ๐ = โ๐ปโ ๐ (5 โ 3)
Medan listrik merupakan negative gradient ptensial scalar ; dan berlaku bahwa ๐ป ร๐ธ = 0 (5 โ 4)
Satuan potensial scalar volt (v) ; dari persamaan (5-4), medan listrik dapat dinyatakandalam voltmeter yang kenyataannya sering digunakan
1 volt = 1 joule/coulomb
Mengingat teorema Stokes : โฎ๐๐ธ. ๐ ๐ = 0 (5 โ 5)dengan C adalah lisntasan tutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medanelektrostatik ๐ธ merupakan medan konservatif
Potensial scalar persmaan (5-2) diungkapkan dalam
Potensial listrik dari distribusi muatan kontinyu :
Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)
Jika potensial scalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang :
Integral garis medan๐ธ antara titik awal ๐1 ๐๐ ๐1 dan titik akhir ๐2 ๐๐ ๐2 serupadengan gambar 1.16
Jadi kita dapat menulis
Potensial Muatan titik tunggal
Ditinjau dari sebuah muatan titik Q yang terletak di ๐โฒ. Potensialnya, menurut persamaan (5-2)
Dengan ๐ = | ๐ โ ๐โฒ|. Dengan demikian medan listrik
Permukaan-permukaan ekipotensial diperoleh dengan memecahkanpersamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertetu untuk ๐; hasilnya adalah
Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu ๐ธ = โ๐ปโ , denganpersamaan (4-10), yaitu ๐ป ร ๐ธ = ๐/๐0, maka diperoleh bahwa
๐ป2๐ = โ๐
๐05 โ 15
Dengan kata lain, potensial scalar memenuhi persamaan diferensial iniyag dikenal sebagai โpersamaan poissonโ. Di dalam daerah dimana
๐ = 0, persamaan (5-15) berubah menajdi โpersamaan Laplaceโ๐ป2โ = 0 (5 โ 16)
Potensial Distribusi muatan bola seragam
Ditinjau : bola berjejari a , bermuatan total Q, rapat muatan tetap
๐ =๐
๐=
3๐
4๐๐3 akan dihitung potensial scalar titik sejauh ๐ dari pusat bola (Gambar
5.5)
Jadi diperoleh
Integrasian ke ๐๐โฒ dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2๐. Jika kitamenggunakan ๐ = ๐๐๐ ๐โฒ, maka persamaan (5-17) menjadi
Integrasian ke ๐ dapat diperoleh dengan menggunakan table integral, hasilnya
Potensial scalar dan tenaga potensial
Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah
gaya elektrostatik ๐น๐ dan sebuah gaya mekanik ๐น๐,๐. ๐น๐ + ๐น๐,๐ = ๐๐ธ + ๐น๐,๐ = 0
Atau ๐น๐,๐ = โ๐๐ธ (5 โ 24)
Jika kita tulis
๐1โ2 = 12 ๐น๐,๐. ๐ ๐ = โ๐ 1
2๐ธ. ๐ ๐ = ๐[โ ( ๐2) โ โ ( ๐1)] = ๐โโ (5 โ 25)
Kerja yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial โ๐๐ muatansehingga persamaan (5.25) menjadi
โ๐๐ = ๐[โ ( ๐2) โ โ ( ๐2)]=qโโ (5 โ 26)
Tenaga potensial sebuah muatan q di ๐, yaitu sebagai ๐๐( ๐), sebagai๐๐ ๐ = qโ ( ๐)
KESIMPULAN
Derivasi Hukum Gauss akan menunjukkan bahwa (hokum gauss) :
โฎ๐ ๐ธ. ๐ ๐ =1
๐0
๐๐๐๐๐๐๐
๐๐ =๐๐๐๐๐๐
๐0
Beberapa penerapan Hukum Gauss
- Muatan garis seragam panjang tak hingga
- Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga
- Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam
Potensial scalar
- Definisi potensial scalar
- Potensial muatan titik tunggal
- Potensial distribusi muatan bola seragam
- Potensial scalar dan tenaga potensial