Matematicas Avanzadas−Tarea 2

Dr Lino AA Notarantonio

September 1, 2015

Las secciones mencionadas hacen referencia al libro de texto.

Seccion 9.4−Funciones de variable compleja

1. Expresa las funciones a continuacion en la forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

(a) f(z) = 7z + 9iz + 3 − 2i

(b) f(z) = z4 + z2 + 9z

(c) f(z) =z + 1

z − 4

(d) f(z) =z − 2

z2 − 4

2. Senala los puntos en los que la funcion dada no esta definida.

(a) f(z) =2z − 1

z2 + 4

(b) f(z) =z − 2

z3 + 1Tip Cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raıces complejas. Si elgrado del polinomio es impar, por lo menos una de las raices es real. Investigael topico raices de la unidad (roots of unity, en ingls) para encontrar talesraices.

(c) f(z) =1

z4 − 1(Ve el tip del problema arriba.)

Seccion 9.5 – Ecuaciones de Cauchy-Riemann

1. Las funciones a continuacion son analıticas para cualquier z. Verifica que las ecua-ciones de Cauchy-Riemann se cumplen en cualquier punto.

(a) f(z) = z3 + z

(b) f(z) = z4 + z2 + 9

1

2. Usa las ecuaciones de Cauchy-Riemann para demostrar que la funcion indicada esanalıtica en un dominio adecuado.

(a) f(z) = ex cos(y) + iex sin(y)

(b) f(z) = x+ sin(x) cosh(y) + i (y + cos(x) sinh(y))

Seccion 9.6 – Funciones exponenciales y logarıtmicas

1. Usa la definicion de exponencial complejo, ez = exeiy = ex (cos(y) + i sin(y)), paraexpresar la funcion dada en la forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y).

(a) f(z) = e2z

(b) f(z) = e1/z

2. Determina todos los valores que cumplen con la ecuacion indicada.

(a) e2z−1 = −ie2

(b) ez+4 = i

(c) e2z + ez + 1 = 0

3. Determina el valor principal (angulo de la fase que se encuentra en el intervalo (−π, π)de la cantidad indicada.

(a) (i)i

Tip Usa la identidad ab = eb log(a).

(b) (−1)i

(c) (−1 + i)i

Seccion 9.7 – Funciones trigonometricas e hiperbolicas

Usa las expresiones

cos(z) = cos(x) cosh(y) − i sin(x) sinh(y)

sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)

y expresa la cantidad indicada en la forma a+ ib.

1. cos(3i)

2. sin(1 − i)

2