hwei p. hsu - analisis_de_fourier

ANÁLISIS DE FOURIER

Hwei P. HsuAssociate ProfessorDepartment of Electrical EngineeringWayne State University, Michigan

Raj Mehra , Editor

Bogotá • Caracas • México • Panamá • San Juan • Santiago • Sáo Paulo

Versión en español autorizada de la obra inglesa titulada FourierAnalysis por Hwei P. Hsu, edición revisada de 1970, publicada y puestaa la venta a través del mundo con permiso de Simon & Schuster, Inc.,Nueva York, N.Y., E.U.A., quien posee todos los derechos de publi-cación y venta de la obra.

This volume is an authorized Spanish translation of Fourier Anal ysis

by Hwei P. Hsu, published and sold throughout the world by permis-

sion of Simon & Schuster, Inc., New York, N.Y., U.S.A., the owner of

all rights to publish and se¡¡ the same. Copyright © 1970 by Simon

& Schuster, Inc.

© 1973 por FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S.A.

Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden serreproducidos, archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algúnsistema electrónico, mecánico de fotorreproducción, memoria, o cualquierotro sin permiso escrito del editor.

Printed in the United States of America. Impreso en E.U.A.BCD E FG H IJ-AL-798754

PROLOGO

La Théorie analytique de la chaleur , de Jean-Baptiste -Joseph Fourier , introdujo los métodos sencillos para lasolución de los problemas de valor en la frontera , que se presentan en el tratamiento analítico de la conducción delcalor. Sin embargo , este "gran poema matemático", como Lord Kelvin denomino al análisis de Fourier, se ha exten-dido a muchas otras aplicaciones físicas diferentes a las del calor. En efecto, el análisis de Fourier se ha convertido enun instrumento indispensable en el tratamiento de casi toda recóndita cuestión de física moderna , teoría de comu-nicaciones , sistemas lineales, etc.

El objetivo del autor al escribir este libro, es desarrollar completamente el análisis clásico de Fourier y mostrarsu relación con las aplicaciones modernas.

El libro está destinado a estudiantes de matemáticas, física y las diversas ramas de ingeniería ; se puede utilizarpara un curso formal de análisis de Fourier , así como en los numerosos cursos relacionados que presentan y empleanlas técnicas de Fourier ; tiene la ventaja de ser un libro de texto y de repaso ; como texto es suficientemente completoy detallado como para no requerir referencias adicionales ; y en la forma directa que caracteriza al libro de repaso,suministra cientos de problemas solucionados completamente , en los cuales se utilizan la teoría y técnicas esenciales.

Los conceptos nuevos, las definiciones y los teoremas fundamentales importantes ( o resultados) aparecen en eltexto sobre fondo sombreado ; los conjuntos de problemas graduados , resueltos completamente , que constituyen laparte integral del libro, ilustran y amplían los conceptos y desarrollan las técnicas de Fourier ; los problemas suple-mentarios están ideados no sólo para servir como ejercicios , sino también como medio de fortalecer la habilidad yperspicacia necesarias en la utilización práctica de las técnicas de Fourier.

Los tres primeros capítulos tratan las series de Fourier y el concepto de espectros de frecuencia; a continua-ción se incluye un capítulo relacionado con la integral y la transformada de Fourier , y luego uno sobre las transfor-madas de Fourier de funciones especiales . En la segunda parte del libro se estudian las aplicaciones del análisis deFourier a sistemas lineales , teoría de comunicaciones, y problemas de valor en la frontera : el capítulo final se rela-ciona con aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier.

El único requisito formal para comprender el análisis de Fourier, es el conocimiento del cálculo elemental; sinembargo, en la segunda parte del libro se supone que el estudiante está familiarizado con el caculo avanzado y lasmatemáticas aplicadas.

El autor desea agradecer a Raj Mehra y Rhea Nichols , de Simon & Schuster, Inc., por sus esfuerzos editorialesen la revisión de la primera edición; así mismo, el autor reconoce el estímulo recibido del profesor Forest E.Brammer, y Edward F. Weller, Jr., así como la colaboración de Dennis F . Wilkie y Eugene A. Hanysz.

Hwei P. Hsu

Southfield, Michigan

CONTENIDO

1CAPITULO

2CAPITULO

3CAPITULO

4CAPITULO

SERIES DE FOURIER1.1 FUNCIONESPERIODICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 PROPIEDADES DEL SENO Y DEL COSENO:

FUNCIONES ORTOGONALES ............................... 5

1.4 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 APROXIMACION MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER . . . . . . . . . . . . 13

1.6 LAS CONDICIONES DE DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LAS SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . 17

1.8 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ANALISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIODICAS2.1 SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.la FUNCIONES PARES E IMPARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.lb SIMETRIA DE MEDIA ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1c SIMETRIA DE CUARTO DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.ld SIMETRIA ESCONDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDASSIMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 EXPANSION EN SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCION EN UN

INTERVALO FINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 332.3a EXPANSIONES DE MEDIO INTERVALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 LA FUNCION IMPULSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4a DERIVADAS DE LA FUNCION S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES PERIODICASDISCONTINUAS ....................................... 43

2.6 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIACION .. . . . 452.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA3.1 I NTRODUCCI ON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES COMPLEJOS DE FOURIER

POR MEDIO DE LA FUNCION 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6 CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION PERIODICA:

TEOREMA DE PARSEVAL ................................. 653.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS4.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 DE LA SERIE DE FOURIER ALA INTEGRAL DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . 714.3 TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE FOURIER . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 794.5 INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . 814.6 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . .. . . . . . . . . . 824.7 CONVOLUCION ....................................... 88

4.8 TEOREMA DE PARSEVAL Y ESPECTRO DE ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.9 FUNCIONES DE CORRELACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES ESPECIALESWPiTUio 5.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION IMPULSO . . . . . . . . . . . 1025.3 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEL ESCALON UNITARIO . . . . . . . . . . . . 1065.5 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION PERIODICA . . . . . . . . . . 1105.6 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES GENERALIZADAS . . . . . . . 1145.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6 APLICACIONES A SISTEMAS LINEALES6.1 SISTEMAS LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 FUNCIONES OPERACIONALES DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3 RESPUESTA A FUNCIONES EXPONENCIALES DE ENTRADA -

FUNCIONES PROPIAS Y FUNCIONES DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO . . . . . . . . . . . . . . 1256.5 APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.5a CALCULO DE POTENCIA EN ESTADO ESTACIONARIO . . . . . . . . . . . . . 1296.6 APLICACIONES A SISTEMAS MECANICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.7 RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN IMPULSO UNITARIO -

FUNCION DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.7a FUNCION DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.7b SISTEMA CAUSAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.8 RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN ESCALON UNITARIO -INTEGRAL DE SUPERPOSICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.9 TRANSMISION SIN DISTORSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.10 FILTROS IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.11 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7 APLICACIONES EN TEORIA DE COMUNICACIONES-n^ !T.I LO 7.1 TEORIA DE MUESTREO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 151

7.2 MODULACION DE AMPLITUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3 MODULACION ANGULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.4 MODULACION DE PULSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.5 FUNCIONES DE CORRELACION PROMEDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.6 IDENTIFICACION DE SENALES MEDIANTE CORRELACION . . . . . . . . . . . . . . 1697.7 ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO : SENALES AL AZAR . . . . . . . . . . . . . 1717.8 RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALIDA: CALCULO DEL RUIDO . . . . . 1757.9 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8 APLICACIONES A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERACSP^T^.rc 8.1 SEPARACION DE VARIABLES Y SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.2 VIBRACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.3 CONDUCCION DE CALOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.4 TEORIA DE POTENCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.5 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 212

9 APLICACIONES MISCELANEAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER-A"LTU L0 9.1 LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN DIFRACCION Y FORMACION

DE IMAGENES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2159.la TRANSFORMADA BIDIMENSIONAL DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.lb TRANSFORMADA TRIDIMENSIONAL DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TEORIA DE PROBABILIDADES . . . . . . . 221

9.2a FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCION DE

DENSIDAD DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2b ESPERANZA Y MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.2c FUNCION CARACTERISTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.3 EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL ANALISIS DE FOURIER . . . . . . . . . . 2289.4 FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.5 CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HI LBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.6 EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

A CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER Y EL FENOMENO DE GIBBSAPÉNDICE A.1 CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

A.2 EL FENOMENO DE GIBBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

B RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACEACFND ICE B.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE ........................................ 256B.2 RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE . . . . . . . . 259

C TRES FORMAS DE LAS SERIES DE FOURIER ...................... 263AP INDICE

D RESUMEN DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA ..................... 264APENDICE

E PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER ................ 265A-END ¡CE

F LISTA DE SIMBOLOS ...................................... 268APENE CE

INDICE DE MATERIAS ..................................... 271

1CAPITULO

SERIES DE FOURIER

1.1 FUNCIONES PERIODICAS

o una funció

;11) f(r)ra todo valor dei. La constante mínima Tque satisface la relación (1.1) se llama elnodo de la función . Mediante repetición de (1.1), se obtiene,

1(r)la figura 1 . 1 se muestra u.

y n =o,lo de una función periódica.

t tPROBLEMA 1.1 Encontrar el período de la funciónf(t) = cos 3 + cos 4.

Solución : si la función f(t) es periódica con un período T, entonces, de (1.1) se tiene

1cos3(t+T)+cos4(t+T)=cosa+cos4.

Puesto que cos (B + 2nm) = cos B para cualquier entero m se tiene que

1 13 T = 2r, m, 4 T = 2>rn,

donde m y n son enteros . Por consiguiente T = 6rrm = 8nn ; cuando m = 4 y n = 3, seobtiene el mínimo valor de T . (Esto se puede ver mediante el procedimiento deensayo y error ). De donde , T= 24rr.

eral, si la función

rriódica con periodo T, entonces es posible encontrar dos enteros in y n tales que

cociente de (1.3) y (1.4`

, la relación w11 w, dele ser un

T = 2nn. (1.4)

PROBLEMA 1.2 Decir si la función f (t) =cos l0t + cos (10 + rr) t es una funciónperiódica.

para la cual

Figura 1.1 Una función periódica.

1

2 Análisis de Fourier

Solución : aquí wt=10yw2=10+tr. Puesto que

m, 10

ui 10 +

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga (1.1);

por consiguiente f (t) no es una función periódica.

PROBLEMA 1.3 Encontrar el período de la función f (t) _ (10 cos t)2

1Solución : si aplicamos la identidad trigonométrica cos20 = 2 (1 + cos 20) se tiene

f(t) _ (10 cos t)2 = 100 cos,t = 100 1 (1 + cos 2t) - 50 + 50 cos 2t.2

Puesto que una constante es una función periódica de período T para cualquier valor

de T, y el período de cos 2t es ir, se concluye que el período de f(t) es ir.

PROBLEMA 1.4 Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces

£tT/2

f(t)dtT/2

f(t) dt,

f T f(t) dt = ¡ f(t) dt.r o

Solución : si f (t + T) = f(t), entonces, al hacert=¢ - T, se tiene

f(-- T , T)=f(T)-f(T-T).

Considerar ahora

fa

^3f (t) dt.

Si se hace la sustitución t = i - T y se usa la igualdad ( 1.8), se obtiene

J 1(t) dt =i +T

J 1(T - T) di = C^+T 1(T) di.a a+T

I3 atT

Puesto que cualquier símbolo puede representar la variable comodín

J3a

é4 +T

f(t) dt =r

1(t) dt.a+T

Ahora, el primer miembro de la ecuación ( 1.6) puede escribirse como

Ja

+T/2 f (t) dt -T/2 f (t) dt +etT/2

f (t) dt.

-T/2 3 e-T/2 J-/2

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Aplicando el resultado de (1.9) a la primera integral del segundo miembro de la anterior

ecuación, se tiene

+T/2 T/2 +T/2 +T/2 T/2

f^ 1(t)dt =J f(t)dt+f ^ f(t)dt=^a 1(t)dt +¡ f(t)dt

T/2 +T/2 T /2 T/2 e+T/2

pT/2J f(t) dt.T /2

Series de Fourier

En (1.9), if a = 0 y (3 = t, entonces (1.9) se convierte en

o1t +t

1 (t) dt = LT f (t) dt.r

En (1.6), si a = T/2, entonces (1.6) se convierte en

fT

0 f(t) dt -- 1 f(t) dt.

PROBLEMA 1 .5 Seaf(t+T)=f(t)y

g(t) I t f(T) dT.eDemostrar que g(t + T) =g(t) si y sólo si

f T/2

f (t) dt = 0.T/2

Solución : puesto que g(t) dc,0

t+T T T+tg(t +T)=f f(T)dT =f f(T)dT+L 1(T)dT.

0 0 T

Por (1.10) y (1.7), se tiene

3

(1.10)

f T

f (T) dT - f T/2 f(T) dT - f T/ 2 f(t) dt , ¡'T+t f(t) dt - ^t f(t) dt.

-T/2 -T/2 JT 0

Por consiguiente,

9(t+ T)- IT 121(t)dtj f(t)dtJ T/2 0

¡'T/2yg(t+T)= g(t)siysólo si

f 2

f(t)dt=0T/2

PROBLEMA 1 .6 Seaf(t+T)-f(t),y

F(t) _ J f(T) dT - 1 ao t,0

2 T/2donde ao =- J f(

t) dt. Demostrar que F(t + T) = F(t).T - T 12

Solución:f 1

puesto que F(t) = J f(r) dr - 2 aot, se

F(t+T

lene

rt+TJ 1(T)dT-2ao•(t+T)0

lll''' r 1////P''''r+ tf(T) dT +

Jf(T) dT - 1 aot - 1 a0T.

0 T 2 2

4

Por (1.10) y (1.7), se tiene

f

Análisis de Fourier

T !!!''' T/2 1f(T)dT= ^ f(T)dTaoT,

T/2

fT+t f(T) dT = j f(T) dT.

T o

Por consiguiente,

F(t+Ta.T+ f(T)dT-1aot-1a<1T f ( T ) dT-1aot=F(t).f 2 2 J

de repi entar poi ométrica

(t)=1a,+nacosw,t+ ascos2w0t+••.+b,senw,t+ a6 sen2w,t

+ ) ' (a„cos nw,t + b, sen

ende w0= 21r/T.Una serie como la representada por (111 ) se llama serie trigonométrica de Foierie también se puede represent

t., cos (nwot - B„)

PROBLEMA 1.7 Deducir la forma (1.12) de (1.11) y expresar C. y B„ en términos

de a,ybn.

Solución : se puede expresar

aacos nw ot + bn sen nw „t = a' + cos nwot + b" sen naotS ^ „ + b,', a 2 + b;,

Si se utiliza la identidad trigonométrica

arcos naot basen nwot = C. (cos Bn cos nrjot + sen B„ sen n(jot)

= C„ cos (nuor - H„), (1.13)

donde

C„= a;,+ b,;,

cos B = a, sen 0 =b„

a,+b°, a,' ,+b„

por consiguiente,

(1.14)

tan B„ - L- , o 0, = tan" (bn . (1.15)

la función f(t) una función periódica de período T, la cua

Series de Fourier 5

También, si se hace

se obtiene

(1.16)

((t) - a, (a„cos n, ,, at - basen nwot) = C. + C„ cos (n,,ot - O n )" (1.17)

"=1 n=1

Según (1.12), es obvio que la representación en series de Fourier de una funciónperiódica, representada función periódica como la suma de componentes senusoidales quetienen diferentes frecuencias. La componente senusoidal de frecuencia w„ =nwo sed Lenomina la enésima armónica de la función periódica. a primera armónica comunmente

= 2 m l l0T d trr se conoce co o a frecuencia angu arfany co. V. amen aL Los coeficientesC l á 8l c l„ y os ngu „ seos onocen como amp itudes armónicas y angulos de fase,

etivamente_

a <t <b si para dos$ (t)' cumple:

0 para r

Considérese, por ejemplo, un conjunto de funciones senusoidales ; mediante eáiculo elemental se puede demostrar que

2

frrz 0, ml, n

cos (mw„t) cos (nwot) dt =res T/2, m = n

dt - 0 odo valor de y ti. (1.1

Estas relaciones demuestran que las funciones 1, cps wat, cns 2wat, , cos nwat,

sen w,t, sen 2 wpt, • • (, sen nw,t , . l forman un conjunto defunciones ortogonales enel intervalo -T/2 < r < T/2,

1.3 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES SENO YCOSENO : FUNCIONES ORTOGONALES

Un conjunto de funciones 01 (t) es ortogonal en un finten,'unciones cualesquiera 0,,,(t) y ¢n (t) pertenecientes al conjunto

(1

rt2 0, m' nsen (rmo,t) san (nw,t) dt = j (1.19d'

riz T/2, m-ni4,


PROBLEMA 1.8 Verificarla integral (1.19c).

Solución: con la identidad trigonométrica

cos A cos B = 2 [cos (A + B) + cos (A - 8)],

y

2n T

t ±T/2 T 2

se obtiene

cos (mwot) cos (nwot) di

.T/2

2 T/2

lcos [(m n wot] + cos [(m - n) wot]I di

1 1 sen[(m+n)wat]2 (m + n) wo

T/2

-T/2

1 1 sen [(m-n)wot]2 (m - n)wo

T/2

-T/2

1 1 1sen1(m+n)+sen[(m+n)n]12 (m+n)wo

1 1 [sen[(m-n)n]-sen[(m -n)u]I2 (m-n)wo

=0 si m#n.

Utilizando la identidad trigonométrica cos20 (1 +cos 20) y haciendo m =n # 0

se obtiene 2

f rT/2 T/2J cos (mmat) cos (nwot) dt- cos'(mwot) dtT/2 T/2

1 T

1

2

T

2

[1 + cos 2mwot] di

T/2

+sen 2mwot

-T/2 4mwo

PROBLEMA 1.9 Verificar la integral (1.19e).

Solución : con la identidad trigonométrica

sen A cos B = 2 [sen (A + B) + sen (A - B)],

T/2

se obtiene

Series de Fourier

f T/2

sen (mw„t ) cos (nwot) diT/2

7

1 ^T/2

(sen l(m + n)wotl +sen l(m - n)worli dt2 T/21 -1 T/2 1 1 Tn

cos[(m-n)wotl + - cos[(m-ni wot12 (m n) o>a -T/2 2 (m - n)wo _T2

0 si m#n.

Si se hace m = n # 0, y se utiliza la identidad trigonométrica sen 20 = 2 sen 0 cos 0 se obtiene

f

T/2 T/2

f sen (mw at) cos (nwot) di - fT/1

(mwot) cos (mo/at) dt

T/2 T/2

1 fT/2

sen (2mwot) dt

1

= 0.

4mw„

Evidentemente, para m = n = 0, la integral es cero.

ialuar ahora los coeficien

f(r) =

ultíplicando ambos lado:

cos (2mwot)T/2

-T/2

1.4 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER

Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19a e)es ar y b„ de la serie de Fourier

120.

r co

) cos (mo,-T/2

-T12l:+®i

ercambiando el orden de los signos de

^T/7 1f (t) cos (mw,t) dt -

ZT/z

ASCOS f(o 0t + b„ sen nrum.

pueaen

e integrando entre [-T/2 y T/21, se obtiene

(mW yt) dt

a„eos (nwat)1

cos (mmot)

n (nw,t) 1 cos (arcuot) d

cos (nWet) cos (mWpt) dt

T/2n (nruot) cos (mtu,t) d


debe n

a)

1.1

9tuncir

Y'

iciones

[-T/2 y

T12

ortogonalii

el valor p

')df

ores de ortogon

n se pi

1(t)

dad

expres

'1T/2

eu

9

cos (nw, t)dir

J2 es romedio de f(t) durante un periodo..24) indica que (1.21). la cual evalúa los coeficientes

coseno, también da el coeficiente a, correctamente puesto que cos mw,tAnálogamente , si la ecuación (1.11) se multiplica por sen mw,t;

término por término entre los límites [-T/ y T12j, se obtiener; 2 1 r / 2

9),s

.19

sen

1(t) d

e obtieni

) dt

,t

como

b, sena

sen (n w,

.21)

1.22)

.23)

1.24

.26)

aplican la

Series de Fourier

1o es necesario que el intervalo de integración de (1.27) y (1.28)!uwlw n0/ ungen. al le apoca k¡ oj, el unicurequisito es que ¡a u

un período completo.

PROBLEMA 1.10 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por:

1(r)

yf(t+T)=f(t). (Ver figura 1.2)

Solución : por (1.27) y wot

T2 <t<0

0 < t < T2

2 n T+„ , se tiene

t=1T/2 T 2 =-

a„ _ 22 f(t) cos (nruot) dty r, 2

2 0

T T/2

-cos(n(uot )dt f cos(nmot)di

0

- 2 -1 sen nmotT nmo

0

- sen nuot-T/2 nmo

2 [son o- sen(-n„)]+ 1 [sen(nr)-seno]T no

=0para n#0

puesto que sen 0 = sen (nn) = 0.

Para n = 0, se tiene

nmo

1 1 r 2lao ^ 1(t)dt=0

-T 2

puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero.De (1.28) y wo T = (2n/T) T = 2n se tiene

b„ =2 T z

Tf( t) sen (nmot) dt

2 0- [f - sen (nmot) dt iT T.z o

T

2 1 1L cos (nmanulo

o

sen (nmot) di]

cos (n(,ot)nmo

[1-cos (-nn)]- [cos (nrr) - 1]}

- (1 - cos nrr).n-

9

(1.29)

(1.30)

(1.31)

(1.32)

1(tt)

I 1lT1

1 12 ► tT I a

1

1 i I

Figura 1.2 Forma de onda delproblema 1.10.

lo

Puesto que cos ntr = (- l)",

De donde

(1.33)

4 1f(t) = -sen nmatn

n nn= impar

= 4 sen mat + 1 sen 3oet + 1 sen Soot +- (1.34)>r 3 5

PROBLEMA 1.11 Encontrar la serie de Fourier para la función cuya forma de onda

se muestra en la figura 1.3.

Solución : la función f(t) se puede expresar analíticamente así:


4t - T+ . <t<0T 2

Figura 1.3. Forma de onda delproblema 1.11.

f (t) =

4t 0 <t < T .T - 2

Puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero,

1 1 I¡' ' /

2 Tao = JT/z

Por (1.27) y (1.35) se obtiene

2 T/2

aa = T•

(1.35)

(1.36)f(t) dt = 0.

((t) cos (noot) di

-2 rT/z 0J cos(nmot)dt+-j tcos(nmot)dtT T/2 T r/2 T

2 T/z 4+ - - -t cos (nmot)dt.T o T

la primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo t =- ti en la segunda

integral se obtiene

an -$ o $ r/z

(-T) cos [noo (-T)] (-dT) - jT/2

cos (nmet) dt°i1 T/2

0 T/2

S Tcos(noo T)dT - T'

T/2 0

t cos (n(jot) dt

T/2 8 T/2

T cos (no0T ) di -T' j

t cos (nmot) dt

= 16 ¡T/2J t cos (nmot) dt.F 0

Series de Fourier 11

Ahora, integrando por partes, se obtiene

3O

T/2 1

t cos (nwot) dt =-t sen (nwat)nwo

1cos (nwat)

T/2 1 T/zsen (nwot) dt

o nwaJ

T/2

0

(cos nr, - 1).(n2r/T)'

De donde,

a 16 1 (cos nr - 1)T' (n2r/T)'

z4

2 (1 - cos nr).

Puesto que cos nrr = (- 1)n,

0, n par

a = 8

n'r' , nimpar.

Análogamente, por (1.28) y (1.35) se tiene

2 T/2b„ - T ¡ 1(t) sen (nwat) di

T/2

2 T/z 2 0 42 J sen (awot) di + f t sen (nwot) dt

T T/2 T T/2 T

2 T/2 4

+T- Ttsen (nmot) dt

0

8 T/z

(-T) sen [nwo di) - T' t sen (nwat) di0

T/2 T/2

T' tsen (nwat) dt= T' J t sen (nwot) dt-

0

- 0.

De donde,

(1.37)

(1.38)

(1.39)

8 / 1 1E(t)=' cos mat + cos3wot+5'cosSwot+•••. (1.40)

PROBLEMA 1.12 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por

0, 2 <t<0

f(t)= T (1.41)

L Asen wot, 0<t<2

yf(t+T)=f(t),w0=2a/T. (Ver figura 1.4.)


tO)

A

T 0 T

2 2

Figura 1.4. Forma de onda del problema 1.12.

si

Solución : puesto quef(t)=0cuando -T/2<t< 0, de (1.27) y (1.28) se tiene

2 0 T/2 2Aao-- A sen (wot) dt= (-cos wot)Io/2T Two

= A (1 - cos n)n

2A

T/2A sen (wot) cos (nwat) dt

A rT/2T lsen [(1+n)wot]+sen [(1-n)w0d}dr.

0

Cuando n = 1,

a, _ A T/2 sen ( 2(j ot ) dt = A A\- 1 cos 2wot

T ^ T 2u

(1.42)

(1.43)

T/2 A

- - [1 -cos (2n)]

o 4,7

= q (1-1)

0. (1.44)

Cuando n=2,3,...,

A J cos [(1 +n)wot] cos[(1- n)(jot]1T /2a„T (1 +n)wo (1 -n)wo 0

A J1- [cos (1 + n)n] 1- cos [(1 - n)n]^

2n l+n 1 -n

Análogamente

A 2 + 2 2A ,n impar (1.45)

2n l+n 1 - n) (n-1)(n+1)n

n par

T/2

6„ = T f A sen (wot ) sen (nwot) dt0

A pT/2

TJ (cos [(1 - n) wot] - cos [(1 + n) wot] i dt. (1.46)

0

Series deFourier 13

Cuando n = 1

A Ti2 A T12A A sen 2w tbi=T dt - A cos(2wnt)dt=-__ ,

f

T 0 T 2wn

Cuando n=2,3,...,

T/2 A(1.47)

0 2

b TA sen [(1 - n) wo t] _ sen [(1 + n ) wot] 11 T12

=(1-n)wn ( l+n)mo 0

Asen[(1-n)n]- sen 0 - sen [(1 + n)u] -sen02v 1-n l+n

= 0. (1.48)

De donde,

1(t)4 senwnt-2A(l13cos2wo t 315 cos4wnt+•• .). (1.49)

PROBLEMA 1.13 Desarrollar f(t)=sens ten serie de Fourier.

Solución : en vez de proceder como se hizo en el problema (1.12), se hará uso delas identidades

e' 1" 6 = cos n O +j sen n O,

cos nO . en e + e - in (?

2

ein° _e-in8sen nO =

Se expresa2j

et` - ei`ssen t = 2 -32 (eJ"-Seis`l0ej°-loé i`+Sé5e--is`))

5 sen t - 165 sen 3t + 161 sen 5t.8

En este caso la serie de Fourier tiene tres términos solamente.

1.5 APROXIMACION MEDIANTE UNA SERIEFINITA DE FOURIER

Sea

(1.50)

(1.51)

(1.52)

(1.53)

rSk (k} =

2 + L (a, cos nw„ t + b„ sen rnoot) (1.54)

Én- t

la suma de los primeros (2k + 1) términos de una serie de Fourieen el intervalo - T/2 < t < T/2.

Si f(t) se aproxima por Sk (t), es decir,

1(t)2 + E (an coa nmat + bn $en nco0t)

0.1

Sk(t)=¡(t)- S* (t),

que representa f(t)


PROBLEMA 1.14 Demostrar que si se aproxima una función f(t) por una serie finita de

FourierSk(t), entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el mínimo error

cuadrático medio.

Solución : si se sustituye (1.54) en (1.57), se tiene

T/2 k

Ek - aO - (a„ cos nwot + b„ sen nwor) dt.T

3-T/2 2

(1.58)

Considerar Ek como una función de a., a,,, y bn. Entonces para que el error cuadrático

medio Ek sea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a a0, a,,, y b„ deben ser

iguales a cero, es decir,

dEk _ 0 dEk _ 0 dEk _ 0 (n _ 1 2 ...dao da„ db„

Intercambiando el orden de la diferenciación y de la integración:

r/2 kdEk 1f (t) _ a° _ (a„ cos nwot + 6n sen nwot) di, (1.59)

aao=-TfT/2 ^ 2 L=^i

dEk 2 T/2 a_ _k f f(t) - ° -^ (ate cos nroot 1 bn sen nr:/ot ) cos (nwot) d(,

da T J T/ 2 2 „_r (1.60)

'T/2 kdEk = 2 f¡ [f (r) - a° - (a„ cos nwot + b„ sen nwot) sen (nwor) dt

L

.db T /2 2 ^= t (1.61)

Si se usan las propiedades de ortogonalidad ( 1.19), (1 .27), y (1.28) del seno y del coseno,las integrales (1.59), (1.60) y 1.61) se reducen a

dEk ao 1 T/2f(t) di = 0,

dao 2T _T/2

(1.62)

T/22dEk _ a - t (t) cos (nwat) dt = 0, (1.63)da„ T _T/2

r/2dEk=6 -

2f(t)sen (nwat)di=0. (1.64)

db„ T f T 1 2


Solución : por (1.57) se tiene

¡ T/21 f (t) - Sk (t)]' dtEk f

T/2

11f(t)]' - 2 f(t) S, (t) + fs. (t)] 11 dt

1 pT/2 T/z T/zJ [f (t)]' dt - t(t) Sk (t) dt + [Sk ( t)]' dt. (1.66)-T/2 T/2 T/2

Ahora bien;

2

-

T/2 a 2 k

Tf(t) Sk( t) dt- 2

T z

T / 2

f(t) dt+ k an f(t) eos (nw°t)dtT /2 T/2 ^

T

T

/

I

2

,

2 k T/2

- bn f(t) Sen (nm °t) dt.T n-1 T/2

Teniendo en cuenta (1.27) y ( 1.28), se obtiene

2

-

T/2 ao k

f (t) Sk (t) dt - + (an + b;,).

T/2 2

Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19),

(1.67)

1 T12 1 T12 8° k 2

flSk (t)]' dt = f + (an cos n^°t + bn sen nm°t)^ dt

T12 T/2 L 2 n_1

aó 1 k= 4 Z (a„ + b,?). ( 1.68)

n=1

Sustituyendo (1.67) y (1.68) en (1.66), se obtiene

1 T/2 p k 2 k

Ek -= 7, I [f(t)]' dt - a° }^ (ate + b,^,) + + 1 (an + 6„)L 4J T/2 z n

=1=1 n_1

1 T/2 z ^kk`

T f T,^ (f(t)]' dt- 4 2 i...j b,',).

Solución : por (1.57), se tiene

1 (' r/2E .k

=T J[r(t) - sk(t)]' dt -o

T/2

Y también por (1.65) se deduce que

(1.70)

T/2 k2 T f [f(d]' dt ? 2 + 1: (a„ + b„). (1.71)

J T/2 n=1

16

T/3

nción periódica f(t) con periodo T, entonce

x[1(t)12 dt =a=

1

loa para n = 1, z, ... son los

1.72)

PROBLEMA 1.17 Demostrar el teorema de Parseval.


Ek +t _ Ek -2

(a

,k +t + bk +t)• (1.73)

Mediante las relaciones (1.70) y (1.73) se observa que la sucesión IEk 1 contiene solamente

términos no negativos y no es creciente ; por consiguiente la sucesión converge . De (1.56),

lim Ek(t)=f(t)- limS,(t)=0.o k ..co

De donde,

lim Ek = 0.k ^

En consecuencia, por (1.65) se concluye que

1 riz ao 1 -11(t)1'dt=-r al+b')

T -r+2 4 .,=t

1.6 LAS CONDICIONES DE DIRICHLET

(1.74)

(1.75)

se dedicó atención a la determinación de laserie de Fourier de funciones dadas y se supuso que la función dada se podía representar

demediante una serie de Fourier. Ahora se debe investigar la convergencia de ta serie

Fourier a f(t).Una de las partes mas elegantes de la teoría de Fourier es la que trata de los problemasde

convergencia . Se enunciarán aquí las condiciones , conocidas como condiciones deDirichlet,

bajo las cuales es posible la representación en serie de Fourier de una función dada f(r).

hlet son:Las condiciones de Diric1) La función fU) tiene un número finito de discontinuidades en un perio(1o:2) La función f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un perla

3) la integral del valor absoluto de itt) en un periodo es finita; es decir,


1 teorema de Parseval afirmantesen la expansión de Fouri

Se dice q

'/2, T/21 si satisface las condiciones (1) y (2).

11(t

Figura 1 . 5 Función continua por tramos y ¡imites a la izquierda y a la derecha.

Series de Fourier

un punto de discontinuidad, co, la serie de Fourier converge a

uestra

donde f(tt-) es el limite de f(t) cuando tse aproxima a ti por la Fuiel límite de f(t) cuando tse aproxima a ti por la derecha. La razón dede la serie de Fourier se discute en el apéndice A.

PROBLEMA 1.18 Si

demostrar que

17

denota

y b„ son las sucesiones de los coeficientes de f(t),

lfm aq -lfm

Solución:

lim rl T/2

,(t)cos (nwot)

sen (nw,t)

Puesto que la serie del miembro izquierdo es convergente entonces es necesario que

lim (a; + b„) = 0,

lo cual implica que lim a„ - lim b„ = 0.

PROB MLE A 1.19 Demostrar que si f(t) es una función continua por tramos y laintegral del valor absoluto de f(t) es finita en el intervalo - T/2 < t < T12, entonces

Solución : los coeficientes de Fourier a, y b„ existen, puesto que la integral del valorabsoluto de f(t) es finita en el intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando (1.78) y la definición delos coeficientes de Fourier se concluye que (1.79) es correcta, es decir,

lim

De donde,

limrT/]

T

b) 2 T12 [f(t)1' di.T/2

cos (nw„t)

f (t) dt = 0.- /2 sen (nwot)

dt = 0.

1.7 DIFERENCIACION E INTEGRACION DELAS SERIES DE FOURIER

por (1.69), se tiene

ida se considera la diferenciación e integración de ladebe observar que la diferenciación término por

18

atar la Convergen

o por término lo:

uva convergencia

PROBLEMA 1.20


y puede resultaren divergencia. Por otra parte, en la integraciónoeficientes a v b.. se dividen por t nco. v el resultado es una

ienta..

Demosnua cu,

1

!a por terrnrno

COffi naat + b„ sen nwat)

ra obten

i'(t) _ ) ' na, (-a,, sen nw,t + b„ c

ríes deFourieiderivada

(1.81

Solución : puesto que f '(t) es continua por tramos y diferenciable, su serie de Fourier

converge a ella; por lo tanto su representación en serie de Fourier es

í'(t) w2 s

y^ (a„ cos nwot + Rn sen nwot), (1.82)

donde

r/2an . 2 ¡ f'( t) cos (n(,ot) di,

T

2 rTsR^ = T J ('(Q sen (n(,ot) dt.

Integrando (1.83) y (1. 84) por partes,

(cos^(cos nwot)1(t)T

r/z Ti2nwo f f (t) sen (nwo t) di

-T/2 T2

(1.83)

(1.84)

(1.85)

-T/2 -T2

- - nwo an

puesto que f(- T/2) = f(T/2).

Debe notarse que ao = O. Por consiguiente,

1'(t)

rar el siguiente teorema no otrereneiacion CC las

ido-T/2{t<_T/2 con f(-T/2)=f(T/2),ysily diferenciable, entonces la serie de Fourier

nwo (-a„sen nwot + b„ cos nwot),

n=1

(1.86)

lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) diferenciando término por término.(La diferenciación de una función con discontinuidades súbitas será tratada en lasec. 2.5).

PROBLEMA 1 _Ttr -r t) =7t

Si f (t) es conaes continua por

1 1

T/2 T2

^n = 2 (sen nwot) ( (t) - nwo f(t) cos (nwot) di

1 Sea f(t) contar) Demostrar que las

ros en el i

ourier

Series de Fourier

puede integrar término por término para obten

Solución : puesto que f(t) es una función continua por tramos y por el resultadodel problema 1.6, la función F(t) definida por

F(t) _ f(T) dT- a°tfo

es continua y periódica con período T. Puesto que

1

19

(1.89)

F'(t) = f(t) - 2 a°, (1.90)

se sigue que F'(t) también es continua. Sea la expansión de F(t) en serie de Fourier

F(t) _ y° + (a,, cos nco°t + 0 „ sen nm°t). (1.91)2

=1

Entonces, paran ^ 1,

T/2xn = 2 F(t) cos (nm°t) dt

T/2

2 T/2 2 T/2

=- F - F'( t) sen (nw°t) dt-T/2 nc)°T T/2

2 T/2

nc^°T J ^f (t) a°) sen (n^°t) dtT/2

1

n^°(1.92)bn,

2 T/z

Rn = T F (t) sen (nw°t) dt

T/2

2 T/2 2 T/2

_ F(t) cos nc,°t + - I F'( t) cos (nm °t) dtnci°T -T/2

nw°TT/2

2 T/2 1

nw °T[ t(t) - 2 a°7 cos (nc)°t) di

T/2

De donde

(1.93)

F(t) = a + r^ 1 (- b„ cos nw°t + a„ sen nw°t). (1.94)2 L^ no°

n=1

20

Ahora bien;


F(t,) - F(t,) _ ¡ f(T) dT- 2 ao ( t2 - t,). (1.95)

De donde,

f f(t)dt - F(t,)-F(t,)12ao (t,-t,)

= 2ao (t2 - t,) _

n1[-b„ (cos nwot, - cos nwot,)

1: —wn-1 0

a, (sen nwot2 - sen nwot,))

lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) mediante integración término

por término.

PROBLEMA 1.22 Demostrar que la integral de una función periódica cuy

promedio es diferenie de cero no es una función periódica

Solución : por el resultado del problema 1.21, se tiene

f('T)dT=l aot 1 (a„ sen nwot - b„ cos nwot +bn)^ (1.96)0 2 nwo

El término i a.t no es periódico y por consiguiente la integral no es periódica- Nóteseque la integración de la serie de Fourier de f(t) término por término, conduce a la serie

de Fourier de la integral de f(t) solamente si ao = 0, es decir, sólo si el valor promedio

de f(t) es cero; esto se demostró en el problema 1_5.

rKUUULtMA 12 i nea jtt) una tuncion continua y,sen el intervalo - TI2<t < T12. Multiplicar

(Cf„ teorema de Parseval - Problema 1,17)

Solución : aplicando (1.27) y (1.28), se obtiene

T/2

[f(t)]' di =1-a0

j

T/2

2T2 -T / 2

b„T'2

TJ

/2f(t) dt [a„

Tf(t) cos (nwot) dt

T/2

1(t) sen (nwot) dt

a'T+ Zrr(a,,b^

==tDe esta manera,

(1.99)

1 f" L 1[((t))' dt ao (ate + b;).

T T/2 4 2=1


1.8 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

PROBLEMA 1.24 Encontrar el período de las siguientes funciones:

(a) cos nt, (b) cos 2nt, (c) sen (21rt/k), (d) sen t + sen (t/3) + sen (t/5),(e) I sen wotl.

Respuesta: (a) 27t/n, (b) 1, (c) k, (d) 30 n, (e) n/wo.

PROBLEMA 1.25 Demostrar que la función f(t) = constante, es una función

periódica de período T para cualquier valor positivo de T.

PROBLEMA 1.26 Si f(t) es una función periódica de t con período T, demostrarque f(at) para a # 0 es una función periódica de t con período T/a.

PROBLEMA 1.27 Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar

que fa (t) 21a J f (ti) d+ también es periódica con período T.

PROBLEMA 1.28 Demostrar que si f(t) y g(t) son continuas por tramos en el intervalo(-T/2, T/2) y periódicas de período T, entonces la función

T/2

h(t)= 1 f f(t- T)g(T)dTT -T/2

es continua y periódica con período T.

PROBLEMA 1.29 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por f(t) = 1

para -n<t<0, f(t)-0, para 0 < t < n y f(t+2n)=f(t). (Ver figura 1.6).

Respuesta: 1 - 2 sen ( 2n - 1) t

2 n 2n-1

r-a

-2n O R 2u

Figura 1.6 La función f h) delproblema 1.29.

Figura 1.7 La función flt) delproblema 1.30.

Figura 1.8 La función flt) delproblema 1.31.

PROBLEMA 1.30 Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida por f(t) = t

para el intervalo (-fr,ir) y f(t+2n)=f(t). (Ver figura 1.7).

Respuesta: 2n=1

(- 1)"-r sen nt.n

PROBLEMA 1.31 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por f(t) = t

en el intervalo (-n, n) y f(t + 217) = f(t). (Ver figura 1.8).

Respuesta: 1 n' +4 (- rlcos nt.3 n2

PROBLEMA 1.32 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por f(t) = een el intervalo (- ir, n) y f(t + 2n) = f(t). (Ver figura 1.9).

2 senh n 1 (- 1)"Respuesta : + (cos nt - n sen nt) .n 2 ^-t 1+n'

PROBLEMA 1.33 Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) = (A sen wot 1.(Ver figura 1.10).

e_R / t

-2R -v 0 n 27

Figura 1.9 La función f(t) del

problema 1.32.

A

-T -1T 0 1T T2 2

Figura 1.10 La función f (t) del

problema 1.33.


Respuesta:- 2A 4A

1 cos(2nw,t).n n _ 1 -4n 2

PROBLEMA 1.34 Desarrollar f(t) =sen2t cos3t en serie de Fourier.

Respuesta: 116 (2 cos t - cos 3 t - cos 5 t).

PROBLEMA 1.35 Desarrollar f(t)= e' cos t cos (r sen t) en serie de Fourier.

[Sugerencia: usar la serie de potencias para ez cuandoz = re)t.]

Respuesta: 1 --n=1

cos nt.n!

PROBLEMA 1.36 Aproximar la función f(t) = t en el intervalo (- n, ir) mediante una

serie finita de Fourier de 5 términos que sean diferentes de cero. Calcular también

el error cuadrático medio en la aproximación.

Respuesta: 25

^(-1), sen ni E,= 0.363.n

=1

PROBLEMA 1.37 Utilizando el desarrollo en serie de Fourier del problema 1.10,

demostrar que

n - 1. 1 + 1 14 3 5 7

1[Sugerencia: hacer t= - Ten (1.34).]

4

PROBLEMA 1.38 Demostrar que

n' = 1 + 4 + 9 6 + .

[Sugerencia: hacer t = n en el resultado del problema 1.31.]

PROBLEMA 1.39 Encontrarla suma de 1(2n-1)'

[Sugerencia: hacer t = 0 en (1.40) del problema 1.11.]

Respuesta: n2/8

PROBLEMA 1.40 Si una función periódica f(t) tiene derivadas continuas hasta elorden k y derivadas continuas por tramos de orden k + 1, demostrar que existe una

cota B, dependiente sólo de f(t) y k tal que

la,! < B y Ibol <nk+r

donde an y b„ son los coeficientes de Fourier de f(t).

PROBLEMA 1.41 Sean f(t) y g(t) funciones continuas por tramos con período T,

y sean a,,, b„ y an, Rn los respectivos coeficientes de Fourier de f(t) y g(t).

Demostrar quefT/2

f(t)g (t)df= ^ aodo + (a, a^ +b, /3„).-T/2 =1


PROBLEMA 1.42 Si f(t) es una función periódica integrable, con período T, demostrar que

1 f(t) Tb„

-- [ dt =T,^r 2 nma

donde bn es un coeficiente de Fourier de f(t) y wo = 21r/T.

[Sugerencia: desarrollar 1 T - t , para 0 < t < Ten serie de Fourier.

PROBLEMA 1.43 Integrar la serie de Fourier para t2 en el problema 1.31 para obtener

(_1)n seo nt 1 t(t' _n) y 1 = R6

12 „- r n° 945

PROBLEMA 1.44 Utilizar el teorema de Parseval (1.72) para probar que

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.10.]

1 _ >r(2n-1)' 8

PROBLEMA 1.45 De un conjunto infinito de funciones reales 1 ¢n(t) donde n = 1, 2, ...

se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo (a, b) si

f bOa( t)qSm(t)dt=fimo,

donde 5,,,,, es la función delta de Kronecker . Sea f(t) una función definida en elintervalo (a, b) y si se supone que f(t) se puede representar como

í(t) = c I O 1 (t) + c2 ^52 ( t) + - + cn ` n (t) +

en el intervalo (a, b), donde las cn son constantes . Demostrar que

c„=J f(t)¢„(t)dt, n=1, 2,...a

c„Qi„ (t)

Los coeficientes cn se denominan coeficientes de Fourier de f(t) con respecto alconjunto ortonormal $ , (t)[.

J

PROBLEMA 1.46 Si f(t) en el problema 1.45, se aproxima por fk (t) = L c„ E,,, (t),b 1

demostrar que el error cuadrático medio [f (t) - fk (t)]' dt es un mínimo.b-a a

PROBLEMA 1.47 Demostrar que si c, son los coeficientes de Fourier de f(t) con

respecto al conjunto ortonormal {¢n(t)} , entonces

bj

Este resultado se conoce como la identidad de Parseval.

t

o(a )

(b)

Figura 21. (a) Una función par.(b) Una función impar.

2CAPITULO

ANÁLISIS DE FORMAS DEONDAS PERIODICAS

2.1 SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA

En el capítulo primero se vio que cualquier función peribcon período Tque satisface las condiciones de Dirichiet , es decir, que la funcióntntiinua por tramos e integrable sobre cualquier intervalo, se puede representar

e una serie de Fourier

= 2rr/T.

t) - . e. + }' (a„ cos nw,t + b„ sen

En este capítulo se analizará el efecto de la simetría de la facescálculo de las series de Fourier de algunas formas ond

2.1a Funciones pares e impares

y se dice qu

dice que una fu

de onda y el

ción f(t) es par si satisfa

2.1 se muestran ilustraciones de funciones potes e impares.fe notar que una función par es simétrica respecto del eje vertical en

¡edades de las funciones paresciremosen seguida algunas pn

PROBLEIimpares es una 1

una función impa

ostral que el producto de dos funciones pares, o de dr, y que el producto de una función par y una funció

Solución : sea f(t) = fl(t) f2(t). Si f, (t) y f2(t) son funciones pares, entonces

f (- t) = f, (- t) f, (- t) = f, (t) f, (t) = f (t),

y si fr (t) y f2 (t) son funciones impares, entonces

f (- t) = f, (- t) f, (- t) _ - f, (t) [- f, (t)] = f, (t) t, (t) = f (t).

Esto prueba que f(t) es una función par.

Análogamente, si f, (t) es par y f2 (t) es impar, entonces

f(-t)=f,(-t)f,(-t)=f,(t)[-f:(t)1 f(t).

Esto prueba que f(t) es una función impar.

4

Análisis deformas de ondas periódicas 25

PROBLEMA 2.2 Demostrar que cualquier función f(t) se puede expresar e

Suma de dos funciones componentes , de las cuales la una es par y la otra impar.

Solución : cualquier función f(t) se puede expresar como

f(t)= f(t)a f(-t)+ f(t)-2 f(- t)

= 1 [f(t) + f(- t)1 + 1 [f(t) - f(-t)].2 2

Sea

Entonces,

[f(t)+f(-t)] fe(t),

[ t (t) - f (- t)] = fo (t ).

fe (-t) = [f (- t) + f (t)] = fe (t),

De donde,

fo(-t)=2[f(-t)-f(t)1=-2[f(t)-f(-t)]=-fo(t).

f (t) - fe (t) + fo (t),

donde fe(t) es la componente par y fo(t) es la componente impar de la funcióndada, f(t).

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Otra forma de solución : si se supone que f(t) se puede expresar como

f (t) = fe (t) + fo (t), (2.7) f(donde fe(t) y fo(t) denotan las componentes par e impar de f(t), respectivamente.De acuerdo con la definición de componentes par e impar dadas por (2.2) y (2.3),se sigue que

}t

(a)f (- t) - fe (t) - fo (t). (2.8)

La suma y la diferencia de (2.7) y (2.8) dan como resultado, respectivamente fe (t)

2 2,

to (t)=2[f(t)-f(-t)].(b)

fo (t)

t

2PROBLEMA 2.3 Encontrar las componentes par e impar de la función definida por

2[figura 2.2(a)]: 1

`

2

t> 0íe(c)1(0 = (2.9)

0, t < 0 . Figura 2.2 (a) La función f (t) del problema2 3 (b) La componente par de. .Solución : de acuerdo con (2.9), se tiene la figura 2 .2 (a). (c) La compo-

nente impar de la figura 2.2 (al.0, t>0

f(-t)= (2.10)

et, t<0.

Por medio de (2.5) y (2.6), se concluye que


fa (r) = 2 [f ( r)

foU) 2[f(r)-f(-r)1=

r<0,

t> 0

^er, r<0

Las componentes par e impar de f(t) se muestran en las figuras 2.2(b-c).

PROBLEMA 2.4 Si f(t) es par, demostrar que

So 1u ció n : si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.13), se tiene

f a

tf.

f(r) dr+ £ f(r) dr.0

Haciendo t = -x en la primera integral del segundo miembro

f (r) di - j o f (- x) (-dx) _ f (- x) dx.0

Puesto que f(t) es par , es decir, f(- x) = f(x), se tiene

£f(-x)dx= £ f(x)dx = jaf(r)dr.0 0 0

1

2 2iN

Lo cual es cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable

"comodín"; por consiguiente,

PROBLEMA 2.5 Si f(t) es impar, demostrar que

f(r)dr.ief(r)dt=jaf( r) dr + I af (r) dt=2f8

o •0

Solución: si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.14), se tiene

0f f(t) dr= fa f(t) dr+ £ í(t) di

0

- fa f(- r) dt + ^ f(r) dr.0 0

(2.11)

(2.12)

Figura 2.3 simetría de media onda.Puesto que f(t) es impar , es decir , f(- t) = -f(t), se tiene

Análisis de formas de ondas periódicas

faf(t)dt=- faf(t)dt+af( t)dt=0.0 0

En particular,

f (- 0) _ - f (0);

de donde,

f(0) = 0.

2.1 b Simetría de media onda

te la función

figura23l óque a porci n ne

horizontalmente medio

untiene simetría de medi¡

una rorma de onda con saíne

¡va de la onda es el reflejo de

PROBLEMA 2.6 Si una

Solución:

:a con

Isitivai

27

2.16

Si f(t) tiene simetría de media onda , entonces , de acuerdo con (2.16 ), se tiene

f(t)=-f t4 1 T).

Puesto que f(t) es periódica con período T,

flt-2T1 =flt+T-2T

Por consiguiente,

flt+2Tl.

f(t) =-f ^t r T) =-f (t -2T).2.1 c Simetría de cuarto de onda

y ademásde onda par o irde onda,

asnas de ondas con simetría de cuart

2.1 d Simetría escondida

vidente debido a la p

ara ilustrar este punt,,

etría de una funciónnunte, el sguiente

'eriódica no emplo servirá

PROBLEMA 2.7 En la figura 2.5(a), demostrar que si se construye una nueva funciónsustrayendo de f(t) el término constante A/2, la nueva función es una función impar.

Solución : la sustracción del término constante A/2 de f(t), solamente desplaza el ejehorizontal hacia arriba en A/2. Como se muestra en la figura 2.5(b), es obvio que lanueva función g(t) = f(t) -A/2 es una función impar.

periódica f(t) tiene simetría de media andaroces se dice que f(t) tiene una simetría de cuarto T

ieríodó T, eni satisface la

(a)

(b)

Figura 2 .4 (a) Simetría de cuarto deonda par. (b ) Simetría decuarto de onda impar.

Figura 2.5

1(t)

(a) Simetría escondida(b) Simetría impar.


2.2 COEFICIENTES DE FOURIER DEONDAS SIMETRICAS

coeficientes de Foni

PROBLEMA 2.8serie de Fourier coas

á dado por

cos (nw0t) dt.

Solución : el desarrollo en serie de Fourier de f(t) es

El uso de las propiedades de simetría simplifica el c,

Si f(t) es una función periódica par con período T, demostrar quta de una constante y de términos del coseno solamente , es decir,

f(f) _ ^ ao + (a, cos nójot + b„ sen ncoot).

n=1

Por (1.27) y (1.28), se tiene

2T/2

a„ _Í

f(t) cos (nmot ) dt, n = 0, 1, 2,T/2

b„ =2T

T/2

f(t) sen (nwot) dt,T/2

(2.

Puesto que sen nwot es impar y f(t) es par, el producto f(t) sen nwot es una funciónimpar. Por consiguiente, de acuerdo con (2.14),

b„-0.

Así mismo, puesto que cos nwot es una función par, el producto f(t) cos nwot es una

función par; por consiguiente, según (2.13), se tiene

4 r/2a„ = f( t) cos (n(,jot) dt.

T 0

PROBLEMA 2 S! Si f(t) es una función periód.-1su serie de Fourier consta de términos del seno solar

(t} 2 a, + a„ cos muotnsi

Análisis deformas de ondas periódicas

Solución : puesto que f(t) es una función impar, el producto f(t) cos nwot es unafunción impar, y el producto f(t) sen nwot es una función par. Por consiguiente, deacuerdo con (2.13) y (2.14), se tiene

T/2

a„ - 0, b„ - 4 1 ( t) sen (n(jot) di.T e

29

PROBLEMA 2.10 Demostrar que la serie de Fourier de cualquier función periódica

f(2) que tiene simetría de media onda, contiene armónicas impares solamente.

Solución : el coeficiente a, en la expansión de Fourier de una función periódicaf(t) es

2 T/2

a^ - f( t) cos (n ,-,,t) dtr;z

2 ^0

f(t) cos (n(,ot) dt , ^T/2 f(t) cos (o(,,, t)T 2 0

Cambiando la variable t por (t - z T) en la primera integral , se obtiene

r'2an - f t - T) cos nwo (t - T)] dt

J.

T/2+ £ f(t) cos (nw,t) dt .

0

Puesto que f(t) tiene simetría de media onda , si se tiene en cuenta la propiedadf(t) _ - f(t - i T) de (2.17) y el hecho de que sen nmr = 0,

TT 1-f (t) cos (nw,t ) cos nrr + f ( t) cos (nw,t)] dtT

T/2- T ] 1 - (- 1)"] f f (t) cos (n<,,t) dt

0

para n par

f(t) cos (nwot) di paran impar

Un desarrollo similar muestra que

para n par

T/2

1(t) sen (nw,t) di paran impar

(2.22)

(2-23)

(2.24)

PROBLEMA 2.11 Demostrar que la serie de Fourier de cualquier función periódicaque tiene simetría de cuarto de onda par, consta solamente de armónicos imparesdetérminos del coseno, es decir,

dtj


Solución : puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda par,

f(t)-f(-t),

f t+ 1 T) - -f(t).2

Por los resultados de los problemas 2.8 y 2.10 se tiene, por consiguiente, que

b„ = 0 1 para todos los valores

a _ 0 de n (incluyendo ao),

4 rT

az^-1=T J0

2f(t) cos 1(2n - 1) mot) dt

{ fT /a1(t) cos [ (2n - 1) wetl dt

0

(2.27)

T/2

+ f(t) cos [(2n - 1) cuot) dt (2.28)

Cambiando la variable t por (t + i T) en la segunda integral, se tiene

T/a

32n_1 - 4 f(t) cos [(2n - 1) mot] dte

0f ^t + T) cos 2n - 1)x,0 (t+ T)] dt . (2.29)

T4

Si se usa la propiedad f(t) =-f(t + z T), se tiene

n2n -t ={T/4 f

( t) cos[ (2n -1)mot) dt + f o f( t) cos [ (2n - 1) %t) dto T/4

4 T/4f(t) cos [ (2n - 1) r^ot] dt.

T -T/4

Dado que f(- t)=f(t) y f(t) cos [(2n - 1)coj1 es una función par, según (2.13)

se obtiene

a 2 ,-1=B Í 1(t) cos [(2n-1)oat)dt.T

(2.30)

PROBLEMA 2.12 Demostrar que la serie de Fourier de cualquier función periódica

f(t) que tiene simetría de cuarto de onda impar, consta de armónicos impares de

términos del seno solamente ) es decir, ?;.


Solución : puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda impar

f(-t)=-f(t) y f (t+2 T) =- f(t).

Por consiguiente , de los resultados de los problemas 2.9 y 2.10, se tiene

an=0

62n =

para todos los valoresde n (incluyendo ao),

31

(2.33)

4 r/2b2n-1 = T j f(t) sen [(2n - 1) oot] dt. (2.34)

•o

Evaluando esta integral como en el problema 2.11

8 T/4

b2n-1 j f (t) sen [(2n - 1) wot] di.0

PROBLEMA 2.13 Encontrar la serie de Fourier de la onda cuadrada que se muestraen la figura 2.6.

So lución : por la figura 2.6, se tiene

f(-t)=f(t) y f (t+1T) =- f(t),

es decir, la función f(t) tiene simetría de cuarto de onda par.

Por consiguiente, según el resultado del problema 2.11, se tiene

f(t)=^a2,_1 cos[(2n-1)w,t], ruo=2n (2.35)n= 1

8 r/4

a2n-3 = ^, J f(t) cos [(2n - 1 ) w,t] dt0

8 / T/4J cos [(2n - 1) mate dtT o

8

(2n - 1) n),Tsen [(2n - 1) w,t]

4sen (2n - 1) -

(2n 1a 2

T/4

para (2n -1) =1,5 ... (2.36)

para (2n -1) = 3,7 ... (2.37)

T T T

1 2 4

1

0 T T

_1 i4 2 i

Figura 2.6 La onda cuadrada delproblema 2.13


de donde,

TIT2

T

4

f (t)

t

T

4

T

2

Figura 2.7 La onda cuadrada delproblema 2.14.

0(a)

4 / 1 1f (t) = u cos wot - 3 cos 3wpt + cos Swot - • • (2.38)

PROBLEMA 2.14 Encontrar la serie de Fourier de la onda cuadrada que se muestra

en la figura 2.7.

Solución : por la figura 2.7, se tiene

f(-t)=-f(t),

f (t+2

1

T) - -f (t),

es decir , la función f(t) tiene simetría de cuarto de onda impar.

Por consigueinte , según el resultado del problema 2.12, se tiene

f(t) b2n- 1 sen [ (2n - 1) wrt],

n=1

8 T/4

b2n-1 = T j f(t) sen [(2n - 1 ) wat] dt

(b) 2

8 f T14

sen [(2n - 1) wot] dt

T

(2n - 1) w j

T/4

0

1 - cos (2n - 1)(2n 41) n [ 2 ]}

tT

-8 cos [(2n - 1) w0tl

4(2n - 1) u

de donde

-T

no de termos del coseno o como una sene de termrnos aetpuede seleccionar en cualquier parte, por lo cual, en genes

érminos tanto del seno como del coseno.

(2.39)

(2.40)

(2.41)

:ción del:ión ya sea como

. Por supuesto, elobtiene una serie

PROBLEMA 2.15 Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) que se muestra en

la figura 2.8(a).

Solución : como se muestra en la figura 2.8(b), la funcióng(t) _ Lf(t) - z ] es una

Figura 2.8 (a) La función f(t) del

problema 2.15. (b) Lacomponente impar de flt)de la figura 2.8(a).

l (t) =4

n/sen %t + 1 3 sen 3wpt + 15 sen Swot + • • • .

Se debe notar que este resultado es el mismo del problema 1.10.

función impar ; por consiguiente

g(t) _ b„ sen nwot,

n=1

27w0 = -

2 T/2

bn = T g(t) sen (nw,t) dt.

-T/2

Por los problemas 2.13 y 2. 14, se observa que mediante una am (es decir . desplazamiento en el tiempo), se puede desarrollar

(2.42)

(2.43)


Puesto que g(t) sen nwot es una función par , de (2.13 ), se tiene

4

ITiz

b„ _ - g (t) sen (n(^ot) dt.T o

Ahora bien;

entonces,

por la figura 2.9(b) y el resultado del problema 2.15, se tiene

Integrando por partes, se obtiene

6 - 4 - 1 1 tcos nmot sen n,vot

T 2 T nwp T (nr^o)

Por consiguiente,

1(t)=2+g(t)

g(t)=2-2t para 0<t<T

4 T12 1 1=T £ 2-T t) sen (na t)dt.

0

1 l rww

2 +R Ln= 1

1 son nmotn

= 1 + n (son oiot + 2 son 2mot + 5 son 3wpt + • ..)3

2.3 EXPANSION EN SERIE DE FOURIER DE UNAFUNCION EN UN INTERVALO FINITO

PROBLEMA 2.16 Teniendo en cuenta el resultado del Problema 2.15. encontrar laserie de Fourier de la función f(t) que se muestra en la figura 2.9(a).

Solución:

Por tanto,

11(t)=1 f (t)=2+RL

f(t)=1-f,(t)

son ,,t

n=1

1 sen nwot.n

1 1 / 1 12 - sen mot + 2 sen 2wat + sen 3wot + .. .

finito (0, O. se puede d. en el intervalo (U, Z). E

33

(2.44)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

Una función f(t) no periódica, definida en cierto intervalorollar en una serie de Fotuier, la cual esta definida solamentelsible desarrollarf(t) en una serte de Faurier con cualquier

•

f,(t)=1-t(t)

0

Figura 2.9

T

(b)

(a) La función f(t) del

problema 2 . 16. (b) Lafunción fi (t) del problema2.16.


cuencia fundamental deseada; ademas j(t) se puede representa

lo cual se uedelthacer constl mentel cs di paseno o oseno so ,e.noc,tnperiódica adecuada que sea idéntica a f(t) en el intervalo (0, z), y que socondiciones de simetría que conduzcan a la forma deseada de las seriesEsto se ilustra en la figura 2.10.

t(t)

y ► t1 T=2-

(b)

(d)

T

(g)

cientes

tos -

f(t) es par,del coseno

tonces por (2.20) y 2.21), se tiene la serie deFourier en términos M seno

1(t)= b„senRetT

\ T-2"\

ii

i01 Z / T-2T

T T\ T=4T

(r)

♦ T=4T

Figura 2.10 la ) La función f(t) dada. ( b) Simetría par: términos del

coseno, wa = n/i. (c) Simetría impar: términos del seno , w, = n/r.

(d) Términos del seno y del coseno , w, = 2n/t (T: arbitrario).

(e) Simetría de media onda : términos del seno y del coseno , y armónicos

impares, wa = n/t. (f) Simetría de cuarto de onda par : términos del

coseno y armónicos impares, w, = n/(2t). (9) Simetría de cuarto de

onda impar : términos del seno y armónicos impares , wp = n1(21).

2.3a Expansiones de medio recorrido

entonces de (218)y (2.19),t) una función de periodo T = 2r.

obtiene la serie de Fourier en térmi

1 (0


Las series (2.49) y (2.51), representan ambas la misma función f(t) dada, en el intervalo(0, r); fuera de este intervalo , la serie (2.49) representará la extensión periódica par def(t), con periodo T= 2r [figura 2.10(b)j, y la serie (2.51) representará la extensiónperiódica impar de f(t), con período T =2i- [figura 2.10(c)]. Las series (2.49) y (2.51),cuyos coeficientes están dados por (2.50) y (2.52) se denominan expansiones de mediorecorrido de la función f(t) dada.

PROBLEMA 2.17 Dada la función (figura 2.11)

0 para 0<t<ln2

f(t) _ (2.53)

para 1>r<t<u2

desarrollar f(t) en una serie de Fourier de términos del coseno y trazarla correspondienteextensión periódica de f(t).

Solución : en la figura 2.12 se muestra la gráfica de la extensión periódica par de f(t).Puesto que f(t) se extiende a una función par, se tiene

b n = 0 , n= 1, 2, - - • .

Por (2.50), se tiene

an = f(t) cos (o t) dt = 2 cos (ni) dto u

2- senntn u

II

1/2

2 n7=-- sen - ;

n n 2

esto es,

0, n par (n # 0)

an =

2

nr

2

n7

Para n = 0,

De esta manera, se tiene

2 r77ao=- J dt=1.

n/2

fa(t) - cost-1 cos3t+1cosSt-2 n 3 5

para 0<t<1r.

(2.54)

(2.55)

(2.56)

PROBLEMA 2.18 Desarrollar f(t) definida por (2.53), en una serie de Fourier expresadaen términos del seno y trazar la correspondiente extensión periódica de f(t).

t(

r 7ro 7 n

2

Figura 2.11 La función f(t) delproblema 2.17.

f e(t)

0

2 2

Figura 2.12 La extensión periódica par de

f(t) de la figura 2.11.

f,(t)

2 2t T 1 T o ± T I---!

Figura 2.13 La extensión periódica imparde f (t), de la figura 2.11.

Solución : el gráfico de la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.13.


Puesto que f(t) se extiende a una función impar,

a„ = 0, n = 0,1,2,•


b„ . 2 f f(t) sen (nt) di

7 o

sen (nt) dt

_-? cos ntnu

2

nu

esto es,

b„

Por consiguiente,

n/2In

(cos n n- cos 2 n n);

2

nn

4

nun = 2,6,10,•••

0, n=4,8,12,• - .

fo(t)=^ ^sent+1sen3t+1sen5t+•••In 3 5


k

t

-1`. 1 lo i i\ /21

Figura 2.15 La extensión periódica imparde la figura 2.14.

-2 1 sen2t+1 sen6t+2 senl0t+•••

para <0<t<rr

(2.57)

(2.58)

PROBLEMA 2.19 Dada la función (figura 2.14)

2kt para 0<t<11

f(t) - (2.59)

2k (1-t) para 21<t<1

desarrollar f(t) en una serie de Fourier en términos del seno.

Solución : la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.15.

Puesto que f(t) se extiende a una función impar,

an=0 n=012.••


tdtb„ = 2 f(t) sen

(n77 t)0

12 [2k^ /2 t son (nj t) di + 2k f (1 - t) son (nu t^ dt . (2.60)0 1/2


Integrando ahora por partes, se obtiene

j1/2

t sen nn t dt = - /tcos ntn n

1'2 l I'2+ cos (

n n

-1) dtnr

-- cos nn+2nn 2

Análogamente

sen n -.n'r' 2

(/ - t) sen ('± t) dt cos 1 n n + sen n c.2n r, 2 n'>r' 2

Sustituyendo (2.61) y (2.62) en (2.60),

8k

de esta manera

1sen 2 nr,.

8k 1 1 nf(t}- - sen t - sen3^ t+ sen 5t-•••

2.4 LA FUNCION IMPULSO

puede de

sit/0,

si t - 4,

¡ni

(2.66)

h5) indica quea que se cumple (2.66).

ro e

La función delta también se puede definir en té

donde

nos de la sintegrales solamente , ésta es la definición que se utilizará . En adelen el sentido de la llamada función generalizada (o simbólica).

nit

37

(2.61)

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

propiednte, 8(t"

d(e definir

Si se supone que la función di( t) (llamada función de prueba) es una funccontinua , que se anula fuera de algún intervalo finito, entonces la función 6 se del)como una función simbólica corla relación-

La expresión (2.67) no tiene

(t)$(t)dt- ,(0

>adointegral, así como la función 6(t), están definidfunción O(t).

una integtelnúmenPo]

1 definida, sino q0t(0) asignado a 1

2.67)

Con la interpretación anterior, resulta que 8(t) se puede tratar como si fuera unafunción ordinaria, excepto que nunca se hablará del valor de 8(t)„ pero sí de los valoreide las integrales en que aparece 4(t).

PROBLEMA 2.24 Probar las siguiera'

La ¡uncton impulso unitario 6(t), conocida también comonir de varias maneras. Generalmente se expresa mediante

- tt) 0 (r

mes:

38

(Úó(a\dt=1$l,

Solución : con un cambio formal de la variable independiente, es decir, t - to = z,

de donde t= to + z, y dt = dz,

J 3 (r-to)0( t)dt= f ^S(T)0(T +t0)dT= J 5(r)16(t4 t0) di;

entonces , mediante (2.67), se tiene

i:S(t)0( t+to)di =¢(t+to) =qs (ro)r-o

Análogamente , con at = z, t = z/a, di = 1 di , si a > 0 , se obtienea

5(at)0 (t)dt=1^^S(T)¢^-^ dTa


a£s(t) cs (a) dt = ah (a)

t= o

Iál 0(0):

si a <0,

3(at) ^(t) di =1 f S(T)¢ (1) dTa

£ (t) <b di

PROBLEMA 2.21 Considerar una función g(t) contin

que

Solución : aquí la expresión

se puede interpretar como sigue

3 (t - to) g (t) dif be

si se selecciona la función de prueba ¢(t) tal que

g(t) paraa < t < b

0 para b < to < a,95 (t) _

entonces , por (2.68), se tiene

(2.71)

a g (to) para a < t, < bf 3(r-ta)g(r)dt S(t-tp)^(t) dt=¢(ta)=

0 para b < to < a.


Solución : aquí de nuevo la interpretación de la expresión

rbJ 5(t-to)dt

es como sigue: si se selecciona la función de prueba 0(t) tal que

J 1 para a < t < b

0 para b<t,<a;

entonces , por (2.68 ), se tiene

b

j 6(t_to)dt=3 6( t-t,)q,(t)di

_ e(ta)

1

PROBLEMA 2.23 Demos

=f(0) J-S( t)<k (t) di

para a < t, < b

para b < t, < a.

I(t) a (t) - 1(O) &(t), (2.74

de f(t) es continua en t = O . Por tanto , demostrar que

] al

S(=f) _ &(t).

Solución : si f(t) es una función continua, entonces

C[f (t) S (t)] q5 (t) di =

fl 8 (t) [f (t ) 95 (t)] di

= f(0). (0)

39

(2.73)

(2.

(2.7

_ 1f(0) 8(t)] ¢(t) dt. (2.78)

Puesto que 0( t) es una función de prueba arbitraria , se concluye que f(t) 8 (t) = f(0) 8 (t).

Según este resultado es obvio que


t 5(t) = 0.

3 (at) i (t) dt = a^ ^ (0) _ a^ ^ ^ 5 (t) ^6 (t) di = £ 5 (t) q (t) di.

40

Por tanto,


S(at) = 1 3 (r).a

Haciendo a = - 1 en el anterior resultado,

n(-t) Lll 3(t) 3(r),

lo cual muestra que S(t) es una función par.

2.4a Derivadas de la función 8

La derivada S'(t) de S(t) está definida por la relación integral

8'(t) 0(t) d r - - 1 8( t) 0' (e) de = - ¢z' (0), (2.79)

8,(t) - d 8( t)cb' (0)

dr dt r.o

'La ecuación (2.79) muestra que 6 (t) = d 8(t)/dt es una función generalizada que asignael valor -0'(0) a la función de prueba O(t).

la derivada enésima de la función S

d" 8(t)de"

se puede definir análogamente mediante la aplicación de (2.79); es decir

f 8t0 (0¢(e)dt-(-t )" pc") (0)

PROBLEMA 2.24 Den

f'(t) <k (t) de = - 1 f(t) 0' (e) d

:cuente con la definicióordinaria cuya primera derivada

Solución : considerar la integral dada por

f f' (t) 95 (t) dt.

Integrando por partes, se obtiene

f f'(t)95 ( r)dt=f ( t)(k (t)

2.82

ordinaria de una derivada de f(t) si f(t) es una funciónes continua.

=_1 1 (2.80)

- f (t) <P' (t) dt. (2.83)

Si se recuerda que la función de prueba 0(t) es tal que-se anula fuera de algún intervalo,es decir, es cero en t - ±-,

Análisis de formas de ondas periódicas 41

£ f'(t),b (t) d t - - £. f (t) (b' (t) di.

Se debe notar que la derivada f '(t) de una función generalizada arbitraria estádefinida por (2.82).

PROBLEMA 225 Si f(regla del producto

se sigue cumpliendo.

es una función continua y díferenciable, demostrar que la

It(e)B(1)1'=((t) 8'(t)+ ¡'(t)8(t) (2.84)

Solución : utilizando la expresión (2.82), se tiene

J-It(t)S(t)1'( (t) di=

Por tanto,

[f(t)S(t)ld'(t)dtJ_ x

-- f ¿(1)1f(t)<'0)I dt

_- f S(t)4[f(t)ó (t)l t (t)O(t)ldt

- - 3(t)It(t)¢(Y)I'dt, £s(t) f' Q)0 (t)1 dt

= f b'(t) If(t) ,(t)I dt a f IS(t)f'( t)l0(t) dt

_ J S'(e)1 0) S(t)1' ( QI ¢(t)dt. (2.85)

[ f(t) S(t)1' = f (t) S'(t) + f'(i) (5 (t).


0) S'(t) - f'(0) S(t).


f (t) 5, (t) - [f (t) S (t)1 ' - f, (t) 5 (t).

Puesto que según (2.74) se tiene, f(t) b (t) = f(0) 5 (t),

¡'(e)¿(e) = ¡'(0)¿(e),

f(0)5(t)I'= f(0)S'(t).

Sustituyendo en (2.87), se obtiene

f (t) 5, (1) = f (0) S'(t) - f"(0) S (t).

PROBLEMA 2.27 Demostrar que la función & es la derivada de la función u(t)está definida por la re!

(2.87)



Pero, según (2.88), se tiene

u'(t)0(t) dt =- l :u(t)95'(t) dt.

f:u'( t)o5 ( t) dt= - j ' ( t) dt [ó q6 (0)] =ó(0),0

u (t)

1

0

Figura 2.16 La función unitaria deHeaviside o función

escalonada unitaria.

Figura 2.28 Una función continua por

tramos con discontinuidadessúbitas. g , (t) = í ' (O - ak a ( t - tk) (2.93)

k

porque 0(o) = 0. Entonces,

En consecuencia,

u'(t)(b (t) dt= S(t)ó(t) cit. (2.89)

u'(t) -du (t) = 5(t).

dt(2.90)

así: (figura 2.16)

La función generalizada (o función simbólica) u(t) definida por (2.88), se conoce

como la función unitaria de Heaviside o función escalonada unitaria. Se suele definir

t

La función no está definida en t = 0.

(2.91)

Se debe notar que la derivada de la función u(t) es cero cuando t < 0 y cuando t> 0.

PROBLEMA 2.28 Si f(t) es una función continua por tramos con discontinuidades

súbitas at , a2, ... en ti , ti.... (figura 2.17), y la función f '(t) está definida en todas

partes excepto en estas discontinuidades de número finito, encontrar la derivada

generalizada de f(t).

Solución : considerar la función

donde

g (t) = f (t) - ak u (t - tk) , (2.92)

1 para t > tk

0 para t < tk

La función g(t), obviamente , es continua en todas partes y su derivada es igual a f'(t)

excepto en un número finito de puntos.Por tanto , la diferenciación de (2.92) da

Teniendo en cuenta (2.90), por (2.93), se tiene

f'(t) - g ' (t ) + ak S( t - tk). (2.94)k


(2.95)

U ecuación (2.94) demuestra que la derivada generalizada de una función continuapor tramos y diferenciable que tiene discontinuidadonde ella exista, más la suma de las funciones S ella magnitud de los cambios súbitos.

2.5 SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DEFUNCIONES PERIODICAS DISCONTINUAS

n 2, converge

Se dice que la sucesión de una función generalizada f„ (t)a runurctn gcrrerauzaua j ¶t), si y soto si

1.

para toda función de pruAnálogamente, una

t,,(t)d(

iba $t)serie

(t)

de funcionestérmino por

n atizad;to. Er

i que convergeotros término

f'(t)

ódica y

n=1

de

(t)

13

puede difer ta

)

En este caso se dice que la serie converge en el sentido de funciones generalizadas, aunglen el sentido ordinario, la derivada de una serie convergente de funciones diferenciablespuede, en general, no converger. Este punto se ilustra en el problema 2.29.

En el problema 1.20 se demostró que sí f(r) es periódica y continua y está dada pt

(t)

onces f ien lb¡etr

-n

Co: el nceplinvestigar las series de Foude discontinuidades en un

onda<

le

2.97)

o por

puede at un núl

2.9

ora

oro m

PROBLEMA 2.29 Encontrarla serie de Fourier para la derivada de la forma de onda

de la figura 2.18.

Solución:

está dada por

de acuerdo con el resultado del problema 2.15, la serie de Fourier de f(t)

1 1 1f (t) _ , - - son nu0t

2 n nn=1

1

2

dt

n 1

f(f, 0(t)dt

uncion gi

s n(4

uede obte

n ntúot

neralizai

6

¡fe]

n nw,t

ido

os nwa

la función S y las derivadas $enerrier para las derivadas de formasperíodo.

1 1sen

n2n

n n Tt. (2.99)

o

Figura 2.18

T 2T

La forma de onda delproblema 2.29.

n=t

5(t+T) 8(t) 3(t-T) 8(t- 2T)

-

Figura 2 . 19 Un tren periódico de

impulsos unitarios.


Diferenciando término por término, se tiene

2 n2uT r. cos

Tt. (2.100)

ti eP t t ú (2 94)

n= 1

or o ra par e, seg n . , se en

t"(t) - - r 6(t - nT). (2.101)

Se observa que la serie de Fourier (2.100) no es una serie convergente en el sentido

ordinario, pero se puede decir que la serie (2.100) converge a la función generalizada

(2.101) en el sentido de una función generalizada.

Igualando (2.100) y {2. 101) se obrie de Fourier de un tren periódico

or consiguiente

_ T

la ecuaci 2

un término constante ltEl tren ueriódico t

conveniente denotare

tado interunitarios (

te,

9), ela expresíódecir

T L cos trir t, (2. 1

muestra que el tren periódico de impulsos unitarios consistey una suma de armónicos todos con la misma amplitud de 2Jimpulsos unitarios es una función muy útil y por consigulenta función mediante un símbolo especial S «(t). De este modi

PROBLEMA 2.30 Deducir la serie de Fourier para un tren periódico de impulsos

unitarios 6T(t) mediante la aplicación formal de (1.27) y (1.28).

Solución : suponer que

ST(t) lao+

iene u

(a, cos na,,t + b„ sen nwot).

r pecando (1.27) y ( 1.28), mediante (2.70) y ( 2.72), se tiene

1 1aa - J

T/2 6r (t) dt -

1 fT/26(t) dt

T

1

T/2 T/2

(2.105)

(2.106)

a, = 2 f T12 6T ( t) cos (nr>,at) dt = ? rT 2 6(t) cos (nw,t) dt = ? cos no,tT T/2 T J T/2 T b o

(2.107)


T/2 2 T/2

b,, -2

2 fST (t) sen (nw,t) dt

= T IS (

t) sen (nwot) dtT/2 T/2

45

2

T- sen nwot

r= o

De donde,

-0. (2.108)

1 2 27S (t - nT) - T + Tr

Lcos nwot, wo = T . (2.109)

2.6 EVALUACION DE LOS COEFICIENTES

de la función 8 junto con la diferenciación, pueites de las series de Fourler para ciertas func ionn

DE FOURIER POR DIFERENCIACION

PROBLEMA 2.31 Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la

figura 2.20(a), hallando la primera derivada de f(t).

Solución: sea

f (t) = 2 a, + (a, cos nwot + b" sen nwot), (2.110)n= 1

Y(t)=2 aa+

"=t

(a" cosnwot+/3" sennw,t), (2.111)

donde

2uwo = T .

Diferenciando (2.110) término por término e igualando con (2.111), se obtiene

De donde,

an = nwo bn, R n = - nwo a". (2.112)

nwob" = á" •

nwo(2.113)

Puesto que f'(t) es una función generalizada impar [figura 2.20(b)], se tiene

(2.114)

4 Tix T/2^" = T f f'( t) sen (nwor) dt =

4T

0 0

4A

T

[-A S (t - 2 d) ] sen (nwot) dt

sen nwott= 2 d

= 4A sen ^n dd (2.115)

A

I Í Í Í

T T d 0 d T T

2 2 2 2

(a)

T d 0 d T

2

-

2 2 2

(b)

2

Figura 2.20 (a) La forma de onda delproblema 2.31. (b) Laprimera derivada de la formade onda mostrada en lafigura 2 .20(a).

As(t + - j t'(t)2


De acuerdo con esto, por (2.113), se tiene

sen^- -l

sen(ti-,d)

,an - -- sen4A n(,,od _ 2 Ad 2 = 2 Ad T^

no, na0T 2 T (nc),d) T (nrd

2 J Tl

(2.116)

bn = 0. (2.117)

Puesto que el término constante i ao se anula en el proceso de diferenciación, teniendo

en cuenta (1.23),

1 1 ¡'T 2 Ad

T2

Por consiguiente,

sen

(2.118)

2Ad r 2r 1 2.119cosot ( )T /n,7dl T

T

PROBLEMA 2.32 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos

unitarios (2.103), resolver nuevamente el problema 2.3 1.

Solución : la derivada f '(t) de la figura 2.20(b) se puede expresar así

C(t) - AL

Slt+Zd - nTl -A ^t-2d-nT)J. (2.120)


S t+ld-nTL ( 2

2

Tcos n,,, t + 2 d)] ,

n=

t- 1d-nr)

( 2 / T7

2

T Écos Irnai I t - 1 d ]

L 2 )n =1

donde wo = T . Sustituyendo (2.121) y (2.122) en (2.120), y utilizando la identidad

trigonómetrica cos (A + B) - cos (A - B) 2 sen A sen B, se tiene

A 2T cos (nru ot + nT _ nTd2A cos n(,)ot - -

n= i

--4A sen 1 T sen (nmot).

n=1

De donde,

(2.123)

(2.124)


De esta manera, se obtiene

an = _ ( n = 4A nrdsen -n()a nw0T T

2A ¡nrd)- sen l Jnr T

(2.125)

b„-0. (2.126)

PROBLEMA 2.33 Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura 2.21(a)por diferenciación.

f(t)

-T T -d, -d,

20 d, d, T

2

(a)

f'(t)

Ad,-d,

A

di -d,ú

(6)

t "(t)

A ó(t-d,,dz -d,

d,

11

(c)Figura 2.21 (a ) La forma de onda del problema 2.33. (b) La primera

derivada de la forma de onda de la figura 2.21 (a ). (c) Unafunción par generalizada f "(t) de f (t), de la figura 2.21 (a).

Solución: si f(t) se desarrolla en una serie de Fourier

t

-f(t) = 1 ao + (a, cos n ),t + b„ sen n(iiot), (2.127)

n=1


donde wa = 21r/T, entonces

f"(t) _ (-nmo a„ sen n(jot , nwo b„ cos nmot), (2.128)

f —(t) _ Y' [-(nmo)' a, cos nwot - (nmo)' b„ sen nwotl. (2.129)

[Verla figura 2.21(b)]. Ahora bien, según la figura 2.21(c), f "(t) es una función par

generalizada y

f"(t)- A [-8(t-d,)^3(t-d,)1, 0<t<T . (2.130)d2-d,

Por tanto,

-(nmo)' b„ - 0, b„ - 0, (2.131)

4 T/2

-(n(o)' an - T j f"( t) cos (nwot) dt

0

4A

jT/2

T (d, - d,) [ 8(t - d,) + S( t - d,)l cos (nwat) dt

- 4A (cos ncad, - cos nood,),T(d, -d,)

4A

a„ (nwo )'T(d,-d,)(cos nwod, - cos ncod,)

AT

n'72 (d, - d,)

(cos nwod, - cos nwod,).

El término constante 1 ao se puede obtener así:

1 1 T/2 Alao=T J f(t)dt=T(d,+d,).

T/2

Por consiguiente,

(2.132)

(2.133)

(2.134)

f (t) - A (d, + d,)AT 1 (cos nwod, - cos nwod,) cos ncot. (2.135)

T ,,(d,-d,) n

y


PROBLEMA 2.34 Probar que la función cero es la única función que es simultáneamente

par e impar.

PROBLEMA 2.35 Si la función f(t) es impar, probar que I f(t)1 es par.

PROBLEMA 2.36 Sea la función f(t) diferenciable en el intervalo (- a, a). Demostrar

que su derivada f '(t) es impar cuando f(t) es par, y par cuando f(t) es impar.


PROBLEMA 2.37 Encontrar las componentes par e impar de las siguientes funciones:

(a) e', (b) tt L 11 , (c) t sen t - sen 2 t.t-1

Respuesta: (a) 1, (t ) = cosh t, f, (t) = senh t, (b) fe (t) = t2' 1 f'(t) -

(c) fa(t)=tren t, fa(t) -- sen 2 t.

PROBLEMA 2.38 Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida por

f(t) = 1 t l para (-n, rr) y f(t + 2zr) = f(t). (Ver figura 2.22.)

Respuesta: n - 4(2n _ 1)2 cos (2n -1) t.

PROBLEMA 2.39 Sea f(t) una función periódica con período T definida en(-T/2, T/2), cuya serie de Fourier es

2r,+ (an cos q (,)o t +- bn sen nmo t), mo =n-1 T

Si fe(t) y fo(t) son las componentes par e impar de f'(t), demostrar que las series deFourier de fe(t) y fo(t) son, respectivamente:

a°fe (t) - 2 + an cos neo t y to (t) _ bn sen nt,1o t,

n=1

2t

PROBLEMA 2.40 Utilizar el resultado del problema 2.39 para encontrar la expansión

en serie de Fourier de cada una de las siguientes funciones, definidas en (- n, ir) conperíodo 2n: (a) cosh t, (b) senh t.[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.32.]

Respuesta: (a) 2 senh a l-(-1) cos nt

2 1+-n2

2 senh 1 n+'(b) ( ) n sen nt.

n 1 + n 2

PROBLEMA 2.41 Demostrar que el valor de la media cuadrática de f(t) es igual a lasuma de los valores de las medias cuadráticas de sus componentes pares e impares o sea,

T^2 T/2 Ti2Tf [f(t)72dt= 1 J [fa(t)]'dt + 1 [fa(t)]'di.

T/2 T T/2 T T12

PROBLEMA 2.42 Sea la función f(t) periódica con período T. Si f(21 T - t) = f(t),determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier a„ y bn de f(t). Ilustrarf(t) gráficamente.

Respuesta: a2n+1 - 0, b2n = 0

PROBLEMA 2.43 Si la función periódica f(t) con período T satisface f(z T -t) _- f(t),determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier a„ y bn de f(t). Ilustrarf(t) gráficamente.

-2rr -v 0 7r 2n

Figura 2.22 La función f(0 delproblema 2.38.

Respuesta. a2n-0, b2n+1=0.


PROBLEMA 2.44

es

Si la expansión en serie de Fourier de f(t) en el intervalo (- T/2, T/2)

1 a L (a„ cos nr-o t . bn sen nÚJo t), w0 = 2r/ T,

demostrar que la serie de Fourier de cosenos y la de senos de f(t) en el intervalo (0, T/2)

son, respectivamente:

ao + 2a„ cos nmo t y 2b„ sen nw, t.

Suponer que f(t) = 0 para - i T < t < 0.

PROBLEMA 2.45 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de

cosenos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):

(a) t(t) = t, 0 < t < n, (b) f(t) = sen n t, 0 < t < 1.

Respuesta: (a) u_4 'Y 1 cos (2n - 1) t,2 n (2n - 1)z

(b) 2 _ 4 1 cos (2 t\ t + 1 cos (47) t + 1 cos ^6n^ t +n 711.3 1 3.5 1 5.7 (T)

PROBLEMA 2.46 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de

senos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):

(a) t ( t ) = cos t, 0 < t < n, (b) n - t , 0 < t < n.

Respuesta : (a) 8 Y n sen 2n t, (b) 2 1 sen nt.4n'-1 „=1 n

PROBLEMA 2.47 Encontrar la serie de Fourier de cosenos y la de senos de

1(t)=4nt para 0<t<2n

=4 ut(n-t) para 2 t<n.

Respuesta: 7 2 1 - cos nt,16

n=t n

(- 1)n+1 sen (2n _1)t.^i (2n - 1)'

.1

PROBLEMA 2.48 Sea 0,(t) _ (2/Z) sen (nn/z) t, donde n = 1, 2, • • • . Demostrar

que las funciones {0„(t)}, forman un conjunto ortonormal en el intervalo (0, z).

PROBLEMA 2.49 Suponer a f(t) definida en el intervalo (0, z)• Demostrar que la serie

de Fourier de f(t) con respecto al conjunto ortonormal {m,(t)1 del problema 2.48, es la

serie de Fourier en senos de f(t), en el intervalo (0, z).



(a) f(t)3(t-t0)=f(t,)S(t-t,), (b) t8'(t)--8(t),

(c) 3 '(-t) = - 5 '(t), (d) 5° (-t) = (-1)8"(t).

Análisis de formas de ondas periódicas 51

PROBLEMA 2.51 Demostrar que 8 [t (t)] _ Z 1 S (t - t,), donde tn son

los valores para los cuales f(t) se hace cero.[Sugerencia : suponer f(t) =,c y formar i (z) = 0(t)/If'(t)I.]


(a) 5(t' -a2

(8(t-a)+S(t+a)}, (b) S(sent)= 8„(t)= (5(t -n7).lal __<

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 2.5 1.1

PROBLEMA 2.53 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourierde la función f(t) definida por f(t) = t, para (- ir, a) y f(t + 27r) = f(t).

Respuesta: ver el problema 1.30.

PROBLEMA 2.54 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos

unitarios (2.103) y la diferenciación, encontrar los coeficientes de Fourier de la funciónf(t) definida por f(t) = e° para (- n, n) y f(t + 2n) = f(t).


PROBLEMA 2.55 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourierde la onda sinusoide rectificada, f(t)= IA sen wotl.


PROBLEMA 2.56 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourierde la función cuya forma de onda se muestra en la figura 1.3.

Respuesta: la ecuación (1.40).

PROBLEMA 2.57 Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourierde la semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.


PROBLEMA 2.58 Utilizar el resultado del problema 2.55 para deducir la serie deFourier de la semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.

[Sugerencia: observar que f(t) se puede expresar como f(t) = i A sen wot + i ¡A sen wot I.]

PROBLEMA 2.59 Sea f(t) = fe(t) + fo(t), donde fe(t) y fo(t) son las componentespar e impar de f(t), respectivamente. Demostrar que

T/2 T/2 1 T/2

1 f(t)f(t-T)dt=T ¡ te (t) te (t-T)di+T¡ fo(t)to(t-T)di.T _T/2 T/2 -T/2

PROBLEMA 2.60 Demostrar que si f(t) es una función continua y diferenciable,entonces

f(1)3'(t- to)=f(to)S'(t-to)-f"(t)5( t-to).

3CAPITULO

ESPECTROS DEFRECUENCIA DISCRETA

3.1 INTRODUCCION

La representación de un;Fourier , implica que la especificación de sus coe'ación. En este capitulo se explorará más aún el u

el estudio de funciones periódicas, y se introduciráuáde señales periódicas.

3.2 FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER

s senes en tern>nsidera la serie

En muchas aplicaciones de las series de Fourier , es convenienteaw i-J ofinos de los exponenciales complejos e

de Fourier de una función periódica f(t), c

(t)a _a0+ ) (a,cosnw0

donde w0 = 2ir/T, el seno y el coseno se pueden expresar en términos de los exponencomo

_ {et"mne - e I "'s1). ; (33)

ustituyendo (3.2) y (3 .3) en (3 . i), se ob

(t) _ a0 + ) IaR = '(elRz0Of + e-in 01

Teniendo en cuenta que l{) -1, (3.4) seü puede expresar como

cos no.,, t -

periódica como una sedetermina unívocamente

so de los coeficientes de IFourier eel concepto de espectros de frecue

.4j

1b„) (3.6)

52

Espectros de frecuencia discreta

i ecuación (3.7) se denomina forma compleja de la serie de Fourier de f(t), o serf;rnple¡a de Fourier de f{t).

Los coeficientes €„ se pueden evaluar fácilmente en términos de a„ y h,, loales ya conocemos ; en efecto,

es real, enton

53

indica el conjugado complejo,a ecuaciones (38), (3.9) y (3,10) se pueden combinar en una sola fórmula; es de,

esto que f( con periodo También se puede hallar a partir de la fórmula


4, tan-' j'- áa)

cepto n =0. En este casoco es real y

PROBLEMA 3.1 Encontrar la serie compleja de Fourier, para la función diente de

sierra que se muestra en la figura 3. 1, definida por

(3.17)

1(r)1

-T 0 T

((t)= At, 0<t<T,

Solución : la representación de f(t) en serie compleja de Fourier está dada por

r

Figura 3.1 La función diente de sierra.

Puesto que ern2n = 1,

c"=1Jr

((Oe t"°otdl

T o

- At e in^ot dl

A tétn0ot ^T 1 T

T'^ -Jn<ro o jnt^too

A Te"' 1

T' -imo, (in-

)tWot dtl

(e )n2n _ 1)].

(3.16)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

A A A )

2un 2rrn e(3.21)

Cu -t nm,T t

_

Ciertamente este resultado no tiene significado para n = 0; por consiguiente, para n = 0 setiene, a partir de (3.8),

co= - JT

f(t)dt=T2 ^

T

tdt= ^ A. (3.22)0 0

De donde,

f(t) - > en einmaf

f(t+T)= t( t).

2n^o = T

Los coeficientes c, se pueden encontrar a partir de (3.13 ); de esta manera,

J'

donde

I A A 1 e)nmor(t) = 2 T 1 2 n n

A A ' 1 1( nn,ot+2)- + -e2 2u n

significa que la sumatoria sólo incluye enteros diferentes de cero.

(3.23a)

(3.23b)

PROBLEMA 3.2 Reducir el resultado del problema 3.1 a la forma trigonómetrica

de la serie de Fourier.


Solución : puesto que según (3.6),

e0 = ao, c,, += (a,, - )bn), c-^ = c^ - 2 (an2 2

se tiene

ap 2co,

a,, = c„ + c_n = c,, + c. = 2 Re [C,] ,

bes- j(c,; -c-n)=j(c,,- ces) _ -2 lm[cn],

55

(3.24)

(3.25)

(3.26)

donde Re y Im denotan `la parte real de" y "la parte imaginaria de", respectivamente.Entonces , por (3.21 ) y (3.22), se tiene

a,=A, an-0, b„=- `4nr,

De donde,

f(t) = i ao T (a,, cos nmot + b„ sen nmot)2

A

2 n nA 7 1 sen n(uot

A A sen c,ot + 1 sen 2ruot , 1 sen 3u),t+2 u 2 3

PROBLEMA 3.3 Encontrar la serie de Fourier en forma compleja de la función

periódica sinusoide rectificada f(t) que se muestra en la figura 3.2, definida por:

f(t)=Asenut. 0<t<1, f(t+T)-f(t),

Solución : puesto que el período T= 1, w0 está dado por

2n^o - - - 2 n;

T

por consiguiente, la serie compleja de Fourier está dada por

f(t) - ) c e12^nt

A partir de (3.13), los coeficientes cn son:

T

cn - f f(t)é i2nntdtT

J Asen nté ten°dt

=A 2j (ejnt-e- j-t)~ ) 2Jt0

dt

A [e irc2n-i7t _ e-jn<2n+U`] dt2j o

A íe j" (2n -I)t j-( 2n,t)t

2j - j7,(2n -1) - jn(2n +1)j

1

(3.27)

(3.28)

T- 1. (3.29)

(3.30)

(3.31)

t(t)

-2 -1 0 1 2

Figura 3.2 La función periódica sinusoiderectificada.


Dado que e-] 2-n = 1 y

-2Ac„ _

rr(4n'- 1)

Se puede utilizar (3.8) para verificar este resultado cuando n = 0 ; de este modo,

c0=1^

f(t)diT e

2A

De donde,

P ,

rr 4n'- 1

(3.32)

(3.33)

(3.34)

PROBLEMA 3.4 Reducir el resultado del problema 3.3 ala forma trigonométrica de

la serie de Fourier.

Solución : la ecuación (3.34) se puede expresar también como

f(t) _ 2A 2A 1 ei2'r^ 1 ej4-1_ 1 ei6nt+u n 3 15 35

1 '- 14-115

1 e_;-35

2A 4A 1 1 (ei2,.1, - j2 -1) _ 1 1 (ei 4 nt + e- ¡4-t)

n 3 2 15 2

+ 1 1 (e16--1+

35 2e' b-

2A 4 A (1 cos2nt l1 cos4at +1cos6ut+

r, n 3 15 35

O utilizando (3.25) y (3.26), se tiene

De donde,

a„ = 2 Re [c„]

4A

(4,1 1)

b„ 2 len í e ,, ] _: 0.

f(t) = i ao + (a„ cos nmot + b„ sen nú) ot)

2A 4A r 1 cos n27tP 9r L^ (4n' - 1)

n=l

(3.35)

(3.36)

(3.37)

2A_4A 1cos2Ut+ 1cos4ut+ 1 cos6nt+•..1. (3.38)7 n 3 15 35


3.3 ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJASDE LAS SERIES DE FOURIER

temostrada en la secar,:l concepto de ortogonalidad d+

en el intervalo

ide f„ (t) es el conjugado complejo de fm(t). Por ejemplo, si

conjugad,

alidad de las funcioncalores cjunto, det<b,sirr

sido

57

Solución: puesto que eifW°'¡m=o= 1,

f rT/2J ein mae.ldt = 1 einvrae

T/2jnwo

T/2

-T/2

Jnwo

=0 para n9l 0, (3.40)

íficado ligeramente. E

f T/2 T12ejn.at (ejmmo )*di=f ejn'o(e i madi

riz T/2

ei("-m)"ot di

1 ej(n_m)wot

j(n -m)wo

T/2

-T12

= 1 (ei("-m ) r_ e i(n-m)„)

1 (n - m)wo

= 1 [(-1)^ m - (-1)" m ]T (n - m) wo

= 0 para n ^ m. (3.41)

para funciones que t<

PROBLEMA 3.6 Utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funcionescomplejas { ej"woi } de la serie de Fourier, determinar los coeficientes de la seriecompleja de Fourier.


Solución : sea f(t) una función periódica con período T, y sea la serie de Fourier en

forma compleja, correspondiente a esta función la dada por

f(t) - c etn^o, o,,Zn

(3.42)T

f(t)e ]m^o'dt= c,,, e' Odt

T/2 T/2

T/2

= cm 1 dt

T'2

-c,,,T. °(3.44)

T

3.4 ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA

T 1 o <t T2 z z 2

Multiplicando ambos miembros por é 'm `" -', e integrando en el intervalo 1 T, 1 TL 2 2

se obtienerT/2

J f(t)^T/2

wot di 1 ( c„

[1T/2 ].T/z

(3.43)

En razón de (3.41), la cantidad en paréntesis angulares es cero excepto cuando n = ni;

por consiguiente,1T/2

De donde, cambiando m por n,

c„= f(t)e_ 0tdt.

valores enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas continuas sino que aparecenen la variable discreta nwq; por consiguiente, se les denomina como espectros de

frecuencia discreta o espectros de lineas. La representación de los coeficientes complejos

e, versus la variable discreta nw„ especifica la función periódica f(t) en el dominio dela frecuencia, así como f(t) versus t especifica la función en el dominio del tiempo.

versus co se denomina espectro de fase de f(t). Puesto que el indicen toma solamentamplitud de la función periódica f(t). La gráfica dei ángulo de fase ¢n de cn (ver 3 .14]la serie (3.7), versus la frecuencia co (frecuencia angular), se denomina espectro de

(3.45)

La gráfica dula magnitud de los coeficientes complejos c en

PROBLEMA 3.7 Encontrar los espectros de frecuencia para la función periódica f(t),

que se muestra en la figura 3.3, la cual consta de un tren de pulsos rectangulares idénticos,

de magnitud A y duración d.

Solución : la función f(t) se puede expresar en un período como sigue:

t

Figura 3.3 Un tren de pulsos rectangulares

idénticos.

A para -1d<t<1d2 2

0 para-1T <t< -1d, 1d<t<1T2 2 2 2

(3.46)

Espectros de frecuencia discreta 59

Entonces , por (3.12), con w° = 27r/T, se tiene

c = ' 1 f(t) e ;n"°`dtT

A d/2= é '° °`dt

T

A 1 jnm°

T -jnm°

A 1

T jna7°

Ad 1 1

T (n(J°d` 2jI\ 2 J

/n °d1Ad sen I\ 2 /I

T /nw°d

2

-jnm°d/2)

Pero nwod/2 = nnd/T; de donde,

cn =

T

(3.47)

(3.48)

Es obvio, según (3.47) o (3.48), que cn es real y por consiguiente el espectro defase es cero . El espectro de amplitud se obtiene dibujando (3.47) o (3.48) versus lavariable discreta nw°. La ecuación (3.47) tiene valores solamente para la frecuenciadiscreta nwo; es decir , el espectro de frecuencia es una función discreta y existesolamente cuando

±2n ±4770, • , etc.

T T

Se debe considerar el espectro para algunos valores específicos de d t T; parad = 1/20 y T = 1/4 de segundo,

277

T

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando

w=0, ±8r,, ± 16n,•••,etc.,

y se muestra en la figura 3.4(a).

Puesto que d/T = 1/5, el espectro de amplitud se hace cero en el valor de nw°,para el cual

a anm- mn ó 7777-= 7777 =mn (m=±1,±2, ),°2 T (51 )

es decir , cuando c, =±Sw°=*-4077,± 10(0°=±8077, ±15w°=±12077,En el caso siguiente se considerará d = 1/20 y T= 1/2 de segundo, y

277 = 477, d 1T T 10


1 1 d 1d=-, T---_-20 4 T 5

cn^

A/5

278 /r

7u0 = _ = n

A/ 10T

'

-807 -40, 0 4077 807 -807 -40n 0 40, 80,- lOw0 -5" 5'', 10,,o -20", - 10r„ 10wo0 20,,00 0

(a) (b)

Figura 3.4 Espectros de amplitud.

Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando

m=0, ±4rr, +87 , -

y y se hace cero en el valor de nw0 para el cual

no0=mn 6 n7á=n7 ¿0 =m7 (m=±1,±2, .. .2 ' T )

esdecir,cuando c = ±l0ro0 = ±407, ±20w0 = ±8077, ±3000 = ±1207,

El espectro de amplitud para este caso se muestra en la figura 3.4(b).

-T

A n_ í

T 0 d T T2

2

Figura 3.5 La función f (t) del

problema 3.8.

1 1 d 1d = T = - _20 2 T 10

-lade1observar que el espectro d

e no nay esa si

n la

es cl13 alrededor de la v

escogida para el

ía, lo cual se con

anaen. El siguiente ejemplo ilustra

debido a lad, y debido a lará el caso en

re desplazando el origen en i d:...

PROBLEMA 3.8 Encontrar los espectros de frecuencia de la función periódica que

se muestra en la figura 3.5.

Solución : por (3.13), con w0=2n/T, se tiene

°a =T ¡^ d1 f(t) e j" o'dt = T I

0 0A 1 i"mee

T -Jnmo

A Ie-J

T jn,oe

A

d

o

T Jnw,

Ad sen (n20d) di2

T (nm0d`

2 /I

rtíc

(3.49)


De donde,

(n w,d )Ad sen 2

T (n^,d)

2

(3.50)

(3.51)

El espectro de amplitud es exactamente el mismo que el del problema 3.7 y no seve afectado por el cambio de origen, pero el espectro de fase es , ahora, igual a- nwod/2 = - nnd/T radianes.

PROBLEMA 3.9 Demostrar que el desplazamiento en el tiempo de una función

periódica no tiene efecto sobre el espectro de magnitud, pero modifica el espectrode fase en una cantidad de -nw0r radianes para la componente de frecuencia nwosi el desplazamiento en el tiempo es r.

Solución : sea f(t) una función periódica con período T, y sea su serie de Fourierla dada por

f(t) _


f(t - T) _ e e"° '(f-T)

(3.52)

c inmaT einmp,

c' einmat (3.53)

donde

c = inmo7(3.54)

Por consiguiente, si

(3.55)

entonces

ces= 1 enei<^n -nmo T). (3.56)

Por (3.55 ) y (3.56), es obvio que el espectro de magnitud de f(t) y f(t - T) es el mismo;sin embargo , las fases son diferentes . El desplazamiento en un tiempo T produceun atraso de nwot radianes en la componente de frecuencia n c,7,.


Ad sen x„

T x„ .

La envolvente de e„ es una función continua, la cual se encuentra reemplazando nwo porw, o reemplazando x„ por x. En análisis frecuencia], la función

desempeña un papel importante y se conoce como la función de muestreo , cuya gráficase ilustra en la figura 3.6. Se debe notar que la función tiene ceros cuando x =±nrr,n_1,2,---, etc.

Sr(o

So+T)S(t) S(t-T) 15(1 -2T)

i

-T 0 T 2T

2.5 EVALUACION DE LOS COEFICIENTESCOMPLEJOS DE FOURIER POR MEDIODE LA FUNCION 5

en la sección 2.6 se vio que la evaluación de los coeficientesde Fourier de ciertas funciones, se facilitaba notablemente utilizando la función S; aquí

se aplicará la misma técnica para evaluar los coeficientes complejos de Fourier.

PROBLEMA 3.10 Deducir la serie compleja de Fourier, del tren periódico de impulsosunitarios de la figura 3.7.

Solución : un tren periódico 5T(t) de impulsos unitarios se puede expresar como

Figura 3.6 La función de muestreo. Figura 3 .7 Un tren periódico de impulsos unitarios.

3T(t)= 3(t-nT), - 1 <t<l2 2

=S(t), - 2 <t< 2

(3.59)

Por consiguiente, con wo = T , se tiene


1 ri2 1 ri2

c" 5T(t) c- )" mu t dt = 5(t) e-" o;ot dtT ^..-,^ T _m.,.

1 e i"-,tor

T

Por tanto,

1

T (3.60)

2'

fi( ) = 1et"mar = 1 e zt-nT

T T

PROBLEMA 3.11 Probar que (2.103) es igual a (3.61).

Solución : por (3.6 l), se tiene

2: ó(t_nT)__ et

T

(3.61)

-t

Tel "m', e1 0 + r e

n-t

r`

T

1 2

n=t

}_

-i"t.o7)11

T T 2O

1 2

n=I

- + - cos ncotT T

12

27t cos n t, (3 62)

T T T.

que es exactamente la expresión (2.103)."=t

PROBLEMA 3.12 Hallar los coeficientes complejos de Fourier de la función f(t) quese muestra en la figura 3.8(a).

Solución : suponer que

f(t) _ ^ c" el"morw -

t71(3.63)

T

Diferenciando término por término, como se muestra en la figura 3.8(b-c), se

obtiene:

1, (t) = (inwo) cne'"raor (3.64)

f "(t)= ( ln^u)zc"el"mor = _ Z (n0 (3.65)


f'(t)

A

♦ f

(a) -A/r, L_J

(b)

Figura 3 .8 (a) La función f (t) del problema 3.12.(b) La primera derivada de f (t) de lafigura 3.8(a). (c ) La segunda derivada

de f(t) de la figura 3.8(a).

2A5(t)t,

(c)

Por la figura 3.8(c), la segunda derivada de f(t) en el intervalo - T/2 < t <T/2 es

f„(t)=48(t-tt)-2A3(t)+A5(t-t5); (3.66)

por consiguiente,

-(n wo)2Cn =

£121

T- T/2

Y'(t)e- ¡-`O' dt

A T/2

Tt,^ [S (t + t,)- 26( t) + 8(t- t,)] e~i n`o' di

T/2

cn

4A I sen (n tt¡^z

Tt, L n o 1

t sen\n 2t^

A (ein mor, - 2 + e in Woti)Tt,

2A- (cos nrvot, - 1).T t,

Utilizando la identidad trigonométrica 1 - cos B = 2 sen22 '

De donde,

(n _a)s c' 4A sen 2 nrvot,= - -

Tt, 2

AT ^n 2 t,\

(3.67)

(3.68)

(3.69)


PROBLEMA 3.13 Resolver nuevamente el problema 3.12, mediante la serie compleja

de Fourier (3.61) de un tren periódico de impulsos unitarios.

Solución : según la figura 3.8(c), f °(t) se puede expresar así:

f (t )=A 5(t-t,-nT)-2A 8(t-nT)-A 5(t-t,-nT). (3,70)t,

Por(3.61), se tiene

5 (t -nT) -1_ el"mor, m

, = 2,7 (3.71)T T

Reemplazando t por t + t,, y por t - ti , en la anterior expresión , se obtienerespectivamente

3(tt t, - nT) - - elnmo R-r^) - 1 eJ.,morr einmo(, (3.72)

T T

1

T

Sustituyendo (3.71), (3.72) y (3.73) en (3.70), se tiene

t^^(t) A (ct°mo 1 i"mar` - 2)Tt,

2A(cos n,,pt, - 1)etn"^r

T t,

Por consiguiente,

- (n oo)' cn - 2A (cos nw t, - 1);Ti¡

ae donde

t,

T

3.6 CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIONPERIODICA : TEOREMA DE PARSEVAL

U contperíodo Testá definido como el vi

Sí se supone que la función f(t) erepresenta la potencia promemo

nido de potencia de una función perior cuadrático medio

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

en el(t

l fTF?^ [t(t)j'dt.

Tf2

una onda de voltaje o corriente , entonces (3.7ntregada por J(t) a una resistencia de l-2.

.77)


PROBLEMA 3.14 Si fl(t) yf2(t) son dos funciones periódicas que tienen el mismo

período T, demostrar que

1 T/27 f1(t)f1(t)dt= (c1)n(c2)-n, (3.78)

T/2

donde (c1)„ y (c2)n son los coeficientes complejos de Fourier de fl(t) y f2(t),

respectivamente.

Solución: sea

f,(t) = (c,)„ et"0)°t,

donde

Sea

donde

Entonces,

1 T/2

(cJ^= 7 J f,(t)éT/2

(3.79)

^l dt. (3.80)

f2 (t) - ( c2)fle tn,.,o,

1 /' T/ 2

(c,)^ _ f2(t)e t°^a`dt.T JT Ti2

T/z T/2f,(1)f2(1)di= f

-l T/2 T/2

En razón de (3.82), se tiene

(c,)„ et"o, f2 (t) dt

(3.81)

(3.82)

T/2

(c,)„ ^T J f2 (t)etnuiordt (3.83)

T/2

T

pT/2 f2(t)einmo,dt =

fT/2

f' T/ 2 t2(t)e'i(-^)r•,o,di

J TI2

De donde,

f,(t)f2 (t)dt= L (c1)„ (e2) - .

El teorema deParseval establece que si f(t) es una función realríodo T, entonces

272[1(t)J2dt

donde las letras e son los coeficientes coi

(3.84)

riódica, con

(385)

PROBLEMA 3.15 Probar el teorema de Parseval.


Solución : haciendo .t (t) =f2(t)=f(t) en el resultado del problema 3.14, se tiene

1^r/z

l f(Ql'dt =C

Si f(t) es real , entonces, según (3.11), se tiene

De donde,

PROBLEMA 3.16 Teniendla identidad de Parseval

1 r/2

T -.» ,

Ifto1,dt =

1)j3dí


(3.86)

ema 3.15, deducir

b,f), 11.72

Cf., problema 1.17.)

C0 = 2 a0, el, - 2 (a„ - ib„ ), c_. - 21

(a,, ^ 1b„) ^

por consiguiente

c2 = 4 a ' 1' = 11 (a' r 2. (3.87)

Sustituyendo (3.87) en (3.85), se obtiene

T J f - 21c^,'

= lco[' 4221 c„]'

1 a'+ ' r^ (a,, r b')4 2

PROBLEMA 3.17periódica f(t) es igual a

mostrar que el valor cuadrático medio de una funciónla suma de los valores cuadráticos medíos de sus armó


f(t) = C° + C,, cos (nw.t - 6„).

resultado (3.S5) del prob

(3.88)


Para el armónico enésimo de f(t),

f„ (t) = C„ cos (n a,,t - Bn)

El valor rcm (raíz cuadrática media ) es C„/f ; por consiguiente , el valor cuadráticomedio del armónico enésimo es (C„/f)2.

Debido a ( 1.14), se tiene

Cn=Va;,-b;=

de donde,

Entonces, por (3.88), se obtiene

4

C,= 1 aa= ^ e.1;2

1^Ti2

T-T/2

CO+C„ 2

La ecuación (3.89) indica que el valor cuadrático medio de unaigual a 14 suma ue Job valores cuauraucos memos no SUS armonscasmido de potencia (el valor cuadrático medio) de una función perió

solamenre ue,a amputen ae sus annomcosy no ae sus rases.


(3.89)

PROBLEMA 3.18 Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de una función

periódica par son reales, y los de una función periódica impar son imaginarios puros.

PROBLEMA 3.19 Si f(t) yg(t) son funciones periódicas con período T y sus expansione:de Fourier son

f(t) _

demostrar que la función

g(t)= para rup - 2uT

T/2

h(t) 7 f(t-T)g(')d:T/2

es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como

h(t)= cn dnei^^.,oe

PROBLEMA 3.20 Si f(t) y g(t) son funciones periódicas de período T y susexpansiones de Fourier son

f(t) _ L cnelncuo°, g(t)=:

dn el"ot para !u = 2,ra-T


demostrar que la función h(t)=f(t) g(t) es una función periódica de igual período T,que se puede expresar como

h(t)=

donde x -

L a"e'"meo

k---

[Sugerencia: demostrar que a„ _ cn -k dk son los coeficientes de Fourier de h(t).]

k-- w

PROBLEMA 3.21 Si f(t) es una función periódica con período T, y los coeficientescomplejos de Fourier son cn, demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la

función portadora, de amplitud modulada periódicamente f(t) cos mwot, están dados

por 2 (c, + en+m

PROBLEMA 3.22 Si f(t) es integrable en el intervalo finito (- z T, z T) y w es real,demostrar que

« ^T/2-T/2

[Sugerencia : utilizar el problema 1.19.]

PROBLEMA 3.23 Encontrarla serie compleja de Fourier para la función f(t) definidapor f(t) = seno t en el intervalo (0, ir) y f(t + ir) = f(t).

Respuesta:16

(e'i'_4e2it+6-4é2jt+é4jt).

PROBLEMA 3.24 Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f(t) definidapor f(t) = e t en el intervalo (0, 2n) yf(t + 27r) =f(t), mediante integración directa.

Respuesta: e 2^- 1' 1 e i"'2n jn

PROBLEMA 3.25 Mediante diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier parala función del problema 3.4. Nótese que f '(t) = f(t) - (e2' -1) b2„ (t), donde

321(t)= Z6( t-2nn).

PROBLEMA 3.26 Reducir el resultado del problema 3.24 a la forma trigonométricade la serie de Fourier.

Respuesta: e2n- 1 [1 + 1 (cos nt-n sen nt)].2 1+n2

PROBLEMA 3.27 Demostrar que si wo = 27/T,

r(t)= 6'( t-nT)= t-0 ne in moe_ wo2n

n=I

n sen nwot.

PROBLEMA 3.28 Encontrar los coeficientes complejos de Fourier y dibujar los

espectros de frecuencia para la semionda sinusoide rectificada f(t) definida por


A sen Loor para 0 < t < Ti 2t(t) -

0 para T/2<t<T

yf(t + T) = f (t), donde wo = 217/T.

Respuesta: c, = 2n(11-n') (1 , e-' T) nótese que c, = c_, 4 y c,m+, = 0,

dondem=l,2, • ,

PROBLEMA 3.29 Encontrar los coeficientes complejos de Fourier y dibujar los

1 1espectros de frecuencia para la función diente de sierra definida por f(t) T t + - para

0<t<T y f(t+T)=f(t).

Respuesta: c„ = 1 ca -j2nn

PROBLEMA 3.30 Aplicar el teorema de Parseval (3.85) al resultado del problema 3.29

para probar que

PROBLEMA 3.31 Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier

para la función diente de sierra de la figura 3.1.

Respuesta: las ecuaciones (3.23a-b).

PROBLEMA 3.32 Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier

para la onda sinusoide rectificada de la figura 3.2.


PROBLEMA 3.33 Demostrar que si f(t) es una función periódica y real con período T,

entonces1 T/2

12

T[1(t)] dt = ca + 2 - ces

-T/2

donde las cn son los coeficientes complejos de Fourier de la función f(t).


PROBLEMA 3.34 Si f1 (t) y f2 (t) son dos funciones periódicas que tienen el mismo

período T, demostrar que

T/2

f,(t+T)f2(t)dt = (c1)n(c,)-, eT -T/2 -ro

donde (ci)„ y (c2)„ son los coeficientes complejos de Fourier de fi (t) y f2(t)

respectivamente, y wo = 2n/T.

PROBLEMA 3.35 Demostrar que si f(t) es una función periódica y real con período T,

entonces

1 — f/. vli,1 4, I in 1

T J T/2

donde las cr, son los coeficientes complejos de Fourier de f(t) y wo = 2n/T.

4INTEGRAL DE FOURIER Y

CAPITULO

ESPECTROS CONTINUOS

4.1 INTRODUCCION

Se ha visto ya que las series de Fourier constituyen un poderosoinstrumento en el tratamiento de diversos problemas que implican funciones periódicas.Puesto que muchos problemas prácticos no involucran funciones periódicas, es deseabledesarrollar un método de análisis de Fourier que incluya funciones no periódicas. En estecapítulo se estudiará la representación frecuencia( de funciones no periódicas por mediode las series de Fourier.

4.2 DE LA SERIE DE FOURIER A LA

INTEGRAL DE FOURIER

PROBLEMA 4.1 Si se comienza con una función periódica fT(t) de período T, y sehace que T tienda a infinito, entonces la función resultante f(t) = hm fT(t) deja de ser

T=operiódica. Ilustrar este proceso de límite mediante un tren de pulsos rectangulares

Solución : considerar el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1(a), donde

0 para ZT^rZd

fT (t) _ 1 (4.1)1 1

para -2d<t<2d

1 1para

2d<t<2T,

fT (t i T) = 1T (t), T i d.

fT tt)d=2 (or T=2d) 1T(t) T= 4 (or T 4d) f (t)-Ttm fy(t)

T- (u, T l.)l I d

_TI 0 I T j t -T T d 0 d T T t d 0 d t-T 2 2 T -- -- - - -- -

d d 2 2 2 2 2 22 2

(a)

Figura 4.1 El proceso de límite a medida que T aumenta hacia infinito.

71

72

comienza con la forma exponcnclai de la

Para T-+c, se obtiene la función

f(t) = lim fr (t)=

1 cuando -2d < t <2d

t dt,

L 0 de otro modo

Es evidente que f(t) no es una función periódica. La figura 4.1 ilustra el proceso delímite a medida que T aumenta y finalmente se hace infinito.

PROBLEMA 4.2 Utilizando el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1 como

ejemplo, discutir los efectos de incrementar el período en el espectro de la función

periódica.

Solución : el espectro de frecuencia del pulso rectangular periódico ya ha sido

hallado en el problema 3.7. En la figura 3.4 se observa que cuando el espectro discreto

de una función periódica con período T, se dibuja en función de la frecuencia, la

distancia entre armónicos adyacentes es la frecuencia fundamental wo = 21T/T. De este

modo, a medida que el período T aumenta, co, disminuye y las líneas en el espectro se

acercan unas a otras. En consecuencia, el número de líneas (armónicos) en una banda

de frecuencia aumenta.Por otra parte, según (3.48), se tiene

/d senl2T

AT /n_d

T

Por tanto , si el período T aumenta , las amplitudes de todos los armónicos disminuyen.De lo anterior se concluye que en el límite, a medida que T se acerca al infinito

[figura4 . 1(c)], los armónicos se encuentran infinitamente cercanos y son de amplitudinfinitesimal, es decir, el espectro discreto se vuelve continuo.

PROBLEMA 4.3 Sea f(t) una función periódica con período T; cuando T se

aproxima al infinito, f(t) se convierte en una función no periódica; encontrar larepresentación de Fourier de esta función no periódica.

Solución-

donde

stituyendo (4.4) en (4.3


ene

T/2

e de Fouri (3.7),

cn e}n'ut, (4:

integral/2ir, la ecuación (4.6r

r.

friable comod

(4.2)

(4A

(4.

evitar confusión con t. Puesto

Integral de Fourier y espectros continuos

Ahora se hace que T-' *, y así, Por (4.5), wc se anula. Sea w, = dw; entonces, lafrecuencia de cualquier "armónico" nwo debe corresponder a la variable generalde frecuencia que describe el espectro continuo. En otras palabras, n --+ a medidaque co, ata -; 0, tal que el producto es finito; esto es,

n wa = ná w --r rn,

de este modo, (4 7) se convierte

(tT,

deci

->oo Aw --idw,y

(

atoria se convierte en la integno periódica ffi) se convierte en:

,wxdx

se define

étwtd,

(4.9) se convierte

Las expresiones (4.10)periódica.

y (4 n la representación de Fou

) e

Se observi que (4.11) es análoga a (4.3), y (4.10) es análoga a (4.4). '

73

(4.9) se conoce como identidad de Fourier.Se debe hacer hincapié en que la anterior derivación heurística de (4.10) y (4.11)

o (4.9) no está fundada en una base rigurosamente matemática. Sin embargo desde el,punto de vista de la ingeniería, el interés primordial está en la interpretación y utilizaciónde tales relaciones

!rer nte, 1 de Fourier afin

o . 1(x)

de la fu

al, entonces }

(r x) dx d

PROBLEMA 4.4 Probar el teorema de la integral de Fourier.

Solución : la relación (4.9) también se puede expresar como

1l(x) el"' U- x) dx di,. (4.13)f (t) - 2ir j £

Si f(t) es real, se puede igualar las partes reales en la identidad de Fourier (4.13), la cualse convierte en

f (t) = £ f (x) cos w ( t - x) dx dw.

Puesto que cos w ( t -x) es par con respecto a w, por (2.13), se tiene

f(t)-^ £ 1(x) cos w(t - x) dx dw.

0

que si

ret

(4.14)

74

Análogobten

Fourieruen

¡ido

4.3

(w)


TRANSFORMADAS DE FOURIER

ción F(c) definida por (4 .10) se conoce comonada de Fourier de f(t), y la operación de integración

esto es.

mbolo que se utili,está dado; esto es ,

f(r

ap

eelwt

ón ¡oyea indi

F (w) el' dw,

y f(t) se denomina transformada inversa deFourier de F(w). Las ecut(4.16) se conocen a menudo como par de transformadas de Fourier.

La condición para que existaF (w) generalmente está dada por

(r)1 dt <

En otros términos, 1 del valoi oluto de f(t) debe se

ao

(4.16)

es (4.15) y

PROBLEMA 4.5 Demostrar que (4.17) es condición suficiente para que exista la

transformada de Fourier de f(t).

Solución: puesto que

e -j"" - cos wt - j sen cut

de donde

e-i`Dr^ _ \/COS2 w e + sen2mt - 1,

If(t) 'c01I - 1f(t)I.se sigue que si

f- 1f(t)J dt [1(t) e i'^'I dt

es finita , entonces

f..._, f(t) e'° dt

es finita, es decir , `f [f(t)] existe.

debe observar que (4.17) es una condición suficiente pero no necesaria para la

existencia de 5 [f(t) ]; las funciones que no satisfacen (4.17) rueden tener transformade Fourier; estas funciones se estudiarán en el capítulo quien

La función F(w) _ f [ f(t)] es, en general, compleja y.

donde 1de f(t).

F(w) = R(w) + j X(w) _

mina espectro de magnitud c


PROBLEMA 4.6

Así mismo, demoes decir,

Solución:

R(w) =R(w),

X(w) _ -X(-w),

F(-w) = F, (w),

ado complejo de F(w).

si f(t) es real, entonces , mediante la identidad

e -j" = cos wt - j sen wt,

es posible expresar la relación (4.15) como sigue:

F (w) = f f (t) é t'O' dt

s real , demostrar que las parte:

R(w) 1(t) cos wt di

X (cy) _ ^. f(t) sen wr di

que R (w) y X(w) son funcio

f(t) cos wt di - j f(t) sen wt di

- R(w)+ jX(w).

Igualando las partes real e imaginaria , se tiene

R «o) _ J ((t) cos wt dt,

X (w) - - f t ( t) sen wt di.

Puesto que f(t) es real, se tiene

R(-w) = 1 f(t) cos (-wt) dt = f(t) cos wt dt = R(w),

X(-11) _ - f^ f (t) sen (- wt) dt - f^ f ( t) sen wt dt = - X (w).

Por tanto , R (w) es una función par de w y X (w) es una función impar de w.Por (4 .21) y (4. 22), se tiene

F(- w) R (-w )+ j X(-w)= R (w) - j X (w)= F*(w).

75

(4.19.

4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

PROBLEMA 4.7 Demostrar que (4.23) es una condición necesaria y suficiente paraque f(t) sea real.

Solución : el hecho de que (4.23), es decir, F(- w) = F *(w), es una condición

necesaria para que f(t) sea real, ya se demostró en el problema 4.6. Ahora se debe

demostrar que (4.23) es también una condición suficiente para que f(t) sea real.

imaginaria de F(w)


Seaf(t) = f, (t) + j t, (t), (4.25)

donde ft (t) y f2(t) son funciones reales. Entonces de (4.16), se tiene

f(t)-f4(t)- jf,(t)

Por tanto,

f F(w) etw` dw

= 2n [R (co) + j X (w)] (cos w t + j sen w t) do

= 2n ^^ R (co) cos wt - X (co) sen wtl do

j 2n y [R (co) sen wt + X (w) cos wt] do. (4.26)

[R (w) cos wt - X (ú, ) sen n , tl dw, (4.27)f, (t) = 2n£

f, (t) = 2; 1: [R (co) sen wt + X (w) cos wtl dw. (4.28)

Ahora, si F(- w) = F *(co), entonces

R(-w)=R(w) y XX(w).

En consecuencia (de los resultados del problema 2.1), R (w) sen wt y X (w) cos wt son

funciones impares de co, y el integrando en (4.28) es una función impar de co.

Por consiguiente , de (2.21), se tiene

f,(t)=0,

es decir , f(t) es real.

PROBLEMA 4.8 Sif(t)es real, demostrar que su espectro de magnitud IF(w)I

es una función par de w, y que su espectro de fase O(w) es una función impar de co.

Solución : si f(t) es real, entonces, por (4.23), se tiene

F* (F (- ) ) (4 29)w - w . .

Ahora bien, por (4.18), se tiene

F*(w)- IF(w)Ie-i,j(w) (4.30)

F(-w) - F(-w)^ei55C-w>. (4.31)

Por consiguiente,

F(-w)1e14^(-w) = F(w)1,-74(w) (4.32)

y por tanto,

F(-w)I = F(ú)i, (4.33)

¢ (- w) - - ¢ (w). (4.34)


OBLEMA 4 .9 Demostrar que si la transformada de Fourier de u(vvar r.r cn u„s aurtvytnt par ue t, Y que si Ja traustorm

77

Solución: sea

f[f(t)]=F(o)=R(w)+jX(o),

Entonces por (4.19) y (4.20), se tiene

(4.35)

R(o) _ J^ f(t) cos cot dt, (4.36)

X (o) f (t) sen o t dt. (4.37)

Si F(w) =R (w) y X(w)=O, entonces el integrando de (4.37) debe ser impar conrespecto a t. Puesto que sen wt es una función impar de t, f(t) debe ser una función par de t.

Otra form a de solución : por (4.27), conX(w) = 0, se tiene

f(t)= 12n R(en)cos ot do

fJ R(w) cos mt do, (4.38)o

donde, por (4.19), se tiene

R(ro) - 2 J^ f(t) cos cot dt. (4.39)o

Según (4.38), es obvio que f(- t) =f(t).

Análogamente si F(w) = i X (w), es decir , R (co) = 0, entonces el integrando de(4.36) debe ser impar con respecto a t. Como cos wt es una función par de t, f(t) debeser una función impar de t.

0, utilizando nuevamente (4.27) y si R (w) = 0, entonces

1f (t) = - 2n f X (w ) sen ot d o

donde, por (4.20), se tiene

1 /J X(m) sen wt do, (4.40)n o

X(o)=-2f f

(t) senotdt. (4.41)0

Según (4.40), también es obvio que f(-t)=-f(t).

De los resultados anteriores se concluye que si f(t) es una función real y

ff[f(t)1 =F(o)=R(o)+jX(o),

entonces-T [fa (t)] = R (w),

f 1fo (t)] = j x (o),

(4.42)

(4.43)

donde f(t) = fe(t) + fo (t), siendo fe(t) y fo(t) las componentes par e impar de f(t),respectivamente.


pd(t)

d 0 d- t

PROBLEMA 4.10 Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular pd(t)

[figura 4.2(a)] definido por

Pd(t)

1d

<Z

0, ]t1>2d.

Solución : de (4.15), se tiene

F(w)= `f [Pd( t)] = £ Pd(t) e

d/2

w

e )wt dt

l _iwt-e

-jw

d/2

(4.44)

di

-d/2

1 [etwd/2-e-fwd/2]d d

(b)

Figura 4 .2 (a) El pulso rectangu lar del

problema 4.10. (b) La

transformada de Fourier delpulso rectangular de la figura4.2(a),

jw

2 wd_ - senw 2

-d

2

(4.45)

En la figura 4.2(b) la línea continua es el espectro de magnitud IF(w) 1, y la línea

punteada es F(w).

PROBLEMA 4.11 Encontrar la transformada de Fourier de f(t) definida por

f(t) _ e ° , t> 0

0, t < 0,

donde a> 0 (figura 4.3).

i (r) Solución : de acuerdo con (4.15), se tiene

F(w) _ J f( t) e j"1 di

0

al


- f e at e iCOtdt0

Jo

e-(a+tw)t di

1

-(IX + jw)

1

(4.46)

0

(4.47)

Integra l de Fourier y espectros continuos

PROBLEMA 4.12

representar por

(4.A9)

,) cos rol dw, (4.48

donde Fr(d a) está dado po

w) - €(t) cosu

Solución : si f(t) está definida sólo para 0 < t <00 se puede definir f(t) para valoresnegativos de t por la ecuación f(- t) = f(t), por lo que la función resultante es par.En este caso se supone un comportamiento conveniente de f(t) para valores negativos deltiempo; al interpretar los resultados , por supuesto , se debe tener presente que f(t) estádefinida sólo para t mayor de cero.Si ahora se define

F, f (t) cos wt di,0

entonces , por (4.38) y (4. 39), se tiene

2 ¡(w) cos at dm.

0

4.4 TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE FOURIER

Sif(t) está definida sólo para 0 < t <°. demostrar que f(t)se puede

a transformada coseno dl la cual se denotará po

y, (1(t)] = F' (w) _ { €(t) cos; wt dta

(450)

79

/(t) - r1 ÉFc (w)] - _ 1 Fe (w) ecos we dw. (4

PROBLEMA 4.13 Si f(t) está definida sórepresentar por

pa O<t

1(t) 1 F. (co) sen wt dw

donde F5(co) está dado por

emostrar qu, f) de

(4.52

(4.53)

Solución: si f(t) está definida sólo para 0 < t < 00, se puede también definir f(t) paravalores negativos de t por la ecuación f(- t) _ - f(t ), por lo que la función resultantees impar. Si ahora se define

F, f ( t) sen r^t di,0

entonces , por (4.40) y (4.41), se tiene

f(t) -- F e(ü) sen m t d(j.

80

'e Fourier ,la cual se denotará por

PROBLEMA 4.14 Encontrar 5:, [e-atI y f, [é-atl para t> 0, x> 0.

Solución : las transformadas coseno y seno de Fourier de e-á' son

f [eatl _ f e at cos wt di,

0

fs[e °t]=0

f e senwtdi.

Sea J^ e° t cos wt di = [, y0 0

por partes , se obtiene

e a t sen w t di = l,; entonces , integrando l,

!, - ^ é at cos wt di

0

- e -al cos wt

xe at sen wt di

0 a f

(4.56)

Análogamente, integrando I2 por partes, se obtiene

12 é at sen wt di

0

- eatsenwt

a


7.

at^ cos wt die+ IX ^0

Resolviendo (4.56) y (4.57) para 1 e12 resulta

! - x , Y

por tanto,

i

a +

(4.57)

(4.58)

s [é atl _- °' (4.59)a2 t w2

1 l.

w


4.5

tn(O

Si ahora(4.60) y

e consi;4.61)s

riendo un argumentos!. ) 0, n -..-1 w tal qrTónicos discretos cr

vez de C,, i

seo

INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADASDE FOURIER

ida qi T

mdi

upad

), y a (4

1)'

Ices (4.62

"21rf setii

el

Ion

u

'4.9), se ob!

81

4.60)

(4.

en el limite, en vez de fis permitido. De esta

e tiene, que

cuación muestra que % rr 1 F(w)1 d sw repre enta la magnitud infinitesimiarmónico a la frecuencia angular w. Estos armónicos tienen frecuencia fundar..-_(w - dw) y están separados por infinitéaimos Aunque F(j)1 dw es infnnteF(w) es finito; por esta razón a la gráfica IF(w)1 vs w se le denomina espectro coya IF(w) 1 se le denomina generalmente , espectro de magnitud de f(t).

La representación anterior de una función no periódica como suma decon la frecuencia fundamental tendiendo a cero, no es un concepto fácil de alA veces la interpretación que sigue del par de transformadas de Fourier (4.15

so +uwvga y ua mayor SIgnurcaao:

realntinu•

y (4


ine que cualquier función dada tiene dos modos e

no en el dominio del tiempo , f(t), y el otro en el dominio de la

fa, F(ta). La ecuación (4.15) transforma la función f( t) en el dominio del

tiempo, a su [unción equivalente P (co), en el aomnuo ae ta rrecuencia, y ra cma4,IwtLa ecuación (4.15) analiza la función del tiempo en un espectr16) invierte el proceso(4 ..

de frecuencia y la ecuación (4.16) sintetiza el espectro de frecuencia para obtener

nuevamente la función en términos del tiempo.

A4.15 SiF1larbitrarias, dem

tJit'JIY ralwt-

que

Solución : la transformada de Fourier requerida es:

.^ [a,f, (t) + a,f, (t)] _ £ [a,f, (t) + a, f, (t)1 e,-j011 dt

PROBLEMA 4."

Solución : para a>0,

Sea at = x; entonces,

4.6 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS

DE FOURIER

= a, f f, (t) e- JW t dt i

a, 1100 1, (t) e -J" dt

[f(at)] f(at) é i^1 dt.

[ f(at)] _ f f(x) é i(wia)x dx.

Puesto que la variable comodín se puede representar por cualquier símbolo, se tiene que

[1(at)] =1 f: 1(t) ei(°'ia)tdt

F ^a). (4.70)

Para a < 0,

`f [f(at )1 = ^^ 1(at) e -j1"' dt.


Si de nuevo se tiene, at = x; entonces,

F [f(at)] f(x) 1 -1 dx

= - - f¡ f(t)é I(mi e) r dta

En consecuencia,

Í {f(at)] _ F(_).

La ecuació (4 68) l ied d e.n es a prop a de lin alldad de la transformada o

83

(4.71)

la ecuación (4.69) es la propiedad de escalonamiento de la transformada de FouLa función f(at) representa la funciónf(t) contraída en la escala del tiempo por unfactor a. Análogamente la función FF(w/a) representa la función F(w) expandida en laescala de frecuencia por el mismo factor a. La propiedad de escalonamiento, porconsiguiente, afama que la contracción en el dominio del tiempo es equivalente a 1

ió l d inexpans n e e om nio de la frecuencia y vice-versa.

PROBLEMA 4.17 Si T [ f(t)] =F(w), demostrar que


`t [f(at)I a F

Haciendo a =- 1,

if [f(-t)1 = F(-w).Otra forma d e soluc ión: la transformada de Fourier de f(- t) es

ff 1f(-t)] _ £„ f(- t) e-"' dt.

Haciendo - t = x dentro de la integral, se obtiene

ll( t)] _ f(x) eio»x dx

= J f(t) et(-` )' dt

= F(-w)•

PROBLEMA4.18 Si F(w)= .:[f )]>demostarque


Solución : la transformada de Fourier requerida es

`.f [f(t - t,)] = f f(t - to) e 1 w' dt.

Haciendo t - to = x, dt = dx; por consiguiente,

`.} [f (t - to)] _ £ f (x) e

lw(t,+x) dx

= e iwt, J^ f(x) é ¡wx dx

=e-iwto F(w)

PROBLEMA 4.19 Si w, esuna constante real y F(w)=:t [f(t)J, demostrar que

(y [f(t) e+Mo,] = F(w- }ma.

er requerida esSo Iu ció n: la transformada de Fouri

`.f [1(t) eiwot ] _ joo [f (t) etwot] etwt dt = E- f(t) el (w -wo>t dt

La ecuación (4.73) es la propiedad de desplazamiento en el tiempo delada de Fourier.

ecuación (4.74) es la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de laada de Fourier.

PROBLEMA 4.20 Si F(w) _`( [ f(t)1, hallar la transformada de Fourier de f(t) cos wot.

Solución:

se tiene

`.f [f (t) etwot] + ,: [h(t) e - j'0']

2 F (w-wo)+1 F(w +wo).

4.74)

(4.75)

PROBLEMA 4.21 Hallar la transformada de Fourier de la función coseno de duración

finita igual a d.

Solución:

con la identidad cos wot = 2 (etw0 t + e100 9, y la propiedad (4.74),

(t) cos wot] _ .: 1 f(t) eiwot 1(t) é iwot

la función coseno de duración d [figura 4.4(a)] se puede expresar como

una función modulada por un pulso; es decir,

f(t) = p,(t) cos wot,

donde

Pd(t)

1 para tl < 2 d

0 para 1 ti > d.

(4.76)


f(t) = Pd(t)cos w,t

t

85

F (w)

a) (b)

Figura 4.4 (a) La función coseno de duración finita. ( b) La transformada de Fourier de la función coseno en la figura 4.4(a).

Según el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

97 [pd(t)] 2 sen 2d


F(w) _ [Pd(t) cos wot]

sen2d(w-wa) send(w+wp)

w - wo w + wo

La transformada de Fourier , F(w), se representa en la figura 4.4(b).

PROBLEMA 4.22 Si F


], demostrar que

(t)] = 2trtf )

277 f(t) _£.

F(w) etwt dw.

Cambiando t por - t en la expresión anterior,

(4.77)

(4.78)

(4.80)

27 f(- t) = £-

F(w) e-twt dw. (4.81)

Ahora, intercambiando t y w en (4.81), se obtiene

2>rt(-w) = J F(t)étw°dt= ff[F(t)]. (4.82)

La ecuación (4.79) es la propiedad de simetría de la transformada de Fourier

PROBLEMA 4.32 Hallar la transformada de Fourier de la función

f(t)= sen at

ut

Solución : por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

[Pd (t)] = 2 sen (w2 ) .

(4.83)

(4.84)

86

Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, dada por (4.79), se tiene

0 para Iwl>2 d

0 / \

sen \1 dtl

`f / = Pd(-w). (4.86)nt

Puesto que pd(w) está definida por (ver problema 4.10),

1 para [wl < d2

es una función par de w; por consiguiente,

Pd(-w) = Pd(W)•


2«1dt 2rr Pd (-w) (4.85)

t 2

Pd w - \ 4 87( )( )-

Haciendo 2 d = a en (4.86), se tiene

donde,

-

(4.88)

(4.89)

(4.90)

0 para [w[ > a.

las gráficas de f(t) = sen at/nt y su transformada , F (w), se muestran en la figura 4.5.

F (w)

1

sen atni ) = Pze (w),

{ 1 para HHE <a

t-a o

(b)

Figura 4.5 (a) La función f (t) del problema 4.23. (b) La transformada de Fourier de f (t) mostrada en la figura 45(a).

w

Ahora se busca la relación entre la transformada de Fourier de una función f(t), y

la transformada de Fourier de su derivada f '(t).

PROBLEMA 4 .24 Si `f [f(t)]=F(w) y f(t) --3 0 cuando t demostrar que

5t1'(t)] -jciF(w)= jwy[1(t)]. (4.91)

Solución : integrando por partes, se obtiene

ff [f'(t)1 - r- f'( t) e - jo' dt = f(t) é twt -4 w f f(t) - j- 1 dt. (4.92)


Puesto que f(t) -> 0 cuando t _, ± co, se tiene que

f [f'(t)1 =jw J f(t) e-IW' dt=jw F(u) =jo, `f (f (01.

El problema 4.24 demuestra que la diferenciación en el dominio del tiempo;ponde a la multiplicación de la transformada de Fourier por jro, dado que i

cuando t --i ± .,

Se debe observar que si f(t) tiene un número finito de súbitas discontinuidadesentonces f'(t) contiene impulsos (ver problema 2.28). Por consiguiente, la transforrnde Fourier de f'(r), en este caso , debe contener la transformada de Fourier de losimpulsos en f {t), lo cual será estudiado en el capítulo quinto.

Mediante aplicación repetida de (4.91 ), se obtiene

`f [f ')(t)1 = (jw)fl F(w) _ (jw)- f 1I( t)], n = 1, 2, (4

Se debe observar que (4.93 ) no garantiza la existencia de la transformada de Fourier if(")(t); sólo indica que si la transformada existe, entonces está dada por (jw)" F(w),

Solución: considerar la función

(t) _ ^^ f (x) dx;

entonces , O'(t) =f(t). De donde , si `f [0 (t)] _ P(w), entonces , de (4.91 ), se tiene

`.f [q'(t) ] = ;f [f (t)]

li m <b(t) f (x) dx = £ f (t) di = F (0) = 0.

Por consiguiente,

[ f( t)1 F(1o 1O)

esto es,

[fi f(x)dxl = 1 F ((J)= -' f [f(t)].

jm 1O)

87

(4.96)

(4.97)

(4.98)

(4.99)


PROBLEMA 4.26 Si 5 [f(t)] = F(w), demostrar que

[-it f(r)] - dF(w) (4.102)

Solución : puesto que

dw

F(w) - f f(t) é twr dt, (4.103)

se tiene

dF(w) _ df(t) iwr dt.

£(4.104)

dw do)

Cambiando el orden de la diferenciación y de la integración se

ddF (w) r) (c-~) dt 1(t)] é iwt dt

-.`f [-it f(t)].

4.7 CONVOLUCION

) y fa(t), está definida por 1

t cual se exprt

n caso especia

ntonces, (4.1

y j!ion

(4.106)

O =1, (t) * tx (t) x ! t, (x) 11(t - x) dx. (4.107)

PROBLEMA 4.27 Demostrar que la convolueión cumple la !ey commutativa; esto es,

(t) * 1, (t) = f^ (t) * I, (t). (4.10

Solución: por (4.105), se tiene

f, (t) + f, (t) = rm t, (x) f, (t - x) dx. (4.109)

) dos funciones dadas. La convotuei8,

(t x) dx, (4.10

Integral de Fourier y espectros continuos 89

Cambiando la variable por t -x =y,

f, (t)*f,(t) (t-y) f,(Y)dy

° J fz (Y) f1 (t - y) dy

= f, (t) * f, (t). (4.110)

PROBLEMA 4.28 Demostrar que la convolución cumple la ley asociativa; esto es

* f: (r)] * f3 (t) = f, (t) * [h (t) a f3 lr) ]. (4.111)

Solución : sise haceft(t)*fz(t)=g(t),yf2(t)*f3(t)=h(t),entonces (4.111)sepuede expresar como

Puesto que

g(t)*f,(t)=t,(t)*h(t). (4.112)

g (t) = f f, (y) f, (t - y) dy, (4.113)

se tiene

g(t)*f,(t)- £g(x)f,(t-x)dx

= f c [ f (Y) f, (x - y) dY] f, (t - x) dx. (4.114)

Sustituyendoz = x -y e intercambiando el orden de integración, se obtiene

g(t)*f,(t)= (Y) f,(z)f,(t-y-z)dz]dy. (4.115)

Y dado que

h (t) = f f, (z) f, (t - z) dz, (4.116)

se tiene

h(t-y)=f f,(z)f3(t-y-z)dz. (4.117)

Por consiguiente, la integral se identifica dentro del paréntesis angular en el segundomiembro de (4.115) como h(t -y).

De donde,

esto es,

g (t) * f, (t) = I f, (y) h (t - y) dy = f, (t) * h (t); (4.118)

[f, (t) * f, (t)1 * f, (t) f, (t) * [f, (t) * f, (t)].

PROBLEMA 429 Demostrar que la convolución de una función f(t)con una funciónimpulsiva unitaria 6(t) conduce a la misma función


Solución : por la definición de convolución (4.105), se tiene

f (t) * S (t) = fl f (x) 3 (t - x) dx.

Utilizando la propiedad commutativa (4.108), se tiene

f(t)*S(t)=6(t)*f(t)- f8(x) f(t-x)dx = f(t) (4.119)

de acuerdo con (2.68).De donde,

f(t) * 6(t) = t(t).


1(t) * S(t - 1 ) - f(e - T),

(r-t,)*8(t-y)- ((t-t -

Solución : procediendo como en el problema 4.29, se tiene

(4.120)

(4.121)

f(t)*6(t-T)=S(t-T)*f(t)= 1 5 (x - T) f (t - x) dx =f(t-T)

de acuerdo con (2.68 ). Análogamente, se obtiene

f(t-t,)*S(t-t,)=S(t-t,)*f(t- ,) = f 8(x-t,)f(t-x-t,)dx

=f(t-t,-t)

=f(t-t,-r,).

El teorema de convolución e),entone

I1,0) * 4(01

PROBLEMA 4.31 Probar el teorema de convolución en el tiempo.

Solución : la transformada de Fourier de f, (t) * f2(t) es

F,(cu), y [f2(t)1=

`.f [I, (t) * t, (t)] _ ^^ [ f f, (x) f, (t - x) dx] é J W ` dt.

Cambiando el orden de integración , se tiene

f [(, (t) * f, (t)) = J - f, (x) [ fue f, (t - x) e JW ° di] dx. (4.123)

Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier (4.73),

se tiene f-

f, (t - x) e-ten dt = F, (w)

Sustituyendo el resultado anterior en (4.123), se obtiene

`.f [f, (t) * f, (t)1 = J f, (x) F, (w) e 10 dx f, (x) etes` dx] F, (w)

- (^ t, (t) e j"" di F, «j)

t2):

= F, (w) F, (w).


El teorema de coni

[F2(w)1=f2(t), cntrncia al

= 2af,(t )fn(t)

91

(4.124)

[f,'(t)"(,(t)i- aF,(w)* F2(w)= e i F, y)F,(w-y)dy. (4.2 2 -

PROBLEMA 4.32 Probar el teorema de convolución en la frecuencia.


[F (w) * F,(w)) F, (Y) F2 (o -Y) dy]

F (9) F,(m -y) dyj e' - ' d.. (4.126)2n L

- [f-

Sustituyendo w -y por x e intercambiando el orden de la integración , se obtiene

F,(r)] 2a f F,(y) [f- F,(,) j (,+ 1)1 dx] ay

F, (y) e'yl ^^ F, (x) etxr dx] ay

2R ^2a^^ F, (m) et' ^ da)] ^ 2^ ^^ F, (w) e" dm)]

-2 [l, (t) f, (t)] (4.127)

en donde las variables comodines de la integración se han cambiado.

La ecuación (4.127) se puede expresar también como

[f, (t) f, (t)1 = 2u

F, (w) * F, (m) = 2nf

F, (y) F, (r^ - y) dy.

PROBLEMA 4.33 Utilizando la propiedad de simetría de (4.79) la transformada de

Fourier y el resultado (4.122) del problema 4.31, resolver nuevamente el problema 4.32.


"f [f, (t) * f, (t)1 - F, (,,) F, (a));esto es

`f [ J f, (x) f, (t - x) dx] - F, (a)) F, (m ). (4.128)

Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier , se sabe que si f [f(t)] _

F(w), entonces f [F(t)] = 2n f(- w); aplicando este resultado a (4.128), se obtiene

f [F, (t) F, (t)1 = 27£.

f, (x) f, (-w - x) dx. (4.129)


Sustituyendo x por -y, se obtiene

`.f [F, (t) F, (t)] = 27£.

f, (-y) f,, (-c + y) dy

=2 n f_ f,(-y) f,[-(o-y)] dy

= 2v f [2n f, (-y)] 12n f,[ - (to -y)11 dy. (4.130)

Ahora, recordando que 2ir f, [F, (t)] y 2n f,, (- w) = [F2 (t) ], y cambiandoF, (t) y F2 ( t) por f, (t) y f2 (t), respectivamente , y consecuentemente cambiando 2n f, (- w)y 27r f2 (- w) por F, (w) y F2 (w), respectivamente , la ecuación (4.130) se puede escribirtambién como

[f, (t) f, (t)] = 2n l: F, (y) F, (w - y) dy = 2n F, (w) * F, (w)•

VHUbLtMA 4.34 Utilizar la convolucion para encontrar f (t) = 7

Solución : la transformada de Fourier de f(t) es

F(w) = f [f (t)] = 1 = 1 x 1(1 + jw)' (1 + j^) (1 + j^)

Por (4.47), se tiene que

`f_' r 11 1

1 _et u(t).

1 +jt

Por consiguiente , según 4 . 122, se obtiene

1(t)= f e' u (x)é u (t-x)dx . (4.131)

En la integral anterior, el integrando incluye el factor u (x) u (t - x). Como u (x) = 0 parax < 0, y u(t -x) = 0 para x > t, entonces

u(x)u(t- x) =0 para 0> x y x> t

1 para 0 < x < t.

De donde,

f(t)= r'e'e t dx=é' f'dx= te'u(t).0 0

4.8 TEOREMA DE PARSEVAL Y ESPECTRODE ENERGIA

PROBLEMA 4.35 Si `f[f,(t)]=F,(w)yf[f2(t)]=F2(w)demostrar que

(4.132)

£U, (t) 4 (t)] dt =2a

fm F, (oj) F, (-o,) d.. (4.133)


Solución : por (4.125), se tiene que

[í (t) fz (t)] = 2n J F^ (y) F,(, - y) dy;

esto es,

J [t, (t) i z (t)] e dt - 2nf F, (y) Fz (w Y) dY.

Ahora, haciendo w = 0, se obtiene

( t)] dt = 2n f- F, (y) F, (-y) dy

F, (w) F, (- w) d

mediante el cambio de la variable comodín de integración.

PROBLEMA 4 .36 Si las funciones f, (t) y f2 (t) son reales, ff [f1 (t)] =F, (w), y3 [f2 (t)] =F2 (w); demostrar que

-^ f, (t) I2 (t) dt = 2n ^^ F, (w) Fi (w) dw,

donde F2 (w) denota el conjugado complejo de F2(w).

Solución : si f(t) es real, entonces de (4.23), se tiene

F (-w) = F* (w).

En consecuencia, según (4.133), se puede expresar

(t) f, (t) dt=1 f F, (w)F,(-w) dw

1= 2n j F, (w) Fz (w) dw.

El teorema de Parseval afirma que si `.f [ f(t) ] = F(w),

PROBLEMA 4.37 Probar el teorema de Parseval.

Solución : sif[f(t)]=F(w),entonces

f[t*(t)1=^^f*(t)étw' dtf [f( t)etw']*dt

_ V^ t(t) e i dt

(4.134)

(4.135)

= F*(-w)• (4.137)


Por consiguiente , si se hace f, (t) = f(t) y f, (t) = f *(t) en (4.133), se obtiene

j f(t) f*(t) dt = F(.) F*I-(-w)1 d.2n

f F(ue) F *(w) dw. (4.138)2- a

Como f(t) f *(t) = I f( t) h y F (w ) F * (w) = I F (w) 1' , se tiene

If(t)1'dt = 1 IF(.)12d..dn

Si f(t) es real , la relación (4.136) se puede obtener de (4.135), en forma sencilla

En la sección 3.6 se vióque la potencia de una señal para una función periódica, serelacionar con la potencia contenida en cada uno de los componentes de frecuencia

discreta. El mismo concepto se puede extender a funciones no periódicas, para las cualesí d f da E, el cual está e ini o porse u un concepto util: el contenida de energ

1(T)- 1',. í.(t)

'(t)1' dt

verdad, si se supone que fit) es el voltaje de una fuente conectada a través de una

istencia de 1.52, entonces la cantidad f-_ I f (t)12 es igual a la energía total entrega

ir la fuente.

Ahora bien, según el teorema de Parseval , dado por (4.136), se tiem

11(01 F(o)I' dw = ( 1 FMI

ecuación afirma que el contenido de energía de f(t) está dado por1 área bajo la curva 1 F(w)1s . Por esta razón la cantidad 1 F(w) J'tro de energía o función densidad de energía espectral de f(t),

4.9 FUNCIONES DE CORRELACION

4.141)

moce como la función de correlación entre las funciones f3 (t) yf2 (t). En forma

asta, se define

La fundóo interdependei(el desplazamie

yf

e correlación R12(r) a R 21(r

4.

(4.140)

i,kw multiplicadodenomina

a similitud

entre las funciones ft (t) yf2(t)en función del parámetro rde una función con respecto a la otra). Si la función de correlación esar de T, entonces se dice que las dos funciones no están correlacionadas.t) son idénticas, entonces la función de correlación

dt. (4,142)


R, (T) 1

ostrarque

95

1, (t) f, (t _ T) dt 1 f, (t f T) f, (t) dt, (4.144)

f,(t)f,(t- r)dt_ 1 t,(t+T)f,(r)dr, (4.145)

1,(t)1,(t-T)dr= 1 f4(t+T)1,(t)di. (4.146

cambiando la variable t por t + r en (4.14: 4.142) y

R„ (T) _f„o f, (

t + T) f, (t) dt,

R2, (T) _ J f, (t + T) ti (t) dt,

R„ (T) £ f, ( t + T) f, (t) di.

4.14

Según los resultados anteriores, se observa que es indiferente si se desplazfunción f, ( t) en una cantidad r en la dirección negativa, o si se desplaza la función f, (t)en la misma cantidad, en la dirección positiva.

PROBLEMA 4.39 Demostrar qu


R„ (T)-

y por consiguiente

Unción de autocorrelacián de f, (

R2,(T)- ¡

£. t, (t + T) f, (t) dt,

R„(-T) = I^ f,(t - T) í, (t) dt = £ f, (t) f,(t - T) di =R„(T).

Análogamente, por (4.146), se tiene

R„ (T) _ f f, ( t + T) f, (t) dt,

y por consiguiente,

R„(-T)- J^ f,(t - T) f, (t) di - ft, (t) f,(t-.) dt = R„(T),

en razón de (4.143).


PROBLEMA 4.40 Demostrar que la correlación de f, (t) y f2(t) está relacionada con la

convolución de fi (t) y f2 (- t).

Solución : Sea G12(t) = f, (t) * f2(- t) de la definición (4.105) de convolución,

esto es,

se obtiene

f, (t) * (, (t) = £ f, (x) f, (t - x) dx,

G„ (t) - f^ f, (x) f, f- (t - x)] dx

- f f, (x) f, (x - t) dx. (4.149)

Cambiando la variable t por r, se tiene

G„ (T) _ f f, (x) f, (x - i) dx. (4.150)

Cambiando nuevamente la variable comodín x por t, se obtiene

G„(T)= j-f,(t)f,(t-T)dt

(4.151)

De donde,

R,2 (T) = G1 2 (T) = f, (t) * f, (- t)I,=T

LEMA 4.41 Si `f [fi(t)] . Fr(a) y Y [f2(t)1[R„(T)1 = F, (w) p,(-w

T)I=F,(-o)Fz(tu),

IR,, (T)1 = 1F(w

(4.152)

Solución : la ecuación (4.72) del problema 4.17 muestra que si 5 [ f(t)] = F(w),

entonces 5 [f(- t)] =F (- co). De tal manera que si

1t, (t)1 = F, (w) y `f [f, (t)1 = F, (w),

entonces

f[ f1(-t)1=F,(-w) y f[f, (-t)1=F,(-w)•

Aplicando ahora el teorema de convolución en el tiempo

.`f [f, (t) * f, (t) 1 = F, (w) F, (w)

a la relación (4.152), se obtiene

`.f [R„ (T)1 = .f 1 f, (t) * f, (- t)] = F, (w) F, (-w),

14.1221

1 11


0

R12 (T ) e -¡o"' dT= F, (w) F2

Análogamente , se obtiene

f1 R,, (T)1= f[ f2(t) * f,(-t)1= Fs (w) F1( o)-F1(-<^) F2(<u),

0

97

(4.157)

R2,(T) et°TdT-F1(-<u) F, (tu), (4.158)

Y

5 (R11(1))- f[f1(t)*f,(-t)l=F1(m)F,(-u).

Según (4.23), si ft (t) es una función real de t, entonces Ft (- w) =F¡(w). De donde,

f [Ru (T)1 = F, (u) F* (tu) = F1 (<u)12

0

f R,, ( ) e-i<°T d T = 'I F (<u) 12

si f, (t) es una función real de t.

PROBLEMA 4.42 Deducir el resultado (4.159) sin utilizar (4.155).


R11 (T)_^^f, (t)t, (t- T) dt.

Entonces,

f [R„ (T)1 = ^^ R11 (T) eymt dT

f: [J ^f1 ( t)f1 (t- T ) di] eJUT d,

(4.159)

f b t1(t) [J' f, (t - T) et«T d T] dt (4.160)

por intercambio en el orden de integración.

Cambiando la variable (t - z) por x en la integral que está dentro de los paréntesisangulares de (4.160 ), se obtiene

`.f [R1, (T )l =f

f,(t) £

f, (x) e-1° dx] di

f, (t) e ¡m 1 di J f, (x) etfÚ x dx

F, (u) F, (-02)

_ 1F,(u)[2. (4.161)

98

otr?ión de en

do (4.

1F,;

te

Solución:


9)0(4

autsr d+

x„(T)_ Y ''[1 1


ación R 1

órmadas

R„ (t) f, ( t) f, (t - T) dt.

Haciendo r = 0, se obtiene

R„ (0) _ f^ f, ( t) f, (t) dt

lf, (t)1' dt.

PROBLEMA 4.44 De<(4.164), es decir,

Solución: por (4.163), se tiene que

R„ (T) = 1 F, (o eiWT dw.2, -

Haciendo t = 0,

Por (4.164), se tiene que

Por consiguiente,

R„(0)-2n f' IF,(ro) l' do,.

R„ (0) fue, [f, ( t)1' dt.

I f, (t)1' dt= 2n f^

F, (w) ' d..

la transformada de Fourier de lacetro de energía 1F,(w)12 de f, (t), En;) y la densidad espectral de energíaFourier, es decir,

dw.

6`4

(4.16

(4.166)



PROBLEMA 4.45 Hallar la integral de Fourier que representa la función

1 para ¡t< 1í(t) _

0 para 1t > 1.

Respuesta: f(t) _ 2f cos tw sen wn co

dw.

PROBLEMA 4.46 Utilizar el resultado del problema 4.45 para deducir

sen w dw = nw 2

[Sugerencia : hacer t = 0 en el resultado del problema 4.45.]

PROBLEMA 4.47 Si f(t) es una función imaginaria pura, esto es, f(t) = j g(t), dondeg(t) es real, demostrar que las partes real e imaginaria de F(w) son

R(w)=J g(t)senwtdt, X(w)(t)coswtdi.

Así mismo, demostrar que R (co) y X (w) son funciones impar y par de co, respectivamente;

esto es,RR(w), X(-w)=X(W), F(-w)=-F*(a).

PROBLEMA 4.48 Sil[f(t)]=F(w),demostrar que [f*(t)1=F*(-w),dondef*(t)

es el conjugado de f(t), y F *(- co) es el conjugado de F(- co).

PROBLEMA 4.49 Si F(w) _ Cf [f(t), demostrar que

^[f(at)ef"o t] --l Fa (w a

PROBLEMA 4.50 Si F(w) =.`f [f(t)], hallar la transformada de Fourier de f(t) sen wot.

Respuesta: 2 1 [F (co - Q - F (co - wo)] .

PROBLEMA 4.51 Hallar la transformada de Fourier de f(t) = e-01 tl ,

Respuesta: 2al(a2 + co).'

PROBLEMA 4.52 Hallar la transformada de Fourier de f(t) = 1a'+t'

[Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría de la transformada de Fourier (4.79) al

resultado del problema 4.51.]

Respuesta: (n/a)e-al°l

PROBLEMA 4.53 (a) Hallar la transformada de Fourier del pulso ft (t) que se muestraen la figura 4.6(a). (b) El pulso fz (t) que se muestra en la figura 4.6(b), es la integral deft (t); utilizar el resultado de la parte (a) para obtenerla transformada de Fourier de fa (t);comprobar el resultado mediante integración directa.

[Sugerencia: para la parte (b), utilizar el resultado del problema 4.25.]

Respuesta: (a) F, (w) _ - ±i sen2 LT^, (b) F, (w) - AT

__ __ .

2

2T)

(t)

A/T

T o

-A/T r(a)

Figura 4.6 la) El pulso del problema 4.53.

(b) La integral del pulso en lafigura 4.6(a).


PROBLEMA 4.54 El momento enésimo m„ de una función f(t) está definido por

t^f(t)dt paran =0,1,2...

Utilizando el resultado del problema 4.26, demostrar que

(j)^d^F(0)para n=0,1,2,-•-m^

dw^

donded°F(0) d^F(w)

dw^ dwy F(w)=^[f(t)].

0

PROBLEMA 4.55 Utilizar el resultado del problema 4.54 para demostrar que F(w) _

[f(t)] se puede expresar como

F (w) _ (-j)^ rn ^i2 .n

[Sugerencia : desarrollar e-t"`= ( fwt)^ e integrar (4.15) término por término.]nl

=u

PROBLEMA 4.56 Demostrar que si T [f(t)]=F(w), entonces

f(t)'1 dt, 1F(w)I _<di(t)

dtdt, I F (w); < 1w,

Estas desigualdades determinan las cotas superiores de IF(w)I.

d'f(t)

dt'dt.

PROBLEMA 4.57 Utilizar la convolución para encontrar f(t) -f -' 1(1 + jw) (2 + jw)

Respuesta : (e-"-e-24)u(t).

PROBLEMA 4.58 Hallar f(t) del problema 4.57 desarrollando F(w) en fracciones parciales

[Sugerencia: 1 _ 1 ^ -1 y utilizar el resultado del problema 4.11.1(jw+1)(jw+2) jw+l jw+2

PROBLEMA 4.59 Demostrar que si f(t) es de banda limitada, esto es, F(w) _ [f(t)] = 0

para w > w, entonces f(t) *sen at

at= f(t) para a > c

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23 y el teorema de convolución en el

tiempo (4.122).]

PROBLEMA4.60 SeaF (co)=F[f(t)]yG(w)=f[g(t)]. Probarque

(a) j^1(x)g(t- x)dx= ^^ J ^ F(w)G(w)e'"Odw,

(b) j^ f(t)9(-t)dt=21 f : F(w)G(w)dw,

(c) J f(t)g*(t) dt = 2n F(o)G(w)dw,

donde el asterisco denota el conjugado complejo.[Sugerencia : (a) Utilizar (4.122) y (4.16); (b) deducir el resultado de la parte (a) haciendot = 0; (c) deducir el resultado de la parte (b) con la ayuda de (4.72) y del problema 4.48.]


PROBLEMA 4.61 Sean f1(t) y f2(t) dos funciones gaussianas ; esto es,

22 2

f (t) _ 1 e'1 /20, Í2 (t) = 1 e-t2/202

o, ^^2n a2 2n

Demostrar que si f3 (t) =f1(t) * f2 (t), entonces f3 (t) también es una función gaussiana y

f (t) = 1r20'

3 donde a3 = a, + o1a3y2n

PROBLEMA 4.62 Demostrar que la función de correlación de dos funciones gaussianascualesquiera, es una función gaussiana.

PROBLEMA 4.63 Si R 11(z) es la función de autocorrelación def1 (t), demostrar queR11(0) > IRu(T)1.

[Sugerencia: desarrollarla expresión x > 0 para T:9' O. ]

PROBLEMA 4.64 Si R 11(Z) y R22 (Z) son las funciones de autocorrelación de f1(t) yf2(t), y R 12('C) es la función de correlación de f1(t) y f2 (t), demostrar que R, (0) +R22(0)> 21R12(0I, para todo valor de v.

[Sugerencia: desarrollar la expresión x> 0, para todo valor de z.]

PROBLEMA 4.65 (a) Hallar la función de autocorrelación R 11(z) del pulso rectangularf(t), definido por

f(t) -

A para I t l < d/2

0 para I t^ > d/2.

(b) Hallar la densidad espectral de energía S(w) de f(t), a partir de R ,, (T), obtenido en laparte (a) y también comprobar que Su (w ) = I F(w)j', mediante F(w) dado en (4.45).

Respuesta: (a) R„(-u)A2(d-ITI) para Itil <d

(b) S„ (w) = A' d 1sen (wd/ 2)]

para ¡T^>d, L wd/2

PROBLEMA 4 .66 Sea R 11(r) la función de autocorrelación y Su (w) = 1 F1(w)12, ladensidad espectral de energía de la función f1(t). Demostrar que el teorema de Wiener-Khintchine (4.162-3) se puede expresar también como

S. (T) = J R„ (co) cos co T dw y Rn (co) _ f S„ (T) cos wT dT.o 0

5CAPITULO

TRANSFORMADA DE FOURIERDE FUNCIONES ESPECIALES

5.1 INTRODUCCION

La condición suficiente para la existencia de la ti

de Fourier de una función f(t) está dada por la ecuación (4.17), es decir,

En otras palabras , la integral del valor absoluto de la función f(t) e

la condición anterior . El objeto de este capítulo es encontrar las transformadas de Fourier

de estas funciones y así mismo , definir las transformadas de Fourier de las funcionesgeneralizadas , tales como la función impulsiva 8 (t) y sus derivadas (sección 2.4).

Las funciones tales como sen Wt, cos wt, el escalón unitario u (t), etc. , no satistacen

5.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA

FUNCION IMPULSO

S(t)

o(0)

F (w)

1

o

(b)

► t

Figura 5.1 (a) La función impulso unitario.(b) La transformada de Fourierde la función impulso unitario.

PROBLEMA 5.1 Hallar la transformada de Fourier de la ftque se muestra en la figura S. 1(a).

Solución* la transformada de F urier de 5(t) está da

tS(t)1= [ 8(t)e "td

egún el análisis de la sección 2.4, se llega a la defincit

tWtd

¡o 5(t)

5.2)

De donde la transformada de Fourier de la función impulso unitario es la unidad.Es evidente que la función impulso tiene una densidad espectral uniforme en todo elintervalo de frecuencia . [Ver la figura 51(b).]

PROBLEMA 5.2 a siguiente identidad:

8(t). 1 r' etwrdi

Solución : aplicando la fórmula (4.16), que es la transformada inversa de Fourier,

a (5.3) se obtiene 15(t)=t [11=2^n(^Ie'-'dw=2nje,mr dm.

102

Transformada de Fourier de funciones especiales 103

Se debe observar que la integración ordinaria de J e1"' dw no tiene significado en

este caso; en vez de ello, se debe interpretar la identidad (5.4) como una función

generalizada (o función simbólica), es decir la integración de (5.4) converge hacia S (t) enel sentido de una función generalizada.

PROBLEMA 5.3 Deducir la siguien

Solución: por (5.4), y utilizando la identidad ej ` - cos oi t + j sen v, t , se tiene

3(t) - e'`°'dw2uL

=21 f'(cosmt+jsen ot)do

2

1nfcos titdoi + J

2 1

-f.sen mt da

n

f f cos o,t dm0

en donde se han utilizadodo las propiedades (2.13) y (2.14) de las funciones par e impar.Se observa de nuevo que la integración (5.5) converge a S (t) en el sentido de una

función generalizada.

► t

PROBLEMA 5.4 Hallar la transformada de Fourier de la función impulso desplazadaS (t - t0) que se muestra en la figura 5.1(a).

Solución: utilizando (2.68), se obtiene

J [S (t - t,)] = J S (t - t0) e-¡ W' d t _ i m' 1 _ eo

)W10.

Otra forma de solución : dado que f[S(t)]= 1, y según (4.73), o sea,

J [f(t - t0)] = F(o)BImto,

se obtiene

ff [3(t - t,)] = 1 e imro =

tal como se muestra en la figura 5.2(b).

(5.8)

o(a )

0(b)

Figura 5 .2 (a) La función impulsodesplazada. (b) La

(5.9) transformada de Fourier de la,función impulso desplazada.

104

PROBLEMA 5.5 Utilizando la identidad (5.6) y la relación (2.6

de la inversión de la transformada de Fourier; es decir.

A

o(b)

Figura 5.3 (a) La función f(t) = A.(b) La transformada de

Fourier de f(t) = A.

Solución : sustituyendo (5.11) en el segundo miembro de (5.10), se tiene

2nf. F(0)e1`d.21nJ: 1í_f(Y)e

t^rdy elutdm• (5.12)

Aquí, para evitar confusión, se utiliza y, una variable comodín diferente. Intercambiando

el orden de integración y usando (5.6), se obtiene

2n fF(m) e¡-' d, _ f^ f(Y) [2 n i: et^(t-rd wJ dy

= f f(y)S(t-y)dy = f(t)•


la última integral se obtiene mediante el uso de (2.68). Por consiguiente, la fórmula

(5.10) ha sido probada.

5.3 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE

UNA CONSTANTE

En seguida se hallará la transformada de Fourier de una funi

(5.13)

f(t)=A. Se observa que esta función no satisface la condición (5. 1) de ser absolutamoj

integrable.

PROBLEMA 5.6 Hallar la transformada de Fourier de una función constante

f(t) = A,

tal como se muestra en la figura 5.3(a).

Solución : la transformada de Fourier de f(t) = A es

^f [f(t)] = [Al Aé t- tdi

► t

Ahora, por (5.6), se tiene

(5.14)

2n2 u A 1 el (-" )t dt. (5.15)

a (Y) = 12 n J ^ et `r dx. (5.16)

Haciendo x = t e y = - w, se tiene

8 ( m)= 2n f e1t( di.


5^ [Al =2uA6(-m).

(5.17)

(5.18)


Puesto que por (2.77), 6(- w) =S (w),

f [Al = A2 r¿(m). (5.19)

Haciendo A = 1, se obtiene

f [1] = 2 n3(w). (5.20)

Otra forma de solución : por (5.3), se tiene

f [S(t)] = 1.

Ahora, utilizando la propiedad de simetría (4.79) de la transformada de Fourier, es decir,si ff [f(t)] = F(w) , entonces f [ F (t)] = 2n f(- w), se tiene

f[1] =2rr3(-w)= 2rr5(w).

Por consiguiente, f [A]=A 2ir5(w), tal como se muestra en la figura 5.3(b).

Se debe hacer hincapié en que f(t) =A significa que la funciónf(t) es constante paratodo valor de t [ver la figura S.3(a)j, y no es la función escalón discontinua Au (t). Porconsiguiente, se observa que si f(t)= constante, la única frecuencia que se puede relacionarcon esta función es la frecuencia cero (corriente directa pura).

PROBLEMA 5.7 Hallar la transformada de Fourier de


f [1] = 2i5(w)

y por (4.74), se tiene

f [l (t) et`°0 ] = F(w - °).

De donde la transformada de Fourier de e' L1°t es

f[e`0t]= 2u8(w

PROBLEMA 5.8 Hallar las transformadas de Fourier de cos w0t y de sen w0t.

Solución : utilizando la identidad

cos w°t = (eim°t * e Jm°[)

2

(5.21)

y el resultado ( 5.21), la transformada de Fourier de cos w°t, es

[cos (,),ti = f [1 (&,.e + é lo°a)]2

= 2 f [e' f2

= ru + n8(w+ (5.22)

Análogamente , puesto que sen w°t =21j (eJ°ot - e iw °`), se tiene

[sen w°t] = f

1

1(e1^0` - e- 11

1 0 t2i

=1[2n8(w-co°)-27 8(w+w°)]2j

mol, `ice?

=-jn3(w-w0)+jnS(w+w°). (5.23)

106

f(t) =coswot

Tu U(0)

F(w)

rS(w +wo) 778(w -W0)

► t


observa que la función et¿^o r no es una función real del tiempo, y porconsiguiente tiene un espectro, uaao poro r , et cual existe soto en w - wo ; ea ucuit, ta

magnitud de su espectro no es una función par de w_ En el problema 4.8 se demostró que

el espectro de amplitud de una función real del tiempo es una función par de co:casí que,

para una función real del tiempo, si su espectro tiene un impulso en w = wo, también debetener un impulso en w = wo;tal es el case de las funciones reales cos woty sen wot

(ver la figura 5.4).

5.4 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEL

ESCALON UNITARIO

PROBLEMA 5.9 Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario u (t), el cual

está definido por (2.88) o sea

Solución : supóngase que

w-wa o wo Entonces , por (4 .72), se tiene

(b)

Figura 5.4 (a) La función f (t) = cos wot(b) La transformada de Puesto queFourier de f (t) = cos wot

se tiene

1 para t > 0u(t)= 0 para t<0.

f [u (t)] = F (w)

f[u(-t)]=F(-w).

0 para t > 01 para t < 0,

u (t) + u (- t) = 1 (excepto cuando t = 0).

Por la linealidad de la transformada de Fourier y por (5.20), se tiene

`f [u(t)] ' `f [u(-t)] = f[11;

esto es,

Ahora, se supone que

F(w) + F(- w) = 2nS(w).

F(w) = k5(w) + B(w),

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)

donde B (w) es una función ordinaria y k es una constante. Entonces, como S (- w) _

5(w), se tieneF (w) + F (- w) = k S(w) + B (w) + k 8 (- w) + B (-o)

= 2k5(m )+B(w)+ B(-w)

= 2n8(w).

De donde se concluye que k = 7r, y B (w) es una función impar.

Para encontrar B (w), se procede así: por (2.90), se tiene

du (f)u(t) = d = 8(t).

Entonces , de acuerdo con (4 .91), se obtiene

F

=f[8(t]= 1.

(5.30)

(5.31)

(5.32)


Ahora, puesto que según (2.75), w b ( w)= 0, se tiene

j Ql B (ri ) = 1. (5.33)De donde,

B(m)= 1 .1wFinalmente, se obtiene

`f[u(t)]= 75(ru)+ 1 .1 co

Los resultados anteriores muestran que el espectro de la función escalón unitariocontiene un impulso en w 0, de este modo la función u (t) contiene una componentec.d. como se esperaba: La figura 5,5 muestra la función unitaria, su transformada y suespectro.

(5.35)

Se debe hacer hincapié en que la aplicación superficial del teorema de diferenciación(4.91)a

(t) _ du (t)(5.36)

di

habría ido como resultado

Y[S(t)] 3wF(w), (5.37)

donde F(w) s la transformada de Fourier de u (t).Por tan o, con la definición (S 3), se tiene

1 - j cu F(u). (5.38)

Por consiguiente,

)= 5 3

un resultado que no

j<r

está de acuerdo con 35);

( . 9)

En general, si

F,(c,)=wF,(e; (5:40)no se sigue qu

'.:. F, (a,) (t) (5.41)

En vez de o, la conclusión correcta es

F,(w)=P,(n) . k8(w) (5.42)

donde k es uuna consla función S.

ante , porque w S (w) = 0, como se observa de la propiedad (2.75) de

a conclusión correcta del resultado no es (5.39) sinoPor consi

F(w)= 1 +kS(

ren 8)

(5.43)j ú)

PROBLEMA 5.10 Probar que la transformada de Fourier de la función escalón unitario,dada por (5.39), es decir, f [u (t)] = 1/jw, es incorrecta.

Solución : se observa que 1/jw =-j/w es una función imaginaria pura de w;

de acuerdo con el resultado del problema 4.9, se ha probado que si la transformada deFourier de una función real f(t) es imaginaria pura, entonces f(t) es una función imparde t. Pero u(t) no es una función impar de t y, por consiguiente, 1/jw no puede ser sutransformada de Fourier.

t)

0

(a)

F (tes) = R (cn) +JX (m)

e.

0

(c)

Figura 5.5 (a) La función escalón unitario.(b) La transformada de Fourierde la función escalón unitario.(c) El espectro de la funciónescalón unitario.


PROBLEMA 5.11 Probar quesgn t

0st

(a)

_ sgn t,r í-'.] 2,

donde sgn t (léase signum t) está definido como

1 para t < 0sgn t _ 1 para t > 0 .

(5.44)

(5.45)

Solución : sean f(t)=sgn t y T[sgn t] =F(w). Como sgn t es una función impar de t

[figura 5.6(a)], F(w) será imaginaria pura, de acuerdo con el resultado del problema 4.9 y,

en consecuencia, es una función impar de w.

Ahora, por (2.94), se tiene

f'(t) = 23(t). (5.46)

Entonces , por (4.91), se tiene

5: [f(t)]=1wF(w)=5: [23(t)]=2. (5.47)

Por consiguiente,

oF(w)= 2 +k3(w),

1w(5.48)

donde k es una constante arbitraria . Puesto que F(w) debe ser imaginaria pura e impar,k= 0. De donde,

(b)

Figura 5.6 la) La funcion signum sgn t.(b) El espectro de sgn t.

de lo cual se concluye que

F (w) [sgn t] _ .2 .lw

-'flfw ]= 2

lsgnt.

LLa figura 5.6 muestra la función signum sgn t y su espectro.

Otra forma de solución : por la ecuación (5.35), se tiene

5: [u(t)l=ua(w)+ 1 .1w

u(t)te(t) fo(t)

1

0 t

2

0+t

fz

Figura 5.7 La función escalón unitario y sus componentes par e impar.

(5.49)

Se observa que u (t) se puede expresar como (figura 5.7)

u (t) = fe (t) + fo (t), (5.50)

donde fe(t) y fo(t) son las componentes pare impar de u(t), respectivamente . Por (2.15)

y (2.16), se tiene

fe(t)= 1[u(t)+u(-t)]=2 2

(5.51)

Transformada de Fourier de funciones especiales

fo (t) = 21 [u () - u 1 sgn t =

Por consiguiente, según (4.42) y (4.43), se concluye que

f [2] =n3(w),

f L1 sgn t1 = 1.2 jw

Por tanto,

PROBLEMA 5.12

supuesto que

f i í11 = l sgn t.lw 2

Í12

t>0

_Z1 t<0.

En el problema 4.25 se demostró que s

f f(x)dxJ= 1 F(w),111 1w

109

(5.52)

(5.53)

(5.54)

5 [f(t)]=g(w), entonces

fa f(t)dt = F(0) = 0.

Demostrar que si

entonces

Solución: sea

£ f (t) dt = F (0) ^ 0,

f(x)dxl = F(w)+nF(0)8(w).Jw

g(t)= - f(x)dx.

(5.55)

La integral anterior se puede expresar como la convolución de f(t) con la función escalónunitario u (t); es decir,

f(t)*u(t)= J f(x)u(t-x)dx t= J f(x)dx =g(t) (5.56)

puesto que u (t -x) = 0 para x > t.

Por consiguiente , según el teorema de convolución en el tiempo (4.122) y elresultado (5.35), se tiene

^[g(t)]=^[J f(x)dx] °f1f(t)]5:[u(t)]

= F(w) [n3(w) + 1^lw

F(w)+nF(w)8(w). (5.57)lw

110

Según (2.74), se tiene

Por consiguiente,


F(c) 5(c,) F(0)3(c,).

íÍt f(x)dxl= F(ue)+nF(0)3(c» .

5.5 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEUNA FUNCION PERIODICA

el capítulo cuarto se desarrolló la integral de Fourier como un caso de límites de

la serie de Fourier, haciendo que el período de la función periódica fuera infrmto . En esta

sección se demostrará que la serie de Fourier se puede deducir formalmente como un caso

especial de la integral ae rouner.

Se debe observar que para cui

pie la condición (4.17 ) de que la integral del valor absolutou transformada de Fourier existe en el sentido de una función gener

lo cual ya ha sido demostrado al encontrar la transformada de Fourier de coswot y sen {aot_

PROBLEMA 5.13 Encontrar la transformada de Fourier de una función periódica f(t).

Solución : una función periódica f(t) con período T, se puede expresar como

2uf(t) T

tomando la transformada de Fourier de ambos lados, se obtiene

f lf(t)^ = F(ue) _ I¡' c„ eimwor = l^,inmo^l. ( 5.58)

Puesto que según (5.21), se tiene^(einrooe^ = 2zb(ru - n-,),

la transformada de Fourier de f(t) es

La ecuación (5.b0) establece que la transformada de'riódica, consta de una sucesión de impulsos equidistantes

armomcas ce ¡a runclon.

PROBLEMA 5.14 Probar q

la transformada de Fourier de una función periódica f(t) con perío‹

(5.59)

(5.60)

Transformada de Founer de funciones especiales 111

Solución : la función periódica es

f(t)-'T '[F(ue))=.`f : A0S(t0-n^o)]

A„ nm°)]. (5.62)


1 ^inraur(5.63)`f-'[S(m- nm°)]=

27n

De donde,

f(r) _ Hn er^m2,7 (5.64)

Puesto que e'°"° (t+2n1m°) se tiene

f[t+(2n)] =f(t+T)=t(t)W o

es decir, f(t) es una función periódica con período T = 2n/wo.

PROBLEMA 5.15 Encontrar la transformada de Fourier del tren de impulsos unitariosST (t), donde ST (t) está definido por

ST(t)=...+5(tr2T)+S(t+T)+¿S 3(t-T)+5(t-2T)+

3(t- nT).

Solución : puesto que 8T (t) es una función periódica con período T, y según elresultado (3.61) del problema (3.10), la serie de Fourier de la función ST (t) está dada por

et°mp° (5.65)

donde wo = 2n/T, entonces

[ar ( t)] = ) J [ein mol].T


f[Sr(t)]=-T r 5( u-nco°)

S (m - n wo)

- 1°3m°(w), (5.66)

t(t)

or


5(t-oT) l =mp (m -nme).

nación (5.67) establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsosunitarios es también un tren similar de impulsos. Por consiguiente, se puede decir que el

^• T-0^

(a )

F (co)

tren de impulsos es su propia transformada (figura 5.8)

PROBLEMA 5.16 Demostrar que los coeficientes complejos c„ de la expansión en serie

de Fourier de una función periódica f(t) con período T igualan a los valores de la

transformada de Fourier F0(w) de la función fo (t) en w = nwe = n27r/T multiplicada por

l/T, donde fo(t) está definido por

(5.68)

yl f

27wa = T

(b)

Figura 5.8 (a) El tren de impulsos.(b) La transformada de Fourier

del tren de impulsos.

Solución : la función periódica f(t) con período Tse puede expresar como

donde cn

t t c"etomor mr= 2u

T/2J f(t)é'" a`dt. Ahora,

T -r/2

Fa (co) _ 57 [ fe (t)]

f ^ f.(t)e t""dt

t

-T 0

(a)

f" (t)4i

0

(b)Solución: sea

l"m , 2n (5 72)Figura 5.9 (a) Un tren de pulsos

rectangulares. (b) Un sólo

of(t) = c" e, mo = T. .

pulso rectangular.

Entonces, según la figura 5.9(b), se tiene

fo(t)= pd(t).(5.73)

112

Puesto que

tT se concluye que

PROBLEMA 5.17 Utilizando el resultado del problema 5.16, encontrar los coeficientes

complejos de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares cuyo ancho es d y

cuyo período es T, tal como se muestra en la figura 5.9(a).

f(t)'-j1 t dt.

(5.67)

(5.69)

2

f(t)einm0tdt (5.70)F,(nwa =

TQ /

r/22

c" = 1 Fo(rma).T

(5.71)

Transformada de Fourier defunciones especiales 113

Por consiguiente , según (4.45), se tiene

F. (t)] _ fF [pd (t)] = 2 sen(2d

d sen\2d/ (5.74)

(2 )Por tanto , según (5.71), los coeficientes c„ de la serie de Fourier de f(t) están dados por

n ú, d

1 d sen 2c = T F0(n o0) = T

nm d(5.75)

2

que es exactamente el mismo resultado de (3.47), excepto por el factor A, la altura del pulso.

PROBLEMA 5.18 Hallar la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangularesde ancho d y período T, el cual se muestra en la figura 5.9(a).

Solución : según el resultado del problema 5.17, la serie de Fourier de esta funciónestá dada por

f(t) _ elnwor

donde

Wo=27

T

d SU (n d) ¡n u d)/ sen ` J

T

T ( 2a d` T /nnd)

2 T

d SalnTdl.T

De (5.60 ) se sigue que la transformada de Fourier de esta\\ función está dada por

(5.76)

[f(t)]F(W)=2Td Sa^°Tds(rü -no,o)• (5.77)

La ecuación (5.77) indica que la transformada de Fourier de un tren de pulsosrectangulares consta de impulsos localizados en w = 0, ± wo, + 2wo, ' • ' , etc. Laintensidad del impulso localizado en w = nwp está dada por (27d/T) Sa (nnd/T).El espectro se muestra en la figura 5.10 (caso en que d/T = 1/5).

^ir

fIn

1

t 1

6)Figura 5.10 El espectro de un tren de pulsos rectangulares.

114

obvio que

5.6 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEFUNCIONES GENERALIZADAS

convencional

En esta sección se definirán las transfortna as eurter

eralizadas y de ciertas funciones ordinarias para las cuales la definiciónA. trancfnrmuda no tiene sienificado . Esto se hará mediante el usa de la

ecuación de Parseval

PROBLEMA!

Parset

Solución : según la definición de transformada de Fourier, se tiene

F(y) f(x)e-" Y dx,

G(x)= J g(y)e " Ydy•

Entonces

f(x)G(x)dx" J f(x) [fl 9(y)e-"

Intercambiando el orden de la integración , se tiene

rrc, f(x)G(x)dx 9(Y) LJ W í(x)é ;"

= f 9m

y como se puede cambiar el símbolo de la variable comodín, se tiene

Jf(x)G(x)dx= £ F (x)9(x)dx.

o que

modo que

f(w) F [á (t)] d

(w)] y


[t t)) g (w) d.

ación (5.82)= l r[G(w)]

(w)}G(1

ible extenderralizada.

función de pr

F(t)l-'IG(w

definió en la s

(5.79)

(5.80)

(5.81)

(5,82)

se puede el

8:

retada de Fourit

2.4; enton

Transformada de Fourier de funciones especiales

realmente existe , y la transformada deestá definida por la relación

PROBLEMA 5.20 Utilizando la definición (5.85), demc

5[6(f)] = 1Solución : según la definición (5.85), se tiene

f1 5(t)<I> (t) dt = f^ f [S(t)l ^(m)dc,.

y según la definición (2.67) de la función 5, se tiene

Pero

£^ S(t)(D( t)dt= (D ( t) jr=o = (D (^) j, = <p(0).

e(0)=I J m<k (t) e~] `dt]N =

L y comoen la ecuación anterior la integración es con respecto a t, se obtiene

115

(5.86)

t(0)= J (t)dt= J (w) dm. (5.87)

Comparando los resultados (5.87) y (5.86), se concluye que

f[S(t)]=1.PROBLEMA 5.21 Utilizando la relación (5.85) hallar la transformada de Fourier deW_1).

Solución : se puede expresar

J S(t- T)a>(t)dt £f[5(t-T)]Ó(w)&o. (5.88)

Según (2.68), se tiene

f ^ 8(t- T)t ( t)dt=t(T)= D(t)1t=T = t(.)1._,

_[f^m(t)e"„ di]

_ f 0 (x) 'T `dx.

Dado que el símbolo de la variable comodín se puede cambiar a voluntad , entonces

f

: 5(t-T)(D (t)dt°J l(o)é d (5.89)

Comparando los resultados (5.88) y ( 5.89), se obtiene

5[8(t -T)]= é iw,

Este es e' mismo resultado (5.8) obtenido en el problema 5.4.


PROBLEMA 5.22 Utilizando la relación (5.85), demostrar que

donde F(w) = `)

Solución : por (5.85), se tiene ¡

J£ (o) do = J f'(w)$((0)d(0. (5.90)

Ahora bien, según la definición (2.82), derivada de una función generalizada, se tiene

f'(o,)(D (o,)dvJ

Puesto que

se tiene

De nuevo, mediante (5.85), se tiene

d4(o)= d 0(t)é"tdt

do, do £

I(' jt4(t) e'1w1 dtJ_0

- J t<b (t)] ^'mt dt

-.f t ^s (t)]i

(5.91)

(ue)@(^)d^ = J ^ f(m)(D'(o)do

£ f(o) t b( t)]dv,. (5.92)

f(m)`f []t ^(t)] d. f jo<b (w)F(o)dm. (5.93)

Comparando (5.93) y (5.90), se concluye que

5: (f (t)] = jo, F (o).

Repitiendo el resultado (5.94), se obtiene

.: í f(k> (t)] = (1 _)k F (w).

rmadas de Fourier de 5'(t) y 8 11

(5.94) y (5-95),5

(5.94)

(5.95)

Transformada de Fourier defunciones especiales 117

PROBLEMA 5.24 Utilizando la relación (5.85), demostrar que

1t)f(t)] F'(w)= dF(w)dw

ff[(-Jt)kf(t)] _ F(k)(,,)= dkF(w)dwk

donde F(w) = f [ f(t)]

Solución : según la definición (2.82), de la derivada de una función generalizada,se tiene

F'(w)d (w)dw= - Jm

F(w) SÓ'(w) dw. (5.98)

Y según (5.85), se tiene

- J ^F(w)d5'(w)dw=-f

f(w);f[ó'( t)] dw. (5.99)

Ahora, integrando por partes, se obtiene

f l d'(t) e-i-'`dt

ó(t)e" 11_-iw c5 (t) 't'dt

w£ ó(t)e ]"di

= lw$(w)

dado que la función de prueba O(t) se anula fuera de algún intervalo 0 ( t) -> 0 cuandot-4 ± oo,

Por consiguiente,

J f (w) t [,Á'(t)l d w = - J ^ f(w)) w $ (w) dw

w)f(w) 4>(w)dw

De este modo,

` J (-Jt)f(t)t(t) di. (5.100)

J F'(w)d(w)dw= J (-it) f(t)<D (t) dt.

Por lo cual, según (5.85), se concluye que

dwT[(- P) í(t)] = F'(.) = d w) (5.101)


Mediante repetición de (5.101), se obtiene

k

.`f[(-jt)k1( t)]=F(k)(, )= d F(ue).dwk

(5.102)

PROBLEMA 5.25 Hallar las transformadas de Fourier de t y tk

Solución : según la ecuación (5.20), `.f [1]=21r8(w); y según (5.101), se tiene

`f [(- j t)] = 2 u 5' (o) . (5.103)

Por tanto,

f[t]= -S'( )= j 2u5'(o),-1

donde fi' w) o) Análogamente, según (5.102), se tieneOdco

(5.104)

[tk]=2u

S(k^(to) -2u j' 5(k)(o), (5.105)(_j)k

donde

S(k)()= dk5(o)duk .


PROBLEMA 5.26 Evaluar las transformadas de Fourier de las siguientes funciones:

(a) 1-35(t)+25'(t-2), (h) sen 't, (c) u(t-1).

Respuesta: (a) 2rrS(m) - 3 + 3)w-j2 ' (b) j(n/4) [5(m - 3) - 35(w - 1)

i 35 (w r 1) - 5(0 + 3)], (c) u5 (o) - e-t^/jw.

PROBLEMA 5.27 Demostrar que la función escalón unitario u(t) se puede expresar,

u(t) = 1 + 1 ( sen mt do.2 n o

[Sugerencia: utilizar las fórmulas (5.35) y (4.27).]

PROBLEMA 5.28 Probar que

(a) f[coso0t u(t)]=" r5(o-w0)+5(m+o0)]+ j ``' ,2 oo - m

(b) f[sen (00t u (t)] _ - Jn [ S (!) -w)-5(w +m0)].2o_0 2

[Sugerencia : cos (o0 t u( t) _ 1 { e ' r,0 t u ( t) + e- rw0 t u ( t) } y utilizar el resultado del

problema 4.19. 1

PROBLEMA 5.29 Hallar la transformada de Fourier de un tren finito de impulsosunitarios

l(t)= > ' 5(t-nT).

Respuesta: e-t(k-1 )1T'2 sen (kmT,'2)

sen (o T/2)

0


PROBLEMA 5 .30 Si f(t)-e" u(t), demostrar que f j1'(t)] jwf [1(t)].[Sugerencia: f'(t) = 5(t)-é °' u(t).]

PROBLEMA 5.31 Sea f(t) una función periódica con período T. Si la funciónestá definida como

f(t) para It <T,2

1 0 para ti > T/2 ,

demostrar que f(t) se puede expresar como

donde ¿T(t)

1(t)= fo( t-nT)- fo ( t) T(t),

ó(t-nT).

fo (t)

PROBLEMA 5.32 Utilizando el resultado del problema 5.31 y el teorema de convolución,

demostrar que la transformada de Fourier de una función periódica f(t) con período T,y coeficientes complejos c", se puede expresar como

F (w)= F, (nwo)3 (w- nwo)=2 c„ ¡S (o - nwp)

f ( t ) para ] t ] < t/ 2donde F0(w)=.`f[fo(t)] y 1 0 ( t ) -

0 para I f > t/2.

[Sugerencia: utilizar los resultados de los problemas 5.15 y 2.50.]

PROBLEMA 5 .33 Probar que'f;l/t]=-njsgnm-nj-2nju(w)[Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría (4.79) al resultado (5.44) del problema 5.11.]

PROBLEMA 5.34 Del resultado del problema 5.33 deducir que para n = 1, 2, • •, se tiene

.`f t'] = -jmnj sgn w = wn sgn w,

[2/t'] - (lw)' nj sgn w - jw' n sgn w,

.f - ni s gn o.(n-1)!

[Sugerencia : utilizar el resultado del problema 4.24; esto es , f [f'(t)] = jo F«,».]

PROBLEMA 5 .35 Demostrar que `f [tu(t)] = jnó'(w) 1/w'[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 5.24.]

PROBLEMA 5.36 Demostrar que f [ I t i ] - - 2,'ú,2.[Sugerencia: utilizar ¡ t1 = 2 t u(t) - t, la ecuación (5.104), y el resultado del problema 5.35. 1

PROBLEMA 5.37 Hallar la solución particular de la ecuación x"(t) + 3x'(t) + 2x (t) _u (t), utilizando la transformada de Fourier.

[Sugerencia: tomar la transformada de Fourier de ambos miembros de la ecuación. HallarX (w) = f [x(t) ] y tomar la transformada inversa de Fourier.]


Respuesta: ? (1 - 2c-' +e-") u (t) .2

PROBLEMA 5.38 Hallar la solución particular a la ecuación x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) _

38 (t), utilizando la transformada de Fourier.

Respuesta: 3 (e-, -e 1 ')u (t).

PROBLEMA 5.39 Sea F (w) la transformada de Fourier de f(t) y fk(t) la función

definida pork

fk(t) - - F(o)e'ü+dw.2 Ti -k

Demostrar que

1-R) x dx.fk(t)- f^f(t

sen kx

PROBLEMA 5.40 En el resultado del problema 5.39, demostrar que

8(t) - limk,k

sen kt

t

[Sugerencia: observar que lim fk (t) = 1(t).]k .m

PROBLEMA 5.41 Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario desplazado

u(t-t0)._j ,,o

Respuesta: u5(w) + eJw

PROBLEMA 5.42 Utilizar la relación (5.85) para deducir el teorema de convolución

en el tiempo

`.f [f, (t) * f, (t)] - F, (w) F, (w).

PROBLEMA 5.43 Utilizar la relación (5.85) para demostrar que

2 u8(w -w 0)•

PROBLEMA 5.44 La transformada de Fourier F(w), de la función generalizada f(t)

se puede definir mediante

f(t)^6 (t )dt= 2nfF (w)(D (-w)dw,

donde O (t) es una función de prueba , y J c(w). Utilizando la ecuación de Parseval

f^f(t)g(t)dt- 1 fF(w)G(-w)dw, [4.13312n

demostrar que la transformada de Fourier de la función impulso unitario es

S[S(t)] = 1.

[Sugerencia : J 5(t)0(t)dt= (0) =21 f (l>(w)dw =

21 f (D (-w)dw.

n n

CAPITULO

APLICACIONES ASISTEMAS LINEALES

6.1 SISTEMAS LINEALES

En todo sistema hay una función de entrada (o función deexcitación) y una función de salida (o función de respuesta). Un sistemaest^emm ^lernr„Pnta ti(t) 1 1 t"(t)caracterizado si se conoce la naturaleza de la dependencia de la salida sobre la entrada.

Si se supone que la respuesta de un sistema a la excitación f (t) es la función f (t)

Sistema lineal

0y si la respuesta de ese sistema ala excitación f(t)= alfil (t) + a2f2(t) esf"(t) = Figura 6.1 Entrada y salida de unalf1(t)+azf a(t),se dice que es un sistema lineal. (Verla figura 6,l.)

Por tanto, un sistema lineal se puede definir como un sistema al cual se le puede aplicaiel principio de superposición.

Si la respuesta de ún sistema a la excitación f (t) es la función f (t), y si la respue"de ese sistema a la excitación f (t t0) es la función fo(t - ta), se dice que es un sistemanvarante en el tiempo (o un sistema de parámetros constantes).

Otra definición de sistema lineal es la de que la función de la excitación y la funciónd le a respuesta del sistema, están relacionadas por una ecuación diferencial lineal; es decir,

a d"f d"_'ta(t)""

+ a" ' -1dt at a

entonces, la ecuación (6.

6.2 FUNCIONES OPERACIONALES DEL SISTEMA

Si se denota d/dt por el operador p, tal que

Pt (e) - di (1) d"f(1)-, p^ t (r)di dt"

se puede expresar como

rpmft(P°lo(i)^ Y' b (6 2)'3

n^a

,,

o

A (p) (o (t) _ A (p) f, (t)

.

(6

sistema lineal

121

122

A (p

R (p

un sistema lineal los coirespuesta En el sistema inson constantes.

U ecuación (

'ariante (o de par

.3) se puede expresar si

t !_, B (p)

El símbolo u operador lineal L en la ecuación (6.5) indica la ley que determina la fundó:

de salida, fo(t), dada la función de entrada, fi(t). A veces se menciona la ecuación (6.5)(t).«t) en la función f (t).como una transformación L de la función f (t) en la función f

p v(t)-H(p)v(t),

7

PROBLEMA 6.1 Obtener la expresión operacional para la respuesta de la corriente

i(t), al voltaje v(t), del circuito que se muestra en la figura 6.2(a).

So 1 ución : la fuente es el voltaje aplicado v(t), y la respuesta es la corriente i(t), como

se muestra en la figura 6.2(b). La ecuación diferencial que relaciona i (t) y v(t) se puede

Figura 6.2

(0)

RLC

circuito

' (0

(b)

(a) El circuito del problema6.1. (b) Sistema del circuitode la figura 6.2 (a).

-r +...+bp+

son independientes de la función de

netros constantes) los coeficientes a„ y

t,(1)

n la forma

Se entiende que la ecuación (6.4) es una exoresión) = B(p)1 A (p)donde H( .poperacional de la ecuación diferencial (6.1). El operador 11(p) que upede entrada para producir la función de salida, se denomina función opei

Utilizando el símbolo L para H(p), la ecuación (6.4) se puede expresar

L 1fi(t)l=f,(t).

,o

Con la notación de (6.5), un sistema lineal e invariante en el tiempo e

L lalt,, (t) + azl, 2 (t)1 -- a1L lf s (t)l + a2Ea lfr2 (01,L 1 ti (t . td)l = f, (t i- t0).

obtener utilizando la ley de Kirchhoff, así:

R i (t) + L di (t) + 1 i (t) dt = v (t).dt C w

Diferenciando ambos miembros, se obtiene

L d'i (t) + R di (t) 1 i (t) = dv(t)

dt' dt C dt

donde el símbolo L representa la inductancia y no al operador L.

Utilizando el operador p = dldt, la ecuación (6.9) se puede expresar como

/ 1

C

Por tanto,

Lp'+Rp+C

donde

H (p) _p

(Lp2 + Rp


cientes a„ y b,,,

H (p) fi

1

1

1R + Lp

Cp

1 = Y (p).Z (p)

nido por

(6.6)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

Aplicaciones a sistemas lineales 123

En el circuito eléctrico de la figura 6.2(a), Y(p) se denomina función de admitanoperacional, y Z(p) =1/Y(p) se denomina función de impedancia operacional.

PROBLEMA 6.2 Considerar el sistema mecánico simple que se muestra en la figura6.3(a). Obtener la expresión operacional de x(t), que representa el desplazamiento deuna masa m desde su posición de equilibrio.

So 1 ución : la fuente es la fuerza aplicada f(t), y la respuesta es el desplazamiento x(t)de la masa m desde su posición de equilibrio [figura 6.3(b)].

Las fuerzas que actúan sobre la masa son las siguientes:(1) la fuerza aplicada f(t);

(2) la reacción por inercia (-md2 x/d2 t);(3) la fuerza de amortiguamiento (resistencia por fricción) (-kd dx/dt), y(4) la fuerza restauradora elástica (- ksx).

En los numerales (3) y (4), kd y ks son el coeficiente dinámico de fricción y la constantedel resorte, respectivamente.

Aplicando el principio de d'Alembert, se tiene

d (t)m dt kd dxd(t)

kax(t) = f(t). (6.12)

Utilizando operadores, la ecuación (6.12) se convierte en

(mp' + kdp + k s) x (t) = f (t). (6.13)

Por tanto,

x(t)= 1mp ' t(t) = H (p ) f, kdp + ks (t), (6.14)

donde H(p) = 1 /(mp2 + kdp + k,).

6.3 RESPUESTA A FUNCIONES EXPONENCIALESDE ENTRADA- FUNCIONES PROPIAS YFUNCIONES DEL SISTEMA

sean funciones exponenc,sistemas lineales

la respuesta de sistemas lineales a funciones de entrada ques I tiempo, son de especial importancia en el análisis de

PROBLEMA 6.3 Demo

función exponencial eiIW `entrada; es de

rar que la respuesta de un sistema lineal e invariable a unatambién es una función exponencial y proporcional a la

L

Solución : sea fo(t) la respuesta a

t k ti)

et". Entonces,L 1 eltut1 =

fo (t).

Puesto que el sistema es invariante , entonces por (6.7), se tiene

L {e)(''tr + to)1= f(t - to).Pero según (6.6), se tiene

De donde,

6.1

(6.16)

(6.17)

L jeir"(t+ to)1 -L {ei^toei 1 = el"tto . L 1elo' 1. (6.18)

Haciendo t = 0, se obtienefo (t + to) - el-i, fo (t). (6.19)

t(t)

i Posición de equilibrio1 de la masa

(a)

Sistema

mecánico

(b)

Figura 6.3 (a) El sistema mecánico delproblema 6.2.

(b) Representación del sistemamecánico de la figura 63(a).

fo (to) = ta (0) e)")to (6.20)


Como te es arbitrario, se cambia lo por t y se expresa la ecuación (6.20) como

f. (t) - fo (0) e,,', r _ r, eio,r

Es decir, la salida es proporcional a la entrada, siendo k = fo(0) la constante de

proporcionalidad. En general, k es compleja y depende de w.

Otra forma de solución : supóngase que la excitación en la ecuación (6.3), es la

función fi (t) = e"')' ; entonces

A (p) fo (t) - B (p) ejmr (6.21)

donde f"(t) es la respuesta de) sistema. Ahora bien;

B (p) el"" = B (ja) ein, r

dado que

p`" ele„ =d,n

(el"') - (j(,,)- ejmrdt"

Entrada

Por tanto , la respuesta fo(t) está definida por la ecuación diferencial lineal

A (p) fo (t) - 8 (y,) e1" . (6.22)

La función excitadora de la ecuación (6.22) es B(jw) ej `, una función exponencial,

y según la teoría de las ecuaciones diferenciales , se puede suponer que la respuesta fo(t)

también es exponencial . De donde, si t„ (t) = k,ejb t , entonces

A(p) f., (t) A(p) 1k,ejmrl k,A(p) (eio,rI - k A(jm) el" A(j,u) í (t). (6.23)

Sustituyendo (6.23) en la ecuación (6.22), se obtiene:

A(jtu) fo (t) 8 e)"t (6.24)

Por tanto, si A(1w) # 0, entonces

fo (t) = B (j ro) ejar = H(j(,) ejmr (6.25)A ^'ru)

La figura 6.4 muestra un diagrama que ilustra la relación entre la entrada y la salida,Salida dada por (6.25).

wrLa entrada (r (r)=c y

la salida l„(r)= 11(iw)r,'Wr

Figura 6.4 Función del sistema.

La ecuación (6.25) se puede expresar en forma simbólica como

L le,-f1 = H(ja) e1"".

En lenguaje matemático , una función f(t) que satisface la ecuación

L lf(t)1 = k f(t),

(6.26)

(6.27)

se denomina función propia (o función característica) y el valor correspondiente de k,

valor propio (o valor característico). Según la ecuación (6.26), se puede decir que la

función característica de un sistema lineal e invariante es una función exponencial.

El valor propio H(jw) del sistema está definido como la función del sistema.

PROBLEMA 6.4 I tallar la respuesta del sistema especificado por H(jw), a una

constante K.

So 1 u ci ón : según la ecuación (6.26) y por la linealidad del sistema, se tiene

L;K1 = K f1(0). (6.28)

donde 11 (0)


PROBLEMA 6.5 Si la función de entrada de un sistema lineal especificado porH(jw)es una función periódica, con período T, hallar la respuesta del sistema.

Solución : puesto que la función de entrada fi(t) es periódica, entonces

c et,^m^t (', -(6.29)

donde

1 /2

J 1, (t) e m"°` dt.TI2

(6.30)

De la ecuación (6.26) se sigue que

¡ 11,1 (() = H (inmo) c„ e

es la salida en respuesta a la componente de entrada

(6.31)

t,,, (t) c„ e 1w" (6.32)

Como el sistema es lineal , su respuesta total a f (t) es la suma de las componentes fon(t).De este modo

(6.33)

La ecuación (6.33) indica que si la entrada a un sistema lineal es periódica, entonces la

salida también es periódica. Se debe observar que la expresión (6.33) es la respuesta enestado estacionario.

6.4 RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADOESTACIONARIO

espuesta senusoidal en estado estacionario de un sistemalineal se puede deducir como un caso especial de la respuesta a funciones exponenciales.

PROBLEMA 6.6 Demostrar que las respuestas en estado estacionario del sistemaespecificado por H(jcu), a las funciones de entrada cos wt y sen wt están dadas porR [ le H (jco) e ] e m(Hl ar (jw) e lw ] respectivamente donde Re de ota la rte ea, n pa r l deelm denota "la parte imaginaria de":

Solución : supóngase que la respuesta en estado estacionario del sistema a la entradacos wt es r,,(t), y que la respuesta en estado estacionario a sen wt es rr(t); es decir

L Icos w11 (6.34)

L¿ sen ( I (6.35)

De la propiedad de linealidad (6.6) se sigue que

L cosfwt , j sen (U! r^ (t) i rs (t) (6.36)

Pero como cos wt + j sen wt = t°",

L i et °'r1 - r, (t) + j r_, (t).

Según (6.26) se sigue que

(6.37)

r0 (t) i j rs (t) = H (j(j) ej°'r (6.38)


Puesto que rr(t) y rs(t) son funciones reales de t , se tiene

r, (t) - Re [H (jw) e'wfI,

r, (t) = Im [H (jw) ejw,].

Por consiguiente,

L I cos wtl = Re [H (jw ) e'° t],

L 1 sen wtl = tm [H (jw) ejQ' `].

(6.39)

(6.40)

(6.41)

(6.42)

En análisis de estado estacionario senusoidal se suelen emplear fasores'pararepresentar funciones senusodales . As¡, una función coseno v(t) se puede expresar como

vm cos (u,t + p) = Re [ Vm e¡"],

donde V,,, = vfunción v(t).

e "'= Vm L . La cantidad compleja V. es el fasor que representa a la

PROBLEMA 6.7 Si la función del sistema H(/w) se expresa en forma de fa

H(jr„)=1H(jw)Je'"(°' H0.)1 8(F'),

demostrar que las respuestas en estado estacionario del sistema a 14,y v,,, sen (wY + p) están dadas, respectivamente, por

Re 1H (jw ) V. eme"'] VmJH (yo)icos (w

1m [H(iw) V,n ejw' ] - vmIH(jw )j sen (wl

+fi

Solución: se procede como se hizo en el problema 6.6. Sea

L1vmcos(wt+/3)1=r,(t),

L 1 vm sen (wt + (3)1 = r, (t).

Entonces,

, es decir,

os P)(w

(6.43)

(6.44)

L1vm[cos (wt±/3)+j sen(",t+(3)]1 =L1vm ejao,+ (3)I

L Hvm ejR e"-"' 1. (6.45)

Sea vm e'p = Vm ; entonces , de la ecuación (6.26), se tiene

L 1Vm e'`1 = Vm L lejwrl = Vm H(jw) ejwr. (6.46)

Por tanto,

r, (t) + j r, (t) = Vm H (jw) ej(O (6.47)

Puesto que Vm H(jw) ej""= v, IH (jw)1 e¡'+p+5)

r, (t) = Re [ Vm H (j(o) ejw,] = vm',H (jw)'I cos (wt 1 0 + 0), (6.48)

r(t) = [m [ V ,,, 11 (j(o) ej °'i = Vm1 H (j(,)[ sen (wt + 0 + 0). (6.49)

De este modo,

L 1 vm cos (wt vm! H(jw)I cos (wt (3 + (1), (6.50)

L 1 vm sen (wt + ¡3)1 - vm1,H ( jm), sen (wt + 0 1 ©). (6.51)

De tos resultados anteriores se concluye que la salida fa(t) se puede representar porel fasor V ,I1(jw), si la entrada . (t) está representada por el fasor Vm. Por consiguiente,si la entrada y la salida son funciones senusoidales estacionarias , entonces la función delsistema 11(¡w) es el cociente de los valores complejos de la salida y la entrada.

ent •adas v,

0),

o:

1 1 '1


PROBLEMA 6.8 Hallar la respuesta fo(t) de un sistema lineal cuando la entrada f (t)es periódica con período T, y está expresada en serie de Fourier por

l; (t) = Co + C„ cos (nwot ¢n),2n

(J0 -- T . (6.52)

So 1 u ci é n : del principio de superposición y de los resultados de los problemas 6.4 y6.7, se sigue que

tn(t)=Lfi (t)1

= L C. C„ cos (nw,i 1 cbn)}

L {C,1 + L [ Cn cos (n(uot + dn))

n=1

= CoH (0 ) + CnH jnmo)^ cos [n( )0t + 53n + 0 (nti,o)I. (6.53)

6.5 APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS

sección se aplicarán las ideas desarrolladas hasta ahora,ex t el t toen an en ratamien de los circuitos eléctricos.

PROBLEMA 6.9 Una fuente de voltaje v(t) =vm cos (wt + 13) se aplica al circuito enserie RLC, que se muestra en la figura 6.5. Hallar la corriente de respuesta iy,(t) en estadoestacionario.

Solución: según el resultado del problema 6.1, la respuesta de la corriente i (t) estárelacionada con la fuente de voltaje por

i (t) = H (p) v(t) = 1 [v(t)L (6.54)Z (p)

donde H(p) = 1 /Z 1(p) y Z(p) =R + Lp + ¿,p . Utilizando ahora la notación fasorial,se tiene

v(t) - V=, cos (wt ^ /3) = Re [V ,,, ew`], (6.55)donde Vm - v,,, eit3.

Entonces según (6.50), la respuesta senusoidal en estado estacionario is(t), está dada por

rs(t) - Re Vm ew`[ Z (j() 1

Ahora bien,

donde

Z(iw)i =

Z(jai)=R + jmL + 1 =R+j mL- 1jwC wC^

= Z(I(J)I eld(w>_ Z(jm)I 0(m)

oL - 1wC0 (()=tan-'R

(6.56)

(6.57)

v(r)

Figura 6.5 El circuito en serie RLC delproblema 6.9.


Entonces,

1 s (t) 1Z (j )1 cos (a,t l ^ - 8(w )j. (6. 58)

V

0

-v

(a)

v (t) ti iCt) JL=-1h

(b)

Figura 6.6 (a) Forma de onda de la fuentede voltaje. lb) El circuito enserie RL del problema 6.10.

Mediante la notación fasorial, la ecuación (6.56) se puede expresar como

+s(t)=Re[1,,, e)w`}.

Entonces el fasor Im, que representa a is(t), está relacionado con el fasor Vm, que

representa a v(t), por

V,„ = Y (jw) V,aZ (jro)

0

(6.59)

(6.60)

V^=Z(jm), 1-' =Y(tw), (6.61)lm Vm

donde Z (jw) y Y(jw) se denominan funciones senusoidales de impedancia y admitancia

del circuito, respectivamente.

PROBLEMA 6.10 Una fuente de voltaje v(t), cuya forma es una onda cuadrada, como

se muestra en la figura 6.6(a), se aplica al circuito en serie RL que se muestra en la

figura 6.6(b). Hallar la corriente de respuesta is(t), en estado estacionario.

So 1 uci ón : la expansión en serie de Fourier de la onda cuadrada está dada por (2.38).

Con eco = 2a/T = 1, se tiene

1 1.v (t) - V- r c os t - 1 3 c os 3 t co s S t- (6.62)

La impedancia del circuito RL (figura 6.6(b)) a cualquier frecuencia angular w está

dada por

Z(j(") R i j,.,L.

Por consiguiente , para el armónico enésimo la impedancia es:

Z(jn,,,o) - R . jn<o.,L.

Para este problema, R = 152 y L = 1 h; por consiguiente,

ZOnmo) - Z(in)-1-tti ^ Z( jn)1Fl

donde

Z ( In) - J1 n', ti (o) = tan-' n.

Según el principio de superposición , se sigue que la respuesta en estado estacionario is(t),

está dada por

(t) cos ( t - t a n ` - cos (3t- - O V w - tan ' 3)2 3\ 10

1cos (St -tan` 5)

5 x'26

(6.63)

PROBLEMA 6.11 El voltaje de entrada al circuito RC, de dos fuentes, que se muestra

en la figura 6.7, es la serie finita de Fourier

v,(t) - 100 cos t 10 cos 3t - cos St.

Hallar la respuesta resultante vos(t) en estado estacionario.

Aplicaciones a sistemas lineales

Solución : puesto que la fuente es

la respuesta es

v;(t)-Ri(t)+C J i(t)di - R+PC) 1(r),

v° (t) -C i (t) dt = C i (t).PC

Dividiendo el resultado (6.65) por (6.64), se obtiene1

v„ (t) PC 1

vi (t) R 1 1 +pRC

PC

Por consiguiente , la respuesta vo(t) y la entrada vi (t) están relacionados por

1

PC 1 v; (t) = H (p) vi (t),-R-pC

donde

129

(6.64)

(6.65)

(6.66)

1

H (p) = PC = 1R 1 1 - pRC

pC

Ahora la razón de fasores Vo /Vi a cualquier frecuencia angular w es

-° = , 1 1 -tan` mRCH o) 1 + jmRC 1 _ (mRC)' (6.67)

Puesto que wn = 1, la razón de fasores del armónico enésimo es

°i = H(tno,J = H(in) _

1 + (nRC)'

an n

Por tanto , según el principio de superposición se sigue que la respuesta en estadoestacionario , vol(t), está dada por

100 10Vv° (t)

1 R C cos ( t -tan-' RC) i cos (3t -tan-' 3RC)^ ' 1,9R'C'

1cos (Sr -tan-' SRC).

V2 RC'(6.68)

jw) de (6.67), se denomina función de tnunsfereruNa de voi

6.5a Cálculo de potencia en estado estacionario

PROBLEMA 8es periódico y

V 1 t -' RC

R

vt(r) i(t) C v°(t)

Figura 6.7 El circuito RC de dos fuentesdel problema 6.11.

(t )

Network = Circuito

Figura 6.8 El circuito del problema 6.12.

^s8- r I ve (t (t) di

T/2

ir/2

cos (nrvat + 0n) cos (kwot+ ak) dt


y la corriente is (t), en estado estacionarlo que entra por el terminal a es

ar que la potencia promedio de entrada Pab definida

es igual a

x=1

Solución : sustituyendo (6.69) y (6.70) en (6.71), se tiene

T/2

V 1k 1 cos(nvot + fn)cos (kbot+ak ) dt. (6.73)

n =1 k=1Tf-T/2

f T/2

Peb = T Lv + V. cos(nr^ot+ /3n)^ lo + /k cos(kniot+ ak) di

-T/2 L n=1 k=1

1 T/2 q

^Voln+V0 lk cos(koot+ ak) +1a^ Vncos(mm, t +fn)

T _T/2 k=1 n=t

+r Vn ik cos (Noat +f3 ) cos (kw,t + ak)I di

n=1 k=1 J1 T/2 T/2

=Voln-^ dt+Vo Llk-f

cos (koat +ak)dt

-T/2 k =l -T/2

T/2

Vn 1 cos (nw, t + (3n) dtn=1 T -T/2

Utilizando las relaciones de ortogonalidad de la sección 1.3, se obtiene

r/z

fcos (n^ot + /3n) di = 0,

(6.7

kfn

-T/2 12 cos (/3n-an), k=n.

Por tanto , (6.73) se puede expresar como

//11Peb = M. + 2 V ln cos

n=l

Denotando la raíz cuadrática media del armónico enésimo del voltaje por Veff,n yla del armónico enésimo de la corriente por leffn, se tiene

V ln - Verr.n leff,n- (6.74)

T/2

•b = Vola + 7 ¿ Vn!n e


Sea

i)n-fn-u.. (6.75)

Entonces B „ denota la diferencia de fase entre los armónicos enésimos del voltaje y de lacorriente . Introduciendo (6.74) y (6.75) en (6.72), se obtiene

n teff,n cos 0n

pr-P,-Pz4...=L.P, (6.76)

donde P. es la potencia promedio del armónico enésimo.

La ecuación (6.76) muestra que la potencia promedio entregada por una excitación

periódica a un circuito es la suma de la potencia promedio entregada por los armónicos

individuales. No hay contribuciones a la potencia promedio, por parte de la corriente auna frecuencia y del voltaje a otra frecuencia.

PROBLEMA 6.13 Determinar la potencia promedio entregada al circuito de un puerto,de la figura 6.8, si se sabe que

vnb (t) = 10 4 2 cos (t 45 C) - cos (2t . 45 °) cos (3t - 60 °),

i (t) = 5 4 cos t 2 cos (3t 4 75 °)

Solución : para Vi,1i,0¡ypi,siendo i=0,1,2,3,setiene

vn - 10, 1„ - 5, P, - 50,

V, - 2, 1, = 1, H, 45°, P3 1 2 2 cos 45 ° = 0.707,

Vz- 1, 12 - 0, P,-0

V3=1, 13-2, 0,=-135°, P,-2cos (-135`)--0.707.

Por tanto, la potencia promedio entregada al circuito es

Pab = P, 4 P, - P, + P3 - 50 : 0.707 - 0 - 0.707 = 50 w.

6.6 APLICACIONES A SISTEMAS MECANICOS

El método presentado en la sección precedente se puede aplicartambién a sistemas mecánicos.

PROBLEMA 6.14 Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura 6.9 que consistede un resorte, una masa y un amortiguador. Si el sistema se perturba por una fuerzaf(t) = fp cos (wt + p), hallar el desplazamiento xs(t), de la respuesta en estado estacionario.

Solución : la respuesta xs(t) y la función excitadora f(t) están relacionadas por lasiguiente ecuación diferencial:

m d'x(t) f B dx(t) _ kx(t) = 1(t),dt' dt (6.77)

t(t)

Figura 6.9 El sistema mecánico delproblema 6.14.


(o )

f(t)

(b)

Figura 6.10 (a) El sistema mecánico delproblema 6.15. (b) La fuerzaperturbadora del problema6.15.

donde m, B y k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante del

resorte, respectivamente. La ecuación (6.77) se puede expresar en forma operacional como

x(t) - 1 f(t)-H(p)f(t), (6.78)mp' 4- Bp+k

donde

H (p) = 1(mp + Bp + k)

Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se tiene

f(t) = fo cos (u) t + p) = Re {Fo ej`9'l,

donde F. - fo e'P.Entonces , según (6.50), se tiene que la respuesta en estado estacionario , xs(t), está

dada por xs (t) = Re [Fo H (jm) et(0`l. (6.79)

Ahora bien;

donde

Entonces,

H H n L-,m(j(j)'+B(jco)+k k-mm' { j(0B )

111(jm)j _1

y (k - mm')' + (02,62,B (m) - - tan

xs(t)= f° cos (mt +/3-tan`(k - m(U2)2 + 1>222

/ wB

k-mru'/I

mB

k_-m.1)(6.80)

El ángulo 8{w) se denomina. ángulo de fase en retraso.

PROBLEMA 6.15 Analizar el movimiento en estado estacionario del sistema que se

muestra en la figura 6.10(a), si la fuerza perturbadora f(t) es la que se muestra en la

figura 6.10(b).

Solució n: la respuesta x(t), el desplazamiento de la masa m desde su posición de

equilibrio, y la fuerza perturbadora están relacionadas por

m d2x(t)+ k x([) = f(t), (6.81)

dt'

ecuación que se puede expresar también como:

f(t),x(t)= mp' + k (t) (p)

donde

(6.82)

H (p) = 1.(mp2 ± k)

La expansión en serie de Fourier de f(t), se obtiene del resultado del problema 2.15,

esto es,

f(t) _ - A sen (0 ot + 2 sen 2r,2ot ; 3 sen 3mat +

donde Wo = 21r/T.


Puesto que interesa sólo el movimiento forzado o movimiento en estado estacionario

del sistema, se procede a utilizar la notación fasorial. Entonces, se tiene

H Qw) = 1 = 1 = H (jw)'I 8 (m)m(jw)2+k k-mw'

y

H (jnwo) 1k - m (nwo)']

Dado que el ángulo de fase en retraso B (w) es cero, entonces , por (6.51), se obtiene

x_, (t) = -A sen wot 1 sen 2wot 1 sen 3w,t-n k - mwó 2 k-4mwo 3 k-9mwo

(6.83)

6.7 RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL AUNIMPULSO UNITARIO - FUNCION DEL SISTEMA

Ahora se considerará una situación más generalexcitación de un sistema es cualquier función dada del tiempo.

La respuesta de un sistema lineal al impulso unitario S (t). se dSimbólicamente esto se expresa como

Si el sistema es inva

se observa que su re

L 18 (t) (t).

a por l(t).

te (o de parámetros constantes), entonces, según la ecuación (6.7)esta a S (t - y) está dada por h(t -z); es decir,

)1=h(

PROBLEMA 6.16 Demostrar que la respuesta fo(t) de un sistema lineal e ira una entrada arbitraria f (t), se puede expresar como la convolución de la ery de la respuesta del sistema al impulso unitario 3t(t), es decir,

fd (t) - 1, (T) h (t - T) dT - t, (t) * h (t

ti (t - T) h (T) dT = h(t) * ft(t)

Solución: según la propiedad (2.68) de la función S, ff(t) se puede expresar como

fr(t) - £ f,(T)a(t-T)di. (6.88)

Entonces , según la linealidad del operador L, dada por (6.6) y en razón de la ecuación(6.85), se tiene f

ffo (r) = L lf¡(t)1 - £ f¡ (T) L 13(t - T)i dT = J f¡ (T) h (t - T) dT. (6.89)

Según la definición (4.105.) y la propiedad (4.108) de la convolución , la ecuación(6.89) se puede expresar como

fo (t) = f; (t ) * h (t) = h(t) * f, (t)

- ff¡(t-T)h(T)dT


La ecuación (6.86) o (6.87) presenta un resultado muy interesante, pues implica

que la respuesta de un sistema lineal está determinado unívocamente por el conocimientode la respuesta al impulso unitario h (t) del sistema.

6.7a Función del sistema

La transformada de Fourier de la respuestde un sistema lineal, se denomina función del sistema:

H(w)=.f[h(t}j- h(t)C1°'dt,

h(t) =`^-'[H(w)l.=2n. ! H(w)e'`°'do.J-00

al impulso unitario

(6.90)

(6.91)

Las ecuaciones (6.90) y (6.91) indican queda respuesta al impulso unitario , y la funcióndel sistema constituyen un par de transformadas de Fourier.

PROBLEMA 6.17 Si FF(co) y FQ(w) denotan las transformadas de Fourier, de laentrada ft(t) y de la salida fo(t) de un sistema lineal, respectivamente, demostrar que

o (w} _ F, (o) H (w), (6.92).'.

f' (t) 2n F' (w) H(w) el` dw, (6.93)

donde H(w) es la función del sistema definido por (6.90).


fo (t) - f , ( t) * h (t).Por consiguiente , aplicando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122),se obtiene

Fo (co) = F¡ (w) H (o).

Aplicando la fórmula (4'.16), de la transformada inversa de Fourier, se obtiene

fo (t) _ `f-' [E0 (w)^ =2nf Ft (.) H (u) el °' d w.

PROBLEMA 6.18 Verificar que la función del sistema H(w) definida por (6.90), es

exactamente la misma función del sistema H(jw) definida por (6.26).

Solución : si f, (t) - e'`"0t, entonces de (5.21), se tiene

Ft (m) .`f ^ft (t)i = f ^ ej A^'^ 2 n S( - t"o)• [5.211

De donde,

F; (co) H (co) = 2 n S (e) - w,) H (co) - 2n H (co,) S (co - o')' (6.94)

en razón de la propiedad (2.74), de la función b. Entonces , por (6.93), se tiene

fo(t)-L i el`-'1 =1 £

2,7 H(mu)fi (co- o.) elmt do

= H(too ) J ^ (S(t„- m,) e'me' dc"

- H (w,) et"'t. (6.95)


Dado que (6.95 ) se cumple para cualquier valor de wa, se puede cambiar w0 por w y seobtiene

f,, (t) - L 1 ej°'t} - H (<u) e"°' (6.96)


fo (() - L l e" "l - H(j(.,) ejait [6.261

Comparando (6.96) y (6.26), se concluye que

H(w) - H(cu).

De hecho , en la definición de la transformada de Fourier de f(t), se tiene

F(w)=.`f [f(t)1=fue f(t) e -¡`o' dt [4.151

la variable w siempre aparece con¡, y por consiguiente, la integral se puede expresar comofunción de jw. De este modo, se puede expresar la definición (4.15) como

F (jw) =1 [ f ( t)] - f7 f (t) e -J<" de,

y, en consecuencia,

t(t) = J-' [FQt^)) ° 2n f - F(iw) error do,.

Por consiguiente , F(w) y F(jw) representan la misma función J [ f(t)). La distinción essólo cuestión de notación . En el resto de este libro F(w) y F( jw) se utilizaránindistintamente . De este modo , la relación (6.92) se puede expresar también como

Fo (jw) - F¡(jw) H(¡w). (6.97)Por (6.92) ó (6.97), se tiene

H (jw) = F° Ow) [ fa ( t)](6.98)

F, (jw) J1 t, (t)1La ecuación (6.98) indica que la función del sistema H(jw) también es el cuociente entrela transformada de la respuesta y la transformada de la fuente.

PROBLEMA 6.19 Hallar la respuesta al impulso unitario, del circuito RC que se muestraen la figura 6.11(a).

Solución : la función del sistema H(jw), obtenida en el resultado (6.67) del problema6.11, está dada por

1

H (j(u)j(DC 1

R 1 1 4 jwRCRC jo) - 1

jo, RC

Por consiguiente, según el resultado del problema 4.11, se tiene

h (t)= .`f [H(j(,)1 - 1 `f-`RC

1 1

(6.99)

1 - tRcRC e u(t). (6.100)

^i (U ^C va(t)

(a )

RCe-r/RC

RC

(b)

Figura 6.11 (a) El circuito RC del

problema 6.19. (b) Larespuesta al impulso unitario.

La respuesta h(t) al impulso unitario está trazada en la figura 6. 11(b).

PROBLEMA 6.20 Una fuente de voltaje vi (t) = e-t u (t) se aplica al circuito RC de lafigura 6.11 (a); hallar la respuesta , el voltaje vo (t), si R = 1/252 y C = 1 f.


Solución : sustituyendo R=1/2S2yC=1 f en (6. 100) se obtiene

h(t)=2e 2'u(t). (6.101)

Por tanto, según (6.86), se tiene

vo (t) - vi (t) * h (t)

_ i(:) h( t - T) d T

I e Tu(T)2é ' (t -T)u(t-T)dT

=2e 21£eTu(-,)u(t-T)dT.

Dado que

u(T)u(t- T)=

{0 para T < 0, T > t

1 para 0 < T < t,

se tiene

vo(t) = (2 é 21 ' eT dT) u(t)0

2é 2t(e'-1)u(t)

= 2 (e-' - e 2 t) u (t). (6.102)

U expresión u (t) en el resultado (6.102) indica que no hay respuesta debida a la fuente,

antes de que ésta se aplique.

PROBLEMA 6.21 Hallar la respuesta del circuito RC de la figura 6.1 !(a), al escalón

unitario u (t), por convolución.


h(t)= 1 e' R C u0)RC

Por tanto , según (6.86), se obtiene

vo(t)=vi( t)*h(t)

vi(T)h(t-T)dT

_ £ u(T) 1 e (t-T)/RC u(t dTRC T)

e (t-T)/RC dT] u(t)

et/RC

CJp

eT/RC dT)u(t)

(1 - é t/RC ) u(t). (6.103)


6.7b Sistema causal

Un sistema físico pasivo tiene la propiedad de que;nces la respuesta también es cero para t < t0; es decir

t);0 para t<to,

137

Un sistema que satisface (6.104) y (6.105) se llama sistema causal. Unafuncicdenominará causal si su valores cero para t < 0;es decir, f(t) = 0 para t < 0.demostrar que todos los sistemas físicamente realizables son causales.

PROBLEMA 6.22 Demostrar que la respuesta fo(t) de un sistema lineal causal, a

cualquier fuente f¡ (t), está dada por

fo(t)=^ f,(T)h(t-T)dT (6.106)

^^ f;(t-T)h(T)dT. (6.107)0

Solución : de (6.104) y (6.105) se sigue que h(t), la respuesta al impulso unitario,es causal; es decir,

h (t) = 0 para t

Esto significa que

y

(6.108)

h(-u)-0 para- < 0 (6.109)

h(t-T)-0 para t -T<0 6 - T>t. (6.110)

Si se aplica (6.110), se tiene que el integrando en la ecuación (6.86) es cero en el intervaloz = t a z - °°. De (6.86) se tiene , entonces,

to ([) -- £ 1, (T) h (t - T) dT

j fr(T)h(t-T)dT.

Análogamente, si se aplica (6.109) se tiene que el integrando en (6.87) es cero en el

intervalo z = - °° a z = 0. Por (6.87) se tiene, entonces,

fo(t)=£ f, (t-i)h(;)dT

Jof¡(t - T) h(T) dT.

PROBLEMA 6.23 Si la función de la fuente f,(t) es causal, es decir, si la fuente fi(t) seaplica en t = 0, demostrar que la respuesta fo(t) del sistema lineal causal es

f0(t)= ti(h(t-T)dT. (6.111)


Solución: Si fi(T) = 0 para c <0, entonces el límite inferior de la integral que apareceen la ecuación (6.106), se puede cambiar a cero, pues en el intervalo T = - oc a y = 0,el integrando es cero. De este modo,

fo (t) £ f; (T) h (t - T) dT = f; (T) h (t - T) dT.

6.8

ite

PROBLEMA Cunitario, se pu

alón unitariolu(t)1= a(l)

(-) -a(t).(co) la respuel

(T3

puesto que fi(t) = u (t) y fo (t) = a(t), se sigue de (6.87) que

a(t) _

Dado que

f u (t - T) h (T) dT.

0 para T > tu (t - T) _

1 para T < t,

se tiene

a(t)=f h(-,) du.

Haciendo t = o, se obtiene

a(-) = a ( t)] =meo = J h(T) d - ,

a(-) - £ h (T) é iwTdTlr^-o = H(w)!m_o = H(0).

RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UNESCALON UNITARIO - INTEGRAL DESUPERPOSICION

Las ecuaciones (6.86) y (6.87) expresan la respuesta de unde la respuesta al impulso unitario , En algunos casos tambiénrespuesta en términos de la respuesta' del sistemaal escalón

(6.112)

.113)

o, Si e

(6.116)


Puesto que h (g) = 0 para t < 0, la ecuación (6.113), para un sistema causal , se convierte en

ta(t) _ ^ h(T) dT.

0

PROBLEMA 6.25 Utilizando (6.115), resolver de nuevo el problema 6.21.


h(t)=RC e t/RCu(t)• [6.100]


vo(t) = a(t) = h (T) dT 1 T/RC dT0 0 ME

1T/ac dTl u(t)

RC

_ (1 - "/RC) u(t),

lo cual es exactamente el mismo resultado de (6.103).

PROBLEMA 626 Demostrar que la transformada de Fourier de a(t) e

donde H(w) es la unción del si

Solución : por (5 ,35), se tiene

3 [fr (t)] = 3 [u(t)] = 73 (w) +Jw

Si ahora .`f [ fo(t)] = °f [a(t)] A (co), entonces , por (6.92), se tiene

A(w)= ^n5(w)+ H(w)Jw

=n5(w)H(w)+1H(w)/w

n H (0) S (W) + I H (w),!w

en razón de (2.74), una propiedad de la función S.

Otra forma de solución : puesto que según (6.113), se tiene

a(t) = f^ h(T) dT,

del resultado (5.55), del problema 5.12, se sigue que

A(w)H(w)+nH(0)5(w).jw

PROBLEMA 8.27 Sí a(t) es la respuesta al escalón unitario de un sistenuruncion es n(w), demostrar que la respuesta fo(r) del sistema, a cualquier fi

dada por

[5.35]


f;(r)a(r-T)dT, (6,118)

So 1 u ci ón : cualquier función de entrada fi(t) se puede expresar en la forma

donde f ; (T)= dit(r)/dT.

f, (t) = f; ( ^) J l i, (T) dT

puesto que

f,' (T ) u (t - T) d1 (6.119)

1 para t > Y.

t,(t)

(o (t) = I^ f, (r) a(t - i) di. (6.121)

Figura 6.t 2 La función de entrada fi (t), Como fi(t) tiene una discontinuidad de valor f i(0 +) en t = 0, se tiene, entonces, según el

dei problema 6.27. resultado (2.94) del problema 2.28, que

f, (t) = f,(0_) h(r) (6.122)

donde fi. (t) = fi' (t)u (t), es decir, la derivada de f (t), para t > 0. Sustituyendo (6.122)

en (6.121), se obtiene

fa(t) = ff(0+)5(T)+ f;(7)ti (T)] a(t-T)dr

= f,(0+) f S( T) a(t - i) di f f; (T) a(t - T.) dio+

Entonces , por (6.28) y (6.112), se tiene

LIKI KH (0) y L1u (t)=a(t)L1u (t-T)(=a(t- :).

De este modo,

fa (t) L1f,(t)1=L1f(-^)l+ f f,(T)Lu(t -r)Idf

f(-°°)A(0)+ £ f, (T)(t -T)di.

PROBLEMA 628 En un sistema lineal y causal, la función de entrada, fi(t) = 0 para

t <©, tiene una discontinuidad de valor f (0 +) en t = 0, y es continua para t> 0, como

se muestra en la figura 6.12. Demostrar que la respuesta fp(t) del sistema, está dada por

la integral de superposición, o integral de Duharnel

(0+)a(t)+^ fí(Y)a(t-T)dT. (6.120)

Solución : como f¡ 0, por (6.119), se tiene

= f; (0 ¿) a (t) + f f i (T) a (t - T) d-

puestopuesto que, a(t -T) = 0, para i > ten el sistema causal.


ecuación (6.120) expresa la respuesta de urespuesta a un escalón unitario.

141

PROBLEMA 6.29 Explicar de qué manera la integral de superposición (6.120), expresa

realmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a lascomponentes en escalón, de la función f (t).

So 1 u ci ó n : una función de entrada fi(t) se puede aproximar por la suma de un grannúmero de escalones infinitesimales, como se muestra en la figura 6.13. Un escalóninfinitesimal localizado en T se puede expresar como

df, (T)

dT

En la figura 6.13 se observa que f (t) se puede expresar como

t, (t)=f, (0 +) u(t)a lim fi (T) AT u(t- T).

T=o

(6.123)

(6.124)

Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario u (t) es a (t), la respuesta debida aun escalón infinitesimal (6.123) está dada por

f; (T) A T a(t - T).

De donde fo(t), la respuesta del sistema a la fuente f (t), estará expresada como la sumacontinua de las respuestas a los componentes escalonados de f (t), es decir

to(t)=f; (0+)a(t)+ lim f¡(T)ATa(t-T)ST-.o

T=o

(6.125)

f, (0+) a(t) + oti' (T) a(t - T) dT.

+

PROBLEMA 6.30 Resolver el problema 6.20 utilizando la integral de superposición,dada en (6.120).

Sólución : respecto a la figura 6 . 14, hacer: vi (t)=e-tu (t). De este modo , se tienev,(0+)=1, ví (t)=-e ` para t>0.

a(t), la respuesta al escalón unitario , se obtiene del resultado (6.103) como

a(t)=(1-e 2e) u(t).

De donde, utilizando (6.120), se obtiene

vo (t) - v, (0 +) a (t) + ^ r v¡ (T) a (t - T) dTo+

=(1 e 20u (t)+ e- (1-e2(t-T)u(t- T)7dT-tO+

=(1-e -21)u(t)- Ij e-TdT - e 2`

feTdTI u(t)

0 o

(1 -e 2t)u(t) +(e t-1)u(t)+e-"(et-1)u(t)

= 2 (e` - e2i) u(t),

lo cual es el resultado (6.102).

ti (t) dfidTT )

4T_t,(T)AT

I1

^

f1(^+)1 i

T T+AT t r

Figura 6.13 La función de entrada f¿(t),aproximada por la suma defunciones escalones.

V, (t)

o

Figura 6.14 La fuente de voltaje delproblema 6.30.

► t


6.9 TRANSMISION SIN DISTORSION

Para que un sistema de transmisión no introduzca distorsión

forma de onda de la entrada, aunque la amplitud de la respuesta puede diferir de la

amplitud de la entrada.

PROBLEMA 6.31 Supongase que la función H(jw) de un sistema lineal, está dada por

en las señales, se requiere que la forma de onda de la respuesta sea una réplica exacta de la

H(joi) - Kéf"to,

donde K y te son constantes positivas. Hallar la respuesta del sistema, fo(t), a la

excitación, f (t).

Solución: sea

[f, (t)] = F; (j(,), f [fo (t)] = Fa (jo).

Según (6.92), se tiene que Fi(jw) y F0 (jw) están relacionadas por

Fa (j0) = F; (jm) H (jo)

K F; (jo,) e iwto

De donde,

fo (t) = f ' [ Fn (jm)i

K

f [F, (jo) ) e ic>to] eir^r da,

K ¡' f0(t-to)J F,(j.)e dw

ti (t)

Figura 6.15 La función de entrada delproblema 6.31 y su réplicaretardada.

En razón de que

F, (joi) etr°t dmf, [F, (jo)] - 2;£

f0 (t) se puede expresar como

(6.126)

(6.127)

fo (t) = K f, (t - t0). (6.128)

La ecuación (6.128) muestra que la respuesta es una réplica retardada de la función de

entrada , con la magnitud de la respuesta alterada por el factor constante K, lo cual

se ilustra en la figura 6.15.

istema que conduce a una transmisión sin distorsión, tiene una amplitud constante y unafase de la respuesta. Del resultado del problema 6,31 se concluye que la función del

H(1-)j efe"

donde II! (jw)1 se conoce como la amplitud de la respuesta del sistema, y O (w) como la

fase lineal , es decir,

donde K¡ y K?, sz

lH U'4] =K"

tu) = cKz

una constante (iindependiente de w),

una función lineal de w,

PROBLEMA 6.32 Hallar h (t), la respuesta al impulso unitario de un sistema de

transmisión sin distorsión.

ll^


Soluci ón: según la definición de la función de un sistema, dada por (6.91), se tiene

h [H (j^)] = 2n ^^ H (jw) elwt dw.

Sustituyendo ahora H(jw), del sistema de transmisión sin distorsión , dada por (6.126),en la anterior expresión , se obtiene

h (t) =1

2n fK e tw to eiw t d

ei0(-ta)dwK 2w

£

K5(t-to)

resultado que se obtiene mediante la identidad (5.6).

PROBLEMA 6.33 La constante de propagación y(w), de, está definida como

Y(10)_ (R+jwL)(G+ wC-,

donde R es la resistencia, L la inductancia en serie, G la conductancen paralelo, por unidad de longitud de la línea. Demostrar que la cclí i tr od d ó ánea no on uzca ist n estrsi dada por

Solución:

(6.130)

baja

si v(x, t) es el voltaje en un punto distante x de la entrada, y en un tiempo

t, entonces para una entrada senusoidal de frecuencia w, el voltaje se puede expresar como

v(x, t) = Re [Vm eiw '-Y(W)=] (6.132)

donde V. es la amplitud compleja del voltaje a la entrada y y(w) es la constante depropagación.

Entonces, el voltaje de entrada está dado por v)(t) = v(0, t), y el voltaje de salida porvo(t) = v(1, t) donde 1 es la longitud de la línea de transmisión. De este modo, mediantenotación fasorial, se tiene

vt (t) = Re [Vm el Wt]

y

v.(t)= Re [V.eimt- Y( ú)1]= Re[Vme -Y(m)l eirut].

De donde , la función del sistema H(jw) para la línea de transmisión está dada por

V e-Y(")t

m

Si y (w) _ (R + jw L) (G + jw C) = a (w) + j R (w), entonces

H(jw)=^ Y(w)l=-[a(w)+jp(w)]1

_ e- a(w)1 e-iP(w)1

(6.133)

_ ^H(Ím)^eie(m), (6.134)


donde

[H(jw)]=e afwx 0(w)=-0 (u)1.

Según las condiciones para transmisión sin distorsión, dadas por (6.129), se concluye que

a(w) debe ser constante e independiente de co, y 3(w) debe ser una función lineal de w;

es decir

cc(w)=K„ K, w.

Entonces , y(w) se puede expresar como

y (w) _ (R + jw L) (G + jw C)

RG (1 j<<,RL) (1 1

Q«W) ; j P (w)

K, + jK,(o.

Es obvio que la ecuación (6.135) se cumple si

L C

R G

Entonces, la constante de propagación está dada por

RG 1^L2 RG+ wL C- a w+ wY(W) _ R j R /3( )•

De donde,

y(w)= RG=K,,J3(w)=wLj/=wL C=w LC-uK,.R L

pul

De este modo, cuando la condición (6.131) se cumple, se tiene la línea sin distorsión.

Entrada

((0

1Espectro de entrada

F, (w)

Sistema

H (jw)

Salida1,(t)

Espectro de salidaF,(o»

Figura 6.16 Ilustración de la relación (6.97).

sta, F0(j á

de la función di H(jw), segun

)- F,(jw H(i

(6.135)

a de la

j<.», por

[6.97Esto se ilustra en la figura 6.16.

Se observa que H(jw) actúa como una función ponderadora de las componentes dediferente frecuencia en la entrada. En este sentido, la relación (6.97) indica la característicade filtro del sistema lineal. Si la característica ponderadora o característica de filtro es elinterés principal, entonces generalmente se hace referencia al sistema como al .filo.

El llamado filtro ideal para frecuencias bajas se define como un sistema para el cualla función del sistema, H(jw), está dada por

para kk1 < w,(6.136)

para

de a w. se le conoce co de cort

PROBLEMA 6.34 Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario, de un filtro ideal para

frecuencias bajas y comentar el resultado.

6.10 FILTROS IDEALES

Ición (6.97) muestra que 1 tro de frecdo con el espectro de frecuencia de la fue


Soluci ón: la figura 6.17(a) muestra las características de un filtro ideal parafrecuencias bajas. Según (6.91), la respuesta al impulso unitario, h(t), se obtiene por

h (t) = F' [H Ow)j

1H(jw)eiw`dm

2n

1 1J el w(2r, wc

f0) do

1 ci w(t- t0)

n (t - t7) 2j-w

wE sen w, (t - t0)(6.137)

P w, (t - t0)

El resultado (6.137) está dibujado en la figura 6.17(b), de la cual se sacan las siguientesconclusiones:

(1) La entrada aplicada es distorsionada por el sistema, debido al hecho de que elfiltro transmite sólo una limitada banda de frecuencias.

(2) El valor pico de la respuesta wc/n es proporcional a la frecuencia de corte w,El ancho del pulso principal es 2n/w,; se puede hacer referencia a esta cantidad, comola duración efectiva del pulso de salida, Td. Se observa que cuando wr > cc (es decir,cuando el filtro permite el paso de todas las frecuencias), Td -3 0, y el pico de larespuesta en otros términos, la respuesta se aproxima a un impulso, tal comodebe ser.

(3) También se observa que la respuesta no es cero antes de t = 0, es decir, antes

de que se aplique la entrada. Esta es la característica de un sistema físicamente no

realizable. Los filtros ideales no son físicamente realizables, y por consiguiente, no sonnecesariamente sistemas causales.

H (iw)I h (t)

1

wo w

(b)

Figura 6.17 (a) Características de frecuencia de un filtro ideal para frecuencias bajas.( b) La respuesta al impulso unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas.

PROBLEMA 6.35 (a ) Evaluar la función seno-integral. (b) Hallar a(t), la respuesta alescalón unitario de un filtro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado.

Solución : (a) dado que Sa x sen x= x es una función par, entonces

Si (-y) - - Si (Y).

146

Según la definición, cuando y = 0, entonces

Si (0) - 0.

Dado que

se tiene

Figura 6.18 La función seno -integral.

si (-) _ ' y Si (-N)

En la figura 6.18 se muestra una gráfica de Si(y).

Figura 6.19 La respuesta al escalónunitario de un filtro idealpara frecuencias bajas.

(b) A partir de (6.113), a(t) la respuesta al escalón unitario, se puede obtener de

h(t), la respuesta al impulso unitario; es decir,

sen x sen xdx 2

°dx -n,

x x

a (t)

a (t) J h (T) dT

1 ¡^ sen, or(T-t,)

J (--t0)


16.113 1

dT. (6.138)

Cambiando la variable WC (T - t°) por x, en la integral (6.138), se obtiene

1 (-) C (t- t3 ) sen x 1 ° sen x 1 Q1^ t`-t^1 sen xa (t) - z dx - ,^,^. x dx - dx17

1 sen x 1 I¡` rtlc tt- r0t sen x¡ J X dx+ J X

(6.139)

Mediante la función seno integral , la ecuación (6.139) se puede expresar como

a(t) = 2 1 i si[O) ( t - to)

En la figura 6-19 se muestra una gráfica de a(t), la respuesta al escalón unitario.

dx.

(6.140)

il.


En el resultado anterior se observa lo siguiente:

(1) se observa nuevamente la distorsión debida a la banda limitada del filtro;

(2) se observa nuevamente que la respuesta no es cero antes de t = 0;(3) utilizando Si(±oo)=±n/2, se observa que cuando wr - ^,

1 1

2 2

1 12 +2 = 1 para t > t,,

y la respuesta se convierte en u(t - t0), un escalón unitario retardado, tal como debe ser, y

(4) la entrada, un escalón unitario, tiene un súbito ascenso mientras la respuesta

muestra un ascenso gradual.

Si se define el tiempo de ascenso de la respuesta a(t), como al intervalo t, entre 1ínterceciones de 1- e t t t lp ang n e en - a, con as lineas a(t) = 0 y a(m) = 1, entonces, ces evidente según la figura 6.19, se tiene

O

El tiempo de ascenso (o tiempo de subida) t, está dado por la ecuación (6.141) y esinversamente proporcional al ancho de banda del filtro. La ecuación (6.142) indica qu,

Figura 6.20 (a ) El circuito del problema6.36. (b) La forma de ondade la corriente de entrada enel problema 6.36.

(a)

-2 -1 0 1 2

(b)

(ancho de banda) x (tiempo de ascenso) constantf


PROBLEMA 6.36 Hallar el voltaje de salida en estado estacionario, del circuito de lafigura 6.20(a), cuando la corriente de entrada tiene la forma de onda que se muestra en lafigura 6.20(b). Hacer R = 152 y C = 1 f.

Respuesta : v.,(t)= 1 + 2 1 sen ( ni-tan` u)2 n dl n2

1 sen(3nt-tan` 3n). ..^_3 V 1 + 972

PROBLEMA 6.37 Calcular la potencia entregada al circuito del problema 6.36 y losvalores de las raíces cuadráticas medias de ¡(t) y vp(t).

Respuesta: P = 0,2689 vatios, I = 0,707, y V = 0,519.

PROBLEMA 6.38 La corriente de entrada del circuito RLC de la figura 6.21(a), tienela forma de onda que se muestra en la figura 6.21(b). La inductancia es L = 10 mh y elvoltaje de salida es una onda senusoidal de 300 hertz. Si el valor pico en el voltaje

de salida de las otras frecuencias, es menor que 1 /20 del valor pico de la componente de300 hz, hallar los valores de C y de R.

Respuesta: C - 28.2 pf, R = 590 U.

(a)

2

o2

1

60

(b)

Figura 6.21 (a ) El circuito RLC delproblema 6.38. La forma deonda de la corriente de entrada,circuito de la figura 6 .21(a).


R

Figura 6.22 El circuito RL del problema

6.41.

PROBLEMA 6.39 Analizar el movimiento en estado estacionario, del sistema mecánico

que se muestra en la figura 6.10, si la fuerza perturbadora f(t) es una onda sinusoide

rectificada, f(t) =1 A sen wo t(.

2A _ 4A 1 cos 2mot 1 cos 4uotRespuesta: xe

(t) = krr 7t L3 (k - mmo) _ 15 (k - 4 malo) +

PROBLEMA 6.40 Cuando el pulso rectangular fi(t) = u(t) -u(t - 1) se aplica a cierto

sistema lineal, la respuesta es fe(t) = ' tu (t - 2) - u (t - 4)]. Hallar: (a) la función del

sistema H(jw), y (b) la respuesta al impulso unitario, h (t).

Respuesta: (a) H (jm) _ 1 (é i 2 -13-) (b) h(t)= 1 [8(t-2)+S(t-3)].

PROBLEMA 6.41 Hallar la corriente del circuito RL, figura 6.22, debida a un impulso

unitario

Respuesta : h(t)= 1 e (Rht)tu(t).

PROBLEMA 6.42 Una fuente de voltaje vi(t) = 2e-t u (t), se aplica al circuito RL de la

figura 6.22. Hallar la respuesta i (t), donde R = 2 St y L =1 h.

Respuesta: 2 (e' - e-2 t) u (t).

PROBLEMA 6.43 La respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es e-t cos t u (t).

Hallar la respuesta debida al escalón unitario u (t), por convolución.

Respuesta: 1 [e' (sen t - cos t) + 11 u (t).

PROBL EMA 6 .44 Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es h(t) _

t e -t u (t), y la entrada es ft (t) = e -t u (t), hallar el espectro de frecuencia de la salida.

Respuesta: 1/(1 jw)3.

PROBLEMA 6.45 Demostrar que si la función de entrada a un sistema lineal es

diferenciada, entonces la respuesta también es diferenciada.

[Sugerencia: demostrar que fin(t)*h(t)=[f(t)*h(t)]'=fó(t).]

PROBLEMA 6.46 Demostrar que si ;h (t) I dt < - , donde h(t) es la respuesta

al impulso unitario de un sistema lineal, entonces la respuesta del sistema a cualquier

entrada acotada también es acotada.

[Sugerencia: utilizar 1 fo(t)1= 1 f1(t) * h (t) 1 .]

PROBLEMA 6.47 Si H(w) =R (w) + j X(w) es la función del sistema, de un sistema

lineal, demostrar que la respuesta del sistema a la entrada fi(t) = cos wet u (t), se

puede expresar como

f,(t)=R(w)cos ceot+2f CO2 ("') cos mt dm0 - Q p

(X (meo) sen ^o t F 2 w R (w) sen wt dms,u (U2 - (2

0 0



PROBLEMA 6.48 Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal cuya

función es

r e'5° para a, > 0H (w) _

)ll ei5° para w<0.

[Sugerencia : observar que H(w) = cos 0e -1 sen Be sgn w, y utilizar el resultado delproblema 5.33.]

Respuesta : h (t) = cos ©° 3(t) - sen0°

nt

PROBLEMA 6.49 El sistema del problema 6.48 se denomina defasador. Demostrar quela respuesta del sistema del problema 6.48 a cos cut, es cos (w,t - 0 e).

PROBLEMA 6.50 Demostrar que si la señal de entrada a un sistema lineal, cuyafunción H(jw) está definida por

- j para a > 0

H(jw)=-j sgnw=+j para w<0,

es una función real del tiempo, entonces la salida de este sistema también es una función

real del tiempo.

[Sugerencia: utilizar el problema 4.7.]

PROBLEMA 6.51 Hallar la salida th(t) si la entrada m(t) es (a) cos w,t, y (b)

(1/1 + t2 ), para el sistema del problema 6.50, que es un defasador de -17/2 (ó -900)

dado que la función del sistema se puede expresar como

H (jw) _ -j sgn a, _

ele/2

i 1/2

para m > 0

Respuesta : (a) sen a° t, (b) t/(1 - t').

e para w < 0.

PROBLEMA 6.52 Sea un sistema formado por la conexión en cascada de dos defasadoresidénticos, como el defasador del problema 6.51. Demostrar que la salida de este sistema

es - m (t) cuando la entrada es m (t).

PROBLEMA 6.53 La entrada de un filtro ideal para frecuencias bajas, cuya función es

H (ja,) _

es un tren de impulsos

e para '^ <

0 para Iúj > (de,

fi(t)=Tf ( t)ST(t )-TI(t)^ 3(t-nT)

cuya envolvente f(t) tiene un espectro de banda limitada, I F(w) 1 = 0 para I w 1 > w,.

Demostrar que si T< a/wc, entonces la respuesta del filtro es fo(t)= f(t - te):

PROBLEMA 6.54 Hallar h (t), la respuesta al impulso unitario del filtro ideal para

frecuencias altas, cuya función H(jw) es


H(j0,)

[Sugerencia : utilizar el resultado del problema 6.34, y observar que H (jo,) = e

donde H 1( jm) es la función del sistema de un filtro ideal para frecuencias bajas.

para '!^1 <

para m'> m, .

im- Hi(1(d),

Respuesta: h(t)=S(t- t0) -^csenc0c(t -to)

F (0c (t - t0)

PROBLEMA 6.55 Hallar a(t), la respuesta al escalón unitario de un filtro ideal para

frecuencias altas.

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.35.1

Respuesta: a(t)=u(t-t0)sen [^^(t-to)]^.

PROBLEMA 6.56 Un filtro gaussiano es un sistema lineal cuya función es

= e am e_tmto.He

Hallar la respuesta de este filtro a un impulso unitario.

Respuesta: h(t)= 1 e2

PROBLEMA 6.57 Si H(w) =R (w) + 1 X(w) es la función de un sistema lineal y causal,

demostrar que h(t), la respuesta al impulso unitario del sistema, se puede expresar, ya sea

como una función de R (w) o de X(w); es decir,

h(t)= 2 J ^R (u»coswtdo 2 J ^X(ai) sencotdw.

0 0

[Sugerencia : h(t) = 0 para t < 0; de donde h (t) se puede expresar como h (t) = 2he(t) =

2ho(t) para t > 0, donde he(t) y h0(t) son las componentes par e impar de h(t),

respectivamente.]

PROBLEMA 6.58 Demostrar que si H(w) =R(w) + 1 X(w) es la función de un sistema

lineal y causal, entonces, (a) la transformada de Fourier de a(t), la respuesta del sistemaal escalón unitario, está dada por

[a(t)]= uR(0)3(0,)+X(w)

_jR(os)

0, Cd

(b) la respuesta al escalón unitario, a(t), se puede expresar como

a(t)_^^R^o )senwtdco =R(0)+ nJ^Xw) coscotdco.

0 0

7CAPITULO

APLICACIONES EN TEORIADE COMUNICACIONES

7.1 TEORIA DE MUESTREO

El teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempoafirma que si una función del tiempo, f(t), no contiene componentes de frecuenciassuperiores a fM ciclos por segundo, entonces f(t) se puede determinar por completo

mediante sus valores separados por intervalos uniformes menores de 1/(2 fM) segundos.

PROBLEMA 7.1 Probar el teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo.

So 1 uci ón : el teorema del muestreo se puede probar con la ayuda de (4.125),el teorema de convolución en la frecuencia; es decir,

[f^(t) f,(t)] =2n

[F,(w) * F,(w)] [4.125]

donde F1(fa) =f [fr(t)] y F2(w)=f[fz(t)].Como f(t) no tiene componentes frecuenciales superiores a fM ciclos por segundo,

entonces f(t) es una función de banda limitada, como se muestra en la figura 7.1(a),lo cual significa que

F(w)=f[f(t)]-0 para '1wI>wm_2,7 f,M (7.1)[Ver figura 7.1(b)].

Considerar ahora a fs (t), una función muestreada definida por el producto de lafunción f(t) y 6 .(t), que es una función periódica de impulsos unitarios [ ver la figura7.1(c)]:

f s (0 = f (0 a T(t). (7.2)

(0)

sr(f)

T

F. (co)

-0M 0M

(6)

^^p fi-.^o (m) V r..(t)=t(USr(1)

21 TI 1L

(f)

(c)

Figura 7.1 (a) La función de banda limitada f(0. (b) El espectro de f (t). (c) El tren de impulsosunitarios. (d) El espectro del tren de impulsos unitarios. ( e) La función muestreadafs (t). (f ) El espectro de fy, (t).

.p

151

1 52 Análisis de Fourier

Recordando la definición de 5T(t) dada por (2.104), y sus propiedades, se tiene

fs(t)=f(t) ) ' 3(t-nT)

f (t) 6(t - nT)

f (nT) 3(t - nT). (7.3)

[Ver figura 7.1(e).] La ecuación (7.3) muestra que la función fs,(t) es una sucesión de

impulsos localizados a intervalos regulares de T segundos y cuyos valores son iguales a

los de f(t) en los instantes del muestreo [figura 7.1(c)].

Del resultado del problema 5.15, se tiene

f [fiT(t)] wo S(ro( °) = roo > , 6(u -nwa ). [5.66]

De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por (4 . 125), se tiene

:f 1 í (t)] = Fs (u) = 12

[F (ro) * ma 50 (u)]. (7.4)r,

Sustituyendo we = 21r/T, se obtiene

F. (o» = T [F (w) * S^.,o(^)]

1 [F (w) * 5 (w - nwaJT

1

TF(w) * 5(w - nmo). (7.5)

En el capítulo cuarto se demostró que

f(t) * (S (t) = f(t), [4.119]

f (t) * S (t - T) = f (t - T). [4.120]

Por consiguiente , el resultado (7.5) se puede expresar como

Fs(w) = T F(ru - nwo). (7.6)

La ecuación (7.6) muestra que la transformada de Fourier de fs(t), se repite cada we

rad/seg., como se muestra en la figura 7.1(f). Se debe observar que F(w) se repetirá

periódicamente sin solaparse en tanto que w0 > 2wM, ó 2n/T> 2(2n fM); es decir,

- 1

2 fM(7.7)

Por consiguiente, mientras que se tomen muestras de f(t) a intervalos regulares menores

de 1 /(2 fM) segundos, el espectro de Fourier de fs(t) será una réplica periódica de F(w),

y contendrá toda la información acerca de f(t).

Se puede investigar el resultado anterior, utilizando una técnica diferente, la cual,

naturalmente, ha de conducir a las mismas conclusiones. El espectro de Fourier F(w),

de una función de banda limitada f(t), es el que se muestra en la figura 7.1(b).

1 1 i,

Aplicaciones en teoría de comunicaciones 153

Supóngase ahora, que el espectro F(w) es esa porción del espectro periódico F(w)[figura 7.1 (f)] que se encuentra entre - 1 /2we y 1/2we, donde wo = 2n/T y we > 2wM.Como F(w) es una función periódica de w, cuyo período es wo, se puede expandir enuna serie de Fourier, esto es,

F, (-» _ > c, e„-" (7.8)

donde, por definición,

1 s m e in 2do,.cn = J F O (7.9)wo

Como F, (w) - F(w) para - wM < w < WM, y (1/2) wo > wM, entonces la expresión(7.9) se puede expresar como

-j-2T.: i_ocn mo ^ F(<u) c do,. (7.11))

-vM

Ahora bien,

f(t) = [F «U)] - 2n 1 F(w) e»t d 0. (7.11)

Puesto que f(t) es de banda limitada , es decir , F(w) = 0 para l w 1 > wM, entonces laexpresión ( 7.11) se convierte en

f(t) _ ^^ F (w) e9nn dw. (7.12)

Seleccionando como puntos de muestreo los localizados en t=-nT=-n21r/we, por(7.12) se tiene que

f(_nT)-f( n2m n)_„ 21

- Jo

Comparando (7.13) y (7.10), se obtiene

(7.17)

cn - 2,7f _ n2>r T f(-nT)• (7.14)

410 (00

La ecuación (7.14) indica que e, puede encontrarse unívocamente a partir de los valoresde la función , en los puntos de muestreo . Pero conociendo en, se puede hallar F,(w) si seutiliza (7.8), y en consecuencia , también se halla F(w). Si se conoce F(w), se puede hallarf(t) para todos los valores del tiempo mediante la relación (7.11).

Ahora, de la suposición wo > 2wM, se tiene

2,7T >4-1M,

T, 1 .2 fM

Lo cual completa la prueba.

(7.15)

El intervalo máximo de muestreo T = l/(2fM) se denomina a veces intervalo deNyquist.

En la sección anterior se demostró que f(t)se puede reproducir completamenteiartir del conocimiento de las muestras de f(t), a intervalos uniformes. A continuación

ostrará cómo se puede reconstruir f(t) a partir de las muestras.

PROBLEMA 7.2 Considerar una señal de banda limitada f(t) muestreada a la mínimata requerida (2fM muestras por segundo). [Ver la figura 7,2(a•b).j Demostrar que la

(t) se puede expresar como

f(t)

(a)

(b)

(c)

154

t

donde w,yt=2afu y T=l/(2.


Solución : como T=1/(2fyf),entonces w0=2rr/T=4rrfM=2wM. Portanto,(7.8)

se convierte en

Fs (o,)

Por (7. 14), se tiene

jn27C1/2J,M jn Twcne c„ e

cn=Tf(-nT)= n f(-nT).wM


FS(w) f(-nT) ejnT-

w:N

(7.18)

(7.19)

(7.20)

Puesto que FF(w) = F(w) para -wM < w < wM, entonces (7.20) se puede reemplazaren (7.12), de lo cual se obtiene

f(t) 1 [n f(-nT ) ejmTQ,l el-t dm. (7.21)

J LLL2,7 wMFigura 7 .2 (a) La función de banda

limitada f(t). (b) La funciónmuestreada . (c) Reconstrucciónde una forma de onda.

Intercambiando los signos de la integración y de la sumatoria , se tiene

f(t)=n^

^f (-nT) ejm(rnT ) dwl =n^ f(-nT)sen (,M(t +nT)

LJ J_M2 wM wM(t - nT)

f (nT) sen(uM(t - nT)

L WM(t nT)

En la última ecuación , (- n) se reemplazó por n porque todos los valores positivos ynegativos den están incluidos en la sumatoria . Puesto que T= n/wM, la expresión (7.16)se puede expresar también como

f (t)

ultip

(

na sen (wMt - nu)

wM) (Mt - nu

éticamente, la expresión (7.16) indica que cada muestra de la función eda por una función "muestreadora-

7.2(c).

de ondas resul

(t - nT)- nT)

obtener f(t). Esto se ilustra en la

stablecc que si una función< T, entonces su

Aplicaciones en teona de comunicaciones

1 1(t) 1 t/T di - 1 F nr2T f z 2T (T )

transformada de Fourier F(w), se puede determinar unívocamente a partir de sus valoresF(nzr/T), localizados en puntos equidistantes , separados en ir/T. De hecho, F(w) estádada por

PROBLEMA 7.3 Verificar la expresión (7.22).


f(t)=0 para 1t1>T.

F«,)_:flf(t)1

Entonces , en el intervalo , - T < t < T, la función f(t) se puede expandir en una seriede Fourier

1(t) - c, el2rnt/2r = Z einne/T

donde

155

(7.23)

(7.24)

r rc„ = 21T f(t) e_ i2nnt/2J dt - 2T f f(t) é i^Tt/r di. (7.25)

T -T

Puesto que f(t) = 0 para t > T, y t<- T, entonces la ecuación (7.25) se puede expresar

como

Cn =

donde

y

f f (t) e -j°' dt

nr

T

Sustituyendo la expresión (7.26) en la expresión (7.24), se obtiene

f (t) _ Y l Fn r \I eir,Ttir

2T (T l

Ahora bien,

(7.26)

(7.27)

F(tu) - f : 1 (t) e/"t di = f 1(t) c M di, (7.28)

en razón del supuesto (7.23).Sustituyendo (7.27) en (7.28), e intercambiando los signos de sumatoria y de

integración , se obtiene

F(w) t 1 F nnl ei^nt r e ~1w' dtT (T

nI l

T 1F e-iCm-.,n Tit dt

T/ 2T f T

nr sen (.T-nr)

P^TJ wT - nr

De este modo, se completa la prueba del teorema de muestreo en la frecuencia.

(a)

y

f(t) cos wct

A

(b)

-fi-ts'll A,

(c)

F(w)

O wM

(d)

f[cos u rl

n5(wrw5 ) 775(01-mc)

w

t

w

4)

(f)

Figura 7 .3 (a) La señal de banda limitadaf(t) del problema 7.5. (b) Lafunción cos wwc t. (c) La funciónf ol cos w't. (d) El espectro def (t). le) El espectro de cos wct.(f) El espectro de f (t) cos wet.

156

7.2

obtener una trse basa en el siguiente teorenteorema de la modulación) dmultiplicación de una señal f(su espectro en ± ;ac radianes.


MODULACION DE AMPLITUD

a modulación al método de procesar ue. Un tipo de modulación comúnmente utilizado,

tón de la frecuencia (algunas veces denominadoformada de Fourier , El teorema establece que la

una señal senusoidal de frecuencia we translada

PROBLEMA 7.4 Verificar el teorema de translación de la frecuencia.

Solución : supóngase que `f [ f(t)]=F(w). Por (5.22) y (5.23), se tiene

J [cos wct] = 175(w - (") + 175 (w + wc),

it [sen wot] = -j,7,5 (w - wc) t j,-, S (w 4 wc).

Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por

(4.125), se tiene

lf [f(t) cos wot] = 1217

F (w) * [175 (01 - 01c) + 75 (01 4 wc)]

1 F (w) * 5 (w - w,) - 2 F (w) * 5 (w + wc)

2 F(w-w,)+ 1 F(w+wc)2

resultado que se obtiene mediante (4.120). Análogamente , se tiene

.`f[1(t)senwot]= 1 F(w)*[-jn8 (w-(jc) +jn5 (w+wc)]217

2 j F (01 ) * 5 (w - w o) + 2 j F (w ) * S (w + w c)

1 j F 1 j F (u) ) m c)2 2

(7.29)

(7.30)

las ecuaciones (7.29) y (7.30) indican que la multiplicación de una señal f(t), por

una señal senusoidal de frecuencia w, translada su espectro en ±w, radianes . El proceso

de translación de la frecuencia se ilustra en la figura 7.3.

PROBLEMA 7.5 Demostrar que si f(t) es una señal de banda limitada, sin componentes

espectrales por encima de la frecuencia WM, entonces el espectro de la señal f(t) cos wct,

es también de banda limitada.

Solución : como la señal f(t) es una señal de banda limitada, se tiene que

3f[t(t)]=F(w)=0 para wl>

De los resultados (7.29) del problema 7.4, y de la figura 7.3, se sigue que la señal f(t)

cos wct también es de banda limitada, y su espectro es igual a cero fuera de la banda

(w, - wM) a (wc + wM) para w > 0. Se debe observar que este resultado está basado

en la suposición de que w, > wM.

Una señal ordinaria, modulada en amplitud (AM), usualmen

donde m(t) es

`J [m(t)] - M ( r o ) - t j para 1 ' 1 > wm y ] m(t) 1 < 1, para rec


tn la expreston ( /.d 1), a la senusoide cos wat se le denomina portadora , y a la frecuenciafa = wa/2n se le denomina frecuencia portadora . Un ejemplo de la forma de onda de unaseñal modulada en amplitud , se muestra en la figura 7.4. Como Im(t)I < 1, se observaqueK [l +m(t)]>0 para K?0.

PROBLEMA 7.6 Hallar el espectro de frecuencia de una señal modulada en amplitud(7.31).

Soluci ón: mediante la propiedad de superposición y el teorema de tfr i d d 7 9ecuenc a, a en ( .2a ), se tiene que la transformada de Fourier de f

F (w) = yif (t)]IKfl +m{t)] cos ú

=f [K cos co t] + f [K m(t) cos asat]

K nS(w-wa) +K rr3(w 4 :tic

+^ KM (ei.= w,}+2

K M(w 4

donde :t [m (t) ] = M(w).

En la figura 7.5 se observa que el espectro de la frecuencia de una señal moduladaen amplitud, consta de impulsos localizados en la frecuencia portadorawa y del espectrode m(t), centrado alrededor de wa. ia porción del espectro superior ara, se denominabanda lateral sioerior del espectro , y la porción simétrica inferior a wc se denominabanda lateral inferior. Nótese que las bandas laterales son las que contienen la informaciónde la señal modulada.

PROBLEMA 7.7 Hallar el espectro de la señal modulada en amplitud, la cual está dadapor (7.31), si la señal moduladora es una señal senusoidal, esto es

m (t) = mo cos w,,,t, ,,,n, < mc, 0 <m, < 1.

So 1 u ci ó n : la señal de AM, en este caso, está dada por

f (t) - K (1 4 mo cos w,,,t) cos r,,,t. (7.34)

Utilizando identidades trigonométricas , la relación (7.34) se puede expresar también como

f (t) = K cos w,t K m, cos (wm - wC) t + 1 K m, cos (wm + wC) t. (7.35)2 2

De lo cual, mediante (5.22), se tiene

F(w)=.i [f(0]- K n ls(w -wC) +5 +WC)]

+ 2 K ma n [FJ(w - wm + WC) + 8(w + wm - wc)

+ S (") - wm - w^) f ¿(w + wn, - w0)I. (7.36)

El espectro de este ejemplo se muestra en la figura 7.6. En este caso, las bandas lateralesconstan de los impulsos localizados en w = w, ± wm.

PROBLEMA 7.8 Para la señal de AM del problema 7.7, hallar el contenido relativo de

potencia, en la portadora y en las bandas laterales que llevan la información.

S o l u c i ó n : la señal AM del problema 7.7, está dada por

f (t) - K [1 + m, cos w,,,t] cos (ü,t

= K cos w,t K mo cos (wm - w,) t l K m, cos (w,,, + wC) t.2 2

~, vportadora bandas laterales

m(t)

1 +m0

1

-m0

-1-m

(0)

f(t)=[1 +m (t)]cos wCl

1V

► t

'u--------( b)

Figura 7.4 ( a) La señal mensaje de bandalimitada , f(t). (b) La formade onda de una señal moduladaen amplitud.

Mo _

-«M 0 WM

(a)

IF(w)I

-wc_wM -o,-(am

(b)Figura 7.5 (a) El espectro de mti).

(b) El espectro de una señalordinaria modulada enamplitud.


F (w)

z Kma nS (w-wc -wm)

(b)

xnfi (w-u )/ Luego la_potencia en la portadora, P., y la potencia transportada por las bandas laterales,

están dadas por

P<= K', Ps=1K'mó.2 4

° Obsérvese queP5 =K2mó/8, en cada una de las bandas laterales . El porcentaje de

+wm potencia contenida en las bandas laterales es

Figura 7.6 El espectro de la señal AM Ps x 100 =mo

x 100 %. (7.38)del problema 7.7. Pt 2 + mó 2

Por ejemplo, si mb = 1/2, entonces

1

Ps 4 1o sea , cerca del 11%,

P` 2 + 1 9

4m (t)

(a )

f(t)= m(t ) cosw, t

Figura 7.7

función f (t) = m (t) cos Wt.

iM(u)1

En la expresión anterior apar@cen los términos correspondientes a la portadora y a lasbandas laterales . Es obvio que el promedio total de potencia , Pt, entregada por f(t)(referida a una resistencia de 152) está dada por

M2 1+1mo . (7.37)2 8 8 2 2

cuando me = 1, [Ps/Pt]max = 1/3, o sea, cerca del 33%.Se debe recordar que la señal m(t) que contiene la información, da lugar a las bandas

laterales y sólo una fracción de la potencia de f(t), dada por la expresión (7.38), está

contenida en esas bandas laterales. La potencia contenida en la portadora representa

un desperdicio

Una señal de AM con doble banda latera! y portadora suprimi* (DB:

donde m(t) es una señal deuna senusoidal m(t).

banda

#(t) -m(t) c

itada, antes. La1 a7 7 mues

7.39

PROBLEMA 7.9 Hallar el espectro de una señal de AM (DBLPS) dada por la

ecuación (7.39).

Solución : si f [m(t)1=M(w), entonces, se tiene

F(w)=f[f [m (t) cos w,tj - 2 [M(w-wc) +M(w + wa)I, (7.40)

(a) La señal senusoide de resultado que se obtiene aplicando (7.29), el teorema de translación en la frecuencia.

banda limitada m (t). (b) La El espectro de una señal DBLPS se muestra en la figura 7.8.

-w<

,iF(w)1

0

(b)

wc-wM

Figura 7.8 (a) El espectro de m (t). (b) El espectro de la señal DBLPS.

ocw

El proceso de separar la señal moduladora de la señal modulada se denordentodulaeion o detección.


PROBLEMA 7.10 Demostrar que el espectro de la señal modulada puede ser transladadoa su posición original, si se multiplica la señal modulada por cos w,t, en el extremoreceptor.

Soluci ón: sea la señal modulada la expresada por

f(t) =m(t) cos w.t. (7.41)Entonces, como se muestra en la figura 7.9(a), en el receptor se multiplica la señal recibida,f(t), por cos w,t para obtener, mediante el uso de una identidad trigonométrica, el

siguiente resultado:f(t) cos wrt =m(t) cos' w,t

= m(t) 1 (1=cos 2wct)

m (t) + 1 m (t) cos 2 u t.

Ahora bien, si ff I m(t)] =M(w) y M(w) = 0 para I w 1 > wM, entonces , se tiene

f [f (t) cos w'tl = `f [m (t) cos' wat]

= f ^^ m (t)] + 12 m (t) cos 2

1 1 1

m(t) Cos'wct

ot]

=2- M(w)+4M (w-2wc) J 4M(w+2wc (7.43)

El espectro de f(t) cos w,t = m (t) cos2w,t , se muestra en la figura 7.9(c). Del espectroque se muestra en la figura 7.9(b), se concluye que la señal original m (t) se puede recuperarmediante un filtro para bajas frecuencias , que permita el paso del espectro hasta lafrecuencia wM. El proceso de demodulación se muestra en el diagrama de bloques de lafigura 7.9(a).

CO 5w,t

t(t)

=m(t) cosw0t

multiplicador

(a)

F (w)

MiM

wc 0 / w^

(b)

w_2w, 0 2wc

(c)

Figura 7.9 ( al El sistema de demodulación . ( b) El espectro de la señal modulada f (t).(e) El espectro de la señal f (t) cos wct.

PROBLEMA 7.11 Demostrar que la demodulación también se puede lograr multiplicandola señal modulada f(t)=m(t) cos w,t, por cualquier señal periódica de frecuencia co,

Solución : si p(t) es una señal periódica de frecuencia w, y de la forma

(7.42)

filtro para bajas

frecuencias

ff[f (f)eos wc t]

m (t)

MM^

^^^ 4 M0 ^^ . w

p(t)= c„eta^` (7.44)


entonces, según el resultado (5.57), su transformada de Fourier se puede expresar como

5[P(t)1 2nz

c„ 3(w -nw,).

Ahora bien, según (7.40), se tiene

[t (t)] =2 M

(,,, - w^) + 2 M (w +

(7.45)

De donde, de acuerdo con (4. 125), la transformada de Fourier de f(t), p(t), está dada por

r I[(t)P (t)I=u[M (w-wc ) + M(w+ w' )I* c„3(w-nmc)

= r, „ W (w - o) + M(w + w0)] * FS(w - n(d0)

_ c, MM[w - (n + 1) w,] + M[w - (n - 1) ),]1 (7.46)

mediante la relación (4.121).

Es obvio que este espectro contiene el término M(w), el espectro de m (t), el cual sepuede recuperar mediante un filtro para bajas frecuencias , que permita el paso de

frecuencias hasta la frecuencia wM.

7.3 MODULACION ANGULAR

En la modulación de amplitud, la amplitud de la portadordulada por la señal m(r), la cual contiene la información, y por consiguiente, laormación transportada está contenida en la variación de amplitud de la portadora.

todulación de amplitud, sin embargo, no es el único medio de modular una portadora

oidal. También es posible modular , ya sea la frecuencia o la fase de la portadora, de

do con la señal que contiene la información.

I (t) - A cos (w.t + rp (t)7

te es una señal modulada en ángulo.e tiene

le denomina tiSí se tiene

De la señal

d,(t)-k,,m(t)

>nstante, entonces, de la señal modulada ent

IpM(t) A cos [rv,t + kP m(t)]

señal modulada en fase (PM) cuya señal moc

_ikPm

ión de la

=A

•mez

Sal PP

(7.49

(T) dT 1 (7.50)

(7A7)

(7.48)

uladora es m(t), y a la

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

es una s neia modulada (F

se le denomina índice de modulación de la señal F.

define ahoraángulo como

LEMA 7.12 Der

respectivamente.

que w;, para las señales P

tpu(t)

161

dTj (7.51)

dt m (t

+ktm(t),

FM está dada por

Solución : en el caso de una señal PM, se tiene

wi(t) = d 0(t) = d [w,t + kp m (t)] i kp m"(t),

En el caso de una señal FM, se tiene

rm,(t)= d 0(t)= dt wat +k, f

tdT1 = w , i k, m(t).

(7.54)

(7.56

Las ecuaciones (7.55) y (7.56) indican que en modulación de fase la frecuencia,instantánea varía linealmente con la derivada de la señal moduladora, mientras que en

cuencia modulada , la frecuencia instantánea varía directamente con la señal moduladora.

PROBLEMA7 13 Si la señal moduladora m(t) es senusoidal, es decir, sise tiene

m(t) ' mo cos wmt, .. < G

'ar que las señales PM y FM tendrán las formas dad

pM(t) = A cos (w,t + ¢,p, cos

respectivamente, donde ¢m es el índice de modulación de

7.59

Solución : sim(t)=me cos wmt,entonces por(7.45),se tiene

fPM(t) = A cos (w,t + kp m, cos wmt).

Por la relación (7.49), se tiene que om = kpme, porque la magnitud máxima de m (t) es me;de esta manera, se tiene

fpM(t) = A cos (w,t + ¢m cos wmt), ¢m = kp mo.

9(t) = w.t + 0(t),

la señal modulada en ángulo dada por (7.47), se puede expresar como

7,52

f(t) = A cos 0(t). (7.53

la frecuencia angular instantánea , w, , de la señal (7.53) modulada en


Dado que para la señal FM, ó (t) - k, f m (t) dt -k;m°

sen mR, t,wm

fFM(t) - A cos w,t + ktm° sen wmtwm

= A cos (w,t + Ám sen wmt, 'm -k,mq

wm

PROBLEMA 7.14 Demostrar que en una señal FM de modulación senusoidal, el índice

de modulación se puede definir como

ómAl

60)(7 .f

donde f. es la frecuencia de la señal moduladora , y á f es la desviación frecuencialdefinida como

\f= 1 (wr-")2;,

So 1 uci ón :, según la fórmula (7.56), para una señal FM se tiene

w; = w, + k; m (t) - w, , k,m, cos wmt.

De donde,w, - wn = km3rcos wmt. (7.61)

En la relación (7.61) se observa que

(<°r - ^c)max = krmo = 2n \f,

es decir, la máxima diferencia entre w, y w, se denomina desviación de frecuencia angularde la señal FM. Por consiguiente,

komo

W,

2,7 1f f

2;r fm fm

No existe un teorema general sencillo, que relacione el espectro de cos [wrt + ¢(t)]con el espectro de $(t), y el análisis espectral de una señal general modulada en ángulo es,por consiguiente, bastante complicado. En consecuencia, a continuación se consideraráúnicamente el caso especial de modulación por una señal senusoidal.

PROBLEMA 7.15 Hallar el espectro de una señal FM, en la cual la modulación se hace

por una señal senusoidal


f(t) A cos (w,t + óm son w,,,t)

A cos wnt cos ('Am sen wmt) - A sen wat sen (¢m sen wa,t). (7.62)

En la expresión (7.62), los términos

cos (óm sen wmt) y sen ('Am sen wmt)

son funciones periódicas, cuyo período es T= 21r1w.. Por consiguiente, estos términos

se pueden expandir en serie de Fourier. Se debe observar quei$m sen,.mre = cos ('Am sen (dmt) 4 j sen ('Am sen (jmt). (7.63)

Considérese, por tanto, la expansión en serie de Fourier de (7.63), es decir,

ei,^m sen vmr = ^1 c eÍnt.,2,r(7.64)

Aplicaciones en teona de comunicaciones 163

dondeT%2

c _ 1 J e(i^^ senmm^^e(-tn^`"') dtT (7.65)

-T/2

y T=2n/wm. De esta manera , se tiene

T, 2u!m el ('m sen amr-n ^m `)

di. (7.66)2,7 -T/2

Al hacer, wmt= x, se obtiene

en - 1 eM-,nsen x-nx) dx. (7.67)

2 7 J r

Los coeficientes de Fourier dados por la ecuación (7.67), son las funciones de Bessel deprimera clase. De la función generadora de las funciones de Bessel, se tiene

Jn(z) x', (7.68)

donde ,J(z) es la función de Bessel de primera clase , orden n y argumento z.Al hacer, x = eJ- ' en la ecuación (7.68), se obtiene

z(x' -1) 1 rx - 11

',1

2 x Z 2 x - 2 i

De donde,

ej= sen-t

(el,t-ej,) t)= jz sen (,t. (7.69)

Jn(z)ejnx, (7.70)

Comparando las ecuaciones (7-70) y (7.64) resulta

l,m sen ,-te Z e ein,',,,

t = Z Jn(¢m) ej"

De esta manera , por (7.67), se obtiene

en =J„(óm) 21nr sen x-„x)

dx.

(7.71)

(7.72)

Las propiedades de las funciones de Bessel y las curvas que ilustran su comportamiento,se encuentran en muchos libros de matemáticas . Por (7.72), se obtiene

J-n(¢m) ° (-1)° Jn(ó,n). (7.73)Ahora bien, por (7.71), se obtiene

el,óm sen=mt _Jn( in02mtsfim) e

Jo(Y5m) +J,(55m) (cos u,mt +j sen u)mt)

J_,(4m) (cos w,nt - j sen u,mt)

J2('^m) (cos 2 0)m t 4 j sen 2 (,)mt)

+ J-2(C1) (cos 2 ,n,t - j sen 2 ),t)

Si se igualan las partes real e imaginaria y se utiliza la relación (7.73), se obtiene

cos (dm sen (jmt) = Jo(Cm) + 2J,(q5m) cos 2n) ,t 2J,(dm) cos 4(,,nt +

=Jo(¢m) T 2 J2,(15,) cos 2n Wmt,

(7.74)

(7.75)n _1


sen (c5m sen wmt) = 2J,(O.) sen wmt 4 2 J,Om) sen 3 wmt + • •

= 2 J2n +1(4m) sen (2n - 1) wmt. (7.76)

n=0

Las ecuaciones (7.75) y (7.76) son las expansiones en serie de Fourier de los términos

cos (0m sen wm t), y sen (0m sen wm t).

U distribución espectral de la señal FM se puede obtener ahora, por sustitución de

(7.75) y (7.76) en la ecuación (7.62), de esta manera,

f (t) = A cos (wct + rb, sen wmt)

= A cos mot iJo('m) 1 2 [J2(¢m) cos 2 wmt + J4(9m) cos 4 wmt + ... ]i-2A senw8t[ 3,(cm)son wmt+J,(d'm)son 3wmt+ ••]• (7.77)

Mediante las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia

cosAcos B= 1 -[cos (A-B)+ cos (A+B)],2

sen A sen B = 1 [cos (A - B) - cos (A + B)],

se obtiene

f (t) = A {Jo(Y'm) cos wct - J,(1, ) [cos (wc - film) t - cos (wc + wm) t]

+ J2(¢1) [cos (w0 - 2 wm)t + cos (w, + 2 wm) t]

J,(c5m)[cos(wc-3mm)t-cos(w,+3wm)t]

mm _+ • • - i. (7.78)

Figura 7.10 El espectro de la señal FM La ecuación (7.78) muestra que la señal FM, representada por f(t), consta de una

dada por la ecuación 7.78. portadora y un número infinito de bandas laterales, separadas en las frecuencias

(we + wm ), (wc + 2wm ), (wc + 3wm), etc., como se muestra en la figura 7.10. Las

amplitudes de los términos de la portadora y de las bandas laterales, dependen de

¢m, el índice de modulación; esta dependencia está expresada por las funciones

apropiadas de Bessel.

7.4 MODULACION DE PULSOS

En un sistema de modulación de pulsos, la portadora constas deuna sucesión periódica de pulsos. Tanto la amplitud, como la duración o la posición del

pulso, se pueden modular de acuerdo con la señal de entrada. La base teórica de la técnica

de modulación de pulsos es la teoría de muestreo presentada en la sección 7.1. En un

sistema de modulación de pulsos, se tiene un tren de pulsos no modulados que consta depulsos idénticos, separados uniformemente, que se suceden a una rata de muestreo,apropiada para la señal moduladora (es decir, a una rata superior al doble de la frecuenci,de la componente de más alta frecuencia de la señal moduladora).

Fn esta sección se considerará únicamente el caso de modulación deamoli

Supóngase que m (t) es una señal de banda limitada, con M(w) = Lt jm(t)l ^ O para

(MAp). una señal MAP se define como sigue:

1w 1 > t°M (= 21r fue), y que g(t) es un tren de pulsos periódicos con período T; entonces,el producto

una señal MAP si se cumple que T S 1/(2 fM).

PROBLEMA 7.16 Hallar el espectro de la señal MAP (7.79) si g(t) es un tren de pulsos

rectangulares periódicos, el ancho del pulso es d segundos, y se repiten cada T= 1/(2 fM)

segundos.

1 1 Ip


Solución: sea

.:[m(t)] =M(w),

M(w)=0 para l w l > wM,

De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia , dado por (4 .125), latransformada de Fourier de f(t) = m(t) g(t) es

F(w)[f(t)] = ,{[m (t)g(t)]

1

donde G(w) _ 5: [g(t)].

La función G(w) se puede obtener de (5.77), si se hace

1 n 2rrT y wp = 2

(2 fm) wM T

Entonces,

(7.80)

(7.81)

G (o)=2wMd Sa (n wMd) 3(w -2nwM). (7.82)


F(w)= 2WMdM (w)* > Sa(n wMd ) 8(w-2nM)

2wMd Sa(nwMd) M(w) *5(w-2nwM)

=2wMd Sa(nwMd) M(w-2nwM),

mediante la relación (4.120).Si m(t) es una señal de banda limitada, como se muestra en la figura 7.11(a),

entonces el espectro de amplitud de la señal MAP es el que ilustra la figura 7.11(f).

1 problema 7.16 se utiliza como g(t) un tren de pulaespectral del ejemplo siguiente muestra que la forma de onda del p

(7.83)

PROBLEMA 7.17 Hallar el espectro de la señal MAP, dado por la ecuación (7.79), si

g(t) es un tren de pulsos periódicos de forma de onda arbitraria, que se repiten cadaT< 11(2 fM) segundos.

So 1 u ci ó n : puesto que g(t) es una función periódica, se puede expandir en una seriede Fourier; de esta manera,

g (t) _ L cne)n^,oe

Entonces , según (7.79), la señal MAP f(t) = m(t) g(t) se puede expresar como

f (t) = m (t) I n^+ ca e/nmot

cn m (t) elnrupr

(7.84)

m(t)

st

(a)

g(t)

amt

(b)

F

nr

-wM wM

► t

o,

(d)

(e)

F (A

M e wM

(f)

Figura 7.11 (a) La señal de banda limitadam (t) del problema 7.16. (b)

Un tren periódico de pulsosrectangulares g (t). (c) La señalMAP Flt) = m (t) g (t). (c) Elespectro de m It). ( e) El espectrodeg (t ). (f) El espectro de la señalMAP F(t).


De esta manera

F(w)= ^[f (t)1 =`f[ c,m( t)e'^^o 1

c„ [m (t) et`r1.

Ahora bien, de acuerdo con la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la

transformada de Fourier, dada por 4.74, si `t [m(t)] =M(w), entonces, se tiene

`.f[m(t)e'°'°`]= M(w-nwo).

De donde,

F(w)= c„M( o-nwo).

Mo

-WM WM

(a)

► w

4.9. P

Figura 7. 12 (a) El espectro de la señal de banda limitada m ( t). (b) El espectro de la señal MAP del problema 7.17.

La figura 7.12(b) ilustra el espectro de amplitud de la señal MAP , el cual consta de pulsos

espaciados periódicamente , cuya amplitud es modificada por los coeficientes de Fourier

de g(t). En la figura 7.12, wo se selecciona de tal manera que T< l/(2 fM).

(b)

iergía será infinito, es decir,

ego es obvio que las funciones de correlación tal como fueron definidas en la sección

7.5 FUNCIONES DE CORRELACION PROMEDIO

(7.85)

(7.86)

w

El concepto de funciones de correlación se presentó en la

casos se consideran ha siguientes funciones de correlación

función de autocorrelación promedio de fi (t), denotada por R, (r), estápor el límite

2.87)

lágamente, la función de correlación promedia de f1(t) y f2 (t), denotada por R,2(r),

definida por el limite

R„ (T) = lira! rxx

4(t) 1,« - T) di. (7

!dicas o de ruido que existan a lo largo del intervalo de

Aplicaciones en teoría de comunicaciones

PROBLEMA 7.18 Pata funciones peri

167

Soluci ón: sean f, (t) y f2(t) dos funciones periódicas con período TI, entonces, se tiene

f,(t) = f,(t + T,), (7.91)

f,(t - T) = f,(t - T + (7.92)

f,(t-T-T,). (7.93)

Por consiguiente, los integrandos en (7.87) y (7.88) son funciones periódicas en la variablet y con período T, . La integral de tal función en cada período es la misma, por tanto, noes importante si las funciones de correlación son promediadas en un intervalo muy grande,T ----* -, o en un intervalo de un período T, .

Luego para funciones periódicas, se tiene que

1 r/2 1 r,/2R „(T) lim - I f,(t) f,(t - T) di = 11(t) 1,(r - T) di,

r m T J-r/2 T, -r,/2

R11(T) - rix T f ' / ' f,(t) f^(t - T) di 12 f,(t) f:(t - T) di.

T/2T, J- r,/2

PROBLEMA 7.19 Demostrar que las funciones de autocorrelación y correlaciónpromedios, de señales periódicas cuyo período es T, , son también funciones periódicas yde igual período.

Solución : por el resultado (7.89), se tiene_ t rr,/2R „(T - T,) = J

T, -r,/2

1 rz

T1 _r,/2

Pero según (7.93), se tiene que

f,(t) f,[t - (T - T,)) di

f,(t)f,(t - T - T,) di.

T,) - 1 r,/2 _T f,(t) f,(t - T) di = R„ (T). (7.94)

T,/2

Análogamente , por (7.90) y (7.93), se tiene

r,2T,) - T I f,(i) í2[e - (T - T,)) di

J-r n1 -r,/2

f,(t) f2(t - T T,) diT, r,/21 r,/2

T, IT ,1 f,(t) fz(t - T ) di = R 1(T)•

= R„ (T)- (7.95)

Las ecuaciones (7.94) y (7.95) muestran que R,, (7) y R 12 (T) son funciones periódicascuyo período es TI.


PROBLEMA 7.20 Hallar la función de autocorrelación promedio de la onda sinusoide

dada por

f (t) = A sen (w,t + (b), m, = T .

Solución : puesto que f(t) es periódica, entonces de (7.89), se tiene

T ?,,(T)/2

,t(T) = lim 1 f (t) f(t - T) dtT_. T --r/2

- 1 T,/2

T, J T,/2

f (t) f(t - T) dt

Ax T,/2

sen (o,,t + 4) sen [o,,(t - T) + 61 dtT,

-T,/2

A2 TI/2J sen (m,r + g5 ) sen (w,t + <b - ^,,T) dt. (7.96)T, T,/2

Utilizando la identidad trigonométrica sen A sen B = 2 [ cos (A - B) - cos (A + B)],

se tieneA2 (T,/2J [cos a,T - cos (2w,t + 20 - m,T)] dt2T, T,/2

A 2 T,/2cos ri,T I dt

2T, J-T,/2

A'_ 2 cos (0J). (7.97)

La ecuación (7.97) muestra que k f f(7) es independiente de la fase 0 de f(t).

PROBLEMA 7.21 Demostrar que si fi(t) y f2(t) son funciones reales y periodicas,

que tienen el mismo período T,, entonces

R,z(T) _ [c+n In",

c2ne (7.98)1

donde w , = 2n/Ti y c,n, c2 n son los coeficientes complejos de Fourier de f, (t)

respectivamente, y c,ñ denota el conjugado complejo de cin.

So 1 ución : en el caso de funciones periódicas, según (7.90) se tiene

1 f¡ T,/2I f,(t) f2(t - T) dt.

1 T,/2

Sean las expansiones en series de Fourier de f, (t) y f2 (t) las dadas por

c,n e

donde

jnm,t

fz(t) ° c2, e

Y f2 (t),

(7.99)

(7.100)

1 T,/2

c,n = - J t,(t) e t°"`t dt, (7.101)T, T,/2


1 ,/

°2n - T f2(t) e in di. (7.102)T,/2

Expresando f2 (t - z) de la ecuación (7.90), en la forma dada en (7.100 ), se obtiene1 T1/2

R12(T) = 7, f,(t) f^(t - T) di

T1/2

1 fT1/2e2n elnml(t-T

T di.T1/2 ^

Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral , se tiene

Rn(T) _ c, e-in",T 1 'Tl/zJ

f '(t) ei., diT, -Ti/2

(7.103)

(7.104)

La integral dentro del paréntesis angular se reconoce, comparando con la expresión(7.101), como el conjugado complejo de c1n. Por tanto,

R,,(T) _ Ic 1n cz,]

Obsérvese que R12(g) también es una función periódica de 7 cuyo período es T1.

PROBLEMA 7.22entonces

Demostrar que si f(t) es una función real y periódica con período T,

Rrr(T) _ (7.105)

donde Co = 2a/T y en son los coeficientes complejos de Fourier de f(t).

Solución : si sehacef1(t)=f2(t)=f(t), y T1= T, entonces, de (7.98) en el problema7.21, se obtiene

Rrr(T ) c„ e le,s e-i^,.,o- _ Cl 12

dado que le _„12 = Ic„12. L L

Obsérvese que la ecuación (7.105) es una expansión en serie de Fourier de R f f(T),y por consiguiente, R f f(7) es una función de 1, periódica y de igual período que el de lafunción f(t). la ecuación (7.105) también muestra que los coeficientes de Fourierde R ff(v), sólo contienen los valores absolutos de los coeficientes de Fourier de f(Y).Por consiguiente, se sigue que todas las funciones periódicas en el tiempo, que tienenlas mismas magnitudes de los coeficientes de Fourier y la misma periodicidad, tienenla misma función de autocorrelación, aun cuando las fases de los coeficientes de Fouriersean diferentes.

7.6 IDENTIFICACION DE SEÑALES MEDIANTECORRELACION

ontinuación se considera el c

qx

por rnid,seada quincuentra

Ni

en la práctruido tiene

Talmente se denomina ruido a cualquier pat oscurecer a encubrir la señal transmitida. L

vi

una senas cuya amplitud varía al azar. Epromedia de cero; es decir,


't(t) y fz(t) se dice q

) = ¡km ( f,(t) t,(t - T) dt

PROBLEMA 7.23Demostrar que si s

) n(t - t) dt = 0 para todo valor d

)

Solución: si s (t) y n (t) no están correlacionadas, entonces, por la relación (7.107),se tiene que

T/2 T/2

lim 1 I s(t) n(t - T) dt lim 1 f s(t) dtl Í lim 1 fT/2/2

n (t) dt = 0T _Tia T

/zT ,- T r r T/Z

en razón de la suposición dada por la relación (7.106).

Sise denota como Rsn (;) ala función de correlación promedio de s (t ) y n (t),

entonces la relación (7.108) se puede expresar como

R,,,(T) = 0 para todo valor de T. (7.109)

Para señales de ruido al azar , cuyo valor promedio es cero, se tiene

lim R,,,,(T) = 0.T-ro

(7.110)

- PROBLEMA 7.24 Demostrar que la tuncion de autocorrelacion promeWO de la suma

de la señal y del mido, es la suma de las funciones individuales de autocorrelación de la

señal y del ruido, respectivamente.

r/z1R„(T) = lim T t (t) f(t - T) dtr

lim J [s(t) a n(t)]ls(t-T)+n(t-T)]dtr a T r/z

= Rsa(T) * R^n(T) + Rsn(T) R^s(T)• (7.111)

Puesto que la señal s (t) y el ruido n (t) no están correlacionadas, se tiene

De esta manera,

Rsn(T) - R,,,(T) - 0.

R«(T) = f?.. (T) + R,,,,(T). (7.112)

PROBLEMA 7.25 Utilizando el resultado (7.112) del problema 7.24, demostrar que la

función de autocorrelación se puede usar para detectar señales.

Solución : sea f (t) la señal recibida, que es la suma de la señal útil s (t) y el ruido n (t).

Ahora bien, si se conoce la naturaleza del ruido, tal como el espectro de potencia que se

estudiará en la sección siguiente, entonces se puede calcular la función de

lución : seaf(t)=s(t)+n(t),en

Sean s (t) una señal útil y n(t) una señal que representa el ruid

) y n (i) no están correlacionadas, entonces


autocorrelación promedio del ruido. Si Rss(z) difiere de R (z) se puede concluir queuna señal útil s (t), existe en la señal recibida f(t), puesto que Rss ( z) es diferente de cero.

La ecuación (7.112) también ofrece un medio de detectar una señal periódica ocultapor el ruido . Puesto que en este caso s (t) es una señal periódica y n (t) es una señal noperiódica, del resultado del problema 7.19 y de la relación (7.110), se sigue que Rss(z)es periódica , mientras que R,, (z) se hace muy pequeña para valores grandes de r. Porconsiguiente , para valores suficientemente grandes de z, Rff(a) será casi igual a R,.,,(z),y R ff(z) mostrará una naturaleza periódica.

PROBLEMA 7.26 Demostrar que la función de autocorrelación entre las señales

transmitida y recibida, es la misma función de autocorrelación entre la señal transmitida

y la señal útil recibida.

Solución : seang(t) y f(t) la señal transmitida y la señal recibida, respectivamente.Entonces, se tiene que

f (t) = s (t) + n (t),

donde s (t) es la señal útil recibida y n (t) es el ruido. Si ahora se correlaciona la señalrecibida f(t) con la señal transmitida, se obtiene

1 T/2

Rre(T) = hm T 1 [s(t)=n(t))g(t-T)dt=Ras(T) R„s(T)• (7.113)T/2

Puesto que n (t) y g (t) no están correlacionadas, es decir, Rng(z) = 0, se tiene que

Rte(T) = Rae(T)• (7.114)

PROBLEMA 7.27 Partiendo del resultado (7.114) del problema (7.25), demostrar quela correlación promedio se puede utilizar para la detección de señales.

So 1 u ci ó n: si la señal recibida f(t) es únicamente ruido, es decir, si s (t) = 0, entoncesla función de correlación promedio Rsg(z) = 0, y por tanto R fg(z) = 0. Por consiguiente,se concluye que si la función de correlación promedio entre la señal transmitida y la señal

recibida no es cero, entonces existe una señal útil en la señal recibida. La ecuación (7.114)

también puede ser utilizada en la detección de una señal periódica contaminada por el

ruido. Puesto que la señal útil s (t) y la señal transmitida g(t) son señales de la misma

frecuencia, se sigue del resultado del problema 7.19, que R5g(a) también es una función

periódica de igual período. Por consiguiente, del resultado (7.114) se concluye que si lafunción de correlación promedio, de la señal recibida f(t) y la señal transmitida g (t), esperiódica, entonces f(t) debe contener una señal periódica.

Se debe observar que en el método de correlación, R fg(g) = Rsg(z), sin ningúntérmino adicional del ruido, tal como Rnn(z), encontrado en la técnica de detección

mediante autocorrelación; por tanto, es posible detectar una señal periódica en la señalrecibida f(t) a cualquier valor de a.

7.7 ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO:SEÑALES AL AZAR

En la sección 4.8, se presentó el concepto de espectro deenergía o densidad de energía de f(t),en esa sección se supuso que el contenido deenergía de f(t) es finito, es decir,

Para tales funciones, la potencia promedio en el intervalo Tque Tse aproxima a infinito; de esta manera se tiene

172

finito de energía. En este caso,


depot

T/2

(1(t)] dt

sano copromedio de f

T/2

(1(1)1' de.-r/2

límitt ext e, la cantidad

1(t) e:1

?alestidad

de la

7.1

se denomina espectro de potencia o aensutaa espectral ae poreneuz runcron j til.Si sólo se especifica la densidad espectral de potencia de la función f(0, no se puede

conocer su forma de onda , porque sólo se conoce el espectro promediado en el tiempo.

Las señales especificadas de esta manera se denominan señales al azar. Las señales al azar

generalmente se describen en términos de sus propiedades estadísticas ; sin embargo, aquí

no se analizarán estas propiedades.Aunque la cantidad dada por la ecuación (7.118) se conoce como la densidad

espectral de potencia de la función f(e), la densidad espectral de potencia (o simplemente

densidad espectral) de la función f(e) se define generalmente como la transformada deFourier de la función de autocorrelación promedio de f (t). De esta manera, se define

P(w) `fIRrr(c)]-^^ e d- u ,

PROBLEMA 7.28de una función f(t),

donde w = 21ro.

5

.trar que la poteda por

Solución : de la relación (7.120), se sigue que

P(w)dw=...

(7.120)

(o valor cuadrático medio)

P(2uv)di

,!-"(0) 27f P(w)do,- P(2Rf) di.

Ahora bien , por (7.87 ), se tiene que

R 1,(T)

Por consiguiente,

limT -bc

1 T/2

1(t) 1(t - T) de.

T _T/2

k"(0) - IimT--

promedio

1 JT/2[1(1)]1 de.

T -T/2

Comparando (7.123) con (7.122), se obtiene

1 T/2

lim - r [7 (0]de =T+m T J T/2

2n ,^^P(w) dio P(2nv) dv.

(7.1

(7.122)

17.871

(7.123)

En relación con los cálcul msiderar

[e) es la e

(7.116)

in contenido


La ecuación (7.121) establece que la potencia promedio total (o valor cuadráticomedio) de una función f(t), está dada por la integral de P(w) a lo largo de todo elintervalo de frecuencia. Por esta razón la cantidad P (w) se denomina espectro de

dpotencia o ensidad espectral de potencia de f(t).

PROBLEMA 7.29 Hallar la densidad espectral de potencia de una función periódica f(t)cuyo período es T.

So 1 uci ón: supóngase que la serie de Fourier de la función f(t), está dada por

oef(t) _ c„ ein oo _ n

T(7.124)

En el problema 7.22 se demostró que la función de autocorrelación promedio def(t) está dada por

Ru(T)° c, l'e'n meo.

Si se toma la transformada de Fourier de Rff(z), se obtiene

P(co)=( Rfr (T )1=c s ^[et^..,oz1

2n c„ ' $(o -noo)

[7.1051

(7.125)

mediante la relación (5.21).Por tanto, P(m) consta de una serie de impulsos localizados en las frecuencias

armónicas de f(t). Cada impulso tiene un valor igual a la potencia contenida en esacomponente frecuencial y es una clara medida de la distribución de potencia en f(t).

PROBLEMA 7.30 Demostrar que la potencia promedio por período en una funciónperiódica f(t), está dada por

Solución : dado que f(t) es periódica, entonces de la ecuación (7.89), se tiene que

1 T/2 T /2

lim [f (t )]' di -_ 1 ¡ , [f (t)1' di,T x T 1

T/2 T, T,/2

donde T, es el período de f(t).

Sustituyendo (7.125) en (7.121) y utilizando la relación (7.127), se obtiene

[f (t)]' di -1

2n

(7.127)

P(o)do= (co-noo)I dm.

Si se intercambia el orden de la sumatoria y de la integral, y se utiliza la propiedad de lafunción b, se obtiene

1 J [f (t)12 di = Ic„^,' f S (co - noo) do = Ic„I'.T./2

La ecuación (7.126) es exactamente el teorema de Parseval para una funcióxpresado en la ecuación (3.85).

174

potencia es una constante (indepe


diente de la frecuencia).

PROBLEMA 7.31 Hallar la función de autocorrelación promedio del ruido blanco.

Soluci ón: según la definición de ruido blanco, se tiene que

P(w)=K.

De la relación (7.120), se sigue que

R(T)= f'[P (w)] = 1 'P(w ) e1`Idw = K 1 mee' Tdw.2R _a 27 ^

Según la identidad (5.4) de la función ó , es decir,

''Tdw 3 (T),2n f'

se tiene.

(7.128)

R (T) = K S (T). (7.129)

Por consiguiente , la función de autocorrelación promedio del ruido blanco resulta ser un

impulso.

PROBLEMA 7.32 La función de autocorrelación promedio de la corriente del ruido

térmico está dada por

donde

R,; (T) = kTGa e xl'l, (7.130)

k = constante de Boltzmann, k = 1,38 x 10 -23 julios/OK,

T = temperatura ambiente en grados Kelvin,

G = conductancia de la resistencia en mhos,

a = número promedio de colisiones de un electrón, en un segundo.

Hallar la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico.

Solución : si se toma la transformada de Fourier de (7.130), se tiene

= kTGa f e-altil e0 T dT

= kTGaf

0

0'w'dT+f

0

e aTe_IwT dT

2kTGa' 2kTG

a' + w'(7.131)

1+-a'

Puesto que a, el número de colisiones por segundo, es del orden de 1012, el factor

1 + w2/a2 está cercano a la unidad para frecuencias inferiores a 1010 hz. Por consiguiente,

para frecuencias inferiores a 1010 hz, la densidad espectral de potencia promedio, para la

corriente del ruido térmico, se puede aproximar por medio de

P (w) = 2kTG. (7.132)


7.8 RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALIDA:CALCULO DEL RUIDO

Las relaciones entre la entrada y la salida estudiadas en elcapítulo sexto, determinan la salida de un sistema lineal de parámetros constantes, cuando

la entrada es una función del tiempo conocida. Dado quedas señales al azar, tal Como la

del ruido, no se pueden expresar como funciones deterministas del tiempo, entonces lastécnicas desarrolladas en el capítulo sexto no se pueden aplicar directamente cuando laentrada es una señal al azar.

En esta sección se estudiará la aplicación de funciones de correlación y densidadesespectrales de potencia, a problemas de análisis de sistemas que involucran señales al azar.PROBLEMA 7 33 Sean x (t) y y (t) las señales al azar de entrada y salida, respectivamente,de un sistema lineal, estable, y de parametros constantes, caracterizado por la función

H(w). Demostrar que las autocorrelaciones promedios de la entrada y de la salida estánrelacionadas por

Ryy(T)= f h(,) Jh(a)R „(T +a-A)dadA, (7.133)

donde h (t) =,'f-1 [H(w)] = respuesta del sistema al impulso unitario

Solución : en la ecuación (6.87) se demostró que la salida y (t) está relacionada con laentrada x (t), por la integral de convolución, es decir,

Y(t)=J^ h(T)x(t(7.134)

Ahora bien , según la relación ( 7.87), se tiene que

1 T/]Ryy (T) = lim y (1) y (t - T) di.

T->x TT/y

Por la relación (7.134), se puede expresar y (t) y y (t -,c) como

Y (t) _ fro h (A) x (t - A) dA, (7.136)

Y(t -T)- ^^h(a) a) da. (7.137)J-p


1 T+zRyy(T) Tm T J Lh(A)x(t-A)dx J:h(a)x(t-T-a)daJdt.

TI/2

(7.138)

Intercambiando el orden de la integración se puede expresar la relación (7.138) como

r TizRyy (T)=^^h(A)^^h(a) lim I x(t-A)x (t-T-a)di dudA.

T,^ T 3 2T1

(7.135)

Dado que,

(T + a - A) = limT , . fT/2

1 x(t-A)x(t-T-a)dt,T

(7.139)

(7.140)


la ecuación (7.139) se convierte en

yy(T) fh(^) h(a)Rx,(T+a-Á)dodA.

PROBLEMA 7 .34 Demostrar que P0(w), la den5

y P;(w), la densidad espectral de potencia de la en

relacionados por

e un sistema

Solución : por la ecuación 7.119, se tiene que PO(w) está dado por

PO (w) = `f [k (T)I = J (T) e- ¡ w1 dT.


(7.142)

Po(w)- J [f-^h(A)f-h(a)Rxx(T=o-A)dadÁ e lwTdT. (7.143)

Con el cambio de la variable µ = a + o - X, seguido por una separación de variables,

se obtiene ¡'Po(w) f^h(T)dA J ^h(a)daJ^R xx,µ)-'w(u- o+a) dP

= f h (Á)e-^wa dÁ f h (a) e'wa da f e-'wk dµ. ( 7.144)

Puesto que

y h (t) es siempre real,

pi (w) =f a Rxx (T) é lwT dT,

H(w)= 1: h(T)e

' TdT,

H`(w) = J^ h (T) ei°T dT.

Entonces, la ecuación (7.144) se puede expresar como

Po (w) = H (w) H (w) P; (w).

Dado que H (w) H *(w) = I H (w) 12, se tiene

P, (w) _ 1H (w)I' Pi (w).

Para t

de ur

es al azar no se tiene ni se puede o0tede la respuesta de un sistema a tal fu

desdeproblemas que involucran sellale

.92) para señales sse puede estables

id espectral de pot

ner, una expresión expl

(7.145)

V- ear,,o.as nn

Sin embargo , por medi+relación (7.141

Aplicaciones en teoná de comunicaciones 177

PROBLEMA 7.35 Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida del

circuito RC para bajas frecuencias, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es

mido blanco. Así mismo, hallar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida.

Solución: según el resultado (6.100) del problema (6.19), la respuesta impulsiva h (t)del circuito está dada por,

h (t) = 1 r/ Rc a (t).

RC

mientras que, según (7.129), la función de autocorrelación promedio de la entrada (que esel ruido blanco) está dada por

Rxx (T ) = K S (T).

Entonces , mediante la relación (7.133), se obtiene

1Ryy (T)= RC e_Á'

u RKC /ec u(o)5(T +o-A)dodh

K_ ) jJ é I/RC u(a) f S(T+a-Á)e A/Rc u(a)dhda. ( 7.146)(RC

Recordando la propiedad (2.68) de la función 8, se tiene

Ry, (T)(RC)' j e a

/RC a (a) e-(T +a)/RC do

e- T/RC e 2 /RC daK )2

f-(RC

dado que u (a) = 0, para a < 0 , y u (a) = 1, para a > 0.De donde,

K _Ryy(T)= (RC)' e T/RC

20/RCdo= 2RC e -

- (7.147)0

La ecuación (7.147) es válida sólo para valores positivos de s; sin embargo, como la

función de autocorrelación es una función par des [ver 4.148], se tiene

Ryy(T) 2RCe /RC -°°<T<no. (7.148)

La media cuadrática del voltaje del mido en la salida está dada por

1 T/2 Klim - [3, (t)]'dt=Ryy (0)= ' (7.149)

2RCT-c T _T/2

PROBLEMA 7.36 Hallar la densidad espectral de potencia, para la salida del circuito RC,que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es mido blanco. Así mismo, comparar

la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida, con el valor obtenido mediante larelación (7.121).

Soluci ón: según (6.99), la función del sistema,H(w), del circuitoRC, está dada por

1

H(rv) RC1 í(5.991tú +

R

Entrada x (t) C Salida y (t)

1 1 JFigura 7.13 El circuito RC para bajas

frecuencias del problema7.35.

RC


la densidad espectral de potencia de la entrada (ruido blanco), está dada por

Pi (m) > K. [7.1281

De esta manera, según (7.141), la densidad espectral de potencia de la salida , está dada por

1)

'RC

Po(m) = IH(m )I' Pt(W) _ s K. (7.150)1

RC

Por (7.121 ), se tiene que la media cuadrática del voltaje de salida, se puede evaluar a partir

de P0 (w); de esta manera, se obtiene

tira [y (t)] ' dt =1

Pp (m) dmT_. T J

T

T

/

/

2

2291,

K d02u (RC) 2 j 2 ( 1 \'

K

2RC

lo cual está de acuerdo con el resultado (7.149).

(7.151)


PROBLEMA 7.37 Demostrar que una función periódica de banda limitada, sin armónicos

de orden superior aN, se puede especificar unívocamente por su valor en 2N + 1 instantes

de un período.[Sugerencia: con 2N + 1 incógnitas, una función periódica de banda limitada tiene la forma

N

f(t) =Co+ C„ cos (wot+(hn),^^=1

PROBLEMA 7.38 Considerar las funciones muestradoras

(t)- senWM(t - nT)

CJM(t - nT)

donde wM + 2lrt fM, y T =1/(2 fk). Demostrar que (a) Q (t) son ortogonales en el

intervalo -oc<t<0,y (b)

(t) $6 , ( t) dt = TS„m ,

donde Sn„, es la delta de Kronecker.

[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23, y el teorema de Parseval.]

PROBLEMA 7.39 Si f(t) es una señal de banda limitada, esto es, F(w) [f(t)] = 0,

para 1 w 1 > wC, demostrar que

ff(t)(„ (t) dt = Tí (nT),


donde 0,(t) es la función muestreadora del problema 7.38, para todo 0,(t) del mismoproblema, con wM > w;.

[Sugerencia: multiplicar (7.16) por 0, (t), integrar entre - oo e -, y utilizar el resultadodel problema 7.38.]

PROBLEMA 7.40 Utilizando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122),verificar el resultado del problema 7.39.

[Sugerencia: ver el problema 4.95.]

PROBLEMA 7.41 Sea f(t) una señal de banda limitada, cuyo espectro es cero fuera delintervalo de -fM a fM Hertz. Si f(t) se muestrea a una rata de 2 fM muestras porsegundo, probar que

=^^f (t)dt.2fM E [f í2fm^l2

PROBLEMA 7.42 Demostrar que el producto de una señal de AM, con una onda periódicacuya frecuencia fundamental es la frecuencia de la portadora de la señal AM, incluyeun término proporcional a la señal m (t).

PROBLEMA 7.43 Demostrar que la señal DBLPS se puede demodular, multiplicando la

señal por cualquier señal periódica, cuya frecuencia fundamental es la frecuencia portadorade la señal DBLPS.

PROBLEMA 7.44 La eliminación de una banda lateral en una señal DBLPS, produceuna señal denominada señal de AM de banda lateral única (BLU). La figura 7.14 muestraun diagrama de bloques del método de defasamiento para producir una señal BLU.Obtener: (a) la señal DBLPS, f, (t), multiplicando el mensaje dado, m (t), por unaportadora cos wet, y (b) la señal DBLPS, f2(t), multiplicando la portadora defasada en

- i tr, por el mensaje también defasado en - 2 n. Demostrar también que ft (t) - f2 (t),produce una señal BLU.

( (t)

m (1) -, -1 Señal BLO

ior

f2( t)

Defasador

Figura 7.14 Diagrama de bloques del método de defasamiento para producir una señal BLU.

PROBLEMA 7.45 (a) Demostrar que la señal f(t) = m (t) cos.wCt, donde m (t) es unaonda periódica cuadrada, se puede expresar como la señal modulada en fase

cos[wrt+O(t)]. (b) Hallar O(t).

Respuesta: si se tiene

1 para 0 < t < T/2m(t)= y m(t+T)= m(t),

1 paraT/2<t<T


Tt

entonces O(t) también es una onda periódica cuadrada , es decir,

0 para 0 < t < T/2os ( e ) = y b(t+ T) = Qí(t).

I n para T/2 < t < T

PROBLEMA 7.46 Las señales de FM con (t) = kt f m (T) dT « 2 n para todo

valor de t, se denominan señales de FM de banda angosta. Hallar la ecuación y el espectro

de frecuencia de una señal de FM de banda angosta.

Respuesta : A cos wc t - A 4 ( t) sen w, t,

[8(w-wo)+ 8(w+wc)]- 2^t [M (w-w^)-M(w+wc)],2

donde M(ra) [m (t)].

PROBLEMA 7.47 Comparar y hallar las diferencias entre una señal de FM de banda

angosta y una señal ordinaria de AM. (Cf., problema 7.46.)

PROBLEMA 7.48 Hallar el espectro de la señal MAP (7.79), sig( t) es el pulso

rectangular periódico y simétrico, que se muestra en la figura 7.15. Esta señal especial

MAP también se denomina señal recortada.

Respuesta : L 2 a2 1 [Mlw-(2n-1)w01+M{w+( 2n-1)wp)], con

para (2n - 1) = 1, 5, • .

a 2n-1-4

Figura 7.15 El pulso rectangular periódico L (2n - 1)rr

y simétrico del problema 7.48. (Cf., problema 2.13.)

para (2n-1)-3,7,

PROBLEMA 7.49 Demostrar que la función de autocorrelación promedio R 11(y), es

una función par de Z.

PROBLEMA 7.50 Demostrar que la derivada de la función de autocorrelación promedio

de f (t), es el negativo de la función de correlación promedio de f(t) y df/dt; esto es,

dRtr/dT = -R1 dude

PROBLEMA 7.51 De dos señales periódicas f1(t) y f2(t) con período T, se dice que

no están correlacionadas o son incoherentes, si para todo valor de i, se cumple que

T/2 T/2 T/2

R11 (T) = 1J f, (t)f2 (t-T)dt T t1(t)dtx T t2(t)dt;T -T/2 T T/2 T T/2

es decir, la función de correlación promedio de f1 (t) y f2 (t), es igual al producto del

promedio de f1(t) y f2 (t) en un período.

Demostrar que el valor cuadrático medio de la suma de dos señales periódicas

incoherentes, es la suma de los valores cuadráticos medios de las dos señales, cuando el

valor promedio de cada señal es cero


PROBLEMA 7.52 Demostrar que el espectro de la densidad de potencia de una ondasenusoidalA sen wit(óA coswit),esF(w)=á A2 [8(w-w1)+8(w+wi)].


fa(t) Sistema Lineal f1(t)PROBLEMA 7.53 Dos sefiales fa(t) y fb(t) se aplican a dos sistemas, como se muestra HI(w), h1(qen la figura 7.16, siendo las salidas resultantes f1(t) y f2(t), respectivamente. Expresarlafunción de correlación promedio R I2, de fi (t) y f2 (t), en términos de Rab, h1(t) y h2 (t), (a)donde h1(t) y h2(t) son las respectivas respuestas de los dos sistemas al impulso unitario.

Respuesta: R. (T) = f :h, (A) J: Rab (t u - A)hs (a) dadA.

PROBLEMA 7.54 Si la densidad espectral Si2(w), de dos funcionesf1 (t) y f2(t), estádefinida por S12 (w) = f [R 1z (z)], demostrar que para los dos sistemas del problema7.53', se cumple

ib( t) Sistema LinealH2(w), h2(t)

(b)

t2(t)

Sr2 (w) = H, (w) H2 (w) Sab (w),Figura 7.16 Los.dos sistemas del

donde Sab(w) es la densidad espectral de fa(t) y fb(t);H1(w) y H2 (w) son las funcionesrespectivas de los sistemas.

PROBLEMA 7.55 Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida delcircuito para bajas frecuencias que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada tiene

una función de autocorrelación promedio de la forma Rz,, (T) = 1 a Ke-a r2

Respuesta : (-)T- b aK

e-al TI ae-b

donde b =1

rv- -2(b2-a2) b

,RC

PROBLEMA 7.56 El coeficiente z aK, de Rxx.(z) del problema 7.55, ha sido seleccionadode tal manera que la entrada tenga una densidad espectral K cuando w = 0. Luego, a bajas

frecuencias la densidad espectral es la misma del ruido blanco. Demostrar que cuando a >1/RC = b, el resultado del problema 7.55 se aproxima al resultado (7.148) del ruido blanco.[Sugerencia : expresar R ^r) como

Rvr (T) - Z e-b 1 T 1

(1 - b es (u-b)!

(1 - b2/a2) aI J ]

PROBLEMA 7.57 Sea F(w) =R (w) + jX (w), la transformada de Fourier de unafunción real f(t), y F(w) la transformada de Fourier de i (t), donde f (t) está definidapor

f(t)= iF [X(w)coswt +R(w)senwt1dw.0

Demostrar que (a) la relación entre f(t) y f(t) es

f(t)= ^f ff(x) sen w (t - x) dxdw;0

(b) la relación entre F(co) y F(w) es

F (w) = -i sgn wF (w).

[Sugerencia : (a) utilizar 4.19-20; (b) sustituir

problema 7.53.

R(w)= 2[F(w)+F(-w)] y X(w)= 1 [F(w)-F(-w)]


en la definición de í (t), y observar que f (t) = 2 J dw. [Ver los problemas

6.50 y 9.55.]

PROBLEMA 7.58 La señal analítica f+(t) relacionada con la señal real f(t) está definida

por

f+(t)= f(t)-jf(t),

donde f(t) es la señal definida en el problema 7.57. Demostrar que si `f [ f,(t) =F+(w),

entonces

F+(w)=2F(w)u(w)=0, w < 0,

donde u (w) es el escalón unitario.

f 2F(w), w> 0

PROBLEMA 7.59 Hallar la señal analítica relacionada con la señal f(t) = cos wt.

[Sugerencia: ver el problema 6.5 1.1

Respuesta: f+(t) = cos wt + j sen wt = e

PROBLEMA 7.60 Con frecuencia es conveniente representar una señal real arbitraria

f (t), como una senusoide de la forma f (t) = A (t) cos 0 (t), que es una onda modulada

en amplitud yen ángulo; en esta expresión, A (t) se denomina la función envolvente,

0(t) la función de fase, y wi =dO(t)/dt la frecuencia instantánea de la señal f(t). Sea

f(t) la señal definida en el problema 7.57; entonces la función envolvente A (t) se puede

definir mediante

A(t)= f(t) ,cos Itan` [ff"(t)/f(t)]1

y la función de fase se puede definir mediante

.0(t)= tan` [7(t)1í (t)]

Utilizando las anteriores definiciones, expresar f (t) = A sen wt, donde A y w son

constantes, en la forma de una senusoide modulada en amplitud y en ángulo.

Respuesta: f(t)=Acos(wt-12 ) .

PROBLEMA 7.61 Hallar la frecuencia instantánea de la señal f (t) = 1/(1 + t2 ).

[Sugerencia: ver el problema 6.51(b).]

Respuesta: w; = 1/(1 + t2).

8APLICACIONES A CAPITULOPROBLEMAS DE VALOR

EN LA FRONTERA

8.1 SEPARACION DE VARIABLES YSERIES DE FOURIER

Muchos problemas de valor en la frontera que se encuenten las matemáticas de ingeniería, se pueden resolver adecuadamente por el métododenominado "separación de variables". Se ilustrará la esencia del método pot mediode ejemplos particulares.

PROBLEMA 8.1 Considérese la siguiente ecuación que regula las vibracionesrotransversales pequeñas de un cordel elástico que se estira a una longitud 1 y luego sefijan sus extremos:

ó=u(x,t) 1 d'u(r,t) n io

donde u (t, x) es la deflexión de la cuerda , y cs =T jp, donde p es lapor unidad de longitud, y Tla tensión de la cuerda. La ecuación (8.1) sela ecuación de onda en una dimensión, las condiciones de frontera son

u (0, t) = 0 y u (1, t) O pata todo valor de

(x, t) de la ecuación (8.1), que s condiciones (

=g(x)• (8.3)

ero supóngase que la solución u (x, t) de la ecuación (8.1

u(x, t) z X (x) T (t;,.

o de dos funciones, una de las cualesjable t. Mediante diferenciación de

donde las primas dSustituyendo (HS)

ondiciones iniciales

G[luran Wrerenelacron con respe

en la ecuación (8.1), se obtiene

X" (x) T(t) = X(

.X (x) T(t), y luego separando las y

X (x)T"(t)

de la cuerdaonce como

.2) y (8.

á d

o de cada factor

fiables una a cada lado de la ecu

183

184

8<

SOidéat

le.

.1(x?y T(r)ae las. iones(8 s} y (8 . 10) de=1(x) T(t), satisfaga las condiciones 8

=U, 1(x)=O,y


:ior

A.css Rz + $ ser, kx, (8.1i)

I" .. rc r r.t rr sen k= (8.12)

11

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera

Por tanto, las funciones

un(x, t) = Xn(x)T,(t)nux

er las ecuaciones

son las soluciones de la ecuación (8 . 1), que satisfacen las condiciones de tren(8.2). En la expresión (8.17), los coeficientes E„ y F„ todavía no han sidoObservar que Bn C. =E,, y B. D. = F,,.

Evidentemente , la sola solución u„ (x, i 8 17), nolas condiciones iniciales dadas por (8 .3). Coiserie infinita

ón (8.l) e

Si ahora se requiere que (8.18) satisfaga las coiencuentra que los coeficientes EE y F. deben

au(x,t)

,=r

rcione

n r7 x

entf

en (8

;8.19;

8.2«

ogidos de tal manera qtnos de senos (ver la

La ecuación (8.19) muestra que los coeficientes F deben se, .u (x, 0) sea la expansión de f(x) en una serie de Fourier en téección 23); d is es ec r,

n¿ic

Análogamente, la ecuación (8.20) indica que 1manera que a u (t, x)/a t 1 t_o sea la expansiónde senos; es decir,

9 (X)0

nax

Por tanto, la solución deseada es la (8.18 ), donde Itpor (8 .21) y (8.23).

8.21)

ficientes F. se deben escoger dix) en una serie de Fourier en té

coeficientes E,

(8.22)

y F.,, son los di

PROBLEMA 8.2 Hallar la solución de la ecuación (8.1), con las condiciones de

frontera dadas por (8.2), pero con deflexión inicial triangular (figura 8.1) y velocidadinicial cero;

u(x,0) = f(x)=

para 0<x< 1 12

k 11-x) para 1<x<l,2

185

8.17)

ra dadas pore"rminados.

en general,sonsídera la

(8.24)

a u (x, t)dt = 9(X) 0. (8.25)

e=o

Solución : puesto que g(x) = 0, entonces, por (8.23), se concluye que, F„ = 0. Por el

resultado del problema 2.19, se observa que los coeficientes E„ de (8.21), están dados por(2.63); es decir,

k

Figura 8 . 1 Deflexión inicial triangular.

E„ = 8k nsenn' n' 2


Por tanto , la serie de Fourier de f(x) en términos de senos , está dada por (2.64); es decir,

8k ux 1 3ux 1 5uxu (x, 0) = n' sen 2 sen - j - + 5 sen

Luego , por (8 . 18), se tiene

u(x,t)= 8k senux cos cut -

1 sen 37x cos 3cnt +., (8.26)u' 1 1 3' 1 1 J

PROBLEMA8 .3 E" el problema 8.1 sí u (x,©)=f(x),peroau(x,t)/3tlt=O=g(x)-O.

demostrar que la solución de (8.1 ) se puede expresar como

2

donde ft (x) es la extensión periódica impar de f (x), siendo el período 21. Dar, así mismo,la interpretación física de (8.27).

Soluci ón: la solución general de la ecuación (8.1) está dada por (8.18); es decir,

u (x, t) sen n ux

n =t

(x - el) + 1 f,( x + et),

En cos ennt +Fn senenu1)

1

(x - CO + sen

Puesto que la velocidad inicial g (x), es cero, por (8 .22) se deduce que los coeficientes F.son cero, y la expresión (8.18) se reduce a

Utilizando la

se sigue que

u(x,t)- En sen nnx cos cnnt

n=t

dentidad trigonométrica

sen A cos B = 12 [sen (A - B) - sen (A B)],

nux cnut 1 n,rseo 1 cos = - sen -

Por tanto, se puede expresar (8.28) en la forma

u (x, t) _ 1 7 E„ sen n (x - ct)

ln=1

n7(x ^ ct) ].

(8.27)

[8.181

(8.28)

E. sen n-n (x , ct). (8.29)n=t

Comparando con (8.19 ), se concluye que las dos series anteriores son las obtenidassustituyendo (x - ct) y (x + ct), respectivamente , por la variable x en la expansiónde f(x), dada por (8.19). Por consiguiente,

u (x, t) _ 1 f,(x - ct) + 2 f,(x + ct),

donde f, (x) es la extensión periódica impar de f (x), siendo el período 2 1, el cual se

muestra en la figura 8.2.

1

Figura 8.2 Extensión periódica de f (x) del problema 8.3. Figura 8.3 Gráfica de f, (x) y fi (x- ct) del problema 8.3.

Aplicaciones a problemas de valoren la frontera 187

La gráfica de f,(x -cl) se obtiene de la gráfica de fl(x), desplazándola ct unidadesa la derecha (figura 8.3 ). Se reconoce , así mismo , que es posible permanecer en un valorparticular de la función conservando el argumento , x - ct, constante ; es decir, conmovimiento en la dirección x positiva y velocidad c mientras t aumenta . Esto significaque fl (x - ct), (c > 0) representa una onda que se propaga hacia la derecha . Análogamentef, ( x + ct) representa una onda que se propaga hacia la izquierda con velocidad c. Porconsiguiente , la solución u (x, t) es la superposición de estas dos ondas.

PROBLEMA 8.4 En problemas de flujo de calor en estado estacionario, o en problemade potencial electrostático en un plano, siendo el plano x -y, la función de la distribuciónde temperatura o la función de ote ci l l o, p n a e ectr stático u(x, y) en una región libre defuentes satisfac l i ie ó, e a s gu nte ecuaci n en dos dimensiones:

a (x,y)y) a' _ a.áX yacomo ecuación de Laplace.

ión de (8.30) con las siguientes condiciones de frontera:

u(x,y)=0 en x-0, '=0, y y=b;; (8.31)

u(x,Y)=U. en x=d, y 0<y<[b. (8.32)

Soluc ión: supóngase que la solución de la ecuación (8.30) es de la forma

u (x,Y) = X (x) Y(Y), (8.33)

donde X (x) es función de x solamente, y Y (Y) es función de y solamente. Si se sustituye(8.33) en (8.30), se obtiene

X"(x) Y (y) + X (x) Y"(y) = 0.

Dividiendo por X (x) Y(y) y separando las variables , se tiene

X-(x) Y"(Y) = 0X(x) Y(y)

X"(x) Y"(y)X(x) °- y(Y)

(8.34)

(8.35)

(8.36)

El primer miembro de la ecuación (836) es independiente de y, y por consiguiente, elsegundo miembro también lo es. El segundo miembro es independiente de x, y el primermiembro también debe serlo. Esto significa que las expresiones en ambos miembros de laecuación (8.36), deben ser independientes de las dos variables x y y, e iguales a unaconstante . Si la constante de separación se denota por k' , entonces,

X(x) Y_ (Y)_

X(x) Y(v) (8.37)

El signo de la constante de separación se escogió de tal manera que las condiciones de

frontera pudieran ser satisfechas. La ecuación (8.37) conduce a las dos ecuacionesdiferenciales lineales

X" (x) - k' X (x) = 0, (8.38)

Y"(Y)+k'Y(y)=0. (8.39)

Las soluciones generales de (8.38) y (8.39) son

X(x)=Aekx+8e kx (8.40)

Y (y) = C cos ky + D sen ky. (8.41)


Según las condiciones de frontera, dadas por (8.31), se tiene

X(0)=A+B=0,

Y(0)=C=0, Y(b)=D sen kb=0.

De donde,

de lo cual se deduce que

A = -B, (8.42)

sen kb = 0,

kb=nr ó k=nn, n=1,2,•• . (8.43)b

De esta manera se obtiene un conjunto infinito de soluciones Y(y) = Yn(y), donde

Yn(y) - D. sen nn by , n = 1, 2, .. .

Las soluciones generales correspondientes a (8.40) se convierten en

Xn(x) = A„(ekx - é kx ) = 2An senh kx

= 2An senh n bx

Por tanto, las funciones

(8.44)

(8.45)

ysen

nnn = 1, 2, ... , (8.46)un(x,Y) = Xn(x) Yn(Y) = En senh

nnxb

b

son las soluciones de (8.30) que satisfacen las condiciones de frontera (8.31). Obsérvese

que 2A„D„ se reemplazó por la nueva constante arbitraria E.Evidentemente una sola solución , un(x, y), de (8.46), no satisfacerá la otra condición

de frontera dada por (8.32). Dado que la ecuación (8.30) es lineal, se considera la serie

infinita

r nnx nnyu(x,y) _ un(x,y) = En senh b sen b . (8.47)

n=1 n=1

Si se aplica la condición de frontera (8.32), se obtiene

u (d, y) = U. = En senh

n-1

donde

nndsen

nny

b b

cn sennuy

0<y<b, (8.48)

n=1

cn = En sen}tnnd

b

La ecuación (8.48) es una serie de Fourier en términos del seno, y los coeficientes c, se

pueden determinar como [ver (2.5l)]

e 4Uo n1,3,..2

cn=b f Uosennbydy

nn (1-cos nu)= nn

0 0, n=2,4,....

sin embargo,

cn= E. senh nbd

Aplicaciones a problemas de valor en la frontera 189

y por consiguiente,

n u senh

E_--4 Uo

n - 1, 3, 5, ... , (8.49)

lo cual se puede sustituir en (8.47) para obtener la solución deseada:

senh

n4 Ua }^ 1 n u y

nud\sen b . (8.50)(X, y) r

n= ddn

senh Iob /

En esta sección se han obtenido soluciones formales de ciertas ecuaciones

diferenciales parciales, lineales y de segundo orden, que satisfacen las condiciones iniciales

y de frontera dadas, pero no se ha demostrado que las soluciones obtenidas sean únicas.

Dado que la prueba de unicidad es complicada, e infortunadamente no existe un teorema

general al respecto, no se probará la unicidad de las soluciones obtenidas en esta sección,ni en las secciones siguientes.

8.2 VIBRACION

La vibración de una cuerda y la ecuación que regula esavibración, es decir, la ecuación de onda en una dimensión, se estudiaron en el problema

8.1. En las páginas siguientes se aplicará la técnica del análisis de Fourer a variosproblemas de vibración.

PROBLEMA 8.5 La ecuación que regula las vibraciones transversales pequeñas de unamembrana, está dada por

la, u

va-x'

á?u 1..82u _0aya ci ar= (8.51)

donde u(x,y, t) es la deflexión de la membrana, y e2 =T/p, siendo p la masa de lamembrana por unidad de área, y Tla tensión de la membrana. La ecuación (8.51) sedenomina ecuación de onda en dos dimensiones. Considerar la membrana rectangularde la figura 8.4 y hallar la solución de (8.51) que satisface lasiguiente condición detrontera:

x,y, t) = 0 en la frontera de toda laesto es,

embrana y para todo valor de t;

u (x, y, t) = 0 para x = 0, x°a, y =0, y y=b.

Las condiciones iniciales

u(x,y, 0) = 1(x, y),

dt 9(x,y),r_a

donde f(x, y) y g(x, y) son el desplazamiento y la velocidad role

n

du (x,y, t)

respectivamente.

Solución: supóngase que la solución de (8.5 1) es de la forma

u(x,Y, t) , X (x)Y(y) T (t).

de la

(8.52)

(8.53)

embrana,

(8.55)

Figura 8.4 Una membrana rectangular.

190

se si

X ..(x)Y (y) T (t)

obtiene

X(x)Y»(Y)

donde las primas denotan diferenciación con respecto a los argumentos de cada función.

Si se divide por X (x) Y(y) T(t) y se separan las variables , se obtiene

xi(x) Y' tr) i T`(t)(&57)

X(x) Y(y) n(t)

Como el segundo miembro de (8.57) depende sólo de t, mientras que el primer miembrostarsno depende de t, las expresiones de ambos miembros deben ser iguales a una con te.

Denotando esta constante por -k', se tiene

X_(x) r YY(y) _ 1

X(x) Y(Y) c, T(t)

La anterior ecuación conduce a las dos ecuaciones diferenciales

T"(t) + c' k' T(t) - o,

X"'(x) Y -(Y)(Y)X(x) Y(Y)

(8.58

io el primer miembro de (8.59) depende sólo de x, mientras que esegundo miembro depende sólo de y, las expresiones de ambos miembros deben set

iguales a una constante , la cual debe ser negativa (de otra manera las condiciones de

frontera no podrían ser satisfechas); si, - k, , entonces , se tiene

X(x) k,_Y^(x)X(x) Y(Y)

aluc

dicii

Por consigan

lo cui


de fi

onduce a las

X

nerales de (8.58)

X(x) A cos

Y (y) = C cos k ry

T(t) - E cos kct -

ntera (8.52),

o,

X(o

a_mu

= o,

Y(Y) T".(t)

diferenc

o) y (8.61) tienen las for

F,x + B seis k x,

lene

A sen kry,

F sen kct.

X(a)=o,

X(a)=8

Y(b) O.

(8.66)


Análogamente Y(O) = G= 0 y Y(b) = D sen kyb = 0; de donde

De esta m

Yn(y) = D. sen

Puesto que k2 =k ' +k y

k2 m-..... a2 b,

y la solución general correspondiente de (8.58) es

Tmn(t) Em,, cos kmnct + Fmn gen kmnct.

Se sigue que las funcion

umn(x , y, t) _ Xm(x)Ya(Y)Tam(t)

191

(8.67)

(Gmn cos kmnct + Hm„ sen km „ct) sen mnz sen ri'y, (8.69)a b

donde m 1 , 2, • , n= 1,2, , y con km,, dada por (8 .68), son soluciones de laecuación de onda (8.51), las cuales son cero en la frontera de la membrana rectangular dela figura 8.4. Ahora se deben evaluar las constantes arbitrarias Gm n Y 1imn •

Para obtener la solución que también satisfaga las condiciones iniciales (8.53) y8( .54), se procede en forma análoga a la utilizada en el problema S.I.

Considérese la siguiente serie doble

i n=

Por (8 .70) y (8.53), se tiene

La serie (8.71) se denomina serie doble de Fourier , y representa a f(x, y) en la región0<x<a, y 0<y<b. Los coeficientes deFourierGm ,,,de f(x,y)en (8 .71),sepueden determinar como sigue:

Si se hace

se puede expresar (8.71) en la


(8.73) es la serie de Fourier en términos del seno, de

PROBLEMA 8.6 Hallar la solución de (8.51), con las siguientes condiciones de

frontera y condiciones iniciales:

u(x, y, t)=0 para x=0, x=a, y=0, y y=b,

u(x, y,0)= xy(x-a)(y - b),

du

dt= 0.

r=o


u (x, y, t)= (G,,,,, cos kmnct + Km., sen kmnct) sen

si se hace t = 0, se tiene

mnx nuysen .

a b

u (x, y, 0)= mn sen mnx sennny

Ga b

m=i n=i


De acuerdo con (8.76), se tiene

bGmn = ab

4

f, J a u(x,y,0) sen mnx sen n-y dx dyo o a b

¡'

a= b ra x(x - a)sen m 7x dx I y(y-b) sen nbY dy

a Jo 0

_ 4 2a 2b 'ab m' >r' ny ,

?

64a' b'

n` m' n'

0

si n y m son impares

de otra manera.

Puesto que au/a tlt=p = 0, y de acuerdo con (8.78), Hmn = 0, la solución final es

193

64a' b2 _ 1 mnx nrryu(x,Y, t) = na--

r

E ir,cos k,,,,,ct sen --- sen , (8.79)

a bm=impar m=impar

donde k',,,,, _ (m ,71a)' + (nn/b)'.

PROBLEMA 8.7 Las pequeñas vibraciones transversales libres, de una viga uniforme

sujeta por un extremo, que se extiende a lo largo del eje x, está regulada por la ecuaciónde cuarto orden

u(x,t) 1 a'u(x,t) _0 (8.80)

a x, c' a t,

donde c2 =El/(pA), E = módulo de elasticidad de Young, I = momento de inercia de lasección transversal de la viga , p = densidad , A = área seccional . Hallar la solución de(8.80) que satisface las siguientes condiciones:

u(0, t) = 0, u (1, t) = 0, (8.81)

a' u

ax'

a'u

x=o aX'x=1

= 0, (8.82)

u (x, 0) - x (1 - x), (8.83)

au= 0.at

t=o

(8.84)

Solución : supóngase que la solución de (8.80) será de la forma

u (x, t) = X (x) T (t). (8.85)

Sustituyendo (8.85) en (8.80), se tiene

Xi')(x)T(t)+ X(x)T"(t)=0.C2

Dividiendo por X (x) T (t) y separando las variables , se obtiene

X(-)(x) _ 1 T" (t)X(x) c2 T( t) (8.86)

Puesto que el primer miembro de (8.86 ) depende sólo de x, y el segundo miembrodepende sólo de t, las dos expresiones en ambos miembros , deben ser iguales a unaconstante. La constante , por ejemplo k ° , debe ser positiva , por consideraciones físicas;en particular , para hacer a T (t) oscilatorio . De esta manera, se obtienen las dosecuaciones diferenciales ordinarias


X"'(-) - k4 X (x) = 0, (8.87)

T"(t) + c' k' T (t) 0. (8.88)

Las soluciones generales de (8.87) y (8.88) son

X (x) = A cos kx i B sen kx + C cosh kx + D senh kx, (8.89)

T (t) = E cos k'ct + F sen k'ct. (8.90)

Ahora bien, por las condiciones de frontera (8.81), se obtiene

X (0) = A _ C 0, (8.91)

X(1) = A cos kl i B sen kl C cosh k1 i D senh kl = 0. (8.92)

Puesto que

X"(x) - -k' (A cos kx i B sen kx - C cosh kx - D senh kx),

utilizando las condiciones de frontera (8.82), se tiene

X-(0) - -k' (A - C) = 0, 8.93)

X"(1) - -k' (A cos k1 i B sen kl - C cosh kl - D senh k1) - 0. (8.94)

Por (8.91 ) y (8.93 ), A + C= 0, A-C=0, y por tanto , A=C=0. Entonces , por (8.92)y (8.94), se tiene

B sen kl ^ D senh k1 = 0,

B sen kl - D senh kl 0,

y por tanto,

B sen k1 = 0, D senh k1 0.

La segunda condición da D = 0, dado que si senh k1= 0, entonces k = 0, y por tanto,

X (x) = 0, lo cual daría una solución trivial. Entonces, por la primera condición,

sen k¡ = 0,

esto es,

k1- nn o k n- n-1,2, •-1 '

(8.95)

De esta manera se obtiene el conjunto infinito de soluciones X (x) = XX(x); es decir,

X„ (x) = B„ sen n a x n -

Puesto que

T'(t) - k'c (-E sen k'ct F F cos k'ct),

por la condición inicial (8.84), se obtiene

T'(0) - k'c F 0.

Por consiguiente , F= 0, y las soluciones correspondientes T(t) se convierten en

n' r COT„(t) - E„ cos

Por consiguiente, las funciones

u„ (x, t) = X.(x) T .(t) - b„ sennnx n'n'ct

- cos1-'--

1 '

(8.96)

(8.97)

(8.98)

donde b„ = BE., son las soluciones de (8.80) que satisfacen las condiciones de frontera(8.81), (8.82), y la condición de velocidad inicial cero, dada por (8.84).

1 1 II.


Para satisfacer la condición inicial dada por (8.83), se considera

u (x, t) _ un(x, t)

L b„ sennnx

cosn'u'ct

t 1'


u(x,0) =x(1-x)=) b„ sen1

(8.99)

(8.100)

n

=1De esta manera los coeficientes bn son los coeficientes de Fourier en términos del seno,de la función x(1-x), y están dados por

1b„=1 f x(1-x)sen nrx dx

81'

n37'

la solución final es, por consiguiente,

para n impar

para n par.

u x, t )si, 1 n u x n'rr' ct

( ) , L n'sen cos

n= impar

ejemplo se consideridíciones de fronter

(8.101)

(8.102)

PROBLEMA 8.8 Determinar el desplazamiento u(x, t), de una cuerda infinita convelocidad inicial cero. El desplazamiento inicial está dado porf(x), para --<x <

Solución : la función u (x, t) satisface la ecuación de onda de una dimensión

a'u(x,t) 1 a'u(x,t)ax' - C' at, _ °,

y las condiciones iniciales

u(x,0)=1(x), -no<x<no,

a u(x, t)0.

at

Procediendo como en el problema 8.1, se sustituye

u(x, t) = X(x) T(t)

[8. 1 1

(8.103)

(8.104)

en la ecuación (8.1), lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales lineales

X"(x) + k'X(x) = 0, (8.105)

T"(t) + c' k' T (t) = 0. (8.106)Las funciones

X (x) = A cos kx + 8 sen kx,

T (t) = C cos kct + D sen kct

son las soluciones de (8.105) y (8.106), respectivamente.


Utilizando la condición inicial (8.104), se obtiene

T'(0)=kcD=0.

De donde, D = 0, y

u (x, t; k) = (F cos kx + G sen kx) cos kct (8.107)

es una solución de (8.1) que satisface la condición (8.104).

Cualquier serie de las funciones (8.107), hallada de la manera usual , tomando k como

múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es periódica en x cuando t = 0.

Sin embargo , como f(x) en (8.103 ) no se supone periódica , es natural usar la integral de

Fourier en el presente caso en vez de las series de Fourier.

Puesto que F y Gen ( 8.107) son arbitrarias, se pueden considerar como funciones

de k, y expresar , F = F(k), y G = G (k). Como la ecuación de onda (8.1) es lineal y

homogénea , la función

u (x, t) _ j^ u (x, t k) dk = j [F (k) cos kx + G (k) sen kx l cos kct dk (8.108)

0 0

también es solución de (8.1).

Por (8.103 ), se tiene

u(x,0)=f (x)-^ [F(k)coskx+G(k)senkx] dk. (8.109)

0

Ahora bien, por el teorema de la integral de Fourier

1(t)= J^[f :f(x)coscu(t-x)dx]dm, [4.121

se puede expresar

f(x)_ f- [f f(y)cosk(x-y)dy] dk

0

1 J^ íJ^ f(y)(cos kx cos kv + sen kx sen ky) dy] dk

0

f^ñ f coskx j f (y) cos ky dy + sen kx

L[(y) sen ky dy] dk.

Si se hace

F (k) _ f I (y) cos ky dy , G(k) = n f f (y) sen ky dy,

entonces la expresión (8.111) se puede expresar en esta forma:

(8.110)

f (x) _ ^^ [F (k) cos kx + G (k) sen kx] dk . (8.112)

Comparando (8.112) y (8. 109), se puede expresar (8.109) como

u (x, 0) = f (x) = 1 - [ I ^ f (y) cos k (x -y) dyl dk. (8.113)J0

Entonces , por (8.108), se tiene

u (x, t) _1

f - [ f^ f (y) cos k(, - y) cos kct dy] dk. (8.114)

0


Mediante la identidad trigonométrica

cos k(x - y) cos kct = 1 [cos k(x+ct-y) + cos k(x - ct - y)],

la ecuación (8.114) se convierte en

u (x, t) = 2 ^^ f (y) cos k (x + ct - y) dy] dk0

+ 2 a f Ef: f(y)cos k(x - ct - y) dy] dk. (8.115)

0

Si se reemplaza x por x ± ct en (8.110), se tiene

f(x ± ct) 1 f [j f(y) cos k (x ± ct - y) dy] dk,

y comparando esto con (8.115), se obtiene

u(x,t) 1 f(x+ct)+ f(x - ct)2 2

que es la ecuación ya conocida, de las ondas viajeras (ver el problema 8.3).

(8.116)

En los capítulos anteriores se ha tratado el par de transformadas de Fourier,f (t)F(w), la primera de las cuales denota una función del tiempo, y la segunda una funcíólde la frecuencia . El uso de la transformada de Fourier no está limitado , bajo ningunarazón, a los dominios de tiempo y frecuencia . Si las funciones f (x) y F(s) forman unPar de transformadas de Fourier, entonces

(a) = `f [i(x)] = 1 1(x) eaa

aplic

s) et"`

y

(8.117)

(8.118)

PROBLEMA 8.9 Utilizando la transformada de Fourier resolver nuevamente elproblema 8.8.

Soluci ón: sea la transformada de Fourier de la solución u (x, t) con respecto a x,l d da a a por

u (x, t) e - j.. dx;u (s, t) = 1 [u (x, t)] =J (8.119)

entonces,

^

u (x, t) [U (s, t)] = U (s, t) ets" ds. (8.120)

Se supondrá que las soluciones u (x, t) y au (x, t)/ax, son pequeñas cuando 1 x 1 se hacegrande, y tienden a cero si x

Sean

a'u(x, t)u..(x, t) _ ,a x'

vu(x, t>= o'U(x,ta t'

u.(xt )- au(x, t)

ax

ut(x, t) =8u (x, t)

at


Mediante integraciones parciales sucesivas se encuentra que la transformada de Fourier es

`.^[uxx(x, t)] uxx (x, t) e -J" dx

e jsxdux(x, t)

'ex ux(x, t)

x=0)

1 js £ ux(x, t) e -J" dx

= js 1 jsx du (x, t)

= js jsx u (x, t) -js(-js) f u(x,t)e jsxdx

=-s' U(s,t ) (8.121)

dado que ux(±oo,t)=u(±oo,t)=0.La transformada de Fourier de utt(x, t) es (puesto que se está tomando la

transformada con respecto a x)

f [utt (x, t)] = J utt (x, t) e -j" dx

u (x, t) e-"' dx

= Utt(s, t). (8.122)

Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación de onda (8.1) y por (8.121) y

(8.122), se obtiene

-s' U(s, t) - Utt(s, t) = 0,

o

d' U(s, t ) + s'C' U (s, t) = 0 (8.123)<9t'

que es la ecuación de la transformada U(s, t).

La solución general de (8.123) es

U (s , t) = A (s) ejs`t = B (s) e jsc` (8.124)

donde A (s) y B (s) son constantes con respecto a t. Aplicando la transformada de

Fourier a las condiciones iniciales (8.103) y (8.104) se obtiene

U (s, 0) _ .f [u (x, 0)] = J_, u (x, 0 ) e-" dx

f(x) é jsx dx

= F (s),

Ut(s, 0) - `f [ut(x, t) e=o ] = 0.

(8.125)

(8.126)

Por las relaciones (8.125) y (8.126), A (s) y B (s) de (8.124), se pueden evaluar ahora, de

la siguiente manera:F(s)= U(s, 0)= A(s) + B(s), 0- U,(s, 0)= jsc [A(s)- B(s)].

Aplicaciones a problemas de valoren la frontera

Resolviendo A (s) y B ( s) en estas dos ecuaciones algebraicas , se obtiene

A(s) = B(s) _ 1 F(s).


U (s' t) _ 1 F(s) e' ' . 1 F(s) e j.cr

2 2

199

(8.127)

La solución deseada u (x, t), es la transformada inversa de Fourier de U(s, t), en particular,

u(x,t)= 1[U (s, t)) = 2 ^F(s)e'"r[ -'^F(s)e (8.128)

Por medio de la propiedad de desplazamiento en el tiempo , dada por (4.73), se tiene}-` [F(s) elsu1 = f (x 4 co,) (8.129)

t-'[F(s)e]"tl f(x-ct). (8.130)

De esta manera,

u(x, t) = 1 f(x rct)- 1 f(x - co)

que es el mismo resultado obtenido en (8.116).

8.3 CONDUCCION DE CALOR

El flujo de calor en un cuerpo de material homogéneo estáin del calor

(x, y, z l da(x,Ra,t)

at 0, {8.131)

donde u(x. y,z, t) es la temperatura del cuerpo, y es = K/(po), siendo K la conductividadtérmica, o el calor especifico, y p la densidad del material del cuerpo. El laplaeiano de ues 7 2 u, y en coordenadas rectangulares se puede expresar como

au

ay2

a, u

dz`8.132)

r n ,OCCmq o. w r.onstuerese la temperatura de una barra uniforme de longitud 1, queestá orientada a lo largo del eje X. Ambos extremos de la barra se mantienen a una =

ro grados. Si la temperatura inicial de la barra es

a 0<x

donde x es la distancia medida desde uno de los extremos, hallar la distribución detemperatura después de un tiempo t.

Solución : puesto que la temperecalor (8.131) se convierte en la c

futa u (x, t) depende sólo de x y t, la ecuación deminada ecuación de calor en una dimensión

t) 1 du(x,t)e2 a£

8.133'

200

ión:

)-0, u(l,t)=O, (8.134)

2u{x,0}-f(x)- : (8.1

l-x para 2tsx<l.

Nuevamente , suponer que la solución sea de la forma del produce

u(x, t) = X(x)T(t)

y reemplazar en la ecuación (8.133). De donde,

(8.136

X (x) T'(t) = 0. (8.137


t) T

diendo por X (x) T (r) y separando variables, se obtiene

XX(x) = 1 T_(t)(8.138)

X(x) c' T(t)xpresión del primer miembro depende solamente de x, mientras que la expresión delindo sólo depende de t; por consiguiente , se concluye que ambas expresiones deben

Esta constante , por ejemplo K, debe ser negativa pues si K > 0,

única solución u (x, t) = X(x) T(t) que satisface (8.134) es u(x , t) = O. Esto se

muestra como sigue:

X (x

X" (x)-k'X(i

ola condición de frontera (8.134), se obtiene

ssolviendo para A y B, se tiene que A =-B = O De esta manera X(x) = 0, Yen

nsecuencia, u(x, t) =0, lo cual da una solución trivial . Por tanto, haciendo K = -

Lene X" (x) 1 T'(t)X(x) T c' T (t)

y de aquí se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordin;

(x)+k?Xi

8.139)'

81

T'(t) + e'k 'T(t) - 0. (8.14

dei (8.140) y (8.141) son

X (x) = A cos kx + B sen k

Tin res e20!_..

Por la condición frontera (8.134), se tie

(0).A

X(1

(8.142)


Se obtienen así las solucione 40), qu'

nn

8.141) sa

•n --MtSe =Cne , n=1,2

, t) = X^(t) .(t) = G,

donde bn = B C,,, son Gcondición (8.134).

Para hallar una soll(8.135), se considera la s

que tan#b

201

4:

8.146

n = 1, 2, ... , (8.147)

>ndición inicial, dada por

t) = ? u.,(x,

iluciones correspondien

T(t)=C

o, las funciones

5) y (8.148), se obtien

Por tanto, para que (8.148)escogidos de tal manera quedel seno de f(x); es decir,

ni4e

n=t

tisfaga la condición (8.135), los coeficientes b„ deben se1.149) sea la expansión en series de Fourieren términos

nrrx

2.

nsspar

consiguiente, la solo

luciones de la ecuación de calor

41

'a que la solución u (x, t), dada

5,9,— (8 . 1 .

íodo de tiempo , es decir, tiende a cero a medid;quena después de un 1:


En el siguiente ejemplo se considerarán soluciones de la ecuación de calor en unadimensión, dada por (8.133), en el caso de una barra que se extiende hacia el infinito enambos extremos. En este o~, similar al de la vibración de una cuerda infinita (problema8.8), no se tienen condiciones de frontera; solamente las condiciones iniciales.

PROBLEMA 8.11 Hallar la distribución de temperatura u (x, t) en el caso de una barrainfinita, la distribución inicial de temperatura está dada por f(x) para - oa < x <M.

Soluci ón: la función u (x, t) satisface la ecu

n inicial1

u(x, 0) = I(x)

du (x, t)d,t

ocediendo como en el problema 8.10, se reempl;

u(x, t) = X (x) T(t)

la ecuación (8.133), lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales ordin

X"(x)+k'X(x)=0,

T'(t)+c'k'T(t)-0.

as soluciones generales de (8.153) y (8.154) son

X (x) = A cos kx + B sen kx,

T(r) =e B-ck't

De don<

u(x,t;k) X(x)T(t)= ( D cos kx + E

8.13

(8.153)

(8.154)

(8.15;

es una solución de la ecuación (8.1x33), adonde D y E son constantes arbitrarias . Puestoque f(x,), en general, es no periódica, siguiendo el argumento análogo para el caso de lavibración de una cuerda infinita (problema 8.8), se pueden considerar D y E comofunciones de k. Entonces la función

solución de (8.1:8.152), se tiene

)i

k)dk

u(x, 0) = I(x) = ( [D (k) cos kx + £(k) sen kx] dk, (8.157

¡en, j

D (k)= = 1 1(y) cos ky dy

(k)_ 1, t(y)senkydy

on el teorema di157) como

la integral de Fourier ,dado por (4.12),

y) cosk (x -y)dy 1 4k.


De esta manera, por (8.156), se tiene

u (X, t) = a I J í (y) cos k(x - y) e-` 'k'1 dy dk:o

Suponiendo que se puede intercambiar el orden de integración, se obtiene

u(x, t) = n ¡^ #(y) [ I a-Clkzt cos k(x - y) dkl dy.

Para evaluar la integral interior se procede como sigue:De la tabla de fórmulas de integrales se obtiene

.fJ e-•' cos 2hs da =

Introduciendo una nueva variable de integración k, si se hace

6= x-Y2ef '

la fórmula (8.161) se vuelve

203

(8.159)

(8.160)

(8.161)

ck ./t, y se selecciona

1 e c'"'t cos k(x-y)dk = e-(s-Y)20 2cv7

Reemplazando (8.162) en (8.160), se obtiene

v(x, t) =1 -

f(y)e-tx-r)a/(4c°t) dy.2e rrt £

(8.162)

(8163)

Introduciendo la nueva variable de integración , q = (x -y)/(2cf ), la ecuación (8.163)se puede expresar como

u(x,t)=L£f(x-2cgf)é Q'dq. (8.164)n

PROBLEMA 8.12 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier, resolvernuevamente el problema 8.11..

Solución : sea la transformada de Fourier, de la solución u (x, t), con respecto a x, ladada por

U(s, t)= ff[u(x, t)] =f u(x, t)e's' dx; (8.165)

entonces,

u (x, t) _ U (s, t)] = 2 L U (s, t) et°' ds . (8.166)

Se supondrá que las soluciones u(x, t) y ó u (x, t)/3x son pequenas para valores grandesdei x 1 y se acercan a cero a medida que x -> ±..

Según (8.121), la transformada de Fourier de uxx (x, t) es

i [uxx(x, 01 uxx(x, t ) e -'s' dx - _s' U(s, t). (8.167)

La transformada de Fourier de Ut(x, t) es

flu,(x,t)1-1:u,(x,t)é's*dx- U(s,t)dt

U,(s, t). (8.168)


Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación del calor (8.133), se obtiene

-s' U(s, t) - 1 U'(s, t) = 0c

oau(s, t)

+ C's' U (S, t) = 0.

dt(8.169)

La solución de la ecuación (8.169) es

U (s, t) = U (s, 0) é `'a'`. (8.170)

Pero aplicando la transformada de Fourier a la condición inicial (8.152), se obtiene

U(s,0)= f u(x,0)e isxdx

f(x)e'sxdx

f(y) e ' sy dy. (8.171)

Reemplazando (8.171) en (8.170), se tiene

U(s, t) = e `2S2t f(Y) e" dy. (8.172)

Ahora se puede obtener la solución u(x, t) tomando la transformada de Fourier de

(8.172); esto es,

u (x, t) = 2 n u (s, t) j" ds

= 2n J e( is= 's't)

LJf(y) e isv dyl ds. (8.173)

den de integración , se obtieneSuponiendo que se puede intercambiar el o r

f (Y)1 êîe(z dsFdY•u(x,t)=2 £

Para evaluar la integral interior se procede como sigue:

Por la tabla de integrales, se tiene

1 c

eW2J- dw=fin.

Ahora bien;

(8.174)

(8.175)

x-y x-e ds êxp + jcsât - I )

'ds

[(2cvt

'

\2c^/

y

-(x-r)'/(4c',) x-y '=e exp +jcsVt ds._c (2cv[

Introduciendo una nueva variable de integración w, mediante

2c/7+jcs yt\=jw,


se tiene

^m eLi ds

B (x-Y)'/(4 c't) r^-' dw

C J1

c

i /^+ B (x-Y)2 /(4 c2 t)r

ten razón de (8.175).

Sustituyendo (8.176) en (8.174), se obtiene finalmente

u(x, t) = 1 f (Y) e-(x-y)'/(4c't) dy2c^ f -^

que es exactamente el resultado (8.163).

205

(8.176)

(8.177)

PROBLEMA 8.13 Hallar la temperatura u(x, t) de una barra semi-infinita, que se

extiende de 0 a o. El extremo en x = 0 se mantiene a una temperatura de cero, y la

distribución inicial de la temperatura es f (x) para 0 < x < oc. Se supone que la

condición en el extremo infinito es tal que u (x, t) -> 0, a medida que x ---. ..

Solución : hay varias maneras de resolver este problema, pero en este caso se utilizará

el método de las imágenes.

Como la temperatura en x = 0 se mantiene en cero, se extiende la función inicial

dada, f(x), x > 0, a una función impar, para -- < x <oc; de esta manera, el problema

pasa a ser de una barra infinita. (Ver el problema 8.1 l.)


u(x, t)=2c1Fu

f- f(y) e (x-r)'/(4 c'r) dy. [8.1771

Teniendo en cuenta el hecho de que, f(-y) = - f(y), se obtiene

u(x,t)= 1-- J f(Y) é (x-Y )'/( 4c' t) dy {. 1 f(-Y) e- (x+Y)2/(4c2t) dy2c\ñt o 2 e vnt o

1f(Y) [e (

x- Y)'/(4c't ) - 8 (x+Y)'/(4 c2 t) l.dy

2c ,ñt Jo V

que es la solución deseada.

8.4 TEORIA DE POTENCIALES

En esta sección se aplicará el análisis deta ce ta sotncion ae ta ecuacion ae La

(8.180)

X

206

z


potenciales gravitacionales, potenciales electrostáticos, prolepotenciales de flujo de fluidos incompresibles, etc.

En coordenadas rectangulares , ellaplaciano de una función u en tse puede expresar como

V,ugdz +dy=+dz.

muestra en la figura 8 .5, el laplaciano en coordenadas cilíndr

72 u ^ d'o + ido + 1 d°u + -dr- r dr r- ddi' 8z2

Figura 8.5 Coordenadas cilíndricas.

(8,184

La técnica de separación de variables , aplicada a la ecuación de Laplace en dosdimensiones, uz +uyy = 0, se comentó en el problema 8.2; en el ejemplo siguientese considerará el caso tridimensional.

Figura 8.6 Coordenadas esféricas.

Figura 8.7

Como se muestra

rPROBLEMA 8.14 Hallar la distribución de potencial, de la caja rectangular que se

muestra en la figura 8.7, si el potencial es cero en los lados yen la base, y f(x, y)

en la parte superior.

Solución : sea u(x,y, z) la distribución de potencial en la caja rectangular que se

muestra en la figura 8.7. Entonces, u (x, y, z) satisface la ecuación

''u - uXX + uyy + u.^ = 0, (8.185)

y las condiciones de frontera

u (0, y, z) = u (a, y, z) = u (x, 0, z) = u (x, b, z) = u (x, y, 0) = 0, (8.186)

u (x, y, c) = f (x, Y). (8.187)

8 185) d lbl i l l ióé d d ió d i . e ae var es, sug ere e suponer una so uc n a (El m to o e separac n a

forma

y u(x,y,z) -X(x)Y(Y)Z(z). (8.188)

Reemplazando esta solución en la ecuación (8.185), ésta se reduce a

)Z(z)+X(x)Y"( )Z(z)+X(x)Y(X"(x)Y( )Z`( ) 0 1898YY Y z - . ( . )

Dividiendo por X (x) Y(y)Z (z) y separando las variables, se obtiene

X-(-) Y„(Y)+ Z"(z) = k', (8.190)La caja rectangular del

problema 8.14. X (x) Y (Y) Z (z)

donde kx es la constante de separación . En este caso, la separación depende del hecho

de que el primer miembro es independiente de y y z, y el segundo miembro es

independiente de x.Por consiguiente,

X"(x) - k' X(x) = 0. (8.191)

Luego de una segunda separación , se tiene

Y"(Y) = Z_(z) z- - k - ky. (8.192)Y (Y) Z (z)

Lo cual conduce a las siguientes ecuaciones:

Y"(y) + k'' Y(y) - 0, (8.193)

0,z)

8.183)

esféricas (r, 8, o), es

inarios de


Z (z) - k' Z (z) = 0, (8.194)

dondeks = kx = ky . Las soluciones generales de (8.191), (8.193) y (8.194) son

X (x) A cos k,x - B sen k,x, (8.195)

Y (y) = C cos k,,,v D sen k, v, (8.196)

Z (z) = E cosh k,z F senh k.z. (8.197)

Según las condiciones de frontera , dadas por (8.186 ), se tiene

X(0)=X(a)=0,

Y (0) - Y (b) = 0,

z (0) 0.

Por consiguiente,

X(0)=A=O,

X (a) = B sen k,a = 0;

de donde,

k,a - mr o m = 1, 2, • .. . (8.198)mr

a

Análogamente,

Y (0) C = 0,

Y (b) = D sen k,,b = 0;

de donde,

kyb = n r o ky =n

b

-

'Así mismo

Z(0)E=0.

Expresando k, en términos de m y n,

m2 n2k' -k `kr= r2 1 =k2

b2

o

(8.199)

(8.200)

se obtienen las soluciones

X(x) - X_ (x) - B. sen

Y (Y) = Yn(Y) = Dn sen

m 1, 2,mrxa

n- 1, 2,--n ry

b

Z(z) -- Zm„(z) = F-, senh kmnz.

Luego, expresando bmn =BmDnFmn, se sigue que las funciones

X-(X) Yn(Y)Zmn(z)

=bmn sen mnx sen ny senhk,nz, (8.201)a b

donde m - 1, 2, - • • , n = 1, 2, • - , con kmn definido por (8.200), son soluciones de laecuación (8.185), que satisfacen las condiciones de frontera dadas por (8.186).


Para satisfacer la condición de frontera dada por (8.187), se supone la solución

deseada en la forma

u(x,y,z) = umn(x,y,z)

m=1 n=1

Si se hace

bmn sen mnx sen nny senh kmnz. (8.202)a b

m=l n=1

cmn = bmn senh kmnc, (8.203)

la condición de frontera (8.187) toma la forma

f(x,y) _ e,nn sen m>rx sen n-bY 0 <x <a, 0 <y < b. (8.204)b

m=1 n=l

De esta manera , los coeficientes cmn son los coeficientes de la doble serie de Fourier en

términos del seno, que representa la función f(x,y) sobre el rectángulo indicado. Por

(8.76), estos coeficientes se determinan fácilmente como

4Cmn - - f f n f (x, y) sen

má xsen n --Y dx dy. (8.205)

0 0

Con estos valores de cmn, la notación de (8.203 ), solución (8.202), se convierte en

u(x,Y,z)=E z Cmn

m =1 n =1

donde kmn está definido por (8.200).

mvrx nuy senhkmnzsen sen

a b senh kmnc '(8.206)

PROBLEMA 8.15 Resolver el problema 8.14, si f (x, y) = Uo, siendo U. una constante.

Solución:

16 Un2mnn

para m y n impares

0 para m y n pares

Por tanto, según (8.206), se obtiene

16 U. 1 mux nny senhkmnz g. 2078L -sen - sen ( )u (x, y, z) _ mn n a b senh kmnc'

m=impar n=impar

donde kmn = Ú [(m2/a') + (n'/b')] 4.


cmn = 4 fbfUo sen mmx sen

nuydx dy

ab J0 a b

_ 4Uo me sen nx bdx j sen

nby dy

ab f a o


PROBLEMA 8.16 Hallar la distribución de temperatura en estado estacionario, en una

placa semicircular de radio a, en la que las dos caras están aisladas, la parte circular se

mantiene a una temperatura constante Uo y su diámetro se conserva a una temperaturade cero grados (figura 8.8).

Solución : en la sección 8.3, la ecuación de flujo de calor se expresó como

V , 1

En estado estacionario , la temperatura u es independiente del tiempo , por tanto,au /a t = 0, y u satisface la ecuación de Laplace ; es decir,

V'u=0.

Como en este problema el flujo de calor es en dos dimensiones y las fronteras soncilíndricas , se utilizará el laplaciano de u en dos dimensiones y en coordenadas cilíndricas.En consecuencia , por (8.183 ), se tiene

a'u(r, 4 + 1 a u(n ó) 1 a'u(r, rÁ) = 0. (8.208)a r' r ar r2 a</2

La temperatura u(r, 0), considerada como función de r y 0, satisface (8.208) y lascondiciones de frontera (figura 8.8)

u(a, cb) = U0, (8.209)

u (r, 0) = 0, (8.210)

u (r, u) = 0.(8.211)

El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.208) dela forma

u (r, d) = R (r) (ó).

Reemplazando (8.212) en (8.208 ), se obtiene

R (r)ID (0) + 1 R'(r)4>(ó). 1 R(r)V"(ó) =0,r r'

0

(8.212)

r'R" (r) (D (¢)+ rR'(r)(D (^)+R(r)<D " (ó)= 0. (8.213)

Dividiendo (8.213 ) por R (r) 4i (q), y separando las variables , se obtiene

r' R (r) + r R '(r) _ _ 11?",(6) = k', (8.214)R (r) R (r) ID (ó)

donde kz es la constante de separación . En este caso la separación resulta del hecho deque el primer miembro es independiente de 0 y el segundo es independiente de r.El signo de la constante de separación , se escogió de tal manera que la función 4? (0)estuviera expresada en términos del seno y del coseno en vez de funciones exponenciales.La ecuación ( 8.124) conduce entonces a las dos ecuaciones siguientes:

r'R"'(r) + rR '(r) - k'R (r) = 0, (8.215)

(¢) - k'tD(¢) = 0. (8.216)


fl(á)=Acoskó I Bsenkó.

Para resolver la ecuación (8.215) se hace la transformación

r = es.

(8.217)

Figura 8.8 La placa semicircular delproblema 8.16.

210

Entonces,


R'(r) dR dR ds - 1 dR

dr ds dr r ds

1 d'R 1 dR

r' ds' r' ds

y (8.215) se reduce a

d'R-k2R=0.

ds 2La solución general de esta ecuación es

R - C e" - D e-k'.

Como es = r, entonces

R (r) C rk ! D r k.

Según las condiciones de frontera (8.210) y ( 8.21 l), se tiene

(D (0)=Ñ(7)=0.

Por tanto,

(8.218)

(1)(0)=A-0 y (1) (rr)=Bsenkr,=0.

Puesto que resulta una solución trivial, si B = 0, se debe tener sen k rr = 0, por lo cual

krr=nrr o k - n, n=1,2,• .

De donde se hallan las soluciones

(D (Ó) - ID "(ó) - B. sen n d, n 1 , 2, • • • . (8.219)

En (8.218) se observa que cuando r -> 0, el término r-k -* -,dado que k = n > 0.

Puesto que en r = 0, R (0 ) = 0, D debe ser igual a cero. De esta manera , se tiene

R (r) - R„(r) - C„ r", n = 1, 2, • • • . (8.220)

Entonces, se sigue que las funciones

u„(r, ¢) = R, (r) ID, (e5) = b„ r" sen n d, n = 1, 2, • • , (8.221)

donde b" =B, C., satisfacen la ecuación (8.208), así como las condiciones de frontera

(8.210) y (8.211).

Para satisfacer la condición de frontera (8.209), se supone la solución deseada en

la forma


u (r, d) _ u,,(r, ¢) r" sen n c . (8.222)

u (a, c') = U, = b,, a' sen n ¢. (8.223)

De esta manera , los términos b"a" son los coeficientes de Fourier en senos, de la

función Uo,yb„ an = ? f

sen nn dó

para

0 para

Aplicaciones a problemas de valoren la frontera

De donde,

b„ 4U nunan

211

Con estos valores de b, la solución (8.222) se convierte en

\u(r,¢) = 4nUo r

1c (

ral sen nó.

n=impar J

En ell siguiente ejemplo se considerará la aplicación de 1a la solución de la ecuación de Laplace en el semiplano.

(8.224)

PROBLEMA 8.17 Hallar la solución U(x, y) de la ecuación de Laplace en el semiplanoy > 0, si u (x, 0) = f (x) para - o° < x < 00 (figura 8.9).

Solución : ala ecuación de Laplace

uxx(x, Y) + uvv(x, y) = 0,

se aplica la transformada de Fourier con respecto a la variable x, en particular,

u (s, y) [u (x, y)] _ f u (x, y) e- j" dx.

y

0 tu(x, n)=((x)

Suponiendo que u (x, y) y ux(x, y) se anulen cuando x --1 ± 0, se obtiene la ecuación Figura 8.9 El semiplano del problemapara U(s, y) como [ver(8.121)] 8.17.

d^U (s, y) S Uy a (s, Y) -0. (8.225)d


U(s,y)=A(s)esy+B (s)e ey• (8.226)

Así mismo, se supondrá que u (x, y) está acotada cuando y -> + -. Por tanto, paraS > 0, se hace A (s) = 0, y

U(s,y)=B(s)é sy para s>0.

Puesto que U(s, 0) = B( s), se puede expresar (8.227) como

U(s,y)=U(s, 0)e-sr para s>0.

Análogamente , paras < 0, se hace B (s) = 0, en (8.226), y se expresa

U(s,y)=A(s)esy para s<0.

Nuevamente , como U( s, 0) =A (s), se puede expresar (8.229) como

U(s,y)=U(s,0)esy para s<0.

Las dos ecuaciones (8.228) y (8.230) se pueden combinar en

U(s,y)= U(s, 0)e-¡ Y.

Puesto que, u(x, 0) = f(x), se tiene


(8.227)

(8.228)

(8.229)

(8.230)

(8.231)

U(s,0)=f [u (x,0)]=frot(x')e jex' dx'. (8.232)

U (s, y) - [£ f (x') e 1sx' dx'J e a y (8.233)

x


La solución deseada u (x, y) es la transformada inversa de Fourier de (8.233); es decir,

u(x,y) _,[U(s, y)] = 2n Jr U(s,y)elan ds

2n fels ' f f °° f(x) e )s' dx'1 e " ds. (8.234)

J_ L J_^ f

Intercambiando el orden de la integración , se obtiene

11 (x, y) - 2R f(x)^ f^e1ls(= =)-Islr]ds} dx'. (8.235)

Ahora,

J_^ e^ls('-X)-^ s r] ds = f e]is(=-x' )+sr] ds + f e1ls(x ,) sr] ds

J lo

els(z-',)+sy

1 - 1

j(x -x')+y j(x - z)- y

Figura 8 . 10 La condición inicial de lacuerda elástica del problema

8.18.

2y

(x - x')' + y2.

Sustituyendo (8.236) en (8.235 ), se obtiene finalmente

a (x, y) = YR

o

f(x) dx'y > 0.

(x - x')' + y'

(8.236)

(8.237)


PROBLEMA 8.18 Resolver la ecuación (8.1), utilizando las condiciones de frontera

dadas por (8.2) y con las condiciones iniciales

u(x,0)=f(x)=

Ver la figura 8.10.

j(x-X)+y

para 0 < x < a

(1-x) para a<x<l,

0

óu(x, t)I

oO.

ar t=y

Respuesta : u(x,t)= 2kl' 1 sennuaa sen n xx Icosnnct

n'a(1-a) „_ n' l

PROBLEMA 8.19 Si la energía instantánea de una cuerda vibrante es

Wxs = -

1 '

1 P L0 rapar )Jdx,

o

hallar la energía cinética de la cuerda vibrante del problema 8.18.

Respuesta: 2 p n 21 c' A' sen' ^ n o t^ donde A = 2 k1' 1 sen (t\

n=1 7'a (1-a) n' J

els(x-x')_sy


PROBLEMA 8.20 Probar que la función

u(x, t)=f(x-ct)-g(x+ct)

es una solución de la ecuación de onda en una dimensión, dada por (8.1), siempre que

f y g sean dos funciones diferenciables de una sola variable.

PROBLEMA 8.21 La temperatura de una barra aislada de longitud 1, satisface las

condiciones de frontera u(0, t)=0, u (1, t) = 1, y la condición inicial u (x, 0) = sen

(rx/l). Hallar (a) la distribución de temperatura después de un tiempo t, y (b) la

temperatura en estado estacionario, es decir, la temperatura en la barra a medida que

t ---' °°.

Respuesta (a) u(x, t) = x+ (-1)" e x" sen I1/ n7x cnn

1 u n

(b) u(x, t) = x^r=oo 1

PROBLEMA 8.22 Resolver

d'u ldu = 0

3x2 c2dt

con

para 0 <x<u, t>0,

du (0, t)- 0, du (n, t)=0, y u(x, 0)- sen X.dx dx

Respuesta : u(x, t)= 2_ 4 Y' 1 e-4a2`2` cos 2nx.7 71 (4n'-1)


82 u () 2 n-0 para O <x<a, 0<y<b,

8x' dy2

con las siguientes condiciones de frontera e inicial : u(0, y)= u(a, y)= u(x, b)= 0, yu (x, 0) = f (x).

Respuesta : u (x, y) -bn senh [nu (b - y)/a]

sen nnx) donde"=1 senh (nub, a) a

b" _ 2 f (x) son 1 n7 x

o


d' u d' u - 0

8x' dy2para 0 <x<a, 0<y<.,

con u (x,y)-*0, cuando y—, u(0,y)= 0 u(a,y )= 0 y u(x,0)= x(a-x).

Respuesta : u (x, y) = 4=R

(1 -cos nu) - nnxn e "'y i"sen ( a )

-1


d'u 1 du+ 1 d2u =0 para r<1, 0<<b <u,dr2 r dr r2 r90'

con u ( r,0)=u(r,7t)=0 y u(1,0)=0(1T-0).


Respuesta : u (r, d) - á > 1 ] r— sen (2n - 1) d., (2n -- 1)

PROBLEMA 8.26 Resolver2 2

au+ldu 1 au -0 parar<1, 0<(<",dr2 r dr r2 a¢' 2

con u(r, 0)=0,add

(r, i n) =0, y u(1,

Respuesta: u(r, 0)_? (- 1)°-' 1 2 rz n-1 sen (2n- 1)6.(2n - 1)

PROBLEMA 8.27 Hallar la distribución de temperatura u(x, t) de una barra infinita,

si la distribución de temperatura inicial es

0 para x < 0f(x)

T para x > 0,

donde T es una constante. (Cf., problema 8.11.)

Respuesta ; u (x, t) _ T 1 + erf ( x V( 1 , donde2ct

erf y = 2 e-F de.V n

PROBLEMA 8.28 Utilizando la transformada de Fourier, resolver

d2u - du = f(x, t) para -^ <x < t> 0,8x2 at

con la condición inicial u (x, 0) = 0 para t > 0.

- (x- S )'/4(t-T)

Respuesta : u(x, t)= i ^^ ^^ e H(t - T) f (C, T)dcfd-, donde2Vn _ Vt-i

H (a) _1 para Á > 0

0 para h < 0.

PROBLEMA 8.29 Utilizando la transformada de Fourier, en términos del seno, resolver

a' u _ a u = 0, para x > 0, t > 0,ax2 at

con u(x,0)=0, para x>0, y u(0,t)=g(t), para T>0.

Respuesta : u(x, t)= x - g(T) e-[aa-r)] dT.

2\ i (t T)3/^

2

APLICAC IONESMISCELANEAS DE LA

CAPITULO9TRANSFORMADA DE

FOURIER*

9.1 LA TRANSFORMADA DE FOURIER ENDIFRACCION Y FORMACIONDE IMAGENES

ro aris gene es , que c iquen y stmpltñquen el cálculoU aplicación de la transformada de Fourier en óptica, hace

1 establecimiento de retataane l l fortnación de imágenes por un sistema óptico. En esta sección se considerará la.ión y formación de imágenes . Se supone que el lector está familiarzde estos fenómenos.

ar esta sección se supontintroduce cambio de fase.

áql la ant

PROBLEMA 9.1 En el fenómeno de difracción de Fraunhofer, deducir la relaciónentre el patrón de difracción y la característica de transmisión de la pantalla absorbente.

Solución : considérese una pantalla absorbente AB, como se muestra en la figurcuyo coeficiente de t i ió l11111111 p á ds en en unto x est ado por f(x); supóngase que lapantalla está iluminada por una onda monocromática plana de longitud de onda X.Ex ese la amplitud compleja de la onda resultante en la dirección O. La contribucióndel elemento dx en el punto x tiene una amplitud proporcional a f(x), y una fase dadapor [2 n san (9/X)] x. Si la onda incidente está representada por la cantidad compleja

¿nsan 8.

Por tanto, la contribución total de toda la pan

U. 1(x) et(wt_xx) d

a está dada por

Entonces el patrón de difracción de la pantalla , que está definido como la relaxonda resultante en la dirección 8 a la onda incidente, se puede expresar como

9.3)

ión de la

*Las secciones de este capitulo no pretenden ser una exposición completa y suficiente de lostemas respectivos.

Uo ermt

la contribución debida a dx en el punto x está dada porU0 f(x) e1t^t-kx)

(9.1)

y

Figura 9.1 La pantalla absorbente del

problema 9.1.

215

216

forman ni


bserva que la característica de transmisión f(x) y el patrón de difracción F(k)i par de transformadas de Fourier . De esta manera ,se tiene

F(k) e1x' die.f(x) = 1 f'

PROBLEMA 9.2 Considérese la difracción de una rendija que se extiende desde

x = - 2 a, hasta x= 2 a, como se muestra en la figura 9.2(a). Supóngase que la amplitud

de la luz transmitida por la rendija es A veces la magnitud de la onda incidente, y que la

pantalla es completamente opaca en las otras regiones. Hallar la distribución de la

intensidad de la luz, difractada en la dirección B.

Solución : según las suposiciones del problema, la característica de transmisión f(x)

K es la que se muestra en la figura 9.2(b) y está dada por

i(x) = A pa(x), (9.6)

donde pa(x) se define como

(o)

Entonces, por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene

ká

a

20

(b)

a2

21k" dx = AaF(k) =J f(x) e

sen

ka

2

Figura 9 .2 (a) La rendija del problema sen (ua sen 09.2. (b) La característicade I\ Án—)

(9.7)transmisión de una sola rendija .Aa /ra sen B

I\ A /I

Como la distribución de intensidad de la luz difractada I, es proporcional al

cuadrado de la amplitud del patrón de difracción, se tiene

3 (un sen 0)

1 = (Aa)'sen I\ /I

( na sen A O (9.8)

A

donde a es el ancho de la rendija y X la longitud de onda.

PROBLEMA 9.3 Hallar la distribución de intensidad producida por una rejilla de

difracción, que consta de N rendijas de ancho a y separadas por una longitud d [figura 9.3(a)].

Solución: en el caso de una sola rendija, como se muestra en la figura 9.2(b), la

característica de transmisión f(x) corresponde a un pulso de ancho a. En el caso de una

rejilla que consta de N rendijas de ancho a y espaciadas en una longitud d, la característica

de transmisión f(x) corresponde a un tren finito de pulsos como se muestra en la figura

9.3(b).

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier 217

y

1

Lx

(a)fo (x)

A

I:J a

1-2d -d 0 d 2d 0 d

(b) (c)

Figura 9.3 (a) La rejilla de difracción del problema 9.3. (b) La característica de transmisiónde N rendijas. (c) Un pulso individual que ocurre en x =d.

Para hallar la transformada de Fourier de f(x) se procede como sigue:Por la ecuación (9.7) se tiene la transformada de Fourier , F0(k), de un pulso de

magnitud A y ancho a , localizado en el origen ; es decir,

senka

Fo (k) = Aa ka22I , k = 2 sen 0. (9.9)

2/Entonces la transformada de Fourier de un pulso que ocurre en x = d, como se muestraen la figura 9 .3(c), se encuentra por medio del teorema del desplazamiento , dado por4.73, como

é jkd F0(k). (9.10)

Considérese ahora, un tren de N pulsos que ocurren en

x -- -nd, -(n - 1)d, • • , -d, 0, d, • • (n - 1)d, nd,

donde N= 2 n + 1. Por superposición, se tiene

F(k) = Fo (k) (1+ ejkd + jkd + ... + ejnkd + jnkd

= Fo (k) [1+ 2 (cos kd + cos 2kd + • • • + cos nkd)]

= F0(k) [-1 + 2(1 + cos kd + cos 2kd + • • • + cos nkd)]. (9.11)

Las series entre paréntesis angulares se pueden sumar, tomando la parte real de la

serie exponencial correspondiente, y operando de la siguiente manera:

- 1 + 2 (1 _ cos kd + cos 2kd + • • • + cos nkd )

=-1+2Re(1+ejkd+ej2kd+.,, ejnkd

- 1 + 2 Re 1 - el(+1a)kdl

1 - ejk

=-1 +2Re ^(1 _ej(n +l ) kd) (1 - B

jkd(1 - e'")(1 - e jktl)

► x

1 - e jkd + ejnkd - ej(n +1)kd

=-1+2Re -2 (1

l

- cos kd)


De donde , considerando las partes reales, se obtiene

- 1 + 2 (1 + cos kd + cos kd - . - cos nkd)

1-cos kd+cosnkd - cos(n

1 - cos kd

cos nkd - cos (n + 1) kd

1 - cos kd

2 sen 1 (2n + 1) kd sen 1 kd2 2

2 sen' 1 kd2

De donde

sen 1 Nkd2

sen 1 kd2

1) kd

(9.12)

sen /1 Nkdl sen 11 kal sen (1 Nkd

F(k) = F0(k) 2 / - Aa 2 2 (9.13)

sen ( kd) (- ka) sen ( kd2 2

La distribución de la intensidad 1, producida por una rejilla de difracción que constade N rendijas de ancho a, espaciadas por una longitud d, está dada por

2 2 /1 = F(k)"- (Aa), - : (9.14)

(2 ka) sen' (2 kd^

donde k = 2r sen 0.A

PROBLEMA 9.4 Demostrar que la distribución de la intensidad de la luz no se afecta

si la rejilla de difracción es desplazada.

Solución : supóngase que la rejilla sea desplazada en la dirección x en una cantidad xo;

entonces f(x -xo) representa el cambio de la característica de transmisión. Entonces, de

acuerdo con el teorema del desplazamiento, dado en (4.73), el patrón de difracción se

convierte en

F(k) e-1x

La distribución de la intensidad está dada por

11 F(k) eikxp ^, = F(k) 2

(9.15)

(9.16)

puesto que j e' 'X= 1.

La ecuación (9.16) demuestra que la distribución de la intensidad no se afecta si larejilla de difracción es desplazada.

En seguida se considera la formación de imágenes y la transformada de Fourier endos dimensiones.

Cuando una función de dos variables independientes, tal como la intensidad de la luzen un punto, se reproduce en otra parte como otra función de dos variables, se habla deformación de imágenes.

sen' (1 ka' sen' (1 Nkd

Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier

Una imagen se puede describir en su totalidad , por la distribución de la in

219

iluminación [(x, y); supóngase que E(x,y) es la imagen de una fuente puntual, y que0 (x, Y) representa la distribución de un objeto. En efecto, corno el objeto es incoherente,la distribución de la intensidad en la imagen se puede obtener, sumando las intensidadesi d id ln iv ua es producidas por cada imagen de los varios puntos del objeto.

c cauce u,aucua , la uwtüouvrurü ue ta meagen t tx,Y), se oouene uesra aistno

:l objeto 0(x,y), por convolución con la imagen de un punto E(x, y); es decir,rm r°P

La ecuación (9.17) define la integral de convolución, de dos f0(x,Y) y E(x.y)•

9.1a Transformada bidimensional de Fourier

Para aplicar la técnica de la transformada al análisis de laformación dede Fourier.

LA ir

f(x,Y), se pu

cesitará la teoría de las transformadas bidfntensionales

ensional de Fourier F(u, v), de uio una integral doble

i°° 1('.Y) e,roce +oY) di

y) se puede hallar por la

f(x,Y) 1 J1(2n)

,J'.

bidimensioni

u, y) er(ux+.vr da dv, (910)

PROBLEMA 9.5 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier en una dimensión,deducir la fórmula de inversión (9.20).

Solución : se denota como G(u,y), la transformada de Fourier de la funciónf(x, y), donde la transformada se toma con respecto a x; es decir,

G(u, y) f(x,y) e-J` dx . (9.21)

Entonces, por la fórmula de inversión unidimensional (4.16), se tiene

Irf (X, Y) -

1

2 n JG(,, y) e) ^x du. (9.22)

Ahora se toma la transformada de Fourier F(u, v), de G (u, y) con respecto ay,considerando a x como un parámetro; es decir,

F(u, v)= fm G(u, y)e jr dy. (9.23)

La fórmula de inversión (4.16) da

G(u,Y) =1

2ir flF(u, v) eJv dv. (9.24)


f (x, y) = 1 ' J_ro J_ro F(u, v)e/(ux"v) du dv.

(2 r f


Combinando (9.23) y (9.21), se obtiene

F(u,v)=fue ff(

x, Y)é 1 ( "1) dx dy.

PROBLEMA 9.6 Demostrar que la transformada de Fourier, de la imagen de un objeto

incoherente, es igual al producto de la transformada de Fourier del objeto, y la transformada

de Fourier de la imagen de una fuente puntual.

Solución : supóngase que las transformadas de Fourier de 0 (x, y), I (x, y), y E(x, y),

son las funciones 52 (u, v), xV (u, v) y F (u, v), respectivamente; es decir,

4(u v) - f f 0(x,Y)e dxdY, (9.25)

T(u v) l (x,y) e-I(ux+,.r) dx dy, (9.26)

F(u,v)=- J flE(x,y)e_1(ux+"r)dxdy. (9.27)

Entonces , mediante la fórmula de inversión de Fourier (9.20), se tiene

9(u, v) e1(ux+xv ) du dv, (9.28)0(x,y) = L 2 £ £(2 n) I('

1 (x, y) - Ij(2n)2.J_^ J_ W (

u v) e1(ux+y v ) du dv, (9.29)

I(u x'r>E (x, y ) = z 1 f- f^l'(u, v)e du dv. (9.30)(2 r)


1 _ ^^ ^^ 1 [u(x_>')+v(r-v )] du de. (9.31)I'(u, v) eE(xy -y')=(2 )'


l(x,y)_2

fE-0(x',y' )• E(x-x',y-y' )dxdy' (9.32)(

en donde E (x -x', y -y), está dado por (9.31 ). Intercambiando el orden de integraciónen (9.32), resulta

l(x,y)=1 f- f x {F(u, v)el( ux +vr)

(27) '

x [f--- f - 0(x, y) e 1(ux"r') dx'dy]} du dv. (9.33)

Mediante (9.25), el resultado (9.33) se convierte en

l (x, y) =(2n)2 f : f : E2(u

v)1,(u, v) ei(ux+vr) du dv. (9.34)

Comparando (9.34) con (9.29), se concluye que

Y1 (u, v) = S1 (u, v)1'(u, v). (9.35)


La ecuación (935) es el teorema de la convolución bidimensional; esta ecuaciónimplica que la formación de imágenes es estrechamente paralela al caso de los filtros quese comentó en la sección 6.10; es decir, la transición del objeto a la imagen, es equivalentea la acción de un filtro lineal. En la sección 6.10 se comenzó con una función del tiempo,que se transformó para conseguir su espectro, el cual fue modificado por el filtro;la función del tiempo a la salida, era la transformada inversa de la función espectralresultante. En la formación de imágenes, el sistema óptico se comporta como un filtro yel espectro espacial de ta intensidad se transforma de esta manera.

9.1 b Transformada tridimensional de Fourier

a difraccián de rayos X por cristales, se debe considerar latransformada tdefinido como

niension de Fourier; el par de transformadas tridimensionales está

F(u vw)= ¡ f(r,Y.z)e'tr'

1

ws) a

f (x, y, z) (2 n)r 1. L F (u, v, w) el,

Un estudio más a fondo de este tema, está fuera de lo

dy dz;

dv dw.

tos

(9.36;

9.37)

de este libro.

9.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TEORIADE PROBABILIDADES

1,a transformada de Fourier se utiliza ampliamente en la teoríade probabilidades y en los procesos de azar. En esta sección se estudiarán brevementealgunas funciones básicas y las transformadas de Fourier utilizadas en la teoría deprobabilidades ; Se supone que el lector tiene alguna farmiliaridad con la teoría deprobabilidades.

se puede coidefinida por

9.2a Función de distribución de probabilidad yfunción de densidad de probabilidad

Una variable al azar x, que asume valores reales entre --- y 00,r por una función de distribución de probabilidad P (x), la cual está

P(a)=Pr(X <x), (9.38)donde Pr(x <x) es la probabilidad de que la variable al azar x, asuma un valor menor quealgún número dado x.

Si P(x) es diferenciable , entonces la función de densidad dede frecuencia p (x), está definida por

P (x) = de(n)

P(zr)cP(za)

ePr(X--co)= 0, es obvio que

p(--)-0'

Puesto que X<+«•,y li

9.39)

P(--)-0, ' P(ao)-1, (9.4%, b:

de distribución P(x) tiene las siguientes propieda

s p€op

nde a probabilidad

pronatnuaaa o tuncion

F.411)


De esta manera, (9.40) indica que P(x) es positiva y tiene valores entre 0 y 1.Para probar (9.41), se observa que si xr y x2 son números reales tales que x1 <x2,

entonces

Pr(X <xr)=Pr(X <x,)+Pr(x, <X <x,) (9.42)

de tal manera quePr(x,<X<x,)=P(x,)-P(x,). (9.43)

Por esta relación y por el hecho de que la probabilidad de un evento es siempre positiva,

se tiene

p(x,) < P (x1), si x, < x,.

La ecuación (9.41) indica que P(x) es una función- monótona creciente.


p (x) > 0, (9.44)

P(x)_f p(x)dx, (9.45)

fp(x)dx=1, (9.46)

Pr(x, <X <x,) _j p(x) dx. (9.47)

Solución : por la definición (9.39) y por el hecho de que P(x) es una función

monótona creciente para todo valor de x, se tiene

p(x)> 0.

Integrando (9.39) entre - - y x, se obtiene

f ffdP (x)

J_ p (x) dx - J_ d(x) dx _ P (x) - P

Por (9.40a), se tiene que P (- c°) = 0; de esta manera,

f „ p (x) dx = P (x).

Entonces , por (9.40b), se tiI(en

f p(x)dx=PP(-°o)=1.

Por (9.45), se obtiene

P (x:) - p (x1) - £ p (x) dx - f p (x) dx =fx

2 p (x) dx. (9.48)

J 1

Por (9 .48) y (9.43), se obtiene

Pr (x, < X < x,) =f

p (x) dx.

PROBLEMA 9.8 Supóngase que la variable al azar x asume el valor xo; entonces,

P (x) = 0 para X < xo, P (x) - 1 para X > xo.

Hallar la densidad de probabilidad p(x).

1 1 1 1


Solución : de acuerdo con la suposición, P (x) se puede expresar como

P (x) - u (x - xo), (9.49)

un escalón unitario. En este caso, la densidad de probabilidad p (x) no existe en el sentido

ordinario. Sin embargo, en el sentido de una función generalizada (ver sección 2.4), se

puede obtener

dP(x) du(x - xo)P(x)=._.dx

dx

mediante (2.90).

(9.50)

9.2b Esperanza y momentos

Sea X una variable al azar con densidad de probabilidad p(x).La esperanza matemática o valor medio de X, E [ X], se define como

E[XI xp(x)dx. (9.51)

Para cualquier función g (x) de valores reales , g(X) es una variable al azar y laesperanza matemática de g (X) está definida por

E[g (X)) _J' 9 (x)P(x)dx. (9.52)

Una esperanza originada por cierta función g (x), se menciona con frecuencia, comoun parámetro estadístico. A continuación se definirán los más comunes de estosparámetros:

Valor medio deX=E{X)=X=1^xp(x)dx; (9.53)

Valor cuadráticomedio deX= E [X2] =Xr-^^x'p(x)dx;ao

(9.54)

Momento enésimo de X = E [X ") x"p (x) di; (9.55)

Varianza de X = valor cuadrático de X alrededor del valor medio

E [(X - )E)9 ; (9.56)

PROBLEMA 9.9

Desviación estándar o = E (X - X)'.

Demostrar que

(9.57)

Varianza de X (9.58)

Solución : por (9-56) y (9.52), se tiene

Varianza de X = E [(X - X)'J

(x - X)'p(x) dx

(x' - 2 xX + X') p(x) dx

- f x'p(x) dx - 2X £ xp (x) dx + (X)' ^^ p (x) dx.


Por tanto,

var (X) _ (X 2) - 2 XX + (X)2 _ (X') - (X)'.

Las ecuaciones (9.53), (9.54) y (9.46) se utilizan en la deducción de (9.59).

4S(*) =Elei"xl =' er"R P (x) di, (9.62)

PROBLEMA 9.10 Demostrar que si la densidad de probabilidad p(x) es una función

par, es decir, p(-x)= p(x), entonces el valor medio y todos los momentos impares

son cero.


m„ = momento enésimo de X = E [X"] - L x"p(x) dx.

Si n es impar , entonces el integrando x"p(x) es una función impar de x. Por tanto, según

(2.14), se tiene

m" = f ro x"p(x ) dx = 0 para n = 1, 3, 5, • • . (9.60)

9.2c Función característica

id pr

ostrar que la densidad de probabilidad p(x) se puede expresar

(W) = E [e r.xl

PROBLEMA 9.11 Demostrar que la función característica O (w) de una variable al azarX. es la transformada de Fourier de su densidad de probabilidad p(x;!con el signocambiado.

ol u ción : mediante la definición (9.52) se puede expresar la definición (9.61) como

ie es la transformada de Four er de p(x) con el signo cambiado; algunas veces se lenomina la transformada de Fourier con +¡.

PROBLEMA 9.1en términos de A

la cual se conSolución:

p(x) _ .; 1 551

(9.59)

(9.61)

(9.63;

según la fórmula (9.62), 0(w) es la transformada de Fourier de p(x) con

un cambio en el signo del exponente; entonces p(x) se puede hallar a partir de la

transformada inversa de Fourier de O(w), nuevamente con un cambio en el signo

del exponente; es decir,

p 21n f m (w) e"°' dm.

Otra forma de solución : reemplazando (9.62) en el segundo miembro de (9.631,

se obtiene

2rr ^^^(ú)e1-xd.= 2n eIm.[fue el^X p(A) dA] do,. (9.64)

La función característica 0(w) ddad es p(x), está definida por

una variable al azar x, cuya

1


Cambiando el orden de integración , se tiene

2 n d (w) e_

' °` do p (A) f: et ! x> dw1 da. (9.65)2n

Mediante la identidad (5.6) de la función 8, se tiene

1

2n dm = 5 (A - x)• (9.66)

Por tanto, en razón de (2.68), se obtiene

_2 f e l` dw -j..., p(A)5(A- x) dt =p(x)•

Uno de los usos importantes de las funciones características , se sigue de la existenciadel par de transformadas de Fourier ,(9.62) y (963). En muchos problemas, cuando senecesita hallar la densidad de probabilidad de una variable al azar , es más fácil calcular lafunción característica primero y luego hallar la densidad de probabilidad . Otra aphcacíónimportante de la funcióncaracterística se ilustra en el siguiente ejemplo.

PROBLEMA 9.13 Demostrar que las derivadas de la función característica, de unavariable al azar X, están relacionadas con los momentos de esa variable

mediante

[X"] = f. x"p(x) dz

(9.67)


e1"" = 1 + jwx ,. + (jwx)"

1 n

reemplazando (9.68) en (9.62), se obtiene

c6 (w) - E £ p (x) ej`` dx

P (x) 4 j w x + ... , (j w x)"

1 n! .] dx.

Suponiendo que la integración término por término es válida, se obtiene

cS(w)=J p(x)dx . jca ^^ xp(x)dx +...{ (jü»" (•xJ p(x)dx+•••n!

°=1+jwm,c-... 1 w

)_m,,nl

Por tanto,

d"ó (w)

dw

(9.68)

(9.69)

Hasta ahora se ha tratado sólo con una variable al azar; a continuación, se extenderánestos conceptos a dos variables al azar.


por

La función de distribución conjunta de las variables al azar X y Y, está definida

P (x, y) = PrIX < x, Y < y}. (9.70)

Suponiendo que P(x, y) tiene derivadas parciales de segundo orden, la cantidad

p(x,y)= d'P(x,y) (9.71)axay

se conoce como la función de densidad conjunta de las variables al azar X y Y.Dos variables al azar X y Y son independientes si

P(x, y) = P (x) P(y). (9.72)

PROBLEMA 9.14 Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes,

entonces

p (x, y) = p (x) p (Y). (9.73)

Soluci ón: como las variables X y Y son independientes, según (9.72), se tiene

P(x, y) = P(x) P(y)•

Entonces, por (9.71), se tiene

d'P(x,y) = d'P(x)P(y) ÑP(x) aP(y)

p (x, Y)- axay axayox ay = p(x)P(Y)

El valor esperado de la variable al azar g (X, Y) está definido por

E[g(X, Y)]= 'm fmg(x, y)p(x,y) dx dy. (9.74)

De dos variables al azar X y Y, se dice que no son correlacionadas si

E[XY] =E[X ] E[Y]. (9.75)

Dos variables al azar X y Y son ortogonales si

E [XY] = 0. (9.76)

La función característica conjuntade dos variables al azar X y Y, está definida por

E [e res, x+^,f1.(9.77)

PROBLEMA 9.15 Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes,

entonces no son correlacionadas.

Solución : por (9.73) y (9.74), se tiene

E [XY] i: £ xyp(x, y) dx dy

xyp(x) p (y) dx dy

xp(x) dx J : 3'p (Y) dy

E [XI E [ Y I. (9.78)

Aplicaciones miscelaneas de la transformada de Fourier 227

De esta manera, según (9.75) se concluye que las dos variables al azar X y Y no están

correlacionadas.

Se observa que si X y Y son independientes , entonces f(X) y g(Y) también sonindependientes . Aplicando (9.78) a f(X) y g(Y), se obtiene

E[f(X)9(Y)]=E[f(X)]E[9(Y)]. (9.79)

PROBLEMA 9.16 Demostrar que la funcion característica conjunta, de dos variables al

azar X y Y, es la doble transformada de Fourier de p(x, y) definida por (9.19), con elsigno del exponente cambiado.

Solución : por (9.74), se puede expresar (9.77) como

d (mi, 0^2) = E [ei(6lx+.zY)1

£ £ p(x, y) el(m,x4 m,Y) dxay, (9.80)

que es la transformada bidimensional de Fourier de p(x, y), definida por (9.19), con elsigno del exponente cambiado.

PROBLEMA 9.17 Demostrar que la densidad de probabilidad conjunta p(x, y) sepuede expresar en términos de O(w) , w2 ), mediante

p(x,Y) 1 á(o)', coz) e dc>, dmz. (9.81)

Solución : por (9.80), se sabe que (w1, w2) es la transformada bidimensional de

Fourier de p(x, y); entonces, aplicando la transformada inversa de Fourier (9.20), con

un signo cambiado, se obtiene (9.81).

PROBLEMA 9.18 Demostrar que si las variables al azar X y Y son independientes,entonces

(w 0)Y) = Y' (ti),) ó (c.)y)-

Solución : si X y Y son independientes, entonces por (9.79), se tiene

E [et (o,x+^iY)1 - Elelu"x é ,), Y] = E [e)W,x1E [e "^'Y].

Por tanto,

(5 (o 1, wp ) - ó (e),)Ó(w])•

(9.82)

(9.83)

PROBLEMA 9 .19 Demostrar que si O(w), wz) = ^(w1)^(w2 ), entonces las variablesX y Y son independientes.

Solución : por(9.81),setiene

p (x, y) Ysm i:

(wv (`2) e-' ( x +^

2)') dw, dmz(2 R)

-l(W1x 2Y)(2;Y d(w^) 5(wx) e d e, dwz1 £ £

2 1^ dco, 27 ^^ ^(^s) e l^zr dc,2

= p (x) p (Y),

en razón de (9.63). Por tanto, según (9.73), se concluye que X y Y son independientes.


PROBLEMA 9.20 Demostrar que la densidad de probabilidad, de la suma de dos

variables al azar e independientes, es igual a la convolución de sus respectivas densidades.


Z=X+y,

donde X y Y son variables al azar e independientes.Sea

Entonces

¢,;(w) = E [ejwx Í,

^Y(w) = E [e)°'Y],

$^(w) = E[e" zl.

0^(w) = E {ei' ] = E [ei(' x+^Y)].

Dado que X y Y son independientes , por (9 .83), se tiene

O^(w) = E [.'"'x] E [e' Y] = 6 (w) ó,(w)•

Aplicando el teorema de convolución (4.122), se obtiene

p:(z) _ J [45:(w)]

^_, k (w) (w)]

p'.(x) * p ,(Y)

= J P.(x)pyz-x)dx.

(9.84)

(9.85)

(9.86)

9.3 EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN ELANÁLISIS DE FOURIER

El principio de incertidumbre en el análisis espectral se puedestablecer así: el producto del ancho de banda espectral y el tiempo de duración de una;ñatno puede ser inferior a cierto valor mínimo, Este es análogo al conocido principioe incertidumbre de Heisenberg, en mecánica cuántica.

En esta sección se analizará la relación entre el tiempo de difusión de una función(t)y la forma de su transformada de Fourier F(w).

Se considera una señal real f(t) y su transformada de Fourier

r(

guiel nes

dt

idadonde Ilf(t)fl' es el contenido de energ(u, E, 4e la señal f(t),centro de gravedad del área bajo la curva f2(t), y (4t) es unaalrededor de T, y que se denomina dispersión de la señal en el

(9,87)

(9E

a señal difundú


PROBLEMA 9.21 Demostrar que w de (9.91), es igual a cero

Solución : puesto que 1 F(w)12 es par con respecto a co, el integrando de (9.91) es

una función impar de w. Por tanto, según (2.14), se obtiene

Jcco1F(w)I'dm=0,

es decir, w = 0. Con w = 0, la definición (9.92) se puede expresar como

(4^)' _ ^I D ' F(o) P d.,.F

4 T

PROBLEMA 9.22 Hallar el tiempo de dispersión At, de la señal que se muestra en lafigura 9.4, la cual decae exponencialmente.

So 1 u ci ón : según (9.88), el centro de gravedad de esta onda, ! , se encuentra como

t _ oTtA2e-2t/Tdt A2T'

foA' é 2t/T dt

A'T 2

2

Entonces , por (9 .89), dado que 11f112 = A2T/2, se tiene

(A t), = r- I t A2 e2 uT di _ 2 °°A°T

2/o \ T Ja

2

2 f0

2 T'

T 4

T2

Por tanto

4

At = 1 T.2

\

t _ T/ e

2tIT di2

(9.93)

(9.94)

42-Tt+á T')e 2t/T dt ,

T' T'

4 + 8,

(9.95)

(9.96)

Figura 9 .4 Señal que decae en formaexponencial.


PROBLEMA 9.23 Demostrar que el ancho de banda espectral Aw, de una señal f(t)

definida por (9.93), será finito sólo si la siguiente integral es finita; esto es,

f [f'(t)]' dt = finita

donde f'(t) = df(t)/dt.


'F(o)F*(ú)=jwF(res)[-jwF*(res)]

=1^F(w)[jmF(w)]*

= l ja) F (m)

se tiene

(9.97)

£ ' F (m) I' dw = f ) w F (m) I' de). (9.98)

Se recuerda que si

.`f [f (t)I = F (.),

y si f ( t) -- 3 0 cuando t -, entonces por (4 .91), se tiene

`f f'(t)] =jw F(w).

Por consiguiente , según el teorema de Parseval (4.136), se tiene

f ^ (j' I F(m ) 1 ' do) = Jjw F(w) 1 ' d(, = 2u J^ [fdi. (9.99)

Por tanto , si r [f'(t ) I' di = finita , entonces

fo? ^ F (n,) 1' dm = finita

y en consecuencia, según (9.93), Aco será finita.

:nación (9.100) también significa que

f(1)

'o

el resultado del problema 9.23,(9.93).:puede cona condición (9.97'' El

bserva ql lide banda infinito:.;uiente ejemplo ilustra este

PROBLEMA 9.24 Hallar el ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura

9.5(a).

0 2u

d(6 )

Figura 9.5 (a) El pulso rectangular delproblema 9.24. lb ) El ancho

de banda espectral del pulsorectangular de la figura 9.5 (a).

(9.100)

ción del ancho de banda

menos que la señal f (r)

caso.


Solución: según (4.45) y (4.73), la transformada de Fourier de f(t) está dada por

sen\wd/F(w) = e Ad 2 (9.102)

Puesto que e j '1° = 1, entonces

1F(w)I =Ad

sen (`tld)I\\ /I

/

2dSegún el teorema de Parseval, dado por 4.136, se tiene

'IFII'=£,F(w) 1'dw= 2u f' (t)dt=2uA2d.

Por (9.93 ), se obtiene

fro w' F (w)' 2 dw

F '

sen2

A'd'w' 2 dm2n d f (wd

2

2f ^ sena (

cid) dw

cos (wd)] dw

el cual es infinito, puesto que lim w' IF(w) 1 # 0.W0

En la práctica, el ancho de banda espectral de un pulso cuadrado, seadecuada como 2 r/d; es decir, el primer cero de 1 F(w)1 [ver figura 9.5 (b;parte de la energía del pulso, está concentrada dentro de este ancho.

El principio de incertidumbre en el análisis espectral, establece queue les tal i t l 9 87q as egra es ( .n ) a (993) son finitas, y así mismo, que ltm

entonces

establ

Attlcu

para,

la i

(9.103)

(9.104)

(9.105)

e en formaa mayor

o.

(9.106;

atiple

PROBLEMA 9.25 (a) Probar la desigualdad de Schwartz. (b) Probar el principio deincertidumbre en el análisis espectral.

Solución : (a) sea x una variable real cualquiera y

m(x) £ 1f(1) + xg (t)]' dt =f : f'(t) di + 2x^w

f(t)g(t) dt + x'

Jmg '(t) dt.


Sea

g'(t) dt = a, 2 J f (t) g(t) dt = b, f f'(t) dt= c. (9.108)

Puesto que m(x) es la integral de un valor al cuadrado , entonces la integral es siempre

positiva y real; de donde,m (x) - ax' ^ bx + c > 0 para valores reales de x. (9.109)

De (9.109) se sigue que su descriminante b2 - 4ac debe ser negativo ; es decir,

b'-4ac=0 o ac? 1 W.4

La desigualdad de Schwartz, (9.107), se prueba reemplazando a, b y e dados por (9.108).

(b) Según el teorema de Parseval , dado por (4 .136), se tiene

f 1 F(m)1' d<u = 2,7 iicc í1(t) dt, (9.110)

esto es,

1 FII'=2n 1'.f 1' (9.111)


f ^ n' 1 F (cm) ' da, = 2 r f dt. [9.99]

Multiplicando (9.89) y (9.93), y utilizando (9.110) y (9.99) se obtiene

(AtAa,)'=f '

(t-t )' f'(t)dtf: (J'1F(w)^'dm

_ 1 -(t - t)'f'(t) dt f^ [f(t)]' dt. (9.112)

f

Escogiendo una referencia de tiempo adecuada, se puede hacer t = 0, sin pérdida de

generalidad ; por tanto, con esta escogencia , se tiene

(AtAm)'=H

f2-- t112(t)dt f'(t)12 dt. (9.113)12

Utilizando la desigualdad de Schwartz (9.107), se obtiene

t'f'(t) dt f [f'(t)]' dt> f tf(t)f'(t) dt (9.114)

Integrando por partes , se obtiene

fJ tf(t)f'(t)dt tf(t)di(t)

Por tanto, si lim t f2(t) = 0, entonces

- 1 f' f'(t) dt.

f f-(t) dtt f (t) f '(t) dt = - 2 ^

= 2 11 f 11 '. (9.115)


Reemplazando este resultado en (9.114) y utilizando la desigualdad resultante en (9.113),

se obtiene

Por tanto,

[ f 12]24 1

(1t Am)'-f12]2 4

:\t A(a_ 1.2

(9.116)

PROBLEMA 9.26 Considerando la función f(t) que se muestra en la figura 9.6(a),

ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.

So l u ci ó n : la función y su derivada son

f(t) =at e-°` u(t), a , 0,

f'(t) - a (1 - at) e-a` u (t).

Por (9.88), el centro de gravedad t de esta forma de onda es

f,

3 1

2a 4 3a 3

1 2a

(4a')

Entonces por (9.89), se tiene

( \ t)2

De donde,

a't' 2at dt I t3 e-2-t dt

0a't' 2ar dt j^ t' e-2a1 dt

0

^^ ^t - alt2 e- 2ardt

1

02a

4a

3

4a'

\t3

2a

(9.117)

(9.118) e

(9.119)

(9.120)

(9.121)

El ancho de banda espectral Aw de f(t) se puede encontrar así: por (9.93), se tiene

(S(,)2 = 1' 1 2

f x

m2 F (o)) 2 d(u.

Por (9.108) y (9.99), la ecuación (9.93) se puede expresar como

\(J)'=2

1f 22 j(f 'U)l2 dt

1 f(t)12 dr.É, 12 (9.122)

f(r)

j pendiente = a

(b)

(a)

Figura 9.6 (a) La función f(t) delproblema 9 .26. (b) Elespectro de la funciónf(t) de la figura 9.6 (a).

234


(A-)' _


1a'(1 - at)' e-2at dt = 1 a (9.123)

4a

Aw=a.

f(t)

I

0

(a )

Y por consiguiente,

PROBLEMA 9.27

AtA =^/3a=\/3>1.2a 2 2

4a

Considerando la función gaussiana [figura 9.7(a)]

^t2 a>0,

ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.

F (w)

-a t2e

t

Figura 9.7 (a) La función gaussiana. (b) El espectro de la función de la figura 9.7 (a).

Solución: sea F (w) =`f[t(t)]. Entonces,

F(w)=£ eat2 e_fmt di = fue a( t2+1wt/a) di.

Esta clase de integral se evalúa "completando el cuadrado". Para hacer esto, multiplicarel integrando por e-`'/4a•e+"'/4e Entonces,

-,2/(4a) ( {r [t+1./(2a)] }',e di.

Introduciendo una nueva variable de integración y, mediante

[t + 1 w ]=Y,(2a)

entonces dt = dy, y se tiene

F(m) = J_ e' 2/(4.) a[t+fa)/( 2a)] dt

^

(9.124)

(9.125)

(9.126)

► w

(9.127)

£ e

{,r [t+fm/(2e ]}' 1 f ° n

dt = ^a J e Y_ ^, (9.128)

a

en razón de (8.175); es decir

e' dy°

1

n.

JP}a e-W'/4e


Por consiguiente,

(9.129)

Por (9.126) y (9.129) se observa que la transformada de Fourier de una función gaussiana,es también gaussiana.

Con a = 1/2, la transformada (9.129) da

f [e-t'/2) = y/2n e-W'/z (9.130)

De esta manera , excepto por el factor \/2-ir, la función e t2/2 es su propia transformadade Fourier.

Puesto que la función e -° t2 es par, por (9.88) se deduce que el centro de gravedadt de esta onda es cero.


3(At)e =

2 a `zdi

j^

t2 e-2at2

(9.131)

Ahora bien, de acuerdo con (9.128), se tiene

J_ro

17e-b,2 dy = Vff (9.132)

Diferenciando la ecuación (9.132) con respecto a b, se obtiene

£

y2

e-bv2 dy =

1

2b

Utilizando (9.132) y (9.133), se puede evaluar (9,13 1) como

2a

Análogamente, por (9.93) y (9.129), se obtiene

(Ac)' _f e ü2/(2e) d(,

a

(^p -" '1(2 a)

£ e ^2/(2a) do,

(2a)2a

\ 2a;;

(9.133)

(9.134)

(9.135)

mediante (9.132) y (9.133).

236

Por consiguiente,


(At)'(Aw)'= a) 2 (2a)=4,2 (2a)(9.136)

(9.137)

la ecuación (9.137) muestra que el signo de igualdad en la ecuación (9.106), es

válido para la función gaussiana.

En el problema 9.23 se analizó la condición necesaria para qude banda finito, en la forma definida por (9.93). Con una definicióide banda espectral, diferente a la definición (9.93), se puede estableentre la duración de la señal y su ancho de banda espectral, lo cual sproblema siguiente.

PROBLEMA 9.28 Considerar el pulso rectangular dado en el problema 9.24. Demostrar

que el producto del ancho de banda espectral y la duración del pulso, es una constante

con "apropiada" selección de alguna medida del ancho de banda.

Solución : en la figura 9.5 se observa intuitivamente que si se selecciona

At=d,

y el ancho de banda espectral áw como la banda que se extiende al primer cero de 1 F(w)1

(la mayor parte de la energía está concentrada en este ancho).

A6,2n (9.138)d

Se observa entonces que

AtA,u =d 2a - 2,7,d

(9.139)

o sea que el producto del ancho de banda y la duración del pulso es una constante.

9.4

algunas de

PROBLEMA 9.29 Si f(tFourie, probar la siguiei

ndeW,-2

Solución: sea

FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON

oremassdds deducirá

una turntidad:

a3 ¿formada de Fourier también ayudan a

rmuta de la sumatoria de Poisson y se

ón arbitraria y F(co

ST(t)= r 3 (t - n T)

la cual está definida en (2.104).


uar sumas . En esta

su transfi

(9.141)

1 i.


f(t)*ST(t)=f(t)* L 5(t-,T)n=_ro

1(t) * 8(t - nT)

_ f(t-nT)

f(t +nT) (9.142)

dado que todos los valores positivos y negativos de n están incluidos en la sumatoria.Por tanto,

z t(t + nT) = f(t) *ST(t).

Ahora bien , por (5 .66), se tiene

^Sr(t)) = T^ 8(w -n wo),

Aplicando el teorema de convolución en el tiempo (4.122), a (9.143), se obtiene

2: f(t+ nT)j =F(w) .>=[ ST(t)]

^S(w-nwa)

=F(w)27

27

F (tu) S( w - no)

2uFT (n wo)(5(w-nwo)

mediante la propiedad de la función ó, dada por (2.74).Por (5 .21), se tiene

.t 15 (w- nwo) ¡= 1 ee^mo^

2n

Por consiguiente , según (9.144), se obtiene

(9.143)

(9.144)

f(t 1oT) = T^ F(nwo).} [S (w-nwo)) _ F(nwo)e 0`T


PROBLEMA 9.30 Probar la fórmula de la sumatoria de Poisson.

Solución : haciendo t=0 en (9.140), se obtiene

f (n T) T F (n

Solución: sea

Entonces,

2aa'+(2nir)'

f(t) = e_elrl

0. (9.146)

F(w)=J[e-" 1 e-alti e-imtdt

e '-` dt + f e-a` e-j` dt

1 1

a-jw a+jw

(9.147)

Si se hace T= 1 (de donde, wo = 2n) en la fórmula de Poisson dada por (9.145), se obtiene

L f(n)= F(2an). (9.148)


e_e 2a

a" + (2 un)'

PROBLEMA 9.32 Deducir la siguiente identidad de la función theta:

7 e-e(t+n)2 = i

ir

Solución: sea


2 E c`:1"al' cos 2vnt. (9.149)

n_t

F(w)= ,: [e-e`2] =Y 0

- 2/(48).a

Si se hace T= 1 (de donde , wo = 2n) en (9.140), se tiene

f(t + n) = F(27n) ej2" '".

[9.129]



0

VF,

»=1

9.5

1 2'I=» 1+a

cos 27, nt.

„-1

de Hilbert.,X nP

(9.150)

CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HILBERT

ta sección se analizará la relación entre la parte real y lada de Fourier, de una función causal su a licaeión e

PROBLEMA 9.33 Sea F(w) =R (w) + j (w), la transformada de Fourier de unafunción causa] f(t). Demostrar que f(t) se puede expresar en términos de R (w) oX(w) solamente.

Solución : puesto que f(t) es causal, por definición, se tiene

f (t) - 0 para t < 0.

De acuerdo con esto, se tiene

(9.151)

f (- t) -0 para t> 0. (9.152)

Por consiguiente , según (2.5) y (2.6), se tiene

dondef(t)= 2fe(t)- 2fo(t) para i > 0, (9.153)

f(t)fe(t) +f»(t),

y fe(t) y fo(t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente . Entonces, por(4.38) y (4.40) se obtiene

f (t) _ f^ R «j) cosí wt dw0

^ X (w) sen wt d0,0

para t>0.

(9.154)

(9.155)

9.34 Sea F(w) =R (w) +rX (w), la transformada de Fouríer de unacausal f(t). Demostrar que las funciones R (co) y X (w) no son independientestta dau d ll, ra que ca a una e e as se puede determinar unrvocamente en términos


Solución : si f(t) es real y causal, entonces por los resultados del problema 4.6, se tiene

R (u) - £ f (t) cos wt dt f (t) cos ut dt, (9.156)

X f (t) sen < -,t dt = - J f (t) sen ut dt. (9.157)

0

Reemplazando la expresión (9.155) en (9.156) se obtiene

X (y) sen yt cos o,t dy dt . (9.158)R (u) _ - 2 f f

Análogamente , reemplazando (9.154) en (9.157), se obtiene

X (u) _ - 2 ^^ ^ R (y) cos yt sen ut dy dt. (9.159)

PROBLEMA 9.35 Sea F (w) =R (w) + jX (w), la transformada de Fourier de una

función causal f(t). Demostrar las siguientes identidades:

f R2(w) dw X'(w) dw, (9.160)

f f'(t) dt = ? J^ R'(c) dru.o n o

Solución : con la descomposición de f(t) en sus componentes par e impar, es decir,

f (t) fe(t) ' fo(t),

por (4 .42) y (4.43) se tiene que,

[fe(t)1 = R(w),

[fe(t)I iX (w).

Por consiguiente , según el teorema de Parseval , dado por (4 . 136), se tiene

[fe(t)]2 dt 2 n f R2(u) dw, (9.162)

f (Q1'dt= 1-X'(u)du. (9.163)2r,

En razón de la causalidad de f(t) y de (9.153), se sigue que

1(t) - 2f0(t) = 2 fe(t) para t >O.

Por tanto,1 fe(t) 1 fo(t)',.

En consecuencia , según (9.162) y (9.163), se tiene

Puesto que

£R'(u) de) =f X2 (w) dw.

(9.164)

1 F(u)'i'

y según el teorema de Parseval , dado por (4. 136), se tiene


f'(t)dt 2F (w)E'dw

2 j [R '(w ) + X'(w)] dw

^nr

7 0

en razón de (9.160 ) y R 2 (- w) = R 2 (w).Para una función causal f (t), dado que f (t) = 0, para t < 0, se tiene

f'(t) dt I f'(t) dt.

f Jo

Por consiguiente,

^^ f'(t) dt = 2 f'R'(w) d,,,.

o n o

PROBLEMA 9.36 Demostrar la igualdad de estas dos integrales:

a'dw w'dw

^W (a' + w')' J_c (a0 + m2)]

Solución : sea f(t) =e-a`u(t). Entonces, por (4.47), se tiene

F(w) - f f(t)I - 1-a + jm

Por consiguiente , de acuerdo con (9.160), se tiene

a

a'dw__ - (^ w'dw

J ro (a' w')' J K (a' + ',1)1

w

(9.165)

(9.166)

PROBLEMA 9.37 Si la función causal f(t) no contiene impulsos en el origen, demostrarque si F(w) = 3 [f(t)] =R (w) + jX (w), entonces R (w) y X (w) satisfacen las siguientesecuaciones:

Solución: sea

X(w) = (Y) dYw- y

(9.167)

f (t) = f, (1) + 4,(t),

donde fe (t) y fo( t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente . Puesto quef(t) es causal , se tiene

f(t)=0 para t<0.

Ciertamente, para cualquier función causal se puede suponer que

f,(t)=-t,(t) para t c0.

R'(w) dw

-^R'(w)dw^


Así mismo , por (9 . 153), se tiene

fe(t) = fo (t) para t > 0.

Por consiguiente , se puede expresar que

fe(t) = fo(t) sgn t, (9.169)

fo(t) = fe(t) sgn t, (9.170)

donde sgn t se define como [ver ecuación (5.45)]

1 para t > 0sgn t=

{-1 para t 0.

Ahora bien , por (4.42), (4.43) y (5.49), se obtiene

5[f e(t)] = R (ni),

51fo(t)] jX(w),

1 [sgn t] = 2(jci)

Por tanto , según el teorema de convolución en la frecuencia , dado por la ecuación (4.125),

se obtieneR (^) _ `5 [te(Q] = t [fo (t) sgn ti

1 jX (ú) * 2

27 w

= 1 X (w) * 1

n m

1

h

X(y)

7 - y

Análogamente, se obtiene

Por tanto,

iX (u) = f [ta (r)] = ff [fe(t) sgn t]

1 R(u) * 2

27 fW

-i R(ui) * 1 .n w

X(^)=-1 R(es)*1 1 R(y) (1y.7 w 7j ú) -y

67) y (9.168). Hi/bert.

PROBLEMA 9.38 La parte real de la función del sistema H(w), de un sistema causal

es, 7r8(w); hallar la función del sistema H(w).

Solución: sea

H(co)=R (u) + jX(u).

Dado que R (w) = n8 (w), por (9.168), se tiene

nS(y) ¡j 1 1XdY=- J ^5 (Y) dY=-- (9.171)

^+^^ y m-y n,


mediante la relación (2.67).

Por tanto,

H(oi)=n6(w) 1 =n6 ( )+!U ) o

nación de algunas integrales se facilita utilizando el

(9.172)

9.6 EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES

rema de Parseval (4.136) v el nar de transformadas de Fni,rier in rnat .. iIncrrar3

en los ejemplos siguientes.

PROBLEMA 9.39 Evaluar las integrales

Solución: sea

dx t'°° dx

f (t) = é el u (t).

Entonces, por el resultado del problema 4.11, se tiene

)=^[f(t)]F( 1=uea +

a'o'

Ahora bien, de acuerdo con el teorema de Parseval (4.136), se tiene

^ F (w) 1' d ru,f f'(t) dt = 1-27

f IF(o)I'd0=2n f f'(t)dt.


do

a2 + (v'=2n f'(t)dt= 2n fue-2etdtJ Jo

e-2et=2n

-2a

De esta manera,

Haciendo a = 1, resulta

dx _ d0, n

f m a2+X' f a' + (J' a

(9.173)

(9.174)

(9.175)

dx

PROBLEMA 9.40 Evaluar las integrales

(9.176)

f a'dx dx

L(a2+x2)2 ' ,^cc(1+x2)'

o n

a


Solución: sea

f(t)=Zee`I


F [f (t)] = 2 a 2a + m

Ahora bien, utilizando el teorema de Parseval (4.136), se tiene

f F (m) I' dm = 2n £. f2(t) dt.

Por tanto,

, 2

dw=2n1 e-alt

dt£ (a' + QJ')' 1 2

2 f_ e-2e` dt

2

00. ez& dt rx -2 et dt

Jo

ee et

-2a

De esta manera,

r,

2 2a(9.177)

22

na 2 dx r a dm = (9.178)J^ (a2 ^ x2)2 (a' + m')' 2a

Haciendo a = 1, se obtiene

dx n

Eec (1 + x2 2


PROBLEMA 9.41 Si .`f [ f(x, y)] =F (u, v), demostrar queue

(a) .f[f(ax,by)]= 1 F(-a °lab a b

(b) J [f(x-a,y-b)J = F(u, v)e

(9.179)

PROBLEMA 9.42 Demostrar el teorema de Parseval para dos dimensiones, es decir,

íÍlf(x,y)2dxdy= ffF(u,v)'dudv.

PROBLEMA 9.43 Demostrar el teorema de la transformada de Fourier

. [V2f (x, y)] _ - (u' + v2) .f [f (x, y)],

donde 02 es el operador laplaciano 7 2 = d2/dx' + d 2/dy'.


PROBLEMA 9.44 Supóngase que la función de prueba O(x, y) es una función continua,

que se anula fuera de alguna región finita, y que la función bidimensional d es la funciónsimbólica definida por la relación

JJ S (x, y) <b (x, y) dxdy = (0, 0).

Demostrar las siguientes propiedades de la función bidimensional 8:

(a) JJ s(x- Y-q)0(x, y)dxdy= q5 (e, n);

(b) S(ax,by)= 1 S(x,y);labl

(c) f[5(x,y)]=1.

PROBLEMA 9.45 En el capítulo sexto se definió un sistema, como la transformaciónde una función de entrada en una función de salida. [Cf., (6.5).] Las funciones de entrada

y de salida, son funciones de una variable independiente unidimensional (el tiempo); pero

en el caso de sistemas de formación de imágenes, la entrada y la salida pueden ser

funciones de una variable independiente bidimensional (el espacio). De esta manera, unsistema lineal de formación de imágenes se puede representar por

L } fi (x, y)] = f. (x, y),

Lla,f¡,(x,y)+a,fi2(x,y)}=a,L {fi, (x, y)} + a2 Llfn (x, y)}.

Se dice que el sistema es invariante en el espacio si

L { fi (x + xo, y + yo) } = fo (x + xa, y + yo ).

Sea h(x, y) la respuesta del sistema al impulso unitario; es decir,

L 18 (x, y) 1 - h (x, y).

Deducir la relación de convolución bidimensional

f.(x,Y )= f¡(x,y) *h (x,y)- fJ f,(C, 0)h(x- e, y-7I)d^d>I.

PROBLEMA 9 . 46 Si .f [h(x,y)]=H(u,v),ff[f(x,y)]=F;(u,p)yf[fo(x,y)]=F0(x, y), demostrar que

F. (u, v)= F, (u, v)H(u,v),

donde H(u, v) es la función bidimensional del sistema . [Cf., (9.35).]

PROBLEMA 9.47 Hallar la función característica de la variable gaussiana al azar, X,

cuya densidad de probabilidad es p (x ) - 1 e-('-- )'/las

Respuesta : 0 (a) = e'^ ^ ei2

oV2n

PROBLEMA 9.48 Si X es la variable gaussiana al azar del problema 9.47, demostrarque E [X] =m y Var (X) =o'.

PROBLEMA 9.49 Si Qx(w) es la función característica de la variable al azar X, hallarla función característica 0y(w), de la variable al azar Y= aX + b, donde a y b son dosnúmeros reales cualesquiera, en términos de O (w).

Respuesta: dy (w) = e ib" 4, (aw) .


PROBLEMA 9.50 La variable al azar X se distribuye normalmente con densidad

probabilística P. (x) - 1 e -xi2C'. Hallar la densidad probabilística de la variableaV2n

al azar Y = aX 2 .

[Sugerencia : si Y - g (X), entonces dy (ú )

variable y = g (x),

e',.,e px (x) dx. con un cambio de

C5 y (ca) e'^'r h (y)dy = f ue ey py (y) dy y h(y)-py(Y)•]

-y /2aU 1 para y > 0Respuesta: py (y) = e U (Y), donde u(y)- { 0 para y < 0

aV2 uay 111

0(/nPROBLEMA 9.51 La densidad probabilística de una variable al azar X, es P (x) = a' _x2

PROBLEMA 9.52 Demostrar que si la densidad probabilística de una variable al azar X,

es 1 ae-dl x' , entonces su función característica (w) , es a2 i(u' + m2).

PROBLEMA 9.53 Verificar el principio de incertidumbre en el análisis espectral, para

la señal f(t)-e-lel` .

PROBLEMA 9.54 Probar que 1 - n coth R .2 a \a /1--an

[Sugerencia: aplicar la fórmula de la sumatoria de Poisson, con f(t) = 1/(1 + t2).]

PROBLEMA 9.55 Demostrar que m(t) y m (t) del problema 6.51, están relacionados por

m (t)= m(T) dT y m(t)=- x m(T) dT.t - T J mt-T

De esta manera, m (t) también se denomina transformada de Hilbert de m(t).

PROBLEMA 9.56 Si una función real m(t), tiene como transformada de Hilbert a m(t),

demostrar que la transformada de Hilbert de m (t) es - m (t); esto es, m (t) _ - m (t).


£ [m(t)]'dt =f [m(t)]'dt y F m(t)in (t) dt-0.

[Sugerencia: utilizar el teorema de Parseval.]

1,

CONVERGENC IA DE LA ISER I E DE FOURIER Y A

EL FENOME NO DEDEGIBBSGIBBS

APFNf1Tf F

A.1 CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

En la sección 1.6 se mencionaron brevemente las condiciones

de Dirichiet, bajo las cuales es posible la representación en serie de Fourier de una funciónperiódica f(t). Ahora se demostrará que la serie infinita

aq + (a„ cos nwot sen nwt), (A.l)wat

donde we = 2ir/T, y a,, y b„ son los coeficientes de Fourier de f(t), converge al valorf(t)•

PROBLEMA A.1 Si Sk(t) denota la suma de los primeros (2k + 1) términos de la serie

de Fourier de f(t), es decir

k

Sk (t) = 2 ao + (a„ cos nw,t + b„ sen nwot), (A.2)

donde we = 2n/T, y an y b„ están dados por

demostrar entonces que

T/22a„ = 1 1( t) cos (nw0t) dt,T r/2

T12b„ -_ ? 1(t) sen (n(eot) dt,

T T/2

¡T/25k (t) = 2 J 1(x) Dk Itero (x - t)] dx,

T/2

donde Da(s) es el llamado "núcleo Dirichlet"; es decir,

Dk

) - sen [/k ` 2) e]

2sen1 e2

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

247


Solución : en las expresiones (A.3) y (A.4), t es la variable comodín. Por tanto,

a, cos nwat + b„ sen nwot

2 ^•T/2J f(x) cos (nwox) dx cos nwpt-T/2

+ J-

2

¡

T/2

f(x) sen (n(üox) dx sen nwot

T T/2

2 fT/2

T T/2

2 T/2

-T/2

f(x) cos [nw (x - t)] dx.T

De esta manera,

Sk(t) - 1 ao + (a cos nwot + b sen nwot)2

T/2 k N2

f(x)dx+ T f f(x)cos [nr„o(x-t)]dxT/2 n=I T/2

T/22

T _ T/2 f(x) 2

cos [w0 (x - t)] - cos [2w, (x - t)]

(A.7)

+ • • • - cos [kwo (x - t)]} dx. (A.8)

f(x) [cos (n(,j„x) cos (nwot) + sen (nwox) sen(nwat)]dx

Hacer wo(x - t) _ y considerar la suma

Dk(C)= 1 +coscos2E+•••+cosk^.2

Utilizando la identidad trigonométrica , 2 cos A sen B = sen (A + B) - sen (A - B), se

obtiene

2 sen Dk() = sen + 2 sen cos + 2 sen - cos 2C2 2 2 2

+•••+2sen coske2

De esta manera,

3 3 5= son 2 - son 2 + son

2e - son 2 t + sen 2 f

- •r-sen [(k -') d] - sen [(k +')C]

2\ I =J .sen [(k

k senk + 2 eJDk( - + cosn^ ----- L\ (A.9)

2 2 son 1

/

c2

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs

Por tanto,

donde D. (C) -

2 Tiz sen (k2^wo(x-[)^

Sk(t) - f(x) dx

T12 2 sen 1 c Ja(X - t)]2

2

T

sen [(k - 1 ) f]2

2 sen 2 ¿

(x) Dk[o)o(X - t)1 (IX,

249

(A.10)

PROBLEMA A.2 Demostrar que la relación (A.10) se puede expresar como

2 Tizsen L (k - 2^^°A

Sk(t)= T J ti 2 - dÁ. (A.11)-T^2 2 sen( ("'A)

Solución : haciendo el cambio de variables x - t por X en la relación (A.] 0), elresultado es

T sen k 4

Sk() - 2 2 f(t c A )

( ) co0Al

dA. (A.12)T T 2sen(1 ruoA)

2

Ahora bien, por la relación (A.9), se tiene

sen

Por tanto,

[(k , 1) o,.Aj2 1

k

cos nro0A. (A.13)2 sen (L r^,oA) 2 L

sen 12 sen (1 (),A)

2

es una función periódica en la variable X, con período T. Puesto que la función f (t + X)también es periódica en la variable X, con período T, el integrando de (A.12) es periódicoen la variable k, con período T. Entonces , por (1.6), se puede expresar (A.12) como

2 T^2sen L(k

Sk(t) = T f(t A) 2 dA

T/2 2 sen (1 r„oA)2

que es la solución deseada.

PROBLEMA A.3 Sea f(t) una función periódica con período T, integrableabsolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de continuidad donde

existe la derivada, la serie de Fourier de f(t) converge al valor f(t), es decir,

lim Sk(t) - f(t). (A.14)k--,c


Sol u ci ón: sea t un punto de continuidad de f (t). De acuerdo con (A.11), se tiene

lim Sk(t) = lim 2 T/2 f (t + A) sen [(k 2) woA] d,\. (A.15)

kyoo k ca T ^T/2 2 sen 1 ú )Á(2 0

Por (A.13), se tiene

flr T/2sen[(k= 2)moAj

2 sen (21 woA)

dA1

2L n=1

cosnw0Al dA

T2 T/2

fdA + cos (n wpA) dA

r,v

T

2

en razón de (1.19a). Por tanto,

para cualquier valor de k.

Por (A.17), se tiene

Por (A.18) y (A.15), se obtiene

sen [ (k 4 21 r.,"A l/ --dA-1

2 sen 2 o,,A

f(t)-T/2

sen [(k + 1 ) w0Aj2

2 sen (1 o,oA)

T/2t) Hm

2 (f (t T A) - f(t)]£li S (m kO)k - k `v T -T/ 2 2 sen

(A.16)

(A.17)

(A.18)

dA. (A.19)

Considerar ahora la función

g (A) - t (t A) - £ (t) - f (t r A) - f (t) (A.20)

2 sen o,3A) A 2 sen(1 (2 w0A)

Dado que f( t) tiene una derivada en el punto t,

f(t r A)-£(t)

A

permanece limitado a medida que X ---^ 0.

Por otra parte, la funciónA

2 sen 1 1 woA2

es continua para X # 0, y se aproxima a llave a medida que X -> 0, puesto que

sen 0lim = 1.P-3e 0

Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs 251

Según estos resultados y dado que f(t) es integrable absolutamente, se sigue que la función

g(t) definida en (A.20), es integrable absolutamente. Entonces, por el resultado (1.79)del problema 1.19, se tiene,

2T/2

lim Sk(t) - f (t) = tira g (A) sen k + ) moÁ] dA = O. (A.21)klw

k,- T f T/2 2/

Por tanto , llm Sk(t) - f (t).k,-

PROBLEMA A.4 Sea f(t) una función continua por tramos, periódica con período T,e integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de discontinuidaddonde f(t) tiene una derivada de derecha y una de izquierda, la serie de Fourier de f(t)converge al valor

1 [f(t+)^f(t-)],

donde f(t +) es el valor de f(t) justamente en el lado derecho de la discontinuidad, yf(t-) es el valor de f(t) justamente en el lado izquierdo de la discontinuidad ; es decir,

kl mSk(t) _ 2 [f(t+)+f(t-)j.

Solución : por (A-15), se tiene

T/2lrm Sk (t)= llm

2

- f f(t+a)k..+^ k -- T J

-T/2

sen[(k 21)

w0A]2 sen ^ cooñ

2

sen ^^k + ^^ mo^J

= lim 2 _° f(t+A) dAk-^ro T T/2 2 sen (1 o0A^

2

2 sen ^2- c,oa)

2 T/2 sen kk + 2) W'Á

+ lim f(t + A) dA. (A.23)k- T ° 1

Puesto que el integrando en (A.17) es par, entonces de acuerdo con (2.13), se ob

02 dA

=T° 2 sen (

1

i^T

fT/2

sen [(k 1 1 w A]

2 vO

Por tanto, según (A.24), se tiene

sen [(k + 1) moÁ]2

- dA

(A.22)

ene

1d,\ = (A 24).

2 sen(1

a>oA) 2

2

1 2 T/2 sen ^^k 2^ mo^^1 f(t+)= T J f(t+) / dÁ. (A.25)

° 2 sen(

2 °,oA)

252

De esta manera,


2 T/z sen ^(k + 2) 1lim 2 f f(t+A) \ dÁ-11(t+)k^^ T o

2 sen (1 wox) 22

lim2 fT/z sen ^^k 2 ) ^^^^

= [f (t+A) -f(t+)] L d (A.26)

e 2 sen (2 w°A)

Considérese ahora la función

^(^)=f(t+A)-f(t-) f(t^A)-f(t+) A

2 sen ( 2 w0A) 2 sen (2 wCA)

Puesto que f( t) tiene una derivada en el lado derecho en t,

f(t+A)-f(t+)A>0,

A

permanece limitado a medida que A --> 0, y la función

A

(A.27)

2 sen 1 wDA)

también es limitada. Como en el caso donde f (t) es continuo , se concluye que la función

g(A) es integrable absolutamente en el intervalo [0, T/2]. De esta manera, por (1.79),

se tienesen I(k 1 ) m0A^

lim 2T/z

1 f(t+A) 2 dA -if(to

k.,^ T e 2 sen e - woA) 2

= lim 2 jT/2

g(A) sen [Ck ^ 1 w0A]dk- T 0 2

0.

Por tanto,

r/2lim

2e

f(t + A)k .oc T

Análogamente,

sen [(k + 1) wOA]

2 sen (f w0A^2

(A.28)

d,\ = 1 f (t +). (A.29)

2 a sen [(k + 1) WOA] 1

lim - f f (t + A) d A = 1 l (t -). (A.30)k+oa T

T / z 2 sen ^1 w^A^ 2

Por tanto , según (A.29), (A.30) y (A.23), se obtiene

Hm Sk (t) 1 (f(t ) f(t-)I.k .h 2


A.2 EL FENOMENO DE GIBBS

Cuando una función dada se aproxima mediante una sumaparcial de la serie de Fourier, habrá un error considerable en la vecindad de unadiscontinuidad, no importa cuántos términos se quieran utilizr. Este efecto sé conoscomo fenómeno de Gibbs.

Se ilustrará este fenómemprimero (problema 1 .10).

PROBLEMA A.5 Considérese la onda cuadrada de amplitud uno y período 2n(figura A.1), es decir,

f(t) 1 -n<t<0

1 0<t<a

Analizar la suma de un número finito de términos de la serie de Fourier.

Solución : según el resultado del problema 1.10, la serie de Fourier de la ondacuadrada es: (haciendo we

=/

/2tr/T= 1)

f(t)= 4 Isent+3 sen 3t+ 1 sen 5t+•••I. (A.31)7 5

Esta serie no muestra uniform`idad en la convergencia de la serie de//Fourier, cerca de ladiscontinuidad. En la figura A.2 se ilustran aproximaciones sucesivas.

f(t)

Figura A . 1 La onda cuadrada delproblema A.S.

f (t)

st (t) = 4 sen tn

(a)

-n

s3(t)=ñ(sent+1 sena+5 sen 5

(c)

Figura A.2

(b)

Las tres primeras sumas finitas de la serie de Fourier , en la onda cuadrada de la figura Al..

4¡ 1

3 3

► t

Considérese ahora la suma de un número finito de términos, de la serie Sk(t). Según(A.10), esta suma está dada por (T= 2 tr, co, = 27r/T= 1)


sen í(k + 1^ u (x - t)]¡'T í 2

Sk(t)-? J l(x)T Tiz 2sen{lwa(x-t)

1 ^f sen [(k + 2^(x -t)1dxf (x) j

2 nJ„ sen 12 (x - t)J

1 sen k+ 21) (x-t)l 1 o sen [(k+ 1)(x'-t)]

dx dx'.2n 1 2n

sen ^^ (x - t)] -r sen 2 (x' - t)](A.32)

Sustituyendo x - t por y, y t -x' por y', se obtiene

((k l)y sen f (k + 1 l y lsen Il

Sk(t)= 1 r `/1 2 di, , 21^ (' L\ 1 2/ J dy'. (A.33)27 J-t SeLn`I 2 y1 J-,+t sen ^ 1 y')

Esto es así , porque

dy' _ -dx',

sen [(k + ((f1)(-y')]=-sen [(k + 2)y

sen Li (-Y,)j =-sen y1 .

Puesto que

se puede expresar (A.33) como

r( 1 Y sen k f YSk(t)= 211

sen L k 1 2 /J dy- 2n f ,

[( 1 2/

J t sen (-_ y) +t sen (2 y)

dy. (A.34)

En la vecindad de la discontinuidad , es decir, t = 0, se evalúa la primera integral en laregión donde y = 0. Aplicando la regla de L'Hospital, se obtiene el valor del integrandoen y = 0, como

Ik+ lcos [k - l)yl\\ 2 ) L\\ 2 // JJ

1cos \2 y)

y=o

- 2k - 1.

La segunda integral se evalúa en la región donde y = ir. El integrando de la segunda

integral en y = n es (- 1)k. Se puede despreciar la contribución de la segunda integral

en comparación con la contribución de la primera. Por consiguiente,

1


1 r1 ^, sen

(k ^ 2)y, 1 re sen [(k- 1Z)y]

Sk(t) - 2n 1 - dy = A 1 dy (A.35)sen ( 2 y) o sen ( 2 y)

puesto que el integrando es par en y.

Como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad , es decir, t = 0, y

Hlim

sen= 1,

lo 0

se puede reemplazar sen 1/2y por 1/2y, y obtener

1 1sen ki1

1`sen k

+ 2)y j 2)y

Sk(t) = n 1 - dY =2

n v dp(A.36)

0 y. o2

Sustituyendo (k + 112)y por ^, se tiene

(k- 112)t senSk(t) _ 2 2 n r d S- 2 Si [(k + 1-) t], (A.37)17 o r, 2

donde Si(y) es la función seno-integral comentada en el problema 6.34. Puesto queSi (0) = 0, y Si(-) = n/ 2 (ver el problema 6.34),

Sk(0) - O,

"M Sk(t) - 1.

Según la gráfica de Si (y) (figura 6.18) y figura A.2, se observa que en t = 0 el valorde Sk(t) es cero; luego asciende rápidamente a medida que t aumenta, sobrepasa el valor1 y oscila alrededor de la línea f(t) = 1, con amplitud decreciente. A medida que elnúmero de los términos aumenta, la curva resultante oscila con frecuencia creciente y

amplitud decreciente; a ambos lados de las discontinuidades hay sobrepaso de curvas.

Aunque la magnitud del pico no disminuye a medida que k aumenta, hay un límiteinferior de 9% de sobrepaso aun si k --> -.

APENDICEB RELACION ENTRE LAS

TRANSFORMADAS DEFOURIER Y LAPLACE

B.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICASDE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

ade s es una variable compleja, s= t

ansformada de Laplacede f(t)" .

idoal,t

ción F(s) de la di

{amero positivo

Vi /n', u,

Debe señala

.2ial.echa

e

ndo oc la abscisase que en muchos

obtener sin integración formal; estode Laplaee, es decir, correspondient<

la de Laplace de una función f i

notacion o

ción (B.1)

de fui

es suficien

convergencia.

sos la transformada inversa de Lapla

asa en la propiedad de unicid

se denne

(B.2)

idas en

¡ni

órmadaa función f(t) hay una función F(s) que es ú

y viceversa; esto es verdad sólo para t > D. Un análisis más profundo de la existencia,convergencia y propiedades de unicidad de la transformada de Laplace, y la evaluacióformal de (B.3), están más allá de los propósitos de este texto.

PROBLEMA B.1 Hallar la transformada de Laplace del escalón unitario

1 , t > 0f(t)--u(t)=

0, t < 0 -

Solución : utilizando la definición B. 1, se tiene

F (s) _ .a lu (t)1 e-s ` dt = - 1 e-a

o s

PROBLEMA B.2 Hallar la transformada de Laplace de

eat, t>0t(t) _

o, t < 0,

donde a es una constante.

256

9

1

o s(B.5)

(B.6)

,I

Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace 257

Solución : utilizando la definición (B.1), se obtiene

F(s) _2[eat] _ ¡"o ea'e st dt- f^di

o o

1

s-a'Re[s]>a. (B.7)

PROBLEMA 8.3 Si fr(t) y fz(t) son dos funciones del tiempo, y al yaz sonconstantes, demostrar que

2[a,1,(t)+a,f,(t)]=a,2[f,(t)] +a22[f,(t)]=a,F,(s)+a,F,(s). (B.8)

Solución : utilizando la definición (B. 1), se obtiene

2 [a, f,(t) + a2 f,(t)] - ^^ [a, f,(t) + a2 fa (t)] e-' t di0

= a, dt + a2 ^^ f2(t) e' di0 o

= a, 2 [f,(t)] + a, Y [f2(t)1

= a, F,(s) + az F,(s).

PROBLEMA B.4 Hallar la transformada de Laplace de

f(t)=cos ot, t > 0

l 0, t < 0 .

Solución : por la identidad e+i^t=cosot±j sen o>t, se tiene

cos cot = (ei0t e-)"t).2

(B.9)

Utilizando el resultado (13.7) del problema B.2, se tiene

2 [ett] = 1 2 [e t^t] _ 1 , Re [s] > O. (B.10)s-jw s+10)

Y utilizando (B.8), se obtiene

2 [cos ot] = 1 í 1 1 ^ _ sRe [s] > 0. (B.11)

2 s - joi s +jo s' =(l''

considerará la relación entre la transfonnada deadas de Laplace de sus derivadas e integrales.

PROBLEMA B.5 Si 2[f(t)] =F(s), hallar la transformada de Laplace de

di (t)

dt

Solución : por definición,

,d d t)I _ f ' di a' dt

integrando por partes, se obtiene

df_ ^((t) e_ae]o i s f f (t) é se di.

di Jo


Puesto que para Re [s] > 0, lim [f (t) e `l = 0,

sF(s)-f(0).

Se observa que (B.12)iuída, o si f(0 ) difiereegral que define la transf

entanee;

a es una foi

iga cuando f (t) no es co0 +). Si se escoge 0 -cda de taptace, es decir,

£ [f

problemas se conocen las condicionesen t = 0 + se deben deducir.

Sin embargo, si se selecciona 0 -1ransfarmada de Laplace„ es decir,

ss

) -f(0-).

=0, f(0) nrior en

utilizar, dado que en la mayor partenidales en t = 0 -, mientras que las

como el límite inferior en la in

(B.12)

B. 14

icion

(B,

PROBLEMA B.6 Hallar la transformada de Laplace del impulso unitario 8 (t).

Solución : en el problema 2.27 se demostró que

S(t)_ du(t)di

Utilizando esto en conjunto con (B.12) y (B .5), se 1obtiene

[du

L di

S .^ [u (t)] - u (0)

=s -u(0)

= 1 - u (0).

(B.17)

(B.18)

Obsérvese que en la definición de u (t), dada en (B.4), u (0) no esta definida. Si se utiliza

(B.16), entonces

,V [S(t)l= 1- u(0+).= 1-1=0,

mientras que si se utiliza (B.14), entonces

'£ [5 (t)l=1-u(0-)=1-0=1.

Como en el caso de la transformada de Fourier , es conveniente tener

S [S (t)1 - 1.

(B.19)

(B.20)

(B.21)

De esta manera, se observa nuevamente una ventaja en seleccionar 0 - como el límite

inferior, de la integral que define la transformada de Laplace.

1,


PROBLEMA B.7 Si 5'[f(t)] =F(s), hallar la transformada de Laplace de

£ f (T) dT.

Solución: sea

g (t) _f f (T) dT. (B.22)

entonces

dg (t) f (t),dt

de tal manera que mediante (B.14), se obtiene

sG(s) -g(0-) = F(s),

donde G (s) =,$[g (t)]. Por el resultado (8.23), se tiene

G(s) 1 F(s) + 1 g(0-)•S s

fo-

Dado que g (0-) f(T) dT, entonces

(B.23)

(B.24)

1 ! f(T)dt] F(s)= 1 f(T) dT. (B.25)s s

En el análisis de sistemas lineales , generalmente se trata con funciones fuentes queson causales , es decir, fuentes que se suponen ser cero antes de que t = 0. Si f (t) es causal,es decir, f(t) = 0, para t < 0, se puede expresar

I t f(t) dt} = ! F (B.26)l _a, s

B.2 RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADASDE FOURIER Y LAPLACE

Una comparación de las definiciones de las transformadas deFourier y Laplace revela una considerable similitud:

2[f{t)]- f(t)e-e'dt, s+Tw, (B.27).1n

(B.28)

Para algunas funciones f(t), las fórmulas pueden ser las mismas. Esto se ilustra en lossiguientes ejemplos.

PROBLEMA B.8 Si f(t) es causal, es decir,

f(t) - 0 para t < 0, (B.29)

1 í(t) 1 dt < oc, (B.30)


entonces, demostrar que

fi [f (t)] _ .S [f (t)] (B.31)

Solución : por la definición (8.28), se tiene

f [f (t)] = f: f (t) e_,`°` dt

f (t) e' dt i f (t) é'"` dt

=J a. 0

f f (t) e-]"

0

dt (B.32)

dado que f(t)=0,para t<0.

La transformada J [ f(t)] existe si se cumple la condición (B.30). Comparando

(8.32) y (8.27), se obtienef [f (t)] _ £ [ f (t)] s=j ', .

PROBLEMA B.9 Utilizar (B.31) para encontrar la transformada de Fourier de

f (t) a`, t>0

0, t=0,

donde a> 0.

Solución : puesto quef(t)0,para t<0 y a>0,

f 1 1(t) 1 di e' dt - - 1 é a`0 o a o

1 <

y se puede aplicar (8.31). Por el resultado (8.7) del problema B.2, se tiene

[f (t)] = 1s-a

.`f U (t)] 1

S i-a.1

j + a(8.33)

que es exactamente el resultado obtenido en (4.47).

PROBLEMA B.10 Demostrar que la transformada de Fourier del escalón unitario u(t),

no se puede encontrar a partir de (B.31).


j- 1 u (t) I dt = j 1 dt =

0 0

la condición (8.30) no se cumple; por tanto, (8.31) no se puede aplicar. En efecto, según

los resultados del problema B.1 y problema 5.9, se tiene

[U (t)] = 1 y [U (01 - uS(w) iS

PROBLEMA B.11 Si

£,f(t)1dt<.,


demostrar que

`t1f(t)I = 2It(t)1 ,_t 21f(t)I si 1(t) es par (8.34)

`t[f(t)] [t(t)] ,-t -Y11(t)l si f(t) es impar (B.35)

Solución : mediante (8.28), se tiene

t[f(r)1= I£1(t)et^`de

0

J t(t) e -]d t j t(t) e-¡ dt. (B.36)0

Si f f (t) i di -, entonces existe f (t) e`t dt y es igual a

0

i' I í (t) I ,-,j , •Si f (t) es par, es decir , f (- t) = f (t), entonces , cambiando las variables de integración,

se tiene

f (t) dt - ^^ t(-T) et"` dT0

j 1(T)e(-¡- ) `dTa

V lo)] - (8.37)

Si f(t) es impar, es decir , f(-t)=-f(t), entonces

f: t(t)e7 dt=j

f(-T) dT

0

- j f(T)dT0

_ -Y [t (t)], = -ice'


,t[f(t )1 =.2[f(t)1,=/w' If(t)1,si¡ (- e)-t(t),

`fIt(t)1 =S'1f(e)IYIf(t)1,_ si t(-t)= -1(t).

(8.38)

PROBLEMA B.12 Demostrar que una función f(t), que tiene valor para t negativo, no

se puede representar unívocamente como una transformada inversa de Laplace.

Solución : puesto que la transformada de Laplace está definida sólo para t > 0 (esto

se denomina con frecuencia transformada unilateral de Laplace), habrá muchas funciones

con la misma forma de onda para t> 0 y diferente en la región t < O, pero la transformada

inversa de Laplace no puede representar unívocamente una función f(t), que esté definida

para valores negativos de t.

PROBLEMA 8.13 Analizar la diferencia entre la transformada de Fourier y latransformada bilateral de Laplace, definida por

262

"r dt. (B.4(

ner la transformada b teral de' Laplace , se debe encontrar un factor de convergio`cri . p ra primera integral. yRe(sj=d= o1, para la segunda. Entonces,

e. Fourier existe, entonces es válida p;

,oncluye que las transformadas de Laplace yde la otra.


CAPENDICE

TRES FORMAS DE LASSERIES DE FOURIER

Forma 1: trigonométrica

f(t)= á° + (a,, cosnw,t + b" sennw,t).2

Forma 2 : trigonométrica

f(t)= C0- Cn Cos(nmot-

Forma 3 : exponencial compleja

Para todas las formas anteriores

Fórmulas de conversión:

Paran # 0,

cn = 2 (a" - ib" ), e-n = 1 (a,, + ib,) = c,

°" - I c,, e i 2" I c" i = 1 v a;, + b;, , Gti = tan-'(- b"

,"

2 a" I

a" =2Re[cn], bn=-2fm[c"],

Para n = 0,

Cn-2''cnl=\a'tb2 on=tan-'( )

12

((t) _ c„ e"

f(t+T)=f(t), mo= T

263

ICAPENDICE

RESUMEN DE LASCONDICIONES DESIMETRIA

Resumen de las condiciones de simetría para ondas periódicas y coeficientes de Fourier.

Tipo de simetría Condiciones Formas de las series de Fourier Fórmulas de los coeficientes de Fourier

Par f(r) =f(-t) 1(t)= 2 + a„eos nreotT/z

4 !( f)eos (oreo t)dtn-i

Impar 1(t)--f(-t) f(f)=r b„sen no,tc^

T/}

b„=4f 1(t) sen(nree t) dtT Ji^ =

f(t)= E [a2„_, cos (2n - 1)w,tMedia onda f(t)=-f^t +T) =t a 1- q ¡ /z 1(t)1cos[

(2n-1)reotldt2

+ b2„_, sen (2n - 1)reotl bz"-t T J seo

f(r)=f(-t) y TRCuarto de onda par \ f(t)_ a2,_, cos (2n -1)o,t ay,_, ^^ f (t) cos [ (2n-1)reetl dr

f(t)-f(t* Tl „=t2

Cuarto de onda imparf(r)=-f(-r) y

f(t) _ b2„-1 sen (2n -1)%tT/.

bz„_t = 8 f(t ) sen [(2n -1)oa tldtff(t)=_l(t+ T) T

2

264

PROPIEDADES DE LAAPENDICE

ETRANSFORMADA DE

FOURIER

Las funciones son periódicas con período T, a> 0; b, t, yw° = 2tr/T, son constantes reales, con n = I, 2, • ^ • .

f(t)

a,f1 (t)+ a2f2(t)

f (at)

f (-t)

f(t - t0)

f(l)et`o`

F (,, )

a, F, (ro) - a, F, (w)

1 F ( w)¡ a l a

F(-w)

F (w) e jsuo

F(w - mo)

f(t) coswot

f(t)sen wot

te(t)= 1 [f(t)^ f(-t)1

fo(t) - 1 [f(t)-f(-t)72

f(t) - fe (t)+f° (t)

F (t)

f'(t)

- jtf(t)

(-jt)°f(t)

f,(t)* 1,(t) f ^ f, (x)f2(t- x) dx

2 F(w-wo)+1 F(w+wp)2

1 F(w - wo) - 1 F(o +w,)2j 71

R (w)

jX(w)

F (w) - R (w) + iX (w)

2af(-w)

jw F (w)

(jw)° F (w)

F(w)+>rF (0)3(w)jw

F' (w)

F (^) (w)

F, (w) F, (w)

265


F (w)

e-a` u (t)

2aa' +wl

1l (t)12(t)2

1;

F, (w) * F,(w)= 2^J F1(y)F2 (o - y) dy

1jw+a

e °7+(aa)

Pa (t)-

1 para 1t' < a 12

o para t > a/2

sen atnt

te-a` u(t)

t e-` u(t)(a - 1)f

e-a` sen btu (t)

a

sen lt)

/oa)

2

pze (w)

(jw + a)z+bz

e-a` cos btu(t) jw+a

(jw - a)2

1 n ea' + t'

cos bt

a

>t ^e_e^n;_b'+ e ele+b ^i]

a' - t' 2a

sen bt rr [e-a^^,_e a1+b'1]a' + b'

S(t)

2aj

1

jw

(jw)"

^ó(w) + 1

t"

jw

u¿ (w) e-r"°jw

2 uS (w)

2 orj (S, (U)

2 nj" 5(n) (w)

Propiedades de la transformada de Fourier 267

f(t) F (w)

2 nS (w - (ü )

n[&(o -(oo )-S(m. (u)1

-Jn [S (w- (UO) -S(w t (UO)1

w0 n[S((u-u0)-S(w-wo)1

wó ^' 2f

w'fww' . [S(w -wo) (S (ú) - wo

2

1

t

1

t"

sgn t

ST(t)- S(t-nT)

Otras propiedades:

Jn

GJ

nj-2nj u(w)

w)°[nj-2nf u(w)1

2

f<u

wpS,o((u)=(uo )' S (u - nwo)

f, (t) f2 ( t) dt = 2 £ F, (w) F; (w) dw,

J 1(t) 2dt =21 f F(0),2dw,n -

J : f (x) G (x) dx =J^ F (x) 9 (x) dx.

FAPENDICE

LISTA DE SIMBOLOS

an m Masa

bn 1 Coeficientes de Fourier mn Momento enésimo de X

cn M(t) Mensaje

a(t) Respuesta al escalón unitario n(t) Ruido

B Coeficiente de amortiguación p El operador d/dt

C Capacitancia p (x), p (x, y) Densidad probabilística o

d Duración de un pulso función de frecuencia

Dk (1) Núcleo de Dirichlet pd (t) Pulso rectangular de

E Contenid

matem

o de energí

ática

a; esperanza amplitud unitaria

y duración d

El Error cuadrático me dio P Potencia

f Frecuencia P(x), P (x, y) Función de distribución

f(t) Función del tiempo probabilística

II f 112 Contenido de energía de f (t) P(w) Densidad espectral de potencia;

F(w), F(/w) Transformada de Fourier de f (t) espectro de potencia

F,(w) Transfor

de f(t

mada cosen

)

o de Fourier R

R (co)

Resistencia

Parte real de F(w)

F,(w) Transformada seno de Fourier R 11, R22, ... Funciones de autocorrelación

de f (t) R 12 , R21, ... Funciones de correlación

II F II2 Contenid

F(w)

o de energ ía de 1111, j!22, ... Funciones de autocorrelación

promedias

G Conductancia k 12, R2l , ... Funciones de correlación

h(t) Respuesta al impulso unitario promedias

H(p) Función operacional del sistema Si Función seno integral

H(w), H(jw) Transfor

funci

Corrient

Amplitu

la cor

mada de Fo

ón del siste

e

d del fasor

riente i (t)

urier de h (t);

ma

que representa

Sa(t)

Sk (t)

t

Función muestreadora

Suma de los primeros (2k + 1)

términos de la serie de

Fourier de f(t)

Tiempo

k Constante de Boltzman; constante T Período de una función

del resorte

K Conductividad térmica

k2,kx,...,kmn Constante de separación

L Inductancia; operador lineal

periódica; temperatura;

tensión

Centro de gravedad del área

bajo la curva f2(t)

268

Lista de símbolos

tr Tiempo de ascenso

Td Duración efectiva del pulso

u Deflexión del cordel o de la

membrana ; potencial

electrostático ; distribución

de temperatura

u (t) Función escalón unitario

v, V Voltaje

VM Amplitud del fasor que representa

al voltaje v (t)

x Desplazamiento ; variable

X Variable al azar

X(w) Parte imaginaria de F(w)

Y(p), Y(jw) Admitancia

7 (p), Z (jw) Impedancia

a Constante de Atenuación

R Constante de fase

an , Rn Coeficientes de Fourier

7 Constante de propagación

8(t) Función delta o impulso

8T(t), 8WO(cJ)

unitario

Tren periódico de impulsos

unitarios

,á t Dispersión en el tiempo

'áw Ancho de banda

Ek

269

Error entre f(t) y Sk(t)

B Angulo de fase

X Longitud de onda

P Densidad

a Desviación estándar

0 Función característica;

ángulo de fase;

función de prueba

Indice de modulación

w Frecuencia angular

w Centro de gravedad del

área bajo la curva

IF(w)12

f (;f }s) Transformada de Fourier

(coseno, seno)

J , (Y Vis) Transformada inversa de

Fourier (coseno, seno)

Transformada de Laplace

L-r Transformada inversa de

Laplace

Transformada bilateral de

Laplace

Re La parte real de

Lm La parte imaginaria de

A

Admitanciaoperacional, 123senusoidal, 128

AM (modulación de amplitud), 156-160señal, 156

BLU (banda lateral única), 179

DBLPS (doble banda lateral yportadora suprimida), 158

ordinaria, 156

Ancho de banda espectral, 229, 236

de un pulso cuadrado, 231

Ancho de banda, 147, 229, 236de un filtro, 147

de una señal, 229espectral, 229, 236

Aproximación mediante una serie finita deFourier, 13-16

Armónicoamplitud del, 5enésimo, 5

Azar

proceso al, 221ruido al, 166, 169

señal al, 171-172, 175variable al, 221

función característica de la, 224gaussiana, 245momento enésimo de la, 223no correlacionada, 226ortogonal, 226

valor cuadrático medio de, 223valor medio de, 223varianza de, 223

B

Banda lateral, 157

inferior, 157

superior, 157

C

Cálculo de potencia en estado estacionario,

129-131

INDICE

Cálculo de ruido, 175Característica de transmisión, 215

de una pantalla absorbente, 215-216de una rendija, 215-216de una rejilla de difracción, 216-217

Causalidad, 239

Centro de gravedad, 228

Circuitos eléctricos, 127

Coeficientes de Fourier

con respecto al conjunto ortonormal, 23de ondas simétricas, 28-33

simetría de cuarto de onda, 29simetría de media onda, 29simetría impar, 28simetría par, 28

evaluación de los, 7-13por diferenciación, 45-48

por medio de la función 6, 62-65Coeficiente de transmisión, 215Condiciones de Diriehlet, 16, 24, 247Condiciones de frontera, 183Condiciones iniciales, 183Conducción de calor, 199-205Conjunta

función característica, 226función de densidad, 226función de distribución, 226

Conjunto ortonormal, 50Constante de propagación de una línea

de transmisión, 143-144Constante de separación, 184

D

Defasador, 149

Delta de Kronecker, 23De las series de Fourier a la integral de

Fourier, 7 1-73Demodulacion, 158-159

Densidad espectral de potencia, 172-173de una función periódica, 173del ruido blanco, 174

del ruido termico, 174

Derivadas generalizadas, 40, 43

de una función con discontinuidades,42-43

Descomposicion de una función en

funciones pares e impares, 25

Desigualdad de Schwartz, 232, 233

Desviación de frecuencia angular de unaseñal de FM, 162

Desviación estándar, 223Detección, 158

Diferenciación de las series de Fourier, 17Difracción, 215

de Fraunhofer, 215

de rayos X por cristales, 221patrón de, 215por una rejilla, 216por una rendija, 216

Discontinuidades, 16,42súbitas, 42

Dispersión, 228

Contenido de potencia, 65, 172de una función periódica, 65de una señal, 172

Distribución de temperatura en estadoestacionario

de una barra infinita, 202Convergencia

de una sucesión de una función

generalizada. 43de la serie de Fourier, 16, 247

de una barra semi-infinita, 205

de una placa semicircular, 209

Distribución del objeto, 219Distribución de potencial de una caja

en un punto de discontinuidad, rectangular, 206

17, 251Convolución, 88-92, 133

Doble banda lateral y portadora suprimida(DBLPS)

de las funciones causales, 88, 137ley asociativa de la, 89ley conmutativa de la, 89

señal de AM con, 158

EConvolución en dos dimensiones , 221,

teorema de la, 221245

Ecuación del calorCuerda vibrante, 212 función de Green de la, 205

energía instantánea de la, 212energía cinética de la, 212

Ecuación de Laplace, 187,

Ecuación de Parseval, 114

205

271


El laplaciano, 199, 205 Fasores, 126 Función propia (o característica), 124en coordenadas cilíndricas, 206 representación fasorial de funciones de un sistema lineal, 124en coordenadas esféricas, 206 senusoidales, 126 Función seno-integral , 146, 255

en coordenadas rectangulares, 206

El principio de incertidumbre, 228

Fenómeno de Gibbs, 253Filtro ideal, 144-147

Función simbólica, 37-103Función unitaria de Heaviside, 42 (ver

de Heisenberg, 228en el análisis de Fourier, 228-236

en el análisis espectral, 228

para altas frecuencias,

para bajas frecuencias,

ancho de banda del,

149144

147

escalón unitario)

Función theta, 238Funciones de Bessel, 163

Energía cinética de una cuerda vibrante, 212 frecuencia de corte del, 144 función generadora de las, 163Energía

contenido, 94, 166, 228de una señal (o función), 94, 166,

respuesta al escalón unitario del,145-147

respuesta al impulso unitario del,

Funciones características, 224conjuntas, 226derivadas de las, 225

228densidad de, 171

144-145tiempo de ascenso, 147

Funciones causales, 137, 239convolución de las, 88, 137

densidad espectral de, 94, 98espectro de, 92, 94, 98, 171

Flujo de calor en estado estacionario, 187

FM (modulación de frecuencia), 161transformada de Fourier de las, 239

Funciones de correlación, 94-98

Energía instantánea de una cuerda vibrante, banda angosta, 180 autocorrelación, 95

212Enésimo armónico de una función

periódica, 5

desviación de la frecuencia angular de,

162

espectro de una senusoidal modulada,

correlación, 94

promedio, 166-171Funciones de correlación promedio, 166

Enésimo momento, 100, 223de una función, 100

162-164

índice de modualción de, 161

de señales reales periódicas , 168-169transformada de Fourier de las, 180

de una variable al azar, 223 señal de, 161 Funciones pares, 24

Error Frecuencia coeficientes de Fourier de las, 28

cuadrático medio, 14 de corte, 144 integración de las, 26

en la aproximación por una serie finita función de, 221 transformada de Fourier de las, 77

de Fourier, 13, 16 fundamental angular, 5, 72 Funciones periódicas, 1

Error cuadrático medio, 14con serie finita de Fourier, 14mínimo, 14

Espectro de magnitud, 74, 81,Espectro de potencia, 171 (ver densidad

espectral de potencia)Espectro de potencia media, 171

Espectro freeuencialcomplejo, 58

continuo, 71, 81

de una señal DBLPS, 158de una señal ordinaria de AM, 157de una señal MAP, 164-166de una señal periódica, 52de una señal senusoidal modulada en

FM, 162-164discreto, 52, 58, 72

Esperanza matemática, 223Evaluación de los coeficientes de Fourier,

7-13por diferenciación, 45-48usando la función b, 62-65

Expansión de Fourier de medio intervalo,

34 -35Expansiones de medio intervalo, 34-35

series de Fourier en cosenos, 34series de Fourier en senos, 34

Expansión en serie de Fourier de una

función en un intervalo finito,

33-37

instantánea, 161, 182

portadora, 157

Fórmula de la sumatoria de Poisson,236-239

Fórmula de inversión, 224Función de autocorrelación, 95

promedio, 166transformada de Fourier de la, 98

Función de autocorrelación promedio, 166

armónico enésimo de las, 5

autocorrelación de, 167componente fundamental de, 5contenido de potencia de, 65correlación de, 167

densidad espectral de potencia de, 173

espectro frecuencial complejo de, 58

período de, 1series de Fourier de, 4

F

Faseángulo de, 5espectro de, 58, 74función de, 182modulación de, (PM), 160

respuesta de, 142retraso, 132

de ondas senusoidales, 168 transformada de Fourier de, 110-113de señales periódicas, 167, 169 Fundamental

del ruido blanco, 174 componente fundamental de una

del ruido térmico, 174 función periódica, 5

transformada de Fourier de la, 168

Función de entrada, 121Función de Green, 205

de la ecuación del calor, 205Función de prueba, 37, 114

Función de salida, 121

Función delta, 37-43 -(ver impulso unitario)bidimensional, 245definición de la, 37

derivada de la, 40

representación integral de la, 103

transformada de Fourier de la, 102, 115transformada de Laplace de la, 258

Función envolvente, 182Función gaussiana, 101, 234

transformada de Fourier de la, 235Función generalizada, 37, 103

sucesión de la, 43convergencia de la, 43

transformada de Fourier de la, 102,114-118, 268

Función impar, 24

coeficientes de Fourier de la, 28-29integración de la, 26transformada de Fourier de la, 77

Función muestreada, 151

Función muestreadora, 62, 154

frecuencia angular fundamental, 5, 72

Identidad de Fourier, 73

Identidad de Parseval, 23, 67

Identificación de señales usandocorrelación, 169-171

Imagende una fuente puntual, 219distribución, 219formación, 215-221

Impedanciaoperacional, 123

senusoidal, 128

Impulso unitario, 37-43 (ver función delta)Integración de las series de Fourier, 17Integral de Duhamel, 141Integral de Fourier, 71, 74Integral de superposición, 138-141Integral del valor absoluto de una función,

16, 74, 102

Intensidad

de iluminación, 219distribución, 216

producida por una rendija, 216producida por una rejilla , 216-218

272

Indice

Intervalo de Nyquist, 153Inversa característica de transmisión de la,

215-216transformada de Fourier, 74ó

transformada de Laplace, 256

L

patr n de difracción de la, 215Parámetros estadísticos, 223Período

La ecuación de onda

definición, de, 1

PM (modulación de fase), 160Portadora, 157

en dos dimensiones, 189 frecuencia de la 157en una dimensión, 183

,Potencial electrostático 187

La transformada de Fourier en dos,

Principio de su er osició 121dimensiones , 218-220, 227

p p n,Probabilidad

Ley asociativa de la convolución, 89función de distribución de 221

Ley conmutativa de la convolución, 89,

conjunta, 226Línea de transmisión, 143 función de densidad de 221

constante de propagación de la, 143-144,

conjunta 226función del sistema para la, 143

,teoría de , 221-228

Problemas de valor en la frontera , 183-214M Problema de valor inicial, 197

ModulaciónPropiedad de desplazamiento en el tiempo

de la transformada de Fourier, 84angular, 160-164 Propiedad de desplazamiento en la frecuenciade amplitud (AM), 156-160 de la transformada de Fourier, 84de amplitud de pulsos (MAP), 164 Propiedad de escalonamiento de lade fase (PM), 160

de frecuencia (FM), 161

de pulsos, 164-166índice, 160-161

de una señal de FM, 161de una señal PM, 160

Momento, 100, 223

enésimo, 100, 223

de una función, 100de una variable al azar, 223

N

Núcleo de Dirichlet, 247

O

Onda incidente, 215

Onda plana monocromática, 215Ondas periódicas, 24

análisis de, 24Ondas viajeras, 197Operacional

admitancia, 123

función del sistema en forma, 121impedancia, 123

Operador lineal, 122Ortogonales

conjunto de funciones, 5funciones, 5, 57

definición de, 5, 57variables al azar, 226

Ortogonalidad

de las funciones exponencialescomplejas, 57-58

de las funciones seno y coseno, 5

P

Pantalla absorbente, 215

transformada de Fourier, 83Propiedad de linealidad de la transformada

de Fourier, 83

Propiedad de simetría de la transformadade Fourier, 85

Pulsos rectangulares

espectro de frecuencia de, 58Punto de discontinuidad, 17

R

Relaciones entre la entrada y la salida, 175Relación entre las transformadas de Fourier

y Laplace, 259Representación en serie de Fourier de una

función no periódica, 72-73Representación integral de la función delta,

103Respuesta

amplitud de la respuesta, 142a un escalón unitario, 138a un impulso unitario, 138de un sistema lineal, 133

a una función exponencial, 123en estado estacionario, 125fase de la, 142

función de la, 121Respuesta en estado estacionario de un

sistema lineal , 125-127senusoidal, 125

Ruido, 166, 175

al azar, 166

blanco, 174

térmico, 174

S

Senusoidal

admitancia, 128

273

función, 5impedancia, 128

Senusoide modulada en amplitud y enángulo, 182

Señales

al azar, 171 -172, 175AM (modulación de amplitud), 156

BLU (banda lateral única), 179DBLPS (doble banda lateral y

portadora suprimida), 158analíticas, 182

ancho de banda de las, 228-229

contenido de energía de las, 94, 166,228

de banda limitada, 151, 153, 156de tiempo limitado, 154duración de las, 228

FM (modulación de frecuencia), 161de banda angosta, 180

incoherente, 180

MAP (modulación de amplitud depulsos), 164

moduladas en ángulo, 160no correlacionadas, 180PM (modulación de fase), 161recortados, 180

Señal FM de banda angosta, 180Serie (s) de Fourier, 1, 4

compleja, 53

convergencia delas, 16, 247

de derivadas de funciones periódicasdiscontinuas, 43-45

de una función diente de sierra, 54de una función scnusoide rectificada, 55de un tren periódico de impulsos _

unitarios, 44, 62-63diferenciación e integración de las, 17divergencia de las, 17doble, 191expansión de una función en un

intervalo finito, 33-37finitas, 13

forma compleja de las, 52-56teorema de diferenciación de las, 18trigonométricas, 4

Series de Fourier en términos del coseno, 34Series de Fourier en términos del seno, 34Series dobles de Fourier en términos del

seno, 208Serie finita de Fourier, 13

aproximación por una, 13-16Separación de variables, 183Sgn t (Signum t), 108Simetría

propiedad de la transformada de Fourier,85

de onda, 24

Simetría de cuarto de onda, 27impar, 27par, 27

coeficientes de Fourier de señalescon, 29-31

Simetría de media onda, 27

coeficientes de Fourier de funcionescon, 29


Simetría escondida, 27

Sistemacausal, 137

de formación de imágenes, 245

de parámetros constantes, 121

físicamenteno realizable, 145realizable, 145

invariante en el espacio, 245

invariante en el tiempo, 121, 122

mecánico, 131óptico, 215

que no introduce distorsión, 142Sistema lineal, 121

característica de filtro del, 144

función propia del, 124respuesta a una función exponencial, 123

respuesta al impulso unitario de un,133-134

respuesta al escalón unitario de un,

138-139respuesta de amplitud del, 142

respuesta de fase del, 142

respuesta senusoidal en estado

estacionario del, 125

valor propio de, 124

T

Teorema de convoluciónen el tiempo, 90en dos dimensiones. 221en la frecuencia, 91

Teorema de convolución en la frecuencia,

151, 156Teorema de la integral de Fourier, 73

Teorema de modulación, 156Teorema del muestreo, 151, 155

en el dominio de la frecuencia, 154en el dominio del tiempo, 151uniforme, 151

Teorema de Parseval, 16, 65, 67, 92,94, 98, 173

en dos dimensiones, 244Teorema de translación en la frecuencia,

156Teorema de Wiener-Khinchine, 98, 101

Teoría de comunicaciones, 15 1-182

Teoría de potenciales, 205-212

Tiempo de dispersión, 228

Tiempo de subida, 147

Transformada coseno de Fourier, 79

Transformada de Fourier, 74aplicaciones misceláneas de la, 215-246

bidimensional , 218-220, 227con +j, 224

de derivadas, 86definición de la, 74de funciones especiales, 102, 120defunciones generalizadas, 102,

114-118, 265de la función 6, 102, 115de la función gaussiana, 235del coseno, 105del escalón unitario, 102, 115del impulso unitario , 102, 115del seno, 105de una constante, 104de una función exponencial, 78, 105de una función impar, 77

de una función par, 77de una función periódica, 110-113de un pulso rectangular, 78

de un tren de impulsos unitarios,111-112

de un tren de pulsos rectangulares, 113

doble, 227en difracción y en formación de

imágenes , 215-221

en teoría de probabilidades, 221-228

interpretación de la, 81-82

Transformada de Hilbert , 239, 242, 246

Transformada de Laplace, 256

bilateral, 261

definición de la, 256

de un escalón unitario, 256de un impulso unitario, 258

inversa, 256relación con la transformada de Fourier,

259unilateral, 261

Transformadas seno de Fourier, 79-80

Transformada tridimensional de Fourier,

221

Transmisión sin distorsión, 142-144

V

Valor cuadrático medio, 223Valor medio, 223Valor propio (o característico), 124

de un sistema lineal, 124Varianza, 223Vibración, 189-199

de una cuerda, 183

de una cuerda infinita, 195-197

de una membrana, 189

de una viga uniforme sujeta por un

extremo, 193

274

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