hydraulique à surface libre notes

C O L E P O L Y T E C H N I Q U EF DR A L E D E L A U S A N N E

Christophe Ancey

Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

cole Polytechnique Fdrale de Lausanne

cublens

CH-1015 Lausanne

Notes de cours

Hydraulique surface libre

crues, vagues, et ruptures de barragePhnomnes de propagation, outils de simulations,

applications

version 6.2 du 14 mai 2014

TABLE DES MATIRES 1

Table des matires

1 quations de base en hydraulique 9

1.1 quations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Obtention des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Forme conservative et non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 coulement sur lit mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.5 Rsistance lcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.6 Limites dutilisation des quations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . 17

1.2 Courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Ressaut hydraulique stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.4 Ressaut hydraulique mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3 Autres quations utiles en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.1 quation de convection (ou dadvection) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.2 quation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.3 quation de convection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.4 quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.5 Processus lquilibre : quation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Ondes de crue et inondations 39

2.1 Phnomnes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Inondation et crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2 Dommages causs par les inondations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.3 Crues torrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Origine des crues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Dfinition de la priode de retour : du problme au calcul mathmatique . . . 49

2.3.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.2 Thorie des valeurs extrmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.3 Dfinition de la priode de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.4 Cas des barrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Estimation du dbit par corrlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 TABLE DES MATIRES

2.4.1 Mthode Crupdix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.2 Courbe enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Estimation du dbit par la mthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.1 Mthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.2 Mthode QdF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6 Estimation du dbit par des mthodes de transformation pluie-dbit . . . . . 66

2.6.1 Mthode rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.2 Mthode SCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.6.3 Mthode Socose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.6.4 Modle rservoir GR4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.7 Calcul de la propagation dune onde de crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.7.1 Onde cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.7.2 Onde diffusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3 Vagues 85

3.1 Phnomnes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2 quations de Saint-Venant et ondes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3 Modle dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.1 quations dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.3 Vitesse de groupe et propagation dnergie . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.4 Vague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.4.2 Ondes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.3 Ondes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.4 Ondes cnodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.5 Ondes solitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.5 Tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.2 Modle approximatif de tsunami arrivant de haute mer . . . . . . . . 107

3.6 Vague dimpulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.6.1 Similitude du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.6.2 Rsultat des expriences pour des blocs solides . . . . . . . . . . . . . 112

3.6.3 Rsultat des expriences pour des coulements granulaires . . . . . . . 114

3.6.4 Remonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.7 Mascaret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.7.1 Phnomne physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.7.2 Ressaut mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

TABLE DES MATIRES 3

3.8 Houle et vagues dues au vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.9 Trains donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.9.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.9.2 Stabilit linaire des quations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 127

4 Rupture de barrage 129

4.1 Rupture de barrage et phnomnes similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1.1 Rupture de grand barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.1.2 Rupture de petit barrage daccumulation . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.1.3 Rupture de lac morainique et glaciaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.1.4 Rupture de digue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.1.5 Rupture de terrils et bassins de dcantation . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.2 Rupture de barrage en ingnierie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2.1 Plan des tudes en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.3 Rupture instantane ou graduelle dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.4 Rupture de barrage en rgime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.4.1 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.4.2 Problme de Riemann : dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4.3 Problme de Riemann : solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.4.4 Rsolution des quations de Huppert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.5 Rupture de barrage dun fluide non visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5.1 Rupture de barrage dun volume infini (solution de Ritter) . . . . . . 157

4.6 Rupture de barrage dans un lit mouill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.7 Effet du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.7.1 Mthode de Whitham : rupture de barrage sur fond plat . . . . . . . . 165

Bibliographie 169

TABLE DES MATIRES 5

Avant-propos

Ce recueil de notes contient les principales notions du cours dhydraulique avanc.Lobjet est ici de fournir les bases mathmatiques et le concepts physiques permettant

de faire des calculs dcoulements fortement instationnaires dans les rivires. Les notionsessentielles des mthodes numriques sont galement vues.

Jemploie les notations usuelles modernes :

les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple. et on indiquela fin dun exemple par le symbole qed ;

les problmes dinterprtation sont indiqus par le symbole dans la marge ; les notions qui ncessitent des complments mathmatiques sont annonces laide de

la tte de Homer

, un hommage aux Simpson ; les notions qui dpassent le cadre de ce cours et qui ne sont donnes qu titre dexemplesont signales par le symbole dans le titre ;

les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; les variables sont en italique ; les fonctions, oprateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; le symbole O (O majuscule) signifie gnralement est de lordre de . En fait, ladfinition est plus prcise et dans certains cas peut ne signifier pas lquivalence desordres de grandeurs. Lorsque par exemple on a u = O(v) avec u(x) et v(x) deux fonctionscontinues dans le voisinage dun point M, alors cela veut dire que la limite limxM u/vest finie (elle nest ni nulle ni infinie) ;

le symbole o (o minuscule) signifie est ngligeable devant ; je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner la drive particulaire, mais d/dt (quilne faudra donc pas confondre avec la diffrentielle ordinaire selon t). Je considre quele contexte est suffisant pour renseigner sur le sens de la diffrentielle et prfre garderle symbole D/Dt pour dautres oprations diffrentielles plus complexes ;

le symbole veut dire proportionnel ; le symbole ou veut dire peu prs gal ; les units employes sont celles du systme international : mtre [m] pour les longueurs,seconde [s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units sont prcisesentre crochets ;

pour la transpose dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole en exposant :A veut dire transpose de A .

Remerciements pour les relecteurs suivants : Viljami Laurmaa, Pascal Venetz.

Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont rservs ; toute copie,partielle ou complte, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.

La gestion typographique du franais a t ralise avec LATEX laide du package french.styde Bernard Gaulle.

6 TABLE DES MATIRES

Nomenclature

Symboles romans

Variable Significationa rayon dune particuleB largeur au miroirC coefficient de ChzyCf coefficient de frottementc clrit des ondesD tenseur des taux de dformationf coefficient de frottement (Darcy-Weisbach)g acclration de la gravith hauteur dcoulementhc hauteur critiquehn hauteur normalek vecteur normal unitaireks rugositK coefficient de Manning-Strickler chelle de longueur largeurL longueur caractristiquen vecteur normal unitairep pressionP chelle de pressionQ dbitq dbit par unit de largeurR rayon de courbureRH rayon hydrauliqueRe nombre de ReynoldsS section dcoulementT tenseur des extra-contraintes (appel encore

partie dviatorique)t tempsu vitesse, composante de la vitesse dans la direc-

tion xu vitesse de glissement, vitesse de cisaillementu vitesse moyenne selon la hauteur dcoule-

mentu vitesse moyenne dans le tempsu vitesseu fluctuation de vitesseU chelle de vitessev vitesse, composante de la vitesse dans la direc-

tion yv vitesse quadratique moyennev vitesseV volume de contrle

TABLE DES MATIRES 7

Symboles grecs

Variable Signification primtre mouill fonction de Dirac petite variation taux de cisaillement rapport daspect constante de von Krmn viscosit dynamique masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillementp contrainte de cisaillement la paroi variable de similitude

91quations de base en hydraulique1.1 quations de Saint Venant

Les quations de Saint-Venant 1 sont une forme intgre (intgration selon la hau-teur) des quations de Navier-Stokes. Elles permettent de calculer les hauteurs deau et

vitesses moyennes le long de la direction dcoulement en fonction du temps. Elles ne sontapplicables quen rgime graduellement vari.

1.1.1 Obtention des quations

Hypothses

Nous allons utiliser ici les hypothses simplificatrices suivantes :

(H1) On sintresse un coulement deau le long dun profil bidimensionnel curviligne (voirfig. 1.1), dont les variations sont faibles (rayon de courbure infini), cest--dire la surfacedcoulement est peu prs plane, dinclinaison par rapport lhorizontale. On rat-tache un systme de coordonnes cartsiennes (x, y, z) ce repre (x est orient selonla ligne de plus grande pente, y est normale au plan de glissement, z reprsente unedirection latrale).

(H2) On considre un mouvement essentiellement bidimensionnel (z nintervient pas dans lescalculs). Les calculs peuvent tre gnraliss la dimension 3.

(H3) Il ny a pas de variation significative de la section dcoulement sur de courtes distances(les variations sont toujours progressives). Il en est de mme pour les hauteurs dcou-lement, qui varient doucement dun point lautre de lcoulement sur un mme bief.On parle de rgime graduellement vari ou bien dapproximation des grandes longueursdonde pour dsigner ce rgime ou cette approximation. Il sagit donc dun rgime peuloign du rgime permanent uniforme. Les lignes de courant sont donc parallles lasurface libre, elle-mme peu prs parallle la ligne de fond. Le rapport caractristique = H/L appel rapport daspect est petit devant 1 (avec H : chelle de hauteuret L chelle de longueur) ; typiquement pour une rivire de 10 km et profonde de 10m, on a = 103 1.

1. Adhmar Barr de Saint-Venant (17971886) tait un mcanicien franais. Polytechnicien de formation,il tudia aussi lcole Nationale des Ponts et Chausse, o il fit lessentiel de sa carrire. Ses travaux derecherche ont couvert un champ considrable de domaines scientifiques et dapplication : hydraulique maritime,navigation le long des canaux et sur route, lasticit, thorie des fluides visqueux, turbulence et perte de chargedans les conduites. Avant Reynolds, il avait pressenti limportance de la turbulence dans le calcul des pertes decharge. En 1871, il proposa un jeu dquations aux drives partielles dcrivant le mouvement unidimensionneldune onde de crue.

10 1. quations de base en hydraulique

(H4) Les lignes de courant au sein de lcoulement ne subissent pas de bifurcation brutale.(H5) La surface dcoulement exerce une contrainte de frottement p sur le fond de la rivire

(lit).(H6) La masse volumique de leau est constante (pas deffet du transport solide en suspen-

sion).(H7) Il ny a pas de variation de masse durant lcoulement (apport ou perte deau).(H8) Le lit est fixe (pas de transport solide, pas drosion, pas de dpt) et de rugosit

uniforme tout le long du bief considr. On va donc essentiellement ici considrer lecas b(x,t) = 0. Le cas dun lit mobile peut galement tre trait dans le prsent cadrethorique (mais on ne fournira ici aucune dmonstration, voir (Gray, 2001)).

(H9) La pente locale nest pas trop forte (tan doit tre infrieur 1020 %) sinon il y a unrisque dinstabilit de la surface libre ( roll waves ou train donde, voir 3.9.2).

b(x,t)

h(x,t)

s(h,t)

lit

surface libre

x

y

Figure 1.1 : notation employe dans la description des profils en long.

Le principe de base dans les modles de type Saint-Venant est de partir des quationslocales de conservation de la masse et de la quantit de mouvement, de les intgrer suivant laverticale pour les moyenner, puis de les simplifier en supprimant les termes de faible influence.

Conservation de la masse

Considrons lquation de conservation de la masse

/t+ (u) = 0,o u dsigne la vitesse locale de lcoulement. Lintgration de cette quation selon la hauteurdcoulement, cest--dire le long de la direction y, donne :

h(x,t)0

(u

x+v

y

)dy =

x

h0

u(x,y,t)dy u(h)hx

v(x,h,t) + v(x,0,t), (1.1)

o u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y. la surface libre etau fond, la composante normale de la vitesse v doit satisfaire respectivement

v(x,h,t) =dhdt

=h

t+ u(x,h,t)

h

xet v(x,0,t) = 0 (1.2)

compte tenu de la dfinition de la surface libre (voir le livret complment de cours pourplus de dtails). Do lon dduit lquation moyenne de conservation de la masse :

h

t+hu

x= 0, (1.3)

1.1 quations de Saint Venant 11

o lon a dfini les valeurs moyennes de la faon suivante :

f(x,t) =1

h(x,t)

h(x,t)0

f(x,y,t)dy.

Conservation de la quantit de mouvement

La mme procdure peut tre applique lquation locale de conservation de la quantitde mouvement :

du/dt = g p1+ T,o T reprsente le tenseur des extra-contraintes et p la pression. Toutefois, comme il y a plusde termes que dans lquation de conservation de la masse et comme certains ont un effetmineur sur la dynamique de lcoulement, on va se servir de lanalyse dimensionnelle poursimplifier lquation de conservation de la quantit de mouvement.

Outre les chelles de longueur et de hauteur (L et H) introduites prcdemment, ondfinit galement une chelle de vitesse U =

gH cos (de telle sorte que Fr = O(1)) dans

la direction de lcoulement, V = U lchelle de vitesse dans la direction normale au lit(y), une chelle de temps T = U/L, une chelle de pression P = gH cos (coulement surface libre, donc lordre de grandeur de la pression est la pression hydrostatique), et lesnombres sans dimension de Reynolds et de Froude

Re =UH

et Fr =

UgH cos

.

On suppose quon est en rgime turbulent : Re 1. On suppose que le nombre de Froudenest ni trs grand, ni trs petit : Fr = O(1) (il peut tre plus petit ou plus grand que 1). Onpeut alors adimensionnaliser toutes les variables

u =u

U, v =

v

V, x =

x

L, y =

y

H, et t =

t

T,

tandis que les contraintes sont transformes de la faon suivante

Txx =UL

Txx, Txy =UH

Txy, Tyy =UL

Tyy, et p =p

P.

Lquation locale de quantit de mouvement scrit donc

Redudt

=ReFr2

(1tan p

x

)+ 2

Txxx

+Txyy

, (1.4)

3Redvdt

=ReFr2

(1 p

y

)+ 2

Txyx

+ 2Tyyy

. (1.5)

On va maintenant utiliser le fait que 1 et que le nombre de Reynolds Re 1 (coulementturbulent). On note que dans les quations apparat parfois le produit Re, dont la valeur estindfinie ; on va ici supposer que Re = O(1) (ce qui implique donc 2Re 1). Lquation(1.5) se simplifie considrablement puisque la plupart des termes sont ngligeables sauf lapression et le terme de gravit

1 py

= 0,


qui une fois remise sous forme dimensionnelle et aprs intgration, nous montre que la distri-bution de pression est hydrostatique

p = g(h y) cos .

Dans lquation (1.4) seule la composante avec Txx disparat ; les autres termes sont a prioridu mme ordre de grandeur

dudt

= tan px

+Txyy

,

qui remise sous forme dimensionnelle donne

dudt

= g sin px

+Txyy

.

Sans difficult nous obtenons lquation moyenne de conservation de la quantit de mouve-ment aprs avoir intgr lquation prcdente selon y entre 0 et h :

(hu

t+hu2

x

)= gh sin hp

x p, (1.6)

o la contrainte de frottement (appele aussi contrainte paritale) est p = Txy(x,0,t), lapression moyenne est p.

Le systme dquations (1.31.6) nest pas ferm car le nombre dinconnues dpasse lenombre dquations. Une approximation courante est dintroduire un paramtre, appel par-fois le paramtre de quantit de mouvement de Boussinesq, qui relie le carr de la vitessemoyenne la moyenne du carr de la vitesse

u2 =1h

h0

u2(y) dy = u2.

Gnralement on a 1 5/4. Une approximation courante est dcrire = 1. On peutainsi transformer le terme hu2/x dans lquation (1.6)

hu2

x=

hu2

x hu

2

x.

Une autre approximation, que nous avons implicitement utilise ci-dessus, est relative aucalcul des contraintes. Puisque nous avons suppos que les variations de hauteur le long delaxe x sont faibles (approximation donde longue), cela implique que, pour toute quantitm relative au mouvement de lcoulement, nous avons : m/y m/x. Cela impliqueque toute tranche dcoulement peut tre traite comme localement uniforme. Avec une tellehypothse, il est possible de calculer la contrainte la paroi en considrant que son expressionen fonction de u et h est identique celle du rgime permanent ; on utilise alors les formulesclassiques telles que celles de Manning-Strickler ou Chzy pour calculer p.

1.1.2 Forme conservative et non conservative

Le jeu dquations du mouvement moyen compos de la conservation de la masse (1.3) etde la quantit de mouvement (1.6) est appel la forme conservative des quations de Saint-Venant car leur obtention et leur forme finale refltent directement le principe gnral deconservation de la masse et de la quantit de mouvement sur un volume de contrle ; elles


peuvent dailleurs tre obtenues de cette faon sans passer par une intgration de la formelocale des quations du mouvement.

On utilise souvent en pratique une forme dite non conservative de lquation de la quantitde mouvement, qui consiste se servir de lquation (1.3) pour transformer les termes huen u. On obtient facilement en faisant ainsi

h

(u

t+ u

u

x

)= gh sin gh cos h

x p.

Formes conservative et non conservative sont strictement quivalentes sur le plan math-matique tant que les solutions u et h sont continues. En revanche, dans le cas de solutions discontinues (formation dun ressaut hydraulique par exemple), la forme non conservativefournit une solution fausse au niveau de la discontinuit. Pour la rsolution numrique desquations, il est prfrable demployer la forme conservative lorsque des solutions discontinuessont possibles.

1.1.3 Synthse

coulement unidirectionnel

Dans le cas dun coulement unidirectionnel sur fond fixe et sans transport solide, lesquations de Saint-Venant sont composes :

dune quation de conservation de la masse

h

t+hu

x= 0, (1.7)

dune quation de conservation de la quantit de mouvement :

u

t+ u

u

x= g sin g cos h

x ph

. (1.8)

Pour boucler ces quations, il faut connatre la loi de frottement p(u, h). Il faut aussi prciserdes conditions aux limites, qui dpendent principalement du type de rgime (super- ou sub-critique) :

pour un rgime supercritique, linformation se propage uniquement de lamont verslaval (il ny a pas de remonte dinformations). La condition la limite doit tre pose lamont. Dans un problme dvolution, il est ncessaire de spcifier la fois lesconditions initiales et les conditions aux limites ;

pour un rgime subcritique, linformation se propage non seulement de lamont verslaval, mais galement de laval vers lamont (il y a une remonte dinformations). Lacondition la limite doit tre pose laval pour un simple problme de type coursde remous. Dans un problme dvolution, il faut prciser principalement les conditionsinitiales. Selon le problme, les conditions aux limites peuvent tre superflues ou biennon compatibles avec les conditions initiales.

Les quations de Saint-Venant permettent de rsoudre un grand nombre de problmeshydrauliques ds lors que la courbure de la surface libre nest pas trop forte, en particulierlorsquil ny a pas de ressaut hydraulique sparant un rgime supercritique dun rgime sub-critique ou bien lorsquil y a une chute deau au niveau dun seuil. En pratique, les types deproblme que lon peut rsoudre sont trs divers, par exemple :

propagation dune crue dans une rivire ;


rupture de barrage dans une rivire ;

volution dune ligne deau en fonction du dbit fourni.

Cest ce que lon va voir dans le reste de ce cours.

Formulation conservative

Sur le plan physique, ce nest pas la vitesse et la hauteur qui se conservent quand on critles principes de conservation de la masse et de la quantit de mouvement, mais le dbit et lahauteur. Il peut alors tre ncessaire de formuler les quations de Saint-Venant non pas entermes de hauteur et de vitesse, mais en termes de hauteur et dbit. Cette formulation estdite conservative. Dans le cas dun coulement unidirectionnel sur fond fixe, infiniment large,et sans transport solide, les quations de Saint-Venant sous forme conservative sont :

h

t+hu

x= 0, (1.9)

hu

t+hu2

x= gh sin gh cos h

x p

. (1.10)

Formulations conservatives (1.9)(1.10) et non conservatives (1.7)(1.8) sont quivalentes tantque les solutions sont continues. Si des discontinuits apparaissent (ressaut hydraulique), ilest impratif de travailler avec la formulation conservative (1.9)(1.10) sous peine de trouverde mauvaises solutions.

coulement travers des sections quelconques

Les quations (1.7)(1.8) ont t crites pour un canal infiniment larges et hu reprsentele dbit par unit de largeur. On pourrait les crire de faon plus gnrale pour une sectionS(x, t) par laquelle transite un dbit Q(x, t). On a alors :

S

t+Q

x= 0, (1.11)

Q

t+Q2S1

x= gS sin gS cos h

x p

. (1.12)

Rappelons que h = S/B et u = Q/S. Dans cette forme gnrale, la loi de frottement sexprimecomme une fonction p(u, RH). Pour un coulement travers une section quelconque, laclrit des ondes est

c =

gS

B,

avec B la largeur au miroir. De l, on dduit que le nombre de Froude est dfini comme

Fr =u

c=

QB

gS3/2.


1.1.4 coulement sur lit mobile

En prsence de transport solide, il faut complter ces quations par lquation dExner quidcrit lrosion ou lengravement du lit :

b

t= D E = qs

x, (1.13)

avec b(x,t) la cote du lit (par rapport un niveau de rfrence), E le taux drosion dulit (nombre de particules par unit de surface et par unit de temps qui sont entranespar lcoulement), D le taux de dpt, et qs le dbit solide (rsultat net entre rosion etsdimentation du lit). La pente locale peut varier doucement autour de selon quil y aaggradation (rosion du lit, tb < 0) ou dposition (engravement du lit, tb > 0). Lquationde conservation de la quantit de mouvement doit tre modifie en consquence

u

t+ u

u

x= g sin g cos s

x ph

.

avec s = b+ h la cote de la surface libre (Gray, 2001).

1.1.5 Rsistance lcoulement

La rsistance lcoulement traduit la rsistance quexerce le fond (lit fixe ou mobile) surlcoulement deau. On considre quil existe deux processus de rsistance :

une rsistance lchelle des particules, dite rsistance de peau , cest--dire lefrottement exerc par les grains composant le lit, ce qui explique pourquoi beaucoup deformules empiriques font appel au diamtre des grains comme paramtre dinfluence ;

une rsistance plus grande chelle, dite rsistance de forme , lie aux structuresmorphologiques (dunes, alternance de seuils et mouilles) qui accroissent la dissipationdnergie au sein de lcoulement.

Comme trs souvent en pratique, on utilise des modles filaires (unidimensionnels) pourreprsenter des coulements tridimensionnels, il faudrait aussi tenir compte dune rsistancelie la sinuosit du lit (mandrement, lit en tresses, etc.). Notons aussi que pour la plupartdes applications, on ne cherche pas calculer individuellement les contributions la rsistancetotale du lit sur lcoulement, mais on gnralise les formules de rsistance de peau ou ajusteses paramtres pour tenir compte des autres processus.

La loi la plus employe car valable pour une large gamme de dbits et de rugosit est laloi de Manning ; la contrainte paritale scrit

p =g

K2u2

R1/3H

, (1.14)

avec K le coefficient de Manning-Strickler. Pour les applications en ingnierie, il est frquentdemployer des valeurs de K tabules en fonction du type de cours deau :

canal en bton lisse : K = 65 80 m1/3s1 ; canal en terre : K = 40 60 m1/3s1 ; rivire galet, rectiligne, section uniforme : K = 30 40 m1/3s1 ; rivire avec mandre, sinuosit, etc. : K = 20 30 m1/3s1 ; rivire vgtalise ou torrent : K = 10 m1/3s1.


Une approche moins grossire consiste relier la rugosit du lit, par exemple la loi historiquede Meyer-Peter & Mller (1948) pour les rivires pente douce :

K =26

d1/690

,

ou bien sa variante actuelle (formule de Jggi, 1984) (Smart & Jaeggi, 1983) :

K =26

k1/6s

=23,2

d1/690

,

o d90 est diamtre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamtre plus petit que d90) ; ce dia-mtre caractristique sert aussi dfinir une chelle caractristique ks = 2d90, qui est utilisenotamment dans la formule de Keulegan (voir infra). Pour les torrents, il est assez frquentde considrer que le coefficient K est une fonction de la pente et la submersion relativeh/d90. Il existe plusieurs approches pour quantifier de faon plus prciser la dpendance deK vis--vis de et h/d90 :

lapproche empirique consiste corrler partir dexpriences sur des canaux enlaboratoire ou des donnes de terrain le coefficient K et les paramtres caractrisantle lit. Les quations obtenues par Rickenmann (1990) en sont un exemple ;

une approche thorique dite de rpartition des contraintes permet de rendre compte deseffets lis la distribution granulomtrique dans le calcul de la rsistance (Ackers & White,1973; Wiberg & Smith, 1991; Yager et al., 2007). Lide est quun lit torrentiel peut trescind en une partition de grains immobiles (blocs de taille suprieure au d90) et de grainsmobiles ;

de faon plus anecdotique, des chercheurs ont propos des ides fonde sur la thorie dela couche limite, sinspirant de la pratique en turbulence atmosphrique avec la prise encompte de la canope (Katul et al., 2002).

Pendant longtemps, on a utilis le profil de vitesse logarithmique (en principe valableuniquement prs du fond) pour dcrire tout le profil de vitesse dun coulement hydraulique-ment turbulent dans un canal. Fonde sur cette approximation, la loi de Keulegan est uneformule bien adapte pour les coulements sur des lits gravier. Elle revient supposer quela contrainte la paroi serait similaire celle donne par la formule de Chzy, mais avec uncoefficient C =

g1 ln(11h/ks) fonction de la hauteur deau et de la rugosit, soit encore :

p =2

ln2 (11h/ks)u2, (1.15)

avec la constance de von Krmn et ks une taille caractristique des rugosits du lit (ks 2d90). La formule est valable tant que le fond est suffisamment rugueux, cest--dire h/ks < 10.Cette formule peut se gnraliser des gomtries plus complexes en substituant la hauteurh par le rayon hydraulique RH .

Notons que de nos jours, on prfre employer une loi puissance de type Manning-Stricklerplutt quune loi logarithmique pour relier le coefficient de Chzy aux paramtres hydrau-liques. Par exemple, pour des lits gravier (fond mobile), la formule de Parker donne

C = 8,10g

(h

ks

)1/6,

qui fournit des rsultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits trs rugueux(h/ks < 5).


#On se reportera la publication Rauheiten in ausgesuchten schweizerischen Fliessgewssern (en allemand) du Bundesamt fr Wasser und Geologie (maintenant rattach lOffice fdralde lnergie) pour une analyse de 12 cours deau en Suisse pour diffrents dbits. Cet ouvragefournit une estimation du paramtre de Manning-Strickler K en fonction des conditions hy-drologiques, morphologiques, granulomtriques, et hydrauliques.

On pourra aussi se rfrer au site wwwrcamnl.wr.usgs.gov/sws/fieldmethods/Indirects/nvalues/index.htmpour un catalogue de valeurs de n = 1/K pour diffrentes rivires (amricaines) ; le tableaufournit la fois des photographies de biefs et les caractristiques des sections mouilles.

1.1.6 Limites dutilisation des quations de Saint-Venant

Les quations de Saint-Venant (1.7)(1.8) sont particulirement adaptes aux canaux faible pente et aux rivires avec un lit bien dfini. La figure 1.2 montre un exemple de rivireamnag en Suisse centrale. En gnral, le lit dun cours deau ne reste que rarement plan(lisse), mais au contraire dveloppe des structures morphologiques de taille trs variable allantde petits monticules de quelques grains jusqu des dunes. Ces structures se forment spontan-ment ds lors quun transport solide mme faible et intermittent se produit. Une consquencesur le plan hydraulique est en gnral un accroissement de la dissipation turbulente. Cela peutse traiter dans le cadre des quations de Saint-Venant :

soit en tenant compte de lquation dExner (1.13) et en la couplant avec les quationsde Saint-Venant (1.7)(1.8)

soit en considrant lisse, mais en majorant la perte de charge hydraulique (cest--direen augmentant p pour tenir compte de la dissipation dnergie supplmentaire).

La figure 1.3(a) montre le lit dun canal en sable lors dexpriences en laboratoire. La figure1.3(b) montre la bathymtrie du Rhin prs de son dbouch dans la Mer du Nord.

Figure 1.2 : la rivire Thur (Suisse) rectifie [Martin Jaeggi].

Dautres formes de structures morphologiques peuvent apparatre, en particulier pour leslits gravier : ce sont les bancs alterns, cest--dire des dpts assez rgulirement dispossle long du cours deau, travers lesquels sinue le cours deau lorsque le niveau de leau est bas.En cas de crue, les bancs sont gnralement recouverts deau. Ces bancs jouent un grand rlesur le plan hydraulique la fois comme dissipateurs dnergie et comme zones tampon pourle bilan sdimentaire ; sur le plan cologique, ils peuvent galement revtir un rle important.


(a)

coulement

(b)

Figure 1.3 : expriences de laboratoire avec dveloppement de dunes [Gary Parker]. (b) bathymtriedu Rhin aux Pays-Bas : dveloppement de dunes [Wibers & Blom]

De telles structures existent dans les cours deau amnags et les rivires naturelles. Un casapparent est la formation de lits en tresse, o il ny a pas un seul chenal dcoulement, maisune multitude de bras. La figure 1.5 montre des sries de bancs alterns sur un canal en Suisseet au Japon tandis que la figure 1.6 offre un exemple spectaculaire de lits en tresse dans unerivire gravier de Nouvelle-Zlande.


Figure 1.4 : ondulation ( ripple en anglais) du lit (lac Tahoe, Nevada, tats-Unis) [C. Ancey].

Les quations de Saint-Venant ne sont pas adaptes lorsquil existe des singularits, cest--dire des sections o le comportement de lcoulement change fortement. Ces singularitspeuvent tre naturelles (comme une cascade ou bien un largissement brutal du lit) ou artifi-cielles. Parmi ces dernires, il faut mentionner les ouvrages hydrauliques (tels que les seuils,les prises deau, les drivations), les ponts et passages buss. Les ponts et buses peuvent obs-


(a)

(b)

Figure 1.5 : (a) formation de bancs alterns dans le Rhin en Suisse [Martin Jaeggi]. (b) formationde bancs alterns sur la rivire Naka (rectifie) [S. Ikeda].

truer lcoulement (dpt de flottants ou de sdiment), se mettre en charge, ou bien encoretre dun gabarit insuffisant pour la section mouille de lcoulement, tous ces phnomnespouvant gnralement causer le dbordement de la rivire, voire forcer la rivire changer delit.


Figure 1.6 : lit tresses (rivire torrentielle Rakaia, Nouvelle Zlande) [DR].


(a)

(b)

(c)

Figure 1.7 : (a) seuil avec prise deau pour la production lectrique. (b) Passage bus sous unechausse [C. Ancey]. (c) Crue du Domnon (Isre, France) en aot 2005 [DR].


(a)

(b)

Figure 1.8 : (a) lIsre en crue lamont de Grenoble en juin 2008. (b) plaine agricole inonde parlIsre en crue [C. Ancey].


(a)

(b)

Figure 1.9 : Vue du mme bief du Rote Bach (BE) le 28 juillet 2003 et 4 aot 2004. Source : EvaGertsch (Gertsch, 2009).

1.2 Courbe de remous 25

1.2 Courbe de remous

La premire application des quations de Saint-Venant concerne la courbe de remous,cest--dire le calcul de la ligne deau dun coulement en rgime permanent (la variation dela cote de la surface libre z = h(x) le long dun bief ou dun tronon quelconque de rivire).Examinons ce qui passe pour un canal infiniment large. Puisque le rgime est permanent(th = 0), la conservation de la masse (1.7) implique que le dbit (par unit de largeur) estgalement constant :

hu

x= 0 q = hu = cste.

Le long du bief, h(x) et u(x) peuvent donc varier, mais ils sont toujours lis par la conditionhu = cste. La conservation de la quantit de mouvement (1.8) fournit

ududx

= g sin g cos dhdx ph

,

o lon a remplac les drives partielles par des drives selon x car il ny a plus quune seulevariable. En se servant de la relation hu = q, on a

dudx

= qddx

1h= q

h2dhdx

.

En substituant dans lquation de conservation de la quantit de mouvement, on tire

q2

h3dhdx

= g sin g cos dhdx ph

,

et aprs arrangement des termes

dhdx

(g cos q

2

h3

)= g sin p

h,

ce qui donne finalement lquation diffrentielle du premier ordre :

dhdx

=g sin p

h

g cos q2

h3

. (1.16)

On emploie souvent aussi une forme condense

dhdx

=tan p

gh cos 1 Fr2 , (1.17)

o lon prendra garde que, contrairement ce quon a fait pour ladimensionnalisation desquations de Navier-Stokes, le nombre de Froude

Fr =u

gh cos =

qgh3 cos

nest pas constant, mais varie avec x. Cela implique notamment que sous certaines conditions,on puisse rencontrer Fr = 1, donc un dnominateur nul dans lquation diffrentielle (1.17), cequi mathmatiquement impliquent que h est infini, donc h(x) admet une tangente verticale(un mur deau vertical). Dans de telles conditions, les quations de Saint-Venant cessenttoutefois dtre valables (violation de lhypothse H3). Physiquement, cette discontinuit (lavariation brutale de hauteur) se traduit par lexistence dun ressaut hydraulique (voir 1.2.2).


1.2.1 Hauteur critique et rgimes associs

La hauteur crot ou dcrot selon le signe respectif du numrateur et du dnominateurdans lquation diffrentielle :

dhdx

=jf iFr2 1 , (1.18)

ce qui donne diffrentes formes de courbes de remous. Notons ce point important : lorsque lenombre de Froude prend la valeur 1, le dnominateur est nul et en ce point la drive devientinfinie, ce qui est physiquement impossible. En fait au voisinage de ce point, il se forme

soit une discontinuit de la surface libre appele ressaut quil faut tudier avec des outilsspcifiques (cf. 1.2.2) lorsquon passe dun rgime super- subcritique ;

soit une chute deau, cest--dire une acclration brutale et un raidissement dela surface libre (passage dun seuil par exemple, avec transition dun rgime sub- supercritique).

La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 sappelle la pente critiqueet la hauteur critique hc. On distingue deux rgimes selon la valeur du nombre de Froude :

Fr < 1, rgime sub-critique plus couramment appel rgime fluvial pour lequel on ah > hc ;

Fr > 1, rgime super-critique plus couramment appel rgime torrentiel pour lequel ona h < hc.

La hauteur critique tant dfinie comme tant Fr(hc) = 1, on tire que :

hc =

(1

g cos Q2

B2

)1/3,

avec Q le dbit total et B la largeur au miroir. Dans le cas dun canal rectangulaire, enintroduisant le dbit par unit de largeur q = Q/B, on tire :

hc =

(q2

g cos

)1/3.

Le dbit critique ne dpend pas (directement) de la pente, mais uniquement du dbit liquide.

1.2.2 Ressaut hydraulique stationnaire

Au niveau dun ressaut, la courbure de la ligne deau est trop importante et les quationsde Saint Venant cessent dtre valables. On utilise alors le thorme de quantit de mouvementde part et dautre du ressaut (sur un volume de contrle) pour simplifier le problme et dduireles caractristiques du ressaut. Pour cela on considre un volume de contrle (par unit delargeur) de part et dautre du ressaut. Notons que lcoulement va de la gauche vers la droiteet il faut se souvenir que dans ce sens dcoulement, un ressaut provoque une augmentationde hauteur, jamais une diminution (en effet le ressaut est associ une dissipation dnergie,donc un ralentissement de lcoulement). La tranche amont (resp. aval) est rfrence parlindice 1 (resp. 2). La longueur du volume de contrle est L.

On fait les hypothses suivantes

lcoulement est permanent et le dbit par unit de largeur vaut q ;


(a)

(b)

Figure 1.10 : simulation dun ressaut au laboratoire (a) et schmatisation dun ressaut (b).

lcoulement est unidirectionnel ; le ressaut est immobile (sa vitesse de dplacement est nulle) ; la pression est hydrostatique loin du ressaut ; le profil de vitesse est uniforme ; le fond est peu rugueux.

On considre un volume de contrle dont les frontires englobent le ressaut.

Lquation de continuit donne : u1h1 = u2h2 = q. Lquation de quantit de mouvement

Vu(u n)dS =

VgdV

V

pndS +V

T ndS

projete le long de la direction dcoulement donne :

q(u2 u1) = Lp + 12g(h21 h22).

On suppose que lon connat les conditions lamont et on veut dduire ce qui se passe laval. Quand on peut ngliger le frottement p, on tire :

h2h1

=12

(1 + 8Fr21 1

). (1.19)


1 2 3 4 5

Fr1

0

1

2

3

4

5

6

h 2/h

1

Figure 1.11 : variation du rapport h2/h1 en fonction du nombre de Froude.

La figure 1.11 montre que le rapport h2/h1 varie de faon peu prs linaire avec lenombre de Froude amont Fr1.

Lquation (1.19) sappelle quation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont ditesconjugues. La perte de charge associe scrit :

H = H2 H1 = h2 h1 + u22 u212g

=(h2 h1)34h1h2

= h1

(1 + 8Fr21 3

)316(

1 + 8Fr21 1) .

La longueur du ressaut nest en gnral pas trs leve, ce qui permet de justifier notreapproximation. Exprimentalement on trouve que :

L

h1= 160 tanh

Fr20 12,

pour 2 < Fr < 16.

1.2.3 Conjugaison dune courbe de remous

Les ressauts hydrauliques stationnaires sont souvent observs au pied damnagementshydrauliques tels que les vacuateurs de crue des barrages ou les seuils. La figure 1.12 montreun ressaut au pied du seuil, qui sert alimenter le laboratoire dhydraulique Saint-Falls(SAFL) Minneapolis. En modlisation hydraulique, il est souvent considr que de telsamnagements sont des points singuliers ou singularit : la longueur de lamnagement esttrs petite par rapport la longueur caractristique du bief tudi que lon peut la considrernulle ; la courbe de remous nest alors pas calcule car cest juste un point, dont la positionconcide avec la position de lamnagement. Dans un tel cas, la position du ressaut hydrauliqueest donc trs simples tablir. Cela nest toutefois pas toujours le cas.

En effet, lorsque les conditions hydrauliques varient doucement et se caractrisent par lepassage dun rgime supercritique un rgime subcritique, il se forme un ressaut, dont laposition nest pas a priori fixe par une singularit. Pour dterminer la position du ressaut,


Figure 1.12 : ressaut hydraulique stationnaire sur le Mississippi au pied du seuil du Saint-FallsLaboratory de Minneapolis (tats-Unis). Source : www.thefullwiki.org/Hydraulic_jump.

il faut appliquer la mthode dite de conjugaison . Cette mthode repose en effet surlquation de conjugaison (1.19). Cette quation fournit les hauteurs de part et dautre duressaut, h2 (hauteur aval) et h1 (hauteur amont). Chacune de ces hauteurs doit galement setrouver sur la courbe de remous : comme le montre la figure 1.13(a), les points B (hauteurh1) et C (hauteur h2) localisent le ressaut hydraulique, qui apparat comme discontinuit.La branche AB est la courbe de remous du rgime supercritique (elle se calcule en rsolvant(1.18) avec une condition la limite en A) ; la branche CD est la courbe de remous du rgimesubcritique (elle se calcule en rsolvant (1.18), qui se rsout avec une condition la limite enD). Positionner le ressaut cest donc positionner le segment vertical BC de telle sorte que lahauteur hD vrifie la courbe de remous de la branche subcritique et que la hauteur hC fassede mme pour la branche supercritique.

(a)ressaut rgime subcritiquergime supercritique

courbe de remous aval, q. (5.10) avec Fr < 1courbe de remous amont,q. (5.10) avec Fr > 1

b

b

b

b

A

B

CD

h(x)

x

(b)par lq. (5.13)h1(x)

b

b

b

A

B

D

h(x)

x

h2(x)

h1

conjugue de h2(x)

intersection de la conjugue et de h1(x)

b D

Eb

Figure 1.13 : (a) ressaut stationnaire entre deux courbes de remous, lune en rgime subcritique laval, lautre en rgime supercritique lamont. (b) Principe de calcul de la position du ressaut laide de la courbe conjugue.

Ce problme peut se rsoudre simplement en traant la conjugue dune des brancheset en cherchant son intersection avec lautre branche. Par exemple, comme le montre la fi-gure 1.13(b), admettons que lon ait calcul la courbe de remous subcritique h = h2(x) partant


du point D en rsolvant (1.18) ; on peut calculer la courbe conjugue DE h = h1(x) (le primedsignant la hauteur conjugue) en se servant de (1.19) :

h2h1

=12

(1 + 8Fr21 1

)(1.20)

avec Fr1 = q/gh

31 . Lintersection de la courbe conjugue h = h

1(x) avec la branche su-

percritique h = h1(x) se fait au point B. Comme ce point appartient la courbe de remoussupercritique et quil vrifie la relation de conjugaison (1.19), il nous fournit la position duressaut.

On aurait pu procder avec lautre branche, ce qui conduit strictement au mme rsultat.Il faut noter au passage que cest mme une stratgie plus efficace car on note que dans laprcdente mthode, linconnue h1(x) apparat la fois dans le dnominateur du membre degauche et dans la dfinition du nombre de Froude, ce qui demande un peu plus de travailnumrique pour trouver la solution.

1.2.4 Ressaut hydraulique mobile

Toutes quations (ou systmes dquations) qui se mettent sous la forme dune quationdvolution

ut

+A(u) ux

= 0, (1.21)

ou bien sous la forme dite conservative

ut

+

xF(u) = 0, (1.22)

o lon a la relation : A(u) = uF(u), peuvent admettre des solutions discontinues. Pourles quations, ces discontinuits sont les ondes de choc lors du passage du mur du son. Enhydraulique, ces discontinuits sont les ressauts hydrauliques mobiles, dont le mascaret (voir 3.7) est un exemple. Toute discontinuit situe en x = s(t) se propage la vitesse s donnepar la condition de Rankine-Hugoniot

sJuK = JF(u)K, (1.23)

o les doubles crochets reprsentent la variation brutale de u au passage du choc

JuK = u+ u = limxs,x>s

u limxs,x


On a ainsi :

s =h2v2 h1v1h2 h1 ,

(h2u2 h1u1)2h2 h1 = h2u

22 +

gh222 h1u21

gh212,

ce qui donne la vitesse de propagation du ressaut et u2(h2|h1 v1) :

u2 = u1 (h2 h1)g

2h1 + h2h1h2

,

s = u1 g

2(h1 + h2)

h2h1.

Pour les cas avec frottement et pente non nulle, cette relation est toujours vrifie (ladiscontinuit tant suppose ponctuelle, les termes sources tels que le frottement ne peuventinfluer sur la dynamique du ressaut).


1.3 Autres quations utiles en hydraulique

Nous allons maintenant voir les principaux types dquations aux drives partielles ren-contres en hydraulique :

transport par convection (ou advection) ;

transport par diffusion ;

phnomnes ondulatoires ;

phnomnes dquilibre.

1.3.1 quation de convection (ou dadvection)

Quest-ce quune quation aux drives partielles du premier ordre? Voir la dfinition au 1.5 du complment de cours Savez-vous mettre une quation aux drives partielles sous forme caract-

ristique? Voir la mthode au 1.4.4 du complment de cours Connaissez-vous la mthode des caractristiques pour rsoudre une quation

aux drives partielles? Voir la mthode au 1.7.2 du complment de cours Quest-ce quune quation diffrentielle hyperbolique? Relire lannexe 1, avec plus particulirement le 1.5.1.

La convection est un mode de transfert dun lment ou dune quantit o celle-ci estadvecte par le fluide. Par exemple, si on libre un polluant dans un cours deau, celui-ci seragnralement transport la mme vitesse que leau. On parle de convection ou dadvection(la convection est plus souvent employe en thermique pour dcrire le transfert de chaleur).

u(t2 t1)

x

f

t1 t2

Figure 1.14 : advection dune quantit f . Quand ladvection est linaire et se fait sans amortissement,le transport est une simple translation sans changement de forme.

Lquation la plus simple qui soit reprsentative de la convection est la suivante

f

t+ u

f

x= 0, (1.24)

o f(x, t) est une quantit advecte par un courant deau la vitesse constante u. Cest unequation aux drives partielles linaire du premier ordre. lquation caractristique associe

1.3 Autres quations utiles en hydraulique 33

lquation aux drives partielles (1.24) est

dxdt

= u ou bien encoredxu

=dt1=

df0.

Comme u est suppose constante, cela veut dire que la solution de lquation caractristiqueest xut = cste ; toute fonction F (xut) dont largument est xut est solution de lquation(1.24). Lune des caractristiques de cette solution est que la forme initiale F (x) ( t = 0) estconserve tout le long du mouvement : elle est simplement translate de ut comme le montrela figure 1.14.

1.3.2 quation de diffusion

Quest-ce quun laplacien? Voir la dfinition au 1.3.3 du complment de cours Quest quune solution auto-similaire? Voir la mthode au 1.7.5 du complment de cours Quest-ce quune quation diffrentielle du second ordre? Voir la dfinition au 1.5 du complment de cours

La diffusion est un mode de transfert dun lment sous leffet de lagitation thermique(mouvement brownien) ou bien de la turbulence. Dans un cours deau, outre le mouvementmoyen, il existe des fluctuations de vitesse qui dispersent rapidement un lment ou un fluidedans le volume.

Un des exemples classiques de diffusion est lquation de diffusion dun solut dans unaquifre ou bien lquation de diffusion de la chaleur. La temprature T (x, y ; t) varie aucours du temps dans un matriau (en dimension 2) selon lquation

T

t= T =

(2T

x2+2T

y2

), (1.25)

avec = k/(C) la diffusivit thermique, la masse volumique, k la conductivit thermique,C la chaleur massique.

La matire diffuse galement. Lquation de diffusion est la suivante en dimension 1

f

t= D

2f

x2, (1.26)

avec D le coefficient de diffusion et f(x, t) est ici une quantit telle que la concentration dunpolluant dans une rivire. Cest une quation aux drives partielles linaire du second ordre.

Il sagit ici dquations linaires. Il est frquent que le coefficient de diffusion ne soit pasconstant, mais dpende de la fonction f . On parle alors dquation de diffusion non linaire.Par exemple, lorsquon a D(f) = fk, lquation de diffusion est

f

t=

x

(fk

f

x

). (1.27)

Pour de la diffusion dun gaz dans un milieu poreux on a k = 1 (f reprsente la concentration) ;pour la diffusion dun fluide newtonien sur un substrat horizontal, on a k = 3 (f reprsentela hauteur de fluide) ; pour la diffusion de chaleur lors des premiers instants dune explosionnuclaire, on a k = 5.


Solution auto-similaire au problme de Green

Selon les conditions initiales imposes, il existe parfois des solutions analytiques lqua-tion (1.26) sous la forme de solution auto-similaire tmF () avec = x/tn. Quand on substituef par cette forme dans lquation (1.26), on trouve que n = 12 . On note que m nest pasdtermin par lquation diffrentielle, mais il lest par les conditions aux limites. En gnral,dans les problmes physiques, on impose que la quantit de matire diffuse soit constante

f(x)dx = V,

o V est le volume total (suppos constant) de matire qui diffuse. Un changement de variabledonne

f(x)dx =

tm+1/2F ()d = V . Il est donc ncessaire que m = 12 car V ne dpend

pas de t.

Lavantage de ce changement de variable est quon transforme lquation aux drivespartielles en quation diffrentielle ordinaire linaire dordre 2, bien plus simple rsoudre.Voyons cela en pratique dans un cas particulier o lon suppose que dans une retenue deauau repos (lac), on lche un volume V de polluant initialement contenu en un point x = 0 ;la condition initiale est donc f(x, 0) = (x) o est la fonction Dirac ((x) = 1 si x = 0et (x) = 0 si x 6= 0). Ce problme o la condition initiale est une impulsion , cest--dire une quantit localise en un point, sappelle problme de Green. En substituant la formef = t1/2F () dans lquation (1.26), on obtient une quation diffrentielle ordinaire pourF et ce faisant, on a transform un problme aux drives partielles en problme diffrentielordinaire :

F + F () + 2DF () = 0,

qui donne en intgrant une premire fois

F + 2DF = a,

avec a une constante dintgration. Comme la solution est attendue tre symtrique en x = 0(donc en = 0), on a F = 0 en x = 0 (F doit admettre une tangente horizontale en ce point),donc a = 0. Une nouvelle intgration donne

F () = be2

4D f(x, t) = bte

x2

4Dt ,

avec b une constante dintgration. Comme e

x2

4D dx = 2D, on dduit que b = V/2

D,

do la solution

f(x, t) =V4Dt

ex2

4Dt . (1.28)

Comme le montre la figure 1.15, la forme du front de diffusion reste identique au coursdu temps (elle est en forme de cloche), quoique le front stale de plus en plus. Notons quela solution obtenue a un intrt gnral car elle est la solution particulire du problme ditde Green. Par exemple, admettons que la condition initiale soit plus complexe : f(x, 0) =g(x). Puisque lquation diffrentielle est linaire, la somme de deux solutions est galementsolution. La solution gnrale scrit alors

f(x, t) =14Dt

g()e(x)2

4Dt d.

Cette intgrale signifie que la concentration f tout temps t et pour tout x est la somme descontributions lmentaires induites par la distribution de source dintensit g() par unit delongueur.


-10 -5 0 5 10

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f(x,t)

Figure 1.15 : diffusion dune quantit f . Calcul avec D = 1 m2/s et au temps t = 0,1, t = 0,5, t = 1,t = 5, et t = 10 s.

1.3.3 quation de convection-diffusion

La convection-diffusion est la combinaison des deux phnomnes. Cest le phnomne cou-ramment rencontr en hydraulique. Par exemple, le dversement dun polluant dans une rivireconduit un transport de ce polluant par diffusion (turbulente) et convection (advection lavitesse de leau). Lquation caractristique est donc

dfdt

=f

t+ u

f

x= D

2f

x2, (1.29)

o D et u sont supposes constantes. On peut se ramener un problme de diffusion linairepar le changement de variable suivant (qui revient faire un changement de rfrentiel et se placer dans le rfrentiel du cours deau)

= x ut, = t.

On a alors

x

=

x+

x,

=

,

t

=

t+

t,

= u

+

.

Lquation (1.29) devient alorsf

= D

2f

2,

qui est similaire lquation de diffusion (1.26) vue plus haut.


1.3.4 quation des ondes

Les ondes dynamiques sont les solutions dune quation diffrentielle telle que lquationaux drives partielles (du second ordre) suivante :

2

t2= c2

2

x2, (1.30)

avec c la vitesse (de phase). Cette forme nest pas exhaustive ; par exemple, lquation desondes de surface scrit (voir 3.2) :

2

t2= g

y,

avec ici le potentiel de vitesse (u(x, y, t) = ) et g lacclration de la gravit.On recherche souvent les solutions sous la forme dharmoniques (onde priodique) :

(t) = A exp[(kx t)] = Re(A) cos(kx t) Im(A) sin(kx t),o A est lamplitude, k le nombre donde ( = 2/k est la longueur donde), = 2/T lafrquence angulaire ; on introduit aussi une frquence f dfinie comme f = /(2) = 1/T :cest le nombre doscillations compltes durant une seconde une position donne. La priodeest dfinie comme T = /c.

longueur donde

amplitude A

crte

dpression

Figure 1.16 : longueur donde et amplitude dune onde harmonique.

La vitesse de londe est ici c = /k. Cela veut dire que pendant un intervalle t, on aobserv que londe sest dplace dune distance ct. La relation de dispersion (k) est icilinaire puisquon a : (k) = ck, cest--dire les crtes de la vague se dplacent une vitesseconstante qui est indpendante de la longueur donde. Dans la plupart des systmes que lonva tudier dans ce cours, la relation nest pas linaire, ce qui en pratique implique que lavitesse des crtes dpend de la longueur donde. On introduit alors la vitesse de phase cp

cp =(k)k

.

Dans un processus physique o les ondes rsultent de la superposition de plusieurs ondesharmoniques de longueur donde diffrente, chaque composante harmonique se dplace sapropre vitesse, ce qui aboutit finalement une sparation ou dispersion de londe, do le nomde relation de dispersion pour (k). Il existe une troisime vitesse, appele vitesse de groupe,qui reprsente la vitesse laquelle lnergie associe londe se propage :

cg =ddk

. (1.31)


x

ct

Figure 1.17 : dplacement vers la droite la vitesse c dune onde progressive.

En gnral, pour la plupart des phnomnes physiques, on a cg cp.Lquation diffrentielle (1.30) est linaire, ce qui implique que toute combinaison de solu-

tions est galement solution (principe de superposition). Il existe deux sens de propagation :

onde progressive f = f(x ct) : londe va dans le sens x > 0 ; onde rgressive f = f(x+ ct) : londe va dans le sens x < 0.

Notons par ailleurs que que lquation (1.30) peut se factoriser ainsi

2f

t2 c2

2f

x2=(

t c

x

)(

t+ c

x

)f = 0,

ce qui permet galement de transformer une quation aux drives partielles du second ordreen un systme dquations du premier ordre{

ft cfx = v,vt + cvx = 0.

Cela permet notamment de montrer que la solution gnrale de lquation des ondes (1.30)scrit

f = a(x ct) + b(x+ ct),avec a et b deux fonctions quelconques (solution dite dAlembert).

Remarquons que dans bien des cas dintrt pratique, les quations sont linaires ; lalinarit permet dappliquer le principe de superposition. Une onde stationnaire rsulte de lasuperposition dune onde rgressive et dune onde progressive de mme amplitude. Dans cecas, la dpendance en temps disparat.

Dans les problmes dintrt pratique, les ondes ne sont des formes rgulires et prio-diques, mais ont un comportement alatoire. Une fonction alatoire f(x,t) peut se caractriser laide de sa densit de probabilit. Lorsquelle est stationnaire (cest--dire lorsque ses mo-ments tels que la valeur moyenne ne dpendent pas du temps) alors lautovariance R(s) sert caractriser la fonction :

R(s) =< f (t)f (t+ s) >

o f (t) = f(t) < f(t) > dsigne la fluctuation par rapport la valeur moyenne < f(t) >. Leplus souvent, on se sert de cette fonction sous une autre forme, qui permet de dterminer lescomposantes qui ont le plus de poids : le spectre de frquence. On introduit aussi le spectre defrquence en prenant la transforme de Fourier de lautocovariance (cela est aussi le rsultatdu thorme de Wiener-Khinchin) :

E() =1

R(s)eisds =2

0

R(s) cos(s)ds


qui est une fonction relle paire. Une proprit fondamentale du spectre de frquence est quelintgrale : 2

1E()d

reprsente la contribution la variance < f 2(t) > de tous les modes dans la gamme defrquence 1 2.

1.3.5 Processus lquilibre : quation de Laplace

Quest-ce quune quation aux drives partielles elliptique? Voir la dfinition au 1.5 du complment de cours Quest ce que loprateur? Voir la dfinition au 1.3.1 du complment de cours

Les quations elliptiques traduisent en gnral comment un processus lquilibre estorganis spatialement. Le prototype de lquation elliptique est lquation de Laplace :

uxx + uyy = 0. (1.32)

Par exemple, lquation de la chaleur (1.25) en rgime permanent (tT = 0) devient ellip-tique. Lquation de Laplace sert dcrire un grand nombre dcoulements stationnaires dansles problmes environnementaux. Ainsi, lcoulement lent deau dans un milieu poreux estgalement une quation de Laplace. En effet, si la vitesse u suit la loi de Darcy, alors elle estrelie au gradient de pression p par : u = kp/, avec la viscosit et k la permabilit dumilieu. On peut reformuler cette quation de la faon suivante u = avec = kp/ ; ondit que u drive du potentiel . Lquation de continuit (incompressibilit du fluide) imposeque divu = 0, soit encore

= 0 = 0.

39

2Ondes de crue et inondationsC

e chapitre traite des crues lentes ou rapides. On va sintresser une multitude dephnomnes tels que :

crues lentes des grands fleuves conduisant souvent des inondations ; crues torrentielles sous forme de crues liquides (avec transport solide) ;

Tous ces phnomnes peuvent tre calculs, des degrs divers de prcision, par les qua-tions de Saint-Venant ou des quations approches tires des quations de Saint-Venant. Nouscommenons par dcrire les phnomnes physiques de faon qualitative avant daborder cha-cun deux travers des quations.

2.1 Phnomnes physiques

2.1.1 Inondation et crue

Une inondation peut tre dfinie selon les auteurs comme une irruption deau sur unterrain normalement sec comme une submersion par leau dbordant du lit normal duncours deau , ou comme une accumulation deau provenant de drainages, sur des zonesqui ne sont pas normalement submerges . Il sagit dune situation temporaire qui peuttre dommageable (destruction dhabitations, par exemple) ou bnfique (apport dalluvionsfertilisants, par exemple). Les causes des inondations sont multiples et peuvent tre classifiescomme on le montre ci-aprs.

Inondations fluviales et crues

On fait la distinction entre crue et inondation :

les inondations fluviales sont les plus frquentes et galement les plus dommageables.Elles surviennent la suite de longues priodes de pluie ou de la combinaison de pluiesavec la fonte des neiges et glaces. Elles peuvent concerner des surfaces trs importantes(plusieurs centaines milliers de km2). La crue de lElbe en Tchquie et en Allemagneen aot 2002 est un exemple rcent dinondation sur une vaste chelle ;

les crues sont des phnomnes brutaux qui surviennent la suite de violentes prcipita-tions sur un primtre limit et souvent dans un contexte montagneux, de pimont, oude collines. Elles sont soudaines, de courte dure et ont un dbit de pointe relativementlev. Pour souligner leur caractre brutal, on parle souvent de crue clair (flash flooden anglais). En zone de montagne, elles peuvent tre extrmement dvastatrices, dau-tant plus quelles ont une capacit de charriage trs importante, pouvant conduire auxlaves torrentielles. Les crues de lautomne 2000 sur le Val dAoste, la haute Maurienne,

40 2. Ondes de crue et inondations

et le Valais (Gondo, Fully pour le Valais) sont des exemples de crues quasi concomitantessur une priode de temps courte. Les crues du sud-est de la France offrent des exemplesdramatiques de crues clair sur de grands bassins-versants dans un contexte de colline :pour la crue historique du Tarn de mars 1930, on estima le dbit 6000 m3/s contre160 m3/s pour le dbit de pointe annual. Ces crues font souvent des victimes comptetenu de leur soudainet et de la force du courant (la crue doctobre 1988 Nmes fit 10morts Nmes, la crue de lOuvze Vaison-la-Romaine fit 41 morts en 1992, la cruede lAude fit 35 victimes en 1999) (Gaume et al., 2009).

Figure 2.1 : crue du Rhne (rgion dArles, France) en dcembre 2003.Pour en savoir plus http://geoconfluences.ens-lsh.fr/doc/transv/Risque/RisqueDoc.htm. Source :http://euspaceimaging.com.

On peut relier les inondations des scnarios mtorologiques, qui sur lEurope sont bientablis :

les inondations hivernales, causes par des dpressions douest associes un front chaud,qui apportent des prcipitations pouvant tre longues, continues et intenses. Le sol sesature et de grands volumes deau ruissellent ;

les inondations dues la fonte des neiges se produisent lorsque le stock neigeux estencore important au printemps et lorsque du vent chaud provenant du sud traverseles Alpes. Si des prcipitations accompagnent ce vent, les volumes deau ruissele sontgalement importants ;

les inondations dues aux prcipitations convectives dt peuvent avoir des effets ca-tastrophiques sur des rgions fortement urbanises. Elles sont de type crue clair (Nimes, octobre 1988) ;

les inondations dues aux grandes mares, qui affectent principalement les Pays-Bas(tempte de janvier 1953).

2.1 Phnomnes physiques 41

Remontes de nappe

Les remontes de nappe surviennent la suite de la saturation du sol en eau et, parconsquent, lorsquil nest plus en mesure dabsorber de nouvelles quantits deau, soit parun apport direct (pluie), soit par un apport indirect (coulement souterrain, ruissellement partir des versants). Dans les zones urbanises (lOise en France) ou certaines rgions gologi-quement favorables (avec des terrains aquifres calcaires ou crayeux comme dans la Somme),ces remontes de nappe causent des inondations assez frquentes. Au printemps 2001, aprs unhiver trs humide, plus de 3000 personnes sont sinistres dans la rgion dAbbeville (Somme),leur maison restant inonde pendant deux trois mois.

Dbordement de lac

Les lacs, lorsque leur exutoire a une capacit dvacuation (naturelle ou artificielle) limite,peuvent voir leur niveau deau augmenter de plusieurs mtres, comme ce fut le cas au Tessinen 1993 avec le lac Majeur.

Rupture de barrage

On se reportera au chapitre 4 pour plus de renseignements.

Ruissellement

Dans les zones urbanises, le ruissellement sur les chausses lors de violents orages peutprovoquer des inondations dans les maisons attenantes. Ces problmes sont souvent associs un dysfonctionnement du rseau dvacuation des eaux pluviales, des obstructions decours deau ou de drain, ou des orages particulirement intenses. Les photographies de lafigure 2.2 montrent un exemple dinondations provoques le ruissellement des eaux sur leschausses goudronnes de Chtel la suite dun violent orage sur le Morclan en juin 2000.

Figure 2.2 : inondations lors de lorage du 5 juin 2000 Chtel (Haute-Savoie). Source : ThierryHauteville.

Autres phnomnes

Dautres types dinondations, plus anecdotiques pour nos contres, sont galement pos-sibles. Parmi ceux-ci, mentionnons le phnomne de seiche, due des phnomnes oscillatoires


Tableau 2.1 : statistiques des inondations catastrophiques par continent sur la priode 19851999daprs les donnes de MnchenRe.

Inondation Pertes conomiques Pertes en vie humainenombre (part en %) millions US$ (part en %) nombre (part en %)

Europe 430 (18 %) 41 230 (15 %) 1 800 (1 %)Asie 900 (37 %) 192 690 (69 %) 222 780 (88 %)Amrique du Nord 420 (17 %) 37 540 (13 %) 3 670 (2 %)Amrique du Sud 210 (9 %) 4 130 (1 %) 4 480 (2 %)Afrique 330 (14 %) 1 950 (1 %) 15 810 (6 %)Ocanie 130 (5 %) 2 280 (1 %) 3 290 (1%)Totaux 2410 (100 %) 279 810 (100 %) 251 820 (100 %)

dans les grandes tendues deau fermes (par exemple les grands lacs aux tats-Unis), les tsu-namis affectant principalement les ctes japonaises, les mares de temptes associes auxcyclones tropicaux, les mouvements daffaissement du terrain ou encore lcroulement dunbarrage naturel. Les inondations des cotes de lOcan Indien en Asie du Sud-Est Nol2004 ou les inondations la Nouvelle-Orlans aprs le passage de louragan Katrina sont desexemples dinondations dues des tsunamis ou des cyclones.

2.1.2 Dommages causs par les inondations

Les inondations reprsentent chaque anne un pourcentage important des pertes cono-miques dues aux catastrophes naturelles (49 % du total mondial en 1999). Pour la priode19851999, le nombre dvnements ayant provoqu des dommages slevait 2410 pour len-semble de la plante (430 pour lEurope), reprsentant 30 % (respectivement 25 %) de len-semble des catastrophes naturelles. Durant la mme priode, elles ont provoqu la mort deplus de 250 000 personnes (1 800 pour lEurope), soit environ la moiti du nombre totalde victimes imputes aux catastrophes naturelles (MunichRe, 1999). Parmi lensemble descontinents, lAsie est celui qui paie le plus lourd tribut aux inondations : le pourcentage dv-nements dommageables est de 37 %, celui des pertes en vies humaines est de 88 %, et celuides pertes conomiques est de 68 % des totaux respectifs mondiaux. Cette situation est vi-demment mettre en relation avec les grands fleuves chinois et la situation particulire duBengladesh. Dans ce dernier pays, 85 % du territoire national est expos dimportantsrisques dinondations. La situation chinoise nest pas en reste, bien que les plaines inondablesne reprsentent quune partie infime du territoire. Par exemple, pour le Yangtse, elle repr-sente 1,5 % de la surface du pays, mais elle concentre 250 millions dhabitants et 45 % de laproduction du riz et des autres crales y est produite.

2.1.3 Crues torrentielles

Les crues torrentielles sont des coulements deau avec un fort transport solide, qui seproduisent dans les torrents et les rivires de montagne ou de pimont. On distingue :

les crues avec charriage : le cours deau transporte du sdiment grossier par roulement,glissement, saltation le long du lit (processus appel charriage). Ce type de crue seproduit dans les cours deau ds que le dbit est suffisamment fort pour mettre enmouvement les matriaux composant le lit de la rivire. Contrairement aux riviresde plaine, o le sdiment est relativement fin et transport en suspension dans leau,les rivires torrentielles et les torrents peuvent transporter des volumes importants dematriaux, avec une chelle granulomtrique tendue (du micromtre plusieurs dci-

2.1 Phnomnes physiques 43

Figure 2.3 : lElbe en crue le 19 aot 2002 : situation en temps normal ( gauche) et situation le 19aot 2002. Source : Agence Spatiale Europenne.

mtres). Des crues comme celle de Brigue en septembre 1993 (Valais) peuvent provoquerdes dommages importants en provoquant lobstruction des ponts, lexhaussement du lit,linondation des berges, et un important dpt solide ;

les laves torrentielles : lorsque la pente est forte, le transport par charriage est instable.La gravit est en effet suffisante maintenir les particules en mouvement une fois quellesont t rodes. Une lave torrentielle est donc un transport en masse dun mlange deblocs, de terre, et deau ; la concentration solide est trs importante (de lordre de 7080 %). Le mlange prend alors souvent lapparence dune boue ou dun bton. Les lavestorrentielles ont donc un comportement mcanique trs diffrent des crues liquides et,dune certaine faon, elles sont plus proches dune avalanche que dune crue. La plupartdes torrents peuvent produire avec une frquence plus ou moins importante des lavestorrentielles. Certains torrents comme le Nant du Pissot au-dessus de Villeneuve (Vaud)ne fournissent des laves quen moyenne une fois par sicle ; ce sont souvent des torrents clappiers : le matriau mobilis par les laves torrentielles provient de lboulementde falaises (les boulis sont les clappiers ou clappes) et il faut plusieurs annes dcennies pour former un stock suffisant de matriau mobilisable. Dautres torrents sontplus actifs car le terrain prsente souvent une instabilit un niveau local (berges) outendu (mouvement de terrain affectant une grande partie du bassin-versant). Cest lecas par exemple de lIllgraben, qui peut produire plusieurs laves torrentielles chaqueanne.

Signalons que certains coulements naturels sont trs proches des laves torrentielles quenous rencontrons dans les Alpes :

les lahars sont des coulements dun mlange deau et de cendres, que lon rencontre dansles rgions volcaniques. Les ruptions volcaniques peuvent en effet dposer des quanti-ts colossales de cendres, qui sont ensuite trs facilement rodables. Des catastrophesrcentes en Indonsie, Philippines (volcan Pinatubo en octobre 1991) sont conscutives de fortes pluies. En Europe, la catastrophe de Sarno et Quindici (Italie) en mai 1998


est due un mouvement de terrain affectant des sols volcaniques (dpt de cendres duVsuve) ; elle fit 137 morts et environ 300 Me de dommages ;

au cours des ruptions volcaniques, le mlange de cendres et deau (par exemple r-sultant de la fusion dun manteau neigeux ou dun glacier) peut provoquer des coulesfroides de cendres, semblables aux lahars. En novembre 1985, le volcan Nevado del Ruizen Colombie entra en ruption ; la fusion de la glace forma une coule de cendres, quiengloutit la ville dArmero et dautres villages (23 000 morts environ). En mai 1980,lruption du volcan Mount Saint Helens aux tats-Unis provoqua un affaissement com-plet du versant nord du volcan et causa la formation de lahars dvastateurs ; la vallede la rivire North Fork Toutle fut comble de sdiments sur une longueur denviron22 km et sur une paisseur moyenne de 45 m (paisseur pouvant localement atteindreles 200 m) ;

certains mouvements de terrain ou croulements peuvent se mettre acclrer brutale-ment et causer des coulements proches des laves torrentielles lorsque la teneur en eauest suffisante. En juillet 1965, le glissement de terrain de la Ravoire de Pontamafrey(France) acclra soudainement aprs un printemps humide et forma une lave torren-tielle de plusieurs centaines de milliers de m3, qui coupa la route nationale et la lignede chemin de fer, isolant toute la valle de Maurienne.

2.2 Origine des crues

Dans les Alpes, on observe trois scnarios majeurs dans la formation des crues :

les pluies brves et intenses : typiquement des orages de fin daprs-midi lt quand ilfaut chaud et humide. La saison risque est lt (juin septembre). Les dbits spci-fiques de pointe se situent dans une fourchette large 110 m3/s/km2pour une priodede retour T = 10 ans. Le coefficient dcoulement est souvent moyen (0,3 0,8). Lescrues sont rapides et ne durent en gnral que quelques heures. Le plus souvent, seulun bassin-versant est touch de faon isole. En conditions exceptionnelles, des valeursdpassant 20 m3/s/km2 ont t observes (crue de lOrba dans les Alpes italiennesen aot 1935 ou bien du Tech en octobre 1940 dans les Pyrnes) lors dpisodes depluie diluviens et hors normes (pour lEurope) sur des massifs montagnes proches de laMditerrane ;

les pluies soutenues sur de longues priodes (plusieurs jours, parfois plusieurs semaines)lies au passage dun ou plusieurs systmes dpressionnaires bien organiss sur les Alpes.La saison risque est en gnral lautomne et le dbut du printemps, trs exceptionnel-lement en hiver. Les crues sont lentes, durent plusieurs jours, et concernent une valleentire, voire tout un massif ou une rgion. Les dbits spcifiques de pointe dpassentexceptionnellement 12 m3/s/km2 pour T = 10 ans. Le coefficient dcoulement estlev (de 0,6 1) ;

la fonte des neiges au printemps ou bien un important redoux accompagn de pluiedurant lhiver ou le printemps. Les crues sont lentes et tales sur plusieurs jours semaines. La saison risque est la fin du printemps (mai et juin). Les dbits spcifiquesde pointe dpassent exceptionnellement 1 m3/s/km2 pour T = 10 ans.Un exemple est fourni par la crue de lArc (Haute Maurienne) et celle du Guil en juin1957 et de nombreux autres rivires de la chane frontalire : le mois de mai 1957 avait tplus froid que la normale et un important stock de neige subsistait en altitude, au-dessusde 2000 m. Au dbut de juin, les tempratures se sont mises slever trs brutalement(plus de 20C) sous leffet de larrive dair chaud et humide de Mditerrane. Les

2.2 Origine des crues 45

prcipitations faibles du mois de juin se sont intensifies avec larrive dair froid deScandinavie. ces chutes de pluie sest ajoute la fonte rapide du manteau neigeux, cequi a conduit des crues extrmes. Ainsi Saint-Michel-de-Maurienne, alors que le dbitmoyen interannuel pour le mois de juin est Q = 84 m3/s, un dbit moyen journalier de500 m3/s a t enregistr le 14 juin 1957 (voir figure 2.5).

La rponse dun bassin-versant une pluie est varie. Certains bassins-versants sont sen-sibles tous les scnarios dcrits ci-dessus tandis que dautres ne ragissent qu un scnarioprcis. La rponse dun bassin-versant une pluie dpend :

de la forme gnrale du bassin-versant : selon que le bassin-versant est de forme oblongueou ramasse, le temps mis par leau pour atteindre lexutoire peut diffrer notablement ;

la densit du rseau hydrographique drainant le bassin-versant ; le couvert vgtal : densit, nature, rseau racinaire, etc. linclinaison moyenne des pentes ; la nature des sols, la gologie du sous-sol, la capacit dinfiltration et de rsurgence,lexistence de surfaces impermables (glacier, route, etc.) ;

laltitude et ses effets sur la limite des neiges, nature pdologique du sol, pergisol/permafrost,vgtation, etc. ;

la possibilit de blocage de cellules orageuses ou un effet de barrire sur le passage duneperturbation.

On peut distinguer trois classes de rponses :

rponse rapide (groupe 1) : le bassin-versant rpond peu prs systmatiquement etde la mme faon aux pluies brves et intenses. Aucune crue ne survient aprs desprcipitations longues, mais peu soutenues. Le dbit de crue dpend foncirement delintensit des pluies : plus lintensit est forte, plus le dbit de pointe est lev. Le tempsde monte et la dure spcifique de la crue sont courts. Les petits bassins-versants demontagne, raides et peu vgtaliss, entrent le plus souvent dans cette catgorie. Letorrent de lAlptal (SZ) en est un exemple ;

rponse moyenne (groupe 2) : le bassin-versant rpond de faon attnue aux pluiesmmes intenses ou soutenues sur plusieurs jours. En gnral, la capacit dinfiltrationest bonne, le ruissellement est faible (forte rsistance, vgtation dense, pente modre).Toutefois, des concours de circonstances font quexceptionnellement des crues peuventse produire avec des dbits importants ;

rponse lente (groupe 3) : le bassin-versant ne rpond pas ou faiblement aux pluies. Ledbit de pointe est gnralement faible et londe de crue est assez tale.


(a)

(b)

(c)

Figure 2.4 : (a) Brigue en septembre 1993 (clich J.-P. Jordan, OFEG) ; (b) la plaine autour duNevado del Ruiz couverte par les dpts de lahars (source : J. Marso) ; (c) la valle creuse par larivire North Fork Toutle aprs le passage des lahars de mai 1980 causs par lirruption du MountSaint Helens (source : USGS).

2.2 Origine des crues 47

(a)

0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

500

jour

QHm

3 sL

(b)

Figure 2.5 : dbit journalier de lArc Saint-Michel-de-Maurienne (Savoie) en juin 1957. (a) variationdu dbit moyen journalier en juin 1957, (b) variation du dbit de lArc en 1957 et comparaison avecles moyennes mensuelles.

482.

Ondes

decrue

etinondations

Tableau 2.2 : nom de la rivire, surface S du bassin-versant (km2), rgion et localit o le dbit est estim, dbit spcifique de pointe en conditionsdcennales Qs,10 (m3/s/km2), surface occupe par la vgtation selon son type, pente moyenne (%) du bassin-versant, pluie dcennale horaire P10(1) etjournalire P10(24), nature gologique du terrain. Daprs (Graff, 2004).

Nom S Rgion Localit Qs,10 % nu % pturage % bois Pente P10(1) P10(24) GologieGroupe 1

Laval 0,86 Alpes-du-Sud Draix 14,3 68 10 22 58 32 100 marnesErlenbach 0,64 Suisse Centrale Alptal, Schwyz 7 0 60 40 20 35 120 flyshGroupe 2Rimbaud 1,5 Alpes-du-Sud Toulon 5,2 - 35 160 gneiss

Latte 0,19 Massif Central Mont Lozre 3,5 - granitSapine 0,54 Massif Central Mont Lozre 2,7 granit

Groupe 3Rietholzbach 3,31 Suisse Centrale Mosnang 2,1 76 20 molasse

Lumpenenbach 0,93 Suisse Centrale Alptal, Schwyz 4,1 55 20 15 40 140 flyshVogelbach 1,55 Suisse Centrale Alptal, Schwyz 3,1 10 65 15 40 110 flyshBrusquet 1,08 Alpes-du-Sud Draix 1,3 13 87 53 44 92 marnes

2.3 Dfinition de la priode de retour : du problme au calcul mathmatique 49

2.3 Dfinition de la priode de retour : du problme au calculmathmatique

2.3.1 Problmatique

Pour un cours deau naturel, le dbit varie en fonction du temps au gr des conditionsmtorologiques sur le bassin-versant et dautres processus (fonte de la neige, circulation deausouterraine). En gnral, il existe des cycles annuels, mais selon les prcipitations, le dbitpeut voluer dune anne sur lautre dune faon extrmement variable (voir lexemple de laLonza, un auent du Rhne, la fig. 2.6). Ce qui va nous intresser ici cest de caractriser lescrues, donc ce qui se passe pour des dbits forts, cest--dire en pratique des dbits maximaux.

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999an

51015202530

Qr1m3/3

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

Figure 2.6 : variation du dbit de pointe journalier sur la rivire Lonza (Valais) sur la priode19741999. Chaque point reprsente le dbit maximal journalier.

Plusieurs mthodes soffrent en pratique pour dfinir un dbit maximal (voir figure 2.7) :

la mthode des maxima annuels consiste prendre la valeur maximale observe chaqueanne. On fait donc une partition de la srie temporelle en blocs dune anne (en gnral,anne civile) ;

la mthode par dpassement dun seuil consiste se fixer un seuil s suffisamment levet prendre toutes les valeurs au-dessus de ce seuil.

En gnral, on cherche relier la frquence doccurrence et lintensit (dbit) de la crue.Cette relation est souvent recherche par (i) une caractrisation de la probabilit doccurrencedu phnomne en fonction de lintensit, (ii) le calcul du nombre de fois quune crue dunecertaine intensit peut se produire par unit de temps, ou (iii) le temps qui spare deuxvnements de mme intensit ou dont lintensit dpasse un certain seuil. La plupart dutemps, toutes ces questions sont connectes et la rponse lune fournit la rponse auxautres. Ici, on va sintresser la relation intensit-frquence que lon va dfinir travers laloi de probabilit que le dbit (maximal) Q dpasse une certaine valeur q :

P = prob(Q > q) = q

f()d,

avec f = dP/dq la densit de probabilit ; on parle de probabilit de dpassement. Les math-maticiens travaillent en gnral avec la probabilit de non-dpassement

P = prob(Q < q) = q0f()d,

On a la relation : P + P = 1 car, par dfinition des probabilits,q f()d = 1.


(a)

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

an

5

10

15

20

25

30

Q

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

i-1 i+1irecherche des maxima annuels

(b)1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

an

5

10

15

20

25

30

Q

1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999

seuil s

Figure 2.7 : dfinition des maxima de dbits par (a) la mthode des maxima annuels et (b) la mthodepar dpassement dun seuil s.

Plusieurs thories ont t proposes depuis le dbut du xxe sicle pour calculer f ouP . Aujourdhui, la thorie des valeurs extrmes est la plus couramment utilise. Elle reposesur des hypothses (stationnarit, indpendance des variables, etc.) qui sont le plus souventvrifies en Europe. Dans certaines rgions (notamment le pourtour mditerranen), cettethorie peut tre mise en dfaut car les crues sont gnres par des processus trs diffrents(la population des vnements, au sens statistique du terme, est dont trs htrogne).

2.3.2 Thorie des valeurs extrmes

Thorie mathmatique

La thorie des valeurs extrmes dmontre que, sous rserve que X vrifie quelques condi-tions, cette loi tend vers une loi de forme gnrique quand N , dont la fonction derpartition scrit (Coles, 2001) :

P (x ; , , ) = exp

[(1 +

x

)1/]. (2.1)

On lappelle la distribution gnralise des valeurs extrmes, note souvent GEV dans lalittrature technique pour Generalized Extreme Value. Attention, le terme lev la puissance1/ peut tre ngatif.

La distribution gnralise des valeurs extrmes dpend de trois paramtres : un paramtrede localisation , un paramtre de forme , et un paramtre dchelle ( > 0). En fait, cetteforme gnrique synthtise trois distributions lmentaires :

la loi de Gumbel est une loi deux paramtres dfinie sur R+, obtenue en faisant tendre

2.3 Dfinition de la priode de retour : du problme au calcul mathmatique 51

vers 0 :

Gu(x ; , ) = exp[ exp

(x

)].

La moyenne est : E(X) = + (avec 0,5772 la constante dEuler) ; la varianceest : Var(X) = 22/6.

la loi de Frchet est une loi trois paramtres dfinie sur ] /, +[, obtenue enprenant > 0 :

Fr(x ; , , ) = exp( 1(1 + (x )/)1/

).

la loi de Weibull 1 est une loi trois paramtres dfinie sur ] , + /||[, obtenueen prenant < 0. On peut utiliser la mme fonction de rpartition que prcdemmentou bien larranger un peu :

We(x ; , , ) = exp((||+ /|| x

)1/||).

-4 -2 0 2 4x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P

Figure 2.8 : reprsentation gra-phique de la loi Gu(0, 1/2).La courbe continue reprsente ladensit de probabilit tandis quela courbe tiret reprsente lafonction de rpartition.

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

P

Weibull

Figure 2.9 : reprsentation gra-phique des densits de probabi-lit de la loi Gu(2, 1) (courbecontinue), de Frchet Fr( =2, = 1, = 1/2) (courbe ti-ret court), et de WeibullWe( =2, = 1, = 1/2). (courbe tiret long).

Sur la figure 2.8, une distribution particulire de la loi de Gumbel a t reporte. Parrapport la loi de Gauss-Laplace, on notera la forme dissymtrique de la courbe puisque laqueue vers les grandes valeurs est paisse : il y a une convergence lente vers 0 de Gu(x) pour

1. Attention, il existe aussi dans la littrature technique des lois de distribution dite de Weibull mais qui

hydraulique à surface libre notes

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