hydro- und aerodynamik die bernoulli-gleichung. so fliegen die vögel! …und die flugzeuge

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Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung

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Page 1: Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung. So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

Hydro- und Aerodynamik

Die Bernoulli-Gleichung

Page 2: Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung. So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

So fliegen die Vögel!

…und die Flugzeuge

Page 3: Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung. So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

Inhalt

• Strömung idealer Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli

• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz

• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

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•Bei Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ändert sich der Druck in Abhängigkeit vom Rohr-Querschnitt•Unabhängig von Reibung – also auch in idealen Flüssigkeiten

Die Bernoulli Gleichung

Es gelte die Kontinuitätsgleichung: Das bewegte Volumen ΔV sei in beiden Rohren gleich, das heißt, der Druck führe zu keiner Volumenänderung

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Statisches System, ohne Fluss

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Ohne Fluss: Konstanter Druck im ganzen System

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Bei Fluss: Vom Querschnitt abhängiger Druckabfall

Arbeit gegen den Druck im „großen“ Rohr mit Querschnitt A1

1 J Arbeit gegen den DruckVpsApsFW p 1111111

1s

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A1 A2

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1 J Arbeit gegen den DruckVpsApsFW p 2222222

Arbeit gegen den Druck im „kleinen“ Rohr mit Querschnitt A2

2s

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A1 A2

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Bei Fluss: Stäkerer Druckabfall im kleinen Rohr

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1 JArbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·ΔV

)(2

1)(

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1 21

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22 vvVvvmWkin

Zunahme der kinetischen Energie beim Übergang ins kleine Rohr

Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit (Masse m) zu

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p2

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1 JArbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·dV

Arbeit in beiden Rohren

Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit zu, m = ρ·dV

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p2

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2221 vvVWW pp

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1 J Energie-Erhaltung

1 Pa Bernoulli Gleichung

p1, p2 1 Pa Drucke

v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten

ρ 1 kg/m3 Dichte des Mediums

Die Bernoulli-Gleichung

2121

22 )(

2

1ppvv

Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab

)(2 21

2221 vvVVpVp

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Der Bernoulli Effekt

• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt

• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

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Der Bernoulli-Effekt

Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

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Versuch zur Bernoulli-Gleichung

Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit:

• Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit

• Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

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Frage zur Bernoulli Gleichung

• Q: Wann ist in zwei Rohren unterschiedlichen Querschnitts unterschiedlicher Druck zu erwarten?

• A: Beim Transport des Mediums, weil es beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

Dieser Effekt ist unabhängig von der Reibung!

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Zusammenfassung

• Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen:

– 1/2·ρ ·(v22 – v1

2) = p1 – p2 [Pa]

– p1, p2 [Pa] Drucke in Bereichen unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten v2 und v1 [m/s]

– ρ [kg/m3] Dichte des Mediums• Daraus folgt: In Bereichen großer

Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit

• Ursache: Energiesatz, daher unvermeidlich • Kein Reibungseffekt, es wird keine Energie in Wärme

umgewandelt, daher:– Im Idealfall vollständig reversibel

Page 16: Hydro- und Aerodynamik Die Bernoulli-Gleichung. So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

So fliegen die Vögel!

…und die Flugzeuge

finis