hydrodynamic and hydromagnetic stability–part a

HYDRODYNAMIC AND HYDROMAGNETIC

STABILITY–Part A

S. CHANDRASEKHAR

University of Chicago

(The Nobel Prizer in 1983)

流体和磁流体力学稳定性

Dr. 朱祚金编译

中国科学技术大学工程科学学院

2000年 12 月 20 日

2

剑桥大学博士、芝加哥大学教授 S. Chandrasekhar

目录

第一章基本概念 11

1.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 用正交模式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 无量纲数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第二章从底部加热的流体层的热不稳定性

1. Benard 问题 17

2.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 物理问题的实质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 流体动力学基本方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 连续性方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 运动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 粘性耗散速率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.4 导热方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Boussinesq近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 微小扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 正交模式分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6.1 速度水平分量的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 不稳定性的交换原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 边缘状态的控制方程和简化到特征值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9.1 第一变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9.2 第二变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 变分原理的热力学意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.11 特征值问题的精确解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11.1 自由边界的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11.2 刚性边界的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.11.3 一个自由边界和一个刚性边界的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.11.4 三种情况下的结果总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.12 细胞图案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.12.1 滚动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.12.2 矩形和正方形细胞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.12.3 六边形细胞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3

4 目录

2.12.4 三角形细胞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12.5 更普遍的细胞图案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.13 变分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.14 流体中发生热不稳定性的实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.14.1 (a) Benard实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.14.2 (b) 测定热不稳定性发生的Schmidt-Milverton原理 . . . . . . . . . . . . . . 54

2.14.3 (c) Silveston 的精确实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.14.4 (d) 光学方法观测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

第三章从底部加热的流体层的热不稳定性

2.旋转的影响 67

3.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Helmholz 和Kelvin 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 在旋转坐标系中的流体动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4 Taylor-Proudman定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 旋转流体中波的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6 在旋转流体中热不稳定问题: 普遍的考虑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.8 稳态对流不稳定性发生时的情况. 一个变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.8.1 一个变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.9 当稳态对流不稳定性发生时的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9.1 关于两个自由边界情况的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9.2 关于两个刚性边界情况的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.9.3 在一个是刚性的另一个是自由的边界情况下的解 . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.9.4 T23定律的依据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.10 稳态对流不稳定性发生时水平面内的运动和细胞图案 . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.10.1 滚动细胞, 矩形和方形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.10.2 六边形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.10.3 当T → ∞时流线的极限性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.11 关于超稳态性对流的发生. 两个边界是自由情况下的解 . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.11.1 特征方程(3.215)的根的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.12 关于区分边缘状态特征的方法. 一种普遍的变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.12.1 变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.13 超稳定性对流的发生: 关于其它边界条件的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.14 P = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.15 变分原理的热力学意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.15.1 当边缘状态是稳定的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.15.2 当边缘状态是震荡的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

目录 5

3.16 当Ω和g作用在不同方向时的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.17 在旋转流体中热不稳定性发生的实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.17.1 水实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.17.2 水银实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

第四章从底部加热的流体层的热不稳定性

3.磁场效应 119

4.1 磁流体力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2 磁流体力学基本方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3 控制磁场的运动方程及其某些意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.1 没有流体运动时磁场的衰减. Joule耗散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3.2 当有运动而电导率是无穷时的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4 Alven 波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 当ν = η = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4.2 有限粘度和电阻率的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5 磁流体动力学方程的一些特解. Taylor-Proudman定理的类比 . . . . . . . . . . . . 126

4.5.1 均匀分布解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5.2 力自由场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5.3 Taylor Proudman 类比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.6 有磁场时的热不稳定性问题: 普遍的考虑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.7 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.7.1 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.7.2 正交模式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.7.3 关于速度和磁场的水平分量的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8 稳态对流不稳定性发生时的情况. 一个变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.8.1 一种变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.8.2 变分原理的热力学意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.9 当稳态对流不稳定性发生时的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.9.1 关于两个自由边界情况的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.9.2 关于两个刚性边界情况的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.9.3 关于一个是刚性的另一个是自由的情况下的解 . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.9.4 细胞图案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.10 π2Q定律的依据和一个不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.10.1 一个不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.11 关于超稳定性对流的发生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.12 H 和g作用在不同方向的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.13 热不稳定性受磁场抑制的实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 目录

第五章从底部加热的流体层的热不稳定性

4. 旋转和磁场的影响 157

5.1 旋转和磁场对流体行为的相同和相反的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2 在旋转流体中磁流体动力波的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.3 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


5.4.1 两个自由边界情况下的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


5.5.1 适合于液态金属的一个近似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.5.2 水银的数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.6 有旋转和磁场时热不稳定性发生的实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.6.1 关于临界Rayleigh数的结果和不稳定性发生的形式 . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.6.2 光学观测和细胞尺度随磁场强度的不连续变化 . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

第六章在流体球和球壳中热不稳定性的发生 177

6.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2.1 算子L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.2.2 正交模式分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.2.3 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.2.4 速度场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3 在β = constant, γ = constant时稳定性交换原理的有效性 . . . . . . . . . . . . . . 182

6.4 在β和γ是常数的情况下的一种变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.4.1 变分原理的热力学意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.5 关于流体球内热不稳定性的发生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.5.1 细胞图案 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.6 关于球壳内热不稳定性的发生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.6.1 r = 1和r = η处的自由表面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.6.2 r = 1处是自由表面而在r = η处是刚性表面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.6.3 r = 1处是刚性表面而在r = η处是自由表面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.6.4 r = 1和r = η处同是刚性表面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.7 旋转对流体球中热不稳定性发生的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.7.1 一个轴对称的无散度矢量场的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.7.2 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.7.3 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.7.4 变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.7.5 变分原理的热力学意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.8 旋转对流体球中稳态对流发生的影响 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

目录 7

6.9 关于地球物理应用的一些评价 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

第七章 COUETTE 流的稳定性 217

7.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2 物理问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.3 Rayleigh准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.4 无粘Couette流动稳定性的分析讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.4.1 用Lagrange 位移表示的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.4.2 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.4.3 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.5 一旋转流体柱的震荡周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.5.1 Ω = constant的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.5.2 Ω = A+B/r2,m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.6 关于粘性Couette流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.7 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.7.1 当µ > η2时流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.8 当边缘状态是稳定的窄间隙情况下的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.8.1 当σ = 0时, 特征值问题的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.8.2 数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.8.3 一种替代解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.8.4 当µ→ 1时的近似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.8.5 当(1 − µ) → ∞时的渐进解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7.9 关于稳定性交换原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.10 当边缘状态是稳态时关于宽间隙情况的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.10.1 特征方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.10.2 当η = 12时的数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.11 旋转圆柱之间粘性流动不稳定性实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.11.1 用力矩实验确定当µ = 0时的临界Taylor数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.11.2 临界Taylor数对Ω2/Ω1的相关性. 可视和照相观测结果 . . . . . . . . . . . 262

第八章同心圆柱之间更普遍的流动稳定性 271

8.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.2 在一个弯曲通道中粘性流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.2.1 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.2.2 当σ = 0时特征值问题的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.2.3 数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

8.3 当存在横向压力梯度时旋转通道之间粘性流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . 276

8.3.1 (R2 −R1) ≪ 12 (R1 +R2)时的扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8 目录

8.3.2 σ = 0, µ = 0时特征值问题的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.3.3 结果的物理解释 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.3.4 实验结果对比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.4 当存在轴向压力梯度时同心圆柱之间无粘流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . 283

8.4.1 纯轴向流动情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.4.2 旋转也存在时的一般情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.5 当存在轴向压力梯度时旋转同心圆柱之间无粘流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . 291

8.5.1 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.5.2 窄间隙情况下的简化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.5.3 当µ > 0时特征值问题的近似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.5.4 与实验结果的比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

第九章在磁场中Couette流动的不稳定性 301

9.1 在圆柱极坐标系下的磁流体力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.2 当与轴向平行的磁场存在时, 非耗散Couette流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . 302

9.2.1 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.2.2 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3 当一个磁场作用在轴向时旋转液体柱的震荡周期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

9.3.1 Ω = constant的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

9.3.2 当m = 0,Ω = A+B/r2时, 在窄间隙情况下, 一个磁场的稳定化效应 . . . . 307

9.4 当平行于轴向由流动时非耗散的Couette流动稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

9.4.1 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

9.4.2 m = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

9.5 当存在轴向和横向磁场时非耗散Couette流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . 312

9.5.1 Ω = 0的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9.6 磁流体力学中的耗散Couette流动稳定性. 扰动方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9.6.1 边界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.6.2 当不稳定性发生是作为稳态二次流时控制边缘状态的方程 . . . . . . . . . . 316

9.6.3 窄间隙情况的简化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

9.7 当µ > 0时特征值问题的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.7.1 一种变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.7.2 特征值问题的求解. 特征行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.7.3 非导电壁面情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

9.7.4 导电壁面情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

9.7.5 数值结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

9.7.6 渐进行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

9.8 一般情况下特征值问题的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

目录 9

9.8.1 µ = −1的情况 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9.9 一个轴向磁场存在时弯曲通道中耗散流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

9.9.1 当不稳定性作为稳态二次流发生时边缘状态得到控制方程 . . . . . . . . . . 332

9.9.2 保持一个纯压力流动的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

9.10 当轴向磁场存在时粘性流动稳定性的实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

附录一控制稳态对流的积分关系 337

A.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

A.2 积分关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

A.2.1 积分关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

A.3 过了边缘稳定性后稳态对流的幅度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

附录二在第V章中考虑的问题的变分公式 343

B.1 控制能量平衡的一般方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

附录三环形和管形矢量场 347

C.1 无散度矢量场的一般特征. 主基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

C.2 基本无散度和管形场的正交性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

附录四基于伴随微分系统的变分方法 351

D.1 微分系统的伴随性. 一个例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

D.2 对偶关系和变分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

附录五满足四个边界条件的正交函数 357

E.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

E.2 适合具有平面边界问题的函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

E.2.1 涉及Cn(x)和Sm(x)的积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

E.3 适合具有柱面和球面边界问题的函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

E.3.1 正交积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

E.3.2 一阶的柱函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

E.3.3 半奇异积分型球函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

E.4 索引 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10 目录

第一章基本概念

§1.1 引言

流体动力学方程,与它们的复杂性成对比,允许有一些简单的流动图案(如平行平面之间,或

者旋转柱壳之间)作为稳态解. 但是, 这些流动图案只有在表征它们的参数的确定范围内能实现.

离开这个范围, 它们不能实现. 原因在于它们依赖于其固有的不稳定性, 就是说, 在它们不能使

任意的物理系统承受的小扰动本身得以维持时. 正是由于允许的流动的不稳定图案的差别导致

了流体动力学稳定性问题.

在近几年, 由于人们对导电流体在磁场中的流体流动的兴趣, 稳定性问题的类型已经增加

了. 这是磁流体动力学领域;甚至如同有流体动力学稳定性问题,也有磁流体动力学稳定性问题.

本书用于考虑流体动力学和磁流体动力学稳定性中的一些典型问题;在这个导论章里,我们

将给出基本原理的公式和这个问题的基本概念.

§1.2 基本概念

假设我们有一个流体动力系统, 根据控制它的方程是处于稳态, 就是说, 其中描述它的变量

没有一个是时间的函数. 让X1, X2, · · · , Xj是定义这个系统的一组参数, 这些参数将包括如系统

的长度尺度这样的几何参数,系统中可能是主流的特征速度场的参数,作用在系统上的力的模,如

压力梯度, 温度梯度, 磁场和旋转; 等等.

在考虑这种系统的稳定性时(具有给定的一组参数X1, · · · , Xj)我们主要寻找如何确定系统

对小扰动的反应. 特别地我们问: 如果系统受到扰动, 这种扰动是逐渐消亡, 或者是系统以逐渐

离开初始状态并且不再返回到初始态的方式, 扰动幅度增加. 在前一种情况下, 我们说系统对于

特殊的扰动是稳定的, 在后一种情况下, 我们说它是不稳定的. 显然, 即使是对于一种特殊的扰

动模式是不稳定的, 系统将被认为是不稳定的. 除非对于所有承受的扰动是稳定的, 否则, 系统

不能认为是稳定的. 也就是说, 稳定性必须意味着没有那种扰动模式可以使系统不稳定.

在X1, · · · , Xj中边缘状态的界限将由以下形式的方程定义∑(X1, · · · , Xj) = 0. (1.1)

这个界限的定义是关于流体动力学稳定性研究的主要对象.

在考虑一个流体系统稳定性时, 为方便起见, 假设系统的所有参数除了一个之外, 保持为常

数, 而选择的这个参数是连续变化的. 当这个特殊的参数取一些特殊的值时, 我们将由稳定状态

过渡到不稳定状态. 我们说,当其它参数取先定的值时,在选择的参数的这个值发生了不稳定性.

边缘不稳定状态可以有两种. 这两种状态对应于小扰动的幅度是增长的还是受到阻尼的. 它们

可能周期性地增长(或者受到周期性的阻尼); 它们也可能通过幅度增长中的震荡而增长或(受到

阻尼).

在前一种情况, 从稳定性到不稳定性的过渡, 即边缘状态表现出一种稳态运动模式. 在后一

种情况下, 发生的过渡是表现出边缘状态的震荡运动, 它具有确定的特征频率.

如果在不稳定性发生时, 流行一种稳态图案, 则我们说稳定性交换的原则是有效的, 发生的

不稳定性是稳态的细胞对流,或二次流动. (不久,我们将明白细胞性质的含义.)另一方面,如果流

行的是发生的震荡稳定性,我们(按照Eddington的说法)说,我们具有超稳定性情况. Eddington对

这种专用术语的现在作出了如下解释:‘在一种有用的不稳定性中,一个小的位移引起的恢复力趋

向于离开平衡, 在超稳定性情况下, 引起的恢复力过强, 以致于越过了另一侧相应的平衡位置.’

12 第一章基本概念

在把边缘不稳定状态区分为稳态的和震荡的同时,我们已经假设了我们在处理耗散系统.在

非耗散的, 守衡情况一般是有些不同的. 在这些情况下的稳定状态, 当受到扰动时, 引起的非阻

尼震荡具有一定的特征频率; 而当处于非稳定状态, 小的初始扰动趋向于随时间呈指数增长; 边

缘状态本身是稳态的.

§1.3 用正交模式分析

数学处理一个不稳定问题一般沿着以下路线进行. 我们从表示系统的一个稳态的初始流动

开始, 通过假定描述流动的各种变量受到小的(无穷小)增量. 在从相应的运动方程得到这些方程

的过程中,我们忽略了增量的所有乘积项和增量的幂指数(高于一阶)项,并只保留其中的线性项.

以线性化方程推导的理论称为线性稳定性理论, 与企图允许有限扰动幅度的非线性理论相对应.

在本书中, 我们只涉及线性稳定性理论, 它先假定扰动是无穷小的, 而这在即使这种性质没有明

说时必须认识到.

正如我们已经解释的, 稳定性意味着对所有可能的(无穷小)扰动的稳定. 因此对于一个完备

的稳定性研究, 有必要确定系统对所有可能的扰动的反应. 实际上, 这是通过用某些基本可能模

式叠加表示一个任意扰动,并确定对于每种模式的系统稳定性而实现的. 为了说明如何做到这一

点,考虑一个限制在平行平面内的系统,其中稳态的物理量仅仅是垂直于平面的坐标(或者说z)的

函数. 在这种情况下, 我们可以用二维周期性波分析一个任意的扰动. 因此, 如果A(x, y, z, t)表示

描述扰动的一个典型的幅度, 我们用如下形式把它展开成

A(x, y, z, t) =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞dkxdkyAk(z, t) exp[i(kxx+ kyy)] (1.2)

其中

k =√

(k2x + k2y) (1.3)

是与扰动Ak(z, t)有关的波数. 因为扰动方程是线性的, 对于一个一般的扰动, 如果我们知道对

给定的所有波数的系统反应, 则系统的反应是确定的. 特别是, 系统的稳定性将取决于它对所

有波数的扰动的稳定性, 并且不稳定性随着系统对即使是一个波数扰动的不稳定而发生. 从这

个讨论, 对于考虑的这种平面问题, 边缘状态对于一种特殊的波数(或者说kc)将是中性的, 而对

于其它所有波数是稳定的. 因此, 在不稳定性发生时, 属于这个特殊波数的(稳态的或者震荡

的,作为可能的情况)运动将显露出来,它们将相应地给出一种细胞图案,细胞的水平尺度将由波

数λc = 2π/kc确定.

在有其它几何条件的问题中,相应的扰动也进行了分析.因此,如果稳态关于轴是对称的,我

们可以把扰动展开成形式,

A(ϖ, z, θ, t) =+∞∑

m=−∞

∫ +∞

−∞Am,k(ϖ, t)ei(kz+mθ)dk (1.4)

(其中z是轴向尺度, ϖ是离轴的距离, θ是方位角.) 并研究对于所有用k和m区分的模式的系统稳

定性. 类似地, 如果初始状态具有球对称性, 我们可以把扰动展开成球调和函数, Y ml (ϑ, φ), 形式

是

A(r, ϑ, φ) =

∞∑l=0

+l∑m=−l

Y ml (ϑ, φ)Am

l (r, t) (1.5)

(其中r离原点的距离, ϑ和φ是球极角), 并研究对于用l和m区分的所有模式的系统稳定性.

以上阐述的主要观点是,在所有情况下,必须把扰动通过对于这种展开一定是完备的适当的

正交模式展开, 让相应于一个特殊稳态的各种模式用符号k区分. 实际上, 为区分不同模式需要

§1.4 无量纲数 13

一些参数; 而参数k 被假定是表示了需要的所有参数. 根据这种理解, 我们可以写出(还是用符

号)

A(r, t) =

∫Ak(r, t)dk (1.6)

控制通常的(无穷小)扰动的方程可以专用于正交模式. 因此, 我们通过寻找以下形式的解来

消去时间相关性,

Ak(r, t) = Ak(r)epkt (1.7)

其中pk是一个待定的常数. p已经带着的下标k强调这个常数值对于用k区分的不同模式将是不

同的.

根据时间相关性的这种分离, 扰动方程将涉及参数pk. 最终的方程寻找解时必须满足边界

条件( 比如, 无滑移的刚性边界, 没有剪切应力的自由边界). 一般来说, 对于任意给定的pk, 方程

将不允许有非零解(到处都不消失).因此,问题简化为对于各种模式确定pk. 一般来说,关于pk的

特征值是复数,

pk = p(r)k + ip

(i)k (1.8)

其中p(r)k 和p(i)k 除了依赖于k,还依赖于基本流动的参数X1, · · · , Xj . 稳定性的条件是对于所有的k,

p(r)k 必须是负的. 对于属于k的中性不稳定状态, 将由如下方程表征,

p(r)k (X1, · · · , Xj) = 0 (1.9)

这是一个关于参数X1, · · · , Xj的条件; 它定义了在(X1, · · · , Xj)空间中的一个界限∑k

(X1, · · · , Xj) = 0 (1.10)

它把稳定的状态从属于这个特殊波数的扰动的不稳定状态中分开. 这表明在(X1, · · · , Xj)中把稳

定性区域从不稳定性区域分开界限∑

(X1, · · · , Xj)是界限∑

k的包络;而且,如果我们在一些特殊

点穿过∑

,当系统变成不稳定时,将显露的扰动模式发生的点,将是那些它们的∑

k与∑相接触的

点.

进一步的观察得出, 在 §1.2中给出的两种边缘状态(稳态和震荡)之间的区别, 对应于当pk的

实部p(r)k 消失时, 它的虚部p(i)k 是否也消失. 对于所有的k, 如果p(r)k = 0意味着p(i)k = 0, 则交换稳

定性的原则是有效的. 否则, 当某些模式的稳定性发生时, 我们至少有超稳定性. 如果发生超稳

定性, 那末p(i)k 将在∑

k上被确定. 因此, 在超稳定性情况下, 理论必须告诉我们扰动引起的不稳

定性发生的模式, 还必须告诉我们震荡的特征频率.

§1.4 无量纲数

正如我们已经阐述的, 稳定性问题的解, 通常集中在表征初始流动的参数空间X1, · · · , Xj中

确定边缘状态的区域. 在表达理论结果时, 把各种参数结合成一些无量纲的组合或者数是方便

的. 这种数中最著名的是Reynolds数R, 它的组合形式是

R = Lv/ν (1.11)

其中L是系统的特征长度, v是稳态流动中主要速度的尺度, ν是运动粘性系数. 但是,特殊的问题

需要定义一些特殊的数. 因此, 在介于旋转的同心柱壳之间的粘性流动稳定性问题中, 参数是柱

壳的半径R1和R2, 它们旋转的角速度是Ω1和Ω2, ν是运动粘性系数. 为便于讨论这个问题, 采用

的无量纲组合是

η =R1

R2, µ =

Ω1

Ω2, T =

4Ω21R

41

ν2(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2(1.12)


出现在T的定义式中的角速度Ω, 线尺度L, 和运动粘性系数ν 组合4Ω2L4/ν2, 当我们在处理旋转

系统时,把它称为Taylor数. 类似地,在从底部加热的水平流体层的热稳定性问题时,出现的参数

组合是:

R =gαβ

kνd4, P = ν/κ (1.13)

其中g是重力加速度, d是流体层的深度, β是维持的逆温度梯度, 而α, k和ν分别是体积膨胀系数,

导温系数和运动粘性系数. 这里定义的R称为Rayleigh 数, P是Prandtl数. 而当我们在处理磁

场H作用下的导电流体时, 经常出现的数是

Q =µ2H2σ

ρνd2 (1.14)

其中µ是磁导率, ρ是密度, σ是导电系数, d是线尺度.

需要指出的是, 定义各种参数没有唯一的方法. 它们偶然被选中, 在某些情况下就自然地出

现在一类问题中.

参考文献注释

广泛地针对流体动力学和磁流体力学稳定性问题的著作是:1. C. C. Lin, The Theory of Hydrodynamic Stability, ,Cambridge, England, 1955.

Lin的著作的主要部分是与粘性剪切流动及Orr-Sommerfield方程有关的: 它们的特殊章节考虑的

专题在本书中将不考虑.

磁流体力学稳定性问题在下列文献中考虑过:2. T. G. Cowling, Magnetohydrodynamics, Interscience Tracts on Physics and

Astronomy, No. 4, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957; see particularly

chapter 4.

在其它相关的著作中, 我们可以看:

3. H. Alfven, Cosmical Electrodynamics ,Internatinal Series of Monographs on Physics,

Oxford, England, 1950.

4. Lyman Spitzer, Physics of Fully Ionized Gases, Interscience Tracts on Physics and

Astronomy, No. 3, Interscience Publishers, Inc. New York, 1956.

5. J. W. Dungey, Cosmic Electrodynamics, ,Cambridge Monographs on Mechanics and

Applied Mathematics, Cambridge, England, 1958.

以下综述性文章对本书的专题有影响:

6. S. Lundquist, ‘Study in megneto-hydrodynamics’,Arkiv for Fysik, 5, 297-347,

(1952).

7. T. G. Cowling,‘Solar electrodynamics’,The Sun, chapter 8, edited by G.P. Kuiper,

University of Chicago Press, Chicago, 1953

8. W. M. Elsasser,‘Hydromagnetism I. A. Review’American J. Physics, 23, 590-609

(1955) 5, 297-347, (1952);‘Hydro,agneticsm. II. A Review,’ibid, 24, 85-110 (1956)

9. G. H. A. Cole,‘Some aspect of magnetohydrodynamics’,Advances in Physics, 5,

452-497(1956)

§1.4 无量纲数 15

本书表达了在以下从文献中观点的延伸:

10. S. Chandrasekhar,‘Problems of stability in hydrodynamics and hydromagnetics

’,Monthly Notices Roy. Astron. Soc. London, 113, 667-78 (1953)

11. S. Chandrasekhar,‘Thermal convection’, Deadalus, 86, 323-39 (1957)

Eddington 的引文来自:

12. A. S. Eddington, The Internal Constitution of the Stars, , P.201, Cambridge,

England, 1926.

第二章从底部加热的流体层的热不稳定性

1. Benard 问题

§2.1 引言

在底部加热的流体层中的热不稳定性发生问题,适合于表明流体动力学稳定性的许多方面,

如数学和物理方面. 如果我们把它扩大为包含旋转和磁场效应的问题,我们还能表明流体可能承

受的对立的趋势; 被相关的数学理论所揭示的, 已经被实验所表明的许多流体行为的有趣性质.

为此, 我们选择从底部加热的流体层中的不稳定性作为一般的专题进行详细的处理; 第二

和第四章用于考虑这个问题.

在这一章, 我们将考虑没有旋转和磁场的最简单问题; 这些效应将在以后的章节中考虑.

§2.2 物理问题的实质

考虑一个水平的流体层, 其中通过下边的加热维持了一个逆温度梯度 , 维持的这个温度梯

度称为逆温度梯度, 是由于, 从热膨胀的角度上看, 底部流体将比顶部流体轻, 而这种顶部重的

排列是具有潜在不稳定的. 由于后者的这种不稳定性, 一部分流体将有重新分配以使不稳定性

减弱. 但是部分流体的这种自然趋势是受到它自身的粘性抑制的. 也就是说, 我们预期维持的逆

温度梯度, 在不稳定性出现之前, 必须超过某一确定的值.

在流体中热不稳定以一种确定的形式发生的最早实验,是1900年的Benard实验,尽管热对流

现象本身是由Count Rumford(1797)和James Thomson (1882) 更早发现的. 在 §2.14 中, 我们将

描述Benard实验和其它实验. 在这里我们概括一下这些实验揭示的主要事实就足够了. 事实上,

在不稳定性发生之前,首先必须超过一个临界值的逆温度梯度;超过临界温度梯度时随之发生的

运动具有稳态的细胞特征. 在不稳定性发生时真正发生的是涉及的流体层中出现一系列的细胞;

如果做实验足够仔细, 这些细胞变成相同, 它们自我调整形成正六边形图案. 图 2.1 (是Benard早

期照片的复制品) 显示了这种现象.

正确解释以上事实的理论基础, 是Lord Rayleigh在他的论文中奠定的. Rayleigh表明, 决定

从底部加热的流体层的稳定性的是一个无量纲的参数值,

R =gαβ

kνd4 (2.1)

其中g是重力加速度, d是流体层的厚度, β(=| dT/dz |) 是维持的均匀的逆温度梯度, α, k和ν分别

是体积膨胀系数,导温系数和运动粘性系数; R如同定义的称为Rayleigh数. Rayleigh进一步表明,

不稳定性一定在R 超过一个临界值Rc时发生. 因此,主要的理论问题是: 人们如何确定Rc? 这一

章主要回答这个问题.

§2.3 流体动力学基本方程

对于在§6中描述的热不稳定性问题的一般处理, 我们需要密度和温度变化的粘性流体流动

的流体动力学控制方程. 在这一节我们将得到这些基本方程.

考虑一种流体, 它的密度是位置xj(j = 1, 2, 3)的函数. 让uj(j = 1, 2, 3)表示速度分量. 在写

各种方程时, 我们将根据通常的求和约定应用Cartesian张量.

17

18 第二章从底部加热的流体层的热不稳定性 1. Benard 问题

图 2.1 鲸腊中的Benard细胞. Benard原始照片的一张复制图.

§2.3.1 连续性方程

我们有∂ρ

∂t+

∂

∂xj(ρuj) = 0 (2.2)

这个方程表示质量守衡: 因为, 通过在一个任意体积上进行积分这个方程, 我们得到

∂

∂t

∫V

ρdτ = −∫V

∂

∂xj(ρuj)dτ (2.3)

其中dτ(= dx1dx2dx3)是体积单元. 根据Gauss定理, 右端的体积积分等于在V的整个约束表面S

上的积分; 因此∂

∂t

∫V

ρdτ = −∫S

ρujdSj (2.4)

其中dSj表示一个与表面积元dS垂直的矢量, 并且它的模等于dS.[矢量dSj与反对称张量dSlm是

孪生的,它的分量等于dS在坐标平面内的投影面积.]方程(2.4)表达了一个事实,包含在一个固定

控制体内质量的变化速率等于流体穿过边界S流出控制体的速率. 我们确实可以, 从根据表示质

量守衡的方程(2.4)出发,再跟踪论证推导出方程(2.2). 我们将发现有用的方程(2.2)的另一种形式

是:∂ρ

∂t+ uj

∂ρ

∂xj= −ρ ∂ui

∂xj(2.5)

方程(2.5)左端的量, 显然是ρ对时间的全导数 .

对于一种不可压缩流体 , 连续性方程简化为

∂uj∂xj

= 0 (2.6)

在这种情况下, 速度场是无散度的.

§2.3.2 运动方程

在写出运动方程之前,有必要了解应力Pij ,它作用在xj方向的单位面积上,面积元垂直于xi.

这个应力一定是与流体中应变增加速率相联系的, 后者由

eij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)(2.7)

§2.3 流体动力学基本方程 19

流体动力学的一个基本假定是Pij和eij是线性相关的; 因此

Pij = ϖij + qij;klekl (2.8)

其中ϖij是一个对称张量 , 在极限情况eij = 0下, Pij趋向于ϖij , qij;kl是一个四阶张量. 对于各向

同性流体, 形式(2.8)对于坐标系的任意旋转和平移一定是不变量. 这要求ϖij和qij;kl是各向同性

张量, 具有形式

ϖ = −pδij (2.9)

以及

qij;kl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (2.10)

其中p, λ和µ是xi的任意变量函数. 把方程(2.9)和(2.10)代入方程(2.8), 我们有

Pij = −pδij + 2µeij + λδijekk (2.11)

把p定义为没有应变时在xi处的各向同性压力; 因此

Pii = −3p = −3p+ 2µeii + 3λekk (2.12)

应用p的定义, 给出

λ = −2

3µ (2.13)

Pij = −pδij + 2µeij −2

3µδijekk (2.14)

在这个方程中, 出现的系数µ是粘性系数; 它可以是位置的任意函数.

在(2.14)中, 正比于µ的项定义为粘性应力; 用pij表示, 我们有

pij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3µ∂uk∂xk

δij (2.15)

对于不可压流体, 粘性应力张量, 有更简单的形式

pij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)(2.16)

应用应力Pij , 我们可以写出流体运动的流体动力学方程

ρ∂ui∂t

+ ρuj∂ui∂xj

= ρXi +∂Pij

∂xj(2.17)

其中Xi，是作用在流体上的外力的第i分量. 在这个方程中, 代入Pij , 我们有

ρ∂ui∂t

+ ρuj∂ui∂xj

= ρXi −∂p

∂xi+

∂

∂xj

µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3µ∂uk∂xk

(2.18)

对于µ是常数的不可压流体, 方程(2.18)简化为

ρ∂ui∂t

+ ρuj∂ui∂xj

= ρXi −∂p

∂xi+ µ∇2ui (2.19)

这是原始形式的Navier − Stokes方程.

方程(2.17)表示动量守衡. 这可以从在整个体积V上的积分看出来. 我们发现∫V

(ρ∂ui∂t

+ ρuj∂ui∂xj

)dτ =

∫V

ρXidτ +

∫V

∂Pij

∂xjdτ (2.20)


对左端的第二个积分进行分部积分, 同时应用Gauss定理对右端的第二项进行变换, 我们得到∫V

ρ∂ui∂t

− ui∂

∂xj(ρuj)

dτ +

∫S

ρuiujdSj =

∫V

ρXidτ +

∫S

PijdSj (2.21)

应用连续性方程, 我们发现方程(2.21)左端的第一个积分是∫V

(ρ∂ui∂t

+ ui∂ρ

∂t

)dτ =

∂

∂t

∫V

ρuidτ (2.22)

因此, 方程(2.21)可以写成

∂

∂t

∫V

ρuidτ =

∫V

ρXidτ +

∫S

PijdSj −∫S

ρuiujdSj (2.23)

这种方程, 表达了一个事实: 在包含流体的一个固定体积V内动量的变化率, 等于作用在流体微

元上的外力的体积积分加上作用的约束表面上的法向应力的面积积分,减去穿过V 的边界S流出

的动量. 显然, 通过把动量守衡表示成形式(2.23), 反过来, 我们也可以推导运动方程(2.17).

§2.3.3 粘性耗散速率

方程(2.17)乘以ui(当然, 对i求和), 在体积V上进行积分, 我们得到

1

2

∫V

ρ∂

∂tu2i dτ +

1

2

∫V

ρuj∂

∂xju2i dτ =

∫V

ρuiXidτ +

∫V

ui∂Pij

∂xjdτ (2.24)

通过一系列类似与从方程(2.20)的(2.23)的变换, 我们发现 12

∫Vρ ∂∂tu

2i dτ

=∫VρuiXidτ +

∫SuiPijdSj − 1

2

∫Sρu2iujdSj −

∫VPij

∂ui∂xj

dτ(2.25)

这个方程给出了包含在控制体V内动能的变化率, 我们看到它是四项之和. 前边的三项分别

表示作用在V内流体上的外力作功率, 作用在V的约束表面上的应力Pij的作功率, 以及能量穿

过V的表面流出的速率.

剩下的是解释方程(2.25)右端的最后一项. 这是以下量的一个体积分,

− Pij∂ui∂xj

(2.26)

应用eij和Pij的定义(方程(2.7)和(2.14)), 我们可以写出

Pij∂ui∂xj

= Pijeij = (−pδij + 2µeij −2

3µδijekk)eij

= −pejj + 2µe2ij −2

3µ(ejj)

2 (2.27)

右端的第一项是

− pejj = −p∂uj∂xj

=p

ρ

(∂ρ

∂t+ uj

∂ρ

∂xj

)=p

ρ

dρ

dt(2.28)

因此, 这个量的体积积分, 表示由于流体压缩引起的内能增加. 在方程(2.27)中剩余的一项

Φ = 2µe2ij −2

3µ(ejj)

2 (2.29)

一定是表示在流体微元中粘性的不可逆的能量耗散速率, 根据这个说明, Φ 确实是正定的. 容易

证明, Φ可以表示成它的等价形式

Φ = 4µ(e212 + e223 + e231) +2

3µ[(e11 − e22)2 + (e22 − e33)2 + (e33 − e11)2] (2.30)

对于不可压缩流体ejj = 0, 相应的Φ是

Φ = 2µe2ij (2.31)

§2.3 流体动力学基本方程 21

§2.3.4 导热方程

已经看出, 质量和动量守衡, 导出了连续性方程和运动方程. 剩下的是表示能量守衡. 如同

我们将看到的, 这导致我们需要的导热方程.

除了一个附加的常数, 流体单位体积内的能量可以写为

ϵ =1

2u2i + cV T (2.32)

其中cV是等容比热, T是温度, 累计在体积V内流体中的能量得失, 我们有

∂∂t

∫Vρϵdτ =在V的边界S上Pij的作功率

+在V的流体微元上外力作功

−通过S的导热速率

−通过质量运动穿过S的能量对流速率

=∫SuiPijdSj +

∫VρuiXidτ +

∫Sk ∂T∂xj

dSj −∫SρϵujdSj

(2.33)

其中k是导热系数. 应用方程(2.25),(2.27),(2.28)和(2.29), 我们可以把方程(33)右端第一项, 重新

写为 ∫S

uiPijdSj =1

2

∂

∂t

∫V

ρu2i dτ +1

2

∫S

ρu2iujdSj −∫V

ρuiXidτ−

−∫V

p∂uj∂xj

dτ +

∫V

Φdτ (2.34)

而且, 第三项和第四项的另一种形式是∫S

k∂T

∂xjdSj =

∫V

∂

∂xj

(k∂T

∂xj

)dτ (2.35)

以及 −∫SρϵujdSj = −

∫Sρ( 1

2u2i + cV T )ujdSj

= −12

∫Sρu2iujdSj −

∫V

∂∂xj

(ρujcV T )dτ(2.36)

联立以上方程, 我们有∫V

∂∂t (ρcV T )dτ =

∫V

∂∂xj

(k ∂T∂xj

)dτ −

∫Vp∂uj∂xj

dτ+

+∫V

Φdτ −∫V

∂∂xj

(ρcV Tuj)dτ(2.37)

因为这个方程, 对于任意控制体都是成立的, 我们一定有

∂

∂t(ρcV T ) +

∂

∂xj(ρcV Tuj) =

∂

∂xj

(k∂T

∂xj

)− p

∂uj∂xj

+ Φ (2.38)

应用连续性方程, 我们可以把以上方程简化为

ρ∂

∂t(cV T ) + ρuj

∂

∂xj(cV T ) =

∂

∂xj

(k∂T

∂xj

)− p

∂uj∂xj

+ Φ (2.39)

方程(2.2), (2.14), (2.17),(2.29)和(2.39)是流体动力学基本方程. 它们必须以状态方程作为补

充. 对于我们主要涉及的流体, 我们可以写出

ρ = ρ0[1 − α(T − T0)] (2.40)

其中α是体积膨胀系数 , T0是ρ = ρ0时的温度.


§2.4 Boussinesq近似

在上一节中,我们在推导流体动力学方程时,没有对常数,或者说对引入的各种系数(µ, cV ,α和k),

作出假设. 因此, 推导出的方程具有普遍的有效性. 但是, 如同Boussinesq首先指出的那样, 有许

多实际场合, 基本方程是可以大大简化的. 当由温度的变化引起的密度和其它系数的变化, 仅仅

是适当的量时, 就出现这种情形. 在这些情况下, 简化的理由是由于体积膨胀系数是小量: 对于

我们将经常涉及到的气体和液体, α所处的范围是10−3到10−4. 对于不超过10o的温度变化, 我们

说, 密度的变化顶多是1%. 其它系数的变化(对应于已经指出的密度变化量)一定是同样的量级.

这种变化小量, 通常可以忽略. 但是有一个重要的例外: 在运动方程的质量力项, ρXi中的ρ的变

化, 不能忽略. 这是因为由δρXi = α∆TXi (其中∆T是衡量出现的温度变化的尺度) 引起的加速

度，可能是很大的; 例如, 大于运动方程中惯性项的加速度. 因此, 除了在外力项中, 我们可以把

出现在运动方程中的ρ, 当作常数. 在 §2.5中我们将证明, 对于特殊的热不稳定性问题, 我们不必

作Boussinesq近似: 因为,我们将表明,在这种情况下, §7中普遍的方程导致同样的微小扰动方程.

但是, 以Bousinesq近似为基础的方程本身是有兴趣的; 它们给出了理论在非线性领域进一步取

得进展的基础.

根据以上描述, 我们把连续性方程(5)用

∂uj∂xj

= 0 (2.41)

代替, 因为方程(2.5)的左端与右端相比是α阶的. 根据uj的这个条件, 粘性应力张量的表达式是

pij = µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)(2.42)

其中基于同样的理由, 我们可以把µ当作常数处理. 在这些近似的框架内, 运动方程(2.17)变成

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

=1

ρ0

∂p

∂xi+

(1 +

δρ

ρ0

)Xi + ν∇2ui (2.43)

其中ν(= µ/ρ0)表示运动粘性系数, ρ0在适当选择的平均温度T0下的密度, 并且

δρ = −ρ0α(T − T0) (2.44)

下边考虑导热方程(2.39), 我们把cV和k当作常数, 把它们拿到微分号的外边, 我们可以忽

略在右端的项−pdivu, 粘性耗散项Φ也能忽略: 因为, 根据方程(2.43)和(2.44), 主流速度的量级

是[α∆T | X | d]12 , 其中d是衡量一个系统的线尺度. 因此项Φ相对于导热项的量级为

µα | X | d/k (2.45)

而这个比值, 对于通常的液体, 当d ∼ 1cm 和| X |∼ g(因重力引起的加速度) 是10−7或10−8. 在这

些情况下, 导热方程(2.39)简化为∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj= κ∇2T (2.46)

其中κ(= k/ρ0cV )是导温系数.

方程(2.41),(2.43),(2.44)和(2.46)是在Boussinesq近似下的基本方程.

§2.5 微小扰动方程

考虑一无限的水平液体层,其中维持了一个逆温度梯度;而且,让运动消失.因此初始状态是

uj ≡ 0 T ≡ T (λjxj) (2.47)

§2.5 微小扰动方程 23

其中λ = (0, 0, 1)是垂直方向的单位矢量.

当不存在运动时, 流体动力学方程只要求压力分布由方程(见方程(2.18))

∂p

∂xi= ρXi = −gρλi (2.48)

控制,其中

ρ = ρ0[1 + α(T0 − T )] (2.49)

其中ρ0和T0, 是在较低边界上的流体密度和温度. 温度分布的控制方程是

∇2T = 0 (2.50)

在写出方程(2.39)时, 在稳态方程(2.50)的条件下, 我们已经假定, 导热系数k是与温度T无关的常

数; 这个假定, 在目前的情况下是合理的.

与目前的问题相适应的方程(2.50)的解是

T = T0 − βλjxj (2.51)

β是保持的逆温度梯度, 与之对应的密度分布是

ρ = ρ0(1 + αβλjxj) (2.52)

根据ρ的这个表达式, 方程(2.48)可以积分给出

p = p0 − gρ0(λixi +1

2αβλiλjxixj) (2.53)

让方程(2.47), (2.51), (2.52)和(2.53)稍微有扰动. 让uj表示扰动状态下的速度, 改变了的温度

分布为

T ′ = T0 − βλjxj + θ (2.54)

最后, 让δp表示压力分布的改变. 我们现在将得到控制这种扰动状态的运动方程的线性化形式.

首先考虑,以Boussinesq近似为基础的问题.通过忽略在微小扰动中的二阶和更高阶项,方程(2.43)和

方程(2.46)给出(见方程(2.62))

∂ui∂t

= − ∂

∂xi

(δp

ρ0

)+ gαθλi + ν∇2ui (2.55)

以及∂θ

∂t= βλjuj + κ∇2θ (2.56)

速度场当然保持无散度的:∂ui∂xi

= 0 (2.57)

有趣的是验证不用Boussinesq假定, 从普遍的方程, 我们得到与方程(2.55)-(2.57)相同的方程. 普

遍的方程是∂ρ

∂t+ uj

∂ρ

∂xj= −ρ∂uj

∂xj, (2.58)

∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj= κ∇2T − p

ρcV

∂uj∂xj

+1

ρcVΦ (2.59)

以及

ρ∂ui∂t

+ ρuj∂ui∂xj

= − ∂p

∂xi+

∂

∂xj

µ

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3µ∂uj∂xj

− gρλi (2.60)


在没有扰动的状态∂ρ

∂xj= λjρ0αβ (2.61)

由扰动温度θ引起的密度变化, 由如下方程给出

δρ = −αρθ = −αρ0(1 + αβλjxj)θ (2.62)

因此, 当方程(2.58)的左端出现的一阶项具有因子α, 而右端相应的项没有这个因子; 并且, 由

于α ∼ 10−3 − 10−4, 我们可以忽略在左端的项λjujαβ, 推导出u的无散度性质. 应用这个事实, 记

住在任何情况下, 在u中耗散项Φ是二阶的, 我们得到θ的方程

∂θ

∂t= βλjuj + κ∇2θ (2.63)

它与方程(2.56)相同.

考虑下一个方程(2.60), 我们首先观察到, 我们可以把µ当作常数处理; 因为, µ的变化的阶数

一定是αδρ, 当它们乘以uj出现时, 我们可以忽略这个阶数的变化. 我们得到线化方程

∂ui∂t

= −1

ρ

∂

∂xiδp+

µ

ρ∇2ui + gαθλi (2.64)

以及在这个方程中, 我们显然可以在出现ρ的地方, 写上ρ0. 因此, 我们得出前面以Boussinesq假

定为基础的方程组.

回到方程(2.55)-(2.57), 我们在方程(2.55)中通过应用算子

curlk = ϵijk∂

∂xj(2.65)

到k分量的方程消去项δp/ρ0. 让

ωi = ϵijk∂uk∂xj

(2.66)

表示涡量, 我们有方程∂ωi

∂t= gαϵijk

∂θ

∂xjλk + ν∇2ωi (2.67)

对这个方程再次取旋度 , 我们有

∂

∂tϵijk

∂ωk

∂xj= gαϵijkϵklm

∂2θ

∂xl∂xjλm + ν∇2ϵijk

∂ωk

∂xj(2.68)

应用性质

ϵijkϵklm = δilδjm − δimδjl (2.69)

我们发现

ϵijk∂ωk

∂xj= ϵijkϵklm

∂2um∂xj∂xl

=∂

∂xi

(∂uj∂xj

)−∇2ui = −∇2ui (2.70)

类似地,

ϵijkϵklm∂2θ

∂xj∂xlλm = λj

∂2θ

∂xj∂xi− λi∇2θ (2.71)

因此, 方程(2.68)变成∂

∂t∇2ui = gα

(λi∇2θ − λi

∂2θ

∂xi∂xj

)+ ν∇4ui (2.72)

现在用λi乘以方程(2.67)和(2.72), 我们得到

∂ζ

∂t= ν∇2ζ (2.73)

§2.5 微小扰动方程 25

以及∂

∂t∇2w = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w (2.74)

其中

ζ = λjωj , w = λjuj (2.75)

是涡量和速度的z−分量. 我们还有方程(见方程(2.56))

∂θ

∂t= βw + κ∇2θ (2.76)

方程(2.73),(2.74)和(2.76)就是需要的微小扰动方程组. 我们必须寻找满足某些边界条件的

这个方程组的解. 现在我们将用公式描述这些条件.

§2.5.1 边界条件

流体限制在平面z = 0和z = d之间; 在这两个平面上, 某些边界条件必须得到满足. 不管约

束表面的性质如何, 我们必须要求

θ = 0, w = 0, 当z = 0, d (2.77)

因为, 表面z = 0和z = d保持常温, 这样它们不承受变化. 显然, 在这些表面上, 速度的法向分量

必须消失, 但是, 其它分量是否也消失, 则依赖于在z = 0, d的表面的性质.

我们将区分两类约束表面: 在它上边无滑移的刚性表面和无切向应力作用的自由表面.

首先考虑刚性表面. 在这个表面上出现无滑移, 意味着不仅w, 而且速度的水平分量u和v消

失. 因此

u = 0, v = 0, w = 0, 在刚性表面上 (2.78)

因为对于表面上的所有x和y, 这个条件必须满足, 从连续性方程

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 (2.79)

得出∂w

∂z= 0 在刚性表面上 (2.80)

在自由表面上的条件是

Pxz = Pyz = 0 (2.81)

因为各向同性项−pδij没有横向分量, 条件(2.81)相当于粘性应力的分量pxz和pyz消失:1

pxz = µ

(∂u

∂z+∂w

∂x

), pyz = µ

(∂v

∂z+∂w

∂y

)(2.82)

因为对于约束表面上所有的x和y, w消失, 因此从(2.82)得到

∂u

∂z=∂v

∂z= 0 在自由表面上 (2.83)

从连续性方程(2.79)对z的微分, 我们得出

∂2w

∂z2= 0 在自由表面上 (2.84)

1 将看到我们把条件(2.81)应用于无位移的表面, 这样做我们忽略了, 例如, 重力波的存在效应(见第10章, §94e). 如果人们想包含这种效应, 则条件(2.81)必须用在受到微小扰动发生位移的表面.


关于涡量的垂直分量ζ, 边界条件可以从上边的结果推导得到. 因为

ζ =∂v

∂x− ∂u

∂y(2.85)

从方程(2.78)和(2.83)得到

ζ = 0 在刚性表面上 (2.86)

以及∂ζ

∂z= 0 在自由表面上 (2.87)

§2.6 正交模式分解

根据第一章( §1.3 )中描述的普遍看法, 我们必须把一个任意的扰动分解成一个正交模式的

完备集合, 并且单独地确定每种模式的稳定性. 对于这个问题, 用给定波数的二维周期性波可以

完成这种分解. 因此, 我们把所有描述扰动的量, 归于以形式

exp[i(kxx+ kyy) + pt] (2.88)

依赖于x, y和t的一类. 其中

k =√k2x + k2y (2.89)

是扰动的波数, p是一个常数(可以是复数). 正如我们在 §1.3 中阐述的, 稳定性问题需要确定对

应于每个k的状态, 是由实质上为零的p的实数部分表征的.

根据上一段的论述, 我们假设微小扰动θ, w和ζ具有形式:w = W (z) exp[i(kxx+ kyy) + pt]

θ = Θ(z) exp[i(kxx+ kyy) + pt]

ζ = Z(z) exp[i(kxx+ kyy) + pt]

(2.90)

对于具有这种x, y和t的依赖关系的函数,

∂

∂t= p,

∂2

∂x2+

∂2

∂y2= −k2, ∇2 =

d2

dz2− k2 (2.91)

方程(2.73),(2.74)和(2.76)变成

p

(d2

dz2− k2

)W = −gαk2Θ + ν

(d2

dz2− k2

)2

W (2.92)

pΘ = βW + κ

(d2

dz2− k2

)Θ (2.93)

以及

pZ = ν

(d2

dz2− k2

)Z (2.94)

这些方程的解, 必须在满足以下边界条件的情况下寻找.

Θ = 0, W = 0, 当z=0,d (2.95)Z = 0, dWdz = 0 在刚性表面上

dZdz = 0, d2W

dz2 = 0 在自由表面上(2.96)

§2.6 正交模式分解 27

用无量纲的变量讨论方程(2.92)-(2.94)的解是方便的. 选择单位

[L] = d, [T ] = d2/ν (2.97)

让

a = kd, σ = pd2/ν (2.98)

表示波数和时间常数. 但是, 我们将让x, y和z, 表示用长度d的新单位表示的坐标. 方程(2.92)和

(2.93)变成

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)W =(gανd2)a2Θ (2.99)

以及

(D2 − a2 − Pσ)Θ = −(β

κd2)W (2.100)

其中D = d/dz以及P(= ν/κ)是Prandtl数.[观察到W和Θ具有它们通常的量纲, 它们没有根据方

程(2.97)的单位进行无量纲化.] 与此有关的边界条件是

Θ = 0, W = 0, 当z = 0, 1 (2.101)

以及

DW = 0, 当z = 0, 1, 如果两个约束表面是刚性的 (2.102)

或者

DW = 0, 当z = 0, D2W = 0, 当z = 1 (2.103)

如果底部约束表面是刚性的, 顶部表面是自由的.

通过在方程(2.99)和(2.100)之间消去Θ, 我们得到

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 −Pσ)W = −Ra2W (2.104)

其中

R =gαβ

κνd4 (2.105)

是Rayleigh数, 这是一个控制Θ的等价的方程.

§2.6.1 速度水平分量的解

如果我们已经得到方程(2.99)和(2.100)的特解, 我们可以通过按照如下方式确定速度的水平

分量, 完成这个问题的求解.

根据两个函数ϕ和ψ, 把u和v表示成形式

u =∂ϕ

∂x− ∂ψ

∂y, v =

∂ϕ

∂y+∂ψ

∂x(2.106)

因此

− ∂w

∂z=∂u

∂x+∂v

∂y=∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= −a2ϕ (2.107)

以及

dζ =∂v

∂x− ∂u

∂y=∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= −a2ψ (2.108)

因此

ϕ =1

a2∂w

∂z, ψ = − d

a2ζ (2.109)


我们可以写出

u =1

a2

(∂2w

∂x∂z+ d

∂ζ

∂y

)=

i

a2(axDW + aydZ) exp[i(axx+ ayy) + σt] (2.110)

以及

v =1

a2

(∂2w

∂y∂z− d

∂ζ

∂x

)=

i

a2(ayDW + axdZ) exp[i(axx+ ayy) + σt] (2.111)

以上联系u和v与速度的法向分量和涡量之间的方程是具有普遍意义的, 它们不受这个特殊问题

的限制.

§2.7 不稳定性的交换原理

我们将表明, 对于在讨论中的问题, 稳定性交换的原理是有效的, 就是说, σ是实数, 边缘状

态是由σ = 0表征的.

让

G = (D2 − a2)W (2.112)

以及

F = (D2 − a2)(D2 − a2 − σ)W = (D2 − a2 − σ)G (2.113)

根据方程(2.99), 在约束表面上条件Θ = 0, 是相当于

F = 0 当z = 0, 1 (2.114)

应用F , W满足的方程是

(D2 − a2 − Pσ)F = −Ra2W (2.115)

我们现在证明对于所有正的R, σ是实数.

方程(2.115)乘以F ∗ (F的共轭复数)并在z的范围内积分, 我们有∫ 1

0

F ∗(D2 − a2 − Pσ)Fdz = −Ra2∫ 1

0

F ∗Wdz (2.116)

经过分部积分, 我们得出 ∫ 1

0

F ∗D2Fdz = −∫ 1

0

| DF |2 dz (2.117)

因为考虑的边界条件(2.114), 积分出来的部分消失. 因此∫ 1

0

| DF |2 +(a2 + Pσ | F |2)dz = Ra2∫ 1

0

WF ∗dz (2.118)

考虑右端的积分, 我们有∫ 1

0WF ∗dz =

∫ 1

0W (D2 − a2 − σ∗)G∗dz

=∫ 1

0WD2G∗dz − (a2 + σ∗)

∫ 1

0WG∗dz

(2.119)

通过陆续的分部积分, 我们得到∫ 1

0

WD2G∗dz = −∫ 1

0

DWDG∗dz =

∫ 1

0

G∗D2Wdz (2.120)

§2.8 边缘状态的控制方程和简化到特征值问题 29

每次考虑到边界条件W = 0和, 不是DW = 0就是G∗ = (D2 − a2)W ∗ = 0(取决于特殊的约束表

面, 是刚性的还是自由的) 积分出来的部分消失. 因此∫ 1

0WF ∗dz =

∫ 1

0G∗(D2 − a2)W − σ∗Wdz

=∫ 1

0| G |2 dz − σ∗ ∫ 1

0W (D2 − a2)W ∗dz

(2.121)

再次使用分部积分, 我们有 ∫ 1

0

WD2W ∗dz = −∫ 1

0

| DW |2 dz (2.122)

联立方程(2.118), (2.121), 和(2.122), 我们得出∫ 1

0

| DF |2 +a2 | F |2 +Pσ | F |2dz −Ra2∫ 1

0

| G |2 +σ∗[| DW |2 +a2 |W |2]dz = 0 (2.123)

这个方程的实部和虚部一定是分别为零的. 虚数部分消失给出

im(σ)

P∫ 1

0

| F |2 +Ra2∫ 1

0

[| DW |2 +a2 |W |2]dz

= 0 (2.124)

但是对于有限的正的R > 0, 花括号内的量是正的. 因此

im(σ) = 0 (2.125)

这表明对于R > 0, σ是实数, 对于这个问题稳定性交换的原理是有效的.

§2.8 边缘状态的控制方程和简化到特征值问题

因为对于所有正的Rayleigh数(就是说,对于所有的逆温度梯度), σ是实数,因此,从稳定到不

稳定的过渡一定发生在稳定的状态. 因此控制边缘状态的方程是通过令σ = 0得到的相应方程.

我们有

(D2 − a2)2W =(gανa2Θ

)(2.126)

和

(D2 − a2)Θ = −(β

κd2)W (2.127)

在这些方程之间消去Θ, 我们得到

(D2 − a2)3W = −Ra2W (2.128)

要寻找的这个方程的解, 满足边界条件W = 0, (D2 − a2)2W = 0 当z = 0, 1

DW, 或D2W = 0 当z = 0, 1, 根据约束表面确定.(2.129)

另一方面, 我们可以在方程(2.126)和方程(2.127)之间消去W , 得出

(D2 − a2)3Θ = −Ra2Θ (2.130)

边界条件是 Θ = 0, (D2 − a2)Θ = 0 当z = 0, 1

D(D2 − a2)Θ 或D2(D2 − a2)Θ = 0 当z = 0, 1

根据约束表面的性质确定

(2.131)


在上边的公式(方程(2.128)和(2.129)或者方程(2.130)和(2.131))中, 我们有六阶的微分方程,

我们必须满足六个边界条件, 三个在z = 0, 三个在z = 1; 一般情况下, 我们不能这么做. 只是在

特殊的R值, 问题允许有非零解. 因此我们有关于R的特征值问题.

稳定性问题求解将要采用的方式是显然的. 对于一个给定的a2, 我们必须确定R的最低值;

根据a2, 这样得出的极小值, 是不稳定性出现的临界Rayleigh数.

§2.9 变分原理

现在我们可以将在 §2.8 中描述的特征值稳态的解用变分原理表示. 第一个变分原理是

由Pellew 和Southwell 提出的.

§2.9.1 第一变分原理

考虑用W表示的特征值问题. 让

F = (D2 − a2)2W = (D2 − a2)G (2.132)

我们有

(D2 − a2)F = −Ra2W (2.133)

边界条件是:

W = 0, F = 0, 当 z = 0, 1

DW = 0 或 D2W = 0 (2.134)

取决于在z = 0, 1处的约束表面的性质.

让Rj作为特征值, 让属于Rj的解用下标j表示区别. 用Fi乘以Wj满足的方程(Fi属于不同的

特征值Ri), 在z的范围内进行积分, 我们有∫ 1

0

Fi(D2 − a2)Fjdz = −Rja

2

∫ 1

0

Wj(D2 − a2)Gidz (2.135)

通过与 §2.7 类似的分部积分循环, 从方程(135)我们得出结果(见方程(2.123))∫ 1

0

(DFiDFj + a2FiFj)dz = Rja2

∫ 1

0

GiGjdz (2.136)

在最后的方程中交换下标i和j, 我们有∫ 1

0

(DFjDFi + a2FjFi)dz = Ria2

∫ 1

0

GjGidz (2.137)

从方程(136)和方程(137), 显然得出∫ 1

0

GiGjdz = 0 如果i = j (2.138)

因此, 属于不同特征值的函数Gj是正交的.

当i = j, 方程(2.136)给出

Rja2

∫ 1

0

G2jdz =

∫ 1

0

[(DFj)2 + a2F 2

j ]dz (2.139)

§2.9 变分原理 31

它把Rj表示成两个正的定积分的比. 确实, 我们将表明当右端项是用真实的特征函数给出时, 给

出R的公式

R =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0G2dz

=I1a2I2

(2.140)

具有稳态性质.

为了证明这种稳态性,让R为根据任意函数W的方程(2.140)得出的特征值, W (除了满足有界

和连续性)需要满足(2.134)给出的边界条件. 让δR是在W有一个小的变化δW时R的变化, δW还

与W的边界条件是协调的, 就是说,

δW = 0, δF = 0 当z = 0, 1

DδW = 0, 或D2δW = 0 (2.141)

视在z = 0, 1处约束表面的性质而定.

根据方程(2.140),

δR =1

a2I2

(δI1 −

I1I2δI2

)=

1

a2I2(δI1 −Ra2δI2) (2.142)

其中

δI1 = 2

∫ 1

0

(DFDδF + a2FδF )dz (2.143)

以及

δI2 = 2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ][(D2 − a2)δW ]dz (2.144)

是对应与W的变分δW的I1和I2的变分. 在分部积分循环之后, 我们容易发现

δI1 = −2

∫ 1

0

δF (D2 − a2)Fdz (2.145)

以及

δI2 = 2

∫ 1

0

W (D2 − a2)2δFdz = 2

∫ 1

0

WδFdz (2.146)

因此

δR = − 2

a2I2

∫ 1

0

δF(D2 − a2)F +Ra2Wdz (2.147)

从方程(2.147), 可以得出δR = 0, 如果

(D2 − a2)F = −Ra2W (2.148)

并且, 反过来, 对于与问题的边界条件一致的任意变分δF [= (D2 − a2)2δW ], 如果δR = 0 则

方程(2.148)一定成立, 用函数F计算的初始R值一定是特征值问题的一个解.

以上证明揭示了用方程(2.140)给出的特征值的稳态性质. 现在我们将表明, 最低的R值确实

是一个极小值.

我们已经看到函数Gj形成一个正交集. 我们将假定它们是正则化的, 使得∫ 1

0

GiGjdz = δij (2.149)


让

G = (D2 − a2)W (2.150)

其中W是任意的有界连续函数,且满足稳态的边界条件.我们将假定G可以用函数Gj的基本集展

开; 因此

G =

∞∑j=1

AjGj (2.151)

其中

Aj =

∫ 1

0

GGjdz (2.152)

假设G是规一化的; 则

1 =

∫ 1

0

G2dz =∞∑j=1

∞∑k=1

AjAk

∫ 1

0

GjGkdz =∞∑j

A2j (2.153)

联系到G的展开式(2.151), 我们有

W =∞∑j=1

AjWj (2.154)

以及

F =∞∑j=1

Aj(D2 − a2)2Wj =

∞∑j=1

Aj(D2 − a2)Gj (2.155)

从方程(155), 得出

(D2 − a2)F =∞∑j=1

Aj(D2 − a2)3Wj = −a2

∞∑j=1

AjRjWj (2.156)

最后这个方程乘以F , 再在z的范围内进行积分, 我们得到

∫ 1

0F (D2 − a2)Fdz = −a2

∑∞j=1AjRj

∫ 1

0WjFdz

= −a2∑∞

j=1AjRj

∑∞k=1Ak

∫ 1

0Wj(D

2 − a2)Wkdz

= −a2∑∞

j=1

∑∞k=1AjAkRj

∫ 1

0(D2 − a2)Wj(D

2 − a2)Wkdz

= −a2∑∞

j=1

∑∞k=1AjAkRj

∫ 1

0GjGkdz

= −a2∑∞

j=1A2jRj

(2.157)

因此 ∫ 1

0

F (D2 − a2)Fdz = −∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz = −a2∞∑j=1

A2jRj (2.158)

或者, 应用方程(2.153), 我们可以写出∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz − a2R1 = a2

∑∞j=1A

2jRj −R1

= a2

∑∞j=2A

2j (Rj −R1)

(2.159)

显然, 最后的求和不会为负. 因此

R1a2 ≤

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (2.160)

其中等号是而且只是在Aj = 0, j = 2, · · ·时才成立.这就证明了(2.160)式的右端项当F属于R1时

达到其最小值.

§2.10 变分原理的热力学意义 33

§2.9.2 第二变分原理

有一个第二变分原理, 人们可以通过用Θ表示的特征值问题得到它.

让

G = (D2 − a2)Θ (2.161)

我们把Θ的控制方程写成形式

(D2 − a2)2G = −Ra2Θ (2.162)

它的边界条件是

Θ = 0, G = 0 当z = 0, 1

DG = 0, 或D2G = 0 (2.163)

取决于在z = 0, 1处约束表面的性质.

让属于特殊特征值Rj的解用下标j,以示区别.用Gi(属于Ri)乘以Θj满足的方程,然后在z的

范围内积分, 我们得到∫ 1

0

Gi(D2 − a2)2Gjdz = −Rja

2

∫ 1

0

Θj(D2 − a2)Θidz (2.164)

通过分部积分, 右端变成

Rja2

∫ 1

0

[(DΘi)(DΘj) + a2ΘiΘj ]dz (2.165)

考虑到边界条件Θ = 0,当z = 0, 1, 积分出来的部分消失. 类似地, 在陆续的分部积分之后, 我们

得到 ∫ 1

0GiD

2(D2 − a2)Gjdz = −∫ 1

0DGiD(D2 − a2)Gjdz

= +∫ 1

0D2Gi(D

2 − a2)Gjdz(2.166)

同样考虑的G的边界条件, 积出的部分消失. 因此, 我们得到

Rja2

∫ 1

0

[(DΘi)(DΘj) + a2ΘiΘj ]dz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)Gi][(D2 − a2)Gj ]dz (2.167)

从方程(167)得出 ∫ 1

0

[(D2 − a2)Gi][(D2 − a2)Gj ]dz = 0 当i = j (2.168)

以及(当i = j)

Rj =

∫ 1

0[(D2 − a2)Gj ]

2dz

a2∫ 1

0[(DΘ)2 + a2Θ2]dz

(2.169)

同样, 可以表明用以上公式给出的R具有稳态性质, 并且右端真实的极小量是R的最小特征值.

§2.10 变分原理的热力学意义

我们已经看到, 一个给定波数的扰动变成不稳定时的Rayleigh数, 是某些可以实现的定积分

的比值的极小值. 我们现在表明这个极小量具有简单的物理意义.

首先, 我们看到, 当边缘条件普遍存在时, 涡量的z分量消失.这可以从方程(2.94)得出;因为,

当σ = 0时,

(D2 − a2)Z = 0 (2.170)


这个方程不允许有关于Z的满足边界条件(见方程(2.96))非零解.[在稳态条件下, Z 的消失可以从

方程(2.73)得出更具普遍性的证明. 因为,当∂ζ/∂t = 0,∇2ζ = 0,如同大家已知的, Laplace方程不

允许有非零解, 它的法向导数在封闭的边界上消失.] 因此, 在这时, 由方程(2.110)和(2.111)给出

的速度水平分量变成

u =1

a2∂2w

∂z∂x, v =

1

a2∂2w

∂z∂y(2.171)

特别是, 让

w = W (z) cos axx cos ayy (2.172)

其中

a2 = a2x + a2y (2.173)

则

u = −DWa2

ax sin axx cos ayy, v = −DWa2

cos axx sin ayy (2.174)

现在考虑单位立柱流体粘性耗散能量的平均速率. 它是ϵν = −ρνd2

∫ 1

0⟨w∇2w⟩ + ⟨u∇2u⟩ + ⟨v∇2v⟩dz

= −ρνd2

∫ 1

0⟨w(D2 − a2)w⟩ + ⟨u(D2 − a2)u⟩ + ⟨v(D2 − a2)v⟩dz

(2.175)

其中角括号是指在整个水平面内平均的量. 对于由方程(2.172)和(2.174)给出的w, u和v, 我们有ϵν = −ρν

d2

∫ 1

0

W (D2 − a2)W +

a2x

a4DW (D2 − a2)DW

−ρνd2

∫ 1

0

a2y

a4DW (D2 − a2)DWdz

= − ρν4a2d2

∫ 1

0

a2W (D2 − a2)W +DW (D2 − a2)DW

dz

(2.176)

对右端的第二项进行分部积分, 我们得到(见方程(2.132))

ϵν =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz =ρν

4a2d2

∫ 1

0

G2dz (2.177)

下边考虑通过在流体上作用浮力gδρ(= γαρθ), 在单位立柱的流体中能量释放的速率. 它是

ϵg = ρgα

∫ 1

0

⟨θw⟩dz (2.178)

应用方程(2.76)(并记住在这个方程中长度不是用单位d衡量的),我们可以把(2.178)式重新写成形

式

ϵg = −ρgακβd2

∫ 1

0

⟨θ∇2θ⟩dz = −ρgακ4βd2

∫ 1

0

Θ(D2 − a2)Θdz (2.179)

在分部积分以后, 我们有

ϵg =ρgακ

4βd2

∫ 1

0

[(DΘ)2 + a2Θ2]dz (2.180)

另一分面, 根据方程(2.126)和(2.132)

Θ =ν

gαa2d2(D2 − a2)2W =

ν

gαa2d2F (2.181)

应用F , ϵg的表达式变成

ϵg =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (2.182)

§2.11 特征值问题的精确解 35

在稳定状态下, 粘性耗散的动能一定是与通过浮力释放的内能相平衡的(见附录一), 因此, 我们

必须要求

ϵν = ϵg (2.183)

方程(2.177)和方程(2.182)现在给出

ρν

4a2d2

∫ 1

0

G2dz =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (2.184)

或者写成

R =gαβ

κνd4 =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0G2dz

(2.185)

这个方程与方程(2.140)相同, 它导出了在 §2.9 考虑的两个变分原理的第一个. 因此, 我们可以指

出这个变分原理的物理内涵如下.

在极小温度梯度发生的不稳定状态下, 在粘性耗散的动能和浮力释放的内能之间可以稳定

地维持平衡.

§2.11 特征值问题的精确解

我们现在回到在 §2.8 中用公式描述的特征值问题上. 我们将得到如下三种情况的解.

(a) 两个边界表面是自由的, 在这种情况下,

W = (D2 − a2)2W = 0, D2W = 0 当z = 0, 1 (2.186)

(b) 两个边界表面是刚性的, 这时,

W = (D2 − a2)2W = 0, DW = 0 当z = 0, 1 (2.187)

(c) 两个边界表面之一(如y = 0)是刚性的, 另一个边界表面是自由的, 这时

W = (D2 − a2)2W = 0, 当z = 0, 1

DW = 0 当z = 0, D2W = 0 当z = 1 (2.188)

从实验室内精确定量实验的可靠性的角度来看, 情况(b)当然是兴趣最大的. 当上表面保持

自由以便观测时,情况(c)是有兴趣的. 情况(a)(首先被Rayleigh考虑),如果当真能够实现,只有在

非常特别的人为条件下(例如让液体在某些较重的液体上浮动); 但是, 这种情况有理论兴趣, 因

为它允许一个显式解, 因而具有一些优点.

§2.11.1 自由边界的解

在这种情况下, 边界条件(2.186)要求

W = D2W = D4W = 0 当z = 0, 1 (2.189)

由这个方程被W (又称为(2.128))满足, 可以推出D6W = 0, 当z = 0, 1. 由方程(2.128) 对z微分两

次, 我们接着得出D8W = 0当z = 0, 1. 通过对方程(2.128)的进一步微分, 我们可以陆续地得到,

在边界上对W的偶数阶导数消失. 因此

D(2m)W = 0 当z = 0, 1 和m = 1, 2, · · · (2.190)


从此可知要求的方程一定是

W = A sinnπz (n = 1, 2, · · · ) (2.191)

其中A是一个常数, n是一个整数. 把这个解代入方程(2.128), 得出特征方程

R = (n2π2 + a2)3/a2 (2.192)

对于给定的a2, 当n = 1时R出现最小值; 因此

R =(π2 + a2)3

a2(2.193)

最后这个关系的含义是: 对于小于它的所有Rayleigh数,波数为a的扰动将是稳定的;当Rayleigh数

等于(2.193)式给出的值时,这些扰动将是边缘稳定的,当Rayleigh数超过(2.193)给出的值时,同样

的扰动将是不稳定的. 对于不稳定性发生的临界Rayleigh数, 则决定于条件

∂R

∂a2= 3

(π2 + a2)2

a2− (π2 + a2)3

a4= 0 (2.194)

或者

3a2 = π2 + a2, a2 = π2/2 (2.195)

相应的R值是

Rc =( 32π

2)3

12π

2=

27

4π2 = 657.5 (2.196)

在边缘稳定性出现的扰动将由波长

λ =2π

k=

2π

ad (2.197)

表征.

§2.11.2 刚性边界的解

根据这个问题的两个约束平面的对称性, 为方便起见, 把z轴的原点放在介于两个平面之间

的中间平面上. 因此, 流体将被限制在z = ±12之间; 我们必须寻找以下方程的解

(D2 − a2)3W = −Ra2W (2.198)

它满足的边界条件是

W = DW = (D2 − a2)2W = 0 当z = ±12 (2.199)

首先, 我们可以观察到, 根据算子(D2 − a2)3的偶型性质, 以及在z = ± 12必须满足的边界条

件, 方程(2.198)的特解分为互不相关的两类, 偶型解和奇型解. 从一般性考虑, 最低的状态是没

有分支点的偶型解, 而首先的激发态是具有一个分支点z = 0的奇型解.

显然, (2.198)式的通解可以表示为以下形式的解的叠加

W = e±qz (2.200)

其中q2是方程

(q2 − a2)3 = −Ra2 (2.201)

的根. 让

Ra2 = τ3a6 (2.202)

我们发现方程(201)的根是

q2 = −a2(τ − 1), q2 = a2[1 +1

2τ(1 ± i

√3)] (2.203)


或者, 取平方根, 我们有六个根2

± iq0, ±q, ±q∗ (2.204)

其中q0 = a(τ − 1)12 ,

re(q) = q1 = a 12

√(1 + τ + τ2) + 1

2 (1 + 12τ) 1

2

im(q) = q2 = a 12

√(1 + τ + τ2) − 1

2 (1 + 12τ) 1

2

(2.205)

从方程(2.203), 我们容易发现将来有用的下列关系(q20 + a2)2 = a4τ2

(q2 − a2)2 = 12a

4τ2(−1 ± i√

3)(2.206)

(i) 偶型解

首先考虑偶型解, 显然我们可以写出

W = A0 cos q0z +A cosh qz +A∗ cosh q∗z (2.207)

其中A0和A是常数, 后者是复数. 现在我们必须把边界条件作用到这个解上.

从(2.207)我们得到

DW = −A0q0 sin q0z +Aq sinh qz +A∗q∗ sinh q∗z (2.208)

以及

(D2 − a2)2W = A0(q20 + a2)2 cos q0z +A(q2 − a2)2 cosh qz+

A∗(q∗2 − a2)2 cosh q∗z (2.209)

应用关系(2.206), 我们可以把(2.209)写成形式

(D2 − a2)2W =1

2a4τ22A0 cos q0z + (i

√3 − 1)A cosh qz

− 1

2a4τ2(i

√3 + 1)A∗ cosh q∗z (2.210)

因此, 边界条件(2.199)要求∣∣∣∣∣∣∣∣cos 1

2q0 cosh 12q cosh 1

2q∗

−q0 sin 12q0 q sinh 1

2q q∗ sinh 12q

∗

cos 12q0

12 (i

√3 − 1) cosh 1

2q − 12 (i

√3 + 1) cosh 1

2q∗

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣A0

A

A∗

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (2.211)

对于一个非零解, (2.211)中矩阵的行列式消失. 这个条件是∥∥∥∥∥∥∥∥1 1 1

−q0 tan 12q0 q tanh 1

2q q∗ tanh 12q

∗

1 12 (i

√3 − 1) −1

2 (i√

3 + 1)

∥∥∥∥∥∥∥∥ = 0 (2.212)

从第三行中减去第一行, 并把结果除以−√

3/2, 我们得到∥∥∥∥∥∥∥∥1 1 1

−q0 tan 12q0 q tanh 1

2q q∗ tanh 12q

∗

0√

3 − i√

3 + i

∥∥∥∥∥∥∥∥ = 0 (2.213)

2 星号表示复数共轭量.


a

R0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

1

2

图 2.2 对于一阶偶型(曲线1)和奇型(曲线2), 关于不同波数a的扰动, 发生不稳定的Rayleigh数.

展开这个最终的行列式, 我们有

im(√

3 + i)q tanh1

2q + q0 tanh

1

2q0 = 0 (2.214)

表I

(i)关于一阶不稳定性偶型和奇型模式的精确特征值

偶型解奇型解

a R a(τ − 1)12 R a(τ − 1)

12

0.0 ∞ 4.143514 ∞ 7.332130

1.0 5854.48 4.125906 163127.6 7.323920

2.0 2177.41 4.071204 47005.6 7.299920

3.0 1711.28 3.985000 26146.6 7.262095

3.117 1707.762 3.973639 24982 7.2569

4.0 1879.26 3.885334 19684.6 7.213707

5.0 2439.32 3.789634 17731.5 7.158774

5.365 · · · · · · 17610.39 7.137877

6.0 3417.98 3.706519 17933.0 7.101236

7.0 4918.54 3.637524 19575.8 7.044260

8.0 7084.51 3.581053 22461.5 6.989981

∞ ∞ 3.141593 ∞ 6.283185

我们可以把这个方程写成另一种形式,

− q0 tan1

2q0 = im

(√

3 + i)(q1 + iq2)sinh q1 + i sin q2cosh q1 + cos q2

(2.215)

简化方程(215)的右端, 我们有

− q0 tan1

2q0 =

(q1 + q2√

3) sinh q1 + (q1√

3 − q2) sin q2cosh q1 + cos q2

(2.216)

其中, 可以用在方程(2.205)观察的关于q0, q1和q2的定义式.

方程(2.216)是联系a和τ = (Ra/a4)13的一个超越方程, 必须通过逐次逼近法进行数值求解.

方法是对于一个给定的a, 确定τ , 然后用(2.202)求出相应的特征值. 用这种方法求解这个问题首

先由Pellow 和Southwell完成, 尽管Low已经较早地用不同的(但相当的)方法, 得出了精确解. 然


z0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1

2

图 2.3 在两个边界表面为刚性的情况下,边缘稳定状态的特解W (曲线1) 和(a2R)−23F (曲线2).

而, 这个问题的确定的处理方法是由Reid 和Harris提出的, 他们给出的结果如表I和图 2.2 所示.

可以看出, 函数在

a = 3.117, R = 1707.762 (2.217)

达到它的最小值.

当A0 = 1时, 关于W和F的相应的解是

W = cos q0z − 0.06151664 cosh q1z cos q2z + 0.10388700 sinh q1z sinh q2z

(a2R)−23F = cos q0z + 0.12072710 cosh q1z cos q2z+

+ 0.001331473 sinh q1z sin q2z (2.218)

其中

q0 = 3.973629; q1 = 5.195214; q2 = 2.126096 (2.219)

W和F的解如表II和图 2.3 所示.

(ii) 奇型解

以下考虑奇型解, 现在我们有

W = A0 sin q0z +A sinh qz +A∗ sinh q∗z (2.220)

从这个解得出的特征行列式是(见方程(2.213))∥∥∥∥∥∥∥∥1 1 1

q0 cot 12q0 q coth 1

2q q∗ coth 12q

∗

0√

3 − i√

3 + i

∥∥∥∥∥∥∥∥ = 0 (2.221)


z0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2

图 2.4 在一个边界表面为刚性的, 另一个边界表面为自由的情况下, 边缘稳定状态的特解W (曲

线1) 和(a2R)−23F (曲线2).

表II

(i)关于一阶不稳定性偶型和奇型模式的解W和(a2R)−23F

z We (a2R)−23 Fe Wo (a2R)−

23 Fo

0.000 0.9384834 1.1207271 0.0000000 0.00000000.010 0.9377396 1.1200748 0.0698930 0.07286620.020 0.9355102 1.1181191 0.1394197 0.14538500.030 0.9318004 1.1148639 0.2082157 0.21721090.040 0.9266188 1.1103153 0.2759205 0.28800240.050 0.9199780 1.1044832 0.3421794 0.35742350.060 0.9118936 1.0973760 0.4066453 0.42514590.070 0.9023850 1.0890103 0.4689809 0.49085060.080 0.8914750 1.0794012 0.5288600 0.55423000.090 0.8791900 1.0685672 0.5859696 0.61498900.10 0.8655597 1.0565291 0.6400120 0.67284750.11 0.8506176 1.0433099 0.6907054 0.72754120.120 0.8344005 1.0289350 0.7377866 0.77882330.130 0.8169488 1.0134318 0.7810122 0.82646630.140 0.7883063 0.9968295 0.8201596 0.87026280.15 0.7785204 0.9791598 0.8550291 0.91002660.16 0.7576421 0.9604558 0.8854448 0.94559450.17 0.7357256 0.9407526 0.9112557 0.97682620.18 0.7128290 0.9200870 0.9323374 1.00360590.19 0.6890136 0.8984973 0.9485924 1.02584270.20 0.6643445 0.8760233 0.9599518 1.04347100.21 0.6388900 0.8527060 0.9663757 1.05645100.22 0.6127224 0.8285876 0.9678542 1.06476890.23 0.5859170 0.8037116 0.9644079 1.06843670.24 0.5585532 0.7781220 0.9560889 1.06749250.25 0.5307138 0.7518638 0.9429810 1.06199980.26 0.5024749 0.7249824 0.9252006 1.05204740.27 0.4739567 0.6975237 0.9028964 1.03774820.28 0.4452229 0.6695339 0.8762509 1.01923900.29 0.4163808 0.6410589 0.8454794 0.99667850.30 0.3875314 0.6121447 0.8108314 0.97024730.31 0.3587797 0.5828367 0.7725905 0.94014650.32 0.3302342 0.5531798 0.7310741 0.90659080.33 0.3020074 0.5232179 0.6866346 0.86981800.34 0.2742159 0.4929939 0.6396586 0.83007490.35 0.2469799 0.4625492 0.5905684 0.78762180.36 0.2204238 0.4319239 0.5398210 0.74272740.37 0.1946762 0.4011558 0.4879092 0.69566700.38 0.1698697 0.3702806 0.4353619 0.64671880.39 0.1461412 0.3393317 0.3827446 0.59616050.40 0.1236321 0.3083394 0.3306597 0.54426570.41 0.1024879 0.2773310 0.2797474 0.49130010.42 0.0828590 0.2463303 0.2306868 0.43751680.43 0.0649003 0.2153572 0.1841964 0.38315160.44 0.0487714 0.1844274 0.1410353 0.32841830.45 0.0346369 0.1535520 0.1020048 0.27350310.46 0.0226663 0.1227369 0.0679496 0.21855850.47 0.0130345 0.0919828 0.0397596 0.16369740.48 0.0059215 0.0612842 0.0183718 0.10898590.49 0.0015130 0.0306295 0.0047726 0.05443650.50 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000


这导致解

q0 cot1

2q0 = im

(√

3 + i)(q1 + iq2)sinh q1 − i sin q2cosh q1 − cos q2

(2.222)

简化这个最后的方程, 我们得到

q0 cot1

2q0 =

(q1 + q2√

3) sinh q1 − (q1√

3 − q2) sin q2cosh q1 − cos q2

(2.223)

以方程(2.223)为基础,由Reid和Harris推出的结果在表I和II中给出;对于最低的奇型模式, W和F的

解是

W = sin q0z − 0.01707389 sinh q1z cos q2z + 0.00345645 cosh q1z sin q2z

(a2R)−23F = sin q0z + 0.01153032 sinh q1z cos q2z+

+ 0.01305820 cosh q1z sin q2z (2.224)

其中

q0 = 7.137877; q1 = 9.110819; q2 = 3.789330

对于a(=3.117)值的第一个激发模式,在这种模式下得到的Rayleigh数是有兴趣的(见第七章,71(d)).

对于W和Θ, 相应的解是

W = sin q0z − 0.045302 sinh q1z cos q2z + 0.012173 cosh q1z sin q2z

(a2R)−23F = sin q0z + 0.033193 sinh q1z cos q2z+

+ 0.033146 cosh q1z sin q2z (2.225)

其中

q0 = 7.2569; q1 = 7.3711; q2 = 3.6643.

§2.11.3 一个自由边界和一个刚性边界的解

当上表面(例如)是自由的, 下表面是刚性的这种情况下的解, 可以从最后的小节中给出的

第一个奇型模式的结果推出(见图 2.4). 因为明显的是, 这种奇型解满足与自由表面相对应的

在z = 0处的边界条件, 也就是说, W,D2W , 和(D2 − a2)2W在z = 0时全部消失. 相应地, 一种满

足两个刚性边界的, 相应的流体层厚度为d时的奇型解, 也可以给出现在这种情况的解, 但是, 相

应的流体层厚度应为12d. 当由厚度定义a和R时, 对于这种情况, 我们可以引用表II的结果

a = 5.365/2 = 2.682, Rc = 17610.39/16 = 1100.65 (2.226)

§2.11.4 三种情况下的结果总结

我们已经考虑的三种情况下的结果总结列在表III中.

表III

(i)表征三种情况下边缘状态的参数

约束表面的特性 Rc a 2π/a

两个都是自由的 657.511 2.2214 2.828

两个都是刚性的 1707.762 3.117 2.016

一个自由一个刚性 1100.65 2.682 2.342


§2.12 细胞图案

我们已经看到, 在不稳定开始时呈现的扰动由一个特定的波数表征. 但是, 将呈现的对流细

胞的图案是完全不确定的. 这是由于一个给定的波数a 可以通过无穷多的方法分解成两个正交

分量;而且,对应于不同分解的波可以通过任意的振幅和相位叠加 . 目前的理论还不能区分这种

无穷多的可能性. 但是, 如果我们从对称性考虑进行规定, 或者, 细胞图案可以流行, 则理论可以

描述得到的细胞结构的详细情况. 因为在这个水平面内, 没有哪个点和方向是占优的, 因此有理

由认为在边缘状态的整个一层一定镶嵌成正规的多边形, 而细胞壁是对称的表面. 这种完全的

对称要求多边形可以是等边三角形, 正方形或规则的六边形.3 这种特殊情况下的细胞结构是值

得研究的.

首先明确指出, 当我们说出现一种确定的周期细胞图案的含义是有用的. 我们指的是一个

单位细胞规则的自我出现; 单位细胞的壁是垂直的, 其表面是对称的; 在细胞壁上垂直方向速度

的法向梯度消失; 细胞邻近地出现.

在细胞壁上垂直方向速度的法向梯度消失的条件要求

(n·∇⊥)w = 0, (2.227)

其中n是细胞壁上的法向单位矢量, 而

∇⊥ =

(∂

∂x,∂

∂y, 0

)(2.228)

对于考虑的问题,条件(2.227)相当于要求垂直于细胞壁的水平速度分量消失.为看出这一点,

我们回顾一下, 根据方程(2.91)和(2.171),

w = F (x, y)W (z) (∇⊥F = −a2F ), (2.229)

以及

u =1

a2∂2w

∂x∂z, v =

1

a2∂2w

∂y∂z(2.230)

因此

∇⊥w = W∇⊥F, u⊥ =DW

a2∇⊥F, (2.231)

以及

u⊥w =1

a2DW

W∇⊥w. (2.232)

沿着一个确定的方向∇⊥w 的消失意味着, 在同样的方向上u⊥的消失; 反过来也成立.

§2.12.1 滚动

当所有的量取决于唯一的水平坐标, 如x时, 出现一种简单的图案. 在这种情况下, 细胞是无

穷地延长的, 更适合称为起伏 .

让

w = W (z) cos2π

Lx (2.233)

其中L(= 2π/a) 是常数. 对应于这个关于w的解,

u = −DWa2

2π

Lsin

2π

Lx, v = 0. (2.234)

3 如果n 是规则多边形的边数, 则顶角(= π(1−2/n))除2π必须是整数的几倍. 因此我们一定有1−2/n = 2/m, 其中m是

一个整数; 这种关系仅对n = 3, 4, 6, 当m = 6, 4, 3时分别成立.

§2.12 细胞图案 43

因此, 沿着这个波动的方向没有水平运动; 还有

u = 0, x = ±(n+1

2)L, 和± nL (2.235)

其中n是一个整数. 对于(2.235)式给出的x, w的梯度沿起伏的法向是零; 起伏的宽度是L; 与扰动

波的波长相同.

§2.12.2 矩形和正方形细胞

考虑解

w = W (z) cos2π

Lxx cos

2π

Lyy, (2.236)

其中Lx和Ly是扰动在x和y方向的波长; 它们与a的关系是

a2 = 4π2

(1

L2x

+1

L2y

)(2.237)

根据(2.236)的解,

w = W (z), 在点(±nLx, 0), [±(n+ 12 )Lx,±1

2Ly], · · ·

w = −W (z), 在点[±(n+ 12 )Lx, 0], (±nLx,± 1

2Ly], · · · (2.238)

以及

w = 0, 沿直线,x = ±1

4Lx,

3

4Lx, · · ·

w = 0, 沿直线,y = ±1

4Ly,

3

4Ly, · · · (2.239)

其中n是一个整数.

速度的水平分量是

u = −DWa2

2π

Lxsin

2π

Lxx cos

2π

Lyy,

v = −DWa2

2π

Lycos

2π

Lxx sin

2π

Lyy. (2.240)

因此,

u = 0, 沿着x = 0,±12Lx,±Lx, · · · 和y = ±1

4Ly,

3

4Ly, · · · ,

v = 0, 沿着y = 0,± 12Ly,±Ly, · · · 和x = ±1

4Lx,

3

4Lx, · · · (2.241)

从u⊥ 和∇⊥w之间的比例关系, 可得

∂w/∂x = 0 沿着u = 0的线簇,

∂w/∂y = 0 沿着v = 0的线簇, (2.242)

因此, 细胞是边为Lx和Ly的矩形; 细胞中运动的图案,以x = 0, y = 0为中心, 以x = ±Lx, y =

±Ly为边界, 被其它细胞重复.

从(2.240)给出的u和v的表达式, 我们发现

Lxu± Lyv = −2π

a2DW sin 2π

(x

Lx± y

Ly

)(2.243)

从这个方程可得

Lxu+ Lyv = 0 对于x/Lx + y/Ly = 0 和± 12 (2.244)


图 2.5 对于矩形细胞, 水平面内的流线.

图 2.6 对于方形细胞, 水平面内的流线.

Lxu− Lyv = 0 对于x/Lx − y/Ly = 0 和± 12 (2.245)

也就是说, 流线在互相正交的方向相交成一个主对角.

在水平面内运动的流线由方程

dx

dy=u

v=Ly

Lx

[sin(2πx/Lx)][cos(2πy/Ly)]

[cos(2πx/Lx)][sin(2πy/Ly)](2.246)

决定. 积分这个方程, 我们得

sin2πx

Lx= Constant (sin 2πyLy)

L2y/L

2x (2.247)

从这个方程推出的流线如图 2.5 所示, 其中Ly =√

3Lx/2.

通过设置Lx = Ly, 从上边的结果可以得到正方形细胞情况的解. 相应的运动流线如图 2.6

所示.

§2.12.3 六边形细胞

六边形图案的解是Christopherson发现的. 他的解是

w =1

3W (z)

2 cos

2π

L√

3x cos

2π

3Ly + cos

4π

3Ly

(2.248)

这个解的替代形式是

w =1

3W (z)

cos

4π

3L

(√3

2x+

1

2y

)+ cos

4π

3L

(√3

2x− 1

2y

)+ cos

4π

3Ly

(2.249)

和

w =1

3W (z)

4 cos

4π

3L

(√3

2x+

1

2y

)cos

4π

3L

(√3

2x− 1

2y

)cos

4π

3Ly − 1

(2.250)

§2.12 细胞图案 45

现在我们将表明L度量了六边形的边. 但是, 首先我们验证解(2.248)式确实代表一个总波数

为a的扰动. 我们有

∇2⊥w = −1

3W (z)

2

(2π

3L

)2

(3 + 1) cos2π

L√

3x cos

2π

3Ly +

(4π

3L

)2

cos4π

3Ly

= −(

4π

3L

)2

w (2.251)

因此,

a = 4π/3L (2.252)

用(2.249)式表示的解的基本六边形对称性, 变得明显, 当我们写出

x = ϖ cos θ, y = ϖ sin θ (2.253)

则 √3

2x± 1

2y = ϖ sin(60o ± θ) (2.254)

我们可以把方程(2.249)重新写成形式

w =1

3W (z)

cos

[4πϖ

3Lsin(θ + 60o)

]+ cos

[4πϖ

3Lsin(θ + 120o)

]

+1

3W (z)

cos

[4πϖ

3Lsin(θ)

](2.255)

从中显见

w(ϖ, θ) = w(ϖ, θ + 60o) (2.256)

除了关于原点旋转60o的不变性, 这个解在X和y方向也表现出周期性. 因此

w(x+ nL√

3, y + 3mL) ≡ w(x, y) (2.257)

其中n和m是任意整数. 在y方向周期波的波长可见是x方向的波长的√

3倍.

根据方程(2.250), 我们以下看到

w(0) = W (z) (2.258)

以及, 沿着三条直线对

y = ±3

4L, x

√3 + y = ±3

2L, x

√3 − y = ±3

2L (2.259)

它们描述了六边形GHIJKL(见图 2.7(a) ),

w = −1

3W (z) (2.260)

及在六个点 (√3

2L,±1

2L

), (0,±L),

(−√

3

2L,±1

2L

)(2.261)

它们是六边形的顶点ABCDEF ,

w = −1

2W (z) (2.262)

水平的速度分量是

u =1

a2∂2w

∂x∂z= −DW

3a24π

L√

3sin

2π

L√

3x cos

2π

3Ly,


xB+y=

3L/2

x+ yB=LB

xB- y

=3L

/2

xB- y

=3L

/2

x- yB=0

B=30.5

3L/2

LB/2 LB

A

B

C

D

M

N

G

F

H

L

E

K J

I0

(a)(b)

图 2.7 (a)六边形细胞的几何结构; (b)在水平面内六边形细胞的等w线.用1,2,· · · ,12标记的曲线

对应的值是w=0.75,0.5,0.25,0, -0.20,-0.25,-0.30,-0.325, -0.36,-0.40,-0.44,-0.48.在内接六边形(由虚线

所示)上的w值是−13 ; 在主六边形顶角它的值是−1

2 . 流线与等w线是正交的.

v =1

a2∂2w

∂y∂z= −DW

3a24π

3L

(cos

2π

L√

3s+ 2 cos

2π

3Ly

)sin

2π

3Ly (2.263)

从这些方程, 得到

u = 0 当x = 0, x = ±√32 L, y = ±3

4L

v = 0 当y = 0, y = ±32L (2.264)

因此, 通过OD(u = 0 当x = 0), BC(u = 0 当x = L√

3/2), 和OI(v = 0 当y = 0)

没有流动. 从旋转60o解的不变性, 我们得出结论, 没有流动通过这六个等边三角形的边, 它们

形成六边形ABCDEF , 也没有流动通过从六边形的中心到六边形的边的垂线. 从u⊥和∇⊥w的

正比关系, 可知截面是六个等边三角形的棱柱的壁面是对称的表面. 还有, 根据流动是垂直

于KJ(u = 0, 当y = 3L/4), 我们得出沿着内接六边形GHIJKL的边没有流动, 而这与沿着这

些同样的边w是常数是一致的.

在这个水平面内的流动图案如图 2.7(b) 所示.

在垂直平面内的流动的规律是比较复杂的. 但是在x = 0, y = 0平面上它们是二维的, 可

以简单地描述. 因此 u = 0

v = −DW3a2

4π3L

(1 + 2 cos 2π

3Ly)

sin 2π3Ly 当 x = 0

w = 13W

(2 cos 2π

3Ly + cos 4π3Ly

) (2.265)

以及 u = −DW

3a24π

L√3

sin 2πL√3x

v = 0 当 y = 0

w = 13W

(2 cos 2π

L√3x+ 1

) (2.266)

对于(2.265)式给出的v和w, 方程, dy/v = dz/w, 控制着(y, z)平面内的流线, 可以容易地积分得出1 + 2 cos(2πy/3L)

1 + cos(2πy/3L)sin

2π

3Ly

2

W (z) = constant (2.267)

§2.12 细胞图案 47

η

ξ

0.10.2

0.40.6

0.8

1.0

0.10.2

0.40.60.8 1.0

0.9

0.9

图 2.8 关于第一个偶数模式, 在不稳定开始时, 在对称平面内六边形细胞内的流线. 流线(用最

大点处的值归一化)是根据方程(2.267)(图案在右侧)和方程(2.268)(图案在下面),流线用它们所指

的常数值标记.

类似地, 从(2.266)可得在(x, z)平面内的流线由(1 − cos

2π

L√

3x

)sin

2π

L√

3

23

W (z) = constant (2.268)

给出. 从(2.267)和(2.268)式推出的流线如图 2.8 所示.

§2.12.4 三角形细胞

这种情况无须单独讨论. 考虑为六边形的图案, 可以等同地考虑为三角形图案. 单位细胞是

用等边三角形OMN(见图 2.7(a) )表示的, 它的边长是L√

3. 沿着这个三角形的边没有横向运动,

在它的顶点w的值相同(为在重心C处的值的两倍但符号相反).

§2.12.5 更普遍的细胞图案

Chiristopherson解的一种推广,是Bisshopp发现的. Bisshopp的解,看来似乎给出显示x−和y−方向确定的周期性波的最普遍的细胞图案, 由一个给定的总波数表征.

从在一个特定的方向(比如说, y−方向)具有已知周期波的一项开始, 我们把解写成形式

w = W (z)

A cos

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]cos

a

my + cos a(y − y0)

(2.269)

其中m是大于1的整数, A和y0是常数. 建立解(2.269)是为了满足两个条件: 首先, 我们可以加

到cos a(y− y0)中去的任意周期性项, 具有在y−方向的一个波数, 它是a的除数(因为, 只有这样我

们才能包含被cos a(y − y0)所隐含的周期性; 其次, 被加入的项在x−方向的周期性波数可以使总的波数为a. 显然, 解(2.269)满足这些条件. 因此

∇⊥ cos

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]cos

a

my = −a2 cos

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]cos

a

my (2.270)


图 2.9 从方程w = 13W0

cos[ 13k(x

√8 + y)] + cos[ 13k(x

√8 − y)] + cos ky

推出的复杂细胞图案.

和

∇⊥w = −a2w (2.271)

如同所要求的那样.

在x−和y−方向的扰动波长是

λx =2π

a

m√m2 − 1

, λy =2π

am (2.272)

水平方向的速度分量是

u = −DWa

(1 − 1

m2

) 12

A× sin

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]cos

a

my (2.273)

和

v = −DWa

A

mcos

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]sin

a

my + sin a(y − y0)

(2.274)

如果y0 = 0, 则横向直线

x = ± 12nλx, y = ±1

2nλy (2.275)

的速度消失. 因此, 解

w = W (z)

A cos

[a

(1 − 1

m2

) 12

x

]cos

a

my + cos ay

(2.276)

描述了一种细胞图案, 其中单位细胞是两个方向的边为λx和λy的矩形. 但是, 在单位细胞内的运

动, 比在 §2.12.2中考虑的简单矩形细胞要复杂得多, 如图 2.9 所示.

§2.13 变分解

在 §2.11 中, 我们看到如何精确地求解彻底确定不稳定性发生的临界Rayleigh数的特征值问

题. 在本节, 我们将描述基于 §2.9 变分原理的另一种方法, 而这是必要的近似方法, 似乎通过巧

妙的程序, 这种方法可以得出高精度的结果. 因为我们将遇到的许多其它问题, 不易提供它们的

一种精确解; 变分方法似乎是唯一的实际方法. 因此, 幸运的是有一种情况, 其中近似的结果可

以与精确计算结果进行对比, 为通过变分方法解决类似问题, 可以获得的精度得出一些看法.

§2.13 变分解 49

考虑当液体限制在z = ± 12的固壁时对应的问题. 问题是解方程

(D2 − a2)2W = F (2.277)

和

(D2 − a2)F = −Ra2W (2.278)

伴随的边界条件是

F = 0 W = DW = 0, 当z = ±12 (2.279)

正如我们在 §2.11中指出的,满足方程(2.277)和(2.278)的边界条件的解不是偶函数就是奇函

数. 考虑偶型解. 则F是偶函数, 且因为它要在z = ± 12处消失, 我们可以把它展开成余弦级数形

式

F =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (2.280)

在(2.280)式中对m的求和, 可以假设为从0到∞; 但是这是没有必要的, 因为我们将把参数Am 看

作是变分参数(见下边).

F由(2.280)式给出, 我们确定W , 它是方程

(D2 − a2)2W =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (2.281)

的一个解, 满足保持的关于W的边界条件. 考虑到方程(2.281)的线性, 我们可以把W表示成和的

形式

W =∑m

AmWm(z) (2.282)

其中Wm是方程

(D2 − a2)2Wm = cos[(2m+ 1)πz] (2.283)

的一个解, 满足边界条件

Wm = DWm = 0,当z = ±12 (2.284)

因为方程(2.283)是四阶的, 这个解将被求出, 事实上是唯一确定的. 现在我们将获得解的显式形

式.

在 §2.9 中描述的变分原理相当于极小化∫ 12

− 12

[(DF )2 + a2F 2]dz, (2.285)

对于使 ∫ 12

− 12

[(D2 − a2)W ]2dz (2.286)

保持常数的F的这种变化, 引入Ra2作为一个待定的Lagrange 乘子, 对于F的任何变化, 我们可以

等同地极小化

J =

∫ 12

− 12

[(DF )2 + a2F 2]dz −Ra2∫ 1

2

− 12

[(D2 − a2)W ]2dz (2.287)

当我们把F选为有一定数目的参数的一个尾函数, 这种方法是根据这些参数极小化. 因此, 如

果F的(2.280)式考虑成一个尾函数,则展开的系数Am起变分参数的作用,极小化是根据它们进行

的.


如果F和W满足它们的边界条件, 并通过方程(2.277)相联系, J的另一种形式是

J = −∫ 1

2

− 12

F (D2 − a2)Fdz −Ra2∫ 1

2

− 12

WFdz (2.288)

当F和W由方程(2.280)和(2.282)给出时, 我们现在得出(2.288)式右边的积分. 我们有

−∫ 1

2

− 12

F (D2 − a2)Fdz = −∫ 1

2

− 12

dz∑m

Am cos[(2m+ 1)πz]×

×∑n

An[(2n+ 1)2π2 + a2] cos[(2n+ 1)πz] =1

2

∑m

A2m

γ2m+1(2.289)

其中

γ2m+1 =1

(2m+ 1)2π2 + a2(2.290)

其次, 考虑(2.288)式右边的第二个积分, 我们有∫ 12

− 12

WFdz =∑n

An

∫ 12

− 12

dz cos[(2n+ 1)πz]∑m

AmWm(z) (2.291)

让

(n | m) =

∫ 12

− 12

cos[(2n+ 1)πz]Wm(z)dz (2.292)

我们可以写出 ∫ 12

− 12

WFdz =∑n

∑m

An(n | m)Am (2.293)

我们在(2.292)式中定义的(n | m)是对称的: 因为(n | m) =

∫ 12

− 12

Wm(z) cos[(2n+ 1)πz]dz

=∫ 1

2

− 12

[(D2 − a2)2Wn(z)]Wm(z)dz

=∫ 1

2

− 12

[(D2 − a2)Wn(z)][(D2 − a2)Wm(z)]dz

(2.294)

对称是明显的.

回到方程(2.288), 用方程(2.289)和(2.293), 我们有

J =1

2

∑m

A2m

γ2m+1−Ra2

∑m

∑n

An(n | m)Am (2.295)

并且我们必须根据参数An取这个表达式的极小值. 因此, 要求

∂J

∂An= 0 (n = 0, 1, · · · ) (2.296)

我们得到 ∑m

δmn

2a2γ2m+1R− (n | m)

Am = 0 (n = 0, 1, · · · ) (2.297)

这表示了关于Am的齐次线性方程组. 对于这个方程组的一个非零解,系统的行列式一定消失.因

此, 我们得到条件

∥ δmn

a2γ2m+1R− 2(n | m)∥ = 0 (2.298)

它是一个矩阵的特征方程形式.

§2.13 变分解 51

把我们限制在(2.280)式的前n个系数A1, A2, · · · , An并令其它系数等于零, 与把F考虑成n个

参数的尾函数是等同的. J的极小化是相对于n个参数的, 得到的特征行列式(2.298)的阶数是n.

作为变分原理的结果,我们已经推出条件式(2.298),有意义的是看到由方程式(278)两边的Fourier

系数相等的结果. 因此, 根据方程(2.280)和(2.282), 把F和W代入方程(2.278), 我们有∑m

Am

γ2m+1cos[(2m+ 1)πz] = Ra2

∑m

AmWm(z) (2.299)

乘以cos[(2n+ 1)πz]并在z的范围上积分, 我们有

1

2

Am

γ2m+1= Ra2

∑m

(n | m)Am (n = 0, 1, 2, · · · ) (2.300)

这表示与(2.297)式相同的方程组,并得出相同的特征行列式(2.298). 现在这种推导条件式(2.298)方

法, 即使在变分原理不能作为问题的基础时也可以应用. 但是变分原理的存在性保证了通过保

留F的Fourier展开式(2.280) 中更多的项, 并求解R的特征行列式问题(2.298), 我们从中渐渐得到

真正单一的特征值.

我们现在回到方程(2.283), 去确定Wm的解以及矩阵(n | m)的显式形式.

作为z的偶函数, 方程(2.283)的通解是

Wm = Pm cosh az +Qmz sinh az + γ22m+1 cos[(2m+ 1)πz] (2.301)

其中γ2m+1由(290)式定义, Pm和Qm由边界条件确定的积分常数. 边界条件给出 Pm cosh 12a+ 1

2Qm sinh 12a = 0

Pma sinh 12a+Qm( 1

2a cosh 12a+ sinh 1

2a) = (2m+ 1)πγ22m+1(−1)m(2.302)

解这个Pm和Qm的方程组, 我们发现 Pm = (−1)m(2m+1)πγ2

2m+1

a+sinh a sinh 12a

Qm = (−1)m2(2m+1)πγ2

2m+1

a+sinh a cosh 12a

(2.303)

矩阵(n | m)的元素现在由

(n | m) =

∫ 12

− 12

Pm cosh az +Qmz sinh az + γ22m+1 cos[(2m+ 1)πz]

× cos[(2m+ 1)πz]dz (2.304)

或者由

(n | m) =1

2γ22m+1δmn + Pm

∫ 12

− 12

cosh az cos[(2m+ 1)πz]dz

+Qm

∫ 12

− 12

z sinh az cos[(2m+ 1)πz]dz (2.305)

给出. (2.305)式右边的积分容易求出. 我们发现∫ 1

2

− 12

cosh az cos[(2m+ 1)πz]dz = 2(−1)n(2n+ 1)πγ2n+1 cosh 12a∫ 1

2

− 12

z sinh az cos[(2m+ 1)πz]dz = (−1)n(2n+ 1)πγ2n+1

×(sinh 12a− 4aγ2n+1 cosh 1

2a)

(2.306)


因此我们有

(n | m) =1

2γ22m+1δmn + (2n+ 1)πγ2n+1(−1)n

× 2Pm cosh1

2a+Qm(sinh

1

2a− 4aγ2n+1 cosh

1

2a) (2.307)

把由(2.303)给出的Pm和Qm代入以上方程并简化, 我们发现

(n | m) =1

2γ22m+1δmn − 8a(−1)m+n(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ22n+1γ

22m+1

cosh2 12a

sinh a+ a(2.308)

如同所要求的, 这关于n和m是对称的.

因此, 特征行列式(2.298)的显式形式是

∥(

1

a2Rγ2m+1− γ22m+1

)δmn + (−1)m+n16aπ2 cosh2 1

2a

sinh a+ a

× (2n+ 1)(2m+ 1)γ22n+1γ22m+1∥ = 0 (2.309)

对R的一阶近似, 将根据设定特征矩阵的(0, 0)元素等于零, 并忽略其它项给出. 这相当于选

择cosπz作为F的尾函数, 即一个没有变分常数的函数. 相应的结果是

1

a2Rγ1= γ21 − 16aπ2γ41

cosh2 12a

sinh a+ a(2.310)

或者, 因为γ1 = (π2 + a2)−1,

R =(π2 + a2)3

a21 − 16aπ2 cosh2 12a/[(π

2 + a2)2(sinh a+ a)](2.311)

这个公式给出

R = 1715.08, 当a = 3.117 (2.312)

这必须与同样a时精确计算的结果(1707.76)进行对比. 因此,即使没有变分参数,这种方法获得的

精度也比12%好一点. 得到这个精度在较大程度上是考虑的这个事实: 在应用变分方法的过程中,

我们解了联立F和W的四阶微分方程, 即, 事实上我们对这个问题精确地解了”2-3阶”.

通过包含F展开式的附加项, 我们可以自然地在推导R值时达到更高的精度. 这如表IV所示.

奇模式(在 §2.11 中，我们发现这种模式存在于一边为固定一边为自由的边界的情况下) 也

可以用变分方法得到. 因此, 我们现在假设F的展开形式

F =∑m

Am sin 2mπz (2.313)

对于Wm, 相应的解是

Wm = Pm sinh az +Qmz cosh az + γ2m2 sin 2mπz (2.314)

其中Pm和Qm是积分常数, 且

γ2m =1

4m2π2 + a2(2.315)

边界条件确定了Pm和Qm, 我们发现Pm = (−1)m2mπγ2

2m

sinh a−a cosh 12a

Qm = (−1)m+1 4mπγ22m

sinh a−a sinh 12a

(2.316)

§2.14 流体中发生热不稳定性的实验 53

矩阵元素(n | m)现在由

(n | m) =

∫ 12

− 12

sinh 2nπzPm sinh az +Qmz cosh az + γ2m2 sin 2mπzdz (2.317)

给出. 通过求出积分, 我们发现

(n | m) =1

2γ22mδmn − 32(−1)m+namnπ2γ22mγ

22n

sinh2 12a

sinh a− a(2.318)

而特征行列式有形式

∥(

1

a2Rγ2m− γ22m

)δmn + (−1)m+n64aπ2 sinh2 1

2a

sinh a− amnγ22mγ

22n∥ = 0 (2.319)

通过令特征矩阵 (1, 1)元素等于零, 并忽略其它所有的项, 给出R的一阶近似. 因此, 我们得到

R =1

a2γ2[1 − 64aπ2γ22 sinh2 12a/(sinh a− a)]

(2.320)

或者, 代入γ2, 我们有

R =(π2 + a2)3

a21 − 64aπ2 sinh2 12a/[(π

2 + a2)2(sinh a− a)](2.321)

这个公式给出

R = 17803.24, 当a = 5.365 (2.322)

这必须与精确计算的结果17610.39进行对比. 通过进一步包含F展开式的项得到的结果在表IV中给出.我们再次看到通过变分方法可以得到高精度.

表IV

用变分方法推导的Rayleigh数

(i)偶模式

a = 3.117

一阶近似 R = 1715.080

二阶近似 R = 1707.938 A2/A1 = +0.028973

三阶近似 R = 1715.080 A2/A1 = +0.028963;

A3/A1 = −0.002694

精确解 R = 1707.76

(ii)奇模式

a = 5.365

一阶近似 R = 17803.24

二阶近似 R = 17621.74 A2/A1 = +0.06304

三阶近似 R = 17611.84 A2/A1 = +0.062945;

A3/A1 = −0.010088

精确解 R = 17610.39

§2.14 流体中发生热不稳定性的实验

在这一节, 我们叙述支持理论进展的关于流体中热不稳定发生的一些实验工作.

正如我们在开头指出的,正如本章的小标题表明的,有助于探索这个领域的实验是Benard做

的. 正是由于Benard仔细而有技巧的实验得到了有趣的结果, Rayleigh进行了他的理论研究. 这

个引证事实上是在Rayleigh 的论文中的公开评价.


图 2.10 Benard 的原始装置.

§2.14.1 (a) Benard实验

Benard在一个非常薄,深度大约是1毫米,或更浅的流体层上进行实验,液层被置于一个保持

常温的水平金属板上(见图 2.10). 上部表面通常是自由表面并且与空气接触,温度较低. Benard用

物理常数不同的几种流体进行实验. 特别感兴趣的是粘度的作用;用熔化的鲸腊和煤油作为高粘

度液体. 在所有情况下, Benard发现, 当底部表面的温度逐渐增加, 在一个确定的时刻, 流体层网

状化并显示出分解的细胞. 他注意到细胞内部有运动, 中心上浮, 而与邻近细胞接触的边界下沉.

Benard区分了在细胞图案发展过程中的两个阶段: 一个短暂的初始阶段,其中细胞需要一个中等

程度的奇点, 变成具有垂直壁的从四条边到七条边的突多边形. 第二个相对持久的阶段中, 所有

细胞变成相同, 六边形, 适当地排列. 图 2.1, 是Benard原始照片的复制图, 表明可以得到显著的

规则性. Benard自己对观察第二阶段的出现及其相关的流动是如此感兴趣, 以致他没有明显注

意不稳定性发生的必要条件. 但是, 在他后来关于早期观测的分析中, 他指出它们与Rayleigh准

则的要求是定性吻合的.

最近产生一些疑问是否,按照Benard实验的流体层的厚度,它的观测都不能从表面张力效应

考虑. 正如Benard自己在他早期的论文中很明确指出的, 表面张力效应无疑是存在的, 但是在他

的大多数实验中不是主要的.

§2.14.2 (b) 测定热不稳定性发生的Schmidt-Milverton原理

在涉及热对流实验的大量文献中,我们将主要引用直接与热不稳定性发生,以及临界Rayleigh

数的确定有关的. 属于后者的最早实验, 似乎是Schmidt 和Milverton做的. 在实验中, Schmidt

和Milverton包括了测定热不稳定性发生的一个原理,它直接又简单,成为这个问题后来实验的基

础. 我们将解释它的原始和引用形式.

假定深度为d的流体层的两边保持的温度差是∆T (= T2 − T1;T2 > T1). 在稳定状态, 这意味

着有一个从有较高温度的表面出发的向上的常热流. 让ζ表示这个热流: 它衡量了在单位时间内

从这个表面的单位面积上释放的热量(用卡表示).如果通过流体层的热流完全采用导热形式, 则

显然有

ζ = k∆T/d (2.323)


其中k是导热系数. 因此, 只要导热普遍是热输运的唯一机理, 为维持两边的温差∆T需要提供的

热流, 随∆T线性增加, 正比例常数是k/d. 这种线性关系在不稳定性发生时将被打破, 因为这时

其它的热输运模式开始起作用, 有效导热系数增加, 超出它的静态值k.

现在只有通过一些外部手段提供相当的能量才能维持从表面发出的稳定热流. 实际上, 需

要的能量通常是通过必要的电流由放在表面下边的线圈提供的. 提供的能量可以简单地用电流

的平方乘以电路的电阻来衡量, 后者, 等价地, 用电流和提供的电动力的乘积. 如果我们假定没

有额外损失地供给热流, 则

EC = C2R = 4.1854ζ × area (2.324)

其中电流的单位是安培, 电阻的单位是欧姆, 电动力的单位是伏特, 热量单位是卡.(因子4.1854热

功当量). 联合方程(323)和(324), 我们有导热方式,

EC = C2R = 4.1852k∆T

d× area (2.325)

因此, 如果没有热损失, 在导热方式中, 为了维持两边的温度差∆T , 在加热线圈中需要通过的电

流的平方, 随∆T线性增加, 正比例常数是确定的. 得到的这种线性关系在不稳定性发生时将被

打破. 因此,在(C2,∆T )图中,当温度∆T超过稳定性发生的值时,我们一定观测到关系的破坏.这

种破坏一定是可以觉察的,即使C2R的能量没有全部供给ζ: 因为,如果我们假定只有C2R的一个

分数q供给ζ, 在不稳定性发生时, C2的小范围内, q不大可能的是变化的, 这样一来, 使掩盖的不

连续性还会出现. 图 2.11 给出了Schmidt和Milverton作的(C2,∆T )图: 这些图清楚地表明在不稳

定性出现时将出现线性关系的破坏.

实际上, 加热线圈耗散的电能不会全部变成热流ζ: 一部分能量将通过导热和辐射传到处于

较低温度的环境材料和空气中. 在一种仔细设计的实验中(见下边的(c)), 这些损失可以降低, 并

允许有足够的精度. 一种可靠的定量测量热流ζ的方法可以得出, 而不管在介入的流体中的热传

递方式. 这种方法测量的热流ζ用单位k∆T/d(它是导热方式的值)表达是方便的; 用k∆T/d表示

的热流经常称为Nusselt数:

Nu = ζ/(k∆T/d) (2.326)

Nusselt数相对于Rayleigh数的图可以画出来, Rayleigh数是

R =gαβ

κνd4 (2.327)

在这种图中, 我们一定观测到开始于某个大于1的假设值, 很快达到一些R值. 出现这种情况的这

个R值, 就是关于不稳定性发生的临界Rayleigh数.

Schmidt和Milverton应用它们的原理, 确定处于两个固定平面之间的水平水层中热不稳定性

发生的临界Rayleigh 数. 从它们的实验结果推出的值(显示在图 2.11 中), 列于表V中. 可以看到

它们得到的临界Rayleigh数的值与理论值1708的对比, 是满意符合的.

表V

Schmidt 和Milverton实验的结果

实验

1 2 3 4

上板温度 23.2o 22.75o 19.80o 17.63o

下板温度 24.9o 23.75o 20.85o 18.47o

Rc 1970 1580 1850 1670

Rc(mean) = 1770 ± 140


Tw

1-

Tw

2

C2

图 2.11 表示维持限制水层的两块平板温度差与需要的加热电流的平方的图. 曲线的突变表示

不稳定性的发生, 显示出Schmidt-Milverton原理. 从此图推出的临界Rayleigh数在表V中给出.

§2.14.3 (c) Silveston 的精确实验

为了在实验中获得较大的范围和精度, Schmidt和Milverton的实验已经被Schmidt和Saunders,

Malkus, Silveston和其他人重复. 因为在所有这些实验中安排和设计的基本原理是相同的, 我们

选择其中实验参数范围最大的一种, Silveston的实验, 作为详细叙述的对象.

Silveston的实验安排如图 2.12(a)(b) 所示.做实验用的流体是在a; 它是直径为19.8cm的柱状

流体层,深度可变.流体层限制在两个平板b和c,和周围的一个有机玻璃柱壳之间.下边的平板b由

一对栓接的铜板, 它们之间是夹心的加热线圈e. 上板也是由一对栓接的铜板组成, 它们之间雕

刻着两条平面螺旋槽. 来自常温储罐的冷水从这种槽进行环流. 外来水沿着一个螺旋槽进入, 然

后从另一个螺旋槽绕出. 当水循环时, 只要涉及的是保持一种常温效应, 循环水将承受温度的小

变化,则由于事实上出流和入流是在两条相邻的螺旋槽中的从而得到较大的补偿.循环水的入口

和出口是在用g表示的地方.

两个平板, 是在等边三角形的角点处仔细地放置机械加工的隔块隔开的. 通过采用几组高

度不同的隔块, 流体层的深度, 可以在1.45到13mm之间变化.

通过一个保护层(i), 使来自底侧的热损失减小. 这一层在它们之间雕刻有螺旋槽k的一对镍

金属板组成. 通过这个螺旋槽, 预热到指定温度的油能进行循环. 通过使这一层的温度接近于底

侧b的温度, 则热损失可以减小.

为了维持实验中的稳态条件, 整个装置用了一个顶盖s和一铝箔网r.

限制流体的平板b和c, 和防护板i的温度, 用放在适当位置的热电偶测量. 从不同板通过的外

露通道为此而设. 还可以测量通过f的循环冷水在入口和出口的温度.

使用光测时用的装置如图 2.12(b) 所示. 这时上板(图 2.12(a) 中的c)被直径相同的反射玻璃

板a代替. 热电偶贴在平板内侧的小空内, 剩下为了照相的安排是清楚的.

为了在尽可能大的参数范围内进行实验, Silveston除了用水, 还用了其它的液体. 这些液体

的物理常数列在表VI中, 粘度非常高的硅油(AK350)引起了特别的注意.


(a)

(b)

图 2.12 (a) 测量传热的Silveston实验装置; (b)光学测量的Silveston实验装置.


表VI

一些液体的物理常数

T ρ cv × 10−7 ν κ × 104 α × 103

(oC) (gm/cm3) (ergs/gmoC) (cm2/sec) (cm2/sec) (oC)−1

庚烷 20 0.684 2.22 6.16 × 10−3 8.75 12.4

40 0.666 2.26 5.11 × 10−3 8.81 12.8

水 20 0.998 4.19 1.006 × 10−2 14.33 2.0

40 0.992 4.18 6.58 × 10−3 15.11 3.8

硅油AK3 20 0.912 1.609 3.20 × 10−2 7.79 10.6

40 0.892 1.668 2.32 × 10−2 7.56 11.5

乙二醇 20 1.113 2.38 1.915 × 10−1 9.42 6.4

40 1.099 2.48 8.79 × 10−2 9.42 6.5

硅油 20 0.980 1.496 4.67 × 10−2 10.61 9.21

AK350 40 0.962 1.542 3.20 × 10−2 10.36 9.44

实验主要在于确定发出的热流ζ, 把它作为可以维持的两边温度差的一个函数. 在稳态情况

下, 需要的热流是由允许适当热损失的加热元件释放电能而直接获得的.

通过把平板b和c及防护板i的温度值升高到超过室温已知的程度进行热损失的确定, 在这些

条件下加热元件消耗的能量,是热损失的一个直接度量. 这种方式发生的热损失,被当作平板b的

温度和环境空气温度差的函数来确定. 除了这些热损失, 还必须允许提供有机玻璃柱壳的导热

和其它支持元件的热损失.这些热损失根据材料的已知导热系数进行估计.

被加热元件消耗的电能,单位是瓦特,由电流(安培)和应用电动力(伏特)的乘积给出.从中减

去我们描述过的方式确定的热损失, Silveston就能推出测量热流ζ的绝对值.

在进行实验时, 注意到了几个细节. 例如, 保证液体在进入装置之前除去吸附的空气: 把

液体加热到80o − 100oC并保持这个温度大约一个小时就可以实现. 把这样处理的液体引入装置

使得正好与下平板表面c接触. 经过加热元件的电流和通过螺旋槽f的凉水的流量, 经过调整使

得b和c之间的温差达到预定的值然后维持. 仅仅在条件稳定至少一个小时以后才开始测量. 为了

允许有脉动, 对主要元件b, c和i的温度进行了记录, 记录时先正序后反序. 室内温度, 循环凉水的

温度, 电流和电压都在主要温度测量的开始, 进行中和结束时读出.

如果用循环水带走的热量4, 从平板c, 从侧壁面和防护平板等的热损失, 计算各占提供的总

电量的份额,就得到检验热测量的一致性的方法. Silveston发现,在实验误差以内,这种检验总是

可行的.

Silveston 实验的最终结果如图 2.13,2.14 所示. 事实上, 用参数大不相同的液体在大不相同

的条件下做的实验结果, 当用无量纲的Nusselt数和Rayleigh数作图时, 都一致地落在同样的平均

曲线上, 这是实验的可靠性和精度的一个显著的证明.

从获得的范围在103−104的Rayleigh数的结果分析, Silveston推出不稳定性发生的临界Rayleigh数

的值,

Rc(实验) = 1700 ± 51 (2.328)

这与理论值1708符合得很好.

§2.14.4 (d) 光学方法观测

在不稳定时运动的细胞图案的出现,以及发生之后的持续,使得这种现象可以用光学方法和

照相方法进行观测. Benard自己的观测就属于这一类, 图 2.1就是一例. 自从不稳定性研究有史

以来, 这种现象已经用到了更精密的光学方法. 我们将简要描述表达的图像以及它们是如何得

到的.

4由水的流量乘以进出口温度差给出.


图 2.15 是Schmidt和Milverton用纹影方法得到的照片的复印件. 在这种方法中, 使用折射率

随密度和温度变化的介质. 因此, 在从下边加热的流体层中, 在不稳定发生之前, 折射率只在垂

直方向有变化; 与底部表面相切的水平光线产生如图15a所示的影像. 当不稳定性发生并且运动

得到维持时, 折射率在水平和垂直方向都有梯度. 这将引起水平光线沿着向下运动的流体偏转.

如果细胞是规则排列的, 转折的光线将产生亮暗序列交替的图像, 如图 2.15c, d 所示.

图 2.16 是Schmidt和Saunders用大致相同的设备得到的照片的复印件. 在图 2.16 中, 通过三

个水平孔的测试光线允许从三个层次进入液层: 接近上表面, 接近中间, 接近底部表面. 当存在

逆温度梯度时,照片显示通过中间孔的光线实际上不发生偏转,然而从上下光孔射出的光线向上

偏转了, 在整个照片的宽度范围内, 偏转变化是周期性的. 值得注意的是, 从上部光孔射出的光

线垂向偏转最小的位置, 与从下部光孔射出的光线垂向偏转最大的位置是一致的. 有冷却的液

体向下运动的地方. 从中间光孔射出的光线无明显的垂向偏转意味着, 在液层中间平面上, 各处

的垂向温度梯度可以忽略不计.在图 2.16b, c, 光线允许进入平面之间的整个间隙(与图 2.15非常

相似). 特征是在b, c中标记的亮斑.在图 2.16a中,有11个细胞,在图 2.16b, c中,有22个细胞.这些

细胞的数目出现时相应的水平长度为22.9cm. 因而, 细胞的宽度分别是2.1cm和1.0cm, 即大约为

平板之间的距离的两倍. 事实上, Schmidt和Saunders发现了一旦细胞运动完全展开, 细胞的宽度

大约是液层深度的两倍.

图 2.16b, c给出的条件,显著地超出了边缘不稳定性的范围;然而,它却显示从边缘条件开始

基本的细胞图案没有受到任何显著变化. 但图16d的情况却很不相同. 这里Rayleigh数是130,000;

它表明现在的细胞图案已经完全被随机的湍流运动所替代. (拍摄图 2.16d 与拍摄其它照片有点

不同: 在照片的左边, 进入液层的光线受到11个垂向孔的限制, 而在右半部, 没有用垂向孔. 显像

中的垂向线, 是由于流体中的折射率的变化引起的.)

最后,图 2.17,是Silveston用图 2.12(b)显示的实验设备拍摄的照片的复印件.在临界Rayleigh数

下, 出现细胞图案是明显的; 远离边缘稳定性条件下的运动相对稳定性, 也是特别引人注意的.


Rayleigh number R

Nu

ssel

tnum

ber

Nu

103 104 105 106 107

102

2

20

3

4

56

8

1

10

图 2.13 关于用各种液体传热的Silveston实验结果(水,+庚烷,×乙二醇, •硅油AK3, ♠硅油AK350,

空气, 这组数据是Mull和Reiher的). Nusselt 数是相对于Rayleigh数画出来的.

Rayleigh number R

Nu

ssel

tnu

mbe

rN

u

1000 2000 30001500

0.9

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.0

图 2.14 关于用各种液体不稳定性附近的Silveston实验结果(•硅油AK350,⋄硅油AK3, 乙二醇,

庚烷, 水). 这些数据一致表明所有这些液体不稳定性发生的Rayleigh数为1700±51(与之对比

的理论值是1708).


图 2.15 Schmidt 和Milverton 用纹影法给出的热对流发生的显像. Proc.Roy.Soc. (London) A,

152,586 (1935).

图 2.16 Schmidt和Saunders用一种光学装置给出的热对流发生的显像. Proc.Roy.Soc. (London)

A, 152,586 (1938). 显示的数据给出如下:

(a) d=1.1cm, R=12,000, ∆T = 0.55oC

(b) d=0.5cm, R=3,500, ∆T = 1.7oC

(c) d=0.5cm, R=3,500, ∆T = 1.7oC

(d) d=1.1cm, R=130,000 ∆T = 4.0oC


(a)

(b)

图 2.17 (a)Silveston给出的热对流发生的显像. 左边的图像的Rayleigh数是1500,右边的图像

的Rayleigh数是1800. 在这些实验中液层的厚度是7mm; (b)Silveston给出的热对流发生的显像:

不同液层厚度时Rayleigh数逐渐增加.


参考文献注释

我们现在知道, 流体中的热对流现象, 是Count Rumford发现的.

1. Count Rumford,‘Of the propagation of heat in fluids’,Complete Works, 1,239,

American Academy of Arts and Science, Boston, 1870.

从Rumford论文中进行相应的摘录, 关于他的发现的一种有趣的叙述可见:

2. S.C. Brown,‘Count Rumford discovers thermal convection’,Daedalus, 86, 340-3,

(1957).

在文献2, Brown指出‘对流’一词是由William Prout首先引入科学的:

3. W. Prout,‘Bridgewater Treatises’,8, 65, edited by W. Pickering, London, 1834.

以下是从文献2中Prout论文的摘录:

‘目前, 在我们的语言中还没有一个单一的词用来表示这种热的传播方式; 但是, 为此

我们大胆地提出一个术语对流(Convectio,一种携带或汇合)它不仅表示导致的结果,

而且还与另外两个术语(导热和辐射)相一致.’

事实上, 伴随运动的细胞图案的水平流体层中的对流是James Thomson首先观察到的:

4. J. Thomson, ‘On a changing tesselated structure in certain liquids’,Proc. Phil.

Soc. Glasgow, 13, 464-8, (1882).

以下是从文献4中摘录的内容:

‘当液体主体所处的温度超出这个交界薄膜的温度时, 这种现象的出现, 似乎主要与暴

露在空气中的表面上液体的冷却有关. 流体主体温度超出环境空气温度哪怕一点

点, 就足以形成变化着的这种镶嵌花纹结构.... , 我们现在描述和解释的这种运动,

如同当肥皂水和其它液体显示这种花纹结构时产生的现象. 他(Thomson)因此相信

构成了一种经常称为对流环的特殊情形. 但是,他指出,这种情况,在表面受冷却的

薄膜, 而大部分液体处在较高的温度, 给出了与从容器底部加热引起的对流环的主

要区别. 这种表面现象与通过整个液体的实际运动是非常不同的两种情形, 在理论

和观察方面稍加思考就可知道. ’

关于热不稳定性的首次定量实验, 并认识到粘度的作用的, 是H. Benard:

5. H. Benard,‘Les Tourbillons cellulaires das une nappe liquide’,Revue generale des

Science pures et appliquees, 11, 1261-71 , and 1309-28 (1900).

6. ———,‘Les Tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur

par convection en regime permanent’,Annales de Chimie et de Physique, 23, 61-114

(1901).

在理论方面, 基础论文是Lord Rayleigh写的:

7. Lord Rayleigh, ‘On convective currents in a horizontal layer of fluid when the

higher temperature is on the under side’,Phil. Mag. 32, 529-46, (1916). also

Scientific Papers, 6, 432-46, Cambridge, England, 1920.

Lord Rayleigh的论文被收入Saltzmann编辑的相关论文选集中:


8. B. SALTZMANN, ‘The general circulation as a problem in thermal convection;

A collection of classical and modern theoretical papers ’,Scientific Report,No. 1,

General Circulation Project, Department of Meteorology, Massachusetts Institute of

Technology, (1958).

包含自然界漂亮的对流现象的论文选集是:9. Convection Pattern in the Atmosphere and Ocean, edited by R. W. Miner, Annals of

the New York Academy of Sciences,48,1947.

从方法论的角度有关Benard 对流的文献是:10. D. Brunt, Physical and Dynamical Meteorology, 219-21, Cambridge, England, 1939.

11. O. G. Sutton, Micrometeorology, 119-25,McGRAW-Hill Book Co. Inc. New York,

1953.

在本章和后边章节中处理这个问题的一般性考虑在如下文献中给出:

12. S. Chandrasekhar,‘Thermal convection’,Daedalus, 86, 323-39 (1957).

§2.3 关于流体动力学的有用的参考文献是:

13. S. Goldenstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, 1,90-101 and 2,601-9,

Oxford, England, 1938.

也可见:

14. W. F. Cope,‘The equations of hydrodynamics in a very general form’,Aeronautical

Research Committee Reports and Memoranda, No. 1903, 1-6, (1942).

关于笛卡儿张量的注释见:15. H. Jeffreys, Cartician Tensors,Cambridge, England, 1931.

16. H. and B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics,chapter 3, Cambridge,

England, 1956.

§2.4 在本节引入的近似是由于:

17. J. Boussinesq, Theorie Analytique de la Chaleur, 2,172, Gauthier-Villars, Paris,

1903.

§2.5 和 §2.6 正如我们已经指出的, 这个问题的基础是由Lord Rayleigh在文献7中奠定的, 这种理

论, 从得出方程(104)的更一般的观点上看, 是由于Jeffreys:

18. H. Jeffreys,‘The stability of a layer of fluid heated below’Phil. Mag. 2,833-44

(1926).

19. ———,‘Some cases of instability in fluid motion’,Proc. Roy. Soc. (London) A,

118,195-208 (1928).

也可见:

20. H. Jeffreys,‘The stability of a compressible fluid heated below’,Proc. Camb.

Phil. Soc. 26,170-2 (1930).

在文献20中, Jeffreys给出了不可压流体不稳定性发生的准则,在某些条件下,这个准则可以用于

可压流体, 只要β解释为绝对温度梯度与普通温度梯度之间的差.


§2.7 关于这个问题, 对于两个自由边界条件的情况, 稳定性交换的定理的有效性是Rayleigh证明

的(文献7). 在一般情况下的证明是由于Pellew和Southwell:

21. A. Pellew and R. V. Southwell,‘On maintained convective motion in a fluid

heated from below’,Proc. Roy. Soc. (London) A, 176, 312-43 (1940).

§2.9 在这一节考虑的两个变分原理的第一个是由于Pellew 和Southwell的工作(文献21) ; 第二个

可见:

22. S. Chandrasekhar, ‘On the characteristic value problems in high order differ-

ential equations which arise in studies on hydrodynamic and hydromagnetic stabil-

ity’,American Math. Monthly, 61,32-45 (1954).

变分原理给出最小值这个事实以前没有人证明过.

§2.10 变分原理的热力学意义通过一个有点不同的问题得到明显的考虑:

23. H. Jeffreys,‘The thermodynamics of thermal instability in liquids’,Quart. J.

Mech. Appl. math. 9, 1-5 (1956).

不太明显地, 包含在:

24. W. V. R. Malkus,‘The heat transport and spectrum of thermal turbulence’,Proc.

Roy. Soc. (London)A, 225,196-212 (1954).

除了粘性之外, 还包括耗散源, 并且允许超稳定性的基本定理的一种完整讨论, 可见:

25. S. Chandrasekhar,‘The thermodynamics of thermal instability in liquids’,Max

Plank Festschrift 1958. 103-14, Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin,

1958.

§2.11 首先完成基本特征值问题的精确解的是:

26. A. R. Low,‘On the criterion for stability of a layer of viscous fluid heated from

below’,Proc. Roy. Soc. (London)A, 125,180-95 (1929).

通过有点不同的方法, 它也被Pellew 和Southwell找到(见文献21). 在这一节介绍的方法基本上

是Pellew 和Southwell的. 这个问题的明确的处理方法是由于:

27. W. H. Reid and D. L. Harris,‘Some further results on the Benard problem’,The

Physics of Fluids, 1, 12-10 (1958).

28. ——— ———‘Streamlines in Benard convection cells’,ibid, 2,716-17 (1959).

§2.12 解方程∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= −a2ϕ

与六边形细胞图案相应的发现是由于:

29. D. G. Christopherson,‘Note on the vibration of membranes’,Quart. J. of Math.

(Oxford Series), 11,63-65 (1940).

在 §2.12.5中给出的Christopherson 解的推广是由于:

30. F. E. Bisshopp,‘On two dimensional cell pattern’,J. Math. Analysis and Appli-

cations, 1,373-85 (1960).

§2.13变分解已经由Pellew和Southwell(文献21)以及Reid和Harris(文献27)给出. §2.14在这一节

描述的实验工作的参考文献是:


31. H. Benard and D. Avsec,‘Travaux recents sur les tourbilions cellularies et les

tourbillions en bandes; applications a l’astrophysique et a la meteorologie’,Le Journal

de physique et le radium, 9,486-500 (1938).

32. R. J. Schmidt and S. W. Milverton,‘On the instability of a fluid when heated

from below’,Proc. Roy. Soc. (London)A, 152, 586-94 (1935).

33. ———and O. A. Saunders,‘On the motion of fluid heated from below’, ibid,

165, 216-28 (1938).

34. O. A. Saunders, M. Fishenden, and H. D. Mansion,‘Some measurements of

convection by an optical method’,Engineering, 139,483-5 (1935).

35. P. L. Silveston,‘Warmedurchgang in waagerechten Flussigkeits-schichten’,Part

1, Forsch. Ing. Wes, 24, 29-32 and 59-69 (1958).

也可见:

36. W. V. R. Malkus,‘Discrete transitions in turbulent convection’,Proc. Roy. Soc.

(London)A, 225.185-95 (1954).

在文献31, Benard 概括了他早期的工作(文献5和6)并考虑了在天文物理和气象中的应用. 讨

论Benard实验中表面张力的作用的是:

37. J. R. A. Pearson,‘On convection cells induced by surface tension’,J. Fluid Mech.

4, 489-500 (1958).

文献32描述了‘Schmidt-Milverton’原理, 文献34 描述了用于获得图 2.15 所示的照片的实验设

备. 与本章中的议题密切相关的, 但没有明显考虑到的是:

38. H. Tippelskirch,‘Weitere Konvektionsvershuche: der Nachweis de Ringzellen und

ihrer Verallgemeinerung’,Beitrage zur Physik der Atmosphare,32,2-22(1959).

39. ———, ‘Uber Konvektionszellen, insbesondere im flussigen Schwefel’ibid.,29,

37-54(1956).

40. J. Zierep,‘Uber die Bevorzugung der Sechseckzellen bei Konvektionsstromungen

uber einer gleichmassig erwarmten Grundflache’,ibid. 31, 31-39 (1958).

41. ———,‘Zur Theorie der Zellularkonvektion III’,ibid.32, 23-33 (1959).

42. ———,‘Uber rotationssymmetrische Zelleularkonvektionsstromun-gen’,Z. fur ange-

wandte Mathematik und Mechanik, 38, 1-4 (1958).

最近取得的理论进展, 可以用于当波幅有限时, Rayleigh数稍微大于临界值Rc的情况. 以下文献

与此有关:

43. W. V. R. Malkus and G. Veronis,‘Finite amplitude cellular convection’,J.

Fluid Mech. 4, 225-60(1958).

44. L. P. Gor’kov,‘Stationary convection in a plane liquid layer near the critical heat

transfer point’Soviet Physics, JETP,6, 311-15 (1958).

也可见附录一

第三章从底部加热的流体层的热不稳定性

2.旋转的影响

§3.1 引言

在这一章, 我们将研究, 旋转对上一章中考虑的简单热不稳定问题的影响. 将表明, 旋转把

许多因素引入到这个问题中; 导致的一些结果,首先出人意料的是: 例如,粘性的作用颠倒了. 起

因和旋转的其它意义可以追溯到一些旋转流体动力学中与旋转相联系的普遍定理. 因此, 我们

将把讨论这些普遍原理放在研究稳定性之前.

§3.2 Helmholz 和Kelvin 定理

考虑一种不可压的无粘性的流体. 控制它的方程是:

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= − ∂

∂xi

(p

ρ+ V

)(3.1)

和1

∂ui∂xi

= 0 (3.2)

其中假设了外力是可以从势V推出的. 涡量ω 当然是定义成

ω = curlu, 或者ωi = ϵijk∂uk∂xj

(3.3)

在流体中从一点到一点的曲线, 使其方向在任意一点都是瞬时的ω, 这种曲线称为涡线 . 确定这

种曲线的微分方程是:dx1ω1

=dx2ω2

=dx3ω3

(3.4)

如果通过一条封闭曲线上任何一点, 我们画出相应的涡线, 得到称为涡管的管子.

因为

divω = 0 (3.5)

根据Gauss定理, 在整个封闭表面上ω的法向分量的积分是零:∮C

ω · dS = 0(S 是任意封闭的表面) (3.6)

把这个结果,应用于一个包含涡管截面的流体微元(见图 3.1). 涡管的侧面对面积分没有贡献,在

这种情况下, 方程(3.6) 给出 ∫S1

ω · dS1 =

∫S2

ω · dS2 (3.7)

通过涡管任意截面的涡量通量是相同的; 因此, 它代表了涡管的特征.

如果我们考虑一个无穷小截面的涡管, 通过一个与dS本身垂直的通量是| ω | dS. 根据我们

已经证明的定理, | ω | dS沿着涡管是常数; 因此, 它不能在流体中的任意一点终止. 涡线必须是

封闭的, 要不就是终止于边界的.

1 将阐述的主要定理不受不可压流体假设的限制: 它还可以应用于可压缩流体, 如果p只是ρ的函数. 在后一种情况下,

(gradp)/ρ 可以写成gradχ, 其中χ =∫dp/ρ; 方程(3.1)左边仍然是一个标量函数的梯度. 将阐述的主要定理依赖的正是后一

种情况. 在特殊情况下, 我们将不再有机会应用连续性方程(3.2).

67

68 第三章从底部加热的流体层的热不稳定性 2.旋转的影响

图 3.1 一个涡管.

图 3.2 Helmholtz-Kelvin定理显示.

我们将得到一个涡量运动的方程. 首先我们看到ϵijkujωk = ϵijkujϵklm

∂um∂xl

= (δilδjm − δimδjl)uj∂um∂xl

= uj∂uj∂xi

− uj∂ui∂xj

(3.8)

或者

uj∂ui∂xj

=1

2

∂

∂xi| u |2 −ϵijkujωk (3.9)

在方程(3.1)中应用这个关系, 我们有

∂ui∂t

− ϵijkujωk = − ∂

∂xi

(p

ρ+

1

2| u |2 +V

)(3.10)

让

ϖ =p

ρ+

1

2| u |2 +V (3.11)

我们可以写出∂u

∂t− u× ω = gradϖ (3.12)

取这个方程的旋度, 我们得到∂ω

∂t− curl(u× ω) = 0 (3.13)

这是需要的关于涡量ω的运动方程. 关于涡量的主要定理, 来自这个方程.

考虑一个由简单的封闭周线C形成的表面. 让dS作为这个表面的一个微元, 方程(3.13)标

积dS, 并在S的这个表面上积分, 我们得到∫S

∂ω

∂t· dS−

∫S

curl(u× ω) · dS = 0 (3.14)

§3.2 Helmholz 和Kelvin 定理 69

根据Stokes定理, 对第二项积分进行变换, 我们有∫S

∂ω

∂t· dS +

∫C

ω · (u× ds) = 0 (3.15)

其中ds是周线C的一个微元弧. 如果我们把这个方程乘以微元时间∆t, 并对各项作出解释, 则方

程的物理意义变得比较清楚. 我们有

∆t

∫St

∂ωt

∂t· dS +

∫Ct

ωt · (u∆t× ds) = 0 (3.16)

其中我们已经对各项加入了下标t, 强调它们是在这个时刻的瞬时值(见图 3.2). 现在u∆t × ds是

在时间∆t 内流体微元沿着ds扫过的面积. 因此, 方程(3.16)中沿着Ct的积分, 实际上是在连接周

线Ct和Ct+∆t的基本路带的面积分, 沿着这个路带Ct被携带.在由St(以Ct为界), St+∆t(以Ct+dt为

界), 和连接Ct和Ct+∆t的路带, 我们有2∫Ct

ωt · (u∆t× ds) =

∫St+∆t

ωt · dS−∫St

ωt · dS (3.17)

把它用到方程(3.16)中, 我们得到

∆t

∫St

∂ωt

∂t· dS +

∫St+∆t

ωt · dS =

∫St

ωt · dS (3.18)

取阶数为(∆t)2的误差, 我们可以用在St的积分, 代替左边在St+∆t上的一个积分; 因此,∫St+∆t

(ωt + ∆t

∂ωt

∂t

)· dS =

∫St

ωt · dS +O(∆t2) (3.19)

或者 ∫St+∆t

ωt+∆t · dS =

∫St

ωt · dS +O(∆t2) (3.20)

通过∆t = 0的极限, 我们得到d

dt

∫St

ω · dS = 0 (3.21)

因此我们已经证明了: 当我们跟随这个随着组成它的流体微元运动的表面时,在以一条封闭

曲线为界的任意表面上, 关于ω的垂直分量积分保持常数:∫St

ωt · dS = Constant (3.22)

这是由Helmholz和Kalvin提出的关于涡量的主要定理. 我们可以把它表达成形式: 涡管的强度是

运动方程的一个积分.

根据Stokes定理变换方程(3.22), 我们有∫St

ωtdS =

∫St

curlut · dS =

∫Ct

ut · ds = Constant (3.23)

沿着任意封闭曲线的u的积分是沿着这条曲线的环量. 根据方程(3.23), 当我们跟随这条组成它

的流体微元运动的曲线时, 沿着任意封闭曲线的环量保持常数.

通常是首先推导沿着一条封闭曲线的环量为常数, 然后据此推导通过一个表面的涡量通量

为常数. 为了与磁流体力学中磁力线的运动(第IV章,§38(b))进行比较, 我们已经利用了相反的

推导程序.

2 这个方程的有效性取决于divω = 0.


另一个重要的事实, 是当我们跟随流体运动时, 涡线保持涡线自己的特征. 这可以从方

程(3.13)的某些不同形式得出. 因为

ϵijk∂

∂xjϵklmulωm = (δilδjm− δimδj l)

∂

∂xjulωm =

∂

∂xj(uiωj − ujωi) (3.24)

我们可以写出∂ωi

∂t+

∂

∂xj(uiωi − uiωj) = 0 (3.25)

利用u和ω的无散度性质, 我们可以把上边的方程写成形式

∂ωi

∂t+ uj

∂ωi

∂xj= ωj

∂ui∂xj

(3.26)

或者∂ω

∂t+ (u · grad)ω =

dω

dt= (ω · grad)u (3.27)

考虑一条涡线. 让A和B是涡线相邻的点. 因为连接微元弧AB是沿着ω的方向,

−−→AB = δqω (3.28)

其中δq是一个无穷小的常数. 在A和B速度的差是

uB − uA = (−−→AB · grad)uA = δq(ω · grad)uA (3.29)

或者, 应用方程(3.27), 我们有

uB − uA = δqdω

dt(3.30)

在时间∆t内, 点A和B承受的位移量, 分别是uA∆t和uB∆t, 如果位移之后A和B的位置是A′和B′,

那末 −−−→A′B′ =

−−→AB + (uB − uA)∆t

= δq(ω + dω

dt ∆t)

= δqωt+∆t

(3.31)

换言之,−−−→A′B′是在时刻t + ∆t通过A′点的涡线的切线. 因此, 由相同流体微元组成的涡线: 它象一

种物质随着流体运动. 如果我们乐意我们可以说: 涡线总是附带着流体. 在实际流体中, 如果一

条涡线必须消失, 它只能是因为通过粘性的耗散 .

§3.3 在旋转坐标系中的流体动力学方程

考虑一种在角速度Ω为常数时绕固定轴旋转的流体.方便的是当它们出现在一个具有同样角

速度和同样轴的旋转参照系下的一个静止的观察者面前时,描述其中发生的运动.在这种旋转的

参照系下, 被一个静止的观察者认识的量, 如速度和加速度, 与一个在固定的惯性参照系下静止

的观察者要认识的速度和加速度, 是不同的. 为了避免结果的混淆, 并固定物理意义, 考虑明显

的惯性参照系(ξ, η, ζ), 相对与这个参照系, 选择的参照系(x, y, z) 是关于ζ轴具有角速度Ω而旋转

的. 而且z轴与ζ轴将假设是一致的. 联系这两个系统的变换是x = +ξ cos Ωt+ η sin Ωt

y = −ξ sin Ωt+ η cos Ωt

z = +ξ

(3.32)

§3.3 在旋转坐标系中的流体动力学方程 71

在惯性坐标系中分量为qξ, qη和qζ的矢量q, 沿着旋转坐标系的瞬时方向将具有如下分量q(0)x = +qξ cos Ωt+ qη sin Ωt

q(0)y = −qξ sin Ωt+ qη cos Ωt

q(0)z = +qζ

(3.33)

通过上标(0), 我们已经区分了由旋转变换得到的矢量分量, 因为当q有相同物理含义时, 在旋转

坐标系下, 静止的观察者认识的量不必有相同的量. 而上标(0)将区分具有相同的绝对量和不同

相对量的物理量. 当我们考虑在旋转坐标系中具有速度和加速度的含义的物理量和与它们相联

系的‘绝对’速度级加速度时, 这种区分的理由将是明显的.

通过方程(3.32)对时间的微分, 我们得到

dx

dt=

(+dξ

dtcos Ωt+

dη

dtsin Ωt

)− Ω(ξ sin Ωt− η cos Ωt) (3.34)

dy

dt=

(−dξdt

sin Ωt+dη

dtcos Ωt

)− Ω(ξ cos Ωt− η sin Ωt) (3.35)

显然, dx/dt和dy/dt将是在旋转坐标系中静止观察者认识的流体微元沿着x轴和y轴具有速度分

量ux和uy的物理量,其中方程(3.34)和(3.35)右边第一个括号中的组合量是沿着瞬时方向x和y,在

惯性参照系中的速度分量,它们是需要用上标(0)加以区分的物理量. 方程(3.34)和(3.35),把ux和uy与u(0)x 和u

(0)y 联

系起来. 我们有

ux = u(0)x + Ωy, uy = u(0)y − Ωx, uz = u(0)z (3.36)

这些方程合在一起写成矢量方程

u = u(0) −Ω× r (3.37)

现在对方程(3.34)和方程(3.35)再次对t微分, 我们得到d2xdt2 =

(+d2ξ

dt2 cos Ωt+ d2ηdt2 sin Ωt

)+ 2Ω

(−dξ

dt sin Ωt+ dηdt cos Ωt

)− Ω2x

d2ydt2 =

(−d2ξ

dt2 sin Ωt+ d2ηdt2 cos Ωt

)+ 2Ω

(−dξ

dt cos Ωt− dηdt sin Ωt

)− Ω2y

(3.38)

这个方程相当于 duxdt =

(+

du(0)x

dt

)(0)+ 2Ωu

(0)y − Ω2x

duydt =

(+

du(0)y

dt

)(0)

+ 2Ωu(0)x − Ω2y

(3.39)

在以上方程中从(3.36)代入u(0)x 和u(0)y , 我们得到

(du(0)x

dt

)(0)= dux

dt − 2Ωuy − Ω2x(du(0)y

dt

)(0)

=duydt + 2Ωux − Ω2y(

du(0)z

dt

)(0)= duz

dt

(3.40)

这些方程合在一起, 写成矢量方程(du(0)

dt

)(0)

=du

dt+ 2Ω × u− 1

2grad(| Ω× r |2)Ω2x (3.41)

在这个方程中的项2Ω× u代表了Coriolis加速度, 而项−12grad(| Ω× r |2)代表了离心力.


关于空间微分,正如我们已经阐述的关于时间的微分导致速度和加速度一样,没有复杂的考

虑. 因此, 标准的流体动力学方程(第二章中的方程(2.17))

duidt

= Xi +1

ρ

∂Pij

∂xj(3.42)

(其中Xi是可能作用在流体上的外力的第i分量, Pij是应力张量), 在旋转坐标系中变成

duidt

=∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= Xi +1

ρ

∂Pij

∂xi+

∂

∂xi(1

2| Ω× r |2) + 2ϵijkujΩk (3.43)

连续性方程和导热方程形式保持不变.

对于不可压流体, 运动方程具有显式(第二章中的方程(2.19))

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= Xi −∂

∂xi

(p

ρ− 1

2| Ω× r |2

)+ ν∇2ui + 2ϵijkujΩk (3.44)

§3.4 Taylor-Proudman定理

在外力可以用一个势V推出的情况下, 考虑无粘流体的运动方程(3.44). 我们有

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= − ∂

∂xi+ 2ϵijkujΩk

(p

ρ− 1

2| Ω× r |2 +V

)+ 2ϵijkujΩk (3.45)

利用性质(3.9), 我们可以写出

∂ui∂t

− ϵijkujωk = −∂ϖ∂xi

+ 2ϵijkujΩk (3.46)

其中

ϖ = p/ρ+1

2| u |2 +V − 1

2| Ω× r |2 (3.47)

另一方面, 我们还可以写出∂u

∂t− u× (ω + 2Ω) = −gradϖ (3.48)

对这个方程取旋度, 我们有∂ω

∂t− curl[u× (ω + 2Ω)] = 0 (3.49)

因为Ω是常矢量, 显然比较方程(3.13)和(3.49)可见, 在旋转坐标系中ω + 2Ω起着一个惯性坐

标系中ω的作用. 因此, 我们现在可以得出结论∫S

(ω + 2Ω) · dS = Constant (3.50)

当我们跟随(被一条简单的封闭曲线包围)一个在旋转参照系中随流体运动的表面时, 一个等价

的命题是: 环绕束缚一个表面S的周线的环量+

2Ω(S在与Ω垂直的平面上投影的面积) =常数(3.51)

这种形式的定理是由V.Bjerknes提出的.

当运动是稳态缓流时, 定理断言:

(S在与Ω垂直的平面上投影的面积) =常数 (3.52)

这意味的是运动情况可以更直接从方程(3.49)推出. 在稳定状态下, 当速度的平方可以被忽略的

缓流, 方程(3.49) 要求

curl(u×Ω) = 0 (3.53)

§3.5 旋转流体中波的传播 73

图 3.3 在旋转水缸中Taylor-Proudman定理的显示. 在实验中, 在旋转水缸中注入墨水, 搅拌一

分半钟然后浸泽一稳态棒15秒钟. 注意到, 根据Taylor-Proudman 定理, 墨水显示出许多细丝.

或者∂

∂xj(uiΩj − ujΩi) = 0 (3.54)

因为Ω是常矢量, u是无散度的, 方程(3.54)简化为

Ωj∂ui∂xj

= 0 (3.55)

因此, 运动不能在Ω方向变化. 换言之, 在一种旋转的无粘流体中的稳态缓流必须是二维的. 这

是Taylor-Proudman 普遍指出的形式, 但更加完整一些.

方程(3.55)意味着: 相对于Ω是横向的运动, 不能在Ω方向变化的事实, 意味着任何两个初始

在与Ω 平行的线上的流体微元, 将总是保留在那条直线上; 在Ω方向的运动, 不能沿着这个方向

变化的事实, 意味着两个初始(在Ω方向)有着某个间距的流体微元, 将总是保持这个间距. 这种

预计的在旋转流体中的稳态缓流, 由Taylor严格地显示如下.

水箱内的水, 首先象一个固体一样稳定地转动. 然后向水中传递一个小的运动, 并注入少量

的带颜色液体(或者墨水). 流体的缓慢运动把带颜色的流体部分描绘成薄层, 它们总是保持与旋

转轴平行的. Taylor指出:‘它们与旋转轴保持平行的精度是异乎寻常的。’这些Taylor 实验已经

由Fultz得到重复, 表示这种现象的一张复制的照片如图 3.3 所示.

§3.5 旋转流体中波的传播

我们将通过表明在旋转流体中运动的方程,允许表示波传播的周期性解,把这个离题部分包

括在普遍的流体动力学定理之中.

在没有外力,或者在外力可以从势推导出来的情况下,控制粘性不可压流体的运动方程取形

式(见方程(3.44))∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= −∂ϖ∂xi

+ ν∇2ui + 2ϵijkujΩk (3.56)

我们寻找这个方程的时间空间关系由

ei(kjxj+pt) (3.57)


给出的解. 对于这种时间空间依赖关系的解

∂

∂t= ip,

∂

∂xj= ikj , 以及 ∇2 = −k2 (3.58)

方程(3.56)给出

(ip+ νk2)ui + ikjujui = −ikiϖ + 2ϵijkujΩk (3.59)

而连续性方程给出

kjuj = 0 (3.60)

最后边的这个方程, 意味着波是横波.

考虑到方程(3.60), 方程(3.59)变成

nui + kiϖ + 2iϵijkujΩk = 0 (3.61)

其中我们已经写出

n = p− iνk2 (3.62)

方程(3.61)分别标积ui,ki,和Ωi, 我们得到nu2i = 0

k2ϖ + 2iϵijkkiujΩk = 0

nuiΩi +ϖkiΩi = 0

(3.63)

现在方便的是选择坐标系统的取向, 如

Ω = (Ωx, 0,Ωz) 以及 k = (0, 0, k) (3.64)

这明显地隐含着不失一般性. 有了这种坐标系统的选择, 方程(3.60)给出

kuz = 0 或者 uz = 0 (3.65)

方程(3.63)现在给出

n(u2x + u2y) = 0 (3.66)

2iΩxuy = +kϖ (3.67)

nΩxux = −kϖΩz (3.68)

这些方程, 允许我们把振幅uy和ϖ用ux表示; 我们发现

uy = +in

2Ωzux; ϖ = −n

k

Ωx

Ωzux; uz = 0 (3.69)

把这些关系中的第一个关系, 代入方程(3.66), 我们得到

n

(1 − n2

4Ω2z

)u2x = 0 (3.70)

从这个关系可以看出n是实数, 忽略根n = 0, 我们有

n = ±2Ωz = ±2Ω cosϑ (3.71)

其中ϑ是波传播方向与Ω方向的倾斜角. 旋转频率p由(见方程(3.62))

p = n+ iνk2 = ±2Ω cosϑ+ iνk2 (3.72)

§3.6 在旋转流体中热不稳定问题: 普遍的考虑 75

给出. 因此波是受到阻尼的, 且阻尼系数是νk2.

根据方程(3.72)给出的n, 关于振幅的表达式变成

ux = ±iuy, ϖ = ∓2Ω

kux sinϑ, uz = 0 (3.73)

因此, 波是圆偏振的, 横向传播的受阻尼波.

在粘性为零的极限情况下, 波传播的速度是

V =p

k= ±2Ω

kcosϑ (3.74)

这是相速度, 群速度由

∂p

∂ki= ±2

∂

∂ki

(Ωjkjk

)= ±2

(Ωi

k− Ωjkj

k3ki

)(3.75)

给出, 或者∂p

∂k= ± 2

k3k× (Ω× k) (3.76)

最后, 需要指出的是, 以上表示波传播的解, 没有受到无穷小振幅的限制.

§3.6 在旋转流体中热不稳定问题: 普遍的考虑

从 §3.4 和 §3.5 中证明的定理, 已经明白旋转应当对热不稳定性的发生有深远的影响. 对于

对流意味着必然要出现的运动具有一种三维的特性; 这个Taylor-Proudman定理明显地限制在一

种无粘流体, 只要运动方程中的非线性项被忽略, 并且运动是稳定的.这两个条件中的前一个是

满足线性不稳定性理论的, 后一个对于稳态对流成立. 因此, 与非旋转流体相反, 一种旋转的无

粘流体, 对于所有逆温度梯度必然预计为热稳定的. 确实, 仅仅是在存在粘性的情况下, 热不稳

定才能发生; 仅仅对此, Taylor-Proudman 定理不成立.

有另一个要记住的因素. 当Taylor-Proudman定理, 不允许在Ω方向的任何速度变化时, 它没

有禁止震荡运动. 正如我们在 §3.5 中已经看到的, 在同样的情况下, 横波的传播是可能的. 由于

这个原因, 我们可以预计由于不稳定性的发展, 在某些条件下, 超稳定性起着决定性的作用. 我

们将看到情况确实如此.

§3.7 扰动方程

接着考虑, 保持常速率旋转的无边的水平流体层. 让Ω表示旋转的角速度. 正如我们已经在

第二章中 §2.5 表明的那样, 对于我们考虑的问题, 采用在Boussinesq近似条件下相应的方程就足

够了. 我们已经允许的附加因素仅仅是运动方程中的Coriolis加速度和离心力. 因此, 考虑到方

程(3.41), 我们用如下方程代替第二章中的方程(2.43)∂ui∂t + uj

∂ui∂xj

= − ∂∂xi

(pρ0

− 12 | Ω× r |2

)+(

1 + δρρ0

)Xi+

+ν∇2ui + 2ϵijkujΩk

(3.77)

剩下的方程(第二章中的方程(2.41),(2.44)和(2.46))是不受影响的.

现在我们设想一个初始状态, 其中保持一个稳态温度梯度β且没有运动. 这个初始状态的特

征与在第二章 §2.5 中描述的没有区别, 并且控制小扰动的方程可以用完全相同的方法得到. 因

此, 第二章中的方程(2.55)被替换为

∂ui∂t

= − ∂

∂xi

(δp

ρ0

)+ gαθλi + ν∇2ui + 2ϵijkujΩk (3.78)


其中λ = (0, 0, 1)是垂直方向的单位矢量. 我们还有(第二章中的方程(2.56)和(2.57))

∂θ

∂t= βλjuj + k∇2θ (3.79)

和∂ui∂xi

= 0 (3.80)

如同在第二章 §2.5, 我们可以通过在k分量的方程应用算子ϵijk∂/∂xj消去方程中的项δp/ρ0;

因为(见方程(3.24))

ϵijk∂

∂xjϵklmulΩm =

∂

∂xj(uiΩj − ujΩi) = Ωj

∂ui∂xj

(3.81)

结果是(见第二章中的方程(2.67))

∂ωi

∂t= gαϵijk

∂θ

∂xjλk + ν∇2ωi + 2Ωj

∂ui∂xj

(3.82)

再对这个方程取一次旋度, 我们得到(见第二章中的方程(2.72))

∂

∂t(∇2ui) = gα

(λi∇2θ − λj

∂2θ

∂xi∂xj

)+ ν∇4ui − 2Ωj

∂ωi

∂xj(3.83)


∂ζ

∂t= ν∇2ζ + 2Ωj

∂w

∂xj(3.84)

和∂

∂t∇2w = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w − 2Ωj

∂ζ

∂xj(3.85)

其中w和ζ分别是速度和涡量的z分量.

联系方程(3.84)和(3.85)的大多数讨论将限制在Ω和g是平行的情况; 不同与此的情况, 将在

§3.16 中极限简短的讨论.

当旋转轴与垂直方向一致时, 相应的方程是

∂θ

∂t= βw + κ∇2θ (3.86)

∂ζ

∂t= 2Ω

∂w

∂z+ ν∇2ζ (3.87)

和∂

∂t∇2w = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w − 2Ω

∂ζ

∂z(3.88)

我们必须寻找这些方程满足在第二章中 §2.5.1 描述的边界条件的解.

(a) 进入正交模式的分析

仿照在第二章中 §2.6 的程序, 我们分析进入二维周期性波的扰动w, θ,和ζ; 考虑由特征波

数k表征的扰动,我们假设w, θ,和ζ具有第二章中的方程(2.90)假设的形式. 这样,方程(3.86)-(3.88)变

成

pΘ = βW + κ

(d2

dz2− k2

)Θ (3.89)

pZ = 2ΩdW

dz+ ν

(d2

dz2− k2

)Z (3.90)

§3.8 稳态对流不稳定性发生时的情况. 一个变分原理 77

p

(d2

dz2− k2


(d2

dz2− k2

)2

W − 2ΩdZ

dz(3.91)

衡量长度的单位是d, 让

a = kd, σ = pd2/ν, 和P = ν/κ (3.92)

我们可以把方程(3.89)-(3.91)简化成形式

(D2 − a2 − Pσ)Θ = −(β

κd2)W (3.93)

(D2 − a2 − σ)Z = −(

2Ω

νd

)DW (3.94)

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)W −(

2Ω

νd3)DZ =

(gανd2)a2Θ (3.95)

其中D = d/dz(z由新的单位衡量). 方程(3.93)-(3.95)的解必须在满足第二章中的方程(2.95)和(2.97)

给出的边界条件下寻找.

一旦我们已经得到了以上方程的特解, 我们可以应用第二章中 §2.6(a) 推导的普遍关系, 通

过确定水平速度分量完成求解过程.

§3.8 稳态对流不稳定性发生时的情况. 一个变分原理

我们将发现, 与简单的Benard问题相反, 一般地, 当存在旋转时, 不稳定性交换的原理是无

效的. 但是, 它不能用简单的解析式子说明关于它的有效性的必要和充分条件; 似乎最好是用稳

态对流不稳定性发生的解来说明. 因此, 在决定不稳定性是否真的以这种方式出现之前, 我们将

首先阐述后一种不稳定性出现的条件.当稳态对流发生不稳定时, 边缘状态将由σ = 0表征, 基本

方程简化为(见方程(3.93)-(3.95))

(D2 − a2)Θ = −(β

κd2)W (3.96)

(D2 − a2)Z = −(

2Ω

νd

)DW (3.97)

和

(D2 − a2)2W −(

2Ω

νd3)DZ =

(gανd2)a2Θ (3.98)

从其中最后一个方程对(D2 − a2)进行运算, 我们可以消去Z和Θ. 我们发现

(D2 − a2)3W + TD2W = −Ra2W (3.99)

其中R是通常定义的Rayleigh数, 而

T =4Ω2

ν2d4 (3.100)

是Taylor数.

我们必须寻找以上方程的解对应的边界条件是(见第二章中的方程(2.95)和(2.96)

W = 0, 和 Θ = 0 当z = 0 和1 (3.101)

和不是Z = 0 和 DW = 0 在固体表面上

就是DZ = 0 和 D2W = 0 在自由表面上(3.102)


考虑到方程(3.98), 我们可以把方程(3.98)替换为

W = 0 和 (D2 − a2)2W −(

2Ω

νd3)DZ = 0 当z = 0和1 (3.103)

因为边界条件(3.103)涉及到Z, 显然我们不能把方程(3.99)在独立于关于Z的方程(3.97)情况下进

行处理; 因此, 我们正在有效处理的系统的阶数是八而不是六.

对于给定的a2和T ,方程(3.97)和(3.99)与边界条件(3.102)和(3.103),显然组成一个关于R的特

征值问题. 确定稳态对流不稳定性发生的临界Rayleigh数问题简化如下.

我们必须首先通过在对于给定的T是a2的一个函数时,解方程(3.97), (3.99), (3.102)和(3.103),

确定最低的R的特征值, 然后寻找这个函数的最小值; 这样确定的最小值是对于给定的T稳态对

流发生的临界Rayleigh数.

§3.8.1 一个变分原理

如同在简单的Benard问题中, 我们可以把现在的特征值问题也用变分原理描述. 让

F = (D2 − a2)2W −(

2Ω

νd3)DZ (3.104)

我们可以把控制W和Z的微分方程重写成形式

(D2 − a2)F = −Ra2W (3.105)

和

(D2 − a2)Z = −(

2Ω

νd

)DW (3.106)

边界条件(3.103)要求

W = F = 0 当z = 0和1 (3.107)

现在把方程(3.105)乘以F , 然后在z的范围内进行积分. 在一次分部积分之后, 方程的左边给

出 ∫ 1

0

F (D2 − a2)Fdz = −∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (3.108)

考虑到F的边界条件积分出来的部分消失; 方程右边要求我们考虑∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

W (D2 − a2)2Wdz − 2Ω

νd3∫ 1

0

WDZdz (3.109)

在两次分部积分之后, 方程(3.109)右边两个积分的前一个积分变成(见第二章中的方程(2.120))∫ 1

0

W (D2 − a2)2Wdz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz (3.110)

而其中的第二个积分, 在分部积分之后, 给出(见方程(3.103)和(3.106))

− 2Ω

νd3∫ 1

0

WDZdz =2Ω

νd3∫ 1

0

ZDWdz = −d2∫ 1

0

Z(D2 − a2)Zdz (3.111)

记住在束缚表面上不是Z就是DZ消失, 在进一步的分部积分之后我们得到

− 2Ω

νd3∫ 1

0

WDZdz = d2∫ 1

0

[(DZ)2 + a2Z2]dz (3.112)


联立方程(3.109),(3.110)和(3.112), 我们有∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz + d2∫ 1

0

[(DZ)2 + a2Z2]dz (3.113)

方程(3.105)乘以F并在整个z范围内进行积分的结果是

R =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz

=I1a2I2

(3.114)

δR =1

a2I2

(δI1 −

I1I2δI2

)=

1

a2I2(δI1 −Ra2δI2) (3.115)

其中δI1和δI2 是I1和I2相应的变分:δI1 = 2

∫ 1

0[(DF )(DδF ) + a2FδF ]dz

δI2 = 2∫ 1

0[(D2 − a2)W ][(D2 − a2)δW ]dz

+2∫ 1

0d2[(DZ)(DδZ) + a2ZδZ]dz

(3.116)

应用F , δF , W, δW , Z和δZ满足的边界条件, 通过对δI1和δI2 进行一次或者更多次的分部积分,

我们可以简化它们的表达式. 因此

δI1 = −2

∫δF (D2 − a2)Fdz (3.117)

和

δI2 = 2∫ 1

0W (D2 − a2)2δW − 2d2

∫ 1

0δZ(D2 − a2)Zdz

= 2∫ 1

0W (D2 − a2)2δW + 4Ω

ν d3∫ 1

0δZDWdz

= 2∫ 1

0W

(D2 − a2)2δW −(2Ων d

3)DδZ

dz

= 2∫ 1

0WδFdz

(3.118)

现在联立方程(3.115),(3.116)和(3.118), 我们有

δR = − 2

a2I2

∫ 1

0

δF(D2 − a2)F +Ra2Wdz (3.119)

其中,在它的简化过程中,明显地已经用到了定义F的方程(3.104)和联系Z和W的关系方程(3.106).

从方程(3.119)得出

δR = 0 如果(D2 − a2)F = −Ra2W (3.120)

并且反过来, 对于任何变化, 如果δR = 0,

δF = (D2 − a2)2δW − (2Ωd3/ν)DδZ

与问题的边界条件相适应,则方程(120)一定成立,初始用于计算R的函数W一定是这个特征值问

题的一个解.

当特征值被认为是由方程(3.114)给定时, 以上命题揭示了特征值的稳态性质. 并且通过类

似于与简单Benard问题(第二章, §2.11(a)) 的第一个变分原理相联系的步骤, 可以表明, R的最低

值确实是变分(3.114)真实的最小值. 因此, 我们可以描述求解方程(3.97)和(3.99)(对于任意给定

的a2和T ) 和它们满足的边界条件的变分程序如下.

假设F是一个涉及一个或者更多的参数Ak的一个展开, 它在z = 0和z = 1时消失. 对于选择

的F , 把W和Z作为以下方程的解

(D2 − a2)2W −(

2Ω

νd3)DZ = F (3.121)


和

(D2 − a2)Z = −(

2Ω

νd

)DW (3.122)

它满足一个关于W和Z在z = 0和1的总数为六个的边界条件. 因为方程(3.121)和(3.122)总共是六

阶的,在满足所有边界条件的通解中,有同样多的积分常数. 用这种形式在求出W和Z以后,再根

据公式(114)得出R, 根据参数Ak对它进行极小化. 用这种方法, 我们将得到对于F的选择形式的

最好的R值.在下一节我们将看到,当F等于最简单的近似函数,在推导R的值时,我们可以当地很

高的精度. 最后, 需要指出的是, 根据方程(3.121)和(3.122), 在应用变分方法时, 必须求解的W的

方程是

(D2 − a2)3W + TD2W = (D2 − a2)F (3.123)

其中T是Taylor数.

§3.9 当稳态对流不稳定性发生时的解

我们将得到以下三种情况下的解: 当两个约束表面是自由的; 当两个约束表面是刚性的; 当

一个约束表面是刚性的, 另一个约束表面是自由的.

§3.9.1 关于两个自由边界情况的解

在这种情况下, 边界条件(3.103)和(3.104)要求

W = D2W = D4W = 0, 和 DZ = 0 当z = 0, 1 (3.124)

从W满足的方程(即(3.99)), 可以得出当z = 0, 1时, D6W = 0. 通过对方程(3.99)进行偶数次

积分, 我们可以陆续地得出当z = 0, 1时W的偶数次导数必须消失. 因此, 关于W的适当的特解必

须是

W = A sinnπz (3.125)

其中A是常数, n是一个整数. 相应的关于Z的解是

Z = A

(2Ω

νd

)nπ

n2π2 + a2cosnπz (3.126)

把方程(3.125)代入方程(3.99), 导致特征方程

R =1

a2[(n2π2 + a2)3 + n2π2T ] (3.127)

对于一个给定的a2, 关于R的最低的特征值发生在n = 1, 因此

R =1

a2[(π2 + a2)3 + π2T ] (3.128)

这个方程, 必须按照在第二章 §2.11.1 中解释方程(2.193)同样的方法进行解释.

让

a2 = π2x (3.129)


R = π4 1

x

[(1 + x)3 +

T

π4

](3.130)

§3.9 当稳态对流不稳定性发生时的解 81

convection over-stable

log 10T

log

10R

c

0 4 6 8 10 122

4

6

8

2

图 3.4 三种情况下的(Rc, T )关系(i)两个约束表面是刚性的,(ii) 一个约束表面是刚性的另一个

约束表面是自由的, (iii)两个约束表面是自由的; 用aa, b和cc标记的曲线分别对应于这三种情况

下细胞对流的发生. 用a′AA,BB和c′CC标记的曲线是对应于P = 0.025, 超稳定性发生的关系.

在a′和c′我们有随T的增加从一种稳定性到另一种稳定性转变.

表VII

当两个约束表面自由时关于稳态对流边缘稳定性的不稳定

模式的波数和临界Rayleigh数

T ac Rc T ac Rc

0 2.233 6.575 × 102 3 × 105 10.45 4.257 × 104

10 2.270 6.771 × 102 106 12.86 9.222 × 104

102 2.594 8.263 × 102 107 19.02 4.147 × 105

5 × 102 3.278 1.275 × 103 108 28.02 1.897 × 106

103 3.710 1.676 × 103 109 41.20 8.746 × 106

2 × 103 4.221 2.299 × 103 1010 60.52 4.047 × 107

5 × 103 5.011 3.670 × 103 1011 88.87 1.876 × 108

104 5.698 5.377 × 103 1012 130.46 8.701 × 108

3 × 104 6.961 1.021 × 104 1013 191.51 4.037 × 109

105 8.626 2.131 × 104

作为x的函数, 由方程(3.130)给出的R当

2x3 + 3x2 = 1 + T/π4 (3.131)

达到它的极小值. x确定为这个三次方程的根, 方程(3.130)将给出一个需要的临界Rayleigh数Rc.

对于变化的T值, 由这种方式确定的Rc值由表III给出; 其中也给出了表征边缘状态的波数. 这个

结果进一步在图 3.4 和图 3.5 中显示. 从这些结果可见旋转对不稳定性发生的抑制效应是明显

的.

对于足够大的T/π4, 要求的方程(3.131)的根趋向于

xmin →(T

2π4

) 13

(T → ∞) (3.132)

相应的Rc和amin的渐进行为是Rc → 3π4(

T2π4

) 23 = 8.6956T

23 , (T → ∞)

amin → ( 12π

2T )1/6 = 1.3048T 1/6, (T → ∞)(3.133)


log10T

ac

4 6 8 10 12

a

2

bc

b ac

20

30

40

50

60

10

图 3.5 三种情况下的(Rc, T )关系(i)两个约束表面是刚性的,(ii) 一个约束表面是刚性的另一个

约束表面是自由的, (iii)两个约束表面是自由的;用aa, bb和cc标记的曲线分别对应于这三种情况

的之处细胞对流发生. 用AA,BB和CC标记的曲线是对应于P = 0.025, 超稳定性发生的关系.

根据它们的定义,代入R和T , 我们发现确定关于稳态对流发生的临界温度梯度公式, 当T →∞时, 是

gαβc → 21.911

(Ω

d

) 43

κν−12 (Ω → ∞;或者ν → 0) (3.134)

这一定是与没有旋转时的公式

gαβc = constant κνd−4 (3.135)

相冲突的. βc与ν的负指数关系, 对于固定的Ω, 当ν → 0时, 意味着一种无粘的理想流体, 在旋转

时对于所有逆温度梯度情况下稳态对流的发生是稳定的. 显然, 这是Taylor-Proudman 定理的意

义.

§3.9.2 关于两个刚性边界情况的解

我们将通过变分方法取得这种情况下的解.

考虑到这个问题关于约束平面的对称性, 我们将发现把z的原点平移到两个平面的中间平面

上是方便的. 这样,流体就被约束在z = ±12之间,我们将需要寻找方程(3.120)-(3.123)的满足边界

条件

F = W = DW = Z = 0 当z = ±1

2(3.136)

显然从方程和边界条件可见,这个问题的特解由两种互不相关的解组成;这些解的组合是W的

偶型解和Z的奇型解, 以及W的奇型解和Z的偶型解.我们将称这些解分别为偶型解和奇型解. 显

然, 最低的特征值R将出现在偶型解中; 我们将据此考虑这种解.


因为F被假设为偶型的, 它需要在z = ± 12消失, 我们可以把它展开成余弦级数形式

F =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (3.137)

其中对m的求和可能假设是从零到无穷; 但是, 这是没有必要的, 因为我们将考虑的系数是变分

参数. 这是没有必要的,

根据F的选择形式, 要解的W的方程是(见方程(3.123))

[(D2 − a2)3 + TD2]W = −∑m

Amc2m+1 cos[(2m+ 1)πz] (3.138)

其中

c2m+1 = (2m+ 1)2π2 + a2 (3.139)

考虑到方程(138)的线性, 我们可以把W和Z表示成求和形式

W =∑m

AmWm, Z =∑m

AmZm (3.140)

其中Wm和Zm是方程

(D2 − a2)3Wm + TD2Wm = −c2m+1 cos[(2m+ 1)πz] (3.141)

的解, 而

(D2 − a2)Zm = −(

2Ω

νd

)DWm (3.142)

在 §3.8.1中描述的变分原理相对于极小化∫ 12

− 12

[(DF )2 + a2F 2]dz (3.143)

对于参数的这种变分(Am与此相连)保持∫ 12

− 12

WFdz (3.144)

为常数. 通过在第二章中用过的类似证明,可以表明,通过使用待定的Lagrangian乘子,这种变分

原理的应用完全相对于求解一个特征行列式, 它将由由以下方程

(D2 − a2)∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] = −Ra2∑m

AmWm (3.145)

的Fourier分析导出.

回到方程(3.141), 我们看到这个方程的偶型通解, 可以表示成形式

Wm = c2m+1γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +3∑

j=1

B(m)j cosh qjz (3.146)

其中1

γ2m+1= [(2m+ 1)2π2 + a2]3 + (2m+ 1)2π2T = c32m+1 + (2m+ 1)2π2T (3.147)

而B(m)j , (j = 1, 2, 3)是积分常数, q2j (j = 1, 2, 3)是三次方程

(q2 − a2)3 + Tq2 = 0 (3.148)


的三个根.

从方程(3.148)得出的等价等式是

1

γ2m+1=

3∏j=1

[(2m+ 1)2π2 + q2j ] (3.149)

因为

(q2 − a2)3 + Tq2 =

3∏j=1

(q3 − q3j ) (3.150)

实际上是等式.

与Wm的解(3.146)相对应的Zm的解是

Zm = −(

2Ω

ν

)(2m+ 1)πγ2m+1 sin[(2m+ 1)πz] +3∑

j=1

B(m)j

qjxj

sinh qjz

(3.151)

其中

xj = q2j − a2 (3.152)

边界条件W = DW = Z = 0,对于z = ± 12要求

∑3j=1B

(m)j cosh 1

2qj = 0∑3j=1B

(m)j qj sinh 1

2qj = (−1)m(2m+ 1)πc2m+1γ2m+1∑3j=1B

(m)j

qjxj

sinh 12qj = (−1)m+1(2m+ 1)πγ2m+1

(3.153)

通过解这些方程, 我们发现B

(m)1 = (−1)m(2m+ 1)πγ2m+1

×q3

(1 + c2m+1

x3

)coth 1

2q2 − q2

(1 + c2m+1

x2

)coth 1

2q3

×∆cosech 1

2q1

(3.154)

其中

1

∆=q2q3x2x3

(x3 − x2) coth1

2q1 +

q3q1x3x1

(x1 − x3) coth1

2q2 +

q1q2x1x2

(x2 − x1) coth1

2q3 (3.155)

而B(m)2 和B(m)

3 通过在解(3.154)中qj和xj的循环置换得到的类似表达式给出.

现在从(见方程(3.145)和(3.146))得到的特征方程是∑

mAmc2m+1 cos[(2m+ 1)πz]

= Ra2∑

mAm

c2m+1γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +

∑3j=1B

(m)j cosh qjz

(3.156)

这个方程乘以cos[(2m+ 1)πz], 并且在z的整个范围内积分, 我们得到

1

2c2n+1An = Ra2

1

2c2n+1γ2n+1An +

∑m

(n | m)Am

(n = 0, 1, 2, · · · ) (3.157)

其中 (n | m) =

∑3j=1B

(m)j

∫ 12

− 12

cosh qjz cos[(2n+ 1)πz]dz

= 2(2n+ 1)π(−1)n∑3

j=1

B(m)j cosh 1

2 qj

(2n+1)2π2+q2j

(3.158)


方程(3.157),(3.158)提供了一个关于参数Am的线性齐次方程组. 这个方程组保证表达式(3.143),

是参数Am 的所有变分的极小值,它使(3.144)式是常数. 在这个式子中Ra2是待定的Lagrangian乘

子. 由(3.157)式表达的方程组的行列式必须消失; 而这R的特征方程. 因此∥∥∥ 12c2n+1

(1

Ra2 − γ2n+1

)δnm − (n | m)

∥∥∥ = 0 (3.159)

根据方程(3.154)代入B(m)j 并应用恒等式(3.149), 在经过一些小的简化, 我们发现(3.158)式给出

的(n | m) 变成

(n | m) = 2(−1)m+n(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1∆3∏

j=1

coth1

2qj ×Q

其中 Q = q1(q23 − q22)[(2n+ 1)2π2 + q21 ]

(1 + c2m+1

x1

)tanh 1

2q1+

+q2(q21 − q23)[(2n+ 1)2π2 + q22 ](

1 + c2m+1

x2

)tanh 1

2q2+

+q3(q22 − q21)[(2n+ 1)2π2 + q23 ](

1 + c2m+1

x3

)tanh 1

2q3

(3.160)

应用c2n+1和xj的定义(方程(3.139)和(3.152)), 我们可以把上边的式子重写成

(n | m) = 2(−1)m+n(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1∆

3∏j=1

coth1

2qj ×Q

Q = (x3 − x2)(c2n+1 + x1)

(1 + c2m+1

x1

)q1 tanh 1

2q1+

(x1 − x3)(c2n+1 + x2)(

1 + c2m+1

x2

)q2 tanh 1

2q2+

(x2 − x1)(c2n+1 + x3)(

1 + c2m+1

x3

)q3 tanh 1

2q3

(3.161)

这个关于矩阵(n | m)元素的表达式关于n和m是明显对称的: 事实上反映了正在处理的问题具有

基本自伴随特征.

(n | m)的这个表达式可以进一步简化. 首先, 我们看到根据方程(3.148)和(3.152), xj是方程

x3 + Tx+ Ta2 = 0 (3.162)

的根. 这个方程允许一个实根和一对共轭的复根, 让它们为3

x,X ± iY (3.163)

相应地, q的根表示为

q =√

(a2 + x), α1 + iα2 =√

(a2 +X ± iY ) (3.164)

根据这些定义代入xj和qj , 我们发现关于(n | m)的表达式(161)可以简化成

(n | m) = 2(−1)m+n(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1Φ(e)0 ×QQ = Y (c2n+1 + x)

(1 + c2m+1

x

)q tanh 1

2q+

c2n+1c2m+1

X2+Y 2 Φ(e)1 − (c2n+1 + c2m+1)Φ

(e)2 + Φ

(e)3

(3.165)

3 它可以通过

x = −2X和Y 2 = 3X2 + T

直接进行验证. 我感谢Ms. Donna Elbert指出这些关系


其中Φ(e)0 , · · · ,Φ(e)

3 是q, α1, α2, x,X和Y的函数, 定义如下. 让

ϕ(e)1 =

α1 sinhα1 − α2 sinα2

coshα1 + cosα2, ψ

(e)1 =

α2 sinhα1 + α1 sinα2

coshα1 + cosα2

ϕ(e)2 =


coshα1 − cosα2, ψ

(e)1 =


coshα1 − cosα2(3.166)

则

Φ(e)0 =

coth 12 q(sinh

2 α1+sin2 α2)(coshα1−cosα2)−2

q

(YΦ

(e)2 −Xψ(e)

2X2+Y 2 +

ψ(e)2x

)− α2

1+α22

X2+Y 2 Y coth 12 q

Φ(e)1 = (X2 − Y 2 − xX)ψ

(e)1 − Y (2X − x)ϕ

(e)1

Φ(e)2 = Y ϕ

(e)1 − (X − x)ψ

(e)1

Φ(e)3 = (X2 + Y 2 − xX)ψ

(e)1 − xY ϕ

(e)1

(3.167)

通过陆续地包含更多的行和列求解特征方程(3.159), 我们可以得到要求的精度不断增加的

特征值R. 这种计算的结果在表VIII 中列出, 也已经在图 3.4 和图 3.5 中显示. 可以看出没有那

种情况需要近似到二阶精度以上.

表VIII

当两个约束表面是刚性的以及发生的不稳定性是稳态对流的临界Rayleigh数和相关常数

Rc 二阶近似三阶近似T ac 一阶近似二阶近似三阶近似 A2/A1 A2/A1 A3/A1

10 3.10 1.720 × 103 1.7130 × 103 +0.02884

100 3.15 1.764 × 103 1.7566 × 103 +0.02885

500 3.30 1.948 × 103 1.9405 × 103 1.9403 × 103 +0.02849 +0.02849 -0.00294

1000 3.50 2.159 × 103 2.1517 × 103 +0.02818

2 × 103 3.75 2.538 × 103 2.5305 × 103 +0.02686

5 × 103 4.25 3.476 × 103 3.4692 × 103 3.4686 × 103 +0.02255 +0.02253 +0.00415

1 × 104 4.80 4.717 × 103 4.7131 × 103 +0.01634

3 × 104 5.80 8.326 × 103 8.3264 × 103 -0.00071

105 7.20 1.674 × 104 1.6721 × 104 1.6721 × 104 -0.02493 -0.02495 -0.00197

106 10.80 7.159 × 104 7.1132 × 104 -0.06653

108 24.5 1.545 × 106 1.5413 × 106 -0.09364

1010 55.5 3.482 × 107 3.4636 × 107 3.4574 × 107 -0.07731 -0.07798 +0.04193

§3.9.3 在一个是刚性的另一个是自由的边界情况下的解

在这种情况下, 要满足的两个约束表面上的条件是不同的. 但是, 对于这种情况下的解可以

从情况(b)中考虑W 的奇型解简化得到. 因为W的奇型解显然满足相应的z = 0, 情况(b)的解消

失的边界条件. 因此, 在z = 0, W相应地满足自由的边界条件. 与W的奇型解有关的是Z的偶型

解, 因此, 在z = 0, DZ消失是在自由表面上要满足的另一个边界条件. 因此, 适合情况(b)可以应

用于细胞深度d一个W的奇型解和Z的偶型解, 给出情况(c)下可以应用于细胞深度为12d的解, 相

应的临界Rayleigh数小了16倍.

我们考虑适合于情况(b)的奇型解, 再次应用变分原理来求解.

现在我们把F展开成正弦级数的形式

F =∑m


并遵循在 §2.11.1 中描述的步骤. 我们发现相应的Wm和Zm的解是

Wm = c2mγ2m sin 2mπz +3∑

j=1

B(m)j sinh qjz (3.169)


和

Zm = −(

2Ω

νd

)−2mπγ2m cos 2mπz +3∑

j=1

B(m)j

qjxj

cosh qjz

(3.170)

其中qj和xj具有在 §2.11 (b)中同样的含义,并且c2m和γ2m是用2m替换2m+1,由方程(3.139)和(3.147)定

义的.

积分常数B(m)j , 类似地, 是由边界条件定义的.

根据方程(3.168)和(3.169)代入与F和W有关的方程(即方程(3.105)),我们现在有(见方程(3.156))

∑m

Amc2m sin 2mπz = Ra2∑m

Am

c2mγ2m sin 2mπz +3∑

j=1

B(m)j sinh qjz

(3.171)

这个方程乘以sin 2nπz并在z的范围内进行积分, 我们得到

1

2c2nAn = Ra2

1

2c2nγ2nAn +

∑m

(n | m)Am

(3.172)

其中

(n | m) =3∑

j=1

B(m)j

∫ 12

− 12

sinh qjz sin 2nπzdz

= 4nπ(−1)n3∑

j=1

B(m)j sinh 1

2qj

4n2π2 + q2j(3.173)

而这导致特征方程 ∥∥∥ 12c2n

(1

Ra2 − γ2n)δnm − (n | m)

∥∥∥ = 0 (3.174)

矩阵(n | m)元素的显示表达式被发现为

(n | m) = 8(−1)m+n+1nmπ2γ2nγ2mΦ(o)0 ×Q1Q1 = Y (c2n + x)

(1 + c2m

x

)q tanh 1

2q+

c2nc2mX2+Y 2 Φ

(o)1 − (c2n + c2m)Φ

(o)2 + Φ

(o)3

(3.175)

其中x, q,X和Y具有如同在 §2.11.2中同样的含义; 类似于方程(3.166)和(3.167), 我们现在有

ϕ(o)1 =


coshα1 − cosα2, ψ

(o)1 =


coshα1 − cosα2

ϕ(o)2 =


coshα1 + cosα2, ψ

(o)1 =


coshα1 + cosα2

则

Φ(o)0 =

tanh 12 q(sinh

2 α1+sin2 α2)(coshα1−cosα2)−2

q

(YΦ

(o)2 −Xψ(o)

2X2+Y 2 +

ψ(o)2x

)− α2

1+α22

X2+Y 2 Y tanh 12 q

Φ(o)1 = (X2 − Y 2 − xX)ψ

(o)1 − Y (2X − x)ϕ

(o)1

Φ(o)2 = Y ϕ

(o)1 − (X − x)ψ

(o)1

Φ(o)3 = (X2 + Y 2 − xX)ψ

(o)1 − xY ϕ

(o)1

(3.176)

特征方程(3.174)已经用各种近似法求解. 这种计算的结果列于表IX中,并且也在图 3.4和图

3.5 中显示出.


§3.9.4 T23定律的依据

从图 3.4 和图 3.5 显示的关于三组边界条件的结果. 三种情况显然显示出同样的共性. 特别

是临界Rayleigh 数和相关的波数对T的渐进依赖性. 对于两个自由边界的情况, 这个定律是

Rc → constantT23 , a→ constantT

16 (3.177)

它直接来自这个特征值问题的解. 从另外两种情况的计算结果, 可见同样的指数定律成立, 似乎

正比例常数稍微, 但是确定地取决于边界条件.

通过回到原始的微分方程, 我们试图确定T23和T

16定律的一般的依据.

考虑方程

(D2 − a2)3W + TD2W = −Ra2W (3.178)

当T → ∞, 我们期望在Rc领域内的a也将趋于无穷大, 但是我们不期望W的解在这种极限下也显

示出特殊的行为, 使得它的高阶导数变得异常地大.关于两个自由边界情况下的解, 和其它两种

情况下在变分解中系数Am值的数列, 支持后边的这个预测. 因此, 在方程(3.178)中只保持有T的

项以及有a的最高指数的项, 相应地在极限T → ∞条件下, 我们有

TD2W = −(Ra2 − a6)W (3.179)

这是W的一个二阶方程. 因此, 我们不能满足这个问题所有的边界条件; 我们只能满足六个

边界条件中的两个. 显然, 在边界上W消失, 从全盘考虑是我们必须满足的一个边界条件. 方

程(3.179)的解在z = 0, 1消失的条件是

W = A sinnπz (3.180)

其中n是整数. 相应地最低的特征值R是

R =1

a2(a6 + π2T ) (3.181)

作为a的一个函数这个方程给出的R当

4a3 − 2

a3π2T = 0 (3.182)

, 或者,

a = (1

2π2T )

16 (3.183)

时达到它的极小值. 相应地R值是

R = 3(1

2π2T )

23 (3.184)

这些结果与方程(3.133)给出的结果是一致的.

在某种意义上说,上边的论证没有远离两个自由边界情况讨论的范围.但是它确实提供了T23和T

16定

律的依据, 可能当T → ∞时是以有效地减低方程(3.178)的阶数和需要相应地满足的边界条件的个数为基础的. 值得指出的是上边的讨论不是足够详细, 以考虑在变分计算强烈提出的渐进关系中正比例常数的差别.

§3.10 稳态对流不稳定性发生时水平面内的运动和细胞图案 89

表IX

当一个约束表面是刚性的另一个约束表面是自由的情况下发生的不稳定性是稳态对流的临界Rayleigh数和相关常数

Rc 二阶近似三阶近似T ac 一阶近似二阶近似三阶近似 A2/A1 A2/A1 A3/A1

6.25 2.68 1.120 × 103 1.1085 × 103 +0.06289

3.125 × 101 2.70 1.148 × 103 1.1365 × 103 1.1359 × 103 +0.06246 +0.06235 -0.00101

6.250 × 101 2.79 1.181 × 103 1.1695 × 103 +0.06235

1.875 × 102 2.975 1.303 × 103 1.2917 × 103 +0.06093

6.250 × 102 3.40 1.650 × 103 1.6387 × 103 1.6376 × 103 +0.05578 +0.05559 -0.01198

1.875 × 103 4.00 2.369 × 103 2.3603 × 103 +0.04349

6.250 × 103 4.925 4.050 × 103 4.0477 × 103 +0.01953

1.875 × 104 6.00 7.230 × 103 7.2291 × 103 -0.00801

6.250 × 104 7.425 1.453 × 104 1.4511 × 104 1.4510 × 104 -0.03702 -0.03701 +0.00491

1.875 × 105 9.00 2.850 × 104 2.8412 × 104 -0.05796

6.250 × 105 11.05 6.117 × 104 6.0874 × 104 -0.07423

106 12.00 8.281 × 104 8.2382 × 104 8.2267 × 104 -0.07834 -0.07907 +0.03261

108 26.55 1.730 × 106 1.7208 × 106 1.7173 × 106 -0.08461 -0.08604 +0.04638

1010 58.25 3.774 × 107 3.7619 × 107 3.7570 × 107 -0.06739 -0.06842 +0.03876

§3.10 稳态对流不稳定性发生时水平面内的运动和细胞图案

我们现在转向描述稳态对流不稳定性发生时出现的水平面内的运动和细胞图案.

应用w和ζ的解, 在水平面内的速度分量是

u =1

a2

(∂2w

∂x∂z+ d

∂ζ

∂y

), v =

1

a2

(∂2w

∂y∂z− d

∂ζ

∂x

)(3.185)

特别地, 让

w = W (z) cos axx cos ayy

ζ = Z(z) cos axx cos ayy (3.186)

则方程(185)给出 u = − 1a2 (axDW sin axx cos ayy + aydZ cos axx sin ayy)

v = − 1a2 (ayDW cos axx sin ayy − axdZ sin axx cos ayy)

(3.187)

因为(见方程(3.122))

(D2 − a2)Z = −(

2Ωd

ν

)DW (3.188)

我们还可以写出

u =( ν

2Ωd

) 1

a2(ax sin axx cos ayy)(D2 − a2)Z

−( ν

2Ωd

) 1

a2(ay cos axx sin ayy)Z

√T

v =( ν

2Ωd

) 1

a2(ay cos axx sin ayy)(D2 − a2)Z

+( ν

2Ωd

) 1

a2(ax sin axx cos ayy)Z

√T (3.189)

从这些关于u和v的表达式, 我们发现

u2 + v2 =( ν

2Ωd

)2 1

a4(a2x sin2 axx cos2 ayy + a2y cos2 axx sin2 ayy)

× [(D2 − a2)Z]2 + TZ2 (3.190)


因此, 关于在整个水平面内的平均, 我们有

⟨u2 + v2⟩ =1

a2

( ν

2Ωd

)2[(D2 − a2)Z]2 + TZ2 (3.191)

对于两个自由边界情况, 近似最低模式的W和Z的解可以写为

W = W0 sinπz

以及

Z = W0

(2Ωd

ν

)π

π2 + a2cosπz (3.192)

当以上方程应用到方程(3.191)时, 出现一个令人惊讶的结果. 我们发现

⟨u2 + v2⟩ =1

4W 2

0

π2

a2(π2 + a2)2(π2 + a2)2 + T cos2 πz (3.193)

让a2 = π2x(如同在 §3.9(a), 方程(3.129)), 我们有

⟨u2 + v2⟩ =1

4W 2

0

(1 + x)2 + T/π4

x(1 + x)2cos2 πz (3.194)

另一方面,在不稳定性发生时x的值是与方程(3.131)的T相联系的;应用这个方程从方程(3.194)消

去T , 我们发现剩下的是

⟨u2 + v2⟩ =1

2W 2

0 cos2 πz (3.195)

一个与T无关的结果. 因此, 对于一层限制在两个自由边界之间的流体, 在水平面内运动的平均

动能与在垂直方向的动能的比值, 在稳态对流发生时, 是与旋转无关的.

对于其它边界条件, 由方程(3.195)表达的不变性在T → ∞时是渐进成立的. 因为, 根据在

§3.9(d)中的讨论, 在通常情况下的解, 当T → ∞时趋向于两个边界是自由的情况下的解.

我们现在转向细胞图案. 这些已经由Veronis描述并漂亮地显示出来. 以下的考虑在很大程

度上来自于他的工作.

§3.10.1 滚动细胞, 矩形和方形

矩形细胞情况(其中滚动和方形是特殊情况), 可以从(3.189)给出的u和v的解推导出来. 对于

两个边界是自由的情况, 我们可以从(3.192)把Z代入. 因此, 我们得到显式公式

u = − π

a2

(ax sin axx cos ayy +

√T

π2 + a2ay cos axx sin ayy

)W0 cosπz

v = − π

a2

(ay cos axx sin ayy −

√T

π2 + a2ax sin axx cos ayy

)W0 cosπz (3.196)

相应的垂直方向速度的解是

w = W0 cos axx cos ayy sinπz (3.197)

细胞滚动情况是特殊的简化. 这种情况的解, 可以通过在方程(3.196)和(3.197)中令ax =

a和ay = 0得到, 因此

u = −πaW0 sin ax cosπz

v =√T

π

a(π2 + a2)W0 sin ax cosπz (3.198)


(a) (c)(b)

图 3.6 在不旋转的流体中二维滚动细胞的俯视图. (b)逆时针方向旋转的系统中的俯视图. (c)在

旋转情况下一个滚动细胞中流体颗粒运动的立体图. 箭头表示颗粒运动方向.

以及

w = W0 cos ax sinπz (3.199)

当T = 0, 在y方向没有运动, 流线限制在与细胞方向垂直的平面内. 当系统旋转时, Coriolis加速

度诱导了纵向运动. 因为在现在的情况下,

v

u= −

√T

π2 + a2= constant (3.200)

流线还是限制在平面内; 但是这些平面是与x轴倾斜的(见图 3.6b, c). 在这些条件下我们可以定

义波数as, 用它来描述在包含流线的斜平面内的运动; 它由下式给出,

as = a cos(tan−1 v/u) =a√

(1 + v2/u2)(3.201)

从方程(3.200)代入v/u, 我们得到

a2s =a2(π2 + a2)2

(π2 + a2)2 + T(3.202)

这个方程右端的量, 除了一个数值常数, 是我们已经给出的表达式的倒数, 它是与T无关

的(见导出方程(3.193)到(3.195)) 的论证; 它的值是 12π

2. 因此

a2s =1

2π2 (3.203)

但是, 这与没有旋转时给出细胞波数的公式是一样的(见第二章中的方程(2.195)). 因此, 在包含

流线的平面内测得的滚动细胞的波长与旋转是无关的. 这个引人注目的结果是由Veronis提出的.

以下考虑方形细胞情况, 通过令ax = ay = a/√

2, 我们得到相应的解. 我们得到u = − πa√2

(sin ax√

2cos ay√

2+

√T

π2+a2 cos ax√2

sin ay√2

)W0 cosπz

v = − πa√2

(cos ax√

2sin ay√

2−

√T

π2+a2 sin ax√2

cos ay√2

)W0 cosπz

(3.204)

在没有旋转时这种方形细胞中的流线, 已经在第二章中给出(图 2.6). 在图 3.7a的虚线对应于图

2.6中方形的边. 在有旋转时,当流体从中心流进流出时Coriolis力引起流体偏转. 出现沿着常w曲

线以及横过它们的运动. 图 3.7b 是由Veronis描述的完整的立体轨迹图. 该图表明在细胞中心的


(a) (b)

图 3.7 (a)在旋转流体中方形细胞. 流体颗粒的运动是从细胞中心沿着螺旋线向外的.虚线形成

方形细胞的边界; (b) 在方形细胞中一个流体颗粒运动轨迹的一个立体图.

流体微元是如何沿着顺时针方向螺旋向上(对于逆时针旋转的Ω), 当它到达顶部时, 它横渡向细

胞的一角, 并开始沿着反时针的螺旋向下. 当它到达中平面z = 12 , 它改变螺旋方向, 沿着顺时针

方向并继续向下运动, 当它到达底部时, 它横渡回细胞的中心, 并沿着反时针方向的螺旋线开始

向上运动. 在中间平面内螺旋运动发生反转, 是与这种情况下DW , 因此, ∇⊥ · u⊥改变符号有关.

在图 3.7b 显示的方形细胞对应于纵向速度的基本几何图案. 由旋转引起的细胞变形没有显

示出来.

§3.10.2 六边形

Christopherson关于对应于两个自由边界的六边形图案的解是(见方程 (2.248))

w =1

3

2 cos

2π

L√

3x cos

2π

3Ly + cos

4π

3Ly

W0 sinπz (3.205)

与它相对应的涡量的垂直分量的解是

ζ =1

3

(2Ωd

ν

)π

π2 + a2

2 cos

2π

L√

3x cos

2π

3Ly + cos

4π

3Ly

W0 cosπz (3.206)

根据这些解把w和ζ代入方程 (3.187), 我们得到

u = − π

3a2 4π

L√

3sin

2π

L√

3x cos

2π

3Ly

+4π

3L

√T

π2 + a2

(cos

2π

L√

3x+ 2 cos

2π

3Ly

)sin

2π

3Ly W0 cosπz

v = − π

3a2 4π

3L

(cos

2π

L√

3x+ 2 cos

2π

3Ly

)sin

2π

3Ly

− 4π

L√

3

√T

π2 + a2sin

2π

L√

3x cos

2π

3Ly W0 cosπz (3.207)


(a) (b)

图 3.8 (a) 七个六边形细胞的一个俯视图. 流体颗粒遵循从中心的角的螺旋线轨迹虚线形成中

心细胞的边界; (b) 在六边形细胞中一个流体颗粒轨迹的一个立体图.

图 3.9 通过流体的旋转被扭曲时一个六边形细胞的立体图.


§3.10.3 当T → ∞时流线的极限性质

显然从上边显示的细胞图案,当T增加时,围绕的螺旋线将变得越来越近.在极限T → ∞情况下,当对流事实上停止时,流线变成封闭的曲线.因此,对于足够大的T ,方程 (3.196)中关于u和v的

起支配作用项是, 例如 u→ − π√T

a2(π2+a2)ayW0 cos axx sin ayy cosπz

v → + π√T

a2(π2+a2)axW0 sin axx cos ayy cosπz(3.208)

对应的流线方程是

cos axx cos ayy = constant (3.209)

或者

w = constant (当z = constant) (3.210)

这个最后的结果不限于矩形细胞: 它同样适用于所有的细胞图案.

但是, 在没有旋转时, u⊥是与∇⊥w平行的, 在T → ∞的极限情况下, 流线趋向于与等w线保

持一致. 对于大的但是有限的T , 我们可以把水平面内的运动, 描述为主要由围绕等w线的运动.

或者简言之, 偏向于诱导螺旋线图案的径向运动. 接近细胞的中心, 螺旋图案趋向于变成保角的.

正是在∇⊥w方向的径向小运动在T变大时与对流有关的所有现象中起着关键作用.

§3.11 关于超稳态性对流的发生. 两个边界是自由情况下的解

我们现在提出在§3.8中被放在一边的问题, 不稳定性是否能象超稳定性那样, 引起振幅逐步

增加的震荡. 这要求我们回到含有时间常数σ的一般的方程(3.93)-(3.95). 在§3.12中我们将描述

如何以最好的方式处理这些问题, 确定稳态对流和超稳态对流发生的条件. 在这一节, 我们将限

于两个边界是自由的情况; 对此问题可以通过基本方法解决, 它将为人们处理一般情况提供借

鉴.

通过在方程(3.95)中应用算子(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 −Pσ), 我们可以消去Z和Θ, 得到

(D2 − a2 −Pσ)[(D2 − a2 − σ)2(D2 − a2) + TD2]W = −Ra2(D2 − a2 − σ)W (3.211)

如同在§3.9中, 在这种情况下, 我们也可以给出属于最低模式的W的特解

W = W0 sinπz (3.212)

把W的这个解代入方程(3.211), 我们得到特征方程

(π2 + a2 + Pσ)[(π2 + a2 + σ)2(π2 + a2) + π2T ] = Ra2(π2 + a2 + σ) (3.213)

其中需要记住的是σ可能是复数. 让

x =a2

π2, iσ1 =

σ

π2, R1 =

R

π4, T1 =

T

π4(3.214)


R1 =1

x(1 + x+ iPσ1)

(1 + x)(1 + x+ iσ1) +

T11 + x+ iσ1

(3.215)

从方程(3.215)显然可知对于任意给定的σ1, R1是复数. 但是R1的物理意义要求它是实数. 因此,

R1必须是实数意味着在σ1的实部和虚部之间由一个确定的关系. 因为我们主要感兴趣的是借助

§3.11 关于超稳态性对流的发生. 两个边界是自由情况下的解 95

于一个纯粹震荡运动状态确定不稳定性发生的临界Rayleigh数, 在第一个例子中, 我们将假设在

方程(3.215)中的σ1是实数,并寻找这种解存在的条件.这足以回答主要的问题,如何时将发生稳态

对流和超稳定震荡. 为了得到必要和充分的准则, 我们必须更一般地考虑方程(3.215), 而我们将

在以下的(a)中处理.

然后,我们将假设在方程(3.215)中的σ1是实数. 在合并方程(3.215)的右端表达式的实部和虚

部之后, 我们有

R1 =1 + x

x (1 + x)2 −Pσ2

1 +T1

1 + x

(1 + x)2 + Pσ21

(1 + x)2 + σ21

+

+ iσ1

[(1 + x)(1 + P) − T1

(1 − P)

(1 + x)2 + σ21

] (3.216)

这个方程的实部和虚部, 必须分别消失. 因此, 我们得到一对方程

R1 =1 + x

x

(1 + x)2 − Pσ2

1 +T1

1 + x

(1 + x)2 + Pσ21

(1 + x)2 + σ21

(3.217)

和

(1 + x)(1 + P) = T11 − P

(1 + x)2 + σ21

(3.218)

从方程(3.218)得出的一个关系是

T11 + x

(1 + x)2 + Pσ21

(1 + x)2 + σ21

=T1

1 + x− T1

1 + x

(1 −P)σ21

(1 + x)2 + σ21

=T1

1 + x− (1 + P)σ2

1 (3.219)

把这个关系用到(3.217)中, 我们有

R1 =1

x[(1 + x)3 + T1 − (1 + x)(1 + 2P)σ2

1 ] (3.220)

再从方程(3.218)中解出σ21 , 我们发现

σ21 =

T11 + x

1 −P1 + P

− (1 + x)2 (3.221)

把这个表达式, 用到(3.220)中, 进一步简化, 我们得到结果

R1 = 2(1 + P)1

x

[(1 + x)3 +

P2

(1 + P)2T1

](3.222)

方程(3.221)和(3.222)是在相应的波数对应于x, Taylor数对应于T1时, 如果超稳定性出现, 必须满

足的方程.

方程(3.221)允许我们立刻得出的一个结论是, 当

T11 + x

1 −P1 + P

< 1 (3.223)

时描述超稳定性解不能出现,因为那样的条件下, σ21是负的,与假设不符.显然,更不必说P > 1的

情况了. 因此, 对于P > 1, 超稳定性不能发生, 稳定性交换的原理是有效的.

对于所有可能发生的超稳定性, P必须小于1. 即使在这种情况下, 我们只能在

T1 >1 + P1 − P

(1 + x)3 (3.224)

得到实的频率σ1. 对于给定的T1, 超稳定性解因此只有在x < x∗时发生, 其中x∗是

(1 + x∗)3 = T11 − P1 + P

(3.225)


0.5126

0.65

0.80

0.3

0

x

R1

A

B

C

D

E

convection

100

50

200

10

10

10

80

20

4 6510 32

图 3.10 当Taylor数T = 104时, 对应于各种Prandtl数P, 边缘稳定性曲线在(x,R1)平面内的交叉

线路. 标记‘convection’的曲线用于对所有的P定义它对应的R(c)1 的位置(方程(227)). 剩余的曲

线是对应于标记P值的超稳定性的位置. 曲线C (P = 0.5126)的极小值与与对流曲线出现的R1的

极小值是相同的.

当x = x∗, σ21 = 0 和(见方程(220))

R1 =1

x∗[(1 + x∗)3 + T1] (3.226)

这是如同人们预期的波数对应于x∗其中出现稳态对流的R1值. 对于x > x∗, 对于给定的P和T1,

超稳定性不能发生, 只可能发生唯一可能的稳态对流不稳定性. 对于x < x∗, 超稳定性是可能发

生的, 并且出现了区分导致的两种不稳定性形式的问题. 在区分时, 我们将假设, 在其它条件等

同的情况下, 将出现的不稳定性形式允许一个低Rayleigh数的解. 因为根据直觉这是显然的, 但

是需要证明; 它将在以下的(a)中完成.

考虑(x,R1)平面(见图 3.10). 在这个平面内, 我们有第一条曲线

R(c)1 =

1

x[(1 + x)3 + T1] (3.227)

它定义了稳态对流边缘状态的位置. 超稳定性的解从这个位置在点x∗出现分支(见方程(3.226));

对于x < x∗, 它们由

R(o)1 = R

(c)1 − (1 + 2P)σ2

1

1 + x

x= 2(1 + P)

1

x

[(1 + x)3 +

P2

(1 + P)2T1

](3.228)

描述. 其中第一种形式表明R(o)1 (当解存在这个分支时)总是小于R(c)

1 . 如果x(c)min相对应于R(c)1 到

达极小值的点, 分支点x∗出现在x(c)min之前还是之后, 取决于P和T1. 如果x∗ > x

(c)min, 则显然对

于所有的x < x∗, 不稳定性偏向于超稳定性形式. 但是, 如果x∗ < x(c)min, 则有几种可能性: 这

些在图 3.10中通过标记B,C,D,和E用不同的曲线给出.从这张图显然可见需要区分的情况是否

随着R1(对于一个给定的T1)的增加超稳定性或者稳态对流是否将提前显现, 是一个判断两条曲

线R(c)1 和R

(o)1 的极小值问题. 因此, 对于一个给定的x, 如果分支点的值x∗小于图 3.10中C曲线对

应的值, 我们可以排除超稳定性. 另一方面, 对于给定的x值, 如果分支点的值大于C曲线对应的

值, 我们可以排除稳态对流.


我们现在将表明存在一个P值,使得当T → ∞时, R(o)1,min趋近于R

(c)1,min. 因为根据方程 (3.227)和

(3.228), R(o)1,min和R

(c)1,min 的渐进行为由

R(c)1,min → 3( 1

2T1)23

R(o)1,min → 2(1 + P)

3[12

P2

(1+P)2T1

] 23

(3.229)

给出. 当T → ∞时, R(c)1,min → R

(o)1,min的条件, 显然需要

2(1 + P)

[P2

(1 + P)2

] 23

= 1 (3.230)

和

2P 4

3

(1 + P)13

= 1 (3.231)

可以发现需要寻找的这个方程的根是

P = 0.67659 = P∗ (3.232)

根据曲线极小值对X一一依赖关系

y =1

x[(1 + x)3 +X] (3.233)

我们得出结论对于P > P∗, 对于所有的T1, R(c)1,min < R

(o)1,min. 因此, 当1 > P > P∗, 对于所有的T1,

用D和E表示的情况将是普遍存在的. 因此, 对于P > P∗, 不稳定性总是首先出现稳态对流.

对于P < P∗, 对于有限的T1, 由C显示的情况用T (P)1 表示. 对于T1 < T

(P)1 , 根据R(c)

1 得到

的R(o)1 的分支曲线是由图 3.10中的D和E曲线表示的; 当T1 = T

(P)1 情况可以用曲线C表示; 而

当T1 > T(P)1 时, 情况可以用曲线B和A表示. 因此, 我们得出结论: 当P < P∗, , 存在一个T (P)

1 , 使

得当T1 ≤ T(P)1 时, 将发生稳态对流不稳定性, 而当T1 > T

(P)1 时将发生超稳定性.

没有简单的公式给出P的函数T (P)1 : 它是简单地通过令R(c)

1,min和R(o)1,min相等得到的T1 = T

(P)1 .

对于少数P值根据这个条件确定的T (P)1 值在表X中给出;图 3.11给出的曲线,把(P, T )平面一分为

二, 其中一边发生超稳定性, 另一边发生稳态对流稳定性. 对于Rayleigh数要求大于不稳定性发生的情况, 这个平面的超稳定性可以出现的部分是受到条件P = 1和T (P)的约束的.

表X

稳定性以超稳定性形式出现时的临界Taylor数P TP R P TP R

0.0 548 1315 0.55 18,870 7748

0.1 728 1471 0.60 68,150 16,790

0.2 990 1669 0.63 2.58×105 3.87×104

0.4 3163 2890 0.65 1.233×106 1.050×105

0.5 8505 4910 0.6766 ∞ ∞

当P < P∗, 完整的(Rc, T )关系可以通过一个简单的尺度变换, 从表VII给出的结果推出. 因

为根据方程(3.222), 我们只能把表VII中的T解释为现在意义下的P2T/(1 + P)2, 并把在临界条件

下的Rc值乘以2(1 + P). 用这种方法推导出来的(Rc, T )关系已在图 3.12中给出. 为了与后边关于

其它边界条件下的结果进行对比, 对于P = 0.025, 把这种关系的数值形式列在表XI中.


5.0 7.06.04.03.0

0.8

1.0

0.6

0.2

0

0.4

log10T

图 3.11 T(P)1 随Prandtl数P 的变化.

0.0

25

0.0

10

0.0

5

0.1

0.2

0.3

Over-stable curveConvection curve

log

10

Rc

log 10 T

8

6

2

10

4

8 12 160 64 10 14

图 3.12 关于从底部加热的旋转水平流体层的(Rc, T )关系. 这个关系是从两个约束表面是自由

的情况下推出的. 用‘convection’标记的曲线是关于正常细胞对流发生的(Rc, T )关系.剩下的曲

线对应于超稳定性发生的关系. 对应的P的值在每条曲线的上方给出. 可以看出, 对于每个P值,

正常的细胞对流不稳定性在T 小于某个T (P)时发生, 但是, 当T > T (P)时, 将发生超稳定性.


表XI

当两个约束表面自由的, P = 0.025时, 关于超稳定性发生的

临界Rayleigh数和相关常数

T ac σ Rc p/Ω

0 2.233 1.348 × 103 虚数

1.681 × 104 2.270 1.014 × 102 1.388 × 103 1.564

1.681 × 105 2.594 3.079 × 102 1.694 × 103 1.502

8.405 × 105 3.278 6.184 × 102 2.613 × 103 1.349

1.681 × 106 3.710 8.168 × 102 3.436 × 103 1.260

3.362 × 106 4.220 1.067 × 103 4.713 × 103 1.164

8.405 × 106 5.011 1.503 × 103 7.523 × 103 1.037

1.681 × 107 5.698 1.932 × 103 1.102 × 104 0.9424

5.043 × 107 6.961 2.851 × 103 2.092 × 104 0.8029

1.681 × 108 8.626 4.330 × 103 4.368 × 104 0.6680

5.043 × 108 10.45 6.308 × 103 8.728 × 104 0.5618

1.681 × 109 12.86 9.497 × 103 1.891 × 105 0.4633

1.681 × 1010 19.02 2.062 × 104 8.501 × 105 0.3181

1.681 × 1011 28.02 4.458 × 104 3.889 × 106 0.2175

1.681 × 1012 41.20 9.620 × 104 1.793 × 107 0.1484

1.681 × 1013 60.52 2.074 × 105 8.296 × 107 0.1012

1.681 × 1014 88.87 4.470 × 105 3.845 × 108 0.0690

1.681 × 1015 130.46 9.632 × 105 1.784 × 109 0.0470

1.681 × 1016 191.51 2.075 × 106 8.276 × 109 0.0320

根据方程(3.229)给出的结果可以看出, 当T → ∞时, 沿着各种超稳定性解R → constantT23 .

可以对与超稳定性扰动有关的Rayleigh数和波数的这种明显的渐进行为进行解释. 它们是:R

(o)c → 6P

43

(1+P)13

( 12π

2T )23 , (P2T → ∞)

a(o)c →

(P

1+P

) 13

( 12π

2T )16 , (P2T → ∞)

(3.234)

相应的行为| σ |= π2σ − 1可以从方程(221)导出. 我们发现

| σ |→ (2 − 3P2)12

[P(1 + P)2]12

(1

2π2T )

13 , (P2T → ∞) (3.235)

其中需要指出的是根据σ的定义(见方程(3.92)),

| p |Ω

=2 | σ |√

T=

2 | σ1 |√T1

(3.236)

从以上关系导出的进一步的关系是

| p | a(o)c → 2πΩ(1 − 1.5P2)

12

1 + P, (P2T → ∞) (3.237)

§3.11.1 特征方程(3.215)的根的性质

上边关于不稳定性形式对P和T的依赖性的讨论, 是用方程(3.215)在特殊情况下的显式解进

行的: 当σ1 = 0的情况, 边缘状态是一种稳定状态; 当σ1是实数时, 边缘状态是一种震荡状态. 还

进一步假设了将发生的不稳定性形式是允许较低的Rayleigh数的一个解.需要指出的是这种假设

需要修正; 这是我们将要给出的.

一般地, 在考虑方程(3.215)的根时, 我们将发现用iσ1代替σ1是比较方便的, 这样超稳定性现

在对应于σ1是一个纯的虚数. 根据这种替换, 我们必须考虑的方程可以写成

(1 + x+ Pσ1)

[(1 + x+ σ1)2 +

T11 + x

]= R1(1 + x+ σ1)

x

1 + x(3.238)


这是关于σ的一个三次方程; 它的显式形式是

σ31 +Bσ2

1 + Cσ1 +D = 0 (3.239)

其中 B = 1

P (1 + x)(1 + 2P)

C = 1P

[(2 + P)(1 + x)2 + P T1

1+x −R1x

1+x

]D = 1

P [(1 + x)3 + T1 −R1x]

(3.240)

方程(3.239)系数, 对它的根的性质有重要性的一个组合是

BC −D =1 + PP

(2 + P)

[(1 + x)3 + T1

P2

(1 + P)2

]−R1x

(3.241)

我们将首先考察D = 0和BC −D = 0的解, 我们已经把它分别定义为R(c)1 和R

(o)1 (见方程 (3.227)

和 (3.228)). 我们将回忆这些给出稳态对流和超稳定性发生的Rayleigh数的解. 这与方程 (3.239)

是一致的: 对于σ1 = 0, 如果D = 0, 它显然是方程的一个根; 但是, 如果σ1必须是纯虚数, 那末根

据方程( 3.239)的实部和虚部必须分别相等, 我们一定得到| σ1 |2= C = D/B.

现在当R1 = 0, C,D,和BC − D都是正的, 而B当然也是正的. 当D > 0时, 方程(3.239)显然

至少允许一个小于零的实根; 把它用−d表示. 当方程(3.239)允许有一个负的实数根时, 我们可以

把它分解成形式

(σ21 + 2bσ1 + c)(σ1 + d) = 0 (3.242)

通过比较方程(3.239), 我们得到关系

B = 2b+ d, c = 2bd+ c, D = cd (3.243)

从这些关系得出

BC −D = 2b(2bd+ c+ d2) = 2b(C + d2) (3.244)

因此

b =BC −D

2(C + d2), c =

D

d(3.245)

正如我们指出的, 当R1 = 0, BC −D > 0,和D > 0时; 因此有

b > 0, c > 0 (当R1 → 0) (3.246)

方程(3.242)除了−d之外的根是

σ1 = −b±√

(b2 − c) (3.247)

根据方程(3.246), 这些根也具有负的实部. 因此状态R1 = 0是绝对稳定的, 因为对于三个根都

有re(σ1) < 0.

考虑当R1增加时将发生的情况: D和BC − D将减少, 而它们之一可能变成零. 显然如果方

程(3.242)的实数根变成零, D → 0,因为不是c→ 0,将是d→ 0;但是,如果一对复数根的实数部分

变成零b→ 0,即,BC−D → 0(因为C > 0, C+ d2必须是正的). 因此,当R1增加时,不是D → 0(其

中实数根趋于零), 就是BC −D → 0(取决于那种情况首先发生), 我们就有稳态对流不稳定性的

发生或者是超稳定性震荡状态的发生. 但是, 这仅仅是我们前边讨论依赖的前提条件; 现在得到

了证明.

§3.12 关于区分边缘状态特征的方法. 一种普遍的变分原理 101

§3.12 关于区分边缘状态特征的方法. 一种普遍的变分原理

在上一节中的讨论限制在两个自由边界的情况, 对此可以得到需要的显式的特征方程. 我

们现在回到没有显式的一般情况.

在方程(3.93)-(3.95)中用iσ替换σ,让

F = (D2 − a2)(D2 − a2 − iσ)W −(

2Ω

νd3)DZ (3.248)

我们有(见方程(105)和(106))

(D2 − a2 − iσ)Z = −(

2Ω

νd

)DW (3.249)

和

(D2 − a2 − iPσ)F = −Ra2W (3.250)

联立方程(3.248)和方程(3.249)给出

[(D2 − a2 − iσ)(D2 − a2) + TD2]W = (D2 − a2 − iσ)F (3.251)

寻找方程(3.248)-(3.250)的解必须满足边界条件W = F = 0 当z = 0, 1

DW = Z = 0 (在刚性表面上, 或者,)

D2W = DZ = 0 (在自由表面上)

(3.252)

有八个边界条件和要求,对于给定的a2和iσ(可能是实数或者是虚数)方程(3.248)-(3.250)的一个解

满足这些条件将决定一组可能的R值.一般情况下,这些特征值是虚数; R必须是实数的要求意味

着σ的实部和虚部直觉的一种关系. 但是, 我们不是对可能存在的σ的实部和虚部之间的关系和

问题的其它参数感兴趣. 我们感兴趣的仅仅是边缘状态和它的特征. 从 §3.11中两个边界是自由

情况下的讨论, 显然, 为了我们关于一个给定的Taylor数, 稳态对流不稳定性发生以及作为超稳

定性, 确定临界Rayleigh数的目的, 当我们从零开始逐渐增加Rayleigh数, 给出一种稳定性状态将

首先出现的较小的Rayleigh数就足够了. σ = 0的情况在§3.8 和§3.9 中已经处理过.剩下的是处理

当方程(3.248)-(3.251)中的σ是实数时的情况. 正如我们将看到的, 后一个问题自身分解为求解一

个双特征值问题.

对于一个给定的a2, σ(假定是实数)是通过R是实数的条件决定的. 一般来说, 将有一组可

能的σ值使R保持为实数. 但是, 我们感兴趣的仅仅是特殊的σ, 它将给出正的而且是最小的R值.

让R0(a2)和σ0(a2)表示相应的R和σ. 这些值将具有的含义是: 当Rayleigh数逐渐增加时, 通过波

数a2表征的水平面内的一个扰动, 当Rayleigh数达到R0(a2)时, 将首先通过超稳定性变得不稳定.

而σ0(a2)是在边缘状态开始发生的震荡频率(单位是ν/d2). 为了确定超稳定性发生的临界Rayleigh数,

我们必须确定函数R0(a2)的极小值.然后我们将把得到的极小值与稳态对流发生的临界Rayleigh数

进行比较; 根据那个较小判断不稳定性发生是是哪一种不稳定性状态占优.

如果不是不可行的,根据以上描述的方法,显然可见双特征值问题的一种精确解将是难得到

的. 但是, 可以设计一种变分方法, 使这个问题容易求解.

§3.12.1 变分原理

方程(3.248)-(3.250)可以用 §3.8.1 中处理方程(3.104)-(3.106)同样的方法进行处理. 因此, 通

过方程(3.250)乘以F , 并在z的范围内进行积分, 在一次分部积分之后, 我们得到∫ 1

0

[(DF )2 + (a2 + iPσ)F 2]dz = Ra2∫ 1

0

WFdz (3.253)


这个方程的右端需要我们考虑∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

W

(D2 − a2)2W − iσ(D2 − a2)W −

(2Ω

νd3)DZ

dz (3.254)

在几次分部积分之后, 我们发现∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 + iσ[(DW )2 + a2W 2]dz+

+

(2Ω

νd3)∫ 1

0

ZDWdz (3.255)

考虑到边界条件积分出来的部分, 总是消失的. 现在, 应用方程(3.249), 在进一步的分部积分之

后, 我们发现 ∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DW )2 + a2Z2]dz+

+ iσ

∫ 1

0

(DW )2 + a2W 2 + d2Z2dz (3.256)

因此, 方程(3.250)乘以F , 并在z的范围内进行积分, 结果是

R =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2 + iPσF 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2] + iσ[(DW )2 + a2W 2 + d2Z2]dz

=I1a2I2

(3.257)

根据仅仅与W,Z和F与边界条件相适应的变分δW和δZ,现在可以给出(如同在 §3.8.1中精确地)由

方程(3.257) 给出的R 的变分δR, 它是

δR = − 2

a2I2

∫ 1

0

δF(D2 − a2 − iPσ)F +Ra2Wdz (3.258)

因此, 对于所有小的任何变分δF , 如果δR = 0, 则

(D2 − a2 − iPσ)F = −Ra2W (3.259)

反之,也成立. 换句话说,对于给定的σ, a2,和T , R的特征值具有一个外部的性质;但是不象在§3.8

中考虑的情况, 它们不具有小的特征: 确实它们不能, 因为它们可能是复数.

§3.13 超稳定性对流的发生: 关于其它边界条件的解 103

§3.13 超稳定性对流的发生: 关于其它边界条件的解

在§3.12 中描述的双特征值问题的解可以通过完全类似于在§3.9(b)(c) 中通过变分方法的步

骤得到. 因此, 为了得到两个刚性边界情况下的解, 我们把F展开成余弦级数, 如形式4

F =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (3.260)

把W和Z展开成求和的形式

W =∑m

AmWm, Z =∑m

AmZm (3.261)

考虑到方程(3.251), Wm现在是方程

[(D2 − a2 − iσ)2(D2 − a2) + TD2]Wm = −c2m+1 cos[(2m+ 1)πz] (3.262)

的一个解, 其中

c2m+1 = (2m+ 1)2π2 + a2 + iσ (3.263)

适合于这个问题的方程(3.262)的解是

Wm = c2m+1γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +3∑

j=1


其中1

γ2m+1= c22m+1[(2m+ 1)2π2 + a2] + (2m+ 1)2π2T (3.265)

B(m)j (j = 1, 2, 3)是积分常数; q2j (j = 1, 2, 3)是三次方程

(q2 − a2 − iσ)2(q2 − a2) + Tq2 = 0 (3.266)

的根. 对于Zm, 相应的解是

Zm = −(

2Ω

νd

)(2m+ 1)πγ2m+1 sin[(2m+ 1)πz] +

3∑j=1

B(m)j

qjxj

sinh qjz

(3.267)

其中

xj = q2j − a2 − iσ, (j = 1, 2, 3) (3.268)

比较方程 (3.264)和 (3.267)与在§3.9(a)中得到的方程 (3.146)和 (3.151),我们看到除了qj , xj ,

c2m+1 和γ2m+1 的定义不同,它们是相等的.根据这些再定义的常数,在方程(3.154)和(3.155)中给

出的关于B(m)j 的解可以等同的应用于现在的情况.

把W代入我们得到的方程(3.250)中, 我们现在有∑m

Am[(2m+ 1)2π2 + a2 + iPσ] cos[(2m+ 1)πz] =

= Ra2∑m

Am

c2m+1γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +

3∑j=1

B(m)j cosh qjz

(3.269)

4 现在z的原点已经平移的中间平面上, 因此它的范围是± 12.


方程(3.269)与方程(3.156)形式上是相同的. 现在应用接着方程(3.156), 同时需要考虑包含的方

程(3.161).5 特别地, 我们有特征行列式∥∥∥ 12

(2n+1)2π2+a2+iPσ

Ra2 − c2n+1γ2n+1

δnm − (n | m)

∥∥∥ = 0 (3.270)

其中矩阵元素由方程(3.161)给出. 出现在方程(3.161)中各量(如qj , xj , c2n+1和γ2n+1), 具有现在赋

于的含义.

矩阵(n | m)关于n和m是对称的. 但是, 因为矩阵元素是复数, 这种对称性, 不能保证它的

特征根的实在性质, 一般来说, 它们也是复数. 在一阶近似中, 我们保持的仅仅是这个特征矩阵

的(0 | 0)元素, 对于R这个特征方程变成

R =1

a2π2 + a2 + iPσc1γ1 + 2(0 | 0)

(3.271)

其中

(0 | 0) = 2π2γ21∆3∏

j=1

coth1

2qj 1

x1(x3 − x2)(c1 + x1)2q1tanh

1

2q1+

+1

x2(x1 − x3)(c1 + x2)2q2 tanh

1

2q2 +

1

x3(x2 − x1)(c1 + x3)2q3 tanh

1

2q3 (3.272)

可以回顾在方程(3.272)中的∆, 是在方程(3.155)中定义的, 但各个量具有现在的含义.

从以前我们的变分方法的经验, 如同现在一样, 我们已经可以相信, 一阶近似给出的特征值

一定具有1∼2%的精度.

现在, 我们将给出以方程(3.271)和(3.272)为基础的一些近似结果. 在这些计算中使用的值

P = 0.025 (3.273)

这是在常温下水银的Prandtl数的近似值. 可以给出从这种方法出发, 推导出来的(Rc, T )关系的

一些详细结果.

对于选择的a, 关于各种给定的σ, 根据方程(3.171)和(3.272)可以求出R. R为实数的σ值, 是

用插值推导出来的. 因此，对于T = 1010和a = 19.8, 可以发现:R = 1.983 × 106 − i5.882 × 105 当σ = 1.420 × 104

R = 1.322 × 106 + i9.510 × 104 当σ = 1.500 × 104

R = 1.414 × 106 + i0.329 × 104 当σ = 1.489 × 104

(3.274)

从这些值可以估计

R = 1.418 × 106 当σ = 1.4886 × 104 (3.275)

通过对其它的a值进行这种计算, 可以确定作为a的函数的极小值. 因此, 在考虑的例子中, 可以

发现: R = 1.41765 × 106 当a = 19.6, σ = 1.503 × 104

R = 1.4175 × 106 当a = 19.7, σ = 1.496 × 104

R = 1.4177 × 106 当a = 19.8, σ = 1.489 × 104

(3.276)

因此,可以肯定对于T = 1010,当a = 19.7和σ = 1.496×104时,关于超稳定性发生的临界Rayleigh数

是1.4175×106.

5 接着方程(3.161)的分析不能用,因为它们取决于特殊定义的根qj ,等等.

§3.14 P = 0的情况 105

在表XII中，总结了这种计算结果.

对于约束表面一个是自由的另一个是刚性的情况, 计算是类似的, 但是不太广泛. 这些计算

结果, 在表XIII中给出.

在所有的三组边界条件下, 对于稳态对流不稳定性的发生和超稳定震荡的不稳定性发生的临界Rayleigh数的结果, 在图 3.4 和 3.5 中都包括了.

表XII

当两个约束表面是刚性的, P = 0.025时, 关于

超稳定性发生的临界Rayleigh数和相关常数

T ac σ Rc p/Ω

104 3.080 4.45 × 101 4.39 × 103 0.8902

106 4.090 5.82 × 102 9.51 × 103 1.1646

5 × 107 8.100 2.43 × 103 6.29 × 104 0.6862

2 × 108 10.28 3.92 × 103 1.38 × 105 0.5541

109 13.46 6.81 × 103 3.54 × 105 0.4310

1010 19.70 1.50 × 104 1.42 × 106 0.2992

1011 28.75 3.27 × 104 5.83 × 106 0.2069

1012 41.70 7.18 × 104 2.44 × 107 0.1435

表XIII

当两个约束表面一个是刚性的,另一个是自由的,

P = 0.025时, 关于超稳定性发生的临界Rayleigh数

和相关常数

T ac σ Rc p/Ω

107 5.850 1.44 × 103 1.71 × 104 0.9126

3 × 109 15.58 1.04 × 104 4.81 × 105 0.3801

1012 40.50 7.46 × 104 1.87 × 107 0.1492

§3.14 P = 0的情况

对于超稳定性震荡发生而言, P = 0的情况是一个奇点: 因此,对于P2T → ∞渐进关系(3.234),(3.235)

和(3.237)是有效的, 但是它们不能用于当P = 0的情况. P = 0必须分开处理.

再回到方程(3.222), 令P = 0, 我们有

R(o) = 2π4 (1 + x)3

x(3.277)

除了因子2以外, 它与没有旋转时得到的公式是一样的(见方程(2.193)). 当x = 12时, Rayleigh数的

极小值出现在

R(o)c = 13.5π4 = 1315 (3.278)

通过令P = 0和x = 12 , 可以得到不稳定性出现时超稳定性震荡的频率; 我们得到

σ21 =

2

3T1 − 2.25 (3.279)

忽略这个方程中的2.25, 应用关系(3.236), 我们有

p = (2

3)

12 2Ω (3.280)

其中的p现在是瞬时的(圆)频率.由方程(3.280)给出的频率与旋转流体震荡的固有频率,仅仅相差

一个因子(2/3)12 . 因此, 从物理意义上说, 可能是正确的: 在P = 0的极限情况下, 通过激发旋转

流体震荡的自然模式发生不稳定性.


§3.15 变分原理的热力学意义

如同在简单的Benard问题中( §2.10 ), 我们现在将表明, 在 §3.8.1 和 §3.12 中描述的变分原

理具有类似的热力学意义.

考虑在流体的单位立柱中粘性耗散的平均速率, 以及在这个立柱中浮力g | δρ | (= gαρθ) 释

放能量的速率. 它们由以下式子给出(方程(2.175)和(2.178))

ϵν = −ρνd2

∫ 1

0

⟨w(D2 − a2)w⟩ + ⟨u(D2 − a2)u⟩ + ⟨v(D2 − a2)v⟩dz (3.281)

和

ϵg = ρgα

∫ 1

0

⟨θw⟩dz (3.282)

其中角括号, 表示括号中的量是在整个水平面内的平均值.

为此不失一般性,我们可以假设u, v,和w的表达式是由方程(3.186)和(3.187)给出的. 例如,根

据这些方程, 我们有 ∫ 1

0

⟨u(D2 − a2)u⟩dz

= − 1

4a2

∫ 1

0

a2xDW (D2 − a2)DW + a2yd2Z(D2 − a2)Zdz (3.283)

需要指出的, 是涉及乘积的交叉项

DW (D2 − a2)Z, Z(D2 − a2)W

对以上的表达式没有任何贡献;这是因为在非常普遍的情况下水平面内涉及在u⊥的解中的DW和Z的

波完全是异相的. 对于方程(3.281)中的v项, 我们有类似于(3.283)的表达式; 还有∫ 1

0

⟨w(D2 − a2)w⟩dz =1

4

∫ 1

0

W (D2 − a2)Wdz (3.284)

联立这些结果, 我们有(见方程(2.176))

ϵν = − ρν

4d2a2

∫ 1

0

a2W (D2 − a2)W +DW (D2 − a2)DW + d2Z(D2 − a2)Zdz (3.285)

在对方程右端的第二和第三项进行分部积分以后, 我们发现

ϵν =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz (3.286)

再进一步简化ϵg的表达式, 我们必能区分稳态对流和超稳定性震荡的情况.

§3.15.1 当边缘状态是稳定的情况

在这种情况下, 联系θ和w的方程是(见方程(3.86))

w =κ

βd2(D2 − a2)θ (3.287)

相应地

ϵg = −ρgακβd2

∫ 1

0

⟨θ(D2 − a2)θ⟩dz

= −ρgακ4βd2

∫ 1

0

Θ(D2 − a2)Θdz (3.288)

§3.15 变分原理的热力学意义 107

在一次分部积分之后, 我们有

ϵg = −ρgακ4βd2

∫ 1

0

[(DΘ)2 + a2Θ2]dz (3.289)

另一方面, 根据方程(3.98)和(3.104),

Θ =ν

gαd2a2F (3.290)

用F表示, ϵg的表达式变成

ϵg =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (3.291)

在稳定的状态下, 被粘性耗散掉的动能一定等于浮力释放的内能. 因此, 我们必须要求

ϵν = ϵg (3.292)

现在, 方程(3.286)和(3.291)给出

R =gαβ

κνd4 =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz

(3.293)

这是一个与在 §3.8.1 中, 根据变分原理得到的R完全相同的表达式, 对于边缘状态达到它的极小

值.

§3.15.2 当边缘状态是震荡的情况

现在出现的问题是: 在超稳定性情况下应当怎样修正通过浮力释放的热力学有效能量速率

与不可逆的耗散能量相等的原理, 作为边缘不稳定性的准则? 可以发现沿着以下路线推广这个

原理是自然的.

如果运动是时间周期性的,则流体的动能以及通过浮力释放的势能也将承受类似的变换.假

设描述扰动的所有的量随着一个圆频率p变化, 使得所有的振幅具有一个时间相关因子eipt. 则

ui∂ui∂t

= ipu2i (3.294)

在写出一个能量平衡方程时, 我们必须允许, (单位质量的)动能有这种变化. 因此可见, 必须

与ϵg相等的量是

ϵν + iρp

∫ d

0

⟨u2i ⟩dz (3.295)

把距离的单位恢复为d, 把σ(= pd2/ν)如同在方程(3.92)中那样定义, 我们必须考虑

ϵν + iσρν

d2

∫ 1

0

⟨u2i ⟩dz (3.296)

替换稳定情况下的ϵν . 这样, 一个震荡边缘稳定性状态的出现准则, 应当是

ϵν + iσρν

d2

∫ 1

0

⟨u2i ⟩dz = ϵg = gαρ

∫ 1

0

⟨θw⟩dz (3.297)

其中在求ϵg时我们必须允许θ和w不再是稳定的这个事实存在.

首先看到,在能量平衡方程中,一般出现了虚数i,和复数,可能使人非常吃惊. 原因必须追溯

到在速度和加速度中的震荡是异相的这个事实. 因此, 在这个周期的某一相耗散能量的超出(或

者亏损)一定完全同步地被所释放能量的类似的超出(或者亏损)所补偿.正是这一同步要求确定


了震荡的周期, 以及作为边缘状态特征的Rayleigh数. 它的数学方面是通过求解一个双特征值问

题来确定R和σ.

如同以上描述的, 现在我们将证明热力学原理与 §3.12 中给出的变分原理的一致性. 关

于ϵν表达式(3.286)仍然有效. 现在我们必须得到在方程(3.297)中的含⟨u2i ⟩附加项.考虑速度的x−分量对积分的贡献, 我们有(见方程(3.187))∫ 1

0

⟨u2⟩dz =1

4a2

∫ 1

0

[a2x(DW )2 + a2yd2Z2]dz (3.298)

从速度的y−分量我们有类似的贡献; 合在一起我们有

iσρν

d2

∫ 1

0

⟨u2i ⟩dz = iσρν

4a4d2

∫ 1

0

[a4W 2 + a2(DW )2 + a2d2Z2]dz (3.299)

它必须加在表达式(3.286)中, 以给出ϵν .

回到ϵg的计算, 现在我们必须使用关系(见方程(3.93))

(D2 − a2 − iPσ)θ = −(β

κd2)w (3.300)

来消去w. 因此, 我们现在有

ϵg = −gρακ4βd2

∫ 1

0

Θ(D2 − a2 − iPσ)Θdz =gρακ

4βd2

∫ 1

0

[(DΘ)2 + (a2 + iPσ)Θ2]dz (3.301)

Θ和F之间的关系是不可变的, 如以前用(3.290)给出的一样. 因此

ϵg =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

[(DF )2 + (a2 + iPσ)F 2]dz (3.302)

联立方程(3.286), (3.297), (3.299),和(3.302), 我们得到

R =

∫ 1

0[(DF )2 + (a2 + iPσ)F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2] + iσ[(DW )2 + a2W 2 + d2Z2]dz

(3.303)

而这确实是在 §3.12 中形成变分原理基础的R的表达式. 我们因此可以描述以下的普遍原理.

作为稳态对流的热不稳定性将发生在极小的(逆)稳定梯度下, 这个稳定梯度对于保持能量

的粘性耗散速率和作用在流体上的浮力释放的热力学有效能量速率之间的平衡是必要的. 类似

地,如果可能(在一个较小的逆温度梯度下)以一种动能的周期性变化量同步的方式,在具有类似

变化量的能量的耗散和释放量之间保持平衡, 发生的热不稳定性将是超稳定性震荡的.

§3.16 当Ω和g作用在不同方向时的情况

现在我们将简要地考虑当Ω和g作用在不同方向时的情况. 为此,我们将回到方程(3.84)和(3.85),

其中还没有作出Ω和g是平行的假定.

让Ω与垂直方向倾斜一个角度ϑ, 并选择x的方向让它与Ω同时处在xz−平面内. 因此,

λ = (0, 0, 1), Ω = Ω(sinϑ, 0, cos vth) (3.304)

且方程(3.84)和(3.85)变成

∂ζ

∂t= ν∇2ζ + 2Ω

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)w (3.305)

§3.17 在旋转流体中热不稳定性发生的实验 109

(a) (b)

图 3.13 在从底部加热的旋转水中呈现出来的对流细胞. 示图对应的参考数据是: 深度18cm, 温

度差0.7oC, 旋转速率5.0rev/min; Taylor数1.2 × 109.

和∂

∂t∇2w = gα

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2θ

)+ ν∇4w − 2Ω

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)ζ (3.306)

通过这种推广剩下的方程(3.86)不受影响.

如果我们寻找方程(3.86),(3.305),和(3.306)与x无关的解, 其形式是

w = W (z) cosay

d, ζ = Z(z) cos

ay

d, Θ = Θ(z) cos

ay

d(3.307)

方程(3.305)和(3.306), 根据唯一的Ω被Ω cosϑ替换的差别, 简化到方程(3.87)和(3.88). 因此, 如果

我们限制在x−方向的滚动结构不稳定性的发生, 则除了§3.10 中特别处理一般细胞图案的那些

内容, 当我们把Ω解释为Ω在g方向的分量时, 在以上几节中的所有讨论可以照用. 通过考虑关于

比滚动细胞更普遍的运动图案时的边缘状态是否可以得到较低的Rayleigh数的问题,只能通过其

中ax和ay是显式得到的情况下求解必要的特征值问题,对于给定的ax和ay, 极小化作为这两个参

数函数的最低特征值得到解答. 对于现在的问题这种分析没有进行; 但是, 在相关的通过施加磁

场热对流受到抑制问题中给出了这种分析(第四章 §4.12 ). 如果那里得到的结论可以推广到现在

的问题, 则Rayleigh数的极小值确实出现在滚动细胞不稳定性发生的情况. 这个明显的视是而非

的结论在第四章 §4.12 中是清楚的.

§3.17 在旋转流体中热不稳定性发生的实验

我们已经看到旋转以许多方式对热不稳定性发生影响. 这些主要的效应是:

(1) 旋转抑制不稳定性的发生;抑制的程度取决于Taylor数T (= 4Ω2d4/ν2)和Prandtl数P(= ν/κ);

当T → ∞时, 与此相关的不稳定性发生的Rayleigh数和波数, 具有渐进行为

R→ constantT23 , a→ constantT

16 e.308 (3.308)

(2) 只要P超过某个临界值P∗,不稳定性的发生总是作为稳态对流. P∗的精确值取决于约束表面

的性质. 但是从两个边界是自由的情况下确定的值(= 0.6766)可以推断P ∼ 1. 当P > P∗时,

(Rc, T ) 的关系是与P无关的.


(c)

(a)

(b)

图 3.14 在上浮的细胞核内从水筒底部上升的墨水的侧视图. 示图对应的参考数据是: 深度18cm,

温度差0.5oC, 旋转速率10.9rev/min; Taylor数5.5 × 109.

15min

a

b

c

10µV

off

off

off

on

on

on

a

b

c

图 3.15 水在三种不同的加热速率下逆温度梯度的时间记录.(d = 3cm, Ω = 10rev/min) (摘

自Proc. Roy. Soc. (London) A, 231, 219(1955)).


Taylor number T

Ray

leig

hnu

mbe

rR

c107

108

105

107 108 109 1010 1011

106

图 3.16 在不同的旋转速率下水中热不稳定性发生实验结果和理论关系的对比: 给出临

界Rayleigh数和Taylor数之间的关系. 不同深度的实验区别用:⊗

18cm;⊙

10m; × 17.3cm; 13.3cm; 9.3cm; ⃝ 5.3cm.

(3) 如果P < P∗, 并且Taylor数超出某个依赖于P的T (P), 不稳定性的发生将是超稳定性震荡.

对于T ≤ T (P), 不稳定性的发生将是稳态对流. 对于一个给定的P(< P∗), R和a的渐进行为

还是和以上(1)中一样的. 但是, 现在正比例常数取决于P. 还有, 超稳定性震荡的震荡频率

主要取决于Ω和Taylor数; 对于0 < P < P∗,

p/Ω → constantT− 16 , 当T → ∞e.309 (3.309)

其中常数取决于P.

从将要预期到的以上主要效应的总结, 可以看到在选择实验流体时, 偏向于选择两种流体,

一种流体的Prandtl数远大于1, 另一个流体的Prandtl数远小于1. 这样的两种流体是有效的: 具

有P ∼ 7.5的水, 和具有P ∼ 0.025的水银. Nakagawa和Frenzen, Fultz和Nakagqwa, 以及Goroff用

这两种流体进行了实验. 现在将给出这些实验的叙述.

§3.17.1 水实验

在这些实验中,水被盛放在外直径是12英寸的耐热玻璃圆筒内.筒的底部烧结了导电的耐热

玻璃加热板. 它们提供加热元件, 提供的被测的电能量. 盛放流体的圆筒和必要的附件放置在

一个悬挂在一垂直轴上的金属支撑环上. 金属环有水平调节和其它调节装置. 通过适当的皮带

和马达驱动轴使流体转动. 在实验中, 用的水层的深度在2∼17cm 之间变化, 旋转的速度可以达

到50rev(转)/min. 通过这种形式, Taylor数可以达到108

在两个水平上, 一个接近于顶部一个接近于底部表面的流体温度差, 用铜-康铜丝热电偶测

量. 通过串联连接的热电元件, 可以测量在这两个水平上的平均温度差, 精度达到±0.01oC; 这种

精度在温度测量中是充分必要的.


a

b

c

off

off

off

on

on

on

200µV

图 3.17 水银在三种不同的加热速率下逆温度梯度的时间记录. (d = 6cm,Ω = 15rev/min) (摘

自Proc. Roy. Soc. (London) A 231,220(1955) )

(a)

(b)

10min

图 3.18 水银的另一个逆温度梯度的时间记录. 它们参考的条件如下:

(a) (b)

深度(cm) 6 6

Ω(sec−1) 1.11 3.08

温度差(oC) 1.54 5.05

Taylor数(T ) 5× 109 3.9× 1010

Rayleigh数(R) 2.04× 106 6.94× 106

震荡周期(sec) 19 12− 20 9-10


log10T

T’

6

8

2

10

44

128

a

a

b

b

图 3.19 观测到的边缘状态稳定性震荡周期与理论周期的对比. 纵坐标给出以2Ω 为单位的周

期. 曲线aa和bb是P = 0.025时关于两个刚性约束表面(aa) 和一个是刚性表面另一个是自由表面

情况下(bb)的理论关系.

log10T

log

10R

c

6 8 10 12

4

8

6

a

a b

b

c

c

图 3.20 水银不稳定性发生的临界Rayleigh数的理论和实验结果概括. 曲线aa, bb和cc 是三种情

况下(Rc, T )的理论关系: 对于P = 0.025, (i) 两个约束表面是刚性的, (ii)一个约束表面是刚性的

另一个约束表面是自由的, (iii)两个约束表面是自由的. 实的圆点是水银的实验点.(P = 0.025).


Rayleigh number

Nu

ssel

tnum

ber

R=3.42x105

(a) 106105

1.2

1.3

1.1

0.9

0.8

1.0

(b)Taylor number

Ray

leig

hn

um

ber

106

107 108105

图 3.21 (a)Rayleigh数的增加引起的Nusselt数的变化, 当Taylor数是1.12 × 107时.

在Rayleigh数R = 3.42 × 105是的间断出现在系统已经超稳定. 注意到即使超稳定性发生

在R ∼ 2.5 × 104, Nusselt数还没有明显地超过1. 这表明通过超稳定性震荡的热传递是相对低效

的. (b)在第二个间断点出现时Rayleigh数对Taylor数的依赖关系. 实线是当忽略超稳定性时稳态

对流发生的理论关系.

有两种用以上实验转置进行观测的方法: 借助于可以直接探测流体相对于旋转支架运动的

旋转照相仪, 进行可视的和照相的观测. 以记录顶部和底部表面温度差的定量观测. 在每个实验

中, 这个温度差是由于施加在加热元件上的电能变化量引起的.

通过旋转照相仪的可视化观测, 可以观测到当加热速率超过某个量时细胞对流的发生. 通

过在表面上撒一些少量的铝粉这种运动可以变得可视化. 通过时间曝光技术铝颗粒的运动可以

被照射下来. 图 3.13 给出的照片就是一例. 细胞内部的运动也可以通过跟踪黑墨水和照相进行

记录. 图 3.14 是给出这种内部运动的一张照片的例子.

记录之间的差别为了定量的确定不稳定性发生的临界Rayleigh数,必须对温度记录进行仔细

研究. 在图 3.15 给出的例子中, 给出了得到的温度记录对应于变加热速率情况. 图 3.15a 对应于

当在足够低的速率下加热底板情况, 获得的稳定温度差不足以诱导不稳定性; 图 3.15b 是加热速

率足以超过某个关于不稳定性发生需要的边缘温度梯度时的一个典型记录. 图 3.15c 是加热速

率超过引起不稳定性要求很多, 造成接近于湍流条件情况的例子. 当我们是在导热情况时我们

让它通过, 通过对各种加热速率的确定, 记录之间的差别是足够明显的. 瞬时的可视化观测证明

了应用的准则. 用这种形式, Nakagawa 和Frenzen确定了作为Taylor数函数的临界Rayleigh数. 他

们的结果在图 3.16 中给出. 理论关系(Rc, T )是关于一个表面刚性另一个表面是自由的情况下从

§3.9.3 中推导出来的, 也在图中给出.可以看出理论预期的曲线得到了很好的证明.

§3.17.2 水银实验

Feltz和Nakagawa的水银实验是用与本节上边的 §3.17.1 描述的相同的实验装置进行的. 但

是需要注意观测水银的一系列特殊性. 例如, 由于水银表面的氧化, Fultz和Nakagawa 的记录碰

到了很大的麻烦.正是考虑到这一点在加热表面上方的空气必须用氮气替换.这是通过循环氮气

实现的. 氮气也用于使顶部表面的温度保持为常数. 即使注意到这些, 还是发现在加上加热电流

之后的某个时刻, 在表面上形成了受到污染的薄膜. 这个表面是刚性的足以防止顶部表面的运

动. 因此, 水银层是有效地限制在两个刚性表面之间的.

不稳定性发生的温度梯度还是用温度记录的分析来确定的. 这还要通过画出温度梯度与加

热速率图和Schmidt-Milverton原理( §2.14.2 )来补充. 水银的深度可以达到8cm, 用到的旋转速度

可以达到30rev/min. 因此, 实验允许的Taylor数在108 ∼ 1012的范围内.


在图 3.17 中, 给出了类似于水实验图 3.15的一系列温度记录. 在不稳定性发生之后的两组

温度记录中的差别是非常明显的. 在水银实验中, 温度记录显示了非常明显的脉动. 图 3.18, 表

明我们这里正在验证理论上预期的超稳定性震荡是没有什么疑问的,因为,图中显示了具有周期

性脉动在持续时间可以达到半小时甚至更长. 确实, 在已知的时间段, 对这些脉动进行记数, 我

们可以估算出基本震荡周期. 这些估算的结果以及理论预测的关系在图 3.19 中给出. 可见符合

程度是令人满意的.

在图 3.20 中给出了临界Rayleigh数的结果和在三组边界条件下理论预期的结果. 值得注意

的是符合最好的是刚性边界条件下的理论关系:正如我们已经指出的,实验条件确实对应于这种

情况.

Nakagawa实验证明在旋转的水平水银层内作为超稳定性震荡的热不稳定性出现在预测的Rayleigh

R(o)c , 具有理论预测的特征频率. 当Rayleigh数超过R(o)

c , 超稳定性震荡将有有限的振幅, 在线性

稳定性理论中忽略的非线性效应, 将变成有效. 同时, 具有实的指数相关性将继续受到阻尼(假

设超稳定性震荡的存在没有明显地改变整个理论参考的初始静态). 当R变成与R(c)c (> R

(o)c )时,

这种后边的模式(稳态对流不稳定性)将显示出来. 因为R(c)c 大约是R

(o)c 26倍(对于T → ∞, 当两个

约束表面是刚性, P = 0.025时), 显然稳态对流的发生将叠加出现在振幅很有限的超稳定性震荡

模式上. 但是, 从根本的原因上看, 人们可以预测超稳定性震荡在热输运上是非常低效的; 因此,

人们还可以用Schmidt-Milverton图探测稳态对流的发生. Dropkin和Globe的一些实验似乎表明

在Schmidt-Milverton图的与超稳定性发生的第一次间断6之后, 确实出现第二次间断. 但是这些

实验没有对第二个间断点是否出现在预测的Rayleigh数R(c)c 引起足够的重视. 目前Goroff进行的

仔细实验证明第二间断点确实出现在理论预测的地方.在图 3.21(a)中给出了T = 1.12× 107时的

实验结果: 在Nusselt数和Rayleigh数的图中, 在R = 3.45 × 105 出现一个明显的间断点; 而这是远

发生在超稳定性震荡已经成为温度记录的一个永久性质之后. 这个值R = 3.45 × 105必须和理论

估计的值进行对比, R(c)c = 3.5 × 105是表VIII中估计的关于T = 1.12 × 107时稳态对流发生时的

结果.在图 3.21(b)中给出了关于三种不同的T值得出的R(c)c 以及理论预测的关系(包含图 3.21(a)

中提到的情况). 从这些实验可见在估计的Rayleigh数下出现稳态对流的发生可能是很少有疑问

的. 它们进一步表明对于热的输运超稳定性震荡是相对低效的.

参考文献注释

对于本章专题的一般叙述见:

1. S. Chandrasekhar, ‘Thermal convection’, Daedalus, 86, 323-39(1957).

§3.4 在这一节中证明的基本原理是由于:

2. G. I. Taylor, ‘Experiments with rotating fluids’,Proc. Roy. Soc. (London) A,

100, 114-21(1921).

同样的定理, 虽然没有明显的形式, 也被独立地指出:

3. J. Proudman, ‘On the motion of solids in a liquid possessing vorticity’, ,Proc.

Roy. Soc. (London) A, 96, 408-24(1916).

在Taylor的论文中(参考文献2), 描述的实验非常有效地表明了定理的含义意味着在这种情况下

流行的流体运动特征, Taylor实验已经被重复:

6 这个间断在实验中是如此弱, 在多数情况下人们甚至不能确信.


4. D. Fultz, ‘A Survey of certain thermally and mechanically driven systems of

meteorological interest’,Proceedings of the First Sysmposium on the Use of Models

in Geophysical Fluid Dynamics, 27-63, edited by Robert R. Long, John Hopkins

University, Baltimore, 1953.

下列文献是可能注意到的Taylor的论文:

5. G. I. Taylor,‘Motion of solids in fluids when the flow is not irrotational’,Proc.

Roy. Soc. (London) A, 93, 99-113(1917).

6. ———,‘The motion of a sphere in a rotating liquid’,ibid, 102, 180-9 (1922)

7. ———,‘Experiments on the motion of solid bodies in rotating fluids ’,ibid, 104,

213-18 (1923)

旋转流体动力学具有许多有趣的方面, Taylor-Proudman定理只是其中的一个. 这些方面的更普

遍的叙述见:

8. H. B. Squire, ‘Rotating fluids’,Survey in Mechanics, 139-61, edited by G. K.

Batchelor, and R.M. Davies, Chambridge, England, 1956

9. G. W. Morgan,‘A study of motion in a rotating liquid’, ,Proc. Roy. Soc. (London)

A, 206, 108-30(1951).

10. H. Gortler, ‘Uber eine Schwingungserscheinung in Flussigkeiten mit stabiler

Dichteschichtung’,Z. ang. Math. Mech. 23, 65-71(1943).

11. ———,‘Einige Bemerkungen uber Stromungen in rotierenden Flussigkeiten’,ibid,

24, 210-14 (1944).

SS24-27, 这几节的分析来自:

12. S. Chandrasekhar,‘The instability of a layer of fluid heated below and subject

to Coriolis forces’, ,Proc. Roy. Soc. (London) A, 217, 306-27(1953).

13. ———and Donna D. Elbert,‘The instability of a layer of fluid heated below

and subject to Coriolis forces. II’,’,ibid, 231, 198-210 (1955).

在§3.9中描述的求解方法(但是, 对于情况(b)和(c)), 与参考文献12中的方法是不同的; 包含在

表VIII和IX中的结果(由于Donna Elbert的工作)是以新的公式为基础的.

§3.10. 这一节中细胞图案的讨论是来自:

14. G. Veronis, ‘Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid’, J.

Fluid Mech., 5, 401-35 (1959).

§3.11. 这一节中的主要结果出现在文献12和13中. 但是证明被重新安排变得更加明显了. 在§(a)给

出的讨论根的特殊形式是由于Dr. John Sykes 的工作.

§3.12-§3.14. 这一节中的分析也是来自文献12和13. §3.15. 见:

15. A. S. Chandrasekhar, ‘The thermodynamics of thermal instability in liq-

uids’，Max Planck Festschrift 1958, 103-14, Veb Deutcher Verlag der Wissenschaften,

Berlin, 1958.

§3.17. 这一节描述的实验工作的参考文献是:


16. D. Fultz, Y. Nakagawa, and P. Frenzen,‘An instance in thermal convection

of Eddington’s“overstability”’, Physical Rev., 94, 1471-2 (1954).

17. ——————,‘Experiments on overstable thermal convection in mercury’,Proc.

Roy. Soc. (London) A, 231, 211-25(1955).

18. Y. Nakagawa and P. Frenzen,‘A theoretical and experimental study of celluler

convection in rotating fluids’, Tellus, 7, 1-21 (1955).

19. D. Dropkin and S. Globe,‘Effect of spin on natural convection in mercury heated

from below’, J. Appl. Phys., 30, 84-89 (1959).

20. I. R. Goroff,‘An experiments on heat tranfer by overstable and ordinary convec-

tion’,Proc. Roy. Soc. (London) A, 254, 537-41(1960).

第四章从底部加热的流体层的热不稳定性

3.磁场效应

§4.1 磁流体力学

本章我们将考虑导电流体中一个外部施加的磁场, 对热不稳定性发生的作用. 这给我们带

来了磁流体力学问题.从广义上讲,磁流体力学问题,是涉及磁场能影响流体行为的方法问题.在

一个特殊问题中, 介绍关于磁流体力学的内容可能不是最好的途径. 但是, 磁场存在时热流体不

稳定性问题, 确实表明了磁流体力学的普遍原理. 同时, 把对这个问题的考虑, 正好邻近摆在对

类似的旋转效应考虑的后边,将引出在旋转和磁场效应之间的惊人的类似性: 它们两者都给予流

体某种刚性; 同时, 还给予流体某种弹性使得流体可以用新的波传递模式传递扰动. 为了强调这

种类似性, 我们将首先开始通过磁流体力学导论和它的基本原理, 讨论热不稳定性.

§4.2 磁流体力学基本方程

考虑一种导电性质的流体; 同时假设磁场是一般性的磁场. 流体的导电性和磁场的一般性

给出了两种性质: 首先, 通过导电流体横过磁力线的运动, 产生电流, 并涉及原来磁场的变化; 其

次, 携带电流的流体微元横过磁力线引起附加的流体微元作用力. 正是运动和场之间的这两种

相互作用, 在常常不可预料但是令人感兴趣的流体运动行为方式方面起着关键作用.

现在, 我们将写下表示流体运动和场之间这种相互作用的基本方程. 当然, 这些是包含

在Max-well方程, 和适当修正的流体动力学方程之中的. 但是, 有一个基本的简化是可能的. 因

为我们将不涉及与电磁波传播方式有关的效应, 我们可以忽略Maxwell方程中的位移电流. 与这

种近似密切相关的,是进一步避免对电荷密度可能存在的明显的依赖性. 原因不在于它本身是小

量, 而是因为电荷的变化对它的守恒方程的影响, 仅仅具有数量级u2/c2; 而这种数量级的项, 我

们可以合理地忽略.

根据位移电流被忽略, Maxwell 方程是

divH = 0 (4.1)

curlH = 4πJ (4.2)

curlE = −µ∂H∂t

(4.3)

其中在电磁学单位中, E和H是电场强度和磁场强度, J是电流密度, µ是磁导率. 在所有的应用中

磁导率将当作1, 剩下的仅仅是确定单位.

为了完成场的方程, 我们需要一个关于电流密度的方程. 这需要涉及到流体的性质. 在本书

中将假设流体可以考虑成连续介质,需要考虑的宏观性质仅仅间接地通过粘性,导热和导电效应

体现出来. 因此, 表示这些效应的系数, 仅仅是唯象地定义的.

考虑一个流体微元. 如果它的速度是u, 它遭遇到的电场, 将不是如同一个静止的观测者看

到的E, 而是E + µu×H. 根据我们的假设, 电导率是可以确定的, 那末电流密度将由

J = σ(E + µu×H) (4.4)

给出.

119

120 第四章从底部加热的流体层的热不稳定性 3.磁场效应

方程(4.1)-(4.4)是适合磁流体动力学场的基本方程. 通过在J的表达式中出现速度u, 方程包

括了流体运动对电磁场的影响. 反过来, 电磁场对运动的影响, 体现在流体微元携带电流横过磁

力线时, 受到的作用力上. 这种Lorentz 力由

L = µJ×H (4.5)

给出. 或者根据方程(4.2),

L =µ

4πcurlH×H (4.6)

L的一种替代形式是

Li =µ

4πϵijkϵjlm

∂Hm

∂xlHk =

µ

4π(δimδkl − δilδkm)

∂Hm

∂xlHk

=µ

4πHk

(∂Hi

∂xk− ∂Hk

∂xi

)(4.7)

因为Hi是无散度的, 我们还可以写出

Li = − ∂

∂xi

(µ| H |2

8π

)+

∂

∂xk

( µ4πHiHk

)(4.8)

这个Lorentz力的最后形式, 说明它是沿着力线上的静水压力, µ | H |2 /8π, 和张力µ | H |2 /4π之和, 或者说, 相对于是横过力线的一个压力, µ | H |2 /8π, 与沿着力线的一个张力µ | H |2 /8π 之和.把这个Lorentz力,包含在作用于流体的其它力中,我们有运动方程(见第二章中的方程(2.17))

ρdu

dt= divP + ρX + µJ×H (4.9)

其中P是总的应力张量, X是把电磁场力除外的外力. 对于不可压流体, 运动方程取明显形式

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

− µHj

4πρ

∂Hi

∂xj= − ∂

∂xi

(p

ρ+ µ

| H |2

8πρ

)+ ν∇2ui0 (4.10)

其中用到了(4.8)式给出的Lorentz力.

§4.3 控制磁场的运动方程及其某些意义

我们现在将得到关于磁场运动的方程. 根据方程(4.4),

E =1

σJ − µu×H (4.11)

或者, 应用方程(4.2), 我们有

E =1

4πσcurlH− µu×H (4.12)

把这个E的表达式, 代入方程(4.3)中, 我们得到

∂H

∂t− curl(u×H) = −curl(ηcurlH) (4.13)

其中

η =1

4πµσ(4.14)

我们将把η称为电阻率,虽然它与通常的定义,相差一个因子1/4π. 可以进一步说明的,是η(象ν和k)的

量纲是cm2sec−1.

方程(4.13)是完全一般的方程; 特别是它没有受到流体不可压条件的限制.

§4.3 控制磁场的运动方程及其某些意义 121

如果假设η是常数,方程(4.13),在笛卡儿坐标系中形式为(见第三章中的方程(3.13),(3.24)和(3.25))

∂Hi

∂t+

∂

∂xj(ujHi − uiHj) = η∇2Hi (4.15)

为了得到H的一个重要的简化方程, 需要消去E. 因为当Lorentz力还仅仅用H表示时, 后边

我们需要的分析，将不再另外参考电场. 只要u 和H 通过方程(4.1),(4.9), 和(4.15)的解可以确定

下来, 如果需要的话, 我们可以用方程(4.12)求电场. 但是, 它在这个问题本身的求解中, 没有明

显的作用. E起着微小的作用, 是磁流体动力学的特征: 它起因于对位移电流的忽略.

遵守方程(4.13)的场, 具有几个重要的意义, 现在我们对其中的一些意义进行考虑.

§4.3.1 没有流体运动时磁场的衰减. Joule耗散

我们将首先考虑没有流体运动的情况. 这时方程(4.13)变成

∂H

∂t= −curl(ηcurlH) (4.16)

从这个方程可见, 只要没有能量穿过它的边界, 在任何封闭的控制体V内的磁场能量, 是随时间

单调减少的. 为了弄清这一点, 对方程(4.16)标积H, 并在整个控制体上进行积分, 我们得到

1

2

∂

∂t

∫V

| H |2 dV = −∫V

H · curl(ηcurlH)dV (4.17)

我们有很普遍的等式 ∫V

φ · curlψdV =

∫V

ψ · curlφdV −∫S

φ× ψ · dS (4.18)

其中φ和ψ是两个矢量场, S是V的边界.

应用等式(4.18), 我们可以把方程(4.17)写成

1

2

∂

∂t

∫V

| H |2 dV = −∫V

η | curlH |2 dV +

∫S

η(H× curlH) · dS (4.19)

在控制体V内的磁场能量M由下式给出

M =µ

8π

∫V

| H |2 dV (4.20)

因此∂M∂t

= −∫V

| J |2

σdV +

1

4π

∫S

1

σH× J · dS (4.21)

其中在简化方程(4.19)时, 我们已经用到了方程(4.2)和(4.14). 因为J = σE, 当没有运动时, 方

程(4.21)的另一种形式是

∂M∂t

= −∫V

| J |2

σdV +

1

4π

∫S

H×E · dS (4.22)

因此, 在V内磁场能量的变化, 由一个体积分和一个面积分组成, 前者表示通过导电体内电流流

动引起的Joule热导致的能量损失, 后者表示从外部进入导电体内的Poynting 能流. 如果在边界

上没有进入Poynting能流, 这个磁场能量一定是衰减的.

从原则上讲, 其中一个给定初始场能衰减的精确方式, 是可以确定的. 但是, 它将依赖于包

含导电体的控制体的形状, 以及初始场的性质. 当η是常数时, 一般的方法如下. 我们首先考虑以

下方程的可分开的解∂H

∂t= −ηcurl(curlH) (4.23)


它对时间的依赖关系类似于e−λt. 因此

curl(curlH) =λ

ηH (4.24)

而我们必须在S和无穷远处适当的边界条件下解这个方程. 这个问题, 事实上简化为一个特征值

问题: 不同的特征值qj和属于它的解Hj , 形成一个完备集合, 在这个意义下, 满足在S和无穷远处

相同的边界条件的任何场, 可以用它们进行展开. 因此, 如果H(0)是在时刻t = 0的初始场, 我们

可以把它展开成形式

H(0) =∑j

AjHj (4.25)

其中展开的系数, 是由H(0)唯一确定的. 根据这种展开, 在此以后的场由

H(t) =∑j

Aje−qjηtHj (4.26)

给出. 这个方程表明, 场的各种模式是如何相互独立地衰减的.

但是, 我们描述的方法, 可以在一些特殊的几何条件下采用, 为了我们现在的目的, 这个理

论的主要物理内容,可以通过简单地考虑一种无穷的均匀介质,并回答一个给定波长的周期性场

的衰减速率问题推出. 因此, 考虑方程

∂Hi

∂t= η∇2Hi (4.27)

我们寻找一个空间依赖关系是exp(ikjxj)的解. 因此, 方程(4.27)给出

∂Hi

∂t= −k2ηHi (4.28)

所以,

H = H(0) exp[i(kjxj − k2ηt)] (4.29)

其中H(0)是t = 0时的场幅度. 可见这种场衰减的平均寿命是

τ =1

k2η=λ2µσ

π(4.30)

其中λ(= 2π/k)是波长. 方程(4.30)表明了普遍结果:线尺度为L的一个磁场的平均寿命量级是L2σ.

这个结果的明显意义, 是在大线尺度系统中的磁场, 可以承受比较长的时间周期.

§4.3.2 当有运动而电导率是无穷时的情况

当介质的电导率是无穷的情况具有特殊的兴趣. 因为这时电阻率是零, H的方程变成

∂H

∂t− curl(u×H) = 0 (4.31)

即使电导率是有限的,当时间与场的衰减时间相比较短时,方程(4.31)仍然足以给出场的变化. 因

为对于大线尺度系统而言, 衰减时间是很长的, 可见根据方程(4.31)得出的H的变化在宇宙和地

球物理问题中是有兴趣的.

当采用方程(4.31)时, 对于确定电场相应的方程是

E = −µu×H (4.32)

(i) 守恒定理

§4.3 控制磁场的运动方程及其某些意义 123

可见关于H的方程(4.31)形式与第三章中推导的涡量方程( §3.2, 方程(3.13))是完全相同的.

这两个方程相等, 事实上完全是因为H也是没有散度的. 在 §3.2中证明的所有关于涡量的定理,

也有与之对应的关于磁场H的方面. 用磁场, 定理如下:

首先我们看到, 可以用定义涡线涡管同样的方法, 定义磁力线和磁力管. 根据divH = 0, 可

见穿过磁力管任意截面的法向磁通量是相同的;磁力线必须是封闭的或者是在边界上终止的. 但

是, 最重要的定理, 当然是与Helmholtz-Kelvin定理相对应的; 它指出∫S

H · dS = constant (4.33)

总之: 当我们跟踪这个由流体微元组成的, 随流体微元运动的表面时, 在这个被一封闭曲线包围

的任意形状的表面上, H的法向分量的积分保持为常数.

对于不可压流体, 方程(4.31)具有替代形式(见方程(4.15))

dHi

dt=∂Hi

∂t+ uj

∂Hi

∂xj= Hj

∂ui∂xj

(4.34)

从这个方程可见(如同在以第三章中的方程(3.27)为基础的关于ω相应的讨论中), 由相同的流体

微元组成的磁力线: 它随流体象材料介质那样运动, 表现出它似乎永远与流体粘连在一起.

我们可以注意到, 以上结果, 对于可压缩流体有一个简单的推广. 方程

∂Hi

∂t+

∂

∂xj(ujHi) = Hj

∂ui∂xj

(4.35)

可以与如下的连续性方程∂ρ

∂t+

∂

∂xj(ρuj) = 0 (4.36)

联立, 给出d

dt

(Hi

ρ

)=

∂

∂t

(Hi

ρ

)+ uj

∂

∂xj

(Hi

ρ

)=Hj

ρ

∂ui∂xj

(4.37)

因此Hi/ρ满足与第三章中的方程(3.27)形式上相同的方程; 尾随的相应论证可以用Hi/ρ代替.

(ii) 磁能与动能之间的互相转化

下边考虑对于在流体的封闭控制体内磁场能量的变化, 方程(4.31)意味着什么. 我们有

∂M∂t

=µ

4π

∫V

H · curl(u×H)dV (4.38)

利用等式(4.18), 我们现在得到

∂M∂t

=µ

4π

∫V

(u×H) · curlHdV − µ

4π

∫S

H× (u×H) · dS (4.39)

如果流体限制在V内, 速度u在表面上S上的法向分量必须消失, 我们可以把方程(4.39) 形成形式

∂M∂t

= µ

∫V

u · (H× J)dV +µ

4π

∫S

(H · u)H · dS (4.40)

我们看到方程(4.40)右端的体积分是

−∫V

u · LdV (4.41)

其中L是Lorentz力: 它表示由于磁场对流体作功而导致的磁场能量的损失.

对于不可压流体, 通过从运动方程的形式(4.35)开始, 我们得到能量方程的替代形式; 因此

∂M∂t

= − µ

4π

∫V

Hi∂

∂xj(ujHi − uiHj)dV


= − µ

4π

∫V

1

2

∂

∂xj(ujH

2i ) −HiHj

∂ui∂xj

dV

= − µ

8π

∫S

| H |2 ujdSj +µ

4π

∫V

Hi∂ui∂xj

HjdV (4.42)

表面积分明显消失, 我们剩下的是

∂M∂t

=µ

4π

∫V

Hi∂ui∂xj

HjdV (4.43)

这个方程表明通过绕磁力线运动流体微元的牵动导致磁力线的扭曲产生的, 在V内磁场获得能

量的变化.

(iii) 普遍形式的能量方程

在一般情况下, 当通过Joule热的磁场能量的耗散, 和通过力线的扭曲机理得到能量都存在

时, 通过联立方程(4.21)和(4.43)可以得到相应的能量方程

∂M∂t

= −∫V

| J |2

σdV +

µ

4π

∫V

H · (∇u) ·HdV +1

4π

∫S

1

σH× J · dS (4.44)

其中∇u代表并向量∂ui/∂xj . 现在从方程(4)把J代入, 我们有

∂M∂t

= −∫V

| J |2

σdV +

µ

4π

∫V

H · (∇u) ·HdV+

+1

4π

∫S

H×E · dS +µ

4π

∫S

H× (u×H) · dS (4.45)

把最后一项中矢量的三次积展开, 我们得到

∂M∂t

= −∫V

| J |2

σdV +

µ

4π

∫V

H · (∇u) ·HdV+

+1

4π

∫S

H×E · dS− µ

4π

∫S

(H · u)(H · dS) (4.46)

这个方程中各项的物理意义已经解释过了.

§4.4 Alven 波

现在我们考虑表示波传播的磁流体动力学方程的解.

假设一个在没有运动情况下的均匀磁场H, 存在于一种无限的不可压均匀介质中, 流体的运

动粘性系数是ν, 电阻率是η; 考虑这种平衡状态的小震荡.

方程(4.10)和(4.15)的线化形式是

∂ui∂t

− µHj

4πρ

∂hi∂xj

= − ∂

∂xiδϖ + ν∇2ui (4.47)

和∂hi∂t

−Hj∂ui∂xj

= η∇2hi (4.48)

其中

δϖ =δp

ρ+ µ

H · h4πρ

(4.49)

而h是磁场的扰动. 通过对方程(4.47)取散度, 并记住u和h 都是无散度的, 我们得到

∇2δϖ = 0 (4.50)

§4.4 Alven 波 125

对于正在处理的问题, 这个方程的解是

δϖ ≡ 0 (4.51)

因此, 方程(4.47)简化为∂ui∂t

=µHj

4πρ

∂hi∂xj

+ ν∇2ui (4.52)

除了方程(4.48)和(4.52), 我们还有∂ui∂xi

= 0,∂hi∂xi

= 0 (4.53)

我们现在寻找方程(4.48),(4.52), 和(4.53)的解, 它们对时间空间的依赖关系是

eikjxj+iωt (4.54)

则方程给出

(ω − iνk2)ui =µ

4πρ(kjHj)hi (4.55)

(ω − iηk2)hi = (kjHj)ui (4.56)

和

kjhj = 0, kjuj = 0 (4.57)

从方程(4.55)和(4.56)我们得到

(ω − iνk2)(ω − iηk2)ui =µ

4πρ(kjHj)

2ui (4.58)

且对hi有完全类似的方程. 因此, 需要的‘色散关系’是

(ω − iνk2)(ω − iηk2) = V 2a k

2 (4.59)

其中

VA =

(µ

4πρ

) 12

H cosϑ (4.60)

而ϑ是波的传播方向与H方向的夹角. 量VA定义了一个速度: 它称为Alven 速度.

根据方程(4.57)发现这些波是横波; 当粘性系数和电阻系数有限时, 波受到阻尼.

§4.4.1 当ν = η = 0的情况

在这种情况下波是没有受到阻尼的,

ω

k= ±VA = ±

(µ

4πρ

) 12

H cosϑ (4.61)

这些没有受到阻尼的波的传播速度, 是Alfven速度. 这时

ui =1

ω

µk

4πρ(H cosϑ)hi (4.62)

或者, 应用方程(4.61),

ui = ±(

µ

4πρ

) 12

hi,1

2ρ | u |2=

µ

8π| h |2 (4.63)

磁场中波的平均能量与运动的平均动能是相同的.

根据方程(4.61), 波的群速度是

∂ω

∂ki= ±

(µ

4πρ

) 12

Hi (4.64)


因此, 一个波包必须跟随速度为(µ/4πρ)12H的磁力线.

正如Alfven 指出的, 这些磁流体力学波, 可以看作是磁力线振动中导致磁力线扭曲的原因.

因为, 正如我们已经看到的由磁场引起的应力, 是相对于流体静压力, µ | H |2 /8π, 而张力,

µ | H |2 /4π, 是沿着磁力线的; 除了把磁力线与这个张力相联系, 如果我们把它归因于一个线密

度, 则公式

ω

k=

√(tension

line − density

)(4.65)

对于扭曲线的振动有效, 它给出了正确的Alfven 速度.

§4.4.2 有限粘度和电阻率的影响

回到方程(4.59), 我们有一般的解

ω = ±k√

[V 2A − 1

4(ν − η)2k2] + i

1

2(ν + η)k2 (4.66)

因此有限粘度和电阻率的影响是:首先,在附加有ν和η时,出现波的阻尼.其次,当ν和η不同时,出

现Alfven速度的变化.

在ν → 0和η → 0的极限情况下, 我们有近似公式

ω = ±VAk[1 − 1

8

(ν − η)2

V 2A

k2]

+ i1

2(ν + η)k2 (4.67)

§4.5 磁流体动力学方程的一些特解. Taylor-Proudman定理的类比

在有势场中, 对于无电阻率的不可压无粘流体, 流体动力学基本方程是:

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

− µ

4πρHj

∂Hi

∂xj= − ∂

∂xi

(p

ρ+ µ

| H |2

8πρ+ V

)(4.68)

∂Hi

∂t+ uj

∂Hi

∂xj= Hj

∂ui∂xj

(4.69)

以及关于u和H的散度条件.应用在第三章中的方程(3.9)给出的等式并回想方程(4.6)给出的Lorentz力

的原始形式, 我们可以把方程(4.68), 重新写成形式

∂u

∂t− u× curlu +

µ

4πρH× curlH = −grad

(p

ρ+

1

2| u |2 +V

)(4.70)

在稳定态条件下, 以上方程允许一些值得一提的特解.

§4.5.1 均匀分布解

方程(4.68)和(4.69)的一种特别简单的解由

ui = ±(

µ

4πρ

) 12

Hi (4.71)

和∂

∂xi

(p

ρ+ µ

| H |2

8πρ+ V

)(4.72)

给出. 关于这个解, 在任意一点流体的速度平行于在这一点的磁场方向, 它们的相对幅度, 是由

两种形式的能量相等确定的:1

2ρ | u |2= µ

| H |2

8π(4.73)

§4.5 磁流体动力学方程的一些特解. Taylor-Proudman定理的类比 127

但是,方程的这种解,可能是假的,重要的是指出,除了对于流体静力学平衡条件,不存在对场(或

者运动)的空间依赖性限制. 而且, 正如我们将在第十九章第7节中§113中给出的, 这种解对于小

扰动是稳定的.

§4.5.2 力自由场

第二个特解, 是根据没有流体运动时Lorentz力消失, 流体静力学平衡特解满足的情况推出

的, 即, 当

4πL = curlH×H = 0, u = 0, grad(V + p/ρ) = 0 (4.74)

满足L = 0的场称为力自由场. 显然, Lorentz力消失,要求在任何地方场与电流密度是平行的. 使

后边提到的条件得以满足的一种简单的方法是取

curlH = αH (4.75)

其中α是常数. 对于各种简单几何情况下可以容易地给出方程(4.75)的解.

重要的是说明，力自由场意味着不能总是能得到满足的边界条件. 为此, 考虑体积积分∫V

r · (curlH×H)dV =

∫V

curlH · (H× r)dV (4.76)

借助于等式(4.18)对这个积分进行变换, 我们有∫V

r · (curlH×H)dV =

∫V

H · curl(H× r)dV −∫S

(H× r) ×H · dS (4.77)

对右端的体积积分进一步简化, 展开右端矢量三次乘积项, 我们发现∫V

r · (curlH×H)dV =1

2

∫V

| H |2 dV − 1

2

∫S

| H2 |2 xjdSj+

+

∫S

(H · r)(H · dS) (4.78)

因此, 力自由条件在V内是满足的∫V

| H |2=

∫S

| H |2 r · dS− 2

∫S

(H · r)(H · dS) (4.79)

显然, 如果H在S上消失, (除非无意义地)这个条件不能得到满足. 换言之, 我们可以消去一个区

域内部的应力, 但是我们不能在所有地方都把它消去.

解(4.75), 有允许流体运动的一个简单推广. 因为关于H的运动方程, 在u处处与之平行时可

以得到满足, 我们取

u = β

(µ

4πρ

) 12

H (4.80)

其中β是一个常数. 除了场是力自由的条件, 如果我们假定方程(4.70)在

grad(1

2| u |2 +V + p/ρ) = 0 (4.81)

得到满足.


§4.5.3 Taylor Proudman 类比

假设在流体上施加一个均匀的磁场H. 让系统受到扰动,假设存在一种稳定状态其中盛行的

对初始状态的偏离是小量. 让mfh表示磁场中的扰动, u代表速度扰动, 根据方程(4.68)和(4.69),

这些量的控制方程是

µHj∂hi∂xj

=∂

∂xi

(δp

ρ+ µ

H · h4πρ

+ δV

)(4.82)

和

Hj∂ui∂xj

= 0 (4.83)

从方程(4.83)可以得出:运动不能在H方向变化. 换言之,在均匀磁场中所有的缓慢运动必须是二

维的. 这与旋转流体的Taylor- Proudman定理完全类似.

§4.6 有磁场时的热不稳定性问题: 普遍的考虑

从在上一节中证明的定理, 可见施加在导电流体上的一个强磁场对热不稳定性发生一定具

有深远的影响. 因为对流意味着出现的运动必须是三维运动. 对于电阻率为零的流体, 这种运动

是不允许的. 正如我们在 §4.5.3 中已经看到的, 缓慢的二维稳态运动是唯一允许的运动模式. 因

此, 电阻率为零的流体, 对于所有的逆温度梯度都是热稳定的. 而且, 显然, 磁场具有抑制对流发

生的效应.因为, 除了粘性的能量耗散, 还有通过Joule热的耗散.在一种稳定状态, 由作用在流体

上的浮力释放的能量必须与通过这两种途径耗散的能量相平衡(见下边的 §4.8.2). 这可在逆温度

梯度比没有Joule热情况下更大时获得.

另外, 还有需要记住的因素: 正是在有磁场时, 扰动才能作为Alfven波. 因此, 作为超稳定性

出现的不稳定的可能性, 不能忽略.

§4.7 扰动方程

考虑一种无限的水平导电流体层, 在它上边作用着一个均匀的磁场. 如同在第二和三章中

那样, 考虑在Boussinesq近似下相应的运动方程和导热方程就足够了. 现在我们允许考虑的唯一

的附加因素是在运动方程中出现的Lorentz力. 因此, 代替第二章的方程(2.43), 现在我们得到(见

方程(4.10))

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

− µ

4πρHj

∂Hi

∂xj= − ∂

∂xi

(p

ρ+ µ

| H |2

8πρ

)+

(1 +

δρ

ρ0

)Xi + ν∇2ui (4.84)

第二章的方程(2.41),(2.44)和(2.46)不受影响; 我们现在还有方程

∂Hi

∂t+ uj

∂Hi

∂xj= Hj

∂ui∂xj

+ η∇2Hi (4.85)

和∂Hi

∂xi= 0 (4.86)

我们现在面对一个初始状态, 其中保持了一个稳定的逆温度梯度, 没有运动. 这个初始状态

的特征与第二章§9中给出的初始状态, 无论从哪方面看都没有差别.控制小扰动的方程可以用类

似的方法得到. 因此, 代替第二章的方程(2.55), 我们现在有

∂ui∂t

= − ∂

∂xiδϖ + gαθλi + ν∇2ui +

µHj

4πρ

∂hi∂xj

(4.87)

§4.7 扰动方程 129

其中λ = (00, 1)是垂直方向的单位矢量, H是施加的磁场, h是它的扰动, 且

δϖ =δp

ρ0+ µ

H · h4πρ

(4.88)

方程(4.85)和(4.86)相应的线化形式是

∂hi∂t

= Hj∂ui∂xj

+ η∇2hi (4.89)

和∂hi∂xi

= 0 (4.90)

除了以上方程, 我们有(见第二章的方程 (2.56)和(2.57))

∂θ

∂t= βλjuj + κ∇2θ (4.91)

和∂ui∂xi

= 0 (4.92)

如同在第二和三章中, 通过把算子ϵijk∂/∂xi作用于方程(4.87)中的k−分量, 我们消去在这个方程

中的项gradδϖ. 结果是(见第二章方程(2.67))

ω

∂t= gαϵijk

∂θ

∂xjλk + ν∇2ωi +

µHj

4πρ

∂υi∂xj

(4.93)

其中类似于我们已经定义的涡量ω,

υ = curlh (4.94)

除了一个因子1/4π, υ, 是由扰动诱导的电流密度. 对方程(4.93)再次取旋度, 我们得到(见第二章

方程(2.72))∂

∂t∇2ui = gα

(λi∇2θ − λj

∂2θ

∂xi∂xj

)+ ν∇4ui +

µHj

4πρ

∂

∂xj∇2hi (4.95)

类似地, 对方程(4.89)取旋度, 我们有

∂υi∂t

= Hj∂ω

∂xj+ η∇2υi (4.96)

现在用λi乘以方程(4.89),(4.93), (4.95), 和(4.96), 我们得到以下方程组:

∂hz∂t

= η∇2hz +Hj∂ω

∂xj(4.97)

∂ξ

∂t= η∇2ξ +Hj

∂ζ

∂xj(4.98)

∂ζ

∂t= ν∇2ζ +

µHj

4πρ

∂ξ

∂xj(4.99)

∂

∂t∇2w = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w +

µHj

4πρ

∂

∂xj∇2hz (4.100)

其中w,ζ, 和ξ/4π分别是是速度, 涡量和电流密度的z−分量.

与以上方程有关的大多数讨论将限制在H和g是平行的情况; 与此不同的情况将在 §4.12中

讨论.

当作用的磁场的方向与垂直方向一致时, 相应的方程是

∂θ

∂t= k∇2θ + βw (4.101)


∂hz∂t

= η∇2hz +H∂w

∂z(4.102)

∂ξ

∂t= η∇2ξ +H

∂ζ

∂z(4.103)

∂ζ

∂t= ν∇2ζ +

µH

4πρ

∂ξ

∂z(4.104)

和∂

∂t∇2w = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w +

µH

4πρ

∂

∂z∇2hz (4.105)

§4.7.1 边界条件

我们现在寻找方程(4.101)-(4.105)的解, 它们满足各种边界条件; 其中关于w和ζ的边界条件

已经在(第二章 §2.5.1中)描述过. 剩下来的是考虑hz和ξ的边界条件. 后者取决于与流体相邻的介

质的电性质. 我们将考虑两种情况.

如果与流体相邻的介质是电绝缘的, 则没有电流可以穿过边界, 我们需要Jz = 0. 而且在绝

缘介质中的场hex一定是与一种真空相对应, 并可以从一种势推出. 因此

hex = gradψ, 其中∇2ψ = 0 (4.106)

而在流体和这种介质的交界面上场一定是连续的. 我们把这种情况称为情况A.因此关于h和ξ(=

4πξ)的边界条件是

h = hex, ξ = 0, 在情况A的约束表面上 (4.107)

另一方面, 如果与流体相邻的介质, 是完全导电体, 则没有磁场可以穿过边界, 我们必须要求

hz = 0, Ex = Ey = 0, 在一个邻近完全导电体的平面边界上 (4.108)

我们将把电磁场条件(4.108)与刚性边界相联系. 这时, 在边界上没有运动, 条件(4.108)相对于

hz = 0, Jx = Jy = 0 (4.109)

我们把这称为情况B. 从divJ = 0和在平面边界上Jx = Jy = 0的事实, 我们得出∂Jz/∂z = 0. 因

此, 关于hz和ξ的条件是

hz = 0,∂ξ

∂z= 0 在情况B的约束表面上 (4.110)

因为在刚性边界上∂w/∂z = 0, 从方程(4.102)我们得出

∇2hz = 0 在情况B的约束表面上 (4.111)

§4.7.2 正交模式分析

根据我们的标准步骤, 我们分析w, θ, ζ, hz, 和ξ的二维波.考虑由特征波数k表征的扰动, 我们

假设w, θ, 和ζ具有方程(2.90)假定的形式; 另外, 我们现在假设ξ = X(z) exp[i(kxx+ kyy) + pt]

hz = K(z) exp[i(kxx+ kyy) + pt](4.112)

方程(4.101)-(4.105)变成

pΘ = βW + κ

(d2

dz2− k2

)Θ (4.113)

§4.7 扰动方程 131

pK = HdW

dz+ η

(d2

dz2− k2

)K (4.114)

p

(d2

dz2− k2


(d2

dz2− k2

)2

W +µH

4πρ

d

dz

(d2

dz2− k2

)K (4.115)

pX = HdZ

dz+ η

(d2

dz2− k2

)X (4.116)

和

pZ =µH

4πρ

dX

dz+ ν

(d2

dz2− k2

)Z (4.117)

我们看到关于X和Z的方程从形式上是相互独立的.

衡量长度的单位用d, 让

a = kd, σ = pd2/ν, P1 = ν/k P2 = ν/η (4.118)

我们可以把方程(4.113)-(4.117)重新写成形式

(D2 − a2 −P1σ)Θ = −(βd2

κ

)W (4.119)

(D2 − a2 − P2σ)K = −(Hd

η

)DW (4.120)

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)W +

(µHd

4πρν

)D(D2 − a2)K =

(gαν

)a2Θ (4.121)

(D2 − a2 − P2σ)X = −(Hd

η

)DZ (4.122)

和

(D2 − a2 − σ)Z = −(µHd

4πρν

)DX (4.123)

其中D = d/dz(z是用d衡量的).

方程(4.121)-(4.123)的解必须在满足由方程(2.95)和(2.96)以及其它的条件(见方程(4.107), (4.110),

和(4.111)) 的情况下寻找:

X = 0, 在绝缘边界上h与一个外部真空场是连续的 (4.124)

和

DX = 0, K = 0 在一个完全导电的边界上 (4.125)

§4.7.3 关于速度和磁场的水平分量的解

方程(4.121)-(4.123)确定了各种量的z−分量. 为了完成求解, 我们必须确定速度和磁场的水

平分量. 在第二章 §2.6.1中, 我们已经说明如何从已知的w和ζ确定速度的水平分量. 类似地,

从已知的hz 和ξ, 可以确定磁场的水平分量. 因为hx和hy与相应的h和υ的垂直分量的联系形式,

与u和v与相应的u和ω的垂直分量的联系形式是完全相同的. 可见要求的关系是

hx =1

a2

(∂2hz∂x∂z

+ d∂ξ

∂y

)(4.126)

和

hy =1

a2

(∂2hz∂y∂z

− d∂ξ

∂x

)(4.127)


§4.8 稳态对流不稳定性发生时的情况. 一个变分原理

如同在第三章中, 我们首先考虑当稳态对流不稳定性发生时的情况. 不稳定性是否能以超

稳定性发生的情况将在 §4.11中考虑.

当稳态对流不稳定性发生时,边缘状态由σ = 0表征,基本方程简化为(见方程(4.121)-(4.123))

(D2 − a2)Θ = −(βd2

κ

)W (4.128)

(D2 − a2)K = −(Hd

η

)DW (4.129)

(D2 − a2)W +

(µHd

4πρν

)D(D2 − a2)K =

(gαd2

ν

)a2Θ (4.130)

(D2 − a2)X = −(Hd

η

)DZ (4.131)

和

(D2 − a2)Z = −(µHd

4πρν

)DX (4.132)

应用方程(4.129), 从方程(4.130)我们可以消去K; 因此

(D2 − a2)2W −QD2W −(gαd2

ν

)a2Θ (4.133)

其中(见方程(4.14))

Q =µH2d2

4πρνη=µ2H2σ

ρνd2 (4.134)

是一无量纲数. 这个无量纲数Q对于涉及磁场的问题起的作用, 与Taylor数T对于涉及旋转问题

起的作用是相同的. (注意消去K不需要任何微分)

应用算子(D2 − a2)和方程(4.128), 从方程(4.133), 我们可以消去Θ. 我们得到

(D2 − a2)[(D2 − a2)2 −QD2]W = −Ra2W (4.135)

其中R是Rayleigh数. 从方程(4.131)和(4.132), 我们得到

[(D2 − a2)2 −QD2]X = [(D2 − a2)2 −QD2]Z = 0 (4.136)

显然对于现在的问题

X = 0, Z = 0 (4.137)

换言之:在这个问题中, 涡量和电流密度的z−分量同样消失.

回到方程(4.129)和(4.135), 我们必须寻找这些方程的解, 使边界条件:

W = 0, [(D2 − a2)2 −QD2]W = 0 当 z = 0, 1 (4.138)DW = 0 (在刚性表面上, 或者)

D2W = 0 (在自由表面上, 或者)(4.139)

和 h 与一个空间依赖关系是e±az+i(axx+ayy)推导出来

的势场保持连续, (在绝缘的边界上) 或者

K = 0 在完全导电的边界上

(4.140)


得到满足.

因为方程(4.135)和边界条件(4.138),(4.139)没有涉及到K,可见,以特征值问题为基础的解,可

以独立于关于磁场的边界条件进行寻找. 但是, 边界条件(4.140), 对于这个问题的一个完整的解

是必要的.

§4.8.1 一种变分原理

如同在第II和第III章考虑的类似的特征值问题,由方程(4.135)和边界条件(4.138)和(4.138)表

达的问题, 也可以用变分原理进行描述.

让

F = (D2 − a2)2W −QD2W (4.141)

我们可以把控制W的方程重新写成形式

(D2 − a2)F = −Ra2W (4.142)

边界条件(4.138)要求

F = 0, W = 0 当z = 0, 1 (4.143)

现在把方程(4.142)乘以F , 并在z的范围内进行积分. 在进行一次分部积分之后, 我们得到∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz = Ra2∫ 1

0

WFdz (4.144)

右端的积分是 ∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

W(D2 − a2)W −QD2Wdz (4.145)

在进一步分部积分之后, 这变成(见在方程(2.120)和(2.121)以及方程(3.110)的类似简化)∫ 1

0

WFdz =

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2dz (4.146)

方程(4.142)乘以F , 并在z的范围内积分的结果是

R =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2dz

(4.147)

作为两个正定积分比值的这个公式表示为R;可见,正如在我们考虑过的其它情况中,方程(4.147)

提供了变分方法处理这个问题的基础. 确实, 对于稳态对流不稳定性发生的临界Rayleigh数是方

程(4.147)右端量的绝对极小值.

§4.8.2 变分原理的热力学意义

在第II章§14中,我们给出了简单的Benard问题的热力学意义,在变分处理这个问题时极小化

的量简单地表示, 能量的被粘性耗散速率与浮力的能量释放速率相等. 在第三章 §3.10.1 中, 我

们表明当系统承受旋转时, 这是真实的. 在这两种情况下, 粘性提供了唯一的能量不可逆耗散的

根源. 但是, 当有磁场存在时, 有一个另外的能量不可逆耗散的根源, 它是Joule热. 在这些情况

下,我们必须预计,表示通过这两种途径的能量耗散速率与浮力的能量释放速率相等的边缘状态

条件. 现在我们将表明情况确实如此.

因为在现在的问题中, 正如在简单的Benard中, 涡量的z−分量消失, 在第二章中§2.10 得到

的在流体的单位立柱中能量的粘性耗散的平均速率表达式仍然可以应用. 并且因为与 θ 和 w 有


关的方程是相同的, 通过浮力释放能量的平均速率的表达式也可以应用. 因此(见方程 (2.177)和

(2.180))

ϵν =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz (4.148)

和

ϵg =ρgακ

4βd2

∫ 1

0

[(DΘ)2 + a2Θ2]dz (4.149)

另一方面, 根据方程 (4.133)和(4.141)

Θ =ν

gαd2a2F (4.150)

利用F , ϵg的表达式是

ϵg =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (4.151)

剩下的, 是求由Joule热在流体的单位立柱中能量耗散的平均速率. 这由

ϵσ =1

σd2

∫ 1

0

⟨| J |2⟩dz =µη

4πd2

∫ 1

0

⟨| curlh |2⟩dz (4.152)

给出. 必须指出的是我们正在包含的是仅仅是方程(4.46)中右端对| J |2 /σ的体积积分. 在方

程(4.46)中剩下的积分, 第二个对并矢∇u的积分, 没有表明真正的能量损失, 因为同样的符号相

反的积分出现在关于动能变化率的表达式中; 对Poynting通量的面积分, 在平均以后明显消失.

但是, 最后的面积分, 一般将不再消失: 它将仅仅在相应的边界条件是刚性时消失.

在正在讨论的情况下, Jz ≡ 0, 我们可以把表达式ϵσ写成形式

ϵg =µη

4πd2

∫ 1

0

⟨(∂hy∂z

− ∂hz∂y

)2

+

(∂hx∂z

− ∂hz∂x

)2

⟩dz (4.153)

在现在的问题中,不失一般性,如果我们假设hz的表达式是(相应的关于W的表达式II(2.172))

hz = K(z) cos axx cos ayy (4.154)

因为电流密度的z−分量是零, 关于hx和hy的表达式是:hx = 1a2

∂2hz∂x∂z = −DK

a2 ax sin axx cos ayy

hy = 1a2

∂2hz∂y∂z = −DK

a2 ay cos axx sin ayy(4.155)

把这些h分量的表达式代入方程(4.153), 我们得到ϵσ = µη4πd2a4

∫ 1

0⟨[ay cos axx sin ayy](D2 − a2)K]2+

+[ax sin axx cos ayy(D2 − a2)K]2⟩dz(4.156)

因此, 我们有

ϵσ =µη

16πd2a2

∫ 1

0

[(D2 − a2)K]2dz (4.157)

现在应用方程(4.129), 并记住Q的定义, 我们有

ϵσ =ρν

4a2d2Q

∫ 1

0

(DW )2dz (4.158)


在流体的单位立柱中,通过加上方程(4.148)和(4.158)给出的结果,我们得到通过粘性和Joule热

的能量耗散平均速率. 因此

ϵν + ϵσ =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2dz (4.159)

通过这个关于ϵν + ϵσ的表达式与方程(151)中给出的ϵg相等, 我们得到

R =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2dz

(4.160)

但是这与在变分方法中极小化R得到的表达式是完全相同的. 因此, 如果我们包含粘性(已经明

显地提到的),以及所有可能发生的能量耗散形式的能量耗散,在第三章中描述的普遍原理,是有

效的.

§4.9 当稳态对流不稳定性发生时的解

我们将得到关于以下三种情况下的解: 当两个约束表面是自由的; 当两个约束表面是刚性

的; 当一个约束表面是刚性另一个约束表面是自由的.

§4.9.1 关于两个自由边界情况的解

在这种情况下, 边界条件(4.138)和(4.139) 要求

W = D2W = D4W = 0, 当z = 0, 1 (4.161)

从W满足的方程(即方程(4.135)), 可以得出D6W = 0当z = 0, 1. 通过对方程(4.135)的偶数次微

分, 我们可以得出当z = 0, 1 时W的所有偶数次导数消失. 因此, W相应于最低模式的特解是

W = A sinπz (4.162)

其中A是常数. 把(4.162)式代入方程(135)导致特征方程

R =π2 + a2

a2[(π2 + a2)2 + π2Q] (4.163)

让

a2 = π2x (4.164)

方程(163)变成

R = π4 1 + x

x

[(1 + x)2 +

Q

π2

](4.165)

作为x的函数, 由方程(4.165)给出的R达到它的极小值, 当

2x2 + 3x2 = 1 +Q/π2 (4.166)

值得注意的是这个三次方程与在相应的旋转问题中出现的形式, 在某种程度上是相同的(见方

程(3.131)); 参数Q/π2现在起着T/π4的作用. 把x确定为方程 (4.166)的一个解, 方程 (4.165)将给

出需要的临界Rayleigh数Rc. 对于各种Q,用这种方法确定的Rc值在表XIV中给出;其中也给出了

边缘状态的特征波数. 另外, 这个结果也表示在图 4.1 和图 4.2 中. 从这些结果可见磁场对不稳

定性发生的抑制效应是明显的.

对于足够大的Q/π2, 要求的方程(4.166)的根趋向于


log10Hc

log10Q532

4

1

5

3

a

c

a

bc

图 4.1 三种情况下作为Q的函数的不稳定性发生的临界Rayleigh数的变化: (i)两个约束表面是自

由的;(用aa标记的曲线), (ii)一个约束表面是自由的另一个约束表面是刚性的;(用b标记的曲线),

(iii)两个约束表面是刚性的, (用cc标记的曲线).

表XIV

当两个约束表面自由时,关于稳态对流发生的边缘不稳定模式的波数和临界Rayleigh数

Q ac Rc Rc/R0 Q ac Rc Rc/R0

0 2.233 657.511 1.0000 6500 7.952 80343.6 122.19

5 2.432 796.573 1.2115 7000 8.059 86034.0 130.85

10 2.590 923.070 1.4093 7500 8.159 91705.7 139.47

20 2.826 1154.19 1.7554 8000 8.253 97360.1 148.07

50 3.270 1762.04 2.6799 8500 8.343 102998 156.65

100 3.702 2653.71 4.0360 9000 8.429 108623 165.20

150 3.990 3475.67 5.2861 9500 8.510 114234 173.74

200 4.210 4258.49 6.4767 10000 8.588 119832 182.25

300 4.543 5752.65 8.7491 10500 8.663 125419 190.75

400 4.794 7185.94 10.929 11000 8.735 130995 199.23

500 4.998 8578.88 13.048 11500 8.804 136560 207.69

600 5.171 9942.40 15.121 12000 8.870 142116 216.14

700 5.321 11283.2 17.160 13000 8.997 153202 233.00

800 5.455 12605.6 19.172 14000 9.116 164255 249.81

1000 5.684 15207.0 23.128 15000 9.227 175279 266.58

1500 6.123 21535.2 32.753 16000 9.333 186276 283.30

2000 6.453 27699.9 42.128 17000 9.433 197249 299.99

2500 6.720 33756.5 51.340 18000 9.528 208199 316.65

3000 6.945 39734.2 60.431 19000 9.619 219129 333.27

3500 7.140 45650.6 69.429 20000 9.706 230038 349.86

4000 7.313 51517.8 78.353 25000 10.09 284341 432.45

4500 7.442 57344.6 87.215 30000 10.42 338308 514.53

5000 7.585 63135.9 96.022 35000 10.70 392013 596.21

5500 7.717 68897.3 104.78 40000 10.95 445507 677.56

6000 7.839 74632.1 113.51

xmin → (Q/2π2)12 , (Q→ ∞) (4.167)

Rc和amin相应的渐进行为是

Rc → π2Q, amin → (1

2π4Q)

16 (4.168)

根据它们的定义代入R和Q, 我们发现, 当Q → ∞时, 确定稳态对流不稳定性发生的临界温度梯

度的公式是

gαβc → π2µ2H2

ρσκd−2, (H → ∞,或者σ → ∞,或者ν → 0) (4.169)


log10Q

ac6

4

2

0

10

12

21 3 4 5

8

a

c

a

cb

图 4.2 三种情况下作为Q的函数的不稳定性发生的波数(单位是1/d)的变化: (i)两个约束表面

是自由的;(用aa标记的曲线), (ii)一个约束表面是自由的另一个约束表面是刚性的;(用b标记的曲

线), (iii)两个约束表面是刚性的, (用cc标记的曲线).

我们看到, 在这种极限情况下, 临界温度梯度与运动粘性系数无关. 在 §4.10中, 我们将回到这个

结果的意义上来.

§4.9.2 关于两个刚性边界情况的解

我们将通过变分方法得到这种情况的解.

考虑的这个问题关于约束平面的对称性, 我们发现把z轴的原点移到中间平面内是比较方便

的. 这样,流体将限制在介于z = ±12之间,我们将寻找满足下列边界条件的方程(4.141)和(4.142)的

解

F = W = DW 当z = ±1

2(4.170)

显然, 从方程和边界条件可见, 问题的特解分别是偶型和奇型的两组不联立的解, 而且最小的特

征值出现在偶型解中. 因此我们将考虑这种解.

因为假设F是偶型的, 在z = ± 12上要求消失. 我们可以把它展开成余弦级数的形式

F =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (4.171)

其中对m的求和可以假定为从零到无穷; 但这是不必要的, 因为我们将假设系数Am是变分参数.

根据F的选择形式, 要解的W的方程是

[(D2 − a2)2 −QD2]W =∑m

Am cos[(2m+ 1)πz] (4.172)

把W展开成求和形式

W =∑m

AmWm (4.173)


我们必须解

[(D2 − a2)2 −QD2]Wm = cos[(2m+ 1)πz] (4.174)

这个方程的通解是

Wm = γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +2∑

j=1


其中1

γ2m+1= [(2m+ 1)2π2 + a2]2 + (2m+ 1)2π2Q (4.176)

B(m)j (j = 1, 2)是积分常数; q2j (j = 1, 2)是以下二次方程的根

(q2 − a2)2 −Qq2 = 0 (4.177)

根据方程(4.177),

q1 =1

2[√

(Q+ 4a2) +√Q], q2 =

1

2[√Q+ 4a2 −

√Q] (4.178)

从相同的方程得出的等式是

1

γ2m+1=

2∏j=1

[(2m+ 1)2π2 + q2j ] (4.179)

在方程(4.175)中的常数B(m)j 由当z = ±1

2时对W和DW要求的边界条件确定. 这些条件给出∑2

j=1B(m)j cosh 1

2qj = 0∑2j=1B

(m)j qj sinh 1

2qj = (−1)m(2m+ 1)πσ2m+1

(4.180)

通过解这些方程, 我们发现Bm1 = +(−1)m(2m+ 1)πγ2m+1∆sech 1

2q1

Bm2 = −(−1)m(2m+ 1)πγ2m+1∆sech 1

2q2

(4.181)

其中

∆ =1

q1 tanh 12q1 − q2 tanh 1

2q2(4.182)

把由方程 (4.171),(4.173), 和(4.175)中的F和W代入方程(4.142), 我们有∑m

Amc2m+1 cos[(2m+ 1)πz]

= Ra2∑m

Am

γ2m+1 cos[(2m+ 1)πz] +2∑

j=1

B(m)j cosh qjz

(4.183)

其中

c2m+1 = (2m+ 1)2π2 + a2 (4.184)

用cos[(2n+ 1)πz]乘以方程(4.183), 并在z的范围内进行积分, 我们得到

1

2c2n+1An = Ra2

1

2γ2n+1An +

∑m

(n | m)Am

(4.185)


其中

(n | m) =

2∑j=1

B(m)j

∫ 12

− 12

cosh qjz cos[(2n+ 1)πz]dz

= 2(2n+ 1)π(−1)n2∑

j=1

B(m)j cosh 1

2qj

(2n+ 1)2π2 + q2j(4.186)

方程(4.185)给出了关于常数Am一个线性齐次方程组, 对于所有保持(4.146)式等于常数的Am的

变分, 这个相同的方程组保证R的表达式(4.147)是一个极小值. 在这个新的公式中, Ra2是待定

的Lagrange 乘子;

由方程(4.185)给出的系统的行列式必须消失; 而这给出了关于R的特征方程;因此∥∥∥ 12

( c2n+1

Ra2 − γ2n+1

)δnm − (n | m)

∥∥∥ = 0 (4.187)

根据方程(4.181)代入B(m)J , 应用等式(4.179), 在经过一些小的简化之后, 我们发现关于(n |

m)变成

(n | m) = (−1)m+n2(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1∆(q22 − q21) (4.188)

代入∆, q21 , 和q22的值, 我们有

(n | m) = (−1)m+n+12(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1×

×√

[Q(Q+ 4a2)]

q1 tanh 12q1 − q2 tanh 1

2q2(4.189)

这个(n | m)的表达式对于n和m是明显对称的. 通过陆续包含更多的行和列解特征方程(4.187),

我们可以得出待求的精度不断提高的特征值.这种计算的结果列在表XV中, 并且用图 4.1 和 4.2

表示出来. 可以看出确实没有必要去计算高于二阶近似的情况.

§4.9.3 关于一个是刚性的另一个是自由的情况下的解

在这种情况下, 要满足的两个约束表面上的条件是不同的. 但是, 这种情况的解可以通过考

虑情况(b)中关于W的奇型解简化得到. 因为, 显然满足情况(b)的相应的边界条件的W的奇型解,

在z = 0时消失; 因此, 在z = 0, W的相应于自由表面的条件得到满足. 因此, 适合情况(b)的一个

细胞深度为d的W的奇型解, 给出了一个情况(c)的细胞深度为 12d, Rayleigh数小了16倍, 而Q的值

则小了4倍.

通过考虑适合于情况(b)的W的奇型解,应用变分原理我们可以得到这个解.因此,通过把F展

开成正弦级数形式

F =∑m


按照与上边§(b)中描述的相同的步骤我们可以找到这个解. 通过这种方式, 我们得到特征行列式∥∥∥ 12

(c2nRa2 − γ2n

)δnm − (n | m)

∥∥∥ = 0 (4.191)

其中c2n和γ2n是在方程(4.176)和(4.184)中定义的(用2m替换2m + 1), 现在(n | m)由下式给出(见

方程 (4.189))

(n | m) = (−1)n+m+18nmπ2γ2nγ2m

√[Q(Q+ 4a2)]

q1 coth 12q1 − q2 coth 1

2q2(4.192)

这个特征方程(4.191)已经用了各种方法近似. 这种计算的结果列在表XVI中, 并用图 4.1和4.2表示.


表XV

当两个约束表面是刚性的以及发生的不稳定性是稳态对流的临界Rayleigh数和相关常数

F =∑

Am cos(2m + 1)πz

Rc F = cosπz + A(1 + cos 2πz)

Q ac 一阶近似二阶近似三阶近似 Rc A

0 3.13 1715.1 1707.8

10 3.25 1953.7 1946.0 1915.8 1945.9 0.09518

50 3.68 2811.4 2802.4 2802.1 0.09122

100 4.00 3767.6 3757.8 3757.3 3757.4 0.08556

200 4.45 5499.9 5489.3 5488.6 0.07746

500 5.16 10122 10111 10110 0.06283

1000 5.80 17116 17105 17103 17103 0.05192

2000 6.55 30127 30127 30125 0.04196

4000 7.40 54712 54700 54697 0.03345

6000 7.94 78405 78393 78391 0.02899

8000 8.34 101622 101609 101606 0.02628

10000 8.66 124523 124511 124509 124509 0.02471

表XVI

当一个约束表面是刚性的另一个约束表面是自由的以及发生的不稳定性是稳态对流的

临界Rayleigh数和相关常数Rc

Q ac 一阶近似二阶近似 A

0 2.68 1112.7 1100.75 0.2043

2.5 2.75 1179.4 1167.2 0.2016

12.5 2.97 1428.3 1415.5 0.1905

25 3.17 1712.7 1699.4 0.1790

50 3.45 2231.3 2217.6 0.1616

125 4.00 3600.2 3586.1 0.1326

250 4.50 5627.5 5613.3 0.1085

500 5.10 9318.7 9304.5 0.0865

1000 5.75 16133 16119 0.0671

1500 6.20 22606 22592 0.0578

2000 6.50 28893 28879 0.0516

2500 6.75 35058 35044 0.0472

5000 7.65 64861 64847 0.0359

10000 8.65 122155 122140 0.0270

§4.9.4 细胞图案

因为涡量的z−分量消失, 用W (z)得到的关于速度的水平分量的表达式, 与简单的Benard问

题中得到的形式是相同的. 因此, 能出现的细胞图案, 与第II章§16中描述的是相同的. 但是, 有

一个重要的定量区别: 对应于边缘状态的实际波数是不同的; 它们取决于Q, 且当Q增加时, 细胞

趋向于变窄变长, 如图 4.3所示.

§4.10 π2Q定律的依据和一个不变量

从图 4.1 和图 4.2 给出的三组边界条件下的结果, 可见所有情况都表现出同样的普遍性. 那

就是临界Rayleigh数和相应的波数对Q 的特别真实的渐进依赖性. 对于两个边界是自由的情况

下, 定律

Rc → π2Q, ac → (1

2π4Q)

16 (4.193)

直接从特征值问题的解得到. 从另外两种情况计算的结果, 似乎具有相同正比例系数的指数定

律对它们也成立. 现在我们将探讨这些定律的物理依据.

§4.10 π2Q定律的依据和一个不变量 141

b ca

图 4.3 对于不同的Q值, 一阶奇型模式不稳定性发生时, 在对称平面内的一个六边形细胞内的

流线: (a) Q = 12.5, ac = 2.97; (b) Q = 1000, ac = 5.75; (c) Q = 40000, ac = 10.95. 用中心的值进

行无量纲化,相邻的流线分别是对应于系列值0.9, 0.8, ·, 0.1. 通过六边形的两个相反的涡的作用,

上边的图案是平面内与侧面的六边形反对称的, 而下边的图案是与底部的六边形反对称的. 注

意, 随着Q的增加细胞不断拉长.


在 §4.9.1中,我们已经看出(见方程(4.169))当Q→ ∞时, R和Q的正比例性质, 意味着在这种

极限条件下不稳定性发生的临界温度梯度与粘性无关,代之以取决于电导率和磁场的强度.从这

一点, 可见, 当Q → ∞(即当H → ∞或者σ → ∞ 或者ν → 0)时, 定律(4.193)的基础一定是, 建立

在由Joule热引起的能量耗散ϵσ比由粘性引起的能量耗散ϵν更突出的情况下. 在这种意义下,稳定

性的边缘状态主要是由ϵσ与ϵg相等决定的.(见 §4.8.2 ). 由适合于无粘流体的方程开始, 我们将证

明, 事实上情况确实如此.

pΘ = βW + κ

(d2

dz2− k2

)Θ (4.194)

pK = HdW

dz+ η

(d2

dz2− k2

)K (4.195)

和

p

(d2

dz2− k2

)W = −gαk2Θ +

µH

4πρ

d

dz

(d2

dz2− k2

)K (4.196)

对于稳态对流不稳定性的发生, p = 0; 马上消去K和Θ. 我们得到

D2(D2 − a2)W =R

Qa2W (4.197)

和边界条件

W = 0, D2W = 0, 当z = 0, 1 (4.198)

(在通过方程(4.194)-(4.196)时, 我们已经恢复的把d作为距离的单位.)

通过保持唯一的有Q的项, 看到方程(4.197)是我们已经从方程(4.135)得到过的. 显然, 方

程(4.197)适合于最低模式的特解是

W = A sinπz (4.199)

其中A是常数. 相应的特征方程是R

Q=π2(π2 + a2)

a2(4.200)

对于a→ ∞, 出现最小的温度梯度, 所以当

R

Q= π2, (a→ ∞) (4.201)

出现正确的渐进行为. 在这种无粘极限下, 在稳定性的边缘状态出现的细胞是无限窄的.

根据方程(4.201), 在不稳定性发生时的临界温度梯度是

gαβc = π2µ2H2

ρσκd−2 (4.202)

把它与在没有磁场时对于粘性流体得到的相应方程

gαβc = constantνκd−4 (4.203)

进行比较, 我们可以说磁场的存在给予流体一个有效的运动粘性

νeff = constantσ

ρ(µHd)2 (4.204)

(在 §4.12中我们将看到这仅仅对平行于g的磁场分量是有效的)

如果在方程(4.135)中, 除了−QD2W , 我们保留a4W项, 以上限用在ν = 0的讨论, 可以推广

到波数和Q的正确依赖关系的预测中. 然后我们一定得出

(D2 − a2)(QD2 − a4) = Ra2W (4.205)

§4.10 π2Q定律的依据和一个不变量 143

和边界条件

W = 0, (QD2 − a4)W = 0, 当z = 0, 1 (4.206)

适合于最低模式的方程(205)的特解, 还是由方程(4.199)给出的. 但是, 代替方程(4.200), 我们现

在有

R =π2 + a2

a2(a4 +Qπ2) (4.207)

与方程(4.163)的比较表明方程(4.207)足以预测Rc和amin的正确渐进行为.我们必须进入较高阶精

度得出关于边缘稳定性的波数, 这个事实意味着防止了细胞进一步分裂成丝线.

§4.10.1 一个不变量

上一段中有对粘性在保持细胞横截面有限方面的作用说明, 与其密切相关的是存在一个类

似于旋转问题具有的不变量(见第三章 §3.10, 方程(3.195)). 我们记得当流体处于旋转状态时,

涡量的z−分量没有消失, 对速度的水平分量就有贡献. 引起的在水平面内运动的平均动能的增

加补偿了由于波数的增加导致的平均动能下降. 对于两个约束表面是自由的情况, 补偿量正好

是⟨| u⊥ |2⟩, 它与旋转无关. 在现在的问题中, 没有这种对u⊥的附加贡献; 代之以, 在水平方向的

磁场占优势; 出现一个与在水平方向的这个磁场能量有关的新的不变量.

磁场的水平分量由方程(4.155)给出, 它们依赖于要用以下方程确定的标量K(见方程(4.129))

(D2 − a2)K = −HdηDW (4.208)

对于两个自由边界的情况

W = W0 sinπz (4.209)

而要求的方程(208)的解是

K =Hd

η

π

π2 + a2W0 cosπz +B cosh az (4.210)

其中B是一个要通过边界条件(4.140)确定的常数. 从B cosh az推导出的磁场部分, 对Joule-耗

散ϵσ没有贡献(见方程(4.157)); 我们将忽略这一变分, 仅仅考虑对ϵσ有贡献的部分. 这个新场h(0)⊥

的分量是 h(0)x = W0

Hdη

π2

π2+a2axa2 sin axx cos ayy sinπz

h(0)y = W0

Hdη

π2

π2+a2

aya2 cos axx sin ayy sinπz

(4.211)

相应的关于速度水平分量的解是ux = −π axa2W0 sin axx cos ayy cosπz

uy = −π aya2W0 cos axx sin ayy cosπz

(4.212)

根据这些方程

⟨⟨| h(0)⊥ |2⟩⟩ =

1

8

π4

a2(π2 + a2)2H2d2

η2W 2

0 (4.213)

和

⟨⟨| u⊥ |2⟩⟩ =1

8

π2

a2W 2

0 (4.214)

其中双角括号表示被括量是在整个水平面内平均后再在垂直方向的平均.

现在考虑量

Ψ = ηµ

8π⟨⟨| h(0)

⊥ |2⟩⟩ +1

2ρν⟨⟨| u⊥ |2⟩⟩ (4.215)


对于Ψ的一个等价表达式是

Ψ = η ×与磁场h(0)⊥ 有关的平均能量

+ ν ×与流体运动u⊥有关的平均能量 (4.216)

应用方程(4.213)和(4.214), 我们得到

Ψ =1

16ρν

[π2

a2+Q

π4

a2(π2 + a2)2

]W 2

0 (4.217)

让a2 = π2x(如同在 §4.9.1 的方程(4.164)中), 我们有

Ψ =1

16ρν

(1 + x)2 +Q/π2

x(1 + x)2W 2

0 (4.218)

另一方面,在不稳定性发生时x的值通过方程(4.166)与Q联系.应用这个方程从方程(4.218)消去Q,

我们发现剩下的是

Ψ =1

8ρνW 2

0 (4.219)

因此, 对于一个恒定的垂直速度振幅, 与水平磁场分量和流体运动有关的能量, 通过它们各自的

耗散系数加权, 是与磁场的强度无关的.

§4.11 关于超稳定性对流的发生

现在我们将回到 §4.8 中放在一边的问题, 不稳定性是否导致振幅不断增加的震荡. 这需要

我们回到包含时间常数σ 的方程(4.121)-(4.123). 但是, 在讨论超稳定性这个问题时, 我们经常限

制在流体是限制在两个自由边界的情况.

通过对方程(121)应用算子(D2 − a2 −P1σ)(D2 − a2 −P2σ), 我们可以消去K和Θ, 并得到

(D2 − a2)(D2 − a2 − P1σ)[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 − P2σ) −QD2]W

= −Ra2(D2 − a2 − P2σ)W (4.220)

如同在 §4.9.1 中, 我们可以表明在这种情况下属于最低模式的W的特解还是

W = constant sinπz (4.221)

把W的这个解代入方程(4.220), 我们得到特征方程

(π2 + a2)(π2 + a2 + P1σ)[(π2 + a2 + σ)(π2 + a2 + P2σ) +Qπ2]

= Ra2(π2 + a2 + P2σ) (4.222)

其中需要记住的是σ可以是复数. 让

x =a2

π2, iσ1 =

σ

π2, R1 =

R

π4Q1 =

Q

π2(4.223)


(1 + x)(1 + x+ iP1σ)[(1 + x+ iσ1)(1 + x+ iP2σ1) +Q1]

= R1x(1 + x+ iP2σ1) (4.224)

§4.11 关于超稳定性对流的发生 145

或者

(1 + x+ iσ1)(1 + x+ iP1σ1)(1 + x+ iP2σ1) +Q1(1 + x+ iP1σ1)

= R1x

1 + x(1 + x+ iP2σ1) (4.225)

从方程(4.225)显然可见对于一个任意给定的σ1, R1将是复数. 但是R1的物理意义要求它是实数.

因此, 要求R1是实数的条件意味着在σ1的实部和虚部之间的一种关系.

因为我们现在的兴趣是,对于通过纯粹的震荡运动状态引起的不稳定性发生,确定其临界Rayleigh数,

这只要寻找对于实的σ1方程(4.225)允许的解的条件就足够了. 假设, σ1是实数, 让方程(4.225)的

实数部分和虚数部分, 分别相等, 我们得到

R1x = (1 + x)3 − σ21(1 + x)(P1 + P2 + P1P2) +Q1(1 + x) (4.226)

和

R1x

1 + xP2 = (1 + x)2(1 + P1 + P2) −P1P2σ

21 + P1Q1 (4.227)

也就是说, 我们可以写出

R1 =1 + x

x[(1 + x)2 +Q1 − σ2

1(P1 + P2 + P1P2)] (4.228)

和

P1P2σ21 = (1 + x)2(1 + P1 + P2) + P1Q1 −R1

x

1 + xP2 (4.229)

从(4.228)式把R1x/(1 + x)代入(4.229)式, 简化之后我们得到

σ21P2

2 =P2 −P1

1 + P1Q1 − (1 + x)2 (4.230)

在方程(4.228)中应用这个σ21的表达式, 我们得到结果

R1 =(1 + P2)(P1 + P2)

P22

1 + x

x

[(1 + x)2 +Q1

P21

(1 + P1)(P1 + P2)

](4.231)

如果对于与x相应的波数和与Q1相应的Q将出现超稳定性,则方程(4.230)和(4.231)必须得到满足.

方程(4.230)允许我们立刻得出的一个结论是, 描述超稳定性的解不可能出现, 如果

P2 < P1 (4.232)

因为这时σ21是负的, 与假设相矛盾. 回顾P1和P2的定义(由(4.118)式给出), 以上条件相当于

κ < η (4.233)

因此, 对于κ < η, 超稳定性不能出现, 且稳定性交换的原理有效.

条件κ < η在大多数地球条件下的大范围内将得到满足. 因此, 对于室温下水银

η = 7.6 × 103cm2sec−1, κ = 4.5 × 10−2cm2sec−1 (4.234)

对于在所有可能发生的超稳定性, P2 > P1; 即使在这种情况下, 我们也只有在

Q1 > (1 + x)21 + P1

P2 − P1(4.235)

满足的条件下才能得到实数频率σ1. 因此, 对于一个给定的Q1, 只有在x < Xast时超稳定性解才

是可能的, 其中x∗是

(1 + x∗)2 = Q1P2 − P1

1 + P1(4.236)


当x = x∗时, σ21 = 0 且(见方程(228))

R1 =1 + x∗x∗

[(1 + x2∗) +Q1] (4.237)

正如人们预计的,这是对于相应于x∗的波数稳态对流出现的R1值.对于x > x∗,对于给定的P1,P2和Q1,

超稳定性是不可能的; 而只可能保持的是作为稳态对流不稳定性的发生. 对于x < x∗, 超稳定性

是可能的, 但是产生了区分两种不稳定性形式的问题. 正如在 §3.11 和 §3.12 节类似问题的讨论

中我们已经详细表明的, 将出现的不稳定性形式, 允许有一个对应于较低Rayleigh数的解.

考虑(x,R1)−平面. 在这个平面内, 我们首先有曲线

R(c)1 =

1 + x

x[(1 + x)2 +Q1] (4.238)

它定义了相对于稳态对流稳态对流的边缘状态位置. 超稳定性解在点x∗从这种位置上分支(见方

程(4.237)), 对于x < x∗, 描述它们的表达式是(见方程(4.228)和(4.231))

R(o)1 = R

(c)1 − (P1 + P2 + P1P2)σ2

1

1 + x

x

=(1 + P2)(P1 + P2)

P22

1 + x

x

[(1 + x)2 +Q1

P21

(1 + P1)(P1 + P2)

](4.239)

其中前边的形式表明(当这种解的分支存在时), R(o)1 总是小于R

(c)1 . 因为取决于P1,P2和Q1, 这个

分支点x∗可能出现在点x(c)min之前或者之后. 在点x(c)min, R

(c)1 达到它的极小值. 如果x∗ > x

(c)min, 则显

然对于所有的x < x∗, 超稳定性是稳定性的易发形式.

根据方程(4.168)和(4.236), 当Q→ ∞时, x∗的渐进行为是

x∗ →(P2 − P1

1 + P1Q1

) 12

, x(c)min → (

1

2Q1)

13 , (Q1 → ∞) (4.240)

对于足够大的Q1, x∗ > x(c)min, 从我们前面的说明可见, P2 > P1, 对于足够大的Q1, 超稳定性是易

发模式. 而且, 从x∗和x(c)min对Q1的单一依赖性, 我们可以得出结论: P2 > P1, 存在一个Q(P1,P2)

1 ,

当Q1 ≤ Q(P1,P2)1 , 发生的不稳定性是稳态对流, 但是当Q1 > Q

(P1,P2)1 , 发生的是超稳定性.

没有简单的公式可以给出一个P1和P2的函数表示Q(P1,P2): 它恰好是根据R(o)min和R

(c)min相等

的条件确定的Q = Q(P1,P2). 但是, 在任意给定的情况下, 完整的(Rc, Q)关系可以简单地确定如

下.

(Rc, Q)关系的第一部分, 其中发生的不稳定性是稳态对流, 可以从表XIV的结果得知. 这部

分的关系在Q = QP1,P2终止, 超出这一点这种关系沿着超稳定性分支继续. 超稳定性部分的关系

可以从表XIV给出的结果经过简单的尺度变换推出.因为,根据方程(4.239),我们只能把表XIV中

的Q解释成QP21/[(1 + P1)(P1 + P2)], 并把Rc的值乘以(1 + P2)(P1 + P2)/P2

2 . 这样推导出的关系

与第一部分由表XIV直接给出的关系的交叉点确定了Q(P1,P2)(见图 4.4).

可以提一提的是,对于Q→ ∞,在超稳定性发生时,临界Rayleigh数和相关量的渐进行为;它

们是 R

(o)c → π2 (1+P2)P2

1

(1+P1)P22Q, (Q→ ∞)

a(o)c →

[12π

4 P21

(1+P1)(P1+P2)Q] 1

6

, (Q→ ∞)

σ1 →√Qπ

(P1−P2

1+P1

) 12 1

P2, (Q→ ∞)

(4.241)

用超稳定性震荡的振动频率, 以上关系的最后一个给出

| p |= π2

d2ν | σ1 |→ π

d2ν

(µ

4πρνη

) 12

Hd1

P2

(P2 − P1

1 + P1

) 12

(4.242)

§4.12 H 和g作用在不同方向的情况 147

log10Rc

log10Q

conve

ction

b

c

a

4

5

6

23 4 5210

3

图 4.4 当超不稳定性可以发生时作为Q的函数的临界Rayleigh数的变化. 用a, b和c标记

的Prandtl数分别是:P1 = 1,P2 = 2; P1 = 1,P2 = 4; P1 = 1,P2 = 10.

或者

| p |→ π

[P2 − P1

P2(1 + P1)

] 12 VAd

(4.243)

其中VA是Alfven 速度. 根据方程(4.243), 在边缘状态的震荡频率主要决定于Alfven波传播距离等

于流体层深度时要求的时间.

因为在地球条件下,超稳定性情况是没有多大兴趣的,如同在第III章中描述的那些旋转问题

的广泛计算, 对于现在的问题没有进行. 由于同样的理由, 我们将忽略对这个问题的边界条件的

讨论. 如果需要, 它可以按照类似于相应地处理第三章 §3.12 和 §3.13中旋转问题的形式进行.

§4.12 H 和g作用在不同方向的情况

现在我们将考虑H 和g作用在不同方向的情况. 为此, 我们必须回到方程(4.97)-(4.101), 其

中没有作出H 和g是平行的假定.

让H与垂直方向的夹角是ϑ. 并选择x−轴使得H处于xz−平面内. 所以

λ = (0, 0, 1), H = H(sinϑ, cosϑ) (4.244)

方程(97)和(100)变成

∂hz∂t

= η∇2hz +H

(cosϑ

∂

∂z+ sin

∂

∂x

)w (4.245)

和∂

∂t∇2w = gα

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)θ + ν∇4w +

µH

4πρ

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)∇2hz (4.246)

我们将不需要方程(4.98)和(4.99), 而方程(101)不受影响.

如果我们寻找方程(4.101), (4.245)和(4.246)与x无关的解, 则方程 (4.245)和 (4.246)简化为

(4.102)和 (4.105),唯一的区别是用H cosϑ代替H. 因此,我们限制在x−方向滚动细胞不稳定性的发生, 如果我们把在各处的H解释为H在g方向的平均分量, 则上一节中的所有讨论将可以照用.

现在将考虑的是, 通过考虑比滚动细胞更普遍的运动图案, 是否可以达到较低的Rayleigh数问题.

但是, 我们将限制在考虑发生稳态对流不稳定性情况.


当稳态对流不稳定性发生时, 控制边缘状态的方程是

η∇2hz = −H(

cosϑ∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)w (4.247)

和

ν∇4w +µH

4πρ

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)∇2hz = −gα

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)θ (4.248)

应用方程(4.247), 方程(4.248)中与∇2hz有关的项可以直接消去; 我们得到

∇4w − µH2

4πρνη

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)2

w = −gαν

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)θ (4.249)

这个方程必须与方程

∇2θ = −βκw (4.250)

同时考虑. 如果衡量所有线尺度的单位是流体层的深度d, 且让

Q =µH2 cos2 ϑ

4πρνηd2 =

σµ2H2 cos2 ϑ

ρνd2 (4.251)

方程(4.249)和(4.250)变成

∇4w −Q

(cosϑ

∂

∂z+ sinϑ

∂

∂x

)2

w = −gαd2

ν

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)θ (4.252)

和

∇2θ = −(β

κd2)w (4.253)

在这些方程中消去θ, 我们有

∇2

[∇4 −Q

(∂

∂z+ tanϑ

∂

∂x

)2]w = R

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)w (4.254)

按照我们标准的步骤, 我们分析在x和y方向w和θ的二维扰动波. 因此w = W (z) exp[i(axx+ ayy)]

θ = Θ(z) exp[i(axx+ ayy)](4.255)

方程(4.252)和(4.253)变成

[(D2 − a2)2 −Q(D + ic)2]W =

(gαd2

ν

)a2Θ (4.256)

和

(D2 − a2)[(D2 − a2)2 −Q(D + ic)2]W = −Ra2W (4.257)

其中

D =d

dz, a2 = a2x + a2y, c = ax tanϑ (4.258)

必须求解的方程(4.258)的边界条件是:

W = Θ = 0, 当z = 0, 1 (4.259)

DW = 0, 在刚性表面上

D2W = 0, 在自由表面上 (4.260)

§4.12 H 和g作用在不同方向的情况 149

考虑到方程(4.256), 边界条件(4.259)相当于

W = 0, [(D2 − a2)2 −Q(D + ic)2]W = 0, 当z = 0, 1 (4.261)

因为W是复数, 方程(4.257)和边界条件(4.260)以及 (4.261)组成一个特征值问题, 其中的有

效阶数是12. 而这个物理问题的解要求方程(4.257)的最低特征值的极小值, 把它考虑成两个变

量a和c的函数.

用我们现在熟悉的方法可以表明, 用方程(4.257),(4.260)和(4.261)描述的特征值问题可以用

变分方法求解. 对于一个给定的Q, 事实上, 临界Rayleigh数的绝对极小值可以用以下方程得到

R =

∫ 1

0[| DF |2 +a2 | F |2]dz

a2∫ 1

0| (D2 − a2)W |2 +Q | DW + icW |2dz

(4.262)

其中

F = [(D2 − a2)2 −Q(D + ic)2]W (4.263)

用变分方法,对于几个不同的Q和不同的边界条件,已经得出对于一系列a和c值时的临界Rayleigh数R.

表XVII中给出了这种计算的一组结果.在这个表中,当c = 0时的计算值,对于a值的结果是表XV中

给出的已知值, 它是出现纵向细胞形式不稳定性边缘状态的对流图案时得出的Rayleigh数极小

值. (即滚动延伸的方向与包含H和g)的平面平行.) 因此, 对于限制在刚性平面之间的一流体层,

当Q = 100, 纵向滚动对流发生时, 对于a = 4.00得出了极小的Rayleigh 数. 从表XVII中给出

的结果, 可见当c与零值稍有不同时, Rayleigh数的极小值仍然出现在a = 4.00; 而且新的极小值

只是稍微超出c = 0时的值. 例如, 对于c = 0.5, Q = 100, Rayleigh数的极小值是3793; 这应当

与c = 0时的Rc = 3768相对比. 对于较大的c值, 对应于稍大的a, 这个极小值出现偏离, 但是现在

的Rayleigh数大范围超出c = 0时的Rc. 因此, 在考虑的例子中, 对于c = 1.0, Rayleigh数的极小

值是3871, 这出现在a = 4.1. 对于其它的Q值和其它边界条件下的结果表现出同样的行为, 这证

明:当H和g作用在不同方向时, 首先发生的对流呈现出纵向滚动.

但是, 上一段中推出的结论是个悖论. 因为当H和g平行时, Rayleigh数仅仅取决于a2 = a2x +

a2y, 我们估计在边缘稳定性的对流具有细胞图案. 那末人们可以问, 这种情况是如何在H与垂直

方向仅仅稍微倾斜时发生不连续变化的, 而它断定的在边缘状态的对流出现纵向滚动? 这个悖

论的解答如下.

当H和g作用在不同的方向时,对于事先规定的图案的对流出现的边缘状态,要求不同的Rayleigh数.

特别是, 将激发的大不‘相同’图案(其它情况是相同的)是横向细胞系统.一旦Rayleigh数大到足

以激发这些横向滚动, 我们预计将出现的是相应的细胞图案. 因此, 将激发纵向的还是横向的滚

动要求的Rayleigh数极小值的差别,是衡量当出现纵向滚动边缘稳定性时一个细胞图案受到抑制

一个尺度. 但是, 这是论证的主要观点, 当c = (ax tanϑ ≤ a tanϑ)趋于零时, 两个Rayleigh数的差

别也是零. 换言之, 当H与重力加速度方向仅仅倾斜一点点时, 在边缘稳定性(当纵向滚动出现

时)横向细胞受到抑制的程度也仅仅只有一点点. 最终, 当H完全与g平行时(或者当| H |→ 0), 对

横向细胞图案的这种抑制停止, 而在边缘状态纵向和横向滚动同时出现.

当H和g作用在不同方向时,我们已经得到的哪一种确实‘发生’的图像,组成了热不稳定性

一般性理论的主要简化. 因为它有效地保证, 在特殊几何情况的分析(如同H和g是平行的) 比几

何限制下的分析具有更大的范围和普遍性,在这时得出的结论,将显示出可靠性. 因此,在第III章

中, 关于旋转对热不稳定性的作用的主要结果是在Ω与g平行的情况下推导的. 人们现在感到可

以相信, 如果Ω与g是不平行的, 在边缘稳定性的对流将表现为纵向滚动.


表XVII

当两个约束表面是刚性的,Q = 100时对应于各种a和c值的Rayleigh数

c a R c a R

0 4.0 3768 3.9 4190

3.9 3797 4.0 4181

4.0 3793

2.0

4.1 41780.5

4.1 3795 3.9 5523

3.9 3875 4.0 5494

4.0 3878

4.0

4.1 54741.0

4.1 3871

§4.13 热不稳定性受磁场抑制的实验

关于底部受热的水银层中热不稳定性发生的实验已经由Nakagawa, Jirlow,和Lehnert和Little等

人完成. 这里将给出这些实验的简单的叙述.

在Nakagawa的实验中, 磁场由芝加哥大学Enrico Fermi研究所的回旋加速器中废弃的3612英

寸的再处理电磁铁提供. 在直径为78cm,高度为22cm的圆柱体中,这块电磁铁提供了一个均匀的

磁场; 其强度可以变化, 能达到的最大值是13000gauss(高斯).

实验装置与第三章 §3.17.2中描述的旋转水银超稳定性对流实验中用的装置类似. 稳定性发

生时的临界温度梯度用Schmidt-Milverton方法确定. 用工作水银层厚度为3,4,5和6cm, 磁场强度

从250到8000之间变化, Nakagawa可以对于在102 − 106之间的Q值下进行实验. 实验结果和相应

的理论关系一起在图 4.5中给出. 可以看出, 实验结果与理论估计是很符合的. 在另一组实验中,

Nakagawa拍摄了大量在不稳定表面上出现的细胞图案照片. 图 4.6中显示的就是其中的一例.(在

这些实验中采用的装置将在第V章§54(b)中描述.) 根据这些照片的测量, 估计了细胞的大小. 方

法如下. 把相邻细胞中心之间的距离作为定性尺度测量. 发现在大多数情况下它们形成等边三

角形. 这与基本细胞图案是六边形的推测是一致的.

与相关的扰动波数有关的单位六边形的边长是(见§16(c), 方程(2.252))

L =4πd

3a(4.264)

相邻细胞中心之间的距离b是L√

3 (见图 2.7 ). 因此

b =4πd

a√

3(4.265)

因为a是Q的已知函数, 理论估计了b和Q之间一个确定的关系; 这种关系以及Nakagawa测量的结

果在图 4.7 中给出. 可以看出测量与理论结果的符合是满意的.

Lehnert和Little, 在它们的实验中, 已经验证了理论估计的另一个重要方面. 我们已经看

到, 当涉及的磁场方向与垂直方向不同时, 只有在垂直方向的磁场分量是有效的; 另外, 在稳

定性发生时的细胞一定是在平行于包含H 和g 的平面方向的纵向滚动结构. 通过使用斜的均

匀磁场, Lehnert和Little用一种很有趣的方式验证了这些理论估计. 例如, 他们发现一个强度达

到4500gauss的磁场施加在水平方向时,对于对流抑制没有明显的作用,即使这个磁场五倍于如果

它作用在垂直方向时抑制对流要求的磁场. Lehnert和Little进一步发现, 在这些条件下出现的图

案确实是拉长的细胞形式, 这些细胞遍及流线运动的整个容器, 主要地, 平行于磁场方向. 图 4.8

是它们的照片的复制, 表明了这种现象.

参考文献注释

§4.13 热不稳定性受磁场抑制的实验 151

Q1

Rc

103

105

106

107

108

102101 103 104 105 106

104

图 4.5 关于不稳定性发生的临界Rayleigh的实验与理论结果比较.理论上的(Rc, Q1)关系用实线

表示. 实的圆•, 口 ,空的圆 ,三角形分别是关于层厚度为d = 6, 5, 4, 3cm用36 12−英寸的磁铁确定

的实验点; 四个叉号×表示用一块H = 1500gauss的小磁铁得到的层厚度分别是d = 6, 5, 4, 3cm时

的结果.

图 4.6 关于三种不同的磁场强度, 在水银表面得到的对流运动的纹影照片的例子; (a)H =

125G, Q1 = 9.46; H = 750G, Q1 = 3.49; (c)H = 3000G, Q1 = 5.76 × 103.


Q1

b(cm)

2

1

0

4

5

6

7

1 106

3

10 105102 104104103

图 4.7 关于在边缘不稳定性发生时显示的细胞尺寸的实验(实的圆点)和理论结果(实线)的对比.

图 4.8 在一平行于液体层自由表面的磁场中, 水银层的细胞对流. 由Lehnert 和Little拍摄的这

张照片显示的是表面俯视图. 磁场(H = 4500G)由右向左, 发现的细胞在这个方向被拉长, 并延

伸的整个容器.


关于磁流体力学问题下列普遍的参考文献可以注意到:1. T. G. Cowling, Magnetohydrodynamics, Interscience Tract on Physics and Astron-

omy, No.4, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957.

2. W. M. Elsasser, ‘Hydromagnetism. I. A review’, ,American J. of Phys. 23,

590-609(1955);‘Hydromagnetism. II. Areview’ibid, 24, 85-110(1956).

同样的定理, 虽然没有明显的形式, 也被独立地指出:

3. S. Lundquist, ‘Studies in magneto-hydrodynamics’, ,Arkiv for Fysik, 5, 297-347

4. G. H. A. Cole, ‘Some aspect of magnetohydrodynamics’, Advances in Physics.

5, 452-97(1956).

§4.3.1. 关于导电流体球内磁场的衰减以及这种场与流行运动之间的相互作用, 基础文献是:

5. W. M. Elsasser,‘Induction effect in terrestrial magnetism, Part I. Theory’,Physical

Rev. 69, 106-16(1946).

6. ———, ‘Induction effects in terrestrial magnetism, Part II. The secular varia-

tion’,ibid, 70, 202-12 (1946)

7. ———,‘Induction effects in terrestrial magnetism, Part III. Electric modes ’,ibid,

72, 821-33 (1947)

旋转流体动力学具有许多有趣的方面, Taylor-Proudman定理只是其中的一个. 这些方面的更普

遍的叙述见:

8. T. G. Cowling,‘On the sun’s general magnetic field’,Monthly Notices Roy. Astron.

Soc. London, 105, 166-74(1945). 1956

9. ———,‘The growth and decay of sunspot magnetic field’,ibid. ,106, 218-24(1946).

关于磁作用和维持磁场防止由流体运动引起的磁场衰减方面的问题, 见:

10. T. G. Cowling,‘The magnetic field of sunspots ’,Monthly Notices Roy. Astron.

Soc. London, 94, 39-48 (1933).

11. W. M. Elsasser,‘The earth’s interior and geomagnetism ’,Rev. Modern Phys.,

22, 1-35 (1950).

12. ———,‘Hydromagnetic dynamo theory’,ibid 28, 135-63(1956)

13. E. C. Buillard and H. Gellman,‘Homogeneous dynamos and terrestrial mag-

netism,’Philos. Trans. Roy. Soc. (London) A, 247, 213-78(1954).

14. G. E. Backus and S. Chandrasekhar,‘On cowling’s theorem on the impossibility

of self-maintained axisymmetric homogeneous dynamos’, Proc. Nat. Acad. Sci. 42,

105-9(1956).

15. T. G. Cowling and A. Hare,‘Two-dimensional problems of the decay of magnetic

fields in magnetohydrodynamics ,’Quart. J. Mech. Appl. Math. 10, 385-405(1957).

§4.3.2. 在他各种物理问题的讨论中, Alfven 广泛地用到了这个事实, 在无限的导电介质中,磁力

线表现为与流体微元是永远紧贴着的. 许多Alfven的思想描述在:

16. H. Alfven, Cosmical Electrodynamics, Internatinal Series of Monographs on

Physics, Oxford, England, (1950).


§3.11. 这一节中的主要结果出现在文献12和13中. 但是证明被重新安排变得更加明显了. 在§(a)给

出的讨论根的特殊形式是由于Dr. John Sykes 的工作.

还可见:

17. A. S. Chandrasekhar, ‘The thermodynamics of thermal instability in liq-

uids’，Max Planck Festschrift 1958, 103-14, Veb Deutcher Verlag der Wissenschaften,

Berlin, 1958.

§3.17. 这一节描述的实验工作的参考文献是:

18. T. G. Cowling,‘Solar electrodynamics’, The Sun, Chapter 8, edited by G. P.

Kuiper, University of Chicago Press, Chicago, 1953.

§4.1. Alfven 发现后来著名的波的工作见:

19. H. Alfven,‘The Existence of eletromagnetic-hydrodynamics waves’Nature, 150,

405-6(1942).

20. ———,‘On the existence of electromagnetic-hydrodynamic waves’, Arkiv f. mat.

astro. o. fysik, 29, 1-7 (1942).

Alfvven 波的一个实验描述是:

21. S. Lundquist,‘Experimental investigation of magneto-hydrodynamicc waves’Phys.

Rev., 76, 1805-9(1949).

相关的实验描述是:

22. B. Lehnert,‘On the behaviour of an electriclally conductive liquid in a magnetic

field’, Arkiv for Fysik, 5, 69-90 (1952).

23. ———,‘Experiments on non-laminar flow of mercury in presence of a magnetic

field’, Tellus, 4, 63-67(1952).

24. ———, ‘Magneto-htdrodynamic waves in liquid sodium’, Phy. Rev. 94, 815-

24(1954).

在可压介质中磁流体波传播的考虑见:

25. H. C. van de Hulst, ‘Intersteller polarization and magneto-hydrodynamic

waves’Problems of Cosmical Aerodynamics, International Union of Theoretical and

Applied Mechanics and International Astronomical Union, 45-56, Central Air Docu-

ments Office, Dayton, Ohio, 1951.

26. N. Herlofson,‘Magneto-hydrodynamic waves in a compressible fluid conductor’,

Nature, 165, 1020-1 (1950).

§4.5. 在 §4.5.1中考虑的均匀解的稳定性证明在:

27. S. Chandrasekhar,‘On the stability of the simplest solution of the equations of

hydromagnetism’Proc. Nat. Acad. Sci., 42, 273-6(1956).

关于力自由磁场的一些参考文献是:

28. S. Lundquist,‘Magneto-hydrostatic fields’, Arkiv for. Fysik, 2, 361-5 (1950).

29. R. Lust and A. Schluter, ‘Kraftfreie Magnetfelder’Z. f. Astrophysik, 34,

263-82(1954).


30. S. Chandrasekhar,‘On force- free magnetic fields’, Proc. Nat. Acad. Sci. 42,

1-5(1956).

31. ———and P. C. Kendall,‘On force free magnetic fields’Astrophys. J., 126,

457-60(1957).

32. L. Woltjer,‘The crab nebula’, Bull. Astr. Netherlands, 14, 39-80(1958).

§4.6. 一个施加的磁场对导电流体中热不稳定性发生的影响考虑在:

33. W. B. Thompson, ‘Thermal convection in a magnetic field’, Phil. Mag. Ser. 7,

42, 1417-32(1942).

34. S. Chandrasekhar,‘On the inhibition of convection by a magnetic field’, ibid.

43, 501-32(1952).

§4.7- §4.11. 在这些章节中的分析大都以文献(34)为基础, 变分原理的热力学意义讨论在:

35. S. Chandrasekhar,‘The thermaldynamics of thermal instability in liquids’, Max

Planck Festschrift 1958, 103-14, Veb Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin

150, 405-6(1942).

36. S. Chandrasekhar,‘On the inhibition of convection by a magnetic field. II’,

Phil Mag. Ser. 7, 45, 1177-91(1954).

§4.13. 在这一节描述实验工作的参考文献是:

37. Y. Nakagawa, ‘An experimental on the inhibition of thermal convection by a

magnetic field,’Nature, 175, 417-19(1954).

38. Y. Nakagawa,‘Experiments on the inhibition of thermal convection by a magnetic

field’, Proc. Roy. Soc. (London) A 240, 108-13(1957).

39. ———, ‘Experiments on the instability of a layer mercury heated from below

and subject to simultaneous action of a magnetic field and rotation. II’ibid. 249,

138-45(1959).

40. ———, ‘Apparatus for studying convection under the simultaneous action of a

magnetic field and rotation,’, The Review of Scientific Instruments, 28, 603-9(1957).

41. B. Lehnert and N. C. Little,‘Experiments on the effect of inhomogeneity and

obliquity of a magnetic field in inhibiting convection’, Tellus, 9, 97-103 (1957).

还可见:

42. K. Jirlow,‘Experimental investigation of the inhibition of convection by a magnetic

field’, ibid. 8, 252-3(1956)

第五章从底部加热的流体层的热不稳定性

4. 旋转和磁场的影响

§5.1 旋转和磁场对流体行为的相同和相反的影响

在前面两章中, 我们已经研究了分开作用时旋转和磁场对底部受热的流体层中, 热不稳定

性发生的影响. 在有些方面, 具有非常类似的影响: 它们两者都抑制不稳定性的发生; 两者都把

在边缘稳定性出现的细胞拉长. 这些影响, 具有普遍相同的原因: 存在于对于旋转情况的Taylor-

Proudman定理, 和对于磁场情况的类似的定理中. 基于这些考虑, 人们一定不能假设它们同时

作用时, 旋转和磁场将相互加强影响, 相反, 在某些方面, 它们将趋向于相反的影响. 因此, 我们

已经看到, 存在旋转时, 粘性有助于不稳定性的发生; 而我们也看到, 磁场给予流体某些方面的

粘性. 因此, 即使两者分开作用时, 抑制不稳定性发生, 当它们同时作用时, 具有一些相反的趋

势. 而且, 在旋转和磁场单独存在时, 主要运动的特征, 有一个基本的区别. 旋转在Ω方向诱导了

一个涡量分量, 由它产生的影响, 是起支配作用的. 但是一个磁场不能诱导任何涡量分量, 所以

没有类似的影响; 代替它的是, 对于较大的Q值, 横穿H的运动大大减小, 而沿着磁力线方向的运

动, 变成支配因素.

另外还有一个需要记住的事实: 象水银这样的液态金属, 当存在旋转时, 发生的不稳定性大

多是超稳定性; 但是, 当磁场存在时, 发生的却是稳态对流. 基于以上原因, 对于旋转和磁场同时

存在时的热不稳定性研究, 是一个有益的问题.

§5.2 在旋转流体中磁流体动力波的传播

在第三和四章中, 我们看到, 在旋转流体中波的传播, 遇到相应的热不稳定性问题. 我们将

看到, 在旋转流体中磁流体动力波的传播,遇到类似的问题, 本章将对它进行研究.

考虑一种在角速度为Ω的均匀旋转状态的不可压流体. 在角速度为Ω的旋转参照系下, 基本

方程是(见第三章方程(3.44) 和第四章方程(4.10)):

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

− µHj

4πρ

∂Hi

∂xj

= 2ϵijkujΩk + ν∇2ui −∂

∂xi

(p

ρ+ µ

| H |2

8πρ− 1

2| Ω× r |2 +V

)(5.1)

∂Hi

∂t+ uj

∂Hi

∂xj−Hj

∂ui∂xj

= η∇2Hi (5.2)

∂ui∂xi

= 0,∂Hi

∂xi= 0 (5.3)

对于一种零电导率的无粘流体, 控制一个具有均匀磁场Hj的初始状态的小偏离的方程是

∂ui∂t

− µHj

4πρ

∂hi∂xj

= − ∂

∂xiδϖ + 2ϵijkujΩk (5.4)

∂hi∂t

= Hj∂ui∂xj

,∂ui∂xi

= 0,∂hi∂xi

= 0 (5.5)

其中hi表示磁场Hj的这个小偏离.

我们现在寻找空间-时间依赖关系为

ei(ωt+kjxj) (5.6)

157

158 第五章从底部加热的流体层的热不稳定性 4. 旋转和磁场的影响

的方程(5.4)和(5.5)的解. 则方程(5.4)和(5.5)给出

ωui −µ(Hjkj)

4πρhi = −kiδϖ − 2iϵijkujΩk (5.7)

ωhi = (Hjkj)ui (5.8)

ujkj = 0, hjkj = 0 (5.9)

方程(5.9)表明这些波是横波.

在方程(5.7)和(5.8)之间消去hi, 我们得到

nui + kiδϖ + 2iϵijkujΩk = 0 (5.10)

其中

n =1

ω(ω2 − ω2

A) (5.11)

以及

ωA =

(µ

4πρ

) 12

(Hjkj) (5.12)

可以看出方程(5.10)与第三章方程(3.61) 是一样的; 那里得出的解, 这里可以应用. 因此, 通过选

择坐标系的方向, 使得z−轴是k方向, 而(x, z)平面包含Ω, 我们有(见第三章方程(3.71)和(3.73)),

n = ±2Ω cosϑ (5.13)

ux = ±iuy, uz = 0, δϖ = ∓2Ω

kux sinϑ (5.14)

其中ϑ是波的传播方向对Ω方向的倾斜角, 从方程(5.8)得出相应的磁场中的扰动振幅; 我们有

hx =kjHj

ωux, hx = ±ihx, hz = 0 (5.15)

现在联立方程(5.11)和(5.13), 我们有

ω2 ∓ (2Ω cosϑ)ω − ω2A = 0 (5.16)

因此,

ω = ±[Ω cosϑ±√

(Ω2 cos2 ϑ) + ω2A] (5.17)

如果ω1和ω2是方程(5.16)的两个根, 则

ω1 + ω2 = ±2Ω cosϑ, ω1ω2 = −ω2A (5.18)

波的传播速度是

V =ω

k= ±1

k[Ω cosϑ±

√(Ω2 cos2 ϑ) + ω2

A] (5.19)

这是相速度. 相应的群速度是

∂ω

∂k= ±

k× (Ω× k)

k3± Ω cosϑ[k× (Ω× k)]k−3 + ωAH(µ/4πρ)

12√

(Ω2 cos2 ϑ+ ω2A)

(5.20)

§5.3 扰动方程 159

§5.3 扰动方程

我们考虑受到均匀磁场H, 处于角速度为Ω的均匀旋转状态的一个无穷流体层. 我们设想一

个初始状态, 其中没有运动, 保持的逆温度梯度是β. 用下边, 应用与前面几章确定这个状态稳

定性的相同的步骤, 我们发现基本的扰动方程是(见第三章方程(3.78)-(3.80)和第四章方程(4.87)-

(4.92)):∂ui∂t

= − ∂

∂xi(δϖ) + gαθλi + ν∇2ui + 2ϵijkujΩk +

µHj

4πρ

∂hi∂xj

(5.21)

∂hi∂t

= Hj∂ui∂xj

+ η∇hi (5.22)

∂θ

∂t= βw + κ∇2θ (5.23)

∂ui∂xi

= 0,∂hi∂xi

= 0 (5.24)

通过对方程(5.21)取旋度, 我们可以消去含δϖ; 因此我们得到(见方程(3.82)和(4.93))

∂ωi

∂t= gαϵijk

∂θ

∂xjλk + ν∇2ωi + 2Ωj

∂ui∂xj

+µHj

4πρ

∂υi∂xj

(5.25)

其中

ω = curlu, υ = curlh (5.26)

对方程(5.25)再次取旋度, 我们得到(见方程(3.83)和(4.95))

∂

∂t∇2ui = gα

(λi∇2θ − λj

∂2θ

∂xj∂xi

)+ ν∇4ui − 2Ωj

∂ωi

∂xj+µHj

4πρ

∂

∂xj∇2hi (5.27)


∂ζ

∂t= ν∇2ζ + 2Ωj

∂w

∂xj+µHj

4πρ

∂ξ

∂xj(5.28)

和∂

∂t∇2 = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w − 2Ωj

∂ζ

∂xj+πHj

4πρ

∂

∂xj∇2hz (5.29)

其中ζ和ξ/4π分别是z−方向的涡量分量和电流密度.方程(5.28)和(5.29)代替第四章方程(4.99)和(4.100);

剩下的第四章方程(4.96)-(4.98) 不受影响.

我们将限制在, 当g, H和Ω作用在相同方向时, 对这个问题的讨论. 这时相应的方程是:

∂θ

∂t= κ∇2θ + βw (5.30)

∂hz∂t

= η∇2hz +H∂w

∂z(5.31)

∂ξ

∂t= η∇2ξ +H

∂ζ

∂z(5.32)

∂ζ

∂t= ν∇2ζ + 2Ω

∂w

∂z+µH

4πρ

∂ξ

∂z(5.33)

和∂

∂t(∇2w) = gα

(∂2θ

∂x2+∂2θ

∂y2

)+ ν∇4w − 2Ω

∂ζ

∂z+µH

4πρ

∂

∂z∇2hz (5.34)

而我们必须寻找, 满足在第二章 §2.5.1 和第四章 §4.7.1 中描述的边界条件的解.


分析二维波的扰动, 考虑由特征波数表征的扰动, 我们分析方程(5.30)-(5.34)给出

(D2 − a2 −P1σ)Θ = −(βd2

κ

)W (5.35)

(D2 − a2 − P2σ)K = −(Hd

η

)DW (5.36)

(D2 − a2 − P2σ)X = −(Hd

η

)DZ (5.37)

(D2 − a2 − σ)Z = −(

2Ωd

ν

)DW −

(µHd

4πρν

)DX (5.38)

和

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)W +

(µHd

4πρν

)D(D2 − a2)K −

(2Ωd3

ν

)DZ =

(gαd2

ν

)a2Θ (5.39)

其中的注释与第四章方程(4.118)-(4.123)中的相同.

在方程(5.38)和(5.39)之间消去X, 类似地, 在方程(5.36)和(5.39)之间消去K, 我们得到

[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 − P2σ) −QD2]Z = −(

2Ωd

ν

)D(D2 − a2 − P2σ)W (5.40)

和

(D2 − a2)[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 − P2σ) −QD2]2W−

−(

2Ωd3

ν

)D(D2 − a2 − P2σ)Z =

(gαd2

ν

)a2(D2 − a2 − P2σ)Θ (5.41)

在后边的方程中, 消去Z, 我们有

(D2 − a2)[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 −P2σ) −QD2]2 + TD2(D2 − a2 −P2σ)2W

=

(gαd2

ν

)a2[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 − P2σ) −QD2](D2 − a2 − P2σ)Θ (5.42)

最后, 在方程(5.35)和(5.42)之间, 消去Θ, 我们得到

(D2 − a2 − P1σ)(D2 − a2)[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 −P2σ) −QD2]2+

+TD2(D2 − a2 − P2σ)2W

= −Ra2[(D2 − a2 − σ)(D2 − a2 −P2σ) −QD2](D2 − a2 − P2σ)W (5.43)

必须寻找满足由第二章方程(2.95)和(2.96),以及第四章方程(4.124)和(4.125)给出的边界条件

下的以上方程的解.

这里可以回顾一下方程(5.31)之后的所有方程, 仅仅在g,H和Ω是平行时才能应用. 这种情

况可以立即推广到当g,H和Ω在同一平面内的情况. 通过限制在无限延伸滚动对流的发生(沿着

平行于包含g,H和Ω平面的方向), 代替细胞结构, 人们容易验证, 同样的方程组适合于这种比较

普遍的情况, 只要我们把H和Ω解释为H和Ω在垂直方向的分量. 当g,H和Ω是同一平面时, 限制

在滚动形式对流发生, 可以用当H单独作用时在第四章 §4.12中相同的验证方法, 进行非常类似

的证明. 但是, 当g,H和Ω不是共平面时, 问题的解, 要求一个作为在互成直角的两个方向, 以及

在水平面内的扰动的两个特征波数的函数的Rayleigh数的极小化表达式. 但是, 不同的是, 这时

的解, 将显示出某些基本上是新的性质, 它们没有被g,H和Ω平行时的解所揭示出来.

§5.4 旋转和磁场对流体行为的相同和相反的影响 161


我们将首先考虑, 正常对流不稳定性发生时的情况. 超稳定性发生时的情况, 将在下一节中

考虑.

正常对流不稳定性发生时, 边缘状态是由σ = 0表征的. 基本方程是:

(D2 − a2)Θ = −(βd2

κ

)W (5.44)

[(D2 − a2)2 −QD2]Z = −(

2Ωd

ν

)D(D2 − a2)W (5.45)

(D2 − a2)K = −(Hd

η

)DW (5.46)

(D2 − a2)X = −(Hd

η

)DZ (5.47)

和

(D2 − a2)[(D2 − a2)2 −QD2]2 + TD2(D2 − a2)W

= −Ra2[(D2 − a2)2 −QD2]W (5.48)

根据第二章方程(2.95)和(2.96)以及第四章方程(4.124)和(4.125),对应于必须求解的方程(5.44)-

(5.48) 的边界条件是:

W = 0, Θ = 0 当z = 0, 1 (5.49)DW = 0, Z = 0, (在刚性边界上, 或者)

D2W = 0, DZ = 0, (在自由边界上)(5.50)

和 DX = 0, K = 0, (在完全导电的边界上, 或者)

X = 0, (在一个与绝缘介质相邻的边界上)(5.51)

以上方程和边界条件, 组成一个用十阶微分方程描述的特征值问题. 与可能的变分公式相

反(见附录二),这个问题显然是相当复杂的. 因此,我们将限制在两个约束表面是自由的情况,且

与流体相邻的介质是绝缘的. 这明显是考虑一种人为的情况, 因此, 我们不期望失去问题的任何

主要性质; 因为, 在第三、四章中, 我们已经看到, 根据不同的边界条件得出的解, 都显示出相同

的性质并显露出对问题的参数, 如P, T和Q相同的依赖性.

§5.4.1 两个自由边界情况下的解

如同在第三章 §3.9.1和第四章 §4.9.1 中, 可以表明这时方程(5.44)-(5.48) 的特解是:

W = W0 sinnπz (5.52)

Θ =β

k

d2

n2π2 + a2W0 sinnπz (5.53)

Z =2Ωd

ν

nπ(n2π2 + a2)

(n2π2 + a2)2 +Qn2π2W0 cosnπz (5.54)

K =Hd

η

nπ

n2π2 + a2W0 cosnπz + constant × cosh az (5.55)


和

X = −2Ωd

ν

Hd

η

n2π2

(n2π2 + a2)2 +Qn2π2W0 sinnπz (5.56)

其中n是整数. 通过把W的方程(5.52)代入方程(5.48), 得出相应的特征方程. 我们发现

R =(n2π2 + a2)[(n2π2 + a2)2 +Qn2π2]2 + Tn2π2(n2π2 + a2)

a2[(n2π2 + a2)2 +Qn2π2](5.57)

让a2 = π2x, 我们可以把方程(5.57)重新写成形式

R = π4n2 + x2

x

[(n2 + x)2 +

Qn2

π2

]+T

x

1

1/n2 +Q/π2(n2 + x)2(5.58)

从这个方程可见不稳定性首先发生在最低模式n = 1. 相应的R的表达式是

R = π4 (1 + x)[(1 + x)2 +Q1]2 + T1(1 + x)x[(1 + x)2 +Q1]

(5.59)

其中

x =a2

π2, Q1 =

Q

π2, T1 =

T

π4(5.60)

由方程(5.59)给出的作为x的函数的R当

2x3 + 3x2 − 1 = Q1 + T1(1 + x)4 −Q1(x2 − 1)

[(1 + x)2 +Q1]2(5.61)

达到它的极值.但是这个方程,对于当Q1和T1给定时,确定临界Rayleigh数不是很有用. 比较方便

的是把R直接作为x的函数(根据方程(5.59))并用数值方法确定极小值. 在表XVIII中列出了临界

数, 在图 5.1中显示的结果是用这种方法确定的.


图 5.1 对于给定的T1(= T/π4),正常细胞对流(实线)和超稳定性(对于P = 0.025,虚线)发生的作

为Q1函数的临界Rayleigh数. 曲线用它们对应的T1值标记.对于一个给定的T1对于所有小于相应

的实线和虚线交点的Q1值, 将发生超稳定性; 对于较大的Q1值, 将发生的是正常对流.

图 5.2 当稳态对流(实线)和超稳定性(P = 0.025, 虚线)的不稳定性发生时扰动波数a (单位

是1/d)对Q1(对于各种给定的T1值)的依赖关系. 可以看出(对于逐渐增加的Q1) 当不稳定性形式

从超稳定性变化到细胞对流时, 出现a的不连续变化.


图 5.3 当稳态对流(实线)和超稳定性(P = 0.025, 虚线)的不稳定性发生时扰动波数a (单位

是1/d)对Q1(对于各种给定的T1值)的依赖关系. 可以看出(对于逐渐增加的Q1) 当不稳定性形式

从超稳定性变化到细胞对流时, 出现a的不连续变化.

表XVIII

对于各种Q1(= Q/π2)和T1(= T/π4)值, 当稳态对流的不稳定性发生时的

临界Rayleigh数和扰动相关波数

T1 = 1 T1 = 10 T1 = 50 T1 = 100 T1 = 200

Q1 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5

10 3.70 0.02657 3.76 0.0286 4.00 0.0286 4.31 0.05097 4.98 0.07325

40 - - - - - - - - 4.69 0.08923

100 5.67 0.1504 5.66 0.1508 5.65 0.1527 5.62 0.1550 5.58 0.1595

500 7.59 0.6238 7.59 0.6240 7.59 0.6245 7.58 0.6252 7.57 0.6267

1000 8.59 1.184 8.59 1.184 8.58 1.184 8.58 1.185 8.57 1.185

10000 12.80 10.65 - - - - 12.80 10.65 12.80 10.65

50000 16.84 51.29 - - - - 16.83 51.29 16.83 51.29

100000 18.94 101.5 - - - - 18.94 101.5 18.94 101.5

T1 = 500 T1 = 1000 T1 = 1500 T1 = 2000

Q1 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5

10 6.59 0.1292 7.90 0.2016 8.67 0.2619 9.22 0.3154

20 4.68 0.1178 6.44 0.1900 7.78 0.2513 8.54 0.3053

25 - - - - 4.70 0.2429 7.99 0.2988

30 4.44 0.1132 4.36 0.1694 4.30 0.2255 4.25 0.2816

40 4.56 0.1163 4.38 0.1610 4.24 0.2055 4.13 0.2498

50 4.72 0.1230 4.50 0.1605 4.33 0.1976 4.20 0.2344

60 4.89 0.1315 4.66 0.1641 4.48 0.1961 4.33 0.2278

80 5.19 0.1514 4.96 0.1776 4.76 0.2032 4.61 0.2283

100 5.44 0.1730 5.23 0.1952 5.04 0.2168 4.88 0.2381

200 6.29 0.2875 6.16 0.3009 6.02 0.3141 5.89 0.3270

500 7.53 0.6309 7.47 0.6380 7.40 0.6449 7.34 0.6518

1000 8.55 1.188 8.52 1.192 8.49 1.197 8.46 1.201

10000 12.80 10.65 12.80 10.65 12.80 10.65

50000 16.83 51.29 16.83 5.129 16.83 51.29

100000 18.94 101.5 18.94 101.5 18.94 101.5


T1 = 3000 T1 = 10000

Q1 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5

10 10.02 - 0.4102 - 12.59 - 0.8979 -

20 9.52 - 0.4004 - 12.36 - 0.8885 -

30 8.75 4.18 0.3881 0.3937 12.09 - 0.8784 -

40 - 4.00 - 0.3380 11.78 3.74 0.8673 0.9522

50 - 4.04 - 0.3073 11.40 3.68 0.8550 0.8118

60 - 4.12 - 0.2903 - 3.68 - 0.7192

80 - 4.36 - 0.2777 - 3.77 - 0.6104

100 - 4.63 - 0.2796 - 3.91 - 0.5544

200 - 5.66 - 0.3522 - 4.73 - 0.5134

500 - 7.22 - 0.6654 - 6.51 - 0.7545

1000 - 8.39 - 1.210 - 7.98 - 1.267

2000 - - - - - 9.39 - 2.324

4000 - - - - - 10.79 - 4.432

10000 - 12.80 - 10.65 - 12.80 - 10.67

50000 - 16.83 - 51.29 - 16.80 - 51.30

100000 - 18.94 - 101.5 - 18.94 - 101.5

T1 = 30000 T1 = 100000

Q1 a Rc × 10−5 a Rc × 10−5

10 15.3 - 1.843 - 18.9 - 4.067 -

20 15.2 - 1.833 - 18.8 - 4.057 -

30 15.1 - 1.824 - 18.7 - 4.048 -

40 14.9 3.64 1.814 2.703 18.7 3.61 4.038 8.83

50 14.8 3.54 1.803 2.246 18.6 3.48 4.028 7.261

60 14.6 3.50 1.792 1.933 18.5 3.43 4.018 6.175

80 14.2 3.50 1.769 1.540 18.3 3.38 3.998 4.781

100 - 3.54 - 1.311 18.2 3.37 3.977 3.933

200 - 3.97 - 0.9244 - 3.50 - 2.283

500 - 5.43 - 0.9722 - 4.33 - 1.604

1000 - 7.09 - 1.414 - 5.67 - 1.829

2000 - 8.85 - 2.423 - 7.57 - 2.716

4000 - 10.5 - 4.496 - 9.67 - 4.700

10000 - 12.6 - 10.70 - 12.3 - 10.82

50000 - 16.8 - 51.31 - 16.7 - 51.35

100000 - 18.9 - 101.5 - 18.9 - 101.5


表XVIII (续)

T1 = 106 T1 = 107

Q1 a Rc × 10−5 Q1 a Rc × 10−5

10 27.88 18.63 10 41.01 85.94

20 27.9 18.62 20 41.01 85.93

40 27.8 18.61 40 41.00 85.91

60 27.8 18.59 60 40.98 85.89

80 27.7 18.57 80 40.96 85.87

100 27.7 3.29 18.55 37.60 100 40.95 85.85

200 27.4 3.23 18.45 19.48 200 40.88 85.76

225 27.4 3.23 18.42 17.44 400 40.73 85.56

250 3.25 15.82 425 40.72 3.19 85.53 91.64

275 3.25 14.49 450 40.70 3.19 85.51 86.69

300 3.25 13.39 475 40.68 3.19 85.48 82.26

500 3.35 8.678 500 3.19 78.27

1000 3.76 5.664 1000 3.23 40.73

2000 4.70 5.103 2000 3.43 23.18

4000 6.35 6.413 4000 4.00 16.61

10000 9.55 12.00 10000 5.72 18.16

50000 16.0 51.85 50000 12.1 55.52

100000 18.6 101.8 100000 15.9 104.6

1000000 27.9 992.8 1000000 27.6 993.5

T1 = 108 T1 = 109

Q1 a Rc × 10−7 Q1 a Rc × 10−8

10 60.26 39.77 10 88.47 1.843

50 60.25 39.76 50 88.48 1.843

100 60.23 39.76 100 88.47 1.843

200 60.22 39.75 500 88.45 1.843

500 60.14 39.72 1000 88.41 1.842

650 60.12 3.16 39.71 5.970 2000 88.34 3.16 1.841 1.948

800 60.08 3.16 39.69 4.862 2090 88.34 3.16 1.841 1.865

1000 60.24 3.16 39.67 3.900 2200 88.34 3.16 1.841 1.772

2000 3.17 1.983 4000 3.16 0.9809

4000 3.26 1.050 10000 3.22 0.4087

10000 3.74 5.676 20000 3.41 0.2321

50000 7.09 0.725 50000 4.30 0.1606

100000 9.93 1.191 100000 5.72 0.1815

1000000 25.4 9.999 200000 7.95 0.2670

500000 12.4 0.5529

1000000 17.4 1.039

2000000 23.7 2.014


T1 = 1010 T1 = 1011

Q1 a Rc × 10−8 Q1 a Rc × 10−9

10 129.9 8.550 10 190.7 3.967

50 129.9 8.550 50 190.7 3.967

100 129.9 8.550 100 190.7 3.967

500 129.9 8.549 500 190.7 3.967

1000 129.9 8.549 1000 190.7 3.967

2000 129.8 3.14 8.548 19.45 2000 190.7 3.967 1.948

4000 129.8 3.14 8.546 9.739 4000 190.6 3.967 1.865

4600 129.8 3.14 8.544 8.472 9000 190.6 3.14 3.967 4.329

4800 3.14 8.120 9500 190.6 3.14 3.967 4.102

10000 3.16 3.914 10000 190.6 3.14 3.967 3.897

20000 3.17 1.987 20000 3.14 1.952

50000 3.32 0.8739 50000 3.16 0.7889

100000 3.73 0.5677 100000 3.22 0.4089

200000 4.70 0.5100 200000 3.41 0.2321

500000 7.10 0.7247 500000 4.30 0.1606

1000000 9.93 1.189 1000000 5.72 0.1815

3000000 17.2 3.125 3000000 9.70 0.3607

10000000 30.1 9.947 10000000 17.6 1.038

30000000 44.6 29.47 30000000 30.2 2.985

100000000 50.4 9.811

300000000 69.0 29.32

从表XVIII和图 5.1 和图 5.2 可见, 这里给出的解有一些很难预料的性质. 见图 5.3, 从曲

线R(a)是由方程(5.59)和(5.60) 定义的这个事实, 说明这些结果具有: 对于某些Q1和T1参数范围

具有两个极小值;当Q1小于某个值时,给出较低的Rayleigh数极小值,当Q1大于这个值时,给出较

高的Rayleigh数极小值. 因此, 对于T1 = 105和Q1 = 80, 这两个极小值分别出现在a = 18.3和a =

3.38,其中R = 4.00×105和4.78×105. 但是,当Q1 = 100,这两个极小值分别出现在a = 18.2和3.37,

其中R = 3.98 × 105和3.93 × 105. 因此, 对于Q1稍微小于100, 在边缘状态显示出的波数突然

从a = 18.2降到a = 3.4. 换言之, 如果我们从T1 = 105且没有磁场存在的初始场出发, 并逐步

增加磁场, 则首先在边缘稳定性状态出现的细胞将被拉长; 当磁场增加到一个与Q1 = 100相对

应的值时, 两种尺度不同的细胞将同时出现: 一组将被高度地拉长, 另一组将相对地, 被高度地

压扁. 当磁场进一步增加时, 临界Rayleigh数将开始降低, 并通过一个极小值; 渐渐地, 由磁场引

起的抑制作用起着支配作用. 对于所有的T1 > 2500, 出现我们刚才描述的系列行为. 当T1稍微

小于这个值, 显示边缘稳定性状态的波数在一个Q1的小范围内变化很快; 因此, 对于T1 = 1500,

当Q1在23到25之间变化时, a从7.29变到4.7. 但是, 对于T1 < 200, a表现为Q1的单调增的函数.

需要注意的是, 对于所有的T1 > 500, 临界Rayleigh数总是显示出初始的随Q1降低趋势; 仅

仅, 对于T1 > 2500, 当Q在两组细胞同时出现时通过临界值时, 这种降低的趋势才变得非常明显.

对于T1 < 400, Rc表现为随Q的单调增函数.


我们已经看到当液体, 比如水银, 处于旋转状态时, 热不稳定性基本上以超不稳定性形式发

生. 但是, 当存在磁场时, 稳定性交换的原理是有效的, 不稳定性以稳态对流的形式发生. 当旋

转和磁场同时存在时, 一般来说, 不稳定性发生的形式一定是以很复杂的方式依赖于相应的参


数T,Q,P1(= ν/κ)和P2(= ν/η). 我们将寻找以阐明在水银这种特殊情况下这种依赖关系的本质.

回到方程(5.43), 并考虑邻近两个自由边界的情况, 通过代入W = W0 sinπz我们可以得到需

要的特征方程; 因此

Ra2(π2 + a2 + P2σ)[(π2 + a2 + σ)(π2 + a2 + P2σ) +Qπ2]

= (π2 + a2 + P1σ)(π2 + a2)[(π2 + a2 + σ)(π2 + a2 + P2σ) +Qπ2]2+

+ Tπ2(π2 + a2 + P2σ)2 (5.62)

其中需要记住的是σ可以是复数. 让

x =a2

π2, iσ1 =

σ

π2, R1 =

R

π4, T1 =

T

π4, Q1 =

Q

π2(5.63)


R1 =1 + x

x (1 + x+ iP1σ1)(1 + x+ iσ1) +Q1

1 + x+ iP1σ11 + x+ iP2σ1

+

T11 + x

(1 + x+ iP1σ1)(1 + x+ iP2σ1)

(1 + x+ iσ1)(1 + x+ iP2σ1) +Q1 (5.64)

因为我们现在的感兴趣的,是通过一种纯震荡运动 ,来确定不稳定性发生的临界Rayleigh数,

因此寻找方程(5.64)允许的当σ1是实数时的解的条件就够了.假设是这种情况, 让方程(5.64) 的虚

部和实部相等, 我们得到以下关于给定的x,Q1和T1去确定R1和σ1的一对方程:

R1 =1 + x

x (1 + x)2 − P1σ

21 +Q1

(1 + x)2 + P1P2σ2

(1 + x)2 + P22σ

21

+T1

1 + x×

× [(1 + x)2 − P2σ21 +Q1][(1 + x)2 − P1P2σ

21 ] + (1 + x)2(P1 + P2)(1 + P2)σ2

1

[(1 + x)2 − P2σ21 +Q1]2 + (1 + x)2(1 + P2)2σ2

1

(5.65)

以及T1

1 + x

(P1 − 1)(1 + x)2 + (P1 + P2)Q1 + P22 (P1 − 1)σ2

1

[(1 + x)2 −P2σ21 +Q1]2 + (1 + x)2(1 + P2)2σ2

1

+

+Q1P1 − P2

(1 + x)2 + P2σ21

+ 1 + P1 = 0 (5.66)

对于给定的值Q1和T1, 方程(5.65)和(5.66)定义了作为x的函数R1, 它的极小值确定了关于超

稳定性的临界Rayleigh数. 这个关于超稳定性发生的极小Rayleigh值必须与相应的对流发生时的

值, 公式已经在 §5.4 中给出. 其中不稳定性发生的形式将依赖于两个Rayleigh数中较小的值.

当然, 对于参数的某个范围, 方程(5.66)将不允许σ21的正数值. 对于这些参数范围, 超稳定性

是不可能发生的.

(a) 适合于液态金属的一个近似解

§5.5.1 适合于液态金属的一个近似解

当应用于诸如水银这样的液态金属时, 给出R1和σ1的方程就大大简化了. 这些物质是以极

小的P2作为其特征的; 因此在室温条件下, 对于水银

P1 =1.11

4.45× 10−1 = 0.025; P2 =

1.11 × 10−3

7.6 × 103= 1.5 × 10−7 (5.67)


因此, 在这些情况下, 与P1或者单位1相比P2可以忽略. 而且, 似乎一看就明白, 与P2有关的项,

可以被忽略, 即使它们出现在乘以一个大的因子时, 也是如此. 因此, 排除方程(5.65)和(5.66)中

以P2作为因子的所有项, 我们得到

R1 =1 + x

x

(1 + x)2 −P1σ

21 +Q1 + T1

(1 + x)[(1 + x)2 +Q1 + P1σ21 ]

[(1 + x)2 +Q1]2 + (1 + x)2σ21

(5.68)

以及

(1 + x)(1 + P1) +Q1P1

1 + x= T1

(1 − P1)(1 + x)2 − P1Q1

[(1 + x)2 +Q1]2 + (1 + x)2σ21

(5.69)

方程(69)给出了以下关于σ21的显式公式

σ21 =

T11 + x

(1 + x)2(1 − P1) − P1Q1

(1 + x)2(1 + P1) + P1Q1−[(1 + x) +

Q1

1 + x

]2(5.70)

还有, 方程(5.68)与方程(5.69)联合给出

R1 = 21 + x

x

(1 + x)2 +Q1

(1 + x)2(1 − P1) − P1Q1[(1 + x)2 + P2

1σ21 ] (5.71)

§5.5.2 水银的数值结果

方程(5.70)和(5.71)已经用来确定当P1 = 0.025时对应于各种Q1和T值的超稳定性发生的临

界Rayleigh数. 计算的结果列在表XIX中. 表中最后一列, 给出了相对于Q的边缘状态震荡频率;

根据方程(5.63)和T的定义,

p/Ω = 2σ1/√T (5.72)

对于各种给定的T1值,在图 5.1中给出了超稳定性和稳态对流发生的临界Rayleigh数,它是Q1的

函数. 相关扰动的波数类似地在图 5.2中给出. 对于各种T1值进行计算, 从图 5.1, 我们可以直接

看出不稳定性发生的形式.

在 §5.4中给出的特殊现象,当稳态对流不稳定性不发生而只允许象P1 = 0.025这样小时的超

稳定性发生时, (Rc, Q)曲线给出非单值的行为. 但是, 这些曲线确实显示出不连续行为, 尽管是

很不显著的特性. 从图 5.1可知, 对于显示的情况, 从超稳定性到对流发生的转变, 出现在对流曲

线通过它的最小值; 从图 5.2, 可以看出, 这种转变, 出现在动波数明显不连续的地方, 转变表明

稳定性处于边缘状态. 在这种意义上,不连续性是发生在对流细胞(对于逐步增加的Q1)突然变得

很宽.


表XIX

当P1 = 0.025时超稳定性发生时

的临界Rayleigh数和相关常数

T1 = 104

Q1 a σ1 Rc p/Ω

10 4.56 53.52 7.0530× 103 1.0704

30 5.35 45.55 1.3887× 104 0.9110

100 6.63 30.12 3.5402× 104 0.6024

150 7.20 18.44 5.0156× 104 0.3688

T1 = 105

10 6.03 140.8 1.284× 104 0.8905

20 6.41 132.9 1.667× 104 0.8405

30 6.66 127.8 2.019× 104 0.8083

40 6.88 123.7 2.355× 104 0.7823

50 7.05 120.4 2.679× 104 0.7615

60 7.20 117.9 2.996× 104 0.7438

100 7.66 109.0 4.217× 104 0.6894

200 8.45 94.38 7.130× 104 0.5969

400 9.48 72.53 1.278× 105 0.4587

500 9.88 61.95 1.557× 105 0.3918

T1 = 106

10 8.35 342.1 3.650× 104 0.6842

30 8.89 321.7 4.533× 104 0.6434

100 9.78 291.0 7.072× 105 0.5820

500 11.54 236.3 1.893× 105 0.4726

1000 12.64 202.5 3.271× 105 0.4050

1600 13.62 170.3 4.898× 105 0.3406

T1 = 108

10 17.4 1729 6.000× 105 0.3458

100 18.0 1674 6.492× 105 0.3348

1000 20.3 1467 1.020× 106 0.2934

10000 25.0 1123 3.642× 106 0.2246

16000 26.4 1024 5.248× 106 0.2048

T1 = 1010

10 37.7 8097 1.254× 107 0.1619

1000 38.4 7953 1.305× 107 0.1591

10000 41.9 7229 1.720× 107 0.1446

40000 46.3 6455 2.780× 107 0.1291

100000 50.1 5841 4.576× 107 0.1168

130000 51.3 5643 5.421× 107 0.1129

§5.6 有旋转和磁场时热不稳定性发生的实验

关于有旋转和磁场时热不稳定性发生, 已经由Nakagawa成功地进行了实验.

在Nakagawa的实验中, 通过在芝加哥大学回旋加速器中重新处理的一块35.5英寸的电磁铁,

来提供强度可变的均匀垂直方向的磁场. 一个盛有水银的耐热玻璃桶安放在无磁性的调平的球

§5.6 有旋转和磁场时热不稳定性发生的实验 171

图 5.4 实验装置的简图: A, 酚醛塑料桶; B, 不锈钢板; C, 电加热器; D, 无磁球轴承; F , 水银

槽; M , 镜的正面; S, 旋转快门; T , 照相仪(Proc. Roy. Soc. (London) A, 249, 140(1958)).

轴承上,球轴承处于电磁铁的两极之间,由电马达驱动在磁场中旋转.(见图 5.4,该图给出了§(b)描述的实验装置.) 使用电计时的光学方法测量角速度. 在时间测量中保持的精度是10−5秒.

在容器的底部的一块不锈钢板下面放了一个直流加热器, 作为热源. 形成的温度梯度用热

电偶测量, 在水银的固定两个面上嵌入9个铜康铜热电偶. 在每次特定实验中, 水银的平均温度

也用热电偶测量, 其中一个安放在水银层的中间; 在这个平均温度下的各种系数(如ν, κ, 等等用

作确定象R, T , 和Q这样的参数.

热电偶的emf(电动势)被放大, 并进行自动连续地记录.热电偶测量的精度是±0.001oC, 而用

热电偶进行平均温度测量的精度是±0.01oC.

装置的旋转部分的各种元件, 通过与铜康铜接触的灌水银槽的一个系统进行电连接.

为了有利于水银底部表面保持固定均匀的条件, 实验引人了一个固定的氮气冷却循环.

§5.6.1 关于临界Rayleigh数的结果和不稳定性发生的形式

进行的所有实验, 采用的水银层厚度和旋转的角速度都分别是3cm和5rev/min. 相应的T1值

介于7.5×105和8.5×105,这个值与水银的平均温度有关. 通过使用变化范围在125到5,500高斯的

磁场强度, 实验提供的Q1值的范围在10到2 × 104之间.对于一个给定的旋转速度和磁场强度, 不

稳定性发生的临界Rayleigh数, 根据Schmidt-Milverton原理, 通过测量在各种加热情况下得到的

稳定的温度梯度来确定;在各种情况下的不稳定性发生形式通过检查温度记录弄清.超稳定性发

生总是通过温度记录中显示出来的纯谐波震荡加以区分.这种记录的一个典型的例子在图 5.5中

给出.

在图 5.6中, 给出了实验结果和根据 §5.4 和 §5.5中的计算得到的当T1 = 106时理论预期的关

系.因为理论结果是从两个自由边界条件情况推出的,而采用的T1值与实验对应的平均值有一些

差别. 在实验和理论之间的定性结果不是人们所期望的. 可以期望的是普遍意义下的吻合; 而这

确实存在. 特别是, Rayleigh数对Q1的依赖关系的不连续性特征, 伴随着的不稳定性发生的形式

的变化是显而易见的. 观测到的超稳定性震荡周期与理论值(实线)的对比, 在图 5.7中给出.


off

on

图 5.5 关于水银的逆温度梯度的时间记录: d = 3cm; Ω = 5rev/min; H = 125G; Q1 = 1.01×101;

T = 7.90 × 105.

图 5.6 关于稳定性的临界Rayleigh数的实验和理论结果. 用T1 = 106标记的曲线(对流), T1 =

106 (超稳定性), T1 = 0 (对流) 表示理论推导的关系. 相应地, 用实点和阴影三角对应的T1值

是7.75 × 105.


图 5.7 观测到的超稳定性震荡周期与理论值(实线)的对比. 相应的实验结果的T1值是(8.05 ±0.07) × 105.

Q1

b(cm)

(T1=106)

(T1=106) (T1=0)

(T1=7.3x103)

1

102 10410 105 106103

2

4

5

6

01

3

图 5.8 关于在边缘稳定性状态显示的细胞尺度的实验和理论结果. 关于T1 = 106, T1 = 0的理论

关系是用虚线表示的. 实的圆点表示T1 = 7.30 × 105砂的实验结果. 黑的实线是对应的实验数据.

较低的一支虚线和黑实线表示超稳定性发生时的情况. 图中两条位于右端的线表示稳态对流发

生时的情况.


a b

c d

图 5.9 在作用的外部磁场变化的情况下, 以5rev/min旋转, 厚度为3cm 的水银层表面上的对流

运动纹理照片举例; (a) H = 125G,Q1 = 9.60; 和T1 = 6.95 × 105; (b) H = 750G, Q1 = 3.52 × 102,

和T1 = 7.30 × 105; (c) H = 1000G, Q1 = 6.25 × 102, 和T1 = 7.49 × 105; (c) H = 3000G, Q1 =

5.61 × 103, 和T1 = 7.49 × 105; 当我们通过H = 750G 到H = 1000G 时细胞尺度的突然增加. 关

于在边缘稳定性状态显示的细胞尺度的实验和理论结果. 关于T1 = 106, T1 = 0的理论关系是用

虚线表示的. 实的圆点表示T1 = 7.30 × 105砂的实验结果. 黑的实线是对应的实验数据. 较低的

一支虚线和黑实线表示超稳定性发生时的情况. 图中两条位于右端的线表示稳态对流发生时的

情况.


§5.6.2 光学观测和细胞尺度随磁场强度的不连续变化

为了光学观测, 有必要对以前描述的装置进行一些改进. 实验是在图 5.4中给出的装置上做

的.

水银被盛放在直径为24cm高度为4cm的酚醛塑料圆桶A内.圆桶的底部用一块具有O-形环的

不锈钢板B密封. 这块钢板经过了仔细加工, 以消去表面的凸凹不平, 它们可能对接着发生的对

流图案产生扰动. 已经发现消去这种扰动对于实现成功的光学观测具有重要意义.

通过一个绕制的无电感的电加热器C从底部的均匀加热, 电加热器放在不锈钢板的下边. 这

个由酚醛塑料桶, 不锈钢板, 和电加热器组成的装置安装在电磁铁的两极之间的无磁球轴承上.

在上边的实验中, 它在磁场中以5rev/min的速率旋转.

这个装置的光学部分,由一面与垂直方向夹角为45o的镜子,旋转观测仪,一个旋转快门S,和

单物镜反射照相仪组成. 镜的上面镀了银; 镜子暗淡的一面(在实验中由于水蒸气的凝结)用一个

红外灯照射.

用一个旋转角速度正好是装置旋转的一半的旋转中的旋转仪, 把稳态的镜像固定在照相仪

内. 通过一系列适当的快门开启和关闭, 可能得到每隔15秒钟的照片.

作为运动的示综,采用的是直径近似等于0.5mm的沙粒. 这些颗粒在表面上跟着水银的运动

自由浮动, 以便使出现的对流图案能够被拍摄下来. 在水银表面的一个蒸馏水薄层避免了引起

表面氧化的很大困难.

再次进行水银层厚度为3cm, 一种旋转角速度为5rev/min的实验, 且如同在§(a)中证实的那

样, 调整对于每个Q1 值的加热速率, 使得条件正好是边缘条件. 对于每个Q1值, 至少重复两次实

验, Nakagawa 拍摄了总共300张照片. 实验结果打印在8 × 10英寸的纸上. 通过测量邻近细胞中

心之间的距离, 用第四章 §4.13节描述的方法, 对应于这些距离的理论值用作参考. 在图 5.8中,

当T1 = 106时, 实验的结果与理论关系进行了对比. 但是, 基于我们已经解释的理由, 定性的符合

不是所期望的, 普遍特性的吻合关系是令人满意的. 特别是, 在临界场强度下期望的细胞尺度放

大是得到了令人信服的证明.

在图 5.9中, 给出了Nakagawa搜集的表面纹理照片. 它们显示了细胞尺度对Q1值的依赖关

系. 通过这些照片, 显示了随场强度的增加细胞尺度的变化.

参考文献注释

关于在旋转流体中磁流体力学波动问题已经在下文中考虑:1. B. Lehnert, Magnetohydrodynamics waves under the action of the coriolis force,

Part I, Astrophys. J.,119, 647-54(1954); Part II, ibid, 121, 481-90(1955).

也可见:

2. S. Chandrasekhar, ‘The gravitational instability of an infinite homogeneous

medium when Coriolis force is action and a magnetic field is present’, ,ibid, 119,

7-9(1954).

3. B. Lehnert, ‘The decay of magneto-turbulence in the presence of a magnetic field

and Coriolis force’,Quart. Appl. Math. 12, 321-41(1955).

§5.3-§5.5 中的分析基础是:


4. S. Chandrasekhar, ‘The instability of a layer of fluid heated below and subjected

to the simultaneous action of a magnetic field and rotation. I’, ,Proc. Roy. Soc.

(London), A 225, 173-84(1954); II, ibid, 237, 476-84

对于给定的参数Q1和T1范围, 方程(5.59)和(5.60)定义的曲线R(a)有两个最小值是由Donna El-

bert首先发现的.

§54 中描述的实验工作的参考文献是:

5. Y. Nakagawa, ‘Experiments on the instability of a layer of mercury heated from

below and subject to the simultaneous action of a magnetic field and rotation. I’,

Proc. Roy. Soc. (London) A, 242, 81-88(1957); II, ibid,249, 138-45(1959).

在文献5中描述的实验的延伸,自从显示了在超稳定性出现之后出现稳态对流不稳定性之后; Nak-

agawa 进一步观测了随着磁场强度的增加预测的Rayleigh数的减少, 超过对流分支的部分(见图

5.6.)

第六章在流体球和球壳中热不稳定性的发生

§6.1 引言

在本章, 我们将把前面几章中的考虑延伸到球几何问题, 这些问题, 与有热源的流体球和球

壳的热不稳定性有关. 除了从应用数学角度看得到的一般兴趣, 它吸引了一种基础物理理论的

延伸, 作为热不稳定性的本质和起因, 这种延伸, 从地球物理的几个方面而言, 也是有兴趣的; 例

如, 在地球核中可能流行的对流运动图案, 这种运动与地球磁场的起因之间的联系, 以及它的特

殊变化. 在球几何中的对流本质还有其它重要的地球物理联系: 与地球的表面是否近似相等地

分成陆地和海洋, 可能与地球流体原始的对流图案有关; 在地球壳中缓慢的, 连续的大尺度对流,

可能与陆地的形成和运动有关. 到目前为止, 这些在地球物理和地质中与后边的问题的关注, 仍

然是有争议的, 但对现在这个问题的兴趣无影响.

§6.2 扰动方程

考虑一个受到球对称的径向重力加速度场g(r)xi作用的不可压缩流体球壳, 其中g(r)仅仅

是r的函数. 在特殊情况下, g(r)是r的已知函数. 因此, 如果我们必须考虑密度为ρ的均匀流体

球,

g(r) =4

3πGρ = constant (6.1)

其中G是重力加速度常数. 类似地, 如果我们必须考虑覆盖在半径为Ri质量为Mi的球核上的一

个密度为ρ的球壳,

g(r) = G

(Mi −

4

3πρR3

i )1

r3+

4

3πρ

(6.2)

我们将假定有一个热源分布,使流体中保持一个径向温度梯度.这个温度梯度将由导热方程

确定,

κ∇2T = −ϵ (6.3)

如果κ和ϵ假设是常数, 方程(6.3)给出温度分布

T = β0 − β2r2 +

β1r

(6.4)

其中

β2 = ϵ/6κ (6.5)

而β0和β1是常数. 通过考虑不稳定性的这种初始状态, 我们容易发现, 在Boussinesq 近似下的扰

动方程为∂ui∂t

= − ∂

∂xi

(δp

ρ

)+ αg(r)xiθ + ν∇2ui (6.6)

以及∂θ

∂t= −ui

∂T

∂xi+ κ∇2θ (6.7)

其中α是体积膨胀系数, 而δp和θ分别是压力和温度的扰动, 我们可以写出

∂T

∂xi= −2β(r)xi (6.8)

其中

β(r) = β2 +β12r3

(6.9)

177

178 第六章在流体球和球壳中热不稳定性的发生

现在方程(6.6)和(6.7)可以重写成形式:

∂ui∂t

= − ∂

∂xi

(δp

ρ

)+ γ(r)θxi + ν∇2ui (6.10)

和∂θ

∂t= 2β(r)uixi + κ∇2θ (6.11)

其中

γ(r) = αg(r) (6.12)

除了方程(6.10)和(6.11), 我们有连续性方程

∂ui∂xi

= 0 (6.13)

根据我们标准的实际经验, 通过取旋度, 我们可消去方程(6.10)中的梯度项, 得到

∂ωi

∂t= γϵijk

∂θ

∂xjxk + ν∇2ωi (6.14)

其中ω是涡量. 对这个方程再次取旋度, 得到

∂

∂t∇2ui = −Oiθ + ν∇4ui (6.15)

其中Oi代表微分算子,

Oi = −ϵijk∂

∂xjϵklmγxl

∂

∂xm=

∂

∂xjγ

(xj

∂

∂xi− xi

∂

∂xj

)(6.16)

把它展开, 我们得到

Oi = γ

(∂

∂xi+

∂

∂xixj

∂

∂xj− xi∇2

)+

1

r

∂γ

∂r

(r2

∂

∂xi− xixj

∂

∂xj

)(6.17)

现在, 可以直接证明

xi∇2fi = ∇2xifi 如果fi是无散度的; (6.18)

且因为ui和ωi都是无散度的, 从方程(6.14)和(6.15), 我们得到

∂

∂t(xiωi) = ν∇2(xiωi) (6.19)

和

∇2

(ν∇2 − ∂

∂t

)(uixi) = γL2θ (6.20)

其中

γL2 = xiOi = γ

(xi

∂

∂xi+ xi

∂

∂xixj

∂

∂xj− r2∇2

)(6.21)

观察到算子∇2和L2的互换性(见如下的方程(6.25)), 我们可以从方程(6.20)中消去θ:

L2∇2 = ∇2L2 (6.22)

因此 (κ∇2 − ∂

∂t

)γ−1∇2

(ν∇2 − ∂

∂t

)(uixi) =

(κ∇2 − ∂

∂t

)L2θ = L2

(κ∇2 − ∂

∂t

)θ (6.23)

现在应用方程(6.11), 我们得到(κ∇2 − ∂

∂t

)γ−1∇2

(ν∇2 − ∂

∂t

)(uixi) = −2βL2(uixi) (6.24)

方程(6.11),(6.19),(6.20),和(6.24)是这个问题的基本方程.

§6.2 扰动方程 179

§6.2.1 算子L2

为了便于以后参考, 我们可以在这里说明算子L2的某些基本性质. 在球坐标系r, ϑ和φ中,

L2 = r∂

∂r+ r

∂

∂rr∂

∂r− r2∇2 = r2

(∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r−∇2

)= − 1

sinϑ

∂

∂ϑsinϑ

∂

∂ϑ− 1

sin2 ϑ

∂2

∂φ2(6.25)

L2确实是, 表示角动量平方的算子. 因此, 它的特征值是, l(l+ 1); 属于它们的特征函数是球调和

函数:

L2Y ml (ϑ, φ) = l(l + 1)Y m

l (ϑ, φ) (6.26)

其中

Y ml (ϑ, φ) = Pm

l (cosϑ)e±imφ (6.27)

而Pml (cosϑ)是相应的Legendre多项式. 相应的正交积分是∫ π

0

∫ 2π

0

| Y ml (ϑ, φ) |2 sinϑdθdφ = Nm

l (6.28)

其中

Nml =

4π

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!(6.29)

§6.2.2 正交模式分析

回到方程(6.11), (6.19), (6.20)和(6.24),我们必须根据我们的普遍步骤对扰动进行正交模式分

析. 在现在的例子中, 清楚地表明了用球调和函数分析. 因此, 我们写出

xiωi = rωr = Z(r)Y ml (ϑ, φ)ept

xiui = rur = W (r)Y ml (ϑ, φ)ept (6.30)

和

θ = Θ(r)Y ml (ϑ, φ)ept

因为

∇2 =∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r− L2

r2(6.31)

∇2对一个函数, 它是一个球调和函数Y ml 与一个仅是r的函数f的乘积, 造成的影响, 由下式给出

∇2Y ml (ϑ, φ)f(r) = Y m

l (ϑ, φ)Dlf(r) (6.32)

其中

Dl =d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2(6.33)

考虑到这个等式, 在方程(6.11), (6.19), 和(6.20) 中, 加入方程(6.30) 的解, 给出

(Dl − Pσ)Θ = −(

2β

κR2

1

)W (6.34)

(Dl − σ)Z = 0, (6.35)

和

D(Dl − σ)W =γ

νR4

1l(l + 1)Θ (6.36)

其中我们已经用合适的半径R1作为衡量r的单位. 让

σ = pR21/ν, P = ν/κ (6.37)

方程(6.34)-(6.36)的解必须在满足确定的边界条件下寻找. 这些条件将在下边描述.


§6.2.3 边界条件

让球壳限制在r = 1和η之间. (这时选择的长度单位, 是球壳的外半径R2.)

在所有情况下, 我们必须要求

W = 0, Θ = 0 当r = 1, 和r = η (6.38)

关于W, 其它的边界条件取决于当r = 1,和η时边界表面的性质. 我们将考虑两种情况: 表面是刚

性的情况(如同在地球液体核的壳的交界面), 以及表面是自由的情况. (如同在自由空间中孤立

球的边界). 在刚性边界上我们必须要求速度的横向分量

uϑ, 以及 uφ同时消失; (6.39)

但是, 在一个自由边界上, 我们必须要求切向粘性应力

prϑ 和 prϕ 消失 (6.40)

考虑在球边界表面上施加条件(6.39)的含义. 从连续性方程,

∂ur∂r

+ 2urr

+1

r

∂uϑ∂ϑ

+uϑr

cotϑ+1

r sinϑ

∂uϕ∂ϕ

= 0 (6.41)

根据ur, uϑ, 和uφ在一个r = constant的边界上消失, 对于所有的ϑ和φ, 我们得出

∂ur∂r

= 0 (在一个刚性的球边界上). (6.42)

从这个条件推出的等价形式是

dW

dr= 0 (在一个刚性的球边界上). (6.43)

接着在球边界表面上考虑施加条件(6.40)的含义. 粘性切应力prϑ和prφ的表达式是

prϑ = ρν

(∂urr∂ϑ

− uϑr

+∂uϑ∂r

)和

prφ = ρν

(1

r sinϑ

∂ur∂φ

− uφr

+∂uφ∂r

)(6.44)

从r = constant,在表面上prϑ和prφ消失,(在表面上ur也消失), 可以得出(∂

∂r− 1

r

)uϑ = r

∂

∂r

(uϑr

)= 0

和 (∂

∂r− 1

r

)uφ = r

∂

∂r

(uφr

)= 0 (6.45)

因此, 对连续性方程作用算子r∂/∂r, 我们得到

r∂

∂r

(∂ur∂r

+2

rur

)=

∂2

∂r2(rur) − 2

rur = 0 (6.46)

同时因为ur在这个表面上消失, 条件(6.46)相当于

d2W

dr2= 0 (在一个自由的球边界上). (6.47)

如果我们必须考虑一个完整的流体球, 在球的中心, 必须满足某些确定的边界条件, 以保证

在球心所有的量无奇异性. 从W和Θ满足的微分方程, 得到

W, Θ 当r → 0, 表现必须与rl相同. (6.48)

§6.2 扰动方程 181

§6.2.4 速度场

在解出方程(6.34)-(6.36)以后, 我们必须通过确定整个速度场, 来完成求解过程; 这就要求,

用径向的速度和涡量确定其它的速度分量uϑ和uφ. 实际求解,最好是应用下边关于任意一个无散

度矢量场的通用表示方法.(在附录三中, 可以发现这种表示方法的更详细内容.)

任何一个无散度矢量场可以用一些基本的环形场(T )和管形场(S)来表示, 它们是

Tr = 0, Tϑ =T (r)

r sinϑ

∂Y ml

∂φ, Tφ = −Tr

r

∂Y ml

∂ϑ(6.49)

和

Sr =l(l + 1)

r2S(r)Y m

l , Sϑ =1

r

∂S

∂r

∂Y ml

∂ϑ, Sφ =

1

r sinϑ

∂S

∂r

∂Y ml

∂φ(6.50)

在附录三中证明的矢量场S和T的主要性质, 在这里可以进行概括.

(i) 场S和T是双双无散度的.

(ii) 关于在以r为半径的球面上的积分, S和T具有下边的正交性质.

如果S和S′是从不同的球调和函数推出的,∫ ∫S · S′dΣ = 0 (6.51)

其中dΣ = r2 sinϑdϑdφ. 类似地, 如果T和T′ 是从不同的球调和函数推出的,∫ ∫T · T ′dΣ = 0 (6.52)

(iii) 如果S和S′是从相同的球调和函数推出的∫ ∫S · S′dΣ = l(l + 1)Nm

l

l(l + 1)

r2SS′ +

dS

dr

dS′

dr

(6.53)

其中Nml 具有在方程(6.29)中的含义. 类似地, 如果T和T′是从相同的球调和函数推出的,∫ ∫

T · T ′dΣ = l(l + 1)Nml TT

′ (6.54)

(iv) 任何管形场与任何环形场是正交的: ∫ ∫S · TdΣ = 0 (6.55)

(v) curlS表示一个环形场, 它的标量定义为

S = l(l + 1)S − d2S

dr2(6.56)

而curlT表示一个管形场, 它的标量定义为T .

(vi) curl2S还是表示一个标量定义为S管形场; 类似地, curl2T还是一个环形场, 它的标量定义为

T =l(l + 1)

r2T − d2T

dr2(6.57)

从以上概括的内容, 我们可知W和Z, 如同我们在方程(6.30)中定义的, 与S和T 的联系是

S =rW

l(l + 1), T =

rZ

l(l + 1)(6.58)


§6.3 在β = constant, γ = constant时稳定性交换原理的有效性

在这一节的讨论, 限于当β和γ同是常数的情况. 因此, (见方程(6.1), (6.5), (6.9), 和(6.12))

β = β2 = ϵ/6κ, γ = gα =4

3πGρα (6.59)

联立方程( 6.34)和( 6.36)给出

Dl(Dl − σ)(Dl − Pσ)W = −l(l + 1)ClW (6.60)

其中

Cl =2βγ

κνR6

1 (6.61)

现在我们将表明,当β和γ是常数时,稳定性交换的原理是有效的. 但是,我们将首先证明,算

子Dl的一些性质, 我们将发现, 它们在下边的简化过程中是有用的.

考虑积分 ∫ a

b

r2ϕDlψdr =

∫ a

b

r2ϕ

d2ψ

dr2+

2

r

dψ

dr− l(l + 1)

r2ψ

dr (6.62)

其中ϕ(r)和ψ(r), 是限制在区间(a, b)内的任意两个连续函数. 但是, 通过一次分部积分, 我们有

=

∫ a

b

ϕd

dr

(r2dψ

dr

)− l(l + 1)ϕψ

dr

∫ a

b

r2ϕDlψdr = r2ϕdψ

dr

∣∣∣∣ab

∣∣∣∣ab

∣∣∣∣ab

−∫ a

b

r2dψ

dr

dϕ

dr+ l(l + 1)ϕψ

dr (6.63)

进一步分部积分, 我们得到∫ a

b

r2ϕDlψdr = r2(ϕdψ

dr− ψ

dϕ

dr

)a

b

+

∫ a

b

r2ψDlϕdr (6.64)

同步地, 如果ϕ和ψ在区间端点消失, 则∫ a

b

r2ϕ∗Dlϕdr = −∫ a

b

r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dϕdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) | ϕ |2dr (6.65)

以及 ∫ a

b

r2ϕDlψdr =

∫ a

b

r2ψDlϕdr (6.66)

这个最后的方程意味着:对于在区间端点消失的函数, 算子r2Dl是Hermiton算子.

回到方程(6.34)和(6.36), 让

F = l(l + 1)γ

νR4

1Θ (6.67)

则, 方程变成

Dl(Dl − σ)W = F (6.68)

以及

(Dl − Pσ)F = −l(l + 1)ClW (6.69)

边界条件是

W = F = 0, 或者dW

dr, 或者

d2W

dr2= 0 当r = 1, η (6.70)

现在,对方程(6.69)乘以r2F ∗并在r的范围内积分. 因为F在端点消失,我们可以应用方程(6.65)并

得到 ∫ 1

η

r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dFdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) | F |2 +Pσr2 | F |2dr = l(l + 1)Cl

∫ 1

η

r2WF ∗dr (6.71)

§6.4 在β和γ是常数的情况下的一种变分原理 183

根据方程(6.68), 这个方程右端的积分项是∫ 1

η

r2WF ∗dr =

∫ 1

η

r2WD2lW

∗dr − σ∗∫ 1

η

r2WDlW∗dr (6.72)

根据方程(6.64)和(6.65), 对方程(6.72)右端的积分项进行变换, 我们得到∫ 1

η

r2WF ∗dr = −(r2dW

drDlW

∗)1

η

+

∫ 1

η

r2 | DlW |2 dr+

+ σ∗∫ 1

η

r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dWdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) |W |2dr (6.73)

在刚性边界上dW/dr = 0,方程(6.73)被积分出来的部分消失;但是,如果边界是自由的,则 d2W/dr2=0

以及

(DlW∗)r=1或η =

[d2W ∗

dr2+

2

r

dW ∗

dr− l(l + 1)

W ∗

r2

]r=1或η

= 2

(1

r

dW ∗

dr

)r=1或η

(6.74)

在两种情况下, 积分出来的部分可以写成

− 2

[r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dWdr∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2]1

η

(6.75)

因此, 方程(6.71)简化为∫ 1

η

r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dFdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) | F |2 +Pσr2 | F |2dr−

−l(l + 1)Cl

− 2

[r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dWdr∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2]1

η

+

∫ 1

η

r2 | DlW |2 dr+

+ σ∗∫ 1

η

[r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dWdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) |W |2]dr

(6.76)

方程(6.76)的实部和虚部, 必须分别消失; 虚部消失给出

im(σ)

P∫ 1

η

r2 | F |2 dr + l(l + 1)Cl

∫ 1

η

[r2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dWdr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 + l(l + 1) |W |2]dr

= 0 (6.77)

在这个方程中im(σ)的因子是正定的. 因此,

im(σ) = 0 (6.78)

因此σ是实数, 不稳定性的发生必须通过稳定的边缘状态. 所以, 稳定性交换的原理是有效的.

§6.4 在β和γ是常数的情况下的一种变分原理

因为当β和γ是常数时, 稳定性交换原理是有效的, 这时控制边缘状态的方程是

DlZ = 0 (6.79)

D2lW = F (6.80)

和

DlF = −l(l + 1)ClW (6.81)


在r = 1和η处的边界条件与方程(6.70)给出的是相同的.

显然方程(6.79)要求

Z ≡ 0 (6.82)

因此, 涡量的径向分量是完全消失的. 根据 §6.2.4 中的定理, 速度场纯粹是管形场.

方程(6.80)和(6.81)与边界条件(6.70)组成一个关于Cl的特征值问题;伴随l值的不稳定性发生

导致最小的Cl 值.

现在的特征值问题也可以用一种变分原理描述. 当σ = 0时, 从方程(6.76)出发的变分原理基

础给出

l(l + 1)Cl =

∫ 1

ηr2(dF/dr)2 + l(l + 1)F 2dr

−2[r(dW/dr)2]1η +∫ 1

ηr2(DlW )2dr

(6.83)

应用第二章 §2.9 描述的方法, 容易证明关于Cl的最小特征值表示方程(6.83)右端项的最小

值. 这个原理给出的一个等价表达式是关于l(l + 1)Cl的最小值等于∫ 1

η

r2(dF

dr

)2

+ l(l + 1)F 2

dr (6.84)

当r = 1和η时F的变分消失, 并保持常数 ∫ 1

η

r2WD2lWdr (6.85)

其中W是通过F和边界条件, 用方程D2l = F确定的, 在后边的这个表达式中, l(l + 1)Cl以待定

的Lagrange 乘子出现.


与前边章节中的内容相同, 我们将表明, 方程(6.83)的物理含义: 简单地说, 作为表征边缘状

态的一种充分的手段, 它表示通过粘性耗散能量的速率与通过浮力释放能量的速率相等.

考虑通过粘性耗散能量的速率. 它可以写为

ϵν = ρν

∫ ∫ ∫u·curl2udV (6.86)

其中积分是在球壳的整个体积上进行的.

ϵν = ρν

∫ ∫ ∫S·curl2SdV (6.87)

根据 §6.2.4 中的定理, 这相对于

ϵν = ρν

∫ ∫ ∫S·SdV

= ρνl(l + 1)Nml

∫ R1

R2

l(l + 1)

SS

r2+dS

dr

dS

dr

dr (6.88)

通过分部积分, 我们得到

ϵν = ρνl(l + 1)Nml

∫ R1

R2

[l(l + 1)

S

r2− d2S

dr2

]Sdr +

(SdS

dr

)R1

R2

(6.89)

记住S的定义, 及在边界r = R1和R2上要求S消失, 我们有

ϵν = ρνl(l + 1)Nml

∫ R1

R2

S2dr −(d2S

dr2dS

dr

)R1

R2

(6.90)

§6.5 关于流体球内热不稳定性的发生 185

从W与在(6.58)中给出的标量S的定义, 得出

S = − 1

l(l + 1)rDlW (6.91)


ϵν =ρνNm

l

l(l + 1)R1

∫ 1

η

r2(DlW )2dr −[d2

dr2(rW )

d

dr(rW )

]1η

(6.92)

因为当r = 1和η时, W和dW/dr或者d2W/dr2消失, 我们还可以写出

ϵν =ρνNm

l

l(l + 1)R1

∫ 1

η

r2(DlW )2dr − 2

[r

(dW

dr

)2]1η

(6.93)

考虑作用在流体上的浮力释放内能的速率, 我们必然得到

ϵg = ργ

∫ ∫ ∫(uixi)θdV (6.94)

或者根据方程(6.11)

ϵg = −ρ κ2βR1

∫ 1

η

θ∇2θdV (6.95)

其中单位长度还是R1. 在进行角积分之后, 我们得到

ϵg = −ρ κ2βR1N

ml

∫ 1

η

r2ΘDlΘdr (6.96)

因为Θ在端点消失, 应用方程(6.65), 我们得到

ϵg = ρκ

2βR1N

ml

∫ 1

η

r2(dΘ

dr

)2

+ l(l + 1)Θ2

dr (6.97)

根据方程(6.67), 把Θ用F表示, 我们有

ϵg = ρκ

2β

ν2

γ2[l(l + 1)]2Nm

l

R71

∫ 1

η

r2(dF

dr

)2

+ l(l + 1)F 2

dr (6.98)

令方程(6.93)和(6.98)给出的ϵν和ϵg相等, 我们发现方程(6.83)是变分原理的基础.

§6.5 关于流体球内热不稳定性的发生

对于一个均匀的流体球, β和γ必须是常数, 这时 §6.3 和 §6.4 的分析可以应用. 我们现在将

通过变分方法, 得到相关的特征值问题的解.

考虑调和阶数为l的不稳定性发生, 我们把F展开成Fourier-Bessel级数的形式

F =1√r

∑j

AjJl+ 12(αl,jr) (6.99)

其中Jl+ 12是l + 1

2阶Bessel函数, 而αl,j是它的第j个零点. 在方程(6.99)中对j的求和可以考虑为

从1到∞; 但是当我们把Aj当作变分系数时, 这是不必要的. 根据前边的选择, 关于F的边界条件

在r = 1, 0是自动满足的.


对于j = 1, 2, ...函数Jl+ 12(αl,jr)形成一个在(0,1)区间内完备的正交函数集, 满足正交关系∫ 1

0

rJl+ 12(αl,jr)Jl+ 1

2(αl,kr)dr =

1

2δjk[J ′

l+ 12(αl,j)]

2 (6.100)

其中上撇表示对变量的微分.

根据F的选择形式, 关于W , 待求解的方程是

D2lW =

1√r

∑j

AjJl+ 12(αl,jr) (6.101)

我们可以把这个方程的解表示成形式

W =∑j

AjWj (6.102)

其中Wj是如下方程的解

D2lWj =

1√rJl+ 1

2(αl,jr) (6.103)

它满足必要的边界条件. 因为

Dl

Jl+ 12(αr)

√r

= − α2

√rJl+ 1

2(αr) (6.104)

方程(6.103)的一个特殊积分, 在原点没有奇异性的是

1

α4l,j

Jl+ 12(αl,jr)√r

(6.105)

在(6.105)上加入辅助函数B(j)rl + C(j)rl+2(其中B(j)和C(j)是常数), 我们得到通解

Wj =1

α4l,j

Jl+ 12(αl,jr)√r

+B(j)rl + C(j)rl+2 (6.106)

在r = 1, 条件Wj = 0要求B(j) = −C(j), 我们有

Wj =1

α4l,j

Jl+ 12(αl,jr)√r

+B(j)(rl − rl+2) (6.107)

常数B(j)是通过在r = 1处其它的边界条件确定的, 即, 不是dWj/dr就是d2Wj/dr2 在r = 1处消

失.(取决于r = 1时约束边界是刚性的还是自由的). 我们发现

B(j) =1

4qJ ′l+ 1

2

(αl,j)

α3l,j

(6.108)

其中

q =

2 对于r = 1处的刚性边界

− 42l+1 对于r = 1处的自由边界

(6.109)

现在我们把用方程(6.99)和(6.102)表示的F和W及(6.107)代入方程(6.81), 得到

∑j

Ajα2l,j

Jl+ 12(αl,jr)√r

= l(l + 1)Cl

∑j

Aj

1

α4l,j

Jl+ 12(αl,jr)√r

+B(j)(rl − rl+2)

(6.110)

这个方程乘以r32 Jl+ 1

2(αl,kr)并在r的整个范围内积分, 应用正交关系(6.100), 我们得到

1

2[J ′

l+ 12(αl, k)]2α2

l,kAk

§6.5 关于流体球内热不稳定性的发生 187

= l(l + 1)Cl

1

2

[Jl+ 12(αl, k)]2

α4l,k

Ak +∑j

(k | j)Aj

(k = 1, 2, ...) (6.111)

其中

(k | j) = B(j)

∫ 1

0

(rl+32 − rl+

72 )Jl+ 1

2(αl,kr)dr (6.112)

方程(6.111)表示一个关于常数Aj的齐次线性方程组. 同样是这个方程组保证关于Cl的表达式(6.83),

对于使(6.85)为常数的所有变分系数Aj的变分是最小的. 在写出由方程(6.111)得出的特征行列式

之前, 我们将首先求矩阵元素(k | j). 我们发现, 如果应用Bessel函数满足的各种递推关系, 定

义(k | j)的积分可以显式求出来. 我们发现

(k | j) = 2B(j)Jl+ 5

2(αl,k)

α2l,k

(6.113)

进一步应用Bessel函数满足的递推关系, 记住αl,k是Jl+ 12的零点, 我们发现

Jl+ 52(αl,k) =

2(l + 32 )

αl,kJl+ 3

2(αl,k) = −

2(l + 32 )

αl,kJ ′l+ 1

2(αl,k) (6.114)

因此

(k | j) = −4l + 3

2

α3l,k

J ′l+ 1

2(αl,k)B(j) (6.115)

或者, 代入关于B(j)的(6.108)式, 我们有

(k | j) = −q(l +3

2)J ′l+ 1

2

(αl,k)J ′l+ 1

2

(αl,j)

α3l,kα

3l,j

(6.116)

显然它关于k和j是对称的. 这种k | j的对称性反映了以这个特征值问题为基础的自伴随性质.

根据方程(6.116)给出的k | j, 方程(111)变成

J ′l+ 1

2

(αl,k)

α3l,k

∑j

1

2[J ′

l+ 12(αl,k)]

[α5l,k

l(l + 1)Cl− 1

αl,k

]δjk + q(l +

3

2)J ′l+ 1

2

(αl,j)

α3l,j

Aj = 0 (6.117)

让

Aj =J ′l+ 1

2

(αl,j)

α3l,j

Aj (6.118)


∑j

α8l,k

q(2l + 3)

[1

l(l + 1)Cl− 1

α6l,k

]δjk + 1

Aj = 0 (6.119)

因此, 要求的特征行列式是 ∥∥∥ αl,kq(2l+3)

[1

l(l+1)Cl− 1

α6l,k

]δjk + 1l+k

∥∥∥ (6.120)

对Cl的一阶近似, 是通过令特征矩阵的(1, 1)元素等于零得到的. 因此, 我们得到

l(l + 1)Cl =α8l,1

α2l,1 − q(2l + 3)

(6.121)

通过在特征行列式中保持更多的行和列, 可以得到更高阶的近似值. 在表XX和XXI中给出的值

就是通过这种方式得到的; 那些在表中表明‘精确’的值是由Backus给出的.

Cl对l和边界条件的依赖性在图 6.1 中给出.

可见在考虑的两种情况下, 最容易触发的模式是属于l = 1.


§6.5.1 细胞图案

流线由下列方程控制

dr

ur=rdϑ

uϑ=r sinϑdφ

uφ(6.122)

当速度场纯粹是管形的(如同现在的情况), 这个方程的显式是

dr

l(l + 1)(S(r)/r2)Y m=

rdϑ

(1/r)(dS/dr)(∂Y ml /∂ϑ)

=r sinϑdφ

1/r sinϑ(dS/dr)(∂Y ml /∂φ)

(6.123)

对于最低的轴对称模式l = 1,m = 0, 这些方程可以显式积分出来. 流线则限制在子午面内; 在这

些平面内控制方程是

1

2S

dS

drdr = − cotϑdϑ (6.124)

这个方程的积分是

sinϑ =constant√

S(6.125)

用W表示, 这个方程是

sinϑ =constant√

(rW )(6.126)

从这个方程得出的流线在图 6.2a, b中给出.

表XX

当约束表面自由时特征数Cl及相关常数

一阶二阶三阶精确二阶近似三阶近似

l 近似近似近似 A2 A2 A3

1 3.0940×103 3.0914×103 3.0912×103 3.0912×103 -0.02202 -0.02203 0.00453

2 5.2274×103 5.2244×103 5.2242×103 5.2241×103 -0.01912 -0.01912 0.00461

3 8.7786×103 8.7750×103 8.7746×103 8.7745×103 -0.01664 -0.01664 0.00447

4 1.3986×104 1.3982×104 1.3981×104 1.3981×104 -0.01462 -0.01463 0.00426

5 2.1209×104 2.1204×104 2.1204×104 2.1204×104 -0.01298 -0.01298 0.00402

6 3.0853×104 3.0848×104 3.0847×104 3.0847×104 -0.01163 -0.01164 0.00378

7 4.3360×104 4.3354×104 4.3353×104 -0.01051 -0.01052 0.00355

8 5.9203×104 5.9196×104 5.9195×104 -0.00957 -0.00958 0.00334

9 7.8887×104 7.8880×104 7.8879×104 -0.00877 -0.00877 0.00315

10 1.0295×105 1.0294×105 1.0294×105 -0.00808 -0.00809 0.00297

11 1.3196×105 1.3195×105 1.3195×105 -0.00748 -0.00749 0.00280

12 1.6650×105 1.6649×105 -0.00696

13 2.0721×105 2.0720×105 -0.00650

14 2.5475×105 2.5474×105 -0.00609

15 3.0978×105 3.0977×105 -0.00573

§6.6 关于球壳内热不稳定性的发生 189

4 6 8 10 12 142l

log

10C

l4.0

5.0

3.0

a

b

图 6.1 在两种情况下: 约束表面是刚性的(曲线a)和自由的情况(曲线b). 关于一个流体球中由l阶

球调和扰动引起的热对流发生的Rayleigh数Cl.

表XXI

约束表面是刚性的情况下特征数Cl及相关常数

一阶二阶三阶精确二阶近似三阶近似

l 近似近似近似 A2 A2 A3

1 8.1540×103 8.0471×103 8.0410×103 8.0401×103 0.08880 0.08866 -0.01747

2 1.0559×104 1.0403×104 1.0391×104 1.0389×104 0.09858 0.09830 -0.02251

3 1.5368×104 1.5132×104 1.5110×104 1.5105×104 0.10409 0.10365 -0.02634

4 2.2352×104 2.2006×104 2.1969×104 2.1959×104 0.10729 0.10668 -0.02929

5 3.1801×104 3.1315×104 3.1256×104 3.1238×104 0.10914 0.10837 -0.03158

6 4.4117×104 4.3459×104 4.3370×104 4.3342×104 0.11015 0.10922 -0.03337

7 5.9759×104 5.8892×104 5.8765×104 0.11062 0.10955 -0.03480

8 7.9221×104 7.8108×104 7.7934×104 0.11074 0.10954 -0.03593

9 1.0304×105 1.0164×105 1.0140×105 0.11061 0.10929 -0.03685

10 1.3176×105 1.3004×105 1.2973×105 0.11032 0.10888 -0.03759

11 1.6600×105 1.6390×105 1.6351×105 0.10991 0.10837 -0.03819

12 2.0637×105 2.0384×105 0.10942

13 2.5357×105 2.5058×105 0.10888

14 3.0814×105 3.0462×105 0.10830

15 3.7094×105 3.6685×105 0.10770

§6.6 关于球壳内热不稳定性的发生

在稳定性交换原理有效的假设的基础上, 1 控制边缘状态的方程是(见方程(6.34)和(6.36))

DlΘ = −2β(r)

κR2

1W (6.127)

1 需要说明的是这个原理只是在β = constant,和γ = constant的情况下得到证明.


图 6.2 关于最低阶轴对称扰动模式l = 1,m = 0, 流体球中的对流图案: (a)关于一个有刚性边界

的球, (b)关于一个有自由边界的球.

和

D2lW =

γ(r)

νR4

1l(l + 1)Θ (6.128)

其中R1是球壳的外球半径. 让

β(r) = β1b(r), γ(r) = γ1c(r) (6.129)

和

F =γ1R

41

νl(l + 1)c(r)Θ (6.130)

其中β1和γ1是β(r)和γ(r)在r = 1处的值, 我们可以把方程(6.127)和(6.128) 重新写成形式

D2lW = F (6.131)

和1

b(r)Dl

F

c(r)

= −l(l + 1)ClW (6.132)

其中

Cl =2β1γ1κν

R61 (6.133)

方程(6.131)和(6.132)的解, 必须是在满足边界条件(6.70)下寻找.

要解的关于W的方程(6.131)的形式表明, 我们应当把F展开成l + 12阶柱函数的级数, 使它

在r = 1, η时消失. 这种函数可以按照如下方式构造. 让

ℓl+ 12 ,ν

(z) = J−(l+ 12 )

(αη)Jν(z) − Jl+ 12(αη)J−ν(z) (6.134)

其中α是一个目前未确定的常数. 因此

ℓl+ 12 ,l+

12(αr) = J−(l+ 1

2 )(αη)Jl+ 1

2(αr) − Jl+ 1

2(αη)J−(l+ 1

2 )(αr) (6.135)

在r = η显然消失; 它也在r = 1消失说明

J−(l+ 12 )Jl+ 1

2(α) − Jl+ 1

2(αη)J−(l+ 1

2 )(α) = 0 (6.136)


已经知道,方程(6.136)允许由无穷多的根,所有的根都是简单的实根;而且,如果αj(j = 1, 2, ...)是

方程的不同的根, 方程ℓl+ 12 ,l+

12(αjr)形成一个完备的正交函数集, 具有积分性质∫ 1

η

rℓl+ 12 ,l+

12(αjr)ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)dr = Nl+ 1

2 ,jδjk (6.137)

其中

Nl+ 12 ,j

=2

π2α2j

J2l+ 1

2

(αjη)

J2l+ 1

2

(αj)− 1

(6.138)

为便于以后应用,我们可以指出, ℓl+ 12 ,l+

12(αjr)在r = 1和r = η的导数(我们将分别用 ℓ′

l+ 12

(αj)和

ℓ′l+ 1

2

(αjη)表示.) 是

ℓ′l+ 12(αj) =

[1

αj

d

drℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

]r=1

= (−1)l2

παj

Jl+ 12(αjη)

Jl+ 12(αj)

(6.139)

和

ℓ′l+ 12(αjη) =

[1

αj

d

drℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

]r=η

= (−1)l2

παjη(6.140)

还有, 因为ℓl+ 12 ,ν

(z)表示ν阶Bessel方程的解, 它显然应当满足由如下方程表示的一般的递推

关系d

dzzν+1ℓl+ 1

2 ,ν+1(z) = +zν+1ℓl+ 12 ,ν

(z)

和d

dzz−ν+1ℓl+ 1

2 ,ν−1(z) = −z−ν+1ℓl+ 12 ,ν

(z) (6.141)

回到方程(6.131)和(6.132), 我们把F表示成级数形式

F =1√r

∑j

Ajℓl+ 12 ,l+

12(αjr) (6.142)

其中Aj是常数. 根据F的形式, W的解可以表示成形式

W =∑j

AjWj (6.143)

其中Wj是如下方程的解

D2lWj =

1√rℓl+ 1

2 ,l+12(αjr) (6.144)

它满足r = 1和r = η处的必要边界条件. 因为

Dl

ℓl+ 12 ,l+

12(αjr)

√r

= −α2j

ℓl+ 12 ,l+

12(αjr)

√r

(6.145)

方程(6.144)的通解是

Wj =1

α4j

√rℓl+ 1

2 ,l+12 (αjr)

+B(j)1 rl +B

(j)2 rl+2 +B

(j)3 r−(l+1) +B

(j)4 r−(l−1) (6.146)

其中B(j)1 , ..., B

(j)4 是由边界条件确定的积分常数. 在r = 1和r = η的条件W = 0 (它不取决于约束

表面的性质)要求

B(j)1 +B

(j)2 +B

(j)3 +B

(j)4 = 0 (6.147)

和

B(j)1 ηl +B

(j)2 ηl+2 +B

(j)3 η−(l+1) +B

(j)4 η−(l−1) = 0 (6.148)


剩余的边界条件取决于r = 1, η处的表面性质; 有四种情况需要考虑. 现在我们将回到它们上面

去.

目前我们把由方程(6.142), (6.143)和(6.146)给出的关于F和W的解代入到方程(6.132)中, 得

到 ∑j

Aj1

b(r)D

ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

= −l(l + 1)Cl

∑j

Aj

1

α4j

ℓl+ 12 ,l+

12(αjr)

√r

+B(j)1 rl +B

(j)2 rl+2+

+B(j)3 r−(l+1) +B

(j)4 r−(l−1)

(6.149)

这个方程乘以r32 ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr), 并在r的范围内积分. 我们得到

∑j

Aj

∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

b(r)√r

D

ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

dr

= −l(l + 1)Cl

∑j

Nl+ 1

2 ,j

α4j

δjk +Qkj

Aj (6.150)

其中

Qkj =

∫ 1

η

ℓl+ 12 ,l+

12(αkr)B(j)

1 rl+32 +B

(j)2 rl+

72 +B

(j)3 r−l+ 1

2 +B(j)4 r−l+ 5

2 dr (6.151)

让

P b,ck,j = −

∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

b(r)√r

Dl

ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

dr (6.152)


∑j

P b,ck,j − l(l + 1)Cl

[Nl+ 1

2 ,k

α4k

δkj +Qkj

]Aj = 0 (6.153)

这导出特征方程 ∥∥∥∥P b,ck,j − l(l + 1)Cl

[Nl+1

2,k

α4k

δkj +Qkj

]∥∥∥∥ (6.154)

从对于在区域边界消失的函数, 算子r2Dl的Hermitian性质, 得出

P b,ck,j = −

∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

Dl

ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

b(r)√r

dr (6.155)

因此

P b,ck,j = P c,b

j,k (6.156)

如果恰当使用柱函数满足的递推关系, 可以得到矩阵元素Qkj的显式. 在经过较长的但直接

的简化之后, 我们发现

Qkj = − 2

α2k

[ℓl+ 12 ,l+

12(αk) − ηl+

52 ℓl+ 1

2 ,l+12(αkη)]B

(j)2 −

− 2

α2k

[ℓl+ 12 ,l−

32(αk) − η−l+ 3

2 ℓl+ 12 ,l−

32(αkη)]B

(j)4 (6.157)


其中导出方程(6.147)和(6.148)的边界条件, 为简化提供了方便.

从函数ℓl+ 12 ,ν

(z)满足的递推关系, 以及ℓl+ 12 ,l+

12(αk)和ℓl+ 1

2 ,l+12(αkη)是零的事实, 得出

ℓl+ 12 ,l+

52(αk) = −2l + 3

αkℓ′l+ 1

2(αk)

ℓl+ 12 ,l+

52(αkη) = −2l + 3

αkηℓ′l+ 1

2(αkη)

ℓl+ 12 ,l−

32(αk) = +

2l − 1

αkℓ′l+ 1

2(αk)

和

ℓl+ 12 ,l−

32(αkη) = +

2l − 1

αkηℓ′l+ 1

2(αkη) (6.158)

而且, 让

Ll+ 12 ,k

= ℓ′l+ 12(αk) − ηl+

32 ℓ′l+ 1

2(αkη) (6.159)

和

Hl+ 12 ,k

= ℓ′l+ 12(αk) − η−l+ 1

2 ℓ′l+ 12(αkη) (6.160)

应用前边的关系和定义, 我们发现矩阵元素Qkj可以表示成形式

Qkj =2

α3k

(2l + 3)Ll+ 12 ,kB

(j)2 − (2l − 1)Hl+ 1

2 ,kB

(j)4 (6.161)

对Qkj的进一步简化要求直接考虑表面r = 1, η的性质; 我们分别考虑四种可能的情况.

§6.6.1 r = 1和r = η处的自由表面

在这种情况下, 在r = 1, η处, d2Wj/dr2 = 0; 把这种边界条件应用于解(6.146)给出

l(l − 1)[B(j)1 +B

(j)4 ] + (l + 2)(l + 1)[B

(j)2 +B

(j)3 ] = 2

ℓ′l+ 1

2

(αj)

α3j

(6.162)

和

l(l − 1)[B(j)1 ηl−2 +B

(j)4 η−(l+1)] + (l + 2)(l + 1)[B

(j)2 ηl +B

(j)3 η−(l+3)]

= 2η−32

ℓ′l+ 1

2

(αjη)

α3j

(6.163)

联立方程(6.147)和(6.148)解这些方程, 我们发现

B(j)2 =

1

(2l + 1)(1 − η2l+3)α3j

Ll+ 12 ,j

(6.164)

和

B(j)4 =

1

(2l + 1)(η−2l+1 − 1)α3j

Hl+ 12 ,j

165 (6.165)

把上边关于B(j)2 和B

(j)4 的表达式, 代入Qkj的方程(6.261), 我们得到

Qkj =2

(2l + 1)α3kα

3j

2l + 3

1 − η2l+3Ll+ 1

2 ,kLl+ 1

2 ,j− 2l − 1

η−2l+1 − 1Hl+ 1

2 ,kHl+ 1

2 ,j

(6.166)

我们看到Qkj关于k和j是对称的.


§6.6.2 r = 1处是自由表面而在r = η处是刚性表面

在这种情况下, 当r = η时, dWj/dr = 0, 当r = 1时, d2Wj/dr2 = 0; 把这些条件应用于

解(6.146), 给出

l(l − 1)[B(j)1 +B

(j)4 ] + (l + 2)(l + 1)[B

(j)2 +B

(j)3 ] = 2

ℓ′l+ 1

2

(αj)

α3j

(6.167)

和

lB(j)1 ηl−1 + (l + 2)B

(j)2 ηl+1 − (l + 1)B

(j)3 η−(l+2) − (l − 1)B

(j)4 η−l

= −η− 12

ℓ′l+ 1

2

(αjη)

α3j

(6.168)


B(j)2 = − 1

∆rf (l, η)α3j

(2l + 1)

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,j− (2l − 1)

(1

η2l+1− 1

)ℓ′l+ 1

2(αj)

(6.169)

和

B(j)4 = − 1

∆rf (l, η)α3j

(2l + 1)

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,j− (2l + 3)

(1 − η2l+1

)ℓ′l+ 1

2(αj)

(6.170)

其中

∆rf (l, η) = (2l + 1)

(2l + 1)

(1

η2− η2

)− 2

(1

η2l+1− η2l+1

)(6.171)


(j)4 的表达式代入Qkj的方程(6.261), 我们得到

Qkj = − 2

∆rf (l, η)α3kα

3j

(2l + 1)(2l + 3)

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,kLl+ 1

2 ,j−

−(2l + 1)(2l − 1)

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,kHl+ 1

2 ,j+

+ (2l + 3)(2l − 1)

(2 − η2l+1 − 1

η2l+1

)ℓ′l+ 1

2(αk)ℓ′l+ 1

2(αj)

(6.172)

显然它关于k和j是对称的.

§6.6.3 r = 1处是刚性表面而在r = η处是自由表面

在这种情况下, 当r = η时, d2Wj/dr2 = 0, 当r = 1时, dWj/dr = 0; 把这些条件应用于

解(6.146), 给出

lB(j)1 + (l + 2)Bj

2 − (l + 1)Bj3 − (l − 1)Bj

4 = −ℓl+ 1

2(αj)

α3j

(6.173)

和

l(l − 1)[B(j)1 ηl−2 +B

(j)4 η−(l+1)] + (l + 2)(l + 1)[B

(j)2 ηl +B

(j)3 η−(l+3)] = 2η−

32

ℓ′l+ 1

2

(αjη)

α3j

(6.174)


B(j)2 =

1

∆rf (l, η)α3j

(2l + 1)

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,j+ (2l − 1)

(1

ηl+32

− ηl−12

)ℓ′l+ 1

2(αjη)

(6.175)


和

B(j)4 =

1

∆rf (l, η)α3j

(2l + 1)

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,j+ (2l + 3)

(1

ηl+32

− ηl−12

)ℓ′l+ 1

2(αjη)

(6.176)

其中∆rf与方程(6.171)形式相同. 把上边关于B(j)2 和B

(j)4 的表达式代入Qkj的方程(6.261), 我们得

到

Qkj =2

∆rf (l, η)α3kα

3j

(2l + 1)(2l + 3)

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,kLl+ 1

2 ,j−

−(2l + 1)(2l − 1)

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,kHl+ 1

2 ,j−

− (2l + 3)(2l − 1)

(2 − η2l+1 − 1

η2l+1

)ℓ′l+ 1

2(αkη)ℓ′l+ 1

2(αjη)

(6.177)

§6.6.4 r = 1和r = η处同是刚性表面

在这种情况下, 当r = 1, η时, dWj/dr = 0; 把这些条件应用于解(6.146), 给出

lB(j)1 + (l + 2)B

(j)2 − (l + 1)B

(j)3 − (l − 1)B

(j)4 = −

ℓ′l+ 1

2

(αj)

α3j

(6.178)

和

lB(j)1 ηl−1 + (l + 2)B

(j)2 ηl+1 − (l + 1)B

(j)3 η−(l+2) − (l − 1)B

(j)4 η−l = −η− 1

2

ℓ′l+ 1

2

(αjη)

α3j

(6.179)


B(j)2 =

1

∆rr(l, η)α3j

2

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,j− (2l − 1)

(1

η2− 1

)ℓ′l+ 1

2(αj)+

+ (2l − 1)

(1

ηl+32

− 1

ηl−12

)ℓ′l+ 1

2(αjη)

(6.180)

和

B(j)4 =

1

∆rr(l, η)α3j

− 2

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,j+ (2l + 3)

(1

η2− 1

)ℓ′l+ 1

2(αj)−

− (2l + 3)(ηl−

12 − ηl+

32

)ℓ′l+ 1

2(αjη)

(6.181)

其中

∆rr(l, η) = (4l2 + 4l + 1)

(1

η2+ η2

)− 4

(1

η2l+1+ η2l+1

)− (8l2 + 8l − 6) (6.182)


(j)4 的表达式代入Qkj的方程(6.261), 我们得到

Qkj =2

∆rr(l, η)α3kα

3j

2(2l + 3)

(1

η2l+1− 1

η2

)Ll+ 1

2 ,kLl+ 1

2 ,j+

+2(2l − 1)

(1

η2− η2l+1

)Hl+ 1

2 ,kHl+ 1

2 ,j−

− (2l − 1)(2l + 3)

(1

η2− 1

)(Ll+ 1

2 ,kHl+ 1

2 ,j+ Ll+ 1

2 ,jHl+ 1

2 ,k)

(6.183)


图 6.3 球壳中在各种球壳厚度情况下对流发生的Rayleigh数Cl. 不同的的曲线是用球核相对

于球的半径的分数(η)区分的. 给出的四种情况是:(a) r = 1, r = η是自由表面; (b) 刚性表面处

于r = η, 自由表面处于r = 1; (c)自由表面处于r = η, 刚性表面处于r = 1; (d) r = 1, r = η是刚性

表面.

它关于k和j还是对称的.

(a) b = c = 1的情况

在这种情况下, 我们知道特征值问题本质上是自伴随的. 因此, 求解特征方程(6.154)相当于

把Aj当作变分系数, 并对Cl 的表达式(6.83)求极小值. 当b = c = 1,

P 1,1kj = −

∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

√r

Dl

ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

√r

dr

= α2j

∫ 1

η

rℓl+ 12 ,l+

12(αkr)ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)dr = α2

jNl+ 12 ,jδkj (6.184)

这时特征方程(6.154)可以重新写成∥∥∥Nl+ 12 ,k

α2k

l(l+1)Cl− 1

α4k

δkj −Qkj

∥∥∥ = 0 (6.185)

这个矩阵的对称性, 反映了我们考虑的问题具有自伴随性质.

在一阶近似中, 方程( 6.185)给出

l(l + 1)Cl =Nl+ 1

2 ,1α61

Nl+ 12 ,1

+Q11α41

(6.186)

这个公式,和前边给出的Qkj的表达式,已经应用于确定在各种l和η值时,在我们曾经考虑的边界

条件下的特征数Cl. 结果在表XXII-XXV中给出; 也在图 6.3a− d中给出.


表XXII

对于各种l和η值的特征数Cl

(r = 1, r = η处是自由表面)

l η = 0.2 η = 0.3 η = 0.4 η = 0.5 η = 0.6 η = 0.8

1 5.211×103 8.503×103 1.682×104 4.188×104 1.403×105 7.789×106

2 5.708×103 7.113×103 1.091×104 2.181×104 6.133×104 2.753×106

3 8.882×103 9.552×103 1.196×104 1.924×104 4.424×104 1.500×106

4 1.400×104 1.428×104 1.585×104 2.146×104 4.076×104 1.005×106

5 2.121×104 2.131×104 2.227×104 2.673×104 4.313×104 7.656×105

6 3.089×104 3.143×104 3.492×104 4.945×104 6.368×105

7 4.365×104 4.629×104 5.933×104 5.651×105

8 6.125×104 7.292×104 5.270×105

9 8.027×104 9.057×104 5.109×105

10 1.039×105 1.128×105 5.104×105

11 1.325×105 1.401×105 5.223×105

12 1.669×105 1.732×105 5.448×105

13 2.074×105 2.126×105 5.767×105

14 2.545×105 2.590×105 6.178×105

15 3.099×105 3.131×105 6.678×105

表XXIII


(r = η处是刚性表面, r = 1处是自由表面)

l η = 0.2 η = 0.3 η = 0.4 η = 0.5 η = 0.6 η = 0.8

1 6.518×103 1.264×104 2.852×104 7.953×104 2.923×105 1.847×107

2 6.213×103 8.809×103 1.572×104 3.653×104 1.175×104 6.398×106

3 9.047×103 1.044×104 1.486×104 2.811×104 7.641×104 3.387×106

4 1.405×104 1.473×104 1.779×104 2.783×104 6.327×104 2.189×106

5 2.122×104 2.151×104 2.355×104 3.166×104 6.070×104 1.598×106

6 3.096×104 3.223×104 3.880×104 6.405×104 1.269×106

7 4.412×104 4.913×104 7.189×104 1.073×106

8 6.355×104 8.388×104 9.517×105

9 8.197×104 1.002×104 8.779×105

10 1.051×105 1.212×105 8.359×105

11 1.334×105 1.474×105 8.175×105

12 1.674×105 1.794×105 8.159×105

13 2.078×105 2.178×105 8.296×105

14 2.551×105 2.633×105 8.561×105

15 3.100×105 3.166×105 8.946×105


表XXIV


(r = η处是自由表面, r = 1处是刚性表面)

l η = 0.2 η = 0.3 η = 0.4 η = 0.5 η = 0.6 η = 0.8

1 1.473×104 2.213×104 4.453×104 1.188×105 3.787×105 2.072×107

2 1.173×104 1.504×104 2.428×104 5.140×104 1.519×105 7.177×106

3 1.560×104 1.712×104 2.258×104 3.939×104 9.857×104 3.798×106

4 2.239×104 2.301×104 2.643×104 3.854×104 8.133×104 2.454×106

5 3.180×104 3.203×104 3.415×104 4.333×104 7.769×104 1.791×106

6 4.419×104 4.533×104 5.240×104 8.155×104 1.421×106

7 6.037×104 6.563×104 9.097×104 1.201×106

8 8.329×104 1.054×105 1.065×106

9 1.058×105 1.250×105 9.818×105

10 1.336×105 1.501×105 9.341×105

11 1.671×105 1.811×105 9.129×105

12 2.071×105 2.186×105 9.103×105

13 2.540×105 2.634×105 9.247×105

14 3.084×105 3.166×105 9.534×105

15 3.710×105 3.710×105 9.952×105

表XXV


(r = 1, r = η处是刚性表面)

l η = 0.2 η = 0.3 η = 0.4 η = 0.5 η = 0.6 η = 0.8

1 1.773×104 3.057×104 6.801×104 1.856×105 6.678×105 4.025×107

2 1.277×104 1.837×104 3.354×104 7.933×104 2.571×105 1.381×107

3 1.593×104 1.881×104 2.797×104 5.560×104 1.575×105 7.214×106

4 2.247×104 2.381×104 2.990×104 4.986×104 1.215×105 4.582×106

5 3.182×104 3.237×104 3.631×104 5.179×104 1.082×104 3.274×106

6 4.432×104 4.669×104 5.887×104 1.061×105 2.536×106

7 6.114×104 7.055×104 1.115×105 2.086×106

8 8.695×104 1.229×105 1.796×106

9 1.084×105 1.400×105 1.605×105

10 1.354×105 1.628×105 1.479×105

11 1.684×105 1.919×105 1.401×105

12 2.079×105 2.277×105 1.351×105

13 2.545×105 2.709×105 1.329×105

14 3.087×105 3.221×105 1.329×105

15 3.712×105 3.819×105 1.346×105


表XXVI

对于各种l值和η = 0.5的特征数Cl


l 一阶近似二阶近似 A2 l 一阶近似二阶近似 A2

1 4.188×104 4.183×104 -0.003612 9 8.0270×104 8.0260×104 -0.003490

2 2.181×104 2.179×104 -0.003756 10 1.0386×105 1.0385×105 -0.003446

3 1.924×104 1.922×104 -0.003875 11 1.3254×105 1.3253×105 -0.003447

4 2.146×104 2.144×104 -0.003924 12 1.6686×105 1.6685×105 -0.003470

5 2.673×104 2.672×104 -0.003893 13 2.0743×104 2.0742×104 -0.003567

6 3.492×104 3.490×104 -0.003804 14 2.5454×105 2.5453×105 -0.003868

7 4.629×104 4.627×104 -0.003687 15 3.0986×105 3.0985×105 -0.003793

8 6.125×104 6.124×104 -0.003575

表XXVII

因子(1 | r | 1)Nl+1/2,1

l η = 0.2 η = 0.3 η = 0.4 η = 0.5 η = 0.6 η = 0.8

1 0.590 0.621 0.704 0.751 0.800 0.900

2 0.648 0.654 0.711 0.754 0.801 0.900

3 0.686 0.687 0.721 0.758 0.803 0.900

4 0.715 0.715 0.733 0.763 0.805 0.900

5 0.738 0.738 0.747 0.770 0.807 0.900

6 0.756 0.760 0.777 0.809 0.900

7 0.772 0.773 0.784 0.812 0.901

8 0.785 0.792 0.816 0.901

9 0.796 0.800 0.819 0.901

10 0.806 0.808 0.823 0.901

11 0.814 0.816 0.827 0.901

12 0.822 0.823 0.831 0.902

13 0.829 0.829 0.836 0.902

14 0.835 0.835 0.840 0.902

15 0.841 0.841 0.844 0.902


表XXVIII

对于η = 0.5和不同引力变化规律的特征数† Cl


c = r−1 c = (6 + r−1)/7 c = r−3

l 一阶近似二阶近似一阶近似二阶近似一阶近似二阶近似三阶近似

†1 3.147×104 3.129×104 3.459×104 3.447×104 1.854×104 1.680×104 1.672×104

2 1.645×104 1.634×104 1.807×104 1.800×104 9.750×103 8.820×103

3 1.459×104 1.448×104 1.602×104 1.594×104 8.740×103 7.880×103

4 1.638×104 1.625×104 1.797×104 1.787×104 9.940×103 8.940×103

†5 2.058×104 2.039×104 2.255×104 2.241×104 1.267×104 1.135×104 1.130×104

6 2.712×104 2.686×104 2.969×104 2.949×104 1.698×104 1.518×104

7 3.631×104 3.593×104 3.968×104 3.941×104 2.315×104 2.063×104

8 4.854×104 4.801×104 5.295×104 5.259×104 3.149×104 2.806×104

†9 6.425×104 6.355×104 6.998×104 6.950×104 4.244×104 3.782×104 3.765×104

10 8.394×104 8.302×104 9.125×104 9.065×104 5.640×104 5.034×104

11 1.080×105 1.069×105 1.173×105 1.165×105 7.378×104 6.603×104

12 1.373×105 1.358×105 1.487×105 1.480×105 9.517×104 8.546×104

13 1.720×105 1.703×105 1.859×105 1.849×105 1.209×105 1.090×105

14 2.126×105 2.106×105 2.294×105 2.283×105 1.514×105 1.370×105

15 2.605×105 2.582×105 2.807×105 2.794×105 1.877×105 1.707×105

† 关于这些情况, 还用三阶近似得到了特征数; 但是可以看出它们与列出的二阶近似值的差别, 不超过保留的最后位置上的

一个单位.

从图 6.3a − d可见, 随着球壳厚度的减少, 在边缘不稳定性显示出来的对流图案, 逐渐移向

较高解的球调和扰动.

正如已经指出的, 在表XXII-XXV中给出的只是一阶近似得到的结果. 但是, 从以前的经验

我们可以预期表列的值误差最大不超过2∼3%. 这已经通过在表XXVI中给出的对比得到证明,其

中给出了在情况(i)下η = 0.5时的一阶近似和二阶近似得到的值.

(b) b(r) = 1的情况

这种情况对应于一个均匀分布的热源, 而允许一个不是常数的c(r), 它允许在球壳中一个变

化的球心引力, 与一个均匀球的引力是不同的.

当b = 1, 矩阵元素P 1,ckj 变成

P 1,ckj = −

∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

√r

Dl

ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

dr

= −∫ 1

η

r2ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)

c(r)√r

Dl

ℓl+ 1

2 ,l+12(αkr)

√r

dr

= α2k

∫ 1

η

rℓl+ 12 ,l+

12(αkr)

1

c(r)ℓl+ 1

2 ,l+12(αjr)dr (6.187)

因此, 我们可以写出

P 1,ckj = α2

k(k | c−1 | j) (6.188)

特征方程(154)现在变成∥∥∥∥α2k(k | c−1(r) | j) − l(l + 1)Cl

Nl+1

2,k

α2k

δkj +Qkj

∥∥∥∥ = 0 (6.189)


在一阶近似中, 方程( 6.189)给出

l(l + 1)Cl =(1 | c−1 | 1)α6

1

Nl+ 12 ,1

+ α41Q11

(6.190)

把这个公式与b = c = 1情况下相应的公式(186)进行比较, 我们发现在这种近似中

Cl;c;1 = Cl;1;1(1 | c−1 |)1Nl+ 1

2 ,1

(6.191)

似乎在地球球壳中, 引力近似保持常数. 因此, 模型

rg = constant, c(r) = r−1 (6.192)

被Lyttkens进行了详细地考虑. 为了得到相应于(6.192)给出的模型的结果, 必须应用于表XXII-

XXV中列出的值的因子(1 | r | 1)/Nl+ 12 ,1

, 在表XXVII中给出. 对于情况(i), 推出的值Cl在图 6.4

中给出.

一个恒定的引力值, 严格地说, 与一个覆盖在一个球核上的密度均匀的球壳模型是不一致

的: 对于适合这种模型的最普遍的γ(r)行为, 是由方程(6.2)给出的. 适合于这个方程的变化引力,

它在区间(0, 12 )内, 与恒定引力没有可感觉的偏离, 由下式给出

rg = constant

(6

7r +

1

7r2

)(1

2≤ r ≤ 1) (6.193)

相应的c(r)的表达式是

c(r) =6

7+

1

7r3(1

2= η ≤ r ≤ 1) (6.194)

Lyttkens 推导了关于这种模型的特征数的一阶近似和二阶近似值. 他的结果在表XXVIII中给出.

为了便于比较, 当η = 12时, c(r) = r−1模型的结果也包括在该表中.

rg = constant · r−2, c(r) = r−3 (6.195)

Lyttken关于这种模型的结果列在表XXVIII中.

从对列表结果的审查, 可知Cl对l和η的依赖关系的普遍性, 对于所有模型都是相同的.

(c) c(r) = 1的情况

在这种情况下, 引力的变化与一个均匀球的引力是一样的; 但是, 由于b(r)可以不等于常数,

这就允许温度梯度与从一个流体球中一均匀分布热源得到的温度梯度比较, 有一个偏离. 在这

方面, 一种有特殊兴趣的情况是当所有的热源限制在球核, 而没有出现在球壳中. 因此, 普遍定

律(6.9)给出

β(r) =β12r3

(6.196)

b(r)相应的表达式是

b(r) = r−3 (6.197)

现在, 应用方程(6.156)和(6.188)

P b,1kj = P 1,b

jk = α2j (j | b−1 | k) (6.198)

特征方程(154)变成 ∥∥∥∥α2j (j | b−1 | k) − l(l + 1)Cl

Nl+1

2,k

α4j

δkj +Qkj

∥∥∥∥ = 0 (6.199)


log 1

0Cl

4.0

5.0

6.0

7.0

6213.0 8 10 12 14 164l

图 6.4 球壳中在各种球壳厚度情况下对流发生的Rayleigh数Cl. 这里给出的是假设球心引力在

球壳内等于常数的情况(与图 6.3(a) 不同的是引力随r的变化. 不同的的曲线是用球核相对于球

的半径的分数(η)区分的.

因为Qkj是对称的, 从(6.199)得到的特征矩阵通过行和列的转置, 与行列式(6.189)中把c 用b代替

得到的结果是相同的. 因此

Cl当c(r) = f(r), b(r) = 1

= Cl当c(r) = 1, b(r) = f(r) (6.200)

因此, 方程(6.197)的特征数Cl, 与前边情况§(b)中(6.195)的特征数是相同的.

§6.7 旋转对流体球中热不稳定性发生的影响

流体球中热不稳定性理论, 在地球液态核中找到其最重要的应用. 因为地球核略带点地球

的旋转, 而且是地球磁场的部位, 可见完整问题的求解必须允许旋转和磁场同时存在. 我们已经

看到, 即使在平面问题中, 允许这些效应是一件复杂的事情. 在球问题中, 没有受扰动的温度梯

度是径向的, 设置关于一个由旋转引人的轴对称性, 就使附加的分析变得困难. 确实, 写出具有

普遍性的方程是没有困难的, 困难的是得到物理问题要求的参数范围内有效的解. 只有当扰动

是轴对称时, 才能取得有些方面的进展. 因此, 我们把有关的讨论, 限制在轴对称情况下旋转流

体球中的热不稳定性问题上.

§6.7.1 一个轴对称的无散度矢量场的表示

当一个无速度场是轴对称时,从一开始限制在对球调和函数的分析,用在 §6.2.4中描述的特

殊的管形场和环形场表示, 意味着可以随意一点, 在形式上这是有某些优越性的.

为确定起见, 假设u是一个轴对称的无散度矢量场. 通过用标量函数U和V表示的管形场和

环形场的叠加, 我们将把它表示成形式

u = −ϖ∂U∂z

Iϖ +ϖV Iφ +1

ϖ

∂

∂ϖ(ϖ2U)Iz (6.201)

§6.7 旋转对流体球中热不稳定性发生的影响 203

其中ϖ,φ,和z定义一个轴极坐标系统(对称轴具有z方向), Iϖ, Iφ, 和Iz 是沿着三个主轴方向的单

位矢量, 定义的标量与方位角是无关的.

从方程(6.201)可见, 从管形场标量U推出的非消失分量只是在子午面内: U事实上是在这些

平面内关于运动的Stokes流函数. 由环形场V推出的非消失分量只是出现在横向φ. 因此U定义了

在整个子午面内的运动, 而V定义了旋转面内的运动.

当我们考虑一个轴对称无散度速度场的涡量,我们发现一种确定的可能性: 一个管形速度场

导致一个环形涡量, 反过来也一样. 特别地

curlu = −ϖ∂V∂z

Iϖ −ϖ∆5UIφ +1

ϖ

∂

∂ϖ(ϖ2V )Iz (6.202)

其中

∆5 =∂2

∂ϖ2+

3

ϖ

∂

∂ϖ+

∂2

∂z2(6.203)

是在五维Euclidean空间中关于轴对称函数的Laplace 算子.

写出方程(6.201)和(6.202)的一种等价方式是

u = I× rV + curl(Iz × rU) (6.204)

curlu = −Iz × r∆5U + curl(Iz × rV ) (6.205)

在目前的情况下, 表达式(6.201)或(6.204)的特殊优点是, 我们可以毫无困难地写出对u进行

多次求旋度运算的结果. 因此, 通过反复使用公式(6.205), 我们得到

curl2u = −Iz × r∆5V − curl(Iz × r∆5U) (6.206)

curl3u = +Iz × r∆25U − curl(Iz × r∆5V ) (6.207)

等等.

在球极坐标系中, 表达式(6.201)具有形式

u = − ∂

∂µ[(1 − µ2)U ]Ir −

(1 − µ2)12

r

∂

∂r(r2U)Iϑ + r(1 − µ2)

12V Iφ (6.208)

其中Ir, Iϑ,和Iφ是在三个主要方向沿着弧线dr, rdϑ,和r sinϑdφ的单位矢量. 类似地,关于Laplace算

子∆5, 用r和µ(= cosϑ)表示为

∆5 =∂2

∂r2+

4

r

∂

∂r+

1 − µ2

r2∂2

∂µ2− 4µ

r2∂

∂µ(6.209)

因为除了方位角无关性以外, 函数U和V的性质是没有给定的, 显然, 关于这种理论, 用下边

这个方程的基本解的基本展开,

∆5ψ = −α2ψ (6.210)

这些给出

ψ =J±(n+ 3

2 )(αr)

r32

C32n (µ) (6.211)

其中J±(n+ 32 )

(αr)表示n + 32阶的Bessel函数, C

32n (µ)是Gegenbauer 多项式, 定义成在(1 − 2hµ +

h2)−32用h的升幂展开之后的hn的系数:

(1 − 2hµ+ h2)−32 =

∞∑n=0

hnC32n (µ) (6.212)


在这种表示方法中, C12n (µ)代表通常的Legendre 多项式.

多项式C32n是下列微分方程的一个解

(1 − µ2)d2

dµ2C

32n (µ) − 4µ

d

dµC

32n (µ) = −n(n+ 3)C

32n (µ) (6.213)

这个方程的一种替代形式是

d2

dµ2[(1 − µ2)C

32n (µ)] = −(n+ 1)(n+ 2)C

32n (µ) (6.214)

最后, 我们可以指出, Gegenbauer多项式满足正交关系∫ +1

−1

C32n (µ)C

32m(µ)(1 − µ2)dµ =

2(n+ 1)(n+ 2)

2n+ 3δmn (6.215)

§6.7.2 扰动方程

回到热不稳定性问题,我们考虑一个半径为R,绕z−轴旋转的角速度为Ω的均匀的流体球;我

们将假设有一个均匀分布的热源ϵ,使得没有扰动的温度梯度可以用以下方程表示(见方程(6.8)和(6.9))

∂T

∂xi= −βxi, 其中,β = ϵ/6κ = constant (6.216)

在这个问题的处理过程中,我们将忽略流体球的旋转导致的扁平: 这可以从以下内容中得到

验证, 因为我们正在寻找的主要效应是Coriolis 角速度项, 方程中的2uΩ, 因此, 对于一个球体的

结构平衡的小的偏离不是主要的. 在这种情况下, 相应的扰动方程是

∂θ

∂t= κ∇2θ + 2βu · r (6.217)

和∂u

∂t= −grad

(δp

ρ

)+ γθr− νcurl2u + 2Ωu× Iz (6.218)

其中γ = 4πGαρ/3; 速度场当然是无散度的.

正如我们已经指出的, 我们将把讨论限制在描述扰动的量都是轴对称的情况. 特别地, 我们

将假设速度场是用两个标量函数U和V通过方程(6.204)确定的.

通过取旋度, 我们现在消去方程(6.218)中的梯度项(δp/ρ), 得到

∂

∂tcurlu = γgradθ × r− νcurl3u + 2Ωcurl(u× Iz) (6.219)

容易验证

gradθ × r = Iz × r

(∂θ

∂z− z

ϖ

∂θ

∂ϖ

)(6.220)

以及

curl(u× Iz) = Iz × r∂V

∂z+ curl

(Iz × r

∂U

∂z

)(6.221)

应用方程(6.205),(6.207), (6.220), 和(26.21), 我们可以把方程(6.219)重写为

−Iz × r∆5∂U

∂t+ curl

(Iz × r

∂V

∂t

)= γIz × r

(∂θ

∂z− z

ϖ

∂θ

∂ϖ

)−

−νIz × r∆25U − curl(Iz × r∆5V )+

+ 2Ω

Iz × r

∂V

∂z+ curl

(Iz × r

∂U

∂z

)(6.222)


在这个方程中的管形场和环形场必须分别消失. 因此, 我们有

∆5∂U

∂t= −γ

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)θ + ν∆2

5U − 2Ω∂V

∂z(6.223)

和∂V

∂t= ν∆5V + 2Ω

∂U

∂z(6.224)

应用关系

u · r = −(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)ϖ2U (6.225)

我们可以把方程(6.217)重新写成

∂θ

∂t= κ∆3θ − 2β

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)ϖ2U (6.226)

其中∆3是轴对称函数的三维Laplace算子.

寻找方程(6.223),(6.224), 和(6.226)对时间的依赖关系为ept的解, 我们得到

∆5(∆5 −p

ν)U − 2Ω

ν

∂V

∂z=γ

ν

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)θ (6.227)

(∆5 −

p

ν

)V = −2Ω

ν

∂U

∂z(6.228)

和 (∆3 −

p

ν

)θ =

2β

κ

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)ϖ2U (6.229)

其中要记住的是p是复数.

通过把结构半径R作为距离的衡量单位, 作变换

θ →(

2β

κR3

)θ, V →

(2Ω

νR

)V (6.230)

我们可以把方程(6.227)-(6.229)表示成更简洁的形式

(∆3 − σP)θ =

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)ϖ2U =

1

r

∂

∂µ[(1 − µ2)r2U ] (6.231)

(∆5 − σ)V = −∂U∂z

(6.232)

和

∆5(∆5 − σ)U − T∂V

∂z= C

(∂

∂z− z

ϖ

∂

∂ϖ

)θ = C

1

r

∂θ

∂µ(6.233)

其中

C =2βγ

κνR6, T =

4Ω2

ν2R4, P =

ν

κ, σ =

pR2

ν(6.234)

§6.7.3 边界条件

方程(6.231)-(6.233)的解必须在满足确定的边界条件下寻找. 在 §6.2中已经指出,应用球极坐

标系中的速度u的分量;关于U和V的含义可以从方程(6.208)看出,这个方程把速度分量ur, uϑ,和uφ与

标量U和V联系起来.

因为, 在所有情况下在边界上, 我们必须要求

U = 0, 当 r = 1 (6.235)


如果边界表面是刚性的, 则意味着其它的速度分量, uϑ和uφ也会在边界上消失; 从方程(6.208)可

知∂U

∂r= 0, V = 0 当表面r = 1是刚性的 (6.236)

(实际上, uϑ的消失只是要求∂(r2U)/∂r = 0; 但是,由于在这个边界上U = 0,条件如下所述)另一

方面, 如果约束表面是自由的, 则在这个表面上粘性切应力的消失要求(见方程(6.45))

∂

∂r

(uϑr

)=

∂

∂r

(uφr

)= 0 (6.237)

根据方程(6.208), 这些条件相当于 ∂∂r

[1r2

∂∂r (r2U)

]= ∂2

∂r2 + 2r∂U∂r − 2 U

r2 = 0

∂V∂r = 0, 当 r = 1

(6.238)

因为, U = 0, 对于r = 1, 这些条件的第一个可以表示成

d2

∂r2(rU) = 0 (6.239)

把这些条件集合在一起, 我们有

U = 0,∂U

∂r= 0, V = 0, θ = 0, 当r = 1, 如果约束表面刚性 (6.240)

和

U = 0,∂2

∂r2(rU) = 0,

∂V

∂r= 0, θ = 0, 当r = 1, 如果约束表面自由 (6.241)

§6.7.4 变分原理

方程(6.231)-(6.233)的解,与边界条件(6.240)或者(6.241)组成一个特征值问题.现在我们将表

明, 这个问题可以用变分原理描述.

方程(6.231)乘以θ, 并在三维球的单位体积上进行积分. 方程的两边都可以通过分部积分简

化; 我们发现 ∫ ∫| gradθ |2 +σPθ2r2drdµ =

∫ ∫1

r

∂θ

∂µUr4(1 − µ2)drdµ (6.242)

考虑到关于θ的边界条件,积分出来的部分消失.可以看出,右端的积分是在一个五维的单位球体

上进行的.

应用方程(6.233), 我们可以把方程(6.242)重新写成形式

C

∫ ∫| gradθ |2 +σPθ2r2drdµ =

∫ ∫U

(∆2

5U − σ∆5U − T∂V

∂z

)ϖ3dϖdz (6.243)

首先考虑这个方程右端出现V的项, 通过应用方程(6.232)和一系列的分部积分, 我们可以把它简

化. 因此

−∫ ∫

U ∂V∂z ϖ

3dϖdz =∫ ∫

V ∂U∂z ϖ

3dϖdz

= −∫ ∫

V (∆5 − σ)V r4(1 − µ2)drdµ

= −∫ ∫

V

(1 − µ2) ∂

∂r

(r4 ∂V

∂r

)+ r2 ∂

∂µ

[(1 − µ2)2 ∂V

∂µ

]−

−σV 2r4(1 − µ2)

drdµ

=∫ ∫ (

∂V∂r

)2+ 1−µ2

r2

(∂V∂µ

)2r4(1 − µ2)drdµ

= | gradV |2 +σV 2r4(1 − µ2)drdµ

(6.244)


考虑到在边界上U以及不是V就是∂V/∂r消失,积分出来的部分没有任何贡献. 其次考虑含∆5U的

那一项, 通过在(244)中简化V∆5V时用到的一系列相同的变换, 我们可以把它简化. 我们发现

−∫ ∫

U∆5Ur4(1 − µ2)drdµ =

∫ ∫| gradU |2 r4(1 − µ2)drdµ (6.245)

最后, 考虑含∆25U的项, 让

X = ∆5U (6.246)

我们有

∫ ∫U∆5Xr

4(1 − µ2)drdµ

=∫ ∫

U

(1 − µ2) ∂∂r

(r4 ∂X

∂r

)+ r2 ∂

∂µ

[(1 − µ2)2 ∂X

∂µ

]drdµ

= −∫ ∫

r4(1 − µ2)∂U∂r

∂X∂r + r2(1 − µ2)∂U

∂µ∂X∂µ

drdµ

= +∫ ∫

X∆5Ur4(1 − µ2)drdµ−

∫ (∂U∂r

)r=1

(∆5U)r=1(1 − µ2)dµ

(6.247)

在一个刚性边界上, ∂U/∂r = 0, 在方程(6.247)最后一行中的面积分将消失. 另一方面, 在一个自

由的边界上∂2U

∂r2+

2

r

∂U

∂r= 0 (6.248)

因此

(X)r=1 = (∆5U)r=1 = 2

(∂U

dr

)r=1

(6.249)

因此, 在所有情况下 (∂U

∂r∆5U

)r=1

= 2

(∂U

∂r

)2

r=1

(6.250)

和 ∫ ∫

U∆25Ur

4(1 − µ2)drdµ =∫ ∫

(∆5U)2r4(1 − µ2)drdµ−

−2∫ +1

−1

(∂U∂r

)2r=1

(1 − µ2)dµ(6.251)

最后, 联立方程(6.243),(6.244),(6.245), 和(6.251), 我们得到C∫ +1

0

∫ +1

−1| gradθ |2 +σPθ2r2drdµ

=∫ 1

0

∫ +1

−1(∆5U)2 + σ | gradU |2 +T [| gradV |2 +σV 2]r4(1 − µ2)drdµ−

−2∫ +1

−1

(∂U∂r

)2r=1

(1 − µ2)dµ

(6.252)

通过我们现在已经熟悉的方法容易表明, 公式(6.252)提供了一个变分方法处理这个问题的基础.

但是, 在变分方法应用的过程中, 必须记住方程(6.231)和(6.232)要求得到满足. 特别是, 人们作

出的涉及U的假设要与边界条件相适应,但是,不论给出何种涉及U的假设,人们必须确定满足必

要边界条件的方程(6.231)和(6.232)的解θ和V .


从方程(6.252)推导出的变分原理的物理意义, 与我们已经考虑过的其它情况是相同的. 但

是, 因为我们通过用σ保留了时间相关性, 允许有超稳定性发生的的可能性, 根据第三章中 §3.15

节的讨论, 我们必须期望方程(6.252)表示如下等式

ϵν + ρp

∫ ∫ ∫| u |2 dV = ϵg (6.253)

其中ϵν和ϵg分别表示能量被粘性耗散的速率, 和流体球中通过浮力释放能量的速率.


在目前的情况下, 出现在方程(6.253)中的所有的量, 可以直接求出来. 因此

2ϵν = ρν

∫ R

0

∫ +1

−1

r2u · curl2udrdµ (6.254)

应用关于curl2u和u的表达式(6.206)和(6.208), 我们有

ϵν = ρν

∫ R

0

∫ +1

−1

− ∂

∂µ[(1 − µ2)U ]

∂

∂µ[(1 − µ2)∆5U ]−

− 1 − µ2

r2∂

∂r(r2U)

∂

∂r(r2∆5U) − r2(1 − µ2)V∆5V

r2drdµ (6.255)

在对方程右端三项进行分部积分之后, 我们得到

ϵν = ρν

∫ R

0

∫ +1

−1

[(∆5U)2+ | gradV |2]r4(1 − µ2)drdµ−

− 2R3

∫ +1

−1

(∂U

∂r

)2

r=R

(1 − µ2)dµ

(6.256)

类似地, 我们发现

ρp

∫ R

0

∫ +1

−1

| u |2 r2drdµ = ρp

∫ R

0

∫ +1

−1

[| gradU |2 +V 2]r4(1 − µ2)drdµ (6.257)

通过作用在流体上的浮力释放的能量速率ϵg是

ϵg = ργ

∫ R

0

∫ +1

−1

θ(u · r)r2drdµ (6.258)

应用方程(6.217), 我们可以把上式写成

ϵg = −ρ γ2β

∫ R

0

∫ +1

−1

θ(κ∇2θ − pθ)r2drdµ (6.259)

或者, 在分部积分之后, 我们有

ϵg = ρκγ

2β

∫ R

0

∫ +1

−1

| gradθ |2 +

p

κθ2r2drdµ (6.260)

能量原理(6.253)现在给出∫ R

0

∫ +1

−1

(∆5U)2+ | gradV |2 +

p

ν[| gradU |2 +V 2]

r4(1 − µ2)drdµ−

− 2R3

∫ +1

−1

(∂U

∂r

)(1 − µ2)dµ =

κγ

2βν

∫ R

0

∫ +1

−1

| gradθ |2 +

p

κθ2r2drdµ (6.261)

距离单位用R衡量, 并作变换(6.230), 我们发现方程(6.252).

2 因子2π已经忽略.

§6.8 旋转对流体球中稳态对流发生的影响 209

§6.8 旋转对流体球中稳态对流发生的影响

当不稳定性作为稳态对流发生时, 边缘状态由σ = 0定性, 相应的方程是(见方程(6.231)-

(6.233))

∆3θ = r∂

∂µ[(1 − µ2)U ] (6.262)

∆5V = −∂U∂z

(6.263)

和

∆25U = T

∂V

∂z+ C

1

r

∂θ

∂µ(6.264)

这些方程必须与边界条件(6.240)或者(6.241)联立求解.

应用等式1

r

∂

∂µ∆3 = ∆5

1

r

∂

∂µ(6.265)

从方程(6.262)我们推出

∆5

(1

r

∂θ

∂µ

)=

∂2

∂µ2[(1 − µ2)U ] (6.266)

现在把算子∆5作用于方程(6.264), 通过应用方程(6.263)和(6.266), 我们可以消去V和θ, 因此我们

得到

∆35U + T

∂2U

∂z2= C

∂2

∂µ2[(1 − µ2)U ] (6.267)

注意到的是这个方程与第III章中类似的平面问题方程(3.99)之间的相似性.

正如在 §6.7.4 中已经说明的, 由方程(6.264), 它的辅助方程(6.262)和(6.263), 以及边界条

件(6.240)或者(6.241)表示的特征值问题,是一个自伴随问题.因此,一种变分求解是可能的;这一

点已经由Bisshopp完成, 我们现在将介绍这种方法.

因为, 对于一些假设的U , 关于θ和V的方程(6.262)和(6.263)必须求解, 如果这种方法是可行

的, 就有必要把可能的显式解的函数把U展开. 同时选择的函数必须满足关于U的边界条件,

U = 0,∂U

∂r= 0, 当r = 1 (6.268)

U = 0,∂2rU

∂r2= 0, 当r = 1 (6.269)

当然,如果函数形成一个完备的正交集就更好.我们将看到所有这些条件可以通过以下方程的解

形成的函数得到满足.

∆25 = α4U (6.270)

在原点无奇异性的方程(6.270)的通解是这些基本解的线性组合(见方程(6.210)和(6.211))

Un = [AnJn+ 32(αr) +BnIn+ 3

2(αr)]

C32n (µ)

r32

(6.271)

其中An和Bn是常数, Jn+ 32和In+ 3

2,是关于实的和虚的宗量的n+3

2阶Bessel函数, C32n (µ)是方程(6.212)

定义的Gegenbauer多项式. 我们现在把U 要求的边界条件作用在Un 上. 因此, 如果r = 1是刚性

边界, 我们要求 AnJn+ 32(α) +BnIn+ 3

2(α) = 0

AnJ′n+ 3

2

(α) +BnI′n+ 3

2

(α) = 0(6.272)


但是, 如果r = 1是自由边界, 我们要求

3

AnJn+ 32(α) +BnIn+ 3

2(α) = 0

An[2J ′n+ 3

2

(α) + αJn+ 32(α)] +Bn[2I ′

n+ 32

(α) − αIn+ 32(α)] = 0

(6.273)

换言之, 我们要求α是以下方程的根

Jn+ 32(α)I ′n+ 3

2(α) − In+ 3

2(α)J ′

n+ 32(α) = 0 (6.274)

或者

Jn+ 32(α)I ′n+ 3

2(α) − In+ 3

2(α)J ′

n+ 32(α) = αJn+ 3

2(α)In+ 3

2(α) (6.275)

选择那个方程取决于r = 1是刚性的还是自由的表面.

让αnj(j = 1, 2, ...) 表示根据我们考虑的情况来定的方程(6.274)或者(6.275)的根. 相应的基

本解是

Unj =

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

−Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

]C

32n (µ)

r32

(6.276)

容易验证, 对于一个给定的n函数Unj的径向部分, 在乘以r4对r进行积分之后, 关于j 是正交的;

对于n不同的函数, 在乘以(1 − µ2)之后, 对µ进行积分, 关于n也是正交的; 后一种正交性质, 可以

从Gegenbauer多项式的性质推导出来.

这样, 我们假设的U的展开式是

U =∑n

∑j

AnjUnj (6.277)

其中Anj是常数. 根据相应的表达式

θ =∑n

∑j

Anjθnj , V =∑n

∑j

AnjVnj (6.278)

要求解的方程是

∆5

(1

r

∂θnj∂µ

)=

∂2

∂µ2[(1 − µ2)Unj ] (6.279)

和

∆5Vnj = −∂Unj

∂z(6.280)

应用Gegenbauer多项式满足的方程(6.214), 我们可以把方程(6.279)重新写成

∆5

(1

r

∂θnj∂µ

)= −(n+ 1)(n+ 2)

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

−Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

]C

32n (µ)

r32

(6.281)

相应于我们考虑的情况, 这个方程的解是

1

r

∂θnj∂µ

=(n+ 1)(n+ 2)

α2nj

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

+Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

+B(nj)rn+32

]C

32n (µ)

r32

(6.282)

其中B(nj)是常数. 选择Bnj = −2 可以使条件θnj = 0, 对于r = 1; 相应的解是

1

r

∂θnj∂µ

=(n+ 1)(n+ 2)

α2nj

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

+Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

− 2rn+32

]C

32n (µ)

r32

(6.283)

3 这些条件的第二个, 从下列关系最容易得到:

∆5Un = −α2[AnJn+ 32(αr)−BnIn+ 3

2(αr)]C

32n (µ)/r

32

而这个边界条件的等价形式在方程(249)中也已经给出.

§6.8 旋转对流体球中稳态对流发生的影响 211

解方程(6.280)是比较难的. 仿效Bisshopp, 我们引人记号

fl|n(αnjr) =

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

−Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

](6.284)

和

gl|n(αnjr) =

[Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

+Jn+ 3

2(αnjr)

Jn+ 32(αnj)

](6.285)

用这种记号

Unj = fn|nC

32n (µ)

r32

(6.286)

以及

1

r

∂θnj∂µ

=(n+ 1)(n+ 2)

α2nj

[gn|n(αnjr) − 2rn+

32

] C 32n (µ)

r32

(6.287)

显然

∆5

[fl|n(αnjr)

C32n (µ)

r32

]= −α2

njgl|n(αnjr)C

32n (µ)

r32

(6.288)

和

∆5

[gl|n(αnjr)

C32n (µ)

r32

]= −α2

njfl|n(αnjr)C

32n (µ)

r32

(6.289)

应用Bessel函数和Gegenbauer多项式的递推关系, 人们容易验证∂Unj∂z =

(µ ∂

∂r + 1−µ2

r∂∂µ

)Unj

=αnj

r32

[n+22n+3fn−1|n(αnjr)C

32n−1(µ) − n+1

2n+3gn+1|n(αnjr)C32n+1(µ)

] (6.290)

把这个关于∂Unj/∂z的表达式代入方程(6.280), 我们发现, 适合我们需要的关于Vnj的解是Vnj = − 1

αnj

n+22n+3 [gn−1|n(αnjr) +D

(nj)1 rn+

12 ]C

32n (µ)

r32

− n+12n+3 [fn+1|n(αnjr) +D

(nj)2 rn+

52 ]C

32n (µ)

r32

(6.291)

其中D(nj)1 和Dnj

2 是要通过关于V的边界条件确定的常数. 如果边界r = 1是刚性的,在边界上Vnj一

定消失; 这个条件给出

D(nj)1 = −gn−1|n(αnj), D

(nj)2 = −fn+1|n(αnj) (6.292)

另一方面, 如果边界r = 1是自由的, ∂Vnj/dr一定消失; 这个条件给出(n− 1)D

(nj)1 = −

ddr

(gn−1|n(αnjr)

r32

)r=1

(n+ 1)D(nj)2 = −

ddr

(fn+1|n(αnjr)

r32

)r=1

(6.293)

根据用这种方法完成的关于θnj 和Vnj的解,我们把由方程(6.277)和(6.278)给出的U, V,和θ代入方

程(6.264), 得到 ∑

n

∑j Anjα

4njUnj − T

∑n

∑j Anj

∂V∂z

= C∑

n

∑j Anj

(n+1)(n+2)α2nj

[gn|n(αnjr) − 2rn+32 ]C

32n (µ)

r32

(6.294)


图 6.5 在旋转流体球中, 对流不稳定性发生的临界Rayleigh数对Taylor数的依赖关系.

用(1)和(2)标记的曲线分别对应于刚性的和自由的边界表面.

这个方程乘以Umk, 并且在一个五维的单位球体上进行积分, 令导出的关于Anj的齐次线性方程

组的行列式为零, 我们将得到需要的关于C的特征方程. Bisshoppp 已经给出如何显式地求出特

征方程中相应的所有矩阵元素.对于各种给定的T值,通过保留那末多似乎是必要的行和列,他已

经求出最小的特征根. 他的结果列在表XXIX和XXX中, 计算的C对T的依赖关系进一步在图 6.5

中给出.

在U的展开式中不得不保留很多项的事实是值得注意的; 还有, 随着T的增加各种谐波扰动

的相对重要性的变化也是需要注意的.

表XXIX

在各种Taylor数下最低不稳定性模式发生的C值

刚性边界情况

T 一阶近似二阶近似四阶近似六阶近似九阶近似

0 8.0611103 8.0421103

103 9.4882103 9.3855103 9.3393103

104 1.7306104 1.6991104

105 5.6993104 5.3344104

106 3.2122105 2.9105105

自由边界情况

T 一阶近似二阶近似四阶近似六阶近似九阶近似

0 3.0916103 3.0912103

103 9.4715103 9.2493103 8.9870103

104 2.6395104 2.5517104

105 9.6961104 9.1229104

§6.9 关于地球物理应用的一些评价

正如我们前面已经指出的,在流体球和球壳中的热不稳定性理论,关系到一系列的地球物理

问题. 因为详细地讨论这些问题, 是超出本书范围的, 对它们的本质特征的一些说明可能是合适

§6.9 关于地球物理应用的一些评价 213

l

km

图 6.6 根据Prey 和Vening Meinesz的结果, 在地球表面硅铝壳厚度在球调和展开中的前十六

项(对于m)的平均值.

的.

首先考虑的结果,是在 §6.5中的均匀流体球中热不稳定性发生的形式. 我们已经知道,在这

种情况下, 在边缘状态对流的图案属于l = 1模式; 特别是, 轴对称模式, l = 1和m = 0, 把流体球

分成两个涡流方向相反的相同的细胞(见图 6.2a, b). 而且, 在球表面的一点, 在那里出现流体从

球心上升, 是相对应于一点, 在那里, 流体已经横过半个圆圈向球心运动. 在任何有这种确定流

动的实际情况下, 我们可以预计, 两个相对应的点的最大差别是温度. 更一般地, 在以这些点为

中心的两个半球中, 涡流系统向中心汇聚的半球, 将比涡流系统向外发散的半球冷.

已经提出, 在地球形成的历史中的早期, 地球是一个具有我们刚刚描述的对流运动的接近

均匀的流体球; 而且, 同时我们可以从地球表面分成陆地和海洋半球, 推测这种运动的存在. 地

球表面的这种划分, 反映了在一个半球硅铝地层, 相比之下有一种较大沉积. 对流假说的提倡者

看出, 在两个半球, 伴随着属于模式l = 1的对流运动, 在温度上存在的系统差别. 主张这种看法

的Vening Meinesz相信,在整个地球上,引起硅铝地层发生P1分布的对流运动,也对在球心形成重

的球核起着关键作用.

我们知道, 地球现在的流体核大约占地球半径的一半; 玄武岩地球壳向下延伸的这个层次.

根据Vening Meinesz:‘有许多强有力的证据,支持这种在地球壳中存在大的涡流系统的理论’，而

且这种涡流系统是‘地球在表面冷却引起的温度梯度的主要结果’。如果这种观点被接受, §6.6

中的结果是可以应用的; 从中我们可以推测, 在占据球半径一半的球壳中的涡流系统, 一定主要

属于模式l = 3, 4和5(见图 6.3a− d). Vening Meinesz相信,现在地球整个表面上硅铝物质的分布,

支持这种推测. 因此, 应用Prey关于地球拓朴的球函数方向, 从地球表面硅铝物质厚度的类似分

析结果, Vening Meinesz已经推导出这种幅度. 他把这些幅度连在一起, 得到了与不同模式l的球

调和函数有关的均方根厚度.这种分析的结果在图 6.6中给出.与l = 3, 4和5有关的幅度的支配作

用, 确实是令人惊讶的; 在这种支配作用关系中, Vening Meinesz看到他在球壳中‘大涡流系统’

假说的证据。


表XXX

在各种Taylor数下描述最低不稳定性模式的特征矢量

刚性边界情况

T = 0 103 104 105 106

A01 0.99982 0.99859 0.97204 0.82340 0.85096

A02 0.01917 0.02847 0.00342 -0.33881 0.37755

A03 0.02874

A21 0.04470 0.23249 0.42816 0.33137

A22 0.00362 0.03278 -0.00423

A23 0.00159

A41 0.03268 0.14274 0.13141

A42 0.04958 0.05937

A43 0.03938

自由边界情况

T = 0 103 104 105

A01 1.00000 0.99662 0.80118 0.61020

A02 -0.00151 -0.04190 -0.36978 0.63219

A03 -0.00388 -0.01094 -0.11656

A21 0.07050 0.45896 -0.39936

A22 -0.03995 0.16196

A23 0.01481

A41 0.09497 -0.16842

A42 0.00975

A43 0.00385

在流体球和球壳中热不稳定性理论的以上应用, 是没有得到普遍赞同的. 但是, 毋庸怀疑,

在流体核中的对流运动, 是与所有地球磁场形成及其特殊变化的理论相对应的. 而对此, 热不稳

定性理论还没有达到足够的普遍性. 即使是旋转效应的确定, 也用了很初步的方法; 从第III章中

描述的结果,应当可以预测作为超稳定性的不稳定性发生–与其说是具有液态金属情况下的例外

不如说是规律–有待研究. 而且, 除了旋转, 磁场的影响也需要考虑.

在均匀磁场存在的情况下没有形式上的困难; 但是, 对于眼前的问题这几乎是不合适的. 没

有更多的知识, 使初始场的选择范围广, 以致变得可以任意选择. 确实, 从地球磁场形成的理论,

可能不可以联系到地球核中的对流运动.

参考文献注释

在地球物理中对流作用的讨论见:1. W. A. Heiskanen and F. A. Vening Meinesz, The Earth and Its Gravity Field,

chapter 11, McGraw-Hill Series in the Geographical Science, McGraw-Hill Book Com-

pany, Inc., New York, 1958.

2. C. L. Pekeris,‘Thermal convection in the interior of the earth,’Monthly Notices

Roy. Astron. Soc. London; Geophys. Suppl. 3 343-67 (1935).

3. A. L. Hales,‘Convection currents in the earth’ibid. 372-9(1936).

4. H. Jeffreys,‘The earth’s thermal history’ibid. 116, 231-8(1956).

§6.9 关于地球物理应用的一些评价 215

§6.2 在流体球和球壳中热不稳定性问题在以下论文中考虑:

5. J. Wasiutynski, ‘Studies in Hydrodynamics and structure of stars and planets

’,Astrophysica Norvegica,4, 1-497(1946); see particularly chapter 24.

6. H. Jeffreys and M. E. M. Bland, ‘The instability heated within ’,Monthly

Notices Roy. Astron. Soc. London; Geophys. Suppl. ,6, 148-58 (1951).

7. ———, ‘Problem of thermal instability in a sphere’,ibid. 1129-30(1953).

8. S. Chandrasekhar,‘The thermal instability of a fluid sphere heated within’,Phil.

Mag. , Ser. 7 43, 1317-29(1952)

9. ———, ‘The onset of convection by thermal instability in a spherical shells’,ibid.

44, 233-41(1953);‘A correction’,ibid. 1129-30(1953).

10. G. E. Backus, ‘On the application of eigefunction expansions to the problem of

the thermal instability of a fluid sphere heated within’,ibid. 46, 1310-27

11. E. L. Koschmieder, ‘Uber Konvektionsstromungen auf einer Kugel, ’,Beitrage

zur Physik der Atmosphare, 32, 34-42(1959).

12. E. Lyttkens, ‘The onset of convection in a mentle of a sphere with a heavy core

’, (unpublished).

关于把一个流体球中无散度矢量表示成某些基本的管形和环形场的叠加, 见:

13. J. A. Stratton, ‘Electromagnetic Theory ’, chapter 7 International Series in

Pure and Applied Physics, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1941.

14. W. M. Elsasser,‘Induction effects in terrestrial magnetism. I. Theory,’Physical

Review, 69, 106-16 (1946.)

15. E. C. Bulland and H. Gellman,‘Homogeneous dynamos and terrestrial mag-

netism’Phil. Trans. Roy. Soc. (London) A, 249, 213-78 (1954.)

§6.3 关于稳定性交换原理的有效性这个问题，以前似乎还没有确定。

§6.4 关于这个问题的变分原理在文献6和8中给出. 这个原理的热力学意义已在以下文献中得到

考虑:

16. H. Jeffreys, ‘The thermodynamics of thermal instability in liquid ’,Quart. J.

Mech. Appl. Math. 9, 1-5(1956).

但是在正文中的处理是有区别的: 用单一的管形标量大大地简化了主流速度场的表示: §6.5 在

这一节中的分析大部分是从文献8推导的:

§6.6 处理的方法是按照文献9给出的. 进行求解的正交函数在以下文献中考虑:

17. S. Chandrasekhar,‘The root of

J−(l+ 12 )

(λη)Jl+ 12(λ) − J(l+ 1

2 )(λη)J−(l+ 1

2 )(λ) = 0

’,Proc. Comb. Phil. Soc. 49, 446-8(1953).

在文献9中考虑的只是表面r = 1, r = η都是作用的情况. 关于其它边界条件的解是Miss Ruby

Ebisuzaki得到的.

在§(b)和(c)中考虑的关于更普遍的模型的结果是由Lyttkens(文献12)给出的.

§6.7 旋转对流体球中热不稳定性发生的影响在以下文献中得到考虑:


18. H. Takeuchi and Y. Shimazu, ‘Convection fluid motions in a rotating sphere

’,J. Phys. of the Earth, 2, 13-26 (1954).

19. S. Chandrasekhar, ‘The thermal instability of a rotating fluid sphere heated

within, part I’,Phil. Mag., Ser. 8, 2, 845-58(1957); Part II, ibid. 1282-4(1957).

20. F. E. Bisshopp,‘On the thermal instability of a rotating fluid sphere ’,ibid. 3,

1342-60(1958).

21. T. Namikawa,‘Fluid motion in a sphere. I. Thermal instability of a rotating fluid

sphere heated within,’,J. Geomagnetism and Geoelectricity, 9, 182-92(1957)

关于用两个标量表示轴对称的无散度场, 见:

22. R. Lust and A. Schluter,‘Kraftfreie Magnetfelder, ’,Z. f. Astrophysik, 34,

263-82(1954).

23. S. Chandrasekhar, ‘On force-free magnetic fields ’,Pro. Nat. Acad Sci.42,

1-5(1956).

24. ———, ‘Axisymmetric magnetic fields and fluid motions ’,Astrophys. J. 124,

232-43(1956).

在此节的分析主要以文献19为基础. 但是, 在§(d)中描述的变分原理, 比文献中的内容更具普遍

性; 而且, 在§(e)中的内容是新的.

§6.8.此节中的分析来自文献20.

通过适当的用四阶微分方程描述的特征值问题生成的正交函数,把速度场展开,在以下文献中讨

论:

25. S. Chandrasekhar and W. H. Reid,‘On the expansion of function which satisfy

four boundary conditions’,Proc. Nat. Acad. Sci. 43, 521-7(1957).

26. D. L. Harris and W. H. Reid,‘On the orthogonal function which satisfy four

boundary conditions. I. Tables for use in Fourier -type expansions ’,Astrophys. J.

Supp., Ser. 3, 429-47 (1958).

27. S. Chandrasekhar and Donna D. Elbert,‘On the orthogonal function which

satisfy four boundary conditions. III. Tables for use in Fourier-Bessel–type expansions

’,ibid. 453-8(1958).

§6.9 在此节中简要讨论的内容的主要来源是文献1.

Namikawa 曾经对均匀磁场下在旋转流体球中热不稳定性问题进行求解:

28. T. Namikawa,‘Fluid motion in a sphere II. Thermal instability of a conducting

fluid sphere heated within under a uniform magnetic field ’,J. Geomagnetism and

Geoelectricity,, 9, 193-202 (1957).

29. T. Namikawa,‘Fluid motion in a sphere III. Thermal instability of a rotating fluid

sphere heated within under a uniform magnetic field’,ibid. 203-9(1957).

以各种场的一项近似为基础, Namikawa得出一些一般性的结论. 正如Bisshopp 详细的计算表明

的, 这是一种有危险的处理方法.

第七章 COUETTE 流的稳定性

§7.1 引言

在前五章中是在各种外部作用条件下的不稳定性发生;但是不稳定性的原因总是相同的: 由

于一个普遍的逆温度梯度导致流体的潜在不稳定排列. 在本章以及接下来的两章, 我们将考虑

的不稳定性具有与此不同的原因: 从一个普遍的逆角动量导致流体的潜在不稳定性排列. 这种

不稳定性的最简单的例子出现在Courtte流中, 即, 处于两个旋转的同心圆柱之间的流体的稳态

环形流动.

在本章,我们将考虑无粘性和有粘性流体的简单Couette流. 在第八章,我们将考虑几个弯曲

流动的更一般的例子; 在第九章, 我们将考虑一个轴对称磁场对Couette流的影响.

§7.2 物理问题

我们考虑两个旋转同心的圆柱之间不可压流体允许的稳态环形流动.我们将看到,在没有粘

性的情况下,这种允许的流动是范围很广的一族: 确实,如果Ω表示轴的旋转角速度,在运动方程

允许Ω是离轴距离r的任意函数, 给出的运动流体在轴向和径向的速度为零. 但是如果存在粘性,

这一族变得很有限, 允许的Ω的最一般形式是

Ω(r) = A+B/r2 (7.1)

其中A和B是两个与内外圆柱旋转角速度Ω1和Ω2有关的常数. 因此, 如果R1和R2是两个圆柱的

半径, 则

Ω1 = A+B/R21, Ω2 = A+B/R2

2 (7.2)

用Ω1和Ω2解出A和B, 我们有

A = −Ω1η2 1 − µ/η2

1 − η2, B = Ω1

R21(1 − µ)

1 − η2(7.3)

其中

µ = Ω2/Ω1, η = R1/R2 (7.4)

我们寻找答案的问题如下. 在没有粘性, 而Ω可以作为r的任意函数的情况下, 流动稳定性的充分

和必要条件是什么? 关于方程(7.1)给出的分布,这种条件意味着什么? 最后,关于无粘性流体的

条件, 当应用于方程(7.1) 时, 在考虑粘性时又如何进行修正? 这些是本章论述的问题.

§7.3 Rayleigh准则

Rayleigh指出: 在无粘情况下, 对于角速度分布Ω(r), 在间隙内部任何地方, 流动稳定的充分

必要条件是d

dr(r2Ω)2 > 0 (7.5)

而且, 在间隙内部任何地方, 如果(r2Ω)2是减少的, 则这种分布是不稳定的.

因为| (r2Ω)2 |是随旋转轴转动的单位质量流体微元的角动量, Rauleigh准则的另一种表述方

法是: 当而且仅当角动量向外增加时, 关于轴的角动量的一个分层是稳定的.

217

218 第七章 COUETTE 流的稳定性

Rayleigh没有通过相应的小扰动方程的分析, 证明他的准则. 而是用如下的证明替代. 在柱

极坐标系中, 控制不可压无粘流体的流体动力学方程是: 1

∂ur∂t

+ (u · grad)ur −u2θr

= − ∂

∂r

(p

ρ

)(7.6)

∂uθ∂t

+ (u · grad)uθ +uruθr

= −1

r

∂

∂θ

(p

ρ

)(7.7)

∂uz∂t

+ (u · grad)uz = − ∂

∂z

(p

ρ

)(7.8)

其中

(u · grad) = ur∂

∂r+uθr

∂

∂θ+ uz

∂

∂z(7.9)

我们还有连续性方程∂ur∂r

+urr

+1

r

∂uθ∂θ

+∂uz∂z

= 0 (7.10)

这些方程明显有稳态解

ur = uz = 0, uθ = V (r) (7.11)

其中V (r)是r的任意函数. 应用V (r), 压力分布确定为

p = ρ

∫dr

rV 2(r) (7.12)

对于本节后边限于讨论的轴对称运动, 方程(7.6)-(7.8)简化为

∂ur∂t

+ ur∂ur∂r

+ uz∂ur∂z

=u2θr

− ∂

∂r

(p

ρ

)(7.13)

∂uθ∂t

+ ur∂uθ∂r

+ uz∂uθ∂z

+uruθr

= 0 (7.14)

∂uz∂t

+ ur∂uz∂r

+ uz∂uz∂z

== − ∂

∂z

(p

ρ

)(7.15)

方程(7.14)的等价形式是d

dt(ruθ) =

d

dt(r2Ω) = 0 (7.16)

因此, 当我们跟随它运动时, 单位质量流体微元的角动量, 保持为常数. 在径向和轴向发生的运

动,就象uθ消失了那样. 力u2θ/r = L2/r3作用在径向.因为L是运动常数,我们可以把力L2/r3与势

能ρL2/2r2相联系. 在横向的速度uθ与动能的联系, 与它与势能的关系是相同的.

现在, 假设我们把高度相同, 质量也相同的分别处于r = r1和r = r2(> r1)的两个受限流体环

进行交换. 当dr1和dr2是这两个环径向的大小时, 它们质量相等要求2πr1dr1 = 2πr2dr2. 考虑到

运动恒量为L, 在r2的流体, 在交换之后, 将与r1处的流体在交换之前拥有相同的角动量(L1), 类

似地, 在r1处的流体, 在交换之后, 将与r2处的流体在交换之前拥有相同的角动量L2. 因此, 动能

的交换(或者离心势能的交换)正比于(L22

r21+L21

r22

)−(L21

r21+L22

r22

)dS = (L2

2 − L21)

(1

r21− 1

r2

)dS (7.17)

记住r2 > r1, 我们看到, 根据L22是大于还是小于L

21, 它为正或者为负. 因此, 如果L2是r的单调增

函数, 没有能量来源, 我们设想的流体环的交换出现; 而这意味着稳定性. 另一方面, 如果L2是

随r减少的, 在这个区域一个流体环的交换将导致一种能量释放; 而这意味着不稳定性.

1 当存在一个可以从轴对称的势函数推导的外力时, 以下考虑同样是可以应用的.

§7.3 Rayleigh准则 219

但是, 以上Rayleigh论证给出一个非常注意物理机理的准则,人们仍然乐意直接从相应的扰

动方程出发, 来完成准则的推导, 对此我们将在 §7.4 中给出. 同时, 对于粘性流体允许的Ω 的特

殊分布, 看看Rayleigh准则的含义是有用的. 作为稳定性的判别式, 我们将用

Φ(r) =1

r3d

dr(r2Ω)2 =

2

rΩd

dr(r2Ω) (7.18)

Rayleigh准则要求

Φ(r) > 0 对于稳定性 (7.19)

当Ω有(7.1) 式给出的形式时,

Φ = 4A(A+B/r2) (7.20)

把r用外圆柱半径R2来衡量是方便的. 因此

Φ =4A

R22

(1

r2+AR2

2

B

)(7.21)

根据(7.3) 式给出的A和B, 我们有

Φ = −4Ω21η

4 (1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2

(1

r2− κ

)(7.22)

其中

κ = −AR22

B=

1 − µ/η2

1 − µ(7.23)

显然

Φ > 0 当η ≤ r ≤ 1 (7.24)

只要

µ = Ω2/Ω1 > η2 (7.25)

因此, 把Rayleigh准则, 应用于分布(7.1) 式要求对于稳定性, 在相同的意义上, 外圆柱旋转的角

速度必须比内圆柱的角速度大η2倍. 在(Ω2,Ω1)平面内(见图 7.1), 稳定性区域, 由Ω2和 Rayleigh

线Ω2 = Ω1η2确定. 如果粘性效应被忽略, 在Rayleigh线的左边, 我们一定具有不稳定性; 有趣的

是确定在平面的这一部分, Rayleigh准则是如何被破坏的. 根据(7.23) 式给出的κ, 我们发现 1r2 − κ = µ 1−η2

η2(1−µ) 当r = 1

= 1−η2

η2(1−µ) 当r = η(7.26)

根据

Φ(r) < 0 当η ≤ r ≤ 1 (7.27)

只要

0 < µ < η2 (7.28)

因此, 当0 < µ < η2时, 在流体中任何位置, Rayleigh准则被破坏; 我们可以说, 在整个流体

中出现不稳定性. 另一方面, 如果圆柱沿相反的方向转动, 且µ < 0, 在接近外圆柱的部分流体中,

Φ是正的, 而在接近内圆柱的部分流体中, 它是负的. 这两个部分的流体被Ω = 0的节面分开. 这

个表面的半径用长度单位为R2的情况下, 由下式给出

η0 =1√κ

= η

(1+ | µ |η2+ | µ |

) 12

(7.29)


图 7.1 (Ω1,Ω2)平面: 在无粘极限下, 在这个平面内的稳定和不稳定区域是由Rayleigh线分开的,

Ω2 = Ω1(R1/R2)2, R1, R2是半径而Ω1 和Ω2分别是内外圆柱的角速度.

而且 Φ(r) > 0 当η0 < 1 < 1

Φ(r) < 0 当η < r < η0(7.30)

因此, 当µ < 0时, 只是在节面以内Rayleigh准则受到破坏. 因此, 在无粘情况下, 对于负的µ, 估计

的不稳定性将与η0内部的流动相联系. 考虑到这一点, 我们可以说, 对于µ < 0, 不稳定性只是部

分发生的. 还有,当µ→ −∞, η0 → η,根据Rayleigh准则,将变得不稳定的流体部分是小到接近消

失的.

如果我们现在考虑, 粘性对(7.1) 式规定的流动稳定性的影响. 我们必须根据普遍的原因预

测,粘性将使稳定性的发生,向Rayleigh准则估计的点以外延伸;而对于一个给定的κ(即µ和η),这

个因子是

4Ω2η4(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2(µ < η2) (7.31)

它出现在Rayleigh的判别式中, 在取决于ν和R2的不稳定性可以发生之前, 一定超出某些临界值.

因此, 这个用来表示稳定性的准则的无量纲数是

T =4Ω2

ν2R4

1

(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2(7.32)

这是对于这个问题而言的Taylor数的合适的定义.对于给定的η和µ,不稳定性将在某个临界的Taylor数Tc下

发生; 这个问题的核心, 是确定作为η和µ的函数的Tc

§7.4 无粘Couette流动稳定性的分析讨论

我们现在回到稳态流动稳定性的分析讨论上来,

ur = uz = 0, uθ = V (r) = rΩ(r) (7.33)

这些方程, 是无粘运动方程(7.6)-(7.9)允许的. 在方程(7.33) 中, V (r)是r的任意函数. 让扰动状态

表示为

ur, V + uθ, uz, ϖ(−δp/ρ) (7.34)

控制这些扰动的线性方程是∂ur∂t

+V

r

∂ur∂θ

− 2V

ruθ = −∂ϖ

∂r(7.35)

§7.4 无粘Couette流动稳定性的分析讨论 221

∂uθ∂t

+V

r

∂uθ∂θ

+

(V

r+dV

dr

)ur = −1

r

∂ϖ

∂θ(7.36)

∂uz∂t

+V

r

∂uz∂θ

= −∂ϖ∂z

(7.37)

连续性方程是∂ur∂t

+urr

+1

r

∂uθ∂θ

+∂uz∂z

= 0 (7.38)

根据处理这些问题的一般方法, 我们分析正交模式的扰动. 在现在的例子中, 自然地, 是假设描

述扰动的各种量, 对(t, θ, z)的依赖关系为

ei(pt+mθ+kz) (7.39)

其中p是(可以为复数的)常数, m是(可以是正的,负的和零)的一个整数, k是z方向的扰动波数.

现在让ur(r), uθ(r), uz(r), 和ϖ(r)分别表示对(t, θ, z)的依赖关系由方程(7.39) 给出的扰动幅

度. 这样, 方程(35)-(38)给出

iσur − 2Ωuθ = −dϖdr

(7.40)

iσuθ +

(Ω +

d

drrΩ

)ur = − im

rϖ (7.41)

iσuz = −ikϖ (7.42)

和durdr

+urr

+im

ruθ + ikuz = 0 (7.43)

其中

σ = p+mΩ (7.44)

(注: Ω, σ是r的函数.)

§7.4.1 用Lagrange 位移表示的方程

考虑与ur, uθ和uz有关的变量ξr, ξθ,和ξz, 它们定义为

ur = iσξr, uθ = iσξθ − rdΩ

drξr, uz = iσξz (7.45)

用这种形式定义的ξ, 是与目前这个问题相适应的Lagrange位移.

容易验证, 根据Lagrange位移的含义, u的无散度性质, 意味着ξ的无散度性质, 因此

dξrdr

+ξrr

+im

rξθ + ikξz = 0 (7.46)

应用变量ξr, ξθ, 和ξz, 方程(7.40-7.42) 变成(σ2 − 2rΩ

dΩ

dr

)ξr + 2iΩσξθ =

dϖ

dr(7.47)

σ2ξθ − 2iΩσξr =im

rϖ (7.48)

和

σ2ξz = ikϖ (7.49)

方程(7.48) 和(7.49) 分别乘以im/r和ik, 加上应用方程(7.46), 我们得到

σ2

(dξ

dr+ξrr

)− 2mΩσ

rξr =

(m2

r2+ k2

)ϖ (7.50)


接着在方程(7.47) 和(7.48) 之间消去ξθ, 我们有(σ2 − 2rΩ

dΩ

dr

)ξr +

2iΩ

σ

(2iΩσξr +

im

rϖ

)=dϖ

dr(7.51)

把这个方程中的项重新排列, 我们得到

[σ2 − Φ(r)]ξr =dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ (7.52)

其中

Φ(r) = 2rΩdΩ

dr+ 4Ω2 =

2Ω

r

d

dr(r2Ω) (7.53)

是在 §7.3 中我们已经引入的Rayleigh判别式(方程(7.18)).

方程(7.52) 必须与方程(7.50) 联系起来考虑, 我们把它重新写成形式

1

r

d

dr(rξr) − 2mΩ

σrξr =

1

σ2

(m2

r2+ k2

)ϖ (7.54)

当流体限制在两个同心圆柱R1和R2之间时, 对于这些r值, 我们必须要求速度的径向分量消

失. 因此, 方程(7.52) 和(7.54) 必须与如下边界条件一起考虑,

ξr = 0, 当r = R1, R2 (7.55)

我们将看到,对于边界条件(7.55)和实的σ,方程(7.52)和(7.54)构成一个自伴随系统;因此它

们的求解可以简化到一个变分问题; 这确实是引人Lagrange位移作为变量的目的.

§7.4.2 m = 0的情况

当m = 0, σ = p时, 方程(7.52) 和(7.54) 变成

[p2 − Φ(r)]ξr =dϖ

dr(7.56)

和1

r

d

dr(rξr) =

k2

p2ϖ (7.57)

在以上方程中消去ϖ, 我们得到

d

dr

(1

r

d

drrξr

)− k2ξr = −k

2

p2Φ(r)ξr (7.58)

这个方程的解和它们的边界条件(7.55),组成一个经典的Sturm-Liouville型特征值问题.通过借助

于这个问题的标准定理, 我们可以得到如下结论.

当Φ(r)处处为正时,k2/p的特征值都是正的;当Φ(r)处处为负时,k2/p的特征值都是负的. 当Φ(r)可

以在区间(R1, R2)内的如何位置改变符号时, 则存在极限点为+∞和−∞两个实的特征值的集合.

因为, 一个负的p2值, 意味着不稳定性, 显然, 认为以上关于k2/p2的特征值符号判断, 与

Rayleigh 准则的重新叙述是等价的.

获得同样结果的另一种途径是自然的. 方程(7.58) 乘以rξr, 并在r的范围内积分. 对左边用

分部积分进行变换. 我们得到∫ 1

r

(d

drrξr

)2

+ k2rξ2r

dr =

k2

p2

∫Φ(r)rξ2rdr (7.59)

§7.4 无粘Couette流动稳定性的分析讨论 223

或者p2

k2=

∫Φ(r)rξ2rdr∫

[(d/dr)rξr2/r + k2rξ2r ]dr(7.60)

从方程(7.60) 可以很快看出, 如果Φ(r)到处是正的, 则p2/k2是正的, 反之, 如果Φ(r)到处是负的,

则它为负的. 当Φ(r)到处为负时存在不稳定模式的进一步结果,可以从以下事实推出.事实上,我

们可以认为, 方程(7.58)是

I1 =

∫Φ(r)rξ2rdr (7.61)

达到最大值或者最小值的条件, 对于

I2 =

∫ 1

r

(d

drrξr

)2

+ k2rξ2r

dr (7.62)

因此, p2/k2的值就是I1/I2. 如果Φ(r)到处是负的, I1允许一个负值, 因此是一个负的最小值, 以

致于至少有一个p2是负的, 而相应的这个扰动模式, 是不稳定的.

把这种推导Rayleigh准则的方法,与变密度不可压缩流体稳定性的相应的方法(Part B §10.3)

进行对比, 我们看到, 这个问题中的Φ(r), 和在其它问题中的密度梯度, 起着完全等价的作用.

§7.4.3 m = 0的情况

这种普遍情况的处理, 不象m = 0情况那样直接. 当m = 0时, 可见与其把它看成对于给

定k2的关于p的问题, 不如把它考虑为在给定p的情况下, 作为k2的一个特征值问题, 要在边界条

件(7.55)制约下, 求解方程(7.52) 和(7.54). 在问题可以应用变分原理描述的范围内, 这种通常步

骤的倒置, 是具有优越性的. 而且我们将发现, 对于实的p, 这是个Hermite问题, k2的特征值是实

的.

现在的问题是, 这种不稳定性问题的求解是否可以根据用我们提出的倒置形式, 求解特征

值问题得到推测. 从原则上, 当我们认识到存在唯一的一种色散关系, 给出作为k2 的解析函数

的p时(可能有更多支), 推测这种解应当是可能的. 这种关系不依赖于如何确定. 只要p和k2之间

的关系是解析的, 通过确定p和k2的这种关系, (正的或者负的), 代替通常的确定k2和p之间的关

系(实的或者复数), 我们应当可以回答涉及稳定性的这个基本问题.

回到方程(7.52)-(7.55), 我们将首先表明, 对于实的p, k2的特征值也是实的. 为此, 我们把方

程(7.52) 乘以rξ∗r , 且在r的范围内积分. 我们得到∫r[σ2 − Φ(r)] | ξr |2 dr =

∫ξ∗r

(rdϖ

dr+

2mΩ

σϖ

)dr (7.63)

在分部积分之后, 右端项变成

−∫ϖ

d

dr(rξ∗r ) − 2mΩ

σξ∗r

dr (7.64)

应用方程(7.54), 我们可以最后写出∫r[σ2 − Φ(r)] | ξr |2 dr = −

∫1

σ2

(m2

r2+ k∗

)r | ϖ |2 dr (7.65)

在这个方程中的每一项都用它的共轭代替, 我们推测出k2等于k∗2; 因此k2是实数. 如果k2(一个

实的p)是实的, 属于一个特殊的k2的特解函数ξr和ϖ 也是实的, 我们可以把方程(7.65) 重新写成

形式

k2 =

∫r[(Φ − σ2)ξ2r − (m2ϖ2)/(r2σ2)]dr∫

rϖ2/σ2dr=I1I2

(7.66)


我们现在将表明, k2的表达式(7.66), 提供了变分描述问题的基础.

首先,需要指出的是,在应用方程(7.66)求出k2时,我们必须假设通过ϖ用如下方程确定ξr的,

(σ2 − Φ)ξr =dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ (7.67)

一个允许的ϖ满足边界条件

dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ = 0, 当r = R1, R2 (7.68)

现在, 考虑仅仅与边界条件(7.68) 相适应的ϖ的任意变分δϖ对k2的影响. 如果δξr表示相应

的ξr的变分, 则根据方程(7.67), 有

(σ2 − Φ)δξr =d

drδϖ +

2mΩ

σrδϖ (7.69)

和

δξr = 0, 当r = R1, R2 (7.70)

从方程(7.66) 得出

δk2 =1

I2

(δI1 −

I1I2δI2

)=

1

I2(δI1 − k2δI2) (7.71)

其中

δI1 = 2

∫r

[(Φ − σ2)ξrδξr −

m2ϖ

r2σ2δϖ

]dr (7.72)

和

δI2 = 2

∫rϖ(δϖ/σ2)dr (7.73)

根据ϖ的变分得到的I1和I2的变分.

在δI1的(7.72) 式中, 出现δξr的项是

− 2

∫rξr

(d

drδϖ +

2mΩ

σrδϖ

)dr (7.74)

分部积分之后, (7.74) 式可以重新写成形式

2

∫δϖ

[d

dr(rξr) − 2mΩ

σξr

]dr (7.75)

因此, 根据ϖ的变分得出的k2的一阶变化是

δk2 =2

I2

∫δϖ

1

r

d

dr(rξr) − 2mΩ

rσξr −

1

σ2

(m2

r2+ k2

)ϖ

rdr (7.76)

因此, δk2 = 0, 对于与边界条件(7.68) 相适应的任意变分δϖ, 当而且只当

1

r

d

dr(rξr) − 2mΩ

σrξr =

1

σ2

(m2

r2+ k2

)ϖ (7.77)

时成立. 反过来, 当方程(7.77) 满足时, δk2 = 0. 但是, 方程(7.77) 与方程(7.54) 是相同的. 因此,

求解方程(7.52), (7.54) 和(7.55) 表达的特征值问题, 等价于寻找

I1 = −∫

1

σ2 − Φ

(dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ

)2

+m2ϖ2

r2σ2

rdr (7.78)

的最大或者最小值, 对于给定的

I2 =

∫rϖ2/σ2dr (7.79)

§7.5 一旋转流体柱的震荡周期 225

对于受到边界条件dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ = 0 当r = R1, R2 (7.80)

限制的任意函数ϖ. 在这个最大或者最小值的比值I1/I2是k2的特征值.[注意这里假设的ϖ/σ由方

程(7.42) 得到.]

从方程(7.66),立刻明白,当Φ(r)到处是负的时, k2不能允许一个正的特征值.对于实的p, k的

特征值必须是虚的. 因此, 对于实的k, p一定是虚的, 而这意味着不稳定性.

下边考虑在区间(R1, R2)内, Φ(r)改变符号的情况,在这个区间的一部分它是负的,在其它的

变分它是正的. 在这些情况下, 对于任意给定的p, I1可以假设为负的; 对于给定的I2, I1可以假

设为负的最小值. 因此, 对于任何实的p, 至少存在一个k2的负的特征值. 同时, 因为Φ(r)在其它

部分是正的, 对于适当现在的p, I1也可以假设为正的, 对于一个给定的I2, 存在一些p使得I1保持

为一个正的最大值. 因此, 对于一些实的p, 存在一些k2的正的特征值. 从我们前边的论证, 同样

的p也允许k2的负的特征值. 因此, 在这种情况下, 色散关系有两个分支. 其中一支, 对于所有实

的p, k2的特征值是负的. 这一支, 倒过来, 对于实的k, 必然导致p为复数, 而这意味着不稳定性.2

最后, 考虑Φ(r)处处为正的情况. 这时, 把方程(7.66) 重新写成形式

k2 =

∫r[(dϖ/dr) + (2mΩ/σr)ϖ2/(Φ − σ2) − (m2ϖ2/r2σ2)]dr∫

rϖ/σ2dr(7.81)

是方便的. 显然, 对于所有实的p, σ = (p + mΩ)2 > Φ(r), k2的特征值是负的. 对于正的特征

值, 显然要求至少在(R1, R2)的范围内, σ2要小于Φ(r). 确实, 有必要要求在区间的一部分范围内,

σ2小于Φ(r), 这样我们可以得到k2的任意的正数值; 即, 对于所有实的k2, 有相应的实的p. 因此,

对于所有实的k2, 系统允许稳定的模式. 但是, 因为对于一些实的p, k2可能是负的, 我们不能排

除这种情况下的不稳定性. 因此, 对于区间(R1, R2)内的一些r, 条件Φ(r) < 0保证不稳定性, 对

于R1 ≤ r ≤ R2, 条件Φ(r) > 0不能允许我们排除不稳定性.

§7.5 一旋转流体柱的震荡周期

在这一节, 我们将考虑旋转流体圆柱的震荡. 正如首先研究这个问题的Kelvin已经指出的,

‘它们自己呈现出大量有趣的情况. ’

§7.5.1 Ω = constant的情况

当Ω = constant时,

Φ(r) =1

r3d

dr(r2Ω)2 = 4Ω2 (7.82)

相应的方程是(见方程(7.52) 和(7.54))

(σ2 − 4Ω2)ξr =dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ (7.83)

和1

r

d

dr(rξr) − 2mΩ

σrξr =

1

σ2

(m2

r2+ k2

)ϖ (7.84)

其中

σ = p+mΩ (7.85)

现在是常数. 在方程(7.83) 和(7.84) 中消去ξr, 我们得到

d2ϖ

dr2+

1

r

dϖ

dr− m2

r2ϖ = −k2

(4Ω2

σ2− 1

)ϖ (7.86)

2 这里作出的假设是每一支色散关系提供一个复解析函数k2, 当p为实数时, 它的行为可以从变分原理推导得出.


方便的是用外圆柱半径R2来作为r的衡量尺度, 让

a = kR2, R1 = R2η (7.87)

则方程(7.86) 变成d2ϖ

dr2+

1

r

dϖ

dr+

a2(

4Ω2

σ2− 1

)− m2

r2

ϖ = 0 (7.88)

边界条件是(见方程(7.68))dϖ

dr+

2mΩ

σrϖ = 0, 当r = 1, η (7.89)

方程(7.88) 的通解是

ϖ = AJm(αr) +BYm(αr) (7.90)

其中

α = a(4Ω2/σ2 − 1)12 (7.91)

A和B是积分常数, 而Jm和Ym, 是两类m阶Bessel函数. 把边界条件(7.89) 应用于解(7.90), 导致一

个与α和σ(= p+mΩ)有关的超越方程. 我们将考虑两种关系相当简单的特殊情况.

(i) η = 0的情况

当没有内柱, η = 0时, 在r = 0没有奇点的要求, 使得在解(7.90)中的Ym项消失.因此, 我们有

ϖ = AJm(αr) (7.92)

在r = 1处的边界条件给出

αJ ′m(α) +

2mΩ

σJm(α) = 0 (7.93)

其中一撇表示对宗量的微分. 但是, 根据方程(7.91),

σ

2Ω=

±1√(1 + α2/a2)

(7.94)

用它消去方程(7.93) 中的Ω/σ, 我们得到

αJ ′m(α) ±m(1 + α2/a2)

12 Jm(α) = 0 (7.95)

对于任意给定的α和m, 方程(7.95) 确定了α/a; 方程(7.94) 确定p; 因此

p

Ω=σ

Ω−m = ± 2√

(1 + α2/a2)−m (7.96)

用这种方法, 可以得出在a和p之间的色散关系.

在特别简单的m = 0的情况下. 这时α必然是J ′0(x)的零点. 如果α1,j是J1(x)的j阶零点, 色散

关系的显式为

p = ± 2Ω√(1 + α2

1,j/a2)

(7.97)

对于m = 0, 1, 2和3的色散关系在图 7.2中给出. 如果我们已经考虑的波型, 是以旋转流体圆柱中

的驻波, 则它们的半波长必然把流体柱的高度分成整数; 我们一定有

a = nπR2/H (7.98)

其中n是整数. 把a值代入方程(7.96) 和(7.97), 我们将得到流体柱的各种固有震荡的频率.


图 7.2 对于各种m和j值, 半径为R2的旋转流体柱震荡的特征频率波数a用单位1/R2衡量.

图 7.3 波数旋转流体柱震荡的照片; 模式m = 0, j = 1(照片1,2); m = 0, j = 2 (照片3,4,5,6)和模

式m = 0, j = 3(照片7,8). 关于不同照片的数据如下: (注: 所有情况的液柱高8.25cm).

旋转 Ω/p 拍照间隔(s)

照片周期观测的理论的

1,2 2.295 1.316 1.318 1.25

3,4 3.947 0.788 0.7886 1.50

5,6 4.040 0.789 0.7886 2.00

7,8 4.056 0.646 0.6444 1.25


在一些实验中, Fultz表明了, 怎样才能激发和保持旋转流体柱的这些固有震荡频率. 在这些

实验中, 旋转水圆柱(直径为4.2cm, 高度为15.3cm)的m = 0模式, 是通过圆柱轴上的一个小的圆

盘激发的. 这个圆盘控制得可以沿着轴向上下移动. 为了激发特殊的模式, 圆盘被放置在平均

高度处于这种模式的最高波腹的位置.(也就是说, 在激发的基本模式的柱子中间). Fultz很敏感

地探测到圆盘, 是否以共振的频率跟随适当注入了染料的流体运动. 用这种方法, Fultz确定了属

于m = 0的一些较低震荡的频率;他发现观测到的共振频率与方程(7.97)和(7.98)给出的结果吻合

得非常好. 在图 7.3中, 我们给出了Fultz的一些实验照片, 它们以非常令人惊奇的方式, 显示了旋

转流体震荡模式.

(ii) m = 0的情况

当m = 0时, 控制ξr的方程是(见方程(7.58))

d2ξrdr2

+1

r

dξrdr

+

a2(

4Ω2

p2− 1

)− 1

r2

ξr = 0 (7.99)

当r = 1, η ξr消失的条件满足时, 这个方程的解可以写成形式.

ξr = constantY1(αη)J1(αr) − J1(αη)Y1(αr) (7.100)

其中α是如下方程的根

Y1(αη)J1(α) − J1(αη)Y1(α) = 0 (7.101)

如果αj(j = 1, 2, ...)表示这个方程的根, 则

a2(4Ω2/p2 − 1) = α2j (7.102)

或者

p = ± 2Ω√(1 + α2

j/a2)

(7.103)

对于少数η, α1的值在表XXXI中给出. 当η = 0, 0.5时, 表中也给出了α2和α3的值.

§7.5.2 Ω = A+B/r2,m = 0的情况

人们感兴趣的另一种情况,是角速度满足在粘性流体中的分布.在这种情况下(见方程(7.20))

Φ = 4A(A+B/r2) (7.104)

控制ξr(在m = 0的情况下)的方程, 可以写成形式

(DD∗ − k2)ξr = −4k2

p2A

(A+

B

r2

)ξr (7.105)

其中

D =d

dr, D∗ =

d

dr+

1

r(7.106)

边界条件是

ξr = 0, 当r = R1, R2 (7.107)

(i) 关于窄间隙的解

Reid最近表明, 如何应用已知的列表函数显式求解方程(7.105), 当

d = (R2 −R1) ≪ 1

2(R1 +R2) (7.108)


满足时, 我们不需要区分D和D∗, 我们可以进一步把出现在方程(7.105) 右端的A+B/r2用

Ω1

[1 − (1 − µ)

r −R1

R2 −R1

](7.109)

替代.

在以上近似的框架下, 在重新写出方程(7.105)时,把径向距离用内外两个圆柱表面之间的距

离d = R2 −R1作为单位, 是方便的. 因此, 让

ζ =r −R1

R2 −R1, a = k(R2 −R1) (7.110)

我们需要解

(D2 − a2)ξr = −a2λ[1 − (1 − µ)ζ]ξr (7.111)

其中D现在表示d/dζ(见方程(7.3))

λ =4AΩ1

p2= −4Ω2

1

p2η2

1 − µ/η2

1 − η2(7.112)

边界条件是

ξr = 0 当ζ = 0, 1 (7.113)

当µ = 1时, 方程(7.111) 允许一个基本积分, 和满足边界条件(7.113) 的特解

ξr = constant · sinnπζ (7.114)

其中n是整数. 相应的特征方程是1

λ=

a2

a2 + n2π2(7.115)

或者, 因为µ = 1,

p =2Ω1√

(1 + n2π2/a2)(7.116)

显然这是η → 1时(7.103) 式的渐进形式.

当µ < 1时, 我们可以把方程(7.111), 简化成标准形式

d2ξrdx2

= xξr (7.117)

通过代入

x =

[a

λ(1 − µ)

] 23

1 − λ[1 − (1 − µ)ζ] (7.118)

边界条件是

ξr = 0, 当x = x1, x = x2 (7.119)

其中

x1 =

[a

λ(1 − µ)

] 23

(1 − λ), x2 =

[a

λ(1 − µ)

] 23

(1 − λµ) (7.120)

方程(7.117)的通解,可以用13阶的Bessel函数表示,或者更方便地,用Airy函数3 Ai(x)和Bi(x)

表示

ξr = AAi(x) +BBi(x) (7.121)

3 这些函数的定义是:

Ai(x) =1

3x

12 I− 1

3(y)− I 1

3(y)

Bi(x) = (1

3x)

12 I− 1

3(y) + I 1

3(y)

其中y = 23x

32 .


图 7.4 由方程(7.122)确定的最低模式对应的(x1, x2)-关系.

其中A和B是常数. 边界条件(7.119)导致特征方程

Ai(x1)

Bi(x1)=

Ai(x2)

Bi(x2)(7.122)

对于不同的模式, 方程(7.122)把x2确定为x1的函数; 对于最低模式的这种关系在图 7.4中给

出. 根据用这种方法确定的(x2, x1)关系, 要求的a 与√λ 之间的关系是

a = (x2 − x1)

√x2 − µx1

1 − µ,

1√λ

=

√x2 − µx1

1 − µ(7.123)

当µ = 1, 0,−1时的这种色散关系在图 7.5中给出.

在图 7.6a中,给出了µ→ −∞时不稳定性最低模式的极限速度分布形式;而相应的细胞图案,

在图 7.6b 中给出.

(ii) 对于宽间隙的正规解

当我们企图允许R2和R1的有限区别时, 我们必须不作任何近似考虑方程(7.105).

现在用R2作为衡量r的单位, 让a = kR2, 我们有方程(见方程(7.22)和(7.23))

(DD∗ − a2)ξr = a24Ω2

1

p2η4

(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2

(1

r2− κ

)ξr (7.124)

让

Q21 = −4Ω2

1

p2η4

(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2(7.125)

和

Q22 = −Q2

1κ =4Ω2

1

p2η4

(1 − µ/η2)2

(1 − η2)2(7.126)


d2ξrdr2

+1

r

dξrdr

+

a2(Q2

2 − 1) − 1 − a2Q21

r2

ξr = 0 (7.127)

这个方程的通解是

ξr = ℓν(αr) (7.128)

其中

ν =√

(1 − a2Q21), α = a

√(Q2

2 − 1) (7.129)

§7.6 关于粘性Couette流 231

图 7.5 柱间间隙为d, 当µ = 1, 0,−1时, 柱间流动最低模式的无粘色散关系横坐标给出单位

是1/d的波数, 纵坐标给出增长速率(或者圆频率)单位为√| 4AΩ1 |.

而ℓν代表ν阶的一般的柱函数.

边界条件要求ℓν(αr)在r = 1, η消失, 这些条件决定了α. 事实上, 要求的解可以表示成形式

ξr = constant · J−ν(αη)Jν(αr) − Jν(αη)J−ν(αr) (7.130)

定义的这种形式, 显然ξr在r = η消失; 在r = 1也要求它消失的条件, 导致方程

J−ν(αη)Jν(α) − Jν(αη)J−ν(α) = 0 (7.131)

根据对于某些给定的ν, 作为这个方程根来确定了的α, 从方程(7.126) 和(7.129), 可以得到要求

的a2和p2之间的关系.

从在 §7.3 和 §7.4 中的一般性理论, 我们知道

p2 > 0, 当µ > η2 p2 < 0, 当µ < η2 (7.132)

因此

Q21 > 0, 或者 < 0 根据 µ < 1 或者 > 1 (7.133)

但是, 根据p2的正负, 即根据µ > η2或者µ < η2, 可知Q22是正的还是负的. 因此, 对于不稳定的模

式, Q22 < 0, 而α是虚数. 当ν是实数时, ℓν 将变成Iν(| α | r)和Kν(| α | r) 的线性组合. 但是, 在给

定的两个边界点, 没有任何Iν(x)和Kν(x)的线性组合可以消失. 因此, 对于不稳定的模式, ν必须

是虚数, 用它的柱函数表示的解是虚阶的, 和虚宗量的.

§7.6 关于粘性Couette流

我们现在把注意力, 转向两个同心圆柱之间的稳态粘性流动. 在圆柱坐标系中, 不可压流体

粘性流动的Navier-Stokes 方程的形式是

∂ur∂t


= − ∂

∂r

(p

ρ

)+ ν

(∇2ur −

2

r2∂uθ∂θ

− urr2

)(7.134)

∂uθ∂t

+ (u · grad)uθ +uruθr

= −1

r

∂

∂θ

(p

ρ

)+ ν

(∇2uθ +

2

r2∂ur∂θ

− uθr2

)(7.135)

∂uz∂t

+ (u · grad)uz = − ∂

∂z

(p

ρ

)+ ν∇2uz (7.136)


图 7.6 当µ → ∞, a/(1 − µ) = 2.03时, 对于无粘不稳定性最低模式的速度分布的极限形式(a)和

细胞图案(b).

其中

u · grad = ur∂

∂r+uθr

∂

∂θ+ uz

∂

∂z(7.137)

和

∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(7.138)

我们还有连续性方程∂ur∂r

+urr

+1

r

∂uθ∂θ

+∂uz∂z

= 0 (7.139)

这些方程允许的稳态解形式

ur = uz = 0, uθ = V (r) (7.140)

给出d

dr

(p

ρ

)=V 2

r(7.141)

和

µ

(∇2V − V

r2

)= ν

d

dr

(d

dr+

1

r

)V = 0 (7.142)

从方程(7.142), 与ν = 0相适应的V (r)的最一般的解的形式是

V = Ar +B

r(7.143)

其中A和B是任意常数. 关于角速度的相应的表达式是

Ω = A+B

r2(7.144)

这是在 §7.2 中提到的解. 正如我们那时指出的, 在方程(7.144)中出现的两个任意常数, 对应于给

定的限制流体, 将采用的角速度的两个圆柱的可能性. 因此, 常数A和B可以与两个圆柱旋转的

角速度相联系. 我们有(见方程(7.3) 和(7.4))

A = −Ω1η2 1 − µ/η2

1 − η2, B = Ω1

R21(1 − µ)

1 − η2(7.145)

其中

µ = Ω2/Ω1, η = R1/R2 (7.146)

§7.7 扰动方程 233

正如我们在 §7.3 中看到的, 把无粘Couette流动稳定性的Rayleigh准则应用于分布(7.144)得

到

µ > η2 (7.147)

从根本上讲, 我们可以期望粘性的影响, 将推迟不稳定性的发生; 而新的稳定性准则, 在不

稳定性出现之前, 条件(7.147)确定的内容的主要形式将被打破. 采取的精确的准则形式, 是首

先由G.I.Taylor从理论和实验两个方面进行研究的. 在两个圆柱之间的间隙R2 − R1, 与平均半

径 12 (R1 +R2)相比是小量时, Taylor发现一个显式解析的准则表达式;通过实验,他能证明边缘状

态是稳态的, 从基本流动到细胞图案, 出现一个间断. 图 7.7是Taylor给出的照片的复制品, 显然

表明了不稳定性发生的形式. 在 §7.11 中, 我们将回到从Taylor开创性工作以后, 更详细的实验

工作上.

§7.7 扰动方程

现在, 我们将研究由方程(7.141) 和(7.143) 描述的流动不稳定性. 让扰动的状态表征为

ur, V + uθ, uz, δp/ρ = ϖ (7.148)

假设各种扰动是轴对称的4与θ无关, 从方程(7.134)-(7.136) 我们得到线性化方程

∂ur∂t

− 2V

ruθ = −∂ϖ

∂r+ ν

(∇2ur −

urr2

)(7.149)

∂uθ∂t

+

(dV

dr+V

r

)ur = ν

(∇2uθ −

uθr2

)(7.150)

和∂uz∂t

= −∂ϖ∂z

+ ν∇2uz (7.151)

其中∇2现在的含义是

∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

∂2

∂z2(7.152)

还有, 对于轴对称运动, 连续性方程简化为

∂ur∂r

+urr

+∂uz∂z

= 0 (7.153)

通过正交模式的扰动分析, 我们寻找以上方程的解的形式为ur = eptu(r) cos kz; uz = eptw(r) sin kz

uθ = eptv(r) cos kz; ϖ = eptϖ(r) cos kz(7.154)

其中k是轴向扰动波数, p是可以为复数的常数. 对于具有(7.154)式的解,方程(7.149)-(7.153)变

成

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)u+ 2

V

rv =

dϖ

dr(7.155)

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)v − (D∗V )u = 0 (7.156)

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)w = −kϖ (7.157)

4 关于这个问题的一般非对称情况还没有研究.


图 7.7 一张Taylor给出的显示旋转圆柱之间的流动不稳定性发生的照片, 这种情况下两个圆柱

的半径分别为4.035cm和3.25cm; 圆柱在相同的方向旋转.

∇2 =(

ddr + 1

r

)ddr − k2 = D∗D − k2

= DD∗ + 1r2 − k2

(7.158)

和

D∗u = −kw (7.159)

[在以上方程中, D和D∗具有 §7.5.2 方程(7.106)给出的相同的含义.]

在方程(7.157) 和(7.159) 中, 消去w, 我们有

ν

k2

(D∗D − k2 − p

ν

)D∗u = ϖ (7.160)

把这个ϖ的方程代入方程(7.155), 移项之后我们发现

ν

k2

(D∗D − k2 − p

ν

)(DD∗ − k2)u = 2

V

rv (7.161)

这个方程必须下边的方程一起考虑

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)v = (D∗V )u (7.162)

这些方程具有普遍性, 与V (r)的任何特殊形式无关.

用外圆柱的半径R2衡量r, 当给出

k2 = a2/R22, σ = pR2

2/ν (7.163)

时, 方程(7.161) 和(7.162)变成(当V (r)取式(7.143)的特殊形式时)

(DD∗ − a2 − σ)(DD∗ − a2)u = a22B

ν

(1

r2+AR2

2

B

)v (7.164)

和

(DD∗ − a2 − σ)v =2A

νR2

2u (7.165)

§7.7 扰动方程 235

方便的是作变换2AR2

2

νu→ u (7.166)

方程变成更简单的的形式

(DD∗ − a2 − σ)(DD∗ − a2)u = −Ta2(

1

r2− κ

)v (7.167)

和

(DD∗ − a2 − σ)v = u (7.168)

其中

T = −4AB

ν2R2

2 =4Ω2

1R41

ν2(1 − µ)(1 − µ/η2)

(1 − η2)2(7.169)

和

κ = −AR22

B=

1 − µ/η2

1 − µ(7.170)

方程(7.167) 和(7.168) 的解, 必须在满足与r = 1, η时圆柱壁面上无滑移的边界条件下寻找.

这些条件, 是要求在壁面上三个速度分量消失; 因此

u = v = 0, Du = 0, 当r = 1, η (7.171)

其中第三个条件相当于w = 0(见方程(7.159)).

§7.7.1 当µ > η2时流动的稳定性

我们现在表明, 当Rayleigh准则µ > η2满足时, 流动确实是稳定的.

首先, 我们可以注意算子DD∗的某些基本性质. 如果f(r)和g(r)是两个任意函数, 而其中一

个, 比如f(r)在积分限的两端消失,∫rfDD∗gdr = −

∫ (rdf

dr

dg

dr+fg

r

)dr (7.172)

而如果在两端f的导数也消失, ∫rfDD∗gdr =

∫rgDD∗fdr (7.173)

对这些关系进行连续的分部积分. 因此, 当写出∫rfDD∗gdr =

∫ fd

dr

(rdg

dr

)− fg

r

(7.174)

(7.172)式成立, 是不言而喻的. 进一步分部积分, 给出(7.173)式.

现在回到方程(7.167) 和(7.168), 对方程(7.167) 乘以ru∗, 并在r的范围内进行积分. 我们有∫ 1

η

ru∗(DD∗ − a2)2u− σ(DD∗ − a2)udr = −J a2∫ 1

η

rϕ(r)vu∗dr (7.175)

其中, 为简写起见, 我们已经写出

J =T

1 − µ=

4Ω21R

41

ν2(1 − µ/η2)

(1 − η2)2, ϕ = (1 − µ)

(1

r2− κ

)(7.176)

因为, 它的导数在r = 1, η消失, 方程(7.175)右端的积分, 通过应用式(7.172) 和(7.173), 可以

变成正定形式. 因此 ∫ 1

η

ru∗(DD∗ − a2)2u− σ(DD∗ − a2)udr


=

∫ 1

η

r | (DD∗ − a2)u |2 dr + σ

∫ 1

η

r|dudr|2 +

(1

r+ a2r

)| u |2

dr (7.177)

接下来, 在方程(7.175) 右端的积分中(从方程(7.168)) 代入u∗, 我们得到∫ 1

ηrϕ(r)vu∗dr =

∫ 1

ηrϕ(r)v(DD∗ − a2 − σ∗)v∗dr

= −(a2 + σ∗)∫ 1

ηϕ(r)r | v |2 dr +

∫ 1

ηrϕ(r)vDD∗v

∗dr(7.178)

再应用方程(7.172), 我们有∫ 1

η

rϕ(r)vDD∗v∗dr = −

∫ 1

η

ϕ(r)

(r|dvdr|2 +

| v |2

r

)dr + 2(1 − µ)

∫ 1

η

v

r2dv∗

drdr (7.179)

现在, 联立方程(7.175),(7.177),(7.178)和(7.179), 我们得到

σI1 + I2 = J a2(a2 + σ∗)I3 + I4 (7.180)

其中

I1 =

∫ 1

η

r|dudr|2 +

(1

r+ a2r

)| u |2

dr (7.181)

I2 =

∫ 1

η

| (DD∗ − a2)u |2 rdr (7.182)

I3 =

∫ 1

η

ϕ(r)r | v |2 dr (7.183)

和

I4 =

∫ 1

η

ϕ(r)

(r|dvdr|2 +

| v |2

r

)dr − 2(1 − µ)

∫ 1

η

v

r2dv∗

drdr (7.184)

积分I1和I2显然是正定的. 当µ > 0, ϕ(r) > 0(见方程(7.26)), 因此在这种情况下, I3也是正定的.

在I4中的两个积分中的第一个, 当µ > 0时是正定的; 但是第二个是复数. 但是, 当µ > 0时, I4的

实数部分是正定的; 事实上,

re(I4) =

∫ 1

η

rϕ(r)|dvdr

− v

r|2dr (7.185)

因为, 展开在式(7.185)中的积分, 我们有∫ 1

η

rϕ(r)|dvdr

− v

r|2dr =

∫ 1

η

ϕ(r)

(r|dvdr|2 +

| v |2

r

)dr −

∫ 1

η

ϕ(r)d | v |2

drdr (7.186)

但是 ∫ 1

η

ϕ(r)d | v |2

drdr = (1 − µ)

∫ 1

η

(1

r2− k

)d | v |2

drdr = (1 − µ)

∫ 1

η

1

r2d | v |2

drdr (7.187)

因此, (7.186)式的右端, 确实是I4的实部.

回到方程(7.180), 令这个方程的实部相等, 我们得到

re(σ)(I1 − J a2I3) + I2 − J a2[a2I3 + re(I4)] = 0 (7.188)

当µ > η2,J < 0时, 方程(7.188) 中re(σ)的系数是正定的; 而这个方程中剩余的项也是正定的. 因

此

re(σ) < 0, 当µ > η2 (7.189)

§7.8 当边缘状态是稳定的窄间隙情况下的解 237

流动是稳定的. 这个结果完全是从物理基础预测的. 但是, 它似乎是可以从一般的解析证明得出

的唯一结果.特别是,看来人们不能推导这个问题稳定性交换原理的有效性. 例如,令方程(7.180)

的虚数部分相等, 我们得到(见方程(7.176))

im(σ)(I1 + J a2I3) = −2Ta2im

∫ 1

η

v

r2dv∗

drdr (7.190)

而从这个方程得不出一般性结论; 当µ < 0, 即使是I3也是非正定的!

§7.8 当边缘状态是稳定的窄间隙情况下的解

如果圆柱之间的间隙R2 − R1, 与平均半径 12 (R2 + R1)相比是小量时, 我们没有必要区分方

程(7.161) 和(7.162) 中的算子D和D∗; 而且, 我们可以把出现在方程(7.161)右端的(A+B/r2), 用

Ω1

[1 − (1 − µ)

r −R1

R2 −R1

](7.191)

替代. 在重新写出在这些近似条件下的方程(7.161) 和(7.162) 时, 方便的是把离开内圆柱表面的

径向距离, 用单位d = R2 −R1衡量. 因此, 让

ζ = (r −R1)/d, k = a/d, σ = pd2/ν (7.192)

我们需要考虑的方程为

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u =2Ω1d

2

νa2[1 − (1 − µ)ζ]v (7.193)

和

(D2 − a2 − σ)v =2Ad2

νu (7.194)

通过进一步变换

u→ 2Ω1d2a2

νu (7.195)

方程变成

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u = (1 + αζ)v (7.196)

和

(D2 − a2 − σ)v = −Ta2u (7.197)

其中

T = −4AΩ1

ν2d4 (7.198)

和

α = −(1 − µ) (7.199)

方程(7.196) 和(7.197) 必须与下列边界条件一起考虑

u = Du = v = 0, ζ = 0, 1 (7.200)

我们主要感兴趣的是, 与σ的实部为零的各种a值(受到边界条件(7.200) 限制的)方程(7.196)

和(7.197) 的解. 在第三中描述的方法, 在不同联系方法的§31适用于这个问题. 因此, 我们必须得

到两种情况下的解: 当σ为零而边缘状态是稳态的,当σ为虚数而边缘状态是震荡的情况. 在后一

种情况a, iσ必须在T为实数的条件下确定. 5 在这些情况下, 我们必须寻找作为a的函数的T的极

5 当然, 可能在某些条件下有这种性质的解不存在.


小值; 根据两者之间哪个极小值更小, 我们将有稳态二次流动或者超稳定性. Taylor关于不稳定

性发生的仔细实验,未能揭示出超稳定性的任何启示. 因此,在文献中已经考虑的仅仅是σ = 0情

况. 但是, 正如关于稳定性交换原理的有效性没有普遍的证据那样, 超稳定性情况需要研究. 我

们在 §7.9 中回到这个问题上来.

当有稳态边缘状态时, 待解的方程是

(D2 − a2)2u = (1 + αζ)v (7.201)

和

(D2 − a2)v = −Ta2u (7.202)

具有边界条件(7.200).

§7.8.1 当σ = 0时, 特征值问题的解

容易验证, 在通常的意义下, 由方程(7.200)-(7.202) 给出的特征值问题不是自伴随的. 因此,

下边将要描述的方法是仿效那些在自伴随问题中取得成功的. 但是, Roberts最近发现了这种方

法的变分基础; 这一点在附录四中考虑.

我们将应用的方法如下.

因为v要求在ζ = 0, 1消失, 我们把它展开成正弦级数形式

v =∞∑

m=1

Cm sinmπζ (7.203)

在取了v的这种形式之后, 我们接着解把(7.203)式代入(7.201)式得到的方程

(D2 − a2)2u = (1 + αζ)∞∑

m=1

Cm sinmπζ (7.204)

使它满足关于u的其余的四个边界条件. 根据这种形式确定的u, (7.203) 式给出的v, 我们将看到,

方程(7.202)将得出一个关于T的特征方程.

方程(7.204)的解是直接得到的. 它的通解可以写成形式

u =∞∑

m=1

Cm

(m2π2 + a2)2A(m)

1 cosh aζ +B(m)1 sinh aζ +A

(m)2 ζ cosh aζ+

+B(m)2 ζ sinh aζ + (1 + αζ) sinmπζ +

4αmπ

m2π2 + a2cosmπζ (7.205)

其中的积分常数, 将根据在ζ = 0, 1处的边界条件u = Du = 0确定. 这些条件得出方程

A(m)1 = − 4mπα

m1π2+a2 , aB(m)1 +A

(m)2 = −mπ

A(m)1 cosh a+B

(m)1 sinh a+A

(m)2 cosh a+B

(m)2 sinh a = (−1)m+1 4mπα

m2π2+a2

A(m)1 a sinh a+B

(m)1 a cosh a+A

(m)2 (cosh a+ a sinh a)+

+B(m)2 (sinh a+ a cosh a) = (−1)m+1(1 + α)mπ

(7.206)

解这些方程, 我们发现

A(m)1 = − 4αmπ

m2π2+a2

B(m)1 = mπ

∆ a+ βm(sinh a+ a cosh a) − γm sinh a

A(m)2 = −mπ

∆ sinh2 a+ βma(sinh a+ a cosh a) − γma sinh a

B(m)2 = mπ

∆ (sinh a cosh a− a) + βma2 sinh a− γm(a cosh a− sinh a)

(7.207)


其中

∆ = sinh2 a− a2

βm =4α

m2π2 + a2[(−1)m+1 + cosh a]

γm = (−1)m+1(1 + α) +4α

m2π2 + a2a sinh a (7.208)

现在, 根据方程(7.203) 和(7.205), 把v和u代入方程(7.202), 我们得到

∞∑n=1

Cn(n2π2 + a2) sinnπζ = Ta2∞∑

m=1

Cm

(m2π2 + a2)2A(m)

1 cosh aζ +B(m)1 sinh aζ+

+A(m)ζ cosh aζ2 +B

(m)2 ζ sinh aζ + (1 + αζ) sinhmπζ +

4αmπ

m2π2 + a2cosmπζ (7.209)

方程(7.209)乘以sinnπζ并在ζ的范围内积分, 我们得到一个关于常数ℓ = Cm/(m2π2 + a2)2的线性

齐次方程组, 这些常数不全为零的要求, 给出特征方程∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

nπ(n2π2+a2)[1 + (−1)n+1 cosh a]A

(m)1 + [(−1)n+1 sinh a]B

(m)1 +

+(−1)n+1[cosh a− 2a

n2π2+a2 sinh a]A

(m)2 +[

(−1)n+1 sinh a− 2an2π2+a2 1 + (−1)n+1 cosh a

]B

(m)2 +

+αXnm + 12δnm − 1

2 (n2π2 + a2)3 δnma2T

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥= 0 (7.210)

其中

Xnm =

0 当m+ n是偶数而且m = n

14 当m = n

4nmn2−m2

2

m2π2+a2 − 1π2(n2−m2)

当m+ n是奇数

(7.211)

应用(7.206)式的前两个方程, 方程(7.210)简化成形式∥∥∥∥∥∥∥∥nπ

n2π2+a2 4mπαm2π2+a2 [(−1)m+n − 1]−

− 2an2π2+a2 [(−1)n+1A(m)

2 sinh a+B(m)2 cosh a +B

(m)2 ]+

+αXnm + 12δnm − 1

2 (n2π2 + a2) δnma2T

∥∥∥∥∥∥∥∥ = 0 (7.212)

而且代入(7.207)式给出的常数A(m)2 和B

(m)2 , 我们发现方程(7.212)的很大简化式,∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

4mnπ2α(n2π2+a2)(m2π2+a2) [(−1)m+n − 1]−

− 2amnπ2

(n2π2+a2)(sinh2 a−a2)(sinh a cosh a− a)[1 + (1 + α)(−1)m+n]+

+(sinh a− a cosh a)[(−1)n+1 + (1 + α)(−1)m+1]−− 4aα sinh a

m2π2+a2 [sinh a+ a(−1)m+1][(−1)m+1 − 1]+12δnm + αXnm − 1

2 (n2π2 + a2)3 δnma2T

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥= 0 (7.213)

通过令这个矩阵的(1,1)元素为零, 得出方程(7.213) 的一阶近似解. 我们发现

1

2(π2 + a2)3

1

Ta2=

1

4α+

1

2− 2aπ2(2 + α)

(π2 + a2)2(sinh2 a− a2)×

× [(sinh a cosh a− a) + (sinh a− a cosh a)] (7.214)

进一步简化给出

T =2

2 + α

(π2 + a2)3

a21 − 16aπ2 cosh2 12a/[(π

2 + a2)2(sinh a+ a)](7.215)


我们看到, 除了因子2/(2 + α), T的这个表达式与已经在第二章中( §2.13, 方程(2.311))发现的, 在

两个边界为刚性的边界时, 用变分方法给出简单的Benard问题的Rayleigh数的一阶近似式, 是相

同的. 因此, 在这种近似中(见方程(7.199)),

Tc =2

2 + α× 1715 =

3430

1 + µ, amin = 3.12 (7.216)

我们下边将看到( §7.8.2), 当0 < µ < 1时, 方程(7.216)给出的临界Taylor数, 与更高阶近似得

到的值差别, 不超过1%. 一阶近似解的这种比较高的精度的原因, 将在 §7.8.4中搞清楚.

§7.8.2 数值结果

通过求解用(7.213)式给出T的无穷阶特征方程的方法,将是令这个特征矩阵的前n行和前n列

构成的行列式等于零, 且让n取逐渐增大的值. 事实上, 这种方法的有用性将取决于得到的n阶方

程的最小的正根, 当n→ ∞时, 它是否很快趋向于它的极限值. 可见, 对于考虑的这个问题, 这个

过程收敛很快.

对于在T保持它的最小值时对应的a值, 根据方程(7.213)在不同近似中得出的T值已经列在

在表XXXII中. 从表中确认发现,当µ > −1.0,三阶近似给出与真值差别在1%以内的T . 当−3.0 ≤µ ≤ −1.0, 计算在似乎是有必要的尽可能高阶的近似下进行. 对于µ < −3.0, 为了得到可比较的

精度, 似乎要用高于六阶的近似. 幸运的是, 在下边 §7.8.5 中给出的考虑表明, 用现在的方法, 我

们没有必要得出µ < −3.0情况下的解.

表XXXII

对于不同µ值的临界Taylor数和相关的波数

一阶二阶三阶四阶五阶六阶

µ a 近似近似近似近似近似近似

1.0 3.12 1715.1 1715.1 1708.0

0.5 3.12 2286.7 2284.7 2275.3

0.25 3.12 2744.1 2736.4 2725.3

0.00 3.12 3429.9 3403.6 3390.3

-0.25 3.13 4573.4 4477.9 4462.5

-0.50 3.20 6866.2 6430.6 6417.1 6414.8

-0.60 3.25 8595.8 7694.5 7687.7

-0.70 3.34 11514 9422.7 9432.6

-0.80 3.50 11774 11820

-0.90 3.70 14846 14943

-0.95 3.86 16647 16764

-1.00 4.00 18615 18735 18677

-1.25 4.60 30497 30458

-1.50 5.05 46000 46192

-1.75 5.60 67189 67592

-2.00 6.10 97090 95610 95585

-2.50 7.10 176810 177107 117108

-3.00 8.09 320784 301116 302496

8.14 302482


图 7.8 作为µ = Ω2/Ω1函数的不稳定性发生的临界Taylor数.

表XXXIII

对于不同µ值的临界Taylor数和相关的常数

µ a Tc ℓ2/ℓ1 ℓ3/ℓ1 ℓ4/ℓ1 ℓ5/ℓ1 ℓ6/ℓ1

1.0 3.12 1.708×103 0 -0.001147

0.5 3.12 2.275×103 0.001324 -0.001146

0.25 3.12 2.725×103 0.002379 -0.001145

0.00 3.12 3.390×103 0.003944 -0.001143

-0.25 3.13 4.462×103 0.006537 -0.001144

-0.50 3.20 6.417×103 0.01186 -0.001177

-0.60 3.25 7.688×103 0.01569 -0.001194

-0.70 3.34 9.433×103 0.02174 -0.001226

-0.80 3.50 1.182×104 0.03195 -0.001262

-0.90 3.70 1.494×104 0.04742 -0.001186

-0.95 3.86 1.676×104 0.05904 -0.001083

-1.00 4.00 1.868×104 0.07139 -0.000929 -0.00039

-1.25 4.60 3.046×104 0.1472 +0.002421 -0.00087

-1.50 5.05 4.619×104 0.2281 +0.0116 -0.0012

-1.75 5.60 6.759×104 0.3205 +0.0312 -0.0008

-2.00 6.10 9.558×104 0.4099 +0.0616 +0.00128 -0.000927 -0.000267

-2.50 7.10 1.771×105 0.5804 +0.1560 +0.01777 -0.000459 -0.000819

-3.00 8.14 3.025×105 0.7499 +0.2846 +0.0626 +0.006064 +0.001045

在表XXXIII中给出了u的展开式中对应于边缘状态的系数ℓm(= Cm/(m2π2 +a2)2). 其中,还

给出了临界Taylor数和相关的波数. (Tc, µ)和(a(Tc), µ)的关系进一步在图 7.8和图 7.9中给出.

图 7.10a给出了当µ = −3.0时的速度分布; 在图 7.10b中显示了相应的细胞图案. 当µ =

−3.0时, 波节表面出现在ζ = 0.25; 有趣的是看到当我们超出这一点时, u的幅度是如何快速减

小的. 在图 7.10中给出的速度分布应当与图 7.6中给出的a和µ值相同时无粘最低模式的速度分

布进行对比.

§7.8.3 一种替代解法

方程(7.200)-(7.202) 给出了我们已经遇到的非自伴随的特征值问题的第一个例子. 因此, 为

了确定可能引导人们设计一种收敛情况与 §7.8.2 中相同的解法规则, 描述一种求解的替代方法

可能是有趣的.


图 7.9 作为µ = Ω2/Ω1函数的不稳定性发生时的扰动波长(单位是间隙d).

在方程(7.201)和(7.202)中消去u, 我们有

(D2 − a2)3v = −Ta2(1 + αζ)v (7.217)

和边界条件

v = (D2 − a2)v = D(D2 − a2)v = 0, 当ζ = 0, 1 (7.218)

把方程(7.217)重新写成形式

(D2 − a2)3v = (1 + αζ)ψ (7.219)

和

ψ = −Ta2v (7.220)

我们把ψ和v展开成

ψ =∞∑

m=1

Cm sinmπζ, v =∞∑

m=1

Cmvm (7.221)

其中vm是以下方程的解

(D2 − a2)3vm = (1 + αζ) sinmπζ (7.222)

它满足边界条件(7.218). 接着, 我们把方程(7.221)代入方程(7.220), 以便得到特征方程.

容易看出, 方程(7.222)的通解是

vm = − 1

(m2π2 + a2)3A(m)

1 cosh aζ +A(m)2 ζ cosh aζ +A

(m)3 ζ2 cosh aζ+

+B(m)1 sinh aζ +B

(m)2 ζ sinh aζ +B

(m)3 ζ2 sinh aζ+

+ (1 + αζ) sinmπζ +6αmπ

m2π2 + a2cosmπζ (7.223)


0.95 0.80.6

0.4 0.20.1 0.05

0.10.4

0.80.9

0.6 0.2

-0.175

-0.1ψ=0

ψ

ζ

ζ

ζ0.25 0.75 0.50 0.5

+0.193

−0.1

0

0.1

0

0.1

−0.1

−0.193

z/d

z/d

c

+0.193

−0.193

0.8

1.00.1

0.70.6

0.9

0

0.2

0.6

0.8

0.4

0.2

1.0

0.5 1.00.1 0.40.3 0.9

0

0.2000

0.50.40.3

ψ=1

图 7.10 当µ = −3, a = 8.14时速度分布(a)和细胞图案(b). 在(a)中速度用它的模的最大值进行

了归一化; 在(b)中, 把正负值的ψ分开的线是虚线(注意到它不是处在ζ = 0.25 的节面处.); (c)是

对应于相同的a和µ的最低无粘模式的细胞图案.


其中A(m)1 , ..., B

(m)3 要通过边界条件确定的常数. 后边的这些方程导致

A(m)1 = − 6mπα

m2π2+a2 , aA(m)2 + 3B

(m)3 = mπ

2a (m2π2 + a2)

A(m)3 + aB

(m)2 = 2mπα

(A(m)2 +A

(m)2 +A

(m)3 ) cosh a+ (B

(m)1 +B

(m)2 +B

(m)3 ) sinh a

= (−1)m+1 6mπαm2π2+a2

A(m)2 a sinh a+A

(m)3 (2a sinh a+ cosh a)+

+B(m)2 a cosh a+B

(m)3 (2a cosh a+ sinh a) = 2mπα(−1)m

A(m)2 a cosh a+A

(m)3 (2a cosh a+ 3 sinh a)+

+B(m)2 a sinh a+B

(m)3 (2a sinh a+ 3 cosh a)

= mπ2a (m2π2 + a2)(1 + α)(−1)m

(7.224)

现在, 把ψ和v的展开式代入方程(7.220), 我们得到

1

Ta2

∞∑m=1

Cm sinmπζ = −∞∑

m=1

Cmvm (7.225)

而这个方程显然导出特征方程

∥ 1

Ta2δnm + 2(m | m)∥ = 0 (7.226)

其中(n | m)表示矩阵元素

(n | m) =

∫ 1

0

vm sinnπζdζ (7.227)

通过求出矩阵元素(n | m), 我们发现, 经过一些繁杂但基本的简化之后, 特征方程取显式形式∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

nmπ2

n2π2+a2(

6αm2π2+a2 + 4α

n2π2+a2

)[(−1)m+n − 1]+

+ 8a2

(n2π2+a2)2 [m2π2

4a2 ( [1+(−1)m+1 cosh a][(−1)m+(−1)n]sinh a+(−1)m+1a +

α(−1)m 1+(−1)n+1 cosh asinh a+(−1)n+1a )+ α[(−1)m+n − 1] sinh a

sinh a+(−1)ma ]+

+ 12δnm + αXnm − 1

2 (n2π2 + a2)3 δnmTa2

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥= 0 (7.228)

其中

Xnm =

0 当m+ n是偶数, 而m = n

14 当m = n

4mnn2−m2

3

m2π2+a2 − 1π2(n2−m2)

当m+ n是奇数

(7.229)

人们可能已经想到,因为方程(7.228)是基于对一个六阶方程的求解,从现在方程的不同近似,

推出的特征值也许会显示出, 比用 §7.8.1的方法, 发现的特征值收敛更快. 但是, 情况并非如此:

方程(7.213)和(7.228)给出的结果事实上是没有区别的. 因此

T =

6417.8 从方程(228)的三阶近似

6417.1 从方程(213)的三阶近似当µ = −0.5, a = 3.20

T =

95624 从方程(228)的三阶近似

95625 从方程(213)的三阶近似当µ = −2.0, a = 6.05 (7.230)

这两种方法有效性接近的解释可能基于这个事实: 在认为处理方程和边界条件中,现在的解六阶

方程的方法优越性已经丢失. 在 §7.8.1中描述的方法, 使用的变量具有直接的物理意义, 对应于

这些变量之间的关系的边界条件, 是同样满足的; 这可能是问题真正的关键.


§7.8.4 当µ→ 1时的近似解

从表XXXIII中给出的结果, 可见公式

Tc =3416

1 + µ(7.231)

给出当0 ≤ µ ≤ 1时, 对真实值的一个很好的近似; 而且, 在这个的范围内, 不稳定性发生的波数

似乎与µ无关. 公式(7.231), 是Taylor用与我们已经描述的方法有很大差别的方法推导出来的. 而

我们也已经看到, 通过特征方程(7.213) 的一阶近似是如何有效地给出相同的公式.

现在我们将表明, 通过简单的摄动方法应用于方程(7.217), 如何推导方程(7.231). 同时, 我

们将得到方程(7.231) 的一个修正项, 以便增加它的有效性.

为此, 把坐标系原点平移到两个圆柱间隙的中点是方便的. 因此, 让

ζ = x+1

2(7.232)

使x的边界变成±12 . 应用x, 方程(217)变成

(D2 − a2)3v = −λ(1 + ϵx)v (7.233)

其中

λ =1

2Ta2(1 + µ), ϵ = −2

1 − µ

1 + µ(7.234)

边界条件是

v = (D2 − a2)v = D(D2 − a2)v = 0 当x = ± 12 (7.235)

当ϵ = 0时, 由方程(7.233)和(7.235)表示的特征值问题, 简化为一个简单的Benard问题( 关于

两个边界为刚性的情况),如果温度脉动的幅度用Θ的话.(见第二章 §2.8和 §2.9.2). 让λj(= Rja2在

第二章中用的符号)对于j = 0, 1, · · ·表示如下方程的不同的特征值

(D2 − a2)3Θ = −λΘ (7.236)

对应的边界条件

Θ = (D2 − a2)Θ = D(D2 − a2)Θ = 0, 当x = ±1

2(7.237)

让属于λj的函数用下标j表示6. 从第二章中的分析, 我们知道, §2.9.2 函数

Θj , Wk = (D2 − a2)Θk (7.238)

是相互正交的. ∫ + 12

− 12

ΘjWkdx = δjk (7.239)

转到方程(7.233)的解, 我们首先看到, 根据第三章中给出的结果, 当ϵ = 0时,λ/a2的最小值

是1708, 出现在a = 3.117. 根据(7.234)式, 相应的T值是3416/(1 + µ), 这与(7.231)式是完全相同

的. 因此可见, (7.231)式是在摄动展开级数中的零阶项. 为了得到更高阶项, 我们把各个量展开

成ϵ的幂级数. 因此, 我们写出 v = Θ0 + ϵv(1) + ϵ2v(2) + · · ·

λ = λ0 + ϵλ(1) + ϵ2λ(2) + · · ·(7.240)

6 这里定义的Θ和W与Benard问题中描述温度和速度的垂直分量扰动的函数是相同的(见方程(2.90)).


把这些展开式代入方程(7.233), 并令ϵ的幂指数项前的系数为零, 我们得到

(D2 − a2)3Θ0 = −λ0Θ0 (7.241)

(D2 − a2)3v(1) = −(λ0v(1) + λ0xΘ0 + λ(1)Θ0) (7.242)

(D2 − a2)3v(2) = −(λ0v(2) + λ0xv

(1) + λ(1)v(1) + λ(1)xΘ0 + λ(2)Θ0) (7.243)

等等.

方程(7.241)显然是满足的. 为了解方程(7.241), 我们假设, v(1)的解形式为

v(1) =

∞∑j=0

A(1)j Θj (7.244)

把它代入(7.242)式, 我们得到

v(1) =∞∑j=0

A(1)j Θj (7.245)

这个方程乘以Wk并在x的范围内积分. 应用正交关系(7.239), 我们得到

A(1)j∑

j=0

λjΘj = λ0

∞∑j=0

A(1)j Θj + λ0xΘ0 + λ(1)Θ0 (7.246)

其中用了记号

(k | x | j) =

∫ 12

− 12

WkxΘjdx (7.247)

(注意到矩阵(k | x | j)不是Hermite矩阵.)

当k = 0, 方程(7.246) 给出

λ(1) = −λ0(0 | x | 0) = λ0

∫ 12

− 12

W0xΘ0dx (7.248)

因为, 属于λ0的特解函数W0和Θ0是偶函数, 矩阵元素(0 | x | 0)是零; 我们得出

λ(1) = 0 (7.249)

因此, 通过一个ϵ = −2(1 − µ)/(1 + µ)的公式(7.231), 是在误差范围内; 而这这样做, 也解释了它

在表示更精确计算结果中能取得成功.

当k = 0, 方程(7.246) 给出

A(1)k =

λ0λk − λ0

(k | x | 0) (7.250)

系数A10是待定的, 但是, 正如我们现在将看到的, 这没有导致在解这个物理问题中出现任何模糊

性. 以下考虑方程(243). 因为λ(1) = 0, 这个方程简化为

(D2 − a2)3v(2) = −(λ0v(2) + λ0xv

(1) + λ(2)Θ0) (7.251)

在解这个方程时, 我们还是把v(2)用Θj展开. 因此, 根据假设

v(2) =∞∑j=0

A(2)j Θj (7.252)

方程(7.251)给出∞∑j=0

A(2)j λjΘj = λ0

∞∑j=0

A(2)j Θj + λ0xv

(1) + λ(2)Θ0 (7.253)


这个方程乘以W0, 在x的范围内积分, 我们得到

A(2)0 λ0 = λ0A

(2)0 + λ0

∫ 12

− 12

W0xv(1)dx+ λ(2) (7.254)

因此

λ(2) = −λ0∫ 1

2

− 12

W0xv(1)dx (7.255)

代入方程(7.244)表示的v(1), 我们得到

λ(2) = −λ0∞∑j=0

A(1)j

∫ 12

− 12

W0xΘjdx (7.256)

根据关于矩阵元素x的记号式(7.247), 我们可以写出

λ(2) = −λ0∞∑j=0

A(1)j (0 | x | j) (7.257)

因为(0 | x | 0) = 0, 在式(7.257)中j = 0项没有贡献; 代入方程(7.250)表示的A(1)j , 我们有

λ(2) = −λ20∞∑j=1

(0 | x | j)(j | x | 0)

λj − λ0(7.258)

这个关于特征值的二阶变换的表达式,与人们在量子理论中用摄动法,解原子系统的能级的二阶

变换时得到的表达式, 是类似的. 但是, 一种重要的差别, 是表示摄动的矩阵是非Hermite型的.

在方程(7.258)表示的特殊问题中, 能级是很宽的(指的是: λ1 ∼ 15λ0), 使得在表示λ(2)的无

穷求和中, 只保持第一项就足够了. 因此, 我们可以写出

λ(2) ≃ − λ20λ1 − λ0

(0 | x | 1)(1 | x | 0) (7.259)

精确到到ϵ的二阶, 期望的关于特征值的表达式是

λ = λ0

1 − ϵ2

λ0λ1 − λ0

(0 | x | 1)(1 | x | 0)

(7.260)

代入方程(7.234)表示的λ, 记住λj = Rja2, 我们把方程(7.260)重新写成形式

T =2R0

1 + µ

1 − ϵ2

R0

R1 −R0(0 | x | 1)(1 | x | 0)

(7.261)

其中R0和R1是当a2给定时, 最低偶的和奇的模式对应的Rayleigh数.

为了得到不稳定性发生的临界Taylor数,我们必须对方程(7.261)右端表示的量,看作a的函数

进行极小化. 由方程(7.261)给定T的a保持的极小值,将与使R0精确到ϵ2,保持它的极小值Rc(=1708)所

对应的a(0)min是有差别的. 在新的极小值替代位置, R0与Rc的差别只达到一个ϵ4量. 因此,精确到ϵ2,

我们可以写出

Tc =2Rc

1 + µ

1 − 4

(1 − µ

1 + µ

)2Rc

R∗c −Rc

(0 | x | 1)(1 | x | 0)

(7.262)

其中R∗c(= 2.4982×104),是关于最低的奇模式的a(0)min(见表I)的Rayleigh数.[在(7.262)式中,我们已

经用−2(1 − µ)/(1 + µ)替代了ϵ的值.]

为了得到(7.262)式的矩阵元素需要关于最低奇模式的解, 这一点可以用第二章中 §2.11.2描

述的方法看出. 而且人们发现, 方程(7.262)的数值形式是

Tc =3416

1 + µ

1 − 7.61 × 10−3

(1 − µ

1 + µ

)2

(7.263)


这个公式给出当µ = 0,−0.5时, 这个公式分别给出Tc = 3.390 × 103, 6.36 × 103; 这些值应当与

‘精确’计算给出的值3.390 × 103和6.42 × 103.

§7.8.5 当(1 − µ) → ∞时的渐进解

从对表XXXIII给出的结果的审查, 可见当(1 − µ) → ∞时, 得到下列渐进关系:

Tc → τ(1 − µ)4, a(Tc) → q(1 − µ) 当(1 − µ) → ∞ (7.264)

其中τ和q是某些常数. 因此, 从表列出的值, 我们发现

Tc(1−µ)4 =

1180.5

1180.2

1181.6

a(Tc)1−µ =

2.03

2.03

2.035

当1 − µ =

3.0

3.5

4.0

(7.265)

必然得到象(7.264)式那样的渐进关系的事实, 是能轻易理解的. 因为, 人们记得不稳定性的原因,

在两个圆柱是反向旋转的情况下, 根据在内圆柱附近Rayleigh准则的破坏, 而不稳定区的延伸不

会远远超出节面. 在此基础上, 人们可以预计, 当(1 − µ) → ∞时, 不稳定性发生的临界Taylor数,

与µ = 0和间隙宽度等于节面离内圆柱面的距离d0 相等的情况下, 对应的临界Taylor数一定是可

以比较的. 对于由(7.191)式给出的角速度分布,

d0 = d/(1 − µ) (7.266)

因为间隙宽度在T的定义式中以四次幂出现, 以上关系将导致人们预计一种渐进行为的形式

Tc → τ(1 − µ)4 (7.267)

其中τ是可以与µ = 0时的Taylor数比较的常数. 基于同样的原因, 人们可以预计, 与这种扰动有

关的波数将显示出行为

a(Tc) → q(1 − µ) (7.268)

其中q是可以与µ = 0时相应的波数比较的常数.

通过这种计算显示的常数τ(∼ 1182), 和q(∼ 2.035), 与µ = 0时相应的值3416和3.12具有很大

差别的事实, 不会引起很大惊讶. 因为,在ζ = d0/d, 流行的条件与µ = 0, ζ = 1时的流行的条件相

差甚远; 而且, 即使渐进地, 扰动不会延伸到节面之外也是不真实的. 因为, 以上论证给出了预计

渐进关系(7.267) 式和(7.268) 式的物理基础, 我们同样可以追究推出以特征值问题为基础的解析

结构的原因. 因此, 代入

x = aζ (7.269)

方程(7.217)变成

(D2 − 1)3v = − T

a4

(1 − 1 − µ

ax

)v (7.270)

而相应的边界条件是

v = (D2 − 1)v = D(D2 − 1)v = 0 当x = 0, a (7.271)

现在假设T

a4→ λ,

1 − µ

a→ γ, 当(1 − µ) → ∞, a→ ∞ (7.272)

在这种极限方程(7.270)和(7.271)变成

(D2 − 1)3v = −λ(1 − γx)v (7.273)

§7.9 关于稳定性交换原理 249

和

v = (D2 − 1)v = D(D2 − 1)v = 0, 当x = 0,∞ (7.274)

对于给定的γ,方程(7.273)和(7.274)将确定一族可能的λ值.为了确定渐进关系(7.267)和(7.268)中

的常数τ 和q, 我们必须寻找作为γ函数的λ/γ4的极小值. 因此

τ = min

λ

γ4(γ)

(7.275)

而q是在λ/γ4达到它的极小值时γ值的倒数.

由方程(7.273) 和(7.274) 表示的渐进值问题在目前还没有满意的得到解决: 由于各种原因,

在其它情况下, 已经证明成功的方法, 在目前问题中的应用时似乎失败了.

§7.9 关于稳定性交换原理

正如我们在 §7.8 中已经指出的, 我们将在 §7.11 中详细地看出的, 实验证明Couette流不

稳定性发生的是二次稳态对流. 因为没有试图一个完整的稳定性交换原理, 我们将给出, 为什

么我们可以预计这种情况下它的有效性的一些原因. 为此, 我们回到时间常数σ仍然保留的方

程(7.196)和(7.197). 把坐标原点移到两个圆柱之间的中点, 且用u(1 + µ)/2代替u, 我们得到(见方

程(7.201)-(7.204))

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)u = (1 + ϵx)v (7.276)

和

(D2 − a2 − σ)v = −Ta2u (7.277)

其中

T =1

2(1 + µ)T, ϵ = −2

1 − µ

1 + µ(7.278)

而边界条件与前边的相同.

首先考虑情况µ > 0. 正如我们在 §7.8.4 中已经看到的, 在这种情况下, 当σ = 0, 问题的最

小特征值, 几乎与方程(7.276)右端x 的线性项无关. 事实上, 精确到ϵ, 特征值与ϵ = 0时相应的值

是相同的; 而且, 考虑的‘未扰动问题’特征值的宽间隔，在关于T的摄动级数中ϵ2项的系数是很

小的(见方程(7.263)). 因此可见, 即使当σ = 0, 精确到ϵ, 我们也可以忽略方程(7.276)右端的ϵx项.

这样, 我们剩下的是

(D2 − a2)(D2 − a2 − σ)u = v (7.279)

和

(D2 − a2 − σ)v = −Ta2u (7.280)

以及边界条件

v = u = Du = 0, 当x = ±1

2(7.281)

现在, 让方程(7.279)乘以u∗, 并在x的范围内积分. 通过分部积分, 我们得到∫ 1

2

− 12

vu∗dx =∫ 1

2

− 12

u∗[(D2 − a2)2 − σ(D2 − a2)]udx

=∫ 1

2

− 12

| (D2 − a2)u |2 dx+ σ∫ 1

2

− 12

(| Du |2 +a2 | u |2)dx(7.282)

另一方面, 从方程(7.280), 我们发现−Ta2∫ 1

2

− 12

vu∗dx =∫ 1

2

− 12

v(D2 − a2 − σ∗)v∗dx

= −∫ 1

2

− 12

[| Dv |2 +(a2 + σ∗) | v |2]dx(7.283)


联立方程(7.282)和(7.283), 我们得到 Ta2∫ 1

2

− 12

| (D2 − a2)u |2 dx+ σ∫ 1

2

− 12

(| Du |2 +a2 | u |2)dx

=∫ 1

2

− 12

(| Dv |2 +a2 | v |2)dx+ σ∗ ∫ 12

− 12

| v |2 dx(7.284)

让方程(7.284)的虚部相等, 我们得到

im(σ)

Ta2

∫ 12

− 12

(| Du |2 +a2 | u |)dx+

∫ 12

− 12

| v |2 dx

= 0 (7.285)

从这个方程得出

im(σ) = 0, 当T > 0 (7.286)

我们得出结论稳定性交换的原理是有效的.

考虑的这个事实: 当µ > 0, 公式(7.231) 给出的值与更精确计算的结果之间的差别小于1%,

可见以上的论证有效地排除了当µ > 0 时超稳定性的出现.

当µ变成负的,方程(7.276)和(7.277)被方程(7.279)和(7.280)代替,将导致很快增加的误差,而

且超稳定性出现的可能性不能用同样的方法排除.另一方面,从 §7.8.5中的讨论,可见当(1−µ) →∞ 时, 基本的物理现象, 与当µ = 0时发生的是没有很大差别的; 唯一的差别, 是它全部发生在非

常接近内圆柱的流体层内; 因此, 在这种情况下, 超稳定性似乎也是不可能发生的.

因为以上论证不是令人确信的, 从原则上讲, 通过实际计算解决这个问题是不难的. 因此,

用方程(7.196),(7.197)和(7.200)表示的特征值问题可以用 §7.8.1 中描述的方法求解. 我们发现方

程(7.213) 可以用以下方程替代

∥ αnmπ2(2n2π2+a2+b2)(2m2π2+a2+b2)(n2π2+a2)(n2π2+b2)(m2π2+a2)(m2π2+b2) [(−1)m+n − 1]+

+ nmπ2(a2−b2)∆(n2π2+a2)(n2π2+b2)[(b sinh a− a sinh b)[(−1)n+1 + (1 + α)(−1)m+1]+

(b cosh b sinh a− a sinh b cosh a)[1 + (1 + α)(−1)m+n]+

+ 2α(2m2π2+a2+b2)(m2π2+a2)(m2π2+b2)ab(cosh a− coshb)[(−1)n+1 − (−1)m+1]+

+ 12 (a2 − b2) sinh a sinh b[(−1)m+n − 1]]+

+ 12δnm + αXnm − 1

2 (n2π2 + a2)(n2π2 + b2)2 δmnTa2∥ = 0

(7.287)

其中

b2 = a2 + iσ (7.288)

7

∆ = 2ab(1 − cosh a cosh b) + (a2 + b2) sinh a sinh b (7.289)

和

Xnm =

0 当m+ n是偶数,且m = n

14 当m = n

4nmn2−m2

[2m2π2+a2+b2

(m2π2+a2)(n2π2+b2) −1

π2(n2−m2)

]当m+ n是奇数

(7.290)

而问题是: 对于一个实的σ(对于某些给定的a), 特征方程(7.287) 的特征根, 是否是实的. 如果回

答是肯定的, 则超稳定性是可能的.

方程(7.287)的根还没有进行详细的确定. 特别值得探索的是µ = −1的情况.

7 我们已经把方程(7.196)和(7.197)中的σ用iσ代替, 是为了强调我们现在主要感兴趣的, 是严格地震荡的边缘状态.

§7.10 当边缘状态是稳态时关于宽间隙情况的解 251

§7.10 当边缘状态是稳态时关于宽间隙情况的解

现在我们回到对方程(7.167)-(7.170) 的考虑上, 不对圆柱之间的间隙R2 − R1作比较宽的假

设. 但是, 我们将继续限制在不稳定性发生是作为一种稳态的二次流动的情况. 于是, 相应的方

程是

(DD∗ − a2)2u = −Ta2(

1

r2− κ

)v (7.291)

和

(DD∗ − a2)v = u (7.292)

在方程(7.291) 和(7.292) 中消去u, 我们得到

(DD∗ − a2)3v = −Ta2(

1

r2− κ

)v (7.293)

而相应的边界条件是

v = (DD∗ − a2)v = D(DD∗ − a2)v = 0, 当r = 1, η (7.294)

按照在 §7.8.1中描述的方法求解方程(7.293),证明是不切合实际的. 以满足四个边界条件的

正交函数展开为基础的一种替代方法, 似乎非常适合于这个问题的求解. 这种方法如下.

让

G = (DD∗ − a2)v (7.295)

我们看到边界条件(7.294)要求G和它的导数在r = 1, η消失. 因此, 我们可以用正交函数的集

合ℓ1(αjr), 把G 展开, 这个正交函数集合, 是由如下方程定义的特征值问题所确定的

(DD∗)2y =

(d2

dr2+

1

r

d

dr− 1

r2

)2

y = α4y (7.296)

和边界条件

y = 0, dy/dr = 0, 当r = 1, η (7.297)

要求的特征函数, 可以用Bessel函数J1, Y1, I1和K1的线性组合, 表示成形式

ℓ1(αjr) = AjJ1(αjr) +BjY1(αjr) + CjI1(αjr) +DjK1(αjr) (7.298)

其中αj是一种超越函数的根(在附录五的方程(E.31)中给出),而Aj , Bj , Cj和Dj是排除了一个任意

的正比例常数之后确定的常数.

于是, 基本思想, 用ℓ1(αjr)把G展开. 因此, 我们假设

G = (DD∗ − a2)v =∞∑j=1

Pjℓ1(αjr) (7.299)

其中展开式的系数在这里是待定的. 在把G表示成这种形式之后, 以下我们把方程(7.299) 作

为v的偏微分方程求解, 使得它满足其它剩余的边界条件, 也就是, v = 0, 当r = 1, η. 根据这

样确定的v, 方程(7.291), 如同我们现在将看到的, 将导致出一个关于T的特征方程.

§7.10.1 特征方程

现在我们将得到关于T的特征方程的显式表达式.


首先, 我们必须解v的方程(7.299). 为此, 把ℓ1(αjr)写成如下形式是方便的,

ℓ1(αjr) = uj(r) + vj(r) (7.300)

其中 uj(r) = AjJ1(αjr) +BjY1(αjr)

vj(r) = CjI1(αjr) +DjK1(αjr)(7.301)

显然

DD∗uj = −α2juj , DD∗vj = +α2

jvj (7.302)

应用关系(7.302), 我们容易验证方程(7.299) 的通解是

v =∞∑j=1

Pj

pjI1(ar) + qjK1(ar) − uj(r)

α2j + a2

+vj

α2j − a2

(7.303)

其中pj和qj是要应用v的边界条件, 也就是, 当r = 1, η时v消失, 进行确定的积分常数. 这些条件

导致方程 pjI1(a) + qjK1(a) =2α2j

α4j−a4uj(1)

pjI1(aη) + qjK1(aη) =2α2j

α4−a4uj(η)(7.304)

在从方程(7.303) 导出这些方程的过程中, 我们已经用到了如下事实

uj(1) = −vj(1), uj(η) = −vj(η) (7.305)

解方程(7.304), 我们发现pj =

2α2j

∆(α4j−a4)

[+uj(1)K1(aη) − uj(η)K1(a)]

qj =2α2j

∆(α4j−a4)

[−uj(1)I1(aη) + uj(η)I1(a)](7.306)

其中

∆ = I1(a)K1(aη) − I1(qη)K1(a) (7.307)

现在, 把用方程(7.303)表示的v代入方程(7.293), 我们得到∑∞

j=1 Pj(α2j + a2)2uj + (α2

j − a2)2vj

= Ta2(κ− 1

r2

)∑∞j=1 Pj

pjI1(ar) + qjK1(ar) +

a2(uj+vj)−α2j (uj−vj)

α4j−a4

(7.308)

最后, 把这个方程乘以r(uk + vk), 且在r的范围内积分, 我们得到Pk(α4

k + a4)Nk + 2a2∑∞

j=1 Pjα2j∆

(1)jk

= Ta2∑∞

j=1 Pjpj [κI(1)k (a) − I(−1)k (a)] + qj [κK

(1)(a)k −K

(−1)k (a)]+

+ a2

α2j−a4 [κNkδkj −Mjk] − α4

j

α4j−a4 [κ∆

(1)jk − ∆

(−1)jk ]

(7.309)

其中我们已经用到了正交关系 ∫ 1

η

(uj + vj)(uk + vk)ddr = Njδjk (7.310)

以及引入的缩写符号 ∆

(±1)jk =

∫ 1

η(uj − vj)(uk + vk)r±1dr

I(±1)k (a) =

∫ 1

ηI1(ar)(uk + vk)r±1dr

K(±1)k (a) =

∫ 1

ηK1(ar)(uk + vk)r±1dr

(7.311)


图 7.11 作为κ(= (1− 4µ)/(1− µ))的函数的不稳定性发生的临界Taylor数的变化. 也给出了µ(=

Ω2/Ω1)的尺度.

M(±1)k (a) =

∫ 1

η

(uj + vj)(uk + vk)dr

r(7.312)

方程(7.309)给出特征方程∥Nj

(α4j+a4

a2 − κT a2

α4j−a4

)δjk + 2α2

j∆(1)jk −

−Tpj [κI(1)k (a) − I(−1)k (a)] + qj [κK

(1)k (a) −K

(−1)k (a)]−

− α4j

α4j−a4 [κ∆

(1)jk − ∆

(−1)jk ] − a2

α4−a4Mjk∥ = 0

(7.313)

在方程(7.311) 和(7.312)中定义的各种矩阵元素中, 那些具有上标(+1)的元素, 是可以显式得到

的. 剩下的矩阵元素, 必须通过数值方法计算.

§7.10.2 当η = 12时的数值结果

首先, 我们可以指出, 当η = 12时, T和κ的定义是

T =64

9

(Ω1R

21

ν

)2

(1 − µ)(1 − 4µ) (7.314)

和

κ = (1 − 4µ)/(1 − µ) (7.315)

在这种情况下, 稳定性的Rayleigh准则是

µ >1

4(对于稳定性) (7.316)

在表XXXIV中,列出了对于各种给定的a和κ,用特征方程(7.313)在不同的近似下得到的T (近

似的阶数, 是在确定T 时行列式的阶数取零的行列式的阶数). 对于每个κ, 在T达到它的极小值

的范围内, a值是(用试凑法)选择的. 从这个表中, 可见当κ < 1.6时, 要求的T值已经确定在它的

真值的1%误差范围内.对于κ = 1.8, 1.9和2.0,用二阶和三阶近似得到的值之间的差别,是明显的.

但是, 即使在这些情况下, 三阶近似结果是不可能超过3%误差范围: 这种误差估计是合理的, 当

我们看到如果κ = 1.6, 由于一阶近似与二阶近似结果差别达到20%, 二阶近似和三阶近似的结果

差别不超过2%.


图 7.12 作为κ和µ的函数的首次不稳定性发生的扰动波数a(用1/R2作为单位)的变化. 确定a时

的不确定度是用线的高度表示的.

在表XXXV中给出了不同κ对应的临界Rayleigh数(从表XXXIV中的数据得出). 保持这些极

小Taylor的a值也在表中给出. 推导出来的(Tc, κ)和[a(Tc), κ]关系进一步在图 7.11 和图 7.12 中给

出. 从图 7.11 可见, 在κ = 2 附近, 在(log10 Tc, κ)图中显示的关系非常接近线性.

表XXXIV

对于各种给定的κ和a(η = 12)的Taylor数

µ a 一阶近似二阶近似三阶近似

0 6.0 1.5520×104 1.5470×104 1.5370×104

6.2 1.5486×104 1.5434×104 1.5328×104

6.4 1.5498×104 1.5444×104 1.5332×104

0.4 6.0 1.9832×104 1.9728×104 1.9594×104

6.2 1.9788×104 1.9680×104 1.9539×104

6.4 1.9804×104 1.9692×104 1.9542×104

0.6 6.2 2.2981×104 2.2811×104 2.2642×104

6.4 2.3000×104 2.2823×104 2.2644×104

1.0 6.3 3.3929×104 3.3386×104 3.3110×104

6.4 3.3958×104 3.3393×104 3.3100×104

6.6 3.4081×104 3.3492×104 3.3182×104

1.333 6.2 5.6268×104 5.3890×104 5.3352×104

6.4 5.6318×104 5.3860×104 5.3280×104

6.6 5.6525×104 5,3970×104 5.3354×104

1.6 6.4 1.1901×105 1.0070×105 9.9072×104

6.6 1.1950×105 1.0050×105 9.8831×104

6.8 1.2023×105 1.0060×105 9.8832×104

1.8 7.6 7.6970×105 2.0840×105 1.9967×105

7.8 7.8430×105 2.0862×105 1.9954×105

8.0 8.0010×105 2.0917×105 1.9972×105

1.9 8.4 2.0240×105 2.9390×105

8.6 2.0420×105 2.9363×105

8.8 2.0650×105 2.9365×105

2.0 9.4 5.0220×105 4.2900×105

9.6 5.0460×105 4.2865×105

9.8 5.0920×105 4.3050×105


ω2

ω1

0

图 7.13 在(ω2, ω1)平面内的稳定和不稳定性区域; ω1和ω2是分别用ν/R21和ν/R

22表示的内外圆柱

的旋转角速度.

表XXXIV

对于各种给定的κ(η = 12)的临界Taylor数和相关常数

κ µ ac Tc ω1 ω2

0 +0.25 6.2 1.533×104

†0.1 +0.230769 6.2 1.621×104 196.3 +45.30†0.2 +0.210526 6.2 1.719×104 139.3 +29.32†0.3 +0.189189 6.2 1.829×104 114.2 +21.60

0.4 +0.166667 6.2 1.954×104 99.46 +16.58

0.6 +0.117647 6.2 2.264×104 82.56 +9.731†0.8 +0.0625 2.693×104 73.39 +4.587

1.0 0 6.4 3.310×104 68.23 0

1.333 -0.125 6.4 5.328×104 66.63 -8.329

1.6 -0.25 6.6 9.883×104 74.56 -18.64†1.7 -0.304348 1.377×105 81.83 -24.90

1.8 -0.363636 7.8 1.995×105 91.56 -33.30†1.85 -0.395349 2.419×105 97.19 -38.42

1.9 -0.428571 8.6 2.936×105 103.2 -44.22†1.95 -0.463415 3.556×105 109.4 -50.71

2.0 -0.500 9.6 4.286×105 115.7 -57.87

† 这些值是在其它计算的(κ, log10 T )值之间通过Lagrange插值得到的.

表XXXV还包括了值 ω1 =Ω1R

21

ν = 0.375

√(T

(1−µ)(1−4µ)

)= 0.375

1−µ

√(Tκ

)ω2 =

Ω2R21

ν = µω1

(7.317)

因此ω1和ω2, 是以ν/R21为单位的角速度Ω1和Ω2. 在(ω2, ω1)平面内, 由方程(7.317)确定的界限把

稳定性的区域, 从不稳定性区域分开(见图 7.13). 在这个平面内, Rayleigh准则是用直线

ω2 =1

4ω1, (Rayleigh准则.) (7.318)

表示的. 因为(见表XXXV中的第一行)

Tc → 1.533 × 104, 当µ→ 1

4, κ→ 0 (7.319)


z

ur

图 7.14 当κ = 1, µ = 0, a = 6.4时不稳定性发生的速度分布和细胞图案.流函数ψ(∝ rur cos az)已

经归一化, 细胞图是根据关于z = 0对称地画出的.(长度的单位是外圆柱的半径.)

z

ur

图 7.15 当κ = 1.8, µ = −4/11, a = 7.8时不稳定性发生的速度分布和细胞图案. 流函数ψ(∝rur cos az)已经归一化, 细胞图是根据关于z = 0对称地画出的.(长度的单位是外圆柱的半径.)

§7.11 旋转圆柱之间粘性流动不稳定性实验 257

显然, 在(7.318)式表示的直线附近, 当ω2 → ∞时, 真正的(ω2, ω1)界限的渐进行为是由下式给出

的(见方程(7.317))

ω1 → 0.375

√(1.533 × 104

34 (1 − 4µ)

)=

53.61√(1 − 4µ)

, (µ→ 1

4) (7.320)

最后, 在图 7.14和图 7.15中, 显示了对于两种典型情况(µ = 0和µ = −4/11)下, 径向的速度

分布和与稳定性的边缘状态对应的细胞图案.

§7.11 旋转圆柱之间粘性流动不稳定性实验

在旋转同心圆柱之间的粘性流动中不稳定性发生的最早实验是Taylor做的. 从此以后,与Taylor实

验类似的, 以及与同样现象相关的其它实验, 已经由Lewis, Terada和Hattori, Wendt, Taylor他自

己, Schultz-Grunow和Hein, Donnelly, 和Donnelly和Fultz等人完成. 我们将限于考虑Donnelly, 以

及Donnelly和Fultz完成的那些实验, 因为它们是其中的典型实验, 而且最具广泛性和精确性,此

外,它们直接以这一章中的某些理论方面为基础.

首先, 我们可以看到人们可以通过的与现在有关的实验, 是两类: 一类涉及当内圆柱以不同

的速度旋转时, 施加在外圆柱(保持静止)上的力矩, 一类是流体中的运动通过某些示综颗粒是可

以观测的. 在第一类实验中, 不稳定性发生是通过与测量热不稳定性发生的Schmidt-Milverton原

理(见 §2.14.2)不相似的原理进行探测的. 在目前的例子中, 作用在外圆柱(它是适当地悬着的)上

的力矩是作为内圆柱角速度的一个函数被测量的. 众所周知, 只要圆柱之间的流动是层流, 且遵

守牛顿第一定律, 这种关系是线性的, 可以给出

力矩 = 4πρνR2

1R22H

R22 −R2

1

Ω1 (7.321)

其中H是所悬着的圆柱的高度. 在不稳定性发生时, 有效粘度突然开始增加, 这由(7.321)这种关

系的一个突然的打破来反映.

在第二类实验中, 不稳定性发生, 是通过随着两个圆柱相对角速度的增加, 出现的流体行为

特征的突然变化来探测的. 因为这些实验, 不象确定不稳定性发生时临界角速度的力矩实验那

样精确, 它们不是限制在任何特殊的µ值, 比如µ = 0. 确实, 负的µ值的重要范围仅仅通过第二类

方法就容易观测的.

§7.11.1 用力矩实验确定当µ = 0时的临界Taylor数

关于µ = 0时不稳定性发生的临界Taylor数确定的最精确实验是Donnelly实验.

在实验中, Donnelly用了一个旋转圆柱粘度计(见图 7.16), 其中只有外圆柱的中间部分是悬

着的, 固定的端部用来指示圆柱消去端部效应. 粘度计是这样设计的, 如果悬着的圆柱在任何方

向的与保护圆柱的精确的同心度偏离达到0.005in(英寸), 这种悬挂将不能自由旋转. 因此, 从外

部震动和接着的运动就能对系统进行测量.

关于外圆柱的悬挂系统由以下部分组成. 联带着外圆柱的索附带着一根长的石英棒(直径0.018in,

长度11cm), 在它的端部是一根抗扭纤维(直径0.005in, 长度10cm). 纤维依次连接着轴, 轴的角位

置可以从提供微调的刻度盘读出,加接在抗扭纤维上的小镜子直接处于一个静态的镜子前边. 通

过一种旋转刻度盘使得在两个镜子中反射的横丝镜像保持一致(通过自准直仪观测)的零位方法,

测量作用在悬挂圆柱上的力矩. 产生这种一致性需要的角度偏转值, 可以用来衡量作用力矩.

内圆柱由与马达相联的轴和齿轮减速系统驱动.旋转的周期,是用适当规模的电路进行光电

测定的. 在实验中, 旋转速度是误差在0.1%以内的常数.


粘度计提供两个可以交换的内圆柱: 其中一个内圆柱留下的间隙宽度(d/R2 ∼ 0.05)足够小

使得 §7.8 中的理论可以应用; 另一个内圆柱留下的间隙宽度等于内圆柱的半径, 使得实验结果

可以与 §7.10.2 中的计算结果进行比较. 粘度计的这些相关尺寸在表XXXVI中给出.

在实验中, 为了使液体的温度保持不变, 把粘度计放在保持常温的大杯子里.

实验中用的液体和它们的相关常数列在表XXXVII中.

表XXXVI

Donnelly粘度计的尺寸和参数

窄间隙宽间隙

R1 = 1.89936± 0.0001cm R1 = 0.99963± 0.0001cm

R2 = 2.00023± 0.0001cm R2 = 2.00023± 0.0001cm

H = 4.9987± 0.0003cm H = 4.9987± 0.0003cm

C = 3.63× 10−5 C = 9.67× 10−4

表XXXVII

流体和它们的物理性质

流体温度 ρ(g/cm3) ν(cm2/sec)

CCl4 25.00 1.585 (5.796± 0.03)× 10−3

CCl4 20.95 1.592 (6.091± 0.03)× 10−3

CS4 25.00 1.255 (2.936± 0.02)× 10−3

油I † 25.00 0.8404 1.226× 10−1

油D † 25.00 0.7813 2.347× 10−2

† 这些油由联邦标准局(Washington, D.C)提供用于粘度计校正.† 联邦标准局没有指出它们实验的误差范围.

如果K是纤维的抗扭常数, 而Φ是以弧度计的偏角, 则根据方程(7.321),

KΦ = 4πρνR2

1R22H

R22 −R2

1

Ω1 (7.322)

在Donnelly装置中, 抗扭纤维附带的刻度盘被分成1000等份, 使得当用刻度盘的精度测量偏角时,

ρν =

(K

R22 −R2

1

4πR21R

22H

× 10−3

)ϕP = CϕP (7.323)

其中P (= 2π/Ω1)是内圆柱的旋转周期. 当流动是层流时, 方程(7.323)成立; 当它不成立时, 我们

仍然把右端给出的量当作有效粘度.

常数C是用粘度已知的液体提供校正确定的,而不是真的去确定抗扭常数K. 在表XXXVI中

给出的C值就是用这种方式得到的.

在进行实验过程中, 内圆柱的旋转速度, 是从它的最低值缓慢地增加的, 同时, 保持在所有

时刻外圆柱接近它的零点位置.

(i) 窄间隙实验结果

适合于这种情况的Taylor数的定义是(见方程(7.198))

T = −4AΩ1

ν2d4 (7.324)

其中A由方程(7.145)给出. 当µ = 0, T的显式是

T =4R2

1d4

R22 −R2

1

(Ω1

ν

)2

(7.325)


根据在表XXXIII中给出的结果, 当µ = 0时的临界Taylor数是3.390 × 103. 相应的临界Ω1是

Ω1(临界) =

(3.390 × 103

R22 −R2

1

4R21d

4

) 12

ν (7.326)

对于表XXXVI给出的值R1和R2,

Ω1(临界) = 9.448 × 102ν (7.327)

对于25oC的四氯化碳, 根据不稳定性发生在旋转周期

P (临界) = 1.147 ± 0.006s(计算) (7.328)

Donnelly的实验结果在图 7.17a, b中给出.在这些图中, ϕP是以P的函数画出的.我们看到,当

内圆柱的旋转周期减小时, 由(7.323)给出的粘度, 在某个周期开始突然增加. 这种间断的出现非

常剧烈; 剧烈程度如何, 可以从图 7.17b看出, 其中给出了在临界周期邻域内的测量结果.

临界周期确定为第一个观测的不稳定的点和最后一个稳定点的中点, 它是

P (临界) = 1.1337 ± 0.00095s(实测) (7.329)

与计算值(见方程(7.328))吻合得很好.

(ii) 宽间隙实验结果

适合于这种情况的T定义为(见方程(7.314))

T =64

9

(Ω1R

21

ν

)2

(7.330)

根据表XXXV中给出的结果, 这种情况(κ = 1, µ = 0)下的临界Taylor数是3.310 × 104. 相应

的临界值Ω1是

Ω1(临界) =

(9 × 3.310 × 104

64R41

) 12

ν (7.331)

对于表XXXVI给出的R1值,

Ω1(临界) = 68.28ν (7.332)

宽间隙粘度计的实验是用联邦标准局提供的用来粘度计校正的一种油做的(表XXXVIII中的

油I). 对于这种油, 估计的不稳定性发生在旋转周期为

P (临界) = 0.7506 ± 0.0004(计算) (7.333)

在这种情况下Donnelly实验的结果在图 7.18a, b中给出.我们还是看到,由方程(7.323)给出的

粘度在内圆柱旋转周期处于某个临界值时开始突然增加. 图 7.18b中给出了临界周期的邻域内的

测量结果, 表明了粘度开始增加的剧烈程度. 在图 7.18b中给出的曲线(1)和曲线(2)表明, 尽管从

一组实验到另一组实验在临界周期ϕP的大小是变化的,但是,临界周期本身是可重复的. 实验确

定的临界周期值是

P (临界) = 0.7543 ± 0.0003(实测) (7.334)

可见, 在宽间隙的情况下, 实测结果还是与计算值(见方程(7.333))吻合得很好的.


Bearing

Bearing

Suspensionstraps

Suspendedcylinder

Quartzsuspension

Drive shaft

Inner cylinder

Collet chuck

Telltate

Guard cylinder

Guard cylinder

图 7.16 在Donnelly实验中用到的粘性计简图.

(a)

(b)

图 7.17 (a)在窄间隙情况下作为内圆柱旋转周期P的函数ϕP的图: R1 = 1.9cm, R2 = 2.0cm. 液

体是25oC的碳的四氯化物. C是关于不稳定性的计算值. (b)在图 7.17a中给出的临界速度的详细

测量. 不稳定性的发生是由ϕP的模已经有效粘性曲线斜率的间断表征的.


(a)

(b)

0.7505 0.75430.7505

图 7.18 (a) 在宽间隙情况下作为内圆柱旋转周期P的函数ϕP的图: R1 = 1.0cm, R2 = 2.0cm. 液

体是25oC的I号油C是关于不稳定性的计算值. (b) 在图 7.18a中给出的临界速度的详细测量. 不

稳定性的发生是用曲线的间断,但是没有象窄间隙情况那样断定的曲线间断(图 7.17b)表征的. 曲

线1和2是在不同的日子里作出的. C是关于不稳定性的计算值.

Needle bearing

Clamp forink manifold

Top plate, access slots provide

"O" ring packing

Threoded lock collar

Leaving screws(3)

Tie rods(3)

Pulley drive, outer cylinder

Pulley drive, inner cylinder

ink holes(3)

ink holes(3)

Outer cylinder

ink manifold to supply"O" ring packing

Ball bearing

Ball bearing

Ball bearing

Packing

Packing

Stainless steel tube

Capillary tube to central ink holes(3)Capillary tube to upper ink holes(3)Connections to overhead supports(3)

Drive pin

Inner cylinder

图 7.19 Donnelly和Fultz用的实验装置简图. 两个圆柱半径的比值是1.5.


a

κ1.0 2.00.5 1.50

9

6

8

7

10

图 7.20 当不稳定性发生时计算的波数(实线和带垂线的点)与观测的波数(点)的比较.

§7.11.2 临界Taylor数对Ω2/Ω1的相关性. 可视和照相观测结果

尽管上边在 §7.11.1中描述的实验,证明了与特殊的情况µ = 0时不稳定性发生的临界Taylor数

有关的理论估计, 但是它们没有给出关于理论的其它方面的证明, 比如, 临界Taylor数和涉及的

扰动波数与µ(= Ω2/Ω1)的相关性. 为此, 重要的是在一种两个圆柱可以相互独立地旋转的装置

上进行实验. 属于此类的最早实验是Taylor实验. Taylor实验是在一种柱间间隙足够小的装置上

进行的, 这时 §7.8.2 将是可以应用的. 这种实验已经被 Donnelly 和 Fultz 重复, 使用一种柱间间

隙等于内圆柱的半径装置, 使得 §7.10.2 中的结果, 类似地也可以应用.

在给出Taylor的结果和Donnelly和Fultz的实验结果之前,我们将首先简要描述一下 Donnelly

和 Fultz 用过的实验装置(见图 7.19). 外圆柱是精确镗出的耐热玻璃管, 长度为94cm, 内直

径6.2826 ± 0.0006cm. 内圆柱是一个黄铜管, 经车床加工以后的半径是R1 = 3.1432 ± 0.0001cm.

耐热圆柱放置在一块开了槽的板上, 这块板装在一个安装在旋转架上的黄铜垫上. 黄铜内

柱与一个驱动栓销和轴的卡圈连接,轴可以与黄铜垫无关地转动.内轴用皮带轮和两个速度传动

可变的马达带着转动. 两个圆柱用适当精度的球轴承校成同心.

流体的运动,是用从内圆柱中间的三个小孔注入的墨水示综的. 墨水是一种水溶对氮苯黑染

料和实验用液体的溶液, 具有墨水滴在实验条件下的液体中不会下沉, 也不会上升这样的浓度.

在实验中用到的液体是蒸溜水和丙三醇在不同浓度下的水混合物.因此,在范围0.01−0.2cm2/sec内

的运动粘度对实验是有效的.

在实验中, 外圆柱的角速度当作一个独立的变量. 外圆柱首先达到某一角速度, 然后就保持

这个速度. 当条件保持稳态之后, 内圆柱开始旋转, 而它的速度逐渐增加直到它超过估计的临界

值几个百分点(如同用基本的观测确定). 然后注入少量墨水, 并允许它在内圆柱的一个小的区域

内扩散.内圆柱的转速然后缓慢地仔细地增加,直到观测到一种有限的表明不稳定性发生的三维

运动得以维持.

(i) 关于显示边缘状态稳定性的扰动波数的观测

在某些情况下, 这些实验观测到的最有趣现象是间隙分布规则的截面为矩形的环形涡的突

然出现. 如同Taylor首先拍摄到的, 这种现象的一个例子在图 7.7中给出.


图 7.21 当外圆柱静止时的不稳定性发生, µ = 0, Pc = 4.491sec: (a)层流, P = 4.500sec; (b)径向

运动开始于P = 4.483sec; (c)当外圆柱静止时细胞的出现;在边缘状态的细胞, P = pc = 4.466sec;

(d)圆柱在相同方向旋转时细胞的出现: P = Pc = 3.844sec, µ = 0.1164.

图 7.22 当η = 12时;两个圆柱反向旋转的细胞照片: (a)µ = −0.4116; (b)µ = −0.5和(c)µ = −1.74.

图 7.23 当η = 12时;两个圆柱反向旋转的细胞照片: (a)µ = −2.44; (b)µ = −3.02; (c)µ =

−5.86和(d)µ = −6.83.


Stable

Unstable

Ray

leig

hcr

iterio

n

14

9

13

11

7

6

10

12

8

-2 0 +2+1-1-3-5 -4 +3-6

Ω1 /ν

Ω2 /ν

图 7.24 当η = 12时关于不稳定性发生的观测与计算的关系(Ω2,Ω1)关系的比较. 点表示不稳定

性发生时Donnelly 和Fultz在实验中的观测结果, 实线表示理论关系.

在边缘稳定性状态出现的涡的高度, 与理论中引入的波数a的关系是

涡的高度 = R2π/a (7.335)

从测量的高度, 可以推出波数a. 在图 7.20 中对实验测量的和理论估计的a值进行了对比.

在各种条件下Donnelly和Fultz得到的涡照片在图 7.21- 7.23中给出.

在图 7.21中通过一组照片a, b和c显示了µ = 0时的不稳定性发生: (a) 显示了当角速度稍微

低于临界值时层流中的流体; (b) 显示了当墨水聚集在一起开始径向运动形成第一个细胞时开始

的三维运动; (c) 显示了当没有另外的角速度变化时, 从(b)中显示的初始状态到充分发展的涡.

当两个圆柱旋转方向相同时, 细胞的出现与情况µ = 0时相同. 图 7.21d显示了一个例子.

当两个圆柱反向旋转时, 人们观测到的现象是更加复杂的. 理论上, 我们估计在每个部分由

两个细胞, 在外细胞内的运动相对较弱(见图 7.10a, b). 因为墨水是从内圆柱中的小孔注入的, 在

这种情况下, 我们不能期望去证实在外细胞内的运动. 还有, 基于我们在 §7.3 和 §7.8.5 中已经解

释的原因, 当µ → ∞时, 在当边缘状态出现时的细胞非常接近于内圆柱, 而且逐渐变薄. 所有这

些估计, 被图 7.22和图 7.23中的一系列照片令人惊奇地证明了.

(ii) 关于实测的和理论估计的(Tc, µ)关系的对比

用关于不稳定性发生的临界角速度的装置, Donnelly和Fultz的实验结果,与图 7.11和图 7.13类

似的形式, 在图 7.24和图 7.25中给出. 实验结果与 §7.10.2 中的计算的吻合是非常令人满意的.

正如我们已经指出的, Taylor实验的一种原始安排是用间隙是外圆柱半径的一个小的百分

数(∼ 5%)的一种装置得到的. 因此, 这些实验可以与 §7.8.2 中的理论结果进行对比. 这种对比包

括在图 7.26中(用η = 0.9418标记的曲线). 在整个范围内, 理论值与实验结果吻合良好.

图 7.26中包括了对于其它η值的Taylor实验结果;和当−µ超出 §7.10.2中的计算范围时 Don-

nelly 和 Fultz 的实验结果. 从图 7.26 给出的数据可以看出, Donnelly 和 Fultz 已经意识了渐进

关系

(Ω1R21/µ)5 → constant(| Ω2 | R2

2/ν)3 当Ω2/Ω1 → −∞ (7.336)

存在.


log 1

0Tc

κ2.01.0

4.0

6.0

7.0

5.0

0 3.0

图 7.25 当η = 12时作为κ(= (1−4µ)

(1−µ) )函数的临界Taylor数的变化. 实线是计算的理论关系, 而虚

线是它的线性外推关系. 点表示观测发现不稳定性发生时的点. 在箭头左边的值是受到了µ的小

误差的影响.

η=0.8798

102

η=0.9418

η=0.7435 η=0.500

10

102

103

104

10 105104103

ω1

ω2

图 7.26 当不稳定性发生时观测的和理论估计的ω2, ω1关系之间的对比; 最上边的实线和最左

边的实线分别表示在 §7.8.2和 §7.10.2中推导的理论关系. 在实线后边的虚线表示理论关系的一

种外推. 其它的实线是由渐进关系(7.342)推出的. 当η = 0.9418, 0.8798,和0.7435时的实验数据

是Taylor给出的; 当η = 0.5时的数据是Donnelly和Fultz给出的.


Donnelly 和Fultz已经指出, 渐进关系有一种简单的物理解释. 如同在 §7.8.5 中那样论证,

他们首先观测到在µ < 0的情况下不稳定性的发生, 主要涉及到在非常靠近内圆柱的流体层

中Rayleigh准则的失效,而且不会向节面(在r = R0)之外延伸很多. 因为当µ→ −∞节面接近于内圆柱,变得不稳定的流体,主要限制在R1到R0之间的间隙内.因此,我们可以写出(见方程(7.325))

4Ω21

ν2R2

1d40

R20 −R2

1

= T0 (7.337)

作为不稳定性发生的条件, 其中d0 = R0 − R1, T0是一个量级为1000的数. 因为现在的证明假设

了d0 ≪ R1, 方程(7.337)的一种等价形式是(Ω1R

21

ν

)2

=1

2T0

(R1

d0

)3

(7.338)

但是, 根据方程(7.29)

d0 = R2η

(1+ | µ |η2+ | µ |

) 12

−R1 = R1

(√1+ | µ |η2+ | µ |

− 1

)(7.339)

和d0R1

→ 1 − η2

2 | µ |=

1

2|Ω1

Ω2|(1 − η2), 当µ→ −∞ (7.340)

在方程(7.338)中, 代入d0/R1的这个值, 我们得到(Ω1R

21

ν

)2

=4T0

(1 − η2)3|Ω2

Ω1|3, (µ→ −∞) (7.341)

或者, 根据方程(7.336), 替换为(Ω1R

21

ν

)5

=4η6T0

(1 − η2)3

(| Ω2 | R2

2

ν

)3

, (µ→ −∞) (7.342)

对于各种η值, Donnelly和Fultz经验地确定的T0的值, 是

T0 =

450

530

670

1, 180

当η =

0.9418

0.8798

0.7435

0.5

(7.343)

参考文献注释

关于Couette流动稳定性的基础性论文是Lord Rayleigh和Sir Geoffrey Taylor发表的:

1. Lord Rayleigh,‘On the dynamics of revolving fluids,’Scientific Papers, 6, 447-

53,Cambridge, England, 1920.

2. G. I. Taylor,‘Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylin-

ders’Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A 223, 289-343,(1923).

在文献1中, Rayleigh处理了无粘流动情况,提出了在他的工作之后成为周知普遍准则.在文献2中,

Taylor首先从理论和实验两个方面处理了在粘性流动中相应的问题.


下边的一般文献中带有特殊的Couette流动的流体动力学稳定性问题, 得到了广泛的研究, 可以

注意到:

3. J. L. Synge, ‘Hydrodynamic stability’，227-69, Semicentennial Addresses of the

American Mathematical Society, ii, New York, 1938.

我们也可以见以下文献的相关章节:

4. C. C. Lin,‘The theory of hydrodynamic stability’，Cambridge, England, 1955.

§7.3. 正如我们已经指出的,在文献1中Rayleigh提出了关于粘性旋转流动的准则.在他的讨论中,

Rayleigh主要通过在现在问题与一种密度变化的不可压缩流体的稳定性问题进行类比来论证. 关

于后边问题的讨论, 见:

5. Lord Rayleigh,‘Investigation of the character of the equilibrium of an incompress-

ible heavy fluid of variable density’,Scientific Papers, 2, 200-7, Cambridge, England,

1900.

§7.4. Rayleigh准则的解析推导见:

6. J. L. Synge,‘The stability of hetrogeneous liquids’,Trans. of the Royal Society of

Canada, 27, 1-18, (1933).

m = 0的普遍情况在下文中考虑:

7. S. Chandrasekhar,‘The stability of invicid flow between rotating cylinders ’,J.

Indian Math. Soc. (In press)

此节的讨论主要来自文献7.

关于Sturm理论的一篇有用的参考文献及其后来的进展是:

8. E. L. Ince,‘Ordinary Differential Equations’,Chapter x, Longmans, Green & Co.

Ltd., London, 1927.

§7.5. 一个旋转流体柱的震荡首先是由Lord Kelvin考虑到:

9. Lord Kelvin,‘Vibration of a columnar vortex’,152-65, Mathematical and Physical

Papers, iv, Hydrodynamics and General Dynamics Cambridge, England, 1910.

这个专题的带有气象学色彩的广泛处理见:10. V. Bjerknes, J. Bjerknes, H. Solberg, and T. Bergeron, Physikalische

Hydrodynamik, chapter 11, Springer, Berlin, 1933.

§7.5.1 Fultz首先表明旋转流体圆柱可以作用和保持震荡的固有模式:

11. D. Fultz,‘A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations of Kelvin,

Solberg, and Bjerknes’,J. Meteorology, 6, 199-208(1959).

对于不同的m值, 方程(7.96)的解是Donna Elbert给出的, 计算结果在图 7.2中给出.

在表XXXI中列出的根(除了η = 0时的情况)取自:

12. S. Chandrasekhar and Donna Elbert,‘The roots of

Yn(λη)Jn(λ) − Jn(λη)Yn(λ) = 0

’,Proc. Canb. Phil. Soc. 50, 266-8(1954).

§7.5.2. 此节描述的窄间隙解是基于Reid:


13. W. H. Reid,‘Invicid modes of instability in Couette flow’,J. Math. Analysis and

Applications. 1, 411-22(1960)

感谢Dr. Reid提供了此节中包含的图(65-67)的复印件

在这种情况下用于寻找解的Airy函数的一篇简便的文献是:

14. J. C. P. Miller,‘The Airy integral, giving tables of solutions of the differential

equation y′′ = xy′ ’,British Assoc. Math. Tables, Part-volume B, Cambridge,

England, 1946.

§7.6. 在此节(图68)显示的结果是取自Taylor的原始论文(文献2)

§7.7. 在§(a)中的证明是由于:

15. J. L. Synge,‘On the stability of viscous liquid between rotating coaxial cylinders

’,Proc. Roy. Soc. (London) A, 167, 250-6(1938).

§7.8.1. 此节分析的基础见:

16. S. Chandrasekhar, ‘The stability of viscous flow between rotating cylinders

’,Mathematika, 1, 5-13(1954).

用方程(200)-(202)表示的特征值问题的替代处理方法见:

17. D. Meksyn,‘Stability of viscous flow between rotating cylinders. I ’,Proc. Roy.

Soc. (London) A, 187, 115-28(1946).

18. ———,‘Stability of viscous flow between rotating cylinders. II. rotating in opposite

directions’,ibid. 480-91(1946).

19. ———,‘Stability of viscous flow between rotating cylinders. III Integration of a

Sixth order linear equation’,ibid. 492-504(1946).

20. R. C. Di Prima,‘Application of the Galerkin method to problems in hydrodynamic

stability’,Quart. Appl. Math. 13, 55-62(1955).

这些作者使用的方法(以及文献2中Taylor使用的方法)不能象下边文献这样对这个问题进行系统

的求解.

在方程(7.201)中包含右端的ζ2项时, 关于文献16中的分析的一种推广见:

21. H. Steinman,‘The stability of viscous flow between rotating cylinders ’, Quart.

Appl. Math. 14, 27-33(1956).

§7.8.2. 已经补充了文献16中给出的数值结果, 这些结果是由Donna Elbert提供的.

§7.8.3. 此节描述的替代方法还没有公开发表.

§7.8.4. 在此节中的问题和简单的Benard问题之间的不封闭关系是首先被Low注意到的:

22. A. R. Low,‘Instability of viscous flow motion’, Nature, 115, 299-300(1925).

23. H. Jeffreys,‘Some cases of instability in fluid motion’, Proc. Roy. Soc.(London)

A, 118, 195-208(1928).

但是,这一节描述的摄动方法是新的. 感谢Dr. Vandervoort得到方程(7.262) 的矩阵元素.

§7.8.5.此节中的主要论证可以从(有明显的程度变化)以下论文中找到:

Meksyn(文献18.), Lin(文献4.), Di Prima(文献20), 和Donnelly 和Fultz(文献28.)

§7.9. 此节中关于超稳定性的讨论以前没有公开报道.


§7.10. 此节中的分析是基于:

24. S. Chandrasekhar,‘The stability of viscous flow between rotating cylinders ’,

Proc. Roy. Soc. (London) A, 246, 301-11(1958).

求解的方法来自:

25. S. Chandrasekhar and W. H. Reid,‘On the orthogonal functions which satisfy

four boundary conditions’, Proc. Nat. Acad. Sci. 43, 521-7(1957).

用来寻找解的正交函数ℓ1(αjr)列在:

26. S. chandrasekhar and Donna D. Elbert,‘On the orthogonal functions which

satisfy four boundary conditions. III. Tables for use in Fourier- Bessel- type expan-

sions’, Astrophys. J. Supp. Ser. 3, 453-8(1958).

§7.11. 在这一节描述的实验工作的参考文献是:

27. R. J. Donnelly,‘Experiments on the stability of viscous flow between rotating

cylinders. I. Torque measurements ’, Proc. Roy. Soc. (London) A, 246, 312-

25(1958).

28. ———and Fultz,‘Experiments on the stability of viscous flow between rotating

cylinders. II. Visual observations’,ibid. 258, 101-23(1960).

类似的和相关的实验结果见:

29. J. W. Lewis,‘An experimental study of the motion of a viscous liquid cantained

between two coaxial cylinders’, Proc. Roy. Soc. (London) A, 117, 388-407(1928).

30. T. Terada and K. Hattori,‘Some experiments on motions of fluids, IV’, Rep.

Aero. Res. Inst. Tokyo. 2, 287-326(1926).

31. F. Wendt,‘Turbulente Stromungen zwischen zwei rotierenden konaxialen zylindern

’, Ingen. Arch. 4, 577-95(1933).

32. G. I. Taylor ,‘Fluid friction between rotating cylinders. I. Torque measurements

’, Proc. Roy. Soc. (London)A, 157, 546-64(1936).

33. ———, ‘Fluid friction between rotating cylinders. II Distribution of velocity

between concentric cylinders when outer one is rotating and the inner one is at rest.

’,ibid. 565-78(1936).

34. F. Scheltz- Grunow and H. Hein, ‘Beitrg zur Couettestromung, ’, Z. f.

Flugwiss. 4, 28-30(1956).

第八章同心圆柱之间更普遍的流动稳定性

§8.1 引言

在上一章,我们考虑了两个旋转的同心圆柱之间的简单的Couette流动稳定性. 在这一章,我

们将考虑, 除了旋转, 还有一个横的或者轴向的压力梯度存在时, 两个同心圆柱之间的更普遍的

流动.在前一种情况下,流线还是圆型的,且满足Couette流动的要求;但是,流动与第七章中考虑

的流动之间的差别在于, 在横向的Poiseuille流动叠加在旋转速度分布

Ω = A+B/r2 (8.1)

之上, 给出第七章方程( 7.144). 另一方面, 当沿着公共轴向有恒定的压力梯度∂p/∂z时, 在轴向

的Poiseuille流,叠加在相同的旋转速度分布之上. 于是,流线不再是圆的,流动不能再属于Couette流.

确实, 正如我们将看到的, 在旋转流动上叠加轴向流动, 把某些新的主要因素引入到问题中来了.

§8.2 在一个弯曲通道中粘性流动的稳定性

考虑当条件是稳态时第七章的方程(7.134)-(7.136), 一个恒定的压力梯度(∂p/∂θ)0作用在横

向, 圆柱是静止的, 只有横向运动存在. 在这些情况下, 运动方程允许稳态解(见第七章的方

程VII(7.141)和(7.142))

ur = uz = 0, uθ = V (r) (8.2)

给出1

ρ

∂p

∂r=V 2

r(8.3)

和

ν

(∇2V − V

r2

)= ν

d

dr

(1

r

d

drrV

)=

1

ρr

(∂p

∂θ

)0

(8.4)

方程(8.4) 的通解是

V =1

2ρν

(∂p

∂θ

)0

r log r + Cr +D

r(8.5)

其中C和D是两个积分常数. 如果,如同我们假定的,流动发生在两个静止的同心圆柱(半径为R1和R2(>

R1))之间, 当r = R1, R2时, 我们必须要求V消失. 这些条件确定了C和D; 而我们发现C = − 1

2ρν

(∂p∂θ

)0

R22 logR2−R2

1 logR1

R22−R2

1

D = 12ρν

(∂p∂θ

)0

R21R

22

R22−R2

1log R2

R1

(8.6)

当两个圆柱的半径之差d, 与它们的平均半径相比是小量, 则由方程(8.5)和(8.6)给出的速度

分布, 简化为介于平行平板之间的Poiseuille 流动的熟悉的形式. 因此, 让

ζ = (r −R1)/(R2 −R1) (8.7)

我们发现精确到(d/R1)2, 速度分布近似为

V (ζ) = 6Vmζ(1 − ζ) (8.8)

其中

Vm = − d2

12ρνR1

(∂p

∂θ

)0

(8.9)

271

272 第八章同心圆柱之间更普遍的流动稳定性

是通过流道的平均速度.

由以上方程的解表示的流动稳定性, 首先被Dean考虑到. 最近, 应用类似于前面几章中描述

的相关方法, Reid对它进行了重新考虑.

在我们进行方程(8.8)描述的流动稳定性的全面讨论之前, 我们可以指出, Rayleigh的判别

式(由第七章方程(7.18)定义) 当0 ≤ ζ ≤ 12 时是正的, 当1

2 < ζ ≤ 1时是负的. 因此, 在没有粘

性的情况下流动是不稳定的; 而不稳定性, 主要是与在ζ = 12以外Rayliegh准则的破坏有关的.

§8.2.1 扰动方程

如果我们认为这些方程中的V具有现在的含义, 则第七章方程(7.161) 和(7.162) 在现在的问

题中是可以应用的.

当两个圆柱之间的间隙d = R2 − R1, 与它们的平均半径 12 (R2 + R1)的比值是小量时, 相应

的V表达式是由方程(8.8) 给出的. 在相同的近似下, 扰动方程(见方程(7.193) 和(7.194))是

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u =12Vmd

2

R1νa2ζ(1 − ζ)v (8.10)

和

(D2 − a2 − σ)v =6Vmd

ν(1 − 2ζ)u (8.11)

其中a和σ具有在方程(7.192) 中相同的含义. 通过进一步的变化,

u→ 12Vmd2

R1νa2u (8.12)

方程取形式:

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u = ζ(1 − ζ)v (8.13)

和

(D2 − a2 − σ)v = Λa2(1 − 2ζ)u (8.14)

其中

Λ =72V 2

md3

R1ν2= 72Re2

d

R1(8.15)

而

Re = Vmd/ν (8.16)

是平均流动的Reynolds数.

与必须求解的方程(8.13) 和(8.14) 相应的边界条件是(见方程(7.200))

u = Du = v = 0, 当ζ = 0, 1 (8.17)

考虑的这个问题, 与在第七章, §7.8 中考虑的问题在物理上的类似性, 可能在这种情况下,

不稳定性发生将是稳态二次流动. 关于这个假设还没有理论证明; 不管实验承认它的证据, 这个

问题值得确认(见前边的评论).

当边缘状态是稳态时, 待解的方程是

(D2 − a2)2u = ζ(1 − ζ)v (8.18)

和

(D2 − a2)v = Λa2(1 − 2ζ)u (8.19)

伴随它的边界条件(8.17).

§8.2 在一个弯曲通道中粘性流动的稳定性 273

§8.2.2 当σ = 0时特征值问题的解

由方程(8.17)-(8.19)表达的特征值问题可以用在 §7.8.1 中描述的方法求解.

因为, 当ζ = 0, 1时, 要求v消失, 我们把它展开成正弦级数的形式

v =∞∑

m=1

Cm sinmπζ (8.20)

根据v的这种选择, 我们求解把方程(8.18)代入方程(8.20)之后得到的方程

(D2 − a2)2u = ζ(1 − ζ)∞∑

m=1

Cm sinmπζ (8.21)

让解满足关于u的四个剩余的边界条件.根据用这种方法确定的u,和方程(8.20)给出的v,方程(8.19)将

导致要求的关于Λ的特征值问题.

方程(8.21)的解是直接求出的, 可以写成形式(见方程(7.205))u =

∑∞m=1

Cm(m2π2+a2)2A(m)

1 cosh aζ +B(m)1 sinh aζ +A

(m)2 ζ cosh aζ+

+B(m)2 ζ sinh aζ +

[ζ(1 − ζ) + 4(5m2π2−a2)

(m2π2+a2)2

]sinmπζ+

+ 4mπ(m2π2+a2) (1 − 2ζ) cosmπζ

(8.22)

其中A(m)1 , A

(m)2 , B

(m)1 和B2(m)是积分常数, 有待根据边界条件:当ζ = 0, 1时u = Du = 0确定. 这

些条件导致方程

A(m)1 = − 4mπ

m2π2+a2

aB(m)1 +A

(m)2 = −mπ

[4(5m2π2−a2)(m2π2+a2)2 − 8

m2π2+a2

]= −mπ 12(m2π2−a2)

(m2π2+a2)2

A(m)1 cosh a+B

(m)1 sinh a+A

(m)2 cosh a+B

(m)2 sinh a = (−1)m 4mπ

m2π2+a2

A(m)1 a sinh a+B

(m)1 a cosh a+A

(m)2 (cosh a+ a sinh a)+

+B(m)2 (sinh a+ a cosh a) = (−1)m+1mπ 12(m2π2−a2)

(m2π2+a2)2

(8.23)

解这些方程, 我们发现(见方程(7.207)和(7.208)):

A(m)1 = − 4mπ

m2π2+a2

B(m)1 = +mπ

∆ αma+ βm(sinh a+ a cosh a) − γm sinh a

A(m)2 = −mπ

∆ αm sinh2 a+ βma(sinh a+ a cosh a) − γma sinh a

B(m)2 = +mπ

∆ αm(sinh a cosh a− a) + βma2 sinh a− γm(a cosh a− sinh a)

(8.24)

其中 ∆ = sinh2 a− a2

αm = 12(m2π2−a2)(m2π2+a2)2 , βm = 4

m2π2+a2 [(−1)m + cosh a]

γm = (−1)m+1αm + 4m2π2+a2 a sinh a

(8.25)

现在把由方程(8.20)和(8.22)表示的v和u代入方程(8.19), 我们得到

∑∞m+1 Cm(n2π2 + a2) sinnπζ

= Λa2(2ζ − 1)∑∞

m=1Cm

(m2π2+a2)2A(m)1 cosh aζ +B

(m)1 sinh aζ+

+A(m)2 ζ cosh aζ +B

(m)2 ζ sinh aζ + 4mπ

m2π2+a2 (1 − 2ζ) cosmπζ+

+[ζ(1 − ζ) + 4(5m2π2−a2)

(m2π2+a2)2

]sinmπζ

(8.26)


方程(8.26)乘以sinnπζ, 然后在ζ的范围内积分, 我们得到关于常数ℓm = Cm/(m2π2 + a2)2的一个

线性代数方程组. 这些常数不等于零导出特征方程∥⟨(1 − 2ζ) cosh aζ | n⟩A(m)

1 + ⟨(1 − 2ζ) sinh aζ | n⟩B(m)1 +

+⟨(ζ − 2ζ2) cosh aζ | n⟩A(m)2 + ⟨(ζ − 2ζ2) sinh aζ | n⟩B(m)

2 +Xmn+

+4(5m2π2−a2)(m2π2+a2)2 Zmn + 4mπ

m2π2+a2Ymn + 12 (n2π2 + a2)3 δmn

a2Λ∥ = 0

(8.27)

其中 Xmn =

∫ 1

0(1 − 2ζ)ζ(1 − ζ) sinmπζ sinnπζdζ

= 12π4

(m+n)4−(m−n)4

(m2−n2)4 − 4mnπ2(m2−n2)2

当m+ n是奇数, 否则为零.

(8.28)

Ymn =

∫ 1

0(1 − 2ζ)2 cosmπζ sinnπζdζ

= 2nπ(n2−m2) −

8π3

(m+n)3+(n−m)3

(n2−m2)3

当n+m是奇数, 否则是零.

(8.29)

和

Zmn =8nm

π2(n2 −m2)2, 当n+m是奇数, 否则是零. (8.30)

出现在方程(8.27)中的各种矩阵元素, 是以下元素的线性组合:

⟨cosh aζ | n⟩ = nπn2π2+a2 [1 + (−1)n+1 cosh a]

⟨sinh aζ | n⟩ = nπn2π2+a2 (−1)n+1 sinh a

⟨ζ cosh aζ | n⟩ = (−1)n+1 nπn2π2+a2

[cosh a− 2a

n2π2+a2 sinh a]

⟨ζ sinh aζ | n⟩ = ⟨sinh aζ | n⟩ − 2an2π2+a2 ⟨cosh aζ | n⟩

⟨ζ2 cosh aζ | n⟩ = (−1)n+1 nπn2π2+a2

[cosh a− 4a

n2π2+a2 sinh a]−

− 2(n2π2−3a2)(n2π2+a2)2 ⟨cosh aζ | n⟩

⟨ζ2 sinh aζ | n⟩ = (−1)n+1 nπn2π2+a2

[sinh a− 4a

n2π2+a2 cosh a]−

− 2(n2π2−3a2)(n2π2+a2)2 ⟨sinh aζ | n⟩

(8.31)

§8.2.3 数值结果

对于一个a值, Reid用二阶和四阶近似已经求解了方程(8.27). 对于Λ保持它的最小值的范围

内的a值, 他的计算结果列在表XXXVIII中. 从表中给出的结果我们看到, 不稳定性发生的Re和

不稳定性出现的扰动波数是

Rc = 35.94

√R1

d, ac = 3.96 (8.32)

相应的速度分布和细胞图案在图 8.1 和图 8.2中给出.

方程(8.32)的理论值的证明, 最近已经被Brewster, Grosberg, 和Nissan 用 §8.3.1 中描述的实

验给出.(见图 8.9b). 他们发现

Re√

(d/R1) = 36.5 ± 1.1, a = 4.0 ± 0.8实测 (8.33)

与估计的值有满意的符合.

§8.2 在一个弯曲通道中粘性流动的稳定性 275

0.1

-0.1

-0.1-0.2

-0.2-0.4

0.2

0.3

0.3

0.5

0.50.4-0.3

-0.3

0

0.40.2

0.20.1

0

-0.004

0.008

0.012

0.004

0

-0.50

0.5

1.5

1.0

v

u

x

x

图 8.1 不稳定性发生时的径向速度扰动(a)和切向速度扰动(b).

表XXXVIII

Λ的临界值和相关常数

Λ Re(d/R1)12

=√

(Λ/72)

a 二阶近似四阶近似四阶近似

3.90 91,691

3.96 91,650 92,975 35.935

4.00 91,665 93,001 35.940

4.10 91,789

对方程(8.32)给出的不稳定性发生的Reynolds数,与严格平面通道流动发生不稳定性时的Reynolds进

行对比是有趣的. 对后边的情况下, 已经知道, 作为超稳定性发生的Reynolds数是1

Re =4

3× 5300 ≃ 7070 (8.34)

Re = 35.94

√R1

d> 7070

或者

R1 > 3.85 × 104d (8.35)

反过来说, 为了观测理论估计的平面平行流动的不稳定性, 进行实验通道必须是相当平行, 使得

在所有点曲率半径超过与一个足够大的边界相关的4 × 104d.

当R1/d → ∞时, 作为我们现在结果的极限, 我们不能得到对于严格的平面平行流动的有效

结果的原因, 一定是基于其它事情, 因为事实上, 我们没有探索超稳定性震荡的可能性. 人们可

以猜测, 超稳定性确实是可能的; 但是它正常出现在Λ超过稳态二次流发生的范围. 但是, 探索一

个超稳定性分枝(如果有一种存在)将不会通过它自身解决困难: 逼近极限R1/d → ∞的途径, 显

然需要很大的耐心.

1 例如, 见, C.C. Lin, The theory of hydrodynamic stability, p. 29, Cambridge, England, 1955. 允许因子 43是因

为Lin用了在通道中心的速度 32Vm和通道半宽定义Reynolds数.


0.1

0.20.6

0.80.4

0.05

ψ=1.0

z/d

x

图 8.2 不稳定性发生时的细胞图案.流函数ψ(∝ ur cos az),已经归一化,细胞图根据对z/d = 0的

对称性画出的.

§8.3 当存在横向压力梯度时旋转通道之间粘性流动的稳定性

我们现在考虑由在横向的一个Poiseuille流(表现出一个压力梯度)与角速度(保持两个圆柱的

旋转)叠加的一般的Couette流动的稳定性. 这种一般的Couette流动, 可以通过用图 8.3显示的装

置实现: 两个圆柱允许独立地旋转,而通过圆柱之间的恒定流动,是用一个合适的泵回路维持的.

我们将考虑稳定性的稳态流动, 是用 §7.6和 §8.2的解的叠加表示的; 因此

V (r) =

1

2ρν

(∂p

∂θ

)0

r log r + Cr +D

r

+Ar +

B

r(8.36)

其中C和D的值, 已经由方程(8.6)给出, A和B的值则已经由方程(7.145)给出.

当间隙宽度d = R2 − R1, 与半径平均值 12 (R2 + R1)的比值是小量的情况下, 我们有近似方

程(见第七章方程(7.191) 和方程(8.8))

V (r)

r= Ω1[1 − (1 − µ)ζ] +

6VmR1

ζ(1 − ζ) (8.37)

我们将限制在对这种窄间隙情况的考虑.

§8.3 当存在横向压力梯度时旋转通道之间粘性流动的稳定性 277

图 8.3 一般的Couette流动可以实现的装置.

表XXXIX

对于各种λ的临界Taylor数和与扰动相关波数

λ ac Tc λ ac Tc

30 3.76 8.20×101 -2.5† 5.00 2.37×104

21 3.70 1.49×102 -2.75 5.73 3.18×104

15 3.60 2.56×102 -3.00 6.35 4.10×104

10 3.45 4.56×102 -3.25 7.05 5.16×104

6 3.30 8.32×102 -3.50 7.40 6.38×104

3 3.14 1.48×103 -3.75 5.80 6.20×104

1 3.13 2.43×103 -4.00 5.50 4.60×104

0.5 3.13 2.84×103 -4.50 5.37 2.80×104

0 3.12 3.39×103 -5.00 5.20 1.83×104

-0.5 3.17 4.18×103 -6.00 5.00 9.61×103

-1.0 3.24 5.42×103 -8.00 4.70 3.84×103

-1.5 3.40 7.66×103 -10.00 4.55 2.02×103

-2.0 3.80 1.26×104 -15.00 4.35 6.92×102

†当−2.5 ≥ λ ≥ −6.0时, 在求Tc时发现有必要近似到

四阶精度; 对于其它的λ, 三阶近似就足够了.

§8.3.1 (R2 −R1) ≪ 12 (R1 +R2)时的扰动方程

通过联立方程(7.193)和(7.194), 以及方程 §8.2 (8.10) 和(8.11) 的右端项, 可以轻易写出相应

的扰动方程. 因此, 我们得到

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u =2d2a2

ν

Ω1[1 − (1 − µ)ζ] +

6VmR1

ζ(1 − ζ)

v (8.38)

和

(D2 − a2 − σ)v =2d2

ν

A+

3Vmd

(1 − 2ζ)

u (8.39)

让

λ =6VmR1Ω1

(8.40)

根据方程(7.145)给出的A值,

3VmAd

= − 3Vm(1 − η2)

Ω1η2(1 − µ/η2)d= − 3Vm(1 + η)

Ω1R1η(1 − µ/η2)(8.41)

对于考虑的窄间隙情况, η ∼ 1, 我们可以写出

3VmAd

= − 6VmR1Ω1(1 − µ)

= − λ

1 − µe5.42 (8.42)


根据这些定义, 我们可以把方程(8.38)和(8.39)重新写成形式

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u =2Ad2

νa2[1 − (1 − µ)ζ + λζ(1 − ζ)]v (8.43)

和

(D2 − a2 − σ)v =2Ad2

ν

[1 − λ

1 − µ(1 − 2ζ)

]u (8.44)

通过进一步变换

u→ 2Ω1d2

νa2ue5.45 (8.45)

方程变成

(D2 − a2 − σ)(D2 − a2)u = [1 − (1 − µ)ζ + λζ(1 − ζ)]v (8.46)

和

(D2 − a2 − σ)v = −Ta2[1 − λ

1 − µ(1 − 2ζ)

]u (8.47)

其中

T = −4AΩ1

ν2d4 (8.48)

是对应于窄间隙的Taylor数(见方程(7.198)).

方程(8.46)和(8.47)必须在满足通常的边界条件下求解

u = Du = v = 0, 当ζ = 0, 1 (8.49)

§8.3.2 σ = 0, µ = 0时特征值问题的解

对于正在考虑的问题, 稳定性交换原理还没有进展. 但是, 如果以实验事实为依据, 我们假

设不稳定性发生的是稳态二次流动, 于是待解的方程是

(D2 − a2)2u = [1 − (1 − µ)ζ + λζ(1 − ζ)]v (8.50)

和

(D2 − a2)v = −Ta2[1 − λ

1 − µ(1 − 2ζ)

]u (8.51)

伴随的边界条件是(8.49)式.

方程(8.49)和(8.50)表示的特征值问题, 可以通过关于分开的问题已经证明取得成功的相同

的方法求解. 因为通过 §7.8.1和 §8.2.2相应的方程适当的联立, 对应的方程可以轻易写出,所以,

详细的分析没有必要重复.

当µ = 0时的求解已经由Di Prima显式给出.他给出的结果,出现稳定性边缘状态的临界Taylor数

和扰动的波数在表XXXIX中给出. 这些结果进一步在图 8.4和图 8.5中给出.

§8.3.3 结果的物理解释

通过计算显示的Tc和ac对λ的非常特殊的依赖关系,可以通过审查关于无粘旋转流动稳定性

的Rayleigh准则, 在流体中是如何被破坏方面进行理解.

在流体中的横向速度分布(当µ = 0时)是

1 − ζ + λζ(1 − ζ) = (1 − ζ)(1 + λζ) (8.52)

关于少数λ值的分布见图 8.6. 除了我们可以忽略的一个正比例常数,关于速度分布(8.52)的Rayleigh判

别式(方程(7.18)) 是

Φ = (1 − ζ)(1 + λζ)(λ− 1 − 2λζ) (8.53)


log Tc

A’Aa

a

40 60 70-20-40-60 0 20λ

2

4

3

5

图 8.4 作为λ(= 6Vm/R1Ω1)函数的临界Taylor数变化. 计算的理论曲线是用a作为标记的, 而

用A′和A为标记的曲线是理论的渐进结果(Tc → 9.30λ−2, | λ |→ ∞ 空心圆点是由Brewster, Gros-

berg, 和Nissan 测出的实验点.

ac

λ2 6 104 8 12 15-2-6-10-15 -12 -8 -4 0

5

7

4

3

2

8

6

图 8.5 作为λ函数的临界波数的变化.

0.60.4 0.80.2

0.5

-0.5

1.0

-1.5

1.5

-1.0

-6

-1.0

-3

-4

3

1

0

-1

图 8.6 对于各种λ值, 横向速度分布的变化. 曲线是用它们参考的λ值标记的.


0.60.4 0.80.2

10

8

6

4

2

-10

-8

-6

-4

0 1

λ

ζ

-2

Stable

Stable

Unstable

Unstable

Unstable

图 8.7 对于作为λ函数的流动(1 − ζ)(1 + λζ), 根据Rayleigh准则, 流体部分是稳定的或者是不稳

定的.

图 8.8 Brewster, Grosberg, 和Nissan用的实验装置简图.


图 8.9 在一般的Couette流动中,Brewster, Grosberg, 和Nissan 给出的不稳定性发生时的图像:

(a)当纯粹保持压力梯度的情况; (b)对于λ(= 6Vm/R1Ω1) = −3情况, 而纯粹的流动是零.

关于稳定性的Rayleigh准则是Φ必须是正的. 根据图 8.6 的审查结果, 显然我们必须区分以

下三种情况:

情况i:

λ ≥ 1

对于0 ≤ ζ < 12

(1 − 1

λ

), 当Φ ≥ 0时

对于12

(1 − 1

λ

)≤ ζ ≤ 1, 当Φ ≤ 0时

(8.54)

情况ii:

+ 1 > λ ≥ −1对于0 ≤ ζ ≤ 1, 当Φ ≤ 0时 (8.55)

情况iii:

λ < −1

对于 1

|λ| ≤ ζ < 12

(1 + 1

|λ|

), 当Φ ≥ 0时

对于0 ≤ ζ ≤ 1|λ|和

12

(1 + 1

|λ|

)≤ ζ ≤ 1. 当Φ ≤ 0时

(8.56)

根据图 8.7给出的Rayleigh准则,流体的一部分是稳定的或者不稳定的. 我们看到当λ→ ±∞,

不稳定的流体部分日益限制在区间 12 < ζ < 1.内(正如我们现在将解释的, 在0 ≤ ζ ≤| λ |−1区间

内的不稳定性当λ → ∞ 时不起明显作用.) 在极限λ → ±∞条件下, 问题因此趋向于我们在 §8.2

中考虑过的问题. 确实, 当| λ |→ ∞ 时, 方程(8.50) 和(8.60) 显然趋于

(D2 − a2)2u = λζ(1 − ζ)v (8.57)

和

(D2 − a2)v =Tv

1 − µa2(1 − 2ζ)u (8.58)

通过进一步的变换u → λu, 这些方程, 与 §8.2中的方程(8.18) 和(8.19) 变成相同, 唯一的差别,

是Λ现在要用Tλ2/(1 − µ)替代. 我们得出当| λ |→ ∞时, 当不稳定性发生时, 临界Taylor数渐进地


逼近的值是(见表XXXVIII)Tcλ

2

1 − µ→ Λc = 9.300 × 104 (8.59)

2 因此

Tc → 9.300 × 1041 − µ

λ2, 当 | λ |→ ∞ (8.60)

相应的ac的极限值是

ac → 3.96, 当 | λ |→ ∞ (8.61)

方程(8.60) 给出的渐进关系包含在图 8.4 中. 当λ → +∞渐进线是从底部逼近的, 而当λ →−∞时它是从上部逼近的, 这个事实可以用来理解, 对于大的正λ值, 当我们观测时, 流动不稳定

性的区间是超过二分之一的范围, 而负的λ值两个区间中较宽的不稳定区间, 是在小于二分之一

的范围;在 §7.8.5中用到的论据,使得人们猜测,临界Taylor数近似地与不稳定性区域的宽度的四

次方成反比关系, 给出分开良好的不同区域. 这些相同的论据还考虑到事实: 对于大的正λ, ac的

值是小于临界值3.96的, 而对于大的负λ, 它们大于3.96.

以下考虑范围−1 ≤ λ ≤ +1. 在此范围内在整个区间Rayleigh准则不成立. 在这些情况下,我

们可以用一阶近似, 代替方程(8.50)和(8.51)中的项, 它允许在整个区间内用V (ζ)的平均值代替变

化的V (ζ). 这里的论据与 §7.8.4 中的相同. 根据提出的代替近似, 方程变成

(D2 − a2)2u =1

2(1 +

1

3λ)v (8.62)

和

(D2 − a2)v = −Ta2u (8.63)

从这些方程显然可见在范围−1 ≤ λ ≤ +1内, 我们可以估计关系(见方程VII(231))

Tc =3416

1 + λ/3, ac = 3.1 (8.64)

近似成立.这种预测,得到了Di Prima精确的计算结果证明. 因此,当λ = +1,−1时,从方程(8.64)推

出的近似Tc值, 分别是2.56 × 103和5.12 × 103; 这些值应当与‘精确值’2.43 × 103和5.42 × 103.

我们现在转到当λ = −3.5时, Tc具有锐利的最大值的原因. 这必须追溯到当λ < −1时, 出现

的两个不稳定性区域的相对范围(见图 8.7). 这里的证据是, 有两个不同的分开完好的不稳定性

区域, 不稳定性发生, 主要决定于最大宽度的区域. 当−3 < λ < −1, 较宽的不稳定性区域接近内

圆柱, 当λ < −3时, 它接近外圆柱; 当λ = −3, 这两个分开的区域宽度相同, 等于分开它们的稳

定区域的宽度. 于是, 当λ = −3时, 出现不稳定性区域最大宽度的极小值, 而如果我们前边的论

证(对完好分开没有鉴定)应当完全采用, 则应当是在λ = −3处, 出现最大的Taylor数. 但是, 在这

个例子中, 没有经过鉴定的论据不能完全采用: 因为, 不稳定性的两个区域不是完好分开的, 而

在不稳定区域估计的扰动幅度, 在与稳定性区域相干的地方, 将不足以逐渐降低到零. 我们必须

把最大Taylor数出现在一个替代的值归因于此, λ = −3.5 其中, 外部的稳定区域的较大范围, 通

过它从内部不稳定性区域的较大分离得到补偿. 最大的Tc值, 一定是与最大的ac值有关的事实也

是显然的.

§8.3.4 实验结果对比

验证§(b)中理论结果的实验由Brewster, Grosberg,和Nissan完成. 它们的实验装置如图 8.8所

示. 外圆柱a(内直径13in)由两个有机玻璃的半圆柱部分组成,透明的有机玻璃允许可视观测. 内

圆柱b(外直径12in)是铜制的, 上边打了孔使得液体可以从这些孔出入. 内圆柱由半轴c带着旋转;

2 T的定义通过A包括一个因子(1− µ).

§8.4 当存在轴向压力梯度时同心圆柱之间无粘流动的稳定性 283

外圆柱总是静止的. 用有关外部的泵, 可以使通过柱间间隙d的液体流动保持为稳态的和可以控

制的. 液体通过与稳态压力和吸收箱g和h联通的轴心管e和f流入和流出这个装置. 从充满液体

的罐i可以看到柱间间隙的一个垂直子午面. 应用穿透光线, 从这个液体罐可以看到不稳定性发

生.

实验由增加旋转速度或者泵送流动速率,直到由细胞形成显示不稳定性发生时为止.他们发

现旋转速度的一个小的变化(或者泵送速率的小变化), 常常导致细胞的出现或者消失.

实验中用的液体是丙三醇水溶液.

通过柱间间隙的流动用三种方法观测: 应用丙三醇水溶液的自显示性质; 通过加入染色剂;

或者通过观测汽泡在不稳定性发生时的形成.用这些方法中的两种观测的不稳定性如图 8.9a(用

第一种方法)和图 8.9b所示(用第三种方法).

图 8.9b显示了当圆柱是静止的时显示的不稳定性发生: 它出现在 §8.2 中估计的Λ值(见方

程(8.33)).

在理论中引入的参数λ, 与圆柱单位长度单元的净体积流量有关. 问题中的关系是(见方

程(8.37) 和(8.40))

Qv = (1

2R1Ω1 + Vm)d =

1

2R1Ω1(1 +

1

3λ) (8.65)

因为Qv和Ω1是测量的量, 因此λ的值是可以推出的. [注: 当λ = −3,Qv = 0; 因此Brewster, Gros-

berg, 和Nissan称这种流动为‘完全的逆流动’, 也是在这时, 两个不稳定性区域的范围, 与中间

的稳定性区域的范围都是相同的.]

Brewster, Grosberg, 和Nissan关于临界Taylor数的实验结果, 包含在图 8.4中. 可以看出与理

论计算的符合是满意的.

§8.4 当存在轴向压力梯度时同心圆柱之间无粘流动的稳定性

无粘流动方程(方程(7.13)-(7.15))允许稳态解

ur = 0, uθ = V (r), uz = W (r) (8.66)

和

p = ρ

∫dr

rV 2(r) (8.67)

其中V (r)和W (r)是r的任意函数.

考虑以上运动方程的解表示的流动稳定性时, 我们将限制在与θ无关的扰动. 让扰动状态表

示为

ur, V + uθ, W + uz, ϖ = δp/ρ (8.68)

其中, 根据我们的假设, ur, uθ和uz是r和z的函数. 控制扰动的线性方程是

∂ur∂t

+W∂ur∂z

− 2V

ruθ = −∂ϖ

∂r(8.69)

∂uθ∂t

+W∂uθ∂z

+

(dV

dr+V

r

)ur = 0 (8.70)

和∂uz∂t

+W∂uz∂z

+ urdW

dr= −∂ϖ

∂z(8.71)

以及连续性方程∂ur∂r

+urr

+∂uz∂z

= 0 (8.72)


根据标准步骤, 我们分析扰动的正交模式, 且假设描述扰动的各种量, 具有时间相关关系

ei(pt+kz) (8.73)

其中p(可以是复数)是一个常数, 而k是扰动在z方向的波数.

让u(r), v(r), w(r),和ϖ(r)表示扰动ur, uθ, uz和ϖ的(z, t)关系(由(8.73)式给出)中的扰动幅度.于

是方程(8.69)-(8.72)给出

i(p+ kW )u− 2Ωv = −Dϖ (8.74)

i(p+ kW )v = −(D∗V )u (8.75)

i(p+ kW )w + (DW )u = −ikϖ (8.76)

和

D∗u = −ikw (8.77)

其中

D = d/dr, D∗ = D +1

r(8.78)

在方程(8.76)-(8.77)之间消去w, 我们发现

(p+ kW )D∗u− (kDW )u = ik2ϖ (8.79)

这个方程对r进行微分, 应用方程(8.74), 我们得到

D[(p+ kW )D∗u] −D[k(DW )u] = −ik2[i(p+ kW )u− 2Ωv] (8.80)

通过简化和移项, 方程(8.80)简化为

(p+ kW )(DD∗ − k2)u− kΨ(r)u = 2ik2Ωv (8.81)

其中

Ψ(r) = D2W + (DW )(D −D∗) = D2W − 1

rDW = r

d

dr

(1

r

dW

dr

)(8.82)

最后, 代入方程(8.75)表示的v, 我们得到

(p+ kW )(DD∗ − k2)u− kΨ(r)u = −k2Φ(r)u

p+ kW(8.83)

其中

Φ(r) = 2ΩD∗V = 2Ω

r

d

dr(rV ) = 2

Ω

r

d

dr(r2Ω) (8.84)

如同前边定义的, 是Rayleigh判别式.

边界条件是

u = 0, 当r = R1, R2 (8.85)

其中R1和R2(> R1)是限制流体的两个圆柱的半径.

将来有用的方程(8.83)的另一种形式是通过如下变换得到的

iχ =u

p+ kW(8.86)

只有当D∗V = 0时, 这种替代通常才是允许的; 因为, 这时(见方程(8.75))

v = −(D∗V )χ (8.87)


而在现在的无粘流动条件下, v要求在区间(R1, R2)内是正则函数.[注: 对于粘性流动允许的V的

形式, D∗V = 2A = constant,不论如何, v的有界要求χ的有界. 与没有旋转时成立的事实相反(对

于实的p).] 应用χ, 方程(8.74)和(8.79)采取的形式为

(p+ kW )2χ− Φ(r)χ = Dϖ (8.88)

和

(p+ kW )2D∗χ = k2ϖ (8.89)

现在在这些方程中消去ϖ, 我们得到

D[(p+ kW )2D∗χ] − k2(p+ kW )2χ = −k2Φ(r)χ (8.90)

相应的边界条件是(见方程(8.86))

χ = 0, 当r = R1, R2 (8.91)

§8.4.1 纯轴向流动情况

当初始的稳态流动为纯的轴向流动时, (8.86)式的变换通常是不允许的: 当p是复数, 或者

当p+ kW在区间(R1, R2)内没有零点时, 它是允许的; 此外别无情况.

于是, 我们开始考虑在方程(8.83) 中令F = 0得到的方程

(p+ kW )(DD∗ − k2)u− kΨu = 0 (8.92)

在W = −p/k方程(8.92)有一个奇点. 当稳定震荡时(p为实数), 这个奇点可能在区间(R1, R2)内出

现. 但是, 如果p应当是复数(正如它将受到阻尼和出现超稳定性震荡), 则方程在所有的r值是正

则的.

我们现在将表明: 超稳定性震荡出现的必要条件是Ψ(r)在区间(R1, R2)内变号.

为了证明这个定理, 假设p(= pr + ipi)是复数. 我们可以把方程(8.92)重新写成形式

(DD∗ − k2)u− kΨ

p+ kWu = 0 (8.93)

这个方程乘以ru∗(其中u∗是u的共轭复数), 并在r的范围内积分, (在一次分部积分后)我们得到∫ R2

R1

r| D∗u |2 +k2 | u |2dr + k

∫ R2

R1

Ψ

p+ kWr | u |2 dr = 0 (8.94)

(考虑到边界条件积分出来的部分消失. ) 方程(8.94) 的实部和虚部必须分别消失. 虚部消失给出

pi

∫ R2

R1

Ψ

| p+ kW |2r | u |2 dr = 0 (8.95)

当pi = 0(如同我们假设的)时,积分消失;为了出现这种情况,一个必要条件显然是对于区间R1, R2内

的一些r值, Ψ(r)消失.

求出相同结果的另一种替代方法是有启发性的. 把方程(8.93) 重新写成形式

d

dr

(rdu

dr

)− u

r− k2ru− kΨ

p+ rWru = 0 (8.96)

我们从方程

u∗d

dr

(rdu

dr

)− | u |2

r− k2r | u |2 − kΨ

p+ kWr | u |2= 0 (8.97)


中减去它的共轭. 因此我们得到

d

dr

u∗(rdu

dr

)− u

(rdu∗

dr

)= −2ipi

rkΨ

| p+ kW |2| u |2 (8.98)

让

U =1

2ir

(u∗du

dr− u

du∗

dr

)(8.99)

代表一个实的变量, 我们可以把方程(8.99)重新写成形式

dU

dr= pi

rkΨ

| p+ kW |2| u |2 (8.100)

因为当r = R1, R2时, U = 0 (应用关于u的边界条件), dU/dr必须在区间(R1, R2)内的某些位置改

变符号, 这个要求Ψ(r)也同样改变符号.

当p是复数时,可以得出的另一个结果是: −p的实部必须介于kW的最大值和最小值之间. 这

是通过变换(8.86)式从方程(8.92)得到的方程得出的结论(见方程(8.90)),

D[(p+ kW )2D∗χ] − k2(p+ kW )2χ = 0 (8.101)

(这个变换是合法的, 因为我们已经假设p是复数.) 方程(8.101) 乘以rχ∗, 且在r的范围内进行积

分, 我们得到(在一次分部积分之后)∫ R2

R1

(p+ kW )2r(| D∗χ |2) + k2 | χ |2 dr = 0 (8.102)

这个方程的虚部给出

pi

∫ R2

R1

(pr + kW )r(| D∗χ |2 +k2 | χ |2)dre5.103 (8.103)

因为pi = 0(根据假设), 积分必须消失, 从而指出的关于pr的极限满足.

我们已经看到, 在区间(R1, R2)内的某些地方, Ψ消失是关于基本流动不稳定性的一个必要

条件;我们现在将证明,对于一个宽的速度分布簇,这也是一个充分条件.证据是通过表明在这种

条件下, 存在流动是稳定的波数ks, 以及在这个波数的邻域内的波数流动是不稳定的构成的. 让

Ψ(r) = rDD∗(W/r) = 0, 当r = rs 其中W = Ws (8.104)

我们将假设

K(r) = − Ψ(r)

r(W −Ws)= −DD∗(W/r)

W −Ws> 0 在整个间隙内 (8.105)

我们将施加的另一个限制是 W ≥ 0 在间隙内

W = 0 当r = R1, R2

(8.106)

在这些情况下, 考虑方程

DD∗u+ rKu = k2u (8.107)

及其边界条件, 当r = R1, R2时, u = 0. 这是一个经典的Sturm-Liouville型特征值问题. 从普遍的

理论得出, 在已经指出的条件下, 特征值K2可以安排成一个单调减的序列. 而且, 这个特征值问

题, 允许一个变分公式: 它的解等价于寻找以下公式的极值,

k2 =

∫ R2

R1rrKu2 − (D∗u)2dr∫ R2

R1ru2dr

(8.108)


对于在这种边界条件下任意u的变分是稳定的. 因此, k2的最大特征值表达的, 是方程(8.108)给

出的量的绝对最大值.

我们现在将表明, 对于任意选择的u, k2可以假设是正值; 正如我们已经说过的, 证明这个事

实, 将保证k2正的特征值的存在性. u的一个特殊选择是W/r. 因此, k2式子中的分子为∫ R2

R1

KW 2 − rD∗(W/r)[D∗(W/r)]dr (8.109)

经过一次分部积分, 我们得到 ∫ R2

R1

W [KW +DD∗(W/r)]dr (8.110)

因为考虑到施加在W上的边界条件(8.106)积分出来的部分消失. 现在根据方程(8.105),

DD∗(W/r) = −K(W −Ws) (8.111)

把它代入表达式(8.110), 我们得到(见方程(8.105) 和(8.106))

Ws

∫ R2

R1

WKdr > 0 (8.112)

因此, 根据u的这种选择, k2确实是正的, 我们猜测k2的正的特征值存在. 因此

DD∗us −Ψ(r)

W −Wsus = k2sus (8.113)

现在把方程(8.93)重新写成形式

DD∗u− Ψ(r)

W − cu = k2u (8.114)

其中

c = −p/k = cr + ici (8.115)

允许是个复数. 我们将假设k2是复变量c的一个解析函数,并考虑它在k2s附近的行为.从方程(8.113)

和(8.114), 我们得到

d

dr

(rus

du

dr− ru

dusdr

)− rΨuus

(1

W − c− 1

W −Ws

)= (k2 − k2s)ruus (8.116)

在r的范围内积分, 记住u和us在积分端点消失, 我们得到

(k2 − k2s)

∫ R2

R1

ruusdr = −(c−Ws)

∫ R2

R1

rΨuus(W − c)(W −Ws)

dr (8.117)

我们现在让k2 → k2s , c→Ws, 和u→ us. 取这种极限, 方程(8.117)变成(dk2

dc

)k2=k2

s

∫ R2

R1

ru2sdr = limcr→Ws;ci→0

∫ R2

R1

Kr2u2sW − (cr + ici)

dr (8.118)

其中我们已经再次引入了方程(8.105)定义的K. 把方程(8.108)右端的积分, 写出实部和虚部, 我

们有 ∫ R2

R1

Kr2u2sW − c

dr =

∫ R2

R1

K(W − cr)

(W − cr)2 + c2ir2u2sdr + i

∫ R2

R1

ciK

(W − cr)2 + c2ir2u2sdr (8.119)


取极限ci → 0和cr →Ws, 方程(8.119)的实部, 趋向于下列积分的主值∫ R2

R1

Kr2u2sW −Ws

dr (8.120)

而虚部则趋向于

limci→0

∫ R2

R1

ciK(r)r2u2s

(W−Ws)2+c2idr

= [K(r)r2u2s]r=rs limϵ → 0

ci → 0

∫ rs+ϵ

rs−ϵci

(W−Ws)2+c2idr

=[K(r)r2u2

s

dW/dr

]r=rs

limϵ → 0

ci → 0

∫W (rs+ϵ)

W (rs−ϵ)ci

(W−Ws)2+c2idW

=[K(r)r2u2

s

|dW/dr|

]r=rs

limci→0

∫∞−∞

cix2+c2i

dx

= ±π[K(r)r2u2

s

|dW/dr|

]r=rs

(ci → ±0)

(8.121)

联立以上结果, 我们有方程 (dk2

dc

)k2=k2

s

= A± iB, 其中B > 0 (8.122)

或者, 我们可以把它写成 (dc

dk2

)k2=k2

s

=A± iB

A2 +B2, (B > 0) (8.123)

从方程(8.123)可见, 当k2(在实轴上)与k2s不同时, 它的虚部是有限的. 对于同样邻近的波数, p的

虚部是有限的; 这意味着这些模式的不稳定性.

现在我们将回到Ψ(r)在整个范围内是同号的情况. 从方程(8.95)可见, pi = 0. 这意味着p不能

是复数; 意味着流动是稳定的. 事实上, 我们将直接证明任何−Wk是一个允许p的解. 例如, 假设

对于一个特殊的p, p+kW仅当处在(R1, R2)内消失.我们可以对方程(8.92)从具有初值du/dr的一

端进行积分. 积分可以向内进行, 直到遇到p+ kW = 0的点为止. 在这一点的两个值u和du/dr先

假设是不同的. 通过相对初值du/dr的适当选择, 可以使u连续. 将得到du/dr的一个间断, 当这与

无粘流动不符.

其它实的p值是否允许呢? 如果是, 则p + kW将只有一个符号. 而这我们是可以排除的. 因

为, 如果p + kW在区间(R1, R2)内没有一个零点, 变换(8.86) 是合法的, 方程(8.101)将是有效的.

从后边的这个方程我们可以推出(见方程(8.102))∫ R2

R1

(p+ kW )2r[(D∗χ)2 + r2χ2]dr (8.124)

对于实的p方程不成立. 因此,假设变换(8.86)是合理的将导致矛盾. 我们得出结论任何不在−kWmax和−kWmin之

间的p值不可以当作一个解.

§8.4.2 旋转也存在时的一般情况

回到一般的情况, 我们首先看到, 旋转的存在, 在基本途径中影响这个问题的一些方面. 因

此, 存在的以下关系

i(p+ kW )v = −(D∗V )u (8.125)

允许我们假设3 基于这个假设, 如果p是实的, 它不能处于−kWmax和−kWmin, 而这个结果, 与在

纯轴向流动情况下的结果正好相反. 这些情况已经表明, 旋转在定性方面改变了问题的特征, 而3 因为, 如果在r = r0, p + kW应当消失, 则u在r0 也消失(我们排除了D∗V 可以消失的可能性); 考虑的问题变成在区

间(R1, r0)和(r0, R2)中的两个独立的特征值问题. 而这个证明显然可以延伸到当p + kW在区间(R1, R2)内具有更多零点的

情况.


关于纯轴向流动情况的结果,不能通过取Ω = 0的极限简单地得出.确实,我们将要得到的主要结

论:4 当旋转存在时,与轴向流动有关的不稳定性失去相关性;而稳定性被横向速度分布唯一地确

定, 即被Rayleigh准则确定.

待考虑的方程是(见方程(8.90))

D[(c−W )2D∗χ] − k2(c−W )2χ = −Φ(r)χ (8.126)

其中c = −p/k; 而边界条件是

χ = 0, 当r = R1, R2 (8.127)

而主要问题涉及c的实部或者c本身.

自然, 考虑由方程(8.126)和边界条件(8.127)表示的问题的最直接方法, 是把它当作一个k给

定,和W (r)和Φ(r)给定的一个特征值问题.即使特征值参数c,是非线性地出现在问题中,这个问

题也允许一个变分公式.

考虑这个问题还有另一个有用的方法. 通过写出

Ω(r) = rω(r) (8.128)

其中λ是选择的角速度单位(它可能取在r = r1处的角速度), 我们可以把问题考虑成关于λ2的特

征值问题. 因此, 让

ϕ(r) =2ω

r

d

dr(r2ω) (8.129)

我们有

D[(c−W )2D∗χ] − k2(c−W )2χ = −λ2ϕ(r)χ (8.130)

后边这个公式的优点是, λ2在特征值问题线性地出现; 而且, 用一些附加条件, 经典的Sturm理

论的公认定理可以得到应用. 但是, 重要的是, 记住这个物理问题的求解要求, 对于适当选择

的c值(实数或者复数), 对于给定的ϕ(r)和k, 作为特征值推导出的所有λ2 > 0.

(i) 关于c的一个变分原理

考虑方程(8.126) 和(8.127), 把它们当作关于c的一个特征值问题. 方程(8.126)乘以rχ并且

在r的范围内积分, 在分部积分之后, 我们得到∫ R2

R1

(c−W )2[(D∗χ)2 + k2χ2]rdr =

∫ R2

R1

Φ(r)rχ2dr (8.131)

让 I1 =∫ R2

R1[(D∗χ)2 + k2χ2]rdr, I3 =

∫ R2

R1W 2[(D∗χ)2 + k2χ2]rdr

I2 =∫ R2

R1W [(D∗χ)2 + k2χ2]rdr, I4 =

∫ R2

R1Φ(r)χ2rdr

(8.132)

我们可以把方程(8.131)重新写成

c2I1 − 2cI2 + I3 − I4 = 0 (8.133)

或者解出c, 我们有

c =1

I1I2 ±

√(I22 − I1I3 + I1I4) (8.134)

方程(8.133)给出了变分原理的基础;为了看到这一点,考虑与χ的边界条件相适应的χ的任意

变分δχ, 对(由方程(8.134)确定的)c的影响. 近似到一阶变化, 我们有

2(cI1 − I2)δc = −(c2δI1 − 2cδI2 + δI3 − δI4) (8.135)

4 这里我们排除某些病态情况的可能性.


其中δI1, δI2, δI3和δI4是与I1, I2, I3和I4相对应的变分. 在分部积分之后(在每种情况下), 我们发

现δI1, δI2, δI3是 δI1 = −2

∫ R2

R1δχ[DD∗ − k2χ]rdr

δI2 = −2∫ R2

R1δχ[D(WD∗χ) − k2Wχ]rdr

δI3 = −2∫ R2

R1δχ[D(W 2D∗χ) − k2W 2χ]rdr

(8.136)

而

δI4 = 2

∫ R2

R1

δχΦ(r)χrdr (8.137)

在方程(8.135)中代入以上表达式, 我们得到

(cI1 − I2)δc =

∫ R2

R1

δχD[(c−W )2D∗χ] − k2(c−W )2χ+ Φ(r)χrdr (8.138)

我们看到,在方程(8.138)右端的积分号下作为rδχ的因子出现的量,当控制χ的方程(8.126)满足时

消失. 5 因此, 对于所有满足边界条件的变分, 精确的一阶, δc同样地也消失的充分和必要条件

是χ是这个特征值问题的解. 因为这个定理给出了变分处理问题的基础, 从方程(8.134)我们希望

得出的主要结论是:当其它情况相同时, 有且只有两个分枝到达色散关系.

(ii) 关于λ2的一个变分原理

现在考虑方程(8.127) 和(8.130), 把它们当作关于λ2的一个特征值问题. 如果我们限制在c不

处于Wmax和Wmin之间的值,我们可以应用经典的Sturm理论的标准定理(见§67(b))得出结论:当ϕ(r)到

处为正的, 则λ2的特征值到处为正的; 如果ϕ(r)到处为负的, 则λ2的特征值到处为负的. 但是

当ϕ(r)在区间(R1, R2)内应当变号,则有两组特征值,他们具有端点+∞和−∞. 而且,解具有边界

条件(8.127)的方程(8.130)相当于寻找λ2的极值,

λ2 =

∫ R2

R1(c−W )2[(D∗χ)2 + k2χ2]rdr∫ R2

R1ϕ(r)rχ2dr

(8.139)

对于满足边界条件(8.127)的χ的任何小变化, 它是稳态的.

(iii) 稳定性准则

在上一小节中阐明的定理使我们能够推出稳定性的充分必要条件.

首先考虑当ϕ(r)到处为负的情况. 对于任意实的k和所有实的c值(不包括处于Wmax和Wmin之

间的), λ2的特征值都是负的. 因此, 如果λ2是正的, 则c必然是复数, 而这意味着不稳定性.

接着考虑当ϕ(r)到处为正的情况. 对于给定的k和c(两个都假设为实的, 而且c > Wmax或

者c < Wmin), λ2的所有特征值λ2n是正的. 他们可以安排成无穷的, 单调增序列; 如果λ2n(n =

1, 2, · · · )表示这种排列,在属于λ2的特征函数χn在区间(R1, R2)内将正好具有(n− 1)个节点. 为了

强调λ2n和χn对c的依赖性, 我们将把它们写成λ2n(c)和χn(c).

现在应用§(ii)中的变分原理,最小的特征值λ21表示方程(8.139)右端表示的量能保持的绝对极

小值. 因此, 对于某个给定的c和选择好的χ, 如果λ2(c;χ)表示方程(8.139)给出的λ2值, 则

λ2(c;χ) ≥ λ21(c) (8.140)

方程(8.140)中的等号当而且仅当χ ≡ χ1(c), 也就是

λ2(c;χ1(c)) = λ21(c) (8.141)

5 注意, 当c和χ是实数时,

cI1 − I2 =

∫ R2

R1

(c−W )[(D∗χ)2 + k2χ2]rdr

只要c > Wmax 或者c < Wmin, 它就不能消失. 而这些是在这种情况下必须的关于c的附加限制.

§8.5 当存在轴向压力梯度时旋转同心圆柱之间无粘流动的稳定性 291

时成立.

现在我们将表明当c > Wmax时, λ21是一个单调增函数, 而当c < Wmin时是一个单调减函数.

我们首先看到, 根据方程(8.139),

λ2(c2, χ1(c1)) < λ2(c1;χ1(c1)) = λ21(c1), 当Wmax < c2 < c1 (8.142)

另一方面, 应用方程(8.140)

λ2(c2;χ(c1)) > λ21(c2) (8.143)

因此, 联立(8.142) 式和(8.143)式, 我们有

λ21(c2) < λ21(c1), 当Wmax < c2 < c1 (8.144)

用正好相同的方法, 我们可以给出

λ21(c2) > λ21(c1), 当c2 < c1 < Wmin (8.145)

显然根据方程(8.139), 当c→ ±∞, λ2是无界的. 因此

λ21(c) → ∞, 当c→ ±∞ (8.146)

另外,让c从上边逼近Wmax,或者从下边逼近Wmin,我们可以使方程(8.139)给出的λ2足够小;因此

λ21(c) → 0, 当c→Wmax + 0,或者Wmin − 0 (8.147)

(注: c = Wmax和c = Wmin是被排除的.)

从以上结果可见, 对于给定的k2和λ2 > 0, 存在两个c的特征值, 一个大于Wmax, 一个小

于Wmin; 而属于这两个值的特征函数在区间(R1, R2)内没有节点. 类似地, 通过考虑特征值λ2n(它

的特征函数有n − 1个节点), 我们可以推出对于任意给定的k2和λ2 > 0, 有两个c的特征值(一个

大于Wmax, 一个小于Wmin), 它的特征函数也有n − 1个节点. 另一方面, 根据§(i)中的变分原理,

在这种情况下, 可以存在不多于两枝到达色散关系的途径. 而且我们已经在c是实数时碰到两枝,

因此对于c的复数值, 就没有考虑的余地了. 因此, 当ϕ(r)到处为正时, 流动是稳定的.

当ϕ(r)在(R1, R2)中改变符号,则λ2可能的特征值(对于实的k和不包括在Wmax和Wmin之间的

实的c值)形成两个端点是+∞和−∞的不同序列. 后边序列的存在(端点为−∞)保证, 对于任何给

定的λ2 > 0, 存在c的复数型特征值, 这保证了不稳定性.

因此, 关于纯旋转流动稳定性的Rayleigh准则在任意轴向流动存在时继续有效. Rayliehg准

则的这种普遍性是有些想不到的. 它的根源在于把耦合径向和横向速度扰动的方程(8.75). 但是,

在这种旋转的强烈作用下, 现在的问题是不唯一性: 我们在第III章(§3.9.1)已经碰到一个例子.

§8.5 当存在轴向压力梯度时旋转同心圆柱之间无粘流动的稳定性

考虑在稳态条件下的方程(7.134)-(7.136),有一个轴向压力梯度(∂p/∂z)0作用在z−方向上. 圆

柱在旋转, 不存在径向运动. 在这些情况下, 流动方程允许稳态解

ur = 0, uθ = V (r), uz = W (r) (8.148)

给出了1

ρ

dp

dr=V 2

r(8.149)


ν

(∇2V − V

r2

)= νDD∗V = 0 (8.150)

和

ν∇2W = νD∗DW =1

ρ

(∂p

∂z

)0

(8.151)

方程(8.150)的解是

V = Ar +B/r (8.152)

其中A和B是由内外圆柱的旋转速度确定的,由方程(7.145)和(7.146)给出.对应于方程(??)的解是

W (r) =1

4ρr

(∂p

∂z

)0

(r2 + C log r +D) (8.153)

其中C和D是常数. W (r)在r = R1, R2要求消失的条件确定了C和D, 从而使解得到确定. 我们发

现

W (r) = − 1

4ρν

(∂p

∂z

)0

R2

1 − r2 +2R1d+ d2

log(1 + d/R1)log

(r

R1

)(8.154)

其中d = (R2 −R1)是间隙宽度.

对于小的间隙(d ≪ 12 (R2 + R1)), 方程(8.154)给出的速度分布简化到两个平行平板之间

的Poiseuille流动的熟悉形式. 因此, 让

ζ = (r −R1)/(R2 −R1) (8.155)

我们发现, 精确到(d/R1)2, 速度分布变成

W (r) = 6Vmζ(1 − ζ) (8.156)

其中

Vm = − d2

12ρν

(∂p

∂z

)0

(8.157)

是轴向流动平均速度.

§8.5.1 扰动方程

我们现在将研究由方程(8.149), (8.152)和(8.153)定义的流动的稳定性. 让

ur, V + uθ, W + uz, ϖ(δp/ρ) (8.158)

描述扰动状态, 进一步假设, 扰动是轴对称的, 从第七章方程(7.134)-(7.136), 我们容易得到线性

化方程(见方程(8.69)-(8.71) 和第七章方程(7.149)-(7.153))

∂ur∂t

+W∂ur∂z

− 2Ωuθ = −∂ϖ∂r

+ ν(∇2ur −

urr2

)(8.159)

∂uθ∂t

+W∂uθ∂z

+

(dV

dr+V

r

)ur = ν

(∇2uθ −

uθr2

)(8.160)

∂uz∂t

+W∂uz∂z

+ urdW

dr= ν∇2uz −

∂ϖ

∂z(8.161)

其中∇2的含义是

∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

∂2

∂z2(8.162)

我们还有连续性方程(8.72). 寻找方程(8.159)-(8.163)的关于(z, t)具有依赖关系(8.73)的解, 我们

得到方程

ν

(DD∗ − k2 − i

p

ν− i

k

νW

)u+ 2Ωv = Dϖ (8.163)


ν

(DD∗ − k2 − i

p

ν− i

k

νW

)v = 2Au (8.164)

ν

(D∗D − k2 − i

p

ν− i

k

ν

)w − uDW = ikϖ (8.165)

和

D∗u = −ikw (8.166)

其中D,D∗, u, v和w具有方程(8.74)-(8.78)中的含义.

在方程(8.165) 和(8.166)之间消去w, 我们有

ν

k2

(D∗D − k2 − i

p

ν− i

k

νW

)D∗u+

i

k(DW )u = ϖ (8.167)

把这个关于ϖ的表达式, 代入方程(8.163), 我们得到

ν

k2D

(D∗D − k2 − i

p

ν− i

k

νW

)D∗u+

i

kD(uDW )

= ν

(DD∗ − k2 − i

p

ν− i

k

νW

)u+ 2Ωv (8.168)

经过移项, 方程(8.168)变成[DD∗ − k2 − i

ν(p+ kW )

](DD∗ − k2)u+ i

k

νru

[DD∗

(W

r

)]=

2Ωk2

νv (8.169)

这个方程必须与以下方程同时考虑[DD∗ − k2 − i

ν(p+ kW )

]v =

2A

νu (8.170)

方程(8.169) 和(8.170)必须在满足以下边界条件的情况下求解

u = v = 0, Du = 0, 当r = R1, R2 (8.171)

§8.5.2 窄间隙情况下的简化

如果两个圆柱之间的间隙d = R2 −R1与它们的平均半径之比是个小量, 与过去的例子类似,

我们不需要区分D和D∗, 且用Ω的线性表示

Ω = Ω1[1 − (1 − µ)ζ] (8.172)

[在方程(8.172)中, ζ是方程(8.155)定义的变量, Ω1和Ω2(= µΩ1)是两个圆柱的旋转角速度.] 在相

同的近似下(见方程(8.156)),

Wd

ν= 6

Vmd

νζ(1 − ζ) = 6Reζ(1 − ζ) (8.173)

其中Re是用轴向流动平均速度定义的Reynolds数. 在这些与窄间隙相适应的近似下,方程(8.169)

和(8.170) 采用的形式是

(D2 − a2) − i[σ + 6aReζ(1 − ζ)](D2 − a2)u− 12iaReu

= 2Ω1d

2

νa2[1 − (1 − µ)ζ]v (8.174)

和

(D2 − a2) − i[σ + 6aReζ(1 − ζ)]v =2Ad2

νu (8.175)


其中

a = kd, σ = pd2/ν (8.176)

而D表示d/dζ. 通过把坐标原点移到两个圆柱之间的中点, 且把

u 用1

2(1 + µ)

2Ω1d2

νa2u (8.177)

替换, 方程变成

(D2 − a2) − i[σ + 6aRe(1

4− ζ2)](D2 − a2)u− 12iaReu =

(1 − 2

1 − µ

1 + µζ

)v (8.178)

和

(D2 − a2) − i[σ + 6aRe(1

4− ζ2)]v = −Ta2u (8.179)

其中

T = −1

2(1 + µ)

4AΩ1

ν2d4 (8.180)

是如同第七章方程(7.278)那样定义的Taylor数.

结合边界条件

u = Du = v = 0, 当ζ = ±1

2(8.181)

方程(8.178)和(8.179)组成一个对于给定的a,Re,和σ时,关于T的一个特征值问题.对于任意给定

的σ, T的特征值通常是复数. 要求对于给定的a,和Re,实的T确定σ. (当Re给定时)关于不稳定性

发生的临界Taylor数则是(相当于a的) 最小的实的特征值的极小值, T就是这样确定的.

§8.5.3 当µ > 0时特征值问题的近似解

在第七章, §7.8.4 中, 通过忽略Ω在间隙中的变化, 并用平均值替代Ω(ζ), 我们看到, 当µ >

0(而Re = 0)时, 可以确定具有精度相当好的临界Taylor数. 在 §8.3.3中, 当−1 ≤ λ ≤ +1 时, 根据

方程(8.50)和(8.51),我们发现同样的情况. 因此,如果用W (ζ)和Ω(ζ)的平均值替代在间隙中有变

化的值,当µ > 0, Reynolds数不是太大时,似乎我们可以得到精度可比较的方程(8.178)和(8.179)的

解. 因此, 导致我们考虑更简单的方程

[(D2 − a2) − i(σ + aRe)](D2 − a2) − 12iaReu = v (8.182)

和

[(D2 − a2) − i(σ + aRe)]v = −Ta2u (8.183)

边界条件与(8.181)式相同.

方程(8.181)-(8.183)表示的特征值问题, 可以用我们现在熟悉的方法, 轻易地进行求解; 特别

是, 在 §4.9.2中用到的解方程(4.141) 和(4.142) 的方法, 仅仅作一些微小改动就可以应用. 因此,

我们把v展开成余弦级数

v =

∞∑m=0

Am cos[(2m+ 1)πζ] (8.184)

把u表示为

u =∞∑

m=0

Amum (8.185)

其中um是以下方程的解

[(D2 − a2) − i(σ + aRe)](D2 − a2) − 12iaReum = cos [(2m+ 2)πζ] (8.186)


它满足边界条件

um = Dum = 0, 当ζ = ±1

2(8.187)

要求的解是(见方程(4.175))

um = γ2m+1 cos[(2m+ 1)πζ] +2∑

j=1

B(m)j cosh qjζ (8.188)

其中1

γ2m+1= [(2m+ 1)2π2 + a2 + i(σ + aRe)][(2m+ 1)2π2 + a2] − 12iaRe (8.189)

B(m)j (j = 1, 2)是积分常数, 而q2j (j = 1, 2)是一元二次方程

(q2 − a2)[(q2 − a2) − i(σ + aRe)] − 12iaRe = 0 (8.190)

的根.关于um的解(8.188)式中的常数B(m)j , 是用边界条件(8.187)确定的. 如果我们把γ和q看作现

在的含义, 它们由方程(4.181)和(4.182)给出.

把由方程(8.184),(8.185) 和(8.188) 表示的v和u代入方程(8.183), 我们得到∑∞

m=0Amc2m+1 cos[(2m+ 1)πζ]

= Ta2∑∞

m=0Amγ2m+1 cos[(2m+ 1)πζ] +∑2

j=1B(m)j cosh qjζ

(8.191)

其中

c2m+1 = (2m+ 1)2π2 + a2 + i(σ + aRe) (8.192)

方程(8.191)导致特征方程

∥1

2

(22n+1

Ta2− γ2n+1

)δnm − (n | m)∥ = 0 (8.193)

其中

(n | m) = (−1)m+n+12(2n+ 1)(2m+ 1)π2γ2n+1γ2m+1∆(q21 − q22) (8.194)

和

∆ = (q1 tanh1

2q1 − q2 tanh

1

2q2)−1 (8.195)

在一阶近似中, (其中我们仅仅保留特征矩阵中的(0, 0)元素), T的解是

T =π2 + a2 + i(σ + aRe)

a2γ1[1 − 4πγ1∆(q21 − q22)](8.196)

其中1

γ1= [π2 + a2 + i(σ + aRe)](π2 + a2) − 12iaRe (8.197)

对于Reynolds数的少数值,根据方程(8.196)已经确定出临界Taylor数. 结果列在表XL中;另外,它

们也在图 8.10和图 8.11 中给出.

表XL

对于少数Re的临界Taylor数和相关的常数

Re a T −σ

0 3.12 1715 0

5 3.1 1753 12.6

20 3.4 2309 55.7

40 4.2 3881 140.9

60 5.2 5962 270.2

80 6.0 8319 425

100 6.6 10876 594


104

103

Tc

2

1 10 100

R

图 8.10 作为轴向流动Reynolds数的函数, 不稳定性发生的临界Taylor数Tc的观测和理论相关性

比较. (穿过实心圆点的)实线表示理论推导的关系而空心圆点则表示从Donnelly和Fultz的实验

推导出的结果.

图 8.11 当作轴向流动Reynolds数的函数时, 临界波数的变化.


§8.5.4 与实验结果的比较

在文献中报道的几种实验与受到轴向流动影响的旋转圆柱之间的横向流动有关. 但是这些

实验不是为研究和验证这种基本的流体动力学现象而特别设计的;因此,我们将把现在的讨论限

制在Donnelly, Fultz 的实验, 它们直接与上一节的理论结果有关.

Donnelly和Fultz的这些实验用的装置, 是在 §8.2.2 描述的他们的以前的实验中用的装置的

改进. 外圆柱同样是长度为94cm, 半径为R2 = 6.2846 ± 0.006cm的精镗有机玻璃管. 内圆柱(在

以前的实验中给出比值为η = 12的宽间隙)用长度为90cm, 半径为R1 = 5.9682 ± 0.0006cm的铝管

替代(位于这根管子较低的有效长度一半之上). 圆柱之间的间隙为0.3164cm (对应于η = 0.9497);

间隙宽度的不确定度为2%(意味着由此引起的Taylor数的不确定度是8%). 轴向流动是由重力引

起的在两个圆柱之间的从上往下的流动. 离开底部的水陆续地通过一条线路, 一个可调水泵, 一

个控制温度的水箱中的线圈, 一个精密热电偶, 一个球型流量计, 最后回到提供轴向流动顶部的

水槽.

这个装置可以成功地在轴向流动的Reynolds数达到100, Taylor数在102到2.5× 105之间运行.

当没有轴向流动时, 观测到在不稳定性发生时旋转周期正好是在7sec左右, 相应的Taylor数

是1700 (与理论值1708符合较好.) Donnelly和Fultz发现, 在边缘稳定性状态出现的细胞是极端规

则的, 具有理论估计的间距.

当轴向平均流动的Re ∼ 3时, Donnelly 和Fultz 看到很正规的细胞在Taylor数的范围1800-

1900内出现. 还有, 如同估计的那样, 观测到了超稳定性震荡: 它们或者表现在异相墨带的交替

变薄, 或者表现在异相墨带的交替变厚. 当Re ∼ 3时, 震荡周期估计是在7sec到10sec之间(相应

的σ的范围是5-9). 当Re ∼ 95,已经肯定得出Tc ∼ 10, 000,震荡周期相当短: 2.8sec,而与Re ∼ 3时

的7-10sec形成对比.

于是, 可以看出, 因为实验仍然是具有基本特征的, 它们很肯定地支持理论估计.

参考文献注释

§8.2. 在弯曲通道中粘性流动的稳定性首先是由Dean考虑的:

1. W.R. Dean,‘Fluid motion in a curved channel’,Proc. Roy. Soc.(London), A, 121,

402-20, 1928.

2. W.H. Reid,‘On the stability of viscous flow in a curved channel’,ibid. 244, 186-98,

(1958).

3. G. Hammerlin, ‘Die Stabilitat der Stromung in einem gekrummten Kanal

’,Arch.Rat.Mech.and Anal. 1, 212-24, (1958).

在文中处理问题的方法相当于Reid描述的两种求解方法中的一种. Reid的另一种方法是基于

把u用满足关于u的四个边界条件的正交函数展开. Hammerlin处理问题的方法是以解析方法为

基础的, 与文中采用的方法(主要是基本的方法) 是很不相同的. Hammerlin的处理方法来自他以

前的论文:

4. G. Hammerlin, ‘Uber das Eigenwertproblem der dreidimensionalen Instabilitat

laminarer Grenzschichten an konkaven Wanden ’,J. Rat. Mech. Analysis, 4, 279-

321, (1955).

把类似的方法应用于Couette流可见:


5. H. Witting,‘Uber den Einflußder Stromlinienkrummung auf die Stabilitat laminarer

Stromungen’,Arch. Rat. Mech. and Anal. 2, 243-83. (1958).

在§(c)中的Brewster, Grosberg,和Nissan实验工作的文献将在后边(文献12)给出.关于弯曲通道中

流动稳定性实验的一些早期工作是:

6. M. Adler, ‘Stromung in gekrummten Rohren ’,Z. angew. Math. Mech. 14,

257-75(1934).

但是Adler实验不是设计用于确定有精度的临界值Λ.

在弯曲通道中流动的其它重要方面, 和关于一般的弯曲表面, 我们还没有考虑:它们与不在本书

范围以内的边界层现象有关. 但是可以给出的基本文献是:

7. H. Gortler,‘Uber den Einflußder Wandkrummung auf die Entstehung der Turbu-

lenz’,Z. angew. Math. Mech., 20, 138-47, (1940).

8. ———, ‘Uber eine dreidimensionale Instabilitat laminarer Grenzschichten an

konkaven Wanden’,Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, N.F. 2, 1-26(1940).

9. ———, ‘Instabilitat laminarer Grenzschichten an konkaven Wanden gegenuber

gewissen dreidimensionalen Storungen’,Z. angew. Math. Mech. 21, 250-2(1941).

这些研究的一般考虑见:10. H.Schlichting, Boundary Layer Theory, McGraw-Hill Book Company, Inc.,New

York,1955;see particularly pp.355-65.

§8.3. 这一节考虑的问题的理论处理是来自:

11. R. C. Di Prima,‘The stability of viscous flow between rotating concentric cylinders

with a pressure gradient acting round the cylinders’,J. Fluid Mech. 6,462-8 (1959).

在§(d)描述的实验工作的参考文献是:

12. D. B. Brewster, P. Grosberg, and A. H. Nissan,‘The stability of viscous

flow between horizontal concentric cylinders, ’,Proc. Roy. Soc.(London), A, 251,

76-91, 1959.

§8.4. 当轴向压力梯度存在时, 旋转同心圆柱之间无粘流动的稳定性似乎还没有引起更多的注

意. 这一节主要是在如下文献中归纳的结果的展开:

13. S. Chandrasekhar,‘The hydrodynamic stability of inviscid flow between coaxial

cylinders’,Proc. Nat. Acad. Sci., 46, 137-41, 1960.

§8.4.1. 在考虑纯的轴向流动稳定性时, 我们仿照了在平行平面流动中类似问题的经典讨论. 以

下给出的Kelvin 和Rayleigh的论文特别适合:

14. Lord Kelvin,‘On a disturbing infinity in Lord Rayleigh’s solution for waves in a

plane vortex stratum’,186-7,Mathematical and Physical Papers, iv, Hydrodynamics

and General Dynamics, Cambridge,England,1910.

15. ———,‘Rectilineal motion of viscous fluid between twwo parallel planes ’, 321-

30.ibid.

16. Lord Rayleigh,‘On the stability,or instability,of certain fluid motions’Scientific

Paper, i,474-7, Cambridge, England, 1899.


17. ———,‘On the stability,or instability,of certain fluid motions.II’, .ibid. iii, 17-23,

Cambridge,England,1902.

18. ———, ‘On the question of the Stability of the flow of fluids ’,ibid. 575-84,

Cambridge, England, 1902.

19. ———,‘On the stability,or instability,of certain fluid motions.III’,ibid. iv. 203-9,

Cambridge, England, 1903.

20. ———, ‘On the stability of the laminar motion of an inviscid fluid ’,ibid. vi,

197-204, Cambridge,England, 1920.

关于不稳定模式存在的必要条件定理是Ψ(r)(= rDD∗(W/r))在(R1, R2)内必须消失,正好是模仿

了文献16和20中关于平行平面流动的一种证明. 当Ψ(r)到处同号时, 关于稳定解特征的说明, 模

仿了Rayleigh的文献17和20.

在文献18中, Rayleigh简要地考虑了在同心圆柱之间纯轴向流动,且表明,当具有一个eimθ关系的

非轴对称扰动, Ψ(r)的判别式用

d2W

dr2− 1

r

dW

dr

k2r2 −m2

k2r2 +m2

根据速度分布的某些限制, Ψ(r)在(R1, R2)内具有一个零点是不稳定性的充分必要条件. 关于它

的证明, 类似地, 是Lin在平行平面流动中关于相应的Tollmiem定理证明的简化翻版:

21. W. Tollmien, ‘Asymptotische Integration der Storungsdifferential- gleichung

ebener laminarer Stromungen bei hohen Reynoldsschen Zahlen ’, Z. angew. Math.

Mech. 25/27, 33-50 (1947).

22. ———, Ibid. 70-83 (1947).

23. C. C. Lin,‘On the stability of two-dimensional parallel flows.I.General theory ’,

Quart. Appl. Math. 3, 117-42 (1945).

24. ———,‘On the stability of two-dimensional parallel flows.II.Stability in an inviscid

fluid’,ibid. 218-34(1945).

25. ———‘On the stability of two-dimensional parallel flows.III.Stability in a viscous

fluid’,ibid. 277-301 (1946).

关于这些研究的精细考虑见:26. C.C.Lin, The Theory of Hydtodynamic Stability, Cambridge,England, 1955.

还有, 文献10的(第XVI章). 我感谢Lin教授给了我K.O. Friederichs 关于(在某些条件下)保证紧邻

模式不稳定性的中性模式存在性证明. 在文中方程(8.107)后的讨论仿照了文献26中Lin的处理方

法, 它把Friederichs给出的内容放大了.

沿着圆柱轴向粘性流动(对应于Ψ(r) = 0的Hagen-Poiseuille流动)的稳定性已经在以下文献中考

虑:

27. J. Pretsch,‘Uber die Stabilitat einer Laminarstromung in einem geraden Rohr

mit kreisformigem Querschnitt’, Z. angew. Math. Mech. 21, 204-17(1941).

Pretsch 发现在无粘情况下流动是稳定的.

§8.4.2. 这一节中的讨论是文献13的展开.

§8.5. 这一节中处理的这个问题的首次讨论是:


28. S. Goldstein,‘The stability of viscous fluid flow between rotating eylinders’,Proc.

Camb. Phil. Soc. 33, 41-61 (1937).

但是, Goldstein对特征值问题的非充分处理使他在最终结论中存在明显的错误. 例如, 他发现,

当Reynolds数超过25时, 临界Taylor数T c在初始的一个小的上升之后, 突然很快下降; 而在§(c)中的归纳的计算结果表明T c是Re的单调增函数.

表XL中列出的结果来自:

29. S. Chandrasekhar,‘The hydrodynamic stability of viscid flow between coaxial

cylinders’,Proc. Nat. Acad. Sci. 46, 141-3(1960).

非常类似的结果, 很快被独立地得出:

30. R. C. Di Prima, (in press).

在§(d)中描述的实验工作的参考文献是:

31. R. J. Cornish,‘Flow of water through fine clearances with relative motion of the

boundaries’,Proc. Roy. Soc. (London) A,140, 227-40(1933).

32. C. Gazley, Jr. ‘Heat-transfer characteristics of the rotational and axial flow

between concentric cylinders’,Trans. Amer. Soc. Mech. Eng.,Paper Np.56-A-128,1-

16(1956).

33. J. Kaye and E. C. Elgar, ‘Modes of adiabatic and diabatic fluid flow in an

annulus with an inner rotating cylinder’,ibid.57-HT-14,1-11(1957).

34. R. J. Donnelly and Dave Fultz,‘Experiments on the stability of spiral flow

between rotating cylinders’,Proc. Nat. Acad. Sci. 46, 1150-54(1960).

第九章在磁场中Couette流动的不稳定性

§9.1 在圆柱极坐标系下的磁流体力学方程

在这一章, 我们将把以上两章的主要考虑, 延伸到磁流体力学. 特别是, 我们将涉及当轴向

作用一个均匀磁场, 流体为电导体时, Couette流动的稳定性.

在设想的一般条件下, 流体的控制方程已经在第四章 §4.2(方程(4.10) 和(4.15))中推导出来.

但是, 当处理的问题是圆柱边界, 基本流动是周向时, 把基本方程在圆柱极坐标系下写出, 是方

便的. 用ur, uθ,和uz, 以及用Hr,Hθ,和Hz分别表示在径向r, 横向θ, 和轴向z的速度分量, 我们有

方程:∂ur∂t


− µ

4πρ

(H · grad)Hr −

H2θ

r

= − Π

∂r+ ν

(∇2ur −

2

r2∂uθ∂θ

− urr2

)(9.1)

∂uθ∂t

+ (u · grad)uθ +uθurr

− µ

4πρ

(H · grad)Hθ +

HθHr

r

= −1

r

∂Π

∂θ+ ν

(∇2uθ +

2

r2∂ur∂θ

− uθr2

)(9.2)

∂uz∂t

+ (u · grad)uz −µ

4πρ(H · grad)Hz = −∂Π

∂z+ ν∇2uz (9.3)

∂Hr

∂t+ (u · grad)Hr − (H · grad)ur = η

(∇2Hr −

2

r2∂Hθ

∂θ− Hr

r2

)(9.4)

∂Hθ

∂t+ (u · grad)Hθ − (H · grad)uθ +

1

r(uθHr − urHθ)

= η

(∇2Hθ +

2

r2∂Hr

∂θ− Hθ

r2

)(9.5)

和∂Hz

∂t+ (u · grad)Hz − (H · grad)uz = η∇2Hz (9.6)

其中

Π =p

ρ+µ | H |2

8πρ+ V (9.7)

而(u · grad)和(H · grad)具有含义

(u · grad) = ur∂

∂r+uθr

∂

∂θ+ uz

∂

∂z(9.8)

和

(H · grad) = Hr∂

∂r+Hθ

r

∂

∂θ+Hz

∂

∂z(9.9)

还有,∇2表示Laplce算子

∇2 =∂2

dr2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(9.10)

另外, 在柱极坐标系下, 条件

divu = 0, divH = 0 (9.11)

取形式∂ur∂r

+urr

+1

r

∂uθ∂θ

+∂uz∂z

= 0 (9.12)

301

302 第九章在磁场中Couette流动的不稳定性

和∂Hr

∂r+Hr

r+

1

r

∂Hθ

∂θ+∂Hz

∂z= 0 (9.13)

容易验证, 以上方程允许稳态解

ur = uz = 0, uθ = V (r),

Hr = Hθ = 0, Hz = H = constant (9.14)

给出dΠ

dr=V 2

r(9.15)

和

ν

(∇2V − V

r2

)= ν

d

dr

(dV

dr+V

r

)= 0 (9.16)

方程(9.16)的通解是

V (r) = Ar +B/r (9.17)

其中A和B是两个常数. 因此, 轴向均匀磁场的存在, 没有影响到无磁场时允许的横向速度分布.

在解(9.17)式中的常数A和B,与限制流体的两个圆柱的角速度有关;它们是(见第七章方程(7.145)

和(7.146) )

A = −Ω1η2 1 − µ/η2

1 − η2, B = Ω1

R21(1 − µ)

1 − η2(9.18)

其中

µ = Ω2/Ω1, η = R1/R2 (9.19)

如果存在一个横向的压力梯度(如同在第八章 §8.2 和 §8.3 中考虑的那样), 则Poiseuille型流

动, 将被叠加在速度分布(9.17) 式上, 它正好是这种流动没有存在时的速度分布; 而这时的流动

将由与第八章方程(8.5) 和(8.6), 和(8.36)相同的方程描述.

§9.2 当与轴向平行的磁场存在时, 非耗散Couette流动的稳定性

在我们对方程(9.14),(9.15) 和(9.17) 描述的允许粘性和电阻率, 对流动稳定性的充分影响进

行研究之前, 考虑两种耗散机理都不起作用的较简单的情况, 是有用的. 这时, 方程(9.1)-(9.6)中

含ν和η的项将被抑制; 得到的更简单的方程, 允许有稳态解

ur = uz = 0, uθ = V (r) = rΩ(r),

Hr = Hθ = 0, Hz = H = constant (9.20)

其中V (r)现在是r的任意函数.

考虑解(9.20)表示的流动的一个无穷小扰动. 让扰动状态用

ur, V + uθ, uz, ϖ(= δΠ), hr, hθ,H + hz (9.21)

描述. 容易发现, 控制扰动的线性方程是

∂ur∂t

+ Ω∂ur∂θ

− 2Ωuθ −µH

4πρ

∂hr∂z

= −ϖ

∂r(9.22)

∂uθ∂t

+ Ω∂uθ∂θ

+

(dV

dr+V

r

)ur −

µH

4πρ

∂hθ∂z

= −1

r

∂ϖ

∂θ(9.23)

§9.2 当与轴向平行的磁场存在时, 非耗散Couette流动的稳定性 303

∂uz∂t

+ Ω∂uz∂θ

− µH

4πρ

∂hz∂z

= −1

r

∂ϖ

∂z(9.24)

∂hr∂t

+ Ω∂hr∂θ

−H∂ur∂z

= 0 (9.25)

∂hθ∂t

+ Ω∂hθ∂θ

−H∂uθ∂z

−(dV

dr− V

r

)hr = 0 (9.26)

和∂hz∂t

+ Ω∂hz∂θ

−H∂uz∂z

= 0 (9.27)

除此之外, 我们还有表示u和h无散度的条件(9.12) 和(9.13) 式.

分析扰动的正交模式, 我们寻找以上方程对t, θ和z的依赖关系如下的解

ei(pt+mθ+kz) (9.28)

其中p是一个(可以是复数的)常数,m是(正的, 零, 或者负的)整数,k在z方向的扰动波数.

现在让ur(r), uθ(r)等表示对(t, θ, z)的依赖关系由(9.28)式给出的各种扰动幅度. 方程(9.22)-

(9.27)于是变成

iσur − 2Ωuθ −µH

4πρikhr = −dϖ

dr(9.29)

iσuθ +

(dV

dr+V

r

)ur −

µH

4πρikhθ = − im

rϖ (9.30)

iσuz −µH

4πρikhz = −ikϖ (9.31)

iσhr = ikHur (9.32)

iσhθ = ikHuθ +

(dV

dr− V

r

)hr (9.33)

和

iσhz = ikHuz (9.34)

其中

σ = p+mΩ (9.35)

让

ur = iσξr, uθ = iσξθ −(dV

dr− V

r

)ξr, uz = iσξz (9.36)

定义Lagrange位移ξ(见第八章 §8.4.1 ). 把ξ的定义式与联系h和u的方程(9.32)-(9.34) 进行比较,

显然可见

h = ikHξ (9.37)

h和u的这种正比例关系, 是一个事实的表达形式: 在零电阻率的介质中, 力线是被流体牵着的.(σ2 − 2rΩ

dΩ

dr− Ω2

A

)ξr + 2iσΩξθ =

dϖ

dr(9.38)

用ξ, 方程(9.29)-(9.31)变成:

(σ2 − Ω2A)ξθ − 2iσΩξr =

im

rϖ (9.39)

(σ2 − Ω2A)ξz = ikϖ (9.40)

其中

Ω2A =

µH2

4πρk2 (9.41)


是Alfven频率. 除了这些方程, 我们还有连续性方程(见第七章方程(7.46))

D∗ξr +im

rξθ + ikξz = 0 (9.42)

其中

D∗ = D +1

r=

d

dr+

1

r(9.43)

方程(9.39) 和(9.40) 分别乘以−im/r和−ik, 相加并应用方程(9.42), 我们得到

(σ2 − Ω2A)D∗ξr −

2mσΩ

rξr =

(m2

r2+ k2

)ϖ (9.44)

接着, 在方程(9.38) 和(9.39)之间消去ξθ, 我们有(σ2 − Ω2

A − 2rΩdΩ

dr− 4Ω2σ2

σ2 − Ω2A

)ξr = Dϖ +

2mσΩ

σ2 − Ω2A

ϖ

r(9.45)

另一方面

2rΩdΩ

dr+

4Ω2σ2

σ2 − Ω2A

= 2rΩdΩ

dr+ 4Ω2 +

4Ω2Ω2A

σ2 − Ω2A

= Φ(r) +4Ω2Ω2

A

σ2 − Ω2A

(9.46)

其中Φ(r)是Rayleigh判别式. 现在, 方程(9.45)可以写成(σ2 − Ω2

A − Φ(r) − 4Ω2σ2

σ2 − Ω2A

)ξr = Dϖ +

2mσΩ

σ2 − Ω2A

ϖ

r(9.47)

这个方程必须与方程(9.44)同时考虑.

如果流体限制在两个半径分别为R1和R2的刚性同心圆柱之间, 我们必须要求在壁面上, 速

度的径向分量消失. 因此, 方程(9.44) 和(9.46) 必须在满足以下边界条件下求解

ξr = 0, 当r = R1, R2 (9.48)

§9.2.1 m = 0的情况

当m = 0时,σ = p, 基本方程是(p2 − Ω2

A − Φ(r) − 4Ω2Ω2A

p2 − Ω2A

)ξr = Dϖ (9.49)

和

(p2 − Ω2A)D∗ξr = k2ϖ (9.50)

在这些方程之间消去ϖ, 我们得到

κ(DD∗ − k2)ξr = −k2[Φ(r) +

4Ω2Ω2A

κ

]ξr (9.51)

其中

κ = p2 − Ω2A (9.52)

方程(9.51)和边界条件(9.48)组成一个关于κ的特征值问题.我们将首先表明κ的所有特征值

是实数.

方程(9.51)乘以rξ∗r , 并在r的范围内进行积分. 分部积分之后, 我们得到

κ

∫ R2

R1

r| D∗ξr |2 +k2 | ξr |2dr = k2∫ R2

R1

rΦ(r) | ξ |2 dr+

§9.2 当与轴向平行的磁场存在时, 非耗散Couette流动的稳定性 305

+4Ω2

Ak2

κ

∫ R2

R1

rΩ2 | ξr | dr (9.53)

这个方程的虚部给出

im(κ)

[∫ R2

R1

r| D∗ξr |2 +k2 | ξr |2dr +4Ω2

Ak2

| κ |2

∫ R2

R1

rΩ2 | ξr |2 dr

]= 0 (9.54)

这个方程中im(κ)的因子是正定的. 因此

im(κ) = 0 (9.55)

这就证明了κ是实的.p2的特征值, 和所有属于它们的特征函数, 因此也是实的.

考虑到κ的特征值是实数, 我们可以把方程(9.53)重新写成形式

κ2I1 − κk2I2 − 4k2Ω2AI3 = 0 (9.56)

其中

I1 =

∫ R2

R1

r(D∗ξr)2 + k2ξ2rdr (9.57)

I2 =

∫ R2

R1

rΦ(r)ξ2rdr (9.58)

和

I3 =

∫ R2

R1

rΩ2ξ2rdr (9.59)

方程(9.56)给出了关于这个问题的变分公式的基础. 为了看出这一点, 考虑仅与ξr的边界条

件相适应的ξr的变分δξr对κ的影响. 精确到变分的一阶精度,

− (2κI1 − k2I2)δκ = κ2δI1 − κk2δI2 − 4k2Ω2AδI3 (9.60)

δI1 = 2∫ R2

R1r(D∗ξr)(D∗δξr) + k2ξrδξrdr

= −2∫ R2

R1r(DD∗ − k2)ξrδξrdr

(9.61)

δI2 = 2

∫ R2

R1

rΦ(r)ξrδξrdr (9.62)

和

δI3 = 2

∫ R2

R1

rΩ2ξrδξrdr (9.63)

是与积分I1, I2和I3相对应的变分, 把以上关于δI1等的表达式, 代入方程(9.60), 我们得到

(κI1 −1

2k2I2)

δk

κ=

∫ R2

R1

rδξr

κ(DD∗ − k2)ξr + k2

[Φ(r) +

4Ω2Ω2A

κ

]ξr

dr (9.64)

从这个方程可以看出:对于所有与边界条件相适应的ξr的变分, 精确到一阶的δκ消失的充分必要

条件是ξr为特征值问题的一个特解.

现在求出方程(9.56)的根(考虑我们已经指出的定理时它是有意义的), 我们有

κ = p2 − Ω2A =

1

2I1k2I2 ±

√(k4I22 + 16k2Ω2

AI1I3) (9.65)


对于稳定性, 必须

p2 = Ω2A +

1

2I1k2I2 −

√(k4I22 + 16k2Ω2

AI1I3) > 0 (9.66)

显然这个条件相当于

2I1Ω2A + k2I2 >

√(k4I22 + 16k2Ω2

AI1I3) (9.67)

对这个不等式取平方(因为不等式的两边是正的, 它是允许的), 我们有

4I21Ω4A + 4k2Ω2

AI1I2 > 16k2Ω2AI1I3 (9.68)

或者

I1Ω2A > k2(4I3 − I2) (9.69)

把方程(9.58) 和(9.59) 表示的I2和I3代入方程(9.69), 我们得到

I1Ω2A > k2

∫ R2

R1

4Ω2 − Φ(r)rξ2rdr (9.70)

应用Alfven频率ΩA和Rayleigh判别式的定义式, 我们得到

I1µH2

4πρ> −

∫ R2

R1

(dΩ2

dr

)r2ξ2rdr (9.71)

作为稳定性条件.

从方程(9.71)得出:在零磁场的极端条件下, 角速度| Ω |为r的单调增函数是稳定性的一个充分条件. 同时, 任何逆的角速度梯度可以被足够强的磁场稳定化.1

值得说明的是,在某些情况下,我们不能发现在零磁场的极限情况下的Rayleigh准则, Φ(r) >

0. 原因在于, 这必须以在零电阻率的情况下磁力线是永远被流体牵引的条件为基础(见第四章

§4.3.2 ); 而这种牵引的永恒性一点也不依赖于磁场强度.

§9.2.2 m = 0的情况

如同在相关的章节中的情况(第七章 §7.4.3 ), 方程(9.44),(9.47),和(9.48) 考虑考虑为组成一

个k2 的特征值问题, 这样看来, 它是一个自伴随问题. 因此, 从这些方程我们得出

∫ R2

R1rσ2 − Ω2

A − Φ(r) − 4Ω2Ω2A

σ2−Ω2A

ξ2rdr

=∫ R2

R1

(rξr

dϖdr + 2mσΩ

σ2−Ω2Aϖξr

)dr

= −∫ R2

R1ϖ

ddr (rξr) − 2mσΩ

σ2−Ω2Aξr

dr

= −∫ R2

R1

1σ2−Ω2

A

(m2

r2 + k2)rϖ2dr

(9.72)

或者, 我们可以写出

k2∫ R2

R1

rϖ2

σ2 − Ω2A

dr =

∫ R2

R1

1

σ2 − Ω2A

(−m

2

r2ϖ2 + 4Ω2Ω2

Aξ2r

)+ (Φ − σ2 + Ω2

A)ξ2r

rdr (9.73)

容易表明, 这个方程给出了当其它参数给定时,k2的一个变分问题的基础. 但是, 当m = 0时, 关

于这些模式稳定性的条件还没有确定.

§9.3 当一个磁场作用在轴向时旋转液体柱的震荡周期

在这一节, 我们将考虑方程(9.44) 和(9.47)在一些特殊情况下的解.

1 这取决于I1是有界的, 正定的, 且不能取零值.

§9.3 当一个磁场作用在轴向时旋转液体柱的震荡周期 307

§9.3.1 Ω = constant的情况

当Ω = constant时,Φ = 4Ω2, 而

Φ(r) +4Ω2Ω2

A

σ2 − Ω2A

=4Ω2σ2

σ2 − Ω2A

(9.74)

其中要回忆得到的是

σ2 − Ω2A = (p+mΩ)2 − µH2

4πρk2 = κ (9.75)

这时, 方程(9.44) 和(9.47)变成

d

dr(rξr) − 2mσΩ

κξr =

1

κ

(m2

r2+ k2

)rϖ (9.76)

和 (κ− 4Ω2σ2

κ

)ξr =

dϖ

dr+

2mσΩ

κ

ϖ

r(9.77)

在这些方程中消去ξr, 并通过移项得到

d2ϖ

dr2+

1

r

dϖ

dr+

k2(

4σ2Ω2

κ2− 1

)− m2

r2

ϖ = 0 (9.78)

边界条件要求dϖ

dr+

2mσΩ

κ

ϖ

r= 0 当r = R1, R2 (9.79)

把方程(9.78) 和(9.79)与第七章方程(7.88) 和(7.89)比较, 我们看到方程变成相同, 如果

方程(9.78)和(9.79)中的κ

σ, 用σ 替代 (9.80)

因此, 如果σ0表示(对于给定的k)在 §7.5.1 中考虑的问题的特征值, 则关于现在的磁流体力学问

题的特征值, 由以下关系给出

σ0 =κ

σ= σ − Ω2

A

σ(9.81)

或者

σ2 − σ0σ − Ω2A = 0 (9.82)

因此, 轴向磁场的存在把(没有磁场时)的每个特征值σ分成两个,σ1和σ2, 它们满足

σ1 + σ2 = σ0, σ1σ2 = −Ω2A (9.83)

或者更特别地

σ =1

2[σ0 ±

√(σ2

0 + 4Ω2A)] (9.84)

§9.3.2 当m = 0,Ω = A+B/r2时, 在窄间隙情况下, 一个磁场的稳定化效应

作为第二个例子, 我们将考虑当Ω(r)具有粘性流动允许的形式A + B/r2时的方程(9.51). 这

时

Φ(r) = 4AΩ(r) (9.85)

方程(9.51)显然有形式

(DD∗ − k2)ξr = −4k2

κ2

(Ap2 + Ω2

A

B

r2

)Ωξr (9.86)


如果两个圆柱之间的间隙d = R2 − R1与平均半径R0 = 12 (R1 + R2)相比是个小量, 则, 我们

可以如同前边的情况, 忽略D和D∗的差别, 进一步把Ω(r)用

Ω = Ω1[1 − (1 − µ)ζ] (9.87)

替代, 其中

ζ = (r −R1)/d (9.88)

在相同的近似下

A ≃ −1

2Ω1

1 − µ

1 − η,

B

r2≃ 1

2Ω1

1 − µ

1 − η(9.89)

因此, 在这些近似下, 方程(9.86)变成

(D2 − a2)ξr = a22Ω2

1(1 − µ)

κ(1 − η)[1 − (1 − µ)ζ]ξr (9.90)

其中

k = a/d, D = d/dζ (9.91)

如果我们让

λ = −2Ω21(1 − µ)

κ(1 − η)= −2Ω2

1R0(1 − µ)

dκ(9.92)

方程(9.90)与第七章方程(7.111)变得相同. 因此, 如果λ(a;µ)是对于 §7.5.2(i)中考虑的问题, Reid

确定的特征值, 要求的κ是

κ = −2Ω21R0(1 − µ)

dλ(a;µ)(9.93)

因此

p2 = Ω2A − 2Ω2

1R0(1 − µ)

dλ(a;µ)(9.94)

把(9.41)式表示的Ω2A代入(9.94), 我们可以写出2

p2 = k2[µ∗H

2

4πρ− 2Ω2

1R0d(1 − µ)

a2λ(a;µ)

](9.95)

因此, 波数为k = a/d的扰动将被稳定化, 如果

µ∗H2

4πρ> 2Ω2

1R0d[(1 − µ)Λ(a;µ)] (9.96)

其中

Λ(a;µ) =1

a2λ(a;µ)(9.97)

在图 9.1 中显示了当µ = 1, 0,−1时的函数Λ(a;µ). 可以看出Λ(a;µ)是a的单调减函数. 相应

地, 如果

Λ0(µ) = lima→0

Λ(a;µ) (9.98)

由方程(9.87)表示的逆流(当µ < 1时)所有的波数将被稳定化(即, 完全稳定化), 只要

µ∗H2

4πρ> 2Ω2

1R0d[(1 − µ)Λ0(µ)] (9.99)

在表XLI中(见图 9.2 )列出了Λ0(µ)和(1 − µ)Λ0(µ)的数值.

2 为了避免使用µ的两种不同含义(有时作为磁场的磁导率, 有时作为角速度的比值), 我们暂时用µ∗表示磁导率.

§9.3 当一个磁场作用在轴向时旋转液体柱的震荡周期 309

µ=1

µ=0

µ=−1

2 4 6 8 10 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

图 9.1 对于几种µ的函数Λ(a;µ)(见方程(9.97)).

1−µ

(1−µ

)Λ0(µ

)

图 9.2 (1 − µ)Λ0(µ)的特征(见方程(9.99)).

可以看出当µ ≃ −0.1275时,(1 − µ)Λ0(µ)显示出一个极大值, 它的值是∼ 0.0532. 因此, 所有

的逆流将被稳定化, 只要

µ∗H2

4πρ> qc(2Ω2

1R0d), 其中qc ≃ 0.0532 (9.100)

当(1 − µ) → ∞时, 可以给出

Λ0(µ) → 1

(−a1)3(1 − µ)2=

0.07824

(1 −mu)2, ((1 − µ) → ∞) (9.101)

其中a1是Airy函数Ai(x)的第一个零点; 因此, 在这种极限条件下

µ∗H2

4πρ> 0.1565

Ω21R1d

1 − µ, ((1 − µ) → ∞) (9.102)


表XLI

Λ0(µ)和(1− µ)Λ0(µ)的值

1− µ Λ0(µ) (1− µ)Λ0(µ) 1− µ Λ0(µ) (1− µ)Λ0(µ)

0 0.10132 0 1.10 0.04831 0.05315

0.25 0.08843 0.02211 1.15 0.04621 0.05315

0.50 0.07634 0.03817 1.20 0.04418 0.05302

0.75 0.06435 0.04826 1.25 0.04208 0.05260

1.00 0.05277 0.05277 1.50 0.03269 0.04903

1.05 0.05053 0.05305 1.75 0.02513 0.04397

§9.4 当平行于轴向由流动时非耗散的Couette流动稳定性

另一个有趣的非耗散Couette流动的例子出现在当沿着轴向有一种稳态流动时. 在这种情况

下,将在横的θ方向流行一个磁场;而且我们将看到,它对流动稳定性的影响与轴向磁场的影响是

大不相同的.

ν和η项被抑制的方程(9.1)-(9.6), 允许稳态解

ur = uz = 0, , uθ = V (r), Hr = Hz = 0, Hθ = Hθ(r) (9.103)

和dΠ

dr= −V

2

r+

µ

4πρ

H2θ

r(9.104)

让这种流动的扰动状态用

ur, uz, V (r) + uθ, hr, hz,Hθ + hθ, ϖ = δΠ (9.105)

描述, 当限于属于用来寻找(9.28)式给出的(t, θ, z)依赖关系的特殊模式的扰动时, 我们容易发现

相应的方程是:

iσur − 2Ωuθ −µ

4πρ

(imHθ

rhr − 2

Hθhθr

)= −Dϖ (9.106)

iσuθ + (D∗V )ur −µ

4πρ

imHθ

rhθ + (D∗Hθ)hr

= − im

rϖ (9.107)

iσuz −µ

4πρ

(imHθ

rhz

)= −ikϖ (9.108)

iσhr =imHθ

rur (9.109)

iσhθ = −rurd

dr

(Hθ

r

)+ rhr

dΩ

dr+imHθ

ruθ (9.110)

和

iσhz =imHθ

ruz (9.111)

其中的符号具有 §9.7 中相同的含义; 特别地

σ = p+mΩ, D∗ = D +1

r=

d

dr+

1

r(9.112)

(注: 对于m = 0模式,hr = hz = 0.)

让ξ, 表示如同方程(9.36)那样定义的Lagrange位移, 在方程(9.109)-(9.111)中用ξ代替u, 我们

发现

hr =imHθ

rξr, hz =

imHθ

rξz (9.113)

§9.4 当平行于轴向由流动时非耗散的Couette流动稳定性 311

和

hθ =imHθ

rξθ − rξr

d

dr

(Hθ

r

)(9.114)

现在, 在方程(9.106)-(9.108)中, 根据方程(9.36),(9.113) 和(9.114)代入u和h, 经过一些简化之

后, 我们发现 [σ2 −m2Ω2

H − 2rΩdΩ

dr+

µr

4πρ

d

dr

(Hθ

r

)2]ξr+

+ 2i(σΩ −mΩ2H)ξθ = Dϖ (9.115)

(σ2 −m2Ω2H)ξθ − 2i(σΩ −mΩ2

H)ξr =im

rϖ (9.116)

和

(σ2 −m2Ω2H)ξz = ikϖ (9.117)

其中

Ω2H =

µ

4πρ

(Hθ

r

)2

(9.118)

除了方程(9.115)-(9.117), 我们还有连续性方程(9.42).

方程(9.116) 和(9.117)分别乘以−im/r和−ik, 相加, 并应用连续性方程, 我们得到

(σ2 −m2Ω2H)D∗ξr −

2m

r(σΩ −mΩ2

H)ξr =

(m2

r2+ k2

)ϖ (9.119)

在方程(9.115) 和(9.116)之间消去ξθ, 我们得到[σ2 −m2Ω2

H − 2rΩdΩ

dr+

µ

4πρrd

dr

(Hθ

r

)2

− 4(σΩ −mΩ2

H)2

σ2 −m2Ω2H

]ξr

= Dϖ +2m

r

σΩ −mΩ2H

σ2 −m2Ω2H

ϖ (9.120)

方程(9.119) 和(9.120)必须在满足以下边界条件的情况下求解

ξr = 0, 当r = R1, R2 (9.121)

§9.4.1 m = 0的情况

当m = 0时, 方程(9.119) 和(9.120)大大地简化了. 而且, 因为, 这时σ = p, 我们剩下的是

D∗ξr =k2

p2ϖ (9.122)

和

[p2 − Ψ(r)]ξr = Dϖ (9.123)

其中

Ψ(r) = 2rΩdΩ

dr+ 4Ω2 − µ

4πρrd

dr

(Hθ

r

)2

(9.124)

记住Rayleigh判别式Φ(r), 我们可以写出

Ψ(r) = Φ(r) − µ

4πρrd

dr

(Hθ

r

)2

(9.125)


现在, 在方程(9.122) 和(9.123) 之间消去ϖ, 我们得到

(DD∗ − k2)ξr = −k2

p2Ψ(r)ξr (9.126)

比较方程(9.126) 和第七章方程(7.58), 我们看到对于这个问题, Ψ(r)发挥的作用, 与流体动力学

问题中Rayleigh判别式Φ(r)发挥的作用正好相同. 因此, 我们可以得出结论: 当扰动轴对称时, 方

程(9.103)表示的流动稳定的充分必要条件是, Ψ(r)在整个区间(R1, R2)内为正的; 同样, 当Ψ在这

个区间的任何位置必须变号时, 流动当然是不稳定的.

§9.4.2 m = 0的情况

当m = 0时, 当作k2的一个特征值问题的方程(9.119)-(9.121), 可以写成变分形式, 而这种变

分形式的基础, 由以下可以轻易得到的积分给出∫ R2

R1

r

σ2 −m2Ω2

H − Ψ(r) + 4Ω2 − 4(σΩ −mΩ2H)2

σ2 −m2Ω2H

ξ2rdr

= −∫ R2

R1

1

σ2 −m2Ω2H

(m2

r2+ k2

)rϖ2dr (9.127)

§9.5 当存在轴向和横向磁场时非耗散Couette流动的稳定性

我们将简要考虑, 当存在的电流密度产生一个周向磁场Hθ叠加在轴向磁场Hz上的情况. 在

这些条件下, 在确定非耗散的Couette流动稳定性时, 我们将限制在轴向扰动.

继续进行如同 §9.2 和 §9.4 中的考虑, 我们容易发现, 代替方程(9.29)-(9.34) 和方程(9.106)-

(9.111), 我们得到

ipur − 2Ωuθ −µ

4πρ

(ikHzhr −

2Hθ

rhθ

)= −Dϖ (9.128)

ipuθ + (D∗V )ur −µ

4πρikHzhθ + hr(D∗Hθ) = 0 (9.129)

ipuz −µ

4πρikHzhz = −ikϖ (9.130)

iphr = ikHzur (9.131)

iphθ = ikHzuθ + rhrdΩ

dr− rur

d

dr

(Hθ

r

)(9.132)

和

iphz = ikHzhz (9.133)

现在我们用以下方程定义Lagrange位移

ur = ipξr, uθ = ipξθ − rdΩ

drξr, uz = ipξr (9.134)

(这些方程与方程(9.36)的唯一差别, 是用与m = 0的情况下相对应的p代替σ.) 根据方程(9.131)-

(9.133) 和(9.134) 的比较, 可知

hr = ikHzξr, hθ = ikHzξθ − rξrd

dr

(Hθ

r

), hz = ikHzξz (9.135)

用ξ代替用这种形式表示的u和h, 方程(9.128) 和(9.129) 变成(p2 − Ω2

A − rd

drΩ2 + r

d

drΩ2

H

)ξr + 2i(pΩ − ΩAΩH)ξθ = Dϖ (9.136)

§9.6 磁流体力学中的耗散Couette流动稳定性. 扰动方程 313

和

(p2 − Ω2A)ξθ − 2i(pΩ − ΩAΩH)ξr = 0 (9.137)

其中

Ω2A =

µHzk2

4πρ, Ω2

H =µH2

θ

4πρr2(9.138)

具有在 §9.2 和 §9.4 中相同的含义.(见方程(9.41) 和(9.118)). 类似地, 方程(9.130) 变成

(p2 − Ω2A)ξz = ikϖ (9.139)

但是在轴对称情况下的连续性方程要求

D∗ξr = −ikϖ (9.140)

因此

(p2 − Ω2A)D∗ξr = k2ϖ (9.141)

把方程(9.136),(9.137) 和(9.134)适当联立, 我们最终发现

(p2 − Ω2A)(DD∗ − k2)ξr = −k2

[rd

dr(Ω2 − Ω2

H) +4(pΩ − ΩAΩH)2

p2 − Ω2A

]ξr (9.142)

§9.5.1 Ω = 0的情况

在这种情况下, 方程(9.142)简化为

κ(DD∗ − k2)ξr = −k2(−r dΩ2

H

dr+

4Ω2AΩ2

H

κ

)ξr (9.143)

其中

κ = p2 − Ω2A (9.144)

把方程(9.143)与方程(9.51)进行比较, 我们看到当ΩH和−rdΩ2H/dr分别起着Ω和Φ(r)相同的作用

时, 这两个方程正好具有相同的形式. 因此, 现在有了与 §9.2.1 的定理相对应的定理. 因此, κ的

特征值(因此, 也是p2)是实数. 关于稳定性的充分必要条件是(见方程(9.70))

I1Ω2A > k2

∫ R2

R1

(4Ω2

H + rdΩ2

H

dr

)rξ2rdr (9.145)

代入(138)和(145)表示的Ω2A和Ω2

H , 我们有

I1H2z >

∫ R2

R1

4H2

θ

r2+ r

d

dr

(Hθ

r

)2rξ2rdr (9.146)

这个不等式的等价形式是

I1H2z >

∫ R2

R1

ξ2rr2

d

dr(r2H2

θ )dr (9.147)

从中可知关于稳定性的充分条件是Hθ(r)下降得比1/r更快.

§9.6 磁流体力学中的耗散Couette流动稳定性. 扰动方程

正如我们在 §9.1中已经看到的,当作用一个均匀的轴向磁场时,磁流体力学方程允许的Ω(r)分

布与没有磁场存在时相同. 但是, 类似于在第IV章中考虑的Benard问题, 我们将期望磁场对不稳

定性的发生有一个非常深刻的影响. 在这一节我们开始研究这个问题.


让流动的扰动状态用

ur, V + uθ, uz, hr, hθ, H + hz, ϖ(= δΠ) (9.148)

描述. 我们将进一步假设扰动是轴对称的, 因而是与θ无关的. 于是, 从方程(9.1)-(9.6)我们得到

线性化方程∂ur∂t

− 2Ωuθ −µH

4πρ

∂hr∂z

= −∂ϖ∂r

+ ν(∇2ur −

urr2

)(9.149)

∂uθ∂t

+

(dV

dr

)ur −

µH

4πρ

∂hθ∂z

+ ν(∇2uθ −

uθr2

)(9.150)

∂uz∂t

− µH

4πρ

dhz∂z

= −∂ϖ∂z

+ ν∇2uz (9.151)

∂hr∂t

−H∂ur∂z

= η

(∇2hr −

hrr2

)(9.152)

∂hθ∂t

−H∂uθ∂z

−(dV

dr− V

r

)hr = η

(∇2hθ −

hθr2

)(9.153)

和∂hz∂t

−H∂uz∂z

= η∇2hz (9.154)

其中∇2现在具有含义

∇2 =∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

∂2

∂z2(9.155)

还有, 对于轴对称的扰动, 要求u和h无散度的条件是

∂ur∂r

+urr

+∂uz∂z

= 0 (9.156)

和∂hr∂r

+hrr

+∂hz∂z

= 0 (9.157)

通过扰动的正交模式分析, 我们寻找具有下列形式的以上方程的解

ur = eptu(r) cos kz, hr = eptϕ(r) sin kz

uθ = eptv(r) cos kz, hθ = eptψ(r) sin kz

uz = eptw(r) sin kz, hz = eptχ(r) cos kz

ϖ = ϖept cos kz (9.158)

其中, 正如符号隐含的, u, v等, 都只是r的函数. 对于(9.158)式的解, 方程(9.149)-(9.154) 变成

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)u+

µHk

4πρϕ+ 2Ωv = Dϖ (9.159)

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)v +

µHk

4πρψ − (D∗V )u = 0 (9.160)

ν(D∗D − k2 − p

ν

)w − µHk

4πρχ = −kϖ (9.161)

η

(DD∗ − k2 − p

η

)ϕ = Hku (9.162)

η

(DD∗ − k2 − p

η

)ψ = Hkv −

(dV

dr− V

r

)ϕ (9.163)

§9.6 磁流体力学中的耗散Couette流动稳定性. 扰动方程 315

η

(D∗D − k2 − p

η

)χ = −Hkw (9.164)

D∗u = −kw (9.165)

和

D∗ϕ = +kχ (9.166)

其中D和D∗与前边章节中的含义相同(见方程(9.112)). 考虑方程(9.159)-(9.166), 我们首先观测

到方程(9.162),(9.164), (9.165) 和(9.166)不全是独立的; 因为, 把D∗ 应用于方程(9.162), 应用方

程(9.165) 和(9.166),我们发现方程(9.164).

在方程(9.159) 和(9.161)之间消去ϖ, 我们得到

ν(DD∗ − k2 − p

ν

)u+

µHk

4πρϕ+ 2Ωv

= −νk

(DD∗ − k2 − p

ν

)Dw +

µH

4πρDχ (9.167)

用−D∗u/k和D∗ϕ/k代替这个方程中的w和χ,(根据方程(9.165) 和(9.166)), 移项之后我们得到(DD∗ − k2 − p

ν

)(DD∗ − k2)u+

µHk

4πρν(DD∗ − k2)ϕ = 2

Ω

νk2v (9.168)

方程(9.160),(9.162),(9.163),和(9.168)给出了u, v, ϕ和ψ的十阶联立方程组.

§9.6.1 边界条件

关于u, v,和w的边界条件要求它们在壁面上消失. 根据方程(9.165), w = 0条件可以用D∗u =

0替代, 而且因为u = 0, 后边的这个条件相当于Du = 0. 因此, 关于u和v的条件是

u = v = 0, Du = 0, 当r = R1, R2 (9.169)

其它的边界条件涉及ϕ和ψ: 它们取决于限制流体的壁面性质. 如同我们在第四章 §4.7.1

中所见, 关于此, 我们可能考虑两种情况; 当壁面是非导电物质, 和当它们是完全导电物质.(在

§4.7.1中, 这些是区分为A和B的情况.) 与这两种情况对应的边界条件是(见第四章方程(4.106)

和(4.108))

Jr = 0 (在非导电壁上) (9.170)

和

hr = 0, Jz = 0 (在导电壁上) (9.171)

这些条件的等价形式是

(curlh)r = 0 (在非导电壁上) (9.172)

hr = 0, (curlh)z = 0 (在导电壁上) (9.173)

因为我们是在考虑轴对称扰动, 在方程(9.172)中要求的第一个条件是∂hθ/∂z = 0; 而根据解假设

的形式(见方程(9.158)), 这要求ψ = 0. 还有, 条件(curlh)z = 0, 对于假设的解的这种形式, 要

求D∗hθ = 0, 即D∗ψ = 0. 因此, 条件(9.172)和(9.173)要求

ψ = 0 (在非导电壁上) (9.174)

和

ϕ = 0, D∗ψ = 0 (在导电壁上) (9.175)


§9.6.2 当不稳定性发生是作为稳态二次流时控制边缘状态的方程

到目前为止, 对于考虑的问题, 为了确定不稳定性交换原理是否有效还没有进行严格讨论.

但是, 以实验依据为基础, 我们将仅仅研究不稳定性作为稳态二次流的情况. 这时, 控制边缘状

态的方程可以通过在相应的方程中, 即在(9.160), (9.162), (9.163), 和(9.168) 中令p = 0得到. 我

们有

(DD∗ − k2)2u+µHk

4πρν(DD∗ − k2)ϕ =

2Ω

νk2v (9.176)

(DD∗ − k2)v +µHk

4πρνψ =

1

ν(D∗V )u (9.177)

(DD∗ − k2)ϕ =kH

ηu (9.178)

和

(DD∗ − k2)ψ =kH

ηv − 1

η

(dV

dr− V

r

)ϕ (9.179)

通过直接代入方程(9.178), 我们可以从方程(9.176)中消去ϕ. 我们得到[(DD∗ − k2)2 +

µH2

4πρνηk2]u =

2Ωk2

νv (9.180)

在推导以上方程中,我们还没有用到,由(9.17)式给出的特殊角速度分布;因此它们通常可以

应用于任何Couette流. 但是, 当Ω(r)具有(9.17)式的形式,

D∗V = 2A,dV

dr− V

r= −2

B

r2(9.181)

必须求解的方程(9.177)-(9.180)对应的边界条件, 与以上 §9.6.1中描述的相同.

§9.6.3 窄间隙情况的简化

我们将把我们对方程(9.177)-(9.180) 的讨论限制在两个圆柱之间的间隙d = R2 − R1, 与平

均半径R0 = 12 (R1 + R2)相比是个小量的情况. 于是, 用我们已经熟识的近似方法, 方程(9.177)-

(9.180)变成

(D2 − a2)v +µHd

4πρνaψ =

2Ad2

νu (9.182)

(D2 − a2)ϕ =Hd

ηau (9.183)

(D2 − a2)ψ =Hd

ηav +

2Bd2

R20η

ϕ (9.184)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u =2Ω1d

2

νa2[1 − (1 − µ)ζ]v (9.185)

其中

ζ = (r −R1)d, k = a/d, µ = Ω2/Ω1 (9.186)

Q =µH2

4πρνηd2 =

µ2H2σ

ρνd2 (9.187)

而3

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = 2d2(A

ν+

B

R20η

)Hd

ηau (9.188)

3 不幸的还是µ在少数方程中有双重含义: 作为磁导率和作为Ω2/Ω1. 一旦方程简化到它们的无量纲形式, 磁导率已经被

吸收到Q中, 这种含糊就消失了; 同时, 也就没有混淆的可能性了.

§9.7 当µ > 0时特征值问题的解 317

在地面条件下, ν和η的相对值, 能使以上方程有一个重要简化. 因此, 当我们希望应用这种

理论时, 把水银作为一种典型的流体在室温下考虑, 我们有

η = 7.6 × 103cm2/s, ν = 1.1 × 10−3cm2/s (9.189)

其中在方程(9.188)依靠的近似条件下,常数A和B/R20具有相同的量级(虽然符号不同,见方程(9.89)).

因此, 在方程(9.188) 中, B/R20η可以忽略, 当整个与A/ν相比较时; 剩下我们得到

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ =2Ad2

ν

Hd

ηau (9.190)

基于相同的理由, 我们忽略方程(9.184)右端的ϕ项, 写出

(D2 − a2)ψ =Hd

ηav (9.191)

把这个方程中的v代入方程(9.185), 我们得到

[(D2 − a2)2 +Qa2]u =2Ω1d

2

ν

η

Hdaa2[1 − (1 − µ)ζ](D2 − a2)ψ (9.192)

通过进一步的变换

ψ → Hda

η

2Ad2

νψ (9.193)

方程(9.190)和(9.192)变成

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = u (9.194)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u = −Ta2[1 − (1 − µ)ζ](D2 − a2)ψ (9.195)

其中

T = −4AΩ1

ν2d4 (9.196)

是我们对于窄间隙情况经常定义的Taylor数.

相应的边界条件是

u = 0, Du = 0, (D2 − a2)ψ = 0, 和不是ψ = 0就是Dψ = 0,当ζ = 0, 1 (9.197)

取决于壁面是非导电的还是导电的.

这种情况的一个重要意义是, 在地面条件下η ∼ 107ν, 是我们必须求解的方程组的阶数

从10降到了8.

最后, 我们可以指出, 方程(9.194) 和(9.195) 可以联立给出单一方程

[(D2 − a2)2 +Qa2]2ψ = −Ta2[1 − (1 − µ)ζ](D2 − a2)ψ (9.198)

但是我们将发现这种形式不是很有用.

§9.7 当µ > 0时特征值问题的解

在第七章 §7.8.4中(也可见第八章 §8.3.3 )我们已经看到,当圆柱在相同方向旋转时,我们可

以在整个间隙内允许Ω有变化的项用它的平均代替. 根据这种替换, 定义

T =1

2(1 + µ)T (9.199)


和

G = (D2 − a2)ψ (9.200)

要求解的方程是

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = u (9.201)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u = −Ta2G (9.202)

考虑具有形式为(9.201)和(9.202)式的方程时, 我们将发现把坐标原点平移到两个圆柱的间

隙中点是方便的. 于是, 边界条件是

u = 0, Du = 0, G = 0, 和不是ψ = 0就是Dψ = 0,当ζ = ± 12 (9.203)

从方程(9.201) 和(9.202)以及边界条件(9.203)的对称性, 对于ζ = 0的反映, 可以这个特征值

问题的解分为偶型解和奇型解. 还可见最低的特征值一定出现在偶型解中.

§9.7.1 一种变分原理

正如在第二、三、四章中考虑的类似的特征值问题情况下, 由方程(9.201)-(9.203)表达的问

题,允许一个变分公式;T的特征值表示可能保持的两个正定积分的某个比值的极值.为了得到这

个比值, 方程(9.202) 乘以u, 并在ζ的范围内积分. 我们有∫ + 12

− 12

u[(D2 − a2)2u+Qa2u]dζ = −Ta2∫ + 1

2

− 12

u(D2 − a2)ψdζ

= −Ta2∫ + 1

2

− 12

[(D2 − a2)ψ][(D2 − a2)2ψ +Qa2ψ]dζ (9.204)

在一次或者更多次的分布积分之后(其中考虑到边界条件积分出来的部分消失),我们发现方程(9.204)的

两边, 可以变成正定形式. 结果是

T =

∫ + 12

− 12

[(D2 − a2)u]2 +Qa2u2dζ

a2∫ + 1

2

− 12

(DG)2 + a2G2 +Qa2[(Dψ)2 + a2ψ2]dζ(9.205)

如同在类似情况下,可以给出这个特征值问题的求解相当于是,对于满足边界条件的任意的ψ,和

以下附加‘常数’寻找给出T的表达式(9.205)右端的极值.

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = u (9.206)

事实上, 关于不稳定性发生的临界Taylor数(对于给定的Q)表示, 方程(9.205) 右端量可以保持的

绝对极小值.

§9.7.2 特征值问题的求解. 特征行列式

在解由方程(9.201)-(9.203)表示的特征值问题时, 我们将遵循我们在其它情况下, 已经用过

的类似方法: 我们用一个正交函数集合把u展开; 然后我们解关于ψ的方程(9.201), 使得关于ψ的

边界条件得到满足, 这将促使我们直接得到通常形式的特征行列式. 以问题的自伴随特征, 一定

自我反映在推导出的特征矩阵的对称性.

我们的首要问题,是选择用来展开u的合适的正交函数集合. Harris和Reid仔细研究的已经建

立的函数给出了这种集合. 这些函数, 是由下列方程表达的特征值问题的特解确定的,

d4y

dx4= α4y (9.207)


边界条件是

y = y′ = 0, 当x = ±12 (9.208)

这个问题的特解, 分成两个相互独立的偶型和奇型解组. 这些解的标准形式是

Cm(x) =coshλmx

cosh 12λm

− cosλmx

cos 12λm

(9.209)

和

Sm(x) =sinhµmx

sinh 12µm

− sinµmx

sin 12µm

(9.210)

其中λm和µm(m = 1, 2, 3, ...)是下列方程的正根

tanh1

2λ+ tan

1

2λ = 0, coth

1

2µ− cot

1

2µ = 0 (9.211)

函数Cm(x)和Sm(x)满足正交关系∫ + 12

− 12

Cm(x)Cn(x)dx =

∫ + 12

− 12

Sm(x)Sn(x)dx = δmn (9.212)

和 ∫ + 12

− 12

Cm(x)Sn(x)dx = 0 (9.213)

回到方程(9.201)-(9.203), 并限制在偶型解, 我们把u展开成Cm; 因此

u =∑m

AmCm(ζ) (9.214)

其中对m的求和可以看成从1到∞. 对于ψ, 相应的展开是

ψ =∑m

Amψm(ζ) (9.215)

其中ψm(ζ)是

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψm = Cm (9.216)

的解.

方程(9.216)的偶型通解, 可以写成形式

ψm =1

(λ2m − a2)2 +Qa2coshλmζ

cosh 12λm

− 1

(λ2m + a2)2 +Qa2cosλmζ

cos 12λm

+

+B(m)1 cosh q1ζ +B

(m)2 cosh q2ζ (9.217)

其中B(m)1 和B(m)

2 是积分常数, 而

q21 = a2 + ia√Q, q22 = a2 − ia

√Q (9.218)

是方程

(q2 − a2)2 +Qa2 = 0 (9.219)

的根. 不失一般性, 我们可以写

q1 = α1 + iα2, q2 = α1 − iα2 (9.220)


其中

q1 = 1

2a2 +

1

2

√a4 +Qa2 1

2 , q2 = −1

2a2 +

1

2

√a4 +Qa2 1

2 (9.221)

显然B(m)1 和B(m)

2 是共轭复数.

从方程(9.219)得出的等式是Γm = 1

[(λ2m−a2)2+Qa2][(λ2

m+a2)2+Qa2]

= 1(λ2m−q21)(λ

2m−q22)

1(λ2m+q21)(λ

2m+q22)

= 1(λ4m−q41)(λ

4m−q42)

= 1|λ4m−q41 |2

(9.222)

另一方面, 根据方程(9.218)

λ4m − q41,2 = λ4m − a4 + a2Q∓ 2ia3√Q (9.223)

如果让

gm =1

a√Q

(λ4 − a4 +Qa2) (9.224)

则

λ4m − q41,2 = (gm ∓ 2ia2)a√Q (9.225)

因此, Γm的另一种形式是1

Γm= (g2m + 4a4)a2Q (9.226)

应用以上关系和定义, 我们可以把关于ψm的方程(9.217)重新写成形式

ψ = Γm(λ4m + a4 +Qa2)Cm(ζ) + 2a2C ′′m(ζ)+

+B(m)1 cosh q1ζ +B

(m)2 q2ζ (9.227)

其中

C ′′m =

d2Cm

dζ2= λ2m

(coshλmζ

cosh 12λm

+cosλmζ

cos 12λm

)(9.228)

从方程(9.227)我们容易发现Gm = (D2 − a2)ψm

= Γma2(λ4m − a4 −Qa2)Cm(ζ) + (λ4m − a4 +Qa2)C ′′m(ζ)+

+ia√Q(B

(m)1 cosh q1ζ −B

(m)2 cosh q2ζ)

(9.229)

其中我们用到了方程(9.218).

边界条件(9.197),要求Gm和ψm或者Dψm在ζ = ± 12消失;这些条件,将给出常数B(m)

1 和B(m)2 .

把关于这些常数的显式表达式的确定推迟, 我们将继续进行特征矩阵的确定.

于是, 我们下一步是把u和ψ的展开式代入方程(9.202); 但是首先, 我们可能观察到,

[(D2 − a2)2 +Qa2]Cm = (λ4m + a4 +Qa2)Cm − 2a2C ′′m (9.230)

因此, 代入的结果是1

Ta2

∑mAm(λ4m + a4 +Qa2)Cm − 2a2C ′′

m+

+∑

mAmΓm[a2(λ4 − a4 −Qa2)Cm + (λ4m − a4 +Qa2)C ′′m]+

+ia√Q[Bm

1 cosh q1ζ −B(m)2 cosh q2ζ] = 0.

(9.231)


要求的T的特征方程, 从这个方程乘以Cn(ζ)并在ζ的范围内积分得到. 应用C−函数的正交性质,

根据进一步的定义

Xmn =

∫ + 12

− 12

C ′′m(ζ)Cn(ζ)dζ (9.232)

和

⟨cosh qζ | Cn⟩ =

∫ + 12

− 12

Cn(ζ) cosh qζdζ (9.233)

我们可以写出

∥ 1

Ta2(λ4m + a2 +Qa2)δmn+

+Γma2(λ4m − a4 −Qa2)δmn + (λ4m − a4 +Qa2)Xmn+

+ ia√QB(m)

1 ⟨cosh q1ζ | Cn⟩ −B(m)2 ⟨cosh q2ζ | Cn⟩∥ = 0 (9.234)

通过基本计算我们发现4

Xmn = 2λ4m−λ4

n(C ′′′

mC′′n − C ′′′

n C′′m)ζ= 1

2, (m = n)

= 1λ4n 12C

′′′n C

′′n − 1

4 (C ′′′n )2ζ= 1

2, (m = n)

(9.235)

和

⟨cosh qζ | Cn⟩ =2

λ4n − q4C ′′′

n (1

2) cosh

1

2q − C ′′

n(1

2)q sinh

1

2q (9.236)

其中可以指出的是

C ′′n = 2λ2m, C ′′′

m = 2λ2m tanh1

2λm (9.237)

通过方程(9.222)和(9.224)-(9.226)的合适应用, (9.234)式的最后一行可以简化. 因此,我们连

续发现 ia√QB(m)

1 ⟨cosh q1ζ | Cn⟩ −B(m)2 ⟨cosh q2ζ | Cn⟩

= 4aΓn

√Qrei(λ4n − q42)B

(m)1 [C ′′′

n cosh 12q − C ′′

n( 12 )q1 sinh 1

2q1]

= 4a2QΓnre(−2a2 + ign)B(m)1 [C ′′′

n ( 12 ) cosh 1

2q1 − C ′′nq1 sinh 1

2q1]

(9.238)

因此, 特征方程最后取形式

∥ 1

Ta2(λ4m + a4 +Qa2)δmn − 2a2Xmn+

+Γna2(λ4m − a4 −Qa2)δmn + gmXmna√Q+

4a2QΓnre(−2a2 + ign)B(m)1 [C ′′′

n (1

2) cosh

1

2q1 − C ′′

n(1

2)q1 sinh

1

2q1]∥ = 0 (9.239)

这个特征矩阵的进一步简化, 要求常数B(m)1 的显式表达式; 取决于边界条件的选择. 我们分

别考虑两种情况.

4 引用的结果可以很容易地从Reid和Harris提供的积分表中得到(见本章末尾的文献10).


§9.7.3 非导电壁面情况

这时, 边界条件是Gm和ψ在ζ = ± 12上消失. 把这些条件应, 用于(9.227) 和(9.229) 式的解, 我

们得到 B(m)1 cosh 1

2q1 +B(m)2 cosh 1

2q2 = −2a2ΓmC′′m( 1

2 )

B(m)1 cosh 1

2q1 −B(m)2 cosh 1

2q2 = igmΓmC′′m( 1

2 )(9.240)

其中gm在方程(9.224)中定义. 因此

B(m)1 =

1

2ΓmC

′′m(

1

2)(−2a2 + igm)sech

1

2q1 (9.241)

而B(m)2 是它的共轭复数. 根据方程(9.241)给出的B(m)

1 , 方程(9.239)的最后一行变成

2a2QΓmΓnC′′m( 1

2 )re(2a2 − ign)[C ′′′n ( 1

2 ) − C ′′n( 1

2 )q1 tanh 12q1]

= 2a2QΓmΓnC′′m( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 )(4a4 − gmgn)−

−2a2QΓmΓnC′′m( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 )(4a4 − gmgn)re(q1 tanh 12q1)+

+2a2(gm + gn)im(q1 tanh 12q1)

(9.242)

因此, 定义

Zmn = (4a4 − gmgn)C ′′m(

1

2)C ′′′

n (1

2) +

gma√Q

2a2QΓnXmn (9.243)

和

Σmn = C ′′m(

1

2)C ′′

n(1

2)(gmgn − 4a4)re(q1 tanh

1

2q1)−

− 2a2(gm + gn)im(q1 tanh1

2q1) (9.244)

我们可以把特征方程(9.239)写成形式

∥ 1

Ta2(λ4m + a4 +Qa2)δmn − 2a2Xmn+

+ a2(λ4m − a4 −Qa2)Γmδmn + 2a2QΓmΓn(Zmn + Σmn)∥ = 0 (9.245)

正如我们前面说明的,问题依赖的自伴随特征,要求特征矩阵是对称的. 虽然矩阵Xmn和Σmn显

然是对称的, 但Zmn暂时还看不出来; 我们可以使Zmn变成明显对称的形式.

应用关系(9.224) 和(9.226)式, 我们可以把Zmn重新写成形式

Zmn = (4a4 − gmgn)C ′′m(

1

2)C ′′′

n (1

2) +

1

2(λ4 − a4 +Qa2)(4a4 + g2n)Xmn (9.246)

现在, 代入方程(9.235)给出的Xmn, 我们有 Zmn = (4a4 − gmgn)C ′′m( 1

2 )C ′′′n +

+(g2n + 4a4) gmgm−gn

C ′′′m( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) − C ′′m( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 ), (m = n)(9.247)

简化后这变成 Zmn = 1gm−gn

[gm(g2n + 4a4)C ′′′mC

′′n( 1

2 )−

−gn(g2m + 4a4)C ′′′n ( 1

2 )C ′′m( 1

2 )], (m = n)(9.248)

Zmn的对称性现在是明显的. 当m = n时, 关于Zmn相应的表达式是 Zmn = (4a4 − g2n)C ′′n( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 )+

+λ4n−a4+Qa2

2λ4n

(4a4 + g2n)12C

′′′n ( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) − 14 [C ′′′

n ( 12 )]2

(9.249)


最后, 我们可以指出, 出现在Σmn表达式中q1 tanh 12q1的实部和虚部是

re(q1 tanh1

2q1) =


coshα1 + cosα2(9.250)

和

im(q1 tanh1

2q1) =


coshα1 + cosα2(9.251)

其中α1和α2在(9.221)式中定义.

§9.7.4 导电壁面情况

这时, 边界条件是Gm和Dψm在ζ = ±12处消失. 把这些条件应用于解(9.227) 和(9.229)式, 我

们得到 B(m)1 q1 sinh 1

2q1 +B(m)2 q2 sinh 1

2q2 = −2a2ΓmC′′′m( 1

2 )

B(m)1 cosh 1

2q1 −B(m)2 cosh 1

2q2 = +igmΓmC′′m( 1

2 )(9.252)

解这些方程, 我们发现

B(m)1 =

Γmsech12q1

2re(q1 tanh 12q1)

−2a2C ′′′m(

1

2) + igmC

′′m(

1

2)q2 tanh

1

2q2 (9.253)

而B(m)2 是它的共轭复数. 把B(m)

1 的这个值代入方程(9.239)的最后一行, 用前边情况(在§(c)中)的

形式简化结果表达式, 我们发现特征矩阵, 可以化为与(9.245)式正好相同的形式, 但是, 定义是

Zmn = (4a4 + gmgn)×

×

1gm−gn

gnC ′′′m( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) − gmC′′′n ( 1

2 )C ′′m( 1

2 ), (m = n)

λ4n−a4+Qa2

2λ4n

12C

′′n( 1

2 )C ′′′n (1

2 ) − 14 [C ′′′

n ( 12 )]2 − C ′′

n(12 )C ′′′

n ( 12 ) (m = n)

(9.254)

和 Σmn = 1

re(q1 tanh 12 q1)

4a4C ′′′m( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 )+

+gmgnC′′m( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) | q1 tanh 12q1 |2 −

−2a2[gmC′′mC

′′′n ( 1

2 ) + gnC′′n( 1

2 )C ′′′m( 1

2 )]im(q1 tanh 12q1)

(9.255)

其中

| q1 tanh1

2q1 |2= (α2

1 + α22)

sinh2 α1 + sin2 α2

(coshα1 + cosα2)2(9.256)

表XLII

对于不同Q值的临界Taylor数和相关常数

(非导电壁面情况, 且µ > 0)

T c

Q ac 二阶近似三阶近似 A2/A1 A3/A1

30 2.68 3.9657×103 +0.01473

100 1.69 1.0821×104 +0.00887

300 0.904 3.2087×104 +0.00588

1000 0.500 1.0722×105 +0.00499

3000 0.272 3.2152×105 3.2152×105 +0.00477 +0.00038

10000 0.150 1.0720×106 1.0720×106 +0.00448 +0.00037


log10Q

log 10

Tc

图 9.3 当不稳定性发生时作为Q函数的临界Taylor数Tc的观测与理论相关的一种比较. 用a和b标

记的曲线是分别从导电和非导电壁面两种情况推出的; 虚线(用A标记)是当Q → ∞时曲线a的渐进线(关于导电壁面情况). 当Q > 1000时,对于非导电情况,在画图的范围内,渐进线与曲线b无区

别. Donnelly和Ozima的实验结果,当R1 = 1.8cm, R2 = 2.0cm时,用空心圆点表示;当R1 = 1.9cm,

R2 = 2.0cm时, 用实心圆点表示.

表XLIII

对于不同Q值的临界Taylor数和相关常数

(导电壁面情况, 且µ > 0)

T c

Q ac 二阶近似三阶近似四阶近似 A2/A1 A3/A1 A4/A1

5 3.20 2.1853×103 +0.01759

10 3.30 2.6924×103 +0.01782

20 3.40 3.8093×103 +0.01733

50 3.45 7.9926×103 +0.01250

100 3.35 1.7573×104 1.7572×104 -0.00039 +0.00096

200 2.90 4.4717×104 -0.03329

400 2.20 1.1795×105 1.1784×105 -0.08939 -0.00509

1000 1.45 3.7895×105 3.7808×105 -0.1739 -0.00894

4000 0.77 1.7384×106 1.7325×106 -0.2650 -0.01254

10000 0.50 4.4576×106 4.3589×106 4.3576×106 -0.2859 -0.03353 -0.00207

§9.7.5 数值结果

当几种初始的Q值给定时,对于一系列的a值,在§(c)和(d)中考虑的情况下的特征方程(9.245)

已经得到求解. 通过确定作为a函数的特征根T的极小值, 确定了不稳定性发生的临界Taylor数.

计算的结果列在表XLII和XLIII 中; 它们还在图 9.3 和 9.4 中给出.

值得说明的是, 对于两种明显有差别的情况, 推出的结果也有明显差别. 在这方面, 现在的

问题与前边章节考虑的其它问题不同. 这种区别的原因在以下的§(f)中将搞清楚. 但是, 理解为

什么磁场的存在抑制不稳定性发生, 和为什么当Q → ∞时显示扰动的波数趋于零没有困难. 这

些后效与在第IV章中考虑的热不稳定性问题是定性相同的: 它们明显具有相同的原因.


log10Q

ac

图 9.4 作为Q的函数的临界波数ac的变化: 用a和b表示的曲线分别表示导电和非导电壁面情况.

虚线(用A标记)是当Q→ ∞时曲线a的渐进线(关于导电壁面情况). 当Q > 1000时,对于非导电壁

面情况, 在画图的范围内, 渐进线与曲线b无区别.

§9.7.6 渐进行为

在表XLII和XLIII中给出的数值结果表明

a2 → 0,当 Qa2 →一个有限极限当 Q→ ∞ (9.257)

而且,还有, Qa2的渐进极限明显地取决于边界条件.通过原始的微分方程(9.201)和(9.202),我们

发现它们与以下的渐进行为是一致的:

Qa2 → Q∞, Ta2 → T∞, 当Q→ ∞和a→ 0. (9.258)

通过假定这些行为是有效的, 我们发现取极限形式的微分方程是

(D4 +Q∞)ψ = u, (D4 +Q∞)u = −T∞D2ψ (9.259)

其中边界条件不受影响, 变成相同.

为了确定当Q→ ∞时, 临界Taylor数和相关波数的正确渐进行为, 我们必须求解与适当边界

条件在一起的方程(9.259),对于给定的Q∞,把它作为T∞的特征值问题.用以上§(b)中正好相同的

形式,这个问题可以通过令在各种表达式中a2 = 0求解,除了它出现时有组合形式Qa2和Ta2的情

形; 它们于是分别被Q∞和T∞代替. 因此, 方程(9.221),(9.222), 和(9.224) 定义了在(9.258)式的极

限形式下的各种量,

α1 = α2 = (Q∞/4)14 (9.260)

和

gm√Q∞ = λ4m +Q∞,

1

Γm= g2mQ∞ = (λ4m +Q∞)2 (9.261)

根据这些定义, 特征方程(9.245)的极限形式是

∥(λ4m +Q∞)δmn

T∞+

2

g2mg2nQ∞

(Zmn + Σmn)∥ = 0 (9.262)

类似地, 在Zmn和Σmn的表达式中, 通过适当的极限, 我们发现Zmn = gmgngm−gn

gnC

′′′m( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) − gmC′′′n ( 1

2 )C ′′m( 1

2 ), (m = n)

= g2nλ4n+Q∞2λ4n

12C

′′′n ( 1

2 )C ′′n( 1

2 ) − 14 [C ′′′

n ( 12 )]2

− g2nC

′′n( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 ), (m = n)


(9.263)

对于两种边界条件, 有

Σmn = gmgnC′′m(

1

2)C ′′

n(1

2) ×

re(q1 tanh 12q1) (对于非导电壁面)

|q1 tanh 12 q1|

2

re(q1 tanh 12 q1)

(导电壁面)(9.264)

在(9.264)式中, 涉及q1的表达式必须根据方程(9.205),(9.251), (9.256) 和(9.260) 得到.

对于一系列的Q∞方程(9.262), 已经用二阶近似和三阶近似求解, 对于两种边界条件已经确

定了T∞/Q∞保持的最小值. 计算结果是

Q∞ = 225, T∞ = 2.4112 × 104; A1 = 1, A2 = 0.00465, A3 = 0.00036

(非导电壁面情况)

Q∞ = 2700, T∞ = 1.2184 × 106; A1 = 1, A2 = −0.32779, A3 = −0.01436

(导电壁面情况)

(9.265)

和 T → 107.2Q, a→ 15.0/√Q, 当Q→ ∞ (非导电壁面情况)

T → 451.27Q, a→ 52.0/√Q, 当Q→ ∞ (非导电壁面情况)

(9.266)

事实上A3 ≪ A2, 对于两种情况的解, 可以取具有高精度的T∞/Q∞的极限值的平均.

从(9.266)给出的结果, 可见边界条件在确定Q → ∞时的渐进行为中的作用是明显的. 而

且, 通过把估计的渐进行为与精确计算的结果进行比较, 我们看到在非导电壁面情况下, 它们

在Q = 1000时就接近达到渐进值, 而在导电壁面情况下当Q = 10000时, 它们还没有很好达到渐

进值.

对于这个问题, 我们可以最后评价, 为什么所有的边界条件适合于确定当Q → ∞时的渐进行为. 这在我们迄今已经考虑过的其它任何问题中都是不同的. 显然, 原因在于这时磁场在它的

方向上通常具有拉伸细胞的作用它具有使壁面附近的流动具有更长距离, 从而粘性耗散保持与

作用磁场的所有强度的Joule耗散可比较.

§9.8 一般情况下特征值问题的解

根据ζ的原点是在两个圆柱间隙的中点, 在一般情况下, 待解的方程是

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = u (9.267)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u = −Ta2[1

2(1 + µ) − (1 − µ)ζ](D2 − a2)ψ (9.268)

边界条件与(9.203)式相同. 在方程(9.268) 右端ζ线性项的出现破坏了问题的反射对称性, 解不再

具有确定的奇偶性. 考虑到这一点, 我们不能将u单独用C−或者S−函数展开: 我们必须包含两

个函数集. 除了在u的展开式中必须包含C−和S−函数, 我们可以用与 §9.7 中完全相同的方法进

行求解.

于是, 我们假设, 可以把u和ψ展开成形式

u =∑m

AC;mCm(ζ) +∑m

AS;mSm(ζ) (9.269)

§9.8 一般情况下特征值问题的解 327

和

ψ =∑m

AC;mψC;m(ζ) +∑m

AS;mψS;m(ζ) (9.270)

其中ψ)C;m和ψS;m是方程

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψC;m = Cm (9.271)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψS;m = Sm (9.272)

的解, 且满足ψ的边界条件. 方程(9.271) 和(9.272)要求的解容易找到. 它们是

ψC;m = ΓC;m(λ4m + a4 +Qa2)Cm + 2a2C ′′m +B

(m)C;1 cosh q1ζ +B

(m)C;2 cosh q2ζ (9.273)

和

ψS;m = ΓS;m(µ4m + a4 +Qa2)Sm + 2a2S′′

m +B(m)S;1 sinh q1ζ +B

(m)S;2 sinh q2ζ (9.274)

其中B(m)C:1 , B

(m)C;2等, 是积分常数, q1和q2具有与 §9.7 中相同的含义,

ΓC;m =1

| λ4m − q41 |2, ΓS;m =

1

| µ4m − q41 |2

(9.275)

GC;m和GS;m相应的表达式是GC;m = (D2 − a2)ψC;m

= ΓC;ma2(λ4m − a4 −Qa2)Cm + (λ4m − a4 +Qa2)C ′′m+

+ia√QB(m)

C;1 cosh q1ζ −B(m)C;2 cosh q2ζ

(9.276)

和 GS;m = (D2 − a2)ψS;m

= ΓS;ma2(µ4m − a4 −Qa2)Sm + (µ4

m − a4 +Qa2)S′′m+

+ia√QB(m)

S;1 sinh q1ζ −B(m)S;2 sinh q2ζ

(9.277)

积分常数, 从在以上解中代入边界条件得到. 我们发现(见方程(9.241) 和(9.253))B(m)C;1 = 1

2ΓC;mC′′m( 1

2 )(−2a2 + igC;m)sech 12q1

B(m)S;1 = 1

2ΓS;mS′′m( 1

2 )(−2a2 + igS;m)cosech 12q1

(9.278)

在非导电壁面情况下; 和BmC;1 =

ΓC;msech 12q1

2re(q1 tanh 12 q1)

−2a2C ′′′m( 1

2 ) + igC;mC′′m( 1

2 )q2 tanh 12q2

BmS;1 =

ΓS;mcosech 12 q1

2re(q1 coth 12 q1)

−2a2S′′′m( 1

2 ) + igS;mS′′m( 1

2 )q2 coth 12q2

(9.279)

在导电壁面情况下. 在方程(9.278) 和(9.279)中

gC;m =1

a√Q

(λ4m − a4 +Qa2), gS;m =1

a√Q

(µ4 − a4 +Qa2) (9.280)

常数B(m)C;2和B

(m)S;2是B

(m)C;1和B

(m)S;1的共轭复数.

下一步是把u和ψ的展开式代入方程(9.268). 我们得到(见方程(9.231))∑m

AC;m(λ4m + a4 +Qa2)Cm − 2a2C ′′m +

∑m

AS;m(µ4m + a4 +Qa2)Sm − 2a2S′′

m


= −Ta2[1

2(1 + µ) − (1 − µ)ζ]×

×[∑m

AC;mΓC;m[a2(λ4m − a4 −Qa2)Cm + (λ4m − a4 +Qa2)C ′′m]+

+ia√Q[B

(m)C;1 cosh q1ζ −B

(m)C;2 cosh q2ζ]+∑

m

AS;mΓS;m[a2(µ4m − a4 −Qa2)Sm + (µ4

m − a4 +Qa2)S′′m]+

+ ia√Q[B

(m)S;1 sinh q1ζ −B

(m)C;2 sinh q2ζ]] (9.281)

从方程(9.281)乘以Cn(ζ)和Sn(ζ),并在ζ的范围内积分,得出T的特征方程. 因为函数C和S的奇偶

性,不是所有右端的元素都存在. 因此,在含AC;m的因子为(1−µ)的项在乘以Cn并积分后就不存

在了; 类似地, 具有因子(1 + µ)含AS;m的项, 在相同的乘和积分运算之后也不存在.

§9.8.1 µ = −1的情况

因为对于任何µ值, 进行特征行列式确定的所有必要积分没有形式困难, 我们限制在µ =

−1的情况, 因为形式上, 形式最简单, 在某种程度上, 物理上最有趣. 形式上最简单, 是因为

方程(9.281)右端的矩阵元素, 在这时只有一半留下来; 物理上最有趣, 是因为根据 §9.2 的准则占

据间隙正好一半的部分流体是不稳定的.

当µ = −1, 我们从方程(9.281)分别乘以Cn(ζ)和Sn(ζ), 并积分推出的方程组是

1

2Ta2

∑m

AC;m(λ4m + a4 +Qa2)δmn − 2a2X(C)m,n−

−∑m

AS;mΓS;m[a2(µ4m − a4 −Qa2)(Sm | ζ | Cn) + (µ4

m − a4 +Qa2)(S′′m | ζ | Cn)]+

+ 2a√Qre[iB

(m)S;1 ⟨ζ sinh q1ζ | Cn⟩] = 0 (9.282)

和1

2Ta2

∑m

AS;m(µ4m + a4 +Qa2)δmn − 2a2X(S)

m,n−

−∑m

AC;mΓC;m[a2(λ4m − a4 −Qa2)(Cm | ζ | Sn) + (λ4m − a4 +Qa2)(C ′′m | ζ | Sn)]+

+ 2a√Qre[iB

(m)C;1 ⟨ζ cosh q1ζ | Sn⟩] = 0 (9.283)

其中

X(C)m,n =

∫ 12

− 12

C ′′mCndζ =

2λ4m−λ4

n(C ′′′

mC′′n − C ′′′

n C′′m)ζ= 1

2, (m = n)

1λ4n

[ 12C′′′n C

′′n − 1

4 (C ′′′n )2]ζ= 1

2, (m = n)

(9.284)

X(S)m,n =

∫ 12

− 12

S′′mSndζ =

2µ4m−µ4

n(S′′′

mS′′n − S′′′

n S′′m)ζ= 1

2, (m = n)

1µ4n

[ 12S′′′n S

′′n − 1

4 (S′′′n )2]ζ= 1

2, (m = n)

(9.285)

(Sm | ζ | Cn) =

∫ 12

− 12

SmζCndζ =8

(λ4n − µ4m)2

(C ′′′n S

′′′m)ζ= 1

2(9.286)

(S′′m | ζ | Cn) =

∫ 12

− 12

S′′mζCndζ

=1

λ4n − µ4m

[S′′mC

′′′n − S′′′

n C′′n − 2(3µ4

m + λ4n)

λ4n − µ4m

C ′′nS

′′m

]ζ= 1

2

(9.287)

§9.8 一般情况下特征值问题的解 329

(Sm | ζ | C ′′n) =

∫ 12

− 12

SmζC′′ndζ

=1

λ4n − µ4m

[S′′mC

′′′n − S′′′

n C′′n − 2(3λ4n + µ4

m)

λ4n − µ4m

C ′′nS

′′m

]ζ= 1

2

(9.288)

⟨cosh qζ | Cn⟩ =2

λ4n − q4[C ′′′

n (1

2) cosh

1

2q − C ′′

n(1

2)q sinh

1

2q] (9.289)

⟨sinh qζ | Sn⟩ =2

µ4n − q4

[S′′′n (

1

2) sinh

1

2q − S′′

n(1

2)q cosh

1

2q] (9.290)

⟨ζ cosh qζ | Sn⟩ =1

µ4n − q4

[4q3⟨sinh qζ | Sn⟩ + (S′′′n − 2S′′

n)ζ= 12

cosh1

2q − S′′

n(1

2) sinh

1

2q] (9.291)

和

⟨ζ sinh qζ | Cn⟩ =1

λ4n − q4[4q3⟨cosh qζ | Cn⟩ + (C ′′′

n − 2C ′′n)ζ= 1

2sinh

1

2q − C ′′

n(1

2)q cosh

1

2q] (9.292)

为了确定不稳定性发生的临界Taylor数, 对于一系列不同的Q和a值, 从方程(9.282) 和(9.283) 推

出的特征方程已经得到求解. 结果列在表XLIV中, 它们也在图 9.5 中给出. 图 9.6磁场对速度分

布的影响.

现在关于反向旋转的结果与 §9.7 中µ > 0时得到的结果比较表明, 在这两种情况下, 轴向磁

场对不稳定性发生的影响是很相似的. 这种相似性甚至延伸到当限制壁面是完全导电体, 在边

缘状态显现的扰动波数, ac早期有一个增加的出现. 在这最后一点, 限制壁面为绝缘体的情况是

不同的: 因为这时扰动波数ac则是Q的单调减函数. 这时由于两种情况下的这种区别, 我们必须

把这种很大差别归功于当Q→ ∞时渐进行为中的正比例常数(见下边的方程(9.298) 和(9.299)).

表XLIV

当µ = −1时的临界Taylor数和相关常数

(a)非导电壁面情况(AC;1 = 1)

Q ac Tc AS;1 AC;2 AS;2

0 4.00 1.870×104† -0.7168 +0.1020 -0.0297

10 4.00 2.310×104 -0.6956 +0.1127 -0.0292

100 3.40 7.162×104 -0.6250 +0.1633 -0.0263

1000 0.96 7.143×105 -0.4791 +0.1247 -0.0117

10000 0.29 7.248×106 -0.4637 +0.1171 -0.0104

(b)非导电壁面情况(AC;1 = 1)

Q ac Tc AS;1 AC;2 AS;2

0 4.0 1.870×104 -0.7168 +0.1020 -0.0297

10 3.9 2.457×104 -0.6721 +0.1086 -0.0256

30 4.3 3.693×104 -0.6613 +0.1433 -0.0255

100 4.7 9.200×104 -0.6925 +0.2294 -0.0276

1000 4.9 1.795×105 -1.0318 +0.6477 -0.1699

3000‡ 4.0 9.064×106 -1.2285 +0.8612 -0.2832

†用 §7.8 中描述的方法(表XXXIII) 对于同样的a值的T = 1.868× 104.

‡从相当较大的系数AC;2和AS;2, 表明当Q ≥ 3000时, 如果我们

为了得到表中有相同精度的其它部分, 应当寻找较高精度的解.


log

10T

c

log10Q

图 9.5 对于两个圆柱反向旋转,Ω2/Ω1 = −1时, 当不稳定性发生时作为Q 函数的临

界Taylor数Tc的变化. 用a和b标记的曲线是分别从导电和非导电壁面两种情况推出的.(曲线a的

虚线部分,是计算曲线的自由差值.)用a′标记的曲线是当Q→ ∞时曲线a的渐进线(关于导电壁面

情况). 当Q > 1000时,对于非导电情况,在画图的范围内,渐进线与曲线b无区别(注意与图102相

应的曲线的相似性, 特别是电磁边界条件的深刻影响.).

u

ζ

图 9.6 对于两个圆柱反向旋转,Ω2/Ω1 = −1时,不稳定性发生时速度分布对Q的依赖关系.不同

的曲线用相应的Q标记. 根据非耗散Couette流准则有效, 可见, 内半间隙内幅度较大, 是由于这

时稳态流动中这一半中的速度分布是不稳定的.

§9.9 一个轴向磁场存在时弯曲通道中耗散流动的稳定性 331

ac和Tc对Q的依赖关系可以象 §9.7.6 那样确定. 观测到微分方程(9.267)和(9.268) 还是符合

行为

Qa2 → Q∞, Ta2 → T∞ 当Q→ ∞, a→ 0 (9.293)

其中Q∞和T∞是某些常数, 我们得出当Q→ ∞时, 微分方程变成

(D4 +Q∞)ψ = u (9.294)

和

(D4 +Q∞)u = −T∞[1

2(1 + µ) − (1 − µ)ζ]D2ψ (9.295)

具有与(9.203)式相同的边界条件. 为了确定当Q → ∞时临界Taylor数和相关波数的正确渐进行

为,我们必须结合特定的边界条件求解方程(9.294)和(9.295), 当作给定Q∞时, T∞的特征值问题,

并把T∞/Q∞当作Q∞函数的极小值确定出来. 这个问题可以如同方程(9.267) 和(9.268) 那样求

解: 相应的公式事实上可以通过在各种表达式中令a2 = 0得到, 除了出现组合项Qa2和Ta2; 然后

把它们用Q∞和T∞代替. 用这种方法, 发现

Q∞ = 817, T∞ = 5.931 × 105; AC;1 = 1, AS;1 = −0.4625,

AC;2 = 0.1151, AS;2 = −0.0102

在非导电壁面, 和µ = −1情况下 (9.296)

和

Q∞ = 285, 000, T∞ = 1.768 × 109; AC;1 = 1, AS;1 = 4.293

AC;2 = −12.311, AS;2 = 15.331, AC;3 = −10.709, AS;3 = 3.329

在导电壁面, 和µ = −1情况下 (9.297)

相应的渐进行为是

T → 726Q, a→ 28.6Q− 12 , Q→ ∞

在非导电壁面, 和µ = −1情况下 (9.298)

和

T → 6203Q, a→ 534Q− 12 , Q→ ∞

在导电壁面, 和µ = −1情况下 (9.299)

§9.9 一个轴向磁场存在时弯曲通道中耗散流动的稳定性

正如我们在 §9.1 中说明的, 我们可以把在方程(9.1)-(9.6)的框架下的一般Couette流动, 考虑

为由方程(9.17) 描述的旋转流动和保持横向压力梯度为常数的Poiseuille型流动的叠加. 在z−方向磁场的存在, 不影响第VIII中得到的流体动力学解(第八章方程(8.5), (8.6), 和(8.36)). 如果我

们限制在窄间隙, 稳态流动的解取渐进形式(见第八章方程(8.37))

V (r)

r= Ω1[1 − (1 − µ)ζ] +

6VmR1

ζ(1 − ζ) (9.300)

其中Vm表示通道中通过压力梯度保持的平均流动, 其它的符号有它们通常的含义.


§9.9.1 当不稳定性作为稳态二次流发生时边缘状态得到控制方程

方程(9.177)-(9.180) 适用于任何Couette流动; 我们仅仅需要描述V和Ω现在的含义. 因此, 在

窄间隙近似下(由于相同的原因,同样忽略方程(9.179)中的ϕ/η项),方程(9.190)和(9.192)现在替

换为

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ =2d2

ν

Hda

η

[A+

3Vmd

(1 − 2ζ)

]u (9.301)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u =2d2a2

ν

η

Hda

Ω1[1 − (1 − µ)ζ] +

6VmR1

ζ(1 − ζ)

(D2 − a2)ψ (9.302)

这些要求解的方程对应的边界条件与 §9.6 中相同(即, 由(9.197)式给出.)

§9.9.2 保持一个纯压力流动的稳定性

考虑到方程(9.301) 和(9.302)包含的参数的多样性, 我们限制在保持纯压力流动的方程. 这

时, Ω1 = A = 0, 方程(9.301) 和(9.302)变成

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ =6Vmd

ν

Hda

η(1 − 2ζ)u (9.303)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u =12Vmd

2

R1ν

η

Hdaa2ζ(1 − ζ)(D2 − a2)ψ (9.304)

用进一步的变换

ψ → 6Vmd

ν

Hda

ηψ (9.305)

方程取更方便的形式

[(D2 − a2)2 +Qa2]ψ = (1 − 2ζ)u (9.306)

和

[(D2 − a2)2 +Qa2]u = a2Λζ(1 − ζ)(D2 − a2)ψ (9.307)

其中

Λ =72V 2

md3

R1ν2= 72Re2

d

R1(9.308)

是我们在第八章中 §8.2.1 引入的相同的无量纲参数. 边界条件是

u = 0, Du = 0, (D2 − a2)ψ = 0, ψ = 0 或者 Dψ = 0

当ζ = 0, 1时 (9.309)

表XLV

关于不同Q值的临界Λ和相关常数

(a)非导电壁面情况(AC;1 = 1)

Q ac Λc AS;1 AC;2 AS;2

0 3.96 9.2998×104 0.2746 +0.0276 +0.00123

10 3.65 2.1744×105 0.4418 +0.0477 +0.0057

100 3.185 3.6880×105 0.5463 +0.0657 -0.00029

1000 0.866 3.7203×106 0.6078 +0.0584 -0.00396

(b)非导电壁面情况(AC;1 = 1)

Q ac Λc AS;1 AC;2 AS;2

30 4.26 1.8635×105 0.4351 +0.0499 0.00086

100 4.57 4.7832×105 0.7152 +0.1338 0.00047

1000 4.88 1.8297×106 1.3174 +0.5497 0.04357

1000 6.45(?) 1.2520×107

§9.10 当轴向磁场存在时粘性流动稳定性的实验 333

u

ζ

图 9.7 在介于两个绝缘圆柱之间保持纯压力流动情况下, 不稳定性发生的速度分布对Q的依赖

关系. 用0标记的曲线是无磁场存在时的流体动力学情况, 用∞标记的是轴向磁场趋于无穷的极限情况. 这时圆柱之间间隙的外半部有较大幅度的原因是,根据非耗散Couette流动有效准则,外

半部稳态流动中的速度分布是不稳定的.

由方程(9.306),(9.307),和(9.309)表示的特征值问题可以用 §9.8中用到的类似的方法求解: 我

们把u用C−和S−函数展开; 解ψ的方程(9.306), 使得关于ψ的边界条件得到满足; 代入假设的u,

和由(9.307)式推出的ψ的展开式,通过乘以Cn和Sn并在ζ的范围内积分,推出特征方程. 详细的分

析是比较长和复杂的; 没有涉及特别的新意, 因此我们把它忽略. 为了确定Λc对Q的依赖关系而

进行的计算结果列在表XLV中. 磁场对速度分布的影响在图 9.7 中给出.

用 §9.7 中采用的类似的论证, 我们可以表明,

Λa2 → Λ∞, Qa2 → Q∞, 当Q→ ∞, a→ 0 (9.310)

其中Λ∞和Q∞是某些确定的常数. 用解方程(9.299) 和(9.300)相同的方法, 我们可以解出这个特

征值问题的有关极限. 我们发现

Q∞ = 680,Λ∞ = 2.5648 × 106; AC;1 = 1, AS;1 = 0.5942

AC;2 = 0.0530, AS;2 = 0.00420

在非导电壁面情况下 (9.311)

相应的渐进行为是

Λc → 3.7718 × 103Q, ac → 26.1Q− 12 , 当Q→ ∞

在非导电壁面情况下 (9.312)

§9.10 当轴向磁场存在时粘性流动稳定性的实验

用于确定轴向磁场对Couette流动稳定性影响的实验已经有一些人做过; 但是首次真正成功

的实验是Donnelly和Ozima实验. Donnelly 和Ozima进行实验的原理与 §7.11.1 中描述的相同: 粘

度计的内圆柱在不同的速度下旋转,用零位方法测量外悬浮圆柱上的作用力矩.通过测量作为内

圆柱旋转速度函数的粘度的不连续性的出现, 探测不稳定性的发生.


在Donnelly和Ozima的实验中, 用水银作为流体; 粘度计是不锈钢的. 用于悬浮的抗扭线是

直径为0.003英寸的钨丝. 圆柱11.8cm 长; 外圆柱的半径2cm; 间隙宽度2mm. 外圆柱的悬浮部

分10cm. 在顶部和底部其余固定部分用来防止任何端部效应. 粘度计的通常设计必须修正以便

允许金属在水银中漂移. 因此, 外圆柱在底部附带了一个抗扭丝. 因为, 粘度计用作零位读数装

置, 外圆柱总是回到相同的位置. 虽然灵敏度将受到影响, 抗扭常数是不变的.

整个粘度计的高度为838英寸, 正好适合于放在Chicago大学的加速器用38 1

2英寸的磁铁之间.

(这块磁铁于第IV 和V 章中用于热不稳定性实验的磁铁相同.) 这块磁铁可以在黄铜导轨之间移

到或者移开它的适当位置.

实验装置提供了调平和校直的足够精度. 校直是特别困难的事情: 在实验中, 通过让保护圆

柱和安装的悬浮圆柱的非直度为0.004英寸来完成, 这样将防止外圆柱变弯. 还有, 通过悬浮系

统的适当设计,它可以以一种可重复形式拆除和取代.驱动粘度计的马达有转速精密调整变档装

置. 实验的有效转速范围是0.6-960 rev/min. 旋转周期用带光电池和探测器的电计数方法测量.

Donnelly和Ozima发现, 当磁场强度不是很大时, 不稳定性出现几乎与流体动力学实验中的

一样突然; 因此, 当磁场强度是几百高斯的量级时, 当不稳定性出现时的旋转周期可以用精度

为1/300的量级确定. 他们的实验结果在图 9.3中给出. 可以看出, 实验充分证明了理论估计的许

多方面; 而且, 对于非导电壁面实验点落在与理论曲线许多接近的地方.

参考文献注释

§9.2 . 在有轴向磁场时非耗散Couette流动的稳定性, 在以下文献中考虑过:

1. E.P. Velikhov, ‘Stability of an ideally conducting liquid flowing between cylin-

ders rotating in a magnetic field’, J. Expl. Theoret. Phys. (U.S.S.R.), 36, 1398-

1404(1959).

2. S. Chandrasekhar,‘The stability of non-dissipative Couette flow in hydromagnet-

ics’, Proc. Nat. Acad. Sci. 46, 253-7(1960).本书

中的处理, 在很大程度上是文献2的一种推广.

§9.3.2 . 在表XLI, 图 9.1, 9.2中给出的结果, 来自:

3. W.H. Reid,‘The stability of non-dissipative Couette flow in the presence of an axial

magnetic field’, Proc. Nat. Acad. Sci. 46, 370-3(1960).

§9.4 . 本书中处理的情况, 已经在以下文献中考虑过.

4. D.H. Michael, ‘The stability of an incompressible electrically conducting fluid

rotating about an axis when current flows parallel to the axis’, Mathematika, 1,

45-50(1954).

但是, Michael的讨论, 限于从开头到m = 0的情况.

耗散流动的相应问题, 在以下文献中考虑过.

5. F.N. Edmonds, JR. ‘Hydromagnetic stability of a conducting fluid in a circular

magnetic field’, The Physics of Fluids, 1, 30-41(1958).

§9.6 . 在有轴向磁场时, 两个旋转圆筒之间的粘性流动的稳定性, 在以下文献中考虑过.

6. S. Chandrasekhar,‘The stability of viscous flow between rotating cylinders in the

presence of a magnetic field’, Proc. Roy. Soc.(London) A, 216, 293-309(1953).

§9.10 当轴向磁场存在时粘性流动稳定性的实验 335

在文献6, 仅仅限于情况µ > 0. 本书中处理的是更一般的情况, 允许Ω沿缝隙有线性变化.

§9.6.2 . 文献6 仅考虑了完全导电壁面的情况. 非导电壁面的重要性是在以下文献中报导的.

7. E.R. Niblett,‘The stability of Couette flow in an axial magnetic field’, Canadian

J. Phys. 36, 1509-25(1958).

为求解流体动力学问题, 这些函数的有用性的原始建议, 可见:

8. S. Chandrasekhar and W.H. Reid,‘On the expansion of functions which satisfy

four boundary conditions’, Proc. Nat. Acad. sci. 43, 521-7(1957).

9. D.L. Harris and W.H. Reid,‘On orthogonal functions which satisfy four boundary

conditions, I. Tables for uses in Fourier-type expansions’, Astrophys. J. Supp., Ser.

3, 429-47(1958).

Reid & Harris 进一步构建了涉及C−和S−函数积分的很有用的表.

10. W.H. Reid and D.L. Harris,‘On orthogonal functions which satisfy four boundary

conditions. II. Integrals for use with Fourier-type expansions’, Astrophys. J. Supp.,

Ser. 3, 448-52(1958).

本书收录的列于表XLII、XLIII数据, 相应的计算是Donna Elbert完成的.

11. S. Chandrasekhar and Donna D. Elbert,‘The stability of viscous flow between

rotating cylinders in the presence of a magnetic field. II’Proc. Roy. Soc. (London)

A, in press.

§9.9 . 结果来自:

12. S. Chandrasekhar, Donna D. Elbert, and N. Lebovitz,‘The stability of

viscous flow in a curved channel in the presence of an axial magnetic field’, in press.

§9.10 . 描述的实验是摘自:

13. R.J. Donnelly and M. Ozima,‘Hydromagnetic stability of flow beteen rotating

cylinders’, Phys. Rev. Letters, 4, 497-8(1960).

附录一控制稳态对流的积分关系

§A.1 引言

从第二–六章的热不稳定性研究, 得到的普遍的结果是：稳态对流发生, 仅仅是在不可逆过

程耗散的能量, 与浮力释放的能量之间稳态平衡的一个标志. 当稳态对流盛行时, 这种平衡显然

是必要的, 而不仅仅在对流振幅无限小, 平衡变为可能的边缘稳定性中. 但是, 有一个重要的差

别:在我们现在面对的更普遍的条件下,平均温度随高度的变化不再是根据没有运动时的导热方

程推导的; 我们必须允许有限幅度的流行运动引起的效应.

在这个附录中,我们将推导在超出不稳定性发生之外的情况下,控制简单Benard问题中普遍

的稳态对流状态的确定的积分方程;我们将表明,如何应用这些关系作为基础估计刚刚过了边缘

稳定性时扰动的幅度.

§A.2 积分关系

我们从Boussinesq 近似的运动方程开始. 这些方程是(第二章方程(2.43)和(2.46)):

∂ui∂t

+∂

∂xj(uiuj) = − ∂Π

∂xi− g(1 +

δρ

ρ0)λi + ν∇2ui (A.1)

∂T

∂t+

∂

∂xj(Tuj) = k∇2T (A.2)

∂ui∂xi

= 0 (A.3)

其中Π = p/ρ0 且剩下的符号具有它们标准的含义.

我们现在将假定在稳态对流的状态(超出边缘稳定性) 是这种情况:

⟨ui⟩ = 0, ⟨Π⟩ = Π0(z), ⟨T ⟩ = T0(z) (A.4)

其中角括号表示括号内的量已经在水平面内进行了平均; 而且, 在平均之前,

Π = Π0 +ϖ(xi, t), T = T0(z) + θ(xi, t) (A.5)

伴随着涉及‘状态方程’的通常的假定,

δρ = −αρ0[T0(z) − T0(0) + θ] (A.6)

其中α是体积膨胀系数. 用这些定义,

⟨ϖ⟩, ⟨θ⟩ = 0, ⟨δρ⟩ = −αρ0[T0(z) − T0(0)] (A.7)

在前边指出了, 在水平面内平均方程(A.1)的结果是

⟨ ∂

∂xj(uiuj)⟩ = −∂Π0

∂xi− gλi1 − α[T0(z) − T0(0)] (A.8)

方程(A.8)的唯一没有消失的分量是处于垂直方向. 在这个方向这个方程给出

d

dz(Π0 + ⟨w2⟩) = −g1 − α[T0(z) − T0(0)] (A.9)

337

338 附录一控制稳态对流的积分关系

这个方程表明, 从平均的意义上讲, 平衡是水力学静态平衡.

同样地, 在水平面内, 对方程(A.2)的平均结果是

d

dz⟨θw⟩ = κ

d2T0dz2

(A.10)

对它进行积分给出

κT0(z) =

∫ z

0

⟨θw⟩dz + c1z + c2 (A.11)

其中c1和c2是常数. 这些常数与分别稳定地维持着的底部和顶部表面的温度T0(0)和T0(d)有关.

把c1和c2用这些温度表示, 我们可以把方程(A.11)重新写成形式

κT0(z) = κT0(0) +

∫ z

0

⟨θw⟩dz −

κ[T0(0) − T0(d)] +

∫ d

0

⟨θw⟩dz

z

d(A.12)

从这个关系我们推出

κdT0dz

= −βκ+ ⟨θw⟩ − 1

d

∫ d

0

⟨θw⟩dz (A.13)

其中β = [T − 0(0) − T0(d)]/d, 是流行的逆温度梯度的平均值. 方程(A.13)表明, 在没有运动时的

线性温度梯度, 是如何在运动存在情况下进行修正的.

§A.2.1 积分关系

把方程(A.2)重写成形式

∂θ

∂t+ w

dT0dz

+∂

∂xj(θuj) = κ

∂2T0dz2

+ κ∇2θ (A.14)

我们把它乘以θ, 在水平面内平均之后, 在z的范围内积分. 于是我们发现

1

2

d

dt

∫ d

0

⟨θ2⟩dz +

∫ d

0

⟨θw⟩dT0dz

dz = κ

∫ d

0

⟨θ∇2θ⟩dz (A.15)

现在, 根据方程(A.13), 代入dT0/dz, 我们得到

1

2

d

dt

∫ d

0

⟨θ2⟩dz = β

∫ d

0

⟨θw⟩dz + κ

∫ d

0

⟨θ∇2θ⟩dz−

− 1

κ

∫ d

0

⟨θw⟩2dz − 1

d

(∫ d

0

⟨θw⟩

)2 (A.16)

类似地, 方程(A.1) 乘以标量ui, 在水平面内进行平均之后, 对z积分, 我们得

1

2

d

dt

∫ d

0

⟨u2i ⟩dz = gα

∫ d

0

⟨θw⟩dz + ν

∫ d

0

⟨ui∇2ui⟩dz (A.17)

如果平均状态的条件是一种稳态的, 则方程(A.16)(A.17)导出积分关系

β

∫ d

0

⟨θw⟩dz + κ

∫ d

0

⟨θ∇2θ⟩dz =1

κ

∫ d

0

⟨θw⟩2dz − 1

d

(∫ d

0

⟨θw⟩

)2 (A.18)

gα

∫ d

0

⟨θw⟩dz + ν

∫ d

0

⟨ui∇2ui⟩dz = 0 (A.19)

方程(A.19)只是表示了ϵν和ϵg(见第二章方程(2.175)和(2.178).); 在几种情况下, 我们已经看到, 这

个关系, 为表征这个稳态变分原理提供了基础.

§A.3 过了边缘稳定性后稳态对流的幅度 339

§A.3 过了边缘稳定性后稳态对流的幅度

从经验已经知道, 在稳定性发生的稳态中, 作为稳态二次流动, 在边缘稳定性出现的运动的

图案, 在过了临界条件后, 本身持续的时间长. 比如, 简单的Benard问题就是属于这种情况, 当处

于同向旋转的圆柱之间的流动变成不稳定时, 情况也是如此. 这些事实表明, 根据过了边缘稳定

状态, 持续的运动与不稳定性发生时的运动图案相同的假定, 人们可以应用方程(A.18) 和(A.19)

给出的积分关系, 估计对流运动的幅度.

因此我们假定, 在紧跟着发生不稳定的有限幅度的对流状态下, 解w和θ的形式是

w = AW (z)f(x, y), θ = AΘ(z)f(x, y) (A.20)

其中W (z)和Θ(z)是对应于边缘稳定的适当正规化的解; f(x, y)表示一种波数是k(= a/d)的二维

周期性波动, 它在边缘稳定态出现; A是剩下由线性稳定性理论确定的幅度.

根据解w, 水平方向的速度分量由下式给出(见第二章方程(2.171))

u =1

a2∂2w

∂x∂z= A

DW

a2fx, v =

1

a2∂2w

∂y∂z= A

DW

a2fy (A.21)

如果线性距离, 是用单位流体层深度(d)进行度量的. (刚才提到的距离单位将在剩下的讨论中用

到.) 因为在线性理论中, A是有关待定的比例常数, 不失一般性, 我们假设

⟨f2⟩ = 1 (A.22)

从f满足方程∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= −a2f (A.23)

这个事实, 我们可以得出

⟨f2x⟩ + ⟨f2y ⟩ = a2⟨f2⟩ = a2 (A.24)

把假设的解,代入方程(A.18)和(A.19) (z重写为单位d),应用方程(A.22)和(A.24),我们得到

β

∫ 1

0

ΘWdz +κ

d2

∫ 1

0

Θ(D2 − a2)Θdz =A2

κ

∫ 1

0

Θ2W 2dz −(∫ 1

0

ΘWdz

)2

(A.25)

gα∫ 1

0ΘWdz = − ν

d2A2

∫ 1

0⟨w(D2 − a2)w⟩ + ⟨u(D2 − a2)⟩ + ⟨v(D2 − a2)v⟩dz

= − νd2

∫ 1

0

W (D2 − a2)W + 1

a2DW (D2 − a2)DWdz

(A.26)

进一步简化, 方程(A.25) 和(A.26) 变成

β

∫ 1

0

ΘWdz − κ

d2

∫ 1

0

[(DΘ)2 + a2Θ2]dz =A2

κ

∫ 1

0

Θ2W 2dz −(∫ 1

0

ΘWdz

)2

(A.27)

gα

∫ 1

0

ΘWdz = − ν

a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz (A.28)

因为根据第二章方程(2.181)

Θ =ν

gαa2d2F =

ν

gαa2d2(D2 − a2)W (A.29)

方程(A.28)是一个实际等式; 因为根据问题的边界条件∫ 1

0

W (D2 − a2)Wdz ≡∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2dz (A.30)


回到方程(A.27)并把Θ用F表示, 我们有

A2

κ

∫ 1

0

W 2F 2dz −(∫ 1

0

WFdz

)2

=gαβ

νa2d2

∫ 1

0

WFdz−

− κ

d2

∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz (A.31)

或者, 写成

A2

∫ 1

0

W 2F 2dz −(∫ 1

0

WFdz

)2

=κ2a2

d2

gαβ

κνd4 −

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2dz

∫ 1

0

WFdz (A.32)

回顾到关于不稳定性发生的临界Rayleigh数是

Rc =

∫ 1

0[(DF )2 + a2F 2]dz

a2∫ 1

0[(D2 − a2)W ]2dz

(A.33)

我们把方程(A.32)重写成形式

A2 =κ2a2

d2Rc

∫ 1

0WFdz∫ 1

0W 2F 2dz −

(∫ 1

0WFdz

)2 ( R

Rc− 1

)(A.34)

根据这个方程, 过了边缘状态的扰动幅度随(R−Rc)12增长.

用 §2.11中给出的精确解,显然,我们可以在考虑的不同情况下,得到方程(A.34)中( RRc

−1)的

系数. 因此, 对于两个限制表面是自由的情况,

W = sinπz, F = (π2 + a2)2 sinπz

a2 = 12π

2, Rc = 274 π

4 (A.35)

以及方程(A.34)给出

A2 = 6π2κ2

d2

(R

Rc− 1

)= 59.22

κ2

d2

(R

Rc− 1

)(A.36)

对于 §2.11中考虑的其它两种边界条件, 与表II中给出的解有关的幅度, 通过必要的数值积分, 可

以很简单地得出. 因此, 我们发现1∫ 1

2

0FeWedz = 0.229732(Rca

2)23∫ 1

2

0F 2eW

2e dz = 0.178585(Rca

2)23 ; Rc = 1707.76, a = 3.117

(A.37)

和 ∫ 1

2

0FoWodz = 0.239680(Rca

2)23∫ 1

2

0F 2oW

2o dz = 0.184027(Rca

2)23 ; Rc = 1100.65, a = 2.682

(A.38)

把这些值代入方程(A.34), 我们发现相应的幅度的平方具有形式

A2 = 80.23κ2

d2

(R

Rc− 1

)(两个限制表面是固壁,) (A.39)

1 正规化与表中的解相对应.

§A.3 过了边缘稳定性后稳态对流的幅度 341

以及

A2 = 69.11κ2

d2

(R

Rc− 1

)(一个限制表面是固壁,另一个是自由的表面) (A.40)

显然, 以上考虑基于的基本思想, 比正文中描述的简单情形更具普遍性. 比如, 当有磁场时, 可以

很快推广, 我们仅仅在方程(A.19)中包含了伴随ϵν的项ϵσ, 它给出Joule加热的能量耗散. 但是, 在

超稳定性情况下的推广, 要求注意一些特殊性, 但这些内容, 实质上超出了本书的范围.

参考文献注释

正是Landau从非常普遍的考虑提出, 当超出在Rc不稳定性的发生时, 扰动的幅度一定随(R −Rc)

12增长(其中R 是适当定义的‘Reynolds 数’):

1. L. D. Landau,‘On the problem of turbulence’,C. R. Doklady Acad. Sci. URSS,

44,311-14,(1844).

2. L. D. Laudau, and E. M. Lifshitz Fluid Mechanics, §27, Pergamon Press, 1959.

特别涉及Couette流动的稳定性, Stuart发展了Landau的理论, 得到了幅度的定量估计.

3. J. T. Stuart,‘On the non-linear mechanics of hydrodynamic stability’,J. Fluid

Mech. 4, 1-21 (1958).

§126中的讨论就是模仿Stuart的论文的. Benard 问题的这种非线性方面已经得到进一步的讨论:

4. W. V. R. Malkus,‘The heat transport and spectrum of thermal turbulence’,Proc.

Roy. Soc. (London)A, 225, 196-212, (1954).

5. L. P. Gor’kov,‘Stationary convection in a plane liquid layer near the critical heat

transfer point’Soviet Physics, JETP,6, 311-15 (1958).

6. W. V. R. Malkus and G. Veronis, ‘Finite amplitude cellular convection’,J.

Fluid Mech. 4, 225-60(1958).

7. G. Veronis,‘Cellular convection with finite amplitude in a rotating fluid’,ibid. 5,

401-35(1959).

8. Y. Nakagawa,‘Heat transport by convection’,Physics of Fluids, 3, 82-86 (1960).

9. ———,‘Heat transport by convection in presence of an impressed magnetic field’,ibid.

3, 87-93 (1960).

这些论文详细研究了非线性稳定性理论

附录二在第V章中考虑的问题的变分公式

§B.1 控制能量平衡的一般方程

为了包含除了粘性以外的能量耗散模式, 从第三章指出的定理，及其在第四章中的推广, 显

然, 在第五章中考虑一般的问题, 必须同等地允许变分公式. 特别是, 在稳态对流发生不稳定性

的情况下, 变分原理不能给出更多的等式,

ϵg = ϵν + ϵσ (B.1)

其中

ϵg = gαρ

∫ 1

0

⟨θw⟩dz (B.2)

是通过浮力释放能量的平均速率, 并且

ϵν =ρν

d2

∫ 1

0

⟨ui∇ui⟩dz (B.3)

和

ϵσ =µη

4πd2

∫ 1

0

⟨| curlh |2⟩dz (B.4)

是在液体的单位柱中通过粘性和Joule热能量耗散的平均速率(见第四章 §4.8.2).

当有旋转时, 涡量和流密度的z−分量没有消失, 有必要允许它们的唯一因素, 是把现在的问

题, 与第四章中考虑的问题区分开. 在第三章中, 我们已经允许在ϵν的表达式中, 有一个没有消

失的涡量z−分量; 在那里推导的表达式(方程(3.286)), 在这里有相同的应用性. 因此

ϵν =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz (B.5)

在推导关于eeσ的类似的表达式时,我们不能忘记,用于第四章中类似目的的磁场的水平分量,不

能允许电流密度的没有消失的z−分量;并且我们现在必须应用一般的关系(第四章(4.126)和(4.127)

式)

hx =1

a2

(∂2hz∂z∂x

+ d∂ξ

∂y

), hy =

1

a2

(∂2hz∂z∂y

− d∂ξ

∂x

)(B.6)

其中ξ/4π是电流密度的z−分量.

不失一般性, 我们现在可以假设(见第四章(4.112)式)

ξ = X(z) cos axx cos ayy (B.7)

和

hz = K(z) cos axx cos ayy (B.8)

关于hx和hy, 相应的表达式是:

hx = − 1

a2(axDK sin axx cos ayy + aydX cos axx sin ayy) (B.9)

hy = − 1

a2(ayDK cos axx sin ayy − axdX sin axx cos ayy) (B.10)

根据以上给出的h分量, 我们发现

( curlh)x = +1

a2ay(D2 − a2)K cos axx sin ayy − axdDX sin axx cos ayy (B.11)

343

344 附录二在第V章中考虑的问题的变分公式

( curlh)y = − 1

a2ax(D2 − a2)K sin axx cos ayy + aydDX cos axx sin ayy (B.12)

和

( curlh)z = −dX cos axx cos ayy (B.13)

现在根据方程(B.4)得出eeσ, 我们发现

ϵσ =µη

16πd2a2

∫ 1

0

[(D2 − a2)K]2 + d2[(DX)2 + a2X2]dz (B.14)

方程(B.5) 和(B.14)表明, 在确定相应的耗散方面, K和X起的作用, 与W和Z的作用是完全平行

的.

应用关系(第五章(5.46)式), 从方程(B.14)中消去K,

(D2 − a2)K = −HdηDW (B.15)

我们得到

ϵσ =ρν

4a2d2Q

∫ 1

0

(DW )2dz +µη

16πa2

∫ 1

0

[(DX)2 + a2X2]dz (B.16)

ϵσ的这个公式, 应当与第四章中推出的方程(4.185)进行对比.

现在联立方程(B.5) 和(B.16), 我们有

ϵν + ϵσ =ρν

4a2d2

∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz+

+µη

4πρνd2∫ 1

0

[(DX)2 + a2X2]dz (B.17)

ϵg与在我们已经考虑的类似联系方式相同.在(第二章(2.182)式,第三章(3.291)式和第四章(4.151)式)给

出了

ϵg =ρκν2

4gαβa4d6

∫ 1

0

(DF )2 + a2F 2dz (B.18)

其中

F =gαa2d2

νΘ (B.19)

根据(B.17)和(B.18)是相同的, 我们得到

Ra2[∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2 + d2[(DZ)2 + a2Z2]dz+

+µη

4πρνd2∫ 1

0

[(DX)2 + a2X2]dz] =

∫ 1

0

(DF )2 + a2F 2dz (B.20)

方程(B.20)表明, R是两个正的积分的比值,并且为了证明它可以作为变分处理的基础,我们

将从问题的对应关系出发把它直接推导出来.

用方程(B.19)定义的F , 第五章方程(5.35)和(5.39)(σ令为零)变成

(D2 − a2)F = −Ra2W (B.21)

和

(D2 − a2)2W +µHd

4πρνD(D2 − a2)K − 2Ωd3

νDZ = F (B.22)

§B.1 控制能量平衡的一般方程 345

通过应用方程(B.15), 从方程(B.22)中消去K; 我们得到

[(D2 − a2)2 −QD2]W − 2Ωd3

νDZ = F (B.23)

方程(B.21)和(B.23) 必须和方程式一起考虑(见第五章(5.37)和(5.38)式)

(D2 − a2)Z +µHd

4πρνDX = −2Ωd

νDW (B.24)

以及

(D2 − a2)X = −HdηDZ (B.25)

和第五章边界条件(5.49)-(5.51).

现在用F乘以方程(B.21), 在z的范围内积分; 我们得到∫ 1

0

[(DF )2 + a2F 2]dz = Ra2∫ 1

0

WFdz

= Ra2∫ 1

0

W

(D2 − a2)W −QD2W − 2Ωd3

νDZ

dz (B.26)

经过一次或多次分部积分, 方程(B.26)右边的积分变成形式∫ 1

0

[(D2 − a2)W ]2 +Q(DW )2dz +2Ωd3

ν

∫ 1

0

ZDWdz (B.27)

应用方程(B.24), 我们可以把(B.27)中的第二个积分变成形式

2Ωd3

ν

∫ 1

0

ZDWdz = −d2∫ 1

0

Z

(D2 − a2)Z +

µHd

4πρνDX

dz

= d2∫ 1

0

[(DZ)2 + a2Z2]dz +µHd3

4πρν

∫ 1

0

XDZdz (B.28)

通过剩下方程(B.25)的类似应用, 我们可以把方程(B.28)右边的第二个积分变成µHd3

4πρν

∫ 1

0XDZdz = − µη

4πρν d2∫ 1

0X(D2 − a2)Xdz

= µη4πρν d

2∫ 1

0[(DX)2 + a2X2]dz

(B.29)

根据以上简化结果的联立, 我们发现方程(B.20)成立. 可以看出方程(B.20), 确实提供了变分确

定R的基础. 但是, 方程(B.20)现在的推导表明, 在变分处理中, 方程(B.23)-(B.25) 必须考虑为

用方程(B.21)确定的特征值问题的补充条件. 换句话说, 对于F的选定形式(与边界条件相适应,

当z = 0, 1, 它消失), 为了W,Z和X, 我们必须解方程(B.23)-(B.25), 并安排它们需要满足的边

界条件. 为此, 把方程(B.24) 和(B.25) 联立成形式

[(D2 − a2)2 −QD2]Z = −2Ωd

ν(D2 − a2)DW (B.30)

用这个方程从方程(B.23)中消去Z, 得到

[(D2 − a2)2 −QD2]2 + T (D2 − a2)D2W = [(D2 − a2)2 −QD2]F (B.31)

这是一个W的八阶方程, 具有关于W的两对边界条件, 和关于Z和X的各一对边界条件. 但是, 显

然, 基于以上方程和各种允许的边界条件方程组的变分处理, 将是非常麻烦的. 因此, 在正文中

是限制在一种情况(但是, 一种经典情况), 关于它可能有一种显式解.

为了包含超不稳定性对以上分析进行的推广是直截了当的, 将被略去.

346 附录二在第V章中考虑的问题的变分公式

参考文献注释

见:

1. S. Chandrasekhar,‘The thermodynamics of thermal instability in liquids’,Max

Plank Festschrift 1958,103-14, Veb Deurscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1958.

附录三环形和管形矢量场

§C.1 无散度矢量场的一般特征. 主基

定义的矢量场是

T = curl

(Ψ

rr

)(C.1)

和

S = curl

[curl

(Φ

rr

)](C.2)

其中Ψ和Φ是位置的任意标量函数, 显然是无散度的. 用具有定义标量Ψ的(C.1)式定义的矢量场

称为环形的; 而用具有定义标量Φ的(C.2)式定义的矢量称为极形的. T和S可以写成另外的形式

T = gradΨ

r× r (C.3)

和

S = curl

(grad

Φ

r× r

)(C.4)

在球坐标系(r, ϑ, φ)下, S和T的分量是

Tr = 0, Tϑ =1

r sinϑ

∂Ψ

∂φ, Tφ = −1

r

∂Ψ

∂ϑ(C.5)

而

Sr =1

r2L2Φ, Sϑ =

1

r

∂2Φ

∂r∂ϑ, Sφ =

1

r sinϑ

∂2Φ

∂r∂φ(C.6)

其中L2代表算符(在第六章(6.25)式中定义)

L2 = − 1

sinϑ

∂

∂ϑsinϑ

∂

∂ϑ− 1

sin2 ϑ

∂2

∂φ2(C.7)

因为T是无散度的,

(curl2T)i = −∂2Ti∂x2s

=∂2

∂x2sϵijkxj

∂

∂xk

Ψ

r= ϵijkxj

∂

∂xk∇2 Ψ

r(C.8)

因此

curl2T = −grad

(∇2 Ψ

r

)× r (C.9)

类似地

curlS = −grad

(∇2 Φ

r

)× r (C.10)

从方程(C.3),(C.4),(C.9) 和(C.10) 可知, curlT具有同样定义标量的Ψ是管形场, 但curl2T是无散

度场, 定义标量是

Ψ = −r∇2 Ψ

r(C.11)

相应地, curlS是无散度场, 具有定义标量

Φ = −r∇2 Φ

r(C.12)

但curl2S是定义标量为Φ的管形场.

347

348 附录三环形和管形矢量场

通过把Ψ和Φ展开成系数为r的函数的球调和函数, 我们得到这些无散度和管形场在一个球

上的主基. 因此, 主基的元素是从以下标量推出的场

Ψ = T (r)Y ml (ϑ, φ), Φ = S(r)Y m

l (ϑ, φ) (C.13)

其中

Y ml (ϑ, φ) = eimφP

|m|l (cosϑ) (C.14)

这些特殊的标量定义的场的分量是

Tr = 0, Tϑ =T (r)

r sinϑ

∂Y ml

∂φ, Tφ = −T (r)

r

∂Y ml

∂ϑ(C.15)

以及

Sr =l(l + 1)

r2S(r)Y m

l , Sϑ =1

r

dS

dr

∂Y ml

∂ϑ, Sφ = − 1

r sinϑ

dS

dr

∂Y ml

∂φ(C.16)

其中在简化Sr的表达式时, 我们已经用到了性质(第六章(6.26)式)

L2Y ml = l(l + 1)Y m

l (C.17)

涉及到curlT和curlS的定义标量容易找到. 我们有Ψ = −r∇2(Tr Y

ml

)= −rY m

l Dl

(Tr

)= −rY m

l

[1r2

ddr r

2 ddr − l(l+1)

r2

]Tr

= Y ml

[l(l+1)r2 T − d2T

dr2

] (C.18)

类似地

Φ = Y ml

[l(l + 1)

r2S − d2S

dr2

](C.19)

§C.2 基本无散度和管形场的正交性质

为方便起见, 定义单位球上的矢量算子

∇s = lϑ∂

∂ϑ+ lφ

1

sinϑ

∂

∂φ(C.20)

这里lϑ和lφ是沿着通过考虑的点的主要经度和纬度的单位矢量. ∇s作用于任意标量函数Ψ(r, ϑ, φ)的

效果是得到矢量

∇sΨ = lϑ∂Ψ

∂ϑ+ lφ

1

sinϑ

∂Ψ

∂φ(C.21)

另一方面, 如果

ξ = lϑξϑ + lφξφ (C.22)

是在单位球面上的二维矢量点函数, 则我们定义

divξ = ∇s · ξ =1

sinϑ

∂

∂ϑ(ξϑ sinϑ) +

1

sinϑ

∂ξφ∂φ

(C.23)

相应地 ∇2sΨ = ∇s · (∇sΨ) = ∇s ·

(lϑ

∂Ψ∂ϑ + lφ

1sinϑ

∂Ψ∂φ

)= 1

sinϑ∂∂ϑ

(sinϑ∂Ψ

∂ϑ

)+ 1

sin2 ϑ∂2Ψ∂φ2 = −L2Ψ

(C.24)

因此, 特别地,

∇2sY

ml = −L2Y m

l = −l(l + 1)Y ml (C.25)

§C.2 基本无散度和管形场的正交性质 349

可以注意到, 以上定义的两个基本意义. 首先, 如果ξ是单位球上的单值矢量点函数, 则∫ ∫

∇s · ξdΣ =∫ π

0

∫ 2π

0

1

sinϑ∂∂ϑ (ξϑ sinϑ) + 1

sinϑ∂ξφ∂φ

sinφdϑdφ

=∫ 2π

0dφ[ξϑ sinϑ]π0 +

∫ π

0dφ[ξφ]2π0 = 0

(C.26)

因此, 在现在的几何条件下, Gauss定理的形式是∫ ∫∇s · ξdΣ = 0 (C.27)

第二个基本意义是直接从定义式

∇s · (Ψξ) = Ψ(∇s · ξ) + ξ · (∇sΨ) (C.28)

得到的.

用方程(C.27) 和(C.28)给出的结果, 我们推出以下重要的等式0 =

∫ ∫∇s · (Y m′

l′ ∇sYml )dΣ

=∫ ∫

Y m′

l′ ∇2sY

ml + (∇sY

ml ) · (∇Y m′

l′ )dΣ

= −l(l + 1)∫ ∫

Y m′

l′ Y ml dΣ +

∫ ∫(∇Y m

l ) · (∇Y m′

l′ )dΣ

(C.29)

从已知的球调和函数的正交性质, 我们可以看出∫ ∫(∇sY

ml ) · (∇sY

m′

l′ )dΣ = l(l + 1)N|m|l δll′δm,−m′ (C.30)

其中

N|m|l =

4π

2l + 1

(l+ | m |)!(l− | m |)!

(C.31)

在 §6.2.4 中列出的关于基本的无散度和管形场的各种正交关系, 现在看出是方程(C.30) 的

直接结果. 因此, 考虑两个无散度场, Tm1;l 和Tm′

2;l′ , 它们分别与球调和函数Yml 和Y

m′

l′ 有关, 我们

有 r2∫ ∫

Tm1;l ·Tm′

2;l′dΣ = T1T2∫ ∫ (

1sin2 ϑ

∂Yml∂φ

∂Ym′

l′∂φ +

∂Yml∂ϑ

Ym′

l′∂ϑ

)dΣ

= T1T2∫ ∫

(∇sYml ) · (∇sY

m′

l′ )dΣ

= l(l + 1)N|m|l T1T2δll′δm,−m′

(C.32)

类似地 r2∫ ∫

Sm1;l · Sm′

2;l′dΣ = l(l + 1)l′(l′ + 1)S1S2

r2

∫ ∫Y ml Y m′

l′ dΣ+

+dS1

drdS2

dr

∫ ∫(∇sY

ml ) · (∇sY

m′

l′ )dΣ

= 1(l + 1)N|m|l

l(l+1)r2 S1S2 + dS1

drdS2

dr

δll′δm,−m′

(C.33)

最后, 任意管形场与任意无散度场的正交关系发现如下:r2∫ ∫

Sm1;l ·Tm′

2;l′dΣ = T dSdr

∫ π

0

∫ 2π

0

(∂Yml∂ϑ

∂Ym′

l′∂φ − ∂Yml

∂φ

∂Ym′

l′∂ϑ

)dϑdφ

= T dSdr 2πim′δm,−m′

∫ π

0

(P

|m|l′

dP|m|l

dϑ + P|m|l

dP|m|l′dϑ

)dϑ

= T dSdr 2πim′δm,−m′ [P

|m|l (ϑ)P

|m|l′ (ϑ)]π0

(C.34)

在方程(C.34)中方括号中的量, 当l和l′同为偶数或同为奇数时明显消失; 但是如果其中之一, 比

如l, 是奇数, 则P |m|l (| m |= 0)在ϑ = 0和ϑ = π时消失; 因此, 在所有情况下, 方括号中的项消失.

可见, 需要的正交性存在.

350 附录三环形和管形矢量场

参考文献注释

对于第VI章中给出的参考文献, 我们增加参考文献如下:

1. J. M. Blatt and V. F. Weisskpf, Theoretical Niclear Physics, Appendix B, John

Wily & Sons, New York, 1952.

2. G. E. Backus,‘A class of self-sustaining dissipative shperical dynamics’,Annals of

Physics, 4,372-447 (1958).

附录四基于伴随微分系统的变分方法

§D.1 微分系统的伴随性. 一个例子

在此附录中, 我们提供求解特征值问题的方法的变分基础, 当方程和边界条件, 不允许用通

常是作为正定两个积分之比的特征值的表达式表示变分公式时, 我们已经经常依靠它. 我们将

给出在 §7.8.1 中, 处理这个特殊问题的主要思想, 但思想本身是更加普遍的.

在 §7.8.1 中处理的问题如下: 解方程

(D2 − a2)2u = (1 + αζ)v (D.1)

(D2 − a2)v = −λu (D.2)

其边界条件为

u = Du = v = 0当ζ = 0 和1 (D.3)

特征参数是λ(在正文中用Ta2表示), a和α是实常数, 而D = d/dζ.

方程给出的特征值问题的求解方法如下:

我们把v展开成正弦级数

v =∑n

An sinnπζ (D.4)

把u表示成求和

u =∑n

Anun (D.5)

其中un是如下方程的独立解

(D2 − a2)un = (1 + αζ) sinnπζ (D.6)


un = Dun = 0当ζ = 0 和1 (D.7)

用这种方法已经得出了un, 我们把展开式(D.4) 和(D.5) 代入方程(D.2) 得到∑m

Am(m2 + π2) sinmπζ = λ∑m

Amum (D.8)

用sinnπζ乘方程(D.8),在ζ的范围上进行积分,我们得到一个关于Am的个数为无穷大的线性齐次

方程组, 它的特征方程是

∥ 1

2λ(n2π2 + a2)δmn − (m | n)∥ = 0 (D.9)

其中

(m | n) =

∫ 1

0

umsinnπζdζ (D.10)

现在考虑稍微不同的系统:

(D2 − a2)2u† = v† (D.11)

(D2 − a2)v† = −λ†(1 + αζ)u† (D.12)

和

u† = Du† = v† = 0, 当ζ = 0 和1 (D.13)

351

352 附录四基于伴随微分系统的变分方法

让我们用解系统(D.1)-(D.3) 相同的方法, 解这个方程组. 相应地, 我们把v†和u†表示成级数形式

v† =∑n

Bn sinnπζ, u† =∑n

Bnu† (D.14)

其中u†现在是如下方程的解

(D2 − a2)2u†n = sinnπζ (D.15)


u†n = Du†n = 0 当ζ = 0 和1 (D.16)

在方程(D.12)将导致特征方程

∥ 1

2λ†(n2π2 + a2)δmn − (m | n)†∥ = 0 (D.17)

其中

(m | n)† =

∫ 1

0

u†m(1 + αζ) sinnπζdζ (D.18)

我们现在将表明矩阵(m | n)和(m | n)†互为转置矩阵. 为此, 根据方程(D.6)把(1 + αζ) sinnπζ代

入(m | n)†的积分形式; 我们得到

(m | n)† =

∫ 1

0

u†m(D2 − a2)2undζ (D.19)

两次分部积分之后, 方程(D.19)变成形式

(m | n)† =

∫ 1

0

[(D2 − a2)u†m][(D2 − a2)un]dζ (D.20)

类似地, 根据方程(D.15), 把sinnπζ代入(m | n)的积分中, 我们得到

(m | n) =

∫ 1

0

um(D2 − a2)2u†ndζ (D.21)

两次分部积分之后, 变成

(m | n) =

∫ 1

0

[(D2 − a2)um][(D2 − a2)u†n]dζ (D.22)

比较方程(D.20) 和(D.22) 发现

(m | n) = (n | m)† (D.23)

这个最后的方程的意义在于, 方程(D.9) 和(D.17) 是从两个互为转置的矩阵推导出来的. 因此关

于λ和λ†的特征方程是相同的. 因此,我们就表明了,方程组(D.1)-(D.3)和(D.11)-(D.13)确定了一

组同样的特征值. 正由于这个原因, 我们称这两个系统是互为伴随的系统.

更普遍地讲, 如果两个系统确定了一组相同的特征值, 则我们说它们是互为伴随的.(必须指

出, 从这种联系出发, 更多的系统可以是互为伴随的.)

§D.2 对偶关系和变分原理

根据系统(D.1)-(D.3) 和(D.11)-(D.13)的特征值的完全相同性, 我们可以推出, 两个系统适

当的解之间对偶关系. 为了阐明这种对偶性的实质, 考虑属于λj的解uj和vj , 以及属于不同特征

值λk的解u†k和v

†k. 这些解满足的方程是

(D2 − a2)2uj = (1 + αζ)vj (D.24)

§D.2 对偶关系和变分原理 353

(D2 − a2)vj = −λjuj (D.25)

以及

(D2 − a2)u†k = v†k (D.26)

(D2 − a2)v†k = −λk(1 + αζ)u†k (D.27)

现在考虑

λj

∫ 1

0

ujvkdζ = −∫ 1

0

v†k(D2 − a2)vjdζ (D.28)

通过连续两次分部积分, 我们发现λj∫ 1

0ujv

†k =

∫ 1

0[(Dvj)(Dvk) + a2vjv

†k]dζ

= −∫ 1

0vj(D

2 − a2)v†kdζ(D.29)

另一方面, 代入方程(D.26)的vk, 我们得到,λj∫ 1

0ujv

†kdζ = λj

∫ 1

0uj(D

2 − a2)u†k

= λj∫ 1

0[(D2 − a2)uj ][(D

2 − a2)u†k]dζ.(D.30)

因此, 定义

Gj = (D2 − a2)uj , G†k = (D2 − a2)u†k (D.31)

我们有关系,

λj

∫ 1

0

GjG†k =

∫ 1

0

[(Dvj)(Dv†k) + a2vjv

†k]dζ (D.32)

考虑方程(D.32)右边积分的第二可替换项(在(D.29)式中给出), 从方程(D.27)代入(D2 − a2)v†k, 我

们得到 ∫ 1

0

[(Dvj)(Dv†k) + a2vjv

†k]dζ = λk

∫ 1

0

vj(1 + αζ)u†kdζ (D.33)

在此方程的右边, 我们可以用(D2 − a2)2uj (根据方程(D.24)). 因此我们发现∫ 1

0[(Dvj)(Dv

†k) + a2vjv

†k]dζ = λk

∫ 1

0u†k(D2 − a2)ujdζ

= λk∫ 1

0[(D2 − a2)uj ][(D

2 − a2)u†k]dζ

= λk∫ 1

0GjG

†kdζ

(D.34)

现在结合方程(D.32)和方程(D.34)的结果, 我们有关系

(λj − λk)

∫ 1

0

GjG†kdζ = 0. (D.35)

因此, ∫ 1

0

GjGkdζ = 0, if j = k (D.36)

因此, 本征解Gj和G†k是处于正交的对偶关系中.

当j = k, 方程(D.32) 和(D.34) 得出同样的关系

λ =

∫ 1

0[(Du)(Dv) + a2vv†]dζ∫ 1

0[(D2 − a2)u][(D2 − a2)u†]dζ

=I1I2

(D.37)

其中不再出现不同的下标. 我们将表明, 方程(D.37)提供了作为特征值问题依据的变分公式的基

础.


然后, 考虑无穷小的变分δv和δv†, 除了在ζ = 0和ζ = 1消失, 这种任意的变分, 对用方

程(D.37)计算的特征值λ的影响. 对应于v和v†的变分, 在u和u†中的变分量δu和δu†, 可以当做如

下方程的唯一解被确定.

(D2 − a2)2δu = (1 + αζ)δv (D.38)

(D2 − a2)2δu† = δv† (D.39)

满足的边界条件是

δu = Dδu = 0, δu† = Dδu† = 0 当ζ = 0, 1 (D.40)

换言之, 这种变分是把方程(D.1) 和(D.11) 作为约束而实现的.

用δλ表示λ变化的一阶近似, 我们有

δλ =1

I2(δI1 − λδI2) (D.41)

其中

δI1 =

∫ 1

0

(Dδv)(Dv†) + (Dv)(Dv†) + a2(vδv† + v†δv)dζ (D.42)

以及

δI2 =

∫ 1

0

[(D2 − a2)δu][(D2 − a2)δu†] + [(D2 − a2)δu][(D2 − a2)δu†]dζ (D.43)

是对应于I1和I2的变分. 应用作用在各种增量上的边界条件, 通过一次或更多次的分部积分, 我

们可以把δI1和δI2的表达式简化为

δI1 = −∫ 1

0

δv†(D2 − a2)v + δv(D2 − a2)v†dζ (D.44)

以及

δI2 = −∫ 1

0

δu†(D2 − a2)u+ δu(D2 − a2)u†dζ (D.45)

因为δu和δu†服从方程(D.38) 和(D.39), δI2的一种等价的表达式是

δI2 =

∫ 1

0

δv(1 + αζ)u† + δv†udζ (D.46)

有了方程(D.44) 和(D.46) 给出的变分δI1和δI2, 待求的λ的一阶变分是

δλ = − 1

I2

∫ 1

0

δv†[(D2 − a2)v + λu] + δv[(D2 − a2)v† + λ(1 + αζ)u†]dζ (D.47)

从后边的方程可见, 对于所有的小的变化量δv和δv†(它们在ζ = 0, 1时消失), δλ = 0给出

(D2 − a2)v + λu = 0, (D2 − a2)v† + λ(1 + αζ)u† = 0 (D.48)

即, 为随时满足控制u 和v 以及u†和v†的方程(D.2) 和(D.12) 提供了条件. 显然, 这个判断反过来

也是真实的. 因此, 方程(D.37)确实提供了变分处理问题的基础.

最后, 我们将表明, 在开头描述的, 由方程(D.1)-(D.3) 和(D.11)-(D.13) 给出的特征值问题的

方法, 与以方程(D.37)为基础的变分方法, 是等价的, 其中在v和v†的展开式中的系数An和Bn被

当做变分参数. 因此, 根据选择的v和v†的形式, λ的表达式变为

λ =12

∑mAmBm(m2π2 + a2)∑

m

∑nAmBn

∫ 1

0[(D2 − a2)um][(D2 − a2)u†n]dζ

(D.49)

§D.2 对偶关系和变分原理 355

这个式子中, 分母中出现的矩阵元素, 根据方程(D.22), 只能是(m | n). 因此

λ =12

∑mAmBm(m2π2 + a2)∑m

∑nAm(m | n)Bn

(D.50)

我们必须寻找以Am 和Bn为参数的这个λ的函数表达式的极值; 最简单的解决方法是把λ当做待

定的乘子, 并直接寻找以下表达式的极值

J =1

2λ

∑m

AmBm(m2π2 + a2) −∑m

∑n

Am(m | n)Bn (D.51)

要求∂J

∂Am=

∂J

∂Bn= 0 (m,n = 1, 2, · · · ) (D.52)

我们明显得出,与方程(D.9)和(D.17)同样的特征方程. 这就得到了在§130中描述的以方程(D.37)为

基础的变分处理的等价性证明. 在正文中(D.1)-(D.3)系统描述的思想具有明显的普遍性: 例如,

为§ §6.8, §7.10, §8.2, §9.9, 和 §9.10 中各种特征值问题的求解描述的方法, 类似地, 可以用以变

分为基础的方法给出.

参考文献注释

在此附录中描述的思想来自下边Roberts 的论文, 虽然处理和方法是不同的.

1. P. H. Roberts, ‘Characteristic value problems posed by differential equations

arising in hydrodynamics and hydromagnetics’J. Math. Analysis and Applications,

1,195-214 (1960).

2. S. Chandrasekhar,‘Adjoint differential systems in the theory of hydrodynamics

stability’,J. Math. and Mech. 10.(in press).

附录五满足四个边界条件的正交函数

§E.1 引言

在水动力学问题的求解过程中,为方便起见,经常将整个速度场在一个正交函数的完备集合

上展开. 但是, 用三角函数或者Bessel函数在涉及粘性流动的问题中是无用的(如果不是不可能),

因为,不仅它的法向分量,而且还有它的法向导数消失(后一条件为了保证速度的平行分量消失).

因此, 在这些问题中必须用, 在选择区间的边上, 一阶导数消失的正交函数展开. 在此附录中, 我

们将考虑用这类函数, 虽然它们用在展开上的完备性, 还需要比已经给出的更仔细的分析.

§E.2 适合具有平面边界问题的函数

考虑由方程d4y

dx4= α4y (E.1)

定义的特征值问题, 边界条件是

y = 0 dy/dx = 0 当x = ± 12 (E.2)

让αm表示一个特征值,属于它的特解用下标m以示区别.然后,用yn乘以控制ym的方程,在x的

整个范围内积分, 我们得到

α4m

∫ 12

− 12

ymyndx =

∫ 12

− 12

ynd4ymdx4

dx (E.3)

用连续两次分部积分, 对右边积分式进行变换, 我们有

α4m

∫ 12

− 12

ymyndx =

∫ 12

− 12

d2yndx2

d2ymdx2

dx (E.4)

考虑的yn的边界条件, 两次积分出来的部分消失. 根据方程(E.4)右边关于n和m的对称性, 得出

(α4m − α4

n)

∫ 12

− 12

ymyndx = 0 (E.5)

因此 ∫ 12

− 12

ymyndx = 0 当m = n (E.6)

因此, 解ym形成一个正交集合. 我们假设, 当它们用来展开在区间(−12 ,+

12 )上定义的在区间边上

的一阶导数为零的任意函数是完备的.

方程(E.1) 和(E.2)的特解是容易找到的. 它们分为不联合的偶解和奇解, 具有余弦和正弦特

征. 作为这些解的标准形式, 我们取

Cm(x) =coshλmx

cosh 12λm

− cosλmx

cos 12λm

(E.7)

Sm(x) =sinhµmx

sinh 12µm

− sinµmx

sin 12µm

(E.8)

定义成这种形式, 显然, 函数在x = ± 12消失; 它们的导数在这些点也消失需要λm和µm分别是以

下特征方程的根

tanh1

2λ+ tan

1

2λ = 0 (E.9)

357

358 附录五满足四个边界条件的正交函数

coth1

2µ− cot

1

2µ = 0 (E.10)

容易验证, 函数Cm(x)和Sm(x)已经是正交的, 因此∫ 12

− 12

CmCndx =

∫ 12

− 12

Sm(x)Sn(x)dx = δmn (E.11)

还有, 函数Cm与Sn显然是正交的; 因此∫ 12

− 12

Cm(x)Sn(x) = 0 (E.12)

在表LXVIII中, 给出了方程(E.9) 和(E.10)的几个根以及一些相关的常数.

Table LXVIII

特征根λm和µm以及相关常数

m λm µm tanh 12λm coth 1

2µm

1 4.73004074 7.85320462 0.98250221 1.00077731

2 10.99560784 14.13716549 0.99996645 1.00000145

3 17.27875966 20.42035225 0.99999994 1.00000000

4 23.56194490 26.70353756 1.00000000 1.00000000

对于m > 4, 渐进公式

λm → (2m− 1

2)π, µm → (2m+

1

2)π (m→ ∞) (E.13)

给出十位有效数字的正确的根.

对于m = 1, 2, 3, 4, 函数Cm和Sm以及它们的前三个导数, 当x = 0(0.0005)0.5时的值, 精确的

小数点后九位, 已经由Harris 和Reid列表给出.

§E.2.1 涉及Cn(x)和Sm(x)的积分

在C−和S−函数的应用中, 我们经常求涉及它们的矩阵元素. 如果Cn(x)和Sm(x)出现在这

个积分中, 人们经常遇到的简单的积分(如同在§§86-88)可以很容易地通过(应用它们满足的方

程(E.1)), 连续进行四个分部循环积分提出四种导数得到. 我们将考虑两个例子来表达这种方

法.

(i) 考虑

(Sm | C ′′′n ) =

∫ 12

− 12

SmC′′′n (x)dx (E.14)

我们首先把这个积分重写成

µ4(Sm | C ′′′n ) =

∫ 12

− 12

Sivm(x)C ′′′

n (x)dx = (Sivm | C ′′′

n ) (E.15)

现在一次分部积分给出

µm(Sm | C ′′′n ) =

∫ 12

− 12

= 2S′′′(1

2)C ′′′

n (1

2) − λ4n(S′′′

m | Cn) (E.16)

通过进一步的循环分部积分, 我们得到

(S′′′m | Cn) = −(S′′

m | C ′n) = +(S′

m | C ′′n) = −(Sm | C ′′′

n ) (E.17)

§E.3 适合具有柱面和球面边界问题的函数 359

用最后结果方程(E.16), 我们得到

(Sm | C ′′′n ) =

2S′′′m( 1

2 )C ′′′n ( 1

2 )

µ4m − λ4n

(E.18)

(ii) 考虑矩阵元素

(Sm | x | Cn) =

∫ 12

− 12

SmxCndx (E.19)

用以上例子中的同样方法, 我们发现λ4n(Sm | x | Cn) = (Sm | x | Civ

n ) = −(Sm | C ′′′n ) − (S′

m | x | C ′′′)

= −(Sm | C ′′′n ) + (S′

m | C ′′n)

−(S′′m | C ′

n) + (S′′′m | Cn) + (Siv

m | x | Cn)

(E.20)

因此我们发现(应用方程(E.17))

(Sm | x | Cn) = −4(Sm | C ′′′n )

λ4n − µ4m

=8S′′′

m( 12 )C ′′′

n ( 12 )

(λ4n − µ4m)2

(E.21)

§E.3 适合具有柱面和球面边界问题的函数

对于具有柱面和球面边界, 待求的函数可以推导得出, 由以下方程定义的特征值问题的特

解,

D2νy =

(d2

dr2+

1

r

d

dr− ν2

r2

)y = α4y (E.22)

它的边界条件是

y = 0, dy/dr = 0 对于r = 1, r = η(< 1) (E.23)

首先我们可以看到, 如果f是区间(η, 1)内连续而有界函数, y满足边界条件(E.23), 则∫ 1

ηryDνfdr =

∫ 1

ηy d

dr

(r dfdr

)− ν2

r fdr

= −∫ 1

ηr(

dydr

dfdr + ν2

r2 yf)dr =

∫ 1

ηrfDνydr

(E.24)

如果ym和yn是属于αm和αn的两个不同的特解, 则从控制ym的方程得

α4m

∫ 1

η

rynymdr =

∫ 1

η

rynD2nuymdr (E.25)

现在应用方程(E.24), 我们得到

α4m

∫ 1

η

rynymdr =

∫ 1

η

r(Dνyn)(Dνym)dr (E.26)

从方程(E.26)右端项关于n和m的对称性, 我们得出

(α4m − α4

n)

∫ 1

η

rynymdr = 0 (E.27)

因此 ∫ 1

η

rynymdr = 0 如果n = m (E.28)

因此, 特解yn形成区间(1,η)上权函数为r的正交函数.


回到方程(E.22), 我们可以写出不同宗数ν不同类型的Bessel函数的线性组合作为它的特解,

因此

y = AJν(αr) +BYν(αr) + CIv(αr) +DKν(αr) (E.29)

其中A,B,C,和D是任意常数.(在写出解的形式(E.29)时, 我们已经假定了ν是整数; 如果ν不是整

数, 我们仅用J−ν代替Yν .)

根据Bessel函数的重现关系, 得到

1

αrνd

dr(rνy) = AJν−1(αr) +BYν−1(αr) + CIν−1(αr) −DKν−1(αr) (E.30)

因此, 应用解(E.29)的边界条件(E.23)式, 导致特征方程∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥Jν(α) Yν(α) Iν(α) Kν(α)

Jν(αη) Yν(αη) Iν(αη) Kν(αη)

Jν−1(α) Yν−1(α) Iν−1(α) −Kν−1(α)

Jν(αη) Yν(αη) Iν(αη) −Kν(αη)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥= 0 (E.31)

如果αm是特征根, (1, Bm, Cm, Dm)是使矩阵(E.31)为零(当α = αm)的矢量, 则

ℓν;m(r) = Jν(αmr) +BmYν(αmr) + CmIν(αmr) +DmKν(αmr) (E.32)

是一个属于αm的特解.

§E.3.1 正交积分

让

uν;m(r) = Jν(αmr) +BmYν(αmr)

vν;m(r) = CmIν(αmr) +DmKν(αmr) (E.33)

因此

ℓν;m(r) = uν;m(r) + vν;m(r) (E.34)

根据ℓ满足的边界条件,

uν;m(1) = −vν;m(1); u′ν;m(1) = −v′ν;m(1)

uν;m(η) = −vν;m(η); u′ν;m(η) = −v′ν;m(η) (E.35)

特别地,

uν;mv′ν;m − u′ν;mvν;m = 0 当r = 1, η (E.36)

函数uν;m和vν;m,各自作为具有可能(是实数或虚数)宗量的Bessel函数的线性组合,满足微分方程

1

r

d

dr

(rduν;mdr

)− ν2

r2uν;m = −α2

muν;m (E.37)

1

r

d

dr

(rdvν;mdr

)− ν2

r2vν;m = +α2

muν;m (E.38)

分别用rvν;m和ruν;m乘方程(E.37) 和(E.38), 然后从相减, 我们发现2α2mruν;mvν;m = uν;m

ddr

(rdvν;mdr

)− vν;m

ddr

(rduν;mdr

)= d

dr

(ruν;m

dvν;mdr − rvν;m

duν;mdr

) (E.39)


在r的范围内积分, 我们得到

2α2m

∫ 1

η

ruν;mvν;mdr = [r(uν;m)v′ν;m − vν;mu′ν;m]1η (E.40)

根据方程(E.36), 方程(E.40)的右端项消失. 因此∫ 1

η

ruν;mvν;mdr = 0 (E.41)

利用这个性质, 我们可以写出 ∫ 1

η

rℓ2ν;mdr =

∫ 1

η

r(u2ν;m + v2ν;m)dr (E.42)

为了求出右端的积分, 首先考虑vν;m满足的微分方程(E.38), 乘以2r2v′ν;m之后, 这个方程可以写

出形式d

dr(rv′ν;m)2 = α2

mr2dv2ν;mdr

+ ν2dv2ν;mdr

(E.43)

对它在r的范围内进行积分, 我们得到[r2(v′ν;m)2 − ν2v2ν;m]1η = α2m

∫ 1

ηr2

dv2ν;m

dr dr

= [α2mr

2v2ν;m]1η − 2α2m

∫ 1

ηrv2ν;mdr

(E.44)

因此, 我们有

2α2m

∫ 1

η

rv2ν;mdr = [−r(v′ν;m)2 + (α2mr

2 − ν2)v2ν;m]1η (E.45)

从uν;m满足的方程, 类似地我们发现

2α2m

∫ 1

η

ru2ν;mdr = [+r(u′ν;m)2 + (α2mr

2 − ν2)u2ν;m]1η (E.46)

现在, 把方程(E.45) 和(E.46) 相加, 我们有2α2m

∫ 1

ηr(u2ν;m + v2ν;m)dr = [r2(u′ν;m)2 − (v′ν;m)2]1η

+[α2mr

2(u2ν;m + v2ν;m) − ν2(u2ν;m − v2ν;m)]1η

(E.47)

考虑到方程(E.35) 的关系, 方程(E.47) 简化为∫ 1

η

r(u2ν;m + v2ν;m)dr = [r2u2ν;m]1η = [r2v2ν;m]1η (E.48)

回到方程(E.42)并记住函数ℓν;m和ℓν;m当m = n时是正交的(在区间(1, η)上, 权为r), 我们可

以写出 ∫ 1

η

rℓν;mℓν;ndr = Nν;mδmn (E.49)

其中

Nν;m = u2ν;m(1) − η2u2ν;m(η) = v2ν;m(1) − η2v2ν;m(η) (E.50)

§E.3.2 一阶的柱函数

在旋转的圆柱面之间对称的粘性流动可以用一阶的函数展开, 例如, 这种展开在第七章的

§7.10中就有应用. 考虑到一阶函数的特殊重要性,在表LXIX中,我们列出了关于三个η值的特征

根和一些相关的常数.

对于特殊情况η = 12列出的属于前三个根的解, 是由Chandrasekhar 和Elbert给出的.


§E.3.3 半奇异积分型球函数

半奇异积分型球函数在球体和球壳内的粘性流动问题中是有用的. 对于球内流动, 在球心

解没有奇点的要求, 意味着解(E.30)式, 不能包含Yν(或J−ν)和Kν . 因此, 在这种情况下, 我们可

以写出

ℓl+ 12(r) =

Jl+frac12(αr)

Jl+ 12(α)

−Il+ 1

2(αr)

Il+ 12(α)

(E.51)

用这种方式定义,函数ℓl+ 12(r)在r = 1明显消失;在r = 1时,它的导数也消失的条件导致特征方程

Jl+ 12(α)Il− 1

2(α) − Jl− 1

2(a)Il+ 1

2(a) = 0 (E.52)

当l = 1, 3, 5时, 这个方程的前三个根列在表LXX中.

在( §6.8 ) 的相关公式需要的方程

Jl+ 12(α)I ′l+ 1

2(α) − Il+ 1

2(α)J ′

l+ 12(α) = αJl+ 1

2(α)Il+ 1

2(α) (E.53)

它的根也列在表LXX中.

参考文献注释

在此附录中描述的描述的函数在解水动力学问题中的应用性已经在下边的文献中指出:

1. S. Chandrasekhar, and W. H. Reid‘On the expansion of functions which satisfy

four boundary conditions’Proc. Nat. Acad. Sci. 43, 521-7(1957)

我们用Cm和Sm表示的函数出现在横梁的振动理论中, 与此有关的内容, 已经被Rayeigh考虑过:

2. Lord Rayleigh,‘Theory of Sound’p. 278, Dover Publications, New York, 1945.

在水动力学文献中, 这些函数得到了广泛的研究:

3. W. H. Reid,‘On the stability of viscous flow in a curved channel’Proc. Roy. Soc.

(London), A, 244, 186-98 (1958)

4. D. L. Harris and W. H. Reid,‘On the orthogonal functions which satisfy four

boundary conditions. I. Tables for use in Fourier-type expansion’Astrophys. J. Supp.

Ser. 3, 429-47 (1958)

5. W. H. Reid and D. L. Harris, ‘On the orthogonal function which satisfy four

boundary conditions. II. Integrals for use with Fourier- type expansions’Astrophys.

J. Supp. Ser. 3, 448-52 (1958)

在文献4中, Harris和Reid列表给出了函数Cm和Sm以及它们的前三阶导数在x = 0(0.005)0.5和m =

1, · · · ,时的4-9个位有效数字的值. 在此之前, 欠广泛的公开发表的列表可见于文献:

6. R. E. D. Bishop and D. C. Johnson, ‘Vibration Analysis Tables’Cambridge

University Press, New York, 1956.

在文献5中, Reid 和Harris 给出了一系列涉及函数Cm和Sm的非常有用的积分.

§134. 用ℓν;m表示的函数似乎首先是出现在文献1中, 也可见于:

7. S. Chandrasekhar,‘The stability of viscous flow between rotating cylinders’Proc.

Roy. Soc.(London)A, 246, 301-11(1958)


8. ———and Donna D. Elbert, ‘On the orthogonal functions which satisfy four

boundary conditions. III. Tables for use in Fourier-Bessel-type expansions’Astrophys.

J. Supp. Ser. 3, 453-8(1958)

§134. 当m = 1, 2, 3和η = 12时, 函数ℓν;m 的值列在文献8中. 表LXX中列出的特征根来自:

9. F. E. Bisshopp,‘On the thermal instability of a rotating fluid sphere’Phil. Mag.

Ser. 8, 3, 1342-60(1958)


Table LXIX

当ν = 1时的特征根和相关常数

η = 14

m = 1 m = 2 m = 3

αm +6.390336 +10.551651 +14.729000

Bm -5.870144 -0.4281099 -0.7125113

Cm -1.497055×10−2 -4.167599×10−5 -7.144507×10−7

Dm -10.77988 -5.986757 -19.90159

um(1) = −vm(1) +1.330279 -0.1884864 +0.1803302

um(1) = −vm(η) +2.619034 +0.3728952 +0.3581128

u′m(1) = −v′m(1) +7.807580 -1.903352 +2.570776

u′m(η) = −v′m(η) -23.29673 -4.83996 -6.10685

N1;m +1.340934 +0.02683654 +0.02450369

η = 12

η = 34

m = 1 m = 2 m = 3 m = 1

+9.49869 +15.739746 +22.017821 +18.93440

-9.076420 -17.3573 -22.4667 -10.2780

+1.006354×10−3 +3.67581×10−6 +8.86448×10−9 -8.91136×10−8

+4.396374×102 -1.95381×104 +5.91172×105 -6.65593×106

-1.681248 -2.46940 -2.70290 +1.34981

-2.371094 +3.48706 -3.81917 +1.55828

-14.93868 -37.7250 -58.2068 +24.4697

+24.82964 -58.7097 +88.1452 -30.0835

+1.42107 +3.05805 +3.65915 +0.456104

Table LXX

方程(52)和(53)的根

方程(52)的根方程(53)的根

m l = 1 l = 2 l = 3 l = 1 l = 2 l = 3

1 5.267568 7.748590 10.10830 4.180881 6.813002 9.232055

2 8.506951 11.19090 13.73380 7.573795 10.309365 12.881869

3 11.68768 14.47661 17.12845 10.802354 13.618716 16.289137

索引

起伏, 42

Alven 速度, 125

Benard实验, 17

Boussinesq近似, 22

Coriolis加速度, 75

Fourier分析, 83

Joule热, 128

Lagrange 乘子, 49

Lorentz 力, 120

Rayleigh 准则, 306

Rayleigh数, 17

Taylor-Proudman定理, 75

边缘状态, 77

变分计算, 88

变分原理, 51

波数, 88

不可压缩流体, 18

超稳定性, 13

纯震荡运动, 168

磁力线, 157

磁流体动力波, 157

第一个变分原理, 79

典型问题, 11

电导率, 157

电流密度, 159

动量守衡, 20

对称张量, 19

对流细胞, 42

法向应力, 20

耗散速率, 20

横波, 125

互换性, 178

渐进关系, 88

角动量, 217

静水压力, 120

两个自由边界, 88

流体层, 17

密度, 17

能量守衡, 21

逆温度梯度, 17

偶型解, 86

平均速率, 106

奇型解, 86

倾斜角, 158

球调和函数, 179

求和约定, 17

全导数, 18

扰动模式, 11

扰动状态, 23

势能, 218

水银层, 114

特征矩阵, 53

体积膨胀系数, 21

同心圆柱, 271

尾函数, 51

位移电流, 119

稳定性, 17

稳态对流不稳定性, 89

涡管, 67

涡线, 67

无滑移, 25

细胞结构, 42

细胞深度, 86

365

366 索引

相位叠加, 42

旋度, 24

旋转和磁场, 157

旋转流体, 67

应变增加速率, 18

余弦级数, 103

粘性的耗散, 70

粘性系数, 19

自伴随特征, 85

hydrodynamic and hydromagnetic stability–part a

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