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Hydrodynamik – strömende Flüssigkeiten und Gasekollektive Bewegung von Massenelementen eines Kontinuums
Bahnkurve
Zeitaufnahme der Bewegung eines Massenelementes dm
dm
1t
2t 3t
Stromröhre
Mantelfläche einer Stromröhrewird von Stromlinien gebildet
Es kann keine Masse durchdie Mantelfläche fließen
(„Schlauch“)
Stromlinie
Geschwindigkeitsfeld zu einem Zeitpunkt t
dm
v
:v von Betrag :v von Richtung
≈
„Stromliniendichte“0v =
∂∂
Ortt
stationäre Strömung:
An einem festen Ort ist die Geschwindigkeit konstant.Bahnkurve und Stromlinie fallen hier zusammen.
Massenstrom, I Massenstromdichte,
[ ] 11 −⋅=
⋅== ∫∫skgI
AdjdtdmI
AA
Ad
j
A
[ ] 21
2
1 −− ⋅⋅=⋅
=
mskgjdAdtmdj
:ρ Massendichte
v
⋅= ρj
.constt =
Richtung der Tangente
j
1v
2v
21 vv
>
1I
2I
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Kontinuitätsgleichung – Erhaltung der Masse
integral differentiell
∫∫∫ ∫∫ ⋅=⋅∂∂
−=−V AO
AdjdVtdt
dm ρ
Abnahme der Masse in dem Volumen V, wenn effektiv Masse durch die Oberfläche AO herausströmt.
dxdy
dzjx(x) jx(x+dx)
jy(y)jz(z)
jz(z+dz)jy(y+dy)
Massenbilanz für das Volumen V Massenbilanz für das Volumenelement dV[ ][ ][ ] dzdydx
dtdydxzjdzzj
dzdxyjdyyjdzdyxjdxxj
zz
yy
xx
⋅⋅⋅∂
−=⋅⋅−++
+⋅⋅−+++⋅⋅−+
ρ)()(
)()()()(
Richtung-z und -yfür analog , )()( dxxjxjdxxj xxx ⋅∂∂
+=+
( )t
ejejejez
ey
exz
jyj
xj
zzyyxxzyxzyx
∂∂
−=++⋅
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂
∂+
∂∂ ρ
tjdivj
∂∂
−==⋅∇ρ : Divergenz des Vektors j („Ergiebigkeit“) für das Volumenelement dVjdiv
m(t)V AO
1j
2j
3j
4j
5j
Ad
-
Kontinuitätsgleichung – Erhaltung der Masse
0 =⋅+⋅∂∂
=⋅+ ∫∫∫∫∫∫∫ AdjdVtAdjdtdm
OO AVA
ρ
Integralsatz von GAUSS∫∫∫∫∫ ⋅=⋅VA
dVjdivAdjO
0 =+∂∂ jdiv
tρ
Für eine Stromröhre gilt:
I1
I2A1
A2
.)( const=ρ
.1 constj =
.2 constj =
2211
2211
21
vv AAAjAj
II
⋅=⋅⋅=⋅
=
integral differentiell
-
Grundgleichung der Hydrodynamik
EULER – Gleichung
pgradktdt
dA
1v)v(vvρ
−=⋅⋅∇+∂∂
≡
Beschleunigung von dmbei festem Ort
Beschleunigung von dmin Orte mit anderer
Geschwindigkeit
äußere Kräfte Kräfte durch Druckgradienten
dmFdk AA
=
dmFd
k pp
=
Spezialfall: stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit
0v =∂∂
Ortt
),,(vv zyx =0
.==
ηρ const
nur konservative Kräfte!
dmrdE
rUUgradk potA)(
)(
≡−= pgradUgrad
dtd 1 v
ρ−−=
Integration längs einer Stromlinie (v II dv)
222211
21 v2
v2
pUpU +⋅+⋅=+⋅+⋅ ρρρρ .v2
2 constpU =+⋅+⋅ ρρbzw.
})],(),(),([v)],(),(),([v)],(),(),([v{vv ttztytxtztytxtztytx zyx
=
ideale Flüssigkeit
rdpgradrdUgraddrddtd
∫∫∫∫ ⋅−⋅−=⋅=⋅2
1
2
1
2
1
2
1
1 vvvρ
dtrd ⋅= vmit
2
1
2
1
2
1
221 1v pU ⋅−−=
ρ
stationäre Strömung
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BERNOULLI – Gleichung Stationäre Strömung einer idealen Flüssigkeit im Schwerefeld der Erde
zgdm
rdErU pot ⋅=≡
)()(
zgdmdEpot ⋅⋅=
.v2
2 constppzg ges ==+⋅⋅+⋅ ρρ
dynamische Druckbzw.
Staudruck
Schweredruckbzw.
hydrostatische Druck
statische Druck Gesamtdruck
Spezialfall: horizontale Strömung
222211
21 v2
v2
pzgpzg +⋅⋅+⋅=+⋅⋅+⋅ ρρρρ
.v2
2 constpp ges ==+⋅ρ
2221
21 v2
v2
pp +⋅=+⋅ ρρ
Venturidüse
11
1
v pA
22
2
v p A
2211 vv AA ⋅=⋅ 2121 vv
pp <>
-
∫ ⋅⋅⋅⋅∆
=
⋅⋅⋅∆
=
R
r
drrl
pr
lrp
drd
η
η
2)(v
2
v
Innere Reibung der Flüssigkeiten und GaseLaminarströmung (Schichtenströmung) und NEWTON‘sche Reibungskraft
dydAFR
v⋅⋅=η
η : dynamische Viskosität (Zähigkeit)
ρη
: kinematische Viskosität (Fluidität) v=0
v=v0 pF
.v0 const=
RF A
y GrenzschichtD v=v(y)
Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten
2
v2
0
rpFdrdlrF
FF
p
R
RP
⋅⋅∆=
⋅⋅⋅⋅−=
=+
π
πη
stationäre Strömung
Beispiel: Laminarströmung durch ein dünnes Rohr (D > R), Gesetz von HAGEN-POISEUILLE
( )224
)(v rRl
pr −⋅⋅⋅
∆=
η
rR
l∆p=p1-p2>0
HAGEN-POISEUILLE
parabolisches Geschwindigkeitsprofil:
Massenstrom: drrrdAjIR
⋅⋅⋅⋅=⋅= ∫∫ ∫ πρ 2)(v0
4
8R
lpI ⋅
⋅⋅⋅⋅∆
=η
ρπ
v
Reibung zwischen Zylindermantelflächen
r0
0)(v =R
-R
p1 p2
D: Dicke der Grenzschicht
-
Laminarströmung um eine Kugel, STOKES‘sche Reibungskraft
v6 ⋅⋅⋅⋅= RFR ηπR: Kugelradiusv: Relativgeschwindigkeit Kugel – Flüssigkeit
Beispiel: Bewegung einer Kugel in einer viskosen Flüssigkeit im Schwerefeld der Erde
dtv dmFFF KRAG ⋅=++
dtvv6 dmRgmgm KFlK ⋅=⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅ ηπ
dtvv21
dCC =⋅−
Substitution:
Trennung der Variablen + Integration ∫ ∫−=⋅−=
⋅−=⋅−=
dtCddtdξ
C
dtdξ
CdtdCC
22
221
1
1v v
ξξξ
ξ
KK
FlK
mRC
mmmgC ⋅⋅=−⋅= ηπ6 mit 21
0)0( v:AB ~ln)vln( 221 ==+⋅−=⋅− tCtCCC
[ ])exp(1)(v 22
1 tCCCt ⋅−−⋅=
η
v(t=0)=0
v(t)=?
z
FG
FA FR
v(t)
t
v(t→∞)=C1/C2
0
1~ CC =
Rmmg
CCt FlK
⋅⋅⋅−
⋅==∞→ηπ6
)(v2
1
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Beispiele für eine Laminarströmung(Umströmung verschiedener Körper)
Quelle: R. W. Pohl, Mechanik und Akustik, Springer, Berlin, 1930
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DAdyAyDdm(y)E
DD
kin ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
=⋅=∆ ∫∫ ρρ 202
0
20
2
v61v
21
2v
l: charakteristische Länge des umströmten Körpersv0: Relativgeschwindigkeit Körper – Flüssigkeit/Gas
0v6
⋅⋅
⋅<ρηlDGrenzschichtdicke
Im Bereich der Grenzschicht entstehen Wirbel, d.h. in dem Gebiet in welchem die durch Reibung veränderte Strömung in unmittelbarer Nähe des umströmten Körpers in eine Strömung wie beieiner idealen Flüssigkeit übergeht. Je dünner die Grenzschicht ist, d.h. je „abrupter“ der Übergang zur „normalen“ Strömung ist, um sogrößer ist die Wahrscheinlichkeit der Wirbelbildung!
Prandtl‘sche GrenzschichtdickeGrenzschichtbereich eines umströmten Objektes:
Über die Grenzschichtdicke D ist die Reibungsarbeit WRgrößer als die Änderung der kinetischen Energie. v=0
v=v0
GrenzschichtD yD
y ⋅= 0v)(v
lD
AdlD
Adldy
ydAWll
DR ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫ 0
0
0
0
vv)(v ηηη
DR
Dkin WE
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Wirbel, mathematische Beschreibung von WirbelnUnter einem „echten“ Wirbel versteht man im allg. geschlossene Stromlinien.
v
⋅= ρj
∫∫∫ ⋅=⋅Au
Adjrotrdj
Integralsatz von STOKES
∫∫ ⋅⋅ rdrdj v bzw.
Wirbelstärke bzw. Zirkulation
Wirbeldichte bzw. Vortizitätv bzw.
rotjrot
Ist bzw. ,dann kann das Vektorfeld auch durch ein skalares Potential dargestellt werden,z.B. bei der Zirkulation um einen Zylinder(Potentialwirbel).
0 =jrot
0=⋅∫ rdj
Eigenschaften von Wirbeln:Man unterscheidet freie und erzwungene Wirbel.
→ Wirbel sind ringförmige oder spiralförmige rotierende Flüssigkeiten/Gase→ Wirbel besitzen einen Drehimpuls→ Wirbel sind kompakte und stabile Gebilde (Rauchringe, Tornados, Windhosen, Wasserwirbel)
mit hohem Energieinhalt → bewegte Wirbel in einer Flüssigkeit bzw. in einem Gas bezeichnet man als turbulente Strömung.
siehe „Helmholtz´sche Wirbelsätze“
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Beispiele:
jrotrdju
bzw. ∫ ⋅ jAdjA
div bzw. ∫∫ ⋅Wirbel: Quellen/Senken:
0=jdiv
0 ≠jrot
(a) wirbelfreies Quellenfeld
0≠jdiv
0 =jrot
(c) Spezialfall: Umströmung eines Zylinders – „Potentialwirbel“
„Wirbel“ ohne Vortizität: 0 v0 v1~v === zrrc
rϕϕ
1r
2r
0vvv2
21
12211 =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅∫ rcr
rcrrrrd ϕϕϕϕ
0v
v)v(1
vvz
vv1v
=
⋅
∂∂−∂
⋅∂⋅+
+⋅
∂∂−∂
∂+⋅
∂∂
−∂∂⋅=
rot
err
r
erzerrot
zr
zrr
z
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
Charakterisierung von Vektorfeldern
(b) quellenfreies Wirbelfeld (Scherströmung)
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Beispiele zur Wirbelentstehung und Turbulenz
Rührwirbel:(a) Azimutalwirbel unmittelbar
nach dem Umrühren(b) Sekundärer Radialwirbel(c) Überlagerung der Strömungen
Quelle: Bergmann – SchaeferLehrbuch der ExperimentalphysikBand 1: Mechanik-Relativität-Wärme,de Gruyter, 1998
Quelle: Demtröder, Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, Springer, 1994
Quelle: W. Wien und F. Harms, Handbuch der Experimentalphysik, Band IV/1, Akadem. Verlagsges., Leipzig, 1931
turbulenteStrömung
Rauchwirbel
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NAVIER-STOKES-Gleichung und Reynolds-Zahl
gpt
⋅+∇⋅+−∇=
⋅⋅∇+∂∂
⋅ ρηρ vv)v(v 2
v~~Re1~~v~)v~~(~
v~ 2∇⋅+∇−=⋅⋅∇+∂∂ p
t
Transformation in eine dimensionslose Gleichung bei Abwesenheit äußerer Kräfte (Schwerkraft):
Re als dimensionsloser Kontrollparameter:
→ stabil laminar→ stabil turbulent→ chaotisch
REYNOLDS-Zahl, Redimensionslose Kennzahl zur Beschreibung der Strömung in viskosen Flüssigkeiten und Gasen
ηρ vRe ⋅⋅= l kinetische Energie
Reibungsarbeit∝
Re hat zwei physikalische Bedeutungen:
1. Charakterisiert den Umschlag von einer laminaren in eine turbulente Strömung.→ kritische Reynolds-Zahl (Rekrit)
2. Re beschreibt die hydrodynamischeÄhnlichkeit, wenn ReObjekt=ReModell
Re < Rekrit → laminare StrömungRe > Rekrit → stabil turbulente Strömung
Kugel: Rekrit ≈ 1Rohr: Rekrit ≈ 103
l: charakteristische Länge des Objektes
-
Re = 103
1,3
1,2
0,35
0,25
0,1
0,05
cw cw cwfür objekttypischeGeschwindigkeit
Fallschirm 1,4
Mensch 1,2
Radfahrer 1,1
LKW 0,96
PKW ≤ 0,3
Delphin 0,0036
Strömungswiderstand AcF WR ⋅⋅⋅=2v
2(Re) ρ A: angeströmte Fläche
cW(Re): Widerstandsbeiwert
A
-
MAGNUS - Effekt
v < vkritF Magnus-Kraft
verspätete Ablösungder Grenzschicht
schnelle Ablösungder Grenzschicht
Asymmetrische Ablösungder Grenzschicht durch
Rotation der Kugel
v < vkrit
Quertrieb
-
Hydrodynamischer Auftrieb
Anfahrwirbel
Zirkulation um Tragflügel
anströmende Luft
11 , v p
2121 vv pp
22 , v p
Foliennummer 1Foliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer 4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer 8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer 12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer 16