hydrologie de surface

431
M.RDCHE hydrol gle e s·urlace UTHIER-VILLARS PARIS

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  • M.RDCHE

    hydrol gle

    e surlace

    UTHIER-VILLARS PARIS

  • HYDROLOGIEDE SURFACE

    " .. ,"

  • M. ROCHEIngnieur Hydrologue l'Electricit de France

    Charg de la Direction des tudes au Bureau Central Hydrologique de l'RSTOMMaitre de Confrences l'Ecole Nationale du gnie Rural

    HYDROLOGIEDE SURFACE

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    OFFICE DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUEET TECHNIQUE OUTRE-MER - (PARIS)

    GAUTHIER - VILLARS DITEUR - PARIS

    1963l 'D Jllm 1993 1.1 0 JUIN 1993

    -

  • 1963 by ORSTOM and Gauthier-Villars ParisTous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation rservs pour tous pays.

  • PRFACE

    TABLE DES MATIRES

    Il

    BmLIOGRAPHIE D'ORDRE GNRAL....................................... 15

    INTRODUCTION. - Statistique et calcul des probabilits en hydrologie........... 17

    1. Quelques dfinitions gnrales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    A) Notion d'vnement............................................ 17B) Notion de probabilit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18C) Variable alatoire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18D) Moments 18E) Frquence, chantillonnage...................................... 19

    2. Propositions essentielles du calcul des probabilits.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    A) Probabilits totales............................................. 20B) Probabilits composes.......................................... 21C) Lois deux variables, dpendance stochastique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3. Lois de probabilit une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    A) Loi de Gauss ou loi normale (thorme central limite). . . . . . . . . . . . . 24B) Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26C) Loi de Goodrich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27D) Loi de Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27E) Loi de Jenkinson.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28F) Lois de Pearson.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28G) Lois de Halphen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29H) Lois Tronques................................................ 30

    4. Mthodes d'estimation des paramtres dans les lois 1 variable........... 30

    A) Mthode du maximum de vraisemblance.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B) Estimation des paramtres par le calcul des moments.. . . . . . . . . . . . . 31C) Ajustement graphique des fonctions de rpartition. . . . . . . . . . . . . . . . . 32D) Le test du x 2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. 33E) Exemples d'application pour quelques lois classiques.. . . . . . . . . . . . . . 35F) La confiance statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    5. Retour sur la notion de rgression.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    A) Loi de Gauss deux variables - Rgression linaire. . . . . . . . . . . . . . . 45B) Rgression multiple deux ou plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    6. Notions d'chantillonnage au hasard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    Bibliographie . . . . . . . . . . . 52

  • 6 HYDROLOGIE DE SURFACE

    CHAPITRE I. - PRCIPITATIONS.

    1. Mesure de la pluie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    A) Le pluviomtre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55B) Le pluviographe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2. Les rsultats pluviomtriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3. Etude statistique des pluies ponctuelles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    A) Rpartition des pluies journalires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69B) Rpartition des pluies annuelles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71C) Mthode des stations-annes...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4. Pluie moyenne sur un bassin.................................... . . . . . . . 77

    A) Homognisation des donnes pluviomtriques annuelles.. . . . . . . . . . . 78B) Mthode de Thiessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81C) Mthode des isohytes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82D) Le problme de l'abattement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5. Etude des intensits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    A) Composition des hytogrammes, hytogrammes classs. . . . . . . . . . . . . 97B) Relation Intensit-Dure.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100C) Analyse d'un hytogramme du point de vue de l'coulement. . . . . . . 104

    Bibliographie . . . . . . 105

    CHAPITRE Il. - VAPORATION, VAPOTRANSPIRATION ET LEURSFACTEURS CONDITIONNELS.

    1. Mesure des tempratures............................................... 108

    A) Temprature de l'air.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108B) Dpouillement des mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110C) Temprature de l'eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

    2. Mesure de l'humidit de l'air................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

    A) Rappel de quelques notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIB) La formule psychromtrique..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112C) Les diffrents types de psychromtres.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lBD) L'influence de la pression atmosphrique......................... 114E) Dpouillement des observations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    3. Mesure du rayonnement solaire.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    A) Piles thermo-lectriques (ou thermopiles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117B) Pyrhliomtres................................................. 118C) Pyranomtres thermopiles..................................... 119D) Pyranomtre bilames.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120E) Pyranomtres totalisateurs distillation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120F) Hliographes.................................................. 122

    4. Mesure du vent.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    5. Mesure de l'vaporation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124

    A) Les atmomtres................................................ 124B) Les bacs vaporatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C) Nappes d'eaux naturelles........................................ 128

  • TABLE DES MATIRES 7

    6. Formules relatives l'vaporation et l'vapotranspiration..... . . . . . . . . . . 131

    A) Loi de Dalton... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132B) Bilan nergtique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133C) Formule de Penman..... 138D) L'vapotranspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    CHAPITRE ID. - LE COMPLEXE PHYSIQUE DU BASSIN VERSANT.

    1. Caractristiques de forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    A) Indice de compacit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B) Le relief....................................................... 146C) Le rectangle quivalent.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D) Indices de pente.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150E) Le rseau hydrographique 152F) Endorisme.................................................... 154

    2. Le sol.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    A) Caractristiques des sols et rgimes hydrologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 155B) Mesure directe de l'infiltration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C) Caractristiques de l'infiltration en hydrologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    3. Influence de la vgtation sur l'coulement. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 171

    Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

    CHAPITRE IV. - STATIONS HYDROMTRIQUES - MESURES DE DBITS

    1. Mesure des hauteurs................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173

    A) Echelles limnimtriques , 173B) Limnigraphes.................................................. 174

    2. Matriel de jaugeages.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    A) Moulinets..................................................... 182B) Perches, saumons, treuils, accessoires divers... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184C) Embarcations.................................................. 188D) Transporteurs ariens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    3. Procds de jaugeages au moulinet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    A) Sections de jaugeage.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B) Jaugeages gu................................................ 192C) Jaugeages au cble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192D) Jaugeages sur passerelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196E) Jaugeages au cercle...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197F) Jaugeages par intgration.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    4. Dpouillement des jaugeages au moulinet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200

    A) Mthode des paraboles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202B) Mthode des isotaches (ou isodromes).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204C) Dpouillement des jaugeages par intgration.... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204

    5. Jaugeages aux flotteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205

  • 8 HYDROLOGIE DE SURFACE

    6. Les jaugeurs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208

    7. Jaugeages chimiques ~ " 210

    A) Jaugeages par injection continue................................. 210B) Mthode globale (ou par intgration).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 218

    8. Utilisation des formules d'coulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221

    CHAPITRE V. - RSULTATS D'OBSERVATIONS HYDROLOGIQUES

    1. Relevs limnimtriques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225

    A) Exploitation normale d'une chelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226B) Relevs anciens.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227C) Relevs limnigraphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230

    2. Courbes d'talonnage.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231

    A) Stations stables lois hauteur-dbit univoques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231B) Stations stables lois hauteur-dbit non univoques. . . . . . . . . . . . . . .. 239C) Stations instables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240D) Stations variations rapides du plan d'eau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241

    3. Barmes et traductions................................................ 243

    4. Donnes de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245

    A) Dbits moyens mensuels........................................ 245B) Module annuel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 246C) Hauteur de prcipitation moyenne sur le bassin. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 247D) Dficit et coefficient d'coulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 247E) Etiages, crues et dbits caractristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248F) Prclassements .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251

    CHAPITRE VI. - ORGANISATION RATIONNELLE D'UN SERVICE HYDRO-LOGIQUE.

    1. Organisation gnrale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253

    2. Rseaux hydromtriques............................................... 254

    A) Rseau original.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254B) Bassins-chantillons 256C) Rationalisation du rseau original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 256

    3. Rseaux_hydromtorologiques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259

    4. Etudes gnrales sporadiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261

    5. Etudes particulires.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

    6. Classement des donnes hydrologiques " 262

    A) Fichier des stations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262B) Dossiers hydrologiques.......................................... 263C) Fichier de donnes de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264

    7. Annuaires hydrologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264

    8. La coopration inter-Etats.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

  • TABLE DES MATIRES

    CHAPITRE VII. - BASSES-EAUX.

    9

    1. Etude du tarissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 267

    2. Etiages et dbits de basses eaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

    3. Corrlations hydropluviomtriques relatives aux basses eaux.. . . . . . . . . . . . .. 277

    A) Mthode de la charnire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278B) Indices de svrit.............................................. 283

    4. Exploitation pratique des donnes de basses eaux '...... 284

    A) Amnagement au fil de l'eau sans aucune possibilit de rserve. . . .. 284B) Amnagement de basses eaux avec possibilits de rserve.. . .. . . . . .. 286

    CHAPITRE VIII. - CRUES DES GRANDS ET MOYENS BASSINS.

    1. Gense des crues - Leurs causes et leurs effets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289

    2. Eventualit des crues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 291

    3. Corrlations hydropluviomtriques relatives aux crues.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 293

    A) Observations 294B) Interprtation de l'hydrogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297C) Etablissement d'un bilan hydrologique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 298

    4. Etud::: statistique des crues instantanes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

    5. Prvision des crues , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

    A) Le mcanisme de la propagation et les mthodes qui en dcoulent. . 309B) Mthodes statistiques d'annonce des crues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313C) Mthodes hydropluviomtriques et hydromtorologiq1~es........... 314D) L'organisation d'un rseau de prvisions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

    CHAPITRE IX. - HYDROLOGIE ANALYTIQUE - CRUES DES PETITS BASSINS

    1. Donnes et principes de l'hydrologie analytique.......................... 319

    2. L'hydrogramme unitaire (L. K. Sherman)............................... 323

    A) H)opothses de base.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323B) Dfinitions 326C) Mise en uvre de la mthode et prsentation des rsultats. . . . . . . .. 328D) Quelques commentaires et utilisation pratique des rsultats. . . . . . . .. 333

    3. L'hydrograrnme synthtique (J. Larrieu)................................. 335

    A) Principe de la mthode.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 335B) Application de la mthode. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 337

    Bibliographie 339

    CHAPITRE X. - TUDE DES MODULES.

    1. Distribution statistique des modules une station.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

    2. Corrlations pluies annuelles-modules................................... 347

    A) Nature des corrlations.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

  • 10 HYDROLOGIE DE SURFACE

    B) Extension des donnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 349C) Amlioration de la connaissance des caractristiques statistiques concer-

    nant les modules au moyen des donnes pluviomtriques. . . . . . . . . .. 349

    3. Graphiques de fonctionnement d'un grand bassin. 350

    4. Module spcifique - Dtermination du module d'un bassin quelconque. . . . .. 354

    CHAPITRE XI. - TRANSPORTS SOLIDES.

    1. L'rosion continentale et le transport solide... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 357

    2. Aspect thorique du problme de transport. , 359

    A) Caractristiques des matriaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 360B) Etude thorique de la suspension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 362C) Etude thorique du charriage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

    3. Mesure des dbits solides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 369

    A) Mesure des matriaux en suspension. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 370B) Mesure du charriage............................................ 373

    Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 375

    CHAPITRE XII. - TECHNIQUES SPCIALES AUX ZONES DSERTIQUES

    1. Difficults du problme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 377

    2. Principes gnraux de l'organisation des tudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378

    3. Organisation matrielle d'une campagne................................. 382

    Annexe 1. - Lexique anglais-franais des termes hydrologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 386

    Annexe 2. - Tables psychromtriques.. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 390

  • PRFACE

    LE parfait hydrologue devrait avoir acquis des connaissances approfondies dans desdomaines trs divers tels que : hydraulique, hydrodynamique fluviale, calcul des probabilits,climatologie, gologie, pdologie, gomorphologie; on peut mme ajouter que quelques notionsde critique historique ne seraient pas superflues. Nous en oublions certainement. Encore,n'envisageons-nous que le spcialiste d'Europe; pour les pays en voie de dveloppement,il faudrait ajouter une pratique suffisante de la mcanique automobile, de la navigation, dela charpente, de la maonnerie, etc. On concevra aisment qu'une formation aussi compltese rencontre trs rarement. Et, cependant, Marcel Roche n'est pas loin d'en prsenter unexemple, comme on peut le voir par le droulement de sa carrire.

    Engag en 1947 par un grand laboratoire d'hydraulique, il a pu se familiariser pendanttrois ans avec les problmes d'hydraulique applique et la technique de l'irrigation. En 1950,il entrait au Service Hydrologique de l'Office de la Recherche Scientifique et Technique Outre-Mer: une courte formation complmentaire d'hydrologie dans le sud du Tchad lui fit dcouvrirles mthodes d'tudes trs particulires des cours d'eau sahliens; elle lui laissa aussi de bonssouvenirs de tournes dans ces marcages o les dplacements prennent facilement un caractrepique. Cette formation s'est acheve par un trs court stage sur le bassin de la Bnou, dergime tropical tout fait classique. En dcembre 1950, il crait la section hydrologique del'Oubangui. A cette poque, les Services Hydrologiques d'Outre-Mer n'employaient pasd'agents techniques ct l'ingnieur devait non seulement effectuer lui-mme toutes ses mesuresde dbits, mais encore btonner les chelles, mettre en place les cbles, construire les portires,piloter son vhicule sur ce qu'il est convenu d'appeler une piste, en saison des pluies. Cefut l un excellent stage pour un hydrologue qui, jusqu'ici, tait plus particulirement doupour les calculs statistiques. En 1951 et 1952, M. Roche installait le rseau de stations dejaugeage sur l'ensemble du territoire (620000 km2) et commenait l'talonnage de ces stations,notamment celui de Bangui o une srie de jaugeages de 900 10 000 m3/s permettait detransformer rapidement en dbits 25 annes de lectures de hauteurs d'eau. Vers la fin de sonsjour, il entreprenait sur la Ngola, au voisinage de Bangui, l'amnagement d'un des premiersbassins exprimentaux de l'Afrique d'Expression franaise.

    A la fin de 1952, il entrait Electricit de France, mais il ne quittait pas le Service Hydro-logique de 1'Orstom, tant affect au Bureau Central de ce service Paris, comme le permettaitles accords conclus entre les deux organismes. Il a pu ainsi collaborer la plupart des tudesentreprises par ce service. Pour un hydrologue, cette formation tait exceptionnelle par ladiversit des climats et des rgimes rencontrs puisqu'ils intressent une grande partie del'Afrique, certaines rgions de l'Asie, de l'Amrique du Sud, de l'Ocanie et mme, occasion-nellement, certaines parties du bassin mditerranen. Presque tous les ans, depuis cette poque,une mission de quelques mois lui permet de se retremper au milieu des dures et saines ralitsdes tudes sur le terrain. C'est ainsi qu'il a dirig les tudes hydrologiques pour le projet debarragedu Konkour de 1954 1956, qu'il a contrl l'ensemble des recherches des bassins

  • 12 HYDROLOGIE DE SURFACE

    exprimentaux d'Afrique Occidentale en 1957. Il a particip, cette occasion, la mise aupoint des mthodes d'tudes du Service et a notamment codifi l'quipement de ces bassins.En mme temps, il a nettement amlior nos mthodes d'observations de l'vaporation surnappe d'eau libre et des donnes climatologiques annexes. Il a particip galement aux tudesd'hydrologie en zones dsertiques dans lesquelles Orstom est maintenant spcialis. Au coursde ces missions, il a parcouru sensiblement la totalit des territoires de l'ex-Afrique Occidentaleet Equatoriale franaise.

    A Paris, il dirige depuis 1952 la prparation et la publication de l'annuaire hydrologiquede la France d'Outre-Mer, collabore l'tablissement de la plupart des grandes monographiesdont celle du Niger, indpendamment de l'excution de trs nombreuses tudes sur des coursd'eau dont, en gnral, il a parcouru le bassin. Ayant tudier les rgimes les plus varis, ila eu l'occasion de dterminer, dans chaque cas, la mthode d'interprtation la mieux adapte.

    Cette riche exprience lui a permis de mettre au point pour les lves de l'Ecole du GnieRural un cours de travaux pratiques qui s'est vite transform en un cours de travaux pratiqueset d'interprtation. A cette occasion, notre service a ressenti le besoin gnral de manuelsd'hydrologie de langue franaise plus particulirement adapts aux pays en voie de dvelop-pement et aux mthodes de travail des hydrologues franais. Fort heureusement, le remarquableouvrage de G. Rmnieras l'Hydrologie de l'Ingnieur rpondait en grande partie cettedemande. Il restait, sur le plan pratique, complter la formation ncessaire aux futurs hydro-logues en vue de l'excution des observations et des mesures sur le terrain et de l'interprtationdes rsultats. C'est l le but du prsent ouvrage qui expose les mthodes, classiques ou non,employes par le service hydrologique de l'Orstom, mthodes dont une grande partie a tconue ou adapte par l'auteur.

    L'introduction donnera peut-tre quelques difficults au lecteur peu familiaris avec lecalcul des probabilits. Elle a dj donn lieu certaines controverses entre l'auteur et sescollgues. Mais il semble difficile, si l'on veut sortir l'hydrologie du domaine qualitatif de nepas indiquer ds le dbut qu'il s'agit de l'tude de phnomnes alatoires. Il n'est pas indis-pensable de suivre tout le dtail du raisonnement mathmatique, ce qui est peut-tre fort ardupour l'hydrolOgu~qui ne conserve dj plus de ses annes d'tudiant que des souvenirs confus,ou pour celui dont la formation gnrale tait assez loigne des mathmatiques. L'essentielest d'arriver des concepts statistiques des diverses caractristiques d'un rgime hydrologique,mme si ce concept prsente un caractre quelque peu intuitif : par exemple, on doit considrerqu'un minimum absolu sur l'unique anne d'observations dont on peut disposer correspondsimplement une valeur prise au hasard dans la collection infinie des tiages absolus annuelset qu'il ne faut pas s'attendre des merveilles si on dcide arbitrairement que sa valeur estvoisine de la mdiane ou de la moyenne interannuelle. De mme, une anne sche ne secomprend que rattache une frquence ou une priode de retour donne. Un dbit moyeninterannuel calcul sur 30 ou 50 ans, lorsqu'il est adopt comme module correspondant une priode infinie, suppose implicitement un intervalle de confiance qu'il n'est pas toujoursncessaire de savoir calculer, mais auquel il est bon de songer chaque fois que l'on veut avoirune ide de la valeur du chiffre fourni aux utilisateurs. Nous conseillons donc au lecteur peufamiliaris avec les quelques notions de statistique prsentes dans cette introduction, defaire un effort pour en saisir l'essentiel, ce qui augmentera beaucoup le profit qu'il pourratirer de cet ouvrage.

    Cependant, si l'auteur insiste sur le rle primordial de la statistique, il n'est pas dansses intentions d'en exagrer l'importance. En particulier, dans l'estimation des diverses carac-tristiques d'un rgime, surtout celle des dbits de frqnces rares, le calcul des probabilits

  • PRFACE 13

    ne doit tre considr que comme un outil. Rien ne remplace une bonne explication physiquedes phnomnes. La moindre ombre de contradiction entre l'influence des facteurs conditionnelset une loi statistique que l'on chercherait ajuster aux donnes exprimentales doit amener l'abandon de cette loi pour l'extrapolation des courbes exprimentales. Un exemple peutillustrer ce simple rle d'outil. L'exprience a montr que la distribution des prcipitationsannuelles correspondait sensiblement une distribution de Gauss. Des tudes plus approfondiesont montr qu'en ralit, la courbe de densit de frquence tait parfois lgrement dissym-trique, mais on a conserv cependant jusqu' la frquence dcennale la distribution de Gausscar elle reprsente encore, jusqu' cette frquence les phnomnes naturels avec suffisammentd'exactitude et, en plus, elle est d'un emploi beaucoup plus commode que toute autre loiplus complexe qui reprsenterait mieux les rsultats exprimentaux au del de la frquencedcennale.

    Un autre exemple montre bien que la statistique ne saurait rsoudre tous les problmes.Le Congo a prsent, au dbut de 1962, une crue exceptionnelle. Aprs bien du mal, M. Rochea fini par ajuster une loi complique la courbe des dbits classs sur 60 ans. Le point figuratifde la crue 1962 est tellement aberrant qu'il correspondrait peut-tre une priode de retourde 1 000 000 d'annes au moins. Or l'tude physique du phnomne montre bien que la priodede retour est certainement beaucoup plus faible. Dans ce cas, tout ce que l'on peut dire, c'estque la frquence de la crue est trs infrieure la frquence centenaire. Les conclusions del'tude statistique doivent ici tre modifies aprs l'examen des facteurs composants.

    La premire partie de cet ouvrage (chapitres l, II et III) traite des facteurs conditionnelsles plus importants, les prcipitations, l'vaporation et le bassin, la fois sous l'angle de leurmesure et de l'interprtation pour les deux premiers; le troisime facteur, souvent nglig,fait ici l'objet de considrations quantitatives dont certaines sont tout fait originales.

    Le seconde partie (chapitres IV, V et VI) concerne l'obtention aes dbits bruts. Ce travail,considr souvent comme une tche de manuvre, est extrmement important. Que d'erreursont t faites avec des dductions valables sur des mesures fausses! Les chapitres V et VIcorrespondent des problmes assez rarement voqus. Ils sont d'ailleurs plus faciles rsoudreen pays neufs. Mais la condition essentielle, pour disposer en temps voulu de donnes hydro-logiques utilisables, est l'existence d'un service hydrologique autonome, pourvu de moyensfinanciers suffisants. Lorsque, pour une ralisation quelconque, on s'avise qu'il serait bon deprocder une tude hydrologique, c'est trs souvent 20 ans trop tard. Il faut donc que cestudes soient effectues l'avance, en dehors de tout objectif trop localis.

    La troisime partie (chapitres VII, VIII, IX et X) concerne les mthodes d'estimationdes diverses caractristiques hydrologiques partir des donnes brutes. Ces chapitres ont tdduits de l'exprience trs vaste de l'auteur et de s;s collgu~3.

    Les deux derniers chapitres sont relatifs des problmes particuliers transports solideset rgions dsertiques.

    On apprciera certainement d'une part les exemples numenques donns pour chaquemthode de calcul, exemples qui en facilitent trs largement l'emploi et, d'autre part, la biblio-graphie rduite qui suit chaque chapitre.

    Bien entendu, peine l'auteur avait-il termin son manuscrit qu'il m'a confi que telleou telle partie aurait intrt tre remanie ou complte, la suite d'tudes en cours, maisune fois de plus, le chercheur est plac devant le dilemme suivant: prsenter une uvre parfaite,travail qui s'tendrait peut-tre sur 10 ou 15 ans, auquel cas les parties les plus anciennes neseraient plus jour au moment de la publication, ou prsenter rapidement aux ingnieurs

  • 14 HYDROLOGIE DE SURFACE

    qui en ont le plus pressant besoin un outil acceptable, mme s'il ne donne pas absolumentsatisfaction en tous points. Avec le ralisme qui s'impose dans les pays en voie de dveloppe-ment, il a choisi la seconde solution. Nous ne saurions que le fliciter de son choix car, tel qu'ilse prsente, cet ouvrage constitue un apport trs important nos connaissances dans le domainede 1'hydrologie et nous sommes srs qu'il rendra les plus grands services tous les ingnieursqui auront rsoudre les problmes lis l'amnagement des grands et petits cours d'eaudes rgions tropicales et mme de nos rgions tempres.

    J. RODIER,

    Chef du Service Hydrologique de l'ORSTOM,

    Ingnieur en Chef Electricit de France (IGECO)

    Professeur l'Ecole Nationale du Gnie Rural.

  • Bibliographie d'ordre gnral

    CLIMATOLOGIE

    KENDREW W. G. - Climatology. Clarendon Press, Oxford 1957.400 p., 16 photos hors-texte.

    KENDREW W. G. - The climates of the continents. Clarendon Press, Oxford 1961. 608 p.

    PEGUY Ch. P. - Prcis de climatologie. Masson & Cie, Paris 1961. 347 p.

    PETTERSSEN S. - Weather analysis and Forecasting. Vol. 1 : Motion and Motion systems,428 p. ; vol. II : Weather and Weather systems, 266 p., Mc Graw-Hill Book Co,New-York-London 1956.

    ROULLEAU J. et TROCHON R. - Mtorologie gnrale, 2 volumes. Gauthier-Villars, Paris1952-1958.

    HYDROLOGIE

    BUTLER S. S. - Engineering hydrology. Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1957. 356 p.

    JOHNSTONE D. and CROSS W. P. - Elements ofapplied hydrology. The Ronald Press Company,New-York 1949. 275 p.

    LINSLEY R. K., KOHLER M. A. and PAULHUS J. L. H. - Applied hydrology. Mc Graw-HillBook Co, New-York - Toronto - London 1949. 689 ,p.

    MEINZER O. E. et collaborateurs. - Hydrology. Dover Publications, Mc Graw-Hill Book Co,New-York 1942. 712 p.

    PARDE M. - Cours de Potamologie, 2 volumes. E.I.H., Grenoble 1943.

    PARDE M. - Fleuves et rivires. Ed. Armand Colin, Paris 1947. 224 p.

    REMENIERAS G. - L'Hydrologie de l'Ingnieur. Eyrolles, Paris 1960. 413 p.

    WISLER C. O. and BRATER E. F. - Hydrology. John Willey and Sons, New-York. Chapmanand Hall, London.

  • INTRODUCTION

    STATISTIQUEET CALCUL DES PROBABILITS

    EN HYDROLOGIE

    Le but de cette introduction est de fournir au lecteur, qui ne serait pas familiaris avecces disciplines mathmatiques, des indications suffisantes pour comprendre les applicationsqui en seront faites au cours du prsent ouvrage. C'est galement d'en permettre l'applica-tion par le lecteur lui-mme et notamment la conduite des calculs jusqu'au rsultatnumrique.

    C'est pourquoi, si nous nous sommes contents d'une simple esquisse des principes debase, si nous n'avons donn aucune dmonstration d'aucun thorme fondamental, nous avonspar contre insist, souvent lourdement. sur certains dtails de la pratique des calculs. Nousintroduirons galement quelques tables pouvant tre contenues dans le cadre de cet ouvrage :aucune ne sera cite sans que soient donnes les rfrences prcises permettant de se la procurer.

    1. QUELQUES DFINITIONS GNRALES

    A) Notion d'vnement (symbole a, h...)

    Le mot est employ dans son sens trivial: telle chose s'est produite (vnement ralis),peut se produire (vnement possible), etc. On note que l'vnement a ne s'est pas produitpar le symbole li (vnement contraire).

    Un certain nombre d'oprations dites logiques . peuvent tre dfinies sur les vnements,notamment:

    Somme logique ou runion: symbole a + b, signifie que a ou bien b s'est produit. C'estgalement un vnement.

    Produit logique ou intersection: symbole a. b, signifie que a et b se sont produits. C'estgalement un vnement, etc., nous n'insisterons pas.

  • 18 HYDROLOGIE DE SURFACE

    B) Notion de probabilit

    preuve. - Soit une collection d'vnements possibles a, b... l'preuve est l'oprationlmentaire qui permet de raliser un de ces vnements, ou plusieurs d'entre eux simultanment.

    Probabilit d'un vnement lmentaire: nombre positif compris entre 0 et 1 attribu un vnement donn, soit par la structure mme du problme tudi, soit par l'tude statistiqued'une collection exprimentale d'vnements.

    C) Variable alatoire

    On appelle ainsi une variable X qui peut prendre des valeu.rs Xl ... Xi X n avecdes probabilits Pl .... Pi .. Pn (symbole v.a.).

    Cas discret - cas continu :

    Une v.a. est dite discrte lorsqu'elle ne peut prendre qu'un nombre dnombrable(fini ou infini) de valeurs.

    Une v.a. est dite continue lorsqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur dansun intervalle fini ou indfini.

    Pour la v.a. continue, on dfinit la probabilit lmentaire: probabilit pour que X soitcompris entre X et x + dx, que l'on note f(x) dx. f(x) est appele densit de probabilit.La probabilit pour que x soit compris dans l'intervalle (Xl' x 2) est donne par IX' f(x) dx.x,Pour quef(x) reprsente vraiment une densit de probabilit, il faut que la valeur de l'intgrale

    tendue tout l'intervalle des variations possibles de X soit gale 1. Nous supposerons dansce qui suit que la v.a. peut prendre toutes les valeurs possibles de - 00 + 00, sans consi-drer ce fait comme une condition restrictive.

    D) Moments

    On appelle moment d'ordre k la valeur de l'intgrale

    J+OO-00 x k f(x) dx (1)

    En particulier, le moment de premier ordre (k = 1) s'appelle la moyenne, on le note xou ml'

    On appelle moment centr d'ordre k la valeur de l'intgrale

    J+OO_ 00(x - x)k f(x) dx. (2)

    En particulier, le moment centr de second ordre (k = 2) s'appelle la variance, on le note[L2 ou (Ix2 Sa racine carre est l'cart-type (Ix. On appelle cart rduit, ou parfois variable

    x-xrduite de Gauss, la v.a. --

    (Ix

    Signalons enfin l'existence des paramtres statistiques suivants

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    - La mdiane X m dfinie par :

    Jxm J+oo_oof(x) dx = x f(x) dx

    m

    19

    (3)

    - Le mode ou valeur la plus frquente correspond au maximum de la densit de probabilit.. . df(x)

    On l'obtient donc en faisant -- = o.dx

    - La moyenne harmonique Xh dfinie par

    1 J+oo 1- = -f(x)dxXh _00 x

    - La moyenne gomtrique xg dfinie par :

    J+OO

    log x g = _00 log x f(x) dx

    E) Frquence - chantillonnage

    (4)

    (5)

    On dit qu'un vnement est favorable lorsqu'il rpond l'attente que l'on s'taitfixe, arbitrairement ou non, avant l'preuve. Par exemple, dans le jeu de pile ou face onpeut dcider avant la partie que pile sera l'vnement favorable. Dans une analyse des dbitsd'une rivire, si on s'intresse aux dbits suprieurs 1 000 m3/s, tout dbit rpondant cettecondition sera un vnement favorable.

    Si l'on dispose d'un chantillon de N vnements, obtenus soit par des preuvesrptes, soit par l'observation intervalles de temps rguliers d'un phnomne naturel, ilpeut contenir n vnements favorables, c'est--dire concidant avec l'vnement attendu. Parexemple, sur un chantillon de 30 dbits moyens annuels, on en trouve 5 suprieurs 1 000 m3/s.

    On appelle frquence, ou frquence exprimentale, le rapport F =!!.-, soit ici !.N 6

    Supposons maintenant que nous ayons un autre chantillon de 30 dbits observs lamme station: on dit, en statistique, tir de la mme population. On trouvera pour 1 000 m3/sune frquence exprimentale probablement diffrente. Il en sera de mme pour d'autres chan-tillons. La frquence ainsi dfinie est donc galement une variable alatoire : sa loi de probabilitest dite loi d'chantillonnage.

    On :montre (thorme de Bemouilly ou loi des grands nombres) que la frquence calculesur un chantillon tend vers la probabilit lorsque N augmente indfiniment (convergencedans le sens des probabilits).

    Dans le cas continu, nous calculerons soit la frquence de non dpassement (n correspondantau numro de classement des valeurs contenues dans l'chantillon par ordre croissant), soit lafrquence de dpassement (n : numro de classement par ordre dcroissant). La premire estnote Fx ou F(x) : elle correspond pour la population infinie la probabilit de non dpas-

    sement I~oof(x)dx. La seconde est note F1(x) : elle correspond la probabilit de dpasse-

    I+oo

    ment x f(x) dx. On dsigne souvent, dans la pratique des calculs, les probabilits elles-mmes

  • 20 HYDROLOGIE DE SURFACE

    par les symboles F(x) et Fl(x) :que l'on appelle alors frquences thoriques; F(x) est galementdsign sous le nom de fonction de rpartition.

    On remarquera que la somme des frquences IF et IF1 ainsi calcules est suprieure l,ce qui est illogique. Soit 10 valeurs, pour fixer les ides, classes par ordre dcroissant. La

    frquence exprimentale de dpassement attribue au nO 3 est :0' Dans le classement inverse,8

    la frquence de non dpassement est 10 et la frquence de l'vnement: la valeur en question

    Valeurs de la variable alatoire

    Fig 1 - Fonction de rpartition

    est dpasse, gale ou non dpasse se trouve gale 1,1 alors que, manifestement, elledoit tre gale l'unit. Nous :ne nous tendrons pas sur ce point; signalons seulement qu'on

    1n--

    2peut lever cette anomalie soit en adoptant pour la frquence exprimentale la valeur~ ,

    ainsi que nous l'avons admis, soit en prenant - _n_, soit en calculant les deux frquencesN + 1

    F et 1 - F l :avec la formule de dfinition ~ et en traant des courbes en marches' d'escalier.

    2. PROPOSITIONS ESSENTIELLESDU CALCUL DES PROBABILITS

    A) Probabilits totales

    Si plusieurs vnements s'excluent mutuellement, la probabilit pour que l'un ou l'autrede ces vnements se produise :est gale la somme des probabilits relatives chacun d'eux(opration d'union sur des ensembles disjoints).

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    B) Probabilits composes

    21

    La probabilit pour que deux vnements a et b soient raliss simultanment est gale la probabilit de l'un d'eux multiplie par la probabilit de l'autre, sachant que le premierest ralis. On crit :

    Pr (a.b) = Pr (a).Pr (bla) (6)

    Le 2e facteur du second membre s'nonce elliptiquement: probabilit de b sachant que a ;on l'appelle probabilit conditionnelle. La proposition s'tend au cas de plusieursvnements.

    ~vnement E1 hnement E 2

    0pration union: 1 point de l'ensemble est dans E1 ou dans E 2(somme logique) -- Opration d'intersection: 1 point de l'ensemble est dans E1 ~ E2(produit logique)

    Fig 2 . L'vnement vu sous J'angle de la Thorie des ensembles

    On dit que les vnements a et b sont indpendants si la probabilit de b n'est pas influenceparcelledea c'est--dire si Pr (bla) = Pr b. On a alors: Pr (a.b) = Pr (a).Pr (b). Le thormedes probabilits composes demande tre appliqu avec discernement : si son applicationformelle est toujours correcte, un oprateur insuffisamment averti peut lui faire introduiredes conditions restrictives que lui-mme n'a jamais envisages. Prenons le cas de la synthsed'une crue partir d'une prcipitation donne; nous supposerons que l'opration de synthse,l'hydrogramme unitaire type du bassin tant connu, est entirement dtermine par la hauteurde prcipitation H et par les conditions pralables de saturation dfinies par exemple par lacapacit apparente moyenne d'absorption Cam. Si Hw reprsente une averse dcennale, commedans l'tude des crues on s'intresse aux probabilits de dpassement, l'vnement correspondantest H ;;;. H10 : sa probabilit est gale 1/10 (rapporte l'anne). A l'aide de cette pluie,on fait la synthse de l'hydrogramme pour une valeur mdiane de Cam: probabilit 1/2. Onsait que Cam et H sont pratiquement des v.a. indpendantes; l'oprateur applique le thormedes probabilits composes et annonce firement que l'on doit attribuer la crue trouve laprobabilit 1/20. Or, ce rsultat est faux. En effet, il existe des crues de mme importancefournies par des pluies suprieures Hw et Cam infrieures la valeur mdiane et inversement.En ralit, le rsultat dpend de la manire dont les deux variables lmentaires se composentpour donner la variable rsultante (ici la crue). Ce point sera prcis par la suite.

  • 22 HYDROLOGIE DE SURFACE

    C) Loi deux variables - Dpendance stochastique

    Nous ne nous occuperons que du cas continu, seul intressant en climatologie et enhydrologie.

    Considrons deux v.a. X et Y suivant, chacune pour son propre compte, des lois de pro-babilit dfinies par des densits de probabilit f(x) et g(y). f(x) dx est la probabilit pour quex < X < x + dx et g(y) dy la probabilit pour que y < y < y + dy. La probabilit d'avoirsimultanment x < X < x + dx et y < y < y + dy est dfinie par une probabilit lmentairep(x, y) dx dy, p(x, y) tant appele densit de probabilit pour la loi du couple (x, y). Les lois

    - Masse p(x, y) dx dy(probabilit lmentaire du couple)

    - Loi conditionnelle (de Y sachant que X)Courbe de densit de probabilit

    X

    - Loi marginale de X

    Fig 3 - Loi 2 variables

    x

    y

    dfinies par f(x) et g(y) sont dites lois marginales du couple. On montre que la condition nces-saire et suffisante pour que x et y soient indpendantes est que:

    p(x, y) = f(x) g(y) (7)

    produit d'une fonction de x seul par une fonction de y seul.S'il n'en est pas ainsi, on dit qu'il y a dpendance stochastique. La force de cette dpen-

    dance, ou liaison, peut tre mesure par le coefficient de corrlation:

    JJ(x - x) (y - Y) p(x, y) dxdyr= (8)

    dans lequel figure au numrateur la covariance de x et de y (x et y: valeurs moyennesde x et de y) et au dnominateur le produit des carts-types de x et de y. Ce coefficient peutvarier en valeur absolue de 0, pour des variables indpendantes, 1 pour des variables liespar une relation fonctionnelle. Les valeurs positives correspondent des covariations demme sens et les valeurs ngatives ces covariations de sens contraire.

    Lorsqu'il y a dpendance stochastique (r significativement diffrent de zro), la loi de pro-babilit de l'une des variables, sachant que l'autre a une valeur donne, dpend de la valeurde cette autre variable: c'est la loi de probabilit lie. Exemple Fy(x) : probabilit int-

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 23

    grale de x lie par y; il lui correspond une densit de probabilit lie [y(x) diffrente de ladensit marginale[(x). On dfinit de mme une moyenne conditionnelle:

    J+ 00

    xy = -00 x [y(x) dy (9)

    qui est une fonction de y. La courbe qui reprsente cette fonction est appele courbe de rgressionde x lie par y. Il existe videmment une rgression de y lie par x.

    La notion de corrlation sera prcise ultrieurement.

    y

    xFig 4 Courbes de rgression

    3. LOIS DE PROBABILIT A UNE VARIABLE

    D'aprs la dfinition axiomatique de la probabilit (rpartition d'une masse unit sur unensemble de points, fini ou infini, discret ou continu), toute fonction monotone croissantevariant de 0 1 pour les limites assignes la variable peut tre considre comme reprsentantune loi de probabilit : une telle fonction est dite fonction de rpartition et nous avons vu quedans le cas continu, si la drive existe en chaque point, la fonction drive est appeledensit de probabilit.

    En fait, dans l'application, la notion de probabilit est plus ou moins lie celle de tirageau sort et les lois qui prtendent rendre compte de l'observation ou de l'exprimentation nesont pas construites n'importe comment.

    Le tirage au sort le plus simple se rapporte au jeu de pile ou face dans lequel on considreune variable alatoire pouvant prendre les valeurs 0 ou 1 avec la mme probabilit 1/2.

    Toutes les autres lois de probabilits se dduisent de ce modle trs simple en le compliquantprogressivement :

    - Par gnralisation (ex. : de pile ou face variables de Bernouilly en remplaant les pro-babilits 1/2, 1/2 par p et q);

    - Par addition (loi binomiale : somme de variables de Bernouilly);- Par passage la limite (convergence en loi);- Par changements de variables.

    Il n'est pas dans notre propos d'numrer ne ft-ce que les lois les plus usuelles, maisseulement celles qui seront utilises dans cet ouvrage.

  • 24 HYDROLOGIE DE SURFACE

    A) Loi de Gauss ou loi normale

    On peut l'introduire comme loi limite de la loi binomale pour un nombre infini d'preuves.Elle est de la forme :

    l (x-xfProb (X

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    TABLEAU 1

    Valeurs de l'intgrale de Gauss pour u ;;:. 0

    (Probabilits pour que u soit suprieur ou gal ...)

    25

    u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    --0,0 0, 50000 49601 49202 48803 48405 48006 47608 47210 46812 464140,1 46017 45620 45224 44828 44433 44038 43644 43251 42858 424650,2 42074 41683 41294 40905 40517 40129 39743 39358 38974 385910,3 38209 37828 37448 37070 36693 36317 35942 35569 35197 348270,4 34458 34090 33724 33360 32997 32636 32276 31918 31561 312070,5 30854 30503 30153 29806 29460 29116 28774 28434 28096 277600,6 27425 27093 26763 26435 26109 25785 25463 25143 24825 245100,7 24196 23885 23576 23270 22965 22663 22363 22065 21770 214760,8 21186 20897 20611 20327 20045 19766 19489 19215 18943 186730,9 18406 18141 17879 17619 17361 17106 16853 16602 16354 161091,0 15866 15625 15386 15151 14917 14686 14457 14231 14007 137861,1 13567 13350 13136 12924 12714 12507 12302 12100 11900 117021,2 11507 11314 11123 10935 10749 10565 10383 10204 10027 985251,3 0,0 96800 95098 93418 91759 90123 88508 86915 85343 83793 822641,4 80757 79270 77804 76359 74934 73529 72145 70781 69437 681121,5 66807 65522 64255 63008 61780 60571 59380 58208 57053 559171,6 54799 53699 52616 51551 50503 49471 48457 47460 46479 455141,7 44565 43633 42716 41815 40930 40059 39204 38364 37538 367271,8 35930 35148 34380 33625 32884 32157 31443 30742 30054 293791,9 28717 28067 27429 26803 26190 25588 24998 24419 23852 232952,0 22750 22216 21692 21178 20675 20182 19699 19226 18763 183092,1 17864 17429 17003 16586 16177 15778 15386 15003 14629 142622,2 13903 13553 13209 12874 12545 12224 11911 11604 11304 110112,3 10724 10444 10170 99031 96419 93867 91375 88940 86563 842422,4 0,02 81975 79763 77603 75494 73436 71428 69469 67557 65691 638722,5 62097 60366 58677 57031 55426 53861 52336 50849 49400 479882,6 46612 45271 43965 42692 41453 40246 39070 37926 36811 357262,7 34670 33642 32641 31667 30720 29798 28901 28028 27179 263542,8 25551 24771 24012 23274 22557 21860 21182 20524 19884 192622,9 18658 18071 17502 16948 16411 15889 15382 14890 14412 139493,0 13499 13062 12639 12228 11829 11442 11067 10703 10350 100083,1 0,03 96760 93544 90426 87403 84474 81635 78885 76219 73638 711363,2 68714 66367 64095 61895 59765 57703 55706 53774 51904 500943,3 48342 46648 45009 43423 41889 40406 38971 37584 36243 349463,4 33693 32481 31311 30179 29086 28029 27009 26023 25071 241513,5 23263 22405 21577 20778 20006 19262 18543 17849 17180 165343,6 15911 15310 14730 14171 13632 13112 12611 12128 11662 112133,7 10780 10363 99611 95740 92010 88417 84957 81624 78414 753243,8 0,04 72348 69483 66726 64072 61517 59059 56694 54418 52228 501223,9 48096 46148 44274 42473 40741 39076 37475 35936 34458 330374,0 31671 30359 29099 27888 26726 25609 24536 23507 22518 215694,1 20658 19783 18944 18138 17365 16624 15912 15230 14575 139484,2 13346 12769 12215 11685 11176 10689 10221 97736 93447 893374,3 0,0 85399 81627 78015 74555 71241 68069 65031 62123 59340 566754,4 54125 51685 49350 47117 44979 42935 40980 39110 37322 356124,5 33977 32414 30920 29492 28127 26823 25577 24386 23249 221624,6 21125 20133 19187 18283 17420 16597 15810 15060 14344 136604,7 13008 12386 11792 11226 10686 10171 96796 92113 87648 833914,8 0,06 79333 75465 71779 68267 64920 61731 58693 55799 53043 504184,9 47918 45538 43272 41115 39061 37107 35247 33476 31792 30190

    Pour u < 0, il suffit de prendre le complment 1 des valeurs contenues dans le tableau, les nombres de lapremire colonne dsignant alors les valeurs absolues de u.

  • 26 HYDROLOGIE DE SURFACE

    La loi de Gauss offre une rpartition symtrique de part et d'autre de la moyenne, qui esten mme temps la mdiane et le mode. Son emploi est trs rpandu en hydrologie et en climato-logie pour reprsenter la rpartition statistique de valeurs moyennes (par exemple : pluiesannuelles (lU dbits moyens annuels). Cette proprit de la loi de Gauss n'est pas fortuite; elledcoule du THORME CENTRAL LIMITE dont l'application est si importante pour l'hydrologueet que nous noncerons :

    Si Zn est une combinaison linaire de n v.a. X j indpendantes, quelle que soit la loi suivie parchacun des X, la loi de rpartition de Zn tendvers une loi normale lorsque n augmente indfiniment.

    LOI DE GALTON

    On peut gnraliser la loi de Gauss et la rendre dissymtrique, par des changements devariable appropris. Le plus connu de ces changements de variable consiste prendre commevariable gaussienne le logarithme ou une fonction linaire du logarithme de la variable tudie.On obtient ainsi la loi de Galton, dite aussi loi de Gibrat-Gauss. On la prsente traditionnelle-ment sous la forme

    1 JZ-= e- z' dzV7t -00

    (12)

    avec z = a log (x - x o) + bCeci ne va pas sans quelque inconvnient car les tables de l'intgrale crite ci-dessus sont

    de moins en moins usites. Il faut multiplier la variable z par V2 avant de l'introduire dansles tables actuellement classiques.

    Nous prfrons donc adopter une reprsentation de la forme

    avec

    u'

    1 JU -2 du-\l27t -00 eu = a log (x - x o) + b

    (13)

    Nous avons introduit pour certains besoins un changement de variable tout fait analoguemais comportant un paramtre de moins. Dans cette loi, le logarithme nprien de la variable:log x, suit une loi de Gauss. On la note :

    1(y-:Y)21 y ---~J e 2 cry dyV27t -00

    avec y = Log x

    B) Loi exponentielle

    La fonction de rpartition est de la forme :

    F(x) = 1 - e- PX

    (14)

    (15)

    Cette loi est parfois utilise en hydrologie avec adjonction d'un paramtre supplmentaire:

    F(x) = 1 - e-p(x - x.) (16)

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    c'est la loi dite de Fller-Coutagne. On la donne en gnral sous la forme:

    x(T) = xl(l + ~ log T)

    27

    (17)

    T tant la priode de retour (inverse de la frquence). Avec ces notations, la densit de pro-babilit s'crit :

    1 1 (x-X')f(x) = -p- eMi> ~ (M = 0,434...)

    M!"'x,

    C) Loi de Goodrich

    (18)

    C'est une gnralisation de la loi de Fller par introduction d'un paramtre supplmentaire,on la prsente souvent sous la forme :

    x(T) = xI[l + ~ (log T)"]

    T tant Il priode de retour = ~FI

    La fonction de rpartition correspondante est donc:

    -_ 2,3026(X - Xl)"

    x,i>F(x) = 1- e

    et la densit de probabilit peut s'crire, en posant A = 2,3026(xI ~)

    1 ~ _ 1 - A(x - X,)"f(x) = - A(x - Xl)" e

    n

    D) Loi de Gumbel

    (19)

    (20)

    (21)

    Elle a t creee pour l'tude de la distribution des frquences de valeurs extrmes(maximums ou minimums annuels par exemple). On considre que sur les N' observations d'unedonne mtorologique ou hydrologique que comporte une anne, N peuvent tre considrescomme indpendantes. Si l'on dsigne par h(x) le nombre moyen annuel de valeurs journaliressuprieures X, la probabilit pour que toutes les valeurs journalires soient infrieures X,c'est--dire pour que le maximum annuel soit infrieur X, est gal, d'aprs le thorme desprobabilits composes, :

    N tant assez grand, on peut crire avec une bonne approximation P = exp (- h(x)]Gumbel pose en outre h(x) = e- y et y = a(x - xo)'D'o la fonction de rpartition (avec nos notations habituelles) :

    F(x) = exp [- e- a(x - x,)] (22)

    et la densit .de probabilit :

    f(x) = ae- a(x - x,) exp [- e- a(x - x,)] (23)

  • 28 HYDROLOGIE DE SURFACE

    E) Loi de Jenkinson

    La loi de Gumbel reprsente souvent assez mal la distribution des valeurs extrmes. Ellea t assouplie par Jenkinson avec introduction d'un paramtre supplmentaire. Cet auteurpropose de prendre x = Xo + a(l - ekY). y est lie la frquence de dpassement par larelation y = - Log Log _T_ (T tant la priode de retour = ~). La fonction de rpar-

    T - 1 t'l(X)tition (frquence de non dpassement) est alors de la forme

    1

    (

    X - xo) k- 1---Fx = e a

    avec une densit de probabilit:

    (24)

    1

    1( X-X)k- Ifx=- 1 0 eak a

    (

    X - x o) k- 1---

    a(25)

    Elle dfinit 3 types de fonctions suivant le signe de k (ak devant tre toujours > 0)

    k>O< >a>O

    x varie de - 00 a + X o(borne suprieure)dy(dx est croissant : la courbe y(x) a sa concavit tourne vers le haut

    k ----+0

    type l

    type Il

    dy(dx ----+ ~ , y(x) est une droite: on retombe sur la loi de Gumbelak

    ka

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 29

    puisque 1'(1) = J~ e-X

    dx = 1. On trouvera la rfrence des tables de cette fonction la

    fin du chapitre.Les lois de Pearson ont des densits de probabilit qui sont des solutions particulires,

    pour diffrentes valeurs des paramtres, de l'quation diffrentielle

    dy x +ddx = ax2 + bx + c y (28)

    La loi III de Pearson, trs utilise en hydrologie, a pour fonction de rpartition :

    y '-X

    F(x) = _a_ j e-ax XY-I dxny) 0

    o l' (y) est la fonction eulrienne de seconde espce.

    1 y .En posant ax = y, on a dx = - dy, x = - et F(x) devIent:

    a a

    1 fY -y y-,l d _ l'y(y)F(x) = ny) 0 e y y - r(y)

    l'y(y) est l'intgrale d'Euler incomplte et le rapport

    l'y (y)1 (y,y-1) =r(y)

    (29)

    (30)

    (31)

    est donn par les tables de Pearson, moyennant du reste un changement de variable (voirrfrence en fin 'de chapitre).

    La loi V de Pearson est parfois utilise en hydrologie. C'est galement une loi l'. La densitde probabilit est de la forme:

    1 -~ Y,-lf(x) = a

    Yny) e-

    xx

    G) Lois de Halphen

    (32)

    Ce sont des gnralisations des lois de Pearson tudies spcialement pour rendre comptede la rpartition statistique des dbits de rivires. On distingue deux types:

    type A

    type B

    -ax-~ y-lf(x) = Ke x x

    x'--+Ilx y-lf(x) = Ke 2 x

    (33)

    (34)

    Les calculs relatifs ces lois sont particulirement laborieux et il ne semble pas qu'ellesaient beaucoup retenu l'attention des praticiens de l'hydrologie.

  • 30 HYDROLOGIE DE SURFACE

    H) Lois tronques

    Supposons qu'une variable alatoire prenne avec une probabilit F(a) la valeur constante aet que le reste du temps elle obisse une loi de distribution (x). On peut supposer galementque l'on ne s'intresse pas aux valeurs infrieures a. (x) est la fonction de rpartition d'uneloi tronque et l'on a :

    (x) = F(x) - F(a)1 - F(a) (35)

    F(x) est la fonction de rpartition pour toutes les valeurs possibles de la variable. On a :

    F(x) = F(a) + [1 - F(a)] (x)

    4. MTHODE D'ESTIMATION DES PARAMTRESDANS LES LOIS A UNE VARIABLE

    (36)

    Il n'est pas dans notre intention de traiter, mme sommairement, le problme gnral del'estimation. Nous nous contenterons d'exposer trois recettes couramment utilises par lesstatisticiens pour l'estimation des paramtres, puis de donner le dtail des calculs pour quelqueslois classiques afin d'entraner le lecteur l'application de ces mthodes.

    A) Mthode du maximum de vraisemblance

    Supposons qu'un chantillon, tir d'une population-mre reprsentant la totalit desvaleurs d'une variable alatoire X, comporte N valeurs Xi pouvant se produire chacune avecprobabilit Pl' La probabilit pour qu'un chantillon de N valeurs obtenues par tirages ind-pendants soit prcisment l'chantillon obtenu, est:

    On appelle cette probabilit vraisemblance de l'chantillon.La mthode du maximum de vraisemblance consiste dterminer les paramtres de la loi

    choisie de faon rendre l'chantillon le plus vraisemblable possible.Si la v.a. est continue, chacun des termes ci-dessus, et priori le produit lui-mme, sont

    infiniment petits. On dfinit alors la vraisemblance de l'chantillon comme une quantit pro-portionnelle au produit des densits de probabilits, c'est--dire :

    avec

    et

    jj, =kf2 '" j~

    prob (X < Xi) = J: co f(xj, a,lb, ... k) dxfi = f(Xi, a, b, ... k)

    (37)

    Xi tant une valeur quelconque de l'chantillon, a, b, ... k les paramtres de la loi de probabilit

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 31

    dont les valeurs sont inconnues. Le but cherch est de maximiser /j" donc d'annuler les drivespartielles par rapport aux diffrents paramtres, ce qui donne un systme de k quations :

    (J/j, (J /j,~=O, ~=ooa (Jb'

    (J/j,~=o(Jk

    (38)

    N

    L I (J/j, (JLog /j,Il est souvent plus simple d'crire: Log /j, = Lfi, car o'~ = -~- et le sys-k (Ja oa1

    tme ci-dessus peut tre remplac par :

    (39)

    Dans la pratique des calculs, on prend les drives partielles de Llx par rapport chacundes paramtres, puis on fait les sommations que l'on annule.

    Cette mthode fournit toujours une estimation correcte des paramtres, mais il peutexister, pour un problme dtermin, une estimation meilleure, c'est--dire mettant en jeu descaractristiques tires de l'chantillon moins disperses. Nous n'insisterons pas. D'autre part,la rsolution du systme d'quations auquel on aboutit peut poser de srieuses difficults.

    B) Estimation des paramtres par le calcul des moments

    Nous avons donn prcdemment la dfinition d'un certain nombre de moments partirdes lois thoriques. Par exemple, le moment de nime ordre :

    ~+ 00j -00 x n f(x) dxest videmment une fonction des paramtres a, b ... k. Si l'on parvient rsoudre l'intgraleprcdente, on aura donc une relation entre les paramtres. Pour avoir un systme permettantde calculer les paramtres, il faudra dterminer autant de relations qu'il y a de paramtres,c'est--dire calculer partir de la loi thorique autant de moments qu'il y a de paramtres.Il faudra d'autre part que ces moments puissent ,tre estims partir de l'chantillon. On peutmontrer, en se limitant aux trois premiers moments, que l'on obtient des estimations absolu-ment correctes (convergence forte) partir des formules suivantes:

    Moyenne:

    Variance

    1estim. x = - ~ x'N 1

    estim. f1.2 = __1_ ~(Xi _ X)2N-l

    (40)

    (41)

  • 32 HYDROLOGIE DE SURFACE

    Moment centr de troisime ordre

    estim. [la = (N _ 1)~(N _ 2) ~(Xi - x)3 (42)

    Certaines lois peuvent se mieux prter au calcul thorique avec d'autres estimateurs, telsque la moyenne gomtrique ou la moyenne harmonique. Mais l'estimation de ces carac-tristiques partir de l'chantillon soulve parfois des difficults, notamment pour la moyennegomtrique lorsque certaines valeurs exprimentales sont infrieures l'unit ou que leclassement est fait par groupement dans des intervalles de classe donns.

    Il faut enfin noter que la recherche du meilleur estimateur, c'est--dire prsentant la plusfaible dispersion d'chantillonnage, est un travail dlicat demandant l'intervention d'unstatisticien averti. Faute de mieux, on se contentera donc des indications ci-dessus, d'autantplus que le gain .de confiance par l'estimation la plus correcte est souvent faible.

    C) Ajustement graphique des fonctions de rpartition

    L'chantillon est report en graphique avec, pour ordonnes, les valeurs d'une fonctionde la variable contenant le paramtre estimer et pour abcisses, les frquences observes

    1n--

    calcules soit par __2 ou __n_, soit par la courbe en escalier. On fait alors varier lesN N-l

    paramtres de faon que l'on puisse adapter le mieux possible, aux points observs, une courbethorique rpondant l'quation de la loi propose.

    Cette mthode peut tre intressante lorsqu'il est possible de choisir des chelles telles que,sur le graphique, la fonction de rpartition soit donne par une droite et qu'un:seul des paramtressuffi3e_ provoquer)'alignement des points. C'est le cas par exemple de la loi de Galton:

    1 JU [U2]F x = VZ; _~ exp -"2 du avec Il = a log (x~-xo) + b

    Si l'ab3cisse est gradue suivant une chelle proportionnelle aux valeurs de l'intgrale deGauss et que l'on porte log (x - xo) en ordonne, les points exprimentaux s'aligneront pourune valeur convenablement choisie ;de X o (si la loi de Galton est susceptible d'tre appliquevidemment); a et b se calculent alors d'aprs la droite obtenue.

    C'est le cas galement de certaines lois tronques pour lesquelles F(a) est mal estime partir de l'chantillon lui-mme. On la considre alors comme un simple paramtre d'ajustement.Si l'on prend par exemple la loi tronque:

    avec

    u'

    (x) = F(x) - F(O) = _1_ JU e-"2 duI-F(O) ~-'c6

    Logx-LogxIl = --=-------=--

    cr Log x

    (43)

    on calcule d'aprs l'chantillon des valeurs de F(x); en se donnant une valeur de F(O), oncalcule les valeurs correspondantes de (x) que l'on porte en abscisses gaussiques sur ungraphique, les valeurs de Log x tant portes en ordonnes. L'ajustement de Fo consiste faire varier les valeurs de ce paramtre de faon aligner les points exprimentaux.

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABlLITS EN HYDROLOGIE

    D) Le test du X2

    33

    Tester la valeur d'un ajustement revient estimer si la loi de probabilit choisie avec sesparamtres, a des chances raisonnables de reprsenter effectivement la distribution statistiquede l'chantillon analys. Nous nous contenterons, dans ce paragraphe, de donner le moded'emploi d'un des tests les plus couramment utiliss, le test du X2 d Pearson.

    Quelques dfinitions :

    Nombre de degrs de libert.

    On appelle ainsi le nombre de paramtres que l'on peut fixer librement dans le phnomnetudi. Si l'chantillon de N valeurs a t divis en k classes, on peut choisir arbitrairementle nombre d'observations ni que l'on mettra dans chacune des classes, mais, k - 1 classestant choisies, la k ime est fixe par la condition Lni = N. Il y a donc k - 1 degrs delibert dans l'opration de cloisonnement. Si, par ailleurs, la loi comporte p paramtre estims partir des donnes exprimentales, on a p nouvelles liaisons entre les ni, et le nombre de degrsde libert est en dfinitive gal k - 1 - p.

    Dfinition du X2

    L'chantillon tant divis en un certain nombre k de classes, si ni est le nombre de valeursexprimentales contenues dans la classe i et Vi le nombre de valeurs qui, sur un chantillon degrandeur N, est affect par la loi thorique propose la classe i, le X2 est dfini par la relation:

    (44)

    Le X2 est une variable alatoire dont la distribution statistique a t tudie par Pearson.Les valeurs de sa probabilit de dpassement, due au seul fait du hasard, sont donnes par destables en fonction de sa valeur propre et du nombre de degrs de libert pris en considrationpour le phnomne tudi.

    Le processus du calcul est le suivant :

    - Les N donnes exprimentales tant classes par ordre croissant ou dcroissant, on lesdivise en k classes de faon que chacune des classes contienne au minimum 5 donnes expri-mentales. La classe i est borne par les valeurs Xi-l, Xi choisies arbitrairement.

    - On compte le nombre de points ni contenu dans chacune des classes.- On calcule, partir de la loi thorique choisie, les valeurs thoriques Vi. Si f(x) est la

    densit de probabilit correspondant la loi thorique, on a

    Vi = N J~:i f(x) dx1-1

    (45)

    - On fait pour chaque classe la diffrence ni - Vi, on l'lve au carr et on divise lersultat par Vi. La somme des k quantits ainsi obtenues donne la valeur du X2

    - On calcule le nombre de degrs de libert gal k - 1 - p et on dtermine, d'aprs lestables, la probabilit de dpassement correspondante.

    - L'interprtation des rsultats est une question d'apprciation. En premire analyse, onpeut admettre avec la plupart des statisticiens que :

    - Si la probabilit trouve est suprieure 5 %, l'ajustement est satisfaisant.- Si elle est infrieure 1 %, la loi choisie doit tre rejete.

  • 34 HYDROLOGIE DE SURFACE

    - Si elle est comprise entre 1 et 5 %, on ne peut pas conclure. Il faut poursuivre lesobservations.

    Il peut tre parfois intressant d'ajuster les paramtres d'une loi en minimisant le '1.2 , ce quia pour avantage de fournir directement un contrle de l'ajustement. On notera toutefois queles calculs sont en gnral assez laborieux.

    On trouvera ci-dessous une table des valeurs du '1.2 (Tableau II).

    TABLEAU Il

    Table de distribution de X2 (Loi de K. Pearson)

    Valeurs de X2 ayant la probabilit P d'tre dpasses

    ~ 11

    110,990 0,975 0,950 0,900 0,100

    1

    0,050 0,025 0,010 0,001

    1 0,0002 0,0010 0,0039 0,0158 2,71 3,84 5,02 6,63 10,832 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38

    19,21 13,82

    3 0,12 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,274 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,475 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24

    1

    Il,07 12,83 15,09 20,526 0,87

    1

    1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 22,467 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,47 24,328 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 26,139 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 27,88

    10 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 29,59

    11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,27 19,67 21,92 24,72 31,2612 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 32,9113 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 34,5314 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 36,1215 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 37,7016 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,84 32,00 39,2517 6,41 7,56 8,67 10,08 24,77 27,59 30,19 33,41 4J,7918 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,80 42,3119 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 43,8220 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 45,32

    1

    21 8,90 10,28 Il,59 13,24 29,61 32,67 35,48 38,93 46,8022 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 43,2723 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 49,7324 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,41 39,37 42,98 51,1825 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 56,6226 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,88 41,92 45,64 54,0527 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 4':>,11 43,19 46,96 55,4828 13,57 15,31 16,93

    1

    18,94 37,92 41,34 44,46 48,28

    1

    56,8929 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 58,3030 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 59,70

    1

    ,1

    Lorsque '1 > 30 on peut admettre que la quantit Y2X2 - y2'1 - 1 suit la loi normale rduite

    Exemple:

    Calculer la valeur de X2correspondant une probabilit P = 0,10 de dpassement, lorsque '1 = 41.La table 1 donne pour P = 0,10, u = 1,2816. D'o:

    X2 = [u + y;V=-fJ2 = ~ [1,2816 + y82 _ 1]2 = ~ (10,2816)2 = 52,85

    '1 dsigne ici le nombre de degrs de libert.

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    E) Exemples d'application pour quelques lois classiques

    a) LOI DE GAUSS

    35

    L'estimation des paramtres est particulirement simple puisque l'un d'eux est la moyenne,l'autre l'cart-type. Nous avons vu que la moyenne s'exprime correctement partir des donnes

    de l'chantillon par? = ~ ~Xi et que l'cart-type est donn par ~2 = _1_ ~(Xi - X)2.N N-l

    Lorsque les calculs se font la machine, il est plus commode de mettre cette expression sous la

    forme : ~2 = __1_ [~Xi2 _ N i:] (le signe r.. est souvent utilis pour dsigner une valeurN-l

    estime d'aprs un chantillon par opposition aux valeurs vraies inconnues cr et x).Certaines machines de bureau, relativement peu onreuses, telles que la Trtactys

    (Olivetti) p~rm~ttent de faire simultanment ~Xi2 et ~Xi en introduisant une seule foischacun des Xi.

    b) LOI DE GALTON

    Nous avons vu que cette loi est susceptible d'un ajustement graphique. Il est toutefoispossible d'en dterminer les paramtres, soit par le maximum de vraisemblance, soit par lecalcul des moments.

    Ajustement par le calcul des moments.

    La fonction de rpartition est:

    avec

    d'o

    11 fZ -2 z'

    F(x) =. /_ e dzV 2n _00

    z = a log (x - x o) + b2,30259

    x = Xo + eA(z-b) en posant A = ---a

    (46)

    La loi comportant 3 paramtres, il est ncessaire de faire intervenir 3 moments. Il estcommode de calculer d'abord les intgrales suivantes

    l ,1 f+oo -lz

    10 = /_ e dz = 1V 2n -00

    _ 1 f+oo A(z-b) -~z' _ A(~-b)Il - ---= e e dz - e

    Y2n -001

    1 f+ 00 2A(z-b) -lz' 2A(A-b)12 = ----= e e dz = eY2n -00

    __1_ f+ 00 3A(z-b) -~z' _ 3A C: -.b)13 - /_ e e dz - e

    V 2n -00

    (47)

    (48)

    (49)

    (50)

  • 36

    Moyenne:

    HYDROLOGIE DE SURFACE

    Variance

    (51 )

    d'o

    (52)

    (53)

    Moment centr de troisime ordre :

    [la = - x3 - 3x0-2 + ma (ma: moment de troisime ordre)

    On trouve en dfinitive :

    3A(~A-b) (55)tJ.a = - (x - X O)3 - 3(x - xo) 0-

    2 + e

    Le systme qui permettra d'valuer les paramtres partir des 3 premiers momentsestims d'aprs l'chantillon est donc le suivant (on a supprim les signes distinctifs des valeursestimes pour ne pas alourdir l'criture)

    A'1

    e-Ab

    e = x -xo (56)

    2.'1.' -2Abe e = (x - xo? + 0-2

    ~A' -3Abe e = (x - xo)a + 3(x -- xo) 0-2 + [la

    (57)

    (58)

    En liminant successivement A et b entre ces quations, on trouve une quation en X o seul :

    0-4 (x - xo)a

    tJ.a 0-2 + 3(x - X O)2(59)

    que l'on peut rsoudre en Xo soit graphiquement, soit par approximations successives.X o tant ainsi estim, on peut valuer A et b par les relations :

    ou(60)

    et1,1513 _

    b =---alog(x-xo)a(61)

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    Ajustement par le maximum de vraisemblance.

    37

    Avec les notations prcdentes, la densit de probabilit rapporte x peut s'crire

    d'o

    1 [ 1 J'1 1 -2 AL(x-xo)+bI(x)=--.~--e

    Vh A(x-xo)- 1[1 J2LI = - LA /2n A - L(x - x ) ~ - - L(x - x ) + bV 0 2 A 0

    (62)

    (63)

    On drive cette expression par rapport A, b et xo, on somme et on annule; d'o lesystme rsolutif :

    A2N - Ab1:L(xj - x o) -1:L2(xj - x o) = 0

    1:L(xj - x o) + NAb = 01 1 L(x-- x)

    A21: __ + Ab1:-- + 1: 1 0 = 0Xj-Xo Xj-Xo Xj-Xo

    (64)

    (65)

    (66)

    Les deux premires quations permettent d'obtenir A2 et Ab en fonction de xo. Les valeurs,reportes dans la troisime quation, donnent une relation o seul figure xo; nous l'crivonsci-dessous en revenant aux logarithmes dcimaux :

    cp(Xo) = 2,30261:-1- [~1:10g2(Xj- xo) - ~1:210g(Xj Xo)] + 1

    Xj-Xo N N (67)

    log(xj - xo) 1 11: - -N 1: log(x,~ x o) 1:--- = 0Xj-Xo Xj~Xo

    '------------- -

    La dtermination de Xo est assez laborieuse. Il faut tracer la courbe cp(xo) dont l'inter-section avec l'abcisse donne la valeur cherche. Xo tant connu, A et b se calculent aismentavec les formules dduites des deux premires quations du systme

    2,30259ou, en rappelant que A = --- :

    a

    (68)

    a2 = =--,,---------=-------1:log2(xj-xo) 1:

    2 log (Xj-xo)N N2

    et

    a1: log (Xj - x o)b = - ---N-,-----

    (69)

    (70)

  • 38 HYDROLOGIE DE SURFACE

    c) LOI EXPONENTIELLE OU LOI DE FULLER-COUTAGNE

    Nous avons vu que la densit de probabilit peut s'crire :

    1 1 (x-x,)f(x) = M~ Xl e-Mf' x;- (Xl

  • or

    STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    Variance

    En dveloppant le terme au carr et en intgrant, on trouve :

    39

    (80)

    (81)

    Moment de troisime ordre

    En dveloppant le terme au cube et en intgrant, on obtient

    1 x X 2ma = -S- r(3n + 1) + 3 -21 r(2n + 1) + 32.. r(n + 1) -+- XIaA n A n An

    et le moment centr correspondant est donn par la relation

    [1a = ma - 3X0"2 + xa

    (82)

    En combinant et en simplifiant les trois quations prcdentes, on obtient le systme

    1(Xl - x) + - rI = 0

    An

    - 2 1 r 2- (Xl - X) + - 2 = 0"A2n

    - S 1 r 2(Xl -X) + ASn a = [1a + 30" (Xl -X)

    (83)

    (84)

    (85)

    o et

    Les deux premires quations permettent d'exprimer A et Xl en fonction de n seul. Enreportant les valeurs trouves dans la 3e quation, on trouve l'quation en n seul

    (86)

    [1: est le coefficient d'assymtrie de Pearson. On voit que, pour la loi de Goodrich, il0"

    ne dpend que de n.

    [1: peut tre estim partir des donnes exprimentales, au moyen des formules prc-0"

    demment cites. La mthode de rsolution consiste tracer la courbe

  • 40

    avec

    HYDROLOGIE DE SURFACE

    TABLEAU III

    Loi de Goodrich

    ~ [r3 - r,: _ 3r,]Table sommaire de la fonction : cp(n) = (r2 - r ,2) r 2 - r,

    r, = r(n + 1)r 2 = r(2n + 1)r 3 = r(3n + 1)

    n 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00

    cp 0,69 0,217 0,359 0,496 0,631 0,764 0,896 1,028 1,160 1,294 1,430 1,567 1,708 1,852 2,000

    L'interpolation linaire donne des valeurs exactes jusqu' la troisime dcimale.

    Les deux autres paramtres se calculent facilement au moyen des relations

    e) LOI DE GUMBEL

    On a vu que la densit de probabilit s'exprime par

    f(x) = ae-a(x-x,l e_e-a(x-x,)

    L'intervalle de variation est (- 00, + 00).

    Application du maximum de vraisemblance.

    On a :Lf(x) = La - a(x - xo) - e-a(x-x,,)

    d'ofi a(x) 1-- = - - (x - x ) + (x - x ) e-a(x-x,)f(x) a 0 0

    fi X (x)_0_ = a-ae-a(x-x..lf(x)

    Le systme rsolutif est donc le suivant :

    N- - ~(Xi - xo) + (Xi - xo) e-a(x,-x,) = 0a

    (87)

    (88)

    (89)

    (90)

    (91)

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE

    ou

    1 e axo- - x + - Lx, e- ax, = 0aN'

    e axo- Le-ax, = 1N

    La seconde quation donne

    41

    (92)

    (93)

    (94)

    N(95)

    et la premire peut s'crire

    On a d'autre part

    et on obtient en dfinitive le systme :

    Lx e-ax, 1--'--+-=xL e-ax, a

    1-L-L e-ax,

    NxO=---a---

    (96)

    (97)

    (98)

    (99)

    La premire relation est une quation implicite en a qui ne peut tre rsolue que parapproximations successives. Les calculs sont longs du fait que l'on do reprendre, chaquetentative, tous les termes des sommations. C'est pourquoi nous prfrerons la mthode suivante,base sur le calcul des deux premiers moments : elle prsente de tels avantages de simplicitqu'on lui sacrifiera volontiers la rigueur un peu plus grande de la mthode du maximum devraisemblance.

    Estimation par le calcul des moments.

    Moy.enne :

    r+ oc -a(x-xo)

    X = x ae-a(x-xo) e -e dx~ -oc

    posonse-a(x-xo) = u

    L'intervalle de variation d;:vient (+ 00, 0). On a

    1x = xo--Lu

    a

    1dx =--du

    au

    (100)

    (lOt)

  • 42

    d'o

    or

    HYDROLOGIE DE SURFACE

    x= - J: 00 (xo- ~ LU) e- U du = XoJ: 00e- U du - ~J: 00 Lu e-U duJ

    +OO J+ooo e-udu = 1 et - 0 Lue-udu

    (102)

    est la constante d'Euler dont une valeur approche est 0,577.

    On a donc:_ 0.577x =xo +---a

    Variance

    J+OO -arx-x,)

    fL2 = m2 -m12 =_x2 + x 2 ae-a(x-x')e-e dx-00

    (103)

    (104)

    En utilisant le mme changement de variable que pour le calcul de la moyenne, on obtient:

    et

    1 [J+ 00 (J+ 00 )2]fL2=0"2=~ 0 (Lu)2 e- udu-. 0 Lue-udu1

    0" = ----0,780a

    (105)

    (106)

    On p.::ut donc estimer trs simplement les paramtres au moyen des deux premiers momentsd'aprs le systme :

    _ 0,577Xo=x--a

    -

    1- = 0,780 0"a

    Notons enfin que X o est le mode de la loi de Gumbel.

    f) LOI DE PEARSON III

    Rappelons que la densit de probabilit est de la forme :

    aYf(x) = -- e-ax x y - I

    r(y)

    (107)

    (108)

    Le calcul des paramtres se fait trs aisment par la mthode du maximum de vraisemblance.On a:

    Lf(x) =yLa-Lr(y)-ax + (y-I)Lx (109)

    d'of'y

    fLa-~(y-I)+Lx

    fa' y- =--xf a

    (110)

    (Ill)

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 43

    ljJ(y - 1) est la drive logarithmique de f(y). C'est une fonction classique, tabule.Les tables donnent en gnral les valeurs de ljJ pour y compris entre 1 et 2. Le calcul pour lesautres valeurs se fait au moyen de la formule de rcurrence :

    1 1 1 1\jJ(x + n) = t!J(x) +-- + -- +-- + .. , +-- (\ 12)

    . x+l x+2 x+3 x+n

    On obtient donc le systme :

    1 L LXi- La + \ji(y-l)=~ (113)

    d'o l'quation en y

    ou -La =Lx-Ly (114)

    et la valeur de a :

    L log Xitp(y) = log y - 0,4343 \jJ(y - 1) = log x--N-

    TABLEAU IV

    Loi de Pearson

    (115)

    Table de la fonction: ?(y) = Log y - 0,4343 t(y - 1)

    1 a ~ ~ i (1l~

    Le tableau IV donneune tabulation sommaire dela fonction tp(y).

    1

    ,

    y ep(y) y

  • 44 HYDROLOGIE DE SURFACE

    F) La confiance statistique

    Nous avons vu qu'il existe des mthodes permettant de tester si telle hypothse sur ladistribution statistique d'une v. a. peut tre retenue avec une probabilit raisonnable d'treexacte. On se gardera bien de dire que, si le test est favorable, l'hypothse est confirme, cequi impliquerait qu'elle est la seule possible au vu de l'chantillon analys. En fait, nombreuxsont les cas o plusieurs distributions thoriques peuvent raisonnablement s'appliquer unmme chantillon; le bon sens veut alors que les diffrentes hypothses envisages conduisent des courbes voisines.

    Une loi de distribution thorique, ou hypothse, dpend, nous l'avons vu, d'un certainnombre de paramtres et nous avons indiqu le moyen d'estimer ces paramtres partir desdonnes exprimentales. Le problme qui se pose maintenant est de dterminer dans quellemesure les valeurs trouves peuvent varier suivant l'chantillon utilis autrement dit, d'tudierpour chaque paramtre sa loi de distribution d'chantillonnage.

    Prenons comme exemple une v. a. gaussienne: sa loi de distribution est entirement dter-mine par la moyenne x et l'cart-type crx . Mais ce que nous connaissons de ces deux paramtresse limite des estimations faites partir d'un certain chantillon comportant n valeurs de lav. a. que l'on note nmx et xSn. Si l'on avait opr sur un autre chantillon de mme dimension,tir de la mme population-mre (par exemple deux priodes conscutives d'observations dedbits de 25 annes chacune), on aurait eu toutes les chances du monde de trouver comme esti-mations de x et de cr des valeurs diffrentes. On voit donc se dessiner de nouvelles lois statistiquesintressant non plus la distribution de la v. a. x, mais sa moyenne x ou son cart-type crx pourun grand nombre d'chantillons comportant chacun n valeurs de x. L'tude thorique dedistributions d'chantillonnage sort du cadre de cet expos; dans le cas de la loi normale,disons seulement que nmx se comporte comme une v. a. normale de moyenne x et d'cart-type

    crx . li' 1 d d" crx C. r' et que nSx SUIt ega ement une 01 norma e e moyenne crx et ecart-type~. esvn vmrsultats ne sont du reste valables que si les conditions du thorme central limite sont res-pectes; il faut en particulier que n soit grand.

    D'une faon gnrale, que la loi de x soit normale ou non, un moment empirique mkd'ordre k, estimation d'un moment thorique [Lb est distribu normalement avec une moyenne

    [Lk et une variance ~ [[l2k - [Lk2], pour autant que les conditions du thorme centralnlimite sont respectes. On peut galement dterminer la covariance de deux moments empi-riques d'ordres diffrents par la formule :

    (l17)

    Si enfin le paramtre qui nous intresse n'est pas un moment, mais une fonction de plusieursmoments, par ex~mple([Lk, [Lh) estim par l(mk, mh), on peut avoir une valeur approche desa variance en crivant :

    (118)

    On est donc ramen, si on possde un chantillon de taille suffisante, tudier la variationd'une v.a. normale, c'est--dire la marge d'incertitude que l'on peut s'attendre trouver,

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 45

    autour de la valeur centrale dtermine empiriquement, avec une probabilit donne. C'est lqu'intervient la notion de seuil de confiance et d'intervalle de confiance. Supposons que l'op-rateur ne veuille pas prendre un risque suprieur une probabilit de 5 % d'avoir, pour leparamtre tudi, une valeur thorique situe en dehors de l'intervalle de variation qu'il valui assigner. En fonction de la moyenne empirique du paramtre et de son cart-type d'chan-tillonnage estim comme il est dit plus haut, il va construire une variable rduite de GaussPuis il dterminera, au moyen de la table de l'intgrale de Gauss, la valeur absolue de la variable.rduite qui a une probabilit 0,025 d'tre dpasse. Ceci lui donne deux valeurs du paramtre,symtriques par rapport la valeur moyenne, entre lesquelles il y a 95 % de chances que setrouve la valeur thorique. L'intervalle sparant les deux valeurs extrmes est dit: intervallede confiance 95 %'

    5. RETOUR SUR LA NOTION DE RGRESSION

    A) Loi de Gauss deux variables - Rgression linaire

    Soit deux v. a. normales x et y de moyennes x et Ji, d'carts-types crx et cry et pleurcoefficient de corrlation. On montre que la loi du couple (x, y) est dfinie par la densit deprobabilit

    1 1 [(X-X)2f(x, y) = exp - 2 2

    27tcrx cry Vl- p2 1 2(1-p) crx

    On en dduit la distribution de y li par x :

    2p (x-x) (y-y) + (y 2W ]1(119)crx cry cry ~

    laquelle est associe la moyenne conditionnelle

    / _ cryY x = Y + p - (x - x)

    crx

    On dtermine de mme la moyenne conditionnelle de x li par y

    crx/y = X + p ---2 (y - y)

    cry

    (120)

    (121)

    (122)

    Les deux courbes d'estimation de y par x et de x par y, ou courbes de rgression, sontdonc des droites.

    On notera qu'elles se coupent au point (x = x, y = y) et diffrent par leurs coefficientsangulaires. Une telle rgression est dite linaire et p est un coefficient de corrlationlinaire.

    Il est ais de voir que dans un plan (x, y) probabilis suivant cette loi, c'est--dire dont

  • 46 HYDROLOGIE DE SURFACE

    chaque surface lmentaire dx dy est affecte d'un poids f(x, y)dx dy, les courbes d'galesdensits de probabilit sont des ellipses d'quation

    o

    I --( 2 (X - 2 XY + y2) = - Log [27t crxcry yI - p2 D]

    2 I-p)

    x-x y-yX = --, y = --, D : densit de probabilit.

    crx cry

    y

    (123)

    x

    Fig 6 - Allure des llipses d'gale densit de probabilit (0,01)dans la loi de Gauss deux dimensions pour diffrentesvaleurs du coefficient de corrlation ("j(=V~o,crx~cry)

    La considration d'une loi de Gauss deux variables permet de rsoudre au miwx leproblme suivant, d'application frquente en hydrologie et en climatologie:

    Soit une variable y dont on possde k observations (par exemple dbit moyen annuel unestation observe depuis k annes) et une variable x dont on possde n > k observations (parexemple n annes d'ob,ervations du dbit moyen annuel une autre station de la mme rivireou d'un bassin voisin). On suppose qu'il existe une certaine corrlation entre x et y et on s'in-tresse la moyenne de y.

    C~tte moyenne peut tre estime partir des k valeurs fournies par l'observation directe(kmy). Est-il possible d'amliorer cette estimation par la connaissance des n-k valeurs observespour x? Si oui, quelle valeur convient-il d'adopter comme moyenne de y, de prfrence kmy?

    Dsignons par

    x la moyenne de x;y la moyenne de y;crx l'cart-type de x;cry l'cart-type de y;p le coefficient de corrlation entre x et y.

  • STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITS EN HYDROLOGIE 47

    Les valeurs empiriques de ces paramtres, calculs d'aprs l'chantillon sont, en dsignantpar i une des k observations communes x et y et par j une des n - k observations suppl-mentaires effectues sur x :

    k1 2: XiXk k (24)

    xn = ~ (i Xi + i Xj) = ~2:x (125)! k+! i+j

    k1 2: yYk k (126)

    !

    k

    kS2x

    1 2: (Xi - Xk)2- (27)k

    !

    ns2x 2: (x - X n)2 (128)n

    i+j

    k

    kS2y1 2: (Yi - h)2k

    (129)

    1

    k1 2: (Xi - Xk) (Yi - h)

    krxy = k (130)1 kSy kSx

    On constitue alors un chantillon comportant k valeurs de Y et n valeurs de x, on dterminesa densit de probabilit et on lui applique la mthode du maximum de vraisemblance. Cecipermet d'valuer les valeurs les plus probables des paramtres statistiques prcdents, soit

    x = X n

    ce qui est normal pour les paramtres ne dpendent que de x, puisque c'est pour cette variableque la priode d'observation est la plus longue: on n'a donc rien attendre des observationsfaites sur y. Par contre :

    -'.,

    ~ kSv (J'xP = krxy - -"

    kSx cry

    (l3I)

    (132)

    (I33)

    Il s'agit maintenant de savoir si ces nouvelles estimations de Y et de cry amliorent laconnaissance de ces paramtres par rapport aux estimations par Yk et My. Pour ce faire, il faut

  • 48 HYDROLOGIE DE SURFACE

    tudier les lois de distribution des es