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5/10/2018 i-027 - slidepdf.com

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CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DE FILTROS RÁPIDOSPOR GRAVIDADE COM TAXA DECLINANTE VARIÁVEL

Renato Machado(∗) Engenheiro da Companhia Riograndense de Saneamento - CORSAN, Professor Adjuntodo Departamento de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grandedo Sul - PUC/RS e Doutor em Engenharia Civil.Luiz Di BernardoDepartamento de Hidráulica e Saneamento da Escola de Engenharia de São Carlos - USP.Edson TangerinoDepartamento de Hidráulica e Saneamento da Escola de Engenharia de São Carlos - USP.

Endereço(∗): Rua Vasco da Gama, 565/301 - Bairro Rio Branco - Porto Alegre - RS - CEP: 90420-111 - BrasilTels: +++(51) 3215-5611, +++(51) 99669004 - Fax: +++(51) 3215-5645, e-mail: [email protected]

RESUMO

O presente trabalho é uma aplicação prática do “Modelo Matemático para Sistemas de Filtração com Taxa DeclinanteVariável com e sem Armazenamento de Água a Montante dos Filtros” desenvolvido por MACHADO e DIBERNARDO (1996). Através dele, utilizando-se cálculo eletrônico (programa de computador desenvolvido emlinguagem Pascal), pode-se determinar as taxas de filtração e as variações do nível d’água nos filtros, tanto durante o

período de operação, quanto durante a lavagem de um filtro da bateria. O método desenvolvido pode ser aplicado paraqualquer número de filtros na bateria de um Sistema de Filtração com Taxa Declinante Variável, sendo necessáriofornecer ao programa as perdas de carga no meio filtrante limpo (laminar) e nas tubulações de entrada e saída, conexões,sistema de drenagem e acessórios (turbulenta), a carga hidráulica disponível, a taxa média de filtração e a área total dearmazenamento de água a montante dos filtros. O trabalho apresenta simulações, oriundas de casos práticos, mostrandoas variações que poderão surgir nas taxas de filtração e nos níveis de operação quando se variar as características dosmeios filtrantes, carga hidráulica disponível, taxa média de filtração e área de armazenamento adicional a montante dosfiltros. Os resultados das simulações propiciará a escolha criteriosa da melhor situação prática, indicando o

posicionamento adequado das válvulas/comportas de admissão de água aos filtros, a profundidade do canal comum dealimentação dos filtros, a altura da caixa dos filtros, a altura do vertedor a jusante, o correto posicionamento das calhasde coleta de água de lavagem, além de fornecer informações de ordem operacional.

Palavras-Chave: Filtração, Taxa Declinante, Modelação Matemática, Filtros Rápidos.

INTRODUÇÃO

O emprego da Filtração com Taxa Declinante Variável tem sido discutido na literatura por muitos anos e, váriostrabalhos têm sido documentados, tanto em instalações piloto como em estações de tratamento de água em escala real,apresentando resultados favoráveis em termos de qualidade e produção de água tratada e com inúmeras vantagens sobre

a filtração com taxa constante. A aplicação da filtração com taxa declinante variável, mesmo com as vantagensapontadas, ainda não é a esperada, provavelmente, pelo desconhecimento acerca do seu funcionamento e de critériosracionais de projeto. Surgiram vários modelos numéricos no decorrer dos anos 80 para equacionamento dos Sistemas deFiltração com Taxa Declinante (SFTD), a maioria, entretanto, apresentava equações relativamente complexas e recorriaa formulações empíricas para descrever as alterações do meio filtrante com o tempo. Tais fatos, tornaram tais modelos

pouco atrativos. O modelo proposto por DI BERNARDO (1985), através do qual podem ser previstas as taxas defiltração e as variações de nível em um SFTD, trouxe como vantagem a não utilização de equações complexas e de

parâmetros empíricos, sem contudo, considerar a influência da capacidade de armazenamento de água a montante dosfiltros. O modelo desenvolvido por MACHADO e DI BERNARDO (1996), foi realizado com o objetivo de estabelecer uma nova variante no processo, incluindo o armazenamento de água a montante dos filtros.



2

Com o objetivo de apresentar a metodologia de dimensionamento hidráulico dos Filtros Rápidos por Gravidade comTaxa Declinante Variável , com e sem armazenamento de água a montante dos filtros, contendo situações diversasoriundas de casos práticos, foi realizado o presente trabalho, utilizando-se cálculo eletrônico (programa de computador desenvolvido em linguagem Pascal) segundo o modelo de MACHADO e DI BERNARDO (1996) e critérios de projeto.

CARACTERÍSTICAS DA FILTRAÇÂO COM TAXA DECLINANTE VARIÁVEL

a) Condições de Entrada e Saída

A entrada de água afluente aos filtros deve ser feita de forma submersa, comunicando todas as unidades do sistemaatravés do canal comum de alimentação, permitindo que os mesmos funcionem como vasos comunicantes. A saída deágua deve ser realizada por meio de um vertedor, localizado em uma câmara individual ou geral, a jusante dos filtros. A

posição desse vê*rtedor, acima do topo do meio filtrante, garante que o nível mínimo de operação ocorra acima desse ponto e diminui a possibilidade de ocorrência de pressões inferiores à atmosférica. Essas condições de entrada e saída permitem que as taxas de filtração sejam reguladas apenas pelo grau de colmatação de cada meio filtrante. O nível deágua será mantido praticamente o mesmo em todos os filtros da bateria, exceto para o filtro que, em algum instante,encontrar-se em operação de lavagem.

b) Níveis de Operação

Consideram-se, principalmente, os seguintes níveis:Nível N0 - Nível da lâmina líquida acima dos vertedores individuais ou do vertedor geral de saída do efluente dos filtros;Nível N1 - Nível de água no canal comum de alimentação dos filtros após o filtro recém-lavado entrar em operação e asoma das vazões efluentes igualar a vazão total afluente, correspondendo ao nível mínimo de operação;Nível N2 - Nível de água no canal comum de alimentação dos filtros, no momento em que o filtro mais sujo da bateriadeve ser retirado de operação para ser lavado;Nível N3 - Nível de água no canal comum de alimentação dos filtros no final da lavagem de um filtro da bateria.Tais níveis podem ser visualizados na Figura 1, onde é mostrado o arranjo típico da entrada e saída dos filtros com taxadeclinante variável, com os diferentes níveis de operação do sistema.

FIGURA 1: Arranjo Típico de Entrada e Saída de um Filtro operando com Taxa Declinante Variável

MATERIAL E MÉTODOS

a) Considerações Sobre o Modelo Matemático Na elaboração do modelo foi considerada uma bateria de filtros trabalhando de forma repetitiva, com as vazões em cadafiltro mantendo-se constantes no intervalo entre lavagens consecutivas e declinando na forma de degraus. Na Figura 2

pode-se ver a situação repetitiva, em que se têm as variações de nível no canal comum de alimentação dos filtros e dastaxas de filtração. Observa-se o comportamento do filtro F1, onde o mesmo evolui com a taxa Tmáx no intervalo (t0 - t1),



3

Ta em (t1’ - t2), Tb em (t2’ - t3) e Tmin em (t3’ - t4). As diferenças de tempo (t1 - t1’), (t2 - t2’), (t3 - t3’) e (t4 - t4’)correspondem aos momentos em que ocorrem os transientes durante a lavagem de um filtro da bateria, com aumento dataxa de filtração nos filtros remanescentes no início dos períodos e taxas constantes no final. Estas diferenças de temposão afetadas pelo armazenamento adicional a montante dos filtros, sendo maiores para capacidades adicionais dearmazenamento maiores. Na Figura 3 são mostradas as curvas de perda de carga no meio filtrante limpo (laminar) e nas

válvulas/comportas, tubulações, sistema de drenagem, etc (turbulenta). O ponto zero (0) representa a crista do vertedor de saída de água dos filtros, de onde se originam as curvas de perda de carga: laminar (curva 1), turbulenta (curva 2) etotal (curva 1 + 2). Na figura 3, ∆h0 representa a perda de carga devida a retenção de impurezas que ocorre no período detransição (intervalo de tempo correspondente, desde o instante em que um filtro é retirado de operação para lavagem atéo momento em que o nível N1 é atingido, após o filtro ser novamente colocado em operação) e será maior para maiorescapacidades de armazenamento. Na mesma Figura 3, h1 representa a variação entre os níveis de operação N1 e N2 e dhrepresenta a sobrelevação do nível d’água no canal comum de alimentação dos filtros quando um filtro é retirado deoperação para lavagem, atingindo no final da lavagem o nível N3.

FIGURA 2: Variações Típicas dos Níveis de Água e Taxas de Filtraçãoem Sistemas de Filtração com Taxa Declinante Variável

b) Condições para Utilização do Modelo

Para utilização do modelo é necessário estabelecer o número de unidades filtrantes na bateria, a taxa média de filtração(m3/m2.dia), a carga hidráulica disponível (m), a área total de armazenamento de água a montante dos filtros (função daárea de um filtro), e o somatório das perdas de carga (laminar e turbulenta) em função da taxa de filtração. A cargahidráulica (N2 - N0) deve ser fixada a priori para que a relação entre as taxas máxima e média de filtração resulte entre1,3 e 1,5, o que propiciará carreiras de filtração com duração razoável. Na área total de armazenamento deve ser incluída a própria área dos filtros, já que o volume de água existente a montante dos mesmos representa umarmazenamento adicional.

c) Taxa Média de Filtração

A taxa média de filtração é estabelecida em função da vazão da instalação (admitida para a bateria de filtros), número defiltros na bateria e da área de um filtro (correspondente a distribuição e arranjo com outras unidades da Estação deTratamento), segundo a seguinte equação:

Af . N

86400.QTm = equação (1)

em que: Tm: Taxa média de Filtração (m3/m2.dia)Q: Vazão da Instalação de Filtração (m3/s)

N: Número de filtros na bateriaAf: Área de um filtro (m2)



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FIGURA 3: Variação das Perdas de Carga e dos Níveis de Operação em

Função das Taxas de Filtração em um SFTD. d) Perda de Carga no Fundo dos Filtros

Para a determinação da perda de carga no fundo dos filtros é necessário selecionar o tipo de fundo de filtro (vigas emforma de V invertido, múltiplo com laterais duplos, fundo falso com bocais, etc), o número total de orifícios, o diâmetroe a área dos orifícios. Desta forma, pode-se calcular a perda de carga em função da taxa de filtração através da seguinteequação:

22

1 Ao. No.86400

T . Af

g .2

1

g .2

vh

== equação (2)

em que: h1: Perda de carga no fundo dos filtros (m)g: Aceleração da gravidade = 9,8 m/s2

T: Taxa de filtração (m3/m2.dia) No: Número total de orifíciosAo: Área dos orifícios (m2)

e) Perda de Carga na Comporta de Entrada aos FiltrosA perda de carga na entrada dos filtros é estabelecida em função da perda acidental devido a variação das condições doescoamento naquele local, obtida em função da taxa de filtração, através da seguinte expressão:

22

2 Ac.86400

T . Af

g .2

67 ,1

g .2

v.67 ,1h

== equação (3)

em que: h2: Perda de carga na comporta (m)Ac: Área da comporta (m2)

f) Perda de Carga na Saída dos FiltrosA perda de carga na saída dos filtros é estabelecida em função do comprimento equivalente de peças especiais queinterligam o filtro à caixa que contém o vertedor (entrada à tubulação, saída de tubulação, tê de saída lateral, válvula degaveta aberta, curva de 90°, etc). Utilizando-se a expressão de Hazen-Williams em função da taxa de filtração, resulta aseguinte equação:

85 ,1

87 ,485 ,1equiv

87 ,485 ,1

85 ,1

3 86400

T . Af

D.C

L.643 ,10

D.C

L.Q.643 ,10h

== equação (4)

em que: h3: Perda de Carga na Saída dos filtros (m)



5

C: Coeficiente de Perda de Carga - Hazen-Williams (adimensional)D: Diâmetro da Canalização de Saída dos filtros (m)Lequiv: Comprimento Equivalente de peças especiais (m)

g) Perda de Carga no Vertedor de Saída (Caixa Individual)

Esta perda de carga representa a altura da lâmina líquida acima do vertedor, sendo uma função da vazão e da largura dovertedor. Utilizando-se a Fórmula de Francis (vertedor retangular) em função da taxa de filtração, obtém-se a seguinteequação:

3 / 2

4 86400. B.84 ,1

T . Af h

= equação (5)

em que: h4: Perda de Carga no Vertedor de Saída (m)B: Largura do vertedor retangular (m)

h) Perda de Carga no Meio Filtrante Limpo e Camada Suporte

Para se determinar a Perda de Carga no Meio Filtrante Limpo e na Camada Suporte é necessário que se conheça ascaracterísticas dos materiais, tais como distribuição dos tamanhos dos grãos e espessura das subcamadas, tamanhoefetivo dos grãos, coeficiente de desuniformidade, coeficiente de esfericidade, massa específica real, etc. Fazendo-se usoda Lei de Darcy e da Equação de Fair-Hatch, pode-se chegar ao valor desta perda de carga.

Equação de Darcy:

v.k L

h= equação (6)

em que: v: Velocidade de aproximação ou Taxa de filtração (m/s)h: Perda de Carga (m)L: Espessura do meio filtrante (m)k: Coeficiente de resistividade (s/m)

Equação de Fair-Hatch:

∑−

= n1 2

i

i2

e3

0

20

D

X

C

T )1(

g

.150

L

h

ε

ε ν equação (7)

em que: ν: Viscosidade cinemática da água (m2/s)g: Aceleração da gravidade (m/s2)ε0: Porosidade média do meio filtrante limpoCe: Coeficiente de esfericidadeXi: Fração, em peso, de material filtrante retido entre duas peneiras consecutivas da série granulométrica

Di: Tamanho médio das aberturas das malhas j e k (m) - k ji D. D D =

Fazendo-se uso da equação (7) e conhecendo-se as características do meio filtrante e da camada suporte, obtém-se asseguintes perdas de carga, em função da taxa de filtração:

h5: Perda de Carga na Areia (m)h6: Perda de Carga no Antracito (m)h7: Perda de Carga na Camada Suporte (m)

i) Equação Geral da Perda de Carga Durante a Filtração

A equação geral da Perda de Carga Durante a Filtração, a ser utilizada no modelo matemático, será estabelecida pelosomatório de todas as perdas de carga, segundo a seguinte expressão:

H = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 equação (8)



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APLICAÇÃO PRÁTICA

a) Características dos Filtros, Taxa Média de Filtração e Equações de Perda de Carga Turbulenta

Na situação prática apresentada considerou-se, para efeito de comparação dos resultados obtidos nas simulações, asCaracterísticas dos Filtros, a Taxa Média de Filtração e as equações de Perda de Carga Turbulenta constantes, conformeapresentado na tabela 1.

TABELA 1: Elementos Utilizados nas Simulações com Características ConstantesCaracterísticas dos Filtros:

N° de Filtros (N): seis (6)Vazão Afluente (Q): 0,35 m3/sÁrea dos Filtros (Af): 21 m2 Fundo: Vigas Californianas

Perda de Carga no Fundo (h1): N° de orifícios (No): 1008 orif.Diâmetro dos orifícios (Do): 10 mmÁrea dos orifícios (Ao): 0,0000785 m2

h1=4,809x10-7.T2

Perda de Carga na Saída (h3):Coeficiente de H.Williams (C): 120Diâmetro da tubulação (D): 0,30 mCompr. equivalente (Lequiv): 41,6 m

h3=4,567x10-6.T1,85 Taxa Média de Filtração:

240 m3/m2.diaPerda de Carga na Comporta deEntrada dos Filtros (h2):Área da comporta (Ac): 0,1963 m2

h2=1,305x10

-7

.T

2

Perda de Carga no Vertedor deSaída – Caixa individual (h4):Largura do vertedor (B): 1,0 m

h4=2,586x10

-3

.T

0,667

b) Perda de Carga no Meio Filtrante Limpo e Camada Suporte

Nas tabelas 2 e 3 são mostradas as principais características de três diferentes Meios Filtrantes e da Camada Suporteutilizados usualmente nas situações práticas,e as respectivas equações de perdas de carga, obtidas experimentalmente.

TABELA 2: Características do Meio Filtrante e Equações de Perda de CargaDupla Camada Areia AreiaParâmetro

Antracito Areia Convencional UniformeTamanho do menor grão (mm) 0,59 0,42 0,42 0,83Tamanho do maior grão (mm) 2,40 1,41 1,41 1,25

Tamanho efetivo (mm) 0,90 0,50 0,56 0,88Coeficiente de desuniformidade 1,60 1,50 1,50 1,16Coeficiente de esfericidade (Ce) 0,70 0,80 0,80 0,85Porosidade (ε0) 0,45 0,40 0,40 0,435Espessura de camada (m) 0,50 0,25 0,70 1,20Equações de Perda de Carga h6=3,070x10-4.T h5=5,977x10-4.T h5=1,989x10-3.T h5=1,227x10-3.T

TABELA 3: Características da Camada Suporte e Equação da Perda de CargaTamanho (mm) Espessura (m)

25,4 - 38,0 0,0719,0 - 12,7 0,0612,7 - 6,4 0,05

6,4 - 3,2 0,053,2 - 2,0 0,054,8 - 9,6 0,05

12,7 - 19,0 0,05Espessura total (m) 0,38Coeficiente de esfericidade (Ce) 0,75Porosidade (ε0) 0,45Equação de Perda de Carga h7=9,927x10-5.T



7

c) Equação Geral da Perda de Carga Durante a Filtração

Da equação (8), obtêm-se as equações gerais de perda de carga, para cada meio filtrante considerado:

Dupla Camada: H1 = 6,114x10-7.T2 + 4,567x10-6.T1,85 + 2,586x10-3.T0,667 + 1,004x10-3.T

Areia Convencional: H2 = 6,114x10-7

.T2

+ 4,567x10-6

.T1,85

+ 2,586x10-3

.T0,667

+ 2,088x10-3

.TAreia Uniforme: H3 = 6,114x10-7.T2 + 4,567x10-6.T1,85 + 2,586x10-3.T0,667 + 1,326x10-3.T

d) Resultados

Nas tabelas 4 e 5, são mostrados os resultados obtidos com o uso do modelo matemático de Machado e Di Bernardo(1996), para a situação prática apresentada. O valor da Carga Hidráulica Disponível (H) foi fixado em 1,1 m com oobjetivo de manter a relação Tmáx/Tméd, durante a filtração, entre 1,3 e 1,5, o que resultará carreiras de filtração commaior duração. Os resultados obtidos com a utilização do armazenamento adicional de 12 A (doze vezes a área de umfiltro da bateria) foram apresentados para mostrar a influência do armazenamento de água a montante do SFTD. Natabela 4 são mostrados os resultados obtidos durante a filtração, com os 6 filtros em operação, onde se têm os valoresdas taxas de filtração em cada filtro, desde aquele que está mais tempo em operação (Tmín) ao recém-lavado (Tmáx),além dos valores do nível de água N1 e da variação N2-N1. Na tabela 5 são mostrados os resultados obtidos no final dalavagem de um filtro da bateria (duração da lavagem de 20 minutos), onde se têm os valores das taxas de filtração nosfiltros remanescentes em operação, o nível de água N3 e a variação N3-N2.

TABELA 4: Resultados Durante a Filtração Taxa Média de Filtração: 240 m3/m2.dia - 6 Filtros em OperaçãoMeio Armazenamento Taxas Durante a Filtração (*) Nível de h1

Filtrante Adicional (m3/m2.dia) Água (m) (m)

f(A) Tmáx Ta Tb Tc Td Tmín N1 N2 – N1

Dupla Camada Sem 378 311 254 204 163 130 0,906 0,194

Dupla Camada 12A 378 311 254 204 163 130 0,935 0,165

Areia Convencional Sem 303 275 249 226 203 183 1,022 0,078

Areia Convencional 12A 303 275 249 226 203 183 1,051 0,049Areia Uniforme Sem 352 300 253 212 177 147 0,944 0,156

Areia Uniforme 12A 352 300 253 212 177 147 0,973 0,127

(*) Após o nível N1 ter sido atingido N2 = Carga Hidráulica (H = 1,10m)

TABELA 5: Resultados Durante a Lavagem Taxa Média de Filtração: Tméd - 5 Filtros em OperaçãoMeio Armazenamento Taxas no Final da Lavagem de um Filtro (#) Nível de Dh

Filtrante Adicional (m3/m2.dia) Água (m) (m)

f(A) Tmáx* Ta* Tb* Tc* Td* Tméd N3 N3 – N2

Dupla Camada Sem 412 342 280 226 181 288 1,226 0,126

Dupla Camada 12A 392 325 265 214 171 273 1,186 0,086

Areia Convencional Sem 346 315 286 259 234 288 1,280 0,180

Areia Convencional 12A 328 299 271 245 222 273 1,206 0,106

Areia Uniforme Sem 389 333 282 238 199 288 1,243 0,143

Areia Uniforme 12A 371 316 267 225 188 273 1,186 0,086

(#) Operação de Lavagem = 20 min N2 = Carga Hidráulica (H = 1,10m)



8

DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

Analisando-se os resultados da aplicação prática, apresentados nas Tabelas 4 e 5, observa-se que:

a) Os valores das taxas de filtração nos diversos filtros, entre lavagens sucessivas, quando permaneceram constantes a

taxa média de filtração, a carga hidráulica disponível, o número de filtros na bateria e as perdas de carga laminar eturbulenta, mantiveram-se iguais com e sem armazenamento adicional de água a montante dos filtros; b) Os valores das taxas de filtração nos filtros remanescentes no final da lavagem de um filtro, para uma mesma cargahidráulica, decresceram com o armazenamento adicional a montante dos filtros;c) O nível mínimo de operação (N1) aumentou com o armazenamento adicional e o nível registrado no final da lavagemde um filtro (N3) diminuiu, sendo a diferença entre os mesmos menor para maiores capacidades adicionais dearmazenamento a montante dos filtros.d) Os valores das taxas de filtração nos diversos filtros, durante a filtração e durante as operações de lavagem, seapresentaram maiores nos filtros mais limpos, respectivamente, para os meios filtrantes de dupla camada, areia uniformee areia convencional. Tal comprovação, provavelmente, está relacionada a maior penetração da frente de impurezas queocorre mais uniformemente nos meios filtrantes de dupla camada e nos de granulometria mais uniforme.

Com relação a aplicação dos resultados para fins práticos (na elaboração de projetos), podemos a priori, definindo por hipótese a cota 10,00 m para o vertedor de saída de água dos filtros, considerando o sistema sem armazenamentoadicional em meio filtrante de dupla camada (antracito e areia) e admitindo-se a carga hidráulica (H) de 1,10 m,estabelecer o seguinte:a) Cota do nível N2 = 11,10 m

b) Cota do nível N1 = 10,906 mc) Variação de nível N2 - N1 = 0,194 mObservação: A crista dos vertedores das calhas de coleta da água de lavagem dos filtros e a borda superior dascomportas de admissão de água aos filtros devem ser fixadas abaixo da cota 10,906 m (N1), permitindo assim, ofuncionamento dos filtros em vasos comunicantes.d) Cota do nível N3 = 11,226 me) Variação de nível N3 - N2 = 0,126 mObservação: Conhecendo-se o nível máximo de água que poderá ocorrer no canal comum de alimentação dos filtros(N3), pode ser fixada a cota da crista do vertedor de extravasamento, por exemplo, em 11,30 m (superior ao nível N3).

Agradecimentos.- Os autores desejam expressar seus agradecimentos à FAPESP-Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, pelo auxílio à pesquisa que propiciou o desenvolvimento do modelo matemático e à CAPES-Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior pela bolsa de doutorado ao primeiro autor.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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