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Statique des poutres LinéairesDr J. Morlier

Illustrations tirées de Mechanics of materials Texas Tech University, Lecture notes J walt Oler

http://homepages.ulb.ac.be/~rfilomen/teaching.htmlhttp://www.civil.uwaterloo.ca/brodland/teaching/movies.asp

http://www.netprof.fr/Mecanique/Tous-les-cours-en-video,36,0,0.aspx

I. Définition

II. Approche RDM

III. Théorèmes énergétiques

Hypothèses de la RDM

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Hypothèses sur les déplacements Hypothèses de BernouilliToute section droite avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne déformée.

les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement).L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant

I. Définition

II. Approche RDM

III. Théorèmes énergétiques

Pour étudier les poutres, on met en relation les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs ;les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ;le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ;et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations.

Équations d ’équilibre global

le Principe Fondamental de la Statique donne :

ez

ey

ex

1F 2F

A B C D

1M

0F ext

0, iFAM 0211 FADFABMM A

021 FFRA

Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs

Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation simple.

Pour les sollicitations complexes, on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples (principe de superposition).

I. Définition

II. Approche RDM (exemples)

III. Théorèmes énergétiques

Exemple 1: Réactions

21

Exemple 2: cisaillement

22

Exemple 3: Flexion

23

24

Exemple 4: système isostatique

25

Diagramme NTM

26

On part en A de M=0

Puis en C bras de levier:M=2*2kN

Puis en B: M=2kN*4 -4kn*2=0

Zone 2: Pour x entre 2 et 4m (Coupe à gauche)

Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur 4-x)Discontinuité en terme d’effort

Je lis sens +: T=-Rb=-2kNJe lis sens +: M= (4-x)*2kN Enfin N=0

28

Zone 1: Pour x entre 0 et 2m (Coupe à droite)

!!!-!!!

Torseur effort interieur (coupe en x, il reste un bras de levier de longueur x)

Je lis sens -: T=-(-2kN)Je lis sens -: M= -(2kN*x) (Bras de levier en x)

Enfin N=0

I. Définition

II. Approche RDM (Flexion)

III. Théorèmes énergétiques

sollicitation de flexion

Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre

CP

A

B

D

P

a b a

RCRB

x

y

On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples

et soumise à un effort P à chaque extrémité

diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant

Flexion pure sur BC

déformée en arc de cerclede courbure constante R

(sections planes et normalesà la fibre moyenne)

a

aP

A

B C

D

b a

Mz

P

-P

Ty

x

x

Entre B et C :

Ty = 0

Mz = aP = constante

Déformation (1)

32

Soit une poutre longue symétrique Imposons un moment de flexion

Et étudions « géométriquement » les déformations (allongements ou variation d’angles)

Déformation (2)

33

Regardons l’allongement de la fibre neutre par rapport aux fibres Up and Down

Dû à la flexion, certaines fibres se contractent d’autres s’allongent…

Déformation (3)

34

On a besoin de définir le centroid de la section et l’axe neutre de la poutre

On définit aussi rho le rayon de courbure

Déformation (4)

35

Puis la distance y à l’axe neutre de la poutre et en prenant un section infime ds on peut écrire

Déformation (5)

36

Déformation = relation linéaire (y)

37

Section non symétrique ?? Moment d’inertie

38

I=Moment d’inertie [m4]

41

Moment de flexion

42

En haut y=ymax, maximum de contraintes de compression

Moment de flexion

43

Moment de flexion (2)

44

Moment de flexion (3)

45

Contraintes Vs moment

46

• La relation entre moment de flexion et courbure reste valide pour des chargements transverses. EI

xM )(1

• On peut exprimer la courbure géométriquement en fonction de la dérivée seconde du déplacement y

2

2

232

2

2

1

1

dx

yd

dx

dy

dx

yd

• Substituant et en intégrant

2100

10

2

21

CxCdxxMdxyEI

CdxxMdx

dyEIEI

xMdx

ydEIEI

xx

x

EDO qui donne le déplacement d’1poutre

9 - 50

2100

CxCdxxMdxyEIxx

• Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites

• Cas simples (isostatique)

– Simplement suportée0,0 BA yy

– Sur appui0,0 BA yy

– Encastrée0,0 AAy

• Des chargements plus compliqués requierent plus d’intégrales et d’utiliser les conditions de continuités de déplacement et pente.

9 - 52

• Pour une poutre sous chargement distribué,

• L’équation des poutres devient ( donne les Formules de Bresse en déplacement)

• En intégrant 4 fois

• Les constantes sont identifiées en utilisant les conditions aux limites

<Résumé de la Démarche>

degré d ’hyperstaticité

n inconnues de réaction

p équations d ’équilibre( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité

Exemples

F

Structure isostatique

F

Structure hyperstatique

q(x)

( p - n ) > 0 : hypostatique

( p - n ) = 0 : isostatique

( p - n ) < 0 : hyperstatique

A chaque discontinuité: coupe pas assez d’eq pour résoudre Voir Théorèmes énergétiques en annexe

I. Définition

II. Approche RDM (Cisaillement)

III. Théorèmes énergétiques

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cisaillement

Configuration initiale Configuration déformée

contrainte tangentielle moyenne S

F

F

module de COULOMB

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EG

est l ’angle de glissement

F

Le moment statique Q d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe

Shear stress in web-flange beams

• The variation of shear flow across the section depends only on the variation of the first moment

• For a box beam, q grows smoothly from zero at A to a maximum at C and C’ and then decreases back to zero at E.

Shear stress in web-flange beams

• For a wide-flange beam, the shear flow increases symmetrically from zero at A and A‘, reaches a maximum at C and the decreases to zero at E and E’

Une poutre en fonte subit un moment de 3 kN-m . Sachant que E = 165 GPa , déterminer les contraintes de fléxions et le rayon de courbure dela poutre

SOLUTION:

• Calculs du CdG et inertie

2dAIIA

AyY x

• Appliquer la formule de la fléxion

• Calculer la courbure

EI

M

1

Moment d’inertie de la section

y

II

Mm

SOLUTION:

mm 383000

10114 3

A

AyY

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

49-3

2312123

121

231212

m10868 mm10868

18120040301218002090

I

dAbhdAIIx

49

49

mm10868

m038.0mkN 3mm10868

m022.0mkN 3

IcM

IcM

BB

AA

MPa 0.76A

MPa 3.131B

• courbure

49- m10868GPa 165

mkN 3

1

EI

M

m 7.47

m1095.201 1-3

• contraintes

71

72

73

74