i. e. s. siete colinas (ceuta) departamento de … · de este tema debe ser posterior al titulado...

Continuidadde

Funciones

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2005

Continuidad De

Funciones

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Continuidad De

FuncionesPor

Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2005

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Continuidad de Funciones

Depósito Legal : CE&24&2005

ISBN : 84&689&1126&7

Número de Registro : 05141525

Ceuta 2005

Prólogo

Coloquialmente entendemos por continuidad comoalgo que tiene la propiedad o cualidad de no

interrumpirse. Valga como ejemplo real la trayectoriaque sigue un proyectil desde el momento de sulanzamiento hasta su impacto en un lugar. Dichatrayectoria se puede considerar como una línea continua,es decir, “no se interrumpe y luego continua desde otropunto”. En el ámbito de las funciones reales de variablereal, lo podemos asociar al hecho de que la gráfica deuna función es una línea ininterrumpida (línea continua)en el conjunto donde se encuentre definida, esto es,“puede dibujarse sin necesidad de levantar el lápiz delpapel”.

El estudio de la continuidad está íntimamenteligado al de límite de una función, por lo que el abordajede este tema debe ser posterior al titulado “Límites defunciones” que se presenta en la misma colección. Debeconsiderarse la continuidad de una función como algofundamental de estudiar para conocer posteriormenteotras propiedades de ella.

Insistimos en que este tema es un paso más paraalcanzar un objetivo marcado, el estudio y conocimientode las propiedades de las funciones reales de variablereal.

IMatemáticas 2º de bachillerato Continuidad de funciones

Índice

Página

1.Introducción ........................................... 12.Continuidad de una función en un punto ................. 13.Discontinuidad de una función en un punto .............. 2

Ejemplo 1 ........................................... 3Ejemplo 2 ........................................... 4Ejemplo 3 .......................................... 5Ejemplo 4 ........................................... 6Ejemplo 5 ........................................... 7Ejemplo 6 ........................................... 8

4.Otra definición de continuidad de una función en un punto.9Ejemplo 7 ........................................... 12Ejemplo 8 ........................................... 12Ejemplo 9 ........................................... 14

5.Continuidad de una función en un intervalo abierto ...... 15Ejemplo 10 .......................................... 16

6.Continuidad de una función en su dominio ................ 16Ejemplo 11 .......................................... 16

7.Continuidad lateral en un punto ......................... 17Ejemplo 12 .......................................... 20

8.Función continua en un intervalo cerrado ................ 22Ejemplo 13 .......................................... 22Ejemplo 14 .......................................... 23Ejemplo 15 .......................................... 24

9.Teorema de Bolzano ...................................... 24Ejemplo 16 .......................................... 27Ejemplo 17 .......................................... 27Ejemplo 18 .......................................... 28

10.Teorema de los valores intermedios o de Darboux ....... 29Ejemplo 19 .......................................... 30

11.Teorema ................................................ 32Ejemplo 20 .......................................... 33Ejemplo 21 .......................................... 34

12.Continuidad y acotación de una función. Teorema ....... 35Ejemplo 22 .......................................... 35

13.Teorema de Weierstrass ................................ 36Ejemplo 23 .......................................... 37

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Continuidad de funciones

1.Introducción.-En este tema vamos a estudiar la propiedad que tiene o no una función de que su gráfica

sea una línea ininterrumpida en todo su recorrido o en una parte de él.Digamos que para afrontar este tema es conveniente que el alumno se familiarice con

otros que previamente han debido ser estudiados y que mencionamos seguidamente:Î Funciones reales de variable real.Ï Gráficas de funciones reales de variable real.Ð Propiedades y formas de las funciones reales de variable real.Ñ Límites de funciones.

2.Continuidad de una función en un punto.- Sea y = f (x) una función real de variable real. Sea a un número real.

En un sistema de ejes, podemos considerar x = a un punto del eje de abcisas. Vamos a definir un concepto nuevo: “función continua en un punto”

Es decir, “la función f es continua en x = a” si verifica tres condiciones:a) El número a pertenece al dominio de la función, esto es, f (a) existe.b) Existe (es un número finito) el límite de f cuando x tiende a a.c) Dicho límite coincide con la imagen de a.

Cuando esto ocurre se dice que (algunas formas de decirlo): “la función f es continua en x = a” “la función f es continua en a” “la función f es continua en el punto x = a” “ f es continua en x = a” “ f es continua en a” etc.

Observa que utilizamos el concepto de límite para saber si una función es continua en a.

Continuidad de funciones

f x es continua en x a

a f a existe es decir a D

b Existe f x

c f x f a

f

x a

x a

( )

) ( ) , ,

) lim ( )

) lim ( ) ( )

= ⇔

∈

=

→

→


Ahora veremos la interpretación gráfica de este concepto.

Observa que en las figuras 1.a, 1.b y 1.c la gráfica de la función “atraviesa” la rectavertical sobre el punto x = a sin dar un salto, esto es, podemos dibujar la gráfica de la funciónf (x) en un entorno de a sin necesidad de levantar el lápiz del papel.

Nótese que en cualquiera de las tres figuras anteriores se verifican lo siguiente puntos:

f a existe lohemos recalcado con un punto negro

f x existe

f x f ax a

x a

( ) ( )lim ( ) ( & )

lim ( ) ( )→

→=

se interpreta en la grafica

En la figura 1.a hemos representado una gráfica continua en x = a y creciente en dichopunto, en la figura 1.b la función también es continua en x = a, pero decreciente, mientras queen la figura 1.c es continua y constante en x = a.

3.Discontinuidad de una función en un punto.-Si una función no es continua en un punto,se dice que es discontinua en ese punto oque no es continua en él. Es evidente quepara que una función no sea continua en adebe fallar alguna de las condiciones a), b)o c) mencionadas anteriormente (página 1)Veamos gráficamente alguna de lassituaciones posibles que hacen que unafunción f (x) no sea continua en x = a.

figura 2: En este caso la función no escontinua en x = a porque f (a) no existe.Apréciese que hemos indicado este hechocon un punto blanco en la gráfica.

Gráficamente se interpretacomo que la línea querepresenta a la función puedeatravesar la recta vertical deecuación x = a sin dar un salto.


figura 3: En este caso ocurre lo siguiente:a) f (a) existe (aunque es un punto

aislado del resto de la gráfica).b) , es decir, existe ellim ( )

x af x l

→=

límite de f cuando x tiende a a.c) Nótese que lim ( ) ( )

x af x l f a

→= ≠

Conclusión: f no es continua en x = aporque falla la condición c)

Nótese que para “atravesar” la rectavertical dibujada en x = a, es necesario“levantar el lápiz” un punto.

El tipo de discontinuidad mostrado en la figura 3 se llama “discontinuidad evitable”porque si hacemos que f (a) = l (es decir, si hacemos que la imagen de a sea l), la función f seríacontinua en x = a. Gráficamente sería trasladar el punto negro y situarlo sobre el punto blanco.

figura 4: En este caso ocurre lo siguiente:a) f (a) existe, es decir, a0Df

b) lim ( ) ( )

lim ( )x a

x a

f x f a

f x l→

→

−

+

=

=

Los límites laterales en x = aexisten y son distintos, por lo que

no existe.lim ( )x a

f x→

c) Al no cumplirse la condición b), nopuede cumplirse c), es decir: lim ( ) ( )

x af x f a

→≠

Conclusión: f no es continua en x = aporque falla la condición b). Nótese que para “atravesar” la recta

vertical dibujada en x = a, es necesario “levantar el lápiz” y dar un salto para continuar lagráfica. Este tipo de discontinuidad se llama “discontinuidad inevitable” y también se expresadiciendo que “f presenta un salto de discontinuidad en a”.

Obsérvese que hemos señalado que f (a) existe (punto negro). Si ese punto fuese blanco,estaríamos indicando que f (a) no existe, por lo que fallaría la condición a).

Ejemplo 1.-Sea la función f (x) = x &3. Queremos estudiar su continuidad en el punto x = 5.

Veamos:


f x x continua en xa f existeb f x existe

c f x fx

x

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= − = ⇔

=

→

→

3 55

55

5Analicemos cada una de las condiciones:a) f (5) = 5 & 3 = 2. Por tanto, existe la imagen de 5, esto es, 50Dfb) . Por tanto, existe el límite de f cuando x tiende a 5.lim ( ) lim ( )

x xf x x

→ →= − = − =

5 53 5 3 2

c) lim ( ) ( )x

f x f→

= =5

5 2

Observa que la gráfica de la función f (x) = x&3 es una recta que vamos a dibujar:

Tabla de valores

x y = x&3

3 0

5 2

La simple observación de lafigura 5, nos permite apreciarque la recta que representa a lafunción f (x)= x&3 “atraviesa”la recta vertical x = 5 (que noh e m o s d i b u j a d o ) s i nininterrupción.A simple vista se aprecia que: lim ( ) ( )

xf x f

→= =

55 2

Ejemplo 2.-Queremos estudiar la continuidad de en el punto x = 4.g x x

x( ) = −−

2 164

Veamos:

g x continua en xa g existeb g x existe

c g x g

xx x

x

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= = ⇔

=

−− →

→

2 164 4

4

44

4

Analicemos cada una de las condiciones:

a) g( )4 4 164 4

16 160

00

2

= = = ∉−−

− R Por tanto, 4 no tiene imagen. Recordemos que lasigualdades anteriores no son igualdades numéricas


Ya podemos asegurar que la función g no es continua en el punto x = 4. No obstantevamos a comprobar las otras condiciones.

b) lim ( ) limx x

xxg x

→ →−−

−−= = =

4 4164

4 164 4

00

2 2

Indeterminado

Salvemos la indeterminación factorizando (descomponiendo en factores) el numerador:

lim ( ) lim lim lim ( )( ) ( )

x xxx x

x xx x

g x x→ →

−− →

+ ⋅ −− →

= = = + = + =4 4

164 4

4 44 4

2

4 4 4 8

Por tanto, el límite de g (x) cuando x tiende a 4, existe y vale 8.c) La condición c) no se cumple por no existir g (4).

Vamos a representar gráficamente (figura 6) la función g (x):

{g x xxx

x xx

si x( ) ( ) ( )

= = = +−−

+ ⋅ −−

≠

2 164

4 44

44

La expresión anterior nos indica que:

g xx si xno existe si x

xx( ) = =

+ ≠=

−−

2 164

4 44

Si representamos la función f (x) = x + 4 y el punto(4 , 8) de su gráfica lo eliminamos, obtenemos lagráfica de la función g (x), esto es, una recta exceptoen el punto de abcisa x = 4, punto en el que lafunción g presenta una discontinuidad evitable.Si queremos que la función sea continua, podemosdefinir la función siguiente:

f xsi x

si x

xx( ) =

≠

=

−−

2 164 4

8 4La gráfica de la función f (x) sería exactamente igual a la de g (x) excepto en que el punto

(4,8) pertenece a su gráfica.

Ejemplo 3.-Sea la función . Queremos estudiar su continuidad en el punto x = &2.h x x( ) = −

+42

Veamos:

h x es continua en xa h existeb h x existe

c h x hx

x

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= − ⇔−

= −

→ −

→ −

22

22

2

Aunque ya hemos cumplido el objetivo marcado, vamos a estudiar el límite de la funciónh cuando x tiende a &2 :

Debemos hallar los límites laterales.lim ( ) limx x xh x

→ − → −−+

−− +

−= = = = ± ∞2 2

42

42 2

40 ¿ ?

Analicemos a)

h( )− = = ∉−− +

−2 42 2

40 R

Por tanto, no existe h(&2)Ya sabemos que h no escontinua en x = &2


lim ( ) lim

lim ( ) limx x x

x x x

h x

h x→ − → −

−+

−− +

−

→ − → −

−+

−− +

−

− − − −

+ + + +

= = = = + ∞

= = = = − ∞

⇒2 2

42

42 2

40

2 2

42

42 2

40

Dibujemos la gráfica de h (x):

Tabla de valores

x h (x)

&3 4

&1 &4

&4 2

0 &2

&2& +4

&2+ &4

&6 1

2 &1

&4 0+

+4 0&

Ejemplo 4.-

Sea la función definida por intervalos: f xx si xx si x( ) =− ≤

− + >

2 2 36 3

Veamos algunas cuestiones de esta función.Dominio:

Fácilmente se aprecia que todo número tiene imagen, por lo que Df = úContinuidad:

También se observa con facilidad que para cualquier punto a (distinto de 3)la función escontinua en dicho punto.

Debemos tener duda sobre la continuidad en x = 3.Veamos:

f x es continua en xa f existeb f x existe

c f x fx

x

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= ⇔

=

→

→

33

33

3Analicemos el a) :f (3) = 2·3&2 = 6 &2 = 4. Por tanto, f (3) existe y vale 4.

En el punto x = &2 la función htiene una asíntota vertical, porla izquierda hacia arriba y porla derecha hacia abajo.

figura 7Apréciese en la figura 7 que la función tiene una asíntota vertical (larecta x = &2) y otra horizontal ( recta y = 0 o eje de abcisas).Obsérvese el salto de discontinuidad que se produce en x = &2,


Analicemos el b) :Como la función f tiene dos formas distintas, una a la izquierda de x = 3 y otra a la

derecha, debemos estudiar los límites laterales en dicho punto.

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) ( ) ( )lim ( )x x

x xx

f x x

f x xf x→ →

− − −

→ →+ − − →

− −

+ +

= − = ⋅ − = − =

= − + = − + = − + =

⇒ /∃3 3

3 33

2 2 2 3 2 6 2 4 4

6 3 6 3 6 3 3

No existe el límite de f (x) cuando x tiende a 3 porque los límites laterales son distintos.Apréciese lo siguiente:

“Para valores de x infinitamente próximos a 3 por su izquierda, las imágenes sonnúmeros infinitamente próximos a 4 por su izquierda”

“Para valores de x infinitamente próximos a 3 por su derecha, las imágenes son númerosinfinitamente próximos a 3 por su izquierda”Comprobemos utilizando una calculadora:

x fx f

es decirf

f

= ′ → ′ = ′= ′ → ′ = ′

=

=

− −

+ −

2 9999 2 9999 3 99983 0001 3 0001 2 9999

3 4

3 3

( )( )

( )

( )Conclusión: La función f no es continua en el punto x = 3

Gráfica:Dibujemos la gráfica f (x)

Tablas de valores

x < 3 y = 2x-2 x > 3 y = &x+6

0 &2 4 2

1 0 6 0

3& 4& 3+ 3&

En la figura 8 hemos representado la gráfica dela función f que está compuesta de dossemirrectas. Nótese que el punto (3,4) pertenecea la semirrecta de la izquierda, mientras que elpunto (3,3) no pertenece a la de la derecha.A simple vista se aprecia que:

f y f( ) ( )3 4 3 3− − + −= =

En este caso se dice que la función f presenta un salto de discontinuidad en x = 3, siendoesta discontinuidad inevitable. También podemos decir que la función es discontinua en x = 3.

Ejemplo 5.-

Sea la función Queremos estudia la continuidad en x = &2 g xx si x

x si x( ) =

− − < −

≥ −

3232

6 2

2


Veamos:

g x es continua en xa g existeb g x existe

c g x gx

x

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= − ⇔−

= −

→ −

→ −

22

22

2Estudiemos la condición a) :

. Por tanto, la imagen de &2 existe y vale &3.g( ) ( )− = − = −2 2 332

Estudiemos la condición b) :En este caso es necesario hallar los límites laterales.

( ) ( )

( )lim ( ) lim

lim ( ) limlim ( )x x

x xx

g x x

g x xg x→ − → −

− − −

→ − → −− → −

− −

+ +

= − = − − = − = −

= = − = −

⇒ = −2 2

32

32

2 2

32

32

2

6 2 6 3 6 3

2 33

Por tanto, existe el límite de g (x) cuando x tiende a &2 y su valor es &3.Estudiemos la condición c) :

lim ( ) ( )x

g x g→ −

= − = −2

2 3

Conclusión : La función g es continua en el punto x = &2Dibujemos la gráfica de g(x):

Tablas de valores

x<&2 y x= −− 32 6 x $&2 y x= 3

2

&4 0 &2 &3

&6 3 0 0

&2& &3+ &2+ &3+

En la figura 9 pueden apreciarse loobtenido analíticamente, esto es:

gg x

x

( )lim ( )

− = −= −

→ −

2 33

2Nótese que la gráfica puede dibujarse en x = &2y proximidades sin necesidad de levantar el lápiz

Ejemplo 6.-

Sea la función . Estudiar su comportamiento en x = 2 y proximidades.h xx si x

si xsi x

( ) =<=>

24 22 2

Veamos:3 Para x = 2 tenemos que h (2) = 4. Por tanto, 20Dh3 Estudiemos el límite de h(x) cuando x tiende a 2.


lim ( ) lim ( )

lim ( ) limlim ( )x x

x xx

h x x

h xh x→ →

−

→ →→

− −

+ +

= =

= =

⇒ =2 2

2 22

2 2

2 22

Debe comprenderse el siguiente significado:9 “Para valores de x infinitamente próximos a 2 por su izquierda, las imágenes

h(x) toman valores infinitamente próximos 2 por su izquierda”9 “Para valores de x infinitamente próximos a 2 por su derecha, las imágenes h(x)

toman exactamente el valor 2"3 Estudiemos la continuidad en el punto x = 2.

h (x) no es continua en x = 2h

h x h x hx x

( )lim ( ) lim ( ) ( )

2 42 2

2 2

==

⇒ ≠ ⇒

→ →

3 Dibujemos la gráfica de la función:

Tablas de valores

x < 2 y = x x > 2 y = 2

1 1 3 2

0 0 6 2

2& 2& 2+ 2En la figura 10 hemos representado lasdos semirrectas que componen lafunción h(x) y el punto (2,4) quetambién pertenece a la gráfica de h(x).Apréciese que hemos expresado la ideade que las rectas se aproximan al punto(2,2), pero “no lo toca” por ninguno delos dos lados (señalado con un punto ")Digamos también que la función h esdiscontinua en x = 2, pero se trata de

una discontinuidad evitable porque si hacemos h(2) = 2 en lugar de h(2) = 4, entonces la funciónserá continua en x = 2.

4.Otra definición de continuidad de una función en un punto.-

‘ Sea f (x) una función real de variable real.‘ Sea Df el dominio de f. Es evidente que Df = ú o Df d ú‘ Sea a un número real del dominio de f, es decir, a0Df

Vamos a dar una nueva definición al concepto de continuidad de la función f en el punto a.Recuerda que la función f puede ser continua o discontinua en el punto x = a

“Se dice que la función f es continua en el punto x = a, si para cualquier entorno que tomemos, decentro f (a), siempre existe otro entorno de centro a, tal que si x está en este último, su imagen f (x)está en el primero”


Analicemos detenidamente esta definición:± Como la definición está dada para un punto a del dominio, sabemos que f (a) existe.± Aunque f (a) existe, la función puede ser continua o discontinua en a.Para que f sea continua en a, debe ocurrir que:º Si tomamos un entorno cualquiera de centro f (a) ÿÿ

Comentario: Ese entorno que elegimos a nuestro antojo, tendrá de centro al número f (a) y su radio será del tamaño que nosotros queramos. Si representamosese entorno, estará situado en el eje de ordenadas (ya que f (a) está allí).

º Para el entorno anterior, debe existir otro entorno de centro a ÿÿComentario: Este entorno se obtiene a partir del anterior y su radio ya no es a nuestro

antojo, sino que viene condicionado por el radio del otro. Como el centroes a, ese entorno estará situado en el eje de abcisas (que es donde está elpunto x = a).

º Tal que si tomamos un número cualquiera del último entorno ÿÿComentario: Cualquier número x que tomemos del entorno de centro a obtenido

anteriormente, será un numero del eje de abcisas.º Entonces, la imagen de ese número x, es decir, f (x), debe estar dentro del primer entorno,

es decir, f (x) debe estar en el eje de ordenadas y dentro del entorno de centro f (a) quehabíamos elegido al principio.Pues bien, cuando esto ocurre para cualquier entorno que elijamos de centro f (a), se dice

que la función f es continua en el punto a. (y)

A la derecha tenemos ladefinición anterior(recuadro de la página 9)en forma matemática:

Expliquemos gráficamente esta definición (figura 11)

( ) ( ) ( ) ( )

f x continua en x a

E f a E a si x E a entonces f x E f a

( )

( ) , , ( ) ( )

=

∀ ∃ ∈ ∈ε α α ε

c6 7444444444444 84444444444441 24444 34444


( )f x E f a f a x f a( ) ( ) ( ) ( )∈ ⇔ − < < +ε ε ε

figura 11.aEn esta figura tenemos una función f (x)continua en x = a. Obsérvese que “atraviesa”la recta vertical x = a de un modo “continuo”,es decir, sin dar un salto. Veamos que fcumple la definición de ser continua en a.

figura 11.bEn esta figura se puede apreciar que hemostomado un entorno de centro f (a) y radio ε,situado en el eje de ordenadas. El entorno esEε (f (a)) = (f (a)&ε , f (a)+ε). Recordemosque el valor de ε es el queramos.

figura 11.cA partir del entorno anterior hemos obtenidoel entorno de centro a y radio δ, que estásituado en el eje de abcisas. Nótese comohemos obtenido a&δ para conseguir que aesté en el centro de Eδ (a) = (a&δ , a+δ)

figura 11.dEn esta figura hemos tomado un α cualquieradel entorno Eδ (a) y podemos apreciar que suimagen f (α) pertenece al entorno Eε (f (a)), esdecir:Si α0Eδ (a), se verifica que f (α)0Eε (f (a))

La definición matemática (y) la podemos modificar si consideramos lo siguiente:Î Identificamos Eε (f (a)) con ε, es decir, en lugar de expresar “para todo entorno de

centro f (a) y radio ε”, expresamos “para todo ε”, ya que para cualquier entorno queconsideremos, el centro es siempre f (a), mientras que lo que varía es el radio ε.

Ï Identificamos Eδ (a) con δ, es decir, en lugar de expresar “existe un entorno de centroa y radio δ”, expresamos “existe un δ”, ya que el entorno que se supone existe tienesiempre de centro a, pero el radio δ es variable (depende de ε).

Ð La expresión x0Eδ (a) podemos modificarla considerando que:x E a x a a a x a∈ ⇔ ∈ − + ⇔ − < < +∂ ∂ ∂ ∂ ∂( ) ( , )

Ñ La expresión f(x)0Eε (f (a)) podemos modificarla considerando que:

La nueva definición será: (yy)

Nuevamente, la definición (yy)puede modificarse si consideramos lo siguiente:( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

• − < < + ⇔ − < − < ⇔ − <

• • − < < + ⇔ − < − < ⇔ − <

a x a x a x a

f a f x f a f x f a f x f a

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε ε ε ε εLa nueva definición será: (yyy)

Esta última definición puede interpretarse del siguiente modo:“f es continua en a si para cualquier número positivo ε, existe otro número positivo δ tal quesi x es un número que dista de a menos de δ, entonces su imagen f (x) dista de f (a) menos de ε.”


si a x a entonces f a f x f a

( )

, , ( ) ( ) ( )

=

∀ > ∃ > − < < + − < < +ε ∂ ∂ ∂ ε ε0 0

c6 744444444444444 8444444444444441 24444 34444


si x a entonces f x f a

( )

, , ( ) ( )

=

∀ ε > ∃ > − < − <0 0∂ ∂ ε

c6 744444444444 8444444444441 24444 34444


f xx x si x

x x si x( )

( )

( ) ( )=

+ + − − ≥ ∗

+ − − − < ∗ ∗

2

2

1 2 1 2 1 0

1 2 1 2 1 0

Ejemplo 7.-La función tiene por gráfica a una recta y es continua en todo punto a.f x x( ) = +3

254

Considerando esto, comprobar la definición anterior para x = 2 y un ε = 0´1, es decir, encontrarel δ que corresponde a ese ε.

Veamos:

f continua en si x entonces f x f2 0 0 2 2⇔ ∀ > ∃ > − < − <ε ∂ ∂ ε, , ( ) ( )Sabemos (el enunciado nos lo garantiza) que la función f es continua en x =2. Por tanto, si tomamos ε = 0´1, debe existir un δ. Busquemos es δ.:

{f x f x x( ) ( )( )

− < ′ ⇔ + − < ′ ⇔ − < ′∗

2 0 1 0 1 3 0 132

54

174

32

Aclaremos (*) : Se debe a que y a que f x x( ) = +32

54 f ( )2 23

254

174= ⋅ + =

Multiplicamos la última desigualdad por 2 (para eliminar el denominador):

( )2 3 2 0 1 2 3 0 2 3 6 0 2 3 2 0 2

3 2 0 2 3 2 0 2 2 23

2

32

32

0 23

210 1

15

⋅ − < ⋅ ′ ⇔ ⋅ − < ′ ⇔ − < ′ ⇔ ⋅ − < ′ ⇔

⇔ ⋅ − < ′ ⇔ ⋅ − < ′ ⇔ − < ⇔ − < ⇔ − <′

x x x x

x x x x x

( )

Observa que hemos demostrado que x f x f− < ⇔ − < ′2 2 0 1115 ( ) ( )

Por tanto: Si x entonces f x f− < − < ′2 2 0 1115 , ( ) ( )

Conclusión:

Hagamos una comprobación:

( ) ( )Tomamos x E fsu imagen

= + = ∈ → = ⋅ + = = ′2 2 4 34375116

3316

3316

32

3316

54

139321

15

Observa como ( )f f3316 2 4 34375 4 25 0 09375 0 09375 0 1− = ′ − ′ = ′ = ′ < ′ =( ) ε

Ejemplo 8.-Queremos averiguar en qué puntos la función es discontinua.f x x x( ) = + + −2 1 2 1

Veamos:Como la función está compuesta de un valor absoluto, conviene definirla por intervalos.

De la inecuación (*) : 2 1 0 2 1 12x x x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

∂ = 115

Lo anterior nos hace garantizar que si tomamos un valor para x que distede 2 menos de 1/15, su imagen f (x) distará de f (2)=17/4 menos de 0 ´1.


f x es continua en x aa f a existeb f x existe

c f x f ax a

x a

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= ⇔

=

→

→

f x es continua en x aa f a existeb f x existe

c f x f ax a

x a

( )) ( )) lim ( )

) lim ( ) ( )

= ⇔

=

→

→

( )

( )f x es continua en

a f existe

b f x existe

c f x f

x

x

( )

)

) lim ( )

) lim ( )

12

12

12

12

12

⇔

=

→

→

De la inecuación (**): 2 1 0 2 1 12x x x− < ⇔ < ⇔ <

Por tanto:

es la función f dada por intervalos.f xx x si x

x x si x( ) =

− + <

+ ≥

2 12

2 12

2 2

2Observa que: A la izquierda de x = 0´5 la gráfica de la función es una parábola ( y = x2&2x+2) cortada. A la derecha de x = 0´5 la gráfica de la función es otra parábola ( y = x2+2x) cortada.

Estudiemos la continuidad en un punto a < 12 :

En el recuadro de la derecha tenemos demostrado

que f (x) es continua en todo ( )x ∈ − ∞ , 12

Estudiemos la continuidad en un punto a > 12 :

En el recuadro de la derecha tenemos demostrado

que f (x) es continua en todo ( )x ∈ + ∞12 ,

Por tanto, la función es continua en ( ) ( )− ∞ ∪ + ∞, ,12

12

Nos queda estudiar la continuidad en el punto . Veamos:a = 12

a) f a a a existe( ) = ⋅ − ⋅ +2 2 22

b)

lim ( ) lim ( )x a x a

f x x x

a a existe→ →

= − + =

= − ⋅ +

2

2

2 2

2 2

c)

lim ( ) ( )x a

f x f a a a→

= = − ⋅ +2 2 2

a) f a a a existe( ) = ⋅ + ⋅2 22

b)

lim ( ) lim ( )x a x a

f x x x

a a existe→ →

= + =

= + ⋅

2

2

2

2

c)

lim ( ) ( )x a

f x f a a a→

= = + ⋅2 2


a) ( ) ( ) ( )f existe la imagen de12

12

2 12

14

54

122 1= + ⋅ = + =

b) En este caso debemos estudiar los límites laterales:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )lim ( )

x x

x x

x

f x x x

f x x xf x

→ →

→ →

→

− −

+ +

= − + = − ⋅ + = − + = = ′

= + = + ⋅ = + = = ′

⇒ =12

12

12

12

12

2 12

2 12

14

54

2 12

2 12

14

54

54

2 2 2 2 1 2 1 25

2 2 1 1 25

c) ( )lim ( )x

f x f→

= =12

12

54

Por tanto, la función f es continua en x = 0´5Conclusión final: La función f es continua en todo ú, esto es, “en ningún punto es discontinua”.

Ejemplo 9.-En este ejemplo vamos a representar la función del ejemplo anterior y comprobaremos

los resultados obtenidos en él.Veamos:

Las funciones son parábolas. g x x x

h x x x

( )

( )

= − +

= +

2

2

2 1

2

( )( ) ( )( )( ) ( )

g x x x Vertice V g

h x x x Vertice W h

( ) & , ,

( ) & , ,

= − + → − − =

= + → − − = − −

− −2 22

22

2 22

22

2 1 1 0

2 1 1

x < 0´5 y = x2&2x +1

1 0

0 1

2 1

&1 4

3 4

&2 9

4 9

x $ 0´5 y = x2+2x

0´5 1´25

0 1

2 6

3 15

Para dibujar f, dibujamos las parábolasa n t e r i o r e s y p o s t e r i o r m e n t econsideramos los intervalos donde cadauna de ellas está definida.

figura 12

En las tablas de la izquierda hemos dado valores a lasparábolas. Las celdas sombreadas corresponden a lospuntos que pertenecen a la función f (x). En la figura 12 se aprecia como la función f (x) escontinua en todo ú, incluido el punto x = 0´5, ya que eneste no se produce ningún salto de discontinuidad.


5.Continuidad de una función en un intervalo abierto.-

3 Sea f (x) una función real de variable real de dominio Df3 Sea A un intervalo abierto de ú, es decir, A = (a,b) = { x0ú* a < x < b }

Es decir:

Veamos la interpretación gráfica de este concepto:

figura 13.aEn esta figura tenemos lagráfica de una funcióncontinua en todo el intervaloabierto (a,b). Nótese que lagráfica “atraviesa” la franjavertical formada por lasrectas x = a y x = b sin saltos,es decir, sin discontinuidades.Puede apreciarse que en todopunto c de A, f es continua.No es necesario que la gráficacorte a las rectas x= a y x = b

figura 13.bEn este caso la gráficacorresponde a una funciónque “atraviesa” la franjadelimitada por los extremosdel intervalo dando un saltoen un punto c de A. Hemosindicado los límites lateralesde f (x) cuando x tiende a c,es decir, l y k. En c existediscontinuidad inevitable. Lafunción no es continua en A.

figura 13.cEn este caso tampoco lafunción es continua en elintervalo abierto A = (a,b)porque en c0(a,b) existe unadiscontinuidad evitable(señalada con un puntoblanco), es decir, la gráfica“no atraviesa” la franja delintervalo si dar saltos.Podríamos hacer que f fuesecontinua en A, con sólo dar elvalor f (c) = k.

En el bloque correspondiente a la figura 13.a, hemos dicho que no es necesario que lagráfica de la función corte a las rectas x = a y x = b. Ello es debido a que los puntos a y b nopertenecen al intervalo A = (a,b), por lo que no se exige que la función sea continua en ellos. Esposible que f (x) sea discontinua en los puntos x = a y x = b y sea continua en el intervalo abiertoA = (a,b).

Veamos un ejemplo de una función en la que se da la circunstancia de ser continua en unintervalo abierto (a,b) y no serlo en los puntos a y b.

Se dice que la función f es continua en el intervaloabierto A, si es continua en cada punto de A

f continua en A c A es f continua en c⇔ ∀ ∈ ,


Ejemplo 10.-Sea la función . f x

x( ) =

−1

92

Es evidente que Df = ú&{&3 , 3 }= (&4,&3)c(&3,3)c(3,+4)Como f (&3) y f (3) no existe, f no es continua en &3 ni en 3.Si a0Df , es decir, si a …&3 y a…3 se verifica que:

a) , es decir, f (a) existef aa

( ) = ∈−

192 R

b) , es decir, existe.lim ( ) limx a x a x a

f x→ → − −

= = ∈19

192 2 R

c) lim ( ) ( )x a a

f x f a→ −

= = 192

Por tanto, f es continua en todo su dominio, es decir:] f (x) es continua en el intervalo (&4,&3)] f (x) es continua en el intervalo (&3,3)] f (x) es continua en el intervalo (3,+4)Veamos qué ocurre en x = &3:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

( )

( )

x x x

x x x

f x

f x→ − → − − − −

→ − → − − − −

− − − +

+ + + −′

= = = = + ∞

= = = = − ∞

3 3

19

13 9

10

3 3

19

13 9

10

2 2

2 2

Veamos qué ocurre en x = 3:

lim ( ) lim

lim ( ) lim

( )

( )

x x x

x x x

f x

f x→ → − −

→ → − −

− − − −

+ + + +′

= = = = − ∞

= = = = + ∞

3 3

19

13 9

10

3 3

19

13 9

10

2 2

2 2

6.Continuidad de una función en su dominio.-

‘ Sea y = f (x) una función real de variable real.‘ Sea Df dú su dominio.

“Se dice que la función f es continua en su dominio, si es continua en cada punto de él”Es decir:

Gráficamente se interpreta como que la línea que representa a la función f puededibujarse a lo largo de todo su dominio sin “levantar el lápiz del papel”, es decir, su gráfica nopresenta ni saltos ni “agujeros” en su dominio (fuera de este la gráfica no existe).

Ejemplo 11.-Sea la función polinómica de grado 1 .y f x x= = −( ) 2 5Su dominio es todo ú, es decir, Df = ú.

En la figura 14 tenemos la gráfica de lafunción en la que se aprecia que x = &3y x = 3 son asíntotas verticales. En x = &3 es por la izquierda haciaarriba y por la derecha hacia abajoEn x = 3 es por la izquierda hacia abajoy por la derecha hacia arriba.

f es continua en Df ] œa 0Df , f es continua en a


Su gráfica es una recta, es decir, puede dibujarse “a lo largo” de todo ú sin saltos dediscontinuidad.

Comprobemos que es continua en cualquier punto a0ú. En efecto:

f continua en af a existe

f x existe

f x f ax a

x a

∈ ⇔

=

→

→

R12

3

º ) ( )º ) lim ( ) .

º ) lim ( ) ( )

Veamos que se cumplen las tres condiciones, siendo a un número cualquiera de ú:1º) , es decir, existe.f a a un n real( ) º= ⋅ − =2 52º) , es decir, existe.lim ( ) lim ( ) º

x a x af x x a n real

→ →= − = ⋅ − =2 5 2 5

3º) lim ( ) ( )x a

f x f a a→

= = ⋅ −2 5

Por tanto, f (x) = 2x&5 es continua en todo a0ú

7.Continuidad lateral en un punto.-

” Sea y = f (x) una función real de variable real.” Sea a un número real, es decir, a0ú.Vamos a definir en concepto “ f continua en a por su izquierda”

f x es continua en x a por suizquierdaf a existe

f x existe

f x f ax a

x a

( )º ) ( )º ) lim ( )

º ) lim ( ) ( )

= ⇔

=

→

→

−

−

12

3

Es decir, f (x) es continua en x = a , por su izquierda, si y sólo sí se cumplen tres condiciones:1º) a pertenece al dominio de f2º) Existe el límite de f (x) cuando x tiende a a por su izquierda.3º) El limite anterior coincide con la imagen de a.



figura 15.aEn esta figura tenemos lagráfica de una función f (x)cuya imagen en a ( f (a) )coincide con su límite cuandox 6a&, es decir: lim ( ) ( )

x af x f a

→ −=

La función f es continua en apor su izquierda.Nótese que en este caso noexiste f (x) a la derecha de a

figura 15.bEn este caso la función ftambién es continua en a porsu izquierda, ya que: lim ( ) ( )

x af x f a

→ −=

Nótese que la funcióntambién existe a la derechade a, siendo:

f a f x

f x kx a

x a

( ) lim ( )

lim ( )

= ≠

≠ =→

→

−

+

figura 15.cEn esta figura tenemos lagráfica de una función que noes continua en x = a por suizquierda. Puede apreciarselo siguiente:

f a existe

f x l f a

f x f ax a

x a

( )lim ( ) ( )

lim ( ) ( )→

→

−

+

= ≠

=

por lo que no es continua porla izquierda de a.

Veamos otra forma de definir la continuidad por la izquierda de un punto:

Matemáticamente:

Nótese que la expresión equivale a que x pertenece a la mitad izquierda de Eδ (a)a x a− < <δNótese que la expresión equivale a que f (x) 0Eε (f (a)).f a f x f a( ) ( ) ( )− < < +ε εVeamos la interpretación gráfica de esta definición:

figura 16.a : En esta figura tenemos la gráfica de una función f (x) que es continua en x = a porsu izquierda. Hemos tomado un ε > 0 cualquiera y considerado el intervaloabierto (entorno de centro f (a)) (f (a)&ε ,f (a)+ ε ).

f (x) es continua en a por su izquierda, si para todo entorno de centro f (a) y radio ε, existeotro entorno de centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad izquierda de este último, suimagen f (x) pertenece a aquel.

f x continua en a por su izquierda


( ) ,

, ( ) ( ) ( )∀ > ∃ > − < < − < < +ε δ δ ε ε0 0

c6 74444444444444 844444444444441 24444444 34444444


figura 16.b : Podemos apreciar como, a partir del intervalo (f (a)&ε ,f (a)+ ε ), esto es, a partirde ε, obtenemos el intervalo (a&δ, a+δ), esto es, obtenemos δ >0.

figura 16.c : Aquí podemos ver como si tomamos un x cualquiera, situado en la mitadizquierda del entorno Eδ (a) = (a&δ, a+δ), su imagen f (x) pertenece al entornoEε(f (a)) = (f (a)&ε ,f (a)+ ε ).

Ahora vamos a definir en concepto “ f continua en a por su derecha”

f x es continua en x a por su derechaf a existe

f x existe

f x f ax a

x a

( )º ) ( )º ) lim ( )

º ) lim ( ) ( )

= ⇔

=

→

→

+

+

12

3

Es decir, f (x) es continua en x = a , por su derecha, si y sólo sí se cumplen tres condiciones:1º) a pertenece al dominio de f2º) Existe el límite de f (x) cuando x tiende a a por su derecha.3º) El limite anterior coincide con la imagen de a.


figura 17.aEn esta figura tenemos lagráfica de una función f (x)cuya imagen en a ( f (a) )coincide con su límite cuandox 6a+, es decir: lim ( ) ( )

x af x f a

→ +=

La función f es continua en apor su derecha.Nótese que en este caso noexiste f (x) a la izquierda de a

figura 17.bEn este caso la función ftambién es continua en a porsu derecha, ya que: lim ( ) ( )

x af x f a

→ +=

Nótese que la funcióntambién existe a la izquierdade a, siendo:

f a f x

f x lx a

x a

( ) lim ( )

lim ( )

= ≠

≠ =→

→

+

−

figura 17.cEn esta figura tenemos lagráfica de una función que noes continua en x = a por suderecha. Puede apreciarse losiguiente:

f a existe

f x f a

f x k f ax a

x a

( )lim ( ) ( )

lim ( ) ( )→

→

−

+

=

= ≠

No es continua por la derechade a, lo es por la izquierda.

Veamos otra forma de definir la continuidad de una función por la derecha de un punto:

f (x) es continua en a por su derecha, si para todo entorno de centro f (a) y radio ε, existe otro entornode centro a y radio δ, tal que si x está en la mitad derecha de este último, su imagen f (x) pertenecea aquel.


f xx si xx si x

( ) =+ ≤

− + >

3 27 2

Matemáticamente:

Nótese que la expresión equivale a que x pertenece a la mitad derecha de Eδ (a)a x a< < + δNótese que la expresión equivale a que f (x) 0Eε (f (a)).f a f x f a( ) ( ) ( )− < < +ε εVeamos la interpretación gráfica de esta definición:

figura 18.aEn esta figura tenemos lagráfica de una función f (x)que es continua en x = a porsu derecha. Hemos tomadoun ε > 0 cualquiera yconsiderado el intervaloabierto de centro f (a) y radioε>0, o sea, (f (a)&ε ,f (a)+ ε ).

figura 18.bPodemos apreciar como, apartir de dicho entorno deleje Y , es decir, del intervaloabierto (f (a)&ε ,f (a)+ ε ),esto es, a partir de ε,obtenemos el intervalo, en eleje X, (a&δ, a+δ), esto es,obtenemos δ >0.

figura 18.cAquí podemos ver como sitomamos un x cualquiera,situado en la mitad derechadel último entorno, es decir,de Eδ (a) = (a&δ, a+δ), suimagen f (x) pertenece alprimer entorno, es decir, aEε(f (a)) = (f (a)&ε ,f (a)+ ε ).

Es evidente que una función es continua en x = a sí y sólo sí lo es por ambos lados.

Ejemplo 12.-Sea la siguiente función definida por intervalos:

Queremos estudiar su continuidad en x = 2

Veamos:Observamos que en x = 2 se produce un cambio en la forma y aspecto de la función fPara estudiar la continuidad en ese punto es necesario estudiar las continuidades lateralesEstudiemos la continuidad en x = 2 por su izquierda.

f x continua en a por su derecha


( ) ,

, ( ) ( ) ( )∀ > ∃ > < < + − < < +ε δ δ ε ε0 0

c6 74444444444444 844444444444441 2444444 34444444


f x es continua en x por su izquierdaf existe

f x existe

f x fx

x

( )( )

lim ( )

lim ( ) ( )

= ⇔•• •

• • • =

→

→

−

−

22

22

2

f x es continua en x por su derechaf existe

f x existe

f x fx

x

( )( )

lim ( )

lim ( ) ( )

= ⇔•• •

• • • =

→

→

+

+

22

22

2

• = + =

• • = + = + =

• • • = =→ →

− −

→

− −

−

f existe la imagen de

f x x

f x fx x

x

( ) ( )

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

2 2 3 5 2

3 2 3 5 5

2 52 2

2

• = + =

• • = − + = − + =

• • • = =→ →

+ −

→

+ +

+

f existe la imagen de

f x x

f x fx x

x

( ) ( )

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) ( )

2 2 3 5 2

7 2 7 5 5

2 52 2

2

Veamos:

Estudiemos la continuidad en x = 2 por su derecha.

Veamos:

Dibujemos la gráfica de laf u n c i ó n . P a r a e l l oconstruimos dos tablas devalores:

x #2 y = x + 3 recta

2 5

0 3

x > 2 y =&x + 7 recta

3 4

7 0

2+ 5&

Por tanto, la función es continua enx = 2 por su izquierda. Nótese que ellímite es 5 (5&), esto es, la gráfica seacerca al punto (2,5) por debajo.

Por tanto, la función es continua enx = 2 por su derecha. Nótese que ellímite es 5 (5&), esto es, la gráfica seacerca al punto (2,5) por debajo.


8.Función continua en un intervalo cerrado.-

3 Sea y = f (x) una función real de variable real.3 Sea [a,b] un intervalo cerrado de ú, es decir, [a,b] dúDefinimos el concepto “función continua en el inervalo [a,b]”

[ ]( )

f x es continua en a bf x es continua en el inervalo a bf x es continua en x a por su derechaf x es continua en x b por su izquierda

( ) ,º ) ( ) ,º ) ( ) .º ) ( ) .

⇔ ==

123

Gráficamente:En la figura 20 tenemos la gráfica deuna función f (x) que verifica:

O f (x) es continua en el intervaloabierto (a,b)

O f (x) es continua en x = a por suderecha, ya que existe f (a) yademás lim ( ) ( )

x af x f a

→ +=

O f (x) es continua en x = b por suizquierda, ya que existe f (b) yademás lim ( ) ( )

x bf x f b

→ −=

Quede claro que fuera delintervalo cerrado [a,b], lafunción f (x) puede existir.

En la figura 21 tenemos la gráfica deuna función f (x) que verifica:

O f (x) es continua en el intervaloabierto (a,b)

O f (x) es continua en x = a por suderecha, ya que existe f (a) yademás lim ( ) ( )

x af x f a

→ +=

O f (x) no es continua en x = b porsu izquierda, debido a que existef(b) y existe ,lim ( )

x bf x l

→ −=

pero f b l( ) ≠En este caso, f (x) no es continuaen el intervalo cerrado [a,b]

Ejemplo 13.-La función f (x) = Lx (logaritmo neperiano de x) no es continua en el intervalo cerrado

[0,b] (siendo b>0) porque f (0) no existe. En cualquier intervalo cerrado [a,b] con a>0, si es


continua, ya que la función f (x) = Lx es continua en todo su dominio ú+ = (0,+4).

Ejemplo 14.-

Consideremos la función f xx si x

x si xsi x

( ) =+ <

− + ≤ ≤− >

6 02 8 0 52 5

Queremos estudiar su continuidad en el intervalo cerrado [0,5]Veamos:

[ ]f x es continua enf x es continua en elf x es continua en x por su derechaf x es continua en x por su izquierda

( ) ,º ) ( ) ( , )º ) ( ) .º ) ( ) .

0 51 0 52 03 5

⇔ ==

intervalo

1º) Para cualquier α0(0,5) se verifica que: f (α) = &2·α + 8 existe. lim ( ) lim ( ) .

x xf x x existe

→ →= − + = − ⋅ +

α αα2 8 2 8

lim ( ) ( )x

f x f→

= = − ⋅ +α

α α2 8

2º) Veamos si f (x) es continua en x = 0 por su derecha:R f (0) = &2·0 + 8 = 8 (existe la imagen de 0).R lim ( ) lim ( )

x xf x x

→ →+ += − + = − ⋅ + =

0 02 8 2 0 8 8

R lim ( ) ( )x

f x f→ +

= =0

0 8

3º) Veamos si f (x) es continua en x = 5 por su izquierda:R f (5) = &2·5 + 8 = &2 (existe la imagen de 5).R lim ( ) lim ( )

x xf x x

→ →− −= − + = − ⋅ + = −

5 52 8 2 5 8 2

R lim ( ) ( )x

f x f→ −

= = −5

5 2

Vamos a dibujar la gráfica de la función(figura 22) para apreciar los resultadosobtenidos de un modo visual.

En la figura 22 podemos apreciar como lafunción es continua en el intervalo cerrado[0,5], ya que en dicho intervalo su gráficaes una recta (un trozo de recta), tal queune el punto (0,8) con el punto (5,&2) sinque se produzca ningún salto dediscontinuidad en su recorrido entre ellos.Puede apreciarse además que no escontinua en x = 0 por su izquierda (sí lo espor su derecha) y que en x = &2 escontinua por ambos lados (es continua).

Por tanto, f (x) escont inua en e lintervalo abierto (0,5)

Por tanto, f (x) escontinua en x = 0 porsu derecha.

Por tanto, f (x) escontinua en x = 5 porsu izquierda.


Ejemplo 15.-

Sea la función . Queremos estudiar su continuidad en [3,5]f x

x si x

si x

x si xx( ) =

− ≤

< ≤

− + >

−

2

13

3 3

3 5

8 5

Veamos:

[ ]f x es continua enf x es continua en elf x es continua en x por su derechaf x es continua en x por su izquierda

( ) ,º ) ( ) ( , )º ) ( ) .º ) ( ) .

3 51 3 52 33 5

⇔ ==

intervalo

1º) Para cualquier α0(3,5) se verifica que:

existef ( )α α= −1

3

lim ( ) lim .x x xf x existe

→ → − −= =α α α

13

13

lim ( ) ( )x

f x f→ −= =

α αα 13

2º) Veamos si f (x) es continua en x = 3 por su derecha:R f (3) = 32&3 = 9&3 = 6 (existe la imagen de 3).R lim ( ) lim

x x xf x→ → − + ++ +

= =−

= = + ∞3 3

13

13 3

10

R lim ( ) ( )x

f x f→ +

≠3

3

3º) Aunque ya sabemos que f (x) no es continua en el intervalo[3,5], veamos si f (x) es continua en x = 5 por su izquierda:R (existe la imagen de 5).f ( )5 0 51

5 312= = = ′−

R lim ( ) limx x xf x

→ → − −− −= =

−= = ′

5 5

13

15 3

12

0 5

R lim ( ) ( )x

f x f→ −

= = = ′5

125 0 5

Conclusión : La función f (x) no es continua en el intervalo cerrado [3,5] por no ser continuaen x = 3 por su derecha.

9.Teorema de Bolzano.-Este teorema está relacionado con la continuidad de una función en un intervalo cerrado

y dice lo siguiente:

Por tanto, f (x) escont inua en e lintervalo abierto (3,5)

La función f (x) no escontinua en x = 3 porsu derecha. Nóteseque en x = 3 hayasíntota vertical por laderecha y hacia arriba.

La función f (x) no escontinua en x = 5 porsu izquierda.

Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y además, el signo de f (a) esdistinto del signo de f (b), entonces existe un número t de [a,b] talque su imagen mediantef (x) es cero (es decir, f (t) = 0)


Matemáticamente:

Demostración:No vamos a demostrar este importante teorema matemáticamente, pero si de un modo

gráfico, ya que se puede “ver” fácilmente.º Imaginemos un intervalo cerrado [a,b] = { x0ú * a # x # b }º Imaginemos una función continua en [a,b] , es decir:

œx0[a,b] , se verifica que f (x) existe f (a) existe. Esto significa que el punto (a , f (a)) pertenece a la gráfica de f (x). f (b) existe. Esto significa que el punto (b , f (b)) pertenece a la gráfica de f (x). La gráfica de la función es una línea recta o curva que une los puntos (a , f (a))

y (b , f (b)) de un modo “continuo”, es decir, sin dar ningún salto dentro delintervalo cerrado [a,b].

º Imaginemos que el sino de f (a) es distinto del signo de f (b), es decir: Si f (a) > 0 , entonces f (b) < 0 Si f (a) < 0 , entonces f (b) > 0

¡ Pues bien !, es evidente que en estas circunstancias, [ ]∃ ∈ =t a b f t, ( ) 0Es decir:¸ La línea que representa a la función corta al eje de abcisas en el punto t0[a,b] O lo que es lo mismo:¸ El punto (t,0) pertenece a la gráfica de la función f (x)

figura 23.aEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)>0 yf (b)<0. Nótese que existe unpunto t0[a,b] tal que f(t)=0, esdecir, la gráfica corta al eje deabcisas entre el punto a y elpunto b

figura 23.bEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)<0 yf (b)>0. Nótese que existe unpunto t0[a,b] tal que f(t)=0, esdecir, la gráfica corta al eje deabcisas entre el punto a y elpunto b

figura 23.cEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)=0 yf (b)>0. Nótese que existe unpunto t0[a,b] tal que f(t)=0, esdecir, la gráfica corta al eje deabcisas entre el punto a y elpunto b. En este caso es t = a

[ ] [ ]f x continua en a bsigno f a signo f b

t a b f t( ) ,

( ) ( ), ( )

≠⇒ ∃ ∈ = 0


También puede darse alguna de las situaciones siguientes:

figura 24.aEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)>0 yf (b)<0. Nótese que existen trespuntos t1,t2,t30[a,b] tal quef(t1)=f(t2)=f(t3)=0, es decir, lagráfica corta al eje de abcisastres veces entre el punto a y elpunto b

figura 24.bEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)<0 yf (b)>0. Nótese que existeninfinitos puntos de [a,b] tal quela gráfica se anula en ellos, esdecir, la gráfica corta al eje deabcisas entre a y b en infinitospuntos.

figura 24.cEn este caso la función f escontinua en [a,b], con f (a)<0 yf (b)>0. Nótese que existen dospuntos t1,t20[a,b] tal que f(t1)=0y f(t2)=0 es decir, la gráficacorta al eje de abcisas en dospuntos entre a y b.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano ( f (x) continua en el intervalo[a,b] y signo de f (a) …signo de f (b)), entonces, la tesis ( › t0[a,b] tal que f (t) = 0), pudecumplirse o no cumplirse. Veámoslo gráficamente:

figura 25.af (x) no es continua en [a,b]signo f (a) … signo f (b)No se cumplen las hipótesisTampoco se cumple la tesis:òt0 [a,b] tal que f (t) = 0

figura 25.b.f (x) no es continua en [a,b]signo f (a) … signo f (b)No se cumplen las hipótesisSí se cumple la tesis:›t0 [a,b] tal que f (t) = 0

figura 25.cf (x) es continua en [a,b]signo f (a) = signo f (b)No se cumplen las hipótesisSí se cumple la tesis:›t1,t20 [a,b] * f (t1)=f(t2) = 0


Ejemplo 16.-Sea la función . Queremos saber si existe un número realf x x x x

x( ) = + − −−

2 5 17 202 2

3 2

t tal que 2 #t #3 y f (t) = 0.Veamos:Se trata de un ejemplo típico de aplicación del Teorema de Bolzano.Consideremos el intervalo cerrado [2,3] Debemos ver si la función dada cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en este intervalo,es decir:

Si entonces [ ]f x continua en

signo f signo f( ) ,

( ) ( )2 3

2 3≠

[ ]∃ ∈ =t f t2 3 0, ( )

Nos preguntamos: ¿ Es f (x) continua en [2,3] ?9 f (x) es continua en todo ú excepto en los puntos donde se anula el denominador.

2 2 0 2 2 1x x x− = ⇒ = ⇒ =Por tanto, f (x) es continua en ú&{1} = (&4,1)c(1,+4)Por tanto, f (x) es continua en [2,3]

Nos preguntamos: ¿ signo f (2) … signo f (3) ?

9 f

fsigno f signo f

( )

( )( ) ( )

2 9 0

3 7 02 3

2 2 5 2 17 2 202 2 2

182

2 3 5 3 17 3 202 3 2

284

3 2

3 2

= = = − <

= = = >

⇒ ≠

⋅ + ⋅ − ⋅ −⋅ −

−

⋅ + ⋅ − ⋅ −⋅ −

Es decir, se cumplen las hipótesis del Teorema de Bolzano.Conclusión: Podemos asegurar que existe un punto t 0[2,3] tal que f (t) = 0, es decir:

2 5 17 202 2

3 2

0 2 3t t tt siendo t+ − −

− = ≤ ≤

Ejemplo 17.-Sea la función . Queremos saber si su gráfica corta al eje def x x x( ) cos= − +2 1

abcisas en algún punto.Veamos:P Queremos saber si existe un punto P(t,0) que esté en la gráfica de f (x), es decir, el par

ordenado (t,0) pertenece al grafo de la función, esto es, (t,0)0Gf

P Recordemos que: (t,0)0Gf ] f (t) = 0P Ahora bien, f (t) = 0 equivale a que cost t− + =2 1 0Por tanto:El que la gráfica de f (x) corte al eje de abcisas significa que la ecuación tienecos x x− + =2 1 0solución (existe un t0ú que verifica la igualdad).Para averiguarlo, intentemos aplicar el Teorema de Bolzano a la función f (x) en algún intervalocerrado [a,b]. Veamos:X La función es continua en todo ú (que es su dominio), ya quef x x x( ) cos= − +2 1

es la suma de tres funciones continuas ( y = cos x, y = &2x e y = 1 ).X Consideremos el intervalo cerrado [0, π]. Evidentemente f (x) es continua en [0, π]

porque es continua en todo ú y [0, π]dú.X Veamos el signo de f (x) en los extremos del intervalo [0, π]:


x fx f signo f signo f

= → = − ⋅ + = − + = >= → = − ⋅ + = − − ⋅ + = − ⋅ <

⇒ ≠

0 0 0 2 0 1 1 0 1 2 02 1 1 2 1 2 0 0

( ) cos( ) cos ( ) ( )π π π π π π π

Es decir, la función f (x) cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalocerrado [0,π], por lo que podemos asegurar que › t0[0,π] * f (t) = 0.Por tanto:M La gráfica de f (x) corta al eje de abcisas en, al menos, un punto. Dicho punto es de la

forma P(t,0) con 0<t<π.M Lo anterior equivale a decir que la ecuación tiene, al menos, unacos x x− + =2 1 0

solución t0(0,π), es decir, existe un número t (0<t<π) tal que cost t− + =2 1 0

Ejemplo 18.-La ecuación de tercer grado tiene alguna solución. Encontrar5 4 6 8 03 2x x x− + − =

aproximadamente una de ellas, con un error menor o igual que 1.Veamos:

R Consideremos la función polinómica de grado 3 : f x x x x( ) = − + −5 4 6 83 2

R Por ser f (x) una función polinómica, es continua en todo su dominio ú y, por tanto, loserá en cualquier intervalo cerrado [a,b].

R Es fácil deducir que la función f (x) corta al eje de abcisas en, al menos, un punto, ya que:

( )( )

lim ( ) lim

lim ( ) lim

x x

x x

f x x x x

f x x x x

→ − ∞ → − ∞

→ + ∞ → + ∞

= − + − = − ∞

= − + − = + ∞

⇒

5 4 6 8

5 4 6 8

3 2

3 2

R Si somos capaces de encontrar un intervalo [a,a+1] en el que se cumpla el Teorema deBolzano, habremos demostrado que existe una solución t tal que a #t #a+1, es decir,habremos encontrado una solución t con un error menor o igual que una unidad.

R Busquemos ese intervalo:Probemos con el intervalo cerrado [1,2] (en este intervalo la función es continua).

f

fsigno f signo f

( )

( )( ) ( )

1 5 1 4 1 6 1 8 1 0

2 5 2 4 2 6 2 8 28 01 2

3 2

3 2

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − <

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − = >

⇒ ≠

Por tanto:

[ ] [ ]f x continua ensigno f signo f

t f t( ) ,

( ) ( ), ( )

1 21 2

1 2 0≠

⇒ ∃ ∈ =

R Conclusión:

Existe un número t = 1´..... ,es decir, 1 < t < 2 tal que 5 4 6 8 03 2⋅ − ⋅ + ⋅ − =t t tExiste una solución de la ecuación , comprendida entre 1 y 2.5 4 6 8 03 2x x x− + − =

R Para encontrar una mejor aproximación de t, podemos probar con el intervalo [1,1´5].

[ ]ff

t f t( )( )

, , ( )1 5 5 1 5 4 1 5 6 1 5 8 13 375 01 1 0

1 1 5 03 2′ = ⋅ ′ − ⋅ ′ + ⋅ ′ − = ′ >

= − <

⇒ ∃ ∈ ′ =

Ya sabemos que la solución t está entre los números 1 y 1´5.

La función corta al eje deabcisas en algún punto yaque pasa de un modocontinuo de &4 a +4.


10.Teorema de los valores intermedios o de Darboux.-

Este teorema, similar al de Bolzano, dice lo siguiente:

Vamos a expresarlo de otra forma:

Matemáticamente:

Nótese que la disyunción se debe a que puede[ ] [ ]k f a f b o k f b f a∈ ∈( ), ( ) ( ), ( )ser f(a) < f (b) o f (b) < f(a). Vamos a dar una explicación gráfica:

figura 26.aT e n e m o s u n a f u n c i ó nf(x) continua en [a,b] y k unnúmero entre f(a) y f(b), esdecir, k0[f (a), f (b)].Observa que en este caso esf(a)<f(b) y f(a)< k <f(b).La gráfica de f (x) pasa delpunto (a,f (a)) al punto (b,f (b))sin saltos, esto es, en formacontinua.

figura 26.bHemos trazado la recta (untrozo) de ecuación y = k hastaque corta a la gráfica de f (x) enun punto.Nótese que con las condicionesde la figura 26.a, es obligadoque dicha recta corte a la gráficade f (x).En este caso corta en un sólopunto (podría cortar en más).

figura 26.cEl punto al que nos hemosreferido anteriormente será de laforma (t,k), que por ser de lagráfica de f (x), tendremos quef (t) = k con a < t < bPor tanto:Existe un punto t0(a,b) tal quef (t) = k.En este caso t es único, peropodría haber más de uno.

“ Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y k es un número comprendidoentre f (a) y f(b), entonces existe un número t perteneciente al intervalo (a,b) tal que f (t) = k"

“ Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f toma todos losvalores comprendidos entre f (a) y f(b)”

[ ][ ]

[ ]( )f x continua en a b

k f a f bo

k f b f a

t a b f t k( ) ,( ), ( )

( ), ( )

, ( )⇒

∀ ∈

∀ ∈

∃ ∈ =


Nótese que para cualquier número k que tomemos entre f (a) y f(b), existe t0(a,b).Veamos otras formas que puede tener la función f (x) dentro del intervalo [a,b]

figura 27.aEn este caso hemos representado una funcióncontinua en el intervalo cerrado [a,b], tal quef (a) > f (b). Hemos tomado un número cualquiera k talque f (b) < k < f (a) y podemos observar quese verifica el teorema de Darboux porquehay tres puntos t1, t2 y t3 tales que:

f (t1) = f (t2)= f (t3) = k

figura 27.bEste es un caso particular. La función f (x) escontinua en el intervalo cerrado [a,b] y conla particularidad de que f (a) = f (b).Aquí únicamente hay un valor intermedioentre f (a) y f (b), que es k = f (a) = f (b).Se cumplen las condiciones del teorema, porlo que existen dos valores t1= a y t2= bpertenecientes al intervalo [a,b] tales que:

k = f (t1) = f (t2)figura 27.c

En este caso la función f (x) no cumple lashipótesis del teorema, ya que existe un puntodel intervalo cerrado [a,b] en el que esdiscontinua (nótese el punto " en la gráfica).Al tomar el punto k0[f (b), f (a)], apreciamosque no existe t0[a,b] tal que f (t) = k.Obsérvese que si tomásemos otro punto de[f (b), f (a)], distinto de k, si existiría t. Noobstante, el teorema no se cumple en estecaso.

El Teorema de Darboux nos permitirá averiguar, en algunos casos, si una ecuación tienesolución o no.

Ejemplo 19.-

Demostrar que la ecuación tiene solución y dar un valor aproximado de estae xx −

=2

314

con un error inferior a una unidad.Veamos:

3 Por comodidad, expresamos la ecuación de la forma: e xx − =234

3 Consideremos la función . Esta función es continua en todo su dominiof x e xx( ) = − 2


[ ]∃ ∈ =t f t0 1 34, ( )

ú por ser una resta de dos funciones continuas. Esto nos asegura que f (x) es continua encualquier intervalo cerrado [a,b] de ú.

3 Intentemos encontrar un intervalo cerrado [a,b] en el que se cumplan las hipótesis del

teorema de Darboux y además ocurra que [ ] [ ]34

34∈ ∈f a f b o f b f a( ) , ( ) ( ) , ( )

3 Probemos con el intervalo [0,1]

f x e x continua en

f e e

f e e

en este caso f f

x( ) [ , ]

( )

( )

( ) ( )

= −

= − ⋅ = − =

= − ⋅ = − = ′

<

2 0 1

0 2 0 0 1

1 2 1 2 0 7182

1 00

1 K

Es decir, la gráfica de f (x) une los puntos P(0,1) y Q(1,0´7182...) de una forma continua.

Consideremos el punto [ ] [ ]34 0 75 1 0 0 7182 1= ′ ∈ = ′f f( ), ( ) ,K

Por el Teorema de los Valores Intermedios, podemos asegurar que:

Es decir:

, esto es, la ecuación dada tiene solución.[ ]∃ ∈ − =t e tt0 1 2 34,

La solución es t0[0,1] , es decir, t = 0´....., por lo que está dada con un error inferior a 1.3 Ayudados de un programa vamos a representar el problema gráficamente para comprobar

la solución:figura 28

En la figura 28 tenemosrepresentada la función f x e xx( ) = − 2que puede apreciarse que escontinua en el intervalocerrado [0,1], con f (0) =1 yf (1) = e&2 = 0´7182..., esdecir, f (0) > f (1).Observa que hemosconsiderado el punto 0´75comprendido entre losvalores f (1) y f (0) y comola gráfica de f (x) y la rectahorizontal y = 0´75, secortan en un punto de abcisat0[0,1], esto es, f (t) = 0´75.

Lo anterior nos asegura que la ecuación es decir, tienee xx − =2 34 , e xx − =2

314 ,

solución dentro del intervalo (0,1).La solución, sin ayuda de la gráfica, podemos asegurar que es igual a t = 0´......, perohaciendo caso a la representación de la figura 28, apreciamos que t •0´3, es decir:

con t•0´3e tt −

=2

314


11.Teorema.-

El siguiente teorema nos servirá para averiguar si algunas ecuaciones de complicadaresolución, tienen solución, pudiendo incluso determinar esta de un modo aproximado.

Otra forma de expresar el teorema el la siguiente:

NOTA: Las condiciones f(a)<g(a) y f (b)>g(b) se pueden substituir por f(a)>g(a) y f (b)<g(b)

Matemáticamente sería:

Veamos la interpretación gráfica:

figura 29.af (x) y g(x) son continuas en [a,b].En este caso es f (a)<g(a) y f (b)>g(b), esdecir, las gráficas se cortan en un punto.

∃ ∈ =t a b f t g t( , ) ( ) ( )

figura 29.bf (x) y g(x) son continuas en [a,b].En este caso es f (a)>g(a) y f (b)<g(b), esdecir, las gráficas se cortan en un punto.

∃ ∈ =t a b f t g t( , ) ( ) ( )

“Si f (x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y se verifica quef(a)<g(a) y f (b)>g(b), entonces las gráficas de ambas funciones se cortan en un punto de laforma P(t,k), siendo t0(a,b) y k = f (t) = g(t)”

“Si f (x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a,b] y se verifica quef(a)<g(a) y f (b)>g(b), entonces existe un número t0(a,b) tal que f (t) = g (t).

f x continua en a bg x continua en a bf a g af b g b

t a b f t g t

( ) [ , ]( ) [ , ]( ) ( )( ) ( )

( , ) ( ) ( )<>

⇒ ∃ ∈ =


Ejemplo 20.-Demostrar que la ecuación tiene, al menos, una solución.e x xx = − +2 4 4Posteriormente dibujar sus gráficas y comprobar la existencia de dicha solución.

Veamos:[ Consideremos las funciones siguientes:

f x e que es continua en todo

g x x x que es continua en todo

x( )

( )

=

= − +

R

R2 4 4

[ Busquemos un intervalo cerrado [a,b] en el que se cumplan las hipótesis del teorema de

las funciones que se cortan:m Probemos con el intervalo [0,1]

f x e continua en

g x x x continua en

f e g

f e e g

En este casof gf g

x( ) [ , ]

( ) [ , ]

( ) ; ( )

( ) ; ( )

( ) ( )( ) ( )

=

= − +

= = = − ⋅ + =

= = = − ⋅ + =

<>

0 1

4 4 0 1

0 1 0 0 4 0 4 4

1 1 1 4 1 4 1

0 01 1

2

0 2

1 2

m Las funciones f (x) y g(x) verifican las hipótesis del teorema en [0,1]. Por tanto:

∃ ∈ =t f t g t( , ) ( ) ( )0 1

Es decir, (la ecuación dada tiene solución).∃ ∈ = − +t e t tt( , )0 1 4 42

m La solución de la ecuación es un número de la forma t = 0´.... (entre 0 y 1).[ Ahora dibujaremos las gráficas de ambas funciones para comprobar que se cortan:

4 La función y = g(x)= x2& 4x + 4es una parábola de vértice: ( )V 2 2 2 0, ( ) ( , )g =

x y = x2& 4x + 4

2 4

1 1

3 1

0 4

4 44 La función y = f (x) = ex debe ser de sobra conocida por el alumno. Su gráfica puede

apreciarse en la figura 30.4 En la figura 30 se observa como las gráficas de f (x) y g( x) se cortan en un punto P de

abcisa t0(0,1), es decir:

A simple vista se aprecia que t •0´65( , ( ))( , ( ))

.t f tt g t

es el mismo punto

P

Como ambas funcionesson continuas en todo ú,lo serán en cualquierintervalo cerrado [a,b]


Ejemplo 21.-Demostrar que la ecuación x Lx = 1 tiene solución.

Veamos:

U Expresemos la ecuación de la forma Lx x= 1

U Consideremos las funciones siguientes: f x Lx y g x x( ) ( )= = 1

U La función f (x) es continua en el intervalo infinito (0,+4), es decir, en ú+

La función g (x) es continua en ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)U Intentemos encontrar un intervalo cerrado [a,b] en el que se cumplan las condiciones del

teorema de la funciones que se cortan (quede claro que puede que dicho intervalo noexista).Probemos con el intervalo cerrado [1,e]

f x Lx continua en e

g x continua en e

f L

gf g

f e Le

g ef e g e

t e f t g t

x

e

( ) [ , ]

( ) [ , ] ( , ) ( , )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( , ) ( ) ( )

= ⊂

= ⊂ − ∞ ∪ + ∞

= =

= =

<

= =

= <

>

⇒ ∃ ∈ =

+1

1 0 0

1 1 0

1 11 1

1

1

1

1

11

1

R

U Vemos que se cumplen las condiciones (hipótesis) del teorema y, por tanto, la tesis.Así que:Existe un número t tal que 1< t < e y que verifica: t ·Lt = 1, esto es, la ecuación dadatiene solución.

Dibujemos las gráfica de ambas funciones para comprobar los resultados:

En la figura 31 tenemosrepresentadas las gráficas de lasfunciones f (x)=Lx y g (x) = x&1.Puede apreciarse que ambas soncontinuas en el intervalo cerrado[1,e] (que no hemos representado)y que las gráficas se cortan en unpunto situado en la vertical dedicho intervalo, es decir:

∃ ∈ =

=

t e f t g t

es decir L t t

[ , ] ( ) ( )

,

11

A simple vista podemos dar unaaproximación de la solución de laecuación:

t ≈ ′1 75Después de ver la gráfica, notamos que podíamos haber elegido el intervalo [1,2] en lugar

de [1, e], por lo que obtendríamos que t0[1,2].


12.Continuidad y acotación de una función. Teorema.-

El siguiente teorema relaciona la continuidad de una función en un intervalo con laacotación de esta.

Matemáticamente:

Es decir:W f (x) es una función continua en [a,b]. Esto significa que es continua en todo el intervalo

abierto (a,b), es continua en a por su derecha y continua en b por su izquierda.W Entonces existen dos números k y m tales que k #f (x) #m para cualquier x 0[a,b].

El número k es una cota inferior de f (x) relativa al intervalo [a,b]El número m es una cota superior de f (x) relativa al intervalo [a,b]

W Lo anterior no impide que la función pueda superar las cotas k y m fuera del intervalo[a,b], es decir, puede ser que:

∃ ∉ <∃ ∉ >

x a b tal que f x kx a b tal que f x m1 1

2 2

[ , ] ( )[ , ] ( )

es decir, las cotas se refieren al intervalo.W Veamos la interpretación gráfica de este teorema:

En la figura 32 tenemosdibujada la gráfica de unafunción f (x) continua en elintervalo cerrado [a,b].

Nótese como existen dosnúmeros k (cota inferior) y m(cota superior) de f (x), talesque œx0[a,b] es k # f (x) # m,esto es, la función f (x) estáacotada en el intervalo [a,b].

Puede ocurrir que fuera de eseintervalo la función no estéacotada por los números k y m.

Ejemplo 22.-Consideremos la función f (x) = Lx & x2. Queremos saber si está acotada en el inervalo

cerrado [1,2].

“Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces está acotada en él.”

[ ] [ ]f x continua en a b k m x a b es k f x m( ) , , , ( )⇒ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤R


Veamos:P f (x) = Lx & x2 es una resta de dos funciones, y = Lx e y = x2

P La función y = Lx es continua en el inervalo (0,+4), por lo que lo será encualquier intervalo [a,b]d(0,+4).La función y = x2 es continua en todo ú, por lo que lo será en cualquier intervalo[a,b]d(0,+4)dú.

P La resta de dos funciones continuas es continua, por lo que f (x) = Lx & x2 escontinua en (0,+4) y, por tanto, lo será en cualquier intervalo [a,b]d(0,+4).

Conclusión: Como f (x) = Lx & x2 es continua en el intervalo [1,2], está acotada en él.

13.Teorema de Weierstrass.-

Este teorema relaciona la continuidad de una función en un intervalo cerrado con laexistencia de extremos (máximo y mínimo) de la función en dicho intervalo.

Matemáticamente:

Veamos la interpretación gráfica:

figura 33.af (x) continua en [a,b].En α alcanza el mínimo y en βel máximo, siendo f (α) = k y f (β) = m

figura 33.bf (x) continua en [a,b].En a alcanza el mínimo y en bel máximo, siendo f (a) = k(mínimo) y f (b) = m(máximo)

figura 33.cf (x) continua en [a,b].En este caso la función alcanzael máximo y el mínimo eninfinitos puntos del intervalo.

“Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces existe un número αde [a,b] en el cual la función alcanza el mínimo y otro número β de [a,b] en el cual alcanzael máximo, dentro de dicho intervalo”

f x continuaen a b a b x a b es f f x f

( )[ , ] , [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( )

⇒ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤α β α β


Ejemplo 23.-

Sea la función . Queremos contestar a las siguientes preguntas:f xe

x

x

( ) =−

−12

2 1a) ¿Podemos asegurar que está acotada en el intervalo [&3,&2]?b) ¿Podemos asegurar que está acotada en el intervalo [&1,1]?

Veamos:

K La función f (x) es un cociente de otras dos funciones: g x e y h x xx( ) ( )= = −−12 2 1

La función es continua en ú&{0}= (&4,0)c(0,+4)g x e x( ) =−12

La función es continua en todo ú, pero se anula en x =&1 y x =1h x x( ) = −2 1

La función es continua en todo ú excepto los puntos x =&1 , x = 0 yf xe

x

x

( ) =−

−12

2 1 x = 1

K Según lo anterior, la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [&3,&2], por lo queaplicando el teorema de Weierstrass, podemos asegurar que está acotada (superior einferiormente) en el intervalo cerrado [&3,&2], es decir:

[ ] [ ]∃ ∈ − − ∀ ∈ − − = ≤ ≤ =α β α β, , , ( ) ( ) ( )3 2 3 2x es k f f x f mEn α la función alcanza el mínimo cuyo valor es kEn β la función alcanza el máximo, cuyo valor es m.

La función f (x) no es continua en el intervalo cerrado [&1,1], porque no es continua enel punto 00 [&1,1] ni continua por la derecha en &10 [&1,1], ni continua por la izquierdaen 10 [&1,1], por lo que no podemos asegurar que esté acotada en dicho intervalo(quede claro que esto no significa que no lo esté).

K No obstante, veamos que ocurre en x = 1 y x = &1:

(asíntota vertical en x = 1)lim ( ) limx x

ef xe

xe ex

→ →

−=

−=

−= = = ± ∞

− −

1 1 2 2

1 112

112

1 1 1 0 0Ya sabemos que en [&1,1] no está acotada.

(asíntota vertical en x = &1)lim ( ) lim( )

(

x xef x

ex

e ex

→ − → −

−=

−=

− −= = = ± ∞

− −−

1 1 2 2

1 112

11)2

1 1 1 0 0

i. e. s. siete colinas (ceuta) departamento de … · de este tema debe ser posterior al titulado...

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