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Análisis de sistemas en el espacio de estados

Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua

Introducción

• Las técnicas clásicas de análisis de sistemas tienen problemas a la hora de abordar el estudio de sistemas complejos con múltiples entradas y salidas.

• Análisis en el espacio de estados:– Descripción interna del sistema en base a ecuaciones

diferenciales.

– Formulación matricial compacta.


Descripción de sistemas en el espacio de estados

Un sistema de orden n con p entradas y q salidas se representa mediante 2 ecuaciones matriciales:

– Ecuación de estado: x' = Ax + Bu

donde x es el vector de estado (nx1), A es la matriz del sistema (nxn), u es el vector de entrada o de control (px1), y B es una matriz (nxp).

– Ecuación de salida: y = Cx + Du

donde y es el vector de salida (qx1), y C y D son matrices (qxn y qxp).


• Las ecuaciones de estado contienen información suficiente para conocer la evolución temporal del sistema a partir de un estado inicial y una señal de entrada.

• La matriz de transición de estado es aquella que satisface la ecuación de estado homogénea x´(t)=Ax(t):

)()()(,)0()()( 00 txtttxxttx

)()(

tAdt

td

• O también puede definirse como:


• Obtención de la matriz de transición de estado

– Aplicando transformada de Laplace a la ecuación de estado homogénea:

)}({)}´({ tAxLtxL

)()0()( sAxxssX )0()()( 1 xAsIsX

)0(}){()( 11 xAsILtx

}){()( 11 AsILt


– Asumiendo una solución de tipo exponencial:

)0()( xetx At

donde

...!3

1

!2

1 3322 tAtAAtIeAt

...!3

1

!2

1)( 3322 tAtAAtIt


• Ecuación de estado

– Para el caso no homogéneo se tiene:

)}()({)}´({ tButAxLtxL

)}(){()0(}){()( 1111 sBUAsILxAsILtx

t

dButxttx0

)()()0()()(


• Ecuaciones de estado y función de transferencia

– Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado se tiene:

)()()0()()( 11 sBUAsIxAsIsX

)()( sCXsY

– Asumiendo condiciones iniciales nulas

BAsICsX

sYsG 1)(

)(

)()(

que es la función de transferencia matricial del sistema.


– La dinámica del sistema viene dada por las raíces de la ecuación característica:

0 AsI

que son los valores propios de la matriz A.


• Ejemplo:

– Sea el sistema SE1 caracterizado por las ecuaciones de estado:

)(1

0

32

10

2

1

'

2

1 tux

x

x

x

– La matriz de transición de estado puede obtenerse a partir de la serie exponencial (exp(At)=I+At+(1/2)A^2 t^2+...), que para t=1 proporciona los siguientes resultados:

,2917.00833.0

0417.04167.0,

13333.1

6667.01,

5.11

5.00,

22

11,

10

01

,...0949.04627.0

2314.05993.0,

1075.04754.0

2377.06056.0,

0569.0425.0

2125.05806.0,

2333.06.0

3.06667.0


– Tomando como condiciones iniciales x(0)=[1;1], la respuesta no forzada (u(t)=0) para t=1seg. puede obtenerse a partir de la matriz de transición de estado como

5623.0

833.0

1

1

0972.04651.0

2325.06004.0

1

1)1(

)1(

)1(

2

1 x

x

– La respuesta temporal es la que se muestra en la figura.

– Los autovalores de la matriz A son

0230 2 ssAsI

2;1 21


Controlabilidad y observabilidad

• Un sistema es controlable si dado un estado inicial x0 y un tiempo inicial t0, para cualquier estado final x1 existe una señal de control físicamente realizable que puede guiar al sistema desde el estado inicial al final en un tiempo finito.

– La controlabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de controlabilidad

rango[B|AB| ... |An-1B]= n


• Se dice que un sistema es de estado completo observable si cada estado x(t0 ) puede determinarse a partir de la observación de la salida en un intervalo de tiempo finito.

– La observabilidad puede determinarse a partir de las ecuaciones de estado analizando el rango de la matriz de observabilidad

rango [C* |A*C* | ... |(A* )n-1C* ]= n


Estabilidad en el espacio de estados

• Estabilidad de Liapunov.

– Para un sistema x'=f(x,t), un punto singular o estado de equilibrio xe f(xe ,t) = 0 t es estable en el sentido de Liapunov si para toda región esférica S1 en torno a xe es posible encontrar otra S2 tal que cualquier trayectoria de estado que se inicie dentro de S1 se mantiene dentro de S2 cuando t tiende a infinito. Si además, la trayectoria tiende a xe cuando el tiempo crece, el estado es asintóticamente estable.


• Ejemplo.

– Trayectorias en el espacio de estados para el sistema SE1, considerando la respuesta no forzada desde el estado inicial (1,1): origen asintóticamente estable.


• Teorema de Liapunov.

– Sea x'=f(x,t) donde f(0,t)=0 para todo t. Si existe una función escalar V(x,t) con primeras derivadas parciales continuas que verifica:

1. V(x,t) es definida positiva.

2. V'(x,t) es definida negativa.

– entonces el estado de equilibrio en el origen es uniforme y asintóticamente estable. Si además, V(x,t)-> cuando x->, el origen es asintóticamente estable de forma completa.


• Ejemplo.

– Definiendo para el sistema SE1 V(x)=x12+0.5x2

2, se tiene (para u(t)=0):

1. V(x) es definida positiva.

2. V'(x)=2x1x1’+x2x2’=2x1x2-2x1x2-3x22=-3x2

2 es definida negativa.

3. Como V(x)-> cuando x->, entonces el estado de equilibrio en el origen es asintóticamente estable de forma completa.


• Estabilidad en sistemas lineales invariantes en el tiempo.

– En sistemas del tipo x’=Ax (A matriz de coeficientes constantes), el origen es asintóticamente estable si todos los autovalores de A tienen parte real negativa.

– Alternativamente, puede tomarse como función de Liapunov la forma cuadrática hermítica V(x)=x*Px, donde P es hermítica y definida positiva.

• V(x) definida positiva, V'(x)=x'*Px+x*Px'=x*(A*P+PA)x=-x*Qx.

• Tomando Q definida positiva, si se puede encontrar P definida positiva, el origen será asintóticamente estable.


• Ejemplo.

– Para el sistema SE1, en el caso no forzado tenemos:

• Tomando Q=I, definida positiva.

• A partir de Q=-(A*P+PA) se obtiene P como:

12/54/1

4/112/19P

• Como P es definida positiva, el origen del espacio de estados es asintóticamente estable para SE1.


Representaciones en el espacio de estados

• La representación de un sistema en el espacio de estados no es única.

– Pueden obtenerse diferentes expresiones aplicando transformaciones lineales al vector de estado.

• Forma canónica controlable.

• Forma canónica observable.

• Forma canónica de Jordan

– Los autovalores permanecen invariantes.


• Sea el sistema dado por la función de transferencia

Y(s)/U(s)=(b0sn+b1sn-1+...+bn-1s+bn)/(sn+a1sn-1+...+an-1s+an)

• Forma canónica controlable:u

1

.

.

.

0

0 + [x]

a-...a-a-a-

1...000

. ...

. ...

. ...

0...100

0...010 = [x]

12-n1-nn

'

ub + [x] ba-b ... ba-b ba-b

=y 001101-n1-n0nn


• Forma canónica observable:

u

ba-b

.

.

.

ba-b

a-b + [x]

a-1...00

.. ..

.. ..

.. ..

a-0...01

a-0...00 =[x]

011

01-n1-n

nbn

1

1-n

n 0

'

ub + [x] 1 0 ... 0 0

=y 0


• Forma canónica de Jordan:

u

1

.

.

.

1

1 + [x]

p 0

.

.

.

p

0 p = [x]

n

2

1

'

ub + [x] c ... c c

=y 0n21

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