22I N E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Glava II: DIFERENCIJALNI RAUN REALNIH FUNKCIJA DVIJU ILI VIE REALNIH PROMJENLJIVIH

2.1 Parcijalni izvodi (parcijalne derivacije). Lagrangeova teorema za funkcije vie promjenljivih

U ovom paragrafu emo, u osnovnom tekstu, razmatrati funkcije dvije nezavisno promjenljive. Analogna razmatranja vrijede i za funkcije od tri ili vie nezavisno promjenljivih.

Neka je z = f (x, y) funkcija dvije nezavisno promjenljive i neka je D = D ( f )R2 njena oblast definiranosti. Odaberimo po volji taku T0 = (x0, y0)D i koordinati x0 dajmo prirataj x = x x0, a koordinatu y0 ostavimo nepromijenjenom. Pri tom funkcija f (x, y) e dobiti prirataj (promjenu)

x z = x f (x0, y0) def.= f (x0 + x, y0) f (x0, y0)

koji nazivamo parcijalni prirataj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj x u taki T0 = (x0, y0). Analogno definiramo parcijalni prirataj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u taki T0 = (x0, y0) formulom

y z = y f (x0, y0) def.= f (x0 , y0 + y) f (x0, y0).

Totalni (potpuni, ukupni) prirataj funkcije z = f (x, y) u taki T0 = (x0, y0) definiramo formulom

z = f (x0, y0) f (xdef.= 0 + x, y0 + y) f (x0, y0) = f ( T ) f ( T0 ),

jer je x x xdef.= 0, y

def.= y y0 i otuda x0 + x = x, y0 + y = y.

Geometrijski tumaeni prirataji x z, y z, z, redom, predstavljaju dui A1B1, A2B2, A3B3 (vidi sl. 2.1.1).

. B ) (),(u 00033

22

11

fDyxT

BAz

BAzBAz

y

x

=

=

==

z B1 z = f (x, y)

2 B3

A1 A3 A2 y x (x0 + x, y0 + y) = (x, y)

T0 = (x0, y0) y x

Sl. 2.1.1.

Na primjer, ako je je z = xy2 = f (x, y), T0 = (1, 2), x = 0,1; y = 0,2 , onda je

x z (T0) = f (x0 + x, y0) = f (1,1; 2) f (1, 2) = 0,4, y z (T0) = f (x0 , y0 + y) = f (1; 2,2) f (1, 2) = 0,84, z (T0) = f (x0 + x, y0 + y) = f (1,1 ; 2,2) f (1, 2) = 1,324.

23 Ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda za nju definiramo parcijalne prirataje x u, y u, z u i totalni prirataj u (sve u datoj taki T0 = (x0, y0, z0)D(u)), redom formulama:

x u = f (x0 + x, y0, z0) f (x0, y0, z0), y u = f (x0 , y0 + y, z0) f (x0, y0, z0), z u = f (x0 , y0, z0 + z) f (x0, y0, z0), z = z z0 , u = f (x0 + x, y0 + y, z0 + z) f (x0, y0, z0).

Analogno se definiraju parcijalni prirataji ix

u, i{1, 2, ..., n}, funkcije u = f (x1, x2, ..., xn) od n nezavisno promjenljivih, kao i njen totalni prirataj u (svi u datoj taki T0 = (x1(0), x2(0), ..., xn(0)) D(u)). Parcijani izvod (preciznije: prvi parcijalni izvod ) funkcije z = f (x, y) u taki T0 = (x0, y0) (datoj), T0D( f ), po promjenljivoj x definiramo formulom

xTz

xyxfyxxf x

xx

=

+

)(lim),(),(lim 00

0000

0 (2.1.1)

(ako postoji ova granina vrijednost) i oznaavamo ga bilo kojim od simbola:

xyxf

xyxz

xTf

xTzyxfyxzTfTz xxxx

),( ,),( ,)( ,)( ),,(' ),,(' ),(' ),(' 000000000000

.

Parcijalni izvod funkcije z = f (x, y), u proizvoljnoj taki T = (x, y) D( f ), po promjenljivoj x, definiramo formulom

xz

xyxfyxxf x

xx

=

+ 00

lim),(),(lim (2.1.1)'

i oznaavamo bilo kojim od simbola: )(' ),(' , , ),,(' ),,(' ,' ,' TfTz

xf

xzyxfyxzfz xxxxxx

.

Analogno je

yTz

yyxfyyxf y

yy

=

+

)(lim),(),(lim 0

0

0000

0 (2.1.2)

prvi parcijani izvod funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u taki T0 = (x0, y0) D( f ) i

yz

yyxfyyxf y

yy

=

+ 00

lim),(),(lim (2.1.2)'

prvi parcijalni izvod funkcije z = f (x, y) po y u proizvoljnoj taki T = (x, y) D( f ).

Izvod (2.1.2) oznaavamo bilo kojim od simbola:

yyxf

yyxz

yTf

yTzyxfyxzTfz yyyy

),( ,

),( ,

)( ,

)( ),,(' ),,(' ),(' ,' 00000000000

;

a izvod (2.1.2)' oznaavamo bilo kojim od simbola:

yTf

yTz

yyxf

yyxzyxfyxzfz yyyy

)( ,

)( ,

),( ,

),( ),,(' ),,(' ,' ,'

. Parcijalne izvode funkcije tri ili vie nezavisno promjenljivih definiramo i oznaavamo analogno. Na primjer, ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda se pracijalni izvod (preciznije: prvi parcijalni izvod) po x u taki T0 = (x0, y0, z0) D( f ) definira izrazom

xTu

xzyxfzyxxf x

xx

=

+

)(lim),,(),,(lim 00

000000

0

i oznaava jednim od simbola:

),,(' ),,,(' ,),,( ,),,( ,

)( ,)( ),(' ),(' 0000000000000000 zyxfzyxuxzyxf

xzyxu

xTf

xTuTfTu xxxx

. Dakle, parcijalni izvod funkcije od dvije ili vie nezavisno promjenljivih po nekoj od tih promjenljivih definira se kao izvod funkcije jedne od tih promjenljivih (one po kojoj izraunavamo

24parcijalni izvod) uz uslov da sve ostale promjenljive ostaju postojane (mirne) dok izraunavamo taj izvod, tj. openito imamo:

Definicija 2.1.1. Neka je funkcija f (x) : = f (x1, ..., xn); (xi R, i = 1, ..., n) definirana u nekoj okolini take A : = (a1, ..., an)(Rn). Posmatrajmo tu funkciju za zadane vrijednosti njenih argumenata:

x1 = a1 , x2 = a2, ..., xi 1 = ai 1 , xi + 1 = ai + 1 , ..., xn = ankao funkciju jednog argumenta xi (i = 1, ..., n). Parcijalnim izvodom, odnosno parcijalnom derivacijom prvog reda funkcije f po argumentu xi u taki A naziva se konaan ili beskonaan izvod funkcije f (a1, a2, ..., ai 1 , xi , ai + 1 , ..., an) u taki ai. Ovaj izvod obiljeavamo sa Di f (A) ili

ixAf

)( ili , pri emu je )(' Af

ix

)(' Afix

= ii

niiiniii

ax axaaaaafaaxaaf

ii ++

),...,,,,...,(),...,,,,...,(lim 111111 , xi = ai + xi .

Vrijednost , jasno, ovisi o taki A tako da ako je A promjenljiva taka, onda izraz definira odreenu realnu funkciju od n realnih promjenljivih.

)(' Afix

)(' Afix

U tom smislu neka je E* skup svih taaka iz domena funkcije f u kojima postoji konaan parcijalni izvod . Tada je , x E'

ixf )(' xf

ix*, funkcija od n argumenata x1, ..., xn. Funkcija ,

xE)(' xf

ix

* naziva se parcijalnim izvodom (parcijalnom derivacijom) funkcije f po promjenljivoj xi. Definicija 2.1.2. Funkcija koja u nekoj oblasti ima neprekidne parcijalne izvode po svakom od svojih argumenata naziva se glatkom na toj oblasti. Zadaci 2.1.1. a) Izraunati parcijalne izvode funkcije z = x2 + sin (x + y2) u proizvoljnoj taki T = (x, y)D( f ). b) Izraunati ux', uy', uz' u taki T = (x, y ,z)D( f ), ako je u = f (x, y, z) = xy + ln(x y z). (Rjeenje: ux' = y + zyx

1 , uy' = x zyx 1 , uz' = zyx

1 .)

c) Ako je u = xy + sin2(z xt), izraunati ux', uy', uz', ut' u proizvoljnoj taki T = (x, y, z, t)R4. Brzina rasta funkcije z = f (x, y) u dva osnovna smjera, u smjeru koordinatne osi Ox i Oy, oko take (x0, y0) je data parcijalnim izvodima funkcije f u taki (x0, y0).

Geometrijski interpretiran zx'(T0), T0 = (x0, y0)D( f ), je koeficijent pravca (tg ) tangente na presjenu krivu

k P ( y = y0) povri P (ija je jednaina z = f (x, y)) i ravni y = y0, u taki M0 = (x0, y0, z0), z0 = f (T0)= f (x0, y0),

u odnosu na pozitivan smjer ose Ox (vidi sl. 2.1.2).

z P : z = f (x, y) M0 k P ( y = y0) M0 k, M0 = (x0, y0, z0), z0 = f (x0, y0) k : z = f (x, y0) zx' = fx' 0 y T0 = (x0, y0) x y = y0 Sl. 2.1.2.

Analogno geometrijsko znaenje ima parcijalni izvod zy'(T0), gdje je T0 = (x0, y0)D( f ).

25 Primijetimo da su limesi koji se pojavljuju u definiciji parcijalnih izvoda limesi funkcije jedne promjenljive, a ne funkcija dviju ili vie promjenljivih. No, izraunavanje parcijalnih izvoda po definiciji je dosta nepraktino, ali je ponekad nuno. Osnovne teoreme diferencijalnog rauna realnih funkcija j