I. NETIESINĖS DINAMIKOS PAGRINDAIII. CHAOSO TEORIJA IR JOS TAIKYMAI

Lireratūra:I. NETIESINĖS DINAMIKOS PAGRINDAI• K. Pyragas. Netiesinės dinamikos pagrindai, virtuali leidykla-knygynas,

www.Skaityk.lt, 2003.• A. A. Aндронoв, A. A. Витт, С. E Хaйкин. Teoрия кoлeбaний. Moсквa

Нaукa, 1981.

II. CHAOSAS IR FRAKTALAI• M. Cross. Chaos on the web,

http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/Chaos_Course/• С. П. Kузнeцoв, Динaмичeсий хaoс, Moсквa Физмaтлит, 2001 (Knyga

yra internete: http://www.fizmatlit.narod.ru/webrary/kuzn/kuzn.htm).

Šių paskatų skaidres galima pasiimti mano asmeninėje svetainėje:

http://pyragas.pfi.lt/

Netiesinės dinamikos pagrindai

•ĮVADAS•Istorinė apžvalga, dinaminių sistemų klasifikavimas.

•PIRMOSIOS EILĖS SISTEMOS•Grafinis tyrimo metodas, rimties taškai ir stabilumas, populiacijų gausėjimas.

•ANTROSIOS EILĖS SISTEMOS•Fazinis portretas, rimties taškai ir lygčių linearizavi-mas, konkurencijos modelis, ribiniai ciklai, van derPolio generatorius, relaksaciniai ir kvaziharmoniniaivirpesiai.

ĮVADASBet kurio mokslo tikslas yra gamtos reiškinių

klasifikavimas ir prognozė.Prognozei naudojami dinaminiai modeliai.

Dinaminės sistemos sąvoka:

1. X(t) = {x1(t)…, xn(t)} – dinaminiai kintamieji

2. L(t) – evoliucijos operatorius (difer. arba skirt.)

X(t) = L(t) X(0)

Istorinė apžvalga1666

1700-ieji

1800-ieji

1890-ieji

1920 -1950

1920 -1960

Newton Leibniz

Poincaré

BirkhofKolmogorovArnoldMoser

Integralinio ir diferencialinio skaičiavimo atradimas, planetų judėjimo paaiškinimas.

Klasikinės mechanikos bei diferencialinio ir integralinio skaičiavimo plėtojimas.

Analiziniai planetų judėjimo tyrimai.

Kokybiniai diferencialiniu lygčių tyrimo metodai, grafinis metodas, chaoso užuomazgos.

Netiesiniai virpesiu generatoriai; radijo, radaro bei lazerio atradimas.

Sudėtingas elgesys Hamiltoninėje mechanikoje.

1963

1970-ieji

1980 - …

Lorenz

RuelleTakens

May

Feigenbaum

Mandelbrot

Keistasis atraktorius paprastame konvekcijos modelyje.

Turbulencija ir chaosas.

Logistinis atvaizdas – paprastas chaotinės sistemos pavyzdys.

Universalumas ir renormalizacija, fazinių virsmų ir chaoso teorijų sąryšis.

Eksperimentiniai chaotinių sistemų tyrimai.

Fraktalai.

Personalinių kompiuterių atsiradimas. Platus susidomėjimas chaosu ir jo taikymais.

• Apsistosime šiek tiek detaliau ties dinaminio chaoso atsiradimo istorija. 1887 m. švedų karalius paskelbė konkursą moksliniam darbui, kuris turėjo atsakyti į klausymą „ar mūsų saulės sistema yra stabili?“

• Laimėjęs konkursą Puankarė pastebėjo, kad padarė klaidą ir beveik visus premijos pinigus panaudojo tam, kad pakeisti viso žurnalo leidinį, kuriame buvo atspausdinti klaidingi rezultatai.

Niutonas išsprendė dviejų kūnųproblemą

Puankarė parodė, kad trijų kūnųproblemą yra „neišsprendžiama“

• Puankarė nagrinėjo trijų kūnų problemą (tarkime Saulė, Žemė ir Mėnulis) ir parodė, kad judėjimas gali būti labai sudėtingas (pagal šiuolaikinę terminologiją chaotinis).

• Trijų kūnų judėjimo animacija

• Konkursą laimėjo prancūzų fizikas ir matematikas Puankarė (Henri Poincare).

Henri Poincare (1854 - 1912)

Henri Poincare ir trijų kūnnų problema

Lorenz’o keistasis atraktorius (1963)

Benard’o nestabilumasT1

T2

g

Drugelio efektas

0 10 20 30 40-30.0

0.0

30.0

y

-40.0

0 10 20 30 40

0.0

40.0

∆y

t

Lorenz’o modelis

( )

zbyxzzxyxry

xyx

−=−−=

−=

&

&

& σ

Dinaminių sistemų klasifikavimas

Paprastosios diferencialinės

lygtys

Diferencialinės lygtys su dalinėmis

išvestinėmis

Diferencialinės lygtys (tolydinis laikas)

Skirtuminės lygtys (diskretinis laikas)

Dinaminiai modeliai

Pagrindinis netiesinės dinamikos tyrimo objektas

n eilės dinaminė sistema (normalinis pavidalas)

( )

( ).,,

,,,

1

111

nnn

n

xxfx

xxfx

L&

M

L&

=

=

dtdxx kk ≡&

n - laisvės laipsnių skaičius (fazinės erdvės dimensija)

x1

x2

( )nxx ,,1 L - dinaminiai kintamieji

xn

O

Pavyzdžiai

kxxbxm −−= &&&

Tiesinė svyruoklė

xxxx &== 21 ,

122

21

xmkx

mbx

xx

−−=

=

&

&

mx

ϕϕ sinmgmL −=&&

Matematinė svyruoklė

ϕϕ &== 21 , xx

12

21

sin xLgx

xx

−=

=

&

&

m

ϕL

Kaip tirti netiesinius uždavinius?

1. Pamėginti išspręsti analiziškai (elipsinės f.)

12

21

sin xLgx

xx

−=

=

&

&

2. Supaprastinti uždavinį

11sin xx ≈

(gauname tiesinį uždavinį)

{x1(t), x2 (t) }

x1

x2

{x1(0), x2 (0) }

4. Skaitmeninė analizė

(tapo populiari, kai atsirado personaliniai kompiuteriai)

3. Grafinis metodas

{x1(t), x2 (t) } – sist. sprend

Neautonominės sistemos( )

( ).,,,

,,,,

1

111

nnn

n

xxfx

xxfx

L&

M

L&

=

= t

t

tx ω=3

ω=

+−−=

=

3

3122

21

cos

x

xmAx

mkx

mbx

xx

&

&

&

Neautonominė svyruoklė:

tAkxxbxm ωcos=++ &&&xxxx &== 21 ,

tmAx

mkx

mbx

xx

ωcos122

21

+−−=

=

&

&

Kodėl netiesiniai uždaviniai sudėtingi?

Tiesinės sistemos

xk

x1 x2 x3

Galioja superpozicijos principas:

∑=k

kk xCX

Netiesinės sistemos

xk

x1 x2 x3

Negalioja superpozicijos principas:

∑≠k

kk xCX

“Dinaminis” požiūris į mokslą

Pirmosios eilės sistemos

x

Grafinis metodas

f(x) -greitis( )xfx =&

Kintamųjų atskyrimo metodu galima išspręsti analiziškai:

( ) Cxfdxt += ∫

x0

x f(x)

x

Stabilusis rimties taškas

Nestabilusis rimties taškas

Problemos:1. Ne visuomet pavyksta

suintegruoti integralą

2. Gaunama priklausomybė t = ϕ (x) o ne x = ψ (t)

Populiacijų gausėjimas

Logistinė lygtis (Verhulst, 1838):

( )KNrr −→ 1

( )KNrNN −= 1&rteNN 0=rNN =&

Jeigu pakanka erdvės ir maisto, tai prieaugis yra proporcingas kiekiui:

N

t

KK/2

N

N

KK/2Augimo ribojimas:

constrNN ==&

)(Nrr =r

NK

r

NK

Žmonių populiacijos gausėjimas

1750 1800 1850 1900 1950 200013.4

13.6

13.8

14.0

14.2

14.4

14.6

14.8

15.0

15.2

15.4

15.6

15.8

lnN

Metai

Santykinis gausėjimo greitis:( )dt

NddtdN

Nr ln1 ==

Dvigubinimosi periodas:

rteNN 0= ( ) 02NN =τ r2ln

=τ

(1750-1900): r = 0.52%/m, τ = 133m

(1950-1975): r = 2%/m, τ = 35m

(1975-2005): r = 1.4%/m, τ = 50m

Dabar absoliutus prieaugis: 80 mln. žm./m

1750 1800 1850 1900 1950 20000.0

2.0x106

4.0x106

6.0x106

Gyv

ento

jusk

aici

us, N

Metai

(http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Population)

Žmonių populiacijos prognozė(http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Population)

1960 1980 2000 2020 20402.4x106

2.6x106

2.8x106

3.0x106

3.2x106

3.4x106

3.6x106

3.8x106

Zmon

iusk

aici

us

Metai

(http://esa.un.org/unpp/)

PasaulisLietuva

Tiesinė stabilumo analizėLogistinė lygtis

( ) ( )NfKNrNN =−= 1&( )xfx =&

∗x - rimties taškas, t.y. ( ) 0=∗xf

( )=∆+==∆ ∗xfx&&( ) ( ) ( )2∆+′∆+= ∗∗ oxfxf

( )∗′∆=∆ xf& ( )∗′∆=∆ xfte0- nestabilusis R.T.( ) 0>′ ∗xf- stabilusis R.T. ( ) 0=′ rf

Nestabilusis rimties taškas, r1=τ

KN =∗2 ( ) 0

Potencialas

xbxm &&&

Virpesių nebuvimasPirmosios eilės sistemose nėra

osciliuojančių sprendinių!

( )xfx =&

x0

x f(x)

x

Grafinė iliustracija: Mechaninė iliustracija:

xbxm &&&

Antrosios eilės sistemosKaip kokybiškai pavaizduoti

sistemos trajektorijas?( )( )yxgy

yxfx,,

==&

&

1. Izoklinių metodas2. Linearizacios metodas

( )yx, ( )yx &&,Svarbi savybė išplaukianti iš

sprendinio vienaties teoremos:

Trajektorijos fazinėje plokštumoje negali kirstis!

x

y

x1

y1

{f(x1,y1),g(x1,y1)}

x2

y2 {f(x2,y2),g(x2,y2)}

Izoklinių metodasTiesinė svyruoklė

0=+ xx&&

x

xyyx−=

=&

&

2. Vertikalusis laukas ( ):0=x&y = 0 – tai yra x ašis

( ) ( ) ( )1,0,0, −=−= xxyx &&

Bendras izoklinės apibrėžimas:

x&y&

constkxy

==&

&

( )yx, ( ) ( )xyyx −= ,, &&

Nulinės izoklinės:1. Horizontalusis laukas ( ):0=y&

x = 0 – tai yra y ašis( ) ( ) ( )0,10,, yyyx ==&&

( ) ( )1,1, kxyx −=&&kxy −=

x

yk = -1k = 1

centras

Rimties taškai ir lygčių linearizavimasLygčių linearizavimas

( ) ( )∗∗ −−= yyxxyx ,,δδ( )( )yxgy

yxfx,,

==&

&

( ) ( )0,0, =yx &&Rimties taškai:

( )( ) 0,

0,==

∗∗

∗∗

yxgyxf ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2

,,

,,

royyxgy

xyxgx

y

royyxfy

xyxfx

x

+∂∂

+∂∂

=

+∂∂

+∂∂

=

∗∗∗∗

∗∗∗∗

δδδ

δδδ

&

&

x

y

∗x

∗y

Kaip atrodo trajektorijos rimties taško aplinkoje?

?( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂∂∂∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∗∗ yx

ygxgyfxf

yx

yx δδ

δδ

,&

&

( )∗∗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂∂∂∂∂∂

=yxygxg

yfxfA

,

Jakobiomatrica

Tiesinės sistemos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y

x

vv

vr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y

x

y

x

vv

vv

dcba

λ

xAx r&r =

dycxybyaxx

+=+=

&

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

xr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

A

vex t rr λ= x

yvr

vex t r&r λλ= vAeve ttrr λλλ =

vvA rr λ=Matricos A tikrinių verčių uždavinys

( )( ) 0

0=−+=+−

yx

yx

vdcvbvva

λλ ( ) bavv xy λ−=

( ) cdvv yx λ−=

0det =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−λ

λdc

ba

02 =∆+−σλλCharakterin-goji lygtis

daTrA +==σ bcadA −==∆ det

∆−±= 42 22,1 σσλ

xAx r&r =

( ) 2211 21 veCveCtx ttrrr λλ +=

Bendrasis sprendinys:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

AdaTrA +==σ

bcadA −==∆ det

∆−+=42

2

1σσλ ∆−−=

42

2

2σσλ

Konstantos C1 ir C2 nustatomos iš pradinės sąlygos :( ) 00 xx

rr=

22110 vCvCxrrr

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=a

bv

11 λr

( )0≠b ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=a

bv

22 λr

0xr

11vCr

22vCr

x

y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

cd

v 11λr

( )0≠c ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

cd

v 22λr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

1vr ( )0== cb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

2vr

da == 21 ,λλ

Sprendinių klasifikavimas

( )4/2σ

Rimties taškų klasifikacinė diagrama

∆−±=42

2

2,1σσλ

02 =∆+−σλλ

∆=21λλ

σλλ =+ 21

Konkurencijos modelisLotka ir Voltera modelis

2

2

23

yyyxxx

−=−=

&

& -2xy-xy

x(t) – triušių sk. laiko momentu ty(t) – avių sk. laiko momentu t

Rimties taškai:( )( ) 02

023=−−=−−

xyyyxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−−−=

yxyxyx

A22

2223

Jakobianas:

( )0,0 ( )2,0( )0,3 ( )1,1

( )0,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2003

A nestabilusis mazgas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

01

,3 11 vrλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

10

,2 22 vrλ

x

y

1 2

1

2

3

Konkurencijos modelis

( )2,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=2

1,1 11 vrλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

10

,2 12 vrλ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

2201

A stabilusis mazgas ( )1,1 ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛−−−−

=1121

A balnas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=±−=

12,21 2,12,1

mrvλ

x

y

1 2

1

2

3

( )0,3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

=1063

A stabilusis mazgas

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

01

,3 11 vrλ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=1

3,1 12 vrλ

Ribiniai ciklai (autovirpesiai)

Stabilusis ciklas

Nestabilusis ciklas

Pusiau stabi-lusis ciklas

Autovirpesiai – tai savaimeatsirandantys sistemoje perio-diniai virpesiai, kai ją neveikia jokios periodinės jėgos.

Nusistovėjusių autovirpesių amplitudė ir dažnis nepriklauso nuo pradinių sąlygų.

Autovirpesiai gali atsirasti tik netiesinėse sistemose!

( )txCr( )txr

xAx r&r =

Tiesinėse siste-mose gali būti tik neizoliuotos uždaros orbitos!

Fazinėje erdvėje autovirpesiai atitinka ribinį ciklą (Andronov)

Ribiniu ciklu vadinama izoliuota uždara fazinės erdvės trajektorija.

Autovirpesinių sistemų pavyzdžiaiParastas modelis: ribinis ciklas polinėse koordinatėse

( )1

1 2

=−=

ϕ&& rrr

ϕϕ

sincos

ryrx

==

Van der Polio generatoriusVan der Polio

lygtis( ) 012 =+−+ xxxx &&& µ

( ) 20300 / IIRIRIf +−=

( ) ( )12 −= xxb µ - netiesinis trinties koef. ( ) ,1,0 > xkaixb

5.1=µ( )IVC

IfVIL=

=++&

& 0

( ) 0/3/ 02020 =−++ IRIIRCIIL &&&

,/3 0IIx = ,/ LCt=τ

CLR //0=µ

Bedimensiniai kintamieji:

x

yRelaksaciniai virpesiai

( ) 012 =+−+ xxxx &&& µ1>>µ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=−+ xxx

dtdxxx 32

311 µµ &&&&

( ) xxxF −= 331 ( ) yxFx µµ =+&

( )0

0=

=−y

xFy&

∞→µ( )

constyxFy

==

lėta

s

greitas

( )[ ]µ

µxy

xFyx−=

−=&

& (greitas)

(lėtas)

BC

D A

x

t

AB

C D

A

Periodas: dxdxdy

dydtdtT B

A

B

A

x

x

t

t ∫∫ =≈ 2

( ) dxx

xdxxFx

T BA

x

x ∫∫−

−=′−

≈1

2

2 122 µµ

( )2ln23−≈ µT

y=F(x)

Kvaziharmoniniai virpesiai

( ) 012 =+−+ xxxx &&& ε1

Kvaziharmoniniai virpesiai

:ite 0142

2

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+A

AA ε&

( ) 012 =−++ xxxx &&& ε[ ] ( ) ( ) ( ) 0

21

41 22 =+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+++ −∗−∗−∗ εε oeAeAieAeAeAeAi itititititit &&

,ϕireA = ( ) ϕϕ ieirrA &&& +=

04

12

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ϕ&

&rrr

r&

r2const== 0ϕϕ

( ) 2→tr( ) ( ) ( )0cos ϕ+= ttrtx ∞→t

Skaitmeninis rezultatas tiesiogiai integruojant lygtį:

1.0=ε

Chaoso nebuvimasPuankarė ir Bendiksono teorema

Tarkime kad:

2. yra tolydžiai diferencijuojamas vektorinis laukas .

( )xfx rr

&r =Rx ∈r

3. R srityje nėra rimties taškų.

1. R yra aprėžta uždara plokštumos sritis.R

Tuomet trajektorija C asimptotiškai artėja prie ribinio ciklo, kai .∞→t

4. Egzistuoja R srityje “uždaryta” trajektorijaC, kuri prasideda toje srityje ir pasilieka joje visam laikui.

C

Antrosios eilės sistemose negali būti chaoso!

Dinaminių sistemų atraktorių klasifikavimas

x

t

eksponentinisgesimas

stabilus mazgas

0=d

x

t

gęstantysvirpesiai

stabili spiralė

0=d

x

t

autovirpesiai

stabilus ribinis ciklas

1=d