I numeri decimali

… e il loro legame con le frazioni

Decimali e frazioni

Un numero decimale è come una frazione scritta in modo diverso (3.75 è come 3 ¾)

Spesso, tuttavia, per un bambino è difficile riconoscere l’equivalenza (problema della conversione di registri rappresentativi: Duval)

Inoltre, le frazioni vengono spesso rappresentate come “aree” o “regioni”, mentre i numeri decimali vengono modellizzati in modo più simile ai naturali

I temi dei numeri decimali e delle frazioni vanno sviluppati in stretta connessione tra loro nel secondo ciclo, anche se è probabilmente ragionevole che le frazioni siano introdotte prima

Errori con i decimali

Errori con i decimali

Significato formale e intuitivo delle operazioni: la moltiplicazione (II)

• Esempio di misconcezione. “La moltiplicazione accresce, la divisione diminuisce”.

1) Un metro di stoffa costa 15 Euro. Quanto costano 0,75 metri?

2) Una bottiglia di aranciata, che contiene 0,75 litri, costa 2 Euro. Qual è il prezzo di 1 litro?

Significato formale e intuitivo delle operazioni: la moltiplicazione (III)Primoproblem

a

classe n. alunni % risposte sbagliate

V primaria 73 58,9%

I media 100 48,0%

I liceo scientifico 49 20,4%

classe n. alunni % risposte sbagliate

V primaria 73 57,5%

I media 100 49,0%

I liceo scientifico 49 22,5%

Secondoproblem

a

Significato formale e intuitivo delle operazioni: la divisione (I)• Divisione di partizione e di contenenza• Esempio di misconcezione. “Il dividendo

dev’essere maggiore del divisore”. 1) 12 amici acquistano 5 kg di

pasticcini. Quanti ne toccano a ciascuno?

Significato formale e intuitivo delle operazioni: la divisione (II)

classe n. alunni % risposte sbagliate

V primaria 73 61,6%

I media 100 64,0%

I liceo scientifico 49 12,5%

Frazioni decimali

Modelli ad area

Modelli a striscia

Denaro

Attività sulle conversioni di registro

Modellare una frazione decimale, per esempio 65/100

E’ più o meno di 1? Di 2/3? Di ¾? In quali modi diversi si può esprimere

questa frazione usando i decimi e i centesimi (“6 decimi e 5 centesimi”; “65 centesimi”)?

Scrivere questa frazione in due modi diversi (65/100, 6/10 + 5/100)

Valore posizionale e numeri decimali

Un’attività preliminare ai numeri decimali è il ripasso del valore posizionale: tra la cifra precedente e la successiva in un numero c’è un rapporto di 1 a 10

Nei modelli, ciò corrisponde al rapporto tra un quadratino (o una striscia) e uno dieci volte più piccolo

Ci si ferma all’unità? No: si può benissimo pensare a un quadratino (o una striscia) dieci volte più piccolo di quello unitario

…E non esiste un quadratino (o striscia) più piccolo di tutti!

Scopo della discussione: il rapporto 10 a 1 tra grandezze si può estendere indefinitamente in entrambe le direzioni

Il ruolo della virgola

Poniamoci una domanda: Quale quadratino o striscia deve rappresentare

l’unità? La scelta è del tutto arbitraria La virgola indica cosa dobbiamo considerare come unità: è

posta a destra della cifra delle unità Si può usare un emoticon per rappresentare la virgola

superstrisce quadratini strisce bruscolini

Dalle frazioni decimali ai decimali e viceversa

Usando il modello ad area del quadrato, fare la convenzione che l’intero quadrato rappresenti l’unità

Chiedere agli studenti di colorare (oppure coprire con superstrisce, quadratini, strisce e bruscolini) 2 e 35/100 del quadrato

Gli studenti costruiranno l’idea che sono necessari due ulteriori quadrati rispetto a quello assegnato

Chiedere di scrivere questa frazione come numero decimale e far vedere il collegamento usando il modello ad area

Obiettivo: 2 e 35/100 è lo stesso di 2,35 perché ci sono 2 unità, 3 decimi e 5 centesimi

Fare anche l’esercizio inverso

Il senso del numero per i decimali

¼ = 25/100 = 0,25

Dalle frazioni “amiche” ai decimali

Stima e poi verifica

Vicino a una frazione “amica”

Ordinare numeri decimali

Errore comune:2,27 è maggiore di 2,3 perché 27 è maggiore di 3MODELLO DI NUMERO DECIMALE COME NUMERO “DOPPIO”Errore opposto:2,371 è minore di 2,3 perché i numeri molto a destra della virgola rappresentano quantità “piccole”

Mettili in fila!

Più vicino, più carino

Operazioni coi decimali

APPROCCIO TRADIZIONALE Addizione e sottrazione: “allinea tra loro le

virgole” Moltiplicazione: “conta le cifre decimali e sposta

la virgola nel posto opportuno” Divisione: “sposta le virgole del divisore e del

dividendo in modo che il divisore sia un numero intero”

APPROCCIO COSTRUTTIVISTA Queste regole mnemoniche non sono necessarie

se si ha una solida comprensione del valore posizionale e del legame tra numeri decimali e frazioni

Stime e approssimazioni

Provate a fornire una stima di: 4,907 + 123,01 + 56,1234 459,8 – 12,345 24,67 x 1,84 514,67 : 3,59 Buone stime potrebbero essere le seguenti: Tra 175 e 200 Tra 425 e 450 Vicino a 50 (1,84 è vicino a 2) Tra 125 e 200 (600 : 3 = 200, 500 : 4 = 125)

Addizione e sottrazione

“Max e Sergio fanno una gara di corsa. Max impiega 74,5 secondi, Sergio 81,34 secondi. Di quanti secondi Max è stato più veloce di Sergio?”

Errore tipico: i bambini allineano il 5 sotto il 4

Far precedere il calcolo del risultato esatto da una stima: il valore atteso è circa 7 secondi

Alcune strategie che i bambini possono sviluppare:

74,5 + 7 = 81,5, ma è 0,16 di troppo; quindi 6,84

74,5 + 0,5 = 75 + 6 = 81 + 0,34 = 81,34; mettendo tutto insieme fa 6,84

Somme e differenze esatte

Moltiplicazione

Far costruire, usando prodotti facili e il calcolatore, l’idea che un prodotto decimale ha le stesse cifre di un prodotto con numeri interi che coinvolge le stesse cifre

Chiedere agli studenti di calcolare 24 x 63. Poi chiedere di stimare, e successivamente, calcolare esattamente, i prodotti:

0,24 x 6,3 24 x 0,63 2,4 x 63 Il bambino sarà in grado di fornire la risposta esatta (ossia

piazzare la virgola al posto giusto) usando solo la stima effettuata e il prodotto di numeri naturali calcolato, senza contare il numero di cifre decimali

VANTAGGIO: effettuare la stima accresce il senso del numero, contare il numero di cifre decimali è “nonsenso del numero”

Divisione

“Pino fa un viaggio a Roma, percorrendo 282,5 km. Ci mette quattro ore e mezza. Quanti chilometri ha percorso in media in un’ora?”

Si procede esattamente come con la moltiplicazione!

Il bambino sarà alla fine in grado di fornire la risposta esatta (ossia piazzare la virgola al posto giusto) usando solo la stima effettuata e il quoziente di numeri naturali calcolato, senza spostare la virgola a destra e a sinistra in modo meccanico