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J.P. SAUTYDR/HYT

BRGML'ENTREPRIS! AU SERVICE DE LA TERRE

Projet de recherches EG42

Modélisation tridimensionnelledes écoulements et du transport

dans un massif fracturé à matrice poreuse

Rapport de synthèse

sur les travaux effectués par :B. Bourgine, J.-P. Chiles, E. Fillion, M. Lambert,

Th. Lege*, A. Menjoz, M-L. Noyer,O. Rossignol**, J.-P. Sauty, R. Schreiner**

* Institut für Strömungsmechanik, Université de Hanovre (RFA)* * Université d'Orléans

J.-P. Sauty

août 1993R 37173

BRGMServices Sol et Sous-Sol

Département 4S/EAUB.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - France

Tél. : (33) 38.64.34.34

Projet de Recherches EG42, Rapport de synthèse

Note liminaire

PROGRAMME DE RECHERCHES EG42

Modélisation tridimensionnelle des écoulements et du transport dans un massif fracturé à matrice poreuse.

Pour résoudre les problèmes d'écoulement et de transport au voisinage d'ouvrages souterrains réalisés dans un milieu fracturé où l'eau s'écoule à la fois dans la matrice poreuse et le réseau de fractures, les modélisateurs ont besoin d'un outil spécifique : la représentation de la géométrie complexe du domaine avec les ouvrages d'une part, et le réseau de fractures d'autre part, induisent naturellement le choix d'éléments finis. Après enquête, menée en collaboration avec le Pr. W . Kinzelbach, le code R O C K F L O W développé par l'Institut fur Stromungsmechaniks de l'Université de Hanovre s'est avéré le mieux adapté pour répondre à nos besoins ; il permet de combiner des éléments finis 3 D pour la matrice, avec des éléments plans pour les fractures (et, éventuellement des éléments monodimensionnels pour des forages ou des drains).

Le travail réalisé dans le cadre du projet E G 4 2 , a consisté :

• à expérimenter le fonctionnement et la précision du code, par une série de tests tirés de l'exercice international H Y D R O C O I N . Ces tests ont été ensuite complétés sur contrat A N D R A , dans des configurations plus proches de celles d'un stockage de déchets radioactifs.

• à porter un effort sur l'adaptation de mailleurs, et le développement de techniques de maillage automatique (coopération avec le Pr. Taniguchi -Université de O k a y a m a , Japon-, et encadrement de deux stagiaires du Pr. Martinez -Université d'Orléans-).

• à développer dans R O C K F L O W , en coopération avec Hanovre, un module de transport par particules, pouvant fonctionner en alternative du module de transport T M qui recourt à des éléments finis tridimensionnels (chacune des deux techniques a ses avantages propres, et il est utile de pouvoir les mettre en concurrence, en fonction du type d'application).

• la simulation du transport par des particules nécessite la connaissance du vecteur vitesse en tous points, alors que le module S M qui calcule les écoulements fournit les charges aux noeuds du maillage. Il fallait donc mettre au point une méthode d'interpolation. Deux approches géostatistiques ont été développées.

• enfin, l'ensemble des rapports descriptifs des modules de la chaîne R O C K F L O W étant écrits en allemand, et étant souvent elliptiques quant à la présentation des méthodes utilisées, un rapport B R G M a été rédigé pour chacun d'entre eux, sous forme de manuels d'utilisation.

L e présent rapport, fait partie de l'ensemble des rapports finaux du projet E G 4 2 , dont la liste suit :

Rapport BRGM R 37173 SGN-GCH 93 2


LISTE DES RAPPORTS FINAUX DU PROJET DE RECHERCHE EG42

Présentation générale des résultats :

• Projet E G 4 2 , modélisation des écoulements et du transport dans un massif fracturé à matrice poreuse. Note de synthèse par J.P. Sauty, (R 37173 G C H S G N 93).

Vitesses, lignes de courant, particle tracking :

• Interpolation d'un champ continu de vitesses par krigeage, avec prise en compte de div(V)=0, par B . Bourgine et J.P. Chiles, (R 36473 ISA S G N 92).

• Méthode de calcul des lignes de courant à partir de vitesses discrètes, application en 2 D , par M . Lambert, E . Fillion et A . Menjoz, (R 36894 IRG S G N 93).

• R O C K F L O W : Theory, user's guide and first applications of the "Particle Tracking" transport module (PT), by E . Fillion, Th. Lege and J.P. Sauty, (R 37175 E A U 4S 93).

Mailleurs automatiques

• R O C K F L O W : Description de mailleurs éléments finis associés au code R O C K F L O W , par

E . Fillion, (R 37176 E A U 4S 93).

• Contribution à un mailleur 3 D par la technique des octrees modifiés, rapport de stage de Maîtrise Ingénierie Mathématique, 1991, par O . Rossignol et E . Fillion, (R 37177 E A U 4S 93).

*

• Contribution à un mailleur multi-horizons (technique des octrees), rapport de stage D E S S, 1992, par R . Schreiner et E . Fillion, (R 37178 E A U 4S 93).

Tests de performance

• R O C K F L O W : Mise en oeuvre sur quelques exemples type du module de calcul des écoulements (SM), tests systématiques, par E . Fillion, A . Menjoz, J.P. Sauty, (R 37179 E A U 4S 93).

Manuels d'utilisation des modules originaux de R O C K F L O W

• R O C K F L O W : Théorie et mode d'emploi du module de calcul des écoulements (SM) , par E . Fillion, et M . L . Noyer, (R 37181 E A U 4S 93).

• R O C K F L O W : Théorie et mode d'emploi du module de calcul du transport, par éléments finis ( T M ) , par E . Fillion, (R 37182 E A U 4S 93).

• R O C K F L O W : Théorie et mode d'emploi du module de calcul des écoulements d'un fluide à densité variable ( D M ) , par M . L . Noyer et E . Fillion, (R 37183 E A U 4S 93).



TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 6

1. LE SYSTEME DE SIMULATIONS ROCKFLOW 10 1.1. Organisation générale 10 1.1.1. Liste des différents modules 10 1.1.2. Enchaînement des modules 10 1.1.3. Portabilité 11 1.1.4. Normalisation des fichiers 11 1.1.5. Homogénéité des différents modules 11 1.1.6. Système structuré et ouvert 11 1.1.7. Maintenance et mise à jour 12 1.1.8. Principales caractéristiques des modules 12 1.2. Simulation des écoulements, module S M 13 1.2.1. Classe de problèmes résolus par S M 13 1.2.2. Technique de résolution programmée dans S M 14 1.2.3. M o d e d'emploi S M 15 1.3. Simulation du transport par éléments finis, module T M 15 1.3.1. Classe de problèmes résolus par T M 16 1.3.2. Technique de résolution programmée dans T M 16 1.3.3. M o d e d'emploi de T M 17 1.3.4. Exemples de cas d'application de T M 17 1.4. Simulation des écoulements à densité variable, module D M 18 1.4.1. Classe de problèmes résolus par D M 18 1.4.2. Mise en équation 18 1.4.3. M o d e d'emploi de D M 20 1.5. Tests de performance 20 1.5.1. Pompage dans une île circulaire 21 1.5.2. Réseau infini de doublets 22 1.5.3. Ecoulement transitoire par pompage continu dans un milieu infini 22 1.5.4. Puits à pénétration partielle 22 1.5.5. Charge sinusoïdale imposée 22 1.5.6. Conclusions sur les tests de S M 22

2. MODELISATION DU TRANSPORT PAR PARTICULES 24 2.1. Introduction 24 2.2. Interpolation des vitesses par krigeage, calcul des lignes de courant 27 2.2.1. L a méthode d'interpolation des vitesses 27 2.2.2. Calcul des lignes de courant 27 2.2.3. L a routine T R A C V I T 28 2.2.4. Applications 28 2.2.5. Conclusions 29 2.3. Interpolation des vitesses par krigeage contraint par l'équation

de continuité 30 2.3.1. Choix de l'estimateur des vitesses pour que div V = 0 30 2.3.2. Contrôle des performances 30



2.3.3. Conclusions 31 2.4. Simulation du transport par déplacements aléatoires 32 2.4.1. Transposition de la méthode de Pollock 32 2.4.2. Transformations élément réeloélément de référence 35 2.4.3. Options du module P T 36 2.4.4. Vérifications, résultats 37 2.4.5. Conclusions, futurs développements 38

3. TRAVAUX SUR LES MAILLEURS AUTOMATIQUES 40 3.1. Introduction 40 3.2. Mailleurs disponibles en 1992 41 3.2.1. Mailleur 2 D Delaunay-Taniguchi 41 3.2.2. Technique des Macro-éléments 44 3.2.3. Technique du maillage "pseudo-3D" 44 3.2.4. Maillage 2 D , obtenu par une coupe dans un maillage 3 D 44 3.3. Technique des octrees modifiés 44 3.3.1. Présentation de la méthode des octrees modifiés 44 3.3.2. Travail réalisé dans le cadre du stage de R . Rossignol 45 3.3.3. Archivage 45 3.4. Contribution à un mailleur multi-horizons 45 3.4.1. Le raffinement des cubes adjacents 45 3.4.2. Passage à l'octree coloré 46 3.4.3. Découpage d'un cube 46 3.4.4. Exemples 46 3.4.5. Archivage 46 3.4.6. Travaux complémentaires pour aboutir à un mailleur opérationnel par la

technique des octrees 46 3.5. Conclusions sur les mailleurs 46

4. C O N C L U S I O N S E T PERSPECTIVES 49

BIBLIOGRAPHIE 52

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : R O C K F L O W : Benchmark 3 D du module d'écoulement S M ; schéma du problème, et potentiels hydrauliques calculés dans le plan Y = 0 8

Figure 2 : Réseau de doublets - Modélisation à l'aide de S M : comparaison avec

la solution analytique 23

Figure 3 : Exemple de maillage Delaunay - Taniguchi 43

Figure 4 : Exemple de maillage automatique par quadtree (octree 2 D ) 47



INTRODUCTION

OBJECTIFS, DOMAINES D'APPLICATION

Pour résoudre les problèmes d'écoulements et de transport des eaux souterraines au voisinage immédiat d'ouvrages souterrains, les hydrogéologues ne peuvent plus se contenter de simulations par différences finies lorsque la géométrie des ouvrages (galeries, puits, cavités) devient trop complexe. L a souplesse de maillage des éléments finis devient alors indispensable pour représenter la configuration de limites internes qui conditionnent les écoulements. D'autre part, lorsque la conductivité hydraulique du milieu aquifère résulte de la perméabilité d'un réseau de grandes fractures (ou de zones faillées) conductrices, couplée à une perméabilité de matrice (matrice poreuse, ou bien matrice fracturée à petite échelle), les éléments finis peuvent fournir le simulateur spécifique de ces milieux à double porosité. Enfin, les méthodes aux différences finies ont beaucoup de difficultés pour simuler un milieu anisotrope. Lorsque les axes des perméabilités principales ne sont pas constamment parallèles à un m ê m e repère de référence (Ox, O y , O z ) , la programmation en différences finies est laborieuse et rarement implémentée, alors que les codes aux éléments finis traitent couramment ce type de milieu.

Les domaines d'applications sont nombreux. A u premier rang des applications actuelles viennent les stockages profonds de déchets radioactifs à l'échelle rapprochée quelque soit le type de formation géologique envisagé (de façon à représenter les écoulements et le transport au voisinage des ouvrages et dispositifs expérimentaux) et également à l'échelle régionale pour des milieux parcourus par de grandes failles conductrices. Mais ce type de modélisation trouve aussi bien ses applications dans les problèmes de protection de l'environnement (devenir de polluants, réhabilitation d'aquifères...), de la métallogénèse par percolation dans des zones fracturées, ou de l'exploitation de réservoirs géothermiques ; en perspective apparaissent les applications faisant appel aux couplages avec la géochimie et les transferts de chaleur. Elle s'applique à la prédiction de comportements futurs, à la compréhension des observations actuelles ou à l'interprétation d'essais (essais hydrauliques, traçages) effectués à partir de puits réalisés depuis la surface, à partir de sondages réalisés en galeries...

Plutôt que de développer un nouveau code aux éléments finis, il a été décidé d'examiner quels étaient les simulateurs disponibles permettant de simuler les écoulements et le transport dans un milieu souterrain à double porosité.

Le choix de ROCKFLOW

Au printemps 1990, une enquête a donc été lancée auprès des organismes suivants, par un groupe formé de D . Billaux, A . Menjoz, H . Modaressi et J.P. Sauty, suivant une liste initiée avec le Pr. Kinzelbach :

Harwell, U K - A E A pour le code N A M M U , INTERA (USA) et G E O T R A N S (USA) pour le code SWIFT, Battelle (USA) pour le code CFEST, Université de Hanovre (RFA) pour le code R O C K F L O W (alors dénommé DURST) , Université de Neuchàtel (CH) pour le code FE301 (Pr. Kiraly), Université de Princeton (USA), Pr. Pinder, Camborne School of Mines (UK), pour le code FRIP,



Ecole des Mines de Paris (F) pour le code M E T I S (P. Goblet), Ecole Centrale de Paris (F) pour le code G E F D Y N , Pr. Brebbia ( U K ) pour un code aux Eléments Frontière, GeoMath (Pise, Italie) pour le code H Y G R O S S .

Cette enquête proposait de réaliser des tests préliminaires, et demandait à la fois les conditions d'accès à l'utilisation et les conditions de vente du code (coût, cession de la source ou seulement d'exécutables). E n fait, les réponses ont été peu nombreuses, et finalement, parmi ces réponses, seuls se sont dégagés deux codes susceptibles de répondre à nos problèmes : N A M M U et ROCKFLOW.

N A M M U est une chaîne de simulateurs très complète traitant toute une palette de phénomènes couplés (domaine 3 D perméable avec fractures conductrices 2 D , milieux saturé et non saturé, transport de masse et de chaleur, effets de densité, couplage du transport avec une chimie à l'équilibre, et diffusion dans la matrice rocheuse). Il est notamment orienté vers l'étude des stockages radioactifs. U n groupement d'utilisateurs de multiples nationalités se réunit périodiquement. Mais, le code est fermé à l'utilisateur : pas de possibilité d'acquérir les sources F O R T R A N , donc impossibilité de l'adapter aux spécificités de nouveaux problèmes, sans attendre que les services de l 'AEA puissent s'en charger (dans des conditions financières restant à définir). Sa mise en oeuvre efficace nécessite qu'un modélisateur soit dédié au code, c'est-à-dire passe une part majeure de son temps à l'exploiter (information recueillie par G.Sustrac auprès d'utilisateurs). Son coût d'acquisition était relativement élevé (20 000 £ U K sur V A X et 40 000 £ U K sur C R A Y - 2 ) . Par la suite, au cours de contacts personnels avec l ' A N D R A , l ' A E A aurait laissé entendre qu'elle serait prête à donner accès au code source pour des coûts assez voisins.

L a situation de R O C K F L O W est très différente (notons au passage l'abandon d'un acronyme peu commercial - D U R S T - , pour le n o m évocateur R O C K F L O W ) . C e code simule les écoulements et le transport de soluté dans un domaine 3 D avec fractures 2 D (fig. 1). Il existe une version prenant en compte les écoulements densitaires, et une autre pour les fluides compressibles ; il est aussi possible d'étudier les transferts de chaleur par conduction. Le code source était disponible, pour une s o m m e plus accessible que N A M M U (12 000 D M soit 40 000 FF) . Il est écrit suivant une structure très rigoureuse, mais en contrepartie assez austère. L'Université de Hanovre a réalisé gracieusement, et avec succès, un test 3 D spécifique, défini avec le Pr. Kinzelbach en 1989. Par ailleurs, cette Université souhaite étendre les domaines d'application de ses codes ; elle est prête à coopérer dans ce sens. Le principal défaut dans la version de cette époque, est l'absence de pré-processeur, et notamment l'absence de mailleur automatique. La coopération lancée par Hanovre avec le Pr. Taniguchi (Université de Okayama) , ainsi que le développement d'un post-processeur graphique, apporteront des améliorations très efficaces. Une première réunion d'utilisateurs de R O C K F L O W a eu lieu en septembre 1992.

TRAVAUX REALISES DANS LE CADRE DU PROJET EG42.

Le travail du B R G M réalisé sur R O C K F L O W au cours des années 1990 à 1992, a consisté :

• au cours d'une première phase, à tester les modules d'écoulement et de transport, de façon générale et plus particulièrement dans des contextes propres aux stockages profonds de déchets radioactifs. Les problèmes rencontrés au cours de ces simulations ont permis de faire


31

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«* CO O ? Q O <o CO

Figure 1 R O C K F L O W : B E N C H M A R K 3D du module d'écoulement SM

Schéma du problème et potentiels hydrauliques calculés dans le plan Y = 0

Fixed Head H = 0

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progresser significativement le code (depuis lors, ces modifications ont été intégrées dans la version officielle de R O C K F L O W par l'équipe de Hanovre). Une série de tests, orientés vers les stockages, ont été également menés à la demande de l ' A N D R A .

• à concevoir et développer un module de calcul du transport par la méthode des déplacements aléatoires (module intitulé P T pour Particle Tracking) et à étudier différentes approches pour le calcul du champ de vitesse et du déplacement des particules. C e module peut être utilisé en concurrence avec T M (transport par éléments finis), et permet le choix de la méthode la plus efficace en fonction des conditions d'application. L a part essentielle du développement de P T a été réalisée par E . Fillion au cours d'un séjour à Hanovre en 1992, et des tests comparatifs de T M et P T ont été réalisés par T h . Lege, actuel responsable du produit R O C K F L O W , au cours d'un séjour au B R G M en Juillet 1993. L a préparation au développement du module P T a comporté les tests de différentes méthodes d'interpolation des vecteurs vitesse à partir des charges calculées.

• à mettre au point ou tester plusieurs méthodes pour réaliser un maillage automatique en milieu continu. A participer à la définition d'un cahier des charges pour un mailleur 3 D - 2 D à partir de la géométrie des limites extérieures du domaine, et celle de fractures planes interceptant ce domaine.

• à étudier et tester la modélisation des effets densitaires.



1. LE SYSTEME DE SIMULATIONS ROCKFLOW

1.1. ORGANISATION GENERALE

1.1.1. Liste des différents modules

R O C K F L O W comprend un post-processeur graphique, D A L I , et plusieurs simulateurs à sélectionner en fonction du type de fluide :

• pour un fluide à densité invariante, les écoulements sont calculés à l'aide de S M (Strömungs Modell) et le transport à l'aide de T M (Transport Modell) et maintenant P T ("Particle Tracking") ; ce dernier module a été développé par le B R G M en coopération avec l'Université de Hanovre,

• pour un fluide dont la densité évolue avec une concentration en soluté, les deux phénomènes couplés sont calculés à l'aide de D M (Dichte Modell),

• pour un fluide compressible, les écoulements sont calculés par le module G M (Gas Modell), et le transport sont calculés par le module T D (Transport-Dichte) ; l'étude de ce module et son utilisation ne font pas partie de nos préoccupations pour l'instant,

• pour un fluide multiphasique (par exemple eau-huile ou eau-air-huile,...), les écoulements et le transport par le module M M (Mehr-phasen Modell) ; l'étude de ce module et son utilisation couplée avec des réacteurs chimiques feront l'objet d'une coopération programmée à partir de 1994.

1.1.2. Enchaînement des modules

Le processeur graphique, D A L I lit tous les fichiers en sortie des différents modules de R O C K F L O W . Ces fichiers suivent une m ê m e norme G S S (Graphics System Strömungsmechanik - N o r m e propre à l'Institut für Strömungsmechanik de Hanovre). D A L I permet d'afficher les résultats sous forme graphique et de les imprimer ; il permet également de visualiser le maillage, avec numérotation nodale, numérotation élémentaire, types de matériaux, types d'éléments, vues éclatées.

Une fonction préprocesseur de D A L I avec mailleur automatique intégré est actuellement en voie d'achèvement à Hanovre. E n attendant, le post-processeur D A L I ne fonctionne que sur les fichiers de résultats, mais il permet de modifier ces fichiers. Il peut alors faire office de préprocesseur : un premier modèle succinct est conçu manuellement ; après exécution de la simulation, il est possible de récupérer les fichiers de sortie qui contiennent notamment le maillage, et de se servir de D A L I pour les améliorer. Les fichiers de sortie peuvent en effet être repris pour définir une nouvelle entrée dans le m ê m e module.

Les modules d'écoulement servent de pré-processeurs aux modules de transport, à l'exception de D M qui gère lui-même l'enchaînement des simulations de l'hydrodynamique et du transport (couplés par la variation des masses volumiques en fonction de l'évolution des concentrations).



1.1.3. Portabilité

Tous les modules de la chaîne sont écrits en F O R T R A N 77. Seule exception, le module graphique D A L I est écrit en langage C .

R O C K F L O W est conçu pour fonctionner sous les trois environnements suivants :

• D O S sur P C (386 minimum) • V M S sur V A X et sur station A L P H A • U N K sur stations de travail D E C , I B M , . . .

1.1.4. Normalisation des fichiers

La communication entre modules s'effectue par l'intermédiaire des fichiers de données et de résultats. Ces fichiers suivent tous la m ê m e norme : G S S (Graphie System Strömungsmechaniks). Cette norme permet de générer un fichier suivant l'un des trois standards suivants au choix : ASCII, binaire ou ASCII-code.

Toutes les procédures de lecture et écriture sont programmées en F O R T R A N et disponibles dans la bibliothèque G S S L I B .

1.1.5. Homogénéité des différents modules

Les routines de calcul des différents modules sont rassemblées dans une bibliothèque unique S T R O B I B : chaque fois que cela est possible, c'est la m ê m e routine qui sert pour les différents modules : résolution d'un système linéaire, par exemple. Cette propriété confère une grande homogénéité à la chaîne de programmes, mais elle n'est possible que par l'adoption d'un mode unique de stockage mémoire pour tous les modules. Toutes les opérations agissent sur un champ de réels et d'entiers en équivalence avec passage automatique des adresses dans celui-ci.

1.1.6. Système structuré et ouvert

La programmation de la chaîne R O C K F L O W a été réalisée avec une grande rigueur. Si la lecture du code est au premier abord austère, elle permet de trouver une grande unicité entre ses différents modules de calcul :

• Logique unique de l'enchaînement des calculs (démarche commune par éléments finis -excepté pour P T - ) .

• Logique unique pour la gestion des différents éléments, qu'ils soient ID, 2 D ou 3 D . • Logique commune de stockage en mémoire. • Homogénéité des noms des variables. • Homogénéité des procédures de lecture, écriture et contrôle des données.

Une fois assimilées, les logiques de structuration des modules et des séquences d'appel, il est relativement aisé d'introduire de nouveaux segments de calcul, et de les coupler avec les segments existants.



1.1.7. Maintenance et mise à jour

Le B R G M entretient une version unique dans laquelle sont intégrés les nouveaux développements et améliorations communiqués par l'Institut fur Strömungsmechanik.

1.1.8. Principales caractéristiques des modules

SM, module d'écoulement (densité invariante)

S M est le module de base qui permet de simuler l'écoulement d'un fluide incompressible et homogène dont les propriétés hydrodynamiques n'évoluent pas. Les principales caractéristiques sont les suivantes :

• Possibilité de modéliser un milieu fracturé à double porosité (de matrice et de fracture) ; les pertes de charge dans les fractures peuvent ne pas être linéaires.

• Possibilité d'épouser une géométrie quelconque, avec ses zones d'hétérogénéité et d'anisotropie. C e trait est particulièrement utile pour simuler les écoulements autour d'ouvrages souterrains.

• Limitation au traitement des nappes captives : se trouvent notamment éliminées les surfaces libres qui constituent une limite dont la position n'est pas connue a priori, et dépend des conditions d'écoulement.

TMetPT, modules de transport (densité invariante)

T M et P T sont deux modules ayant la m ê m e fonction : ils calculent l'évolution des concentrations d'un soluté transporté par convection et dispersion dans un champ hydraulique (permanent ou transitoire) déterminé par S M . P T peut, de plus, calculer des trajectoires. Les propriétés hydrodynamiques du fluide étant invariantes, les résultats du transport n'influent pas sur les écoulements : T M ou P T sont utilisés c o m m e post-processeur de S M : il est inutile d'itérer entre transport et écoulements.

T M simule classiquement le transport hydrodispersif, par éléments finis. Toutefois, ce type d'approche présente des effets de dispersion numérique et surtout d'instabilités, que l'on peut limiter par le choix de maillages appropriés dont la définition est rarement aisée. C'est pourquoi, le B R G M , en collaboration avec l'Université de Hanovre, a procédé à la mise au point d'une technique par suivi de particules pour simuler le transport. Le module correspondant, P T (Particle tracking), commence à tourner correctement dans un milieu continu hors fractures. Plusieurs approches ont été programmées et testées pour définir un champ de vitesse continu à l'intérieur des éléments ; la version définitive doit bénéficier de travaux menés par l'équipe du Pr. Kinzelbach à l'Université de Cassel.

L a présence des deux modules permet de contrôler les résultats et sera précieuse pour orienter vers le choix de l'une ou l'autre méthode en fonction des contraintes du problème posé.



D M , module d'écoulement et de transport (à densité variable)

D M est un module qui couple les écoulements et le transport d'un fluide incompressible, mais hétérogène, véhiculant un soluté qui modifie la densité de la solution : la masse volumique varie dans l'espace et le temps en fonction de la concentration. Les gradients verticaux de densité créent un terme moteur complémentaire qui modifie les écoulements (influence de p sur V ) ; le transport se traduit par une migration du soluté ; la densité du mélange évolue alors avec les concentrations (influence de V sur p). Le transport est ici exclusivement calculé par la méthode des éléments finis. L a version d'origine pose un certain nombre de problèmes lors de ses applications. E n 1993, l'Université de Hanovre met en chantier une toute nouvelle version, conçue pour ordinateurs parallèles, et le B R G M utilise une version adaptée de la version d'origine pour effectuer les simulations du laboratoire souterrain d'Äspö.

1.2. S IMULATION D E S E C O U L E M E N T S , M O D U L E S M (Rapport R37181 EAU 4S 93, par E. Fillion et M.L. Noyer)

Le module S M , c o m m e chaque module de la chaîne R O C K F L O W , a fait l'objet d'un rapport (Wollrath, 1987) essentiellement conçu c o m m e un m o d e d'emploi décrivant la façon d'entrer les données (en anglais), après un exposé rapide des équations (en allemand). L a partie théorique du texte a été reprise en français par E . Fillion et M . L . Noyer ; M . L . N o y e r l'a complétée par des développements explicitant toute la logique jusqu'aux formulations programmées dans S M . D e cette façon, l'effort qu'ils ont dû déployer pour bien comprendre les mécanismes de S M , pourra profiter à de futurs utilisateurs. L a description des données est une duplication du texte d'origine (rédigé en anglais) ; elle a été complétée par deux pages de commentaires explicatifs.

Des exemples d'applications seront trouvés dans le rapport R 37179 E A U / 4 S 93 (décrit au §1.5).

1.2.1. Classe de problèmes résolus par S M

Le module S M de R O C K F L O W est conçu pour simuler en 2 ou 3 dimensions, les écoulements dans un milieu à double porosité comprenant à la fois une roche perméable et un réseau de fractures. L a perméabilité de la roche peut résulter soit de l'existence d'une matrice poreuse, soit d'un réseau de fractures de petites dimensions pouvant être assimilé à un milieu continu. Le réseau de fractures proprement dit peut être constitué, soit par des fissures individuelles, soit, à une plus grande échelle, par des zones fracturées, dont les propriétés sont étudiées globalement.

Toutes les zonations sont envisageables pour les paramètres non uniformes ; les anisotropics, de perméabilité notamment, peuvent varier en amplitude et en direction au sein du domaine (ce qui est rarement pris en compte dans un modèle aux différences finies).

L a facilité de discrétisation des geometries complexes (notamment au voisinage d'ouvrages souterrains), ou de prise en compte des anisotropics de direction non uniforme dans l'espace conduisent à utiliser S M pour simuler des écoulements dans des milieux non fracturés. D e m ê m e , ce code peut être mis en oeuvre pour simuler un bloc rocheux dont la matrice est étanche.

S M simule les fluides incompressibles dans un milieu "captif : il ne permet pas actuellement la recherche d'une surface libre ou la prise en compte d'une zone non saturée. U n fluide est considéré c o m m e incompressible si sa masse volumique varie peu (elle peut être considérée c o m m e indépendante des concentrations en soluté et des pressions). Cependant la compressibilité du



fluide est quand m ê m e prise en compte dans un écoulement en régime transitoire par le biais du coefficient d'emmagasinement ; mais l'équation de continuité s'applique alors à des flux volumiques (div V ) et non à des flux massiques (div p V ) .

A u sein de la matrice, les écoulements suivent la loi de Darcy généralisée. Par contre dans les fractures, il est possible de simuler des lois dynamiques non linéaires.

Les conditions aux limites sont, soit de type Dirichlet (charge imposée), soit de type N e u m a n n (flux imposé, dont débit nul : limite à flux nul). Ces conditions aux limites peuvent fluctuer dans le temps ; elles sont alors définies par un tableau de valeurs correspondant à des dates successives.

Les écoulements sont supposés suivre la loi dynamique :

V = - K - (gradh)«,

(lorsque a=l , les écoulements suivent la loi de Darcy). Avec <x>l, on a la possibilité de simuler une perte de charge non linéaire dans les fractures.

Par ailleurs, la loi de continuité s'écrit :

S0dh/dt + d ivV = q.

où,

h est la charge hydraulique (z + p/pg), K le tenseur de perméabilité, V le flux ("vitesse" de Darcy), So le coefficient d'emmagasinement spécifique, q est un débit volumique échangé avec l'extérieur du domaine étudié (apports spécifiques).

1.2.2 Technique de résolution programmée dans S M

Semi-discrétisation temporelle : lors de la résolution d'un problème transitoire, on recherche le champ de charges H n +i = H(x,y,z,tn+i) à l'instant tn+i, connaissant sa valeur H n = H(x,y,z,tn) à l'instant tn. La dérivée temporelle est alors calculée par différences finies :

SH/ôt = (Hn+i - Hn)/At.

La méthode implique l'évaluation d'intégrales de volume ; celles-ci sont calculées avec les valeurs H à l'instant intermédiaire t, définies à l'aide de l'approximation linéaire suivante :

H(x,y,z,t) = (l-9).Hn + e .Hn + i

9 peut être affecté par l'utilisateur d'une valeur quelconque comprise entre 0 et 1 (bornes comprises). L'option généralement adoptée en utilisation de S M est 9=1, schéma implicite pur, moins précis que le schéma centré de Cranck-Nicolson, mais inconditionnellement stable ; c'est d'ailleurs l'option par défaut. O n aboutit à la formulation variationnelle suivante :



1/At J v (|> S 0 Hn+i dv + 9 J v (grad (j))T K grad H n + i dv =

1/At J v ((. S 0 H n d v - (1-9) J y (grad <j>)T K grad H n d v - Í s 2 <|> V n 0 d S 2 + Í v <J> q dv,

(<|> est une fonction de pondération, et S2 désigne les limites soumises à condition de N e u m a n ) .

L'intégration est réalisée par la méthode de Galerkine, par la recherche de la fonction approchée H A :

H*(x,y,z) = H*0(x,y,z) + E ck cok (x,y,z), avec H * 0 = H Q , et O k = 0 sur les limites de Dirichlet ;

Ck représentent les valeurs discrètes de H aux noeuds k du réseau d'éléments finis, et

a>k des fonctions de base qui n'ont de valeur non nulle que dans les éléments ayant le noeud k pour sommet.

Le choix actuel de R O C K F L O W a été une écriture avec des segments linéaires (éléments ID) , quadrilatères bi-linéaires (éléments 2 D ) et hexaèdres tri-linéaires (éléments 3 D ) . Dans ces conditions, les fonctions de pondération s'écrivent, dans les coordonnées r et s du carré de référence pour un élément bidimensionnel :

a»l = 1/4 (l+r)(l+s) 0 2 = 1/4 (l-r)(l+s) 03 = 1/4 (l-r)(l-s) <a4 = 1/4 (l+r)(l-s)

Le rapport expose la façon de calculer les différents termes des intégrales, qui déterminent les

coefficients du système linéaire, correspondant à chaque élément. L e détail de la programmation est commenté dans une série d'annexés, facilitant très sensiblement la tâche

d'un nouvel arrivant qui aurait besoin de comprendre le fonctionnement du code.

Le système linéaire est résolu soit par la méthode de Cholevski, soit par une méthode de gradients conjugués (programmées toutes deux par l'Université de Hanovre). L a méthode de Cholevski est plus précise, mais la méthode aux gradients conjugués est plus stable et surtout sensiblement plus rapide.

1.2.3. M o d e d'emploi de S M

Le m o d e d'emploi de S M est essentiellement composé d'une description du fichier des données, directement dupliqué du texte rédigé en anglais par l'Université de Hanovre. Le rapport B R G M comprend en outre une page de commentaires sur les paramètres d'entrée et des indications sur le contenu des fichiers de résultats ainsi que sur la précision des calculs.

1.3. SIMULATION DU TRANSPORT PAR ELEMENTS FINIS, M O D U L E T M (Rapport R37182 EAU 4S 93, par E. Fillion)

Le module T M , c o m m e chaque module de la chaîne R O C K F L O W , a fait l'objet d'un rapport essentiellement conçu c o m m e un m o d e d'emploi décrivant la façon d'entrer les données , après un exposé rapide des équations. C e rapport contrairement à celui concernant S M est intégralement rédigé en allemand (Kröhn, 1990) ; il a été repris en français par E . Fillion.



1.3.1 Classe de problèmes résolus par T M

Le module T M de R O C K F L O W est conçu pour simuler en 2 ou 3 dimensions, le transport d'un soluté dans les eaux souterraines dont les écoulements ont été préalablement calculés à l'aide du module S M . Les conditions d'écoulement sont donc celles de S M , dont T M récupère le champ de vitesse calculé (régime hydraulique permanent), ou les champs de vitesse obtenus à différentes dates (régime hydraulique transitoire). Le milieu aquifêre peut être un milieu à double porosité comprenant à la fois une roche perméable et un réseau de fractures ; le fluide est incompressible dans un milieu "captif.

E n fait T M est aussi conçu pour simuler les transferts thermiques à la place des transferts de masse, mais avec les restrictions suivantes : dans la matrice, seuls interviennent les transferts de calories par conduction ; dans les fractures peuvent s'y ajouter les transferts par convection forcée (le fluide étant supposé incompressible, la convection "libre" ne peut être simulée par T M ) . Il est possible de prendre en compte une couche limite thermique entre le fluide s'écoulant dans une fracture et la matrice rocheuse conductrice. Ces phénomènes n'étant pas au programme du projet E G 4 2 , nous n'avons pas testé cette partie du code.

Toutes les zonations sont envisageables pour les paramètres non uniformes ; la facilité de discrétisation des geometries complexes (notamment au voisinage d'ouvrages souterrains), ou de prise en compte des anisotropics de direction non uniforme dans l'espace conduisent à utiliser T M pour simuler des transports dans des milieux non fracturés. D e m ê m e , ce code peut être mis en oeuvre pour simuler un bloc rocheux dont la matrice est étanche.

Les conditions aux limites sont, soit de type Dirichlet (concentration imposée), soit de type N e u m a n n (flux massique imposé). Ces conditions aux limites peuvent fluctuer dans le temps ; elles sont alors définies par un tableau de valeurs correspondant à des dates successives.

L'équation de continuité appliquée aux masses transportées s'écrit, en fonction de la concentration volumique (C=pc) :

ôC/et + div (V C - g.grad C ) = r.

où,

V est le flux (alias "vitesse" de Darcy ou "vitesse" de filtration), Ö le tenseur de dispersion, r est un terme source, débit massique par unité de volume, échangé avec l'extérieur du domaine

étudié.

1.3.2 Technique de résolution programmée dans T M

Semi-discrétisation temporelle : lors de la résolution d'un problème transitoire, on recherche le champ de charges Cn+i à l'instant tn+i, connaissant sa valeur C n à l'instant tn. L a dérivée temporelle est alors calculée par différences finies :

ôC/ôt = ( d + i - Cn)/At.



L e calcul des intégrales de volume est effectué avec les valeurs C à u n instant intermédiaire t, définies à l'aide du schéma centré de Cranck-Nicolson :

C(x!y5z,t) = , / 2 ( C n + C n + i ) .

O n aboutit à la formulation variationnelle suivante :

1/At J v $ C n + i dv + Vi i v <j> V (grad C n + i ) dv + Vkiv (grad <}>)T fî (grad C n + i ) dv

- At/12 J v (grad ® T V (grad C n + i ) dv =

1/At J v 4» C n dv - y2 J v 4 V (grad C „ ) dv - >/2 J v (grad <>)T D (grad C n ) dv

- At/12 J v (grad <|>)T V (grad Q 0 dv + J v <{> r' dv,

L'intégration est réalisée par la méthode de Galerkine.

Actuellement, les éléments programmés dans les différents modules de R O C K F L O W sont des segments linéaires (élément I D ) , des quadrilatères bi-linéaires (éléments 2 D ) et des hexaèdres tri-linéaires (éléments 3 D ) .

L e système linéaire est résolu soit par la méthode de Cholevski, soit par une méthode de gradients conjugués (développée par l'Université de Hanovre) , soit enfin par une méthode des doubles gradients avec préconditionnement (développée ultérieurement au B R G M en 1993, lors du stage de M . Roussillo-Perret). L a méthode de Cholevski est plus précise, mais les méthodes aux gradients conjugués sont plus stables et surtout sensiblement plus rapides.

1.3.3. M o d e d'emploi de T M

L e m o d e d'emploi de T M est essentiellement composé d'une description d u fichier des données :

- titre de l'application,

- contrôle de la discrétisation du temps, - choix de la définition du c h a m p de vitesses (calculées par S M , ou c h a m p de vitesses parallèles) - contrôle des stockages de résultats, - définition des conditions aux limites, - définition de l'état initial, - définition des matériaux.

N . B . E n utilisation normale, le maillage et le c h a m p de vitesses sont récupérés de S M .

1.3.4. Exemples de cas d'application de T M

Le rapport présente une série de tests, d'une part publiés par l'Université de Hanovre dans le rapport d'origine, et d'autre part réalisés au B R G M (comparaison à des solutions analytiques). D e plus, T h o m a s L E G E , Université de Hanovre a procédé à une série de tests comparatifs entre D M etPT.



1.4. SIMULATION DES ECOULEMENTS A DENSITE VARIABLE, MODULE

D M (Rapport R37183 EAU 4S 93, par M.L. Noyer et E. Fillion)

Le module D M (Dichte Modell), calcule les écoulements à densité variable en fonction de la concentration massique c (grandeur sans dimension) en une substance dissoute, (solution saline, par exemple). Les densités évoluent donc avec la migration du soluté, et D M fonctionne par couplage du module d'écoulement S M avec le module de transport T M . Par pas de temps, D M détermine l'évolution des salinités, d'où de nouveaux gradients de densité qui modifient le champ des vitesses calculé par S M . Généralement des itérations entre S M et T M sont nécessaires pour aboutir à une compatibilité entre densités et vitesses.

C o m m e chaque module de la chaîne R O C K F L O W , l'Université de Hanovre a rédigé un rapport sur D M . C e rapport est essentiellement conçu c o m m e un m o d e d'emploi qui décrit la façon d'entrer les données, après un exposé rapide des équations ; contrairement au rapport sur S M , celui-ci est intégralement rédigé en allemand. Le texte a été traduit en français, puis repris par E . Fillion et M . L . Noyer, qui lui ont ajouté un exemple d'application : description du problème, fichier de données, fichier de résultats.

1.4.1. Classe de problèmes résolus par D M

Le module D M de R O C K F L O W est conçu pour simuler en 2 ou 3 dimensions, les écoulements densitaires dans un milieu à double porosité comprenant à la fois une roche perméable et un réseau de fractures. L a perméabilité de la roche peut résulter soit de l'existence d'une matrice poreuse, soit d'un réseau de fractures de petites dimensions pouvant être assimilé à un milieu continu. Le réseau de fractures proprement dit peut être constitué, soit par des fissures individuelles, soit, à une plus grande échelle, par des zones fracturées, dont les propriétés sont étudiées globalement. Le régime d'écoulement est normalement transitoire puisque, m ê m e si les conditions aux limites sont inchangées, le déplacement des salinités aura pour conséquence une évolution du champ des vitesses, influencé par les gradients verticaux de densité.

Toutes les zonations sont envisageables lorsque les paramètres ne sont pas uniformes ; les anisotropics, de perméabilité notamment, peuvent varier en amplitude et en direction au sein du domaine (ce qui est rarement pris en compte dans un modèle aux différences finies).

Les conditions aux limites sont, soit de type Dirichlet (pression imposée pour les écoulements, concentrations imposées pour le transport), soit de type N e u m a n n (flux imposés : débits pour les écoulements, flux massiques de soluté pour le transport). Ces conditions aux limites peuvent fluctuer dans le temps ; elles sont alors définies par un tableau de valeurs correspondant à des dates successives.

1.4.2. Mise en équation

Ecoulements

Les écoulements sont supposés suivre la loi de Darcy généralisée, qui est exprimée en terme de pression, car la notion de charge est ambiguë lorsque la densité est variable :

V = - £ . (grad p - p g).



Le c h a m p de vitesse respecte l'équation de continuité des flux hydriques :

p S coldt + div (p V) = p q - n pc5c/&.

où

p est la pression, V le flux (ou vitesse de Darcy), p la masse volumique, S le coefficient d'emmagasinement spécifique, n est la porosité,

Pc un coefficient permettant de traduire une variation de concentration en variation de masse volumique (supposées proportionnelles).

D e façon similaire à la résolution de S M (§ 1.2), la formulation variationnelle s'écrit :

1/At Jv <)>p S 0 Pn+l d V + G Jv (grad typ- p kj -grad pn+i d V =

1/At Jv 4>p S 0 p n d V - (1-9) Jv (grad «|>)T.p kj.grad p n d V - Js2 <(> V n o d S 2 + Jv 4> q d V -

- Jv n ß c (ôc/at) d V + Jv (grad «|»)T.p k \pg d V

(<}> est une fonction de pondération, et S 2 désigne les limites soumises à condition de N e u m a n ) .

L'intégration est réalisée par la méthode de Galerkine, avec recherche de la fonction approchée p*:

p*(x,y,z) = p*o(x>y,z) + £ ck oik (x,y,z), avec p*o = Po»et © k = 0 sur les limites de Dirichlet ;

Ck représentent les valeurs discrètes de H aux noeuds k du réseau d'éléments finis, et o>k des fonctions de base qui n'ont de valeur non nulle que dans les éléments ayant le n œ u d k pour sommet.

Actuellement, les éléments programmés dans les différents modules de R O C K F L O W sont des segments linéaires (élément ID) , des quadrilatères bi-linéaires (éléments 2 D ) et des hexaèdres tri-linéaires (éléments 3 D ) .

Transport

L'équation de continuité appliquée aux masses transportées s'écrit, en fonction de la concentration volumique (C=pc) :

dClôt + div (V C - B.grad C ) = r.

D e façon similaire au traitement des écoulements, une équation fonctionnelle est déduite de cette équation du transport, et résolue par la méthode de Galerkine (cf T M , §1.3.2).



Calcul itératif entre écoulement et transport

Le système global d'équations (écoulement+transport), est non linéaire ; sa résolution consiste à linéariser chacune des deux parties. L'équation des écoulements est résolue en p, p étant supposée connue. Le calcul du transport s'effectuera ensuite en supposant les pressions connues (d'où les "vitesses de filtration"), et consistera à déterminer l'évolution des concentrations c, d'où les masses volumiques grâce à l'équation d'état :

p = po [ 1 + ß c (c-co) ]

Si les conditions de convergence sont réunies, une série d'itérations entre les équations d'écoulement et de transport permettra de converger vers une solution où p et r seront compatibles en fin de pas de temps.

1.4.3. M o d e d'emploi de D M

Le m o d e d'emploi de D M consiste en une description du fichier des données :

- indications générales sur la discrétisation,

- données sur les pas de temps, - données nodales, - conditions aux limites, - définition des éléments, y compris les caractéristiques des matériaux.

1.5. T E S T S D E P E R F O R M A N C E (Rapport R37179 EAU/4S 93, par E. Fillion,

A . Menjoz, J.P. Sauty).

L e module S M a fait l'objet de tests de performances sur des cas à géométrie simple pour lesquels existe une solution exacte (fonction analytique). L'existence de solutions de référence a permis d'évaluer les écarts entre le modèle numérique et la solution exacte du problème. Ces tests sont les suivants :

• P o m p a g e continu au centre d'une île circulaire, régime hydraulique permanent stabilisé (formule de Dupuit),

• Réseau infini de doublets en régime hydraulique permanent (formule de Dupuit plus images),

• P o m p a g e continu dans un puits situé dans un milieu infini, régime hydraulique transitoire (problème de Theis),

• P o m p a g e continu dans un puits à pénétration partielle (problème de Hantush),

• Ecoulement transitoire monodimensionnel en milieu semi-infini, limité d'un côté par une frontière dont le potentiel imposé suivant une fonction sinusoïdale du temps (solution dans Carslaw et Jaeger, 1959).

• Test tridimensionnel dans un bloc perméable parcouru par une fracture en diagonale.



Ces premiers tests, réalisés dans le cadre du projet E G 4 2 , ont ensuite été complétés à la demande de l ' A N D R A , par la simulation de contextes plus proches de ceux rencontrés dans l'étude de dispositifs de stockage de déchets nucléaires. Parmi ceux-ci, figurent un certain nombre de problèmes proposés dans le cadre de l'exercice international de comparaison de codes H Y D R O C O I N qui a abouti à la publication des résultats numériques d'une quinzaine d'équipes.

Cette seconde série de tests fait l'objet d'un rapport propriété de l ' A N D R A (E. Fillion, 1991), et qui ne pourra être consulté qu'après accord de cet organisme. Ces tests sont au nombre de six :

• Ecoulement uniforme dans un milieu infini perturbé par la présence d'une galerie perpendiculaire au plan de l'écoulement (coupe verticale),

• Ecoulement uniforme dans un milieu infini perturbé par la présence de trois galeries perpendiculaires au plan de l'écoulement (coupe verticale),

• Problème H Y D R O C O I N , P H A S E 1, N°l (pompage en régime hydraulique transitoire dans un puits intersectant une fracture horizontale conductrice située à la base d'un aquifère perméable, coupe verticale),

• Problème H Y D R O C O I N , P H A S E 1, N ° 2 (écoulement en régime hydraulique permanent dans un aquifère intersecté par deux fractures en croix, coupe verticale), calcul des charges hydrauliques et calcul de trajectoires,

• Variantes du problème précédent avec ajout d'une galerie perméable à proximité des fractures,

• Modélisations 2 D (plan horizontal) du site granite de l ' A N D R A , comparaison aux résultats obtenus préalablement à l'aide d'un code par différences finies (code M A R T H E ) ,

• Modélisations 3 D du site granite de l ' A N D R A , comparaison aux résultats obtenus préalablement à l'aide d'un code par différences finies (code M A R T H E ) .

Les principales conclusions de la première série de tests sont discutées dans les paragraphes suivants.

1.5.1. P o m p a g e dans une île circulaire (Dupuit)

Dans une géométrie tridimensionnelle, les conditions de flux imposé doivent être fixées sur une surface (au m i n i m u m sur une face d'un élément), et non pas sur une arête ; encore moins en un point, sous peine de forte distorsion des résultats. Lorsque cela est possible, il est recommandé d'utiliser un maillage en progression géométrique au voisinage des points singuliers. Le calcul du rabattement au point central conduit à une erreur de :

50% pour un maillage régulier de 10 éléments, 35% pour un maillage régulier de 40 éléments,

4 % pour un maillage de 10 éléments en progression géométrique, 0,5% pour un maillage de 40 éléments en progression géométrique.



Il est évident que la progression géométrique favorise la précision au voisinage du noeud central, puisque pour un m ê m e nombre d'éléments, la discrétisation y sera beaucoup plus fine. Cependant, les écarts sont moindres pour les autres noeuds, quoique dans des proportions nettement plus faibles. L'idéal est de choisir une discrétisation telle que le D H entre chaque noeud voisin soit du m ê m e ordre.

1.5.2. Réseau infini de doublets

Compte-tenu des symétries qui caractérisent un réseau régulier de doublets, on se limite à la modélisation dans un motif élémentaire. U n maillage délimité par un réseau de lignes correspondant m ê m e très grossièrement au réseau des équipotentielles et des lignes de courant du problème, fournit des résultats excellents (fig.2) pour un nombre d'éléments très réduit (une centaine), alors qu'un maillage régulier avec un nombre d'éléments du m ê m e ordre aboutit à de très mauvaises estimations des charges au voisinage du puits.

1.5.3. Ecoulement transitoire par pompage continu dans un milieu infini (Theis)

Les maillages utilisés sont les m ê m e s qu'au §1.5.1. Ces tests caractérisent l'importance des discrétisations spatiales et temporelles. Dans le contexte d'application, le gain de précision est du m ê m e ordre pour un accroissement du nombre de mailles d'un facteur 4, ou du nombre de pas de temps d'un facteur 5.

1.5.4. Puits à pénétration partielle (Hantush)

L a solution approchée de Hantush n'est valable que pour une valeur minimale du rayon. O n constate qu'effectivement, dans les conditions du test, les résultats numériques sont proches de cette solution pour un rayon supérieur à 10 m .

1.5.5. Charge sinusoïdale imposée (Carslaw et Jaeger)

Cette application particulière montre que la modélisation à l'aide du module S M n'introduit pas de déphasage dans le temps. O n retrouve l'importance de la discrétisation.

1.5.6. Conclusions sur les tests de S M

Chaque cas traité permet de constater l'importance capitale des discrétisations, et notamment l'efficacité d'un découpage spatial en progression géométrique, avec les éléments fins à proximité de la source de perturbation. Dans un domaine bidimensionnel, un maillage résultant de l'intersection de lignes représentant ( m ê m e très approximativement, à main levée) un réseau de lignes de courant et d'équipotentielles fournit des résultats d'une précision remarquable, m ê m e pour un nombre d'éléments réduits. C e fait est théoriquement transposable à des surfaces dans un espace tridimensionnel, mais celles-ci sont alors très difficiles à déterminer.

Ces conclusions soulignent l'utilité de maillages adaptatifs, qui évoluent automatiquement de façon itérative en fonction des résultats des calculs ; le diplôme de Mastère de E . Fillion a porté sur ce sujet, et l'on pourrait avoir intérêt à réactiver ce thème dans le futur ( E C P , 1990).


Figure 2 Réseau de doublets - Modélisation à l'aide de S M : comparaison avec la solution analytique

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Solution numérique ( S M )

— — — Solution exacte

ï & <t>

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I a I CD-CO CD


2. MODÉLISATION DU TRANSPORT PAR PARTICULES

2.1. INTRODUCTION

Modélisation du transport par éléments finis

L a résolution du transport par éléments finis consiste à bâtir une fonction d'interpolation des concentrations, qui, à l'instant t passe exactement par les valeurs inconnues des concentrations en des points pivots, répartis dans les éléments d'un maillage. L a condition pour que cette solution satisfasse à l'équation de transport avec une erreur résiduelle niinimale (condition de Galerkine), conduit, pour chaque noeud du maillage, à une équation différentielle ordinaire par rapport au temps. L e remplacement des dérivées temporelles par des rapports de différences finies, permet d'aboutir à un système d'équations linéaires. Parmi les nombreuses formes d'éléments et de fonctions d'interpolation possibles, les fonctions linéaires sur des triangles ou bilinéaires sur des quadrilatères (2D), linéaires sur des tétraèdres ou trilinéaires sur des hexaèdres (3D) sont les plus c o m m u n é m e n t utilisées parce que les plus simples. Le recours à un raffinement de la discrétisation permet, dans la plupart des cas pratiques qui nous intéressent, d'obtenir la réponse à nos problèmes d'ingénieurs, sans faire appel à des éléments plus complexes. Traditionnellement, le calcul du transport par le module T M de R O C K F L O W , est basé sur l'emploi d'éléments multilinéaires.

Cette méthode, de m ê m e que celle des différences finies, a l'inconvénient d'introduire dans les résultats une dispersion artificielle qui peut être largement supérieure à la dispersion réelle ; elle est d é n o m m é e dispersion numérique.

Modélisation du transport par la méthode des déplacements aléatoires

L a méthode des déplacements aléatoires (e.g. Spitzer, 1964), (Random walk en anglais, souvent traduit mot à mot par marche au hasard), consiste à suivre le déplacement de particules dont chacune est chargée d'une masse du soluté dont on étudie la migration, sous l'action de l'advection et de la diffusion. Alors que les difficultés de résolution de l'équation du transport hydrodispersif proviennent de la présence simultanée d'un terme elliptique (diffusion) et d'un terme parabolique (convection), cette méthode a l'avantage de résoudre l'ensemble par des déplacements de type convectif : chaque particule est d'abord déplacée suivant l'écoulement local puis subit un déplacement aléatoire complémentaire, tiré au hasard suivant une loi normale de moyenne nulle et d'écart-type fonction de la dispersion locale, de telle façon que les concentrations calculées à partir du comportement statistique d'un grand nombre de particules, suivent l'équation de diffusion. Cette technique est affranchie de dispersion numérique, mais conduit en contrepartie à des oscillations importantes de la distribution des concentrations dans les zones de faible concentration donc à faible densité de particules. Toutefois ces oscillations ont l'avantage de se situer de part et d'autre de la solution exacte, fournissant directement une estimation de l'incertitude.

Dans les champs de vitesses fortement variés (voisinage d'un point d'arrêt, ou forts contrastes de perméabilité), la méthode traditionnelle qui calcule les déplacements par extrapolation de la vitesse locale, présente un inconvénient plus lourd de conséquences, avec l'accumulation de particules dans les zones à faible vitesse, d'où la présence de surconcentrations locales dans les résultats. L a prise en compte de termes correctifs (théorie de Itto-Fokker-Plank) en fonction des



dérivées locales du champ de vitesses permet de satisfaire l'équation hydrodispersive au second ordre dans l'hypothèse d'un champ de vitesses varié, mais continu. U n e méthode de déplacement suivant les lignes de courant pour l'advection et la dispersion longitudinale, et sur les courbes conjuguées pour la dispersion transversale a été établie pour un champ de vitesses bidimensionnel résultant d'un calcul par différences finies (Sauty, Barthélémy). Elle permet de parvenir aux m ê m e s résultats en deux dimensions, et m ê m e de prendre en compte les discontinuités de vitesse à l'interface entre deux formations de perméabilités différentes. Elle a été adaptée en trois dimensions, en remplaçant les lignes conjuguées par un déplacement rectiligne dans un plan normal à la vitesse locale (Séguin, 1992). C'est cette dernière approche qui sera transposée pour un c h a m p de vitesses 3 D calculé par éléments finis, dans le module P T de R O C K F L O W .

Démarche adoptée dans le projet EG42

Compte-tenu des avantages et inconvénients réciproques de la modélisation du transport par éléments finis et par déplacements aléatoires, il est apparu judicieux, aussi bien aux protagonistes du projet E G 4 2 , qu'à nos partenaires de l'Institut fur Strömungsmechanik, de disposer dans le système intégré R O C K F L O W , de l'alternative entre T M (Transport Module), basé sur les éléments finis, et un nouveau module, P T (Particle Tracking). Cette possibilité de choix entre deux techniques complémentaires à partir d'un m ê m e jeu de données permettrait des comparaisons, des vérifications, et l'adoption de la méthode la plus efficace en fonction du contexte de l'application.

L a méthode adoptée consistant à déplacer chaque particule le long de lignes de courant pour simuler l'advection et la dispersion longitudinale, il est nécessaire de disposer d'une évaluation de la vitesse V(x,y,z) en tout point pour calculer ces lignes. L'option retenue a été la transposition de la méthode de Pollock (Pollock, 1988) développée pour exploiter les résultats d'un calcul de l'hydrodynamique réalisé par différences finies : cette méthode suppose que dans une maille rectangulaire, la composante V x (resp. V y ) ne dépend que de x (resp. y), et varie linéairement d'un bord de la maille à l'autre. Dans le cadre du présent projet, une première version du module P T a été développée par E . Fillion, en coopération avec l'Institut für Strömungsmechaniks, en effectuant directement la m ê m e interpolation sur l'élément de référence carré (on verra que les résultats sont d'ores et déjà étonnamment satisfaisants pour peu que les formes des quadrilatères soient suffisamment compactes).

U n des gros problèmes du calcul du champ de vitesses provient de ce que les éléments finis utilisés calculent les champs de charge (ou de pression) sur un semis irrégulier, et fournissent un champ de vitesses discontinu au niveau des limites entre éléments voisins, alors que la méthode nécessite la connaissance des flux au milieu de chacune de ces limites. M . Lambert et A . Menjoz ont développé une méthode d'interpolation par krigeage, concrétisée par le code prototype T R A C V I T . Il l'ont ensuite intégrée le long de lignes de courant par simple intégration J V.dt : il a été ainsi possible de visualiser des déviations par rapport à la solution exacte (sur un exemple bénéficiant d'une solution analytique), et de disposer d'une technique fournissant la solution au problème du transport non diffusif (déplacement "piston" le long d'une ligne de courant).

Toutefois la méthode de Pollock que l'on se propose d'appliquer ensuite a été développée pour interpoler au sein d'une maille carrée, le résultat d'un calcul aux différences finies à partir du flux sur les quatre faces, qui vérifie rigoureusement, aux points non singuliers, la condition divV=0



(c'est-à-dire V E + V \ V + V N + V S =0 , qui caractérise la conservation du flux). C'est pourquoi B . Bourgine et J.-P. Chiles ont mené une recherche sur la possibilité de contraindre l'interpolateur krigeage par la condition div V = 0 . Ils ont pu développer un algorithme répondant à la question ; ils l'ont ensuite intégré dans le calcul des lignes de courant issu de T R A C V T T , et ont réalisé toute une série de tests.

Développements futurs

Les développements du transport par particules seront définis en fonction des besoins du projet de recherche E G 12 (Modélisations couplées) et des besoins prioritaires exprimés par l'aval, notamment à partir des travaux sollicités par l ' A N D R A . O n peut, d'ores et déjà, lister les lignes suivantes :

- Tests comparatifs des modules T M et P T (prévus dans E G 1 2 , mais différés à 1993). - Prise en compte des fractures dans le module P T . - Transposition de la méthode Cordes-Kinzelbach. - Intégration du krigeage contraint par div V = 0 dans P T . - Obtention d'un mailleur automatique permettant d'intégrer les fractures 2 D dans des blocs 3 D .

Autres méthodes envisagées

Ch. Cordes et W. Kinzelbach (Université de Cassel en 1992) mettent au point un algorithme qui transpose directement la méthode de Pollock au sein d'un élément fini multilinéaire, en remplaçant la condition div V=0 au sein de l'élément par la condition équivalente : rotV= 0 sur des contours entourant chaque sommet, et faisant appel aux flux dans les éléments voisins. D'après les informations dont nous disposons à ce jour, il en résulte une codification complexe mais efficace. Nous comptons l'intégrer dans le module PT quand elle sera rendue publique dans sa version tridimensionnelle, et étendue aux éléments multilinèaires ; en effet, elle est limitée pour l'instant aux éléments strictement linéaires (triangle ou tétraèdre).

M.Siegel et Ph.Ackerer (Institut de Mécanique des Fluides de Strasbourg), recourent à la méthode des éléments finis mixtes hybrides appliquée à une discrétisation en triangles (donc linéaires et bidimensionnels), qui permet de déterminer directement les vitesses en même temps que les charges moyennes sur les côtés de l'élément (et non aux sommets). Les vitesses sont continues à la limite entre deux éléments voisins. Pour l'instant cette méthode est trop éloignée des options de ROCKFLOW pour que nous essayions de l'intégrer alors que nous avons un besoin immédiat de techniques opérationnelles, mais elle retient toute notre attention pour d'éventuelles mises en oeuvre futures.



2.2 . INTERPOLATION D E S VITESSES P A R K R I G E A G E , C A L C U L D E S LIGNES D E C O U R A N T (rapport R36894 IRG-SGN-93 par M . Lambert, E. Fillion et A . Menjoz)

2 .2 .1 . La méthode d'interpolation des vitesses

C e travail a consisté en la mise au point d'une méthode d'interpolation par krigeage (logiciel T R A C V I T ) ; elle est appliquée séparément à chacune des composantes du vecteur autour du point courant, au sein d'un voisinage glissant (cercle contenant un nombre de points de mesure fixé par l'utilisateur). Le variogramme (qui quantifie le lien de la variable au point courant de l'espace, avec des points voisins situés à des distances h) est supposé de type linéaire ou en : y (h)=a*hb. Il est répété successivement et indépendamment pour chaque composante du vecteur vitesse (en particulier, il ne tient pas compte du respect local de l'équation de continuité, div V = 0 ) .

Le fait que l'erreur d'estimation ait une moyenne nulle et une variance minimale permet

d'identifier les coefficients .¡o de la formule d'interpolation entre les N points du voisinage :

V = 2 i = 1 > N Xio.V(xi)

par résolution d'un système linéaire en %ÎQ, de N équations à N inconnues, qui découle de ces hypothèses.

C e système linéaire est symétrique et inversible, mais dans certaines conditions peut se trouver mal conditionné (en particulier si deux points i et i', sont très voisins) ; un algorithme d'inversion particulièrement robuste (Golub et V a n Loan, 1983), dont la programmation F O R T R A N est publiée dans Numerical Recipies (1986, ch.2.9), a été testé puis adopté.

2.2 .2 . Calcul des lignes de courant

L e calcul des lignes de courant consiste à progresser suivant une ligne brisée obtenue par extrapolation pendant des pas de temps élémentaires At du vecteur vitesse local au point courant en début de pas de temps :

A X Í = xi+i-xi = (Vx)i. At Ay¡ = yi+i-yi = (Vy)i. At

U n variogramme est calculé pour le point de départ, avec évaluation de sa portée utile, définie sur le spectre des interdistances, c o m m e la distance dont la fréquence correspond à la moitié de la fréquence maximale. Cette information sert à déterminer le voisinage au sein duquel on pourra effectuer une succession de déplacements élémentaires sans avoir besoin de recalculer le variogramme. O n procède ensuite par pas At calculés c o m m e une fraction de cette portée prédéterminée (paramètre défini par l'utilisateur).

Il a fallu par ailleurs développer un algorithme pour reconnaître les limites du domaine défini par ces N points d'observation, et une logique déterminant à quel moment arrêter le calcul d'une ligne de courant.



2.2 .3 . La routine T R A C V I T

L a routine T R A C V I T est accompagnée d'un programme d'appel qui sert à réaliser des tests et contrôler le fonctionnement des différents organes de l'algorithme ; les étapes sont les suivantes :

- lecture des paramètres et points de départ des trajectoires, - boucle sur les trajectoires, - calcul d'un voisinage circulaire du point courant, - analyse du spectre des interdistances ; calcul de la portée, - calcul du variogramme expérimental, - calcul de la matrice de krigeage, - inversion de la matrice de krigeage, - calcul de la vitesse au point courant, - calcul du pas de temps, - déplacement, - fin de la boucle sur les trajectoires.

2 .2 .4 . Applications

Vérification (injection dans un écoulement uniforme)

L a routine T R A C V I T a été mise en oeuvre pour calculer les lignes de courant dans le cas d'un puits d'injection à débit constant dans un écoulement uniforme ; cas pour lequel l'équation de ces lignes est connue analytiquement.

Les paramètres choisis ont été :

Flux régional (vitesse de Darcy) : 10 - 6 m / s , Porosité cinématique : 10 %, Débit injecté : 100 m 3 / h (2,78.10-2m3/s), Epaisseur de l'aquifère : 20 m .

Cinq calculs sont réalisés en faisant varier le nombre de points du voisinage glissant, la dimension du At, et la densité des points "expérimentaux" (points où la vitesse exacte est fournie). Ils conduisent aux observations suivantes :

D e façon générale, les lignes de courant issues du voisinage du puits sont entachées d'erreur du fait de la proximité de cette singularité. L'écart acquis dans cette zone est conservé ensuite sur la totalité de la ligne de courant ; en fait, il fait passer sur une ligne voisine, qui par la suite est calculée avec une bonne précision lorsque l'on s'écarte du puits d'injection. Le renforcement du nombre de points dans cette zone sensible améliore significativement les résultats.

Agrandir les voisinages glissants pour augmenter le nombre de points à kriger (passage de 30 à 60), a peu de répercussion, si l'on n'augmente pas la densité en points de mesure.



L a durée du At (définie en fonction du rapport entre le nombre de points de calcul de S V . A t nécessaires pour parcourir une distance égale à l'interdistance la plus faible entre deux points de mesure au sein du voisinage local utilisé par la géostatistique), a une influence certaine sur la qualité des résultats, mais indépendamment de la mise en oeuvre du krigeage : elle conditionne l'erreur du calcul discret de l'intégrale, par extrapolation de la trajectoire par un segment de droite, parallèle à la vitesse au point de départ du segment.

Applications au calcul de trajectoires en aval de R O C K F L O W

L'algorithme de T R A C V I T a été utilisé pour calculer des lignes de courant en sortie du module S M de simulation des écoulements dans R O C K F L O W (Rapport A N D R A N ° 620 R P B R G 91-019 par E . Fillion). Dans le cadre de cette étude réalisée à la demande de l ' A N D R A , deux applications de T R A C V I T ont été réalisées :

(i) Exercice Hydrocoin Level 1, case 2, avec calcul dans une coupe verticale des charges et des trajectoires dans un milieu continu intersecté par deux fractures. Les trajectoires obtenues sont très satisfaisantes et se situent à proximité des courbes de référence de cet exercice international. Plusieurs variantes ont ensuite été calculées avec la présence d'une galerie à proximité des fractures,

(ii) plusieurs simulations dans le contexte du site français de stockage profond de déchets radioactifs en milieu granitique. Les fractures sont représentées par des plans verticaux. Les résultats confirment ceux obtenus par différences finies, mais sont plus précis grâce à une meilleure représentation du contour des limites et de la géométrie des fractures.

2.2 .5 . Conclusions

Cette méthode d'interpolation des vitesses se révèle fiable dans un milieu continu, et permet d'intégrer correctement les lignes de courant, hors des singularités (prélèvements, injections...) : il convient de raffiner au voisinage de ces points ; ceci ne fait que confirmer le besoin de maillages plus fins dans ces zones. Il est c o m m o d e d'éliminer carrément les calculs en leur voisinage immédiat par suppression des mailles les plus proches de la singularité, en remplaçant par exemple le puits d'injection du premier exemple par un cercle de dimension finie. O n sait en effet qu'à l'intérieur de cette ligne, l'écoulement sera quasiment asymétrique, et l'on connaît l'expression des temps de transit (d'ailleurs très courts par rapport au reste du trajet dans l'aquifêre).

Le krigeage indépendant de V x et de V y , ne respecte pas localement l'équation de continuité ; par ailleurs les variogrammes utilisés, linéaires notamment peuvent être trop simples. C'est pourquoi l'approche géostatistique pure a fait l'objet d'une investigation complémentaire portant sur un co-krigeage traitant simultanément les deux composantes de la vitesse, tout en respectant div(V)=0.

L a principale question que l'on peut se poser, si l'on veut appliquer cette méthode, pas seulement au tracé de trajectoires mais aussi à des calculs de transport hydrodispersifs par une méthode aux particules, c'est d'augmenter la vitesse des interpolations, et réussir à regrouper les calculs des variogrammes pour un nombre limité de voisinages prédéfinis. Le passage de 2 à 3 dimensions demandera un effort particulier d'adaptation des procédures.



2.3. INTERPOLATION D E S VITESSES P A R KRIGEAGE C O N T R A I N T P A R L ' E Q U A T I O N D E CONTINUITE (rapport R36473 ISA-SGN-93 par B. Bourgine et J.P. Chiles)

U n e technique de krigeage a donc été mise en oeuvre par M . Lambert et A . Menjoz (§2.2, logiciel T R A C V I T ) pour définir le vecteur vitesse en tout point (du domaine bidimensionnel) par interpolation successive sur chacune de ses deux composantes, à partir d'un ensemble de données distribuées en des points irrégulièrement répartis. Mais les vitesses ainsi calculées par krigeage classique, ne satisfont pas à l'équation de continuité, condition essentielle pour appliquer la méthode de Pollock.

C'est pourquoi B . Bourgine et J.-P. Chiles, ont étudié la possibilité de contraindre l'opération de krigeage par le respect de la condition : div V = 0, qui doit être satisfaite partout (sauf au voisinage des points singuliers). L a vérification du bon fonctionnement de la méthode a consisté, dans un espace bidimensionnel, à calculer les lignes de courant sur le m ê m e réseau que celui testé avec le logiciel T R A C V I T : lignes de courant issues d'un puits injectant un débit constant dans un écoulement régional uniforme.

2.3 .1 . Choix de l'estimateur des vitesses pour que div V = 0

O n suppose l'existence d'un potentiel vecteur Z(x) ; alors, la condition div V = 0 est satisfaite. Z(x) sera considéré c o m m e une fonction aléatoire d'ordre k (i.e. admettant une dérive polynomiale d'ordre k) et une covariance généralisée K(h) . Afin de ne pas recalculer les coefficients pondéraux du krigeage en chaque point, une technique de krigeage dual a été mise en œuvre qui permet, au sein de voisinages prédéfinis, d'intégrer les données locales, et de ne pas calculer directement les coefficients pondérateurs X[. L a fonction de covariance a été choisie isotrope et de la forme : h4.Iog(h), à l'intérieur de voisinages définis par octant et comprenant au m a x i m u m 13 points dans chaque octant (soit une centaine de points dans le voisinage total). Il est démontré qu'un estimateur de vitesse de la forme :

W * = E p i . K o i + E a 1 . f l 0 , où Koi est la covariance de la vitesse Vp=ôZ(xp)/Sup et des données de vitesse Ô Z ( X Î ) / Ô U I , respecte la condition de divergence nulle.

2.3 .2 . Contrôle des performances

Le test de contrôle des algorithmes a consisté en la simulation du m ê m e problème que celui étudié par A . Lambert et A . Menjoz : pompage permanent dans une nappe en écoulement uniforme, pour lequel il existe une solution analytique exacte. E n vue de tester l'applicabilité de la méthode en aval d'une simulation par éléments finis, la vitesse exacte est affichée au centre de 352 éléments, puis interpolée par krigeage contraint et comparée en une série de points intermédiaires avec la solution exacte en ces points intermédiaires. L a condition de divergence nulle n'étant pas vérifiée au voisinage du puits, une densité de points beaucoup plus forte a été choisie au voisinage de ce point singulier.

Les contrôles ont donc porté, en un premier stade sur la vérification de l'erreur relative sur les composantes x et y de la vitesse, puis sur la qualité du tracé de trajectoires par intégration de la vitesse, et enfin sur la satisfaction de la condition div V = 0, évaluée à partir des flux sur les côtés de rectangles, obtenus c o m m e vitesse moyenne sur chaque côté.



2 .3 .3 . Conclusions

Erreurs sur la vitesse

A l'écart du puits, et lorsque l'estimation est obtenue par interpolation (et non par extrapolation), l'erreur commise en calculant la vitesse reste faible : les erreurs relatives sur chacune des deux composantes de la vitesse sont de l'ordre de quelques 1/1000, sauf dans les zones d'extrapolation (notamment le voisinage de l'axe x=0) où elle croît très fortement, et m ê m e à proximité de celles-ci où elle peut atteindre quelques %. Lorsque l'on s'intéresse aux trajectoires, le facteur important n'est pas l'écart relatif ( V * x - V x ) / V x ou (V*y-Vy) /Vy, mais les erreurs sur le module V = V ( V x 2 + V y

2 ) , et sur l'angle 9 = Atn(Vy/Vx) ; 1' erreur relative sur le module est alors plus faible dans les zones éloignées du puits, où l'écoulement régional (inclus dans V x ) est prépondérant.

Le passage d'un voisinage glissant de 100 points à 50 points conduit à un accroissement sensible des erreurs relatives, et sur une zone beaucoup plus étendue.

Par contre, des tests réalisés avec une covariance en h 3 au lieu de h4 .Log(h), tout en maintenant la dérive quadratique, conduisent à des résultats de qualité voisine.

Précision des trajectoires

Les trajectoires ont été calculées de 2 façons : soit en partant de la périphérie du domaine, vers le puits (trajectoires dites inverses par les auteurs qui se placent ainsi dans le cas d'un débit d'injection dans le puits central), soit en partant d'une circonférence tracée au voisinage du puits (trajectoires dites directes). Les erreurs les plus fortes étant localisées près du puits, les trajectoires directes seront moins précises que les trajectoires inverses, puisque JV.dt est alors entachée de l'erreur maximale dès son début d'intégration numérique. Toutefois les écarts restent modérés lorsque l'on recourt à des voisinages de 100 points ; ils deviennent nettement sensibles sur les trajectoires directes avec des voisinages de 50 points.

Vérification de div(V) = 0

L a présente recherche d'une technique d'interpolation du c h a m p des vitesses respectant div(V) = 0, a pour objectif de permettre de transposer aux éléments finis la méthode de Pollock, conçue pour calculer des trajectoires à partir d'un calcul de charges par différences finies. Cette méthode permet d'intégrer le c h a m p de vitesses interpolé au sein d'un réseau de mailles rectangulaires, pour lesquelles on connaît les flux transitant sur chacune des quatre faces ; la s o m m e de ces flux est rigoureusement nulle (div(V) = 0) en l'absence de singularités. Les auteurs ont donc vérifié si la méthode d'interpolation par krigeage contraint par cette condition, permet de déterminer des vitesses moyennes par face (i.e. flux) qui respectent aussi div(V) = 0.

Les calculs montrent qu'il faut s'éloigner d'environ 1 0 m du puits pour que l'erreur sur le bilan des flux soit inférieure à 3%. E n fait cette distance est très faible en comparaison de la distance qui sépare le puits du point d'arrêt (point à vitesse nulle), et qui vaut : Q/(27ihV0)«221m ; ces derniers 1 0 m vers le puits sont parcourus en un temps très court qui est négligeable devant le reste du déplacement.



Comparaison avec l'algorithme de TRACVIT

L'algorithme de T R A C V I T repose sur deux krigeages indépendants, l'un pour V x , l'autre pour V y , donc ne vérifiant pas, a priori, la condition div V = 0 . Le variogramme est soit linéaire, soit en |h | a , et les voisinages circulaires. C e n'est que lorsque la trajectoire sort du voisinage, ou dépasse la portée du variogramme que l'on définit un nouveau voisinage et évalue le variogramme correspondant.

Les calculs réalisés par les deux méthodes sur un m ê m e jeu de données (50 "mesures" de V x et 50 "mesures" de V y ) . E n dépit de la non prise en compte de la continuité dans T R A C V I T , les résultats sont malgré tout d'une qualité comparable, qui peut s'expliquer par le fait que la densité de points de mesure est élevée, et plus particulièrement au voisinage de la singularité. O n remarque m ê m e une meilleure précision avec T R A C V I T qui, contrairement au test du krigeage contraint, recalcule le variogramme dans chaque nouveau voisinage.

Des tests complémentaires seraient donc à réaliser avec des algorithmes comparables et des densités de points plus faibles : en effet, on ne peut pas pour l'instant conclure que le krigeage contraint par div V = 0 apporte des améliorations substancielles justifiant des temps calcul plus élevés, par un accroissement sensible de la précision des résultats.

2.4. SIMULATION D U T R A N S P O R T PAR D E P L A C E M E N T S ALEATOIRES (rapport R37175 EAU-4S-93 par E. Fillion, Th. Lege et J.-P. Sauty)

L a part principale du travail présenté ici a été réalisée par E . Fillion lors de deux séjours d'une durée totale d'environ 2 mois, auprès de l'Institut de Mécanique des Fluides de l'Université de Hanovre en 1992. Il s'agissait d'introduire dans la chaîne R O C K F L O W , un code de calcul du transport par la méthode des déplacements aléatoires, en alternative à la programmation classique du module T M aux éléments finis. L a technique de programmation a consisté à transposer, dans un maillage formé d'éléments finis bi- ou tri-linéaires de forme et d'orientation variable, la méthode initialement développée par D . W . Pollock (1988) pour déterminer des trajectoires à partir de charges hydrauliques calculées sur un réseau de mailles rectangulaires (différences finies). L a programmation a été directement adaptée de la version tridimensionnelle du code S E S A M E : méthode des déplacements aléatoires dans un champ de vitesses obtenu par différences finies (Séguin, 1992).

L a version actuelle est programmée pour traiter les transferts dans un champ de vitesses évolutif ou stabilisé mais seul le régime hydraulique permanent a été vérifié à fin 1992.

2 .4 .1 . Transposition de la méthode de Pollock

L'équation du transport hydrodispersif s'écrit (en deux dimensions) :

eC/ôt+u x .dC/ôx+Uy.dC/ôy = dldx. {D^.dClÔK+H^.dCId^+dldy (Dyx.dC/dy+Dyy.cC/ôy)

avec

Dxx = aLUx2 /u+a.TUy2 /u ; Dyy = axu x

2 /u+aLU y2 /u ; Dxy = Dyx = (oiL-<XT)UxUy/u •



Cette équation présente l'inconvénient de contenir simultanément des termes paraboliques (diffusion), et hyperboliques (convection) ; leur coexistence nuit à la bonne intégration de cette équation par les méthodes classiques aux différences finies ou aux éléments finis.

Rappels sur la méthode Random Walk (Prickelt)

L a théorie des équations différentielles stochastiques permet de traiter ces processus par une méthode de caractéristiques, propre aux équations hyperboliques, en considérant la dispersion c o m m e le résultat de fluctuations aléatoires de la vitesse, qui se superposent au phénomène convectif moyen .

L a technique d'intégration par Déplacements Aléatoires (Random W a l k , souvent traduit par Marche au Hasard), consiste à déplacer, à chaque pas de temps, un grand nombre de particules suivant des tirages aléatoires obéissant à une distribution normale pour simuler la diffusion, après un déplacement convectif conformément à la vitesse locale (Prickett et al., 1981) :

x(ti) = x(ti_i) + Ux(ti-l) At + (zigi i + z2gi2) V(At), et

y(ti) = y(ti-i) + uy(ti.i) At + (zig2i + z2g22) V(At), avec :

gl 1 = ux(ti.i) .V[2aL/ux(ti-i)] ; gi2 = - uy(t¡.i) .V[2aT/uy(ti.i)], et

g21 = uy(ti.i) .V[2aL/uy(ti.i)] ; g 2 2 = - ux(t¡-i) .V[2aT/ux(tM)]

où z\ et Z2 sont des nombres aléatoires tirés suivant une distribution normale de moyenne nulle et d'écart type unité.

Cependant, lorsque le champ de vitesses n'est pas uniforme, la méthode R a n d o m W a l k traditionnelle se concrétise par l'envoi d'un excédent de particules dans des zones à faible vitesse. Elle conduit, en effet, à extrapoler la vitesse locale ; chaque déplacement élémentaire est calculé c o m m e si la vitesse était uniforme, et égale à sa valeur au point de départ : d'une part dans la direction de la vitesse locale (par convection et dispersion longitudinale), d'autre part dans les directions perpendiculaires (par dispersion transversale). Si la vitesse réelle diminue fortement le long d'un de ces déplacements rectilignes, la particule se trouve projetée artificiellement dans une zone à plus faible vitesse. Cet artefact de calcul se traduit par des surconcentrations dans ces zones, notamment au voisinage de points d'arrêt (stagnation points) ou dans des épontes peu perméables, le long de leur interface avec une couche aquifère.

Rappels sur la correction dite de Itto-Fokker-Planck

E n supposant Markovien le processus R a n d o m W a l k et en développant au second ordre, lorsque le nombre de particules croît et que les pas de temps diminuent, on tend à résoudre l'équation de Ito-Fokker-Planck (Kinzelbach, 1987), au lieu de l'équation de convection-dispersion :

aC/ôt+uxô/ôx(C)+uya/ôy(C) = ô 2 /ôx 2 (D x x C)+o 2 /ôxôy(D x y C)+Ô 2 /ôyox(D y x C)+ô 2 /ôy 2 (D y y C),

qui n'est équivalente à l'équation à traiter que si le tenseur de dispersion est uniforme (le champ de vitesses doit notamment être uniforme).



Uffink (1985), Kinzelbach et Ackerer (1986), ont proposé une modification du processus R a n d o m W a l k , prenant en compte la variabilité spatiale du tenseur de dispersion, pour satisfaire effectivement l'équation de convection-dispersion, et non l'équation de Ito-Fokker-Planck. E n remplaçant u x et u y par u'x et u'y, dans le déplacement des particules :

u 'x^x+ôDxx/ox+ôDxy/dy , et

u'jrUy+SDyx/ôx+ôDyj/dy,

dans

x(ti) = x(t¡.i) + u'x(ti-i) At + (zigi i + z2gi2) V(At), et

y(ti) = y(ti-i) + u'y(ti-i) At + (zig2i + z2g22) V(At),

l'équation de convection-dispersion est alors satisfaite au second ordre, mais au prix de calculs plus longs puisque l'on doit évaluer au point courant, les dérivées spatiales des coefficients du tenseur de dispersion, donc des vitesses. Remarquons que cette technique ne s'applique que là où le c h a m p des vitesses est continu et derivable : elle est encore mise en défaut au voisinage d'un brusque changement de perméabilité (contact entre aquifère et épontes semi-perméables par exemple).

Méthode d'intégration continue des vitesses

L a correction proposée par Uffink et al. élimine donc le premier type d'anomalie, mais pas le second. U n e autre méthode a été proposée en différences finies (Sauty, Barthélémy) : elle consiste à suivre les lignes de courant lors du déplacement convectif, et du déplacement dispersif longitudinal. O r , une expression analytique approchée de la ligne de courant au sein d'une maille a été proposée par Pollock (1988). D e façon similaire, le déplacement transversal peut être effectué le long d'une équipotentielle en 2 D (Sauty, Barthélémy), ou d'une manière un peu plus approchée, dans le contexte plus difficile du 3 D , à l'intérieur du plan normal à la ligne de courant (Séguin). Avec cette technique, le calcul de chaque déplacement diffusif prend en compte la variation de la vitesse au cours du déplacement, et notamment au passage d'une maille à l'autre, où la perméabilité est susceptible de varier brusquement ; on évite les extrapolations supposant la vitesse constante en grandeur et direction depuis le point de départ de chaque déplacement élémentaire, tout en conservant la formulation traditionnelle du déplacement (Prickett). C'est cette méthode en version 3 D qui est appliquée dans P T .

Discontinuités du champ des vitesses (éléments finis de classe CO)

E n théorie, des éléments finis bi- ou tri-linéaires minimisent l'erreur sur les charges calculées aux noeuds du réseau (sommets des éléments), et fournissent également une expression de la vitesse en tout point de l'élément. Cette vitesse, est uniforme sur l'élément de référence et quasi-uniforme sur chaque élément réel : à l'interface entre deux éléments, elle n'est donc pas continue, et ne vérifie m ê m e pas la continuité des flux. Par contre, l'expression des vitesses aux points de Gauss étant la plus représentative, c'est à partir de celles-ci qu'on s'est proposé d'adapter aux éléments finis la méthode de Pollock afin d'interpoler la vitesse en tout point interne à un élément, en conformité avec les flux échangés avec les éléments voisins ; ces vitesses sont ensuite utilisées pour calculer le transport convectif-dispersif par la méthode des déplacements aléatoires. Ceci ne constitue qu'une première approche, lorsque les éléments sont bien conditionnés. Ultérieurement, il est prévu de tester d'autres méthodes : (i) contrôle de Rot V = 0 sur le contour des éléments (Cordes, Kinzelbach, 1993), (ii) approche géostatistique par krigeage standard (Lambert,



Menjoz, cf §2.2) ou par krigeage contraint par la condition Div V = 0 à l'intérieur des éléments (Bourgine, Chiles, cf §2.3), ou (iii) calcul direct des vitesses à l'aide d'éléments hybrides (Mosé et al, 1993).

Donc, actuellement, le module P T part des vitesses aux points de Gauss : 4 points par élément 2 D , repérés au sein de l'élément de référence carré par les coordonnées [Ç=±l/V(3), T I = ± 1 / V ( 3 ) ] (même chose sur les 8 points d'un hexaèdre 3 D ) ; puis les flux sont estimés en faisant la moyenne des composantes normales des vitesses aux points de Gauss situés de part et d'autre de la face c o m m u n e à 2 éléments (4 points en 2 D , 8 points en 3 D ) .

Rappels sur la méthode de Pollock (différences finies)

Dans une maille parallélépipédique, Pollock développe une expression analytique de l'équation des trajectoires, basée sur l'hypothèse de variation linéaire de chaque composante du vecteur flux V (ou vitesse de Darcy), au sein de chaque maille, par rapport à l'axe correspondant :

V x = V x o + ( X - X o ) . [(Vxw - VxE) / (X W - XE)] V y = V y o + ( Y - Y o ) . [(VyN - V y s ) / (Y N - Y s)] V z = V z o + (Z-Zo). [(VzH - V Z B ) / (ZH - ZB)].

Les vitesses effectives u en sont déduites en divisant ces flux par la porosité cinématique de la maille :

Ux = Vx/to, u y = Vy/co, u z = V z / a .

Il en résulte que les trajectoires ont pour équation :

X = X o + (u X 0 /G) . {exp[Ax (t-to)]} avec A x = (ux\y - U X E ) / (X\y - X E ) Y = Y o + (uyo/G). {exp[Ay (t-to)]} avec A y = (uyN - uy S) / ( Y N - Y s ) Z = Z o + (uZ0/G) . {exp[Az (t-to)]} avec A z = ( U Z H - U Z B ) / ( Z H - Z B )

2 . 4 . 2 . Transformations élément réel <=> élément de référence

Correspondance du point courant

Le calcul des déplacements étant effectué dans l'élément de référence, on a besoin de récupérer les coordonnées du point réel pour localiser les particules dans l'espace réel, notamment au moment d'évaluer les concentrations.

La correspondance entre un point X (x,y,z) (système global), c'est-à-dire situé dans l'élément n du domaine d'étude, et le point de l'élément de référence % (^,rj,Q (système local), s'écrit :

X(x) = <N(x)>{Xn},

où X n sont les coordonnées des noeuds de l'élément n.



Correspondance des vitesses au point courant

L'expression de la vitesse dans l'élément de référence a été dérivée par T R Ö S C H et V O N K A N E L (1990):

Vx= - % dWôx avec KX=(J-1)T K x (J-1)

avec J, Jacobien :

Jij = Ô X j % i = <N(x) > X>{X n } ,

où <N(x),^> sont les dérivées par rapport à x des fonctions de forme <N(x)>.

Correspondance des dispersions et dispersivités

Transposant la démonstration précédente, il a été possible d'exprimer de façon similaire les coefficients de dispersion et les dispersivités, utilisés pour calculer les déplacements aléatoires au sein de l'élément de référence.

Dx=(J-l)T D X (J-1), et a x = (UX/uX) X ^ 1 ) 7 « X ( H )

2 .4 .3 . Options du module PT

E n résumé, le module P T de R O C K F L O W (Particle Tracking) opère donc de la façon suivante :

• calcul des vitesses par interpolation des flux aux limites calculés à partir des vitesses aux points de Gauss voisins,

• l'interpolation des vitesses est effectuée par application de la méthode de Pollock sur l'élément de référence carré (ou cubique en 3 D ) ,

• déplacements convectif et dispersif longitudinal suivant les lignes de courant,

• déplacement dispersif transversal suivant la droite perpendiculaire à la vitesse au point de départ du segment en cours (2D), ou dans le plan normal à celle-ci (3D) : premier déplacement horizontal et second déplacement, selon l'intersection du plan normal à cette vitesse, et le plan vertical la contenant.

• dans le calcul du déplacement élémentaire, on remplace la notion de déplacement aléatoire par un temps de transfert aléatoire : A x = ux.At + zjV(2aLuAt) est remplacé par A x = u(At + Atz), avec Atz = z\ V(2aLAt / u). Lorsque ce déplacement passe d'un élément dans un élément voisin, il est interrompu à l'interface, la portion de Atz non consommée est reprise dans l'élément suivant avec la vitesse propre à cet élément.

• le retour à l'espace réel n'est nécessaire que lorsque l'on veut localiser les particules, par exemple pour calculer des concentrations (décompte de la densité spatiale des particules) au sein de voisinages qui ne seraient pas les éléments du maillage, ou pour tracer une trajectoire.



Le c h a m p de vitesses peut être stationnaire ou varier dans le temps ; la source de polluants peut être instantanée, continue ou à concentration imposée.

2 . 4 . 4 . Vérifications, résultats

P T ayant deux tâches : (i) déterminer le tracé de lignes de courant (ii) calculer l'évolution spatiotemporelle des concentrations, des tests de contrôle ont été réalisés par rapport à ces deux finalités. U n e des options consiste à faire partir une ligne de courant du centre de chaque élément, de façon à obtenir rapidement (peu de données à préparer) un aperçu du réseau d'écoulement. Le calcul des lignes de courant est purement hydrodynamique : il consiste à déterminer les lignes orthogonales aux équipotentielles (cas isotrope), sans véritablement prendre en compte les paramètres de transport.

Lignes de courant : Réseau infini de doublets (2D)

C e réseau est constitué d'une double infinité de puits situés aux sommets d'un maillage régulier dans l'espace X Y . U n puits sur deux est affecté d'un débit de pompage, l'autre d'un débit d'injection (d'où le n o m de Five-Spot car un puits de pompage est entouré de quatre puits d'injection -et réciproquement-) ; ce cas de figure bénéficie d'une solution analytique fournissant l'expression de la fonction de courant. Deux maillages, l'un "grossier", l'autre "fin" sont testés. Il apparaît (constatation très générale) que m ê m e avec un maillage comprenant relativement peu d'éléments, mais adaptés, m ê m e approximativement, au réseau d'écoulement on obtient déjà d'assez bons résultats, qui s'améliorent évidemment avec la finesse de la discrétisation, surtout si celle-ci reste intelligente.

Lignes de courant : Pompage dans un écoulement uniforme (2D)

Le cas de l'écoulement vers un puits pompant un débit constant dans un aquifère infini soumis à un écoulement régional uniforme, possède également une expression analytique de la fonction de courant. Le calcul est effectué au sein d'un rectangle sur les limites duquel on impose la valeur théorique exacte du potentiel. Les lignes de courant calculées à l'aide de P T , à partir des limites, coïncident bien avec la solution exacte, mais au voisinage du point d'arrêt, les écarts deviennent très significatifs.

Lignes de courant et concentrations : Pompage dans un écoulement uniforme (2D)

C e test est ensuite repris en limitant le domaine d'écoulement par deux limites parallèles étanches, et en prenant en compte la dispersion. L'observation du nuage de particules montre l'absence d'accumulation au voisinage du point d'arrêt.

Concentrations : Injection instantanée ou continue dans un écoulement uniforme (2D)

Les solutions classiques de l'injection ponctuelle qu'elle soit instantanée ou continue, dans un milieu infini soumis à un écoulement uniforme, ont été étendues à une source au sein d'un rectangle (2D), ou d'un parallélépipède rectangle (3D) par intégration (J.J.Séguin, 1990). Des calculs faits avec 5 000 et 10 000 particules montrent une bonne qualité des résultats dans la zone centrale à forte concentration, et des oscillations sur les bords de la tache de pollution.



Concentrations : Diffusion sphérique en l'absence d'écoulement (3D)

Les conclusions sont semblables à celles de l'exemple précédent.

Lignes de courant ; HYDROCOIN level 1, case N°7 : Couche argileuse et deux blocs de béton

U n écoulement 2 D , approximativement parallèle au sein d'une couche argileuse dont la perméabilité varie en fonction de la profondeur doit contourner deux blocs de béton. Les résultats de P T correspondent bien à ceux des participants à H Y D R O C O I N . E n complément, un test simplifié (bloc unique dans un écoulement uniforme) a servi à contrôler le respect des symétries.

Lignes de courant ; HYDROCOIN level I, case N°2 : matrice poreuse intersectée par 2 fractures

O n étudie un écoulement 2 D en coupe verticale, dans un massif dont la matrice est faiblement perméable, et coupée par deux fractures très perméables. L a comparaison des trajectoires à celles des équipes de H Y D R O C O I N est bonne. A titre exploratoire, des calculs complémentaires ont été réalisés en ajoutant le calcul de la dispersion (problème non traité dans le test H Y D R O C O I N ) .

Lignes de courant ; HYDROCOIN level 1, caseN°6 : forts contrastes de perméabilité

C e test concerne écoulement et lignes de courant dans un milieu composé de couches géologiques superposées, avec de fortes variations de perméabilité. Les résultats ne sont pas de bonne qualité, selon toute apparence, du fait de difficultés numériques résultant des fortes variations des paramètres. Apparemment, le passage en double précision serait susceptible d'éliminer cette difficulté.

Lignes de courant et concentrations dans un problème tridimensionnel

C e test défini avec W . Kinzelbach dans le but de créer un benchmark strictement tridimensionnel dans une géométrie simple, concerne les écoulements et le transport depuis un cours d'eau orienté N S vers une galerie drainante d'orientation E W , située à une profondeur de 100m. L'écoulement se fait dans une roche peu perméable, entaillée par une fracture N S , dont le pendage est de 45°. Les résultats du calcul respectent les geometries du problème et paraissent vraisemblable ; mais on ne dispose pas de référence par rapport à d'autres résolutions.

2.4 .5 Conclusions, futurs développements

E n ce qui concerne les écoulements, les différents exemples conduisent à de bons résultats lorsque les éléments n'ont pas des formes trop aiguës. Lorsqu'il est possible de disposer d'éléments dont les contours correspondent m ê m e très approximativement à un système d'équipotentielles et de lignes de courant, la précision est excellente. Le calcul du transport nécessite en outre que la condition div V = 0 soit satisfaite : autour des singularités, il convient de raffiner le maillage, et m ê m e d'éliminer un volume cylindrique autour du puits ; ceci n'a pas de répercussion sur le transport : les vitesses étant très grandes à proximité d'un puits, les temps de transfert y sont négligeables.



Cette méthode, intégrée dans R O C K F L O W , fournit une alternative intéressante au module T M , programmé à l'aide d'éléments finis classiques, et permet de passer de l'une à l'autre méthode avec le m ê m e jeu de données, au sein du m ê m e environnement logiciel.

Les avantages de la méthode des déplacements aléatoires sont d'éliminer la dispersion numérique et les problèmes d'instabilité et de convergence propres à la simulation du transport par éléments finis (et de faciliter le couplage avec la chimie). L'inconvénient principal qui réside dans l'accumulation de particules dans les zones à faible vitesse est éliminé grâce à la technique utilisée pour extrapoler les vitesses locales.

L'amélioration principale à apporter, réside dans la méthode d'interpolation des vitesses locales à choisir parmi les suivantes : interpolation satisfaisant rot V = 0 sur la périphérie de l'élément (Kinzelbach), approche géostatistique (Lambert, Menjoz) ou (Bourgine, Chilès), ou éléments hybrides (Siegel, Ackerer)...



3. TRAVAUX SUR LES MAILLEURS AUTOMATIQUES

3.1. INTRODUCTION

A l'époque de nos premiers travaux sur R O C K F L O W , aucun mailleur n'était intégré dans cette chaîne de programmes : dans la pratique, le maillage devait être élaboré manuellement pour chaque nouvelle utilisation. Or, le B R G M devant construire rapidement des maillages, souvent complexes, pour effectuer ses études appliquées, il est vite apparu indispensable de disposer de mailleurs automatiques, ou au moins semi-automatiques.

U n tour d'horizon a montré que :

• U n e équipe du Pr. Zielke, distincte de celle travaillant sur R O C K F L O W entretenait depuis quelques années une coopération avec le Professeur Taniguchi de l'Université de O k a y a m a (Japon), sur le thème des mailleurs automatiques pour éléments finis 2 D par la méthode de Delaunay, appliqués à la modélisation des estuaires,

• A .Menjoz a développé antérieurement des mailleurs simplifiés suivant la méthode des macroéléments 2 D et 3 D (définition manuelle de gros éléments qui sont ensuite subdivisés automatiquement), permettant déjà la résolution de nombre de cas pratiques,

• S G N / I S A a amorcé dans les années précédentes une coopération avec l'Université d'Orléans (stagiaires du Professeur Martinez), sur le thème de la technique des Octrees.

E . Fillion, qui a totalement pris en charge cet aspect "automatisation de la construction des maillages", s'est donc attaché à :

• Intégrer dans la chaîne R O C K F L O W les techniques 2 D mises au point par le Pr. Taniguchi,

• Ajouter la possibilité de créer un maillage pseudo-3D, par N répétitions d'un maillage 2 D suivant la 3ème dimension,

• Réactiver les techniques de macro-éléments 3 D avec l'assistance de A . Menjoz,

• Encadrer 2 stages d'élèves du Pr. Martinez sur le thème des Octrees : une maîtrise en 1991 (O. Rossignol), et un D E S S en 1992 (R. Schreiner).

Par la suite (1993), la participation à la modélisation du laboratoire souterrain suédois (étude in situ -sous l'île d'Äspö- de la faisabilité d'un stockage de déchets radioactifs en milieu granitique), pour le compte de l ' A N D R A nous confronte à la modélisation 3 D d'un massif perméable, intersecté par un grand nombre de fractures : problème pour lequel ni le B R G M , ni le C E A , n'ont trouvé de mailleurs disponibles sur le marché. Une solution sera apportée à ce problème par E . Fillion dans le cadre du projet de recherches E G 1 2 , par extension des méthodes du Pr. Taniguchi, et en collaboration étroite avec ce dernier.



3 . 2 . M A I L L E U R S D I S P O N I B L E S E N 1 9 9 2 {Rapport R 3 7 1 7 6 E A U 4 S 93 par E. Fillion).

3 . 2 . 1 . Mailleur 2 D Delaunay-Taniguchi

Le Pr. Taniguchi a développé une technique de maillage 2 D suivant la méthode de Delaunay, en l'adaptant pour pouvoir intégrer des frontières internes (galeries, cavités...), des fractures ainsi que des points fixés (Taniguchi, 1992). Dans le cadre du présent projet E G 4 2 , le mailleur a été intégré dans un préprocesseur qui effectue les opérations suivantes :

• Digitalisation (frontières, fractures, points imposés c o m m e noeuds du maillage), • Triangulation suivant l'algorithme de Delaunay, • Construction de quadrangles, • Lissage des quadrangles suivant l'algorithme de Gauss, • Sauvegarde du maillage suivant un format lisible par la chaîne R O C K F L O W .

Le rapport décrit la méthodologie, l'organisation des logiciels, la structure des données et présente quelques tests et exemples d'applications.

3.2.1.1. Digitalisation

U n logiciel ( n o m m é P R O D I G ) a été mis au point par le B R G M pour automatiser la définition du domaine d'étude à l'aide d'un digitaliseur. Le domaine doit être subdivisé en sous-domaines convexes : ce n'est que si le domaine original est convexe qu'on peut ne pas le subdiviser. Les frontières sont définies par un ligne brisée, dont chaque segment rectiligne est décomposé en 2 segments (certains segments peuvent l'être davantage si l'utilisateur le souhaite). A u sein de ces sous-domaines initialement convexes, il est possible d'introduire des limites internes définissant un trou à l'intérieur du sous-domaine. Il est également possible de définir des fractures par des lignes brisées qui peuvent traverser des frontières ; plusieurs fractures peuvent s'intersecter. Enfin, des positions de noeuds peuvent être imposées par l'utilisateur (e.g. emplacement d'un pompage ou d'un piézomètre d'observation). Entre un sous-domaine et ses voisins, P R O D I G se charge de reconnaître les points c o m m u n s .

3.2.1.2. Génération du maillage

A. Triangulation de Delaunay

L a triangulation de Delaunay tend à créer des triangles aussi proches que possible de triangles équilatéraux. Elle repose sur la contrainte suivante : un nouveau noeud (futur sommet d'éléments triangulaires) étant placé au sein d'un triangle donné, il ne doit pas se trouver intérieur à l'un quelconque des cercles circonscrits aux triangles voisins. Lors de l'introduction d'un nouveau noeud, en un point d'un triangle donné, on vérifie donc qu'en cette position, il n'est intérieur à aucun de ces cercles circonscrits. Dans ce cas, on découpe le triangle d'origine en 3 sous-triangles dont le nouveau noeud sera le sommet c o m m u n ; sinon, on supprime tous les triangles dont le cercle circonscrit englobe le nouveau noeud, libérant ainsi un polygone, puis ce polygone est triangulé en joignant le nouveau noeud par des segments de droite à tous les sommets du polygone.



O n introduit successivement les points sur les limites externes, puis sur les limites internes (galeries, cavités...) et les fractures, puis les points imposés. Les points du maillage de base sont placés sur un maillage rectangulaire régulier, et introduits tout de suite après les limites externes. L'adaptation de Taniguchi consiste à faire en sorte que les segments définissant les limites internes et les fractures ne soient pas coupées par des triangles. L a logique de triangulation est donc la suivante :

• Construction d'un triangle exinscrit au domaine d'étude global.

• Boucle sur l'introduction des noeuds un par un.

• Pour un noeud de la limite externe ou du maillage de base, ainsi que pour un noeud imposé, application de la règle de Delaunay en fonction de la position des cercles circonscrits.

• Pour un noeud de limite interne ou fracture, suppression de tous les triangles coupant le dernier segment, puis application de la règle de Delaunay en conservant le nouveau segment. U n e limite interne devant être une courbe fermée, son dernier point est automatiquement relié au premier.

• Fin de boucle.

• Elimination des triangles générés hors du domaine d'étude.

B . Transformation des triangles en quadrangles

Cette transformation est d'abord obtenue par regroupement de couples de triangles ayant un côté c o m m u n (des triangles situés de part et d'autre de limites internes ou de fractures ne peuvent être réunis). Chaque triangle non traité est alors subdivisé en 4 quadrilatères ayant un sommet c o m m u n : le barycentre du triangle initial, les autres nouveaux sommets étant pris aux centres des côtés de ce triangle. Les quadrilatères obtenus par regroupement sont également subdivisés par une technique semblable.

C. Lissage du maillage : méthode de Laplace

L'ensemble du maillage est balayé par une procédure itérative au cours de laquelle chaque noeud (dont la position n'est pas imposée) est successivement déplacé au barycentre des noeuds voisins (appartenant à un m ê m e élément que le noeud considéré).

3.2.1.3. Tests d'application

U n premier exemple assemble sous une géométrie simple, les différents cas de figure pouvant conditionner un maillage : découpage en sous-domaines convexes, frontières internes, et présence de plusieurs fractures. Ensuite, deux exemples sont traités qui correspondent à des coupes géologiques intersectées par des fractures et galeries perpendiculaires au plan de figure. O n constate une forme généralement harmonieuse du maillage généré (fig. 3).



Figure 3 Exemple de maillage Delaunay - Tanlguchi

14-

12-

10-

4 _i_

X en m

8 K) 12 M 16 14

12

10

8-E c

6-

4-

2-

10 —r-

14

-8 E c m

IM

-4

-2

" T -

6 1 8

X en m 12 16

i Contours des sous-domaines

— Limites internes

>•• Fractures

O'après Taniguchi (communication personnelle)



3 .2 .2 . Technique des Macro-Éléments

U n mailleur a été adapté d'un module écrit par A . Menjoz pour générer des hexaèdres quadratiques à 20 noeuds. Compte-tenu des options de R O C K F L O W , il a été adapté pour produire des hexaèdres trilinéaires à 8 noeuds, ou des quadrilatères bilinéaires à 4 noeuds.

L'utilisation de ce mailleur suppose que l'on décompose le domaine d'étude en une série d'hexaèdres à faces planes. Le mailleur subdivise alors chacun de ces volumes par découpage à l'aide d'autant de plans intermédiaires qu'on le désire, suivant des pas variables, que l'utilisateur peut définir ; ces plans sont interpolés linéairement entre les plans limitant de part et d'autre l'hexaèdre d'origine.

Cette technique permet de traiter un bon nombre de cas concrets, quand on peut schématiser un peu les structures. Le rapport fourni deux exemples : (i) une application à la modélisation du site expérimental suédois de Finnsjön, et (ii) la schématisation de tests d'influence hydraulique entre deux sondages forés à partir d'une galerie souterraine (essai "Cross-Hole"). U n troisième exemple est fourni par ailleurs : "Benchmark Kinzelbach-Sauty", où une fracture entame diagonalement un cube soumis à un écoulement tournant.

3 .2 .3 . Technique du maillage "pseudo-3D"

U n maillage tri-dimensionnel peut être obtenu à partir d'un maillage bi-dimensionnel horizontal, en superposant plusieurs couches successives ayant le m ê m e maillage en x et y, et des épaisseurs uniformes, (ou variables si l'on veut représenter une structure géologique multicouche, mais option réalisée en 1993, dans le cadre du projet E G 1 2 ) . U n exemple typique est celui d'un site géologique en milieu granitique lieu de zones de fracturations que l'on a pu supposer verticales.

Certaines applications ont été réalisées en assemblant plusieurs couches verticales parallèles : un exemple est donné à partir du test I N T R A V A L à deux fractures.

3 .2 .4 . Maillage 2 D , obtenu par une coupe dans un maillage 3 D

U n e routine permet, à partir d'un maillage 3 D de définir automatiquement le maillage dans une coupe plane quelconque. Cet algorithme sera notablement amélioré en 1993 dans le cadre du projet E G 1 2 par la possibilité de définir des intersections 2 D plus générales.

3.3 . T E C H N I Q U E D E S O C T R E E S MODIFIES (Rapport R 37177 E A U / 4 S 93 par O . Rossignol et E. Fillion).

3 .3 .1 . Présentation de la méthode des octrees modifiés

L a technique de l'octree est une méthode de description d'un objet tridimensionnel par un ensemble de cubes. Cet objet est d'abord inscrit dans un cube exinscrit (Univers), chaque cube peut être subdivisé m fois, de façon recursive, en huit cubes égaux avec élimination des cubes situés hors de l'objet étudié. L a logique arborescente de subdivision par huit, justifie le n o m (oct-tree -^ Octree) ; sa première justification vient de l'organisation des informations dans des octets. Elle permet d'optimiser l'espace mémoire nécessaire pour stocker l'information sur les objets étudiés.



L a technique de l'octree modifié consiste essentiellement à découper les cubes en tétraèdres, hexaèdres... par des plans de façon à améliorer la représentation géométrique des limites, puis à déplacer les noeuds pour les situer exactement sur les frontières. Enfin, les éléments sont lissés suivant la technique de Laplace (cf.§3.2.1.2.C).

3 .3 .2 . Travail réalisé dans le cadre du stage de R.Rossignol

Préalablement, R . Badier et Ph. Lacour, élèves du Pr. Martinez avaient effectué un stage à S G N / I S A en 1990, dans le but d'appliquer la méthode des octrees à la représentation volumique des gisements miniers. L'année suivante 0 . Rossignol a réactivé leurs résultats au cours d'un stage de D E A effectué dans le cadre de E G 4 2 : développement d'une classe d'octree avec récupération d'un fichier de points -compatible G d M - , coupe d'un octree par un plan, tri des faces pour représentation graphique. Ensuite, il a élaboré des développements nouveaux :

• implementation de la soustraction de deux octrees : par exemple représentation d'un volume de terrain (1er octree), duquel on extrait le volume d'une galerie (2ème octree),

• création d'une table de connectivité au format éléments finis.

D'autres projets envisagés : (i) raffinements locaux et découpage par des plans pour mieux décrire les fractures et les frontières internes entre couches géologiques, (ii) contrôle de la dimension de deux cubes voisins (rapport 0.5, 1 ou 2 seulement), n'ont pu être achevés dans le cadre de ce stage.

3.3 .3 . Archivage

Outre le rapport cité de 0 . Rossignol et E . Fillion, les sources des codes développés (programmation-objet en C + + et code F O R T R A N ) sont archivées à 4 S / E A U .

3 .4 . C O N T R I B U T I O N A U N M A I L L E U R M U L T I - H O R I Z O N S (Rapport R 37178 E A U / 4 S 93 par R. Schreiner et E. Fillion)

C e rapport concrétise les acquis du stage D E S S de Richard Schreiner, élève du Pr. Martinez de l'Université d'Orléans, et encadré au B R G M par Eric Fillion. C e travail, effectué en 1992, a eu pour objet la construction de maillages multi-horizons, c'est-à-dire constitués de plusieurs matériaux ("passage de l'Octree à l'Octree coloré"), le contrôle du raffinement de cubes adjacents, et le découpage des cubes proches de frontières pour une meilleure définition de la géométrie de celles-ci.

3 .4 .1 . Le raffinement des cubes adjacents

R . Schreiner a développé la logique de contrôle des dimensions de deux cubes voisins ; celles-ci ne doivent pas varier de plus d'un rapport deux, de façon à faciliter la conception des éléments finis intermédiaires qui devront servir de transition. Si ce rapport de deux est dépassé, le cube le plus gros est découpé en huit de façon à abaisser son niveau.



3 .4 .2 . Passage à l'octree coloré

Pour repérer des matériaux ou des couches géologiques différentes, le nombre d'"univers" possibles est maintenant supérieur à l'unité, et chacun affecté d'une couleur différente . Le repérage des limites entre couches est effectué verticale par verticale, en interpolant par rapport aux trois points de mesure les plus proches.

3.4 .3 . Découpage d'un cube

Les surfaces définissant les interfaces entre les différents matériaux sont définies par une série de points. Elles sont représentées localement par des plans reliant les points pris trois par trois. Ensuite, les cubes sont raffinés au voisinage des interfaces de façon à mieux représenter le contour de chaque couche. E n fait cette phase du travail n'a pu être achevée dans le temps imparti au stage.

3 .4 .4 . Exemples

Le rapport présente deux prototypes en coupe verticale correspondant à la superposition de plusieurs couches géologiques (dont deux se terminent en biseau dans le second prototype). Le code génère automatiquement un réseau de cubes, raffinés à proximité des interfaces entre couches.

3.4 .5 . Archivage

Outre le rapport cité de R . Schreiner et E . Fillion, les sources des codes développés (programmation-objet en C + + et code F O R T R A N ) sont archivées à 4 S / E A U .

3.4.6.Travaux complémentaires pour aboutir à un mailleur opérationnel par

la technique des octrees

Les travaux effectués au cours de ces deux stages ont permis de faire les premiers pas vers l'obtention d'un mailleur opérationnel. Il reste à achever le découpage des cubes interceptés par les limites (externes ou internes), puis à lisser le maillage obtenu, de façon à ce que la forme des hexaèdres voisins évoluent progressivement. L a technique a été exposée par M . A . Yerry et M . S . Shepard (1984) pour un espace bidimensionnel d'abord maillé en carrés par la technique des quadtrees (version 2 D des octrees), puis transformé en un maillage de triangles lissés (fig. 4).

3.5. CONCLUSIONS SUR LES MAILLEURS

N e disposant pas de mailleurs adaptés à nos besoins de représentation du milieu géologique, plusieurs pistes ont été testées :

- Les macro-éléments 2 D et 3 D nous ont permis de résoudre rapidement des problèmes concrets. Ils fournissent une approche simple et efficace tant que l'on peut se contenter d'une schématisation très géométrique.



Figure 4 Exemple de maillage automatique par quadtree ( octree 2 D )

d'après M . A . Y E R R Y et M . S . S H E P H A R D , Int. Jal of N u m . methods in Engin. Vol 20,1984 pp 1965-1990

1 - Définition du domaine d'étude

i i—< A

f r » ™ 1 > >

2 - Maillage en carrés tronqués par les limites

3 - Maillage obtenu après division en triangles, puis lissage



- L a technique Delaunay-Taniguchi en 2 D s'est avérée très fructueuse et a fourni l'embryon pour développer, en 1993, un maillage 3 D connecté à un nombre élevé de fractures 2 D (plus de 20 fractures) permettant de simuler le réseau fracturé de ltle d'Äspö (laboratoire souterrain du S K B -Suède).

- Les octrees ont été une autre approche, réalisée grâce au concours de stagiaires, dont le travail devrait être poursuivi avant d'aboutir à un mailleur opérationnel (cubes tronqués par des limites, et lissage des hexaèdres).

O n a vu par ailleurs que le lissage d'hexaèdres présente une difficulté qui reste à lever, puisque le lissage point par point doit s'effectuer sous contrainte. En effet, chaque face d'hexaèdre doit rester plane ; mais ce problème est aussi bien à résoudre pour l'approche Delaunay que pour les octrees.

Avec le recul, et compte-tenu du succès de l'approche Delaunay-Taniguchi, il nous apparaît qu'il n'est pas utile de poursuivre actuellement dans la direction des octrees.

L'ensemble des mailleurs disponibles et leur environnement (digitalisation, création de fichiers pour R O C K F L O W . . . ) , devront être réunis dans un préprocesseur de la chaîne R O C K F L O W , et accessibles à partir d'une page de menu.



4. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

E n 1989, à la veille de démarrer le projet E G 4 2 , nous ne disposions pas d'une chaîne de simulateurs par éléments finis dédiés aux écoulements et au transport de soluté dans les formations souterraines. Or , la nécessité s'en faisait sentir pour plusieurs raisons :

• L a réalisation de laboratoires souterrains français pour l'étude des stockages de déchets radioactifs paraissait imminente, exigeant la mise en oeuvre d'outils de simulation aptes à prendre en compte plus finement que par différences finies, la géométrie des ouvrages souterrains et des dispositifs d'expérimentation. E n fait, ces réalisations ont été différées, mais l ' A N D R A a depuis demandé au B R G M , d'intervenir dans différents sites étrangers (Suède, Canada, Belgique...).

• L'étude de sites granitiques, m ê m e à l'échelle la plus macroscopique du bassin, conduit à prendre en compte des zones fracturées au sein d'un massif perméable ; or il aurait été difficile de simuler des fractures non verticales avec nos outils de l'époque. Cette technique des éléments finis serait encore plus indispensable s'il fallait étudier à l'échelle fine un site aussi fortement plissé et hétérogène que celui des schistes de Segré.

• L a réalisation de certains exercices internationaux tels que I N T R A C O I N phase 1, test 2 , qui nous a été demandée par l ' A N D R A , nécessitait la capacité de mettre en oeuvre des codes aux éléments finis.

• M ê m e dans l'étude de problèmes de ressources en eau relativement classiques pour lesquels nous croyons en la supériorité de différences finies (étude de Malte, projet U N E P ) , l'expert intervenant dans le choix du contractant exigeait du B R G M l'utilisation d'un code aux éléments finis.

Actuellement (1992-1993) :

N o u s disposons d'une chaîne de programmes R O C K F L O W capable de simuler les écoulements et le transport dans un massif à double porosité (matrice perméable intersectée par des fractures conductrices). Ses résultats sont traités par un post-processeur graphique. Grâce aux travaux réalisés en 1993 dans le cadre du projet E G 1 2 , un mailleur automatique permet de définir des maillages 3 D avec un nombre élevé de fractures ou de zones fracturées 2 D (une vingtaine pour l'instant). L a modélisation de l'équation de transport se fait par éléments finis ( T M ) , ou par particules lorsque le milieu continu n'est pas fracturé (PT) ; ces 2 méthodes très différentes peuvent être utilisées en concurrence, car il est très facile d'appeler alternativement l'une et l'autre. L a suprématie de l'une sur l'autre dépend du problème traité.

Plusieurs applications ont été réalisées pour le compte de l ' A N D R A à l'aide de ces codes :

• Certification de S M (cf § 1.5) par réalisation de deux tests I N T R A C O I N , et applications à des configurations relatives au stockage profond de déchets radioactifs.

• Etude paramétrique pour le dimensionnement d'un test "cross-hole" consistant à créer des perturbations périodiques dans un forage, et analyser les réponses dans un second forage, tous deux réalisés en divergence à partir d'un m ê m e point d'une galerie souterraine.



• Modélisation d'essais de puits sur le laboratoire souterrain de l'île d'Äspö (Suède) : l ' A N D R A est m e m b r e de la Task Force Internationale qui comprend une dizaine d'équipes de pays différents : Europe, U S A , Japon...). C e groupe est chargé de suivre, interpréter, commenter les résultats des essais effectués en cours de travaux, et proposer des orientations pour les futures expérimentations. E n 1992, l ' A N D R A a mandaté parallèlement le B R G M , le C E A / D M T et I T A S C A pour interpréter des essais de pompage réalisés antérieurement au creusement de la galerie d'accès. Ces modélisations font donc l'objet d'une confrontation internationale. Le B R G M utilise notamment la chaîne R O C K F L O W avec les modules S M et D M , le mailleur et le post-processeur D A L I .

• Modélisation de traçages multipuits sur le site d'Äspö dans le m ê m e cadre que les essais de pompage.

• Devraient suivre l'interprétation des observations recueillies lors de la foration de la galerie d'accès, et plus tard la conception et le dimensionnement des expérimentations à réaliser dans le futur laboratoire d'Äspö.

Les travaux réalisés dans le cadre du projet E G 4 2 ont permis d'engager des coopérations scientifiques internationales :

• avec l'Université de Hanovre pour l'utilisation, les tests et les améliorations des modules S M , TM, PT, D M et DALI,

• avec les Universités de O k a y a m a et de Hanovre sur le problème des mailleurs automatiques,

• avec le Pr. Kinzelbach (Université de Cassel, puis de Heidelberg) sur des tests des logiciels, puis sur les interpolateurs de vitesse.

Perspectives (1994) :

N o u s devons tout d'abord procéder à des améliorations de D M (écoulement densitaire) avec la mise en oeuvre des nouveaux solvers, et de P T avec l'introduction d'interpolateurs de vitesses plus élaborés et la programmation du franchissement de fractures par les solutés. D e façon à être en mesure de réaliser de futures modélisations relatives à l'île d'Äspö (le creusement des galeries créera des rabattements très importants, causes d'invasion saline) il est donc important de bien maîtriser la modélisation des écoulements à densité variable.

Les mailleurs automatiques doivent être améliorés, de telle sorte que l'on puisse simultanément représenter des fractures et optimiser la forme des éléments du maillage.

L a version de D M actuelle, lie la densité du fluide à sa concentration en un sel. Il est prévu, dès 1994, d'y ajouter l'effet de la température ; ceci ne pose pas de grands problèmes car on postulera en première approximation que le champ des températures résulte exclusivement de la conduction thermique, phénomène que S M est capable de simuler. C e n'est que plus tard que la thermo-convection complète avec flux thermique convectif non négligeable serait abordée, si les applications le justifient.



L'Université de Stuttgart a lancé en juillet 1993 un important programme d'expérimentations et de modélisations pour l'étude du transfert de pollutions dans le sous-sol et de la réhabilitation des aquifères (Programme international V E G A S ) . C e programme comprend notamment une expérimentation sur le transfert d'hydrocarbures dans des milieux saturés et non saturés, et l'assainissement par culture de bactéries appropriées. Il s'agit donc d'écoulements et transferts d'un fluide polyphasique (eau-huile-air). Or, il se trouve que R . Helmig, antérieurement responsable du produit R O C K F L O W à l'Université de Hanovre travaille maintenant à l'Institut de Mécanique des Fluides de Stuttgart et a été désigné responsable des modélisations de ce projet. R . Helmig a développé, un nouveau module M M (MehrPhäsen Modell) pour la modélisation des écoulements polyphasiques dans l'environnement R O C K F L O W (R. Helmig, 1992), en coopération avec K . Pruess du L B L (auteur des codes T O U G H pour la modélisation des écoulements polyphasiques par la méthode des différences finies intégrées, et spécialiste internationalement reconnu). U n accord est intervenu pour que s'engage en 1994 une coopération BRGM-Stuttgart afin de réaliser un couplage entre le module M M , et des réacteurs biochimiques sous environnement A L L A N - N E P T U N I X , puis d'appliquer ce code couplé à l'interprétation des résultats expérimentaux.



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